Lie point symmetry
ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಮುಂದುವರಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ, ಸೋಫುಸ್ ಲೈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ (ODE) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಲುವಾಗಿ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರುಃ ಒಂದು ಸಾಧಾರಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವು ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಬಿಂದು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಅವಲೋಕನವು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಏಕೀಕರಣ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಏಕೀಕರಿಸಿತು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಿತು. ಲೈ ತಮ್ಮ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವೃತ್ತಿಜೀವನದ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಈಗ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಆಧಾರಿತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಈ ನಿರಂತರ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಮೀಸಲಿಟ್ಟರು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಲೈ ಮತ್ತು ಎಮ್ಮಿ ನೋಥರ್ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಲೀ ಕಾರ್ಟನ್ ಅವರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಅನುವಾದಗಳು, ಆವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಪನಗಳು. ಲೈ ಸಮ್ಮಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ನಿರಂತರ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಇತರ ಸ್ಥಳಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಅವಲೋಕನ ಸಮಮಿತಿಗಳ ವಿಧಗಳು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಅನಂತ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಸ್ಥಿತಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳು (ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು) ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಸ್ಥಿತಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು "ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು". ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಲೈ-ಬ್ಯಾಕ್ಲಂಡ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನೋಥರ್ ಗುರುತಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಗೆ, ಅನಂತ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಈ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಲೈನಿಂದ ಲೈ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಸಮಮಿತಿ ವಿಧಾನಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ಸರಳ ರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಇದನ್ನು ಕಡಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಡಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಚಲಿಸುವ ಚೌಕಟ್ಟು-ಆಧಾರಿತ ಕಡಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿವಿಧ ಸಮ್ಮಿತಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಸಹ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚೌಕಟ್ಟು ಅನಂತವಾದ ವಿಧಾನವು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅನಂತವಾದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೈ ನ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತವೆ. ಈ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು ಅನಂತ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾದ "ಅನಂತ ಸಮ್ಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು" (ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು) ಸಮಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಬಂಧಿತ ಅನಂತ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ ಅದರ ಕರ್ನಲ್ನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆಃ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಲೈ ಗುಂಪಿಗೆ, ಒಂದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ, ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಅಥವಾ ಹರಿವು) ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನ (ಎಡ-) ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸೋಣಃ ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆಃ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶ ಎಲ್ಲಿದೆ; ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ,. ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂಬುದು ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ವಿಸ್ತರಿತ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಸ್ಟೇಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ತಪ್ಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು ಎಂಬುದು ಒಂದು ಬಹುಗುಣದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು n-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಮುಂಬರುವ ಸಮ್ಮಿತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅವು ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಅಕಾ. ಸ್ಮೂತ್) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಶ್ರೇಣಿಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಬಂಧಿತ ಅರೆ-ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರದಲ್ಲೂ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯ (ನೋಡಿ th. ಸ್ಥಳೀಯ ಲೈ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಾಗಿರಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ. ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ಲೈ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣಃ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು. ಉದಾಹರಣೆ 6 ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದು 4 ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಮತ್ತು. ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳ ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಗಳು ಮುಂಬರುವ ಸಿಮೆಟ್ರಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ODE ಗಳ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಅನಂತ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿರಲಿ. ನಿರಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್. ನಾವು ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಗುಂಪನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ಸ್ಥಿತಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಕಾಸವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್. ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿತಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವು ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅದರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ODE ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಹ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ ಎಂಬುದು ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ) ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ, ಸಂಬಂಧಿತ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್, ವಿಭಾಗ 1.3 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ODE ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅದೇ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಇಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಲೈ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಂದು ಕಕ್ಷೆಗೆ ಕಳುಹಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ಅಂದರೆ. .. ಈ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ. ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಅನಂತ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ ಪಿಯರೆ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ವೆರ್ಹುಲ್ಸ್ಟ್ನ ರೇಖೀಯ ಪರಭಕ್ಷಕದೊಂದಿಗೆ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕವು ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಪರಭಕ್ಷಕ ದರಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕವು ಪರಿಸರದ ಗ್ರಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆಃ ODE ಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೀಗಿದೆಃ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ ಎಂದರೆಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿವೆಃ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಪಲ್ನ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಲೈಸಿಮ್ ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಲೈ ಸಮ್ಮಿತಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಹ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಯಶಸ್ಸಿನ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅದರ ಏಕೀಕರಣ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಡಿಇಟಿಓಲ್ಸ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಒಡಿಇಗಳ ಲೈ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳಿಗಾಗಿ ಲೈ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಸಮಮಿತಿ