Generalized Clifford algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಜಿ. ಸಿ. ಎ.) ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮತ್ತು ಜೆ. ಜೆ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ (1882) ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟನ್ (1898) ಮತ್ತು ಶ್ವಿಂಗರ್ ಆಯೋಜಿಸಿದ ಈ ಗಡಿಯಾರ-ಮತ್ತು-ಶಿಫ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಿದ ಹರ್ಮನ್ ವೇಲ್ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಗಡಿಯಾರ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವಾರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಾಡಿಕೆಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಾಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿನರ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಎಂಬ ಪದವು ಸಹವರ್ತಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಸಹ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು, ಇವುಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಮೂರ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ-ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮತ್ತು ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಭೌತಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅದು, ಮತ್ತು gcd ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ ಸಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಜಿ. ಸಿ. ಎ. ಯ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ,-ಆಯಾಮದ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ಜೆ, ಕೆ, ಮತ್ತು ಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಜೆ, ಕೆ, ಎಲ್ = 1,., ಎನ್, ಮತ್ತು 1 ರ th ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹಲವಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತ (ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್) ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳು ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟೇಷನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಗಡಿಯಾರ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಶ್ವಿಂಗರ್ನ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ, (ವೇಯ್ಲ್ ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ ಸಂಬಂಧಗಳು), ಮತ್ತು (ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ). ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ (ಜಿಸಿಎ) ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಪೂರೈಸುವ ಮೂರು ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಶಿಫ್ಟ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು 1880ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಜೆ. ಜೆ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕರ್ಣದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ ಮಾತ್ರ ಇರುವ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಶಿಫ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು = −1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು = ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಡಿ. ಎಫ್. ಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸರ್ಕ್ಯುಲೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಾದಿ ರಾಮಕೃಷ್ಣನ್ ಅವರ ಪರಂಪರೆಯಲ್ಲಿ (ಪುಟಗಳು. 465-489). ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್.) ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಕ್ವಾಡ್ರಟಿಕ್ ಫಾರ್ಮ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್