Regularized meshless method
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾದ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನವು (ಆರ್. ಎಂ. ಎಂ.), ಏಕವಚನ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಡಿಸಿಂಗ್ಯುಲರೈಸ್ಡ್ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ಬೌಂಡರಿ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಎಂಎಂ ಒಂದು ಬಲವಾದ-ರೂಪದ ಜೋಡಣೆ ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ, ಏಕೀಕರಣ-ಮುಕ್ತ, ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಂಭಾವ್ಯ, ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ನೀರಿನ ತರಂಗ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿವರಣೆ ಆರ್ಎಂಎಂ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಎರಡು ಪದರದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಅದರ ಆಧಾರ/ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಧಾನದಂತೆ (ಎಂಎಫ್ಎಸ್), ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿವಿಧ ಮೂಲ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ಪದರದ ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಂಎಫ್ಎಸ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಆರ್ಎಂಎಂನ ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಂಎಫ್ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಗಡಿಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಭೌತಿಕ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಆರ್ಎಂಎಂ ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಅಡಚಣೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಯೋಗದ ನಂತರ, ಎರಡು ಪದರದ ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಏಕತ್ವದ ವಿವಿಧ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಳೆಯುವ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಸೇರಿಸುವ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಇತ್ತೀಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಈ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಮೆಥಡ್ (ಎಫ್ಇಎಂ), ಫೈನೈಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಮೆಥಡ್ (ಎಫ್ಡಿಎಂ), ಫೈನೈಟ್ ವಾಲ್ಯೂಮ್ ಮೆಥಡ್ (ಎಫ್ವಿಎಂ) ಮತ್ತು ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಮೆಥಡ್ (ಬಿಇಎಂ) ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಲ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಜಾಲರಿಯ ಉತ್ಪಾದನೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ-ಆಯಾಮದ ಚಲಿಸುವ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಆಕಾರದ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಬೇಸರದ ಮತ್ತು ಬಹಳ ಸವಾಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ತೊಂದರೆದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಗಡಿ-ಮಾತ್ರ ವಿವೇಚನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರೆ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವರೂಪದಿಂದಾಗಿ ಬಿಇಎಂ ಅಂತಹ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬಹಳ ಹಿಂದಿನಿಂದಲೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಹತೆಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಬಿಇಎಂ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಕಷ್ಟು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಟ್ರಿಕಿ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಜಾಲರಿಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಕಳೆದ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು ಅಥವಾ ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಗಣನೀಯ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಡೊಮೇನ್ ಅಥವಾ ಬೌಂಡರಿ ಮೆಶಿಂಗ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ/ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ಗಡಿ ಜೋಡಣೆ ವಿಧಾನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಸುಲಭವಾದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ಗಣಿತದ ಸರಳತೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಒಮ್ಮುಖದ ಅರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಎಂಎಫ್ಎಸ್ನಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಹೊರಗಿನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಗಡಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಗಡಿಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ ಈ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಗೊಂದಲಮಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ನಾಟಕೀಯ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೌಂಡರಿ ನಾಟ್ ಮೆಥಡ್ (ಬಿ. ಕೆ. ಎಂ.), ರೆಗ್ಯುಲರೈಸ್ಡ್ ಮೆಷ್ಲೆಸ್ ಮೆಥಡ್ (ಆರ್. ಎಂ. ಎಂ.), ಮೋಡಿಫೈಡ್ ಎಂ. ಎಫ್. ಎಸ್. (ಎಂ. ಎಂ. ಎಫ್. ಎಸ್.), ಮತ್ತು ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಬೌಂಡರಿ ಮೆಥಡ್ (ಎಸ್. ಬಿ. ಎಂ.) ಸೇರಿವೆ. ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದರದ ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡಿಂಗ್-ಬ್ಯಾಕ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೂಲ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೈಜ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಸಂಭಾವ್ಯ, ಬಾಹ್ಯ ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಆಂಟಿಪ್ಲೇನ್ ಪೀಜೋ-ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಸಿಟಿ, ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ ಐಗನ್ಪ್ರೊಬ್ಲಮ್, ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ, ಪೊಸಿಯಾನ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ನೀರಿನ ತರಂಗ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ಭೌತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಆರ್. ಎಂ. ಎಂ. ಅನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ವಿಧಾನದ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆ ಮತ್ತು ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸುಧಾರಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಸುಧಾರಿತ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನಿಯಮಿತ ಡೊಮೇನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ತೂಕದ ಆರ್ಎಂಎಂ ಮತ್ತು 2ಡಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಆರ್ಎಂಎಂ ನೋಡಿ. ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಮೆಥಡ್ ಮೆಥಡ್ ಆಫ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬೌಂಡರಿ ನಾಟ್ ಮೆಥಡ್ ಬೌಂಡರಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಬೌಂಡರಿ ಮೆಥಡ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು