Minkowski-dimenzió
A Minkowski-dimenzió vagy Minkowski–Bouligand-dimenzió (ismert dobozdimenzió és kapacitásdimenzió néven is), egy eljárás halmazok, főleg fraktális halmazok dimenziójának kiszámítására. Hasonlít a jóval népszerűbb Hausdorff-dimenzióra, de annál könnyebben kezelhető módszert ad.

Általában bármilyen (X,d) metrikus térben lévő S halmaz dimenzióját ki lehet vele számolni, de legtöbbször Rn-beli halmazokra szorítkozunk.

Mint a neve is mutatja, egyszerű leszámlálással határozhatjuk meg a halmaz dimenzióját, a halmazt egyenlő méretű „kockákkal” lefedjük, és vizsgáljuk, hogyan változik a szükséges kockák mennyisége az élhossz függvényében. Ha ez a függvény konvergens, akkor a határértéke lesz a halmaz dimenziója.

Definíciója

Legyen  halmaz és . Fedjük le S-t r élhosszúságú diszjunkt kockákkal, azaz keressük azt a legkisebb F halmazt, ami előáll r élhosszúságú diszjunkt kockák uniójaként és . Legyen e kockák száma Nr. Ha az élhosszt változtatjuk, akkor természetesen Nr is változik, azaz értelmezhető az Nr(S) sorozat. Ha ez a sorozat konvergens, akkor S Minkowski-dimenziója

A lefedő halmaz miatt az így definiált dimenziót külső dimenziónak is nevezik.

Ha a határérték nem létezik, akkor is értelmezhető a fedő és az S által lefedett két halmaz, ezek elemszámának limesz szuperiorja és limesz inferiorja lesz a halmaz külső és belső dimenziója.

Kockázás helyett lehetséges a sok esetben kényelmesebben kezelhető Rn-beli gömböket is használni. Ennek a hátránya, hogy nem diszjunkt halmazokkal tudjuk csak lefedni S-t, viszont az elv természetesen vihető át más halmazokra. Az értelmezés ugyanaz marad, csak itt nem a fedő gömbök számát kell érteni, hanem a legkevesebb fedő gömböt tartalmazó halmaz elemszámát.

Tulajdonságai

 Bármely halmaz Minkowski-dimenziója nem kisebb a Hausdorff-dimenziójánál:

 A „klasszikus” ponthalmazokra a hagyományos dimenzióval azonos értéket ad, azaz egy négyzet dimenziója kettő, a körvonalé 1, stb. Annyival erősebb a hagyományos dimenziófogalomnál, hogy a síkidomoktól eltérő ponthalmazok esetén is jól értelmezhető, az elvárthoz közeli értéket ad.
 Egyenértékű azzal, hogy arányos a lefedő kockák élhosszának egy megfelelő hatványával:

Kiszámítása

Példaszámítás

A könnyű áttekinthetőség miatt legtöbbször síkidomokra szokás vonatkoztatni a Minkowski-dimenziót, így itt is ilyen példák szerepelnek főleg. Két példát mutatunk azonban testekre is.

Szakasz Minkowski-dimenziója

Vegyünk egy a hosszúságú szakaszt. Ezt le tudjuk fedni  oldalhosszúságú négyzetekkel, ahol , méghozzá n darabbal. Így a lefedő négyzetek száma
,
amit a definícióba írva kapjuk, hogy
.

A határérték alatti összeg első tagjának értéke 0, a kifejezés második tagja pedig triviálisan 1, így
, amit el is vártunk.

Körvonal Minkowski-dimenziója

A körvonal esetén egy kicsit más módszerhez folyamodunk, ami majd a véletlen fraktálok esetén lesz hasznos. Lényegében nem az  sorozatot határozzuk meg, hanem ennek bizonyos r értékekre felvett értékét, majd ebből próbálunk következtetni a dimenzióra. Egyszerűbb esetekben könnyen fel tudjuk írni a megfelelő sorozatot, és így a határérték megállapítható. Ez a helyzet jelen esetben is.

Ha a kört egy négyzettel lefedjük, majd a négyzet oldalain n egyenletesen elhelyezkedő osztópontot veszünk fel, akkor könnyen leszámolhatjuk, hogy a körvonal hány négyzetet metsz. Így a következő sorozatot kapjuk:

Láthatóan a sorozat az  alakot ölti. Innen a dimenzió már könnyedén meghatározható:
,
ahogy az elvárásunk is volt.

Sierpiński-szőnyeg dimenziója

A Sierpiński-szőnyeg egy kellemesen egyszerű fraktál a Minkowski-dimenzió számítására. A következő iteráció segítségével lehet létrehozni egy négyzetből:
 A négyzetet oszd fel kilenc egyenlő részre az oldalak harmadolópontjainál
 A középső négyzetet vágd ki
 Ismételd a megmaradó négyzetekkel

Mivel a Minkowski-dimenzió a lefedésekkel jellemezhető, a fenti iteráció egyben kiszámítási módot is ad. A négyzetek élhossza ugyanis n iterációs lépés után , a lefedő négyzetek száma pedig . Ezeket a definícióba helyettesítve kapjuk:

Henger dimenziója 
Fedjük le a hengert egy négyzetes oszloppal. Ha ennek alapéleit s részre osztjuk, akkor az alaplapot s2 kocka fedi le. A henger alapját ekkor  kocka fedi le. A hengert több réteg kockával tudjuk lefedni, a rétegek számát a henger sugarának és magasságának aránya adja meg: . A hengert tartalmazó kockák száma tehát
.

A Minkowski-dimenzió a kifejezés s alapú logaritmusának határértéke, ha .

Véletlen fraktálok

A véletlen fraktálok esetén reményünk sincsen analitikus alakban felírni a ponthalmaz függvényét, ezért az egyetlen módszer az marad, hogy a fedő téglát n részre osztva felvesszük az N(n) függvényt, és annak viselkedéséből következtetünk a dimenzióra. Ilyen módon ugyanis kaphatunk egy  közelítő sorozatot, aminek konvergenciája esetén a határérték lesz a fraktál dimenziója:
,
ami éppen a definíciós képlet, mivel n a tégla élhosszának reciproka. Példaként nézzük Nagy-Britannia dimenzióját!

Az ábrát megvizsgálva azt látjuk, hogy 28 téglából 23 fedi a szigetet, egyet pedig a sziget fed. Felezve a téglákat 112 téglából 69 fedi, 16-ot pedig fed a térkép. Egy újabb felezés után 448 téglából 227 fed és 96 fedett. A számítás ez alapján:

Ez alapján a dimenzió kb. 0,818 152 051 1.

Természetesen ez az eljárás nem véletlen fraktálok esetén is alkalmazható.

Jegyzetek

Források
 I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig: Matematikai kézikönyv (TypoTeX kiadó, 2000) 
 Gerőcs L., Vancsó Ö. et al.: Matematika (Akadémiai kiadó, 2010)  ISSN 1787-4750
 Bernt Wahl: Fractal Explorer
 Scott Sutherland: Fractal Dimension

Fordítás

Topológia
Fraktálok
A Minkowski-dimenzió vagy Minkowski–Bouligand-dimenzió ( ismert dobozdimenzió és kapacitásdimenzió néven is ) , egy eljárás halmazok , főleg fraktális halmazok dimenziójának kiszámítására . Hasonlít a jóval népszerűbb Hausdorff-dimenzióra , de annál könnyebben kezelhető módszert ad . Általában bármilyen ( X,d ) metrikus térben lévő S halmaz dimenzióját ki lehet vele számolni , de legtöbbször Rn-beli halmazokra szorítkozunk . Mint a neve is mutatja , egyszerű leszámlálással határozhatjuk meg a halmaz dimenzióját , a halmazt egyenlő méretű „ kockákkal” lefedjük , és vizsgáljuk , hogyan változik a szükséges kockák mennyisége az élhossz függvényében . Ha ez a függvény konvergens , akkor a határértéke lesz a halmaz dimenziója . Definíciója Legyen halmaz és \ . Fedjük le S-t r élhosszúságú diszjunkt kockákkal , azaz keressük azt a legkisebb F halmazt , ami előáll r élhosszúságú diszjunkt kockák uniójaként és \ . Legyen e kockák száma Nr . Ha az élhosszt változtatjuk , akkor természetesen Nr is változik , azaz értelmezhető az Nr( S ) sorozat . Ha ez a sorozat konvergens , akkor S Minkowski-dimenziója A lefedő halmaz miatt az így definiált dimenziót külső dimenziónak is nevezik . Ha a határérték nem létezik , akkor is értelmezhető a fedő és az S által lefedett két halmaz , ezek elemszámának limesz szuperiorja és limesz inferiorja lesz a halmaz külső és belső dimenziója . Kockázás helyett lehetséges a sok esetben kényelmesebben kezelhető Rn-beli gömböket is használni . Ennek a hátránya , hogy nem diszjunkt halmazokkal tudjuk csak lefedni S-t , viszont az elv természetesen vihető át más halmazokra . Az értelmezés ugyanaz marad , csak itt nem a fedő gömbök számát kell érteni , hanem a legkevesebb fedő gömböt tartalmazó halmaz elemszámát . Tulajdonságai Bármely halmaz Minkowski-dimenziója nem kisebb a Hausdorff-dimenziójánál : A „ klasszikus” ponthalmazokra a hagyományos dimenzióval azonos értéket ad , azaz egy négyzet dimenziója kettő , a körvonalé stb . Annyival erősebb a hagyományos dimenziófogalomnál , hogy a síkidomoktól eltérő ponthalmazok esetén is jól értelmezhető , az elvárthoz közeli értéket ad . Egyenértékű azzal , hogy arányos a lefedő kockák élhosszának egy megfelelő hatványával : Kiszámítása Példaszámítás A könnyű áttekinthetőség miatt legtöbbször síkidomokra szokás vonatkoztatni a Minkowski-dimenziót , így itt is ilyen példák szerepelnek főleg . Két példát mutatunk azonban testekre is . Szakasz Minkowski-dimenziója Vegyünk egy a hosszúságú szakaszt . Ezt le tudjuk fedni oldalhosszúságú négyzetekkel , ahol , méghozzá n darabbal . Így a lefedő négyzetek száma amit a definícióba írva kapjuk , hogy . A határérték alatti összeg első tagjának értéke a kifejezés második tagja pedig triviálisan így amit el is vártunk . Körvonal Minkowski-dimenziója A körvonal esetén egy kicsit más módszerhez folyamodunk , ami majd a véletlen fraktálok esetén lesz hasznos . Lényegében nem az sorozatot határozzuk meg , hanem ennek bizonyos r értékekre felvett értékét , majd ebből próbálunk következtetni a dimenzióra . Egyszerűbb esetekben könnyen fel tudjuk írni a megfelelő sorozatot , és így a határérték megállapítható . Ez a helyzet jelen esetben is . Ha a kört egy négyzettel lefedjük , majd a négyzet oldalain n egyenletesen elhelyezkedő osztópontot veszünk fel , akkor könnyen leszámolhatjuk , hogy a körvonal hány négyzetet metsz . Így a következő sorozatot kapjuk : Láthatóan a sorozat az alakot ölti . Innen a dimenzió már könnyedén meghatározható : ahogy az elvárásunk is volt . Sierpiński-szőnyeg dimenziója A Sierpiński-szőnyeg egy kellemesen egyszerű fraktál a Minkowski-dimenzió számítására . A következő iteráció segítségével lehet létrehozni egy négyzetből : A négyzetet oszd fel kilenc egyenlő részre az oldalak harmadolópontjainál A középső négyzetet vágd ki Ismételd a megmaradó négyzetekkel Mivel a Minkowski-dimenzió a lefedésekkel jellemezhető , a fenti iteráció egyben kiszámítási módot is ad . A négyzetek élhossza ugyanis n iterációs lépés után , a lefedő négyzetek száma pedig \ . Ezeket a definícióba helyettesítve kapjuk : Henger dimenziója Fedjük le a hengert egy négyzetes oszloppal . Ha ennek alapéleit s részre osztjuk , akkor az alaplapot s2 kocka fedi le . A henger alapját ekkor kocka fedi le . A hengert több réteg kockával tudjuk lefedni , a rétegek számát a henger sugarának és magasságának aránya adja meg : \ . A hengert tartalmazó kockák száma tehát . A Minkowski-dimenzió a kifejezés s alapú logaritmusának határértéke , ha\ . Véletlen fraktálok A véletlen fraktálok esetén reményünk sincsen analitikus alakban felírni a ponthalmaz függvényét , ezért az egyetlen módszer az marad , hogy a fedő téglát n részre osztva felvesszük az N( n ) függvényt , és annak viselkedéséből következtetünk a dimenzióra . Ilyen módon ugyanis kaphatunk egy közelítő sorozatot , aminek konvergenciája esetén a határérték lesz a fraktál dimenziója : ami éppen a definíciós képlet , mivel n a tégla élhosszának reciproka . Példaként nézzük Nagy-Britannia dimenzióját ! Az ábrát megvizsgálva azt látjuk , hogytéglábólfedi a szigetet , egyet pedig a sziget fed . Felezve a téglákattéglábólfedi, ot pedig fed a térkép . Egy újabb felezés utántéglábólfed ésfedett . A számítás ez alapján : Ez alapján a dimenzió kb.818 152 051 1. Természetesen ez az eljárás nem véletlen fraktálok esetén is alkalmazható . Jegyzetek Források I. N. Bronstejn , K. A . Szemengyajev , G. Musiol , H. Mühlig : Matematikai kézikönyv ( TypoTeX kiadó , Gerőcs L. , Vancsó Ö. et al . : Matematika ( Akadémiai kiadó , ISSN Bernt Wahl : Fractal Explorer Scott Sutherland : Fractal Dimension Fordítás Topológia Fraktálok