Pompeiu derivative
ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪೊಂಪಿಯು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನೈಜ ಚರರಾಶಿಯ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪೊಂಪಿಯು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಅಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದೇ ಎಂಬುದು 1900 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರತೆಯ ಕುರಿತಾದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಡಿಮಿಟ್ರಿ ಪೊಂಪಿಯು ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ದೃಢವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಿದರು; ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಆತನ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಪೊಂಪೆಯುವಿನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಜವಾದ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಏಕಾಂಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಣಿಕೆ ಆಗಿರಲಿ. ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯು ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೊತ್ತವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ; ಅಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ, ಒಂದು ಹೊಂದಿದೆ. ಚಿತ್ರದ ಚಿತ್ರವು ಆಯ್ಕೆಯವರೆಗೆ ಎಡ ತುದಿ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಬೌಂಡೆಡ್ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಂಶದ ಆಯ್ಕೆಯವರೆಗೆ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬಹುದೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ; ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಅದರ ವಿಲೋಮವು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಕಾರ್ಯದ (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಬೈರ್ ವರ್ಗದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯ-ಸಮೂಹವು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ಪಾಂಪೆಯು ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ, ಈ ಸೆಟ್ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಉಳಿದಿರುವ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನೇಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪಾಂಪೆಯು ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೈರ್ ವರ್ಗದ ಪ್ರಮೇಯದ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪೊಂಪಿಯು ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪೊಂಪಿಯು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖಗೊಳ್ಳುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯವು ಪೊಂಪಿಯು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದಾಗಿ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಅನುಕ್ರಮದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಇವು ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯದ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಸಹ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬೌಂಡೆಡ್ ಪಾಂಪೆಯು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವರ್ಗವು ಏಕರೂಪದ ಅಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬೌಂಡೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಬನಾಚ್ ಜಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಬನಾಚ್ ಜಾಗವಾಗಿದೆ). ಪೊಂಪೆಯುವಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯು ಪೊಂಪೆಯುವಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ವೈಲ್ನ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪೊಂಪೆಯುವಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೆರಡನ್ನೂ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ನಿಖರವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬನಾಚ್ ಜಾಗದ ಉಳಿದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ಎಮ್. ಬ್ರಕ್ನರ್, "ವಾಸ್ತವಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೇದ"; ಸಿಆರ್ಎಂ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ಸರಣಿ, ಮಾಂಟ್ರಿಯಲ್ (1994). ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ