Pascal-szimplex
A matematikában a Pascal-szimplex a Pascal-háromszög és a Pascal-gúla multinomiális tételen alapuló általánosítása tetszőleges dimenzióra.

Általános Pascal-m-szimplex
Legyen m (m > 0) egy polinom tagjainak száma, és emeljük n-edik (n ≥ 0) hatványra.

Jelölje  a Pascal-m-szimplexet. Minden Pascal-szimplex egy félig végtelen objektum, ami komponenseinek végtelen sorozatát tartalmazza.

Jelölje  ennek az n. komponensét. Ez egy véges (m − 1)-szimplex, aminek élhossza n. Ekvivalens jelöléssel .

Az n. komponens
 az  m tagból álló polinom n-edik hatványának együtthatóiból áll:

ahol .

Példa:  

A Pascal-4-szimplex  szelete k4 mentén. Az azonos színű pontok ugyanahhoz az altérhez tartoznak a pirostól (n = 0) a kékig (n = 3).

Speciális Pascal-szimplexek

Pascal-1-szimplex
A Pascal-1-szimplexnek nincsen más ismert neve.

n. elem 
 egy pont, ami egy egy tagból álló, n-edik hatványra emelt polinom együtthatóit tartalmazza:

Az  elrendezése 

ami mindenn-re egyenlő eggyel.

Pascal-2-szimplex 
 ismert, mint: Pascal-háromszög .

n. komponens 
 egy sor, ami egy két tagból álló polinom n. hatványának binomiális kifejtése:

Az  elrendezése

Pascal-3-szimplex 
 nem más, mint a Pascal-tetraéder .

n. komponens 
 háromszög egy 3 tagból álló polinom n-edik hatványának trinomiális együtthatói tartalmazza:

Az  elrendezése

Tulajdonságok

A komponensek öröklődése
 szám szerint megegyezik  (m − 1)-lapjával (számuk m + 1):

Ennélfogva  (m + 1)-szer tartalmazza -t:

Példa 
                                   
 
      1          1          1          1
 
      1         1 1        1 1        1 1  1
                               1          1
 
      1        1 2 1      1 2 1      1 2 1  2 2  1
                              2 2        2 2    2
                               1          1
 
      1       1 3 3 1    1 3 3 1    1 3 3 1  3 6 3  3 3  1
                             3 6 3      3 6 3    6 6    3
                              3 3        3 3      3
                               1          1

A fenti mátrix további tagjait az  tartalmazza.

Az oldallapok szimmetriája
Az  Pascal-szimplexet (m + 1)-szer  határolja:

Innen következik, hogy minden n-re minden i-lap numerikusan egyenlő a Pascal-(m > i)-szimplexek n. komponensével:

Példa
A Pascal-3-szimplex 3. komponensét három egyenlő sor határolja. Mindegyik két 0-lapban végződik (csúcsok):

 2-szimplex   2-szimplexek 1-lapjai         1-lapok 0-lapjai
 
  1 3 3 1    1 . . .  . . . 1  1 3 3 1    1 . . .   . . . 1
   3 6 3      3 . .    . . 3    . . .
    3 3        3 .      . 3      . .
     1          1        1        .

Tehát minden m-re és n-re:

Az együtthatók száma
A Pascal-m-szimplex n. komponense ((m − 1)-szimplex) ennyi multinomiális együtthatót tartalmaz:

azaz vagy az (n − 1). komponens ((m − 1)-szimplex) együtthatóinak darabszámának meg a Pascal-(m − 1)-szimplex n.-edik komponensének ((m − 2)-simplex) együtthatószámának összege, vagy az n. hatvány összes m részes partícióinak száma.

Példa

Ez a táblázat éppen a Pascal-háromszöget tartalmazza szimmetrikus Pascal-mátrix formájában.

Szimmetria
A Pascal-m-szimplex n. komponense (m!)-szorosan térszimmetrikus.

Geometria
Ha a k_1 ... k_m tengelyek ortogonálisak az m dimenziós térben, és a komponensek csúcsai ezekre a tengelyekre esnek, akkor a Pascal-m-szimplex csúcsa az origóban van.

Numerikus konstrukció
Egy elég nagy szám hatványa tördelve megadja a Pascal-szimplexet:

ahol .

Fordítás

Kombinációk és polinomiális együtthatók
A matematikában a Pascal-szimplex a Pascal-háromszög és a Pascal-gúla multinomiális tételen alapuló általánosítása tetszőleges dimenzióra . Általános Pascal-m-szimplex Legyen m ( m >egy polinom tagjainak száma , és emeljük n-edik ( n ≥hatványra . Jelölje a Pascal-m-szimplexet . Minden Pascal-szimplex egy félig végtelen objektum , ami komponenseinek végtelen sorozatát tartalmazza . Jelölje ennek az n. komponensét . Ez egy véges ( m −szimplex , aminek élhossza n . Ekvivalens jelöléssel \ . Az n. komponens az m tagból álló polinom n-edik hatványának együtthatóiból áll : ahol \ . Példa : A Pascal-4-szimplex szelete k4 mentén . Az azonos színű pontok ugyanahhoz az altérhez tartoznak a pirostól ( n =a kékig ( n = Speciális Pascal-szimplexek Pascal-1-szimplex A Pascal-1-szimplexnek nincsen más ismert neve . n. elem egy pont , ami egy egy tagból álló , n-edik hatványra emelt polinom együtthatóit tartalmazza : Az elrendezése ami mindenn-re egyenlő eggyel . Pascal-2-szimplex ismert , mint : Pascal-háromszög \ . n. komponens egy sor , ami egy két tagból álló polinom n . hatványának binomiális kifejtése : Az elrendezése Pascal-3-szimplex nem más , mint a Pascal-tetraéder\ . n. komponens háromszög egytagból álló polinom n-edik hatványának trinomiális együtthatói tartalmazza : Az elrendezése Tulajdonságok A komponensek öröklődése szám szerint megegyezik ( m −lapjával ( számuk m + Ennélfogva ( m +szer tartalmazza -t : Példa 1 1 1 1 1 1 2 2 22 1 2 2 2 1 31 31 31 63 1 6 6 6 3 3 3 3 1 A fenti mátrix további tagjait az tartalmazza . Az oldallapok szimmetriája Az Pascal-szimplexet ( m +szer határolja : Innen következik , hogy minden n-re minden i-lap numerikusan egyenlő a Pascal-( m > i)-szimplexek n. komponensével : Példa A Pascal-3-szimplex komponensét három egyenlő sor határolja . Mindegyik kétlapban végződik ( csúcsok ) : szimplex szimplexeklapjai lapoklapjai 31 \ . \. \. \.\.\.31 \. \. \. \.\. \ . 1 6 \. \. \. \. \.\. \ . 3 \. \.\. \ . \ . Tehát minden m-re és n-re : Az együtthatók száma A Pascal-m-szimplex n. komponense ( ( m −szimplex ) ennyi multinomiális együtthatót tartalmaz : azaz vagy az ( n − komponens ( ( m −szimplex ) együtthatóinak darabszámának meg a Pascal-( m −szimplex n.-edik komponensének ( ( m −simplex ) együtthatószámának összege , vagy az n . hatvány összes m részes partícióinak száma . Példa Ez a táblázat éppen a Pascal-háromszöget tartalmazza szimmetrikus Pascal-mátrix formájában . Szimmetria A Pascal-m-szimplex n. komponense ( m!)-szorosan térszimmetrikus . Geometria Ha a k_1\... k_m tengelyek ortogonálisak az m dimenziós térben , és a komponensek csúcsai ezekre a tengelyekre esnek , akkor a Pascal-m-szimplex csúcsa az origóban van . Numerikus konstrukció Egy elég nagy szám hatványa tördelve megadja a Pascal-szimplexet : ahol \ . Fordítás Kombinációk és polinomiális együtthatók