Formula lui Stirling
În analiza matematică, formula lui Stirling permite calculul aproximativ al factorialului:

unde  este un număr stabilit de James Stirling.

Această formulă este echivalentă cu:

Demonstrație 
Conform unei proprietăți a logaritmilor:

Deoarece funcția logaritm este crescătoare pe 

pentru 

Se scrie această dublă inegalitate pentru  și se adună membru cu membru. 
Rezultă:

Se calculeaza cele doua integrale folosind formula de integrare prin parti, astfel:

Se aplica formula de mai sus pentru a = 0 si b = N, respectiv a = 1 si b = N + 1, obținandu-se:

Fie:

Se poate obține:

și apoi:

Utilizând dezvoltarea în serie Taylor, se obține:

Pentru  se poate scrie:

Aceasta implică:

Luând în considerare proprietățile seriilor geometrice:

Deci șirul  este descrescător, iar șirul  este descrescător.
Rezultă că  este convergent către o limită C cu proprietatea:

unde

Utilizând funcția exponențială, se obține:

Rămâne de demonstrat că   

Se utilizează formula lui Wallis:

care poate fi scrisă:

adică:

Utilizând formula de mai sus:

se obține:

Rezultă:

adică:

ceea ce trebuia demonstrat.

Analiză matematică
În analiza matematică , formula lui Stirling permite calculul aproximativ al factorialului : unde este un număr stabilit de James Stirling . Această formulă este echivalentă cu : Demonstrație Conform unei proprietăți a logaritmilor : Deoarece funcția logaritm este crescătoare pe pentru Se scrie această dublă inegalitate pentru și se adună membru cu membru . Rezultă : Se calculeaza cele doua integrale folosind formula de integrare prin parti , astfel : Se aplica formula de mai sus pentru a =si b = N , respectiv a =si b = N + obținandu -se : Fie : Se poate obține : și apoi : Utilizând dezvoltarea în serie Taylor , se obține : Pentru se poate scrie : Aceasta implică : Luând în considerare proprietățile seriilor geometrice : Deci șirul este descrescător , iar șirul este descrescător . Rezultă că este convergent către o limită C cu proprietatea : unde Utilizând funcția exponențială , se obține : Rămâne de demonstrat că Se utilizează formula lui Wallis : care poate fi scrisă : adică : Utilizând formula de mai sus : se obține : Rezultă : adică : ceea ce trebuia demonstrat . Analiză matematică