Serie formală
În algebră, conceptul de serie formală reprezintă o generalizare a noțiunii de polinom.
A apărut în lucrările lui Isaac Newton și are aplicații în analiza matematică, studiul ecuațiilor diferențiale, geometrie algebrică și în alte ramuri matematice.

Definiție 
Fie  un inel integru.
Se numește serie formală, într-o variabilă cu coeficienți în inelul  o funcție 

Fie mulțimea valorilor lui 
Acestei mulțimi i se asociază expresia:

unde  este șirul de numere reale care are al doilea element 1, iar celelalte elemente zero.
Deoarece seriei formale i se poate asocia expresia de mai sus, în loc de  se mai scrie  iar elementele  se numesc coeficienții seriei formale f.

Mulțimea seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul integru  se notează

Exemple 
 Orice polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul  este o serie formală:
 
astfel încât există  pentru care  iar 
În acest caz, k se numește gradul polinomului f, iar f se mai scrie sub forma:

Dacă  atunci gradul polinomului f se consideră a fi 

  

.  

  

În exemplul  se vede că unui polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul A i se asociază un număr natural bine determinat, gradul acestuia.
Pentru o serie formală oarecare  nu se mai poate defini noțiunea de grad, deoarece nu se știe dacă există un număr natural  astfel încât  pentru 
Există însă cel mai mic număr natural  pentru care  (eventual ).

Ordinul unei serii formale 

Se numește ordinul seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul  numărul:

Operații cu serii formale 
Fie  și  două serii formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul 
Se definește suma și produsul lor astfel:

Dacă  este un inel comutativ, atunci și  este un inel comutativ.

"Adunarea" și "înmulțirea" seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ  sunt asociative și comutative deoarece "adunarea" și "înmulțirea" din inelul  sunt asociative și comutative.

Seria formală  este element neutru pentru adunarea seriilor formale.

Dacă  atunci seria formală  este opusa seriei formale  întrucât 
Seria formală   este element neutru pentru înmulțirea seriilor formale.

Serii formale inversabile 

O serie formală într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ  
 
este inversabilă în  dacă și numai dacă elementul  este inversabil în 

Se arată mai întâi că dacă seria formală  este inversabilă în  atunci  este inversabilă în 
Fie  astfel încât 
Atunci  deci  este inversabil în 

Reciproc, acum se presupune că elementul  este inversabil în  și se arată că seria formală  este inversabilă în 
Pentru aceasta, se demonstrează că există o serie formală  astfel încât 
Pentru aceasta, se arată că există elementele  astfel încât:

Din  rezultă că 

Din  rezultă că 

Din  rezultă că 

Dacă se presupune că sunt determinați  atunci din relația  rezultă că 

Deci există o serie formală  astfel încât

Exemple de serii formale inversabile 
 Fie  Deoarece  rezultă că:

Se observă că  este inversabil în  dar nu este inversabil în 

 Fie 

Elementul  este inversabil, deci seria formală  este inversabilă în 
Se determină seria formală:

Se obține: 

Prin identificarea coeficienților, se obține:

Deci coeficienții se repetă. Prin urmare:

Aplicații 
Fie  și 
Se arată că 
Există relațiile:

 (deoarece toți coeficienții puterilor lui  sunt nuli).

Prin urmare  Rezultă:

 de unde 

Se vor defini cu ajutorul seriilor formale unele funcții elementare care sunt utilizate frecvent.
Pentru a demonstra unele proprietăți ale acestor funcții, se va utiliza noțiunea de derivată a unei serii formale.

Se numește derivata seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ 
 
seria formală:

Derivata unei serii formale  se mai notează  sau 

Se remarcă faptul că dacă  este o serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali, atunci  este derivata obișnuită a funcției

Funcțiile trigonometrice formale 

Se numește funcția sinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

Se numește funcția cosinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

Pentru funcțiile trigonometrice formale există relațiile:

De remarcat faptul că: 

Dacă  atunci :

Se consideră seriile formale în variabila  cu coeficienți reali:

Se remarcă faptul că: 
De asemenea:

Derivând și seria formală  se obține:

Dacă  are ordinul zero, adică 
Însă  prin urmare 
De aici rezultă și  deci:

Funcția exponențială 

Se numește funcție exponențială funcția  definită prin seria formală:

unde 

Prin urmare: 

Pentru funcția exponențială  se mai folosește și notația 

Se remarcă faptul că

Bibliografie 
 Miron Nicolescu - Analiză matematică, vol. I, 1957;
 P. Samuel, O. Zariski - Comutative algebra, vol. I, 1959;
 N. Radu, I. D. Ion - Algebra, 1970.

Serii matematice
Algebră comutativă
În algebră , conceptul de serie formală reprezintă o generalizare a noțiunii de polinom . A apărut în lucrările lui Isaac Newton și are aplicații în analiza matematică , studiul ecuațiilor diferențiale , geometrie algebrică și în alte ramuri matematice . Definiție Fie un inel integru . Se numește serie formală , într- o variabilă cu coeficienți în inelul o funcție Fie mulțimea valorilor lui Acestei mulțimi i se asociază expresia : unde este șirul de numere reale care are al doilea element iar celelalte elemente zero . Deoarece seriei formale i se poate asocia expresia de mai sus , în loc de se mai scrie iar elementele se numesc coeficienții seriei formale f . Mulțimea seriilor formale într- o variabilă cu coeficienți în inelul integru se notează Exemple Orice polinom într- o variabilă cu coeficienți în inelul este o serie formală : astfel încât există pentru care iar În acest caz , k se numește gradul polinomului f , iar f se mai scrie sub forma : Dacă atunci gradul polinomului f se consideră a fi . În exemplul se vede că unui polinom într- o variabilă cu coeficienți în inelul A i se asociază un număr natural bine determinat , gradul acestuia . Pentru o serie formală oarecare nu se mai poate defini noțiunea de grad , deoarece nu se știe dacă există un număr natural astfel încât pentru Există însă cel mai mic număr natural pentru care ( eventual ) . Ordinul unei serii formale Se numește ordinul seriei formale într- o variabilă cu coeficienți în inelul numărul : Operații cu serii formale Fie și două serii formale într- o variabilă cu coeficienți în inelul Se definește suma și produsul lor astfel : Dacă este un inel comutativ , atunci și este un inel comutativ . " Adunarea " și " înmulțirea " seriilor formale într- o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ sunt asociative și comutative deoarece " adunarea " și " înmulțirea " din inelul sunt asociative și comutative . Seria formală este element neutru pentru adunarea seriilor formale . Dacă atunci seria formală este opusa seriei formale întrucât Seria formală este element neutru pentru înmulțirea seriilor formale . Serii formale inversabile O serie formală într- o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ este inversabilă în dacă și numai dacă elementul este inversabil în Se arată mai întâi că dacă seria formală este inversabilă în atunci este inversabilă în Fie astfel încât Atunci deci este inversabil în Reciproc , acum se presupune că elementul este inversabil în și se arată că seria formală este inversabilă în Pentru aceasta , se demonstrează că există o serie formală astfel încât Pentru aceasta , se arată că există elementele astfel încât : Din rezultă că Din rezultă că Din rezultă că Dacă se presupune că sunt determinați atunci din relația rezultă că Deci există o serie formală astfel încât Exemple de serii formale inversabile Fie Deoarece rezultă că : Se observă că este inversabil în dar nu este inversabil în Fie Elementul este inversabil , deci seria formală este inversabilă în Se determină seria formală : Se obține : Prin identificarea coeficienților , se obține : Deci coeficienții se repetă . Prin urmare : Aplicații Fie și Se arată că Există relațiile : ( deoarece toți coeficienții puterilor lui sunt nuli ) . Prin urmare Rezultă : de unde Se vor defini cu ajutorul seriilor formale unele funcții elementare care sunt utilizate frecvent . Pentru a demonstra unele proprietăți ale acestor funcții , se va utiliza noțiunea de derivată a unei serii formale . Se numește derivata seriei formale într- o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ seria formală : Derivata unei serii formale se mai notează sau Se remarcă faptul că dacă este o serie formală într- o variabilă cu coeficienți reali , atunci este derivata obișnuită a funcției Funcțiile trigonometrice formale Se numește funcția sinus formal următoarea serie formală într- o variabilă cu coeficienți reali : Se numește funcția cosinus formal următoarea serie formală într- o variabilă cu coeficienți reali : Pentru funcțiile trigonometrice formale există relațiile : De remarcat faptul că : Dacă atunci \ : Se consideră seriile formale în variabila cu coeficienți reali : Se remarcă faptul că : De asemenea : Derivând și seria formală se obține : Dacă are ordinul zero , adică Însă prin urmare De aici rezultă și deci : Funcția exponențială Se numește funcție exponențială funcția definită prin seria formală : unde Prin urmare : Pentru funcția exponențială se mai folosește și notația Se remarcă faptul că Bibliografie Miron Nicolescu - Analiză matematică , vol . I , P. Samuel , O. Zariski - Comutative algebra , vol . I , N. Radu , I. D. Ion - Algebra , Serii matematice Algebră comutativă