Método de Horn–Schunck
El método de Horn–Schunck para estimar flujo óptico es un método global que introduce una condición de suavidad para resolver el problema de apertura (ver imagen).  El método se califica como global porque determina el vector de movimiento del flujo óptico en cada píxel de la imagen, en contraposición de los métodos locales que sólo actúan sobre algunas pocas coordenadas discretas elegidas por su aspecto.

Principio de suavidad 
La suavidad en el flujo óptico se refiere a las transiciones en zonas de las imágenes: una transición de una zona clara a una oscura debe ocurrir suavemente, pasando por las intensidades intermedias.  De la misma manera el cambio de intensidad de un píxel en cualquier coordenada al correspondiente de la imagen consecutiva, debe ser suave.  El método de Horn-Schunck se basa en este requisito para calcular las derivadas de las intensidades (en el espacio x e y y en el tiempo), necesarias para finalmente estimar los vectores de movimiento de cada píxel, que constituyen el flujo óptico.

Formulación 
El algoritmo de Horn-Schunck asume suavidad en el flujo óptico en toda la imagen. De este modo intenta minimizar distorsiones en el flujo y da preferencia a las soluciones de mayor suavidad.  Esto significa que es más probable obtener conjuntos de vectores de velocidad de dirección y módulo coincidentes, que describen el movimiento de un objeto grande, en lugar de tener vectores caóticos indicando que cada píxel se mueve en un sentido diferente.

El algoritmo está desarrollado para aplicarse sobre un video.  El video es una secuencia de imágenes discretas, y cada imagen es una matriz de píxeles discretos.  No obstante la fundamentación del algoritmo comienza con un planteo matemático en dominios continuos, con derivadas en el espacio y en el tiempo.  Luego de desarrollar analíticamente en el dominio continuo, en la última etapa se discretiza para adquirir su forma de aplicación práctica.

El flujo se formula como un funcional de energía global a minimizar. Es una función de imágenes consecutivas de un video:

donde ,  y  son las derivadas de los valores de intensidad de la imagen a lo largo de las dimensiones x, y y tiempo respectivamente,  es el vector de flujo óptico, y el parámetro  es una constante de regularización. Valores mayores de  corresponden a flujos más suaves. Este funcional se puede minimizar por medio de las siguientes ecuaciones de Euler-Lagrange multidimensionales:

donde  es la integral de la expresión de energía, dando

donde los subíndices denotan diferenciación parcial y  denota el operador de Laplace. En la práctica el Laplaciano  se aproxima numéricamente usando diferencias finitas, que se pueden escribir 

donde  es un promedio ponderado de  calculado en la vecindad alrededor del píxel en las coordenadas (x,y). Usando esta notación el sistema de ecuaciones anterior se puede escribir

que es lineal en  y  y se puede resolver para cada píxel de la imagen.  Sin embargo, ya que la solución depende de los valores vecinos del campo óptico, se debe repetir cada vez que se actualizan estos valores vecinos. El siguiente esquema iterativo deriva:

donde el superíndice k+1 denota la siguiente iteración, pendiente de cálculo, y k es el último resultado calculado.  Esto es en esencia el método de Jacobi aplicado a un sistema grande y espaciado que surge cuando se resuelven todos los píxeles simultáneamente.

Propiedades 
Entre las ventajas del algoritmo de Horn–Schunck se destaca la alta densidad de vectores de flujo; la información de flujo que se pierde en zonas homogéneas se rellena desde los bordes con información de flujo.  Entre las desventajas se señala que es más sensible al ruido que los métodos locales.

Véase también 

 Método Lucas–Kanade

Referencias 

 B.K.P. Horn and B.G. Schunck, "Determining optical flow." Artificial Intelligence, vol 17, pp 185–203, 1981.  Ensayo disponible en servidor del MIT.

 Enric Meinhardt-Llopis, Javier Sánchez, and Daniel Kondermann, "Horn-Schunck Optical Flow with a Multi-Scale Strategy", Image Processing On Line, 3 (2013), pp. 151–172. https://doi.org/10.5201/ipol.2013.20 article demo

Enlaces externos
 Implementación en OpenCV 

Visión por computadora
El método de Horn–Schunck para estimar flujo óptico es un método global que introduce una condición de suavidad para resolver el problema de apertura ( ver imagen ) . El método se califica como global porque determina el vector de movimiento del flujo óptico en cada píxel de la imagen , en contraposición de los métodos locales que sólo actúan sobre algunas pocas coordenadas discretas elegidas por su aspecto . Principio de suavidad La suavidad en el flujo óptico se refiere a las transiciones en zonas de las imágenes : una transición de una zona clara a una oscura debe ocurrir suavemente , pasando por las intensidades intermedias . De la misma manera el cambio de intensidad de un píxel en cualquier coordenada al correspondiente de la imagen consecutiva , debe ser suave . El método de Horn-Schunck se basa en este requisito para calcular las derivadas de las intensidades ( en el espacio x e y y en el tiempo ) , necesarias para finalmente estimar los vectores de movimiento de cada píxel , que constituyen el flujo óptico . Formulación El algoritmo de Horn-Schunck asume suavidad en el flujo óptico en toda la imagen . De este modo intenta minimizar distorsiones en el flujo y da preferencia a las soluciones de mayor suavidad . Esto significa que es más probable obtener conjuntos de vectores de velocidad de dirección y módulo coincidentes , que describen el movimiento de un objeto grande , en lugar de tener vectores caóticos indicando que cada píxel se mueve en un sentido diferente . El algoritmo está desarrollado para aplicar se sobre un video . El video es una secuencia de imágenes discretas , y cada imagen es una matriz de píxeles discretos . No obstante la fundamentación del algoritmo comienza con un planteo matemático en dominios continuos , con derivadas en el espacio y en el tiempo . Luego de desarrollar analíticamente en el dominio continuo , en la última etapa se discretiza para adquirir su forma de aplicación práctica . El flujo se formula como un funcional de energía global a minimizar . Es una función de imágenes consecutivas de un video : donde , y son las derivadas de los valores de intensidad de la imagen a lo largo de las dimensiones x , y y tiempo respectivamente , es el vector de flujo óptico , y el parámetro es una constante de regularización . Valores mayores de corresponden a flujos más suaves . Este funcional se puede minimizar por medio de las siguientes ecuaciones de Euler-Lagrange multidimensionales : donde es la integral de la expresión de energía , dando donde los subíndices denotan diferenciación parcial y denota el operador de Laplace . En la práctica el Laplaciano se aproxima numéricamente usando diferencias finitas , que se pueden escribir donde es un promedio ponderado de calculado en la vecindad alrededor del píxel en las coordenadas ( x,y ) . Usando esta notación el sistema de ecuaciones anterior se puede escribir que es lineal en y y se puede resolver para cada píxel de la imagen . Sin embargo , ya que la solución depende de los valores vecinos del campo óptico , se debe repetir cada vez que se actualizan estos valores vecinos . El siguiente esquema iterativo deriva : donde el superíndice k+1 denota la siguiente iteración , pendiente de cálculo , y k es el último resultado calculado . Esto es en esencia el método de Jacobi aplicado a un sistema grande y espaciado que surge cuando se resuelven todos los píxeles simultáneamente . Propiedades Entre las ventajas del algoritmo de Horn–Schunck se destaca la alta densidad de vectores de flujo ; la información de flujo que se pierde en zonas homogéneas se rellena desde los bordes con información de flujo . Entre las desventajas se señala que es más sensible al ruido que los métodos locales . Vea se también Método Lucas–Kanade Referencias B.K.P. Horn and B.G. Schunck , " Determining optical flow . " Artificial Intelligence , vol pp203 , Ensayo disponible en servidor del MIT . Enric Meinhardt-Llopis , Javier Sánchez , and Daniel Kondermann , " Horn-Schunck Optical Flow with a Multi-Scale Strategy " , Image Processing On Line , ( 2013 ) , pp.172. https://doi.org/10.5201/ipol.2013.20 article demo Enlaces externos Implementación en OpenCV Visión por computadora