Centrul cercului înscris într-un triunghi
În geometria triunghiului, centrul cercului înscris într-un triunghi este un punct important al triunghiului.
Se află la intersecția bisectoarelor acestuia.

Existența acestuia este remarcată încă din antichitate.

Exprimare vectorială printr-un vector poziție 
Vectorul poziție al centrului I al cercului înscris în triunghiul ABC este dat de:

unde    sunt lungimile laturilor triunghiului.

Demonstrație.
Se notează    picioarele bisectoarelor din vârfurile   
Conform teoremei bisectoarei:

Rezultă că punctul    împarte segmentul    în raportul    deci:

 adică   

Din    rezultă   
Dar    deci   

   este bisectoare în triunghiul    deci aplicând teorema bisectoarei:

Rezultă că punctul I împarte segmentul    în raportul    deci

Cum    rezultă că    împarte segmentul    în raportul    deci:

adică:

Înlocuind (2) în (1), se obține formula din enunț.

Coordonatele carteziene 
Coordonatele carteziene ale acestui punct sunt:

unde  ,   și    sunt coordonatele vârfului triunghiului.

Geometria triunghiului
Cercuri
În geometria triunghiului , centrul cercului înscris într- un triunghi este un punct important al triunghiului . Se află la intersecția bisectoarelor acestuia . Existența acestuia este remarcată încă din antichitate . Exprimare vectorială printr- un vector poziție Vectorul poziție al centrului I al cercului înscris în triunghiul ABC este dat de : unde sunt lungimile laturilor triunghiului . Demonstrație . Se notează picioarele bisectoarelor din vârfurile Conform teoremei bisectoarei : Rezultă că punctul împarte segmentul în raportul deci : adică Din rezultă Dar deci este bisectoare în triunghiul deci aplicând teorema bisectoarei : Rezultă că punctul I împarte segmentul în raportul deci Cum rezultă că împarte segmentul în raportul deci : adică : Înlocuindîn se obține formula din enunț . Coordonatele carteziene Coordonatele carteziene ale acestui punct sunt : unde , și sunt coordonatele vârfului triunghiului . Geometria triunghiului Cercuri