Plan (geometrie)
În geometrie un plan (pl. plane) este o suprafață bidimensională, cu curbură zero, nelimitată în orice direcție. La desenarea figurilor, planul se poate reprezenta printr-un paralelogram sau printr-un triunghi oarecare. De obicei se notează cu litere mici din alfabetul grec α, β, ψ, π etc., sau cu trei litere mari puse în paranteză rotundă (ABC), unde A,B,C sunt trei puncte necoliniare oarecare ale acestui plan.
În spațiul euclidian tridimensional, un plan poate fi determinat fie de trei puncte necoliniare, fie de o dreaptă și un punct exterior ei, fie de două drepte paralele. Este o noțiune primitivă în geometrie. , numite coliniaritate și coplanaritate.

Noțiuni de geometrie euclidiană 

În lucrarea lui Euclid, Elementele, planul este o noțiune fundamentală, la fel ca și dreapta și punctul.<ref>http://aleph0.clarku.edu/ ~ djoyce/java/elements/bookI/defI7.html, D.E. Joyce, Elemente" de Euclid, Cartea I, Definiția 7, Universitatea Clark</ref>
Una din axiomele geometriei euclidiene este:
 „Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul”.
Corolare ale acestei axiome sunt:
 „Printr-o dreaptă și un punct nesituat pe această trece un plan și numai unul”.
 „Prin două drepte secante trece un plan și numai unul”.

 Pozițiile relative a două plane 
Într-un spațiu tridimensional, există doar două poziții relative a două plane:
 Paralele: Intersecția lor este vidă;
 Secante: Intersecția lor este o dreaptă.

 Poziția relativă dintre un plan și o dreaptă 
Considerând dreapta (D), și planul (P), pozițiile relative dintre acestea pot fi:
 (D), este inclusă în (P);
 Intersecția dintre (D) și (P) este un punct;
 (D) și (P) sunt disjuncte.
 Într-un spațiu tridimensional, (D) este paralelă cu (P) dacă și numai dacă (D) este inclusă în (D) sau disjunctă de (P).

 Proprietăți ale planului în spațiul euclidian R  3  
 Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele.
 Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

 Planul în geometria analitică 
 Ecuația planului care trece prin trei puncte 
Fie punctele necoliniare =(, , ), =(, , ), și =(, , ).

Planul care trece prin , , și  poate fi definit ca mulțimea punctelor (x, y, z) care îndeplinesc următoarele ecuații echivalente:

În particular, ecuația planului care trece prin punctele , ,  se poate exprima și într-o formă mai simplă:

 Ecuația unui plan care trece printr-un punct și doi vectori 

unde s și  t'' variază peste toate numerele reale,  și  sunt vectorii care definesc planul, și  este vectorul care reprezintă poziția unui punct arbitrar, dar fix, de pe plan. Vectorii  și  încep de la  și sunt îndreptați în direcții diferite, de-a lungul planului.  și  pot fi perpendiculari, dar nu paraleli.

Ecuația planului care trece printr-un punct și este perpendicular pe un vector 
Fie  vectorul de poziție a unor punct  în plan, și n un vector nenul normal cu planul. Un punct  cu vectorul de poziție  se află în plan dacă și numai dacă vectorul dintre  și  este perpendicular pe n. Se știe că doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero, rezultă că planul dorit poate fi exprimat ca mulțimea tuturor punctelor r astfel încât:

Rezultă că:

care este ecuația planului.

Distanța de la un punct la un plan 
Pentru un plan  și un punct  nu neapărat situat pe plan, distanța cea mai scurtă de la  la plan este

Dreapta de intersecție dintre două plane 
Dreapta de intersecție dintre planele de ecuații  și  este dată de

unde:

Unghiul diedru 
Considerând două plane decrise de ecuațiile  și , unghiul diedru dintre ele este definit a fi unghiul  dintre direcțiile lor normale:

Note bibliografice

Vezi și 
 Dreaptă
 Curbă
 Coplanaritate
 Graf planar
 Proiecție cartografică
 Planul complex
 Spațiu plan

 
Figuri geometrice
Geometrie elementară
Geometrie euclidiană
Geometrie afină
În geometrie un plan ( pl. plane ) este o suprafață bidimensională , cu curbură zero , nelimitată în orice direcție . La desenarea figurilor , planul se poate reprezenta printr- un paralelogram sau printr- un triunghi oarecare . De obicei se notează cu litere mici din alfabetul grec α, β , ψ , π etc. , sau cu trei litere mari puse în paranteză rotundă ( ABC ) , unde A,B,C sunt trei puncte necoliniare oarecare ale acestui plan . În spațiul euclidian tridimensional , un plan poate fi determinat fie de trei puncte necoliniare , fie de o dreaptă și un punct exterior ei , fie de două drepte paralele . Este o noțiune primitivă în geometrie . , numite coliniaritate și coplanaritate . Noțiuni de geometrie euclidiană În lucrarea lui Euclid , Elementele , planul este o noțiune fundamentală , la fel ca și dreapta și punctul.<ref>http : //aleph0.clarku.edu/ ~ djoyce/java/elements/bookI/defI7.html , D.E. Joyce , Elemente " de Euclid , Cartea I , Definiția Universitatea Clark</ref> Una din axiomele geometriei euclidiene este : „ Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul ” . Corolare ale acestei axiome sunt : „ Printr- o dreaptă și un punct nesituat pe această trece un plan și numai unul ” . „ Prin două drepte secante trece un plan și numai unul ” . Pozițiile relative a două plane Într- un spațiu tridimensional , există doar două poziții relative a două plane : Paralele : Intersecția lor este vidă ; Secante : Intersecția lor este o dreaptă . Poziția relativă dintre un plan și o dreaptă Considerând dreapta ( D ) , și planul ( P ) , pozițiile relative dintre acestea pot fi : ( D ) , este inclusă în ( P ) ; Intersecția dintre ( D ) și ( P ) este un punct ; ( D ) și ( P ) sunt disjuncte . Într- un spațiu tridimensional , ( D ) este paralelă cu ( P ) dacă și numai dacă ( D ) este inclusă în ( D ) sau disjunctă de ( P ) . Proprietăți ale planului în spațiul euclidian R Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele . Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele . Planul în geometria analitică Ecuația planului care trece prin trei puncte Fie punctele necoliniare = ( , , ) , = ( , , ) , și = ( , , ) . Planul care trece prin , , și poate fi definit ca mulțimea punctelor ( x , y , z ) care îndeplinesc următoarele ecuații echivalente : În particular , ecuația planului care trece prin punctele , , se poate exprima și într- o formă mai simplă : Ecuația unui plan care trece printr- un punct și doi vectori unde s și t'' variază peste toate numerele reale , și sunt vectorii care definesc planul , și este vectorul care reprezintă poziția unui punct arbitrar , dar fix , de pe plan . Vectorii și încep de la și sunt îndreptați în direcții diferite , de- a lungul planului . și pot fi perpendiculari , dar nu paraleli . Ecuația planului care trece printr- un punct și este perpendicular pe un vector Fie vectorul de poziție a unor punct în plan , și n un vector nenul normal cu planul . Un punct cu vectorul de poziție se află în plan dacă și numai dacă vectorul dintre și este perpendicular pe n . Se știe că doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero , rezultă că planul dorit poate fi exprimat ca mulțimea tuturor punctelor r astfel încât : Rezultă că : care este ecuația planului . Distanța de la un punct la un plan Pentru un plan și un punct nu neapărat situat pe plan , distanța cea mai scurtă de la la plan este Dreapta de intersecție dintre două plane Dreapta de intersecție dintre planele de ecuații și este dată de unde : Unghiul diedru Considerând două plane decrise de ecuațiile și , unghiul diedru dintre ele este definit a fi unghiul dintre direcțiile lor normale : Note bibliografice Vezi și Dreaptă Curbă Coplanaritate Graf planar Proiecție cartografică Planul complex Spațiu plan Figuri geometrice Geometrie elementară Geometrie euclidiană Geometrie afină