Maass-formák
A matematikában a Maass-forma vagy Maass-hullámforma egy, a komplex számok felső félsíkján értelmezett függvény, ami moduláris formaként transzformálódik. Elsőként Hans Maass tanulmányozta őket.

Definíció
Legyen k félegész szám, s komplex szám, és Γ SL2(R) diszkrét részcsoportja. A Γ k súlyú Maass-formája az s Laplace-sajátértékkel egy, a komplex számok felső félsíkjáról a komplex számokba képező függvény, amire a következők teljesülnek:
Minden -ra, és minden -ra .
, ahol  a k súlyú hiperbolikus Laplace-szerűen definiált .
Az f függvény legfeljebb polinomiálisan nő a belső csúcsokban.

A gyenge Maass-forma hasonlóan definiálható, de a harmadik pont helyett a következő teljesül: Az f függvény a belső csúcsokban legfeljebb lineáris exponenciálisan nő. Továbbá f harmonikus, ha a Laplace-operátor megsemmisíti.

Források

K. Bringmann, A. Folsom, Almost harmonic Maass forms and Kac–Wakimoto characters, Crelle's Journal, Volume 2014, Issue 694, Pages 179–202 (2013). DOI: 10.1515/crelle-2012-0102
W. Duke, J. B. Friedlander and H. Iwaniec, ''The subconvexity problem for Artin L-Functions’', Inventiones Mathematicae, 149, pp. 489–577 (2002). Section 4. DOI: 10.1007/BF01329622.

Fordítás 

Komplex analízis
A matematikában a Maass-forma vagy Maass-hullámforma egy , a komplex számok felső félsíkján értelmezett függvény , ami moduláris formaként transzformálódik . Elsőként Hans Maass tanulmányozta őket . Definíció Legyen k félegész szám , s komplex szám , és Γ SL2( R) diszkrét részcsoportja . A Γ k súlyú Maass-formája az s Laplace-sajátértékkel egy , a komplex számok felső félsíkjáról a komplex számokba képező függvény , amire a következők teljesülnek : Minden -ra , és minden -ra\ . ahol a k súlyú hiperbolikus Laplace-szerűen definiált \ . Az f függvény legfeljebb polinomiálisan nő a belső csúcsokban . A gyenge Maass-forma hasonlóan definiálható , de a harmadik pont helyett a következő teljesül : Az f függvény a belső csúcsokban legfeljebb lineáris exponenciálisan nő . Továbbá f harmonikus , ha a Laplace-operátor megsemmisíti . Források K. Bringmann , A . Folsom , Almost harmonic Maass forms and Kac–Wakimoto characters , Crelle's Journal , Volume Issue Pages202 DOI: 1515/crelle-2012-0102 W. Duke , J. B . Friedlander and H. Iwaniec , ''The subconvexity problem for Artin L-Functions’' , Inventiones Mathematicae , pp. 489–577 Section DOI: 1007/ BF01329622. Fordítás Komplex analízis