Method of fundamental solutions
ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮತ್ತು ಅನುಕರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಧಾನವು (ಎಂಎಫ್ಎಸ್) ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಗಡಿ ಅಂಶ ವಿಧಾನ (ಬಿಇಎಂ) ದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಮತ್ತು ಬಿಇಎಂ ಎರಡೂ ಬೌಂಡರಿ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಡೊಮೇನ್, ತೆಳುವಾದ ಗೋಡೆಯ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣ ವಿಧಾನಗಳಂತಹ ಡೊಮೇನ್-ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಬಿಇಎಂಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಏಕವಚನ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಂತರ್ಗತ ಜಾಲರಿ ರಹಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಭೌತಿಕ ಡೊಮೇನ್ನ ಹೊರಗೆ ವಿವಾದಾತ್ಮಕ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಗಡಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ ಈ ವಿಧಾನವು ರಾಜಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅದರ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದೆ. ಆದರೆ ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಅನಂತ ಡೊಮೇನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಚಾರ್ಜ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ವಿಧಾನ, ಸೂಪರ್ಪೊಸಿಷನ್ ವಿಧಾನ, ಡಿಸಿಂಗ್ಯುಲರೈಸ್ಡ್ ವಿಧಾನ, ಪರೋಕ್ಷ ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ವರ್ಚುವಲ್ ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನ ಸೇರಿದಂತೆ ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಹೆಸರುಗಳಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂ. ಎಫ್. ಎಸ್. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಭಾಗಶಃ ನಿರ್ವಾಹಕವು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅದರ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಭೌತಿಕ ಡೊಮೇನ್ನ ಹೊರಗಿರುವ ಮೂಲ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರ ಏಕತ್ವವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜನ್ನು ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೊಲೋಕೇಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ತದನಂತರ ನಾವು ಭೌತಿಕ ಡೊಮೇನ್ನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಇತ್ತೀಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಎಂಎಫ್ಎಸ್ನ ಹಿಂದಿನ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿ. ಡಿ. ಕುಪ್ರಾಡ್ಜೆ ಮತ್ತು ಎಂ. ಎ. ಅಲೆಕ್ಸಿಡ್ಜೆ ಅವರು 1950ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 1960ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲು 1970ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಆರ್. ಮ್ಯಾಥನ್ ಮತ್ತು ಆರ್. ಎಲ್. ಜಾನ್ಸ್ಟನ್ ಅವರು ಗಣನೆಯ ತಂತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ನಂತರ ಮ್ಯಾಥನ್, ಜಾನ್ಸ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೇಮ್ ಫೇರ್ವೆದರ್ ಅವರು ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಮಂಡಿಸಿದರು. ಎಂ. ಎಫ್. ಎಸ್. ಕ್ರಮೇಣ ವಿವಿಧ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಯಿತು. 1990ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಎಂ. ಎ. ಗೋಲ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಸಿ. ಎಸ್. ಚೆನ್ ಅವರು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ಅದರ ಅನ್ವಯಿಕತೆಯನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಬದಲಾಗುವ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಂ. ಎಫ್. ಎಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ನಂತರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಸೂಚಿಸಿದವು. ವಿಲೋಮ, ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ-ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎಂ. ಎಫ್. ಎಸ್. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಎಂಎಫ್ಎಸ್ನಲ್ಲಿನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಪಡಿಸಲು ಕೆಲವು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗಡಿ ಗಂಟು ವಿಧಾನ, ಏಕವಚನ ಗಡಿ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಿದ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನ. ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನ ಬೌಂಡರಿ ನಾಟ್ ವಿಧಾನ ಬೌಂಡರಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ವಿಧಾನ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಬೌಂಡರಿ ವಿಧಾನ ರೆಗ್ಯುಲರೈಸ್ಡ್ ಮೆಶ್ಲೆಸ್ ವಿಧಾನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಸೆಂಟರ್ ಫಾರ್ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಇನ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ & ಸೈನ್ಸಸ್ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು