Red de Toda
La red de Toda, introducida por Morikazu Toda en 1967, es un modelo sencillo para un cristal unidimensional en física del estado sólido. Consiste en una cadena de partículas cuya interacción a primeros vecinos viene dada por las ecuaciones del movimiento

 

donde es el desplazamiento de la partícula -ésima de su posición de equilibrio, y es su momento (masa ).

Integrabilidad 
La red de Toda es un ejemplo prototípico de sistema completamente integrable con soluciones de solitones. Para ver esto se pueden utilizar las variables de Flaschka,

 

de forma que las ecuaciones de Toda resultan

 

Se puede comprobar que la red de Toda es equivalente a la ecuación de Lax

 

donde [L, P] = LP - PL es el conmutador de dos operadores. Los operadores L y P, el par de Lax del sistema, son operadores lineales en el espacio de Hilbert de sucesiones de cuadrados sumables 

 

La matriz tiene la propiedad de que sus valores propios son invariantes temporales. Estos valores propios constituyen integrales del movimiento independientes, por tanto la red de Toda es completamente integrable. En particular, la red de Toda se puede resolver a través de la transformada de dispersión inversa para el operador de Jacobi L. El principal resultado implica que para condiciones iniciales arbitrarias que decaen lo suficientemente rápido, estas se separan asintóticamente para t grandes en una suma de solitones y una parte dispersiva que decae.

Véase también 

 Par de Lax
 Biálgebra de Lie
 Grupo de Poisson-Lie

Referencias 

 
 
 
 Integrable Hamiltonians with Exponential Potential, Eugene Gutkin, Physica 16D (1985)  398-404.

Enlaces externos 

 E. W. Weisstein, Toda Lattice en ScienceWorld
 G. Teschl, The Toda Lattice

Mecánica hamiltoniana
Física del estado sólido
La red de Toda , introducida por Morikazu Toda en es un modelo sencillo para un cristal unidimensional en física del estado sólido . Consiste en una cadena de partículas cuya interacción a primeros vecinos viene dada por las ecuaciones del movimiento donde es el desplazamiento de la partícula -ésima de su posición de equilibrio , y es su momento ( masa ) . Integrabilidad La red de Toda es un ejemplo prototípico de sistema completamente integrable con soluciones de solitones . Para ver esto se pueden utilizar las variables de Flaschka , de forma que las ecuaciones de Toda resultan Se puede comprobar que la red de Toda es equivalente a la ecuación de Lax donde [ L , P ] = LP - PL es el conmutador de dos operadores . Los operadores L y P , el par de Lax del sistema , son operadores lineales en el espacio de Hilbert de sucesiones de cuadrados sumables La matriz tiene la propiedad de que sus valores propios son invariantes temporales . Estos valores propios constituyen integrales del movimiento independientes , por tanto la red de Toda es completamente integrable . En particular , la red de Toda se puede resolver a través de la transformada de dispersión inversa para el operador de Jacobi L. El principal resultado implica que para condiciones iniciales arbitrarias que decaen lo suficientemente rápido , estas se separan asintóticamente para t grandes en una suma de solitones y una parte dispersiva que decae . Vea se también Par de Lax Biálgebra de Lie Grupo de Poisson-Lie Referencias Integrable Hamiltonians with Exponential Potential , Eugene Gutkin , Physica Enlaces externos E. W. Weisstein , Toda Lattice en ScienceWorld G. Teschl , The Toda Lattice Mecánica hamiltoniana Física del estado sólido