Polinomios de Jacobi
En matemáticas, los polinomios de Jacobi (ocasionalmente llamados polinomios hipergeométricos)  son una clase de polinomios ortogonales clásicos. Son ortogonales con respecto al peso
 en el intervalo . Los polinomios de Gegenbauer, y por lo tanto también los de Legendre, de Zernike y de Chebyshev, son casos especiales de los polinomios de Jacobi.

Los polinomios de Jacobi fueron introducidos por el matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851).

Definiciones

A través de la función hipergeométrica
Los polinomios de Jacobi se definen a través de la función hipergeométrica de la siguiente manera:

 

donde  es un símbolo de Pochhammer (para el factorial ascendente). En este caso, la serie para la función hipergeométrica es finita, por lo tanto, se obtiene la siguiente expresión equivalente:

La fórmula de Rodrigues
La fórmula de Rodrigues da una definición equivalente:

 

Si , entonces se reduce a los polinomios de Legendre:

Expresión alternativa para el argumento real
Para x real, el polinomio de Jacobi puede escribirse alternativamente como

 

y para un número entero n

 

donde  es la Función gamma.

En el caso especial de que las cuatro cantidades  y  son enteros no negativos, el polinomio de Jacobi se puede escribir como

La suma se extiende sobre todos los valores enteros de s para los cuales los argumentos de los factoriales no son negativos.

Propiedades básicas

Ortogonalidad
Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad

 

Como se define, no tienen una norma unitaria con respecto al peso. Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando .

Aunque no proporciona una base ortonormal, a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad:

Relación de simetría
Los polinomios tienen la relación de simetría

 

por lo tanto, el otro valor terminal es

Derivadas
La k-ésima derivada de la expresión explícita conduce a

Ecuación diferencial
El polinomio de Jacobi  es una solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden

Relaciones de recurrencia
La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de α, β fija es:

 

para n = 2, 3, ....

Dado que los polinomios de Jacobi se pueden describir en términos de la función hipergeométrica, las recurrencias de la función hipergeométrica dan recidivas equivalentes de los polinomios de Jacobi. En particular, las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades

Función de generación
La función generadora de los polinomios de Jacobi está dada por

 

de donde

 

y la rama de la raíz cuadrada se elige para que R (z, 0) = 1.

Polinomios de Jacobi asintóticos
Para x en el interior de , el término asintótico de  para n grande viene dado por la fórmula de Darboux

 

donde

 

y el término "O" es uniforme en el intervalo [ε, π-ε] para cada ε > 0.

Los polinomios asintóticos de Jacobi cerca de los puntos ±1 vienen dados por la formula de Mehler-Heine

 

donde los límites son uniformes para z en un dominio delimitado.

Los polinomios asintóticos fuera de  son menos explícitos.

Aplicaciones

Matriz D de Wigner
La expresión () permite la expresión de la matriz D de Wigner djm’,m(φ) (para 0 ≤ φ ≤ 4) en términos de polinomios de Jacobi:

Véase también
 Inecuación de Askey-Gasper
 Grandes polinomios q de Jacobi
 Polinomios continuos q de Jacobi
 Pequeños polinomios q de Jacobi
 Pseudo polinomios de Jacobi
 Proceso de Jacobi
 Polinomios de Gegenbauer
 Polinomios de Romanovski

Referencias

Lecturas relacionadas

Enlaces externos

Polinomios ortogonales
En matemáticas , los polinomios de Jacobi ( ocasionalmente llamados polinomios hipergeométricos ) son una clase de polinomios ortogonales clásicos . Son ortogonales con respecto al peso en el intervalo \ . Los polinomios de Gegenbauer , y por lo tanto también los de Legendre , de Zernike y de Chebyshev , son casos especiales de los polinomios de Jacobi . Los polinomios de Jacobi fueron introducidos por el matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi Definiciones A través de la función hipergeométrica Los polinomios de Jacobi se definen a través de la función hipergeométrica de la siguiente manera : donde es un símbolo de Pochhammer ( para el factorial ascendente ) . En este caso , la serie para la función hipergeométrica es finita , por lo tanto , se obtiene la siguiente expresión equivalente : La fórmula de Rodrigues La fórmula de Rodrigues da una definición equivalente : Si , entonces se reduce a los polinomios de Legendre : Expresión alternativa para el argumento real Para x real , el polinomio de Jacobi puede escribir se alternativamente como y para un número entero n donde es la Función gamma . En el caso especial de que las cuatro cantidades y son enteros no negativos , el polinomio de Jacobi se puede escribir como La suma se extiende sobre todos los valores enteros de s para los cuales los argumentos de los factoriales no son negativos . Propiedades básicas Ortogonalidad Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad Como se define , no tienen una norma unitaria con respecto al peso . Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior , cuando \ . Aunque no proporciona una base ortonormal , a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad : Relación de simetría Los polinomios tienen la relación de simetría por lo tanto , el otro valor terminal es Derivadas La k-ésima derivada de la expresión explícita conduce a Ecuación diferencial El polinomio de Jacobi es una solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden Relaciones de recurrencia La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de α , β fija es : para n = \ .... Dado que los polinomios de Jacobi se pueden describir en términos de la función hipergeométrica , las recurrencias de la función hipergeométrica dan recidivas equivalentes de los polinomios de Jacobi . En particular , las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades Función de generación La función generadora de los polinomios de Jacobi está dada por de donde y la rama de la raíz cuadrada se elige para que R ( z,= Polinomios de Jacobi asintóticos Para x en el interior de , el término asintótico de para n grande viene dado por la fórmula de Darboux donde y el término " O " es uniforme en el intervalo [ ε , π-ε ] para cada ε > Los polinomios asintóticos de Jacobi cerca de los puntos ±1 vienen dados por la formula de Mehler-Heine donde los límites son uniformes para z en un dominio delimitado . Los polinomios asintóticos fuera de son menos explícitos . Aplicaciones Matriz D de Wigner La expresión ( ) permite la expresión de la matriz D de Wigner djm’,m ( φ ) ( para≤ φ ≤en términos de polinomios de Jacobi : Vea se también Inecuación de Askey-Gasper Grandes polinomios q de Jacobi Polinomios continuos q de Jacobi Pequeños polinomios q de Jacobi Pseudo polinomios de Jacobi Proceso de Jacobi Polinomios de Gegenbauer Polinomios de Romanovski Referencias Lecturas relacionadas Enlaces externos Polinomios ortogonales