Méthode de Wiener-Hopf
La méthode de Wiener-Hopf est une technique mathématique permettant de résoudre analytiquement certaines équations intégrales et équations aux dérivées partielles avec conditions sur une limite du domaine. Elle a été mise au point par Norbert Wiener et Eberhard Hopf en 1931. Typiquement la méthode utilise une transformation de Fourier, de Mellin ou de de Laplace. La solution est recherchée sous forme de somme de deux fonctions analytiques définies dans une partition du plan complexe contenant l'axe réel. Les deux fonctions coïncident dans une région contenant l'axe des valeurs réelles. Un prolongement analytique garantit que ces deux fonctions constituent une fonction analytique dans le plan complexe. Le théorème de Liouville indique que la continuation s'effectue par un polynôme imposé par la condition aux limites.

Décomposition de Wiener et Hopf d'une fonction singulière 

Soient    une variable réelle et    une variable complexe.
  et    sont deux constantes réelles finies. On suppose que pour toute valeur    telle que    la fonction    possède une intégrale de Fourier analytique dans le plan complexe. Celle-ci est scindée en deux parties

Ces fonctions vérifient
 si    alors    lorsque  
 si    alors    lorsque  

Pour    et    on définit la transformée de Fourier généralisée inverse

Ces fonctions possèdent les propriétés de régularité suivantes
 si    lorsque    alors     est régulière lorsque  
 si    lorsque    alors     est régulière lorsque

Exemple : le problème de Milne

Équation intégrale de Milne 

Le problème de Milne concerne la résolution de l'équation de Boltzmann pour le transfert radiatif dans un milieu unidimensionnel semi-infini homogène à diffusion isotrope, décrit par l'équation donnant la luminance  

avec la condition en τ = 0 (valeur entrante nulle)

La solution formelle de cette équation est

En intégrant sur μ on obtient l'équation intégrale de Milne

E (.) est l'exponentielle intégrale. Il n'existe pas de solution à cette équation.

En multipliant l'équation de Boltzmann par 1 et μ et en intégrant sur μ on obtient les moments de la luminance : l'exitance (flux) M et la pression de rayonnement P

Équation intégrale par la transformée de Laplace 

On introduit les transformées de Laplace

On obtient par cette voie une nouvelle équation intégrale

En développant cette expression en série de Laurent au voisinage de s = 0 et en utilisant les expressions des moments de la luminance donnés plus haut on obtient

d'où

Résolution de l'équation intégrale 

On cherche à réécrire l'équation ci-dessus de telle manière que les termes à droite et à gauche soient analytiques et aient un recouvrement sur l'axe réel. Or    est analytique dans la bande   .

On souhaite trouver une fonction f (s) qui n'ait pas de zéro dans le domaine précédent et qui vérifie   , par exemple

L'équation intégrale est réécrite

  peut être représenté par la formule intégrale de Cauchy

 f+ est une fonction régulière non nulle dans le demi-plan   ,
 f- est une fonction régulière non nulle dans le demi-plan   .
On peut alors écrire l'équation intégrale sous la forme

Le premier membre est régulier pour    et le second pour   . Chacune des expressions constitue la continuation de l'autre.

De plus chaque membre est borné puisque    et    le sont. En suivant le théorème de Liouville chacun d'eux est égal à une constante C, en particulier

En comparant à l'expression donnée plus haut on extrait la constante

Cette quantité est une intégrale dans le plan complexe que l'on peut calculer et dont on peut donner la valeur avec les développements déjà utilisés

Calcul des constantes d'intégration 

Des expressions ci-dessus on tire

Moyennant un certain nombre de manipulations on obtient une quantité appelée constante de Hopf

De la même façon on calcule S (0)

En conclusion 

f- se calcule par décomposition dans le plan complexe

La luminance sortante qui est la fonction finalement recherchée est

Références

Voir aussi 

Fonction H de Chandrasekhar
Problème de Milne

Physique mathématique
Rayonnement
Théorie de Fourier
Transformée
Astrophysique
La méthode de Wiener-Hopf est une technique mathématique permettant de résoudre analytiquement certaines équations intégrales et équations à les dérivées partielles avec conditions sur une limite de le domaine . Elle a été mise à le point par Norbert Wiener et Eberhard Hopf en Typiquement la méthode utilise une transformation de Fourier , de Mellin ou de de Laplace . La solution est recherchée sous forme de somme de deux fonctions analytiques définies dans une partition de le plan complexe contenant l' axe réel . Les deux fonctions coïncident dans une région contenant l' axe de les valeurs réelles . Un prolongement analytique garantit que ces deux fonctions constituent une fonction analytique dans le plan complexe . Le théorème de Liouville indique que la continuation s' effectue par un polynôme imposé par la condition à les limites . Décomposition de Wiener et Hopf d' une fonction singulière Soient une variable réelle et une variable complexe . et sont deux constantes réelles finies . On suppose que pour toute valeur telle que la fonction possède une intégrale de Fourier analytique dans le plan complexe . Celle-ci est scindée en deux parties Ces fonctions vérifient si alors lorsque si alors lorsque Pour et on définit la transformée de Fourier généralisée inverse Ces fonctions possèdent les propriétés de régularité suivantes si lorsque alors est régulière lorsque si lorsque alors est régulière lorsque Exemple \ : le problème de Milne Équation intégrale de Milne Le problème de Milne concerne la résolution de l' équation de Boltzmann pour le transfert radiatif dans un milieu unidimensionnel semi-infini homogène à diffusion isotrope , décrit par l' équation donnant la luminance avec la condition en τ =( valeur entrante nulle ) La solution formelle de cette équation est En intégrant sur μ on obtient l' équation intégrale de Milne E ( . ) est l' exponentielle intégrale . Il n' existe pas de solution à cette équation . En multipliant l' équation de Boltzmann paret μ et en intégrant sur μ on obtient les moments de la luminance \ : l' exitance ( flux ) M et la pression de rayonnement P Équation intégrale par la transformée de Laplace On introduit les transformées de Laplace On obtient par cette voie une nouvelle équation intégrale En développant cette expression en série de Laurent à le voisinage de s = et en utilisant les expressions de les moments de la luminance donnés plus haut on obtient d' où Résolution de l' équation intégrale On cherche à réécrire l' équation ci-dessus de telle manière que les termes à droite et à gauche soient analytiques et aient un recouvrement sur l' axe réel . Or est analytique dans la bande . On souhaite trouver une fonction f ( s ) qui n' ait pas de zéro dans le domaine précédent et qui vérifie , par exemple L' équation intégrale est réécrite peut être représenté par la formule intégrale de Cauchy f + est une fonction régulière non nulle dans le demi-plan , f- est une fonction régulière non nulle dans le demi-plan . On peut alors écrire l' équation intégrale sous la forme Le premier membre est régulier pour et le second pour . Chacune de les expressions constitue la continuation de l' autre . De plus chaque membre est borné puisque et le sont . En suivant le théorème de Liouville chacun d' eux est égal à une constante C , en particulier En comparant à l' expression donnée plus haut on extrait la constante Cette quantité est une intégrale dans le plan complexe que l' on peut calculer et dont on peut donner la valeur avec les développements déjà utilisés Calcul de les constantes d' intégration De les expressions ci-dessus on tire Moyennant un certain nombre de manipulations on obtient une quantité appelée constante de Hopf De la même façon on calcule S En conclusion f- se calcule par décomposition dans le plan complexe La luminance sortante qui est la fonction finalement recherchée est Références Voir aussi Fonction H de Chandrasekhar Problème de Milne Physique mathématique Rayonnement Théorie de Fourier Transformée Astrophysique