Équations de Bloch
En physique et chimie, dans la résonance magnétique nucléaire (RMN), l'imagerie par résonance magnétique (IRM) et la résonance paramagnétique électronique (RPE), les équations de Bloch sont un ensemble d’équations macroscopiques de calcul de l'aimantation nucléaire M = (Mx, My, Mz) en fonction du temps lorsque les temps de relaxation T1 et T2 sont présents. Les équations de Bloch sont parfois appelées équations du mouvement de l'aimantation nucléaire. Ces équations ont été introduites par Félix Bloch en 1946 et sont analogues aux équations de Maxwell-Bloch qui décrivent l'effet d'un champ électromagnétique sur un système à deux niveaux et les relaxations qu'on y peut observer.

Ces équations ne sont pas microscopiques : elles ne décrivent pas l'équation de mouvement de moments magnétiques individuels. Ceux-ci sont gouvernés et décrits par les lois de mécanique quantique. Les équations de Bloch sont macroscopiques : elles décrivent les équations de mouvement de l'aimantation nucléaire macroscopique qui peut être obtenue en additionnant tous les moments magnétiques nucléaires de l'échantillon.

Équations de Bloch dans un référentiel fixe 
Soit  M(t) = (Mx(t), My(t), Mz(t)), l'aimantation nucléaire. Les équations de Bloch s'écrivent alors :

où γ est le rapport gyromagnétique et B(t) = (Bx(t), By(t), B0 + ΔBz(t)) est le champ magnétique imposé aux noyaux atomiques. La composante z du champ magnétique B est constituée de deux termes :
 le premier, B0, correspondant à un champ constant dans le temps ;
 le second, ΔBz(t), peut être dépendant du temps. Il est présent dans l'imagerie par résonance magnétique et aide au décodage spatial du signal de RMN.

M(t)×B(t) est le produit vectoriel de ces deux vecteurs. M0 est l'état d'équilibre de l'aimantation nucléaire, il est orienté dans la direction z.

Contenu physique 
Lorsque T1 et T2 tendent vers l'infini, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a pas de relaxation, les équations se réduisent à :

ou en notation vectorielle :

C'est l'équation de la précession de Larmor de l'aimantation nucléaire M dans un champ magnétique externe B. 

Les équations de Bloch sont alors les équations de Larmor auxquelles on a ajouté les termes de relaxation suivants : 

La relaxation transversale est décrite par le temps caractéristique T2 et de même la relaxation longitudinale par le temps T1.  

Ces termes traduisent des interactions avec le milieu extérieur, la relaxation longitudinale (T1) ou relaxation spin-réseau est le résultat d'échanges entre les spins et le milieu environnant pour transférer l'excès d'énergie apporté par le champ magnétique et donc revenir à l'équilibre thermodynamique. La relaxation transversale (T2) ou encore relaxation spin-spin correspond au déphasage graduel de tous les spins de la matière provenant d'inhomogénéités locales du champ magnétique. Ces inhomogénéités impliquent de légères différences de fréquence de Larmor. En effet, en l'absence de relaxation, les moments sont en précession cohérente autour du champ magnétique et il existe alors une aimantation transversale. Comme l'aimantation est la somme de tous les moments magnétiques, leur progressive décohérence entraîne une valeur moyenne de la composante transversale qui tend à s'annuler.

Formes alternatives des équations de Bloch 
Le développement du produit vectoriel dans les équations de Bloch mène à :

Nous verrons plus loin que cette formule se simplifie en posant :

 

où i est l'unité imaginaire. 

On obtient :

Tel que :

.

Ces quantités sont les nombres complexes conjugués de Mxy et de Bxy . Les parties réelle et imaginaire de Mxy correspondent à Mx et My respectivement. Mxy est parfois appelée aimantation nucléaire transversale.

Forme matricielle des équations de Bloch 
Les équations de Bloch peuvent être remaniées en utilisant une définition équivalente du produit vectoriel pour s'écrire en notation matricielle :

Équations de Bloch dans le référentiel tournant 
Dans un référentiel tournant, il est plus facile de comprendre le comportement de l'aimantation nucléaire M.

Solution des équations de Bloch avec T1, T2 → ∞ 
Supposons que :
 à t = 0, l'aimantation nucléaire transversale Mxy(0) subit un champ magnétique constant B(t) = (0, 0, B0) ;
 B0 est positif ;
 il n'y a aucune relaxation longitudinale ou transversale puisque T1 et T2 tendent vers l'infini.

Les équations de Bloch deviennent alors :

,
.

Ce sont deux équations différentielles linéaires non couplées. Leurs solutions sont :

,
. 

Ainsi l'aimantation transversale, Mxy tourne autour de l'axe z avec la fréquence angulaire ω0 = γB0 dans le sens des aiguilles d'une montre (c'est la raison du signe négatif dans l'exposant). L'aimantation longitudinale Mz reste constante dans le temps. C'est aussi pourquoi l'aimantation transversale apparaît à un observateur dans le référentiel terrestre (vu par un observateur stationnaire).

Mxy(t) peut se décomposer en les quantités observables Mx(t) et My(t) : 

On a  :

,
,

où Re(z) et Im(z) sont des fonctions qui donnent respectivement la partie réelle et imaginaire du nombre complexe z. Dans ce calcul il a été supposé que Mxy(0) est un nombre réel.

Transformation en référentiel tournant 
C'est la conclusion de la partie précédente : dans un champ magnétique constant B0 le long de l'axe z, l'aimantation transversale Mxy tourne autour de cet axe dans le sens des aiguilles d'une montre avec la fréquence angulaire ω0. Si l'observateur tournait autour du même axe dans le même sens et avec la fréquence angulaire Ω, Mxy lui apparaîtrait tournant avec la fréquence angulaire ω0 - Ω. Plus particulièrement, si l'observateur tournait autour du même axe dans le sens des aiguilles d'une montre avec la fréquence angulaire ω0, l'aimantation transversale Mxy lui semblerait stationnaire.

Cela peut être exprimé mathématiquement de la manière suivante :
 (x, y, z) est le système de coordonnées cartésiennes terrestre posé comme référentiel ;
 (x′, y′, z′) = (x′, y′, z) est un système de coordonnées cartésiennes qui tourne autour de l'axe z du référentiel terrestre avec la fréquence angulaire Ω. On l'appelle le référentiel tournant. Les variables physiques dans ce référentiel sont dénotées par une apostrophe.

À l’évidence :

.

Pour Mxy′(t) la transformation s'écrit :

.

Équation du mouvement de l'aimantation dans le référentiel tournant 
L'équation du mouvement de Mxy′(t) dans un champ B(t) = (Bx(t), By(t), B0 + ΔBz(t)) est :

Explication des termes à droite de cette équation  :
 i(Ω - ω0) Mxy′(t) suit le terme de Larmor dans le référentiel tournant avec la fréquence angulaire Ω. Il s'annule notamment quand Ω = ω0 ;
 le terme -iγ ΔBz(t) Mxy′(t) décrit l'effet de l'inhomogénéité du champ magnétique sur l'aimantation nucléaire transversale. C'est aussi le terme qui correspond aux utilisations de la RMN lors d'une IRM : il est produit par les bobines de gradient de champ magnétique ;
 iγ ΔBxy′(t) Mz(t) décrit l'effet du champ radiofréquence sur l'aimantation nucléaire (le facteur ΔBxy′(t) plus particulièrement) ;
 –Mxy′(t) / T2 décrit la perte en cohérence de l'aimantation transversale.

Équations indépendantes du temps dans le référentiel tournant 
Si le champ externe a la forme :

 

,

On peut alors définir :

 et ,

Les équations s'écrivent alors simplement en notation matricielle :

Solutions simples des équations de Bloch

Relaxation de l'aimantation nucléaire transversale Mxy 
En supposant que :
 l'aimantation nucléaire est exposée à un champ magnétique externe constant dans la direction z : Bz′(t) = Bz(t) = B0. Ainsi ω0 = γB0 et ΔBz(t) = 0'' ;
 il n'y a aucun champ radiofréquence, ainsi on a Bxy = 0 ;
 la rotation du référentiel tournant est à la fréquence angulaire Ω = ω0.

Dans le référentiel tournant, l'équation de mouvement pour l'aimantation nucléaire transversale, Mxy'(t) est réduite à :

C'est une équation différentielle ordinaire linéaire et sa solution est :

.

où Mxy(0) est l'aimantation nucléaire transversale dans le référentiel tournant à l'instant t = 0. Elle constitue la condition initiale de l'équation différentielle.

Il est à noter que lorsque la rotation du référentiel tournant est exactement à la fréquence de Larmor ω0, le vecteur aimantation nucléaire transversale Mxy(t) est stationnaire.

 Relaxation de l'aimantation nucléaire longitudinale Mz 
En admettant que :
 l'aimantation nucléaire est exposée à un champ magnétique externe constant dans la direction z : Bz′(t) = Bz(t) = B0. Ainsi ω0 = γB0 et ΔBz(t) = 0' ;
 il n'y a aucun champ radiofréquence, ainsi on a Bxy' = 0 ;
 la rotation du système tournant est à la fréquence angulaire Ω = ω0.

Dans le référentiel tournant, l'équation de mouvement pour l'aimantation nucléaire longitudinale Mz(t) se simplifie en :

C'est une équation différentielle ordinaire linéaire et sa solution est :

où Mz(0) est l'aimantation nucléaire longitudinale dans le cadre tournant au temps t = 0. C'est la condition initiale pour l'équation différentielle.

 Pulses à 90° et 180° en champ radiofréquence 
Communément, on utilise en RMN des pulses à 90° et 180° en champ radiofréquences. L'effet de ces pulses sur l'aimantation sont présentés sur l'image suivante :

On modifie les hypothèses précédentes en ajoutant un champ radiofréquence B1 tel que :
 à t = 0, un pulse en radiofréquence d'amplitude constante et de fréquence ω0 est appliqué. On a B'xy(t) = B'xy constant et τ la durée de ce pulse ;
 T1 et T2 → ∞. En pratique, cela signifie que τ est petit devant T1 et T2.

Alors pour 0 ≤ t ≤ τ :

Avec le temps, l'aimantation tend a revenir à  un état d'équilibre. Les différentes composantes se comportent de la manière suivante :

 Voir aussi 
L'''IRM de diffusion utilise une généralisation des équations de Bloch : les équations de Bloch-Torrey, qui incluent des termes ajoutés en raison du transfert de l'aimantation par diffusion.

 Bibliographie Ouvrages ' Charles Kittel, Introduction à la Physique d'État solide, , John Wiley & Sons, , 2004 .
 Claude Le Sech et Christian Ngô, Physique Nucléaire : Des quarks aux applications, Dunod, Paris, 2010 .
 Jean-Philippe Grivet, Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l'ingénieur, , Résolution des équations de Bloch'', EDP Sciences, , ,  .

Liens externes 
 Simulation de Bloch animée du Centre Danois de Recherche en Résonance Magnétique

Références 

Physique du solide
Physique nucléaire
En physique et chimie , dans la résonance magnétique nucléaire ( RMN ) , l' imagerie par résonance magnétique ( IRM ) et la résonance paramagnétique électronique ( RPE ) , les équations de Bloch sont un ensemble d’ équations macroscopiques de calcul de l' aimantation nucléaire M = ( Mx , My , Mz ) en fonction de le temps lorsque les temps de relaxation T1 et T2 sont présents . Les équations de Bloch sont parfois appelées équations de le mouvement de l' aimantation nucléaire . Ces équations ont été introduites par Félix Bloch enet sont analogues à les équations de Maxwell-Bloch qui décrivent l' effet d' un champ électromagnétique sur un système à deux niveaux et les relaxations qu' on y peut observer . Ces équations ne sont pas microscopiques \ : elles ne décrivent pas l' équation de mouvement de moments magnétiques individuels . Ceux-ci sont gouvernés et décrits par les lois de mécanique quantique . Les équations de Bloch sont macroscopiques \ : elles décrivent les équations de mouvement de l' aimantation nucléaire macroscopique qui peut être obtenue en additionnant tous les moments magnétiques nucléaires de l' échantillon . Équations de Bloch dans un référentiel fixe Soit M( t ) = ( Mx( t ) , My( t ) , Mz( t ) ) , l' aimantation nucléaire . Les équations de Bloch s' écrivent alors \ : où γ est le rapport gyromagnétique et B( t ) = ( Bx( t ) , By(t ) , B0 + ΔBz ( t ) ) est le champ magnétique imposé à les noyaux atomiques . La composante z de le champ magnétique B est constituée de deux termes \ : le premier , B0 , correspondant à un champ constant dans le temps ; le second , ΔBz ( t ) , peut être dépendant de le temps . Il est présent dans l' imagerie par résonance magnétique et aide à le décodage spatial de le signal de RMN . M( t) ×B(t ) est le produit vectoriel de ces deux vecteurs . M0 est l' état d' équilibre de l' aimantation nucléaire , il est orienté dans la direction z . Contenu physique Lorsque T1 et T2 tendent vers l' infini , c'est-à-dire lorsqu' il n' y a pas de relaxation , les équations se réduisent à \ : ou en notation vectorielle \ : C' est l' équation de la précession de Larmor de l' aimantation nucléaire M dans un champ magnétique externe B. Les équations de Bloch sont alors les équations de Larmor à lesquelles on a ajouté les termes de relaxation suivants \ : La relaxation transversale est décrite par le temps caractéristique T2 et de même la relaxation longitudinale par le temps T1 . Ces termes traduisent de les interactions avec le milieu extérieur , la relaxation longitudinale ( T1 ) ou relaxation spin-réseau est le résultat d' échanges entre les spins et le milieu environnant pour transférer l' excès d' énergie apporté par le champ magnétique et donc revenir à l' équilibre thermodynamique . La relaxation transversale ( T2 ) ou encore relaxation spin-spin correspond à le déphasage graduel de tous les spins de la matière provenant d' inhomogénéités locales de le champ magnétique . Ces inhomogénéités impliquent de légères différences de fréquence de Larmor . En effet , en l' absence de relaxation , les moments sont en précession cohérente autour de le champ magnétique et il existe alors une aimantation transversale . Comme l' aimantation est la somme de tous les moments magnétiques , leur progressive décohérence entraîne une valeur moyenne de la composante transversale qui tend à s' annuler . Formes alternatives de les équations de Bloch Le développement de le produit vectoriel dans les équations de Bloch mène à \ : Nous verrons plus loin que cette formule se simplifie en posant \ : où i est l' unité imaginaire . On obtient \ : Tel que \ : . Ces quantités sont les nombres complexes conjugués de Mxy et de Bxy \ . Les parties réelle et imaginaire de Mxy correspondent à Mx et My respectivement . Mxy est parfois appelée aimantation nucléaire transversale . Forme matricielle de les équations de Bloch Les équations de Bloch peuvent être remaniées en utilisant une définition équivalente de le produit vectoriel pour s' écrire en notation matricielle \ : Équations de Bloch dans le référentiel tournant Dans un référentiel tournant , il est plus facile de comprendre le comportement de l' aimantation nucléaire M. Solution de les équations de Bloch avec T1 , T2 → ∞ Supposons que \ : à t = l' aimantation nucléaire transversale Mxy( 0 ) subit un champ magnétique constant B( t ) = B0 ) ; B0 est positif ; il n' y a aucune relaxation longitudinale ou transversale puisque T1 et T2 tendent vers l' infini . Les équations de Bloch deviennent alors \ : . Ce sont deux équations différentielles linéaires non couplées . Leurs solutions sont \ : . Ainsi l' aimantation transversale , Mxy tourne autour de l' axe z avec la fréquence angulaire ω0 = γB0 dans le sens de les aiguilles d' une montre ( c' est la raison de le signe négatif dans l' exposant ) . L' aimantation longitudinale Mz reste constante dans le temps . C' est aussi pourquoi l' aimantation transversale apparaît à un observateur dans le référentiel terrestre ( vu par un observateur stationnaire ) . Mxy(t ) peut se décomposer en les quantités observables Mx ( t ) et My( t ) \ : On a \ : où Re( z ) et Im(z ) sont de les fonctions qui donnent respectivement la partie réelle et imaginaire de le nombre complexe z . Dans ce calcul il a été supposé que Mxy(0 ) est un nombre réel . Transformation en référentiel tournant C' est la conclusion de la partie précédente \ : dans un champ magnétique constant B0 le long de l' axe z , l' aimantation transversale Mxy tourne autour de cet axe dans le sens de les aiguilles d' une montre avec la fréquence angulaire ω0 . Si l' observateur tournait autour de le même axe dans le même sens et avec la fréquence angulaire Ω , Mxy lui apparaîtrait tournant avec la fréquence angulaire ω0 - Ω . Plus particulièrement , si l' observateur tournait autour de le même axe dans le sens de les aiguilles d' une montre avec la fréquence angulaire ω0 , l' aimantation transversale Mxy lui semblerait stationnaire . Cela peut être exprimé mathématiquement de la manière suivante \ : ( x , y , z ) est le système de coordonnées cartésiennes terrestre posé comme référentiel ; ( x ′ , y ′ , z ′ ) = ( x ′ , y ′ , z ) est un système de coordonnées cartésiennes qui tourne autour de l' axe z de le référentiel terrestre avec la fréquence angulaire Ω . On l' appelle le référentiel tournant . Les variables physiques dans ce référentiel sont dénotées par une apostrophe . À l’ évidence \ : . Pour Mxy ′( t ) la transformation s' écrit \ : . Équation de le mouvement de l' aimantation dans le référentiel tournant L' équation de le mouvement de Mxy ′( t ) dans un champ B( t ) = ( Bx( t ) , By( t ) , B0 + ΔBz( t ) ) est \ : Explication de les termes à droite de cette équation \ : i ( Ω - ω0 ) Mxy ′( t ) suit le terme de Larmor dans le référentiel tournant avec la fréquence angulaire Ω . Il s' annule notamment quand Ω = ω0 ; le terme -iγ ΔBz ( t ) Mxy ′( t ) décrit l' effet de l' inhomogénéité de le champ magnétique sur l' aimantation nucléaire transversale . C' est aussi le terme qui correspond à les utilisations de la RMN lors d' une IRM \ : il est produit par les bobines de gradient de champ magnétique ; iγ ΔBxy ′( t ) Mz(t ) décrit l' effet de le champ radiofréquence sur l' aimantation nucléaire ( le facteur ΔBxy ′( t ) plus particulièrement ) ; –Mxy ′( t ) / T2 décrit la perte en cohérence de l' aimantation transversale . Équations indépendantes de le temps dans le référentiel tournant Si le champ externe a la forme \ : On peut alors définir \ : et , Les équations s' écrivent alors simplement en notation matricielle \ : Solutions simples de les équations de Bloch Relaxation de l' aimantation nucléaire transversale Mxy En supposant que \ : l' aimantation nucléaire est exposée à un champ magnétique externe constant dans la direction z \ : Bz ′( t ) = Bz( t ) = B0 . Ainsi ω0 = γB0 et ΔBz (t ) = ' ; il n' y a aucun champ radiofréquence , ainsi on a Bxy = ; la rotation de le référentiel tournant est à la fréquence angulaire Ω = ω0 . Dans le référentiel tournant , l' équation de mouvement pour l' aimantation nucléaire transversale , Mxy '( t ) est réduite à \ : C' est une équation différentielle ordinaire linéaire et sa solution est \ : . où Mxy( 0 ) est l' aimantation nucléaire transversale dans le référentiel tournant à l' instant t = Elle constitue la condition initiale de l' équation différentielle . Il est à noter que lorsque la rotation de le référentiel tournant est exactement à la fréquence de Larmor ω0 , le vecteur aimantation nucléaire transversale Mxy( t ) est stationnaire . Relaxation de l' aimantation nucléaire longitudinale Mz En admettant que \ : l' aimantation nucléaire est exposée à un champ magnétique externe constant dans la direction z \ : Bz ′( t ) = Bz( t ) = B0 . Ainsi ω0 = γB0 et ΔBz (t ) = ; il n' y a aucun champ radiofréquence , ainsi on a Bxy ' = ; la rotation de le système tournant est à la fréquence angulaire Ω = ω0 . Dans le référentiel tournant , l' équation de mouvement pour l' aimantation nucléaire longitudinale Mz(t ) se simplifie en \ : C' est une équation différentielle ordinaire linéaire et sa solution est \ : où Mz ( 0 ) est l' aimantation nucléaire longitudinale dans le cadre tournant à le temps t = C' est la condition initiale pour l' équation différentielle . Pulses à et en champ radiofréquence Communément , on utilise en RMN de les pulses à et en champ radiofréquences . L' effet de ces pulses sur l' aimantation sont présentés sur l' image suivante \ : On modifie les hypothèses précédentes en ajoutant un champ radiofréquence B1 tel que \ : à t = un pulse en radiofréquence d' amplitude constante et de fréquence ω0 est appliqué . On a B'xy( t ) = B' xy constant et τ la durée de ce pulse ; T1 et T2 → ∞ . En pratique , cela signifie que τ est petit devant T1 et T2 . Alors pour ≤ t ≤ τ \ : Avec le temps , l' aimantation tend a revenir à un état d' équilibre . Les différentes composantes se comportent de la manière suivante \ : Voir aussi L' '' IRM de diffusion utilise une généralisation de les équations de Bloch \ : les équations de Bloch-Torrey , qui incluent de les termes ajoutés en raison de le transfert de l' aimantation par diffusion . Bibliographie Ouvrages ' Charles Kittel , Introduction à la Physique d' État solide , , John Wiley & Sons , , . Claude Le Sech et Christian Ngô , Physique Nucléaire \ : De les quarks à les applications , Dunod , Paris , . Jean-Philippe Grivet , Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l' ingénieur , , Résolution de les équations de Bloch '' , EDP Sciences , , , \ . Liens externes Simulation de Bloch animée de le Centre Danois de Recherche en Résonance Magnétique Références Physique de le solide Physique nucléaire