Giugatal
Giugatal är ett sammansatt tal n sådant att för varje av dess distinkta primtalsfaktorer pi har vi , eller ekvivalent, .

Giugatal är uppkallade efter matematikern Giuseppe Giuga, och avser hans förmodan om primtal.

Definitioner 
En alternativ definition av Giugatal av Takashi Agoh är: ett sammansatt tal n är ett Giugatal om och endast om kongruensen

 

gäller, där B är ett Bernoullital och  är Eulers fi-funktion.

En ekvivalent formulering av Giuseppe Giuga är: ett sammansatt tal n är ett Giugatal om och endast om kongruensen

och om och endast om

Alla kända Giugatal n uppfyller även förhållandet

Exempel 
De första Giugatalen är:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838, 14737133470010574, 550843391309130318, 244197000982499715087866346, 554079914617070801288578559178, 1910667181420507984555759916338506, … 

Till exempel är 30 ett Giugatal då dess primtalsfaktorer är 2, 3 och 5, och vi kan verifiera att

 30/2 − 1 = 14, vilket är delbart med 2
 30/3 − 1 = 9, som är 3 i kvadrat
 30/5 − 1 = 5, den tredje största primtalsfaktorn i sig

Egenskaper 
Primtalsfaktorerna för ett Giugatal måste vara distinkta. Om  delar , då framgår det att  där  är delbart med . Därför skulle  inte vara jämnt delbart med , och således skulle  inte vara ett Giugatal.

Således är det endast kvadratfria tal som kan vara Giugatal. Exempelvis är faktorerna av 60 är 2, 2, 3 och 5, och 60/2 - 1 = 29, vilket inte är delbart med 2. Således är 60 inte ett Giugatal.

Detta utesluter kvadrater av primtal, men semiprimtal kan inte vara Giugatal heller. Ty om , med  primtal så är  och då är  inte delbart med  och således är  inte ett Giugatal.

Alla kända Giugatal är jämna. Om ett udda Giugatal existerar så måste det vara en produkt av minst 14 primtal. Det är inte känt om det finns oändligt många Giugatal.

Paolo P. Lava (2009) förmodade att Giugatal är lösningar till differentialekvationen n'=n+1 där n' är den aritmetiska derivatan av n.

José Mª Grau och Antonio Oller-Marcén har visat att ett heltal n är ett Giugatal om och endast om det uppfyller n'= an +1 för något heltal a>0, där n' är den aritmetiska derivatan av n.

Se även 
 Carmichaeltal
 Primärt pseudoperfekt tal

Källor 
 
 
 
 

Heltalsmängder
Olösta matematiska problem
Giugatal är ett sammansatt tal n sådant att för varje av dess distinkta primtalsfaktorer pi har vi , eller ekvivalent , \. Giugatal är uppkallade efter matematikern Giuseppe Giuga , och avser hans förmodan om primtal . Definitioner En alternativ definition av Giugatal av Takashi Agoh är : ett sammansatt tal n är ett Giugatal om och endast om kongruensen gäller , där B är ett Bernoullital och är Eulers fi-funktion . En ekvivalent formulering av Giuseppe Giuga är : ett sammansatt tal n är ett Giugatal om och endast om kongruensen och om och endast om Alla kända Giugatal n uppfyller även förhållandet Exempel De första Giugatalen är : 30 , … Till exempel ärett Giugatal då dess primtalsfaktorer äroch och vi kan verifiera att 2 −= vilket är delbart med 2 3 −= som äri kvadrat 5 −= den tredje största primtalsfaktorn i sig Egenskaper Primtalsfaktorerna för ett Giugatal måste vara distinkta . Om delar , då framgår det att där är delbart med \. Därför skulle inte vara jämnt delbart med , och således skulle inte vara ett Giugatal . Således är det endast kvadratfria tal som kan vara Giugatal . Exempelvis är faktorerna aväroch och2 - = vilket inte är delbart med Således ärinte ett Giugatal . Detta utesluter kvadrater av primtal , men semiprimtal kan inte vara Giugatal heller . Ty om , med primtal så är och då är inte delbart med och således är inte ett Giugatal . Alla kända Giugatal är jämna . Om ett udda Giugatal existerar så måste det vara en produkt av minstprimtal . Det är inte känt om det finns oändligt många Giugatal . Paolo P . Lavaförmodade att Giugatal är lösningar till differentialekvationen n ' =n+1 där n ' är den aritmetiska derivatan av n . José Mª Grau och Antonio Oller-Marcén har visat att ett heltal n är ett Giugatal om och endast om det uppfyller n ' = an +1 för något heltal a>0 , där n ' är den aritmetiska derivatan av n . Se även Carmichaeltal Primärt pseudoperfekt tal Källor Heltalsmängder Olösta matematiska problem