Polylogaritmen
Inom matematiken är Polylogaritmen en speciell funktion som definieras som

Speciella värden 
1. Då s är ett negativt heltal är polylogaritmen en rationell funktion av z:

och i allmänhet

där S(n,k) är Stirlingtalen av andra ordningen . 

2. 

där ζ är Riemanns zetafunktion. Inga liknande formler är kända för högre ordningar, men några något mer komplicerade formler är

som innehåller den alternerande dubbelsumman . I allmänhet gäller för heltal n ≥ 2 

där ζ(s1, ..., sk) är multipel-zetafunktionen, exempelvis

3. Direkt ur polylogaritmens definition följer att

där ζ är Hurwitzs zetafunktion.

Integralrepresentationer 
För alla komplexa s och z gäller

Relation till andra funktioner 
 Då z=1 blir polylogaritmen Riemanns zetafunktion:

 Polylogaritmen är även relaterad till Dirichlets etafunktion och Dirichlets betafunktion:

och

 Polylogaritmen är ett specialfall av ofullständiga polylogaritmen:

 Polylogaritmen är ett specialfall av Lerchs transcendent:

 Polylogaritmen är också relaterad till Hurwitzs zetafunktion:

utom då s=0,1,2,...

 Polylogaritmen är relaterad till Bernoullipolynomen emligt

där 0 ≤ Re(x) < 1 om Im(x) ≥ 0, och 0 < Re(x) ≤ 1 om Im(x) < 0.

 Legendres chifunktion χs(z) kan skrivas med hjälp av polylogaritmen::

 Polylogaritmen av heltalsordning kan skrivas med hjälp av generaliserade hypergeometriska funktionen:

 Inversa tangensintegralen Tis(z) är relaterad till polylogaritmen enligt

Av det här följer:

Gränsvärden

Övrigt
Definiera  . Då gäller

och

Källor

Externa länkar 

Zeta- och L-funktioner
Inom matematiken är Polylogaritmen en speciell funktion som definieras som Speciella värden 1 . Då s är ett negativt heltal är polylogaritmen en rationell funktion av z : och i allmänhet där S( n,k ) är Stirlingtalen av andra ordningen\. 2. där ζ är Riemanns zetafunktion . Inga liknande formler är kända för högre ordningar , men några något mer komplicerade formler är som innehåller den alternerande dubbelsumman \ . I allmänhet gäller för heltal n ≥ där ζ( s1 ,\... , sk ) är multipel-zetafunktionen , exempelvis 3 . Direkt ur polylogaritmens definition följer att där ζ är Hurwitzs zetafunktion . Integralrepresentationer För alla komplexa s och z gäller Relation till andra funktioner Då z=1 blir polylogaritmen Riemanns zetafunktion : Polylogaritmen är även relaterad till Dirichlets etafunktion och Dirichlets betafunktion : och Polylogaritmen är ett specialfall av ofullständiga polylogaritmen : Polylogaritmen är ett specialfall av Lerchs transcendent : Polylogaritmen är också relaterad till Hurwitzs zetafunktion : utom då s=0,1,2, ... Polylogaritmen är relaterad till Bernoullipolynomen emligt där ≤ Re(x) <om Im(x) ≥ och < Re(x) ≤om Im(x ) < Legendres chifunktion χs( z ) kan skrivas med hjälp av polylogaritmen : : Polylogaritmen av heltalsordning kan skrivas med hjälp av generaliserade hypergeometriska funktionen : Inversa tangensintegralen Tis(z ) är relaterad till polylogaritmen enligt Av det här följer : Gränsvärden Övrigt Definiera \ . Då gäller och Källor Externa länkar Zeta- och L-funktioner