إكمال المربع
إكمال المربع هي عملية لتحويل الدالة التربيعية من الشكل

إلى الشكل

 

ومصطلح "constant" يعني أنه قيمة ثابتة ولا يعتمد على x. والجزء داخل القوسين يكون على صورة (x + constant) ، بمعنى أن:

تحولت إلى

 

بقيم معينة لكلا من h و k.

استخدامات طريقة إكمال المربع:
 حل المعادلات التربيعية
 رسم المعادلات التربيعية
 حساب التكامل في التفاضل والتكامل مثل تكامل جاوس.
 إيجاد تحويل لابلاس.

ويعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات، ويتم استخدامها -حتى بدون الإشارة إليها- في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية. كما أن هذه الطريقة تستخدم لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

مقدمة

تمهيد 
يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين

مثال:

ففي أي مربع كامل العدد p يكون دائما هو نصف معامل x ، ويكون الحد الثابت هو مربع p أي يساوي p2.

مثال بسيط 
في كثيرة الحدود التربيعية التالية:

نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .

بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:

وهذا ما يسمى إكمال المربع.

وصف عام 
لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل x يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:

يمكن أن نكون 'مربعا كاملا' له نفس الحدين الأولين

وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب

حيث k هو ثابت. وهذه العملية تسمى إكمال المربع. ومثالا لذلك:

غير واحدية المدخل 
لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل x لا يساوي 1) على الصورة:

يمكن أن نقوم باتخاذ a معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.

مثال:

ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة

صيغة عامة 
يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:

حيث:

 حالة خاصة عندما a=1:

حيث:

 وفي حالة المصفوفات (يراعى ترتيب ضرب المصفوفات):

حيث:

ويجب أن تكون المصفوفة  متماثلة (أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة).

أما لو كانت المصفوفة  غير متماثلة فإن صيغة حساب  و  يتم تغييرها إلى الصورة العامة:

.

و

.

علاقته بالرسم 

رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى xy.
فالدالة التربيعية على صورة:

الأرقام h و k تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ. وتمثل h الإحداثي x لمحور التماثل، بينما تمثل k القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت a < 0 ) للدالة التربيعية.

ويمكن القول أن رسم منحنى الدالة التربيعية ƒ(x) = x2 هو قطع مكافئ، رأسه عند نقطة الأصل  (0, 0).

بينما رسم منحنى الدالة ƒ(x − h) = (x − h)2 هو قطع مكافئ تمت إزاحته جهة اليمين بالقيمة h ورأسه هي (h, 0) كما هو مبين بالشكل.

ورسم منحنى الدالة ƒ(x) + k = x2 + k هو قطع مكافئ تمت إزاحته لأعلى بالقيمة k، ورأسه هي نقطة  كما هو مبين بالشكل الثاني.

ويمكن جمع الإزاحتين الأفقية (يمين أو يسار) والرأسية (أعلى أو أسفل) فالدالة ƒ(x − h) + k = (x − h)2 + k

هي قطع مكافئ مزاح لليمين بالقيمة h، ومزاح لأعلى بالقيمة k، ورأسه عند النقطة (h, k)، كما هو مبين بالشكل الثالث.

حل المعادلات التربيعية 
تستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، ومثال ذلك:

الخطوة الأولى هي إكمال المربع:

ثم نحل الحد المربع:

وبالتالي إما

إذن

ويمكن تطبيق ذلك لأي معادلة تربيعية. وعندما يكون معامل x2 لا يساوي 1 تكون الخطوة الأولى هي قسمة المعادلة على هذا المعامل. انظر المثال التالي:

الجذور غير النسبية أو المركبة 
يمكن استخدام إكمال المربع للحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة.
مثال للجذور غير النسبية:

بإكمال المربع نحصل على

وبالتالي

إذن إما

إذن

 

وعادةً تكتب على الصورة:

ومثال للمعادلات ذات الجذور المركبة:

حيث الرمز i يساوي

تطبيقات أخرى

التكامل 
يمكن استخدام إكمال المربع لحساب التكامل كالتالي:

باستخدام قواعد التكامل

مثال:

بإكمال المربع للمقام نحصل على:

وبالتالي يمكن إجراء التكامل بالتعويض.

u = x + 3,

الذي يُنتج

الأعداد المركبة 
العلاقة التالية

حيث z وb هما عدادان مركبان، و  هما العددان المرافقان لهما على الترتيب، و c هو عدد حقيقي.

باستخدام القاعدة

يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة

والتي يتضح أنها كمية حقيقة

مثال آخر المعادلة التالية:

حيث a و b و c و x و y هي أعداد حقيقية، و a > 0 و b > 0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي:
نفرض

إذن

وبالتالي

المنظور الهندسي 

لإكمال المربع للمعادلة

حيث أن x2 تمثل مساحة مربع طول ضلعه x،

وbx تمثل مساحة مستطيل ضلعاه هما b و x،

وبالتالي فإن عملية إكمال المربع يمكن اعتبارها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع.

إذا حاولنا إنشاء مربعا كبيرا مكون من (المربع x2 ) و(المستطيل bx ) معا، سنجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكماله. الحد الذي يتم إضافته إلى المعادلة يمثل مساحة هذا الركن الذي نحتاجه لإكمال المربع، ومن هنا جاءت التسمية إكمال المربع

إكمال المربع بطريقة مختلفة 
كما رأينا سابقا فقد أضفنا الحد الثالث v 2 إلى المعادلة

لنحصل على مربع. لكن هناك حالات أخرى نقوم فيها بإضافة الحد الثاني (أو الأوسط) بحيث يكون إما (2uv) أو (2uv-) إلى المعادلة

لنحصل على مربع على الصورة:

أو

مثال: مجموع رقم موجب ومقلوبه 
إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب  مع مقلوبه  يمكننا استخدام هذه الطريقة:

واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.

مثال: تحليل معادلة بسيطة 
عند تحليل المعادلة التالية

نجد أنها على صورة

وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة

فسوف نحصل على

وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:

السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير x.

مصادر 
 Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pages 539–544
 Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

مراجع

وصلات خارجية 
 
 كيفية إكمال المربع, Education Portal Academy

جبر ابتدائي
مقالات تحوي براهين
إكمال المربع هي عملية ل تحويل الدالة التربيعية من الشكل إلى الشكل ومصطلح " constant " يعني أن ه قيمة ثابتة و لا يعتمد على x . و الجزء داخل القوسين يكون على صورة ( x + constant ) ، ب معنى أن : تحولت إلى ب قيم معينة لكلا من h و k . استخدامات طريقة إكمال المربع : حل المعادلات التربيعية رسم المعادلات التربيعية حساب التكامل في التفاضل و التكامل مثل تكامل جاوس . إيجاد تحويل لابلاس . و يعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات ، و يتم استخدام ها - حتى ب دون الإشارة إلي ها - في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية . كما أن هذه الطريقة تستخدم لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية ب استخدام المميز . مقدمة تمهيد يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر ل حساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين مثال : ف في أي مربع كامل العدد p يكون دائما هو نصف معامل x ، و يكون الحد الثابت هو مربع p أي يساوي p2 . مثال بسيط في كثيرة الحدود التربيعية التالية : نجد أن ها ليست مربعا كاملا ، لأنلا تساوي مربع . بينما يمكن نا أن نضع الدالة الأصلية على صورة : ( مربع كامل + ثابت ) كما يلي : و هٰذا ما يسمى إكمال المربع . وصف عام ل أي كثيرة حدود واحدية المدخل ( أي معامل x يساويمن الدرجة الثانية ( أي تربيعية ) على الصورة : يمكن أن نكون ' مربعا كاملا ' ل ه نفس الحدين الأولين و هٰذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط . و يمكن أن نكتب حيث k هو ثابت . و هٰذه العملية تسمى إكمال المربع . ومثالا ل ذٰلك : غير واحدية المدخل ل أي كثيرة حدود غير واحدية المدخل ( معامل x لا يساويعلى الصورة : يمكن أن نقوم ب اتخاذ a معاملا مشتركا ، ثم نكمل المربع ب الطريقة السابقة . مثال : ومعنى هذا أن نا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة صيغة عامة يمكن كتابة صيغة عامة ل عملية إكمال المربع ك التالي : حيث : حالة خاصة عندما a = 1 : حيث : و في حالة المصفوفات ( يراعى ترتيب ضرب المصفوفات ) : حيث : و يجب أن تكون المصفوفة متماثلة ( أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة ) . أما لو كانت المصفوفة غير متماثلة ف إن صيغة حساب و يتم تغيير ها إلى الصورة العامة : . و . علاقة ه بالرسم رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى xy . فالدالة التربيعية على صورة : الأرقام h و k تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ . و تمثل h الإحداثي x لمحور التماثل ، بينما تمثل k القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت a < 0 ) للدالة التربيعية . و يمكن القول أن رسم منحنى الدالة التربيعية ƒ ( x ) = x2 هو قطع مكافئ ، رأس ه عند نقطة الأصل ( 0 , 0 ) . بينما رسم منحنى الدالة ƒ ( x − h ) = ( x − h ) 2 هو قطع مكافئ تمت إزاحت ه جهة اليمين بالقيمة h ورأس ه هي ( h , 0 ) كما هو مبين ب الشكل . ورسم منحنى الدالة ƒ ( x ) + k = x2 + k هو قطع مكافئ تمت إزاحت ه لأعلى بالقيمة k ، ورأس ه هي نقطة كما هو مبين ب الشكل الثاني . و يمكن جمع الإزاحتين الأفقية ( يمين أو يسار ) والرأسية ( أعلى أو أسفل ) فالدالة ƒ ( x − h ) + k = ( x − h ) 2 + k هي قطع مكافئ مزاح لليمين بالقيمة h ، ومزاح لأعلى بالقيمة k ، ورأس ه عند النقطة ( h , k ) ، كما هو مبين ب الشكل الثالث . حل المعادلات التربيعية تستخدم طريقة إكمال المربع ل حل المعادلات التربيعية ، و مثال ذلك : الخطوة الأولى هي إكمال المربع : ثم نحل الحد المربع : و ب التالي إما إذن و يمكن تطبيق ذلك ل أي معادلة تربيعية . و عندما يكون معامل x2 لا يساو يتكون الخطوة الأولى هي قسمة المعادلة على هذا المعامل . انظر المثال التالي : الجذور غير النسبية أو المركبة يمكن استخدام إكمال المربع ل الحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة . مثال ل الجذور غير النسبية : بإكمال المربع نحصل على و ب التالي إذن إما إذن وعادةً تكتب على الصورة : و مثال للمعادلات ذات الجذور المركبة : حيث الرمز i يساوي تطبيقات أخرى التكامل يمكن استخدام إكمال المربع ل حساب التكامل ك التالي : ب استخدام قواعد التكامل مثال : بإكمال المربع للمقام نحصل على : و ب التالي يمكن إجراء التكامل ب التعويض . u = x + 3 , الذي يُنتج الأعداد المركبة العلاقة التالية حيث z وb هما عدادان مركبان ، و هما العددان المرافقان ل هما على الترتيب ، و c هو عدد حقيقي . ب استخدام القاعدة يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة و التي يتضح أن ها كمية حقيقة مثال آخر المعادلة التالية : حيث a و b و c و x و y هي أعداد حقيقية ، و a > 0 و b > 0 , يمكن صياغة ها على صورة مربع القيمة المطلقة ل عدد مركب ك التالي : نفرض إذن و ب التالي المنظور الهندسي لإكمال المربع للمعادلة حيث أن x2 تمثل مساحة مربع طول ضلع ه x ، وbx تمثل مساحة مستطيل ضلعى ه هما b و x ، و ب التالي ف إن عملية إكمال المربع يمكن اعتبار ها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع . إذا حاول نا إنشاء مربعا كبيرا مكون من ( المربع x2 ) و ( المستطيل bx ) معا ، س نجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكمال ه . الحد الذي يتم إضافت ه إلى المعادلة يمثل مساحة هذا الركن الذي نحتاج ه لإكمال المربع ، و من هنا جاءت التسمية إكمال المربع إكمال المربع ب طريقة مختلفة كما رأينا سابقا ف قد أضف نا الحد الثالث v 2 إلى المعادلة لنحصل على مربع . لكن هناك حالات أخرى نقوم في ها ب إضافة الحد الثاني ( أو الأوسط ) ب حيث يكون إماv ) أوv - ) إلى المعادلة لنحصل على مربع على الصورة : أو مثال : مجموع رقم موجب ومقلوب ه إذا أرد نا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب مع مقلوب ه يمكن نا استخدام هذه الطريقة : واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوب ه يكون دائما أكبر من أو يساوي لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر . مثال : تحليل معادلة بسيطة عند تحليل المعادلة التالية نجد أن ها على صورة و ب التالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة ف سوف نحصل على و هٰذا هو فرق بين مربعين يتم تحليل ه ك التالي : السطر الأخير تم كتابة ه لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي ل درجة المتغير x . مصادر Algebra Glencoe , ISB N825083 - 8 , pages544 Algebra Saxon , ISB N62 - X , pages214,242,257,401 مراجع وصلات خارجية كيفية إكمال المربع , Education Portal A cademy جبر ابتداء ي مقالات تحوي براهين