Momento angular relativo específico
En mecánica celeste, el momento angular relativo específico  juega un papel fundamental en el análisis del problema de los dos cuerpos. Se puede demostrar que es un vector constante para una órbita dada bajo condiciones ideales. Esto esencialmente prueba la segunda ley de Kepler.

Se llama momento angular específico porque no es el momento angular real , pero el momento angular por masa. Por lo tanto, la palabra "específico" en este término es la abreviatura de "masa específica" o dividida por la masa:

 

Por lo tanto, la unidad SI es: m2·s−1.  denota la masa reducida .

Definición 
El momento angular relativo específico se define como el producto cruzado del vector de posición relativa  y el vector de velocidad relativa .

 

El vector  es siempre perpendicular al plano orbital de osculación instantánea, que coincide con la órbita perturbada instantánea. No sería necesariamente perpendicular a un plano medio que explicara muchos años de perturbaciones.

Como es habitual en física, la magnitud de la cantidad vectorial  se denota por :

Prueba de que el momento angular relativo específico es constante en condiciones ideales

Requisitos previos 
Lo siguiente solo es válido bajo las simplificaciones también aplicadas a la ley de la gravitación universal de Newton.

Uno mira dos masas de puntos  y , a la distancia  entre sí y con la fuerza gravitacional  actuando entre ellos. Esta fuerza actúa instantáneamente, a cualquier distancia y es la única fuerza presente. El sistema de coordenadas es inercial.

La simplificación adicional  se asume a continuación. Por lo tanto,  es el cuerpo central en el origen del sistema de coordenadas y  es el satélite que orbita a su alrededor. Ahora la masa reducida también es igual a y la ecuación del problema de dos cuerpos es

 

con el parámetro gravitatorio estándar  y el vector de distancia  que apunta desde el origen (cuerpo central) al satélite, debido a su masa despreciable.

Es importante no confundir el parámetro gravitatorio  con la masa reducida, que a veces también se denota con la misma letra .

Prueba 

Se obtiene el momento angular relativo específico multiplicando (producto cruzado) la ecuación del problema de dos cuerpos con el vector de distancia 

 

El producto cruzado de un vector consigo mismo (lado derecho) es 0. El lado izquierdo simplifica

 

de acuerdo con la regla de diferenciación del producto.

Esto significa que  es constante (cantidad conservada). Y este es exactamente el momento angular por masa del satélite

 

Este vector es perpendicular al plano de la órbita, la órbita permanece en este plano porque el momento angular es constante.

Se puede obtener una mayor comprensión del problema de los dos cuerpos con las definiciones del ángulo de trayectoria de vuelo  y la componente transversal y radial del vector de velocidad (ver ilustración a la derecha). Las siguientes tres fórmulas son todas posibilidades equivalentes para calcular el valor absoluto del vector de momento angular relativo específico

 
 
 

Donde  se llama semi-alojamiento lateral de la curva.

Las leyes de Kepler del movimiento planetario 

Las leyes del movimiento planetario de Kepler se pueden probar casi directamente con las relaciones anteriores.

Primera ley 
La prueba comienza de nuevo con la ecuación del problema de los dos cuerpos. Esta vez, uno lo multiplica (producto cruzado) con el momento angular relativo específico

 

El lado izquierdo es igual a la derivada  porque el momento angular es constante.

Después de algunos pasos, se convierte el lado derecho 

Establecer estas dos expresiones iguales e integradas en el tiempo conduce a (con la constante de integración )

 

Ahora esta ecuación se multiplica (producto punto) con   reorganizado

 
 

Finalmente uno obtiene la ecuación de la órbita

 

que es la ecuación de una sección cónica en coordenadas polares con semi-alojamiento lateral   y excentricidad . Esto prueba la primera ley de Kepler, en palabras:La órbita de un planeta es una elipse con el Sol en un foco.

—Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis,

Segunda ley 
La segunda ley se deduce instantáneamente de la segunda de las tres ecuaciones para calcular el valor absoluto del momento angular relativo específico.

Si uno conecta esta forma de la ecuación  con la relación  para el área de un sector con un ángulo pequeño infinitesimal  (triángulo con un lado muy pequeño), la ecuación

 

sale, esa es la formulación matemática de las palabras:La línea que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

—Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis,

Tercera ley 
La tercera de Kepler es una consecuencia directa de la segunda ley. La integración de más de una revolución da el período orbital

 

para el área  de una elipse. Reemplazando el eje semi-menor con  y el momento angular relativo específico con  se obtiene

 

Existe, pues, una relación entre el eje semieje mayor y el período orbital de un satélite que puede reducirse a una constante del cuerpo central. Esto es lo mismo que la famosa formulación de la ley:El cuadrado del período de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.

— Johannes Kepler, Harmonices Mundi libri V,

Véase también 

 Energía orbital específica, otra cantidad conservada en el problema de los dos cuerpos.

Notas

Referencias 

Astrodinámica
Órbitas
En mecánica celeste , el momento angular relativo específico juega un papel fundamental en el análisis del problema de los dos cuerpos . Se puede demostrar que es un vector constante para una órbita dada bajo condiciones ideales . Esto esencialmente prueba la segunda ley de Kepler . Se llama momento angular específico porque no es el momento angular real , pero el momento angular por masa . Por lo tanto , la palabra " específico " en este término es la abreviatura de " masa específica " o dividida por la masa : Por lo tanto , la unidad SI es : m2·s−1 . denota la masa reducida \ . Definición El momento angular relativo específico se define como el producto cruzado del vector de posición relativa y el vector de velocidad relativa \ . El vector es siempre perpendicular al plano orbital de osculación instantánea , que coincide con la órbita perturbada instantánea . No sería necesariamente perpendicular a un plano medio que explicara muchos años de perturbaciones . Como es habitual en física , la magnitud de la cantidad vectorial se denota por \ : Prueba de que el momento angular relativo específico es constante en condiciones ideales Requisitos previos Lo siguiente solo es válido bajo las simplificaciones también aplicadas a la ley de la gravitación universal de Newton . Uno mira dos masas de puntos y , a la distancia entre sí y con la fuerza gravitacional actuando entre ellos . Esta fuerza actúa instantáneamente , a cualquier distancia y es la única fuerza presente . El sistema de coordenadas es inercial . La simplificación adicional se asume a continuación . Por lo tanto , es el cuerpo central en el origen del sistema de coordenadas y es el satélite que orbita a su alrededor . Ahora la masa reducida también es igual a y la ecuación del problema de dos cuerpos es con el parámetro gravitatorio estándar y el vector de distancia que apunta desde el origen ( cuerpo central ) al satélite , debido a su masa despreciable . Es importante no confundir el parámetro gravitatorio con la masa reducida , que a veces también se denota con la misma letra \ . Prueba Se obtiene el momento angular relativo específico multiplicando ( producto cruzado ) la ecuación del problema de dos cuerpos con el vector de distancia El producto cruzado de un vector consigo mismo ( lado derecho ) es El lado izquierdo simplifica de acuerdo con la regla de diferenciación del producto . Esto significa que es constante ( cantidad conservada ) . Y este es exactamente el momento angular por masa del satélite Este vector es perpendicular al plano de la órbita , la órbita permanece en este plano porque el momento angular es constante . Se puede obtener una mayor comprensión del problema de los dos cuerpos con las definiciones del ángulo de trayectoria de vuelo y la componente transversal y radial del vector de velocidad ( ver ilustración a la derecha ) . Las siguientes tres fórmulas son todas posibilidades equivalentes para calcular el valor absoluto del vector de momento angular relativo específico Donde se llama semi-alojamiento lateral de la curva . Las leyes de Kepler del movimiento planetario Las leyes del movimiento planetario de Kepler se pueden probar casi directamente con las relaciones anteriores . Primera ley La prueba comienza de nuevo con la ecuación del problema de los dos cuerpos . Esta vez , uno lo multiplica ( producto cruzado ) con el momento angular relativo específico El lado izquierdo es igual a la derivada porque el momento angular es constante . Después de algunos pasos , se convierte el lado derecho Establecer estas dos expresiones iguales e integradas en el tiempo conduce a ( con la constante de integración ) Ahora esta ecuación se multiplica ( producto punto ) con reorganizado Finalmente uno obtiene la ecuación de la órbita que es la ecuación de una sección cónica en coordenadas polares con semi-alojamiento lateral y excentricidad \ . Esto prueba la primera ley de Kepler , en palabras:La órbita de un planeta es una elipse con el Sol en un foco . —Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis , Segunda ley La segunda ley se deduce instantáneamente de la segunda de las tres ecuaciones para calcular el valor absoluto del momento angular relativo específico . Si uno conecta esta forma de la ecuación con la relación para el área de un sector con un ángulo pequeño infinitesimal ( triángulo con un lado muy pequeño ) , la ecuación sale , esa es la formulación matemática de las palabras:La línea que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales . —Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis , Tercera ley La tercera de Kepler es una consecuencia directa de la segunda ley . La integración de más de una revolución da el período orbital para el área de una elipse . Reemplazando el eje semi-menor con y el momento angular relativo específico con se obtiene Existe , pues , una relación entre el eje semieje mayor y el período orbital de un satélite que puede reducir se a una constante del cuerpo central . Esto es lo mismo que la famosa formulación de la ley:El cuadrado del período de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol . — Johannes Kepler , Harmonices Mundi libri V , Vea se también Energía orbital específica , otra cantidad conservada en el problema de los dos cuerpos . Notas Referencias Astrodinámica Órbitas