Bretschneiders formel
Bretschneiders formel är inom geometrin en formel för beräkning av arean av en godtycklig konvex fyrhörning:

där a, b, c och d är sidlängderna, s är semiperimetern och ,  är två godtyckligt valda, motstående vinklar.

Formeln gäller för alla konvexa fyrhörningar (oberoende av om dessa är cykliska eller inte) inklusive godtyckliga kvadrater, romber och rektanglar. Formeln tillskrivs Carl Anton Bretschneider från år 1842.

__INNEHÅLLSFÖRTECKNING__

Bretschniders formel med vektorer

Alla sidor på fyrhörningen representeras av vektorer så att a + b + c + d = 0.

Inför sedan de diagonala vektorerna p = a + b och q = b + c (se bild).

En fyrhörnings area kan beräknas som beloppet av diagonalernas kryssprodukt dividerat med två enligt

Om båda leden kvadreras fås

där "" indikerar kryssprodukt och "" indikerar skalärprodukt.

Detta kan med hjälp av Lagranges identitet  skrivas som

Skalärprodukten av en vektor med sig själv ger kvadraten av vektorns längd, vilket här ger
    (1)
Vidare förenkling av  ger
 

Detta insatt i (1) ger

som är lika med

vilket i sin tur kan skrivas som

som är ekvivalent med

Bevis 
Låt, (se bild)

 och 
och 

Då är

Insatt i uttrycket för A och kvadrerat:
    (1)
Enligt cosinussatsen kan diagonalen skrivas på två sätt:

Likheten ger

Kvadrering ger

Omflyttning och division med 16 ger

vilket adderas till (1):

Som förenklat kan skrivas

Enligt den trigonometriska ettan och 

Expansion ger

Termen 8abcd läggs till och dras bort

Faktorisering ger

Omskrivning med semiperimeter:

cosinus för halva vinkeln ger

Roten ur båda leden leder till rätt uttryck

VSV

Se även 
Brahmaguptas formel (är specialfallet av Bretschneiders formel när fyrhörningen är cyklisk)
Herons formel (är motsvarigheten till Bretschneiders formel för trianglar)

Referenser

Noter

Ekvationer
Geometri
Bretschneiders formel är inom geometrin en formel för beräkning av arean av en godtycklig konvex fyrhörning : där a , b , c och d är sidlängderna , s är semiperimetern och , är två godtyckligt valda , motstående vinklar . Formeln gäller för alla konvexa fyrhörningar ( oberoende av om dessa är cykliska eller inte ) inklusive godtyckliga kvadrater , romber och rektanglar . Formeln tillskrivs Carl Anton Bretschneider från år __INNEHÅLLSFÖRTECKNING__ Bretschniders formel med vektorer Alla sidor på fyrhörningen representeras av vektorer så att a + b + c + d = Inför sedan de diagonala vektorerna p = a + b och q = b + c ( se bild ) . En fyrhörnings area kan beräknas som beloppet av diagonalernas kryssprodukt dividerat med två enligt Om båda leden kvadreras fås där "" indikerar kryssprodukt och "" indikerar skalärprodukt . Detta kan med hjälp av Lagranges identitet skrivas som Skalärprodukten av en vektor med sig själv ger kvadraten av vektorns längd , vilket här ger Vidare förenkling av ger Detta insatt iger som är lika med vilket i sin tur kan skrivas som som är ekvivalent med Bevis Låt , ( se bild ) och och Då är Insatt i uttrycket för A och kvadrerat : Enligt cosinussatsen kan diagonalen skrivas på två sätt : Likheten ger Kvadrering ger Omflyttning och division medger vilket adderas till Som förenklat kan skrivas Enligt den trigonometriska ettan och Expansion ger Termenbcd läggs till och dras bort Faktorisering ger Omskrivning med semiperimeter : cosinus för halva vinkeln ger Roten ur båda leden leder till rätt uttryck VSV Se även Brahmaguptas formel ( är specialfallet av Bretschneiders formel när fyrhörningen är cyklisk ) Herons formel ( är motsvarigheten till Bretschneiders formel för trianglar ) Referenser Noter Ekvationer Geometri