Campbell's theorem (probability)
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್-ಹಾರ್ಡಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು, ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಸೂತ್ರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಕ್ಷಣದ ಅಳತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಕ್ಷಣದ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಸೂತ್ರದ ಆವೃತ್ತಿಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜೊತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತ, ನಿರಂತರ ಕೊಳೆತ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೆಸರಿನ ಮತ್ತೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಹೆಸರು ನಿರ್ವಾತ ಕೊಳವೆಗಳಲ್ಲಿ ಶಾಟ್ ಶಬ್ದ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಥರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಶಬ್ದದ ಮೇಲೆ ನಾರ್ಮನ್ ಆರ್. ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ, ಇದು ಆಲ್ಫಾ ಕಣ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅರ್ನೆಸ್ಟ್ ರುದರ್ಫೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಗೀಗರ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾರಿ ಬ್ಯಾಟ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತದ ಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಮುಖ್ಯ ಗಣಿತದ ವಾದವು ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್-ಹಾರ್ಡಿ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದೆ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ, ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ಅಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ನೋಡಿ). ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ, ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೇಲಿನ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಬಿ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಅಳತೆಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ (ಸರಳವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ) ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆಃ ಇದನ್ನು ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಸೂತ್ರ ಅಥವಾ ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯೂ ಸಹ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಫುಬಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸರಳ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲದ ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆಯು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ, ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಸೂತ್ರವು ಪರಿಮಾಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳುಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತಗಳು ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ (ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ) ಕಾರ್ಯದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತಗಳು ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಟ್ ನಾಯ್ಸ್ ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ ಮೂಲತಃ ಕವಾಟಗಳಲ್ಲಿನ ಥರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಶಬ್ದವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಇದನ್ನು ಶಾಟ್-ನಾಯ್ಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಶಾಟ್ ಶಬ್ದ ಮತ್ತು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೈರ್ಲೆಸ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಸಂವಹನದಲ್ಲಿ, ಟ್ರಾನ್ಸ್ಮಿಟರ್ ರಿಸೀವರ್ಗೆ ಸಿಗ್ನಲ್ ಕಳುಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ, ನೆಟ್ವರ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಮಿಟರ್ಗಳನ್ನು ಇಂಟರ್ಫೆರೆನ್ಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ತಂತಿ ದೂರಸಂಪರ್ಕ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ಶಬ್ದ ಮಾಡುವಂತೆಯೇ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಮಿಟರ್ಗಳ ಸ್ಥಾನವು ಕೆಲವು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಹೊಡೆತದ ಶಬ್ದವನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಸಂಕೇತಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ವೈರ್ಲೆಸ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊಮೆಂಟ್ ಅಳತೆಗಳು ಅಥವಾ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಅಳತೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊಮೆಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಳತೆಯ ಪ್ರಕಾರವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕೇ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಬೇಕೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಿದಾಗ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮೊಮೆಂಟ್ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಅನುಮತಿಸದಿದ್ದಾಗ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬಿಂದುಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ, ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ. ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ನಂತರ ಪಾಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ಪಾಮ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪಾಮ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮತ್ತೊಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅದರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಕೆಲವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಃ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೇಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಇದುಃ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳು