Quantization of the electromagnetic field
ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಿಮಾಣೀಕರಣ ಎಂದರೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಫೋಟಾನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಶಕ್ತಿಯ ಪಾರ್ಸೆಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಫೋಟಾನ್ಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವೇಗ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಾಗಿವೆ. ದ್ಯುತಿವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ 1905 ರಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು hν ಪ್ರಮಾಣದ ಶಕ್ತಿಯ ಕಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ h ಎಂಬುದು ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ν ಎಂಬುದು ತರಂಗ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ. 1927ರಲ್ಲಿ ಪೌಲ್ ಎ. ಎಮ್. ಡಿರಾಕ್ ಫೋಟಾನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಸ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಬಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ನೇಯ್ಗೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಅವರು ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಪದವು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ತಪ್ಪಾದ ಹೆಸರಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿರಾಕ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ತನ್ನ ಮೂಲ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಡಿರಾಕ್ ವಿವಿಧ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿಧಾನಗಳ (ಕ್ಷೇತ್ರದ ಫೋರಿಯರ್ ಘಟಕಗಳು) ಹಂತಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೋಡ್ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಮಾಣಿಸಲು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು (ಅಂದರೆ, ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಂದು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು). ಪ್ರಸ್ತುತ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಫೋರಿಯರ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಫೋಟಾನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತವೆಃ ಫೋಟಾನ್ ಶೂನ್ಯ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಫೋಟಾನ್ ಶಕ್ತಿಯು hν = hc|k | (k ಎಂಬುದು ತರಂಗ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, c ಎಂಬುದು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ); ಅದರ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಆವೇಗವು ꯘꯥk [ꯘꯥ = h/(2π)] ಆಗಿದೆ; ಧ್ರುವೀಕರಣ μ = ±1 ಎಂಬುದು ಫೋಟಾನ್ ಸ್ಪಿನ್ ನ z-ಅಂಶದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಪರಿಮಾಣೀಕರಣವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ (ಅಥವಾ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಧಾರದ ವಿಸ್ತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಕಣದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹೊಸ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ (ವಿರೋಧಿ) ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬೋಸನ್ಗಳಿಗೆ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳಿಗೆ ಸಂವಹನ ವಿರೋಧಿ ಸಂಬಂಧಗಳು (ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ ಏನೂ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ). ಇದನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಅಥವಾ ಬೋಸನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ಸೃಷ್ಟಿ ಮತ್ತು ವಿನಾಶ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಉತ್ತೇಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೃಷ್ಟಿ ನಿರ್ವಾಹಕನು ಅನುಗುಣವಾದ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಣವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ವಿನಾಶ ನಿರ್ವಾಹಕನು ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಣವನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಇಎಂ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ವಾಹಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಈ ಪದವು ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಒಂದು ಇ. ಎಂ. ಕ್ಷೇತ್ರವು ಎರಡು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ. ಇವೆರಡೂ ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು (ಸದಿಶ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ) ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ, ಜೊತೆಗೆ ρ × A ಎಂಬುದು Aಯ ಸುರುಳಿಯಾಗಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಕೂಲಂಬ್ ಗೇಜ್ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ A = 0, Aಅನ್ನು ಅಡ್ಡವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಾಣ V = L3 ನ ಸೀಮಿತ ಘನ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ನಂತರ ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ತರಂಗ ವಾಹಕ k ಯು A (r, t) ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಫೋರಿಯರ್ ಅಂಶದ (ಧ್ರುವೀಕೃತ ಏಕವರ್ಣದ ತರಂಗ) ಪ್ರಸರಣ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ತರಂಗ ವಾಹಕದ ಉದ್ದವು ν ಮೋಡ್ನ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ k ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. (ಫೋರಿಯರ್ ಆಧಾರದ ಘಟಕವು ನೈಜವಾಗಿರುವ ಅಂಶದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ.) ವಾಹಕ k ಯ ಘಟಕಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಗೋಡೆಗಳ ಮೇಲೆ A ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪರಿಣಾಮ): ಎರಡು e (μ) ("ಧ್ರುವೀಕರಣ ವಾಹಕಗಳು") ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಧ್ರುವೀಕೃತ (ಎಲ್ಸಿಪಿ ಮತ್ತು ಆರ್ಸಿಪಿ) ಇಎಂ ತರಂಗಗಳಿಗೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ (ಜೋನ್ಸ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅಥವಾ ಜೋನ್ಸ್ ವೆಕ್ಟರ್, ಜೋನ್ಸ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ) ಮತ್ತು k ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವು ಏಕಾತ್ಮಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವಾಹಕಗಳು ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಐಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, A ಯ k-th ಫೋರಿಯರ್ ಘಟಕವು k ಗೆ ಲಂಬವಾದ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು e (1) ಮತ್ತು e (−1) ನ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ μ ಯು e (μ) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ (ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅನಂತ) ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ. ಮುಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅವರಿಗೆ ನಿರ್ವಾಹಕರಾಗಿ ಬಡ್ತಿ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಿಧಾನವು ಒಂದೇ ಆವರ್ತನ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇ. ಎಂ. ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ನಿನ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಒಂದು ಕಣದ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ರೇಖೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಆಪರೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಇದು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ). ಇ. ಎಂ. ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಏನನ್ನಾದರೂ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಮಾಣವು ವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಎಸ್. ಐ ಘಟಕಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ನಿಯಮಗಳೆಂದರೆಃ ಬೋಸನ್ ಕಮ್ಯುಟೇಷನ್ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವರ್ಗ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ನಿಂದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಪರಿಚಯವು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ (ಎನರ್ಜಿ ಆಪರೇಟರ್) ಗೆ ಸರಳ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಲು ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಕ್ವಾಂಟೈಸ್ಡ್ ಫೀಲ್ಡ್ಗಳು (ಆಪರೇಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ಗಳು) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ω = c |k | = ck. ಕ್ಷೇತ್ರದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಮೊದಲು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು (ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು) ಅಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ V = L × L × L ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯೊಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ತರಂಗಕ್ಕೆ ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ω = kc ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಇಎಂ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ಸಮಾನತೆಯು ಮೇಲಿನಿಂದ ಬೋಸನ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂರನೇ ಭಾಗವನ್ನು k′ = k ಮತ್ತು μ′ = μ ನೊಂದಿಗೆ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನಿಸಿ γω = hν = γ c|k | ಮತ್ತು ω ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, k ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ω (k) ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದಿತ್ತು, ಆದರೆ ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ. ಡಿಗ್ರೆಷನ್ಃ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಎರಡನೇ ಕ್ವಾಂಟೈಸ್ಡ್ ಟ್ರೀಟ್ಮೆಂಟ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಮಾತುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ω ಷ್ಣ 2πν ಎಂಬುದು ಆಂದೋಲಕದ ಮೂಲಭೂತ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ಆಂದೋಲಕದ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಇದನ್ನು "ನಿರ್ವಾತ ಸ್ಥಿತಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಕ್ಸೈಟೇಶನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಇದು n ಪಟ್ಟು ಉತ್ತೇಜಿತ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ n + 1 ಪಟ್ಟು ಉತ್ತೇಜಿತ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಃ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಶಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, n-ಪಟ್ಟು ಉತ್ತೇಜಿತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು; ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿ hν ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ n ಕಣಗಳನ್ನು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವೈಬ್ರಾನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಕಣಗಳು ಬೋಸನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಎಕ್ಸೈಟೇಶನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಿಯೇಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಡಿ-ಎಕ್ಸೈಟ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಡಿ-ಎಕ್ಸೈಟೇಶನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಅನ್ನಿಹಿಲೇಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ "ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿಯಮ" ವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಈಗ ನಾವು ಹಲವಾರು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ (ಸ್ವತಂತ್ರ) ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಮೂಲಭೂತ ಆವರ್ತನ ωi ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆಂದೋಲಕಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಒಂದು ಸರಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಇ. ಎಂ. ಕ್ಷೇತ್ರದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಆಂದೋಲಕಗಳ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಫೋಟಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ (ಫಾಕ್ ಹೇಳುತ್ತದೆ) ಪರಿಮಾಣಿತ ಇ. ಎಂ ಕ್ಷೇತ್ರವು ನಿರ್ವಾತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಫೋಟಾನ್ಗಳಿಲ್ಲ). ಅದರ ಅನ್ವಯವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, m ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ (k, μ) ಮತ್ತು n ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ (k′, μ′) ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅನುಪಾತದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯು ಏಕತೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದರೆ ನಂಬರ್ ಆಪರೇಟರ್. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಫೋಟಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಇದು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (k, μ) ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಸಂಖ್ಯೆ ನಿರ್ವಾಹಕನು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತಾನೆ. ಒಂದು-ಫೋಟಾನ್ ಕೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಮೋಡ್ನ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಪರೇಟರ್ (k, μ) ಮೋಡ್ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೋಡ್ ಏಕವಾಗಿ ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ ಏಕತೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಮೋಡ್ನ ಎನ್-ಫೋಟಾನ್ ಕೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಮೋಡ್ನ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಪರೇಟರ್ನ (k, μ) ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು, ನಾವು k ಮತ್ತು μ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ "ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿಯಮ" ವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎ ಫೋಟಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸ್ಥಿತಿಯು (ಅಥವಾ ಫಾಕ್ ಸ್ಥಿತಿ) ಸಂಖ್ಯೆ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಆಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉದ್ಯೋಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫೋಟಾನ್ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಶಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ ನಿರ್ವಾಹಕನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕ-ಫೋಟಾನ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ H ನ ಪರಿಣಾಮವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಏಕ-ಫೋಟಾನ್ ಸ್ಥಿತಿಯು H ನ ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು γω = hν ಅನುಗುಣವಾದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆ ಫೋಟಾನ್ ಸಾಂದ್ರತೆ 100 ಕಿಲೋವ್ಯಾಟ್ ರೇಡಿಯೋ ಪ್ರಸರಣ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸೃಷ್ಟಿಯಾದ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ (ಎಲ್ಲಿ?) ನಿಲ್ದಾಣದಿಂದ 5 ಕಿ. ಮೀ. ದೂರದಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜು 2.1x10−10 ಜೆ/ಮೀ3 ಆಗಿತ್ತು. ನಿಲ್ದಾಣದ ಪ್ರಸಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ? ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಏಕತೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ ಇ. ಎಂ. ವಿಕಿರಣಕ್ಕೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂದಾಜು ಒಳ್ಳೆಯದು, ಅಲ್ಲಿ λ ಎಂಬುದು ರೇಡಿಯೋ ತರಂಗಗಳ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಏರಿಳಿತಗಳು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಡಿಯೋ ಕೇಂದ್ರವು ν = 100 MHz ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಾರವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು νh = 1 × 108 × 6.6 × 10−34 = 6.6 × 10−26 J ಶಕ್ತಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫೋಟಾನ್ಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ h ಎಂಬುದು ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ನಿಲ್ದಾಣದ ತರಂಗಾಂತರವು λ = c/ν = 3 ಮೀ, ಆದ್ದರಿಂದ λ/(2π) = 48 ಸೆಂ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣವು 0.109 m3 ಆಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಮಾಣ ಅಂಶದ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂಶವು 2.1x10−10x 0.109 = 2.3x10−11J ಆಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಫೋಟಾನ್ಗೆ 3.4x1014 ಎಂದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 3.4x1014> 1 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಯಾವುದೇ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಈ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಹೊರಸೂಸುವ ತರಂಗಗಳನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಿತಿಯಿಂದ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಫೋಟಾನ್ ಆವೇಗ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸುವುದರಿಂದ ಇಳುವರಿ ಪರಿಮಾಣವು ನೀಡುತ್ತದೆ 1/2 ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕೈಬಿಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಮತಿಸಲಾದ k ಗಿಂತ ಒಂದು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದಾಗ, k ಅನ್ನು −k ನಿಂದ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕ-ಫೋಟಾನ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ PEMನ ಪರಿಣಾಮವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಏಕ-ಫೋಟಾನ್ ಸ್ಥಿತಿಯು ಆವೇಗ ನಿರ್ವಾಹಕನ ಐಗನ್ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ꯘꯥk ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ಒಂದೇ ಫೋಟಾನ್ನ ಆವೇಗ). ಫೋಟಾನ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫೋಟಾನ್, ಅದು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಇದು ಶೂನ್ಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆಃ m0 = 0. ಫೋಟಾನ್ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸರಣಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ ಕರೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, p2/E2 ನಿಂದ, ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಅದು m0 = 0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಫೋಟಾನ್ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಿನ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ S = 1 ರೊಂದಿಗೆ ಟ್ರಿಪ್ಲೆಟ್ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು 14 ಎನ್ ಐಸೋಟೋಪ್ನ ಪರಮಾಣು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಂಎಸ್ = 0 ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ, ಎಂಎಸ್ = ± 1 ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಎರಡು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಎರಡು ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಡೈಡಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು ಪ್ರಸರಣ ದಿಕ್ಕಾದ k ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ (z ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕು, ಇದು ಸ್ಪಿನ್ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ). ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡಯಾಡಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ez ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲಕ ಅದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಫೋಟಾನ್ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ A ಒಂದು ಅಡ್ಡ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಫೋಟಾನ್ ಯಾವುದೇ ಮುಂದಕ್ಕೆ (μ = 0) ಸ್ಪಿನ್ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಪಿನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕ್ಯೂಇಡಿ ವ್ಯಾಕ್ಯೂಮ್ ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಪೋಲರೈಸೇಶನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಗಣಿತದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕತೆ