Binet equation
ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಫಿಲಿಪ್ ಮೇರಿ ಬಿನೆಟ್ನಿಂದ ಪಡೆದ ಬಿನೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮತಲ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಕ್ಷೀಯ ಚಲನೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ನೀಡಿದ ಕೇಂದ್ರ ಬಲದ ರೂಪವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಲ ನಿಯಮಕ್ಕಾಗಿ ಕಕ್ಷೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಬಲದ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣ ಒಂದು ಕಕ್ಷೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋನದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಂತರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೈನೆಟ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ಕಕ್ಷೀಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾದ ಬಿನೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಕೇವಲ ಕೇಂದ್ರ ಬಲಕ್ಕೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಗೆ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಾವು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ ಕಣದ ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ವಿಲೋಮ ಚೌಕ ನಿಯಮದ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನೆಟ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಓದಬಹುದು. ಕೋನವನ್ನು ಪೆರಿಯಾಪ್ಸಿಸ್ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ, (ಪರಸ್ಪರ) ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಧ್ರುವೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅರೆ-ಲ್ಯಾಟಸ್ ಗುದನಾಳ (ಸಮಾನ) ಮತ್ತು ಕಕ್ಷೀಯ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪಡೆದ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದಿ ಸಮೀಕರಣವು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ರೈಸ್ನರ್-ನಾರ್ಡ್ಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ನಾವು ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಕ್ಯೂಮ್ ಪರ್ಮಿಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವಿಲೋಮ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಲೋಮ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವ ರೀತಿಯ ಬಲದ ನಿಯಮವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ವೃತ್ತಾಕಾರವಲ್ಲದ ಅಂಡಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೃತ್ತಾಕಾರವಲ್ಲದ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗ) ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ? ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಧ್ರುವೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಿದರೆ ಬಲದ ನಿಯಮವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ವಿಲೋಮ ವರ್ಗ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಕಕ್ಷೀಯವನ್ನು ಭೌತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವುದು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಕೂಲಂಬ್ನ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಬಲವೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಪದವು ಪೆರಿಯಾಪ್ಸಿಸ್ನ ಕೋನೀಯ ಬದಲಾವಣೆಯಂತಹ ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಲೋಮ-ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ (ಇದನ್ನು ಕುಂಠಿತ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಮೂಲಕವೂ ಪಡೆಯಬಹುದು). ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿದ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ನಂತರದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೋಟ್ಸ್ ಸುರುಳಿಗಳು ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಘನ ಬಲ ನಿಯಮವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ವಿಲೋಮ ಘನ ನಿಯಮದ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಕೋಟ್ಸ್ ಸುರುಳಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೈನೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವು ಕಕ್ಷೆಗಳು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವಾಗ, ಪರಿಹಾರವು ಎಪ್ಪಿಸ್ಪೈರಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವಾಗ ನೇರ ರೇಖೆಯ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ, ಪರಿಹಾರವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸುರುಳಿಯಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರವು ಪಾಯಿಂಸಾಟ್ನ ಸುರುಳಿಯಾದಾಗ. ಬೈನೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವು ಬಲದ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಲನೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಲದ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡಲು ವಿಫಲವಾದರೂ, ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಬಲದ ಕೇಂದ್ರವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದಾಗ ಸಮೀಕರಣವು ಬಲದ ನಿಯಮವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಲದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ನೇರವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವ್ಯಾಸದ ಅಂತಹ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಎ (ಪರಸ್ಪರ) ಧ್ರುವೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಬಲದ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆಕರ್ಷಕ ಬಲ ನಿಯಮದ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್-ಫೋರ್ಸ್ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ ಜನರಲ್ ರಿಲೇಟಿವಿಟಿ ಟು-ಬಾಡಿ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ ಇನ್ ಜನರಲ್ ರಿಲೇಟಿವಿಟಿ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಾಮಸೂಚಕ ನಿಯಮಗಳು