Perpendikuls
Perpendikuls ir perpendikulārs nogrieznis, kas no kāda punkta novilkts pret taisni, un kuras atrodas tā galapunkts. Perpendikuls ir īsākais attālums no punkta vai taisnes līdz taisnei. Perpendikulāru nogriezni, kas no punkta novilkts pret taisni un kuru viens galapunkts atrodas uz šīs taisnes, sauc par perpendikulu no punkta pret taisni.

Perpendikulāras taisnes 
Perpendikulāras taisnes ir taisnes, kuras krustojoties veido taisnu leņķi. Perpendikulāras taisnes var uzzīmēt, izmantojot uzstūri vai jebkuru priekšmetu ar taisnu leņķi.

Divas taisnes sauc par perpendikulārām, ja tās krustojoties veido taisnu leņķi jeb 90o.
Taišņu a un b perpendikularitāti apzīmē šādi:

Tā kā 90o lielu leņķi var veidot gan krustiskas taisnes, gan šķērsas taisnes (leņķis starp šķērsām taisnēm ir vienāds ar leņķi starp šīm taisnēm paralēlām krustiskām taisnēm), tad perpendikulāras taisnes arī var būt gan krustiskas, gan šķērsas taisnes.

Teorēma: Ja viena no divām paralēlām taisnēm ir perpendikulāra kādai trešajai taisnei, tad arī otra taisne ir tai perpendikulāra.

Taisnes un plaknes perpendikularitāte 
Taisni sauc par perpendikulāru plaknei, ja tā ir perpendikulāra katrai šīs plaknes taisnei.

Iespējami trīs taisnes un plaknes savstarpējie stāvokļi:
 taisnei un plaknei ir bezgalīgi daudz kopīgu punktu (visi taisnes punkti pieder plaknei jeb taisne atrodas plaknē)
 taisnei un plaknei ir viens kopīgs punkts- taisne krusto plakni
 taisnei un plaknei nav kopīgu punktu.

Teorēma: Ja viena no divām paralēlām taisnēm ir perpendikulāra kādai plaknei, tad arī otra taisne ir perpendikulāra šai plaknei.

Ir spēkā arī apgrieztā teorēma: Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai un tai pašai plaknei, tad tās ir paralēlas.

Taisnes un plaknes perpendikularitātes pazīme 
Ja taisnes ir perpendikulāra divām krustiskām taisnēm, kas atrodas plaknē, tad taisne ir perpendikulāra arī pašai plaknei.

Taisnes un divu paralēlu plakņu perpendikularitāte 
Teorēma: Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām plaknēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai plaknei.

Apgrieztā teorēma:Ja divas plaknes ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei, tad šīs plaknes ir paralēlas.

Savstarpēji perpendikulāras taisnes un plaknes konstruēšana 
Teorēma: Caur jebkuru telpas punktu var novilkt vienu vienīgu plakni, kas perpendikulāra dotajai taisnei.

Teorēma: Caur jebkuru telpas punktu var novilkt vienu vienīgu taisni, kas perpendikulāra dotajai plaknei.

Perpendikuls un slīpnes pret plakni. Attālums no punkta līdz plaknei 

Taisnes nogriezni, kas novilkts perpendikulāri no punkta līdz plaknei, sauc par perpendikulu pret šo plakni. Ja kāda taisne krusto plakni, bet nav tai perpendikulāra, tad šādu taisni sauc par slīpu taisni (attiecībā pret minēto plakni).

Slīpas taisnes nogriezni, kas novilkts no punkta līdz plaknei, sauc par slīpni pret šo plakni.

Teorēma: No kāda punkta pret plakni novilktais perpendikuls ir īsāks nekā jebkura slīpne, kas novilkta no tā paša punkta pret šo pašu plakni.

Attālums starp divām paralēlām plaknēm 
Par attālumu starp divām paralēlām plaknēm sauc attālumu no vienas plaknes punkta līdz otrai plaknei.
Caur taisni m novelk plakni b, kas paralēla plaknei a. Tā kā visi plaknes b punkti atrodas vienādā attālumā no plaknes a, tad arī visi taisnes m punkti atrodas vienādā attālumā no plaknes a. Tāpēc, nosakot attālumu starp taisni m un tai paralēlo plakni a, uz taisnes var brīvi izvēlēties kādu punktu C un noteikt tā attālumu CC1 līdz plaknei a.

Par attālumu starp taisni un tai paralēlu plakni sauc attālumu no jebkura taisnes punkta līdz plaknei.

Slīpņu un to projekciju garumu salīdzināšana 
Teorēma: Ja no viena punkta pret plakni ir novilktas divas slīpnes, tad
 vienādām slīpnēm atbilst vienādas projekcijas
 īsākajai slīpnei atbilst īsākā projekcija.

Pierādījums:
Izvēlas punktu A ārpus plaknes a. No punkta A pret plakni a novelk perpendikulu AA1 un slīpnes AK, AL un AM tā, lai AK = AL, bet AK > AM.
Salīdzina šo slīpņu projekcijas: A1L, A1K un A1M.
 Secina, ka trijstūris AA1 = trijstūris AA1L kā taisnleņķa trijstūri, kuru hipotenūzas AK un AL ir vienādas, bet katete AA1 - kopīga. Tas nozīmē, ka katetes A1K un A1L arī ir vienādas. Tātad vienādām slīpnēm atbilst vienādas projekcijas.
 Trijstūra AA1K plaknē novelk slīpni AM1 tā, lai AM1 = AM. Tā kā AM1 un AK ir slīpnes no punkta A pret taisni A1K un ir zināms, ka īsākajai slīpnei pret taisni atbilst īsākā projekcija, tad A1M1 < A1K.
Savukārt no 1. punkta pierādītā izriet, ka vienādām slīpnēm AM un AM1 atbilst vienādas projekcijas. Tāpēc arī A1M < A1k1, un tādējādi ir pierādīts, ka pret plakni novilktai īsākajai slīpnei atbilst īsākā projekcija.

Leņķis starp taisni un plakni 
Teorēma:Leņķis starp slīpni un tās projekciju plaknē ir vismazākais no visiem leņķiem, kurus dotā slīpne veido ar jebkuru citu taisni, kas novilkta plaknē.
Par leņķi starp taisni un plakni sauc leņķi starp taisni un tās projekciju plaknē.
Ja taisne ir perpendikulāra plaknei, tad uzskata, ka leņķis starp šo taisni un plakni ir 90o, bet, ja taisne ir paralēla plaknei, tad uzskata, ka leņķis starp šo taisni un plakni ir 0o.

Triju perpendikulu teorēma 
Teorēma: Ja taisne, kas atrodas plaknē, ir perpendikulāra pret slīpnes projekciju, tad tā ir perpendikulāra arī pret pašu taisni.

Šo teorēmu sauc par triju perpendikulu teorēmu tāpēc, ka tā saista trīs perpendikulus:
 CB pret plakni alfa
 BA pret taisni a
 CA pret taisni a.
Risinot uzdevumus, ļoti bieži ir jāizmanto triju perpendikulu teorēmas apgrieztā teorēma:
Ja taisne, kas atrodas plaknē, ir perpendikulāra pret slīpni, tad tā ir perpendikulāra arī pret šis slīpnes projekciju.

Eiklīda teorēma 

Taisnleņķa trijstūra katete ir vidējais proporcionālais starp hipotenūzu un šīs katetes projekciju uz hipotenūzas.
Taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, ir vidējais proporcionālais starp katešu projekcijām uz hipotenūzas.

Pierādījums:
Visi trīs taisnleņķa trijstūri ACD, ACB, CDB ir līdzīgi. Tāpēc ir spēkā šādas attiecības:
 b2 = cbc
 a2 = cac
 h2c = acbc

Trijstūru augstumi un riņķa līnija 
Apvilktās riņķa līnijas centrs atrodas trijstūra vidusperpendikulu krustpunktā.

Ārējās saites 
ScriGroup - documente, proiecte, analize

Atsauces

Ģeometrija
Perpendikuls ir perpendikulārs nogrieznis , kas no kāda punkta novilkts pret taisni , un kuras atrodas tā galapunkts . Perpendikuls ir īsākais attālums no punkta vai taisnes līdz taisnei . Perpendikulāru nogriezni , kas no punkta novilkts pret taisni un kuru viens galapunkts atrodas uz šīs taisnes , sauc par perpendikulu no punkta pret taisni . Perpendikulāras taisnes Perpendikulāras taisnes ir taisnes , kuras krustojoties veido taisnu leņķi . Perpendikulāras taisnes var uzzīmēt , izmantojot uzstūri vai jebkuru priekšmetu ar taisnu leņķi . Divas taisnes sauc par perpendikulārām , ja tās krustojoties veido taisnu leņķi jeb . Taišņu a un b perpendikularitāti apzīmē šādi : Tā kā lielu leņķi var veidot gan krustiskas taisnes , gan šķērsas taisnes ( leņķis starp šķērsām taisnēm ir vienāds ar leņķi starp šīm taisnēm paralēlām krustiskām taisnēm ) , tad perpendikulāras taisnes arī var būt gan krustiskas , gan šķērsas taisnes . Teorēma : Ja viena no divām paralēlām taisnēm ir perpendikulāra kādai trešajai taisnei , tad arī otra taisne ir tai perpendikulāra . Taisnes un plaknes perpendikularitāte Taisni sauc par perpendikulāru plaknei , ja tā ir perpendikulāra katrai šīs plaknes taisnei . Iespējami trīs taisnes un plaknes savstarpējie stāvokļi : taisnei un plaknei ir bezgalīgi daudz kopīgu punktu ( visi taisnes punkti pieder plaknei jeb taisne atrodas plaknē ) taisnei un plaknei ir viens kopīgs punkts - taisne krusto plakni taisnei un plaknei nav kopīgu punktu . Teorēma : Ja viena no divām paralēlām taisnēm ir perpendikulāra kādai plaknei , tad arī otra taisne ir perpendikulāra šai plaknei . Ir spēkā arī apgrieztā teorēma : Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai un tai pašai plaknei , tad tās ir paralēlas . Taisnes un plaknes perpendikularitātes pazīme Ja taisnes ir perpendikulāra divām krustiskām taisnēm , kas atrodas plaknē , tad taisne ir perpendikulāra arī pašai plaknei . Taisnes un divu paralēlu plakņu perpendikularitāte Teorēma : Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām plaknēm , tad tā ir perpendikulāra arī otrai plaknei . Apgrieztā teorēma : Ja divas plaknes ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei , tad šīs plaknes ir paralēlas . Savstarpēji perpendikulāras taisnes un plaknes konstruēšana Teorēma : Caur jebkuru telpas punktu var novilkt vienu vienīgu plakni , kas perpendikulāra dotajai taisnei . Teorēma : Caur jebkuru telpas punktu var novilkt vienu vienīgu taisni , kas perpendikulāra dotajai plaknei . Perpendikuls un slīpnes pret plakni . Attālums no punkta līdz plaknei Taisnes nogriezni , kas novilkts perpendikulāri no punkta līdz plaknei , sauc par perpendikulu pret šo plakni . Ja kāda taisne krusto plakni , bet nav tai perpendikulāra , tad šādu taisni sauc par slīpu taisni ( attiecībā pret minēto plakni ) . Slīpas taisnes nogriezni , kas novilkts no punkta līdz plaknei , sauc par slīpni pret šo plakni . Teorēma : No kāda punkta pret plakni novilktais perpendikuls ir īsāks nekā jebkura slīpne , kas novilkta no tā paša punkta pret šo pašu plakni . Attālums starp divām paralēlām plaknēm Par attālumu starp divām paralēlām plaknēm sauc attālumu no vienas plaknes punkta līdz otrai plaknei . Caur taisni m novelk plakni b , kas paralēla plaknei a . Tā kā visi plaknes b punkti atrodas vienādā attālumā no plaknes a , tad arī visi taisnes m punkti atrodas vienādā attālumā no plaknes a . Tāpēc , nosakot attālumu starp taisni m un tai paralēlo plakni a , uz taisnes var brīvi izvēlēties kādu punktu C un noteikt tā attālumu CC1 līdz plaknei a . Par attālumu starp taisni un tai paralēlu plakni sauc attālumu no jebkura taisnes punkta līdz plaknei . Slīpņu un to projekciju garumu salīdzināšana Teorēma : Ja no viena punkta pret plakni ir novilktas divas slīpnes , tad vienādām slīpnēm atbilst vienādas projekcijas īsākajai slīpnei atbilst īsākā projekcija . Pierādījums : Izvēlas punktu A ārpus plaknes a . No punkta A pret plakni a novelk perpendikulu AA1 un slīpnes AK , AL un AM tā , lai AK = AL , bet AK > AM . Salīdzina šo slīpņu projekcijas : A1 L , A1K un A1M . Secina , ka trijstūris AA1 = trijstūris AA1L kā taisnleņķa trijstūri , kuru hipotenūzas AK un AL ir vienādas , bet katete AA1 - kopīga . Tas nozīmē , ka katetes A1K un A1L arī ir vienādas . Tātad vienādām slīpnēm atbilst vienādas projekcijas . Trijstūra AA1K plaknē novelk slīpni AM1 tā , lai AM1 = AM . Tā kā AM1 un AK ir slīpnes no punkta A pret taisni A1K un ir zināms , ka īsākajai slīpnei pret taisni atbilst īsākā projekcija , tad A1M1 < A1K . Savukārt no punkta pierādītā izriet , ka vienādām slīpnēm AM un AM1 atbilst vienādas projekcijas . Tāpēc arī A1M < A1k1 , un tādējādi ir pierādīts , ka pret plakni novilktai īsākajai slīpnei atbilst īsākā projekcija . Leņķis starp taisni un plakni Teorēma : Leņķis starp slīpni un tās projekciju plaknē ir vismazākais no visiem leņķiem , kurus dotā slīpne veido ar jebkuru citu taisni , kas novilkta plaknē . Par leņķi starp taisni un plakni sauc leņķi starp taisni un tās projekciju plaknē . Ja taisne ir perpendikulāra plaknei , tad uzskata , ka leņķis starp šo taisni un plakni ir , bet , ja taisne ir paralēla plaknei , tad uzskata , ka leņķis starp šo taisni un plakni ir . Triju perpendikulu teorēma Teorēma : Ja taisne , kas atrodas plaknē , ir perpendikulāra pret slīpnes projekciju , tad tā ir perpendikulāra arī pret pašu taisni . Šo teorēmu sauc par triju perpendikulu teorēmu tāpēc , ka tā saista trīs perpendikulus : CB pret plakni alfa BA pret taisni a CA pret taisni a . Risinot uzdevumus , ļoti bieži ir jāizmanto triju perpendikulu teorēmas apgrieztā teorēma : Ja taisne , kas atrodas plaknē , ir perpendikulāra pret slīpni , tad tā ir perpendikulāra arī pret šis slīpnes projekciju . Eiklīda teorēma Taisnleņķa trijstūra katete ir vidējais proporcionālais starp hipotenūzu un šīs katetes projekciju uz hipotenūzas . Taisnleņķa trijstūra augstums , kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes , ir vidējais proporcionālais starp katešu projekcijām uz hipotenūzas . Pierādījums : Visi trīs taisnleņķa trijstūri ACD , ACB , CDB ir līdzīgi . Tāpēc ir spēkā šādas attiecības : b2 = cbc a2 = cac h2c = acbc Trijstūru augstumi un riņķa līnija Apvilktās riņķa līnijas centrs atrodas trijstūra vidusperpendikulu krustpunktā . Ārējās saites ScriGroup - documente , proiecte , analize Atsauces Ģeometrija