Degrees of freedom (physics and chemistry)
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವು ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಭೌತಿಕ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಂತದ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಹಂತದ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಣದ ಸ್ಥಳವು ಮೂರು ಸ್ಥಾನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಅಂತೆಯೇ, ಕಣವು ಚಲಿಸುವ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ವೇಗವನ್ನು ಮೂರು ವೇಗದ ಘಟಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಜಾಗದ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮಯದ ವಿಕಸನವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯು ತನ್ನ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯದ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ವೇಗವನ್ನು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ), ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆರು ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಣದ ಚಲನೆಯು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಣವು ತಂತಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಬೇಕು-ಆಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆರು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ತಿರುಗಬಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಂಪಿಸಬಲ್ಲ ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆರು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಕಣದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ವೇಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೈಕ್ರೋಸ್ಟೇಟ್ಗಳ ವಿವರಣೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ 3ಡಿ ಆದರ್ಶ ಸರಪಳಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮೊನೊಮರ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿವೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಚತುರ್ಭುಜ ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಅನೇಕವೇಳೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅನಿಲಗಳಿಗೆ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಿಲದ ಪ್ರತಿ ಮೋಲ್ನ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಾಖವು cv = (f) (R/2) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. R = 8.314 J/(Kmol) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಅನಿಲ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು "f" ಎಂಬುದು ಉಷ್ಣಬಲದ (ಚತುರ್ಭುಜ) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಶಕ್ತಿಯು ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪರಮಾಣು ಅಥವಾ ಅಣುವು x, y ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ಪರಿವರ್ತನಾ ಚಲನೆಗೆ (ಚಲನ ಶಕ್ತಿ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂರು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾತ್ತ ಅನಿಲ ಪರಮಾಣುಗಳಂತಹ ಏಕ ಪರಮಾಣು ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಇವು ಮಾತ್ರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರಚನೆಗೆ, ಇಡೀ ರಚನೆಯು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇಡೀ ರಚನೆಯು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪರಮಾಣುಗಳು ಒಂದೇ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಅಣುವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ದ್ವಿಪರಮಾಣುವಿನ ಅಣುವು ಮತ್ತು ಇಂಗಾಲದ ಡೈಆಕ್ಸೈಡ್ (ಸಿಒ2) ನಂತಹ ಕೆಲವು ಇತರ ಅಣುಗಳು, ಎರಡು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಣ್ವಿಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬಹುದು. ನೀರಿನಂತೆ (H2O) ಪರಮಾಣುಗಳು ಒಂದೇ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಣುವು ಮೂರು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಲಂಬ ಅಕ್ಷಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಣುಗಳನ್ನು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಂತಹ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಆವರ್ತನದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರಚನೆಯು ಕಂಪನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪರಮಾಣುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ಡಯಾಟಾಮಿಕ್ ಅಣುವು ಒಂದು ಆಣ್ವಿಕ ಕಂಪನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಎರಡು ಪರಮಾಣುಗಳು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ರಾಸಾಯನಿಕ ಬಂಧವು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ನಂತೆ ವರ್ತಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ತೂಗಾಡುತ್ತವೆ. ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಣುವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆಣ್ವಿಕ ಕಂಪನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ರೇಖೀಯ ಅಣುವಿಗೆ ಕಂಪನ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಣುವಿಗೆ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ, ರೇಖೀಯ CO2 ಅಣುವು 4 ರೀತಿಯ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೀರಿನ ಅಣುವು 3 ರೀತಿಯ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಕಂಪನ ಕ್ರಮವು ಎರಡು ಶಕ್ತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಚಲಿಸುವ ಪರಮಾಣುಗಳ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ವಸಂತದಂತಹ ರಾಸಾಯನಿಕ ಬಂಧದ (ಗಳ) ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಂಪನ ಶಕ್ತಿ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರೇಖೀಯ ಅಣುವಿನ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ಅಣುವಿನ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ತಿರುಗುವ ಮತ್ತು ಕಂಪನ ವಿಧಾನಗಳೆರಡನ್ನೂ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲು "ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉಷ್ಣಾಂಶ" ವು ಅನೇಕ ಅನಿಲಗಳಿಗೆ 100 K ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. N2 ಮತ್ತು O2 ಗೆ, ಇದು 3 K ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಗಣನೀಯ ಕಂಪನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ "ಕಂಪನ ತಾಪಮಾನ" ವು 103 K ಮತ್ತು 104 K, N2 ಗೆ 3521 K ಮತ್ತು O2 ಗೆ 2156 K ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ವಾತಾವರಣದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ N2 ಮತ್ತು O2 ನಲ್ಲಿ ಕಂಪನವನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವಷ್ಟು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವಾತಾವರಣದ ತಾಪಮಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚಿರುವುದಿಲ್ಲ. (ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡಿ.) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಡಿಮೆ ಹೇರಳವಾಗಿರುವ ಹಸಿರುಮನೆ ಅನಿಲಗಳು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಇನ್ಫ್ರಾರೆಡ್ ಅನ್ನು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಟ್ರೋಪೋಸ್ಫಿಯರ್ ಅನ್ನು ಬೆಚ್ಚಗಾಗಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಅವುಗಳ ಕಂಪನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಶಕ್ತಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವನ್ನು "ಹಸಿರುಮನೆ ಪರಿಣಾಮ" ದ ಮೂಲಕ ಇನ್ಫ್ರಾರೆಡ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಣೆಯ ಉಷ್ಣಾಂಶವು (≈ 298 ಕೆ) ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉಷ್ಣಾಂಶಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕಂಪನದ ಉಷ್ಣಾಂಶಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅನುವಾದದ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಶಾಖ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಕೋಣೆಯ ಉಷ್ಣಾಂಶದಲ್ಲಿ ಮೊನಾಟಾಮಿಕ್ ಅನಿಲಗಳಿಗೆ ≈ ಮತ್ತು ಡಯಾಟಾಮಿಕ್ ಅನಿಲಗಳಿಗೆ ≈. ಗಾಳಿಯು ಡಯಾಟಮಿಕ್ ಅನಿಲಗಳಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ (ಸಾರಜನಕ ಮತ್ತು ಆಮ್ಲಜನಕವು ಸುಮಾರು 99 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವುದರಿಂದ), ಅದರ ಮೋಲಾರ್ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು = (5/2) ಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು ಡಯಾಟಮಿಕ್ ಅನಿಲಗಳು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ 5 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ. 140 ಕೆ <380 ಕೆ ಗೆ, ಸಿ. ವಿ. ಯು (5/2) ಡಿ ಯಿಂದ 1 ಪ್ರತಿಶತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಟ್ರೋಪೋಸ್ಫಿಯರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರಾಟೋಸ್ಫಿಯರ್ನಲ್ಲಿನ ತಾಪಮಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕೆಲವು ಅಣುಗಳು N2 ಮತ್ತು O2 ನ ಕಂಪನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ತಾಪಮಾನವು ಟಿ = 400 ಕೆ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಾಖವು ನಿಧಾನವಾಗಿ (7/2) ಕಡೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಿ. ವಿ. ಯು (5/2) ಡಿ = 717.5 ಜೆ/(ಕೆ. ಕೆ. ಜಿ) ಗಿಂತ 1.3% ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಒಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು ಸಹ ಎಣಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಒಂದೇ ಕಣಕ್ಕೆ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು 2-ಡಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ 2 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು 3-ಡಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 3 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ 3-ಡಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವು 3 ಆಗಿದೆ. 2 ಕಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ದೇಹಕ್ಕೆ (ಉದಾ. ಒಂದು ದ್ವಿಪರಮಾಣುವಿನ ಅಣುವು) ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂತರವಿರುವ 3-ಡಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಡಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ) ನಾವು ಅದರ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು (ಕೆಳಗೆ) 5 ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ದೇಹದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಕಣವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯವು ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು,,,, ಅಥವಾ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿರಬಹುದು. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕೋಣೆಯ ಉಷ್ಣಾಂಶದಲ್ಲಿ, ಅಣುಗಳ ಕಂಪನ ಚಲನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಾಖ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳು ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಶಕ್ತಿಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಸುತ್ತುವರಿದ ತಾಪಮಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರುತ್ತದೆ (). ಸ್ವತಂತ್ರ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಸೆಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸೆಟ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಏಕೈಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಸಂಬಂಧಿತ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆಃ ಇಫ್, ಆಗ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಎರಡು ಹಂತಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದವು ಎರಡು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ಜೋಡಣೆ ಪದವಾಗಿದೆ. 1 ರಿಂದ, ವೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ th ಹಂತದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ, ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಲೇಖನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಅವು ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರಮಾಣದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸರಾಸರಿ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆಃ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಈ ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದರೆ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇತರ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಸ್ವತಂತ್ರತೆಯ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಸಂಬಂಧಿತ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆಃ ಸ್ವತಂತ್ರತೆಯ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಎರಡು ಮಟ್ಟಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಎರಡು ಹಂತಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಚತುರ್ಭುಜ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಸಮೀಕರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಉಷ್ಣಬಲದ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸರಾಸರಿ ಶಕ್ತಿಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಯು ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸರಾಸರಿ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅದರ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವುದು, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದ್ದರೂ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಚಲನೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅಥವಾ ಫೋಟಾನ್ಗೆ ಆಂತರಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಆಪರೇಟರ್ (ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ) ಕೇವಲ ಎರಡು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಪ್ರಮಾಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಆಯಾಮ