Curvature of Space and Time, with an Introduction to Geometric Analysis
ಭೌಮಿತಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರಿಚಯದೊಂದಿಗೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ವಕ್ರತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಅನ್ವಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪದವಿಪೂರ್ವ ಮಟ್ಟದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಇವಾ ಸ್ಟಾವ್ರೋವ್ ಅವರು 2013ರ ಪಾರ್ಕ್ ಸಿಟಿ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ಲೂಯಿಸ್ & ಕ್ಲಾರ್ಕ್ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಿದ ಕೋರ್ಸ್ನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು 2020ರಲ್ಲಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯಿಂದ ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಗಣಿತ ಗ್ರಂಥಾಲಯ ಪುಸ್ತಕ ಸರಣಿಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಐದು ಅಧ್ಯಾಯಗಳಾಗಿ ಒಟ್ಟು 14 ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗವು ಒಂದೇ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಷಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದರ ವಿಷಯಗಳು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ ಮತ್ತು ಇತರರ ಮೂಲ ಮೂಲವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಅಮೂರ್ತ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯಿಂದ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಬದಲಾಗಿ, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ-ಆಧಾರಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಒತ್ತು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಗುರಿಗಳು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ತಲುಪಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕೇಂದ್ರ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುವುದು ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಮೊದಲ ಅಧ್ಯಾಯವು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಸ್ಥಳಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಹುದುಗಿರುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೋಸ್ಝುಲ್ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಗೋಳಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಾಯ 2 ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳು, ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್, ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳು, ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್, ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು, ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಗಳು, ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವ ಮತ್ತು ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಾಯ 3, "ಪುಸ್ತಕದ ಹೃದಯ" ದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಇದರ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಜಾಕೋಬಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆ, ಮೈಯರ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಬಿಷಪ್-ಗ್ರೋಮೋವ್ ಅಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾರಿಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಈ ಗಣಿತದ ಪೂರ್ವಭಾವಿಗಳ ನಂತರ, ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಭೌತಿಕವಾಗಿದ್ದು, ನಾಲ್ಕನೇ ಅಧ್ಯಾಯವು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ರುಸ್ಕಲ್-ಸ್ಜೆಕೆರೆಸ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅಂತಿಮ ಅಧ್ಯಾಯದ ವಿಷಯಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ನ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಕ್ಕೆ ಎಂದಿನಂತೆ, ಕರ್ವ್ಚರ್ ಆಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಂಡ್ ಟೈಮ್ ಅದರ ವಿಷಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತು ಪದವಿಪೂರ್ವ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿಸುವ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಪದವಿಪೂರ್ವ ಮಟ್ಟದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿದ್ದರೂ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿವೆ, ಮತ್ತು ಕರ್ವ್ಚರ್ ಆಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಂಡ್ ಟೈಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಕೋರ್ಸ್ಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಫ್ಯಾಷನ್ನಿಂದ ಹೊರಗುಳಿದಿದ್ದವು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿಷಯದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ನಿಯಂತ್ರಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ವಿಮರ್ಶಕ ಮಾರ್ಕ್ ಹುನಾಸೆಕ್ ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತುಂಬಾ ಮುಂದುವರಿದದ್ದಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಗೌರವಾನ್ವಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಜರ್ಗಳಿಗೆ" ಮೀಸಲಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಎಚ್ಚರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇತರ ವಿಷಯಗಳ ಸಂಶೋಧಕರಿಗೆ ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಚಯವಾಗಿ ಅವರು ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ವಿಮರ್ಶಕ ಹ್ಯಾನ್ಸ್-ಬರ್ಟ್ ರಾಡೆಮಾಚರ್ ಇದನ್ನು "ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ರೇರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿರುವ "ಗಮನಾರ್ಹ ಪುಸ್ತಕ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಕಲಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಆಧಾರವಾಗಿ ಬದಲಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪಠ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕೋರ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವು ವಿವರಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೂ, ವಿಮರ್ಶಕ ಜಸ್ಟಿನ್ ಕೊರ್ವಿನೋ, ಈ ಒರಟಾದ ತಾಣಗಳ ಮೇಲೆ ಬೋಧಕರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನದೊಂದಿಗೆ, ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಅಥವಾ ಮುಂದುವರಿದ ವಿಷಯಗಳ ಕೋರ್ಸ್ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಹಿಂದಿನ ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಉತ್ಸುಕರಾಗಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ "ಅಗತ್ಯ ಓದುವಿಕೆ" ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ 2020 ಕಾಲ್ಪನಿಕವಲ್ಲದ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ