Sobel test
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೊಬೆಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ನ ಕೊಲಂಬಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾದ ಮೈಕೆಲ್ ಇ. ಸೊಬೆಲ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಡೆಲ್ಟಾ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಮೂರನೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ (ಮಧ್ಯವರ್ತಿ) ಪ್ರಭಾವದಿಂದಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಪರೋಕ್ಷ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪರಿಣಾಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯ ಪರಿಣಾಮವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಸೊಬೆಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಮೂಲತಃ ಒಂದು ವಿಶೇಷವಾದ ಟಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪರಿಣಾಮದಲ್ಲಿನ ಕಡಿತವು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಕಡಿತವಾಗಿದೆಯೇ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮಾದರಿ 1: YO = γ1 + τXI + ε1 ಮಾದರಿ 2: XM = γ2 + αXI + ε2 ಮಾದರಿ 3: YO = γ3 + τXI + βXM + ε3 ಈ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ YO ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, XI ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು XM ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳು γ1, γ2, ಮತ್ತು γ3 ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಗೆ ಪ್ರತಿಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ε1, ε2, ಮತ್ತು ε3 ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ದೋಷ ಪದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. τ ಯು ಮಾದರಿ 1 ರಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ τ ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಿದ ನಂತರ ಮಾದರಿ 3 ರಲ್ಲಿ ಅದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. αXI ಮತ್ತು βXM ಎಂಬ ಪದಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯವರ್ತಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಿದ ನಂತರ ಮಧ್ಯವರ್ತಿ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಈ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ, ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು (τ-τ) ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಿದ ನಂತರ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಣಾಮದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ (αβ) = (τ-τ) ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. α ಪದವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. β ಪದವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಿದ ನಂತರ ಮಧ್ಯವರ್ತಿ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ (αβ) ಈ ಎರಡು ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಇದು ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲ್ಪಡುವ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪರೋಕ್ಷ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು (αβ) ಪದವನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವಿಧಾನವು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೃತ್ತವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವಿಕೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಎರಡನೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು τ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, c + d ವಿಭಾಗಗಳು ಅವಲಂಬಿತ ಚರರಾಶಿಯ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರರಾಶಿಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲ್ಪಡುವ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ಈ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಂತರ ಸಿ ಮತ್ತು ಡಿ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರದೇಶ ಸಿ ಎಂಬುದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮಧ್ಯವರ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪರೋಕ್ಷ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಪ್ರದೇಶ cಯು ಗುಣಾಂಕಗಳ (αβ) ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ (τ−τ) ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸೊಬೆಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಪ್ರದೇಶ ಸಿ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಿದೆ. ಪ್ರದೇಶ ಸಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೊಬೆಲ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗಮನಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತಿದೆ. ಪರೋಕ್ಷ ಪರಿಣಾಮದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಪರೋಕ್ಷ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಅದರ ಶೂನ್ಯ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು. ಸೊಬೆಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಟಿ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅದರ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷದ ಅಳತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪರೋಕ್ಷ ಪರಿಣಾಮದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಎಸ್ಇ ಪೂಲ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷ ಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು σ2β ಎಂಬುದು β ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು σ2α ಎಂಬುದು α ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಈ ಟಿ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಅದರ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಸೊಬೆಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು z ಅಥವಾ t ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಪದದ αβ ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ ಪದದ ವಿತರಣೆಯು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆದ p-ಮೌಲ್ಯವು ನಿಜವಾದ p-ಮೌಲ್ಯದ ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ α ಮತ್ತು β ಎರಡೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗಿಂತ ಸಾಧನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರದ ಹೊರತು, ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣೆಯು ಓರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಮಾದರಿಯು ಯಾವಾಗ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (τ-τ) icv (αβ) ಆಗಿರಬಹುದು. ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. 200 ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯವರ್ತಿ ಲಭ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಅವಲಂಬಿತ ಚಲಪರಿಮಾಣವು 150 ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಲಭ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ α ನಿಯತಾಂಕವು 200 ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು β ನಿಯತಾಂಕವು ಕೇವಲ 150 ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. τ ಮತ್ತು τ ಎರಡೂ 150 ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಎಂದರೆ (τ-τ) icv (αβ). ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ಭಾಗವಹಿಸುವವರನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ (τ-τ) = (αβ). ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಒಂದು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಸೋಬೆಲ್ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಬದಲು ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗಣಿತದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೇರುವ ಬದಲು ವಿತರಣೆಯ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರಾಪಿಂಗ್. ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರಾಪಿಂಗ್ ಎಂಬುದು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಮರುಸಾಮ್ಪ್ಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಡೇಟಾಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ αβಯ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರಾಪಿಂಗ್ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ