Laplace-transzformáció
A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció, aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ. Eredetileg Heaviside fejlesztette ki a differenciálegyenletek megoldásához segédeszközként.

Definíció

Legyen  függvény, mely minden t≥0 valós számra értelmezett. A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az

függvényt. A transzformált létezésének feltétele, hogy a definícióban szereplő integrál véges legyen.

Ha a transzformált létezik és véges, akkor -t generátorfüggvénynek nevezzük. A transzformált jelölése:

A transzformált létezésére elegendő feltétel, ha  a pozitív féltengelyen szakaszonként folytonos és exponenciálisan korlátos, azaz van olyan  és  valós szám, hogy az  egyenlőtlenség teljesül. Egészen pontosan a transzformált létezik minden olyan  szám esetén, amire .

Tulajdonságai

Linearitás

A Laplace-transzformáció lineáris, azaz két függvény összegének transzformáltja a két függvény transzformáltjának az összege, valamint bármely függvény konstans-szorosának a transzformáltja a transzformált konstans-szorosa lesz. Másképpen megfogalmazva a függvények lineáris kombinációját a Laplace-transzformáció lineáris kombinációba viszi át. Röviden:

Bizonyítás: 

Azaz a Laplace-transzformáció linearitása az integrálás linearitásának következménye.

A generátorfüggvény deriváltja

Bizonyítás: 

Ennek akkor van jelentősége, ha a Laplace-transzformációt differenciálegyenletek megoldására használjuk.

A második derivált hasonlóan határozható meg, illetve általánosítható akárhányadik deriváltra is. A transzformáltban ekkor minden alacsonyabb rendű derivált szerepelni fog a 0-ban felvett értékkel, valamint a transzformált változójának a megfelelő hatványai.

Ez teszi lehetővé, hogy a transzformációval differenciálegyenleteket oldhassunk meg.

Konvolúció transzformáltja

Konvolúciónak nevezzük az alábbi módon értelmezett műveletet:

A függvénykonvolúció Laplace-transzformáltja a függvények transzformáltjainak szorzata:

Bizonyítás: , és az exponenciális tényezőt két részre bontjuk
, itt pedig új változót vezetünk be, mégpedig a  helyettesítéssel, így  lesz
, az integrandusok pedig szétválaszthatóak, így kapjuk:

Csillapítási tétel

Ha a függvényünket megszorozzuk egy exponenciális függvénnyel, akkor ez a transzformáltban eltolásként jelentkezik:

Bizonyítás:

Hasonlósági tétel

Bizonyítás: , és itt helyettesítsünk: , aminek eredményeképpen , így

E két utóbbi tétel lehetővé teszi, hogy a hagyományos függvénytranszformációkat egyszerűen tudjuk kezelni. Ez főleg a kezdetiérték-problémák esetében lényeges, ugyanis ritkán áll rendelkezésre a  eset, amit egyszerűen meg tudunk oldani.

Alkalmazások

A Laplace-transzformáció elsődleges alkalmazási területe az állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása, de használható sorozatok összegének kiszámítására, a Fourier-transzformáció együtthatóinak megállapítására is.

Differenciálegyenletek

A megoldás azon alapul, hogy a függvények deriváltjai helyettesíthetőek a Laplace-transzformáció révén, így egy egyszerű algebrai egyenletet kapunk, amit megoldva az eredeti differenciálegyenlet megoldásának Laplace-transzformáltját kapjuk. A megoldás szempontjából lényeges, hogy ismernünk kell a peremfeltételeket, ugyanis ezek a derivált transzformáltjában jelentkeznek.

Példafeladat

Oldjuk meg a

kezdetiérték-problémát!

Mivel a Laplace-transzformáció lineáris művelet, a két oldalnak külön kiszámolhatjuk a transzformáltját, az egyenlőség érvényes marad. Az egyenlet alakja ekkor
.
Átalakítva, és a kezdeti értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy
,
ami algebrai úton -re rendezhető:
.
Ezt résztörtekre bonthatjuk, így az alábbi kifejezést kapjuk:
,
aminek az inverz transzformáltját már elő tudjuk állítani. Ezek szerint a kezdetiérték-probléma megoldása
.

Értelemszerűen akármilyen rendű differenciálegyenletet meg tudunk a transzformáltak segítségével oldani, egyszerű algebrai átalakítások révén. Ennek révén alakult ki a disztribúcióelmélet nevű matematikai tudományág.

Sorozatösszeg

Egyes sorok esetén ha az általános taggal adott sorozatot egy Laplace-transzformáltnak tekintjük, akkor a generátorfüggvény egy mértani sorozat szorzótényezője lesz, aminek összegét egyszerű meghatározni. Ezt az összeget integrálva kapjuk meg a sorozat összegét.

Legyen . A sorozatot felfoghatjuk úgy, mint egy  függvény természetes számokra való leszűkítését. Ebben az esetben felírhatjuk a generátorfüggvénnyel is, és az integrálkifejezést összegezzük. Ha a sor egyenletesen konvergens, akkor az integrálás és az összegzés felcserélhető. Az integrandus egy mértani sorozat lesz, ami egyszerűen összegezhető, majd az így kapott összegfüggvényt kell integrálni:

.

Példafeladat

Számítsuk ki a

összeget!

Tételezzük fel, hogy ezt egy Laplace-transzformált. Az egyszerűbb kezelhetőség érdekében bontsuk résztörtekre:
.
Ebből a generátorfüggvény egyszerűen adódik, akár táblázatból való visszakereséssel is:
.
Innen a sor összege már egyszerűen meghatározható. Először felírjuk a transzformálás definícióját:
,
majd felcseréljük az összegzést és az integrálást. Itt rögtön észre lehet venni, hogy -re összegzünk, ezért a zárójelben írt tag, azaz a generátorfüggvény kiemelhető az összegzés elé:

A sor összege tehát 1. Erről más módszerekkel szintén meggyőződhetünk.

Fourier-transzformációs együtthatók kiszámítása

Egy függvény Fourier-sorát fel tudjuk írni komplex számok segítségével is. Ehhez mindössze azt kell figyelembe venni, hogy egy függvény komplex Fourier-sora a következő alakú:
.
Az összegben a  együtthatókat a következő formula adja meg:
.
Ha a függvényt a  intervallumon kívül nullának tekintjük, akkor a fenti formula egyben a függvény Laplace-transzformáltja is. Így megkapjuk a komplex Fourier-együtthatókat, amikből a valós együtthatókat is megkaphatjuk:

.

Általában a függvényt a Heaviside-féle egységugrás-függvénnyel tudjuk a perióduson kívül nullává tenni. Ezzel tulajdonképpen meg is vannak a Fourier-komponensek, egy táblázatból ki lehet őket olvasni, egyedül az  helyettesítést kell elvégeznünk.

Példafeladat

Határozzuk meg a fűrészfog-jel Fourier-együtthatóit!

A jel alakja
 a  intervallumon, ami egyben egy periódusa is a függvénynek.

Szorozzuk meg a függvényt a  tényezővel. Ez valójában az egységugrás-függvény olyan formában, hogy a perióduson kívül mindenképpen nulla legyen. Így az együtthatók kiszámítása a következő módon történik:

, ahol  az  függvény leszűkítése a periódusra. Ennek transzformáltja

Ez már tulajdonképpen az együtthatókat adja. Ahhoz, hogy azokat megkapjuk, a transzformáltban a változót helyettesítjük:

Az egyetlen fennmaradó probléma a kezdőegyüttható meghatározása (), ezt azonban a L'Hospital-szabály alkalmazásával meg tudjuk válaszolni, így adódik:

Néhány függvény transzformáltja

Jegyzetek

Kapcsolódó oldalak

 Fourier-transzformáció
 Komplex számok
 Függvények
 Komplex függvény
 Függvénytranszformáció
 Transzformáció

Analízis
Komplex analízis
A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció , aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ . Eredetileg Heaviside fejlesztette ki a differenciálegyenletek megoldásához segédeszközként . Definíció Legyen függvény , mely minden t≥0 valós számra értelmezett . A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az függvényt . A transzformált létezésének feltétele , hogy a definícióban szereplő integrál véges legyen . Ha a transzformált létezik és véges , akkor -t generátorfüggvénynek nevezzük . A transzformált jelölése : A transzformált létezésére elegendő feltétel , ha a pozitív féltengelyen szakaszonként folytonos és exponenciálisan korlátos , azaz van olyan és valós szám , hogy az egyenlőtlenség teljesül . Egészen pontosan a transzformált létezik minden olyan szám esetén , amire \ . Tulajdonságai Linearitás A Laplace-transzformáció lineáris , azaz két függvény összegének transzformáltja a két függvény transzformáltjának az összege , valamint bármely függvény konstans-szorosának a transzformáltja a transzformált konstans-szorosa lesz . Másképpen megfogalmazva a függvények lineáris kombinációját a Laplace-transzformáció lineáris kombinációba viszi át . Röviden : Bizonyítás : Azaz a Laplace-transzformáció linearitása az integrálás linearitásának következménye . A generátorfüggvény deriváltja Bizonyítás : Ennek akkor van jelentősége , ha a Laplace-transzformációt differenciálegyenletek megoldására használjuk . A második derivált hasonlóan határozható meg , illetve általánosítható akárhányadik deriváltra is . A transzformáltban ekkor minden alacsonyabb rendű derivált szerepelni fog aban felvett értékkel , valamint a transzformált változójának a megfelelő hatványai . Ez teszi lehetővé , hogy a transzformációval differenciálegyenleteket oldhassunk meg . Konvolúció transzformáltja Konvolúciónak nevezzük az alábbi módon értelmezett műveletet : A függvénykonvolúció Laplace-transzformáltja a függvények transzformáltjainak szorzata : Bizonyítás : , és az exponenciális tényezőt két részre bontjuk itt pedig új változót vezetünk be , mégpedig a helyettesítéssel , így lesz az integrandusok pedig szétválaszthatóak , így kapjuk : Csillapítási tétel Ha a függvényünket megszorozzuk egy exponenciális függvénnyel , akkor ez a transzformáltban eltolásként jelentkezik : Bizonyítás : Hasonlósági tétel Bizonyítás : , és itt helyettesítsünk : , aminek eredményeképpen , így E két utóbbi tétel lehetővé teszi , hogy a hagyományos függvénytranszformációkat egyszerűen tudjuk kezelni . Ez főleg a kezdetiérték-problémák esetében lényeges , ugyanis ritkán áll rendelkezésre a eset , amit egyszerűen meg tudunk oldani . Alkalmazások A Laplace-transzformáció elsődleges alkalmazási területe az állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása , de használható sorozatok összegének kiszámítására , a Fourier-transzformáció együtthatóinak megállapítására is . Differenciálegyenletek A megoldás azon alapul , hogy a függvények deriváltjai helyettesíthetőek a Laplace-transzformáció révén , így egy egyszerű algebrai egyenletet kapunk , amit megoldva az eredeti differenciálegyenlet megoldásának Laplace-transzformáltját kapjuk . A megoldás szempontjából lényeges , hogy ismernünk kell a peremfeltételeket , ugyanis ezek a derivált transzformáltjában jelentkeznek . Példafeladat Oldjuk meg a kezdetiérték-problémát ! Mivel a Laplace-transzformáció lineáris művelet , a két oldalnak külön kiszámolhatjuk a transzformáltját , az egyenlőség érvényes marad . Az egyenlet alakja ekkor . Átalakítva , és a kezdeti értékeket behelyettesítve kapjuk , hogy ami algebrai úton -re rendezhető : . Ezt résztörtekre bonthatjuk , így az alábbi kifejezést kapjuk : aminek az inverz transzformáltját már elő tudjuk állítani . Ezek szerint a kezdetiérték-probléma megoldása . Értelemszerűen akármilyen rendű differenciálegyenletet meg tudunk a transzformáltak segítségével oldani , egyszerű algebrai átalakítások révén . Ennek révén alakult ki a disztribúcióelmélet nevű matematikai tudományág . Sorozatösszeg Egyes sorok esetén ha az általános taggal adott sorozatot egy Laplace-transzformáltnak tekintjük , akkor a generátorfüggvény egy mértani sorozat szorzótényezője lesz , aminek összegét egyszerű meghatározni . Ezt az összeget integrálva kapjuk meg a sorozat összegét . Legyen \ . A sorozatot felfoghatjuk úgy , mint egy függvény természetes számokra való leszűkítését . Ebben az esetben felírhatjuk a generátorfüggvénnyel is , és az integrálkifejezést összegezzük . Ha a sor egyenletesen konvergens , akkor az integrálás és az összegzés felcserélhető . Az integrandus egy mértani sorozat lesz , ami egyszerűen összegezhető , majd az így kapott összegfüggvényt kell integrálni : . Példafeladat Számítsuk ki a összeget ! Tételezzük fel , hogy ezt egy Laplace-transzformált . Az egyszerűbb kezelhetőség érdekében bontsuk résztörtekre : . Ebből a generátorfüggvény egyszerűen adódik , akár táblázatból való visszakereséssel is : . Innen a sor összege már egyszerűen meghatározható . Először felírjuk a transzformálás definícióját : majd felcseréljük az összegzést és az integrálást . Itt rögtön észre lehet venni , hogy -re összegzünk , ezért a zárójelben írt tag , azaz a generátorfüggvény kiemelhető az összegzés elé : A sor összege tehát Erről más módszerekkel szintén meggyőződhetünk . Fourier-transzformációs együtthatók kiszámítása Egy függvény Fourier-sorát fel tudjuk írni komplex számok segítségével is . Ehhez mindössze azt kell figyelembe venni , hogy egy függvény komplex Fourier-sora a következő alakú : . Az összegben a együtthatókat a következő formula adja meg : . Ha a függvényt a intervallumon kívül nullának tekintjük , akkor a fenti formula egyben a függvény Laplace-transzformáltja is . Így megkapjuk a komplex Fourier-együtthatókat , amikből a valós együtthatókat is megkaphatjuk : . Általában a függvényt a Heaviside-féle egységugrás-függvénnyel tudjuk a perióduson kívül nullává tenni . Ezzel tulajdonképpen meg is vannak a Fourier-komponensek , egy táblázatból ki lehet őket olvasni , egyedül az helyettesítést kell elvégeznünk . Példafeladat Határozzuk meg a fűrészfog-jel Fourier-együtthatóit ! A jel alakja a intervallumon , ami egyben egy periódusa is a függvénynek . Szorozzuk meg a függvényt a tényezővel . Ez valójában az egységugrás-függvény olyan formában , hogy a perióduson kívül mindenképpen nulla legyen . Így az együtthatók kiszámítása a következő módon történik : ahol az függvény leszűkítése a periódusra . Ennek transzformáltja Ez már tulajdonképpen az együtthatókat adja . Ahhoz , hogy azokat megkapjuk , a transzformáltban a változót helyettesítjük : Az egyetlen fennmaradó probléma a kezdőegyüttható meghatározása ( ) , ezt azonban a L'Hospital-szabály alkalmazásával meg tudjuk válaszolni , így adódik : Néhány függvény transzformáltja Jegyzetek Kapcsolódó oldalak Fourier-transzformáció Komplex számok Függvények Komplex függvény Függvénytranszformáció Transzformáció Analízis Komplex analízis