Harmoniskt tal
Inom matematiken är det n:te harmoniska talet summan av reciprokerna av de n första naturliga talen:

Harmoniska tal är viktiga inom talteori och är nära relaterade till Riemanns zetafunktion och andra  speciella funktioner.

Identiteter för harmoniska tal

Direkt av harmoniska talens definition följer differensekvationen

Summan av de n första harmoniska talen ges av

Harmoniska talen är relaterade till Stirlingtalen av andra ordningen enligt formeln

Beräkning
En integralrepresentation av Euler är

 

Representationen ovan kan bevisas genom att använda identiteten

och integrera termvis.

Genom variabelbytet x = 1−u kan man få ett elegant kombinatoriskt uttryck för Hn :

Samma representation kan fås genom attanvända den tredje av Retkes identiteter genom att låta  och använda :

 

 

Det nte harmoniska talet växer ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen ur n. Orsanken till detta är att 

 

vars värde är ln(n).

Värdena av följden Hn - ln(n) minskar monotont mot gränsvärdet 

 

där γ ≈ 0.5772156649 är Eulers konstant. Asymptotiska expansionen då n → ∞ är

där  är Bernoullitalen.

Harmoniska tal som en oändlig serie
Det n-te harmoniska talet kan skrivas som en oändlig serie på följande vis:

Förekomst
Harmoniska talen förekommer ofta inom talteori och teorin av speciella funktioner såsom i följande formel för digammafunktionen: 

 

Denna relation används ofta som definitionen av harmoniska tal för icke-heltal used n. Harmoniska talen används också ofta till att definiera Eulers konstant γ genom gränsvärdet ovan även om

konvergerar snabbare.

2002 bevisade Jeffrey Lagarias att Riemannhypotesen är ekvivalent med att 

gäller för varje heltal n ≥ 1 med strikt olikhet om n > 1, där σ(n) är sigmafunktionen.

Egenvärdena av det icke-lokala problemet

 

ges av  där

Genererande funktioner
Harmoniska talens genererande funktion är

En exponentiell genererande funktion ges av

där Ein(z) är exponentiella integralen. Notera att

där Γ(0, z) är ofullständiga gammafunktionen.

Generaliseringar

Hyperharmoniska tal
J. H. Conway och R. K. Guy har presenterat följande generalisering av harmoniska talen: låt

 

Då är det nte hyperhermoniska talet av ordning r (r>0) 

 

Speciellt är .

Se även
 Eulers konstant
 Riemanns zetafunktion

Källor

Se även 
 Harmoniska serien

Talteori
Inom matematiken är det n:te harmoniska talet summan av reciprokerna av de n första naturliga talen : Harmoniska tal är viktiga inom talteori och är nära relaterade till Riemanns zetafunktion och andra speciella funktioner . Identiteter för harmoniska tal Direkt av harmoniska talens definition följer differensekvationen Summan av de n första harmoniska talen ges av Harmoniska talen är relaterade till Stirlingtalen av andra ordningen enligt formeln Beräkning En integralrepresentation av Euler är Representationen ovan kan bevisas genom att använda identiteten och integrera termvis . Genom variabelbytet x =u kan man få ett elegant kombinatoriskt uttryck för Hn \ : Samma representation kan fås genom attanvända den tredje av Retkes identiteter genom att låta och använda \ : Det nte harmoniska talet växer ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen ur n . Orsanken till detta är att vars värde är ln( n ) . Värdena av följden Hn - ln(n ) minskar monotont mot gränsvärdet där γ ≈5772156649 är Eulers konstant . Asymptotiska expansionen då n → ∞ är där är Bernoullitalen . Harmoniska tal som en oändlig serie Det n-te harmoniska talet kan skrivas som en oändlig serie på följande vis : Förekomst Harmoniska talen förekommer ofta inom talteori och teorin av speciella funktioner såsom i följande formel för digammafunktionen : Denna relation används ofta som definitionen av harmoniska tal för icke-heltal used n . Harmoniska talen används också ofta till att definiera Eulers konstant γ genom gränsvärdet ovan även om konvergerar snabbare . 2002 bevisade Jeffrey Lagarias att Riemannhypotesen är ekvivalent med att gäller för varje heltal n ≥med strikt olikhet om n > där σ(n ) är sigmafunktionen . Egenvärdena av det icke-lokala problemet ges av där Genererande funktioner Harmoniska talens genererande funktion är En exponentiell genererande funktion ges av där Ein(z ) är exponentiella integralen . Notera att där Γ( 0 , z) är ofullständiga gammafunktionen . Generaliseringar Hyperharmoniska tal J. H . Conway och R. K. Guy har presenterat följande generalisering av harmoniska talen : låt Då är det nte hyperhermoniska talet av ordning r ( r>0 ) Speciellt är \. Se även Eulers konstant Riemanns zetafunktion Källor Se även Harmoniska serien Talteori