Budan's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1807ರಲ್ಲಿ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಬುಡಾನ್ ಡಿ ಬೋಯ್ಸ್ಲಾರೆಂಟ್ ಅವರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 1820ರಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್ ಫೋರಿಯರ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಮೇಯಗಳೂ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಪೂರಕವಾಗಿವೆ. ಫೋರಿಯರ್ನ ಹೇಳಿಕೆಯು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ನ, ಬುಡಾನ್-ಫೋರಿಯರ್, ಫೋರಿಯರ್-ಬುಡಾನ್ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬುಡಾನ್ನ ಮೂಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಬಹುಪದಗಳ ನೈಜ-ಮೂಲ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಗಾಗಿ ವೇಗದ ಆಧುನಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯು ಅಂತಹ ಮತ್ತು ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಬದಲಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಳದಲ್ಲೂ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಹಲವಾರು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ, ಇದು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ, ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಇದು ಸ್ಟರ್ಮ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ, ಅವುಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಎಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮವು ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದ್ದರೆ, ಆಗ ಒಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ಬುಡಾನ್ನ ಹೇಳಿಕೆಯು ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅರ್ಧ-ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ) ಅವುಗಳ ಗುಣಾಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸಲಾದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಲೂ ಸಹ ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಂತೆ, ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಇದು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೂಲಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಒಬ್ಬರು ಇದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಇದರರ್ಥ, ಒಬ್ಬರು "ಶೂನ್ಯ-ಮೂಲ ಪರೀಕ್ಷೆ" ಮತ್ತು "ಒಂದು-ಮೂಲ ಪರೀಕ್ಷೆ" ಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1. ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಈ ರೀತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುಪದವು ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರ 2ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಬಹುಪದವು ಈ ರೀತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುಪದವು ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಇದು ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯ-ಮೂಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಬಳಸುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಫೋರಿಯರ್-ಬುಡಾನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಬುಡಾನ್-ಫೋರಿಯರ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕೇವಲ ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯ) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಹುಪದೀಯ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಕುರಿತಾದ ಫೋರಿಯರ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ಫೋರಿಯರ್ನ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಮತ್ತು, ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಇನ್ನೊಂದರ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ಅಟ್ ನ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಇನ್ ನ ಗುಣಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಫೋರಿಯರ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೇತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಬಲವಾದ ಸಂಬಂಧವು 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದ ಆದ್ಯತೆಯ ವಿವಾದವನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಹೆಸರುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಆಧುನಿಕ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಕಯಂತ್ರದ ಗಣನೆಗೆ, ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕಿಂತ ಫೋರಿಯರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಇನ್ನೊಂದರ ಪೂರಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಫೋರಿಯರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಃ ಡಿಗ್ರಿ ಆಗಿರಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದರ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಇಫ್ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕೆಲವರಿಗೆ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಈ ಪದವು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಪದವು ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಬಹುಶಃ ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿ ಉಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಕೇವಲ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ಬದಲಾದರೆ, ನಂತರ ಅದೇ ರೀತಿ ವಾದಿಸಿದರೆ, ಎರಡೂ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಅಂತಹ ಸಣ್ಣದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಪದದ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮತ್ತು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಯಿತು. 1807ರಲ್ಲಿ, ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಬುಡಾನ್ ಡಿ ಬೋಯ್ಸ್ಲಾರೆಂಟ್ ಅವರು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು-ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾದ-ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಜೋಸೆಫ್ ಫೋರಿಯರ್ 1820 ರಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವರು ಇಪ್ಪತ್ತು ವರ್ಷಗಳಿಗೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ, ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಆದ್ಯತೆಯ ವಿವಾದವಿತ್ತು. 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫೋರಿಯರ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಬುಡಾನ್ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಯಿತು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವು ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಿಯ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 1827ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟರ್ಮ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನದಿಂದಲೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಸ್ಟರ್ಮ್ ಸ್ವತಃ ತಾನು ಫೌರಿಯರ್ನ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆಃ "ಇದು ಒಂದು ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಕರಣೆಯಂತಹ ತತ್ತ್ವಗಳು, ಇದು ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದೆ. "ಇದು" ಅವರು ರೂಪಿಸಿದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವರ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಿರುವ ಹೊಸ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ "ಎಂದು ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಫೋರಿಯರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ಮತ್ತು ಬುಡಾನ್ ತೆರೆದಿಟ್ಟರು, ಇದು ಅಂತಿಮ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ತಲಾ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 1834ರಲ್ಲಿ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೆ ಜೋಸೆಫ್ ಹಿಡುಲ್ಫ್ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೊಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಬುಡಾನ್ನ ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಬುಡಾನ್, ಫೋರಿಯರ್ ಮತ್ತು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮರೆತುಹೋದವು. 20ನೇ ಶತಮಾನದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಕೊನೆಯ ಲೇಖಕ ಜೋಸೆಫ್ ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಸೆರೆಟ್. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು 1976ರಲ್ಲಿ ಕಾಲಿನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ರಿತಾಸ್ ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸಹ ನೋಡಿ ಬಹುಪದೀಯ ಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ರೂಟ್-ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ರೂಟ್-ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳು ರಿಯಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ