Parikh's theorem
ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗಣಕಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪಾರಿಖ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು, ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂತಿಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದೆ, ಆ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಟರ್ಮಿನಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣದಿಂದ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ರೋಹಿತ್ ಪಾರಿಖ್ ಅವರು 1961 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1966 ರಲ್ಲಿ ಮರುಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ವರ್ಣಮಾಲೆಯಾಗಿರಲಿ. ಪದದ ಪಾರಿಖ್ ವಾಹಕವನ್ನು ಪದದಲ್ಲಿನ ಅಕ್ಷರದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಕೆಲವು ವಾಹಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ರೇಖೀಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅರೆ-ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ಭಾಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಚಿತ್ರಣವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅರೆರೇಖೀಯ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಭಾಷೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪಾರಿಖ್ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ಭಾಷೆಯು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಕಡಿಮೆ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯು ಗೋಲ್ಡ್ಸ್ಟೈನ್ಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ನಮಗೆ ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ಭಾಷೆಗಳಿಗೆ ಪಂಪಿಂಗ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಬಲಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆಃ ಪುರಾವೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪಂಪಿಂಗ್ ಲೆಮ್ಮಾದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆಃ ಚಿಕ್ಕದಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮರದಲ್ಲಿ ಉದ್ದವಾದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಟರ್ಮಿನಲ್ ಅಲ್ಲದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪಾರಿವಾಳದ ರಂಧ್ರ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಸೀಮಿತ ಭಾಷೆಗಳನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವುದು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಪದಗಳಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಭಾಷೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಿನ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪಾನಿಯರ್ ಅವರು ಪಾರಿಖ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆಯೇ, ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಭಾಷೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಪ್ರತಿ ವಾಹಕವು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಾಹಕಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಕ್ರಮವು ಅಲ್ಲ. ಅರೆ-ರೇಖೀಯ ಸಮೂಹವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ರೇಖೀಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನೇಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮೇಲೆ ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ಭಾಷೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಯಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ಭಾಷೆಗಳು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಭಾಷೆಗಳನ್ನು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಭಾಷೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಕರಣದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಇದರರ್ಥ ಕೆಲವು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಔಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಗಳು