Exercise (mathematics)
ಗಣಿತದ ಅಭ್ಯಾಸವು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಾಡಿಕೆಯ ಅನ್ವಯ ಅಥವಾ ಹೇಳಲಾದ ಸವಾಲಿಗೆ ಇತರ ಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಶಿಕ್ಷಕರು ತಮ್ಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಗಣಿತದ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆರಂಭಿಕ ಅಭ್ಯಾಸಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತವೆ. ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಪಕ ಕೋರ್ಸ್ಗಳು ಅಂತಹ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು ಕೋನಗಳು, ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವಿಷಯವು ಅದರ ಅನೇಕ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಕಾಲೇಜು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭ್ಯಾಸಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಅನ್ವಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಭ್ಯಾಸಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೋಧಕರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮಾದರಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವ್ಯಾಯಾಮವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಾಗುವ ಮೊದಲು ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯನಿರತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಕಾಮ್ನ ಔಟ್ಲೈನ್ಸ್ನಂತಹ ಕೆಲವು ಪಠ್ಯಗಳು, ಗಣಿತದ ವಿಷಯದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ಬದಲು ಕೆಲಸದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಏಕ ಅಂಕಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಂತರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭ್ಯಾಸವು ಬಹುಪದಗಳ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕರೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಅಭ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಚೌಕವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು. ಕೃತಕವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾದ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿಡಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾದ ವ್ಯಾಯಾಮದ ಒಂದು ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟೀಫನ್ ಲೀಕಾಕ್ ಈ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆಃ ತನ್ನ ಕಲೆಯ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸಿದ ಅಂಕಗಣಿತದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ವಿಸ್ತಾರವನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಇವು ಸಾಹಸ ಮತ್ತು ಉದ್ಯಮದ ಸಣ್ಣ ಕಥೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಕುಟುಂಬದ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ದ್ರೋಹ ಮಾಡಿದರೂ, ಪ್ರಣಯದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶವಿಲ್ಲದೆ ಇಲ್ಲ. ವ್ಯಾಯಾಮ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಲನ್ ಎಚ್. ಸ್ಕೋನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಅವರು ಮಾಡಿದರುಃ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡುವ ಏಕೈಕ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ರೋಟೆ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳಾದರೆ, ನಾವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಂಭೀರವಾದ ಅನ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಅವರು ಸವಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರುಃ "ನೈಜ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ" ಮೂಲಕ. ನನ್ನ ಪ್ರಕಾರ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಸವಾಲನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ವಿನ್ ಬಿಟ್ಟಿಂಗರ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವಾಗ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಬಳಕೆದಾರರ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ, ಲೇಖಕರು ಪಾಠದ ತಕ್ಷಣದ ಉದ್ದೇಶಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಏನಾದರೂ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಅವು ಹೆಚ್ಚು ಸವಾಲಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಸಮೀಪದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ವಲಯವು, ಅಥವಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಮೂಹವು, ಸವಾಲುಗಳನ್ನು ಒಡ್ಡುವ ಆದರೆ ಅವರನ್ನು ನಿರಾಶೆಗೊಳಿಸದ ಕಷ್ಟದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಮುನ್ನುಡಿಯಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿನ ವ್ಯಾಯಾಮದ ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆಃ ಅಭ್ಯಾಸಗಳು ಪಠ್ಯದ ಸುಮಾರು ಕಾಲು ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ-ಇದು ನಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. .. ಪ್ರತಿ ಅಧ್ಯಾಯದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರಕ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ಇತರ ವ್ಯಾಯಾಮ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಿಂದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಚಿತ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪಠ್ಯವು "ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು" (Ch 0.6) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹದಿನಾಲ್ಕು ಪುಟಗಳ ತಯಾರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕುರಿತಾದ ಪುಸ್ತಕದ ಲೇಖಕರು ತಮ್ಮ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡರುಃ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವಾಗಿ ಈ ಪುಸ್ತಕದ ಆಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನಾವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು 1-9ನೇ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಭ್ಯಾಸಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಭ್ಯಾಸಗಳು ವಾಡಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆಗಳವರೆಗೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ಮೀರಿದ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಜೆ. ಸಿ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಅವರು ವ್ಯಾಯಾಮವು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾಗಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣದ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಮಾನಸಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ, ನಾವು ಒಂದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಶಕ್ತರಾಗುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳ ಸಮಾನತೆಯು, ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಅಗತ್ಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದ್ದರೂ, ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಆದರೆ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಅಭ್ಯಾಸದಿಂದ ಈ ರೂಪಗಳ ಅನೇಕ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿರುವ ಮತ್ತು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಣಿತರಾಗಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗೊಂದಲಮಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಅದು ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಾಗುವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಕಾಲೇಜುಗಳಲ್ಲಿನ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಬೋಧಕರು ತಮ್ಮ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್ಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ತನಿಖೆ ನಡೆಸುವಾಗ, ಸ್ಕೋನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಗಮನಿಸಿದ್ದುಃ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಜರ್ಗಳಿಗೆ ಉನ್ನತ ವಿಭಾಗದ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಬೋಧಕರು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಅಂತಹ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಲಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವಿಲ್ಲದೆ, ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಲಿಕೆಗೆ ಒತ್ತು ನೀಡಲಾಗುತ್ತಿತ್ತುಃ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರು ಏಕೆಂದರೆ (ಅಂತಹ ಕೋರ್ಸ್ಗಳ ಹಿಂದಿನ ಸೂಚ್ಯ ಸೂಚನಾ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರ) ಒಬ್ಬನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮನಾಗುತ್ತಾನೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯಾಯಾಮ ಸಂಗ್ರಹಗಳು ಬೋಧಕ ಮತ್ತು ಅವನ ಸಂಸ್ಥೆಗೆ ಸ್ವಾಮ್ಯಸೂಚಕವಾಗಿರಬಹುದು. ವ್ಯಾಯಾಮದ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೌಲ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ತೋರು ಕುಮೋನ್ನ ಸಾಧನೆ ಮತ್ತು ಅವನ ಕುಮೋನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ತನ್ನ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ವ್ಯಾಯಾಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಪಾಂಡಿತ್ಯ ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲು ಮುಂದುವರಿಯುವುದಿಲ್ಲ. ರಷ್ಯನ್ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮೊದಲ ತರಗತಿಯಲ್ಲೇ ಬಹು-ಹಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ, ಪರಿಹಾರದ ಕಡೆಗೆ ಪ್ರಗತಿ ಸಾಧಿಸಲು ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ. 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಅಭ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ರಷ್ಯಾದ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಭಾಷಾಂತರಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಚ್. ಫ್ರೀಮನ್ ಮತ್ತು ಕಂಪನಿಃ ದಿ ಯುಎಸ್ಎಸ್ಆರ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಬುಕ್ (1962), ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ಇನ್ ಹೈಯರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ (1965), ಮತ್ತು ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ಇನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್ (1963) ಪ್ರಕಟಿಸಿದವು. ಚೀನಾದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಎಣಿಕೆಯ ರಾಡ್ಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ರಾಡ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸುಆಂಪಾನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಗಣನೆಯ ಪುಸ್ತಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಕಲೆಯ ಒಂಬತ್ತು ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸುಮಾರು 980 ರಲ್ಲಿ ಅಲ್-ಸಿಜ್ಜಿ ಅವರು ತಮ್ಮ ವೇಸ್ ಆಫ್ ಮೇಕಿಂಗ್ ಈಸಿ ದಿ ಡೆರಿವೇಶನ್ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಫಿಗರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆದರು, ಇದನ್ನು 1996 ರಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ಹೊಗೆಂಡಿಜ್ಕ್ ಅನುವಾದಿಸಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಅರೇಬಿಕ್ ಭಾಷೆಯ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸ್ಪ್ಯಾನಿಷ್ ಭಾಷಾಂತರವನ್ನು ಕಾಂಪೆಂಡಿಯೊ ಡಿ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಡಿ ಅಬೆನ್ಬೆಡರ್ ಎಂದು ನೀಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ನೇಚರ್ ನಲ್ಲಿ ವಿಮರ್ಶಿಸಲಾಯಿತು. ರಾಬರ್ಟ್ ರೆಕಾರ್ಡೆ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1543 ರಲ್ಲಿ ದಿ ಗ್ರೌಂಡ್ ಆಫ್ ಆರ್ಟ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 1900ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ವಿಜ್ಞಾನವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬ್ರೂಕ್ ಟೇಲರ್ ಅವರು 1719ರಲ್ಲಿ 'ನ್ಯೂ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಲೀನಿಯರ್ ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವ್' [ದಿ ರೀಡರ್] ಎಂಬ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದ್ದು, ಈ ತತ್ವಗಳು ಎಷ್ಟು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವಲ್ಲಿ, ಈ ಕಲೆಯಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ ತಾವು ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ಸಂತೋಷವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಟೇಲರ್ ಮುಂದುವರಿಸಿದರು. ಯಾವುದೇ ಕಲೆಯನ್ನು ಕಲಿಯುವ ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಇನ್ನೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮಾಡಿದ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದಲ್ಲ; ಆದರೆ ಅದರ ತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಹೊಂದಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಚಿತಗೊಳಿಸುವುದು. ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರವಣಿಗೆ ಸ್ಲೇಟ್ಗಳ ಬಳಕೆಯು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಒದಗಿಸಿತು. ಲಿಖಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಪೆನ್ನು ಮತ್ತು ಕಾಗದದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ನಂತರ ವ್ಯಾಯಾಮ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಕಂಡುಬಂದಿತು. ಎಕೋಲ್ ಪಾಲಿಟೆಕ್ನಿಕ್ನ ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಿದ್ಧತೆಯನ್ನು ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ "ಗಣಿತದ ವಿಶೇಷ ಕೋರ್ಸ್" ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಶಿಕ್ಷಣದ ಅಸಾಧಾರಣವಾದ ಬಲವಾದ ಏಕಾಗ್ರತೆಯಾಗಿದೆ-ವಾರದಲ್ಲಿ 16 ಗಂಟೆಗಳವರೆಗೆ-ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಅನಂತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಅಭ್ಯಾಸಗಳ ಮೂಲಕ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಾಧನವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟ್ರೆ ಲ್ಯಾಕ್ರೋಯಿಕ್ಸ್ ಒಬ್ಬ ಪ್ರತಿಭಾನ್ವಿತ ಶಿಕ್ಷಕ ಮತ್ತು ನಿರೂಪಕರಾಗಿದ್ದರು. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಪುಸ್ತಕವು ಓದುಗರ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಚಲಾಯಿಸಲು "ಸಮಸ್ಯೆ" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. 1816 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೋಧನೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗಣಿತ ಬೋಧನೆಯ ಕುರಿತು ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಬರೆದರು, ಇದು ವ್ಯಾಯಾಮ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಿತುಃ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅವನು ಕೇಳುವ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವಷ್ಟು ತನ್ನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಬೋಧನಾ ಸಾಮಗ್ರಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಲು ನಿರ್ಬಂಧಿತನಾದ ಪರೀಕ್ಷಕನು ಕಡಿಮೆ ಸಮಗ್ರವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವನು ಅರ್ಜಿಗಳನ್ನು ಬದಿಗಿಟ್ಟರೆ, ಅವನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಬೋಧನೆಗಳಿಗೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಏನನ್ನೂ ಗಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಯಾಮದ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯತ್ತ ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ವಾರ್ವಿಕ್ ಗಮನ ಸೆಳೆದಿದ್ದಾರೆಃ ಗಣಿತೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಾಯಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಚಿತ್ರ ಅಭ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಈಗ ಅಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ತೋರುವಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಧನವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಇತ್ತೀಚಿನ ಮೂಲದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಶಂಸಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಗಣಿತದ ಟ್ರೈಪೋಸ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ವರದಿ ಮಾಡುವಾಗ, ಅಂತಹ ಸಂಚಿತ, ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಖಾಸಗಿ ಬೋಧಕರು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಬೋಧನೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಗಳು ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಯಾಮದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾ ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. 1830ರ ದಶಕದ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೇ ಮಹತ್ವಾಕಾಂಕ್ಷೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಬಯಸುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದವು. [ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು] ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯ ಮೂಲಕ ತಮ್ಮ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ್ದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಅಂತಹ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಷ್ಟಕರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಿದ್ಧತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಈ ಸುಧಾರಣೆಯು ಹೇಗೆ ಬೇರೂರಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾ, ವಾರ್ವಿಕ್ ಬರೆದರುಃ ಹೊಸ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬೋಧಿಸುವ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಎಂದು ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ನಂಬಲಾಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು 1830ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ, ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕಲಿಸಿದ ಮೊದಲ ತಲೆಮಾರಿನ ಕೆಲವು ಯುವ ಕಾಲೇಜು ಸಹಪಾಠಿಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಟ್ರಿಪೋಸ್ ಪರೀಕ್ಷಕರುಗಳಾಗಿ ನೇಮಕಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಯಲ್ಲಿ, ಫ್ರಾಂಜ್ ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರು "ಅಗತ್ಯವಾದ ಗಣಿತದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳ ಶ್ರೇಣಿವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಕಲೆಯನ್ನು ಕಲಿಯಬಹುದಾದ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು" ಎಂದು ವಾರ್ವಿಕ್ ವರದಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ರಷ್ಯಾದಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೀಫನ್ ಟಿಮೊಶೆಂಕೊ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳ ಸುತ್ತಲಿನ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿದರು. 1913ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಮೀನ್ಸ್ ಆಫ್ ಕಮ್ಯುನಿಕೇಷನ್ನಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಬೋಧಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಅವರು 1968ರಲ್ಲಿ ಬರೆದಂತೆ, ಸಂಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ [ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ] ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಕೇವಲ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕೇಳಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಈ ರೀತಿಯ ಬೋಧನೆಯನ್ನು ನಾನು ಆದಷ್ಟು ಬೇಗ ಕೊನೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರು, ವಿಷಯದ ಉತ್ತಮ ಸಮೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ತಮ್ಮ ಕೆಲಸದ ಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಭಾರೀ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಆಕ್ಷೇಪಿಸಲಿಲ್ಲ. ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆ ಶಿಕ್ಷಕರೊಂದಿಗೆ-ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷಕರೊಂದಿಗೆ, ಅವರು ತಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪುಸ್ತಕದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲು ಒಗ್ಗಿಕೊಂಡಿದ್ದರು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಕುವುದು ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸಿತು. ಅವರು years.the ನಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿದ್ದರು, ಯುವಜನರನ್ನು ಬೋಧನೆಗೆ ತರುವುದು ಅವರ ಏಕೈಕ ಆಶಯವಾಗಿತ್ತು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವರ್ಕ್ಡ್-ಎಕ್ಸಾಂಪಲ್ ಎಫೆಕ್ಟ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಟಟಿಯಾನಾ ಅಫಾನಸೀವಾ (1931) ಎಕ್ಸರ್ಸೈಸಸ್ ಇನ್ ಎಕ್ಸ್ಪೆರಿಮೆಂಟಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಫ್ರಮ್ ಪೆಸಿಫಿಕ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ದಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್. ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ (2004) ಇಮೇಜಿನರಿ ಪ್ಲಾಟ್ಫಾರ್ಮ್ನಲ್ಲಿ 5 ರಿಂದ 15 ವರ್ಷದೊಳಗಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ಜೇಮ್ಸ್ ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಎವಿಂಗ್ (1911) ಗಣಿತ, ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್, ನ್ಯಾವಿಗೇಷನ್ ಮತ್ತು ನಾಟಿಕಲ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ, ಶಾಖ ಮತ್ತು ಉಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್, ಜೂನಿಯರ್ ಅಧಿಕಾರಿಗಳ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಆರ್ಕೈವ್ನಿಂದ ಫ್ಲೋಟ್. ಜಿಮ್ ಹೆಫೆರಾನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು (2004) ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣ