Randolph diagram
ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು (ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರ) ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವ ಸರಳ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. 1965ರಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಾನ್ ಎಫ್. ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ ಅವರು ಅರ್ಕಾನ್ಸಾಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಬೋಧಿಸುತ್ತಿದ್ದಾಗ ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆ ಅಥವಾ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಅಥವಾ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಸುಳ್ಳು ಅಥವಾ ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅಥವಾ ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ವೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು 3 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸ್ವಚ್ಛವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆಕಾರಗಳ ಬಳಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಪ್ರತಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗುತ್ತವೆ. 5 ಸೆಟ್ಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ವೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆ ಇಲ್ಲಿದೆಃ ಇತಿಹಾಸ ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಬಂಧವಾದ ಕ್ರಾಸ್-ಎಕ್ಸಾಮಿನಿಂಗ್ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಆಪರೇಶನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಶಿಲುಬೆಗಳು ಮತ್ತು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೊದಲ ಬಳಕೆಯನ್ನು ನ್ಯೂರೋಫಿಸಿಯಾಲಜಿಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ನ ಸಮಕಾಲೀನ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಸ್. ಮೆಕ್ಕುಲೋಚ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅಥವಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಹೊಸ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ ಮೆಕ್ಕಲ್ಲೋಚ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದರು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಹೊಸ ಕರ್ಣೀಯ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಉಪವಿಭಾಗಗೊಳಿಸಿದರು. ರಾಂಡೋಲ್ಫ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವರ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ. ಕಾಗದದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವು ತರ್ಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, p, q, ಮತ್ತು r ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಒಂದು ಸಾಲು ಅಥವಾ ಬಹು ಸಾಲುಗಳಾಗಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, p ಅನ್ನು ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಇಳಿಜಾರಿನ ರೇಖೆ (/) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ q ಅನ್ನು ಕೆಳಮುಖವಾದ ಇಳಿಜಾರಿನ ರೇಖೆ (\) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಓರೆಯಾದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಆ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂತೆಯೇ, ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸುಳ್ಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. p ಮತ್ತು q ಗಾಗಿ ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ, p ಮತ್ತು q ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ನಾಲ್ಕು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು. r ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾಲ್ಕು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಇಳಿಜಾರಿನ ರೇಖೆಯನ್ನು (/) ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. r ಗಾಗಿ ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದುಃ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಸತ್ಯ/ಸುಳ್ಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಪರ್ಯಾಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜಕಗಳನ್ನು ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಓದಬಲ್ಲ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹಂತ-ಹಂತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ತಾರ್ಕಿಕ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಸರಳವಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿಃ ಇದನ್ನು ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಇದುಃ ತಾರ್ಕಿಕ ವಾದಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಂಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಾದ ಮಾಡಸ್ ಪೊನೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿಃ ಇದನ್ನು ಟಾಟಾಲಾಜಿಕಲ್ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಫಲಿತಾಂಶವು ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಜಾಗವು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ವಾದವು ಒಂದು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿದೆ; ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಜಾಗವು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎಂದಿಗೂ ನಿಜವಲ್ಲದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯ ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ತಾರ್ಕಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ಎ ಪಿ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಬಳಸಿದಾಗ, ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಚುಕ್ಕೆಯು ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಚುಕ್ಕೆಯು ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಮೂಲಭೂತ ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಆರ್-ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಸೆಟ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆಃ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದನವು ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಕ್ಕೂಟವು ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಭಜನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು