Prostaphérèse
La prostaphérèse est un algorithme que l'on utilisait à la fin du  pour effectuer rapidement quoique approximativement les multiplications ou les divisions de nombres ayant beaucoup de chiffres. Cette technique, utilisant des formules de trigonométrie, était en vogue chez les scientifiques  durant le quart de siècle qui a précédé l'invention des logarithmes en 1614. Son nom vient de la contraction de deux mots grecs :  (« addition ») et  (« soustraction »), le principe du procédé étant d'effectuer des additions et soustractions à la place de la (grosse) multiplication ou division.

N.B. En astronomie ancienne, le mot prostaphérèse avait parfois un autre sens :
C'est la différence entre le lieu moyen d'une planète, et son lieu vrai, une correction qu'il convient d'ajouter ou de soustraire.

Origines et motivation 

Aux , les astronomes élaboraient des éphémérides, utiles, entre autres, aux marins qui pratiquaient la navigation céleste. Les calculs de ces éphémérides nécessitaient une bonne maîtrise de la trigonométrie sphérique (voir figure) et mettaient en jeu des formules telles que :

où ,  et  sont des arcs interceptés par des angles au centre de la sphère.

Dans l'application ces formules, on est amené à faire des multiplications, divisions et d'avoir recours aux tables trigonométriques. Les astronomes qui étaient aguerris à ce genre de calculs ont trouvé des moyens d'éviter les fastidieuses multiplications et divisions en les remplaçant par des additions et soustractions. 
La prostaphérèse apparut ainsi vers 1580, mais on ne peut pas l'attribuer de façon sûre à un inventeur, plusieurs astronomes ou mathématiciens ayant contribué à son développement. Parmi les initiateurs de cette technique, on peut citer Ibn Yunus, Johannes Werner, Paul Wittich, Jost Bürgi, Christophe Clavius, et François Viète. L'astronome Tycho Brahe fut un grand utilisateur de ces techniques, Bürgi et l'écossais John Napier cherchèrent à l'améliorer encore, ce qui les conduisit à l'invention des logarithmes, attribuée à ce dernier ().

L'algorithme

Formules de transformation de produits en sommes ou différences 

Ces formules sont parfois appelées formules de Simpson mais les deux premières ont été énoncées par Bürgi bien avant lui. Les deux autres s'en déduisent. (Quand on multiplie par 2 les deux membres de ces égalités, on obtient la formulation dite de Werner).

Exemple d'application 
Soit à effectuer la multiplication : 
On peut choisir la première formule
 On détermine les arguments à l'aide d'une table trigonométrique :  et 
 Pour  et , on calcule la somme  et la différence  
 On applique la première formule, obtenant : 
 La table trigonométrique donne  et .
 On calcule la demi-différence des cosinus, obtenant .
La valeur exacte du produit est  ; le résultat n'est pas précis du fait que l'on a procédé à des arrondis intempestifs.

Virgule flottante 
Soit à effectuer la multiplication : 
On peut choisir la deuxième formule:
 La table trigonométrique donne les arguments :  et 
 Pour  et , on a :  et 
 La deuxième formule donne :
 La table trigonométrique donne  et .
 On calcule la demi-somme ou moyenne, obtenant 
 Il reste à replacer la virgule :

Le résultat exact était 63705,1079 : l'approximation est assez bonne puisqu'on a arrondi au dixième de degré.

Division 
Pour effectuer des divisions par prostaphérèse, on aura recours aux fonctions sécante ou cosécante  et 
Exemple : Soit à diviser  par 
On pourra utiliser la deuxième formule :

 La table trigonométrique donne  et , par conséquent 
 On applique la deuxième formule avec  et , soit  et , obtenant : 
 La table trigonométrique donne  et 
 On calcule la demi-somme, obtenant 
 Il reste à replacer la virgule :

Le résultat exact était 4 511,16... : l'approximation est assez bonne puisqu'on a arrondi au dixième de degré.

Précision des calculs par prostaphérèse 
Les exemples ci-dessus montrent que la précision des résultats obtenus par prostaphérèse peut être décevante. Elle résulte ici des arrondis des conversions effectuées à l'aide des tables numériques.
La précision pourrait être améliorée par la pratique d'interpolations linéaires, mais celles-ci nécessiteraient elles-mêmes des multiplications ou divisions. Bien entraînés aux calculs, les initiateurs de la prostaphérèse pratiquaient ces interpolations au jugé.

L'amélioration était surtout attendue de la qualité des tables numériques et l'on assista à un développement de tables de trigonométrie très détaillées telles que la table de Pitiscus ou le Canon Sinuum de Jost Bürgi qui donnaient les sinus avec des pas de l'ordre de la minute ou de 2 secondes d'angles.

Notes et références 

Algorithme
Calcul
Trigonométrie
La prostaphérèse est un algorithme que l' on utilisait à la fin de le pour effectuer rapidement quoique approximativement les multiplications ou les divisions de nombres ayant beaucoup de chiffres . Cette technique , utilisant de les formules de trigonométrie , était en vogue chez les scientifiques durant le quart de siècle qui a précédé l' invention de les logarithmes en Son nom vient de la contraction de deux mots grecs \ : ( « addition » ) et ( « soustraction » ) , le principe de le procédé étant d' effectuer de les additions et soustractions à la place de la ( grosse ) multiplication ou division . N.B. En astronomie ancienne , le mot prostaphérèse avait parfois un autre sens \ : C' est la différence entre le lieu moyen d' une planète , et son lieu vrai , une correction qu' il convient d' ajouter ou de soustraire . Origines et motivation À les , les astronomes élaboraient de les éphémérides , utiles , entre autres , à les marins qui pratiquaient la navigation céleste . Les calculs de ces éphémérides nécessitaient une bonne maîtrise de la trigonométrie sphérique ( voir figure ) et mettaient en jeu de les formules telles que \ : où , et sont de les arcs interceptés par de les angles à le centre de la sphère . Dans l' application ces formules , on est amené à faire de les multiplications , divisions et d' avoir recours à les tables trigonométriques . Les astronomes qui étaient aguerris à ce genre de calculs ont trouvé de les moyens d' éviter les fastidieuses multiplications et divisions en les remplaçant par de les additions et soustractions . La prostaphérèse apparut ainsi vers mais on ne peut pas l' attribuer de façon sûre à un inventeur , plusieurs astronomes ou mathématiciens ayant contribué à son développement . Parmi les initiateurs de cette technique , on peut citer Ibn Yunus , Johannes Werner , Paul Wittich , Jost Bürgi , Christophe Clavius , et François Viète . L' astronome Tycho Brahe fut un grand utilisateur de ces techniques , Bürgi et l' écossais John Napier cherchèrent à l' améliorer encore , ce qui les conduisit à l' invention de les logarithmes , attribuée à ce dernier ( ) . L' algorithme Formules de transformation de produits en sommes ou différences Ces formules sont parfois appelées formules de Simpson mais les deux premières ont été énoncées par Bürgi bien avant lui . Les deux autres s' en déduisent . ( Quand on multiplie parles deux membres de ces égalités , on obtient la formulation dite de Werner ) . Exemple d' application Soit à effectuer la multiplication \ : On peut choisir la première formule On détermine les arguments à l' aide d' une table trigonométrique \ : et Pour et , on calcule la somme et la différence On applique la première formule , obtenant \ : La table trigonométrique donne et \ . On calcule la demi-différence de les cosinus , obtenant \ . La valeur exacte de le produit est ; le résultat n' est pas précis de le fait que l' on a procédé à de les arrondis intempestifs . Virgule flottante Soit à effectuer la multiplication \ : On peut choisir la deuxième formule : La table trigonométrique donne les arguments \ : et Pour et , on a \ : et La deuxième formule donne \ : La table trigonométrique donne et \ . On calcule la demi-somme ou moyenne , obtenant Il reste à replacer la virgule \ : Le résultat exact était1079 \ : l' approximation est assez bonne puisqu' on a arrondi à le dixième de degré . Division Pour effectuer de les divisions par prostaphérèse , on aura recours à les fonctions sécante ou cosécante et Exemple \ : Soit à diviser par On pourra utiliser la deuxième formule \ : La table trigonométrique donne et , par conséquent On applique la deuxième formule avec et , soit et , obtenant \ : La table trigonométrique donne et On calcule la demi-somme , obtenant Il reste à replacer la virgule \ : Le résultat exact était511,16 ... \ : l' approximation est assez bonne puisqu' on a arrondi à le dixième de degré . Précision de les calculs par prostaphérèse Les exemples ci-dessus montrent que la précision de les résultats obtenus par prostaphérèse peut être décevante . Elle résulte ici de les arrondis de les conversions effectuées à l' aide de les tables numériques . La précision pourrait être améliorée par la pratique d' interpolations linéaires , mais celles-ci nécessiteraient elles-mêmes de les multiplications ou divisions . Bien entraînés à les calculs , les initiateurs de la prostaphérèse pratiquaient ces interpolations à le jugé . L' amélioration était surtout attendue de la qualité de les tables numériques et l' on assista à un développement de tables de trigonométrie très détaillées telles que la table de Pitiscus ou le Canon Sinuum de Jost Bürgi qui donnaient les sinus avec de les pas de l' ordre de la minute ou desecondes d' angles . Notes et références Algorithme Calcul Trigonométrie