Rogers–Ramanujans kedjebråk
Inom matematiken är Rogers–Ramanujans kedjebråk ett kedjebråk upptäckt av Rogers 1894 och oberoende av Srinivasa Ramanujan som är nära relaterad till Rogers–Ramanujan-identiteterna. Den kan skrivas i sluten form för flera olika argument.

Definition 
Givet funktionerna i Rogers–Ramanujan-identiteterna,

och

( och ) där  betecknar den oändliga q-Pochhammersymbolen, då är Rogers–Ramanujans kedjebråk

Modulära funktioner 
Om q = e2πiτ är  och , såsom även deras kvot , modulära funktioner av τ. Eftersom de har heltalskoefficienter, följer det av teorin komplex multiplikation att deras värden för imaginära kvadratisk irrationella τ är algebraiska tal som kan evalueras explicit.

Exempel 

där  är det gyllene snittet.

Relation till modulära former 
Rogers–Ramanujans kedjebråk är relaterad till Dedekinds etafunktion, en modulär form av vikt 1/2, enligt

Relation till j-invarianten 
En formel för j-invarianten är

där

Genom att eliminera eta-kvoten kan j(τ) skrivas med hjälp av  som

där täljaren och nämnaren är polynominvarianter av ikosaedern. Genom att använda modulära ekvationerna mellan R(q) och R(q5) kan man bevisa att

som faktiskt är j-invarianten av den elliptiska kurvan

parameteriserad av icke-spetspunktarna av den modulära kurvan .

Funktionalekvation 
Vi använder beteckningen  då q = e2πiτ. Medan andra modulära former som j-invarianten satisfierar

och Dedekinds etafunktion satsifierar

innehåller funktionalekvationen för Rogers–Ramanujans kedjebråk det gyllene snittet :

Modulära ekvationer 
Det finns flera intressanta modulära ekvationer mellan  och . Några eleganta sådana för små primtal n är:

Låt u = R(q) och v = R(q2). Då är 

Låt u = R(q) och v = R(q3). Då är 

Låt u = R(q) och v = R(q5). Då är 

Låt u = R(q) och v = R(q11) Då är 

För n = 5, notera att

Andra resultat 
Ramanujan upptäckte flera intressanta resultat om R(q). Låt ,  och  vara det gyllene snittet.

Om  är 

Om  är 

Potenserna av R(q) kan skrivas på intressanta sätt. För dess kub är

För dess femte potens, låt , då är

Referenser

Noter

Källor

Externa länkar 
 
 

Q-analogier
Modulära former
Kedjebråk
Srinivasa Ramanujan
Inom matematiken är Rogers–Ramanujans kedjebråk ett kedjebråk upptäckt av Rogersoch oberoende av Srinivasa Ramanujan som är nära relaterad till Rogers–Ramanujan-identiteterna . Den kan skrivas i sluten form för flera olika argument . Definition Givet funktionerna i Rogers–Ramanujan-identiteterna , och ( och ) där betecknar den oändliga q-Pochhammersymbolen , då är Rogers–Ramanujans kedjebråk Modulära funktioner Om q = e2πiτ är och , såsom även deras kvot , modulära funktioner av τ . Eftersom de har heltalskoefficienter , följer det av teorin komplex multiplikation att deras värden för imaginära kvadratisk irrationella τ är algebraiska tal som kan evalueras explicit . Exempel där är det gyllene snittet . Relation till modulära former Rogers–Ramanujans kedjebråk är relaterad till Dedekinds etafunktion , en modulär form av vikt2 , enligt Relation till j-invarianten En formel för j-invarianten är där Genom att eliminera eta-kvoten kan j( τ ) skrivas med hjälp av som där täljaren och nämnaren är polynominvarianter av ikosaedern . Genom att använda modulära ekvationerna mellan R(q) och R( q5 ) kan man bevisa att som faktiskt är j-invarianten av den elliptiska kurvan parameteriserad av icke-spetspunktarna av den modulära kurvan \ . Funktionalekvation Vi använder beteckningen då q = e2πiτ . Medan andra modulära former som j-invarianten satisfierar och Dedekinds etafunktion satsifierar innehåller funktionalekvationen för Rogers–Ramanujans kedjebråk det gyllene snittet \ : Modulära ekvationer Det finns flera intressanta modulära ekvationer mellan och \ . Några eleganta sådana för små primtal n är : Låt u = R(q) och v = R( q2 ) . Då är Låt u = R(q) och v = R( q3 ) . Då är Låt u = R(q) och v = R( q5 ) . Då är Låt u = R(q) och v = R( q11 ) Då är För n = notera att Andra resultat Ramanujan upptäckte flera intressanta resultat om R(q ) . Låt , och vara det gyllene snittet . Om är Om är Potenserna av R(q ) kan skrivas på intressanta sätt . För dess kub är För dess femte potens , låt , då är Referenser Noter Källor Externa länkar Q-analogier Modulära former Kedjebråk Srinivasa Ramanujan