Bayesian quadrature
ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಎಂಬುದು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಬಯೇಸಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಯೇಸಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಬಯೇಸಿಯನ್ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ" ಅಥವಾ "ಬಯೇಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಬಹು-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಬಯೇಸಿಯನ್ ಕ್ಯೂಬೇಚರ್" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣವು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ (ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ). ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಅಳತೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಂದರೆ. ತೂಕವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮವು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ರೂಪದ ಅಂದಾಜುದಾರನಾಗಿದ್ದು, ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತದೆ. "ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್" ಎಂಬ ಹೆಸರು ಹಿಂಭಾಗದ ಅರ್ಥವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಅದರ ತೂಕವನ್ನು ಮೊದಲಿನ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಯೇಸಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಂಯೋಜಿತ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪೂರ್ವ ಸರಾಸರಿ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಕಾರ್ಯ (ಅಥವಾ ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯ) ದೊಂದಿಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯು ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಕರ್ನಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿ,, ಮತ್ತು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯು ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಕರ್ನಲ್ ಸರಾಸರಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹಿಂಭಾಗದ ಸರಾಸರಿ ತೂಕದೊಂದಿಗಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂಭಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಬಳಕೆದಾರರ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೆಚ್ಚು ಸವಾಲಿನ ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಲಾಗದಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಕರ್ನಲ್ ಹೈಪರ್ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು. ಕರ್ನಲ್ ಹೈಪರ್ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳ ಅಂದಾಜು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಮೃದುತ್ವ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಉದ್ದದ ಮ್ಯಾಟರ್ನ್ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ-ಅರ್ಥ ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಬೇಯೇಸಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಬಿಂದುವಿನ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಹಿಂಭಾಗದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಒಮ್ಮುಖವು, ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿದಂತೆ, ನಿಜವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸುತ್ತಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಅದರ ಜೊತೆಗಿನ ಅನಿಮೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆದರೂ ಬೇಸರದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ). ಅನುಕೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲಗಳು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದು ಕೆಲವು ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆಃ ಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ದೋಷದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಪ್ರಸಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಈಗ ವಿವರಿಸಿದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕವಾದ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಗಳ ವಿವೇಕಯುತ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ವ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ತಾತ್ವಿಕ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಮಾಹಿತಿಯ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಆಸಕ್ತಿಯ ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಥವಾ ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಕ್ರಿಯ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಈ ಅರ್ಹತೆಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಬಯೇಸಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಧಾನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಬಯೇಸಿಯನ್ ಮಾದರಿಯು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣದ ತಾತ್ವಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ನಂತರದ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಅಂದಾಜಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇ. ಜಿ. ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ, ಕರ್ನಲ್ ಸರಾಸರಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಅಳತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಬಯೇಸಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ವಿಧಾನಗಳ ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇನ್ವರ್ಟಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವೆಚ್ಚದಿಂದಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ವಿನ್ಯಾಸ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಗಳು ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಪ್ರಯೋಜನದಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತು ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮುಂಚಿನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ಮೃದುತ್ವ, ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಾರ್ಸಿಟಿ ಸೇರಿದಂತೆ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪೂರ್ವ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಲವಾರು ಇತರ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಬಹು-ಔಟ್ಪುಟ್ ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವಾಗ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೇಯೇಸಿಯನ್ ಸಂಯೋಜಕ ಹಿಂಜರಿತ ಮರಗಳಂತಹ ಮರ-ಆಧಾರಿತ ಪ್ರಿಯರ್ಗಳು, ಅವು ನಿರಂತರತೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಏಕೀಕರಣ ಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒಂದೋ ನೀಡಲಾಗಿದೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಹಿಂಭಾಗವು ವೇಗವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ವಿಧಾನವು ಇತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೋಗೆ ಬೇಯೇಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿತರಿಸಿದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಕಡಿಮೆ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅಥವಾ ಜಾಲರಿಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಅರೆ-ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೋಗೆ ಬೇಯೇಸಿಯನ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಬಿಂದು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ಕೇಲೆಬಲ್ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂದಾಜುದಾರರನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಿಂದು ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಯಾರು ಬಳಸಿಕೊಂಡರು ಎಂಬುದರ ಕೆಲಸವನ್ನು ನೋಡಿ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಬಹು-ಔಟ್ಪುಟ್ ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ನಂತರದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಕ್ರಿಯ ಕಲಿಕೆ ಮತ್ತು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿನ್ಯಾಸದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಕರ್ನಲ್ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ದೋಷ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಾಗ ಎದುರಾಗುವ ಸವಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರ್ನಲ್ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಂತಹ ಕರ್ನಲ್ ಆಧಾರಿತ ದೂರಗಳ ಗಣನೆಗೆ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ದೋಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವ ಮೊದಲು ಏಕೀಕರಣ ದೋಷದ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಕರ್ನಲ್ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ದೋಷವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೋಷ್ಟಕ 1 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಬಯೇಸಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಖಾತರಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಮೃದುತ್ವದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇತ್ತೀಚಿನ ಕೆಲಸವು ಗೌಸಿಯನ್ ಕರ್ನಲ್ನ ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಅಥವಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗ್ರಿಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೂ ಸಹ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಪ್ರೋಬ್ನಂಃ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಪೈಥಾನ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು. ಎಮುಕಿಟ್ಃ ಪೈಥಾನ್ನಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಕರಣೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಕ್ಯೂಎಂಸಿಪೈಃ ಪೈಥಾನ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಎಂಸಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ (ಚತುರ್ಭುಜ) ಬಯೇಸಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನ