Functional renormalization group
ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫಂಕ್ಷನಲ್ ರೀನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಗ್ರೂಪ್ (ಎಫ್ಆರ್ಜಿ) ಎಂಬುದು ರೀನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಗ್ರೂಪ್ (ಆರ್ಜಿ) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅನುಷ್ಠಾನವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬಲವಾಗಿ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ. ಈ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕೆನ್ನೆತ್ ಜಿ. ವಿಲ್ಸನ್ನ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ತಂತ್ರವು ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥೂಲದರ್ಶಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ನಡುವೆ ಸುಗಮವಾಗಿ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸರಳತೆಯಿಂದ ಸ್ಥೂಲ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸೇತುವೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಫ್ಆರ್ಜಿ ಬದಲಾಗುವ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬರು ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಭೌತಿಕ ನಿಯಮಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ-ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ಸ್ಥೂಲದರ್ಶಕ ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಒರಟಾದ-ಧಾನ್ಯದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಸಣ್ಣ ಜೋಡಣೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ. ಯು ಪ್ರಮಾಣ-ಅವಲಂಬಿತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹರಿವಿನ ಸಮೀಕರಣ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮತ್ತು ಉಷ್ಣದ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಿಖರವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಸೂಪರ್ ಕಂಡಕ್ಟರ್ಗಳ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದು-ಕಣ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಉತ್ಪಾದಕ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯಾಗಿದೆ. ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು, ಪ್ರಸರಣಕಾರರಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಜೋಡಣೆಗಳಾಗಿ, ಅದರಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂವಹನ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಕಷ್ಟ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ. ಒಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಾಧನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ. ಯ ಕೇಂದ್ರ ವಸ್ತುವು ಅಳತೆ-ಅವಲಂಬಿತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ಹರಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಜಿ ಸ್ಲೈಡಿಂಗ್ ಮಾಪಕದ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಸಾರಕಕ್ಕೆ ನಿಯಂತ್ರಕವನ್ನು (ಇನ್ಫ್ರಾರೆಡ್ ಕಟ್ಆಫ್) ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿಯಂತ್ರಕವು ನಿಧಾನಗತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮೊಮೆಂಟಾದೊಂದಿಗೆ ದೊಡ್ಡ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಬೇರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವೇಗದ ವಿಧಾನಗಳು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊಮೆಂಟಾದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹರಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯು 1993ರಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫ್ ವೆಟ್ಟೆರಿಚ್ ಮತ್ತು ಟಿಮ್ ಆರ್. ಮೋರಿಸ್ ಅವರು ಪಡೆದ ನಿಖರವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಹರಿವಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಜಿ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಟೆನ್ಸರ್ ರಚನೆಯಿಂದಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಡಭಾಗ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ರಿಯೆ" ಯು ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕ ನೇರಳಾತೀತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಅತಿಗೆಂಪು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಟ್ಟೆರಿಚ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮೊಮೆಂಟಾ, ಆವರ್ತನಗಳು, ಆಂತರಿಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಸೂಪರ್ ಟ್ರೇಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ಲಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಬೋಸನ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು). ನಿಖರವಾದ ಹರಿವಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು-ಲೂಪ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಹು-ಲೂಪ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸರಳೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿಯಂತ್ರಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾದ ಪೂರ್ಣ ವಿಲೋಮ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪ್ರಸಾರಕವಾಗಿದೆ. ಪುನರ್ರಚನೆಯ ಗುಂಪಿನ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಜೋಡಣೆಗಳ ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಸೂಕ್ಷ್ಮ ನೇರಳಾತೀತ ಮಾಪಕದಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಲೈಡಿಂಗ್ ಸ್ಕೇಲ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದಂತೆ, ಹರಿವಿನ ಕ್ರಿಯೆಯು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಹರಿವಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿಯಂತ್ರಕದ ಆಯ್ಕೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಇದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಹರಿವಿಗೆ ಕೆಲವು ಯೋಜನೆಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಿಯಂತ್ರಕದ ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇನ್ಫ್ರಾರೆಡ್ ಮಾಪಕದಲ್ಲಿ, ಕಟ್-ಆಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪಥಗಳು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಆಸಕ್ತಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವೆಟ್ಟೆರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸೀಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವಿಸ್ತರಣಾ ಯೋಜನೆಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವಿಸ್ತರಣೆ, ಶೃಂಗದ ವಿಸ್ತರಣೆ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಸೂಕ್ತವಾದ ಯೋಜನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ದೈಹಿಕವಾಗಿ ಪ್ರೇರಿತವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ (ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಜೋಡಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಂತೆ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಡೆತಡೆಯ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, (ಪ್ರಿಫ್ಯಾಕ್ಟರ್-) ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ದೃಢವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದಾಗಿ, ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ವೆಟ್ಟೆರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಇತರ (ಸಮಾನ) ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪುನರುಜ್ಜೀವನದ ಅಂಶಗಳು ವೆಟ್ಟೆರಿಕ್ ಹರಿವಿನ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಉಪ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜಾಗಕ್ಕೂ ಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಪ್ರತಿ ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ದೋಷ ಅಂದಾಜಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ. ಯಲ್ಲಿನ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ. ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಜೋಡಣೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉಪ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು. ವಿವಿಧ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ದೋಷದ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಸ್ಥಿರ) ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ನಿಯಂತ್ರಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆಯಾ ನಿಯಂತ್ರಕ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಇನ್ಫ್ರಾರೆಡ್ನಲ್ಲಿನ ಆರ್ಜಿ ಹರಿವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಬೊಸೊನೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ವಿವಿಧ ಬೊಸೊನೈಸೇಶನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಎಫ್ಆರ್ಜಿಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಜಿ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಆರ್ಜಿ ಹರಿವಿನ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಒಳನೋಟವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಗುಂಪಿನ ವಿಕಾಸದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಬಳಿ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಜೋಡಣೆಗಳ ಹರಿವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಜಿ-ಕಾರ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಲುಪುತ್ತವೆ. (ಭಾಗಶಃ) ಸ್ಥಿರವಾದ ಅತಿಗೆಂಪು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವು ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನದಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯು ಸ್ವತಃ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ತಮ ನಿಖರತೆಗೆ, ನೀರಿನಲ್ಲಿ ದ್ರವ-ಅನಿಲ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಆಯಸ್ಕಾಂತಗಳಲ್ಲಿನ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಪುನರ್ರಚನೆಯ ಗುಂಪು ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ವರ್ಗದಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದೇ (ಭಾಗಶಃ) ಸ್ಥಿರ ಇನ್ಫ್ರಾರೆಡ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹರಿಯುತ್ತವೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥೂಲ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೌತಿಕ ಮಾದರಿಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕ ವಿವರಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪುನರಾವರ್ತನೀಯತೆಯು ಪುನರಾವರ್ತನೀಯ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೀಯವಲ್ಲದ ಜೋಡಣೆಗಳ ನಡುವೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಜೋಡಣೆಗಳು ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ ಹರಿವಿನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇನ್ಫ್ರಾರೆಡ್ ಕಡೆಗೆ ವಿಕಾಸದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಪ್ರಮಾಣಿಕ ಜೋಡಣೆಗಳು ಭಾಗಶಃ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಬೇಗ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಮರುನಾಮಕರಣ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಜೋಡಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಆಯಾಮದ ಅತಿಯಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹರಿವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ. ಅಪ್ರಮಾಣಿಕವಲ್ಲದ ಜೋಡಣೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ನೇರಳಾತೀತ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಲ್ಲದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. 1984ರಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್ ಪೊಲ್ಚಿನ್ಸ್ಕಿ ಪಡೆದ ಪೊಲ್ಚಿನ್ಸ್ಕಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ವೆಟ್ಟೆರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ. ಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸರಾಸರಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪೋಲ್ಚಿನ್ಸ್ಕಿ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹರಿಯುವ ಬೇರ್ ಆಕ್ಷನ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಎಫ್ಆರ್ಜಿ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬಲವಾಗಿ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕಡಿಮೆ-ಶಕ್ತಿಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥೂಲದರ್ಶಕ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಕಣಗಳ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳು) ಇವು ಮೈಕ್ರೋಸ್ಕೋಪಿಕ್ ಹೈ-ಎನರ್ಜಿ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂಗಿಂತ ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರೋಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ಲುವಾನ್ಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಿಯಾದ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಬ್ಯಾರಿಯಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೆಸಾನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಿಇಸಿ/ಬಿಸಿಎಸ್ ಕ್ರಾಸ್ಒವರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಎರಡು-ಘಟಕಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷವಲ್ಲದ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯುಕ್ತ (ಕಣ-ಕಣ) ಡೈಮರ್ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೇರಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಬೊಸೊನೈಸೇಶನ್ (ಹಬ್ಬರ್ಡ್-ಸ್ಟ್ರಾಟೊನೊವಿಚ್ ರೂಪಾಂತರ) ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ-ಶಕ್ತಿಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಯುವಿ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ಆರ್ಜಿಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ರೋಸ್ಕೋಪಿಕ್ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ಫ್ಲೋಯಿಂಗ್ ಬೋಸೊನೈಸೇಶನ್ ಅಥವಾ ರೀಬೋಸೋನೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣ-ಅವಲಂಬಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಜಿ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹಬ್ಬರ್ಡ್-ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹರಿವಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಈ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಎನ್-ಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಬೇರ್ ಪ್ರೊಪೆಗೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಎನ್-ಕಣಗಳ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ "ಪ್ರಮಾಣಿತ" ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಗ್ರೀನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಕ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕ್ಷೇತ್ರ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಯಾ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯ D ಯೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಕಟ್ಆಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದರಿಂದ ಪೋಲ್ಚಿನ್ಸ್ಕಿ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಕ್-ಆರ್ಡರ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. : ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ. ಯು ವಿವಿಧ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೇಖೀಯ-ಸಮಮಿತೀಯ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿನ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಏಕೀಕೃತ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬೆರೆಜಿನ್ಸ್ಕಿ-ಕೊಸ್ಟೆರ್ಲಿಟ್ಜ್-ಥೌಲೆಸ್ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಸೇರಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗೇಜ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕ್ಯೂ. ಸಿ. ಡಿ. ಯ ಕೈರಲ್ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಅತಿಗೆಂಪು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ದೊಡ್ಡ-ರುಚಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಲು ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ. ಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾಲರಿ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ನೀಡಲು ಈ ವಿಧಾನವು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು (ಉದಾ. ಹಬ್ಬಾರ್ಡ್ ಮಾದರಿ ಅಥವಾ ಹತಾಶ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು), ವಿಕರ್ಷಣಕಾರಿ ಬೋಸ್ ಅನಿಲ, ಎರಡು-ಘಟಕಗಳ ಫೆರ್ಮಿ ಅನಿಲಕ್ಕಾಗಿ ಬಿಇಸಿ/ಬಿಸಿಎಸ್ ಕ್ರಾಸ್ಒವರ್, ಕೊಂಡೊ ಪರಿಣಾಮ, ಅವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಗೆ ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ. ಯ ಅನ್ವಯವು ನಾಲ್ಕು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಪುನರುಜ್ಜೀವನದ ಪರವಾಗಿ ವಾದಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿತು, ಇದನ್ನು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸುರಕ್ಷತಾ ಸನ್ನಿವೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪುನರುಜ್ಜೀವನವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಎಫ್. ಆರ್. ಜಿ. ಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ರೆನೊರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಗ್ರೂಪ್ ರೆನೊರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಸುರಕ್ಷತೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪೇಪರ್ಗಳು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿಮರ್ಶೆಗಳು ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ರೆನೊರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಗ್ರೂಪ್ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಸ್ಥಿರ ಅಂಕಗಳು (ಗಣಿತ)