Numere celebre în analiza matematică


Numărul lui Euler, e

Numărul se poate reține mai ușor cu ajutorul trucurilor mnemonice: „Pe numărul e savantul îl stimează, e academic și formează bază pentru logaritmi”.

Istoria numărului e începe cu John Napier (1550-1617), care a realizat o legătură între unele progresii aritmetice și progresiile geometrice, ceea ce a dus la dezvoltarea logaritmilor începând cu anul 1594 (Nap y).

Napier a demonstrat că operațiile de înmulțire și împărțire dintre termenii unei progresii geometrice pot fi puse în corespondență cu operațiile de adunare și scădere dintre termenii unei alte  progresii aritmetice (20 de ani).

A considerat progresia aritmetică:  0, α, 2α, 3α, 4α, ...nα, ...  și progresia geometrică: 1, 1+ α, (1+ α)2, (1+ α)3, ...(1+ α)n..., unde α= 10-7:
Fie , atunci  y=nα se numește logaritmul numărului x=(1+ α)n</div> 
Punând  a=(1+ α) 1/α   va rezulta că  x=ay sau  logax=y 
Considerând  y1=mα, y2=nα și  x1= (1+ α)m, x2=(1+ α)n  se va obține:   logax1x2=logaay1+y2=y1+y2</sup>=logax1logax2
Astfel, se poate observa că produsul s-a transformat în sumă.

Adrian Vlacq (1600 - 1667) a efectuat aceleași calcule pentru  α=10-14 . 

Gottfried Leibniz (1646 - 1716) a identificat și folosit pentru prima dată constanta e, dar sub denumirea de  b. 

Jacques (Jacob) Bernoulli în anul 1690, a demonstrat că:  e=limn→∞(1+1/n)n .

Cel care a stabilit litera e pentru această noțiune și a descoperit multe proprietăți remarcabile a fost Leonhard Euler (1707-1716). În lucrarea sa, Dorin Mărghidanu  îl identifică ca fiind cel mai profilic autor de pe planetă din toate timpurile și din toate domeniile cunoașterii, din punct de vedere al cantității de informație conținută. A scris 887 de titluri adunate in 72 de volume masive, aproximativ 800 de pagini pe an, de la 20 ani până la sfârșitul vieții (77 ani). Chiar dacă în ultimii 17 ani din viață și-a pierdut vederea în întregime, Euler a continuat să creeze dictând unor secretari.  – spunea despre el,fizicianul francez Arago, contemporan cu Euler.

În anul 1737, Euler a demonstrat că numărul e este număr irațional.

Hermite, în anul 1873 a demonstrat că numărul e'' este număr trancendent.

Constanta Euler–Mascheroni,γ 

Constanta Euler–Mascheroni a fost prima data folosită de Euler în anul 1734, dar sub notația de C sau O; 

Lorenzo Mascheroni în anul 1790 a folosit pentru aceeași constantă notație de  sau , iar simbolul  (gamma) a fost atribuit într-un final acestei notații datorită legăturii dintre aceasta și funcția Gamma . 

Euler a calculat primele 16 zecimale ale constantei  în anul 1781, iar Mascheroni a calculat primele 32 zecimale (doar primele 19 erau corecte), iar in anul 1812, sub supravegherea lui Gauss, Nicolai a calculat corect primele 40 de zecimale ale numărului γ.

În anul 1734, Euler a demonstrat că șirul    bn=1+1/2+1/3+⋯+1/n-ln(n) , definit pentru orice   *, ,  este un șir subunitar, strict pozitiv și strict descrescător.

Andile Mabaso a demonstrat iraționalitatea constantei, dar aceste demonstrații nu par a fi concludente.

Note 

Numere
Analiză matematică
Numărul lui Euler , e Numărul se poate reține mai ușor cu ajutorul trucurilor mnemonice : „ Pe numărul e savantul îl stimează , e academic și formează bază pentru logaritmi ” . Istoria numărului e începe cu John Napier care a realizat o legătură între unele progresii aritmetice și progresiile geometrice , ceea ce a dus la dezvoltarea logaritmilor începând cu anul(Nap y ) . Napier a demonstrat că operațiile de înmulțire și împărțire dintre termenii unei progresii geometrice pot fi puse în corespondență cu operațiile de adunare și scădere dintre termenii unei alte progresii aritmeticede ani ) . A considerat progresia aritmetică : α , , , , \ ...nα , \ ... și progresia geometrică : α , α)2 , α)3 , \ ...( 1 + α)n... , unde α= Fie , atunci y=n α se numește logaritmul numărului x=(1 + α)n</div> Punând a=(1 + α) α va rezulta că x=ay sau logax=y Considerând y1=m α , y2=n α și x1= α)m , x2=(1 + α)n se va obține : logax1x2=logaay1+y2=y1+ y2</sup>=logax1logax2 Astfel , se poate observa că produsul s- a transformat în sumă . Adrian Vlacq -a efectuat aceleași calcule pentru α=10-14 \ . Gottfried Leibniz -a identificat și folosit pentru prima dată constanta e , dar sub denumirea de b. Jacques ( Jacob ) Bernoulli în anul a demonstrat că : e=limn→∞(1+ 1/n)n \ . Cel care a stabilit litera e pentru această noțiune și a descoperit multe proprietăți remarcabile a fost Leonhard Euler În lucrarea sa , Dorin Mărghidanu îl identifică ca fiind cel mai profilic autor de pe planetă din toate timpurile și din toate domeniile cunoașterii , din punct de vedere al cantității de informație conținută . A scrisde titluri adunate inde volume masive , aproximativde pagini pe an , de laani până la sfârșitul viețiiani ) . Chiar dacă în ultimiiani din viață și- a pierdut vederea în întregime , Euler a continuat să creeze dictând unor secretari . – spunea despre el,fizicianul francez Arago , contemporan cu Euler . În anul Euler a demonstrat că numărul e este număr irațional . Hermite , în anula demonstrat că numărul e'' este număr trancendent . Constanta Euler–Mascheroni,γ Constanta Euler–Mascheroni a fost prima data folosită de Euler în anul dar sub notația de C sau O ; Lorenzo Mascheroni în anula folosit pentru aceeași constantă notație de sau , iar simbolul ( gamma ) a fost atribuit într- un final acestei notații datorită legăturii dintre aceasta și funcția Gamma \ . Euler a calculat primelezecimale ale constantei în anul iar Mascheroni a calculat primelezecimale ( doar primeleerau corecte ) , iar in anul sub supravegherea lui Gauss , Nicolai a calculat corect primelede zecimale ale numărului γ . În anul Euler a demonstrat că șirul bn=1+1/2+1/3+⋯+1/n -ln( n ) , definit pentru orice * , , este un șir subunitar , strict pozitiv și strict descrescător . Andile Mabaso a demonstrat iraționalitatea constantei , dar aceste demonstrații nu par a fi concludente . Note Numere Analiză matematică