Derivada ordinaria
Se da 
 y = f(x),

una función definida en un cierto intervalo abierto, que se va a considerar su dominio. A cualquier valor de x en tal intervalo le corresponde un valor determinado de la función y = f(x).

Se  admite que x0 sea un valor fijo del intervalo, al cual le corresponde el valor f(x0). De modo que hay una variación de los valores de la función f(x) -f(x0) y la variación en los valores de dominio:  x - x0.

se considera la razón de la variación de la función a la  de los elementos del dominio:
 
 

Se halla el límite de esta razón cuando . En caso de existir este límite se llama derivada ordinaria de  la función dada f(x) en x0 y se denota  
 
o sea formalmente

Definición
Al límite , en caso de existir, se llama derivada ordinaria de f en x0.. A esta fórmula se conoce como la Notación de Leibniz

Notaciones
  
  
 
  , se suprimió su uso en 1915 en Gran Bretaña

Ejemplo
Sea la función definida por 

 evaluación en x0 da: 

 diferencia , racionalizando  

 cociente 

 finalmente el límite:

Interpretaciones
En la física la velocidad instantánea se considera como la derivada del espacio con respecto al tiempo en un instante dado.
 En la geometría analítica, la derivada se considera el valor de la pendiente de una recta tangente a una curva  considerando que las secantes se acercan como posición límite a dicha tangente.
 En química la velocidad de disolución de sal en relación con la concentración en un instante dado.
 Se considera que la capacidad calórica es la derivada de la capacidad de calor respecto a la temperatura.

Propiedades
 Dada una función a la operación de hallar su función derivada se denomina derivación, algunas veces diferenciación.
 Si la función y = f(x) tiene derivada ordinaria en el valor x0 se dice que la función f es derivable en dicho valor. La función  está definida en el conjunto de los números reales no negativos, pero su función derivada  está definida sólo para los números reales positivos.
 Si una función y = f(x) es derivable en cada punto de un intervalo I, se puede definir la función derivada de I en R.
 Se considera el conjunto de funciones en I y también el conjunto de funciones derivables. Se puede considerar la derivada como una aplicación que a f le hacer corresponde f'. En tal caso la derivada es una aplicación lineal. Esto es

 Proposición
Si la función y = f(x) es derivable en x0 será continua para dicho valor.

Derivadas unilaterales
Hay funciones de variable real que son continuas en un determinado punto, pero no tiene derivada en dicho punto; en esta situación ayuda aclarar el caso, los conceptos de derivadas unilaterales.
 Primer caso
Al límite ,
se llama derivada por la derecha de la función f en el punto 
 Segundo caso
Al límite , 
se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto 

A la derivada por la derecha y a la derivada por la izquierda se llaman derivadas unilaterales
 Ejemplo
Sea da la función y = |cos x| hallar las derivadas unilaterales en 

Para 0 <x < π/2, se tiene |cos x|= cosx; para π/2 < x < π, resulta  |cos x| = -cosx además 
 Derivada por la izquierda 
Se tiene que calcular el límite de 
 cuando  que es igual a hallar el límite por la izquierda de 
 que resulta 

La derivada por la derecha
En este caso hay que calcular el límite de 
 cuando  que es igual a hallar el límite por la derecha de 

 que resulta 

Esta función es continua en  pero no es derivable en tal punto, al no ser iguales sus derivadas unilaterales.

 Proposición
Es una consecuencia inmediata de la definición de límites unilaterales que existe la derivada ordinaria en x0 si y sólo si existen y son iguales las derivadas unilaterales en x0 . En caso de cumplimiento de tales condiciones  es cierta la igualdad

Véase también
Función de una variable
 Intervalo abierto
 Límite
 Recta tangente
 Extremos de una función

Notas y referencias

Fuente bibliográfica
 Calculus por Spivak
 Análisis matemático por Tom Mike Apostol
 Análisis matemático por Lange
 Análisis matemático por Elon Lages
 Introducción al análisis matemático de una variable por Bartle - Sherbert

 FunÇoes reais Djairo de Figueredo
 Análisis matemático tomo I por Hasser-La salles -Sullivan
 Análisis matemático por Kudriátsev
Análisis matemático

Cálculo diferencial
Se da y = f( x ) , una función definida en un cierto intervalo abierto , que se va a considerar su dominio . A cualquier valor de x en tal intervalo le corresponde un valor determinado de la función y = f( x ) . Se admite que x0 sea un valor fijo del intervalo , al cual le corresponde el valor f( x0 ) . De modo que hay una variación de los valores de la función f( x ) -f( x0 ) y la variación en los valores de dominio : x - x0. se considera la razón de la variación de la función a la de los elementos del dominio : Se halla el límite de esta razón cuando \ . En caso de existir este límite se llama derivada ordinaria de la función dada f( x ) en x0 y se denota o sea formalmente Definición Al límite , en caso de existir , se llama derivada ordinaria de f en x0. . A esta fórmula se conoce como la Notación de Leibniz Notaciones , se suprimió su uso enen Gran Bretaña Ejemplo Sea la función definida por evaluación en x0 da : diferencia , racionalizando cociente finalmente el límite : Interpretaciones En la física la velocidad instantánea se considera como la derivada del espacio con respecto al tiempo en un instante dado . En la geometría analítica , la derivada se considera el valor de la pendiente de una recta tangente a una curva considerando que las secantes se acercan como posición límite a dicha tangente . En química la velocidad de disolución de sal en relación con la concentración en un instante dado . Se considera que la capacidad calórica es la derivada de la capacidad de calor respecto a la temperatura . Propiedades Dada una función a la operación de hallar su función derivada se denomina derivación , algunas veces diferenciación . Si la función y = f( x ) tiene derivada ordinaria en el valor x0 se dice que la función f es derivable en dicho valor . La función está definida en el conjunto de los números reales no negativos , pero su función derivada está definida sólo para los números reales positivos . Si una función y = f( x ) es derivable en cada punto de un intervalo I , se puede definir la función derivada de I en R. Se considera el conjunto de funciones en I y también el conjunto de funciones derivables . Se puede considerar la derivada como una aplicación que a f le hacer corresponde f ' . En tal caso la derivada es una aplicación lineal . Esto es Proposición Si la función y = f( x ) es derivable en x0 será continua para dicho valor . Derivadas unilaterales Hay funciones de variable real que son continuas en un determinado punto , pero no tiene derivada en dicho punto ; en esta situación ayuda aclarar el caso , los conceptos de derivadas unilaterales . Primer caso Al límite , se llama derivada por la derecha de la función f en el punto Segundo caso Al límite , se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto A la derivada por la derecha y a la derivada por la izquierda se llaman derivadas unilaterales Ejemplo Sea da la función y = |cos x| hallar las derivadas unilaterales en Para<x < π/2 , se tiene |cos x|= cosx ; para π/2 < x < π , resulta |cos x| = -cosx además Derivada por la izquierda Se tiene que calcular el límite de cuando que es igual a hallar el límite por la izquierda de que resulta La derivada por la derecha En este caso hay que calcular el límite de cuando que es igual a hallar el límite por la derecha de que resulta Esta función es continua en pero no es derivable en tal punto , al no ser iguales sus derivadas unilaterales . Proposición Es una consecuencia inmediata de la definición de límites unilaterales que existe la derivada ordinaria en x0 si y sólo si existen y son iguales las derivadas unilaterales en x0 \ . En caso de cumplimiento de tales condiciones es cierta la igualdad Vea se también Función de una variable Intervalo abierto Límite Recta tangente Extremos de una función Notas y referencias Fuente bibliográfica Calculus por Spivak Análisis matemático por Tom Mike Apostol Análisis matemático por Lange Análisis matemático por Elon Lages Introducción al análisis matemático de una variable por Bartle - Sherbert FunÇoes reais Djairo de Figueredo Análisis matemático tomo I por Hasser-La salles -Sullivan Análisis matemático por Kudriátsev Análisis matemático Cálculo diferencial