Quasirandom group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ದೊಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ-ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಗುಂಪು. ಅಂತಹ ಗುಂಪುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಗುಂಪುಗಳ ನೇಮ್ಸೇಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗಿನ ಅವುಗಳ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆಃ ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಗುಂಪುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ-ಮುಕ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಾಸ್ಲೋ ಬಾಬಾಯ್ ಮತ್ತು ವೆರಾ ಸೋಸ್ ಅವರು ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿದರು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಆದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಕನಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನ-ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ-ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪೌಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಗಡಿಗಳೆರಡೂ ಈಗ ಆದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ-ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿವೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ದೊಡ್ಡ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ತಿಮೋತಿ ಗೋವರ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ-ಮುಕ್ತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆವರಿಸಲು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಗುಂಪಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದೇ ಗುಂಪು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ನೆಸ್ನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ನೆಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಪ್ರೇರಣೆಯು ಗ್ರಾಫೋನ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅದರ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮಿತಿಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಶೃಂಗಗಳು, ಶೃಂಗದ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದ್ವಿದಲೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (ಇಲ್ಲಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವವರೆಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ) ಹೊಂದಿಸಿಃ ಶೃಂಗದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ದ್ವಿದಲೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಮತ್ತು ಹುದುಗಿರುವ ಲೇಬುಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಪ್ರಮಾಣವು ಸರಿಸುಮಾರು ಏನನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿ ಷರತ್ತು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಅಂಚನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡೋಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಪದವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು-ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡೋಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ-ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡೋಮ್ನೆಸ್ ಕೆಲವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ-ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡೋಮ್ನೆಸ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಬೈಪಾರ್ಟೈಟ್ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ನೆಸ್ ಅನ್ನು ಗುಂಪು-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಕೇಲೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಶೃಂಗದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅದರ ಅಂಚುಗಳು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಅದರ ಅನುಪಾತವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಧನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಈಗ ಗುಂಪು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ನೆಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಮತ್ತೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ) ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ನೆಸ್ ಅನ್ನು ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದರೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ-ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ನೆಸ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ-ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ನೆಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗೋವರ್ಸ್ನಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವಂತೆ, ಗುಂಪು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡೋಮ್ನೆಸ್ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್; ಅಂದರೆ, ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳು. ಚಿಕ್ಕದಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಯಾಮವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ. ಅತಿದೊಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ-ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಅಂಶದ ಗಾತ್ರವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ. ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಬಲವಾದ ಮಿಶ್ರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಅಂದರೆ, ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವಂತೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಕೆಲವರಿಗೆ ಇದು ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ-ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. (ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡನೇ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ-ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಗುಂಪಿಗೆ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಒಬ್ಬರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು; ಅಂದರೆ, ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಗುಂಪುಗಳ ಹಲವಾರು ಗಮನಾರ್ಹ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲೂ, ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡೋಮ್ನೆಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅದರ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ನ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅದರ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಕ್ವಾಸಿರಾಂಡಮ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ