Komplext vektorrum
Ett komplext vektorrum har många likheter med det "vanliga" reella vektorrummet. Den största skillnaden är att skalärerna är komplexa tal. Vanliga beteckningar för reella vektorrum är  medan komplexa vektorrum ofta betecknas med . Fortfarande bygger det komplexa vektorrummet på linjära strukturer med addition och multiplikation likt det reella fast med några få skillnader. 

samt att
.

Som vi ser tillåts konstanten  vara ett komplext tal.

__INNEHÅLLSFÖRTECKNING__

Definition  

Med hjälp av addition och multiplikation definieras ett komplext vektorrum  av följande:

  gäller att 
  gäller att 
  sådant att  gäller att 
  sådant att 
  gäller att 
  och  gäller att 
  och  gäller att 
  och  gäller att 
  och  gäller att 
  gäller att 

Komplexa underrum definieras på samma sätt som reella underum.

Skalärprodukt 

Definitionen av skalärprodukt i ett komplext vektorrum är likt den för reella vektorrum.
Om
 
så är 

där 
 
är komplexkonjugatet till 

Notera att om  och  skulle tillhöra  är definitionen av skalärprodukt den samma som för reella vektorrum, ty komplexkonjugatet förändras inte om imaginärdelen av det komplexa talet är noll.

Egenskaper för skalärprodukt 
Låt  och  vara vektorer i  och  vara ett komplext tal. Då gäller följande egenskaper för skalärprodukt:

 
 
 
 
 
 

Definitionen och egenskaperna ovan är den vanligaste definition för skalärprodukt i ett komplext vektorrum. Men den kan bli mer generell genom några få symboländringar och kallas då komplex inre produkt. Ett komplext vektorrum med en komplex inre produkt kallas komplext inre produktrum eller unitärt rum.

Vektorlängd 

Definitionen av längden (eller normen) av en vektor i ett komplext rum är samma som för ett reellt rum.

Notera att  kan med hjälp av konjugatregeln skrivas som 

Därmed har vi visat egenskap nummer 5 ovan.

Matriser  

Avbildningar i komplexa vektorrum kan likt avbildningar i reella vektorrum beskrivas av matriser, till exempel som

I reella vektorrum är ortogonala och symmetriska matriser väsentliga. I komplexa vektorrum finns motsvarande matriser. Dessa kallas unitära respektive hermiteska matriser.

Unitär matris  
En komplex matris  kallas unitär om
 där 
det vill säga, A är lika med sitt komplexkonjugerade transponat.

Om  är komplexa matriser och  är ett komplext tal gäller

 
 
 
 

Vidare gäller att
en n  n matris A är unitär  A:s radvektorer (eller kolonnvektorer) är en ortogonal bas i .

Hermitesk matris 
En komplex kvadratisk matris  kallas hermitesk om

Sats 1

Om  är en hermitek matris, så är dess egenvärden reella. 

Bevis

Om  är ett egenvärde till  med tillhörande egenvektor . 

Om ekvationen  multipliceras med  så fås

Vidare framgår att

Av likheten
 
och att  är en hermitesk  matris följer att  måste vara reell.

VSB.

Det finns en liknande sats för reella vektorrum, men i det fallet måste matrisen vara symmetrisk istället för hermitesk. 

Sats 2

Om  är en  hermitesk matris så är
 egenvektorerna för motsvarande egenvärden ortogonala.
  är unitärt diagonaliserbar.

Bevis  (1)

Låt  och  vara egenvektorer till motsvarande egenvärden,  och . 

Eftersom  och  får vi följande ekvationer från matrisprodukten 

Av detta fås att

 
Eftersom .

VSB.

Notera att egenvektorerna hos en symmetrisk matris också är ortogonala mot varandra. 

Bevis (2)

Se spektralsatsen.

Referenser 

Vektorer
Linjär algebra
Ett komplext vektorrum har många likheter med det "vanliga " reella vektorrummet . Den största skillnaden är att skalärerna är komplexa tal . Vanliga beteckningar för reella vektorrum är medan komplexa vektorrum ofta betecknas med \. Fortfarande bygger det komplexa vektorrummet på linjära strukturer med addition och multiplikation likt det reella fast med några få skillnader . samt att . Som vi ser tillåts konstanten vara ett komplext tal. __INNEHÅLLSFÖRTECKNING__ Definition Med hjälp av addition och multiplikation definieras ett komplext vektorrum av följande : gäller att gäller att sådant att gäller att sådant att gäller att och gäller att och gäller att och gäller att och gäller att gäller att Komplexa underrum definieras på samma sätt som reella underum . Skalärprodukt Definitionen av skalärprodukt i ett komplext vektorrum är likt den för reella vektorrum . Om så är där är komplexkonjugatet till Notera att om och skulle tillhöra är definitionen av skalärprodukt den samma som för reella vektorrum , ty komplexkonjugatet förändras inte om imaginärdelen av det komplexa talet är noll . Egenskaper för skalärprodukt Låt och vara vektorer i och vara ett komplext tal . Då gäller följande egenskaper för skalärprodukt : Definitionen och egenskaperna ovan är den vanligaste definition för skalärprodukt i ett komplext vektorrum . Men den kan bli mer generell genom några få symboländringar och kallas då komplex inre produkt . Ett komplext vektorrum med en komplex inre produkt kallas komplext inre produktrum eller unitärt rum . Vektorlängd Definitionen av längden ( eller normen ) av en vektor i ett komplext rum är samma som för ett reellt rum . Notera att kan med hjälp av konjugatregeln skrivas som Därmed har vi visat egenskap nummerovan . Matriser Avbildningar i komplexa vektorrum kan likt avbildningar i reella vektorrum beskrivas av matriser , till exempel som I reella vektorrum är ortogonala och symmetriska matriser väsentliga . I komplexa vektorrum finns motsvarande matriser . Dessa kallas unitära respektive hermiteska matriser . Unitär matris En komplex matris kallas unitär om där det vill säga , A är lika med sitt komplexkonjugerade transponat . Om är komplexa matriser och är ett komplext tal gäller Vidare gäller att en n n matris A är unitär A:s radvektorer ( eller kolonnvektorer ) är en ortogonal bas i \. Hermitesk matris En komplex kvadratisk matris kallas hermitesk om Sats 1 Om är en hermitek matris , så är dess egenvärden reella . Bevis Om är ett egenvärde till med tillhörande egenvektor \. Om ekvationen multipliceras med så fås Vidare framgår att Av likheten och att är en hermitesk matris följer att måste vara reell . VSB . Det finns en liknande sats för reella vektorrum , men i det fallet måste matrisen vara symmetrisk istället för hermitesk . Sats 2 Om är en hermitesk matris så är egenvektorerna för motsvarande egenvärden ortogonala . är unitärt diagonaliserbar . Bevis Låt och vara egenvektorer till motsvarande egenvärden , och \ . Eftersom och får vi följande ekvationer från matrisprodukten Av detta fås att Eftersom\. VSB . Notera att egenvektorerna hos en symmetrisk matris också är ortogonala mot varandra . Bevis Se spektralsatsen . Referenser Vektorer Linjär algebra