Guderley–Landau–Stanyukovich problem
ಗುಡೆರ್ಲಿ-ಲ್ಯಾಂಡೌ-ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಯುಕೋವಿಚ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಆಘಾತ ತರಂಗಗಳನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವ ಸಮಯದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 1942 ರಲ್ಲಿ ಜಿ. ಗುಡೆರ್ಲಿ ಮತ್ತು 1944 ರಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಲೆವ್ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಮತ್ತು ಕೆ. ಪಿ. ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಯುಕೋವಿಚ್ ಅವರು ಚರ್ಚಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ನಂತರದ ಲೇಖಕರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು 1955 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆ ರೇಡಿಯಲ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೋ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಕೇಂದ್ರದ ಕಡೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಗೋಳಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಆಘಾತ ತರಂಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆಘಾತ ತರಂಗವು ಮೂಲದ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಅದರ ಬಲವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆಘಾತ ತರಂಗವು ಹರಡಿದಂತೆ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಆಘಾತ ಅಲೆಯ ಸ್ಥಳವು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರಿಸಬೇಕಾದ ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ಪರಿಹಾರವು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಆಘಾತದ ಅಲೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಆಘಾತ ತರಂಗವು ಪ್ರಬಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಲೆಯ ಹಿಂದಿನ ಒತ್ತಡವು ಅಲೆಯ ಮುಂದಿರುವ ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ರಾಂಕಿನ್-ಹ್ಯೂಗೊನಿಯಟ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಬಲವಾದ ಅಲೆಗಳು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನಿಲ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಘಾತ ತರಂಗದಾದ್ಯಂತ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಜಿಗಿತವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ, ಹೀಗೆ ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು, ಇದು ವೇಗ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಂತರ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಹೊರಕ್ಕೆ ಹರಡುವ ಬಲವಾದ ಆಘಾತ ತರಂಗವನ್ನು ಹೋಲುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಟೇಲರ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್-ಸೆಡೋವ್ ಸ್ಫೋಟ ತರಂಗವು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ. ಟೇಲರ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್-ಸೆಡೋವ್ ಸ್ಫೋಟ ತರಂಗದ ವಿವರಣೆಯು ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಹರಿವಿನ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತಲ್ಲದೆ, ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುವ ಆಘಾತ ತರಂಗವು ಇಡೀ ಪ್ರದೇಶದಾದ್ಯಂತ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಹತ್ತಿರದ ಹರಿವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಆಘಾತ ತರಂಗವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಗುಡೆರ್ಲಿ-ಲ್ಯಾಂಡೌ-ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಯುಕೋವಿಚ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲಿಕೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ, ಹರಿವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕೇವಲ; ಈ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲಿಕೆಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಶಕ್ತಿಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇಡೀ ಪ್ರದೇಶದ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಇನ್ನೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆಘಾತ ತರಂಗ ಪ್ರದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲಿಕೆಯ ಪ್ರದೇಶವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಭಾಗ ಮಾತ್ರ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲಿಕೆಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಆಯಾಮದ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಯಾವುದೇ ಉದ್ದದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಆಯಾಮದ ವಾದಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಸ್ವಯಂ-ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಆಘಾತ ತರಂಗವು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ತಲುಪುವಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಆಘಾತವು ಮೂಲವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಆಘಾತ ತರಂಗವು ಮೂಲದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಆಘಾತ ತರಂಗದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಕೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಆಘಾತವು ಅದೇ ಹೋಲಿಕೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹರಿವಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಫಾರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರವೇ ಇದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್-ಸೆಡೋವ್ ಸ್ಫೋಟ ತರಂಗಕ್ಕಾಗಿ, ಆಘಾತ-ತರಂಗ ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆಯಾಮದ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ರಾಂಕಿನ್-ಹ್ಯೂಗೊನಿಯಟ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಬಲವಾದ ಆಘಾತದ ಮುಂಭಾಗದ ಹಿಂದೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನಿಲ ವೇಗ, ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆದರ್ಶ ಅನಿಲವನ್ನು ಆಘಾತದ ಮುಂಭಾಗದ ಹಿಂದಿನ ಹರಿವಿನ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿ ಇವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ಪರಿಹಾರ ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದರೆ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಒತ್ತಡ, ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯಲ್ ವೇಗ. ಒತ್ತಡದ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಧ್ವನಿ ವೇಗವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ದಿ ಬೌಂಡರಿ ಕಂಡಿಷನ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕುಸಿತದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಣೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅದು ಅನಂತವಾಗುತ್ತದೆ. ಕುಸಿತದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮೂಲದಿಂದ ಯಾವುದೇ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಹರಿವಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬೇಕು. ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ಇಲ್ಲಿಂದ, ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು (ಅಥವಾ,) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ, ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು. ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಆಘಾತದ ಮುಂಭಾಗದ ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಗಡಿ ಷರತ್ತು ಇದೆ, ಅಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಷರತ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಪೂರೈಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಘನ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಬಿಂದುವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅದೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರವಲಯವನ್ನು ಸಹ ಚುಕ್ಕೆಗಳುಳ್ಳ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪಲು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಛೇದಿಸಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಅನುಪಾತವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಭೌತಿಕ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಮತ್ತು ಅವು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ನೊಳಗೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು. ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬಹುದು, ಇದು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಇರುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವುದು. ಅಂದರೆ, ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಸಹ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣಗಳು ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಂಡೌ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಯುಕೋವಿಚ್ ಪಡೆದ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು, ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹೋಲಿಕೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಟೇಲರ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್-ಸೆಡೋವ್ ಸ್ಫೋಟ ತರಂಗ ಜೆಲ್ಡೋವಿಚ್-ಟೇಲರ್ ಹರಿವಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹರಿವಿನ ನಿಯಮಗಳು ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ದಹನ ಲೆವ್ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.