Problème de Milne
Le problème de Milne concerne la résolution analytique du transfert radiatif dans un milieu semi-infini homogène, sans absorption ni émission en volume, avec source située loin de l'origine. Il a été posé et résolu par Edward Arthur Milne en 1921 pour expliquer le phénomène d'assombrissement centre-bord d'une étoile. Par la suite des solutions mathématiques rigoureuses ont été proposées par Norbert Wiener, Eberhard Hopf et Kenneth Case dans le cadre de travaux concernant la neutronique.

Le problème de Milne 

Le problème du transfert radiatif (au sens large, incluant le transfert neutronique et de nombreuses autres particules élémentaires ou non) est décrit par l'équation de Boltzmann. Il s'agit d'une équation intégro-différentielle linéaire portant sur la distribution angulaire du nombre de particules transportées ou de toute quantité relative à celui-ci (l'énergie par exemple, auquel cas on parle de luminance totale, c'est-à-dire intégrée sur tout le spectre électromagnétique). La résolution de ce problème est possible dans le cas d'un problème unidimensionnel plan, cylindrique ou sphérique dans le cas particulier d'une diffusion isotrope dans le milieu. Cette résolution a une origine historique, les travaux ayant été menés à une époque où le calcul numérique n'existait pas. Ils sont aujourd'hui utilisés comme benchmark pour tester des méthodes numériques.

L'équation de Boltzmann pour un milieu homogène stationnaire, unidimensionnel et semi-infini, sans émission ni absorption en volume, avec diffusion isotrope s'écrit

où

On utilise également l'énergie volumique définie par

où c est la vitesse de la lumière. À l'énergie on associe parfois une température radiative TR qui est celle du corps noir produisant la même énergie rayonnée, définie par E = 4 σ TR4 / c où σ est la constante de Stefan-Boltzmann. L'hypothèse κt constant implique la conservation du spectre dans le milieu, lequel est donc celui de la source. TR n'est donc pas en général la température thermodynamique du milieu, laquelle ne joue aucun rôle dans le problème.

Les conditions aux limites sont les suivantes :
 pas de flux entrant à la surface (origine des coordonnées spatiales x ou τ, axe dirigé vers l'intérieur du milieu)

 source plane située à l'infini, entraînant un flux F0 < 0 donné, le flux d'énergie étant défini par

On remarque que pour une distribution isotrope le flux est nul, l'énergie étant également propagée dans toutes les directions.

Le problème consiste à calculer la luminance sortante ou tout au moins la fonction de phase (la distribution angulaire) de celle-ci.

Propriétés de la solution 

On peut donner pour ce problème les propriétés suivantes sur les premiers moments de la luminance :
 le flux d'énergie ou exitance est constant ;
 la pression radiative augmente linéairement avec la profondeur optique.

On peut donner une solution formelle de l'équation sous la forme

Par intégration on obtient l'équation intégrale de Milne

où E1 est l'exponentielle intégrale.

En particulier on voit que la solution du problème est donnée par une transformée de Laplace

Solution approchée 

Arthur Schuster (1905) et Karl Schwarzschild (1906)
ont donné une solution approchée en séparant les intensités dans les deux sens de propagation opposés, méthode rendue possible par la linéarité de l'équation de Boltzmann. Cette méthode est connue sous le nom d'« approximation à deux flux ».

Soit L+ la luminance constituée par une valeur angulaire constante dans le demi-espace x positif et valant 0 dans le demi-espace négatif. L− est son complémentaire, alors, en introduisant ces expressions dans l'équation de Boltzmann il vient

La condition en τ = 0 est

En termes d'énergie et de flux la solution de ce système s'écrit

En oubliant l'hypothèse qui a conduit à ce résultat on peut recalculer une solution générale du problème en utilisant ce qui a été baptisé plus haut « solution formelle » (cas μ < 0)

En particulier la luminance émergente est

Cette solution constitué une bonne approximation de la solution rigoureuse (voir courbe).

Solution générale 

Les solutions font appel
 soit à la méthode SN (ou méthode des ordonnées discrètes) conduisant à une solution semi-analytique.

 soit à la méthode de Wiener-Hopf utilisant la transformation de Laplace,
 soit à l'étude des valeurs propres singulières de l'opérateur de transport associé à l'équation de Boltzmann.

Les longs calculs mènent à la fonction de phase suivante

En particulier l'émission rasante vaut

La figure montre le processus par lequel la luminance quasi-isotrope pour τ > 10 se déforme dans la région proche de la paroi.

Notes

Références

Voir aussi 
 Diffusion des ondes
 Structure stellaire
 Méthode SN
 Fonction de Bickley-Naylor 

Rayonnement
Phénomène de transfert
Astrophysique
Le problème de Milne concerne la résolution analytique de le transfert radiatif dans un milieu semi-infini homogène , sans absorption ni émission en volume , avec source située loin de l' origine . Il a été posé et résolu par Edward Arthur Milne enpour expliquer le phénomène d' assombrissement centre-bord d' une étoile . Par la suite de les solutions mathématiques rigoureuses ont été proposées par Norbert Wiener , Eberhard Hopf et Kenneth Case dans le cadre de travaux concernant la neutronique . Le problème de Milne Le problème de le transfert radiatif ( à le sens large , incluant le transfert neutronique et de nombreuses autres particules élémentaires ou non ) est décrit par l' équation de Boltzmann . Il s' agit d' une équation intégro-différentielle linéaire portant sur la distribution angulaire de le nombre de particules transportées ou de toute quantité relative à celui-ci ( l' énergie par exemple , à lequel cas on parle de luminance totale , c'est-à-dire intégrée sur tout le spectre électromagnétique ) . La résolution de ce problème est possible dans le cas d' un problème unidimensionnel plan , cylindrique ou sphérique dans le cas particulier d' une diffusion isotrope dans le milieu . Cette résolution a une origine historique , les travaux ayant été menés à une époque où le calcul numérique n' existait pas . Ils sont aujourd'hui utilisés comme benchmark pour tester de les méthodes numériques . L' équation de Boltzmann pour un milieu homogène stationnaire , unidimensionnel et semi-infini , sans émission ni absorption en volume , avec diffusion isotrope s' écrit où On utilise également l' énergie volumique définie par où c est la vitesse de la lumière . À l' énergie on associe parfois une température radiative TR qui est celle de le corps noir produisant la même énergie rayonnée , définie par E =σ TR4 / c où σ est la constante de Stefan-Boltzmann . L' hypothèse κt constant implique la conservation de le spectre dans le milieu , lequel est donc celui de la source . TR n' est donc pas en général la température thermodynamique de le milieu , laquelle ne joue aucun rôle dans le problème . Les conditions à les limites sont les suivantes \ : pas de flux entrant à la surface ( origine de les coordonnées spatiales x ou τ , axe dirigé vers l' intérieur de le milieu ) source plane située à l' infini , entraînant un flux F0 <donné , le flux d' énergie étant défini par On remarque que pour une distribution isotrope le flux est nul , l' énergie étant également propagée dans toutes les directions . Le problème consiste à calculer la luminance sortante ou tout à le moins la fonction de phase ( la distribution angulaire ) de celle-ci . Propriétés de la solution On peut donner pour ce problème les propriétés suivantes sur les premiers moments de la luminance \ : le flux d' énergie ou exitance est constant ; la pression radiative augmente linéairement avec la profondeur optique . On peut donner une solution formelle de l' équation sous la forme Par intégration on obtient l' équation intégrale de Milne où E1 est l' exponentielle intégrale . En particulier on voit que la solution de le problème est donnée par une transformée de Laplace Solution approchée Arthur Schusteret Karl Schwarzschild ont donné une solution approchée en séparant les intensités dans les deux sens de propagation opposés , méthode rendue possible par la linéarité de l' équation de Boltzmann . Cette méthode est connue sous le nom d' « approximation à deux flux » . Soit L + la luminance constituée par une valeur angulaire constante dans le demi-espace x positif et valantdans le demi-espace négatif . L− est son complémentaire , alors , en introduisant ces expressions dans l' équation de Boltzmann il vient La condition en τ = est En termes d' énergie et de flux la solution de ce système s' écrit En oubliant l' hypothèse qui a conduit à ce résultat on peut recalculer une solution générale de le problème en utilisant ce qui a été baptisé plus haut « solution formelle » ( cas μ < En particulier la luminance émergente est Cette solution constitué une bonne approximation de la solution rigoureuse ( voir courbe ) . Solution générale Les solutions font appel soit à la méthode SN ( ou méthode de les ordonnées discrètes ) conduisant à une solution semi-analytique . soit à la méthode de Wiener-Hopf utilisant la transformation de Laplace , soit à l' étude de les valeurs propres singulières de l' opérateur de transport associé à l' équation de Boltzmann . Les longs calculs mènent à la fonction de phase suivante En particulier l' émission rasante vaut La figure montre le processus par lequel la luminance quasi-isotrope pour τ >se déforme dans la région proche de la paroi . Notes Références Voir aussi Diffusion de les ondes Structure stellaire Méthode SN Fonction de Bickley-Naylor Rayonnement Phénomène de transfert Astrophysique