Ecuația funcțională exponențială
ECUAȚIA FUNCȚIONALĂ EXPONENȚIALĂ

Definiție:  Se numește ecuație funcțională exponențială problema determinării tuturor funcțiilor   care pentru orice  verifică relația .

Exemplul 1. Funcțiile continue  care pentru orice  verifică relația .

	Soluție: Fie  Pentru  obținem relația: . Dacă există  astfel încât , atunci pentru orice  avem că . Din aceste relații deducem că o funcție   cu proprietățile din enunț sau este identic nulă sau  pentru orice . Analizăm cazul  pentru orice .

 În acest caz considerăm funcția  definită pentru orice   prin . 
Fie . Atunci .
Funcția   fiind continuăși aditivă are proprietatea că , pentru orice . Observăm că  sau echivalent .
În concluzie, pentru orice avem că .

Exemplul 2. Funcțiile continue  care pentru orice  verifică relația .

	Soluție: Fie . Din enunț rezultă că .
Considerăm  definită pentru orice  prin . Atunci .

Dacă  atunci pentru orice  avem că .
În acest caz  pentru orice . Presupunem că . Atunci
.
În plus, din continuitatea funcției  rezultă continuitatea funcției   . Fie .
Rezultă că . Prin urmare, .

Note

Bibliografie
 M. O. Drimbe, 200 de ecuații funcționale pe N,Z,Q, Editura GIL, Zalău, 2003, ISBN 973-9417-10-8
 A. Engel, Probleme de matematică. Strategii de rezolvare, Editura GIL, Zalău, 2006, ISBN 973-9417-65-5

Vezi și

Legături externe

Ecuații
ECUAȚIA FUNCȚIONALĂ EXPONENȚIALĂ Definiție : Se numește ecuație funcțională exponențială problema determinării tuturor funcțiilor care pentru orice verifică relația \ . Exemplul Funcțiile continue care pentru orice verifică relația \ . Soluție : Fie Pentru obținem relația : \ . Dacă există astfel încât , atunci pentru orice avem că \ . Din aceste relații deducem că o funcție cu proprietățile din enunț sau este identic nulă sau pentru orice \ . Analizăm cazul pentru orice \ . În acest caz considerăm funcția definită pentru orice prin \ . Fie \ . Atunci \ . Funcția fiind continuăși aditivă are proprietatea că , pentru orice \ . Observăm că sau echivalent \ . În concluzie , pentru orice avem că \ . Exemplul Funcțiile continue care pentru orice verifică relația \ . Soluție : Fie \ . Din enunț rezultă că \ . Considerăm definită pentru orice prin \ . Atunci \ . Dacă atunci pentru orice avem că \ . În acest caz pentru orice \ . Presupunem că \ . Atunci . În plus , din continuitatea funcției rezultă continuitatea funcției \ . Fie \ . Rezultă că \ . Prin urmare , \ . Note Bibliografie M. O. Drimbe,de ecuații funcționale pe N,Z,Q , Editura GIL , Zalău , ISBN10-8 A. Engel , Probleme de matematică . Strategii de rezolvare , Editura GIL , Zalău , ISBN65-5 Vezi și Legături externe Ecuații