Complex hyperbolic space
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗವು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಏಕೈಕ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯು-1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು,-1 ಮತ್ತು-1/4 (ಅಥವಾ-4 ಮತ್ತು-1, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಆಯ್ಕೆಯ ಪ್ರಕಾರ) ನಡುವೆ ಚುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಸಿಎಟಿ (-1/4) ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಹ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಸಾಂದ್ರವಲ್ಲದ ಪ್ರಕಾರದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೂರು ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದು, ನೈಜ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ, ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಸಾಧಾರಣ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು, ಅದು ಕೇಲೆ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡೆಲ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ನ ಹುಸಿ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪವಾಗಿರಲಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮಾದರಿಯು ಈ ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿತ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಾಗಿ, ಈ ಜಾಗವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾಹಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ನೋಡಬಹುದು. ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಯಾವಾಗ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಯೋಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಹಾಳೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾದರಿಯ ಮೇಲೆ ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದೆ (ಫೈಬರ್ ನೈಜ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ). ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಕೋನ್ಗೆ ಸೇರಿದರೆ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ನಿರ್ಬಂಧವು ಈ ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಧನಾತ್ಮಕ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಜಾಗವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣನೆಯಿಂದ ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು-4ರ ಬದಲಿಗೆ-1ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಲು, ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಒಂದು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸೀಗೆಲ್ ಮಾದರಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಸೀಗೆಲ್ ಮಾದರಿಯು ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಲೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಬೌಂಡರಿಯ ಮೂಲಕ ಘಟಕ ಚೆಂಡಿಗೆ ಬಯೋಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಏಕಮಾನದ ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿಯನ್ನು ಚೆಂಡಿನ ಗಡಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ನೈಜ ಆಯಾಮದ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಮಾನವಾಗಿದೆಃ ಕ್ಯಾಟ್ (0) ಜಾಗವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಗಡಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಗಡಿಯು ಈಗಷ್ಟೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಗಡಿಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನೆಯು (ಬೆಸ ಆಯಾಮದ) ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಪರ್ಕ ರಚನೆಯೂ ಆಗಿದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಂಪು ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಥಳದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪು ಲೈ ಗುಂಪು. ಈ ಗುಂಪು ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕವು ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗವು ಏಕರೂಪದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕವು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗವು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜಾಗವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹುಸಿ-ಏಕತ್ವ ಗುಂಪು ಇದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪು ಸಹ ಈ ಜಾಗದ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಹೀಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ರೌವರ್ನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬೇಕು. ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಮೂರು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿದರೆ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ (ಅಥವಾ ಲಾಕ್ಸೋಡ್ರೋಮಿಕ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವಾಸಾವಾ ವಿಭಜನೆಯು ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಇದು ನೈಜ ಆಯಾಮದ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವಿಭಜನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು (ನಂತರ ಫಿಕ್ಸಿಂಗ್ನ ಏಕರೂಪದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪು) ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಹೋಗುವ ಒಂದು ಆಧಾರಿತ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆ (ನಂತರ ಈ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನುವಾದವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತ ಯಾವುದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಭಾಗವಿಲ್ಲ) ಮೂಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು, ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ವಿಭಜನೆಗೆ, ಉಪಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸೀಗೆಲ್ ಮಾದರಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಜಾಗದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಈ ಜಾಗವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು-4 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು (ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ). ಈ ಗುಣವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬಯೋಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ, ನೀಡಲಾದ ಸ್ಥಿರ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸ್ಥಿರ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಅನಂತ ಕೋನಗಳು. ಈ ಕೋನವು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯು-4 ರಿಂದ (ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ)-1 ರವರೆಗೆ (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೈಜ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ) ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮ 1 ರಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ ಸಮತಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ ಆಯಾಮ 1 ರ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಳವು-1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಏಕರೂಪತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ನೈಜ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದ ಮತ್ತೊಂದು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇದು ನೈಜ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣಕವಾಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದರೆ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳ, ಇದು ಮತ್ತೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾವಾಗ 1ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು n ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಸಬ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆಃ ಸಣ್ಣ ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ನಕಲು, ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ನೈಜ ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ನಕಲು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ 1 ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಇಲ್ಲ. ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ರೀನೋರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ವರೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಚೆಂಡಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಯೋಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕೂಡ ಕೋಬಯಾಶಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನರ್ರಚನೆಯವರೆಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.