نقطة ثابتة تكرارية
نقطة ثابتة تكرارية  تستخدم هذه الطريقة التكرارية لحل المعادلات و تتميز بأنها لا تتطلب حساب قيم أي مشتقات كما في طريقة نيوتن حيث لحل المعادلة  نحتاج إلى حساب قيمة مشتقة الدالة  عند كل خطوة.

فكرة هذه الطريقة  
تُعرف النقطة الثابتة لدالة بأنها القيمة التي لا تتغير عندها الدالة  ولحل معادلة ما  بطريقة النقطة الثابتة نضع أولًا المعادلة في الصورة  حيث  دالة في  والواقع أنه يمكن وضع أي معادلة  في هذه الصورة الخاصة المذكورة بعدد لا نهائي من الطرق . فمثلًا الدالة  نستطيع كتابتها كالتالي : 

أو 

أو 

ويتم اختيار صيغة من الصيغ الخاصة  بحيث يؤدي حلها بطريقة النقطة الثابتة إلى التباعد أو التقارب حسب اختيار الدالة كما سيوضح في النظرية .

نفترض أن لدينا معادلة على الصورة  و لنبدأ بقيمة قريبة من الجذر و لتكن  ثم نكون المتتالية من تقريب المتتابعة  ومن الواضح أنه إذا كانت لهذه المتتالية  نهاية   فإن   يكون جذرًا للمعادلة  و ذلك لأن  .

مالذي يضمن وجود النقطة الثابتة ؟! و كيف أستطيع تحديد دالة تقاربية ؟! سيوضح ذلك النظرية التالية . نظرية (1)
 إذا كانت ل دالة و  أي دالة متصلة و قابلة للاشتقاق وَ  لأي قيمة  فإن الدالة  نقطة ثابتة على الأقل .
 بالإضافة إلى أن  موجودة في  و العدد الموجب  موجود و يحقق أن  فإنه يوجد بالضبط نقطة واحدة في 

البرهان : 
 إذا كانت  وَ  حيث أن  نقط ثابتة . 
نفترض أن  وَ 

و باستخدام نظرية القيمة المتوسطة نحصل على :

 بحيث أن 

 نقطة ثابتة

  موجودة و يوجد عدد موجب  بحيث أن : 

من نظرية القيمة المتوسطة نفترض أن  نقطتين ثابتتين 

 وهذا يؤدي إلى تناقض إذًا يوجد لدالة  نقطة ثابتة وحيدة .

نظرية (2) 
بالإضافة إلى الشروط السابقة في النظرية (1)  موجودة في  و الثابت  بحيث  فإنه يوجد عدد  
 بحيث المتتابعة معرفة كالتالي  هذه المتتابعة تقاربية و تقترب من النقطة الثابتة الوحيدة .

نستفيد من إضافة هذا الشرط في النظرية (2) لمعرفة ما إذا كانت الدالة  المختارة تقاربية .

حدود الخطأ
نتيجة :

عند تحقق الشروط في نظرية (1) و نظرية (2) فإن حدود الخطأ الناتجة من استخدام  لتقريب إلى  تعطى بالعلاقة التالية :

و أيضًا

تقارب طريقة النقطة الثابتة  
لإيجاد علاقة تعطي الخطأ  بدلالة  : نفترض أن  هي القسمة المضبوطة للجذر إذًا :

وبالتعويض في صيغة النقطة الثابتة : 

نحصل على 

و بما أن 
 هي القسمة المضبوطة للجذر، أي أنها تحقق المعادلة 

إذًا 

إذًا 

و بتطبيق نظرية القيمة المتوسطة نجد أن :

بالتالي يكون شرط التقارب

خطوات طريقة النقطة الثابتة  
نضع  
 
وضع قيمة ابتدائية و لتكن  
 ومن ثم نكرر هذه الخطوة إلى الوصول إلى معيار التوقف المطلوب .

مثال :

 أثبت أنه يوجد نقطة ثابتة وحيدة لدالة  .
 ثم استخدم طريقة النقطة الثابتة لإيجاد جذر الدالة في الفترة  وحيث أن مقدار الخطأ 

الحل : 
 نختار 

نختبرنظرية (1)

ندرس تزايد أو تناقص الدالة لمعرفة أعلى قيمة

إذًا هذه الدالة تزايدية مهما أخذت قيمة ل 
 
في الفترة 

و 
 تناقصية في هذه الفترة

وهذا يعني أن أعلى قيمة لدالة  
عند 

إذًا يوجد نقطة ثابتة ووحيدة في الفترة 

 نفترض أن

مراجع 

خوارزميات إيجاد الجذور
رياضيات
نقطة ثابتة تكرارية تستخدم هذه الطريقة التكرارية ل حل المعادلات و تتميز ب أن ها لا تتطلب حساب قيم أي مشتقات كما في طريقة نيوتن حيث ل حل المعادلة نحتاج إلى حساب قيمة مشتقة الدالة عند كل خطوة . فكرة هذه الطريقة تُعرف النقطة الثابتة لدالة ب أن ها القيمة التي لا تتغير عند ها الدالة ولحل معادلة ما ب طريقة النقطة الثابتة نضع أولًا المعادلة في الصورة حيث دالة في و الواقع أن ه يمكن وضع أي معادلة في هذه الصورة الخاصة المذكورة ب عدد لا نهائي من الطرق\ . فمثلًا الدالة نستطيع كتابة ها ك التالي \ : أو أو و يتم اختيار صيغة من الصيغ الخاصة ب حيث يؤدي حل ها ب طريقة النقطة الثابتة إلى التباعد أو التقارب حسب اختيار الدالة كما سيوضح في ال نظرية \ . نفترض أن لدي نا معادلة على الصورة و ل نبدأ ب قيمة قريبة من الجذر و لتكن ثم نكون المتتالية من تقريب المتتابعة و من الواضح أن ه إذا كانت ل هٰذه المتتالية نهاية ف إن يكون جذرًا للمعادلة و ذلك لأن\ . م الذي يضمن وجود النقطة الثابتة ؟ ! و كيف أستطيع تحديد دالة تقاربية ؟ ! سيوضح ذلك ال نظرية التالية \ . نظرية إذا كانت ل دالة و أي دالة متصلة و قابلة للاشتقاق وَ ل أي قيمة ف إن الدالة نقطة ثابتة على الأقل \ . ب الإضافة إلى أن موجودة في و العدد ال موجب موجود و يحقق أن ف إن ه يوجد ب الضبط نقطة واحدة في البرهان \ : إذا كانت وَ حيث أن نقط ثابتة \ . نفترض أن وَ و ب استخدام نظرية القيمة المتوسطة نحصل على \ : ب حيث أن نقطة ثابتة موجودة و يوجد عدد موجب ب حيث أن \ : من نظرية القيمة المتوسطة نفترض أن نقطتين ثابتتين و هٰذا يؤدي إلى تناقض إذًا يوجد لدالة نقطة ثابتة وحيدة \ . نظرية ب الإضافة إلى الشروط السابقة في ال نظرية موجودة في و الثابت ب حيث ف إن ه يوجد عدد ب حيث المتتابعة معرفة ك التالي هذه المتتابعة تقاربية و تقترب من النقطة الثابتة الوحيدة \ . نستفيد من إضافة هذا الشرط في النظريةلمعرفة ما إذا كانت الدالة المختارة تقاربية \ . حدود الخطأ نتيجة \ : عند تحقق الشروط في نظريةو نظريةفإن حدود الخطأ الناتجة من استخدام لتقريب إلى تعطى ب العلاقة التالية \ : و أيضًا تقارب طريقة النقطة الثابتة ل إيجاد علاقة تعطي الخطأ بدلالة \ : نفترض أن هي القسمة المضبوطة للجذر إذً ا \ : وب التعويض في صيغة النقطة الثابتة \ : نحصل على و ب ما أن هي القسمة المضبوطة للجذر ، أي أن ها تحقق المعادلة إذًا إذًا و ب تطبيق نظرية القيمة المتوسطة نجد أن \ : ب التالي يكون شرط التقارب خطوات طريقة النقطة الثابتة نضع وضع قيمة ابتدائية و لتكن و من ثم نكرر هذه الخطوة إلى الوصول إلى معيار التوقف المطلوب\ . مثال \ : أثبت أن ه يوجد نقطة ثابتة وحيدة لدالة \ . ثم استخدم طريقة النقطة الثابتة ل إيجاد جذر الدالة في الفترة و حيث أن مقدار الخطأ الحل \ : نختار نختبر نظرية ندرس تزايد أو تناقص الدالة ل معرفة أعلى قيمة إذًا هذه الدالة تزايدية مهما أخذت قيمة ل في الفترة و تناقصية في هذه الفترة و هٰذا يعني أن أعلى قيمة لدالة عند إذًا يوجد نقطة ثابتة ووحيدة في الفترة نفترض أن مراجع خوارزميات إيجاد الجذور رياضيات