Fonction à valeurs vectorielles
En mathématiques, une fonction à valeurs vectorielles ou fonction vectorielle est une fonction dont l'espace d'arrivée est un ensemble de vecteurs, son ensemble de définition pouvant être un ensemble de scalaires ou de vecteurs.

Un exemple: les courbes paramétrées 

Un exemple classique de fonctions vectorielles est celui des courbes paramétrées, c'est-à-dire des fonctions d'une variable réelle  (représentant par exemple le temps dans les applications en mécanique du point) à valeurs dans un espace euclidien, par exemple le plan usuel (on parle alors de courbes planes) ou l'espace usuel (on parle alors de courbes gauches). 

Si , en termes des coordonnées cartésiennes , une courbe paramétrée  peut s'écrire sous la forme

où les  sont les fonctions coordonnées.

Par exemple, dans l'espace cartésien , en notant ,  et  les vecteurs unités usuels, une courbe paramétrée  s'écrit sous la forme 

où  sont les fonctions coordonnées.

Définition 

Une fonction à valeurs vectorielles est une fonction d'un ensemble  quelconque dans un espace vectoriel  sur un corps  (commutatif).

Quelques cas courants sont :
  est un sous-ensemble de  (par exemple un intervalle de ),  et . Ce cadre couvre notamment le calcul différentiel en dimension finie (notamment les courbes paramétrées évoquées plus haut) et un nombre important d'outils en physique, comme ceux utilisés en mécanique du point, en mécanique des fluides, en thermodynamique, etc.
  est un espace de probabilité,  et . Les fonctions vectorielles de  dans  qui sont mesurables sont appelées des vecteurs aléatoires, généralisant la notion de variable aléatoire.

Fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles 

Considérons dans cette section une fonction vectorielle  d'un intervalle  à valeurs dans . On note  les fonctions coordonnées associées :

pour tout  où les  sont les vecteurs de la base canonique de .

On peut déduire des propriétés de  sur celles des  et réciproquement. Par exemple :
  tend vers un vecteur  quand  tend vers  (éventuellement ) si et seulement si chaque  tend vers  quand  tend vers  ; 
  est continue sur  si et seulement si chaque  l'est ;
  est dérivable sur  si et seulement si chaque  l'est.

Si  est dérivable sur , sa dérivée correspond à la dérivation composante par composante :

Géométriquement,  représente (lorsqu'il n'est pas nul) le vecteur tangent à la courbe représentative de  au point .

On peut en déduire un certain nombre de formules utiles en analyse vectorielle. Par exemple, si  sont deux fonctions vectorielles dérivables, alors :
 Le produit scalaire canonique  est dérivable et on a 
.
 Dans le cas , le produit vectoriel  est dérivable et on a 
.

Articles connexes 
 Vecteur aléatoire
 Analyse vectorielle

Analyse vectorielle
Valeurs vectorielles
En mathématiques , une fonction à valeurs vectorielles ou fonction vectorielle est une fonction dont l' espace d' arrivée est un ensemble de vecteurs , son ensemble de définition pouvant être un ensemble de scalaires ou de vecteurs . Un exemple : les courbes paramétrées Un exemple classique de fonctions vectorielles est celui de les courbes paramétrées , c'est-à-dire de les fonctions d' une variable réelle ( représentant par exemple le temps dans les applications en mécanique de le point ) à valeurs dans un espace euclidien , par exemple le plan usuel ( on parle alors de courbes planes ) ou l' espace usuel ( on parle alors de courbes gauches ) . Si , en termes de les coordonnées cartésiennes , une courbe paramétrée peut s' écrire sous la forme où les sont les fonctions coordonnées . Par exemple , dans l' espace cartésien , en notant , et les vecteurs unités usuels , une courbe paramétrée s' écrit sous la forme où sont les fonctions coordonnées . Définition Une fonction à valeurs vectorielles est une fonction d' un ensemble quelconque dans un espace vectoriel sur un corps ( commutatif ) . Quelques cas courants sont \ : est un sous-ensemble de ( par exemple un intervalle de ) , et \ . Ce cadre couvre notamment le calcul différentiel en dimension finie ( notamment les courbes paramétrées évoquées plus haut ) et un nombre important d' outils en physique , comme ceux utilisés en mécanique de le point , en mécanique de les fluides , en thermodynamique , etc. est un espace de probabilité , et \ . Les fonctions vectorielles de dans qui sont mesurables sont appelées de les vecteurs aléatoires , généralisant la notion de variable aléatoire . Fonctions d' une variable réelle à valeurs vectorielles Considérons dans cette section une fonction vectorielle d' un intervalle à valeurs dans \ . On note les fonctions coordonnées associées \ : pour tout où les sont les vecteurs de la base canonique de \ . On peut déduire de les propriétés de sur celles de les et réciproquement . Par exemple \ : tend vers un vecteur quand tend vers ( éventuellement ) si et seulement si chaque tend vers quand tend vers ; est continue sur si et seulement si chaque l' est ; est dérivable sur si et seulement si chaque l' est . Si est dérivable sur , sa dérivée correspond à la dérivation composante par composante \ : Géométriquement , représente ( lorsqu' il n' est pas nul ) le vecteur tangent à la courbe représentative de à le point \ . On peut en déduire un certain nombre de formules utiles en analyse vectorielle . Par exemple , si sont deux fonctions vectorielles dérivables , alors \ : Le produit scalaire canonique est dérivable et on a . Dans le cas , le produit vectoriel est dérivable et on a . Articles connexes Vecteur aléatoire Analyse vectorielle Analyse vectorielle Valeurs vectorielles