Reflected Brownian motion
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯು (ಅಥವಾ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ, ಎರಡೂ ಆರ್ಬಿಎಂ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ) ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಭೌತಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸೀಮಿತ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಎರಡು ಗೋಡೆಗಳ ನಡುವೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಗೋಳಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಕಿಂಗ್ಮನ್ ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಇಗ್ಲೆಹಾರ್ಟ್ ಮತ್ತು ವಿಟ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ ಭಾರಿ ದಟ್ಟಣೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತಿರುವ ಕ್ಯೂ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಆರ್ಬಿಎಂಗಳು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎ ಡಿ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಟೆಡ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಮೋಷನ್ ಝಡ್ ಎಂಬುದು ಡಿ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಡ್ರಿಫ್ಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ μ a d × d ನಾನ್-ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡಿ × ಡಿ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆರ್ ನಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ (ಟಿ) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವೈ (ಟಿ) ಯೊಂದಿಗೆ ಡಿ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಲ್ಲಿ ವೈ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವೈ (0) = 0 ಯೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಡಿ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ; ಸರಿಸುಮಾರು ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಡಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊಡೆದಾಗಲೆಲ್ಲಾ Z ಅನ್ನು Rj ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ Rj ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ R ನ j ನೇ ಕಾಲಮ್ ಆಗಿದೆ. "ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಎಸ್. ಆರ್. ಬಿ. ಎಂ. ಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ". ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆರ್ ಒಂದು ಎಂ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳೆಂದರೆ ಆರ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ − 1ಮ್ಯೂ <0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಚಿನ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಯಿ ವಿತರಣೆ ಒಂದು ಆಯಾಮ 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಅಂಚಿನ ವಿತರಣೆ (ಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆ) ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (0 ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುವ ತಡೆಗೋಡೆ) ಡ್ರಿಫ್ಟ್ μ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ σ2 ಎಲ್ಲಾ t ≤ 0 ಗೆ, (ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ) ಇದು t → ≤ ಅನ್ನು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ (μ <0 ಗೆ) ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, M (t) t ಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಇದು Z (t) ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ಃ ಬಹು ಆಯಾಮಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಬಹು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿತರಣೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ ರೂಪವಿದ್ದಾಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ D = ಡಯಾಗ್ (‡). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ηk = 2μkγk/βkk ಮತ್ತು γ = R − 1μ ಆಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನ ರೂಪದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಹೊಂದಿರದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಒಂದು ಆಯಾಮ ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮಾದರಿ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. % rbm.m n = 10 4; h = 10 3; t = h. * (0: n); ಮ್ಯೂ =-1; X = ಸೊನ್ನೆಗಳು (1, n + 1); M = X; B = X; B (1) = 3; X (1) = 3; k = 2: n + 1 Y = sqrt (h) * randn; U = rand (1); B (k) = B (k-1) + mu * h-Y; M = (Y + sqrt (Y ^ 2-2 * h * log (U))/2; X (k) = ಗರಿಷ್ಠ (M-Y, X (k-1) + h * mu-Y); ಅಂತಿಮ ಉಪ ಪ್ಲಾಟ್ (2,1,1) ಪ್ಲಾಟ್ ( ಬಹು ಆಯಾಮಗಳ ಕ್ಯೂ. ಎನ್. ಇ. ಟಿ. ಯು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಆರ್. ಬಿ. ಎಂ. ಗಳ ಅನುಕರಣೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಫೆಲ್ಲರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಕೊಲ್ಲಲ್ಪಟ್ಟ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಪ್ರತಿಫಲನ, ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಪ್ರತಿಫಲನದ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ರಾಬಿನ್ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಳಂಬಿತ ಪ್ರತಿಫಲನ (ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಕಳೆದ ಸಮಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಭಾಗಶಃ ಪ್ರತಿಫಲನ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಜಿಗುಟಾದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೋರೋಖೋಡ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್/ಆಕ್ಟೇವ್ ಕೋಡ್ ಹೊಂದಿರುವ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.