Dirichlets betafunktion
Dirichlets betafunktion är en speciell funktion som är nära relaterad till Riemanns zetafunktion.

Definition
Dirichlets betafunktion definieras som

En ekvivalent definition är

I båda fallen antas det att Re(s) > 0.

Dirichlets betafunktion kan definieras för alla komplexa s med hjälp av Hurwitzs zetafunktion:

  

En annan definition med hjälp av Lerchs transcendent är:

som också göller för alla komplexa s.

Produktrepresentation

Dirichlets betafunktion kan skrivas som en oändlig produkt för alla komplexa  vars reella del är större än 1:

Funktionalekvation

Med hjälp av funktionalekvationen  för Dirichlets betafunktion kan den definieras för Re(s)<0. Ekvationen ges av

där Γ(s) är gammafunktionen.

Speciella värden

Några speciella värden är:

där G är Catalans konstant;

där  i exemplet ovan är polygammafunktionen. Mer allmänt gäller det för alla positiva heltal k:

där  är Eulertalen. För heltal k ≥ 0 gäller

Derivata

En formel för derivatan av Dirichlets betafunktion för  är

Speciella värden är:

 
För alla positiva hltal  gäller formeln:

Övriga formler

En dubbelintegral för Dirichlets betafunktion är

Referenser 

Zeta- och L-funktioner
Dirichlets betafunktion är en speciell funktion som är nära relaterad till Riemanns zetafunktion . Definition Dirichlets betafunktion definieras som En ekvivalent definition är I båda fallen antas det att Re( s ) > 0 . Dirichlets betafunktion kan definieras för alla komplexa s med hjälp av Hurwitzs zetafunktion : En annan definition med hjälp av Lerchs transcendent är : som också göller för alla komplexa s . Produktrepresentation Dirichlets betafunktion kan skrivas som en oändlig produkt för alla komplexa vars reella del är större än Funktionalekvation Med hjälp av funktionalekvationen för Dirichlets betafunktion kan den definieras för Re( s) <0 . Ekvationen ges av där Γ(s ) är gammafunktionen . Speciella värden Några speciella värden är : där G är Catalans konstant ; där i exemplet ovan är polygammafunktionen . Mer allmänt gäller det för alla positiva heltal k : där är Eulertalen . För heltal k ≥ 0 gäller Derivata En formel för derivatan av Dirichlets betafunktion för är Speciella värden är : För alla positiva hltal gäller formeln : Övriga formler En dubbelintegral för Dirichlets betafunktion är Referenser Zeta- och L-funktioner