Spin ½ și matricile lui Pauli
Matricile lui Pauli sunt un ansamblu  de trei matrici hermitice 2×2 care apar în teoria cuantică nerelativistă a particulelor de spin cum este electronul.

Spinul electronului
Ipoteza existenței unui moment cinetic al electronului, rezultând din rotația (în engleză: spin) sarcinii electronului în jurul axei proprii, a fost formulată în 1925 de Ralph Kronig, fiind formulate imediat obiecții de Wolfgang Pauli, pe baza faptului că viteza de rotație a electronului necesară pentru a obține valori acceptabile ale momentului cinetic ar fi în contradicție cu teoria relativității. În consecință, Kronig nu a publicat ideea, care însă a fost regăsită și publicată, independent, de George Uhlenbeck și Samuel Goudsmit, câteva luni mai târziu. În anii următori, existența spinului electronului a fost acceptată, ca moment cinetic intrinsec, diferit de momentul cinetic orbital (acesta din urmă fiind definit în raport cu poziția și impulsul particulei). Teoria spinului electronic a fost formulată în 1927 de Pauli, în cadrul mecanicii cuantice nerelativiste. În teoria cuantică relativistă, spinul  nu necesită o ipoteză specială: el rezultă, ca proprietate intrinsecă, din ecuația lui Dirac.

Spinul electronului a oferit, a posteriori, explicația rezultatelor obținute în experimentul Stern-Gerlach (1922) pentru momentul magnetic al electronului. Astăzi, experimentul Stern-Gerlach este privit ca justificare a priori a spinului electronic.

Teoria spinului ½

Spinul electronului este descris de un operator hermitic, vector axial, , care satisface relațiile de comutare caracteristice pentru orice moment cinetic:

Valori proprii și vectori proprii

Datele experimentale duc la concluzia că proiecția spinului electronului pe o direcție oarecare poate avea numai două valori: , deci spațiul stărilor de spin este un spațiu vectorial complex bidimensional. Vectorii proprii , comuni pentru operatorii  și , satisfac ecuațiile

unde

În calcule e convenabilă utilizarea operatorului adimensional

și notația simplificată

Vectorii  și  corespund unor valori proprii diferite ale operatorului :

deci sunt automat ortogonali; presupunând că sunt și normați, ei constituie o bază ortonormată în spațiul stărilor de spin ale electronului.

Matricile lui Pauli
În baza , operatorii de spin  sunt reprezentați prin matricile lui Pauli

Proprietățile enumerate mai jos, care pot fi verificate prin calcul direct, sunt importante în aplicații.

Pentru doi vectori oarecare  și  este valabilă identitatea

Orice matrice 2×2 poate fi scrisă ca o combinație liniară a matricii unitate și celor trei matrici Pauli.

Funcție de stare
Drept consecință a faptului că spinul reprezintă un grad de libertate independent de mișcarea orbitală, spațiul stărilor devine produsul direct dintre spațiul configurațiilor (în care acționează operatorii asociați observabilelor ca poziție, impuls, moment cinetic orbital, ...) și spațiul bidimensional al spinului (în care acționează operatorii de spin). Funcția de stare a electronului depinde de variabilele de poziție  și de o variabilă de spin , care poate lua două valori (de exemplu plus și minus), în funcție de proiecția spinului pe axa 3; ea poate fi scrisă în baza  sub forma

Presupunând că este satisfăcută condiția de normare

din formalismul general al mecanicii cuantice rezultă următoarea interpretare statistică:  reprezintă probabilitatea de localizare a electronului în elementul de volum  în jurul punctului cu vector de poziție  și având proiecția spinului pe axa 3 egală cu  La fel,  reprezintă probabilitatea de localizare a electronului în elementul de volum  în jurul punctului cu vector de poziție  și având proiecția spinului pe axa 3 egală cu 

Funcția de stare cu două componente a unei particule de spin  caracterizată prin modul în care componentele sale se transformă la o rotație spațială, se numește spinor.

Moment magnetic de spin

Experimentul Stern-Gerlach și analiza făcută de Kronig, Uhlenbeck și Goudsmit au pus în evidență faptul că electronul (de masă  și sarcină electrică ) posedă un moment cinetic intrinsec  cu care este asociat un moment magnetic

 

Mecanica cuantică nerelativistă indică  în bun acord cu experimentul. Faptul că această valoare pentru factorul Landé este dublă față de valoarea  corespunzătoare momentului cinetic orbital este cunoscut ca „anomalia magnetică a spinului”. Corecțiile relativiste indică  în excelent acord cu determinări experimentale moderne.

Note

Bibliografie
Messiah, Albert: Mécanique quantique, Tome II, Dunod, Paris, 1964.
Țițeica, Șerban: Mecanica cuantică, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1984.

Legături externe
Pauli Matrices – Wolfram MathWorld

Mecanică cuantică
Matrice
Matricile lui Pauli sunt un ansamblu de trei matrici hermitice2 care apar în teoria cuantică nerelativistă a particulelor de spin cum este electronul . Spinul electronului Ipoteza existenței unui moment cinetic al electronului , rezultând din rotația ( în engleză : spin ) sarcinii electronului în jurul axei proprii , a fost formulată înde Ralph Kronig , fiind formulate imediat obiecții de Wolfgang Pauli , pe baza faptului că viteza de rotație a electronului necesară pentru a obține valori acceptabile ale momentului cinetic ar fi în contradicție cu teoria relativității . În consecință , Kronig nu a publicat ideea , care însă a fost regăsită și publicată , independent , de George Uhlenbeck și Samuel Goudsmit , câteva luni mai târziu . În anii următori , existența spinului electronului a fost acceptată , ca moment cinetic intrinsec , diferit de momentul cinetic orbital ( acesta din urmă fiind definit în raport cu poziția și impulsul particulei ) . Teoria spinului electronic a fost formulată înde Pauli , în cadrul mecanicii cuantice nerelativiste . În teoria cuantică relativistă , spinul nu necesită o ipoteză specială : el rezultă , ca proprietate intrinsecă , din ecuația lui Dirac . Spinul electronului a oferit , a posteriori , explicația rezultatelor obținute în experimentul Stern-Gerlachpentru momentul magnetic al electronului . Astăzi , experimentul Stern-Gerlach este privit ca justificare a priori a spinului electronic . Teoria spinului ½ Spinul electronului este descris de un operator hermitic , vector axial , , care satisface relațiile de comutare caracteristice pentru orice moment cinetic : Valori proprii și vectori proprii Datele experimentale duc la concluzia că proiecția spinului electronului pe o direcție oarecare poate avea numai două valori : , deci spațiul stărilor de spin este un spațiu vectorial complex bidimensional . Vectorii proprii , comuni pentru operatorii și , satisfac ecuațiile unde În calcule e convenabilă utilizarea operatorului adimensional și notația simplificată Vectorii și corespund unor valori proprii diferite ale operatorului \ : deci sunt automat ortogonali ; presupunând că sunt și normați , ei constituie o bază ortonormată în spațiul stărilor de spin ale electronului . Matricile lui Pauli În baza , operatorii de spin sunt reprezentați prin matricile lui Pauli Proprietățile enumerate mai jos , care pot fi verificate prin calcul direct , sunt importante în aplicații . Pentru doi vectori oarecare și este valabilă identitatea Orice matrice2 poate fi scrisă ca o combinație liniară a matricii unitate și celor trei matrici Pauli . Funcție de stare Drept consecință a faptului că spinul reprezintă un grad de libertate independent de mișcarea orbitală , spațiul stărilor devine produsul direct dintre spațiul configurațiilor ( în care acționează operatorii asociați observabilelor ca poziție , impuls , moment cinetic orbital , \ . .. ) și spațiul bidimensional al spinului ( în care acționează operatorii de spin ) . Funcția de stare a electronului depinde de variabilele de poziție și de o variabilă de spin , care poate lua două valori ( de exemplu plus și minus ) , în funcție de proiecția spinului pe axa ea poate fi scrisă în baza sub forma Presupunând că este satisfăcută condiția de normare din formalismul general al mecanicii cuantice rezultă următoarea interpretare statistică : reprezintă probabilitatea de localizare a electronului în elementul de volum în jurul punctului cu vector de poziție și având proiecția spinului pe axaegală cu La fel , reprezintă probabilitatea de localizare a electronului în elementul de volum în jurul punctului cu vector de poziție și având proiecția spinului pe axaegală cu Funcția de stare cu două componente a unei particule de spin caracterizată prin modul în care componentele sale se transformă la o rotație spațială , se numește spinor . Moment magnetic de spin Experimentul Stern-Gerlach și analiza făcută de Kronig , Uhlenbeck și Goudsmit au pus în evidență faptul că electronul ( de masă și sarcină electrică ) posedă un moment cinetic intrinsec cu care este asociat un moment magnetic Mecanica cuantică nerelativistă indică în bun acord cu experimentul . Faptul că această valoare pentru factorul Landé este dublă față de valoarea corespunzătoare momentului cinetic orbital este cunoscut ca „ anomalia magnetică a spinului ” . Corecțiile relativiste indică în excelent acord cu determinări experimentale moderne . Note Bibliografie Messiah , Albert : Mécanique quantique , Tome II , Dunod , Paris , Țițeica , Șerban : Mecanica cuantică , Editura Academiei Republicii Socialiste România , București , Legături externe Pauli Matrices – Wolfram MathWorld Mecanică cuantică Matrice