Multivariate Pareto distribution
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯು ಯುನಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿಧಗಳು I−4 ಮತ್ತು ಫೆಲ್ಲರ್-ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ವಿಧದ ಏಕರೂಪದ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಗಳಿವೆ. ಈ ಅನೇಕ ವಿಧಗಳಿಗೆ ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಗಳು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಡಿಯಾ (1962) ನ ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ (ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್) ಮತ್ತು ಜಂಟಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಪ್ರಕಾರ 1 ಆಗಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಾಧನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು a> 2, X1 ಮತ್ತು X2 ಗೆ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅರ್ನಾಲ್ಡ್ ಅವರು ಟೈಪ್ II ನ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. (ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮಾರ್ಡಿಯಾದ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲ.) a> 1 ಗೆ, ಅಂಚಿನ ಸಾಧನಗಳು, ಆದರೆ a> 2 ಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೋಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಗಳು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಡಿಯಾದ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯು ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪೂರಕ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್. ಎಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ a> 2 ಸಹವರ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಪ್ರಕಾರ I ಪೂರಕ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್. ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅರ್ನಾಲ್ಡ್ ಅವರು ಟೈಪ್ II ನ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಎ> 1 ಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಧನಗಳು ಎ> 2 ಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೋಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ವಿಧದ ಬಹುವಿಧದ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕ X ಅದರ ಜಂಟಿ ಬದುಕುಳಿಯುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾಲ್ಕನೇ ಪ್ರಕಾರದ ಕೆ-ಆಯಾಮದ ಬಹುವಿಧದ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಫೆಲ್ಲರ್-ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗಾಮಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕ ಎಕ್ಸ್ ಕೆ-ಆಯಾಮದ ಫೆಲ್ಲರ್-ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿವೆ (5); ಅಂದರೆ, ಅವು ಬಹುವಿಧದ ಫೆಲ್ಲರ್-ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳು ಫೆಲ್ಲರ್-ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಹುವಿಧದ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳು