Định lý Rolle
Trong vi tích phân, định lý Rolle phát biểu rằng bất cứ hàm giá trị thực nào khả vi, đạt giá trị bằng nhau tại hai điểm phân biệt phải có điểm tĩnh lại đâu đó giữa chúng; đó là, một điểm nơi đạo hàm cấp một (hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm) bằng 0.

Chứng minh định lý Rolle phát biểu dưới dạng trên tương đối phức tạp. Thường ta phải sử dụng định lý Fermat. Tuy nhiên, ta có thể phát biểu lại định lý Rolle dưới dạng thu hẹp hơn. Khi đó việc chứng minh là đơn giản.

Định lý Rolle thu hẹp
Nếu hàm số thực f liên tục trên đoạn [a; b], (a < b), khả vi liên tục trên khoảng (a; b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f′(c) = 0.

Chứng minh 

Giả sử không tồn tại c ∈ (a; b) để f′(c) = 0, tức là f′(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a; b). Khi đó, do f′(x) liên tục trên (a; b) nên f′(x) không đổi dấu trên (a; b).

Không giảm tính tổng quát, giả sử f′(x) > 0 ∀x ∈ (a; b). Mà f(x) liên tục trên [a; b] nên f(x) đồng biến trên [a; b], suy ra f(a) < f(b), trái với giả thiết f(a) = f(b).

Điều này chứng tỏ giả sử ban đầu của chúng ta là sai. Vậy tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f′(c) = 0. Bài toán đã được chứng minh.

Tham khảo

Liên kết ngoài 
 
 Rolle's and Mean Value Theorems at Cut-the-knot.

Định lý trong giải tích thực
Định lý trong tính toán
Trong vi tích phân , định lý Rolle phát biểu rằng bất cứ hàm giá trị thực nào khả vi , đạt giá trị bằng nhau tại hai điểm phân biệt phải có điểm tĩnh lại đâu đó giữa chúng ; đó là , một điểm nơi đạo hàm cấp một (hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm) bằng Chứng minh định lý Rolle phát biểu dưới dạng trên tương đối phức tạp . Thường ta phải sử dụng định lý Fermat . Tuy nhiên , ta có thể phát biểu lại định lý Rolle dưới dạng thu hẹp hơn . Khi đó việc chứng minh là đơn giản . Định lý Rolle thu hẹp Nếu hàm số thực f liên tục trên đoạn [a ; b] , (a < b) , khả vi liên tục trên khoảng (a ; b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a ; b) sao cho f ′(c) = Chứng minh Giả sử không tồn tại c ∈ (a ; b) để f ′(c) = tức là f ′(x) ≠∀x ∈ (a ; b) . Khi đó , do f ′(x) liên tục trên (a ; b) nên f ′ (x) không đổi dấu trên (a ; b) . Không giảm tính tổng quát , giả sử f ′(x) >∀x ∈ (a ; b) . Mà f(x) liên tục trên [a ; b] nên f(x) đồng biến trên [a ; b] , suy ra f(a) < f(b) , trái với giả thiết f(a) = f(b) . Điều này chứng tỏ giả sử ban đầu của chúng ta là sai . Vậy tồn tại c ∈ (a ; b) sao cho f ′(c) = Bài toán đã được chứng minh . Tham khảo Liên kết ngoài Rolle 's and Mean Value Theorems at Cut -the-knot . Định lý trong giải tích thực Định lý trong tính toán