J-invarianten
Inom matematiken är Kleins j-invariant, sedd som en funktion av komplexa variabeln τ, en modulär funktion av vikt noll för  definierad i övre planhalvan av komplexa planet. Den är den unika funktionen med dessa egenskaper som är analytisk förutom vid en spets där den har en enkel pol så att 

Rationella funktioner av j är modulära, och det kan visas att alla modulära funktioner är av denna form. j-invarianten studerades klassiskt som en parametrisering av elliptiska kurvor över , men den har även överraskande samband med symmetrierna av Monstergruppen.

Fourierexpansion 
j-invariantens Fourierexpansion i variabeln  börjar

Alla koefficienterna är heltal, vilket resulterar i flera nästan-heltal, såsom Ramanujans konstant: 

.

Alternativa uttryck 
Följande formel gäller

där  och  är modulära lambdafunktionen. Värdet av  förblir oförändrat då λ ersätts med något av de sex värdena

Klasskroppsteori och 
-invarianten har många remarkabla egenskaper: 

Om  är ett singulärt moduli, d.v.s. ett godtyckligt element av en imaginär kvadratisk kropp med positiv imaginär del (så att  är definierad), då är  ett algebraiskt heltal. 

 Kroppsutvidgningen  är abelsk, d.v.s. har abelsk Galoisgrupp.

Formler för pi 
Genom att använda formeln  bevisade Chudnovskybröderna 1987 formlen

Källor 
 
 . Provides a very readable introduction and various interesting identities.
 
 . Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric series.
  Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory.
 . Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
 .
 .
 . Provides a short review in the context of modular forms.
 .

Fotnoter

Modulära former
Elliptiska funktioner
Inom matematiken är Kleins j-invariant , sedd som en funktion av komplexa variabeln τ , en modulär funktion av vikt noll för definierad i övre planhalvan av komplexa planet . Den är den unika funktionen med dessa egenskaper som är analytisk förutom vid en spets där den har en enkel pol så att Rationella funktioner av j är modulära , och det kan visas att alla modulära funktioner är av denna form . j-invarianten studerades klassiskt som en parametrisering av elliptiska kurvor över , men den har även överraskande samband med symmetrierna av Monstergruppen . Fourierexpansion j-invariantens Fourierexpansion i variabeln börjar Alla koefficienterna är heltal , vilket resulterar i flera nästan-heltal , såsom Ramanujans konstant : . Alternativa uttryck Följande formel gäller där och är modulära lambdafunktionen . Värdet av förblir oförändrat då λ ersätts med något av de sex värdena Klasskroppsteori och -invarianten har många remarkabla egenskaper : Om är ett singulärt moduli , d.v.s. ett godtyckligt element av en imaginär kvadratisk kropp med positiv imaginär del ( så att är definierad ) , då är ett algebraiskt heltal . Kroppsutvidgningen är abelsk , d.v.s. har abelsk Galoisgrupp . Formler för pi Genom att använda formeln bevisade Chudnovskybrödernaformlen Källor \ . Provides a very readable introduction and various interesting identities . \ . Provides a variety of interesting algebraic identities , including the inverse as a hypergeometric series . Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory . \. Includes a list of thegenus-zero modular functions . \. \. \ . Provides a short review in the context of modular forms. \. Fotnoter Modulära former Elliptiska funktioner