Jorge Luis Borges and mathematics
ಜಾರ್ಜ್ ಲೂಯಿಸ್ ಬೋರ್ಜಸ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅರ್ಜೆಂಟೀನಾದ ಲೇಖಕ ಜಾರ್ಜ್ ಲೂಯಿಸ್ ಬೋರ್ಜಸ್ (1899-1986) ಅವರ ಕೆಲವು ಪ್ರಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಕಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಹಲವಾರು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಪುನರಾವರ್ತನೆ, ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸೇರಿವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಬೋರ್ಜಸ್ನ ಬಲವಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ, "ದಿ ಡಾಕ್ಟ್ರಿನ್ ಆಫ್ ಸೈಕಲ್" (ಲಾ ಡಾಕ್ಟ್ರಿನಾ ಡಿ ಲಾಸ್ ಸಿಕ್ಲೋಸ್) ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. "ದಿ ಲೈಬ್ರರಿ ಆಫ್ ಬ್ಯಾಬೆಲ್" (ಲಾ ಬಿಬ್ಲಿಯೊಟೆಕಾ ಡಿ ಬ್ಯಾಬೆಲ್), "ದಿ ಗಾರ್ಡನ್ ಆಫ್ ಫೋರ್ಕಿಂಗ್ ಪಾತ್ಸ್" (ಎಲ್ ಜಾರ್ಡಿನ್ ಡಿ ಸೆಂಡೆರೋಸ್ ಕ್ಯೂ ಸೆ ಬಿಫುರ್ಕನ್), "ದಿ ಅಲೆಫ್" (ಎಲ್ ಅಲೆಫ್) ನಂತಹ ಬೋರ್ಜಸ್ ಅವರ ಕೆಲವು ಜನಪ್ರಿಯ ಕೃತಿಗಳು, ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಅವರು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಹೀಬ್ರೂ ಅಕ್ಷರವಾದ ಅಲೆಫ್ () ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು "ದಿ ಅಪ್ರೋಚ್ ಟು ಅಲ್-ಮುತಾಸಿಮ್" (ಎಲ್ ಅಸೆರ್ಕಾಮಿಯೆಂಟೋ ಎ ಅಲ್ಮೋಟಾಸಿಮ್) ಅವರ ಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅರ್ಜೆಂಟೀನಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗಿಲ್ಲೆರ್ಮೊ ಮಾರ್ಟಿನೆಜ್ ಅವರ ಪ್ರಕಾರ, ಬೋರ್ಜಸ್ ಅವರು ತರ್ಕ, ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು, ಅನಂತತೆ, ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೊದಲ ಕೋರ್ಸ್ಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಕುರಿತ ಸಮಕಾಲೀನ ಚರ್ಚೆಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಆತನಿಗೆ ಅರಿವಿತ್ತು. ಅವರ 1939 ರ ಪ್ರಬಂಧ "ಅವತಾರ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಟಾರ್ಟಾಯಿಸ್" (ಅವತಾರೆಸ್ ಡೆ ಲಾ ಟೋರ್ಟುಗಾ) ಅನಂತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಅವರು ಅನಂತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆಯಲು ಬಯಸುವ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆಃ "ಐದು ಅಥವಾ ಏಳು ವರ್ಷಗಳ ಆಧ್ಯಾತ್ಮಿಕ, ಮತಧರ್ಮಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತರಬೇತಿಯು ಆ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಯೋಜಿಸಲು ನನ್ನನ್ನು (ಬಹುಶಃ) ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತದೆ". ಬೋರ್ಜಸ್ ಅವರ 1941 ರ ಕಥೆಯಾದ "ದಿ ಲೈಬ್ರರಿ ಆಫ್ ಬ್ಯಾಬೆಲ್" ನಲ್ಲಿ, ನಿರೂಪಕನು ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಥೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಘೋಷಿಸುತ್ತಾನೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಆರ್ಥೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗ್ರಂಥಾಲಯವು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಅವರ 1975 ರ ಸಣ್ಣ ಕಥೆ "ದಿ ಬುಕ್ ಆಫ್ ಸ್ಯಾಂಡ್" (ಎಲ್ ಲಿಬ್ರೋ ಡಿ ಅರೆನಾ) ನಲ್ಲಿ, ಅವರು ಅನಂತತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಾರೆ; ಅದರ ಅಂಶಗಳು ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ದಿ ಬುಕ್ ಆಫ್ ಸ್ಯಾಂಡ್ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಬಂದ ಸಣ್ಣ ಕಥೆಯ ಭೌತಿಕ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರೂಪಕನು ಈ ಪುಸ್ತಕವು "ಅನಂತ ತೆಳುವಾದ" ಪುಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾನೆ, ಇದನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಅಳತೆಯ ಗುಂಪನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವಂತೆ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅದೇ ವರ್ಷದ ಹಿಸ್ಟೋರಿಯಾ ಡೆ ಲಾ ಎಟರ್ನಿಡಾಡ್ ಎಂಬ ತನ್ನ ಪ್ರಬಂಧ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ 1936 ರ ಪ್ರಬಂಧ "ದಿ ಡಾಕ್ಟ್ರಿನ್ ಆಫ್ ಸೈಕಲ್" (ಲಾ ಡಾಕ್ಟ್ರಿನಾ ಡಿ ಲಾಸ್ ಸಿಕ್ಲೋಸ್) ನಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಬಗ್ಗೆ ಬೋರ್ಜಸ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆಃ "ಜಗತ್ತನ್ನು ರಚಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪಾರ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ (ಆದರೂ ಅಪಾರ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ. ಅನಂತ ಕಾಲಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಾದುಹೋಗಬೇಕು, ಮತ್ತು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ಸ್ವತಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಬೇಕು. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಹೊಟ್ಟೆಯಿಂದ ಜನಿಸುತ್ತೀರಿ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಿಮ್ಮ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರವು ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅದೇ ಪುಟವು ನಿಮ್ಮ ಒಂದೇ ಕೈಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ನಂಬಲಾಗದ ಮರಣದವರೆಗೂ ನಿಮ್ಮ ಜೀವನದ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಟೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೀರಿ ". ಬೋರ್ಗೆಸ್ನ ಅನೇಕ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ರಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಂದಿನಂತೆ, ಈ ಚಿಂತನೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಆಧ್ಯಾತ್ಮಿಕ ಊಹಾಪೋಹ, ಭಾಷೆ ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ ಆಟವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಯಿತು. ಇನ್ನೂ ಸುಮಾರು ಒಂದು ಶತಮಾನದ ನಂತರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅದೇ ಹಾದಿಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತಾರೆ, ಈ ಬಾರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಃ "" ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯಗಳು ಪದೇ ಪದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ". ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದಾದರೊಂದರಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ಆಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶವೂ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಷ್ಟೇ ಅಸಂಭವವಾಗಿದ್ದರೂ". "ದಿ ಲೈಬ್ರರಿ ಆಫ್ ಬ್ಯಾಬೆಲ್" ನಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿ ಬೋರ್ಗೆಸ್ "ಗ್ರಂಥಾಲಯವು ಒಂದು ಗೋಳವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ನಿಖರವಾದ ಕೇಂದ್ರವು ಯಾವುದೇ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಗ್ರಂಥಾಲಯವನ್ನು ನಂತರ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಟೊರಸ್ ಅಥವಾ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯಂತಹ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಸಮಾನವಾಗಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ತನ್ನ 1951 ರ ಪ್ರಬಂಧ "ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ಸ್ ಸ್ಫಿಯರ್" (ಲಾ ಎಸ್ಫೆರಾ ಡಿ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್) ನಲ್ಲಿ, ಬೋರ್ಜಸ್ "ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸುತ್ತಳತೆ ಇಲ್ಲದ ಗೋಳ" ದ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದ ನೀಡಬಹುದು, ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇಡೀ ಜಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು "ದಿ ಅಲೆಫ್" ನಲ್ಲಿನ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವು "ದಿ ಗಾರ್ಡನ್ ಆಫ್ ಫೋರ್ಕಿಂಗ್ ಪಾತ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ, ಬೋರ್ಜಸ್ ಅವರು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚೀನೀ ವಿದ್ವಾಂಸ ತ್ಸುಯಿ ಪೆನ್ ಅವರ ಕಾದಂಬರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರ ಕಥಾವಸ್ತುವು ಸಮಯದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಯದ ಕವಲೊಡೆಯುವಿಕೆಯ ಹರಿವಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಬಹು-ಲೋಕಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲವು ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಬಹುವಿಶ್ವಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಗಣಿತದ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ, ಅನಂತ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳ ಅನಂತತೆಯು ಬೋರ್ಗೆಸ್ ಅವರು ರೇಖೀಯ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಯವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿರುವುದನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಬೋರ್ಜಸ್ ಅವರ ಬರಹಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಅನಂತ "ವಾಸ್ತವಗಳ" ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಅವರ ಪ್ರಬಂಧ "ನ್ಯೂ ಟೈಮ್ ರಿಫ್ಯೂಟೇಷನ್ಸ್" (1946) ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ತಿಳಿಸುತ್ತವೆ. ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. 1941 ರಲ್ಲಿ "ದಿ ಗಾರ್ಡನ್ ಆಫ್ ಫೋರ್ಕಿಂಗ್ ಪಾತ್ಸ್" ಮೂಲಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಬೋರ್ಜಸ್ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ್ದರು. "ಗಾರ್ಡನ್" ನಲ್ಲಿ, ಬೋರ್ಗೆಸ್ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನೇಕ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನದಿಯಲ್ಲಿ ತೇಲುತ್ತಿರುವ ಎಲೆಯು ಬಂಡೆಯ ಮೇಲೆ ಬಂದರೆ, ಅದು ಬಂಡೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಹರಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜಾರ್ಜ್ ಲೂಯಿಸ್ ಬೋರ್ಜಸ್ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಸ್ಕೃತಿ