Kodaira–Spencer map
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕುನಿಹಿಕೋ ಕೊಡೈರಾ ಮತ್ತು ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಸಿ. ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಯು, ಒಂದು ಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಕ್ಸ್ನ ವಿರೂಪಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ವಿರೂಪತೆಯ ಸ್ಥಳದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಜಾಗವನ್ನು ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕೋಶದ ಮೊದಲ ಸಮರೂಪಶಾಸ್ತ್ರ ಗುಂಪಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಪ್ರೇರಣೆ ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಗುಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸುವ ಚಾರ್ಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬಯೋಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವಿರೂಪತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ತಳದ ಮೇಲೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳಿಂದ (ಇದು ನಿಜವಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಆಗಿರಬಹುದು) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಇದರರ್ಥ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮೂಲ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೋಸಿಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸಬೇಕು, ಇದು ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ 1-ಕೋಸಿಕಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ತಳವನ್ನು ಪಾಲಿಡಿಸ್ಕ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ತಳದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಮೃದುವಾದ ಸರಿಯಾದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ವಿಶೇಷ ನಾರಿನ ವಿರೂಪ). ಕರ್ನಲ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರುವ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ನ ಉದ್ದವಾದ ನಿಖರವಾದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯುವ ಸಂಪರ್ಕ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಅದು ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿರೂಪತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸ್ಕೀಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವಿರೂಪಗಳು ಅಥವಾ ರಿಂಗ್ಡ್ ಟೋಪೋಯಿಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೆ ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಯ ರಚನೆಗಳಿವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಸ್ಕೀಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕೊಸೈಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅನಂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಚಾರ್ಟ್ಗಳಿಂದ ಆವೃತವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಂಗುರವಿರುವ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುವ ಸಂವಹನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ವಿರೂಪವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ವಿರೂಪವು ಕೋಸಿಕಲ್ಗಳಾಗಿ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಕೋಸಿಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕೋಸಿಕಲ್ಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ವಿರೂಪದ ಕೋಸಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕೋಸಿಕಲ್ ಆಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ ಕೋಸಿಕಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಅದು 1-ಕೋಚೈನ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ನಿಯಮವು ಈ 1-ಕೊಚೈನ್ ಅನ್ನು 1-ಚಕ್ರವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಈ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿತು. ಮೇಲಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ವಿರೂಪದಿಂದ ಕೋಸಿಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಆಯಾಮ ಒಂದರ ಸಣ್ಣ ತಳದಲ್ಲಿ ಪಾರದರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವಿದೆ. ನಂತರ, ಕೋಸಿಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಓದಬಹುದು. ನಂತರ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಹೀಗೆ ಓದುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಭಾಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದರಿಂದ ಕೋಸಿಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ವಿರೂಪದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿತ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಕೀಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಯವಾದ ವೈವಿಧ್ಯದ ವಿರೂಪಗಳು ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿವೆ. ಈ ವಿರೂಪಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು (ಎಲ್ಲಿ)-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಿಂದ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದಾಗ ಚಿಕ್ಕ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ-ಪಡೆದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದು ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗೆ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಅಮೂರ್ತ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗಡಿ ನಕ್ಷೆಯು ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿನ ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳು ಯೋಜನೆಗಳ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವರ್ಗವು ವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವಿರೂಪತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಸಲ್ ವಿರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಪದದ ಸೂಕ್ಷ್ಮಾಣುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ವಿರೂಪಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಿಂದ ನೀಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರ ವರ್ಸಲ್ ವಿರೂಪಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿರೂಪವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಫೈನ್ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ನಕ್ಷೆ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಾಗಿ, ಸಂಬಂಧಿತ ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ. ನಂತರ, ಅನ್ವಯಿಸುವಿಕೆಯು ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಮತ್ತು ext ಗುಂಪು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿರೂಪಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಕಡಿತಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ, ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿವೆ. ಕೊನೆಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬಯಸಿದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಮಾರ್ಫಿಸಂ. ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ (ಇದು ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ) ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯು ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಕೊಡೈರಾ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ನಕ್ಷೆಯು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವಿರೂಪವನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಷ್ಲೆಸಿಂಗರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುಟುಂಬದ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಗಾಸ್-ಮ್ಯಾನಿನ್ ಸಂಪರ್ಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗ ಎಕ್ಸ್ಟ ಫಂಕ್ಟರ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮ್ಯಾಥೋವರ್ಫ್ಲೋ ಪೋಸ್ಟ್ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ವಿರೂಪಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ