Hypercomplex analysis
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಹೈಪರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ವಾದವು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ ಆಗಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಉಪ-ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಎರಡನೆಯ ನಿದರ್ಶನವು ಮೋಟಾರು ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಾದಗಳು ವಿಭಜಿತ-ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೈಪರ್ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೈಪರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2x2 ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಹೈಪರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜಾಗದ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವರ್ಗಮೂಲ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಲಾಗರಿದಮ್ನಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೈಪರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪಾರದರ್ಶಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಐಜೆಂಡೆ-ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಎಲ್ಲಿ Ei ಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ, "ಹೈಪರ್ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ" ಆಧುನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬನಾಚ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಸರಣಿಗಳಿಂದ ಸಮೃದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬನಾಚ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೇಲಿನ ಹೈಪರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಿಯೋವನ್ನಿ ಬಟಿಸ್ಟಾ ರಿಜ್ಜಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮೂಲಗಳು ಡೇನಿಯಲ್ ಆಲ್ಪೇ (ಆವೃತ್ತಿ) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. (2006) ವೇವ್ಲೆಟ್ಸ್, ಮಲ್ಟಿಸ್ಕೇಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್,. ಎನ್ರಿಕ್ ರಾಮಿರೆಜ್ ಡಿ ಅರೆಲ್ಲಾನನ್ (1998) ಆಪರೇಟರ್ ಥಿಯರಿ ಫಾರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಹೈಪರ್ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ (1994ರ ಡಿಸೆಂಬರ್ನಲ್ಲಿ ಮೆಕ್ಸಿಕೋ ನಗರದಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಸಮಾವೇಶದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು). ಜೆ. ಎ. ಎಮ್ಯಾನುಯೆಲ್ಲೋ (2015) ಸ್ಪ್ಲಿಟ್-ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್, ಮಲ್ಟಿ-ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್, ಮತ್ತು ಸ್ಪ್ಲಿಟ್-ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು, ಪಿಎಚ್ಡಿ ಥೀಸಿಸ್, ಫ್ಲೋರಿಡಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಸೊರಿನ್ ಡಿ. ಗಾಲ್ (2004) ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ದಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಹೈಪರ್ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು, ನೋವಾ ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್,. ಆರ್. ಲವಿಕಾ & ಎ. ಜಿ. ಒ 'ಫಾರೆಲ್ & ಐ. ಸಣ್ಣ (2007) "ಕ್ವಾಟರನಿಯಾನಿಕ್ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ರಿವರ್ಸಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಪ್ಸ್", ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಫಿಲಾಸಫಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ 143:57-69. ಐರೀನ್ ಸಬಾಡಿನಿ ಮತ್ತು ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಕಸ್ ಸೋಮೆನ್ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು.) (2011) ಹೈಪರ್ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, ಬಿರ್ಖೌಸರ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್. ಐರೀನ್ ಸಬಾಡಿನಿ & ಮೈಕೆಲ್ ವಿ. ಶಾಪಿರೋ & ಎಫ್. ಸೋಮೆನ್ (ಸಂಪಾದಕರು) (2009) ಹೈಪರ್ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಬಿರ್ಖೌಸರ್. ಸಬಾಡಿನಿ, ಸೋಮೆನ್, ಸ್ಟ್ರಪ್ಪ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು.) (2012) ಅಡ್ವಾನ್ಸಸ್ ಇನ್ ಹೈಪರ್ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗಳು ಹೈಪರ್ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ