Omega-categorical theory
ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಮೆಗಾ-ವರ್ಗೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಮರೂಪತೆಯವರೆಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನಂತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಒಮೆಗಾ-ವರ್ಗೀಕರಣವು κ-ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ κ = = ω ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಮೆಗಾ-ವರ್ಗೀಕರಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ω-ವರ್ಗೀಕರಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಮೆಗಾ-ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಷರತ್ತುಗಳು ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲಿನ ಅನೇಕ ಷರತ್ತುಗಳು ಒಮೆಗಾ-ವರ್ಗೀಕರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. 1959ರಲ್ಲಿ ಎರ್ವಿನ್ ಎಂಜೆಲರ್, ಚೆಸ್ಲಾ ರೈಲ್-ನಾರ್ಡ್ಜೆವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಲಾರ್ಸ್ ಸ್ವೆನೋನಿಯಸ್ ಅವರು ಹಲವಾರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಇದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸಾಹಿತ್ಯವು ಇನ್ನೂ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ರೈಲ್-ನಾರ್ಡ್ಜೆವ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಹೆಸರಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಷರತ್ತುಗಳು ಲೇಖಕರ ನಡುವೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಥಮ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಮೆಗಾ-ವರ್ಗೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಟಿ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಯು ಆಲಿಗೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಎನ್ ಗೆ Mn ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಕಕ್ಷೆಗಳಿವೆ). ಟಿ ಯ ಕೆಲವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಗಳು ಆಲಿಗೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಗೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಎನ್-ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಟೋನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಸ್ಎನ್ (ಟಿ) ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ, T ಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ n-ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ, ಪ್ರತಿ n-ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ, ಸಮಾನತೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋ T ವರೆಗೆ n ಮುಕ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ n ಗೆ, T ಯ n ನೇ ಲಿಂಡೆನ್ಬಾಮ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಟಿ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾದರಿಯು ಪರಮಾಣು ಆಗಿದೆ. ಟಿ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಯು ಪರಮಾಣು ಆಗಿದೆ. ಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪರಮಾಣು ಮತ್ತು ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಪ್ರೈಮ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಬಂಧಾತ್ಮಕ ಭಾಷೆಯ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನಂತ ರಚನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಮೆಗಾ-ವರ್ಗೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಒಮೆಗಾ-ವರ್ಗೀಯವಾಗಿವೆಃ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದ ದಟ್ಟ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಮೇಯ) ರಾಡೋ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅನಂತ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು