Kaprekartal
Kaprekartal för en given talbas, är ett icke-negativt tal vars kvadrat i den basen kan delas upp i två delar som summerar till det ursprungliga talet igen. Till exempel är 45 ett Kaprekartal eftersom 452 = 2025 och 20 + 25 = 45. Kaprekartal är uppkallade efter matematikern D. R. Kaprekar.

Definition 
Låt X vara ett icke-negativt heltal. X är ett Kaprekartal i basen b om det finns icke-negativa heltal n, A och positivt tal B som uppfyller:

X2 = Abn + B, där 0 < B < bn
X = A + B

Observera att X även är ett Kaprekartal i basen bn för detta specifika urval för n. Mer snävt kan vi fastställa mängden K(N) för ett givet heltal N som en mängd heltal X där

X2 = AN + B, där 0 < B < N
X = A + B

Varje Kaprekartal i basen n inräknas i en av mängderna K(b), K(b2), K(b3), …

Exempel 
Exempel:

 Låt det valda (förmodade) heltalet = 297 (3 siffror).
 Talets (297:s) kvadrat = 88209.
 Dess två delar är ⇒ 88, 209 (2 respektive 3 siffror).
 Summan av de två delarna = 88 + 209 = 297.
 Således är talet (297) ett Kaprekartal.

297 är ett Kaprekartal i basen 10 eftersom 2972 = 88209, som kan delas upp i 88 och 209, och 88 + 209 = 297. Av konvention får den andra delen inledas med siffran 0, men talet måste vara positivt. Till exempel är 999 i Kaprekartal i basen 10 eftersom 9992 = 998001, som kan delas upp i 998 och 001, och 998 + 001 = 999. Men 100 är inte ett Kaprekartal, även om 1002 = 10000 och 100 + 00 = 100, eftersom den andra delen inte avslutas med en positiv siffra.

De första Kaprekartal i basen 10 är:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, … 

I synnerhet är 9, 99, 999, … (alltså alla tal som endast består av nior) Kaprekartal. Mer allmänt, för någon bas b finns det oändligt antal Kaprekartal, inklusive alla tal på formen .

Egenskaper 
 Det bevisades år 2000 att Kaprekartal för någon bas b är i bijektion med enhetsdelarna av . Låt  beteckna den multiplikativa inversen av a modulo b, nämligen det minsta positiva heltal m sådant att . Då ingår ett tal X i mängden  (definierad ovan) om och endast om X = d  för någon enhetsdelare d av . I synnerhet
 För något X i , N − X tillhör .
 I binära talsystemet är alla jämna perfekta tal även Kaprekartal.

Se även 
 D. R. Kaprekar
 6174 (tal) (Kaprekars konstant)

Källor 
 

 
 
 
 Yutaka Nishiyama (2006). "Mysterious Number 6174".

Heltalsmängder
Bas-beroende heltalsmängder
Kaprekartal för en given talbas , är ett icke-negativt tal vars kvadrat i den basen kan delas upp i två delar som summerar till det ursprungliga talet igen . Till exempel ärett Kaprekartal eftersom=och+ = Kaprekartal är uppkallade efter matematikern D. R . Kaprekar . Definition Låt X vara ett icke-negativt heltal . X är ett Kaprekartal i basen b om det finns icke-negativa heltal n , A och positivt tal B som uppfyller : X2 = Abn + B , där< B < bn X = A + B Observera att X även är ett Kaprekartal i basen bn för detta specifika urval för n . Mer snävt kan vi fastställa mängden K( N ) för ett givet heltal N som en mängd heltal X där X2 = AN + B , där< B < N X = A + B Varje Kaprekartal i basen n inräknas i en av mängderna K( b ) , K( b2 ) , K( b3 ) , … Exempel Exempel : Låt det valda ( förmodade ) heltalet =(3 siffror ) . Taletss ) kvadrat = Dess två delar är ⇒( 2 respektivesiffror ) . Summan av de två delarna =+= Således är taletett Kaprekartal. 297 är ett Kaprekartal i baseneftersom= som kan delas upp ioch och+= Av konvention får den andra delen inledas med siffran men talet måste vara positivt . Till exempel äri Kaprekartal i baseneftersom= som kan delas upp ioch och+= Menär inte ett Kaprekartal , även om=och+= eftersom den andra delen inte avslutas med en positiv siffra . De första Kaprekartal i basenär : 1 , … I synnerhet är … ( alltså alla tal som endast består av nior ) Kaprekartal . Mer allmänt , för någon bas b finns det oändligt antal Kaprekartal , inklusive alla tal på formen \ . Egenskaper Det bevisades åratt Kaprekartal för någon bas b är i bijektion med enhetsdelarna av \. Låt beteckna den multiplikativa inversen av a modulo b , nämligen det minsta positiva heltal m sådant att \ . Då ingår ett tal X i mängden ( definierad ovan ) om och endast om X = d för någon enhetsdelare d av \. I synnerhet För något X i , N − X tillhör \ . I binära talsystemet är alla jämna perfekta tal även Kaprekartal . Se även D. R . Kaprekar ( tal ) ( Kaprekars konstant ) Källor Yutaka Nishiyama "Mysterious Number . Heltalsmängder Bas-beroende heltalsmängder