Fair allocation of items and money
ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಹಣದ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಹಂಚಿಕೆಯು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ವಸ್ತುಗಳ ಹಂಚಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಹಂಚಿಕೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಭಾಗವಹಿಸುವವರಲ್ಲಿ ಕೆಲವರಿಂದ ಹಣವನ್ನು ನೀಡಲು ಅಥವಾ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹಣವಿಲ್ಲದೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿ ಹಂಚುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವಸ್ತು ಮತ್ತು ಇಬ್ಬರು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಿಗೆ ನೀಡಬೇಕಾದರೆ, ಹಂಚಿಕೆಯು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಅನ್ಯಾಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಹಣಕಾಸಿನ ಪಾವತಿಗಳು ನ್ಯಾಯಸಮ್ಮತತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಐಟಂ ಎರಡು ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಐಟಂನೊಂದಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನ್ಯಾಯೋಚಿತತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಇದು ಕಟ್ ಅಂಡ್ ಚಾಯ್ಕ್ನ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ): ಆಲಿಸ್ ತಾನು ಆ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಪಾವತಿಸಲು ಸಿದ್ಧವಿರುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾಳೆ. ಜಾರ್ಜ್ ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು p ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸಬೇಕೇ ಅಥವಾ ಆಲಿಸ್ಗೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಿಡಬೇಕೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾನೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಆಲಿಸ್ p ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತಾನೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಕ್ವಾಸಿಲೀನಿಯರ್ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ವಸ್ತುಗಳ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅವರ ಬಳಿ ಇರುವ ಹಣದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಜಾರ್ಜ್ ಆಲಿಸ್ನ ಬೆಲೆ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ (ಅವನು p ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪಾವತಿಸಲು ಸಿದ್ಧನಿದ್ದರೆ), ಅವನು ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು p ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತಾನೆ, ಮತ್ತು ಅವನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವನು ಆಲಿಸ್ನನ್ನು ಅಸೂಯೆಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆಲಿಸ್ ಕೂಡ ಜಾರ್ಜ್ನನ್ನು ಅಸೂಯೆಪಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವಳ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಅವನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಜಾರ್ಜ್ ಆಲಿಸ್ನ ಬೆಲೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ (ಅವನು p ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪಾವತಿಸಲು ಸಿದ್ಧನಿದ್ದರೆ), ಅವನು ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಲಿಸ್ಗೆ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅಸೂಯೆಪಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವನ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಆಲಿಸ್ನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾವತಿಸಿದ ಹಣವನ್ನು ನಂತರ ಆಟಗಾರರ ನಡುವೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಾನ ವಿತ್ತೀಯ ವರ್ಗಾವಣೆಯು ಸಂಬಂಧಿತ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ, ಖರೀದಿ ಏಜೆಂಟ್ ಮಾರಾಟ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ p/2 ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ನ ಒಟ್ಟು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ವಸ್ತುವಿಗಾಗಿ ಅವನ/ಅವಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಏಜೆಂಟರು ವಿಭಿನ್ನ ಹಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪಾವತಿಸಿದ ಹಣವನ್ನು ಪಾಲುದಾರರ ನಡುವೆ ಅವರ ಹಕ್ಕುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹಂಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ವಿವಿಧ ಕೃತಿಗಳಿವೆ. ಈ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆ ಅಸೂಯೆ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೆಲವು ಕೃತಿಗಳು ಪರೋಪಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹಂಚಿಕೆಗೆ ಸಬ್ಸಿಡಿ ನೀಡಲು ಸಿದ್ಧರಿರುವ, ಆದರೆ ಅಸೂಯೆ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಸಬ್ಸಿಡಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ-ಸಬ್ಸಿಡಿ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್-ಡಿಮ್ಯಾಂಡ್ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಯುನಿಟ್-ಡಿಮ್ಯಾಂಡ್ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಬಾಡಿಗೆ ಸಾಮರಸ್ಯವು ಬಾಡಿಗೆದಾರರ ನಡುವೆ ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ನಲ್ಲಿನ ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ ಈ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೂರು ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ (ಎ) ಏಜೆಂಟರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, (ಬಿ) ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು (ಕೊಠಡಿ) ಪಡೆಯಬೇಕು, (ಸಿ) ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಪಾವತಿಸುವ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಇದು ಒಟ್ಟು ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಬಾಡಿಗೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಬಾಡಿಗೆ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಕಟ್ಟು ಎಂದರೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ವಸ್ತು ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಹಣ). ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಹಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರಬೇಕು. ಇದು ಹಣದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ "ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್" ಆಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳಾದ ಜೆ ಮತ್ತು ಕೆ ಗೆ, ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಜೆ ಪ್ಲಸ್ ವಿ ಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಕೆ ಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು (ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಜೆ ಅನ್ನು ಉಚಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯುವ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಕೆ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮತ್ತು ವಿ ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುವ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ). ಕ್ವಾಸಿಲೀನಿಯರ್ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ (ಒಂದೇ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ). ಎಲ್ಲಾ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಆಗಿರುವಾಗ, ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ವೆನ್ಸನ್ ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಡಿಮ್ಯಾಂಜ್, ಗೇಲ್ ಮತ್ತು ಸೊಟೊಮೇಯರ್ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಆರೋಹಣ ಹರಾಜನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು, ಇದು ಯುನಿಟ್ ಡಿಮ್ಯಾಂಡ್ ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ ವಿತ್ತೀಯ ಪಾವತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಹಣದ ದತ್ತಿಯು (ಎನ್-1) ವಿ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಾಗ ಮಾಸ್ಕಿನ್ ಪಾರೆಟೋ-ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಪುರಾವೆಗಳು ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. (ಎನ್-1) ವಿ ಸಬ್ಸಿಡಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಎಲ್ಲಾ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿ ಮತ್ತು ಇತರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು 0 ಎಂದು ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಅಸೂಯೆ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸದ ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ವಿ ಸಬ್ಸಿಡಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಟಾಡೆನುಮಾ ಮತ್ತು ಥಾಮ್ಸನ್ ಅವರು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಹಲವಾರು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಅಸೂಯೆ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ ಸಹಾಯಧನವನ್ನು ಅರಗೋನ್ಸ್ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಸಬ್ಸಿಡಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಹಂಚಿಕೆಯು ಬಹುತೇಕ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಏಜೆಂಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಒಂದೇ ಮಾರ್ಗವಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಕನಿಷ್ಠ-ಸಬ್ಸಿಡಿ ಹಂಚಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಡ್ಡೆ ತೋರುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಅಲ್ಕಾನ್, ಡಿಮ್ಯಾಂಜ್ ಮತ್ತು ಗೇಲ್ನ "ಮನಿ-ರಾಲ್ಸಿಯನ್ ಸೊಲ್ಯೂಷನ್" ಎಂಬ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ-ತೂಕದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರೇರಿತ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಕ್ಲಿಜ್ನ್ ಅದೇ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸೈಡ್-ಪಾವತಿಗಳ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಮೂಲ ಹಂಚಿಕೆಯು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಅಸೂಯೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸಂಪರ್ಕವು ಈ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಪರೀತ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಡಿಟಿವ್ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಹಲವಾರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಂಚಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ-ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸಂಭಾವ್ಯ ಹಂಚಿಕೆಗಳಿವೆ. ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಹಣದ ನ್ಯಾಯಯುತ ಹಂಚಿಕೆಯ ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಬ್ರಾನಿಸ್ಲಾ ನಾಸ್ಟರ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಹ್ಯೂಗೋ ಸ್ಟೈನ್ಹೌಸ್ ಅವರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಈ ಹರಾಜು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿಃ ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಬಿಡ್ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಡ್ ಮಾಡಿದವರಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಮುರಿಯುವುದು). ವಿಜೇತನು ತನ್ನ ಬಿಡ್ನ (ಎನ್-1)/ಎನ್ ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತಾನೆ; ಇತರ ಏಜೆಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತನ್ನ ಬಿಡ್ನ 1/ಎನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ; ವಿಜೇತನು ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಡ್ದಾರನಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇರುತ್ತದೆ; ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹಂಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಅವನು ಇಡೀ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ನೀಡುವ ಮೌಲ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ 1/n ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಂಚಿಕೆಯು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹಂಚಿಕೆಯು ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಪಾರೆಟೊ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ನಾಸ್ಟರ್ನ ಹರಾಜು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರ-ನಿರೋಧಕವಾಗಿಲ್ಲ. ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವಾಗಿ ಆಡುವಾಗ ಕೆಲವು ಸಂಶೋಧಕರು ಅದರ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಎಸ್ಸೆನ್ ಸಮತೋಲನದ ಹಂಚಿಕೆಯು ಇನ್ನೂ ಪಾರೆಟೋ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನುಪಾತದ ಎಕ್ಸ್-ಪೋಸ್ಟ್ ಆಗಿರಬಾರದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸರಾಸರಿ, ಏಜೆಂಟರು ಎಲ್ಲರೂ ಸತ್ಯವಂತರಾಗಿರುವಂತೆ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಫ್ರಾಗ್ನೆಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮರೀನಾ, ಅನಂತ ಅಪಾಯ-ವಿರೋಧಿ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಸಹ, ಇತರ ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಘೋಷಣೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ತಮ್ಮ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ತಪ್ಪಾಗಿ ವರದಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸುರಕ್ಷಿತ ಲಾಭ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಾಸ್ಟರ್ನ ಹರಾಜನ್ನು ವೈರ್ಲೆಸ್ ಚಾನೆಲ್ಗಳ ನ್ಯಾಯಯುತ ಹಂಚಿಕೆಗೆ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೈತ್ ಅವರ ಹರಾಜು ಮ್ಯಾಥಿಯಸ್ ಜಿ. ರೈತ್ ಅವರು ನಾಸ್ಟರ್ ಅವರ ಹರಾಜಿನ ಮೇಲೆ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು, ಅದನ್ನು ಅವರು "ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಾಸ್ಟರ್" ಎಂದು ಕರೆದರು. ನಾಸ್ಟರ್ನ ಹರಾಜಿನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಡ್ ಮಾಡಿದವರಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪಾವತಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಪಾವತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಏಜೆಂಟ್ ಈ ವಸ್ತುಗಾಗಿ ತನ್ನ ಬಿಡ್ ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತಾನೆ; ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಪಾವತಿಸುವ ಒಟ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಅವರ ಬಿಡ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅವರ ನಡುವೆ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾಸ್ಟರ್ನ ಹರಾಜು ಮತ್ತು ರೈತ್ನ ಹರಾಜಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಏಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಎರಡೂ ಹರಾಜಿನಲ್ಲಿ, ಜಾರ್ಜ್ ಎರಡೂ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ, ಆದರೆ ಪಾವತಿಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ನಾಸ್ಟರ್ನ ಹರಾಜಿನಲ್ಲಿ, ಜಾರ್ಜ್ 90 ಪಾವತಿಸುತ್ತಾನೆ, ಆಲಿಸ್ 10 ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ, ಮತ್ತು 80 ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿವ್ವಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳು 50,130 ಆಗಿವೆ. ರೈತ್ನ ಹರಾಜಿನಲ್ಲಿ, ಜಾರ್ಜ್ 180 ಪಾವತಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು 20:180 = 1:9 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಆಲಿಸ್ 18 ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ 162 ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪಾವತಿಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ-ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಮಾನವ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ರೈಥ್ನ ಹರಾಜನ್ನು (ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾದ ನಾಸ್ಟರ್) ವಿಭಜಿಸಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಬದಲು ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದ ನಾಸ್ಟರ್ಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ (ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವಿಜೇತರು ಪ್ರತಿ ಸೋತವರಿಗೆ 1/n ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತಾರೆ; ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಜಾರ್ಜ್ ಆಲಿಸ್ಗೆ 90 ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ನಿವ್ವಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳು 90,90 ಆಗಿವೆ). ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಹಾಕೆ, ರೈತ್ ಮತ್ತು ಸು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ವಸ್ತುಗಳ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಅನಾಮಧೇಯವಾಗಿರುವವರೆಗೆ (ಅವರ ಗುರುತಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಾಲುದಾರರ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಬೇಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧ ಇರಬಾರದು, ಅಥವಾ "ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಪಾಲುದಾರರು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಬೇಕು" ಅಥವಾ "ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಬೇಕು" (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿರಬೇಕಾದ ಭೂಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿವೆ), ಇತ್ಯಾದಿ. "ವಸ್ತುಗಳು" ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಪಾಲುದಾರರಿಗೆ "ಅರ್ಹತಾ ಅವಶ್ಯಕತೆ" ಇದೆಃ ಅವರ ಬಿಡ್ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚವಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ (ಉಪಯುಕ್ತ) ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ-ವಸ್ತುಗಳ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೊತ್ತದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಂಚಿಕೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲುದಾರರಿಗೆ ನೀಡುವ ಹಂಚಿಕೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ "ಪ್ರತಿ ಪಾಲುದಾರರಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಸ್ತು"), ನಂತರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಪಾಲುದಾರನಿಂದ ಅವನಿಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಬಂಡಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿಧಿಸಿ. ಇದು ಹಣದ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಪಾವತಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುದಾರರು ಅರ್ಹತೆಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಪೂಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹಣವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಉಳಿಯಬಹುದು. ಅಸೂಯೆ ಪಟ್ಟ ಸಂಗಾತಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಅಸೂಯೆ ತೊಡೆದುಹಾಕಿ. ಪರಿಹಾರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸುತ್ತುಗಳಿವೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೆಂಬಲವಿಲ್ಲದೆ ಇದನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತವು ಅಸೂಯೆ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಎಂದಿಗೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅಸೂಯೆ ಉಂಟುಮಾಡದ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಪಾಲುದಾರರಿಗೆ ಸಮಾನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ (ಪತ್ರಿಕೆಯು "ನ್ಯಾಯಯುತ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಇತರ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ). ಅನೇಕ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ-ಗರಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು-ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂಚಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಅಸೂಯೆ-ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹಂಚಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಸೂಯೆ-ಗ್ರಾಫ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಚಕ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ಒಟ್ಟು ಸೌಲಭ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ, ಗರಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮೇಲಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೆಲವು ಪಾಲುದಾರರಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪಾವತಿಯನ್ನು ವಿಧಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಪಾಲುದಾರರಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು). ಲೇಖಕರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆಃ "ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸರಕುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇತರರು ಪಾವತಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ತಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ಗುಂಪು ತನ್ನ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು ಬಯಸದಿದ್ದರೆ, ಗುಂಪು ಅನಗತ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಸದಸ್ಯರಿಗೆ ಸಬ್ಸಿಡಿ ನೀಡಬಾರದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಬ್ಸಿಡಿಯು ಎಂದಿಗೂ ವಿತರಿಸಬೇಕಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನ ಆಟಗಾರನ ಅಸಮರ್ಪಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಪರಿಣಾಮವಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಹತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಸಬ್ಸಿಡಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಕೆಲವು ಕೃತಿಗಳು ಪರೋಪಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹಂಚಿಕೆಗೆ ಸಬ್ಸಿಡಿ ನೀಡಲು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅಸೂಯೆ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಸಬ್ಸಿಡಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ-ಸಬ್ಸಿಡಿ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಸ್ತು-ಹಂಚಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಬ್ಸಿಡಿಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಹಾಲ್ಪರ್ನ್ ಮತ್ತು ಷಾ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಅಸೂಯೆ-ಗ್ರಾಫ್ ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಅದರ ಕಟ್ಟುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮರುಹಂಚಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು "ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ". ಕನಿಷ್ಠ ಸಬ್ಸಿಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಬಲವಾದ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ತೂಕದ ಅಸೂಯೆ-ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ i ನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಮಾರ್ಗದ ಗರಿಷ್ಠ ತೂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಗದ ತೂಕವು ಗರಿಷ್ಠ m ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆಲವು ಏಜೆಂಟ್ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ಪ್ರತಿ ಸರಕುಗಳ ಮೌಲ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ವಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಗದ ತೂಕವು ಗರಿಷ್ಠ ಎಂವಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬ ಏಜೆಂಟ್ ಶೂನ್ಯ ಸಬ್ಸಿಡಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಗರಿಷ್ಠ (ಎನ್-1) ಎಂವಿ ಸಬ್ಸಿಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಬ್ಸಿಡಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸರಕುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಾಗ ಮತ್ತು ಒಬ್ಬ ಏಜೆಂಟ್ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪಡೆದಾಗ. ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ಎನ್-1) ವಿ ಸಬ್ಸಿಡಿಯು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ದ್ವಿಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ (0 ಅಥವಾ 1). ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಗರಿಷ್ಠ-ಉತ್ಪನ್ನ ಹಂಚಿಕೆ ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್-ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಹಂಚಿಕೆಗೆ ಗರಿಷ್ಠ (ಎನ್-1) ವಿ ಸಬ್ಸಿಡಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಇ. ಎಫ್. ಅನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಬ್ಸಿಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಅಸೂಯೆಯಿಲ್ಲದ ಹಂಚಿಕೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್-ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ವ್ಯರ್ಥವಲ್ಲದ ಹಂಚಿಕೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾದಾಗ ಎನ್. ಪಿ-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ. ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಹಂಚಿಕೆಯು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ (ಎನ್-1) ವಿ ಸಬ್ಸಿಡಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಒಂದು ಹಂಚಿಕೆಯು ಯಾವುದೇ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ಸಬ್ಸಿಡಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಎನ್ಪಿ-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ-ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಜೆಂಟ್ ಆದೇಶದೊಂದಿಗೆ ರೌಂಡ್-ರಾಬಿನ್ ಐಟಂ ಹಂಚಿಕೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ವಿ. ಬ್ರಸ್ಟಲ್, ಡಿಪ್ಪೆಲ್, ನಾರಾಯಣ್, ಸುಜುಕಿ ಮತ್ತು ವೆಟ್ಟಾ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಬ್ಸಿಡಿಯ ಮೇಲಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಂಯೋಜಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ವಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ (ಎನ್-1) ವಿ ಸಬ್ಸಿಡಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಒಂದು ಹಂಚಿಕೆಯೂ ಇದೆ, ಅದು ಇಎಫ್1 ಮತ್ತು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದೆ (ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಕಟ್ಟುಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಒಳ್ಳೆಯದರ ಮೂಲಕ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಇದನ್ನು ಸರಳವಾದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಿಂದ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಏಜೆಂಟ್ಸ್-ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಸ್ ಬೈಪಾರ್ಟೈಟ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ-ತೂಕದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೊನೊಟೋನ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ಗರಿಷ್ಠ 2 (ಎನ್-1) ವಿ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಒ (ಎನ್ 2 ವಿ) ಸಬ್ಸಿಡಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಬ್ಸಿಡಿಯು ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯ-ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಕ್ಯಾರೇಜಿಯಾನಿಸ್ ಮತ್ತು ಐಯೋನಿಡಿಸ್ ಅವರು ಸಬ್ಸಿಡಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆಃ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ, ಅವರು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಯಾವುದೇ ನಿಖರತೆಯೊಳಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಬ್ಸಿಡಿಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ε> 0 ಗೆ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಸಬ್ಸಿಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಏಜೆಂಟ್ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ S ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, n ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಅಂದಾಜು ಅಂಶವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಃ ಅನುದಾನದೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು NP-ಕಷ್ಟ. ಗರಿಷ್ಠ 3-ಆಯಾಮದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ನಿಂದ ನಿಗದಿತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಬ್ಸಿಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುದಾನವಿಲ್ಲದ ಹಂಚಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ಸರಾಸರಿ ಪಾವತಿಯನ್ನು ವಿಧಿಸುವುದರಿಂದ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಬಜೆಟ್-ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದೆ. ಸಬ್ಸಿಡಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಯಾವುದೇ ಏಜೆಂಟ್ ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಏಜೆಂಟರು ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವಾಗ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಬ್ಸಿಡಿಯನ್ನು (ತೆರಿಗೆ) ಬಳಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹಣದ ಮೊತ್ತವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಹಂಚಿಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಾದ ಅಲ್ಕಾನ್, ಡಿಮ್ಯಾಂಜ್ ಮತ್ತು ಗೇಲ್ ತೋರಿಸಿದರು. ವಸ್ತುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಮೀರ್ಟೆನ್ಸ್, ಪಾಟರ್ಸ್ ಮತ್ತು ರೀಜ್ನಿಯರ್ಸ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಮೇಲೆ ಬಹಳ ಸೌಮ್ಯವಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರೆಟೋ-ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಹಂಚಿಕೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಕ್ವಾಸಿಲೀನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ). ಕಾವಲ್ಲೋ ಅಸೂಯೆ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ದಕ್ಷತೆ (ಕಲ್ಯಾಣ) ಯ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಅವಳಿ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಫೇರ್ ಡಿವಿಷನ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಹಂಚಿಕೆ-ದಕ್ಷ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಟ್ಟ-ಕೇಸ್ ಕಲ್ಯಾಣ ದರವು 0 ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ದರವು 1 ಆಗಿದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಟ್ಟ-ಕೇಸ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನ್ಯಾಯಯುತ ವಿಭಜನೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಲ್ಯಾಣ, ಕಡಿಮೆ ಅಸೂಯೆ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಅವನು ಹುಡುಕುತ್ತಾನೆ. ವಿಸಿಜಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬೈಲೆಯ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾವಲೊಗಳ ಪುನರ್ವಿತರಣೆಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಬೆಲೆ ಖರೀದಿದಾರರಿಗೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವಾಗ, ಪಾವತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಸೂಯೆ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಮಾರಾಟಗಾರರ ಆದಾಯವನ್ನು ಅಥವಾ ಸಾಮಾಜಿಕ ಕಲ್ಯಾಣವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಬೆಲೆ ನಿಗದಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಉದ್ದೇಶಗಳು ಅನೇಕವೇಳೆ, ನ್ಯಾಯೋಚಿತತೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಇತರ ಕೆಲವು ಉದ್ದೇಶಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವಾಗ, ಅಸೂಯೆ ತಪ್ಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೇಕ್ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು (-ಕೊನೆಯ ಏಜೆಂಟ್ನ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಯ) ಎರಡೂ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಮುಯಾಲೆಮ್ ಅಸೂಯೆಯ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಖಾತರಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ವಿತ್ತೀಯ ಪಾವತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನ್ಯಾಯಯುತವಾದ ಐಟಂ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಣಕಾಸಿನ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ನ್ಯಾಯಸಮ್ಮತವಾದ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಅಜೀಜ್ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಸಂಯೋಜಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾದ ಯಾವುದೇ ಪೂರಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳಿಗೂ ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆಃ ಸಂಯೋಜಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳಿಗೆ, ಅಸೂಯೆ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಬಜೆಟ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಇದೆ (ಸಬ್ಸಿಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಬಜೆಟ್-ಸಮತೋಲನವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ). ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಹಂಚಿಕೆಯು ಇಎಫ್ಇಕ್ಯೂ-ಕನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಇಎಫ್ + ಇಕ್ಯೂ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಬ್ಸಿಡಿಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಕನಿಷ್ಠ ಸಬ್ಸಿಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಇ. ಎಫ್. ಇ. ಕ್ಯು-ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎನ್. ಪಿ-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಂಶದೊಳಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸರಳವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ ಇಎಫ್ ಹಂಚಿಕೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು (ಇದಕ್ಕೆ 0 ಸಬ್ಸಿಡಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ) ಎನ್ಪಿ-ಹಾರ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಗರಿಷ್ಠ (ಎನ್-1) ಎಂವಿ ಸಬ್ಸಿಡಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಯೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂಬುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತ ಐಟಂ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಹಣದ ವರ್ಗಾವಣೆಯಿಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಪದಾರ್ಥಗಳ ಹಂಚಿಕೆ