Rang (algebră liniară)
În algebra liniară, conceptul de rang are semnificațiile:
 rangul unei familii de vectori: dimensiunea spațiului vectorial generat de acea familie.
 rangul unei aplicații liniare : dimensiunea imaginii acesteia.
 rangul unei matrice: dimensiunea spațiului vectorial generat de coloanele acesteia sau de liniile acesteia. Aceasta măsoară gradul de nedegenerare al sistemului de ecuații liniare codificat de matrice.
 rangul unui sistem de ecuații liniare: numărul de ecuații specific sistemului eșalonat echivalent; este egal cu rangul matricei coeficienților sistemului.

Rangul unei matrice 
Fie  o matrice cu n linii și m coloane.
Se numește rangul matricei A numărul natural r cu proprietățile:
 există un minor de ordinul r al lui A nenul;
 toți minorii de ordinul r+1 (dacă există) sunt nuli.

Observații:
 Rangul matricei nule, , este prin definiție zero.
 Dacă matricea are cel puțin un element diferit de zero, rangul acesteia este cel puțin 1.

Calculul rangului unei matrice 
Se numește transformare elementară a unei matrice oricare din următoarele transformări:
 schimbarea a două linii (sau coloane) între ele;
 înmulțirea elementelor unei linii (coloane) cu un număr real nenul;
 adunarea la elementele unei linii (coloane) a elementelor altei linii (coloane) înmulțite cu același număr.

Transformările elementare nu schimbă rangul unei matrice.

Matricea  are forma economică diagonală dacă are toate elementele nule, cu excepția elementelor  care au valoarea 1, adică:

Observații:
 Dacă o matrice nenulă are forma canonică diagonală, atunci elementele primelor r linii și r coloane formează matricea unitate de ordin r'''.
 Forma canonică diagonală are avantajul că pe aceasta se citește ușor că rangul acesteia este r.Teoremă.
Orice matrice nenulă poate fi adusă la forma canonică diagonală prin transformări elementare.Demonstrație.
Cel puțin un element al matricei  este nenul.
Prin schimbări de linii și coloane, elementul este adus pe linia 1 și coloana 1, apoi se împarte linia 1 cu elementul respectiv și se obține o matrice echivalentă:

Coloana 1 se înmulțește cu  și se adună cu coloana 2; coloana 1 se înmulțește cu  și se adună la coloana 3 etc.
Astfel se obține o matrice echivalentă cu  care are toate elementele de pe linia 1 nule cu excepția primului.
Procedând analog cu liniile, se formează zerouri și pe coloana 1 (cu excepția primului element) și se obține:

Dacă  atunci rangul matricei este 1.
În caz contrar, există 

Procedând ca mai înainte, se fac (prin transformări echivalente) ca și elementul de pe linia 2 și coloana 2 să fie egal cu 1, apoi se anulează celelalte elemente de pe linia 2 și coloana 2 etc.
După un număr finit de pași, se ajunge la forma canonică diagonală.

 Exemplu 
Pentru calculul rangului matricei:

se împarte linia 2 cu 3:

Apoi se schimbă liniile 1 și 4 între ele:

Apoi se formează zerouri pe linia 1:

Se formează zerouri pe coloana 1:

Se împarte linia 2 cu (-2), se adună linia 3 la linia 4, apoi se împarte linia 3 cu 5:

Se formează zerouri pe coloana 2, se schimbă coloanele 2 și 3 între ele și în final se obține:

deci Observație''.
Dacă la un moment dat toate elementele de pe o linie cu excepția uneia sunt nule, atunci se pot înlocui cu zero toate celelalte elemente de pe coloana în care se află acel element nenul.

Legături externe 

 EasyCalculation.com

Algebră liniară
În algebra liniară , conceptul de rang are semnificațiile : rangul unei familii de vectori : dimensiunea spațiului vectorial generat de acea familie . rangul unei aplicații liniare \ : dimensiunea imaginii acesteia . rangul unei matrice : dimensiunea spațiului vectorial generat de coloanele acesteia sau de liniile acesteia . Aceasta măsoară gradul de nedegenerare al sistemului de ecuații liniare codificat de matrice . rangul unui sistem de ecuații liniare : numărul de ecuații specific sistemului eșalonat echivalent ; este egal cu rangul matricei coeficienților sistemului . Rangul unei matrice Fie o matrice cu n linii și m coloane . Se numește rangul matricei A numărul natural r cu proprietățile : există un minor de ordinul r al lui A nenul ; toți minorii de ordinul r+ 1 ( dacă există ) sunt nuli . Observații : Rangul matricei nule , , este prin definiție zero . Dacă matricea are cel puțin un element diferit de zero , rangul acesteia este cel puțin Calculul rangului unei matrice Se numește transformare elementară a unei matrice oricare din următoarele transformări : schimbarea a două linii ( sau coloane ) între ele ; înmulțirea elementelor unei linii ( coloane ) cu un număr real nenul ; adunarea la elementele unei linii ( coloane ) a elementelor altei linii ( coloane ) înmulțite cu același număr . Transformările elementare nu schimbă rangul unei matrice . Matricea are forma economică diagonală dacă are toate elementele nule , cu excepția elementelor care au valoarea adică : Observații : Dacă o matrice nenulă are forma canonică diagonală , atunci elementele primelor r linii și r coloane formează matricea unitate de ordin r''' . Forma canonică diagonală are avantajul că pe aceasta se citește ușor că rangul acesteia este r.Teorem ă . Orice matrice nenulă poate fi adusă la forma canonică diagonală prin transformări elementare.Demonstra ție . Cel puțin un element al matricei este nenul . Prin schimbări de linii și coloane , elementul este adus pe liniași coloana apoi se împarte liniacu elementul respectiv și se obține o matrice echivalentă : Coloanase înmulțește cu și se adună cu coloana coloanase înmulțește cu și se adună la coloanaetc . Astfel se obține o matrice echivalentă cu care are toate elementele de pe linianule cu excepția primului . Procedând analog cu liniile , se formează zerouri și pe coloana( cu excepția primului element ) și se obține : Dacă atunci rangul matricei este În caz contrar , există Procedând ca mai înainte , se fac ( prin transformări echivalente ) ca și elementul de pe liniași coloanasă fie egal cu apoi se anulează celelalte elemente de pe liniași coloanaetc . După un număr finit de pași , se ajunge la forma canonică diagonală . Exemplu Pentru calculul rangului matricei : se împarte liniacu Apoi se schimbă liniileșiîntre ele : Apoi se formează zerouri pe linia Se formează zerouri pe coloana Se împarte liniacu se adună liniala linia apoi se împarte liniacu Se formează zerouri pe coloana se schimbă coloaneleșiîntre ele și în final se obține : deci Observație'' . Dacă la un moment dat toate elementele de pe o linie cu excepția uneia sunt nule , atunci se pot înlocui cu zero toate celelalte elemente de pe coloana în care se află acel element nenul . Legături externe EasyCalculation.com Algebră liniară