Chapitre

Mod?lisation

et

recalage

multiple

Ce

chapitre

a

t

publi

dans

Image

Fusion

and

Shape

Variability

Techniques

-LRB-

Pennec

-RRB-

L'id

e

g?n?rale

est

d'

tudier

les

techniques

de

recalage

multiple

et

d'aborder

la

th?orie

des

formes

sur

les

points

pour

pouvoir

g?n?raliser

ensuite

ces

m?thodes

des

primitives

quelconques

Summary

We

present

in

this

article

a

characterization

of

the

mean

rigid

shape

in

any

dimension

and

propose

an

algorithm

to

compute

it

after

a

multiple

registration

step

In

order

to

cope

with

the

missing

point

problem

-LRB-

occlusion

<=-RRB-

we

propose

another

iterative

algorithm

that

alternates

the

computation

of

the

mean

shape

and

the

registration

of

all

objects

to

it

Experiments

with

synthetic

and

real

data

show

a

good

convergence

of

both

algorithms

the

iterative

one

being

much

faster

We

present

two

applications

in

modeling

with

the

mean

shape

of

the

heme

binding

motif

-LRB-

molecular

biology

-RRB-

and

the

model

of

the

head

of

one

patient

based

on

extremal

points

from

MRI

images

-LRB-

medical

imaging

-RRB-

Introduction

To

study

the

shape

of

an

object

it

is

common

to

describe

the

object

by

a

oxed

number

k

of

characteristic

features

in

order

to

obtain

a

k-tuple

-LRB-

xk

-RRB-

Two

object

are

said

to

have

the

same

form

if

there

exists

a

transformation

that

can

superimpose

them

and

thus

identify

their

characteristic

k-tuples

General

studies

focuses

on

k-tuples

of

points

and

their

form

under

rigid

transformation

with

possibly

scaling

-LRB-

Kendall

Goodall

Le

et

Kendall

-RRB-

There

are

fewer

works

dealing

with

more

general

transformations

apart

from

-LRB-

Ambartzumian

-RRB-

for

aOEne

shapes

and

most

applications

concern

landmarks

-LRB-

Bookstein

Bookstein

Small

-RRB-

In

computer

vision

and

medical

imaging

however

some

more

complex

features

can

appear

like

lines

frames

and

we

need

to

work

in

full

This

type

of

constraints

is

also

shared

in

structural

biology

when

it

comes

to

the

tertiary

structure

of

the

proteins

Mod?lisation

et

recalage

multiple

Chap

In

this

framework

several

problems

can

be

identioed

Firstly

the

identiocation

and

measurement

of

meaningful

features

or

landmarks

is

much

more

diOEcult

in

than

in

and

can

become

a

bottleneck

of

the

shape

studies

if

done

by

hand

Then

There

is

a

need

for

an

automatic

extraction

of

characteristic

features

the

Cff

position

of

an

amino

acid

is

usually

considered

as

representative

for

the

amino

acid

in

the

protein

and

extremal

points

-LRB-

Thirion

-RRB-

can

be

good

candidates

for

landmarks

The

remaining

problem

is

how

to

discriminate

meaningful

features

from

spurious

-LRB-

or

more

often

uninteresting

-RRB-

ones

In

the

medical

imaging

oeld

one

can

think

of

a

scale-space

approach

to

characterize

features

by

their

stability

but

eventually

the

saliency

of

features

is

their

stability

across

a

wide

range

of

observations

for

a

given

object

We

are

here

confronted

to

a

multiple

matching

and

registration

problem

in

the

presence

of

noise

and

outliers

Once

meaningful

features

have

been

identioed

and

matched

in

dioeerent

observations

it

is

interesting

to

merge

their

observations

in

order

to

obtain

a

model

that

incorporate

all

meaningful

information

and

has

a

reduced

noise

The

shape

of

this

model

can

then

be

studied

compared

with

others

used

to

determine

if

a

similar

shape

is

present

in

an

observation

The

set

of

models

in

the

world

we

consider

will

then

constitute

an

atlas

Algorithms

for

recognition

and

registration

of

two

observations

have

already

been

developed

for

substructure

matching

of

proteins

-LRB-

Pennec

et

Ayache

-RRB-

and

registration

of

medical

images

based

on

extremal

points

-LRB-

-LRB-

Thirion

-RRB-

and

-LRB-

Pennec

et

Thirion

-RRB-

for

a

validation

-RRB-

We

are

interested

in

this

article

in

multiple

registration

and

how

to

deone

a

mean

shape

based

on

point

features

under

rigid

transformations

We

present

in

the

orst

part

a

characterization

of

expected

and

mean

rigid

shapes

in

the

Fr?chet

sense

-LRB-

Fr?chet

-RRB-

which

is

basically

the

generalization

to

nD

of

some

result

of

Ziezold

-LRB-

Ziezold

Ziezold

-RRB-

We

show

that

the

mean

rigid

shapes

can

be

computed

independently

after

a

multiple

registration

step

of

the

k-tuples

and

we

propose

an

iterative

method

to

solve

the

multiple

registration

problem

Experiments

on

synthetic

data

show

that

the

algorithm

behave

well

and

reasonably

fast

In

the

real

world

however

there

are

often

occlusion

and

thus

incomplete

k-tuples

some

usually

stable

features

can

be

mismatched

highly

displaced

or

simply

forgotten

in

the

extraction

scheme

in

one

or

a

few

observations

It

would

be

inauspicious

to

simply

dismiss

these

features

since

they

can

bring

useful

information

in

most

of

the

cases

We

extend

then

in

the

second

part

the

multiple

registration

and

mean

shape

estimation

scheme

in

order

to

cope

with

incomplete

shapes

In

the

third

part

we

present

an

application

in

molecular

biology

the

globin

family

collects

proteins

of

many

dioeerent

organisms

Their

amino

acid

homology

can

be

as

low

as

However

their

structure

is

still

related

and

constitute

the

globin

fold

It

is

mainly

composed

of

ff

helices

that

form

a

pocket

for

the

active

site

which

in

myoglobins

and

hemoglobins

binds

a

heme

group

The

motif

constituted

by

the

amino

acids

binding

the

heme

in

globins

was

extensively

studied

by

Lesk

et

al.

-LRB-

Lesk

et

Chothia

-RRB-

In

this

example

the

correspondences

between

amino

acids

implied

in

the

heme

binding

are

given

and

we

want

to

determine

the

mean

shape

of

the

binding

motif

A

collection

of

models

of

motifs

would

allow

to

routinely

scan

each

newly

determined

structure

of

protein

or

help

protein

design

by

providing

reliable

parts

of

the

structure

The

last

part

concern

medical

imaging

and

more

especially

extremal

points

This

is

more

complex

since

we

have

to

ond

out

automatically

the

multiple

correspondences

between

images

We

register

thus

each

pair

of

images

and

look

for

maximal

cliques

of

correspondences

between

the

whole

set

of

images

This

process

is

rather

time

consuming

and

can

certainly

be

improved

but

we

focus

here

on

the

following

step

multiple

registration

and

fusion

The

experiment

is

performed

on

MRI

images

of

the

head

of

the

same

patient

and

we

analyze

the

resulting

-LRB-

rigid

-RRB-

shape

model

based

on

stable

extremal

point

The

next

step

in

such

an

experiment

would

be

to

repeat

this

opera

Rigid

shapes

in

Rm

tion

on

several

patients

independently

and

then

look

for

the

similar

or

aOEne

shape

based

on

these

models

We

could

then

characterize

extremal

points

that

are

anatomically

stable

and

incorporate

them

into

an

atlas

Rigid

shapes

in

Rm

We

consider

here

that

characteristic

features

are

points

in

Rm

and

investigate

the

shape

of

a

k-tuple

of

such

landmarks

under

rigid

transformations

In

order

to

simplify

the

notations

we

note

M

Rm

the

manifold

of

features

and

G

the

rigid

motion

group

A

rigid

transformation

of

Rm

is

represented

by

a

translation

vector

t

Rm

and

a

rotation

matrix

-LRB-

m?m

-RRB-

R

satisfying

R

RT

RT

R

Id

and

det

-LRB-

R

-RRB-

in

order

to

exclude

reAEections

We

note

f

-LRB-

R

t

-RRB-

such

a

transformation

The

two

basic

operations

inside

the

group

are

the

composition

ffi

-LRB-

-RRB-

the

inversion

f

-LRB-

-RRB-

-LRB-

RT

RT

t

-RRB-

The

action

of

the

group

on

the

features

is

simply

the

application

f

x

R

x

t

An

object

can

be

represented

by

a

k-tuple

X

-LRB-

x

-LRB-

-RRB-

x

-LRB-

k

-RRB-

-RRB-

Mk

of

features

The

action

of

the

transformation

group

G

on

k-tuples

is

f

X

-LRB-

f

x

-LRB-

-RRB-

f

x

-LRB-

k

-RRB-

-RRB-

The

rigid

shape

of

this

object

is

characterized

by

the

relative

position

between

features

of

the

k-tuple

i.e.

the

quotient

space

Mk

G

two

objects

have

the

same

shape

if

they

are

congruent

modulo

G

-LRB-

i.e.

if

there

exist

a

rigid

transformation

g

G

such

that

Y

g

X

-RRB-

Distances

on

points

k-tuples

and

rigid

shapes

The

Euclidean

distance

on

points

comes

from

the

euclidean

scalar

product

d

-LRB-

x

-LRB-

-RRB-

x

-LRB-

-RRB-

-RRB-

kx

-LRB-

-RRB-

x

-LRB-

-RRB-

x

-LRB-

-RRB-

x

-LRB-

-RRB-

jx

-LRB-

-RRB-

x

-LRB-

-RRB-

with

xjy

xT

y

Tr

-LRB-

x

yT

-RRB-

We

note

that

by

deonition

of

rigid

transformations

the

Euclidean

distance

is

invariant

under

such

a

transformation

d

-LRB-

x

y

-RRB-

d

-LRB-

f

x

f

y

-RRB-

whereas

the

scalar

product

-LRB-

and

thus

the

norm

-RRB-

are

invariant

under

rotation

R

xjR

y

xjy

Let

now

X

-LRB-

x

-LRB-

-RRB-

x

-LRB-

k

-RRB-

-RRB-

and

Y

-LRB-

y

-LRB-

-RRB-

y

-LRB-

k

-RRB-

-RRB-

be

two

k-tuples

of

points

-LRB-

X

and

Y

are

points

in

Mk

Rm?k

-RRB-

We

deone

the

distance

between

these

k-tuples

as

D

-LRB-

X

Y

-RRB-

k

X

h

d

-LRB-

x

-LRB-

h

-RRB-

y

-LRB-

h

-RRB-

-RRB-

A

normalization

factor

k

can

be

used

if

we

want

to

compare

distances

between

k-tuple

independently

of

their

number

of

points

k

This

distance

is

obviously

invariant

under

rigid

transformation

D

-LRB-

X

Y

-RRB-

D

-LRB-

f

X

f

Y

-RRB-

If

we

consider

the

k-tuples

as

vectors

-LRB-

XT

-LRB-

x

-LRB-

-RRB-

x

-LRB-

k

-RRB-

-RRB-

-RRB-

then

the

distance

D

is

the

Euclidean

distance

of

Rk?m

In

order

to

obtain

a

distance

on

the

shape

space

we

need

to

minimize

this

distance

on

k-tuples

over

all

possible

transformations

dk

-LRB-

X

Y

-RRB-

inf

-LRB-

D

-LRB-

f

X

Y

-RRB-

-RRB-

Mod?lisation

et

recalage

multiple

Chap

Since

D

is

invariant

by

rigid

transformations

we

have

D

-LRB-

f

X

Y

-RRB-

D

-LRB-

X

f

-LRB-

-RRB-

Y

-RRB-

and

thus

inff

-LRB-

D

-LRB-

f

X

Y

-RRB-

-RRB-

infg

-LRB-

D

-LRB-

X

g

Y

-RRB-

-RRB-

which

means

that

dk

is

symmetric

dk

-LRB-

X

Y

-RRB-

dk

-LRB-

Y

X

-RRB-

The

triangular

inequality

is

respected

by

the

inomum

and

thus

the

only

point

remaining

to

prove

that

dk

is

a

distance

on

shapes

is

the

deoniteness

dk

-LRB-

X

Y

-RRB-

-RRB-

X

Y

In

fact

a

stronger

property

that

implies

the

deoniteness

can

be

shown

in

this

case

the

above

inomum

is

reached

for

any

k-tuples

X

and

Y

-LRB-

the

proof

closely

follows

the

one

of

theorem

-RRB-

The

deoniteness

of

dk

is

then

easily

derived

dk

-LRB-

X

Y

-RRB-

means

that

there

exists

f

G

such

as

D

-LRB-

f

X

Y

-RRB-

which

implies

-LRB-

since

D

is

a

distance

-RRB-

that

Y

f

X

This

is

exactly

our

deonition

of

equality

for

shapes

we

have

thus

X

Y

and

dk

is

a

distance

on

rigid

shapes

Mean

shapes

Extending

the

formalism

of

the

Fr?chet

expectation

-LRB-

section

-RRB-

to

rigid

shapes

we

deone

the

set

of

mean

shapes

of

the

set

of

shapes

f

Xign

i

as

M

-LRB-

f

Xig

-RRB-

arg

inf

-LRB-

n

X

i

i

dk

-LRB-

m

Xi

-RRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

In

terms

of

k-tuples

we

can

write

this

equation

M

-LRB-

fXig

-RRB-

arg

inf

-LRB-

inf

-LRB-

fn

-RRB-

-LRB-

n

X

i

D

-LRB-

m

fi

Xi

-RRB-

-RRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

We

note

that

if

m

M

-LRB-

fXig

-RRB-

then

any

k-tuple

of

the

form

f

m

also

represents

of

the

mean

shape

The

problem

we

are

confronted

with

is

thus

two-folded

ond

both

a

k-tuple

m

representing

the

mean

shape

and

a

set

of

transformations

fi

that

register

the

k-tuple

Xi

with

it

In

fact

we

can

extend

the

results

of

Ziezold

-LRB-

Ziezold

Ziezold

-RRB-

and

solve

orst

for

the

multiple

registration

problem

and

then

for

the

mean

shape

A

central

notion

to

decouple

the

multiple

registration

from

the

mean

shape

problem

is

the

optimal

position

The

k-tuples

Xn

are

in

optimal

position

to

each

other

if

their

positions

realize

the

minimum

of

their

relative

distances

X

i

j

n

D

-LRB-

Xi

Xj

-RRB-

inf

-LRB-

fn

-RRB-

X

i

j

n

D

-LRB-

fi

Xi

fj

Xj

-RRB-

Th?or?me

M

M

represents

a

mean

shape

if

and

only

if

there

exists

a

set

of

rigid

transformations

-LRB-

fn

-RRB-

such

as

the

k-tuples

fn

Xn

are

in

optimal

position

and

considering

the

k-tuples

as

vectors

M

n

n

X

i

fi

Xi

In

this

case

the

variance

is

X

i

j

n

D

-LRB-

fi

Xi

fj

Xj

-RRB-

Rigid

shapes

in

Rm

Proof

In

this

part

we

consider

the

k-tuples

as

points

of

Rmk

and

the

distance

D

on

these

points

is

induced

by

the

Euclidean

scalar

product

Let

-LRB-

fn

-RRB-

be

a

set

of

transformations

M

a

k-tuple

and

G

be

the

barycenter

of

the

transformed

k-tuples

Xi

G

n

n

X

i

fi

Xi

We

have

X

i

j

n

D

-LRB-

fi

Xi

fj

Xj

-RRB-

n

X

i

n

X

j

D

-LRB-

fi

Xi

fj

Xj

-RRB-

n

X

i

n

X

j

kfi

Xi

fj

n

X

i

n

X

j

kfi

Xi

kfj

Xj

fi

Xi

M

jfj

Xj

M

n

X

i

nkfi

Xi

n

X

j

kfj

Xj

fi

Xi

M

jG

M

n

n

X

j

kfj

Xj

This

is

summarized

in

n

X

i

D

-LRB-

fi

Xi

M

-RRB-

nD

-LRB-

G

M

-RRB-

n

X

i

j

n

D

-LRB-

fi

Xi

fj

Xj

-RRB-

Since

the

inoma

of

the

above

expressions

is

reached

-LRB-

see

theorem

-LRB-

-RRB-

below

-RRB-

M

represents

a

mean

feature

if

and

only

if

the

k-tuples

fi

Xi

are

in

optimal

position

and

M

is

the

barycenter

G

of

the

k-tuples

in

this

optimal

position

The

empirical

variance

is

given

by

the

value

of

the

normalized

criterion

at

this

minimum

n

n

X

i

D

-LRB-

fi

Xi

M

-RRB-

X

i

j

n

D

-LRB-

fi

Xi

fj

Xj

-RRB-

Characterization

of

the

optimal

positions

Let

fXi

-LRB-

x

-LRB-

-RRB-

i

x

-LRB-

k

-RRB-

i

-RRB-

gn

i

be

a

set

of

n

k-tuples

We

call

centroid

of

a

k-tuple

Xi

the

bary

center

of

its

points

xi

k

Pk

h

x

-LRB-

h

-RRB-

i

The

corresponding

centered

k-tuples

is

then

the

set

the

sets

Yi

-LRB-

y

-LRB-

-RRB-

i

y

-LRB-

k

-RRB-

i

-RRB-

with

y

-LRB-

h

-RRB-

i

x

-LRB-

h

-RRB-

i

xi

Th?or?me

Optimal

positions

exist

and

the

centroids

of

the

k-tuples

correspond

in

such

a

position

The

remaining

criterion

to

maximize

for

rotations

is

then

F

X

i

j

Tr

Ri

Hij

RT

j

with

Hi

j

k

X

h

y

-LRB-

h

-RRB-

j

y

-LRB-

h

-RRB-

i

T

if

i

j

if

i

j

-LRB-

-RRB-

Proof

The

criterion

to

be

minimized

for

the

multi-registration

problem

is

written

C

X

i

j

n

D

-LRB-

fi

Xi

fj

Xj

-RRB-

k

X

h

X

i

j

n

kRi

x

-LRB-

h

-RRB-

i

ti

Rj

x

-LRB-

h

-RRB-

j

tj

Mod?lisation

et

recalage

multiple

Chap

An

optimum

of

this

criterion

is

characterized

by

a

derivative

In

particular

we

get

for

the

translation

tl

@C

@tl

T

k

X

h

n

X

i

Rl

x

-LRB-

h

-RRB-

l

tl

Ri

x

-LRB-

h

-RRB-

i

ti

and

thus

Rl

xl

tl

n

n

X

i

-LRB-

Ri

xi

ti

-RRB-

Since

an

optimal

position

is

deoned

up

to

a

global

rigid

transformation

-LRB-

see

above

-RRB-

we

can

ox

for

instance

and

we

obtain

n

n

X

i

-LRB-

Ri

xi

ti

-RRB-

which

means

that

each

translation

tl

is

written

tl

Rl

xl

All

the

centroids

are

thus

superimposed

Now

let

y

-LRB-

h

-RRB-

i

x

-LRB-

h

-RRB-

i

xi

be

the

barycentric

coordinates

of

each

k-tuple

The

criterion

may

be

written

C

k

X

h

X

i

j

n

kRi

y

-LRB-

h

-RRB-

i

Rj

y

-LRB-

h

-RRB-

j

Developing

it

we

obtain

C

X

h

X

i

X

j

i

y

-LRB-

h

-RRB-

i

T

y

-LRB-

h

-RRB-

i

y

-LRB-

h

-RRB-

j

T

y

-LRB-

h

-RRB-

j

y

-LRB-

h

-RRB-

i

T

RTi

Rj

y

-LRB-

h

-RRB-

j

The

minima

of

C

are

thus

given

by

the

maxima

of

the

following

criterion

F

F

X

h

X

i

X

j

i

y

-LRB-

h

-RRB-

i

T

RTi

Rj

y

-LRB-

h

-RRB-

j

Tr

X

i

X

j

i

Ri

X

h

y

-LRB-

h

-RRB-

j

y

-LRB-

h

-RRB-

i

T

RTj

A

Let

Hi

j

be

the

correlation

matrix

Hi

j

k

X

h

y

-LRB-

h

-RRB-

j

y

-LRB-

h

-RRB-

i

T

with

the

convention

that

Hi

i

-LRB-

we

note

that

Hi

j

HTj

i

-RRB-

The

criterion

to

maximize

can

be

written

F

X

i

j

Tr

Ri

Hi

jRTj

Since

the

minimization

occurs

on

-LRB-

-RRB-

n

which

a

compact

set

the

minimum

of

this

criterion

is

reached

for

at

least

one

set

-LRB-

Rn

-RRB-

-LRB-

-RRB-

n.

A

closed

form

solution

for

the

simple

registration

problem

Since

HT

the

criterion

reduces

in

the

case

of

two

k-tuples

to

F

Tr

-LRB-

RT

-RRB-

Tr

RT

HT

As

the

solution

is

deoned

up

to

a

rotation

-LRB-

if

and

are

solutions

and

are

also

-RRB-

we

are

usually

looking

for

the

transformation

R

RT

from

the

orst

k-tuple

to

the

second

one

A

closed

form

solution

is

well

known

using

the

singular

value

decomposition

-LRB-

Arun

et

al.

Umeyama

-RRB-

and

recalled

in

section

-LRB-

-RRB-

-LRB-

quaternions

are

only

valid

in

-RRB-

We

just

recall

here

the

results

Th?or?me

Let

U

:D

V

T

K

be

a

singular

value

decomposition

of

K.

Assuming

that

the

singular

values

are

sorted

by

decreasing

value

the

maximum

of

the

criterion

G

Tr

-LRB-

R

KT

-RRB-

is

reached

over

all

proper

rotations

for

R

U

S

V

T

with

S

diag

-LRB-

det

-LRB-

U

-RRB-

det

-LRB-

V

-RRB-

-RRB-

with

the

value

Gopt

Tr

-LRB-

D

S

-RRB-

The

maximum

is

unique

if

rank

-LRB-

K

-RRB-

m

An

iterative

scheme

for

the

multiple

registration

problem

As

in

the

simple

registration

case

we

observe

orst

that

if

the

set

of

rotations

Rng

maximize

the

criterion

F

P

i

j

Tr

Ri

Hij

RT

j

then

the

set

Rng

also

maximize

Rigid

shapes

in

Rm

the

criterion

with

the

same

value

The

second

step

is

to

isolate

in

the

criterion

the

inAEuence

of

a

single

rotation

Rl

we

have

indeed

F

X

l

X

j

l

Tr

-LRB-

Ri

Hi

j

Rj

-RRB-

with

Fl

X

i

Tr

-LRB-

Rl

Hl

i

RT

i

-RRB-

The

basic

idea

is

to

maximize

iteratively

the

criteria

Fl

according

to

the

rotation

Rl

only

Since

the

second

part

of

the

global

criterion

F

does

not

depend

upon

Rl

its

value

is

oxed

during

the

optimization

of

Fl

whereas

the

value

of

Fl

is

increasing

The

value

of

the

global

criterion

F

is

thus

always

increasing

and

since

we

optimize

on

a

compact

set

-LRB-

SOn

m

-RRB-

it

converges

to

a

local

maximum

In

order

to

speed

up

the

process

we

propose

to

start

by

registering

independently

each

k-tuple

Yi

-LRB-

for

i

-RRB-

with

the

orst

one

we

ox

Id

and

Ri

maximizes

the

criterion

Tr

-LRB-

Ri

-LRB-

i

-RRB-

T

-RRB-

-LRB-

the

criterion

is

thus

maximum

with

respect

to

-RRB-

Then

we

iteratively

maximize

over

Rl

the

criterion

Fl

Tr

-LRB-

Rl

:-LRB-

P

i

Ri

Hi

l

-RRB-

T

-RRB-

We

consider

that

the

maximum

is

reached

when

the

value

of

the

global

criterion

increases

less

than

a

given

threshold

in

one

pass

on

each

index

The

globality

of

the

maximum

reached

can

be

verioed

by

several

optimizations

with

dioeerent

starting

point

-LRB-

start

to

register

with

Yi

instead

of

-RRB-

and/or

a

randomization

of

the

order

of

maximization

In

practice

we

observed

that

a

suOEcient

number

of

points

well

localized

on

a

non

symmetric

shape

will

lead

to

a

single

maximum

that

can

be

reached

easily

Extension

to

incomplete

k-tuples

In

the

real

world

however

there

are

often

missing

data

and

thus

incomplete

k-tuples

some

usually

stable

features

can

be

mismatched

highly

displaced

or

simply

forgotten

in

the

extraction

scheme

in

one

or

a

few

observations

It

would

be

inauspicious

to

simply

dismiss

these

features

since

they

can

bring

useful

information

in

most

of

the

cases

We

consider

thus

that

a

missing

point

in

a

k-tuple

X

can

correspond

to

any

point

location

in

another

k-tuple

Y

if

there

are

p

missing

points

the

k-tuple

can

be

viewed

as

a

p-plane

in

Mk

In

order

to

keep

a

standard

representation

we

associate

to

the

k-tuple

X

-LRB-

x

-LRB-

-RRB-

x

-LRB-

h

-RRB-

-RRB-

a

binary

vector

X

such

that

X

-LRB-

h

-RRB-

is

if

the

point

exists

and

if

the

point

is

missing

The

distance

between

incomplete

k-tuples

can

thus

be

written

D

-LRB-

X

Y

-RRB-

k

X

h

X

-LRB-

h

-RRB-

Y

-LRB-

h

-RRB-

:d

-LRB-

x

-LRB-

h

-RRB-

y

-LRB-

h

-RRB-

-RRB-

This

is

not

really

a

distance

since

the

triangular

inequality

is

not

verioed

and

this

is

if

the

associated

p-plane

and

q-plane

intersect

However

this

corresponds

to

the

distance

on

k-tuples

we

deone

above

if

there

is

no

missing

data

and

the

distance

of

a

full

k-tuple

-LRB-

the

mean

one

for

instance

-RRB-

to

an

incomplete

one

is

the

Euclidean

distance

from

a

point

to

a

p-plane

We

can

thus

deone

the

set

of

mean

k-tuples

as

above

-LRB-

equation

-RRB-

Unfortunately

if

we

could

theoretically

separate

the

multiple

registration

from

the

mean

shape

computation

we

can

not

separate

the

rotation

and

translation

parts

in

the

multiple

registration

criterion

Since

we

now

have

to

optimize

on

a

non

compact

set

we

prefer

to

use

another

-LRB-

simpler

-RRB-

iterative

scheme

assuming

that

we

have

an

initial

multiple

registration

we

can

compute

a

mean

k-tuple

M

-LRB-

with

m

-LRB-

h

-RRB-

f

Pn

i

Xi

-LRB-

h

-RRB-

-LRB-

Ri

x

-LRB-

h

-RRB-

i

ti

-RRB-

g

f

Pn

i

Xi

-LRB-

h

-RRB-

g

-RRB-

which

can

now

be

used

to

minimize

criterion

-LRB-

-RRB-

for

the

simple

registration

of

each

k-tuple

with

M

We

iterate

this

process

until

convergence

or

a

maximum

number

of

iterations

The

initial

registration

can

be

obtained

by

using

the

previous

algorithm

with

sub-k-tuples

that

are

present

in

all

observation

or

more

easily

with

a

naive

registration

of

all

k-tuples

with

the

orst

one

Mod?lisation

et

recalage

multiple

Chap

Experiments

Synthetic

experiments

showed

that

the

two

iterative

process

converge

-LRB-

to

the

numerical

precision

of

the

machine

-RRB-

in

about

iterations

The

incomplete

scheme

does

not

give

a

sensible

improvement

of

the

mean

shape

precision

if

only

a

few

points

are

missing

but

turns

out

to

be

more

and

more

interesting

as

the

number

of

missing

points

increases

and/or

the

number

n

of

k-tuples

increases

Indeed

the

orst

method

is

not

any

more

usable

if

the

number

of

globally

common

points

is

too

small

-LRB-

we

need

for

instance

at

least

points

to

register

in

-RRB-

and

its

computational

complexity

increases

in

whereas

it

is

linear

for

the

second

method

Mean

shape

of

the

heme

binding

motif

We

present

here

an

application

in

molecular

biology

the

globin

family

collects

proteins

of

many

dioeerent

organisms

Their

amino

acid

homology

can

be

as

low

as

However

their

structure

is

still

related

and

constitutes

the

globin

fold

It

is

mainly

composed

of

ff

helices

that

form

a

pocket

for

the

active

site

which

in

myoglobins

and

hemoglobins

binds

a

heme

group

The

motif

constituted

by

the

amino

acids

binding

the

heme

in

globins

was

extensively

studied

in

-LRB-

Lesk

et

Chothia

-RRB-

We

used

the

correspondences

given

in

this

study

and

the

atoms

coordinates

from

the

Protein

Data

Bank

to

determine

the

mean

shape

of

the

binding

motif

A

collection

of

such

models

of

motifs

would

allow

to

routinely

scan

each

newly

determined

structure

of

protein

or

help

protein

design

by

providing

reliable

parts

of

the

structure

Fig.

The

amino

acids

from

globins

of

the

active

site

are

represented

by

their

backbone

atoms

-LRB-

bindings

are

lines

-RRB-

The

mean

shape

of

the

motif

is

displayed

in

balls

and

sticks

On

the

bottom-left

of

the

ogure

a

compact

group

of

atoms

represents

two

alternative

-LRB-

and

exclusive

-RRB-

positions

of

an

amino-acid

k-tuples

are

incomplete

Model

of

a

single

patient

based

on

extremal

points

In

medical

imaging

the

identiocation

and

measurement

of

meaningful

features

or

landmarks

is

much

more

diOEcult

than

in

and

can

become

a

bottleneck

of

the

shape

studies

if

done

by

hand

Experiments

we

believe

that

extremal

points

are

good

landmarks

candidates

thanks

to

their

automatic

extraction

The

remaining

problem

is

to

discriminate

meaningful

features

from

spurious

or

uninteresting

ones

In

fact

the

saliency

of

features

is

their

stability

across

a

wide

range

of

observations

for

a

given

object

We

are

thus

confronted

to

a

multiple

matching

and

registration

problem

in

the

presence

of

noise

and

outliers

Once

meaningful

features

have

been

identioed

and

matched

in

dioeerent

observations

it

is

interesting

to

merge

their

observations

in

order

to

obtain

a

model

that

incorporate

all

meaningful

information

and

has

a

reduced

noise

We

presented

in

-LRB-

Pennec

et

Thirion

-RRB-

an

algorithm

for

the

registration

based

on

frames

which

also

quantioes

the

uncertainty

on

both

the

data

and

the

transformation

We

used

it

to

register

medical

images

and

showed

that

the

accuracy

of

the

registration

is

far

below

both

the

voxel

size

and

the

uncertainty

of

the

individual

features

In

this

method

only

the

most

stable

features

are

used

to

compute

the

registration

and

a

lot

of

matches

are

discarded

due

to

their

large

uncertainty

The

aim

of

the

present

experiments

is

to

fuse

together

several

registered

images

of

a

single

patient

in

order

to

construct

an

average

model

based

on

extremal

points

We

are

mainly

interested

here

in

the

topological

stability

of

the

features

i.e.

determine

which

features

can

be

reliably

matched

in

most

images

even

with

large

geometric

deviations

The

selectivity

of

the

features

-LRB-

chap

-RRB-

therefore

very

important

Such

a

study

on

several

patients

will

eventually

lead

to

identify

the

most

stable

anatomical

features

-LRB-

landmarks

-RRB-

and

will

allow

us

to

better

reduce

the

complexity

while

increasing

the

robustness

of

the

registration

task

In

medical

imaging

the

identiocation

and

measurement

of

meaningful

features

or

landmarks

is

much

more

diOEcult

and

can

become

a

bottleneck

of

the

shape

studies

if

done

by

hand

we

believe

that

extremal

points

are

good

landmarks

candidates

thanks

to

their

automatic

extraction

The

remaining

problem

is

to

discriminate

meaningful

features

from

spurious

or

uninteresting

ones

In

fact

the

saliency

of

features

is

their

stability

across

a

wide

range

of

observations

for

a

given

object

We

are

thus

confronted

to

a

multiple

matching

and

registration

problem

in

the

presence

of

noise

and

outliers

Once

meaningful

features

have

been

identioed

and

matched

in

dioeerent

observations

it

is

interesting

to

merge

their

observations

in

order

to

obtain

a

model

that

incorporate

all

meaningful

information

and

has

a

reduced

noise

The

shape

of

this

model

can

then

be

studied

compared

with

others

used

to

determine

if

a

similar

shape

is

present

in

an

observation

-LRB-

among

other

objects

or

outliers

for

instance

-RRB-

etc.

The

experiment

is

performed

on

MRI

images

of

the

head

of

the

same

patient

-LRB-

courtesy

of

Pr

Ron

Kikinis

-RRB-

We

register

each

pair

of

images

and

look

for

maximal

cliques

of

correspondences

between

the

whole

set

of

images

This

process

is

rather

time

consuming

and

can

certainly

be

improved

but

we

focus

here

on

multiple

registration

and

fusion

The

sets

of

highly

incomplete

k-tuples

where

registered

and

merged

using

the

second

method

within

a

few

seconds

In

order

to

have

a

more

complete

model

we

add

to

each

extremal

point

the

standard

deviation

of

the

observations

which

gives

an

idea

of

the

geometrical

stability

or

accuracy

of

this

feature

and

its

probability

of

observation

-LRB-

the

percentage

of

images

where

it

was

observed

-RRB-

We

present

in

ogure

-LRB-

-RRB-

the

surface

of

the

brain

and

the

crest

lines

extracted

from

the

orst

image

and

the

most

stable

extremal

points

from

the

computed

model

We

observed

that

about

frames

are

extremely

well

preserved

both

geometrically

and

topologically

and

to

others

are

observed

in

more

than

of

the

images

depending

on

the

error

bound

we

consider

-LRB-

see

also

ogure

-RRB-

We

plan

to

adapt

automatically

the

error

bound

for

each

feature

in

order

to

be

able

to

maximize

for

each

model

feature

the

number

of

non

ambiguous

matches

This

should

allow

to

compute

more

robustly

the

stable

features

An

interesting

result

is

that

the

most

stable

extremal

points

are

located

on

the

surface

of

the

brain

and

not

on

the

skin

or

on

the

skull

Since

the

images

comes

from

the

magnetic

resonance

modality

the

skull

is

indeed

not

very

visible

This

points

out

Mod?lisation

et

recalage

multiple

Chap

the

fact

that

the

registration

is

mainly

done

on

the

surface

of

the

brain

which

was

expected

The

next

step

in

such

an

experiment

would

be

to

repeat

this

operation

on

several

patients

independently

and

then

look

for

the

similar

or

aOEne

shape

based

on

these

models

We

could

then

characterize

extremal

points

that

are

anatomically

stable

and

incorporate

them

into

an

atlas

as

described

for

instance

in

-LRB-

Subsol

et

al.

-RRB-

Conclusions

We

observe

in

this

study

that

multiple

registration

and

mean

shape

estimation

problems

can

be

solved

eOEciently

in

any

dimension

with

a

reasonable

computational

cost

Several

tracks

are

left

open

the

orst

being

the

extension

of

this

scheme

to

similarities

and

aOEne

transformations

Another

very

interesting

point

would

be

to

generalize

the

theory

to

other

types

of

geometric

features

such

as

oriented

points

lines

frames

Last

but

not

least

an

automatic

analysis

of

shapes

should

include

a

powerful

and

reliable

multiple

matching

algorithm

in

order

to

automatically

determine

the

landmarks

correspondences

Fig.

Extremal

points

matched

in

more

than

of

the

images

with

a

large

error

bound

Conclusions

Fig.

The

surface

of

the

brain

is

displayed

along

with

the

crest

lines

extracted

from

the

orst

image

The

most

stable

frames

of

the

model

are

represented

by

spheres

colored

from

decreasing

stability

order

-LRB-

and

size

-RRB-

in

purple

red

green

and

blue

Top

line

from

left

to

right

front

and

rear

views

of

the

head

Middle

top

view

Bottom

line

left

and

right

views

Mod?lisation

et

recalage

multiple

Chap

Troisi?me

partie

Conclusion

Chapitre

Conclusion

et

perspectives

The

important

thing

in

science

is

not

so

much

to

obtain

new

facts

as

to

discover

new

ways

of

thinking

about

them

Sir

William

Bragg

Conclusion

Nous

avons

cherch

dans

cette

th?se

d?velopper

des

m?thodes

g?n?riques

pour

g?rer

l'incertitude

sur

les

primitives

g?om?triques

aon

de

pouvoir

r?soudre

des

probl?mes

appliqu?s

en

imagerie

m?dicale

et

en

biologie

mol?culaire

Cette

tude

est

bas?e

sur

l'observation

que

en

traitement

d'image

on

peut

souvent

concentrer

la

plus

grande

partie

de

l'information

dans

un

ensemble

restreint

de

caract?ristiques

localis?es

dont

la

nature

est

principalement

g?om?trique

Ces

primitives

forment

une

vari?t

dioe?rentielle

qui

n'est

g?n?ralement

pas

un

espace

vectoriel

et

sur

laquelle

agit

un

groupe

de

transformation

qui

mod?lise

les

dioe?rentes

prises

de

vue

possibles

de

l'images

ainsi

que

les

d?formations

admissibles

des

objets

observ?s

La

seconde

observation

sur

laquelle

repose

ce

travail

est

que

la

mesure

de

ces

primitives

est

intrins?quement

incertaine

cause

de

l'accumulation

des

erreurs

de

mesure

et

des

impr?cisions

au

cours

de

la

cha?ne

de

traitement

Le

traitement

rigoureux

de

ces

deux

points

est

indispensable

pour

obtenir

des

algorithmes

de

reconnaissance

et

de

recalage

capables

de

d?terminer

eux-m

mes

leur

oabilit

et

leur

pr?cision

La

donn?e

simultan?e

des

estimations

et

de

leur

oabilit

est

en

eoeet

un

pr

requis

pour

la

validation

de

ces

algorithmes

Le

c?t

th?orique

Nous

avons

d?velopp

dans

la

premi?re

partie

de

ce

manuscrit

les

bases

d'une

th?orie

g?om

trique

de

l'incertitude

sur

les

vari?t?s

en

constituant

un

ensemble

complet

et

coh?rent

d'op

rations

pour

traiter

nos

probl?mes

applicatifs

d?velopp?s

en

second

partie

Nous

repla?ons

tout

d'abord

les

vari?t?s

de

primitives

dans

le

cadre

de

la

g?om?trie

riemannienne

les

transformations

constituant

un

groupe

de

Lie

Ceci

nous

permet

de

d?onir

une

mesure

invariante

puis

une

m?trique

Conclusion

et

perspectives

Chap

riemannienne

invariante

sur

ces

espace

en

montrant

au

passage

les

conditions

d'existence

L'analyse

des

propri?t?s

de

ces

structures

nous

m?ne

une

repr?sentation

tout

fait

centrale

de

ces

vari?t?s

que

nous

appelons

carte

exponentielle

Nous

construisons

sur

ces

bases

une

th?orie

des

probabilit?s

sur

les

primitives

g?om

triques

en

d?onissant

de

mani?re

intrins?que

la

densit

de

probabilit

d'une

primitive

al?atoire

puis

la

moyenne

au

sens

de

Fr?chet

et

enon

la

matrice

de

covariance

Si

nous

avons

pu

caract?riser

de

mani?re

exacte

la

propagation

de

ces

caract?ristiques

dans

certaines

op?rations

de

base

nous

nous

sommes

content?s

d'approximations

dans

les

autres

cas

et

de

nombreux

r?sultats

th?oriques

restent

encore

tablir

Nous

avons

aussi

tudi

l'aspect

statistique

du

probl?me

en

d?onissant

les

notions

de

bruit

homog?ne

et

isotrope

puis

en

construisant

une

g?n?ralisation

de

la

loi

gaussienne

aux

vari?t?s

et

en

introduisant

une

distance

statistique

entre

primitives

al?atoires

la

distance

de

Mahalanobis

Cette

partie

n?cessiterait

encore

de

nombreux

d?veloppements

en

particulier

pour

analyser

d'autres

g?n?ralisations

possibles

de

la

loi

gaussienne

bas?es

sur

d'autres

propri?t?s

et

pour

d?velopper

des

estimateurs

et

des

tests

statistiques

adapt?s

aux

vari?t?s

Enon

nous

r?sumons

les

principaux

r?sultats

de

cette

partie

en

s?lectionnant

dans

une

optique

orient?e

objet

les

op?rations

de

base

sur

lesquelles

on

peut

d?onir

des

algorithmes

g?n?raux

Ce

chapitre

constitue

en

quelque

sorte

l'articulation

entre

la

th?orie

et

son

implantation

informatique

Le

c?t

applicatif

Parmi

les

techniques

d'acquisition

d'images

m?dicales

certaines

sont

relativement

anciennes

comme

la

radiographie

et

d'autres

beaucoup

plus

r?centes

comme

l'IRM

le

scanner

X

ou

l'

chographie

Avec

ces

derni?res

l'imagerie

m?dicale

a

t

r?volutionn?e

par

deux

facteurs

l'apport

de

donn?es

tridimensionnelles

et

l'introduction

de

l'informatique

non

seulement

dans

le

syst?me

d'acquisition

mais

aussi

dans

le

traitement

des

images

Le

traitement

automatique

de

donn?es

aussi

volumineuses

permet

en

eoeet

d'une

part

de

mieux

cerner

les

param?tres

importants

et

d'autre

part

de

fournir

des

mesures

quantitatives

et

non

plus

simplement

qualitatives

Nous

nous

int?ressons

ici

au

recalage

de

structures

anatomiques

dans

les

images

m?dicales

probl?me

dans

lequel

il

est

parfois

vital

de

conna?tre

la

qualit

du

r?sultat

obtenu

par

exemple

pour

la

planiocation

d'une

op?ration

chirurgicale

ou

la

mesure

de

l'

volution

d'une

tumeur

partir

de

laquelle

on

va

juger

de

l'eOEcacit

d'un

nouveau

m?dicament

Un

autre

domaine

utilise

des

techniques

d'acquisition

relativement

similaires

mais

une

autre

chelle

pour

d?terminer

la

structure

atomique

tridimensionnelle

des

prot?ines

Il

s

agit

de

la

biologie

mol?culaire

Parmi

les

probl?mes

g?om?triques

li?s

l'

tude

de

ces

structures

on

peut

citer

la

recherche

de

structures

communes

indicatives

de

fonctionnalit?s

similaires

et

permettant

d'identioer

la

conoguration

des

sites

actifs

Cette

connaissance

peut

ensuite

tre

utilis?e

pour

imaginer

et

tester

de

nouvelles

substances

susceptibles

d'interagir

avec

les

prot?ines

concern?es

ou

servir

d'amers

pour

la

mod?lisation

de

la

structure

d'une

autre

prot?ine

pr?sentant

ce

motif

L

encore

il

est

important

de

savoir

si

les

structures

communes

d?tect?es

sont

dues

au

hasard

ou

sont

signiocatives

d'une

conoguration

tr?s

bien

conserv?e

Pour

toutes

ces

raisons

la

gestion

correcte

de

l'incertitude

est

indispensable

et

justioe

l'utilisation

de

l'arsenal

th?orique

pr?sent?e

en

premi?re

partie

Les

primitives

qui

nous

int?ressent

ici

sont

principalement

des

rep?res

des

rep?res

semi-orient

s

et

des

point

les

transformations

consid?r?es

tant

rigides

Nous

tudions

donc

les

principales

propri?t?s

des

rotations

sous

forme

de

matrices

de

quaternions

unitaires

et

de

vecteurs

rotation

Cela

nous

permet

d'illustrer

sur

un

exemple

utile

les

notions

th?oriques

de

la

premi?re

partie

du

manuscrit

Conclusion

-LRB-

g?od?siques

mesure

et

m?trique

invariante

-RRB-

et

de

d?terminer

la

carte

principale

fondamentale

dans

notre

th?orie

Il

ne

nous

reste

plus

alors

qu

d?tailler

les

op?rations

de

base

avec

lesquelles

nous

construisons

des

algorithmes

g?n?riques

de

plus

haut

niveau

Nous

nous

int?ressons

ainsi

au

probl?me

du

recalage

d'abord

partir

d'appariements

de

points

puis

de

primitives

g?n?riques

en

insistant

particuli?rement

sur

l'estimation

de

l'incertitude

sur

la

transformation

d?termin?e

Nous

introduisons

pour

cela

deux

algorithmes

directement

issus

des

propri?t?s

th?oriques

bas?s

sur

la

minimisation

de

distance

riemannienne

et

de

Mahalanobis

le

oltrage

de

Kalman

permettant

une

autre

approche

de

ce

dernier

crit?re

Nous

analysons

et

comparons

les

performances

de

ces

trois

algorithmes

pour

mieux

pouvoir

les

combiner

dans

un

seul

algorithme

pratique

et

g?n?rique

La

pr?cision

de

cet

algorithme

est

galement

un

point

important

puisque

des

exp?riences

de

recalage

d'images

IRM

du

cerveau

d'un

m?me

patient

ont

montr

qu'on

atteignait

une

pr?cision

de

l'ordre

de

de

voxel

L'

tape

suivante

est

la

validation

du

recalage

qui

se

traduit

dans

notre

cas

par

la

v?riocation

de

l'estimation

d'incertitude

sur

la

transformation

Nous

d?veloppons

une

m?thode

statistique

qui

valide

pleinement

nos

algorithmes

la

fois

sur

les

donn?es

synth?tiques

et

sur

des

donn?es

r?elles

et

nous

permet

de

d?tecter

le

point

faible

de

la

cha?ne

de

traitement

l'estimation

du

mod?le

de

bruit

sur

les

primitives

Cette

m?thode

peut

galement

tre

utilis?e

comme

un

test

statistique

pour

d?cider

si

deux

mouvements

sont

identiques

ce

que

nous

illustrons

avec

une

tentative

d'analyse

du

mouvement

relatifs

des

os

dans

le

bassin

Le

test

montre

ici

que

contrairement

la

premi?re

impression

les

primitives

sont

trop

incertaines

pour

que

l'on

puisse

conclure

qu'il

y

a

mouvement

La

mise

en

correspondance

et

la

reconnaissance

sont

des

probl?mes

tr?s

complexes

et

la

gestion

correcte

de

l'erreur

dans

ces

algorithmes

a

t

l'une

des

principales

motivations

de

cette

th?se

en

particulier

cause

des

probl?mes

rencontr?s

dans

l'algorithme

de

reconnaissance

de

sousstructures

dans

les

prot?ines

Si

nous

avons

pu

formaliser

relativement

facilement

ces

algorithmes

dans

le

cadre

g?n?rique

des

primitives

de

nombreux

probl?mes

restent

r?soudre

autant

en

ce

qui

concerne

la

complexit

et

l'eOEcacit

comme

pour

l'indexation

et

la

recherche

qu'au

niveau

th?orique

avec

la

d?termination

et

la

gestion

des

espaces

d'invariants

n-aires

Enon

nous

avons

abord

de

probl?me

de

la

validation

de

la

mise

en

correspondance

avec

le

calcul

du

nombre

moyen

de

faux

positif

calcul

qui

serait

int?grer

dans

les

algorithmes

eux-m

mes

en

d?terminant

les

r?gles

de

propagation

de

cette

probabilit

dans

les

op?rations

utilis?es

Pour

onir

nous

avons

abord

le

probl?me

de

la

mod?lisation

automatique

d'objets

partir

de

donn?s

multiples

par

le

biais

du

calcul

des

formes

moyennes

base

de

points

Cette

exp?rience

a

t

tr?s

prootable

en

particulier

pour

d?terminer

parmi

les

techniques

existantes

celles

qui

sont

g?n?ralisables

d?faut

d'

tre

g?n?riques

Les

applications

potentielles

sont

importantes

puisqu'il

s

agit

de

la

cr?ation

d'atlas

anatomiques

que

nous

qualioerons

de

g?om?triques

dans

le

cas

de

l'imagerie

m?dicale

et

de

la

constitution

de

bases

de

donn?es

g?om?triques

de

sites

actifs

ou

de

motifs

structuraux

en

biologie

mol?culaire

Au

centre

l'informatique

Au

cours

de

cette

th?se

les

aspects

th?oriques

et

pratiques

se

sont

constamment

rejoints

dans

l'id

e

qu'une

mod?lisation

th?orique

rigoureuse

tait

le

meilleur

moyen

d'arriver

r?soudre

des

probl?mes

pratiques

et

appliqu?s

Nous

avons

d?s

lors

men

une

recherche

en

partant

la

fois

du

probl?me

th?orique

de

base

-LRB-

comment

faire

des

probabilit?s

et

des

statistiques

sur

une

vari?t

-RRB-

et

des

applications

que

nous

voulions

r?aliser

les

deux

approches

se

rejoignant

au

niveau

algorithmique

dans

le

concept

d'une

structure

de

programmation

orient?e

objet

pour

g?rer

l'information

g?om?trique

Conclusion

et

perspectives

Chap

Ainsi

le

d?veloppement

de

la

th?orie

a

t

guid

par

les

applications

tudi?es

et

par

la

volont

d'obtenir

des

r?sultats

algorithmiquement

implantables

Dans

un

premier

temps

cette

th?orie

ne

concernait

que

les

rep?res

et

les

points

mais

l'utilisation

des

points

extr?maux

qui

ne

sont

que

des

rep?res

semi-orient

s

nous

a

conduit

faire

des

d?veloppements

importants

En

eoeet

les

points

et

les

rep?res

sont

identioables

des

groupes

de

transformation

en

l'occurrence

les

translations

et

les

transformations

rigides

ce

qui

am?ne

des

simpliocations

consid?rables

qui

ne

sont

plus

valables

dans

le

cas

de

primitives

seulement

homog?nes

comme

les

points

extr?maux

A

l'oppos

nous

avons

cherch

formaliser

les

applications

dans

des

termes

g?n?riques

et

les

d?veloppements

th?oriques

nous

ont

permis

d'identioer

les

points

cl?s

de

cette

organisation

Les

algorithmes

de

descente

de

gradient

propos?s

pour

minimiser

les

crit?res

de

recalage

ou

de

fusion

sont

ainsi

directement

issus

de

l'

criture

du

chapitre

th?orique

sur

l'esp

rance

de

Fr?chet

et

n

taient

pas

concevables

sans

leur

d?rivation

th?orique

La

structure

algorithmique

r?sultant

de

cette

double

approche

constitue

la

fois

un

outil

de

validation

de

la

th?orie

et

une

plate-forme

de

d?veloppement

g?n?rique

pour

de

nouvelles

applications

solidement

ancr?s

sur

les

bases

th?oriques

Au

cours

des

trois

ann?es

consacr?es

la

pr?paration

de

cette

th?se

cette

structure

a

subi

plusieurs

fois

des

mutations

majeures

et

l'

criture

de

ce

manuscrit

devrait

permettre

une

volution

prochaine

vers

une

implantation

en

C++

combinant

la

fois

les

avantages

d'un

calcul

matriciel

et

vectoriel

tr?s

rapide

en

C

avec

les

avantages

conceptuels

de

la

programmation

orient?e

objet

pour

le

d?veloppement

d'algorithmes

g?n?riques

de

haut

niveau

Perspectives

Th?orie

Statistiques

D'un

point

de

vue

th?orique

de

nombreux

points

restent

ouverts

Par

exemple

nous

n'avons

pas

de

formule

exacte

pour

la

propagation

des

moments

des

primitives

al?atoires

dans

un

certain

nombre

d'op

rations

La

g?n?ralisation

de

la

loi

gaussienne

aux

vari?t?s

que

nous

proposons

n'est

sans

doute

pas

la

meilleure

les

param?tres

sont

relativement

diOEciles

calculer

et

cette

loi

est

de

plus

de

d?riv?e

discontinue

sur

le

lieu

de

coupure

de

sa

moyenne

Le

choix

de

cette

loi

normale

est

important

car

il

conditionne

tous

les

d?veloppements

statistiques

que

l'on

peut

imaginer

ensuite

Une

autre

mani?re

de

d?onir

cette

loi

pourrait

ainsi

tre

li?e

la

loi

des

grand

nombres

Mais

celle-ci

existe-t-elle

sur

une

vari?t

Il

serait

galement

int?ressant

de

d?velopper

des

estimateurs

et

des

tests

adapt?s

adapt?s

aux

caract?ristiques

que

nous

avons

introduites

-LRB-

moyenne

et

covariance

-RRB-

mais

aussi

de

concevoir

d'autres

caract?ristiques

et

des

statistiques

robustes

Nous

pensons

qu'il

y

a

en

fait

mati?re

d?velopper

une

th?orie

des

statistiques

sur

les

vari?t?s

Invariants

et

espaces

de

formes

Un

champ

de

recherche

connexe

que

nous

avons

peine

eOeur

dans

la

section

-LRB-

-RRB-

et

le

chapitre

-LRB-

-RRB-

concerne

le

lien

entre

les

invariants

n-aires

et

les

espaces

de

formes

d?onis

par

Kendall

Dans

cette

optique

un

premier

point

diOEcile

consiste

construire

ces

espaces

puis

les

munir

d'une

m?trique

riemannienne

compatible

avec

les

m?triques

de

la

vari?t

et

du

groupe

Il

reste

alors

trouver

un

moyen

de

g?rer

algorithmiquement

ces

objets

En

eoeet

il

n

y

a

plus

ici

de

groupe

agissant

sur

ces

vari?t?s

et

nous

n'avons

plus

ni

fonction

de

placement

ni

carte

principale

les

cartes

exponentielles

peuvent

tre

dioe?rentes

et

non

identioables

en

tout

point

De

plus

ces

vari?t?s

peuvent

pr?senter

des

singularit?s

-LRB-

Kendall

-RRB-

et

ne

sont

pas

forc?ment

g?od?siquement

compl?tes

Perspectives

L

encore

il

y

a

un

travail

de

recherche

th?orique

int?ressant

faire

et

menant

une

application

directe

des

algorithmes

de

reconnaissance

corrects

et

eOEcaces

Ce

travail

a

t

amorc

par

D.

Kendall

et

H.

Li

pour

les

espaces

de

forme

bas?s

sur

les

points

et

soumis

l'action

des

transformations

rigides

et

des

similitudes

Vari?t?s

non

rigides

L'

vocation

des

similitudes

nous

am?ne

au

troisi?me

point

des

perspectives

th?oriques

un

certain

nombre

de

r?sultats

que

nous

avons

d?velopp

dans

ce

manuscrit

ne

tiennent

que

si

la

vari?t

de

nos

primitives

poss?de

une

m?trique

invariante

par

l'action

du

groupe

de

transformation

Cette

hypoth?se

n'est

plus

vraie

pour

les

points

d?s

que

l'on

consid?re

les

similitudes

ou

les

transformations

aOEnes

Les

points

projectifs

soumis

aux

homographies

n'ont

pas

non

plus

de

m

trique

invariante

Toutefois

les

groupes

-LRB-

localement

compacts

-RRB-

ont

toujours

une

m?trique

invariante

gauche

et

seule

la

vari?t

pose

probl?me

Il

faut

avouer

qu'une

bonne

partie

du

chapitre

visait

mieux

cerner

les

l?ments

de

g?om?trie

dioe?rentielle

et

riemannienne

mis

en

cause

aon

de

voir

comment

lever

cette

restriction

Nous

pensons

que

le

probl?me

peut

tre

abord

en

utilisant

la

connexion

invariante

qui

permet

de

d?onir

les

g?od?siques

sans

faire

intervenir

de

m?trique

La

connexion

tant

invariante

les

g?od

siques

restent

globalement

inchang?es

sous

l'action

du

groupe

et

les

cartes

exponentielles

sont

donc

simplement

soumises

des

transformations

lin?aires

En

choisissant

une

m?trique

riemannienne

compatible

avec

la

connexion

et

en

gardant

la

trace

des

modiocations

apport?es

cette

m?trique

nous

pensons

qu'il

est

possible

de

g?n?raliser

bon

nombre

de

nos

r?sultats

ces

vari?t?s

de

type

non

rigide

Ces

extensions

permettraient

de

traiter

un

nombre

consid?rablement

largi

d'applications

en

particulier

touchant

la

vision

par

ordinateur

Approximations

Enon

m?me

si

l'on

peut

contourner

ce

probl?me

il

n'est

pas

toujours

possible

de

r?soudre

explicitement

les

quations

des

g?od?siques

sur

un

groupe

ou

une

vari?t

et

nous

ne

connaissons

pas

dans

ce

cas-l

les

cartes

exponentielles

Ainsi

si

nous

avons

pu

d?terminer

les

g?od?siques

pour

les

similitudes

nous

ne

savons

d?j

plus

le

faire

pour

les

transformation

aOEnes

Nous

entrevoyons

deux

solutions

ce

probl?me

L'une

est

d'utiliser

une

approximation

des

cartes

exponentielles

correspondant

aux

g?od?siques

sur

certains

axes

Cette

solution

doit

tre

utilisable

pour

les

transformations

aOEnes

puisque

l'on

conna?t

les

g?od?siques

pour

le

cas

rigide

et

des

similitude

Par

contre

pour

des

groupes

de

transformation

plus

g?n?raux

il

faut

sans

doute

passer

une

solution

bas?e

sur

les

g?n?rateurs

inonit?simaux

qui

permet

encore

de

g?rer

une

bonne

approximation

des

g?od?siques

dans

un

voisinage

faible

autour

d'un

point

du

groupe

Il

reste

savoir

comment

cela

peut

s

appliquer

aux

vari?t?s

Algorithmes

Reconnaissance

D'un

point

de

vue

informatique

nous

avons

d?j

voqu

dans

la

section

-LRB-

-RRB-

plusieurs

points

cl?s

Il

s

agit

d'

tudier

les

algorithmes

de

classiocation

-LRB-

clustering

-RRB-

en

particulier

ceux

pouvant

inclure

une

information

d'incertitude

des

algorithmes

de

recherche

soit

du

plus

proche

voisin

soit

des

primitives

compatibles

Pour

ce

dernier

type

de

probl?mes

il

nous

semble

diOEcile

de

concevoir

des

techniques

de

hachage

de

l'espace

qui

puissent

la

fois

g?rer

correctement

l'erreur

et

tre

algorithmiquement

eOEcaces

Conclusion

et

perspectives

Chap

Par

contre

les

techniques

de

subdivision

adaptative

de

l'espace

nous

paraissent

int?ressantes

et

certains

algorithmes

doivent

pouvoir

tre

g?n?ralis?s

nos

vari?t?s

homog?nes

en

utilisant

pour

couper

l'espace

le

fait

que

les

g?od?siques

passant

par

un

point

sont

des

lignes

droites

dans

la

carte

exponentielle

en

ce

point

La

r?solution

de

ces

probl?mes

permettrait

de

construire

des

algorithmes

g?n?riques

de

reconnaissance

dont

on

pourrait

tudier

les

performances

gr?ce

aux

calculs

de

robustesse

-LRB-

nombre

de

faux

positifs

-RRB-

Un

travail

important

consisterait

galement

int?grer

ce

calcul

des

faux

positifs

dans

les

op?rations

de

base

pour

la

mise

en

correspondance

et

de

regarder

les

liens

avec

les

crit?res

de

matching

probabilistes

qui

pr?sentent

g?n?ralement

des

d?gradations

de

performances

plus

souples

avec

l'accroissement

du

bruit

de

mesure

ou

du

nombre

de

primitives

D'un

point

de

vue

applicatif

cette

tude

de

la

reconnaissance

est

particuli?rement

importante

nous

avons

vu

en

eoeet

le

gain

de

s?lectivit

norme

que

pouvaient

apporter

des

primitives

plus

complexes

que

des

points

Malheureusement

l'heure

actuelle

la

complexit

th?orique

des

algorithmes

est

noy?e

par

la

masse

de

calculs

suppl?mentaires

n?cessaires

pour

traiter

l'erreur

ne

serait-ce

qu'approximativement

Rappelons

qu

l'origine

de

la

plus

grande

partie

de

ce

travail

de

th?se

il

y

avait

la

volont

de

pouvoir

g?rer

correctement

l'erreur

sur

les

rep?res

dans

l'algorithme

de

reconnaissance

propos

pour

les

prot?ines

Mod?lisation

Un

probl?me

encore

plus

complexe

mais

excessivement

int?ressant

concerne

la

reconnaissance

et

le

recalage

multiple

dans

un

but

de

mod?lisation

Nous

avons

abord

le

recalage

multiple

au

chapitre

pour

les

points

et

il

semble

possible

d'utiliser

ces

techniques

sur

les

primitives

sans

trop

de

probl?me

Par

contre

la

mise

en

correspondance

simultan?e

de

N

images

soul?ve

beaucoup

de

questions

Comment

faire

pour

ne

pas

privil?gier

une

image

par

rapport

une

autre

Dans

le

cas

de

deux

images

nous

avons

propos

d'imposer

une

contrainte

de

sym?trie

sur

les

appariements

Il

semble

raisonnable

de

vouloir

imposer

une

contrainte

similaire

sur

les

appariements

dans

toutes

les

images

mais

la

sym?trie

simple

n'est

pas

suOEsante

si

a

est

une

primitive

de

l'image

A

appari?e

sym?triquement

b

dans

l'images

B

celle

ci

tant

elle-m

me

appari?e

sym?triquement

c

dans

C

rien

ne

nous

impose

que

a

ne

soit

pas

appari

sym?triquement

une

autre

primitive

de

C.

Il

s

agirait

donc

de

trouver

la

clique

maximale

dans

ce

graphe

des

d'appariements

algorithme

qui

est

NP-complet

La

r?solution

de

ces

probl?mes

ouvre

la

voie

la

mod?lisation

g?om?trique

automatique

qui

poss?de

un

champ

d'applications

relativement

vaste

Citons

pas

exemple

la

comparaison

de

la

banque

de

donn?e

des

structures

de

prot?ines

-LRB-

PDB

-RRB-

avec

elle

m?me

qui

permettrait

la

cr?ation

d'une

base

de

donn?es

des

motifs

structuraux

et

des

motifs

de

liaisons

La

mod?lisation

pose

par

contre

d'autre

questions

dans

le

chapitre

nous

avons

associ

aux

primitives

des

mod?les

une

stabilit

g?om?trique

mais

aussi

une

probabilit

d'observation

De

nombreuses

observations

suppl?mentaires

en

particulier

sur

le

couplage

des

observations

seraient

ainsi

de

la

plus

grande

utilit

Par

ailleurs

la

conception

m?me

de

la

structure

de

ces

mod?les

va

inAEuencer

les

algorithmes

de

reconnaissance

les

utilisant

Courbes

et

surfaces

Enon

le

travail

que

nous

avons

eoeectu

dans

ce

manuscrit

repose

enti

rement

sur

des

primitives

isol?es

et

identioables

Comment

peut-on

d?velopper

le

m?me

type

de

r?sultats

en

particulier

en

ce

qui

concerne

l'incertitude

du

recalage

si

l'on

consid?re

maintenant

des

courbes

et

des

surfaces

au

lieu

de

points

isol?s

En

g?n?ral

on

consid?re

les

courbes

et

les

surfaces

comme

un

ensemble

de

points

ventuellement

munis

d'une

orientation

et

on

calcule

la

mise

en

correspondance

et

le

recalage

par

ICP

On

pourrait

donc

penser

utiliser

directement

les

Perspectives

techniques

de

recalage

que

nous

avons

d?velopp?es

dans

ce

manuscrit

et

pr?dire

ainsi

l'incertitude

de

la

transformation

estim?e

Le

probl?me

principal

que

nous

voyons

cette

g?n?ralisation

directe

est

le

suivant

l'incertitude

sur

le

recalage

varie

grossi?rement

comme

p

n

o

n

est

le

nombre

de

points

utilis?s

Si

maintenant

nous

chantillonnons

notre

courbe

avec

quatre

fois

plus

de

points

on

divise

l'incertitude

par

deux

la

limite

avec

un

chantillonage

inoni

l'incertitude

sur

la

transformation

est

nulle

En

fait

nous

pensons

qu'il

faudrait

d?onir

une

distance

entre

courbes

-LRB-

ou

surfaces

-RRB-

continues

l'aide

d'une

int?gration

puis

discr?tiser

cette

int?grale

pour

obtenir

un

crit?re

discret

Dans

cette

optique

l'

l?ment

de

longueur

ou

de

surface

ds

se

transforme

en

une

pond?ration

ffis

qui

prend

eoeectivement

en

compte

la

proportion

de

la

courbe

repr?sent?e

par

chaque

point

Avec

un

chantillonage

inoni

l'incertitude

sur

la

transformation

tend

maintenant

vers

une

limite

non

nulle

Il

reste

quand

m?me

quelques

probl?mes

de

taille

dans

cette

mod?lisation

on

suppose

pour

le

recalage

classique

que

les

points

ou

les

primitives

ont

des

bruits

ind?pendants

Ce

n'est

clairement

pas

le

cas

pour

des

points

voisins

sur

une

courbe

comment

repr?senter

et

estimer

le

bruit

sur

les

points

constituant

le

repr?sentation

discr?te

de

la

courbe

ou

de

la

surface

Ceci

soul?ve

galement

le

probl?me

de

la

repr?sentation

utiliser

Ce

type

d'extension

serait

toutefois

tr?s

valable

pour

de

nombreuses

applications

y

compris

la

reconnaissance

o

les

courbes

peuvent

relier

des

points

particuliers

et

ainsi

diminuer

encore

la

complexit

du

probl?me

Applications

Imagerie

M?dicale

Nous

n'avons

pour

l'instant

valid

nos

algorithmes

de

recalage

que

d'un

point

de

vue

th?orique

Pour

qu'ils

soient

vraiment

utiles

et

cr?dibles

en

imagerie

m?dicale

l'

tape

suivante

consistera

les

valider

sur

des

fant?mes

c'est

dire

des

acquisitions

r?elles

d'objets

dont

on

conna?t

pr?cis?ment

la

g?om?trie

puis

les

int?grer

dans

les

logiciels

utilisables

par

des

praticiens

en

vue

d'une

validation

clinique

Les

cadres

st?r?otaxiques

sont

des

fant?mes

du

plus

haut

int?r?t

puisqu'ils

sont

ensuite

utilis?s

cliniquement

On

peut

ainsi

v?rioer

par

des

acquisitions

en

tant

que

fant?me

la

pr?cision

qu'ils

apportent

et

la

validit

de

notre

pr?diction

puis

v?rioer

lors

de

l'utilisation

clinique

que

les

r?sultats

restent

coh?rents

Un

autre

point

qui

nous

semble

prometteur

concerne

la

d?tection

et

la

quantiocation

du

mouvement

tridimensionnel

Nous

tudions

actuellement

la

possibilit

que

mesurer

pr?cis?ment

le

mouvement

des

f?murs

partir

d'images

IRM

Cette

tude

remet

en

question

les

techniques

d'extraction

de

primitives

g?om?triques

habituellement

utilis?es

car

l'os

est

une

structure

tr?s

peu

visible

dans

ce

type

d'images

De

plus

elle

n?cessite

des

algorithmes

de

reconnaissance

permettant

de

trouver

plusieurs

structures

rigides

de

faible

importance

dans

des

sc?nes

tr?s

denses

Biologie

Mol?culaire

L'algorithme

de

reconnaissance

de

sous-structures

que

nous

avons

pr?sent

dans

ce

manuscrit

n

a

pas

suivi

pour

l'instant

les

volutions

de

notre

cadre

algorithmique

Il

s

agit

dans

un

premier

temps

de

mettre

jour

certaines

proc?dures

utilis?es

pour

la

reconnaissance

aon

de

diminuer

le

nombre

de

param?tres

et

d'accro

tre

la

oabilit

et

la

rapidit

Ce

dernier

point

est

en

eoeet

fondamental

pour

envisager

de

comparer

en

un

temps

acceptable

une

structure

de

prot?ine

la

PDB

tout

enti?re

Rappelons

que

cette

base

de

donn?e

s

accro?t

tr?s

rapidement

structures

en

avril

environ

en

novembre

L'

tape

suivante

consiste

comparer

la

PDB

avec

elle-m

me

pour

construire

une

nouvelle

base

de

donn?e

contenant

la

mod?lisation

g?om?trique

des

motifs

observ?s

Cette

comparaison

n?cessite

un

algorithme

de

reconnaissance

enti?rement

automatique

rapide

et

permettant

des

comparaisons

Conclusion

et

perspectives

Chap

incr?mentales

pour

mettre

jour

la

base

de

motifs

avec

l'

volution

de

la

PDB

D'autres

applications

sont

tr?s

prometteuses

et

font

intervenir

une

large

composante

g?om?trique

Le

docking

il

s

agit

de

trouver

parmi

un

ensemble

de

structures

celles

qui

peuvent

se

lier

un

site

actif

c'est

dire

de

trouver

les

clefs

adapt?es

une

serrure

Pour

l'industrie

pharmaceutique

ce

crochetage

informatique

des

prot?ines

est

d'une

importance

capitale

pour

r?duire

les

exp?riences

in

vivo

La

mod?lisation

si

l'on

ne

conna?t

que

structures

tridimensionnelles

de

prot?ines

on

conna?t

environ

s?quences

L'enjeu

est

de

construire

des

mod?les

de

leur

structure

pour

pouvoir

d?terminer

les

fonctionnalit?s

et

les

modes

de

fonctionnement

Une

base

de

donn?e

de

motifs

g?om?triques

peut

permettre

de

r?duire

notamment

la

complexit

de

ce

probl?me

en

fournissant

des

amers

g?om?triques

tr?s

pr?cis?ment

localis?s

et

qui

d?coupent

litt?ralement

le

probl?me

du

d?ploiement

tridimensionnel

de

la

prot?ine

Vers

d'autres

horizons

g?om?triques

Nous

avons

cherch

dans

ce

manuscrit

construire

les

bases

d'une

alg?bre

d'op

rations

g?n?rique

pour

manipuler

informatiquement

les

donn?es

g?om

triques

incertaines

Dans

cette

optique

et

m?me

si

cette

alg?bre

n'est

encore

qu'embryonnaire

nous

pensons

que

nos

travaux

peuvent

trouver

une

application

dans

les

nombreux

domaines

-LRB-

robotique

vision

-RRB-

qui

reposent

sur

une

mod?lisation

g?om?trique

de

leur

monde

En

esp?rant

que

ce

nouveau-n

soit

porteur

d'un

peu

de

AEou

dans

ces

mondes

g?om?triques

si

cart?siens

Quatri?me

partie

Appendices

Annexe

A

Jacobiens

des

fonctions

scalaires

et

vectorielles

Soient

x

-LSB-

xn

-RSB-

T

et

y

-LSB-

yn

-RSB-

T

deux

vecteurs

de

Rn

un

scalaire

f

-LRB-

x

-RRB-

une

fonction

scalaire

du

vecteur

x

-LRB-

f

Rn

R

-RRB-

et

g

-LRB-

y

-RRB-

-LSB-

-LRB-

y

-RRB-

gm

-LRB-

y

-RRB-

-RSB-

T

une

fonction

vectorielle

-LRB-

g

Rn

Rm

-RRB-

Les

jacobiens

de

ces

fonctions

sont

d?onis

par

les

fonction

matricielles

Jf

@f

@x

@f

@f

@xn

Jg

@g

@x

@xn

@gm

@gm

@xn

de

telle

sorte

que

l'

l?ment

-LRB-

i

j

-RRB-

de

Jg

est

-LSB-

Jg

-RSB-

ij

@gi

@xj

On

a

alors

f

-LRB-

x

dx

-RRB-

f

-LRB-

x

-RRB-

Jf

-LRB-

x

-RRB-

dx

et

g

-LRB-

x

dx

-RRB-

g

-LRB-

x

-RRB-

Jg

-LRB-

x

-RRB-

dx

o

le

point

-LRB-

:-RRB-

repr?sente

la

multiplication

matricielle

Les

fonctions

scalaires

sont

donc

un

cas

particulier

des

fonctions

vectorielles

-LRB-

espace

de

dimension

-RRB-

On

pourrait

de

m?me

remarquer

que

les

vecteurs

sont

un

cas

particulier

des

matrices

et

tendre

le

formalisme

aux

fonctions

matricielles

mais

cela

n?cessiterait

l'introduction

de

tenseurs

d'ordre

-LRB-

indices

-RRB-

et

complique

nettement

les

notations

puisque

l'on

a

alors

des

produits

tensoriels

dioe?rents

suivant

les

indices

consid?r?s

Nous

nous

limiterons

donc

aux

fonctions

vectorielles

Les

scalaires

sont

classiquement

identio?s

l'espace

vectoriel

unidimensionnel

et

a

l'espace

des

matrices

r?elles

Jacobiens

des

fonctions

scalaires

et

vectorielles

Chap

A

A.

Composition

et

multiplication

de

fonctions

Soient

f

et

g

deux

fonctions

vectorielles

de

dimensions

compatibles

pour

la

composition

-LRB-

f

Rn

Rm

et

g

Rm

Rp

-RRB-

et

h

-LRB-

x

-RRB-

g

-LRB-

f

-LRB-

x

-RRB-

-RRB-

la

fonction

compos?e

-LRB-

h

g

ffi

f

Rn

Rp

-RRB-

La

composition

des

jacobiens

s

exprime

par

Jh

-LRB-

x

-RRB-

Jg

-LRB-

f

-LRB-

x

-RRB-

-RRB-

Jf

-LRB-

x

-RRB-

Soit

maintenant

f

une

fonction

scalaire

et

h

f

g

la

fonction

multiplicative

-LRB-

h

-LRB-

x

-RRB-

f

-LRB-

x

-RRB-

g

-LRB-

x

-RRB-

-RRB-

Le

jacobien

de

h

est

Jh

-LRB-

x

-RRB-

f

-LRB-

x

-RRB-

Jg

-LRB-

x

-RRB-

g

-LRB-

x

-RRB-

Jf

-LRB-

x

-RRB-

A.

Fonction

de

deux

variables

Soit

ff

-LRB-

x

x

-RRB-

une

fonction

vectorielle

de

deux

variables

vectorielles

et

et

ses

deux

jacobiens

-LRB-

x

y

-RRB-

-LRB-

ff

-LRB-

x

y

-RRB-

-RRB-

@x

-LRB-

x

y

-RRB-

-LRB-

ff

-LRB-

x

y

-RRB-

-RRB-

@y

Cette

fonction

peut

par

exemple

repr?senter

un

produit

vectoriel

ou

un

produit

scalaire

Soient

f

et

g

deux

fonctions

vectorielles

et

h

-LRB-

x

-RRB-

ff

-LRB-

f

-LRB-

x

-RRB-

g

-LRB-

x

-RRB-

-RRB-

la

fonction

compos?e

Le

jacobien

de

h

est

donn

par

Jh

-LRB-

x

-RRB-

-LRB-

f

-LRB-

x

-RRB-

g

-LRB-

x

-RRB-

-RRB-

Jf

-LRB-

x

-RRB-

-LRB-

f

-LRB-

x

-RRB-

g

-LRB-

x

-RRB-

-RRB-

Jg

-LRB-

x

-RRB-

A.

Jacobiens

de

fonctions

standard

Produit

scalaire

hx

j

y

i

hy

j

xi

X

xi

yi

xT

y

Tr

-LRB-

x

yT

-RRB-

Jh

j

-LRB-

x

y

-RRB-

hx

j

y

i

@x

yT

Jh

j

-LRB-

x

y

-RRB-

hx

j

y

i

@y

xT

Norme

kxk

qX

i

p

hx

j

xi

Jk

k

-LRB-

x

-RRB-

-LRB-

kxk

-RRB-

@x

xT

kxk

-LRB-

Normalisation

-LRB-

x

-RRB-

-RRB-

T

Normalisation

JN

-LRB-

x

-RRB-

@x

x

kxk

In

x

xT

Carr

de

la

norme

@x

A.

Formules

et

op?rations

particuli?res

Multiplication

par

une

matrice

M

-LRB-

constante

-RRB-

@M

x

@x

M

A.

Formules

et

op?rations

particuli?res

La

particularit

r?side

dans

le

fait

que

le

produit

ext?rieur

de

ne

fait

intervenir

que

deux

vecteurs

C'est

ce

que

l'on

appelle

le

produit

vectoriel

x

y

Il

est

facile

de

v?rioer

que

ce

produit

est

anti-commutatif

-LRB-

x?y

y?x

-RRB-

et

s

annule

si

et

seulement

si

les

deux

vecteurs

sont

colin?aires

x

y

x

y.

Matrice

anti-sym

trique

associ

au

produit

vectoriel

C'est

la

matrice

anti-sym

trique

telle

que

quel

que

soit

y

Sx

y

x

y.

Cette

matrice

s

crit

Sx

A

Jacobiens

du

produit

vectoriel

x

y

Sx

y

J

-LRB-

x

y

-RRB-

-LRB-

x

y

-RRB-

@x

Sy

J

-LRB-

x

y

-RRB-

-LRB-

x

y

-RRB-

@y

Sx

Identit

de

Lagrange

kx

hx

j

y

Formule

de

Gibbs

x

-LRB-

y

z

-RRB-

hx

j

z

i

y

hx

j

y

i

z

Sx

Sy

y

xT

hx

j

y

i

Identit

de

Jacobi

x

-LRB-

y

z

-RRB-

y

-LRB-

z

x

-RRB-

z

-LRB-

x

y

-RRB-

S

-LRB-

x?y

-RRB-

Sx

Sy

Sy

Sx

Propri?t

m?trique

hx

y

j

z

t

i

hx

j

z

i

hy

j

t

i

hx

j

t

i

hy

j

z

i

Produit

mixte

-LRB-

x

y

z

-RRB-

hx

j

y

z

i

hx

y

j

z

i

det

-LRB-

-LSB-

x

y

z

-RSB-

-RRB-

det

-LRB-

-LSB-

x

y

z

-RSB-

-RRB-

xT

Sy

z

xT

Sz

y

yT

Sx

z

xT

Sy

z

Jacobiens

des

fonctions

scalaires

et

vectorielles

Chap

A

Jacobien

de

la

normalisation

il

se

simplioe

en

JN

-LRB-

x

-RRB-

@x

x

kxk

x

Exemple

de

d?rivation

-LRB-

utile

pour

la

d?rivation

des

rotations

-RRB-

-LRB-

r

x

-RRB-

@r

-LRB-

r

-LRB-

r

x

-RRB-

-RRB-

@r

S

-LRB-

r?x

-RRB-

r

-LRB-

r

x

-RRB-

@r

Sx

Sr

Sx

Annexe

B

D?rivation

d'un

scalaire

par

une

matrice

Nous

avons

dit

pr?c?demment

que

l'extension

du

formalisme

des

d?riv?es

aux

matrices

n?cessitait

l'emploi

de

tenseurs

Il

est

cependant

un

cas

important

o

ce

n'est

pas

n?cessaire

la

d?rivation

d'une

fonction

scalaire

ff

d'une

matrice

A

de

dimension

-LRB-

m

n

-RRB-

Jff

-LRB-

A

-RRB-

@ff

-LRB-

A

-RRB-

@A

@ff

-LRB-

A

-RRB-

@ff

-LRB-

A

-RRB-

n

@ff

-LRB-

A

-RRB-

@am

@ff

-LRB-

A

-RRB-

@am

n

de

telle

sorte

que

l'

l?ment

-LRB-

i

j

-RRB-

du

jacobien

soit

-LSB-

Jff

-RSB-

ij

@ff

-LRB-

A

-RRB-

@aij

Notons

bien

que

cette

notation

ne

rentre

pas

dans

le

cadre

pr?c?dent

puisque

les

r?gles

de

composition

ne

s

appliquent

plus

Ce

n'est

donc

qu'une

fa?on

agr?able

et

synth?tique

de

noter

cette

d?riv?e

B.

D?rivation

par

une

matrice

g?n?rique

La

m?thode

g?n?rale

pour

obtenir

le

jacobien

est

la

suivante

crire

la

fonction

sous

la

forme

d'une

somme

sur

les

indices

en

n'utilisant

pas

i

et

j

-LRB-

par

exemple

k

l

-RRB-

D?river

par

rapport

aij

si

akl

appara?t

dans

l'expression

somm?e

la

d?riv?e

ne

sera

non

nulle

que

lorsque

-LRB-

k

l

-RRB-

-LRB-

i

j

-RRB-

On

enl?ve

donc

akl

et

la

sommation

sur

ces

deux

indices

que

l'on

remplace

dans

le

reste

de

l'expression

par

les

indices

i

et

j.

On

r?p?te

bien

s?r

cette

op?ration

si

d'autres

indices

sont

utilis?s

R?ordonner

les

termes

des

sommations

restantes

de

fa?on

ce

que

i

soit

le

premier

indice

et

j

le

dernier

en

utilisant

au

besoin

des

transpos?es

Certains

termes

voire

certaines

sommations

doivent

parfois

tre

factoris?es

pour

former

un

scalaire

qui

sera

plac

devant

le

terme

variable

R?sumer

le

r?sultat

sous

forme

matricielle

D?rivation

d'un

scalaire

par

une

matrice

Chap

B

Exemple

-LRB-

cT

A

b

-RRB-

@A

c

bT

-LRB-

B.

-RRB-

On

a

en

eoeet

ff

-LRB-

A

-RRB-

cT

A

b

X

kl

ck

akl

bl

soit

@ff

@aij

ci

bj

d'

o

le

r?sultat

Exemple

-LRB-

Tr

-LRB-

B

A

C

-RRB-

-RRB-

@A

BT

CT

-LRB-

B.

-RRB-

La

fonction

scalaire

s

crit

ff

-LRB-

A

-RRB-

Tr

-LRB-

B

A

C

-RRB-

X

mkl

bmk

akl

clm

et

la

d?riv?e

par

rapport

un

l?ment

est

donc

@ff

@aij

X

m

bmi

cjm

X

m

-LSB-

BT

-RSB-

im

-LSB-

CT

-RSB-

mj

Exemple

-LRB-

cT

AT

B

A

:d

-RRB-

@A

B

A

:d

cT

BT

A

c

dT

-LRB-

B.

-RRB-

La

fonction

scalaire

s

crit

ff

-LRB-

A

-RRB-

cT

AT

B

A

:d

X

klmn

ck

alk

blm

amn

dn

et

la

d?riv?e

par

rapport

un

l?ment

est

donc

@ff

@aij

X

m

n

cj

bim

amn

dn

X

k

l

ck

alk

bli

dj

X

m

n

bim

amn

dn

cj

X

k

l

bli

alk

ck

A

dj

d'

o

le

r?sultat

Si

B

est

une

matrice

sym?trique

-LRB-

que

l'on

note

Q

pour

ne

pas

confondre

-RRB-

on

obtient

-LRB-

cT

AT

Q

A

:d

-RRB-

@A

Q

A

-LRB-

c

dT

d

cT

-RRB-

-LRB-

B.

-RRB-

B.

D?rivation

par

une

matrice

sym?trique

Ces

d?rivations

sont

utiles

pour

estimer

par

exemple

des

matrices

de

covariance

mais

les

termes

hors-diagonaux

de

la

matrice

sont

maintenant

li?s

aij

aji

et

la

d?rivation

en

est

aoeect?e

le

terme

akl

dans

une

somme

a

maintenant

une

d?riv?e

non

nulle

par

rapport

aij

si

-LRB-

k

l

-RRB-

-LRB-

i

j

-RRB-

ou

-LRB-

k

l

-RRB-

-LRB-

j

i

-RRB-

-LRB-

si

i

j

-RRB-

On

doit

donc

doubler

les

d?riv?es

pr?c?demment

obtenues

en

inversant

les

indices

i

et

j

sauf

sur

la

diagonale

Notons

diag

-LRB-

A

-RRB-

le

vecteur

des

l?ments

diagonaux

de

la

matrice

carr?e

A

et

DIAG

-LRB-

x

-RRB-

la

matrice

diagonale

ayant

pour

l?ments

les

composantes

du

vecteur

x

diag

-LRB-

A

-RRB-

ann

et

DIAG

-LRB-

x

-RRB-

xn

B.

Quelques

d?rivations

de

matrices

Cette

notation

peut

tre

tendue

aux

matrices

avec

la

signiocation

suivante

DIAG

-LRB-

A

-RRB-

est

la

matrice

conservant

les

l?ments

diagonaux

de

la

matrice

carr?e

A

en

annulant

tous

les

autres

DIAG

-LRB-

A

-RRB-

DIAG

-LRB-

diag

-LRB-

A

-RRB-

-RRB-

an

n

Avec

ces

notations

et

partir

de

la

d?riv?e

Jff

-LRB-

A

-RRB-

@ff

@A

du

scalaire

ff

par

une

matrice

g?n?rique

A

on

obtient

la

d?riv?e

par

une

matrice

sym?trique

par

la

formule

@ff

-LRB-

-RRB-

Jff

-LRB-

-RRB-

Jff

-LRB-

-RRB-

T

DIAG

-LRB-

Jff

-LRB-

-RRB-

-RRB-

-LRB-

B.

-RRB-

Exemple

-LRB-

cT

b

-RRB-

c

bT

b

cT

DIAG

-LRB-

c

bT

-RRB-

-LRB-

B.

-RRB-

Exemple

-LRB-

Tr

-LRB-

B

C

-RRB-

-RRB-

C

B

BT

CT

DIAG

-LRB-

C

B

-RRB-

-LRB-

B.

-RRB-

Exemple

-LRB-

cT

B

:d

-RRB-

B

:d

cT

BT

c

dT

cT

:d

BT

dT

c

B

DIAG

-LRB-

B

:d

cT

-RRB-

DIAG

-LRB-

BT

c

dT

-RRB-

Si

B

Q

est

elle

m?me

une

matrice

sym?trique

on

obtient

en

notant

F

c

dT

d

cT

-LRB-

cT

Q

:d

-RRB-

Q

F

DIAG

-LRB-

Q

F

-RRB-

B.

Quelques

d?rivations

de

matrices

B.

Inversion

Comme

on

ne

peut

pas

calculer

@A

-LRB-

-RRB-

@A

-LRB-

qui

serait

un

tenseur

-RRB-

on

se

contente

ici

de

calculer

J

@a

-LRB-

-RRB-

kl

aij

o

a

-LRB-

-RRB-

kl

-LSB-

A

-LRB-

-RRB-

-RSB-

kl

est

l'

l?ment

de

la

matrice

inverse

et

non

pas

l'inverse

de

l'

l?ment

Par

d?onition

on

a

@A

-LRB-

-RRB-

@aij

lim

-LRB-

A

B

-RRB-

-LRB-

-RRB-

A

-LRB-

-RRB-

A

-LRB-

-RRB-

lim

-LRB-

Id

B

A

-LRB-

-RRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

Id

o

B

est

la

matrice

o

seul

l'

l?ment

-LRB-

i

j

-RRB-

est

non

nul

-LSB-

B

-RSB-

m

n

ffim

i

ffin

j

Pour

suOEsamment

faible

un

d?veloppement

limit

donne

-LRB-

Id

B

A

-LRB-

-RRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

Id

B

A

-LRB-

-RRB-

O

-LRB-

-RRB-

et

la

limite

ci

dessus

est

donc

lim

-LRB-

Id

B

A

-LRB-

-RRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

Id

B

A

-LRB-

-RRB-

d'

o

@A

-LRB-

-RRB-

@aij

A

-LRB-

-RRB-

B

A

-LRB-

-RRB-

D?rivation

d'un

scalaire

par

une

matrice

Chap

B

En

simplioant

la

valeur

de

B

on

a

@a

-LRB-

-RRB-

kl

aij

A

-LRB-

-RRB-

B

A

-LRB-

-RRB-

k

l

X

m

n

a

-LRB-

-RRB-

k

m

ffii

m

ffij

n

a

-LRB-

-RRB-

n

l

soit

@a

-LRB-

-RRB-

kl

aij

a

-LRB-

-RRB-

k

i

a

-LRB-

-RRB-

j

l

-LRB-

B.

-RRB-

B.

Distance

de

Mahalanobis

On

peut

maintenant

envisager

la

d?rivation

de

ff

xT

A

-LRB-

-RRB-

y

X

k

l

xk

a

-LRB-

-RRB-

k

l

yl

On

consid?re

pour

l'instant

une

matrice

A

g?n?rique

on

a

alors

@ff

@aij

X

k

l

xk

yl

@a

-LRB-

-RRB-

kl

aij

X

k

l

xk

yl

a

-LRB-

-RRB-

k

i

a

-LRB-

-RRB-

j

l

X

k

l

a

-LRB-

-RRB-

k

i

xk

yl

a

-LRB-

-RRB-

j

l

soit

-LRB-

xT

A

-LRB-

-RRB-

y

-RRB-

A

A

-LRB-

T

-RRB-

x

yT

A

-LRB-

T

-RRB-

-LRB-

B.

-RRB-

Dans

le

cas

d'une

distance

de

Mahalanobis

on

a

une

matrice

de

covariance

sym?trique

et

la

d?riv?e

est

donc

-LRB-

xT

-LRB-

-RRB-

y

-RRB-

DIAG

-LRB-

-LRB-

T

-RRB-

x

yT

-LRB-

T

-RRB-

-RRB-

-LRB-

T

-RRB-

-LRB-

x

yT

y

xT

-RRB-

-LRB-

T

-RRB-

B.

D?terminant

D?veloppons

le

d?terminant

en

cofacteurs

de

la

ie

ligne

ff

det

-LRB-

A

-RRB-

X

k

aik

a

ik

o

a

ik

est

le

cofacteur

de

aik

qui

ne

d?pend

d'aucun

l?ment

de

la

ie

ligne

et

en

particulier

pas

de

aik

det

-LRB-

A

-RRB-

@aik

a

ik

La

d?riv?e

cherch?e

est

donc

la

matrice

des

cofacteurs

aussi

connue

sous

le

nom

de

matrice

conjugu?e

et

sa

relation

bien

connue

avec

l'inverse

nous

permet

d'

crire

det

-LRB-

A

-RRB-

@A

A

det

-LRB-

A

-RRB-

A

-LRB-

T

-RRB-

-LRB-

B.

-RRB-

A

partir

de

cette

expression

on

obtient

facilement

la

d?riv?e

du

log

du

d?terminant

-LRB-

log

-LRB-

det

-LRB-

A

-RRB-

-RRB-

-RRB-

@A

det

-LRB-

A

-RRB-

det

-LRB-

A

-RRB-

@A

A

-LRB-

T

-RRB-

Annexe

C

Filtrage

de

Kalman

Assume

we

have

a

set

of

measurements

-LRB-

or

data

-RRB-

fOig

and

we

search

state

variable

g

such

that

for

each

exact

data

Oi

we

have

the

vectorial

relation

zi

-LRB-

Oi

g

-RRB-

This

is

called

the

measurement

equation

In

our

case

the

state

g

is

the

sought

rigid

motion

and

the

data

are

couples

of

matched

points

or

frames

or

simple

measurements

of

this

rigid

motion

-LRB-

section

-RRB-

Since

we

are

working

with

noisy

data

we

only

know

the

measured

values

of

data

Oi

Oi

i

-LRB-

the

observation

-RRB-

The

additive

noises

i

are

assumed

to

be

independent

white

and

centered

with

a

known

covariance

i

E

-LRB-

i

-RRB-

E

-LRB-

i

T

i

-RRB-

i

and

E

-LRB-

i

T

j

-RRB-

for

i

j

The

measurement

equations

are

generally

not

linear

but

assuming

we

know

a

good

estimate

g

of

the

state

g

we

can

linearize

them

around

the

estimates

and

solve

the

problem

with

standard

linear

optimization

techniques

namely

here

Kalman

Filtering

This

is

the

basis

of

the

Extended

Kalman

Filtering

technique

Since

Kalman

Filtering

is

a

recursive

olter

we

assume

that

we

have

at

each

step

i

an

estimate

gi

of

the

state

vector

We

can

then

linearize

the

measurement

equation

around

-LRB-

Oi

gi

-RRB-

with

a

orst

order

Taylor

series

expansion

Taking

the

following

notations

zi

zi

-LRB-

Oi

gi

-RRB-

Mi

d

@zi

@g

@zi

@g

-LRB-

Oi

gi

-RRB-

d

@zi

@O

@zi

@O

-LRB-

Oi

gi

-RRB-

the

Taylor

expansion

of

the

measurement

equation

zi

-LRB-

Oi

g

-RRB-

gives

zi

d

@zi

@g

-LRB-

g

gi

-RRB-

d

@zi

@O

-LRB-

Oi

Oi

-RRB-

This

equation

can

be

re-written

in

the

linear

form

Mi

g

i

i

where

i

is

the

linearized

measurement

i

Mi

gi

zi

and

i

is

a

centered

noise

i

d

@zi

@O

:-LRB-

Oi

Oi

-RRB-

Filtrage

de

Kalman

Chap

C

of

covariance

ii

ii

d

@zi

@O

i

d

@zi

@O

T

Assuming

that

an

initial

estimate

-LRB-

-RRB-

of

the

state

is

given

a

reasonable

-LRB-

weighted

-RRB-

least-squares

criterion

to

minimize

can

be

constructed

on

the

basis

of

Mahalanobis

distances

C

-LRB-

g

-RRB-

T

G

:-LRB-

g

-RRB-

X

i

-LRB-

i

Mi

g

-RRB-

T

-LRB-

-RRB-

ii

:-LRB-

i

Mi

g

-RRB-

The

recursive

solution

for

the

minimization

of

this

criteria

is

called

the

Kalman

Filter

-LRB-

Jazwinsky

Ayache

-RRB-

At

each

step

the

input

is

an

estimate

-LRB-

gi

Gi

-RRB-

of

the

state

and

the

linearized

measurement

-LRB-

i

ii

-RRB-

and

the

output

is

the

updated

estimation

of

the

state

-LRB-

gi

Gi

-RRB-

We

just

recall

here

the

equations

of

the

olter

Ki

Gi

MT

i

:-LRB-

ii

Mi

Gi

MT

i

-RRB-

gi

gi

Ki

zi

Gi

-LRB-

Id

Ki

Mi

-RRB-

Gi

-LRB-

C.

-RRB-

For

linear

transformation

of

Gaussian

variables

the

Kalman

Filter

produces

the

optimal

estimate

of

the

state

-LRB-

in

the

sense

of

minimum

error

variance

-RRB-

which

turns

out

to

be

also

the

maximum

likelihood

estimate

Moreover

it

preserves

the

Gaussian

nature

of

the

random

variables

and

thus

there

is

no

loss

of

information

in

keeping

only

the

mean

value

and

covariance

matrix

If

the

Gaussian

assumption

is

removed

the

Filter

remains

the

best

linear

estimator

but

is

no

longer

the

best

one

amongst

all

non-linear

estimators

In

the

general

case

of

non-linear

transformations

with

any

type

of

noise

-LRB-

which

is

our

case

in

this

article

-RRB-

the

Extended

Kalman

Filter

only

represent

a

sub-optimal

non

linear

estimator

but

appears

to

provide

accurate

estimates

in

practice

However

some

care

has

to

be

taken

about

the

initial

state

and

the

order

of

the

measurements

Annexe

D

Notations

utilis?es

Espaces

R

Ensemble

des

nombres

r?el

Rn

Espace

vectoriel

euclidien

de

dimension

n.

Q

Espace

des

quaternions

M

Vari?t

dioe?rentielle

-LRB-

manifold

-RRB-

G

Groupe

de

transformation

-LRB-

groupe

de

Lie

-RRB-

H

Sous-groupe

de

transformation

D

X

Ensemble

de

d?onition

ou

autre

Fonction

indicatrice

d'un

ensemble

U

Fx

Coset

de

la

primitive

x.

Primitives

f

g

h

x

y

z

Transformations

et

primitive

points

d'une

vari?t

f

g

h

x

y

z

Vecteurs

repr?sentations

de

ces

objets

f

g

h

x

y

z

repr?sentations

de

ces

objets

dans

la

carte

principale

f

g

h

x

y

z

Transformations

et

primitives

al?atoires

f

g

h

x

y

z

Vecteurs

al?atoires

correspondants

x

x

x

Primitive

exacte

primitive

al?atoire

mod?lisant

la

mesure

r?sultat

-LRB-

observation

ou

r?alisation

-RRB-

d'une

mesure

o

o

Point

choisi

comme

origine

de

la

vari?t

et

sa

repr?sentation

Id

Id

Origine

du

groupe

de

transformation

identit

@v

x

v

x

Vecteur

tangent

en

une

primitive

x

-LRB-

consid?r?e

comme

une

courbe

x

-LRB-

t

-RRB-

-RRB-

et

vecteur

tangent

correspondant

dans

la

carte

locale

Notations

utilis?es

Chap

D

Op?rateurs

f

ffi

g

Composition

des

transformations

f

et

g.

f

-LRB-

-RRB-

Inversion

de

la

transformation

f.

y

f

x

Action

de

la

transformation

f

sur

la

primitive

x.

fx

Fonction

de

placement

fx

est

un

repr?sentant

de

Fx

x

E

-LSB-

x

-RSB-

Esp?rance

au

sens

de

Fr?chet

-LRB-

ensemble

-RRB-

x

E

-LSB-

x

-RSB-

Esp?rance

au

sens

classique

-LRB-

vecteur

ou

r?el

-RRB-

E

-LSB-

-LRB-

x

-RRB-

-RSB-

Ex

-LSB-

-RSB-

Esp?rance

d'une

fonction

r?elle

xx

Matrice

de

covariance

du

vecteur

al?atoire

x.

dist

-LRB-

x

y

-RRB-

Distance

entre

primitives

Calcul

matriciel

et

vectoriel

hx

j

y

i

Produit

scalaire

euclidien

de

deux

vecteurs

M

J

R

Matrice

matrice

jacobienne

matrice

de

rotation

MT

M

-LRB-

-RRB-

M

-LRB-

T

-RRB-

Transpos?e

inverse

et

inverse

de

la

transpos?e

de

la

matrice

M

Tr

-LRB-

M

-RRB-

det

-LRB-

M

-RRB-

Trace

et

d?terminant

de

la

matrice

carr?e

M

mi

j

-LSB-

M

-RSB-

i

j

l?ment

-LRB-

i

j

-RRB-

de

la

matrice

M

x

diag

-LRB-

M

-RRB-

Vecteur

des

valeurs

diagonales

de

la

matrice

carr?e

M

xi

mi

i.

M

DIAG

-LRB-

x

-RRB-

Matrice

diagonale

des

composantes

du

vecteur

mi

j

xi

ffii

j

M

A

M

x

Multiplication

matricielle

In

Matrice

identit

en

dimension

n

et

f

-LRB-

x

-RRB-

g

-LRB-

y

-RRB-

h

-LRB-

z

-RRB-

Fonctions

scalaires

ou

vectorielles

J

@f

@x

h

@fi

@xj

i

Jacobien

ou

dioe?rentielle

de

la

fonction

f

La

notation

math?matique

usuelle

correspondante

serait

plut?t

Df

jJ

j

j

det

-LRB-

J

-RRB-

j

Valeur

absolue

du

d?terminant

du

jacobien

J

x

y

Sx

y

Produit

vectoriel

dans

et

la

matrice

antisym?trique

associ?e

q

p

Qq

:p

Produit

des

quaternions

et

quaternion

matriciel

associ

-LRB-

p

q

-RRB-

T

pT

Pq

Produit

des

quaternions

et

anti-quaternion

associ

Bibliographie

Abola

E.

Bernstein

F.

Bryant

S.

Koetzle

T.

et

Weng

J.

-LRB-

-RRB-

Protein

Data

Bank

Dans

Allen

F.

Bergerhoff

G.

et

Sievers

R.

diteurs

Crystallographic

Databases

Information

Contents

Software

Systems

Scientioc

Applications

pages

Bonn/Cambridge/Chester

Data

Commission

of

the

Int

Union

of

Crystallography

Altmann

S.

L.

-LRB-

-RRB-

Rotations

Quaternions

and

Double

Groups

Clarendon

Press

Oxford

Ambartzumian

R.

-LRB-

-RRB-

Random

shapes

by

factorization

Dans

Ranneby

B.

diteur

Statistics

in

Theory

and

Practice

Swedish

Univ.

Agric

Sci.

Umea

Anderson

T.

-LRB-

-RRB-

An

Introduction

to

Multivariate

Statistical

Analysis

J.

Wiley

NY

Arnaudon

M.

-LRB-

-RRB-

Esp?rances

conditionnelles

et

C-martingales

dans

les

vari?t?s

Dans

J.

Azema

P.A.

Meyer

M.

Y.

diteur

S?minaire

de

probabilit?s

XXVIII

volume

de

Lect

Notes

in

Math.

pages

Springer-Verlag

Arnaudon

M.

-LRB-

-RRB-

Barycentres

convexes

et

approximations

des

martingales

continues

dans

les

vari?t?s

Dans

J.

Azema

P.A.

Meyer

M.

Y.

diteur

S?minaire

de

probabilit?s

XXIX

volume

de

Lect

Notes

in

Math.

pages

Springer-Verlag

Arun

K.

Huang

T.

et

Blostein

S.

-LRB-

-RRB-

Least-Squares

Fitting

of

Two

Point

Sets

IEEE

Transactions

on

Pattern

Analysis

and

Machine

Intelligence

-LRB-

-RRB-

Aurenhammer

F.

-LRB-

-RRB-

Voronoi

diagrams

A

survey

of

a

fundamental

geometric

data

structure

ACM

Comput

Surv.

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

Vision

St?r?oscopique

et

Perception

Multisensorielle

Inter-Editions

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

Artiocial

Vision

for

Mobile

robots

Stereo-vision

and

Multisensor

Perception

MIT-Press

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

Computer

Vision

Applied

to

Medical

Images

Results

Trends

and

Future

Challenges

Dans

Int

Symp

on

Robotic

Research

Hidden

Valley

Pensylvania

USA

Also

as

INRIA

Research

Report

No

Ayache

N.

et

Faugeras

O.

-LRB-

-RRB-

HYPER

A

new

Approach

for

the

Recognition

and

Positioning

of

Two-Dimensional

Objects

IEEE

Trans

on

Patern

Analysis

and

Machine

Intelligence

-LRB-

-RRB-

Bibliographie

Bard

Y.

-LRB-

-RRB-

Nonlinear

Parameter

Estimation

Academic

Press

Bernstein

F.

Koetzle

T.

Williams

G.

Meyer

E.

Brice

M.

Rodgers

J.

Kennard

O.

Shimanouchi

T.

et

Tasumi

M.

-LRB-

-RRB-

The

Protein

Data

Bank

A

Computer-based

Archival

File

for

Macromolecular

Structures

J.

of

Mol

Bio.

Besl

P.

et

Jain

R.

-LRB-

-RRB-

Three-dimensional

object

recognition

ACM

Computing

Surveys

-LRB-

-RRB-

Besl

P.

et

McKay

N.

-LRB-

-RRB-

A

Method

for

Registration

of

Shapes

PAMI

-LRB-

-RRB-

Bingham

C.

-LRB-

-RRB-

An

Antipodally

Symmetric

Distribution

on

the

Sphere

The

Annals

of

Statistics

-LRB-

-RRB-

Boissonnat

J.

et

Yvinec

M.

-LRB-

-RRB-

G?om?trie

algorithmique

Ediscience

international

Paris

to

appear

in

english

at

Cambridge

University

Press

Bolles

R.

et

Cain

R.

-LRB-

-RRB-

Recognizing

and

locating

partially

visible

objects

the

localfeature-focus

method

Int

J.

Robotics

Research

-LRB-

-RRB-

Bookstein

F.

-LRB-

-RRB-

Size

and

shape

spaces

for

landmark

data

in

two

dimensions

-LRB-

with

discussion

-RRB-

Statist

Sci.

Bookstein

F.

-LRB-

-RRB-

Morphometric

Tools

for

Landmark

Data

Geometry

and

Biology

Cambridge

Univ.

Press

Cambridge

Bourguignon

J.

-LRB-

-RRB-

Calcul

variationnel

Cours

de

l'Ecole

Polytechnique

Paris

Branden

C.

et

Tooze

J.

-LRB-

-RRB-

Introduction

to

Protein

Structure

Garland

Publishing

Brennan

R.

et

Matthews

B.

-LRB-

-RRB-

The

Helix-Turn-Helix

DNA

binding

motif

J.

Biol

Chem.

Brown

L.

-LRB-

-RRB-

A

survey

of

image

registration

techniques

ACM

Computing

Surveys

-LRB-

-RRB-

Califano

A.

et

Mohan

R.

-LRB-

-RRB-

Multidimensionnal

Indexing

for

Recognizing

Visual

Shapes

Dans

Proc

CVPR

pages

Capolsini

P.

Dalmas

S.

et

Papegay

Y.

-LRB-

-RRB-

Quaterman

Une

biblioth?que

maple

de

calculs

et

de

manipulations

sur

l'alg

bre

des

quaternions

Rapport

Technique

INRIA

Carmo

M.

d.

-LRB-

-RRB-

Riemannian

Geometry

Mathematics

Birkh?user

Boston

Basel

Berlin

Casteljau

P.

-LRB-

-RRB-

Les

quaternions

Hermes

Chin

R.

et

Dyer

C.

-LRB-

-RRB-

Model-based

recognition

in

robot

vision

ACM

Computing

Surveys

-LRB-

-RRB-

Cohen

L.

-LRB-

-RRB-

Auxiliary

variables

and

two-step

iterative

algoritms

in

computer

vision

problem

Journal

Mathematical

Imaging

and

Vision

to

apear

Also

in

Cahiers

de

Math?matiques

de

la

Decision

no

and

ICCV

Bibliographie

Csurka

G.

Zeller

C.

Zhang

Z.

et

Faugeras

O.

-LRB-

-RRB-

Characterizing

the

Uncertainty

of

the

Fundamental

Matrix

Research

Report

INRIA

Davies

E.

-LRB-

-RRB-

Alternative

to

abstract

graph

matching

for

locating

objects

from

their

salient

features

Image

and

Vision

Computing

-LRB-

-RRB-

Doss

S.

-LRB-

-RRB-

Sur

la

moyenne

d'un

l?ment

al?atoire

dans

un

espace

distanci

Bull

Sc

Math.

Duda

R.

et

Heart

P.

-LRB-

-RRB-

Pattern

Classiocation

and

Scene

Analysis

Wiley

Durrant-Whyte

H.

-LRB-

-RRB-

Integration

Coordination

and

Control

of

Multi-Sensor

Robot

Systems

Kluwer

Academic

Publishers

Emery

M.

et

Mokobodzki

G.

-LRB-

-RRB-

Sur

le

barycentre

d'une

probabilit

dans

une

vari?t

Dans

J.

Azema

P.A.

Meyer

M.

Y.

diteur

S?minaire

de

probabilit?s

XXV

volume

de

Lect

Notes

in

Math.

pages

Springer-Verlag

Eshera

M.

et

Fu

K.

-LRB-

-RRB-

An

Image

Understanding

System

Using

Attributed

Symbolic

Representation

and

Inexact

Graph-Matching

PAMI

-LRB-

-RRB-

Faugeras

O.

-LRB-

-RRB-

Three-Dimensionnal

Computer

Vision

A

Geometric

Viewpoint

MIT

press

Feldmar

J.

-LRB-

-RRB-

Recalage

rigide

non

rigide

et

projectif

d'images

m?dicales

tridimensionnelles

PhD

thesis

Ecole

Polytechnique

Feldmar

J.

et

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

Rigid

AOEne

and

Locally

AOEne

Registration

of

Free-Form

Surfaces

IJCV

-LRB-

-RRB-

Feldmar

J.

Ayache

N.

et

Betting

F.

-LRB-

-RRB-

projective

registration

of

free-form

curves

and

surfaces

Research

report

INRIA

Accepted

for

publication

in

The

Journal

of

Computer

Vision

and

Image

Understanding

Published

in

three

parts

CVRMed

ICCV

and

IPMI

Fermi

G.

Perutz

M.

Shaanan

B.

et

Fourme

R.

-LRB-

-RRB-

The

crystal

structure

of

human

deoxyhaemoglobon

at

angstroms

resolution

J.

Mol

Bio.

Fischer

D.

Bachar

O.

Nussinov

R.

et

Wolfson

H.

-LRB-

-RRB-

An

eOEcient

automated

computer

vision

based

technique

for

detection

of

three

dimensionnal

structural

motifs

in

proteins

J.

of

Biomolecular

Structures

and

Dynamics

-LRB-

-RRB-

Fischer

O.

Nussinov

R.

et

Wolfson

H.

-LRB-

-RRB-

substructure

matching

in

protein

molecules

Dans

Combinatorial

Pattern

matching

LNCS

pages

Spinger

Verlag

Fr?chet

M.

-LRB-

-RRB-

L'int

grale

abstraite

d'une

fonction

abstraite

d'une

variable

abstraite

et

son

application

la

moyenne

d'un

l?ment

al?atoire

de

nature

quelconque

Revue

Scientioque

pages

Fr?chet

M.

-LRB-

-RRB-

Les

l?ments

al?atoires

de

nature

quelconque

dans

un

espace

distanci

Ann

Inst

H.

Poincar

Bibliographie

Funda

J.

et

Paul

R.

-LRB-

-RRB-

A

Comparison

of

Transforms

and

Quaternions

in

Robotics

Dans

Proc

IEEE

International

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on

Robotics

and

Automation

Vol

pages

Computer

Science

Society

Gill

P.

Murray

W.

et

Wright

M.

-LRB-

-RRB-

Practical

optimization

Academic

Press

London

and

New

York

Goodall

C.

-LRB-

-RRB-

Procrustes

methods

in

the

statistical

analysis

of

shape

-LRB-

with

discussion

-RRB-

J.

Roy

Statist

Soc

Ser

B

Grenander

U.

-LRB-

-RRB-

Abstract

inference

John

Wiley

Soons

Grimson

W.

-LRB-

-RRB-

Object

Recognition

by

Computer

The

role

of

Geometric

Constraints

MIT

Press

Grimson

W.

et

Huttenlocher

D.

-LRB-

-RRB-

On

the

Sensitivity

of

Geometric

Hashing

Dans

Proc

third

ICCV

pages

Grimson

W.

et

Huttenlocher

D.

-LRB-

-RRB-

On

the

sensitivity

of

the

Hough

transfrom

for

object

recognition

IEEE

PAMI

-LRB-

-RRB-

Grimson

W.

et

Huttenlocher

D.

-LRB-

-RRB-

On

the

veriocation

of

hypothesized

matches

in

model-based

recognition

IEEE

PAMI

-LRB-

-RRB-

Grimson

W.

Huttenlocher

D.

et

Jacobs

D.

-LRB-

-RRB-

AOEne

Matching

with

Bounded

Sensor

Error

A

Study

of

Geometric

Hashing

and

Alignment

Technical

Report

MIT

AI

Lab

Grimson

W.

Huttenlocher

D.

et

Jacobs

D.

-LRB-

-RRB-

A

study

of

aOEne

matching

with

bounded

sensor

error

Int

Journ

of

Comput

Vision

-LRB-

-RRB-

Gu?ziec

A.

et

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

Smoothing

and

Matching

of

Space

Curves

Dans

Proceedings

of

the

Second

European

Conference

on

Computer

Vision

Santa

Margherita

Ligure

Italy

Gu?ziec

A.

et

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

New

Develoments

on

Geometric

Hashing

for

Matching

Curves

Dans

Proceedings

of

Int

Conf

on

Comput

Vis

and

Pat

Recog

pages

IEEE

Computer

Society

Press

Harrison

S.

et

Aggarwal

A.

-LRB-

-RRB-

DNA

recognition

by

proteins

with

the

Helix-Turn-Helix

motif

Annu

Rev.

Biochem.

Herer

W.

-LRB-

-RRB-

Esp?rance

math?matique

au

sens

de

Doss

d'une

variable

al?atoire

valeur

dans

un

espace

m?trique

C.

R.

Acad

Sc

Paris

S?rie

I

t.

-LRB-

-RRB-

Herer

W.

-LRB-

-RRB-

Esp?rance

math?matique

d'une

variable

al?atoire

valeur

dans

un

espace

m?trique

courbure

n?gative

C.

R.

Acad

Sc

Paris

S?rie

I

t.

Hochschild

G.

-LRB-

-RRB-

The

structure

of

Lie

groups

Holden-Day

Honzatko

R.

Hendrickson

W.

et

Love

W.

-LRB-

-RRB-

Reonement

of

a

molecular

model

for

lamprey

hemoglobin

from

petromyzon

Marinus

J.

Mol

Bio.

Horaud

R.

et

Monga

O.

-LRB-

-RRB-

Vision

par

ordinateur

outils

fondamentaux

Hermes

Bibliographie

Horn

B.

-LRB-

-RRB-

Closed

Form

Solutions

of

Absolute

Orientation

Using

Unit

Quaternions

Journal

of

Optical

Society

of

America

-LRB-

-RRB-

Horn

B.

H.M.

H.

et

Negahdaripour

S.

-LRB-

-RRB-

Closed

Form

Solutions

of

Absolute

Orientation

Using

Orthonormal

Matrices

Journal

of

Optical

Society

of

America

-LRB-

-RRB-

Huber

P.

-LRB-

-RRB-

Robust

Statistics

John

Wiley

New

York

Huttenlocher

D.

et

Ullman

S.

-LRB-

-RRB-

Object

Recognition

using

Alignment

Dans

Proc

of

ICCV

pages

Huttenlocher

D.

et

Ullman

S.

-LRB-

-RRB-

Recognizing

solid

objects

by

alignment

with

an

image

Int

Journ

Computer

Vision

-LRB-

-RRB-

Jain

A.

et

Dubes

R.

-LRB-

-RRB-

Algorithms

for

clustering

data

Englewood

Clioes

N.J.

Jaynes

E.

-LRB-

-RRB-

Probability

Theory

The

Logic

Of

Science

Fragmentary

edition

of

mai

available

at

Also

available

at

ftp

Jazwinsky

A.

-LRB-

-RRB-

Stochastic

Processes

and

Filtering

Theory

Academic

Press

Jolion

J.-M.

Meer

P.

et

Bataouche

S.

-LRB-

-RRB-

Robust

Clustering

with

Applications

in

Computer

Vision

IEEE

Transactions

on

Pattern

Analysis

and

Machine

Intelligence

PAMI

-LRB-

-RRB-

Jupp

P.

et

Mardia

K.

-LRB-

-RRB-

A

Unioed

View

of

the

Theory

of

Directional

Statistics

Int

Statistical

Review

-LRB-

-RRB-

Kanatani

K.

-LRB-

-RRB-

Group-Theoretical

Methods

in

Image

Understanding

Num?ro

dans

Springer

Series

in

Information

Science

Springer

Verlag

Kanatani

K.

-LRB-

-RRB-

Geometric

Computation

for

Machine

Vision

Num?ro

dans

The

Oxford

Engineering

science

series

Clarendon

Press

Oxford

Karcher

H.

-LRB-

-RRB-

Riemannian

center

of

mass

and

mollioer

smoothing

Comm

Pure

Appl

Math

Kendall

D.

-LRB-

-RRB-

A

survey

of

the

statistical

theory

of

shape

-LRB-

with

discussion

-RRB-

Statist

Sci.

Kendall

M.

et

Moran

P.

-LRB-

-RRB-

Geometrical

probability

Num?ro

dans

GriOEn

's

statistical

monographs

and

courses

Charlkes

GriOEn

Co.

Ltd.

Kendall

W.

-LRB-

-RRB-

Probability

convexity

and

harmonic

maps

with

small

image

I

uniqueness

and

one

existence

Proc

London

Math

Soc.

-LRB-

-RRB-

Kent

J.

-LRB-

-RRB-

The

art

of

Statistical

Science

Chapitre

New

Directions

in

Shape

Analysis

pages

John

Wiley

Sons

K.V.

Mardia

ed

Klingenberg

W.

-LRB-

-RRB-

Riemannian

Geometry

Walter

de

Gruyter

Berlin

New

York

Koch

-LRB-

-RRB-

Parameter

Estimation

and

Hypothesis

Testing

in

Linear

Models

Springer

Berlin

Bibliographie

Lacroix

B.

et

Codani

J.

-LRB-

-RRB-

Techniques

Informatiques

pour

la

Cartographie

Physique

du

G?nome

Humain

Research

Report

INRIA

Lamdan

Y.

et

Wolfson

H.

-LRB-

-RRB-

Geometric

Hashing

A

General

and

EOEcient

Model-Based

Recognition

Scheme

Dans

Proc

of

Second

ICCV

pages

Lamdan

Y.

et

Wolfson

H.

-LRB-

-RRB-

On

the

error

analysis

of

Geometric

Hashing

Technical

Report

Rob

Res

Lab.

Courant

Institute

of

Mathematical

Science

N.

Y.

University

Robotics

Report

No

Lamdan

Y.

et

Wolfson

H.

-LRB-

-RRB-

On

the

error

analysis

of

Geometric

Hashing

Dans

IEEE

Int

Conf

on

Comput

Vis

and

Patt

Recog.

pages

Latombe

J.

-LRB-

-RRB-

Robot

motion

planning

Chapitre

Chap

Conoguration

Space

of

a

Rigid

Object

pages

Kluwer

Academic

Publishers

Groups

Lawson

C.

Zhang

R.

Schevitz

R.

Otwinowski

Z.

Joachimiak

A.

et

Siegler

P.

-LRB-

-RRB-

Flexibility

of

the

DNA-Binding

Domains

of

TRP

Repressor

Proteins

Struct.

Funct.

Genet.

Le

H.

-LRB-

-RRB-

Mean

size-and-shapes

and

mean

shapes

a

geomtric

point

of

view

Adv.

Appl

Prob.

-LRB-

-RRB-

Le

H.

et

Kendall

D.

-LRB-

-RRB-

The

riemannian

structure

of

euclidean

shape

space

a

novel

environment

for

statistics

Ann

Statist.

Le

Borgne

M.

-LRB-

-RRB-

Quaternions

et

Controle

sur

l'Espace

des

rotations

Research

Report

INRIA

Leavers

V.

-LRB-

-RRB-

Survey

which

Hough

transform

CVGIP

Image

Understanding

-LRB-

-RRB-

Lesk

A.

et

Chothia

C.

-LRB-

-RRB-

How

dioeerent

amino

acid

sequences

determine

similar

protein

structures

the

structure

and

evolutionary

dynamics

of

the

globins

J.

Mol

Bio.

Lorusso

A.

Eggert

D.

et

Fisher

R.

-LRB-

-RRB-

A

comparison

of

Four

Algorithms

for

Estimating

Rigid

Transformation

Dans

Proc

British

Machine

Vision

Conference

-LRB-

BMVC

-RRB-

pages

Mardia

K.

-LRB-

-RRB-

Directional

Statistics

and

Shape

Analysis

Research

Report

University

of

Leeds

UK

Marr

D.

-LRB-

-RRB-

Vision

Freeman

Maybeck

P.

-LRB-

-RRB-

Stochastic

Models

Estimation

and

Control

Volume

volume

de

Mathematics

in

Science

and

Engineering

Academic

Press

Inc.

Meer

P.

Mintz

D.

Kim

D.

Y.

et

Rosenfeld

A.

-LRB-

-RRB-

Robust

Regression

Methods

for

Computer

Vision

A

Review

International

Journal

of

Computer

Vision

-LRB-

-RRB-

Mondragon

A.

Wolberger

C.

et

Harrison

S.

-LRB-

-RRB-

Structure

of

Phage

Cro

Protein

at

Angstroms

Resolution

J.

of

Mol

Bio.

Bibliographie

Moore

R.

-LRB-

-RRB-

Interval

Analysis

Prentice

Hall

Engelwood

Clioes

NJ

Mundy

J.

et

Zisserman

A.

-LRB-

-RRB-

Geometric

invariance

in

computer

vision

MIT

Press

Myers

E.

-LRB-

-RRB-

An

overview

of

sequence

comparison

algorithms

in

molecular

biology

Technical

Report

TR

Univ.

of

Arizona

Dep

of

Comp

Sci

Neveu

J.

-LRB-

-RRB-

Introduction

aux

probabilit?s

Ecole

Polytechnique

Cours

de

l'Ecole

Polytechnique

Okabe

A.

Boots

B.

et

Sugihara

K.

-LRB-

-RRB-

Spatial

Tessellations

Concepts

and

Applications

of

Voronoi

Diagrams

John

Wiley

Sons

Chichester

England

Olson

C.

F.

-LRB-

-RRB-

Time

and

Space

EOEcient

Pose

Clustering

Dans

Proc

Conf

Comp

Vision

and

Pattern

Recognition

-LRB-

CVPR

-RRB-

pages

Los

Alamitos

CA

USA

IEEE

Computer

Society

Press

also

as

U.

Cal

Berkley

Research

Report

UCB

Orr

M.

Fisher

R.

et

Hallam

J.

-LRB-

-RRB-

Uncertain

reasoning

Intervals

versus

probabilities

Dans

Proc

British

Machine

Vision

Conference

pages

Springer-Verlag

Papoulis

A.

-LRB-

-RRB-

Probability

Random

Variables

and

Stochastic

Processes

McGraw-Hill

Inc.

Paul

R.

-LRB-

-RRB-

Robot

Manipulators

MIT

Press

Pelat

D.

-LRB-

-RRB-

Bruits

et

Signaux

Cours

de

l'Ecole

doctorale

d'astrophysique

d'Ile

de

France

Pennec

X.

-LRB-

-RRB-

Correctness

and

Robustness

of

Rigid

Matching

with

Bounded

Sensor

Error

Research

report

INRIA

Pennec

X.

-LRB-

-RRB-

Traitement

de

l'erreur

dans

les

m?thodes

de

Hachage

g?om?trique

et

d'Alignement

une

tude

th?orique

Rapport

de

DEA

INRIA

Pennec

X.

-LRB-

-RRB-

Multiple

Registration

and

Mean

Rigid

Shape

Application

to

the

case

Dans

Image

Fusion

and

Shape

Variability

Techniques

-LRB-

Leeds

Annual

Statistical

Workshop

-RRB-

University

of

Leeds

UK

Pennec

X.

et

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

An

O

-LRB-

-RRB-

Algorithm

for

Substructure

Matching

of

Proteins

Dans

Califano

A.

Rigoutsos

I.

et

Wolson

H.

diteurs

Shape

and

Pattern

Matching

in

Computational

Biology

Plenum

Publishing

Pennec

X.

et

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

An

O

-LRB-

-RRB-

Algorithm

for

Substructure

Matching

of

Proteins

Dans

Proceedings

of

the

orst

International

Workshop

on

Shape

and

Pattern

Matching

in

Computational

Biology

also

as

INRIA

Research

Report

no

Pennec

X.

et

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

Quelques

probl?mes

pos?s

par

la

gestion

des

primitives

g?om?triques

en

vision

par

ordinateur

Dans

Journ?es

ORASIS

Pennec

X.

et

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

Randomness

and

Geometric

Features

in

Computer

Vision

Dans

IEEE

Conf

on

Computer

Vision

and

Pattern

Recognition

-LRB-

CVPR

-RRB-

San

Francisco

Cal

Part

of

the

INRIA

Research

Report

no

Pennec

X.

et

Thirion

J.

-LRB-

-RRB-

Validation

of

Registration

Methods

based

on

Points

and

Frames

Dans

Proceedings

of

the

Int

Conf

on

Comp

Vision

-LRB-

ICCV

-RRB-

pages

Cambridge

Ma

Part

of

the

INRIA

Research

Report

no

Bibliographie

Pennec

X.

et

Thirion

J.

-LRB-

-RRB-

A

Framework

for

Uncertainty

and

Validation

of

Registration

Methods

based

on

Points

and

Frames

Int

Journal

of

Computer

Vision

to

appear

Perutz

M.

et

al.

-LRB-

-RRB-

Private

communication

Picard

J.

-LRB-

-RRB-

Barycentres

et

martingales

sur

une

vari?t

Annales

de

l'institut

Poincar

Probabilit?s

et

Statistiques

-LRB-

-RRB-

Preparata

F.

et

Shamos

M.

-LRB-

-RRB-

Computational

Geometry

an

Introduction

Springer

Verlag

Preparata

F.

et

Shamos

M.

-LRB-

-RRB-

Computational

Geometry

An

Introduction

Spinger

Verlag

Press

S.

-LRB-

-RRB-

Applied

Multivariate

Analysis

Holt

Rinehart

and

Winston

NY

Press

W.

Flannery

B.

Teukolsky

S.

et

Vetterling

W.

-LRB-

-RRB-

Numerical

Recipices

in

C.

Cambridge

Univ.

Press

Reyes-Avila

L.

-LRB-

-RRB-

Les

quaternions

une

repr?sentation

param?trique

syst

matique

des

rotations

onies

Rapport

de

Recherche

INRIA

Reyes-Avila

L.

-LRB-

-RRB-

Quaternion

une

repr?sentation

param?trique

syst

matique

des

rotations

onies

Partie

II

Quelques

applications

Rapport

de

Recherche

INRIA

Rigoutsos

I.

-LRB-

-RRB-

Massively

Parallel

Baysian

Object

Recognition

PhD

thesis

New

York

University

Rigoutsos

I.

et

Hummel

R.

-LRB-

-RRB-

Robust

similarity

invariant

matching

in

the

presence

of

noise

Dans

Proc

Israeli

Conf

on

Artiocial

Intelligence

and

Computer

Vision

pages

Rigoutsos

I.

et

Hummel

R.

-LRB-

-RRB-

Several

Results

on

AOEne

Invariant

Geometric

Hashing

Dans

Proc

Israeli

Conf

on

Artiocial

Intelligence

and

Computer

Vision

pages

Rigoutsos

I.

et

Hummel

R.

-LRB-

-RRB-

Distributed

Bayesian

Object

Recognition

Dans

Proceedings

of

Int

Conf

on

Comput

Vis

and

Pat

Recog

pages

IEEE

Computer

Society

Press

Rothe

I.

Voss

K.

S?sse

H.

et

Rothe

J.

-LRB-

-RRB-

A

General

Method

to

Determine

Invariants

Rapport

Technique

TR

University

of

Rochester

Computer

Science

Department

Rousseeuw

P.

et

Leroy

A.

-LRB-

-RRB-

Robust

Regression

and

Outliers

Detection

Wiley

series

in

prob

and

math

stat

J.

Wiley

and

Sons

Santalo

L.

-LRB-

-RRB-

Integral

Geometry

and

Geometric

Probability

volume

de

Encyclopedia

of

Mathematics

and

its

Applications

Addison-Wesley

Publishing

Company

Sayle

R.

et

Bissel

A.

-LRB-

-RRB-

RasMol

A

program

for

fast

realistic

rendering

of

molecular

structures

with

shadows

Dans

Proceedings

of

the

Eurographics

UK

Conference

Universtity

of

Edinburg

Scotland

Shapiro

L.

et

Haralick

R.

-LRB-

-RRB-

Structural

description

and

inexact

matching

PAMI

Bibliographie

Small

C.

-LRB-

-RRB-

Techniques

of

shape

analysis

on

sets

of

points

Internat

Statist

Rev.

Smith

R.

et

Cheeseman

P.

-LRB-

-RRB-

On

the

representation

and

Estimation

of

Spatial

Uncertainty

Int

Journ

of

Robotics

Research

-LRB-

-RRB-

Smith

R.

Self

M.

et

Cheeseman

P.

-LRB-

-RRB-

Estimating

Uncertain

Spatial

Relationships

Dans

Lemmer

J.

et

Kanal

L.

diteurs

Uncertainty

in

Artiocial

Intelligence

pages

Elsevier

Proc

Second

Work

on

Uncertainty

in

Artif

Intell.

Philadelphia

AAAI

August

Spivak

M.

-LRB-

-RRB-

Dioeerential

Geometry

volume

Publish

or

Perish

Inc.

edition

Stockman

G.

-LRB-

-RRB-

Object

recognition

and

localization

via

pose

clustering

Comp

Vision

Graphics

Image

Processing

-LRB-

-RRB-

Stuelpnagel

J.

-LRB-

-RRB-

On

the

Parametrization

of

the

Three

Dimensional

Rotation

Group

SIAM

Review

-LRB-

-RRB-

Subsol

G.

Thirion

J.

et

Ayache

N.

-LRB-

-RRB-

A

General

Scheme

for

Automatically

Building

Morphometric

Anatomical

Atlases

application

to

a

Skull

Atlas

Dans

MRCAS

Takano

T.

-LRB-

-RRB-

Reonement

of

myoglobin

and

cytochrome

C.

Dans

Hall

S.

et

Ashsida

T.

diteurs

Methods

and

Applications

in

Crystallographic

Computing

page

Oxford

University

Press

Oxford

England

Thirion

J.

-LRB-

-RRB-

New

Feature

Points

based

on

geometric

invariants

for

Image

Registration

Research

Report

INRIA

accepted

for

publication

in

IJCV

Thirion

J.-P

-LRB-

-RRB-

Extremal

Points

deonition

and

application

to

image

registration

Dans

IEEE

conf

on

Computer

Vision

and

Pattern

Recognition

Seattle

Thirion

J.-P

et

Gourdon

A.

-LRB-

-RRB-

The

Marching

Lines

Algorithm

new

results

and

proofs

Rapport

Technique

INRIA

accepted

for

publication

in

CVGIP

in

august

Thirion

J.-P

et

Gourdon

A.

-LRB-

-RRB-

Computing

the

Dioeerential

Characteristics

of

Isointensity

Surfaces

Computer

Vision

and

Image

Understanding

-LRB-

-RRB-

Tsai

F.

-LRB-

-RRB-

A

Probabilistic

Approach

to

Geometric

Hashing

using

Line

Feature

Technical

Report

Robotic

Research

Laboratory

Courant

Institute

of

Mathematical

Science

N.Y.

Univ.

Umeyama

S.

-LRB-

-RRB-

Least-Squares

Estimation

of

Transformation

Parameters

Between

Two

Point

Patterns

IEEE

Transactions

on

Pattern

Analysis

and

Machine

Intelligence

-LRB-

-RRB-

Van

den

Elsen

P.

-LRB-

-RRB-

Multimodality

Matching

of

Brain

Images

PhD

thesis

Utrecht

University

Netherland

Walker

M.

et

Shao

L.

-LRB-

-RRB-

Estimating

Location

Paramters

Using

Dual

Number

Quaternions

CVGIP

Image

Understanding

-LRB-

-RRB-

Watson

D.

-LRB-

-RRB-

Natural

neighbor

sorting

on

the

n-dimensional

sphere

Pattern

Recognition

-LRB-

-RRB-

Bibliographie

Weinshall

D.

-LRB-

-RRB-

Model-based

invariants

for

vision

International

Journal

of

Computer

Vision

-LRB-

-RRB-

Wells

W.

-LRB-

-RRB-

Statistical

Object

Recognition

PhD

thesis

MIT

West

J.

Fitzpatrick

J.

et

al.

-LRB-

-RRB-

Comparison

and

evaluation

of

retrospective

intermodality

image

registration

techniques

Dans

SPIE

Medical

Imaging

conference

-LRB-

Medim

-RRB-

also

submitted

to

J.

of

Assisted

Tomography

Wolfson

H.

-LRB-

-RRB-

Model-Based

Recognition

by

Geometric

Hashing

Dans

Faugeras

O.

diteur

Proc

of

Europ

Conf

on

Comput

Vision

-LRB-

ECCV

-RRB-

pages

SpringerVerlag

Lecture

Notes

in

Computer

Science

Zhang

Z.

-LRB-

-RRB-

Le

probl?me

de

la

mise

en

correspondance

l'

tat

de

l'art

Rapport

de

recherche

INRIA

Zhang

Z.

-LRB-

-RRB-

Iterative

Point

Matching

for

Registration

of

Free-Form

Curves

and

Surfaces

Int

Journ

Comp

Vis.

-LRB-

-RRB-

Also

Research

Report

No.

INRIA

SophiaAntipolis

Zhang

Z.

et

Faugeras

O.

-LRB-

-RRB-

Dynamic

Scene

Analysis

a

stereo

based

approach

volume

de

Springer

series

in

information

science

Chapitre

Uncertainty

Manipulation

and

Parameter

Estimation

pages

Springer

Verlag

Zhuang

X.

et

Huang

Y.

-LRB-

-RRB-

Robust

Pose

Estimation

IEEE

Transactions

on

Pattern

Analysis

and

Machine

Intelligence

-LRB-

-RRB-

Ziezold

H.

-LRB-

-RRB-

On

expected

ogures

in

the

plane

Dans

H?bler

A.

Nagel

W.

Ripley

B.

et

Werner

G.

diteurs

Geobild

volume

de

Math

Res.

pages

AkademieVerlag

Berlin

Ziezold

H.

-LRB-

-RRB-

Mean

ogures

and

mean

shapes

applied

to

biological

ogures

and

shape

distributions

in

the

plane

Biometrical

J.

Index

A

acide

amin

action

algorithme

g?n?rateur

al?atoire

gaussien

uniforme

moyenne

et

fusion

recalage

de

points

de

primitives

modulaire

haut

niveau

reconnaissance

temps

de

calcul

alignement

voir

reconnaissance

arbre

d'interpr

tation

voir

reconnaissance

atlas

B

barycentre

voir

aussi

moyenne

bassin

Bertrand

-LRB-

paradoxe

de

-RRB-

bruit

additif

choix

du

mod?le

estimation

homog?ne

interpr?tation

isotrope

mise

en

place

zones

d'erreur

C

carte

exponentielle

principale

cerveau

mod?le

moyen

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Christooeel

-LRB-

symboles

de

-RRB-

clustering

complexit

composition

coset

covariance

propagation

D

densit

de

probabilit

conjointe

et

marginale

propagation

voir

aussi

loi

distance

de

Mahalanobis

entre

formes

invariante

riemannienne

domaine

voir

aussi

lieu

de

coupure

droite

E

entropie

voir

information

esp?rance

voir

aussi

moyenne

espace

euclidien

probabilis

vectoriel

tangent

v?nement

exponentielle

voir

aussi

carte

exponentielle

Index

des

mots

cl?s

F

faux

n?gatif

faux

positif

fonction

de

placement

fonction

implicite

forme

incompl?te

moyenne

rigide

base

de

points

fusion

comparaison

des

algorithmes

incertitude

moindre

descente

de

gradient

oltre

de

Kalman

moyenne

-LRB-

moindres

carr?s

-RRB-

G

g?od?siques

d?termination

sur

un

groupe

d?termination

sur

une

vari?t

g?om?trie

riemannienne

gaussienne

gradient

groupe

d'isotropie

de

Lie

op?rations

atomiques

H

Haar

-LRB-

mesure

de

-RRB-

voir

mesure

invariante

hessienne

-LRB-

matrice

-RRB-

Hough

voir

reconnaissance

I

ICP

voir

reconnaissance

identit?s

remarquables

incertitude

mod?lisation

pr?diction

propagation

provenance

validation

voir

aussi

variable

vecteur

et

primitive

al?atoires

densit

moyenne

et

covariance

ind?pendance

indexation

indexation

g?om?trique

indice

de

validation

information

de

la

gaussienne

invariants

binaires

incertitude

n-aires

unaires

inversion

IRM

J

jacobien

K

Kalman

-LRB-

oltre

de

-RRB-

L

lieu

de

coupure

loi

gaussienne

voir

gaussienne

uniforme

voir

aussi

mesure

invariante

M

m?diane

m?trique

riemannienne

invariante

Mahalanobis

voir

distance

matrice

d?rivation

mesure

de

probabilit

invariante

riemannienne

mise

en

correspondance

voir

reconnaissance

mod?lisation

voir

aussi

forme

module

motif

helix-turn-helix

poche

du

h?me

forme

moyenne

moyenne

au

sens

de

Doss

Index

des

mots

cl?s

au

sens

de

Fr?chet

au

sens

de

Karcher

de

formes

discr?te

existence

et

unicit

obtention

voir

fusion

propagation

voir

aussi

esp?rance

O

objet

observable

voir

variable

al?atoire

occultation

op?rations

atomiques

origine

outlier

P

paradoxes

plus

proche

voisin

points

bruit

isotrope

groupe

d'isotropie

mesure

invariante

mod?les

de

bruit

op?rations

atomiques

s?lectivit

points

extr?maux

voir

aussi

rep?res

mod?lisation

pr

traitement

pr?cision

mesure

simplio?e

pr?diction

v?riocation

voir

reconnaissance

primitive

al?atoire

approximation

g?n?rateur

al?atoire

op?rations

de

base

primitives

g?om?triques

voir

aussi

vari?t

dioe?rentielle

prot?ine

mod?lisation

structure

Q

quaternions

et

rotations

alg?bre

de

Lie

carte

exponentielle

dioe?rentielles

espace

tangent

g?od?siques

matriciels

R

recalage

comparaison

des

algorithmes

incertitude

moindre

descente

de

gradient

oltrage

de

Kalman

moindres

carr?s

descente

de

gradient

points

aOEne

points

rigide

-LRB-

quaternions

-RRB-

points

rigide

-LRB-

SVD

-RRB-

points

similitude

multiple

validation

reconnaissance

alignement

arbre

d'interpr

tation

ICP

indexation

g?om?trique

isomorphisme

de

graphes

transform?e

de

Hough

v?riocation

rep?res

bruit

homog?ne

invariants

binaires

mesure

invariante

mod?lisation

mod?les

de

bruit

moyenne

op?rations

atomiques

s?lectivit

semi

et

non-orient

s

voir

aussi

transformations

rigides

robustesse

Rodrigues

-LRB-

formule

de

-RRB-

rotations

alg?bre

de

Lie

carte

exponentielle

carte

principale

courbes

int?grales

densit

uniforme

Index

des

mots

cl?s

distance

invariante

distribution

gaussienne

espace

tangent

g?od?siques

op?rations

atomiques

param?tres

g?om?triques

repr?sentation

voir

aussi

quaternions

et

vecteur

rotation

S

s?lectivit

sc?ne

segmentation

T

test

de

Kolmogorov-Smirnov

du

transformation

voir

groupe

de

Lie

transformations

rigides

carte

principale

distance

invariante

mesure

invariante

op?rations

atomiques

volume

admissible

translation

de

l'identit

de

l'origine

tri?dres

non-orient

s

s?lectivit

semi-orient

s

tribu

V

validation

de

la

reconnaissance

du

recalage

vari?t

dioe?rentielle

courbure

g?od?siquement

compl?te

homog?ne

op?rations

atomiques

repr?sentation

voir

aussi

carte

variable

al?atoire

variance

vecteur

al?atoire

vecteur

d'erreur

pour

la

fusion

pour

le

recalage

vecteur

rotation

action

sur

un

vecteur

composition

conversions

domaine

inversion

mesure

invariante

vision

haut

niveau

m?thodes

g?n?riques

L'incertitude

dans

les

probl?mes

de

reconnaissance

et

de

recalage

Application

en

imagerie

m?dicale

et

biologie

mol?culaire

Xavier

PENNEC

INRIA

B.P.

Sophia-Antipolis

C?dex

France

Les

primitives

g?om?triques

usuelles

en

traitement

d'image

tridimensionnel

-LRB-

points

points

orient?s

rep?res

-RRB-

forment

une

vari?t

qui

n'est

g?n?ralement

pas

un

espace

vectoriel

sur

lequel

agit

un

groupe

de

transformation

qui

mod?lise

les

dioe?rentes

prises

de

vue

possibles

de

l'image

Leur

mesure

est

de

plus

intrins?quement

incertaine

cause

de

l'accumulation

des

erreurs

et

des

impr?cisions

au

cours

de

la

cha?ne

de

traitement

Le

but

de

ce

travail

est

de

g?n?raliser

ces

primitives

les

notions

de

statistiques

usuelles

ainsi

que

les

algorithmes

de

reconnaissance

et

de

recalage

utilisant

normalement

les

points

La

premi?re

partie

de

la

th?se

est

consacr?e

au

d?veloppement

d'outils

math?matiques

pour

aborder

ces

probl?mes

Nous

montrons

tout

d'abord

que

l'on

ne

peut

pas

consid?rer

ces

primitives

comme

de

simples

vecteurs

puis

sur

des

bases

de

g?om?trie

riemannienne

nous

d?veloppons

une

notion

de

moyenne

coh?rente

puis

de

matrice

de

covariance

Nous

g?n?ralisons

alors

d'autres

op?rations

statistiques

telles

que

la

distance

de

Mahalanobis

et

le

test

du

Enon

nous

montrons

comment

cette

th?orie

peut

tre

appliqu?e

et

implant?e

en

machine

dans

une

structure

orient?e

objet

g?n?rique

Dans

la

seconde

partie

de

la

th?se

nous

d?veloppons

les

calculs

relatifs

ce

formalisme

pour

les

rotations

et

les

transformations

rigides

agissant

sur

dioe?rents

types

de

rep?res

Apr?s

analyse

des

algorithmes

classiques

sur

les

points

nous

d?veloppons

des

algorithmes

de

recalage

g?n?riques

bas?s

sur

les

primitives

et

nous

proposons

en

particulier

des

m?thodes

pour

estimer

l'incertitude

sur

le

recalage

obtenu

Nous

exposons

parall?lement

une

m?thode

de

validation

statistique

pour

conormer

la

pr?cision

de

cette

analyse

qui

montre

qu'un

recalage

d'une

pr?cision

bien

inf?rieure

la

taille

du

voxel

peut

tre

obtenue

dans

le

cas

des

images

m?dicales

Un

deuxi?me

volet

de

l'analyse

statistique

concerne

la

robustesse

des

algorithmes

de

reconnaissance

Le

champ

applicatif

que

nous

consid?rons

va

du

recalage

d'images

m?dicales

tridimensionnelles

la

reconnaissance

de

sous-structures

-LRB-

-RRB-

dans

les

prot?ines

et

souligne

la

validit

de

l'approche

g?n?rique

orient?e

primitive

que

nous

avons

choisie

pour

le

traitement

haut

niveau

de

donn?es

g?om?triques

Mots

cl?s

g?om?trie

probabilit?s

statistiques

incertitude

vari?t

riemannienne

groupe

de

transformation

traitement

d'image

recalage

reconnaissance

imagerie

m?dicale

biologie

mol?culaire

Uncertainty

in

recognition

and

registration

problems

Application

in

medical

imaging

and

molecular

biology

Usual

geometric

features

in

image

processing

-LRB-

like

points

oriented

points

or

frames

-RRB-

organize

in

a

manifold

which

is

generally

not

a

vector

space

onto

which

acts

a

transformation

group

that

models

the

possible

image

view

points

Their

measure

is

moreover

intrinsically

corrupted

by

noise

because

of

the

combination

of

errors

and

inaccuracies

in

the

processing

system

The

goal

of

this

work

is

to

generalize

usual

statistical

notions

to

those

features

as

well

as

recognition

and

registration

algorithms

commonly

used

on

points

The

orst

part

concerns

the

development

of

mathematical

tools

to

tackle

those

problems

We

orst

show

that

we

can

not

simply

consider

these

features

as

vectors

and

on

a

Riemannian

geometry

basis

we

develop

a

coherent

deonition

of

the

expectation

and

the

covariance

matrix

of

random

features

We

then

generalize

other

statistical

operations

such

as

the

Mahalanobis

distance

and

the

test

Finally

we

show

how

to

apply

and

implement

this

theory

in

an

object-oriented

structure

In

the

second

part

we

develop

the

calculus

required

to

apply

this

framework

to

rotations

and

rigid

transformations

acting

on

dioeerent

types

of

frames

and

points

We

analyze

classical

algorithms

for

points

registration

and

develop

some

new

algorithms

based

on

generic

features

We

also

propose

methods

to

estimate

the

uncertainty

of

the

resulting

registration

We

then

present

a

statistical

validation

method

that

corroborate

the

accuracy

of

this

analysis

This

shows

that

a

registration

accuracy

far

below

the

voxel

size

can

be

achieved

for

medical

images

Finally

we

develop

a

statistical

analysis

related

to

the

robustness

of

recognition

algorithms

The

application

oeld

ranges

from

the

registration

of

medical

images

to

the

recognition

of

common

substructures

in

proteins

The

results

emphasize

the

validity

of

the

generic

oriented

feature

approach

we

chose

for

processing

high

level

geometric

data

geometry
image processing
medical imaging
molecular biology
probabilities
recognition
registration
statistics
transformation group
uncertainty