Mumford–Shah functional
ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್-ಷಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಒಂದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಉಪ-ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಸ್ಮೂತ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಇನ್ಪುಟ್ ಚಿತ್ರದ ನಡುವಿನ ಅಂತರ, ಉಪ-ಪ್ರದೇಶಗಳೊಳಗಿನ ಮಾದರಿಯ ಮೃದುತ್ವದ ಕೊರತೆ ಮತ್ತು ಉಪ-ಪ್ರದೇಶಗಳ ಗಡಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ದಂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಚಿತ್ರ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಡೇವಿಡ್ ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಜಯಂತ್ ಷಾ ಅವರು 1989ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್-ಷಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಡಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಚಿತ್ರ I ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಜೆ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಬಿ ಎಂದು ಕರೆಯಿರಿಃ ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್-ಶಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಇ [ಜೆ, ಬಿ] ಅನ್ನು ಆಂಬ್ರೋಸಿಯೊ ಮತ್ತು ಟೋರ್ಟೋರೆಲ್ಲಿಯವರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಆಂಬ್ರೋಸಿಯೋ-ಟಾರ್ಟೊರೆಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣವಾದ ಆಂಬ್ರೋಸಿಯೋ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಟೊರೆಲ್ಲಿಯು ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್-ಷಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಇ [ಜೆ, ಬಿ] ಅನ್ನು ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಇ [ಜೆ, ಝಡ್, ε] ಕುಟುಂಬದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗಡಿ ಬಿ ಅನ್ನು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ ಝಡ್ ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರಮಾಣವು ಗಡಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್-ಷಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಇಲ್ಲಿ ε> 0 ಒಂದು (ಸಣ್ಣ) ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು φ (z) ಒಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. φ (z) ಗೆ ಎರಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗಳೆಂದರೆಃ ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಅಂಚಿನ ಗುಂಪಿನ B ಅನ್ನು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ φ1 (z) ≈ 0 ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಅಂಚಿನ ಗುಂಪಿನ B ಅನ್ನು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ φ2 (z) ≈ 1/4 ಅವುಗಳ ಕಡಿತದಲ್ಲಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಹಂತವು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳು (ಅಂದರೆ. ಎನರ್ಜಿ ಫಂಕ್ಷನಲ್ನ ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪದ) ಎಡ್ಜ್ ಸೆಟ್ ಇಂಟೆಗ್ರಾಲ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ E [J, z, ε] ಅನ್ನು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆಂಬ್ರೋಸಿಯೊ, ಫುಸ್ಕೊ ಮತ್ತು ಹಚಿನ್ಸನ್, ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್-ಷಾ ಶಕ್ತಿಯ ಏಕವಚನ ಮಿನಿಮೈಸರ್ಗಳ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ನೀಡಲು ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್-ಷಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಡೈನಾಮಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೌಂಡೆಡ್ ವೇರಿಯೇಷನ್ ಕ್ಯಾಸಿಯೋಪ್ಪೋಲಿ ಸೆಟ್ ಡಿಜಿಟಲ್ ಇಮೇಜ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಲುಯಿಗಿ ಆಂಬ್ರೋಸಿಯೋ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಇಮೇಜ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ