Field (physics)
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್, ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಟೆನ್ಸರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹವಾಮಾನದ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲ್ಮೈ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ತಾಪಮಾನದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಮೇಲ್ಮೈ ಗಾಳಿಯ ನಕ್ಷೆಯು, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಯ ವೇಗ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬಾಣವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು 1-ಆಯಾಮದ (ಶ್ರೇಣಿ-1) ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರ್ವತ್ರವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮತ್ತೊಂದು ಶ್ರೇಣಿ-1 ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂವಹನ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಏಕ-ಶ್ರೇಣಿಯ 2-ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧುನಿಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವು ಜಾಗವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ, ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ "ನಿಜವಾದ ನಿರ್ವಾತ" ವನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಇದು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಭೌತಿಕ ಘಟಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧುನಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಟ್ಟಡದ ಪೋಷಕ ಮಾದರಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿದೆ. "ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವು ಅದನ್ನು ಬಹಳ ನೈಜವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಣವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮತ್ತೊಂದು ಕಣದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಣಗಳು ಹೊಂದಬಹುದಾದಂತೆಯೇ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಶಕ್ತಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಆವೇಗದಂತಹ ಪರಿಚಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ". ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬಲವು ದೂರದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತಹ ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಿತ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬಲವು ಮೂಲದಿಂದ ದೂರವಿರುವ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಅವು ಗೌಸ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ). ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್, ವೆಕ್ಟರ್, ಸ್ಪಿನರ್ ಅಥವಾ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ, ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಸ್ಪಿನರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವು ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೋ ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಟೆನ್ಸೋರಿಯಲ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವು ಎಲ್ಲೋ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಬಾರದು ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಬಾರದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆಃ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವಾಹಕದ ಘಟಕಗಳು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ವರ್ಗದೊಳಗೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್, ವೆಕ್ಟರ್, ಟೆನ್ಸರ್), ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಮಾನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಣವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬೋಸನ್. ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ರಿಗೆ, ಅವರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಬೃಹತ್ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿತು. ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಗ್ರಹಗಳಂತಹ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಅನೇಕ ಕಾಯಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ನೋಡುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಕಾಯಗಳ ನಡುವಿನ ಬಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸುವುದು ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಹದಿನೆಂಟನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಶಕ್ತಿಗಳ ಲೆಕ್ಕಪತ್ರ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಹೊಸ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರಮಾಣವು, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು, ಅದು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಅನುಭವಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಿಲ್ಲಃ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ನಂತರ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಮತ್ತು ನಂತರ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಆಂಡ್ರೆ-ಮೇರಿ ಆಂಪಿಯರ್ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಲ್ಸ್-ಅಗಸ್ಟಿನ್ ಡಿ ಕೂಲಂಬ್ ಅವರು ಜೋಡಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಅಥವಾ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರವಾಹಗಳ ನಡುವಿನ ಬಲಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ನ್ಯೂಟನ್-ಶೈಲಿಯ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಹಜವಾಯಿತು; 1849ರಲ್ಲಿ ಮೈಕೆಲ್ ಫ್ಯಾರಡೆ "ಕ್ಷೇತ್ರ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾದರು. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಅಲೆಗಳು ಸೀಮಿತ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹರಡುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಜೇಮ್ಸ್ ಕ್ಲರ್ಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಆವಿಷ್ಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ವರೂಪವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಲಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇತರ ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳು ಮತ್ತು ವೇಗಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ಅವುಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳು ಮತ್ತು ವೇಗಗಳ ಮೇಲೂ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದವು. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್, ಮೊದಲಿಗೆ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದಾದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆಧುನಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕೆಲವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮಾಧ್ಯಮದ ವಿರೂಪವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಭಾವಿಸಿದರು-ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾದ ಈಥರ್-ರಬ್ಬರ್ ಪೊರೆಯಲ್ಲಿನ ಒತ್ತಡದಂತೆಯೇ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಅಲೆಗಳ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ವೇಗವು ಈಥರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೀಕ್ಷಕನ ವೇಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯತ್ನದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅಂತಹ ಪರಿಣಾಮದ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪುರಾವೆಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ; 1905 ರಲ್ಲಿ ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅವರು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಚಲಿಸುವ ವೀಕ್ಷಕರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿತು. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗಗಳ ವೇಗವು ಎಲ್ಲಾ ವೀಕ್ಷಕರಿಗೂ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಇರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದವು. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಮಾಧ್ಯಮದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳೆಂದು ಯೋಚಿಸಲು ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. 1920ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಹೊಸ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಯಿತು. 1927ರಲ್ಲಿ, ಪೌಲ್ ಡಿರಾಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಒಂದು ಪರಮಾಣುವಿನ ಕಡಿಮೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆದ ಫೋಟಾನ್ನ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಹೊರಸೂಸುವಿಕೆಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದನು. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಟಾನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕ್ವಾಂಟಾ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಕೃತಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ಥಾನಮಾನಕ್ಕೆ ಏರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ (ಪ್ಯಾಸ್ಕುವಲ್ ಜೋರ್ಡಾನ್, ಯುಜೀನ್ ವಿಗ್ನರ್, ವರ್ನರ್ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ವೋಲ್ಫ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ಪೌಲಿ ಅವರ ಕೆಲಸದ ನಂತರ) ಅರಿವಾಯಿತು. ಜಾನ್ ವೀಲರ್ ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಫೇನ್ಮನ್ ಅವರು ನ್ಯೂಟನ್ರ ಪೂರ್ವ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರು (ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನೆಗಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ನಿರಂತರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಿಂದಾಗಿ ಅದನ್ನು ಬದಿಗಿಟ್ಟರು). ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಉದ್ಭವಿಸದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಕ್ರಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ, ದ್ರವದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬಿಂದುವಿನ ನಿದರ್ಶನಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ಸರಳವಾದ ಭೌತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ವಾಹಕ ಬಲ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದು ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗ ಫ್ಯಾರಡೆಯ ಬಲದ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವನ್ನು ಎರಡು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. M ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವು g ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇತರ ಕಾಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ r ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ Mನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಕ್ಷೇತ್ರವು, rನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಅಥವಾ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಪರೀಕ್ಷಾ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಮೇಲೆ M ಹೇರುವ F ಬಲದ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ m ಎಂಬುದು Mಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವುದರಿಂದ Mನ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೇಲೆ mನ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಅತ್ಯಲ್ಪ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಬೀರುವುದನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, F (r) ಅನ್ನು M ಮತ್ತು m ಅನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಮತ್ತು M ನಿಂದ m ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಏಕ ಸದಿಶವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, Mನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಜಡತ್ವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಅಭೂತಪೂರ್ವ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅವಲೋಕನವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಲವು ಕಣವು ಅನುಭವಿಸುವ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಗುರುತನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ತತ್ವದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲ F ಸಂಪ್ರದಾಯಶೀಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರ g ಅನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ φ (r): ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಮೈಕೆಲ್ ಫ್ಯಾರಡೆ ಅವರು ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಬಗೆಗಿನ ತಮ್ಮ ತನಿಖೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಮೊದಲು ಅರಿತುಕೊಂಡರು. ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವ ಬಲದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅವು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಯ್ಯುವುದರಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಭೌತಿಕ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ಅರಿತುಕೊಂಡರು. ಈ ವಿಚಾರಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಜೇಮ್ಸ್ ಕ್ಲರ್ಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಅವರು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಚಯದೊಂದಿಗೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಏಕೀಕೃತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸೃಷ್ಟಿಗೆ ಕಾರಣವಾದವು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಚಾರ್ಜ್ q ಹೊಂದಿರುವ ಚಾರ್ಜ್ ಮಾಡಲಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣವು ಅದರ ಚಾರ್ಜ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆಧರಿಸಿ ಎಫ್ ಬಲವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ E ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ಕೂಲಂಬ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಒಂದೇ ವಿದ್ಯುದಾವೇಶದ ಕಣದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದೇ ವಿದ್ಯುದಾವೇಶದ ಕಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹತ್ತಿರದ ಚಾರ್ಜ್ q ಮೇಲೆ ವೇಗ v ನೊಂದಿಗೆ I ವಿಧಿಸುವ ಬಲವು ಅಲ್ಲಿ B (r) ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು I ನಿಂದ ಬಯೋಟ್-ಸಾವರ್ಟ್ ನಿಯಮದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪ್ರದಾಯಶೀಲವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, A (r): ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಚಾರ್ಜ್ ಸಾಂದ್ರತೆ ρ (r, t) ಮತ್ತು ಕರೆಂಟ್ ಸಾಂದ್ರತೆ J (r, t) ಎರಡರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎರಡೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು E ಮತ್ತು B ಅನ್ನು ρ ಮತ್ತು J ಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅದರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳಾದ V ಮತ್ತು A ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಮಂದಗತಿಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವು ρ ಮತ್ತು J ನಿಂದ V ಮತ್ತು A ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಯಿತು. ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ 2 ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಧಾನ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ 2 ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ನ್ಯೂಟನ್ರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಳೀಕೃತ ಭೌತಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸರಣ ವೇಗ ಮತ್ತು ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಸ್ವರೂಪದಿಂದಾಗಿ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಭೌತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಅವು ವಿಲೋಮ-ಚದರ ನಿಯಮಕ್ಕೂ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗಗಳಿಗೆ, ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ವಿವರ್ತನೆಗೆ ಹತ್ತಿರದ ಮತ್ತು ದೂರದ-ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಿತಿಗಳಂತಹ ಪದಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮೀರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಾ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಈಗ ನಂಬಲಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು, ಕನಿಷ್ಠ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮರುವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ; ಯಶಸ್ಸು ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವುದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ವಾದಯೋಗ್ಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಯಶಸ್ವಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ; ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶವು ಅದರ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯನ್ನು ಇತರ ಯಾವುದೇ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಗೆ (ಹೆಚ್ಚು ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ) ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೆಂದರೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರೋಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋವೀಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರೋಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಬಣ್ಣದ ಕ್ಷೇತ್ರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ದೂರದಲ್ಲಿ ಗ್ಲುವಾನ್ಗಳಿಂದ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವು ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಧ್ರುವೀಕರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಪರಿಣಾಮವು ಕಡಿಮೆ ಅಂತರದೊಳಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಸುಮಾರು 1 ಎಫ್ಎಂ), ಇದರಿಂದಾಗಿ ಬಣ್ಣದ ಬಲವು ಕಡಿಮೆ ಅಂತರದೊಳಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಹ್ಯಾಡ್ರಾನ್ಗಳೊಳಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಗ್ಲುವಾನ್ಗಳು ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಎಳೆಯುವುದರಿಂದ, ಅವು ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ಗಳ ನಡುವಿನ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಷ್ಟು ಹೊರಕ್ಕೆ "ಬಾಗುವುದಿಲ್ಲ". ಈ ಮೂರು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಕಣ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದ ಉಷ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು, ಸೀಮಿತ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಆರ್ಎಸ್ಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಬೆಸ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಫದ್ದೀವ್-ಪೊಪೊವ್ ದೆವ್ವಗಳು. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಬೆಸ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ವಿವರಣೆಗಳಿವೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೇವಲ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅವುಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪಿಡಿಇಗಳಾಗಿವೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಆರ್ಡಬ್ಲ್ಯೂಇಗಳು)). ಹೀಗಾಗಿ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್, ಡಿರಾಕ್, ಕ್ಲೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಮತ್ತು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಈ ಆರ್ಡಬ್ಲ್ಯೂಇಗಳು ವಿಲಕ್ಷಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲವು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಿನರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿರಬಹುದು), ಆದರೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬಹುದು. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ರಚನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಇತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಭೌತಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ವಿವರಣೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಘಟಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕ್ರಿಯೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬಹುವಿಧದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಗಳು) ಕೇವಲ ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ಸರಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪಿಡಿಇಗಳು ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ವೈಶಾಲ್ಯ, ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; ಶಾಖ/ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ತಾಪಮಾನ/ಸಾಂದ್ರತೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೊರಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಡಿಯೊಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್), ಬೆಳಕಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೂ ಇವೆ. ಈ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ, (ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತದ) ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರ, ವೇಗ ಮತ್ತು ವರ್ಟಿಸಿಟಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಪಿಡಿಇಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಈಗ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿದೆ (ಈ ಮೂರು ಪ್ರಮಾಣಗಳಂತೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಪಿಡಿಇಗಳಿಗೆ). ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಿಕ್ಕಿನ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ (ಇದರಿಂದ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂಬ ಪದವು ಬರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದ ಸ್ಟ್ರೆಚ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ), ಸಂಕೀರ್ಣ ದ್ರವದ ಹರಿವುಗಳು ಅಥವಾ ಅನಿಸೋಟ್ರೋಪಿಕ್ ಡಿಫ್ಯೂಷನ್, ಇವುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಟೆನ್ಸರ್ ಪಿಡಿಇಗಳಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್. ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು) ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇವೆರಡೂ ಅಮೂರ್ತ-ಬೀಜಗಣಿತ/ರಿಂಗ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಫೈಬರ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಜೆಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ (ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಧುನಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ದಿನ ಏಕೀಕೃತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದಾದ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲಭೂತ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಮಮಿತಿಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್) ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಒಂದು ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅದು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಮಿತಿಗಳು. ಭೌತಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ವಿಧಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಜಾಗಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪದಗಳೆಂದರೆಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು (ತಾಪಮಾನದಂತಹವು), ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಜಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಗದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ವಾಹಕವನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಲದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು). ಈ ವಾಹಕದ ಘಟಕಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ತಮ್ಮ ನಡುವೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಡ್ಯುಯಲ್ (ಅಥವಾ ಕೋ-) ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಡ್ಯುಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಡ್ಯುಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಘಟಕಗಳು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, (ಸ್ಫಟಿಕದ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನಂತಹವು) ಜಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಟೆನ್ಸರ್ನ ಘಟಕಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿನರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು (ಡಿರಾಕ್ ಸ್ಪಿನರ್ನಂತಹವು) ಸ್ಪಿನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅವು ಅವುಗಳ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವಾಹಕಗಳಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ 360 ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ, ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ತನ್ನಷ್ಟಕ್ಕೇ ತಿರುಗುತ್ತದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ತಿರುಗುತ್ತವೆ. ಆಂತರಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಆಂತರಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆಃ (φ1, φ2,. φN). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಲ್ಲಿ ಇವು ತಾಪಮಾನ, ಒತ್ತಡ, ತೇವಾಂಶ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಕಣ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಣ್ಣದ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಆಂತರಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು ಬಲವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಐಸೊಸ್ಪಿನ್, ದುರ್ಬಲ ಐಸೊಸ್ಪಿನ್, ವಿಚಿತ್ರತೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಯಾವುದೇ ರುಚಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿ. ಜಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಇದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಘಟಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆಗ ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುಂಪನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಚಾರ್ಜ್ಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಮಾಡಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಹು-ದೇಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಡೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ವಾದದಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ನಡುವೆ ಕೆಲವು ಅತಿಕ್ರಮಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆಯೇ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸರಾಸರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮೇಲಿನಂತೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತಹ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲವು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಉಷ್ಣದ ಏರಿಳಿತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ; ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಲು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮೃದುವಾದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ, (ಅತ್ಯಂತ) ಒರಟಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಇರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಯೋಚಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತತೆಗಳ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ನಾವು ಸೀಮಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅನಂತತೆಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ; ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಾವು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಫೀಲ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೆಂತ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ದಿ ಫಿಲಾಸಫಿ ಆಫ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅಂಡ್ ಯೂಲೇರಿಯನ್ ಸ್ಪೆಸಿಫಿಕೇಷನ್ ಆಫ್ ಎ ಫೀಲ್ಡ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ವೆಲಾಸಿಟಿ ಫೀಲ್ಡ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಫರ್ದರ್ ರೀಡಿಂಗ್ ಲ್ಯಾಂಡೌ, ಲೆವ್ ಡಿ. ಮತ್ತು ಲಿಫ್ಶಿಟ್ಜ್, ಎವ್ಜೆನಿ ಎಂ. (1971). ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ (3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ). ಲಂಡನ್ಃ ಪರ್ಗಾಮೋನ್. .. ಸಂಪುಟ. 2 ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕಣ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಮರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು