Fenomenul Runge
În analiză numerică, fenomenul Runge este o problemă de oscilație la marginile de un interval care se produce la utilizarea unui polinom de interpolare de un grad ridicat. Acest fenomen a fost descoperit de către Carl David Tolmé Runge când explora comportamentul erorilor atunci când se utilizează polinoame de interpolare pentru aproximarea anumitor funcții.
În examinarea acestui aspect, matematicianul David Carle Runge Tolmé a descoperit un rezultat contrar intuiției: există configurații în care diferența între funcția de interpolare și cea interpolată este mare și tinde la infinit odată cu n.

Introducere 
Teorema de aproximare a lui Weierstrass prevede că fiecare funcție continuă f (x) definită pe un interval [a, b ] poate fi aproximată ca limita unui șir uniform convergent de polinoame de interpolare:

Interpolarea cu puncte echidistante este o abordare naturală și binecunoscută pentru a construi polinoame aproximare.
Fenomenul Runge demonstrează, totuși, că această interpolare poate fi divergentă.

Exemplu  
Considerăm următoarea funcție:

Având în vedere  puncte uniform distribuite în segmentul  : 

În cele din urmă, considerăm polinomul de interpolare     în punctele , care este polinomul unic de grad mai mic sau egal cu n astfel încât  pentru orice i. Se notează  cu .

Runge a arătat că eroarea de interpolare între  și  tinde la infinit ca n crește. Formal:

De fapt, atunci când creșterea numărului de puncte, vom vedea că polinomul începe să oscileze puternic între punctele de   cu amplitudinea în creștere.

Explicație 
Aplicând în mod repetat teorema lui Rolle, putem arăta că în cazul interpolării celor  puncte distribuite în mod egal, există un punct în intervalul   încât eroarea dintre funcția generatoare și polinomul de interpolare de grad n este dată de

pentru  între (−1, 1). 
Astfel, 

Rezultă că eroarea de aproximare crește la infinit odată cu n.

Într-un context mai larg, polinomul de interpolare cu noduri echidistante nu este o metodă stabilă. Într-adevăr, notând () , polinoamele Lagrange de bază corespunzătoare elementelor ():

avem:

care ne conduce la următoarea estimare:

Constanta  este numită constanta Lebesgue asociată punctelor ()'''. În caz de puncte echidistante, această constantă poate fi estimată prin:

unde e este numărul lui Euler în valoare de 2.7183 ... . Vedem că, în acest caz, constanta Lebesgue tinde rapid la valori mari, mai repede decât poate converge la funcția polinomială de interpolaref.
 Soluții la fenomenul Runge 
Fenomenul Runge demonstrează că interpolarea polinomială nu este cea mai bună metodă de interpolare a funcțiilor. 

Putem minimiza oscilațiile de polinoame de interpolare folosind polinomul Cebîșev de interpolare în loc de puncte distribuite în mod egal pentru a interpola. În acest caz, putem arăta că eroarea de interpolare  descrește.

O metodă este utilizarea  de noduri care sunt distribuite mult mai dens spre marginile intervalului. 

O altă metodă este metoda celor mai mici pătrate. 

O altă metodă foarte des întâlnită este aproximarea cu funcții spline (acestea sunt polinoame pe porțiuni; în acest caz, pentru a îmbunătăți aproximarea, vom crește numărul de bucăți și nu gradul de polinoame).

 Referințe 

Bibliografie 
 Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal'' , chap. IX, appendice (pp. 319-320)

Legaturi externe
http://an.lmn.pub.ro/lab/AN_Lab_4_v2.pdf
www.ingineriebraila.ugal.ro/IngMec/An%20II-22-PA.doc

 Analiză numerică
În analiză numerică , fenomenul Runge este o problemă de oscilație la marginile de un interval care se produce la utilizarea unui polinom de interpolare de un grad ridicat . Acest fenomen a fost descoperit de către Carl David Tolmé Runge când explora comportamentul erorilor atunci când se utilizează polinoame de interpolare pentru aproximarea anumitor funcții . În examinarea acestui aspect , matematicianul David Carle Runge Tolmé a descoperit un rezultat contrar intuiției : există configurații în care diferența între funcția de interpolare și cea interpolată este mare și tinde la infinit odată cu n. Introducere Teorema de aproximare a lui Weierstrass prevede că fiecare funcție continuă f ( x ) definită pe un interval [ a , b ] poate fi aproximată ca limita unui șir uniform convergent de polinoame de interpolare : Interpolarea cu puncte echidistante este o abordare naturală și binecunoscută pentru a construi polinoame aproximare . Fenomenul Runge demonstrează , totuși , că această interpolare poate fi divergentă . Exemplu Considerăm următoarea funcție : Având în vedere puncte uniform distribuite în segmentul \ : În cele din urmă , considerăm polinomul de interpolare în punctele , care este polinomul unic de grad mai mic sau egal cu n astfel încât pentru orice i . Se notează cu \ . Runge a arătat că eroarea de interpolare între și tinde la infinit ca n crește . Formal : De fapt , atunci când creșterea numărului de puncte , vom vedea că polinomul începe să oscileze puternic între punctele de cu amplitudinea în creștere . Explicație Aplicând în mod repetat teorema lui Rolle , putem arăta că în cazul interpolării celor puncte distribuite în mod egal , există un punct în intervalul încât eroarea dintre funcția generatoare și polinomul de interpolare de grad n este dată de pentru între ( −1 , 1 ) . Astfel , Rezultă că eroarea de aproximare crește la infinit odată cu n . Într- un context mai larg , polinomul de interpolare cu noduri echidistante nu este o metodă stabilă . Într-adevăr , notând ( ) , polinoamele Lagrange de bază corespunzătoare elementelor ( ) : avem : care ne conduce la următoarea estimare : Constanta este numită constanta Lebesgue asociată punctelor ( ) ''' . În caz de puncte echidistante , această constantă poate fi estimată prin : unde e este numărul lui Euler în valoare de7183 \ . .. \ . Vedem că , în acest caz , constanta Lebesgue tinde rapid la valori mari , mai repede decât poate converge la funcția polinomială de interpolaref . Soluții la fenomenul Runge Fenomenul Runge demonstrează că interpolarea polinomială nu este cea mai bună metodă de interpolare a funcțiilor . Putem minimiza oscilațiile de polinoame de interpolare folosind polinomul Cebîșev de interpolare în loc de puncte distribuite în mod egal pentru a interpola . În acest caz , putem arăta că eroarea de interpolare descrește . O metodă este utilizarea de noduri care sunt distribuite mult mai dens spre marginile intervalului . O altă metodă este metoda celor mai mici pătrate . O altă metodă foarte des întâlnită este aproximarea cu funcții spline ( acestea sunt polinoame pe porțiuni ; în acest caz , pentru a îmbunătăți aproximarea , vom crește numărul de bucăți și nu gradul de polinoame ) . Referințe Bibliografie Jean Dieudonné , Calcul infinitésimal' ' , chap . IX , appendice ( pp. Legaturi externe http://an.lmn.pub.ro/lab/AN_Lab_4_v2.pdf www.ingineriebraila.ugal.ro/IngMec/An%20II-22-PA.doc Analiză numerică