Simmetrie fra Matematica e Musica, a cura di F. Favali e M. Mannone 
10.6092/issn.2039-9715/13980
Attraverso una selezione di saggi, il volume offre una panoramica sulle simmetrie in musica studiate in una prospettiva matematica e fisica. L’idea di tradurre dall’inglese all’italiano nove saggi su questo tema può essere interpretata come meritevole tentativo di renderli immediatamente fruibili al di fuori dell’ambiente scientifico. La prima sezione, ‘Prospettive musicologiche‘, è di carattere ‘umanistico’ e propone diverse letture della storia della musica attraverso il filtro di altrettante accezioni del concetto di simmetria; la seconda, ‘Prospettive matematiche e fisiche‘, ha un approccio specificamente scientifico ed elabora sostanzialmente modelli di rappresentazione e visualizzazione dei principi impliciti nelle strutture musicali oppure analizza le proprietà fisico-acustiche dell’oggetto sonoro,  evidenziando in modo più o meno esplicito fattori di simmetria.
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Marco  Uvietta
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Musica Docta
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      Musica Docta. Rivista digitale di Pedagogia e Didattica della musica, pp. 165-170




Simmetrie fra Matematica e Musica, trad. it. di F. Favali e M. Mannone, Palermo,
Palermo University Press, 2020, 278 pp.

      È senz’altro di grande utilità un vademecum sulle simmetrie in musica, soprat-
tutto se studiate in una prospettiva matematica. L’idea di tradurre dall’inglese
all’italiano nove saggi su questo tema può essere interpretata come meritevole
tentativo di renderli immediatamente fruibili al di fuori dell’ambiente scientifico.
Di fatto, delle due sezioni di cui si compone questo libro (I. Prospettive musicologi-
che, II. Prospettive matematiche e fisiche) solo la prima – di carattere “umanistico” – è
accessibile a tutti, mentre la seconda richiede in qualche caso competenze mate-
matiche di cui raramente l’umanista è in possesso. La prima sezione, composta
di quattro saggi, propone diverse letture della storia della musica attraverso il
filtro di altrettante accezioni del concetto di simmetria; la seconda elabora so-
stanzialmente modelli di rappresentazione e visualizzazione dei principi impliciti
nelle strutture musicali oppure analizza le proprietà fisico-acustiche dell’oggetto
sonoro, evidenziando in modo più o meno esplicito fattori di simmetria. Oltre
che per i contenuti, le due sezioni si differenziano per grado di novità: i due primi
saggi della prima sezione furono pubblicati in origine rispettivamente nel 1996 e
nel 1997, gli altri due nel 1986; quelli della seconda – ad esclusione del primo
(1986), che potrebbe ben figurare anche nella sezione “umanistica” – sono molto
più recenti (fra il 2010 e il 2017). Ciò non costituisce di per sé un discrimine
qualitativo; sorge tuttavia spontaneo il quesito se negli ultimi decenni il concetto
di simmetria in musica sia stato più appannaggio delle discipline sistematiche e
scientifiche che di quelle storico-estetiche.
      In ogni caso, è merito della sezione “umanistica” suscitare quesiti, indicare
prospettive, stimolare interpretazioni attraverso un approccio ad ampio raggio,
mai focalizzato su singoli dettagli, bensì esteso su vasti orizzonti: ciò che dalla
musicologia attuale verrebbe tacciato di eccesso di semplificazione, giova in
realtà ancor oggi come stimolo a recuperare lo slancio ermeneutico che ha carat-
terizzato gli ultimi decenni del secolo scorso. Resta ampio spazio, dopo la lettura
dei quattro saggi “umanistici’, per sviluppare un tema solo sfiorato, ossia il valore
simbolico della simmetria speculare (accennato solo nel saggio di Donnini; vedi
sotto), la quale, stricto sensu, risulta in musica di fatto irrealizzabile sia dal punto
di vista fisico sia psico-percettivo. Dal punto di vista fisico-acustico la simmetria
attorno all’asse orizzontale è un’illusione sonora, giacché ciò che sta nel grave ha
funzioni diverse da ciò che sta nell’acuto (la teoria degli armonici discendenti
svolgeva a sua volta una funzione simbolica e apologetica); piuttosto, questo tipo
di specularità – ovvero moto contrario delle parti – ha consentito, almeno da
Bach in poi, di introdurre dissonanze altrimenti impensabili, mentre nel Nove-
cento ha costituito uno stratagemma estremamente efficace per la proliferazione
del materiale compositivo a partire da un principio unitario. Quanto alla simme-
tria attorno all’asse verticale, ossia nella dimensione temporale, la problematicità
della sua applicazione alla musica è evidenziata nella Prefazione di David



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Fontanesi (p. 10): in che misura un concetto geometrico, cioè statico, è applica-
bile a un’arte che si sviluppa nel tempo?

      Poiché è nella natura della musica il suo continuo “venir meno”, ciò significa che
non è possibile conservarla effettivamente se non nella memoria. La memoria fa stare il
suono precedente insieme con il conseguente, li fa coesistere; non li fa consistere – si badi –
perché nel loro fluire le note antecedenti sono immediatamente sostituite dalle succes-
sive, ma la memoria le immagina compresenti. […] Ecco quindi chiarita teoreticamente
la ragione per la quale è del tutto legittimo utilizzare una nozione geometrica come
quella di simmetria rapportandola all’arte dei suoni.

       La memoria come strumento di reversibilità del tempo è ipotizzabile, ap-
punto, soltanto sul piano teoretico, in quanto presuppone: a) che essa agisca in
modo rettilineo e consequenziale; b) che agisca per tutti nello stesso modo. Illu-
minante in tal senso l’idea di Dana Wilson nel contributo intitolato La simmetria
e il suo rapporto di “amore-odio” con la musica (p. 85):

      Il compositore deve lavorare sodo per infondere all’ascoltatore alcune immagini
uditive, ma una volta assimilate, un intero movimento può essere “richiamato” da un
singolo frammento o frase. La simmetria percepita nella musica, quindi, può essere radi-
calmente diversa dalla quantità di tempo effettivamente dedicata a ciascun evento. Il
fatto che la maggior parte dei climax avvenga a circa due terzi del percorso (spesso vicino
alla “sezione aurea”) potrebbe riguardare non una scelta di asimmetria, ma la capacità
della memoria umana di ricordare un’idea a partire da un frammento. Un compositore
deve regolare gli eventi in modo che la salita sulla montagna richieda più tempo (e sia
solitamente più ardua) della corsa dall’altra parte, anche se, quando raggiunge la base,
l’“escursionista” percepisce la montagna stessa come sostanzialmente simmetrica.

      Questo spiega anche la prassi delle riprese abbreviate, frequentissime in
epoca romantica (si pensi ad esempio a molti dei Lieder ohne Worte di Mendels-
sohn) e la funzionalità delle reminiscenze tematiche nelle forme cicliche: è evi-
dente che il tempo musicale deve essere inteso come una dimensione “curva” e
prospettica, in cui ciò che è recente ha inevitabilmente un “peso mnemonico”
superiore a ciò che è più lontano nel tempo; tenendo conto, tuttavia, che la me-
moria non è un orizzonte rettilineo, quindi in grado di ricomporre simmetrie
virtuali anche in loro assenza. Nel saggio di Wilson l’assimilazione del rapporto
fra simmetria e asimmetria alla dialettica «aspettativa-negazione» sposta il focus
dagli aspetti geometrici e visivi a quelli psico-percettivi, intuizione che consente
anche di evitare lo stereotipo del valore estetico della simmetria in sé. Stereotipo
che invece aleggia, pur senza essere teorizzato, in altri saggi della prima sezione:
già nell’Introduzione i traduttori parlano di «ricerca di simmetria e bellezza»
(p. 18), mentre il frequente ricorso al concetto di ‘deviazione’ o ‘infrazione’, ‘vio-
lazione’ della simmetria (vd. il contributo di Davorin Kempf intitolato Che cos’è
la simmetria in musica?, pp. 30, 32, 43) implica di per sé un giudizio di valore, in




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cui l’asimmetria è ridotta al rango di funzione di adattamento. Peraltro tutti gli
autori della prima sezione concordano sul fatto che «la presenza della simmetria,
raggiunta in maniera conscia o inconscia, conservata o spezzata, non garantisce
nulla» (così Kempf a p. 43).
      Che in musica la simmetria “perfetta” si trovi assai di rado, è un altro con-
cetto condiviso dai quattro autori della prima sezione, ma sorprende che nel già
citato excursus storico di Kempf – più una rassegna di casi emblematici che una
spiegazione, come promette il titolo, di cosa sia la simmetria in musica – compaia
un’asserzione come questa: «La simmetria è spesso rotta in vari modi. La princi-
pale ragione per una piccola o grande violazione della simmetria è che la logica
matematica e la logica musicale non sono necessariamente compatibili» (p. 43).
Dunque la simmetria in musica è solo una metafora o un modello concettuale
che richiede necessariamente adattamento, un criterio applicabile quindi solo in
modo imperfetto? Per confutare questa tesi Jonathan W. Bernard (Spazio e sim-
metria in Bartók) propone il concetto di «simmetria polivalente» (p. 64) per ricon-
durre casi di apparente applicazione imperfetta alla possibilità di compresenza di
più assi di simmetria agenti a diversi livelli strutturali. Ma la dimostrazione di
questa polivalenza richiede necessariamente un approccio unilaterale che enfa-
tizza la simmetria a discapito di tutti gli altri «criteri [logici] elementari», per citare
Boris Porena (Microstrutture, criteri elementari del “Mikrokosmos”, in Bartók e la didat-
tica musicale, «Quaderni di Musica / Realtà», 2, 1984, pp. 85-92), altrettanto im-
portanti nella musica di Bartók: ripetizione, parallelismo, variazione, comple-
mentarità, modularità ecc. (basti sfogliare il Mikrokosmos per trovarne i paradigmi
isolati, nelle loro condizioni primarie). Se nel linguaggio musicale di Bartók la
simmetria ha assunto tanto rilievo è perché mai nessuno, prima di lui, l’aveva
applicata in modo così radicale da sfiorare il punto di stallo, evitato sempre in
extremis. Lo stesso «charme des impossibilités» sedurrà Olivier Messiaen (si veda
il suo Technique de mon langage musical, Paris, Leduc, 1942, I, p. 5), che forse in
modo ancor più radicale applicherà i principii di simmetria nei modi a trasposi-
zione limitata e nei ritmi non retrogradabili; impossibili, appunto, perché in mu-
sica producono dei veri e propri cortocircuiti, dei trompe-l’oreille che dissociano la
percezione sonora dal substrato strutturale (ma anche dal testo scritto; vedi più
avanti il saggio di Donnini).
      George Rochberg (La polarità nella musica: simmetria, asimmetria e loro conse-
guenze) propone una lettura della storia della musica attraverso la dialettica e gli
avvicendamenti di tendenze generali: accogliendo la periodizzazione storica tra-
dizionale, Rochberg individua la prevalenza della simmetria nella polifonia rina-
scimentale (forse per la tendenza all’equivalenza melodica delle parti), l’emergere
dell’asimmetria nel barocco, in specifico in Monteverdi (forse per la differenzia-
zione delle funzioni di melodia, basso e armonia), il graduale passaggio, in epoca
classico-romantica, dall’asimmetria del diatonismo alla simmetria del cromati-
smo, fino all’affermazione di quest’ultima all’inizio del Novecento. La crisi tonale
e il delinearsi di orizzonti atonali si identificherebbero con l’affermazione di un




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sistema che di fatto presenta una sorta di ridondanza di simmetrie: la scala cro-
matica, l’unica saturazione dell’ottava ammessa dal sistema temperato, caratte-
rizzata pertanto da una certa ‘neutralità simmetrica’. Di fatto, nelle composizioni
atonali di Schönberg, qui assunte a modello, questa presunta simmetria total-
cromatica è controbilanciata da textures estremamente asimmetriche, circostanza
che rende volutamente indecifrabili rispondenze e proporzioni (con Schönberg
si consuma la crisi della dialettica «aspettative-negazione» individuata da Wilson).
Il sistema di simmetrie su cui si basa la dodecafonia – rispetto all’asse orizzontale
(‘inverso’), verticale (‘retrogrado’), orizzontale e verticale insieme (‘retrogrado
dell’inverso’) – agisce perlopiù al livello di organizzazione del materiale, ma non
a quello della disposizione spaziale, che secondo Bernard è condizione necessaria
della simmetria: «La simmetria è, dopo tutto, principalmente un fenomeno spa-
ziale» (p. 57). Più efficace sarebbe stato il riferimento al graduale affermarsi alla
fine dell’Ottocento, soprattutto nell’Est europeo, in Russia e di rimando in Fran-
cia, di procedimenti basati sull’interpretazione enarmonica del tritono, di suddi-
visione simmetrica dell’ottava in due parti (in corrispondenza del tritono/quinta
diminuita), in tre (terze maggiori), quattro (terze minori), sei (seconde maggiori
= scala esatonale), otto (scale ottatoniche 1 : 2 e 2 : 1), tutte distribuzioni sim-
metriche basate sul rapporto di tritono. Da Musorgskij e Rimskij-Korsakov – e
ai loro estimatori francesi – al primo Stravinskij, da Bartók fino al Messiaen degli
anni ’40, la simmetria intesa come «fenomeno spaziale» ha avuto un ruolo fon-
damentale nello scardinamento del sistema diatonico/asimmetrico. Ma il merito
dell’approccio di Rochberg consiste nella proposta di una chiave di lettura del
presente (oggi ormai lontano ventiquattro anni); dopo le esperienze neo-tonali
postmoderne – caratterizzate dal recupero dell’orizzonte asimmetrico – a metà
degli anni ’90 Rochberg azzardava una previsione (p. 52):

      Potrebbe anche sembrare vero, in apparenza, che riutilizzare la tonalità sia uno
spostamento polare dalla simmetria dell’atonalità all’asimmetria della tonalità. Ma l’ap-
parenza, come spesso accade, inganna. Ciò che accade non è uno scambio di polarità,
piuttosto l’emergere di una nuova consapevolezza: che non è più necessario sacrificare un
opposto polare per l’altro.

     Il quarto di secolo che ci separa da queste idealistiche – forse utopiche –
prefigurazioni neo-umanistiche, ha purtroppo deluso le aspettative: ammesso
che si accolga l’approccio “bipolare”, nel primo ventennio del XXI secolo i due
orientamenti si sono sempre più divaricati, ma il saggio di Rochberg rimane un
importante documento del pensiero della fine del secolo scorso.
     Il quesito sui livelli di compatibilità della logica matematica (in specifico
della geometria) con la logica musicale viene rimesso in gioco da Roberto Don-
nini (La visualizzazione della musica: simmetria e asimmetria). L’attenzione al grado di
corrispondenza del segno grafico e della sua realizzazione materiale deriva evi-
dentemente dalla doppia formazione dell’autore, architetto e musicista. Il saggio,




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risalente al 1986, rispecchia per molti aspetti il clima culturale dell’epoca, fra
l’onda lunga delle graphic scores e gli albori della computer music; la trattazione indi-
vidua nel passato e in altre culture tracce di una linea evolutiva che tende pro-
gressivamente a inglobare l’elemento visivo – con le sue simmetrie – nel pro-
cesso compositivo. Il tema centrale del saggio è sintetizzato efficacemente
dall’autore commentando un ritmo tipico delle Filippine (p. 126):

      In realtà, il suono non ha l’aspetto simmetrico della trascrizione. Il problema sta
appunto qui. Troviamo la simmetria in musica ma qualche volta nella partitura, e non
nella musica eseguita; oppure la musica produce una sensazione che può essere definita
come simmetrica, ma non possiamo trovare segni grafici di simmetria nella partitura.

      E ancora: «un prodotto acustico e una partitura hanno ciascuno la propria
essenza e di conseguenza diverse specifiche simmetriche». Lo sviluppo della
scrittura prescrittiva in partiture descrittive ridurrebbe, secondo l’autore, lo iato
fra segno grafico e risultato sonoro.
      Ancora di visualizzazioni si occupa Vi Hart (Simmetria e trasformazioni nel piano
musicale), utilizzando l’ingegnoso sistema ideato da Conway, Burgiel e Goodman-
Strauss (si veda J. CONWAY, H. BURGIEL, C. GOODMAN-STRAUSS, The Simmetry
of Things, Boca Raton, Florida, A K Peters, 2008) per rappresentare visivamente
gli «schemi di fregio»: pattern ripetuti nelle loro possibilità di trasformazione
simmetrica vengono efficacemente identificati mediante le impronte dei piedi.
Secondo l’autrice, il metodo «è utile non soltanto per l’analisi, ma anche come
fonte d’ispirazione per i compositori» (p. 182).
      Con il saggio di Dmitri Tymoczko (Alla ricerca dei vettori musicali) si passa
invece sul versante delle rappresentazioni matematiche della musica, in specifico
della condotta delle parti. Che qualsiasi composizione musicale, indipendente-
mente dall’epoca, dal linguaggio, dal genere e dallo stile sia rappresentabile in
termini matematici è ormai un fatto assodato. Si tratta però di capire se si tratti
di una “traduzione” per chi ha più dimestichezza con i numeri che con il lin-
guaggio musicale, oppure se la rappresentazione matematica sia un mezzo per
palesare aspetti altrimenti destinati a rimanere latenti. Una frase estratta dalle
conclusioni del saggio sembra suggerirci una risposta: «[…] è interessante sapere
che Bach usa il più efficiente moto delle parti fra accordi circa il 45% delle volte,
e che questi moti delle parti massimamente efficienti si verificano tipicamente
nelle voi superiori, mentre il basso tende a saltare» (p. 177).
      A prescindere dall’arbitrarietà del concetto di ‘efficienza’, i risultati della rap-
presentazione matematica non aggiungono nulla a quanto è già accessibile al mu-
sicista di solida formazione (lo stesso si può affermare riguardo alle modalità di
risoluzione degli accordi, al moto delle parti nelle modulazioni ecc.). Traspare fra
le righe ancora la distinzione di boeziana memoria fra musicus e cantor, dove il
primo è colui che conosce, mentre il secondo agisce inconsapevolmente: «Le
risposte [ottenibili con questo metodo di analisi] possono aiutare a delimitare il




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sottofondo inconscio della competenza compositiva – una sorta di conoscenza
implicita dispiegata in modo non riflessivo, il tessuto condiviso della pratica mu-
sicale comune» (p. 177).
      Nella consapevolezza di non possedere le competenze scientifiche adeguate
ad affrontare gli ultimi due saggi del volume (Olaya Fernàndez Herrero, Simme-
tria in musica e Gary W. Don et al., Musica: Simmetrie spezzate, geometria e complessità),
lasciamo al lettore il piacere di scoprirne gli avvincenti contenuti nonché apprez-
zarne la sistematicità dei metodi. L’ampia trattazione di Don, Muir, Volk e Wal-
ker «illustra il valore degli spettrogrammi nel fornire descrizioni obiettive
dell’esecuzione musicale e la struttura geometrica tempo-frequenza del suono
musicale registrato» (p. 212), applicando questo tipo di analisi ai repertori più
diversi (dall’opera lirica al jazz, dal rock alla musica colta del Novecento, da Bee-
thoven a Jimi Hendrix), ma indicando anche «alcuni modi in cui gli spettro-
grammi possano essere utili per aiutare il processo creativo della composizione»
(p. 220). Può stuzzicare ulteriormente la curiosità un breve assaggio tratto dalle
conclusioni del contributo di Herrero, che dopo la descrizione di un rigoroso iter
sperimentale può affermare: «Si dimostra, in questo modo, che anche il tritono
è consonante se eseguito con intonazione esatta 7/5» (p. 210).

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                                                                     marco.uvietta@unitn.it




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