Abszolút konvergencia
A matematikában egy végtelen számsor abszolút konvergens, ha tagjainak abszolútértékét véve véges lesz az összeg.
Képlettel,  abszolút konvergens, ha van egy  valós szám, hogy .
Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételesen konvergens.

Hasonlóan, egy f függvény  improprius integrálja abszolút konvergens, ha az  integrál konvergens.

Tanulmányozása azért fontos, mert egyrészt viszonylag gyakori, másrészt elég erős ahhoz, hogy olyan tulajdonságok is bizonyíthatók legyenek, amelyek más sorokra nem teljesülnek.

Háttere
Egy konvergens sor tagjai nemcsak valós vagy komplex számok lehetnek, hanem tetszőleges topologikus Abel-csoport elemei is. Az abszolút konvergencia ezen kívül megköveteli az abszolútérték általánosítását is, a normát. Itt a továbbiakban a csoportra additív jelölést használunk, így a G csoport egységeleme helyett nullelemről beszélünk, és 0-val jelöljük.

A normára teljesülnek a következők:
G nullelemének normája 0: 
Minden x elemre  implikálja, hogy 
Minden x elemre 
Minden x, y elemre 

Ekkor G a  távolsággal metrikus tér, és ebben értelmezhető az abszolút konvergencia: 

Valós vagy komplex számok esetén alkalmazható az abszolútérték, mint norma.

Kapcsolat a konvergenciával
Ha a fenti G teljes a fenti d metrikára, akkor az abszolút konvergens sorozatok konvergensek. Ezt általában is a komplex esethez hasonlóan lehet bizonyítani. A teljességből következik a Cauchy-konvergenciakritérium, és a háromszög-egyenlőtlenséget kell alkalmazni.

Speciálisan Banach-terekben az abszolút konvergenciából következik a konvergencia. Megfordítva, ha egy normált térben minden abszolút konvergens sorozat konvergens, akkor a tér Banach-tér.

Feltételesen konvergens sorozatra példa az alternáló harmonikus sorozat. Több konvergenciakritérium, mint a hányadoskritérium és a gyökkritérium, abszolút konvergenciát bizonyít. Ez azért van, mert a hatványsorok is abszolút konvergensek konvergencialemezükben.

Mivel egy komplex sor akkor és csak akkor konvergens, ha valós és képzetes része valós, ezért gondolhatunk a sor  tagjaira, mint valós számokra.
Tegyük fel, hogy  konvergens. Ekkor  is konvergens.

Mivel , azért
.
Így korlátos monoton sorozat (in m), ami konvergens.

 konvergens sorok különbsége; emiatt konvergens, ahogy kell.

Banach-terekben hasonló a bizonyítás:

Legyen X Banach-tér, ∑xn abszolút konvergens X-ben. Mivel  valós számok Cauchy-sorozata, azért minden ε > 0 valós számra és elég nagy m > n egész számokra

A norma háromszög-egyenlőtlenségét felhasználva:

az  Cauchy X-ben, tehát konvergens is X-ben.

Átrendezés és feltétlen konvergencia
Általában különbséget kell tenni az abszolút és a feltétlen konvergencia között. A valós és a komplex számokra az abszolút konvergens sorozatok és a feltétlenül konvergens sorozatok ekvivalenciája külön tétel. Az alábbiakban ezt mutatjuk be részletesebben.

Adva legyen az  sor a normált G Abel-csoport elemeiből vett tagokkal, és legyen σ a természetes számok permutációja. Ekkor  ennek egy átrendezése. Egy sorozat feltétlenül konvergens, ha minden átrendezése ugyanahhoz a határértékhez tart, mint az eredeti.

Ha G teljes, akkor az abszolút konvergenciából következik a feltétlen konvergencia. Ennek megfordítása már érdekesebb. Valós sorozatokra, így komplex és véges dimenziós pontsorozatokra is Riemann átrendezési tételéből következik. Ez azonban már általánosabb esetekben nem igaz, hiszen az ℓ2 Hilbert-térben van sorozat, ami nem abszolút konvergens, de feltétlenül konvergens. Példa:

ahol  ortonormált bázis. A. Dvoretzky és C. A. Rogers tétele szerint a végtelen dimenziós Banach-terekben létezik feltételesen konvergens sor.

Minden ε > 0-hoz választhatunk  számokat, hogy:

Legyen

Végül minden -re legyen

Ekkor

Eszerint

tehát:

Sorozatok szorzata
Két sor Cauchy-szorzata az összegek szorzatához tart, ha legalább az egyik abszolút konvergens. Tegyük fel, hogy:
 és .

Cauchy-szorzatuk cn, ahol:

Ha an vagy bn abszolút konvergens, akkor

Integrálok abszolút konvergenciája
A valós vagy komplex értékű f függvény  integrálja abszolút konvergens, ha  Azt is mondjuk, hogy f abszolút integrálható.

Ha A = [a,b] zárt korlátos intervallum, akkor minden itt folytonos függvény integrálható, és mivel ha a függvény folytonos, akkor az abszolútértéke is, így minden itt folytonos függvény abszolút integrálható. Általában nem minden ilyen intervallumon abszolút integrálható függvény integrálható. Legyen  nem mérhető, és legyen , ahol  S karakterisztikus függvénye. Ekkor f nem Lebesgue-mérhető, de |f| konstans. Ezzel szemben, ha egy függvény Riemann-integrálható, akkor abszolútértéke is integrálható. Ez a Lebesgue-integrálhatóságra is vonatkozik. Másrészt azonban ez nem teljesül a Kurzweil-Henstock-integrálra. Ez az improprius Riemann-integrálokat is magában foglalja.

Hasonlóan, ha az A intervallum végtelen, ismert, hogy vannak impropriusan Riemann-integrálható függvények, amelyek nem abszolút konvergensek. Ezzel szemben egy adott  sor esetén tekinthetjük a hozzá rendelt lépcsős  függvényt, aminek definíciója . Ekkor  abszolút vagy feltételes konvergenciája  viselkedésétől függ.

Egy másik példa a konvergens, de nem abszolút konvergens improprius Riemann-integrálra .

Hogyha A mértéktér, akkor egy valós értékű függvény Lebesgue-integrálja pozitív és negatív része segítségével definiálható:
 Ha f integrálható, akkor |f| is integrálható
 Ha f mérhető, és |f| integrálható, akkor f integrálható.

Mindezek a Lebesgue-integrál definícióján alapulnak. Továbbá, ha egy S halmazon a számlálómértéket használjuk, akkor visszakapjuk a rendezetlen összeg definíciót. Hogyha pedig S = N, akkor a Lebesgue-integrálhatóság, az abszolút konvergencia és a rendezetlen összegezhetőség megegyezik.

A fentiek teljesülnek akkor is, ha az értékek Banach-térből valók. A Riemann-integrál definíciója könnyen átvihető az ilyen függvényekre is. A Lebesgue-integrál pozitív és negatív részét Daniell funkcionálisabb megközelítése helyettesítheti, így juthatunk a Bochner-integrálhoz.

Jegyzetek

Fordítás

Források
 Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964)

Konvergencia (matematika)
Végtelen sorok
A matematikában egy végtelen számsor abszolút konvergens , ha tagjainak abszolútértékét véve véges lesz az összeg . Képlettel , abszolút konvergens , ha van egy valós szám , hogy \ . Ha egy sor konvergens , de nem abszolút konvergens , akkor feltételesen konvergens . Hasonlóan , egy f függvény improprius integrálja abszolút konvergens , ha az integrál konvergens . Tanulmányozása azért fontos , mert egyrészt viszonylag gyakori , másrészt elég erős ahhoz , hogy olyan tulajdonságok is bizonyíthatók legyenek , amelyek más sorokra nem teljesülnek . Háttere Egy konvergens sor tagjai nemcsak valós vagy komplex számok lehetnek , hanem tetszőleges topologikus Abel-csoport elemei is . Az abszolút konvergencia ezen kívül megköveteli az abszolútérték általánosítását is , a normát . Itt a továbbiakban a csoportra additív jelölést használunk , így a G csoport egységeleme helyett nullelemről beszélünk , ésval jelöljük . A normára teljesülnek a következők : G nullelemének normája Minden x elemre implikálja , hogy Minden x elemre Minden x , y elemre Ekkor G a távolsággal metrikus tér , és ebben értelmezhető az abszolút konvergencia : Valós vagy komplex számok esetén alkalmazható az abszolútérték , mint norma . Kapcsolat a konvergenciával Ha a fenti G teljes a fenti d metrikára , akkor az abszolút konvergens sorozatok konvergensek . Ezt általában is a komplex esethez hasonlóan lehet bizonyítani . A teljességből következik a Cauchy-konvergenciakritérium , és a háromszög-egyenlőtlenséget kell alkalmazni . Speciálisan Banach-terekben az abszolút konvergenciából következik a konvergencia . Megfordítva , ha egy normált térben minden abszolút konvergens sorozat konvergens , akkor a tér Banach-tér . Feltételesen konvergens sorozatra példa az alternáló harmonikus sorozat . Több konvergenciakritérium , mint a hányadoskritérium és a gyökkritérium , abszolút konvergenciát bizonyít . Ez azért van , mert a hatványsorok is abszolút konvergensek konvergencialemezükben . Mivel egy komplex sor akkor és csak akkor konvergens , ha valós és képzetes része valós , ezért gondolhatunk a sor tagjaira , mint valós számokra . Tegyük fel , hogy konvergens . Ekkor is konvergens . Mivel , azért . Így korlátos monoton sorozat ( in m ) , ami konvergens. konvergens sorok különbsége ; emiatt konvergens , ahogy kell . Banach-terekben hasonló a bizonyítás : Legyen X Banach-tér , ∑xn abszolút konvergens X-ben . Mivel valós számok Cauchy-sorozata , azért minden ε >valós számra és elég nagy m > n egész számokra A norma háromszög-egyenlőtlenségét felhasználva : az Cauchy X-ben , tehát konvergens is X-ben . Átrendezés és feltétlen konvergencia Általában különbséget kell tenni az abszolút és a feltétlen konvergencia között . A valós és a komplex számokra az abszolút konvergens sorozatok és a feltétlenül konvergens sorozatok ekvivalenciája külön tétel . Az alábbiakban ezt mutatjuk be részletesebben . Adva legyen az sor a normált G Abel-csoport elemeiből vett tagokkal , és legyen σ a természetes számok permutációja . Ekkor ennek egy átrendezése . Egy sorozat feltétlenül konvergens , ha minden átrendezése ugyanahhoz a határértékhez tart , mint az eredeti . Ha G teljes , akkor az abszolút konvergenciából következik a feltétlen konvergencia . Ennek megfordítása már érdekesebb . Valós sorozatokra , így komplex és véges dimenziós pontsorozatokra is Riemann átrendezési tételéből következik . Ez azonban már általánosabb esetekben nem igaz , hiszen az ℓ2 Hilbert-térben van sorozat , ami nem abszolút konvergens , de feltétlenül konvergens . Példa : ahol ortonormált bázis . A . Dvoretzky és C . A . Rogers tétele szerint a végtelen dimenziós Banach-terekben létezik feltételesen konvergens sor . Minden ε >hoz választhatunk számokat , hogy : Legyen Végül minden -re legyen Ekkor Eszerint tehát : Sorozatok szorzata Két sor Cauchy-szorzata az összegek szorzatához tart , ha legalább az egyik abszolút konvergens . Tegyük fel , hogy : és \ . Cauchy-szorzatuk cn , ahol : Ha an vagy bn abszolút konvergens , akkor Integrálok abszolút konvergenciája A valós vagy komplex értékű f függvény integrálja abszolút konvergens , ha Azt is mondjuk , hogy f abszolút integrálható . Ha A = [ a,b ] zárt korlátos intervallum , akkor minden itt folytonos függvény integrálható , és mivel ha a függvény folytonos , akkor az abszolútértéke is , így minden itt folytonos függvény abszolút integrálható . Általában nem minden ilyen intervallumon abszolút integrálható függvény integrálható . Legyen nem mérhető , és legyen , ahol S karakterisztikus függvénye . Ekkor f nem Lebesgue-mérhető , de |f| konstans . Ezzel szemben , ha egy függvény Riemann-integrálható , akkor abszolútértéke is integrálható . Ez a Lebesgue-integrálhatóságra is vonatkozik . Másrészt azonban ez nem teljesül a Kurzweil-Henstock-integrálra . Ez az improprius Riemann-integrálokat is magában foglalja . Hasonlóan , ha az A intervallum végtelen , ismert , hogy vannak impropriusan Riemann-integrálható függvények , amelyek nem abszolút konvergensek . Ezzel szemben egy adott sor esetén tekinthetjük a hozzá rendelt lépcsős függvényt , aminek definíciója \ . Ekkor abszolút vagy feltételes konvergenciája viselkedésétől függ . Egy másik példa a konvergens , de nem abszolút konvergens improprius Riemann-integrálra \ . Hogyha A mértéktér , akkor egy valós értékű függvény Lebesgue-integrálja pozitív és negatív része segítségével definiálható : Ha f integrálható , akkor |f| is integrálható Ha f mérhető , és |f| integrálható , akkor f integrálható . Mindezek a Lebesgue-integrál definícióján alapulnak . Továbbá , ha egy S halmazon a számlálómértéket használjuk , akkor visszakapjuk a rendezetlen összeg definíciót . Hogyha pedig S = N , akkor a Lebesgue-integrálhatóság , az abszolút konvergencia és a rendezetlen összegezhetőség megegyezik . A fentiek teljesülnek akkor is , ha az értékek Banach-térből valók . A Riemann-integrál definíciója könnyen átvihető az ilyen függvényekre is . A Lebesgue-integrál pozitív és negatív részét Daniell funkcionálisabb megközelítése helyettesítheti , így juthatunk a Bochner-integrálhoz . Jegyzetek Fordítás Források Walter Rudin , Principles of Mathematical Analysis ( McGraw-Hill : New York , Konvergencia ( matematika ) Végtelen sorok