Map folding
ಕಾಗದದ ಮಡಿಸುವಿಕೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಯ ಮಡಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಂಚೆಚೀಟಿ ಮಡಿಸುವಿಕೆಯು ಕಾಗದದ ತುಂಡನ್ನು ಮಡಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂಚೆಚೀಟಿ ಮಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾಗದವು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಕ್ರೀಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಡಿಕೆಗಳು ಕ್ರೀಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಇರಬೇಕು. ನಕ್ಷೆಯ ಮಡಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾಗದವು ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಕ್ರೀಸ್ಗಳಿಂದ ಆಯತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮಡಿಕೆಗಳು ಮತ್ತೆ ಈ ಕ್ರೀಸ್ಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮಾತ್ರ ಇರಬೇಕು. ಅಂಚೆಚೀಟಿ ಮಡಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಎಮಿಲಿ ಲೆಮೋಯಿನ್ಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಇತರ ಆರಂಭಿಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳು ಅಂಚೆಚೀಟಿ ಮಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಮಡಚಬೇಕಾದ ಕಾಗದವು ಚೌಕಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಆಯತಾಕಾರದ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದ್ದು, ಕ್ರೀಸ್ಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳನ್ನು ಆ ಕ್ರೀಸ್ಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮಾತ್ರ ಮಡಚಬಹುದು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಅಂಚೆಚೀಟಿಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯ ಎರಡು ಮಡಿಕೆಗಳು ಒಂದೇ ಲಂಬವಾದ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮಡಿಸಲು ಆರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆಃ ಇವು ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಆರು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಆದರೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು,,, ಮತ್ತು ಆ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಮಡಚಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಮಡಿಸಿದ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ಎರಡು ಕ್ರೀಸ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ದಾಟುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಭೌತಿಕ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ 1324 ಅನ್ನು ಮಡಚಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ಈ ನಿಷೇಧಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯಿಲ್ಲದೆ ಉಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಮಡಚಬಹುದು. ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮಡಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1,2,6,16,50,144,462,1392,4536,14060,46310,146376,485914,1557892,5202690 ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು (ಏಕೆಂದರೆ ಮಡಚಬಹುದಾದ ಸ್ಟಾಂಪ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಡಚಬಹುದಾದಂತಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದ ಅನುಪಾತಗಳು 1,1,2,4,10,24,66,174,504,1406,4210,12198,37378,111278,346846,1053874,., ಅರ್ಧ-ಅನಂತ ವಕ್ರರೇಖೆಯು "ಸೆಮಿಮೈಂಡರ್ಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ದಾಟುವ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇವು ಮೆಂಡರ್ಸ್ಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಮಾರ್ಗಗಳು. ಮೀಂಡರ್ಗಳು ಅಂಚೆಚೀಟಿ-ಮಡಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಂಚೆಚೀಟಿಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಜೋಡಿಸಿ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ನಿರಂತರ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ಇ. ಕೋಹ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಫ್. ಲುನ್ನಾನ್ ಅವರು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 28 ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳಿಗೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದರು. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳು ಘಾತೀಯ ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರ ಅಥವಾ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ಟ್ಯಾಂಪ್ ಫೋಲ್ಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಟ್ಯಾಂಪ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮಡಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ತೆರೆದ ಸ್ಟ್ಯಾಂಪ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಚಲನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಮಡಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಡಗಿ ನಿಯಮದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಮಡಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು). ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳು ಅಂಚೆಚೀಟಿ ಮಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ, ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಖಾಲಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಒಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಮಡಿಕೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಡಿಸಿದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿ ಅಥವಾ ಹಿಂದಿನಿಂದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸುವುದು ಅದರ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರು ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳು ಕೇವಲ ಎರಡು ಮಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಒಂದು ಎಸ್-ವಕ್ರ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸುರುಳಿ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಡಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1,1,2,5,14,38,120,353,1148,3527,11622,36622,389560,1301140,4215748,. ನಕ್ಷೆಯ ಮಡಿಸುವಿಕೆಯು ಅದರ ಕ್ರೀಸ್ಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆಯತಾಕಾರದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಡಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಕ್ರೀಸ್ ಅನ್ನು ಪರ್ವತ ಅಥವಾ ಕಣಿವೆಯ ಮಡಿಕೆ ರೂಪಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂಚೆಚೀಟಿ ಮಡಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಕ್ರೀಸ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಲಂಬ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಕ್ರೀಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. 2x2 ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅದರ ಕ್ರೀಸ್ಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮಡಿಸಲು ಎಂಟು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಮಡಿಸಿದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಲಂಬ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಡಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಡಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬಗೆಹರಿಯದೆ ಉಳಿದಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ 1,8,1368,300608,186086600,123912532224,129950723279272. ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ನಕ್ಷೆಯ ಮಡಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಂಚೆಚೀಟಿ ಮಡಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಒರಿಗಮಿಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ರೀಸ್ ಮಾದರಿಯ ಚೌಕವನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಮಡಚಬಹುದೇ ಎಂಬ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯ ಪ್ರತಿ ಕ್ರೀಸ್ಗೆ ಮಡಿಸುವ ದಿಕ್ಕನ್ನು (ಪರ್ವತದ ಮಡಿಕೆ ಅಥವಾ ಕಣಿವೆಯ ಮಡಿಕೆ) ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿ ಮಡಚಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶನಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರೀಸ್ಗಳಿಂದ ಆಯತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ) ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯ ಮಡಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಬಹುಪದೀಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದೆ. ಕಾಗದವನ್ನು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಡಿಸುವ "ಸರಳ" ಮಡಿಕೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಡಚಬೇಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕೆಲವು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಆಯತಾಕಾರವಲ್ಲದ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳಿಗೆ, ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಪರ್ವತ ಅಥವಾ ಕಣಿವೆಯ ಮಡಿಕೆಗಳೆಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಪಟ್ಟಿಯ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳಿಗೂ ಸಹ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರೀಸ್ನ ಎರಡು ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ನಿಯಮಿತ ಪೇಪರ್ ಫೋಲ್ಡಿಂಗ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, 0s ಮತ್ತು 1s ನ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಮಡಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು "ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿದ ಅಂಚೆಚೀಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮಡಿಸುವುದು" ದಿ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಷನ್ಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ನಿಂದಃ http://demonstrations.wolfram.com/FoldingAStripOfLabeledStamps ಪೇಪರ್ ಫೋಲ್ಡಿಂಗ್ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು