Clausens funktion
Inom matematiken är Clausens funktion, introducerad av Thomas Clausen 1832, en speciell funktion. Den kan definieras som en integral, trigonometrisk serie, och med hjälp av andra speciella funktioner. Den är relaterad till polylogaritmen, inversa tangensintegralen, polygammafunktionen, Riemanns zetafunktion och Dirichlets betafunktion.

Clausens funktion av ordning 2 – som ofta kallas för Clausens funktion, fast den är en av Clausens funktioner – definieras som integralen

I intervallet  får sinus endast positiva värdet, så absoluta värdet kan lämnas bort. Clausens funktion har Fourierserien

Allmän definition 
Mer allmänt definieras följande två generaliserade Clausens funktioner: 

som gäller för komplexa z med Re z >1. 

Då z ersätts med ett icke-negativt heltal, definieras Clausens funktioner av standardtyp som serierna

Derivator

Integraler

Relation till inversa tangensintegralen 
Inversa tangensintegralen definieras i intervallet  som

Den kan skrivas i sluten form med hjälp av Clausens funktion:

Relation till Barnes G-funktion 
För reella  kan Clausens funktion av andra ordningen skrivas med hjälp av Barnes G-funktion och gammafunktionen:

Andra oändliga serier 
En snabbare konvergerande serie för Clausens funktion är

som gäller för , där  är Riemanns zetafunktion. En annan snabbt konvergerande serie är

Speciella värden

Speciella värden av högre ordningens funktioner 
Några speciella värden av Clausens funktioner av högre ordning är

där  är Catalans konstant,  är Dirichlets betafunktion,  är Dirichlets etafunktion och  är Riemanns zetafunktion.

Källor 
 
 
 
 
 
 Leonard Lewin, (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (1991)  American Mathematical Society, Providence, RI.

Externa länkar

Zeta- och L-funktioner
Inom matematiken är Clausens funktion , introducerad av Thomas Clausen en speciell funktion . Den kan definieras som en integral , trigonometrisk serie , och med hjälp av andra speciella funktioner . Den är relaterad till polylogaritmen , inversa tangensintegralen , polygammafunktionen , Riemanns zetafunktion och Dirichlets betafunktion . Clausens funktion av ordning– som ofta kallas för Clausens funktion , fast den är en av Clausens funktioner – definieras som integralen I intervallet får sinus endast positiva värdet , så absoluta värdet kan lämnas bort . Clausens funktion har Fourierserien Allmän definition Mer allmänt definieras följande två generaliserade Clausens funktioner : som gäller för komplexa z med Re z >1 . Då z ersätts med ett icke-negativt heltal , definieras Clausens funktioner av standardtyp som serierna Derivator Integraler Relation till inversa tangensintegralen Inversa tangensintegralen definieras i intervallet som Den kan skrivas i sluten form med hjälp av Clausens funktion : Relation till Barnes G-funktion För reella kan Clausens funktion av andra ordningen skrivas med hjälp av Barnes G-funktion och gammafunktionen : Andra oändliga serier En snabbare konvergerande serie för Clausens funktion är som gäller för , där är Riemanns zetafunktion . En annan snabbt konvergerande serie är Speciella värden Speciella värden av högre ordningens funktioner Några speciella värden av Clausens funktioner av högre ordning är där är Catalans konstant , är Dirichlets betafunktion , är Dirichlets etafunktion och är Riemanns zetafunktion . Källor Leonard Lewin , ( Ed . ) . Structural Properties of Polylogarithms American Mathematical Society , Providence , RI . Externa länkar Zeta- och L-funktioner