Giao hoán tử
Trong toán học, giao hoán tử là một đối tượng toán học thể hiện tính chất của một phép toán hai ngôi có giao hoán hay không.

Lý thuyết nhóm
Trong lý thuyết nhóm, giao hoán tử của hai phần tử g và h của nhóm là:
[g, h] = g−1h−1gh

Lý thuyết vành
Trong lý thuyết vành, giao hoán tử của hai phần tử a và b của vành là:
[a, b] = ab - ba

Ví dụ
Một toán tử là phép toán tác động lên một hàm số bất kì và cho ra một hàm số mới. Ví dụ:
A f(x,y,z) = g(x,y,z)
thể hiện toán tử A tác dụng lên f(x,y,z) tạo ra hàm g(x,y,z). Một số loại toán tử thường gặp như toán tử đạo hàm, A = , hay toán tử Laplace, A = 

Hai toán tử có tính giao hoán khi thứ tự của hai toán tử này tác động lần lượt lên một hàm không ảnh hưởng đến kết quả cho ra. Nói chung hai toán tử bất kỳ thường không giao hoán, vì thứ tự tác động là quan trọng.

Giao hoán tử của hai toán tử A và B, là toán tử được định nghĩa là: 
[A,B] = A B - B A
Ở đây xảy ra hai trường hợp:
[A,B] = A B - B A ≠ 0 - hai toán tử A, B không giao hoán với nhau.
[A,B] = A B - B A = 0 - hai toán tử A, B giao hoán với nhau.
Đây gọi là hệ thức giao hoán giữa hai toán tử.

Một số hệ quả:
[A,B] + [B,A] = 0
[A,A] = 0
[A,B+C] = [A,B] + [A,C]
[A+B,C] = [A,C] + [B,C]
[A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
[AB,C] = [A,C]B + A[B,C]
[A,[B,C]] + [C,[A,B]] + [B,[C,A]] = 0

Trong cơ học lượng tử 
Trong cơ học lượng tử, mỗi phép đo đều ứng với một toán tử, và kết quả đo thu được khi tác động toán tử lên hàm sóng của hệ vật chất. Hai phép đo không thể được đo cùng lúc với sai số bằng 0 nếu hai toán tử ứng với chúng không giao hoán với nhau. Đây là nội dung của nguyên lý bất định Heisenberg.

Xem thêm 
Giao hoán
Nhóm con giao hoán tử

Tham khảo

Commutators in Quantum Mechanics, David Sherrill, 2006-08-15
Foundations of Quantum Mechanics: From Photons to Quantum Computers, Reinhold Blümel

Liên kết ngoài  
[Heisenberg Uncertainty Principle|http://chemistry.illinoisstate.edu/standard/che460/handouts/460hup.pdf ]

Đại số trừu tượng
Lý thuyết nhóm
Phép toán hai ngôi
Trong toán học , giao hoán tử là một đối tượng toán học thể hiện tính chất của một phép toán hai ngôi có giao hoán hay không . Lý thuyết nhóm Trong lý thuyết nhóm , giao hoán tử của hai phần tử g và h của nhóm là : [g , h] = g−1h−1gh Lý thuyết vành Trong lý thuyết vành , giao hoán tử của hai phần tử a và b của vành là : [a , b] = ab - ba Ví dụ Một toán tử là phép toán tác động lên một hàm số bất kì và cho ra một hàm số mới . Ví dụ : A f(x,y ,z) = g(x,y ,z) thể hiện toán tử A tác dụng lên f(x,y ,z) tạo ra hàm g(x,y ,z) . Một số loại toán tử thường gặp như toán tử đạo hàm , A = , hay toán tử Laplace , A = Hai toán tử có tính giao hoán khi thứ tự của hai toán tử này tác động lần lượt lên một hàm không ảnh hưởng đến kết quả cho ra . Nói chung hai toán tử bất kỳ thường không giao hoán , vì thứ tự tác động là quan trọng . Giao hoán tử của hai toán tử A và B , là toán tử được định nghĩa là : [A , B] = A B - B A Ở đây xảy ra hai trường hợp : [A , B] = A B - B A ≠- hai toán tử A , B không giao hoán với nhau . [A , B] = A B - B A =- hai toán tử A , B giao hoán với nhau . Đây gọi là hệ thức giao hoán giữa hai toán tử . Một số hệ quả : [A , B] + [B , A] = 0 [A , A] = 0 [A , B+C] = [A , B] + [A , C] [A+B , C] = [A , C] + [B ,C] [A , BC] = [A , B]C + B[A, C] [AB, C] = [A , C]B + A[B,C] [A , [B , C]] + [C ,[A, B]] + [B,[C , A]] = 0 Trong cơ học lượng tử Trong cơ học lượng tử , mỗi phép đo đều ứng với một toán tử , và kết quả đo thu được khi tác động toán tử lên hàm sóng của hệ vật chất . Hai phép đo không thể được đo cùng lúc với sai số bằngnếu hai toán tử ứng với chúng không giao hoán với nhau . Đây là nội dung của nguyên lý bất định Heisenberg . Xem thêm Giao hoán Nhóm con giao hoán tử Tham khảo Commutators in Quantum Mechanics , David Sherrill ,15 Foundations of Quantum Mechanics : From Photons to Quantum Computers , Reinhold Blümel Liên kết ngoài [Heisenberg Uncertainty Principle|http : //chemistry . illinoisstate.edu/standard/che460/handouts/460hup.pdf ] Đại số trừu tượng Lý thuyết nhóm Phép toán hai ngôi