Saut de Viète
En théorie des nombres, le saut de Viète (Vieta jumping en anglais) est une technique de démonstration. Elle est le plus souvent utilisée pour des problèmes dans lesquels une relation entre deux entiers positifs est donnée, avec une proposition à prouver au sujet de ses solutions.

Histoire 
Le saut de Viète est une technique relativement récente dans la résolution de problèmes d'olympiades mathématiques, car le premier problème d'olympiade à l'utiliser dans une solution a été proposé en 1988 lors des Olympiades internationales de mathématiques et longtemps considéré comme le problème le plus difficile de l’histoire du concours. Arthur Engel a écrit ce qui suit à propos de la difficulté du problème :  Parmi les onze étudiants (sur près de 300) qui obtinrent le score maximum pour la résolution de ce problème, il y avait Ngô Bảo Châu, futur médaillé Fields, Ravi Vakil, professeur de mathématiques à Stanford, Zvezdelina Stankova, professeure au Mills College, et Nicușor Dan, mathématicien devenu politicien roumain. En revanche, bien que Terence Tao eût obtenu une médaille d'or à cette olympiade, il avait échoué à ce seul problème.

Saut de Viète standard 
Le concept de saut de Viète standard est un raisonnement par l'absurde, et plus précisément un raisonnement par descente infinie, qui se compose des trois étapes suivantes :
 On suppose par l'absurde qu'il existe des solutions à la relation donnée qui ne satisfont pas l'énoncé que l'on veut prouver.
 On prend la solution  qui minimise une certaine fonction de  et , généralement . L'équation est ensuite réarrangée en une équation du second degré, dont l'une des racine est , et les formules de Viète sont utilisées pour déterminer l'autre racine.
 On montre ensuite que l'autre racine donne une solution à la fois valide et plus petite, ce qui contredit la minimalité de la solution . Cette contradiction montre donc qu’il n’existe aucune solution ne satisfaisant pas l’énoncé.

On peut aussi interpréter ce raisonnement comme un moyen, à partir d’une solution, d’en construire une autre « plus petite », et de proche en proche une suite décroissante infinie d’entiers naturels, ce qui est absurde.

Exemple du problème #6 de l'OMI 1988: soit  et  des entiers strictement positifs tels que  divise . Prouver que  est un carré parfait.
 Soit . Nous supposons qu'il existe une ou plusieurs solutions à la condition donnée pour laquelle  n'est pas un carré parfait.
 Pour une valeur donnée de , soit  une solution de cette équation qui minimise la valeur de  et sans perte de généralité . On peut réorganiser l'équation et remplacer  par une variable  pour obtenir . Une racine de cette équation est . Par les relations de Viète, l'autre racine peut être exprimée des deux manières suivantes :  et .
 La première expression de  montre que  est un entier, alors que l'autre expression implique que  puisque  n'est pas un carré parfait. De  on déduit que  est positif. Finalement,  implique que  et, par conséquent, , qui contredit la minimalité de .

Descente du saut de Viète 
La méthode de descente du saut de Viète est utilisée lorsque nous souhaitons prouver une déclaration concernant une constante  ayant une relation avec  et . Contrairement au saut de Viète standard, la descente n'est pas un raisonnement par l’absurde, et se compose des quatre étapes suivantes :
 Le cas de l'égalité est prouvé pour que l'on puisse supposer que .
  et  sont supposés fixés et l'expression est réarrangée sous forme d'une équation du second degré, dont l'une des racines est . L'autre racine,  est déterminée à l'aide des formules de Viète.
 Il est montré que pour tous  au-dessus d'un certain cas de base,  tel que  soit un entier. Ainsi, nous pouvons remplacer  avec  et répéter ce processus jusqu'à ce que nous arrivions au cas de base.
 La déclaration est prouvée pour le cas de base, et comme  est resté constant à travers ce processus, cela suffit à prouver l'énoncé de départ.

Exemple

Soit  et  des entiers naturels tels que  divise . Prouver que .
 Si  doit diviser  donc  et . Donc, sans perte de généralité, supposons que .
 Soit . En supposant  et  fixés, on peut réarranger l'expression et remplacer  par une variable  pour obtenir . L'une des racines est , donc l'autre peut s'écrire, par les formules de Viète : .
 La première équation dit que  est un entier et la seconde qu'il est positif. Parce que  sous réserve que .
 Le cas de base auquel nous arrivons est le cas où . Pour que cela satisfasse la condition donnée,  doit diviser , rendant  égal soit à 1 soit à 2. Le premier cas est éliminé parce que . Dans le second cas, . Puisque  est constant, cela suffit pour montrer que  sera toujours égal à 3.

Interprétation géométrique 
Le saut de Viète peut être décrit en termes de points sur une hyperbole. Le processus de recherche de racines de plus en plus petites est utilisé pour trouver des points de l'hyperbole tout en restant dans le premier quadrant. La procédure est la suivante:
 À partir de la condition donnée, on obtient l'équation d'une famille d'hyperboles inchangées par l'échange de  et  tels qu'elles soient symétriques par rapport à la droite d'équation .
 Prouver la proposition désirée pour les intersections des hyperboles et de la droite .
 Supposons qu'il y a un point  sur une hyperbole et sans perte de généralité . Ensuite, par les formules de Viète, il existe un point correspondant avec la même abscisse, situé sur l'autre branche de l'hyperbole, et par réflexion par rapport à  un nouveau point sur la branche d'origine de l'hyperbole est obtenu.
 Il est montré que ce processus produit des points de plus en plus bas sur la même branche et peut être répété jusqu'à ce que certaines conditions (par exemple ) soit vérifiées. Enfin, en remplaçant cette condition dans l'équation de l'hyperbole, la conclusion souhaitée sera prouvée.

Exemple 
Nous pouvons appliquer cette méthode au problème #6 de l'OMI 1988: Soit  et  des entiers naturels tels que  divise . Prouver que  est un carré parfait.
 Soit  avec  fixé. Alors  représente un point du réseau situé sur l'hyperbole  d'équation .
 Si  nous trouvons , qui est une solution triviale.
 Soit  un point du réseau situé sur l'hyperbole  ; supposons que ,  que le point est sur la branche supérieure. En appliquant les formules de Viète,  est un point situé sur la branche inférieure de . Ainsi, par réflexion,  est un point du réseau sur la branche d'origine. Ce nouveau point a une ordonnée plus petite, et est donc en dessous du point d'origine. Puisque ce point est sur la branche supérieure, il est encore au-dessus de .
 Ce processus peut être répété. À partir de l'équation de , il n'est pas possible que ce processus se déplace dans le deuxième quadrant. Ainsi, ce processus doit se terminer en  et en substituant, nous avons  qui est un carré parfait.

Références

Voir aussi

Articles connexes
 Méthode de descente infinie
 Nombre de Markov
 Cercle d'Apollonius

Lien externe
Vieta Jumping sur Brilliant.org

Équation diophantienne
Théorie des nombres
Olympiades internationales de mathématiques
En théorie de les nombres , le saut de Viète ( Vieta jumping en anglais ) est une technique de démonstration . Elle est le plus souvent utilisée pour de les problèmes dans lesquels une relation entre deux entiers positifs est donnée , avec une proposition à prouver à le sujet de ses solutions . Histoire Le saut de Viète est une technique relativement récente dans la résolution de problèmes d' olympiades mathématiques , car le premier problème d' olympiade à l' utiliser dans une solution a été proposé enlors de les Olympiades internationales de mathématiques et longtemps considéré comme le problème le plus difficile de l’ histoire de le concours . Arthur Engel a écrit ce qui suit à propos de la difficulté de le problème \ : Parmi les onze étudiants ( sur près dequi obtinrent le score maximum pour la résolution de ce problème , il y avait Ngô Bảo Châu , futur médaillé Fields , Ravi Vakil , professeur de mathématiques à Stanford , Zvezdelina Stankova , professeure à le Mills College , et Nicușor Dan , mathématicien devenu politicien roumain . En revanche , bien que Terence Tao eût obtenu une médaille d' or à cette olympiade , il avait échoué à ce seul problème . Saut de Viète standard Le concept de saut de Viète standard est un raisonnement par l' absurde , et plus précisément un raisonnement par descente infinie , qui se compose de les trois étapes suivantes \ : On suppose par l' absurde qu' il existe de les solutions à la relation donnée qui ne satisfont pas l' énoncé que l' on veut prouver . On prend la solution qui minimise une certaine fonction de et , généralement \ . L' équation est ensuite réarrangée en une équation de le second degré , dont l' une de les racine est , et les formules de Viète sont utilisées pour déterminer l' autre racine . On montre ensuite que l' autre racine donne une solution à la fois valide et plus petite , ce qui contredit la minimalité de la solution \ . Cette contradiction montre donc qu’ il n’ existe aucune solution ne satisfaisant pas l’ énoncé . On peut aussi interpréter ce raisonnement comme un moyen , à partir d’ une solution , d’ en construire une autre « plus petite » , et de proche en proche une suite décroissante infinie d’ entiers naturels , ce qui est absurde . Exemple de le problème #6 de l' OMI soit et de les entiers strictement positifs tels que divise \ . Prouver que est un carré parfait . Soit \ . Nous supposons qu' il existe une ou plusieurs solutions à la condition donnée pour laquelle n' est pas un carré parfait . Pour une valeur donnée de , soit une solution de cette équation qui minimise la valeur de et sans perte de généralité \ . On peut réorganiser l' équation et remplacer par une variable pour obtenir \ . Une racine de cette équation est \ . Par les relations de Viète , l' autre racine peut être exprimée de les deux manières suivantes \ : et \ . La première expression de montre que est un entier , alors que l' autre expression implique que puisque n' est pas un carré parfait . De on déduit que est positif . Finalement , implique que et , par conséquent , , qui contredit la minimalité de \ . Descente de le saut de Viète La méthode de descente de le saut de Viète est utilisée lorsque nous souhaitons prouver une déclaration concernant une constante ayant une relation avec et \ . Contrairement à le saut de Viète standard , la descente n' est pas un raisonnement par l’ absurde , et se compose de les quatre étapes suivantes \ : Le cas de l' égalité est prouvé pour que l' on puisse supposer que \ . et sont supposés fixés et l' expression est réarrangée sous forme d' une équation de le second degré , dont l' une de les racines est \ . L' autre racine , est déterminée à l' aide de les formules de Viète . Il est montré que pour tous au-dessus d' un certain cas de base , tel que soit un entier . Ainsi , nous pouvons remplacer avec et répéter ce processus jusqu' à ce que nous arrivions à le cas de base . La déclaration est prouvée pour le cas de base , et comme est resté constant à travers ce processus , cela suffit à prouver l' énoncé de départ . Exemple Soit et de les entiers naturels tels que divise \ . Prouver que \ . Si doit diviser donc et \ . Donc , sans perte de généralité , supposons que \ . Soit \ . En supposant et fixés , on peut réarranger l' expression et remplacer par une variable pour obtenir \ . L' une de les racines est , donc l' autre peut s' écrire , par les formules de Viète \ :\ . La première équation dit que est un entier et la seconde qu' il est positif . Parce que sous réserve que \ . Le cas de base à lequel nous arrivons est le cas où \ . Pour que cela satisfasse la condition donnée , doit diviser , rendant égal soit àsoit à Le premier cas est éliminé parce que \ . Dans le second cas , \ . Puisque est constant , cela suffit pour montrer que sera toujours égal à Interprétation géométrique Le saut de Viète peut être décrit en termes de points sur une hyperbole . Le processus de recherche de racines de plus en plus petites est utilisé pour trouver de les points de l' hyperbole tout en restant dans le premier quadrant . La procédure est la suivante : À partir de la condition donnée , on obtient l' équation d' une famille d' hyperboles inchangées par l' échange de et tels qu' elles soient symétriques par rapport à la droite d' équation \ . Prouver la proposition désirée pour les intersections de les hyperboles et de la droite \ . Supposons qu' il y a un point sur une hyperbole et sans perte de généralité \ . Ensuite , par les formules de Viète , il existe un point correspondant avec la même abscisse , situé sur l' autre branche de l' hyperbole , et par réflexion par rapport à un nouveau point sur la branche d' origine de l' hyperbole est obtenu . Il est montré que ce processus produit de les points de plus en plus bas sur la même branche et peut être répété jusqu' à ce que certaines conditions ( par exemple ) soit vérifiées . Enfin , en remplaçant cette condition dans l' équation de l' hyperbole , la conclusion souhaitée sera prouvée . Exemple Nous pouvons appliquer cette méthode à le problème #6 de l' OMI Soit et de les entiers naturels tels que divise \ . Prouver que est un carré parfait . Soit avec fixé . Alors représente un point de le réseau situé sur l' hyperbole d' équation \ . Si nous trouvons , qui est une solution triviale . Soit un point de le réseau situé sur l' hyperbole ; supposons que , que le point est sur la branche supérieure . En appliquant les formules de Viète , est un point situé sur la branche inférieure de \ . Ainsi , par réflexion , est un point de le réseau sur la branche d' origine . Ce nouveau point a une ordonnée plus petite , et est donc en dessous de le point d' origine . Puisque ce point est sur la branche supérieure , il est encore au-dessus de \ . Ce processus peut être répété . À partir de l' équation de , il n' est pas possible que ce processus se déplace dans le deuxième quadrant . Ainsi , ce processus doit se terminer en et en substituant , nous avons qui est un carré parfait . Références Voir aussi Articles connexes Méthode de descente infinie Nombre de Markov Cercle d' Apollonius Lien externe Vieta Jumping sur Brilliant.org Équation diophantienne Théorie de les nombres Olympiades internationales de mathématiques