Serres modularitetsförmodan
Inom matematiken är Serres modularitetsförmodan, introducerad av , baserad på korrespondens under åren 1973–1974 med John Tate, en förmodan som säger att från en udda irreducibel tvådimensionell Galoisrepresentation över en ändlig kropp uppstår från en modulär form. En starkare version av förmodan specificerar vikten och nivån av modulära formen. Förmodan bevisades av Chandrashekhar Khare i fallet med nivå 1 2005 och 2008 lyckades Khare och Jean-Pierre Wintenberger bevisa hela förmodan.

Formulering

Förmodan handlar om absoluta Galoisgruppen  av den rationella talkroppen .

Låt  vara en absolut irreducibel, kontinuerlig tvådimensionell representation av  över en ändlig kropp som är udda (vilket betyder att komplex konjugering  har determinant -1)

av karakteristik ,

Till en godtycklig normaliserad modulär egenform

av nivå , vikt  och någon Nebentypkaraktär

,

relaterar en sats av Shimura, Deligne och Serre-Deligne en representation

där  är ringen av heltal i en ändlig utvidgning av . Denna representation karakterisers av kravet att för alla primtal , relativt prima till  har vi

och

Genom att reducera denna representation modulo maximala idealen av  ger en mod  representation  av .

Serres förmodan säger att för alla  såsom ovan finns det en modulär egenform  så att

.

Nivån och vikten av den förmodade formen  beräknas explicit i Serres artikel. Dessutom härleder han flera resultat från denna förmodan, bland annat Fermats stora sats och Taniyama-Shimuras sats.

Källor

Externa länkar
Serre's Modularity Conjecture 50 minute lecture by Ken Ribet given on October 25, 2007 ( slides PDF, other version of slides PDF)

Modulära former
Satser inom talteori
Inom matematiken är Serres modularitetsförmodan , introducerad av , baserad på korrespondens under åren1974 med John Tate , en förmodan som säger att från en udda irreducibel tvådimensionell Galoisrepresentation över en ändlig kropp uppstår från en modulär form . En starkare version av förmodan specificerar vikten och nivån av modulära formen . Förmodan bevisades av Chandrashekhar Khare i fallet med nivå2005 ochlyckades Khare och Jean-Pierre Wintenberger bevisa hela förmodan . Formulering Förmodan handlar om absoluta Galoisgruppen av den rationella talkroppen \ . Låt vara en absolut irreducibel , kontinuerlig tvådimensionell representation av över en ändlig kropp som är udda ( vilket betyder att komplex konjugering har determinant av karakteristik , Till en godtycklig normaliserad modulär egenform av nivå , vikt och någon Nebentypkaraktär relaterar en sats av Shimura , Deligne och Serre-Deligne en representation där är ringen av heltal i en ändlig utvidgning av \. Denna representation karakterisers av kravet att för alla primtal , relativt prima till har vi och Genom att reducera denna representation modulo maximala idealen av ger en mod representation av \. Serres förmodan säger att för alla såsom ovan finns det en modulär egenform så att . Nivån och vikten av den förmodade formen beräknas explicit i Serres artikel . Dessutom härleder han flera resultat från denna förmodan , bland annat Fermats stora sats och Taniyama-Shimuras sats . Källor Externa länkar Serre's Modularity Conjectureminute lecture by Ken Ribet given on October ( slides PDF , other version of slides PDF ) Modulära former Satser inom talteori