Discrete Chebyshev polynomials
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಅಥವಾ ಗ್ರಾಮ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಪಾಫ್ನ್ಯೂಟಿ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಮ್ ಪುನಃ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಅವು ತಿರುಗುವ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಂತರ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದವು x ನಲ್ಲಿ n ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಅಸಮಾನ ಪದವಿಯ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳು ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗುವುದರೊಂದಿಗೆ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಡೆಲ್ಟಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಒಂದು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡರು ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಇದು ಚಿಹ್ನೆ ಸಂಪ್ರದಾಯದೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಸಮಯವಾಗಿ, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಮುಂದುವರಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [−1,1] ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ k ಮತ್ತು m ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು. fಅನ್ನು n <m ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಇದರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವು [−1,1] ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅರೆ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿರಲಿ. ಸಮಾನವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿರಲಿ. ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಿಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಚೆಬಿಶೇವ್ (ಅಥವಾ ಗ್ರಾಮ್) ಬಹುಪದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಸ್ಪಿನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸ್ಪಿನ್ ನ ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಸ್ಪಿನ್ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು, ಐನ್ಸ್ಟೈನ್-ಪೊಡೋಲ್ಸ್ಕಿ-ರೋಸೆನ್ ಪ್ರಯೋಗದ ಬೋಮ್ನ ಸ್ಪಿನ್-ಎಸ್ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಪಿನ್ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ವಿಗ್ನರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಹುಪದಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ (ವಿಗ್ನರ್ ಡಿ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕದ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವ ಕೋನವಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಅಥವಾ ಸ್ಪಿನ್ ಐಗೆನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಐಗೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸ್ಕೇಲ್ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ಡ್ ಆವೃತ್ತಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸಲು ಅದನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕೆಂದು ಒಬ್ಬರು ಒತ್ತಾಯಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಆರ್ತೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತ