Inel factorial
Inele factoriale

Definitia 1: Un inel integru  se numește inel factorial sau cu descompunere unică în factori primi, dacă orice element nenul și neinversabil din  se descompune într-un produs finit de elemente prime.
Inelele , , și orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți într-un corp sunt inele factoriale.

Teorema 2: Fie  un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente:
a)	 este un inel factorial
b)	Orice element nenul și neinversabil din   se descompune în produs finit de elemente ireductibile și, orice element ireductibil este prim.
c)	Orice element nenul și neinversabil din  se descompune în produs finit de elemente ireductibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și de asociere.
d)	Orice element nenul și neinversabil din  este produs finit de elemente ireductibile și orice două elemente din  au un cel mai mare divizor comun.

Proprietatea 3: Într-un inel factorial orice două elemente au un cel mai mare divizor comun.

Teorema 4: (a lui Gauss) Dacă   este un inel factorial, atunci  este inel factorial.

Fie R un inel integru și  . Se spune că    este un polinom primitiv dacă coeficienții lui     nu se divid cu același element prim din  . Dacă  este inel factorial , se notează cu cel mai mare divizor comun al coeficienților lui   . Polinomul   va fi primitiv dacă și numai dacă   . Orice polinom  se va scrie sub forma   , unde    este un polinom primitiv.

Proprietatea 5:  Dacă  este un inel factorial și    sunt două polinoame din  , atunci    este asociat cu   . În particular, produsul a două polinoame primitive este polinom primitiv.

Lema 6: Fie    un inel factorial,  și ,  cu   polinom primitiv. Dacă  divide produsul   , atunci  divide pe . În particular, dacă pentru două polinoame primitive   și  din  avem relația    cu  ,, atunci  și   sunt asociate.

Structuri algebrice
Inele factoriale Definitia Un inel integru se numește inel factorial sau cu descompunere unică în factori primi , dacă orice element nenul și neinversabil din se descompune într- un produs finit de elemente prime . Inelele , , și orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți într- un corp sunt inele factoriale . Teorema Fie un inel integru . Următoarele afirmații sunt echivalente : a ) este un inel factorial b ) Orice element nenul și neinversabil din se descompune în produs finit de elemente ireductibile și , orice element ireductibil este prim . c ) Orice element nenul și neinversabil din se descompune în produs finit de elemente ireductibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și de asociere . d ) Orice element nenul și neinversabil din este produs finit de elemente ireductibile și orice două elemente din au un cel mai mare divizor comun . Proprietatea Într- un inel factorial orice două elemente au un cel mai mare divizor comun . Teorema ( a lui Gauss ) Dacă este un inel factorial , atunci este inel factorial . Fie R un inel integru și \ . Se spune că este un polinom primitiv dacă coeficienții lui nu se divid cu același element prim din \ . Dacă este inel factorial , se notează cu cel mai mare divizor comun al coeficienților lui \ . Polinomul va fi primitiv dacă și numai dacă \ . Orice polinom se va scrie sub forma , unde este un polinom primitiv . Proprietatea Dacă este un inel factorial și sunt două polinoame din , atunci este asociat cu \ . În particular , produsul a două polinoame primitive este polinom primitiv . Lema Fie un inel factorial , și , cu polinom primitiv . Dacă divide produsul , atunci divide pe \ . În particular , dacă pentru două polinoame primitive și din avem relația cu , , atunci și sunt asociate . Structuri algebrice