Hurwitzs zetafunktion
Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion. Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz. Då Re(s) > 1 och Re(q) > 0 är dess definition

Serierepresentation
En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠ 1 av Helmut Hasse år 1930:

Taylorserie
Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är

Laurentserie
Laurentserien för  är:

där  är Stieltjeskonstanterna:

Fourierserie

Integralrepresentationer

Då  och  kan Hurwitzs zetafunktion skrivas som

En annan integral är

 

som gäller för .

Hurwitzs formel

Hurwitzs formel är teoremet

där

är en representation som gäller för  and s > 1. Här är  polylogaritmen.

Funktionalekvation
För alla  och  gäller

Speciella värden

G är Catalans konstant.

Relation till andra funktioner

Bernoullipolynomen

Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt

Jacobis thetafunktion
Om  är Jacobis thetafunktion är

Specialfall och generaliseringar

Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen:

För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen:

Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion.

En annan generalisering är Lerchs transcendent:

Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen

 där 

samt Meijers G-funktion

Referenser

Zeta- och L-funktioner
Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion . Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz . Då Re( s ) > 1 och Re(q ) > 0 är dess definition Serierepresentation En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠av Helmut Hasse år Taylorserie Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är Laurentserie Laurentserien för är : där är Stieltjeskonstanterna : Fourierserie Integralrepresentationer Då och kan Hurwitzs zetafunktion skrivas som En annan integral är som gäller för \. Hurwitzs formel Hurwitzs formel är teoremet där är en representation som gäller för and s > 1 . Här är polylogaritmen . Funktionalekvation För alla och gäller Speciella värden G är Catalans konstant . Relation till andra funktioner Bernoullipolynomen Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt Jacobis thetafunktion Om är Jacobis thetafunktion är Specialfall och generaliseringar Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen : För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen : Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion . En annan generalisering är Lerchs transcendent : Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen där samt Meijers G-funktion Referenser Zeta- och L-funktioner