Matrix completion
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಭಾಗಶಃ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಣೆಯಾದ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶದ ಆರೋಪವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೆಟ್ಫ್ಲಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ ಮೂವಿ-ರೇಟಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ರೇಟಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ನಮೂದು ಗ್ರಾಹಕರಿಂದ ಚಲನಚಿತ್ರದ ರೇಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಗ್ರಾಹಕರು ಚಲನಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕಾಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರಾಹಕರಿಗೆ ಮುಂದೆ ಏನು ನೋಡಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಉತ್ತಮ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಉಳಿದ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್-ಟರ್ಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಃ ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಪದಗಳ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ನಮೂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಪದವು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಗುಪ್ತ ನಮೂದುಗಳಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಉತ್ತಮವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ, ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ನಮೂದುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಕಾಣೆಯಾದ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಂತೆಯೇ ಇರಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಬಹಿರಂಗಗೊಂಡ ಶ್ರೇಣಿ-1 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಶೂನ್ಯ-ದೋಷದೊಂದಿಗೆ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ವಿವರಣೆಯು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನೆಟ್ಫ್ಲಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೇಟಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬಳಕೆದಾರರ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಚಲನಚಿತ್ರ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಬಿಡುಗಡೆಯ ಸಮಯದಂತಹ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಇತರ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ ಸೇರಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣೆಯಾದ ಪಿಕ್ಸೆಲ್ಗಳನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಭಾಗಶಃ ದೂರ ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ ಜಾಲಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸಂವೇದಕಗಳ ಜಾಗತಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು ಮತ್ತು ಬಹು ದರ್ಜೆಯ ಕಲಿಕೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಸಮರ್ಥ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿವೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಲಿಕೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲೋ-ರ್ಯಾಂಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯರ್ ನಾರ್ಮರ್ ಲೋ ರ್ಯಾಂಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ದಂಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಇದನ್ನು ನಾವು ಮರುಪಡೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಮೂದುಗಳಿಗೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಕ್ಯಾಂಡೆಸ್ ಮತ್ತು ರೆಚ್ಟ್ ಅವರು ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಮಾದರಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾದರಿ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯದ್ದೆಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವೆಂದರೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕುರಿತು ಹಲವಾರು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಏಕರೂಪದ ಮಾದರಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ಮಾಡಲು, ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ನಮೂದುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಬರ್ನೌಲಿ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ ನಮೂದನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಯಸಿದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಆಯಾಮಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ), ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬರ್ನೌಲಿ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳೀಕರಣವೆಂದರೆ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬದಲಿಯಾಗಿ ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು. ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ನಾವು ಮರಳಿ ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರುವ ಬೈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ವಿತ್) ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೊದಲು ಎಷ್ಟು ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕೆಳ ಮಿತಿಯಿದೆ. ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಅಂಕಣಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದು ಇರಬೇಕು. ಇದರ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಾಲು ಗಮನಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಸರಿಯಾದ ಏಕವಚನ ವಾಹಕವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಂಕಣವು ಗಮನಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಎಡ ಏಕವಚನ ವಾಹಕವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಬರ್ನೌಲಿ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಕೂಪನ್ ಸಂಗ್ರಾಹಕ ಪರಿಣಾಮವು ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ವೀಕ್ಷಣೆ ಇದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ (ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಊಹೆ), ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಧರಿಸದಂತೆ ತಡೆಯಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಅಸಂಯಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಂಕುಚಿತ ಸಂವೇದನೆಯಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಪ್ರತಿ ಏಕ ವಾಹಕದ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಏಕ ವಾಹಕಗಳು ತುಂಬಾ ವಿರಳವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ನಂತರ ಏಕ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಾಹಕವು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕ ವಾಹಕಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿರಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು ತಪ್ಪಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಏಕ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೊದಲು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕ್ಯಾಂಡೆಸ್ ಮತ್ತು ರೆಚ್ಟ್ ಅವರು ಕಾಲಮ್ ಸ್ಪೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸುಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಇದೆ. ಇನ್ಕೊಹೆರೆನ್ಸ್ ನಂತರ ಬೈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ನಮೂದುಗಳು ಕೆಲವರಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಶಬ್ದದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಶಬ್ದದಿಂದ ದೋಷಪೂರಿತವಾದ ಕೆಲವು ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೆಟ್ಫ್ಲಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಟಿಂಗ್ಗಳು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿವೆ. ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯರ್ ನಾರ್ಮ್ ಮಿನಿಮೈಸೇಶನ್ ಮೂಲಕ ಕೇವಲ ಕೆಲವು ಗದ್ದಲದ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಕಡಿಮೆ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕಾಣೆಯಾದ ಅನೇಕ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ತುಂಬಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಕ್ಯಾಂಡಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲಾನ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಶಬ್ದದ ಮಾದರಿಯು ಶಬ್ದ ಪದವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಶಬ್ದವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕೆಲವರಿಗೆ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಅಪೂರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಪರಮಾಣು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಈ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣವು ನಿಖರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕ್ಯಾಂಡಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲಾನ್ ತೋರಿಸಿವೆ. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಶಬ್ಧವಿಲ್ಲದ ಚೇತರಿಕೆ ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಗೊಂದಲಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ದೋಷವು ಶಬ್ದದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಬ್ದದ ಮಟ್ಟವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ದೋಷವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು (ಆರ್ಐಪಿ) ಪಾಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಆರ್ಐಪಿ ಭಾವಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಐಪಿ ಹೊಂದಿರದ ವಿರಳ ಸಿಗ್ನಲ್ ರಿಕವರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಎನ್. ಪಿ.-ಹಾರ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕೆಲವು ಅಪೂರ್ಣ ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಎರಿಕ್ಸನ್, ಬಾಲ್ಜಾನೊ ಮತ್ತು ನೋವಾಕ್ ಅವರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಅನೇಕ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕಾಲಮ್ಗಳು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕಾಣೆಯಾದ-ದತ್ತಾಂಶದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅದರ (ಸಂಪೂರ್ಣ) ಕಾಲಮ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ, ಮತ್ತು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಿಕ್ಸನ್, ಬಾಲ್ಜಾನೊ ಮತ್ತು ನೋವಾಕ್ ಸೌಮ್ಯವಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಕಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ಆವೃತ್ತಿಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಕನಿಷ್ಠ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಿಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ (1) ಸ್ಥಳೀಯ ನೆರೆಹೊರೆಗಳು; (2) ಸ್ಥಳೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು; (3) ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ; (4) ಪೂರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿ ಐಡೆಂಟಿಫಿಕೇಷನ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ವಿವಿಧ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿ-ಆಧಾರಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್-ಆಧಾರಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ-ಆಧಾರಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸೇರಿವೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಡಿಲಿಕೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಂಡೆಸ್ ಮತ್ತು ರೆಚ್ಟ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಡಿಲಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಮಾಣು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು (ಇದು ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ) ಬದಲಿಗೆ (ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ). ಇದು ವಾಹಕಗಳಿಗೆ L0-ಮಾನದಂಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ L1-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಸ್. ಡಿ. ಪಿ. ಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ (ಎಸ್. ಡಿ. ಪಿ.) ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಎಸ್. ಡಿ. ಪಿ. ಟಿ. 3ಯಂತಹ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಪರಿಹಾರಕಗಳು 100 ರಿಂದ 100ರವರೆಗಿನ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲವು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಕೈ, ಕ್ಯಾಂಡಸ್ ಮತ್ತು ಶೆನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಥ್ರೆಶೋಲ್ಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಕ್ಯಾಂಡೆಸ್ ಮತ್ತು ರೆಚ್ಟ್, ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು (ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ) ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಶ್ರೇಣಿಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿದೆ. ಶ್ರೇಣಿ () ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವಲೋಕನಗಳ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವು ಅದರ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಧರಿಸದಿರಲು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕ್ಯಾಂಡೆಸ್ ಮತ್ತು ಟಾವೊ ಸುಧಾರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತವೆ. ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬದಲಿಗೆ, ಅವರು ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬಲವಾದ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಮೂದುಗಳು ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬಲವಾದ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಬೇಸಿಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಏಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಂಡೆಸ್ ಮತ್ತು ಟಾವೊ ಅವರು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಶ್ರೇಣಿಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗೆ ಸಾಕಾಗುವಷ್ಟು ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮತ್ತೊಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ರಿಲ್ಯಾಕ್ಸೇಶನ್ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ನಿರ್ಬಂಧದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು. ಇದು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೂಲಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅರ್ಥ) ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಈ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿ Y ಒಂದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಬೈನರಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ), ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಒಟ್ಟಾರೆ ಉದ್ದೇಶದ ಮೇಲೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, Y ಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ದುರಾಸೆಯಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು (ಸ್ವಲ್ಪ) ದೊಡ್ಡ ಉದ್ದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ, ಈ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಡಿಲಿಕೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಎಸ್ಡಿಪಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದೆ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈ ಮೇಲೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಎಸ್ಡಿಪಿಟಿ 3 ಅಥವಾ ಮೊಸೆಕ್ನಂತಹ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಎಸ್ಡಿಪಿ ಪರಿಹಾರಕಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸುಧಾರಣೆ ತಂತ್ರದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಟ್ರೇಸ್-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉದ್ದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ಕೇಶವನ್, ಮೊಂಟಾನಾರಿ ಮತ್ತು ಓಹ್ ಅವರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮರುಪಡೆಯಬೇಕಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ನಮೂದುಗಳ ಬರ್ನೌಲಿ ಮಾದರಿ, ಸ್ಥಿರ ಆಕಾರ ಅನುಪಾತ, ನಮೂದುಗಳ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಮಾಣ (ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಇರಲಿ), ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡು ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ. ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ 0 ಆಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಕಾಲಮ್ಗಳಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳನ್ನು 0 ಗೆ ಹೊಂದಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಲಮ್ಗಳಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಟ್ರಿಮ್ ಮಾಡಿ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಡಿಗ್ರಿ ಇರುವ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ಅದರ ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕಗಳ ಮೇಲೆ ಯೋಜನೆ ಮಾಡಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಕರೆ ಮಾಡಿ. ಲೈನ್ ಸರ್ಚ್ನೊಂದಿಗೆ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಎಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ನಾದ್ಯಂತ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿ ಉಳಿಯಲು ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ 1 ಮತ್ತು 2ನೇ ಹಂತಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಜವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ (ರೂಟ್ ಮೀನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಎರರ್ (ಆರ್. ಎಂ. ಎಸ್. ಇ) ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದಂತೆ) ಬಹಳ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ. ಇದು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹಿಡಿದಿಡಲು ಊಹೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೂಟ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯು ನಿಖರವಾದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊರಹಾಕುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಟ್ರಿಮ್ಮಿಂಗ್ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದಾದರೂ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವುದರಿಂದ ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದುಗಳಿಗಿಂತ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹಂತ 3 ರಲ್ಲಿ, ಆಂತರಿಕ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಅದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಭ್ಯರ್ಥಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಂತರ ಎರಡು ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಗಮನಿಸಿದ ನಮೂದು ಸೆಟ್ ನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಹಂತ 3 ರಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಕ್ರಮವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಧರಿಸದಿರಲು ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಪರ್ಯಾಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣವು ನೀಡಲಾದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಯಶಸ್ವಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಾಗಿ, ಈ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೆಟ್ಫ್ಲಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿಜೇತ ನಮೂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗುರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಂತರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಪ್ರತಿ ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂವೇದನೆ ಎರಡಕ್ಕೂ ಪರ್ಯಾಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಗೆ ಜೈನ, ನೇತ್ರಪಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಘವಿ ಮೊದಲ ಖಾತರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂದಾಜು ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದುಃ ಜೈನ, ನೇತ್ರಪಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಘವಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಆಲ್ಟ್ಮಿನ್ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಃ ಇನ್ಪುಟ್ಃ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಸೆಟ್, ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ (ಬದಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್) ಅಂದರೆ, ಕ್ಲಿಪ್ಪಿಂಗ್ನ ಮೇಲಿನ-ಎಡ ಏಕ ವಾಹಕಗಳುಃ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ರಿಟರ್ನ್ಗಾಗಿ ಫಾರ್ ಡು ಎಂಡ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲೈಸ್ ಮಾಡಿ ಅವರು ಅಸಂಬದ್ಧ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ಆಲ್ಟ್ಮಿನ್ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಮಾದರಿ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ () ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಅಗತ್ಯವಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಇದು ಮಾದರಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಬಿಗಿಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಆಲ್ಟ್ಮಿನ್ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ಗೆ ಸಮಯ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಕಠಿಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಪರ್ಯಾಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಆಧಾರಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಹಲವಾರು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಂಡೆಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲಾನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಸಹಯೋಗದ ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್ ಸಹಯೋಗದ ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್ ಅನೇಕ ಬಳಕೆದಾರರಿಂದ ಅಭಿರುಚಿಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಳಕೆದಾರರ ಹಿತಾಸಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆಪಲ್, ಅಮೆಜಾನ್, ಬಾರ್ನ್ಸ್ ಮತ್ತು ನೋಬಲ್ ಮತ್ತು ನೆಟ್ಫ್ಲಿಕ್ಸ್ನಂತಹ ಕಂಪನಿಗಳು ತಮ್ಮ ಬಳಕೆದಾರರ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತ ಪೂರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಭಿರುಚಿ ಅಥವಾ ಆದ್ಯತೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ನಿಯಂತ್ರಣದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಇನ್ಪುಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ರೇಖೀಯ ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿ-ಸ್ಥಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ವಾಹಕವು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾದರಿಯ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇನ್ಪುಟ್/ಔಟ್ಪುಟ್ ಜೋಡಿಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿಯೂ ನೋಡಬಹುದು. ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಆಫ್ ಥಿಂಗ್ಸ್ (ಐಒಟಿ) ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಐಒಟಿ ಸಂವೇದಕ ಜಾಲಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಕರಣ (ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕ ಸ್ಥಾನೀಕರಣ) ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂವೇದಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಜೋಡಿವಾರು ದೂರಗಳಿಂದ ಮರುಪಡೆಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಂವೇದಕಗಳು 2-ಡಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 3-ಡಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದು ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾಜಿಕ ಜಾಲಗಳು ರಿಕವರಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಸಾಮಾಜಿಕ ಜಾಲಗಳು ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಖಾಸಗಿ ನೋಡ್ಗಳು, ಸೀಮಿತ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಅಥವಾ ಕಂಪ್ಯೂಟ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳಂತಹ ಕಾರಣಗಳಿಂದಾಗಿ ನಮಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲಬಂಧವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ದೂರದ ನಮೂದುಗಳ ಒಂದು ಭಾಗ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಮಿನಲ್ ಜಾಲಗಳು ಅಂತಹ ಜಾಲಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಗಮನಿಸದ ದೂರಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೆಗ್ಯುಲರೈಸೇಶನ್ ನೆಟ್ಫ್ಲಿಕ್ಸ್ ಪ್ರೈಜ್ ಕೊಲಾಬರೇಟಿವ್ ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಐಡೆಂಟಿಫಿಕೇಷನ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಇಂಪ್ಯುಟೇಶನ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.