Point stationnaire
En analyse réelle,  un point stationnaire ou point critique d'une fonction dérivable d'une variable réelle est un point de son graphe où sa dérivée s'annule. Visuellement, cela se traduit par un point où la fonction arrête de croître ou de décroître.

Pour une fonction de plusieurs variables réelles, un point stationnaire (critique) est un point où le gradient s'annule.

Les points stationnaires sont simples à visualiser sur une représentation graphique : dans le cas d'une variable, ce sont les points où les droites tangentes sont horizontales (parallèles à l'axe des abscisses ). Pour une fonction de deux variables, de façon similaire, ces points sont ceux où le plan tangent est parallèle au plan .

Points stationnaires, critiques et tournants 
Le terme point stationnaire d'une fonction peut être confondu avec le point critique pour une projection donnée du graphe de la fonction.

Le concept de "point critique" est plus large : un point stationnaire d'une fonction correspond à un point critique de son graphe pour la projection parallèle à l'axe . D'un autre côté, les points critiques d'un graphe pour la projection parallèle de l'axe  sont les points où la dérivée n'est pas définie (plus précisément, quand elle tend vers l'infini). Certains auteurs confondent donc les deux notions.

Un point tournant est un point où la dérivée change de signe. Un point tournant peut être un maximum ou un minimum local. SI la fonction est dérivable en ce point, alors un point tournant est un point stationnaire ; la réciproque est fausse : si la fonction est dérivable deux fois, les points stationnaires mais non tournants sont des points d'inflexion horizontaux.

Un exemple simple est donnée par  : le point  est un point stationnaire et un point d'inflexion, mais n'est pas un point tournant.

Classification 

Les points stationnaires isolés d'une fonction réelle de classe  à valeurs réelles  sont classés en quatre types, selon le nombre dérivé en ce point :

 un minimum local (point tournant minimal ou minimum relatif) est un point où la dérivée de la fonction change de signe, passant de négatif à positif ;
 un maximum local (point tournant maximal ou maximum relatif) est un point où la dérivée de la fonction change de signe, passant cette fois de positif à négatif ;

 un point d'inflexion montant est un point où la dérivée reste positive autour de ce point ;
 un point d'inflexion descendant est un point où la dérivée reste négative autour de ce point.

Les deux premiers cas sont désignés comme des extrema locaux. Les deux derniers sont appelés points selle.

Par le théorème de Fermat sur les points stationnaires, les extrema globaux se trouvent, pour une fonction de classe , aux bords du domaine de définition ou aux points stationnaires.

Étude de fonction 

Déterminer la position et la nature des points stationnaires est une étape majeure de l'étude des fonctions dérivables. Résoudre  donne l'abscisse  de tous les points stationnaires ; leurs ordonnées  s'en déduisent facilement.

La nature d'un point stationnaire  peut parfois nécessiter le calcul de la dérivée seconde en ce point,  :
 si , le point stationnaire en  est un maximum local,
 si , le point stationnaire en  est un minimum local,
 si , il faut chercher un autre moyen, comme remarque un changement de signe de la fonction ou de sa dérivée en ce point.

Un moyen plus direct de déterminer la nature du point stationnaire consiste à regarder les valeurs prises par la fonction entre deux points stationnaires successifs (sous réserve que la fonction soit définie et continue sur cet intervalle).

Un exemple simple de point d'inflexion est donné avec la fonction . La fonction passe de concave à convexe en . La dérivée seconde de  est la fonction , et en ,  s'annule et change de signe, prouvant que  est un point d'inflexion.

Pour les fonctions réelles , les points stationnaires sont ceux où chaque dérivée partielle s'annule, et où donc le gradient est nul.

Exemples 
 Pour la fonction , on a . Malgré cela,  n'est pas un point d'inflexion, car la dérivée change de signe en ce point.

Pour la fonction , on a  et . C'est donc un point d'inflexion, mais non stationnaire. En effet, la fonction passe de convexe à concave en ce point et sa dérivée n'y change pas de signe, restant positive autour de ce point.

 Pour la fonction , on a . C'est à la fois un point stationnaire et un point d'inflexion. En effet, la fonction passe de concave à convexe en ce point et sa dérivée n'y change pas de signe, restant positive autour de ce point.

Voir aussi 
 Optimisation (mathématiques)
 Théorème de Fermat sur les points stationnaires
 Point fixe
 Point col

Références

Liens externes 
  Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio sur cut-the-knot

Analyse réelle
Courbe
Point
En analyse réelle , un point stationnaire ou point critique d' une fonction dérivable d' une variable réelle est un point de son graphe où sa dérivée s' annule . Visuellement , cela se traduit par un point où la fonction arrête de croître ou de décroître . Pour une fonction de plusieurs variables réelles , un point stationnaire ( critique ) est un point où le gradient s' annule . Les points stationnaires sont simples à visualiser sur une représentation graphique \ : dans le cas d' une variable , ce sont les points où les droites tangentes sont horizontales ( parallèles à l' axe de les abscisses ) . Pour une fonction de deux variables , de façon similaire , ces points sont ceux où le plan tangent est parallèle à le plan \ . Points stationnaires , critiques et tournants Le terme point stationnaire d' une fonction peut être confondu avec le point critique pour une projection donnée de le graphe de la fonction . Le concept de " point critique " est plus large \ : un point stationnaire d' une fonction correspond à un point critique de son graphe pour la projection parallèle à l' axe \ . D' un autre côté , les points critiques d' un graphe pour la projection parallèle de l' axe sont les points où la dérivée n' est pas définie ( plus précisément , quand elle tend vers l' infini ) . Certains auteurs confondent donc les deux notions . Un point tournant est un point où la dérivée change de signe . Un point tournant peut être un maximum ou un minimum local . SI la fonction est dérivable en ce point , alors un point tournant est un point stationnaire ; la réciproque est fausse \ : si la fonction est dérivable deux fois , les points stationnaires mais non tournants sont de les points d' inflexion horizontaux . Un exemple simple est donnée par \ : le point est un point stationnaire et un point d' inflexion , mais n' est pas un point tournant . Classification Les points stationnaires isolés d' une fonction réelle de classe à valeurs réelles sont classés en quatre types , selon le nombre dérivé en ce point \ : un minimum local ( point tournant minimal ou minimum relatif ) est un point où la dérivée de la fonction change de signe , passant de négatif à positif ; un maximum local ( point tournant maximal ou maximum relatif ) est un point où la dérivée de la fonction change de signe , passant cette fois de positif à négatif ; un point d' inflexion montant est un point où la dérivée reste positive autour de ce point ; un point d' inflexion descendant est un point où la dérivée reste négative autour de ce point . Les deux premiers cas sont désignés comme de les extrema locaux . Les deux derniers sont appelés points selle . Par le théorème de Fermat sur les points stationnaires , les extrema globaux se trouvent , pour une fonction de classe , à les bords de le domaine de définition ou à les points stationnaires . Étude de fonction Déterminer la position et la nature de les points stationnaires est une étape majeure de l' étude de les fonctions dérivables . Résoudre donne l' abscisse de tous les points stationnaires ; leurs ordonnées s' en déduisent facilement . La nature d' un point stationnaire peut parfois nécessiter le calcul de la dérivée seconde en ce point , \ : si , le point stationnaire en est un maximum local , si , le point stationnaire en est un minimum local , si , il faut chercher un autre moyen , comme remarque un changement de signe de la fonction ou de sa dérivée en ce point . Un moyen plus direct de déterminer la nature de le point stationnaire consiste à regarder les valeurs prises par la fonction entre deux points stationnaires successifs ( sous réserve que la fonction soit définie et continue sur cet intervalle ) . Un exemple simple de point d' inflexion est donné avec la fonction \ . La fonction passe de concave à convexe en \ . La dérivée seconde de est la fonction , et en , s' annule et change de signe , prouvant que est un point d' inflexion . Pour les fonctions réelles , les points stationnaires sont ceux où chaque dérivée partielle s' annule , et où donc le gradient est nul . Exemples Pour la fonction , on a \ . Malgré cela , n' est pas un point d' inflexion , car la dérivée change de signe en ce point . Pour la fonction , on a et \ . C' est donc un point d' inflexion , mais non stationnaire . En effet , la fonction passe de convexe à concave en ce point et sa dérivée n' y change pas de signe , restant positive autour de ce point . Pour la fonction , on a \ . C' est à la fois un point stationnaire et un point d' inflexion . En effet , la fonction passe de concave à convexe en ce point et sa dérivée n' y change pas de signe , restant positive autour de ce point . Voir aussi Optimisation ( mathématiques ) Théorème de Fermat sur les points stationnaires Point fixe Point col Références Liens externes Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio sur cut-the-knot Analyse réelle Courbe Point