Sobolev mapping
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೊಬೋಲೆವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮೃದುತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಸೊಬೋಲೆವ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪಟ್ಟು-ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ ನ್ಯಾಶ್ನ ಸ್ಮೂತ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ () ಸೊಬೊಲೆವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಾಗಿ ಹುದುಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಂದಾಜು ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೃದುವಾದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು ದಟ್ಟವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ, ಮೊರ್ರಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸೊಬೋಲೆವ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಬಲವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ, ಸೊಬೋಲೆವ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಸರಾಸರಿ ಆಂದೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಯಾವಾಗ ಅಡಚಣೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಒಂದು ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಕ್ಷೆಗಳ ದುರ್ಬಲ ಅಂದಾಜಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಯಾವಾಗ, ಒಂದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ನಿರ್ಬಂಧವು ಒಂದು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ, ಈ ಷರತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಷರತ್ತು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಗದ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆಃ ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಒಂದು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವಾಗ, ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ-ಆಯಾಮದ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಿರಂತರ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜಾಡಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯಾವುದೇ ಸೊಬೊಲೆವ್ ನಕ್ಷೆಯು ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವಿಟಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಸರಾಸರಿ ವಾದವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸೊಬೋಲೆವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಟ್ರೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಯಾವಾಗ ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ, ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಇದ್ದರೆ ಟ್ರೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವಿಟಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಲಿಫ್ಟಿಂಗ್ ಕವರ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಲಿಫ್ಟಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕೆಲವರಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದೇ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿರಂತರ ಅಥವಾ ನಯವಾದದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲಿಫ್ಟಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡೊಮೇನ್ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗ, ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಯಾವಾಗ ಎತ್ತುವುದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಎತ್ತುವುದಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಡಚಣೆಯಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ https://mathoverflow.net/questions/108808/differential-of-a-sobolev-map-between-manifolds ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಮ್ಯಾಪ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ