Bring's curve
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಿಂಗ್ನ ವಕ್ರರೇಖೆಯು (ಬ್ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ, ಬ್ರಿಂಗ್ ಸೆಕ್ಸ್ಟಿಕ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. 1786ರಲ್ಲಿ ಲುಂಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಕ್ಕೆ ಸಲ್ಲಿಸಲಾದ ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಎರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಬ್ರಿಂಗ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಬ್ರಿಂಗ್ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಮೂಲ xi ಬ್ರಿಂಗ್ನ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಏಕೆಂದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು 5 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ 120ನೇ ಕ್ರಮದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು S5 ಆಗಿದೆ. ಇದು 4ನೇ ಕುಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಭವನೀಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು 12 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕವಲೊಡೆದ ಗೋಳದ ತ್ರಿವಳಿ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಇದು 4ನೇ ಕುಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು (ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು 240 ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಬ್ರಿಂಗ್ನ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಐಕೋಸಾಗನ್ನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು (ಮೂಲಭೂತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಗುರುತಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪಕ್ಕದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಐಕೋಸಾಗನ್ (ಪ್ರದೇಶದ, ಗಾಸ್-ಬಾನೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ) ಅನ್ನು 240 (2,4,5) ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಾಗಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು (ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ನೀಡುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಫಲಗಳನ್ನು ರಿಯಾಯಿತಿ ಮಾಡಿ, ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ 120 ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 120 ಎಂಬುದು 252ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇದು ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, 4ನೇ ಕುಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬ್ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲ. 4ನೇ ಕುಲದ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಗುರುತಿನ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದರೆ, ಮೂಲಭೂತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ 5ನೇ ಕ್ರಮದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ 2ನೇ ಕ್ರಮದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ 4 (2,4,5) ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಿಂದ, ಬ್ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಜಿಎಪಿ ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗುಂಪು ನಾಲ್ಕು 1 ಆಯಾಮದ, ನಾಲ್ಕು 4 ಆಯಾಮದ, ನಾಲ್ಕು 5 ಆಯಾಮದ, ಮತ್ತು ಎರಡು 6 ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ 20 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು 240 (2,4,5) ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಹನ್ನೆರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆ ಉದ್ದದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಲೂಪ್ ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ಗೆ, ಬ್ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಿದರೂ ಅದರ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ಒಂದೇ ಕುಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು) ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವೆ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. M4 ಇಂಚು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಅನ್ನು ಬಹುಶಃ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. M4 ನ ಸಂಕೋಚನದ ಉದ್ದವು 36 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬ್ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪವೇ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 2 ಮತ್ತು 3ನೇ ಕುಲಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ವರ್ಣಪಟಲದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು ಬಲವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಕಠಿಣವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಬ್ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಅದರ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವರ್ಗದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ) ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಮಂಜಸವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಬೋಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈ ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೊದಲ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ತ್ರಿವಳಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.