Klein–Kramers equation
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಲೈನ್-ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ರಾಮರ್ಸ್-ಚಂದ್ರಶೇಕರ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಫಾಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ, ಇದು ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳು, ಮತ್ತು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ಲೈನ್-ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಬಾಹ್ಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ, ಕಣ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಘರ್ಷಣೆ (ಎಳೆತ) ಗುಣಾಂಕ, ತಾಪಮಾನ, ಮತ್ತು ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಕ್ಲೈನ್-ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮೂಲಕ ಅಸಂಗತ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲೈನ್-ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಭೌತಿಕ ಮಾದರಿಯು ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಂತಲ್ಲದೆ, ಅಂಡರ್ಡ್ಯಾಂಪ್ಡ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯು ಘರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆವೇಗವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಣದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಶಬ್ದ ಪದದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ). ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದಲೂ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಕಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಗೆವಿನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಂಭವನೀಯ ಪಥಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಾಸರಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಕ್ಲೈನ್-ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಮುಕ್ತ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ-ಆಯಾಮದ ಮುಕ್ತ-ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬಲವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅನಂತದಲ್ಲಿ 0 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೋರ್ಸ್ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗಿನ 1ಡಿ ಫ್ರೀ-ಸ್ಪೇಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, 1943ರಲ್ಲಿ ಸುಬ್ರಮಣಿಯನ್ ಚಂದ್ರಶೇಖರ್ (ಅವರು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ರೂಪಿಸಿದರು) ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ಗಾಸಿಯನ್ ಪರಿಹಾರಃ ಅಲ್ಲಿ ಈ ವಿಶೇಷ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಃ ಅಂತೆಯೇ, ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೋರ್ಸ್ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ 3ಡಿ ಫ್ರೀ-ಸ್ಪೇಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು 1ಡಿ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆ ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಫ್ರೀ-ಸ್ಪೇಸ್ ಕ್ಲೈನ್-ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಂತೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಂದ್ರತೆಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮುಕ್ತ-ಸ್ಥಳ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕ್ಲೈನ್-ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದ 1ಡಿ, ಸಮಯ-ಸ್ವತಂತ್ರ, ಬಲ-ಮುಕ್ತ () ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅರೆ-ಅನಂತ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವೇಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗಡಿ ಪದರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಡೊಮೇನ್ನ ಅರ್ಧಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಗಡಿ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಎಡ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರ್ಧ () ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅರ್ಧ (). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರೆ-ಅನಂತ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಬಹುದುಃ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ. ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೋರ್ಸ್ ಬೌಂಡರಿ ಷರತ್ತಿಗೆ, ಪರಿಹಾರವು ಅನಂತ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಕ್ಲೈನ್-ಕ್ರಾಮರ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಆಯಾಮದ-ಅಲ್ಲದ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಸಮಯವನ್ನು ಮತ್ತು ನ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಆಯಾಮರಹಿತವಾಗಿವೆ. ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದಾದರೆ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವೀನರ್-ಹಾಪ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಯು ಸರಣಿಯ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಫಾಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಓರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಉಹ್ಲೆನ್ಬೆಕ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ರೇಖೀಯ ಸಾರಿಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್ ಸಾರಿಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.