Wishartfördelning
Inom statistiken är Wishartfördelningen en generalisering till flera dimensioner av chitvåfördelningen eller till gammafördelningen då det är fråga om icke-heltal i frihetsgrader. Metoden är uppkallad efter John Wishart som tog fram den och först använde sig av den år 1928.

Definition 
Antag att X är en  -matris, där varje rad är oberoende av varandra med ett p-variatvärde med medelvärdet 0:

Wishartfördelningen är då den sannolikhetsfördelningen av -matrisen i den slumpmässiga matrisen , även känd som spridningsmatrisen. Sannolikhetsfördelningen för S visas genom formeln

Det positiva heltalet n är antalet frihetsgrader i matrisen, detta visas som W(V, p, n). Då n≥p är S inverterbar med sannolikhet 1, antaget att V är inverterbar.

Förekomster 
Wishartfördelningen kan ses som fördelningen av delarna till en kovariantmatris som i sig är en del av en multivariant normal fördelning. Den förekommer ofta i ratio-test inom den multivarianta statistiska analysen och även i teorin om slumpmässiga matriser.

Metoden används också vid trådlös kommunikation då den spelar stor roll för att analysera digitala signaler för MIMO-kanaler.

Egenskaper

Log-förväntan 
Utgå från följande formel:

där  är digammafunktionen. Denna funktion som inkluderar Wishartfördelningen hittas då ett bayesiskt nätverk tas fram.

Entropi 
Inom entropin, som är ett begrepp inom informationsteorin, har följande formel av fördelningen:

där  är en normaliserande konstant i fördelningen:

Detta visas i följande uträkning:

Karakteristisk funktion 
Wishartfördelningens karakteristiska funktion är

Med andra ord

 

där E visar vad som förväntas.

Sats 
Om en pxp slumpmässig matris X har en Wishartfördelning med m frihetsgrader och variansmatrisen V, d.v.s X≈Wp(V,m), och C är en qxp-matris med rank q, i så fall kan de skrivas som

.

Referenser 
Wishart, J. (1928). "The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population". Biometrika 20A (1–2): 32–52. doi:10.1093/biomet/20A.1-2.32. JFM 54.0565.02.JSTOR 2331939.
Zanella, A.; Chiani, M.; Win, M.Z. (April 2009). "On the marginal distribution of the eigenvalues of wishart matrices". IEEE Transactions on Communications 57 (4): 1050–1060.doi:10.1109/TCOMM.2009.04.070143.
C.M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning, Springer 2006, p. 693.
Anderson, T. W. (2003). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis (3rd ed.). Hoboken, N. J.: Wiley Interscience. p. 259. .
Rao, C. R., Linear statistical inference and its applications, Wiley 1965, p. 535

Sannolikhetsfördelningar
Inom statistiken är Wishartfördelningen en generalisering till flera dimensioner av chitvåfördelningen eller till gammafördelningen då det är fråga om icke-heltal i frihetsgrader . Metoden är uppkallad efter John Wishart som tog fram den och först använde sig av den år Definition Antag att X är en -matris , där varje rad är oberoende av varandra med ett p-variatvärde med medelvärdet Wishartfördelningen är då den sannolikhetsfördelningen av -matrisen i den slumpmässiga matrisen , även känd som spridningsmatrisen . Sannolikhetsfördelningen för S visas genom formeln Det positiva heltalet n är antalet frihetsgrader i matrisen , detta visas som W( V , p , n ) . Då n≥p är S inverterbar med sannolikhet antaget att V är inverterbar . Förekomster Wishartfördelningen kan ses som fördelningen av delarna till en kovariantmatris som i sig är en del av en multivariant normal fördelning . Den förekommer ofta i ratio-test inom den multivarianta statistiska analysen och även i teorin om slumpmässiga matriser . Metoden används också vid trådlös kommunikation då den spelar stor roll för att analysera digitala signaler för MIMO-kanaler . Egenskaper Log-förväntan Utgå från följande formel : där är digammafunktionen . Denna funktion som inkluderar Wishartfördelningen hittas då ett bayesiskt nätverk tas fram . Entropi Inom entropin , som är ett begrepp inom informationsteorin , har följande formel av fördelningen : där är en normaliserande konstant i fördelningen : Detta visas i följande uträkning : Karakteristisk funktion Wishartfördelningens karakteristiska funktion är Med andra ord där E visar vad som förväntas . Sats Om en pxp slumpmässig matris X har en Wishartfördelning med m frihetsgrader och variansmatrisen V , d.v.s X≈Wp( V,m ) , och C är en qxp-matris med rank q , i så fall kan de skrivas som . Referenser Wishart , J . "The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population " . Biometrika2) :52. doi:10.1093/biomet/20A.1-2.32 . JFM0565.02.JSTOR Zanella , A. ; Chiani , M. ; Win , M.Z. ( April "On the marginal distribution of the eigenvalues of wishart matrices". IEEE Transactions on Communications( 4) :1060.doi:10.1109/TCOMM.2009.04.070143. C.M . Bishop , Pattern Recognition and Machine Learning , Springer p. Anderson , T. W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysisd ed . ) . Hoboken , N. J. : Wiley Interscience . p.\. Rao , C. R. , Linear statistical inference and its applications , Wiley p . Sannolikhetsfördelningar