Subspațiu ortogonal
În algebra liniară, pentru un subspațiu W al unui spațiu vectorial V, se numește subspațiu ortogonal (sau complement ortogonal) al acestuia, o mulțime W⊥ care posedă proprietatea că orice vector al acesteia este ortogonal pe orice vector din W.

Pentru a demonstra că un vector este ortogonal pe un subspațiu vectorial, este suficient să se demonstreze că acesta este ortogonal pe vectorii unei baze a subspațiului.

Propoziție.
Fie W un subspațiu vectorial al spațiului vectorial V,  o bază a lui W și x un vector oarecare din V.
Atunci:

Demonstrație.
 Faptul că  este evident deoarece din  rezultă  căci 
 Pentru a demonstra implicația inversă, se va presupune că  Trebuie demonstrat că  oricare ar fi vectorul  Cum orice vector  se scrie în baza B sub forma  se obține

Teorema subspațiului ortogonal 
Teoremă.
Fie V un spațiu euclidian și W un subspațiu finit dimensional al acestuia.
Atunci 

Demonstrație.
Se arată că orice vector  se scrie în mod unic sub forma  cu  și 
Subspațiul W fiind finit dimensional, se notează cu n dimensiunea sa și se consideră o bază ortonormată  a lui W.

Fie x un vector oarecare din V.
Vectorul w definit prin:

aparține subspațiului W.

Se notează  și se demonstrează că 
În baza propoziției anterioare, este suficient să se demonstreze că 

 

Deci    cu      și   

Pentru a demonstra că e suma directă, se arată că   

Fie   

Corolar.
Dacă V este un subspațiu euclidian finit dimensional, atunci orice W subspațiu vectorial al lui V, atunci are loc descompunerea

Exemple 
 În    
 În

Vezi și 
 Bază ortonormată

Algebră liniară
Analiză funcțională
În algebra liniară , pentru un subspațiu W al unui spațiu vectorial V , se numește subspațiu ortogonal ( sau complement ortogonal ) al acestuia , o mulțime W ⊥ care posedă proprietatea că orice vector al acesteia este ortogonal pe orice vector din W. Pentru a demonstra că un vector este ortogonal pe un subspațiu vectorial , este suficient să se demonstreze că acesta este ortogonal pe vectorii unei baze a subspațiului . Propoziție . Fie W un subspațiu vectorial al spațiului vectorial V , o bază a lui W și x un vector oarecare din V. Atunci : Demonstrație . Faptul că este evident deoarece din rezultă căci Pentru a demonstra implicația inversă , se va presupune că Trebuie demonstrat că oricare ar fi vectorul Cum orice vector se scrie în baza B sub forma se obține Teorema subspațiului ortogonal Teoremă . Fie V un spațiu euclidian și W un subspațiu finit dimensional al acestuia . Atunci Demonstrație . Se arată că orice vector se scrie în mod unic sub forma cu și Subspațiul W fiind finit dimensional , se notează cu n dimensiunea sa și se consideră o bază ortonormată a lui W. Fie x un vector oarecare din V. Vectorul w definit prin : aparține subspațiului W. Se notează și se demonstrează că În baza propoziției anterioare , este suficient să se demonstreze că Deci cu și Pentru a demonstra că e suma directă , se arată că Fie Corolar . Dacă V este un subspațiu euclidian finit dimensional , atunci orice W subspațiu vectorial al lui V , atunci are loc descompunerea Exemple În În Vezi și Bază ortonormată Algebră liniară Analiză funcțională