Cuaterna armónica
En geometría proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna armónica, cuando

Como se explica más adelante, las cuaternas armónicas están íntimamente ligadas con las propiedades asociadas a las curvas cónicas y sus tangentes, así como a las relaciones entre las rectas que forman un cuadrángulo completo.

Propiedad fundamental:
Las cuaternas armónicas de una figura poseen la propiedad de seguir siéndolo en las figuras obtenidas como proyección de la figura original.

Historia 

Las cuaternas armónicas se conocen al menos desde . En la época del matemático griego Apolonio, este las incluyó en la proposición 34 del libro I de las Cónicas de Apolonio, relacionando las distancias entre: un punto exterior a una cónica; los dos puntos de corte generados en la cónica por una recta que pasa por su centro y el punto exterior dado; y la intersección con esta recta de la recta que pasa por las dos tangentes a la cónica desde el punto exterior. El desarrollo inicial de la geometría proyectiva por parte del matemático francés Girard Desargues (1591-1661) en , se vio culminado en el  por la formulación rigurosa de las propiedades de esta rama de la matemática.

En este contexto, las cuaternas armónicas tuvieron un papel relevante, por cuanto intervinieron en la definición de la relación de proyectividad:
 Según Michel Chasles (1793-1880), dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas anarmónicamente (es decir, basta que se conserven las razones dobles entre cuaternas de puntos correspondientes de las dos figuras, pero no tienen por qué valer -1).
 Según Karl von Staudt (1798-1867), dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas armónicamente (es decir, deben conservarse las cuaternas armónicas de una figura en la otra).
 Según Jean-Victor Poncelet (1788-1867), para que dos figuras sean proyectivas entre sí, basta con que pueda obtenerse una de la otra por medio de una secuencia finita de proyecciones y secciones.
Posteriormente se demostró que las tres definiciones son equivalentes, de forma que se puede afirmar que dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas armónica o inarmónicamente o puede deducirse la una de la otra por proyecciones y secciones.

En el , siguiendo la senda abierta por Staudt, matemáticos como John Wesley Young (1879-1932) o  Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003) completaron las definiciones existentes, dando otro enfoque a la idea de conjugado armónico a través del concepto de un cuadrángulo completo.

Propiedades generales 

El punto armónico conjugado de una terna ordenada de puntos en la recta proyectiva real se puede definir mediante la siguiente construcción:
(Véase más adelante:Construcciones gráficas de una cuaterna armónica)

 Dados tres puntos colineales A, B y C, se va determinar el punto D, que completa la cuaterna armónica del punto C respecto al segmento AB: 
 Se toma un punto cualquiera L que no se encuentre en la recta AC.
 Se trazan los segmentos LA y LB.
 Se traza un segmento cualquiera desde C, que corte a LA y LB (en los puntos M y N respectivamente).
 Se trazan los segmentos AN y BM , que se cortan en K.
 La prolongación del segmento LK hasta cortar el segmento AC, determina el punto D, denominado el conjugado armónico de C con respecto a A y B.

La posición del punto D no depende de qué punto se tome inicialmente como L, ni de qué línea se trace desde C para obtener M y N. Este hecho se deduce del Teorema de Desargues.

En la geometría proyectiva real, la conjugación armónica también se puede definir en términos de la razón doble como .

La construcción es reversible, de forma que si se conociera D (situado dentro de AB) en vez de C (situado fuera de AB), bastaría elegir como antes un punto L, pero ahora unirlo con A, D y B. A continuación, bastaría con lanzar un segmento cualquiera desde A que cortase a LD en K y a LB en N. Seguidamente, se prolonga el segmento BK hasta cortar el segmento LA en M. El corte de la recta MN con la recta AB, determina la posición del punto buscado C.

Criterio de la razón doble 
Los cuatro puntos a veces se denominan un rango armónico (sobre la línea proyectiva real), ya que se verifica que D siempre divide al segmento AB internamente en la misma proporción que C divide AB externamente. Es decir:

 

Si a estos segmentos se les dota de la interpretación métrica ordinaria de los números reales, tendrán su signo (positivo o negativo) y formarán una doble proporción, conocida como razón doble (o a veces también como razón cruzada):

 

por lo que las distancias de una cuaterna armónica de puntos se caracterizan por un valor de −1. En consecuencia, se establece que:

 

En general, el valor de una razón doble no es único, ya que depende del orden de selección de los segmentos (y hay seis selecciones posibles). Pero para un rango armónico en particular, hay solo tres valores de la razón doble:  ya que −1 es autoinverso, por lo que al intercambiar los dos últimos puntos se obtienen cada uno de estos valores, pero no se produce ningún valor nuevo, y se conoce clásicamente como proporción armónica.

Cada uno de los dos términos de una razón doble, está formado por una razón simple: dados los puntos  y  en una línea afín, la razón simple de un punto  viene dada por
 
Téngase en cuenta que cuando , entonces  es negativo; y que es positivo cuando  queda fuera del intervalo.

La expresión  es una relación entre razones simples, lo que constituye una razón doble.

Si la razón doble vale −1, esto significa que , y por lo tanto,  y  son conjugados armónicos con respecto al segmento . En consecuencia, ambas razones simples deben ser iguales, y sus signos opuestos.

La división armónica de un segmento de línea es un caso especial de la definición de la circunferencia de Apolonio.

En algunos textos escolares, la determinación de una cuaterna armónica se denomina "división armónica".

Conjugado del punto medio 

Cuando  es el punto medio del segmento , entonces
 
Por el criterio de la razón doble, el conjugado armónico de  será  cuando . Pero no hay una solución finita para  en la recta que pasa a través de . Sin embargo,
 
lo que motiva la inclusión de un punto del infinito en la línea proyectiva. Este punto del infinito sirve como el conjugado armónico del punto medio  de un segmento .

Propiedades geométricas 
Sus propiedades más importantes, deducidas analíticamente, son:
 En toda cuaterna de razón doble -1, el primer par de puntos separa o divide armónicamente al segundo par (esto implica que un punto del segundo par está dentro del primer par, y que el otro queda fuera).
 Si dos puntos  y  separan o dividen armónicamente a dos puntos  y , estos también dividen armónicamente a aquellos.
 Si dos puntos  y  separan o dividen armónicamente a dos puntos  y , el semisegmento  determinado por el primer par de puntos, es la media proporcional entre los segmentos  y . En consecuencia, . Análogamente, si se verifica esta condición,  y  son conjugados armónicos de  y . (Relación de Newton)
 El conjugado armónico del punto del infinito respecto a dos puntos  y  es el punto medio  del segmento .
 Las cuaternas formadas por cuatro puntos conjugados armónicos, solo tienen tres valores posibles: , y  (es decir, si , entonces las razones dobles de las cuaternas  o  -o en cualquier otro orden que se dispongan- valen ,  o ).

Propiedades aritméticas

Cálculo de cuaternas por ordenador 
Las fórmulas para calcular la longitud del segmento  cuando se conocen las ordenadas del segmento  y del tercer punto de la cuaterna  , vienen dadas por las fórmulas:
 , si el denominador es  ( está a la derecha de )
 , si el denominador es  ( está a la izquierda de )
Fórmula explícita directa:
Si se parte de los valores numéricos de las posiciones de los puntos sobre la recta , se tiene que siendo conocidos tres de ellos , el cuarto valor  se obtiene por la expresión explícita:
 
Cuando el denominador , entonces .
Fórmula explícita indirecta:
Otra forma de obtener  es mediante el cálculo de resultados intermedios auxiliares:
 Sean   y  .   Entonces,  
En este caso, la fórmula se vale de la relación de polaridad entre  y  respecto a la circunferencia que pasa por  y  y con centro en su punto medio.

Fórmula uniforme 
Si se introduce el segmento  en el eje de coordenadas  de modo que , entonces se obtiene la fórmula uniforme:
 
Ejemplos de cuaternas armónicas:

Relación con la media armónica de dos números 
La fórmula uniforme (que relaciona las cantidades armónicas  y  respecto al segmento ), también se puede expresar la manera siguiente:
 
De aquí se deduce que la media armónica de las dos coordenadas  de una cuaterna uniforme, es igual a 1.

Otras relaciones 
También se prueba fácilmente que una secuencia de cuatro puntos alineados  está en división armónica si y solo si se verifican las relaciones siguientes:

 Relación de Newton: , donde  es el punto medio de ;
 Relación de Mac-Laurin: , donde  es el punto medio de .

Generalización 

Se tiene que:
Términos tales como entre, dentro, fuera, longitudes, distancias, que son típicos de un cuerpo dispuesto con una métrica, no se requieren en esta definición. En particular, la posición armónica también se define para la línea afín/proyectiva sobre los números complejos o un campo finito.

La disposición anterior () también es posible sobre cualquier cuerpo en el caso afín, por lo que también se conserva la relación .

Si se completa la recta afín proyectiva con un punto del infinito representado por el símbolo , también es posible establecer la relación anterior entre ; y por lo tanto, los cuatro puntos  forman una cuaterna armónica, es decir, .

El significado de la disposición armónica de cuatro puntos colineales es que siempre existe una involución proyectiva de la recta, que fija dos de los cuatro puntos e invierte los otros dos. En la ilustración adjunta, la aplicación lineal que fija  y asigna a  el vector  crea dicha involución. En coordenadas no homogéneas, se tiene que:  (con simetría en el punto cero). Es decir:  son fijos, con  y  intercambiados.

Por lo general se aplica:
 La razón doble armónica se conserva en las aplicaciones involutivas. Así, dada la cuaterna armónica , las cuaternas  y  también son armónicas.   
 El conjugado armónico de tres puntos de una afinidad, donde uno de ellos es el punto medio de los otros dos, es siempre el punto del infinito .
 La disposición armónica de cuatro puntos de una recta proyectiva es análoga al concepto del centro de dos puntos en una relación de afinidad.

Otros pares de puntos armónicos
 Para , existe un valor  tal que la razón doble de los cuatro puntos es .
 Si , entonces: . Es decir, la configuración armónica depende solo de los dos pares de puntos, y no de su disposición.

Construcciones gráficas de una cuaterna armónica 
En todos los casos considerados, se supone que el punto  cuyo conjugado armónico se quiere calcular respecto al segmento , es un punto interior del citado segmento. En caso contrario, cuando el punto se halle en el exterior, basta realizar las operaciones geométricas en el orden contrario al descrito.

Proyectivas  

Dados tres puntos  sobre una línea recta del plano proyectivo, entonces la cuaterna armónica  puede ser construida como sigue:
Con un punto auxiliar P1
 Seleccionar un punto punto cualquiera  exterior a la recta .
 Trazar la línea .
 Seleccionar un punto  en la línea .
 La línea recta  cruza la línea  en un punto . La recta  interseca la recta  en un punto .
La recta  cruza la recta  en el cuarto punto armónico .

Con un punto impropio auxiliar 
Elegir una dirección cualquiera distinta a la de la recta , y trazar rectas paralelas según la dirección elegida por los puntos ,  y  
 Seleccionar un punto  en la recta orientada que pasa por .
 La línea recta  cruza la recta orientada que pasa por  en un punto . La recta  interseca la recta orientada que pasa por  en un punto .
La recta  cruza la recta  en el cuarto punto armónico, .

Caso especial
Cuando el punto  es el punto medio entre  y  (denominado  en el dibujo) entonces el punto  se convierte en un punto del infinito. Si el punto auxiliar elegido es un punto impropio, la cuaterna  forma un paralelogramo. Cuando se elige un punto auxiliar definido , la cuaterna anterior se convierte se convierte en un trapecio.

Mediante el Teorema de Tales 

Dados el segmento  y el punto , para determinar el conjugado armónico  del punto respecto al segmento se puede usar la construcción siguiente:
 El punto  se elige arbitrariamente; y las líneas rectas  y  son paralelas.
El punto  se determina haciendo pasar una recta por los puntos  y .
Desde  se localiza , de forma que  y  tengan la misma longitud.
 El punto  se obtiene por la intersección de la rectas  y .

Si se dispone del punto , el procedimiento es análogo, pero en orden inverso.

Si se desea que , entonces se debe elegir el punto  de modo que se cumpla .  se obtiene como la intersección de la rectas  .

Con las bisectrices de un triángulo 

Este procedimiento sirve para determinar un par de puntos cualquiera  que formen una cuaterna armónica respecto al segmento .  

Sean  los vértices de un triángulo no isósceles. La bisectriz interior y la bisectriz exterior del ángulo que se forma en , generan los puntos  sobre la recta , que completan una cuaterna armónica respecto al segmento . Si se desea que los segmentos guarden la proporción , entonces basta con localizar el vértice  utilizando distancias proporcionales a estos parámetros. En este caso, la construcción se vale de una propiedad de la circunferencia de Apolonio. Debe tenerse en cuenta que si ,  se convierte en un punto impropio.

Mediante una circunferencia 

Otro método para obtener un cuarto punto armónico  de la terna colineal  se sirve de una construcción mediante regla y compás:
Trazar la circunferencia  que pasa por , cuyo centro  es el centro del segmento .
 En , trazar la línea recta  perpendicular a , que corta la circunferencia  en el punto .
Construir la recta tangente  a la circunferencia  en el punto  
La recta  interseca a  en , el conjugado armónico buscado.
Si  se acerca a uno de los puntos  o , también lo hace . En cambio, si , entonces  y  se convierte en el punto del infinito de la recta .

Si los puntos dados son , la construcción es reversible. En este supuesto, para obtener  basta con determinar la tangente a la circunferencia desde , y proyectar el punto  sobre la recta .

 Demostración 
Para comprobar que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica (es decir, que ), se parte de la relación de semejanza entre los triángulos  y . La razón doble es de forma automática -1, dado que  está dentro del segmento , y  está fuera. A partir de la relación de semejanza anterior, se deduce la ecuación:
  por la proporcionalidad de los lados de los dos triángulos semejantes, y en consecuencia:
 , donde  es el radio del círculo.
Esta ecuación y el procedimiento de diseño (según la imagen) coinciden con la definición de una transformación de inversión, lo que implica que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica (cuando se usan números complejos, entonces ).

 Demostración 
También se puede demostrar que una cuaterna armónica guarda una relación de inversión según la construcción anterior, partiendo de la primera condición (cuaterna armónica) y comprobando si se cumple la segunda (relación de inversión). Para simplificar la expresión de las ecuaciones, se definen las equivalencias siguientes:
;   ;   y   
 es la longitud total de la cuaterna;  es la del segmento interior; y  el radio de la circunferencia que pasa por  y . La condición de conjugados armónicos, implica que:

A partir de esta condición, se va a calcular el valor de , que es el producto de las distancias , que a su vez determina la relación de polaridad de los puntos  y  respecto a la circunferencia  con centro en  y que pasa por  y .
Despejando  de la relación armónica: 

Una vez despejado el valor de , se calcula el producto de  (es decir, 

Tal como se quería comprobar, el producto calculado es , lo que confirma que los cuatro puntos armónicos guardan una relación de inversión.

Cuaternas y polaridad

El método descrito aquí para la construcción del cuarto punto armónico es un caso especial afín de la siguiente declaración:

Relación con otros temas matemáticos

Cónicas proyectivas 

Una cónica en el plano proyectivo es una curva C que tiene la siguiente propiedad:
Si P es un punto que no está en C, y si una recta variable que pasa por P se encuentra con C en los puntos A y B, entonces los distintos conjugados armónicos de P con respecto a distintas parejas de puntos A y B, se disponen en un segmento rectilíneo. El punto P se llama el polo de esa recta de conjugados armónicos, y esta recta se llama la recta polar de P con respecto a la cónica. Véase el artículo recta polar para más detalles.

Inversión 

En el caso en que la cónica sea un círculo, considerando los diámetros extendidos del círculo, se tiene que los conjugados armónicos con respecto al círculo son los puntos de inversión respecto al círculo dado. Este hecho se desprende de uno de los teoremas de Smogorzhevski:
 Si las circunferencias k y q son mutuamente ortogonales, entonces una línea recta que pasa por el centro de k y que interseca q, lo hace en dos puntos conjugados armónicos con los puntos de intersección de dicha recta con k. (Ver el epígrafe 'Circunferencias ortogonales' más adelante)

Recta de Euler 

En geometría euclidiana se demuestra que en cualquier triángulo, el centro de gravedad G, el ortocentro H, el centro del círculo circunscrito Ω y el centro de la circunferencia de los nueve puntos E, están los cuatro alineados en una línea llamada recta de Euler del triángulo. Estos cuatro puntos forman una cuaterna armónica (en el orden dado). Este hecho es el resultado de que H tiene por imagen Ω, y Ω tiene por imagen E mediante la misma homotecia de centro G y de relación -1/2.

Circunferencias ortogonales 

Sea (C) una circunferencia y M y M’ dos puntos de manera que la línea (MM’) interseque la circunferencia (C) en dos puntos A y B distintos. Entonces, la circunferencia (C’) de diámetro [MM’] es ortogonal a (C) si y solo si [MM’] divide armónicamente [AB].

Entonces se dice que M y M’ están conjugados con respecto a la circunferencia (C).

Demostración:

Sean O y O’, los centros de (C) y (C’), con O’ en el punto medio de [MM’]. Sean R y R’ sus radios. De acuerdo con la expresión de la «potencia de un punto»:

Las dos circunferencias son ortogonales si y solo si O’O2 = R2 + R’2 (ángulo recto en el punto de contacto), y si y solamente si:

Deducimos que las dos circunferencias son ortogonales si y solo si la división es armónica según la relación de Newton.

Dos puntos M y M’ se llamarán conjugados por relación con una circunferencia (C) si uno de ellos es interior a (C) y el otro exterior y la circunferencia de diámetro [MM] es ortogonal a (C).

Propiedad:

Dos puntos son conjugados con respecto a una circunferencia de centro O si y solo si:

Siendo O’ el punto medio de [MM’], y por lo tanto el centro de la nueva circunferencia, y T un punto de intersección entre las dos circunferencias, entonces OT2 = R2. Usando esto se obtiene:

 
de ahí el resultado.

El conjunto de conjugados de un punto con respecto a una circunferencia es la recta polar de este punto con respecto a esta circunferencia.

Tétradas de Galois 
En la geometría de Galois sobre un cuerpo finito GF(q) una recta tiene q+1 puntos, donde =(1,0). En esta recta, cuatro puntos forman una tétrada armónica cuando dos de ellos distan armónicamente de los otros dos. La condición
 
caracteriza tétradas armónicas. La atención a estas tétradas llevó a Jean Dieudonné a su delimitación de algunos isomorfismos accidentales de los grupos proyectivos lineales PGL (2, q) para q = 5, 7 y 9.

Si q=2n, entonces el conjugado armónico de C es él mismo.

Relación entre conjugado armónico y división áurea 
Sea CD un segmento y E el punto división áurea del mismo. Sea F el conjugado armónico de E respecto de CD y G el punto división áurea del segmento FE (es importante el orden). Entonces el segmento FE tiene tamaño doble de CD y el punto G es simétrico de E respecto de D.

Conjugados armónicos proyectivos iterados y la proporción áurea 
Sean  tres puntos diferentes en una recta proyectiva real.

Considérese la secuencia infinita de puntos , donde  es el conjugado armónico de  con respecto a  para .

Entonces, cuando la sucesión de los  es convergente, el límite ; donde  es el número áureo.

Este resultado es independiente de los tres puntos  que se elijan como comienzo de la serie, siempre que la sucesión obtenida sea convergente.

Demostración:

Para simplificar el cálculo del límite, se puede establecer la condición de que los términos de la serie formen una progresión geométrica, es decir, que . Por lo tanto, cada cuatro puntos consecutivos de la serie, por ser conjugados armónicos, deben cumplir la condición:

En consecuencia, se obtiene el polinomio , con las soluciones  y 

Caso 
Tal como se ha calculado, el valor  permite que los términos de la serie tomen la forma . Como el valor absoluto de , entonces la serie de  es convergente y tiende a cero.

Sustituyendo estos términos en la expresón del límite, se tiene que:

Esta condición también se cumple en el resto de sucesiones de  convergentes, teniendo en cuenta que la influencia de los valores iniciales acaba desapareciendo tras una serie de iteraciones.  

Caso 
En el caso de , su valor absoluto , por lo que la serie  no es convergente. Como en el caso anterior,
sustituyendo estos términos en la expresón del límite, se tiene que:

No se ha probado que la sucesión Pn pueda ser convergente, habida cuenta de que P0, P1, P2 determinan el resto de la sucesión. Podría ocurrir que no existan valores iniciales que hagan la sucesión convergente y mucho menos que esta sea una progresión geométrica.

Véase también 
 Razón simple
 Razón doble

Referencias

Bibliografía 
 Original de Robert Lachlan (1893), en An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, en Internet Archive.
 Bertrand Russell (1903) Principles of Mathematics, página 384. (). Original de Bertrand Russell (1903) Principles of Mathematics, en Internet Archive.

Enlaces externos 
 Juan Carlos Álvarez Paiva (2000) Projective Geometry, see Chapter 2: The Real Projective Plane, section 3: Harmonic quadruples and von Staudt's theorem.

Geometría proyectiva
En geometría proyectiva , se dice que cuatro puntos ordenados A , D , B y C situados sobre una misma recta , forman una cuaterna armónica , cuando Como se explica más adelante , las cuaternas armónicas están íntimamente ligadas con las propiedades asociadas a las curvas cónicas y sus tangentes , así como a las relaciones entre las rectas que forman un cuadrángulo completo . Propiedad fundamental : Las cuaternas armónicas de una figura poseen la propiedad de seguir siendo lo en las figuras obtenidas como proyección de la figura original . Historia Las cuaternas armónicas se conocen al menos desde \ . En la época del matemático griego Apolonio , este las incluyó en la proposicióndel libro I de las Cónicas de Apolonio , relacionando las distancias entre : un punto exterior a una cónica ; los dos puntos de corte generados en la cónica por una recta que pasa por su centro y el punto exterior dado ; y la intersección con esta recta de la recta que pasa por las dos tangentes a la cónica desde el punto exterior . El desarrollo inicial de la geometría proyectiva por parte del matemático francés Girard Desarguesen , se vio culminado en el por la formulación rigurosa de las propiedades de esta rama de la matemática . En este contexto , las cuaternas armónicas tuvieron un papel relevante , por cuanto intervinieron en la definición de la relación de proyectividad : Según Michel Chasles dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas anarmónicamente ( es decir , basta que se conserven las razones dobles entre cuaternas de puntos correspondientes de las dos figuras , pero no tienen por qué valer Según Karl von Staudt dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas armónicamente ( es decir , deben conservar se las cuaternas armónicas de una figura en la otra ) . Según Jean-Victor Poncelet para que dos figuras sean proyectivas entre sí , basta con que pueda obtener se una de la otra por medio de una secuencia finita de proyecciones y secciones . Posteriormente se demostró que las tres definiciones son equivalentes , de forma que se puede afirmar que dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas armónica o inarmónicamente o puede deducir se la una de la otra por proyecciones y secciones . En el , siguiendo la senda abierta por Staudt , matemáticos como John Wesley Youngo Harold Scott MacDonald Coxetercompletaron las definiciones existentes , dando otro enfoque a la idea de conjugado armónico a través del concepto de un cuadrángulo completo . Propiedades generales El punto armónico conjugado de una terna ordenada de puntos en la recta proyectiva real se puede definir mediante la siguiente construcción : ( Vea se más adelante:Construcciones gráficas de una cuaterna armónica ) Dados tres puntos colineales A , B y C , se va determinar el punto D , que completa la cuaterna armónica del punto C respecto al segmento AB : Se toma un punto cualquiera L que no se encuentre en la recta AC . Se trazan los segmentos LA y LB . Se traza un segmento cualquiera desde C , que corte a LA y LB ( en los puntos M y N respectivamente ) . Se trazan los segmentos AN y BM , que se cortan en K. La prolongación del segmento LK hasta cortar el segmento AC , determina el punto D , denominado el conjugado armónico de C con respecto a A y B. La posición del punto D no depende de qué punto se tome inicialmente como L , ni de qué línea se trace desde C para obtener M y N . Este hecho se deduce del Teorema de Desargues . En la geometría proyectiva real , la conjugación armónica también se puede definir en términos de la razón doble como . La construcción es reversible , de forma que si se conociera D ( situado dentro de AB ) en vez de C ( situado fuera de AB ) , bastaría elegir como antes un punto L , pero ahora unir lo con A , D y B. A continuación , bastaría con lanzar un segmento cualquiera desde A que cortase a LD en K y a LB en N. Seguidamente , se prolonga el segmento BK hasta cortar el segmento LA en M. El corte de la recta MN con la recta AB , determina la posición del punto buscado C . Criterio de la razón doble Los cuatro puntos a veces se denominan un rango armónico ( sobre la línea proyectiva real ) , ya que se verifica que D siempre divide al segmento AB internamente en la misma proporción que C divide AB externamente . Es decir : Si a estos segmentos se les dota de la interpretación métrica ordinaria de los números reales , tendrán su signo ( positivo o negativo ) y formarán una doble proporción , conocida como razón doble ( o a veces también como razón cruzada ) : por lo que las distancias de una cuaterna armónica de puntos se caracterizan por un valor de −1 . En consecuencia , se establece que : En general , el valor de una razón doble no es único , ya que depende del orden de selección de los segmentos ( y hay seis selecciones posibles ) . Pero para un rango armónico en particular , hay solo tres valores de la razón doble : ya que −1 es autoinverso , por lo que al intercambiar los dos últimos puntos se obtienen cada uno de estos valores , pero no se produce ningún valor nuevo , y se conoce clásicamente como proporción armónica . Cada uno de los dos términos de una razón doble , está formado por una razón simple : dados los puntos y en una línea afín , la razón simple de un punto viene dada por Téngase en cuenta que cuando , entonces es negativo ; y que es positivo cuando queda fuera del intervalo . La expresión es una relación entre razones simples , lo que constituye una razón doble . Si la razón doble vale −1 , esto significa que , y por lo tanto , y son conjugados armónicos con respecto al segmento \ . En consecuencia , ambas razones simples deben ser iguales , y sus signos opuestos . La división armónica de un segmento de línea es un caso especial de la definición de la circunferencia de Apolonio . En algunos textos escolares , la determinación de una cuaterna armónica se denomina " división armónica " . Conjugado del punto medio Cuando es el punto medio del segmento , entonces Por el criterio de la razón doble , el conjugado armónico de será cuando \ . Pero no hay una solución finita para en la recta que pasa a través de \ . Sin embargo , lo que motiva la inclusión de un punto del infinito en la línea proyectiva . Este punto del infinito sirve como el conjugado armónico del punto medio de un segmento \ . Propiedades geométricas Sus propiedades más importantes , deducidas analíticamente , son : En toda cuaterna de razón doble el primer par de puntos separa o divide armónicamente al segundo par ( esto implica que un punto del segundo par está dentro del primer par , y que el otro queda fuera ) . Si dos puntos y separan o dividen armónicamente a dos puntos y , estos también dividen armónicamente a aquellos . Si dos puntos y separan o dividen armónicamente a dos puntos y , el semisegmento determinado por el primer par de puntos , es la media proporcional entre los segmentos y \ . En consecuencia , \ . Análogamente , si se verifica esta condición , y son conjugados armónicos de y \ . ( Relación de Newton ) El conjugado armónico del punto del infinito respecto a dos puntos y es el punto medio del segmento \ . Las cuaternas formadas por cuatro puntos conjugados armónicos , solo tienen tres valores posibles : , y ( es decir , si , entonces las razones dobles de las cuaternas o -o en cualquier otro orden que se dispongan- valen , o ) . Propiedades aritméticas Cálculo de cuaternas por ordenador Las fórmulas para calcular la longitud del segmento cuando se conocen las ordenadas del segmento y del tercer punto de la cuaterna , vienen dadas por las fórmulas : , si el denominador es ( está a la derecha de ) , si el denominador es ( está a la izquierda de ) Fórmula explícita directa : Si se parte de los valores numéricos de las posiciones de los puntos sobre la recta , se tiene que siendo conocidos tres de ellos , el cuarto valor se obtiene por la expresión explícita : Cuando el denominador , entonces \ . Fórmula explícita indirecta : Otra forma de obtener es mediante el cálculo de resultados intermedios auxiliares : Sean y . Entonces , En este caso , la fórmula se vale de la relación de polaridad entre y respecto a la circunferencia que pasa por y y con centro en su punto medio . Fórmula uniforme Si se introduce el segmento en el eje de coordenadas de modo que , entonces se obtiene la fórmula uniforme : Ejemplos de cuaternas armónicas : Relación con la media armónica de dos números La fórmula uniforme ( que relaciona las cantidades armónicas y respecto al segmento ) , también se puede expresar la manera siguiente : De aquí se deduce que la media armónica de las dos coordenadas de una cuaterna uniforme , es igual a Otras relaciones También se prueba fácilmente que una secuencia de cuatro puntos alineados está en división armónica si y solo si se verifican las relaciones siguientes : Relación de Newton : , donde es el punto medio de ; Relación de Mac-Laurin : , donde es el punto medio de \ . Generalización Se tiene que : Términos tales como entre , dentro , fuera , longitudes , distancias , que son típicos de un cuerpo dispuesto con una métrica , no se requieren en esta definición . En particular , la posición armónica también se define para la línea afín/proyectiva sobre los números complejos o un campo finito . La disposición anterior ( ) también es posible sobre cualquier cuerpo en el caso afín , por lo que también se conserva la relación \ . Si se completa la recta afín proyectiva con un punto del infinito representado por el símbolo , también es posible establecer la relación anterior entre ; y por lo tanto , los cuatro puntos forman una cuaterna armónica , es decir , \ . El significado de la disposición armónica de cuatro puntos colineales es que siempre existe una involución proyectiva de la recta , que fija dos de los cuatro puntos e invierte los otros dos . En la ilustración adjunta , la aplicación lineal que fija y asigna a el vector crea dicha involución . En coordenadas no homogéneas , se tiene que : ( con simetría en el punto cero ) . Es decir : son fijos , con y intercambiados . Por lo general se aplica : La razón doble armónica se conserva en las aplicaciones involutivas . Así , dada la cuaterna armónica , las cuaternas y también son armónicas . El conjugado armónico de tres puntos de una afinidad , donde uno de ellos es el punto medio de los otros dos , es siempre el punto del infinito \ . La disposición armónica de cuatro puntos de una recta proyectiva es análoga al concepto del centro de dos puntos en una relación de afinidad . Otros pares de puntos armónicos Para , existe un valor tal que la razón doble de los cuatro puntos es \ . Si , entonces : \ . Es decir , la configuración armónica depende solo de los dos pares de puntos , y no de su disposición . Construcciones gráficas de una cuaterna armónica En todos los casos considerados , se supone que el punto cuyo conjugado armónico se quiere calcular respecto al segmento , es un punto interior del citado segmento . En caso contrario , cuando el punto se halle en el exterior , basta realizar las operaciones geométricas en el orden contrario al descrito . Proyectivas Dados tres puntos sobre una línea recta del plano proyectivo , entonces la cuaterna armónica puede ser construida como sigue : Con un punto auxiliar P1 Seleccionar un punto punto cualquiera exterior a la recta \ . Trazar la línea \ . Seleccionar un punto en la línea \ . La línea recta cruza la línea en un punto \ . La recta interseca la recta en un punto \ . La recta cruza la recta en el cuarto punto armónico \ . Con un punto impropio auxiliar Elegir una dirección cualquiera distinta a la de la recta , y trazar rectas paralelas según la dirección elegida por los puntos , y Seleccionar un punto en la recta orientada que pasa por \ . La línea recta cruza la recta orientada que pasa por en un punto \ . La recta interseca la recta orientada que pasa por en un punto \ . La recta cruza la recta en el cuarto punto armónico , \ . Caso especial Cuando el punto es el punto medio entre y ( denominado en el dibujo ) entonces el punto se convierte en un punto del infinito . Si el punto auxiliar elegido es un punto impropio , la cuaterna forma un paralelogramo . Cuando se elige un punto auxiliar definido , la cuaterna anterior se convierte se convierte en un trapecio . Mediante el Teorema de Tales Dados el segmento y el punto , para determinar el conjugado armónico del punto respecto al segmento se puede usar la construcción siguiente : El punto se elige arbitrariamente ; y las líneas rectas y son paralelas . El punto se determina haciendo pasar una recta por los puntos y \ . Desde se localiza , de forma que y tengan la misma longitud . El punto se obtiene por la intersección de la rectas y \ . Si se dispone del punto , el procedimiento es análogo , pero en orden inverso . Si se desea que , entonces se debe elegir el punto de modo que se cumpla \ . se obtiene como la intersección de la rectas \ . Con las bisectrices de un triángulo Este procedimiento sirve para determinar un par de puntos cualquiera que formen una cuaterna armónica respecto al segmento \ . Sean los vértices de un triángulo no isósceles . La bisectriz interior y la bisectriz exterior del ángulo que se forma en , generan los puntos sobre la recta , que completan una cuaterna armónica respecto al segmento \ . Si se desea que los segmentos guarden la proporción , entonces basta con localizar el vértice utilizando distancias proporcionales a estos parámetros . En este caso , la construcción se vale de una propiedad de la circunferencia de Apolonio . Debe tener se en cuenta que si , se convierte en un punto impropio . Mediante una circunferencia Otro método para obtener un cuarto punto armónico de la terna colineal se sirve de una construcción mediante regla y compás : Trazar la circunferencia que pasa por , cuyo centro es el centro del segmento \ . En , trazar la línea recta perpendicular a , que corta la circunferencia en el punto \ . Construir la recta tangente a la circunferencia en el punto La recta interseca a en , el conjugado armónico buscado . Si se acerca a uno de los puntos o , también lo hace \ . En cambio , si , entonces y se convierte en el punto del infinito de la recta \ . Si los puntos dados son , la construcción es reversible . En este supuesto , para obtener basta con determinar la tangente a la circunferencia desde , y proyectar el punto sobre la recta \ . Demostración Para comprobar que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica ( es decir , que ) , se parte de la relación de semejanza entre los triángulos y \ . La razón doble es de forma automática dado que está dentro del segmento , y está fuera . A partir de la relación de semejanza anterior , se deduce la ecuación : por la proporcionalidad de los lados de los dos triángulos semejantes , y en consecuencia : , donde es el radio del círculo . Esta ecuación y el procedimiento de diseño ( según la imagen ) coinciden con la definición de una transformación de inversión , lo que implica que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica ( cuando se usan números complejos , entonces ) . Demostración También se puede demostrar que una cuaterna armónica guarda una relación de inversión según la construcción anterior , partiendo de la primera condición ( cuaterna armónica ) y comprobando si se cumple la segunda ( relación de inversión ) . Para simplificar la expresión de las ecuaciones , se definen las equivalencias siguientes : ; ; y es la longitud total de la cuaterna ; es la del segmento interior ; y el radio de la circunferencia que pasa por y \ . La condición de conjugados armónicos , implica que : A partir de esta condición , se va a calcular el valor de , que es el producto de las distancias , que a su vez determina la relación de polaridad de los puntos y respecto a la circunferencia con centro en y que pasa por y \ . Despejando de la relación armónica : Una vez despejado el valor de , se calcula el producto de ( es decir , Tal como se quería comprobar , el producto calculado es , lo que confirma que los cuatro puntos armónicos guardan una relación de inversión . Cuaternas y polaridad El método descrito aquí para la construcción del cuarto punto armónico es un caso especial afín de la siguiente declaración : Relación con otros temas matemáticos Cónicas proyectivas Una cónica en el plano proyectivo es una curva C que tiene la siguiente propiedad : Si P es un punto que no está en C , y si una recta variable que pasa por P se encuentra con C en los puntos A y B , entonces los distintos conjugados armónicos de P con respecto a distintas parejas de puntos A y B , se disponen en un segmento rectilíneo . El punto P se llama el polo de esa recta de conjugados armónicos , y esta recta se llama la recta polar de P con respecto a la cónica . Vea se el artículo recta polar para más detalles . Inversión En el caso en que la cónica sea un círculo , considerando los diámetros extendidos del círculo , se tiene que los conjugados armónicos con respecto al círculo son los puntos de inversión respecto al círculo dado . Este hecho se desprende de uno de los teoremas de Smogorzhevski : Si las circunferencias k y q son mutuamente ortogonales , entonces una línea recta que pasa por el centro de k y que interseca q , lo hace en dos puntos conjugados armónicos con los puntos de intersección de dicha recta con k . ( Ver el epígrafe ' Circunferencias ortogonales ' más adelante ) Recta de Euler En geometría euclidiana se demuestra que en cualquier triángulo , el centro de gravedad G , el ortocentro H , el centro del círculo circunscrito Ω y el centro de la circunferencia de los nueve puntos E , están los cuatro alineados en una línea llamada recta de Euler del triángulo . Estos cuatro puntos forman una cuaterna armónica ( en el orden dado ) . Este hecho es el resultado de que H tiene por imagen Ω , y Ω tiene por imagen E mediante la misma homotecia de centro G y de relación2 . Circunferencias ortogonales Sea ( C ) una circunferencia y M y M’ dos puntos de manera que la línea ( MM’ ) interseque la circunferencia ( C ) en dos puntos A y B distintos . Entonces , la circunferencia ( C’ ) de diámetro [ MM’ ] es ortogonal a ( C ) si y solo si [ MM’ ] divide armónicamente [ AB ] . Entonces se dice que M y M’ están conjugados con respecto a la circunferencia ( C ) . Demostración : Sean O y O’ , los centros de ( C ) y ( C’ ) , con O’ en el punto medio de [ MM’ ] . Sean R y R’ sus radios . De acuerdo con la expresión de la «potencia de un punto» : Las dos circunferencias son ortogonales si y solo si O’O2 = R2 + R’2 ( ángulo recto en el punto de contacto ) , y si y solamente si : Deducimos que las dos circunferencias son ortogonales si y solo si la división es armónica según la relación de Newton . Dos puntos M y M’ se llamarán conjugados por relación con una circunferencia ( C ) si uno de ellos es interior a ( C ) y el otro exterior y la circunferencia de diámetro [ MM ] es ortogonal a ( C ) . Propiedad : Dos puntos son conjugados con respecto a una circunferencia de centro O si y solo si : Siendo O’ el punto medio de [ MM’ ] , y por lo tanto el centro de la nueva circunferencia , y T un punto de intersección entre las dos circunferencias , entonces OT2 = R2 . Usando esto se obtiene : de ahí el resultado . El conjunto de conjugados de un punto con respecto a una circunferencia es la recta polar de este punto con respecto a esta circunferencia . Tétradas de Galois En la geometría de Galois sobre un cuerpo finito GF( q ) una recta tiene q+1 puntos , donde =( 1,0 ) . En esta recta , cuatro puntos forman una tétrada armónica cuando dos de ellos distan armónicamente de los otros dos . La condición caracteriza tétradas armónicas . La atención a estas tétradas llevó a Jean Dieudonné a su delimitación de algunos isomorfismos accidentales de los grupos proyectivos lineales PGL q ) para q =y Si q=2n , entonces el conjugado armónico de C es él mismo . Relación entre conjugado armónico y división áurea Sea CD un segmento y E el punto división áurea del mismo . Sea F el conjugado armónico de E respecto de CD y G el punto división áurea del segmento FE ( es importante el orden ) . Entonces el segmento FE tiene tamaño doble de CD y el punto G es simétrico de E respecto de D. Conjugados armónicos proyectivos iterados y la proporción áurea Sean tres puntos diferentes en una recta proyectiva real . Considérese la secuencia infinita de puntos , donde es el conjugado armónico de con respecto a para \ . Entonces , cuando la sucesión de los es convergente , el límite ; donde es el número áureo . Este resultado es independiente de los tres puntos que se elijan como comienzo de la serie , siempre que la sucesión obtenida sea convergente . Demostración : Para simplificar el cálculo del límite , se puede establecer la condición de que los términos de la serie formen una progresión geométrica , es decir , que \ . Por lo tanto , cada cuatro puntos consecutivos de la serie , por ser conjugados armónicos , deben cumplir la condición : En consecuencia , se obtiene el polinomio , con las soluciones y Caso Tal como se ha calculado , el valor permite que los términos de la serie tomen la forma \ . Como el valor absoluto de , entonces la serie de es convergente y tiende a cero . Sustituyendo estos términos en la expresón del límite , se tiene que : Esta condición también se cumple en el resto de sucesiones de convergentes , teniendo en cuenta que la influencia de los valores iniciales acaba desapareciendo tras una serie de iteraciones . Caso En el caso de , su valor absoluto , por lo que la serie no es convergente . Como en el caso anterior , sustituyendo estos términos en la expresón del límite , se tiene que : No se ha probado que la sucesión Pn pueda ser convergente , habida cuenta de que P0 , P1 , P2 determinan el resto de la sucesión . Podría ocurrir que no existan valores iniciales que hagan la sucesión convergente y mucho menos que esta sea una progresión geométrica . Vea se también Razón simple Razón doble Referencias Bibliografía Original de Robert Lachlan en An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry , en Internet Archive . Bertrand RussellPrinciples of Mathematics , página ( ) . Original de Bertrand RussellPrinciples of Mathematics , en Internet Archive . Enlaces externos Juan Carlos Álvarez PaivaProjective Geometry , see Chapter The Real Projective Plane , section Harmonic quadruples and von Staudt's theorem . Geometría proyectiva