Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative
ವಿಭಿನ್ನ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ನ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ನಿಯಮಿತ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಬಹುಆಯಾಮದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಒಂದು-ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ನರ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಜೆ ಜೆಥ್ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಅಥವಾ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶುದ್ಧ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಶುದ್ಧ ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಆವರ್ತಕ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು (ಅಂದರೆಃ ಇದು ಸರಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗುಣಾಕಾರ 2 ರಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ). ಮಿಶ್ರ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಮಿಶ್ರ ನ್ಯೂಮನ್-ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕೇಸ್ ಸಂಕೇತಃ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಜೆ ಜೆಥ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ನ ಐಥ್ ಘಟಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. i ಮತ್ತು j ಎರಡೂ 1 ರಿಂದ n ಗೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾತ್ರ n x n ಆಗಿದೆ. ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶುದ್ಧ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಶುದ್ಧ ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು (0 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು n ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ಮಿಶ್ರ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮಿಶ್ರ ನ್ಯೂಮನ್-ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಕೇಸ್ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ 1ಡಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಈಗ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. ನಂತರ ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, 2 ನೇ ರೀತಿಯ kth ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ n ನೇ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಿಯ ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಹೀಗಿವೆಃ ಇವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದು, ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಟ್ರಿಗ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಆಂತರಿಕ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಿಡ್ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡಿದಂತೆಯೇ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಇದು ನಮಗೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇವೆ. ನಾವು ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಕೈಬಿಟ್ಟರೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೂ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಮರುನಾಮಕರಣ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಕೇಸ್ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಹಾಯಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಲ್ಲದೆ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಅಳೆಯಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಈ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸರಿಯಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಪದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. (n + 1) ನೇ ಮೌಲ್ಯವು ನಮಗೆ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕವನ್ನು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ 0 ಆಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಮರಳುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ n ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ n ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನಿರ್ವಾಹಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು