Formalismo post-newtoniano parametrizado
El formalismo post-newtoniano es una herramienta de cálculo que expresa las ecuaciones de gravedad de Einstein (no lineales) en términos de las desviaciones de orden más bajo de la ley de gravitación universal de Newton. Esto permite hacer aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles. Se pueden agregar términos de orden superior para aumentar la precisión, pero para campos fuertes, a veces es preferible resolver numéricamente las ecuaciones completas. Algunas de estas aproximaciones post-newtonianas son expansiones en un pequeño parámetro, que es la relación entre la velocidad de la materia que forma el campo gravitatorio y la velocidad de la luz, que en este caso es mejor llamada la velocidad de la gravedad. En el límite, cuando la velocidad fundamental de la gravedad se vuelve infinita, la expansión post-newtoniana se reduce a la ley de la gravedad de Newton.

El formalismo post-newtoniano parametrizado o el formalismo PNP (o PPN, por sus siglas en inglés), es una versión de esta formulación que detalla explícitamente los parámetros en los cuales una teoría general de la gravedad puede diferir de la gravedad newtoniana. Se utiliza como una herramienta para comparar la gravedad de Newton y Einstein en el límite en el que el campo gravitatorio es débil y generado por objetos que se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz. En general, el formalismo PPN se puede aplicar a todas las teorías métricas de la gravitación en las que todos los cuerpos satisfacen el principio de equivalencia de Einstein (EEP). La velocidad de la luz permanece constante en el formalismo de la PPN y asume que el tensor métrico es siempre simétrico.

Historia 
Las primeras parametrizaciones de la aproximación post-newtoniana fueron realizadas por Sir Arthur Stanley Eddington en 1922. Sin embargo, trataron únicamente el campo gravitacional de vacío fuera de un cuerpo esférico aislado. El Dr. Ken Nordtvedt (1968, 1969) amplió esto para incluir siete parámetros. Clifford Martin Will (1971) introdujo una descripción estresada y continua de la materia de los cuerpos celestes.

Las versiones descritas aquí se basan en Wei-Tou Ni (1972), Will y Nordtvedt (1972), Charles W. Misner et al. (1973), y Will (1981, 1993) y tienen diez parámetros.

Notación beta-delta 

Diez parámetros post-newtonianos caracterizan completamente el comportamiento de campo débil de la teoría. El formalismo ha sido una herramienta valiosa en las pruebas de relatividad general. En la notación de Will (1971), Ni (1972) y Misner et al. (1973) tienen los siguientes valores:

es el tensor métrico simétrico de 4 por 4 con los índices  y  que van de 0 a 3. A continuación, un índice de 0 indicará la hora la dirección y los índices  y  (que van de 1 a 3) indicarán direcciones espaciales.

En la teoría de Einstein, los valores de estos parámetros se eligen (1) para que se ajuste a la Ley de gravedad de Newton en el límite de velocidades y masas que se aproximan a cero, (2) para garantizar la conservación de la energía, la masa, el momento y el momento angular, y (3 ) para hacer las ecuaciones independientes del sistema de referencia. En esta notación, la relatividad general tiene parámetros PPN  y

Notación alfa-zeta 

En la notación más reciente de Will & Nordtvedt (1972) y Will (1981, 1993, 2006) se utiliza un conjunto diferente de diez parámetros de PPN.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
  se calcula a partir de 

El significado de estos es que ,  y  miden la extensión de los efectos de cuadro preferidos. , , ,  y  mide el fracaso de la conservación de la energía, el momento y el momento angular.

En esta notación, la relatividad general tiene parámetros PPN.

  and 

La relación matemática entre la métrica, los potenciales métricos y los parámetros PPN para esta notación es:

 
 
 
 
donde se suman los índices repetidos.   está en el orden de los potenciales, como , la magnitud cuadrada de las velocidades de coordenadas de la materia, etc.  es el vector de velocidad del sistema de coordenadas PPN Con relación a la media del resto del universo.   es la magnitud cuadrada de esa velocidad.  si y solo si ,  de lo contrario.

Hay diez potenciales métricos, , , ,  , , , , ,   and  una para cada parámetro PPN para asegurar una solución única. 10 ecuaciones lineales en 10 incógnitas se resuelven invirtiendo una matriz de 10 por 10. Estos potenciales métricos tienen formas tales como:

 

que es simplemente otra forma de escribir el potencial gravitatorio newtoniano,

 
 
 
 
 
 
 
 
 

donde  es la densidad de la masa en reposo,  es la energía interna por unidad de masa en reposo,  es la presión medida en un marco local que cae libremente momentáneamente en relación con la materia y  es la velocidad de coordenadas de la materia.

Tensor de tensión-energía para que un fluido perfecto tome forma.

Cómo aplicar PPN 

En Will (1981, 1993) se pueden encontrar ejemplos del proceso de aplicar el formalismo PPN a teorías alternativas de la gravedad. Es un proceso de nueve pasos:

 Paso 1: identifique las variables, que pueden incluir: (a) variables gravitacionales dinámicas como la métrica , campo escalar , campo vectorial ,  campo de tensor  y así sucesivamente; (b) variables geométricas anteriores, como una métrica de fondo plano , función de tiempo cósmico , y así sucesivamente; (c) variables de materia y campo no gravitacional.
 Paso 2: Establecer las condiciones de los límites cosmológicos. Supongamos una cosmología isotrópica homogénea, con coordenadas isotrópicas en el marco de descanso del universo. Una solución cosmológica completa puede o no ser necesaria. Llame a los resultados , , , .
 Paso 3: Obtenga nuevas variables de , with ,  or  si es necesario.
 Paso 4: Sustituya estas formas en las ecuaciones de campo, manteniendo solo los términos que sean necesarios para obtener una solución final consistente para . Sustituya el tensor de tensión de fluido perfecto para las fuentes de materia.
 Paso 5: Resuelva para  to . Suponiendo que esto tiende a cero lejos del sistema, uno obtiene la forma  donde   es el potencial gravitacional newtoniano y  puede ser una función complicada incluyendo la "constante" gravitacional . La métrica newtoniana tiene la forma , , . El trabajo en unidades donde la "constante" gravitacional medida hoy lejos de la materia gravitatoria es la unidad, así que establezca .
 Paso 6: De las versiones linealizadas de las ecuaciones de campo, resuelva de  to  y  a .
 Paso 7: Resuelva para  a . Este es el paso más complicado, que involucra todas las no linealidades en las ecuaciones de campo. El tensor de tensión-energía también debe expandirse al orden suficiente.
 Paso 8: Convertir a coordenadas cuasi-cartesianas locales y al calibre PPN estándar.
 Paso 9: Al comparar el resultado de  con las ecuaciones presentadas en PPN con parámetros alfa-zeta, lea los valores de los parámetros de PPN.

Comparaciones entre teorías de la gravedad. 
Se puede encontrar una tabla que compara los parámetros PPN para 23 teorías de la gravedad en Alternativas a los parámetros PPN de relatividad general para un rango de teorías.

La mayoría de las teorías métricas de la gravedad se pueden agrupar en categorías. Las teorías escalares de la gravitación incluyen teorías conformes planas y teorías estratificadas con segmentos espaciales ortogonales en el tiempo.

En teorías conformes planas como la teoría de la gravedad de Nordström, la métrica viene dada por  y para esta métrica  , que violentamente No está de acuerdo con las observaciones. En teorías estratificadas como la teoría de Yilmaz de la gravitación, la métrica viene dada por  y para esta métrica , que también discrepa violentamente con las observaciones.

Otra clase de teorías son las teorías cuasilíneas como la teoría de la gravitación de Whitehead. Para estos .  Las magnitudes relativas de los armónicos de las mareas de la Tierra dependen de  y , y las mediciones muestran que las teorías cuasilineales no están de acuerdo con las observaciones de las mareas de la Tierra.

Otra clase de teorías métricas es la teoría bimétrica. Para todos estos  no es cero. Por la precesión del giro solar, sabemos que , y que efectivamente elimina las teorías bimétricas.

Otra clase de teorías métricas son las teorías del tensor escalar, como la teoría de Brans-Dicke. Para todos estos, . El límite de  significa que  tendría que ser muy grande, por lo que estas teorías son cada vez menos probables a medida que mejora la precisión experimental.

La clase principal final de las teorías métricas son las teorías vectoriales del tensor. Para todos estos, la "constante" gravitacional varía con el tiempo y  no es cero. Los experimentos con rayos láser lunares restringen fuertemente la variación de la "constante" gravitacional con el tiempo y , por lo que estas teorías también parecen improbables.

Existen algunas teorías métricas de la gravedad que no encajan en las categorías anteriores, pero tienen problemas similares.

Precisión a partir de pruebas experimentales. 

Límites en los parámetros de PPN Will (2006) y Will (2014)

† 

‡ Basada en  de Will (1976, 2006). Teóricamente es posible que un modelo de gravedad alternativo omita este límite, en cuyo caso el límite es  de Ni (1972).

Véase también 

 Gravedad linealizada
 Parámetro de Peskin-Takeuchi lo mismo que PPN, pero para la teoría electrodébil en lugar de la gravitación
 Pruebas de relatividad general.

Referencias 

 Eddington, A. S. (1922) La teoría matemática de la relatividad, Cambridge University Press.
 Misner, C. W., Thorne, K. S. y Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co.
 Nordtvedt Jr, K. (1968) Principio de equivalencia para cuerpos masivos II: Teoría, Física. Rev. 169, 1017-1025.
 Nordtvedt Jr, K. (1969) Principio de equivalencia para cuerpos masivos, incluida la energía de rotación y la presión de radiación, Phys. Rev. 180, 1293-1298.
 Will, C. M. (1971). Marcos teóricos para probar la gravedad relativista II: la hidrodinámica post-newtoniana parametrizada y el efecto Nordtvedt, Astrophys. J. 163, 611-628.
 Will, C. M. (1976) Masa activa en la gravedad relativista: interpretación teórica del experimento de Kreuzer, Astrophys. J., 204, 224-234.
 Will, C. M. (1981, 1993) Teoría y Experimento en Física Gravitacional, Cambridge University Press. .
 Will, C. M., (2006) La confrontación entre la relatividad general y el experimento, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
 Will, C. M., y Nordtvedt Jr., K (1972) Leyes de conservación y marcos preferidos en la gravedad relativista I, The Astrophysical Journal 177, 757.

Relatividad general
El formalismo post-newtoniano es una herramienta de cálculo que expresa las ecuaciones de gravedad de Einstein ( no lineales ) en términos de las desviaciones de orden más bajo de la ley de gravitación universal de Newton . Esto permite hacer aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles . Se pueden agregar términos de orden superior para aumentar la precisión , pero para campos fuertes , a veces es preferible resolver numéricamente las ecuaciones completas . Algunas de estas aproximaciones post-newtonianas son expansiones en un pequeño parámetro , que es la relación entre la velocidad de la materia que forma el campo gravitatorio y la velocidad de la luz , que en este caso es mejor llamada la velocidad de la gravedad . En el límite , cuando la velocidad fundamental de la gravedad se vuelve infinita , la expansión post-newtoniana se reduce a la ley de la gravedad de Newton . El formalismo post-newtoniano parametrizado o el formalismo PNP ( o PPN , por sus siglas en inglés ) , es una versión de esta formulación que detalla explícitamente los parámetros en los cuales una teoría general de la gravedad puede diferir de la gravedad newtoniana . Se utiliza como una herramienta para comparar la gravedad de Newton y Einstein en el límite en el que el campo gravitatorio es débil y generado por objetos que se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz . En general , el formalismo PPN se puede aplicar a todas las teorías métricas de la gravitación en las que todos los cuerpos satisfacen el principio de equivalencia de Einstein ( EEP ) . La velocidad de la luz permanece constante en el formalismo de la PPN y asume que el tensor métrico es siempre simétrico . Historia Las primeras parametrizaciones de la aproximación post-newtoniana fueron realizadas por Sir Arthur Stanley Eddington en Sin embargo , trataron únicamente el campo gravitacional de vacío fuera de un cuerpo esférico aislado . El Dr . Ken Nordtvedtamplió esto para incluir siete parámetros . Clifford Martin Willintrodujo una descripción estresada y continua de la materia de los cuerpos celestes . Las versiones descritas aquí se basan en Wei-Tou Ni Will y Nordtvedt Charles W. Misner et al . y Willy tienen diez parámetros . Notación beta-delta Diez parámetros post-newtonianos caracterizan completamente el comportamiento de campo débil de la teoría . El formalismo ha sido una herramienta valiosa en las pruebas de relatividad general . En la notación de Will Niy Misner et al.tienen los siguientes valores : es el tensor métrico simétrico deporcon los índices y que van dea A continuación , un índice deindicará la hora la dirección y los índices y ( que van deaindicarán direcciones espaciales . En la teoría de Einstein , los valores de estos parámetros se eligenpara que se ajuste a la Ley de gravedad de Newton en el límite de velocidades y masas que se aproximan a cero,para garantizar la conservación de la energía , la masa , el momento y el momento angular , y ) para hacer las ecuaciones independientes del sistema de referencia . En esta notación , la relatividad general tiene parámetros PPN y Notación alfa-zeta En la notación más reciente de Will & Nordtvedty Willse utiliza un conjunto diferente de diez parámetros de PPN . se calcula a partir de El significado de estos es que , y miden la extensión de los efectos de cuadro preferidos . , , , y mide el fracaso de la conservación de la energía , el momento y el momento angular . En esta notación , la relatividad general tiene parámetros PPN. and La relación matemática entre la métrica , los potenciales métricos y los parámetros PPN para esta notación es : donde se suman los índices repetidos . está en el orden de los potenciales , como , la magnitud cuadrada de las velocidades de coordenadas de la materia , etc. es el vector de velocidad del sistema de coordenadas PPN Con relación a la media del resto del universo . es la magnitud cuadrada de esa velocidad . si y solo si , de lo contrario . Hay diez potenciales métricos , , , , , , , , , and una para cada parámetro PPN para asegurar una solución única.ecuaciones lineales enincógnitas se resuelven invirtiendo una matriz depor Estos potenciales métricos tienen formas tales como : que es simplemente otra forma de escribir el potencial gravitatorio newtoniano , donde es la densidad de la masa en reposo , es la energía interna por unidad de masa en reposo , es la presión medida en un marco local que cae libremente momentáneamente en relación con la materia y es la velocidad de coordenadas de la materia . Tensor de tensión-energía para que un fluido perfecto tome forma . Cómo aplicar PPN En Willse pueden encontrar ejemplos del proceso de aplicar el formalismo PPN a teorías alternativas de la gravedad . Es un proceso de nueve pasos : Paso identifique las variables , que pueden incluir : ( a ) variables gravitacionales dinámicas como la métrica , campo escalar , campo vectorial , campo de tensor y así sucesivamente ; ( b ) variables geométricas anteriores , como una métrica de fondo plano , función de tiempo cósmico , y así sucesivamente ; ( c ) variables de materia y campo no gravitacional . Paso Establecer las condiciones de los límites cosmológicos . Supongamos una cosmología isotrópica homogénea , con coordenadas isotrópicas en el marco de descanso del universo . Una solución cosmológica completa puede o no ser necesaria . Llame a los resultados , , , \ . Paso Obtenga nuevas variables de , with , or si es necesario . Paso Sustituya estas formas en las ecuaciones de campo , manteniendo solo los términos que sean necesarios para obtener una solución final consistente para \ . Sustituya el tensor de tensión de fluido perfecto para las fuentes de materia . Paso Resuelva para to \ . Suponiendo que esto tiende a cero lejos del sistema , uno obtiene la forma donde es el potencial gravitacional newtoniano y puede ser una función complicada incluyendo la " constante " gravitacional \ . La métrica newtoniana tiene la forma , , \ . El trabajo en unidades donde la " constante " gravitacional medida hoy lejos de la materia gravitatoria es la unidad , así que establezca \ . Paso De las versiones linealizadas de las ecuaciones de campo , resuelva de to y a \ . Paso Resuelva para a \ . Este es el paso más complicado , que involucra todas las no linealidades en las ecuaciones de campo . El tensor de tensión-energía también debe expandir se al orden suficiente . Paso Convertir a coordenadas cuasi-cartesianas locales y al calibre PPN estándar . Paso Al comparar el resultado de con las ecuaciones presentadas en PPN con parámetros alfa-zeta , lea los valores de los parámetros de PPN . Comparaciones entre teorías de la gravedad . Se puede encontrar una tabla que compara los parámetros PPN parateorías de la gravedad en Alternativas a los parámetros PPN de relatividad general para un rango de teorías . La mayoría de las teorías métricas de la gravedad se pueden agrupar en categorías . Las teorías escalares de la gravitación incluyen teorías conformes planas y teorías estratificadas con segmentos espaciales ortogonales en el tiempo . En teorías conformes planas como la teoría de la gravedad de Nordström , la métrica viene dada por y para esta métrica , que violentamente No está de acuerdo con las observaciones . En teorías estratificadas como la teoría de Yilmaz de la gravitación , la métrica viene dada por y para esta métrica , que también discrepa violentamente con las observaciones . Otra clase de teorías son las teorías cuasilíneas como la teoría de la gravitación de Whitehead . Para estos \ . Las magnitudes relativas de los armónicos de las mareas de la Tierra dependen de y , y las mediciones muestran que las teorías cuasilineales no están de acuerdo con las observaciones de las mareas de la Tierra . Otra clase de teorías métricas es la teoría bimétrica . Para todos estos no es cero . Por la precesión del giro solar , sabemos que , y que efectivamente elimina las teorías bimétricas . Otra clase de teorías métricas son las teorías del tensor escalar , como la teoría de Brans-Dicke . Para todos estos , \ . El límite de significa que tendría que ser muy grande , por lo que estas teorías son cada vez menos probables a medida que mejora la precisión experimental . La clase principal final de las teorías métricas son las teorías vectoriales del tensor . Para todos estos , la " constante " gravitacional varía con el tiempo y no es cero . Los experimentos con rayos láser lunares restringen fuertemente la variación de la " constante " gravitacional con el tiempo y , por lo que estas teorías también parecen improbables . Existen algunas teorías métricas de la gravedad que no encajan en las categorías anteriores , pero tienen problemas similares . Precisión a partir de pruebas experimentales . Límites en los parámetros de PPN Willy Will † ‡ Basada en de Will Teóricamente es posible que un modelo de gravedad alternativo omita este límite , en cuyo caso el límite es de Ni Vea se también Gravedad linealizada Parámetro de Peskin-Takeuchi lo mismo que PPN , pero para la teoría electrodébil en lugar de la gravitación Pruebas de relatividad general . Referencias Eddington , A . S.La teoría matemática de la relatividad , Cambridge University Press . Misner , C. W. , Thorne , K. S. y Wheeler , J. A.Gravitation , W. H . Freeman and Co . Nordtvedt Jr , K.Principio de equivalencia para cuerpos masivos II : Teoría , Física . Rev . Nordtvedt Jr , K.Principio de equivalencia para cuerpos masivos , incluida la energía de rotación y la presión de radiación , Phys . Rev . Will , C. M. Marcos teóricos para probar la gravedad relativista II : la hidrodinámica post-newtoniana parametrizada y el efecto Nordtvedt , Astrophys . J. Will , C . M.Masa activa en la gravedad relativista : interpretación teórica del experimento de Kreuzer , Astrophys . J. , Will , C. M.Teor ía y Experimento en Física Gravitacional , Cambridge University Press. \ . Will , C. M. ,La confrontación entre la relatividad general y el experimento , https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/ Will , C. M. , y Nordtvedt Jr. , KLeyes de conservación y marcos preferidos en la gravedad relativista I , The Astrophysical Journal Relatividad general