Stirling-szám
A matematikában a Stirling-számok számos területen fordulnak elő analízisbeli és kombinatorikai problémáknál. A James Stirling (1692–1770) skót matematikusról elnevezett Stirling-számoknak két fajtája különböztethető meg:
Elsőfajú Stirling-számok
Másodfajú Stirling-számok

Jelölés
A Stirling-számokra többféle jelölés is használatos.
Az elsőfajú Stirling-számokat kis s, a másodfajú Stirling-számokat nagy S betű jelöli. Az elsőfajú Stirling-számok negatívak is lehetnek, a másodfajú Stirling-számok csak pozitív számok lehetnek.
Az általános jelölés:
 
Elsőfajú Stirling-számokra:
 
Másodfajú Stirling-számokra:
 
Milton Abramowitz és Irene Stegun nagybetűket és gót betűket használ, Jovan Karamata 1935-ben vezette be a szögletes és kapcsos zárójeles jelölést.

Elsőfajú Stirling-számok
A következő képletben a Stirling-szám az együttható

ahol  (a Pochhammer-szimbólum) a csökkenő faktoriálist jelöli,

Megjegyzés: (x)0 = 1, mert ez egy üres szorzat. A kombinatorikában gyakran használják az  jelölést a csökkenő faktoriálisra és az  jelölést a növekvő faktoriálisra.
Az  elsőfajú Stirling-szám  abszolút értéke n elem permutációinak számát adja k diszjunkt ciklus esetén.
Az alábbi táblázat az első néhány elsőfajú Stirling-számot mutatja:

ahol:

Másodfajú Stirling-számok
Definíció: Az  másodfajú Stirling-szám egy n elemű halmaz k osztályú osztályozásainak a száma. Rögzített n mellett az összegük az n-edik Bell-szám: 

A másodfajú Stirling-számokra vonatkozó rekurzió:

Bizonyítás: A definíció szerint ez az (n+1) elemű halmaz az összes k-részre való partícióinak (osztályfelbontásának) számát jelenti. Egy ilyen partíciónak a halmaz (n+1)-edik elemét tartalmazó blokkja (halmaza) vagy egyelemű, vagy egynél több elemű. Ha ez a blokk egyelemű, akkor összesen  ilyen eset van (a maradék n elemet a maradék (k-1) részhalmazra kell partícionálnunk, majd a partícióhoz hozzávesszük az (n+1)-edik elemet tartalmazó egyelemű halmazt). Ha a blokk egynél több elemű, akkor összesen   ilyen eset van (a maradék n elemet k részhalmazra kell partícionálnunk, majd az egyik részhalmazhoz hozzávesszük az (n+1)-edik elemet, ezt k féleképpen tehetjük meg).

Másodfajú Stirling-számok képlete:

Bizonyítás: Legyen  ,  és legyen  egy szürjektív függvény, illetve , ekkor  az  halmaz egy k osztályú partíciója. Ha összesen  ilyen  függvény van, akkor  k osztályú partíciója van az  halmaznak, mivel  halmazokat permutálva a partíció ugyanaz marad, de  megváltozik. A Szitaformula alapján megmutatható, hogy a szürjektív   függvények száma .

A másodfajú Stirling-számok és a csökkenő faktoriális kapcsolata:

ahol  (Pochhammer-szimbólum) a csökkenő faktoriálist jelöli: 

Bizonyítás: Legyen  és , illetve , ekkor összesen  darab  függvény létezik. Legyen  képhalmaza , ekkor  függvény szürjektív.  halmazra fennáll, hogy . Ha , ahol , ( ), akkor  ilyen  függvény van, ezt a k elemet -ből  féleképpen választhatjuk ki, vagyis összesen  darab   függvény van, melyre .  Mivel , ezért   darab  függvény létezik. Az egyenlőség két oldalán n-edfokú polinom áll és a tételt minden  természetes számra bizonyítottuk, ezért a tétel minden valós x-re igaz.

Lah-számok
Az  Lah-számokat néha harmadfajú Stirling-számnak is hívják.

Fordítottsági kapcsolat
Az első- és másodfajú Stirling-számok tekinthetők úgy is, mint egymás inverzei:

és

ahol  a Kronecker-delta-függvény.

Szimmetrikusság
Abramowitz és Stegun megad egy szimmetrikus összefüggést az első- és másodfajú Strirling-számokra:

és

További információk
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Konkrét matematika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1998

Kapcsolódó szócikkek
Kombinatorika
Numerikus sorok
Permutáció
Hsien-Kuei Hwang (1995). "Asymptotic Expansions for the Stirling Numbers of the First Kind". Journal of Combinatorial Theory, Series A 71 (2): 343–351. doi:10.1016/0097-3165(95)90010-1

Források

Permutációk
A matematikában a Stirling-számok számos területen fordulnak elő analízisbeli és kombinatorikai problémáknál . A James Stirling1770 ) skót matematikusról elnevezett Stirling-számoknak két fajtája különböztethető meg : Elsőfajú Stirling-számok Másodfajú Stirling-számok Jelölés A Stirling-számokra többféle jelölés is használatos . Az elsőfajú Stirling-számokat kis s , a másodfajú Stirling-számokat nagy S betű jelöli . Az elsőfajú Stirling-számok negatívak is lehetnek , a másodfajú Stirling-számok csak pozitív számok lehetnek . Az általános jelölés : Elsőfajú Stirling-számokra : Másodfajú Stirling-számokra : Milton Abramowitz és Irene Stegun nagybetűket és gót betűket használ , Jovan Karamataben vezette be a szögletes és kapcsos zárójeles jelölést . Elsőfajú Stirling-számok A következő képletben a Stirling-szám az együttható ahol ( a Pochhammer-szimbólum ) a csökkenő faktoriálist jelöli , Megjegyzés : ( x)0 = mert ez egy üres szorzat . A kombinatorikában gyakran használják az jelölést a csökkenő faktoriálisra és az jelölést a növekvő faktoriálisra . Az elsőfajú Stirling-szám abszolút értéke n elem permutációinak számát adja k diszjunkt ciklus esetén . Az alábbi táblázat az első néhány elsőfajú Stirling-számot mutatja : ahol : Másodfajú Stirling-számok Definíció : Az másodfajú Stirling-szám egy n elemű halmaz k osztályú osztályozásainak a száma . Rögzített n mellett az összegük az n-edik Bell-szám : A másodfajú Stirling-számokra vonatkozó rekurzió : Bizonyítás : A definíció szerint ez az ( n+1 ) elemű halmaz az összes k-részre való partícióinak ( osztályfelbontásának ) számát jelenti . Egy ilyen partíciónak a halmaz ( n+1)-edik elemét tartalmazó blokkja ( halmaza ) vagy egyelemű , vagy egynél több elemű . Ha ez a blokk egyelemű , akkor összesen ilyen eset van ( a maradék n elemet a maradék ( k-1 ) részhalmazra kell partícionálnunk , majd a partícióhoz hozzávesszük az ( n+1)-edik elemet tartalmazó egyelemű halmazt ) . Ha a blokk egynél több elemű , akkor összesen ilyen eset van ( a maradék n elemet k részhalmazra kell partícionálnunk , majd az egyik részhalmazhoz hozzávesszük az ( n+1)-edik elemet , ezt k féleképpen tehetjük meg ) . Másodfajú Stirling-számok képlete : Bizonyítás : Legyen , és legyen egy szürjektív függvény , illetve , ekkor az halmaz egy k osztályú partíciója . Ha összesen ilyen függvény van , akkor k osztályú partíciója van az halmaznak , mivel halmazokat permutálva a partíció ugyanaz marad , de megváltozik . A Szitaformula alapján megmutatható , hogy a szürjektív függvények száma \ . A másodfajú Stirling-számok és a csökkenő faktoriális kapcsolata : ahol ( Pochhammer-szimbólum ) a csökkenő faktoriálist jelöli : Bizonyítás : Legyen és , illetve , ekkor összesen darab függvény létezik . Legyen képhalmaza , ekkor függvény szürjektív . halmazra fennáll , hogy \ . Ha , ahol , ( ) , akkor ilyen függvény van , ezt a k elemet -ből féleképpen választhatjuk ki , vagyis összesen darab függvény van , melyre \ . Mivel , ezért darab függvény létezik . Az egyenlőség két oldalán n-edfokú polinom áll és a tételt minden természetes számra bizonyítottuk , ezért a tétel minden valós x-re igaz . Lah-számok Az Lah-számokat néha harmadfajú Stirling-számnak is hívják . Fordítottsági kapcsolat Az első- és másodfajú Stirling-számok tekinthetők úgy is , mint egymás inverzei : és ahol a Kronecker-delta-függvény . Szimmetrikusság Abramowitz és Stegun megad egy szimmetrikus összefüggést az első- és másodfajú Strirling-számokra : és További információk Ronald L. Graham , Donald E. Knuth , Oren Patashnik : Konkrét matematika , Műszaki Könyvkiadó , Budapest , Kapcsolódó szócikkek Kombinatorika Numerikus sorok Permutáció Hsien-Kuei Hwang " Asymptotic Expansions for the Stirling Numbers of the First Kind " . Journal of Combinatorial Theory , Series A( 2):351. doi : 10.1016/0097-3165( 95) 90010-1 Források Permutációk