Conchoïde
In de meetkunde is een conchoïde ("schelpachtige", Grieks: κόγχος (kongchos), schelp) een vlakke kromme die de baan is van een punt dat, vanuit een vast punt – de pool of het richtpunt – gezien, op een vaste gegeven afstand ligt van een gegeven kromme (de richtcurve, richtkromme). Een conchoïde bestaat dus uit twee delen: een deel dat, gezien vanuit de pool, "voor" de kromme ligt en een deel "achter" de kromme.

Definitie 

De conchoïde die wordt voortgebracht door een richtcurve , een punt  (de pool) dat niet op de richtcurve ligt, en een afstand , is de verzameling van de punten die op de verbindingslijnen van  met alle punten  van  liggen, en wel op een afstand  van .

Algemene beschrijving 
Een eenvoudige manier om een conchoïde te beschrijven is de oorsprong als pool te kiezen en de richtcurve in poolcoördinaten te definiëren. De keuze van de oorsprong als pool doet geen afbreuk aan de algemeenheid. Is de richtcurve  gegeven door de relatie:

dan bestaat de conchoïde uit de punten met:

Een conchoïde bestaat dus altijd uit twee takken:

Bij sommige conchoïden zijn lussen in de pool (in dit geval de oorsprong) een typisch kenmerk. Deze lussen treden op als de voerstraal (het verbindingslijnstuk van de pool met een punt van de richtcurve) voor bepaalde waarden van de variabele  kleiner is dan de constante . Dit kan gebeuren in de uitdrukking voor  in bovenstaande formules. Indien  echter te groot wordt, zullen deze lussen weer verdwijnen, doordat  in de uitdrukking voor  dan negatief wordt.

De conchoïde van Nicomedes 

De eerste in de meetkunde behandelde vorm was de reeds in het oude Griekenland bekende conchoïde van Nicomedes. Deze eenvoudige conchoïde heeft de oorsprong  als pool en een rechte lijn als richtcurve. Indien daarvoor de horizontale rechte  wordt gekozen, is de vergelijking van deze rechte in poolcoördinaten:

zodat de conchoide op afstand  in parametervorm beschreven wordt door:

Nevenstaande figuur bevat drie conchoïden van Nicomedes. Ze hebben alle drie de rechte  als richtcurve, maar de afstand  neemt drie waarden aan:  (zwart),  (blauw) en  (groen).

In het algemeen geldt voor een conchoïde van Nicomedes: indien  is, dan bevat een van beide delen van de conchoïde een lus in de pool. Voor  is de pool een keerpunt van dat deel, en voor  ontstaat er geen lus; de conchoïde gaat dan niet door de pool. Voor elke waarde van  naderen beide delen van een conchoïde de richtcurve asymptotisch.

Voorbeeld, een algemene conchoïde 

Indien de richtcurve geen rechte is, ontstaan tal van andere vormen als conchoïden. De conchoïde met de oorsprong als pool en richtcurve:

en met afstand  is weergegeven in nevenstaande figuur.

De waarde van  is hier zo gekozen dat er twee (kleine) lussen zijn in de oorsprong, gelegen in het 2e en 4e kwadrant. Deze lussen ontstaan hier (bij benadering) voor waarden van  in de intervallen  en .
Lussen treden bij deze conchoïde op voor waarden van  in het interval . Voor  is de voerstraal van de richtcurve steeds groter dan , zodat  in  positief is. Voor  is de voerstraal kleiner dan , waardoor het blauwe deel niet meer door de oorsprong gaat.

Zie ook 
 Conchoïde van De Sluse

Meetkunde
Wiskundige kromme
Wiskundige functie
In de meetkunde is een conchoïde ( " schelpachtige " , Grieks : κόγχος ( kongchos ) , schelp ) een vlakke kromme die de baan is van een punt dat , vanuit een vast punt – de pool of het richtpunt – gezien , op een vaste gegeven afstand ligt van een gegeven kromme ( de richtcurve , richtkromme ) . Een conchoïde bestaat dus uit twee delen : een deel dat , gezien vanuit de pool , " voor " de kromme ligt en een deel " achter " de kromme . Definitie De conchoïde die wordt voortgebracht door een richtcurve , een punt ( de pool ) dat niet op de richtcurve ligt , en een afstand , is de verzameling van de punten die op de verbindingslijnen van met alle punten van liggen , en wel op een afstand van \ . Algemene beschrijving Een eenvoudige manier om een conchoïde te beschrijven is de oorsprong als pool te kiezen en de richtcurve in poolcoördinaten te definiëren . De keuze van de oorsprong als pool doet geen afbreuk aan de algemeenheid . Is de richtcurve gegeven door de relatie : dan bestaat de conchoïde uit de punten met : Een conchoïde bestaat dus altijd uit twee takken : Bij sommige conchoïden zijn lussen in de pool ( in dit geval de oorsprong ) een typisch kenmerk . Deze lussen treden op als de voerstraal ( het verbindingslijnstuk van de pool met een punt van de richtcurve ) voor bepaalde waarden van de variabele kleiner is dan de constante\ . Dit kan gebeuren in de uitdrukking voor in bovenstaande formules . Indien echter te groot wordt , zullen deze lussen weer verdwijnen , doordat in de uitdrukking voor dan negatief wordt . De conchoïde van Nicomedes De eerste in de meetkunde behandelde vorm was de reeds in het oude Griekenland bekende conchoïde van Nicomedes . Deze eenvoudige conchoïde heeft de oorsprong als pool en een rechte lijn als richtcurve . Indien daarvoor de horizontale rechte wordt gekozen , is de vergelijking van deze rechte in poolcoördinaten : zodat de conchoide op afstand in parametervorm beschreven wordt door : Nevenstaande figuur bevat drie conchoïden van Nicomedes . Ze hebben alle drie de rechte als richtcurve , maar de afstand neemt drie waarden aan : ( zwart ) , ( blauw ) en ( groen ) . In het algemeen geldt voor een conchoïde van Nicomedes : indien is , dan bevat een van beide delen van de conchoïde een lus in de pool . Voor is de pool een keerpunt van dat deel , en voor ontstaat er geen lus ; de conchoïde gaat dan niet door de pool . Voor elke waarde van naderen beide delen van een conchoïde de richtcurve asymptotisch . Voorbeeld , een algemene conchoïde Indien de richtcurve geen rechte is , ontstaan tal van andere vormen als conchoïden . De conchoïde met de oorsprong als pool en richtcurve : en met afstand is weergegeven in nevenstaande figuur . De waarde van is hier zo gekozen dat er twee ( kleine ) lussen zijn in de oorsprong , gelegen in het en kwadrant . Deze lussen ontstaan hier ( bij benadering ) voor waarden van in de intervallen en \ . Lussen treden bij deze conchoïde op voor waarden van in het interval\ . Voor is de voerstraal van de richtcurve steeds groter dan , zodat in positief is . Voor is de voerstraal kleiner dan , waardoor het blauwe deel niet meer door de oorsprong gaat . Zie ook Conchoïde van De Sluse Meetkunde Wiskundige kromme Wiskundige functie