تاريخ حساب المثلثات
يمكن تتبع الدراسة القديمة للمثلثات حتى الألفية الثانية قبل الميلاد، في الرياضيات المصرية (بردية ريند الرياضية) والرياضيات البابلية. بدأت الدراسة المنهجية للدوال المثلثية في الرياضيات الهلنستية، ووصلت إلى الهند كجزء من علم الفلك الهلنستي. في علم الفلك الهندي، ازدهرت دراسة الدوال المثلثية في الفترة الغوبتية، خاصة بفضل أريابهاتا (القرن السادس الميلادي)، الذي اكتشف دالة الجيب. خلال العصور الوسطى، استمرت دراسة حساب المثلثات في الرياضيات الإسلامية، من قبل علماء الرياضيات مثل الخوارزمي وأبو الوفاء البوزجاني. أصبح تخصصًا مستقلاً في العالم الإسلامي، حيث عُرفت جميع الدوال المثلثية الستة. أدت ترجمات النصوص العربية واليونانية إلى اعتماد حساب المثلثات موضوعًا في الغرب اللاتيني بدءًا من عصر النهضة مع ريغيومونتانوس. تحول تطور حساب المثلثات الحديث خلال عصر التنوير، بدءًا من الرياضيات في القرن السابع عشر (إسحاق نيوتن وجيمس ستيرلنغ) ووصل إلى شكله الحديث مع ليونهارت أويلر (1748).

التطور

الشرق الأدنى القديم 
عرف المصريون القدماء والبابليون مبرهنات على نسب أضلاع المثلثات المتشابهة لعدة قرون. ومع ذلك، نظرًا لأن مجتمعات ما قبل الإغريقية افتقرت إلى مفهوم قياس الزاوية، فقد اقتصرت على دراسة أضلاع المثلثات بدلاً من ذلك.

احتفظ الفلكيون البابليون بمخطوطات تفصيلية عن شروق وغروب النجوم، وحركة الكواكب، وكسوف الشمس وخسوف القمر، وكلها تتطلب إلمام بالمسافات الزاوية المقاسة على القبة السماوية. استنادًا إلى أحد التفسيرات للوحة المسمارية بليمبتون 322 (حوالي 1900 قبل الميلاد)، أكد البعض أن البابليين القدماء لديهم جدول القواطع. ومع ذلك، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول ثلاثيات فيثاغورس، أو حل المعادلات التربيعية، أو جدول مثلثي.

من ناحية أخرى، استخدم المصريون شكلًا بدائيًا لحساب المثلثات لبناء الأهرامات في الألفية الثانية قبل الميلاد. بردية ريند الرياضية، كتبها الكاتب المصري أحمس (حوالي 1680-1620 قبل الميلاد)، تحتوي على المشكلة التالية المتعلقة بحساب المثلثات:حل أحمس للمشكلة هو نسبة نصف ضلع القاعدة الهرم إلى ارتفاعه. وبعبارة أخرى، فإن المقدار الذي وجده للسقد هو ظل التمام لزاوية بين قاعدة الهرم ووجهه.

العصر الكلاسيكي 

استخدم علماء الرياضيات اليونانيين والهلنستيين الوتر. باعتبار الدائرة وقوسها، فإن الوتر هو المستقيم الذي يقابل القوس. يمر المُنَصِّف العمودي للوتر عبر مركز الدائرة ويُنَصِّف الزاوية. نصف الوتر المُنَصَّف هو جيب نصف الزاوية المُنَصَّفة، أي:

حيث  هو نصف قطر الدائرة.

وبالتالي تُعرف دالة الجيب أيضًا باسم «نصف الوتر». بسبب هذه العلاقة، كان عدد من المتطابقات والمبرهنات المثلثية المعروفة اليوم معروفة أيضًا لدى علماء الرياضيات الهلنستيين، ولكن في شكل الوتر المكافئ لها.

على الرغم من عدم وجود حساب المثلثات في أعمال إقليدس وأرخميدس، بالمعنى الدقيق للكلمة، هناك مبرهنات مقدمة بطريقة هندسية (بدلاً من طريقة مثلثية) تعادل قوانين أو صيغ المثلثات المحددة.  على سبيل المثال ، التقارير الثانية عشرة والثالثة عشرة من الكتاب الثاني لـ «الأصول» هي قوانين جيب التمام للزوايا الحادة والمنفرجة، على التوالي. المبرهنات على أطوال الأوتار هي تطبيقات قانون الجيب. وتعادل مبرهنة أرخميدس عن الأوتار المكسورة الصيغ لجيوب المجموع وفرق الزوايا. للتعويض عن نقص جدول الأوتار، يستخدم علماء الرياضيات في زمن أرسطرخس الساموسي أحيانًا عبارة مفادها أنه بالترميز الحديث:  كلما كان ، والمعروف الآن باسم .

يبدو أن أبرخش (180 - 125 ق.م) قام بانتاج أول جدول مثلثي، والذي يُعرف الآن بالتالي باسم أبي حساب المثلثات. كان أبرخش أول من قام بجدولة القيم المقابلة للقوس والوتر لسلسلة من الزوايا.

على الرغم من أنه من غير المعروف متى جاء الاستخدام المنهجي لدائرة 360 درجة في الرياضيات، فمن المعروف أن الإدخال المنهجي لدائرة 360 درجة جاء قليلاً بعد تأليف أرسطرخس الساموسي "" (حوالي  260 ق.م)، حيث قام بقياس زاوية بدلالة كسر لِرُباعي. يبدو أن الاستخدام المنهجي لدائرة 360 درجة يرجع إلى حد كبير إلى أبرخش وجدول الأوتار الخاص به. قد يكون أبرخش قد أخذ فكرة هذا التقسيم من إبسقلاوس الذي قسم اليوم في وقت سابق إلى 360 جزءًا، قد أقتُرِح تقسيم اليوم من قبل علماء الفلك البابليون. في علم الفلك القديم، تم تقسيم دائرة البروج إلى اثني عشر برج أو ستة وثلاثين "".  يمكن أن تتوافق دورة موسمية التي تقارب 360 يومًا مع بروج وديكانات الدائرة البروجية بتقسيم كل برج إلى ثلاثين جزءًا وكل ديكان إلى عشرة أجزاء. ويرجع ذلك إلى نظام العد الستيني البابلي الذي يتم تقسيم كل درجة إلى ستين دقيقة وتقسم كل دقيقة إلى ستين ثانية.

كتب منيلاوس الإسكندري (حوالي 100 م) في ثلاثة كتب العمل "Sphaerica". في الكتاب الأول، وضع أساسًا للمثلثات الكروية شبيهة بالأساس الإقليدي للمثلثات المستوية. صاغ مبرهنة التي هي بدون تشابه إقليدي، تتطابق مثلثان كرويان إذا كانت الزوايا المقابلة متساوية، لكنه لم يميز بين المثلثات الكروية المتطابقة والمتناظرة. مبرهنة أخرى صاغها هي أن مجموع زوايا المثلث الكروي أكبر من 180 درجة. يطبق الكتاب الثاني من "Sphaerica" الهندسة الكروية على علم الفلك.  ويحتوي الكتاب الثالث على «مبرهنة منيلاوس». كما قدم «قاعدة ست كميات» الشهيرة.

في وقت لاحق، توسع بطليموس (حوالي 90 -  168 م) على أوتار أبرخش في دائرة في كتابه المجسطي. المجسطي هو في المقام الأول عمل في علم الفلك، ويعتمد علم الفلك على حساب المثلثات. 
يقدم جدول الأوتار بطليموس أطوال أوتار الدائرة قطرها 120 كدالة لعدد الدرجات n في القوس المقابل للدائرة،  من أجل n يتراوح من 1/2 إلى 180 بزيادات 1/2. الكتب الثلاثة عشر من المجسطي هي أكثر الأعمال المثلثية تأثيرًا وأهمية في جميع العصور القديمة. أثبتت المبرهنة التي كانت محورية في حساب بطليموس للأوتار التي لا تزال تعرف اليوم باسم مبرهنة بطليموس، أن مجموع جداءات الأضلاع المقابلة للرباعي الدائري يساوي جداء أقطار الرباعي. ظهرت حالة خاصة لمبرهنة بطليموس كتقرير 93 في «معطيات إقليدس». تقود مبرهنة بطليموس إلى ما يعادل المتطابقات الأربعة لمجموع وفرق الزوايا لجيب وجيب التمام التي تعرف اليوم بصيغ بطليموس، على الرغم من أن بطليموس نفسه استخدم الأوتار بدلاً من الجيب وجيب التمام. اشتق بطليموس أيضًا ما يعادل صيغة نصف الزاوية:

استخدم بطليموس هذه النتائج لإنشاء جداوله المثلثية، ولكن لا يمكن تحديد ما إذا كانت هذه الجداول مشتقة من عمل أبرخش.

لم يتبق جداول أبرخش ولا جداول بطليموس حتى يومنا هذا، على الرغم من أن الأوصاف التي كتبها المؤلفون القدماء الآخرون تترك القليل من الشك في أنها كانت موجودة في السابق.

اكتشف فيثاغورس العديد من الخصائص التي تطبق الآن على الدوال المثلثية. مبرهنة فيثاغورس، p2 + b2 = h2 هي تمثيل للمتطابقة المثلثية الأساسية sin2 (x) + cos2 (x) = 1. الطول 1 هو وتر المثلث القائم، وأطوال ساقي المثلث تساوي sin (x) و cos (x) مع كون x إحدى الزوايا غير القائمة. ومن هذا المنطلق، المتطابقة التي يقوم عليها حساب المثلثات هي مبرهنة فيثاغورس.

الرياضيات الهندية 
كانت بعض التطورات المبكرة والمهمة للغاية في حساب المثلثات في الهند. الأعمال المؤثرة من القرن الرابع إلى الخامس، والمعروفة باسم «سِيدْهانْتات» (جمع «سيدهانتا») (التي كان هناك خمسة منها، وأهمها سوريا سيدهانتا) عرفت أولاً الجيب بالعلاقة الحديثة بين نصف الزاوية ونصف الوتر، وعرّفت أيضًا جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامها)، ودالة الجيب العكسية. بعد ذلك بفترة وجيزة، قام عالم رياضيات وعالم فلك هندي آخر، أريهاباتا (476-550 م)، بجمع وتوسيع تطورات سِيدْهانْتات في عمل مهم يسمى «أريابهاتِيّة». تحتوي سِيدْهانْتات وأريابهاتِيّا على الجداول القديمة الباقية لقيم الجيب وقيم السهم، في فترات من 0 درجة إلى 90 درجة، بدقة 4 منازل عشرية. استخدموا الكلمات التالية: «جيا» للجيب، و«كوجيا» لجيب التمام، و«أوتكراما جيا» للسهم، و «أُتكرام جيا» لدالة الجيب العكسية. أصبحت الكلمات «جيا» و«كوجيا» في نهاية المطاف «جيب» و«جيب التمام» في ترجمة العلماء المسلمين لتلك الأعمال.

في القرن السابع ، أنتج بهاسكارا الأول صيغة لحساب جيب الزاوية الحادة دون استخدام الجدول. كما قدم الصيغة التقريبية التالية لجيب الزاوية x، التي كان خطأها النسبي أقل من 1.9 ٪:

في وقت لاحق من القرن السابع، أعاد براهماغوبتا تطوير الصيغة و لحساب قيم الجيب.

في القرن الثاني عشر، طور بهاسكارا الثاني حساب المثلثات الكروية، واكتشف العديد من النتائج المثلثية.

كان بهاسكارا الثاني واحد من الأوائل الذين اكتشفوا النتائج المثلثية لـ   و  مثل:

خَطَ مادهافا (حوالي 1400) خطوات واسعة ومبكرة في تحليل الدوال المثلثية ومتسلسلاتهن اللانهائية. ووضع مفاهيم متسلسلة القوى ومتسلسلة تايلور، وأنتج متسلسلة القوى لكل من الجيب وجيب التمام والظل ودالة الظل العكسية.  باستخدام تقريب دالتي الجيب وجيب التمام بواسطة متسلسلة تايلور، أنتج جدول الجيب ووصل إلى 12 منزلة عشرية (12 رقم بعد الفاصلة) وجدول جيب التمام إلى 9 منازل عشرية. كما قدّم متسلسلة القوى للثابت  والزاوية ونصف القطر والقطر ومحيط الدائرة بدلالة الدوال المثلثية. تم توسيع أعماله من قبل أتباعه في مدرسة كيرلا حتى القرن السادس عشر؛ طالع متسلسلات مادهافا.

الرياضيات الصينية 

في الصين، ترجمت جدول الجيب لأريابهاتا إلى الكتاب الرياضياتي الصيني ، الذي تم تأليفه في 718 م خلال عهد أسرة تانغ الحاكمة. على الرغم من أن الصينيين برعوا في مجالات أخرى من الرياضيات مثل الهندسة الفراغية، ومبرهنة ذات الحدين، إلا أن الأشكال القديمة لحساب المثلثات لم تكن محل تقدير على نطاق واسع كما كان الحال في العالم اليوناني والهيلينيستي والهندي والإسلامي. بدلاً من ذلك، استخدم الصينيون الأوائل بديلاً تجريبيًا يُعرف باسم «تشونغ تشا»، بينما كان الاستخدام العملي لحساب المثلثات المستوي في استخدام الجيب والظل والقاطع معروفًا. ومع ذلك، فإن تطور حساب المثلثات في الصين بدأت تتغير ببطء وتتقدم خلال عهد أسرة سونغ الحاكمة (960-1279)، حيث بدأ علماء الرياضيات الصينيون في الإصرار أكثر على الحاجة إلى حساب المثلثات الكروية في علوم التقويم والحسابات الفلكية. استخدم العالم الموسوعي والرياضياتي الصيني والرجل السياسي شين كوا (1031-1095) الدوال المثلثية لحل المشاكل الرياضية لأوتار الدوائر والأقواس. اكتشف شين كوا صيغة تُقَرِّب طول قوس الدائرة s باعتبار قطر الدائرة d، وعمق القوس v، والطول c للوتر المقابل للقوس:

 

كتب «سال ريستيفو» أن عمل شين كوا في أطوال أقواس الدوائر قدم الأساس لعلم المثلثات الكروي الذي طوره عالم الرياضيات والفلكي غوا شوجينغ (1231-1316) في القرن الثالث عشر. كما ذكر المؤرخان «ل. غوشيه» و جوزيف نيدام، استخدم غو شوجينغ حساب المثلثات الكروية في حساباته لتحسين نظام التقويم وعلم الفلك الصيني.

العصر الذهبي للحضارة الإسلامية 

تمت ترجمة الأعمال السابقة في وقت لاحق وتوسيعها في العالم الإسلامي في العصور الوسطى من قبل علماء الرياضيات المسلمين من أصول فارسية وعربية في الغالب، الذين نصّوا عددًا كبيرًا من المبرهنات التي حررت موضوع حساب المثلثات من الاعتماد على رباعي الأضلاع الكامل، كما كان الحال في الرياضيات الهلنستية بسبب تطبيق مبرهنة منيلاوس. وبحسب إدوارد ستيوارت كينيدي، فبعد هذا التطور في الرياضيات الإسلامية «ظهر حساب المثلثات الحقيقي الأول، بمعنى أنه عندها فقط أصبح موضوع الدراسة هو المثلث الكروي أو المستوي، أضلاعه وزواياه.»

كما عُرفت الطرق التي تتعامل مع المثلثات الكروية، ولا سيما طريقة مينيلاوس الإسكندري، الذي طور مبرهنة منيلاوس للتعامل مع المشاكل الكروية. ومع ذلك ، يشير إدوارد ستيوارت كينيدي إلى أنه في حين كان من الممكن في رياضيات ما قبل الإسلام حساب مقادير الأشكال الكروية، من حيث المبدأ، باستخدام جدول الأوتار و مبرهنة منيلاوس، كان تطبيق المبرهنة على المشاكل الكروية صعبًا للغاية في المزاولة. من أجل مراقبة الأيام الدينية في التقويم الهجري حيث تم تحديد التوقيت حسب أطوار القمر، استخدم الفلكيون في البداية طريقة منيلاوس لحساب أماكن القمر والنجوم، على الرغم من أن هذه الطريقة أثبتت أنها خرقاء وصعبة. تضمن إنشاء مثلثين قائمين متقاطعين؛ من خلال تطبيق مبرهنة منيلاوس، كان من الممكن إيجاد أحد الأضلاع الستة، ولكن فقط إذا كانت الأضلاع الخمسة الأخرى معروفة. لمعرفة الوقت من ارتفاع الشمس، على سبيل المثال، كانت هناك حاجة إلى تطبيقات متكررة مبرهنة منيلاوس. بالنسبة لعلماء الفلك المسلمين في العصور الوسطى، كان هناك تحدٍّ واضح لإيجاد أبسط طريقة مثلثية.

في أوائل القرن التاسع الميلادي، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام ويقال أنه أنتج أول جدول للظلال. وكان أيضًا رائدًا في حساب المثلثات الكروية. في حوالي عام 830، اكتشف أحمد بن عبد الله المروزي ظل التمام، وأنتج جداول الظل وظل التمام. اكتشف محمد بن جابر البتاني (853–929) الدوال المقلوبة: القاطع وقاطع التمام، وأنتج الجدول الأول لقواطع التمام لكل درجة من  إلى .

بحلول القرن العاشر الميلادي، في عمل أبي الوفاء البوزجاني، كان علماء الرياضيات المسلمون يستخدمون جميع الدوال المثلثية الستة. كان أبو الوفاء لديه جداول الجيوب بزيادات 0.25 درجة، إلى 8 أرقام عشرية بعد الفاصلة، وجداول دقيقة للظل. طور أيضًا الصيغة المثلثية التالية:

في نصه الأصلي حول حساب جيب القوس من جيب نصفها:كما صاغ البوزجاني متطابقات مجموع وفرق الزاوية المقدمة بالبراهين الكاملة:

بالنسبة للمتطابقة الثانية، ينص النص على ما يلي:

اكتشف أيضًا قانون الجيب للمثلثات الكروية:

أيضًا في أواخر القرن العاشر وأوائل القرن الحادي عشر الميلادي، أجرى الفلكي العربي المصري ابن يونس العديد من الحسابات المثلثية الدقيقة وبرهن المتطابقة المثلثية التالية:

كتب الجياني (989-1079) الأندلسي «مجهولات قسي الكرة»، والذي يعتبر «أول مخطوطة في حساب المثلثات الكروية». «يحتوي على القانون العام للجيوب، وحل المثلثات الكروية باستخدام المثلثات القطبية». وقد أثرت مخطوطته تلك تأثيرًا قويًا على الرياضيات الأوروبية، كما أثّر تعريفه للنسب الرياضية وطريقة حل المثلثات الكروية عندما تكون كافة أضلاعه مجهولة في أعمال ريغيومونتانوس.

تم تطوير طريقة التثليث لأول مرة من قبل علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل مسح الأراضي والجغرافيا الإسلامية، كما وصفها أبو الريحان البيروني في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة. في أواخر القرن الحادي عشر، حل عمر الخيام (1048-1131) المعادلات التكعيبية باستخدام الحلول العددية التقريبية التي وجدها عن طريق الاستيفاء في الجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، كان نصير الدين الطوسي أول من تعامل مع حساب المثلثات كتخصص رياضي مستقل عن علم الفلك، وطور حساب المثلثات الكروية في شكله الحالي.  سرد الحالات الست المميزة لمثلث قائم الزاوية في علم المثلثات الكروي ، وفي مخطوطته «رسالة في الشكل القطاع والنسبة المؤلفة»، ذكر قانون الجيوب للمثلثات المستوية والمثلثات الكروية، واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية، وقدم البراهين لكليهما هذه القوانين. وصف نصير الدين الطوسي بأنه مبتكر حساب المثلثات بأنه نظام رياضي في حد ذاته.

في القرن الخامس عشر، قدم غياث الدين الكاشي أول بيان صريح لقانون جيب التمام في شكل مناسب للتثليث. في فرنسا، لا يزال يشار إلى قانون جيب التمام باسم «مبرهنة الكاشي». كما أنشأ جداول مثلثية لقيم دالة الجيب إلى أربعة أرقام ستينية (تعادل 8 منازل عشرية) لكل درجة مع فروق تضاف لكل 1/60 من 1 درجة. وضع أولوغ بيك أيضًا جداول دقيقة للجيوب والظلال صحيحة إلى 8 منازل عشرية في نفس الوقت تقريبًا.

الرياضيات المعاصرة 
استخدمت جدول مثلثي مبسط ، "Toleta de marteloio" ، من قبل البحارة في البحر الأبيض المتوسط خلال القرنين الرابع عشر والخامس عشر لحساب مسار الملاحة.  وقد وصفها رامون لول الميورقي عام 1295 ، وتم وضعها في أطلس 1436 لقائد البندقية أندريا بيانكو.

قد يكون يوهانس مولر والمعروف باسم «ريغيومونتانوس»، هو أول عالم رياضيات في أوروبا من اعتبر حساب المثلثات تخصصًا في الرياضيات في حد ذاته، في كتابه De triangulis omnimodis المكتوب عام 1464، وكذلك في وقت لاحق Tabulae directionum الذي تضمن دالة الظل. ربما كان الكتاب Opus palatinum de triangulis لجورج يواخيم ريتيكيوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكيوس فالنتينوس أوتو في عام 1596.

في القرن السابع عشر، طور كل من إسحاق نيوتن وجيمس ستيرلينغ صيغة الاستيفاء العامة للدوال المثلثية.

في القرن الثامن عشر، كان ليونهارت أويلر في كتابه الذي نشره عام 1748 رائدا في وَصْل الدوال المثلثية في أوروبا بالتحليل الرياضي، من خلال ابتكاره للمتسلسلات غير المنتهية وتقديمه لصيغة أويلر  وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec). قبل ذلك ، قام روجر كوتس بحساب مشتق الجيب في كتابه Harmonia Mensurarum. أيضًا في القرن الثامن عشر، قام بروك تايلور بتعريف متسلسلة تايلور العامة وقدم متسلسلات وتقريبات لجميع الدوال المثلثية الستة. كانت أعمال جيمس غريغوري في القرن السابع عشر وكولين ماكلورين في القرن الثامن عشر أيضًا مؤثرة جدًا في تطوير المتسلسلات المثلثية.

مراجع

انظر أيضًا 
 تاريخ الرياضيات اليوناني
 تاريخ الرياضيات
 دوال مثلثية
 حساب مثلثات

تاريخ الرياضيات
تاريخ الهندسة الرياضية
علم المثلثات
يمكن تتبع الدراسة القديمة للمثلثات حتى الألفية الثانية قبل الميلاد ، في الرياضيات المصرية ( بردية ريند الرياضية ) والرياضيات البابلية . بدأت الدراسة المنهجية للدوال المثلثية في الرياضيات الهلنستية ، و وصلت إلى الهند ك جزء من علم الفلك الهلنستي . في علم الفلك الهندي ، ازدهرت دراسة الدوال المثلثية في الفترة الغوبتية ، خاصة ب فضل أريابهاتا ( القرن السادس الميلاد ي ) ، الذي اكتشف دالة الجيب . خلال العصور الوسطى ، استمرت دراسة حساب المثلثات في الرياضيات الإسلامية ، من قبل علماء الرياضيات مثل الخوارزمي و أبو الوفاء البوزجاني . أصبح تخصصًا مستقلاً في العالم الإسلامي ، حيث عُرفت جميع الدوال المثلثية الستة . أدت ترجمات النصوص العربية واليونانية إلى اعتماد حساب المثلثات موضوعًا في الغرب اللاتيني بدءًا من عصر النهضة مع ريغيومونتانوس . تحول تطور حساب المثلثات الحديث خلال عصر التنوير ، بدءًا من الرياضيات في القرن السابع عشر ( إسحاق نيوتن وجيمس ستيرلنغ ) و وصل إلى شكله الحديث مع ليونهارت أويلر التطور الشرق الأدنى القديم عرف المصريون القدماء والبابليون مبرهنات على نسب أضلاع المثلثات المتشابهة ل عدة قرون . و مع ذلك ، نظرًا لأن مجتمعات ما قبل الإغريقية افتقرت إلى مفهوم قياس الزاوية ، ف قد اقتصرت على دراسة أضلاع المثلثات بدلاً من ذلك . احتفظ الفلكيون البابليون ب مخطوطات تفصيلية عن شروق و غروب النجوم ، و حركة الكواكب ، وك سوف الشمس وخ سوف القمر ، و كل ها تتطلب إلمام بالمسافات الزاوية المقاسة على القبة السماوية . استنادًا إلى أحد التفسيرات للوحة المسمارية بليمبتون ( حواليقبل الميلاد ) ، أكد البعض أن البابليين القدماء لدي هم جدول القواطع . و مع ذلك ، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول ثلاثيات فيثاغورس ، أو حل المعادلات التربيعية ، أو جدول مثلثي . من ناحية أخرى ، استخدم المصريون شكلًا بدائيًا ل حساب المثلثات ل بناء الأهرامات في الألفية الثانية قبل الميلاد . بردية ريند الرياضية ، كتب ها الكاتب المصري أحمس ( حواليقبل الميلاد ) ، تحتوي على المشكلة التالية المتعلقة ب حساب المثلثات : حل أحمس ل المشكلة هو نسبة نصف ضلع القاعدة الهرم إلى ارتفاع ه . وبعبارة أخرى ، ف إن ال مقدار الذي وجد ه للسقد هو ظل التمام لزاوية بين قاعدة الهرم ووجه ه . العصر الكلاسيكي استخدم علماء الرياضيات اليونانيين والهلنستيين الوتر . ب اعتبار الدائرة وقوس ها ، ف إن الوتر هو المس تقيم الذي يقابل القوس . يمر المُنَصِّف العمودي للوتر عبر مركز الدائرة ويُنَصِّف الزاوية . نصف الوتر المُنَصَّف هو جيب نصف الزاوية المُنَصَّفة ، أي : حيث هو نصف قطر الدائرة . و ب التالي تُعرف دالة الجيب أيضًا ب اسم « نصف الوتر » . ب سبب هذه العلاقة ، كان عدد من المتطابقات والمبرهنات المثلثية المعروفة اليوم معروفة أيضًا لدى علماء الرياضيات الهلنستيين ، و لٰكن في شكل الوتر المكافئ ل ها . على الرغم من عدم وجود حساب المثلثات في أعمال إقليدس وأرخميدس ، ب المعنى الدقيق للكلمة ، هناك مبرهنات مقدمة ب طريقة هندسية ( بدلاً من طريقة مثلثية ) تعادل قوانين أو صيغ المثلثات المحددة . على سبيل المثال ، التقارير الثانية عشرة و الثالثة عشرة من الكتاب الثاني لـ « الأصول » هي قوانين جيب التمام للزوايا الحادة والمنفرجة ، على التوالي . المبرهنات على أطوال الأوتار هي تطبيقات قانون الجيب . و تعادل مبرهنة أرخميدس عن الأوتار المكسورة الصيغ لجيوب ال مجموع و فرق الزوايا . للتعويض عن نقص جدول الأوتار ، يستخدم علماء الرياضيات في زمن أرسطرخس الساموسي أحيانًا عبارة مفاد ها أن ه بالترميز الحديث : كلما كان ، و المعروف الآن باسم\ . يبدو أن أبرخش - ق .م ) قام ب إنتاج أول جدول مثلثي ، و الذي يُعرف الآن ب التالي ب اسم أبي حساب المثلثات . كان أبرخش أول من قام بجدولة القيم المقابلة للقوس والوتر ل سلسلة من الزوايا . على الرغم من أن ه من غير المعروف متى جاء الاستخدام المنهجي لدائرةدرجة في الرياضيات ، ف من المعروف أن الإدخال المنهجي لدائرةدرجة جاء قليلاً بعد تأليف أرسطرخس الساموسي " " ( حوالي ق .م ) ، حيث قام بقياس زاوية بدلالة كسر لِرُباعي . يبدو أن الاستخدام المنهجي لدائرةدرجة يرجع إلى حد كبير إلى أبرخش وجدول الأوتار الخاص ب ه . قد يكون أبرخش قد أخذ فكرة هذا التقسيم من إبسقلاوس الذي قسم اليوم في وقت سابق إلىجزءًا ، قد أقتُرِح تقسيم اليوم من قبل علماء الفلك البابليون . في علم الفلك القديم ، تم تقسيم دائرة البروج إلى اثني عشر برج أو ستة و ثلاثين " " . يمكن أن تتوافق دورة موسمية التي تقاربيومًا مع بروج وديكانات الدائرة البروجية ب تقسيم كل برج إلى ثلاثين جزءًا و كل ديكان إلى عشرة أجزاء . و يرجع ذلك إلى نظام العد الستيني البابلي الذي يتم تقسيم كل درجة إلى ستين دقيقة وتقسم كل دقيقة إلى ستين ثانية . كتب منيلاوس الإسكندري ( حواليم ) في ثلاثة كتب العمل " Sph aerica " . في الكتاب الأول ، وضع أساسًا للمثلثات الكروية شبيهة ب الأساس الإقليدي للمثلثات المستوية . صاغ مبرهنة التي هي ب دون تشاب ه إقليدي ، تتطابق مثلثان كرويان إذا كانت الزوايا المقابلة متساوية ، لٰكن ه لم يميز بين المثلثات الكروية المتطابقة والمتناظرة . مبرهنة أخرى صاغ ها هي أن مجموع زوايا المثلث الكروي أكبر مندرجة . يطبق الكتاب الثاني من " Sph aerica " الهندسة الكروية على علم الفلك . و يحتوي الكتاب الثالث على « مبرهنة منيلاوس » . كما قدم « قاعدة ست كميات » الشهيرة . في وقت لاحق ، توسع بطليموس ( حوالي - م ) على أوتار أبرخش في دائرة في كتاب ه المجسطي . المجسطي هو في المقام الأول عمل في علم الفلك ، و يعتمد علم الفلك على حساب المثلثات . يقدم جدول الأوتار بطليموس أطوال أوتار الدائرة قطرهاكدالة ل عدد الدرجات n في القوس المقابل للدائرة ، من أجل n يتراوح من 2 إلىبزيادات 2 . الكتب الثلاثة عشر من المجسطي هي أكثر الأعمال المثلثية تأثيرًا و أهمية في جميع العصور القديمة . أثبتت المبرهنة التي كانت محورية في حساب بطليموس للأوتار التي لا تزال تعرف اليوم ب اسم مبرهنة بطليموس ، أن مجموع جداءات الأضلاع المقابلة للرباعي الدائري يساوي جداء أقطار الرباعي . ظهرت حالة خاصة لمبرهنة بطليموس كتقريرفي « معطيات إقليدس » . تقود مبرهنة بطليموس إلى ما يعادل المتطابقات الأربعة ل مجموع و فرق الزوايا لجيب وجيب التمام التي تعرف اليوم بصيغ بطليموس ، على الرغم من أن بطليموس نفس ه استخدم الأوتار بدلاً من الجيب وجيب التمام . اشتق بطليموس أيضًا ما يعادل صيغة نصف الزاوية : استخدم بطليموس هذه النتائج ل إنشاء جداول ه المثلثية ، و لٰكن لا يمكن تحديد ما إذا كانت هذه الجداول مشتقة من عمل أبرخش . لم يتبق جداول أبرخش و لا جداول بطليموس حتى يوم نا هذا ، على الرغم من أن ال أوصاف التي كتب ها ال مؤلفون القدماء الآخرون تترك القليل من الشك في أن ها كانت موجودة في السابق . اكتشف فيثاغورس العديد من الخصائص التي تطبق الآن على الدوال المثلثية . مبرهنة فيثاغورس ، p2 + b2 = h2 هي تمثيل للمتطابقة المثلثية الأساسية sin2 ( x ) + cos2 ( x ) = الطولهو وتر المثلث القائم ، وأطوال ساقي المثلث تساوي sin ( x ) و cos ( x ) مع كون x إحدى الزوايا غير القائمة . و من هذا المنطلق ، المتطابقة التي يقوم علي ها حساب المثلثات هي مبرهنة فيثاغورس . الرياضيات الهندية كانت بعض التطورات المبكرة والمهمة ل الغاية في حساب المثلثات في الهند . الأعمال المؤثرة من القرن الرابع إلى الخامس ، والمعروفة ب اسم « سِيدْهانْتات » ( جمع « سيدهانتا » ) ( التي كان هناك خمسة من ها ، و أهم ها سوريا سيدهانتا ) عرفت أولاً الجيب ب العلاقة الحديثة بين نصف الزاوية و نصف الوتر ، وعرّفت أيضًا جيب التمام ، وسهم الزاوية - جيب تمام ها ) ، ودالة الجيب العكسية . بعد ذلك ب فترة وجيزة ، قام عالم رياضيات وعالم فلك هندي آخر ، أريهاباتام ) ، ب جمع و توسيع تطورات سِيدْهانْتات في عمل مهم يسمى « أريابهاتِيّة » . تحتوي سِيدْهانْتات وأريابهاتِيّا على الجداول القديمة الباقية لقيم الجيب و قيم السهم ، في فترات مندرجة إلىدرجة ، بدقةمنازل عشرية . استخدموا الكلمات التالية : « جيا » للجيب ، و « كوجيا » لجيب التمام ، و « أوتكراما جيا » للسهم ، و « أُتكرام جيا » لدالة الجيب العكسية . أصبحت الكلمات « جيا » و « كوجيا » في نهاية المطاف « جيب » و « جيب التمام » في ترجمة العلماء المسلمين ل تلك الأعمال . في القرن السابع ، أنتج بهاسكارا الأول صيغة ل حساب جيب الزاوية الحادة دون استخدام الجدول . كما قدم الصيغة التقريبية التالية لجيب الزاوية x ، التي كان خطأ ها النسبي أقل من 9 ٪ : في وقت لاحق من القرن السابع ، أعاد براهماغوبتا تطوير الصيغة و ل حساب قيم الجيب . في القرن الثاني عشر ، طور بهاسكارا الثاني حساب المثلثات الكروية ، واكتشف العديد من النتائج المثلثية . كان بهاسكارا الثاني واحد من الأوائل الذين اكتشفوا النتائج المثلثية لـ و مثل : خَطَ مادهافا ( حواليخطوات واسعة ومبكرة في تحليل الدوال المثلثية ومتسلسلات هن اللانهائية . و وضع مفاهيم مت سلسلة القوى ومت سلسلة تايلور ، وأنتج مت سلسلة القوى ل كل من الجيب وجيب التمام والظل ودالة الظل العكسية . ب استخدام تقريب د التي الجيب وجيب التمام ب واسطة مت سلسلة تايلور ، أنتج جدول الجيب و وصل إلىمنزلة عشريةرقم بعد الفاصلة ) وجدول جيب التمام إلىمنازل عشرية . كما قدّم مت سلسلة القوى للثابت والزاوية و نصف ال قطر وال قطر ومحيط الدائرة بدلالة الدوال المثلثية . تم توسيع أعمال ه من قبل أتباع ه في مدرسة كيرلا حتى القرن السادس عشر ؛ طالع متسلسلات مادهافا . الرياضيات الصينية في الصين ، ترجمت جدول الجيب لأريابهاتا إلى الكتاب الرياضياتي الصيني ، الذي تم تأليف ه فيم خلال عهد أسرة تانغ الحاكمة . على الرغم من أن الصينيين برعوا في مجالات أخرى من الرياضيات مثل الهندسة الفراغية ، ومبرهنة ذات الحدين ، إلا أن الأشكال القديمة ل حساب المثلثات لم تكن محل تقدير على نطاق واسع كما كان الحال في العالم اليوناني والهيلينيستي والهندي و الإسلامي . بدلاً من ذلك ، استخدم الصينيون الأوائل بديلاً تجريبيًا يُعرف ب اسم « تشونغ تشا » ، بينما كان الاستخدام العمل ي ل حساب المثلثات المستوي في استخدام الجيب والظل والقاطع معروفًا . و مع ذلك ، ف إن تطور حساب المثلثات في الصين بدأت تتغير ب بطء و تتقدم خلال عهد أسرة سونغ الحاكمة حيث بدأ علماء الرياضيات الصينيون في الإصرار أكثر على الحاجة إلى حساب المثلثات الكروية في علوم ال تقويم والحسابات الفلكية . استخدم العالم الموسوعي والرياضياتي الصيني و الرجل السياسي شين كواالدوال المثلثية ل حل المشاكل الرياضية لأوتار الدوائر والأقواس . اكتشف شين كوا صيغة تُقَرِّب طول قوس الدائرة s ب اعتبار قطر الدائرة d ، وعمق القوس v ، والطول c للوتر المقابل للقوس : كتب « سال ريستيفو » أن عمل شين كوا في أطوال أقواس الدوائر قدم الأساس لعلم المثلثات الكروي الذي طور ه عالم الرياضيات والفلكي غوا شوجينغفي القرن الثالث عشر . كما ذكر المؤرخان « ل . غوشيه » و جوزيف نيدام ، استخدم غو شوجينغ حساب المثلثات الكروية في حسابات ه ل تحسين نظام ال تقويم و علم الفلك الصيني . العصر الذهبي ل الحضارة الإسلامية تمت ترجمة الأعمال السابقة في وقت لاحق وتوسيع ها في العالم الإسلامي في العصور الوسطى من قبل علماء الرياضيات المسلمين من أصول فارسية و عربية في الغالب ، الذين نصّوا عددًا كبيرًا من المبرهنات التي حررت موضوع حساب المثلثات من الاعتماد على رباعي الأضلاع الكامل ، كما كان الحال في الرياضيات الهلنستية ب سبب تطبيق مبرهنة منيلاوس . و ب حسب إدوارد ستيوارت كينيدي ، ف بعد هذا التطور في الرياضيات الإسلامية « ظهر حساب المثلثات الحقيقي الأول ، ب معنى أن ه عند ها فقط أصبح موضوع الدراسة هو المثلث الكروي أو المستوي ، أضلاع ه وزوايا ه . » كما عُرفت الطرق التي تتعامل مع المثلثات الكروية ، و لا سيما طريقة مينيلاوس الإسكندري ، الذي طور مبرهنة منيلاوس ل التعامل مع المشاكل الكروية . و مع ذلك ، يشير إدوارد ستيوارت كينيدي إلى أن ه في حين كان من الممكن في رياضيات ما قبل الإسلام حساب مقادير الأشكال الكروية ، من حيث المبدأ ، ب استخدام جدول الأوتار و مبرهنة منيلاوس ، كان تطبيق المبرهنة على المشاكل الكروية صعبًا ل الغاية في ال مزاولة . من أجل مراقبة الأيام الدينية في ال تقويم الهجري حيث تم تحديد التوقيت حسب أطوار القمر ، استخدم الفلكيون في البداية طريقة منيلاوس ل حساب أماكن القمر والنجوم ، على الرغم من أن هذه الطريقة أثبتت أن ها خرقاء وصعبة . تضمن إنشاء مثلثين قائمين متقاطعين ؛ من خلال تطبيق مبرهنة منيلاوس ، كان من الممكن إيجاد أحد الأضلاع الستة ، و لٰكن فقط إذا كانت الأضلاع الخمسة الأخرى معروفة . ل معرفة الوقت من ارتفاع الشمس ، على سبيل المثال ، كانت هناك حاجة إلى تطبيقات متكررة مبرهنة منيلاوس . ب النسبة ل علماء الفلك المسلمين في العصور الوسطى ، كان هناك تحدٍّ واضح ل إيجاد أبسط طريقة مثلثية . في أوائل القرن التاسع الميلاد ي ، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام ويقال أن ه أنتج أول جدول للظلال . و كان أيضًا رائدًا في حساب المثلثات الكروية . في حوالي عام اكتشف أحمد بن عبد الله المروزي ظل التمام ، وأنتج جداول الظل و ظل التمام . اكتشف محمد بن جابر البتاني 929 ) الدوال المقلوبة : القاطع وقاطع التمام ، وأنتج الجدول الأول لقواطع التمام ل كل درجة من إلى \ . ب حلول القرن العاشر الميلاد ي ، في عمل أبي الوفاء البوزجاني ، كان علماء الرياضيات المسلمون يستخدمون جميع الدوال المثلثية الستة . كان أبو الوفاء لدي ه جداول الجيوب بزيادات 25 درجة ، إلىأرقام عشرية بعد الفاصلة ، وجداول دقيقة للظل . طور أيضًا الصيغة المثلثية التالية : في نص ه الأصلي حول حساب جيب القوس من جيب نصف ها : كما صاغ البوزجاني متطابقات مجموع و فرق الزاوية المقدمة بالبراهين الكاملة : ب النسبة للمتطابقة الثانية ، ينص النص على ما يلي : اكتشف أيضًا قانون الجيب للمثلثات الكروية : أيضًا في أواخر القرن العاشر وأوائل القرن الحادي عشر الميلاد ي ، أجرى الفلكي العربي المصري ابن يونس العديد من الحسابات المثلثية الدقيقة وبرهن المتطابقة المثلثية التالية : كتب الجيانيالأندلسي « مجهولات قسي الكرة » ، و الذي يعتبر « أول مخطوطة في حساب المثلثات الكروية » . « يحتوي على القانون العام للجيوب ، و حل المثلثات الكروية ب استخدام المثلثات القطبية » . و قد أثرت مخطوطت ه تلك تأثيرًا قويًا على الرياضيات الأوروبية ، كما أثّر تعريف ه للنسب الرياضية وطريقة حل المثلثات الكروية عندما تكون كافة أضلاع ه مجهولة في أعمال ريغيومونتانوس . تم تطوير طريقة التثليث ل أول مرة من قبل علماء الرياضيات المسلمين ، الذين طبقو ها على ال استخدامات العملية مثل مسح الأراضي والجغرافيا الإسلامية ، كما وصف ها أبو الريحان البيروني في أوائل القرن الحادي عشر . أدخل البيروني نفس ه تقنيات التثليث ل قياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة . في أواخر القرن الحادي عشر ، حل عمر الخيامالمعادلات التكعيبية ب استخدام الحلول العددية التقريبية التي وجد ها عن طريق الاستيفاء في الجداول المثلثية . في القرن الثالث عشر ، كان نصير الدين الطوسي أول من تعامل مع حساب المثلثات كتخصص رياضي مستقل عن علم الفلك ، وطور حساب المثلثات الكروية في شكله الحالي . سرد الحالات الست المميزة لمثلث قائم الزاوية في علم المثلثات الكروي ، و في مخطوطت ه « رسالة في الشكل القطاع و النسبة المؤلفة » ، ذكر قانون الجيوب للمثلثات المستوية والمثلثات الكروية ، واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية ، و قدم البراهين لكلي هما هذه القوانين . وصف نصير الدين الطوسي ب أن ه مبتكر حساب المثلثات ب أن ه نظام رياضي في حد ذات ه . في القرن الخامس عشر ، قدم غياث الدين الكاشي أول بيان صريح ل قانون جيب التمام في شكل مناسب للتثليث . في فرنسا ، لا يزال يشار إلى قانون جيب التمام ب اسم « مبرهنة الكاشي » . كما أنشأ جداول مثلثية لقيم دالة الجيب إلى أربعة أرقام ستينية ( تعادلمنازل عشرية ) ل كل درجة مع فروق تضاف ل كل 60 مندرجة . وضع أولوغ بيك أيضًا جداول دقيقة للجيوب والظلال صحيحة إلىمنازل عشرية في نفس الوقت تقريبًا . الرياضيات المعاصرة استخدمت جدول مثلثي مبسط ، " Toleta de marteloio " ، من قبل البحارة في البحر الأبيض المتوسط خلال القرنين الرابع عشر والخامس عشر ل حساب مسار الملاحة . و قد وصف ها رامون لول الميورقي عام ، و تم وضع ها في أطلسلقائد البندقية أندريا بيانكو . قد يكون يوهانس مولر و المعروف ب اسم « ريغيومونتانوس » ، هو أول عالم رياضيات في أوروبا من اعتبر حساب المثلثات تخصصًا في الرياضيات في حد ذات ه ، في كتاب ه De triangulis omnimodis المكتوب عام و كذٰلك في وقت لاحق Tabulae directionum الذي تضمن دالة الظل . ربما كان الكتاب Opus palatinum de triangulis ل جورج يواخيم ريتيكيوس ، طالب كوبرنيكوس ، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر ، مع جداول ل جميع الدوال المثلثية الست ؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكيوس فالنتينوس أوتو في عام في القرن السابع عشر ، طور كل من إسحاق نيوتن وجيمس ستيرلينغ صيغة الاستيفاء العامة للدوال المثلثية . في القرن الثامن عشر ، كان ليونهارت أويلر في كتاب ه الذي نشر ه عامرائدا في وَصْل الدوال المثلثية في أوروبا ب التحليل الرياضي ، من خلال ابتكار ه للمتسلسلات غير المنتهية وتقديم ه لصيغة أويلر وعرف ها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة ( sin , cos , tang , cot , sec , cosec ) . قبل ذلك ، قام روجر كوتس ب حساب مشتق الجيب في كتاب ه Harmonia Mensurarum . أيضًا في القرن الثامن عشر ، قام بروك تايلور ب تعريف مت سلسلة تايلور العامة و قدم متسلسلات وتقريبات ل جميع الدوال المثلثية الستة . كانت أعمال جيمس غريغوري في القرن السابع عشر وكولين ماكلورين في القرن الثامن عشر أيضًا مؤثرة جدًا في تطوير المتسلسلات المثلثية . مراجع انظر أيضًا تاريخ الرياضيات اليوناني تاريخ الرياضيات دوال مثلثية حساب مثلثات تاريخ الرياضيات تاريخ الهندسة الرياضية علم المثلثات