Dirichlet-féle L-függvény
A matematikában a Dirichlet-féle L-sor egy

alakú függvény, ahol χ egy Dirichlet-karakter, és  s komplex szám, aminek valós része nagyobb, mint 1. Analitikus folytatással ez a függvény kiterjeszthető a teljes komplex síkon meromorf függvénnyé. Ez a Dirichlet-féle L-függvény. Jelölése L(s, χ).

Ezeket a függvényeket Dirichlet után nevezték el, aki egy 1837-es cikkében vezette be őket, hogy bebizonyítsa a számtani sorozatokban előforduló prímekről szóló tételt, amit szintén róla neveztek el. A bizonyításban belátja, hogy L(s, χ) s = 1-ben nem nulla. Sőt, ha χ principális, akkor s = 1-ben elsőrendű pólusa van.

Gyökök
Ha a χ primitív karakter értéke χ(−1) = 1, akkor L(s,χ)-nek gyökei a páros negatív egészek, és nincs más negatív valós részű gyöke.
Ha a χ primitív karakter értéke χ(−1) =  −1, akkor L(s,χ)-nek gyökei a páratlan negatív egészek, és nincs más negatív valós részű gyöke.

A Riemann-féle zéta-függvényhez hasonlóan nincsenek gyökök a Re(s) = 1 tartományon és azon túl. Például, ha χ a q modulus nem valós karaktere, akkor ha

akkor  β + iγ egy nem valós komplex gyök.

Ahogy a Riemann-féle zéta-függvényhez tartozik a Riemann-hipotézis, úgy a Dirichlet-féle L-függvény az általánosított Riemann-hipotézisnek engedelmeskedik.

Euler-szorzat
Mivel a χ egy Dirichlet-karakter, azért χ teljesen multiplikatív, és L-függvénye felírható az abszolút konvergencia félsíkján Euler-szorzatként:

ahol a szorzat befutja az összes prímet.

Függvényegyenlet

Tegyük fel, hogy χ a k modulus primitív karaktere. Definiáljuk a következőket:

ahol Γ a gamma-függvény és az a-t meghatározza az

egyenlet. Ekkor teljesül a következő függvényegyenlet:

Itt τ(χ)a Gauss-összeg

Jegyezzük meg, hogy |τ(χ)| = k1/2.

Kapcsolat a Hurwitz-féle zéta-függvénnyel
A Dirichlet-féle L-függvények felírhatók Hurwitz-féle zéta-függvények lineáris kombinációiként a racionális helyeken.
Rögzítve a k ≥ 1 egészet, a modulo k karakterek Dirichlet-féle L-függvényei felírhatók  ζ(s,q) konstans együtthatós lineáris kombinációjaként, ahol q = m/k és m = 1, 2, ..., k. Eszerint racionális helyekre a Hurwitz-féle zéta-függvény analitikus tulajdonságai kapcsolatban állnak a Dirichlet-féle L-függvényekkel.
Speciálisan, legyen χ egy modulo k karakter. Ekkor Dirichlet-féle L-függvénye:

Továbbá egy triviális karakter Dirichlet-féle L-függvénye a (ekkor a k modulus prím) a Riemann-féle zéta-függvény:

Jegyzetek

Források
 Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,

Fordítás 

Számelmélet
A matematikában a Dirichlet-féle L-sor egy alakú függvény , ahol χ egy Dirichlet-karakter , és s komplex szám , aminek valós része nagyobb , mint Analitikus folytatással ez a függvény kiterjeszthető a teljes komplex síkon meromorf függvénnyé . Ez a Dirichlet-féle L-függvény . Jelölése L( s , χ ) . Ezeket a függvényeket Dirichlet után nevezték el , aki egyes cikkében vezette be őket , hogy bebizonyítsa a számtani sorozatokban előforduló prímekről szóló tételt , amit szintén róla neveztek el . A bizonyításban belátja , hogy L( s , χ ) s =ben nem nulla . Sőt , ha χ principális , akkor s =ben elsőrendű pólusa van . Gyökök Ha a χ primitív karakter értéke χ ( −1 ) = akkor L( s,χ)-nek gyökei a páros negatív egészek , és nincs más negatív valós részű gyöke . Ha a χ primitív karakter értéke χ ( −1 ) = −1 , akkor L( s,χ)-nek gyökei a páratlan negatív egészek , és nincs más negatív valós részű gyöke . A Riemann-féle zéta-függvényhez hasonlóan nincsenek gyökök a Re( s ) =tartományon és azon túl . Például , ha χ a q modulus nem valós karaktere , akkor ha akkor β + iγ egy nem valós komplex gyök . Ahogy a Riemann-féle zéta-függvényhez tartozik a Riemann-hipotézis , úgy a Dirichlet-féle L-függvény az általánosított Riemann-hipotézisnek engedelmeskedik . Euler-szorzat Mivel a χ egy Dirichlet-karakter , azért χ teljesen multiplikatív , és L-függvénye felírható az abszolút konvergencia félsíkján Euler-szorzatként : ahol a szorzat befutja az összes prímet . Függvényegyenlet Tegyük fel , hogy χ a k modulus primitív karaktere . Definiáljuk a következőket : ahol Γ a gamma-függvény és az a-t meghatározza az egyenlet . Ekkor teljesül a következő függvényegyenlet : Itt τ( χ) a Gauss-összeg Jegyezzük meg , hogy |τ( χ) | = k1/2 . Kapcsolat a Hurwitz-féle zéta-függvénnyel A Dirichlet-féle L-függvények felírhatók Hurwitz-féle zéta-függvények lineáris kombinációiként a racionális helyeken . Rögzítve a k ≥egészet , a modulo k karakterek Dirichlet-féle L-függvényei felírhatók ζ( s,q ) konstans együtthatós lineáris kombinációjaként , ahol q = m/k és m =\... , k . Eszerint racionális helyekre a Hurwitz-féle zéta-függvény analitikus tulajdonságai kapcsolatban állnak a Dirichlet-féle L-függvényekkel . Speciálisan , legyen χ egy modulo k karakter . Ekkor Dirichlet-féle L-függvénye : Továbbá egy triviális karakter Dirichlet-féle L-függvénye a ( ekkor a k modulus prím ) a Riemann-féle zéta-függvény : Jegyzetek Források Apostol , Tom M. Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics , New York-Heidelberg : Springer-Verlag , Fordítás Számelmélet