Schwarz's list
ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ನ ಪಟ್ಟಿ ಅಥವಾ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕೋಷ್ಟಕವು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಕಂಡುಬರುವ 15 ಪ್ರಕರಣಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸೀಮಿತ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗದಿಂದ (ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ 15 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅವರು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆದರು. ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕೋಷ್ಟಕದ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಅವರು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ (ಸ್ವತಃ ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು) ಕಾರಣವೆಂದು ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ನಿಜಃ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅವರ ಪಟ್ಟಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಸೀಮಿತ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಮೂಲಕ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸುವವರೆಗೆ) ಮೂರು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಘಾತಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಾಗಿವೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಟಿ. ಕಿಮುರಾ ನೀಡಿದರು, ಅವರು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಗುರುತಿನ ಘಟಕವು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಾಗಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಿದರು. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಜಿ ಮತ್ತು ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಜಿ ಎಂಬುದು ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ-ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮಾಟ್ಸುಡಾ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಮಿಚಿಯೋ ಕುಗಾ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಕಿಮುರಾ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಕೋಷ್ಟಕವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಾದ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು (85 ಉದಾಹರಣೆಗಳು) ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ಕೆ. ಟೇಕುಚಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಎಮಿಲ್ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು ಪಿಯು (1, ಎನ್) ನಲ್ಲಿ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು. ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಮೋಸ್ಟೋ ಅವರು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅವರ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಈ ಕೃತಿಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಟೇಕುಚಿಯ ಪಟ್ಟಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವು ರಚಿಸುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೂಲಕ, ಪಿಯು (1, ಎನ್) ನಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತವಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಗಳ ಹೊಸ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಪಟ್ಟಿಯ ಮೂಲಕ ಲಾಮೆ ಸಮೀಕರಣದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲು ಬಾಲ್ಡಸ್ಸಾರಿ ಕ್ಲೈನ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅವರ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಇತರ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ವಿರೂಪಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ನ ತ್ರಿಕೋನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ವಾರ್ಜ್ನ ಪಟ್ಟಿ (ಪಿಡಿಎಫ್) ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.