Ext-funktorn
Inom matematiken är Ext-funktorn härledda funktorerna av Hom-funktorn. De användes först inom algebraisk topologi men används numera inom flera andra delområden av matematiken. Namnet "Ext" kommer från dess konnektionen med utvidgningar (på engelska extension) i abelska kategorier.

Definition 
Låt R vara en ring och låt ModR vara kategorin av moduler över R. Låt B vara i ModR och låt T(B) = HomR(A,B) för något fixerat A i ModR. Det här är en vänster-exakt funktor och har alltså höger-härledda funktorer RnT. Ext-funktorn definieras som
 

Den kan räknas genom att välja en godtycklig injektiv resolution

och sedan räkna

Då är (RnT)(B) homologin av detta komplex. Notera att HomR(A,B) utelämnas från komplexet.

Egenskaper 
 Ext(A, B) = 0 för i > 0 om antingen B är injektiv eller A projektiv.

 Om Ext(A, B) = 0 för alla A är Ext(A, B) = 0 för alla  A och B är injektiv; om Ext(A, B) = 0 för alla B är Ext(A, B) = 0 för alla B och A är projektiv.

Exempel 
Om Z[G] är heltalsgruppringen av en grupp G, då är Ext(Z, M) gruppkohomologin H*(G,M) med koefficienter i M.

Om Fp är ändliga kroppen med p element, då är H*(G,M) = Ext(Fp, M), och gruppkohomologin beror inte på vilken basring man valt. 

Om A är en k-algebra, då är Ext(A, M) Hochschildkohomologin HH*(A,M) med koefficienter i A-bimodulen M.

Om R är den universala enveloppernade algebran för en Liealgebra  over a commutative ring k, then Ext(k, M) är Liealgebrakohomologin  med koefficienter i modulen M.

Se även
 Tor-funktorn

Källor 
 
 
 

Homologisk algebra
Binära operationer
Inom matematiken är Ext-funktorn härledda funktorerna av Hom-funktorn . De användes först inom algebraisk topologi men används numera inom flera andra delområden av matematiken . Namnet "Ext " kommer från dess konnektionen med utvidgningar ( på engelska extension ) i abelska kategorier . Definition Låt R vara en ring och låt ModR vara kategorin av moduler över R . Låt B vara i ModR och låt T( B ) = HomR( A,B ) för något fixerat A i ModR . Det här är en vänster-exakt funktor och har alltså höger-härledda funktorer RnT . Ext-funktorn definieras som Den kan räknas genom att välja en godtycklig injektiv resolution och sedan räkna Då är ( RnT) ( B ) homologin av detta komplex . Notera att HomR( A,B ) utelämnas från komplexet . Egenskaper Ext ( A , B) =för i >om antingen B är injektiv eller A projektiv . Om Ext ( A , B) =för alla A är Ext ( A , B) =för alla A och B är injektiv ; om Ext ( A , B) =för alla B är Ext ( A , B) =för alla B och A är projektiv . Exempel Om Z[ G ] är heltalsgruppringen av en grupp G , då är Ext ( Z , M) gruppkohomologin H*( G,M ) med koefficienter i M . Om Fp är ändliga kroppen med p element , då är H*( G,M ) = Ext( Fp , M ) , och gruppkohomologin beror inte på vilken basring man valt . Om A är en k-algebra , då är Ext ( A , M) Hochschildkohomologin HH*( A,M ) med koefficienter i A-bimodulen M . Om R är den universala enveloppernade algebran för en Liealgebra over a commutative ring k , then Ext(k , M) är Liealgebrakohomologin med koefficienter i modulen M . Se även Tor-funktorn Källor Homologisk algebra Binära operationer