Von Mangoldt-függvény
A matematikában a von Mangoldt-függvény egy Hans von Mangoldtról elnevezett számelméleti függvény. Példa arra, hogy egy fontos számelméleti függvény nem szükségképpen multiplikatív vagy additív.

Definíció
A Λ(n)-nel jelölt von Mangoldt-függvény definíciója:

Λ(n) értékei az első kilenc pozitív egészre

ami az  sorozathoz kapcsolódik. 

Összegfüggvénye a ψ(x) Csebisev-függvény, aminek definíciója:

A ψ(x) függvényre von Mangoldt explicit képletet is meghatározott, amiben a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összege is szerepel. EZ a prímszámtétel első bizonyításának fontos része volt.

Tulajdonságok
A von Mangoldt-függvény megfelel a következő azonosságnak:

Az összeg befutja azokat a pozitív egész d-ket, amelyek osztói n-nek.  Ez bizonyítható a számelmélet alaptételével, mivel azok az értékek, amelyeket a függvény nem prímhatványokra vesz fel, csak a nulla.  Legyen például n  12  22 × 3. Ekkor

A Möbius-inverzióval kapjuk, hogy

Dirichlet-sor
A von Mangoldt-függvény fontos szerepet játszik a Dirichlet-sorok elméletében, és a Riemann-féle zéta-függvényhez is kapcsolódik. Speciálisan,

A logaritmikus derivált 

Ezek a Dirichlet-sorokkal való kapcsolat speciális esetei.  Ha

egy  f (n) teljesen multiplikatív függvény, és a sor konvergál a Re(s) > σ0 helyekre, akkor

konvergens minden Re(s) > σ0-ra.

Csebisev-függvény
A ψ(x) második Csebisev-függvény a von Mangoldt-függvény összegfüggvénye:

A Csebisev-függvény Mellin-transzformációja a Perron-formula felhasználásával:

ami teljesül, ha Re(s) > 1.

Exponenciális sorok

Hardy és Littlewood vizsgálta ennek a sornak az y → 0+ határértékét

A Riemann-hipotézis teljesülésének esetére belátták, hogy

Azt is megmutatták, hogy a sor oszcillál, mégpedig egyre erősebben. Sőt, létezik egy K > 0 úgy, hogy végtelen gyakran

A mellékelt grafikon mutatja, hogy ez az első valahány számra ez nem nyilvánvaló: az oszcilláció egészen az első 100 millió tag összegzéséig nem látható tisztán, és csak akkor látható, ha y < 10−5.

Riesz-közép
A von Mangoldt-függvény Riesz-közepe

ahol λ és δ a Riesz-közép paraméterei, és c > 1. A ρ fölötti összeg a Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg, és

konvergens, ha λ > 1.

Approximáció a Riemann-féle zéta-függvény gyökeivel

A Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg:

ahol ρ(i) az i-edik zéta-gyök, a csúcsok a prímeknél, ami numerikus számításokkal is bizonyítható. Az összeg nem megy el addig, hogy kiadja a von Mangoldt-függvény értékeit.

A von Mangoldt-függvény Fourier-transzformációja által adott spektrumban a csúcsok a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek képzetes részeinél vannak. Ezt néha dualitásnak nevezik.

Jegyzetek

Források
 * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 
 

Számelméleti függvények
A matematikában a von Mangoldt-függvény egy Hans von Mangoldtról elnevezett számelméleti függvény . Példa arra , hogy egy fontos számelméleti függvény nem szükségképpen multiplikatív vagy additív . Definíció A Λ( n)-nel jelölt von Mangoldt-függvény definíciója : Λ ( n ) értékei az első kilenc pozitív egészre ami az sorozathoz kapcsolódik . Összegfüggvénye a ψ ( x ) Csebisev-függvény , aminek definíciója : A ψ ( x ) függvényre von Mangoldt explicit képletet is meghatározott , amiben a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összege is szerepel . EZ a prímszámtétel első bizonyításának fontos része volt . Tulajdonságok A von Mangoldt-függvény megfelel a következő azonosságnak : Az összeg befutja azokat a pozitív egész d-ket , amelyek osztói n-nek . Ez bizonyítható a számelmélet alaptételével , mivel azok az értékek , amelyeket a függvény nem prímhatványokra vesz fel , csak a nulla . Legyen például n × Ekkor A Möbius-inverzióval kapjuk , hogy Dirichlet-sor A von Mangoldt-függvény fontos szerepet játszik a Dirichlet-sorok elméletében , és a Riemann-féle zéta-függvényhez is kapcsolódik . Speciálisan , A logaritmikus derivált Ezek a Dirichlet-sorokkal való kapcsolat speciális esetei . Ha egy f ( n ) teljesen multiplikatív függvény , és a sor konvergál a Re ( s ) > σ0 helyekre , akkor konvergens minden Re ( s ) > σ0-ra . Csebisev-függvény A ψ ( x ) második Csebisev-függvény a von Mangoldt-függvény összegfüggvénye : A Csebisev-függvény Mellin-transzformációja a Perron-formula felhasználásával : ami teljesül , ha Re ( s ) > Exponenciális sorok Hardy és Littlewood vizsgálta ennek a sornak az y → határértékét A Riemann-hipotézis teljesülésének esetére belátták , hogy Azt is megmutatták , hogy a sor oszcillál , mégpedig egyre erősebben . Sőt , létezik egy K >úgy , hogy végtelen gyakran A mellékelt grafikon mutatja , hogy ez az első valahány számra ez nem nyilvánvaló : az oszcilláció egészen az elsőmillió tag összegzéséig nem látható tisztán , és csak akkor látható , ha y <5. Riesz-közép A von Mangoldt-függvény Riesz-közepe ahol λ és δ a Riesz-közép paraméterei , és c > A ρ fölötti összeg a Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg , és konvergens , ha λ > Approximáció a Riemann-féle zéta-függvény gyökeivel A Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg : ahol ρ ( i ) az i-edik zéta-gyök , a csúcsok a prímeknél , ami numerikus számításokkal is bizonyítható . Az összeg nem megy el addig , hogy kiadja a von Mangoldt-függvény értékeit . A von Mangoldt-függvény Fourier-transzformációja által adott spektrumban a csúcsok a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek képzetes részeinél vannak . Ezt néha dualitásnak nevezik . Jegyzetek Források * Apostol , Tom M. Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics , New York-Heidelberg : Springer-Verlag , Számelméleti függvények