Alhazen's problem
ಅಲ್ಹಾಜೆನ್ 'ಸ್ ಬಿಲ್ಲಿಯರ್ಡ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅಲ್ಹಾಜೆನ್' ಸ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್, ಕ್ರಿ. ಶ. 150ರಲ್ಲಿ ಟಾಲೆಮಿಯು ಮೊದಲು ರೂಪಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿನ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ತನ್ನ ಬುಕ್ ಆಫ್ ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ 11ನೇ ಶತಮಾನದ ಅರಬ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಅಲ್ಹಾಜೆನ್ (ಇಬ್ನ್ ಅಲ್-ಹೈಥಮ್) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು 1965 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಸ್ಪೆಕ್ಯುಲರ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್) ನಾರ್ಮಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, "ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬರುವ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲಿಸಲು ಹೊಡೆಯಬೇಕಾದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕನ್ನಡಿಯ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ". ಇದು ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. (ಅಲ್ಹಾಜೆನ್ ಸ್ವತಃ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮರುಬರಹವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಬಳಸಲಿಲ್ಲ) ಅಲ್ಹಾಜೆನ್ ಅವರ ಪರಿಹಾರ ಇಬ್ನ್ ಅಲ್-ಹೈಥಮ್ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ನಂತರದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯಾನ್ ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್, ಜೇಮ್ಸ್ ಗ್ರೆಗೊರಿ, ಗುಯಿಲ್ಲೌಮೆ ಡಿ ಎಲ್ 'ಹೋಪಿಟಲ್, ಐಸಾಕ್ ಬ್ಯಾರೋ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕರು, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 1965 ರಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಕ್ ಎಮ್. ಎಲ್ಕಿನ್ (ಆಕ್ಚುಯಾರಿಯನ್) ಅವರು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಬಹುಪದದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಇತರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಂತರ ಮರುಶೋಧಿಸಲಾಯಿತುಃ 1989 ರಲ್ಲಿ, ಹರಾಲ್ಡ್ ರೈಡೆ ಅವರಿಂದ; 1990 ರಲ್ಲಿ (1988 ರಲ್ಲಿ ಸಲ್ಲಿಸಲಾಯಿತು), ಮಿಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ವೆಗ್ ಅವರಿಂದ; ಮತ್ತು 1992 ರಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ಡಿ. ಸ್ಮಿತ್ ಮತ್ತು ಜೋರ್ಗ್ ವಾಲ್ಡ್ವೋಗೆಲ್ ಅವರಿಂದ. 1997 ರಲ್ಲಿ, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪೀಟರ್ ಎಮ್. ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರು ಅಲ್ಹಾಜೆನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಆಡಳಿತಗಾರ-ಮತ್ತು-ಸಮಗ್ರ ನಿರ್ಮಾಣವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು (ಆದಾಗ್ಯೂ 1965 ರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಕಿನ್ ಈಗಾಗಲೇ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ್ದರು). ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಮಿತ್ಸುಬಿಷಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಲ್ಯಾಬ್ಸ್ ಸಂಶೋಧಕರು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಕನ್ನಡಿಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಹಾಜೆನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಂಟನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಕ್ಯಾಮೆರಾವನ್ನು (ಕಣ್ಣು) ಕನ್ನಡಿಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಮಟ್ಟವು ಆರಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಹಾಜೆನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಚೆಂಡಿನಿಂದ ಅನೇಕ ವಕ್ರೀಭವನಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಬೆಳಕಿನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಚೆಂಡನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವೀಕ್ಷಕರ ಕಣ್ಣಿಗೆ ಬೆಳಕನ್ನು ವಕ್ರೀಕರಿಸುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲಿನ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹತ್ತನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಣಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ ಇಬ್ನ್ ಅಲ್-ಹೈಥಮ್