Liouville-függvény
A számelméletben a Liouville-függvény egy fontos számelméleti függvény, amit Joseph Liouville-ről neveztek el. Ha n pozitív egész, akkor  λ(n) definíciója:

ahol a nagy omega függvény n prímosztóinak száma multiplicitással számolva..

λ teljesen multiplikatív, mivel  Ω(n) teljesen additív, vagyis  Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b). Az egynek nincsenek prímosztói, ezért Ω(1) = 0, így λ(1) = 1. A Liouville-függvény eleget tesz a következő azonosságnak:

A  Liouville-függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény abszolútértéke.

Sorok

A Liouville-függvény Dirichlet-sora kapcsolódik a Riemann-féle zéta-függvényhez:

Lambert-sora:

ahol  a Jacobi-féle thetafüggvény.

Megcáfolt sejtések

A Pólya-sejtés Pólya Györgytől származik 1919-ből. Legyen 
 

A sejtés azt állítja, hogy  minden n > 1. Ezt azóta megcáfolták. A legkisebb ellenpélda n = 906150257, amit Minoru Tanaka fedezett fel 1980-ban. Azóta megmutatták, hogy L(n) > 0,0618672√n végtelen sok n-re, míg L(n) < −1,3892783√n végtelen sok pozitív n-re.

A kapcsolódó összeg
 

Sokáig nyitott kérdés volt, hogy T(n) ≥ 0 egy elég nagy n ≥ n0-ra. Ennek felvetését sokszor Turán Pálnak tulajdonítják, tévesen. Ezt Haselgrove cáfolta meg 1958-ban, megmutatva, hogy  T(n) végtelen sokszor negatív. Az ellenkező eredmény a Riemann-sejtést is bebizonyította, ahogy Turán Pál levezette.

Jegyzetek

Források

Fordítás 

Számelmélet
A számelméletben a Liouville-függvény egy fontos számelméleti függvény , amit Joseph Liouville-ről neveztek el . Ha n pozitív egész , akkor λ ( n ) definíciója : ahol a nagy omega függvény n prímosztóinak száma multiplicitással számolva.. λ teljesen multiplikatív , mivel Ω ( n ) teljesen additív , vagyis Ω( ab ) = Ω ( a ) + Ω( b ) . Az egynek nincsenek prímosztói , ezért Ω ( 1 ) = így λ ( 1 ) = A Liouville-függvény eleget tesz a következő azonosságnak : A Liouville-függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény abszolútértéke . Sorok A Liouville-függvény Dirichlet-sora kapcsolódik a Riemann-féle zéta-függvényhez : Lambert-sora : ahol a Jacobi-féle thetafüggvény . Megcáfolt sejtések A Pólya-sejtés Pólya Györgytől származikből . Legyen A sejtés azt állítja , hogy minden n > 1. Ezt azóta megcáfolták . A legkisebb ellenpélda n = 906150257 , amit Minoru Tanaka fedezett felban . Azóta megmutatták , hogy L( n ) > 0,0618672√n végtelen sok n-re , míg L( n ) < −1,3892783√n végtelen sok pozitív n-re . A kapcsolódó összeg Sokáig nyitott kérdés volt , hogy T( n ) ≥ 0 egy elég nagy n ≥ n0-ra . Ennek felvetését sokszor Turán Pálnak tulajdonítják , tévesen . Ezt Haselgrove cáfolta megban , megmutatva , hogy T( n ) végtelen sokszor negatív . Az ellenkező eredmény a Riemann-sejtést is bebizonyította , ahogy Turán Pál levezette . Jegyzetek Források Fordítás Számelmélet