Limită a unei funcții
În calculul diferențial și calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcții.

Limita unei funcții într-un punct 
Conceptul de limită a unei funcții într-un punct este folosit în studiul continuității, derivatei, integralei și alte studii.

Considerând o funcție  se analizează comportamentul lui  atunci când x se apropie de o valoare reală fixată xo.
Pentru aceasta se presupune că f(x) este definită pentru orice x care se apropie de xo.
Cu alte cuvinte, se presupune că domeniul de definiție A conține o  mulțime de forma  unde 

Definiție („definiția cu ε (epsilon) și δ (delta)”):
Funcția f are limita l în punctul xo dacă pentru orice  există un număr  astfel ca  și 

Faptul că funcția f are limita l în punctul xo se notează:

 sau 

Definiție („definiția cu șiruri”):
Se spune că funcția f are limita l (finită sau infinită) în punctul  dacă pentru orice șir  convergent către  șirul valorilor funcției  este convergent către l.

Cazuri limită 
Pentru cazul când unul sau amândouă numerele xo și l nu sunt finite, există următoarele definiții:
   înseamnă: pentru orice  există un  astfel încât oricare ar fi  cu proprietatea  să avem 

   înseamnă: pentru orice  există un  astfel încât oricare ar fi  cu proprietatea  să avem 

   înseamnă: pentru orice  există un  astfel încât oricare ar fi  cu proprietatea  să avem 

   înseamnă: pentru orice  există un  astfel încât oricare ar fi  cu proprietatea  să avem 

   înseamnă: pentru orice  există un  astfel încât oricare ar fi  cu proprietatea  să avem 

   înseamnă: pentru orice  există un  astfel încât oricare ar fi  cu proprietatea  să avem 

   înseamnă: pentru orice  există un  astfel încât oricare ar fi  cu proprietatea  să avem 

   înseamnă: pentru orice  există un  astfel încât oricare ar fi  cu proprietatea  să avem

Limite laterale ale unei funcții 
Definiție:
Se spune că funcția  are în punctul  (punct de acumulare al mulțimii E) limita la stânga , dacă pentru orice vecinătate U a lui  există o vecinătate V a lui , astfel încât, oricare ar fi  să avem 

Se notează:

În mod similar se definește limita la dreapta și se notează:

Proprietăți 
Teorema 1.
Fie  o funcție și  un punct de acumulare al lui E.
Dacă  atunci 

Teorema 2.
(Criteriul majorării)
Dacă f și g sunt definite pe E, dacă  și dacă există un număr finit l și o vecinătate V a lui , astfel încât să fie valabilă inegalitatea  pentru orice  atunci

Limita unei funcții compuse 
Fie funcțiile  și funcția compusă:  

 
pentru 
Fie  un punct de acumulare al lui E și  un punct de acumulare al lui F.

Teoremă.
Dacă  și dacă  atunci funcția compusă  are limită în  și

Bibliografie 
 Constantin Ionescu-Țiu, Liviu Pârșan, Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate, Editura Albatros, București, 1975

Vezi și 
 Funcție continuă
 Derivată
 Limită a unui șir

Funcții matematice
Analiză matematică
În calculul diferențial și calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcții . Limita unei funcții într- un punct Conceptul de limită a unei funcții într- un punct este folosit în studiul continuității , derivatei , integralei și alte studii . Considerând o funcție se analizează comportamentul lui atunci când x se apropie de o valoare reală fixată xo . Pentru aceasta se presupune că f( x ) este definită pentru orice x care se apropie de xo . Cu alte cuvinte , se presupune că domeniul de definiție A conține o mulțime de forma unde Definiție ( „ definiția cu ε ( epsilon ) și δ ( delta ) ” ) : Funcția f are limita l în punctul xo dacă pentru orice există un număr astfel ca și Faptul că funcția f are limita l în punctul xo se notează : sau Definiție ( „ definiția cu șiruri ” ) : Se spune că funcția f are limita l ( finită sau infinită ) în punctul dacă pentru orice șir convergent către șirul valorilor funcției este convergent către l. Cazuri limită Pentru cazul când unul sau amândouă numerele xo și l nu sunt finite , există următoarele definiții : înseamnă : pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem înseamnă : pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem înseamnă : pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem înseamnă : pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem înseamnă : pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem înseamnă : pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem înseamnă : pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem înseamnă : pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem Limite laterale ale unei funcții Definiție : Se spune că funcția are în punctul ( punct de acumulare al mulțimii E ) limita la stânga , dacă pentru orice vecinătate U a lui există o vecinătate V a lui , astfel încât , oricare ar fi să avem Se notează : În mod similar se definește limita la dreapta și se notează : Proprietăți Teorema Fie o funcție și un punct de acumulare al lui E. Dacă atunci Teorema ( Criteriul majorării ) Dacă f și g sunt definite pe E , dacă și dacă există un număr finit l și o vecinătate V a lui , astfel încât să fie valabilă inegalitatea pentru orice atunci Limita unei funcții compuse Fie funcțiile și funcția compusă : pentru Fie un punct de acumulare al lui E și un punct de acumulare al lui F. Teoremă . Dacă și dacă atunci funcția compusă are limită în și Bibliografie Constantin Ionescu -Țiu , Liviu Pârșan , Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate , Editura Albatros , București , Vezi și Funcție continuă Derivată Limită a unui șir Funcții matematice Analiză matematică