M-tuplet diophantien
Un m-tuplet diophantien est, en théorie des nombres, un ensemble d'entiers naturels  tel que  est un carré parfait pour tout . Un ensemble de m nombres rationnels positifs où le produit de deux d'entre eux plus un est toujours un carré rationnel est dit m-tuplet diophantien rationnel.

Il existe des m-tuplets diophantiens pour m allant jusqu'à 4, mais il n'existe pas de quintuplets diophantiens.

m-tuplets diophantiens entiers 
Le premier quadruplet diophantien a été trouvé par Fermat : . Il a été prouvé en 1969 par Baker et Davenport  qu'un cinquième entier ne peut pas être ajouté à cet ensemble. Cependant, Euler a été en mesure d'étendre cet ensemble en ajoutant le nombre rationnel .

La question de l'existence de quintuplets diophantiens (entiers) était l'un des plus anciens problèmes non résolus de la théorie des nombres. En 2004, Andrej Dujella a montré qu'il existe au plus un nombre fini de quintuplets diophantiens. En 2016, l'inexistence de quintuplets diophantiens est prouvée par He, Togbé et Ziegler.

Le cas rationnel 
Diophante a trouvé le quadruplet diophantien rationnel . Plus récemment, Philip Gibbs a trouvé des ensembles de six rationnels positifs formant des sextuplets rationnels. On ne sait pas s'il existe des m-uplets diophantiens rationnels plus grands, ou s'il existe une borne supérieure, mais il est connu qu'aucun ensemble infini n'est m-tuplet diophantien.

Références

Liens externes 

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Équation diophantienne
Un m-tuplet diophantien est , en théorie de les nombres , un ensemble d' entiers naturels tel que est un carré parfait pour tout \ . Un ensemble de m nombres rationnels positifs où le produit de deux d' entre eux plus un est toujours un carré rationnel est dit m-tuplet diophantien rationnel . Il existe de les m-tuplets diophantiens pour m allant jusqu' à mais il n' existe pas de quintuplets diophantiens . m-tuplets diophantiens entiers Le premier quadruplet diophantien a été trouvé par Fermat \ :\ . Il a été prouvé enpar Baker et Davenport qu' un cinquième entier ne peut pas être ajouté à cet ensemble . Cependant , Euler a été en mesure d' étendre cet ensemble en ajoutant le nombre rationnel \ . La question de l' existence de quintuplets diophantiens ( entiers ) était l' un de les plus anciens problèmes non résolus de la théorie de les nombres . En Andrej Dujella a montré qu' il existe à le plus un nombre fini de quintuplets diophantiens . En l' inexistence de quintuplets diophantiens est prouvée par He , Togbé et Ziegler . Le cas rationnel Diophante a trouvé le quadruplet diophantien rationnel \ . Plus récemment , Philip Gibbs a trouvé de les ensembles de six rationnels positifs formant de les sextuplets rationnels . On ne sait pas s' il existe de les m-uplets diophantiens rationnels plus grands , ou s' il existe une borne supérieure , mais il est connu qu' aucun ensemble infini n' est m-tuplet diophantien . Références Liens externes \ . Équation diophantienne