Arithmetic progression topologies
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಗಳಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಸೂಕ್ತ ಸಂಗ್ರಹ, ರೂಪದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅಥವಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಆನ್, ಮತ್ತು ಗೊಲೊಂಬ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಕಿರ್ಚ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಆನ್. ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಲೆಲ್ ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅನಂತತೆಯ "ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್" ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಮೊದಲ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಎರಡನೇ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಸೊಲೊಮನ್ ಗೊಲೊಂಬ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುವ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನಂತವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಎ. ಎಂ. ಕಿರ್ಚ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಮೂರನೇ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವು, ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುವ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನಂತವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿವೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಡೆಡೆಕೈಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಎರಡು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಛೇದನವು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಅದೇ ರೂಪದ ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಎರಡು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಛೇದನವು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಅದೇ ರೂಪದ ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆಃ ಛೇದನದಲ್ಲಿನ ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವು ಮತ್ತೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಅದರ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳೆಂದು ಘೋಷಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವು ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಗ್ರಹವು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಉಪ ಬೇಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತ ಛೇದನಗಳು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಬೇಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಅಂತರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಗೋಲೊಂಬ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಥವಾ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳ ಉಪಸಂಗ್ರಹವು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗವನ್ನು ಗೊಲೊಂಬ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಕಿರ್ಚ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಭಾಗಿಸದಿರುವ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಉಪ ಬೇಸ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಬ್ಬರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲದರ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಉಪ ಬೇಸ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಒಂದು ಬೇಸ್ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಚೌಕಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ). ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗವನ್ನು ಕಿರ್ಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಿರ್ಚ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಗೊಲೊಂಬ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೊಲೊಂಬ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ (ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ) ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಟೋಪೋಲಜಿಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ, ಕಿರ್ಚ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಗೊಲೊಂಬ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಿಂತ ಒರಟಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವತಃ ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಿಂತ ಒರಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗೊಲೊಂಬ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಕಿರ್ಚ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಆದರೆ ನಿಯಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ನೈಜ ರೇಖೆಯಿಂದ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ-adic ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಬ್ರೌಹನ್ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಪರ್ಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡಿದೆ. ಗೊಲೊಂಬ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಕಿರ್ಚ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದೆ. ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಏಕರೂಪದ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ-ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಇದು ರಿಂಗ್ ಆಗಿರುವ ಏಕೈಕ ಟೋಪೋಲಜಿ ಆಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಗೊಲೊಂಬ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಕಿರ್ಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿವೆ-ಕೇವಲ ಸ್ವಯಂ-ಏಕರೂಪತೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಗೊಲೊಂಬ್ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಗಳೆರಡೂ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಪುರಾವೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು (ಧನಾತ್ಮಕ, ಗೊಲೊಂಬ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಉಳಿದ ವರ್ಗಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಶೇಷ ವರ್ಗವು ಒಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಕ್ಲೋಪೆನ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದು ಅವಶೇಷ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ (ಗೊಲೊಂಬ್ಃ ಧನಾತ್ಮಕ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಆ ಒಕ್ಕೂಟವು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಪೂರಕ (}) ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ} ತೆರೆದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ವಿವರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಟೋಪೋಲಜಿ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಇಂಟಿಜರ್ ರಿಂಗ್ ಇದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಛೇದನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಬದಲಿಗೆ, ಸರಿಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಆದರ್ಶಗಳಿಂದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಿವಿಧ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬುದು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಣಿ