Lagranges restterm
Lagranges restterm är resttermen r(x) i en Taylorutveckling som också ges namnet Lagrange form. Med hjälp av uttrycket kan felet också uppskattas. Uttrycket har fått sitt namn från Joseph-Louis Lagrange som var den första hitta ett explicit uttryck för avvikelsen i en Taylorutveckling.

Sats
Lagranges restterm kan uttryckas enligt följande sats:

Om f är deriverbar till och med minst ordning n+1 på ett öppet intervall I och derivatorna f(n) är kontinuerliga på det stängda intervallet mellan a och x, då är resttermen i f:s Taylorutveckling 

, 

för något ξ mellan x och a.

Bevis

Enligt förutsättningarna för en Taylorutveckling kring en punkt a är

där

och
.

Då är för varje fixt x  I

Med partiell integration och (t-x) som primitiv till 1 fås

 

Fortsatt partiell integration (med Rn(a) = 0, Rn'(a)=0,..., Rn(n)(a)=0) ger att

Med Rn(n+1)(x) = f(n+1)(x) fås Rn(x) uttryckt på så kallad integralform där

Eftersom faktorn (x-t)n ej växlar tecken för fixt x och t mellan a och x finns enligt den generaliserade medelvärdessatsen något tal ξ mellan a och x sådant att

vilket är Lagranges form för resttermen.

Uppskattning av restterm
Med hjälp av Lagranges restterm så kan resten vid en Taylorutveckling uppskattas.

Exempel

Antag att funktionen f(x) = ex ska uppskattas på intervallet [-1,1] med ett fel mindre än 10-5. Exemplet utgår endast från att följande egenskaper hos exponentialfunktionen är kända:

Från dessa egenskaper följer att  för alla n, och särskilt är f(n)(0) = 1. Följaktligen ges Taylorpolynomet av f vid 0 och resttermen på Lagrange form av

där ξ är något tal mellan 0 och x. Eftersom ex är strängt växande enligt (*) ses direkt att ex ≤ 1 för x ∈ [−1, 0] kan användas som övre gräns för resten på intervallet [−1, 0]. För att hitta en gräns på det övre intervallet [0,1] utnyttjas att eξ<ex med 0<ξ<x  så att

med Taylorutveckling av ordning två. Nu kan eξ lösas ut för att visa att

genom att minimera nämnaren och maximera täljaren. Kombinerat visar dessa två uppskattningar av eξ att

så den krävda precisionen är säkert uppfylld då

Med hjälp av Lagranges restterm och Taylorutveckling kan vi alltså uppskatta

vilket i decimalform skulle ge e≈2.71828, med fem korrekta decimaler.

Se även 
 Taylorserie
 Joseph Louis Lagrange

Referenser 

 
 https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem

Matematisk analys
Matematiska serier
Lagranges restterm är resttermen r(x) i en Taylorutveckling som också ges namnet Lagrange form . Med hjälp av uttrycket kan felet också uppskattas . Uttrycket har fått sitt namn från Joseph-Louis Lagrange som var den första hitta ett explicit uttryck för avvikelsen i en Taylorutveckling . Sats Lagranges restterm kan uttryckas enligt följande sats : Om f är deriverbar till och med minst ordning n+1 på ett öppet intervall I och derivatorna f(n ) är kontinuerliga på det stängda intervallet mellan a och x , då är resttermen i f:s Taylorutveckling för något ξ mellan x och a . Bevis Enligt förutsättningarna för en Taylorutveckling kring en punkt a är där och . Då är för varje fixt x I Med partiell integration och ( t-x) som primitiv tillfås Fortsatt partiell integration ( med Rn( a ) = Rn ' ( a) =0 ,... , Rn( n)( a) =0 ) ger att Med Rn( n+1) (x ) = f( n+1)(x) fås Rn(x) uttryckt på så kallad integralform där Eftersom faktorn ( x-t)n ej växlar tecken för fixt x och t mellan a och x finns enligt den generaliserade medelvärdessatsen något tal ξ mellan a och x sådant att vilket är Lagranges form för resttermen . Uppskattning av restterm Med hjälp av Lagranges restterm så kan resten vid en Taylorutveckling uppskattas . Exempel Antag att funktionen f(x) = ex ska uppskattas på intervallet [ -1,1 ] med ett fel mindre än Exemplet utgår endast från att följande egenskaper hos exponentialfunktionen är kända : Från dessa egenskaper följer att för alla n , och särskilt är f( n ) ( 0 ) = Följaktligen ges Taylorpolynomet av f vidoch resttermen på Lagrange form av där ξ är något tal mellanoch x . Eftersom ex är strängt växande enligt ( * ) ses direkt att ex ≤ 1 för x ∈ [ −1 , 0 ] kan användas som övre gräns för resten på intervallet [ −1 , 0 ] . För att hitta en gräns på det övre intervallet [ 0,1] utnyttjas att eξ<ex medξ<x så att med Taylorutveckling av ordning två . Nu kan eξ lösas ut för att visa att genom att minimera nämnaren och maximera täljaren . Kombinerat visar dessa två uppskattningar av eξ att så den krävda precisionen är säkert uppfylld då Med hjälp av Lagranges restterm och Taylorutveckling kan vi alltså uppskatta vilket i decimalform skulle ge e≈2.71828 , med fem korrekta decimaler . Se även Taylorserie Joseph Louis Lagrange Referenser https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem Matematisk analys Matematiska serier