Bicrossed product of Hopf algebra
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬೈಕ್ರಾಸ್ ಮಾಡಲಾದ ಉತ್ಪನ್ನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದವುಗಳಿಂದ ಹೊಸ ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಗುಂಪುಗಳ ಜಪ್ಪಾ-ಸ್ಜೆಪ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1981 ರಲ್ಲಿ ಎಂ. ಟೇಕೂಚಿ ಅವರು ಚರ್ಚಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಈಗ ಇದು ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಡಬಲ್ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಬೈಕ್ರಾಸ್ ಮಾಡಲಾದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ಬಯಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು, ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮತ್ತು ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಯಾದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಬಯಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಹಉತ್ಪಾದನೆಯ ಸ್ವೀಡ್ಲರ್ನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲಿಸಿದ ಜೋಡಿ ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಿದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬೈಕ್ರಾಸ್ಡ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಘಟಕವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕೌಂಟಿಟ್ ಆಗಿದೆ; ಕೋಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ; ಆಂಟಿಪೋಡ್ ಆಗಿದೆ. ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಡಬಲ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ, ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಬೈಕ್ರಾಸ್ ಮಾಡಲಾದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಡಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು