Série hypergéométrique basique
En mathématiques, les séries hypergéométriques basiques de Heine, ou q-séries hypergéométriques, sont des généralisations q-analogues des séries hypergéométriques généralisées, à leur tour étendues par les  séries hypergéométriques elliptiques.
Une série  est appelée hypergéométrique si le rapport de deux termes successifs  est une fraction rationnelle de . Si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle en , alors la série est dite hypergéométrique basique, et le nombre  est appelé base.

La série hypergéométriques basique  a d'abord été introduite par . On retrouve la série hypergéométrique  à la limite si la base q vaut 1.

Définition
Il existe deux formes de séries hypergéométriques basiques, les séries hypergéométriques basiques unilatérales , et les plus générales, les séries hypergéométriques basiques bilatérales .

Les séries hypergéométriques basiques unilatérales sont définies par

avec

et

est le q-symbole de Pochhammer.

Le cas spécial le plus important correspond à , où on obtient

Cette série est dite balancée si .
Elle est dite bien équilibrée si , et très bien équilibrée si on a en plus .

La série hypergéométrique basique unilatérale est une q-analogue de la série hypergéométrique dans le sens où elle vérifie 

Les séries hypergéométriques basiques bilatérales, correspondant aux séries hypergéométriques bilatérales, sont définies par

Le cas spécial le plus important correspond à , où elle devient

Les séries unilatérales peuvent être obtenues comme un cas particulier des bilatérales en fixant une des variables  égales à , au moins quand aucune des variables  est une puissance de , car alors tous les termes correspondant à  s'annulent dans ce cas.

Cas simples 
Parmi les cas les plus simples, on trouve

et

et

Le théorème q-binomial 
Le théorème q-binomial (publié pour la première fois en 1811 par Heinrich August Rothe établit que

qui s'obtient en appliquant à plusieurs reprises l'identité

Le cas spécial  est liée à la q-exponentielle.

Théorème binomial de Cauchy 
Le théorème binomial de Cauchy est un cas spécial du théorème q-binomial.
 
avec  le coefficient q-binomial :

Identité de Ramanujan 
Srinivasa Ramanujan a posé l’identité

vraie pour tout  et . Des identités similaires pour ψ ont été données par Bailey. De telles identités peuvent être vues comme des généralisations du théorème de triple produit de Jacobi, qui peuvent être écrites par des q-séries par

Ken Ono donne une série entière liée :

Intégrale de contour de Watson 
Comme analogue de l' pour la série hypergéométrique, Watson a montré que

où les pôles de  sont sur la gauche du contour et les pôles restants sur la droite. Il existe une intégrale de contour similaire pour .

Cette intégrale de contour donne un prolongement analytique continu de la fonction hypergéométrique basique en .

Voir aussi 
 Identité de Dixon
 Identités de Rogers-Ramanujan

Notes

Liens externes

Références

 W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
 William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004)
 Gwynneth H. Coogan et Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions, (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719–724
 Sylvie Corteel et Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's  Summation

Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. 

 Andrews, G. E., Askey, R. et Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press.
 Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125.
 Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.

Fonction remarquable
Combinatoire
En mathématiques , les séries hypergéométriques basiques de Heine , ou q-séries hypergéométriques , sont de les généralisations q-analogues de les séries hypergéométriques généralisées , à leur tour étendues par les séries hypergéométriques elliptiques . Une série est appelée hypergéométrique si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle de \ . Si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle en , alors la série est dite hypergéométrique basique , et le nombre est appelé base . La série hypergéométriques basique a d' abord été introduite par \ . On retrouve la série hypergéométrique à la limite si la base q vaut Définition Il existe deux formes de séries hypergéométriques basiques , les séries hypergéométriques basiques unilatérales , et les plus générales , les séries hypergéométriques basiques bilatérales \ . Les séries hypergéométriques basiques unilatérales sont définies par avec et est le q-symbole de Pochhammer . Le cas spécial le plus important correspond à , où on obtient Cette série est dite balancée si \ . Elle est dite bien équilibrée si , et très bien équilibrée si on a en plus \ . La série hypergéométrique basique unilatérale est une q-analogue de la série hypergéométrique dans le sens où elle vérifie Les séries hypergéométriques basiques bilatérales , correspondant à les séries hypergéométriques bilatérales , sont définies par Le cas spécial le plus important correspond à , où elle devient Les séries unilatérales peuvent être obtenues comme un cas particulier de les bilatérales en fixant une de les variables égales à , à le moins quand aucune de les variables est une puissance de , car alors tous les termes correspondant à s' annulent dans ce cas . Cas simples Parmi les cas les plus simples , on trouve et et Le théorème q-binomial Le théorème q-binomial ( publié pour la première fois enpar Heinrich August Rothe établit que qui s' obtient en appliquant à plusieurs reprises l' identité Le cas spécial est liée à la q-exponentielle . Théorème binomial de Cauchy Le théorème binomial de Cauchy est un cas spécial de le théorème q-binomial . avec le coefficient q-binomial \ : Identité de Ramanujan Srinivasa Ramanujan a posé l’ identité vraie pour tout et \ . De les identités similaires pour ψ ont été données par Bailey . De telles identités peuvent être vues comme de les généralisations de le théorème de triple produit de Jacobi , qui peuvent être écrites par de les q-séries par Ken Ono donne une série entière liée \ : Intégrale de contour de Watson Comme analogue de l ' pour la série hypergéométrique , Watson a montré que où les pôles de sont sur la gauche de le contour et les pôles restants sur la droite . Il existe une intégrale de contour similaire pour \ . Cette intégrale de contour donne un prolongement analytique continu de la fonction hypergéométrique basique en \ . Voir aussi Identité de Dixon Identités de Rogers-Ramanujan Notes Liens externes Références W.N. Bailey , Generalized Hypergeometric Series , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics , No.32 , Cambridge University Press , Cambridge . William Y. C. Chen and Amy Fu , Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series Gwynneth H. Coogan et Ken Ono , A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions , Proceedings of the American Mathematical Society pp. 719–724 Sylvie Corteel et Jeremy Lovejoy , Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's Summation Victor Kac , Pokman Cheung , Quantum calculus , Universitext , Springer-Verlag , Andrews , G. E. , Askey , R. et Roy , R. Special Functions , Encyclopedia of Mathematics and its Applications , volume Cambridge University Press . Eduard Heine , Theorie der Kugelfunctionen,1 , pp125 . Eduard Heine , Handbuch die Kugelfunctionen . Theorie und AnwendungSpringer , Berlin . Fonction remarquable Combinatoire