Sistema lagrangiano
En matemáticas, un sistema lagrangiano es un par , que consiste en un fibrado suave  y una densidad lagrangiana , lo que hace que el operador diferencial de Euler-Lagrange actúe en secciones de {{math|Y → X}}.

En mecánica clásica, muchos sistemas dinámicos son sistemas lagrangianos. El espacio de configuración de dicho sistema lagrangiano es un haz de fibras  en el eje de tiempo sobre . En particular,  si un marco de referencia es fijo. En teoría clásica de campos, todos los sistemas de campo lo son de Lagrange.

Lagrangianos y operadores de Euler-Lagrange
Una densidad lagrangiana  (o, simplemente, un lagrangiano) de orden  se define como una -forma, , de variedades de jets orden   sobre .

Un lagrangiano  puede ser introducido como un elemento del bicomplejo variacional del álgebra graduada diferencial  de formas exteriores en la variedad de jets de . El operador cohomólogo de este bicomplejo contiene el operador variacional  que, actuando en , define el operador asociado de Euler-Lagrange .

En coordenadas
Dado el haz coordenado  en un haz de fibras  y las coordenadas adaptadas , , ) en las variedades de jets , un lagrangiano  y su operador de Euler-Lagrange se expresan como

 

 

donde

 

denotan las derivadas totales.

Por ejemplo, un lagrangiano de primer orden y su operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma

 

Ecuaciones de Euler-Lagrange
El núcleo de un operador de Euler-Lagrange proporciona las ecuaciones de Euler-Lagranges .

Cohomología y los teoremas de Noether
Una cohomología del bicomplejo variacional conduce a la llamada fórmula variacional

 

donde

 

es el diferencial total y  es un equivalente de Lepage de . El teorema de Noether y el segundo teorema de Noether son corolarios de esta fórmula variacional.

Variedades clasificadas
Extendido a variedades clasificadas, el bicomplejo variacional proporciona una descripción de los sistemas lagrangianos clasificados de variables pares e impares.

Formulaciones alternativas
De manera diferente, los operadores lagrangianos, los de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange se introducen en el marco del cálculo de variaciones.

Mecánica clásica
En la mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden en una variedad  o varios haces de fibras  sobre . Una solución de las ecuaciones de movimiento se llama movimiento''.

Véase también
 Mecánica lagrangiana
 Cálculo de variaciones
 Teorema de Noether
 Identidades de Noether
 Haz de jets
 Jet
 Bicomplejo variacional

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos
 

Operadores diferenciales
Cálculo de variaciones
Sistemas dinámicos
Mecánica lagrangiana
En matemáticas , un sistema lagrangiano es un par , que consiste en un fibrado suave y una densidad lagrangiana , lo que hace que el operador diferencial de Euler-Lagrange actúe en secciones de { { math|Y → X } } . En mecánica clásica , muchos sistemas dinámicos son sistemas lagrangianos . El espacio de configuración de dicho sistema lagrangiano es un haz de fibras en el eje de tiempo sobre \ . En particular , si un marco de referencia es fijo . En teoría clásica de campos , todos los sistemas de campo lo son de Lagrange . Lagrangianos y operadores de Euler-Lagrange Una densidad lagrangiana ( o , simplemente , un lagrangiano ) de orden se define como una -forma , , de variedades de jets orden sobre \ . Un lagrangiano puede ser introducido como un elemento del bicomplejo variacional del álgebra graduada diferencial de formas exteriores en la variedad de jets de \ . El operador cohomólogo de este bicomplejo contiene el operador variacional que , actuando en , define el operador asociado de Euler-Lagrange \ . En coordenadas Dado el haz coordenado en un haz de fibras y las coordenadas adaptadas , , ) en las variedades de jets , un lagrangiano y su operador de Euler-Lagrange se expresan como donde denotan las derivadas totales . Por ejemplo , un lagrangiano de primer orden y su operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma Ecuaciones de Euler-Lagrange El núcleo de un operador de Euler-Lagrange proporciona las ecuaciones de Euler-Lagranges \ . Cohomología y los teoremas de Noether Una cohomología del bicomplejo variacional conduce a la llamada fórmula variacional donde es el diferencial total y es un equivalente de Lepage de \ . El teorema de Noether y el segundo teorema de Noether son corolarios de esta fórmula variacional . Variedades clasificadas Extendido a variedades clasificadas , el bicomplejo variacional proporciona una descripción de los sistemas lagrangianos clasificados de variables pares e impares . Formulaciones alternativas De manera diferente , los operadores lagrangianos , los de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange se introducen en el marco del cálculo de variaciones . Mecánica clásica En la mecánica clásica , las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden en una variedad o varios haces de fibras sobre \ . Una solución de las ecuaciones de movimiento se llama movimiento ' ' . Vea se también Mecánica lagrangiana Cálculo de variaciones Teorema de Noether Identidades de Noether Haz de jets Jet Bicomplejo variacional Referencias Bibliografía Enlaces externos Operadores diferenciales Cálculo de variaciones Sistemas dinámicos Mecánica lagrangiana