Számtani-mértani közép
A matematikában két pozitív valós szám számtani-mértani közepe a következő:

Jelölje a két számot x és y! Kiszámoljuk a számtani közepüket, ezt jelölje a1. Ezután kiszámoljuk a mértani közepüket, ezt jelölje g1:

A kapott két számnak újra kiszámoljuk a számtani és a mértani közepét, és ezt iteráljuk minden an és gn párra:

Ekkor az an és a gn sorozatok ugyanahhoz a számhoz tartanak, ami x és y számtani-mértani közepe. Jelölése M(x, y), vagy agm(x, y).

Algoritmusokhoz használják, például a számtani-mértani módszerhez.

Példa
Legyen x = 24 és y = 6, keressük ezek számtani-mértani közepét. Kiszámoljuk a számtani és a mértani közepüket:

a következő lépés:

Az első öt iteráció értékei:

{| class="wikitable"
|-
! n
! an
! gn
|-
| 0
| 24
| 6
|-
| 1
| 15
| 12
|-
| 2
| 13,5
| 13,416407864998738178455042…
|-
| 3
| 13,458203932499369089227521…
| 13,458139030990984877207090…
|-
| 4
| 13,458171481745176983217305…
| 13,458171481706053858316334…
|-
| 5
| 13,458171481725615420766820…
| 13,458171481725615420766806…
|}

Az egyezés hossza minden lépésben a duplájára nő. A számtani-mértani közép e két sorozat közös határértéke, ami megközelítően 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.

Tulajdonságai
Két pozitív szám számtani közepe sosem kisebb, mint mértani közepük. Ezért gn növekvő, an csökkenő sorozat, és gn ≤ M(x, y) ≤ an. Az egyenlőtlenség szigorú, ha x ≠ y. Tehát a számtani-mértani közép a mértani és a számtani közepek között van.

Ha r ≥ 0, akkor M(rx,ry)  r M(x,y).

Reprezentálható integrál alakban:

ahol K(k) teljes elsőfajú elliptikus integrál:

A definíció szerinti számítás elég gyorsan konvergál ahhoz, hogy a számtani-mértani sorozatot elliptikus integrálok számításához használják. A mérnöki tudományokban elliptikus szűrőket terveznek vele. A másodfajú elliptikus integrálok kiszámításához a módosított számtani-mértani közép használható.

A számtani-mértani közép módszerével a logaritmus is jól közelíthető.

Kapcsolódó fogalmak
Az 1 és a négyzetgyök 2 számtani-mértani közepének reciproka a Gauss-konstans:

A mértani-harmonikus közép hasonlóan számítható, a mértani és a harmonikus középből képzett sorozatokkal. Hasonolóan a számtani-harmonikus közép is definiálható, de megegyezik a mértani középpel.

A létezés bizonyítása
A számtani-mértani közepek között teljesül az alábbi egyenlőtlenség:

így

ennélfogva a gn sorozat nemcsökkenő.

Továbbá könnyen látható, hogy felülről korlátos, mivel x és y közül a nagyobb jó felső korlát, ami következik abból, hogy a számtani és a mértani közép is a kettő között van. Emiatt a monoton konvergencia tétele szerint konvergens, tehát létezik határértéke, amit jelöljünk g-vel:

Azt is láthatjuk, hogy:

és így

Az integrálos alak bizonyítása
Ez a bizonyítás Gausstól származik.
Legyen

Helyettesítjük az integrációs változót -vel, ahol

ezzel

Így

Ez utóbbi egyenlőség abból adódik, hogy .

Amivel

Története
Az első számtani-mértani közepet használó algoritmust Lagrange alkalmazta. Tulajdonságait Gauss elemezte.

Jegyzetek

Források

 Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp.  
 Zoltán Daróczy, Zsolt Páles, Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem. Publ. Math. Debrecen 61/1-2 (2002), 157–218.

Fordítás 

Középértékek
A matematikában két pozitív valós szám számtani-mértani közepe a következő : Jelölje a két számot x és y ! Kiszámoljuk a számtani közepüket , ezt jelölje a1. Ezután kiszámoljuk a mértani közepüket , ezt jelölje g1 : A kapott két számnak újra kiszámoljuk a számtani és a mértani közepét , és ezt iteráljuk minden an és gn párra : Ekkor az an és a gn sorozatok ugyanahhoz a számhoz tartanak , ami x és y számtani-mértani közepe . Jelölése M( x , y ) , vagy agm ( x , y ) . Algoritmusokhoz használják , például a számtani-mértani módszerhez . Példa Legyen x =és y = keressük ezek számtani-mértani közepét . Kiszámoljuk a számtani és a mértani közepüket : a következő lépés : Az első öt iteráció értékei : { | class=" wikitable " |- ! n ! an ! gn |- | 0 | | 6 |- | 1 | | |- | 2 |5 |416407864998738178455042… |- | 3 |458203932499369089227521… |458139030990984877207090… |- | 4 |458171481745176983217305… |458171481706053858316334… |- | 5 |458171481725615420766820… |458171481725615420766806 … | } Az egyezés hossza minden lépésben a duplájára nő . A számtani-mértani közép e két sorozat közös határértéke , ami megközelítően4581714817256154207668131569743992430538388544. Tulajdonságai Két pozitív szám számtani közepe sosem kisebb , mint mértani közepük . Ezért gn növekvő , an csökkenő sorozat , és gn ≤ M( x , y ) ≤ an . Az egyenlőtlenség szigorú , ha x ≠ y . Tehát a számtani-mértani közép a mértani és a számtani közepek között van . Ha r ≥ akkor M( rx,ry ) r M( x,y ) . Reprezentálható integrál alakban : ahol K( k ) teljes elsőfajú elliptikus integrál : A definíció szerinti számítás elég gyorsan konvergál ahhoz , hogy a számtani-mértani sorozatot elliptikus integrálok számításához használják . A mérnöki tudományokban elliptikus szűrőket terveznek vele . A másodfajú elliptikus integrálok kiszámításához a módosított számtani-mértani közép használható . A számtani-mértani közép módszerével a logaritmus is jól közelíthető . Kapcsolódó fogalmak Azés a négyzetgyökszámtani-mértani közepének reciproka a Gauss-konstans : A mértani-harmonikus közép hasonlóan számítható , a mértani és a harmonikus középből képzett sorozatokkal . Hasonolóan a számtani-harmonikus közép is definiálható , de megegyezik a mértani középpel . A létezés bizonyítása A számtani-mértani közepek között teljesül az alábbi egyenlőtlenség : így ennélfogva a gn sorozat nemcsökkenő . Továbbá könnyen látható , hogy felülről korlátos , mivel x és y közül a nagyobb jó felső korlát , ami következik abból , hogy a számtani és a mértani közép is a kettő között van . Emiatt a monoton konvergencia tétele szerint konvergens , tehát létezik határértéke , amit jelöljünk g-vel : Azt is láthatjuk , hogy : és így Az integrálos alak bizonyítása Ez a bizonyítás Gausstól származik . Legyen Helyettesítjük az integrációs változót -vel , ahol ezzel Így Ez utóbbi egyenlőség abból adódik , hogy \ . Amivel Története Az első számtani-mértani közepet használó algoritmust Lagrange alkalmazta . Tulajdonságait Gauss elemezte . Jegyzetek Források Jonathan Borwein , Peter Borwein , Pi and the AGM . A study in analytic number theory and computational complexity . Reprint of theoriginal . Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts , A Wiley-Interscience Publication . John Wiley & Sons , Inc . , New York , xvi+414 pp. Zoltán Daróczy , Zsolt Páles , Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem . Publ . Math. Debrecen1-2218. Fordítás Középértékek