Arcus sinus hyperbolicus
Arcus sinus hyperbolicus är inversen till den hyperboliska funktionen sinus hyperbolicus. Funktionen betecknas vanligen "arcsinh" (eller "arsinh", eller "sinh−1"), och ett explicit uttryck för funktionsvärdet är

Här anger suffixet "-h" att det är en hyperbolisk och inte en trigonometrisk funktion. Prefixet "arc-" antyder att det rör sig om en invers hyperbolisk funktion. Prefixet kommer från den motsvarande inversa trigonometriska funktionen arcsin, där "arc-" står för båglängd. I det hyperboliska fallet saknas emellertid tolkningen att  står för en båglängd. Däremot kan funktionsvärdet tolkas som en viss area; därför förespråkas ibland beteckningen "arsinh" (där "ar" står för "area") i stället för "arcsinh". Även beteckningen  förekommer; en upphöjd minusetta betecknar ju i allmänhet en funktionsinvers.

Explicit uttryck
För att ta fram ett explicit uttryck för  börjar man med att välja något  (där  är värdemängden till sinh). Det finns då ett  (där  är definitionsmängden till sinh) sådant att

(där vi använde definitionen av sinus hyperbolicus). Med  fås

Här använde vi att  ty

.

Med tanke på att  har vi därför

d.v.s.

.

Alltså är

Derivata

Bevis:

Integral
Den primitiva funktionen till arcsinh är

Bevis:

Partiell integration av en inskjuten etta ger

Referenser
 De hyperboliska funktionerna, Rejbrand, Andreas
Funktioner
Hyperbolisk geometri
Arcus sinus hyperbolicus är inversen till den hyperboliska funktionen sinus hyperbolicus . Funktionen betecknas vanligen "arcsinh " ( eller "arsinh" , eller "sinh−1" ) , och ett explicit uttryck för funktionsvärdet är Här anger suffixet "-h" att det är en hyperbolisk och inte en trigonometrisk funktion . Prefixet "arc-" antyder att det rör sig om en invers hyperbolisk funktion . Prefixet kommer från den motsvarande inversa trigonometriska funktionen arcsin , där "arc-" står för båglängd . I det hyperboliska fallet saknas emellertid tolkningen att står för en båglängd . Däremot kan funktionsvärdet tolkas som en viss area ; därför förespråkas ibland beteckningen "arsinh" ( där "ar " står för "area " ) i stället för "arcsinh " . Även beteckningen förekommer ; en upphöjd minusetta betecknar ju i allmänhet en funktionsinvers . Explicit uttryck För att ta fram ett explicit uttryck för börjar man med att välja något ( där är värdemängden till sinh ) . Det finns då ett ( där är definitionsmängden till sinh ) sådant att ( där vi använde definitionen av sinus hyperbolicus ) . Med fås Här använde vi att ty . Med tanke på att har vi därför d.v.s. . Alltså är Derivata Bevis : Integral Den primitiva funktionen till arcsinh är Bevis : Partiell integration av en inskjuten etta ger Referenser De hyperboliska funktionerna , Rejbrand , Andreas Funktioner Hyperbolisk geometri