Ramanujans taufunktion
Inom matematiken är Ramanujans taufunktion, uppkallad efter Srinivasa Ramanujan, funktionen  definierad som 

där   är så att  och  är Dedekinds etafunktion.

Värden 
De första värdena av taufunktionen ges i följande tabell :

Ramanujans förmodanden 
Ramanujan (1916) observerade, men kunde inte bevisa, följande egenskaper av taufunktionen:

  om  (det vill säga  är en multiplikativ funktion)
  för primtal  och .
  för alla primtal .

De första två egenskaperna bevisades av Louis J. Mordell (1917) och den tredje, kallad för Ramanujan-Peterssons förmodan, bevisades 1974 av Pierre Deligne.

Kongruenser för taufunktionen 
För  och , definiera  som summan av :te potenserna av delarna av . Taufunktion uppfyller flera kongruensrelationer, många av dem kan uttryckas i termer av . Då gäller följande kongruenser:

För  primtal gäller:
<li>
<li>
<li>

Förmodanden om τ(n)
 Anta att  är en heltalsnyform av vikt  och att dess Fourierkoefficienter  är heltal. Betrakta följande problem: om  saknar komplex multiplikation, bevisa att  gäller för alla . De flesta primtalen borde ha denna egenskap, och sådana primtal kallas ordinära. Även om Deligne och Serre har gjort stora framsteg inom teorin av Galoisrepresentationer, som bestämmer  för  och  relativt prima, vet vi inte hur man skall räkna . Den enda satsen av denna sort som bevisats är Elkies berömda resultat för modulära elliptiska kurvor som garanterar att det finns oändligt många primtal  så att , av vilket  följer. Man känner inte till exempel av icke-KM  med vikt  med  mod  för oändligt många primtal  (även om det borde gälla för nästan alla ). Man känner inte heller till exempel där  mod  för oändligt många . 

Lehmer (1947) förmodade att  för alla , vilket har senare blivit känt som Lehmers förmodan. Lehmer kontrollerade att den gäller för . Bosman (2007) har bevisat att förmodan gäller för alla .

Referenser

Noter

Källor
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Multiplikativa funktioner
Srinivasa Ramanujan
Modulära former
Inom matematiken är Ramanujans taufunktion , uppkallad efter Srinivasa Ramanujan , funktionen definierad som där är så att och är Dedekinds etafunktion . Värden De första värdena av taufunktionen ges i följande tabell \ : Ramanujans förmodanden Ramanujanobserverade , men kunde inte bevisa , följande egenskaper av taufunktionen : om ( det vill säga är en multiplikativ funktion ) för primtal och \. för alla primtal \ . De första två egenskaperna bevisades av Louis J . Mordelloch den tredje , kallad för Ramanujan-Peterssons förmodan , bevisadesav Pierre Deligne . Kongruenser för taufunktionen För och , definiera som summan av\:te potenserna av delarna av \. Taufunktion uppfyller flera kongruensrelationer , många av dem kan uttryckas i termer av \. Då gäller följande kongruenser : För primtal gäller : <li> <li> <li> Förmodanden om τ( n ) Anta att är en heltalsnyform av vikt och att dess Fourierkoefficienter är heltal . Betrakta följande problem : om saknar komplex multiplikation , bevisa att gäller för alla \ . De flesta primtalen borde ha denna egenskap , och sådana primtal kallas ordinära . Även om Deligne och Serre har gjort stora framsteg inom teorin av Galoisrepresentationer , som bestämmer för och relativt prima , vet vi inte hur man skall räkna \ . Den enda satsen av denna sort som bevisats är Elkies berömda resultat för modulära elliptiska kurvor som garanterar att det finns oändligt många primtal så att , av vilket följer . Man känner inte till exempel av icke-KM med vikt med mod för oändligt många primtal ( även om det borde gälla för nästan alla ) . Man känner inte heller till exempel där mod för oändligt många \ . Lehmerförmodade att för alla , vilket har senare blivit känt som Lehmers förmodan . Lehmer kontrollerade att den gäller för \. Bosmanhar bevisat att förmodan gäller för alla \ . Referenser Noter Källor Multiplikativa funktioner Srinivasa Ramanujan Modulära former