Hypergeometriska funktionen
Hypergeometriska funktionen 2F1(a,b;c;z) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall.

Historia
Termen "hypergeometrisk serie" användes först av John Wallis 1655 i hans bok Arithmetica Infinitorum. 

Hypergeometriska serier undersöktes av Leonhard Euler, men den första systematiska studien utfördes av Carl Friedrich Gauss 1813.  

På 1800-talet undersökte även Ernst Kummer (1836) och Bernhard Riemann (1857) hypergeometriska serier. Riemann karakteriserade hypergeoemtriska funktionen med hjälp av en differentialekvation som den satisfierar.

Definition
Hypergeometriska funktionen definieras för |z| < 1 som serien

Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal. Här är (x)n Pochhammersymbolen

Specialfall
Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen. Några typiska exempel är

Legendrepolynomen är också specialfall: 

Meixner–Pollaczekpolynomen:

Flera viktiga ortogonala polynom, såsom Jacobipolynomen, kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen:

Ofullständiga betafunktionen Bx(p,q):

Elliptiska integraler:

Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a, b, c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Exempelvis om

är

en elliptisk modulär funktion av τ.

Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen:

Integralformler
Om B är betafunktionen är

om |z| < 1 eller |z| = 1 och båda membrum konvergerar. Formeln kan bevisas genom att utveckla (1 − zx)−a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis. Formeln upptäcktes av Euler 1748.

Transformationer
Eulers transformation är

som följer genom att kombinera Ptaffs transformationer

som igen följer ur Eulers integralrepresentation.

En kvadratisk transformation är

En kubisk transformation är

Värden vid speciella punkter
Gauss sats är

som följer genom att sätta z = 1 i Eulers integralrepresentation.

Kummers sats är

som följer ur Kummers kvadratiska transformationer

och Gauss sats genom att sätta z = −1 i första identiteten.

Gauss andra sats är

Baileys sats är

Identiteter

Ett intressant specialfall av identiteten ovan är följande:

Gauss kedjebråk
Gauss kedjebråk är

Källor

Hypergeometriska funktioner
Hypergeometriska funktionen1( a,b;c;z ) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall . Historia Termen "hypergeometrisk serie " användes först av John Wallisi hans bok Arithmetica Infinitorum . Hypergeometriska serier undersöktes av Leonhard Euler , men den första systematiska studien utfördes av Carl Friedrich Gauss Påtalet undersökte även Ernst Kummeroch Bernhard Riemannhypergeometriska serier . Riemann karakteriserade hypergeoemtriska funktionen med hjälp av en differentialekvation som den satisfierar . Definition Hypergeometriska funktionen definieras för |z| < 1 som serien Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal . Här är ( x)n Pochhammersymbolen Specialfall Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen . Några typiska exempel är Legendrepolynomen är också specialfall : Meixner–Pollaczekpolynomen : Flera viktiga ortogonala polynom , såsom Jacobipolynomen , kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen : Ofullständiga betafunktionen Bx( p,q ) : Elliptiska integraler : Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a , b , c är2,3 , \... eller Exempelvis om är en elliptisk modulär funktion av τ . Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen : Integralformler Om B är betafunktionen är om |z| < 1 eller |z| = 1 och båda membrum konvergerar . Formeln kan bevisas genom att utveckla− zx) −a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis . Formeln upptäcktes av Euler Transformationer Eulers transformation är som följer genom att kombinera Ptaffs transformationer som igen följer ur Eulers integralrepresentation . En kvadratisk transformation är En kubisk transformation är Värden vid speciella punkter Gauss sats är som följer genom att sätta z = 1 i Eulers integralrepresentation . Kummers sats är som följer ur Kummers kvadratiska transformationer och Gauss sats genom att sätta z = −1 i första identiteten . Gauss andra sats är Baileys sats är Identiteter Ett intressant specialfall av identiteten ovan är följande : Gauss kedjebråk Gauss kedjebråk är Källor Hypergeometriska funktioner