Cantor-féle közösrész-tétel
A Cantor-féle közösrész-tétel az analízis egyik igen fontos tétele. Általában a valós számok halmazában szokás kimondani, de természetesen vannak általánosításai is. Alapvetően a valós számok halmazának szerkezetéről tesz egy igen fontos észrevételt, ennek megfelelően pedig nem csak tételként, de más irányú felépítést választva akár axiómaként is hivatkozhatunk rá.

A tételnek igen sokrétű alkalmazásai vannak, többek között az analízis egy másik központi jelentőségű tételének, a Bolzano–Weierstrass-tételnek a bizonyításában is szerepet játszik.

Állítás

Magát a tételt sok formában lehet kimondani, a szemlélettől függően.

Halmazrendszerek

Legyen  R-beli korlátos, zárt és nemüres halmazok rendszere. Ha ez lefelé irányított, azaz minden α, β indexek esetén van olyan γ index, hogy , akkor a halmazrendszer metszete nem üres. Másképpen:

Intervallumok

Ha adott olyan zárt intervallumok halmaza, amelyek alsó határa monoton növekvő, felső határa monoton csökkenő sorozat, akkor ezek közös része nem üres. Röviden mondva egymásba skatulyázott intervallumoknak van közös pontja. Ennek a tételnek különösen a numerikus matematikában, egészen pontosan a gyökközelítő eljárásokban van jelentős szerepe.
Másképpen:

Metrikus terekben

Egy metrikus tér nemüres, kompakt halmazai lefelé irányított rendszerének metszete sem üres.

Bizonyítás

A tételt az állító részének szemlélete szerint többféleképpen is bizonyíthatjuk.

Halmazrendszerek

A valós számok teljes rendezettsége következtében vehetjük a rendszer bármely halmazának a pontos felső korlátját, azaz

A lefelé irányítottság, azaz

miatt a belső halmaz korlátjai a két tartalmazó halmaz korlátjai között van:

Ez pedig azt jelenti, hogy a halmazrendszer szuprémumainak halmaza alulról korlátos. Ezt nem nehéz belátni, ugyanis bármely rögzített index esetén az így kiválasztott halmaz infimuma alsó korlátja lesz a halmaznak az egyenlőtlenségek alapján. Sőt, ennél még több is mondható - mégpedig, hogy a halmaz infimuma a teljes rendszer közös részének eleme, azaz

Rögzítsük ugyanis egy tetszőleges  indexű tagját a rendszernek, és mutassuk meg, hogy a fenti λ érték ennek eleme. Sőt, mivel a rendszer minden tagja zárt, ezért elegendő azt megmutatni, hogy eleme a kiválasztott tag lezártjának. Válasszunk hát egy tetszőleges  valós számot, és igazoljuk, hogy a kiválasztott tag nem diszjunkt a λ körüli r sugarú nyílt gömbbel, azaz

A valós számok körében a nyílt gömbök a nyílt halmazok, azaz

Mivel , már nem lehet alsó korlátja a  halmaznak, ezért van olyan  index, hogy . Mivel a rendszer lefelé irányított, van olyan tagja, ami az  és  halmaznak is része, azaz

Ekkor

amiből következik, hogy van olyan  elem, hogy . Erre vonatkozólag megállapíthatjuk, hogy

és a lefelé irányítottság miatt , ami szerint

Mivel a rögzített elemere nem tettünk semmilyen kikötést, ez a rendszer bármely tagjára igaz, így ebből már következik, hogy a teljes rendszer metszete sem üres, amit pedig bizonyítani akartunk.

Intervallumok

A feltételekből következik, hogy

Másrészt az

egyenlőtlenségből következik, hogy az  sorozat felülről korlátos.

A valós számok teljesen rendezettségéből következik, hogy létezik a  szám. Erre érvényes az  egyenlőtlenség is, hiszen a feltétel értelmében minden  szám is felső korlát. Ebből következik, hogy

és eszerint, az intervallumok definíciója alapján

Metrikus terekben

A lefelé irányítottság következménye, hogy az halmazrendszer minden részrendszerének közös része tartalmaz a rendszerből egy elemet:

Rögzítsünk egy  indexet. Ekkor vehetjük azt az  halmazrendszert, amire

Ez nyílt halmazrendszer lesz.

Most indirekt bizonyítunk. Tegyük fel, hogy a metszet üres. Ekkor

Ez egy nyílt befedése a  kompakt halmaznak, ezért a kompaktság definíciója szerint van a fedőrendszernek véges részbefedése:

Eszerint pedig

Ennek következtében a

nemüres, véges halmazhoz van olyan index, amelyhez tartozó halmaz a rendszerben üres:

ami nem lehet, mert a feltevés szerint a rendszer nemüres halmazokból áll.

Megjegyzések

 Vegyük észre, hogy R az euklideszi metrikával metrikus tér, valamint a zárt halmazok a Borel-Lebesgue lefedési tétel alapján kompaktak, ezért a metrikus terekben érvényes forma egyben tartalmazza a valós számokra vonatkozó állítást.
 Az egymásba skatulyázott intervallumok egyben lefelé irányított halmazrendszert is alkotnak, ezért a valós számokra vonatkozó tételnek egy speciális esetét alkotják.
 A tétel a halmazelméletben bizonyítható, azonban létezik a valós számoknak olyan felépítése is, ahol ez axióma. Ebben az esetben természetesen nem bizonyítjuk, ellenben bizonyítható belőle a bizonyításban kihasznált, a kiválasztási axiómával ekvivalens jólrendezési tétel.
 A tétel a valós számok egyik fontos tulajdonságát, a halmaz folytonosságát jellemzi.

Jegyzetek

Források

 Kristóf János: Az analízis elemei, 1994, ELTE Budapest, egyetemi tankönyv
 Rimán János: Matematikai analízis, 1998, EKTF Líceum kiadó, 

Analízis
A Cantor-féle közösrész-tétel az analízis egyik igen fontos tétele . Általában a valós számok halmazában szokás kimondani , de természetesen vannak általánosításai is . Alapvetően a valós számok halmazának szerkezetéről tesz egy igen fontos észrevételt , ennek megfelelően pedig nem csak tételként , de más irányú felépítést választva akár axiómaként is hivatkozhatunk rá . A tételnek igen sokrétű alkalmazásai vannak , többek között az analízis egy másik központi jelentőségű tételének , a Bolzano–Weierstrass-tételnek a bizonyításában is szerepet játszik . Állítás Magát a tételt sok formában lehet kimondani , a szemlélettől függően . Halmazrendszerek Legyen R-beli korlátos , zárt és nemüres halmazok rendszere . Ha ez lefelé irányított , azaz minden α , β indexek esetén van olyan γ index , hogy , akkor a halmazrendszer metszete nem üres . Másképpen : Intervallumok Ha adott olyan zárt intervallumok halmaza , amelyek alsó határa monoton növekvő , felső határa monoton csökkenő sorozat , akkor ezek közös része nem üres . Röviden mondva egymásba skatulyázott intervallumoknak van közös pontja . Ennek a tételnek különösen a numerikus matematikában , egészen pontosan a gyökközelítő eljárásokban van jelentős szerepe . Másképpen : Metrikus terekben Egy metrikus tér nemüres , kompakt halmazai lefelé irányított rendszerének metszete sem üres . Bizonyítás A tételt az állító részének szemlélete szerint többféleképpen is bizonyíthatjuk . Halmazrendszerek A valós számok teljes rendezettsége következtében vehetjük a rendszer bármely halmazának a pontos felső korlátját , azaz A lefelé irányítottság , azaz miatt a belső halmaz korlátjai a két tartalmazó halmaz korlátjai között van : Ez pedig azt jelenti , hogy a halmazrendszer szuprémumainak halmaza alulról korlátos . Ezt nem nehéz belátni , ugyanis bármely rögzített index esetén az így kiválasztott halmaz infimuma alsó korlátja lesz a halmaznak az egyenlőtlenségek alapján . Sőt , ennél még több is mondható - mégpedig , hogy a halmaz infimuma a teljes rendszer közös részének eleme , azaz Rögzítsük ugyanis egy tetszőleges indexű tagját a rendszernek , és mutassuk meg , hogy a fenti λ érték ennek eleme . Sőt , mivel a rendszer minden tagja zárt , ezért elegendő azt megmutatni , hogy eleme a kiválasztott tag lezártjának . Válasszunk hát egy tetszőleges valós számot , és igazoljuk , hogy a kiválasztott tag nem diszjunkt a λ körüli r sugarú nyílt gömbbel , azaz A valós számok körében a nyílt gömbök a nyílt halmazok , azaz Mivel , már nem lehet alsó korlátja a halmaznak , ezért van olyan index , hogy \ . Mivel a rendszer lefelé irányított , van olyan tagja , ami az és halmaznak is része , azaz Ekkor amiből következik , hogy van olyan elem , hogy \ . Erre vonatkozólag megállapíthatjuk , hogy és a lefelé irányítottság miatt , ami szerint Mivel a rögzített elemere nem tettünk semmilyen kikötést , ez a rendszer bármely tagjára igaz , így ebből már következik , hogy a teljes rendszer metszete sem üres , amit pedig bizonyítani akartunk . Intervallumok A feltételekből következik , hogy Másrészt az egyenlőtlenségből következik , hogy az sorozat felülről korlátos . A valós számok teljesen rendezettségéből következik , hogy létezik a szám . Erre érvényes az egyenlőtlenség is , hiszen a feltétel értelmében minden szám is felső korlát . Ebből következik , hogy és eszerint , az intervallumok definíciója alapján Metrikus terekben A lefelé irányítottság következménye , hogy az halmazrendszer minden részrendszerének közös része tartalmaz a rendszerből egy elemet : Rögzítsünk egy indexet . Ekkor vehetjük azt az halmazrendszert , amire Ez nyílt halmazrendszer lesz . Most indirekt bizonyítunk . Tegyük fel , hogy a metszet üres . Ekkor Ez egy nyílt befedése a kompakt halmaznak , ezért a kompaktság definíciója szerint van a fedőrendszernek véges részbefedése : Eszerint pedig Ennek következtében a nemüres , véges halmazhoz van olyan index , amelyhez tartozó halmaz a rendszerben üres : ami nem lehet , mert a feltevés szerint a rendszer nemüres halmazokból áll . Megjegyzések Vegyük észre , hogy R az euklideszi metrikával metrikus tér , valamint a zárt halmazok a Borel-Lebesgue lefedési tétel alapján kompaktak , ezért a metrikus terekben érvényes forma egyben tartalmazza a valós számokra vonatkozó állítást . Az egymásba skatulyázott intervallumok egyben lefelé irányított halmazrendszert is alkotnak , ezért a valós számokra vonatkozó tételnek egy speciális esetét alkotják . A tétel a halmazelméletben bizonyítható , azonban létezik a valós számoknak olyan felépítése is , ahol ez axióma . Ebben az esetben természetesen nem bizonyítjuk , ellenben bizonyítható belőle a bizonyításban kihasznált , a kiválasztási axiómával ekvivalens jólrendezési tétel . A tétel a valós számok egyik fontos tulajdonságát , a halmaz folytonosságát jellemzi . Jegyzetek Források Kristóf János : Az analízis elemei , ELTE Budapest , egyetemi tankönyv Rimán János : Matematikai analízis , EKTF Líceum kiadó , Analízis