Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā
ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಜ್ಯಾ, ಕೋಟಿ-ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ಉತ್ಕ್ರಮ-ಜ್ಯಾ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಭಾರತೀಯ ಗ್ರಂಥವೆಂದರೆ ಸೂರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಇವು ವೃತ್ತಗಳ ಚಾಪಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳೇ ಹೊರತು ಕೋನಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲ. ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ಕೋಟಿ-ಜ್ಯಾಗಳು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ನ ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, "ಸೈನ್" ಮತ್ತು "ಕೊಸೈನ್" ಎಂಬ ಆಧುನಿಕ ಪದಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಸ್ಕೃತ ಪದಗಳಾದ ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ಕೋಟಿ-ಜ್ಯಾ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 'ಆರ್ಕ್ ಎಬಿ' ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಎರಡು ತುದಿಗಳಾದ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲಂಬವಾದ ಬಿಎಂಅನ್ನು ಬಿ ಯಿಂದ ಒಎಗೆ ಇಳಿಸಿದರೆ, ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಆರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ ಎಬಿ ಉದ್ದವು ಎಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ಕ್ ಎಬಿ ಯಿಂದ ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾದ ಕೋನವು θ = ಎಸ್/ಆರ್ ಆಗಿದೆ. ಮೂರು ಭಾರತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆಃ ಜ್ಯಾ (ಆರ್ಕ್ ಎಬಿ) = ಆರ್ ಸಿನ್ (ಎಸ್/ಆರ್) ಕೋಟಿ-ಜ್ಯಾ (ಆರ್ಕ್ ಎಬಿ) = ಆರ್ ಕಾಸ್ (ಎಸ್/ಆರ್) ಉತ್ಕರ್ಷ-ಜ್ಯಾ (ಆರ್ಕ್ ಎಬಿ) = ಆರ್ (1-ಕಾಸ್ (ಎಸ್/ಆರ್) ವೃತ್ತದ ಕಮಾನಿನ ಎರಡು ತುದಿಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಬಿಲ್ಲಿನ ದಾರದಂತಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತದ ಸ್ವರಮೇಳವಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಜ್ಯಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಸ್ಕೃತದಲ್ಲಿ "ಬಿಲ್ಲು-ತಂತಿ" ಎಂದರ್ಥ, ಬಹುಶಃ ಹಿಪ್ಪಾರ್ಕಸ್ನ ಪದವನ್ನು ಅದೇ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಜೀವಾ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಜ್ಞಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದವಾಗಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಭಾರತೀಯ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪೂರ್ಣ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಅರ್ಧಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅರ್ಧ ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಚಾಪಗಳ ಅರ್ಧಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಂಡರು. ಅರ್ಧ-ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ-ಜ್ಯಾಸ್ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾ-ಅರ್ಧಾಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಅರ್ಹತಾ ಅರ್ಧವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಜ್ಯಾ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು, ಇದರರ್ಥ "ಅರ್ಧ". ಕೋತ್ತಿ ಎಂಬ ಸಂಸ್ಕೃತ ಪದವು "ಬಿಂದು, ಕಸ್ಪ್" ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ "ಬಿಲ್ಲಿನ ಬಾಗಿದ ತುದಿ" ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು "90° ಗೆ ಒಂದು ಚಾಪದ ಪೂರಕ" ವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಂದಿತು. ಹೀಗಾಗಿ ಕೋಟಿ-ಜ್ಯಾ ಎಂದರೆ "ಪೂರಕ ಚಾಪದ ಜ್ಯಾ". ಭಾರತೀಯ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಕೋಟಿ-ಜ್ಯಾ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋಜ್ಯಾ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ಟಿ ಎಂಬ ಪದವು "ಬಲ ಕೋನೀಯ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯನ್ನು" ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಕೋಟಿ-ಜ್ಯಾ ಎಂದರೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಇತರ ಕೆಥೆಟಸ್ ಎಂದೂ ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು, ಮೊದಲ ಕೆಥೆಟಸ್ ಎಂದರೆ ಜ್ಯಾ. ಉತ್ಕರ್ಷ ಎಂದರೆ "ತಲೆಕೆಳಗಾದ" ಎಂದರ್ಥ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಕರ್ಷ-ಜ್ಯಾ ಎಂದರೆ "ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಸ್ವರಮೇಳ" ಎಂದರ್ಥ. ಉತ್ಕ್ರಮ-ಜ್ಯದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಜ್ಯದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬಿಲ್ಲು ಮತ್ತು ಬಿಲ್ಲು-ತಂತಿಯ ನಡುವಿನ ಬಾಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಬಾಣ, ಇಸು ಅಥವಾ ಶರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ "ಬಾಣ". ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ 90° ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಚಾಪವನ್ನು ವೃತ್ತಪದ (ವೃತ್ತದ ಚತುರ್ಭುಜ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ರಾಶಿಚಕ್ರದ ಚಿಹ್ನೆಯು 30° ಯ ಚಾಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಸತತ ರಾಶಿಚಕ್ರದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವೃತಾಪದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ವೃತ್ತದ-ಪಾಡದ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ-ಪ್ಯಾಡ್ನ - ಭಾರತೀಯ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತ್ರಿ-ಜಯ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮೂಲ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು, ತ್ರಿ-ಜಯ ಎಂಬ ಪದವು "ಮೂರು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಜಯ" ವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಸಾರ್ಧ, ವಿಶ್ಕಂಭಾರ್ಧ, ವಿಸ್ತಾರ ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ "ಅರೆ-ವ್ಯಾಸ" ಎಂದರ್ಥ. ಒಂದು ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ಕೋಟಿ-ಜ್ಯಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ "ರುಸಿನ್" ಮತ್ತು "ಆರ್ಕೋಸ್" ಎಂಬ ಒಂದೇ ಪದಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರರು ಕ್ರಮವಾಗಿ "ಸಿನ್" ಮತ್ತು "ಕಾಸ್" ನಿಂದ ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ಕೋಟಿ-ಜ್ಯಾ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ (ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಾಗಿರುವ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಾಗಿವೆ). 'ಸೈನ್' ಎಂಬ ಆಧುನಿಕ ಪದದ ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಸ್ಕೃತ ಪದದಿಂದ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅದರ ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪದವನ್ನು ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದ್ದು, ಅರೇಬಿಕ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು (ಜಿಬ್) ಎಂದು ಲಿಪ್ಯಂತರ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅರೇಬಿಕ್ ಅನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸ್ವರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಬರೆಯಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ-ಮತ್ತು ಸಾಲವಾಗಿ ದೀರ್ಘ ಸ್ವರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಯಾ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಇದನ್ನು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫ್, (ಜಿಬ್) ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ "ಎದೆ". ಈ ಪಠ್ಯದ 12ನೇ ಶತಮಾನದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷಾಂತರಕಾರನು "ಬೋಸೋಮ್", ಸೈನಸ್ಗೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾನೆ. ಮಾರ್ಪಟ್ಟಾಗ, ಸಾದೃಶ್ಯವು ಸಹ-ಸಿನಸ್ ಆಯಿತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆರಂಭಿಕ ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು "ಪೂರಕದ ಸೈನ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪದ್ಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತ ಸಂಸ್ಕೃತ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಪದಗುಚ್ಛಗಳು ಹಿಂದೂ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಕೇರಳ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಶಾಲೆ ಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸ