Progresión armónica (matemática)
En las progresiones aritmética y geométrica hay variación entre dos términos consecutivos pero en el caso de una progresión armónica se vinculan tres términos.

Definición
Dados tres números m, n, p se dice  que están en razón armónica si .

Una sucesión de números forman una progresión armónica si cada colección de tres términos consecutivos forman una razón armónica.

Ejemplos
1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15, 1/18,...

 Uno de los casos más interesantes es la sucesión armónica cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n,... donde n es un entero positivo.
 la serie  es divergente cuando n tiene a infinito, aunque 
 el término general 1/n tiende a 0, cuando n tiende a infinito.

Proposición
Los inversos multiplicativos de los términos que están en progresión aritmética forman una progresión armónica.

Prueba
Se tiene 

 de donde 

dividiendo cada término por mnp 

  lo que demuestra la proposición.

Media armónica
Sean m y n dos números y H su media armónica, por lo demostrado (donde "m" es el número mayor y ·"n"· el número menor):

O sea 

 Finalmente
 

 Propiedad
Si A, G, H son las medias aritmética, geométrica y armónica entonces la media geométrica es media proporcional entre la media aritmética y armónica.

Esto es  o bien 

La media armónica de m y n es , que se puede escribir 

, o de otra manera  (α)

De otro lado  y   en (α) se tiene

 , de donde se obtiene , con lo que se prueba la relación

Véase también
 Progresión aritmética
 Progresión geométrica

Referencias

Álgebra
En las progresiones aritmética y geométrica hay variación entre dos términos consecutivos pero en el caso de una progresión armónica se vinculan tres términos . Definición Dados tres números m , n , p se dice que están en razón armónica si \ . Una sucesión de números forman una progresión armónica si cada colección de tres términos consecutivos forman una razón armónica . Ejemplos 1/3,6,9,12,15,18 , ... Uno de los casos más interesantes es la sucesión armónica cuyos términos son2,3,4 , \ ... ,n , ... donde n es un entero positivo . la serie es divergente cuando n tiene a infinito , aunque el término generaln tiende a cuando n tiende a infinito . Proposición Los inversos multiplicativos de los términos que están en progresión aritmética forman una progresión armónica . Prueba Se tiene de donde dividiendo cada término por mnp lo que demuestra la proposición . Media armónica Sean m y n dos números y H su media armónica , por lo demostrado ( donde " m " es el número mayor y · " n " · el número menor ) : O sea Finalmente Propiedad Si A , G , H son las medias aritmética , geométrica y armónica entonces la media geométrica es media proporcional entre la media aritmética y armónica . Esto es o bien La media armónica de m y n es , que se puede escribir o de otra manera ( α ) De otro lado y en ( α ) se tiene , de donde se obtiene , con lo que se prueba la relación Vea se también Progresión aritmética Progresión geométrica Referencias Álgebra