F-test of equality of variances
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಗೆ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎರಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವು ಎರಡು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳದ್ದಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಎರಡು ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎಫ್-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಿಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಕ್ಕಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಊಹೆಗೆ ಎಷ್ಟು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿದೆಯೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಾನತೆಗಾಗಿ ವಾಡಿಕೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಎಂಬ ಕಳವಳವಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು "ಅಂದಾಜು ಸಾಮಾನ್ಯತೆ" (ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಪರೀಕ್ಷಾ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರೀಕ್ಷೆಯು X1,., Xn ಮತ್ತು Y1,.., Ym ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಎರಡು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾದ ಊಹೆಯೆಂದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಮಾದರಿ ಎಂದರೆ ಆಗಿರಲಿ. ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶವು n-1 ಮತ್ತು m-1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ F-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಇದು ನಿಜವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದ ಎಫ್-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಆಲ್ಫಾ ಮಟ್ಟವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ) ಆಧರಿಸಿ ಎಫ್ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಅಸಹಜತೆಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಸಂವೇದನಾಶೀಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲೆವೆನ್ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಬಾರ್ಟ್ಲೆಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಬ್ರೌನ್-ಫೋರ್ಸಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಎರಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. (ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಪರಿಣಾಮಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೊದಲು ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿ ನಡೆಸಿದಾಗ ಪ್ರಯೋಗವಾರು ಟೈಪ್ I ದೋಷ ಉಬ್ಬುಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತವೆ.) ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಾನತೆಗಾಗಿ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬಳಸಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಪರಿಶೀಲನೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಠ್ಯ-ಪುಸ್ತಕಗಳು ಊಹೆಯ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಶೀಲನೆಗಳೆರಡನ್ನೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಊಹೆಗಳ ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಅಪವರ್ತನೀಯ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು. ಪ್ರತಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯಾದಾಗ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಆಲ್ಫಾ ಮಟ್ಟಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮತೋಲಿತ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ, ಈ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೃಢವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದೊಡ್ಡ ಆಲ್ಫಾ ಮಟ್ಟಗಳಿಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ 0.05) ಮತ್ತು ಸಮತೋಲಿತ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ, ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ದೃಢವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ (ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಊಹೆಯು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ) ಇದು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ತುಲನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಷ್ಟವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ತಕ್ಷಣದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗುಂಪುಗಳು ಅಥವಾ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಊಹೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಹಾರ್ಟ್ಲಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಬಾರ್ಟ್ಲೆಟ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ಪಡೆದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಗೋಲ್ಡ್ಫೆಲ್ಡ್-ಕ್ವಾಂಡ್ಟ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಲೆವೆನ್ 'ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಬಾರ್ಟ್ಲೆಟ್' ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಬ್ರೌನ್-ಫೋರ್ಸಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅನುಪಾತಗಳು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.