Log-linear analysis
ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವರ್ಗೀಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ನಿರ್ಮಾಣ ಎರಡಕ್ಕೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡೂ ಉಪಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ, ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾದ (ಅಂದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಚಿ-ಚದರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಆ ತಂತ್ರವು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೋಲಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.) ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾನದಂಡ ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತದ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ ಅಂದಾಜು ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್; ಸೆಲ್ಲಿಜ್ನಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ ಆವರ್ತನ (i = ಸಾಲು ಮತ್ತು j = ಕಾಲಮ್); ಸೆಲ್ಲಿಜ್ನಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನ. ಮಾದರಿಗಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ಊಹೆಗಳಿವೆಃ 1. ಅವಲೋಕನಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿವೆ; ಗಮನಿಸಿದ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮಾದರಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ (ಎ) ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳು ಶೇಕಡಾ 80 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ 5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು (ಬಿ) ಎಲ್ಲಾ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಇದು ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು. ಈ ಊಹೆಯ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯು ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉಲ್ಲಂಘನೆಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೆಂದರೆಃ ಚಲಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಅಳಿಸಿ, ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಂಡು ಮತ್ತು ಹೆಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ), ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ. 3. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಲಾಗರಿದಮ್ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯು ಎಷ್ಟು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆಯೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ವಿರಳವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೀಯ ಊಹೆಗಳಂತೆ, ಇದು ವಿರಳವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ದತ್ತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿರಬೇಕು. ನಿರಂತರ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಮಾಹಿತಿಯ ನಷ್ಟದೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ, ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ. (ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಹ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು. ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ತಂತ್ರವು ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.) ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಥವಾ ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದರ ನಡುವೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆಯು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಥವಾ ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಗಳು ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಗುರಿಯು ದತ್ತಾಂಶದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಲೆಕ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಯಾವ ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಗತ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಮೂರು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ-ಚಲಪರಿಮಾಣ ಎ, ಚಲಪರಿಮಾಣ ಬಿ ಮತ್ತು ಚಲಪರಿಮಾಣ ಸಿ-ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಏಳು ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳಿವೆ. ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು (ಎ, ಬಿ, ಸಿ), ಮೂರು ದ್ವಿಮುಖ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು (ಎಬಿ, ಎಸಿ, ಬಿಸಿ), ಮತ್ತು ಒಂದು ತ್ರಿಮುಖ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ (ಎಬಿಸಿ) ಏಳು ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮಾದರಿಗಳು ನಿರಂತರತೆಯಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಎರಡು ವಿಪರೀತಗಳು ಸರಳ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಮಾದರಿಯಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಮಾದರಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿರದಿದ್ದಾಗ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಮಾದರಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತ ಚಿ-ಚದರ ಅಂಕಿಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು. ಇದು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಸಂಭವನೀಯ ಅನುಪಾತವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಾದರಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇತರ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳೆಂದರೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಮಬಲ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬನೆ ಮಾದರಿ. ಪ್ರತಿ ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ (ಎ, ಬಿ, ಸಿ) ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಮಾದರಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಸೆಲ್ಲಿಜ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನ; ಪ್ರತಿ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ತೂಕ. ಕ್ರಮಾನುಗತ ಮಾದರಿ ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಕ್ರಮಾನುಗತ ಅಥವಾ ಕ್ರಮಾನುಗತವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಮಾದರಿಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಈ ಮಾದರಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಕೆಳ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮಾದರಿಯು, ಮಾದರಿಯು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಎರಡು-ಅಂಶದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಮಾದರಿಯು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೇರ-ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳು ಶ್ರೇಣೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅದರ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಪದಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುವುದರಿಂದ, ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಡೀಕಂಪೊಸಬಲ್ ಮಾದರಿ ಒಂದು ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮಾದರಿಯು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ವರಮೇಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಡೀಕಂಪೊಸಬಲ್ ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯು ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ ಉಳಿದವುಗಳು (ಅಂದರೆ, ವೀಕ್ಷಿಸಿದ-ನಿರೀಕ್ಷಿತ) 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಮಾದರಿಯು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಆವರ್ತನಗಳು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾದರಿಯು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತವು ಗಮನಾರ್ಹವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮಾದರಿಯು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳು ಗಮನಿಸಿದ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ). ಚಿ-ಚದರ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಾದರಿಯು ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆವರ್ತನಗಳು ಗಮನಿಸಿದ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ). ದತ್ತಾಂಶದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಲೆಕ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಯಾವ ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಗತ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳದವರೆಗೂ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಅತಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ, ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತವು ಮಾದರಿಯು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತವು ಗಮನಾರ್ಹವಾದಾಗ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ, ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಚಿ-ಚದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅನುಪಾತದ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಂತರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿ-ಚದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿ-ಚದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೊಸ ಮಾದರಿಯು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ಯತೆಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಚಿ-ಚದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಪಾರ್ಸಿಮೋನಿಯಸ್ ಮಾದರಿಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಾಲೋ-ಅಪ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಒಮ್ಮೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವ ಮೂಲಕ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲು, ಮಾದರಿಯನ್ನು 2x2 ಅಥವಾ 2x1 ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಬ್ಬರು ನಾಲ್ಕು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮಾದರಿಯು ಮೂರು-ಮಾರ್ಗಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಮೂರನೇ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಸರಳ ದ್ವಿಮುಖ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಣಾಮದ ಗಾತ್ರಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಣಾಮದ ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು, ಆಡ್ಸ್ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಚಿ-ಚದರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ಆಡ್ಸ್ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ 1. ಆಡ್ಸ್ ಅನುಪಾತಗಳು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಅಸಮಾನ ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳು ಆಡ್ಸ್ ಅನುಪಾತಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಕೆಲವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೇಟಾಸೆಟ್ಗಳಿಗಾಗಿ-ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮಾದರಿಗಳು ಮಾಸ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ನ ಲಾಗ್ಎಲ್ಎಂ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಆರ್ (ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ನೋಡಿ) ಜೆಎನ್ಎಲ್ಓಜಿ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಐಬಿಎಂ ಎಸ್ಪಿಎಸ್ಎಸ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು (ಬಳಕೆ) ನೂರಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೇಟಾಸೆಟ್ಗಳಿಗಾಗಿ-ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಗಳು ಕೊರ್ಡಾಲಿಸಿಸ್ ಪೊಯ್ಸನ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮಾದರಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮಾದರಿಗಳು ಸಿಂಕಿಸ್, ಡಿ.; ಇಬ್ರಾಹಿಂ, ಜಿ. ಜೆ.; ವಾಟರ್ಸ್ಟನ್, ಎ. ಜೆ. ಆರ್. (ಎಡ್ಸ್.) ಅಧ್ಯಾಯ 14: ವರ್ಗೀಯ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದುಃ ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಟ್ರಾಪಿಕಲ್ ಪೀಡಿಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಆನ್ಲೈನ್ ಮಾತ್ರ ಪ್ರದೇಶ, "ರಿಸರ್ಚ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ II: ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" (pp. 144-153). ಮೇ 2012ರಲ್ಲಿ http://www.oxfordjournals.org/tropej/online/ma_chap14.pdf ಪಗ್, ಎಮ್. ಡಿ. ಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (1983). "ಕೊಡುಗೆ ದೋಷ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಾಚಾರದ ಅಪರಾಧ ನಿರ್ಣಯಗಳುಃ ಬಲಿಪಶುವನ್ನು ದೂಷಿಸಲು ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮಾದರಿಗಳು". ಸಾಮಾಜಿಕ ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ ತ್ರೈಮಾಸಿಕ, 46,233-242. ತಬಚ್ನಿಕ್, ಬಿ. ಜಿ., ಮತ್ತು ಫಿಡೆಲ್, ಎಲ್. ಎಸ್. (2007). ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು (5 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ). ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಅಲ್ಲಿನ್ ಮತ್ತು ಬೇಕನ್. ವರ್ಗೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು