Projective bundle
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದರೆ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್, ಅದರ ಫೈಬರ್ಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನೊಥೇರಿಯನ್ ಯೋಜನೆ ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಎಕ್ಸ್ ಯೋಜನೆಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಎನ್-ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಪಿಎನ್-ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಯವಾದ ವಿಧದಂತಹ ನಿಯಮಿತ ಸ್ಕೀಮ್ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಬಂಡಲ್ ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಕೋಶ) ಇ. ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಬಂಡಲ್ ವಿವಿಧ ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಫೈಬರ್ಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಬಂಡಲ್ಗಳು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಎಚ್ 2 (ಎಕ್ಸ್, ಒ *) ನಲ್ಲಿ ಅಡಚಣೆಯಿದೆ. ಏಕೆ ಎಂದು ನೋಡಲು, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ ಸೂಕ್ತವಾದ ತೆರೆದ ಹೊದಿಕೆಯ ಎರಡು ಛೇದಕಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಟ್ರಿಪಲ್ ಓವರ್ಲ್ಯಾಪ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಲಿಫ್ಟ್ ಕೋಸಿಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಕಾರ್ಯದವರೆಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು 2-ಕೋಸಿಕಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವೈಸೇಶನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ H2 (X, O *) ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದರೆ H2 (X, O *) = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅಡಚಣೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ Eಯ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ Eಯಲ್ಲಿನ 1-ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಬಂಡಲ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ Eಯ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ P (E) ಅನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ f: T → X ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ f ಅನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸ್ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ f * Eಯ ಲೈನ್ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f ಅನ್ನು p ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು p * Eಯ ಲೈನ್ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ O (-1) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು P (E) ಯ ಮೇಲೆ ಟಾಟಾಲಾಜಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ O (-1) ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ L ಒಂದು ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು f = p ° g ಅನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, L ಎಂಬುದು g ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ O (-1) ನ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪಿ (ಇ) ಯಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ (ಇದನ್ನು ಟಾಟೊಲಾಜಿಕಲ್ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ): ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ಟಾಟೊಲಾಜಿಕಲ್ ಕೋಶೆಂಟ್-ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಿ = ಎಫ್/ಇ ಮೇಲೆ ಇಎಫ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳಾಗಿರಲಿ (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮುಕ್ತ ಹೊದಿಕೆಗಳು). q: P (F) → X ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯು ಶೀಫ್ ಹೋಮ್ನ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯು Eಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವು ರೇಖೆಯಾದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ವಿಭಾಗದ ಶೂನ್ಯ-ಸ್ಥಳವು P (E) ಆಗಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಉಪಯುಕ್ತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, F ಎಂಬುದು E ಯ ನೇರ ಮೊತ್ತ E ≈ 1 ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ (ಅಂದರೆ, ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಶೀಫ್). ನಂತರ ಪಿ (ಇ) ಯು ಪಿ (ಇ) ಯಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಿ (ಇ) ಯ ಪೂರಕವನ್ನು ಇ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಪಿ (ಇ) ಅನ್ನು ಇ ಯ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ (ಅಥವಾ "ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಷನ್") ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ ಪಿ (ಇ) ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ನಿಂದ ಇ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ನಿಖರವಾಗಿ, ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಎಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆಃ ಅಂದರೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಜಿ ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ). ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಅನೇಕ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳಂತಹ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಡಾಕಾರದ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಯು ಫೈಬ್ರೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದು, ಫೈಬರ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 1ನೇ ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಫೈಬ್ರೇಷನ್ನ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ನೀಡುವ ಒಂದು ಮಾದರಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸೀವ್ಗಳ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಒಟ್ಟು ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಗುಣಾಂಕದ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಏಕಪದದ ಮಟ್ಟ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,). ಕೋಹೋಮಾಲಜಿ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಚೌ ಗುಂಪು X ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಧವಾಗಲಿ ಮತ್ತು E ಅದರ ಮೇಲೆ r ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ H * (P (E)) ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ p * ಮೂಲಕ H * (X) ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗ ζ = c1 (O (1)) H * (P (E)) ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ci (E) ಎಂಬುದು E ಯ i-th ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿವರಣೆಯ ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು; ಇದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ, ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ನ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಚೌ ರಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ವಿವರಣೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಇನ್ನೂ X ನಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚೌ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ನೇರ ಮೊತ್ತದ ವಿಭಜನೆ ಇದೆ, ಇದು ಬದಲಾದಂತೆ, X ನಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕರಾಗಿರದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಈ ವಿಭಜನೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಅಕ್ (ಇ) = ಅಕ್-ಆರ್ (ಎಕ್ಸ್), ಗೈಸಿನ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮೂಲಕ, ನೈತಿಕವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ ಸದಿಶ ಸ್ಥಳಗಳಾದ ಇ ನ ನಾರುಗಳು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಪ್ರೊಜ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ ಕೋನ್ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ) ಆಳ್ವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ನ ಉದಾಹರಣೆ) ಸೆವೆರಿ-ಬ್ರಾವರ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.