Collatz-sejtés
A Collatz-sejtés egy máig megoldatlan probléma a matematikában. Több más néven is ismert, például Ulam-sejtés vagy 3n+1 probléma. A sejtés a nevét Lothar Collatzról kapta, aki 1937-ben fogalmazta meg azt.

A probléma a következő: Tetszőleges pozitív egész számból kiindulva képezzünk végtelen sorozatot úgy, hogy ha a sorozat utoljára kiszámított eleme páros, akkor a rákövetkező elem ennek fele lesz, különben viszont a háromszorosánál eggyel nagyobb szám. Például ha a 7-ből indulunk ki (amely páratlan), akkor a rákövetkező elem , amely páros, így a következő elem a 22 fele, azaz 11 lesz. Tovább folytatva a szabály alkalmazását a 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... sorozatot kapjuk. Látható, hogy innentől a végtelenségig ismétlődik a 4, 2, 1 számhármas. Különböző számokból kiindulva azt tapasztaljuk, hogy újra meg újra olyan sorozatokat kapunk, amelyek a 4, 2, 1 számhármas végtelen ismétlődésébe torkollnak. A Collatz-sejtés azt mondja ki, hogy ez mindig így van: akármilyen pozitív számmal is kezdjük a sorozat képzését, a végén mindig a 4, 2, 1 ciklusba futunk bele. Egyelőre megoldatlan probléma annak eldöntése, hogy a sejtés helyes-e.

A sejtés megfogalmazása
Legyen  egy tetszőleges pozitív egész szám. A sorozat szabálya a következő:

A sejtés szerint a sorozat egy -tól függő  értéktől kezdve ugyanazt a ciklust fogja ismételni minden kiindulási érték esetén: . Azt a legkisebb számot, amitől kezdve ismétlődik a sorozat, megállási időnek nevezzük. Így a sejtés átfogalmazható: A fenti rekurziós képlet esetén minden -ra van megállási idő.

Ha a sejtés hamis, akkor két lehetőségünk van:
 a sorozat olyan ciklusba fut bele, ami nem tartalmazza az 1-et;
 a sorozat minden határon túl növekszik.

Példák

 esetén a sorozat: 

 esetén a sorozat kissé hosszabb: , és, mint látható, egészen 160-ig növekszik.

Ha az indulási szám 2-hatvány, a sorozat megállási ideje kicsi lesz, egészen pontosan , mivel csak a felezési iteráció történik meg. Ellenben Mersenne-prímek esetén először  alkalommal növekedni fog a sorozat -ről indulva, mielőtt csökkenne.

Ciklusok

A ciklusok olyan szám-n-esek, amelyek periodikusan ismétlődnek. A  ciklus triviális, a sejtés szerint minden sorozat tartalmazza.

A pontos definíció szerint -ból kiindulva az n-ciklus azt jelenti, hogy . Ha van ilyen ciklus, akkor a sejtés hamis.

A "rövidített" definíciója a ciklusoknak a következő:

Páratlan szám után ugyanis mindig páros következik. Így a ciklusokat a következőképpen jelölhetjük: , mivel .

Ebben az esetben  növekedés után ugyanennyi csökkenés következik be, ezt k-ciklusnak nevezzük. A triviális ciklus az , ezt 1-ciklusnak nevezzük. Ez az egyetlen ismert ciklus, így a sejtés másik formája. 1977-ben Steiner igazolta, hogy kizárólag ez az 1-ciklus létezik. A bizonyítást felhasználva Simons igazolta 2000-ben, hogy nincs 2-ciklus. 2003-ban Simons és de Weger igazolta, hogy nincsen k-ciklus, ha .

Vizsgálatok

A legtöbb matematikus szerint a sejtés igaz, erre utalnak a kísérleti vizsgálatok.

Kísérleti tapasztalatok

Számítógépes módszerekkel a sejtést igazolták minden  egészre. Ez magában nem jelenti a sejtés valószínűségének növekedését, mivel csak véges sok esetet lehet megvizsgálni a végtelen sokból. Előfordulhat ugyanis, hogy extrém nagy számok esetén találnak ellenpéldát, mint az történt például a Pólya-sejtés esetén. Éppen ezért a kérdést a kísérleti tapasztalatok nem támasztják alá megnyugtató módon.

Valószínűségi heurisztika

Ha csak a páratlan számokat vizsgáljuk a sorozatban, az egymást követő számok hányadosa körülbelül 3/4. Ez arra utal. hogy a sorozat egy idő után csökkenni kezd. Természetesen mindez csak a divergenciát cáfolja, a sejtést nem igazolja. Ez alapján annyit lehet mondani, hogy a sejtés igazolódásának valószínűsége 1 bármely számra, ami nem jelenti azt, hogy minden számra igaz. (Ez egyszerűen a valószínűség tulajdonságaiból fakad.)

Szigorú határok

Bár szigorúan nem sikerült még belátni minden számra, hogy igaz rá a sejtés, igen sokra teljesül. Krasikov és Lagarias igazolta, hogy az  intervallumban az ilyen számok mennyisége arányos -nal.

Érdekességek

Collatz maga nagyon nehéznek ítélte a problémát, azért sokáig nem is publikálta, csak az ismerőseinek beszélt róla. Már 1929-ben részt vett Göttingenben többek között gráfokat is említő előadásokon, és a 30-as években megfogalmazott kérdéseket, de csak az ötvenes évekből említik, hogy a konkrét sejtést szóban emlegette más matematikusoknak, és az első publikációk csak az 1970-es évek elején születtek meg.

Erdős Pál szerint „a matematika nem áll készen az ilyen problémákra”. Ez nem akadályozta meg abban, hogy 500 dolláros díjat írjon ki a bizonyításáért.

B. Thwaites 1000 dollárt ajánlott fel a probléma megoldásáért.

John Horton Conway bebizonyította, hogy a sejtés általánosítása algoritmikusan eldönthetetlen probléma.

Shizuo Kakutani megemlékezik egy viccről, ami szerint a Collatz-sejtést azért találták ki, hogy lelassítsák az amerikai matematikai haladást. Erre példának hozta fel, hogy egyszer egy teljes hónapig a Yale egyetem minden matematikusa a sejtést próbálta bizonyítani.

Források

Sejtések
Számelmélet
A Collatz-sejtés egy máig megoldatlan probléma a matematikában . Több más néven is ismert , például Ulam-sejtés vagy+1 probléma . A sejtés a nevét Lothar Collatzról kapta , akiben fogalmazta meg azt . A probléma a következő : Tetszőleges pozitív egész számból kiindulva képezzünk végtelen sorozatot úgy , hogy ha a sorozat utoljára kiszámított eleme páros , akkor a rákövetkező elem ennek fele lesz , különben viszont a háromszorosánál eggyel nagyobb szám . Például ha aből indulunk ki ( amely páratlan ) , akkor a rákövetkező elem , amely páros , így a következő elem afele , azazlesz . Tovább folytatva a szabály alkalmazását a\... sorozatot kapjuk . Látható , hogy innentől a végtelenségig ismétlődik aszámhármas . Különböző számokból kiindulva azt tapasztaljuk , hogy újra meg újra olyan sorozatokat kapunk , amelyek aszámhármas végtelen ismétlődésébe torkollnak . A Collatz-sejtés azt mondja ki , hogy ez mindig így van : akármilyen pozitív számmal is kezdjük a sorozat képzését , a végén mindig aciklusba futunk bele . Egyelőre megoldatlan probléma annak eldöntése , hogy a sejtés helyes-e . A sejtés megfogalmazása Legyen egy tetszőleges pozitív egész szám . A sorozat szabálya a következő : A sejtés szerint a sorozat egy -tól függő értéktől kezdve ugyanazt a ciklust fogja ismételni minden kiindulási érték esetén : \ . Azt a legkisebb számot , amitől kezdve ismétlődik a sorozat , megállási időnek nevezzük . Így a sejtés átfogalmazható : A fenti rekurziós képlet esetén minden -ra van megállási idő . Ha a sejtés hamis , akkor két lehetőségünk van : a sorozat olyan ciklusba fut bele , ami nem tartalmazza azet ; a sorozat minden határon túl növekszik . Példák esetén a sorozat : esetén a sorozat kissé hosszabb : , és , mint látható , egészenig növekszik . Ha az indulási számhatvány , a sorozat megállási ideje kicsi lesz , egészen pontosan , mivel csak a felezési iteráció történik meg . Ellenben Mersenne-prímek esetén először alkalommal növekedni fog a sorozat -ről indulva , mielőtt csökkenne . Ciklusok A ciklusok olyan szám-n-esek , amelyek periodikusan ismétlődnek . A ciklus triviális , a sejtés szerint minden sorozat tartalmazza . A pontos definíció szerint -ból kiindulva az n-ciklus azt jelenti , hogy \ . Ha van ilyen ciklus , akkor a sejtés hamis . A " rövidített " definíciója a ciklusoknak a következő : Páratlan szám után ugyanis mindig páros következik . Így a ciklusokat a következőképpen jelölhetjük : , mivel \ . Ebben az esetben növekedés után ugyanennyi csökkenés következik be , ezt k-ciklusnak nevezzük . A triviális ciklus az , eztciklusnak nevezzük . Ez az egyetlen ismert ciklus , így a sejtés másik formája.ben Steiner igazolta , hogy kizárólag ez azciklus létezik . A bizonyítást felhasználva Simons igazoltaben , hogy nincsciklus.ban Simons és de Weger igazolta , hogy nincsen k-ciklus , ha\ . Vizsgálatok A legtöbb matematikus szerint a sejtés igaz , erre utalnak a kísérleti vizsgálatok . Kísérleti tapasztalatok Számítógépes módszerekkel a sejtést igazolták minden egészre . Ez magában nem jelenti a sejtés valószínűségének növekedését , mivel csak véges sok esetet lehet megvizsgálni a végtelen sokból . Előfordulhat ugyanis , hogy extrém nagy számok esetén találnak ellenpéldát , mint az történt például a Pólya-sejtés esetén . Éppen ezért a kérdést a kísérleti tapasztalatok nem támasztják alá megnyugtató módon . Valószínűségi heurisztika Ha csak a páratlan számokat vizsgáljuk a sorozatban , az egymást követő számok hányadosa körülbelül4. Ez arra utal . hogy a sorozat egy idő után csökkenni kezd . Természetesen mindez csak a divergenciát cáfolja , a sejtést nem igazolja . Ez alapján annyit lehet mondani , hogy a sejtés igazolódásának valószínűségebármely számra , ami nem jelenti azt , hogy minden számra igaz . ( Ez egyszerűen a valószínűség tulajdonságaiból fakad . ) Szigorú határok Bár szigorúan nem sikerült még belátni minden számra , hogy igaz rá a sejtés , igen sokra teljesül . Krasikov és Lagarias igazolta , hogy az intervallumban az ilyen számok mennyisége arányos -nal . Érdekességek Collatz maga nagyon nehéznek ítélte a problémát , azért sokáig nem is publikálta , csak az ismerőseinek beszélt róla . Márben részt vett Göttingenben többek között gráfokat is említő előadásokon , és aas években megfogalmazott kérdéseket , de csak az ötvenes évekből említik , hogy a konkrét sejtést szóban emlegette más matematikusoknak , és az első publikációk csak azes évek elején születtek meg . Erdős Pál szerint „ a matematika nem áll készen az ilyen problémákra” . Ez nem akadályozta meg abban , hogydolláros díjat írjon ki a bizonyításáért . B . Thwaitesdollárt ajánlott fel a probléma megoldásáért . John Horton Conway bebizonyította , hogy a sejtés általánosítása algoritmikusan eldönthetetlen probléma . Shizuo Kakutani megemlékezik egy viccről , ami szerint a Collatz-sejtést azért találták ki , hogy lelassítsák az amerikai matematikai haladást . Erre példának hozta fel , hogy egyszer egy teljes hónapig a Yale egyetem minden matematikusa a sejtést próbálta bizonyítani . Források Sejtések Számelmélet