Torsion conjecture
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ತಿರುಚು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ತಿರುಚು ಊಹೆ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯ ಊಹೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ತಿರುಚು ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ವೈವಿಧ್ಯದ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಊಹೆಯ ಬಲವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯೆಂದರೆ, ತಿರುಚುವಿಕೆಯು ವೈವಿಧ್ಯದ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಿರುಚು ಊಹೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. 1906 ರಿಂದ 1911 ರವರೆಗೆ, ಬೆಪ್ಪೋ ಲೆವಿ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ತಿರುಚು ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರುಃ 1 ≤ n ≤ 10 ರೊಂದಿಗೆ Cn, ಅಲ್ಲಿ Cn n ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; C12; 1 ≤ n ≤ 4 ರೊಂದಿಗೆ C2n × C2, ಅಲ್ಲಿ × ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 1908ರಲ್ಲಿ ರೋಮ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ನಲ್ಲಿ, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ತಿರುಚು ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿ ಎಂದು ಲೆವಿ ಊಹಿಸಿದರು. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ತಿರುಚು ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಯಿತು, ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಓಗ್ ಅವರ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ತಿರುಚು ಊಹೆಯ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿತು. 1970ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಗೆರಾರ್ಡ್ ಲಿಗೊಜಾಟ್, ಡೇನಿಯಲ್ ಕುಬರ್ಟ್, ಬ್ಯಾರಿ ಮಜೂರ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಟೇಟ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು nನ ಹಲವಾರು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ತಿರುಚು ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ರಮಗಳಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ಣ ತಿರುಚು ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಅವರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದವರು ಮತ್ತು, ಅವರು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ 8ರಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆದರು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ತಿರುಚು ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ತಿರುಚು ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಿಂಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಗಣನೀಯ ಭಾಗಶಃ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಬಾಂಬೇರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಪೂರ್ವಾವಧಿಯ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯ ಊಹೆಯು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯ ಊಹೆಯು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಊಹೆಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು