Plateaucurve
In de wiskunde vormen de Plateaucurves een door drie reële parameters geparametriseerde familie krommen, die een grote variëteit aan vormen vertoont. De curves zijn genoemd naar de Belgische natuur- en wiskundige Joseph Plateau.

Definitie
De Plateaucurve voor de parameters  wordt voor  gegeven door:

Vereenvoudiging
Het onderzoek naar de mogelijke vormen kan sterk vereenvoudigd worden door de mogelijke waarden van de parameters in te perken zonder daarbij mogelijke vormen te verliezen.

 De parameter  is een schaalfactor die de figuur groter of kleiner maakt maar de vorm zelf niet wijzigt. Hij kan dus gelijk aan 1 genomen worden.
 Stel dat voor  een waarde gekozen is. Dan doorloopt de variabele

eveneens het domein van min tot plus oneindig zodat dezelfde figuur wordt bekomen als wanneer men  als variabele gebruikt. De vergelijkingen worden nu echter:

met 

In deze uitdrukking komt nog enkel de verhouding  voor die kan worden vervangen door één nieuwe parameter :

met 

 Ten slotte kan men aantonen dat, indien  wordt vervangen door  de figuur wel wordt gespiegeld tegenover de oorsprong (0,0), maar niet van vorm verandert.

Samengevat volstaat het dus deze laatste formules te onderzoeken, en dit enkel voor waarden van  gelegen tussen −1 en +1. Indien nu opnieuw de naam  wordt gebruikt voor de variabele wordt dit ten slotte:

met  en 

Gezien het feit dat de vergelijkingen volledig zijn opgebouwd uit producten en delingen van periodieke functies (sinussen) zal elke Plateaucurve zelf ook periodiek zijn, met een periode die in elk geval niet groter zal zijn dan het product van de afzonderlijke periodes. De totale periode  is dus ten hoogste:

Deze waarde is een absoluut maximum. In vele gevallen, meer bepaald indien de waarde  rationaal is, kan de werkelijke periode beduidend korter zijn.

Elke Plateaucurve bezit ook een symmetrie tegenover de x-as. Dit komt doordat, indien  wordt vervangen door  de x-component gelijk blijft, maar de y-component van teken wisselt. Een onderzoek van een Plateaucurve kan dus door het gecombineerde effect van symmetrie en periodiciteit worden beperkt tot een interval  om alle eigenschappen van de curve te ontdekken. Een volledige grafiek vereist wel een domein  of

Mogelijke vormen

De mogelijke waarden van de enige resterende parameter  kunnen worden beperkt tot het interval:

De rechtse grenswaarde  van dit interval () kan immers worden uitgesloten omdat dit een deling door nul tot gevolg zou hebben. Enkele speciale waarde zijn:

 : dan vereenvoudigt de Plateaucurve zich tot een cirkel met straal 2 en middelpunt (1,0).

 : dan wordt de Plateaucurve een hyperbool met als parametervergelijking:

 : indien  naar nul nadert, nadert de Plateaucurve tot een rechte lijn, namelijk de x-as.
 : indien  naar −1 nadert, nadert de Plateucurve naar een koppel snijdende rechten, namelijk de twee coördinaatassen.

Daarnaast kan men eveneens nagaan hoe de curve evolueert voor rationale waarden van  Gezien  in absolute waarde kleiner dan 1 is, kan de teller  dan waarden aannemen van 1 tot en met  Dit in de veronderstelling dat de breuk  maximaal wordt vereenvoudigd door de teller en noemer door een gelijke factor te delen. Dan geldt, voor noemers 

 Voor positieve rationale waarden  bestaat de curve uit een aantal lussen in de oorsprong plus eventueel een aantal koppels asymptoten. Het aantal lussen is hierbij gelijk aan de teller  en is dus maximaal als  Telkens wanneer  met 1 verlaagd wordt, verdwijnt een lus, maar komt er een koppel asymptoten in de plaats. Bijvoorbeeld, voor  bevat de curve drie lussen, maar voor  één lus en twee koppels asymptoten.
 voor negatieve rationale waarden  bestaat de curve uit een aantal hyperbolen. Dit aantal is gelijk aan  nog steeds in de veronderstelling van een maximaal vereenvoudigde breuk n/m.

Meetkunde
Wiskundige kromme
In de wiskunde vormen de Plateaucurves een door drie reële parameters geparametriseerde familie krommen , die een grote variëteit aan vormen vertoont . De curves zijn genoemd naar de Belgische natuur- en wiskundige Joseph Plateau . Definitie De Plateaucurve voor de parameters wordt voor gegeven door : Vereenvoudiging Het onderzoek naar de mogelijke vormen kan sterk vereenvoudigd worden door de mogelijke waarden van de parameters in te perken zonder daarbij mogelijke vormen te verliezen . De parameter is een schaalfactor die de figuur groter of kleiner maakt maar de vorm zelf niet wijzigt . Hij kan dus gelijk aangenomen worden . Stel dat voor een waarde gekozen is . Dan doorloopt de variabele eveneens het domein van min tot plus oneindig zodat dezelfde figuur wordt bekomen als wanneer men als variabele gebruikt . De vergelijkingen worden nu echter : met In deze uitdrukking komt nog enkel de verhouding voor die kan worden vervangen door één nieuwe parameter \ : met Ten slotte kan men aantonen dat , indien wordt vervangen door de figuur wel wordt gespiegeld tegenover de oorsprong0 ) , maar niet van vorm verandert . Samengevat volstaat het dus deze laatste formules te onderzoeken , en dit enkel voor waarden van gelegen tussen −1 en +1 . Indien nu opnieuw de naam wordt gebruikt voor de variabele wordt dit ten slotte : met en Gezien het feit dat de vergelijkingen volledig zijn opgebouwd uit producten en delingen van periodieke functies ( sinussen ) zal elke Plateaucurve zelf ook periodiek zijn , met een periode die in elk geval niet groter zal zijn dan het product van de afzonderlijke periodes . De totale periode is dus ten hoogste : Deze waarde is een absoluut maximum . In vele gevallen , meer bepaald indien de waarde rationaal is , kan de werkelijke periode beduidend korter zijn . Elke Plateaucurve bezit ook een symmetrie tegenover de x-as . Dit komt doordat , indien wordt vervangen door de x-component gelijk blijft , maar de y-component van teken wisselt . Een onderzoek van een Plateaucurve kan dus door het gecombineerde effect van symmetrie en periodiciteit worden beperkt tot een interval om alle eigenschappen van de curve te ontdekken . Een volledige grafiek vereist wel een domein of Mogelijke vormen De mogelijke waarden van de enige resterende parameter kunnen worden beperkt tot het interval : De rechtse grenswaarde van dit interval ( ) kan immers worden uitgesloten omdat dit een deling door nul tot gevolg zou hebben . Enkele speciale waarde zijn : \ : dan vereenvoudigt de Plateaucurve zich tot een cirkel met straalen middelpunt0 ) . \ : dan wordt de Plateaucurve een hyperbool met als parametervergelijking : \ : indien naar nul nadert , nadert de Plateaucurve tot een rechte lijn , namelijk de x-as . \ : indien naar −1 nadert , nadert de Plateucurve naar een koppel snijdende rechten , namelijk de twee coördinaatassen . Daarnaast kan men eveneens nagaan hoe de curve evolueert voor rationale waarden van Gezien in absolute waarde kleiner danis , kan de teller dan waarden aannemen vantot en met Dit in de veronderstelling dat de breuk maximaal wordt vereenvoudigd door de teller en noemer door een gelijke factor te delen . Dan geldt , voor noemers Voor positieve rationale waarden bestaat de curve uit een aantal lussen in de oorsprong plus eventueel een aantal koppels asymptoten . Het aantal lussen is hierbij gelijk aan de teller en is dus maximaal als Telkens wanneer metverlaagd wordt , verdwijnt een lus , maar komt er een koppel asymptoten in de plaats . Bijvoorbeeld , voor bevat de curve drie lussen , maar voor één lus en twee koppels asymptoten . voor negatieve rationale waarden bestaat de curve uit een aantal hyperbolen . Dit aantal is gelijk aan nog steeds in de veronderstelling van een maximaal vereenvoudigde breuk n/m . Meetkunde Wiskundige kromme