Cyclic polytope
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಿ (ಎನ್, ಡಿ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಆವರ್ತಕ ಪಾಲಿಟೋಪ್, ಆರ್ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಎನ್ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಆಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್ ಡಿ ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಈ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ಕಾನ್ಸ್ಟಾಂಟಿನ್ ಕ್ಯಾರಥೆಯೋಡರಿ, ಡೇವಿಡ್ ಗೇಲ್, ಥಿಯೋಡೋರ್ ಮೊಟ್ಜ್ಕಿನ್, ವಿಕ್ಟರ್ ಕ್ಲೀ ಮತ್ತು ಇತರರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆಃ ಪೀಟರ್ ಮೆಕ್ಮುಲ್ಲೆನ್ ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಆವರ್ತಕ ಪಾಲಿಟೋಪ್ C (n, d) ಯ ಬೌಂಡರಿ, n ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ d−1 ಆಯಾಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ಗೋಳಗಳ ನಡುವೆ i-ಆಯಾಮದ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕ್ಷಣದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ-ಆಯಾಮದ ಆವರ್ತಕ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಕರ್ವ್ನಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಸಂಯೋಜಿತ ರಚನೆಯು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಯಾಮ ಡಿ ಮತ್ತು ಎನ್ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಗಡಿಯು (d−1)-ಆಯಾಮದ ಸರಳವಾದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು δ (n, d) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಾಳಿಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಗಾಳಿಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಆವರ್ತಕ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮುಖವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ, ಒಂದು-ಉಪವಿಭಾಗವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಐಎಫ್ಎಫ್ನ ಒಂದು ಮುಖವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನೆರೆಹೊರೆಯ ಆವರ್ತಕ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ನೆರೆಯ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಗರಿಷ್ಠ ಡಿ/2 ಶೃಂಗಗಳು ಮುಖವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ಪರಿಚಿತವಾದ ಮೊದಲ ನೆರೆಯ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಾಗಿದ್ದವು, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನೆರೆಯ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಆವರ್ತಕ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಥಿಯೋಡೋರ್ ಮೊಟ್ಜ್ಕಿನ್ ಊಹಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಇದು ಈಗ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಆವರ್ತಕ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಐ-ಆಯಾಮದ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್-ಸೋಮರ್ವಿಲ್ಲೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಆವರ್ತಕ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ n ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ d−1 ಆಯಾಮದ ಸರಳವಾದ ಗೋಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಳವಾದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಥಿಯೋಡೋರ್ ಮೊಟ್ಜ್ಕಿನ್ 1957 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1970 ರಲ್ಲಿ ಪೀಟರ್ ಮೆಕ್ಮುಲ್ಲೆನ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ವಿಕ್ಟರ್ ಕ್ಲೀ ಎಲ್ಲಾ ಸರಳವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 1975 ರಲ್ಲಿ ರಿಚರ್ಡ್ ಪಿ. ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಅವರು ಸ್ಟಾನ್ಲಿ-ರೈಸ್ನರ್ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ವಿಧಾನಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ