Spațiu afin
În geometria afină, un spațiu afin este o structură geometrică ce generalizează anumite proprietăți ale dreptelor paralele din spațiul euclidian.

Descriere
Considerând un corp comutativ K, elementele sale vor fi notate de obicei cu primele litere ale alfabetului latin: a, b, c etc.

Definiție: Fie  o mulțime  amorfă A, nevidă, cu elemente  numite puncte, iar V un spațiu vectorial peste corpul comutativ K. Dacă aplicația φ : A x A → V are următoarele  proprietăți: 
 φ(A,B) + φ(B,C) = φ(A,C)
 există un punct O din A, astfel încât φO este o bijecție
atunci tripletul (A, V, φ) se va numi spațiu afin, iar φ se va numi structură afină.

Exemplu: Planul și spațiul geometric euclidian sunt spații afine peste spațiile vectoriale ale vectorilor liberi asociați.

Teoremă: Fie următorul triplet (A, V, φ. Dacă (A, V, φ) este un spațiu afin, atunci oricare ar fi B o submulțime din A, aplicația φB: A →V este o bijecție.

Corolar 1: Pentru oricare ar fi B o submulțime din A si x din V, există un unic punct C astfel încât vectorul BC=x

Corolar 2: Oricare ar fi B din A există o structură de spațiu vectorial pe A cu punctul B nul. A este izomorf cu V prin  φB înzestrat cu această structură.

Geometrie afină
Algebră liniară
În geometria afină , un spațiu afin este o structură geometrică ce generalizează anumite proprietăți ale dreptelor paralele din spațiul euclidian . Descriere Considerând un corp comutativ K , elementele sale vor fi notate de obicei cu primele litere ale alfabetului latin : a , b , c etc . Definiție : Fie o mulțime amorfă A , nevidă , cu elemente numite puncte , iar V un spațiu vectorial peste corpul comutativ K . Dacă aplicația φ \ : A x A → V are următoarele proprietăți : φ ( A,B ) + φ( B,C ) = φ( A,C ) există un punct O din A , astfel încât φO este o bijecție atunci tripletul ( A , V , φ ) se va numi spațiu afin , iar φ se va numi structură afină . Exemplu : Planul și spațiul geometric euclidian sunt spații afine peste spațiile vectoriale ale vectorilor liberi asociați . Teoremă : Fie următorul triplet ( A , V , φ . Dacă ( A , V , φ ) este un spațiu afin , atunci oricare ar fi B o submulțime din A , aplicația φB : A →V este o bijecție . Corolar Pentru oricare ar fi B o submulțime din A si x din V , există un unic punct C astfel încât vectorul BC=x Corolar Oricare ar fi B din A există o structură de spațiu vectorial pe A cu punctul B nul . A este izomorf cu V prin φB înzestrat cu această structură . Geometrie afină Algebră liniară