Prím zéta-függvény
A matematikában a prím zéta-függvény a Riemann-féle zéta-függvény analogonja. Az alábbi sorral definiálható, ami konvergens minden -re:

.

Tulajdonságok
A Riemann-féle zéta-függvény Euler-szorzata implikálja, hogy:

ami Möbius-inverzióval:

Ha s tart az egyhez, akkor  . Ezt a Dirichlet-sűrűség definíciója használja. Továbbá kiterjeszti P(s)-t a  félsíkra, végtelen sok logaritmikus szingularitással azokban a pontokban, ahol  ns pólusa vagy zérushelye  ζ(s)-nek. A   az értelmezési tartomány természetes határvonala, mivel majdnem minden pontjában szingularitása van a függvénynek.

Ha definiáljuk a

sorozatot, akkor

ami Li 2.7-edik lemmájával ekvivalens.

A prím zéta-függvény az Artin-konstanshoz is kapcsolódik:

ahol  Ln az n-edik Lucas-szám.

Speciális értékei:

Analízis

Integrál
A prím zéta-függvény integrálját végtelentől számítják, mivel pólusa -ben nem teszi lehetővé egy kellemes alsó korlát kitűzését már egyes egész értékekre a ág választása és felvágás nélkül:

A fontosabb értékek megint azok, amelyekre az összeg lassan konvergál:

Derivált

Az első derivált

A fontos értékek azok, amikre az integrál lassan konvergál:

Általánosításai

A Riemann-féle zéta-függvény az egész számok negatív kitevős hatványainak összege, és a prím zéta-függvény a prímek negatív kitevős hatványainak összege. A kettő közötti átmenetet azok a k-prím zéta-függvények adják, amelyekben azoknak az egészeknek a negatív kitevős hatványai adódnak össze, amiknek k, nem feltétlenül különböző prímosztója van:

ahol  a prímtényezők totális összege.

A Riemann-féle zéta-függvényben a nevezők osztályozhatók a k index szerint, amivel az előáll, mint a  függvények összege:

Ha a függvény előállításához csak azokat a prímeket használják, amelyek egy rögzített prímre egy adott maradékosztályba esnek, akkor további végtelen sozrozatok keletkeznek, amelyek a Dirichlet-féle L-függvény redukciói.

Jegyzetek

Források

Fordítás 

Analitikus számelmélet
A matematikában a prím zéta-függvény a Riemann-féle zéta-függvény analogonja . Az alábbi sorral definiálható , ami konvergens minden -re : . Tulajdonságok A Riemann-féle zéta-függvény Euler-szorzata implikálja , hogy : ami Möbius-inverzióval : Ha s tart az egyhez , akkor \ . Ezt a Dirichlet-sűrűség definíciója használja . Továbbá kiterjeszti P( s)-t a félsíkra , végtelen sok logaritmikus szingularitással azokban a pontokban , ahol ns pólusa vagy zérushelye ζ( s)-nek . A az értelmezési tartomány természetes határvonala , mivel majdnem minden pontjában szingularitása van a függvénynek . Ha definiáljuk a sorozatot , akkor ami Li7-edik lemmájával ekvivalens . A prím zéta-függvény az Artin-konstanshoz is kapcsolódik : ahol Ln az n-edik Lucas-szám . Speciális értékei : Analízis Integrál A prím zéta-függvény integrálját végtelentől számítják , mivel pólusa -ben nem teszi lehetővé egy kellemes alsó korlát kitűzését már egyes egész értékekre a ág választása és felvágás nélkül : A fontosabb értékek megint azok , amelyekre az összeg lassan konvergál : Derivált Az első derivált A fontos értékek azok , amikre az integrál lassan konvergál : Általánosításai A Riemann-féle zéta-függvény az egész számok negatív kitevős hatványainak összege , és a prím zéta-függvény a prímek negatív kitevős hatványainak összege . A kettő közötti átmenetet azok a k-prím zéta-függvények adják , amelyekben azoknak az egészeknek a negatív kitevős hatványai adódnak össze , amiknek k , nem feltétlenül különböző prímosztója van : ahol a prímtényezők totális összege . A Riemann-féle zéta-függvényben a nevezők osztályozhatók a k index szerint , amivel az előáll , mint a függvények összege : Ha a függvény előállításához csak azokat a prímeket használják , amelyek egy rögzített prímre egy adott maradékosztályba esnek , akkor további végtelen sozrozatok keletkeznek , amelyek a Dirichlet-féle L-függvény redukciói . Jegyzetek Források Fordítás Analitikus számelmélet