Belinski–Zakharov transform
ಬೆಲಿನ್ಸ್ಕಿ-ಜಾಖರೋವ್ (ವಿಲೋಮ) ರೂಪಾಂತರವು ನಿರ್ವಾತ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣದ ಹೊಸ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1978ರಲ್ಲಿ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಬೆಲಿನ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಜಾಖರೋವ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಬೆಲಿನ್ಸ್ಕಿ-ಜಾಖರೋವ್ ರೂಪಾಂತರವು ವಿಲೋಮ ಚದುರುವಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ದ್ರಾವಣಗಳನ್ನು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳು (ಗ್ರ್ಯಾವಿಸೋಲಿಟಾನ್ಗಳು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು 'ಸಾಲಿಟಾನ್' ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯು ಇತರ (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ) ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳಿಗಿಂತ ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳು ತಮ್ಮ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಆಕಾರವನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಜೂನ್ 2012 ರವರೆಗೆ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗಳು (ಮತ್ತು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಕೆರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್) ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಬೆಲಿನ್ಸ್ಕಿ-ಜಾಖರೋವ್ ರೂಪಾಂತರವು ನಾವು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಮ್ಮೇಷನ್ ಕನ್ವೆನ್ಷನ್ನನ್ನು ಬಳಸುವ ರೂಪದ ಸ್ಥಳಾವಧಿಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎರಡೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳಾವಧಿಯ ಮಧ್ಯಂತರದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವಾಗಿದ್ದರೂ, ಇದು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಕೆರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಐನ್ಸ್ಟೀನ್-ರೋಸೆನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ನಿರ್ವಾತ ಸಮೀಕರಣವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು ಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಲೈಟ್-ಕೋನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವೆಂದರೆ ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡನೇ ಸೆಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಜಾಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಗಣನೆಯು ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಜೋಡಿ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಲಕ್ಸ್ ಜೋಡಿ. ವಿಲೋಮ ಚದುರುವಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರದ ಹಿಂದಿನ ಸಾರಾಂಶವೆಂದರೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಸ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮಿತಿಮೀರಿದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು. ಬೆಲಿನ್ಸ್ಕಿ-ಜಾಖರೋವ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಮತ್ತು ನ ವಿನಿಮಯಶೀಲತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎಡಭಾಗವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಗಣನೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದಾಗ ಅದು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಿತಿಮೀರಿದ ರೇಖೀಯ ಬೆಲಿನ್ಸ್ಕಿ-ಜಾಖರೋವ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ಬೆಲಿನ್ಸ್ಕಿ-ಜಾಖರೋವ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಹೀಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಬೆಲಿನ್ಸ್ಕಿ-ಜಾಖರೋವ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.