Nilpotență
Problema 1
Fie matricea A  . Să se arate că    este nilpotență  dacă  și numai dacă   , oricare ar fi  natural. 
Sunt cunoscute relațiile: 

unde , sunt valorile proprii ale matricii .

Presupunem acum că   este nilpotență, adică  există   astfel încât . Fie  o valoare proprie asociată  matricii   și  un vector propriu nenul corespunzător valorii proprii . Atunci avem  (1).

Presupunem . Deoarece , mulțimea  este nevidă și din proprietatea de bună  ordonare a lui  rezultă faptul că   are un cel mai mic element, . Dacă  acesta este diferit de 1, atunci prin înmulțirea relației (1) cu  obținem , de unde datorită faptului că   și  rezultă că , ceea ce este o contradicție cu minimalitatea lui . Prin urmare  și . Folosind relația (1) avem  și , ceea ce este o contradicție cu faptul că  și . Deci presupunerea făcută este falsă și .

Deoarece  a fost o valoare proprie aleasă arbitrar, orice valoare proprie a lui  este 0. Din relațiile (\star)</math> rezultă că 

Reciproc, presupunem că . Folosim identitățile lui Newton:
 pentru orice  și oricare  numere complexe . În particular, dacă  , atunci, din relațiile  și presupunerea făcută rezultă că . Dacă înlocuim  în formulele lui Newton pentru  obținem:

adică coeficienții polinomului , polinomul caracteristic al lui , sunt 0, în afară de coeficientul dominant. Prin urmare . Teorema Cayley-Hamilton spune că , adică . Prin urmare  este o matrice nilpotență.

Legături externe
http://planetmath.org/NilpotentMatrix.html 

Matematică
Problema 1 Fie matricea A \ . Să se arate că este nilpotență dacă și numai dacă , oricare ar fi natural . Sunt cunoscute relațiile : unde , sunt valorile proprii ale matricii \ . Presupunem acum că este nilpotență , adică există astfel încât \ . Fie o valoare proprie asociată matricii și un vector propriu nenul corespunzător valorii proprii \ . Atunci avem Presupunem \ . Deoarece , mulțimea este nevidă și din proprietatea de bună ordonare a lui rezultă faptul că are un cel mai mic element , \ . Dacă acesta este diferit de atunci prin înmulțirea relațieicu obținem , de unde datorită faptului că și rezultă că , ceea ce este o contradicție cu minimalitatea lui \ . Prin urmare și \ . Folosind relațiaavem și , ceea ce este o contradicție cu faptul că și \ . Deci presupunerea făcută este falsă și \ . Deoarece a fost o valoare proprie aleasă arbitrar , orice valoare proprie a lui este Din relațiile ( \star)</math> rezultă că Reciproc , presupunem că \ . Folosim identitățile lui Newton : pentru orice și oricare numere complexe \ . În particular , dacă , atunci , din relațiile și presupunerea făcută rezultă că \ . Dacă înlocuim în formulele lui Newton pentru obținem : adică coeficienții polinomului , polinomul caracteristic al lui , sunt în afară de coeficientul dominant . Prin urmare \ . Teorema Cayley-Hamilton spune că , adică \ . Prin urmare este o matrice nilpotență . Legături externe http://planetmath.org/NilpotentMatrix.html Matematică