Mellin-transzformáció
Az analízisben a Mellin-transzformáció egy Fourier-transzformációval rokon integráltranszformáció, amit a finn Hjalmar Mellin után neveztek el. A kétoldali Laplace-transzformáció multiplikatív verziója. Közeli kapcsolatban áll a Dirichlet-sorokkal. Gyakran használják a számelméletben, a statisztikában és az aszimptotikus kifejtések elméletében. Kapcsolódik a Fourier- és a Laplace-transzformációhoz, a gamma-függvényhez és a hozzá kapcsolódó speciális függvényekhez.

A Fourier- és a Laplace-transzformációkkal szemben a Mellin-transzformációt nem fizikai, hanem matematikai problémák megoldására fejlesztették ki. Először Bernhard Riemann-nál található meg, aki a zéta-függvényének vizsgálatához használta. A transzformáció, valamint inverzének megfogalmazását és rendszeres vizsgálatát R. Hjalmar Mellin kezdte meg. A speciális függvények elméletének keretében módszereket fejlesztett ki a hipergeometrikus differenciálegyenletek megoldására és az aszimptotikus sorfejlesztésre.

Definíció
Egy, a pozitív valós számokon definiált    függvény Mellin-transzformáltja:

a komplex s számokra, ahol az integrál konvergál. Az irodalomban a  tényezővel megszorzott Mellin-transzformáltat is használják, így

ahol  a gamma-függvény.

Inverz transzformáció
Az inverz transzformáció a komplex sík függőleges egyenesei mentén integrál:

ahol   f Mellin-transzformáltja, és  .

Az inverz transzformáció feltételei:
Az  integrál abszolút konvergens az  csíkokban
 analitikus az  csíkokban
Az  kifejezés nullához tart, ha  , és c egyenletesen tart 0-hoz
Az   függvény szakaszonként folytonos a pozitív valós tengely mentén, ahol a szakadási helyeken a kétoldali határérték számtani közepét kell venni (lépcsős függvény)

Kapcsolat a többi transzformációval
A Mellin-transzformáció közvetlenül kapcsolódik a Forurier-transzformációhoz. Ugyanis elvégezve az  helyettesítést   lesz, és  Fourier-transzformáltja , akkor
.

Megfordítva, :

A kétoldali Laplace-transzformáció definíciója a Mellin-transzformációval:

és megfordítva, a Mellin-transzformáció kifejezhető a kétoldali Laplace-transzformációval:

A Mellin-transzformáció értelmezhető egy  xs magfüggvény a multiplikatív Haar-függvény  szerint, ami invariáns a  dilatációra, így .

A kétoldali Laplace-transzformáció a  additív Haar-mérték szerint transzlációinvariáns, azaz  .

A Mellin-transzformáció összekapcsolja a Newton-sorokat vagy a binomiális transzformációt a Poisson-generátorfüggvénnyel, a Poisson–Mellin–Newton-ciklus által.

Példák

Dirichlet-sor
A Mellin-transzformációval egy  Dirichlet-sor és egy   hatványsor kapcsolatba hozható egymással. Legyenek
 és 

ugyanazokkal az  együtthatókkal. Ekkor
.

Ha itt minden  , akkor  a Riemann-féle zéta-függvény, és kapjuk a következőt:
.

Cahen–Mellin-integrál
Ha ,  és  a főágból, akkor

ahol a gamma-függvény. Ez az integrál ismert, mint Cahen-Mellin-integrál.

Számelmélet
A Mellin-transzformáció egy érdekes számelméleti alkalmazása az 

függvényhez kapcsolódik, amire 

feltéve, hogy

Izometria  L2-terekben

A Hilbert-terek elméletében a Mellin-transzformációt másként vezetik be. Az -tér függvényei esetén a fundamentális sávhoz mindig hozzátartozik , így  definíciója

azaz

Ezt az operátort gyakran csak mint  jelölik, és Mellin-transzformációnak nevezik, de cikkünkben megkülönböztetésként az  jelölést használjuk a továbbiakban. A Mellin-inverzió tétele szerint   invertálható, és inverze

Továbbá ez az operátor izometria, vagyis  minden -re. Emiatt szerepel a képletben az  tényező.

A valószínűségszámításban

A valószínűségszámításban a Mellin-transzformáció fontos eszköz a véletlen valószínűségi változók szorzatának eloszlásának vizsgálatához. Ha X véletlen valószínűségi változó, és pozitív része }, negatív része }, akkor Mellin-transzformáltja
 

ahol  γ a  formális határozatlanja. Ez a transzformáció létezik minden komplex s-re egy  } sávban, ahol  .

Az  Mellin-transzformált meghatározza a kiindulási X valószínűségi változó FX eloszlásfüggvényét. Kellemes a Mellin-transzformációnak az a tulajdonsága is, hogy ha X és Y független valószínűségi változók, akkor Mellin-transzformáltjaik összeszorzódnak:

Laplace-transzformáció hengerkoordináta-rendszerben
A Laplace-transzformáció hengeres koordináta-rendszerben így néz ki:

Két dimenzióban például

és három dimenzióban

Mellin-transzformációval ez a kifejezés egyszerűbben kezelhető, mivel:

Például a két dimenziós Laplace-egyenlet poláris koordináta-rendszerben:

beszorozva

sugármenti Mellin-transzformációval egyszerű harmonikus oszcillátorrá válik:

aminek általános megoldása:

Most vegyük figyelembe a peremfeltételt:

partikulárisan egyszerűsíti a Mellin-transzformáció:
.

Ezzel partikularizáljuk a megoldást:

A Mellin-transzformáció konvolúciótételével visszatérünk az eredeti feladathoz:

ahol az inverz transzformáció

ahol .

Alkalmazások
A számítástudományban elterjedten használják algoritmusok elemzésére skálainvarianciája miatt. Egy skálázott függvény Mellin-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredeti függvény. Ez analóg a Fourier-transzformáció eltolásinvarianciájával. Az időben eltolt függvény Fourier-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredetié.

Ez a tulajdonság hasznos a képfelismerésben. A kamera felé közelítő és attól távolodó kép közelítően skálázódik.

Források
 M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, .
 E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, .
 D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, .

 Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Jegyzetek

Fordítás 

Analízis
Az analízisben a Mellin-transzformáció egy Fourier-transzformációval rokon integráltranszformáció , amit a finn Hjalmar Mellin után neveztek el . A kétoldali Laplace-transzformáció multiplikatív verziója . Közeli kapcsolatban áll a Dirichlet-sorokkal . Gyakran használják a számelméletben , a statisztikában és az aszimptotikus kifejtések elméletében . Kapcsolódik a Fourier- és a Laplace-transzformációhoz , a gamma-függvényhez és a hozzá kapcsolódó speciális függvényekhez . A Fourier- és a Laplace-transzformációkkal szemben a Mellin-transzformációt nem fizikai , hanem matematikai problémák megoldására fejlesztették ki . Először Bernhard Riemann-nál található meg , aki a zéta-függvényének vizsgálatához használta . A transzformáció , valamint inverzének megfogalmazását és rendszeres vizsgálatát R. Hjalmar Mellin kezdte meg . A speciális függvények elméletének keretében módszereket fejlesztett ki a hipergeometrikus differenciálegyenletek megoldására és az aszimptotikus sorfejlesztésre . Definíció Egy , a pozitív valós számokon definiált függvény Mellin-transzformáltja : a komplex s számokra , ahol az integrál konvergál . Az irodalomban a tényezővel megszorzott Mellin-transzformáltat is használják , így ahol a gamma-függvény . Inverz transzformáció Az inverz transzformáció a komplex sík függőleges egyenesei mentén integrál : ahol f Mellin-transzformáltja , és \ . Az inverz transzformáció feltételei : Az integrál abszolút konvergens az csíkokban analitikus az csíkokban Az kifejezés nullához tart , ha , és c egyenletesen tarthoz Az függvény szakaszonként folytonos a pozitív valós tengely mentén , ahol a szakadási helyeken a kétoldali határérték számtani közepét kell venni ( lépcsős függvény ) Kapcsolat a többi transzformációval A Mellin-transzformáció közvetlenül kapcsolódik a Forurier-transzformációhoz . Ugyanis elvégezve az helyettesítést lesz , és Fourier-transzformáltja , akkor . Megfordítva , \ : A kétoldali Laplace-transzformáció definíciója a Mellin-transzformációval : és megfordítva , a Mellin-transzformáció kifejezhető a kétoldali Laplace-transzformációval : A Mellin-transzformáció értelmezhető egy xs magfüggvény a multiplikatív Haar-függvény szerint , ami invariáns a dilatációra , így \ . A kétoldali Laplace-transzformáció a additív Haar-mérték szerint transzlációinvariáns , azaz \ . A Mellin-transzformáció összekapcsolja a Newton-sorokat vagy a binomiális transzformációt a Poisson-generátorfüggvénnyel , a Poisson–Mellin–Newton-ciklus által . Példák Dirichlet-sor A Mellin-transzformációval egy Dirichlet-sor és egy hatványsor kapcsolatba hozható egymással . Legyenek és ugyanazokkal az együtthatókkal . Ekkor . Ha itt minden , akkor a Riemann-féle zéta-függvény , és kapjuk a következőt : . Cahen–Mellin-integrál Ha , és a főágból , akkor ahol a gamma-függvény . Ez az integrál ismert , mint Cahen-Mellin-integrál . Számelmélet A Mellin-transzformáció egy érdekes számelméleti alkalmazása az függvényhez kapcsolódik , amire feltéve , hogy Izometria L2-terekben A Hilbert-terek elméletében a Mellin-transzformációt másként vezetik be . Az -tér függvényei esetén a fundamentális sávhoz mindig hozzátartozik , így definíciója azaz Ezt az operátort gyakran csak mint jelölik , és Mellin-transzformációnak nevezik , de cikkünkben megkülönböztetésként az jelölést használjuk a továbbiakban . A Mellin-inverzió tétele szerint invertálható , és inverze Továbbá ez az operátor izometria , vagyis minden -re . Emiatt szerepel a képletben az tényező . A valószínűségszámításban A valószínűségszámításban a Mellin-transzformáció fontos eszköz a véletlen valószínűségi változók szorzatának eloszlásának vizsgálatához . Ha X véletlen valószínűségi változó , és pozitív része } , negatív része } , akkor Mellin-transzformáltja ahol γ a formális határozatlanja . Ez a transzformáció létezik minden komplex s-re egy } sávban , ahol \ . Az Mellin-transzformált meghatározza a kiindulási X valószínűségi változó FX eloszlásfüggvényét . Kellemes a Mellin-transzformációnak az a tulajdonsága is , hogy ha X és Y független valószínűségi változók , akkor Mellin-transzformáltjaik összeszorzódnak : Laplace-transzformáció hengerkoordináta-rendszerben A Laplace-transzformáció hengeres koordináta-rendszerben így néz ki : Két dimenzióban például és három dimenzióban Mellin-transzformációval ez a kifejezés egyszerűbben kezelhető , mivel : Például a két dimenziós Laplace-egyenlet poláris koordináta-rendszerben : beszorozva sugármenti Mellin-transzformációval egyszerű harmonikus oszcillátorrá válik : aminek általános megoldása : Most vegyük figyelembe a peremfeltételt : partikulárisan egyszerűsíti a Mellin-transzformáció : . Ezzel partikularizáljuk a megoldást : A Mellin-transzformáció konvolúciótételével visszatérünk az eredeti feladathoz : ahol az inverz transzformáció ahol \ . Alkalmazások A számítástudományban elterjedten használják algoritmusok elemzésére skálainvarianciája miatt . Egy skálázott függvény Mellin-transzformáltja ugyanolyan méretű , mint az eredeti függvény . Ez analóg a Fourier-transzformáció eltolásinvarianciájával . Az időben eltolt függvény Fourier-transzformáltja ugyanolyan méretű , mint az eredetié . Ez a tulajdonság hasznos a képfelismerésben . A kamera felé közelítő és attól távolodó kép közelítően skálázódik . Források M. Koecher , A . Krieg , Elliptische Funktionen und Modulformen , Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York \ . E. C. Titchmarsh , Introduction to the Theory of Fourier Integrals , Chelsea Publishing Company , Auflage \ . D. Zagier , Zetafunktionen und quadratische Körper , Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York \ . Tables of Integral Transforms at EqWorld : The World of Mathematical Equations . Jegyzetek Fordítás Analízis