Thomae's formula
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಥೀಟಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರವು ಥಾಮಸ್ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. 1824 ರಲ್ಲಿ ಅಬೆಲ್-ರುಫಿನಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಐದು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರಾಡಿಕಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು. ಐದನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಆಮೂಲಾಗ್ರಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗಬೇಕು ಎಂಬುದು ಅಂದಿನಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. 1858ರಲ್ಲಿ, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಹರ್ಮೈಟ್, ಲಿಯೋಪೋಲ್ಡ್ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾನ್ಸೆಸ್ಕೊ ಬ್ರಿಯೋಸ್ಚಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಇದು ಆಮೂಲಾಗ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಈ ಘಾತಾಂಕಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಇದು ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದದ್ದು ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್, ಹರ್ಮೈಟ್, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು. ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು (ಲಾಗರಿಥಮ್) ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ನಂಬಿದ್ದರು. ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕ್ಯಾಮಿಲ್ಲೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಥಾಮಿಯು 1870ರಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಿದನು. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸೀಗಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೈಪೆರೆಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಥಾಮೆ ಹರ್ಮೈಟ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಹಿರೋಷಿ ಉಮೆಮುರಾ ಈ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕುಲದ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನಾವು ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ ವಾದದ (ಥೀಟಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು) ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಪಡೆದ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಬೆಸ ದರ್ಜೆಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಅಥವಾ ಸಮ ದರ್ಜೆಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ದರ್ಜೆಯ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಟಿಶಿರ್ನ್ಹೌಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಕುಶಲತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ರೂಪ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯವು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕುಲದ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರೀಮನ್ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ತರುತ್ತಾನೆ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳು