Smooth scheme
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ಯೋಜನೆಯು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪವಿರುವ ಅಫೈನ್ ಜಾಗದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಸುಗಮತೆಯು ಯಾವುದೇ ಏಕ ಬಿಂದುವಿಲ್ಲದ ಯೋಜನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಾಡುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆ. ಸ್ಮೂತ್ ಸ್ಕೀಮ್ಗಳು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, X ಎಂಬುದು k ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ರೀತಿಯ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಯಾಗಿರಲಿ. ಸಮಾನವಾಗಿ, X ಯು ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ an ಓವರ್ k ನಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ X ಎಂಬುದು ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸಬ್ಶೀಮ್ ಆಗಿದೆ g1 = 0,., gr = 0, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ gi ಬಹುಪದೀಯ ರಿಂಗ್ k [x1,., xn] ನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. X ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ m ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಷ್ಣುವ/ಷ್ಣುವ xj) X ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕನಿಷ್ಠ n − m ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆ X, k ಮೇಲೆ m ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಇದು X ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ m ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.) ಸುಗಮತೆಯು ಎಕ್ಸ್ಅನ್ನು ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಮುಳುಗಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ (n−m) × (n−m) ಮೈನರ್ಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ Xನ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಜಿಐ ಮತ್ತು ಆ ಎಲ್ಲಾ ಮೈನರ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬಹುಪದ ವಲಯದಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಹುಪದ ವಲಯವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, X ನಲ್ಲಿನ p ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ Fn → Fr ರೇಖಾತ್ಮಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ F ಎಂಬುದು p ನ ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು p ನಲ್ಲಿ X ನ ಜರಿಸ್ಕಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. X ನ ಸುಗಮತೆ ಎಂದರೆ ಜರಿಸ್ಕಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮವು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ X ನ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಏಕ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಜರಿಸ್ಕಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, X ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಮುಕ್ತ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ k ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ X ಯೋಜನೆಯು k ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು k ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಆಯಾಮಗಳ ಮೃದುವಾದ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, k ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ಯೋಜನೆಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯೋಜನೆಗಳ ನಯವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ, ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು ನಯವಾದ ನಾರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X → ಸ್ಪೆಕ್ k ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮೃದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ X ಯೋಜನೆಯು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಕ್ರಮವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ರೇಖೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ಕೆ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಯೋಜನೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ ಕೆ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಯೋಜನೆಯು ಕೆ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸೀಮಿತ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ವೈವಿಧ್ಯವಾದ ಎಕ್ಸ್ಗೆ, ಎಕ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಿಂದುಗಳ ಎಕ್ಸ್ (ಸಿ) ಜಾಗವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್) ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಯವಾದ ವಿಧವಾದ X ಗೆ, ನೈಜ ಬಿಂದುಗಳ X (R) ಸ್ಥಳವು ನಿಜವಾದ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ, ಬಹುಶಃ ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ. k ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಕೀಮ್ X ಗೆ, X ಮೇಲೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಕೋಶ ω1 ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪವಿರುವ X ನ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಶ್ರೇಣಿಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ X ಯೋಜನೆಯು k ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ω1 ಅನ್ನು X ನ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ಯೋಜನೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಂಡಲ್, ಟಿಎಕ್ಸ್ = (ω1) * ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸುಗಮತೆಯು ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದ K ಯ E ಗೆ, XE: = X × ಸ್ಪೆಕ್ k ಸ್ಪೆಕ್ E ಯೋಜನೆಯು E ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು K ಮೇಲೆ X ಯೋಜನೆಯು ಸುಗಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ k ಗೆ, X ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ k ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು X ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ X ಯೋಜನೆಯು k ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X ಒಂದು ಮುಕ್ತ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು k ಗಿಂತ n ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧವೂ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ k ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ನಯವಾದ ಯೋಜನೆಗಳು. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾದ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ Pn ಓವರ್ k ಎಂಬುದು ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ x0d +. + xnd = 0, kಯಲ್ಲಿ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ dಗೆ. K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ಏಕವಚನದ (ನಯವಲ್ಲದ) ಯೋಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ kಯ ಮೇಲಿರುವ ಅಫೈನ್ ಲೈನ್ A1ನಲ್ಲಿ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಶೀಮ್ x2 = 0. kಯ ಮೇಲಿರುವ ಏಕವಚನದ (ನಯವಲ್ಲದ) ವೈವಿಧ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅಫೈನ್ ಪ್ಲೇನ್ A2ನಲ್ಲಿರುವ ಕಸ್ಪಿಡಲ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಕರ್ವ್ x2 = y3, ಇದು ಮೂಲ (x, y) = (0,0) ನ ಹೊರಗೆ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ 0-ಆಯಾಮದ ವೈವಿಧ್ಯ X ಯು X = ಸ್ಪೆಕ್ E ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ E ಎಂಬುದು k ನ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣಾ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. E ಎಂಬುದು k ನ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ X ವೈವಿಧ್ಯವು k ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, E ಅನ್ನು k ಮೇಲೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, X ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ k ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, k ಯು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ Fp (t) ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು E = Fp (t1/p) ಆಗಿರಲಿ; ನಂತರ ಸ್ಪೆಕ್ E ಎಂಬುದು 0 ಓವರ್ k ನ ವಿವಿಧ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿಯಮಿತ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ k ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಶುಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೃದುವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಿ. ಗೈಟ್ಸ್ಗೊರಿಯವರ ಸಮತೋಲನ ಮತ್ತು ಮೃದುತ್ವದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು http://www.math.harvard.edu ~ ಗೈಟ್ಸ್ಗ್ಡೆ/ಸ್ಕೀಮ್ಸ್ _ 2009/ಬಿಆರ್/ಸ್ಮೂತ್ಮ್ಯಾಪ್ಸ್. ಪಿಡಿಎಫ್ ಸಹ ನೋಡಿ ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಅಳತೆ ಯೋಜನೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪದಕೋಶ ಸುಗಮ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ