Principiul contracției


Principiul contracției
Fie    un spațiu metric complet. Aplicația  este o contracție a lui S dacă există , numit coeficient de contracție, astfel  încât:

Punctul  se numește punct fix al aplicației  dacă avem: 

Fie  fixat și fie șirul de puncte  din S definit succesiv prin:

Știind că S este un spațiu metric complet pentru a arăta că șirul  definit prin (1.3) este convergent în S este suficient să arătăm că acest șir este fundamental în S. Deoarece f este o contracție a lui S, avem succesiv:

Prin inducție se obține:
   (1.4)

Pe de altă parte, pentru orice , avem 

și folosind corespunzător inegalitatea (1.4) se obține:

Deci:
   (1.5)

Presupunem că . Deoarece , ceea ce implică:
,    (1.6)
astfel încât  și  și aratăm că șirul de puncte  este  un șir fundamental în spațiul metric complet S și in consecință este convergent în S. În acest caz notăm ;
) în S.

În acest caz notăm: ;  ( în S). Să  arătăm că c este punctul fix al contracției f.
Deoarece  în S, rezultă că pentru orice , există un rang , astfel încât dacă , atunci .

Observând și inegalitatea evidentă , datorită contracției f, se obține:  care arată că   în  S și  care implică :  în S. Dar avem și  în  S și cum S este spațiu metric (unde limita unui șir convergent este unică  rezultă egalitatea , adică  este punct fix al contracției f. 

Să arătăm acum unicitatea lui c.
Presupunem că mai există , astfel încât  . În acest caz avem 

Rezultă  , care implică  și deci  .
Am arătat că punctul fix al contracției este unic.

Bibliografie
G. Tătar, Calcul diferențial și integral, Ed. Economică, București, 2002.

Matematică
Principiul contracției Fie un spațiu metric complet . Aplicația este o contracție a lui S dacă există , numit coeficient de contracție , astfel încât : Punctul se numește punct fix al aplicației dacă avem : Fie fixat și fie șirul de puncte din S definit succesiv prin : Știind că S este un spațiu metric complet pentru a arăta că șirul definit prin3 ) este convergent în S este suficient să arătăm că acest șir este fundamental în S. Deoarece f este o contracție a lui S , avem succesiv : Prin inducție se obține : 4 ) Pe de altă parte , pentru orice , avem și folosind corespunzător inegalitatea4 ) se obține : Deci : 5 ) Presupunem că \ . Deoarece , ceea ce implică : 6 ) astfel încât și și aratăm că șirul de puncte este un șir fundamental în spațiul metric complet S și in consecință este convergent în S . În acest caz notăm ; ) în S . În acest caz notăm : ; ( în S ) . Să arătăm că c este punctul fix al contracției f . Deoarece în S , rezultă că pentru orice , există un rang , astfel încât dacă , atunci \ . Observând și inegalitatea evidentă , datorită contracției f , se obține : care arată că în S și care implică \ : în S . Dar avem și în S și cum S este spațiu metric ( unde limita unui șir convergent este unică rezultă egalitatea , adică este punct fix al contracției f . Să arătăm acum unicitatea lui c. Presupunem că mai există , astfel încât \ . În acest caz avem Rezultă , care implică și deci \ . Am arătat că punctul fix al contracției este unic . Bibliografie G. Tătar , Calcul diferențial și integral , Ed. Economică , București , Matematică