Courbe de Montgomery
En mathématiques, la courbe de Montgomery est une forme de courbe elliptique, introduite par Peter L. Montgomery en 1987. Si une courbe elliptique peut en général être présentée sous forme de Weierstrass, la forme de Montgomery permet d’accélérer les opérations d'addition sur la courbe dans les corps finis, ce qui est un avantage dans de nombreuses applications de cryptographie et de factorisation. Les courbes de Montgomery sont également en équivalence birationnelle avec les courbes d'Edwards.

Définition 

Une courbe de Montgomery sur un corps  de caractéristique différente de 2 est définie par l'équation

pour certain    avec . Si les corps finis sont le lieu naturel des applications cryptographiques, la même équation est utilisée pour l'algorithme de Lenstra sur l'anneau , et on peut également considérer la courbe sur le corps des rationnels .

Arithmétique sur les courbes de Montgomery 
L'introduction des courbes de Montgomery est motivée par l'existence d'un algorithme d'addition de points plus efficace que sur une courbe elliptique générale. Cet algorithme, découvert par Montgomery et qui porte aujourd'hui son nom, peut être vu comme un cas particulier d'addition sur la surface de Kummer correspondante.

Surface de Kummer et coordonnées de Montgomery 
On se place déjà en coordonnées projectives :  avec  si et seulement s'il existe  tel que  . L'idée de Montgomery et d'ensuite oublier la coordonnée , et d'écrire la loi de groupe uniquement en termes de  et .

Dans les applications où seule la coordonnée  est utilisée, telle que l'échange de clé de Diffie-Hellman sur courbes elliptiques, cette information est suffisante : c'est pourquoi une courbe de Montgomery telle que Curve25519 peut tout à fait être utilisée dans ce contexte.

Échelle de Montgomery 
Supposons que et avec , alors on a directement

c'est-à-dire trois multiplications et deux mises au carré dans , les opérations d'addition et soustraction d'éléments de corps étant négligeables. Une formule pour le doublement (correspondant à ) est également aisément obtenue :

où on a préalablement calculé

Annexes

Notes

Références

Bibliographie 
 
 
 

Courbe elliptique
Cryptographie
En mathématiques , la courbe de Montgomery est une forme de courbe elliptique , introduite par Peter L. Montgomery en Si une courbe elliptique peut en général être présentée sous forme de Weierstrass , la forme de Montgomery permet d’ accélérer les opérations d' addition sur la courbe dans les corps finis , ce qui est un avantage dans de nombreuses applications de cryptographie et de factorisation . Les courbes de Montgomery sont également en équivalence birationnelle avec les courbes d' Edwards . Définition Une courbe de Montgomery sur un corps de caractéristique différente deest définie par l' équation pour certain avec \ . Si les corps finis sont le lieu naturel de les applications cryptographiques , la même équation est utilisée pour l' algorithme de Lenstra sur l' anneau , et on peut également considérer la courbe sur le corps de les rationnels \ . Arithmétique sur les courbes de Montgomery L' introduction de les courbes de Montgomery est motivée par l' existence d' un algorithme d' addition de points plus efficace que sur une courbe elliptique générale . Cet algorithme , découvert par Montgomery et qui porte aujourd'hui son nom , peut être vu comme un cas particulier d' addition sur la surface de Kummer correspondante . Surface de Kummer et coordonnées de Montgomery On se place déjà en coordonnées projectives \ : avec si et seulement s' il existe tel que \ . L' idée de Montgomery et d' ensuite oublier la coordonnée , et d' écrire la loi de groupe uniquement en termes de et \ . Dans les applications où seule la coordonnée est utilisée , telle que l' échange de clé de Diffie-Hellman sur courbes elliptiques , cette information est suffisante \ : c' est pourquoi une courbe de Montgomery telle que Curve25519 peut tout à fait être utilisée dans ce contexte . Échelle de Montgomery Supposons que et avec , alors on a directement c'est-à-dire trois multiplications et deux mises à le carré dans , les opérations d' addition et soustraction d' éléments de corps étant négligeables . Une formule pour le doublement ( correspondant à ) est également aisément obtenue \ : où on a préalablement calculé Annexes Notes Références Bibliographie Courbe elliptique Cryptographie