Narrow escape problem
ಕಿರಿದಾದ ಪಾರುಗಾಣಿಕಾ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೈವಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಜೀವಕೋಶ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರ್ವತ್ರ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣವು (ಅಯಾನು, ಅಣು, ಅಥವಾ ಪ್ರೋಟೀನ್) ಅದು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಕಿಟಕಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿತವಾದ ಗಡಿಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಡೊಮೇನ್ಗೆ (ವಿಭಾಗ ಅಥವಾ ಕೋಶ) ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಿರಿದಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸರಾಸರಿ ಸಮಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು. ಕಿಟಕಿ ಕುಗ್ಗಿದಂತೆ ಈ ಸಮಯವು ಬೇರೆಡೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಏಕಾಂಗಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದಾಗಿ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಇನ್ನಷ್ಟು ಕಠಿಣವಾದಾಗ, ಕಿರಿದಾದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಗಂಭೀರವಾದ ಜಲಸಂಧಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕಿರಿದಾದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಜೈವಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡಿ. ಹೋಲ್ಕ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಝಡ್. ಶುಸ್ ಅವರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ನಂತರ A.Singer ಯೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಿರಿದಾದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಒಂದು ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಮಿತಿಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಕಣದ ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಪ್ರತಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಘರ್ಷಣೆಯ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಪ್ರತಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಬಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಮೀನ್ ಫಸ್ಟ್ ಪ್ಯಾಸೇಜ್ ಟೈಮ್ ಮತ್ತು ಫೋಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ, ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಣ್ಣ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಿಟಕಿಯ ಮೂಲಕ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು ಸೀಮಿತ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಹರಡುವ ಕಣದ ಸರಾಸರಿ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಸಮಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು. ಸಮಯವನ್ನು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು (ಪಿಡಿಎಫ್) ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಣವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಪಿಡಿಎಫ್ ಫಾಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ () ಕಾರ್ಯವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾದ ಕಣದ ಸರಾಸರಿ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಸಮಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಪರಿಹಾರವು ಡೊಮೇನ್ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಹರಡುವ ಕಣಕ್ಕೆ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ರೂಪದಿಂದಾಗಿ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಗಡಿಯ ಸಮೀಪವಿರುವ ಸಣ್ಣ ಗಡಿ ಪದರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಕಾರ್ಯವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಪದವು ಆಯಾಮ 2 ರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆಃ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ, ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಕಣದ ಸರಾಸರಿ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ ಕಣದ ಏಕರೂಪದ ಆರಂಭಿಕ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸರಾಸರಿ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವನ್ನು ಕಣವು ನೀಡುತ್ತದೆ ಸಣ್ಣ ತೆರೆಯುವಿಕೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಬಹುದುಃ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಿಟಕಿಯು ಕೋನದ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರಃ ಹೆಚ್ಚು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಕಸ್ಪ್ ಬಳಿ, ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಆಗಿ ಬೆಳೆಯುವ ಬದಲು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವೆಂದರೆಃ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅನುಪಾತ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಡೊಮೇನ್ ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಒಳಗಿನ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿರುವ ಸಣ್ಣ ತೆರೆಯುವಿಕೆಗೆ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವು ಎರಡನೇ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಳಗಿನ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ಏಕರೂಪದ ಆರಂಭಿಕ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸರಾಸರಿ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ, ಇದುಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಗಡಿಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ. 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಪ್ರಕರಣವು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ, ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಡೊಮೇನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಸ್ಪ್ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಇದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬಲದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ, ವರ್ಣಪಟಲದಲ್ಲಿನ ಅಂತರವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಸಣ್ಣ ರಂಧ್ರದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಬಲದ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಕಣವು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅದನ್ನು ಜಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಹೊಳೆ ಪಾಯ್ಸೋನಿಯನ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು (ನಿರ್ಣಾಯಕ) ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು 2011 ರಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾರಿ ಕ್ಯಾಜಿನಾಲ್ಪ್ ಮತ್ತು ಕ್ಸಿನ್ಫು ಚೆನ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವು ಸಣ್ಣ ದ್ವಾರವನ್ನು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಲವಾರು ಅಧ್ಯಯನಗಳ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುವ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರದ ದ್ವಾರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪು ನಿರ್ಗಮನದ ಸ್ಥಳದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ (ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್) ಗೆ, ಮೂಲದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುವ ಕಣವು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ, ಅದು ಹೊಡೆದಾಗ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೊಡೆದ ನಂತರ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಎಲ್ಲಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮೇಲ್ಮೈ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಎಸ್ಕೇಪ್ನ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷವಿದೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಮನವಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ದೋಷವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಹಂತದ ಗಾತ್ರದ ಸೀಮಿತ ಗಾತ್ರದ ಅಂದಾಜು ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ದೋಷವೂ ಇದೆ. ಹಂತದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ದ್ವಾರದ ಗಾತ್ರವು ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ವೃತ್ತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಹೋಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಹಂತಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಪ್ರಸರಣದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬೆಳಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಗಮನ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಯಿತು. ಜೈವಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಡೊಮೇನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ರಾಸಾಯನಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ರಾಸಾಯನಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮುಂದುವರಿದ ದರವು ಕಿರಿದಾದ ಪಾರುಗಾಣಿಕಾ ಸಮಯದ ಪರಸ್ಪರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನಂತ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣಗಳಿಗೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತಾಣಗಳಿಗೆ ಬೈಂಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅನ್ಬೈಂಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಮಾರ್ಕೋವ್ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಕೋಲ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಸೂಪರಿಯರ್ನಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಬಯಾಲಜಿ, ಪ್ಯಾರಿಸ್ ಕ್ಯಾರಿ ಕ್ಯಾಜಿನಾಲ್ಪ್ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು http://www.pitt.edu ~ ಕೇರಿಕ್ಯಾಗ್/ಕಾಂಪ್ಟೆಸ್ ರೆಂಡಸ್ ಪೇಪರ್ http://www.pitt.edu ~ ಕೇರಿಕ್ಯಾಗ್/ಪೇಪರ್1. ಪಿಡಿಎಫ್ ಎಆರ್ಎಂಎ ಪೇಪರ್ http://www.pitt.edu ~ ಕೇರಿಕ್ಯಾಗ್/ಪೇಪರ್2. ಪಿಡಿಎಫ್ ಡಿಫ್ಯೂಷನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು