Équation xʸ=yˣ
En général, l'exponentiation n'est pas commutative. Cependant, l'équation  tient dans des cas particuliers, tels que

Histoire 
L'équation  est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach (). La lettre contient l'affirmation selon laquelle avec  les seules solutions d'entiers naturels sont  et  bien qu'il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels.
La réponse de Goldbach () contient une solution générale de l'équation obtenue en substituant . Une solution similaire a été trouvée par Euler.

J. van Hengel a souligné que si  sont des entiers positifs avec  alors  il suffit donc d'envisager les possibilités  et  afin de trouver des solutions entières.

Le problème a été traité dans un certain nombre de publications. En 1960, l'équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition qui a incité A. Hausner à étendre les résultats aux champs de nombres algébriques.

Solutions réelles positives 

Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par .

Des solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant  et en posant .
Ainsi,

 

En élevant les deux côtés à la puissance  et en divisant par ,

 

Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont

 
 

Avec  ou  cela génère les solutions non-triviales entières, .

Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque . Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement, mais nous pouvons prendre la limite . Ceci est fait en remplaçant  avec , ainsi

 

Ainsi, la ligne et la courbe se croisent lorsque .

Références 

 

 

 

 

 

  traduction de :

Liens externes 

 
 

Équation diophantienne
Mathématiques récréatives
En général , l' exponentiation n' est pas commutative . Cependant , l' équation tient dans de les cas particuliers , tels que Histoire L' équation est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach ( ) . La lettre contient l' affirmation selon laquelle avec les seules solutions d' entiers naturels sont et bien qu' il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels . La réponse de Goldbach ( ) contient une solution générale de l' équation obtenue en substituant \ . Une solution similaire a été trouvée par Euler . J. van Hengel a souligné que si sont de les entiers positifs avec alors il suffit donc d' envisager les possibilités et afin de trouver de les solutions entières . Le problème a été traité dans un certain nombre de publications . En l' équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition qui a incité A. Hausner à étendre les résultats à les champs de nombres algébriques . Solutions réelles positives Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par . De les solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant et en posant . Ainsi , En élevant les deux côtés à la puissance et en divisant par , Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont Avec ou cela génère les solutions non-triviales entières , \ . Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque . Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement , mais nous pouvons prendre la limite . Ceci est fait en remplaçant avec , ainsi Ainsi , la ligne et la courbe se croisent lorsque . Références traduction de \ : Liens externes Équation diophantienne Mathématiques récréatives