Master theorem de Ramanujan
En mathématiques, le « master theorem » de Ramanujan (littéralement, « théorème maître », dû à Srinivasa Ramanujan, et trouvé dans ses carnets après sa mort) est une technique produisant une forme explicite de la transformée de Mellin d'une  fonction analytique.

Énoncé du théorème 
Sous des hypothèses qui ont été  précisées par Hardy, et qui sont toujours vérifiées pour les applications qu'en fait Ramanujan, le théorème est le suivant :

Ramanujan l'a fréquemment utilisé pour calculer des intégrales définies et des séries entières.

Autres formes du théorème 
Une autre forme du master theorem est :
 
qui revient à la précédente par la substitution , en utilisant l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.

L'intégrale précédente est convergente pour  (si  vérifie des conditions de croissance convenables).

Un résultat analogue avait été obtenu par J. W. L. Glaisher en 1874, mais n'avait guère attiré  d'attention.

Démonstration de Hardy 
Le théorème est faux en général ; une démonstration sous des hypothèses « naturelles » (mais qui ne sont pas les plus faibles nécessaires) fut donnée par Godfrey Harold Hardy, utilisant le  théorème des résidus et le .

Les hypothèses les plus simples pour la démonstration sont en effet celles-ci : 

 pour 

  est analytique pour 

  a une décroissance exponentielle sur la droite verticale 

  

Pour  soit . La décroissance exponentielle de  implique que g est analytique sur .

De plus le théorème des résidus donne que pour , . Donc g est en fait le prolongement analytique de f. 

Enfin comme  est bornée, par inversion de Mellin, on a :  pour .

Exemples

Application à la fonction zêta de Hurwitz 
La série génératrice des polynômes de Bernoulli  est :
 
Utilisant la fonction zêta de Hurwitz ,  on a 
 pour .

Le master theorem permet alors d'obtenir la représentation intégrale : 
 , si .

Application à la fonction gamma 
Utilisant la définition de Weierstrass :
 ,
équivalente à 
  (où  est la fonction zêta de Riemann), le master theorem donne alors :
  (pour ).

En particulier, pour  et , on obtient
 
 ,
résultats hors de portée de logiciels de calcul formel tels que Mathematica 7.

Généralisations 
Des versions de ce théorème en dimensions supérieures apparaissent en physique quantique (par le biais de  diagrammes de Feynman).

Notes et références

Liens externes 
 
  Une présentation du master theorem et de ses applications, sur le site de Armin Straub.

Srinivasa Ramanujan
Théorème de la théorie des nombres
Théorème d'analyse
En mathématiques , le « master theorem » de Ramanujan ( littéralement , « théorème maître » , dû à Srinivasa Ramanujan , et trouvé dans ses carnets après sa mort ) est une technique produisant une forme explicite de la transformée de Mellin d' une fonction analytique . Énoncé de le théorème Sous de les hypothèses qui ont été précisées par Hardy , et qui sont toujours vérifiées pour les applications qu' en fait Ramanujan , le théorème est le suivant \ : Ramanujan l' a fréquemment utilisé pour calculer de les intégrales définies et de les séries entières . Autres formes de le théorème Une autre forme de le master theorem est \ : qui revient à la précédente par la substitution , en utilisant l' équation fonctionnelle de la fonction gamma . L' intégrale précédente est convergente pour ( si vérifie de les conditions de croissance convenables ) . Un résultat analogue avait été obtenu par J. W. L. Glaisher en mais n' avait guère attiré d' attention . Démonstration de Hardy Le théorème est faux en général ; une démonstration sous de les hypothèses « naturelles » ( mais qui ne sont pas les plus faibles nécessaires ) fut donnée par Godfrey Harold Hardy , utilisant le théorème de les résidus et le \ . Les hypothèses les plus simples pour la démonstration sont en effet celles-ci \ : pour est analytique pour a une décroissance exponentielle sur la droite verticale Pour soit \ . La décroissance exponentielle de implique que g est analytique sur \ . De plus le théorème de les résidus donne que pour , \ . Donc g est en fait le prolongement analytique de f. Enfin comme est bornée , par inversion de Mellin , on a \ : pour \ . Exemples Application à la fonction zêta de Hurwitz La série génératrice de les polynômes de Bernoulli est \ : Utilisant la fonction zêta de Hurwitz , on a pour \ . Le master theorem permet alors d' obtenir la représentation intégrale \: , si \ . Application à la fonction gamma Utilisant la définition de Weierstrass \: , équivalente à ( où est la fonction zêta de Riemann ) , le master theorem donne alors \ : ( pour ) . En particulier , pour et , on obtient , résultats hors de portée de logiciels de calcul formel tels que Mathematica Généralisations De les versions de ce théorème en dimensions supérieures apparaissent en physique quantique ( par le biais de diagrammes de Feynman ) . Notes et références Liens externes Une présentation de le master theorem et de ses applications , sur le site de Armin Straub . Srinivasa Ramanujan Théorème de la théorie de les nombres Théorème d' analyse