Dirichlets delarproblem
Inom talteori är Dirichlets delarproblem ett klassiskt problem om tillväxten av summafunktionen av delarantalet.

Delarfunktionens summafunktion definieras som

där

är antalet delare av n.

Att hitta en sluten formel för denna funktion är ett extremt svårt problem, men det går att härleda goda approximationer. Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att

 

där  är Eulers konstant där

Dirichlets delarproblem frågar följande: vad är infimum för alla tal  förvilkar which 

 

gäller för alla . Många av metoderna inom detta problem kan användas inom Gauss cirkelproblem som är ett relaterat problem med en annan aritmetisk funktion

 1904 bevisade G. Voronoi att feltermen kan förbättras till  
 1916 bevisade G.H. Hardy att . Han bevisade att för någon konmstant  finns det värden på x så att  och värden x så att.
 1922 förbättrade J. van der Corput Dirichlets resultat till 
 1928 förbättrade han sitt resultat något till  
 1950 bevisade Chih Tsung-tao och oberoende av Chih H. E. Richert 1953 att 
 1969 bevisade Grigori Kolesnik att .
 1973 bevisade han att .
 1982 förbättrade han sitt resultat något till .
 1988 bevisade H. Iwaniec och C. J. Mozzochi att  
 2003 förbättrade M.N. Huxley detta till  

Så det äkta värdet av  är någonstans mellan 1/4 och 131/416 (approximativt 0.3149); det har förmodats att den är precis lika med 1/4. Direkt beräkning av  stöder det, då  verkar vara approximativt normalt fördelat med standarddevitation  1 för x ända upp till minst 1016. Värdet 1/4 skulle även följa av en förmodan om exponentpar.

Piltzs delarproblem
Definiera

Då är

där  är ett polynom av grad . Med simpla metoder kan man visa att

för heltal . Såsom i fallet  känner man inte till infimat för något värde på . Att hitta dessa infimum är känt som Piltzs delarproblem, efter den tyska matematikern Adolf Piltz. Genom att definiera  som det infimat på värden med which  gäller för all  följande resultat (notera att that  är  från förra sektionen):

 och

  
 
E.C. Titchmarsh förmodar att

Källor 
 
 H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, (1974) Dover Publications,  
 E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function, (1951) Oxford at the Clarendon Press, Oxford. (See chapter 12 for a discussion of the generalized divisor problem)
  (Provides an introductory statement of the Dirichlet divisor problem.)
 H. E. Rose. A Course in Number Theory., Oxford, 1988.

Fotnoter

Aritmetiska funktioner
Analytisk talteori
Olösta matematiska problem
Inom talteori är Dirichlets delarproblem ett klassiskt problem om tillväxten av summafunktionen av delarantalet . Delarfunktionens summafunktion definieras som där är antalet delare av n . Att hitta en sluten formel för denna funktion är ett extremt svårt problem , men det går att härleda goda approximationer . Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att där är Eulers konstant där Dirichlets delarproblem frågar följande : vad är infimum för alla tal förvilkar which gäller för alla \ . Många av metoderna inom detta problem kan användas inom Gauss cirkelproblem som är ett relaterat problem med en annan aritmetisk funktion bevisade G . Voronoi att feltermen kan förbättras till bevisade G.H . Hardy att \ . Han bevisade att för någon konmstant finns det värden på x så att och värden x så att . förbättrade J. van der Corput Dirichlets resultat till förbättrade han sitt resultat något till bevisade Chih Tsung-tao och oberoende av Chih H. E . Richertatt bevisade Grigori Kolesnik att \. bevisade han att \. förbättrade han sitt resultat något till\. bevisade H . Iwaniec och C. J . Mozzochi att förbättrade M.N. Huxley detta till Så det äkta värdet av är någonstans mellan4 och416 ( approximativt3149 ) ; det har förmodats att den är precis lika med4 . Direkt beräkning av stöder det , då verkar vara approximativt normalt fördelat med standarddevitation för x ända upp till minst Värdet4 skulle även följa av en förmodan om exponentpar . Piltzs delarproblem Definiera Då är där är ett polynom av grad \. Med simpla metoder kan man visa att för heltal \ . Såsom i fallet känner man inte till infimat för något värde på \. Att hitta dessa infimum är känt som Piltzs delarproblem , efter den tyska matematikern Adolf Piltz . Genom att definiera som det infimat på värden med which gäller för all följande resultat ( notera att that är från förra sektionen ) : och E.C . Titchmarsh förmodar att Källor H.M. Edwards , Riemann's Zeta Function , Dover Publications , E. C . Titchmarsh , The theory of the Riemann Zeta-Function , Oxford at the Clarendon Press , Oxford . ( See chapterfor a discussion of the generalized divisor problem ) ( Provides an introductory statement of the Dirichlet divisor problem . ) H. E . Rose . A Course in Number Theory. , Oxford , Fotnoter Aritmetiska funktioner Analytisk talteori Olösta matematiska problem