Dirichlet-konvolúció
A Dirichlet-konvolúció a matematikában egy két operandusú művelet a számelméleti függvényeken. A német Peter Gustav Lejeune Dirichlet kezdte el felhasználni a számelméletben.

Definíció
Ha f és g számelméleti függvények, akkor Dirichlet-konvolúciójuk f ∗ g, ahol

és az összegzés végigfut n pozitív osztóin, vagy ekvivalensen az (a, b) pozitív számpárokon, melyeknek szorzata n.

Tulajdonságai
A számelméleti függvények halmaza egységelemes kommutatív gyűrűt alkot a pontonkénti összeadásra és a Dirichlet-konvolúcióra. Ez a Dirichlet-gyűrű. A gyűrű egységeleme az az ε függvény, ami 1-ben 1-et, a többi helyen 0-t vesz fel. A gyűrű egységei, azaz invertálható elemei azok a számelméleti függvények, amelyek 1-ben nullától különböző értéket vesznek fel.

Speciálisan, a Dirichlet-konvolúció asszociatív:
 (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),
disztributív az összeadásra
 f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h = (g + h) ∗ f,
kommutatív
 f ∗ g = g ∗ f,
és egységeleme a fent definiált ε:
 f ∗ ε = ε ∗ f = f.

Továbbá, ha f olyan számelméleti függvény, hogy f(1) ≠ 0, akkor van egy g számelméleti függvény, hogy 1=f ∗ g = ε. Ez az f függvény Dirichlet-inverze.

Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív, továbbá a multiplikatív függvény invertálhatók, és inverzük is multiplikatív.

Ha f teljesen multiplikatív, akkor 1=f(g ∗ h) = (fg) ∗ (fh), ahol a melléírás a pontonkénti szorzást jelöli. Két teljesen multiplikatív függvény Dirichlet-konvolúciója multiplikatív, de nem mindig teljesen multiplikatív.

Példák
Ezekben a képletekben
 ε a Dirichlet-konvolúció identitásfüggvénye. (ε(1) = 1, a többi értéke 0.)
 1 a konstans 1 minden n-re. (1(n) = 1.) Fontos megjegyezni, hogy 1 nem az identitás.
 1C, ahol  az indikátorfüggvények halmaza. (1C(n) = 1 ha n ∈ C, 0 különben.)
 Id az identitásfüggvény n. (Id(n) = n.)
 Idk a k. hatványfüggvény. (Idk(n) = nk.)

 1 ∗ μ = ε   (a konstans 1 függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény.) Ennélfogva
 g = f ∗ 1 akkor és csak akkor, ha 1=f = g ∗ μ   (a Möbius-féle megfordítási formula).
 λ ∗ μ = ε   ahol λ a Liouville-függvény.
 λ ∗ 1 = 1Sq   ahol Sq = {1, 4, 9, ...} a négyzetszámok halmaza
 Idk ∗ (Idk μ) = ε
 σk = Idk ∗ 1   a σk osztóösszeg-függvény
 σ = Id ∗ 1   az 1=σ = σ1 függvény definíciója
 d = 1 ∗ 1   az 1=d(n) = σ0 függvény definíciója
 Idk = σk ∗ μ   a σk, σ, és d Möbius-inverziója
 Id = σ ∗ μ
 1 = d ∗ μ
 d3 ∗ 1 = (d ∗ 1)2
 φ ∗ 1 = Id  
 Jk ∗ 1 = Idk   A Jordan-függvény.
 (IdsJr) ∗ Js = Js + r
 σ = φ ∗ d   Bizonyítás: Konvolváljuk 1-et az Id = φ ∗ 1 egyenlet két oldalával.
 Λ ∗ 1 = log   ahol Λ a von Mangoldt-függvény.

Dirichlet-inverz
Ha f számelméleti függvény, akkor Dirchlet-inverze rekurzívan számítható a definíció alapján.

n = 1 esetén:
 (f ∗ g) (1) = f(1) g(1) = ε(1) = 1, így

 g(1) = 1/f(1). Eszerint, ha f(1) = 0, akkor az inverz nem létezik.

n = 2-re:
 (f ∗ g) (2) = f(1) g(2) + f(2) g(1) = ε(2) = 0,
 g(2) = −1/f(1) (f(2) g(1)),

n = 3-ra:
 (f ∗ g) (3) = f(1) g(3) + f(3) g(1) = ε(3) = 0,
 g(3) = −1/f(1) (f(3) g(1)),

n = 4-re:
 (f ∗ g) (4) = f(1) g(4) + f(2) g(2) + f(4) g(1) = ε(4) = 0,
 g(4) = −1/f(1) (f(4) g(1) + f(2) g(2)),

Általában, n > 1-re:

Mivel a számítás során csak f(1)-gyel kell osztani, azért az invertálhatóság egyetlen kritériuma az, hogy f(1) ≠ 0.

Táblázat ismert szám, elméleti függvények Dirichlet-inverzéről:

Dirichlet-sor
Ha f számelméleti függvény, akkor Dirichlet-sorának generátorfüggvénye

azokra a komplex s argumentumokra, amelyekre a függvény konvergál. A Dirichlet-sorok szorzása illeszkedik a számelméleti függvények konvolúciójához:

minden olyan s-re, amire mindkét bal oldali sor konvergál, és legalább az egyik abszolút konvergens. Mindkét sor egyszerű konvergenciája ugyanis nem biztosítja a jobb oldal konvergenciáját. Ez a konvolúciótétel analogonja, ha a Dirichlet-sort megfeleltetjük a Fourier-sornak.

Források

 * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Analitikus számelmélet
A Dirichlet-konvolúció a matematikában egy két operandusú művelet a számelméleti függvényeken . A német Peter Gustav Lejeune Dirichlet kezdte el felhasználni a számelméletben . Definíció Ha f és g számelméleti függvények , akkor Dirichlet-konvolúciójuk f ∗ g , ahol és az összegzés végigfut n pozitív osztóin , vagy ekvivalensen az ( a , b ) pozitív számpárokon , melyeknek szorzata n . Tulajdonságai A számelméleti függvények halmaza egységelemes kommutatív gyűrűt alkot a pontonkénti összeadásra és a Dirichlet-konvolúcióra . Ez a Dirichlet-gyűrű . A gyűrű egységeleme az az ε függvény , amibenet , a többi helyent vesz fel . A gyűrű egységei , azaz invertálható elemei azok a számelméleti függvények , amelyekben nullától különböző értéket vesznek fel . Speciálisan , a Dirichlet-konvolúció asszociatív : ( f ∗ g ) ∗ h = f ∗ ( g ∗ h ) , disztributív az összeadásra f ∗ ( g + h ) = f ∗ g + f ∗ h = ( g + h ) ∗ f , kommutatív f ∗ g = g ∗ f , és egységeleme a fent definiált ε : f ∗ ε = ε ∗ f = f . Továbbá , ha f olyan számelméleti függvény , hogy f ( 1 ) ≠ akkor van egy g számelméleti függvény , hogyf ∗ g = ε . Ez az f függvény Dirichlet-inverze . Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív , továbbá a multiplikatív függvény invertálhatók , és inverzük is multiplikatív . Ha f teljesen multiplikatív , akkorf ( g ∗ h ) = ( fg ) ∗ ( fh ) , ahol a melléírás a pontonkénti szorzást jelöli . Két teljesen multiplikatív függvény Dirichlet-konvolúciója multiplikatív , de nem mindig teljesen multiplikatív . Példák Ezekben a képletekben ε a Dirichlet-konvolúció identitásfüggvénye. ( ε ( 1 ) = a többi értéke ) a konstansminden n-re.n ) = ) Fontos megjegyezni , hogynem az identitás . , ahol az indikátorfüggvények halmaza.( n ) =ha n ∈ C,különben . ) Id az identitásfüggvény n . ( Id ( n ) = n . ) Idk a k . hatványfüggvény . ( Idk ( n ) = nk . ) ∗ μ = ε ( a konstansfüggvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény . ) Ennélfogva g = f ∗akkor és csak akkor , haf = g ∗ μ ( a Möbius-féle megfordítási formula) . λ ∗ μ = ε ahol λ a Liouville-függvény. λ ∗=q ahol Sq = { 1,\... } a négyzetszámok halmaza Idk ∗ ( Idk μ ) = ε σk = Idk ∗ a σk osztóösszeg-függvény σ = Id ∗ azσ = σ1 függvény definíciója d =∗ azd ( n ) = σ0 függvény definíciója Idk = σk ∗ μ a σk , σ , és d Möbius-inverziója Id = σ ∗ μ = d ∗ μ d3 ∗= ( d ∗ φ ∗= Id Jk ∗= Idk A Jordan-függvény . ( IdsJr ) ∗ Js = Js + r σ = φ ∗ d Bizonyítás : Konvolváljuket az Id = φ ∗egyenlet két oldalával . Λ ∗= log ahol Λ a von Mangoldt-függvény . Dirichlet-inverz Ha f számelméleti függvény , akkor Dirchlet-inverze rekurzívan számítható a definíció alapján. n =esetén : ( f ∗ g)= f ( 1 ) g ( 1 ) = ε ( 1 ) = így g ( 1 ) =f( 1) . Eszerint , ha f ( 1 ) = akkor az inverz nem létezik. n =re : ( f ∗ g) = f( 1 ) g ( 2 ) + f( 2 ) g ( 1 ) = ε ( 2 ) = g ( 2 ) = −1/f ( 1 ) ( f( 2 ) g ( 1 ) ) , n =ra : ( f ∗ g)= f ( 1 ) g ( 3 ) + f( 3 ) g ( 1 ) = ε ( 3 ) = g ( 3 ) = −1/f ( 1 ) ( f( 3 ) g ( 1 ) ) , n =re : ( f ∗ g)= f( 1 ) g ( 4 ) + f( 2 ) g ( 2 ) + f( 4 ) g ( 1 ) = ε ( 4 ) = g ( 4 ) = −1/f ( 1 ) ( f( 4 ) g ( 1 ) + f( 2 ) g( 2 ) ) , Általában , n >re : Mivel a számítás során csak f( 1)-gyel kell osztani , azért az invertálhatóság egyetlen kritériuma az , hogy f ( 1 ) ≠ Táblázat ismert szám , elméleti függvények Dirichlet-inverzéről : Dirichlet-sor Ha f számelméleti függvény , akkor Dirichlet-sorának generátorfüggvénye azokra a komplex s argumentumokra , amelyekre a függvény konvergál . A Dirichlet-sorok szorzása illeszkedik a számelméleti függvények konvolúciójához : minden olyan s-re , amire mindkét bal oldali sor konvergál , és legalább az egyik abszolút konvergens . Mindkét sor egyszerű konvergenciája ugyanis nem biztosítja a jobb oldal konvergenciáját . Ez a konvolúciótétel analogonja , ha a Dirichlet-sort megfeleltetjük a Fourier-sornak . Források * Apostol , Tom M. Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics , New York-Heidelberg : Springer-Verlag , Analitikus számelmélet