مبادئ الرياضيات
مبادئ الرياضيات أو أصول الرياضيات (The Principia Mathematica) هو عبارة عن عمل مكون من ثلاثة مجلدات حول أسس الرياضيات كتبه كل من ألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسل، ونُشِرَ في الأعوام (1910 و 1912 و 1913)، وفي (1925-1927) أُصدِرَت طبعة ثانية مع مقدمة مهمة، وملحق A بدل *9 وملحقين آخرين B وC جديدين كليًا.

جاء مبادئ الرياضيات كمحاولة لتمثيل مجموعة من البديهيات وقواعد الاستنتاج في المنطق الرمزي، بحيث يمكن -من حيث المبدأ-إثبات جميع الحقائق الرياضية من خلالها، وعلى هذا النحو، فإنّ هذا المشروع الطموح ذو أهمية كبيرة في تاريخ الرياضيات والفلسفة كونه أحد أهم الأعمال المتجهة للاعتقاد بأن مثل هذا الطرح قد يكون قابلاً للتحقيق، ومع ذلك في عام 1931 أثبتت مبرهنات عدم الاكتمال لغودل بشكل قاطع أن هذه المحاولة وأي محاولة أخرى لن تتمكن من تحقيق هذا الهدف أبداً؛ فأي مجموعة من البديهيات والقواعد الاستنتاجية المقترحة لتغليف الرياضيات، إما أن يكون النظام فيها غير متناسق، أو أن يُوجَد بعض الحقائق الرياضية التي لا يمكن استنتاجها منها.

أحد أهم الإلهامات والدوافع لهذا العمل كان العمل السابق لجوتلوب فريجه حول المنطق الذي ساهم في تأسيس مفارقات راسل، حيث كان السعي في مبادئ الرياضيات لتجنب هذه المشكلة من خلال استبعاد إنشاء مجموعات عشوائية غير مقيدة، وهذا ما تحقق من خلال استبدال مفهوم المجموعة العامة بفكرة التسلسل الهرمي لمجموعات «الأنواع» المختلفة، وهي مجموعة من نوع معين لا تسمح إلا باحتواء مجموعات من الأنواع الأقل درجة، ومع ذلك فإنّ الرياضيات المعاصرة تتجنّب المفارقات مثل مفارقات راسل بطريقة أكثر عملية، مثل نظرية مجموعات زرملو-فرنكل.

لا ينبغي الخلط بين هذا العمل وبين كتاب راسل «مبادئ الرياضيات\الرياضة-1903»، ويُصَرَّح في مبادئ الرياضيات التالي: «إن العمل الحالي كان يقصد به أصلاً أن يكون مجلدًا ثانيًا لمبادئ الرياضيات-1903... لكن مع تقدُّمنا أصبح من الواضح بشكل متزايد أن الموضوع أكبر بكثير مما كنا نفترض، علاوةً على ذلك، بالنسبة للعديد من الأسئلة الأساسية التي تركت غامضة ومشكوك فيها في العمل السابق، وصلنا الآن إلى ما نعتقد أنه حلًا مرضٍ».

دائمًا ما عُرِف مبادئ الرياضيات بتعقيده الطباعي، وكذلك هو مشهور باستخدامه عدة مئات من الصفحات لإثبات صحة القضية 1 + 1 = 2، وقد وضعته المكتبة الحديثة في المرتبة 23 من قائمة أفضل 100 كتاب غير خيالي باللغة الإنجليزية في القرن العشرين.

نطاق الأسس الموضوعة 
يغطي هذا العمل نظرية المجموعات، والأعداد الأصلية، والأعداد الترتيبية، والأعداد الحقيقية فقط، أي لم يتم تضمين نظريات أعمق من التحليل الحقيقي، ولكن في نهاية المجلد الثالث كان من الواضح للخبراء أنه يمكن من حيث المبدأ تطوير كمية كبيرة من الرياضيات المعروفة في هذه الشكلية المتبناة، كما كان من الواضح أيضًا كم سيكون مثل هذا التطوير طويلًا.

كان قد تم التخطيط لمجلد رابع حول أسس الهندسة الرياضية، لكن المؤلفين اعترفوا بالإرهاق الفكري عند اكتمال المجلد الثالث.

الأسس النظرية 
كما لوحظ في نقد النظرية التي كتبها كورت غودل، بأنه على عكس النظرية الشكلية"Formalist theory" فإن النظرية المنطقية "logicistic" التي يقدمها هذا العمل لا تملك «البيان الدقيق لبناء الشكلية»، ومن الملاحظ أيضًا أن هذه النظرية تقدم تفسيرات (بمفهوم نظرية النموذج) مباشرة تقريبًا فيما يتعلق بقيم الحقيقة لسلوك الرموز "⊢" (تأكيد الحقيقة)، "~" (لا منطقية، النفي)، و "V" (الفصل، أحدهما صحيح أو كلاهما).

قيم الحقيقة: يرسخ «مبادئ الرياضيات» مفاهيم «الحقيقة» و«الزيف» في مفهوم «القضايا الأولية»، والنظرية الشكلية (النقية) لن تقدم معنى الرموز التي تشكل «القضايا الأولية» - يمكن للرموز نفسها أن تكون عشوائية وغير مألوفة على الإطلاق، فالنظرية تحدد فقط كيف تتصرف الرموز بناء على قواعد النظرية، ولاحقًا بتعيين «القيم» سيحدد النموذج تفسيرًا لما تقوله الصيغ، وهكذا في رمز كلين الشكلي المبين أدناه، يوضع بين قوسين «تفسير» المعنى الشائع للرموز، وبشكل ضمني كيف يتم استخدامها في نهاية المطاف، وعلى سبيل المثال «¬ (ليس)»، لكن هذه ليست نظرية شكلية نقية.

البناء المعاصر للنظرية الشكلية 
تُقدَّم النظرية الشكلية التالية كنقيض للنظرية المنطقية لكتب مبادئ الرياضيات، وسيكون البناء المعاصر لنظام شكلي على النحو التالي:
 الرموز المستخدمة: هذه المجموعة هي مجموعة البداية، ويمكن أن تظهر رموز أخرى ولكن فقط بتعريف من رموز البداية، قد تكون مجموعة البدء هي المجموعة التالية المشتقة من كلين 1952 (Kleene 1952): الرموز المنطقية: "→" (يستلزم، إذا وفإنّ، و"⊃")، "&" (و)، "V" (أو)، "¬" (ليس)، "∀" (للكل)، "∃" (يوجد)، رمز المسند "=" (يساوي)، الرموز الوظيفية "+" (إضافة حسابية)، "∙" (الضرب الحسابي)، """(لاحق)، الرمز الفردي "0" (صفر)، المتغيرات "a"، "b"، "c" وما إلى ذلك، والأقواس "(" و ")".
 سلاسل الرموز: ستقوم النظرية على بناء «سلاسل» من هذه الرموز بالتسلسل.
 قواعد التشكيل: تُعيّن النظرية قواعد بناء الجملة عادة كتعريف مرتد يبدأ بـ "0" ويحدد كيفية بناء الجمل المقبولة أو «الصيغ جيدة التشكيل-WFF»، يتضمن هذا قاعدة «استبدال» السلاسل لرموز تسمى «المتغيرات» (على عكس أنواع الرموز الأخرى).
 قاعدة أو قواعد التحويل: البديهيات التي تحدد سلوكيات الرموز وتسلسلها.
 قاعدة الاستدلال، الفصل، القياس الاستثنائي: القاعدة التي تسمح للنظرية بفصل الاستنتاج من المقدمة المنطقية التي أدت إليه، ومن ثم تجاهل هذه المقدمة (الرموز على يسار الخط │، أو الرموز فوق الخط إذا كان أفقيًا)، وإن لم تكن الحالة كذلك، فإن الاستبدال سيؤدي إلى سلاسل أطول وأطول يجب ترحيلها، وبالفعل بعد تطبيق قياس استثنائي لن يبقى شيء سوى الاستنتاج، أما الباقي فيختفي إلى الأبد.
 غالباً ما تحدد النظريات المعاصرة بديهياتها الأولى الكلاسيكية أو القياس الاستثنائي أو «قاعدة الانفصال»:
A, A ⊃ B │ B
 عادة ما يكتب الرمز "│" كخط أفقي، وهنا "⊃ " تعني «يستلزم»، والرموز A و B تمثل «بدائل» للسلاسل؛ ويطلق على هذا النوع من الترميز «خطة مسلمة» (أي أنّ هناك عددًا محسوبًا لأشكال معينة يمكن أن يأخذها الترميز)، ويمكن قراءة هذا بطريقة مشابهة لـ (إذا- فإنّ) ولكن مع وجود اختلاف: لسلسة الرموز المعطاة إذا كان A وA يستلزم Bفإنّ B (تبقى B فقط لاستخدامها مرة أخرى)، لكن الرموز ليس لها أي «تفسير» (على سبيل المثال، لا يوجد «جدول الحقيقة» أو «قيم الحقيقة» أو «وظائف الحقيقة») ويستمر القياس الاستثنائي بشكل ميكانيكي بالقواعد وحدها.

البناء 
تحتوي نظرية مبادئ الرياضيات على أوجه تشابه كبيرة واختلافات مشابهة مع النظرية الشكلية المعاصرة، يقول كلين (Stephen Cole Kleene)، إن «استنتاج الرياضيات من المنطق يُقَدَّم كبديهيات حدسية، كان المقصود بأن تُصدَّق البديهيات، أو على الأقل تُقبَل على أنها فرضيات معقولة حول العالم»، وفي الواقع على عكس النظرية الشكلية التي تتلاعب بالرموز وفقًا للقواعد يقدم مبادئ الرياضيات فكرة «قيم الحقيقة»، أي الحقيقة والزيف في المعنى الواقعي، و«تأكيد الحقيقة» كعناصر خامسة وسادسة في بنية النظرية (مبادئ الرياضيات 1962: 4–36):
 المتغيرات.
 استخدام الأحرف المتنوعة.
 الدالات الأولية للقضايا: «الدالة المتناقضة» التي يرمز لها بـ "~" و «الجمع المنطقي أو دالة الفصلDf» التي يرمز لها بـ "∨" تعتبر أنها تضمين أساسي ومنطقي يُعرَّف (المثال التالي يُستَخدَم أيضًا لتوضيح 9، التعريف أدناه) كـ:
p ⊃ q .=. ~ p ∨ q Df.
 والناتج المنطقي يُعرَّف كـ: p . q .=. ~(~p ∨ ~q) Df.
 التكافؤ: التكافؤ المنطقي، وليس التكافؤ الحسابي: "≡" يعطى كشرح لكيفية استخدام الرموز، وهذا يعني «إذًا 'p ≡ q' تُمَثّل '(p⊃ q).(q⊃ p)'»، ولاحظ أنه من أجل مناقشة الترميز يُعرّف الكتاب «ما بعد» الترميز بـ «[فراع] ... [فراع]»: 
يظهر التكافؤ المنطقي ثانيةً كتعريف: p ≡ q .=. (p ⊃ q). (q ⊃ p).
لاحظ مظهر الأقواس، هذا الاستخدام القواعدي غير مميز ويظهر بشكل متقطع؛ حيث تلعب الأقواس دورًا مهمًا في سلاسل الرموز، على سبيل المثال، نستخدم الرمز "(x)" أحيانًا عوضًا عن الرمز المعاصر "∀x".
 قيم الحقيقة: «إن 'قيمة الحقيقة' للقضية هي حقيقة إن كانت صحيح، وباطلة إن كانت خاطئ» (هذه العبارة ترجع إلى فريج).
 علامة التوكيد: "'⊦'.p يمكن أن تُقرَأ 'هذا صحيح أنّ' ... وبالتالي '⊦: 'p .⊃. q تعني "صحيح أن وضع p يستلزم q"، بينما '⊦. p .⊃⊦. q ' تعني "p صحيح إذًا q صحيح، في العبارة الأولى لا تتضمن بالضرورة الحقيقة لأي من p أو q، بينما تتضمن العبارة الثانية حقيقة كل منهما".
 الاستدلال: نسخة مبادئ الرياضيات من القياس الاستثنائي، «[إذا]»⊦.p«و»⊦ (p ⊃ q)«قد حدث، عندئذ»⊦. q«سيحدث إذا كان من المطلوب أخذه بالحسبان، لا يمكن اختزال عملية الاستدلال إلى رموز، والتدوين الوحيد هو حدوث»⊦. q«[بمعنى آخر، تختفي الرموز الموجودة على اليسار أو يمكن محوها]».
 استخدام النقط.
 تعاريف.
 ملخص البيانات السابقة: مناقشة موجزة للأفكار الأولية "~ p" و "p ∨ q" و "⊦" مختصرةً لافتراض.
 القضايا الأولية: البديهيات أو المسلمات، وهذه عُدّلت بشكل كبير في الطبعة الثانية.
 دالات القضايا: تم تعديل فكرة «القضايا» بشكلٍ كبيرٍ في الطبعة الثانية، بما في ذلك تقديم القضايا «الذرية» المرتبطة بعلامات منطقية لتشكيل القضايا «الجزيئية»، واستبدال القضايا الجزيئية في القضايا الذرية أو الجزيئية خلق تعبيرات جديدة.
 نطاق القيم والتنوع الإجمالي.
 التوكيد المبهم والمتغير الحقيقي: هذا والجزأين التاليين عُدّلَت أو أُهمِلَت في الطبعة الثانية.
 الاستلزام الشكلي (الصوري) والتكافؤ الشكلي.
 التطابق.
 الفصول والعلاقات.
 دالات وصفية مختلفة للعلاقات.
 دالات وصف جمعي.
 فصول الوحدة.

الاتساق والانتقادات 
بحسب «الأسس المنطقية للرياضيات» لرودولف كارناب: أراد راسل نظرية يمكن القول بشكل معقول أنها تستمد جميع الرياضيات من البديهيات المنطقية البحتة، ومع ذلك فإن «مبادئ الرياضيات-Principia Mathematica» تطلبت بالإضافة إلى البديهيات الأساسية لنظرية النمط، ثلاث بديهيات أخرى بدا أنها غير صحيحة كمجرد مسائل منطقية، وهي بديهية اللانهائية، بديهية الاختيار، وبديهية الاختزال، وبما أن البديهيتين الأولى كانتا بديهيات وجودية، فقد صاغ راسل عبارات رياضية تعتمد عليها كشروط، ولكن في الاختزال كان من المطلوب التأكد من أن البيانات الصورية يمكنها حتى التعبير بشكل صحيح عن تحليل حقيقي، وبذلك البيانات المعتمدة عليها لا يمكن إعادة صياغتها كشروط، وقد جادل فرانك رامزي بأن تشعُّب راسل لنظرية الأنماط غير ضروري، وبذلك يمكن إزالة الاختزال ولكن هذه الحجج تبدو غير حاسمة.

بعيدًا عن وضع البديهيات كحقائق منطقية، يمكن للمرء أن يسأل الأسئلة التالية عن أي منظومة مثل «مبادئ الرياضيات-Principia Mathematica»:
 ما إذا كان يمكن استنتاج تناقض من البديهيات (مسألة عدم الاتساق).
 وما إذا كان هناك بيان رياضي لا يمكن إثباته أو عدم إثباته في المنظومة (مسألة الاكتمال).
حساب القضايا كان في حد ذاته معروفًا باتساقه، ولكن هذا لم يكن في بديهيات «مبادئ الرياضيات» لنظرية المجموعات (مسألة هيلبرت الثانية)، وقد اشتبه راسل ووايتهيد بأن منظومة عملهم غير كامل.

غودل 1930-1931 
في عام 1930، أوضحت نظرية الاكتمال لغودل أن منطق تنبؤ الرتبة الأولى نفسه كان كاملًا بشكلٍ أضعف بكثير- أي جملة غير قابلة للإثبات من مجموعة معينة من البديهيات يجب أن تكون خاطئة في بعض نماذج البديهيات، ومع ذلك هذا ليس الاكتمال المرغوب لمبادئ الرياضيات، فأي نظام معين من البديهيات قد يملك العديد من النماذج، في بعضها يكون بيان معين ما صحيحًا وفي بعض الحالات الأخرى يكون هذا البيان غير صحيح، وهكذا يبقى وضع البيان غير محسوم.

تلقي نظريات عدم الاكتمال لغودل ضوء غير متوقع على هاتين المسألتين المتصلتين.

أوضحت نظرية عدم اكتمال الأولى لغودل أنه لا يمكن لأي امتداد تكراري للمبادئ أن يكون متسقًا وكاملًا بنفس الوقت بالنسبة للبيانات الحسابية، وفقًا للنظرية: في كل نظام منطقي تكراري قوي بما فيه الكفاية (مثل Principia)، هناك بيان G يقرأ «البيان G لا يمكن إثباته»، ومثل هذا البيان نوع من الحالات المتناقضة (كاتش22)، إذا تم إثبات G فالعبارة خاطئة وبالتالي فإن النظام غير متناسق، وإذا كان G غير قابل للإثبات فالعبارة صحيحة وبالتالي النظام غير مكتمل.
تُظهِر نظرية عدم الاكتمال الثانية (1931) أنه لا يمكن استخدام أي نظام شكلي موسع للحساب الأساسي لإثبات اتساقه، وبالتالي لا يمكن أن يثبت بيان «لا توجد تناقضات في نظام المبادئ» في نظام المبادئ ما لم تكن هناك تناقضات في النظام (في هذه الحالة يمكن إثبات كل من الصحة والخطأ).

لودفيغ فيغنتشتاين 1919- 1939 
انتقد فيغنتشتاين المبادئ بمحاضراته حول أسس الرياضيات على أسس مختلفة:
 الحسابات التي نستخدمها بشكل يوم أساسية وأي اختلاف بينها وبين المبادئ سيكون الخطأ في هذه الأخيرة وليس الحسابات اليومية.
 لا يمكن استخدام المبادئ مع الأرقام الكبيرة وإلا ستصبح الصيغ طويلة جدًا، واختصار ذلك سيحتاج عملية تعتمد على التقنيات اليومية، ومرة أخرى المبادئ هي من تعتمد على التقنيات وليس العكس.
ولكنه اعترف مع ذلك بأن المبادئ قد تجعل بعض الحسابات اليومية أوضح.

غودل 1944 
قدم غودل عام 1944 في «منهج راسل الرياضي- Russell's mathematical logic»: «مناقشة نقدية لكن متعاطفة مع التنظيم المنطقي للأفكار».

المراجع 

أعمال ألفريد نورث وايتهيد
أعمال عن الفلسفة في الرياضيات
العلم في 1910
العلم في 1912
العلم في 1913
كتب بيرتراند راسل
كتب غير خيالية 1913
كتب غير خيالية 1910
كتب غير خيالية 1912
كتب عن الفلسفة في الرياضيات
مبادئ الرياضيات أو أصول الرياضيات ( The Principia Mathem atica ) هو عبارة عن عمل مكون من ثلاثة مجلدات حول أسس الرياضيات كتبه كل من ألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسل ، ونُشِرَ في الأعواموو وفيأُصدِرَت طبعة ثانية مع مقدمة مهمة ، وملحق A بدل * 9 وملحقين آخرين B و C جديدين كليًا . جاء مبادئ الرياضيات كمحاولة ل تمثيل مجموعة من البديهيات وقواعد الاستنتاج في المنطق الرمزي ، ب حيث يمكن - من حيث المبدأ - إثبات جميع الحقائق الرياضية من خلال ها ، و على هذا النحو ، فإنّ هذا المشروع الطموح ذو أهمية كبيرة في تاريخ الرياضيات و الفلسفة كون ه أحد أهم الأعمال المتجهة للاعتقاد ب أن مثل هذا الطرح قد يكون قابلاً ل التحقيق ، و مع ذلك في عامأثبتت مبرهنات عدم الاكتمال لغودل ب شكل قاطع أن هذه المحاولة وأي محاولة أخرى لن تتمكن من تحقيق هذا الهدف أبداً ؛ فأي مجموعة من البديهيات و القواعد الاستنتاجية المقترحة لتغليف الرياضيات ، إما أن يكون النظام في ها غير متناسق ، أو أن يُوجَد بعض الحقائق الرياضية التي لا يمكن استنتاج ها من ها . أحد أهم الإلهامات والدوافع ل هٰذا العمل كان العمل السابق لجوتلوب فريجه حول المنطق الذي ساهم في تأسيس مفارقات راسل ، حيث كان السعي في مبادئ الرياضيات ل تجنب هذه المشكلة من خلال استبعاد إنشاء مجموعات عشوائية غير مقيدة ، و هٰذا ما تحقق من خلال استبدال مفهوم المجموعة العامة ب فكرة التسلسل الهرمي لمجموعات « الأنواع » المختلفة ، و هي مجموعة من نوع معين لا تسمح إلا باحتواء مجموعات من الأنواع الأقل درجة ، و مع ذلك فإنّ الرياضيات المعاصرة ت تجنب المفارقات مثل مفارقات راسل ب طريقة أكثر عملية ، مثل نظرية مجموعات زرملو - فرنكل . لا ينبغي الخلط بين هذا العمل و بين كتاب راسل « مبادئ الرياضيات\ الرياضة - 1903 » ، ويُصَرَّح في مبادئ الرياضيات التالي : « إن العمل الحالي كان يقصد ب ه أصلاً أن يكون مجلدًا ثانيًا لمبادئ الرياضيات - 1903 . . . لكن مع تقدُّمنا أصبح من الواضح ب شكل متزايد أن الموضوع أكبر ب كثير مما كنا نفترض ، علاوةً على ذلك ، ب النسبة ل العديد من الأسئلة الأساسية التي تركت غامضة ومشكوك في ها في العمل السابق ، وصلنا الآن إلى ما نعتقد أن ه حلًا مرضٍ » . دائمًا ما عُرِف مبادئ الرياضيات بتعقيد ه الطباعي ، و كذٰلك هو مشهور ب استخدام ه عدة مئات من الصفحات ل إثبات صحة القضية + = و قد وضعت ه المكتبة الحديثة في المرتبةمن قائمة أفضلكتاب غير خيالي باللغة الإنجليزية في القرن العشرين . نطاق الأسس الموضوعة يغطي هذا العمل نظرية المجموعات ، والأعداد الأصلية ، والأعداد الترتيبية ، والأعداد الحقيقية فقط ، أي لم يتم تضمين نظريات أعمق من ال تحليل الحقيقي ، و لٰكن في نهاية المجلد الثالث كان من الواضح للخبراء أن ه يمكن من حيث المبدأ تطوير كمية كبيرة من الرياضيات المعروفة في هذه الش كلية المتبناة ، كما كان من الواضح أيضًا كم س يكون مثل هذا التطوير طويلًا . كان قد تم التخطيط لمجلد رابع حول أسس الهندسة الرياضية ، لكن المؤلفين اعترفوا بالإرهاق الفكري عند اكتمال المجلد الثالث . الأسس ال نظرية كما لوحظ في نقد ال نظرية التي كتب ها كورت غودل ، ب أن ه على عكس ال نظرية الش كلية " F or m alist theory " ف إن ال نظرية المنطقية " logicistic " التي يقدم ها هذا العمل لا تملك « البيان الدقيق ل بناء الش كلية » ، و من الملاحظ أيضًا أن هذه ال نظرية تقدم تفسيرات ( بمفهوم نظرية النموذج ) مباشرة تقريبًا فيما يتعلق ب قيم الحقيقة ل سلوك الرموز " ⊢ " ( تأكيد الحقيقة ) ، " ~ " ( لا منطقية ، النفي ) ، و " V " ( الفصل ، أحد هما صحيح أو كلى هما ) . قيم الحقيقة : يرسخ « مبادئ الرياضيات » مفاهيم « الحقيقة » و « الزيف » في مفهوم « القضايا الأولية » ، وال نظرية الش كلية ( النقية ) لن تقدم معنى الرموز التي تشكل « القضايا الأولية » - يمكن للرموز نفس ها أن تكون عشوائية و غير مألوفة على الإطلاق ، فال نظرية تحدد فقط كيف تتصرف الرموز بناء على قواعد ال نظرية ، ولاحقًا ب تعيين « القيم » س يحدد النموذج تفسيرًا ل ما تقول ه الصيغ ، وهكذا في رمز كلين الشكلي المبين أدنا ه ، يوضع بين قوسين « تفسير » المعنى الشائع للرموز ، و ب شكل ضمني كيف يتم استخدام ها في نهاية المطاف ، و على سبيل المثال « ¬ ( ليس ) » ، لكن هذه ليست نظرية ش كلية نقية . البناء المعاصر لل نظرية الش كلية تُقدَّم ال نظرية الش كلية التالية كنقيض لل نظرية المنطقية ل كتب مبادئ الرياضيات ، و س يكون البناء المعاصر ل نظام شكلي على النحو التالي : الرموز المستخدمة : هذه المجموعة هي مجموعة البداية ، و يمكن أن تظهر رموز أخرى و لٰكن فقط ب تعريف من رموز البداية ، قد تكون مجموعة البدء هي المجموعة التالية المشتقة من كلين ( Kleene الرموز المنطقية : " → " ( يستلزم ، إذا وفإنّ ، و " ⊃ " ) ، " & " ( و ) ، " V " ( أو ) ، " ¬ " ( ليس ) ، " ∀ " ( للكل ) ، " ∃ " ( يوجد ) ، رمز المسند " = " ( يساوي ) ، الرموز الوظيفية " + " ( إضافة حسابية ) ، " ∙ " ( ا الضرب الحسابي ) ، " " " ( لاحق ) ، الرمز الفردي " 0 " ( صفر ) ، المتغيرات " a " ، " b " ، " c " و ما إلى ذلك ، والأقواس " ( " و " ) " . سلاسل الرموز : س تقوم ال نظرية على بناء « سلاسل » من هذه الرموز بالتسلسل . قواعد التشكيل : تُعيّن ال نظرية قواعد بناء الجملة عادة كتعريف مرتد يبدأ بـ " 0 " و يحدد كيفية بناء الجمل المقبولة أو « الصيغ جيدة التشكيل - WFF » ، يتضمن هذا قاعدة « استبدال » السلاسل لرموز تسمى « المتغيرات » ( على عكس أنواع الرموز الأخرى ) . قاعدة أو قواعد ا التحويل : البديهيات التي تحدد سلوكيات الرموز وتسلسل ها . قاعدة الاستدلال ، الفصل ، القياس الاستثنائي : القاعدة التي تسمح لل نظرية بفصل الاستنتاج من المقدمة المنطقية التي أدت إلي ه ، و من ثم تجاهل هذه المقدمة ( الرموز على يسار الخط │ ، أو الرموز فوق الخط إذا كان أفقيًا ) ، و إن لم تكن الحالة كذلك ، ف إن الاستبدال س يؤدي إلى سلاسل أطول وأطول يجب ترحيل ها ، و ب الفعل بعد تطبيق قياس استثنائي لن يبقى شيء سوى الاستنتاج ، أما الباقي ف يختفي إلى الأبد . غالباً ما تحدد النظريات المعاصرة بديهيات ها الأولى الكلاسيكية أو القياس الاستثنائي أو « قاعدة الانفصال » : A , A ⊃ B │ B عادة ما يكتب الرمز " │ " كخط أفقي ، و هنا " ⊃ " تعني « يستلزم » ، والرموز A و B تمثل « بدائل » للسلاسل ؛ و يطلق على هذا النوع من الترميز « خطة مسلمة » ( أي أنّ هناك عددًا محسوبًا لأشكال معينة يمكن أن يأخذ ها الترميز ) ، و يمكن قراءة هذا ب طريقة مشابهة لـ ( إذا - فإنّ ) و لٰكن مع وجود اختلاف : لسلسة الرموز المعطاة إذا كان A و A يستلزم Bفإنّ B ( تبقى B فقط ل استخدام ها مرة أخرى ) ، لكن الرموز ليس ل ها أي « تفسير » ( على سبيل المثال ، لا يوجد « جدول الحقيقة » أو « قيم الحقيقة » أو « وظائف الحقيقة » ) و يستمر القياس الاستثنائي ب شكل ميكانيكي ب القواعد وحد ها . البناء تحتوي نظرية مبادئ الرياضيات على أوجه تشاب ه كبيرة و اختلافات مشابهة مع ال نظرية الش كلية المعاصرة ، يقول كلين ( Stephen Cole Kleene ) ، إن « استنتاج الرياضيات من المنطق يُقَدَّم كبديهيات حدسية ، كان المقصود ب أن تُصدَّق البديهيات ، أو على الأقل تُقبَل على أن ها فرضيات معقولة حول العالم » ، و في الواقع على عكس ال نظرية الش كلية التي تتلاعب بالرموز وفقًا ل القواعد يقدم مبادئ الرياضيات فكرة « قيم الحقيقة » ، أي الحقيقة والزيف في المعنى الواقعي ، و « تأكيد الحقيقة » كعناصر خامسة وسادسة في بنية ال نظرية ( مبادئ الرياضيات 36 ) : المتغيرات . استخدام الأحرف المتنوعة . الدالات الأولية للقضايا : « الدالة المتناقضة » التي يرمز ل ها بـ " ~ " و « الجمع المنطقي أو دالة الفصلDf » التي يرمز ل ها بـ " ∨ " تعتبر أن ها تضمين أساسي ومنطقي يُعرَّف ( المثال التالي يُستَخدَم أيضًا لتوضيح التعريف أدنا ه ) كـ : p ⊃ q\ . = . ~ p ∨ q Df . والناتج المنطقي يُعرَّف كـ : p\ . q\ . = . ~ ( ~ p ∨ ~ q ) Df . ال تكافؤ : ال تكافؤ المنطقي ، و ليس ال تكافؤ الحسابي : " ≡ " يعطى كشرح لكيفية استخدام الرموز ، و هٰذا يعني « إذًا 'p ≡ q ' تُمَثّل ' ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) ' » ، و لاحظ أن ه من أجل مناقشة الترميز يُعرّف الكتاب « ما بعد » الترميز بـ « [ فراع ] \ . . . [ فراع ] » : يظهر ال تكافؤ المنطقي ثانيةً كتعريف : p ≡ q\ . = . ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) . لاحظ مظهر الأقواس ، هذا الاستخدام القواعدي غير مميز و يظهر ب شكل متقطع ؛ حيث تلعب الأقواس دورًا مهمًا في سلاسل الرموز ، على سبيل المثال ، نستخدم الرمز " ( x ) " أحيانًا عوضًا عن الرمز المعاصر " ∀ x " . قيم الحقيقة : « إن ' قيمة الحقيقة ' ل القضية هي حقيقة إن كانت صحيح ، وباطلة إن كانت خاطئ » ( هذه العبارة ترجع إلى فريج ) . علامة التوكيد : " ' ⊦ '.p يمكن أن تُقرَأ ' هذا صحيح أن ّ '\ . . . و ب التالي ' ⊦ : ' p\ . ⊃ . q تعني " صحيح أن وضع p يستلزم q " ، بينما ' ⊦ . p\ . ⊃ ⊦ . q ' تعني " p صحيح إذًا q صحيح ، في العبارة الأولى لا تتضمن ب الضرورة الحقيقة ل أي من p أو q ، بينما تتضمن العبارة الثانية حقيقة كل من هما " . الاستدلال : نسخة مبادئ الرياضيات من القياس الاستثنائي ، « [ إذا ] » ⊦ .p « و » ⊦ ( p ⊃ q ) « قد حدث ، عندئذ » ⊦ . q « س يحدث إذا كان من المطلوب أخذ ه بالحسبان ، لا يمكن اختزال عملية الاستدلال إلى رموز ، والتدوين الوحيد هو حدوث » ⊦ . q « [ ب معنى آخر ، تختفي الرموز الموجودة على اليسار أو يمكن محو ها ] » . استخدام النقط . تعاريف . م لخص البيانات السابقة : مناقشة موجزة للأفكار الأولية " ~ p " و " p ∨ q " و " ⊦ " مختصرةً لافتراض . القضايا الأولية : البديهيات أو المسلمات ، و هٰذه عُدّلت ب شكل كبير في الطبعة الثانية . دالات القضايا : تم تعديل فكرة « القضايا » بشكلٍ كبيرٍ في الطبعة الثانية ، ب ما في ذلك تقديم القضايا « الذرية » المرتبطة بعلامات منطقية ل تشكيل القضايا « الجزيئية » ، واستبدال القضايا الجزيئية في القضايا الذرية أو الجزيئية خلق تعبيرات جديدة . نطاق القيم و التنوع الإجمالي . التوكيد المب هم والمتغير الحقيقي : هذا والجز أين التاليين عُدّلَت أو أُهمِلَت في الطبعة الثانية . الاستلزام الشكلي ( الصوري ) وال تكافؤ الشكلي . التطابق . الفصول و العلاقات . دالات وصفية مختلفة ل العلاقات . دالات وصف جمعي . فصول الوحدة . الاتساق والانتقادات ب حسب « الأسس المنطقية للرياضيات » لرودولف كارناب : أراد راسل نظرية يمكن القول ب شكل معقول أن ها تستمد جميع الرياضيات من البديهيات المنطقية البحتة ، و مع ذلك ف إن « مبادئ الرياضيات - Principia Mathematica » ت طلبت ب الإضافة إلى البديهيات الأساسية ل نظرية النمط ، ثلاث بديهيات أخرى بدا أن ها غير صحيحة ك مجرد مسائل منطقية ، و هي بديهية اللانهائية ، بديهية الاختيار ، وبديهية الاختزال ، و ب ما أن البديهيتين الأولى كانتا بديهيات وجودية ، ف قد صاغ راسل عبارات رياضية تعتمد علي ها كشروط ، و لٰكن في الاختزال كان من المطلوب التأكد من أن البيانات الصورية يمكن ها حتى التعبير ب شكل صحيح عن تحليل حقيقي ، و ب ذٰلك البيانات المعتمدة علي ها لا يمكن إعادة صياغة ها كشروط ، و قد جادل فران ك رامزي ب أن تشعُّب راسل ل نظرية الأنماط غير ضروري ، و ب ذٰلك يمكن إزالة الاختزال و لٰكن هذه الحجج تبدو غير حاسمة . بعيدًا عن وضع البديهيات كحقائق منطقية ، يمكن للمرء أن يسأل الأسئلة التالية عن أي منظومة مثل « مبادئ الرياضيات - Principia Mathem atica » : ما إذا كان يمكن استنتاج تناقض من البديهيات ( مسألة عدم الاتساق ) . و ما إذا كان هناك بيان رياضي لا يمكن إثبات ه أو عدم إثبات ه في المنظومة ( مسألة الاكتمال ) . حساب القضايا كان في حد ذات ه معروفًا باتساق ه ، و لٰكن هذا لم يكن في بديهيات « مبادئ الرياضيات » ل نظرية المجموعات ( مسألة هيلبرت الثانية ) ، و قد اشتبه راسل ووايتهيد ب أن منظومة عمل هم غير كامل . غودل في عام أوضحت نظرية الاكتمال لغودل أن منطق تنبؤ الرتبة الأولى نفس ه كان كاملًا بشكلٍ أضعف ب كثير - أي جملة غير قابلة لل إثبات من مجموعة معينة من البديهيات يجب أن تكون خاطئة في بعض نماذج البديهيات ، و مع ذلك هذا ليس الاكتمال المرغوب لمبادئ الرياضيات ، فأي نظام معين من البديهيات قد يملك العديد من النماذج ، في بعض ها يكون بيان معين ما صحيحًا و في بعض الحالات الأخرى يكون هذا البيان غير صحيح ، وهكذا يبقى وضع البيان غير محسوم . تلقي نظريات عدم الاكتمال لغودل ضوء غير متوقع على هاتين المسألتين المتصلتين . أوضحت نظرية عدم اكتمال الأولى لغودل أن ه لا يمكن ل أي امتداد تكرار ي ل المبادئ أن يكون متسقًا وكاملًا ب نفس الوقت ب النسبة للبيانات الحسابية ، وفقًا لل نظرية : في كل نظام منطقي تكرار ي قوي ب ما في ه الكفاية ( مثل Principia ) ، هناك بيان G يقرأ « البيان G لا يمكن إثبات ه » ، و مثل هذا البيان نوع من الحالات المتناقضة ( كاتش 22 ) ، إذا تم إثبات G فالعبارة خاطئة و ب التالي ف إن النظام غير متناسق ، و إذا كان G غير قابل لل إثبات فالعبارة صحيحة و ب التالي النظام غير مكتمل . تُظهِر نظرية عدم الاكتمال الثانية أن ه لا يمكن استخدام أي نظام شكلي موسع للحساب الأساسي ل إثبات اتساق ه ، و ب التالي لا يمكن أن يثبت بيان « لا توجد تناقضات في نظام المبادئ » في نظام المبادئ ما لم تكن هناك تناقضات في النظام ( في هذه الحالة يمكن إثبات كل من الصحة و الخطإ ) . لودفيغ فيغنتشتاين انتقد فيغنتشتاين المبادئ بمحاضرات ه حول أسس الرياضيات على أسس مختلفة : الحسابات التي نستخدم ها ب شكل يوم أساسية وأي اختلاف بين ها و بين المبادئ س يكون الخطأ في هذه الأخيرة و ليس الحسابات اليومية . لا يمكن استخدام المبادئ مع الأرقام الكبيرة و إلا س تصبح الصيغ طويلة جدًا ، و اختصار ذلك س يحتاج عملية تعتمد على التقنيات اليومية ، و مرة أخرى المبادئ هي من تعتمد على التقنيات و ليس العكس . و لٰكن ه اعترف مع ذلك ب أن المبادئ قد تجعل بعض الحسابات اليومية أوضح . غودل قدم غودل عامفي « م نهج راسل الرياضي - Russe ll's mathematical logic » : « مناقشة نقدية لكن متعاطفة مع التنظيم المنطقي للأفكار » . المراجع أعمال ألفريد نورث وايتهيد أعمال عن الفلسفة في الرياضيات العلم في العلم في العلم في كتب بيرتراند راسل كتب غير خيالية كتب غير خيالية كتب غير خيالية كتب عن الفلسفة في الرياضيات