Feltételes várható érték
A valószínűségszámításban egy valószínűségi változó feltételes várható értéke a várható érték, feltéve, hogy bekövetkezik egy adott  esemény. Ha véges sok kimenetel lehetséges, akkor ez azt jelenti, hogy csak bizonyos értékeket vehet fel. Formálisabban, az esemény és komplementere particionálja a valószínűségi mezőt.

Több valószínűségi változó esetén, egy valószínűségi változó várható értékben független egyenként vagy együttesen akkor és csak akkor, ha a feltételes várható értéke megegyezik a feltétel nélküli várható értékkel.

A feltételes várható érték szintén valószínűségi változó, de elemi esemény mint feltétel esetén elfajult eloszlású, vagyis konstans.

A fogalom általánosítható minden valószínűségi mezőre a mértékelmélet felhasználásával.

A modern valószínűségszámításban a feltételes valószínűség definiálására használják.

Példák
1. példa:
Tekintsünk egy szabályos dobókockát! Legyen az A esemény az, hogy páros számot dobunk, tehát a kimenetel 2, 4, vagy 6; a B esemény az, hogy az eredmény prímszám, azaz 2, 3 vagy 5. A táblázatban az esemény bekövetkeztét 1, be nem következését 0 jelöli.

Az A esemény feltétel nélküli várható értéke . Az A feltéve B (jelben A|B) esemény várható értéke  , míg  a B komplementer eseményén. Hasonlóan, E(B|A) értéke , és .

2. példa: Tegyük fel, hogy van egy 10 éves adatsor az időjárásról! Ekkor meg lehet nézni az átlagos napi csapadékmennyiséget (tapasztalati feltétlen várható érték), az év egy szakaszában számított átlagos napi csapadékmennyiséget vagy az év egy bizonyos napjára jutó napi csapadékmennyiséget (tapasztalati feltételes várható értékek). A feltétlen esethez 3652 napi átlagot, március hónaphoz 310 napi átlagot, március 2-ához 10 napi átlagot kell figyelembe venni.

Klasszikus definíció

Eseményre vett feltételes várható érték
A klasszikus valószínűségszámításban egy  valószínűségi változó feltéve egy  esemény  átlaga  összes kimenetelére,
azaz

ahol  a  elemszáma.  lehet az, hogy egy másik  valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel, azaz .

A fenti összeg csoportosítható  értékei szerint, vagyis -en összegzünk, ami  lehetséges kimeneteleinek halmaza:

Általában, ha a  esemény valószínűsége pozitív, akkor hasonló formula teljesül. Külön figyelmet kap az a speciális lehetőség, ha a  azt jelzi, hogy egy másik  valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel, azaz . Legyen  valószínűségi mező,  valószínűségi változó ezen, és legyen . Ekkor  feltételes várható értéke feltéve, hogy , nem más, mint

ahol  az   lehetséges kimenetelei, és  a valószínűségi mérték, és minden  mérhető halmazra   feltételes valószínűsége feltéve .

Ha   és  egy  esemény, akkor a fenti definíció nem terjeszthető ki, habár más számítási módszerekkel egy érték kiszámítható. A Borel–Kolmogorov-paradoxon mutatja, hogy a feltételes valószínűség, így a feltételes várható érték nem határozható meg a definíció alapján. A megoldás a σ-algebrára és a valószínűségi változóra való kiterjesztés, amiből egy olyan definíció adódik, amivel ekkor is meghatározható a feltételes várható érték.

Valószínűségi változóra  vett feltételes várható érték
Ha  diszkrét valószínűségi változó ugyanazon az  valószínűségi mezőn, mint , és lehetséges kimenetelei  , akkor  feltételes várható értéke feltéve  egy  valószínűségi változó -on, melynek definíciója

Egy kapcsolódó -ből -ba menő függvény definíciója

Ez a függvény az  valószínűségi változó feltételes várható értéke az  által generált σ-algebrára. A két függvény kapcsolata

Ahogy fentebb említettük, ha  folytonos valószínűségi változó, akkor nem lehet definiálni  -et ezen a módon. A Borel–Kolmogorov-paradoxon szerint meg kell határozni, hogy mely  korlátozó procedúra hozza létre az Y = y egyenlőséget. Ha az  eseménytérnek van távolságfüggvénye, akkor eljárhatunk a következőképpen. Feltéve, hogy minden   P-mérhető és  minden  esetén. Ekkor az  szerinti feltételes várható érték jóldefiniált. Az  korláttal a nullához tartva definiálhatjuk, hogy

A korlátozó folyamatot a Radon–Nikodym-deriválttal helyettesítve egy általánosabb analóg definícióhoz jutunk.

Formális definíció

Feltételes várható érték rész-σ-algebrára

Tekintsük a következőket:
  valószínűségi mező.
  valószínűségi változó ezen a valószínűségi mezőn, és várható értéke véges.
  egy al-σ-algebrája -nek.

Mivel  részalgebrája -nek, azért az  függvény nem feltétlenül -mérhető. Ezért nem biztosított az  integrál létezése,
ahol  és   leszűkítése -ra. Azonban a lokális  átlagok meghatározhatók -ban, a feltételes várható érték használatával.  feltételes várható értéke adott  -ra, amit  jelöl, egy -mérhető  függvény, ami minden   esetén teljesíti azt, hogy

 létezése könnyen megmutatható, ha észrevesszük, hogy  véges mérték -n, ha , ami abszolút folytonos -re. Ha  a természetes beágyazása  -nak -be, akkor
   leszűkítése -ra, és   leszűkítése -ra. Továbbá,  abszolút folytonos -re, hiszen abból, hogy

következik, hogy

Tehát

ahol a deriváltak Radon–Nikodym-deriváltak.

Feltételes várható érték valószínűségi változóra
A fentiek mellett legyen még:
  mérhető tér,
  valószínűségi változó.

Legyen  -mérhető függvény úgy, hogy minden  -mérhető függvényre 

Ekkor a  valószínűségi változó  feltételes várható értéke egy adott  valószínűségi változóra. Jelölése: .

Ez a definíció ekvivalens  al--terére, amit  szerinti ősképe definiál. Hogyha definiáljuk, hogy

akkor

.

Diszkusszió
 A definíció nem konstruktív, csak megadtuk a szükséges tulajdonságot, aminek a feltételes várható értéknek meg kell felelnie. 
 Az  definíciója hasonlít a  definícióra egy   eseménnyel, azonban ezek nem ugyanazok. Az előbbi egy -mérhető -függvény, az utóbbi  egy eleme. Az előbb kiértékelése -n az utóbbit adja.
 A követelmények nem garantálják a feltételes várható értéket. Létezésére a Radon–Nikodym-tétel ad kritériumokat. Egy elégséges feltétel, hogy  várható értéke létezik.
 Az egyértelműség majdnem biztos: A különböző feltételes várható értékek csak nulla valószínűségű halmazban különböznek.
 A  σ-algebra jellemzi a feltételezés szemcsézettségét. Egy nagyobb (finomabb)  σ-algebra fölött több esemény valószínűségét őrzi meg. Egy szűkebb (durvább) σ-algebra több eseményt átlagol.

Kiszámítása
Ha  és  diszkrét valószínűségi változó, akkor  feltételes várható értéke az  Y = y eseményre tekinthető  függvényének  lehetséges kimeneteleinek halmazán:

ahol  az  lehetséges kimeneteleinek halmaza.

Ha   folytonos, viszont  diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az  Y = y eseményre

ahol , és  az  és  közös tömegfüggvénye.

Ha  és  folytonos valószínűségi változó, akkor  feltételes várható értéke az  Y = y eseményre

ahol  és  az  sűrűségfüggvénye.

Tulajdonságok
Az alábbi tulajdonságok majdnem biztosak, és a  -algebra helyett mindenütt vehető  valószínűségi változó.

Alapvető tulajdonságok
Linearitás: 
 és

, ha .

Pozitivitás: ha , akkor .

Monotonitás: Ha , akkor .

Ha  -mérhető, akkor .

Ha  valószínűségi változó, akkor .

Teljes várható érték tétele: .

Függetlenség
Ha  független -tól, akkor .

Ugyanis, ha , akkor  független -től, így

Tehát a definíciónak megfelel egy  konstans valószínűségi változó, ahogy azt akartuk.

Ha  független -tól, akkor . Ez nem feltétlenül teljesül, ha  csak -tól vagy -tól független.

Ha  független, és  független, továbbá  és  független és  és  független, akkor .

Doob-féle feltételes függetlenségi tulajdonság: Ha  feltételesen független egy adott -re, akkor  (vagy ekvivalensen, ).

Stabilitás
Ha  -mérhető, akkor .

Ha  valószínűségi változó, . Más alakban, .

Torony tulajdonság
A  rész--algebrákra .

Speciális esetben, ha  -mérhető valószínűségi változó, akkor , így .

Doob-féle martingál tulajdonság: Legyenek, mint előbb, és legyen , ami -mérhető, ekkor  felhasználásával .

Ha  valószínűségi változó, akkor .

Ha  valószínűségi változó, akkor .

Konvergencia
Monoton konvergencia tétele: Ha , akkor .

Dominált konvergencia: Ha  és , ahol , akkor .

Fatou-lemma: Ha , akkor .

Martingál konvergencia tétele: Ha  valószínűségi változó véges várható értékkel, akkor , ha  rész--algebrák növekvő sorozata és  vagy ha   rész--algebrák csökkenő sorozata és .

Jensen-egyenlőtlenség
A Jensen-egyenlőtlenség szerint, ha  konvex függvény, akkor .

Projekció
A feltételes operátor kontrakciós vetülete az . Lp-tereknek.  Vagyis,  minden p ≥ 1-re.

A feltételes várható érték mint -projekció: Ha  a négyzetesen integrálható valós valószínűségi változók terének Hilbert-terének eleme, azaz második momentuma véges, akkor:

az  leképezés önadjungált,

ha  -mérhető, akkor , vagyis az  feltételes várható érték az  szerinti értelemben az  ortogonális projekciója mint skaláris szorzat a -mérhető függvények alterében. Emiatt használható a Hilbert-féle projekciótétel alapján definiálható és bizonyítható a feltételes várható érték.

Számítások

Az  valószínűségi változó várható értékét akarjuk kiszámolni, amennyiben tudjuk, hogy egy  esemény bekövetkezik.

Legyen  valószínűségi mező,  valószínűségi változó és  esemény, ha , akkor .

A definíció értelmezése a feltételes valószínűség alapján: , ahol a feltételes valószínűség definíciója szerint , a várható értékben lévő valószínűségre alkalmazva , tehát ez a valószínűség csak akkor nem 0, ha .

Ezért csak az  eseményen integrálunk, viszont  esetén  és a mérték szerinti integrál definíciója szerint . Ezt alkalmazva .

A feltételes várható érték tulajdonságai:
lineáris: 
ha , akkor .

Az  valószínűségi változó várható értékét akarjuk kiszámolni, amennyiben tudjuk, hogy egy  -algebrában lévő események bekövetkeznek.

Legyen  valószínűségi mező,  valószínűségi változó és  -algebra, ha  ekkor létezik olyan  valószínűségi változó, amely  mérhető és minden  esemény esetén .

Feltételes szórás
A feltételes várható érték segítségével definiálható feltételes szórás is. A képletekben szórás helyett szórásnégyzet szerepel:

Definíció: 

Algebrai képlet: 

Teljes szórás tétele: .

Története
A feltételes valószínűség fogalmát Laplace vezette be, aki feltételes eloszlásokat számított.  Andrej Kolmogorov 1933-ban formalizálta a Radon–Nikodym-tétellel.Halmos Pál  és  Joseph L. Doob
 1953-ban általánosította a ma is használt fogalmat al-σ-algebrákkal.

Jegyzetek

Források
 William Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol 1, 1950, page 223
 Paul A. Meyer, Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co., 1966, page 28
 , pages 67–69

Fordítás

Valószínűségszámítás
A valószínűségszámításban egy valószínűségi változó feltételes várható értéke a várható érték , feltéve , hogy bekövetkezik egy adott esemény . Ha véges sok kimenetel lehetséges , akkor ez azt jelenti , hogy csak bizonyos értékeket vehet fel . Formálisabban , az esemény és komplementere particionálja a valószínűségi mezőt . Több valószínűségi változó esetén , egy valószínűségi változó várható értékben független egyenként vagy együttesen akkor és csak akkor , ha a feltételes várható értéke megegyezik a feltétel nélküli várható értékkel . A feltételes várható érték szintén valószínűségi változó , de elemi esemény mint feltétel esetén elfajult eloszlású , vagyis konstans . A fogalom általánosítható minden valószínűségi mezőre a mértékelmélet felhasználásával . A modern valószínűségszámításban a feltételes valószínűség definiálására használják . Példák 1. példa : Tekintsünk egy szabályos dobókockát ! Legyen az A esemény az , hogy páros számot dobunk , tehát a kimenetel vagy a B esemény az , hogy az eredmény prímszám , azazvagy A táblázatban az esemény bekövetkeztét be nem következésétjelöli . Az A esemény feltétel nélküli várható értéke \ . Az A feltéve B ( jelben A|B ) esemény várható értéke , míg a B komplementer eseményén . Hasonlóan , E( B|A ) értéke , és \ . 2. példa : Tegyük fel , hogy van egyéves adatsor az időjárásról ! Ekkor meg lehet nézni az átlagos napi csapadékmennyiséget ( tapasztalati feltétlen várható érték ) , az év egy szakaszában számított átlagos napi csapadékmennyiséget vagy az év egy bizonyos napjára jutó napi csapadékmennyiséget ( tapasztalati feltételes várható értékek ) . A feltétlen esetheznapi átlagot , március hónaphoznapi átlagot , márciusáhoznapi átlagot kell figyelembe venni . Klasszikus definíció Eseményre vett feltételes várható érték A klasszikus valószínűségszámításban egy valószínűségi változó feltéve egy esemény átlaga összes kimenetelére , azaz ahol a elemszáma. lehet az , hogy egy másik valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel , azaz \ . A fenti összeg csoportosítható értékei szerint , vagyis -en összegzünk , ami lehetséges kimeneteleinek halmaza : Általában , ha a esemény valószínűsége pozitív , akkor hasonló formula teljesül . Külön figyelmet kap az a speciális lehetőség , ha a azt jelzi , hogy egy másik valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel , azaz \ . Legyen valószínűségi mező , valószínűségi változó ezen , és legyen \ . Ekkor feltételes várható értéke feltéve , hogy , nem más , mint ahol az lehetséges kimenetelei , és a valószínűségi mérték , és minden mérhető halmazra feltételes valószínűsége feltéve \ . Ha és egy esemény , akkor a fenti definíció nem terjeszthető ki , habár más számítási módszerekkel egy érték kiszámítható . A Borel–Kolmogorov-paradoxon mutatja , hogy a feltételes valószínűség , így a feltételes várható érték nem határozható meg a definíció alapján . A megoldás a σ-algebrára és a valószínűségi változóra való kiterjesztés , amiből egy olyan definíció adódik , amivel ekkor is meghatározható a feltételes várható érték . Valószínűségi változóra vett feltételes várható érték Ha diszkrét valószínűségi változó ugyanazon az valószínűségi mezőn , mint , és lehetséges kimenetelei , akkor feltételes várható értéke feltéve egy valószínűségi változó -on , melynek definíciója Egy kapcsolódó -ből -ba menő függvény definíciója Ez a függvény az valószínűségi változó feltételes várható értéke az által generált σ-algebrára . A két függvény kapcsolata Ahogy fentebb említettük , ha folytonos valószínűségi változó , akkor nem lehet definiálni -et ezen a módon . A Borel–Kolmogorov-paradoxon szerint meg kell határozni , hogy mely korlátozó procedúra hozza létre az Y = y egyenlőséget . Ha az eseménytérnek van távolságfüggvénye , akkor eljárhatunk a következőképpen . Feltéve , hogy minden P-mérhető és minden esetén . Ekkor az szerinti feltételes várható érték jóldefiniált . Az korláttal a nullához tartva definiálhatjuk , hogy A korlátozó folyamatot a Radon–Nikodym-deriválttal helyettesítve egy általánosabb analóg definícióhoz jutunk . Formális definíció Feltételes várható érték rész-σ-algebrára Tekintsük a következőket : valószínűségi mező. valószínűségi változó ezen a valószínűségi mezőn , és várható értéke véges. egy al-σ-algebrája -nek . Mivel részalgebrája -nek , azért az függvény nem feltétlenül -mérhető . Ezért nem biztosított az integrál létezése , ahol és leszűkítése -ra . Azonban a lokális átlagok meghatározhatók -ban , a feltételes várható érték használatával . feltételes várható értéke adott -ra , amit jelöl , egy -mérhető függvény , ami minden esetén teljesíti azt , hogy létezése könnyen megmutatható , ha észrevesszük , hogy véges mérték -n , ha , ami abszolút folytonos -re . Ha a természetes beágyazása -nak -be , akkor leszűkítése -ra , és leszűkítése -ra . Továbbá , abszolút folytonos -re , hiszen abból , hogy következik , hogy Tehát ahol a deriváltak Radon–Nikodym-deriváltak . Feltételes várható érték valószínűségi változóra A fentiek mellett legyen még : mérhető tér , valószínűségi változó . Legyen -mérhető függvény úgy , hogy minden -mérhető függvényre Ekkor a valószínűségi változó feltételes várható értéke egy adott valószínűségi változóra . Jelölése : \ . Ez a definíció ekvivalens al--terére , amit szerinti ősképe definiál . Hogyha definiáljuk , hogy akkor . Diszkusszió A definíció nem konstruktív , csak megadtuk a szükséges tulajdonságot , aminek a feltételes várható értéknek meg kell felelnie . Az definíciója hasonlít a definícióra egy eseménnyel , azonban ezek nem ugyanazok . Az előbbi egy -mérhető -függvény , az utóbbi egy eleme . Az előbb kiértékelése -n az utóbbit adja . A követelmények nem garantálják a feltételes várható értéket . Létezésére a Radon–Nikodym-tétel ad kritériumokat . Egy elégséges feltétel , hogy várható értéke létezik . Az egyértelműség majdnem biztos : A különböző feltételes várható értékek csak nulla valószínűségű halmazban különböznek . A σ-algebra jellemzi a feltételezés szemcsézettségét . Egy nagyobb ( finomabb ) σ-algebra fölött több esemény valószínűségét őrzi meg . Egy szűkebb ( durvább ) σ-algebra több eseményt átlagol . Kiszámítása Ha és diszkrét valószínűségi változó , akkor feltételes várható értéke az Y = y eseményre tekinthető függvényének lehetséges kimeneteleinek halmazán : ahol az lehetséges kimeneteleinek halmaza . Ha folytonos , viszont diszkrét valószínűségi változó , akkor a feltételes várható érték az Y = y eseményre ahol , és az és közös tömegfüggvénye . Ha és folytonos valószínűségi változó , akkor feltételes várható értéke az Y = y eseményre ahol és az sűrűségfüggvénye . Tulajdonságok Az alábbi tulajdonságok majdnem biztosak , és a -algebra helyett mindenütt vehető valószínűségi változó . Alapvető tulajdonságok Linearitás : és ha\ . Pozitivitás : ha , akkor \ . Monotonitás : Ha , akkor \ . Ha -mérhető , akkor \ . Ha valószínűségi változó , akkor \ . Teljes várható érték tétele : \ . Függetlenség Ha független -tól , akkor \ . Ugyanis , ha , akkor független -től , így Tehát a definíciónak megfelel egy konstans valószínűségi változó , ahogy azt akartuk . Ha független -tól , akkor \ . Ez nem feltétlenül teljesül , ha csak -tól vagy -tól független . Ha független , és független , továbbá és független és és független , akkor \ . Doob-féle feltételes függetlenségi tulajdonság : Ha feltételesen független egy adott -re , akkor ( vagy ekvivalensen , ) . Stabilitás Ha -mérhető , akkor \ . Ha valószínűségi változó , \ . Más alakban , \ . Torony tulajdonság A rész--algebrákra \ . Speciális esetben , ha -mérhető valószínűségi változó , akkor , így \ . Doob-féle martingál tulajdonság : Legyenek , mint előbb , és legyen , ami -mérhető , ekkor felhasználásával \ . Ha valószínűségi változó , akkor \ . Ha valószínűségi változó , akkor \ . Konvergencia Monoton konvergencia tétele : Ha , akkor \ . Dominált konvergencia : Ha és , ahol , akkor \ . Fatou-lemma : Ha , akkor\ . Martingál konvergencia tétele : Ha valószínűségi változó véges várható értékkel , akkor , ha rész--algebrák növekvő sorozata és vagy ha rész--algebrák csökkenő sorozata és \ . Jensen-egyenlőtlenség A Jensen-egyenlőtlenség szerint , ha konvex függvény , akkor \ . Projekció A feltételes operátor kontrakciós vetülete az \ . Lp-tereknek . Vagyis , minden p ≥ 1-re . A feltételes várható érték mint -projekció : Ha a négyzetesen integrálható valós valószínűségi változók terének Hilbert-terének eleme , azaz második momentuma véges , akkor : az leképezés önadjungált , ha -mérhető , akkor , vagyis az feltételes várható érték az szerinti értelemben az ortogonális projekciója mint skaláris szorzat a -mérhető függvények alterében . Emiatt használható a Hilbert-féle projekciótétel alapján definiálható és bizonyítható a feltételes várható érték . Számítások Az valószínűségi változó várható értékét akarjuk kiszámolni , amennyiben tudjuk , hogy egy esemény bekövetkezik . Legyen valószínűségi mező , valószínűségi változó és esemény , ha , akkor \ . A definíció értelmezése a feltételes valószínűség alapján : , ahol a feltételes valószínűség definíciója szerint , a várható értékben lévő valószínűségre alkalmazva , tehát ez a valószínűség csak akkor nem ha\ . Ezért csak az eseményen integrálunk , viszont esetén és a mérték szerinti integrál definíciója szerint \ . Ezt alkalmazva \ . A feltételes várható érték tulajdonságai : lineáris : ha , akkor \ . Az valószínűségi változó várható értékét akarjuk kiszámolni , amennyiben tudjuk , hogy egy -algebrában lévő események bekövetkeznek . Legyen valószínűségi mező , valószínűségi változó és -algebra , ha ekkor létezik olyan valószínűségi változó , amely mérhető és minden esemény esetén \ . Feltételes szórás A feltételes várható érték segítségével definiálható feltételes szórás is . A képletekben szórás helyett szórásnégyzet szerepel : Definíció : Algebrai képlet : Teljes szórás tétele : \ . Története A feltételes valószínűség fogalmát Laplace vezette be , aki feltételes eloszlásokat számított . Andrej Kolmogorovban formalizálta a Radon–Nikodym-tétellel.Halmos Pál és Joseph L. Doob ban általánosította a ma is használt fogalmat al-σ-algebrákkal . Jegyzetek Források William Feller , An Introduction to Probability Theory and its Applications , vol page Paul A . Meyer , Probability and Potentials , Blaisdell Publishing Co . , page , pages69 Fordítás Valószínűségszámítás