K-stability of Fano varieties
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯು ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ರಚನೆಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಸರಿಯಾದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಕಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1997 ರಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಗ್ಯಾಂಗ್ ಟಿಯಾನ್ ಅವರು 1993 ರಿಂದ ಶಿಂಗ್-ತುಂಗ್ ಯೌ ಅವರ ಊಹೆಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು, ಇದು ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಈ ಹಿಂದೆ ತೋಶಿಕಿ ಮಾಬುಚಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕೆ-ಎನರ್ಜಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟಿಯಾನ್ನ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು 2001ರಲ್ಲಿ ಸೈಮನ್ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿದರು. ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. 2012 ರಲ್ಲಿ ಕ್ಸಿಕ್ಸಿಯಾಂಗ್ ಚೆನ್, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್, ಮತ್ತು ಸಾಂಗ್ ಸನ್ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಗ್ಯಾಂಗ್ ಟಿಯಾನ್ ಅವರು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಮೃದುವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಬರ್ಮನ್-ಬೌಕ್ಸಮ್-ಜಾನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರ ಕೆಲಸದಿಂದಾಗಿ ಇದನ್ನು ನಂತರ ಏಕವಚನ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಯಿತು. ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವ ಅವಲೋಕನಗಳು ಉತ್ತಮ ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸ್ಥಿರ ವಸ್ತುಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಒರಟಾದ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಚೆನ್ಯಾಂಗ್ ಕ್ಸು ಮತ್ತು ಇತರರ ಕೆಲಸದ ಮೂಲಕ ಈಗ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಈ ಕೃತಿಯು ಕೌಚರ್ ಬಿರ್ಕರ್ ಅವರ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಿತಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರಿಗೆ 2018ರ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಪದಕವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಫುಜಿಟಾ-ಲಿ ಮತ್ತು ಒಡಕಾಗಳ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸುಧಾರಣೆಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಯಾವ ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಒಂದು, ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಟಿಯಾನ್ ಅವರು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರು, ಅವರು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಫುಟಾಕಿ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಕ್ಷೀಯ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ನಂತರ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮರುರೂಪಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಶಾಲ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುವ ಬದಲು ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೇರ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿತು. ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯ ಕೇಂದ್ರ ತಂತಿಯ ಮೇಲಿನ-ಕ್ರಿಯೆಯ ತೂಕವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಫುಟಾಕಿ ಅಸ್ಥಿರವನ್ನು ಕೆಲವು ಛೇದಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ಟಿಯಾನ್ನ ಕೆಲಸವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಸಿಎಮ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ತೂಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ). ಫಾನೋ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ವೈವಿಧ್ಯದ ಆಂಟಿಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ಭಾಜಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಈ ಛೇದಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಫಾನೋ ವೈವಿಧ್ಯದ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ದ್ವಿಗುಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಲ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಆದರೆ ಸಮಾನವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಅಥವಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸುಲಭ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು-ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು-ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಆಂಟಿಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ಡಿವಿಸರ್ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಕವಾಮಟಾ ಲಾಗ್ ಟರ್ಮಿನಲ್ (ಕೆ. ಎಲ್. ಟಿ) ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದವಾಗಿದೆ. ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ-ಗೋರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಕ್ಕೆ (ಅಂದರೆ, ಆಂಟಿಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ಡಿವಿಸರ್-ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದ) ಮಾಡಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಕೆ-ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದವು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಕ್ಲೈಟ್ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಒಡಕಾದಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಕೆಟ್ಟ ಕ್ಲೈಟ್ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು-ಲಾಗಿಂಗ್ ಫ್ಯಾನೋ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ನೇರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕೆ. ಎಲ್. ಟಿ ವಿಧದ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕೆ. ಎಲ್. ಟಿ ವಿಭಾಜಕವು ಸಾಕಷ್ಟು ಮತ್ತು-ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಾಗಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ-ಫ್ಯಾನೋ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು, ಅನೇಕ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು. ಒಬ್ಬರು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು (ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನೋಡಿ) ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೊರಿಕ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಯಾವಾಗಲೂ ಟೊರಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದು ಟೊರಿಕ್ ಪ್ರಭೇದದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಅವರು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಕುರಿತಾದ ತಮ್ಮ ಮೊದಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರೀಯ ನಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಳೀಕೃತ ಕೇಂದ್ರ ನಾರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಟಿಯಾನ್ನ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಫುಟಾಕಿ ಅಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ ಛೇದಕ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರವಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಈ ಅಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು-ಫ್ಯಾನೋ ವಿಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗೆ K-ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ 2 ಗುಂಪಿನ ಹೊರಗಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರದ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗೆ K-ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾನದಂಡ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರ ಕೆ-ಸ್ಥಿರ ಕೆ-ಸಮಾನವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳಿವೆ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದವು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಜಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗ, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅಕಿಟೋ ಫುಟಾಕಿ ಗಮನಿಸಿದರು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ "ಕ್ಷುಲ್ಲಕ". ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಗರಿಷ್ಠ ಟೋರಸ್ನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಾನವಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಇದು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಿಲಿಟಿ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯು ಕ್ರೋಡೀಕರಣ 2 ರ ಗುಂಪಿನ ಹೊರಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯ ಕಡಿಮೆ-ಮಾನದಂಡ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಧನಾತ್ಮಕ-ಆಯಾಮದಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಕೆ-ಸಮಾನವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸ್ಥಿರತೆಗಿಂತ ಆದ್ಯತೆಯಿಂದ ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಫುಟಾಕಿ ಅಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯದ ಮೇಲಿರುವ ಏಕರೂಪದ ಬಂಧವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು-ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಿರತೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಏಕರೂಪದ ಬಂಧವು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಬಂಧಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕೆ-(ಪಾಲಿ) ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಧ್ರುವೀಕೃತ ವೈವಿಧ್ಯದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯು ಕೆ-(ಪಾಲಿ) ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು. ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ನಾವು ಕೆಲವರಿಗೆ ವಿಭಾಜಕಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ನಾರು ಸಹ-ಫ್ಯಾನೋ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವಿಶೇಷ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ವಿಶೇಷ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗಳಿಗಾಗಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯ ಕೇಂದ್ರ ನಾರು ಕೂಡ ಫ್ಯಾನೊ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವು ಬೈರೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನೊಂದಿಗೆ ಬಲವಾದ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಹಲವಾರು ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಡಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಡಿಂಗ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯ ಲಾಗ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಡಿಂಗ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು, ಡಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೇಲಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಡಿಂಗ್ (ಅರೆ/ಪಾಲಿ) ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಂಗ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಫುಟಾಕಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಯು ವಿಶೇಷವಾದಾಗ, ಡಿಂಗ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಫುಟಾಕಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದವರೆಗೆ ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಫಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಡಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರತೆಯು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ತಿಳಿದಿರುವ ಮೊದಲ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಟಿಯಾನ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮೂಲತಃ ಟಿಯಾನ್ನ ಕೃತಿಯನ್ನು ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು ನಂತರದ ಕೆಲಸದಿಂದ ಪ್ರತಿ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಟಿಯಾನ್ನ ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಟಿಯಾನ್ನ ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಮೇಲಿನ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆ ಅಥವಾ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಿಬಿಲಿಟಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಕಹ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ನಂತರ ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗೆ ಒಳಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಲಾಗ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮಿತಿಯ ಅನಂತ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಲ್ಫ್ರೊ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಎಂದು ಒಡಕ-ಸಾನೊ ನಂತರ ಗಮನಿಸಿದರು. ನಿಖರವಾಗಿ, ಡಿಮೈಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ ಇದು ಕೇವಲ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಬೀಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಬೈರೇಷನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಫ್ಯೂಜಿಟಾ ಮತ್ತು ಲಿ ಅವರು ಫಾನೋ ಪ್ರಭೇದದ ಭಾಜಕಗಳು ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಕೃತಿಯು ರಾಸ್-ಥಾಮಸ್ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ವಿಚಾರಗಳಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದೆ, ಇದು ವೈವಿಧ್ಯದ ಉಪಘಟಕಗಳಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿತು. ಈ "ಇಳಿಜಾರು" ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ, ಒಳಗಿನ ವಿಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ಜನನ ಮಾದರಿಯೊಳಗಿನ ವಿಭಾಜಕಗಳಿಗೂ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ, ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು "ಸಾಕಷ್ಟು" ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರಾಸ್-ಥಾಮಸ್ ಅವರ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸಬ್ಶೀಮ್ನ ಶೇಷಾದ್ರಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕದವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಫುಜಿಟಾ ಅರಿತುಕೊಂಡರು, ಅಲ್ಲಿ ಬ್ಲೋ-ಅಪ್ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಭಾಜಕವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಪ್ಪಂದದ ಮೂಲಕ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸೂಡೊಇಫೆಕ್ಟಿವ್ ಮಿತಿಯವರೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಜಕವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಭಾಜಕವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಸೂಡೊಇಫೆಕ್ಟಿವ್ ಮಿತಿಯು ಶೇಷಾದ್ರಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ). ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಯು ಫುಜಿಟಾ ಮತ್ತು ಲೀಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು-ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಡಿವಿಸರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸರಿಯಾದ ಬೈರೇಷನಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವಂತಹ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೈವಿಧ್ಯದೊಳಗೆ ವಿಭಾಜಕವಿದ್ದರೆ ಅದು ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬ್ಲೋ ಅಪ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ). ಒಂದು ವಿಭಾಜಕದ ಲಾಗ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಜಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಯನ್ನು ನೋಡಿ). ವಿಭಾಜಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೈರೇಷನಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಅಸಾಧಾರಣ ಸ್ಥಳದಿಂದ ದೂರ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಡಿವೈಸರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅದರ ಅಸಾಧಾರಣ ಲೋಕಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು, ಎಲ್ಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಅಸಾಧಾರಣ ಲೋಕಸ್ನಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲ. ದಾಖಲೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ X ಕವಾಮಾತಾ ಲಾಗ್ ಟರ್ಮಿನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಓವರ್ಗೆ ಮಾತ್ರ. ಬೀಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಒಂದು ಪರಿಮಾಣ ಪದವೂ ಸಹ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಿಭಾಜಕದ ಪರಿಮಾಣವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅದರ ವಿಭಾಗಗಳ ಸ್ಥಳವು ಬೆಳೆಯುವ ದರವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬೀಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಫ್ಯುಜಿಟಾ ಮತ್ತು ಲಿ ಅವರು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಬೈರೇಷನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಯುತ ಸಾಧನಗಳಿಂದಾಗಿ, ಈ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಅನೇಕ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬೈರೇಷನಲ್ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿನ ಭಾಜಕಗಳ ರಚನೆಯು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಅಥವಾ ಕೈಯಿಂದಲೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. - ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯು ಫುಜಿಟಾ ಮತ್ತು ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮೊದಲು (ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ) ಗಮನಿಸಿದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿದೆ. ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು "ಅಡಿಟಿವ್" ಬೀಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ "ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್" ಆವೃತ್ತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಜಕಗಳ ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳ ಏಕರೂಪದ ಅಳತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿವಿಸರ್ನ ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಬೀಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು "ಕ್ವಾಂಟೈಸ್ಡ್" ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ಫುಜಿಟಾ-ಒಡಾಕ ಅವರು ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ವಾಂಟೈಸ್ಡ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು m-ಬೇಸ್ ಪ್ರಕಾರದ ಭಾಜಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಇವುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ಗಳ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಣನೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪರಿಚಯವಾದಾಗಿನಿಂದ ಸಂಭವಿಸಿದೆ. ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಹಾನ್ ರಿಕ್ಕಿ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲರ ಸರ್ವೋನ್ನತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂತಹ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರಂತರತೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಎಷ್ಟು ದೂರ ಕ್ರಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಗ್ರೇಟೆಸ್ಟ್ ರಿಕ್ಕಿ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಕಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿರಂತರತೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ನಿರಂತರತೆಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಷ್ಟು ದೂರ ಹೋಗಬಹುದು, ಅತಿದೊಡ್ಡ ರಿಕ್ಕಿ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಟೊರಿಕ್ ಫ್ಯಾನೊ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಲೀಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಟೊರಿಕ್ ಫ್ಯಾನೋಗೆ, ಮೂಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಮೊಮೆಂಟ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಬ್ಯಾರಿಸೆಂಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಕಿರಣವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅನುಪಾತದಿಂದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ರಿಕ್ಕಿ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫ್ಯಾನೋ ಟೊರಿಕ್ಗೆ ಅದರ ಬೇರಿಸೆಂಟರ್ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಇರುತ್ತದೆ. ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ), ಅದರ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಬ್ಯಾರಿಸೆಂಟರ್ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಟೊರಿಕ್ ಫ್ಯಾನೊ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಚಯದಿಂದ, ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಈಗ ಇವೆ. ಈ ಊಹೆಗಳು ವಿಶಾಲವಾಗಿ ಯೌ-ಟಿಯಾನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಊಹೆಯ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ. ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಈ ಊಹೆಯು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಯೌ ಮತ್ತು ಟಿಯಾನ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮೀರಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಫ್ಯಾನೋಸ್ನ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಯೌ-ಟಿಯಾನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಊಹೆಯ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ವೈಟಿಡಿ ಊಹೆಯು ನಯವಾದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮೀರಿದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಊಹೆಯ ರೂಪಗಳು ಈಗ ಏಕವಚನ ಫ್ಯಾನೋಸ್ ಮತ್ತು ಲಾಗ್ ಫ್ಯಾನೋಸ್ಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿವೆ. ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಮುಂದುವರಿದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಟಿಯಾನ್ ತನ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾನೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಬರ್ಮನ್ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರು. ಯೌ-ಟಿಯಾನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಊಹೆಯ ಹಿಮ್ಮುಖ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಮೊದಲು ಚೆನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಸನ್ ಹೇಳಿದಂತೆ ನಯವಾದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಟಿಯಾನ್ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಪುರಾವೆಗೆ ಸಮಾನ ಆದ್ಯತೆ ಎಂಬ ಟಿಯಾನ್ನ ಹೇಳಿಕೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಚೆನ್, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಸನ್ ಆರೋಪಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವರು ಅವನ ಮೇಲೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ದುಷ್ಕೃತ್ಯದ ಆರೋಪ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಟಿಯಾನ್ ಅವರ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಚೆನ್, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಸನ್ ಅವರನ್ನು ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಪ್ರತಿಷ್ಠಿತ 2019 ವೆಬ್ಲೆನ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯು ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಬ್ರೇಕ್ಥ್ರೂ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಅವರಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬ್ರೇಕ್ಥ್ರೂ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಸನ್ ಅವರಿಗೆ ನ್ಯೂ ಹೊರೈಜನ್ಸ್ ಬ್ರೇಕ್ಥ್ರೂ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ, ಇದು ಭಾಗಶಃ ಚೆನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಸನ್ ಮತ್ತು ಟಿಯಾನ್ ಅವರೊಂದಿಗಿನ ಅವರ ಕೆಲಸದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಚೆನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಸನ್ ಮತ್ತು ಟಿಯಾನ್ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಯ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಫಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಗ್ರೊಮೊವ್-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮಿತಿಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ತೀರಾ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ನಿರಂತರತೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವೇದ್ ದಾತರ್ ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಬರ್ ಸ್ಜೆಕೆಲಿಹಿಡಿ ಒದಗಿಸಿದರು, ನಂತರ ಚೆನ್, ಸನ್ ಮತ್ತು ಬಿಂಗ್ ವಾಂಗ್ ಅವರು ಕಹ್ಲರ್-ರಿಕ್ಕಿ ಹರಿವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ರಾಬರ್ಟ್ ಬರ್ಮನ್, ಸೆಬಾಸ್ಟಿಯನ್ ಬೌಕ್ಸಮ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟಿಯಾಸ್ ಜಾನ್ಸನ್ ಸಹ ಹೊಸ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು, ಇದು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಬರ್ಮನ್-ಬೌಕ್ಸಮ್-ಜಾನ್ಸನ್ನ ಪುರಾವೆಯು ನಯವಾದ ಲಾಗ್ ಫ್ಯಾನೊ ಜೋಡಿಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಿಲಿಟಿ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಡೆರ್ವಾನ್ ಮತ್ತು ಬೌಕ್ಸಮ್-ಹಿಸಾಮೊಟೊ-ಜಾನ್ಸನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿಬಿಜೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ವೈಟಿಡಿ ಊಹೆಯ ಹೊಸ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಬರ್ಮನ್-ಬೌಕ್ಸಮ್-ಜಾನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಫುಜಿಟಾ-ಒಡಾಕಾದ ಕ್ವಾಂಟೈಸ್ಡ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಝಾಂಗ್ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ವೈಟಿಡಿ ಊಹೆಯ ಸಣ್ಣ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಆಧಾರಿತ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದರು. ಇತರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬರ್ಮನ್ ಏಕರೂಪದ ಗಿಬ್ಸ್ ಸ್ಥಿರತೆ ಎಂಬ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೈಟಿಡಿ-ರೀತಿಯ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಹ ತಯಾರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲವಾದ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬರ್ಮನ್-ಬೌಕ್ಸಮ್-ಜಾನ್ಸನ್ ಅವರ ಯೌ-ಟಿಯಾನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಊಹೆಯ ಹೊಸ ಪುರಾವೆಯು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ತೆರೆಯಿತು. ಬಳಸಿದ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ತಂತ್ರಗಳು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟೇಬಲ್ ಎಂಬುದು-ಲಾಗ್ ಫ್ಯಾನೋ ಜೋಡಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದ್ದು, ದುರ್ಬಲವಾದ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು-ಫ್ಯಾನೋ ವಿಧದ ಮೇಲೆ ದುರ್ಬಲವಾದ ಕಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ-ಪ್ರವಾಹವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಒಂದು ನಯವಾದ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಕಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಜಕದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಜೋಡಿಯ ಮೇಲೆ ದುರ್ಬಲವಾದ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ, ವೈಟಿಡಿ ಊಹೆಯ ಹಿಮ್ಮುಖ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಲಿ-ಟಿಯಾನ್-ವಾಂಗ್ ಅವರು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಲಿಯು-ಜು-ಝುವಾಂಗ್ ಅವರ ಸೀಮಿತ ಪೀಳಿಗೆಯ ಊಹೆಯ ನಿರ್ಣಯವು ಕಡಿಮೆ ಏಕರೂಪದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಿಲಿಟಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬರ್ಮನ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಯೌ-ಟಿಯಾನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಊಹೆಯು ಏಕವಚನವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ರಾಶಿಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಾದ್ಯಂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದೆ. ಕೊಲ್ಲಾರ್-ಶೆಫರ್ಡ್-ಬ್ಯಾರನ್ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ಯಾನೊನಿಕ್ ಧ್ರುವೀಕೃತ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕೆಎಸ್ಬಿ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ರಚನೆಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಕೊರತೆ. ಇದು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ರಚನೆಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡಲು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯು ಸರಿಯಾದ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. ಕೆ-ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಕೆ-ಮಾಡುಲಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಮೂತ್ ಕೇಸ್ ಸ್ಮೂತ್ ಫ್ಯಾನೊ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಯೌ-ಟಿಯಾನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಊಹೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಡಕ ಮತ್ತು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಅವರು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಫ್ಯಾನೋಸ್ನ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ವೈಟಿಡಿ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ್ದು, ವಿಭಿನ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೋ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಅನುಪಾತದ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವೈ. ಟಿ. ಡಿ. ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಇವುಗಳು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟೇಬಲ್ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೃದುವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಕಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಗ್ರೊಮೊವ್-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮಿತಿಯು ಏಕವಚನ-ಫ್ಯಾನೊ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಓಡಾಕಾ ಮತ್ತು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ವಿವರಿಸಿದ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾದ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ನಯವಾದ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟೇಬಲ್ ಫ್ಯಾನೋಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಏಕವಚನ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟೇಬಲ್ ಫ್ಯಾನೋಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಏಕವಚನವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಯೌ-ಟಿಯಾನ್-ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಊಹೆಯು ಈ ಸಂಕೋಚನಕ್ಕೆ ದುರ್ಬಲವಾದ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕವಚನವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪರ್ಯಾಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೀಜಗಣಿತದ ತಂತ್ರವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡುಲಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದೊಳಗೆ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಬೇಕು. ಅಂತಹ ಕುಟುಂಬವು ನಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ರೇಖೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಜಿಐಟಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಿರತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲೋಕಸ್ ತೆರೆದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಜಿಐಟಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಳ್ಳೆಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಅಂಶವು ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದೊಳಗೆ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈ ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ನೆಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅವು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಡಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸಮಂಜಸವಾಗಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದನ್ನು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಸ್ವಲ್ಪ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೌಚರ್ ಬಿರ್ಕರ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕೆಲವು ಕುಟುಂಬಗಳು ಸೀಮಿತ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದವು, ಇದು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಪರಿಮಾಣ-ಸೀಮಿತ ಕುಟುಂಬಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಬಿರ್ಕರ್ ಅವರಿಗೆ 2018ರಲ್ಲಿ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಪದಕವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಕೆ-ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್-ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಕೆಳಗಿರುವ ಪರಿಮಾಣವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಜಿಯಾಂಗ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಕೆ-ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್-ಸ್ಥಿರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗದೊಳಗೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲು ದೊಡ್ಡದಾದ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಆಂಟಿಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫ್ಯಾನೋ. ಕೆ-ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ಫ್ಯಾನೊಸ್ನ ಈ ಸ್ಥಳದ ಮುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಬ್ಲಮ್-ಲಿಯು-ಕ್ಸು ಮತ್ತು ಕ್ಸು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಕೆ-ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್-ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಆರ್ಟಿನ್ ಸ್ಟಾಕ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವೆರೈಟಿ ಅಥವಾ ಸ್ಕೀಮ್ ಆಗಿ ನಿಜವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಒಳಗೆ ಕೆ-ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ಫ್ಯಾನೋಗಳ ಎಸ್-ಕಂಪ್ಲೀಟೆನೆಸ್ ಮತ್ತು-ರಿಡಕ್ಟಿವಿಟಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಿಬಿಲಿಟಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಜವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗೆ ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳವಿದೆ, ಇದು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್-ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಿಎಮ್-ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಸಾಕಷ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳವು ಸಹ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದೆ. ಕೆ-ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟೇಬಲ್ ಫ್ಯಾನೋಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದ ಈ ಕೆಳಗಿನ theorem.The ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಲಾಗ್ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಒಡಕ, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಕೋಡೋಗ್ನಿ-ಪಟಕ್ಫಾಲ್ವಿ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಲಿ-ವಾಂಗ್-ಕ್ಸು ಅವರು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಗಮವಾಗಬಹುದಾದ ಏಕವಚನ-ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು (ಅಂದರೆ ಅವು ನಯವಾದ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಫ್ಯಾನೊ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುಟುಂಬಗಳ ಮಿತಿಗಳು) ಮೊದಲು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಅಲ್ಲಿ ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಯೋಜನೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆ-ಮಾಡ್ಯೂಲಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಗದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆ ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಧ್ಯಯನವು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿಯಿತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ರಚನೆಯಿಂದ ಅಥವಾ ಟಿಯಾನ್ನ ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಬಳಕೆಯಿಂದ, ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೊದಲು ಆಯಾಮ 1 ಮತ್ತು 2 ರ ಎಲ್ಲಾ ನಯವಾದ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಆಯಾಮ 3ರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ರಚನೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟೇಬಲ್ ಫ್ಯಾನೊ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕೆಲವು ಕುಟುಂಬಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ಹೊಸ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಿವೆ. ಆಯಾಮ 1 ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದವಿದೆ, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಿಲಿಟಿ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಫುಬಿನಿ-ಸ್ಟಡಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಪ್ರಭೇದವು ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ನಯವಾದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಯು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೇಲೆ ರಾಸ್-ಥಾಮಸ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಯಾಮ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನಯವಾದಾಗ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಆಯಾಮ 2 ಆಯಾಮ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಟಿಯಾನ್ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಡೆಲ್ ಪೆಝೊ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಆಯಾಮ ಎರಡರಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ 10 ವಿರೂಪ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ. ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಟಿಯಾನ್ ಒಂದು ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಸ್ಫೋಟವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಹೀಗಾಗಿ ಈ 10 ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ 8 ವರ್ಗಗಳು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಫ್ಯಾನೋ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಫ್ಯಾನೋ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಕೆ-ಮಾಡ್ಯುಲಿಯನ್ನು ಟಿಯಾನ್ ಮತ್ತು ಮಾಬುಚಿ-ಮುಕಾಯ್ ಅವರು ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಫ್ಯಾನೊ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಒಡಕ-ಸ್ಪಾಟಿ-ಸನ್ ಸಾಧಿಸಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಗ್ರೊಮೊವ್-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸಂಕೋಚನಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಯಿತು ಆದರೆ ಲಾಗ್ ಫ್ಯಾನೊ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತದ ನಯವಾದ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಲೋಕಸ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತದ ನಯವಾದ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳೊಂದಿಗೆ ತೂಕದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಡಕ-ಸ್ಪಾಟಿ-ಸನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮ 3 ರಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಬೀಜಗಣಿತದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಅವು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲು ತಿಳಿದಿರುವ ಆದ್ಯತೆಯಲ್ಲ. ಇಸ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿಖ್-ಮೋರಿ-ಮುಕೈ ವರ್ಗೀಕರಣದ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳು ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಅದರ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಡೆಯುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ 105 ವಿರೂಪ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಫುಜಿಟಾ-ಲಿ ಯ ಬೀಟಾ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಫುಜಿಟಾ-ಒಡಾಕಾದ ಡೆಲ್ಟಾ ಅಸ್ಥಿರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಯಾವ ವಿರೂಪ ಕುಟುಂಬಗಳು ಕೆ-ಸ್ಥಿರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ವಿರೂಪತೆಯ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಕುಟುಂಬದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವು ಕೆ-(ಪಾಲಿ) ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 105 ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ 78 ಕುಟುಂಬಗಳು ತಮ್ಮ ವಿರೂಪತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. 105 ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ 71 ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ, ಇದು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ ವಿರೂಪ ವರ್ಗದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. 105 ವಿರೂಪ ಕುಟುಂಬಗಳ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ, ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಆ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜಿಐಟಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಫ್ಯಾನೊ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ ಕೆ-ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಜಿಐಟಿ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಫ್ಯಾನೋ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ ಕೆಲವು ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿರೂಪತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಮುಕೈ-ಉಮೆಮುರಾ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟಿಯಾನ್ನ ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಈ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಲ್ಲದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಹತ್ತಿರದ ವಿರೂಪಗಳು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ವರ್ಸಲ್ ವಿರೂಪತೆಯ ಸ್ಥಳದೊಳಗಿನ ಜಿಐಟಿ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿರೂಪಗಳು ಹತ್ತಿರದ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಕಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಆಗಿರುವ ಫುಬಿನಿ-ಸ್ಟಡಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಹೆಚ್ಚಿನ "ಸ್ಪಷ್ಟ" ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಇತ್ತೀಚಿನ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕೆಲವು ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ, ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅಥವಾ ಬೀಟಾ ಅಥವಾ ಡೆಲ್ಟಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ತಂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ವಿವಿಧ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಈ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಆಲ್ಫಾ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟಿಯಾನ್ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟಿಯಾನ್ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಡೆಲ್ಟಾ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಝುವಾಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು, ಅದು ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ಮುಕ್ತತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೆಳಭಾಗದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಡಿಗ್ರಿ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳು ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ನಯವಾದ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಜೊತೆಗೆ, ಕೆಲವು ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆ-ಮಾಡುಲಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆ-ಮಾಡ್ಯುಲಿಯು "ಸ್ಪಷ್ಟ" ಜಿಐಟಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಾಗ, ಆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಜಿಐಟಿ ಸ್ಥಿರತೆಯು ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಬೀಟಾ ಅಥವಾ ಡೆಲ್ಟಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಿಯು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳಿಗೆ, (ಪ್ರಾಯಶಃ ಏಕವಚನ) ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟುಗಳ ಜಿಐಟಿ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವು ಕೆ-ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಕೆ-ಸ್ಥಿರ, ಕೆ-ಪಾಲಿಸ್ಟಬಲ್, ಮತ್ತು ಕೆ-ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟುಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಜಿಐಟಿ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಏಕತ್ವ ರಚನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ನಯವಾದ ಘನವು ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಕೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ