Méthode MN
La méthode MN est une méthode utilisant les moments de l'équation de Boltzmann introduite par Harold Grad en théorie cinétique des gaz. Elle est appliquée à la résolution du transfert radiatif. Dans cette méthode la fermeture du système utilise la maximisation de l'entropie de Bose-Einstein dans le cas des photons, celle de Boltzmann dans d'autres cas, par exemple en irradiation médicale. Cette méthode a été introduite par Gerald Minerbo en 1978. Elle est essentiellement utilisée dans les problèmes de transfert énergétique mais donne une solution trop imprécise angulairement pour les problèmes optiques.

Moments de la luminance

Valeurs spectrales 

L'équation de transfert radiatif porte sur la luminance spectrale L (x, t, θ, ν) correspondante à l'intervalle de fréquence (ν, ν + dν). On se place en une dimension d'espace et la distribution angulaire est de révolution, décrite par le seul angle de colatitude θ pour des coordonnées sphériques. On supposera de plus que les coefficients d'absorption et d'extinction sont indépendants de la fréquence et que le terme d'émission en volume correspond à un corps noir

où neq est le nombre d'occupation à l'équibre thermodynamique, h est la constante de Planck, k la constante de Stefan-Boltzmann et c la vitesse de la lumière. La température T (x, t) est supposée connue.

La diffusion est élastique (sans changement de fréquence) et caractérisée par la fonction de phase P (α) fonction de la seule déviation α.

L'équation de Boltzmann instationnaire qui décrit la conservation de l'énergie dans la direction correspondante à μ s'écrit ici

Les premiers moments sont
 l'énergie volumique

 l'exitance (le flux) M et sa valeur normalisée f
 
 la pression et sa valeur normalisée (coefficient d'Eddington)

À l'équilibre thermodynamique

Valeurs intégrées en fréquence 

Compte tenu du choix de l'indépendance des coefficients vis-à-vis de la fréquence toutes les équations ci-dessus sont valables pour les quantités intégrées en fréquence

On a défini la notation ⟨ . ⟩ pour l'intégrale en fréquence et en angle, ainsi que la température radiative TR.

À l'équilibre thermodynamique

où σ est la constante de Stefan-Boltzmann.

Système aux moments 

En prémultipliant l'équation de Boltzmann par 1, μ, ... et en intégrant sur μ on obtient un système sur les moments de la luminance

où apparaît le premier moment de la fonction de phase g1

g1 = 0 pour toute distribution symétrique : distribution isotrope ou diffusion Thomson par exemple.

Le système sur les valeurs intégrées en fréquence est le même (en remplaçant 4 π B par a T4) puisqu'on a supposé les coefficients indépendants de celle-ci.

Propriétés 

Par substitution dans le système ci-dessus on voit que celui-ci est entièrement décrit par E, f et χ, ces deux dernières valeurs jouant le rôle de nombres adimensionnels. Ils sont appelés premier et second facteur d'Eddington dans la théorie à N moments.

Ces moments sont des moments de Hausdorff et possèdent un certain nombre de propriétés
 les symétries du problème entraînent     
χ = 1 / 3 correspond à l'isotropie et χ = 1 à un rayon.
 l'inégalité de Cauchy-Schwarz impose  
Par ailleurs :
  : cette inégalité découle des expressions précédentes. Elle exprime que le flux maximal possible correspond au transfert de l'énergie à la vitesse c 

 le système décrit ci-dessus est hyperbolique. En supposant que les valeurs propres du système croissent avec | f | on montre que χ est une fonction convexe de f et que la dérivée χ' (f) vérifie | χ' (±1) | = 2 afin que la vitesse caractéristique en χ = ±1 (correspondante à un rayon lumineux) soit ±c.

On voit que f et χ sont sévèrement limités. Ceci a incité les physiciens à proposer un certain nombre de fermetures du type χ =  g (f) appelées méthodes à facteur d'Eddington variable.

Fermeture entropique 

Le système ci-dessus est, comme tout système aux moments, incomplet : chaque équation sur un moment fait apparaître un moment d'ordre supérieur inconnu. Au-delà du travail initial de Gerald Minerbo une méthode générale a été introduite par David Levermore. Elle utilise l'entropie volumique spectrale d'un gaz de photons

où n est le nombre d'occupation.

La fermeture consiste à choisir la luminance spectrale qui maximise l'entropie sous la contrainte de respecter les moments pris en compte. Ceci est toujours possible, l'entropie étant une fonction convexe de L. Un exemple est celui de la recherche de la fonction d'équilibre thermodynamique B supposée inconnue

La solution de cette équation est la distribution de Planck définie plus haut.

Dans le cas général on note m = (1, μ, μ2,...). Le problème de minimisation s'écrit

où ℳ0, ℳ1, ℳ2,...(ces quantités sont l'énergie, le flux, la pression,... et sont ici des paramètres du problème) sont les moments à respecter. On leur substitue les moments adimensionnés f, χ,.... La solution de ce problème est la fonction duale au sens de Legendre de l'entropie

La démonstration est identique à celle de l'encadré précédent. La solution obtenue correspond à un spectre de corps noir et à une distribution angulaire d'autant plus complexe que l'ordre est élevé.

Dans le cas où l'on prend les deux premiers moments la solution appelée M1 est analytique et conduit à la relation de fermeture

Il n'est pas nécessaire de connaître la distribution angulaire qui est sous-jacente dans le problème résolu. Celle-ci est régulière (voir courbe jointe) pouvant aller de l'isotropie au rayon. La méthode M2 permet d'obtenir des distributions plus complexes.

Propriétés de la solution 

Le caractère hyperbolique permet d'utiliser des solveurs numériques efficaces développés pour la mécanique des fluides. Le couplage avec l'hydrodynamique en est grandement facilité. La solution du système couplé est entropique (l'entropie du système croît au cours du temps) ce qui assure un bon comportement numérique.

Une pathologie de cette méthode est la possibilité de discontinuités de la solution comme en mécanique des fluides : des « chocs radiatifs » sans existence physique rencontrés lors du croisement de deux faisceaux. Ce problème n'existe que pour les développements de moments à l'ordre impair. Ils peuvent être surmontés par une méthode de partition de l'espace analogue à la méthode à deux flux, laquelle n'est guère utilisée, le problème ne se posant généralement pas.

La méthode a été étendue au problème multidimensionnel en espace où M est une quantité vectorielle et P et les moments suivants des quantités tensorielles et à un spectre quelconque en utilisant le découpage en bandes de fréquences. Il existe également des travaux sur la méthode M2 utilisant l'entropie de Maxwell-Boltzmann.

Un exemple 

Prenons l'exemple très simple du rayonnement dans et hors d'une lame d'épaisseur e, de température T, émissive et absorbante mais non diffusante, en régime stationnaire. Le repère utilisé a son origine sur l'une des faces et pointe vers l'intérieur du domaine. L'équation de Boltzmann est ici

La solution de ce problème différentiel linéaire du premier ordre est

où Ei est l'exponentielle intégrale d'ordre i.

Cet exemple a le mérite d'être simple et donc de permettre de tester le cas plus général d'un spectre quelconque en permettant un calcul de référence raie par raie. La comparaison avec la solution M1 (voir courbe ci-contre) montre que la distribution angulaire n'est que médiocrement approchée, ce qui ne fait pas de la méthode une bonne candidate pour les problèmes d'optique. Pourtant l'erreur sur le flux sortant n'excède pas 3%. Ce chiffre se compare à la méthode SN ou à la méthode PN avec N ≈ 10, pour un coût calcul notablement moindre. Une telle erreur doit être rapprochée de la connaissance sur les coefficients d'absorption qui sont de l'ordre de 10% dans les meilleurs cas.

Notes

Références

Voir aussi 
 Méthode PN

 Physique mathématique
 Rayonnement
 Physique statistique
 Astrophysique
La méthode MN est une méthode utilisant les moments de l' équation de Boltzmann introduite par Harold Grad en théorie cinétique de les gaz . Elle est appliquée à la résolution de le transfert radiatif . Dans cette méthode la fermeture de le système utilise la maximisation de l' entropie de Bose-Einstein dans le cas de les photons , celle de Boltzmann dans d' autres cas , par exemple en irradiation médicale . Cette méthode a été introduite par Gerald Minerbo en Elle est essentiellement utilisée dans les problèmes de transfert énergétique mais donne une solution trop imprécise angulairement pour les problèmes optiques . Moments de la luminance Valeurs spectrales L' équation de transfert radiatif porte sur la luminance spectrale L ( x , t , θ , ν ) correspondante à l' intervalle de fréquence ( ν , ν + dν ) . On se place en une dimension d' espace et la distribution angulaire est de révolution , décrite par le seul angle de colatitude θ pour de les coordonnées sphériques . On supposera de plus que les coefficients d' absorption et d' extinction sont indépendants de la fréquence et que le terme d' émission en volume correspond à un corps noir où neq est le nombre d' occupation à l' équibre thermodynamique , h est la constante de Planck , k la constante de Stefan-Boltzmann et c la vitesse de la lumière . La température T ( x , t ) est supposée connue . La diffusion est élastique ( sans changement de fréquence ) et caractérisée par la fonction de phase P ( α ) fonction de la seule déviation α . L' équation de Boltzmann instationnaire qui décrit la conservation de l' énergie dans la direction correspondante à μ s' écrit ici Les premiers moments sont l' énergie volumique l' exitance ( le flux ) M et sa valeur normalisée f la pression et sa valeur normalisée ( coefficient d' Eddington ) À l' équilibre thermodynamique Valeurs intégrées en fréquence Compte tenu de le choix de l' indépendance de les coefficients vis-à-vis de la fréquence toutes les équations ci-dessus sont valables pour les quantités intégrées en fréquence On a défini la notation ⟨ \ . ⟩ pour l' intégrale en fréquence et en angle , ainsi que la température radiative TR . À l' équilibre thermodynamique où σ est la constante de Stefan-Boltzmann . Système à les moments En prémultipliant l' équation de Boltzmann par μ , \ ... et en intégrant sur μ on obtient un système sur les moments de la luminance où apparaît le premier moment de la fonction de phase g1 g1 = pour toute distribution symétrique \ : distribution isotrope ou diffusion Thomson par exemple . Le système sur les valeurs intégrées en fréquence est le même ( en remplaçantπ B par a T4 ) puisqu' on a supposé les coefficients indépendants de celle-ci . Propriétés Par substitution dans le système ci-dessus on voit que celui-ci est entièrement décrit par E , f et χ , ces deux dernières valeurs jouant le rôle de nombres adimensionnels . Ils sont appelés premier et second facteur d' Eddington dans la théorie à N moments . Ces moments sont de les moments de Hausdorff et possèdent un certain nombre de propriétés les symétries de le problème entraînent χ = / correspond à l' isotropie et χ = à un rayon . l' inégalité de Cauchy-Schwarz impose Par ailleurs \ : \ : cette inégalité découle de les expressions précédentes . Elle exprime que le flux maximal possible correspond à le transfert de l' énergie à la vitesse c le système décrit ci-dessus est hyperbolique . En supposant que les valeurs propres de le système croissent avec | f | on montre que χ est une fonction convexe de f et que la dérivée χ ' ( f ) vérifie | χ' ( ±1 ) | = afin que la vitesse caractéristique en χ = ±1 ( correspondante à un rayon lumineux ) soit ±c . On voit que f et χ sont sévèrement limités . Ceci a incité les physiciens à proposer un certain nombre de fermetures de le type χ = g ( f ) appelées méthodes à facteur d' Eddington variable . Fermeture entropique Le système ci-dessus est , comme tout système à les moments , incomplet \ : chaque équation sur un moment fait apparaître un moment d' ordre supérieur inconnu . Au-delà de le travail initial de Gerald Minerbo une méthode générale a été introduite par David Levermore . Elle utilise l' entropie volumique spectrale d' un gaz de photons où n est le nombre d' occupation . La fermeture consiste à choisir la luminance spectrale qui maximise l' entropie sous la contrainte de respecter les moments pris en compte . Ceci est toujours possible , l' entropie étant une fonction convexe de L . Un exemple est celui de la recherche de la fonction d' équilibre thermodynamique B supposée inconnue La solution de cette équation est la distribution de Planck définie plus haut . Dans le cas général on note m = μ , μ2 , ... ) . Le problème de minimisation s' écrit où ℳ0 , ℳ1 , ℳ2 , ...( ces quantités sont l' énergie , le flux , la pression , ... et sont ici de les paramètres de le problème ) sont les moments à respecter . On leur substitue les moments adimensionnés f , χ , .... La solution de ce problème est la fonction duale à le sens de Legendre de l' entropie La démonstration est identique à celle de l' encadré précédent . La solution obtenue correspond à un spectre de corps noir et à une distribution angulaire d' autant plus complexe que l' ordre est élevé . Dans le cas où l' on prend les deux premiers moments la solution appelée M1 est analytique et conduit à la relation de fermeture Il n' est pas nécessaire de connaître la distribution angulaire qui est sous-jacente dans le problème résolu . Celle-ci est régulière ( voir courbe jointe ) pouvant aller de l' isotropie à le rayon . La méthode M2 permet d' obtenir de les distributions plus complexes . Propriétés de la solution Le caractère hyperbolique permet d' utiliser de les solveurs numériques efficaces développés pour la mécanique de les fluides . Le couplage avec l' hydrodynamique en est grandement facilité . La solution de le système couplé est entropique ( l' entropie de le système croît à le cours de le temps ) ce qui assure un bon comportement numérique . Une pathologie de cette méthode est la possibilité de discontinuités de la solution comme en mécanique de les fluides \ : de les « chocs radiatifs » sans existence physique rencontrés lors de le croisement de deux faisceaux . Ce problème n' existe que pour les développements de moments à l' ordre impair . Ils peuvent être surmontés par une méthode de partition de l' espace analogue à la méthode à deux flux , laquelle n' est guère utilisée , le problème ne se posant généralement pas . La méthode a été étendue à le problème multidimensionnel en espace où M est une quantité vectorielle et P et les moments suivants de les quantités tensorielles et à un spectre quelconque en utilisant le découpage en bandes de fréquences . Il existe également de les travaux sur la méthode M2 utilisant l' entropie de Maxwell-Boltzmann . Un exemple Prenons l' exemple très simple de le rayonnement dans et hors d' une lame d' épaisseur e , de température T , émissive et absorbante mais non diffusante , en régime stationnaire . Le repère utilisé a son origine sur l' une de les faces et pointe vers l' intérieur de le domaine . L' équation de Boltzmann est ici La solution de ce problème différentiel linéaire de le premier ordre est où Ei est l' exponentielle intégrale d' ordre i . Cet exemple a le mérite d' être simple et donc de permettre de tester le cas plus général d' un spectre quelconque en permettant un calcul de référence raie par raie . La comparaison avec la solution M1 ( voir courbe ci-contre ) montre que la distribution angulaire n' est que médiocrement approchée , ce qui ne fait pas de la méthode une bonne candidate pour les problèmes d' optique . Pourtant l' erreur sur le flux sortant n' excède pas . Ce chiffre se compare à la méthode SN ou à la méthode PN avec N ≈ pour un coût calcul notablement moindre . Une telle erreur doit être rapprochée de la connaissance sur les coefficients d' absorption qui sont de l' ordre de dans les meilleurs cas . Notes Références Voir aussi Méthode PN Physique mathématique Rayonnement Physique statistique Astrophysique