Limit (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇನ್ಪುಟ್ (ಅಥವಾ ಸೂಚ್ಯಂಕ) ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು (ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮ) ಸಮೀಪಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವು ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಮಿತಿಗಳು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ನಿವ್ವಳ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ನೇರ ಮಿತಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು "ಲಿಮ್" ಬದಲಿಗೆ "ಲೆಫ್ಟ್" ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ) ಮತ್ತು ಇದನ್ನು "ವಿಧಾನಗಳ ಮಿತಿಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಲ ಬಾಣದಿಂದ (→ ಅಥವಾ) ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ "ಆಫ್ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಗ್ರೆಗೊಯಿರ್ ಡಿ ಸೇಂಟ್-ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಕೃತಿ ಓಪಸ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಮ್ (1647) ನಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯ ಮಿತಿಯ (ಟರ್ಮಿನಸ್) ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರುಃ "ಪ್ರಗತಿಯ ಟರ್ಮಿನಸ್ ಸರಣಿಯ ಅಂತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿಯು ತಲುಪಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅದು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿದರೂ ಸಹ, ಆದರೆ ಅವಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತಿರ ತಲುಪಬಹುದು". ಮಿತಿಯ ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು 1817 ರಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಎಪ್ಸಿಲಾನ್-ಡೆಲ್ಟಾ ತಂತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಬೊಲ್ಜಾನೊಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವನ ಕೆಲಸವು ಅವನ ಮರಣದ ನಂತರ ಮೂವತ್ತು ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ ಇತರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ. 1821 ರಲ್ಲಿ ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ, ನಂತರ ಕಾರ್ಲ್ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಿದರು, ಇದು (ε, δ)-ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿತು. ಬಾಣವನ್ನು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಕೆಳಗೆ ಇರಿಸುವ ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತವು ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಅವರು ಇದನ್ನು 1908 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ಎ ಕೋರ್ಸ್ ಆಫ್ ಪ್ಯೂರ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳ ವಿಧಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 0.999. ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ 0.9,0.99,0.999, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮೌಲ್ಯ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೀಗೆ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆಃ "n ಅನಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ an ನ ಮಿತಿಯು L ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ" ಅಥವಾ "n ಅನಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ L ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ". ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಮಿತಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಕ್ರಮಕ್ಕೂ ಒಂದು ಮಿತಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಒಂದೆಡೆ, ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಮಿತಿಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತತೆಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ-ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, X ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅನಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಮಿತಿಯು X − x0 ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಮೀಪಿಸುವ ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ಮಿತಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನಂತತೆಯು ಒಂದು ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲು "ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ" ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಲ್ಪನೆಯೂ ಇದೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು "ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬೌಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಬೌಂಡ್ಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಮೀರಿದರೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಆಂದೋಲನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂದೋಲನದ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಒಂದು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎ ಅನುಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಮಾನ್ಯವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಸುತ್ತುವರೆದಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಸುತ್ತುವರೆದಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮೇಲಿನ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಚರ್ಚೆಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಮಿತಿಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ದೂರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ) ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, ಕೊಟ್ಟಿರುವಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಆರ್. ಎನ್. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಥಳ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನೈಜವಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ದೂರ ಕಾರ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ, ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಅತ್ಯಂತ ಅಮೂರ್ತ ಸ್ಥಳವೆಂದರೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ) ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಒಂದು (ಮುಕ್ತ) ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುವಂತಹ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಿತಿಯು (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಅನನ್ಯವಾಗಿರದೇ ಇರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಈ ವಿಭಾಗವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಒಮ್ಮುಖದ ಉಪಯುಕ್ತ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರಂತರವಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಮತ್ತೊಂದು ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ. ವಾದವು ಬದಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಏಕರೂಪದ ಅಂತರವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಗರಿಷ್ಠ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯು ಬಿಂದುವಿನ ಮಿತಿಗಿಂತ "ಉತ್ತಮ" ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖದ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಜಾಗದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಕೆಲವು ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಎಲ್ಪಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಪೇಸ್. ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಾಗುವುದರ ಮೂಲಕ ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ದ ಲಿಮಿಟ್ ಆಫ್, ಆಸ್ ಅಪ್ರೋಚ್ಸ್, ಈಸ್" ಎಂದು ಓದಬಹುದು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, "ವಿಧಾನಗಳ ಮಿತಿಯ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಯು ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ("ದೋಷ" ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ), ಯಾವುದೇ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದದ್ದಕ್ಕಾಗಿ, ಅದು ಅದನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು (ε, δ)-ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಇದನ್ನು ತಮ್ಮ ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಬದಲಾವಣೆಯು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುವ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ, ಸಂಬಂಧಿತ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮದ ಚಿತ್ರವಿದೆ ಎಂದು ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಿ. ಮಿತಿಯು ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. "ಎಡಗೈ" ಮಿತಿಯನ್ನು ("ಕೆಳಗಿನಿಂದ") ಹೊಂದಿರುವ ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು "ಬಲಗೈ" ಮಿತಿಯ ("ಮೇಲಿನಿಂದ") ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಈಸ್, ಮತ್ತು ಈಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು 0 ರ "ಎಡಗೈ ಮಿತಿ" ಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, 1 ರ "ಬಲಗೈ ಮಿತಿ" ಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಮತ್ತು ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತ "ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ" ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಅನಂತವನ್ನು ಸಹಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಥವಾ. "x ಧನಾತ್ಮಕ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವಂತೆ f ನ ಮಿತಿಯನ್ನು" ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ನೈಜವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. "ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ" ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಅನುಕ್ರಮ. ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ (ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೈಪರ್ರಿಯಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ), ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನಂತ ಹೈಪರ್ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ n = H ನಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ, ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಪಾರ್ಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ "ಸ್ಟ್" ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಹೈಪರ್ರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ (ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ). ಸೂಚ್ಯಂಕದ "ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ" ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಪದಗಳು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ "ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ" ಎಂಬ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಇದು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಅಲ್ಟ್ರಾಪವರ್ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಹೈಪರ್ರಿಯಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗವು ಕೇವಲ ಆ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆಃ ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಮಾನ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಮಿತಿಯ ಸೆಟ್ಗಳು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ಕಾಂಕ್ರೀಟೆನೆಸ್ಗಾಗಿ, ಎಂದು ಯೋಚಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮಿತಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯ ಬಳಕೆಯು ಆಂದೋಲನದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ "ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು" ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. n = 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳು. ಇದು ಆಂದೋಲನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಿತಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪಥದ ಮಿತಿಯ ಸೆಟ್ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಚಲನಶೀಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪಥಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಥವನ್ನು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ, ಬಿಂದುವನ್ನು "ಸಮಯ" ದಲ್ಲಿ ಪಥದ "ಸ್ಥಾನ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಥದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಮಯದ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಮಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪಥದ ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ, ಇದು-ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಸಮಯದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು-ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ಪಥವು ಒಂದು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಬಿಂದುವು ಸಮಯದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಪಥದಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪಥವು ಅದರ ಮಿತಿಯಂತೆ ಏಕಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಕೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯೆಂದು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಆಸಕ್ತಿಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅನಂತ ಸರಣಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ "ಅನಂತ ಮೊತ್ತಗಳು", ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಿತಿಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಬಾಸೆಲ್ ಸಮಸ್ಯೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ, ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖದ ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅನುಕ್ರಮದ ವಿವಿಧ ಕ್ರಮಗಳ ನಡುವೆ ತಾರತಮ್ಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅನುಕ್ರಮದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬೇಷರತ್ತಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಣಿಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಆದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ರೀಮನ್ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳು ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಪಯುಕ್ತ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಇವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ರೂಪದ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಸೂಕ್ತ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮಿತಿಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಯ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗ, ಯಾವಾಗ, ಇಫ್ ಆಸ್, ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಮಿತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ನೋಡಿ), ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದಾಗ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ 2 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, 2 ರ ಮಿತಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಾಗಬಹುದು-ಕೇವಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿಯೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈಗ, 1 ರಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈಗ 1 ಅನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಇನ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಮಿತಿಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ, ವಿಧಾನಗಳ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ ಮಾಡಬಹುದು-ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಮಿತಿಯು, ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಇವು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಾಪಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೂ ಮೀರಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗೆ, ಪೂರ್ವಚಿತ್ರವು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಇದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಕೆಲವು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ನಂತರ ಒಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ (ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದೆ. ಟು ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ. ನಂತರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಅದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೂಲತಃ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ. ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹೆಚ್ಚು ದೃಢವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಕಾರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು. ನಂತರ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಮಿತಿ ಅಲ್ಲ. ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಪೂರಕವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದು ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ, ಹಲವಾರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮಿತಿಯ ಮೊತ್ತವು ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮಿತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮಿತಿಯ ವಿಲೋಮವು ವಿಲೋಮದ ಮಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ) ಸಮಾನವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಗ್ಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಂದು ಗುಣವೆಂದರೆ ಅವು ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳಾಗಿವೆ. ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ದೋಷಕ್ಕೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವಂತಹ ವ್ಯಾಸದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಯಾವುದೇ ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಸಹ ಕೌಚಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅದು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜವಲ್ಲಃ ಪ್ರತಿ ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹತ್ತನೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾದ ದಶಮಾಂಶ ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಅಂದರೆ ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗಿಂತ "ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿರಲು" ಒಂದು ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಅವು ಕೇವಲ ಅನುಕ್ರಮದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ಅನುಕ್ರಮವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯೂ ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಕ್ರಮವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೀರಿ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಒಮ್ಮುಖದ ಕ್ರಮದ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು. ಇದು ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಜೊತೆಗೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಮ್ಮುಖದ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ದೋಷ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ದೋಷ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಒಮ್ಮುಖದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗದ ಮಿತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಮಿತಿ ಲೆಮ್ಮಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ವೀಜ್ ಪ್ರಮೇಯ ಸೇರಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಅವರು ಹೇಳದೇ ಇರಬಹುದು. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ ಬಿಗ್ ಓ ಸಂಕೇತಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಬನಾಚ್ ಮಿತಿಯತ್ತ ವಾದವು ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವಿಕೆ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಿತಿ ನೇರ ಮಿತಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮ ಮಿತಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಃ ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಎರಡು ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು, x ಮೇಲಿನಿಂದ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಮಿತಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಸ್ಕ್ವೀಜ್ ಪ್ರಮೇಯಃ ಇತರ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಉನ್ನತ ಮತ್ತು ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವಿಕೆ (ಗಣಿತ) ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿ