Tjebysjovpolynom
Tjebysjovpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

Definition
Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

De kan även definieras  trigonometriskt som

Deras genererande funktion är

Den exponentiella genererande funktionen är

En annan genererande funktion är

Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

Deras genererande funktion är

Egenskaper
För varje icke-negativt heltal n är Tn(x) och Un(x) polynom av grad n.  

Flera polynom, såsom Lucaspolynomen (Ln), Dicksonpolynomen (Dn) och Fibonaccipolynomen (Fn) är relaterade till Tjebysjovpolynomen.

Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen

En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är

En formel analogisk till

är

.

För  är

 and

som följer ur definitionen genom att låta .

Låt

då är

Ortogonalitet

Relationer mellan Tjebysjovpolynom av första och andra ordningen

Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen:

, där n är udda.

, där n är jämnt.

Explicita uttryck
Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen:

där  är hypergeometriska funktionen.

Relation till andra funktioner

Tjebysjovpolynomen  är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen:

Se även
 Hermitepolynom
 Legendrepolynom

Referenser

Externa länkar 

Speciella funktioner
Ortogonala polynom
Approximationsteori
Tjebysjovpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov . Definition Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen De kan även definieras trigonometriskt som Deras genererande funktion är Den exponentiella genererande funktionen är En annan genererande funktion är Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen Deras genererande funktion är Egenskaper För varje icke-negativt heltal n är Tn(x) och Un(x) polynom av grad n . Flera polynom , såsom Lucaspolynomen ( Ln ) , Dicksonpolynomen ( Dn ) och Fibonaccipolynomen ( Fn ) är relaterade till Tjebysjovpolynomen . Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är En formel analogisk till är . För är and som följer ur definitionen genom att låta \ . Låt då är Ortogonalitet Relationer mellan Tjebysjovpolynom av första och andra ordningen Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen : där n är udda. där n är jämnt . Explicita uttryck Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen : där är hypergeometriska funktionen . Relation till andra funktioner Tjebysjovpolynomen är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen , som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen : Se även Hermitepolynom Legendrepolynom Referenser Externa länkar Speciella funktioner Ortogonala polynom Approximationsteori