Welch bounds
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೆಲ್ಚ್ ಮಿತಿಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಹರಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ದೂರಸಂಪರ್ಕ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಎಲ್. ಆರ್. ವೆಲ್ಚ್ ಅವರು 1974ರ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಓವರ್ಲ್ಯಾಪ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೆಲ್ಚ್ ಬೌಂಡರಿಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ, ಅದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆಗ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಗಡಿಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಇದನ್ನು ಈ ಲೇಖನದ ಉಳಿದ ಭಾಗದುದ್ದಕ್ಕೂ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. k = 1 ಗೆ ಪುರಾವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ "ಮೊದಲ ವೆಲ್ಚ್ ಬೌಂಡ್" ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪುರಾವೆಯು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತವಾದ ಗಣಿತದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಹಂತವು ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಅದರ ಜಾಡಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಉಳಿದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಾಹಕದೊಂದಿಗಿನ ಒಂದು-ವಾಹಕದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ತೃಪ್ತಿಯ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮಾನದಂಡದ ವರ್ಗವನ್ನು (ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಮಾನದಂಡ) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಥವಾ ಪುರಾವೆಯ ಎರಡನೇ ಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸರಾಸರಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬ ಸರಳ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಫಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹಿಂದಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಥವಾ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ವೆಲ್ಚ್ ನೀಡಿದ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ವೆಲ್ಚ್ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಕೆಲವು ದೂರಸಂಪರ್ಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ವೆಲ್ಚ್ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪೂರೈಸುವ ವಾಹಕಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ವೆಲ್ಚ್ ಬೌಂಡ್ ಇಕ್ವಾಲಿಟಿ (ಡಬ್ಲ್ಯೂಬಿಇ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಾಹಕಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹಲವಾರು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಪುರಾವೆಯು ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಣಿತದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವೆಲ್ಚ್ ಬೌಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವಾಹಕಗಳು ಬಿಗಿಯಾದ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ರಚಿಸಿದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿನ ಇತರ ಅಸಮಾನತೆಯು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಗೂ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳು ಸಮಕೋಶೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಮಕೋಶೀಯ ಬಿಗಿಯಾದ ಚೌಕಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ವೆಲ್ಚ್ ಬಂಧವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸರಾಸರಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಓವರ್ಲ್ಯಾಪ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ವೆಲ್ಚ್ ಬೌಂಡರಿಗಳು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು-ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿನ್ಯಾಸ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸ ಈಕ್ವಿಯಾಂಗ್ಯುಲರ್ ರೇಖೆಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ.