List of uniform polyhedra by Schwarz triangle
ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ನಡುವೆ ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆ. ವೈಥಾಫ್ ರಚನೆಯು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಮತ್ತು ಒರಟಾದ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇವಲ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗೆ ಕಾರಣವಾಗದ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಅಲ್ಲದ ತೀಕ್ಷ್ಣ ಅಥವಾ ಒರಟಾದ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2,3,3/2,4/3,5/2,5/3, ಮತ್ತು 5/4 (ಆದರೆ ಅಂಶ 4 ಮತ್ತು ಅಂಶ 5 ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಭವಿಸದಿರಬಹುದು). (4/2 ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ 4 ಮತ್ತು 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.) ಅಂತಹ 44 ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ (5 ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ, 7 ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು 32 ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ), ಇವು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬದೊಂದಿಗೆ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಕತಾಳೀಯ ಶೃಂಗಗಳು, ಅಂಚುಗಳು ಅಥವಾ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಸಹ ವೈಥೋಫ್ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ 4/2 ಅನ್ನು ಬಳಸದೆ ಉದ್ಭವಿಸುವವುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸರಳವಾಗಿ ನಕಲುಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಅವನತಿಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವನ್ನು ಟೇಬಲ್ಗಳ ಹೊರಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಮೂರು ಸ್ನೂಬ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ವೈಥೋಫ್ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಡಬಲ್ ಕವರ್ಗಳಾಗಿ ಬಳಸಿ ರಚಿಸಬಹುದು (ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಬದಲಿಗೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮುಖಗಳನ್ನು ಬಿಡಬಾರದು (ಓಮ್ನಿಟ್ರಂಕೇಟೆಡ್ polyhedron#Other ಸಮ-ಬದಿಯ ನಾನ್ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ನೋಡಿ). ಅಂತಹ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಈ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನಕ್ಷತ್ರಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೈಥೋಫ್ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಇನ್ನೂ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗದ ಏಕೈಕ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳೆಂದರೆ ಗ್ರೇಟ್ ಡಿರ್ಹೋಮ್ಬಿಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೇಟ್ ಡಿಸ್ನಬ್ ಡಿರ್ಹೋಮ್ಬಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್. ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಟೈಲಿಂಗ್ ಗೋಳವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಆವರಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಅದು ಗೋಳದ ಸುತ್ತಲೂ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಗಾಳಿ ಬೀಸಬಹುದು, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ದಾಟಬಹುದು. ಗೋಳದ ಸುತ್ತಲಿನ ಟೈಲಿಂಗ್ ಗಾಳಿಯು ಟೈಲಿಂಗ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳವನ್ನು ಉಳಿಸಲು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಪೂರ್ಣ ಹೆಸರುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಬೋವರ್ಸ್ ಪ್ರಥಮಾಕ್ಷರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಜೊನಾಥನ್ ಬೋವರ್ಸ್ನ ಸಣ್ಣ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಡರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ಕ್ರಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳ ಸದೃಶ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊಬಿಯಸ್ ಮತ್ತು ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು π/p, π/q, π/r ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 4 ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ (pqr) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆಃ (ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, "ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ", 1954) (2 2 r)-ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ (2,33)-ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ (2,34)-ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ (2,35)-ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಇವುಗಳನ್ನು ಮೊಬಿಯಸ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು (p q r) ಅನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಮೇಲಿನ 4 ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗಲ್ಲ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಮಾದರಿಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು (ಹೆಮಿಪೊಲಿಹೆಡ್ರ, ಗ್ರೇಟ್ ಡಿರ್ಹೋಮ್ಬಿಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೇಟ್ ಡಿಸ್ನಬ್ ಡಿರ್ಹೋಮ್ಬಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಸೇರಿದಂತೆ) ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ವಿರೂಪವು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಮುಖಗಳನ್ನು ತಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ತಳ್ಳಬಹುದು, ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಃ ದೊಡ್ಡ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್, 2,3,4/3 |. ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನವು (2,34/3) 7 ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಏಕರೂಪತೆಯು ಎಂಟು ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು |7 −8 | = 1 ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದೇ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೋಲುನಾರ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನದ (2,34)ಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಡೋಡೆಕಾಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್, 2,5/3 5 |. ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನವು (2,5/35) 9 ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವ ಏಕರೂಪತೆಯು ಹನ್ನೆರಡು ಡೆಕಗನ್ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು |9 −12 | = 3 ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದೇ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೋಲುನಾರ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನದ (2,5/25)ಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಸ್ನೂಬ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳುಃ ದೊಡ್ಡ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ | 2,3/2 3/2, ಸಣ್ಣ ರೆಟ್ರೋಸ್ನಬ್ ಐಕೋಸಿಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ | 3/23/25/2, ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ರೆಟ್ರೋಸ್ನಬ್ ಐಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ | 2,3/25/3. ಇಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ಅಥವಾ ಷಟ್ಕೋಣಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಪೆಂಟಗ್ರಾಮ್ಗಳು ಅಥವಾ ಷಟ್ಕೋಣಗಳಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸ್ನೂಬ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ |5 −12 | = 7, |22 −60 | = 38, ಮತ್ತು |23 −60 | = 37 ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಮೇಲೆ ಸೇರಿಸದ ಕೋಲುನಾರ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸ್-ಕೋನೀಯ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ (2/33) ಅಥವಾ (2,3/4), ಸಣ್ಣ ರೆಟ್ರೋಸ್ನಬ್ ಐಕೋಸಿಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ (3 3 5/8) ಅಥವಾ (3 3/4 5/3), ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ರೆಟ್ರೋಸ್ನಬ್ ಐಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ (2/3 3 5/2), (2,3/4 5/3), ಅಥವಾ (2 3 5/7) ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. (ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, "ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ", 1954) ಸಾರಾಂಶ ಕೋಷ್ಟಕ p, q, r (ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ರೂಪಗಳು) ಗಳ ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಏಳು ಜನರೇಟರ್ ಬಿಂದುಗಳಿವೆಃ ನಾಲ್ಕು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆಃ p q-ಇದು p q r ಮತ್ತು p q s ಗಳ ಮಿಶ್ರಣವಾಗಿದೆ. p q r ಮತ್ತು p q s ಎರಡೂ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೇಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಕೇತ p q ನಂತರ p q r ಮತ್ತು p q s ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಮುಖಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಬೇಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. p q r-ಸ್ನೂಬ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ (ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ) ಈ ಬಳಕೆಯಾಗದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. p q r s-ತ್ರಿಕೋನ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೈಥಾಫ್-ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗದ U75 ಗಾಗಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ನೂಬ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಟೆಟ್ರಾಗೋನಲ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಈ ವೈಥಾಫ್ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. (p) q (r) s-ವೈಥಾಫ್-ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ನ ಫಿಗರ್ಗೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ನೂಬ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ವೈಥೋಫ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಶೃಂಗದ ಸಂರಚನೆಗೆ ಈ ಪರಿವರ್ತನೆ ಕೋಷ್ಟಕವು ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಅಸಾಧಾರಣ ಐದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿಗೆ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನ ಟೆಸೆಲ್ಲೇಷನ್ಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದ ಆಕೃತಿಯು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಲಿಗೆ ಒರಟಾದ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಮೂರರಲ್ಲಿ ಇದು ಪಂಚಭುಜ ಅಥವಾ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಪಂಚಭುಜ ಅಥವಾ ಷಟ್ಕೋಣವಾಗಿದ್ದು, ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಎರಡು ಬಾರಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆಲವು ಮುಖಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಮೂಲಕ ನೇರವಾಗಿ ತಳ್ಳಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಶೃಂಗದ ಆಕೃತಿಯ ವಿರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಂಪು ಹಿನ್ನೆಲೆಗಳು ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತವೆ. ಹಸಿರು ಹಿನ್ನೆಲೆಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತವೆ. ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ (ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್) ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. (2 2 n/d)-gcd (n, d)> 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಡಿಜಾನ್ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅವು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಡೈಹೆಡ್ರಾ ಮತ್ತು ಹೋಹೋಹೆಡ್ರಾ). ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುವ ಮೇಜಿನ ಅಂಕಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲಃ ವಿಶೇಷ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು (ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ) ದೊಡ್ಡ ಶಿಲುಬೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವುದರಿಂದ p <3/2 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ {p} ನೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳು; ಇವುಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಅಡ್ಡದಿಂದ ಸಹ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 3/2 ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ (ಟ್ರಿರ್ಪ್) ಕ್ಷೀಣವಾಗಿದ್ದು, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಶಿಲುಬೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು (2 2 n/d) gcd (n, d) = 1 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವು ಕೇವಲ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯು n ≤ 6 ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಚತುಷ್ಫಲಕೀಯ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವು 3 ಆಗಿದೆ. ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವು 4 ಆಗಿದೆ. 4/2 ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಬಳಸುವ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಆದರೆ ಇವು 4 ಮತ್ತು 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವು 5 ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಂಶ 4 ಅನ್ನು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅಂಶ 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. (4 ಮತ್ತು 5 ಕೆಲವು ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅವು ಕೆಲವು ಮೋಬಿಯಸ್ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲೂ ಸಹ ಸಂಭವಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ ಏಕೆಂದರೆ (2,45) ಒಂದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಗೋಳಾಕಾರದಲ್ಲ.) ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಹೆಮಿ ರೂಪಗಳು ಆಕ್ಟಾಹೆಮಿಯೊಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಹೊರತಾಗಿ, ವೈಥೋಫ್ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಹೆಮಿಪೊಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಎರಡು ಹೊದಿಕೆಗಳಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆಯಾದ ರೂಪಗಳು ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ವೈಥಾಫ್ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಮಿಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರನ್ (ಥಾ, ಯು4) ಸಹ {3/2}-ಕ್ಯುಪೋಲಾದ (ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕ್ಯುಪೋಲ, ರಾಟ್ರಿಕು) {6/2} ನಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಪ್ಲಾಯ್ಡ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಅನೇಕ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಓಮ್ನಿಟ್ರಂಕೇಟೆಡ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಪಿ ಕ್ಯೂ ಆರ್ ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕರಣಗಳಾದ p q r ಮತ್ತು p q s ಅನ್ನು ಒಂದೇ p ಮತ್ತು q ನಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು; ಫಲಿತಾಂಶವು ಕ್ರಮವಾಗಿ {2p} s, {2q} s ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು {2r} s ಅಥವಾ {2s} s ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಕತಾಳೀಯ ಮುಖಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿದಾಗ ಇವೆರಡೂ ಒಂದೇ ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಇದು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ p q ಅನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಃ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ರೋಂಬಿಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿ, 4/2 ಅಂಶವು ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2 4 2 ಮತ್ತು 2 4/3 2 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದೇ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅಥವಾ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆಯಾದರೂ, 2 4 4/2 ಮತ್ತು 2 4/3 4/2 ಅಂತಹ ಮೂರು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಅವು ಅವುಗಳ ಕೆಲವು ಚದರ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ನಿಖರವಾಗಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡವುಗಳು {8/2} ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ). ಈ {8/2} ಗಳು ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಇದು 2ರ ಬದಲಿಗೆ 4/2 ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ರೂಪಗಳು ಈ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ವೈಥಾಫ್ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ವೈಥೋಫಿಯನ್ನರಲ್ಲದವರು" ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗುವ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ತ್ರಿಕೋನ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಈ ಎರಡು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಟೆಟ್ರಾಗೋನಲ್ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸ್ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ನ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ವಿಲಕ್ಷಣ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ (3ಡಿ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಂಚುಗಳು) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಮೇಡರ್ನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಣ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಐಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ನಂತಹ ಕೆಲವು ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಅಂಚುಗಳ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಅಂಕಿಗಳು ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿಗೆ ಎರಡು ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸದಿದ್ದರೆ ಅವು 4,6,8,10 ಅಥವಾ 12 ಮುಖಗಳನ್ನು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಂತೆ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ನ ಆಕೃತಿಯು ಕೆಲವು ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವ 4 ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಎರಡೂ ವಿಶೇಷ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ಗ್ರೇಟ್ ಸ್ನೂಬ್ ಡೋಡೆಸಿಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್, 3 5/3 5/2 (U64) ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದು ಚಿರಲ್ ಸ್ನೂಬ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಒಂದು ಪ್ರತಿಯನ್ನು ಅದರ ಎನಾಂಟಿಯೊಮಾರ್ಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಶೃಂಗದ ಆಕೃತಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಚೌಕದ ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವು ಅದರ ಎನಾಂಟಿಯೊಮಾರ್ಫ್ನಿಂದ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇಪ್ಪತ್ತು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 3-5/3-5/2 ರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಮೂರು ಮೂಲ 3-5/3-5/2 ರ ಸ್ನೂಬ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಟೆಟ್ರಾಹೆಮಿಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರನ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಗ್ರೇಟ್ ಸ್ನೂಬ್ ಡೋಡೆಸಿಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿನ ಮೂಲ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೆಟ್ರಾಹೆಮಿಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಾದ ಸಮಭಾಜಕ ಚೌಕಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಗ್ರೇಟ್ ಡಿರ್ಹೊಂಬಿಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ (ಮಿಲ್ಲರ್ನ ದೈತ್ಯಾಕಾರದ) ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಸ್ನೂಬ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಡಿಸ್ನಬ್ ಡಿರ್ಹೊಂಬಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ (ಸ್ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ನ ಆಕೃತಿ) ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. (3 3 3), (4 2 4), ಮತ್ತು (3 2 6): ಅವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ, 45-45-90 ಬಲ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ, ಮತ್ತು 30-60-90 ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ. ಇದರ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಟೈಲ್ ಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಬಹು ಪ್ರತಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು. ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯೆಂದರೆ, 30-30-120 ಸ್ಥೂಲವಾದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು (3/266) = (623) + (2,63) ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಟೈಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು. ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನವು 120° ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಪಿರೋಗನ್ಗಳಿಂದ ಮಾಡಿದ ಟೈಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಮುಖಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ '' ಎಂಬುದು '' ಗೆ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಹೆಸರಿನ ರೂಪಗಳೆಂದರೆಃ ಚಾಟಿಟ್ಃ 3 ಷಟ್ಕೋಣ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಯುಕ್ತ + ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಟೈಲಿಂಗ್ ಚಾಟಾಃ 3 ಷಟ್ಕೋಣ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಯುಕ್ತ + ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಟೈಲಿಂಗ್ + ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಪಿರೋಗನ್ಗಳ ಡಬಲ್ ಕವರ್ಗಳು ಚಾಃ 3 ಷಟ್ಕೋಣ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಯುಕ್ತ + ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಪಿರೋಗನ್ಗಳ ಡಬಲ್ ಕವರ್ಗಳು ಕೋಸಾಃ ಚದರ ಟೈಲಿಂಗ್ + ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಪಿರೋಗನ್ಗಳ ಡಬಲ್ ಕವರ್ಗಳು ಟೈಲಿಂಗ್ 6 6/5 | φ ವೈಥೋಫ್ನ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಮಿಶ್ರ ಚಿಹ್ನೆಯಾದ p q | ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳು ಸಹ ಇವೆಃ ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ಗಳು ಸಹ ಇವೆಃ ಸಮತಲದ ಏಕರೂಪದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಪೂರ್ಣವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ, ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ಲಾಂಗ್ಯುಟ್-ಹಿಗ್ಗಿನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮಿಲ್ಲರ್ ಅವರು ತಮ್ಮ 1954 ರ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಪಟ್ಟಿಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ಊಹಿಸಿದರುಃ ಇದನ್ನು 1970 ರಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಾಗಿ ಸೊಪೊವ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಏಕರೂಪದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬ್ರಾಂಕೊ ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್, ಜೆ. ಸಿ. ಪಿ. ಮಿಲ್ಲರ್, ಮತ್ತು ಜಿ. ಸಿ. ಶೆಫರ್ಡ್ ಅವರು ಏಕರೂಪದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಹಾಲೊ ಟೈಲ್ಸ್ನಲ್ಲಿ (1981) ಇನ್ನೂ ಹದಿನೈದು ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಏಕರೂಪದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆಃ ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ತಲಾ ಎರಡು ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳಿವೆ. ಈ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮೂರನೇ ಟೈಲಿಂಗ್ ಸಹ ಇದೆ, ಅದು ಕೇವಲ ಹುಸಿ-ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ (ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಎರಡು ಸಮ್ಮಿತಿ ಕಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ, ಶೃಂಗದ ಸಂರಚನೆಯು ಟೈಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಚೌಕವು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿದೆ. ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್, ಮಿಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಶೆಫರ್ಡ್ ಸಹ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ (ಓರೆಯಾದ ಅಪಿರೋಗನ್ಗಳು) ಮುಖಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 33 ಏಕರೂಪದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹತ್ತು ಮುಕ್ತ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು (ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಕೋನ) ಹೊಂದಿರುವ ಕುಟುಂಬಗಳಾಗಿವೆ. ಎಂಟು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ನಿಯತಾಂಕವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಎರಡರಲ್ಲಿ, ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಟೈಲಿಂಗ್ಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲವನ್ನು ಟೈಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದ ಏಕರೂಪದ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಒಂದೇ ಶೃಂಗದ ಸಂರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ನೂಬ್ ಆರ್ಡರ್-6 ಚದರ tiling#Related ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಮತ್ತು ಟೈಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು (ಆದರ್ಶ ಮುಖಗಳು ಅಥವಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ) ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರಿಚರ್ಡ್ ಕ್ಲಿಟ್ಜಿಂಗ್ಃ ಪಾಯಿಂಟ್-ಗ್ರೂಪ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಿಂದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಭಾಗ 1, ಭಾಗ 2 ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಟೆಸಿಲೇಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಜೇನುಗೂಡುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಟೆಸಿಲೇಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಜೇನುಗೂಡುಗಳು ಟೇಬಲ್ಗಳು ಕ್ಲಿಟ್ಜಿಂಗ್ ತನ್ನ ಸೈಟ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದವುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜಿಮ್ ಮ್ಯಾಕ್ನೀಲ್ಃ ವಿಮಾನದ ಟೆಸೆಲ್ಲೇಷನ್ಸ್ ಝ್ವಿ ಹರ್ 'ಎಲ್ಃ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಹಿರೋನೋರಿ ಸಕಾಮೊಟೊಗೆ ಏಕರೂಪದ ಪರಿಹಾರಃ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಟೆಸೆಲೇಷನ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಏಕರೂಪದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳು