10.6092/issn.1973-9494/2313
application/pdf
1973-9494
2313
en
Antonio Panaino
Conservation Science in Cultural Heritage
antichità
The Table of Chords and Greek Trigonometry
Text.Serial.Journal
https://conservation-science.unibo.it/
10
Articles
2010-12-31
2011-09-28
2010-12-30
2015-11-02
17-50
CSCH
Antonio Panaino
2010/12/31
10.6092/issn.1973-9494/2313
17
1973-9494
antichità
en
50
TOOMER G. J. 1998, Ptolemyʼs Almagest, London.
The Table of Chords and Greek Trigonometry
https://conservation-science.unibo.it/article/download/2313/1697
10
T
     HE TABLE OF CHORDS AND GREEK TRIGONOMETRY



Stefano Buscherini
Antonio C.D. Panaino ·
Dipartimento di Storie e Metodi per la Conservazione dei Beni Culturali
Alma Mater Studiorum Università di Bologna (sede di Ravenna)




Keywords: history of mathematics, numerical systems, antiquity



1. Introduction

     The study of ancient mathematical thought, owing to its intrinsic difficulty and requir-
ing both philological and scientific experience, is one of the less favoured areas of our
studies, with the exception of a limited number of specialists who work in close-knit cir-
cles.
     On the contrary, this branch of research is fundamental in better understanding not
only the great systems of a philosophical, geographical, astronomical, astrological and




                                                                                                      Conservation Science in Cultural Heritage, 10/2010
architectural (etc.) nature, but also the daily life of the ancients who used calculating pro-
cedures that were, at least in some circles, refined.
     The conservation of cultural heritage particularly that of Antiquity, cannot therefore
disregard the knowledge of both conceptual and practical methods and instruments, on
which the calculations of the ancients were based, especially in the case of the Greeks,
whose trigonometry is the basis of subsequent developments, starting from the Arabs,
who improved some points.
     One aspect that is very difficult to discuss, even for mathematics historians (who
mainly treat the period from the Middle Ages to the Modern and Contemporary Age), aris-
es from the great difficulty in mastering the practical methods and in knowing the opera-
tional rules, which nowadays are outdated and for this reason, not taught either at school
or at university.

·   Corresponding author: e-mail antonio.panaino@unibo.it


                                                                                                 17
                                                                                  This means not only putting aside the calculator or the personal computer, but solving
                                                                              problems using the conceptual and operative instruments that were available to the an-
                                                                              cients in order to be able to retrace their steps and understand their difficulties, limits and
                                                                              potentialities.
                                                                                  Therefore, if for modern sciences what is obliterated ends up in an imaginary waste bin,
                                                                              for the historian this “outdated information - ʻwasteʼ -” becomes an important source of knowl-
                                                                              edge that prevents from falling into ridiculous anachronisms or from leaving any scholar com-
                                                                              pletely unarmed before a Greek mathematical text full of numbers and calculations.
                                                                                  Unfortunately it is no accident that the works that try to help the comprehension of the
                                                                              archaic competences, teaching their rules and procedures, are rather inaccessible and
                                                                              often exoteric. From this point of view the work we are presenting wants to fill a gap, which
                                                                              is also and above all didactic (even though it deals with a very specialised didactic that is
                                                                              for a maniple of braves who are really interested in ancient mathematical sciences), be-
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                              cause it is assumed that in this field one is self-taught.
                                                                                  This short monograph can almost be considered a Virgil for those who want to venture
                                                                              onto some infernal roads and reach, once they are out of the purgatorial fire, the Paradise
                                                                              of numbers and geometric forms in a celestial sphere, where trigonometry has always had
                                                                              privileged entry.


                                                                              2. Greek systems of numeration
                                                                                  The development of a numeration system was related to two human needs: transmit-
                                                                              ting and preserving records and ideas (with respect to numbers) and allowing mental cal-
                                                                              culations.
                                                                                  Boyer [1] identifies three steps:
                                                                                  - To set up a one-to-one correspondence between the object to be counted and a se-
                                                                              ries of written marks;
                                                                                  - To arrange the marks into easily recognized groups;
                                                                                  - To invent new marks to represent a group of specified numbers.
                                                                                 The Minoic system (first half of the second millennium B.C., Table 1) used the three pre-
                                                                              vious principles. The marks represented only the powers of 10 (1=100, 10=101, 100=102)
                                                                              with which the remaining numbers were written using a principle of repeating: 3 was rep-
                                                                              resented by three vertical marks (“///”) and 13 was the union of the mark for 10 and the
                                                                              unity repeated three times (“/ ///”). This system was also used, with minor changes, in the
                                                                              “linear A” and “linear B” [2].


                                                    18
        Table 1. Cretan numbers.




   The Greek Attic or Herodianic system1 (Table 2) also used the same rules in the in-
scriptions that go from fifth century B.C. to the beginnings of the Christian era. It added the
“acrophonic” principle2: 5, 10, 100, 1,000, 10,000 were represented by the first letter of the
respective word (Π and subsequently Γ for πέντε, ∆ for δέκα, Η for ἑκατόν, Χ for χίλιοι, Μ for
μύριοι)3.

                   Table 2. Attic or Herodianic system.



                                                                                                  Conservation Science in Cultural Heritage




                                                                                                  19
                                                                                 The system used six signs and all other numbers were made up by the juxtaposition,
                                                                              which was based on an additive principle. Some numbers, for example 50 and 500, were
                                                                              represented with the union of two letters, following a multiplicative principle.
                                                                                 Later the Greeks utilized a new numeric system, according to the numerical represen-
                                                                              tation introduced by the Egyptian scribes: in Egypt, in general, the repetition of groups of
                                                                              number signs was avoided using new hieratic and demotic marks (Figure 1) 4. Neverthe-
                                                                              less the Egyptians did not exploit to the full this system, which varied from scribe to scribe
                                                                              and was used especially for the tens and hundreds; for the thousands multiplicative and ad-
                                                                              ditive principles were used [1].
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                     Figure 1. Hieratic and Demotic numeric system [1].

                                                                                 The Greeks understood the potential of the system and developed a new one, called Ion-
                                                                              ian or Alexandrian, which replaced the previous one around the third century B.C. (Table 3) 5.
                                                                                 In this system the 27 letters were divided into three groups: unity (1-9), tens (10-90) and
                                                                              hundreds (100-900)6. The first nine thousands were represented with the first nine letters
                                                                              preceded by a stroke (positioned down or up) that could be omitted where there was no
                                                                              ambiguity7. The 10,000 was the beginning of a new category8, ἡ πρώτη μυριάς or ʻfirst myr-
                                                                              iadʼ, where a multiplicative principle was used: the figures were written above, before or
                                                                              after the letter M9.
                                                                                 In addition there were other methods to represent myriads [6]:
                                                                                 - The tens and hundreds were preceded by an accent to represent numbers until
                                                                              999,999;

                                                 20
 Table 3. Alexandrian system.
                                                      - The symbol of myriads was followed by
                                                  Μυ;
                                                      - The Μυ was replaced with a dot.
                                                      The ʻsecond myriadʼ, ἡ δευτέρα μυριάς,
                                                  power of myriads (10,0002, and so on), was
                                                  represented in different manners, for exam-
                                                  ple by doubling the letter M.
                                                      Before the Roman Empire the Greeks
                                                  used two or three dots to distinguish num-
                                                  bers from letters of the alphabet or they sep-
                                                  arated numbers on both sides with a space.
                                                  Later they usually placed a horizontal stroke
                                                  above the numbers.



3. Fractions
    In writing the “unit fractions” (with unity as numerator10), the Greeks represented only
the denominator with an accent instead of the horizontal stroke above it11. A less orthodox
method was to write two accents after the denominator. There were two particular signs,
Lʼ (or Cʼʼ) for 1/2 and ωʼ for 2/3 (called τά δύο μέρη, “the two parts”)12.
    The ordinary proper fractions (in which the numerator isnʼt unity13) were written using
various methods [3]:
    - The denominator, with the accent, followed the numerator (Archimedes writes ι οα᾿ for        Conservation Science in Cultural Heritage
10/71);
    - The denominator was written twice (Heron writes ιγ᾿ κθ᾿ κθ᾿ for 13/29);
    - The denominator was written above the numerator (this method is used by Diophan-
tus and is in opposition to the modern one);
    - The denominator was written like an exponent of the numerator (above the numera-
tor but slightly to the right);
    - The words μόριον (“denominator or divisor”) or ἐν μορίῳ (“divided by”) were inserted
between numerator and denominator.
    Instead Ptolemy in his Almagestʼs Table of Chords uses the sexagesimal fractions14, in
which the denominator is 60 and its powers15. At the moment it is not clear who was the first
to introduce these fractions in the Greek world. According to Ptolemy and his Almagest, Hip-
                                                                                                   21
                                                                              parchus calculated the length of the synodic month as 29;31,50,8,2016 days (or
                                                                              29+31/60+50/602 and so on) using the sexagesimal numeric system, which proves that
                                                                              in the second century B.C. the system had already been adopted17.


                                                                              4. Operations
                                                                                 The Greeks called the art of calculation ἡ λογιστική (understood τέχνη), from ὁ λόγος,
                                                                              “calculation” or “discourse”, to distinguish it from the theory of numbers, ἡ ἀριθμητική (un-
                                                                              derstood τέχνη), the study of the properties of number. Instead logistics studied arithmetical
                                                                              operations – addition, subtraction, multiplication, division18 – and problems related to the
                                                                              division of a given amount.
                                                                                 The sum of two numbers (συντιθέναι) was realized placing numbers in separate verti-
                                                                              cal rows and making the addition.
                                                                                 ,αυκδ 1424+
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                       ρ γ 103+
                                                                                 ,βσπα 2281+
                                                                                       λ              30=
                                                                                 ,γωλη            3838


                                                                                 The subtraction (ἀφαιρεῖν) was performed in the same way.
                                                                                 ,γχλς 3636-
                                                                                 ,γυ θ 3409=
                                                                                   σκζ 227


                                                                                 In the multiplication the multiplicand was written above the multiplier, preceded by the
                                                                              word ἐπί (“by” or “into”). The algorithm was similar to ours: the term containing the highest
                                                                              power of ten in the multiplier was taken and multiplied into all the terms in the multiplicand,
                                                                              in descending order. The same procedure was followed for all terms of the multiplier. Finally
                                                                              the sum was performed.
                                                                                 νγ                         53 x
                                                                              ἐπὶ νγ                        53 =


                                                                                 ,βφ       ρν               2500    150
                                                                                           ρν     θ                 150       9


                                                                                 ,β        ω      θ         2809

                                                   22
    The operation of division was performed as it is today and the quotient was found by
trial, multiplying it by the divisor19.


5. Ancient trigonometry
    It is not clear when trigonometry20 was first used and the question about its founder is
still open. Kline [18] links the creation of trigonometry to Hipparchus, Menelaus and
Ptolemy, and to the need of ancient astronomy to predict the positions of the heavenly bod-
ies. Boyer [19] in his chapter on “Greek Trigonometry and Mensuration” indicates Hip-
parchus as the father of trigonometry, specifying that in Book II of Euclidʼs Elements the
propositions 1221 and 1322 are equivalent to the laws of cosines23, but they are expressed
in a geometric language and bearing in mind that one of Archimedesʼ theorem on the bro-
ken chord may have a trigonometric meaning [19].
    In the preface of his Almagestʼs translation, Halma [20] says that Hipparchus is the
founder of trigonometry: “les travaux auxquels ce laborieux astronome se dévouna avec un
succès égal à lʼamour pour la vérité, que Ptolémée loue en lui, firent naître la trigonomé-
trie”24. On the contrary Tannery [21] writes “lʼinvention de la trigonométrie; elle ne peut ȇtre
dûe a Hipparque et nʼest pas lʼoevre dʼun seul”25. In the chapter on the Alexandrian math-
ematicians the author considers the beginning of trigonometry and fixes three main mo-
ments:
    - Archimedesʼ study of the relationship between the circumference and the diameter
from which it was developed the calculus to determine the chords of different archs26;
    - Apolloniusʼ consideration of previous calculations;
    - Hipparchus creation of a more precise table of chords than the ones created before
him, taking into account the studies of his precedessors27.                                        Conservation Science in Cultural Heritage
    At the beginning of 1900 ,when considering the problem of trigonometry28, Loria [25]
quotes Tanneryʼs opinions and adds “tale schizzo storico sulla genesi della trigonometria
contiene molti elementi ipotetici, che il lettore ravviserà tosto, anche senza il nostro aiuto;
tuttavia presenta indiscutibili caratteri di verosimiglianza che auguriamo possano accre-
scersi con ulteriori ricerche”.
    More cautious than his predecessors is Heath [3]29 who on trigonometry writes “even if
he did not invent it, Hipparchus is the first person of whose systematic use of trigonometry
we have documentary evidence”: there is an assertion of Theon that attributes to Hip-
parchus a treatise on the chords; a statement of Pappus from which we obtain that Hip-
parchus used trigonometric tables and finally his work Commentary on the Phaenomena
of Eudoxus and Aratus30.
                                                                                                   23
                                                                                 Neugebauer [28] also considers this problem, stating that “Aristarchusʼ discussion of the
                                                                              solution of one right triangle demonstrates the absence of a systematic trigonometry before
                                                                              Hipparchus”31 and proving the connections between Hipparchusʼ table of chords and the
                                                                              Indian tables of sine32: “I have very little doubt that these tables are nothing but the trans-
                                                                              formation of the Hipparchian table of chords to a table of sines”.
                                                                                 Recently Toomer [22] has investigated a possible method used by Hipparchus for the
                                                                              construction of his table, while van der Waerden [34], even if he accepts Toomerʼs argu-
                                                                              ments, writes that “who invented trigonometry? … His name is Apollonius of Perge”.
                                                                                 From a different perspective Szabo and Maula [23] state in their book, that the tables
                                                                              of chords came at the end of the history of Greek trigonometry and that it is likely that be-
                                                                              fore their creation single calculus were made to find the chord of an angle33. As evidence
                                                                              of this Greek interest on the relationship between the angles and the chords of a circle,
                                                                              there is the assumption “que si lʼon réfléchit sérieusement aux cinq propositions du livre III
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                              qui viennent dʼȇtre citées, on ne pourra sʼempȇcher de se demander si Euclide nʼa pas
                                                                              conçu tout le livre comme une préparation á une table des cordes”.


                                                                              6. Hipparchus and his table of chords
                                                                                                                 The Greeks did not use the modern trigonometrical func-
                                                                                                             tions34, but used the chord (in the sequel abbreviating it by
                                                                                                             crd(α)), called εὐθεῖα, defined as the segment subtended by
                                                                                                             the given central angle35 in a circle in which the radius can be
                                                                                                             of different lengths (Figure 2)36.
                                                                                                                 The tables listed the length for particular angles, while for
                                                                                                             the ones that were not listed one had to interpolate linearly
                                                                                                             between two tabulated values.
                                                                              Figure 2. The chord.
                                                                                 The sole existing table is in Book I of Ptolemyʼs Almagest, but there is evidence of a pre-
                                                                              vious study on chords; Theon of Alexandria ascribes to Hipparchus37Ea work on chords in
                                                                              12 books: “∆έδεικται μὲν οὖν καὶ Ἱππάρχῳ πραγματεία τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν ἐν ιβ βιβλίοις, ἔτι
                                                                              τε καὶ Μενελάῳ ἐν ”, [14] (“an investigation of the chords in a circle is made by Hipparchus
                                                                              in twelve books and again by Menelaus in six”).
                                                                                 According to Toomer [22] 12 books are too many, because in the Almagest, work of 13
                                                                              books, the whole subject is dealt with in only one chapter. The number is probably related
                                                                              to the 12 sections of 30 lines, in which Hipparchus arranged the angles in his table. In spite
                                                                              of his inaccuracy, Theon confirms that Hipparchus developed a table of chords38.

                                                  24
                                                Table 4. Hipparchusʼ table reconstructed by
  According to Toomer , the 24 values for
                        40                      Toomer39.
this chord table (Table 4) and its interval
of 7;30° derive from just a few geometric a l
bases:
   - Degrees and minutes are the linear
measures of the circle and its radius;
   - The circle is divided into 360 degrees
of 60 minutes each (360x60ʼ=21.600ʼ)41;
   - Assuming π=3;8,30, value used by
Ptolemy in Almagest V, 7, the diameter is
6,876ʼ (21,600/π) and the radius is 3,438ʼ (6,876ʼ/2=57;18)42;
   - The diameter is the length of crd(180°) (as it coincides with the chord);
   - The radius is the value of crd(60°), in fact the center angle forms an equilateral trian-
gle in which the sides are equal to the radius.
   These data enable to derive the remaining values of the table (Figure 3):




                                                                                                 Conservation Science in Cultural Heritage




   Figure 3. crd(180°), crd(60°), crd(90°) and crd(180°- α).


                                                                                                 25
                                                                              Table 5. Computation of Hipparchusʼ table.




                                                                                 - crd(90°) is the diagonal of a square in which the side is the radium of circle43;
                                                                                 - crd(180°- α) is equal to the difference between the squares of the diameter and crd(α)
                                                                              (theorem of Pythagoras);
                                                                                 - For the derivation of crd(α/2) Hipparchus probably derives crd(α/2) from the same for-
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                              mula which Ptolemy uses in Almagest44.
                                                                                 Toomer [22] schematizes (Table 5) the steps to compute the values of Hipparchusʼ table:
                                                                              the lateral arrows indicate the use of supplementary chords (crd(180°- α)), the vertical ar-
                                                                              rows the use of the chord of the half angle (crd(α/2)).


                                                                              7. Menelaus and the spherical trigonometry
                                                                                 According to Theon of Alexandria, Menelaus45 also wrote a work about the chords46,
                                                                              even if his treatise Sphaerica47 is more interesting and important: three Books on spheri-
                                                                              cal geometry in which he shows the passage of trigonometric theories from the plane to the
                                                                              sphere48. This work entitles Menelaus to be considered the founder of the spherical
                                                                              trigonometry and being the first to separate it from spherical geometry and astronomy.
                                                                                 In the first book, dedicated to spherical geometry, there is the new definition of a spher-
                                                                              ical triangle49: it is called τρίπλευρον, three sides, to distinguish it from the plane triangle
                                                                              called τρίγωνον, three angle. After the definitions 3, 4, 5, 6 about angles of the spherical tri-
                                                                              angle, there are 35 propositions, which study the properties of the triangles50: for example,
                                                                              proposition 11 proves that the three angles of a spherical triangle are greater than a straight
                                                                              angle.
                                                                                 The second book deals with astronomy, while the third one with spherical trigonome-
                                                                              try. In the latter the first proposition is known as Menelausʼ theorem51, which was used in
                                                                              antiquity to solve spherical triangles (Figure 4). The modern formula is
                                                                                 sin P1A x sin P2B x sin P3C = sin P1C x sin P2A x sin P3B


                                                  26
Figure 4. Menelausʼ theorem for spherical and plane triangles.

    To demonstrate this theorem, the author uses a similar theorem for the plane52, which
states in modern notation:
    P1A x P2B x P3C = P1C x P2A x P3B
    As Menelaus did not prove the last theorem, one can assume that it was already
known53 or that he had demonstrated it in another work.


8. Ptolemy
    The first existing trigonometry table54 can be found in Almagest I, 11. Its importance is
emphasized by its position in the work, which is after the first chapters on the celestial
sphere and the Earth55.
    The next Figure 5 shows a part of the Almagestʼs table (Κανόνιον τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν,
“table of chords in circle”): it is                                                             Conservation Science in Cultural Heritage
divided     into   three     main
columns with numbers written
in the Alexandrian numeric
system56.
    The        first       column
(περιφερειῶν, “arcs”) shows
the angles from ½° to 180° by
steps of ½°; the second col-
umn       (εὐθειῶν,    “chords”)
states the values of the
                                      Figure 5. Ptolemyʼs table of chords [20].

                                                                                                27
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                 Figure 6. crd(60°), crd(90°), crd(120°) and crd(180°- a ).

                                                                              chords in parts, of which 120 are the length of the diameter; the third column (ἑξηκοστῶν,
                                                                              “sixtieths”) shows 1/30th of the excess of one chord over the one before57.
                                                                                 The construction of Ptolemyʼs table of chords involves various steps58:
                                                                                 - The circle and its diameter are divided into 360 and 120 equal parts or degrees re-
                                                                              spectively (also the lengths of the chord will be expressed using the same parts and frac-
                                                                              tions on sexagesimal system);
                                                                                 - For particular angles it is possible to obtain the chord length by simple geometrical
                                                                              considerations (the chord is the side of a regular polygon59 inscribed in a circle60)
                                                                                 - Other chords can be found with the relation crd(180°- α);
                                                                                 - The proof of Ptolemyʼs theorem;
                                                                                 - The formula for crd(α/2).
                                                                                 Firstly Ptolemy calculates crd(36°) and crd(72°), the sides of the decagon and the pen-
                                                                              tagon inscribed in a circle respectively61. Next he derives the chords which are the sides of
                                                                              other regular inscribed figures (Figure 6): the hexagon (crd(60°))62, the square (crd(90°))
                                                                              and the equilateral triangle (crd(120°))63.
                                                                                 Crd(108°) and crd(144°) are derived from the theorem of Pythagoras which enables to
                                                                              determine crd(180°- α) as the difference between the squares of the diameter and crd(α)64.


                                                  28
   In order to obtain the length of the other
chords, Ptolemy proves the theorem, which
bears his name: it states that in an inscribed
quadrilater the product of the diagonals is
equal to the sum of the two products of the op-
posite sites (Figure 7)65.
   Thus this theorem enables to find crd(α-β)
and crd(α+β), if crd(α) and crd(β) are known
(Figure 8).




                                                  Figure 7. Ptolemyʼs theorem.




                                                                                                Conservation Science in Cultural Heritage
 Figure 8. crd(α-β)66 and crd(α+β)67.


   In the next step Ptolemy determines crd(α/2), using a theorem already known in
Archimedesʼ time, as it is shown in Thābit ibn Qurraʼs translation of the heptagon treatise
of the same author68. In the end Ptolemy finds the length of crd(1°) by approximation69 and
then he calculates crd( 1/2°).
   Considering the mathematical steps followed by Ptolemy to develop the table of chords
one has the impression that they are not new to him, but are based on previous theories
(Euclid, Archimedes, Aristarchus, Hipparchus)70; we undoubtedly owe the summary and
organization of the various treatises to Ptolemy, to find the smallest number of propositions
that are necessary to the construction of this table. But we still do not know who developed
the first table of chords.
                                                                                                29
                                                                              Notes
                                                                              1
                                                                                   From Herodian (about 170-200 A.D.), a grammarian who described these numbers for the first time.
                                                                                   The name seems to have been introduced by Woisin in his thesis, De graecorum notis numeralibus,
                                                                                   Lipsia 1886. See [3] and [4].
                                                                              2
                                                                                   The creation of a numeric system was often related to the problem of the writing: people who de-
                                                                                   veloped an alphabet represented numbers through letters and afterwards using the first letter of the
                                                                                   number name; while the ones who did not have an alphabet created a series of symbols to repre-
                                                                                   sent the basic numbers and their combination to write all the others.
                                                                              3
                                                                                   The numeric system was in use also outside Attica, despite the marks varied with the form of the
                                                                                   local alphabets. For example, in Boeotian inscriptions the numbers were represented in the follow-
                                                                                   ing way:     o     for 50,      for 100 [3].
                                                                              4
                                                                                   One of the advantages was that each number smaller than 1,000 could be represented using no
                                                                                   more than 3 symbols.
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                              5
                                                                                   It seems that the system was already used in the 5th century B.C. or at least in the 8th (for the dat-
                                                                                   ing and the invention in Miletus, Asia Minor, see [4]): the fact that the Alexandrian system used three
                                                                                   archaic letters, vau (or stigma), koppa and sampi (6, 90, 900 respectively) to represent its 27 num-
                                                                                   bers, as the Ionic alphabet had only 24 letters, could indicate that it developed when these letters
                                                                                   were still used. But this hypothesis does not explain why 5 centuries passed before the introduction
                                                                                   of the Alexandrian system, more synthetic and essential than the previous one, that was however
                                                                                   kept for use in the epigraphs. See [5].
                                                                              6
                                                                                   For examples, 11 was represented by ια, 22 by κβ and 153 by ρνγ. When numbers contained more
                                                                                   than one letter, the higher numbers were put before the lower in European Greece, while in Asia
                                                                                   Minor it was the contrary: ρκγ and γκρ respectively. The custom of writing the numbers in descend-
                                                                                   ing order was fixed due to the influence of the Roman practice [3].
                                                                              7
                                                                                   For example, 8,888 was written ,ηωπη or also ᾿ηωπη or also ηωπη.
                                                                              8
                                                                                   Boyer [1] shows some particular cases: ä for 10,000 or ,ä for 10,000,000.
                                                                              9
                                                                                   For examples the Greeks could represent 20,000 by βΜ or Μβ, whereas sometime M was omitted.
                                                                              10
                                                                                   For a survey of the problem of the fractions in antiquity, in particular for the Egyptian, Mesopotamic
                                                                                   and Indo-Iranian scientific field, see [7]. See also [8] and [9] in which Setheʼs terminology of fraction
                                                                                   is improved: Stammbrücke for the unit fractions, Komplementbrücke for 1 - 1/n and Gemischte
                                                                                   Brücke, for example 5/9.
                                                                              11
                                                                                   For example, γʼ represented 1/3 (the full expression is γʼ μέρος or that is to say τρίτον μέρος). Also
                                                                                   Ptolemy uses these methods for fractions in Almagest [10].
                                                                              12
                                                                                   Archimedes writes Lʼδʼ for 1/2 + 1/4 and Heron ωʼ ιγʼ λθʼ for 2/3 + 1/13 + 1/39 (10/13) [3].



                                                  30
13
     In some cases the Greeks preferred to write a proper ordinary fraction as the sum of “unit fraction”:
     for example, L ʼδʼ, or 1/2 + 1/4, represented 3/4.
14
     The sexagesimal fractions used the Babylonian numeric system (for a survey, see [11], [12], [4] and
     [13]): it represented the unity with a vertical wedge which was repeated up to nine times (these
     wedges were also placed in more rows); an angular wedge represented ten and its repetition was
     used also for the following tens. The system was position-value, that is to say the numbers were
     arranged according the powers of 60 and the base was represented by a vertical wedge; only its po-
     sition showed the value: for example, the sequence 1 2 represents 1*60n + 2*60n-1 and the value of
     exponent n is understood only from the context. The lack of a sign to represent the absence of a
     number in some position (for example         could represent both 80 and 3,620 because the first ver-
     tical wedge could be read 60 or 602) was remedied by introducing two horizontal or oblique small
     wedges within the numeral.
15
     “Καθόλου μέντοι χρησόμεθα ταῖς τῶν ἀριθμῶν ἐφόδοις κατὰ τὸν τῆς ἑξηκοντάδος τρόπον διὰ τὸ δύσχρηστον
     τῶν μοριασμῶν ἔτι τε τοῖς πολυπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἀκολουθήσομεν τοῦ συνεγγίζοντος ἀεὶ
     καταστοχαζόμενοι” “In general we shall use the sexagesimal system for our arithmetical computa-
     tions, because of the awkwardness of the [conventional] fractional system”, Almagest, I, 10; [14].
16
     In the modern notation of the sexagesimal system, the integer part is divided from the fractional
     part with “;” while the sexagesimal fractions are divided by “,”.
17
     Naturally the sexagesimal numbers were represented using Alexandrian system. For the sign of
     zero, see [4].
18
     For the extraction of the square root, see [15] and [3].
19
     For examples about operations with fractions and sexagesimal numbers, see [6].
20
     From modern Latin trigonometria and Greek τρίγωνον, triangle, and μέτρον, “measure”. In the The-
     saurus Bartholomäus Pitiscus (1561-1613) introduced this word. This branch of mathematics deals
                                                                                                              Conservation Science in Cultural Heritage
     with relations between sides and angles of triangles. Spherical trigonometry explains how to find re-
     lations between the sides and angles of spherical triangles. For the history of trigonometry, see [16]
     and [17].
21
     In obtuse-angled triangles the square on the side opposite the obtuse angle is greater than the sum
     of the squares on the sides containing the obtuse angle by twice the rectangle contained by one of
     the sides about the obtuse angle and the straight line cut off outside by the perpendicular towards
     the obtuse angle.
22
     In acute-angled triangles the square on the side opposite the acute angle is less than the sum of
     the squares on the sides containing the acute angle by twice the rectangle contained by one of the
     sides about the acute angle and the straight line cut off within by the perpendicular towards the
     acute angle.

                                                                                                              31
                                                                              23
                                                                                   c2=a2+b2 – 2 x a x b x cos α, where a, b, c are the sides of triangle and α is the angle between the
                                                                                   sides a and b.
                                                                              24
                                                                                   For a description of the studies about the first compiler of a table of chords, see [22] and [23].
                                                                              25
                                                                                   A decade before Gow [15] writes about Hipparchus: “it is evident therefore that Hipparchus was the
                                                                                   founder of trigonometry”.
                                                                              26
                                                                                   “A la suite des recherches dʼArchimède sur le rapport entre la circonférence du cercle et son dia-
                                                                                   mètre, des calculs, peut-ȇtre déjà entrepris par le géomètre de Syracuse, furent faits pour détermi-
                                                                                   ner les cordes des différents arcs”, [21]. See also [24].
                                                                              27
                                                                                   “Hipparque, trouvant ainsi le terrain préparé, calcula des tables plus exactes que toutes celles qui
                                                                                   avaient été essayées avant lui, et auxquelles il donna la forme qui devint plus tard classique”, [21].
                                                                              28
                                                                                   Loria [25] writes: “la creazione della trigonometria nellʼantichità provenne dalla necessità di avere a
                                                                                   propria disposizione una tavola delle lunghezze che hanno le corde di tutti gli archi multipli di una
                                                                                   parte aliquota della circonferenza. Questo bisogno fu avvertito, se non prima, da Ipparco al quale
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                   si attribuisce unʼopera in dodici libri sul calcolo delle corde di un circolo; per tal fatto ad Ipparco
                                                                                   venne da molti attribuita lʼinvenzione della trigonometria, da molti, ma non da tutti”.
                                                                              29
                                                                                   In the same year Bond [26] writes an article in which he treats the history of trigonometry from
                                                                                   Thales until XV century and he finds in Hipparchus the founder of trigonometry.
                                                                              30
                                                                                   For the analysis of the three sources and for the passage of Heronʼs Metrica from which Heath con-
                                                                                   cludes that the Greek author quoted Hipparchusʼ work on chords, see [3] and [27].
                                                                              31
                                                                                   Boyer [19] also states that the tables of chord did not exist when Aristarchus wrote his work, On the
                                                                                   Sizes and Distance of the Sun and Moon.
                                                                              32
                                                                                   Formerly Tannery [21] had underlined a link between Greek and Indian trigonometry: “le Sûrya-Sid-
                                                                                   dhānta nous présente un système au premier abord tout à fait différent. Cependant cet ouvrage, le
                                                                                   plus ancien traité mathématique des Indous, porte des traces si marquées dʼemprunts faits aux
                                                                                   Grecs, que lʼon est induit à soupçonner que la trigonométrie dont il y est fait usage nʼa pas une
                                                                                   autre origine”. Neugebauer [28] writes that Hipparchusʼ table of the chord was not only the basis of
                                                                                   the development of Greek trigonometry but also of the Indian tables. In fact Indians used the half
                                                                                   chord, introducing the Hindu notion of the modern trigonometric function sine: if one divides Hip-
                                                                                   parchusʼ crd(7;30°), one gets sine of the angle 3;45°, the fundamental angle of Indian table of the
                                                                                   sine ([29], [30], [13]). The interval of these tables, called in Arabic kardaǰa (from Sanskrit kramajyā,
                                                                                   sine), was usually 3;45°, while Ptolemy used half degree. Furthermore in the Indian table the radius
                                                                                   of the circle used for the calculus of half chord is 3438ʼ and was equal to the radius used by Hip-
                                                                                   parchus [22]. Thanks to the Arabs the Hindu tables of the sine (for their influence on Sasanian as-
                                                                                   tronomy, see [31]) reached Europe (for the first Byzantine work in which a table of the sine is used,



                                                    32
     see [38] and [33]). Also the origins of the word sine derive from India: the Hindu called the half chord
     jyārdha or ardhajyā, shortening it in jyā; the Arabs translated it in jīb. When the word arrived in Eu-
     rope, it was confused with the similar Arabic word jaib, meaning “pocket” or “gulf”, and it was trans-
     lated into sinus, the corresponding Latin word [16].
33
     “Je ne pense pas que la création des tables ait signifié quelque chose de fondamentalement nou-
     veau dans le développement des mathématiques grecques”, [23].
34
     In trigonometry there are four trigonometric functions (also called circular functions): sine, cosine,
     tangent, cotangent, are function of a center angle α of a circle whose radius is 1.
35
     For the angleʼs description in the Greek geometry, [23].
36
     If the radius is equal to 1 (unit circle in modern trigonometry) the relations between chord and sine
     are: crd(α) = 2 sin (α/2) and vice versa sin α = 1/2 crd(2α). If the radius has a length equal to R the
     relations are crd(α) = 2 R sin(α/2) and sin α = crd(2α)/2R.
37
     Very little is known about the life of Hipparchus. One of the principal source is Ptolemyʼs Almagest,
     written three century later: it dates some astronomical observations of Hipparcus between 161 and
     126 B.C. He was born in Nicaea in Bithynia, in fact on coins of the reigns of Antoninus (138-161),
     Commodus (180-192), Marinus (217), Alexander Severus (222-235), Gallus (251-253) he is always
     called “the Bithynian” or “the Nicaean”; see [35], [36] and [37].
38
     Van der Waerden [12] states than the table was certainly arranged in the sexagesimal numeric sys-
     tem.
39
     Hipparchus may have calculated geometrically these angles and derived the others for interpolation
     [22].
40
     Duke [38] applied Toomerʼs results to Hipparchusʼ astronomy.
41
     The circle is divided in accordance with Hypsiclesʼ system (second half of second century B.C.): his
     De ascensionibus is the first Greek work in which the ecliptic circle is divided into 360 parts [3].
                                                                                                                Conservation Science in Cultural Heritage
42
     In this case the relation between sine and chord is sin α =crd(2α)/ (2x3,438)
43
     It needs only a value for √2. The Babylonians computed this value with accurate approximation
     thanks to their fractional notation: 1.414213… instead of 1.414214... [18].
44
                         where “d” is the circle diameter [22].
45
     As for Hipparchus, information on Menelaus can be found in the Almagest (VII, 3), in which there is
     an observation in A.D. 98 [39].
46
     Also for the number of books of his work can be made the same consideration as for Hipparchus
     [22].
47
     For a complete description of the work content, see [3], [10] and [18].
48
     “In the Almagest spherical trigonometry is based on a theorem of Menelaus (late first century of the



                                                                                                                33
                                                                                   Christian era), and there is no evidence for the existence of the trigonometry of the surface of the
                                                                                   sphere before Menelaus”, [36]. See also [4] and [40].
                                                                              49
                                                                                   A spherical triangle is the area included by arcs of great circles on the surface of a sphere, subject
                                                                                   to restriction that the sides of the triangle are arc less than a semicircle.
                                                                              50
                                                                                   “Menelausʼs object, so far as Book I is concerned, seems to have been to give the main proposi-
                                                                                   tions about spherical triangles corresponding to Euclidʼs propositions about plane triangles”, [3].
                                                                              51
                                                                                   In the Middle Ages the theorem was known as Regula sex quantitatum for the six variable quanti-
                                                                                   ties that involves.
                                                                              52
                                                                                   For two theorems proof, [12], [10] and [35].
                                                                              53
                                                                                   Bulmer-Thomas [39] and Boyer [19] suggest that Euclid knew Menelausʼ theorem, in plane arrange-
                                                                                   ment.
                                                                              54
                                                                                   In Almagest I, 13 there is also the proof of Menelausʼ theorems which, according to Halma [20], are
                                                                                   “dʼun grand secours à Ptolémée pour la solution de ses problèmes de trigonométrie sphérique”. The
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                   presence of the table of chords itself and Menelausʼ theorems recognizes the Almagest as the most
                                                                                   ancient work known in which there are both plane and spherical trigonometry.
                                                                              55
                                                                                   In the index the trigonometry chapters are not presented, although Ptolemy writes in Almagest I, 9:
                                                                                   “we see that it is first necessary to explain the method of determining chords: we shall demonstrate
                                                                                   the whole topic geometrically once and for all”, [41].
                                                                              56
                                                                                   Sidoli developed in 1998 (version 1.0) and next in 2003 (version 1.1) a Mathematica package that
                                                                                   defines a number of functions that facilitate working with Ptolemyʼs trigonometry (http://library.wol-
                                                                                   fram.com/infocenter/MathSource/584/, access January 2008). Some functions are:
                                                                              - ChordTable[angle] returns the chord value;
                                                                              - PtolemyForm[%] shows a value in sexagesimal system;
                                                                              - RightTriangleSide[angle] returns the side value of opposite angle in a right triangle inscribed in a cir-
                                                                                   cle with diameter equal to 120;
                                                                              - RightTriangleAngle[side] is the inverse function of the previous one.
                                                                              57
                                                                                   To determine the chord of an arc not listed in the first column it is necessary the next formula
                                                                                                                     crd(α) = crd(αn) + (α - αn) x (f(αn))
                                                                              where αn < α < αn + 1/2 and f(αn)= 1/30 [crd(αn + 1/2 ) – crd(αn)] is the value in the third column.
                                                                              For example, the difference between crd(2 1/2°) and crd(2°) is 0;37,4 and 1/30 of it is 0;1,2,48, the
                                                                                   amount entered in the third column. Thus crd(2;25°) is equal to crd(2°) plus 25 times 0;1,2,4. See
                                                                                   [3] and [10].
                                                                              58
                                                                                   Through the decades, the method to develop the table of the chords was described and commented
                                                                                   by various scholars: for example, [3], [12], [10], [35], [18] and [41].



                                                   34
59
     A polygon is regular when all angles are congruent and all sides have the same length.
60
     If the regular polygon inscribed in the circle has n sides, the length of the side is crd(360°/n).
61
     For this proof two propositions of Euclidʼs Elements are necessary: XIII.9 (if the side of the hexa-
     gon and that of the decagon inscribed in the same circle are added together, then the whole straight
     line has been cut in extreme and mean ratio, and its greater segment is the side of the hexagon)
     and XIII.10 (if an equilateral pentagon is inscribed in a circle, then the square on the side of the
     pentagon equals the sum of the squares on the sides of the hexagon and the decagon inscribed in
     the same circle).
62
     An hexagon inscribed in the circle forms six equilateral triangles in which the sides are equal to the
     radius (60 parts) of the circle.
63
     crd(90°) is the side of the square inscribed in the circle; crd(120°) equals the product of √3 and ra-
     dius. For the values of and known by Ptolemy, see [35].
64
     This result is equivalent to the modern formula sin2α+cos2α=1 (it can be deduced applying the rela-
     tion between chord and sine, crd(α)2 = 1202 sen2(α/2), to crd(180°- α)2=1202- crd(α)2).
65
     Being of an elementary character, this theorem probably dates from an early period and Ptolemy
     stated and proved it in Amagest [10]. Loria [25] comes to the same conclusion: “è nostro convinci-
     mento che questa proposizione non appartenga a Tolemeo: si suole attribuirla a lui soltanto perché
     lʼAlmagesto è la prima opera in cui sʼincontra; ma poiché Teone Alessandrino ne parla (ed. Halma,
     T. I, p. 187) circa nello stesso modo che adopera riguardo al teorema di Menelao (id. p. 232 e 238),
     è poco probabile che si tratti di una scoperta di Tolemeo”. On the other hand, Toomer [22] “we are
     led irresistibly to the conclusion that the formulas for the chord of the sum and the chord of the dif-
     ference (and presumably the theorem on which they are based) are the work of Ptolemy himself”.
     See also Boyer [20] where a particular case of Ptolemyʼs theorem already known to Euclid, is de-
     scribed.
                                                                                                                  Conservation Science in Cultural Heritage
66
     crd(α-β)= BC, with crd(α)= AC and crd(β)= AB.
67
     crd(α+β) = AC, with crd(α)= AB and crd(β)= BC.
68
     Again Toomer [22] in this case adds: “it is surely significant that for the derivation of the chord of the
     half-angle Ptolemy did not use a method depending on Ptolemyʼs Theorem (though, as we have
     seen, his result can be simply derived from that theorem), but used instead one which was, demon-
     strably, known long before his own time. The obvious explanation for this anomaly is that this part
     of the geometrical basis of his trigonometry, and this alone, is taken over from his predecessors”.
     To demonstrate the dependence of the crd(α/2) from Ptolemyʼs theorem, see [22] and [35].
69
     For this method Ptolemy uses a proposition already known by Aristarchus. See [3], [12] and [10].
70
     Szabo and Maula [23] go over, considering a literary scientific genre of the construction of the table
     of chords: “lorsquʼon a eu lʼidée quʼil était plus commode de calculer dʼavance les différentes cordes,

                                                                                                                  35
                                                                                que de recommencer les mêmes calculs pour chaque cas concret, la valeur de la plus grande corde,
                                                                                le diamètre, étant fixée une fois pour toutes, les tables de cordes devinrent pour ainsi dire un genre
                                                                                scientifico-littéraire. Il est probable que plusieurs savants se sont essayés à ce genre” e che “Pto-
                                                                                lémée a lui aussi suivi les lois du genre”.


                                                                              References
                                                                              [1] BOYER C. B. 1944, Fundamental Steps in the Development of Numeration, “Isis”, 35,
                                                                              153-168.
                                                                              [2] IFRAH G. 1994, Histoire universelle des chiffres, Paris.
                                                                              [3] HEATH T. 1921, History of Greek Mathematics, Oxford.
                                                                              [4] NEUGEBAUER O. 1957, The Exact Sciences in Antiquity, Providence.
                                                                              [5] DONNINI A. 2000, 5 Mila Anni di Pensiero Matematico, Torino.
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                                                                              [6] PEYROUX J. 1993, Les Opérations Arithmétiques chez les Grecs, Paris.
                                                                              [7] PANAINO A. 1997, Considerations on the “Mixed Fractions” in Avestan, in E. Pirart (éd.)
                                                                              Syntaxe des langues Indo-iraniennes anciennes. Colloque international – Sitges (Barce-
                                                                              lona), 4 – 5 mai 1993. Organisé par lʼInstitut du Proche-Orient Ancien (Université de Bar-
                                                                              celone), Barcelona, 91-109.
                                                                              [8] SETHE K. 1916, Von Zahlen und Zahlworten bei den alten Ägyptern und was für andere
                                                                              Völker und Sprachen daraus zu lernen ist. Ein Beitrag zur Geschichte von Rechenkunst
                                                                              und Sprache, Schriften der Wissenschaftlichen Gesellschaft Straßburg, 25. Heft, Straß-
                                                                              burg.
                                                                              [9] NEUGEBAUER O. 1969, Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen
                                                                              Wissenschaften. 1. Vorgriechische Mathematik, Die Grundlehren der mathematischen Wis-
                                                                              senschaften, 43, Berlin.
                                                                              [10] PEDERSEN O. 1974, A Survey of Almagest, Odense.
                                                                              [11] THUREAU-DANGIN F. 1932, Esquisee dʼune Histoire du Système Sexagésimal, Paris.
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                                                                              ematics, London.
                                                                              [14] IVOR T. 1939-1941, Selections Illustrating The History of Greek Mathematics with an
                                                                              English Translation by Ivor Thomas, 2 voll., Cambridge.
                                                                              [15] GOW J. 1884, A short history of Greek mathematics, Cambridge.
                                                                              [16] KENNEDY E. S. 1969, The History of Trigonometry, Historical Topics for the Mathe-
                                                                              matics Classroom, National Council of Teachers of Mathematics, Thirty First Yearbook,
                                                                              333-359.


                                                   36
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                                                                                                 37
                                                                              [35] NEUGEBAUER O. 1975, A History of Ancient Mathematical Astronomy, New York.
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                                                                              Vegetti (ed.), La Scienza Ellenistica. Atti delle tre giornate di studio tenutesi a Pavia dal 14
                                                                              al 16 aprile 1982, Napoli, 187-223.
                                                                              [38] DUKE D. W. 2005, Hipparchusʼ Eclipse Trios and Early Trigonometry, Centaurus, 47,
                                                                              163-177.
                                                                              [39] BILMER-THOMAS I. 1974, Menelaus of Alexandria, Dictionary of Scientific Biography,
                                                                              IX, 296-302.
                                                                              [40] SIDOLI N. 2004, Hipparchus and the Ancient Metrical Methods on the sphere, Jour-
                                                                              nal for the History of Astronomy, xxxv, 71-84.
                                                                              [41] TOOMER G. J. 1998, Ptolemyʼs Almagest, London.
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                                      La tavola delle corde e la trigonometria greca

                                                                                                      Parole chiave: storia della matematica, sistemi numerici, antichità


                                                                                                      1. Introduzione
                                                                                                           Lo studio del pensiero matematico nellʼantichità, data la difficoltà intrinseca
                                                                                                      alla disciplina stessa, che richiede sia competenza filologica sia scientifica, co-
                                                                                                      stituisce uno dei settori meno frequentati dei nostri studi, se non da un limitato nu-
                                                                                                      mero di specialisti, che opera in circoli ristretti, quasi in una sorta di riserva
                                                                                                      indiana. Invece, tale ambito di ricerca appare fondamentale per comprendere
                                                                                                      meglio non solo i grandi sistemi di ordine tanto filosofico quanto geografico, astro-
                                                                                                      nomico-astrologico, architettonico, etc., ma la stessa vita quotidiana degli antichi,
                                                                                                      che pur facevano di conto, ed, almeno in alcuni cenacoli, anche mediante lʼausi-
                                                                                                      lio di tecniche alquanto raffinate. La conservazione dei beni culturali, in partico-
                                                                                                      lare di quelli dellʼantichità, non può, quindi, prescindere da unʼaccurata
                                                                                                      conoscenza dei metodi e degli strumenti concettuali e pratici su cui si fondava il
                                                                                                      calcolo degli antichi, segnatamente nel caso dei Greci, la cui trigonometria resta
                                                                                                      alla base degli sviluppi posteriori, a partire dagli stessi Arabi, che ne perfeziona-
                                                                                                      rono alcuni ambiti. Un aspetto, peraltro, molto difficile da trattare, anche per gli
                                                                                                      storici della matematica (i quali, perlopiù, si occupano del periodo che dal Me-
                                                                                                      dioevo porta sino allʼetà moderna e contemporanea), emerge dalla tremenda dif-
                                                                                                      ficoltà di dominare i metodi pratici, di conoscere lʼapplicazione delle regole
                                                                                                      operazionali, oggi superate e, ovviamente, non più insegnate di norma né a
                                                                                                      scuola né allʼuniversità. Non si tratta, allora, soltanto di abbandonare la calcola-
                                                                                                      trice od il terminale, ma di porsi dinanzi ai problemi con gli strumenti concettuali
                                                                                                      ed operativi disponibili agli antichi, in modo da ripercorrerne i passi, compren-
                                                                                                      derne le difficoltà, i limiti, ma anche le potenzialità. Insomma, se per lʼevoluzione
                                                                                                      delle scienze ciò che è ormai obliterato finisce in un immaginario cestino, per lo
                                                                                                      storico tale anticaglia diviene una fonte eccezionale di conoscenza, che, peral-
                                                                                                      tro, impedisce di cadere in ridicoli anacronismi o di lasciare un eventuale stu-
                                                                                                      dioso completamente disarmato davanti ad una pagina piena di numeri e calcoli


                                                   38
redatta da un matematico greco. Non è un caso, purtroppo, che siano abbastanza
inaccessibili e spesso alquanto esoterici i lavori che, invece, cercano di rendere
più comprensibili tali competenze arcaiche, insegnandone le regole e le proce-
dure. Sotto questo profilo il lavoro qui presentato viene a colmare un vuoto, se si
vuole, anche e soprattutto didattico (sebbene si tratti di didattica molto specializ-
zata ed indirizzata a quel manipolo di coraggiosi veramente interessati alle
scienze matematiche antiche), giacché di norma in questo ambito si presuppone
che uno si sia già “arrangiato” da solo. Questa breve monografia potrà fungere
quasi da “Virgilio” per coloro che vorranno incamminarsi per strade infernali, al
fine di raggiungere, usciti dal fuoco purgatorio, il paradiso dei numeri e delle forme
geometriche, in una sfera celeste che nella trigonometria ha sempre avuto una
delle strade dʼaccesso più privilegiate.

2. I sistemi greci di numerazione
      La creazione di un sistema di numerazione fu legata a due esigenze del-
lʼuomo: conservare delle informazioni e rendere possibili calcoli non effettuabili
mentalmente.
      Boyer [1] ha individuato tre momenti nel suo sviluppo:
      - la creazione di un simbolo come unità e la sua ripetizione per rappresen-
tare tutti gli altri numeri;
      - la distribuzione grafica dei simboli formanti i numeri diversi dallʼunità per
semplificarne la lettura;
      - lʼintroduzione di nuovi simboli per identificare alcuni numeri “chiave”.
      Il sistema numerico minoico (prima metà del II millennio a.C., tabella 1) mo-
stra chiaramente i tre precedenti aspetti. I simboli indicavano solo le potenze di
10 (1=100, 10=101, 100=102) sulle quali si ricostruivano i rimanenti numeri per
mezzo di un principio iterativo: ad esempio, il 3 era scritto con tre tratti verticali
(“///”), mentre il 13 era dato dallʼunione del 10 con lʼunità riportata tre volte (“/ ///”).
Tale sistema fu impiegato, con piccole variazioni, nella scrittura “lineare A” e “li-
neare B” [2].
      Anche il sistema greco attico o erodiano1 (tabella 2), utilizzato nelle iscrizioni
che vanno dal V sec. a.C. fino agli inizi dellʼera cristiana, impiegava tali elementi
oltre ad aggiungere il principio dellʼacrofonia2: i numeri 5, 10, 100, 1.000, 10.000
erano rappresentati dalla prima lettera delle rispettive parole (Π e successiva-
mente Γ per πέντε, ∆ per δέκα, Η per ἑκατόν, Χ per χίλιοι, Μ per μύριοι)3.
      Il sistema usava 6 segni con i quali componeva tutti gli altri attraverso un
principio additivo. Alcuni numeri, ad esempio il 50 ed il 500, si rappresentavano
invece con lʼunione di due lettere, sfruttando un principio moltiplicativo.
      In un secondo momento i Greci passarono a un nuovo sistema che prese

                                                                                               Conservation Science in Cultural Heritage
spunto da alcune modifiche apportate dagli scribi egizi al proprio: in Egitto i nu-
meri furono riprodotti solo da un simbolo invece che da una loro ripetizione (figura
1)4. Gli Egizi tuttavia non sfruttarono interamente questa struttura, che variava a
seconda dello scriba che ne faceva uso e che spesso veniva utilizzata solo per
rappresentare le decine e le centinaia, mentre per le migliaia si faceva uso di
principi additivi o moltiplicativi [1].
      Furono proprio i Greci a capirne le potenzialità e a utilizzarla nel loro sistema,
detto ionico o alessandrino, che sostituì quello attico verso il III sec. a.C. (tabella
3) .
   5

      In tale sistema le 27 lettere erano divise in tre gruppi: le unità (1-9), le decine
(10-90) e le centinaia (100-900)6. Per rappresentare le prime 9 migliaia era invece
preposto allʼunità, in basso o in alto, un apice che poteva essere omesso quando
il contesto era chiaro7. Il 10.000 era lʼinizio di una nuova categoria8 (ἡ πρώτη μυριάς,
ʻla prima miriadeʼ) nella quale veniva utilizzato un principio moltiplicativo: le cifre
potevano essere poste sopra la lettera Μ oppure precederla o seguirla9.
      Oltre a questo sistema si possono trovare altri tre modi per rappresentare le
miriadi [6]:
      - far precedere i simboli delle decine e delle centinaia dallʼapice, arrivando
così a rappresentare i numeri fino a 999.999;
      - far seguire il simbolo delle miriadi da Μυ;

                                                                                               39
                                                                                   - sostituire Μυ con un punto.
                                                                                   Per rappresentare ἡ δευτέρα μυριάς, ovvero ʻla seconda miriadeʼ, numeri del-
                                                                              lʼordine del 10.0002, cʼerano vari metodi, tra cui il raddoppiamento della Μ. Inol-
                                                                              tre, per diversificare i numeri dalle lettere dellʼalfabeto prima dellʼImpero Romano
                                                                              si utilizzavano dei punti, due o tre, o semplicemente degli spazi, per delimitare le
                                                                              lettere che rappresentavano il numero; successivamente divenne abitudine in-
                                                                              serire un tratto orizzontale al di sopra di esse.

                                                                              3. Le frazioni
                                                                                    Quando dovevano scrivere frazioni unitarie (con numeratore uguale al-
                                                                              lʼunità10), i Greci riportavano solo il denominatore seguito da un segno diacritico,
                                                                              o accento, al posto della barra orizzontale11, mentre un metodo meno ortodosso
                                                                              consisteva nel far seguire al numero due accenti.
                                                                                    Cʼerano poi due segni particolari: Lʼ (o Cʼ) che indicava ½ e ωʼ che indicava
                                                                              2/3 (detto τὰ δύο μέρη, “le due parti”)12.
                                                                                    Per le frazioni con numeratore diverso dallʼunità13 i metodi di rappresenta-
                                                                              zione erano vari [3]:
                                                                                    - far seguire il numeratore dal denominatore con lʼaccento (Archimede scrive
                                                                              ι οα᾿ per 10/71);
                                                                                    - ripetere due volte i segni che rappresentano i denominatori (Erone scrive
                                                                              ιγ᾿ κθ᾿ κθ᾿ per 13/29);
                                                                                    - scrivere il numeratore e metterci sopra il denominatore (usato da Diofanto
                                                                              e opposto al metodo moderno);
                                                                                    - scrivere il denominatore come potenza del numeratore (cioè sopra al nu-
                                                                              meratore ma leggermente spostato a destra);
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                    - inserire tra numeratore e denominatore le parole μόριον (“denominatore, di-
                                                                              visore”) o ἐν μορίῳ (“diviso da”).
                                                                                    Tolemeo nella costruzione della sua tavola delle corde nellʼAlmagesto im-
                                                                              piegò invece le frazioni sessagesimali14 che hanno come denominatore il numero
                                                                              60 e le sue potenze15. Allo stato attuale degli studi non si è stabilito chi fu il primo
                                                                              ad introdurre tali frazioni nel mondo greco. Da quanto Tolemeo scrive nellʼAlma-
                                                                              gesto, è noto che Ipparco calcolò la lunghezza del mese sinodico uguale a 29;
                                                                              31, 50, 8, 2016 (ovvero 29 + 31/60 + 50/602) giorni seguendo il sistema numerico
                                                                              sessagesimale: si deduce che nel II secolo a.C. il sistema doveva essere già
                                                                              stato adottato17.

                                                                              4. Le operazioni
                                                                                   I Greci chiamavano lʼarte del calcolo ἡ λογιστική (s. τέχνη), da ὁ λόγος che in
                                                                              greco indica sia “calcolo” che “discorso”, per differenziarla dalla teoria dei numeri,
                                                                              ἡ ἀριθμητική (s. τέχνη), che studiava le proprietà dei numeri. La logistica si occupava
                                                                              quindi delle operazioni (lʼaddizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divi-
                                                                              sione18) e dei problemi che di solito necessitavano della divisione di una data
                                                                              quantità.
                                                                                   Lʼaddizione (συντιθέναι) di due numeri veniva eseguita ponendo i numeri in
                                                                              colonna ed eseguendo la somma.
                                                                                   ,αυκδ 1424+
                                                                                     ρ γ 103+
                                                                                   ,βσπα 2281+
                                                                                      λ       30 =
                                                                                   ,γωλη 3838

                                                                                  Per la sottrazione (ἀφαιρεῖν) il procedimento era lo stesso.
                                                                                  ,γχλς 3636-
                                                                                  ,γυ θ 3409=
                                                                                     σκζ 227

                                                                                  Per la moltiplicazione si scriveva il moltiplicando e sotto di esso il moltiplica-
                                                                              tore, preceduto dalla parola ἐπί (“per”). Lʼalgoritmo era molto simile a quello
                                                                              odierno, solo che per svolgere il prodotto si partiva dalla colonna della cifra più

                                        40
significativa per arrivare alla meno significativa (ovvero da sinistra verso destra),
riportando i risultati di ogni singolo prodotto da sinistra a destra sulla riga sotto al
moltiplicatore. La stessa cosa si ripeteva sulla riga seguente per il successivo
numero del moltiplicatore, quindi si eseguivano le somme.
     νγ                              53 x
ἐπὶ νγ                               53 =

    ,βφ     ρν                      2500        150
            ρν          θ                       150         9

    ,β      ω           θ           2809

   La divisione era eseguita in maniera quasi analoga al nostro sistema e il
quoziente veniva trovato per tentativi moltiplicandolo con il divisore19.

5. La trigonometria antica
     La nascita della trigonometria20 non ha una data certa e sul personaggio in-
dicato come il fondatore si è avuto nel passato e fino ai giorni nostri un lungo di-
battito.
     Kline [18] collega la nascita di questa parte della matematica a Ipparco, Me-
nelao e Tolemeo, e alla necessità dellʼastronomia antica di calcolare i movimenti
degli oggetti celesti. Anche Boyer [19] nel suo capitolo sulla “Trigonometria e mi-
surazione nella Grecia antica” indica in Ipparco il padre della trigonometria, sot-
tolineando però che nel Libro II degli Elementi di Euclide le proposizioni 1221 e
1322 equivalgono a leggi riguardanti i coseni23, espresse però in maniera geo-
metrica, e ricordando che un teorema di Archimede sulla corda spezzata può
avere un significato trigonometrico [19].
     Uno dei primi a indicare in Ipparco il fondatore è stato Halma [20] che nella
prefazione alla traduzione dellʼAlmagesto scrive che “les travaux auxquels ce la-
borieux astronome se dévouna avec un succès égal à lʼamour pour la vérité, que
Ptolémée loue en lui, firent naître la trigonométrie”24. Di tuttʼaltra opinione è Tan-
nery [21] per cui “lʼinvention de la trigonométrie; elle ne peut ȇtre dûe à Hipparque
et nʼest pas lʼœuvre dʼun seul”25. Nel capitolo riguardante i matematici alessan-
drini lʼautore prende in esame la nascita della trigonometria e fissa tre momenti
principali:
     - lo studio da parte di Archimede del rapporto tra circonferenza e diametro da
cui furono sviluppati i calcoli per determinare le corde di differenti archi26;
     - la ripresa dei precedenti computi da parte di Apollonio;
     - la costruzione da parte di Ipparco di una tavola delle corde più esatta di

                                                                                           Conservation Science in Cultural Heritage
quelle costruite prima di lui, sfruttando gli studi di chi lo aveva preceduto27.
     Agli inizi del Novecento Loria [25], affrontando il problema della nascita della
trigonometria28, riporta le opinioni di Tannery, aggiungendo però che “tale schizzo
storico sulla genesi della trigonometria contiene molti elementi ipotetici, che il let-
tore ravviserà tosto, anche senza il nostro aiuto; tuttavia presenta indiscutibili ca-
ratteri di verosimiglianza che auguriamo possano accrescersi con ulteriori
ricerche”.
     Più cauto rispetto ai suoi predecessori è stato Heath [3]29 che riguardo alla
trigonometria scrive “even if he did not invent it, Hipparchus is the first person of
whose systematic use of trigonometry we have documentary evidence”: le testi-
monianze citate sono una frase di Teone che attribuisce un trattato sulle corde ad
Ipparco; unʼaffermazione di Pappo da cui si ricava che Ipparco utilizzò tavole tri-
gonometriche ed infine lʼopera, sempre di Ipparco, il Commentario sui fenomeni
di Eudosso e Aratο30.
     Anche Neugebauer [28] ha affrontato il problema, giungendo alla conclu-
sione che “Aristarchusʼs discussion of the solution of one right triangle demon-
strates the absence of a systematic trigonometry in the time before Hipparchus”31
e dimostrando i legami che intercorrono tra la tavola delle corde di Ipparco e
quelle indiane del seno32: “I have very little doubt that these tables are nothing but
the transformation of the Hipparchian table of chords to a table of sines”.

                                                                                           41
                                                                                   Recentemente Toomer [22] ha proposto un possibile metodo impiegato da Ip-
                                                                              parco per la costruzione della sua tavola, mentre van der Waerden [34], nono-
                                                                              stante abbia accettato le argomentazioni di Toomer, ha scritto che “who invented
                                                                              trigonometry? … His name is Apollonios of Perge”.
                                                                                   Per unʼaltra via si sono mossi Szabo e Maula [23] nel loro libro, affrontando
                                                                              il medesimo problema: in esso si legge che le tavole delle corde sono il punto fi-
                                                                              nale della storia della trigonometria greca e che molto probabilmente prima della
                                                                              loro costruzione venivano svolti ogni volta i singoli calcoli per ricavare la corda di
                                                                              un angolo33. A dimostrazione di questo interesse greco per le relazioni tra gli an-
                                                                              goli e le corde di un cerchio si esprime la supposizione “ que si lʼon réfléchit sé-
                                                                              rieusement aux cinq propositions du livre III qui viennent dʼȇtre citées, on ne
                                                                              pourra sʼempȇcher de se demander si Euclide nʼa pas conçu tout le livre comme
                                                                              une préparation à une table des cordes”.

                                                                              6. Ipparco e la tavola delle corde
                                                                                    I Greci non lavoravano con le moderne funzioni trigonometriche34, ma utiliz-
                                                                              zavano la corda (indicata dʼora in poi con crd(α)), detta εὐθεῖα, definita come il
                                                                              segmento sotteso dallʼangolo35 al centro di una circonferenza, il cui raggio po-
                                                                              teva avere dimensioni differenti (figura 2)36.
                                                                                    Per il suo calcolo esistevano delle tavole in cui era possibile trovare i valori
                                                                              corrispondenti ad una lista di angoli; per gli angoli non presenti si poteva appli-
                                                                              care il metodo dellʼinterpolazione per ottenere il valore della corda richiesto.
                                                                                    Di tali tavole oggi resta solamente quella di Tolemeo in Almagesto, I, anche
                                                                              se notizie di un precedente studio delle corde si ricavano da Teone di Alessan-
                                                                              dria, che attribuisce a Ipparco37 unʼopera di 12 libri su tale argomento: “∆έδεικται
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                              μὲν οὖν καὶ Ἱππάρχῳ πραγματεία τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν ἐν ιβ βιβλίοις, ἔτι τε καὶ Μενελάῳ ἐν
                                                                              ς”, [14] (ovvero “uno studio delle corde in un cerchio è stato esposto da Ipparco
                                                                              in 12 libri, inoltre anche da Menelao in 6”).
                                                                                    Secondo Toomer [22], 12 libri sono troppi se si pensa che nellʼAlmagesto,
                                                                              opera in 13 libri, la teoria occupa solo un capitolo. Il numero si riferirebbe alle
                                                                              sezioni, di 30 righe ciascuna, in cui Ipparco divise gli angoli dei quali calcolò la
                                                                              corda per interpolazione. Nonostante la sua imprecisione, Teone comunque raf-
                                                                              forza lʼidea dellʼeffettiva costruzione da parte di Ipparco di una tavola delle
                                                                              corde38.
                                                                                    La scelta di 24 angoli (tabella 4) e un intervallo pari a 7;30° è, secondo Too-
                                                                              mer40, dimostrabile dalle poche conoscenze matematiche necessarie alla sua co-
                                                                              struzione:
                                                                                    - lʼunità di misura della circonferenza e del suo raggio sono il grado e il mi-
                                                                              nuto;
                                                                                    - la circonferenza è divisa in 360 gradi formati da 60 primi ognuno, cioè
                                                                              360x60ʼ= 21.600ʼ41;
                                                                                    - fissando π = 3; 8, 30, valore utilizzato da Tolemeo nellʼAlmagesto V, 7 e
                                                                              probabilmente impiegato anche da Ipparco, segue 21.600ʼ/ π = 6.876ʼ che è il
                                                                              diametro della circonferenza, mentre 6.876ʼ / 2 = 3.438ʼ è il raggio (57;18)42;
                                                                                    - dal valore del diametro si ricava immediatamente la crd(180°), dato che
                                                                              essa coincide con il diametro stesso;
                                                                                    - il raggio è il valore della crd(60°), poiché lʼangolo di 60° individua un trian-
                                                                              golo equilatero che ha tutti i lati uguali ad esso.
                                                                                    Da questi elementi di partenza è possibile ricavare i rimanenti valori della ta-
                                                                              vola (figura 3):
                                                                                    - la crd(90°) è la diagonale di un quadrato il cui lato è il raggio della circon-
                                                                              ferenza43;
                                                                                    - la crd(180°- α) è data, per il teorema di Pitagora, dalla differenza dei qua-
                                                                              drati del diametro e della crd(α);
                                                                                    - la crd(α/2) è calcolabile attraverso la stessa formula utilizzata da Tolemeo44.
                                                                                    I possibili passaggi per la costruzione dei valori sono stati riassunti da Too-
                                                                              mer [22] nel seguente schema (tabella 5), in cui le frecce orizzontali indicano
                                                                              lʼuso della crd(180°- α), quelle verticali della crd(α/2).


                                        42
7. Menelao e la trigonometria sferica
      Da quanto scritto da Teone di Alessandria risulta che anche Menelao45
scrisse un trattato sulle corde46. Molto più importante e interessante è la sua
opera in tre libri, Sphaerica47, in cui compare la geometria della sfera e che atte-
sta il passaggio delle teorie trigonometriche dal piano alla sfera48: grazie ad essa,
Menelao è considerato il fondatore della trigonometria sferica, avendola sepa-
rata dalla geometria della sfera e dallʼastronomia.
      Nel primo libro, dedicato alla geometria sferica, troviamo la prima definizione
di triangolo sferico49, definito come τρίπλευρον, cioè “tre lati”, per distinguerlo dal
triangolo piano detto τρίγωνον, “tre angoli”. Dopo le definizioni 3, 4, 5, 6 che trat-
tano degli angoli del triangolo sferico, seguono 35 proposizioni che analizzano le
sue proprietà50: ad esempio, la proposizione 11 afferma che la somma degli an-
goli interni di un triangolo sferico è più grande di 180°.
      Il secondo libro tratta di astronomia, mentre il terzo libro è dedicato alla tri-
gonometria sferica, la cui prima proposizione è il famoso teorema di Menelao51,
impiegato anticamente per la soluzione di un triangolo sferico (figura 4), che in no-
tazione moderna afferma:
      sin P1A x sin P2B x sin P3C = sin P1C x sin P2A x sin P3B

    Lʼautore per dimostrarlo fa uso di un teorema simile ma che si applica al
piano52 e che dice in notazione moderna:
    P1A x P2B x P3C = P1C x P2A x P3B

   Dato che questʼultimo teorema non viene dimostrato da Menelao, se ne può
dedurre o che fosse già noto53 oppure che fosse già stato dimostrato sempre da
Menelao in unʼaltra sua opera.

8. Tolemeo
     LʼAlmagesto I, 11 riporta quella che è la prima tavola trigonometrica esi-
stente54, la cui importanza è sottolineata anche dalla posizione che la dimostra-
zione della sua costruzione assume nellʼopera (Almagesto I, 10): essa è posta
subito dopo i primi capitoli che trattano della sfera celeste e della Terra55.
     La seguente figura 5 ripropone una parte della tavola dellʼAlmagesto
(Κανόνιον τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, ovvero “Tavola delle corde nel cerchio”), divisa in
tre colonne principali riportanti i valori nel sistema numerico alessandrino56.
     La prima colonna (περιφερειῶν, “archi”) riporta gli angoli partendo da ½° fino
a 180°, con un intervallo di ½ grado; la seconda colonna (εὐθειῶν, “corde”) riporta
i valori della corda del rispettivo angolo in parti, delle quali il diametro ne con-
tiene 120; la terza colonna (ἑξηκοστῶν, “sessantesimi”) riporta 1/30 della diffe-

                                                                                          Conservation Science in Cultural Heritage
renza tra due corde successive, valore da usare per calcolare la corda degli
angoli non presenti nella tavola57.
     La costruzione della tavola segue vari passi58:
     - la circonferenza ed il suo diametro sono divisi rispettivamente in 360 e 120
parti uguali o gradi (a loro volta le corde saranno espresse con le stesse parti del
diametro e con frazioni sessagesimali di esse);
     - per angoli particolari è possibile scrivere immediatamente il valore della ri-
spettiva corda attraverso semplici conoscenze geometriche (lʼidea di fondo è che
la corda di questi angoli non è altro che il lato del poligono regolare59 inscritto
nella circonferenza60);
     - calcolare le corde degli angoli attraverso la formula della crd(180°- α);
     - lʼutilizzo del teorema detto di Tolemeo;
     - la formula per il calcolo della crd(α/2).
     I primi valori che Tolemeo ricava sono la crd(36°), ovvero il lato del deca-
gono inscritto, e successivamente la crd(72°), lato del pentagono inscritto61; poi
ricava la crd(60°)62, la crd(90°) e la crd(120°) (figura 6)63.
     La crd(108°) e la crd(144°) si ricavano per mezzo del teorema di Pitagora
che permette di calcolare la crd(180°- α) come differenza dei quadrati del di-
ametro e della crd(α)64.


                                                                                          43
                                                                                    Per calcolare le corde dei successivi angoli, Tolemeo dimostra il teorema che
                                                                              porta il suo nome, in cui si afferma che il rettangolo costruito con le diagonali di
                                                                              un quadrilatero inscritto in un cerchio è uguale alla somma dei rettangoli costru-
                                                                              iti con le coppie dei lati opposti (figura 7)65.
                                                                                    Con esso si riesce, conoscendo la crd(α) e la crd(β), a calcolare la crd(α-β)
                                                                              e la crd(α+β) (figura 8).
                                                                                    Lʼultimo passo consiste nel dimostrare come ricavare la crd(α/2) attraverso
                                                                              un teorema conosciuto già al tempo di Archimede, come ci dimostra la traduzione
                                                                              araba di Thābit ibn Qurra del trattato dellʼettagono dello stesso autore68.
                                                                                    Infine, Tolemeo cerca il valore della crd(1°) per approssimazione69 e quindi
                                                                              calcola la crd( 1/2°).
                                                                                    Dallʼinsieme degli strumenti matematici impiegati da Tolemeo si ricava come
                                                                              molte parti della sua trigonometria non siano nuove, ma si basino su teorie pre-
                                                                              cedenti (Euclide, Archimede, Aristarco, Ipparco)70; a lui si deve certamente una
                                                                              sintesi dei vari trattati, di una loro organizzazione, alla ricerca del numero minore
                                                                              di proposizioni necessarie alla costruzione della tavola delle corde. Resta però
                                                                              lʼincertezza di quando e chi costruì per la prima volta la tavola delle corde.

                                                                              Note
                                                                              1
                                                                                 Da Erodiano (ca. 170-200 d.C.), grammatico e storico che per primo lo espose. Il
                                                                                 nome sembra sia stato utilizzato per la prima volta da Woisin nella sua tesi De grae-
                                                                                 corum notis numeralibus, Lipsia 1886. Vedi [3] e [4].
                                                                              2
                                                                                 La creazione di un sistema di numerazione fu molto spesso legata al problema della
                                                                                 scrittura: i popoli che svilupparono una scrittura alfabetica allʼinizio scrissero i numeri
                                                                                 interamente con le lettere, quindi li rappresentarono con lʼiniziale per impiegare, in-
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                 fine, solo una serie di lettere fondamentali. Al contrario le civiltà che non ebbero un
                                                                                 alfabeto crearono alcuni simboli per rappresentare dei numeri di base e attraverso
                                                                                 una loro combinazione scrissero tutti gli altri.
                                                                              3
                                                                                 Il sistema era impiegato anche al di fuori dellʼAttica, nonostante i simboli varino a se-
                                                                                 conda dellʼalfabeto della regione. Ad esempio, nelle iscrizioni della Beozia si trova:
                                                                                 o per 50, per 100 [3].
                                                                              4
                                                                                 Uno dei primi vantaggi era la possibilità di rappresentare qualsiasi numero minore
                                                                                 di 1.000 usando non più di tre simboli.
                                                                              5
                                                                                 Si pensa però che fosse già in uso dal V sec. a.C., se non dallʼVIII (per la datazione
                                                                                 e la probabile invenzione a Mileto, in Asia Minore, vedi [4]): lʼimpiego di tre lettere ar-
                                                                                 caiche, il vau (o digamma o stigma), il koppa e il sampi (rispettivamente il 6, 90,
                                                                                 900), necessarie per rappresentare i 27 numeri del sistema alessandrino, dato che
                                                                                 lʼalfabeto ionico possiede solo 24 lettere, sembrerebbe dimostrare un suo sviluppo
                                                                                 in un periodo in cui tali lettere erano ancora usate. Tale ipotesi lascia però aperta la
                                                                                 questione dellʼintervallo di cinque secoli trascorso prima della definitiva introduzione
                                                                                 del sistema alessandrino, evidentemente più sintetico ed essenziale rispetto al pre-
                                                                                 cedente, che però si mantenne nelle epigrafi [5].
                                                                              6
                                                                                 Ad esempio, 11 si scriveva ια, 22 κβ, 153 ρνγ. I numeri che utilizzavano più di un
                                                                                 simbolo erano poi rappresentati seguendo lʼordine decrescente, tipico della Grecia
                                                                                 Europea, al contrario delle iscrizioni dellʼAsia Minore: ρνγ nel primo caso, γνρ nel
                                                                                 secondo. In seguito la prima rappresentazione prevalse, probabilmente per lʼin-
                                                                                 fluenza del sistema numerico romano [3].
                                                                              7
                                                                                 Ad esempio, 8.888 poteva assumere la forma ,ηωπη o anche ᾿ηωπη o anche ηωπη.
                                                                              8
                                                                                 Per i casi particolari come ä per il 10.000 o ,ä per il 10.000.000, vedi [1].
                                                                              9
                                                                                 Ad esempio, possiamo trovare βΜ o Μβ per il 20.000, mentre in certi casi in cui non
                                                                                 cʼera ambiguità Μ era omessa.
                                                                              10
                                                                                 Per una trattazione a grandi linee del problema delle frazioni nellʼantichità, relativa-
                                                                                 mente al mondo egizio, mesopotamico e indo-iranico, vedi [7] con ulteriore biblio-
                                                                                 grafia. Vedi anche [8] e [9] ove la terminologia frazionaria, introdotto da Sethe, è
                                                                                 ulteriormente perfezionata. Si devono infatti distinguere le frazioni dellʼunità (Stam-
                                                                                 mbrucke), da quelle “complementari” (Komplementenbrucke), come 2/3, rispetto alla
                                                                                 frazioni cosiddette “miste” (Gemischtebrucke), ad esempio, 5/9.
                                                                              11
                                                                                 Ad esempio, 1/3 era scritto γʼ (lʼespressione completa γ’ μέρος ovvero τρίτον μέρος).
                                                                                 Questo metodo si ritrova anche nellʼAlmagesto di Tolemeo [10].

                                          44
12
     Archimede scrive perciò Lʼδʼ per indicare ½ + ¼, mentre Erone rappresenta 2/3 +
     1/13 + 1/39 (ovvero 10/13) con ωʼ ιγʼ λθʼ [3].
13
     In certi casi si preferiva però rappresentare una frazione con la somma di frazioni
     unitarie: ad esempio, Lʼδʼ, ovvero ½ + ¼, indicava ¾.
14
     Le frazioni sessagesimali sfruttavano il sistema numerico babilonese (per una breve
     storia, vedi [11], [12], [4] e [13]) in cui lʼunità era rappresentata da un cuneo verticale
     che era ripetuto e disposto in più linee per i numeri fino al 9, mentre un cuneo a
     forma di angolo indica il 10 e veniva ripetuto per le decine successive. Il sistema
     aveva la caratteristica di essere posizionale, cioè il 60 era raffigurato con lo stesso
     simbolo dellʼunità: solo la posizione del cuneo indicava il valore: ad esempio, la se-
     quenza 1 2 indicava 1*60n + 2*60n-1 dove il valore dellʼesponente n si capiva sola-
     mente dal contesto. Alla mancanza di un simbolo che indicasse lʼassenza di un
     numero in qualsiasi posizione e che quindi aiutasse a leggere un numero come il se-
     guente che poteva indicare sia 80 che 3.620, in quanto il primo cuneo verticale po-
     teva essere letto come 60 o 602, si rimediò nel periodo seleucide con lʼintroduzione
     di due piccoli cunei posti orizzontalmente o in modo obliquo allʼinterno del numero.
15
     “Καθόλου μέντοι χρησόμεθα ταῖς τῶν ἀριθμῶν ἐφόδοις κατὰ τὸν τῆς ἑξηκοντάδος τρόπον διὰ τὸ
     δύσχρηστον τῶν μοριασμῶν ἔτι τε τοῖς πολυπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἀκολουθήσομεν τοῦ
     συνεγγίζοντος ἀεὶ καταστοχαζόμενοι” cioè “in generale (sicuramente) ci serviremo dei
     procedimenti di calcolo propri del metodo sessagesimale a causa della difficoltà
     delle divisioni in parti frazionali, e inoltre seguiremo le moltiplicazioni e le divisioni
     sempre mirando allʼapprossimazione”. Almagesto, I, 10 e [14].
16
     Per la scrittura del sistema sessagesimale si usa separare la parte intera e la parte
     frazionaria con “;” mentre le cifre sessagesimali sono divise da “,”.
17
     Naturalmente i numeri sessagesimali erano rappresentati secondo il sistema ales-
     sandrino. Per il segno dello zero, vedi [4].
18
     Per lʼestrazione della radice quadrata, vedi [15] e [3].
19
     Per esempi di operazioni sulle frazioni e sui numeri in forma sessagesimale, vedi [6].
20
     Composto moderno del latino scientifico formato sul greco τρίγωνον, ʻtriangoloʼ e
     –μετρία, secondo elemento tipico delle moderne parole scientifiche derivato da
     μέτρον, ovvero ʻmisura, misurazioneʼ. Fu impiegato per la prima volta da Bartholo-
     mäus Pitiscus (1561-1613) nel Thesaurus. La trigonometria piana studia le relazioni
     tra i lati e gli angoli del triangolo per poter definire in maniera numerica i valori di que-
     sti elementi. La trigonometria applicata alla geometria della sfera e ai triangoli sfe-
     rici è definita invece sferica: il suo scopo, analogamente a quella del piano, è di
     fissare le relazioni metriche fra gli elementi di un triangolo sferico. Per una storia
     della trigonometria, vedi [16] e [17].
21
     Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto allʼangolo ottuso è maggiore, ri-
     spetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti lʼangolo ottuso, del doppio del

                                                                                                     Conservation Science in Cultural Heritage
     rettangolo compreso da uno dei lati che contengono lʼangolo ottuso e dalla proie-
     zione dellʼaltro su esso.
22
     Nei triangoli acutangoli il quadrato del lato opposto allʼangolo acuto è minore, ri-
     spetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti lʼangolo acuto, del doppio del
     rettangolo compreso da uno dei lati che contengono lʼangolo acuto e dalla proie-
     zione dellʼaltro su esso.
23
     c2=a2+b2 – 2 *a* b*cos α, dove a, b, c sono i lati del triangolo e lʼangolo α è compreso
     tra i lati a e b.
24
     Per una descrizione degli studi rivolti allʼindividuazione del primo compilatore di una
     tavola delle corde, vedi [22] e [23].
25
     Un decennio prima Gow [15], descrivendo la figura di Ipparco, scrive: “it is evident
     therefore that Hipparchus was the founder of trigonometry”.
26
     “A la suite des recherches dʼArchimède sur le rapport entre la circonférence du cer-
     cle et son diamètre, des calculs, peut-ȇtre déjà entrepris par le géomètre de Syra-
     cuse, furent faits pour déterminer les cordes des différents arcs”, [21]. Confronta
     anche [24].
27
     “Hipparque, trouvant ainsi le terrain préparé, calcula des tables plus exactes que
     toutes celles qui avaient été essayées avant lui, et auxquelles il donna la forme qui
     devint plus tard classique”, [21].



                                                                                                     45
                                                                              28
                                                                                   Loria [25] sottolinea come “la creazione della trigonometria nellʼantichità provenne
                                                                                   dalla necessità di avere a propria disposizione una tavola delle lunghezze che hanno
                                                                                   le corde di tutti gli archi multipli di una parte aliquota della circonferenza. Questo bi-
                                                                                   sogno fu avvertito, se non prima, da Ipparco al quale si attribuisce unʼopera in do-
                                                                                   dici libri sul calcolo delle corde di un circolo; per tal fatto ad Ipparco venne da molti
                                                                                   attribuita lʼinvenzione della trigonometria, da molti, ma non da tutti”.
                                                                              29
                                                                                   Dello stesso anno è lʼarticolo di Bond [26] che traccia la storia della trigonometria a
                                                                                   partire da Talete di Mileto fino al XV secolo e che individua in Ipparco il fondatore
                                                                                   della trigonometria.
                                                                              30
                                                                                   Per lʼanalisi delle tre fonti e per il brano della Metrica di Erone da cui Heath deduce
                                                                                   che è lʼopera sulle corde di Ipparco ad essere stata citata dallʼautore greco, vedi [3]
                                                                                   e [27].
                                                                              31
                                                                                   Anche Boyer [19] ha proposto la mancanza di tavole trigonometriche al tempo di
                                                                                   Aristarco e durante la stesura della sua opera Sulla grandezza e sulla distanza del
                                                                                   Sole e della Luna.
                                                                              32
                                                                                   Già Tannery [21] aveva sottolineato un legame tra trigonometria greca e indiana: “le
                                                                                   Sûrya-Siddhānta nous présente un système au premier abord tout à fait différent.
                                                                                   Cependant cet ouvrage, le plus ancien traité mathématique des Indous, porte des
                                                                                   traces si marquées dʼemprunts faits aux Grecs, que lʼon est induit à soupçonner que
                                                                                   la trigonométrie dont il y est fait usage nʼa pas une autre origine”. Neugebauer [28]
                                                                                   ha sottolineato che la tavola delle corde di Ipparco non fu solo il punto di partenza
                                                                                   della trigonometria greca, ma anche delle tavole indiane. Gli Indiani, partendo dalle
                                                                                   corde, passarono alla “mezza corda”, ovvero la moderna funzione trigonometrica
                                                                                   seno: infatti, presa la crd(7;30°) di Ipparco e dimezzata, si ricava il seno dellʼangolo
                                                                                   di 3;45°, ovvero lʼangolo fondamentale delle tavole indiane ([29], [30], [13]). Lʼinter-
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                   vallo delle tabelle indiane del seno, detto in arabo kardaǰa (dal sanscrito kramajyā
                                                                                   “corda distesa”), era solitamente di 3;45°, diversamente dal mezzo grado di Tolemeo.
                                                                                   Inoltre il valore per il raggio della circonferenza impiegata per il calcolo della “mezza
                                                                                   corda” che spesso si trova nelle tavole indiane è di 3438ʼ, come quello impiegato da
                                                                                   Ipparco [22]. Con la mediazione dellʼastronomia islamica le tavole indiane (per il loro
                                                                                   influsso sul mondo sasanide, vedi [31]) raggiunsero lʼEuropa Occidentale (per il
                                                                                   primo testo bizantino che utilizza una tavola del seno, vedi [38] e [33]). La media-
                                                                                   zione islamica fu anche responsabile del termine “seno”: gli Indiani abbreviarono la
                                                                                   parola che indicava il seno, jyārdha o ardhajyā, in jyā, che venne a sua volta tradotta
                                                                                   in arabo con jiba. Potendosi leggere questʼultima come jaib, ovvero “tasca”, così fu
                                                                                   tradotta nel latino sinus [16].
                                                                              33
                                                                                   “Je ne pense pas que la création des tables ait signifié quelque chose de fonda-
                                                                                   mentalement nouveau dans le développement des mathématiques grecques”, [23].
                                                                              34
                                                                                   In trigonometria si definiscono quattro funzioni, dette goniometriche: seno, coseno,
                                                                                   tangente, cotangente, che variano in funzione di un angolo α posto al centro di un
                                                                                   cerchio di raggio unitario (detto cerchio goniometrico).
                                                                              35
                                                                                   Per la descrizione dellʼangolo nella geometria greca, vedi [23].
                                                                              36
                                                                                   Se poniamo il raggio uguale a 1 (cerchio goniometrico della trigonometria moderna),
                                                                                   si può ricavare la relazione che lega la corda al seno: crd(α) = 2 sen (α/2) e viceversa
                                                                                   sen α = ½ crd(2α). Se invece viene definito un raggio di lunghezza R, le relazioni di
                                                                                   ventano crd(α) = 2 R sen(α/2) e sen α = crd(2α) /2R.
                                                                              37
                                                                                   Della vita di Ipparco purtroppo si sa poco e una delle principali fonti è proprio lʼAl-
                                                                                   magesto di Tolemeo, vissuto circa tre secoli dopo la sua scomparsa, in cui troviamo
                                                                                   un elenco delle osservazioni compiute dallo studioso tra il 161 e il 126 a.C. Il luogo
                                                                                   della sua nascita fu Nicea in Bitinia, dato che su alcune monete dei regni di Antonino
                                                                                   (138-161), Commodo (180-192), Marino (217), Alessandro Severo (222-235), Gallo
                                                                                   (251-253) è sempre chiamato il “Niceno”. Vedi [35], [36] e [37].
                                                                              38
                                                                                   Sulla notazione sessagesimale in cui quasi sicuramente era costruita, vedi [12].
                                                                              39
                                                                                   Ipparco avrebbe calcolato geometricamente questi angoli e ricavato per interpola-
                                                                                   zione i rimanenti [22].
                                                                              40
                                                                                   Per lʼapplicazione dei risultati ottenuti da Toomer allʼastronomia di Ipparco, vedi [38].
                                                                              41
                                                                                   La circonferenza è divisa secondo il metodo adottato da Ipsicle di Alessandria (se-
                                                                                   conda metà del secondo secolo a.C.), seguendo il sistema babilonese, nel suo testo
                                                                                   Sul sorgere delle stelle: lʼeclittica è divisa in 360 parti [3].


                                                46
42
     Si nota che la funzione seno è collegata alla corda di Ipparco tramite la formula
     sen α = crd (2α)/2x3.438
43
     Basta perciò la conoscenza del valore di √2. Il suo valore era stato calcolato dai Ba-
     bilonesi con una buona approssimazione, grazie alla loro notazione frazionaria:
     1,414213… in luogo di 1,414214… [18].
44
                      Dove d rappresenta il diametro della circonferenza [22].
45
     Come per Ipparco, anche per Menelao si ricavano notizie dallʼAlmagesto VII, 3 che
     riporta una sua osservazione del 98 d.C. [39].
46
     Anche per il numero dei libri della sua opera si possono fare le medesime induzioni
     formulate nel caso di Ipparco [22].
47
     Per unʼampia descrizione del contenuto dellʼopera, vedi [3], [10] e [18].
48
     “In the Almagest spherical trigonometry is based on a theorem of Menelaus (late
     first century of the Christian era), and there is no evidence for the existence of the
     trigonometry of the surface of the sphere before Menelaus”, [36]. Confronta anche
     [4] e [40].
49
     Un triangolo sferico è lʼarea inclusa dagli archi di circoli massimi sulla sfera, soggetto
     alla restrizione che i lati del triangolo siano minori di un semicerchio.
50
     “Menelausʼs object, so far as Book I is concerned, seems to have been to give the
     main propositions about spherical triangles corresponding to Euclidʼs propositions
     about plane triangles”, [3].
51
     Nel Medio Evo era conosciuto con il nome di Regula sex quantitatum, a causa delle
     sei quantità variabili che prendeva in considerazione.
52
     Per la dimostrazione dei due teoremi, vedi [12], [10] e [35].
53
     Bulmer-Thomas [39] e Boyer [19] suppongono che il teorema di Menelao per il caso
     dei triangoli piani fosse già conosciuto da Euclide.
54
     In Almagesto I, 13 troviamo anche la dimostrazione dei due teoremi di Menelao che
     sono, secondo le parole di Halma [20], “dʼun grand secours à Ptolémée pour la so-
     lution de ses problèmes de trigonométrie sphérique”. Proprio la presenza allʼinterno
     di questʼopera della tavola delle corde e dei teoremi di Menelao fa dellʼAlmagesto per
     ora la più antica opera a noi giunta contenente entrambi i rami della trigonometria,
     quella piana e quella sferica, e la più antica che tratta di trigonometria.
55
     Eppure nellʼindice dellʼopera (Almagesto I, 2) questi capitoli non sono presentati,
     nonostante in Almagesto I, 9 Tolemeo scriva che ritenga necessario, prima di tutto,
     spiegare e dimostrare geometricamente il metodo di calcolo delle corde. Vedi [41].
56
     Sidoli ha sviluppato nel 1998 (versione 1.0) e successivamente nel 2003 (versione
     1.1) un pacchetto da utilizzare in Mathematica (pacchetto software che integra un
     motore di calcolo numerico e simbolico, un sistema di elaborazione grafica, un lin-
     guaggio di programmazione e un sistema di documentazione) che contiene un in-
     sieme di funzioni per fare calcoli con la trigonometria di Tolemeo

                                                                                                  Conservation Science in Cultural Heritage
     (http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/584/, accesso gennaio 2008). Le
     funzioni messe a disposizione dallo strumento di calcolo sono, ad esempio:
     - ChordTable[angolo] che restituisce la sua corda;
     - PtolemyForm[%] che permette di visualizzare un valore nel sistema sessagesi-
     male;
     - RightTriangleSide[angolo] che fornisce il lato opposto allʼangolo dato in un triangolo
     rettangolo inscritto in una semicirconferenza la cui ipotenusa è 120;
     - RightTriangleAngle[lato] funzione inversa della precedente.
57
     Per calcolare la corda di un angolo α non presente nella tabella si impiega la se-
     guente formula
     crd(α) = crd(αn) + (α - αn) x f(αn)
     con αn < α < αn + ½ e f(αn)= 1/30 [crd(αn + ½ ) – crd(αn)], ovvero il valore ripor-
     tato nella terza colonna. Ad esempio, tra la crd(2 ½°) e la crd(2°) la differenza è 0;
     37,4, mentre la sua 30a parte è 0; 1,2,48 (valore riportato nella terza colonna). Se-
     condo la formula sopra espressa, se si vuole la crd(2;25°), bisogna aggiungere alla
     crd(2°) 25 volte il valore 0; 1,2,4. Vedi [3] e [10].
58
     Nel corso dei decenni il metodo per la costruzione della tavola delle corde è stato
     presentato e commentato da vari studiosi tra cui: [3], [12], [10], [35], [18] e [41].
59
     Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati e gli angoli uguali.



                                                                                                  47
                                                                              60
                                                                                   Se il poligono inscritto ha n lati, il lato risulta essere la crd(360°/n).
                                                                              61
                                                                                   Per questa dimostrazione sono necessarie due proposizioni degli Elementi di Eu-
                                                                                   clide: XIII.9 (se si sommano il lato di un esagono e quello di un decagono equilateri,
                                                                                   che siano iscritti nello stesso cerchio, la retta che ne risulta è divisa in estrema e
                                                                                   media ragione, e la parte maggiore è il lato dellʼesagono) e XIII.10 (se si inscrive in
                                                                                   un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla
                                                                                   somma dei quadrati dei lati dellʼesagono e del decagono equilateri che siano iscritti
                                                                                   nello stesso cerchio).
                                                                              62
                                                                                   La corda si ottiene inscrivendo un esagono nella circonferenza: questo forma sei
                                                                                   triangoli equilateri con tutti i lati uguali al raggio (di 60 parti) della circonferenza
                                                                                   stessa.
                                                                              63
                                                                                   La crd(90°) è data dal lato del quadrato inscritto nel cerchio, mentre la crd(120°) dal
                                                                                   prodotto di per il raggio. Per i valori di √3 e conosciuti da Tolemeo, vedi [35].
                                                                              64
                                                                                   Questo risultato è equivalente alla formula moderna che prende in considerazione
                                                                                   i quadrati del seno e del coseno, ovvero sin2α+cos2α=1 (per la dimostrazione basta
                                                                                   sostituire in crd(180°- α)2=1202- crd(α)2, la relazione tra corda e seno, espressa da
                                                                                   crd(α)2 = 1202 sen2(α/2) ).
                                                                              65
                                                                                   Secondo Pedersen [10] questo teorema, per il suo aspetto elementare, risale a un
                                                                                   periodo precedente a quello di Tolemeo ed è stato solamente esposto e dimostrato
                                                                                   nellʼAlmagesto. Alla stessa conclusione era arrivato Loria [25]: “è nostro convinci-
                                                                                   mento che questa proposizione non appartenga a Tolemeo: si suole attribuirla a lui
                                                                                   soltanto perché lʼAlmagesto è la prima opera in cui sʼincontra; ma poiché Teone
                                                                                   Alessandrino ne parla (ed. Halma, T. I, p. 187) circa nello stesso modo che adopera
                                                                                   riguardo al teorema di Menelao (id. p. 232 e 238), è poco probabile che si tratti di
                                                                                   una scoperta di Tolemeo”. Diversamente Toomer [22]: “we are led irresistibly to the
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




                                                                                   conclusion that the formulas for the chord of the sum and the chord of the difference
                                                                                   (and presumably the theorem on which they are based) are the work of Ptolemy
                                                                                   himself”. Confronta anche [19], dove viene presentato un caso particolare del teo-
                                                                                   rema di Tolemeo conosciuto già da Euclide.
                                                                              66
                                                                                   crd(α-β)= BC, con crd(α)= AC e crd(β)= AB.
                                                                              67
                                                                                   crd(α+β) = AC, con crd(α)= AB e crd(β)= BC.
                                                                              68
                                                                                   Sempre Toomer [22] a tal riguardo aggiunge che “it is surely significant that for the
                                                                                   derivation of the chord of the half-angle Ptolemy did not use a method depending on
                                                                                   Ptolemyʼs Theorem (though, as we have seen, his result can be simply derived from
                                                                                   that theorem), but used instead one which was, demonstrably, known long before his
                                                                                   own time. The obvious explanation for this anomaly is that this part of the geomet-
                                                                                   rical basis of his trigonometry, and this alone, is taken over from his predecessors”.
                                                                                   Per la dimostrazione della dipendenza della crd(α/2) dal teorema di Tolemeo, vedi
                                                                                   [22] e [35].
                                                                              69
                                                                                   Per questo metodo Tolemeo usa una proposizione già conosciuta da Aristarco. Vedi
                                                                                   [3], [12] e [10].
                                                                              70
                                                                                   Szabo e Maula [23] si spingono più oltre, parlando di un intero genere scientifico
                                                                                   letterario riguardante la costruzione delle tavole delle corde: “lorsquʼon a eu lʼidée
                                                                                   quʼil était plus commode de calculer dʼavance les différentes cordes, que de re-
                                                                                   commencer les mêmes calculs pour chaque cas concret, la valeur de la plus grande
                                                                                   corde, le diamètre, étant fixée une fois pour toutes, les tables de cordes devinrent
                                                                                   pour ainsi dire un genre scientifico-littéraire. Il est probable que plusieurs savants se
                                                                                   sont essayés à ce genre” e che “Ptolémée a lui aussi suivi les lois du genre”.




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Summary
Trigonometry was born due to the need of ancient astronomy to calculate and to predict the move-
ment of the heavenly bodies. However it is hard to know who the founder of this mathematical
branch was: it is likely that its origins date back to Hipparchus of Nicaea who compiled the first table
of chords, which are the forerunners of the modern trigonometric function “sine”. Nevertheless the
most ancient existing work on trigonometry is the Almagest of Ptolemy in which the author describes
the mathematical steps that are necessary for the compilation of the table of chords. These steps
are based on more ancient theories and for this reason one gets the impression that they could be
the result of a preparatory study. This article is not only a brief survey of Greek trigonometry but it
also analyzes the Greek numeration system, the sexagesimal fractions and the arithmetical opera-
tions which were used in the calculation of the chords.


Riassunto
La nascita della trigonometria è dovuta alla necessità degli astronomi antichi di calcolare i movimenti
dei corpi celesti. Più arduo è stabilire il nome del fondatore della disciplina: è molto probabile che la
sua origine risalga ad Ipparco di Nicea, al quale è attribuita la prima tavola delle corde, antesignane
della moderna funzione trigonometrica “seno”, anche se il più antico testo esistente che contiene
calcoli trigonometrici è solo l’Almagesto di Tolemeo. Tuttavia le conoscenze matematiche necessarie
alla costruzioni di tali tavole si basano su teorie più antiche e questo ha portato a credere che molto
probabilmente esse siano il risultato finale di un lungo studio preparatorio. Questo articolo, oltre ad
analizzare le principali proposizioni che sono alla base della trigonometria greca (compresa la
trigonometria sferica esposta per la prima volta da Menelao), prende anche in considerazione il sis-
tema greco di numerazione, le frazioni sessagesimali e le operazioni aritmetiche impiegate nella
stesura e nel calcolo delle tavole.


Résumé
La naissance de la trigonométrie est due à la nécessité des astronomes anciens de calculer les
mouvements des corps célestes. Il est plus dur d’établir le nom du fondateur de cette discipline: il
est très probable que son origine remonte à Hipparque de Nicée, auquel est attribuée la première
table des cordes, précurseurs de la moderne fonction trigonométrique “sinus”, même si le plus
ancien texte existant contenant des calculs trigonométriques n’est que l’Almageste de Ptolémée.
Toutefois les connaissances mathématiques nécessaires à la construction de ces tables se basent
sur des théories plus anciennes et ceci a amené à croire que, très probablement, elles sont le résul-

                                                                                                             Conservation Science in Cultural Heritage
tat final d’une longue étude préparatoire. Cet article, en plus d’analyser les principales propositions
qui sont à la base de la trigonométrie grecque (y compris la trigonométrie sphérique exposée pour
la première fois par Ménélas), fait aussi entrer en ligne de compte le système grec de numération,
les fractions sexagésimales et les opérations arithmétiques employées dans la rédaction et le cal-
cul des tables.


Zusammenfassung
Die Entstehung der Trigonometrie geht auf die Notwendigkeit der antiken Astronomen zurück, die
Bewegungen der Himmelskörper zu berechnen. Schwieriger ist es, den Namen des Gründers die-
ser Disziplin festzustellen: Es ist sehr wahrscheinlich, dass ihr Ursprung auf Hipparchos von Nizäa
zurückgeht, dem die erste Sehnentafel zugeschrieben wird, Vorläuferin der modernen trigonometri-
schen Funktion “Sinus”, auch wenn der älteste existierende antike Text mit trigonometrischen
Berechnungen erst der Almagest von Ptolemäus ist. Jedoch beruhen die mathematischen
Kenntnisse, die für die Erstellung solcher Tafeln nötig waren, auf älteren Theorien; das lässt vermu-
ten, dass sie sehr wahrscheinlich das Endergebnis einer langen vorbereitenden Forschung waren.
Dieser Artikel analysiert nicht nur die wichtigsten Verhältnisgleichungen, die der griechischen


                                                                                                            49
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                                                                              Menelaos dargelegt wurde), sondern befasst sich auch mit dem griechischen Zahlensystem, den
                                                                              Sexagesimalbrüchen und den arithmetischen Operationen, die zur Erstellung und Berechnung der
                                                                              Tafeln benutzt wurden.


                                                                              Resumen
                                                                              La trigonometría debe su nacimiento a la necesidad de los antiguos astrónomos de calcular los
                                                                              movimientos de los cuerpos celestes. Más difícil es establecer el nombre del fundador de la disci-
                                                                              plina: es muy probable que su origen se remonte a Hiparco de Nicea, a quien se atribuye la prime-
                                                                              ra tabla de cuerdas, precursora de la moderna función trigonométrica del “seno”, si bien el texto más
                                                                              antiguo conservado con cálculos trigonométricos es el Almagesto de Ptolomeo. Sin embargo, los
                                                                              conocimientos matemáticos necesarios para la construcción de dichas tablas se basan en teorías
                                                                              más antiguas, y esto ha llevado a creer que probablemente sean el resultado final de un largo estu-
                                                                              dio preparatorio. Este artículo, además de analizar las principales proposiciones sobre las que se
                                                                              sustenta la trigonometría griega (incluida la trigonometría esférica expuesta por vez primera por
                                                                              Menelao), toma también en consideración el sistema griego de numeración, las fracciones sexage-
                                                                              simales y las operaciones aritméticas utilizadas en la redacción y cálculo de las tablas.


                                                                              Htp>vt
S. Buscherini, A. C.D. Panaino - The table of chords and greek trigonometry




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