Matricea Vandermonde
În algebră, o matrice Vandermonde, numită după Alexandre-Théophile Vandermonde, este o matrice de forma:

Determinantul unei matrici pătratice Vandermonde (m=n) poate fi exprimat astfel:

Demonstrație 
Calculând determinantul cu formula lui Leibniz:

unde Sn înseamnă mulțimea permutărilor lui , iar sgn(σ) este signatura permutării

Se demonstrează prin inducție că:

Pentru (n=2), se verifică imediat. Pentru (n>2), executăm operația elementară

 ←  

asupra coloanelor, scăzând din coloana n coloana (n-1) înmulțită cu coeficientul , apoi din coloana (n-1) coloana (n-2) înmulțită cu ..., din coloana 2 coloana 1 înmulțită cu , - astfel încât în final pe prima linie să rămână 1 numai în poziția (1,1) și în rest zerouri. Determinantul rămâne neschimbat, și egal cu:

Dezvoltând după prima linie:

Conform proprietății de multiliniaritate a determinantului:

de unde, prin inducție matematică, se obține rezultatul cerut.

Referințe

Algebră liniară
Matrice
Determinanți
În algebră , o matrice Vandermonde , numită după Alexandre-Théophile Vandermonde , este o matrice de forma : Determinantul unei matrici pătratice Vandermonde ( m=n ) poate fi exprimat astfel : Demonstrație Calculând determinantul cu formula lui Leibniz : unde Sn înseamnă mulțimea permutărilor lui , iar sgn( σ ) este signatura permutării Se demonstrează prin inducție că : Pentru ( n=2 ) , se verifică imediat . Pentru ( n>2 ) , executăm operația elementară ← asupra coloanelor , scăzând din coloana n coloana ( n-1 ) înmulțită cu coeficientul , apoi din coloana ( n-1 ) coloana ( n-2 ) înmulțită cu \ . .. , din coloanacoloanaînmulțită cu , - astfel încât în final pe prima linie să rămânănumai în poziția1 ) și în rest zerouri . Determinantul rămâne neschimbat , și egal cu : Dezvoltând după prima linie : Conform proprietății de multiliniaritate a determinantului : de unde , prin inducție matematică , se obține rezultatul cerut . Referințe Algebră liniară Matrice Determinanți