Bochner's theorem (Riemannian geometry)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಲೊಮನ್ ಬೋಚ್ನರ್ 1946ರಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಯಾವುದೇ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬೇಕು. ಚರ್ಚೆಯು ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಬೋಚ್ನರ್ರ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಂಪರ್ಕಿತ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉದ್ದವು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಒಂದು ಲೈ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಶೂನ್ಯ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಬೋಚ್ನರ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಬೋಚ್ನರ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ರಿಕ್ಕಿ ಸಂವಹನ ಗುರುತುಗಳ ಅನ್ವಯವಾಗಿ, ಸೂಡೋ-ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೂ ಈ ಸೂತ್ರವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಹೀಗೆ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಋಣಾತ್ಮಕ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಯ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು