Hilbert–Mumford criterion
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಮಾನದಂಡವು, 1-ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅರೆಸ್ಥಾಯೀ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಜಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವಿ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಒಂದು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ವಿ ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಕಕ್ಷೆಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ 0 ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅರೆ-ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅದರ ಕಕ್ಷೆಯು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಿಂದುವು ಅರೆ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಅರೆ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಆದರೆ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅರೆ-ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. G ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಿ *, ಕ್ರಿಯೆಯು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು V ಅನ್ನು ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಘಟಕದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ I ಅನ್ನು ತೂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ಗೆ, ನಾವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ತೂಕಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, 0 ಎಂಬುದು x ನ ಕಕ್ಷೆಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. x ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ; ಎಲ್ಲಾ ತೂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, 0 ಒಂದು ತೂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ 0 ಮಾತ್ರ ತೂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು C * ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ; ಅಥವಾ 0ರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳಿವೆ, ಆಗ ಮಿತಿಯು xನ ತೂಕ-0 ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು xನ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ವೈಫಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. x ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅರೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಮಾನದಂಡವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್ ಕೇಸ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪಿಗೆ, ಒಂದು ಬಿಂದು x ನ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು G ಯ 1-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಅವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಲೋಮದ ತೂಕವು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೈನಸ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿಸಬಹುದು. ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಜಿ ಯ 1-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಉಪಗುಂಪು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಬಿಂದು x ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅಂತಹ 1-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಉಪಗುಂಪು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ x ಅರೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ 1-ನಿಯತಾಂಕದ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತೂಕಗಳೆರಡೂ ಇರುತ್ತವೆ; ಜಿ ಯ 1-ನಿಯತಾಂಕದ ಉಪಗುಂಪು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ x 0 ಅನ್ನು ತೂಕವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಬಿಂದು x ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅರೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ ತೂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ (ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಆಗಿರುತ್ತವೆ; ಜಿ ಯ ಯಾವುದೇ 1-ನಿಯತಾಂಕದ ಉಪಗುಂಪು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ x ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತೂಕಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತೂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಬಿಂದು x ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ 1-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳೆರಡೂ ಇರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ C * ನ ಕ್ರಿಯೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ C2 ಸಮತಲದಲ್ಲಿ C * ನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ x-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತೂಕವು 1 ಮತ್ತು y-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತೂಕವು-1 ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವು 1 ಅನ್ನು ಅದರ ಏಕೈಕ ತೂಕವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವು-1 ಅನ್ನು ಅದರ ಏಕೈಕ ತೂಕವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವೆರಡೂ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ; ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು 1 ಮತ್ತು-1 ಎರಡನ್ನೂ ತೂಕವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಿ1 ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಮಾಡುಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, P1 ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ n ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, P1 ನ ಉದ್ದ-n ಉಪಘಟಕ). ಪಿ1, ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಅಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳ (ಸಬ್ಶೀಮ್ಗಳು) ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಮಫರ್ಡ್ ಮಾನದಂಡವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ-ಎನ್ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ n ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಂತಹ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. 1-ನಿಯತಾಂಕದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ P1 ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಪದವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡನ್ನೂ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ರೆಸ್ಪ್. ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ತೂಕಗಳು i> n/2 ಮತ್ತು i <n/2 (ರೆಸ್ಪ್) ಪದಗಳಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. i ≤ n/2 ಮತ್ತು i ≤ n/2). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x ಅಥವಾ y ನ ಗುಣಾಕಾರವು <n/2 (ರೆಪ್ಸ್. ≤ n/2) ಆಗಿರಬೇಕು. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ 1-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ, ನಾವು P1 ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಬಹುಪದವು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ n ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹ) ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ರೆಸ್ಪ್. ಅರೆ-ಸ್ಥಿರ) ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗುಣಾಕಾರವು <n/2 (ರೆಸ್ಪ್) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ≤ n/2). ಸಮತಲ ಘನಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಮಾನದಂಡವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಘನವು ನಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಅದು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅರೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಕೆಟ್ಟ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನ (ಉದಾ. ಒಂದು ಕಸ್ಪ್) ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಜಿಐಟಿ ಕೋಶಂಟ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ