Nesbitts olikhet
Inom matematiken är Nesbitts olikhet en olikhet som är ett specialfall av Shapiros olikhet. Olikheten säger att för positiva reella tal a, b och c gäller

Bevis

Första bevis
Först skriver vi Nesbitts olikhet

i formen

som kan vidare skrivas som

Genom att dela med tre och faktorn till höger får vi 

Vänstra sidan är det aritmetiska medelvärdet och högra sidan är det harmoniska medelvärdet, så olikheten är sann.

Andra bevis
Följande identitet gäller för alla 

Detta bevisar att vänstra membrum inte är mindre än  för positiva a,b och c.

Notera: varje rationell olikhet kan lösas genom att transformera den till en lämplig identitet; se vidare Hilberts sjuttonde problem.

Tredje bevis
Vi transformerar Nesbitts olikhet till en ekvivalent olikhet som är ett specialfall av en välkänd olikhet. Vi börjar med Nesbitts olikhet

och adderar  till båda membrum:

Detta kan transformeras till

Multiplikation med  ger att

vilket stämmer enligt Cauchy–Schwarz olikhet.

Fjärde bevis
Vi börjar med Nesbitts olikhet

och sätter a+b=x, b+c=y, c+a=z vilket ger

som kan transformeras till

som är sann enligt olikheten av aritmetiska och geometriska medeltalen.

Femte bevis
För att bevisa att

multiplicerar vi det första bråket med , det andra med  och det tredje med  vilket ger

Genom att använda Titus lemma får vi

Det räcker alltså att bevisa att

Detta kan skrivas som

vilket igen kan skrivas som 

vilket stämmer.

Referenser

Olikheter
Inom matematiken är Nesbitts olikhet en olikhet som är ett specialfall av Shapiros olikhet . Olikheten säger att för positiva reella tal a , b och c gäller Bevis Första bevis Först skriver vi Nesbitts olikhet i formen som kan vidare skrivas som Genom att dela med tre och faktorn till höger får vi Vänstra sidan är det aritmetiska medelvärdet och högra sidan är det harmoniska medelvärdet , så olikheten är sann . Andra bevis Följande identitet gäller för alla Detta bevisar att vänstra membrum inte är mindre än för positiva a,b och c. Notera : varje rationell olikhet kan lösas genom att transformera den till en lämplig identitet ; se vidare Hilberts sjuttonde problem . Tredje bevis Vi transformerar Nesbitts olikhet till en ekvivalent olikhet som är ett specialfall av en välkänd olikhet . Vi börjar med Nesbitts olikhet och adderar till båda membrum : Detta kan transformeras till Multiplikation med ger att vilket stämmer enligt Cauchy–Schwarz olikhet . Fjärde bevis Vi börjar med Nesbitts olikhet och sätter a+b=x , b+c=y , c+a=z vilket ger som kan transformeras till som är sann enligt olikheten av aritmetiska och geometriska medeltalen . Femte bevis För att bevisa att multiplicerar vi det första bråket med , det andra med och det tredje med vilket ger Genom att använda Titus lemma får vi Det räcker alltså att bevisa att Detta kan skrivas som vilket igen kan skrivas som vilket stämmer . Referenser Olikheter