Polinomios de Fibonacci
En matemáticas, los polinomios de Fibonacci son una secuencia polinomial que se puede considerar como una generalización de la sucesión de Fibonacci. Los polinomios generados de forma similar al número de Lucas se llaman polinomios de Lucas.

Definición
Los polinomios de Fibonacci están definidos por una relación de recurrencia:

 

Los primeros polinomios de Fibonacci son:
 
 
 
 
 
 
 

Los polinomios de Lucas usan la misma recurrencia con diferentes valores iniciales:

Los primeros polinomios de Lucas son:

 
 
 
 
 
 
 

Los números de Fibonacci y Lucas se obtienen al dar valor a los polinomios en x = 1; los números de Pell resultan de asignar un valor a Fn en x = 2. Los grados de Fn son n − 1 y el grado de Ln es n. Las funciones generadoras ordinarias para las secuencias son:

 
 

Los polinomios se pueden expresar en términos de la sucesión de Lucas como

Identidades

Como casos particulares de secuencias de Lucas, los polinomios de Fibonacci satisfacen una serie de identidades.

Primero, pueden ser definidos por los índices negativos por
 
Otras identidades incluyen:
 
 
 
 
Las expresiones de forma cerrada, similares a la fórmula de Binet son:
 
donde
 
son las soluciones (en t) de
 
Una relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar viene dada por
 
Por ejemplo,

Interpretación combinatoria

Si F (n, k) es el coeficiente de xk en Fn(x), entonces
 
entonces F(n, k) es el número de maneras en que un rectángulo de n-1 por 1 puede ser recubierto con dominós de 2 por 1 y de 1 por 1, de modo que se usen exactamente k piezas de tamaño 1. Equivalentemente, F (n, k) es el número de formas de escribir n-1 como una suma ordenada que involucra solo los números 1 y 2, de modo que 1 se usa exactamente k veces. Por ejemplo, F(6,3) = 4, porque 5 (igual a n-1) se puede escribir con estas reglas de 4 maneras distintas: 1 + 1 + 1 + 2; 1 + 1 + 2 + 1; 1 + 2 + 1 + 1; 2 + 1 + 1 + 1; como una suma que involucra solo 1 y 2, con el número 1 usado 3 veces. Contando el número de veces que se usan 1 y 2 en tal suma, es evidente que F(n, k) es igual al coeficiente binomial
 
cuando n y k tienen paridad opuesta. Esto proporciona una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal como se muestra a la derecha.

Referencias

Bibliografía

Lecturas adicionales

Enlaces externos
 
 

Polinomios
Números de Fibonacci
En matemáticas , los polinomios de Fibonacci son una secuencia polinomial que se puede considerar como una generalización de la sucesión de Fibonacci . Los polinomios generados de forma similar al número de Lucas se llaman polinomios de Lucas . Definición Los polinomios de Fibonacci están definidos por una relación de recurrencia : Los primeros polinomios de Fibonacci son : Los polinomios de Lucas usan la misma recurrencia con diferentes valores iniciales : Los primeros polinomios de Lucas son : Los números de Fibonacci y Lucas se obtienen al dar valor a los polinomios en x = 1 ; los números de Pell resultan de asignar un valor a Fn en x = 2 . Los grados de Fn son n − 1 y el grado de Ln es n . Las funciones generadoras ordinarias para las secuencias son : Los polinomios se pueden expresar en términos de la sucesión de Lucas como Identidades Como casos particulares de secuencias de Lucas , los polinomios de Fibonacci satisfacen una serie de identidades . Primero , pueden ser definidos por los índices negativos por Otras identidades incluyen : Las expresiones de forma cerrada , similares a la fórmula de Binet son : donde son las soluciones ( en t ) de Una relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar viene dada por Por ejemplo , Interpretación combinatoria Si F ( n , k ) es el coeficiente de xk en Fn( x ) , entonces entonces F( n , k ) es el número de maneras en que un rectángulo de n-1 porpuede ser recubierto con dominós depory depor de modo que se usen exactamente k piezas de tamaño Equivalentemente , F ( n , k ) es el número de formas de escribir n-1 como una suma ordenada que involucra solo los númerosy de modo quese usa exactamente k veces . Por ejemplo , F( 6,3 ) = porque( igual a n-1 ) se puede escribir con estas reglas demaneras distintas:++++++++++++ como una suma que involucra soloy con el númerousadoveces . Contando el número de veces que se usanyen tal suma , es evidente que F( n , k ) es igual al coeficiente binomial cuando n y k tienen paridad opuesta . Esto proporciona una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal como se muestra a la derecha . Referencias Bibliografía Lecturas adicionales Enlaces externos Polinomios Números de Fibonacci