U-rank
ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಒಂದು ಶಾಖೆ, ಯು-ಶ್ರೇಣಿಯು ಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಸಂಪೂರ್ಣ) ಪ್ರಕಾರದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಒಂದು ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಎಂದಿನಂತೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಯು-ಶ್ರೇಣಿಯು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ಯು-ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮಾದರಿ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಯು-ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಎ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ (ಸಂಪೂರ್ಣ) ಎನ್-ಟೈಪ್ ಪಿ ಗೆ ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಯು (ಪಿ) ≤ 0 δ ಒಂದು ಮಿತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯು (ಪಿ) ≤ δ ನಿಖರವಾಗಿ ಯು (ಪಿ) ≤ α δ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ α ಗೆ ಯಾವುದೇ α = β + 1, ಯು (ಪಿ) ≤ α ನಿಖರವಾಗಿ ಯು (ಪಿ) ≤ β ಯೊಂದಿಗೆ ಪಿ ಯ ಫೋರ್ಕಿಂಗ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ q ಇದ್ದಾಗ ನಾವು ಯು (ಪಿ) = α ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ α ಗೆ U (p) ≤ α ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು U-ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಅಥವಾ U (p) = φ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿಃ ಯು-ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ p ನಿಜವಾಗಿಯೂ p (x) ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು x ಎಂಬುದು n ಉದ್ದದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಟುಪಲ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಗೊಂದಲ ಉಂಟಾಗದಿದ್ದಾಗ ಈ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯು-ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಯಾಂಕದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎ ಮೇಲೆ ಪಿ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಎ ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ q ಗೆ p ನಿಂದ B ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧ, U (q) ≤ U (p). ನಾವು ಬಿ (ಮೇಲಿನ) ಅನ್ನು ಖಾಲಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಎನ್-ಟೈಪ್ ಪಿ ಇದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ, ಕನಿಷ್ಠ α ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ, ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ α ಶ್ರೇಣಿಯ ಖಾಲಿ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪ್ರಕಾರವಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ (ಸ್ಥಿರ) ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿ, ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ಪ್ರತಿ n ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, U-ಶ್ರೇಣಿಯು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತ T ಅನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಬಹುದು. p ಯು-ಶ್ರೇಣಿಯ α ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ β <α ಗೆ, U-ಶ್ರೇಣಿಯ β ಯೊಂದಿಗೆ p ನ ಫೋರ್ಕಿಂಗ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ q ಇರುತ್ತದೆ. ಪಿ ಎಂಬುದು ಎ ಮೇಲೆ ಬಿ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ ಬಿ ಇದೆ, q ಎಂಬುದು ಬಿ ಮೇಲೆ ಬಿ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ. p ಯು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, p ಯು-ಶ್ರೇಣಿಯ φ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ), ನಂತರ p ಯ ಫೋರ್ಕಿಂಗ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ q ಸಹ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಸೂಪರ್ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಎಲ್ಲಾ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆರ್ಡಿನಲ್ β ಇದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ α <β ಗೆ, ಶ್ರೇಣಿಯ p ವಿಧವಿದೆ, ಮತ್ತು p ನ ಶ್ರೇಣಿಯು β ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅದು ಆಗಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯು (ಪಿ)> 0 ನಿಖರವಾಗಿ ಪಿ ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲದ್ದಾಗ. ಟಿ ಎಂಬುದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ (ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ) ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದ್ದರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, A ಯಾವುದೇ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು K ಎಂಬುದು A ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, (ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳು) pಯು Kಯ ಮೇಲೆ ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿದ್ದರೆ Aಯ ಮೇಲೆ 1-ವಿಧದ pಯು 1ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎ ಮೇಲೆ ಎನ್-ಪ್ರಕಾರದ ಪಿ ಯು-ಶ್ರೇಣಿಯ ಕೆ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ (ಕೆ ಮೇಲೆ). ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ