Neuberg cubic
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ನ್ಯೂಬರ್ಗ್ ಘನವು ಹಲವಾರು ಗಮನಾರ್ಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಶೇಷ ಘನ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಲಕ್ಸೆಂಬರ್ಗ್ ನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಜೋಸೆಫ್ ಜೀನ್ ಬ್ಯಾಪ್ಟಿಸ್ಟ್ ನ್ಯುಬರ್ಗ್ (30 ಅಕ್ಟೋಬರ್ 1840-22 ಮಾರ್ಚ್ 1926) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು 1884 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಪ್ರಬಂಧವೊಂದರಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. 1200 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ತ್ರಿಕೋನ ಘನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಕಲನವಾದ ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್ ಆಫ್ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ಸಂಖ್ಯೆ K001 ನೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೊದಲ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಘನವನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೋಕಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲೀನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲೋಕಸ್ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಘನ ವಕ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲೀನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಂಗಲ್ಸ್ ಇನ್ವೊಲುಟಿಫ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸ್ಥಳವೆಂದು ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ (ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ವಿಧಾನ ಇದು): ಸಮೀಕರಣವು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಬೇರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಘನದ ಸಮೀಕರಣವು ಇತರ ಪರಿಭಾಷೆಯಾಗಿದೆಃ 21-ಬಿಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ, 37-ಬಿಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ ಹಳೆಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 21-ಬಿಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯುಬರ್ಗ್ ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ 21 ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಗುಣವನ್ನು ಪರಿಭಾಷೆಯು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, 21 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಶೃಂಗಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಸುತ್ತಳತೆ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಸೇರುವ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ A ಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಎಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಎಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಆರು ಶೃಂಗಗಳು ಎರಡು ಐಸೊಗೊನಿಕ್ ಕೇಂದ್ರಗಳು (ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳ ವಿಶ್ವಕೋಶದಲ್ಲಿ X (13) ಮತ್ತು X (14) ಬಿಂದುಗಳು) ಎರಡು ಐಸೊಡೈನಮಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳು (ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳ ವಿಶ್ವಕೋಶದಲ್ಲಿ X (15) ಮತ್ತು X (16) ಬಿಂದುಗಳು) ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ಅಂಕಿ-ಅಂಶವು ತ್ರಿಕೋನದ ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಘನವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. 1925ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಬಿ. ಎಚ್. ಬ್ರೌನ್ ಅವರು ನ್ಯೂಬರ್ಗ್ ಘನದ ಮೇಲೆ 16 ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ವರದಿ ಮಾಡಿದರು, ಇದು ಘನದ ಮೇಲೆ ಆಗಿನ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 37 ಎಂದು ಹೇಳಿತು. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಘನವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ 37-ಬಿಂದು ಘನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ, ನ್ಯೂಬರ್ಗ್ ಘನದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್ ಅಂತಹ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ವಿಶೇಷ ಪುಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಘನವಾಗಿ ನ್ಯೂಬರ್ಗ್ ಘನದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯ ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೃತ್ತವು ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಿಕ್ ಒಂದು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳ ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಯಾವುದೇ ಘನ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಘನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಘನವು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಘನವಾಗಿದೆ. ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಐಸೊಗೊನಲ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಆಗಿ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಐಸೊಗೊನಲ್ ಸಂಯೋಗವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಸುತ್ತಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಸಮ್ಮತಿಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಐಸೋಗೋನಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಸಂಯೋಗವು. ಸ್ವಯಂ-ಐಸೊಗೋನಲ್ ಘನವು ಐಸೊಗೋನಲ್ ಸಂಯೋಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ತ್ರಿಕೋನ ಘನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಒಂದು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ನ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ಗಳು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ನ ಪಿವೋಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಯೂಲರ್ ರೇಖೆಯ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವನ್ನು ಅನಂತ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದೆ. ಕಿಂಬರ್ಲಿಂಗ್ನ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಸೆಂಟರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು X (30) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿವೋಟಾಲ್ ಆರ್ಥೋಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಆಗಿ ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಧ್ರುವವು ಆಗಿರಲಿ. ಐಸೊಪಿವೋಟಲ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಘನದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು M ಗೆ, ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಘನದ ಆರ್ಥೋಪಿವೋಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಘನವು ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಪಿವೋಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಆರ್ಥೋಪಿವೋಟಲ್ ಘನವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಓದುವಿಕೆ ಅಬ್ದಿಕಾದಿರ್ ಆಲ್ಟಿಂಟಾಸ್, ಆನ್ ಸಮ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್ ಆಫ್ ನ್ಯೂಬರ್ಗ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ