Open set condition
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಓಪನ್ ಸೆಟ್ ಸ್ಥಿತಿಯು (ಒಎಸ್ಸಿ) ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇರಲಾಗುವ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಅತಿಕ್ರಮಣದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಕೋಚಕ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಷರತ್ತಿಗೆ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಖಾಲಿ, ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ವಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕುಃ ಸೆಟ್ಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ. 1946ರಲ್ಲಿ ಪಿ. ಎ. ಪಿ. ಮೊರನ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಓಪನ್ ಸೆಟ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನವಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಗ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅಳತೆಯ ಗಣನೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಓಪನ್ ಸೆಟ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮಾನವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸೆಟ್ನ ಎಸ್-ಆಯಾಮದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಳತೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಗಣಿಸುವುದು ಓಪನ್ ಸೆಟ್ ಸ್ಥಿತಿಯು ಹೊಂದಿದಾಗ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಿಮಿಲಿಟ್ಯೂಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ), ಆಗ ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ s ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ri ಎಂಬುದು ಸಿಮಿಲಿಟ್ಯೂಡ್ನ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ, ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಗ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ನ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಆರ್2 ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಸಹರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳಾದ ಎ1, ಎ2, ಎ3 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಐ ಸುತ್ತ 1/2 ಅನುಪಾತದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅನುಗುಣವಾದ ನಕ್ಷೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಗ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆಯಾಮ s ಎಂಬುದು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ನಾವು s ಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆಃ s = ln (3)/ln (2). ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಗ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಎಸ್ಸಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬಲವಾದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಸ್ಥಿತಿಯು (ಎಸ್. ಓ. ಎಸ್. ಸಿ) ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಒಎಸ್ಸಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಎಫ್ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ವಿ ನಡುವಿನ ಛೇದನವು ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಫ್ ಎಸ್ಒಎಸ್ಸಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳು ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಏಕರೂಪದ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಸೆಟ್ಗಳ ಕೆಲವು ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನಂತ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಎಸ್. ಓ. ಸಿ. ಎಸ್. ನಿಜಕ್ಕೂ ಬಲವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಲಿಸ್ಟ್ ಆಫ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಬೈ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ-ಬೌಲಿಗಾಂಡ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಇಟರೇಟೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.