Zilber–Pink conjecture
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಿಲ್ಬರ್-ಪಿಂಕ್ ಊಹೆಯು ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್, ಮ್ಯಾನಿನ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಮೊರ್ಡೆಲ್-ಲ್ಯಾಂಗ್ನಂತಹ ಅನೇಕ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಊಹೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ದೂರಗಾಮಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋರಿ ಮತ್ತು ಅರೆಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಬೋರಿಸ್ ಜಿಲ್ಬರ್ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಎನ್ರಿಕೊ ಬೊಂಬಿಯೇರಿ, ಡೇವಿಡ್ ಮಾಸರ್, ಉಂಬರ್ಟೊ ಜಾನಿಯರ್ ಅವರು 2000 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಅರೆಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಊಹೆಯು ಮೊರ್ಡೆಲ್-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾನಿನ್-ಮಫರ್ಡ್ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಚರ್ಡ್ ಪಿಂಕ್ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಊಹೆಯನ್ನು (ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ) ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದು ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋರಿ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಜಿಲ್ಬರ್ ಇದನ್ನು ಟೋರಿ (ಸಿಐಟಿ) ಯೊಂದಿಗಿನ ಛೇದನದ ಊಹೆಯೆಂದು ಕರೆದರು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಈಗ ಜಿಲ್ಬರ್-ಪಿಂಕ್ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಭೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದದ ವಿಲಕ್ಷಣ ಅಥವಾ ಅಸಂಭವ ಛೇದನಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ವಿಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಅಸಂಭವ ಛೇದನಗಳು ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಛೇದನವನ್ನು ಅದರ ಆಯಾಮವು ನಿರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ವಿಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಮೂರು ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಛೇದಕದ ಒಂದು ಘಟಕವು ಐಎಫ್ ನಲ್ಲಿ ವಿಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆಯಾಮದಿಂದಾಗಿ, ವಿಲಕ್ಷಣ ಛೇದಕಗಳು "ವಿಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ" ಮತ್ತು ಸಂಭವಿಸುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಲ್ಲ. ಯಾವಾಗ, ಪ್ರಭೇದಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಛೇದಿಸುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಮಾಡಿದಾಗ, ಛೇದನವು ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅಸಂಭವವಾದ ಛೇದನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಬಹುತೇಕ ಎಂದಿಗೂ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಕೆಲವು ಅಂಕಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತ ಉಪ ಪ್ರಭೇದಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಉನ್ನತ ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರೆಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳು ತಿರುಚು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಭೇದಗಳು ತಿರುಚು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಅನುವಾದಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳು ಏಕವಚನ ಮಾಡುಲಿಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಮಿಶ್ರ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದ ಮತ್ತು ಉಪ-ಪ್ರಭೇದವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ವಿಲಕ್ಷಣ ಉಪ-ಪ್ರಭೇದವು ಛೇದಕದ ಒಂದು ವಿಲಕ್ಷಣ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಉಪ-ಪ್ರಭೇದವಾಗಿದೆ. ಜಿಲ್ಬರ್-ಪಿಂಕ್ ಊಹೆಯು ಮಿಶ್ರ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದವಾಗಲಿ ಅಥವಾ ಅರೆಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದವಾಗಲಿ, ಮತ್ತು ಇದು ಉಪ-ಪ್ರಭೇದವಾಗಲಿ. ನಂತರ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಗರಿಷ್ಠ ವಿಲಕ್ಷಣ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜಿಲ್ಬರ್-ಪಿಂಕ್ ಊಹೆಯ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಊಹೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರೆಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಕರಣವು ಹಾಗಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅರೆಬೆಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಶೇಷ ಉಪ-ಪ್ರಭೇದಗಳು ಅನೇಕ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದು ಎರಡೂ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಮಾನ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಜಿಲ್ಬರ್-ಪಿಂಕ್ ಊಹೆಯು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ತೆರೆದಿದ್ದರೂ, ಅನೇಕ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಪ್ರಭೇದವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಭೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಉಪ-ಪ್ರಭೇದವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜಿಲ್ಬರ್-ಪಿಂಕ್ ಊಹೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಗರಿಷ್ಠ ವಿಶೇಷ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೆಮಿಎಬೆಲಿಯನ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಮ್ಯಾನಿನ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಊಹೆ ಮತ್ತು ಶಿಮುರಾ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆ. ಇವೆರಡೂ ಈಗ ಪ್ರಮೇಯಗಳಾಗಿವೆ; ಮೊದಲನೆಯದು ಹಲವಾರು ದಶಕಗಳಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಜಿಲ್ಬರ್-ಪಿಂಕ್ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ಭಾಗಶಃ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲವಾಗಿ ವಿಲಕ್ಷಣವಾದ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಲವಾಗಿ ವಿಲಕ್ಷಣವಾದ ಉಪವರ್ಗವು ಸ್ಥಿರವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಿಲ್ಲದ ವಿಲಕ್ಷಣವಾದ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು