Generaliserad hypergeometrisk funktion
Inom matematiken är en generaliserad hypergeometrisk serie en potensserie där kvoten av två konsekutiva koefficienter är en rationell funktion. Om serien konvergerar definierar den en generaliserad hypergeometrisk funktion. Många speciella funktioner kan skrivas som specialfall av generaliserade hypergeometriska funktionen.

Definition 
Definiera Pochhammersymbolen:

Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som

Specialfall 
 Dilogaritmen:

 Hahnpolynom:

 Wilsonpolynom:

 Laguerrepolynom

 Besselfunktionen:

Serien 1F0 
Denna serie kan skrivas i sluten form som
 
Differentialekvationen för denna funktion är 
 
eller
 
vars alla lösningar ges av
 
där k är en konstant.

Serien 0F1 
Funktioner av formen  är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln
 
Differentialekvationen för denna funktion är
 
eller

Serien 2F0 
Denna serie förekommer i samband med exponentiella integralen Ei(z).

Serien 3F1 
Denna serie förekommer i teorin för Besselfunktioner. Den kan användas till att beräkna värden på Besselfunktioner med stora argument.

Egenskaper

Eulers integraltransformation
Följande identitet är väldigt användbar:

Differentiering
Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar

Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = pFq:

Identiteter

Saalschützs sats

Dixons identitet 
Dixons identitet ger summan av en viss 3F2-serie vid z=1:

Dougalls formel 
Dougalls formel är formeln 

där m inte är ett icke-negativt heltal och

Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.

Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för 2F2 
Identitet 1.

där

Identitet 2.

som relaterar Besselfunktioner till 2F2; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a:

Identitet 3.
.

Identitet 4.

som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.

Kummers relation 
Kummers relation är

Clausens formel 
Clausens formel

användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan.

Generaliseringar 
Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.

Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n.

Källor 
 
 
 
 
 
 
  (the first edition has )
  (a reprint of this paper can be found in Carl Friedrich Gauss, Werke, p. 125)
  (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
 
 
 
 
 
 
  (there is a 2008 paperback with )
 

Hypergeometriska funktioner
Inom matematiken är en generaliserad hypergeometrisk serie en potensserie där kvoten av två konsekutiva koefficienter är en rationell funktion . Om serien konvergerar definierar den en generaliserad hypergeometrisk funktion . Många speciella funktioner kan skrivas som specialfall av generaliserade hypergeometriska funktionen . Definition Definiera Pochhammersymbolen : Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som Specialfall Dilogaritmen : Hahnpolynom : Wilsonpolynom : Laguerrepolynom Besselfunktionen : Serien0 Denna serie kan skrivas i sluten form som Differentialekvationen för denna funktion är eller vars alla lösningar ges av där k är en konstant . Serien1 Funktioner av formen är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln Differentialekvationen för denna funktion är eller Serien0 Denna serie förekommer i samband med exponentiella integralen Ei ( z ) . Serien1 Denna serie förekommer i teorin för Besselfunktioner . Den kan användas till att beräkna värden på Besselfunktioner med stora argument . Egenskaper Eulers integraltransformation Följande identitet är väldigt användbar : Differentiering Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = pFq : Identiteter Saalschützs sats Dixons identitet Dixons identitet ger summan av en viss2-serie vid z=1 : Dougalls formel Dougalls formel är formeln där m inte är ett icke-negativt heltal och Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel . Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för2 Identitet där Identitet som relaterar Besselfunktioner till2 ; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = : Identitet . Identitet som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal . Kummers relation Kummers relation är Clausens formel Clausens formel användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan . Generaliseringar Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal , inte bara de positiva . Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n . Källor ( the first edition has ) ( a reprint of this paper can be found in Carl Friedrich Gauss , Werke , p. 125 ) ( parttreats hypergeometric functions on Lie groups ) ( there is apaperback with ) Hypergeometriska funktioner