Polinomios de Bell
En combinatoria, los polinomios de Bell, nombrados en honor de Eric Temple Bell, se utilizan en el estudio de las particiones establecidas. Están relacionados con los números de Stirling y con los números de Bell. También aparecen en muchas aplicaciones, como en la fórmula de Faà di Bruno.

Polinomios de Bell

Polinomios de Bell exponenciales
Los polinomios de Bell exponenciales parciales o incompletos son una matriz triangular de polinomios dados por

 

donde la suma se toma sobre todas las secuencias j1, j2, j3, ..., jn−k+1 de números enteros no negativos tales que estas dos condiciones son satisfechas:

 
 

La suma

 

se llama n-ésimo polinomio de Bell exponencial completo.

Polinomios de Bell ordinarios
Del mismo modo, un polinomio de Bell parcial ordinario, en contraste con el polinomio de Bell exponencial habitual definido anteriormente, viene dado por

 

donde la suma se ejecuta en todas las secuencias j1, j2, j3, ..., jn−k+1 de enteros no negativos tales que

 
 

Los polinomios de Bell ordinarios se pueden expresar en términos de polinomios de Bell exponenciales:
 

En general, el término polinomio de Bell se refiere al polinomio de Bell exponencial, a menos que se establezca explícitamente lo contrario.

Significado combinatorio

El polinomio de Bell exponencial codifica la información relacionada con las formas en que se puede particionar un conjunto. Por ejemplo, si se considera un conjunto {A, B, C}, se puede dividir en dos subconjuntos no vacíos que no se superponen, que también se conoce como partes o bloques, de tres maneras diferentes:

 {{A}, {B, C}}
 {{B}, {A, C}}
 {{C}, {B, A}}

Por lo tanto, se puede codificar la información con respecto a estas particiones como

 

Aquí, los subíndices de B3,2 indican que se está considerando la partición del conjunto con 3 elementos en 2 bloques. El subíndice de cada xi indica la presencia de un bloque con elementos i (o bloque de tamaño i) en una partición dada. Entonces aquí, x2 indica la presencia de un bloque con dos elementos. Del mismo modo, x1 indica la presencia de un bloque con un solo elemento. El exponente de xij indica que hay j bloques de tamaño i en una sola partición. Aquí, dado que tanto x1 y x2 tienen el exponente 1, esto indica que solo hay un bloque de ese tipo en una partición dada. El coeficiente del monomio indica cuántas particiones hay. En este caso, hay 3 particiones de un conjunto con 3 elementos en 2 bloques, donde en cada partición los elementos se dividen en dos bloques de tamaños 1 y 2.

Como cualquier conjunto se puede dividir en un solo bloque de una sola manera, la interpretación anterior significa que Bn,1 = xn. Del mismo modo, dado que solo hay una forma de dividir un conjunto con  n elementos en n bloques, Bn,n = x1n.

Como un ejemplo más complicado, considérese

 

Esto indica que si un conjunto con 6 elementos se divide en 2 bloques, entonces se pueden tener 6 particiones con bloques de tamaño 1 y 5, 15 particiones con bloques de tamaño 4 y 2 y 10 particiones con 2 bloques de tamaño 3.

Téngase en cuenta que la suma de los subíndices en un monomio es igual a la cantidad total de elementos. Por lo tanto, el número de monomios que aparecen en el polinomio parcial de Bell es igual al número de maneras en que el entero n se puede expresar como una suma de enteros positivos k. Esto es lo mismo que la partición de n en k partes. Por ejemplo, en los ejemplos anteriores, el número entero 3 puede dividirse en dos partes solo como 2 + 1. Por lo tanto, solo hay un monomio en B3,2. Sin embargo, el entero 6 se puede dividir en dos partes como 5 + 1, 4 + 2 y 3 + 3. Por lo tanto, hay tres monomios en B6,2. De hecho, los subíndices de las variables en un monomio son los mismos que los dados por la partición entera, indicando los tamaños de los diferentes bloques. El número total de monomios que aparecen en un polinomio de Bell completo Bn es por lo tanto igual al número total de particiones enteras de n.

También debe tenerse en cuenta que el grado de cada monomio, que es la suma de los exponentes de cada variable en el monomio, es igual al número de bloques en los que se divide el conjunto. Es decir, j1 + j2 + ... = k. Por lo tanto, dado un polinomio completo de Bell Bn, se puede separar el polinomio parcial de Bell Bn,k mediante la recopilación de todos los monomios con grado k.

Finalmente, si se hace caso omiso de los tamaños de los bloques y se ponen todos los xi = x, entonces la suma de los coeficientes del polinomio parcial de Bell Bn,k dará el número total de formas que un conjunto con n elementos se puede dividir en k bloques, que es el mismo que el número de Stirling de segunda especie. Además, la suma de todos los coeficientes del polinomio de Bell completo Bn dará el número total de formas en que un conjunto con n elementos puede ser particionado en subconjuntos no superpuestos, que es el mismo que el número de Bell.

En general, si el número entero n es particionado en una suma en la que "1" aparece j1 veces, "2" aparece j2 veces, y así sucesivamente, luego el número de particiones de un conjunto de tamaño n que colapsan en esa partición del número entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles es el coeficiente correspondiente en el polinomio.

Ejemplos

Por ejemplo, se tiene

 

porque hay

 6 maneras de dividir un conjunto de 6 como 5 + 1,
 15 formas de dividir un conjunto de 6 como 4 + 2, y
 10 maneras de dividir un conjunto de 6 como 3 + 3.

Similarmente,

 

porque hay

 15 formas de dividir un conjunto de 6 como 4 + 1 + 1,
 60 maneras de dividir un conjunto de 6 como 3 + 2 + 1, y
 15 formas de dividir un conjunto de 6 como 2 + 2 + 2.

Propiedades

Función de generación
Los polinomios de Bell parciales exponenciales se pueden definir mediante la expansión en una serie doble de su función de generación:

 

En otras palabras, por lo que equivale a lo mismo, por la expansión de la serie de la exponencial:
 
 
El polinomio de Bell exponencial completo se define mediante , o en otras palabras:

 

Por lo tanto, el n-ésimo polinomio de Bell completo viene dado por
 

Del mismo modo, el polinomio parcial "ordinario" de Bell se puede definir mediante la función generadora
 

O, de manera equivalente, por la expansión en serie de la exponencial

 

Vénase también las transformaciones generadoras de funciones para las expansiones de la función de generación de polinomios de Bell de las composiciones de la secuencia de la función generadora y potencias, logaritmos y funciones exponenciales de una función de generación de secuencia. Cada una de estas fórmulas se cita en las secciones respectivas de Comtet.

Relaciones de recurrencia

Los polinomios de Bell completos pueden definirse recurrentemente
 
con el valor inicial .

Los polinomios de Bell parciales también se pueden calcular de manera eficiente mediante una relación de recurrencia:
 
donde
 
 
 

Los polinomios de Bell completos también satisfacen la siguiente fórmula diferencial de recurrencia:

Forma determinante

El polinomio de Bell completo se puede expresar como un determinante:

Números de Stirling y números de Bell

El valor del polinomio de Bell Bn,k (x1, x2, ...) en la secuencia de factoriales es igual a un número de Stirling de primera especie sin signo:

 

El valor del polinomio de Bell Bn,k (x1, x2, ...) en la secuencia de unos es igual a un número de Stirling de segunda especie:
 
La suma de estos valores proporciona el valor del polinomio de Bell completo en la secuencia de unos:
 
que es el n-ésimo número de Bell.

Relaciones inversas
Si definimos

 

entonces tenemos la relación inversa

Polinomios de Touchard

El polinomio  de Touchard se puede expresar como el valor del polinomio de Bell completo en todos los argumentos que son x:

Identidad de convolución

Para las secuencias xn, yn, n = 1, 2, ..., se define un tipo de convolución por:

 

Téngase en cuenta que los límites de la suma son 1 y n - 1, no 0 y n.

Sea  el n-ésimo término de la secuencia

 

Entonces

 

Por ejemplo, calcúlese . Se tiene que

 

 

 

y por lo tanto,

Otras identidades

  que da el número de Lah.

  que da el número idempotente.

 Los polinomios de Bell completos satisfacen la relación de tipo binomial:

Ejemplos

Los primeros polinomios de Bell completos son:

Aplicaciones

La fórmula de Faà di Bruno

La fórmula de Faà di Bruno se puede establecer en términos de polinomios de Bell de la siguiente manera:

 

Del mismo modo, una versión de la serie de potencias de la fórmula de Faà di Bruno se puede establecer utilizando polinomios de Bell de la siguiente manera. Supóngase que

 

Entonces

 

En particular, los polinomios de Bell completos aparecen en el exponente de una serie formal de potencias:

 
que también representa la función generadora de los polinomios de Bell completos en una secuencia fija de argumentos .

Reversión de la serie

Sean dos funciones f y g que se expresan en series de potencias formales como

 

tal que g es el inverso compositivo de f definido por g (f (w)) = w o f (g (z)) = z. Si f0 = 0 y f1 ≠ 0, entonces una forma explícita de los coeficientes de la inversa se puede dar en términos de polinomios de Bell como

 

con  y  es el factorial ascendente, y

Expansión asintótica de integrales de tipo Laplace
Considérese la integral de la forma

 

donde (a, b) es un intervalo real (finito o infinito), λ es un parámetro positivo grande y las funciones f y g son continuas. Sea f con un mínimo único en [a, b] que se produce en x = a. Se asume que cuando x → a+,

 
 

con α > 0, Re(β) > 0; y que la expansión de f puede diferenciarse a largo plazo. Entonces, el teorema de Laplace-Erdelyi establece que la expansión asintótica de la integral I(λ) está dada por

 

donde los coeficientes  cn  son expresables en términos de an y bn usando polinomios de Bell parciales ordinarios, como los da la fórmula de Campbell-Froman-Walles-Wojdylo:

Polinomios simétricos

El polinomio elemental simétrico  y el polinomio suma de potencias simétrico  pueden relacionarse usando polinomios de Bell como:
 

Estas fórmulas permiten expresar los coeficientes de los polinomios monómicos en términos de los polinomios de Bell de sus ceros. Por ejemplo, junto con el teorema de Cayley-Hamilton conducen a la expresión del determinante de una matriz cuadrada A de dimensión n × n en términos de las trazas de sus potencias:

Índice de ciclo de grupos simétricos

El índice de ciclo del grupo simétrico  se puede expresar en términos de polinomios de Bell completos de la siguiente manera:

Momentos y cumulantes
La suma

 

es el n-ésimo momento en bruto de una distribución de probabilidad cuyos primeros n cumulantes son κ1, ...,  κn. En otras palabras, el n-ésimo momento es el n-ésimo polinomio completo de Bell evaluado en los primeros n cumulantes. Del mismo modo, el n-ésimo cumulante se puede dar en términos de los momentos como

Polinomios de Hermite
Los polinomios de Hermite usados en probabilidades se pueden expresar en términos de los polinomios de Bell como

 

donde xi = 0 para todo i > 2; permitiendo así una interpretación combinatoria de los coeficientes de los polinomios de Hermite. Esto se puede ver comparando la función generadora de los polinomios de Hermite

 

con la de los polinomios de Bell.

Representación de secuencias polinomiales de tipo binomial

Para cualquier secuencia a1, a2, ..., an de escalares, sea

 

Entonces esta secuencia polinomial es de tipo binomial, es decir, satisface la identidad binomial

 

 Ejemplo: Para a1 = ... = an = 1, los polinomios  representan los polinomios de Touchard.

De manera más general, tiene este resultado:

 Teorema: Todas las secuencias polinomiales de tipo binomial son de esta forma.

Si se define una serie de potencias formal

 

luego para todo n,

Programación
Los polinomios de Bell se implementan en:
 Mathematica como BellY
 Maple como IncompleteBellB
 SageMath como bell_polynomial

Véase también
 Matriz de Bell
 Fórmula exponencial

Referencias

Bibliografía

 
 
 
 
  (contiene también una revisión elemental del concepto Bell-polinomios)
 
 
 
 
 
 
 

Polinomios
Combinatoria enumerativa
En combinatoria , los polinomios de Bell , nombrados en honor de Eric Temple Bell , se utilizan en el estudio de las particiones establecidas . Están relacionados con los números de Stirling y con los números de Bell . También aparecen en muchas aplicaciones , como en la fórmula de Faà di Bruno . Polinomios de Bell Polinomios de Bell exponenciales Los polinomios de Bell exponenciales parciales o incompletos son una matriz triangular de polinomios dados por donde la suma se toma sobre todas las secuencias j1 , j2 , j3 , \ ... , jn−k+1 de números enteros no negativos tales que estas dos condiciones son satisfechas : La suma se llama n-ésimo polinomio de Bell exponencial completo . Polinomios de Bell ordinarios Del mismo modo , un polinomio de Bell parcial ordinario , en contraste con el polinomio de Bell exponencial habitual definido anteriormente , viene dado por donde la suma se ejecuta en todas las secuencias j1 , j2 , j3 , \ ... , jn−k+1 de enteros no negativos tales que Los polinomios de Bell ordinarios se pueden expresar en términos de polinomios de Bell exponenciales : En general , el término polinomio de Bell se refiere al polinomio de Bell exponencial , a menos que se establezca explícitamente lo contrario . Significado combinatorio El polinomio de Bell exponencial codifica la información relacionada con las formas en que se puede particionar un conjunto . Por ejemplo , si se considera un conjunto { A , B , C } , se puede dividir en dos subconjuntos no vacíos que no se superponen , que también se conoce como partes o bloques , de tres maneras diferentes : { { A } , { B , C } } { { B } , { A , C } } { { C } , { B , A } } Por lo tanto , se puede codificar la información con respecto a estas particiones como Aquí , los subíndices de B3,2 indican que se está considerando la partición del conjunto conelementos enbloques . El subíndice de cada xi indica la presencia de un bloque con elementos i ( o bloque de tamaño i ) en una partición dada . Entonces aquí , x2 indica la presencia de un bloque con dos elementos . Del mismo modo , x1 indica la presencia de un bloque con un solo elemento . El exponente de xij indica que hay j bloques de tamaño i en una sola partición . Aquí , dado que tanto x1 y x2 tienen el exponente esto indica que solo hay un bloque de ese tipo en una partición dada . El coeficiente del monomio indica cuántas particiones hay . En este caso , hayparticiones de un conjunto conelementos enbloques , donde en cada partición los elementos se dividen en dos bloques de tamañosy Como cualquier conjunto se puede dividir en un solo bloque de una sola manera , la interpretación anterior significa que Bn,1 = xn . Del mismo modo , dado que solo hay una forma de dividir un conjunto con n elementos en n bloques , Bn,n = x1n . Como un ejemplo más complicado , considérese Esto indica que si un conjunto conelementos se divide enbloques , entonces se pueden tenerparticiones con bloques de tamañoyparticiones con bloques de tamañoyyparticiones conbloques de tamaño Téngase en cuenta que la suma de los subíndices en un monomio es igual a la cantidad total de elementos . Por lo tanto , el número de monomios que aparecen en el polinomio parcial de Bell es igual al número de maneras en que el entero n se puede expresar como una suma de enteros positivos k . Esto es lo mismo que la partición de n en k partes . Por ejemplo , en los ejemplos anteriores , el número enteropuede dividir se en dos partes solo como+ Por lo tanto , solo hay un monomio en B3,2 . Sin embargo , el enterose puede dividir en dos partes como++y+ Por lo tanto , hay tres monomios en B6,2 . De hecho , los subíndices de las variables en un monomio son los mismos que los dados por la partición entera , indicando los tamaños de los diferentes bloques . El número total de monomios que aparecen en un polinomio de Bell completo Bn es por lo tanto igual al número total de particiones enteras de n . También debe tener se en cuenta que el grado de cada monomio , que es la suma de los exponentes de cada variable en el monomio , es igual al número de bloques en los que se divide el conjunto . Es decir , j1 + j2 + \ ... = k . Por lo tanto , dado un polinomio completo de Bell Bn , se puede separar el polinomio parcial de Bell Bn,k mediante la recopilación de todos los monomios con grado k . Finalmente , si se hace caso omiso de los tamaños de los bloques y se ponen todos los xi = x , entonces la suma de los coeficientes del polinomio parcial de Bell Bn,k dará el número total de formas que un conjunto con n elementos se puede dividir en k bloques , que es el mismo que el número de Stirling de segunda especie . Además , la suma de todos los coeficientes del polinomio de Bell completo Bn dará el número total de formas en que un conjunto con n elementos puede ser particionado en subconjuntos no superpuestos , que es el mismo que el número de Bell . En general , si el número entero n es particionado en una suma en la que " 1 " aparece j1 veces , " 2 " aparece j2 veces , y así sucesivamente , luego el número de particiones de un conjunto de tamaño n que colapsan en esa partición del número entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles es el coeficiente correspondiente en el polinomio . Ejemplos Por ejemplo , se tiene porque hay maneras de dividir un conjunto decomo+ 1 , formas de dividir un conjunto decomo+ 2 , y maneras de dividir un conjunto decomo+ 3 . Similarmente , porque hay formas de dividir un conjunto decomo+ 1 + 1 , maneras de dividir un conjunto decomo+ 2 + 1 , y formas de dividir un conjunto decomo+ 2 + 2 . Propiedades Función de generación Los polinomios de Bell parciales exponenciales se pueden definir mediante la expansión en una serie doble de su función de generación : En otras palabras , por lo que equivale a lo mismo , por la expansión de la serie de la exponencial : El polinomio de Bell exponencial completo se define mediante , o en otras palabras : Por lo tanto , el n-ésimo polinomio de Bell completo viene dado por Del mismo modo , el polinomio parcial " ordinario " de Bell se puede definir mediante la función generadora O , de manera equivalente , por la expansión en serie de la exponencial Vénase también las transformaciones generadoras de funciones para las expansiones de la función de generación de polinomios de Bell de las composiciones de la secuencia de la función generadora y potencias , logaritmos y funciones exponenciales de una función de generación de secuencia . Cada una de estas fórmulas se cita en las secciones respectivas de Comtet . Relaciones de recurrencia Los polinomios de Bell completos pueden definir se recurrentemente con el valor inicial \ . Los polinomios de Bell parciales también se pueden calcular de manera eficiente mediante una relación de recurrencia : donde Los polinomios de Bell completos también satisfacen la siguiente fórmula diferencial de recurrencia : Forma determinante El polinomio de Bell completo se puede expresar como un determinante : Números de Stirling y números de Bell El valor del polinomio de Bell Bn,k ( x1 , x2 , \ ... ) en la secuencia de factoriales es igual a un número de Stirling de primera especie sin signo : El valor del polinomio de Bell Bn,k ( x1 , x2 , \ ... ) en la secuencia de unos es igual a un número de Stirling de segunda especie : La suma de estos valores proporciona el valor del polinomio de Bell completo en la secuencia de unos : que es el n-ésimo número de Bell . Relaciones inversas Si definimos entonces tenemos la relación inversa Polinomios de Touchard El polinomio de Touchard se puede expresar como el valor del polinomio de Bell completo en todos los argumentos que son x: Identidad de convolución Para las secuencias xn , yn , n = \ ... , se define un tipo de convolución por : Téngase en cuenta que los límites de la suma sony n - 1 , noy n . Sea el n-ésimo término de la secuencia Entonces Por ejemplo , calcúlese \ . Se tiene que y por lo tanto , Otras identidades que da el número de Lah . que da el número idempotente . Los polinomios de Bell completos satisfacen la relación de tipo binomial : Ejemplos Los primeros polinomios de Bell completos son : Aplicaciones La fórmula de Faà di Bruno La fórmula de Faà di Bruno se puede establecer en términos de polinomios de Bell de la siguiente manera : Del mismo modo , una versión de la serie de potencias de la fórmula de Faà di Bruno se puede establecer utilizando polinomios de Bell de la siguiente manera . Supóngase que Entonces En particular , los polinomios de Bell completos aparecen en el exponente de una serie formal de potencias : que también representa la función generadora de los polinomios de Bell completos en una secuencia fija de argumentos \ . Reversión de la serie Sean dos funciones f y g que se expresan en series de potencias formales como tal que g es el inverso compositivo de f definido por g ( f ( w ) ) = w o f ( g ( z ) ) = z . Si f0 =y f1 ≠ entonces una forma explícita de los coeficientes de la inversa se puede dar en términos de polinomios de Bell como con y es el factorial ascendente , y Expansión asintótica de integrales de tipo Laplace Considérese la integral de la forma donde ( a , b ) es un intervalo real ( finito o infinito ) , λ es un parámetro positivo grande y las funciones f y g son continuas . Sea f con un mínimo único en [ a , b ] que se produce en x = a . Se asume que cuando x → a+ , con α > Re( β ) > y que la expansión de f puede diferenciar se a largo plazo . Entonces , el teorema de Laplace-Erdelyi establece que la expansión asintótica de la integral I( λ ) está dada por donde los coeficientes cn son expresables en términos de an y bn usando polinomios de Bell parciales ordinarios , como los da la fórmula de Campbell-Froman-Walles-Wojdylo : Polinomios simétricos El polinomio elemental simétrico y el polinomio suma de potencias simétrico pueden relacionar se usando polinomios de Bell como : Estas fórmulas permiten expresar los coeficientes de los polinomios monómicos en términos de los polinomios de Bell de sus ceros . Por ejemplo , junto con el teorema de Cayley-Hamilton conducen a la expresión del determinante de una matriz cuadrada A de dimensión n × n en términos de las trazas de sus potencias : Índice de ciclo de grupos simétricos El índice de ciclo del grupo simétrico se puede expresar en términos de polinomios de Bell completos de la siguiente manera : Momentos y cumulantes La suma es el n-ésimo momento en bruto de una distribución de probabilidad cuyos primeros n cumulantes son κ1 , \ ... , κn . En otras palabras , el n-ésimo momento es el n-ésimo polinomio completo de Bell evaluado en los primeros n cumulantes . Del mismo modo , el n-ésimo cumulante se puede dar en términos de los momentos como Polinomios de Hermite Los polinomios de Hermite usados en probabilidades se pueden expresar en términos de los polinomios de Bell como donde xi =para todo i > permitiendo así una interpretación combinatoria de los coeficientes de los polinomios de Hermite . Esto se puede ver comparando la función generadora de los polinomios de Hermite con la de los polinomios de Bell . Representación de secuencias polinomiales de tipo binomial Para cualquier secuencia a1 , a2 , \ ... , an de escalares , sea Entonces esta secuencia polinomial es de tipo binomial , es decir , satisface la identidad binomial Ejemplo : Para a1 = \ ... = an = los polinomios representan los polinomios de Touchard . De manera más general , tiene este resultado : Teorema : Todas las secuencias polinomiales de tipo binomial son de esta forma . Si se define una serie de potencias formal luego para todo n , Programación Los polinomios de Bell se implementan en : Mathematica como BellY Maple como IncompleteBellB SageMath como bell_polynomial Vea se también Matriz de Bell Fórmula exponencial Referencias Bibliografía ( contiene también una revisión elemental del concepto Bell-polinomios ) Polinomios Combinatoria enumerativa