Általánosított Riemann-hipotézis
Az általánosított Riemann-hipotézis a Riemann-hipotézis általánosítása. Maga a Riemann-hipotézis a matematika egyik legfontosabb sejtése. Ennek általánosítása a különféle geometriai és algebrai objektumokon a Riemann-féle zéta-függvényhez hasonlóan definiált L-függvényekről szól. Az általánosított Riemann-hipotézis ezeknek a nullhelyeit próbálja meg leírni; ha a sejtés igaz, akkor ezeknek a függvényeknek csak ezek a nullhelyeik vannak. Sok matematikus szerint ezek a sejtések igazak, de csak a függvénytestek esetére sikerült bebizonyítani.

A globális L-függvényekkel számos objektum, így elliptikus görbék, számtestek (Dedekind-féle zéta-függvények), Maass-formák, és Dirichlet-karakterek (Dirichlet L-függvények). A Dedekind-féle zéta-függvények esetén kiterjesztett, a Dirichlet-féle L-függvények esetén általánosított Riemann-hipotézisről beszélnek. Cikkünk a továbbiakban ezekről szól. Sok matematikus az összes L-függvényre vonatkoztatja az általánosított Riemann-hipotézist.

Általánosított Riemann-hipotézis
Az általánosított Riemann-hipotézist a Dirichlet-féle L-függvényekre először valószínűleg Adolf Piltz állította fel először 1884-ben. Az eredeti Riemann-hipotézishez hasonlóan ennek is van következménye a prímszámok eloszlására.

A hipotézis a következőt állítja: Legyen χ Dirichlet-karakter, azaz egy teljesen multiplikatív számelméleti függvény, amihez van k úgy, hogy χ(n + k) = χ(n) minden n-re, és χ(n) = 0, valahányszor gcd(n, k) > 1. Ekkor a χ Dirichlet-karakterhez tartozó Dirichlet-féle L-függvény:

minden s komplex számra, aminek valós része > 1. Analitikus folytatással ez a függvény kiterjeszthető a teljes komplex síkon értelmezett meromorf függvényre. Az általánosított Riemann-hipotézis állítása szerint minden Dirichlet-karakterre és minden s komplex számra, hogyha L(χ,s) = 0, és s valós része 0 és 1 közötti, akkor egyenlő 1/2-del.

Speciálisan, a Riemann-féle zéta-függvény a konstans χ(n) = 1 Dirichlet-karakter Dirichlet-féle L-függvénye.

Következmények
A Dirichlet-tétel szerint, ha a egy számtani sorozat első eleme, d pedig a differenciája, és a és d relatív prímek, akkor az a, a+d, a+2d, a+3d, … számtani sorozat végtelen sok tagja prím. Jelölje π(x,a,d) a számtani sorozat által tartalmazott x-nél nem nagyobb prímek számát. Ha az általánosított Riemann-hipotézis teljesül, akkor minden a, d relatív prím párra és minden ε > 0-ra

ahol φ(d) az Euler-függvény, és  az ordo jelölés. Ez a prímszámtétel valódi erősítése.

Ha a hipotézis teljesül, akkor minden  multiplikatív csoport mellőz egy 2(ln n)2-nél kisebb számot, és egy n-hez relatív prím 3(ln n)2-nél kisebb számot. Más szavakkal, a  csoport generálható néhány 2(ln n)2-nél kisebb számmal. Ezt gyakran felhasználják, így ha a hipotézis teljesül, akkor annak számos következménye van, például a következő algoritmusok mind garantáltan polinomiális idejűek:
A Miller–Rabin prímteszt
A Shanks–Tonelli algoritmus
A polinomok véges testek fölötti faktorizálását végző Ivanyos-Karpinski-Saxena determinisztikus algoritmus

Ha a sejtés teljesül, és p prím, akkor létezik olyan primitív gyök modulo p, ami kisebb, mint 

A gyenge Goldbach-sejtés is következik a hipotézisből. Harald Helfgott a bizonyítás részeként igazolta a hipotézist néhány ezer kis karakterre egy bizonyos kis képzetes részig, így kapott egy korlátot, amivel minden 1029-nél nagyobb számra belátta a sejtést. Az ennél kisebb számokat korábban már ellenőrizték próbálgatással.

Ha a hipotézis igaz, akkor a Pólya–Vinogradov-egyenlőtlenségben levő becslés a karakterösszegre -ra javítható, ahol q a karakter modulusa.

Kibővített Riemann-hipotézis

Legyen K számtest, azaz Q véges algebrai bővítése, és egészgyűrűjét jelölje OK. Ha a ideál, de nem nullideál OK-ban, akkor jelöljük normáját Na-val. Ekkor K Dedekind-féle zéta-függvénye

minden s komplex számra, aminek valós része > 1, és az összeg befutja OK összes nem null ideálját.

A Dedekind-féle zéta-függvény egy függvényegyenlet egyértelmű megoldásaként analitikusan folytatható a teljes komplex síkon. A kiterjesztett függvény fontos információkat hordoz K-ról. A kibővített Riemann-hipotézis szerint minden K számtestre az összes 0 és 1 közötti valós részű gyök valós része 1/2.

A közönséges Riemann-hipotézis ennek speciális esete, ahol a számtest Q, és az egészek gyűrűje Z.

A hipotézis következménye Csebotarev sűrűségi tételének erősítése: ha L/K véges Galois-bővítése, aminek Galois-csoportja G, és C G néhány konjugáltosztályának uniója, akkor K x-nél kisebb normájú nem elágaztatott prímjeinek száma, aminek Frobenius-féle konjugáltosztálya C része:

ahol az ordo jelölés konstansa abszolút, n L foka Q fölött, és diszkriminánsa Δ.

Jegyzetek

Források
Harold Davenport. Multiplicative number theory. Third edition. Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery. Graduate Texts in Mathematics, 74. Springer-Verlag, New York, 2000. xiv+177 pp. .

Fordítás

Algebrai geometria
Sejtések
Az általánosított Riemann-hipotézis a Riemann-hipotézis általánosítása . Maga a Riemann-hipotézis a matematika egyik legfontosabb sejtése . Ennek általánosítása a különféle geometriai és algebrai objektumokon a Riemann-féle zéta-függvényhez hasonlóan definiált L-függvényekről szól . Az általánosított Riemann-hipotézis ezeknek a nullhelyeit próbálja meg leírni ; ha a sejtés igaz , akkor ezeknek a függvényeknek csak ezek a nullhelyeik vannak . Sok matematikus szerint ezek a sejtések igazak , de csak a függvénytestek esetére sikerült bebizonyítani . A globális L-függvényekkel számos objektum , így elliptikus görbék , számtestek ( Dedekind-féle zéta-függvények ) , Maass-formák , és Dirichlet-karakterek ( Dirichlet L-függvények ) . A Dedekind-féle zéta-függvények esetén kiterjesztett , a Dirichlet-féle L-függvények esetén általánosított Riemann-hipotézisről beszélnek . Cikkünk a továbbiakban ezekről szól . Sok matematikus az összes L-függvényre vonatkoztatja az általánosított Riemann-hipotézist . Általánosított Riemann-hipotézis Az általánosított Riemann-hipotézist a Dirichlet-féle L-függvényekre először valószínűleg Adolf Piltz állította fel előszörben . Az eredeti Riemann-hipotézishez hasonlóan ennek is van következménye a prímszámok eloszlására . A hipotézis a következőt állítja : Legyen χ Dirichlet-karakter , azaz egy teljesen multiplikatív számelméleti függvény , amihez van k úgy , hogy χ ( n + k ) = χ ( n ) minden n-re , és χ ( n ) = valahányszor gcd ( n , k ) > Ekkor a χ Dirichlet-karakterhez tartozó Dirichlet-féle L-függvény : minden s komplex számra , aminek valós része > Analitikus folytatással ez a függvény kiterjeszthető a teljes komplex síkon értelmezett meromorf függvényre . Az általánosított Riemann-hipotézis állítása szerint minden Dirichlet-karakterre és minden s komplex számra , hogyha L( χ,s ) = és s valós részeésközötti , akkor egyenlő2-del . Speciálisan , a Riemann-féle zéta-függvény a konstans χ( n ) =Dirichlet-karakter Dirichlet-féle L-függvénye . Következmények A Dirichlet-tétel szerint , ha a egy számtani sorozat első eleme , d pedig a differenciája , és a és d relatív prímek , akkor az a , a+d , a+2d , a+3d , … számtani sorozat végtelen sok tagja prím . Jelölje π( x ,a,d ) a számtani sorozat által tartalmazott x-nél nem nagyobb prímek számát . Ha az általánosított Riemann-hipotézis teljesül , akkor minden a , d relatív prím párra és minden ε >ra ahol φ ( d ) az Euler-függvény , és az ordo jelölés . Ez a prímszámtétel valódi erősítése . Ha a hipotézis teljesül , akkor minden multiplikatív csoport mellőz egyln n) 2-nél kisebb számot , és egy n-hez relatív prímln n) 2-nél kisebb számot . Más szavakkal , a csoport generálható néhányln n) 2-nél kisebb számmal . Ezt gyakran felhasználják , így ha a hipotézis teljesül , akkor annak számos következménye van , például a következő algoritmusok mind garantáltan polinomiális idejűek : A Miller–Rabin prímteszt A Shanks–Tonelli algoritmus A polinomok véges testek fölötti faktorizálását végző Ivanyos-Karpinski-Saxena determinisztikus algoritmus Ha a sejtés teljesül , és p prím , akkor létezik olyan primitív gyök modulo p , ami kisebb , mint A gyenge Goldbach-sejtés is következik a hipotézisből . Harald Helfgott a bizonyítás részeként igazolta a hipotézist néhány ezer kis karakterre egy bizonyos kis képzetes részig , így kapott egy korlátot , amivel mindennél nagyobb számra belátta a sejtést . Az ennél kisebb számokat korábban már ellenőrizték próbálgatással . Ha a hipotézis igaz , akkor a Pólya–Vinogradov-egyenlőtlenségben levő becslés a karakterösszegre -ra javítható , ahol q a karakter modulusa . Kibővített Riemann-hipotézis Legyen K számtest , azaz Q véges algebrai bővítése , és egészgyűrűjét jelölje OK. Ha a ideál , de nem nullideál OK-ban , akkor jelöljük normáját Na-val . Ekkor K Dedekind-féle zéta-függvénye minden s komplex számra , aminek valós része > és az összeg befutja OK összes nem null ideálját . A Dedekind-féle zéta-függvény egy függvényegyenlet egyértelmű megoldásaként analitikusan folytatható a teljes komplex síkon . A kiterjesztett függvény fontos információkat hordoz K-ról . A kibővített Riemann-hipotézis szerint minden K számtestre az összesésközötti valós részű gyök valós része2 . A közönséges Riemann-hipotézis ennek speciális esete , ahol a számtest Q , és az egészek gyűrűje Z . A hipotézis következménye Csebotarev sűrűségi tételének erősítése : ha L/K véges Galois-bővítése , aminek Galois-csoportja G , és C G néhány konjugáltosztályának uniója , akkor K x-nél kisebb normájú nem elágaztatott prímjeinek száma , aminek Frobenius-féle konjugáltosztálya C része : ahol az ordo jelölés konstansa abszolút , n L foka Q fölött , és diszkriminánsa Δ . Jegyzetek Források Harold Davenport . Multiplicative number theory . Third edition . Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery . Graduate Texts in Mathematics , Springer-Verlag , New York , xiv+177 pp. . Fordítás Algebrai geometria Sejtések