Bellman pseudospectral method
ಬೆಲ್ಮನ್ರ ಸೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನವು ಬೆಲ್ಮನ್ರ ಆಪ್ಟಿಮಾಲಿಟಿ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ನಿಯಂತ್ರಣದ ದೊಡ್ಡ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಈ ಪದವನ್ನು ರಾಸ್ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ರಿಚರ್ಡ್ ಇ. ಬೆಲ್ಮನ್ರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮೊದಲು ಬಹು ಪ್ರಮಾಣದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉಪ-ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಡಿಪಾಯಗಳು ಬೆಲ್ಮನ್ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನದ ಬಹು-ಪ್ರಮಾಣದ ಆವೃತ್ತಿಯು ರಾಸ್-ಫಹ್ರೂ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನಗಳ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಒಮ್ಮುಖದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅಂದರೆ, ರಾಸ್-ಫಹ್ರೂ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನವು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ, ದ್ರಾವಣವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ದ್ರಾವಣಕ್ಕೆ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣದಲ್ಲಿರುವ ಈ ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಅಲಿಯಾಸ್-ವಿರೋಧಿ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಿಗ್ನಲ್ ಸಂಸ್ಕರಣಾ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು, ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ನೋಡ್ಗಳ ನಡುವೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಬೆಲ್ಮನ್ರ ಆಪ್ಟಿಮಾಲಿಟಿಯ ತತ್ವವನ್ನು ಒಮ್ಮುಖ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಏಕೆಂದರೆ ಗಾಸ್-ಲೊಬಾಟೊ ನೋಡ್ಗಳು ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸುತ್ತಲಿನ ನೋಡ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ನಿಕ್ವಿಸ್ಟ್-ಶ್ಯಾನನ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಬೆಲ್ಮನ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ತುಣುಕುಗಳ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಧಾನದ ವಿಸ್ತರಿತ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಹ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಈ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆಲ್ಮನ್ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಪರಿಹಾರವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದದ್ದಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಅರಿವಿನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಬೆಲ್ಮನ್ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನದ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಇದು ಮೂಲ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವೆಚ್ಚ ಮತ್ತು ಬೆಲ್ಮನ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವೆಚ್ಚದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಬ್ ಆಪ್ಟಿಮಾಲಿಟಿಯ ಹಲವಾರು ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ದಕ್ಷತೆ ಬೆಲ್ಮನ್ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪ್ರಯೋಜನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ನೋಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ನೋಡ್ ಬಿಂದುಗಳ ವಿತರಣೆಯು ಗಾಸಿಯನ್ ಆಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಗಾಸ್-ಲೊಬಟ್ಟೋ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಗಾಸ್-ರಾಡೌ). ಗೌಸಿಯನ್ ಬಿಂದುಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮಧ್ಯವನ್ನು ಅನಂತ-ಕ್ಷಿತಿಜ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬದಲಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗಡಿಗಳ ಬಳಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಕಗಳ ಶೇಖರಣೆಯು ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯರ್ಥಗೊಳಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೆಲ್ಮನ್ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನವು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೋಡ್ ಶೇಖರಣೆಯ ಲಾಭವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಲಿಯಾಸ್-ವಿರೋಧಿ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನೋಡ್ಗಳ ಅಂತಿಮ ವಿತರಣೆಯು ಗಾಸಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಮತ್ತು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವಿಧಾನವು ವಿರಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬೆಲ್ಮನ್ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡದ ಪಥ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನ ಸವಾಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು. ಯಶಸ್ವಿ ಮರುಪ್ರವೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಚಂದ್ರನ ಕಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪಿನ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅರ್ಥ್-ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕ್ಯಾಪ್ಸುಲ್ ಅನ್ನು ತರುವ ಟ್ರಾನ್ಸ್-ಅರ್ಥ್-ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೆಲ್ಮನ್ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರಾಸ್-ಫಹ್ರೂ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ದ್ರಾವಣದ ಅತ್ಯುತ್ತಮತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ರಾಸ್-ಫಹ್ರೂ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಗಿನ್ರ ಕನಿಷ್ಠ ತತ್ವದ ಬಳಕೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಬೆಲ್ಮನ್ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಗಣನೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಅತ್ಯುತ್ತಮತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ-ಮಾತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಸ್ಯೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನ ಸೂಡೋ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಗಂಟು ವಿಧಾನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಂಖ್ಯಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.