قاعدة سمبسون
قاعدة سمبسون  في التحليل العددي هي طريقة من طرق التكامل العددي و هي في الحقيقة حالة خاصة من صيغ نيوتن-كوتس المغلقة لتقريب تكامل الدالة f باستخدام كثيرة الحدود التربيعية وهي طريقة محسنة لطريقة شبه المنحرف كما أنها أسرع تقارباً وأدق ويفسر ذلك من خلال أن قاعدة سمبسون تحتوي على نقطة المنتصف التي توفر توازن أفضل للتقريب. لأنه كلما زادت عدد التقسيمات في الفترة الجزئية كانت الطريقة أدق.
و تحسب صيغة شبه المنحرف القيمة الفعلية للتكامل عندما تكون f دالة كثيرة حدود من الدرجة الأولى على الأكثر . بينما صيغة سمبسون فإنها تحسب القيمة الفعلية للتكامل إذا كانت f دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة أو أقل.

في الواقع تعتبر صيغة سمبسون من أكثر الصيغ استخداما حيث انها تستخدم على نطاق واسع لحل المسائل التطبيقية التي تتضمن تكاملات محدودة لدقتها الحسابية وسهولة استخدامها.

استنتاج القاعدة 
يمكن استنتاج قاعدة سمبسون بطرق مختلفة.

الاستكمال التربيعي 
 
ولكي نحصل على صيغة سمبسون لابد بالتعويض في الصيغة الإستكمالية

and

لبعض قيم  في 

أيضا

بالتالي :

وبتعويض قيمة  يصبح لدينا

إذاً

قاعدة سمبسون البسيطة 

صيغة سمبسون البسيطة :
الفكرة التي قامت عليها صيغة سمبسون البسيطة:

تقوم على أساس تقريب المساحة المطلوبة تحت منحنى الدالة  بالمساحة تحت منحنى حدودية من الدرجة الثانية  تمر بالنقاط الثلاث

 

بحيث تكون المساحة محصورة بين الخطين

مثال على سمبسون البسيطة 
استخدام قاعدة سمبسون البسيطة لإيجاد قيمة التكامل 

الحل:

قاعدة سمبسون المركبة 

قد لا يكون استخدام صيغ نيوتن-كوتس عمليا في الكثير من الحالات خصوصا إذا كانت فترة التكامل كبيرة نسبيا ؛ حيث أننا نضطر ففي مثل هذه الحالات إلى استخدام كثيرات حدود ذات درجات عالية من الذبذبة وهذا بدوره يترك أثر سيئا على دقة الحلول العددية، وللتغلب على هذه المشكلة وتقليل الخطأ الناتج عن تطبيق صيغة تكامل ذات رتبة منخفضة أي قيمة n صغيرة فإننا نقسم فترة التكامل [a,b] إلى فترات أصغر ونطبق صيغة التكامل على كل فترة جزئية على حدة . والصيغة الناتجة من التطبيق المتكرر لصيغة ذات رتبة منخفضة تسمى صيغة تكامل مركبة . وفيما يلي نحصل على الصيغة المركبة الناتجة من التطبيق المتكرر لصيغة سمبسون البسيطة عندما (n=2) . ولكن من شروط قاعدة سمبسون ان تكون n عدد زوجي
وكي نكرر تطبيق قاعدة سمبسون عدد r من المرات نحتاج معرفة قيم الدالة عند عدد 2r+1 من نقاط الأساس 

وتكون قاعدة سمبسون المركبة كالتالي :

مثال على قاعدة سمبسون المركبة 

الحل بستخدام قاعدة سمبسون المركبة :

الخطأ 

وفي بعض التكاملات على الفترات الكبيرة كان الحل بصيغة سمبسون يحتوي نسبة خطأ أكبر من لو قام بتقسيم الفترة

نلاحظ أن الخطأ يقل بعد تقسيم الفترة ومن هذا المنطلق نتجت صيغة سمبسون المركبة ولها العديد من الصيغ

والخطأ مرتبط بالتقريب :

حسب نظرية القيمة المتوسطة يوجد بحيث:

بالتالي

وبما أن

و أيضاً

انظر ايضًا 
 قاعدة شبه المنحرف
 روجر كوتس
 إسحاق نيوتن
 التكامل العددي
 التحليل العددي

مراجع 

 كتاب الطرق العددية والتحليل العددي - أ.د. أبو بكر أحمد السيد، جامعة الكويت ISBN9789957171353
 “Numerical Analysis”, Richard L. Burden & J. Douglas Faires, Brooks/Cole, Cengage Learning,(2011) ISBN 0-534-38216-9

ملاحظات 

تحليل عددي
تكامل عددي
حساب تكاملي
قاعدة سمبسون في ال تحليل العددي هي طريقة من طرق التكامل العددي و هي في الحقيقة حالة خاصة من صيغ نيوتن - كوتس المغلقة لتقريب تكامل الدالة f ب استخدام كثيرة الحدود التربيعية و هي طريقة محسنة ل طريقة شبه المنحرف كما أن ها أسرع تقارباً وأدق ويفسر ذلك من خلال أن قاعدة سمبسون تحتوي على نقطة المنتصف التي توفر توازن أفضل ل التقريب . لأن ه كلما زادت عدد التقسيمات في الفترة الجزئية كانت الطريقة أدق . و تحسب صيغة شبه المنحرف القيمة الفعلية ل التكامل عندما تكون f دالة كثيرة حدود من الدرجة الأولى على الأكثر \ . بينما صيغة سمبسون ف إن ها تحسب القيمة الفعلية ل التكامل إذا كانت f دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة أو أقل . في الواقع تعتبر صيغة سمبسون من أكثر الصيغ استخداما حيث أن ها تستخدم على نطاق واسع ل حل المسائل التطبيقية التي تتضمن تكاملات محدودة لدقت ها الحسابية و سهولة استخدام ها . استنتاج القاعدة يمكن استنتاج قاعدة سمبسون ب طرق مختلفة . ال استكمال التربيعي و لكي نحصل على صيغة سمبسون لا بد ب التعويض في الصيغة الإستكمالية and ل بعض قيم في أيضا ب التالي \ : وبتعويض قيمة يصبح لدي نا إذاً قاعدة سمبسون البسيطة صيغة سمبسون البسيطة \ : الفكرة التي قامت علي ها صيغة سمبسون البسيطة : تقوم على أساس تقريب المساحة المطلوبة تحت منحنى الدالة بالمساحة تحت منحنى حدودية من الدرجة الثانية تمر ب النقاط الثلاث ب حيث تكون المساحة محصورة بين الخطين مثال على سمبسون البسيطة استخدام قاعدة سمبسون البسيطة ل إيجاد قيمة التكامل الحل : قاعدة سمبسون المركبة قد لا يكون استخدام صيغ نيوتن - كوتس عمليا في الكثير من الحالات خصوصا إذا كانت فترة التكامل كبيرة نسبيا ؛ حيث أن نا نضطر ف في مثل هذه الحالات إلى استخدام كثيرات حدود ذات درجات عالية من الذبذبة و هٰذا ب دور ه يترك أثر سيئا على دقة الحلول العددية ، وللتغلب على هذه المشكلة و تقليل الخطأ الناتج عن تطبيق صيغة تكامل ذات رتبة منخفضة أي قيمة n صغيرة فإن نا نقسم فترة التكامل [ a,b ] إلى فترات أصغر ونطبق صيغة التكامل على كل فترة جزئية على حدة \ . و الصيغة الناتجة من التطبيق المتكرر لصيغة ذات رتبة منخفضة تسمى صيغة تكامل مركبة \ . و فيما يلي نحصل على الصيغة المركبة الناتجة من التطبيق المتكرر لصيغة سمبسون البسيطة عندما ( n = 2 ) \ . و لٰكن من شروط قاعدة سمبسون ان تكون n عدد زوجي وكي نكرر تطبيق قاعدة سمبسون عدد r من المرات نحتاج معرفة قيم الدالة عند عدد + 1 من نقاط الأساس و تكون قاعدة سمبسون المركبة ك التالي \ : مثال على قاعدة سمبسون المركبة الحل بستخدام قاعدة سمبسون المركبة \ : الخطأ و في بعض التكاملات على الفترات الكبيرة كان الحل بصيغة سمبسون يحتوي نسبة خطأ أكبر من لو قام ب تقسيم الفترة نلاحظ أن الخطأ يقل بعد تقسيم الفترة و من هذا المنطلق نتجت صيغة سمبسون المركبة و ل ها العديد من الصيغ و الخطإ مرتبط با التقريب \ : حسب نظرية القيمة المتوسطة يوجد ب حيث : ب التالي و ب ما أن و أيضاً انظر ايضًا قاعدة شبه المنحرف روجر كوتس إسحاق نيوتن التكامل العددي ال تحليل العددي مراجع كتاب الطرق العددية و التحليل العددي - أ.د . أبو بكر أحمد السيد ، جامعة الكويت ISB N9789957171353 “ Numerical A nalysis ” , Richard L . Burden & J . Douglas Faires , Brooks / Cole , Cengage Learning , ( 2011 ) ISB N38216 - 9 ملاحظات تحليل عددي تكامل عددي حساب تكامل ي