Scallop theorem
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಈಜುಗಾರನು ಕಡಿಮೆ-ರೇನೋಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ದ್ರವ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ನಿವ್ವಳ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಕಲ್ಲಾಪ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸ್ನಿಗ್ಧವಾಗಿರುವ ದ್ರವ. ಅಂತಹ ಈಜುಗಾರನು ಚಲನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲಕ ತನ್ನ ದೇಹವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಮೂಲ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತಾನೆ. ಈಜುಗಾರನು ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಅಥವಾ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮಯ ಅಥವಾ ಜಡತ್ವವು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈಜುಗಾರನು ಊಹಿಸುವ ಆಕಾರಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಈಜು ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಮಿಲ್ಸ್ ಪರ್ಸೆಲ್ ತನ್ನ 1977ರ ಪ್ರಬಂಧ ಲೈಫ್ ಅಟ್ ಲೋ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ನಂಬರ್ನಲ್ಲಿ ಜಲವಾಸಿ ಚಲನಶೀಲತೆಯ ಭೌತಿಕ ತತ್ವಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಹಿಂಜ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚುವ ಸ್ಕಲ್ಲಾಪ್ನ ಚಲನೆಗೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಚಲನೆಯು ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವಲಸೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಚಲನೆಗೆ ಬಳಸಲು ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೇಹಕ್ಕೆ ಸ್ಕಲ್ಲಾಪ್ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೇಹಗಳು ಪರಸ್ಪರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ತರುವಾಯ, ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೇಹಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ನಿಗ್ಧ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ ಚಲನಶೀಲತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಸ್ಕಲ್ಲೊಪ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ದ್ರವದಿಂದ ಈಜುವಾಗ ಜೀವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ನಂತರದ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ದ್ರವಕ್ಕೆ, ಹರಿವು ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ, ಇದು ದ್ರವದ ವೇಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜಡತ್ವದ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆಯಾಮರಹಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವೇಗ ಮತ್ತು ಉದ್ದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮತ್ತು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಆಯಾಮರಹಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಹರಿವಿಗೆ ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ನಮಗೆ ಹೀಗೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಆಯಾಮರಹಿತ ರೂಪವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆಃ, ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ (ಆಸ್), ಎಲ್ಎಚ್ಎಸ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆಯಾಮರಹಿತ ರೂಪವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಮರುಪರಿಮಾಣಗೊಳಿಸುವುದುಃ ಹೇಳಿಕೆ ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಜಡತ್ವದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರುವ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಈಜುಗಾರನು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ನಿವ್ವಳ ಶಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಟಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯ ಪರಿಣಾಮವು ವೇಗವು ಬಲಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ (ಕೋನೀಯ ವೇಗ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಕ್ ಬಗ್ಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಹೇಳಬಹುದು). ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಮಯದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಈಜುಗಾರನಿಗೆ, ಅದರ ಚಲನೆಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತಃ ಅದೇ ಚಲನೆಯನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ನಿಧಾನಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದು ಇನ್ನೂ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಡಳಿತದಲ್ಲಿ ಈಜುಗಾರನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂರಚನೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪಥದ ಆಕಾರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೈನೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ ರಿವರ್ಸಿಬಿಲಿಟಿಃ ಅದೇ ಚಲನೆಯನ್ನು ರಿವರ್ಸ್ ಮಾಡಬಹುದು. ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲಗಳ ಯಾವುದೇ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಹಿಮ್ಮುಖವು ಅದರ ಸುತ್ತಲಿನ ದ್ರವದ ಹರಿವಿನ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಕೇವಲ ಹರಿವಿನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಶಕ್ತಿಗಳು ಚಲನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಜವಾಬ್ದಾರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಬಲಗಳ ಹಿಮ್ಮುಖವು ದೇಹವು ಪರಸ್ಪರ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರ ಹಿಂಜ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಸ್ಕಲ್ಲಪ್ ಅದನ್ನು ಮುಂದೂಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಬಲಗಳ ಹಿಮ್ಮುಖವು ಹರಿವಿನ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ದೇಹವು ನಿಖರವಾದ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಮ್ಮುಖ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ನಿವ್ವಳ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಸ್ಕಲ್ಲೊಪ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ ಇದು ಪರ್ಸೆಲ್ ನೀಡಿದ ಪುರಾವೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ದ್ರವದಲ್ಲಿರುವ ಈಜುಗಾರನು ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಈಜುಗಾರನ ಚಲನೆಯ ಚಲನಚಿತ್ರವು ನಿಧಾನವಾಗಿದೆಯೇ, ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಇತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸರಳವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ದ್ರವದ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಈಜು ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆಗ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಹೈಡ್ರೋಸ್ಟಾಟಿಕ್ ಒತ್ತಡ, ಹರಿವಿನ ವೇಗ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಅಳೆಯಿದರೆ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಚಲನೆಯು ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಡಳಿತದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈಜುಗಾರನ ಮೇಲೆ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಒಟ್ಟು ಬಲ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಕ್ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮತೋಲನಗೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈಜುಗಾರನ ಮೇಲೆ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಒಟ್ಟು ಬಲ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ತತ್ಕ್ಷಣದ ಒಟ್ಟು ಬಲ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಕ್ ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಇನ್ನೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈಜುಗಾರನ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ದ್ರವದ ಮಾಪಕಗಳ ಚಲನೆ ಎರಡನ್ನೂ ಒಂದೇ ಅಂಶದಿಂದ ಅಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪುರಾವೆ ಸ್ಕಲ್ಲೊಪ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೊಗಸಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯತೆಯ ಗಣಿತದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯತೆಯು ಈಜುಗಾರನ ಈಜು ವೇಗವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈ ಸುತ್ತಲಿನ ದ್ರವದ ವೇಗ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ (ಈಜು ನಡಿಗೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವು ಚಲನಶೀಲತೆಯು ಈಜು ದರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ತರುವಾಯ, ಇದು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಹಿಮ್ಮುಖವು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ನಿವ್ವಳ ಸ್ಥಳಾಂತರವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ದರ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದೇ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಹರಿವಿನ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಜಡತ್ವದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ದ್ರವ ತುಂಬಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವೇಗ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ವೇಗದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಒತ್ತಡ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆಃ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತೊಂದು ಹರಿವಿನಿಂದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹರಿವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ತಿಳಿದಿರುವ ಬೌಂಡರಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹರಿವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಹರಿವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸಿದರೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈಜುಗಾರನ ಈಜು ವೇಗವನ್ನು ಅದರ ಈಜು ನಡಿಗೆಗೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಈಗ ನಾವು ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಈಜು ವೇಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಈಜು ನಡಿಗೆ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದೆವು, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಈಜುಗಾರನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಾವು ಆ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು ದರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ನಡುವಿನ ಚಲನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲಕ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುವ ಈಜುಗಾರನನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈಜುಗಾರನ ನಿವ್ವಳ ಸ್ಥಳಾಂತರವು. ಈಗ ಈಜುಗಾರನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆದರೆ ಬೇರೆ ದರದಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಈಜುಗಾರನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ನಿವ್ವಳ ದೂರವು ಅದು ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವ ದರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಚಲನೆಗಳ ಸಮಮಿತಿ ಈಜುಗಾರನು ಸಮಯ ಬದಲಾಗದ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಈಜುಗಾರನು ಒಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಆಕಾರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಮುಂದೆ, ಸಮಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮತ್ತು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಮೊದಲ ಚಲನೆಯ ಸಮಯ-ಹಿಮ್ಮುಖ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಪಡೆದ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆಕಾರವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆಕಾರದಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಈ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿವ್ವಳ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ಇದು ಎರಡನೇ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಿಂದ ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಆಕಾರ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಈಜುಗಾರನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ವಿರುದ್ಧ ದೂರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈಜುಗಾರನು ಪರಸ್ಪರ ದೇಹದ ವಿರೂಪತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವುದರಿಂದ, ಚಲನೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವು ಸಮಯದ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ನಿವ್ವಳ ಚಲನೆಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಜಡತ್ವ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ದೇಹದ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಈಜುಗಾರನು ಅನಂತ ಶಾಂತ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಚಲನೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಸ್ಕಲ್ಲಾಪ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಕಲ್ಲೊಪ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದ ನಿದರ್ಶನಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ನಿಗ್ಧ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿ ಈಜುಗಾರರು ಪರಸ್ಪರವಲ್ಲದ ದೇಹದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈಜುಗಾರನು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ದ್ರವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಹ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಪರಸ್ಪರವಲ್ಲದ ಚಲನೆಯ ವಿಧಗಳು ತನ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಪರ್ಸೆಲ್ ಪರಸ್ಪರವಲ್ಲದ ದೇಹದ ವಿರೂಪತೆಯ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರ್ಸೆಲ್ ಈಜುಗಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಳ ಈಜುಗಾರನು ಚಲನೆಗೆ ಎರಡು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆಃ ಎರಡು-ಕಾಲಿನ ದೇಹವು ಮೂರು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕೊಂಡಿಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಹಂತದಿಂದ ಹೊರಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮಟ್ಟದ ಚಲನೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವು ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಹ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದಂತಹ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳು ಪರಸ್ಪರವಲ್ಲದ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿಕಸನಗೊಳಿಸಿವೆಃ ಫ್ಲಾಜೆಲ್ಲಮ್ನ ಬಳಕೆ, ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ-ಮತ್ತು ಜೀವಕೋಶವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ-ಹಡಗಿನ ತಿರುಪು ಹಡಗು ಚಲಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ. ಕೆಲವು ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾಗಳು ಈ ರೀತಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ; ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಜೀವಕೋಶದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹಿಡಿದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ತಿರುಗುವ ಮೋಟರ್ಗೆ ಫ್ಲಾಜೆಲ್ಲಮ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ತೋಳಿನ ಬಳಕೆಃ ಇದನ್ನು ಹಲವು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಸ್ತನಿ ವೀರ್ಯವು ಫ್ಲಾಜೆಲ್ಲಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಇದು ಚಾವಟಿಯಂತೆ, ಜೀವಕೋಶದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಜೀವಕೋಶವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಿಲಿಯಾ ಸಸ್ತನಿ ಫ್ಲಾಜೆಲ್ಲಾಗೆ ಹೋಲುವ ರಚನೆಗಳಾಗಿವೆ; ಅವು ಸ್ತನದ ಹೊಡೆತಕ್ಕೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲನೆಯಿಂದ ಪ್ಯಾರಮೆಸಿಯಮ್ನಂತಹ ಜೀವಕೋಶವನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸಬಲ್ಲವು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ತಿರುಗುವ ಫ್ಲಾಜೆಲ್ಲಮ್ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಈಜುಗಾರ, ಮತ್ತು ಇದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಚಲನೆಯು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಂರಚನೆಯ ಜಾಗದ ಸುತ್ತಲೂ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೃತ್ತವು ಪರಸ್ಪರ ಚಲನೆಯಲ್ಲ. ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ತೋಳು ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಈಜುಗಾರನಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಚಲನೆಯು ಚೌಕಾಕಾರದ ಸಂರಚನೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಲೂ ಹೋಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಚಲನೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ವಿಧವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ರಿಯೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಮಯ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಉಳಿಯುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ದ್ರವದ ಊಹೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಜೀವಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ದ್ರವಗಳಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಜೈವಿಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಾಲ್ ಮಾಡುವ ಜೀವಕೋಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಪಾಲಿಮರಿಕ್ ದ್ರವಗಳಲ್ಲಿ ವಲಸೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ. ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ದ್ರವಗಳು ಹಲವಾರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಚಲನಶೀಲತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಂತಹ ಒಂದು ಶೋಷಿಸಬಹುದಾದ ಗುಣವೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒತ್ತಡದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು. ಈಜುಗಾರನ ಹರಿವಿನ ಮೂಲಕ ದ್ರವದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಬಳಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಣವೆಂದರೆ ಒತ್ತಡದ ವಿಶ್ರಾಂತಿ. ಅಂತಹ ಒತ್ತಡಗಳ ಅಂತಹ ಸಮಯದ ವಿಕಸನವು ನೆನಪಿನ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ಯಾವ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ದ್ರವಗಳು ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯ ದರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈಜುಗಾರನು ಅದರ ಚಲನೆಯ ದರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಭಿನ್ನ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾತಾವರಣವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅನೇಕ ಜೈವಿಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ದ್ರವಗಳು ಸೀರ್-ಥಿನ್ನಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಸೀರ್ ದರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ, ಈಜುಗಾರನು ಪರಸ್ಪರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ದರವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಮಯ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಈಜುಗಾರನು ಚಲಿಸುವ ದರವು ಚಲನಶೀಲತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಈಜುಗಾರನನ್ನು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ದ್ರವದಲ್ಲಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯೂ ಮತ್ತು ಇತರರು. (2014) ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಮೈಕ್ರೋ ಸ್ಕಲ್ಲಾಪ್ ಅನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಚಲನಶೀಲತೆ ಮೈಕ್ರೊಸ್ವಿಮರ್ ಪ್ರೊಟಿಸ್ಟ್ ಲೋಕೋಮೋಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಇ. ಎಂ. ಪರ್ಸೆಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಲೈಫ್ ಅಟ್ ಲೋ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ನಂಬರ್, ಅಮೇರಿಕನ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಸಂಪುಟ 45, p. 3-11 (1977) ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ರಿವರ್ಸಿಬಿಲಿಟಿ ಮತ್ತು ಈಜು ರೋಬೋಟ್ನ ಸ್ಕಲ್ಲೊಪ್ ಪ್ರಮೇಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಂದಾಗಿ ಸ್ನಿಗ್ಧ ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಈಜು ರೋಬೋಟ್ನ ವೀಡಿಯೊ ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ