Ricci calculus
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಕುಶಲತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರಿಕ್ಕಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಟೆನ್ಸರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಆಧುನಿಕ ಹೆಸರಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗ್ರೆಗೊರಿಯೊ ರಿಕ್ಕಿ-ಕರ್ಬಸ್ಟ್ರೊ ಅವರು 1887-1896 ನಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ತರುವಾಯ 1900 ರಲ್ಲಿ ಅವರ ಶಿಷ್ಯ ಟುಲಿಯೊ ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾದೊಂದಿಗೆ ಬರೆದ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು. ಜಾನ್ ಅರ್ನಾಲ್ಡಸ್ ಸ್ಕೌಟೆನ್ ಈ ಗಣಿತದ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಟೆನ್ಸರ್ನ ಒಂದು ಘಟಕವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಆಧಾರ ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದರೆ ಅದರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಟಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಟಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಘಟಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ರಿಕ್ಕಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಕೇತವು ಅಂತಹ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಮರ್ಥ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತವು ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬಹುಆಯಾಮದ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಕೋವೆಕ್ಟರ್ ಆಧಾರಿತ ಅಂಶಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೇಖೀಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಟೆನ್ಸರ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬೇಸಿಸ್ನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಪ್ರತಿ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಟೆನ್ಸರ್ನ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ (ಅಥವಾ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ರಿಕ್ಕಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಪದದೊಳಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಕ್ಕಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಹುಗುಣದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಹುಗುಣದ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕೇವಲ ಸೀಮಿತ ನಿಯಮಗಳ ಪರಿಚಯದೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಯದಂತಹ ಅಂಶದ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಲೋವರ್ಕೇಸ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯನ್ನು 3-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಘಟಕಗಳಿಗೆ 1,2,3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು 0 ರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಮಯದಂತಹ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರದ ಗ್ರೀಕ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯನ್ನು 4-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಯದ ಘಟಕಗಳಿಗೆ 0 ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಘಟಕಗಳಿಗೆ 1,2,3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ 0 ಬದಲಿಗೆ 4 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ; ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, 0 ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಮತ್ತು ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ನೊಟೇಷನ್ ಲೇಖಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಲೇಬಲ್ ಆಗಿ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3-ಡಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು; ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕವು ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳು 1,2,3 ಮತ್ತು ಲೇಬಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನೇರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, 1,2,3 ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ, ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳು ಕೇವಲ ಲೇಬಲ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮೌಲ್ಯ 0 ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಲೇಬಲ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಬಹುಶಃ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಆಧಾರ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಡಯಾಕ್ರಿಟಿಕ್ ತರಹದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹ್ಯಾಟ್ (̃), ಬಾರ್ (̃), ಟಿಲ್ಡೆ (̃), ಅಥವಾ ಪ್ರೈಮ್ (′). ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದು ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಅನ್ಪ್ರೈಮ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪ್ರೈಮ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಇದನ್ನು ಸ್ಪಿನರ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವರ್ಡೆನ್ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಇದು ಸ್ಪಿನರ್ನ ಕೈರಲಿಟಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಟೋಪಿಗಳು ಮತ್ತು ಓವರ್ಡಾಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಾದ ರಿಕ್ಕಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು (ಚಂದಾದಾರಿಕೆಗಳು) ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ (ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳು) ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ; ಎರಡನೆಯದು ಘಾತಾಂಕಗಳಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವು ಓದುಗರಿಗೆ ಗಣಿತದ ಇತರ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವಂತೆ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಿಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಂತಹ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಸಮನ್ವಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಘಟಕಗಳು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವು (ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್) ಆ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಘಟಕಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಘಟಕಗಳು ಒಂದು ಮೇಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕವು (ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್) ಆ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಘಟಕಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಮಿಶ್ರ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಟೆನ್ಸರ್ ಘಟಕಗಳು ಎ ಟೆನ್ಸರ್ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದುಃ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿದ್ದರೂ ಸಹ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕ್ರಮವು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಯಾವುದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಾಗ, ಸಹವರ್ತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕೆಳಗೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾದೊಂದಿಗೆ). ಟೆನ್ಸರ್ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕಾರದ ಅಥವಾ ಟೈಪ್-ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಟೆನ್ಸರ್ನ ಡಿಗ್ರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಅದರ ವೇಲೆನ್ಸ್, ಆರ್ಡರ್ ಅಥವಾ ರ್ಯಾಂಕ್, ಆದಾಗ್ಯೂ ಶ್ರೇಣಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ). ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ರೀತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪದದೊಳಗೆ ಎರಡು ಬಾರಿ (ಒಂದು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೆಳಗಿನ) ಸಂಭವಿಸುವ ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಂತಹ ಸಂಕಲನದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೋಚನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಂಕಲನವು ಒಂದು ಪದದೊಳಗೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಒಂದು ಪದದೊಳಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಇತರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ {|-| | | | | (ಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳು ಕಡಿಮೆ; ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ) |-| | (ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ; ಅಥವಾ ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತದೆ). |} ಅಂತಹ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗಳಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದರೂ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಧಾರದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಟೆನ್ಸರ್ ಎಲ್ಲಾ ಮೇಲಿನ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪಟ್ಟಿಗಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಒಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು. ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಕಲನವು ಎಲ್ಲಾ-ಉನ್ನತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ-ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ (ಆದರೆ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲ) ಗುಂಪಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಲಂಬವಾದ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಮಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೋಚನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಅಂದರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮೊತ್ತ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಮುಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕೆಳಗೆ ಅಂಡರ್ ಆರೋವನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಏಕ-ಅಲ್ಲದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಟೆನ್ಸರ್ನ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿಃ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಿ), ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸ್ಥಾನಗಳು ಮತ್ತು ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಈ ಕೋಷ್ಟಕವು ಬೇಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಷ್ಕ್ರಿಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಮತ್ತು ಕಾಂಟ್ರಾವೇರಿಯಂಟ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕುಶಲತೆಯು ಹೇಗೆ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಬೇಸಿಸ್ನ ಘಟಕಗಳು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಂತರ ಅಂತಿಮ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ, ಕೆಳಗೆ ಸಹ ನೋಡಿ. {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" |-! ! ಮೂಲಭೂತ ಪರಿವರ್ತನೆ! ಘಟಕಗಳ ರೂಪಾಂತರ! ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ |-! ಕೋವೆಕ್ಟರ್, ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್, 1-ರೂಪ | | |-! ವೆಕ್ಟರ್, ಕಾಂಟ್ರಾವೇರಿಯೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ | | | | ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಸಂಕೇತದ ಅಂಶಗಳಿವೆ (ಆಯಾಮದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಹೋಲುವ ವಿಧಾನ). ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ನಕಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಸಂಕೋಚನಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೋಚನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಡಮ್ಮಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಕಲನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯ (ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅವು ಕೇವಲ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ವಿವಿಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಒಂದೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಸಮಾನತೆಯು ಮುಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವು ಇದ್ದರೆ, ಸಮಾನತೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು 0 ರಿಂದ 3 ಅಥವಾ 1 ರಿಂದ 4 ರವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಮೂರು ಮುಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು () ಇರುವುದರಿಂದ, 43 = 64 ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರುಃ ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಅನೇಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸರಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು. ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ ಲೇಬಲ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಯಾವುದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಈಗಾಗಲೇ ಬಳಸಿದ ಇತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಘರ್ಷವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ). ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಗುರುತುಗಳು ಅಥವಾ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಮತ್ತು ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಚಿಹ್ನೆಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮುಂತಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗೆ ಸಹ ನೋಡಿ). ಸರಿಯಾದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆಃ ಆದರೆ ತಪ್ಪಾದ ಬದಲಾವಣೆಯೆಂದರೆಃ ಮೊದಲ ಬದಲಿಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲೆಡೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಇನ್ನೂ ಒಂದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗಲಿಲ್ಲ (ಪ್ರಾಸಂಗಿಕವಾಗಿ, ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮೇಲಿನ ಸಂಕೋಚನವು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಯಿತು), ಇದು ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಲಾದ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಮುಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಪ್ರತಿ ಪದದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ (ಮೇಲಿನ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ) ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಡಮ್ಮಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು (ಇದು ಆ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮೇಲೆ ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ) ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ತಪ್ಪಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಂತೆಃ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದಲ್ಲೂ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಲ್ಲದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿರಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಗುರುತಿನಲ್ಲಿ, ಸಂಕೋಚನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (ಒಮ್ಮೆ ಮೇಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮೆ ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿ) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಾಲುಗಟ್ಟಿ ನಿಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಅಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ವೈಲ್ ಲೈನ್ ಅಪ್, ಮತ್ತು ಮಾಡಬೇಡಿ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಪದದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಸಂಕೋಚನ) ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪದದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ, ಇದು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಸಮ್ಮಿತಿ ಇತ್ಯಾದಿ, ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ) ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅಥವಾ ವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಅವು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದರೆ-ಈ ನಿಯಮವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ನಡುವೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಇರಿಸಲಾಗುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದರೆ-ನಿಯಮವು ಎಲ್ಲಾ ಸುತ್ತುವರಿದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿ ಇರಿಸಲಾದ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ಅನೇಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಟೆನ್ಸರ್ ಪ್ಯಾರೆಂಥೆಸಿಸ್ನ ಸಮಮಿತಿಯ ಮತ್ತು ಅಸಮಮಿತಿಯ ಭಾಗಗಳು, (), ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸಮಮಿತಿಯ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 1 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಸಮ್ಮಿತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಎಂದರೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲು ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿವೆಃ ಮೂರು ಸಮ್ಮಿತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ, ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸಲು ಮೂರು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿವೆಃ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ವಿತರಣಾ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ; ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಅವು ಇದ್ದಾಗ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಭಾಗವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲಃ ಒಂದೇ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ; ಆವರಣದೊಳಗೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಪಟ್ಟಿಗಳ ನಡುವೆ (ಅಂದರೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದು; ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲ. ಟೆನ್ಸರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ಭಾಗ, [], ಅನೇಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಜ್ಡ್ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಜಿಂಗ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ-ಆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಹಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಡಿಗ್ರಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಜಿಂಗ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆಃ ಮೂರು ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಜಿಂಗ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆಃ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಸಮ್ಗಾಗಿ ಗಾಸ್ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಫ್ಯಾರಡೆಯ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಜೇಷನ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೇಲೆ ವಿತರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸಮ್ಮಿತಿಯಂತೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ; ಚೌಕಾಕಾರದ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ಪಟ್ಟಿಗಳ ನಡುವೆ (ಅಂದರೆ. | ಷ್ಣ ಷ್ಣ ಷ್ಣ ಷ್ಣ ಷ್ಣ |), ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದು; ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಅಸಮ್ಮಿತೀಯ ಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಯಾವುದೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಅಸಮ್ಮಿತೀಯ ಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಗಾಗಿ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೋಡಬಹುದು. ಇದು ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಂದ್ರತೆಗಾಗಿ, ಅಲ್ಪವಿರಾಮ ಅಥವಾ ಅರೆವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ರಿಕ್ಕಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಘಟಕಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆಃ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಧಾರ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಾಹಕದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖೀಯ ಸಮನ್ವಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ವಾಹಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯ ಹೊರತಾಗಿ, ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಘಟಕಗಳ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ, ಆದರೂ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ, ಕೋವೇರಿಯಂಟ್, ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಲೈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಂತೆ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಘಟಕಗಳ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕೆಳ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮುಂದೆ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಸೇರಿಸದೆ): ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿರದ ಹೊರತು ಈ ಘಟಕಗಳು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಇರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ, ಕೆಳಭಾಗದ (ಕೋವೇರಿಯಂಟ್) ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮುಂದೆ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಅರ್ಧವಿರಾಮಚಿಹ್ನೆಯು () ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಮಿಕೋಲನ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಲಾಶ್ () ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಬಾಗಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಲಂಬವಾದ ಪಟ್ಟಿ () ಸೇರಿವೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫಂಕ್ಷನ್, ಕಾಂಟ್ರಾವೇರಿಯೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಕೋವೇರಿಯೆಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಸಂಪರ್ಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಟೆನ್ಸರ್ಗಾಗಿಃ ಯಾವುದೇ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಕೇತವೆಂದರೆ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲಾದ ನಬ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಃ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸಂಕೋಚನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. : ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಘಟಕಗಳು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಉಪ-ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು (ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಮತ್ತೊಂದು ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆಃ ಸಂಪರ್ಕದ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಕೊಸ್ಜುಲ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗ ಸಂಪರ್ಕವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆಃ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿರುವ ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸಂಪರ್ಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸಂಪರ್ಕವು (ಅಂದರೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ತಿರುಚು ಟೆನ್ಸರ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ) ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ. ಸಮನ್ವಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ (ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೀತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆಧಾರ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲಃ ಇದಕ್ಕೆ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ರಚನೆ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮನ್ವಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಇದನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಘಟಕಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಜೇಷನ್ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲ. ಇದು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಲೈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಬೇಸಿಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಂತೆ, ಇದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಹರಿವಿನ) ಒಂದು ರೀತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಲೈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಲೈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಗಮನಾರ್ಹ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಸಂಕುಚಿತಗೊಂಡಾಗ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆಃ ಘಟಕಗಳು ಯಾವುದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಬೇಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಮೇಲೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಗುರುತು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಕುರುಹು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಕುರುಹು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾವನ್ನು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ): ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರೈಜರ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಃ ತಿರುಚು ಟೆನ್ಸರ್ ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ತಿರುಚು ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಆಧಾರದ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಘಟಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಈ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರೀಮನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಎರಡು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರಿಕ್ಕಿ ಗುರುತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಜಾಗದಂತಹ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಪಥದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಂತಹ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪಥದ ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮೊನೊಟೋನ್ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಲೈನ್ ಅಂಶವನ್ನೂ ನೋಡಿ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಮೂರ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತ ಸಂಪರ್ಕ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಆಧಾರದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ರೆಡ್ಜ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ರಿಕ್ಕಿ ವಿಭಜನೆ ಟೆನ್ಸರ್ (ಆಂತರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ) ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು