Tensors in curvilinear coordinates
ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಾಗಣೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯದ ವಿರೂಪವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಹಳೆಯ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1900 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗ್ರೀನ್ ಮತ್ತು ಜೆರ್ನಾ ಅವರ ಪಠ್ಯ. ವಾಹಕಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೇತಗಳು ಮತ್ತು ವಿಷಯಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಓಗ್ಡೆನ್, ನಾಗ್ಡಿ, ಸಿಮಂಡ್ಸ್, ಗ್ರೀನ್ ಮತ್ತು ಜೆರ್ನಾ, ಬಾಸರ್ ಮತ್ತು ವೈಚೆರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಸಿಯರ್ಲೆಟ್ನಿಂದ ಬಂದಿವೆ. ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸಿ ಸಮನ್ವಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು, ಇದನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ನಮ್ಮ ಸೂಚ್ಯಂಕವು 1 ರಿಂದ 3 ರವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಪರಸ್ಪರರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಈ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫರ್ಮೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಅಂತೆಯೇ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಅದೇ ರೀತಿ ನಾವು ಮುಕ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನಿಂದ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆಃ ರೂಪಾಂತರವು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ರೂಪಾಂತರದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್. ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಈಗ ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರರ ಕಾರ್ಯಗಳು, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚರರಾಶಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚರರಾಶಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದರಲ್ಲಿ-th ಸಾಲು ಮತ್ತು-th ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳು (b1, b2, b3) ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಏಕ ವಾಹಕಗಳಾಗಲೀ ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಲೀ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು. ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ v ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಘಟಕಗಳು vk ವೆಕ್ಟರ್ v ನ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಪರಸ್ಪರ ಆಧಾರವನ್ನು (b1, b2, b3) δij ಎಂಬುದು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾದ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸದಿಶ vಅನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ vk ಘಟಕಗಳು ಸದಿಶದ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಸಿಜ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಘಟಕಗಳು, ಸಿ ಜೆ ಮಿಶ್ರ ಬಲ-ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಘಟಕಗಳು, ಸಿ ಜೆ ಮಿಶ್ರ ಎಡ-ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಜ್ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಜಿಜ್, ಜಿಜ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಘಟಕಗಳು ಈ ರೀತಿ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ ಜೊತೆಗೆ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಘಟಕಗಳು ಪರ್ಯಾಯ ಟೆನ್ಸರ್ನಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರ್ಯಾಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ εijk ಎಂಬುದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಧಾರ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಟೆನ್ಸರ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವಾಹಕದ ಮೇಲೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವಾಹಕದ ಮೇಲೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎರಡು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಈ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಾವು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಆಗಿರಲಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅದೇ ರೀತಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಲಿ A ಎಂಬುದು a, ಆದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ನಂತರ ಈ ಅವಲೋಕನವು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಕರ್ವಿಲೀನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಬೇಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮೇಶನ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಫ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಿಲ್ಲ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ನಾವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಸಿಮಂಡ್ಸ್, ಟೆನ್ಸರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ವಕ್ರ ಚಿಪ್ಪುಗಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೆಟಾಮೆಟೀರಿಯಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೇತಗಳು ಮತ್ತು ವಿಷಯಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಓಗ್ಡೆನ್, ಸಿಮಂಡ್ಸ್, ಗ್ರೀನ್ ಮತ್ತು ಜೆರ್ನಾ, ಬಾಸರ್ ಮತ್ತು ವೈಚೆರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಸಿಯರ್ಲೆಟ್ನಿಂದ ಬಂದಿವೆ. ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸೋಣ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಕ್ರರೇಖೆ q1 ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ q2, q3 ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ x ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು. qi ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು qj, qk ಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕ xi (α) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಕ್ರರೇಖೆ qi) ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ f ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ c ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಿ ಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ ಯ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಬಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ (ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ) ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಬಿ ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ (ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ) ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಆಧಾರದ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ f (x) ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ತಲುಪಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಾವು ಸ್ಥಾನ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ r (x) = x ನ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು qi ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ ಈ ಆಧಾರವನ್ನು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಕರ್ವಿಲೀನಿಯರ್ ಬೇಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪರಸ್ಪರ ಆಧಾರವನ್ನು, ಅಥವಾ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಧಾರವನ್ನು, ದ್ವಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಸಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಕಾಂಟ್ರಾವೇರಿಯೆಂಟ್ ಬೇಸಿಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಲು ಇವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಇದು ಅನುಸರಿಸುವ ಇತರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಭೌತಿಕ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರ v ಅನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಘಟಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ, ಭೌತಿಕ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು (ಸಂಕಲನವಿಲ್ಲ) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಆಧಾರ ವಾಹಕ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಮತ್ತೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಕಲನವಿಲ್ಲ) ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ () ನ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನೆನಪಿಡಿ, ಈಗ, ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, [gij] ಎಂದರೆ ಅದರ ಘಟಕಗಳು gij ಆಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಐಜ್ ಘಟಕಗಳ ಜಿಜ್ ನ ಕೋಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಕುಶಲತೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪವಾದ ಸೆಕೆಂಡ್-ಆರ್ಡರ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಫೀಲ್ಡ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ φ (x) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಬೇಸಿಸ್ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಐ, ಬಿಜೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಬೇಸಿಸ್ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, (ಇ1, ಇ2, ಇ3) ಒಂದು ಹಿನ್ನೆಲೆ, ಸ್ಥಿರ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ. ಆರ್ತೋಗೋನಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆರ್ತೋಗೋನಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ x ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕ r (x) ಆಗಿರಲಿ. x = r (x) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ನಾವು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ರೇಖೆಯ ಅಂಶವಾದ dx ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ರೇಖೆಯ ಅಂಶದ ಉದ್ದದ ಚೌಕವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ dx • dx ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಜಾಗದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ ಆಸಕ್ತಿಯ ಜಾಗವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಹಿನ್ನೆಲೆ, ಸ್ಥಿರ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಧಾರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಂತರ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (q1, q2, q3) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ dx ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಹಿಜ್ ಎಂದರೆ ಲ್ಯಾಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಸ್ಕೇಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಹಾಯ್, ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ನಾವು R2 ಗೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, (r, θ) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) r ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು er = (cos θ, sin θ), eθ = (− sin θ, cos θ) ಮತ್ತು ಅಳತೆಯ ಅಂಶಗಳೆಂದರೆ hr = 1 ಮತ್ತು hθ = r. ಮೂಲಭೂತ ಟೆನ್ಸರ್ g11 = 1, g22 = r2, g12 = g21 = 0 ಆಗಿದೆ. ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ನಾವು ವಾಹಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ರೇಖೆ, ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದೇ ವಾದಗಳು-ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳಿವೆ. ಲೈನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೈನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ x (t) ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳನ್ನು C ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಪಳಿ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಪದ. ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಮೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಈಗ, ಯಾವಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಅದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವೆಂದರೆಃ ಮತ್ತೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೀಡಲು ನಾವು ಮತ್ತೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಗ್ರಾಡ್, ಕರ್ಲ್, ಡಿವ್, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ 3 ಆಯಾಮಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸುರುಳಿಯನ್ನು ಅಲ್ಲಿ εijk ಎಂಬುದು ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ನಂತರ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಮತ್ತು ಕಾಂಟ್ರಾವೇರಿಯಂಟ್ ಬೇಸಿಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಘಟಕಗಳು ಆಧಾರವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಎರಡನೆಯ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳು ಭೌತಿಕ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕ v ಯ ಭೌತಿಕ ಘಟಕಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಗಿವೆ. ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್, f (x) ಅನ್ನು ಈಗ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಆದ್ದರಿಂದ, ಭೌತಿಕ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಭೌತಿಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಆಧಾರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಘಟಕಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಂಟ್ರಾವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಗಿದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲ ಪರಿಚಯ ಫ್ರೆನೆಟ್-ಸೆರೆಟ್ ಸೂತ್ರಗಳು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಟೆನ್ಸರ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ) ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕರ್ವಿಲೀನಿಯರ್ ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವ್ ಡೆಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕರ್ವಿಲೀನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮ್ಯಾಥ್ವರ್ಲ್ಡ್ನ ಕರ್ವಿಲೀನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪುಟ ಪ್ರೊ. ಆರ್. ಬ್ರಾನನ್ನ ಇ-ಬುಕ್ ಆನ್ ಕರ್ವಿಲೀನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು 3