Teorema Stolz-Cesàro
În analiza matematică, teorema Stolz-Cesàro (numită și lema Stolz-Cesàro) este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir.

Enunț 
Fie  și  două șiruri de numere reale, astfel încât  este strict crescător și 

Dacă există  atunci există și  și

Demonstrație 
Fie (xn) un șir mărginit. Rezultă că există intervalul I1 = [ a1, b1 ], care conține toți termenii săi. Împărțim intervalul I1 în două părți: [ a1, (a1 + b1) / 2 ] și [ (a1 + b1) / 2, b1 ]. Cel puțin una din aceste părți va conține o infinitate de termeni ai șirului (an). Notăm acest interval I2 = [ a2, b2 ]. Evident, avem a1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ b1 și b2 - a2 = (b1 - a1) / 2. Împărțim intervalul I2 în două părți, astfel: [ a2, (a2 + b2) / 2 ] și [ (a2 + b2) / 2, b2 ]. Notăm cu I3 = [ a3, b3 ], una din părțile care conțin o infinitate de termeni ai șirului (an). Se obține astfel: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 și b3 - a3 = (b1 - a1) / 4. 
Continuând procedeul de împărțire pentru intervalele rezultate se obține șirul de intervale In = [ an, bn ], n ≥ 1, astfel încât:
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ an+1 ≤ ... ≤ bn+1 ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 și bn - an = (b1 - a1) / 2n, n ≥ 1.
Din teorema lui Weierstrass rezultă că șirurile (an) și (bn) sunt convergente și .
Deoarece în fiecare interval  I1, I2, ..., In, ... se află un număr infinit de termeni ai șirului (an), alegem câte un termen din fiecare interval:
 a n1 din I1, a n2 din I2, ..., a nk din Ik, unde n1 < n2 < ... < nk < ....
Rezultă că ap ≤ anp ≤ bp, p din N*, relație din care se obține cu criteriul cleștelui: . Așadar, subșirul (anp) este convergent.

Aplicații 
 Să se determine: 

Rezolvare.
Notăm:  și 

Avem:

 Să se determine 

Se consideră  și 

Se ține seama că:

unde la numitor s-a efectuat descompunerea cu ajutorul binomului lui Newton.

Așadar,

Bibliografie
Marius Burtea, Georgeta Burtea, Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Ed. Carminic, Pitești. 

Analiză matematică
Teoreme matematice
În analiza matematică , teorema Stolz-Cesàro ( numită și lema Stolz-Cesàro ) este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir . Enunț Fie și două șiruri de numere reale , astfel încât este strict crescător și Dacă există atunci există și și Demonstrație Fie ( xn ) un șir mărginit . Rezultă că există intervalul I1 = [ a1 , b1 ] , care conține toți termenii săi . Împărțim intervalul I1 în două părți : [ a1 , ( a1 + b1 ) / ] și [ ( a1 + b1 ) / b1 ] . Cel puțin una din aceste părți va conține o infinitate de termeni ai șirului ( an ) . Notăm acest interval I2 = [ a2 , b2 ] . Evident , avem a1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ b1 și b2 - a2 = ( b1 - a1 ) / Împărțim intervalul I2 în două părți , astfel : [ a2 , ( a2 + b2 ) / ] și [ ( a2 + b2 ) / b2 ] . Notăm cu I3 = [ a3 , b3 ] , una din părțile care conțin o infinitate de termeni ai șirului ( an ) . Se obține astfel : a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 și b3 - a3 = ( b1 - a1 ) / Continuând procedeul de împărțire pentru intervalele rezultate se obține șirul de intervale In = [ an , bn ] , n ≥ astfel încât : a1 ≤ a2 ≤ \ ... ≤ an ≤ an+ 1 ≤ \ ... ≤ bn+ 1 ≤ bn ≤ \ ... ≤ b2 ≤ b1 și bn - an = ( b1 - a1 ) / , n ≥ Din teorema lui Weierstrass rezultă că șirurile ( an ) și ( bn ) sunt convergente și \ . Deoarece în fiecare interval I1 , I2 , \ . .. , In , \ . .. se află un număr infinit de termeni ai șirului ( an ) , alegem câte un termen din fiecare interval : a n1 din I1 , a n2 din I2 , \ ... , a nk din Ik , unde n1 < n2 < \ ... < nk < \ .... Rezultă că ap ≤ anp ≤ bp , p din N* , relație din care se obține cu criteriul cleștelui : \ . Așadar , subșirul ( anp ) este convergent . Aplicații Să se determine : Rezolvare . Notăm : și Avem : Să se determine Se consideră și Se ține seama că : unde la numitor s- a efectuat descompunerea cu ajutorul binomului lui Newton . Așadar , Bibliografie Marius Burtea , Georgeta Burtea , Matematică , Manual pentru clasa a XI -a , M1 , Ed. Carminic , Pitești . Analiză matematică Teoreme matematice