Taylor's law
ಟೇಲರ್ 'ಸ್ ಪವರ್ ಲಾ ಎಂಬುದು ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ನಿಯಮವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಆವಾಸಸ್ಥಾನದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಜಾತಿಯ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾನೂನಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. 1961ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಪರಿಸರಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲಿಯೋನೆಲ್ ರಾಯ್ ಟೇಲರ್ (1924-2007) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಟೇಲರ್ ಅವರ ಮೂಲ ಹೆಸರು ಸರಾಸರಿ ನಿಯಮವಾಗಿತ್ತು. ಟೇಲರ್ 'ಸ್ ಲಾ ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಸೌತ್ವುಡ್ 1966ರಲ್ಲಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಪರಿಸರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಜೀವಿಗಳ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಮೂಹವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಣಿಕೆಗೆ, a ಮತ್ತು b ಎರಡೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿರುವ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್ 1961 ರಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಘಾತಾಂಕ ಬಿ ಅನ್ನು ಜಾತಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕೆಂದು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಈ ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮವು ತರುವಾಯ ನೂರಾರು ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ದೃಢೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಮಯ ಅವಲಂಬಿತ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಪರಿಸರವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ನಿಯಮಗಳ ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸಹ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ ಮೆಟಾಸ್ಟಾಸಿಸ್ ಜಪಾನ್ನ ಟೋನಮಿ ಬಯಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಮನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ದಡಾರ ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರ ಎಚ್. ಐ. ವಿ. ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರ, ಬಾಲ್ಯದ ಲ್ಯುಕೇಮಿಯಾ ರಕ್ತದ ಹರಿವಿನ ಭೌಗೋಳಿಕ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ವೈವಿಧ್ಯತೆ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಕ್ರಮ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಏಕ-ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯೊಟೈಡ್ ಬಹುರೂಪತೆಗಳ (ಎಸ್. ಎನ್. ಪಿ. ಗಳು) ವಂಶವಾಹಿ ರಚನೆಗಳ ಜೀನೋಮಿಕ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗೌಸಿಯನ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತ ಮೇಳಗಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಇತಿಹಾಸ 1879 ರಲ್ಲಿ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಅವರು ಉಷ್ಣ ವಾಯುಬಲವಿಜ್ಞಾನದ ಮೇಲೆ ಡಬಲ್ ಲಾಗ್-ಲಾಗ್ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಮೊದಲ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಅವರ ಆದಾಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪಾರೆಟೊ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಫಿಶರ್ 1918ರಲ್ಲಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು. 1921 ರಲ್ಲಿ ಬಯಾಲಜಿ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರು 1938 ರಲ್ಲಿ ಬೆಳೆ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ನೆಯ್ಮನ್ ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು) ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಟೇಲರ್ ಅವರ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಈ ಸಂಬಂಧವು ಅಲ್ಲಿ Vx ಎಂಬುದು x ಘಟಕಗಳ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳಿಗೆ ಇಳುವರಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, V1 ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಇಳುವರಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು x ಎಂಬುದು ಪ್ಲಾಟ್ಗಳ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇಳಿಜಾರು (ಬಿ) ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಬಿ ಯ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇಳುವರಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವಲ್ಲಿ ಬಿ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ; ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದಾಗ ಬಿ 1 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. 1941ರಲ್ಲಿ ಬ್ಲಿಸ್, 1941ರಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕರ್ ಮತ್ತು ಬ್ರಿಸ್ಲ್ ಮತ್ತು 1961ರಲ್ಲಿ ಹೇಮನ್ ಮತ್ತು ಲೊವೆ ಸಹ ಈಗ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಜಾತಿಯ ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಟೇಲರ್ ಅವರ 1961 ರ ಪ್ರಬಂಧವು 1936 ಮತ್ತು 1960 ರ ನಡುವೆ ಪ್ರಕಟವಾದ 24 ಪತ್ರಿಕೆಗಳಿಂದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿತು, ಅದು ವಿವಿಧ ಜೈವಿಕ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದೆಃ ವೈರಸ್ ಗಾಯಗಳು, ಮ್ಯಾಕ್ರೋ-ಜೂಪ್ಲಾಂಕ್ಟನ್, ಮಣ್ಣಿನಲ್ಲಿ ಹುಳುಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಂಫಿಲಿಡ್ಗಳು, ಮಣ್ಣಿನಲ್ಲಿ ಕೀಟಗಳು, ಸಸ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿ, ಎಲೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹುಳಗಳು, ಸಮುದ್ರದಲ್ಲಿ ಕುರಿ ಮತ್ತು ಮೀನುಗಳ ಮೇಲೆ ಉಣ್ಣಿ. ಬಿ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಮತ್ತು 3ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್ ಈ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಅವರು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಬಾರ್ಟ್ಲೆಟ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಜನನ-ಮರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗಬಹುದಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಂತಹ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಟೇಲರ್ ಅವರ ವಿವರಣೆಯು ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಸಮತೋಲಿತ ವಲಸೆ ಮತ್ತು ಸಾಮೂಹಿಕ ನಡವಳಿಕೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿತ್ತು. ಅವರ ಊಹೆಯು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಅದು ವಿಕಸನಗೊಂಡಂತೆ ಅದು ಅರೆ-ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅನುಕರಣೆಗಳಿಂದ ಬೆಂಬಲಿತವಾಯಿತು. ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮಕ್ಕಾಗಿ ಅನೇಕ ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹ್ಯಾನ್ಸ್ಕಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಯ ಊಹಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿಣಾಮದಿಂದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಪವರ್ ಲಾ ಘಾತಾಂಕವು 2ರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುವಂತೆ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ಕಿಯ ಮಾದರಿಯು ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿದಿದೆ, ಇದು ಅನೇಕ ವರದಿ ಮಾಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಂಜಸವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆಂಡರ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಸರಳವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಜನನ, ಸಾವು, ವಲಸೆ ಮತ್ತು ವಲಸೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು, ಅದು ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿತು. ಈ ಮಾದರಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ, ಅಂತಹ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅವಲೋಕನಗಳ ನಡುವೆ ಪವರ್ ಲಾ ಘಾತಾಂಕವು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಟೇಲರ್ ವಾದಿಸಿದರು. ಕೆಂಪ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ, ನೆಯ್ಮನ್ ಪ್ರಕಾರ ಎ ಮತ್ತು ಪೋಲ್ಯಾ-ಏಪ್ಪ್ಲಿ ವಿತರಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರು, ಇದು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸೂಕ್ತ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಂಪ್ ತನ್ನ ಮಾದರಿಗಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಿಲ್ಲ. ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇತರ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಮೂರ್ತ ಮಾದರಿಗಳು ಅನುಸರಿಸಿದವು. ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವ ಇತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಲ್ಲಿ ನೈಜ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ತೊಂದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಧಾನಗಳ ಅಸಮರ್ಪಕತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಳವಳಗಳನ್ನು ಎತ್ತಲಾಯಿತು. ಟೇಲರನ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪೆರ್ರಿ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಟೇಲರನ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಮೊದಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ತಂಬಾಕು ನೆಕ್ರೋಸಿಸ್ ವೈರಸ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳಂತೆ, ಈ ಅವಲೋಕನಗಳು ಟೇಲರ್ನ ಪ್ರಾಣಿಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ. ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಪರಿಸರವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾನೂನಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಟ್ವೀಡಿ ವಿತರಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ಅಂತರ್ಗತ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಅಧಿಕಾರದ ಕಾನೂನಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹ್ಯಾನ್ಸ್ಕಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಯ ಊಹಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿಣಾಮದಿಂದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಪವರ್ ಲಾ ಘಾತಾಂಕವು 2ರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುವಂತೆ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ಕಿಯ ಮಾದರಿಯು ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿದಿದೆ, ಇದು ಅನೇಕ ವರದಿ ಮಾಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಂಜಸವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆಂಡರ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಸರಳವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಜನನ, ಸಾವು, ವಲಸೆ ಮತ್ತು ವಲಸೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು, ಅದು ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿತು. ಲೆವೊಂಟಿನ್ ಕೋಹೆನ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾದರಿ. ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿತ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಶಕ್ತಿಯ ನಿಯಮದ ಅವಲೋಕನಗಳು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಣಿತದ ಕಲಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಎತ್ತಲಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿಸರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಘಾತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಊಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉತ್ತರ ಸಮುದ್ರದ ಮೀನು ಸಮುದಾಯಕ್ಕೆ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಘಾತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಬಾಹ್ಯ ಪರಿಸರದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಂಶೋಧನೆಯು ತೋರಿಸಿದೆ, ಇದು ಪರಿಸರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ರೂಪವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಭಾಗಶಃ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಏರಿಳಿತದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಐಸ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಇತರರು, ಏರಿಳಿತದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳು ದೊಡ್ಡ ಪರಿಣಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಪರಿಣಾಮದ ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದು ಅವರು ಕರೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಐಸ್ಲರ್ ಲೇಖನದ ಅನುಬಂಧ ಬಿ ಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಭಾವದ ಏಕರೂಪತೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಟ್ವೀಡಿ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ಅದೇ ಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡಿವೆ ಎಂದು ಲೇಖಕರು ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪು, ಫ್ರಾಂಕ್ಜಾಕ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾಂಕ್ಜಾಕ್, ಸಮತೋಲನ ಮತ್ತು ಸಮತೋಲನವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಏರಿಳಿತದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಟೇಲರ್ನ ಶಕ್ತಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಅವುಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿಯಂತಹ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಜೈವಿಕ ಜೀವಿಗಳ ಸಮೂಹಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದ ಬಾಹ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಣಿ ಅಥವಾ ಸಸ್ಯಗಳ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನೇರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ಫ್ರಾಂಕ್ಜಾಕ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾಂಕ್ಜಾಕ್ ಅವರ ಮಾದರಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಅದು ಅವರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೇರವಾಗಿ ಟ್ವೀಡಿ ವಿತರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿತು, ಇದು ಫ್ರಾಂಕ್ಜಾಕ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾಂಕ್ಜಾಕ್ ಈ ವಿತರಣೆಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೊದಲ 11 ದಶಲಕ್ಷ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮವು ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್ ತನ್ನ ಪರಿಸರ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ವೈದ್ಯಕೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಎಂ. ಸಿ. ಕೆ. ಟ್ವೀಡಿ, ಈಗ ಟ್ವೀಡಿ ವಿತರಣೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಈ ವಿತರಣೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಟೈಲರ್ನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಹೋಲುವ ಶಕ್ತಿಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಪರಿಸರ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಟ್ವೀಡಿ ವಿತರಣೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್-ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ N ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ N ಎಂಬುದು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಚಯೀ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವು (ಸಿಜಿಎಫ್): ಇಲ್ಲಿ κb (θ) ಸಂಚಯೀ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಟ್ವೀಡಿ ಘಾತಾಂಕವು ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು θ ಮತ್ತು λ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಚಯಗಳನ್ನು ಸಿಜಿಎಫ್ನ ಅನುಕ್ರಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ s = 0 ಅನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಚಯಕಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಪಾಯ್ಸನ್-ಗಾಮಾ ಸಿಜಿಎಫ್ ಸಂಯುಕ್ತವು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಪಾತದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಟೈಲರ್ನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಹಲವಾರು ಇತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್-ಗಾಮಾ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಗೆ ಇದೇ ರೀತಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟ್ವೀಡಿ ಊಹೆಯ ಮುಖ್ಯ ಸಮರ್ಥನೆಯು ಟ್ವೀಡಿ ವಿತರಣೆಗಳ ಗಣಿತದ ಒಮ್ಮುಖದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಂತಿದೆ. ಟ್ವೀಡಿ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಟ್ವೀಡಿ ವಿತರಣೆಗಳು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖದ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಣ್ಣ ಜಿಗಿತಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಟ್ವೀಡಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸಲು ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. ಟ್ವೀಡಿ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅಥವಾ ಅಂದಾಜಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಬಂಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಊಹೆಯು ವಿವಾದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ; ಟ್ವೀಡಿ ಸಂಯುಕ್ತ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಪರಿಸರಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಟ್ವೀಡಿ ಊಹೆಯೊಂದಿಗಿನ ಒಂದು ತೊಂದರೆಯೆಂದರೆ, ಬಿ ಯ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಬಿ <1ರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಪರೂಪವಾದರೂ ವರದಿಯಾಗಿವೆ. ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೈ2 ಎಂಬುದು ಐಥ್ ಮಾದರಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದು, ಮೈ ಎಂಬುದು ಐಥ್ ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮದಲ್ಲಿನ ಘಾತಾಂಕವು ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆಃ ಮಾಪನದ ಘಟಕವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಘಾತಾಂಕವು () ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು y = cx ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (x) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವು ಮತ್ತು ಮರುಬಳಕೆಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (y) ನಲ್ಲಿ ಅದು ಆದ್ದರಿಂದ, ಇನ್ನೂ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (ಅನುಪಾತದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಬದಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ). ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಡುವಿನ ಏಕೈಕ ಸಂಬಂಧವಾದ ಸ್ಕೇಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧವು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳು ಬಿ ಇಳಿಜಾರಿನ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ರೇನರ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ದೋಷಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಡಿನರಿ ಲಸ್ಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ φ = φ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು b ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡರ ಅಂದಾಜುಗಳು ದೋಷಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಅನೇಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಫೆರ್ರಿಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ s2 ಮತ್ತು m ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ, b, c ಮತ್ತು d ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು n ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಈ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಟೇಲರ್ ಕಾನೂನಿನ ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯಂತೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಈ ಕಾನೂನಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹಾನ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಪಿ)-ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿರಬಹುದು. S ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು V ಜೈವಿಕ (ನೈಜ) ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನಮಗೆ ಬಾರ್ಲೆಟ್ನ ಮೂಲ ಸಲಹೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಬಿ) ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ> 1 ಜೀವಿಗಳ ಕ್ಲಂಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್-ವಿತರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ, b = 1. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಾಗ್ನಾರ್ಮಲ್ ಅಥವಾ ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, b = 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ತಲಾ ಪರಿಸರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಲಾಗ್ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮತ್ತು ಲಾಗ್ (ಸರಾಸರಿ ಸಮೃದ್ಧಿ) ಹಿಂಜರಿತವು ಬಿ = 2 ರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳು b <2 (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 1.5-1.6) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಆದರೆ 2ರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವರದಿಯಾಗಿವೆ. ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಬಿ> 2 ಪ್ರಕರಣಗಳು ವರದಿಯಾಗಿವೆ. 1ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಬಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಪರೂಪವಾದರೂ ಅವು ವರದಿಯಾಗಿವೆ (ಬಿ = 0.93). ಕಾನೂನಿನ ಘಾತಾಂಕವು (ಬಿ) ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯ ವಕ್ರತೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಸ್ತಾಪವು ಟೀಕಿಸಿದೆಃ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕೆಲಸವು ವಕ್ರವಾದ ವಿತರಣೆಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು indicated.Random ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇದು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ (2015) ಪ್ರೊಕ್ ನ್ಯಾಟಲ್ ಅಕಾಡ್ ಸೈನ್ಸ್ ಯುಎಸ್ಎ 112 (25) ಇ3156 ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಈ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿನ ಇಳಿಜಾರಿನ (ಬಿ) ಮೂಲವು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಎರಡು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿ ಪ್ರಭೇದದ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಪ್ರಭೇದಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವು ಇದು ಮಾದರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾನೂನಿನ ಮೇಲೆ ಗಣನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ನಡೆದಿದ್ದರೂ (1000ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು), ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತವಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದೆ. ವಯಸ್ಸು-ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಸರಣ, ಮರಣ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಘಟಕದ ಗಾತ್ರದಿಂದಾಗಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎರಡೂ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಕಾನೂನು ಕಳಪೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಬಹುದು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೈನರಿ ಡೇಟಾದ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಬೈನರಿ ಡೇಟಾಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟ್ಗಳು). ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ (ವರ್ಬಿನ್) ದ್ವಿಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಎನ್ ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಗೆ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪಿ ಎಂಬುದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ (ರೋಗದಂತಹ), ಇದು ಆ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು. ಬೈನರಿ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗಿನ ಒಂದು ತೊಂದರೆಯೆಂದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಸೋಂಕಿತ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣವು 0.5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು (ವರಾಬ್ಸ್) (ವರ್ಬಿನ್) ನ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ವಿತರಣೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಡೆನ್ ಗಮನಿಸಿದರು. ಅನೇಕ ಗಮನಿಸಿದ ಅನುಪಾತದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅವರು ಬದಲಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿದರು. ಅವರು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರು. ದ್ವಿಪದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ, ಅವರು ವರಾಬ್ಸ್ = ವರ್ಬಿನ್, ವರಾಬ್ಸ್> ವರ್ಬಿನ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಡೆನ್ ಅವರು ಟ್ಯಾಲರ್ನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಮಾರ್ಪಾಡು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಬಂಧವು ಬೈನರಿ ಪವರ್ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಎಣಿಕೆಗಳ ಅತಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಬಳಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಅರ್ಥ ಅನುಪಾತವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪಾಟೀಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟಿಟ್ಲರ್ ಮಾಡಿದ ಅವಲೋಕನವು ಹ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಡೆನ್ರಿಂದ ಬೈನರಿ ಪವರ್ ಕಾನೂನಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಹಂತವಾಗಿದೆಃ ಗಮನಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಎಣಿಕೆಗಳಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಶಕ್ತಿಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಡೆನ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯೂಸ್ ಅವರು ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮವನ್ನು ಎರಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು, ಗಮನಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಬೈನರಿ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆಯು ದ್ವಿಪದವಾಗಿದೆ (ಪಾಯ್ಸನ್ ಅಲ್ಲ). ಹೀಗಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಪವರ್ ಲಾ ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಪವರ್ ಲಾ ವೈವಿಧ್ಯತೆಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪವರ್-ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳ ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. a ಮತ್ತು b ಎರಡೂ 1ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ, ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿ = 1 ಮತ್ತು ಎ> 1 ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಅತಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣ (ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆ) ಇರುತ್ತದೆ. b> 1 ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು p ಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟುರೆಚೆಕ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೈನರಿ ಪವರ್ ಕಾನೂನು ಸಸ್ಯ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬಿ ಎಂದರೆ 1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು 2ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ. ಈ ನಿಯಮದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದತ್ತಾಂಶ ಸಮೂಹಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯ ಬದಲು, ವಿಭಾಗೀಯ ಹಿಂಜರಿತವು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಮಾದರಿಯಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಭಜನೆಯು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ-ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಪ್ರಸರಣ ದೂರಗಳು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಚತುರ್ಭುಜ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ವಿರಾಮವು p ನಲ್ಲಿ 0 ಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾಯ್ದೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಯಮದ ಮೂಲ ರೂಪವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಅಸಮವಾದ ರೂಪಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ರೋಗದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿದ್ದಾಗ ಸಿಮ್ಯಾಟ್ರಿಕಲ್ ರೂಪವು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ. ನೆರೆಹೊರೆಯವರು ಸೋಂಕಿಗೆ ಒಳಗಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ನಡುವೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧವಿರುವಲ್ಲಿ, ಅಸಮವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವು ಸರ್ವತ್ರವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಇದು ವಿವಿಧ ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಬಳಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಿಫಾರಸುಗಳು ಡೇಟಾ ಸ್ಯಾಂಪಲ್ಗೆ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅಧ್ಯಯನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇದನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆಃ (1) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಒಟ್ಟು ಜೀವಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ> 15 ಆಗಿರುತ್ತದೆ (2) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಜೀವಿಗಳ ಗುಂಪುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ> 5 ಆಗಿರುತ್ತದೆ (3) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿಯೊಳಗೆ ಜೀವಿಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕನಿಷ್ಠ 2 ಪ್ರಮಾಣದ ಕ್ರಮಗಳಿಂದ ಬದಲಾಗಬೇಕು. ಒಂದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ (m) ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ (s2) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು (p) ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳ ಪ್ರಮಾಣವು ಕ್ಲಂಪ್ಡ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಭೇದವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗಿರುವ ಪ್ರಭೇದದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಕ್ಲಂಪ್ಡ್ ವಿತರಣಾ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ p ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಪ್ರಭೇದವನ್ನು ಹೋಲಿಸುವಾಗ ಆದರೆ ಸಮಾನ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ p ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು m. ವಿಲ್ಸನ್ ವಿರುದ್ಧ p ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಮ್ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ದ್ವಿಪದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಮೂಲ ಸಂಬಂಧವೆಂದರೆ ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವುದು. ಇ. ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಸಂಬಂಧವು ಡಿಸ್ಪರ್ಶನ್ ನಿಯತಾಂಕ ಅಂದಾಜುಗಾರನಾಗುತ್ತದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿಸ್ಪರ್ಶನ್ ನಿಯತಾಂಕವು (ಕೆ) ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. 1/k> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; 1/k = 0 (s2 = m) ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ (ಪಾಯ್ಸನ್) ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1/k <0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. k = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಟೇಲರನ ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ ವಿಲ್ಸನ್ ಮತ್ತು ರೂಮ್, k ಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಅಂದಾಜುಗಾರನನ್ನು ನೀಡಿದರುಃ ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು bಗಳು ಟೇಲರನ ನಿಯಮದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ x ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಾಗಿ ಅಂದಾಜುಗಾರನನ್ನು ಪಡೆದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಾಗಿ ವಿಲ್ಸನ್ ಮತ್ತು ರೂಮ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನ k ಗಾಗಿ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವ ಜೋನ್ಸ್. ಪಿ (x) ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ x ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಕೆ ಅನ್ನು ವಿಲಾನ್ ಮತ್ತು ರೂಮ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು m ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ. ಶೂನ್ಯ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾದ ಪಿ (0) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಜೋನ್ಸ್ ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ CI ಎಂಬುದು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದ್ದು, t ಎಂಬುದು t ವಿತರಣೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು N ಎಂಬುದು ಒಟ್ಟು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಕಾಟ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಕುಟುಂಬವು 2 ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (ಡಬ್ಲ್ಯೂ1, ಡಬ್ಲ್ಯೂ2) ವಿತರಣೆಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು (ಕಾಟ್ಜ್ ಕುಟುಂಬ) ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿತು. ಈ ವಿತರಣಾ ಕುಟುಂಬವು ಬರ್ನೌಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಕಾಟ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ m ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು s2 ಮಾದರಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ w2 = 0 ಮತ್ತು w1 = λ ಪೊಸಿಯಾನ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿತರಣಾ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪಂಜೇರ್ ವಿತರಣಾ ಕುಟುಂಬ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಟ್ಜ್ ಕುಟುಂಬವು ವಿತರಣೆಗಳ ಸುಂಡ್ಟ್-ಜೆವೆಲ್ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಸುಂಡ್ಟ್-ಜೆವೆಲ್ ಕುಟುಂಬದ ಏಕೈಕ ಸದಸ್ಯರು ಪಾಯ್ಸನ್, ದ್ವಿಪದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ (ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್), ವಿಸ್ತೃತ ಮೊಟಕುಗೊಂಡ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸರಣಿ ವಿತರಣೆಗಳು. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾಟ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ, ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕಾಟ್ಜ್ ಸಹ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿತು, ಅಲ್ಲಿ Jn ಎಂಬುದು ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶವಾಗಿದೆ, s2 ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, m ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು n ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. Jnಅನ್ನು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಏಕಮಾನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ Jn = 0; Jn <0 ಮತ್ತು> 0 ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಸರಣದ ಕೆಳಗೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಅತಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಪ್ತ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ-ಜನಸಂಖ್ಯೆಯೊಳಗೆ ಅನೇಕ ಉಪ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ನೆಯ್ಮನ್-ಸ್ಕಾಟ್ ಅಂಕಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಅಂಕಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ (ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಸರಣ ಪರೀಕ್ಷೆ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಿಸಿದಾಗ n−1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಚಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ, ಅಳಿವಿನ ಸಮಯವು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಅಳಿವಿನ ಸರಾಸರಿ ಸಮಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎನ್ ಟಿ + 1 ಮತ್ತು ಎನ್ ಟಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಟಿ + 1 ಮತ್ತು ಟಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆರ್ ವಾರ್ಷಿಕ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಇಳಿಕೆ) ಸಮಾನವಾದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಮೃದ್ಧಿಯ ಅಳತೆಯಾಗಿರಲಿ (ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಜೀವಿಗಳು). ನಂತರ ಟಿಇ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಳಿವಿನ ಸರಾಸರಿ ಸಮಯವಾಗಿದೆ. ಕಾಲ t ಯಿಂದ ಅಳಿವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅಳಿವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರದ (H) ಸಾಮರಸ್ಯದ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (m) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಲೊಗ್ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಊಹೆಯು 544 ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಮರ್ಥನೀಯ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದ ಅಂದಾಜುದಾರರು ನಿಖರತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು (ಡಿ) s/m ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ s ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು m ಸರಾಸರಿ. ನಿಖರತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನದ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಡಿ 10-25% ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರಬೇಕು ಎಂದು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ನಿಖರತೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಟ್ಟವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ತನಿಖಾಧಿಕಾರಿಯು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಹಲವಾರು ಸರಳ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಿಸಿದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ (ಎನ್) ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ (ಎಂ) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಟೈಪ್ 1 ದೋಷಕ್ಕೆ ಟಿ ವಿತರಣೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದ ಅಂದಾಜುಗಾರನನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಸೌತ್ವುಡ್ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ, a ಮತ್ತು b ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು D ನಿಖರತೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ. ಕರಂಡಿನೋಸ್ n ಗೆ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಅಂದಾಜುದಾರರನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ರುಸೆಂಕ್ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದರು. ಇಲ್ಲಿ d ಎಂಬುದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ (CI) ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸರಾಸರಿ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಂದಾಜುಗಾರನನ್ನು ದ್ವಿಪದ (ಉಪಸ್ಥಿತಿ-ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ) ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಯಸಿದ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು (n) ಅಲ್ಲಿ dp ಎಂಬುದು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿಶ್ವಾಸದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅರ್ಧದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, p ಎಂಬುದು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು q = 1 − p. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ (ಉಪಸ್ಥಿತಿ/ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ) ಮಾದರಿಗಾಗಿ, ಷುಲ್ಥೆಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಕರಾಂಡಿನೋಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ N ಎಂಬುದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ, p ಎಂಬುದು ಆಸಕ್ತಿಯ ಜೀವಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, t ಎಂಬುದು ಆಯ್ಕೆಯ ಮಟ್ಟದ ಮಹತ್ವವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಡಿಪ್ ಎಂಬುದು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮದಿಂದ ಪಡೆದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ನಿಲುಗಡೆ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ನಿಲುಗಡೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸರಣಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ನಿಖರತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಗ್ರೀನ್ 1970 ರಲ್ಲಿ ಪಡೆದರು. ಇಲ್ಲಿ ಟಿ ಸಂಚಿತ ಮಾದರಿ ಒಟ್ಟು, ಡಿ ನಿಖರತೆಯ ಮಟ್ಟ, ಎನ್ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಅನ್ನು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೀಟ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಸಹಾಯವಾಗುವಂತೆ ವಿಲ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅದು ಕ್ರಮ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮಿತಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಗಳು ಟೇಲರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, | | ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, m ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ, T ಎಂಬುದು ಮಿತಿ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು t ಎಂಬುದು t ವಿತರಣೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ. ಲೇಖಕರು ದ್ವಿಪದ (ಉಪಸ್ಥಿತಿ-ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ) ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ p ಎಂಬುದು ಕೀಟಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು q = 1 − p. ಟೈಲರ್ನ ನಿಯಮದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಹಸಿರು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾದರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ D ಎಂಬುದು ನಿಖರತೆಯ ಮಟ್ಟ, a ಮತ್ತು b ಎಂಬುದು ಟೈಲರ್ನ ನಿಯಮದ ಗುಣಾಂಕಗಳು, n ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು T ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಪಡೆದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸೆರಾ ಮತ್ತು ಇತರರು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿಲ್ಲಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು bಗಳು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದು, D ಎಂಬುದು ನಿಖರತೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು Tn ಎಂಬುದು ಒಟ್ಟು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸೆರಾ ಮತ್ತು ಇತರರು ಇವೋವಾದ ಹಿಂಜರಿತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎರಡನೇ ನಿಲುಗಡೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ α ಮತ್ತು β ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, D ನಿಖರತೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು Tn ಒಟ್ಟು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಡಿ ಅನ್ನು 0.1 ಮತ್ತು ಕೀಟ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಡಿ = 0.25 ಎಂದು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬೇಕೆಂದು ಲೇಖಕರು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ ಅಭ್ಯಾಸವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ (ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಬಳಕೆಯು ತಪ್ಪುದಾರಿಗೆಳೆಯುವಂತಿರಬಹುದು. ಜೈವಿಕ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಹಲವಾರು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಯಾವುದೂ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಜನಪ್ರಿಯತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿಲ್ಲ. ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಬಹುಶಃ ಇವಾವೊನ ಪ್ಯಾಚಿನೆಸ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. 1936ರಲ್ಲಿ ಬಾರ್ಲೆಟ್-ಇವಾವೊ ಮಾದರಿ ಬಾರ್ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ನಂತರ 1968ರಲ್ಲಿ ಇವಾವೊ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದವು. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ s ಎಂಬುದು ith ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು mi ಎಂಬುದು ith ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದಾಗ, a = 1 ಮತ್ತು b = k (ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಘಾತಾಂಕ). ಈ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವಂತೆ ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ. ನಾಚ್ಮನ್ ಮಾದರಿ ನಾಚ್ಮನ್ ಸರಾಸರಿ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಎಣಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳ ಅನುಪಾತದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರುಃ ಇಲ್ಲಿ p0 ಎಂಬುದು ಶೂನ್ಯ ಎಣಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, m ಎಂದರೆ ಸರಾಸರಿ ಸಾಂದ್ರತೆ, a ಎಂಬುದು ಸ್ಕೇಲ್ ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು b ಎಂಬುದು ಪ್ರಸರಣ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. a = b = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಲ್ಸೋಪ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸೋಂಕಿತ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ D2 ನಿಖರತೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ, zα/2 ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲಿನ α/2 ಆಗಿದೆ, a ಮತ್ತು b ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಗುಣಾಂಕಗಳು, c ಮತ್ತು d ನಾಚ್ಮನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು, n ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು N ಸೋಂಕಿತ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಕೊನೊ-ಸುಗಿನೋ ಸಮೀಕರಣ ಬೈನರಿ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. 1958 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೊ ಮತ್ತು ಸುಗಿನೋ ಅವರು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮಾದರಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಇಲ್ಲಿ p0 ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಲ್ಲದ ಮಾದರಿಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, m ಎಂದರೆ ಸರಾಸರಿ ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆ, a ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಟೇಲರನ ನಿಯಮದಂತೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಟೇಲರನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವಂತಹವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿವಿಧ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಂತಲ್ಲದೆ ಈ ಮಾದರಿಯು ಸರಾಸರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಖಾಲಿ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಾತವು p0 ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಇವುಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಎರಡು ಬಾರಿ ಲಾಗ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮರುಹೊಂದಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ನಾಚ್ಮನ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಮಾದರಿಯನ್ನೇ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಅವರ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕೀಟಗಳು ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯವಾಗಿರುವಾಗ, ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿರಬಹುದು. ಗಮನಿಸಿಃ ಪೀಡಿತ ಭತ್ತದ ಬೆಟ್ಟಗಳ ಸರಣಿಯ ಅನುಪಾತ ಪಿ ಮತ್ತು ಸೋಂಕಿನ ಸರಾಸರಿ ತೀವ್ರತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮಾದರಿಯು ಅಲ್ಲಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಮಾದರಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾದ a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು P ಮತ್ತು mU ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ m ನ ಊಹಿಸಲಾದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಪಕ್ಷಪಾತಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾದ ಸರಾಸರಿ (Ma) ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಎಂಎಸ್ಇ ಹಿಂಜರಿತದ ಸರಾಸರಿ ಚದರ ದೋಷವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಎಣಿಕೆಯ (ಅನುಕ್ರಮ) ಮಾದರಿಗಾಗಿ ನಿಲುಗಡೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಎಂಎಸ್ಇ ಹಿಂಜರಿತದ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ದೋಷವಾಗಿದೆ, α ಮತ್ತು β ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತದ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರು, sβ2 ಹಿಂಜರಿತದ ಇಳಿಜಾರಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, N ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು p ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ p0 ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. a ಮತ್ತು b ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದಿಂದ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಹ್ಯೂಸ್-ಮ್ಯಾಡೆನ್ ಸಮೀಕರಣ ಹ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಡೆನ್ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ನಲ್ಲಿನ ಬೈನರಿ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ 0 ರಿಂದ n ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ವರಾಬ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪಿ ಎಂಬುದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ (ರೋಗದಂತಹ), ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಬಿ = ಸಿ, ಸರಳ ಮಾದರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂಬಂಧವು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು 100 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದು ವರದಿ ಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಟಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಶಿಯೋಮಿ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. () ಅವರು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ವರಾಬ್ಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, a ಮತ್ತು b ಹಿಂಜರಿತದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ (ಪ್ರತಿ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಗೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲ) ಮತ್ತು p ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರಸರಣ ನಿಯತಾಂಕವು (k) m2/(s2-m) ಮತ್ತು ಪೈ ಎಂಬುದು ಎಣಿಕೆಗಳು> 0 ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. kಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ s2ಗಳು ಟೇಲರನ ನಿಯಮದಿಂದ ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಪೈ ಅನ್ನು 1− (k (k + m) −1) k ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೆರ್ರಿ ಮತ್ತು ಟೇಲರ್ ಅವರು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೆ ನ ಪರ್ಯಾಯ ಅಂದಾಜುಗಾರನನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರಸರಣ ನಿಯತಾಂಕದ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದಕ್ಕೆ ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ Ax ಎಂಬುದು x ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಟ್ಟು ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, N ಎಂಬುದು ಒಟ್ಟು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, x ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, m ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು k ಘಾತಾಂಕವಾಗಿದೆ. k ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕು. ಈ ಮಾದರಿಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಒಳ್ಳೆಯತನವನ್ನು ಚಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಇವುಗಳು ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಪಕ್ಷಪಾತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ ಯು ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್-ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು m + m2/k ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ s2 ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, m ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು k ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. U ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ p = m/k, q = 1 + p, R = p/q ಮತ್ತು N ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. U ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಯು ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿಃ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ a ಮತ್ತು p ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿತರಣೆಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. a = 0 ಆಗಿರುವಾಗ ಇದು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿ = 1 ಮತ್ತು ಪಿ = 2 ರೊಂದಿಗೆ, ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎನ್ಬಿ 1 ಮತ್ತು ಎನ್ಬಿ 2 ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಈ ಹಿಂದೆ ಬಾರ್ಲೆಟ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಸರಣ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಪ್ರಸರಣ ನಿಯತಾಂಕವು (k) ಅಲ್ಲಿ m ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು s2 ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. k − 1> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; k − 1 = 0 ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು k − 1 <0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಸರಣ ನಿಯತಾಂಕದ (ಕೆಸಿ) ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವಿರುದ್ಧ ಕೆ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲು ಸೌತ್ವುಡ್ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಿ ಮತ್ತು ಮಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಸರಣ ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ಐಥ್ ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ. ಇಳಿಜಾರು (ಬಿ) ಮೌಲ್ಯವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ> 0 ಸರಾಸರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲಿಯಟ್ ಅವರು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಅವರು (m2 − s2/n) ವಿರುದ್ಧ (s2 − m) ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸಲು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಈ ಹಿಂಜರಿತದ 1/ಇಳಿಜಾರುಗೆ kc ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಾರ್ಲಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕ ಈ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು (ಸಿ) ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಸಿ = 100 (1/ಕೆ) 0.5 ಅಲ್ಲಿ ಕೆ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಸರಣ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಐಸಿ <1, = 1,> 1 ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೇಲರನ ನಿಯಮವು ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಲಾಯ್ಡ್ನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಾದ ಲಾಯ್ಡ್ನ ಸರಾಸರಿ ಜನಸಂದಣಿಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವು (ಐಎಂಸಿ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿ ಘಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ m ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು s2 ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಲಾಯ್ಡ್ಸ್ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಪ್ಯಾಚಿನೆಸ್ (ಐಪಿ) ಇದು ತೆಳುವಾಗುವುದರಿಂದ (ಅಂಕಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು) ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದ ಮಾದರಿಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು 1988 ರಲ್ಲಿ ಪಿಯೆಲೊ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಈ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐ. ಪಿ. ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದಲೇ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲು ಎಲ್. ಎಲ್. ಯೋಡ್ ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು. ಈ ವಿಧಾನವು k ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ನಂತರ ಪ್ಯಾಚಿನೆಸ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಎಲ್ಲಿದೆ, k ನಿಯತಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು q ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ, ಪ್ಯಾಚ್ನೆಸ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಇವಾವೊ ಕ್ಲಂಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ಯಾಚ್ನೆಸ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿತು. y ವಿರುದ್ಧ mi ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಹಿಂಜರಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ. ಈ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರಿನ (ಬಿ) ಮೌಲ್ಯವು ಕ್ಲಂಪಿಂಗ್ನ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆಃ ದತ್ತಾಂಶವು ಪಾಯ್ಸನ್-ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟೆಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಇಳಿಜಾರು = 1. ಸ್ಥಿರಾಂಕ (ಎ) ಎಂದರೆ ಅನಂತ ಸಾಂದ್ರತೆಯಲ್ಲಿ ಆವಾಸಸ್ಥಾನದ ಘಟಕವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಇದು <0,0 ಅಥವಾ> 0 ಆಗಿರಬಹುದು. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. <1 ರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲ ಘಟಕವು ಒಂದೇ ವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿ ಅಂಶ s2/m ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದಿದ್ದಲ್ಲಿ, a ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ am + bm2 ವಿರುದ್ಧ ಲಾಯ್ಡ್ಸ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯ (ಡಿ) ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವನ್ನು (ಎನ್) ಈ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುವ ಎ, ಬಿ ಇಳಿಜಾರು, ಎಂ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಟಿ ವಿತರಣೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇವಾವೊ ಈ ಹಿಂಜರಿತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮ ಮಾದರಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೀಟದ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಕ್ರಮ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನು ಮತ್ತು ಎನ್ಎಲ್ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಗಳಾಗಿವೆ, a ಎಂಬುದು ಹಿಂಜರಿತದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, b ಎಂಬುದು ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು i ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಕುನೊ ಈ ಹಿಂಜರಿತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರ್ಯಾಯ ಅನುಕ್ರಮ ನಿಲುಗಡೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇಲ್ಲಿ ಟಿಎನ್ ಒಟ್ಟು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ, ಡಿ ನಿಖರತೆಯ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ, ಎನ್ ಮಾದರಿಗಳ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತದ ಇಳಿಜಾರು. ಕುನೋ ಪರೀಕ್ಷೆಯು n ± (b−1)/D2 ಪ್ಯಾರೆಲ್ಲಾ ಮತ್ತು ಜೋನ್ಸ್ ಅವರು ಪರ್ಯಾಯ ಆದರೆ ಸಂಬಂಧಿತ ನಿಲುಗಡೆ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಹಿಂಜರಿತದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, N ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು n ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಮೊರಿಸಿತಾದ ಪ್ರಸರಣ ಸೂಚ್ಯಂಕವು (ಐ. ಎಂ.) ಇಡೀ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬ ಅಳತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಕ್ಲಂಪ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವೆಂದರೆ n ಎಂಬುದು ಒಟ್ಟು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ, m ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು x ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಲಾಯ್ಡ್ ಅವರ ಜನಸಂದಣಿಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿರುವ ಐ. ಎಂ. ಸಿ. ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳು> 1 ಕ್ಲಂಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಮೌಲ್ಯಗಳು <1 ವಿತರಣೆಯ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ರ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು n − 1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮೊರಿಸಿಟಾ ತೋರಿಸಿದರು. ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯ ಮಹತ್ವದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ m ಒಟ್ಟಾರೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ, n ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು z ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ z ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕಾರ್ಯವು ಸಸ್ಯಾಹಾರಿ ಪ್ಯಾಕೇಜಿನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಮೋರಿಸಿಟಾ ಅತಿವ್ಯಾಪ್ತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಮೊರಿಸಿತಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸ್ಮಿತ್-ಗಿಲ್ ಮೊರಿಸಿತಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿತು, ಇದು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎರಡರಿಂದಲೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು-1 ಮತ್ತು + 1ರಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲು ಮೋರಿಸಿಟಾ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು (ಐಡಿ) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ನಂತರ k ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ, ಅಲ್ಲಿ χ2 ಎಂಬುದು 97.5% ಮತ್ತು 2.5% ವಿಶ್ವಾಸದ ಮಟ್ಟಗಳಲ್ಲಿ n−1 ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂನ ಚಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು (ಐಪಿ) ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಐಡಿ ± ಮ್ಯಾಕ್> 1 ಯಾವಾಗ ಮ್ಯಾಕ್> ಐಡಿ ± 1 ಯಾವಾಗ 1> ಐಡಿ ± ಮ್ಯೂ ಯಾವಾಗ 1> ಮ್ಯೂ> ಐಡಿ ಐಪಿ + 1 ಮತ್ತು-1 ರ ನಡುವೆ 95 ಪ್ರತಿಶತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ± 0.5 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಐಪಿ 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಮಾದರಿಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಐಪಿ <0 ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದರೆ, ಐಪಿ> 0. ಸೌತ್ವುಡ್ನ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು (ಕೆ) m ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು m * ಲಾಯ್ಡ್ನ ಜನಸಂದಣಿಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫಿಶರ್ಸ್ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಡಿಸ್ಪರ್ಶನ್ ಫಿಶರ್ಸ್ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಡಿಸ್ಪರ್ಶನ್ ಫಿಶರ್ಸ್ ಆರ್ಎ (1925) ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯಕರ್ತರಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು. ಹಾಫ್ನರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಅತಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ n> 5 ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಮಾದರಿ ಒಟ್ಟು> 3 ಎಂದು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. x ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ. ಸೂಚ್ಯಂಕದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಿಸಿದಾಗ ಅದನ್ನು n-1 ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದಾಗ ಇದು ಪ್ರಮಾಣದ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಾದರಿ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಬಳಕೆಯು ಬಾನ್ಫೆರ್ರೋನಿ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ, ಸಮೂಹದ ಗಾತ್ರದ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು (ಐಸಿಎಸ್) ಡೇವಿಡ್ ಮತ್ತು ಮೂರ್ ರಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ (ಪಾಯ್ಸನ್) ವಿತರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಐಸಿಎಸ್ 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ಲಂಪ್ಡ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ; ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ s2 ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು m ಸರಾಸರಿ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ ಐಸಿಎಸ್ ಸಹ ಕಾಟ್ಜ್ನ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು (ಎನ್/2) 1/2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕ್ಲಾಫಮ್ನ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ಲಂಪಿಂಗ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ (ಜಿಐ) ಎಂಬುದು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಗಾತ್ರದ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ವಿತರಣೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿದರೆ 1 ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ −1/(nm−1). ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರಸ್ತುತ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ ಬೈನರಿ ಪ್ರಸರಣ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಬೈನರಿ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ (ಉಪಸ್ಥಿತಿ/ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ) ಅನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಎಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮಾನ ಮಾದರಿಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದಾಗ ಪ್ರಸರಣ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು (ಡಿ) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = ಎನ್ಃ ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಗೆ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = ಎನ್ಃ ಒಟ್ಟು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ = ಎನ್ x ಎನ್). ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಾದರಿಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ s2 ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, n ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು p ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸರಣ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು (ಡಿ) ನಿರೀಕ್ಷಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಗಮನಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ವರೋಬ್ಗಳು ಗಮನಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಬಿನ್ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿ> 1ರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡಿ (ಎನ್-1) ಅನ್ನು ಎನ್-1 ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಚಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್ ಮಾದರಿಯ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯೆಂದರೆ ಸಿ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಇಲ್ಲಿ ಡಿ ಎಂಬುದು ಪ್ರಸರಣ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಎನ್ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಯ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಎನ್ ಎಂದರೆ ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಿ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. C ಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಮೌಲ್ಯವು population.D ನ ಮಿತಿಮೀರಿದ ಪ್ರಸರಣವು ಇಂಟ್ರಾಕ್ಲಾಸ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ (ρ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ T ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಗೆ ಜೀವಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, p ಎಂಬುದು ಬಯಸಿದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು (ರೋಗಪೀಡಿತ, ಕೀಟ ಮುಕ್ತ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಹೊಂದಿರುವ ಜೀವಿಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆ, ಮತ್ತು xi ಎಂಬುದು ಈ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ith ಘಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಜೀವಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಟಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ n ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಬೀಟಾ-ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಲ್ಲಿ θ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಮಾ ಅವರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಟೇಲರ್ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು (m0)-ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು-ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಡಿ ಒಲಿವೇರಿಯಾ ಸೂಚಿಸಿದ ಡಿ ಒಲಿವೇರಿಯಾದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ t ಎಂಬುದು ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, s2 ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, m ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು n ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. s2-m ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು t = m ಅನ್ನು ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದರೆ, ಸ್ವಲ್ಪ ಕುಶಲತೆಯ ನಂತರ ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಇದು ಕಾಟ್ಜ್ನ ಅಂಕಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಬಹುತೇಕ ಹೋಲುತ್ತದೆ (n-1) n ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ OT ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ 0 ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ n ಗೆ ಘಟಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ನೆಯ್ಮನ್-ಸ್ಕಾಟ್ ಅಂಕಿ ಅಂಶದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿ ಡಿ ಒಲಿವೇರಿಯಾ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ s2-m ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು (1-2t1/2 + 3t)/n ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿತು, ಅಲ್ಲಿ t ಎಂಬುದು ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ (ಮೀ) ಗೆ ಸಮನಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಟಿ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬೋನಿಂಗ್ ಅವರ ಹೆಚ್ಚಿನ ತನಿಖೆಯು ತೋರಿಸಿದೆ. ಬೊಹಿಂಗ್ನ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1936ರಲ್ಲಿ ಕ್ಲಾಫಮ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಾಸರಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗಿ (ಸಾಪೇಕ್ಷ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಬಳಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿತು. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಧೀನ ವಿತರಣೆಗೆ ಈ ಅನುಪಾತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅವರು ಚಿ ವರ್ಗ ವಿತರಣೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು n ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬ್ಲ್ಯಾಕ್ಮ್ಯಾನ್ ಅವರು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅವರು ಇದನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಸರಾಸರಿ 1 ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ (Vθ) ದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ನಂತರದ ಕಾಟ್ಜ್ನ Jn ಅಂಕಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಟೇಲರ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ, ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕುರಿತಾದ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಎ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖಕರು ಮೂಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅತಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂತಹ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಬಹುಪದ ವಿತರಣೆಯ ಬಳಕೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು. ಅಂಕಿಅಂಶ θ ಅನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ N ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n ಎಂಬುದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಮಾದರಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು xi ಪ್ರತ್ಯೇಕ ದತ್ತಾಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ದೊಡ್ಡ N ಗೆ, E (θ) ಸರಿಸುಮಾರು 1 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (n ") ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಈ ಅಂದಾಜು ಮೊದಲು ಪಡೆದದ್ದನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಈ ನಂತರದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಮೋರಿಸಿಟಾ ಅವರ ಅತಿವ್ಯಾಪ್ತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನ ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಅವರ ಶಕ್ತಿ ನಿಯಮ ಸಾಂದ್ರತೆ-ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಅಲೋಮೆಟ್ರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನ ನಿಯಮಗಳು ಶಕ್ತಿ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿಯಮಗಳು ಪರಿಸರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು