خاصية أرخميدس
خاصية أرخميدس:
بمعرفتك لمجموعة الأعداد الحقيقية R وتصورك لخط الأعداد الحقيقية قد يبدو واضحاً أن مجموعة الأعداد الطبيعية N غير محدودة في مجموعة الأعداد الحقيقية R كيف نستطيع اثبات ذلك ؟ 
في الحقيقة لا نستطيع ان نفعل ذلك باستخدام الجبر وخصائص النظام، في الواقع يجب أن نستخدم completeness propertyفي R إضافة إلى خاصية الإستقراء في N حيث أن ( إذا كان n∈N فإن n+1 ∈N ) 
عند عدم وجود الحد العلوي لمجموعة الاعداد الطبيعية N يعني ذلك أن أي عدد حقيقي x يوجد عدد طبيعي n (يعتمد على x) بحيث x<n
الإثبات :
نريد أثبات أنه إذا كان x∈R إذا يوجد nx∈N بحيث x≤nx
نفرض العكس للحصول على تناقض 
اذن نفترض : لكل n∈N بحيث x>n
اذن x تمثل حداً علوياً للمجموعة N ومنها :
اذن يوجد u∈R بحيث أن u=sup N
يعنيu-1 ليس حد علوي 
اذن يوجد m∈N بحيث u-1<m
u<m+1, m+1 ∈N
اذنu ليس اصغر حد علوي لمجموعة Nاذن يوجد nx∈N بحيث x≤nx
 نتيجه:
إذا كان 
S={1/n: n∈N} → inf S =0

الاثبات :
S مجموعة غير خاليه ومحدوده من أسفل بالصفر، لنفرض أن w=inf S
ومن الواضح أن w≥0 لكل ε>0 خاصية أرخميدس تعني أنه يوجد n∈N بحيث :
ε<1/nاذن n>1/ε نجد أن لدينا:
0≤w≤1/n <ε
ولكن لأي قيمة عشوائية لـ ε>0 فإن w=0
 نتيجه:
إذا كانت t>0 يوجد nt∈N بحيث:
0<1/nt<t
اثبات: 
عندما inf{1/n: n∈N}=0 و t>0 إذا t ليس حد سفلي للمجموعه {1/n حيث n∈N} وبالتالي يوجد nt∈N بحيث 0<1/nt<t
 نتيجه:
إذا كانت y>0 يوجد nyN بحيث : 
ny-1≤ y ≤ny
اثبات:
خاصية أرخميدس يضمن المجموعة {Ey={m∈N : y<m الجزئية من الأعداد الطبيعية N غير خالية، ن طريق خاصية الترتيب الجيد للأعداد إذا مجموعة Ey تحتوي عنصر نرمز له بالرمز ny إذا ny-1 ليست داخل Ey إذا لديناny-1 ≤ y ≤ny

مثال على تطبيق خاصية ارخميدس في اثبات نظريات أخرى :
-اثبتي أن المتتابعة (n) تباعدية.
من خاصية أرخميدس نعلم أن الاعداد الطبيية غير محدودة إذاً المتتابعة n غير محدوده وبالتالي تكون تباعدية
ومن المعاكس الإيجابي لنظرية أن «كل متتابعة محدودة هي تقاربية» إذا كل غير محدوده تباعديه 
إذاً (n) تباعدية

المصدر: introduction to real analysysis
Robert G.Bartlr
4thedithion

نتيجة 1 : 
المجموعة N محدودة من أسفل ولكن ليست محدودة من أعلى 
نتيجة 2 :
لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية حيث: 
 x>1/n
نتيجة 3 :
لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد m,n ينتمي للاعداد الصحيحة حيث: 
 n>x>m
نتيجة 4 : 
لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الصحيحة حيث:
 n+1>x ≥ n
نتيجة 5 :
لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية حيث: 
 x ≥ n> x-1
نتيجة 6 : 
لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية:
 بحيث x> n ≥ x-1

مثال : 
لكل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي للاعداد الطبيعية حيث:
  n(n+1)/2>x≥ n(n-1)/2
للعدد الحقيقي 1/2*(2x+ 1/4)√ من النتيجة 5 يوجد عدد وحيد n∈N بحيث :
N+1>√(2x+ 1/4)+1/2≥n
 n+1/2)^2> 2x+ 1/4 ≥ (n-1/2)^2) 
أو
 n^2+n> 2x ≥ n^2-n 
أو
 n(n+1)/2>x≥ n(n-1)/2

يوضح المثال بالأعلى أن كل عدد صحيح موجب nيستطيع أن يعرف فردياً كـ:
n=(i(i-1))/2 +j
لكل i,j∈N ^ 1≤ j ≤i 
في مثل هذا المثال الفريد من نوعه للعناصر الطبيعية يكون أحياناً مساعد لفحص مجموعة الاعداد القابله للعد

المصدر : الويكبيديا الإنجليزية
Archimedean semi-group

ترجمة وتنسيق طالبات قسم الرياضيات - جامعة الدمام
بإشراف الدكتورة فاطمة الرواجح

مراجع 

زمر مرتبة
نظرية الحقول
خاصية أرخميدس : بمعرفتك ل مجموعة الأعداد الحقيقية R وتصورك لخط الأعداد الحقيقية قد يبدو واضحاً أن مجموعة الأعداد الطبيعية N غير محدودة في مجموعة الأعداد الحقيقية R كيف نستطيع اثبات ذلك ؟ في الحقيقة لا نستطيع ان نفعل ذلك ب استخدام الجبر وخصائص النظام ، في الواقع يجب أن نستخدم completeness propertyفي R إضافة إلى خاصية الإستقراء في N حيث أن ( إذا كان n ∈ N ف إن n + 1 ∈ N ) عند عدم وجود الحد العلوي ل مجموعة الاعداد الطبيعية N يعني ذلك أن أي عدد حقيقي x يوجد عدد طبيعي n ( يعتمد على x ) ب حيث x<n ال إثبات \ : نريد أثبات أن ه إذا كان x ∈ R إذا يوجد nx ∈ N ب حيث x ≤ nx نفرض العكس ل الحصول على تناقض اذن نفترض \ : ل كل n ∈ N ب حيث x > n اذن x تمثل حداً علوياً للمجموعة N و من ها \ : اذن يوجد u ∈ R ب حيث أن u = sup N يعنيu - 1 ليس حد علوي اذن يوجد m ∈ N ب حيث u - 1<m u< m + 1 , m + 1 ∈ N اذنu ليس اصغر حد علوي ل مجموعة Nاذن يوجد nx ∈ N ب حيث x ≤ nx نتيجه : إذا كان S = {1 / n : n ∈ N } → inf S = 0 ال إثبات \ : S مجموعة غير خالي ه ومحدود ه من أسفل بالصفر ، لنفرض أن w = inf S و من الواضح أن w ≥ 0 ل كل ε > 0 خاصية أرخميدس تعني أن ه يوجد n ∈ N ب حيث \ : ε<1 / nاذن n > 1 / ε نجد أن لدي نا : 0 ≤ w ≤ 1 / n <ε و لٰكن ل أي قيمة عشوائية لـ ε > 0 ف إن w = 0 نتيجه : إذا كانت t > 0 يوجد nt ∈ N ب حيث : 0<1 / nt <t اثبات : عندما inf{1 / n : n ∈ N } = 0 و t > 0 إذا t ليس حد سفلي للمجموع ه {1 / n حيث n ∈ N } و ب التالي يوجد nt ∈ N ب حيث 1 / nt<t نتيجه : إذا كانت y > 0 يوجد nyN ب حيث \ : ny - 1 ≤ y ≤ ny اثبات : خاصية أرخميدس يضمن المجموعة {Ey = { m ∈ N\ : y<m الجزئية من الأعداد الطبيعية N غير خالية ، ن طريق خاصية الترتيب الجيد للأعداد إذا مجموعة Ey تحتوي عنصر نرمز ل ه بالرمز ny إذا ny - 1 ليست داخل Ey إذا لديناny - 1 ≤ y ≤ ny مثال على تطبيق خاصية ارخميدس في اثبات نظريات أخرى \ : - اثبتي أن المتتابعة ( n ) تباعدية . من خاصية أرخميدس نعلم أن الاعداد الطبيية غير محدودة إذاً المتتابعة n غير محدود ه و ب التالي تكون تباعدية و من المعاكس الإيجابي ل نظرية أن « كل متتابعة محدودة هي تقاربية » إذا كل غير محدود ه تباعدي ه إذاً ( n ) تباعدية المصدر : introduction to real analysysis Robert G.Bartlr 4thedith ion نتيجة : المجموعة N محدودة من أسفل و لٰكن ليست محدودة من أعلى نتيجة : ل كل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي ل الإعداد الطبيعية حيث : x > 1 / n نتيجة : ل كل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد m ,n ينتمي ل الإعداد الصحيحة حيث : n > x > m نتيجة : ل كل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي ل الإعداد الصحيحة حيث : n + 1 > x ≥ n نتيجة : ل كل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي ل الإعداد الطبيعية حيث : x ≥ n > x - 1 نتيجة : ل كل x ينتمي للأعداد الحقيقية يوجد n ينتمي ل الإعداد الطبيعية : ب حيث x > n ≥ x - 1 مثال \ : ل كل x ينتمي للأعداد الحقيقية الموجبة يوجد n ينتمي ل الإعداد الطبيعية حيث : n ( n + 1 ) / 2 > x ≥ n ( n - 1 ) / 2 للعدد الحقيقي 2 * ( 2x + 4 ) √ من النتيجة يوجد عدد وحيد n ∈ N ب حيث \ : N + 1 > √ ( 2x + 4 ) + 1 / 2 ≥ n n + 1 / 2 ) ^2 > + 4 ≥ ( n - 1 / 2 ) ^2 ) أو n^2 + n > ≥ n^2 - n أو n ( n + 1 ) / 2 > x ≥ n ( n - 1 ) / 2 يوضح المثال بالأعلى أن كل عدد صحيح موجب n يستطيع أن يعرف فردياً كـ : n = ( i ( i - 1 ) ) / 2 + j ل كل i,j ∈ N ^ j ≤ i في مثل هذا المثال الفريد من نوع ه للعناصر الطبيعية يكون أحياناً مساعد ل فحص مجموعة الاعداد القابل ه للعد المصدر \ : الويكبيديا الإنجليزية Archimedean semi - group ترجمة و تنسيق طالبات قسم الرياضيات - جامعة الدمام ب إشراف الدكتورة فاطمة الرواجح مراجع زمر مرتبة نظرية الحقول