Dirichlet-sor
A matematikában Dirichlet-sor minden sor, ami

alakú. Itt s komplex, és a egy komplex sorozat. Az általános Dirichlet-sor speciális esete.

Az analitikus számelméletben a Dirichlet-sornak számos meghatározó szerepe van. A Riemann-féle zéta-függvényt és a Dirichlet-féle L-függvényt is ilyen sorozatokkal definiálják. Azt sejtik, hogy a sorok Selberg-osztálya az általánosított Riemann-hipotézisnek engedelmeskedik. A sort Peter Gustav Lejeune Dirichlet után nevezték el.

Kombinatorikai jelentősége
A Dirichlet-sorozatok generátorsorozatként használhatók súlyozott halmazok leszámlálásához, ha az elemek súlya összeszorzódik a Descartes-szorzatban.

Ha A w: A → N függvények halmaza, ami súlyt rendel minden elemhez, akkor a súlyfüggvény szerint tetszőleges természetes szám ősképe véges halmaz. A súlyozott halmaz egy (A,w) alakú halmaz, ahol A és w megfelel a fenti tulajdonságoknak. Legyen továbbá an az A halmaz n súlyú elemeinek halmaza. Ekkor A w szerinti formális Dirichlet-féle generátorsora

Ha A, B egy (U, w) súlyozott halmaz diszjunkt részhalmazai, akkor uniójuk Dirichlet-sora a két részhalmaz Dirichlet-sorának összege:

Továbbá, ha (A, u) és (B, v) súlyozott halmazok, akkor definiálhatjuk a Descartes-szorzatukat a következőképpen:

Legyen a súlyfüggvény w: A × B → N, , és a tartóhalmaz . Ekkor:

,

ami annak következménye, hogy .

Példák
A legismertebb Dirichlet-sor a Riemann-féle zéta-függvényt definiálja:

A konvergenciatartománytól eltekintve:

mivel minden természetes szám egyértelműen felbontható prímhatványok szorzatára. Ez a tény insipálta az Euler-szorzatot.

Ismert továbbá, hogy:

ahol µ a Möbius-függvény. Ez és több más sorozat a Möbius-féle megfordítási formula és a Dirichlet-konvolúció ismert sorozatokra való alkalmazásával megkapható. Ha χ(n) egy Dirichlet-karakter, akkor

ahol L(χ, s) a Dirichlet-féle L-függvény.

Egy másik példa:

Továbbá:

ahol φ(n) az Euler-függvény,

ahol Jk a Jordan-függvény, és

ahol σa(n) az osztóösszeg-függvény.
A d=σ0 specializációval

A zétafüggvény logaritmusa:

minden Re(s) > 1-re. Itt Λ(n) a von Mangoldt-függvény. A logaritmikus derivált:

Az utóbbi kettő a Dirichlet-sorok deriváltjainak általánosabb kapcsolatának speciális esetei.

A λ(n) Liouville-függvény esetén:

Egy másik példa a Ramanujan-összegről:

Még egy példa a Möbius-függvénnyel:

Formális Dirichlet-sorok
Egy R gyűrű feletti formális Dirichlet-sor kapcsolatba hozható egy bizonyos függvénnyel (jelöljük a-val), ami a pozitív egészek halmazából R-be képez.

ahol az összeadás és szorzás definíciója:

ahol

a pontonkénti összeg, és

a és b Dirichlet-konvolúciója.

A formális Dirichlet-sorok gyűrűje, sőt algebrája R fölött Ω, ahol az azonosan nulla függvény a nullelem, és δ(1)=1, δ(n)=0 minden n>1-re az egységelem. A gyűrű egy eleme invertálható, ha a(1) invertálható R-ben. Ha R kommutatív, akkor Ω is; ha R integritási tartomány, akkor Ω is az. A nem nulla multiplikatív függvények az egységek részcsoportjának részcsoportját alkotják Ω-ban. A komplex számok fölötti Dirichlet-sorozatok gyűrűje izomorf a megszámlálható sok változós formális hatványsorok gyűrűjével.

Konvergencia
Legyen {an}n ∈ N. Vizsgáljuk azt a tartományt, ahol

előáll, mint a komplex s változó függvénye. Figyelembe véve a fenti sor konvergenciatulajdonságát: ha {an}n ∈ N komplex számok korlátos sorozata, akkor a fent definiált f abszolút konvergens a Re(s) > 1 felső félsíkján. Általában, ha an = O(nk), akkor a sor abszolút konvergens a Re(s) > k + 1 felső félsíkján.

Ha az an + an + 1 + ... + an + k összeg korlátos n-ben és k ≥ 0, akkor a fenti végtelen sorozat konvergál a Re(s) > 0 felső félsíkján.

Mindkét esetben f analitikus a fenti tartományokon.

Általában, a Dirichlet-sor konvergenciaabszcisszája a valós tengely metszete a függőleges egyenessel, amelynek a jobb oldalán a sorozat konvergál, és amitől balra divergál. Ez a Dirichlet-sorokra a hatványsorok konvergenciasugarának analogonja. A Dirichlet-sorok esete bonyolultabb, mert az abszolút konvergencia és az egyenletes konvergencia félsíkja különbözhet.

Sok esetben a Dirichlet-sor által definiált függvény analitikusan folytatható egy nagyobb tartományon.

Deriválás
Adott

függvény esetén megmutatható, hogy

feltéve, hogy a jobb oldal konvergál. Ha ƒ(n) teljesen multiplikatív, és feltesszük, hogy a sor konvergál minden Re(s) > σ0-ra,akkor

konvergál Re(s) > σ0-n. Itt Λ(n) a von Mangoldt-függvény.

Integráltranszformációk
A Dirichlet-sor Mellin-transzformációját a Perron-képlet adja meg.

Kapcsolat a hatványsorokkal
Az an sorozat, amit egy olyan Dirichlet-sor, mint generátorfüggvény generál, ami megfelel a következőnek:

ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény, akkor an közönséghes generátorfüggvénye

Jegyzetek

Források
 Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 
 
The general theory of Dirichlet's series  by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections

Fordítás 

Analitikus számelmélet
A matematikában Dirichlet-sor minden sor , ami alakú . Itt s komplex , és a egy komplex sorozat . Az általános Dirichlet-sor speciális esete . Az analitikus számelméletben a Dirichlet-sornak számos meghatározó szerepe van . A Riemann-féle zéta-függvényt és a Dirichlet-féle L-függvényt is ilyen sorozatokkal definiálják . Azt sejtik , hogy a sorok Selberg-osztálya az általánosított Riemann-hipotézisnek engedelmeskedik . A sort Peter Gustav Lejeune Dirichlet után nevezték el . Kombinatorikai jelentősége A Dirichlet-sorozatok generátorsorozatként használhatók súlyozott halmazok leszámlálásához , ha az elemek súlya összeszorzódik a Descartes-szorzatban . Ha A w : A → N függvények halmaza , ami súlyt rendel minden elemhez , akkor a súlyfüggvény szerint tetszőleges természetes szám ősképe véges halmaz . A súlyozott halmaz egy ( A,w ) alakú halmaz , ahol A és w megfelel a fenti tulajdonságoknak . Legyen továbbá an az A halmaz n súlyú elemeinek halmaza . Ekkor A w szerinti formális Dirichlet-féle generátorsora Ha A , B egy ( U , w ) súlyozott halmaz diszjunkt részhalmazai , akkor uniójuk Dirichlet-sora a két részhalmaz Dirichlet-sorának összege : Továbbá , ha ( A , u ) és ( B , v ) súlyozott halmazok , akkor definiálhatjuk a Descartes-szorzatukat a következőképpen : Legyen a súlyfüggvény w : A × B → N , , és a tartóhalmaz \ . Ekkor : ami annak következménye , hogy \ . Példák A legismertebb Dirichlet-sor a Riemann-féle zéta-függvényt definiálja : A konvergenciatartománytól eltekintve : mivel minden természetes szám egyértelműen felbontható prímhatványok szorzatára . Ez a tény insipálta az Euler-szorzatot . Ismert továbbá , hogy : ahol µ a Möbius-függvény . Ez és több más sorozat a Möbius-féle megfordítási formula és a Dirichlet-konvolúció ismert sorozatokra való alkalmazásával megkapható . Ha χ ( n ) egy Dirichlet-karakter , akkor ahol L( χ , s ) a Dirichlet-féle L-függvény . Egy másik példa : Továbbá : ahol φ ( n ) az Euler-függvény , ahol Jk a Jordan-függvény , és ahol σa ( n ) az osztóösszeg-függvény . A d=σ0 specializációval A zétafüggvény logaritmusa : minden Re ( s ) > 1-re . Itt Λ ( n ) a von Mangoldt-függvény . A logaritmikus derivált : Az utóbbi kettő a Dirichlet-sorok deriváltjainak általánosabb kapcsolatának speciális esetei . A λ ( n ) Liouville-függvény esetén : Egy másik példa a Ramanujan-összegről : Még egy példa a Möbius-függvénnyel : Formális Dirichlet-sorok Egy R gyűrű feletti formális Dirichlet-sor kapcsolatba hozható egy bizonyos függvénnyel ( jelöljük a-val ) , ami a pozitív egészek halmazából R-be képez . ahol az összeadás és szorzás definíciója : ahol a pontonkénti összeg , és a és b Dirichlet-konvolúciója . A formális Dirichlet-sorok gyűrűje , sőt algebrája R fölött Ω , ahol az azonosan nulla függvény a nullelem , és δ( 1) =1 , δ( n ) =0 minden n>1-re az egységelem . A gyűrű egy eleme invertálható , ha a ( 1 ) invertálható R-ben . Ha R kommutatív , akkor Ω is ; ha R integritási tartomány , akkor Ω is az . A nem nulla multiplikatív függvények az egységek részcsoportjának részcsoportját alkotják Ω-ban . A komplex számok fölötti Dirichlet-sorozatok gyűrűje izomorf a megszámlálható sok változós formális hatványsorok gyűrűjével . Konvergencia Legyen { an} n ∈ N. Vizsgáljuk azt a tartományt , ahol előáll , mint a komplex s változó függvénye . Figyelembe véve a fenti sor konvergenciatulajdonságát : ha { an} n ∈ N komplex számok korlátos sorozata , akkor a fent definiált f abszolút konvergens a Re( s ) >felső félsíkján . Általában , ha an = O( nk ) , akkor a sor abszolút konvergens a Re ( s ) > k + 1 felső félsíkján . Ha az an + an ++\ .. . + an + k összeg korlátos n-ben és k ≥ akkor a fenti végtelen sorozat konvergál a Re( s ) >felső félsíkján . Mindkét esetben f analitikus a fenti tartományokon . Általában , a Dirichlet-sor konvergenciaabszcisszája a valós tengely metszete a függőleges egyenessel , amelynek a jobb oldalán a sorozat konvergál , és amitől balra divergál . Ez a Dirichlet-sorokra a hatványsorok konvergenciasugarának analogonja . A Dirichlet-sorok esete bonyolultabb , mert az abszolút konvergencia és az egyenletes konvergencia félsíkja különbözhet . Sok esetben a Dirichlet-sor által definiált függvény analitikusan folytatható egy nagyobb tartományon . Deriválás Adott függvény esetén megmutatható , hogy feltéve , hogy a jobb oldal konvergál . Ha ƒ ( n ) teljesen multiplikatív , és feltesszük , hogy a sor konvergál minden Re ( s ) > σ0-ra, akkor konvergál Re ( s ) > σ0-n . Itt Λ ( n ) a von Mangoldt-függvény . Integráltranszformációk A Dirichlet-sor Mellin-transzformációját a Perron-képlet adja meg . Kapcsolat a hatványsorokkal Az an sorozat , amit egy olyan Dirichlet-sor , mint generátorfüggvény generál , ami megfelel a következőnek : ahol ζ ( s ) a Riemann-féle zéta-függvény , akkor an közönséghes generátorfüggvénye Jegyzetek Források Apostol , Tom M. Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics , New York-Heidelberg : Springer-Verlag , The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy . Cornell University Library Historical Math Monographs . { Reprinted by } Cornell University Library Digital Collections Fordítás Analitikus számelmélet