Tate curve
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. q ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ತೆರೆದ ಉಪಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಮೇಲೆ, ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು q ಗೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಮಾನದಂಡದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು 1959ರಲ್ಲಿ ಮೂಲತಃ "ರೇಷನಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್ ಆನ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ಸ್ ಓವರ್ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು; ಅವರು ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳ ನಂತರವೂ ತಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವರ ಕೃತಿಯು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1959ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಅಫೈನ್ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಔಪಚಾರಿಕ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ವಲಯ Z ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕೆಲವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ k ಕ್ಷೇತ್ರವು | | ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು q ಎಂಬುದು |q | <1 ಹೊಂದಿರುವ k ಕ್ಷೇತ್ರದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸರಣಿಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು k ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ q ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, k */qZ ನಿಂದ ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯವರೆಗೆ ಗುಂಪುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದು q ನ ಘಾತವಲ್ಲದ w ಗೆ (x (w), y (w)) ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅನಂತ ಬಿಂದುವಿಗೆ q ನ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. x (ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ಮತ್ತು y (ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ಸರಣಿಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ, ಒಂದು ಗುಣಾಕಾರ ಅವಧಿಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವಧಿ. ಇದು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಿ ಆಗಿದ್ದಾಗ ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನೈತಿಕವಾಗಿ ಟೋರಸ್ಗೆ ಏಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು, ಈಗಾಗಲೇ ಏಕವಾಗಿ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದೆ; ನೀವು ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತಿರುವ q ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದು, ಇದು ಟೋರಸ್ ಆಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ವಾರ್ಷಿಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಒಳ ಮತ್ತು ಹೊರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ವಾರ್ಷಿಕವು ವೃತ್ತದ ಮೈನಸ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ವಾರ್ಷಿಕವು q ನ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಶಕ್ತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; 1 ಮತ್ತು q ನಡುವಿನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಳೋಣ. ಅದು ನಮಗೆ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವಾರ್ಷಿಕದ ಒಳ ಮತ್ತು ಹೊರ ಅಂಚುಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಟೋರಸ್ನ ಚಿತ್ರಣವು ಕೆತ್ತಿದ ವೃತ್ತಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅವು ಮೂಲವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಕಿರಿದಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಿರಿದಾಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಿ, ನಂತರ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಿ ಟೋರಸ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಅತಿಯಾಗಿ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸಿ ಮೇಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಗಿಂತ ಔಪಚಾರಿಕ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಇದು ಔಪಚಾರಿಕ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಆ ಔಪಚಾರಿಕ ನಿಯತಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅದು ಪಿಂಚ್ ಟೋರಸ್ ಆಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಅದು ಟೋರಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ). ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು q-1 ಎಂಬ ಪ್ರಮುಖ ಪದದೊಂದಿಗೆ q ನಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, p-adic ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, j ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಗುಣಾಕಾರದ ಪ್ರಕಾರದ ಅರ್ಧಮಟ್ಟದ ಕಡಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಅರೆಕಾಲಿಕ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಟೇಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ (ಚತುರ್ಭುಜ ತಿರುವುಗಳವರೆಗೆ) ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು