Singular boundary method
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಬೌಂಡರಿ ಮೆಥಡ್ (ಎಸ್. ಬಿ. ಎಂ.) ಮೆಷ್ಲೆಸ್ ಬೌಂಡರಿ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ತಂತ್ರಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಧಾನ (ಎಂ. ಎಫ್. ಎಸ್.), ಬೌಂಡರಿ ನಾಟ್ ಮೆಥಡ್ (ಬಿ. ಕೆ. ಎಂ.), ರೆಗ್ಯುಲರೈಸ್ಡ್ ಮೆಷ್ಲೆಸ್ ಮೆಥಡ್ (ಆರ್. ಎಂ. ಎಂ.), ಬೌಂಡರಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ (ಬಿ. ಪಿ. ಎಂ.), ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಎಂ. ಎಫ್. ಎಸ್. ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವು ಸೇರಿವೆ. ಬಲವಾದ-ರೂಪದ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ವಿಧಾನಗಳ ಈ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಗಡಿ ನೋಡ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಗಡಿ ಅಂಶ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ (ಬಿಇಎಂ) ಏಕಾಂಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ಜಾಲರಿ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಡಳಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಬಿಎಂನ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಗಡಿಯನ್ನು ಜಯಿಸುವುದು, ಜೊತೆಗೆ ಎರಡನೆಯದರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಗಳನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಡೊಮೇನ್ ಅಥವಾ ಬೌಂಡರಿ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಹಲವಾರು ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿಃ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನಗಳು. ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಡೊಮೇನ್ ಅಥವಾ ಬೌಂಡರಿ ಮೆಶಿಂಗ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಬೌಂಡರಿ-ಮಾತ್ರ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ; ಏಕೀಕರಣ-ಮುಕ್ತ. ಏಕವಚನ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಏಕವಚನ ಕರ್ನಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣವು ತೊಂದರೆದಾಯಕ, ದುಬಾರಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನ; ಏಕರೂಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬೌಂಡರಿ-ಮಾತ್ರ ವಿವೇಚನೆ. ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಗಡಿಯನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವಿಧಾನಗಳಂತಹ ಡೊಮೇನ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಬಿಇಎಂನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಎಸ್ಬಿಎಂ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. 1 ಮತ್ತು 2), ಮೂಲ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಂಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಚಯಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಇಎಂ ಮತ್ತು ಎಂಎಫ್ಎಸ್ನಂತಹ ಜನಪ್ರಿಯ ಗಡಿ-ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಎಸ್ಬಿಎಂ ಗಮನಾರ್ಹ ಮತ್ತು ಭರವಸೆಯ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅನಂತ ಡೊಮೇನ್, ತರಂಗ, ತೆಳುವಾದ ಗೋಡೆಯ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ. ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಬೌಂಡರಿ ವಿಧಾನದ ಇತಿಹಾಸ ಎಸ್ಬಿಎಂನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲು 2009 ರಲ್ಲಿ ಚೆನ್ ಮತ್ತು ಅವರ ಸಹಯೋಗಿಗಳು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಮೂಲ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಂಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಮೂಲ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೂಲ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೈಜ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಬಹುದು. ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಮೂಲ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇರಿಸಲು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಗಡಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಅನಂತ ಡೊಮೇನ್ ಸಮಸ್ಯೆ, ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತಹ ವಿವಿಧ ಭೌತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎಸ್ಬಿಎಂ ಅನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಎರಡು ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಡೊಮೇನ್ನೊಳಗೆ ಮಾದರಿ ನೋಡ್ಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು ಇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಮೊದಲ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಂ. ಎಫ್. ಎಸ್. ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಈ ವಿಧಾನವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಷ್ಟು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಮೂಲದ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಈ ಯೋಜನೆಯು ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ, ನಿಖರವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಿಕತೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಗಡಿ ಪದರ ಪರಿಣಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಗಡಿ-ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಂತೆ, ಎಸ್ಬಿಎಂ ಹತ್ತಿರದ ಗಡಿಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ದ್ರಾವಣದ ನಿಖರತೆಯ ನಾಟಕೀಯ ಕುಸಿತವನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲದ ಏಕತ್ವಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಗಡಿಯ ಸಮೀಪವಿರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗುವ ಬದಲು, ಕ್ಷೇತ್ರ ಬಿಂದುವು ಗಡಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಕಾರ್ಯವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಶಿಖರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕರ್ನಲ್ಗಳು "ಬಹುತೇಕ ಏಕವಚನ" ವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದು ಬಿಇಎಂ ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಬೌಂಡರಿ ಲೇಯರ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸಿಂಹ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು, ಬಹುತೇಕ ಏಕವಚನ ಕರ್ನಲ್ಗಳ ತ್ವರಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಅಥವಾ ತಗ್ಗಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎಸ್. ಬಿ. ಎಂ. ನಲ್ಲಿನ ತೊಂದರೆದಾಯಕ ಗಡಿ ಪದರದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅನುಷ್ಠಾನವು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಎಸ್. ಬಿ. ಎಂ. ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಕ್ಷೇತ್ರ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಗಡಿಯ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 1ರಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಬಹಳ ಭರವಸೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂಎಫ್ಎಸ್ ಮತ್ತು ಬಿಇಎಂನಂತಹ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಎಸ್ಬಿಎಂ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ರಚನೆಗೆ ಮೆಮೊರಿ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಒ (ಎನ್ 2) ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಗಣನೆಗೆ ತುಂಬಾ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಫಾಸ್ಟ್ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ವಿಧಾನವು (ಎಫ್ಎಂಎಂ) ಸಿಪಿಯು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಮೆಮೊರಿ ಅಗತ್ಯತೆ ಎರಡನ್ನೂ ಒ (ಎನ್2) ನಿಂದ ಒ (ಎನ್) ಅಥವಾ ಒ (ಎನ್ಎಲ್ಓಎನ್) ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಎಫ್ಎಂಎಂನ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಡೆಸ್ಕ್ಟಾಪ್ನಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಮಿಲಿಯನ್ ಅಪರಿಚಿತರ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಸ್ಬಿಎಂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ. ಈ ವೇಗದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಸ್ಬಿಎಂನ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೆಶ್ಫ್ರೀ ವಿಧಾನಗಳು ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಟ್ರೆಫ್ಟ್ಜ್ ವಿಧಾನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕರ್ನಲ್ ದೂರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಬೌಂಡರಿ ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.