Monsky's theorem
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮಾನ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಸಮ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಚೌಕವು ಬೆಸ ಸಮಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 1965ರಲ್ಲಿ ಅಮೇರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಂತ್ಲಿಯಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಡ್ ರಿಚ್ಮನ್ ಮಂಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1970ರಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ ಮಾನ್ಸ್ಕಿ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಪ್ರೂಫ್ ಮಾನ್ಸ್ಕಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಸಂಯೋಜಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ರೂಪರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ (0,0), (0,1), (1,0) ಮತ್ತು (1,1) ನಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಮಾನದ ಚೌಕವಾಗಿ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಸಮಾನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ n ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಛೇದನವಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು 1/n ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ 2-ಅಡಿಕ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಚೌಕದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮೂರು ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಿ. ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯು ಕೇವಲ ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿ. ಅಂಚಿನಿಂದ ಅಂಚಿಗೆ ಸಂಧಿಸುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ಚೌಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸ್ಪರ್ನರ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಚೌಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ತ್ರಿವರ್ಣದ ತ್ರಿಕೋನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಅದು ಅಂಚಿನಿಂದ ಅಂಚಿಗೆ ಸೇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೇರ-ರೇಖೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ. ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ 2-ಅಡಿಕ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು 1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು 1ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ 2-ಅಡಿಕ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, 1/n ನ 2-ಅಡಿಕ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವರ್ಗವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಇವೆಲ್ಲವೂ 1/n ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿಚ್ಛೇದನಗಳು ಮಾನ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ವಿವಿಧ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಉಂಟಾಗಬೇಕಾದ ಪ್ರದೇಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಸರಳತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n! ನ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, n-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನ ಪರಿಮಾಣದ ಸರಳತೆಗಳಾಗಿ ಮಾತ್ರ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಭಜನೆ