Kétoldali Laplace-transzformáció
A matematikában a kétoldali Laplace-transzformáció egy integráltranszformáció, ami ekvivalens a valószínűségszámítás momentum-generátorfüggvényével. Közel áll a közönséges vagy egyoldali Laplace-transzformációhoz, a Fourier-transzformációhoz és a Mellin-transzformációhoz. Ha az ƒ(t) függvény a valós számokon értelmezett, valós vagy komplex értékű függvény, akkor kétoldali Laplace-transzformáltja

Ez az integrál többnyire improprius, ami akkor és csak akkor konvergál, ha minden

is konvergál. Nincs általánosan használt jelölés erre a transzformációra; cikkünkben a  jelet használjuk, ami a bilateralis (kétoldali) szóra utal. Egyes szerzők a transzformációt az

alakban értelmezik. A tiszta matematikában t bármilyen változó lehet, és a Laplace-transzformációkat a differenciáloperátorok tanulmányozására használják.

A természettudományos és mérnöki alkalmazásokban  t gyakran az időt jelenti, ƒ(t) pedig jel, vagy hullámforma. A jeleket szűrők transzformálják, amelyek matematikai operátorokként jelennek meg, de oksági korlátozással. Ez azt jelenti, hogy t1 egy értékére a kimenet nem függhet ƒ(t2) értékétől, ha t2 > t1.

A populációökológiában t gyakran térbeli elhelyezkedést reprezentál.

Ha  ƒ(t) az idő függvénye, akkor  ƒ(t) a jel időtartománybeli reprezentációja, míg F(s) az s-tartománybeli vagy Laplace-tartománybeli reprezentáció. Az inverz transzformáció a jel szintézisét írja le, mint különféle hullámhosszú komponensek összege, ezzel szemben maga a transzformáció a jel komponensekre bontását jelöli.

Kapcsolat a többi transzformációval
Ha  u(t) a Heaviside-függvény (nulla, ha t negatív, fél, ha t nulla, és egy, ha t pozitív), akkor az   Laplace-transzformáció definiálható a kétoldali Laplace-transzformációval:

Másrészt

így mindkét Laplace-transzformáció kifejezhető a másikkal.

A Mellin-transzformáció definiálható, mint

és megfordítva

A Fourier-transzformáció

Meg kell jegyeznünk, hogy a Fourier-transzformáció definíciói különböznek, így egyes szerzők az előző helyett ezt használják:

A kétoldali Laplace-transzformáció is kifejezhető Fourier-transzformációval:

Általában az összes valós számra definiálják a Fourier-transzformációt, de előfordul, hogy egy   sávon értelmezik, ami nem biztos, hogy tartalmazza a valós tengelyt.

A folytonos ƒ(x) valószínűségi sűrűségfüggvény momentum-generátorfüggvénye kifejezhető, mint .

Tulajdonságai
Tulajdonságai hasonlóak az egyoldali Laplace-transzformációhoz, az alábbi különbségekkel:

A kétoldali Laplace-transzformáció ekvivalens a null kezdeti feltételekkel. Emiatt alkalmasabb a differenciálegyenletek átviteli függvényeinek számítására, vagy egy egyszerű partikuláris megoldás keresésére.

Konvergenciatartomány
A kétoldali konvergenciafeltételei bonyolultabbak, mint az egyoldalié, emiatt a konvergenciatartomány is kisebb.

Ha f lokálisan integrálható (vagy általánosabban, lokálisan korlátos megváltozású egy Borel-mérték szerint), akkor f Laplace-transzformáltja, F(s) konvergál, ha az
 

határérték létezik. A Laplace-transzformált abszolút konvergens, ha az
 

határérték létezik. Általában a Laplace-transzformáltat feltételesen konvergensnek tekintik, azaz csak az első teljesül.

Az F(s) konvergenciatartományára igaz, hogy alakja  Re(s) > a vagy Re(s) ≥ a, ahol a kiterjesztett valós szám, azaz  −∞ ≤ a ≤ ∞. Ez a dominált konvergencia tételéből következik. Ez az a konstans az abszolút konvergencia abszcisszája, és f(t) növekedési tulajdonságától függ. Hasonlóan, a kétoldali Laplace-transzformált egy a < Re(s) < b sávban konvergál, amibe Re(s) = a és/vagy Re(s) = b is beletartozhat. Emellett lehet még beszélni az abszolút konvergencia sávjáról is, ami általában ennek valódi része. A Laplace-transzformált analitikus az abszolút konvergencia sávjában.

Ahol  F(s) konvergens, de nem abszolút konvergens, az a feltételes konvergencia tartománya. Ha a Laplace-transzformált (feltételesen) konvergens s = s0-ban, akkor  konvergens minden  s-re, amire Re(s) > Re(s0). Így a konvergenciatartomány egy Re(s) > a alakú félsík, ami lehet, hogy tartalmazza a  Re(s) = a egyenest. A Re(s) > Re(s0) konvergenciatartományban f Laplace-transzformáltja kifejezhető parciális integrálként:

Így F(s) konvergenciatartományában egy hatékony képlettel fejezhető ki, mint egy másik függvény abszolút konvergens Laplace-transzformáltja, ezért analitikus is.

Több Paley–Wiener-tétel is kapcsolatot teremt f csökkenése és a Laplace-transzformált tulajdonságai között a konvergenciatartományban.

A mérnöki alkalmazásokban egy lineáris időinvariáns rendszernek megfelelő függvény stabil, ha korlátos bemenethez korlátos kimenetet ad.

Okság
Sok mérnöki és természettudományos alkalmazásban a t változó időt jelöl, és követelmény, hogy a későbbi időpontokbeli állapot ne hathasson vissza korábbra. Ez az okság elve. A kétoldali transzformációk nem teljesítik ezt a megkötést, emiatt ezek az alkalmazások inkább egyoldali transzformációkat használnak.

Jegyzetek

Források
LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980/
Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd ed., 1987.
.

Fordítás 

Analízis
A matematikában a kétoldali Laplace-transzformáció egy integráltranszformáció , ami ekvivalens a valószínűségszámítás momentum-generátorfüggvényével . Közel áll a közönséges vagy egyoldali Laplace-transzformációhoz , a Fourier-transzformációhoz és a Mellin-transzformációhoz . Ha az ƒ ( t ) függvény a valós számokon értelmezett , valós vagy komplex értékű függvény , akkor kétoldali Laplace-transzformáltja Ez az integrál többnyire improprius , ami akkor és csak akkor konvergál , ha minden is konvergál . Nincs általánosan használt jelölés erre a transzformációra ; cikkünkben a jelet használjuk , ami a bilateralis ( kétoldali ) szóra utal . Egyes szerzők a transzformációt az alakban értelmezik . A tiszta matematikában t bármilyen változó lehet , és a Laplace-transzformációkat a differenciáloperátorok tanulmányozására használják . A természettudományos és mérnöki alkalmazásokban t gyakran az időt jelenti , ƒ ( t ) pedig jel , vagy hullámforma . A jeleket szűrők transzformálják , amelyek matematikai operátorokként jelennek meg , de oksági korlátozással . Ez azt jelenti , hogy t1 egy értékére a kimenet nem függhet ƒ( t2 ) értékétől , ha t2 > t1. A populációökológiában t gyakran térbeli elhelyezkedést reprezentál . Ha ƒ ( t ) az idő függvénye , akkor ƒ ( t ) a jel időtartománybeli reprezentációja , míg F( s ) az s-tartománybeli vagy Laplace-tartománybeli reprezentáció . Az inverz transzformáció a jel szintézisét írja le , mint különféle hullámhosszú komponensek összege , ezzel szemben maga a transzformáció a jel komponensekre bontását jelöli . Kapcsolat a többi transzformációval Ha u ( t ) a Heaviside-függvény ( nulla , ha t negatív , fél , ha t nulla , és egy , ha t pozitív ) , akkor az Laplace-transzformáció definiálható a kétoldali Laplace-transzformációval : Másrészt így mindkét Laplace-transzformáció kifejezhető a másikkal . A Mellin-transzformáció definiálható , mint és megfordítva A Fourier-transzformáció Meg kell jegyeznünk , hogy a Fourier-transzformáció definíciói különböznek , így egyes szerzők az előző helyett ezt használják : A kétoldali Laplace-transzformáció is kifejezhető Fourier-transzformációval : Általában az összes valós számra definiálják a Fourier-transzformációt , de előfordul , hogy egy sávon értelmezik , ami nem biztos , hogy tartalmazza a valós tengelyt . A folytonos ƒ ( x ) valószínűségi sűrűségfüggvény momentum-generátorfüggvénye kifejezhető , mint \ . Tulajdonságai Tulajdonságai hasonlóak az egyoldali Laplace-transzformációhoz , az alábbi különbségekkel : A kétoldali Laplace-transzformáció ekvivalens a null kezdeti feltételekkel . Emiatt alkalmasabb a differenciálegyenletek átviteli függvényeinek számítására , vagy egy egyszerű partikuláris megoldás keresésére . Konvergenciatartomány A kétoldali konvergenciafeltételei bonyolultabbak , mint az egyoldalié , emiatt a konvergenciatartomány is kisebb . Ha f lokálisan integrálható ( vagy általánosabban , lokálisan korlátos megváltozású egy Borel-mérték szerint ) , akkor f Laplace-transzformáltja , F( s ) konvergál , ha az határérték létezik . A Laplace-transzformált abszolút konvergens , ha az határérték létezik . Általában a Laplace-transzformáltat feltételesen konvergensnek tekintik , azaz csak az első teljesül . Az F( s ) konvergenciatartományára igaz , hogy alakja Re ( s ) > a vagy Re ( s ) ≥ a , ahol a kiterjesztett valós szám , azaz −∞ ≤ a ≤ ∞ . Ez a dominált konvergencia tételéből következik . Ez az a konstans az abszolút konvergencia abszcisszája , és f( t ) növekedési tulajdonságától függ . Hasonlóan , a kétoldali Laplace-transzformált egy a < Re ( s ) < b sávban konvergál , amibe Re ( s ) = a és/vagy Re ( s ) = b is beletartozhat . Emellett lehet még beszélni az abszolút konvergencia sávjáról is , ami általában ennek valódi része . A Laplace-transzformált analitikus az abszolút konvergencia sávjában . Ahol F( s ) konvergens , de nem abszolút konvergens , az a feltételes konvergencia tartománya . Ha a Laplace-transzformált ( feltételesen ) konvergens s = s0-ban , akkor konvergens minden s-re , amire Re ( s ) > Re( s0 ) . Így a konvergenciatartomány egy Re ( s ) > a alakú félsík , ami lehet , hogy tartalmazza a Re ( s ) = a egyenest . A Re ( s ) > Re( s0 ) konvergenciatartományban f Laplace-transzformáltja kifejezhető parciális integrálként : Így F( s ) konvergenciatartományában egy hatékony képlettel fejezhető ki , mint egy másik függvény abszolút konvergens Laplace-transzformáltja , ezért analitikus is . Több Paley–Wiener-tétel is kapcsolatot teremt f csökkenése és a Laplace-transzformált tulajdonságai között a konvergenciatartományban . A mérnöki alkalmazásokban egy lineáris időinvariáns rendszernek megfelelő függvény stabil , ha korlátos bemenethez korlátos kimenetet ad . Okság Sok mérnöki és természettudományos alkalmazásban a t változó időt jelöl , és követelmény , hogy a későbbi időpontokbeli állapot ne hathasson vissza korábbra . Ez az okság elve . A kétoldali transzformációk nem teljesítik ezt a megkötést , emiatt ezek az alkalmazások inkább egyoldali transzformációkat használnak . Jegyzetek Források LePage , Wilbur R. , Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers , Dover Publications , Van der Pol , Balthasar , and Bremmer , H. , Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral , Chelsea Pub . Co. ,d ed . , . Fordítás Analízis