R. Tyrrell Rockafellar
ರಾಲ್ಫ್ ಟೈರೆಲ್ ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ (ಜನನ ಫೆಬ್ರವರಿ 10,1935) ಒಬ್ಬ ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ವಿದ್ವಾಂಸರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು. ಅವರು ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಮುಖ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಲೇಖಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗೂಗಲ್ ಸ್ಕಾಲರ್ ಪ್ರಕಾರ 27,000 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ ಉಳಿದಿರುವ "ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" (1970), ಮತ್ತು "ವೇರಿಯೇಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" (1998, ರೋಜರ್ ಜೆ-ಬಿ ವೆಟ್ಸ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ), ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಲೇಖಕರು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಆಪರೇಷನ್ಸ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಅಂಡ್ ಮ್ಯಾನೇಜ್ಮೆಂಟ್ ಸೈನ್ಸಸ್ (ಐಎನ್ಎಫ್ಒಆರ್ಎಂಎಸ್) ನಿಂದ ಫ್ರೆಡೆರಿಕ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಲ್ಯಾಂಚೆಸ್ಟರ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದರು. ಅವರು ಸಿಯಾಟಲ್ನ ವಾಷಿಂಗ್ಟನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಎಮೆರಿಟಸ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಆರಂಭಿಕ ಜೀವನ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಣ ರಾಲ್ಫ್ ಟೈರೆಲ್ ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ವಿಸ್ಕಾನ್ಸಿನ್ನ ಮಿಲ್ವಾಕೀಯಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು. ಆತನಿಗೆ ಆತನ ತಂದೆ ರಾಲ್ಫ್ ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದ್ದು, ಆತನ ತಾಯಿಯ ಮೊದಲ ಹೆಸರು ಟೈರೆಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅವನ ತಾಯಿಗೆ ಟೆರ್ರಿ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಇಷ್ಟವಾಗಿದ್ದ ಕಾರಣ, ಪೋಷಕರು ಅದನ್ನು ಟೈರೆಲ್ಗೆ ಅಡ್ಡಹೆಸರಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಎಲ್ಲರೂ ಅವನನ್ನು ಟೆರ್ರಿ ಎಂದು ಕರೆದರು. ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್ ಅಮೆರಿಕದ ಉದ್ಯಮಿ ಮತ್ತು ಲೋಕೋಪಕಾರಿ ಜಾನ್ ಡಿ. ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರ ದೂರದ ಸಂಬಂಧಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಅವರಿಬ್ಬರೂ ತಮ್ಮ ಪೂರ್ವಜರನ್ನು 1728ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಯ ರೈನ್ಲ್ಯಾಂಡ್-ಫಾಲ್ಟ್ಜ್ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಅಮೆರಿಕಕ್ಕೆ ಬಂದ ರಾಕೆನ್ಫೆಲ್ಡರ್ ಎಂಬ ಇಬ್ಬರು ಸಹೋದರರಲ್ಲಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು. ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಕುಟುಂಬದ ಹೆಸರಿನ ಕಾಗುಣಿತವು ವಿಕಸನಗೊಂಡಿತು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರಾಕಫೆಲ್ಲಾರ್, ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಹೆಸರಿನ ಅನೇಕ ಇತರ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಬಂದವು. ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ 1953ರಲ್ಲಿ ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ಕಾಲೇಜಿಗೆ ಹಾಜರಾಗಲು ಮ್ಯಾಸಚೂಸೆಟ್ಸ್ನ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ಗೆ ತೆರಳಿದರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖರಾಗಿದ್ದ ಅವರು, 1957ರಲ್ಲಿ ಹಾರ್ವರ್ಡ್ನಿಂದ ಸುಮ್ಮಾ ಕಮ್ ಲಾಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ ಪಡೆದರು. ಅವರು ಫಿ ಬೀಟಾ ಕಪ್ಪಾ ಗೌರವ ಸಂಘಕ್ಕೂ ಆಯ್ಕೆಯಾದರು. ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರು ಬಾನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಫುಲ್ಬ್ರೈಟ್ ಸ್ಕಾಲರ್ ಆಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು 1959 ರಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕ್ವೆಟ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಮಾಸ್ಟರ್ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್ ಪದವಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಗ್ಯಾರೆಟ್ ಬಿರ್ಖಾಫ್ ಅವರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನದಲ್ಲಿ, ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರು 1963 ರಲ್ಲಿ ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಡಾಕ್ಟರ್ ಆಫ್ ಫಿಲಾಸಫಿ ಪದವಿಯನ್ನು "ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್" ಎಂಬ ಪ್ರಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹಾರ್ವರ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಆಸಕ್ತಿ ಇತ್ತು ಮತ್ತು ಬಿರ್ಖಾಫ್ ಅವರು ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿರಲಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಈ ಪ್ರಬಂಧವು ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನ ದ್ವಂದ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದೆ, ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಟಕರ್ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಇತ್ತೀಚಿನ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸಂಪುಟಗಳ ಮೂಲಕ ಕಲಿತರು. ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧ ಮತ್ತು ಫ್ರಾನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಜೀನ್-ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಮೊರೆಯು ಅವರ ಸಮಕಾಲೀನ ಕೃತಿಯನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಹುಟ್ಟು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ವರ್ಡ್ನಿಂದ ಪದವಿ ಪಡೆದ ನಂತರ, ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರು ಆಸ್ಟಿನ್ನ ಟೆಕ್ಸಾಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ಇಲಾಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಎರಡು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ಅವರು ಸಿಯಾಟಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ವಾಷಿಂಗ್ಟನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು 1966 ರಿಂದ 2003 ರವರೆಗೆ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಜಂಟಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ತುಂಬಿದರು. ಅವರು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಎಮೆರಿಟಸ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಫ್ಲೋರಿಡಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಮತ್ತು ಹಾಂಗ್ ಕಾಂಗ್ ಪಾಲಿಟೆಕ್ನಿಕ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಸಹಾಯಕ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅಲಂಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರು ಗಣಿತ ಸಂಸ್ಥೆ, ಕೋಪನ್ ಹ್ಯಾಗನ್ (1964), ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (1965-66), ಗ್ರೆನೋಬಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (1973-74), ಕೊಲೊರಾಡೋ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, ಬೌಲ್ಡರ್ (1978), ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ವಿಯೆನ್ನಾ (1980-81), ಪಿಸಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (1991), ಪ್ಯಾರಿಸ್-ಡೌಫೈನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (1996), ಪಾವ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (1997), ಕೀಯೋ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (2009), ಸಿಂಗಾಪುರದ ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (2011), ವಿಯೆನ್ನಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (2011), ಮತ್ತು ಯೇಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (2012) ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂದರ್ಶಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದರು. ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರು 1982ರಲ್ಲಿ ಸೊಸೈಟಿ ಫಾರ್ ಇಂಡಸ್ಟ್ರಿಯಲ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ (ಎಸ್ಐಎಎಂ) ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸೊಸೈಟಿಯಿಂದ ಡ್ಯಾಂಟ್ಜಿಗ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದರು, 1992ರಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಉಪನ್ಯಾಸವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದನ್ನು ರೋಜರ್ ಜೆ-ಬಿ ವೆಟ್ಸ್ ಅವರು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಆಪರೇಷನ್ಸ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಅಂಡ್ ಮ್ಯಾನೇಜ್ಮೆಂಟ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನಿಂದ (ಐಎನ್ಎಫ್ಒಆರ್ಎಂಎಸ್) ಫ್ರೆಡೆರಿಕ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಲ್ಯಾಂಚೆಸ್ಟರ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು 1998ರಲ್ಲಿ "ವೇರಿಯೇಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" ಪುಸ್ತಕಕ್ಕಾಗಿ ಪಡೆದರು. 1999ರಲ್ಲಿ ಅವರಿಗೆ ಐಎನ್ಎಫ್ಒಆರ್ಎಂಎಸ್ನಿಂದ ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಥಿಯರಿ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಅವರು 2002ರ ಫೆಲೊಸ್ ಆಫ್ ಇನ್ಫಾರ್ಮ್ಸ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಆಯ್ಕೆಯಾದರು. ಅವರು ಗ್ರೋನಿಂಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (1984), ಮಾಂಟ್ಪೆಲ್ಲಿಯರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (1995), ಚಿಲಿ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ (1998) ಮತ್ತು ಅಲಿಕಾಂಟೆ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ (2000) ಗೌರವ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪದವಿಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಇನ್ಫರ್ಮೇಷನ್ (ಐಎಸ್ಐ) ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಸಂಶೋಧಕರಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದೆ. ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಗಣಿತದ ವಿಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಹೊಸ ಒಳನೋಟಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ದೃಢವಾದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಾಗಿ ಸಂಘಟಿಸುವ ಗುರಿಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಅವರ ಮೂಲ ಪುಸ್ತಕವಾದ "ವೇರಿಯೇಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" (1998, ರೋಜರ್ ಜೆ-ಬಿ ವೆಟ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ) ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್, ಸಮತೋಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಎಳೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ವಿವಿಧ ಅಧ್ಯಯನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಈಗ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಠ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ವಿತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಸಂಬದ್ಧತೆ, ಸೆಟ್-ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ದೂರಗಾಮಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಅನಂತ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ನಂತರ (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್) ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಮತಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಜೀನ್-ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಮೊರೆಯು ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಸೆಟ್-ವ್ಯಾಲ್ಯೂಡ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ (ಮಲ್ಟಿ ವ್ಯಾಲ್ಯೂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಕೇಂದ್ರ ಪಾತ್ರವನ್ನು ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್ನ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, x ನಲ್ಲಿ f ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಕೇತವಾದ ಷ್ಣಲ್ f (x) ಅಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಉಪಶ್ರೇಣಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬೈಪಾಸ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್ ಅಸಮಂಜಸ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದರು. ಈ ವಿಧಾನವು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸುಗಮ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮೀರಿದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ತನ್ನ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪ್ರಬಂಧ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಹಲವಾರು ಪ್ರಕಟಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ವಂದ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕುಟುಂಬದೊಳಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹುದುಗಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಮತ್ತು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಆವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಿಗೆ ನೀಡಿದ ಕೊಡುಗೆಗಳು ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಸಹ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. 1970 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿಧಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದರು, ಇದು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಹಲವಾರು ಯಶಸ್ವಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಆಧಾರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ದೃಢವಾದ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರು. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತೋಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೂ ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. 1990ರ ದಶಕದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ, ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್ ಹಣಕಾಸಿನ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅಪಾಯದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಅಪಾಯದ ಕ್ರಮಗಳ ಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು 2000 ರಲ್ಲಿ "ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯ-ಅಪಾಯದಲ್ಲಿದೆ" ಮತ್ತು 2010 ರಲ್ಲಿ "ಸೂಪರ್ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್" ಮತ್ತು "ಬಫರ್ಡ್ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ" ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದು ಇದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿದೆ, ಇದು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಕೊರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಆಯ್ದ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳಾದ ಬುಕ್ಸ್ ರಾಕಫೆಲ್ಲಾರ್, ಆರ್. ಟಿ. (1974). ದ್ವಂದ್ವತೆ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ. ಬಾಲ್ಟಿಮೋರ್ನ ಜಾನ್ಸ್ ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು, ಎಮ್ಡಿ, ಜೂನ್, 1973. ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಕಾನ್ಫರೆನ್ಸ್ ಬೋರ್ಡ್ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕಾನ್ಫರೆನ್ಸ್ ಸರಣಿ ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಂ. 16ರಷ್ಟಿದೆ. ಸೊಸೈಟಿ ಫಾರ್ ಇಂಡಸ್ಟ್ರಿಯಲ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಫಿಲಡೆಲ್ಫಿಯಾ, PA. vi + 74 pp. ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್, ಆರ್. ಟಿ. (1981). ಸಬ್ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ನಾನ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಹೆಲ್ಡರ್ಮನ್ ವೆರ್ಲಾಗ್, ಬರ್ಲಿನ್. vii + 107 pp. ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್, ಆರ್. ಟಿ. (1984). ಜಾಲಬಂಧ ಹರಿವುಗಳು ಮತ್ತು ಮೊನೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್. ವಿಲೇ. ಡೊಂಚೆವ್, ಎ. ಎಲ್.; ರಾಕಫೆಲ್ಲಾರ್, ಆರ್. ಟಿ. (2009). ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ನಕ್ಷೆಗಳು. ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಒಂದು ನೋಟ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಗಳು. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಡೋರ್ಡ್ರೆಚ್ಟ್. xii + 375 pp. .. ಪೇಪರ್ಸ್ ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್, ಆರ್. ಟಿ. (1967). ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾನ್ಕೇವ್ ವಿಧದ ಮೊನೊಟೋನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು. ಮೆಮೋಯಿರ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, ನಂ. 77 ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, ಪ್ರಾವಿಡೆನ್ಸ್, ಆರ್. ಐ. ಐ + 74 ಪು. (1992 ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಉಪನ್ಯಾಸ) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಸಿ. ಎಫ್. ವರ್ನರ್ ಫೆಂಚೆಲ್) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ) ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಎಪಿಗ್ರಾಫ್ (ಗಣಿತ) ಫೆಂಚೆಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ-ಫೆಂಚೆಲ್ ರೂಪಾಂತರ ಸರಿಯಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸಬ್ಡಿಫೆರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಬ್ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ (ಗಣಿತ) ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಪರೇಟರ್ (ಗರಿಷ್ಠ ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಆವರ್ತಕ ವಿಭಜನೆ) ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರೋಯಿಡ್ಸ್ (ಸಾಕಾರಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಒಎಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು) ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ಪ್ರಮೇಯ (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್) ಲೆಮ್ಮಾ ಆಫ್ ಫಾರ್ಕಾಸ್ ಮೊನೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಟಕರ್, ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಸೆಟ್-ಮೌಲ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪಾಂಪಿಯು-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ದೂರ ಮೊರ್ಡುಕೋವಿಚ್. ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಆಪರೇಷನ್ಸ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಅಂಡ್ ದಿ ಮ್ಯಾನೇಜ್ಮೆಂಟ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನ ಆರ್. ಟೈರೆಲ್ ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ಅವರ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು 21ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅಮೇರಿಕನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಶೋಧಕರು ಅಮೇರಿಕನ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಲಿವಿಂಗ್ ಪೀಪಲ್ ವೇರಿಯೇಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸ್ಟ್ಸ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ವಾಷಿಂಗ್ಟನ್ ಬೋಧಕವರ್ಗ ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಥಿಯರಿ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ವಿಜೇತರು ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಜರ್ಮನ್ ಮೂಲದ ಅಮೆರಿಕನ್ನರು ಮಿಲ್ವಾಕೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು 1935 ಜನನ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಆಪರೇಷನ್ಸ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಅಂಡ್ ದಿ ಮ್ಯಾನೇಜ್ಮೆಂಟ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನ ವಿಸ್ಕಾನ್ಸಿನ್ ಫೆಲೋಗಳು