Congruences de Ramanujan
En mathématiques, les congruences de Ramanujan sont des congruences remarquables à propos de la fonction de partition p(n). Le mathématicien Srinivasa Ramanujan a découvert les congruences:

 

Cela signifie que

 Si un nombre est congru à 4 modulo 5, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite

 4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .
 alors le nombre de ses partitions est un multiple de 5.

 Si un nombre est congru à 5 modulo 7, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite

 5, 12, 19, 26, 33, 40, . . .
 alors le nombre de ses partitions est un multiple de 7.

 Si un nombre est congru à 6 modulo 11, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite

 6, 17, 28, 39, 50, 61, . . .
 alors le nombre de ses partitions est un multiple de 11.

Contexte 
Dans son article de 1919, il donne la preuve des deux premières congruences en utilisant les identités suivantes (en utilisant la notation de Q-symbole de Pochhammer):

 

Il dit ensuite qu'« il semble qu'il n'y ait pas de propriétés d'une simplicité égale pour d'autres nombres premiers que ceux-ci ».

Après la mort de Ramanujan, en 1920, G.H. Hardy a extrait les preuves des trois congruences d'un manuscrit inédit de Ramanujan sur p(n) (Ramanujan, 1921). La preuve emploie la série d'Eisenstein.

En 1944, Freeman Dyson définit la fonction de rang et conjecture l'existence d'une fonction crank pour les partitions qui fournirait une preuve combinatoire des congruences de Ramanujan modulo 11. Quarante ans plus tard, George Andrews et Frank Garvan ont trouvé une telle fonction et prouvé simultanément les trois congruences de Ramanujan modulo 5, 7 et 11.

Dans les années 1960, A. O. L. Atkin à l'Université de l'Illinois à Chicago a découvert des congruences supplémentaires pour de petits nombres premiers. Par exemple:

 

en prolongeant les résultats de A. Atkin, Ken Ono en 2000 a prouvé qu'il y a de telles congruences de Ramanujan pour chaque entier premier avec 6. Par exemple, ses résultats donnent

  ; en 2005, son élève Karl Mahlburg a amélioré encore ces résultats,  en explicitant le crank.

Une explication conceptuelle de l'observation de Ramanujan a finalement été découverte en janvier 2011 en considérant la dimension de Hausdorff de la fonction  suivante dans la topologie l-adique:

 

On voit qu'il n'a de dimension 0 que dans les cas où ℓ = 5, 7 ou 11 et puisque la fonction de partition peut être écrite comme une combinaison linéaire de ces fonctions cela peut être considéré comme une formalisation et démonstration de l'observation de Ramanujan.

En 2001, R.L. Weaver a donné un algorithme efficace pour trouver les congruences de la fonction de partition, et a totalisé  congruences. Ceci a été prolongé en 2012 par F. Johansson à  congruences, un exemple étant

Voir aussi 

 Partition d'un entier

Références

Liens externes 

 
 Dyson's rank, crank and adjoint.

Srinivasa Ramanujan
Théorème de la théorie des nombres
En mathématiques , les congruences de Ramanujan sont de les congruences remarquables à propos de la fonction de partition p( n ) . Le mathématicien Srinivasa Ramanujan a découvert les congruences : Cela signifie que Si un nombre est congru àmodulo c'est-à-dire qu' il est compris dans la suite \ . \ . \ . alors le nombre de ses partitions est un multiple de Si un nombre est congru àmodulo c'est-à-dire qu' il est compris dans la suite \ . \ . \ . alors le nombre de ses partitions est un multiple de Si un nombre est congru àmodulo c'est-à-dire qu' il est compris dans la suite \ . \ . \ . alors le nombre de ses partitions est un multiple de Contexte Dans son article de il donne la preuve de les deux premières congruences en utilisant les identités suivantes ( en utilisant la notation de Q-symbole de Pochhammer ) : Il dit ensuite qu' « il semble qu' il n' y ait pas de propriétés d' une simplicité égale pour d' autres nombres premiers que ceux-ci » . Après la mort de Ramanujan , en G.H. Hardy a extrait les preuves de les trois congruences d' un manuscrit inédit de Ramanujan sur p( n ) ( Ramanujan , La preuve emploie la série d' Eisenstein . En Freeman Dyson définit la fonction de rang et conjecture l' existence d' une fonction crank pour les partitions qui fournirait une preuve combinatoire de les congruences de Ramanujan modulo Quarante ans plus tard , George Andrews et Frank Garvan ont trouvé une telle fonction et prouvé simultanément les trois congruences de Ramanujan moduloet Dans les années A. O. L . Atkin à l' Université de l' Illinois à Chicago a découvert de les congruences supplémentaires pour de petits nombres premiers . Par exemple : en prolongeant les résultats de A. Atkin , Ken Ono ena prouvé qu' il y a de telles congruences de Ramanujan pour chaque entier premier avec Par exemple , ses résultats donnent ; en son élève Karl Mahlburg a amélioré encore ces résultats , en explicitant le crank . Une explication conceptuelle de l' observation de Ramanujan a finalement été découverte en janvieren considérant la dimension de Hausdorff de la fonction suivante dans la topologie l-adique : On voit qu' il n' a de dimensionque dans les cas où ℓ = ouet puisque la fonction de partition peut être écrite comme une combinaison linéaire de ces fonctions cela peut être considéré comme une formalisation et démonstration de l' observation de Ramanujan . En R.L . Weaver a donné un algorithme efficace pour trouver les congruences de la fonction de partition , et a totalisé congruences . Ceci a été prolongé enpar F. Johansson à congruences , un exemple étant Voir aussi Partition d' un entier Références Liens externes Dyson's rank , crank and adjoint . Srinivasa Ramanujan Théorème de la théorie de les nombres