Teorema creșterilor finite
Teorema creșterilor finite (cunoscută și sub numele de prima teoremă a mediei) se referă la o proprietate remarcabilă a funcțiilor reale derivabile definite pe un interval.

Teorema îi este atribuită matematicianului francez Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

Enunț
Fie  un interval, funcția  și  cu . Dacă:
  este continuă pe intervalul închis [a,b],
  este derivabilă pe intervalul deschis (a,b),
atunci există  astfel încât:
 (formula lui Lagrange sau formula creșterilor finite)

Demonstrație
Aplicând teorema lui Cauchy (a doua teoremă a mediei) pentru  rezultă:

Dar , deci:
.

Interpretare geometrică

O interpretare geometrică a teoremei creșterilor finite poate fi dată cu ajutorul graficului unei funcții f(x) continue pe intervalul [a, b] și derivabile pe (a, b). Conform acestei teoreme, există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f (a se vedea figura alăturată).

Consecințe ale teoremei creșterilor finite

Consecința 1
Fie  un interval. O funcție  este constantă pe  dacă și numai dacă are derivata nulă pe .

Demonstrație

Necesitatea este evidentă.

Suficiența: Dacă  are derivata nulă pe  și  cu  atunci din teorema lui Lagrange există  cu  și deci , adică  este constantă pe .

Consecința 2
Fie  un interval și  derivabile pe . Funcțiile  și  au aceași derivată pe  dacă și numai dacă există  cu
 pentru orice  (adică  și  diferă printr-o constantă).

Demonstrație

Funcțiile  și  au aceeași derivată pe  dacă și numai dacă funcția derivabilă  are derivată nulă pe . Din Consecința 1 acest fapt are loc dacă și numai dacă  este constantă, ceea ce implică afirmația din enunț.

Consecința 3
Fie  un interval  cu  și  continuă pe  și derivabilă pe . Atunci

i)  este crescătoare pe  dacă și numai dacă, pentru orice ;

ii)  este descrescătoare pe  dacă și numai dacă, pentru orice ;

iii)  este strict crescătoare pe  dacă și numai dacă:
      
 , pentru orice ;

 mulțimea  este densă în ;

iv)  este strict descrescătoare pe  dacă și numai dacă:
      
 , pentru orice ;

 mulțimea  este densă în .

Demonstrație

i)Necesitatea

Dacă  este crescătoare pe  atunci pentru orice :

;

Suficiența

Dacă  atunci pentru orice  și  cu  avem (din teorema lui Lagrange) că există  și deci , adică  este crescătoare pe .

ii) rezultă din (i) aplicat pentru funcția descrescătoare .

iii) Necesitatea

Dacă  este strict crescătoare pe , atunci din (i) rezultă ca  pe are .Dacă pe un anumit interval deschis  am avea  pentru orice  atunci restricția funcției  la  ar fi constantă, ceea ce contrazice faptul că  este strict crescătoare pe .

Suficiența

Dacă sunt îndeplinite ambele condiții de la (iii) atunci  este crescătoare pe . Dacă  nu ar fi strict crescătoare pe , ar rezulta că există un interval  astfel ca restricția funcției  la  este constantă, adică  pentru orice , ceea ce contrazice ipoteza a doua de la (iii).

iv) rezultă din (iii) aplicat pentru funcția .

Note

Bibliografie
 Mihail Megan, Calcul diferențial și integral pe dreapta reală, Timișoara, 2010.
 Miron Nicolescu, Nicolae Dinculeanu, Solomon Marcus, Analiza matematică, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1971.

Vezi și 

Analiză matematică
Creșterilor
Teorema creșterilor finite ( cunoscută și sub numele de prima teoremă a mediei ) se referă la o proprietate remarcabilă a funcțiilor reale derivabile definite pe un interval . Teorema îi este atribuită matematicianului francez Joseph-Louis Lagrange Enunț Fie un interval , funcția și cu \ . Dacă : este continuă pe intervalul închis [ a,b ] , este derivabilă pe intervalul deschis ( a,b ) , atunci există astfel încât : ( formula lui Lagrange sau formula creșterilor finite ) Demonstrație Aplicând teorema lui Cauchy ( a doua teoremă a mediei ) pentru rezultă : Dar , deci : . Interpretare geometrică O interpretare geometrică a teoremei creșterilor finite poate fi dată cu ajutorul graficului unei funcții f( x ) continue pe intervalul [ a , b ] și derivabile pe ( a , b ) . Conform acestei teoreme , există un număr real c din intervalul ( a , b ) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [ a , b ] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f ( a se vedea figura alăturată ) . Consecințe ale teoremei creșterilor finite Consecința 1 Fie un interval . O funcție este constantă pe dacă și numai dacă are derivata nulă pe \ . Demonstrație Necesitatea este evidentă . Suficiența : Dacă are derivata nulă pe și cu atunci din teorema lui Lagrange există cu și deci , adică este constantă pe \ . Consecința 2 Fie un interval și derivabile pe \ . Funcțiile și au aceași derivată pe dacă și numai dacă există cu pentru orice ( adică și diferă printr- o constantă ) . Demonstrație Funcțiile și au aceeași derivată pe dacă și numai dacă funcția derivabilă are derivată nulă pe \ . Din Consecințaacest fapt are loc dacă și numai dacă este constantă , ceea ce implică afirmația din enunț . Consecința 3 Fie un interval cu și continuă pe și derivabilă pe \ . Atunci i ) este crescătoare pe dacă și numai dacă , pentru orice ; ii ) este descrescătoare pe dacă și numai dacă , pentru orice ; iii ) este strict crescătoare pe dacă și numai dacă : , pentru orice ; mulțimea este densă în ; iv ) este strict descrescătoare pe dacă și numai dacă : , pentru orice ; mulțimea este densă în \ . Demonstrație i)Necesitatea Dacă este crescătoare pe atunci pentru orice \ : ; Suficiența Dacă atunci pentru orice și cu avem ( din teorema lui Lagrange ) că există și deci , adică este crescătoare pe \ . ii ) rezultă din ( i ) aplicat pentru funcția descrescătoare \ . iii ) Necesitatea Dacă este strict crescătoare pe , atunci din ( i ) rezultă ca pe are \ .Dacă pe un anumit interval deschis am avea pentru orice atunci restricția funcției la ar fi constantă , ceea ce contrazice faptul că este strict crescătoare pe \ . Suficiența Dacă sunt îndeplinite ambele condiții de la ( iii ) atunci este crescătoare pe \ . Dacă nu ar fi strict crescătoare pe , ar rezulta că există un interval astfel ca restricția funcției la este constantă , adică pentru orice , ceea ce contrazice ipoteza a doua de la ( iii ) . iv ) rezultă din ( iii ) aplicat pentru funcția \ . Note Bibliografie Mihail Megan , Calcul diferențial și integral pe dreapta reală , Timișoara , Miron Nicolescu , Nicolae Dinculeanu , Solomon Marcus , Analiza matematică , Ed . Didactică și Pedagogică , București , Vezi și Analiză matematică Creșterilor