Orbit modeling
ಆರ್ಬಿಟ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಬೃಹತ್ ವಸ್ತುವಿನ ಸುತ್ತ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವಾಗ ಬೃಹತ್ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ತೃತೀಯ ಕಾಯಗಳಿಂದ ಬರುವ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಆಕರ್ಷಣೆ, ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧ, ಸೌರ ಒತ್ತಡ ಅಥವಾ ಪ್ರೊಪಲ್ಷನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒತ್ತಡದಂತಹ ಇತರ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದ್ವಿತೀಯ ಪರಿಣಾಮಗಳೆಂದು ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ರೂಪಿಸುವುದು ಯಂತ್ರದ ನಿಖರತೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತಳ್ಳಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಉತ್ತಮ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಕಕ್ಷೀಯ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಕಕ್ಷೆಗಳ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಮೊದಲ ಪ್ರಯತ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು, ಆದರೂ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಾರಣಗಳು ನಿಗೂಢವಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದ್ದವು. ನ್ಯೂಟನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಚಲನೆಯ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಂಕೀರ್ಣ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳ ಮೊದಲ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಅಂದಿನಿಂದ ಅನೇಕ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನ ಹರಿಸಿದ್ದಾರೆ; 18 ಮತ್ತು 19ನೇ ಶತಮಾನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮುದ್ರದಲ್ಲಿ ನೌಕಾಯಾನದ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಚಂದ್ರ ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳ ಸ್ಥಾನದ ನಿಖರವಾದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಗೆ ಬೇಡಿಕೆ ಇತ್ತು. ಕಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೇಹವು ಅನುಸರಿಸುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚಲನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಎರಡು-ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ಕೆಪ್ಲೇರಿಯನ್ ಕಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಪ್ಲೇರಿಯನ್ ಕಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ದೇಹದ ನಿಜವಾದ ಚಲನೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ದ್ವಿತೀಯಕ ದೇಹದ ನಡುವಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಕಕ್ಷೆಯ ಅನುಕರಣೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮಾದರಿಯಾಗಿರಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಕ್ಷೆಯ ಮಾದರಿ ವಿಧಾನಗಳು ಎರಡು-ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಈ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಬಲಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ, ಸೌರ ಗಾಳಿ, ಎಳೆತ, ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂದೂಡುವ ಬಲಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಬರುವ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಆಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಸರಳವಾದ ಎರಡು-ದೇಹ ಮತ್ತು ಮೂರು-ದೇಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳು (ಯಾವುದೇ ಭವಿಷ್ಯದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳು ಮತ್ತು ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ; ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎನ್-ದೇಹ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಯಾವುದೂ ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ದೇಹವು ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ದೇಹಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಸಹ ಕರಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆಸಕ್ತಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿನ ಕಷ್ಟದಿಂದಾಗಿ, ಕಕ್ಷೀಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನೌಕೆಯ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಪಥಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ತಂತ್ರಾಂಶಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಕೆಪ್ಲೇರಿಯನ್ ಕಕ್ಷೆಯ ಮಾದರಿ ಅದರ ಸರಳವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಕಕ್ಷೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕೇವಲ ಎರಡು ದೇಹಗಳು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಬಹುದು, ಎರಡೂ ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಿಂದು-ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗಳು ದೇಹಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕೆಪ್ಲರ್ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಪ್ಲೇರಿಯನ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಕೇಂದ್ರ ವಸ್ತು ಮತ್ತು ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ನೀಡುವ ಕಕ್ಷೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಿಃ ಅಂತರವು ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕಕ್ಷೆಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಕ್ಷೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಅಸಂಗತತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಳವು ಕೇಂದ್ರ ದೇಹಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ (ಪೆರಿಯಾಪ್ಸಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಾಂಶ ಗುದನಾಳವು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಈ ರೂಪವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಪಥಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿಃ ಎರಡು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ನಡುವಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲದ ಪ್ರಮಾಣವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಮೊದಲ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಎರಡನೇ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಎರಡು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕೆಪ್ಲೇರಿಯನ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ, ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಕಕ್ಷೆಯ ಮೂಲ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಆರ್ಬಿಟ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಆರ್ಬಿಟ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕೆಪ್ಲೇರಿಯನ್ ಕಕ್ಷೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಲು ಮಾದರಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಖಗೋಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಶಕ್ತಿಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಯಂತ್ರ-ರಚಿತ ಗ್ರಹಗಳ ಎಫೆಮೆರೈಡ್ಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೋಡಿ, ಜೆಟ್ ಪ್ರೊಪಲ್ಷನ್ ಲ್ಯಾಬೊರೇಟರಿ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ ಎಫೆಮೆರಿಸ್ ಕೋವೆಲ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ; ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ದೇಹಗಳಿಗೆ, ಇತರ ದೇಹಗಳಿಂದ ದೇಹದ ಮೇಲೆ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಬಲಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ದೇಹದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ವಾಹಕವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಇರುವ ದೂರವಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬ್ಯಾರಿಸೆಂಟರ್ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿದಂತೆ ಹೊಸ ವೇಗ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಇವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋವೆಲ್ ಅವರ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನ ಸುಲಭತೆ. ಒಂದು ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ (ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದಾಗ) ವಿಧಾನದ ದೋಷಗಳು ಸಹ ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ, ಸೂರ್ಯನಂತಹ ಪ್ರಬಲ ಕೇಂದ್ರ ದೇಹವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರ ದೇಹ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ದೇಹಗಳ ಬಲಗಳಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಎನ್ಕೆಯ ವಿಧಾನ ಎನ್ಕೆಯ ವಿಧಾನವು ಓಸ್ಕ್ಯುಲೇಟಿಂಗ್ ಕಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ರಯೋಜನಗಳೆಂದರೆ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕೀಕರಣವು ದೊಡ್ಡ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು (ಕಡಿಮೆ ದೋಷಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಈ ವಿಧಾನವು ಕೋವೆಲ್ನ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ತೀವ್ರವಾದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ; ಇದನ್ನು ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ತೂಗಾಡುವ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ನವೀಕರಿಸದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ಮುಂದುವರಿಯದೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೆಕ್ಟಿಫಿಕೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೂಗಾಡುವ ಕಕ್ಷೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯ ವಾಹಕ, ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಕಕ್ಷೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯ ವಾಹಕ, ಮತ್ತು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಕಕ್ಷೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ದೇಹ ಮತ್ತು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಂಡ ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು, ಇದು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಳ್ಳುವ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನ ಪ್ರಮಾಣಗಳು. ಸಮೀಕರಣಗಳು () ಮತ್ತು () ನಿಂದ ಸಮೀಕರಣ () ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎರಡು ಬಾರಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಅಸ್ಕ್ಯುಲೇಟಿಂಗ್ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎರಡು-ದೇಹದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣವು ಎರಡು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಕೆಗಳ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕುಶಲತೆಯು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪರ್ಲಿಂಗ್-ಬರ್ಡೆಟ್ ವಿಧಾನವು 1991ರಲ್ಲಿ ವಿಕ್ಟರ್ ಆರ್. ಬಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ಎಫ್. ಫ್ರೈಟ್ಟಾ ಅವರು ಎರಡು-ದೇಹಗಳ ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ಈ ವಿಧಾನವು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಸ್ಪರ್ಲಿಂಗ್ನಿಂದ ಪಡೆದ ಚಲನೆಯ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಿ. ಎ. ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. 1864ರಲ್ಲಿ ಬರ್ಡೆಟ್. 1973ರಲ್ಲಿ, ಬಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾನ್ಸೆನ್ ಅವರು ಬರ್ಡೆಟ್ನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು-ದೇಹ ಶಕ್ತಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 13ಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸುಧಾರಿಸಿದರು. 1989 ರಲ್ಲಿ ಬಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಲೀಬ್ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುದುಗಿಸಿದರು, ಇದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯವು ಸಮಯ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನದ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವಾಗ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪುನಸ್ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಟ್ಟು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 14ಕ್ಕೆ ತಂದಿತು. 1991ರಲ್ಲಿ, ಬಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೈಟ್ಟಾ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಇದು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಣ್ಣ ಜಾತ್ಯತೀತ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿತು. ಸ್ಪರ್ಲಿಂಗ್-ಬರ್ಡೆಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು 5 ಹಂತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಹಂತ 1: ಪ್ರಾರಂಭವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನ, ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಸಮಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಅಡಚಣೆಗಳನ್ನು, ಮತ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇತರ ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳಿಂದಾಗಿ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹಂತ 2: ಸ್ಟಂಪ್ಫ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇರುವ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಹಂತ 3: ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ ಹಂತ 4: ಏಕೀಕರಣ ಇಲ್ಲಿ ಹಂತ 5 ರಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ನಿಲುಗಡೆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವವರೆಗೆ ಹಂತ 2 ಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಬಲಗಳು ಕಕ್ಷೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾದ ಕೆಪ್ಲೇರಿಯನ್ ಕಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧಗೊಳ್ಳಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಕಕ್ಷೆಯ ಅನುಕರಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಗೋಳಾಕಾರವಲ್ಲದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯು ಭೂಮಿಯು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗೋಳವಲ್ಲ ಅಥವಾ ಭೂಮಿಯೊಳಗೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಿಂದು-ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಗುರುತ್ವ ಮಾದರಿಯು ಭೂಮಿಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಭೂಮಿಯ ಕೆಳ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ. ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಜಿ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ದ್ವಿತೀಯಕ ಕಾಯಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಏಕ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಂತರದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಡಿಗ್ರಿ n ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್ m ನ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸ್ವರಮೇಳದ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿಃ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ದೇಹದ ಸರಾಸರಿ ಸಮಭಾಜಕ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಸ್ತುವಿನ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದ್ವಿತೀಯ ವಸ್ತುವಿನ ಕೇಂದ್ರದವರೆಗಿನ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅವು ಡಿಗ್ರಿ n ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್ m ನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಇವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುರುತ್ವ ಮಾಪನಗಳ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಭೂಮಿಯು, ಭೂಮಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಗ್ರೀನ್ವಿಚ್ ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸಮಭಾಜಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಉತ್ತರ ಧ್ರುವ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ n ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್ m ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ದ್ವಿತೀಯ ದೇಹದ ಭೌಗೋಳಿಕ ಅಕ್ಷಾಂಶದ ಸೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಸ್ತುವಿನ ಸುತ್ತ ಕಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ, ಮೂರನೇ-ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ಎಂಬ ಪದದಲ್ಲಿ ಬಿಂದು-ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರ ಭೂಮಿಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ. ನೇರ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಎನ್-ಬಾಡಿ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ದೇಹಕ್ಕೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಈ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಮೂರನೇ ಕಾಯಗಳಿಂದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಿಂದು-ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಗುರುತ್ವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಥರ್ಡ್-ಬಾಡಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅಂದಾಜು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರೋಹಣ ನೋಡ್ನ ಬಲ ಆರೋಹಣಕ್ಕೆ ಅಡಚಣೆಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭೂಮಿಯ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಪೆರಿಜಿಯ ವಾದವು ಹೀಗಿವೆಃ ಎಲ್ಲಿಃ ಆರೋಹಣ ನೋಡ್ನ ಬಲ ಆರೋಹಣಕ್ಕೆ ದಿನಕ್ಕೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ. ಇದು ದಿನಕ್ಕೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಪೆರಿಜಿಯ ವಾದಕ್ಕೆ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಕ್ಷೀಯ ಇಳಿಜಾರು. ಇದು ದಿನಕ್ಕೆ ಕಕ್ಷೀಯ ಕ್ರಾಂತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸೌರ ವಿಕಿರಣದ ಒತ್ತಡವು ಕಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಭೂಮಿಯ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನೌಕೆಗೆ ಅದು ನೀಡುವ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿಃ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಮೀಟರ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಮೀಟರ್-ಚದರದಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯನಿಗೆ ಒಡ್ಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗೀಯ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನೌಕೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಕಿಲೋಗ್ರಾಂಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ವಸ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಫಲನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಗೆ, ಊಹಾತ್ಮಕ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹರಡುವ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ. ಭೂಮಿಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ, ಸೌರ ವಿಕಿರಣದ ಒತ್ತಡವು 800 ಕಿ. ಮೀ. ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತಲೂ ಬಲವಾದ ಶಕ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಪಲ್ಷನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನೌಕೆಯ ಪ್ರೊಪಲ್ಷನ್ನಲ್ಲಿ ಹಲವು ವಿಧಗಳಿವೆ. ರಾಕೆಟ್ ಎಂಜಿನ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ರಾಕೆಟ್ ಎಂಜಿನ್ನ ಬಲವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ {| ಬರ್ಡರ್ = "0" ಸೆಲ್ಪ್ಯಾಡಿಂಗ್ = "2" |-|align = right|where: |-! ಜೋಡಣೆ = ಬಲ | |align = ಎಡ | = ನಿಷ್ಕಾಸ ಅನಿಲ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಹರಿವು |-! ಜೋಡಣೆ = ಬಲ | |align = ಎಡ | = ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ನಿಷ್ಕಾಸ ವೇಗ |-! ಜೋಡಣೆ = ಬಲ | |align = ಎಡ | = ನಳಿಕೆಯ ನಿರ್ಗಮನ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಜೆಟ್ ವೇಗ |-! ಜೋಡಣೆ = ಬಲ | |align = ಎಡ | = ನಳಿಕೆಯ ನಿರ್ಗಮನ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹರಿವಿನ ಪ್ರದೇಶ (ಅಥವಾ ಜೆಟ್ ನಳಿಕೆಯ ಹರಿವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ್ದರೆ ಅದರ ಹರಿವಿನ ಪ್ರದೇಶ) |-! ಜೋಡಣೆ = ಬಲ | |align = ಎಡ ಬಯಸಿದ ಪ್ರಚೋದಕ ಬಲವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸೌರ ಹಡಗುಗಳು ವಿಕಿರಣದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಸೌರ ಮಾರುತದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೌರ ನೌಕಾಯಾನದಿಂದ ಬರುವ ಪ್ರಚೋದಕ ಬಲದ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಭೂಮಿಯ ಕೆಳ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉಪಗ್ರಹಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಲ್ಲದ ಬಲವು ವಾತಾವರಣದ ಎಳೆತವಾಗಿದೆ. ಡ್ರ್ಯಾಗ್ ವೇಗದ ದಿಕ್ಕಿನ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಕ್ಷೆಯಿಂದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಎಳೆಯುವಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಬಲವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಎಳೆಯುವ ಬಲ, ದ್ರವದ ಸಾಂದ್ರತೆ, ದ್ರವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗ, ಎಳೆಯುವ ಗುಣಾಂಕ (ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ನಿಯತಾಂಕ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಪಗ್ರಹಗಳಿಗೆ 2 ರಿಂದ 4) ಉಲ್ಲೇಖ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. 120 ಕಿ. ಮೀ. ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎತ್ತರದ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದ ಎಳೆತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಯೆಂದರೆ, ಕಕ್ಷೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಉಪಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಜೀವಿತಾವಧಿಯನ್ನು ನೀಡಲು ತುಂಬಾ ವೇಗವಾಗಿ ಕೊಳೆಯುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, 600 ಕಿ. ಮೀ. ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎತ್ತರವಿರುವ ಕಕ್ಷೆಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಎಳೆತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಕಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಉಪಯುಕ್ತ ಜೀವಿತಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಉಪಗ್ರಹದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರದಷ್ಟು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಭೂಮಿಯ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಉಪಗ್ರಹಗಳು ವಾಸಿಸುವ ಉಷ್ಣವಲಯದಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಈ ಬದಲಾವಣೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಸೌರ ಚಟುವಟಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಸೌರ ಚಟುವಟಿಕೆಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನೌಕೆಯ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯುವ ಬಲದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಕಕ್ಷೆಯ ಅನುಕರಣೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಒಡ್ಡುವಿಕೆ ಸೌಲಭ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಕಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಮೂಲವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಂತೆಯೇ, ಭೂಮಿಯ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಾಹಕವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಡಿಗ್ರಿ n ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್ m ನ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ನ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿಃ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ದೇಹದ ಸರಾಸರಿ ಸಮಭಾಜಕ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಸ್ತುವಿನ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದ್ವಿತೀಯ ವಸ್ತುವಿನ ಕೇಂದ್ರದವರೆಗಿನ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಸ್ತುವಿನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದ್ವಿತೀಯಕ ವಸ್ತುವಿನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅವು ಡಿಗ್ರಿ n ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್ m ನ ಗಾಸ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಇವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಳತೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಭೂಮಿಯು, ಭೂಮಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಗ್ರೀನ್ವಿಚ್ ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸಮಭಾಜಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದ್ದು, ಉತ್ತರ ಧ್ರುವ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ n ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್ m ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ m = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ 1, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಇದು ದ್ವಿತೀಯ ದೇಹದ ಭೌಗೋಳಿಕ ಅಕ್ಷಾಂಶದ ಸೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಎನ್-ಬಾಡಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಆರ್ಬಿಟಲ್ ರೆಸೋನೆನ್ಸ್ ಆಸ್ಕುಲೇಟಿಂಗ್ ಆರ್ಬಿಟ್ ಪರ್ಟರ್ಬೇಷನ್ (ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ) ಸ್ಫಿಯರ್ ಆಫ್ ಇನ್ಫ್ಲುಯೆನ್ಸ್ (ಆಸ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್) ಎರಡು-ಬಾಡಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಭೂಮಿಯ ಆರ್ಬಿಟಲ್ ಪರ್ಟರ್ಬೇಷನ್ಗಳ ಗುರುತ್ವ ನಕ್ಷೆಗಳು ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಸೋಲಾರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್