Forme automorphe
Une forme automorphique, en analyse harmonique et théorie des nombres, est une fonction d'un groupe topologique G à valeurs dans le corps des nombres complexes (ou un espace vectoriel complexe) qui est invariante sous l'action d'un sous-groupe discret  du groupe topologique et qui vérifie certaines conditions de dérivabilité et de croissance à l'infini. Les formes automorphes sont une généralisation de l'idée de fonctions périodiques dans l'espace euclidien à des groupes topologiques généraux.

Les formes modulaires sont des formes automorphes définies sur les groupes  et  et prenant comme sous groupe discret le groupe modulaire; en ce sens la théorie des formes automorphes est une généralisation de la théorie des formes modulaires. Plus généralement, l'approche adélique permet une définition plus intrinsèque, en considérant toutes les classes de congruences de sous-groupes en un.

Poincaré a d'abord découvert les formes automorphes comme généralisations des fonctions trigonométriques et elliptiques. Grâce aux conjectures de Langlands, les formes automorphes jouent un rôle important en théorie moderne des nombres.

Définition 
En mathématiques, la notion de facteur d'automorphie intervient lorsqu'un groupe agit sur une variété analytique complexe. Supposons qu'un groupe  agisse sur une variété analytique complexe . Alors,  agit également sur l'espace des fonctions holomorphes de  vers . Une fonction  est dite forme automorphe si les conditions suivantes sont réunies :

 

où  est une fonction holomorphe partout non nulle.

Le facteur d'automorphie pour la forme automorphe  est la fonction . Une fonction automorphe est une forme automorphe pour laquelle  est l'identité. Il est difficile d'obtenir des exemples de formes automorphes concrètes, bien que certaines aient des propriétés directement analytiques :

 La série d'Eisenstein (qui est une forme modulaire) sur certaines extensions de corps.
 Généralisations de la fonctions L de Dirichlet en tant qu'objets de la théorie des corps de classes.

Historique 
Avant que ce cadre très général ne soit proposé (vers 1960), quelques développements substantiels des formes automorphes autres que les formes modulaires avait été proposées. Le cas d'un groupe fuchsien avait déjà reçu l'attention avant 1900, notamment par Poincaré. Les formes modulaires de Hilbert ont été proposées peu de temps après, bien qu'une théorie complète n'ait pas tout de suite vu le jour. Les formes modulaires de Siegel, pour lesquelles G est un groupe symplectique, sont apparues naturellement en considérant les  et les fonctions thêta.

L'intérêt porté après-guerre aux fonctions complexes de plusieurs variables à naturellement amené à poursuivre l'idée de forme automorphe dans les cas où les formes sont effectivement analytiques complexes. Beaucoup de travail a été fait, en particulier par Ilya Piatetski-Shapiro, dans les années 1960, pour créer une telle théorie. L'application de la formule des traces de Selberg a montré la profondeur considérable de la théorie. Robert Langlands a montré comment (en général, de nombreux cas particuliers étant connus) le théorème de Riemann-Roch pouvait être appliqué au calcul des dimensions des formes automorphes ; c'est une sorte de vérification post hoc de la pertinence de la notion.

Articles connexes 

 Séries d'Einseinstein
 Forme modulaire de Hilbert

Références 

 
 Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI 

 Stephen Gelbart (1797), Automorphic forms on Adele groups, 

Groupe de Lie
Analyse harmonique
Théorie des groupes
Une forme automorphique , en analyse harmonique et théorie de les nombres , est une fonction d' un groupe topologique G à valeurs dans le corps de les nombres complexes ( ou un espace vectoriel complexe ) qui est invariante sous l' action d' un sous-groupe discret de le groupe topologique et qui vérifie certaines conditions de dérivabilité et de croissance à l' infini . Les formes automorphes sont une généralisation de l' idée de fonctions périodiques dans l' espace euclidien à de les groupes topologiques généraux . Les formes modulaires sont de les formes automorphes définies sur les groupes et et prenant comme sous groupe discret le groupe modulaire ; en ce sens la théorie de les formes automorphes est une généralisation de la théorie de les formes modulaires . Plus généralement , l' approche adélique permet une définition plus intrinsèque , en considérant toutes les classes de congruences de sous-groupes en un . Poincaré a d' abord découvert les formes automorphes comme généralisations de les fonctions trigonométriques et elliptiques . Grâce à les conjectures de Langlands , les formes automorphes jouent un rôle important en théorie moderne de les nombres . Définition En mathématiques , la notion de facteur d' automorphie intervient lorsqu' un groupe agit sur une variété analytique complexe . Supposons qu' un groupe agisse sur une variété analytique complexe \ . Alors , agit également sur l' espace de les fonctions holomorphes de vers \ . Une fonction est dite forme automorphe si les conditions suivantes sont réunies \ : où est une fonction holomorphe partout non nulle . Le facteur d' automorphie pour la forme automorphe est la fonction \ . Une fonction automorphe est une forme automorphe pour laquelle est l' identité . Il est difficile d' obtenir de les exemples de formes automorphes concrètes , bien que certaines aient de les propriétés directement analytiques \ : La série d' Eisenstein ( qui est une forme modulaire ) sur certaines extensions de corps . Généralisations de la fonctions L de Dirichlet en tant qu' objets de la théorie de les corps de classes . Historique Avant que ce cadre très général ne soit proposé ( vers quelques développements substantiels de les formes automorphes autres que les formes modulaires avait été proposées . Le cas d' un groupe fuchsien avait déjà reçu l' attention avant notamment par Poincaré . Les formes modulaires de Hilbert ont été proposées peu de temps après , bien qu' une théorie complète n' ait pas tout de suite vu le jour . Les formes modulaires de Siegel , pour lesquelles G est un groupe symplectique , sont apparues naturellement en considérant les et les fonctions thêta . L' intérêt porté après-guerre à les fonctions complexes de plusieurs variables à naturellement amené à poursuivre l' idée de forme automorphe dans les cas où les formes sont effectivement analytiques complexes . Beaucoup de travail a été fait , en particulier par Ilya Piatetski-Shapiro , dans les années pour créer une telle théorie . L' application de la formule de les traces de Selberg a montré la profondeur considérable de la théorie . Robert Langlands a montré comment ( en général , de nombreux cas particuliers étant connus ) le théorème de Riemann-Roch pouvait être appliqué à le calcul de les dimensions de les formes automorphes ; c' est une sorte de vérification post hoc de la pertinence de la notion . Articles connexes Séries d' Einseinstein Forme modulaire de Hilbert Références Henryk Iwaniec , Spectral Methods of Automorphic Forms , Second Edition , ( Volumein Graduate Studies in Mathematics ) , American Mathematical Society , Providence , RI Stephen Gelbart Automorphic forms on Adele groups , Groupe de Lie Analyse harmonique Théorie de les groupes