Fjärilssatsen
Fjärilssatsen är ett resultat från den Euklidiska geometrin.

Sats 
Låt M vara mittpunkten av en linje PQ i en cirkel genom vilken två andra linjer AB och CD dras. AD och BC skär linjen PQ på X och Y på motsvarande sätt. Då är M mittpunkten av XY.

Bevis

Bevis 1 (Coxeter och Greitzer)

Rita ut linjerna  och  vinkelräta från  respektive  till .
På samma sätt rita ut  och  vinkelrätt från  och  till .

Nu, eftersom

 
 

 
 

 
 

 
 

Från de föregående ekvationerna kan man se att

 

 

 

 

 

eftersom  = 

Nu,

Det bevisar
 alltså att  är mittpunkten av

Bevis 2 (Shklyarsky) 

Låt  och .
Som i Bevis 1, 

Kolla på triangeln . Enligt sinussatsen får vi

Och triangeln 

vilket leder till

Nu kan vi bryta ut :

Eftersom det uttrycket är symmetriskt i  och  kommer vi få exakt samma resultat ifall vi skulle upprepa härledningen för segmentet . Därför är

Källor 
 The Butterfly Theorem
 Proof of Butterfly Theorem
 The Butterfly Theorem  av Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
 
 Aspects of the Butterfly Theorem

Euklidisk geometri
Satser
Fjärilssatsen är ett resultat från den Euklidiska geometrin . Sats Låt M vara mittpunkten av en linje PQ i en cirkel genom vilken två andra linjer AB och CD dras . AD och BC skär linjen PQ på X och Y på motsvarande sätt . Då är M mittpunkten av XY . Bevis Bevis( Coxeter och Greitzer ) Rita ut linjerna och vinkelräta från respektive till \. På samma sätt rita ut och vinkelrätt från och till \ . Nu , eftersom Från de föregående ekvationerna kan man se att eftersom = Nu , Det bevisar alltså att är mittpunkten av Bevis( Shklyarsky ) Låt och \ . Som i Bevis Kolla på triangeln \ . Enligt sinussatsen får vi Och triangeln vilket leder till Nu kan vi bryta ut \ : Eftersom det uttrycket är symmetriskt i och kommer vi få exakt samma resultat ifall vi skulle upprepa härledningen för segmentet \ . Därför är Källor The Butterfly Theorem Proof of Butterfly Theorem The Butterfly Theorem av Jay Warendorff , Wolfram Demonstrations Project . Aspects of the Butterfly Theorem Euklidisk geometri Satser