Dirichlet-sűrűség
A matematikában a Dirichlet-sűrűség prímszámok halmazának egy jellemzője. Az elnevezés Peter Gustav Lejeune Dirichlet-re utal. Egyszerűbben használható, mint a természetes sűrűség.

Definíció
Ha A prímszámok egy halmaza, akkor Dirichlet-sűrűsége az

határérték, ha létezik. Ez többnyire megegyezik az

1-beli pólusának rendjével, bár ez általában nem valódi pólus, mert rendje nem egész szám. Legalább, ha a jobb oldali függvény egy holomorf függvény és s−1 szorzata az s = 1 közelében. Például, ha A az összes prímek halmaza, akkor ez éppen a Riemann-féle zéta-függvény, aminek s = 1-ben 1 rendű pólusa van, tehát Dirichlet-sűrűsége 1.

Hasonlóan definiálható általában prímek, prímhatványok esetlegesen ismétléseket tartalmazó sorozatának Dirichlet-sűrűsége is.

Tulajdonságai
Ha A prímszámok egy halmaza, és az
( A N-nél kisebb elemeinek száma )/( N-nél kisebb prímek száma )
határértékeként definiált természetes sűrűsége létezik, akkor Dirichlet-sűrűsége is van, és a két sűrűség megegyezik. Fordítva ez nem igaz, például a tízes számrendszerben 1-gyel kezdődő prímeknek nincs természetes sűrűsége, de Dirichlet-sűrűsége log(2)/log(10).

A Dirichlet-sűrűség létezése azonban egyszerűbben kimutatható, és ez több alkalmazáshoz elegendő. Például, ha a + nd számtani sorozatban d és a relatív prímek, akkor a sorozatban levő prímek Dirichlet-sűrűsége  1/φ(b), tehát a sorozatban végtelen sok prím van.

A nullától különböző Dirichlet-sűrűség azt is jelenti, hogy bizonyos L-függvényeknek nincs gyöke s = 1-ben, míg a nullától különböző természetes sűrűségből következik, hogy nincs gyökük a Re(s) = 1 egyenesen.

Jegyzetek

Források
 J.-P. Serre, A course in arithmetic, , chapter VI section 4.

Fordítás 

Analitikus számelmélet
A matematikában a Dirichlet-sűrűség prímszámok halmazának egy jellemzője . Az elnevezés Peter Gustav Lejeune Dirichlet-re utal . Egyszerűbben használható , mint a természetes sűrűség . Definíció Ha A prímszámok egy halmaza , akkor Dirichlet-sűrűsége az határérték , ha létezik . Ez többnyire megegyezik az 1-beli pólusának rendjével , bár ez általában nem valódi pólus , mert rendje nem egész szám . Legalább , ha a jobb oldali függvény egy holomorf függvény és s−1 szorzata az s =közelében . Például , ha A az összes prímek halmaza , akkor ez éppen a Riemann-féle zéta-függvény , aminek s =benrendű pólusa van , tehát Dirichlet-sűrűsége Hasonlóan definiálható általában prímek , prímhatványok esetlegesen ismétléseket tartalmazó sorozatának Dirichlet-sűrűsége is . Tulajdonságai Ha A prímszámok egy halmaza , és az ( A N-nél kisebb elemeinek száma ) / ( N-nél kisebb prímek száma ) határértékeként definiált természetes sűrűsége létezik , akkor Dirichlet-sűrűsége is van , és a két sűrűség megegyezik . Fordítva ez nem igaz , például a tízes számrendszerbengyel kezdődő prímeknek nincs természetes sűrűsége , de Dirichlet-sűrűsége log( 2) /log( 10 ) . A Dirichlet-sűrűség létezése azonban egyszerűbben kimutatható , és ez több alkalmazáshoz elegendő . Például , ha a + nd számtani sorozatban d és a relatív prímek , akkor a sorozatban levő prímek Dirichlet-sűrűsége φ ( b ) , tehát a sorozatban végtelen sok prím van . A nullától különböző Dirichlet-sűrűség azt is jelenti , hogy bizonyos L-függvényeknek nincs gyöke s =ben , míg a nullától különböző természetes sűrűségből következik , hogy nincs gyökük a Re( s ) =egyenesen . Jegyzetek Források J.-P . Serre , A course in arithmetic , , chapter VI section Fordítás Analitikus számelmélet