Unit hyperbola
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಸೂಚ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ (x, y) ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ತೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಪರ್ಯಾಯ ರೇಡಿಯಲ್ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಜೋಡಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು y = x ಮತ್ತು y = −x ಲಕ್ಷಣರಹಿತಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಂಯೋಗವು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಪರ್ಯಾಯ ರೇಡಿಯಲ್ ಉದ್ದವು ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಆಯತಾಕಾರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ, ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಘಟಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ಹುಸಿ-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವೆಂದು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳು ಬೆಳಕಿನ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗ್ರೆಗೊಯಿರ್ ಡಿ ಸೇಂಟ್-ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಅವರು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವಲಯಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ನೀಡಿದ ಗಮನವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ವಲಯ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಆಧುನಿಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೋನಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಾಗ, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಲೂ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸುತ್ತಲೂ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಲಕ್ಷಣರಹಿತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ರೇಖೆಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕಡೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ, ಹೀಗಾಗಿ ದೂರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖದ ಯಾವುದೇ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ (x, y, z) ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು z = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿ. ಜಿ. ಗಿಬ್ಸನ್ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆಃ R2 ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಯತಾಕಾರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯು P = (1:1:0) ಮತ್ತು Q = (1: −1:0) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ z = 0 ಅನ್ನು ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಎರಡೂ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಸರಳವಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು x + y = 0, x − y = 0; ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪರಿಚಿತ 'ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳನ್ನು' ಮರುಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಅಂಶವನ್ನು ಒಂದೇ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ದೂರ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಘಟಕಗಳು 30 ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ನ್ಯಾನೊ ಸೆಕೆಂಡುಗಳು, ಅಥವಾ ಖಗೋಳ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು 8 ನಿಮಿಷಗಳು ಮತ್ತು 20 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಅಂತರಗಳು, ಅಥವಾ ಬೆಳಕಿನ ವರ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಷಗಳ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾಪಕಗಳು ಇಳಿಜಾರು ಪ್ಲಸ್ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಒಂದರ ಕರ್ಣ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಘಟನೆಗಳ ಫೋಟಾನ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಐದು ಅಂಶಗಳು ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಹರ್ಮನ್ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಃ ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲ, ಅದರ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಕ್ಷಗಳು, ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ವ್ಯಾಸ. ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲವು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವ್ಯಾಸವು a ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ತನ್ಹ a = y/x ಮತ್ತು (x, y) ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಲ್ಲಿನ ವ್ಯಾಸದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ವ್ಯಾಸವು ವೇಗವಾದ a ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕಕಾಲಿಕತೆಯ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಮಯದ ಬಾಣವು ಚಿತ್ರದ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ-ಇದನ್ನು ರಿಚರ್ಡ್ ಫೇನ್ಮನ್ ತನ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ಸಮಯದ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾದ ಸಮತಲಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಈಗ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವವಾಗಿದೆ. ಲಂಬ ಸಮಯ ಅಕ್ಷದ ಸಂಪ್ರದಾಯವು 1908 ರಲ್ಲಿ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಎಡ್ಡಿಂಗ್ಟನ್ ಅವರ ದಿ ನೇಚರ್ ಆಫ್ ದಿ ಫಿಸಿಕಲ್ ವರ್ಲ್ಡ್ (1928) ನ ಪುಟ 48 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕ ನಿರ್ಣಯವು ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ನೇರ ಮಾರ್ಗವು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ xy = 1 ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕೆ. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಅವರ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ (1878) ನಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಅವರು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಚಲನೆಯು ಅಂಡಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಗೆ ಕೆಲವು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. .. ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಅಂಡಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿ, ಕೋನಿಕ್ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದು. ರಷ್ಯಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಕರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆಃ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲೆ E ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಎಬಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಇ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ಕೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು E = (1,0) ಹೊಂದಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ನಿಯತಾಂಕ t. ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಪ್ಲೇನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು z = x + yj ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಪ್ಲಿಟ್-ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ j2 = + 1 ಆಗಿದೆ. ನಂತರ jz = y + xj, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ j ನ ಕ್ರಿಯೆಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಘಟಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಅದರ ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳ ಸಂಯೋಗದ ವ್ಯಾಸದ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೋನ ನಿಯತಾಂಕ aಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಏಕಮಾನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ j = (0,1). ಘಟಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಲ ಶಾಖೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಶಾಖೆಯು ಜೆ-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಶಾಖೆಯು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ a ನಲ್ಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ a,) ಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್-ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವು x2 = −1 ಆಗಿರುವಾಗ x (ai) ಮತ್ತು x (ai) ನ ಲಂಬತೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಶಾಖೆಯು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತದ ಗುಂಪಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಈ ಘಟಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಗುಂಪು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಂತೆಯೇ, ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ಬಿಂದುವು ಏಕಮಾನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ರೇಡಿಯಲ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಧ್ರುವ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಫ್. ರೀಸ್ ಹಾರ್ವೆ (1990) ಸ್ಪಿನರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯಗಳು, ಚಿತ್ರ 4.33, ಪುಟ 70, ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್,. ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳು 1 (ಸಂಖ್ಯೆ) ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು