Kvadrattriangulärt tal
Kvadrattriangulärt tal (eller triangulärt kvadrattal) är ett tal som både är triangeltal och kvadrattal. Det finns oändligt många kvadrattriangulära tal.

De första kvadrattriangulära talen är:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625 …

Explicita formler 
Skriv Nk för det k:te kvadrattriangulära talet, och skriv sk och tk för sidorna av motsvarande kvadrat och triangel, så att

Serierna Nk, sk och tk är OEIS-talföljderna , , och .

År 1778 fastställde Leonhard Euler den explicita formeln

Andra explicita formler (som ges genom att utöka denna formel) som kan vara praktiska är

Motsvarande explicita formler för sk och tk är 

och

Pells ekvation 
Problemet med att hitta kvadrattriangulära tal reducerar till Pells ekvation på följande sätt: Varje triangeltal är av formen t(t + 1)/2. Därför söker vi heltal t, s, så att

Med lite algebra blir det

genom att x = 2t + 1 och y = 2s, får vi den Diofantiska ekvationen

vilket är en förekomst av Pells ekvation. Denna speciella ekvation löses genom Pelltalen Pk som

och därav ges alla lösningar av

Det finns många identiteter av Pelltal, och dessa omvandlas till identiteter av de kvadrattriangulära talen.

Differensekvationer 
Det finns differensekvationer för kvadrattriangulära tal, liksom för sidorna i kvadraten och triangeln. Vi har

Vi har

Andra karakteriseringar 
Alla kvadrattriangulära tal har formen b2c2, där b / c är en konvergent till kedjebråket för kvadratroten ur 2.

A. V. Sylwester gav ett kort bevis på att det finns oändligt många kvadrattriangulära tal, nämligen:

Om triangeltalet n(n+1)/2 är kvadratiskt, då är det nästa större triangeltalet

Vi vet att denna lösning måste vara en kvadrat, eftersom det är en produkt av tre kvadrater: 2^2 (av exponenten), (n(n+1))/2 (det n:te triangeltalet, av bevis förutsättande) och (2n+1)^2 (av exponenten). Produkten av alla tal som är kvadrater kommer att leda till en annan kvadrat, vilket bäst kan bevisas genom att geometriskt visualisera multiplikation av en NxN-låda med en MxM-låda, vilket görs genom att placera en MxM-låda inuti varje cell av NxN-lådan, som ger en annan kvadratisk lösning.

Den genererande funktionen för de kvadrattriangulära talen är:

Numeriska data 
Eftersom k blir större så är förhållandet tk / sk  och förhållandet mellan successiva kvadrattriangulära tal

Källor

Externa länkar 
 Triangeltal som även är kvadrattal på cut-the-Knot 
 
 Michael Dummett's lösning 

Figurtal
Heltalsmängder
Kvadrattriangulärt tal ( eller triangulärt kvadrattal ) är ett tal som både är triangeltal och kvadrattal . Det finns oändligt många kvadrattriangulära tal . De första kvadrattriangulära talen är : 0 , … Explicita formler Skriv Nk för det k:te kvadrattriangulära talet , och skriv sk och tk för sidorna av motsvarande kvadrat och triangel , så att Serierna Nk , sk och tk är OEIS-talföljderna , , och \ . Årfastställde Leonhard Euler den explicita formeln Andra explicita formler ( som ges genom att utöka denna formel ) som kan vara praktiska är Motsvarande explicita formler för sk och tk är och Pells ekvation Problemet med att hitta kvadrattriangulära tal reducerar till Pells ekvation på följande sätt : Varje triangeltal är av formen t(t +2 . Därför söker vi heltal t , s , så att Med lite algebra blir det genom att x = +och y = , får vi den Diofantiska ekvationen vilket är en förekomst av Pells ekvation . Denna speciella ekvation löses genom Pelltalen Pk som och därav ges alla lösningar av Det finns många identiteter av Pelltal , och dessa omvandlas till identiteter av de kvadrattriangulära talen . Differensekvationer Det finns differensekvationer för kvadrattriangulära tal , liksom för sidorna i kvadraten och triangeln . Vi har Vi har Andra karakteriseringar Alla kvadrattriangulära tal har formen b2c2 , där b / c är en konvergent till kedjebråket för kvadratroten ur A. V . Sylwester gav ett kort bevis på att det finns oändligt många kvadrattriangulära tal , nämligen : Om triangeltalet n( n+1) /2 är kvadratiskt , då är det nästa större triangeltalet Vi vet att denna lösning måste vara en kvadrat , eftersom det är en produkt av tre kvadrater:2 ( av exponenten ) , ( n( n+1 ) ) /2 ( det n:te triangeltalet , av bevis förutsättande ) och+1) ^2 ( av exponenten ) . Produkten av alla tal som är kvadrater kommer att leda till en annan kvadrat , vilket bäst kan bevisas genom att geometriskt visualisera multiplikation av en NxN-låda med en MxM-låda , vilket görs genom att placera en MxM-låda inuti varje cell av NxN-lådan , som ger en annan kvadratisk lösning . Den genererande funktionen för de kvadrattriangulära talen är : Numeriska data Eftersom k blir större så är förhållandet tk / sk och förhållandet mellan successiva kvadrattriangulära tal Källor Externa länkar Triangeltal som även är kvadrattal på cut-the-Knot Michael Dummett's lösning Figurtal Heltalsmängder