Reeb sphere theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾರ್ಜಸ್ ರೀಬ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರೀಬ್ ಗೋಳದ ಪ್ರಮೇಯವು, ಕೇವಲ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕವಚನ ಫೋಲಿಯೇಷನ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಧಾರಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M n, ಗೋಳ Sn ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫೋಲಿಯೇಷನ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಫೋಲಿಯೇಶನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಎಲೆಗಳು ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಮಟ್ಟದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಏಕತ್ವವು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಫೋಲಿಯೇಶನ್ ಎಫ್ ನ ಏಕತ್ವವು ಮೋರ್ಸ್ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದೆ. ಏಕತ್ವವು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ತುದಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಏಕತ್ವವು ತಡಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿ ಮತ್ತು ತಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಏಕತ್ವದ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಕೇಂದ್ರವು ಸೂಚ್ಯಂಕ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ತಡಿಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಕನಿಷ್ಠ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ಮೋರ್ಸ್ ಫೋಲಿಯೇಷನ್ ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗದ ಏಕವಚನ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ಕ್ರೋಡೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಎಫ್ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕತ್ವವು ಮೋರ್ಸ್ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಏಕವಚನ ಎಲೆಯು ಎಲ್ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಜೊತೆಗೆ, ಅದು ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ರೀಬ್ ಗೋಳದ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಯಾಡಲ್ಗಳಿಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಥೀರಂ): ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಧಾರಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಬಹುಗುಣಿತ ಆಯಾಮವಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು-ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸ್ಲಿ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ ಒನ್ ಫೋಲಿಯೇಷನ್ ಅನ್ನು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಏಕತ್ವಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಏಕವಚನವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೋಳಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ರೀಬ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. 1978ರಲ್ಲಿ, ಎಡ್ವರ್ಡ್ ವ್ಯಾಗ್ನೂರ್ ರೀಬ್ ಗೋಳದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತಡಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮೋರ್ಸ್ ಎಲೆಗೊಂಚಲುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಸ್ಯಾಡಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಇರಬಾರದು ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆಃ (1) (2) ಅವರು (1) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಫೋಲಿಯೇಷನ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆದರು. ಪ್ರಮೇಯ-ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಯಾಡಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೋರ್ಸ್ ಫೋಲಿಯೇಷನ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಯಾಡಲ್ಗಳು ಸೂಚ್ಯಂಕ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಲೆಯು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, 2008ರಲ್ಲಿ, ಸೆಸರ್ ಕ್ಯಾಮಚೊ ಮತ್ತು ಬ್ರೂನೋ ಸ್ಕಾರ್ಡುವಾ ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು (2). ಇದು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಮೋರ್ಸ್ ಫೋಲಿಯೇಷನ್ ಆನ್ ಆಗಿರಲಿ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ, ಈಲ್ಸ್-ಕುಯಿಪರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಎಲೆಗೊಂಚಲುಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು