Kis elemszámú véges csoportok listája
A matematika csoportelmélet nevű ágában fontos szerepet játszanak a véges csoportok: azok a csoportok, amelyeknek véges sok eleme van. Az alábbi lista a 16-nál kisebb elemszámú csoportokat sorolja föl, elemszám szerint csoportosítva.

Jelölések 
A csoportelméletben szokásos konvenciókat követve
1 jelöli a csoport egységelemét
Tetszőleges pozitív egész n-re  jelöli az n-edrendű ciklikus csoportot, azaz az n-edik komplex egységgyökök szorzáscsoportját.
Tetszőleges  egész számra  jelöli az n-edfokú diédercsoportot, azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportját.
Tetszőleges pozitív egész n-re  jelöli az n-edfokú szimmetrikus csoportot, azaz n elem összes permutációjának csoportját, és  jelöli az n-edfokú alternáló csoportot, azaz n elem páros permutációinak csoportját.
 jelöli a Klein-csoportot;  jelöli a kvaterniócsoportot.

Alapvető tények 
A kis véges csoportok enumerációja során újra meg újra felhasználható az alábbi néhány egyszerű gondolatmenet:

Minden pozitív egész n-re van n elemű csoport 
Tetszőleges n-re  az n-edrendű ciklikus csoport, példa n elemű csoportra.

Ha p prímszám, akkor csak egy p elemű csoport van 
Ha ugyanis  p elemű csoport és  és , akkor g rendje nem 1 de osztja p-t, ezért g rendje p. Így , azaz .

Kis elemszámú véges csoportok

Egyelemű csoport 
Egyelemű csoport csak egy van, a triviális csoport.

Kételemű csoport 
Mivel a 2 prímszám, az egyetlen kételemű csoport a .

Háromelemű csoport 
Mivel a 3 prímszám, az egyetlen háromelemű csoport a .

Négyelemű csoport 
Négyelemű csoportból kettő létezik:  és a V Klein-csoport. Ezek nyilván különböznek, hiszen az elsőben van negyedrendű elem, a másodikban pedig nincs. Több négyelemű csoport nincs, hiszen ha  négyelemű, akkor vagy van negyedrendű eleme, vagy nincs. Ha van, akkor az az elem generálja a csoportot, tehát a . Ha nincs, akkor  mindhárom 1-től különböző eleme másodrendű, és így ezek közül bármelyik kettő szorzata a harmadik. Emiatt  izomorf a Klein-csoporttal.

Ötelemű csoport 
Mivel az 5 prímszám, az egyetlen ötelemű csoport a .

Hatelemű csoport 
A hatelemű csoportok közt kézenfekvő módon szerepel a  ciklikus csoport és az  szimmetrikus csoport. Ezek különbözőek, hiszen az első kommutatív, a második pedig nem. Több hatelemű csoport nincsen.

Hételemű csoport 
Mivel a 7 prímszám, az egyetlen hételemű csoport a .

Nyolcelemű csoport 
A nyolcelemű csoportok között kézenfekvő módon szerepelnek a  csoportok. Ezek egymástól különböznek: míg  kommutatív, a másik kettő nem az; azt pedig, hogy a diédercsoport különbözik a kvaterniócsoporttól, onnan láthatjuk például, hogy a kvaterniócsoportban csak egy másodrendű elem van (a -1), míg a diédercsoportban van több is (minden tükrözés).

Kilencelemű csoport

Tízelemű csoport

Tizenegy elemű csoport 
Mivel a 11 prímszám, az egyetlen tizenegy elemű csoport a .

Tizenkét elemű csoport

Tizenhárom elemű csoport 
Mivel a 13 prímszám, az egyetlen tizenhárom elemű csoport a .

Tizennégy elemű csoport

Tizenöt elemű csoport

Források 

Csoportelmélet
A matematika csoportelmélet nevű ágában fontos szerepet játszanak a véges csoportok : azok a csoportok , amelyeknek véges sok eleme van . Az alábbi lista anál kisebb elemszámú csoportokat sorolja föl , elemszám szerint csoportosítva . Jelölések A csoportelméletben szokásos konvenciókat követve 1 jelöli a csoport egységelemét Tetszőleges pozitív egész n-re jelöli az n-edrendű ciklikus csoportot , azaz az n-edik komplex egységgyökök szorzáscsoportját . Tetszőleges egész számra jelöli az n-edfokú diédercsoportot , azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportját . Tetszőleges pozitív egész n-re jelöli az n-edfokú szimmetrikus csoportot , azaz n elem összes permutációjának csoportját , és jelöli az n-edfokú alternáló csoportot , azaz n elem páros permutációinak csoportját. jelöli a Klein-csoportot ; jelöli a kvaterniócsoportot . Alapvető tények A kis véges csoportok enumerációja során újra meg újra felhasználható az alábbi néhány egyszerű gondolatmenet : Minden pozitív egész n-re van n elemű csoport Tetszőleges n-re az n-edrendű ciklikus csoport , példa n elemű csoportra . Ha p prímszám , akkor csak egy p elemű csoport van Ha ugyanis p elemű csoport és és , akkor g rendje nemde osztja p-t , ezért g rendje p. Így , azaz \ . Kis elemszámú véges csoportok Egyelemű csoport Egyelemű csoport csak egy van , a triviális csoport . Kételemű csoport Mivel aprímszám , az egyetlen kételemű csoport a \ . Háromelemű csoport Mivel aprímszám , az egyetlen háromelemű csoport a \ . Négyelemű csoport Négyelemű csoportból kettő létezik : és a V Klein-csoport . Ezek nyilván különböznek , hiszen az elsőben van negyedrendű elem , a másodikban pedig nincs . Több négyelemű csoport nincs , hiszen ha négyelemű , akkor vagy van negyedrendű eleme , vagy nincs . Ha van , akkor az az elem generálja a csoportot , tehát a \ . Ha nincs , akkor mindháromtől különböző eleme másodrendű , és így ezek közül bármelyik kettő szorzata a harmadik . Emiatt izomorf a Klein-csoporttal . Ötelemű csoport Mivel azprímszám , az egyetlen ötelemű csoport a \ . Hatelemű csoport A hatelemű csoportok közt kézenfekvő módon szerepel a ciklikus csoport és az szimmetrikus csoport . Ezek különbözőek , hiszen az első kommutatív , a második pedig nem . Több hatelemű csoport nincsen . Hételemű csoport Mivel aprímszám , az egyetlen hételemű csoport a \ . Nyolcelemű csoport A nyolcelemű csoportok között kézenfekvő módon szerepelnek a csoportok . Ezek egymástól különböznek : míg kommutatív , a másik kettő nem az ; azt pedig , hogy a diédercsoport különbözik a kvaterniócsoporttól , onnan láthatjuk például , hogy a kvaterniócsoportban csak egy másodrendű elem van ( a míg a diédercsoportban van több is ( minden tükrözés ) . Kilencelemű csoport Tízelemű csoport Tizenegy elemű csoport Mivel aprímszám , az egyetlen tizenegy elemű csoport a \ . Tizenkét elemű csoport Tizenhárom elemű csoport Mivel aprímszám , az egyetlen tizenhárom elemű csoport a \ . Tizennégy elemű csoport Tizenöt elemű csoport Források Csoportelmélet