Container method
(ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್) ಧಾರಕಗಳ ವಿಧಾನವು ವಿಶಿಷ್ಟ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿಪರೀತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ನಿಗದಿತ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಪ್ರಬಲ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ವಿಪರೀತ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಯೋಜನೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ರಾಮ್ಸೇ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ; ಅವು ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಅತ್ಯಂತ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಅಂಚಿನ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಶೃಂಗದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು ಗಾತ್ರದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹ), ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು (ಅಂದರೆ. ಅದರ ಆ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ)? ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಕಂಟೈನರ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಅಂತಹ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. 1907 ರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಂಟೆಲ್ ಮತ್ತು 1940 ರ ದಶಕದ ಟುರಾನ್ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಪರೀತ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಇತಿಹಾಸವು, ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ನಿಷೇಧಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, ರೋತ್ () ಮತ್ತು ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ನೀಡಿದ ಈ ಗಾತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ,-ಪದದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪೊಂದು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಧಾರಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು (ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ) ಆರಂಭದಲ್ಲಿ 1980 ರಲ್ಲಿ ಕ್ಲೈಟ್ಮನ್ ಮತ್ತು ವಿನ್ಸ್ಟನ್ ಅವರು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಅವರು 4-ಚಕ್ರಗಳಿಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರು. ಕಂಟೇನರ್-ಶೈಲಿಯ ಲೆಮ್ಮಾಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಪೋಝೆಂಕೊ ಸೇರಿದಂತೆ, ಅವರು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು 2002-2003 ನಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತ-ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಇತರ ಎಣಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಿದರು. ಮುಖ್ಯ ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಹೇಳಿಕೆ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಾಗಿ ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು ನಾವು-ಪದದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಕೊರತೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸೆಟ್ಗಳು ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ-ಅವಧಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಿದೆ. ಮೇಲಿನ (ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ) ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವರ್ಗಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆಃ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ನ ಗಾತ್ರ ಎಷ್ಟು? ಗರಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ? ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳು ಹೇಗೆ ಹೊಂದಿರಬಹುದು? ಒಂದು "ವಿಶಿಷ್ಟ" ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ? ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸರಳವಾದ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ದೊಡ್ಡ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗಡಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅದು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಅನೇಕ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲು ನಮಗೆ ಕಾರಣವಿದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ಲೆಮ್ಮಾವು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬದ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಬಲವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ವಿಧಾನವು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್, ಧಾರಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಶೃಂಗಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಧಾರಕಗಳಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾರಕವು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಧಾರಕವು ಕೆಲವು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಧಾರಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಟೈನರ್ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಈ ಕೊನೆಯ ಷರತ್ತನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಧಾರಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ (ಧಾರಕಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳು) ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು (ಧಾರಕದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ) ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ಲೆಮ್ಮಾವು ಮೇಲಿನ ಧಾರಕದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಎರಡು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಇದು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೆರಳಚ್ಚು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಧಾರಕಗಳು ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೆರಳಚ್ಚುಗಳ ಸಣ್ಣ ಗಾತ್ರವು ಅಂತಹ ಧಾರಕ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಉತ್ತಮ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಾವು ಮೊದಲು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಬಲವಾದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ; ಈ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಕ್ಲೈಟ್ಮನ್-ವಿನ್ಸ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಸಪೊಜೆಂಕೊ ಅವರು ಬಳಸಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮೋಟಿಜ್ ಅವರ ಸಮೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದ ಸೆಟ್ (ಅನಿಯಂತ್ರಿತ) ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರಲಿ. ಗಾತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಶೃಂಗದ ಉಪವಿಭಾಗದ ಗರಿಷ್ಠ-ಡಿಗ್ರಿ ಕ್ರಮವು ಪ್ರೇರಿತ ಉಪಗ್ರಫ್ನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಮೂಲಕ ಶೃಂಗಗಳ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲೈಟ್ಮನ್-ವಿನ್ಸ್ಟನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ "ಫಿಂಗರ್ಪ್ರಿಂಟ್" ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಫಿಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್, ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಫಿಂಗರ್ಪ್ರಿಂಟ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿಃ ಲೆಟ್. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿಃ ಕನಿಷ್ಠ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗರಿಷ್ಠ-ಡಿಗ್ರಿ ಕ್ರಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ (ಅಂದರೆ. ಪ್ರಚೋದಿತ ಉಪಗ್ರಫ್ನಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮಟ್ಟದ ಶೃಂಗ) ಲೆಟ್, ಶೃಂಗದ ನೆರೆಹೊರೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಾಡಿ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ, ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಔಟ್ಪುಟ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಶೃಂಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೇವಲ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಬೆರಳಚ್ಚುಗಳ ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ಧಾರಕಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನಾವು ಕೆಲವು ಗಾತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ, ಈ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಸಮತೋಲನಗೊಳಿಸಲು/ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದಿಂದ (ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು) ಕ್ರಮಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಮ್ಮಾಸ್ ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಬಹುದು, ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲೆಮ್ಮಾ 1: ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರೇರಿತ ಉಪಗ್ರಫ್ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಲೆಮ್ಮಾ 2: ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ನೈಜಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಶೃಂಗಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ("ಬೆರಳಚ್ಚುಗಳು") ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಾರ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಿಗೂ ಅಂತಹ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ಲೆಮ್ಮಾ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ಲೆಮ್ಮಾ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗೆ ಸಣ್ಣ ಬೆರಳಚ್ಚುಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಒಂದೇ ಬೆರಳಚ್ಚು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳು ಒಂದೇ ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಧಾರಕ, ಇದು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ದೂರವಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಬೆರಳಚ್ಚುಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಧಾರಕಗಳಿವೆ), ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಕೆಲವು ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅವುಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಬಹುದು. ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರಲಿ. ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಲೋಗ್, ಮೋರಿಸ್, ಸಮೋಟಿಜ್ ಮತ್ತು ಸ್ಯಾಕ್ಸ್ಟನ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಈ ಲೆಮ್ಮಾದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ-ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಮತ್ತು ಕೆಲವರಿಗೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅದು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ನಿಯಮಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿ-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್-ನಿಯಮಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಗಾತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಂಧಿಸಬಹುದು. ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ,-ನಿಯಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಲೆಮ್ಮಾ 1 ರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲದರ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ನಾವು ಮೊತ್ತ-ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತ-ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ನಮ್ಮ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಿಂದ ನಿಯಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ನಾವು ಸಹಾಯಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಲೋವರ್ ಆರ್ಡರ್ ಪದಗಳವರೆಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮೊತ್ತ-ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ನಾವು ನಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಇದರ ಪೂರಕದಲ್ಲಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ವರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಎಡ್ಜ್ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಹಾಯಕ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಸಹಾಯಕ ಗ್ರಾಫ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಉಪವಿಭಾಗದ ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೆಟ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ, ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಒಟ್ಟು-ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗಿನ ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಬಿಗಿಯಾದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಹೇಳಿಕೆ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಸಮತೋಲಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ದ್ವಿದಲೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ವರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಎಡ್ಜ್ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಹಾಯಕ-ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಈ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು "ಎನ್ಕೋಡ್" ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಡಿಗ್ರಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಶೃಂಗವು ನಿಖರವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳು ಗರಿಷ್ಠ 1 ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು (ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ) ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ಗ್ರಾಫ್/ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಧಾರಕಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಧಾರಕ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು 3-ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಣತಿ ನೀಡುತ್ತೇವೆಃ ಲೆಮ್ಮಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತಹವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಸರಾಸರಿ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ 3-ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಧಾರಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಈ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ): ಪ್ರಮೇಯಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಹೊಂದುವಂತಹವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೂ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವಂತೆ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಿದೆ, ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕೆಲವೊಂದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಃ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಮೊದಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ. ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು) ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಕ್ತ ಗ್ರಾಫ್ ಕೆಲವು ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ನಾವು ತೋರಿಸಲು ಬಯಸುವ ಫಲಿತಾಂಶದಷ್ಟು ಬಲವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಧಾರಕ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಧಾರಕಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಕಂಟೈನರ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಪ್ರೇರಿತ ಉಪ-ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಸರಾಸರಿ ಡಿಗ್ರಿ ಕನಿಷ್ಠ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನವು ಒಂದು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರೇರಿತ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ನಮ್ಮ ಧಾರಕಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಅದನ್ನು ಈ ಧಾರಕಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಧಾರಕಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಧಾರಕಗಳ ಅಂತಿಮ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಹೊಂದುವವರೆಗೆ ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಗ್ರಹವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ; ನಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರೇರಿತ ಉಪಗ್ರಫ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೊಸ ಧಾರಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಧಾರಕದ ಗಾತ್ರವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಕುಗ್ಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಸೆಟ್ (ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ ರೆಗ್ಯುಲಾರಿಟಿ ಲೆಮ್ಮಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೆಮಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಸ್ ಅಡಿಟಿವ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.