Loi de réciprocité d'Artin
En mathématiques, la loi de réciprocité d'Artin est un résultat important de théorie des nombres établi par Emil Artin dans une série d'articles publiés entre 1924 et 1930. Au cœur de la théorie du corps de classe, la réciprocité d'Artin tire son nom d'une parenté avec la réciprocité quadratique introduite par Gauss, et d'autres lois d'expression similaire, la réciprocité d'Eisenstein, de Kummer, ou de Hilbert. Une des motivations initiales derrière ce résultat était le neuvième problème de Hilbert, auquel la réciprocité d'Artin apporte une réponse partielle. Aujourd'hui la réciprocité d'Artin est plutôt perçue comme l'un des points de départ conceptuels du programme de Langlands.

Concrètement, la loi de réciprocité d'Artin donne un isomorphisme de l'abélianisé du groupe de Galois d'un corps global. Associé au théorème de Takagi, il permet donc de décrire les extensions abéliennes du corps considéré à partir de l'arithmétique dans ce corps.

Le théorème de densité de Čebotarev, et le caractère méromorphe des L-fonctions d'Artin sont des conséquences de la réciprocité d'Artin.

Énoncé

Extensions finies abéliennes d'un corps global 
On se place ici dans le cas où  est un corps global et  une extension abélienne finie de . Soit  un élément premier de , alors les groupes de décomposition au dessus de  sont égaux dans , puisque ce dernier est abélien. Si  est non ramifié dans , et si on note  un premier au-dessus de , alors le groupe de décomposition  est isomorphe au groupe de Galois de l'extension  de corps résiduels. Cet isomorphisme est en fait canonique, et il existe donc un élément de Frobenius dans le groupe de Galois, qui est notépour rappeler la notation du symbole de Jacobi, et appelé « symbole d'Artin ». On étend cette notation par linéarité à tous les idéaux fractionnaires :La loi de réciprocité d'Artin établit qu'il existe un isomorphisme, donné par l'application définie par ce symbole, entre un quotient du groupe des idéaux fractionnaires et le groupe de Galois .

Extension galoisienne 
Une manière compacte d'exprimer la réciprocité d'Artin est la suivante : étant donné  et  au-dessus de , non ramifié, il existe un unique élément  tel que pour tout ,

Énoncé général 
Nous suivons ici la présentation de Neukirch : soit  un corps global et  une extension de , on note  le groupe de classes d'idèles de , et de même  désigne le groupe de classes d'idèles de . Alors la loi de réciprocité d'Artin établit qu'il existe un isomorphisme canoniqueentre un quotient du groupe d'idèles de  et l'abélianisé du groupe de Galois de  sur . L'application  est appelé « symbole d'Artin global ».
La construction de  est explicite, à partir des « symboles (locaux) d'Artin » définis pour chaque place  de , et qui forment également des isomorphismes

Exemple 
Soit  sans facteurs carrés, . Alors . Soit  le discriminant de  sur  (qui vaut  ou ). Le symbole d'Artin est alors défini pour tout premier  par où la notation à droite du signe d'égalité est le symbole de Kronecker.

Notes et références

Bibliographie 
  Emil Artin, « Über eine neue Art von L-Reihen », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 3, 1924, p. 89-108 ; Collected Papers, Addison Wesley, 1965, p. 105-124
  Emil Artin, « Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes », Abh. math. Sem. Univ. Hamburg, vol. 5, 1927, p. 353-363 ; Collected Papers, p. 131-141
  Emil Artin, « Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes », Abh. math. Sem. Univ. Hamburg, vol. 7, 1930, p. 46-51 ; Collected Papers, p. 159-164

Théorie des nombres
En mathématiques , la loi de réciprocité d' Artin est un résultat important de théorie de les nombres établi par Emil Artin dans une série d' articles publiés entreet À le cœur de la théorie de le corps de classe , la réciprocité d' Artin tire son nom d' une parenté avec la réciprocité quadratique introduite par Gauss , et d' autres lois d' expression similaire , la réciprocité d' Eisenstein , de Kummer , ou de Hilbert . Une de les motivations initiales derrière ce résultat était le neuvième problème de Hilbert , à lequel la réciprocité d' Artin apporte une réponse partielle . Aujourd'hui la réciprocité d' Artin est plutôt perçue comme l' un de les points de départ conceptuels de le programme de Langlands . Concrètement , la loi de réciprocité d' Artin donne un isomorphisme de l' abélianisé de le groupe de Galois d' un corps global . Associé à le théorème de Takagi , il permet donc de décrire les extensions abéliennes de le corps considéré à partir de l' arithmétique dans ce corps . Le théorème de densité de Čebotarev , et le caractère méromorphe de les L-fonctions d' Artin sont de les conséquences de la réciprocité d' Artin . Énoncé Extensions finies abéliennes d' un corps global On se place ici dans le cas où est un corps global et une extension abélienne finie de \ . Soit un élément premier de , alors les groupes de décomposition à le dessus de sont égaux dans , puisque ce dernier est abélien . Si est non ramifié dans , et si on note un premier au-dessus de , alors le groupe de décomposition est isomorphe à le groupe de Galois de l' extension de corps résiduels . Cet isomorphisme est en fait canonique , et il existe donc un élément de Frobenius dans le groupe de Galois , qui est notépour rappeler la notation de le symbole de Jacobi , et appelé « symbole d' Artin » . On étend cette notation par linéarité à tous les idéaux fractionnaires \ :La loi de réciprocité d' Artin établit qu' il existe un isomorphisme , donné par l' application définie par ce symbole , entre un quotient de le groupe de les idéaux fractionnaires et le groupe de Galois \ . Extension galoisienne Une manière compacte d' exprimer la réciprocité d' Artin est la suivante \ : étant donné et au-dessus de , non ramifié , il existe un unique élément tel que pour tout , Énoncé général Nous suivons ici la présentation de Neukirch \ : soit un corps global et une extension de , on note le groupe de classes d' idèles de , et de même désigne le groupe de classes d' idèles de \ . Alors la loi de réciprocité d' Artin établit qu' il existe un isomorphisme canoniqueentre un quotient de le groupe d' idèles de et l' abélianisé de le groupe de Galois de sur \ . L' application est appelé « symbole d' Artin global » . La construction de est explicite , à partir de les « symboles ( locaux ) d' Artin » définis pour chaque place de , et qui forment également de les isomorphismes Exemple Soit sans facteurs carrés , \ . Alors \ . Soit le discriminant de sur ( qui vaut ou ) . Le symbole d' Artin est alors défini pour tout premier par où la notation à droite de le signe d' égalité est le symbole de Kronecker . Notes et références Bibliographie Emil Artin , « Über eine neue Art von L- Reihen » , Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , vol. p .; Collected Papers , Addison Wesley , p. Emil Artin , « Beweis de les allgemeinen Reziprozitätsgesetzes » , Abh. math. Sem . Univ. Hamburg , vol. p .; Collected Papers , p. Emil Artin , « Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes » , Abh. math. Sem . Univ. Hamburg , vol. p .; Collected Papers , p. Théorie de les nombres