Lambert-sor
A Lambert-sor a matematikában egy

alakú sor. Formálisan átírható a következőképpen:

ahol az új sor együtthatói an és a konstans 1 függvény Dirichlet-konvolúciójával számítható ki:

Ez a sor a Möbius-féle megfordítási formulával invertálható, és a Möbius-transzformáció egy példája.

Példák
Mivel ez az utóbbi tipikus számelméleti összeg, majdnem minden multiplikatív számelméleti függvény egzaktul összegezhető, ha Lambert-sorként van megadva. Így például

ahol  az n szám pozitív osztóinak száma.

Magasabb rendű osztófüggvényekre

ahol   tetszőleges komplex szám, és

az osztófüggvény.

Azok a Lambert-sorok, amelyekben an-nek trigonometrikus függvények, például an = sin(2n x), a Jacobi-féle théta-függvények logaritmikus deriváltjainak különféle kombinációiként értékelhetők ki.

A többi ismert Lambert-sor közé tartozik a  Möbius-függvényé:

A  Euler-függvény:

A   Liouville-függvény:

ahol a bal oldali összeg a Ramanudzsan-féle théta-függvényhez hasonló.

Alternatív alak
Elvégezve a  helyettesítést a sor egy másik, gyakran használt alakját kapjuk:

ahol

mint előbb. A Lambert-sor ebben az alakjában,  helyettesítéssel a Riemann-féle zéta-függvény definíciójában látható páratlan egész értékeire.

Alkalmazása

Az irodalomban különféle összegeket neveznek Lambert-sornak. Például, mivel  polilogaritmikus függvény, ezért minden

alakú sort nevezhetünk Lambert-sornak, feltéve, hogy a paraméterek megfelelők.  Emiatt

ami teljesül minden komplex q-ra, ami nincs az egységkörön, és ez a Lambert-sorra vonatkozó azonosságnak tekinthető.
Ez következik több, Ramanudzsan által kiadott azonosságból. Ramanudzsan munkásságának nagy részét Bruce Berndt dolgozta fel.

Források
 
 
 * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,

Fordítás 

Analitikus számelmélet
A Lambert-sor a matematikában egy alakú sor . Formálisan átírható a következőképpen : ahol az új sor együtthatói an és a konstansfüggvény Dirichlet-konvolúciójával számítható ki : Ez a sor a Möbius-féle megfordítási formulával invertálható , és a Möbius-transzformáció egy példája . Példák Mivel ez az utóbbi tipikus számelméleti összeg , majdnem minden multiplikatív számelméleti függvény egzaktul összegezhető , ha Lambert-sorként van megadva . Így például ahol az n szám pozitív osztóinak száma . Magasabb rendű osztófüggvényekre ahol tetszőleges komplex szám , és az osztófüggvény . Azok a Lambert-sorok , amelyekben an-nek trigonometrikus függvények , például an = sin( 2n x ) , a Jacobi-féle théta-függvények logaritmikus deriváltjainak különféle kombinációiként értékelhetők ki . A többi ismert Lambert-sor közé tartozik a Möbius-függvényé : A Euler-függvény : A Liouville-függvény : ahol a bal oldali összeg a Ramanudzsan-féle théta-függvényhez hasonló . Alternatív alak Elvégezve a helyettesítést a sor egy másik , gyakran használt alakját kapjuk : ahol mint előbb . A Lambert-sor ebben az alakjában , helyettesítéssel a Riemann-féle zéta-függvény definíciójában látható páratlan egész értékeire . Alkalmazása Az irodalomban különféle összegeket neveznek Lambert-sornak . Például , mivel polilogaritmikus függvény , ezért minden alakú sort nevezhetünk Lambert-sornak , feltéve , hogy a paraméterek megfelelők . Emiatt ami teljesül minden komplex q-ra , ami nincs az egységkörön , és ez a Lambert-sorra vonatkozó azonosságnak tekinthető . Ez következik több , Ramanudzsan által kiadott azonosságból . Ramanudzsan munkásságának nagy részét Bruce Berndt dolgozta fel . Források * Apostol , Tom M. Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics , New York-Heidelberg : Springer-Verlag , Fordítás Analitikus számelmélet