Coordenadas de acción-ángulo
En mecánica clásica, las coordenadas de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas canónicas útiles en la resolución de muchos sistemas hamiltonianos integrables. El método de acciones-ángulos es útil para obtener las frecuencias de movimientos oscilatorios o rotacionales sin necesidad de resolver las ecuaciones del movimiento. Las coordenadas de acción-ángulo se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables (por tanto, el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo y por consiguiente la energía se conserva). Las variables de acción-ángulo definen un toro invariante, llamado así porque mantener la acción constante define la superficie de un toro, con las variables de ángulo parametrizando las coordenadas del toro.

Las condiciones de cuantización de Bohr-Sommerfeld, usadas para desarrollar la mecánica cuántica antes del desarrollo de la mecánica ondulatoria, afirman que la acción debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck. De forma similar, el trabajo de Einstein en la cuantización EBK y la dificultad para cuantizar sistemas no integrables se expresa en términos de los toros invariantes de las coordenadas de acción-ángulo.

Las coordenadas de acción-ángulo son también útiles en teoría de perturbaciones en mecánica hamiltoniana, especialmente para determinar invariantes adiabáticos. Uno de los primeros resultados de teoría del caos para las perturbaciones no lineales de sistemas dinámicos con pocos grados de libertad es el teorema KAM, que afirma que los toros invariantes son estables bajo perturbaciones pequeñas.

El uso de variables de acción-ángulo fue fundamental en la resolución de la red de Toda y en la definición de los pares de Lax o, de forma más general, en la idea de evolución isoespectral de un sistema.

Derivación 
Las variables de acción-ángulo resultan de una transformación canónica de tipo 2 donde la función generatriz es la función característica de Hamilton  (no la función principal de Hamilton ). Dado que el hamiltoniano original no depende explícitamente del tiempo, el nuevo hamiltoniano  es simplemente el hamiltoniano anterior  expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas, que denotamos  (las variables de ángulo, que son coordenadas generalizadas) y sus nuevos momentos generalizados . No necesitaremos resolver la función generatriz , simplemente la utilizamos para relacionar los dos conjuntos de coordenadas canónicas.

En lugar de definir directamente las variables de ángulo , definimos sus momentos generalizados, que representan la acción clásica para cada coordenada generalizada

 

donde el camino de integración viene dado por la función de energía constante . Dado que el movimiento real no interviene en la integración, estos momentos generalizados  son constantes del movimiento, lo que implica que el hamiltoniano transformado  no depende de las coordenadas generalizadas conjugadas 

 

donde los  vienen dados por la ecuación habitual para un transformación canónica de tipo 2,

 

Así, el nuevo hamiltoniano  depende únicamente de los nuevos momentos generalizados .

La dinámica de las variables de ángulo viene dada por las ecuaciones de Hamilton,

 

El lado derecho es una constante del movimiento (ya que todos los  lo son). Por tanto, la solución viene dada por

 

donde  es una constante de integración. En particular, si la coordenada generalizada original está sujeta a una oscilación o rotación de periodo , la variable de ángulo correspondiente  cambia como .

Estos  son las frecuencias de oscilación/rotación para las coordenadas generalizadas originales . Podemos ver esto integrando el cambio neto en la variable de ángulo  a lo largo de exactamente una rotación completa (una oscilación o una rotación) de sus coordenadas generalizadas 

 

Introduciendo estas expresiones en la fórmula de  obtenemos la ecuación deseada

 

Las variables de ángulo  son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas. Así, en el caso general, cada coordenada generalizada  puede expresarse como una serie de Fourier en todos los ángulos

 

donde  son los coeficientes de la serie de Fourier. En la mayoría de los casos, sin embargo, una coordenada generalizada original  podrá expresarse como una serie de Fourier en su propia variable de ángulo

Resumen del procedimiento básico 
El procedimiento general tiene tres pasos:

 Calcular los nuevos momentos generalizados  
 Expresar el hamiltoniano original completamente en términos de estas variables.
 Tomar las derivadas del hamiltoniano respecto a estos momentos para obtener las frecuencias

Degeneración 
En algunos casos, las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas, esto es,  para . En estos casos se dice que el movimiento es degenerado. 

El movimiento degenerado indica que existen cantidades conservadas generales adicionales. Por ejemplo, las frecuencias del problema de Kepler son degeneradas, lo que se corresponde con la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz.

El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema coordenado. Por ejemplo, el problema de Kepler es completamente separable tanto en coordenadas esféricas como en coordenadas parabólicas.

Véase también 

 1-forma tautológica
 Sistema hamiltoniano integrable
 Sistema hamiltoniano superintegrable

Referencias 

 L. D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3.ª ed., Pergamon Press.  (tapa dura) y  (tapa blanda).
 H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2.ª ed., Addison-Wesley. 
 G. Sardanashvily, (2015) Handbook of Integrable Hamiltonian Systems, URSS. 

Mecánica hamiltoniana
En mecánica clásica , las coordenadas de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas canónicas útiles en la resolución de muchos sistemas hamiltonianos integrables . El método de acciones-ángulos es útil para obtener las frecuencias de movimientos oscilatorios o rotacionales sin necesidad de resolver las ecuaciones del movimiento . Las coordenadas de acción-ángulo se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables ( por tanto , el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo y por consiguiente la energía se conserva ) . Las variables de acción-ángulo definen un toro invariante , llamado así porque mantener la acción constante define la superficie de un toro , con las variables de ángulo parametrizando las coordenadas del toro . Las condiciones de cuantización de Bohr-Sommerfeld , usadas para desarrollar la mecánica cuántica antes del desarrollo de la mecánica ondulatoria , afirman que la acción debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck . De forma similar , el trabajo de Einstein en la cuantización EBK y la dificultad para cuantizar sistemas no integrables se expresa en términos de los toros invariantes de las coordenadas de acción-ángulo . Las coordenadas de acción-ángulo son también útiles en teoría de perturbaciones en mecánica hamiltoniana , especialmente para determinar invariantes adiabáticos . Uno de los primeros resultados de teoría del caos para las perturbaciones no lineales de sistemas dinámicos con pocos grados de libertad es el teorema KAM , que afirma que los toros invariantes son estables bajo perturbaciones pequeñas . El uso de variables de acción-ángulo fue fundamental en la resolución de la red de Toda y en la definición de los pares de Lax o , de forma más general , en la idea de evolución isoespectral de un sistema . Derivación Las variables de acción-ángulo resultan de una transformación canónica de tipodonde la función generatriz es la función característica de Hamilton ( no la función principal de Hamilton ) . Dado que el hamiltoniano original no depende explícitamente del tiempo , el nuevo hamiltoniano es simplemente el hamiltoniano anterior expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas , que denotamos ( las variables de ángulo , que son coordenadas generalizadas ) y sus nuevos momentos generalizados \ . No necesitaremos resolver la función generatriz , simplemente la utilizamos para relacionar los dos conjuntos de coordenadas canónicas . En lugar de definir directamente las variables de ángulo , definimos sus momentos generalizados , que representan la acción clásica para cada coordenada generalizada donde el camino de integración viene dado por la función de energía constante \ . Dado que el movimiento real no interviene en la integración , estos momentos generalizados son constantes del movimiento , lo que implica que el hamiltoniano transformado no depende de las coordenadas generalizadas conjugadas donde los vienen dados por la ecuación habitual para un transformación canónica de tipo Así , el nuevo hamiltoniano depende únicamente de los nuevos momentos generalizados \ . La dinámica de las variables de ángulo viene dada por las ecuaciones de Hamilton , El lado derecho es una constante del movimiento ( ya que todos los lo son ) . Por tanto , la solución viene dada por donde es una constante de integración . En particular , si la coordenada generalizada original está sujeta a una oscilación o rotación de periodo , la variable de ángulo correspondiente cambia como \ . Estos son las frecuencias de oscilación/rotación para las coordenadas generalizadas originales \ . Podemos ver esto integrando el cambio neto en la variable de ángulo a lo largo de exactamente una rotación completa ( una oscilación o una rotación ) de sus coordenadas generalizadas Introduciendo estas expresiones en la fórmula de obtenemos la ecuación deseada Las variables de ángulo son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas . Así , en el caso general , cada coordenada generalizada puede expresar se como una serie de Fourier en todos los ángulos donde son los coeficientes de la serie de Fourier . En la mayoría de los casos , sin embargo , una coordenada generalizada original podrá expresar se como una serie de Fourier en su propia variable de ángulo Resumen del procedimiento básico El procedimiento general tiene tres pasos : Calcular los nuevos momentos generalizados Expresar el hamiltoniano original completamente en términos de estas variables . Tomar las derivadas del hamiltoniano respecto a estos momentos para obtener las frecuencias Degeneración En algunos casos , las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas , esto es , para \ . En estos casos se dice que el movimiento es degenerado . El movimiento degenerado indica que existen cantidades conservadas generales adicionales . Por ejemplo , las frecuencias del problema de Kepler son degeneradas , lo que se corresponde con la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz . El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema coordenado . Por ejemplo , el problema de Kepler es completamente separable tanto en coordenadas esféricas como en coordenadas parabólicas . Vea se también forma tautológica Sistema hamiltoniano integrable Sistema hamiltoniano superintegrable Referencias L. D. Landau and E. M. Lifshitz,Mechanics,ª ed . , Pergamon Press . ( tapa dura ) y ( tapa blanda ) . H. Goldstein,Classical Mechanics,ª ed . , Addison-Wesley . G. Sardanashvily,Handbook of Integrable Hamiltonian Systems , URSS . Mecánica hamiltoniana