Kommutátor (csoportelmélet)
A matematika csoportelmélet nevű ágában egy  csoport két  elemének kommutátora az  csoportelem. Az elnevezést az indokolja, hogy egy szorzatnak a szorzandók kommutátorával való szorzása megfordítja a szorzandók sorrendjét: . Két csoportelem éppen akkor felcserélhető egymással, ha a kommutátoruk a csoport egységeleme. Egy csoport éppen akkor Abel-csoport ha benne az egységelem az egyetlen kommutátor.

A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója.

Kommutátor-részcsoport 
A kommutátorok általában nem alkotnak részcsoportot, mert két kommutátor szorzata nem feltétlenül kommutátor. Beszélhetünk viszont viszont a kommutátorok által generált részcsoportról. Ezt a csoportot  kommutátor-részcsoportjának vagy derivált csoportjának nevezzük, és hagyományosan -vel jelöljük.

A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója. Mivel a kommutátorok halmaza zárt a konjugálásra nézve, az általuk generált részcsoport is az, tehát  normálosztó -ben.

A  faktorcsoport kommutatív, mi több,  a legszűkebb olyan csoport, amely ezzel a tulajdonsággal bír: Más szóval, ha  kommutatív, akkor szükségképpen .

 akkor és csak akkor a triviális csoport, ha  kommutatív, hiszen Abel-csoportban az egyetlen kommutátor az 1, és viszont, ha  triviális, akkor nincs nemtriviális kommutátor -ben, tehát a csoport kommutatív. A fentiekből következik, hogy egyszerű nemkommutatív  csoportokra .

Jegyzetek

Kapcsolódó szócikkek 
 Kommutátor (gyűrűelmélet)

Csoportelmélet
A matematika csoportelmélet nevű ágában egy csoport két elemének kommutátora az csoportelem . Az elnevezést az indokolja , hogy egy szorzatnak a szorzandók kommutátorával való szorzása megfordítja a szorzandók sorrendjét : \ . Két csoportelem éppen akkor felcserélhető egymással , ha a kommutátoruk a csoport egységeleme . Egy csoport éppen akkor Abel-csoport ha benne az egységelem az egyetlen kommutátor . A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok , és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok . Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója . Kommutátor-részcsoport A kommutátorok általában nem alkotnak részcsoportot , mert két kommutátor szorzata nem feltétlenül kommutátor . Beszélhetünk viszont viszont a kommutátorok által generált részcsoportról . Ezt a csoportot kommutátor-részcsoportjának vagy derivált csoportjának nevezzük , és hagyományosan -vel jelöljük . A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok , és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok . Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója . Mivel a kommutátorok halmaza zárt a konjugálásra nézve , az általuk generált részcsoport is az , tehát normálosztó -ben . A faktorcsoport kommutatív , mi több , a legszűkebb olyan csoport , amely ezzel a tulajdonsággal bír : Más szóval , ha kommutatív , akkor szükségképpen\. akkor és csak akkor a triviális csoport , ha kommutatív , hiszen Abel-csoportban az egyetlen kommutátor az és viszont , ha triviális , akkor nincs nemtriviális kommutátor -ben , tehát a csoport kommutatív . A fentiekből következik , hogy egyszerű nemkommutatív csoportokra \ . Jegyzetek Kapcsolódó szócikkek Kommutátor ( gyűrűelmélet ) Csoportelmélet