Jacobipolynom
Inom matematiken är Jacobipolynomen en viktig klass ortogonala polynom. De introducerades av Carl Gustav Jacob Jacobi. Flera andra ortogonala polynom är specialfall av dem, däribland  Gegenbauerpolynomen, Legendrepolynomen, Zernikepolynomen samt Tjebysjovpolynomen.

Definitioner

Med hjälp av hypergeometriska funktionen

Jacobipolynomen kan definieras via hypergeometriska funktionen enligt

där  är Pochhammersymbolen. Ett ekvivalent uttyck är

Rodrigues formel
En alternativ definition ges av Rodirgues formel

Explicita uttryck för de första Jacobipolynomen

Egenskaper

Ortogonalitet

Jacobipolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

för α, β > −1.

Symmetrirelation

Jacobipolynomen satisfierar symmetrirelationen

Derivator
Jacobipolynomens kte derivata ges av

Differentialekvation
Jacobipolynomet Pn(α, β) är en lösning av andra ordningens  linjära homogena differentialekvation

Differensekvation

Jacobipolynomen satisfierar differensekvationen

för n = 2, 3, ....

Generenade funktion

Jacobipolynomens genererande funktion ges av

där

Speciella värden

Tillväxt
Jacobipolynomen satisfierar 

En annan formel är

Se även
 Askey–Gaspers olikhet

Källor

Ortogonala polynom
Inom matematiken är Jacobipolynomen en viktig klass ortogonala polynom . De introducerades av Carl Gustav Jacob Jacobi . Flera andra ortogonala polynom är specialfall av dem , däribland Gegenbauerpolynomen , Legendrepolynomen , Zernikepolynomen samt Tjebysjovpolynomen . Definitioner Med hjälp av hypergeometriska funktionen Jacobipolynomen kan definieras via hypergeometriska funktionen enligt där är Pochhammersymbolen . Ett ekvivalent uttyck är Rodrigues formel En alternativ definition ges av Rodirgues formel Explicita uttryck för de första Jacobipolynomen Egenskaper Ortogonalitet Jacobipolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen för α , β > −1 . Symmetrirelation Jacobipolynomen satisfierar symmetrirelationen Derivator Jacobipolynomens kte derivata ges av Differentialekvation Jacobipolynomet Pn(α , β) är en lösning av andra ordningens linjära homogena differentialekvation Differensekvation Jacobipolynomen satisfierar differensekvationen för n = \.... Generenade funktion Jacobipolynomens genererande funktion ges av där Speciella värden Tillväxt Jacobipolynomen satisfierar En annan formel är Se även Askey–Gaspers olikhet Källor Ortogonala polynom