Identité trigonométrique pythagoricienne
L'identité trigonométrique pythagoricienne exprime le théorème de Pythagore en termes de fonctions trigonométriques. Avec les formules de somme d'angles, c'est l'une des relations fondamentales entre les fonctions sinus et cosinus. Cette relation entre le sinus et le cosinus est parfois appelée l'identité trigonométrique fondamentale de Pythagore.

Cette identité trigonométrique est donnée par la formule : 
, où  signifie .

Si la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à 1, alors la longueur de l'un des deux côtés est le sinus de l'angle opposé et est également le cosinus de l'angle aigu adjacent. Par conséquent, cette identité trigonométrique découle du théorème de Pythagore.

Preuve basée sur les triangles rectangles 

Tous les triangles semblables ont la propriété que si nous sélectionnons le même angle dans chacun d'eux, le rapport des deux côtés définissant l'angle est le même quel que soit le triangle similaire choisi, indépendamment de sa taille réelle : les rapports dépendent des trois angles, pas les longueurs des côtés. Ainsi, le rapport de son côté horizontal à son hypoténuse est le même, à savoir .

Les définitions élémentaires des fonctions sinus et cosinus en termes de côtés d'un triangle rectangle sont :
 

 
L'identité pythagoricienne suit en mettant au carré les deux définitions ci-dessus, et en les additionnant, le côté gauche de l'identité devient alors
 
qui, par le théorème de Pythagore, est égal à 1. Cette définition est valable pour tous les angles, en raison de la définition de définition  et  pour le cercle unité, ainsi  et  pour un cercle de rayon , avec  et .

Alternativement, les identités de symétrie trigonométrique, et les changements et la périodicité peuvent être utilisés. Par les identités de périodicité on peut dire que si la formule est vraie pour  alors elle est vraie pour tout  réel. Ensuite, nous prouvons l'encadrement , pour ce faire, nous poserons . t sera maintenant dans l'intervalle . Nous pouvons alors dire que :
 
Il ne reste plus qu'à le prouver pour . Cela peut être fait en mettant au carré les identités de symétrie pour obtenir

Identités associées 

Les identités
 
et
 
sont également appelées identités trigonométriques pythagoriciennes. Si un côté d'un triangle rectangle est de longueur 1, alors la tangente de l'angle adjacent à ce côté est la longueur de l'autre côté, et la sécante de l'angle est la longueur de l'hypoténuse.
 
et
 
De cette manière, cette identité trigonométrique impliquant la tangente et la sécante découle du théorème de Pythagore. Les identités trigonométriques impliquant la cotangente et la cosécante découle également du théorème de Pythagore.

Le tableau suivant donne les identités avec le facteur ou le diviseur qui les relie à l'identité principale.

Preuve utilisant le cercle unité 

Le cercle unité centré à l'origine du plan euclidien est défini par l'équation:
 
Soit un angle , il y a un unique point P sur le cercle unitaire par rapport à l'axe des abscisses, et les coordonnées x et y de P sont:
 
Par conséquent, on en déduit,
 
l'identité pythagoricienne. Puisque les axes sont perpendiculaires, cette identité de Pythagore est en fait équivalente au théorème de Pythagore pour les triangles ayant une longueur d'hypoténuse de 1.

Preuve utilisant les séries entières 
Les fonctions trigonométriques peuvent également être définies en utilisant des séries entières, à savoir (pour x en radians):
 
En utilisant la loi de multiplication formelle pour les séries, on obtient
 
Dans l'expression de , n doit être au moins supérieur à 1, tandis que dans l'expression de , le coefficient constant est égal à 1. Les termes restants de leur somme sont
 
par la formule du binôme. Par conséquent,
 
qui est l'identité trigonométrique pythagoricienne.

Cette définition construit les fonctions  et  de manière rigoureuse et prouve qu'elles sont dérivables.

Preuve utilisant une étude de fonction 
Soit  la fonction qui, à , associe . On note que, pour , la fonction  prend la valeur 1. Pour prouver l'identité, il suffit de prouver que  est constante, et pour cela, il suffit de vérifier que sa dérivée est nulle. Or :
 
Donc  pour tout . L'identité pythagoricienne est ainsi établie.

Cette preuve de l'identité n'a aucun lien direct avec la démonstration d'Euclide du théorème de Pythagore.

Notes et références

Articles connexes 
 Théorème de Pythagore
 Identité trigonométrique
 Cercle unité
 Série entière
 Équation différentielle

Identité mathématique
Trigonométrie
L' identité trigonométrique pythagoricienne exprime le théorème de Pythagore en termes de fonctions trigonométriques . Avec les formules de somme d' angles , c' est l' une de les relations fondamentales entre les fonctions sinus et cosinus . Cette relation entre le sinus et le cosinus est parfois appelée l' identité trigonométrique fondamentale de Pythagore . Cette identité trigonométrique est donnée par la formule \ : où signifie \ . Si la longueur de l' hypoténuse d' un triangle rectangle est égale à alors la longueur de l' un de les deux côtés est le sinus de l' angle opposé et est également le cosinus de l' angle aigu adjacent . Par conséquent , cette identité trigonométrique découle de le théorème de Pythagore . Preuve basée sur les triangles rectangles Tous les triangles semblables ont la propriété que si nous sélectionnons le même angle dans chacun d' eux , le rapport de les deux côtés définissant l' angle est le même quel que soit le triangle similaire choisi , indépendamment de sa taille réelle \ : les rapports dépendent de les trois angles , pas les longueurs de les côtés . Ainsi , le rapport de son côté horizontal à son hypoténuse est le même , à savoir \ . Les définitions élémentaires de les fonctions sinus et cosinus en termes de côtés d' un triangle rectangle sont \ : L' identité pythagoricienne suit en mettant à le carré les deux définitions ci-dessus , et en les additionnant , le côté gauche de l' identité devient alors qui , par le théorème de Pythagore , est égal à Cette définition est valable pour tous les angles , en raison de la définition de définition et pour le cercle unité , ainsi et pour un cercle de rayon , avec et \ . Alternativement , les identités de symétrie trigonométrique , et les changements et la périodicité peuvent être utilisés . Par les identités de périodicité on peut dire que si la formule est vraie pour alors elle est vraie pour tout réel . Ensuite , nous prouvons l' encadrement , pour ce faire , nous poserons \ . t sera maintenant dans l' intervalle \ . Nous pouvons alors dire que \ : Il ne reste plus qu' à le prouver pour \ . Cela peut être fait en mettant à le carré les identités de symétrie pour obtenir Identités associées Les identités et sont également appelées identités trigonométriques pythagoriciennes . Si un côté d' un triangle rectangle est de longueur alors la tangente de l' angle adjacent à ce côté est la longueur de l' autre côté , et la sécante de l' angle est la longueur de l' hypoténuse . et De cette manière , cette identité trigonométrique impliquant la tangente et la sécante découle de le théorème de Pythagore . Les identités trigonométriques impliquant la cotangente et la cosécante découle également de le théorème de Pythagore . Le tableau suivant donne les identités avec le facteur ou le diviseur qui les relie à l' identité principale . Preuve utilisant le cercle unité Le cercle unité centré à l' origine de le plan euclidien est défini par l' équation : Soit un angle , il y a un unique point P sur le cercle unitaire par rapport à l' axe de les abscisses , et les coordonnées x et y de P sont : Par conséquent , on en déduit , l' identité pythagoricienne . Puisque les axes sont perpendiculaires , cette identité de Pythagore est en fait équivalente à le théorème de Pythagore pour les triangles ayant une longueur d' hypoténuse de Preuve utilisant les séries entières Les fonctions trigonométriques peuvent également être définies en utilisant de les séries entières , à savoir ( pour x en radians ) : En utilisant la loi de multiplication formelle pour les séries , on obtient Dans l' expression de , n doit être à le moins supérieur à tandis que dans l' expression de , le coefficient constant est égal à Les termes restants de leur somme sont par la formule de le binôme . Par conséquent , qui est l' identité trigonométrique pythagoricienne . Cette définition construit les fonctions et de manière rigoureuse et prouve qu' elles sont dérivables . Preuve utilisant une étude de fonction Soit la fonction qui , à , associe \ . On note que , pour , la fonction prend la valeur Pour prouver l' identité , il suffit de prouver que est constante , et pour cela , il suffit de vérifier que sa dérivée est nulle . Or \ : Donc pour tout \ . L' identité pythagoricienne est ainsi établie . Cette preuve de l' identité n' a aucun lien direct avec la démonstration d' Euclide de le théorème de Pythagore . Notes et références Articles connexes Théorème de Pythagore Identité trigonométrique Cercle unité Série entière Équation différentielle Identité mathématique Trigonométrie