Équation de Ramanujan-Nagell
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, l'équation de Ramanujan-Nagell est une équation liant un carré parfait comme étant une puissance de deux moins sept. C'est un exemple d'équation diophantienne exponentielle, une équation à résoudre en entiers où l'une des variables apparaît comme un exposant. Celle-ci est nommée d'après Srinivasa Ramanujan, qui a conjecturé qu'il n'a que cinq solutions entières, et d'après Trygve Nagell, qui a prouvé la conjecture.

Équation et solution 
L'équation est

 

et les seules solutions en entiers naturels n et x sont n = 3, 4, 5, 7 et 15.

Cette solution a été conjecturée en 1913 par le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan, proposée indépendamment en 1943 par le mathématicien norvégien Wilhelm Ljunggren, et prouvée en 1948 par le mathématicien norvégien Trygve Nagell. Les valeurs de x correspondant aux valeurs de n ci-dessus sont respectivement :

 x = 1, 3, 5, 11 et 181.

Nombres triangulaires de Mersenne 
Le problème de trouver tous les entiers de la forme 2b − 1 (nombre de Mersenne) qui sont des nombres triangulaires est équivalent à l'équation de Ramanujan-Nagell :

 

Les valeurs de b dans cette équation sont juste celles de n − 3 dans l'équation de Ramanujan-Nagell, et les nombres de Mersenne triangulaires correspondants (également appelés nombres de Ramanujan-Nagell) sont :

 

pour x = 1, 3, 5, 11 et 181, donnant 0, 1, 3, 15 et 4095 ().

Équations de type Ramanujan-Nagell 
Une équation de la forme

 

pour D, A , B fixés et d'inconnues x, n est dit de type Ramanujan-Nagell. Un résultat de Carl Siegel implique que le nombre de solutions dans chaque cas est fini. L'équation avec A = 1, B = 2 a au plus deux solutions, sauf si D = 7. Il y a une infinité de valeurs de D pour lesquelles il n'existe que deux solutions.

Équations de type Lebesgue-Nagell 
Une équation de la forme

 

pour D, A fixés et d'inconnues x, y, n est dite de type Lebesgue-Nagell. Ces équations sont nommées d'après Victor-Amédée Lebesgue, qui a prouvé que l'équation

 

n'a pas de solutions non trivales lorsque n est un nombre premier.

Les résultats de Shorey et Tijdeman impliquent que le nombre de solutions dans chaque cas est fini. Bugeaud, Mignotte et Siksek ont résolu les équations de ce type avec A = 1 et 1 ≤ D ≤ 100. En particulier, la généralisation suivante de l'équation de Ramanujan-Nagell

 

a des solutions entières seulement si x = 1, 3, 5, 11 ou 181.

Références

Voir aussi

Articles connexes 
 Conjecture de Catalan
 Théorème de Tijdeman

Liens externes 
 
 

Ramanujan-Nagell
Srinivasa Ramanujan
En mathématiques , et plus précisément en théorie de les nombres , l' équation de Ramanujan-Nagell est une équation liant un carré parfait comme étant une puissance de deux moins sept . C' est un exemple d' équation diophantienne exponentielle , une équation à résoudre en entiers où l' une de les variables apparaît comme un exposant . Celle-ci est nommée d' après Srinivasa Ramanujan , qui a conjecturé qu' il n' a que cinq solutions entières , et d' après Trygve Nagell , qui a prouvé la conjecture . Équation et solution L' équation est et les seules solutions en entiers naturels n et x sont n = et Cette solution a été conjecturée enpar le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan , proposée indépendamment enpar le mathématicien norvégien Wilhelm Ljunggren , et prouvée enpar le mathématicien norvégien Trygve Nagell . Les valeurs de x correspondant à les valeurs de n ci-dessus sont respectivement \ : x = et Nombres triangulaires de Mersenne Le problème de trouver tous les entiers de la forme − 1 ( nombre de Mersenne ) qui sont de les nombres triangulaires est équivalent à l' équation de Ramanujan-Nagell \ : Les valeurs de b dans cette équation sont juste celles de n − 3 dans l' équation de Ramanujan-Nagell , et les nombres de Mersenne triangulaires correspondants ( également appelés nombres de Ramanujan-Nagell ) sont \ : pour x = et donnantet ( ) . Équations de type Ramanujan-Nagell Une équation de la forme pour D , A , B fixés et d' inconnues x , n est dit de type Ramanujan-Nagell . Un résultat de Carl Siegel implique que le nombre de solutions dans chaque cas est fini . L' équation avec A = B = a à le plus deux solutions , sauf si D = Il y a une infinité de valeurs de D pour lesquelles il n' existe que deux solutions . Équations de type Lebesgue-Nagell Une équation de la forme pour D , A fixés et d' inconnues x , y , n est dite de type Lebesgue-Nagell . Ces équations sont nommées d' après Victor-Amédée Lebesgue , qui a prouvé que l' équation n' a pas de solutions non trivales lorsque n est un nombre premier . Les résultats de Shorey et Tijdeman impliquent que le nombre de solutions dans chaque cas est fini . Bugeaud , Mignotte et Siksek ont résolu les équations de ce type avec A = et ≤ D ≤ En particulier , la généralisation suivante de l' équation de Ramanujan-Nagell a de les solutions entières seulement si x = ou Références Voir aussi Articles connexes Conjecture de Catalan Théorème de Tijdeman Liens externes Ramanujan-Nagell Srinivasa Ramanujan