Csebisev-függvény
A matematikában a Csebisev-függvény a Csebisevről elnevezett két függvény egyike. Az első Csebisev-függvény a ϑ(x) vagy θ(x) definíciója

ahol az összegzés az x-nél nem nagyobb prímekre megy.

A második Csebisev-függvény definíciója hasonló, de az összegzés az összes x-nél nem nagyobb prímhatványt magában foglalja:

ahol  a von Mangoldt-függvény. A Csebisev-függvények, különösen a ψ(x) második Csebisev-függvény gyakran hasznosnak bizonyulnak a prímekhez kapcsolódó problémákban, mivel egyszerűbb velük számolni, mint a prímszámláló π(x) függvénnyel.

Mindkettő aszimptotikus x-hez, ami a prímszámtétellel ekvivalens.

Kapcsolatuk
A második Csebisev-függvény kifejezhető, mint

ahol k az az egész, amire pk ≤ x, és x < pk+1. A k értékek sorozata . A következő egy még közvetlenebb kapcsolatot fejez ki:

Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi összegben véges sok tag kivételével mindegyik nulla:

A második Csebisev-függvény az 1-től n-ig terjedő egészek legkisebb közös többszörösének logaritmusa:

Az n függvényében a    sorozat az  sorozat.

Aszimptotika és korlátok
A következő képletekben a pk a k-adik pozitív prímet jelöli. A Csebisev-függvényre a következő korlátok ismertek:

 -re

 k ≥ 198-ra,

 minden x ≥ 10,544,111-re,

 minden x ≥ exp(22)-re,

 minden -re.

Továbbá, a Riemann-hipotézis teljesülése esetén

minden -ra.

Mindkét függvényre ismertek felső korlátok is, így

minden -ra. Az 1,03883 magyarázatát az  adja meg.

Egzakt képletek
1895-ben Hans Carl Friedrich von Mangoldt explicit kifejezte a  függvényt a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összegeként:
 

ahol ζ'(0)/ζ(0) értéke log(2π),  befutja a zéta-függvény nem triviális gyökeit, és ψ0 éppen a ψ, kivéve, hogy átugorja annak szakadási helyeit a prímhatványoknál, és ezeken a helyeken a két határérték számtani közepét veszi fel:
 

A logaritmus Taylor-sora szerint az utolsó tag tekinthető, mint  összege a Riemann-féle zéta-függvény triviális gyökei, a negatív egészek fölött:
 

Hasonlóan, az első tag x = x1/1 megfelel a Riemann-féle zéta-függvény elsőrendű pólusának az 1 helyen. Mivel nem gyök, hanem pólus, azért negatív előjellel szerepel az összegben.

Tulajdonságok
Erhard Schmidt egy tétele szerint egy rögzített pozitív egész K-ra végtelen sok olyan x létezik, amire

és végtelen sok x, hogy

A kis ordo jelöléssel

Hardy és Littlewood eredménye erősebb:

Kapcsolat a primoriálokkal
Az első Csebisev-függvény x primoriáljának logaritmusa, amit x# jelöl:

Ez bizonyítja, hogy az x# primoriál aszimptotikusan egyenlő exp((1+o(1))x)-szel, ahol "o" a kis ordo jelölés, és a prímszámtétellel együtt bizonyítja pn# aszimptotikus viselkedését.

Kapcsolat a prímszámláló függvénnyel
A Csebisev-függvények kapcsolatba hozhatók a prímszámláló függvénnyel. Legyen
 

Ekkor
 

Az áttérés -ről -reó a következő egyenlettel lehetséges:
 

Mivel , azért a legutóbbi reláció írható, mint

A Riemann-hipotézis
A Riemann-hipotézis szerint a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek valós része 1/2. Ekkor
, és megmutatható, hogy

 

A fentiek szerint ebből következik, hogy
 

Alain Connes és társai úgy próbálták igazolni a hipotézist, hogy deriválták a von Mangoldt-formulát x szerint, ahol x = exp(u). A Hamilton-operátor exponenciálisának nyom képletét véve
 

ahol a trigonometrikus összeg tekinthető az  operátor nyomának, ami csak akkor igaz, ha 

A H = T + V hatványának félklasszikus megközelítésével:

ahol Z(u) → 0 as u → ∞. A  egy megoldása ennek a nemlineáris integrálegyenletnek, a
 

hatvány inverzének a kiszámításával.

Simító függvény
A simító függvény definíciója

Belátható, hogy

Variációszámítás
A Csebisev-függvény az x = exp(t) helyen minimalizálja az

funkcionált, így

c > 0 -ra.

Jegyzetek

Források
 Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 
 
 
 
 Riemann's Explicit Formula

Fordítás 

Számelmélet
A matematikában a Csebisev-függvény a Csebisevről elnevezett két függvény egyike . Az első Csebisev-függvény a ϑ ( x ) vagy θ ( x ) definíciója ahol az összegzés az x-nél nem nagyobb prímekre megy . A második Csebisev-függvény definíciója hasonló , de az összegzés az összes x-nél nem nagyobb prímhatványt magában foglalja : ahol a von Mangoldt-függvény . A Csebisev-függvények , különösen a ψ ( x ) második Csebisev-függvény gyakran hasznosnak bizonyulnak a prímekhez kapcsolódó problémákban , mivel egyszerűbb velük számolni , mint a prímszámláló π ( x ) függvénnyel . Mindkettő aszimptotikus x-hez , ami a prímszámtétellel ekvivalens . Kapcsolatuk A második Csebisev-függvény kifejezhető , mint ahol k az az egész , amire pk ≤ x , és x < pk+1. A k értékek sorozata \ . A következő egy még közvetlenebb kapcsolatot fejez ki : Jegyezzük meg , hogy ez utóbbi összegben véges sok tag kivételével mindegyik nulla : A második Csebisev-függvény aztől n-ig terjedő egészek legkisebb közös többszörösének logaritmusa : Az n függvényében a sorozat az sorozat . Aszimptotika és korlátok A következő képletekben a pk a k-adik pozitív prímet jelöli . A Csebisev-függvényre a következő korlátok ismertek : -re k ≥ra , minden x ≥544,111-re , minden x ≥ exp( 22)-re , minden -re . Továbbá , a Riemann-hipotézis teljesülése esetén minden -ra . Mindkét függvényre ismertek felső korlátok is , így minden -ra . Az03883 magyarázatát az adja meg . Egzakt képletek 1895-ben Hans Carl Friedrich von Mangoldt explicit kifejezte a függvényt a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összegeként : ahol ζ'( 0) /ζ ( 0 ) értéke log( 2π ) , befutja a zéta-függvény nem triviális gyökeit , és ψ0 éppen a ψ , kivéve , hogy átugorja annak szakadási helyeit a prímhatványoknál , és ezeken a helyeken a két határérték számtani közepét veszi fel : A logaritmus Taylor-sora szerint az utolsó tag tekinthető , mint összege a Riemann-féle zéta-függvény triviális gyökei , a negatív egészek fölött : Hasonlóan , az első tag x = x1/1 megfelel a Riemann-féle zéta-függvény elsőrendű pólusának azhelyen . Mivel nem gyök , hanem pólus , azért negatív előjellel szerepel az összegben . Tulajdonságok Erhard Schmidt egy tétele szerint egy rögzített pozitív egész K-ra végtelen sok olyan x létezik , amire és végtelen sok x , hogy A kis ordo jelöléssel Hardy és Littlewood eredménye erősebb : Kapcsolat a primoriálokkal Az első Csebisev-függvény x primoriáljának logaritmusa , amit x # jelöl : Ez bizonyítja , hogy az x # primoriál aszimptotikusan egyenlő exp ( ( 1+o( 1) ) x)-szel , ahol " o " a kis ordo jelölés , és a prímszámtétellel együtt bizonyítja pn # aszimptotikus viselkedését . Kapcsolat a prímszámláló függvénnyel A Csebisev-függvények kapcsolatba hozhatók a prímszámláló függvénnyel . Legyen Ekkor Az áttérés -ről -reó a következő egyenlettel lehetséges : Mivel , azért a legutóbbi reláció írható , mint A Riemann-hipotézis A Riemann-hipotézis szerint a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek valós része2. Ekkor és megmutatható , hogy A fentiek szerint ebből következik , hogy Alain Connes és társai úgy próbálták igazolni a hipotézist , hogy deriválták a von Mangoldt-formulát x szerint , ahol x = exp( u ) . A Hamilton-operátor exponenciálisának nyom képletét véve ahol a trigonometrikus összeg tekinthető az operátor nyomának , ami csak akkor igaz , ha A H = T + V hatványának félklasszikus megközelítésével : ahol Z( u ) → 0 as u → ∞ . A egy megoldása ennek a nemlineáris integrálegyenletnek , a hatvány inverzének a kiszámításával . Simító függvény A simító függvény definíciója Belátható , hogy Variációszámítás A Csebisev-függvény az x = exp( t ) helyen minimalizálja az funkcionált , így c >-ra . Jegyzetek Források Apostol , Tom M. Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics , New York-Heidelberg : Springer-Verlag , Riemann's Explicit Formula Fordítás Számelmélet