Better-quasi-ordering
ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶ ಅಥವಾ bqo ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಕೆಟ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳದ ಅರ್ಧ-ಆದೇಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶವು ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶವು ಆಕರ್ಷಕವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಅನಂತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ರಿಚರ್ಡ್ ರಾಡೋನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. 1965ರ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಸ್ಪಿನ್ ನ್ಯಾಶ್-ವಿಲಿಯಮ್ಸ್, ω ಎತ್ತರದ ಮರಗಳ ವರ್ಗವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮೈನರ್ ಸಂಬಂಧದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ-ಅರ್ಧ-ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಕ್ರಮದ ಬಲವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು. ಅಂದಿನಿಂದ, ಅನೇಕ ಅರೆ-ಕ್ರಮಗಳು ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಕ್ರಮಗಳು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಕ್ರಮಗಳು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚದುರಿದ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರಗಳ ವರ್ಗವು ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಿಚರ್ಡ್ ಲೇವರ್ ಅವರು ಲೇವರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ಹಿಂದೆ ರೋಲ್ಯಾಂಡ್ ಫ್ರಾಸ್ನ ಒಂದು ಊಹೆ) ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ತೀರಾ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಕಾರ್ಲೋಸ್ ಮಾರ್ಟಿನೆಜ್-ರನೆರೊ, ಸರಿಯಾದ ಬಲವಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅರೊನ್ಝಾಜನ್ ರೇಖೆಗಳ ವರ್ಗವು ಎಂಬೆಡೆಬಿಲಿಟಿ ಸಂಬಂಧದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ-ಅರೆ-ಆದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಗುಂಪಿಗಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಒಂದು ವೇಳೆ ಅದು ಮತ್ತು ನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಆರಂಭಿಕ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ. ಸಂಬಂಧವು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಬ್ಲಾಕ್ ಎಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಆರಂಭಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅರೆ-ಕ್ರಮಕ್ಕೆ, a-ಮಾದರಿಯು ಕೆಲವು ಬ್ಲಾಕ್ನಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ ಎ-ಮಾದರಿಯು ಕೆಟ್ಟದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಳ್ಳೆಯದು. ಯಾವುದೇ ಕೆಟ್ಟ ಮಾದರಿಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅರೆ-ಆದೇಶವನ್ನು ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನ್ಯಾಶ್-ವಿಲಿಯಮ್ಸ್ ಒಂದು ತಡೆಗೋಡೆಯನ್ನು ಒಂದು ಬ್ಲಾಕ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆ ಸಂಬಂಧದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎ-ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದು ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ತಡೆಗೋಡೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬ್ಲಾಕ್ ಒಂದು ತಡೆಗೋಡೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಕೆಟ್ಟ-ಸರಮಾಲೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಉತ್ತಮ-ಅರೆ-ಆದೇಶ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ನೋಡುತ್ತಾರೆ. ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಅವರ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಬೋರೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಕ್ರಮದ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ದಾನ ಮಾಡೋಣ. ಎ-ಶ್ರೇಣಿಯು ಕೆಲವು ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಬೋರೆಲ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎ-ಅರೇ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಳ್ಳೆಯದು. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕೆಟ್ಟ ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅರೆ-ಆದೇಶವು ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶವಾಗಿದೆ. ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಬರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಬ್ಯಾಡ್ ಅರೇ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಬ್ಯಾಡ್ ಅರೇ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಮೊದಲು ಹೇಳಲಾದ ಲೇವರ್ನ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನೂ ನೋಡಿ. ಈ ತಂತ್ರವು ನ್ಯಾಶ್-ವಿಲಿಯಮ್ಸ್ ಅವರ 1965ರ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಇತ್ತು. ಇದು ಅರೆ-ಕ್ರಮ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಭಾಗಶಃ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು ಅದರ ಸುಸ್ಥಾಪಿತ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಬ್ಯಾಡ್-ಅರೇಗಳಿಗೆ (ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಬ್ಯಾಡ್-ಅರೇ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಬ್ಯಾಡ್-ಅರೇ ಕನಿಷ್ಠ ಬ್ಯಾಡ್ (ಭಾಗಶಃ ಶ್ರೇಯಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಶ್ರೇಯಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧವು ಸಂಬಂಧದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಭಾಗವಲ್ಲ. ಪ್ರಮೇಯ (ಕನಿಷ್ಠ ಬ್ಯಾಡ್ ಅರೇ ಲೆಮ್ಮಾ). ಭಾಗಶಃ ಶ್ರೇಯಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರೆ-ಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದು ಕೆಟ್ಟ-ಶ್ರೇಣಿಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಕನಿಷ್ಠ ಕೆಟ್ಟ-ಶ್ರೇಣಿಯು ಇರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮ-ಅರ್ಧ-ಆದೇಶದ ಸುವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸುವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ