Modulär form
Inom matematiken är en modulär form en (komplex) analytisk funktion i övre halvplanet som satisfierar en viss funktionalekvation med avseende på gruppverkan av modulära gruppen, samt satisfierar ett visst krav på tillväxten.  Teorin om modulära former är en del av komplex analys. Modulära former är viktiga inom talteori och förekommer även inom algebraisk topologi och strängteori.

Modulära former för SL2(Z)
En modulär form av vikt k för modulära gruppen 

är en komplexvärd funktion f  i övre halvplanet  som satisfierar följande tre krav: för det första är f en analytisk funktion över H. För det andra gäller för alla z i H och en godtycklig matris i SL(2,Z) ekvationen

För det tredje bör f vara analytisk då . Vikten k är vanligen ett positivt heltal.

Det andra kravet, med matriserna  och , är

och
.
Eftersom S och T genererar modulära gruppen SL(2,Z) är det andra kravet ovan ekvivalent till dessa två ekvationer. Notera att eftersom 

är modulära funktioner  periodiska funktioner med period 1 och har härmed en Fourierserie.

Notera att för udda k kan bara 0 satisfiera det andra kravet.

Exempel
Funktionen som är konstant lika med noll är en modulär form av vikt k för alla tal k.

Varje konstant funktion är en modulär form av vikt 0.

Dedekinds etafunktion definieras som

Då är den modulära diskriminanten Δ(z) = η(z)24 en modulär form av vikt 12.

Automorfiska faktorer och andra generaliseringar
Modulära former kan generaliseras genom att tillåta existensen av en funktion  med  så att

Funktioner av formen  är kända som automorfiska faktorer.

En annan generalisering är Hilbert-modulära former. Ytterligare en generalisering är Siegel-modulära former.

Referenser

Se även 
Taniyama-Shimuras sats

Källor 
 Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
 Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. 
 Goro Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Provides a more advanced treatment.
 Stephen Gelbart, Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
 Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. 
 Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators
 Erich Hecke, Mathematische Werke, Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
 N.P. Skoruppa, D. Zagier, Jacobi forms and a certain space of modular forms, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer

 
Speciella funktioner
Inom matematiken är en modulär form en ( komplex ) analytisk funktion i övre halvplanet som satisfierar en viss funktionalekvation med avseende på gruppverkan av modulära gruppen , samt satisfierar ett visst krav på tillväxten . Teorin om modulära former är en del av komplex analys . Modulära former är viktiga inom talteori och förekommer även inom algebraisk topologi och strängteori . Modulära former för SL2( Z ) En modulär form av vikt k för modulära gruppen är en komplexvärd funktion f i övre halvplanet som satisfierar följande tre krav : för det första är f en analytisk funktion över H . För det andra gäller för alla z i H och en godtycklig matris i SL( 2,Z ) ekvationen För det tredje bör f vara analytisk då \. Vikten k är vanligen ett positivt heltal . Det andra kravet , med matriserna och , är och . Eftersom S och T genererar modulära gruppen SL( 2,Z ) är det andra kravet ovan ekvivalent till dessa två ekvationer . Notera att eftersom är modulära funktioner periodiska funktioner med periodoch har härmed en Fourierserie . Notera att för udda k kan barasatisfiera det andra kravet . Exempel Funktionen som är konstant lika med noll är en modulär form av vikt k för alla tal k . Varje konstant funktion är en modulär form av vikt Dedekinds etafunktion definieras som Då är den modulära diskriminanten Δ( z ) = η( z) 24 en modulär form av vikt Automorfiska faktorer och andra generaliseringar Modulära former kan generaliseras genom att tillåta existensen av en funktion med så att Funktioner av formen är kända som automorfiska faktorer . En annan generalisering är Hilbert-modulära former . Ytterligare en generalisering är Siegel-modulära former . Referenser Se även Taniyama-Shimuras sats Källor Jean-Pierre Serre , A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics Springer-Verlag , New York , Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms . Tom M . Apostol , Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory Springer-Verlag , New York . Goro Shimura , Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions . Princeton University Press , Princeton , N.J. , Provides a more advanced treatment . Stephen Gelbart , Automorphic forms on adele groups . Annals of Mathematics Studies Princeton University Press , Princeton , N.J. , Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory . Robert A . Rankin , Modular forms and functions ,Cambridge University Press , Cambridge . Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators Erich Hecke , Mathematische Werke , Goettingen , Vandenhoeck & Ruprecht , N.P. Skoruppa , D. Zagier , Jacobi forms and a certain space of modular forms , Inventiones Mathematicae , Springer Speciella funktioner