Inelul numerelor întregi
În matematică, inelul numerelor întregi al unui corp algebric K este inelul elementelor întregi conținute în K.

Pentru construcția mulțimii numerelor întregi  se utilizează următoarea teoremă atribuită lui Anatoli Malțev:

Teoremă.

Fie  un monoid comutativ cu proprietatea de simplificare.
Atunci există un grup comutativ G(M) și un morfism injectiv de monoizi:

care verifică următoarea proprietate de universalitate:

Pentru orice grup comutativ G și orice morfism de monoizi  există un unic morfism de grupuri  astfel încât diagrama de mai jos este comutativă (adică ):

Demonstrație

Pe mulțimea  definim relația  Se demonstrează că  este o echivalență pe  compatibilă cu structura de monoid a lui  (adică  este o congruență pe monoidul produs ).

În mod evident, relația  este reflexivă și simetrică.
Dacă  și  atunci  și  de unde  deci  adică  deci relația  este și tranzitivă, de unde concluzia că  este o echivalență pe .

Teoria numerelor
Algebră abstractă
În matematică , inelul numerelor întregi al unui corp algebric K este inelul elementelor întregi conținute în K . Pentru construcția mulțimii numerelor întregi se utilizează următoarea teoremă atribuită lui Anatoli Malțev : Teoremă . Fie un monoid comutativ cu proprietatea de simplificare . Atunci există un grup comutativ G( M ) și un morfism injectiv de monoizi : care verifică următoarea proprietate de universalitate : Pentru orice grup comutativ G și orice morfism de monoizi există un unic morfism de grupuri astfel încât diagrama de mai jos este comutativă ( adică ) : Demonstrație Pe mulțimea definim relația Se demonstrează că este o echivalență pe compatibilă cu structura de monoid a lui ( adică este o congruență pe monoidul produs ) . În mod evident , relația este reflexivă și simetrică . Dacă și atunci și de unde deci adică deci relația este și tranzitivă , de unde concluzia că este o echivalență pe \ . Teoria numerelor Algebră abstractă