Product operator formalism
ಎನ್. ಎಂ. ಆರ್. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಕೋಪಿಯಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನ ನಿರ್ವಾಹಕ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯು ನಾಡಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಠಿಣವಾದ ಆದರೆ ನೇರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ವಿವಿಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ದ್ವಿದಳ ಧಾನ್ಯಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬೃಹತ್ ಕಾಂತೀಕರಣವು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಅರೆ-ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಾಹಕ ಮಾದರಿಯ ನಿವ್ವಳ ಸುಧಾರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎನ್. ಎಂ. ಆರ್. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಕೋಪಿಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಸರಳೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸ್ಪಿನ್ಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಬೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಃ,, ಮತ್ತು ಇದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಧ್ರುವೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಎರಡು ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ), ಏಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸುಸಂಬದ್ಧತೆ (xy ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾಂತೀಕರಣ) ಮತ್ತು ಘಟಕ ಆಪರೇಟರ್. ಕಪಲ್ಡ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಅನೇಕ ಇತರ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮುಕ್ತ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಚಲನೆ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಂತೀಕರಣದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ರಾಸಾಯನಿಕ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಹಂತದ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ z-ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ x ಮತ್ತು y ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲಿನ ಬೇಳೆಕಾಳುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು; ಇವು ಸಮತಲಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾಂತೀಕರಣವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಈ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಂತೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇತರರನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ನಾಡಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ. ಓ. ಎಸ್. ವೈ., ಎಚ್. ಎಸ್. ಕ್ಯೂ. ಸಿ. ಮತ್ತು ಎಚ್. ಎಂ. ಬಿ. ಸಿ. ಯಂತಹ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಕಣಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರೇರಣೆ ಈ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಆಪರೇಟರ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಕಣಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಂಶವು, ಗುರುತಿನ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಉತ್ಪನ್ನ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಪಿನ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಟೆನ್ಸರ್ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವುದು, ಇದು ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ. ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಐಗನ್ ಕೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಸಂಬಂಧಿತ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ರಾಜ್ಯದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದರೆ ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಲ್ಲರೂ ಜಾಡು ಹಿಡಿಯದವರಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಆಪರೇಟರ್ನ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯವು, ಯುನಿಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳು ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಆ ಭಾಗಗಳು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನರೊಂದಿಗೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಧನಾತ್ಮಕ x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಧ್ರುವೀಕರಣವು, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿ, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸ್ಪಿನ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ವಾಹಕರು ಏಕ-ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ವಾಹಕರ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಾಹಕ ಪದಗಳು ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ನಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು (ತನ್ನದೇ ಆದ ಗುರುತನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ)-ರೇಖಾಂಶ ಕಾಂತೀಕರಣ-ಇನ್-ಫೇಸ್ ಅಡ್ಡಹಾಯುವ ಕಾಂತೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಎನ್ಎಂಆರ್ನಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. - ಆಂಟಿ-ಫೇಸ್ ಲಾಂಗಿಟ್ಯೂಡಿನಲ್ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೈಸೇಶನ್-ಲಾಂಗಿಟ್ಯೂಡಿನಲ್ ಎರಡು-ಸ್ಪಿನ್ ಆರ್ಡರ್-ಇತರ ಕೊಹೆರೆನ್ಸ್ಗಳು, ಇವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ, ಆದರೆ ಇತರ ಪದಗಳಾಗಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪ, ಸ್ಪಿನ್ ಮೇಲೆ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. 'ನಿಜವಾದ' ಎರಡು-ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಅಂಶಗಳೆಂದರೆ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದು-ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಏರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಪಿನ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಅಲ್ಲದವು, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ನ ವಿಕಸನವು ಆವರ್ತಕ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳು ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು, ಮೂರನೇ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಸಮ್ಮಿತಿ ವಾದವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆಪರೇಟರ್ನ ಕಮ್ಯುಟೇಷನ್ ಸೂಪರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸಿ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಹೀಗಿವೆ), ಇದು ಹೀಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆವರ್ತಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ನಿಯತಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಆ ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದೇ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ಗಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಶೂನ್ಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ಪರಮಾಣು ತಿರುಗುವ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದಂತೆಯೇ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ನ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಅಕ್ಷಗಳ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉತ್ಪಾದಕರು. ಅಂತಹ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಕೇವಲ ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು. ನಾವು ಈಗ ಎನ್. ಎಂ. ಆರ್. ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ 'ಬಾಣ ಸಂಕೇತ' ವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತದೆ. ಎನ್. ಎಂ. ಆರ್ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ರೇಡಿಯೋಫ್ರೀಕ್ವೆನ್ಸಿ ಪಲ್ಸ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಉಲ್ಲೇಖದೊಂದಿಗೆ, ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನ ಸುತ್ತಲೂ ತುದಿ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಪಲ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಾಣದ ಮೇಲಿರುವಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಬಾಣದ ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು, ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ ಪಠ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಈಗ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆವರ್ತಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು 180°-ರಿಫೋಕಸಿಂಗ್ ನಾಡಿ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನದ ರಾಸಾಯನಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವ ಒಂದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಎಂದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ರಾಸಾಯನಿಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತಹ ಅನೇಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮೂಹದಲ್ಲಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾಂತೀಕರಣವು ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಾಡಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ---ಅಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರವಿದೆ. - ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಲ್ಲಾ ಧ್ರುವೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಮೂಹದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವಿಕಸನವು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ರಾಸಾಯನಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಮೊದಲ ನಾಡಿಮಿಡಿತದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅಡ್ಡಹಾಯುವ ಕಾಂತೀಕರಣವನ್ನು ಮರುಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಸೂಚನೆಯಾಗಿ, ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಲುಪಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮಯ ವಿಕಾಸ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಸರಣಕಾರನನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರಸರಣಕಾರನನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಒಂದೇ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ನಟನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸರಣಕಾರನ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಘಾತಾಂಕಗಳ ವಾದಗಳು ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಬೇಕರ್-ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ (BCH) ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್, ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಭೌತಿಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಗಣಿತದ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಿಸಿಎಚ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು ನಮಗೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 180° ಪಲ್ಸ್ನ ಪರಿಣಾಮ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ, ಇದು ಉತ್ಪನ್ನ ಆಪರೇಟರ್ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ಸುಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು (ಇದು ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಐಜೆಂಡೆ-ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಪ್ರಸರಣಕಾರರಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ) ಬಳಸದ ಹೊರತು, ದ್ವಿದಳ ಧಾನ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಇನ್ನಷ್ಟು ಅಗಾಧವಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪವಿಲ್ಲದ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಾನ್ ಪ್ರತಿಧ್ವನಿಯ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ರೀಫೋಕಸಿಂಗ್ ನಾಡಿಮಿಡಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಫ್ಲಿಪ್ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ನಾಡಿಮಿಡಿತಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದು ಅನುಕ್ರಮ-- ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ. ಅಸಂಬದ್ಧ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತಾ, ಎರಡನೇ ನಾಡಿ ಮಿಡಿತದ ನಂತರ ಆಫ್ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವಿಕಸನವು ಈಗ ನಾಡಿ ಮಿಡಿತಗಳ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಏಕರೂಪವಾಗಿರದ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮೂಹವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡನೇ ನಾಡಿ ಮಿಡಿತದ ನಂತರ, ನಾವು ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸ್ಪಿನ್ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಇದು ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸ್ಪಿನ್ಗೆ ನಾವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು. ಹೊಸ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಪಿನ್ಗಳು ಎರಡನೇ ನಾಡಿಮಿಡಿತದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಒಂದು ಜೊತೆ, ಇದು ಮುಂದಿನ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ವಿಕಾಸದ ನಂತರ ಪ್ರತಿಧ್ವನಿಯ ರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ನಾಡಿಮಿಡಿತದಿಂದ ಪರಿಚಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟದ್ದನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ, ಆದರ್ಶ 90°-180° ರೀಫೋಕಸಿಂಗ್ ನಾಡಿಮಿಡಿತದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪರಿಣಾಮದ ಹಾನ್ ಪ್ರತಿಧ್ವನಿಯ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಇದು ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡನೇ ನಾಡಿಮಿಡಿತದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವ ಧ್ರುವೀಕರಣದ ರೀಫೋಕಸಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ನಾಡಿಮಿಡಿತದ ನಂತರ ಉಳಿದಿರುವ ರೇಖಾಂಶದ ಕಾಂತೀಕರಣದ ತುದಿಯಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಡ್ಡವಾದ ಘಟಕಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ತುದಿ ಕೋನಗಳಿಗೆ, ಇದು ಹೆಬ್ಬೆರಳಿನ ಉತ್ತಮ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಥಿತಿ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಲುಪಲು, ನಾವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಡ್ಡ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಧ್ರುವೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಇದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಡಿಇಪಿಟಿ (ಧ್ರುವೀಕರಣ ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ ವಿರೂಪವಿಲ್ಲದ ವರ್ಧನೆ) ಡಿಇಪಿಟಿ (ಧ್ರುವೀಕರಣ ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ ವಿರೂಪವಿಲ್ಲದ ವರ್ಧನೆ) ಇಂಗಾಲಕ್ಕೆ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ನ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬಳಸುವ ನಾಡಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಸಿ, ಸಿಎಚ್, ಸಿಎಚ್ 2 ಮತ್ತು ಸಿಎಚ್ 3 ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆಟೆರೋನ್ಯೂಕ್ಲಿಯರ್ ಕಾರ್ಬನ್-ಹೈಡ್ರೋಜನ್-ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ನಾಡಿಮಿಡಿತದ ತುದಿ ಕೋನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ನಾಡಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ದುರ್ಬಲ ಜೋಡಣೆ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಶಿಫ್ಟ್ ಪದಗಳು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ-ಜೋಡಣೆ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು-ದ್ವಿದಳ ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಮರುಕೇಂದ್ರಿತ ರಾಸಾಯನಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು (ನೋಡಿ) ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ರಾಸಾಯನಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ನಾಡಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಸಮಯವನ್ನು ಜೋಡಣೆಯ ಶಕ್ತಿಗೆ (ಸಂಬಂಧಿತ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ) ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಂಡ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ನಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಪದವು ನಾಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಶುದ್ಧ ಜೋಡಣೆಯ ವಿಕಾಸದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಎಚ್ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಬನ್ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿ. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯು-ಸ್ಪಿನ್ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಧ್ರುವೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ (ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಿನ್ ಮೇಲೆ ಧ್ರುವೀಕರಣವೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಉಷ್ಣ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಆವರ್ತಕ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು 'ಮಿಶ್ರ-ಉತ್ಪನ್ನ ಗುರುತನ್ನು' ಬಳಸಿದ ಮುಂದಿನ ಆವರ್ತಕ ತಿರುಗುವಿಕೆ, ಇದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಯಾಮಗಳಿಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಎರಡು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಯಾವುದೇ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವು-ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ವಿಕಾಸದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ಅಂದರೆ, ಈ ಪದವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ದೃಢೀಕರಿಸಬಹುದು. CH2 ಈಗ ಎರಡು ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಸ್ಪಿನ್ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಬನ್ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿ. - ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಕಾಸವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ 'ಇತರರು' ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ವಿವಿಧ ಪದಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಗುರಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಅಡ್ಡ ಧ್ರುವೀಕರಣವಾಗಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. - ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ವಿಕಾಸದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಆವರ್ತಕ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ (ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಆವೃತ್ತಿಗಳು) ಸಿಎಚ್ 3 ಎ ರೀತಿಯ (ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾದ) ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ಅಂತಿಮ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಪದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಪಿಟಿ (ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ಪ್ರೋಟಾನ್ ಪರೀಕ್ಷೆ) ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ನೋಡಿ. ಎ. ಪಿ. ಟಿ. ಯು ಡಿ. ಇ. ಪಿ. ಟಿ. ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಇಂಗಾಲದ ಬಹುಗುಣವನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ಷೀಣತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇದು ಸಿ ಮತ್ತು ಸಿಎಚ್ 2 ಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಿಎಚ್ ಮತ್ತು ಸಿಎಚ್ 3 ಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ನಾಡಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಅವಲೋಕನವೆಂದರೆ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ರಾಸಾಯನಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಡಿಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಇಲ್ಲದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿತ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು-ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಡಿಇಪಿಟಿ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉದ್ದದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಮಧ್ಯಂತರದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಜೋಡಣೆಯ ನಂತರ ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನೆರೆಯ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುಗಳಿಗೆ ಜೋಡಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನರು ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಪರಿಣಾಮವು ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ಇದು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಸಂಕೇತದ ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯರ್ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ರೆಸೋನೆನ್ಸ್