Quaternion estimator algorithm
ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಎಸ್ಟಿಮೇಟರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ (ಕ್ಯೂ. ಯು. ಇ. ಎಸ್. ಟಿ) ವಾಹ್ಬಾ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಎರಡು ಅವಲೋಕನಗಳ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡುವೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾಹ್ಬಾ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. 1981ರಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸಸ್ ಕಾರ್ಪೊರೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾಗ ಮಾಲ್ಕಮ್ ಡಿ. ಶುಸ್ಟರ್ ಈ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಡೇವನ್ಪೋರ್ಟ್ನ ಕ್ಯೂ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯಂತಹ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ದೃಢವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ರೊಬೊಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಏವಿಯಾನಿಕ್ಸ್ನಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ತನೆ ನಿರ್ಣಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹ್ಬಾ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ನಷ್ಟದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವಾಹಕ ಅವಲೋಕನಗಳು, ದೇಹದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವಾಹಕ ಅವಲೋಕನಗಳು, ಎರಡು ಚೌಕಟ್ಟುಗಳ ನಡುವಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ತೂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಿದಾಗ ನಷ್ಟವು ಕನಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲಾಭದ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಇದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಲಾಭವನ್ನು ವರ್ತನೆ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಪರಿಭ್ರಮಣವನ್ನು ವಾಹಕ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಏಕ ಚತುರ್ಥಕವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದು ವಾಹಕದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ದಿಕ್ಕಿನ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಕೋನದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಏಕತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ನಿಯತಾಂಕದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಈಗ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಗೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪವನ್ನು ಏಕತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಅದು ಯಾವಾಗ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೂಕ್ತವಾದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ರೋಡ್ರಿಗಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಇರುವ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂಕ್ತ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ (ನಷ್ಟವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ). ಇದು ರೋಡ್ರಿಗಸ್ ವಾಹಕದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೂಕ್ತವಾದ ಚತುಷ್ಕೋಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಾಹಕವು ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ. ರೋಡ್ರಿಗಸ್ ವಾಹಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಪರಿಹಾರದ ಪರ್ಯಾಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಸಂವಹನ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಾಹಕದ ಹೊಸ ರಚನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೂಕ್ತವಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಮೀಕರಣದೊಳಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಯಾರ ಮೂಲವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದೆಂಬುದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, 1 ಅನ್ನು ಪರಿಹಾರದ ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ). ಟ್ರಯಾಡ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ವಾಹ್ಬಾ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂಲಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನೌಕೆಯ ವರ್ತನೆ ನಿಯಂತ್ರಣ