Transformări elementare ale matricilor
În matematică, o matrice elementară este o matrice care prin înmulțirea la stânga cu o matrice oarecare se efectuează operații elementare asupra liniilor, iar prin înmulțirea la dreapta se realizează operații elementare asupra coloanelor. Aceste operații elementare sunt:
 schimbarea a două (linii/coloane) între ele;
 înmulțirea tuturor elementelor unei (linii/coloane) cu un scalar;
 adunarea la toate elementelor unei (linii/coloane) a elementelor altei (linii/coloane) înmulțite cu un scalar.

Aceste operații elementare sunt întâlnite la dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii sau coloane transformate în prealabil pentru a conține cât mai multe nule sau la aducerea în forma LU necesară pentru eliminarea gaussiană. 

În continuare, se consideră matrici cu elemente într-un corp. Vom numi „rând” al unui matrici, o linie sau coloană a acelei matrici, dar de aceeași natură (linie sau coloană) în cadrul aceleiași operații.

Există următoarele tipuri de matrici elementare:

 Matricea unitate = matricea identitate
 Matricea nulă
 Matricea de transpoziție
 Matricea de înmulțire
 Matricea de adunare

Matricea identitate
Matricea unitate (sau matricea identitate) de dimensiune n este o matrice pătrată având toate elementele de pe diagonala principală egale cu 1, iar restul elementelor egale cu 0. Se notează cu: In, (sau mai simplu cu I dacă nu există confuzii privind dimensiunea).

Se mai notează:

sau:

unde  este simbolul lui Kronecker: 1 dacă i=j, 0 altfel.

Cea mai importantă proprietate a acestei matrici este de a fi element neutru la înmulțirea matricilor:

Matricea nulă 
Matricea nulă (sau matricea zero) de dimensiune  având toate elementele egale cu zero. Cea mai importantă proprietate este că este element neutru la adunarea matricilor.

Matricea de transpoziție
În această matrice, Tij, sunt schimbate toate elementele unui rând i cu elementele corespondente ale rândului j. Elementele acestei matrici sunt obținute prin schimbarea liniei i cu linia j în matricea unitate; schimbând coloana i cu coloana j, se obține același rezultat:

Proprietăți
 Inversa acestei matrici este ea însăși: Tij−1=Tij;
 Determinantul acestei matrici este egal cu -1;
 Produsul matricilor: Tij.A este matricea obținută din A schimbând între ele liniile i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate;
 Produsul matricilor: A.Tij este matricea obținută din A schimbând între ele coloanele i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de înmulțire
Această matrice, Ti(k), înmulțește toate elementele unui rând i cu scalarul k. Matricea care rezultă din această transformare este obținută prin înlocuirea elementului de pe poziția i,i al matricii unitate:

Proprietăți
 Inversa acestei matrici este: Ti(k)−1 = Ti(1/k).
 det[Ti(k)] = k. 
 Produsul matricilor: Ti(k).A este matricea obținută din A înmulțind elementele liniei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
 Produsul matricilor: A.Ti(k) este matricea obținută din A înmulțind elementele coloanei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de adunare

Proprietăți
Inversa acestei matrici: Tij(k)−1 = Tij(−k) .
det[Tij(k)] = 1.
Produsul matricilor: Tij(k).A este matricea obținută din A adunând la elementele liniei i pe cele ale liniei j înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
Produsul matricilor: A.Tij(k) este matricea obținută din A adunând la elementele coloanei j pe cele ale coloanei i înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Aplicații
Matricile de transformare elementară sunt utilizate în special în algoritmii de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare și în algoritmii de inversare a matricilor.

Referințe
 Axler, Sheldon Jay, Algebră liniară, ISBN 0-387-98259-0
 Lay, David C., Algebră liniară și aplicații, ISBN 978-0-321-28713-7
 Meyer, Carl D., Analiză matriceală și algebră liniară aplicată”, ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html 
 Poole, David, Algebră liniară: o introducere modernă”, ISBN 0-534-99845-3
 Anton, Howard, Algebră liniară și aplicații
 Leon, Steven J., Algebră liniară și aplicații
 Ion D.Ion, C.Niță, Elemente de aritmetică cu aplicații în tehnica de calcul, Editura tehnică, București, 1978

Algebră liniară
Matrice
În matematică , o matrice elementară este o matrice care prin înmulțirea la stânga cu o matrice oarecare se efectuează operații elementare asupra liniilor , iar prin înmulțirea la dreapta se realizează operații elementare asupra coloanelor . Aceste operații elementare sunt : schimbarea a două ( linii/coloane ) între ele ; înmulțirea tuturor elementelor unei ( linii/coloane ) cu un scalar ; adunarea la toate elementelor unei ( linii/coloane ) a elementelor altei ( linii/coloane ) înmulțite cu un scalar . Aceste operații elementare sunt întâlnite la dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii sau coloane transformate în prealabil pentru a conține cât mai multe nule sau la aducerea în forma LU necesară pentru eliminarea gaussiană . În continuare , se consideră matrici cu elemente într- un corp . Vom numi „ rând ” al unui matrici , o linie sau coloană a acelei matrici , dar de aceeași natură ( linie sau coloană ) în cadrul aceleiași operații . Există următoarele tipuri de matrici elementare : Matricea unitate = matricea identitate Matricea nulă Matricea de transpoziție Matricea de înmulțire Matricea de adunare Matricea identitate Matricea unitate ( sau matricea identitate ) de dimensiune n este o matrice pătrată având toate elementele de pe diagonala principală egale cu iar restul elementelor egale cu Se notează cu : In , ( sau mai simplu cu I dacă nu există confuzii privind dimensiunea ) . Se mai notează : sau : unde este simbolul lui Kronecker:dacă i=j,altfel . Cea mai importantă proprietate a acestei matrici este de a fi element neutru la înmulțirea matricilor : Matricea nulă Matricea nulă ( sau matricea zero ) de dimensiune având toate elementele egale cu zero . Cea mai importantă proprietate este că este element neutru la adunarea matricilor . Matricea de transpoziție În această matrice , Tij , sunt schimbate toate elementele unui rând i cu elementele corespondente ale rândului j . Elementele acestei matrici sunt obținute prin schimbarea liniei i cu linia j în matricea unitate ; schimbând coloana i cu coloana j , se obține același rezultat : Proprietăți Inversa acestei matrici este ea însăși : Tij−1=Tij ; Determinantul acestei matrici este egal cu Produsul matricilor : Tij.A este matricea obținută din A schimbând între ele liniile i și j , celelalte elemente rămânând neschimbate ; Produsul matricilor : A.Tij este matricea obținută din A schimbând între ele coloanele i și j , celelalte elemente rămânând neschimbate . Matricea de înmulțire Această matrice , Ti( k ) , înmulțește toate elementele unui rând i cu scalarul k . Matricea care rezultă din această transformare este obținută prin înlocuirea elementului de pe poziția i,i al matricii unitate : Proprietăți Inversa acestei matrici este : Ti( k)−1 = Ti( 1/k ) . det[ Ti( k ) ] = k . Produsul matricilor : Ti( k) .A este matricea obținută din A înmulțind elementele liniei i cu scalarul k , celelalte elemente rămânând neschimbate ; Produsul matricilor : A.Ti ( k ) este matricea obținută din A înmulțind elementele coloanei i cu scalarul k , celelalte elemente rămânând neschimbate . Matricea de adunare Proprietăți Inversa acestei matrici : Tij(k)−1 = Tij(−k ) \ . det[ Tij( k ) ] = Produsul matricilor : Tij(k) .A este matricea obținută din A adunând la elementele liniei i pe cele ale liniei j înmulțite cu scalarul k , celelalte elemente rămânând neschimbate ; Produsul matricilor : A.Tij ( k ) este matricea obținută din A adunând la elementele coloanei j pe cele ale coloanei i înmulțite cu scalarul k , celelalte elemente rămânând neschimbate . Aplicații Matricile de transformare elementară sunt utilizate în special în algoritmii de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare și în algoritmii de inversare a matricilor . Referințe Axler , Sheldon Jay , Algebră liniară , ISBN98259-0 Lay , David C. , Algebră liniară și aplicații , ISBN321-28713-7 Meyer , Carl D. , Analiză matriceală și algebră liniară aplicată ” , ISBN89871-454-8 , http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html Poole , David , Algebră liniară : o introducere modernă ” , ISBN99845-3 Anton , Howard , Algebră liniară și aplicații Leon , Steven J. , Algebră liniară și aplicații Ion D.Ion , C.Ni ță , Elemente de aritmetică cu aplicații în tehnica de calcul , Editura tehnică , București , Algebră liniară Matrice