Apprendere la Musica assieme alla Matematica: “Doremat” tra sperimentazione, ricerca e didattica
10.6092/issn.2039-9715/10196
L’articolo illustra le caratteristiche di un progetto scientifico e formativo, Doremat, che congiunge la Matematica con la Musica. Il progetto, nato nel 2007 in alcune scuole di formazione e istruzione professionale dell’Emilia-Romagna, si è esteso sul territorio nazionale ed è in via di espansione. In poco più di un decennio esso ha conosciuto diverse fasi di sperimentazione e applicazione didattica, anche a livello europeo, in buona parte impostate e condotte quale ricerca-azione. A partire dalla descrizione di tale excursus, l’articolo riporta gli esiti del progetto, già confluiti in due volumi (2015; 2018) e qui sintetizzati, ne espone i fondamenti epistemologici, spiega i suoi principali aspetti d’innovazione metodologico-didattica, discute sul piano dei contenuti alcuni punti nodali di collegamento tra le due discipline, chiarisce quale sia stato il decorso del progetto nella ricerca sul campo e nella prassi dell’insegnamento anche dopo la pubblicazione dei due volumi, per evidenziarne infine le potenzialità di sviluppo.
application/pdf
2039-9715
10196
it
Carla Cuomo
Musica Docta
Innovazione metodologico-didattica
Apprendere la Musica assieme alla Matematica: “Doremat” tra sperimentazione, ricerca e didattica
Text.Serial.Journal
https://musicadocta.unibo.it/
9
Percorsi didattici
2019-12-20
2019-12-16
2019-12-20
2020-02-19
173-201
MD
Carla Cuomo
2019/12/20
10.6092/issn.2039-9715/10196
173
Università di Bologna
2039-9715
Innovazione metodologico-didattica
it
201
Apprendere la Musica assieme alla Matematica: “Doremat” tra sperimentazione, ricerca e didattica
https://musicadocta.unibo.it/article/download/10196/10034
9
         Musica Docta. Rivista digitale di Pedagogia e Didattica della musica, pp. 173-201




                                        CARLA CUOMO
                                             Bologna

APPRENDERE LA MUSICA ASSIEME ALLA MATEMATICA:
                  DOREMAT
   TRA SPERIMENTAZIONE, RICERCA E DIDATTICA
                                                            A mio padre, docente di Matematica

      Doremat: la Musica della Matematica. Insegnare e imparare la Matematica con la
Musica è un libro pubblicato nel 2015. 1 Il libro è stato scritto da un gruppo di
autori che riunisce docenti sia dell’Università sia dell’IeFP – Sistema di Istru-
zione e Formazione Professionale dell’Emilia Romagna – sia, infine, da inse-
gnanti della scuola secondaria.2 Il volume si rivolge ai docenti del primo bien-
nio della scuola secondaria di secondo grado e, solo per alcuni argomenti, ai
docenti della scuola secondaria di primo grado.
      Ma il termine ‘Doremat’ non designa solo un libro. Doremat consiste in un
progetto scientifico e formativo, incentrato sull’insegnamento e
sull’apprendimento interdisciplinare della Matematica e della Musica, tutt’oggi
aperto a possibilità di sviluppo. Per comprenderne le caratteristiche e le poten-
zialità è utile ripercorrere l’excursus che ha condotto dall’idea iniziale al volume
del 2015, e che poi ha portato da quest’ultimo sino ad una seconda pubblica-
zione del 2018, di cui si dirà tra poco. Lo scopo di questo articolo è di chiarire
quali sono i fondamenti del progetto interdisciplinare e quali sono stati gli svi-
luppi nella ricerca sul campo e nella prassi dell’insegnamento successiva al libro
del 2015, nonché l’espansione del progetto sino alla seconda pubblicazione e
alla pratica didattica odierna.3

     1  © Copyright. All rights reserved. Editore: Digital Docet, Modena. Il volume è
in formato e book, ed è reperibile online al seguente indirizzo internet
http://www.digitaldocet.it/le-collane-di-digital-docet/21-risorse-didattiche-digitali/46-doremat-la-
musica-della-matematica-il-testo (ultimo accesso, 30.09.2019).
      2 Curatrice: Denise Lentini. Prefazione di Bruno D’Amore, matematico, già Uni-

versità di Bologna. Autori: Denise Lentini, già direttrice dell’ENFAP – Ente Naziona-
le per la Formazione e l’Apprendimento Professionale, appartenente all’IeFP-ER
(Emilia Romagna) –; Carla Cuomo, musicologa, Università di Bologna; Giovanni Cur-
ti, direttore d’orchestra, già direttore della scuola di musica di Novellara (RE), inse-
gnante di Musica nell’Istituto comprensivo “E. Fermi” di Reggio Emilia; Antonio
Bianchi, percussionista classico, e Nicola Magnani, docente di matematica, entrambi
già insegnanti nell’IeFP-ER; Rachele Vagni, insegnante di matematica nell’Istituto di
Istruzione Superiore “Giordano Bruno” di Budrio (BO). Conclusioni di Giorgio Bo-
londi: matematico, Università di Bologna.
      3 Ringrazio Giovanni Curti e Rachele Vagni, che hanno seguito le sperimentazio-

ni di Doremat in varie scuole tra quelle riportate nella Tabella delle “scuole ‘Doremat’” (vd




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ISSN 2039-9715
© 2019 Carla Cuomo – Creative Commons BY-SA 3.0
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     Il volume del 2015 è il frutto di un’esperienza didattica nata nelle scuole di
formazione professionale dell’Emilia Romagna nel 2007. L’idea iniziale fu di
Denise Lentini, dirigente di un ente di formazione professionale nell’IeFP-ER
durante gli anni che portarono dall’esperienza didattica alla ricerca e al libro del
2015. L’idea nacque con lo scopo di aiutare gli studenti delle scuole professio-
nali – per lo più orientati a mestieri come il falegname, l’estetista, il parrucchie-
re – a superare la dispersione e gli insuccessi scolastici. Tra gli studenti che
scelgono questo tipo di formazione, i quali hanno un’età tra i 15 e i 18 anni, ve
ne sono diversi che, provenendo da ambienti familiari e sociali svantaggiati,
giungono in quelle scuole già gravati da enormi disagi. Al di là di questo, e più
in generale, la scelta di percorsi professionalizzanti è motivata dal bisogno di
acquisire una preparazione tecnica che introduca prima possibile nel mondo
del lavoro. Le scuole professionali, dal canto loro, sono incentrate su attività
pratiche, sul ‘fare’, integrate da pochi insegnamenti disciplinari, cioè da pochi
‘saperi’ di forte impatto teorico-concettuale, prima che procedurale. Tra essi c’è
la Matematica, ma non la Musica. Nel sistema IeFP-ER la Musica, anzi, non
era per nulla contemplata prima di Doremat. L’idea di Lentini fu perciò quella di
«innestare la formazione ai saperi nella formazione ai mestieri»,4 per contrastare
la demotivazione all’apprendimento e l’insuccesso scolastico, soprattutto in
Matematica.5 L’introduzione della Musica nel sistema IeFP, più gradita ai gio-
vani perché molto presente nel loro vissuto, doveva costituire la via di facilita-
zione all’apprendimento dei contenuti matematici, percepiti come astratti e lon-
tani dalla realtà.
     Prima ancora della pubblicazione del volume del 2015 l’esperienza didatti-
ca sopra descritta ha attirato l’attenzione di ricercatori universitari di entrambe
le discipline su cui il progetto formativo sin dall’inizio si è incentrato. Nel
biennio 2012-2013 gli studiosi hanno avviato una ricerca scientifica, volta a
studiare l’applicazione di Doremat in scuole di vario tipo, e in prospettiva della
partecipazione a un progetto europeo. Oltre a quelle professionalizzanti del si-

Appendice, pp. 200-201) e l’hanno anche attuato personalmente, per le importanti ri-
flessioni che essi mi hanno restituito sulla prassi didattica di questo progetto formati-
vo, nonché per la generosa disponibilità nella discussione di molte parti del presente
articolo. Il controllo dei ragionamenti matematici qui esposti è stato effettuato da Ra-
chele Vagni, che ringrazio anche per l’elaborazione della Tabella.
      4 Affermazione di Lentini, esposta nel convegno DoReMat. La musica della matema-

tica, Bologna, Palazzo Marescotti, 16 gennaio 2014. Notizie di questo convegno sono in:
http://wwcat.saggiatoremusicale.it/saggem/attivita/ER_Educazione_Ricerca_Invito_Convegno_D
oremat.pdf (ultimo accesso, 30.09.2019).
      5 Cfr. Rapporto OCSE-Pisa 2012, a cura di INVALSI (Istituto Nazionale per la

Valutazione del Sistema di Istruzione), sulle competenze in Matematica, Lettura e
Scienze, degli studenti quindicenni italiani:
https://www.invalsi.it/invalsi/ri/pisa2012/rappnaz/Rapporto_NAZIONALE_OCSE_PIS
A2012.pdf. (ultimo accesso, 30.09.2019).




Musica Docta, IX, 2019
ISSN 2039-9715
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stema dell’IeFP dell’Emilia Romagna, sono stati selezionati il Liceo artistico
“G. Chierici” di Reggio Emilia, il Liceo scientifico “San G. Calasanzio” di Em-
poli, gli Istituti professionali “R. Ruffilli” di Forlì e “P. Strocchi” di Faenza, e
due scuole lettoni, la “Marupe Secondary School” e la “Jelgava Spidola Gym-
nasium”, entrambe di Riga (scuole comparabili alla nostra secondaria di secon-
do grado). La ricerca è stata dunque validata a livello europeo nel 2013-2014
con un Progetto Leonardo,6 ed è infine confluita nel volume del 2015, sia pure
in parte.7 Una successiva proposta editoriale, che ha richiesto d’inserire Doremat
dentro a un preesistente manuale di Matematica, ha posto alcuni autori del vo-
lume del 2015 di fronte a una duplice sfida: dapprima ripensare i contenuti del
primo volume in funzione dei destinatari del manuale di Matematica, ora diver-
si perché il manuale era rivolto agli studenti delle scuole secondarie di primo
grado; poi, provare a ribaltare il rapporto tra le due discipline, giacché nel pri-
mo volume si era proceduti dall’individuare contenuti musicali che potessero
facilitare l’apprendimento di contenuti matematici, mentre nella seconda pub-
blicazione si è talvolta, non in tutti i casi, proceduti al contrario. Nel 2018 sono
stati così pubblicati i tre Quaderni operativi inseriti nel preesistente manuale di
Matematica, perciò rinnovato.8 I Quaderni sono rivolti ognuno a ciascuna classe
delle scuole secondarie di primo grado e costituiscono, rispetto al manuale di
Matematica, il momento di vera integrazione tra le due discipline.
       L’articolato cammino che ha condotto dal volume del 2015 alla pubblica-
zione del 2018 ha influito sullo sviluppo di Doremat sotto diversi aspetti. Innan-

     6  Il Rapporto finale di valutazione di questo progetto è nel documento TOI
2012-1-IT1- LEO05-02810. Decrease Obstacles Related to Mathematics Teaching – La Musica
della Matematica. Trasferimento di metodologie innovative per l’insegnamento della matematica attra-
verso la musica, CUP Code G32F12000060006, a cura di Berta Martini, che ha messo a
punto il protocollo sperimentale e ha coordinato la sperimentazione del Progetto
Leonardo per la parte matematica, insieme a Carla Cuomo per la parte musicale.
      7 La sperimentazione scientifica con il Progetto Leonardo si è basata solo su al-

cuni contenuti matematici e musicali, poi formalizzati nel volume del 2015, e in parti-
colare: le frazioni e le espressioni aritmetiche (non quelle algebriche), come anche le
proporzioni e le percentuali, trattate attraverso la durata dei valori musicali o di varie
figurazioni ritmiche; le equazioni di primo grado, spiegate con le combinazioni di se-
quenze ritmico-melodiche; la posizione reciproca di due rette nel piano, trattata con
l’andamento ascendente o discendente delle linee melodiche, anche sovrapposte (mo-
to retto, moto contrario); alcuni poligoni (triangoli, quadrati, pentagoni esagoni) e al-
cune figure geometriche (le spezzate), rapportati all’argomento musicale dei raggrup-
pamenti ritmici (terzina, quartina, quintina, ecc.).
      8 La richiesta editoriale è provenuta dalla De Agostini di Novara. Il preesistente

manuale di Matematica è Math Genius, di Anna Montemurro, edito nel 2016 dalla sud-
detta casa editrice, anche in e-book. Il manuale è stato ripubblicato nel 2018 col titolo
Esatto!, e rinnovato con l’inserimento dei Quaderni operativi. Tra questi, di quelli intitola-
ti Doremat: Matematica e Musica, autori sono i medesimi del volume citato in principio di
questo articolo, che ha il titolo dell’omonimo progetto.




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zitutto nel triennio si è esteso il campo delle scuole che hanno adottato il pro-
getto formativo: un prospetto, aggiornato al 2019, è dato dalla Tabella delle “scuo-
le ‘Doremat’”, ossia delle scuole che hanno svolto, o svolgono tuttora, il progetto
formativo (vd. Appendice, pp. 200-201).
      L’estensione della sperimentazione di Doremat, talvolta empirica e non
scientifica, perché avviata da docenti o di Matematica o di Musica che non ne-
cessariamente hanno ritenuto di mettersi in contatto con i ricercatori, ha co-
munque restituito a questi ultimi una riflessione didattica assai ricca. Per esem-
pio, proprio quando nella viva prassi dell’insegnamento Doremat è stato intra-
preso da docenti di Musica, piuttosto che da docenti di Matematica, si è co-
minciato a pensare che il rapporto tra le due discipline poteva essere invertito.
Ci si è posti di fronte a sfide intellettuali, alla ricerca di nuovi collegamenti tra
Musica e Matematica, prima inesplorati, da declinare sul piano didattico per
un’alfabetizzazione in ambo i campi, ma anche per far progredire gli studenti
oltre l’alfabetizzazione, verso livelli più elevati di competenza nelle due discipline.
      Sicuramente l’estensione del campo di scuole che hanno fino ad oggi adot-
tato Doremat esprime l’attrattività del progetto nel suo aspetto formativo, dovu-
ta all’innovazione metodologico-didattica che esso promuove. Per comprende-
re tale innovazione, cuore del progetto e sostanza di ambo le pubblicazioni, è
necessario illustrarne dapprima i principali aspetti, e poi attraverso qualche
esempio entrare nel merito dei contenuti nel rapporto tra le due discipline.
      I principali aspetti d’innovazione metodologico-didattica sono tre, di se-
guito partitamente illustrati.
      Il primo consiste nel modo in cui vengono accostate le due discipline, in-
vero contraddistinte da linguaggi ed epistemologie diverse e che qui sono mes-
se in relazione sulla base non solo delle analogie ma anche delle differenze. Per
fare un esempio, si pensi alla rappresentazione sul piano aritmetico delle strut-
ture ritmiche mediante le frazioni: l’argomento aritmetico delle frazioni offre la
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possibilità di rappresentare la minima con la scrittura ‘2’. Al contempo, però, se
                 1                 2                                   4
in Matematica ‘2’ e ‘la metà’, o ‘4 ’ e ‘un mezzo’, oppure ancora ‘8’ e ‘due quar-
ti’, esprimono lo stesso concetto, in Musica non è così, giacché le medesime
                                                     2 4
frazioni esprimono valori di durata diversi. Tra 4 e 8 il senso musicale cambia
in base alla scelta che il compositore attua tra due semiminime e quattro crome
per battuta. Questo semplice esempio permette di comprendere, almeno sul
piano generale, come gli studenti siano entrati a fondo nelle due discipline, co-
gliendone i punti d’intersezione e al contempo di differenza.
      In secondo luogo va considerato il trattamento laboratoriale dei contenuti.
A partire da un contesto musicale praticato, che viene problematizzato, gli stu-
denti giungono a scoprire, inventare, decostruire e ricostruire concetti matema-
tici e musicali. Il laboratorio è qui inteso nel più stretto senso deweyano, quale
luogo di “esperienza riflessiva”, cioè un’esperienza con cui gli studenti impara-




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no a connettere i fatti con le loro conseguenze, e, in virtù della riflessione, col-
gono, a un ulteriore livello, la qualità di quel rapporto.9 Quest’impostazione di
Doremat ha permesso di organizzare percorsi dal concreto all’astratto, cioè dalla
musica esperibile fisicamente, tecnicamente e uditivamente, agli enunciati, teo-
remi, proposizioni e definizioni matematiche, che difficilmente sarebbero stati
appresi. Tutto ciò è avvenuto addirittura con piacere e perciò con successo sul
piano formativo.10
     In terzo e ultimo luogo, va considerata sia la compresenza degli insegnanti
di Matematica e di Musica in ogni unità d’apprendimento, sia il lavoro di grup-
po tra gli studenti in ogni fase didattica. La compresenza tra i docenti delle due
discipline si è dimostrata una risorsa preziosa per favorire un’esperienza forma-
tiva significativa. Prima di tutto è stata fondamentale per progettare Doremat, ed

       9 Nel suo celeberrimo Democrazia e Educazione (1916), nel paragrafo La riflessione

nell’esperienza, Dewey spiega con precisione cosa intenda per “esperienza riflessiva”.
Riporto qui di seguito la citazione testuale del passo che ha costituito un fondamento
dell’impostazione laboratoriale di Doremat: «Il pensiero o la riflessione […] è il discer-
nimento della relazione fra quel che cerchiamo di fare e quel che succede in conse-
guenza. Nessuna esperienza che abbia un significato è possibile senza qualche elemen-
to di pensiero. Ma possiamo contrapporre due tipi di esperienza secondo la propor-
zione di riflessione che vi troviamo. In tutte le nostre esperienze c’è uno stadio di
“prova a tentoni”, ciò che gli psicologi chiamano il metodo: “tentativo ed errore”. Noi
ci limitiamo a fare qualcosa e quando fallisce facciamo qualcos’altro, e continuiamo a
provare finché si casca su qualcosa che va bene, e allora adottiamo quel metodo come
una regola approssimativa per i procedimenti seguenti. Ci sono esperienze che vanno
di poco oltre questo processo di provare e stare a vedere gli effetti. Si scorge la con-
nessione tra un certo modo di agire e una determinata conseguenza, ma non si vede il
come della connessione; non se ne scorgono i dettagli; mancano degli anelli alla catena.
Il nostro discernimento è molto rudimentale […]. Nella scoperta delle connessioni
dettagliate delle nostre attività e di ciò che avviene in conseguenza, il contenuto di
pensiero, implicito nel “provare a tentoni”, è qui svolto, diviene quantitativamente
maggiore e ha, in proporzione, un valore ben differente. Perciò cambia la qualità
dell’esperienza; il cambiamento è così significativo che possiamo chiamare questo tipo
di esperienza riflessivo, cioè riflessivo eminentemente. Il coltivare deliberatamente
questa fase di pensiero costituisce il pensare come esperienza a sé. Pensare è, in altre
parole, il tentativo intenzionale di scoprire delle connessioni specifiche fra qualcosa
che facciamo e le conseguenze che ne risultano, in modo che le due cose diventino
continue. […] Pensare equivale pertanto a un cosciente estrarre l’elemento intelligente
della nostra esperienza»: J. DEWEY, Democrazia e educazione, con un saggio introduttivo
di C. Sini, trad. it. di E. Enriques Agnoletti e P. Paduano, Milano, Sansoni, 2004,
pp. 157-158.
       10 Per il successo formativo di Doremat vedasi il Rapporto finale di valutazione del

Progetto Leonardo, qui menzionato nella n. 6. Ulteriore conferma di tale successo è
nella diffusione che Doremat sta conoscendo dal 2012 a oggi (vd. Tabella in Appendice,
pp. 200-201; al momento in cui esce questo articolo altre scuole hanno in progetto di
adottarlo).




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è stata il punto di partenza della sua trasformazione da idea a percorso forma-
tivo. È da considerare, infatti, che la compresenza è stata utile agli insegnanti
per evitare che, se avessero lavorato separatamente, ciascuno facesse scelte di-
dattiche insidiose: per esempio, il trattamento delle frazioni da parte del solo
docente di Musica avrebbe con probabilità ignorato tutti i possibili significati
del concetto di frazione in Matematica.
     La compresenza è stata utilissima, poi, per la comprensione da parte degli
studenti delle specificità delle differenze tra Matematica e Musica. Il co-teaching
ha infatti permesso d’integrare le prospettive di ciascun insegnante in modo
davvero interdisciplinare,11 ed è stato perciò il fondamento del successo forma-
tivo rispetto allo sviluppo negli studenti di forti competenze disciplinari, musi-
cali e matematiche. Esso è stato inoltre fondamentale nel calibrare l’intervento
didattico rispetto ai tempi e agli stili di apprendimento di ciascuno studente;
soprattutto tenuto conto dei contesti scolastici sopra descritti in cui Doremat è
stato inventato e sperimentato in prima battuta. Si può perciò dire che la com-
presenza ha costituito un punto di forza per una didattica davvero innovativa e
anche inclusiva.12
     Oltre alla compresenza, è stato fondamentale il lavoro di gruppo tra gli
studenti, perché essi hanno imparato a problematizzare, a formulare ipotesi e
soluzioni, a confutarle o a verificarle, nelle varie situazioni matemati-
co-musicali, maturando così anche capacità nel confronto personale, nella di-
scussione di gruppo, nel rispetto necessario per ascoltare sino in fondo
l’opinione altrui, nel ragionamento per sostenere una direzione di lavoro o
un’altra, sviluppando perciò anche competenze di cittadinanza.13
     Per quanto riguarda i contenuti, gli sviluppi posteriori alle pubblicazioni
dei volumi del 2015 e del 2018, la parallela ricerca sul campo e nella prassi

      11 Nel senso che Umberto Margiotta precisa, quando specifica dapprima il con-
cetto di ‘disciplinarità’ rispetto al quale egli definisce quello di ‘interdisciplinarità’, e lo
distingue perciò da quelli di ‘multidisciplinarità’, ‘pluridisciplinarità’, ‘transdisciplinari-
tà’: «interazione esistente tra due o più discipline; tale interazione può andare dalla
semplice comunicazione d’idee fino all’integrazione reciproca dei concetti ispiratori
dell’epistemologia, della terminologia, della metodologia, delle procedure»: U. MAR-
GIOTTA, Interdisciplinarità: un’idea di Università nel secolo XXI, in Educazione musicale e For-
mazione, a cura di G. La Face Bianconi e F. Frabboni, Milano, FrancoAngeli, 2008,
pp. 317-345: 319. Nel caso di Doremat si è lavorato proprio sull’integrazione di Musica
e Matematica, soprattutto a livello epistemologico, metodologico e procedurale.
      12 Sulla compresenza didattica un utile riferimento può essere Compresenza didattica

inclusiva: indicazioni metodologiche e modelli operativi di co-teaching, a cura di D. Ianes e
S. Cramerotti, Trento, Erickson, 2015.
      13 Un approfondimento di questo aspetto di Doremat è in C. CUOMO, Musica e Ma-

tematica per formare intelligenza e civiltà, in Pedagogia dell’espressione artistica, Atti del conve-
gno (Bologna, 21-22 marzo 2018), a cura di M. Caputo, Milano, FrancoAngeli, in cor-
so di pubblicazione.




Musica Docta, IX, 2019
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dell’insegnamento, e gli aggiornamenti più recenti, come già sopra accennato
hanno influito nel senso di una loro espansione.
      La primigenia direzione del progetto Doremat, imparare la Matematica at-
traverso la Musica, per gli autori del volume del 2015 sul piano
dell’elaborazione ha implicato che la priorità fosse scegliere contenuti musicali
adatti alla trasposizione di specifici contenuti matematici che dovevano essere
insegnati, come qui poco sopra si è accennato. Ciò ha comportato che si stu-
diassero dapprima le modalità per mettere in relazione le due discipline su al-
cuni nuclei concettuali fondanti comuni. Il punto di partenza è stato, dunque,
la ricerca delle analogie tra Matematica e Musica. In particolare, sono stati indi-
viduati alcuni contenuti matematici per lo più di tipo aritmetico, algebrico e
geometrico, che potevano essere messi in relazione con contenuti musicali ri-
guardanti il ritmo, l’armonia, la teoria musicale, e solo più raramente la storia
della musica. Poi, dallo studio delle analogie sono emerse anche le differenze,
almeno rispetto ai contenuti musicali e matematici individuati.
      Sebbene la scelta dei contenuti all’inizio del progetto abbia avuto una dire-
zione unilaterale, dalla Musica alla Matematica, per via delle specifiche ragioni
della sua genesi, negli sviluppi della prassi didattica Doremat si è prestato a espe-
rimenti anche in direzione inversa, dunque come percorso formativo dalla Ma-
tematica alla Musica. Gli studenti hanno perciò maturato il coordinamento dei
diversi registri di rappresentazione matematica che sono stati affrontati nel
progetto, e hanno sviluppato il problem solving come metodo di apprendimento,
insieme in particolare a uno stile cognitivo gestaltico, che fa uso di capacità di
tipo spaziale, nonché analitico, quest’ultimo esercitato attraverso l’aspetto ver-
bale. Inoltre, essi hanno imparato a collegare l’ascolto musicale all’esecuzione e
a un minimo di capacità d’invenzione musicale, secondo un modello pedagogi-
co e didattico che mira a educare a comprendere la musica come sapere stori-
co-culturale.14 Per dare un’idea del percorso di “andata e ritorno”, propongo

     14  Per una rapida comprensione organica del modello pedagogico e didattico mu-
sicale al quale qui mi riferisco si considerino: Educazione musicale e Formazione, a cura di
G. La Face Bianconi e F. Frabboni, Milano, FrancoAngeli, 2008; G. LA FACE BIAN-
CONI, Il cammino dell’Educazione musicale: vicoli chiusi e strade maestre, in Educazione musicale e
Formazione cit., pp. 13-25; C. CUOMO, Dall’ascolto all’esecuzione. Orientamenti per la Pedago-
gia e la Didattica della musica, Milano, FrancoAngeli, 2018. Nondimeno, numerosi rife-
rimenti bibliografici si trovano nella “Biblioteca elettronica” dell’Associazione cultura-
le «Il Saggiatore musicale»: https://www.saggiatoremusicale.it/home/biblioteca-elettronica/testi-
di-pedagogia-musicale/ (ultimo accesso, 30.09.2019). Per la didattica della matematica,
punti di riferimento per Doremat sono stati gli studi di Bruno D’Amore, per i quali in
questa sede rinvio solo a Elementi di Didattica della Matematica, Bologna, Pitagora,1999 e
a Un contributo al dibattito su concetti e oggetti matematici: la posizione “ingenua” in una teoria
“realista” vs il modello “antropologico” in una teoria “pragmatica”, in «La Matematica e la sua
didattica», 1, pp. 4-30. Inoltre, per l’importanza delle rappresentazioni semiotiche
nell’apprendimento di un oggetto matematico, rimando a R. DUVAL, Registres de re-




                                                                       Musica Docta, IX, 2019
                                                                             ISSN 2039-9715
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alcuni esempi che illustrano come alcuni contenuti musicali e matematici siano
stati collegati. Negli esempi scelgo di partire dagli argomenti musicali, perché la
destinazione di questo articolo è una rivista di Pedagogia e Didattica della musica.
      1) La conoscenza degli organici musicali e la classificazione degli strumenti musicali è
stata rapportata all’argomento matematico degli insiemi. Questo collegamento è
possibile perché in Matematica gli insiemi sono collezioni di oggetti (concreti o
astratti), ossia oggetti che possono essere raggruppati attraverso la definizione
di un criterio o di determinate caratteristiche. Per esempio, l’insieme degli aero-
foni è costituito dagli strumenti musicali il cui suono è prodotto da una colon-
na d’aria vibrante all’interno dello strumento; un flauto, quindi, appartiene a
questo insieme, in quanto possiede la suddetta caratteristica. Per capire se un
oggetto appartenga o meno a un dato insieme occorre comprendere, dalla de-
scrizione dell’oggetto stesso (o da una sua rappresentazione, figurativa o men-
tale), le sue caratteristiche, distinguendo le une dalle altre, per verificare se vi sia
o meno la proprietà che definisce l’insieme. Occorre, dunque, applicare ed al-
lenare la capacità di analisi e di sintesi.
      2) L’apprendimento delle durate delle figure musicali, con le loro possibili combi-
nazioni in varie figurazioni ritmiche, così come l’apprendimento del concetto
di ‘battuta’, è stato promosso attraverso l’argomento delle frazioni, declinate an-
che in Musica. Il collegamento è possibile, sul piano interdisciplinare, perché le
frazioni in Matematica hanno diversi significati; uno dei possibili è quello di
“rapporto tra grandezze variabili” (ossia rapporto tra proprietà misurabili di
oggetti, il cui valore può variare). La frazione, quindi, costituisce uno strumen-
to decisamente adeguato per la rappresentazione dei rapporti tra le durate delle
figure musicali. Inoltre, stabilito un intero, che per la musica si fa coincidere
con il valore della semibreve, gli studenti apprendono che è possibile associare
a tutte le altre figure musicali una frazione che ne indica la durata rispetto
                                       1            1
all’intero: alla minima la frazione 2, perché 2 è la metà di 1, alla semiminima la
            1         1                1
frazione 4, perché 4 è la metà di 2, e così via. Essi hanno così svolto un’attività
di matematizzazione, intesa come rappresentazione e trattazione in termini ma-
tematici di fatti e situazioni, al fine di comprendere, conoscere e interpretare
meglio tali fatti. L’attività di matematizzazione su questo contenuto ha permes-
so altresì di comprendere che, nella concreta prassi musicale, cambia il senso
                                            1
tra una frase musicale scritta con tempo 2 e una frase musicale scritta con tem-
      1
po        , mentre non cambia il senso sul piano matematico. Sul piano
      4



présentations sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée, in «Annales de Didactique et de
Sciences Cognitives», ULP, IREM Strasbourg», 5, 1993, pp. 37-65, e per gli aspetti di-
dattici nell’insegnamento delle frazioni a M. I. FANDIÑO PINILLA, Le frazioni. Aspetti
concettuali e didattici, Bologna, Pitagora, 2005.




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ISSN 2039-9715
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dell’apprendimento, proprio il collegamento tra le due discipline su questi con-
tenuti ha portato a ottimi risultati. Tradizionalmente nell’insegnare la sola Mu-
sica si arriva a spiegare le durate di suoni e pause, e le proporzioni tra esse, at-
traverso l’esempio classico della torta e delle sue suddivisioni, utile anche a far
capire la rappresentazione dei rapporti tra le durate tramite le frazioni. D’altro
canto, nell’insegnare la sola Matematica si suole fare spesso riferimento allo
stesso esempio, ma esso determina un apprendimento fragile delle frazioni
perché, quando il docente pone agli studenti domande per verificare la com-
prensione delle nozioni insegnate in teoria, gli studenti dimostrano uno scolla-
                                                                        1
mento dalla realtà. Ad esempio: alla domanda “quant’è la metà di 2 ”, spesso
                                                                     1
essi rispondono “uno”, mentre la risposta corretta è “ 4 ”. 15 L’insegnamento
congiunto di Musica e Matematica permette invece un apprendimento più effi-
cace perché, quando con Doremat gli studenti collegano le frazioni alle durate di
suoni e pause grazie all’esecuzione sincronica di due sequenze, prima limitata
alla mera scansione del ritmo (senza altezze), poi corredata della melodia, essi
esperiscono sul piano pratico il concetto di proporzione tra le durate, rispetto
alla Musica, e comprendono in modo più significativo il rapporto tra frazioni,
rispetto alla Matematica, perché lo agganciano alla realtà. Da quest’ultimo pun-
to di vista, gli studenti danno concretezza all’argomento matematico delle fra-
zioni perché da subito sviluppano una forma mentis che integra in modo simul-
taneo i due tipi di ragionamento, musicale e matematico. Aspetto importante è
inoltre il fatto che l’esecuzione, sia solo ritmica sia melodica, faccia scattare una
notevole motivazione nell’apprendere un argomento tradizionalmente ostico; e
tale motivazione nella prassi didattica è risultata più determinante che non
l’esempio della classica torta per l’efficacia dell’apprendimento: nel Progetto
Leonardo gli studenti si sono dimostrati più coinvolti e partecipi
nell’apprendere le frazioni grazie all’esecuzione solo ritmica e melodica.16
      3) La comprensione della logica combinatoria delle durate musicali con la quale può
essere composta ogni unità di tempo in una sequenza ritmica, sulla base del
metro indicato, è stata sostenuta con la loro rappresentazione mediante espres-
sioni aritmetiche ad esse corrispondenti. Le frazioni che rappresentano le durate
delle figure ritmiche possono essere messe insieme, ossia collegate tra di loro,
attraverso le operazioni di addizione e di moltiplicazione. L’addizione tra nu-
meri è un’operazione che, concretamente, ci consente di contare alcuni oggetti;
così, la concatenazione di figure musicali, può essere rappresentata in Matema-
tica con l’operazione di addizione tra frazioni. La moltiplicazione di una fra-
zione per un numero intero può rappresentare la ripetizione di una certa figura

     15 Oltre che essere, questo, un problema generale dell’apprendimento della Ma-
tematica, di fatto esso è emerso anche durante la sperimentazione di Doremat col Pro-
getto Leonardo: si veda il Rapporto finale di valutazione già citato in nota 6.
     16 Rinvio sempre al relativo Rapporto finale di valutazione appena ricordato.




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musicale o di un pattern di figure (Fig. 1):




             2 1    2 1 2 1 2 4 1 4        1
        (     + )×2+ + +  + + +  + +   ×3+
            16 8    8 4 16 8 8 16 4 16     4
                      2 1    1
                   +( + )×2+
                     16 8    2
Figura 1 – Rappresentazione aritmetica di un pattern di figure ritmiche.

Anche in questo caso, come nel precedente, gli studenti compiono un’attività
di matematizzazione.
     4) La scrittura di sequenze ritmiche inventate dagli studenti è stata rafforzata
mediante la rappresentazione delle stesse sequenze con espressioni aritmetiche.
L’attività di matematizzazione consiste proprio nella rappresentazione in scrit-
tura aritmetica delle sequenze ritmiche. Ciò che in quest’attività differisce dalla
precedente è l’invenzione musicale da parte degli studenti, che è un’attività im-
portante per sviluppare la loro creatività, non in modo spontaneistico ma con-
trollato, cioè a partire da un progetto, in tal caso matematico. È stata anche
trattata l’invenzione di espressioni aritmetiche, il risultato delle quali sia un nu-
mero intero e le quali siano rappresentabili in musica attraverso una sequenza
ritmica (Fig. 2):

                         2 1 4 1    4 2
                          + +  + +( + )×2
                         8 4 16 4  16 8




Figura 2 – Rappresentazione ritmica di un’espressione aritmetica.

     In quest’ultima attività gli studenti devono avere sempre il controllo del
calcolo (per esempio chiedendosi, ad un certo punto: “a che numero sono arri-
vato addizionando queste frazioni che ho scritto?”); inoltre, un certo numero
può essere la somma (ossia il risultato di un’addizione) di diverse sequenze di
numeri. Ad esempio, il numero 1 può essere scritto additivamente nei due se-
guenti modi (Fig. 3):




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                                           1 1 1
                                      1=    + +
                                           2 4 4
                                        1 2 4 1
                                  1=     + +  +
                                        4 8 16 4
     Figura 3 – Due possibili modi di scrivere in matematica il numero 1.

      Similmente a quanto esposto in 2), pure in tal caso, se le due scritture
esprimono lo stesso concetto matematico (la scrittura additiva del numero 1),
gli studenti comprendono che esse, qualora tradotte in valori musicali, dareb-
bero luogo a due sequenze ritmiche di senso diverso.
      5) L’intendimento delle relazioni tra le durate musicali all’interno di precise sequenze
ritmiche è stato consolidato attraverso la rappresentazione delle stesse sequenze
in equazioni intere e lineari, e viceversa. Le equazioni in matematica, oltre ad esse-
re uno degli oggetti di studio fondamentali della disciplina, costituiscono un
potente ed efficace strumento con il quale stabilire relazioni tra grandezze e ri-
solvere molti problemi della realtà.17 Si propone qui un esempio che risulta già
“avanzato” nella trattazione delle equazioni. Si supponga di dare agli studenti il
compito di eseguire la seguente sequenza ritmica composta di due parti, A e B,
ove nella prima parte mancano alcune durate (indicate dai punti interrogativi;
Fig. 4):




Figura 4 – Sequenza ritmica a due parti (A e B) con alcune durate mancanti nella prima.

     La sequenza è volutamente scritta senza suddivisione in battute, perché
questa dovrà essere definita dagli studenti stessi. Il compito di esecuzione in
duo risulta impossibile se dapprima non si determina il valore di durata delle
figure mancanti in A. Ci sono diverse strategie che si possono mettere in cam-
po per risolvere questo problema. Nella prassi dell’insegnamento gli studenti

     17 Le applicazioni della matematica si ritrovano in altre discipline, più agganciate
all’esperienza pratica quotidiana. Una di queste è la fisica, in cui si parla di “equazioni
di un moto di un corpo”. In quest’àmbito, ecco un esempio: data un’auto in corsa, per
descrivere la relazione che lega lo spazio percorso dall’auto alla sua velocità e in un de-
terminato tempo si usa un’equazione di primo grado.




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sono giunti sovente alla soluzione comparando le durate delle parti A e B: la
comparazione procede prima definendo il numero di battute della sequenza B,
proprio perché essa non contiene punti interrogativi. Analizzandola rispetto al
                                                                           4
metro, gli studenti comprendono che essa è suddivisibile in 3 battute da 4; di
conseguenza, anche la sequenza A deve essere composta da 3 battute; le figure
                                                        1
mancanti in A devono perciò avere una durata pari a 4 ciascuna. È un ragio-
namento che sul piano matematico può essere formalizzato attraverso
un’equazione, in cui la lettera 𝑥 rappresenta la durata (incognita) di ciascuna
delle figure ritmiche:

      2 1 1 4       2 1 1 2 1       2 1 1 4 1
        + + +   +𝑥+   + + +  + +𝑥+   + + +  + =3
      16 8 4 16     16 8 4 16 8    16 8 4 16 4

Figura 5 – Equazione corrispondente alle parti A e B di Fig. 4.

     La Fig. 5 rappresenta matematicamente, con un’equazione, che la parte A,
qui indicata a sinistra del segno di uguaglianza, è pari a 3 battute. Risolvendo
                                                              1
l’equazione (Fig. 6) si scopre che il valore dell’incognita è 4:
                               3    3   4
                                 +𝑥+ +𝑥+ =3
                               4    4   4
                                            10
                                     2𝑥 +      =3
                                             4
                                                    10
                                     2𝑥 = 3 −
                                                     4
                                            12 10
                                    2𝑥 =       −
                                             4   4
                                                2
                                        2𝑥 =
                                                4
                                               1
                                         𝑥=
                                               4
Figura 6 – Risoluzione dell’equazione di Fig. 5 che dà il valore dell’incognita.

    Come sempre, nel caso delle frazioni, si farà infine notare agli studenti che,
                                          1 2 4
mentre sul piano matematico i numeri 4 , 8, 16 costituiscono la stessa e unica
soluzione (perché le frazioni scritte sono tra di loro equivalenti, ossia esprimo-




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no lo stesso numero razionale), sul piano musicale si ottengono invece diverse
possibili soluzioni dalla combinazione dei valori musicali corrispondenti a quel-
le frazioni.
      6) La comprensione della durata di una sequenza ritmica in funzione di una determi-
nata velocità metronomica, è stata approfondita grazie agli argomenti matematici
dei rapporti e delle proporzioni. In matematica la proporzionalità è una relazione
che lega due grandezze variabili. Esistono vari tipi di proporzionalità: diretta,
inversa, quadratica, ecc. Se si eseguisse una sequenza ritmica ad una certa velo-
cità, la sequenza avrebbe una certa durata. Se si raddoppiasse la velocità di ese-
cuzione della stessa sequenza ritmica (o più in generale di un brano) la durata
dell’esecuzione risulterebbe dimezzata rispetto all’esecuzione precedente. In
questo caso, velocità metronomica e durata sono due grandezze inversamente
proporzionali, perché al raddoppiare dell’una l’altra dimezza. Lo si può verifi-
care sperimentalmente utilizzando un cronometro e un metronomo: analizzan-
do i dati ottenuti si può concludere che si tratta di una relazione di proporzio-
nalità inversa. Quest’attività costituisce un duplice laboratorio di Musica e Ma-
tematica: mentre alcuni studenti si esercitano nel sincronizzarsi durante
l’esecuzione musicale, cioè mentre imparano ad “andare a tempo”, altri realiz-
zano al contempo un vero e proprio esperimento di Matematica applicata alla
Fisica, poiché devono registrare dati relativi al fenomeno di velocità di esecu-
zione della sequenza, cioè devono raccogliere col cronometro l’intervallo di
tempo che intercorre dall’inizio alla fine di esecuzione della stessa (per esem-
pio: 1’), e devono interpretare tali dati attraverso relazioni matematiche.
      7) La conoscenza delle figure ritmiche irregolari è stata conseguita attraverso il pa-
rallelo con le figure geometriche piane. In geometria le figure piane sono descritte
attraverso alcune loro proprietà, ossia mediante specifiche caratteristiche. Per
esempio, un rombo è un poligono che ha quattro lati tra loro uguali, o meglio,
matematicamente parlando, congruenti; se poi, oltre a questa proprietà, il poli-
gono possedesse anche quella di avere gli angoli interni tra loro congruenti, al-
lora esso sarebbe un quadrato. La definizione di queste proprietà è l’unica cosa
che distingue una figura piana da un’altra; inoltre, due figure piane possono
avere in comune una stessa caratteristica, ad esempio il quadrato e il rombo
hanno entrambi quattro lati tra di loro congruenti. Un altro aspetto fondamen-
tale delle figure piane consiste nel fatto che la loro classificazione prescinde
dalla misura dei loro lati o angoli: da un certo punto di vista, non interessa che
un quadrato abbia un lato che misura 8 cm o 3 cm, si tratta sempre di un qua-
drato, a prescindere dalle misure dei suoi lati. Quindi, la piena comprensione
delle figure piane (ad esempio quadrato, triangolo, cerchio, deltoide, ecc.) av-
viene attraverso un processo di astrazione, che arriva a comprendere e a saper
individuare le proprietà caratteristiche di particolari figure piane. Come avviene
per tanti altri concetti astratti della matematica, anche per le figure piane pos-
siamo individuare nella realtà alcune loro rappresentazioni concrete, cioè alcuni




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oggetti che, per le caratteristiche che presentano, possono essere assimilabili a
un certo modello: posso riconoscere in una piastrella di un pavimento alcune
proprietà che sono tipiche del concetto del quadrato, e dunque affermare che
quella piastrella ha una forma quadrata, oppure individuare in un aquilone le
proprietà del deltoide;18 e così via. In Doremat, questo paragone è avvenuto tra
figure piane e alcune figure ritmiche irregolari. Come mostrato nell’esempio
che segue, si chiede agli studenti di associare un raggruppamento ritmico ad
una figura piana, motivando la risposta, ossia individuando le caratteristiche
comuni ai due oggetti (uno della musica, il raggruppamento ritmico, e uno della
matematica, la figura piana). Per alcune associazioni non esiste una sola rispo-
sta corretta, ma corrispondenze più o meno pertinenti. Cioè: se per la terzina
l’unica associazione possibile è il triangolo equilatero, perché questo ha come
proprietà la congruenza dei tre lati, che è rapportabile alla medesima durata del-
le tre note della terzina (dunque non si può associare alla terzina il triangolo
isoscele perché in questo uno dei tre lati non è congruente agli altri due), invece
alla quartina si possono associare due figure piane, il quadrato e il rombo, per-
ché entrambe hanno tutti e quattro i lati congruenti tra di loro. La consegna agli
studenti potrebbe pertanto essere: “associa ad ogni raggruppamento ritmico una
o più figure geometriche, scegliendo tra quelle proposte” (Fig. 7):




       Il deltoide è una figura piana composta da quattro lati, di cui due lati consecu-
      18

tivi devono essere tra loro congruenti. Di solito, si afferma che l’aquilone abbia la
forma di un rombo, ma di fatto esso non ha tutti e quattro i lati congruenti come il
rombo, ma ne ha solo due: perciò è un deltoide.




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Figura 7 – Compito per gli studenti: associare una o più figure geometriche a ciascun
raggruppamento ritmico dato.

     La soluzione del compito, che nell’esempio seguente contiene tutte le cor-
rispondenze pertinenti, è la seguente:




Figura 8 – Soluzione del compito di Fig. 7.

     8) L’invenzione di sequenze ritmiche complesse, anche eseguite simultaneamente, è stata
incentivata mediante la loro rappresentazione con i sistemi di equazioni lineari.
Questo punto consiste in un’estensione degli argomenti proposti nel punto 5).
Nei sistemi di equazioni le incognite sono più di una; in Doremat abbiamo trat-
tato i sistemi di due equazioni a due incognite; in tali equazioni ciascuna inco-




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gnita rappresenta un valore musicale (suono o pausa) o una figurazione ritmica
(Fig. 9):

                                2 1    4 1
                              𝑥+ + =     + +𝑦
                             {  8 2 16 4
                                  2𝑦 = 4𝑥

Figura 9 – Sistema di due equazioni a due incognite.

     La corrispondente sequenza, con le incognite matematiche rappresentate
dai punti interrogativi, è quella della Fig. 10, a quattro parti. In essa si stabilisce
che le incognite relative ai valori musicali o alle figurazioni ritmiche mancanti
sono due: una è il punto interrogativo che compare nella parte A, la quale
esprime la stessa figura incognita rappresentata da ciascuno dei punti interroga-
tivi posti nella parte D (e che nella rappresentazione matematica indichiamo
con la lettera x); l’altra è il punto interrogativo che compare nella parte B, che
esprime lo stesso valore o la stessa figurazione ritmica incognita rappresentata
da ciascuno dei punti interrogativi posti nella parte C dello stesso esempio (e
che nella rappresentazione matematica indichiamo con la lettera y):19




Figura 10 – Rappresentazione ritmica a quattro parti corrispondente al sistema di due
equazioni a due incognite di Fig. 9.




      19 Questa precisazione si è resa necessaria perché il lettore potrebbe chiedersi
come mai non si rappresentino tutti gli otto punti interrogativi di Fig. 10 con una sola
lettera, ad esempio 𝑥, oppure con lettere tutte diverse tra loro.




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     La risoluzione del sistema a due incognite di Fig. 9 è la seguente (Fig. 11):

                                        3 2
                                     𝑥+ = +𝑦
                                    {   4 4
                                       𝑦 = 2𝑥

                                       3 2
                                    𝑥 + = + 2𝑥
                                   {   4 4
                                       𝑦 = 2𝑥

                                        3 2
                                         − =𝑥
                                       {4 4
                                         𝑦 = 2𝑥

                                          1
                                            =𝑥
                                         {4
                                             1
                                          𝑦=
                                             2
Figura 11 – Risoluzione de sistema di due equazioni a due incognite di Fig. 9.

     La rappresentazione musicale del sistema risolto è infine questa (Fig. 12):




Figura 12 – Sequenza ritmica a quattro parti, corrispondente al sistema di due equa-
zioni a due incognite di Fig. 9, con la risoluzione dei punti interrogativi di Fig. 10.

    Se nella Fig. 5 l’equazione a un’incognita rappresentava una sequenza rit-
mica a due parti – utile per quanto descritto nel punto 5) –, ora servono due
equazioni per rappresentare, ciascuna, due parti di una sequenza, come è evi-




                                                                    Musica Docta, IX, 2019
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dente nelle Figg. 9 e 10. Ecco perché la sequenza ritmica corrispondente a un
sistema di due equazioni è a quattro parti, come si evince dalle Figg. 10-12.
     Questi pochi esempi permettono di constatare che gli argomenti trattati in
entrambe le pubblicazioni sono comuni a scuole secondarie di primo e di se-
condo grado, altri sono insegnati solo in quest’ultimo tipo di scuole. È necessa-
rio aggiungere che nello sviluppo della ricerca seguita al volume del 2015 è
emersa l’esigenza di trattare alcuni argomenti per nulla affrontati in questo vo-
lume, e di portarne avanti altri che vi erano stati appena accennati. I seguenti
punti 9), 10) e 11), elencano, rispettivamente, un argomento presente ex novo
nella pubblicazione del 2018, e due altri argomenti abbozzati nel volume del
2015 e che sono stati ampliati nella seconda pubblicazione.
     9) L’appoggiatura musicale è stata introdotta per la prima volta nella pubblica-
zione del 2018 mediante l’argomento aritmetico della sottrazione tra frazioni. Dal
momento che l’appoggiatura sottrae alla nota principale il valore che essa stessa
esprime, si può utilizzare la sottrazione tra frazioni per rappresentare lo stesso
concetto nella corrispondente scrittura matematica (Fig. 13):




                         1   4 1  1  2 1   2
                           +( − )+ +( − )+
                         8   4 8  4  4 4   4
Figura 13 – Frase ritmica con appoggiatura e sua rappresentazione aritmetica mediante
la sottrazione tra frazioni.

     Ci si potrebbe chiedere a cosa giovi “complicare” l’apprendimento musi-
cale dell’appoggiatura attraverso non la semplice sottrazione, ma addirittura la
sottrazione tra frazioni. Sul piano esclusivamente musicale, questo argomento
matematico non sarebbe di per sé necessario. Ma Doremat, come si è ampia-
mente affermato, è un progetto che mira a integrare le due discipline nei loro
fondamenti epistemologici, e non semplicemente ad accostarle: ogni valutazio-
ne del progetto, e delle integrazioni realizzate, va compiuta tenendo presente
questo fondamento concettuale. Pertanto, poiché nel volume del 2015 non
erano state trattate tutte le operazioni tra frazioni, bensì mancavano la sottra-
zione e la divisione – l’addizione e la moltiplicazione erano state spiegate con la
rappresentazione matematica di sequenze ritmiche e melodiche: vd. supra, punti
3) e 4) – si è deciso di affrontare la sfida, di tipo intellettuale. Questa sfida al
momento si è risolta solo sul piano della sottrazione tra frazioni.20 L’argomento

     20 La divisione non è ancora stata affrontata: per questo Doremat rimane un pro-

getto di ricerca scientifica e didattica aperta a ulteriori sviluppi.




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dell’appoggiatura trattato mediante la sottrazione tra frazioni corrisponde ad
una concretizzazione musicale di una rappresentazione astratta, o, in altri ter-
mini, ad una matematizzazione della realtà. Sul piano generale della formazio-
ne, promuovere questo processo di pensiero significa dotare gli studenti di ca-
pacità di generalizzazione a partire dall’osservazione analitica di dati concreti.
     10) La conoscenza e la comprensione del canone musicale, e l’invenzione di un canone,
che nel volume del 2015 erano state affrontate con l’argomento geometrico
della traslazione, anche rappresentata su un piano cartesiano, nella pubblicazione
del 2018 sono state incrementate. La traslazione in geometria è uno sposta-
mento rigido di una figura su un piano. Lo spostamento si definisce rigido per-
ché la figura non può essere deformata. Inoltre, lo spostamento avviene al
massimo su due direzioni (potrebbe avvenire anche su una sola direzione), cioè
su due rette disposte in vario modo, e comunque tra loro incidenti (che si toc-
cano in un punto). Nel volume del 2015 era stata trattata la traslazione dise-
gnando il profilo di una melodia attraverso il piano cartesiano. Questo lavoro è
stato utile a visualizzare in modo grafico matematico dapprima una sola linea
melodica e poi le varie linee melodiche di un canone. Per esempio, nel caso di
una sola melodia, dato il noto tema Ah vous dirai-je maman KV 265 di Wolfgang
Amadeus Mozart (Es. mus. 1),




Esempio musicale 1 – Melodia del tema delle Variazioni su Ah vous dirai-je maman
KV 265 di W. A. Mozart.

se ne realizza la rappresentazione cartesiana indicando le altezze sull’asse verti-
cale, quello delle ordinate, attraverso l’indicazione numerica delle loro frequen-
ze espresse in Hertz (do3 - do3 - sol3 - sol3 - la3 - la3 - sol3: 261,6 - 261,6 - 392 -
392 - 440 - 440 - 392), e ponendo le durate sull’asse orizzontale, quello delle
ascisse, ove si assume come unità di base la durata della semiminima, pari al
segmento indicato nell’esempio (che è di 5mm, anche se qui la misura della
lunghezza del segmento non è essenziale). Ne deriva la seguente rappresenta-
zione del tema mozartiano, corrispondente ad una figura piana (Fig. 14):




                                                                    Musica Docta, IX, 2019
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Figura 14 – Rappresentazione cartesiana della melodia delle Variazioni su Ah vous di-
rai-je maman KV 265 di W. A. Mozart

     Una volta che gli studenti avranno imparato a disegnare su un piano carte-
siano una singola melodia, essi potranno capire che, quando lo stesso procedi-
mento si applichi a un canone musicale, come ad esempio al celebre Fra’ Marti-
no campanaro (Es. mus. 2),




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Esempio musicale 2 – Il noto canone Fra’ Martino campanaro, qui trascritto a tre parti.

si ottiene la traslazione geometrica delle varie linee melodiche del canone (vd.
Fig. 15; per una questione di spazio qui a disposizione per l’immagine di Fig.
15, sono state rappresentate sul piano cartesiano soltanto le prime quattro bat-
tute e le prime due parti):




                                                                    Musica Docta, IX, 2019
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Figura 15 – Rappresentazione cartesiana delle prime quattro battute, e delle sole prime
due parti, del canone Fra’ Martino campanaro.

      Anche in questo esempio le note sono tradotte in numeri che esprimono
le frequenze, le quali sono poste in ordinata (do3-re3-mi3-do3..:
261,6-293,7-329,6-261,6…), mentre le durate delle note sono indicate in ascissa
(la semiminima è pari alla lunghezza del segmento, che si è fatto corrispondere
in figura, e che è sempre di 5 mm). In riferimento alla Fig. 15, è tracciata di co-
lore nero la figura piana che rappresenta la linea melodica della prima parte,
mentre in rosso la figura piana che rappresenta la linea melodica della seconda
parte. Questo lavoro consente agli studenti di osservare che, sovrapponendo la
figura rossa alla figura nera, cioè traslando la prima sulla seconda, le due figure
coincidono, e dunque la figura rossa è la traslata di quella nera.
      Nella pubblicazione del 2018 tutto questo lavoro è stato approfondito
mediante il collegamento all’argomento musicale del trasporto, nel modo qui di
seguito esemplificato. Agli studenti si propone di eseguire la nota melodia del
tema mozartiano di cui nell’Es. mus. 1. Con l’ausilio di una tastiera si chiede
loro di calcolare quanti tasti bianchi e neri ci siano a partire da un determinato
suono del tema fino al suono di arrivo, conteggiando entrambi i tasti di parten-
za e di arrivo. Quando vi sia un unisono, il conteggio dei due tasti è pari a 0.
Pertanto: tra i due do3 iniziali del tema mozartiano, che hanno la stessa altezza,
il numero di tasti è 0; tra il secondo do3 e il primo sol3 del tema il numero di
tasti è 8; e così via. Gli studenti ottengono la sequenza numerica corrisponden-
te all’intera melodia (Fig. 16):




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Figura 16 – Conteggio del numero di tasti (bianchi e neri) che intercorrono tra un
suono e l’altro della melodia mozartiana di Es. mus. 1.

      La sequenza numerica costituisce la traccia per scrivere una nuova melo-
dia, ad essa abbinata, ma a partire da una nota (un’altezza) diversa da do: gli
studenti scoprono così che la nuova melodia che si può comporre in base alla
sequenza numerica suona come la melodia originaria, pur partendo da una nota
diversa. Essi apprendono dunque il procedimento del trasporto, che essendo
pure uno spostamento di una melodia a un’altezza diversa, corrisponde in
geometria alla traslazione della melodia stessa (sebbene ciò avvenga in maniera
non rigorosa dal punto di vista matematico, per motivi specificati di seguito,
nella spiegazione di Fig. 17)21.
      Consolidato questo apprendimento, gli studenti provano a inventare alcu-
ne sequenze melodiche utilizzando la stessa sequenza numerica del tema mo-
zartiano (vd. Fig. 16), ma invertendo la direzione degli intervalli (premesso che
gli studenti non conoscono la classificazione degli intervalli, ma appunto impa-
rano il trasporto con il sistema di numerazione sopra descritto, si farà osservare
che nell’Es. mus. 3 la quinta giusta ascendente diventa una quinta giusta di-
scendente; la seconda maggiore ascendente diventa una seconda maggiore di-
scendente; e così via), pur a partire dallo stesso do3. Essi ottengono così una
melodia inversa (Es. mus. 3):




Esempio musicale 3 – Melodia inversa delle prime 4 battute di quella mozartiana di
Es. mus. 1.



     21  Il trasporto si potrebbe applicare anche alle dodici variazioni che, nella compo-
sizione di Mozart, seguono il tema mozartiano qui citato, per sviluppare un possibile
percorso didattico così come esemplificato in Chiara Sintoni, Music Listening, Composition,
and Performance: An Experience of Creativity for Education, in Multidisciplinary Contributions to
Science of Creative Thinking, a cura di G. E. Corazza e S. Agnoli, Singapore, Springer, 2016,
pp. 301-323.




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e poi uniscono in un unico periodo musicale l’originale tema mozartiano
(bb. 1-4) e la melodia inversa dell’Es. mus. 3 (bb. 5-8; Es. mus.4) per realizzar-
ne la corrispondente rappresentazione su un piano cartesiano, nello stesso mo-
do delle Figg. 14 e 15 (Fig. 17):




Esempio musicale 4 – Le prime 4 battute della melodia mozartiana di Es. mus. 4 e la
loro inversione.




Figura 17 – Rappresentazione cartesiana della melodia di Es. mus. 4.

     Lo scopo dell’unione delle due frasi musicali in un unico periodo musicale
è di farne una rappresentazione cartesiana per ottenere due figure piane corri-
spondenti e per coglierne graficamente, sul piano matematico, il rapporto. Nel-
la Fig. 17, la figura che rappresenta l’originale melodia mozartiana è a sinistra
della retta r e quella inversa composta dagli studenti è a destra della stessa.
Emerge che le due figure non sono esattamente identiche tra loro, dunque la
seconda a destra non è la traslata della prima a sinistra, perché le distanze tra le
frequenze della prima melodia sono diverse dalle distanze delle frequenze della
seconda melodia. In termini aritmetici, riferiti alle frequenze, si ha infatti quan-
to segue: tra il do3 (261,6 Hz) e il sol3 (392 Hz) iniziali della melodia mozartiana
c’è una distanza di 130,4 Hz, ottenuta attraverso la sottrazione alla frequenza
del sol3 della frequenza del do3 (392-261,6=130,4); tra il do3 (261,6 Hz) e il fa2




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(174,6 Hz) della melodia inversa c’è una distanza di 87 Hz (261,6-174,6).22 In
definitiva, le due figure geometriche corrispondenti alle due frasi musicali non
sono identiche ma simili. Questa comprensione attraverso il grafico cartesiano
è utile a sviluppare competenze visivo-spaziali, per giungere a rappresentarsi
mentalmente non solo le figure piane, in geometria, ma anche i rapporti tra va-
rie linee melodiche, in musica. Da quest’ultimo punto di vista, inoltre, un tale
processo di lavoro insegna a capire il senso matematico della scrittura in moto
inverso, propria della tecnica contrappuntistica, e costituisce un ponte per apri-
re la possibilità di collegare altri aspetti di questa tecnica all’argomento delle
simmetrie assiali, come emerge dal seguente punto 11).
      11) L’invenzione di sequenze melodiche, strutturate su forme semplici è stata affron-
tata nel volume del 2015 mediante le simmetrie assiali. Nondimeno, nella seconda
pubblicazione le stesse simmetrie assiali sono state sviluppate mediante la
composizione di sequenze melodiche per moto retrogrado (e non solo). Si
consideri ad esempio la prima frase, ossia le prime 4 battute della già citata me-
lodia Ah vous dirai-je maman di Mozart (Es. mus. 5):




Esempio musicale 5 – Prime 4 battute della melodia mozartiana di Es. mus. 1.

     Gli studenti sono invitati a comporre una sequenza melodica, basata sulla
sequenza numerica già utilizzata per la melodia mozartiana (nella Fig. 16), ma
procedendo all’indietro, ossia in senso retrogrado o “cancrizzante” (partendo
dall’ultima nota del tema di Mozart verso la prima, cioè mantenendo le stesse
note e le medesime durate, come pure gli intervalli, ma invertendo la direzione
di questi ultimi):




Esempio musicale 6 – Il retrogrado della melodia mozartiana di Es. mus. 5.

     22 Ci si potrebbe chiedere perché nella figura di sinistra si sottrae alla frequenza
maggiore (sol3) la frequenza minore (do3) e invece nella figura di destra si fa il contra-
rio. Premesso che, se ciò si facesse, si otterrebbe un numero negativo (infatti se alla
frequenza del fa2 sottraessimo la frequenza del do3, avremmo: 174,6-261,6= -87), in
matematica al concetto di distanza si attribuisce un valore, ossia un numero, positivo.
Il numero non può essere negativo, perché non avrebbe senso dire che la distanza tra
due oggetti è, ad esempio, -87, in quanto la distanza non esisterebbe; pertanto diciamo
che la distanza è di 87, considerando sottointeso il segno positivo.




                                                                     Musica Docta, IX, 2019
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Essi vengono invitati poi a scrivere le due frasi una di seguito all’altra, ottenen-
do questo periodo musicale:




Esempio musicale 7 – Le prime 4 battute della melodia mozartiana di Es. mus. 1 e il
loro retrogrado.

      Certo, il risultato sonoro-musicale non è granché: ci sono molti esempi ar-
tistici che si sarebbero potuti trarre dalle composizioni di Johann Sebastian
Bach; ma esse sono complesse, e non avrebbero permesso agli studenti di
comprendere subito il preciso significato matematico del concetto di simme-
tria, da riconoscere poi eventualmente, nei suoi vari tipi, nelle composizioni
bachiane. In Doremat si è proceduto con gradualità, collegando le esemplifica-
zioni musicali alla visualizzazione grafica matematica. Pertanto, giunti alla scrit-
tura musicale dell’Es. mus. 7, gli studenti imparano a rappresentare le due frasi
che lo compongono (la prima: bb .1-4; la seconda: bb. 5-8) su un piano carte-
siano e, osservandolo visivamente, a rispondere ad un interrogativo importan-
te: perché, nella rappresentazione cartesiana, si può dire che le due frasi musi-
cali formano una simmetria?




Figura 18 – Rappresentazione cartesiana della melodia di Es. mus. 7.

     La risposta non può che essere la seguente: poiché le due frasi musicali
sono qui raffigurate da due figure piane, rispettivamente a sinistra e a destra
della retta r (nella Fig. 18 evidenziata in rosso), preso un qualsiasi punto della
figura a sinistra, per esempio P, esso ha una distanza dalla retta r pari alla di-
stanza del suo corrispondente nella figura a destra dalla medesima retta, e cioè
Q. In altri termini, la lunghezza del segmento P-O è identica alla lunghezza del




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segmento Q-O; e così per gli altri punti delle due figure. Queste, e dunque le
due frasi musicali che esse rappresentano, si corrispondono in una simmetria
assiale, che a sua volta rappresenta matematicamente il moto retrogrado in mu-
sica.
      Nelle due pubblicazioni del 2015 e del 2018 sono stati affrontati anche al-
tri assi di simmetria, oltre quello verticale delle esemplificazioni sopra riportate,
e in particolare l’asse di simmetria orizzontale (parallelo all’asse delle ascisse),
sui quali però non mi soffermo per ragioni di brevità.
      In definitiva, se storicamente i saperi musicali e matematici sono collegati
da una lunga tradizione, e molti sono gli studi in questo àmbito che ne dimo-
strano i rapporti, non altrettanto avviene sul piano didattico. Dal principio ai
suoi sviluppi, Doremat ha evidenziato che le due discipline hanno due “forme
linguistiche” che in didattica si coadiuvano e si completano. Così come i con-
tenuti trattati nelle due pubblicazioni qui citate sono essenziali per maturare sul
piano della Matematica competenze di analisi, sintesi, calcolo, rappresentazione
aritmetica, algebrica, o geometrica, gli stessi sul piano della Musica permettono
lo sviluppo di competenze di lettura, scrittura, teoria, analisi musicale, ascolto
ed esecuzione, e anche minime competenze nell’invenzione musicale, per
esempio di strutture ritmiche prima semplici, poi complesse ché pensate per
l’esecuzione di più voci o strumenti, dove la polifonia è trattata con semplici
equazioni lineari, e non con sistemi di equazioni, in forma di duo, e con espres-
sioni aritmetiche). Per entrambe le discipline, inoltre, gli studenti maturano
competenze linguistiche specifiche assai elevate.
      Nel concludere, desidero segnalare che l’integrazione tra le due discipline
sul piano didattico presenta ancora diversi punti problematici che sono rimasti
irrisolti, e sui quali i ricercatori e gli insegnanti che hanno lavorato a questo
progetto si interrogano: per tali ragioni Doremat prevede un suo prosieguo. Ma
il lavoro svolto sino ad oggi, e soprattutto i risultati ottenuti, permettono di so-
stenere che questo progetto, puntando agli obiettivi di sviluppo delle compe-
tenze matematiche e del pensiero scientifico, mediante il recupero
dell’orizzonte culturale della musica, e pure promuovendo le competenze mu-
sicali di lettura, scrittura, esecuzione, composizione e improvvisazione musicali,
attraverso la formalizzazione matematica, rimotiva i giovani allo studio, amplia
lo spettro dei linguaggi didattici possibili e favorisce l’inclusione di allievi con
disagio e difficoltà di astrazione, concentrazione, disturbi cognitivi e disabilità
sensoriali. È proprio nell’integrare gli aspetti intellettuali ed emotivi, sia della
Matematica sia della Musica, nonché le dimensioni teorica e tecnico-procedurale,
il fare e il riflettere, le esperienze scientifiche con quelle estetiche, che Doremat si
presenta quale formidabile strumento per l’apprendimento efficace di due saperi
“difficili” e, con esso, per una vera emancipazione etico-sociale.
                                                                             carla.cuomo@unibo.it




                                                                    Musica Docta, IX, 2019
                                                                          ISSN 2039-9715
200                                                Apprendere la musica assieme alla matematica: “Doremat”
                                                                        APPENDICE
                                                             Tabella delle “scuole Doremat”
                                                               (a cura di Rachele Vagni)

                 DENOMINAZIONE SCUOLA                                              TIPO DI SCUOLA                            ANNI SCOLASTICI          SUPERVISIONE
                                                                                                                            di sperimentazione          da parte di
                                                                                                                                 di Doremat           alcuni autori di
                                                                                                                                                      Doremat (2015)
 ENFAP                                                        Istituto d’Istruzione e Formazione professionale              dal 2007 al 2017         si
 Ente Nazionale Formazione Apprendimento Professionale
 Forlì – Emilia Romagna
 (*) Istituto Professionale “Roberto Ruffilli”                Istituto di Istruzione Superiore                              a.s. 2012/2013           si
 Forlì – Emilia Romagna                                       scuola professionale
 (*) Istituto Professionale “Persolino Strocchi”              Istituto professionale Statale                                a.s. 2012/2013           si
 Faenza – Emilia Romagna                                      servizi commerciali e servizi per l’agricoltura
 (*) Istituto Calasanzio                                      Liceo scientifico                                             a.s. 2012/2013           si
 Empoli – Toscana
 (*) Liceo Artistico “G. Chierici”                            Liceo Artistico Statale                                       a.s. 2012/2013           si
 Reggio Emilia – Emilia Romagna
 (*) Marupe Secondary school                                  Scuola secondaria di secondo grado                            a.s. 2012/2013           si, a distanza
 Riga – Lettonia
 (*) Jelgava Spidola Gymnasium                                Scuola secondaria di secondo grado                            a.s. 2012/2013           si, a distanza
 Riga – Lettonia
 Fondazione Aldini Valeriani                                  Scuola di Industrial Management di Confindustria               a.s. 2013-2014          si
 Bologna – Emilia Romagna                                     con percorsi di formazione, tra i quali quelli di istruzione e
                                                              formazione professionale
 IAL                                                          Istituto d’Istruzione e Formazione professionale               a.s. 2013-2014          si
 Innovazione Apprendimento Lavoro
 Ferrara, Cesenatico e Riccione – Emilia Romagna
 Oficina s.r.l.                                               Impresa sociale                                               a.s. 2013-2014           si
 Bologna – Emilia Romagna                                     Corsi di Istruzione e Formazione professionale
 Istituto comprensivo n. 1 “G. Rodari”                        Scuola secondaria di primo grado                              a.s. 2014-2015           si
 San Lazzaro di Savena – Emilia Romagna
 Istituto comprensivo n. 2 “C. Jussi”                         Scuola secondaria di primo grado                              a.s. 2014-2015           si
 San Lazzaro di Savena – Emilia Romagna
                                                                                                                                              Musica Docta, IX, 2019
                                                                                                                                                    ISSN 2039-9715
                                                                               Carla Cuomo                                                                      201

 Istituto comprensivo n. 5 “P. Squadrani” e “L. Tempesta”           Scuola primaria                                               a.s. 2016-2017      si
 Forlì – Emilia Romagna
 Istituto comprensivo Porto Garibaldi                               Scuola primaria                                               a.s. 2017-2018      si
 Comacchio – Emilia Romagna
 Istituto comprensivo “E. Fermi”                                    Scuola secondaria di primo grado                              a.s. 2017-2018      si
 Reggio Emilia – Emilia Romagna
                                                                                                                                  e ancora in corso
 Istituto comprensivo “G. Pascoli”                                  Scuola primaria                                               aa.ss. 2016-2019    no (adottato nel
 Silvi – Abruzzo                                                                                                                                      PTOF triennale)
 Istituto comprensivo di Cogorno                                    Scuola primaria e secondaria di primo grado                   aa.ss. 2016-2019    no (adottato nel
 Cogorno – Liguria                                                                                                                                    PTOF triennale)
 Istituto di Istruzione Secondaria Superiore “R. Luxemburg”         Istituto professionale servizi culturali e dello spettacolo   aa.ss. 2016-2019    no (adottato nel
 Acquaviva delle Fonti – Puglia                                     e servizi per la sanità e l’assistenza sociale                                    PTOF triennale)
 Istituto comprensivo Rudiano                                       Scuola primaria e secondaria di primo grado                   a.s. 2016-2017      no (corso di
 Rudiano – Lombardia                                                                                                                                  formazione per
                                                                                                                                                      gli insegnanti
                                                                                                                                                      tenuto da
                                                                                                                                                      personale della
                                                                                                                                                      scuola)
 Istituto d’Istruzione Secondaria “ITI-ITG”                         Istituto tecnico industriale                                  a.s. 2018-2019      Realizzato da
 Vibo Valentia                                                      e Istituto tecnico per geometri                                                   personale
                                                                                                                                                      docente interno
                                                                                                                                                      (senza la
                                                                                                                                                      presenza degli
                                                                                                                                                      autori)

(*) Scuole che hanno aderito alla sperimentazione scientifica con il “Progetto Leonardo”.




Musica Docta, IX, 2019
ISSN 2039-9715
