Kiepert conics
ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಕೀಪರ್ಟ್ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರಗಳು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಇದನ್ನು ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪರವಲಯ, ಇದನ್ನು ಕೀಪರ್ಟ್ ಪರವಲಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೀಪರ್ಟ್ ಕೋನಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಮತ್ತು, ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂಲ ಕೋನವು ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಳವು ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಅಕ್ಷದ ಹೊದಿಕೆಯು ಕೀಪರ್ಟ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ. ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೇಂದ್ರಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಮತ್ತು ಕೀಪರ್ಟ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವಾಗಿದ್ದು, ಯೂಲರ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರ X110 ಅನ್ನು ಫೋಕಸ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಕೀಪರ್ಟ್ ಕೋನಿಕ್ಸ್ನ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಆರ್. ಎಚ್. ಎಡ್ಡಿ ಮತ್ತು ಆರ್. ಫ್ರಿಟ್ಷ್ ಅವರ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದ ಕೆಳಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆಃ "ಮಂಗಳ ಗ್ರಹದ ಸಂದರ್ಶಕರೊಬ್ಬರು ತ್ರಿಕೋನದ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಆದರೆ ಭೂಮಿಯ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ದಟ್ಟವಾದ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಪಾಠಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯದವರೆಗೆ ಉಳಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಭೂಮಂಡಲದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಈ ವಿನಂತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಕಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ. ಕೀಪರ್ಟ್ ಕೋನಿಕ್ಸ್. ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಲುಡ್ವಿಗ್ ಕೀಪರ್ಟ್ ಅವರು 1868 ರಲ್ಲಿ ಎಮಿಲ್ ಲೆಮೋಯಿನ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವಾಗ ಕಂಡುಹಿಡಿದರುಃ "ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಶಿಖರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ". ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಲುಡ್ವಿಗ್ ಕೀಪರ್ಟ್ ಅವರು 1869ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಹಾರವು ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಲೋಕಸ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ತಿಳಿಸುವ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. ಮೂಲಭೂತ ಸಂಗತಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗದ ಕೋನಗಳಾಗಿರಲಿ. ಸಮೀಕರಣ ಬೇರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳು ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರ X (115) ಆಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರದ ಬೇರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳು ಸರ್ಕಂಸರ್ಕಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಅಕ್ಷದ ಛೇದಕಗಳ ಸಿಮ್ಸನ್ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಆಯತಾಕಾರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರವು ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳಾದ X (13) ಮತ್ತು X (14) ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಐಸೋಗೊನಿಕ್ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖಾಖಂಡದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಐಸೊಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಚಿತ್ರಣವು ತ್ರಿಕೋನದ ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜವಲ್ಲದ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತ್ರಿಕೋನ ಧ್ರುವವಾಗಿರಲಿ. ಯೂಲರ್ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವು ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ. ಕೀಪರ್ಟ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1888 ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ ಅಗಸ್ಟಸ್ ಆರ್ಟ್ಜ್ ಅವರು "ಶಾಲಾ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ" ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಮೂಲ ಸಂಗತಿಗಳು ಬೇರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಕೀಪರ್ಟ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕೀಪರ್ಟ್ ಪ್ಯಾರಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರ X (110) ಆಗಿದೆ. ಫೋಕಸ್ನ ಬ್ಯಾರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕೀಪರ್ಟ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಯೂಲರ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರಗಳು ಸಹ ನೋಡಿ ತ್ರಿಕೋನ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ