Topological rigidity
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಂ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರತಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕೂಡ ಎಂ ಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲಿ ರಿಜಿಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಥವಾ ಡಿಫಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್. ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಬಹುತೇಕ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ (ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು) ಹೆಚ್ಚಿನ ಷರತ್ತನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ನಾವು ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಕಠಿಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆ) ನಡುವಿನ ಸಾಕಷ್ಟು ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಯು ಬಲವಾದ ಸಮಾನತೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್, ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಥವಾ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಯಾವುದೇ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆ f: N → M ಮೂಲವಾಗಿ ಕೆಲವು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ N ಮತ್ತು ಗುರಿಯಾಗಿ M ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M ಅನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರಿಜಿಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1. ಮುಚ್ಚಿದ 2-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾದ M ಮತ್ತು N ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಯಾವುದೇ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2. ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ Mn (n § 3), Sn ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, Mn, Sn ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ಪ್ರಮೇಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಫ್ಲಾಟ್-ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಅಫೈನ್ ಐಎಫ್ಎಫ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (bieberbach) f: M → N ಎಂಬುದು ಫ್ಲಾಟ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಕನೆಕ್ಟೆಡ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, f ಎಂಬುದು ಅಫೈನ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಮೊಸ್ಟೋವ್ ಅವರ ಬಿಗಿತ ಪ್ರಮೇಯ ಪ್ರಮೇಯವುಃ ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನೇರ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. f: M → N ಒಂದು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, f ಒಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎನ್-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಮೋಸ್ಟೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ, ಎನ್ ≤ 3): ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎನ್-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಎನ್ ≤ 3 ಮತ್ತು ಎಫ್ಃ ಎಂ → ಎನ್ ಒಂದು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಆಗ ಎಫ್ ಒಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಜಾರ್ಜ್ ಮೊಸ್ಟೋವ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎನ್-ಸ್ಪೇಸ್ ಎಚ್ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್ ω3, ಇದರ ಅಂಶಗಳಾದ ಎಚ್/ω ಮತ್ತು ಎಚ್/ω ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ  ಸದೃಶ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು (1) ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಕುಲಗಳ ಯಾವುದೇ ಬಹುಗುಣವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೊಸ್ಟೋವ್ ಅವರ ಬಿಗಿತದ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರಚನೆಗಳಿವೆ; ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರಚನೆಯು ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. (2) ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣದ 2-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಾಗ ಅವು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಅನ್ವಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಗಾತ್ರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎನ್-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂನ (ಎನ್ ≤ 3 ಗೆ) ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು π1 (ಎಂ) ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟೋಪೋಲಜಿ ಮ್ಯಾಪ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ