Erdős–Szemerédi theorem
ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು, ಜೋಡಿಯಂತೆ ಮೊತ್ತಗಳ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೆಟ್ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎರ್ಡೋಸ್-ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಎರ್ಡೋಸ್-ಝೆಮೆರೆಡಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು c ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ಎಂಡ್ರೆ ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ ಅವರು 1983ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸಂಕೇತವು ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿಯಂತೆ ಮೊತ್ತಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಯೋಜಕ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ರಚನೆಯು ಸಹಬಾಳ್ವೆ ನಡೆಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸೂತ್ರದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ನೈಜ ರೇಖೆಯು ಸೀಮಿತ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಸಬ್ಫೀಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುವ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಮರ್ಥನೆಯಾಗಿ ಇದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು; ಇದು ಈಗ ಒಟ್ಟು-ಉತ್ಪನ್ನ ವಿದ್ಯಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಈಗ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೊತ್ತ-ಉತ್ಪನ್ನದ ಊಹೆ ಮೊತ್ತ-ಉತ್ಪನ್ನದ ಊಹೆ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಮೊತ್ತದ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೆಟ್ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮೂಲತಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ ಊಹಿಸಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಊಹೆಃ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. o (1) ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಿಯತಾಂಕವು |A | ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಫ್ ನಂತರ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಬೆಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ರೂಪದ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರ್ಡೋಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಕೆವಿನ್ ಫೋರ್ಡ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಈ ಸೆಟ್ಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಗ್ಯೊರ್ಗಿ ಎಲೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇಮ್ರೆ ಝಡ್ ರುಝಾ ಅವರ ಒಟ್ಟು-ಉತ್ಪನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅನೇಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಆವೃತ್ತಿಯಾದ ಫ್ಯೂ ಸಮ್ಸ್ನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಸಣ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಇದು ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕ್ಸು ಮತ್ತು ಝೌ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸೆಟ್ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನೇಕ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಈ ಮಿತಿಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಳಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಗಣವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಂಪಿಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಸೆಟ್ ಎರಡೂ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಅಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೊತ್ತದ ಸೆಟ್ ಯಾವುದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೆಟ್ಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ತೀಕ್ಷ್ಣತೆಯು ಪರಿಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ನಯವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಊಹೆಯಲ್ಲಿನ ಓ (1) ಪದವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಲ್ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಊಹೆಯ ತೀವ್ರತರವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆಃ ಕೆಲವು ಮೊತ್ತಗಳು, ಅನೇಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಎಫ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಪಿ.): ಇಫ್, ನಂತರ ಕೆಲವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಅನೇಕ ಮೊತ್ತಗಳು (ಎಫ್. ಪಿ. ಎಂ. ಎಸ್.): ಇಫ್, ನಂತರ. ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ನೈಜ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ಯೋರ್ಗಿ ಎಲೆಕ್ಸ್ನ 1/4 ಮತ್ತು ಜೋಸೆಫ್ ಸೊಲಿಮೋಸಿಯ 1/3 ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೈಲಿಗಲ್ಲು ಫಲಿತಾಂಶಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. 2009ರ ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಸುಧಾರಣೆಗಳು ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಕೊನ್ಯಾಗಿನ್ ಮತ್ತು ಶ್ರೆಡೋವ್ ಅವರ ವಾದಗಳ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪುರಾವೆ ತಂತ್ರಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಟೋತ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೊನ್ಯಾಗಿನ್ ಮತ್ತು ರುಡ್ನೆವ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ 3/4 ರ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರು. ರೂಪದ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಕಕೇಯಾ ಊಹೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವೋಲ್ಫ್, ಪ್ರತಿ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು (ದೊಡ್ಡ) ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು 1990 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಹೊರತೆಗೆಯುವವರಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿಗ್ಡರ್ಸನ್ ಅವರು ರೂಪಿಸಿದರು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಒಟ್ಟು-ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬೇಷರತ್ತಾಗಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಉದಾಹರಣೆಃ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಂತರ ಸೇಡ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಈ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಉಪ-ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಒಟ್ಟು-ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪ್ರಮೇಯ (ಬೌರ್ಗೆನ್, ಕಾಟ್ಜ್, ಟಾವೊ (2004)): ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವರಿಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ ಕೆಲವರಿಗೆ ಒಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ಬೌರ್ಗೆನ್, ಕಾಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಟಾವೊ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪೊಂದು ಸೇರ್ಪಡೆ ಅಥವಾ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬೆಳೆಯದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉಪ-ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಬೋರ್ಗೆನ್, ಕಾಟ್ಜ್, ಟಾವೊ (2004)): ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಅದು ಕೆಲವರಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಉಪ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೊತ್ತ-ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವಾಗ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವಾಗ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲೂ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಸೆಟ್ಗಳು ಈ ಆಡಳಿತದಲ್ಲಿ, ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ,-ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಧಾನವಲ್ಲದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ,-ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕೆಲಸವೆಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಲಿ ಮತ್ತು ರೋಚೆ-ನ್ಯೂಟನ್ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು. ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ, ಗರೆವ್ನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದಾಗಿ ಒಟ್ಟು-ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಮೇಯ (ಗರೆವ್ (2007)): ಲೆಟ್. ನಂತರ. ಇದು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 2011 ರಲ್ಲಿ ವಿನ್ ಅವರು ಪ್ರೈಮ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ನಿರ್ವಾಹಕರ ಇತರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾದ ಬೋರ್ಗೆನ್ ಮತ್ತು ಚಾಂಗ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದವು, ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಒಬ್ಬರು ಸಾಕಷ್ಟು ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಪ್ರಮೇಯ (ಬೋರ್ಗೆನ್, ಚಾಂಗ್ (2003): ಲೆಟ್. ನಂತರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಒಂದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಧ್ಯೇಯವಾಕ್ಯದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹಬಾಳ್ವೆ ನಡೆಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆಸಕ್ತಿಯ ಸೆಟ್ಗಳು ಸೇರಿವೆ (ಫಲಿತಾಂಶಗಳು):-ಸ್ಟೀವನ್ಸ್ ಮತ್ತು ವಾರೆನ್ ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ-ಮರ್ಫಿ, ರೋಚೆ-ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಶ್ರೆಡೋವ್ ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ-ಸ್ಟೀವನ್ಸ್ ಮತ್ತು ವಾರೆನ್ ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ-ಸ್ಟೀವನ್ಸ್ ಮತ್ತು ರುಡ್ನೆವ್ ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ.