Exemple de Lewy
En mathématiques, l'exemple de Lewy est un exemple célèbre, dû à Hans Lewy, d'une équation aux dérivées partielles linéaire qui n'admet pas de solutions au sens des distributions, même si ses coefficients sont très réguliers car polynomiaux.

Ce résultat est à mettre en contraste avec d'une part le théorème de Cauchy-Kowalevski qui montre qu'une équation aux dérivées partielles linéaire ayant des coefficients et un terme source analytiques admet au moins une solution et d'autre part le théorème de Malgrange-Ehrenpreis qui affirme que toute équation aux dérivées partielles linéaire à coefficients constants admet au moins une solution.

L'exemple 

Le résultat de Lewy est le suivant:
Dans , il existe une fonction lisse à valeurs complexes  telle que l'équation

n'admet pas de solutions sur n'importe quel ouvert. 

Notons que si  était analytique, le théorème de Cauchy-Kowalevski impliquerait l'existence d'une solution.

Lewy construit une telle fonction  en utilisant le résultat suivant:
Dans , supposons que  soit une fonction telle que, dans un voisinage de l'origine,

pour une certaine fonction  de classe .  Alors  est nécessairement analytique réelle dans un voisinage (possiblement plus petit) de l'origine.

 a montré plus tard que l'équation encore plus simple

qui ne dépend que de deux variables réelles  et  n'a parfois aucune solution. Il est remarquable que cette équation est l'une des plus simples parmi les équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients non constants.

Références 

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Équation aux dérivées partielles
En mathématiques , l' exemple de Lewy est un exemple célèbre , dû à Hans Lewy , d' une équation à les dérivées partielles linéaire qui n' admet pas de solutions à le sens de les distributions , même si ses coefficients sont très réguliers car polynomiaux . Ce résultat est à mettre en contraste avec d' une part le théorème de Cauchy-Kowalevski qui montre qu' une équation à les dérivées partielles linéaire ayant de les coefficients et un terme source analytiques admet à le moins une solution et d' autre part le théorème de Malgrange-Ehrenpreis qui affirme que toute équation à les dérivées partielles linéaire à coefficients constants admet à le moins une solution . L' exemple Le résultat de Lewy est le suivant : Dans , il existe une fonction lisse à valeurs complexes telle que l' équation n' admet pas de solutions sur n' importe quel ouvert . Notons que si était analytique , le théorème de Cauchy-Kowalevski impliquerait l' existence d' une solution . Lewy construit une telle fonction en utilisant le résultat suivant : Dans , supposons que soit une fonction telle que , dans un voisinage de l' origine , pour une certaine fonction de classe \ . Alors est nécessairement analytique réelle dans un voisinage ( possiblement plus petit ) de l' origine . a montré plus tard que l' équation encore plus simple qui ne dépend que de deux variables réelles et n' a parfois aucune solution . Il est remarquable que cette équation est l' une de les plus simples parmi les équations à les dérivées partielles linéaires à coefficients non constants . Références . . Équation à les dérivées partielles