Dirichlets etafunktion
Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla  komplexa tal vars reella del > 0:

Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande enkla relation gäller:

Etafunktionen kan även definieras som integralen

Eulerprodukt 
För  gäller

Integralrepresentationer 
Det finns ett flertal integralrepresentationer för etafunktionen. Följande formler gäller för 

Följande formel kan bevisas med hjälp av Cauchy–Schlömilchs transformation, som gäller för :

Följande formel av Ernst Lindelöf (1905) gäller i hela komplexa planet om man tar det principiella värdet av logaritmen.

Följande formel bevisades också av Lindelöf:

En generalisering valid för  och alla  

Genom att låta  får man formeln

En annan integral är

För alla  gäller

Serierepresentationer

Funktionalekvation 
Etafunktionen satisfierar funktionalekvationen

Speciella värden 
Några specialfall av etafunktionen kan skrivas i sluten form:
 

och i allmänhet för positiva heltal n

Några värden för udda argument är

Derivata 
Etafunktionens derivata är

.

Numeriska algoritmer 
Peter Borwein har härlett en effektiv metod för numerisk räkning av etafunktionen. Om

är

där för  gäller för feltermen γn

Generaliseringar 
Etafunktionen är ett specialfall av polylogaritmen

vilket gör den även ett specialfall av Lerchs transcendent:

Se även 
 Riemanns zetafunktion

Källor 
 
 
 
 
 Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933)
 Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
 
 
 Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
 
 
 
  p. 12.

Externa länkar 

Zeta- och L-funktioner
Inom matematiken , speciellt inom analytisk talteori , är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie , som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken . Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*( s ) . Följande enkla relation gäller : Etafunktionen kan även definieras som integralen Eulerprodukt För gäller Integralrepresentationer Det finns ett flertal integralrepresentationer för etafunktionen . Följande formler gäller för Följande formel kan bevisas med hjälp av Cauchy–Schlömilchs transformation , som gäller för \ : Följande formel av Ernst Lindelöfgäller i hela komplexa planet om man tar det principiella värdet av logaritmen . Följande formel bevisades också av Lindelöf : En generalisering valid för och alla Genom att låta får man formeln En annan integral är För alla gäller Serierepresentationer Funktionalekvation Etafunktionen satisfierar funktionalekvationen Speciella värden Några specialfall av etafunktionen kan skrivas i sluten form : och i allmänhet för positiva heltal n Några värden för udda argument är Derivata Etafunktionens derivata är . Numeriska algoritmer Peter Borwein har härlett en effektiv metod för numerisk räkning av etafunktionen . Om är där för gäller för feltermen γn Generaliseringar Etafunktionen är ett specialfall av polylogaritmen vilket gör den även ett specialfall av Lerchs transcendent : Se även Riemanns zetafunktion Källor Landau , Edmund , Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen , Erster Band , Berlin , p. 160 . ( Second edition by Chelsea , New York , p. 160 , Titchmarsh , E. C. The Theory of the Riemann Zeta Function , Second revised ( Heath-Brown ) edition . Oxford University Press . Borwein , P. , An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function , Constructive experimental and nonlinear analysis , CMS Conference Proc.( 2000) ,34. p. 12 . Externa länkar Zeta- och L-funktioner