Interpolare polinomială
În analiză numerică,interpolarea polinomială este o tehnică de interpolare a unui set de date sau a unei funcții printr-un polinom. Cu alte cuvinte, dat un set de puncte (obținut, de exemplu, ca urmare a unui experiment), vom căuta un polinom care trece prin toate aceste puncte, și, eventual, verificați pentru alte condiții, dacă este posibil, gradul cel mai mic.

Definiție 
 Având un set de n +1 puncte,  (xi,yi) (xi diferite între ele), găsim un polinomul P (cu coeficienți reali) de grad cel mult n, care satisface: 
 
Se demonstrează că există un singur polinom de grad cel mult n care trece prin cele n puncte.

Construcția polinomului de interpolare

Să presupunem că polinomul de interpolare este dat de:

unde p  trebuie să verifice:

astfel încât să treacă prin setul de puncte de interpolat.
Afirmația că p interpolează punctele de date înseamnă că

Dacă înlocuim ecuația (1), în aici, avem un sistem de ecuații liniare din coeficienții  .

Sistemul în forma matrice-vector este

Trebuie să rezolvăm acest sistem pentru  pentru a construi interpolant  Matricea  este o matrice Vandermonde.

Determinantul său este diferit de zero, ceea ce demonstrează că polinomul de interpolare există și este unic.

Rangul matricii Vandermonde poate fi mare , ceea ce cauzează erori mari la calculul coeficienților  în cazul în care sistemul de ecuații este rezolvat cu ajutorul metodei de eliminare Gauss.

Unicitatea polinomului de interpolare 
Având în vedere matricea Vandermonde folosit de mai sus pentru a construi interpolant, putem scrie sistemul sub forma
 
Pentru a dovedi că V este matrice inversabilă, vom folosi formula determinantului Vandermonde:
 
Deoarece cele n + 1 puncte sunt distincte, determinantul nu poate fi zero, deoarece   nu este niciodată la zero, prin urmare V este nesingulară și sistemul are o soluție unică.

Eroarea de interpolare
Dacă  este de  ori derivabilă pe intervalul , iar  este un polinom de grad cel mult n care interpolează f în n + 1 puncte distincte {xi} (i=0,1,...,n) în acel interval, atunci
 cu  în I.
Această formulă este demonstrată prin aplicarea iterativă a teoremei lui Rolle pe subintervalele .

Pentru fiecare x în intervalul de definiție există  în acel interval astfel încât

Să notăm termenul de eroare cu

și considerăm o funcție auxiliară 

unde

și

Deoarece  sunt rădăcinile funcției , vom avea

și

Atunci  are n +2 rădăcini. Din teorema lui Rolle,  are n +1 rădăcini, apoi  are o rădăcină , unde  este în intervalul I.
Astfel încât să putem obține

Deoarece  este un polinom de grad cel mult n, atunci

Astfel

Deoarece  este rădăcina lui , atunci

Prin urmare:
.

În cazul nodurilor de interpolare la distanțe egale , rezultă că eroarea de interpolare este O.

În cazul particular  (puncte distribuite uniform), apare de obicei o eroare foarte mare de interpolare, cunoscută sub numele de fenomenul Runge, atunci când crește numărul de puncte pentru un interval  dat.

Note

Bibliografie
Constantin Ilioi, Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1980. 
 www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf/  Metode numerice - Aspecte teoretice și practice, Mădălina Roxana Buneci, Editura Academică Brâncuși, Târgu Jiu, 2009
 http://cs.upm.ro/~bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf 
 www.vpetrehus.home.ro/Lectii_AN.pdf/ Lecții de analiză numerică, Viorel Petrehus, Universitatea Tehnică de Construcții București, 2010

Legături externe 

 www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf
 http://cs.upm.ro/~bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf 

 Analiză numerică
În analiză numerică,interpolarea polinomială este o tehnică de interpolare a unui set de date sau a unei funcții printr- un polinom . Cu alte cuvinte , dat un set de puncte ( obținut , de exemplu , ca urmare a unui experiment ) , vom căuta un polinom care trece prin toate aceste puncte , și , eventual , verificați pentru alte condiții , dacă este posibil , gradul cel mai mic . Definiție Având un set de n + 1 puncte , ( xi,yi ) ( xi diferite între ele ) , găsim un polinomul P ( cu coeficienți reali ) de grad cel mult n , care satisface : Se demonstrează că există un singur polinom de grad cel mult n care trece prin cele n puncte . Construcția polinomului de interpolare Să presupunem că polinomul de interpolare este dat de : unde p trebuie să verifice : astfel încât să treacă prin setul de puncte de interpolat . Afirmația că p interpolează punctele de date înseamnă că Dacă înlocuim ecuația în aici , avem un sistem de ecuații liniare din coeficienții \ . Sistemul în forma matrice-vector este Trebuie să rezolvăm acest sistem pentru pentru a construi interpolant Matricea este o matrice Vandermonde . Determinantul său este diferit de zero , ceea ce demonstrează că polinomul de interpolare există și este unic . Rangul matricii Vandermonde poate fi mare , ceea ce cauzează erori mari la calculul coeficienților în cazul în care sistemul de ecuații este rezolvat cu ajutorul metodei de eliminare Gauss . Unicitatea polinomului de interpolare Având în vedere matricea Vandermonde folosit de mai sus pentru a construi interpolant , putem scrie sistemul sub forma Pentru a dovedi că V este matrice inversabilă , vom folosi formula determinantului Vandermonde : Deoarece cele n + puncte sunt distincte , determinantul nu poate fi zero , deoarece nu este niciodată la zero , prin urmare V este nesingulară și sistemul are o soluție unică . Eroarea de interpolare Dacă este de ori derivabilă pe intervalul , iar este un polinom de grad cel mult n care interpolează f în n + puncte distincte { xi } ( i=0,1 , . ..,n ) în acel interval , atunci cu în I . Această formulă este demonstrată prin aplicarea iterativă a teoremei lui Rolle pe subintervalele \ . Pentru fiecare x în intervalul de definiție există în acel interval astfel încât Să notăm termenul de eroare cu și considerăm o funcție auxiliară unde și Deoarece sunt rădăcinile funcției , vom avea și Atunci are n + 2 rădăcini . Din teorema lui Rolle , are n + 1 rădăcini , apoi are o rădăcină , unde este în intervalul I . Astfel încât să putem obține Deoarece este un polinom de grad cel mult n , atunci Astfel Deoarece este rădăcina lui , atunci Prin urmare : . În cazul nodurilor de interpolare la distanțe egale , rezultă că eroarea de interpolare este O . În cazul particular ( puncte distribuite uniform ) , apare de obicei o eroare foarte mare de interpolare , cunoscută sub numele de fenomenul Runge , atunci când crește numărul de puncte pentru un interval dat . Note Bibliografie Constantin Ilioi , Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor , Editura Academiei Republicii Socialiste România , București , www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf/ Metode numerice - Aspecte teoretice și practice , Mădălina Roxana Buneci , Editura Academică Brâncuși , Târgu Jiu , http://cs.upm.ro/ ~ bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf www.vpetrehus.home.ro/Lectii_AN.pdf/ Lecții de analiză numerică , Viorel Petrehus , Universitatea Tehnică de Construcții București , Legături externe www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf http://cs.upm.ro/ ~ bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf Analiză numerică