Reell analytisk Eisensteinserie
Inom matematiken är den enklaste reella analytiska Eisensteinserien en speciell funktion i två variabler. Den används inom representationsteorin för SL(2,R) och analytisk talteori. Den är nära relaterad till Epsteins zetafunktion.

Det finns många generaliseringar associerade till mer komplicerade grupper.

Definition
Eisensteinserien E(z, s) för z = x + iy i övre planhalvan definieras som

för Re(s) > 1, och med analytisk fortsättning för andra komplexa tal s. Summan är över alla par av relativt prima heltal.

Egenskaper

Som en funktion av z
Betraktad som en funktion av z, är E(z,s) en reell analytisk egenfunktion av Laplaceoperatorn över H med egenvärdet s(s-1). I andra ord satisfierar den den elliptiska partiella differentialekvationen

     där 

Funktionen E(z, s) är invariant under påverkan av SL(2,Z) över z i övre planhalvan av Möbiustransformationer. Tillsammans med den tidigare egenskapen betyder detta att Eisensteinserien är en Maassform, en reell-analytisk analogi av  klassiska elliptiska modulära funktioner.

Som en funktion av s
Eisensteinserien konvergerar för Re(s)>1, men kan analytisk fortsättning till en meromorfisk funktion av s i hela komplexa planet med en unik pol med residy π vid s = 1 (för alla z i H). Konstanta termen vid polen s = 1 beskrivs av Kroneckers gränsvärdesformel.

Den modifierade funktionen

satisfierar funktionalekvationen

analog till funktionalekvationen av Riemanns zetafunktion ζ(s).

Skalärprodukten av två olika Eisensteinserier E(z, s) och E(z, t) ges av Maass-Selberg-relation.

 Fourierexpansion 
Egenskaperna ovan av reella analytiska Eisensteinserien, det vill säga funktionalekvationen för E(z,s) och E*(z,s) genom att använda Laplacianen över H, är konsekvenser av det att E(z,s) har en Fourierexpansion:

där

och den modifierade Besselfunktionen

Epsteins zetafunktionEpsteins zetafunktion ζQ(s)  för en positiv definit heltalskvadratisk form Q(m, n) = cm2 + bmn +an2 definieras som

Den är essentiellt ett specialfall av reella analytiska Eisensteinserien  för ett speciellt värde av z, eftersom

för

Denna zetafunktion är uppkallad efter Paul Epstein.

Generaliseringar
Reella analytiska Eisensteinserien E(z, s) är Eisensteinserien associerad till  den diskreta delgruppen SL(2,Z) av SL(2,R). Selberg har beskrivit generaliseringar till andra diskreta delgrupper Γ av SL(2,R) och använt dem till att undersöka representationer av SL(2,R) över L2(SL(2,R''')/Γ). Langlands utvidgade Selbergs arbete till grupper med högre dimension; hans komplicerade bevis förenklades senare av Joseph Bernstein.

Se även
Eisensteinserie
Kroneckers gränsvärdesformel
Maassform

Källor
 
J. Bernstein, Meromorphic continuation of Eisenstein series
.

.
.
A. Selberg, Discontinuous groups and harmonic analysis, Proc. Int. Congr. Math., 1962.
D. Zagier, Eisenstein series and the Riemann zeta-function''.

Modulära former
Speciella funktioner
Representationsteori för Liegrupper
Analytisk talteori
Inom matematiken är den enklaste reella analytiska Eisensteinserien en speciell funktion i två variabler . Den används inom representationsteorin för SL( 2,R ) och analytisk talteori . Den är nära relaterad till Epsteins zetafunktion . Det finns många generaliseringar associerade till mer komplicerade grupper . Definition Eisensteinserien E( z , s) för z = x + iy i övre planhalvan definieras som för Re(s ) > och med analytisk fortsättning för andra komplexa tal s . Summan är över alla par av relativt prima heltal . Egenskaper Som en funktion av z Betraktad som en funktion av z , är E( z,s ) en reell analytisk egenfunktion av Laplaceoperatorn över H med egenvärdet s( s-1 ) . I andra ord satisfierar den den elliptiska partiella differentialekvationen där Funktionen E( z , s) är invariant under påverkan av SL( 2,Z ) över z i övre planhalvan av Möbiustransformationer . Tillsammans med den tidigare egenskapen betyder detta att Eisensteinserien är en Maassform , en reell-analytisk analogi av klassiska elliptiska modulära funktioner . Som en funktion av s Eisensteinserien konvergerar för Re( s) >1 , men kan analytisk fortsättning till en meromorfisk funktion av s i hela komplexa planet med en unik pol med residy π vid s = ( för alla z i H ) . Konstanta termen vid polen s =beskrivs av Kroneckers gränsvärdesformel . Den modifierade funktionen satisfierar funktionalekvationen analog till funktionalekvationen av Riemanns zetafunktion ζ( s ) . Skalärprodukten av två olika Eisensteinserier E( z , s) och E ( z , t) ges av Maass-Selberg-relation . Fourierexpansion Egenskaperna ovan av reella analytiska Eisensteinserien , det vill säga funktionalekvationen för E( z,s) och E*( z,s ) genom att använda Laplacianen över H , är konsekvenser av det att E( z,s ) har en Fourierexpansion : där och den modifierade Besselfunktionen Epsteins zetafunktionEpsteins zetafunktion ζQ( s ) för en positiv definit heltalskvadratisk form Q( m , n ) = cm2 + bmn +an2 definieras som Den är essentiellt ett specialfall av reella analytiska Eisensteinserien för ett speciellt värde av z , eftersom för Denna zetafunktion är uppkallad efter Paul Epstein . Generaliseringar Reella analytiska Eisensteinserien E( z , s) är Eisensteinserien associerad till den diskreta delgruppen SL( 2,Z ) av SL( 2,R ) . Selberg har beskrivit generaliseringar till andra diskreta delgrupper Γ av SL( 2,R ) och använt dem till att undersöka representationer av SL( 2,R ) över L2( SL( 2,R ' ' ' ) /Γ ) . Langlands utvidgade Selbergs arbete till grupper med högre dimension ; hans komplicerade bevis förenklades senare av Joseph Bernstein . Se även Eisensteinserie Kroneckers gränsvärdesformel Maassform Källor J. Bernstein , Meromorphic continuation of Eisenstein series . . . A . Selberg , Discontinuous groups and harmonic analysis , Proc . Int . Congr . Math. , D. Zagier , Eisenstein series and the Riemann zeta-function ' ' . Modulära former Speciella funktioner Representationsteori för Liegrupper Analytisk talteori