De Bruijn–Erdős theorem (incidence geometry)
ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲತಃ ಡಿ ಬ್ರೂಯಿನ್-ಎರ್ಡೋಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿ n ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ದ್ವಂದ್ವತೆಯಿಂದ, ಇದು ರೇಖೆಗಳ ಸಂರಚನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಕೂಡ ಒಂದು ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಡಿ ಬ್ರುಯಿನ್ ಮತ್ತು ಎರ್ಡೋಸ್ ನೀಡಿದ ಪುರಾವೆಯು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಡಿ ಬ್ರುಯಿನ್ ಮತ್ತು ಎರ್ಡೋಸ್ ತಮ್ಮ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸಾದೃಶ್ಯದ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್) ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಪಿ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ n ಬಿಂದುಗಳ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿರಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ. ನಂತರ, t ≤ n, ಮತ್ತು t = n ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ P ಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಿ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಪಿ ಹತ್ತಿರದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಎನ್-1 ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪುರಾವೆ ಮೂರು ನಾನ್-ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. n> 3 ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಮೇಯವು n-1ಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಪಿ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ n ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಖರವಾಗಿ ಪಿ ಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎರಡು ಬಿಂದು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಗಳು P ಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. a ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ, P ಯು n ರೇಖೆಗಳ ಹತ್ತಿರದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ (a ಮೂಲಕ n-1 ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ n-1 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ರೇಖೆ). ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, a ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ n−1 ಬಿಂದುಗಳ P 'ಎಂಬ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನ ಪ್ರಕಾರ, ಪಿ 'ಕನಿಷ್ಠ ಎನ್-1 ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಯು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ P ಕನಿಷ್ಠ n ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆ. ಎಚ್. ಕಾನ್ವೇ ಅವರ ಪುರಾವೆ ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಕ್ಟೋನಿಯಾನ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ಮೂಲಗಳು. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್