Torsión (álgebra)
En álgebra abstracta el término torsión se refiere a los elementos de orden finito de un grupo y a los elementos de módulos anulados por elementos regulares de un anillo.

Definición 
Un elemento m de un módulo M sobre un anillo R es llamado un elemento de torsión del módulo si existe un elemento regular r del anillo que anula m, es decir 
En el caso especial en que R es un domino entero (es decir un anillo conmutativo sin divisores de cero), todo elemento distinto de cero es regular, entonces un elemento de torsión de un módulo M  sobre un dominio entero R es aquel que es eliminado por un elemento distinto de cero en el anillo. 

Un R-módulo M es llamado módulo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión. Por otro lado, M es llamado módulo libre de torsión si cero es el único elemento de torsión. Si el anillo R es un dominio entero entonces el conjunto de todos los elementos de torsión forma un submódulo de M llamado el  submódulo de torsión de M, a veces se denota T(M). Si R no es conmutativo, T(M) puede no ser un submódulo. En  se demuestra que R es un Anillo de Ore derecho si y solamente si T(M) es un submódulo de M para todos los R-módulos derechos. Como los dominios noetherianos derechos son anillos de Ore, esto cubre el caso cuando R es un dominio noetheriano derecho (que podría ser no conmutativo).

Más generalmente, sea M un R-módulo y S un magma multiplicativo de R. Un elemento m de M es llamado un elemento de S-torsion si existe un elemento s en S tal que s anula m, es decir  En especial uno puede tomar S como el set de los elementos regulares del anillo R y recobrar la definición anterior.

Un elemento g de un grupo G es llamado un elemento de torsi̟ón del grupo si tiene orden finito, es decir si existe un entero positivo m tal que gm = e, donde e denota la identidad en el grupo, y gm denota el producto de m copias de g. Un grupo es llamado grupo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión, y es llamado grupo libre de torsión si su único elemento de torsión es la identidad. Todo grupo abeliano puede ser visto como un Z-módulo, y en este caso las dos nociones de torsión coinciden.

Referencias

Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985,  
Irving Kaplansky, "Infinite abelian groups", University of Michigan, 1954.

Teoría de grupos abelianos
Teoría de los módulos
Álgebra abstracta
En álgebra abstracta el término torsión se refiere a los elementos de orden finito de un grupo y a los elementos de módulos anulados por elementos regulares de un anillo . Definición Un elemento m de un módulo M sobre un anillo R es llamado un elemento de torsión del módulo si existe un elemento regular r del anillo que anula m , es decir En el caso especial en que R es un domino entero ( es decir un anillo conmutativo sin divisores de cero ) , todo elemento distinto de cero es regular , entonces un elemento de torsión de un módulo M sobre un dominio entero R es aquel que es eliminado por un elemento distinto de cero en el anillo . Un R-módulo M es llamado módulo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión . Por otro lado , M es llamado módulo libre de torsión si cero es el único elemento de torsión . Si el anillo R es un dominio entero entonces el conjunto de todos los elementos de torsión forma un submódulo de M llamado el submódulo de torsión de M , a veces se denota T( M ) . Si R no es conmutativo , T ( M ) puede no ser un submódulo . En se demuestra que R es un Anillo de Ore derecho si y solamente si T ( M ) es un submódulo de M para todos los R-módulos derechos . Como los dominios noetherianos derechos son anillos de Ore , esto cubre el caso cuando R es un dominio noetheriano derecho ( que podría ser no conmutativo ) . Más generalmente , sea M un R-módulo y S un magma multiplicativo de R. Un elemento m de M es llamado un elemento de S-torsion si existe un elemento s en S tal que s anula m , es decir En especial uno puede tomar S como el set de los elementos regulares del anillo R y recobrar la definición anterior . Un elemento g de un grupo G es llamado un elemento de torsi̟ón del grupo si tiene orden finito , es decir si existe un entero positivo m tal que gm = e , donde e denota la identidad en el grupo , y gm denota el producto de m copias de g . Un grupo es llamado grupo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión , y es llamado grupo libre de torsión si su único elemento de torsión es la identidad . Todo grupo abeliano puede ser visto como un Z-módulo , y en este caso las dos nociones de torsión coinciden . Referencias Ernst Kunz , " Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry " , Birkhauser Irving Kaplansky , " Infinite abelian groups " , University of Michigan , Teoría de grupos abelianos Teoría de los módulos Álgebra abstracta