Polinomul de interpolare Lagrange


Definiție
Fie un set de k + 1 puncte de date, diferite între ele:

Polinomul de interpolare Lagrange este combinația liniară

de polinoame Lagrange de bază

Deși numit după Joseph Louis Lagrange în 1795, a fost descoperit pentru prima data în 1779 de către Edward Waring și a fost publicat în 1783 de Leonhard Euler.

Având în vedere ipoteza inițială că  sunt diferite între ele, această expresie este întotdeauna bine definită.

Se verifică imediat că polinomul interpolează corect funcția, adică: 
=, pentru orice i=1..n.

Exemple

1

Să găsim o formulă de interpolare pentru funcția f(x) = tan(x) dată de următoarele seturi de valori:

 

Polinoamele de bază sunt:

Deci polinomul de interpolare este:

2
Să interpolăm funcția f(x) = x2 pe domeniul 1 ? x ? 3, prin următoarele 3 puncte:

 

Polinomul este:

3
Să interpolăm funcția f(x) = x3 pe domeniul 1 < x < 3, prin punctele:

Polinomul este:

Interpolarea baricentrică 

Forma Lagrange de interpolare polinomului arată caracterul liniar al polinomului de interpolare și unicitatea acestui polinom. De aceea, este de preferat în probe și argumente teoretice. 
Dar, după cum se poate observa din construcții, de fiecare dată când un nod xk se modifică, toate polinoame Lagrange de bază trebuie să fie recalculate. O formă mai bună a polinomului de interpolare în practică este forma baricentrică de interpolare Lagrange formula Newton a polinomului.

Utilizând

putem rescrie polinoamele de bază Lagrange ca

sau, prin definirea ponderilor baricentrice 

putem scrie pur și simplu

care este denumit în mod obișnuit ca prima formă a  formulei de interpolare baricentrică.

Avantajul este că această reprezentare polinomul de interpolare poate fi acum evaluat ca

care, în cazul în care ponderile  au fost pre-calculate, are nevoie doar de  (operații de evaluare  și ponderile ), spre deosebire de  pentru evaluarea polinoamelor Lagrange de bază  individual.

Formula de interpolare baricentrică poate fi, de asemenea, ușor de actualizat pentru a include un nod nou  prin împărțirea nodurilor ,  la și construirea noului  ca mai sus.

Putem simplifica și mai mult prima formă prin luarea în considerare prima interpolare baricentrică a funcției constante :

Împărțirea  la  nu modifică interpolarea, dar conduce la rezultatul

care este menționat ca forma a doua  sau adevarata forma a formulei de interpolare baricentrică. Această formă are avantajul că  nu trebuie să fie evaluate pentru fiecare evaluare a .

Referințe

Bibliografie
Constantin Ilioi, Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1980.

Legături externe 
 www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf
 http://cs.upm.ro/~bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf 

Analiză numerică
Definiție Fie un set de k + 1 puncte de date , diferite între ele : Polinomul de interpolare Lagrange este combinația liniară de polinoame Lagrange de bază Deși numit după Joseph Louis Lagrange în a fost descoperit pentru prima data înde către Edward Waring și a fost publicat înde Leonhard Euler . Având în vedere ipoteza inițială că sunt diferite între ele , această expresie este întotdeauna bine definită . Se verifică imediat că polinomul interpolează corect funcția , adică : = , pentru orice i=1..n. Exemple 1 Să găsim o formulă de interpolare pentru funcția f( x ) = tan( x ) dată de următoarele seturi de valori : Polinoamele de bază sunt : Deci polinomul de interpolare este : 2 Să interpolăm funcția f( x ) = x2 pe domeniul ? x ? 3 , prin următoarelepuncte : Polinomul este : 3 Să interpolăm funcția f( x ) = x3 pe domeniul< x < 3 , prin punctele : Polinomul este : Interpolarea baricentrică Forma Lagrange de interpolare polinomului arată caracterul liniar al polinomului de interpolare și unicitatea acestui polinom . De aceea , este de preferat în probe și argumente teoretice . Dar , după cum se poate observa din construcții , de fiecare dată când un nod xk se modifică , toate polinoame Lagrange de bază trebuie să fie recalculate . O formă mai bună a polinomului de interpolare în practică este forma baricentrică de interpolare Lagrange formula Newton a polinomului . Utilizând putem rescrie polinoamele de bază Lagrange ca sau , prin definirea ponderilor baricentrice putem scrie pur și simplu care este denumit în mod obișnuit ca prima formă a formulei de interpolare baricentrică . Avantajul este că această reprezentare polinomul de interpolare poate fi acum evaluat ca care , în cazul în care ponderile au fost pre-calculate , are nevoie doar de ( operații de evaluare și ponderile ) , spre deosebire de pentru evaluarea polinoamelor Lagrange de bază individual . Formula de interpolare baricentrică poate fi , de asemenea , ușor de actualizat pentru a include un nod nou prin împărțirea nodurilor , la și construirea noului ca mai sus . Putem simplifica și mai mult prima formă prin luarea în considerare prima interpolare baricentrică a funcției constante \ : Împărțirea la nu modifică interpolarea , dar conduce la rezultatul care este menționat ca forma a doua sau adevarata forma a formulei de interpolare baricentrică . Această formă are avantajul că nu trebuie să fie evaluate pentru fiecare evaluare a \ . Referințe Bibliografie Constantin Ilioi , Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor , Editura Academiei Republicii Socialiste România , București , Legături externe www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf http://cs.upm.ro/ ~ bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf Analiză numerică