Spațiu Lp
{{DISPLAYTITLE:Spațiu Lp}}

În matematică, mai precis în analiză funcțională, spațiile  — numite și spații Lebesgue — sunt spații vectoriale normațe de funcții. Elementele acestor spații sunt clase de echivalență de funcții -integrabile, iar norma, numită norma , se definește analog cu norma  din .

Spațiile , în special spațiul Hilbert , joacă un rol esențial în mai multe domenii ale matematicii (studiul ecuațiilor diferențiale, teoria probabilităților, etc) și în aplicațiile lor (fizică, inginerie, economie, procesarea semnalelor, etc).

Spațiile  și , 
Fie  o mulțime deschisă din  și  un corp.
Notăm cu  tribul borelian al părților boreliene din  , iar  este restricția măsurii lui Lebesgue n-dimensionale din  la , atunci prin definiție  este . Vom considera pe spațiul  norma

care induce metrica  și față de care  este un spațiu complet. Prin  vom înțelege mulțimea funcțiilor cu valori în , care sunt p-sumabile pe orice compact din . Elementele din  le vom numi funcții local p-sumabile. Rezultă imediat că  este un spațiul liniar cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari a funcțiilor.  devine un spațiu local convex separat cu sistemul de seminorme , unde K parcurge compactele din  și 

Este ușor de verificat că pentru o exhaustiune  cu compacte a lui , sistemul  de seminorme este crescător și generează topologia local convexă inițială pe . De aici rezultă că  este metrizabil. Dacă  și  este un compact oarecare în , din relația

rezultă că  pentru orice .
 Punem în evidență organizarea lui  ca algebră Banach.

TEOREMA 1. Fie . Atunci pentru orice , funcția  este în . Convoluția   definită prin:

este de asemenea o funcție din  și în plus

Cu convoluția funcțiilor ca înmulțire,  devine o algebră Banach.
Demonstrație. Pentru funcția măsurabilă pozitivă , integrala iterată

este evident egală cu . Așadar, conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular  este sumabilă ca funcție de , integrala sa este măsurabilă ca funcție de  și are integrala finită. Rezultă că  este absolut sumabilă și 

ceea ce înseamnă  Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în modul următor

În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de intervertire a ordinii de integrare. Penultima egalitate s-a obținut prin schimbarea de variabilă în integrala interioară:  Distributivitatea convoluției față de adunare rezultă din liniaritatea integralei (1) prin raport cu , cât și prin raport cu  Cu aceasta  devine algebră Banach.
TEOREMA 2. Fie  și  Atunci  este definită printr-o integrală de tipul (1) pentru aproape orice ,  și

Demonstrație. Pentru  rezultatul este conținut în teorema precedentă.
 Fie deci  și  ca de obicei conjugatul lui . Din inegalitatea lui Hölder avem:

de unde, cum  cu teorema precendentă deducem că  este definită și finită pentru orice  și de asemenea rezultă că

Integrând ultima inegalitate și aplicând teorema lui Fubini obținem 

de unde cu  obținem (5).
 Cu TEOREMA 2 semnalăm că aplicațiile  și  sunt liniare și continue de la  respectiv  la . În acest fel cu convoluția ca operație externă,  se organizează ca modul Banach peste algebra Banach

Note
D. GAȘPAR, P. GAȘPAR, Analiză funcțională, Ed.de Vest, Timișoara, 2009

Legături externe

Topologie
Teoria măsurii
{ { DISPLAYTITLE:Spațiu Lp } } În matematică , mai precis în analiză funcțională , spațiile — numite și spații Lebesgue — sunt spații vectoriale normațe de funcții . Elementele acestor spații sunt clase de echivalență de funcții -integrabile , iar norma , numită norma , se definește analog cu norma din \ . Spațiile , în special spațiul Hilbert , joacă un rol esențial în mai multe domenii ale matematicii ( studiul ecuațiilor diferențiale , teoria probabilităților , etc ) și în aplicațiile lor ( fizică , inginerie , economie , procesarea semnalelor , etc ) . Spațiile și , Fie o mulțime deschisă din și un corp . Notăm cu tribul borelian al părților boreliene din , iar este restricția măsurii lui Lebesgue n-dimensionale din la , atunci prin definiție este \ . Vom considera pe spațiul norma care induce metrica și față de care este un spațiu complet . Prin vom înțelege mulțimea funcțiilor cu valori în , care sunt p- sumabile pe orice compact din \ . Elementele din le vom numi funcții local p- sumabile . Rezultă imediat că este un spațiul liniar cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari a funcțiilor . devine un spațiu local convex separat cu sistemul de seminorme , unde K parcurge compactele din și Este ușor de verificat că pentru o exhaustiune cu compacte a lui , sistemul de seminorme este crescător și generează topologia local convexă inițială pe \ . De aici rezultă că este metrizabil . Dacă și este un compact oarecare în , din relația rezultă că pentru orice \ . Punem în evidență organizarea lui ca algebră Banach . TEOREMA Fie \ . Atunci pentru orice , funcția este în \ . Convoluția definită prin : este de asemenea o funcție din și în plus Cu convoluția funcțiilor ca înmulțire , devine o algebră Banach . Demonstrație . Pentru funcția măsurabilă pozitivă , integrala iterată este evident egală cu \ . Așadar , conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive , rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala deci în particular este sumabilă ca funcție de , integrala sa este măsurabilă ca funcție de și are integrala finită . Rezultă că este absolut sumabilă și ceea ce înseamnă Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr- o schimbare de variabilă în integrala iar asociativitatea în modul următor În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de intervertire a ordinii de integrare . Penultima egalitate s- a obținut prin schimbarea de variabilă în integrala interioară : Distributivitatea convoluției față de adunare rezultă din liniaritatea integraleiprin raport cu , cât și prin raport cu Cu aceasta devine algebră Banach . TEOREMA Fie și Atunci este definită printr- o integrală de tipulpentru aproape orice , și Demonstrație . Pentru rezultatul este conținut în teorema precedentă . Fie deci și ca de obicei conjugatul lui \ . Din inegalitatea lui Hölder avem : de unde , cum cu teorema precendentă deducem că este definită și finită pentru orice și de asemenea rezultă că Integrând ultima inegalitate și aplicând teorema lui Fubini obținem de unde cu obținem Cu TEOREMAsemnalăm că aplicațiile și sunt liniare și continue de la respectiv la \ . În acest fel cu convoluția ca operație externă , se organizează ca modul Banach peste algebra Banach Note D. GAȘPAR , P. GAȘPAR , Analiză funcțională , Ed.de Vest , Timișoara , Legături externe Topologie Teoria măsurii