Fréchet inequalities
ಸಂಭಾವ್ಯ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೂಲ್-ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಜಾರ್ಜ್ ಬೂಲ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿರುವ ನಿಯಮಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮಾರಿಸ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು ಅಥವಾ ಘಟನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ (ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು) ಅಥವಾ ವಿಭಜನೆಗಳಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು) ಬೂಲಿಯನ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಥವಾ ಅಪಾಯದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಕೃತಕ ಬುದ್ಧಿಮತ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ದೋಷ ಅಥವಾ ಈವೆಂಟ್ ಟ್ರೀಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳದೆ ಅಥವಾ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅವಲಂಬನೆ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಂಧಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಬೂಲ್-ಬಾನ್ಫೆರ್ರೋನಿ-ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು ಅಥವಾ ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆ () ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ (), ಅಲ್ಲಿ ಪಿ () ಒಂದು ಘಟನೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತವೆ () ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ () ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎ "ಶ್ವಾಸಕೋಶದ ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ", ಮತ್ತು ಬಿ "ಮೆಸೊಥೆಲಿಯೋಮಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ", ನಂತರ ಎ & ಬಿ "ಶ್ವಾಸಕೋಶದ ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಮೆಸೊಥೆಲಿಯೋಮಾ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ", ಮತ್ತು ಎ. ಬಿ "ಶ್ವಾಸಕೋಶದ ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ ಅಥವಾ ಮೆಸೊಥೆಲಿಯೋಮಾ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಕಾಯಿಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ", ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಅಪಾಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಗಗಳನ್ನು AND, &, & ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ AND-ಗೇಟ್ಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು OR, |, ′, ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ OR-ಗೇಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟನೆಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಘಟನೆಗಳ ಛೇದನದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಘಟನೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ A ಯು P (A) = a = 0.7 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ B ಯು P (B) = b = 0.8 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಯೋಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಅಂದರೆ, ಜಂಟಿ ಘಟನೆ A ಮತ್ತು B, ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಬಹಳ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ), ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬಲವಾಗಿ ಅಸಮ್ಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಿ (ಎ) = 0.000002 = ಮತ್ತು ಪಿ (ಬಿ) = 0.000003 = ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಪಿ (ಎ & ಬಿ) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ [0,], ಮತ್ತು ಪಿ (ಎ ಬಿ) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ [,]. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಗೆ (ಶೂನ್ಯ) ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎ ಬಿ ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಅಪರೂಪದ-ಘಟನೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಇದು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಗಳು ಪುರಾವೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿವೆ. ನೆನಪಿಡಿ, ಪಿ (ಎ) = ಪಿ (ಎ) + ಪಿ (ಬಿ) − ಪಿ (ಎ & ಬಿ), ಇದು ಪಿ (ಎ) + ಪಿ (ಬಿ) − ಪಿ (ಎ) = ಪಿ (ಎ & ಬಿ) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು 1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಪಿ (ಎ) ≤1 ತಿಳಿದಿದೆ, ಇದು ಪಿ (ಎ) + ಪಿ (ಬಿ) −1 ≤ ಪಿ (ಎ & ಬಿ) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ 0 ≤ ಪಿ (ಎ & ಬಿ) ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ (0, ಪಿ (ಎ) + ಪಿ (ಬಿ) −1) ≤ ಪಿ (ಎ & ಬಿ). ಇದು ಸಂಯೋಗದ ಮೇಲಿನ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಪಿ (ಎ & ಬಿ) = ಪಿ (A|B) ಪಿ (ಬಿ) = ಪಿ (B|A) ಪಿ (ಎ) ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಪಿ (A|B) ≤1 ಮತ್ತು ಪಿ (B|A) ≤1, ನಮಗೆ ಪಿ (ಎ & ಬಿ) ≤ ಪಿ (ಎ) ಮತ್ತು ಪಿ (ಎ & ಬಿ) ≤ ಪಿ (ಬಿ) ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಿ (ಎ & ಬಿ) ≤ ನಿಮಿಷ (ಪಿ (ಎ), ಪಿ (ಬಿ)), ಇದು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಮಿತಿಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ-ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ವರೂಪವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಚ್ಛೇದನದ ಮೇಲೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ಪುಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸ್ವತಃ ಮಧ್ಯಂತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಸೂತ್ರಗಳು ಇನ್ನೂ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸಂಭಾವ್ಯ ಬೂಲಿಯನ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೈಲ್ಪೆರಿನ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೆಲವರು ಕೃತಕ ಬುದ್ಧಿಮತ್ತೆಯ ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಂತೆ ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯ ಬಗೆಗಿನ ವಿವಿಧ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಇತರ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೂ ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೋಡಸ್ ಪೊನೆನ್ಸ್ ಕೂಡ ಸೇರಿವೆ. ವ್ಯಾಗ್ನರ್, ಸಿ. ಜಿ. (2004). ಮಾಡಸ್ ಟೋಲೆನ್ಗಳು ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿವೆ. ಇನ್ಪುಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಿದಾಗ, ಇನ್ಪುಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸುರುಳಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಸದೃಶ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಫ್ರೆಚೆಟ್ bounds.Weisstein, ಎರಿಕ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಬೌಂಡ್ಸ್ನ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಲ್ಡ್-ಎ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ವೆಬ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮಿತಿಗಳು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿಯೂ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಈ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಯೋಜಿತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಬಿ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎ ಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಟ್ರೇಸ್-ಒನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ (ಆಯಾಮದ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಥಳ), ಮತ್ತು ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆ ಬಿ ಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಯೋಚಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಂಚುಗಳಾಗಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ. ಈ ಅಂಚುಗಳ ಜ್ಞಾನದಿಂದ, ನಾವು ಜಂಟಿ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಊಹಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಜಂಟಿಗೆ ನಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮ್ಮಿಶ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಆಯಾ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮಿಶ್ರ ಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಲೈಕ್ ಬೌಂಡರಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆಃ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಆಯಾಮದ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮಿತಿಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರಲು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಕಡಿತ ಮಾನದಂಡ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತಾಯಿತು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು. ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದ್ದು ಅದು ಈ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬಯೇಸಿಯನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುವಾಗ, ನಾವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು, ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಅಂದರೆಃ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮೇಲಿನ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ): ಇದು ಅಂಚಿನ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಸಂಭಾವ್ಯ ಮಿತಿಗಳ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಬೆಲ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಪ್ರಬಲವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅವಲಂಬನೆಗಿಂತ ಬಲವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆಃ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ತರಹದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಜನೆ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಭಜನೆ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಬೂಲ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ ಬಾನ್ಫೆರ್ರೋನಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮಿತಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಜೋಡಿಯಂತೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮಿತಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ