Euklideszi gyűrű
Az euklideszi gyűrű a számelmélet és az algebra egyik speciális fogalma. Lényegében egy olyan gyűrű, amiben a maradékos osztás, más néven euklideszi osztás tétele igaz. Utóbbinak feltétele, hogy egy speciális függvény, az euklideszi norma legyen értelmezve a gyűrűn.

Az euklideszi gyűrűk lényeges szerepet játszanak az algebrában, mivel számos „jó” tulajdonságuk van, például teljesül bennük a számelmélet alaptétele.

Definíció
Egy R integritástartományt euklideszi gyűrűnek nevezünk, ha benne norma értelmezhető, azaz
,
valamint minden  és  számmal elvégezhető a maradékos osztás, azaz
. Bizonyítható, hogy ha ez létezik, akkor egyértelmű.

Példák

Az alábbiak euklideszi gyűrűk, ez általában könnyen ellenőrizhető.
 Az egész számok gyűrűje a hagyományos abszolút értékkel, mint normával ellátva. A definíció első felének teljesülése könnyen ellenőrizhető, a maradékos osztás pedig eredetileg pont itt volt megfogalmazva, ezért mondhatni definíció szerint teljesül.
 Ha  test, akkor a felette lévő  polinomgyűrű a fokszám-normával ellátva euklideszi. Itt a fokszám-normát a következő módon definiáljuk:

Egyszerűen ellenőrizhető, hogy ez kielégíti a normára kirótt feltételeket, figyelembe véve, hogy a polinomgyűrűben az egységek éppen a gyűrű alatti test elemei. Már csak az euklideszi osztást kell igazolni. Legyen . Az euklideszi osztás azt jelenti, hogy , hogy  és . Ha , akkor . Egyébként legyen , és . Így a  polinomok szigorúan csökkenú fokszám-normájú sorozatát kapjuk, tehát lesz olyan , hogy . Ekkor a  és  polinomok teljesítik a feltételünket, erről visszaszorzással meggyőződhetünk.
 A Gauss-egészek gyűrűje az euklideszi normával. A normafeltétel teljesülése egyszerűen belátható, a maradékos osztás kissé nehézkesebb. Legyen . Olyan  számokat keresünk, hogy . Ha ezt átalakítjuk kissé, akkor kapjuk, hogy , ebből pedig az euklideszi osztás feltétele miatt következik, hogy . Az egyenlőség miatt , ami jó is lesz maradéknak. Legyen tehát , és keressünk olyan  számokat, hogy , valamint , azaz legyenek a legközelebbi egészek.Ezek biztosan léteznek az egész számok jólrendezettsége miatt. Ha pedig , akkor készen is vagyunk, mivel .
Végtelen ciklikus csoport test feletti csoportgyűrűje is euklideszi.

Tulajdonságok

 Minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is. Ez azonban fordítva nem igaz.
 Bizonyítás: Legyen  a gyűrű egy ideálja, és  a legkisebb nem nulla normájú eleme. Azt kell belátni, hogy , azaz a gyűrű minden ideálja főideál. A  nyilvánvalóan igaz, mivel  tartalmazza  minden többszörösét. Válasszunk egy tetszőleges  elemet -ből. Erre igaz a gyűrű definíciója miatt, hogy , ahol . Ezért , azaz , és mivel  minimális volt, ezért  lehetséges csak. Ezért , emiatt . A fordítottjára példa az  gyűrű, ami főideálgyűrű, de nem euklideszi.
 Érvényes a számelmélet alaptétele. Azonban attól, hogy egy gyűrűben teljesül ez a tétel, még nem lesz euklideszi.
 Az euklideszi gyűrűkben minden irreducibilis elem egyben prímtulajdonságú is. E tulajdonság miatt fordulhat elő az a furcsaság, hogy az iskolában a prímszámokat az irreducibilitás kijelentésével definiálják.
 Minden elempárnak létezik legnagyobb közös osztója. Ez könnyen belátható az euklideszi algoritmus alkalmazásával.

További információk 
 Alice és Bob - 17. rész: Alice és Bob ókori haverja
 Alice és Bob - 21. rész: Alice és Bob titkosít

Források

Gyűrűelmélet
Kommutatív algebra
Az euklideszi gyűrű a számelmélet és az algebra egyik speciális fogalma . Lényegében egy olyan gyűrű , amiben a maradékos osztás , más néven euklideszi osztás tétele igaz . Utóbbinak feltétele , hogy egy speciális függvény , az euklideszi norma legyen értelmezve a gyűrűn . Az euklideszi gyűrűk lényeges szerepet játszanak az algebrában , mivel számos „ jó” tulajdonságuk van , például teljesül bennük a számelmélet alaptétele . Definíció Egy R integritástartományt euklideszi gyűrűnek nevezünk , ha benne norma értelmezhető , azaz valamint minden és számmal elvégezhető a maradékos osztás , azaz . Bizonyítható , hogy ha ez létezik , akkor egyértelmű . Példák Az alábbiak euklideszi gyűrűk , ez általában könnyen ellenőrizhető . Az egész számok gyűrűje a hagyományos abszolút értékkel , mint normával ellátva . A definíció első felének teljesülése könnyen ellenőrizhető , a maradékos osztás pedig eredetileg pont itt volt megfogalmazva , ezért mondhatni definíció szerint teljesül . Ha test , akkor a felette lévő polinomgyűrű a fokszám-normával ellátva euklideszi . Itt a fokszám-normát a következő módon definiáljuk : Egyszerűen ellenőrizhető , hogy ez kielégíti a normára kirótt feltételeket , figyelembe véve , hogy a polinomgyűrűben az egységek éppen a gyűrű alatti test elemei . Már csak az euklideszi osztást kell igazolni . Legyen \ . Az euklideszi osztás azt jelenti , hogy , hogy és \ . Ha , akkor \ . Egyébként legyen , és \ . Így a polinomok szigorúan csökkenú fokszám-normájú sorozatát kapjuk , tehát lesz olyan , hogy \ . Ekkor a és polinomok teljesítik a feltételünket , erről visszaszorzással meggyőződhetünk . A Gauss-egészek gyűrűje az euklideszi normával . A normafeltétel teljesülése egyszerűen belátható , a maradékos osztás kissé nehézkesebb . Legyen \ . Olyan számokat keresünk , hogy \ . Ha ezt átalakítjuk kissé , akkor kapjuk , hogy , ebből pedig az euklideszi osztás feltétele miatt következik , hogy \ . Az egyenlőség miatt , ami jó is lesz maradéknak . Legyen tehát , és keressünk olyan számokat , hogy , valamint , azaz legyenek a legközelebbi egészek. Ezek biztosan léteznek az egész számok jólrendezettsége miatt . Ha pedig , akkor készen is vagyunk , mivel \ . Végtelen ciklikus csoport test feletti csoportgyűrűje is euklideszi . Tulajdonságok Minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is . Ez azonban fordítva nem igaz . Bizonyítás : Legyen a gyűrű egy ideálja , és a legkisebb nem nulla normájú eleme . Azt kell belátni , hogy , azaz a gyűrű minden ideálja főideál . A nyilvánvalóan igaz , mivel tartalmazza minden többszörösét . Válasszunk egy tetszőleges elemet -ből . Erre igaz a gyűrű definíciója miatt , hogy , ahol \ . Ezért , azaz , és mivel minimális volt , ezért lehetséges csak . Ezért , emiatt \ . A fordítottjára példa az gyűrű , ami főideálgyűrű , de nem euklideszi . Érvényes a számelmélet alaptétele . Azonban attól , hogy egy gyűrűben teljesül ez a tétel , még nem lesz euklideszi . Az euklideszi gyűrűkben minden irreducibilis elem egyben prímtulajdonságú is . E tulajdonság miatt fordulhat elő az a furcsaság , hogy az iskolában a prímszámokat az irreducibilitás kijelentésével definiálják . Minden elempárnak létezik legnagyobb közös osztója . Ez könnyen belátható az euklideszi algoritmus alkalmazásával . További információk Alice és Bob - rész : Alice és Bob ókori haverja Alice és Bob - rész : Alice és Bob titkosít Források Gyűrűelmélet Kommutatív algebra