Gopal Prasad
ಗೋಪಾಲ್ ಪ್ರಸಾದ್ (ಜನನ 31 ಜುಲೈ 1945, ಭಾರತದ ಗಾಜಿಪುರದಲ್ಲಿ) ಒಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ-ಅಮೆರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ. ಅವರ ಸಂಶೋಧನಾ ಆಸಕ್ತಿಗಳು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು, ಅವುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ p-adic ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸಿವೆ. ಅವರು ಆನ್ ಆರ್ಬರ್ನಲ್ಲಿರುವ ಮಿಚಿಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ರೌಲ್ ಬಾಟ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಶಿಕ್ಷಣ ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು 1963ರಲ್ಲಿ ಮಗಧ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗೌರವಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ ಪಡೆದರು. ಎರಡು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, 1965ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ಪಾಟ್ನಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ಪದವಿಯನ್ನು ಪಡೆದರು. ಇಂಡಿಯನ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ ಕಾನ್ಪುರದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ವಾಸ್ತವ್ಯದ ನಂತರ, ಪ್ರಸಾದ್ 1966 ರಲ್ಲಿ ಟಾಟಾ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ (ಟಿಐಎಫ್ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದರು. ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ತಮ್ಮ ಸಲಹೆಗಾರ ಎಂ. ಎಸ್. ರಘುನಾಥನ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಜಾಲರಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪು ಸಮಸ್ಯೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸುದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಸಹಯೋಗವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. 1976ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು ಮುಂಬೈ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪಡೆದರು. ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು 1979ರಲ್ಲಿ ಟಿಐಎಫ್ಆರ್ನಲ್ಲಿ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾದರು ಮತ್ತು 1984ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾದರು. 1992 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಆನ್ ಆರ್ಬರ್ನಲ್ಲಿರುವ ಮಿಚಿಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಬೋಧಕವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಲು ಟಿಐಎಫ್ಆರ್ ಅನ್ನು ತೊರೆದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ರೌಲ್ ಬಾಟ್ ಎಮೆರಿಟಸ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಗೋಪಾಲ ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರ ಪೋಷಕರು ರಾಮಕೃಷ್ಣ ಪ್ರಸಾದ್ ಮತ್ತು ಲಕ್ಷ್ಮೀ ದೇವಿ. ರಾಮಕೃಷ್ಣ ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು ಸಮಾಜ ಸೇವಕರಾಗಿದ್ದರು, ಲೋಕೋಪಕಾರಿಗಳಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಆಡಳಿತದ ವಿರುದ್ಧ ಭಾರತೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಹೋರಾಟದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ಬ್ರಿಟಿಷರಿಂದ ಜೈಲಿಗೆ ಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟರು. ಈ ಕುಟುಂಬವು ಚಿಲ್ಲರೆ ವ್ಯಾಪಾರ ಮತ್ತು ಸಗಟು ವ್ಯಾಪಾರದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿತ್ತು. 1969 ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ಡಿಯೋರಿಯಾದ ಇಂದು ದೇವಿ (ನೀ ಪೊದ್ದಾರ್) ಅವರನ್ನು ವಿವಾಹವಾದರು. ಗೋಪಾಲ್ ಪ್ರಸಾದ್ ಮತ್ತು ಇಂದು ದೇವಿ ಅವರಿಗೆ ಡಿ. ಇ. ಯಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥಾಪಕ ನಿರ್ದೇಶಕರಾಗಿರುವ ಅನೂಪ್ ಪ್ರಸಾದ್ ಎಂಬ ಮಗನಿದ್ದಾನೆ. ಶಾ & ಕಂ, ಮತ್ತು ಮಗಳು, ಇಲಾ ಫಿಯೆಟ್, ಅವರು ಎಂಐಟಿಯಲ್ಲಿ ನರವಿಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ, ಮತ್ತು ಐದು ಮೊಮ್ಮಕ್ಕಳು. ಚಾಪೆಲ್ ಹಿಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಉತ್ತರ ಕೆರೊಲಿನಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಶ್ರವಣ್ ಕುಮಾರ್, ಆಸ್ಟಿನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಟೆಕ್ಸಾಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಖಗೋಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಪವನ್ ಕುಮಾರ್ ಮತ್ತು ಮುಂಬೈನ ಇಂಡಿಯನ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ದೀಪೇಂದ್ರ ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರ ಕಿರಿಯ ಸಹೋದರರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರ ಆರಂಭಿಕ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕೊಡುಗೆಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದವು. ಅವರು 1ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ನೈಜ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಜಾಲರಿಗಳ "ಬಲವಾದ ಬಿಗಿತ" ವನ್ನು ಮತ್ತು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಜಾಲರಿಗಳ "ಬಲವಾದ ಬಿಗಿತ" ವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ನೋಡಿ [1] ಮತ್ತು [2]. ನಂತರ ಅವರು ಅರೆ-ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಗುಂಪು-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಿದರು. ಅವರು ಜಾಗತಿಕ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ "ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜು" ಗುಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು [3]. ಪ್ರಸಾದ್ ಈ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಎಂ. ಎಸ್. ರಘುನಾಥನ್ ಅವರ ಸಹಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ "ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಕರ್ನಲ್" ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರು, ನೋಡಿ [11], [12] ಮತ್ತು [10]. ಪ್ರಸಾದ್ ಮತ್ತು ರಘುನಾಥನ್ ಕೂಡ ನೆಸರ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ, [13]. ನಂತರ, ಆಂಡ್ರೇ ರಾಪಿಂಚುಕ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರಸಾದ್ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಎಲ್ಲಾ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಕರ್ನಲ್ನ ನಿಖರವಾದ ಗಣನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ನೋಡಿ [14]. 1987 ರಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸಾದ್ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ಎಸ್-ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, [4]. ಈ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಗಾಲೋಯಿಸ್-ಆಲ್ಕೊಮೊಲಾಜಿಕಲ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅರ್ಮಾಂಡ್ ಬೋರೆಲ್ ಮತ್ತು ಗೋಪಾಲ್ ಪ್ರಸಾದ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, [6]. ಪರಿಮಾಣ ಸೂತ್ರವು, ಸಂಖ್ಯೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಬೃಹತ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಗಣನೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಗೋಪಾಲ್ ಪ್ರಸಾದ್ ಮತ್ತು ಸಾಯಿ-ಕೀ ಯೆಯುಂಗ್ ಅವರು ನಕಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಗಳನ್ನು (ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ) 28 ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು [21] (ಸಹ ನೋಡಿ [22] ಮತ್ತು [23]). ಈ ವರ್ಗೀಕರಣವು, ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಕಾರ್ಟ್ರೈಟ್ ಮತ್ತು ಟಿಮ್ ಸ್ಟೆಗರ್ ಅವರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಕಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಪಟ್ಟಿಯು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯವರೆಗೆ (28 ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ) ನಿಖರವಾಗಿ 50 ನಕಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಕೃತಿಯು ಬೌರ್ಬಕಿ ವಿಚಾರಸಂಕಿರಣದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿತ್ತು. ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು ಅಲೆನ್ ಮೋಯ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಪಿ-ಅಡಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. "ಮೋಯ್-ಪ್ರಸಾದ್ ಶೋಧನೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ಯಾರಾಹೋರಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೋಯ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಸಾದ್ ಈ ಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬೃಹತ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು "ಅಪರಿಷ್ಕೃತ ಕನಿಷ್ಠ ಕೆ-ಪ್ರಕಾರಗಳ" ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ "ಆಳ" ದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಮತ್ತು ಆಳ ಶೂನ್ಯದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲು ಬಳಸಿದರು, ನೋಡಿ [8] ಮತ್ತು [9]. ಈ ಎರಡು ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳು [8], [9] ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದವು. ಆಂಡ್ರೇ ರಾಪಿಂಚುಕ್ ಅವರ ಸಹಯೋಗದೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರಸಾದ್ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ಜರಿಸ್ಕಿ-ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯಮಿತ ಅರೆ-ಸರಳ ಅಂಶಗಳ ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, [15], [16]. ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಎರ್ಗೋಡಿಕ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ತನಿಖೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸಾದ್ ಮತ್ತು ರಾಪಿಂಚುಕ್ ಅವರು ಅಂಕಗಣಿತದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ "ದುರ್ಬಲ-ಸಮನ್ವಯತೆ" ಯ ಹೊಸ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ "ದುರ್ಬಲ-ಸಮನ್ವಯತೆ ವರ್ಗಗಳನ್ನು" ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. [17], [18] ಮತ್ತು [19] ಗಳನ್ನು ನೋಡಿ, ಅವರು ತಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ದುರ್ಬಲ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಬಳಸಿ, ಉದ್ದ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮತ್ತು ಐಸೊಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು. ಜಿಯು-ಕಾಂಗ್ ಯು ಜೊತೆಗೂಡಿ, ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು ಜಿ ಯ ಬೃಹತ್-ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲೆ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ಜಿ ಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, [24]. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಜಂಟಿ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸಾದ್ ಮತ್ತು ಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ವಲಯ (ಡಿವಿಆರ್) ದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಅರೆ-ಕಡಿತ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು, [25]. ಬ್ರಿಯಾನ್ ಕಾನ್ರಾಡ್ ಮತ್ತು ಓಫರ್ ಗ್ಯಾಬರ್ ಅವರ ಸಹಯೋಗದೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು ಹುಸಿ-ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಮಂಡ್ ಬೋರೆಲ್ ಮತ್ತು ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಟಿಟ್ಸ್ ಅವರು ವಿವರವಾದ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಘೋಷಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಯವಾದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಗ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಅವರ ಸಂಶೋಧನಾ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ [26] ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎರಡನೇ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ [27] ಸೂಡೊ-ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಟಿಟ್ಸ್-ಶೈಲಿಯ ವರ್ಗೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಸೂಡೋ-ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಈಗಾಗಲೇ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮಾರ್ಚ್ 2010 ರಲ್ಲಿ ಟಿಟ್ಸ್, ಕಾನ್ರಾಡ್-ಗ್ಯಾಬರ್-ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರ ಹುಸಿ-ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬೌರ್ಬಾಕಿ ವಿಚಾರಗೋಷ್ಠಿ ನಡೆಯಿತು. ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು ಬೃಹತ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ [28] [29] ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಮ್ಲಿ ರ್ಯಾಮಿಫೈಡ್ ಅವರೋಹಣಗಳಿಗೆ ಹೊಸ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ತಾಶೋ ಕಲೇಥಾ ಅವರೊಂದಿಗೆ, ಅವರು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಬೃಹತ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಹೊಸ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆನರ್ಸ್ ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು ಗುಗೆನ್ಹೀಮ್ ಫೆಲೋಶಿಪ್, ಹಂಬೋಲ್ಟ್ ಹಿರಿಯ ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ಮತ್ತು ಮಿಚಿಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ರೌಲ್ ಬಾಟ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರ ಹುದ್ದೆಯನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಅವರಿಗೆ ಶಾಂತಿ ಸ್ವರೂಪ್ ಭಟ್ನಾಗರ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು (ಭಾರತ ಸರ್ಕಾರದ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಕೈಗಾರಿಕಾ ಸಂಶೋಧನಾ ಮಂಡಳಿಯಿಂದ) ನೀಡಲಾಯಿತು. ಅವರು ಭಾರತೀಯ ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ವಿಜ್ಞಾನ ಅಕಾಡೆಮಿ, ಭಾರತೀಯ ವಿಜ್ಞಾನ ಅಕಾಡೆಮಿಯಲ್ಲಿ ಫೆಲೋಶಿಪ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ. 1990ರಲ್ಲಿ ಕ್ಯೋಟೋದಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಅಂತಾರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಾದ್ ಆಹ್ವಾನಿತ ಭಾಷಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು. 2012ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಫೆಲೋ ಆದರು. ಅವರು 2011 ರಿಂದ 2018 ರವರೆಗೆ ಇನ್ಫೋಸಿಸ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದ ತೀರ್ಪುಗಾರರಾಗಿ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರಸಾದ್ ಅವರು ಒಂದು ದಶಕಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಮಿಚಿಗನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಜರ್ನಲ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥಾಪಕ ಸಂಪಾದಕರಾಗಿದ್ದರು, ಆರು ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್ನ ಸಹಾಯಕ ಸಂಪಾದಕರಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಆರಂಭದಿಂದಲೂ ಏಷ್ಯನ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್ನ ಸಂಪಾದಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು [1]. ಕ್ಯೂ-ಶ್ರೇಣಿಯ 1 ಜಾಲರಿಗಳ ಬಲವಾದ ಬಿಗಿತ, ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳ ಗಣಿತ. 21 (1973), 255-286. [2]. ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಜಾಲರಿಗಳು, Adv.in ಮಠ. ಸ್ಟಡೀಸ್ ಇನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಅಂಡ್ ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿ, 1979,285-356. [3]. ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜು, ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ 105 (1977), 553-572. [4]. ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ S-ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಪುಟಗಳು, Publ.Math.IHES 69 (1989), 91-117. [5]. ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು, ಗಣಿತದ Proc.Int.Congress, ಕ್ಯೋಟೋ, 1990, ಸಂಪುಟ. II, 821-832. [6]. ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಕೋವೊಲ್ಯೂಮ್ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, Publ.Math.IHES 69 (1989), 119-171; ಅನುಬಂಧಃ ಐಬಿಡ್, 71 (1990); A.Borel ನೊಂದಿಗೆ. [7]. ಎಸ್-ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಕಾಂಪೊಸಿಷಿಯೋ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ, 83 (1992), 347-372; A.Borel ನೊಂದಿಗೆ. [8]. ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಮಾಡದ ಕನಿಷ್ಠ ಕೆ-ವಿಧಗಳು, ಇನ್ವೆನ್ಷನ್ಸ್ ಮಠ. 116 (1994), 393-408; ಅಲೆನ್ ಮೋಯ್ ಜೊತೆ. [9]. ಜಾಕ್ವೆಟ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಕೆ-ವಿಧಗಳು, ಕಾಮೆಂಟರಿ Math.Helv. 71 (1996), 98-121; ಅಲೆನ್ ಮೋಯ್ ಜೊತೆ. [10]. ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆಃ "ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಕರ್ನಲ್" ನ ನಿರ್ಣಯ, ಇನ್ವೆನ್ಷನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥ್. 71 (1983), 21-42; M.S.Raghunathan ನೊಂದಿಗೆ. [11]. ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು, ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ 119 (1984), 143-268; M.S.Raghunathan ನೊಂದಿಗೆ. [12]. ಎಸ್ಎಲ್ _ 1 (ಡಿ) ನ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು, ಇನ್ವೆನ್ಷನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥ್. 92 (1988), 645-689; M.S.Raghunathan ನೊಂದಿಗೆ. [13]. ಕ್ನೆಸರ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ, ಕಮೆಂಟರಿ Math.Helv. 60 (1985), 107-121; M.S.Raghunathan ನೊಂದಿಗೆ. [14]. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಕರ್ನಲ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, Publ.Math.IHES 84 (1996), 91-187; A.S.Rapinchuk ನೊಂದಿಗೆ. [15]. ಜರಿಸ್ಕಿ-ದಟ್ಟ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆರ್-ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಅಂಶಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ, Math.Res.Letters 10 (2003), 21-32; A.S.Rapinchuk ನೊಂದಿಗೆ. [16]. ಜರಿಸ್ಕಿ-ದಟ್ಟ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, Math.Res.Letters 12 (2005), 239-249; A.S.Rapinchuk ನೊಂದಿಗೆ. [17]. ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಐಸೊಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳು, Publ.Math.IHES 109 (2009), 113-184; A.S.Rapinchuk ನೊಂದಿಗೆ. [18]. ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲು ಸ್ಥಳೀಯ-ಜಾಗತಿಕ ತತ್ವಗಳು, ಕಾಮೆಂಟರಿ Math.Helv. 85 (2010), 583-645; A.S.Rapinchuk ನೊಂದಿಗೆ. [19]. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಉದ್ದಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ವ ಮುದ್ರಣ; A.S.Rapinchuk ನೊಂದಿಗೆ. [20]. ಬಾಸ್, ಮಿಲ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸೆರ್ರೆ ಅವರ ಕೆಲಸದ ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು, "ಕಲೆಕ್ಟೆಡ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಆಫ್ ಜಾನ್ ಮಿಲ್ನರ್", vol.V, AMS (2010), 307-325; A.S.Rapinchuk ನೊಂದಿಗೆ. [21]. ನಕಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಮಾನಗಳು, ಇನ್ವೆನ್ಷನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥ್. 168 (2007), 321-370, "ಅನುಬಂಧ", ಐಬಿಡ್, 182 (2010), 213-227; ಸಾಯಿ-ಕೀ ಯೆಯುಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ. [22]. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಕಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ನಕಲಿ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ಸ್, Amer.J.Math. 131 (2009), 379-407; ಸಾಯಿ-ಕೀ ಯೆಯುಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ. [23]. ಸಾಯಿ-ಕೀ ಯೆಯುಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ A _ n, n <5, J.Math.Soc.Japan ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ರೀತಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ನಕಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲ. [24]. ತಗ್ಗಿಸುವ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟಡಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಕ್ರಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಇನ್ವೆನ್ಷನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥ್. 147 (2002), 545-560; ಜಿಯು-ಕಾಂಗ್ ಯು ಜೊತೆ. [25]. ಅರೆ-ಕಡಿತ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ, J.Alg.Geom. 15 (2006), 507-549; ಜಿಯು-ಕಾಂಗ್ ಯು ಜೊತೆ. [26]. ಸ್ಯೂಡೋ-ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳು, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ನ್ಯೂ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಸ್ #26, XXIV + 665 ಪುಟಗಳು, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2015; ಬ್ರಿಯಾನ್ ಕಾನ್ರಾಡ್ ಮತ್ತು ಓಫರ್ ಗ್ಯಾಬರ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ. [27]. ಸೂಡೋ-ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ, ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಸ್ಟಡೀಸ್ #191,245 ಪುಟಗಳು, ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2015; ಬ್ರಿಯಾನ್ ಕಾನ್ರಾಡ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ. [28]. ಬ್ರೂಹತ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಮೆರ್ನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂತತಿಗೆ ಒಂದು ಹೊಸ ವಿಧಾನ. ಜೆ. ಗಣಿತ. ವಾಲ್ಯೂ. 142 #1 (2020), 215-253. [29]. ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟಡಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರೂಹತ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅಮೆರ್ನಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಮ್ಲಿ-ರಮಿಫೈಡ್ ಡಿಸೆಂಟ್. ಜೆ. ಗಣಿತ. ವಾಲ್ಯೂ. 142 #4 (2020), 1239-1267. [30]. ಬೃಹತ್-- ಟಿಟ್ಸ್ ಥಿಯರಿಃ ಎ ನ್ಯೂ ಅಪ್ರೋಚ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಯುಕೆ, 2022; ತಾಶೋ ಕಲೇಥಾ ಅವರೊಂದಿಗೆ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು 1945 ಜನನಗಳು ಜೀವಂತ ಜನರು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮಗಧ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪಾಟ್ನಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮುಂಬೈ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮಿಚಿಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಬೋಧಕವರ್ಗ ಗಾಜಿಪುರದ ಜನರು ಟಾಟಾ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ನ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಫೆಲೋಗಳು ಉತ್ತರ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಾಂತಿ ಸ್ವರೂಪ್ ಭಟ್ನಾಗರ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ.