Problème de Brocard
Le problème de Brocard est un problème de théorie des nombres qui demande de trouver des valeurs entières de n et m vérifiant l'équation diophantienne :

 ,

où n! est la fonction factorielle. Celui-ci a été posé par Henri Brocard dans deux articles en 1876 et 1885, et indépendamment en 1913 par Srinivasa Ramanujan.

Nombres de Brown 
Les couples d'entiers (n, m) étant solutions du problème de Brocard sont dits nombres de Brown. Il n'y a que trois paires connues de nombres de Brown : (4,5), (5,11) et (7,71).

Paul Erdős a conjecturé qu'il n'existe pas d'autres solutions. Overholt, en 1993, a montré qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions, à condition que la conjecture abc soit vraie. Berndt et Galway en 2000 ont effectué des calculs pour n ＜ 109 et n'ont trouvé aucune solution supplémentaire. Matson a affirmé en 2017 avoir étendu ces calculs à 1012. En 2020, ces calculs (utilisant la détermination de résidus quadratiques modulo de grands nombres premiers) ont été étendus à 1015 par Epstein et Glickman.

Variantes du problème 
Dabrowski a généralisé le résultat d'Overholt en 1996 en montrant qu'il découlerait de la conjecture abc que
 

ne possède seulement qu'un nombre fini de solutions, pour un nombre entier donné A. Ce résultat a été encore généralisé par Luca (2002), qui a montré (en supposant encore une fois la conjecture abc vraie) que l'équation
 

a seulement un nombre fini de solutions entières pour un polynôme donné P de degré au moins 2 à coefficients entiers.

Cushinge et Pascoe ont montré en 2016 qu'il découlerait de la conjecture abc que
 

a seulement un nombre fini de solutions, où K est un nombre entier et  est un nombre puissant.

Notes et références 

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Liens externes 

 

Équation diophantienne
Srinivasa Ramanujan
Problème non résolu en mathématiques
Le problème de Brocard est un problème de théorie de les nombres qui demande de trouver de les valeurs entières de n et m vérifiant l' équation diophantienne \: , où n! est la fonction factorielle . Celui-ci a été posé par Henri Brocard dans deux articles enet et indépendamment enpar Srinivasa Ramanujan . Nombres de Brown Les couples d' entiers ( n , m ) étant solutions de le problème de Brocard sont dits nombres de Brown . Il n' y a que trois paires connues de nombres de Brown \ :5) ,11 ) et71 ) . Paul Erdős a conjecturé qu' il n' existe pas d' autres solutions . Overholt , en a montré qu' il n' y a qu' un nombre fini de solutions , à condition que la conjecture abc soit vraie . Berndt et Galway enont effectué de les calculs pour n ＜et n' ont trouvé aucune solution supplémentaire . Matson a affirmé enavoir étendu ces calculs à En ces calculs ( utilisant la détermination de résidus quadratiques modulo de grands nombres premiers ) ont été étendus àpar Epstein et Glickman . Variantes de le problème Dabrowski a généralisé le résultat d' Overholt enen montrant qu' il découlerait de la conjecture abc que ne possède seulement qu' un nombre fini de solutions , pour un nombre entier donné A . Ce résultat a été encore généralisé par Luca qui a montré ( en supposant encore une fois la conjecture abc vraie ) que l' équation a seulement un nombre fini de solutions entières pour un polynôme donné P de degré à le moinsà coefficients entiers . Cushinge et Pascoe ont montré enqu' il découlerait de la conjecture abc que a seulement un nombre fini de solutions , où K est un nombre entier et est un nombre puissant . Notes et références \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . Liens externes Équation diophantienne Srinivasa Ramanujan Problème non résolu en mathématiques