Sperner property of a partially ordered set
ಆರ್ಡರ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅದರೊಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಕೈನ್ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ (ಅದೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ) ದೊಡ್ಡದಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ನರ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸ್ಪರ್ನರ್ ಪೊಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಪ್ರತಿ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮಟ್ಟವು ಸ್ವತಃ ಆಂಟಿಕೈನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಪರ್ನರ್ ಆಸ್ತಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿ ಕೆಲವು ಶ್ರೇಣಿಯ ಮಟ್ಟವು ಗರಿಷ್ಠ ಆಂಟಿಕೈನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆರ್ನರ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪೆರ್ನರ್ ಪೊಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಎಮ್ಯಾನುಯೆಲ್ ಸ್ಪೆರ್ನರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು ಸ್ಪೆರ್ನರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಅವರು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕುಟುಂಬವು (ಸೆಟ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ) ಈ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಜಾಲರಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ನರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಎ ಕೆ-ಸ್ಪರ್ನರ್ ಪೊಸೆಟ್ ಒಂದು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಪೊಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆ ಆಂಟಿಚೈನ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಒಕ್ಕೂಟವು ಕೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮಟ್ಟಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಪೊಸೆಟ್ ಕೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಕೆ-ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸ್ಪೆರ್ನರ್ ಪೊಸೆಟ್ ಒಂದು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಪೊಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗರಿಷ್ಠ ಆಂಟಿಕೈನ್ಗಳು ಶ್ರೇಣಿಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಬಲವಾದ ಸ್ಪರ್ನರ್ ಪೊಸೆಟ್ ಒಂದು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಪೊಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು k ಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೌಲ್ಯದವರೆಗೆ k-ಸ್ಪರ್ನರ್ ಆಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ