Calcul variațional
Calculul variațional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.

Printre problemele care au generat apariția calculului variațional se numără problema izoperimetrelor și problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).

Denumirea și fundamentarea calculului variațional i se datorează lui Euler (1744).
Lagrange (1760) a introdus noțiunea de variație și a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcționale.

Calculul variațional are aplicații în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.

Istoric 
Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variațional este așa numita problemă a lui Dido.
Conform legendei, Didona, al cărui soț fusese asasinat, este nevoită să fugă cu averea acestuia.
Debarcând pe țărmul african, localnicii îi oferă suprafața pe care poate să o cuprindă cu o piele de taur.
Didona taie pielea în fâșii înguste pe care le leagă cap la cap și înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, căreia îi devine regină.

Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus ﬁrul alcătuit din fâșiile înguste pentru ca el să înconjoare o porțiune de arie maximă?

Formulare matematică 
Problema are mai multe variante.
Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă țărmul mării și că punctele  reprezintă capetele firului, graficul funcției  definită și derivabilă pe [a, b], este firul.
Aria limitată de fir și țărm este:

în timp de lungimea firului este:

Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcției  definite și derivabile pe [a, b], care satisface condițiile:

astfel încât integrala:

să aibă valoarea maximă.

Din motive evidente, o asemenea problemă se numește problemă izoperimetrică.
Încă din antichitate se cunoștea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, ceea ce se poate demonstra.

Se poate raționa și altfel.
Fie  arcul graficului.
În relația:

se consideră pe x, y ca funcții de absisa curbilinie s și integrăm prin părți:

Problema revine la a determina funcția  definită pe intervalul  cu proprietatea că  și că integrala:

are valoare minimă.

O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:

funcțiile  fiind deci derivabile pe porțiuni pe 
Atunci lungimea firului este:

iar aria limitată de fir este:

Problema revine deci la determinarea celor două funcții  definite și derivabile pe porțiuni pe intervalul  astfel încât să aibă relația:

și ca integrala:

să fie maximă.
Și aceasta este tot o problemă izoperimetrică și curba care dă soluția este un cerc.
Calculul variațional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale . Printre problemele care au generat apariția calculului variațional se numără problema izoperimetrelor și problema brahistocronei ( Jean Bernoulli , Denumirea și fundamentarea calculului variațional i se datorează lui Euler Lagrangea introdus noțiunea de variație și a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcționale . Calculul variațional are aplicații în mecanica sistemelor , hidrodinamică , teoria elasticității , optică geometrică . Istoric Din punct de vedere istoric , prima problema de calcul variațional este așa numita problemă a lui Dido . Conform legendei , Didona , al cărui soț fusese asasinat , este nevoită să fugă cu averea acestuia . Debarcând pe țărmul african , localnicii îi oferă suprafața pe care poate să o cuprindă cu o piele de taur . Didona taie pielea în fâșii înguste pe care le leagă cap la cap și înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei , căreia îi devine regină . Încă din antichitate , latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni : cum trebuie dispus ﬁrul alcătuit din fâșiile înguste pentru ca el să înconjoare o porțiune de arie maximă ? Formulare matematică Problema are mai multe variante . Una din acestea ar fi următoarea : să presupunem că axa x'Ox reprezintă țărmul mării și că punctele reprezintă capetele firului , graficul funcției definită și derivabilă pe [ a , b ] , este firul . Aria limitată de fir și țărm este : în timp de lungimea firului este : Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcției definite și derivabile pe [ a , b ] , care satisface condițiile : astfel încât integrala : să aibă valoarea maximă . Din motive evidente , o asemenea problemă se numește problemă izoperimetrică . Încă din antichitate se cunoștea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc , ceea ce se poate demonstra . Se poate raționa și altfel . Fie arcul graficului . În relația : se consideră pe x , y ca funcții de absisa curbilinie s și integrăm prin părți : Problema revine la a determina funcția definită pe intervalul cu proprietatea că și că integrala : are valoare minimă . O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice : funcțiile fiind deci derivabile pe porțiuni pe Atunci lungimea firului este : iar aria limitată de fir este : Problema revine deci la determinarea celor două funcții definite și derivabile pe porțiuni pe intervalul astfel încât să aibă relația : și ca integrala : să fie maximă . Și aceasta este tot o problemă izoperimetrică și curba care dă soluția este un cerc .