Catégorie de modèles
En mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques.

Ces dernières décennies, le langage des catégories de modèles a été utilisé en K-théorie algébrique et en géométrie algébrique, où les approches homotopiques ont mené à des résultats profonds.

Motivation 

Les catégories de modèles fournissent un formalisme naturel pour la théorie de l'homotopie. On peut munir les espaces topologiques d'une structure de catégorie de modèles correspondant à la théorie usuelle. De même, les objets considérés comme des espaces admettent souvent une structure de catégorie de modèles, à l'instar de la catégorie des ensembles simpliciaux.

Une autre catégorie pouvant être munie d'une telle structure est la catégorie des complexes de chaînes de A-modules pour un anneau commutatif A. Dans ce contexte, la théorie de l'homotopie revient à l'algèbre homologique. Ainsi, l'algèbre homotopique de Quillen englobe dans un certain sens l'algèbre homologique et l'on peut ainsi généraliser l'homologie à d'autres objets comme les groupes ou les A-algèbres.

Définition formelle

Formulation classique 
Une structure de catégorie de modèles sur une catégorie M consiste dans la donnée de trois classes de morphismes distinguées : les équivalences faibles, les fibrations et les cofibrations, et de deux factorisations fonctorielles (α, β) et (γ, δ) satisfaisant aux axiomes suivants.

 M est complète et cocomplète (i.e. elle possède toutes les petites limites et toutes les petites colimites).
 Si f et g sont deux flèches de M composables (i.e. telles que gf existe) et que deux flèches parmi f, g et gf sont des équivalences faibles, alors la troisième l'est aussi.
 Si f est un rétract de g et que g est dans W (resp. C, F), alors f est dans W (resp. C, F).
 Les cofibrations acycliques ont la propriété de relèvement à gauche par rapport aux fibrations et les cofibrations ont la propriété de relèvement à gauche par rapport aux fibrations acycliques.
 Tout morphisme f de M a deux factorisations fonctorielles l'une comme une cofibration suivie d'une fibration acyclique et l'autre comme une cofibration acyclique suivie d'une fibration.

On appelle  la classe des équivalences faibles (weak equivalence),  la classe des fibrations et  la classe des cofibrations.

Une fibration qui est une équivalence faible est appelée une fibration acyclique, une cofibration qui est aussi une équivalence faible est appelée cofibration acyclique.

Formulation via les systèmes de factorisation faible 
La définition précédente peut être rendue plus succinctement via la définition suivante, que l'on trouve par exemple chez Riehl (Homotopy category theory). Une catégorie de modèles est une catégorie munie de trois classes de morphismes W, F, C telles que :
 M est complète et cocomplète.
  est un système de factorisation faible.
  est un système de factorisation faible.
 W satisfait à l'axiome 2 précédent.

Premières conséquences 
On peut montrer à partir des axiomes que dans une catégorie de modèles, les cofibrations sont caractérisées par la propriété de relèvement à gauche par rapport aux fibrations acycliques et les fibrations par la propriété de relèvement à droite par rapport aux cofibrations acycliques. Il suffit donc de connaître deux des trois classes pour obtenir la troisième. Cette remarque est fréquemment utilisée dans les exemples. Deux classes sont données avec une définition simple et la troisième se retrouve avec une propriété de relèvement.

Exemples

Espaces topologiques 
Dans la catégorie  des espaces topologiques, on peut définir  comme les équivalences faibles d'homotopie, les fibrations comme les fibrations de Serre et les cofibrations sont des rétracts  de morphismes  , où  est obtenu en attachant des cellules à .

Complexes de chaînes

Autres exemples

Homotopie et catégorie homotopique

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie 
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Articles connexes 

Théorie de l'homotopie
Théorie des catégories
En mathématiques , plus précisément en théorie de l' homotopie , une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes , appelés équivalences faibles , fibrations et cofibrations , satisfaisant à certains axiomes . Ceux-ci sont abstraits de le comportement homotopique de les espaces topologiques et de les complexes de chaînes . La théorie de les catégories de modèles est une sous-branche de la théorie de les catégories et a été introduite par Daniel Quillen enpour généraliser l' étude de l' homotopie à les catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l' homotopie dans les espaces topologiques . Ces dernières décennies , le langage de les catégories de modèles a été utilisé en K-théorie algébrique et en géométrie algébrique , où les approches homotopiques ont mené à de les résultats profonds . Motivation Les catégories de modèles fournissent un formalisme naturel pour la théorie de l' homotopie . On peut munir les espaces topologiques d' une structure de catégorie de modèles correspondant à la théorie usuelle . De même , les objets considérés comme de les espaces admettent souvent une structure de catégorie de modèles , à l' instar de la catégorie de les ensembles simpliciaux . Une autre catégorie pouvant être munie d' une telle structure est la catégorie de les complexes de chaînes de A-modules pour un anneau commutatif A . Dans ce contexte , la théorie de l' homotopie revient à l' algèbre homologique . Ainsi , l' algèbre homotopique de Quillen englobe dans un certain sens l' algèbre homologique et l' on peut ainsi généraliser l' homologie à d' autres objets comme les groupes ou les A-algèbres . Définition formelle Formulation classique Une structure de catégorie de modèles sur une catégorie M consiste dans la donnée de trois classes de morphismes distinguées \ : les équivalences faibles , les fibrations et les cofibrations , et de deux factorisations fonctorielles ( α , β ) et ( γ , δ ) satisfaisant à les axiomes suivants . M est complète et cocomplète ( i.e. elle possède toutes les petites limites et toutes les petites colimites ) . Si f et g sont deux flèches de M composables ( i.e. telles que gf existe ) et que deux flèches parmi f , g et gf sont de les équivalences faibles , alors la troisième l' est aussi . Si f est un rétract de g et que g est dans W ( resp. C , F ) , alors f est dans W ( resp . C , F ) . Les cofibrations acycliques ont la propriété de relèvement à gauche par rapport à les fibrations et les cofibrations ont la propriété de relèvement à gauche par rapport à les fibrations acycliques . Tout morphisme f de M a deux factorisations fonctorielles l' une comme une cofibration suivie d' une fibration acyclique et l' autre comme une cofibration acyclique suivie d' une fibration . On appelle la classe de les équivalences faibles ( weak equivalence ) , la classe de les fibrations et la classe de les cofibrations . Une fibration qui est une équivalence faible est appelée une fibration acyclique , une cofibration qui est aussi une équivalence faible est appelée cofibration acyclique . Formulation via les systèmes de factorisation faible La définition précédente peut être rendue plus succinctement via la définition suivante , que l' on trouve par exemple chez Riehl ( Homotopy category theory ) . Une catégorie de modèles est une catégorie munie de trois classes de morphismes W , F , C telles que \ : M est complète et cocomplète . est un système de factorisation faible . est un système de factorisation faible . W satisfait à l' axiomeprécédent . Premières conséquences On peut montrer à partir de les axiomes que dans une catégorie de modèles , les cofibrations sont caractérisées par la propriété de relèvement à gauche par rapport à les fibrations acycliques et les fibrations par la propriété de relèvement à droite par rapport à les cofibrations acycliques . Il suffit donc de connaître deux de les trois classes pour obtenir la troisième . Cette remarque est fréquemment utilisée dans les exemples . Deux classes sont données avec une définition simple et la troisième se retrouve avec une propriété de relèvement . Exemples Espaces topologiques Dans la catégorie de les espaces topologiques , on peut définir comme les équivalences faibles d' homotopie , les fibrations comme les fibrations de Serre et les cofibrations sont de les rétracts de morphismes , où est obtenu en attachant de les cellules à \ . Complexes de chaînes Autres exemples Homotopie et catégorie homotopique Notes et références Voir aussi Bibliographie . . \ . Articles connexes Théorie de l' homotopie Théorie de les catégories