Schur algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇಸೈ ಶುರ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಶುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ಶುರ್-ವೇಲ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ. ಆ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಜೆ. ಅವರ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ಉತ್ತೇಜಿಸಿತು. ಎ. ಗ್ರೀನ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1980 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. "ಶುರ್ ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ಹೆಸರು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ (ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅನಂತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಭಜನೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ (ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತ) ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಗಾರ್ಡನ್ ಜೇಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕರಿನ್ ಎರ್ಡ್ಮನ್ ಅವರು ಶುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಗಳ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಸೀಮಿತ ಪೀಳಿಗೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಫ್ರೀಡ್ಲ್ಯಾಂಡರ್ ಮತ್ತು ಸುಸ್ಲಿನ್ ಅವರು ಶುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ನಿರ್ಮಾಣ ಷುರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂವಹನ ವರ್ತುಲ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. 1 ≤ i, j ≤ ಎಂಬ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ (ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ) ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಡಿಗ್ರಿಯ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ಇದರ ಅಂಶಗಳು ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುವ) ರೂಪುಗೊಂಡ ಏಕಪದಗಳ ಕೆ-ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈಗ, ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ (ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ) ನೀಡಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ದ್ವಿ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ r ≤ 0 ಗೆ ಅದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪ-ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಷುರ್ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಡಿಗ್ರಿಯಲ್ಲಿ) ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ. ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಗುಣವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸ್ಥಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಿಂದ ಟೆನ್ಸರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಟೆನ್ಸರ್ ಜಾಗದ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದರ ವಿವಿಧ ನೆಲೆಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕವು ಅರ್ಧ-ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಆಕಾರದ ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಇದು ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಭಾಗಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಂತೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ k ಒಂದು ಅನಂತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅದರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕರ್ಣೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ) ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ (H. ವೇಯ್ಲ್ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಸಹ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಷುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು "ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ". ಇದರರ್ಥ ಅವರು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಯಾವುದೇ ಸಂವಹನ ರಿಂಗ್ಗೆ. ಷುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅರೆ-ಆನುವಂಶಿಕ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ (ಕ್ಲೈನ್, ಪಾರ್ಶಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಾಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತಮ ಏಕರೂಪದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಶುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಸೀಮಿತ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಷುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು (ಯಾವುದೇ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ) 1980ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಡಾನ್ಕಿನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇವು ಸಹ ಅರೆ-ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಡಿಪ್ಪರ್ ಮತ್ತು ಜೇಮ್ಸ್ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಷುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ q-ಷುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು) ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇವು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಷುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಒಂದು ವಿಧದ q-ವಿರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೊಂಕಿನ್ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಷುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಡಿಪ್ಪರ್ ಮತ್ತು ಜೇಮ್ಸ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕ್ಯೂ-ಷುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಸಹ ಇವೆ. ಅಫೈನ್ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಫೈನ್ ಕ್ಯೂ-ಶುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಅರಿಕಿ-ಕೊಯಿಕೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಯೂ-ಶುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಂತಹ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಂತಹ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿವೆ (ಇವು ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪುಗಳ ಕ್ಯೂ-ವಿರೂಪಗಳಾಗಿವೆ). ಈ ವಿವಿಧ ವರ್ಗಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಮಕಾಲೀನ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಕ್ರಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟುವರ್ಟ್ ಮಾರ್ಟಿನ್, ಶುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಮತ್ತು ರೆಪ್ರೆಸೆಂಟೇಶನ್ ಥಿಯರಿ, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್ 1993., ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ಮಾಥಾಸ್, ಇವಾಹೋರಿ-ಹೆಕ್ಕೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಶುರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಲೆಕ್ಚರ್ ಸರಣಿ, vol.15, ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, 1999., ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್, ದಿ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಗ್ರೂಪ್ಸ್. ಅವರ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು. ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್, ಎನ್. ಜೆ., 1939., ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ