Jacobis thetafunktioner
Inom matematiken är Jacobis thetafunktioner speciella funktioner av flera komplexa variabler. De är viktiga inom flera delar av matematiken, såsom teorierna av abelska varieteter, modulrum och kvadratiska former. De har även använts inom solitonteori. Då de generaliseras till en yttre algebra förekommer de även i kvantfältteori.

Jacobis thetafunktion 
Det finns flera nära relaterade funktioner som kallas för Jacobis thetafunktioner och flera olika beteckningssystem för dem.
En Jacobis thetafunktion (uppkallad efter Carl Gustav Jacob Jacobi) är en funktion definierad för två komplexa variabler z och τ, där z är godtyckligt och τ är i övre halvplanet, vilket betyder att den har positiv imaginär del. Funktionen ges av formeln

där q = exp(πiτ) och η = exp(2πiz). Den är en Jacobiform.
Om  τ är fixerat blir detta en Fourierserie för en periodisk analytisk funktion av z med period 1; i detta fall satisfierar thetafunktionen identiteten 

Funktionen är även väldigt regelbunden i förhållande till dess kvasiperiod τ och satisfierar funktionalekvationen

där a och b är heltal.

Relaterade funktioner 
Thetafunktionen ovan betraktas ibland tillsammans med tre nära relaterade funktioner, i vilket fall den skrivs som

De andra funktionerna definieras som

Denna beteckning är efter Riemann och Mumford. I Jacobis beteckning är thetafunktionerna:

Om vi låter z = 0 i funktionerna ovan, får vi fyra funktioner som beror enbart på τ, definierade i övre planhalvan (ibland kallade för thetakonstanterna.) Dessa kan användas till att definiera ett flertal modulära former.

Speciella värden 
Se 

Vidare, följande funktionalekvation 
,
kan användas för att enkelt härleda fler värden.

Serieidentiteter 
Följande två serieidentiteter bevisades av István Mező:
 

 
Dessa relationer gäller för alla 0 < q < 1. Speciella värden på q ger följande formler:

och

Relation till Riemanns zetafunktion 
Relationen

användes av Riemann till att bevisa funktionalekvationen för Riemanns zetafunktion genom att använda integralen

som kan visas vara invariant under ersättning av s med 1 − s.

Relation till Weierstrass elliptiska funktion 
Thetafuntkionerna användes av Jacobi till att konstruera sina elliptiska funktioner som kvot av de fyra thetafunktionerna ovan, och kunde även ha använts av honom till att konstruera Weierstrass elliptiska funktion, eftersom

där andra derivatan är i förhållande till z och konstanten c definieras så att Laurentexpansionen av  vid z = 0 har 0 som konstanta termen.

Relation till q-gammafunktionen 
Den fjärde thetafunktionen – och härmed även de tre andra – är nära relaterad till q-gammafunktionen enligt relationen

Källor

Fotnoter

Elliptiska funktioner
Severala komplexa variabler
Modulära former
Q-analogier
Riemannytor
Thetafunktioner
Inom matematiken är Jacobis thetafunktioner speciella funktioner av flera komplexa variabler . De är viktiga inom flera delar av matematiken , såsom teorierna av abelska varieteter , modulrum och kvadratiska former . De har även använts inom solitonteori . Då de generaliseras till en yttre algebra förekommer de även i kvantfältteori . Jacobis thetafunktion Det finns flera nära relaterade funktioner som kallas för Jacobis thetafunktioner och flera olika beteckningssystem för dem . En Jacobis thetafunktion ( uppkallad efter Carl Gustav Jacob Jacobi ) är en funktion definierad för två komplexa variabler z och τ , där z är godtyckligt och τ är i övre halvplanet , vilket betyder att den har positiv imaginär del . Funktionen ges av formeln där q = exp( πiτ ) och η = exp( 2πiz ) . Den är en Jacobiform . Om τ är fixerat blir detta en Fourierserie för en periodisk analytisk funktion av z med period i detta fall satisfierar thetafunktionen identiteten Funktionen är även väldigt regelbunden i förhållande till dess kvasiperiod τ och satisfierar funktionalekvationen där a och b är heltal . Relaterade funktioner Thetafunktionen ovan betraktas ibland tillsammans med tre nära relaterade funktioner , i vilket fall den skrivs som De andra funktionerna definieras som Denna beteckning är efter Riemann och Mumford . I Jacobis beteckning är thetafunktionerna : Om vi låter z =i funktionerna ovan , får vi fyra funktioner som beror enbart på τ , definierade i övre planhalvan ( ibland kallade för thetakonstanterna . ) Dessa kan användas till att definiera ett flertal modulära former . Speciella värden Se Vidare , följande funktionalekvation kan användas för att enkelt härleda fler värden . Serieidentiteter Följande två serieidentiteter bevisades av István Mező : Dessa relationer gäller för alla< q < 1 . Speciella värden på q ger följande formler : och Relation till Riemanns zetafunktion Relationen användes av Riemann till att bevisa funktionalekvationen för Riemanns zetafunktion genom att använda integralen som kan visas vara invariant under ersättning av s med− s . Relation till Weierstrass elliptiska funktion Thetafuntkionerna användes av Jacobi till att konstruera sina elliptiska funktioner som kvot av de fyra thetafunktionerna ovan , och kunde även ha använts av honom till att konstruera Weierstrass elliptiska funktion , eftersom där andra derivatan är i förhållande till z och konstanten c definieras så att Laurentexpansionen av vid z =harsom konstanta termen . Relation till q-gammafunktionen Den fjärde thetafunktionen – och härmed även de tre andra – är nära relaterad till q-gammafunktionen enligt relationen Källor Fotnoter Elliptiska funktioner Severala komplexa variabler Modulära former Q-analogier Riemannytor Thetafunktioner