Cremona–Richmond configuration
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ರೆಮೋನಾ-ರಿಚ್ಮಂಡ್ ಸಂರಚನೆಯು 15 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 15 ಬಿಂದುಗಳ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 3 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ 3 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಇದು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು (2,2) ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಚತುಷ್ಕೋಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಲೆವಿ ಗ್ರಾಫ್ ಟುಟ್ಟೆ-ಕಾಕ್ಸೆಟರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮಮಿತಿ ಕ್ರೆಮೋನಾ-ರಿಚ್ಮಂಡ್ ಸಂರಚನೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆರು-ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದ ಜೋಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು; ಈ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಡ್ಯುಯಡ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸಂರಚನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅದೇ ಆರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮೂರು ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ 15 ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು; ಈ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಿಂಥೆಮ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿದರೆ, ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಡುಯಾಡ್ ರೇಖೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿಂಥೆಮ್ನಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂರಚನೆಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸಂರಚನೆಯ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಡುವಾಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಂಥೆಮ್ಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಆರು ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಕ್ರೆಮೋನಾ-ರಿಚ್ಮಂಡ್ ಸಂರಚನೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂರಚನೆಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂರಚನೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧ್ವಜವನ್ನು (ಇನ್ಸಿಡೆಂಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್-ಲೈನ್ ಜೋಡಿ) ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧ್ವಜಕ್ಕೂ ಕೊಂಡೊಯ್ಯಬಹುದು. ಕ್ರೆಮೋನಾ-ರಿಚ್ಮಂಡ್ ಸಂರಚನೆಯು ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿದೆಃ ಸಂರಚನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವಾಗ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಟುಟ್ಟೆ-ಕಾಕ್ಸೆಟರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಕ್ರೆಮೋನಾ-ರಿಚ್ಮಂಡ್ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯತೆಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಆರು ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಹೊರಗಿನ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಆರು ಬಿಂದುಗಳು 15 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯು ಇತರ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ, ಆರು ಬಿಂದುಗಳ ಡುವಾಡ್ಗಳು ಈ 15 ಪಡೆದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸಿಂಥೆಮ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಡುವಾಡ್ಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಸಿಂಥೆಮ್ನಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಡುವಾಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂರು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಛೇದಕ ರೇಖೆ, ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಮೂರು ಡುವಾಡ್ಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಮೂರ್ತ ಸಂರಚನೆಯ ಡುವಾಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಂಥೆಮ್ಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು, ಘಟನೆ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಆರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಈ 15 ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು 15 ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಂರಚನೆಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಕ್ರೆಮೋನಾ-ರಿಚ್ಮಂಡ್ ಸಂರಚನೆಯು ಕ್ರಮ-ಐದು ಆವರ್ತಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಮೂರು ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 15 ನೈಜ ರೇಖೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು (ಒಂದು ಘನದ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ 27 ರೇಖೆಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಷ್ಲಾಫ್ಲಿ ಡಬಲ್ ಸಿಕ್ಸ್ಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು 15 ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಇತಿಹಾಸವು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲದಿಂದ ಛೇದಿಸುವುದರಿಂದ 153153 ಸಂರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಶ್ಲಾಫ್ಲಿಯ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಂತರ ಅವರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂರಚನೆಯು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂರಚನೆಯು ಅದರ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂ-ಲಿಖಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಂರಚನೆಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಎಚ್. ಎಫ್. ಬೇಕರ್ ಈ ಸಂರಚನೆಯ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ತನ್ನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವಾದ 'ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ' ಯ ಎರಡು ಸಂಪುಟಗಳಿಗೆ ಮುಂಭಾಗವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು. ಅದೇ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್-ಐದು ಆವರ್ತಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಸಂರಚನೆಯ ಹೆಸರು ಅದರ ಅಧ್ಯಯನಗಳಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು; ಬಹುಶಃ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ತಪ್ಪುಗಳಿಂದಾಗಿ, ಮಾರ್ಟಿನೆಟ್ಟಿಯ ಸಮಕಾಲೀನ ಕೊಡುಗೆಯು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಗೆ ಒಳಗಾಯಿತು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ. .. .. .. .. .. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕ್ರೆಮೋನಾ-ರಿಚ್ಮಂಡ್ ಸಂರಚನೆಯ ಚಿತ್ರ ಕ್ರೆಮೋನಾ-ರಿಚ್ಮಂಡ್ ಸಂರಚನೆಯ ಚಿತ್ರ ಸಂರಚನೆಗಳು (ಜ್ಯಾಮಿತಿ)