Funcție convexă
În matematică, o funcție reală de o variabilă reală este convexă pe un interval atunci când graficul său se află sub dreapta care unește punctele ce reprezintă valoarea funcției în extremitățile intervalului.

Funcțiile convexe jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exemplu în probleme de optimizare, în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder, și în rezolvarea anumitor ecuații.

Noțiuni introductive

Definiție: Fie  un interval și  o funcție. 

 este convexă dacă  și  este satisfăcută inegalitatea

 este strict convexă dacă  și  este satisfăcută  inegalitatea

 este concavă dacă  și  este satisfăcută  inegalitatea

 este strict concavă dacă  și  este satisfăcută  inegalitatea

Semnificație geometrică
Fie ; fixăm  și , evident . Punctul  se află pe graficul funcției , iar punctul  se  găsește pe segmentul , unde . Dacă  este convexă atunci graficul funcției se află sub coarda care trece prin punctele  și .

Proprietăți
Teoremă (criteriu de convexitate). Fie  un interval și  o funcție de două ori derivabilă pe I. Funcția  este convexă pe  dacă și numai dacă .

Teoremă. Fie  funcții convexe definite pe mulțimea convexă . Atunci funcția  este convexă pe , oricare .

Teoremă (Inegalitatea lui Jensen). Fie funcția convexă . Pentru   cu  și  ,   cu  are loc inegalitatea .

Demonstrație: Se demonstrează prin inducție.
Cazul  este chiar definiția funcției convexe. Presupunem adevărată afirmația pentru  și să demonstrăm pentru .
Fie deci  și  cu .
 Dacă  atunci concluzia rezultă imediat.
 Dacă  atunci
 
unde 
Conform ipotezei avem:

Exemple
 Funcția  este convexă.
 Funcția  este convexă.

Bibliografie
 Viorel Lupușor, Vasile Pop, Matematică pentru grupele de performanță, clasa a XI-a, Dacia Educațional, 2004.
 Mihail Megan, Bazele Analizei Matematice, vol. 2, Editura Eurobit Timișoara, 1997.
 Gheorghe Sirețchi, Calcul Diferențial și Integral, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1985.

Vezi și

 Convexitate
 Funcție concavă

Analiză funcțională
Convexitate
Tipuri de funcții
În matematică , o funcție reală de o variabilă reală este convexă pe un interval atunci când graficul său se află sub dreapta care unește punctele ce reprezintă valoarea funcției în extremitățile intervalului . Funcțiile convexe jocă un rol important în multe domenii din matematică , de exemplu în probleme de optimizare , în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder , și în rezolvarea anumitor ecuații . Noțiuni introductive Definiție : Fie un interval și o funcție . este convexă dacă și este satisfăcută inegalitatea este strict convexă dacă și este satisfăcută inegalitatea este concavă dacă și este satisfăcută inegalitatea este strict concavă dacă și este satisfăcută inegalitatea Semnificație geometrică Fie ; fixăm și , evident \ . Punctul se află pe graficul funcției , iar punctul se găsește pe segmentul , unde \ . Dacă este convexă atunci graficul funcției se află sub coarda care trece prin punctele și \ . Proprietăți Teoremă ( criteriu de convexitate ) . Fie un interval și o funcție de două ori derivabilă pe I . Funcția este convexă pe dacă și numai dacă \ . Teoremă . Fie funcții convexe definite pe mulțimea convexă \ . Atunci funcția este convexă pe , oricare \ . Teoremă ( Inegalitatea lui Jensen ) . Fie funcția convexă \ . Pentru cu și , cu are loc inegalitatea \ . Demonstrație : Se demonstrează prin inducție . Cazul este chiar definiția funcției convexe . Presupunem adevărată afirmația pentru și să demonstrăm pentru \ . Fie deci și cu \ . Dacă atunci concluzia rezultă imediat . Dacă atunci unde Conform ipotezei avem : Exemple Funcția este convexă . Funcția este convexă . Bibliografie Viorel Lupușor , Vasile Pop , Matematică pentru grupele de performanță , clasa a XI -a , Dacia Educațional , Mihail Megan , Bazele Analizei Matematice , vol . Editura Eurobit Timișoara , Gheorghe Sirețchi , Calcul Diferențial și Integral , Ed . Științifică și Enciclopedică , București , Vezi și Convexitate Funcție concavă Analiză funcțională Convexitate Tipuri de funcții