Subgrup
În matematică, dat fiind un grup G cu un operator binar ∗, o submulțime H a lui G se numește subgrup al lui G dacă H formează și el un grup cu operatorul ∗. Mai exact, H este subgrup al lui G dacă restricționarea lui ∗ la  este operator de grup pe H. Aceasta se notează de regulă cu , citit ca „H este subgrup al lui G”.

Subgrupul trivial al oricărui grup {e} constă doar din elementul neutru.

Un subgrup propriu al grupului G este un subgrup H a cărui mulțime este submulțime proprie a lui of G (adică ). Aceasta se notează de regulă ca , adică "H este subgrup propriu al lui G”. Unii autori exclud și grupul trivial din definiția subgrupului propriu (adică ).

Daca H este subgrup al lui G, atunci G este uneori denumit supergrup al lui H.

Aceleași definiții se aplică mai general când G este un semigrup arbitrar, dar acest articol tratează doar subgrupurile unor grupuri. Grupul G este uneori notat cu perechea ordonată , de regulă pentru a accentua operațiunea ∗ atunci când G conține și alte structuri algebrice.

Proprietăți de bază ale subgrupurilor 
 O submulțime H a grupului G este subgrup al lui G dacă și numai dacă este nevidă și închisă în raport cu produsul și inversa.  (Condițiile închiderii înseamnă: oricare ar fi a și b din H, atunci ab și a−1 sunt și ele în H. Aceste condiții se pot combina într-una singură echivalentă: oricând a și b sunt în H, atunci ab−1 este tot în H.)  În cazul când H este finit, atunci H este subgrup dacă și numai dacă H este închis în raport cu produsul. (În acest caz, orice element a din H generează un subgrup finit ciclical lui H, iar inversa lui a este a−1 = an − 1, unde n este ordinul lui a.)
 Condiția de mai sus se poate formula în termeni de omomorfism; adică, H este subgrup al grupului G dacă și numai dacă H este submulțime a lui G și există un omomorfism de includere (adică i(a) = a oricare ar fi a) de la H la G.
 Elementul neutru al unui subgrup este elementul neutru al grupului: dacă G este grup cu elementul neutru eG, și H este subgrup al lui G cu elementul neutru eH, atunci eH = eG.
 Elementul simetric al unui element dintr-un subgrup este element simetric al elementului și în grupː dacă H este un subgrup al grupului G, și a și b sunt elemente din H astfel încânt ab = ba = eH, atunci ab = ba = eG.
 Intersecția subgrupurilor A și B este și ea un subgrup. Reuniunea subgrupurilor A și B este tot subgrup dacă și numai dacă unul dintre ele îl conține pe celălalt, întrucât, de exemplu 2 și 3 fac parte din reuniunea lui 2Z cu 3Z, dar suma lor, 5, nu face parte. Un alt exemplu este reuniunea axelor x și y din planul complex (cu operația de adunare); ambele sunt subgrupuri ale planului complex, dar reuniunea lor nu. Acesta este și un exemplu de două subgrupuri a căror intersecție este subgrupul trivial, format doar din elementul neutru.
 Dacă S este o submulțime a lui G, atunci există unsubgrup minim ce conține S, ce poate fi găsită luând intersecția tuturor grupurilor ce conțin S; el se notează cu <S> și este denumit subgrup generat de S. Un element din G face parte din <S> dacă și numai dacă este produs finit de elemente din S și inversele lor.
 Orice element a dintr-un grup G generează subgrupul ciclic <a>. Dacă <a> este izomorf cu Z/nZ pentru un întreg pozitiv n, atunci n este cel mai mic întreg pozitiv pentru care an = e, iar n se numește ordinul lui a. Dacă <a> este izomorf cu Z, atunci se spune că a are ordin infinit.

Codomenii și teorema lui Lagrange 
Dat fiind un subgrup H și un a din G, se definește codomeniul stâng aH = {ah : h în H}. Întrucât a are element simetric, aplicația φ : H → aH  dată de φ(h) = ah este bijectivă. Mai mult, orice element din G este conținut într-un singur codomeniu stâng al lui H; codomeniile stângi sunt clase de echivalență corespunzătoare relației de echivalență a1 ~ a2 dacă și numai dacă a1−1a2 face parte din H. Numărul de codomenii drepte ale lui H se numește indicele lui H în G și se notează cu [G : H].

Teorema lui Lagrange afirmă că pentru un grup finit G și un subgrup H, 

unde cu |G| și  |H| se notează ordinul lui G, respectiv H. În particular, ordinul fiecărui subgrup al lui G (și ordinul fiecărui element al lui G) trebuie să fie divizor al lui |G|.

Codomeniile drepte sunt definite analog: Ha = {ha : h în H}. Ele sunt și clase de echivalență pentru o relație de echivalență corespunzătoare și numărul lor este egal cu [G : H].

Dacă aH = Ha oricare ar fi a din G, atunci despre H se spune că este subgrup normal. Fiecare subgrup de indice 2 este normal: codomeniul stâng și cel drept sunt doar subgrupul și complementul său. Mai general, dacă p este cel mai mic număr prim care divide ordinul unui grup finit G, atunci orice subgrup de indice p (dacă există) este normal.

Exemplu: Subgrupurile lui Z8 
Fie G grupul ciclic Z8 cu elementele

și a cărui operație de grup este is adunarea modulo opt. Tabela sa Cayley este

Acest grup are două subgrupuri netriviale: J={0,4} și H={0,2,4,6}, unde J este și un subgrup al lui H.  Tabela Cayley pentru H este pătratul din stânga-sus al tabelei Cayley pentru G.  Grupul G este ciclic, și la fel și subgrupurile sale. În general, subgrupurile grupurilor ciclice sunt și ele ciclice.

Note

Bibliografie 
 .
 .
 .

Teoria grupurilor
În matematică , dat fiind un grup G cu un operator binar ∗ , o submulțime H a lui G se numește subgrup al lui G dacă H formează și el un grup cu operatorul ∗ . Mai exact , H este subgrup al lui G dacă restricționarea lui ∗ la este operator de grup pe H . Aceasta se notează de regulă cu , citit ca „ H este subgrup al lui G” . Subgrupul trivial al oricărui grup { e } constă doar din elementul neutru . Un subgrup propriu al grupului G este un subgrup H a cărui mulțime este submulțime proprie a lui of G ( adică ) . Aceasta se notează de regulă ca , adică " H este subgrup propriu al lui G” . Unii autori exclud și grupul trivial din definiția subgrupului propriu ( adică ) . Daca H este subgrup al lui G , atunci G este uneori denumit supergrup al lui H . Aceleași definiții se aplică mai general când G este un semigrup arbitrar , dar acest articol tratează doar subgrupurile unor grupuri . Grupul G este uneori notat cu perechea ordonată , de regulă pentru a accentua operațiunea ∗ atunci când G conține și alte structuri algebrice . Proprietăți de bază ale subgrupurilor O submulțime H a grupului G este subgrup al lui G dacă și numai dacă este nevidă și închisă în raport cu produsul și inversa . ( Condițiile închiderii înseamnă : oricare ar fi a și b din H , atunci ab și a−1 sunt și ele în H . Aceste condiții se pot combina într- una singură echivalentă : oricând a și b sunt în H , atunci ab−1 este tot în H. ) În cazul când H este finit , atunci H este subgrup dacă și numai dacă H este închis în raport cu produsul . ( În acest caz , orice element a din H generează un subgrup finit ciclical lui H , iar inversa lui a este a−1 = an − unde n este ordinul lui a . ) Condiția de mai sus se poate formula în termeni de omomorfism ; adică , H este subgrup al grupului G dacă și numai dacă H este submulțime a lui G și există un omomorfism de includere ( adică i( a ) = a oricare ar fi a ) de la H la G . Elementul neutru al unui subgrup este elementul neutru al grupului : dacă G este grup cu elementul neutru eG , și H este subgrup al lui G cu elementul neutru eH , atunci eH = eG . Elementul simetric al unui element dintr- un subgrup este element simetric al elementului și în grupː dacă H este un subgrup al grupului G , și a și b sunt elemente din H astfel încânt ab = ba = eH , atunci ab = ba = eG . Intersecția subgrupurilor A și B este și ea un subgrup . Reuniunea subgrupurilor A și B este tot subgrup dacă și numai dacă unul dintre ele îl conține pe celălalt , întrucât , de exemplu 2 șifac parte din reuniunea lui cu , dar suma lor , nu face parte . Un alt exemplu este reuniunea axelor x și y din planul complex ( cu operația de adunare ) ; ambele sunt subgrupuri ale planului complex , dar reuniunea lor nu . Acesta este și un exemplu de două subgrupuri a căror intersecție este subgrupul trivial , format doar din elementul neutru . Dacă S este o submulțime a lui G , atunci există unsubgrup minim ce conține S , ce poate fi găsită luând intersecția tuturor grupurilor ce conțin S ; el se notează cu <S> și este denumit subgrup generat de S. Un element din G face parte din <S> dacă și numai dacă este produs finit de elemente din S și inversele lor . Orice element a dintr- un grup G generează subgrupul ciclic <a> . Dacă <a> este izomorf cu Z/nZ pentru un întreg pozitiv n , atunci n este cel mai mic întreg pozitiv pentru care an = e , iar n se numește ordinul lui a . Dacă <a> este izomorf cu Z , atunci se spune că a are ordin infinit . Codomenii și teorema lui Lagrange Dat fiind un subgrup H și un a din G , se definește codomeniul stâng aH = { ah \ : h în H } . Întrucât a are element simetric , aplicația φ \ : H → aH dată de φ( h ) = ah este bijectivă . Mai mult , orice element din G este conținut într- un singur codomeniu stâng al lui H ; codomeniile stângi sunt clase de echivalență corespunzătoare relației de echivalență a1 ~ a2 dacă și numai dacă a1−1a2 face parte din H . Numărul de codomenii drepte ale lui H se numește indicele lui H în G și se notează cu [ G \ : H ] . Teorema lui Lagrange afirmă că pentru un grup finit G și un subgrup H , unde cu | G | și | H | se notează ordinul lui G , respectiv H . În particular , ordinul fiecărui subgrup al lui G ( și ordinul fiecărui element al lui G ) trebuie să fie divizor al lui | G | . Codomeniile drepte sunt definite analog : Ha = { ha \ : h în H } . Ele sunt și clase de echivalență pentru o relație de echivalență corespunzătoare și numărul lor este egal cu [ G \ : H ] . Dacă aH = Ha oricare ar fi a din G , atunci despre H se spune că este subgrup normal . Fiecare subgrup de indiceeste normal : codomeniul stâng și cel drept sunt doar subgrupul și complementul său . Mai general , dacă p este cel mai mic număr prim care divide ordinul unui grup finit G , atunci orice subgrup de indice p ( dacă există ) este normal . Exemplu : Subgrupurile lui Z8 Fie G grupul ciclic Z8 cu elementele și a cărui operație de grup este is adunarea modulo opt . Tabela sa Cayley este Acest grup are două subgrupuri netriviale : J={ 0,4 } și H={0,2,4,6 } , unde J este și un subgrup al lui H . Tabela Cayley pentru H este pătratul din stânga -sus al tabelei Cayley pentru G. Grupul G este ciclic , și la fel și subgrupurile sale . În general , subgrupurile grupurilor ciclice sunt și ele ciclice . Note Bibliografie \ . \ . \ . Teoria grupurilor