Ordin (teoria grupurilor)
În teoria grupurilor, conceptul de ordin este utilizat cu următoarele semnificații:
 ordinul unui grup , notat   sau , este numărul elementelor grupului. Dacă G are o infinitate de elemente 
 ordinul unui element  dintr-un grup  : definit în cazul în care există un m natural nenul cu proprietatea  unde e este elementul neutru al grupului.

Ordinul unui element 
Definiție.
Fie grupul  și e elementul neutru.
Elementul  este de ordin finit dacă:

În acest caz, 
 
se numește ordinul elementului .

Elementul  este de ordin infinit dacă a nu este de ordin finit.

Teoremă.
Fie grupul  și  
 Dacă  atunci elementele  sunt distincte două câte două și

Proprietăți 
1.
Fie grupul 
Dacă    și   atunci   și

unde  este subgrupul generat de elementul a.

2.
Grupul finit   de ordinul  este ciclic   are un element de ordinul n.

3.
Fie grupul  
Dacă   și     atunci 

Demonstrație.
Conform teoremei împărțirii cu rest, există și sunt unice numerele întregi q, r cu proprietățile:    și   

Atunci   și cum     rezultă   deci    adică   

4.
Orice element al unui grup finit are ordinul finit.

5.
Orice două grupuri ciclice de același ordin sunt izomorfe.
Dacă G este un grup ciclic de ordinul n, atunci 

6.
Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

7.
Dacă   atunci:

a) 

b) 

Demonstrație.

a) I.
Dacă   atunci    și  

Fie    Din proprietatea 3 rezultă   

Cum     rezultă că     și cum     din proprietatea 3 rezultă că     Așadar   

II. Dacă    se va presupune că      Atunci din cazul anterior rezultă că     fals.
Așadar   

b) I.
Dacă    atunci    așadar    și     

Dar    și cum    rezultă și    și deci    

II. Dacă    presupunând că    rezultă ca mai înainte că    fals. Așadar      

Se observă că afirmația anterioară este adevărată și în cazul izomorfismelor de grupuri, ceea ce întărește imaginea intuitivă că elementele asociate printr-un izomorfism au aceleași proprietăți.

9.
Fie grupul    și    cu    astfel încât    Notăm cu    Atunci:

a)  

b)  

Demonstrație.
Se știe că dacă    atunci    

a) Se ține cont că    și    cu    iar   Mai departe:

de unde, conform consecinței 3,    unde    Acum se demonstrează că   

  și, conform consecinței 3,  

Analog rezultă că    și cum    se obține

Observații 
a)   

b) Dacă    și    atunci   

c) Există situații când   

De exemplu, în grupul    și   

10.
Fie grupul    și    Atunci:

a)   

b)   

11.
Fie    un grup ciclic de ordinul    și   

Atunci:    este generator al grupului

Note

Vezi și 
 Caracteristică a unui inel sau grup
 Teorema lui Lagrange din teoria grupurilor
 

Algebră abstractă
În teoria grupurilor , conceptul de ordin este utilizat cu următoarele semnificații : ordinul unui grup , notat sau , este numărul elementelor grupului . Dacă G are o infinitate de elemente ordinul unui element dintr- un grup \ : definit în cazul în care există un m natural nenul cu proprietatea unde e este elementul neutru al grupului . Ordinul unui element Definiție . Fie grupul și e elementul neutru . Elementul este de ordin finit dacă : În acest caz , se numește ordinul elementului \ . Elementul este de ordin infinit dacă a nu este de ordin finit . Teoremă . Fie grupul și Dacă atunci elementele sunt distincte două câte două și Proprietăți 1 . Fie grupul Dacă și atunci și unde este subgrupul generat de elementul a . 2 . Grupul finit de ordinul este ciclic are un element de ordinul n. 3 . Fie grupul Dacă și atunci Demonstrație . Conform teoremei împărțirii cu rest , există și sunt unice numerele întregi q , r cu proprietățile : și Atunci și cum rezultă deci adică 4 . Orice element al unui grup finit are ordinul finit . 5 . Orice două grupuri ciclice de același ordin sunt izomorfe . Dacă G este un grup ciclic de ordinul n , atunci 6 . Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic . 7 . Dacă atunci : a ) b ) Demonstrație . a ) I. Dacă atunci și Fie Din proprietatearezultă Cum rezultă că și cum din proprietatearezultă că Așadar II . Dacă se va presupune că Atunci din cazul anterior rezultă că fals . Așadar b ) I. Dacă atunci așadar și Dar și cum rezultă și și deci II . Dacă presupunând că rezultă ca mai înainte că fals . Așadar Se observă că afirmația anterioară este adevărată și în cazul izomorfismelor de grupuri , ceea ce întărește imaginea intuitivă că elementele asociate printr- un izomorfism au aceleași proprietăți . 9 . Fie grupul și cu astfel încât Notăm cu Atunci : a ) b ) Demonstrație . Se știe că dacă atunci a ) Se ține cont că și cu iar Mai departe : de unde , conform consecinței unde Acum se demonstrează că și , conform consecinței Analog rezultă că și cum se obține Observații a ) b ) Dacă și atunci c ) Există situații când De exemplu , în grupul și 10 . Fie grupul și Atunci : a ) b ) 11 . Fie un grup ciclic de ordinul și Atunci : este generator al grupului Note Vezi și Caracteristică a unui inel sau grup Teorema lui Lagrange din teoria grupurilor Algebră abstractă