Biálgebra de Lie
En matemáticas, una biálgebra de Lie es un caso de biálgebra en la teoría de Lie, es decir, un conjunto con estructuras de álgebra de Lie y coálgebra de Lie compatibles.

Es una biálgebra donde la comultiplicación es antisimétrica y satisface una identidad de Jacobi dual, de forma que el espacio vectorial dual es un álgebra de Lie, al mismo tiempo que la comultiplicación es un 1-cociclo, de forma que la multiplicación y la comultiplicación son compatibles. La condición de cociclo implica que, en la práctica, se estudian únicamente clases de biálgebras que son cohomólogas a una biálgebra de Lie en un coborde.

Se conocen también como álgebras de Poisson-Hopf, y son el álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie.

Las biálgebras de Lie aparecen de forma natural en el estudio de las ecuaciones de Yang-Baxter.

Definición 
Un espacio vectorial  es una biálgebra de Lie si es un álgebra de Lie y existe también una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio dual . De forma más precisa, la estructura de álgebra de Lie en  viene dada por un corchete de Lie  y la estructura de álgebra de Lie en  viene dada por un corchete de Lie . Entonces, la aplicación dual de , 
 y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de cociclos:

 

donde  es el adjunto. Nótese que esta definición es simétrica y por tanto  es también una biálgebra de Lie, y se denomina biálgebra de Lie dual.

Ejemplo 
Sea   y asignemos las raíces positivas. Sea   y existe una proyección natural . Definimos entonces un álgebra de Lie

 

que es una subálgebra del producto , y tiene la misma dimensión que . Identificamos ahora  como el dual de ,

 

con  y  la forma de Killing. Esto define una estructura de biálgebra de Lie en , y es el ejemplo estándar: subyace al grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo. Nótese que  es semisimple.

Relación con los grupos de Poisson-Lie 
El álgebra de Lie  de un grupo de Poisson-Lie G tiene una estructura natural de biálgebra de Lie. La estructura de grupo de Lie provee el corchete de Lie en  como es habitual, y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie en
 (recordando que una estructura de Poisson lineal sobre un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie sobre el espacio dual). De forma más detallada, sea G un grupo de Poisson-Lie y sean  dos funciones suaves sobre la variedad de grupo. Sea  el diferencial en el elemento identidad. Claramente, . La estructura de Poisson en el grupo induce así un corchete en , dado por

 

donde  es el corchete de Poisson. Dado  el bivector de Poisson sobre la variedad, se define  como la traslación a derecha del bivector al elemento identidad en G. Se tiene entonces que

 

El coconmutador es entonces la aplicación tangente:

 

de manera que

 

es el dual del coconmutador.

Véase también 

 Coálgebra de Lie
 Tripla de Manin

Referencias 

 H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Claausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlín, .
 Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge .
 

Topología simpléctica
Grupos de Lie
En matemáticas , una biálgebra de Lie es un caso de biálgebra en la teoría de Lie , es decir , un conjunto con estructuras de álgebra de Lie y coálgebra de Lie compatibles . Es una biálgebra donde la comultiplicación es antisimétrica y satisface una identidad de Jacobi dual , de forma que el espacio vectorial dual es un álgebra de Lie , al mismo tiempo que la comultiplicación es uncociclo , de forma que la multiplicación y la comultiplicación son compatibles . La condición de cociclo implica que , en la práctica , se estudian únicamente clases de biálgebras que son cohomólogas a una biálgebra de Lie en un coborde . Se conocen también como álgebras de Poisson-Hopf , y son el álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie . Las biálgebras de Lie aparecen de forma natural en el estudio de las ecuaciones de Yang-Baxter . Definición Un espacio vectorial es una biálgebra de Lie si es un álgebra de Lie y existe también una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio dual \ . De forma más precisa , la estructura de álgebra de Lie en viene dada por un corchete de Lie y la estructura de álgebra de Lie en viene dada por un corchete de Lie \ . Entonces , la aplicación dual de , y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de cociclos : donde es el adjunto . Nótese que esta definición es simétrica y por tanto es también una biálgebra de Lie , y se denomina biálgebra de Lie dual . Ejemplo Sea y asignemos las raíces positivas . Sea y existe una proyección natural \ . Definimos entonces un álgebra de Lie que es una subálgebra del producto , y tiene la misma dimensión que \ . Identificamos ahora como el dual de , con y la forma de Killing . Esto define una estructura de biálgebra de Lie en , y es el ejemplo estándar : subyace al grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo . Nótese que es semisimple . Relación con los grupos de Poisson-Lie El álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie G tiene una estructura natural de biálgebra de Lie . La estructura de grupo de Lie provee el corchete de Lie en como es habitual , y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie en ( recordando que una estructura de Poisson lineal sobre un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie sobre el espacio dual ) . De forma más detallada , sea G un grupo de Poisson-Lie y sean dos funciones suaves sobre la variedad de grupo . Sea el diferencial en el elemento identidad . Claramente , \ . La estructura de Poisson en el grupo induce así un corchete en , dado por donde es el corchete de Poisson . Dado el bivector de Poisson sobre la variedad , se define como la traslación a derecha del bivector al elemento identidad en G. Se tiene entonces que El coconmutador es entonces la aplicación tangente : de manera que es el dual del coconmutador . Vea se también Coálgebra de Lie Tripla de Manin Referencias H.-D. Doebner , J.-D. Hennig , eds , Quantum groups , Proceedings of theh International Workshop on Mathematical Physics , Arnold Sommerfeld Institute , Claausthal , FRG , Springer-Verlag Berlín , \ . Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley , A Guide to Quantum Groups , Cambridge University Press , Cambridge \ . Topología simpléctica Grupos de Lie