Fraction continue de Rogers-Ramanujan
La fraction continue de Rogers-Ramanujan  est une fraction continue généralisée découverte par     en 1894 et indépendamment par Srinivasa Ramanujan vers 1910, qui est étroitement reliée aux  identités de Rogers-Ramanujan ; il est possible d'en donner une forme explicite pour de nombreuses valeurs de son argument.

Définition 
Étant données les fonctions G(q) et H(q) apparaissant dans les identités de Rogers-Ramanujan,

et

où  représente le q-symbole de Pochhammer infini, j est le j-invariant, et 2F1 est la fonction hypergéométrique (les coefficients des développements en séries entières forment les suites de l'OEIS  et , respectivement), la fraction continue de Rogers-Ramanujan est

Fonctions modulaires 
Si , alors  et , ainsi que leur quotient , sont des fonctions modulaires de . Comme elles ont des coefficients entiers, la théorie de la multiplication complexe implique que leurs valeurs, lorsque  est de la forme , sont des nombres algébriques qui peuvent être calculés explicitement.

Exemples 

où  est le nombre d'or (ces formules figuraient dans la première lettre que  Ramanujan avait envoyée à Hardy, et faisaient partie de celles qui avaient stupéfié ce dernier).

Liens avec les formes modulaires 
 peut s'exprimer à l'aide de la fonction êta de Dedekind, une forme modulaire de poids 1/2, car on a (en posant ) :

{{|}}

Liens avec le j-invariant 
Parmi les nombreuses relations vérifiées par le j-invariant, on a

où

Éliminant le quotient, on peut exprimer j(τ) en termes de  :

où le numérateur et le dénominateur sont des invariants polynomiaux de  l'icosaèdre. La relation  modulaire entre  et  a pour conséquence

Soit  ; alors 

où
 
ce qui est le  j-invariant de la courbe elliptique , paramétrée  par les points réguliers de la  courbe modulaire .

Équation fonctionnelle 

On pose désormais systématiquement ,   avec q = e2πiτ. Là où d'autres fonctions modulaires, par exemple  le  j-invariant, vérifient :

et qu'on a pour la fonction êta de Dedekind :

l'équation fonctionnelle de la fraction continue de  Rogers–Ramanujan met en jeu le nombre d'or  : 

.

On a d'autre part .

Équations modulaires 

Il y a des relations modulaires entre  et , particulièrement élégantes pour certaines petites valeurs premières de n :

Soit  et  ; alors :

Pour , 

Pour ,  

Pour ,  

Pour , 

De plus, on peut remarquer que les facteurs apparaissant pour   se retrouvent  dans le cas , puisque :

Autres résultats 

Ramanujan a découvert beaucoup d'autres propriétés intéressantes de R(q). Posant , , et  le nombre d'or,

si , alors 

si , alors 

Les puissances de R(q) vérifient également des relations inattendues. Ainsi,

où

Posant , on a

Références

Liens externes 

Identité mathématique
Fraction continue
Srinivasa Ramanujan
La fraction continue de Rogers-Ramanujan est une fraction continue généralisée découverte par enet indépendamment par Srinivasa Ramanujan vers qui est étroitement reliée à les identités de Rogers-Ramanujan ; il est possible d' en donner une forme explicite pour de nombreuses valeurs de son argument . Définition Étant données les fonctions G( q ) et H( q ) apparaissant dans les identités de Rogers-Ramanujan , et où représente le q-symbole de Pochhammer infini , j est le j-invariant , et1 est la fonction hypergéométrique ( les coefficients de les développements en séries entières forment les suites de l' OEIS et , respectivement ) , la fraction continue de Rogers-Ramanujan est Fonctions modulaires Si , alors et , ainsi que leur quotient , sont de les fonctions modulaires de \ . Comme elles ont de les coefficients entiers , la théorie de la multiplication complexe implique que leurs valeurs , lorsque est de la forme , sont de les nombres algébriques qui peuvent être calculés explicitement . Exemples où est le nombre d' or ( ces formules figuraient dans la première lettre que Ramanujan avait envoyée à Hardy , et faisaient partie de celles qui avaient stupéfié ce dernier ) . Liens avec les formes modulaires peut s' exprimer à l' aide de la fonction êta de Dedekind , une forme modulaire de poids2 , car on a ( en posant ) \ : {{|}} Liens avec le j-invariant Parmi les nombreuses relations vérifiées par le j-invariant , on a où Éliminant le quotient , on peut exprimer j( τ ) en termes de \ : où le numérateur et le dénominateur sont de les invariants polynomiaux de l' icosaèdre . La relation modulaire entre et a pour conséquence Soit; alors où ce qui est le j-invariant de la courbe elliptique , paramétrée par les points réguliers de la courbe modulaire \ . Équation fonctionnelle On pose désormais systématiquement , avec q = e2πiτ . Là où d' autres fonctions modulaires , par exemple le j-invariant , vérifient \ : et qu' on a pour la fonction êta de Dedekind \ : l' équation fonctionnelle de la fraction continue de Rogers–Ramanujan met en jeu le nombre d' or \: . On a d' autre part \ . Équations modulaires Il y a de les relations modulaires entre et , particulièrement élégantes pour certaines petites valeurs premières de n \ : Soit et ; alors \ : Pour , Pour , Pour , Pour , De plus , on peut remarquer que les facteurs apparaissant pour se retrouvent dans le cas , puisque \ : Autres résultats Ramanujan a découvert beaucoup d' autres propriétés intéressantes de R(q ) . Posant , , et le nombre d' or , si , alors si , alors Les puissances de R( q ) vérifient également de les relations inattendues . Ainsi , où Posant , on a Références Liens externes Identité mathématique Fraction continue Srinivasa Ramanujan