Graphon
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫಾನ್ (ಗ್ರಾಫ್ ಮಿತಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ದಟ್ಟವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗ್ರ್ಯಾಫೋನ್ಗಳು ದಟ್ಟವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿನಿಮಯಸಾಧ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ ಗ್ರಾಫೋನ್ಗಳನ್ನು ದಟ್ಟವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಗ್ರಾಫೋನ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಗಳು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ದಟ್ಟವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಗ್ರಾಫೋನ್ಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ದೊಡ್ಡ ದಟ್ಟವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತವೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಗ್ರ್ಯಾಫೋನ್ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೂ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಡ್ಜ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ಬಹುಶಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ಗ್ರಾಫನ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫಾನ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಗಳು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಗ್ರಾಫೋನ್ನ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯು ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರತಿ ಅಂಚನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಕಾನ್ಸ್ಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಗ್ರಾಫಾನ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆಃ ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಬ್ಲಾಕ್ನಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯು ಸಮುದಾಯ ಸಂಭವನೀಯ ಬ್ಲಾಕ್ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಮಾದರಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ದೊಡ್ಡ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಂಚು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಇತರ ಜನಪ್ರಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಗ್ರಾಫಾನ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿನಿಮಯಸಾಧ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಗಳೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ವಿವರವಾದ ಸಮೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಓರ್ಬನ್ಜ್ ಮತ್ತು ರಾಯ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಂಟಿಯಾಗಿ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಗಾತ್ರದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ವಿವಿಧ ಗಾತ್ರಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು (ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕತೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಹೇರುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕೆಲವು ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೇಲಿನ-ಎಡ ಉಪ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಸಹಜವಾಗಿದೆ; ಇದು ನಮಗೆ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನಂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯೂಹಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯಸಾಧ್ಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಸದೃಶವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಸಹಜ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು, ಇಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಎಂದರ್ಥ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಈ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವಿತರಣೆಯು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ಮರುನಾಮಕರಣದಿಂದ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಅಂದರೆ, ಶೃಂಗಗಳ ಲೇಬಲ್ಗಳು ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಜಂಟಿಯಾಗಿ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ, ಇದು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ ಡಿ ಫಿನೆಟ್ಟಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸರಣಿಗಳಿಗಾಗಿ ಆಲ್ಡಸ್-ಹೂವರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮಾದರಿ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ಗ್ರಾಫಾನ್. ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯು ಕೆಲವು ಗ್ರಾಫಾನ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರ್ಯಾಫೋನ್ ಅಂದಾಜು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದಾಗಿ, ಗ್ರ್ಯಾಫೋನ್ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ನೋಡ್ ಸುಪ್ತ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಗ್ರ್ಯಾಫೋನ್ ಅಂದಾಜಿನ ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ದೇಶನಗಳಿವೆ. ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಅದರ ಮೂಲಕ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಹಂತದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಒಳಾಂಗಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ನ ಪ್ರವೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು. ಈ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ (ಒಮ್ಮುಖದ ಕೆಲವು ಸೂಕ್ತವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ), ಈ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮಿತಿಯು ಈ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರಾಫನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ("ಗ್ರಾಫ್ ಕಾರ್ಯ" ಕ್ಕೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ) ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ದಟ್ಟವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ, ಒಮ್ಮುಖದ ಹಲವಾರು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳೆಲ್ಲದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಿತಿ ವಸ್ತುವು ಗ್ರಾಫಾನ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸ್ಥಿರ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವಂತೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಅಂಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫನ್ಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೇಲಿನ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. ಅರ್ಧ ಗ್ರಾಫೋನ್ ಅರ್ಧ-ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಇದನ್ನು ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ನಿಖರವಾಗಿ ಯಾವಾಗ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ "ಅರ್ಧ ಚದರ" ಬ್ಲಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಉಳಿದ ನಮೂದುಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಸ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಈ ಮೂಲೆಗಳು "ನಯವಾಗಿ" ಹೊರಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅದರ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತಾ, ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರ್ಧ-ಗ್ರಾಫನ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫೋನ್ ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎರಡು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಫ್-ಡಯಾಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಸ್ ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತಾ ಹೋದಂತೆ, ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಈ ಬ್ಲಾಕ್ ರಚನೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವಾಗಲಾದರೂ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ "ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ" ಗ್ರಾಫಾನ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಭಾಗಗಳ ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ, ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶೂನ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದರ ಚೆಸ್ ಬೋರ್ಡ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕ್ರಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಆಸ್ ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತಾ ಹೋದಂತೆ, ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಚೆಸ್ ಬೋರ್ಡ್ ಆಗುತ್ತವೆ. ಈ ನಡವಳಿಕೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಮಿತಿಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಿಂದ ಗ್ರಾಫನ್ನಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಶೃಂಗಗಳ ಮರುನಾಮಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿರಬೇಕು. ಡಬ್ಲ್ಯೂ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮಿತಿಯು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಈ ವಿಭಾಗದ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಇದು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫೋನ್ಗಳಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುವುದು ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಾಫೋನ್ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್, ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆ (ಅಂದರೆ. ಸರಾಸರಿ ಡಿಗ್ರಿ ಅನ್ನು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ) ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು-ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ತರ್ಕವು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಮ್ಮುಖದ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಹಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ವಿಪರೀತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು "ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ" ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲುವಂತೆ ಗುರುತಿಸುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ನಾವು ನಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, "ಸಮಂಜಸವಾದ" ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ದೊಡ್ಡದಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿ, ಒಂದೇ ಶೃಂಗದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ಅಥವಾ ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾದ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಅವುಗಳ ದೂರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಅವರ ಸಂಪಾದನೆಯ ಅಂತರ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಪಾದನೆಯ ಅಂತರವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ನಿರೀಕ್ಷಿತ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ) ಸಂಪಾದನೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಾವು ಬಯಸುವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾಪನಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ವಿತರಣೆಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಅಂಚಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಶೃಂಗಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅದ್ಭುತವಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡೂ ಮಾಪನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮಿತಿ ವಸ್ತುಗಳು ಗ್ರಾಫನ್ಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಈ ಎರಡು ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ವಿವಿಧ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹೇಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಎಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ನಾವು ಇನ್ ಮತ್ತು ಇನ್ ಪ್ರತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಹೋಲುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಬದಲು, ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ, ದಟ್ಟವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ನಕ್ಷೆಯು ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಶೃಂಗಗಳವರೆಗೆ ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಗ್ರಾಫನ್ಗಳು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಾಫನ್ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಬಹುಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಯಾವಾಗ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಾಫಾನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗ್ರಾಫಾನ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಸೆಟಪ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಎಡ-ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ನಾವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂತರವನ್ನು ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿ ಎರಡು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಶೃಂಗದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಒಂದೇ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಶೃಂಗದ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎರಡರ ನಡುವಿನ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆಯಾದರೆ (ಒಟ್ಟು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ), ಅದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೋಲುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತರದ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರದ ಒಂದೇ ಶೃಂಗದ ಗುಂಪಿಗೆ, ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಕಟ್ ದೂರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಕಟ್ ದೂರವು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಅಂಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಾಫನ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫನ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಶೃಂಗದ ಗುಂಪನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ಕಟ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಇದು ನಮಗೆ ಸಮಾನತೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ಕಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂತರದ ಅಳತೆಯು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇದು ಎರಡು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ದೂರವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಶೂನ್ಯ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಶೃಂಗಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ "ರಿಲೇಬೆಲಿಂಗ್ಗಳ" ಮೇಲೆ ಕನಿಷ್ಠ ಕಟ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಇದು ಕಟ್ ದೂರಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಗ್ರಾಫನ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅವುಗಳ ಕಟ್ ದೂರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸ್ವತಃ ಎಲ್ಲಾ ಅಳತೆ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಡಿತದ ಅಂತರವನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಾಫೋನ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಡಿತದ ಅಂತರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಟ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಕಟ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೌಚಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲವು ಗ್ರಾಫಾನ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಸಮಾನತೆ ಇದು ಬದಲಾದಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಎಡ-ಒಮ್ಮುಖವು ಕಟ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಲ್ಲದೆ, ಮಿತಿ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫಾನ್ಗಳ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಮ್ಮುಖದ ಎರಡೂ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಎಣಿಕೆಯ ಲೆಮ್ಮಾಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಗ್ರಾಫನ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. "ಕೌಂಟಿಂಗ್ ಲೆಮ್ಮಾ" ಎಂಬ ಹೆಸರು ಈ ಲೆಮ್ಮಾವು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಮೇಲೆ ನೀಡುವ ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ ಎಣಿಕೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಈ ಲೆಮ್ಮಾವು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ವಿಭಾಗಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಗ್ರಾಫ್ ಎಣಿಕೆಯ ಲೆಮ್ಮಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಕಟ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವು ಎಡ-ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಎಣಿಕೆ ಲೆಮ್ಮಾ. ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಗ್ರಾಫಾನ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಈ ಲೆಮ್ಮಾವು ಎಡ-ಒಮ್ಮುಖವು ಕಟ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫನ್ಗಳ ಸ್ಥಳ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫನ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಬೇಕಾದರೂ ಎರಡು ಗ್ರಾಫನ್ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಟ್-ದೂರವನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಗ್ರಾಫೋನ್ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಜಾಗವು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಾಫಾನ್ಗಳು ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಅವಲೋಕನಗಳು ಗ್ರಾಫೋನ್ಗಳ ಜಾಗವು ಕಟ್ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಒಂದು ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಕೊರೊಲ್ಲರಿ 1. ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫನ್ಗೆ, ಅಂತಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಇರುವಂತಹ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದೆ. ಏಕೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು, ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಚೆಂಡನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ತೆರೆದ ಚೆಂಡುಗಳ ಸೆಟ್ ಆವರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಉಪ ಕವರ್ ಇದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅನ್ವಯಗಳು ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಲೆಮ್ಮಾ ಗ್ರ್ಯಾಫೋನ್ಗಳ ಸ್ಥಳದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಲೆಮ್ಮಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂಲ ಲೆಮ್ಮಾಗಿಂತ ಬಲವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ನಿಯಮಿತ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಗ್ರಾಫನ್ಗಳ ಭಾಷೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಹಂತದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಕಾನ್ಸ್ಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಾಫೋನ್ ಒಂದು ಹಂತದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪುರಾವೆಗೆ ದುರ್ಬಲ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಲೆಮ್ಮಾ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಗ್ರ್ಯಾಫೋನ್ಗಳಿಗೆ ದುರ್ಬಲ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಲೆಮ್ಮಾ. ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫನ್ಗೆ ಮತ್ತು, ಅಂತಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಬಲವಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಲೆಮ್ಮಾದಂತಹ ಬಲವಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಗ್ರ್ಯಾಫೋನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಬಲವಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಲೆಮ್ಮ. ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ, ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫಾನ್ಗೆ, ಒಂದು ಗ್ರಾಫಾನ್ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತದ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಯು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಕೊರೋಲರಿ 1 ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಅನ್ನು ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಚೆಂಡುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಆವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೆಟ್ಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ ತೆರೆದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ಸ್ವಲ್ಪ ದೊಡ್ಡದಾಗಿಸಬಹುದು. ಈಗ, ನಾವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಅವರ ಊಹೆಃ ಗ್ರಾಫಾನ್ಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವರೂಪವು ಏಕರೂಪತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲೆ ದಾಳಿ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಮ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಅವರ ಊಹೆಯು ವಿಪರೀತ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸರಾಸರಿ ಡಿಗ್ರಿ (ಕೆಲವರಿಗೆ) ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳ ಮೇಲೆ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಹೊಂದಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಉಪಗ್ರಾಫ್ಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಅಂಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು (ನಿರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ) ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯಂತೆ ಊಹೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಅವರ ಊಹೆಗೆ ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫಾನ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಯೆಂದು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ನಂತರ ಇತರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಗ್ರಾಫನ್ಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ದಟ್ಟವಾದ ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಮಾದರಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ದಟ್ಟವಾದ ನಿರ್ದೇಶಿತ ತೂಕದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಇವೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಲಂಕೃತ ಗ್ರಾಫನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಮಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ವಿರಳ ಗ್ರಾಫ್ ಆಡಳಿತಕ್ಕೆ ಇತ್ತೀಚಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ