Ecuația funcțională a lui Cauchy


Ecuația lui Cauchy pe 

Ecuația funcțională considerată de Cauchy încă înainte de anul 1900, s-a dovedit deosebit de dificilă.Determinarea soluțiilor discontinue ale acestei ecuații a dat de lucru multor matematicieni.

Noțiuni introductive

Definiție: Ecuația funcțională   se numește ecuația lui Cauchy iar soluțiile ei se numesc funcții aditive.

Proprietăți
Teoremă: Dacă  este o funcție aditivă, atunci :  (a)  pentru orice   (b) pentru orice  și   (c) Funcția  este funcție aditivă și restricția ei la  este 

Demonstrație: Din condiția   prin inducție rezultă   și în particular       deci  
Deci   Avem:   deci   și    deci   Pentru  obținem  deci punctele (a), (b) din teoremă sunt demonstrate.  (c) Din (a)  deci    Avem   deci  este aditivă.

Observația:Dacă  este o funcție aditivă și  atunci  sau  este o mulțime densă în

Bibliografie
 V. Pop, Ecuații funcționale. Ecuații clasice și probleme,  Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2002.
 J. Aczel, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York and London, 1966.

Vezi și
 Ecuația funcțională exponențială

Analiză funcțională
Ecuații
Ecuația lui Cauchy pe Ecuația funcțională considerată de Cauchy încă înainte de anul s- a dovedit deosebit de dificilă.Determinarea soluțiilor discontinue ale acestei ecuații a dat de lucru multor matematicieni . Noțiuni introductive Definiție : Ecuația funcțională se numește ecuația lui Cauchy iar soluțiile ei se numesc funcții aditive . Proprietăți Teoremă : Dacă este o funcție aditivă , atunci \ : ( a ) pentru orice ( b ) pentru orice și ( c ) Funcția este funcție aditivă și restricția ei la este Demonstrație : Din condiția prin inducție rezultă și în particular deci Deci Avem : deci și deci Pentru obținem deci punctele ( a ) , ( b ) din teoremă sunt demonstrate . ( c ) Din ( a ) deci Avem deci este aditivă . Observația:Dacă este o funcție aditivă și atunci sau este o mulțime densă în Bibliografie V. Pop , Ecuații funcționale . Ecuații clasice și probleme , Ed . Mediamira , Cluj-Napoca , J. Aczel , Lectures on functional equations and their applications , Academic Press , New York and London , Vezi și Ecuația funcțională exponențială Analiză funcțională Ecuații