Elliptical distribution
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಯು ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ವಿಶಾಲ ಕುಟುಂಬದ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಸರಳೀಕೃತ ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯು ಐಸೊ-ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಹುವಿಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬಹುವಿಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬಹುವಿಧದ ಟಿ-ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಹಗುರವಾದ (ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ) ಭಾರೀ ಬಾಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲತಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ (ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ), ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ (ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪ್ರಸ್ತಾಪಿತ ಬಹು-ವೈವಿಧ್ಯಮಯ-ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ದೃಢವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಸ್ಥಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ-ನಿಶ್ಚಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಪ್ರತಿ ಕಾಲಮ್-ವಾಹಕಕ್ಕೆ) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ-ವಾಹಕಗಳ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಯ-ಸರಣಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು, ಅಂಡಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳಿಂದ ಹುಸಿ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವಿಧಾನಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಕೆಲವು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ f ಹೊಂದಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಯು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು, ಮಧ್ಯಮ ವಾಹಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ (ಇದು ಎರಡನೆಯದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸರಾಸರಿ ವಾಹಕವೂ ಆಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎರಡನೆಯದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬಹುವಿಧದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಬಹುವಿಧದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಬಹುವಿಧದ ಟಿ-ವಿತರಣೆ ಸಮಪ್ರಮಾಣದ ಬಹುವಿಧದ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆ ಸಮಪ್ರಮಾಣದ ಬಹುವಿಧದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ವಿತರಣೆ ಬಹುವಿಧದ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವಿತರಣೆ ಬಹುವಿಧದ ಸಮಪ್ರಮಾಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 2-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಐಸೊ-ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಲೋಕಸ್ (x1, x2 ಜೋಡಿಗಳ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆ ಎಂಬ ಹೆಸರು). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ n ಗೆ, ಐಸೋ-ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಲೋಕಿಯು ಎಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರಗಳು ಅಥವಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಕೇಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಗಳಾಗಿವೆ (ಹೋಮೋಥೆಟ್ಗಳು). ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದ್ದರೂ (ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವುಗಳಿಗೆ), ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಂತಾಗಬಹುದು-ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಯು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ ವಿತರಣೆಯಂತಹ (ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ) ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಸರಾಸರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಜಂಟಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಾಧನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಪ್ರತಿ ಉಪವಾಹಕನ ಸರಾಸರಿ ಇತರ ಉಪವಾಹಕನ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ X ಅನ್ನು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಪೂರ್ಣ ಸಾಲು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ D ಗೆ DX ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ X ನ ಘಟಕಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅದೇ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ), ಮತ್ತು X ನ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಹಣಕಾಸು ಖಾತೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳುಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬಹುವಿಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಬಹುವಿಧದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ಗೌಸ್ನ) ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಹುವಿಧದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಊಹೆಯ-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲದೆ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳ ಕುರಿತಾದ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು ಉತ್ತಮ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸೀಮಿತ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕೊಕ್ರಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು (ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಐಡೆಂಟಿಟಿ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ, ನಿಯತಾಂಕ-ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಊಹೆಯ-ಪರೀಕ್ಷಾ ಹಿಡಿತದ ಮೇಲಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಿಗೂ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ರೇಖೆಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ) ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಮಾದರಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಮಲ್ಟಿಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರೀಕರಣ) ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ದೃಢವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳುಃ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಬಳಕೆಯು ದೃಢವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧಕರು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಳನೋಟವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ("ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್") ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ರಚನೆಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವತ್ತುಗಳ ಮೇಲಿನ ಆದಾಯವನ್ನು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಆಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೊಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು-ಅಂದರೆ, ಒಂದೇ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ರಿಟರ್ನ್ನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೊಗಳು ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ರಿಟರ್ನ್ನ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮ್ಯೂಚುವಲ್ ಫಂಡ್ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಬಂಡವಾಳ ಆಸ್ತಿ ಬೆಲೆ ಮಾದರಿ ಸೇರಿದಂತೆ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿವಿಧ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂಲತಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸಂಗ್ರಹ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ವಿಧಗಳು ಸ್ಥಳ-ಪ್ರಮಾಣದ ಕುಟುಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ಬಹುವಿಧದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ