Guruswami–Sudan list decoding algorithm
ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅನೇಕ ದೋಷಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ದೋಷ-ಸರಿಪಡಿಸುವ ಸಂಕೇತಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಕೋಡ್ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕೋಡ್ ವರ್ಡ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಒಂದು ಭಾಗದವರೆಗೆ ದೋಷಪೂರಿತವಾದಾಗ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಂದೇಶವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ ದೋಷದ ಪ್ರಮಾಣವು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಲಿಸ್ಟ್ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಡಿಕೋಡರ್ಗೆ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಿರಬಹುದಾದ ಸಂದೇಶಗಳ ಕಿರು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿವಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ದೋಷಗಳ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿವೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲು ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ (ಆರ್ಎಸ್) ಕೋಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ದೋಷಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮಧು ಸುಡಾನ್ ಕಾರಣ. ತರುವಾಯ, ನಾವು ಸುಧಾರಿತ ಗುರುಸ್ವಾಮಿ-ಸುಡಾನ್ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ದೋಷಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು. ವಿವಿಧ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗಾಗಿ ಆರ್ ದರ ಮತ್ತು ಅಂತರದ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/81/Graph.jpg ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 1 (ಸುಡಾನ್ನ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್) ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆ ಇನ್ಪುಟ್ಃ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ; n ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳು; ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು. ಔಟ್ಪುಟ್ಃ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದೆ. ಸುಡಾನ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಒಬ್ಬರು ಮೊದಲು ಮತ್ತೊಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಆವೃತ್ತಿ ಅಥವಾ ಆರ್ಎಸ್ ಕೋಡ್ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಆವೃತ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು-ಬರ್ಲೆಕ್ಯಾಂಪ್-ವೆಲ್ಚ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ವೆಲ್ಚ್ ಮತ್ತು ಬರ್ಲೆಕ್ಯಾಂಪ್ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು, ಇದು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸುಡಾನ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಬರ್ಲೆಕ್ಯಾಂಪ್-ವೆಲ್ಚ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಂತೆಯೇ ಇದೆ, ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಒಬ್ಬರು ಬೌಂಡೆಡ್ ಡಿಗ್ರಿಯ ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ಗಾಗಿ ಸುಡಾನ್ನ ಲಿಸ್ಟ್ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಇದು ಬರ್ಲೆಕ್ಯಾಂಪ್ ಮತ್ತು ವೆಲ್ಚ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಸುಧಾರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಈ ಬಂಧವು ಬಂಧಿಸಲಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 (ತೂಕದ ಡಿಗ್ರಿ) ತೂಕಗಳಿಗೆ,-ಏಕಪದದ ತೂಕದ ಡಿಗ್ರಿ. ಬಹುಪದದ ತೂಕದ ಮಟ್ಟವು, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಪದಗಳ ಮೇಲೆ, ಏಕಪದದ ತೂಕದ ಮಟ್ಟದ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,-ಡಿಗ್ರಿ 7 ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳುಃ; {}/* ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳು l, m ಅನ್ನು ನಂತರ ಹೊಂದಿಸಲಾಗುವುದು. */ಹಂತ 1: ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ಬಹುಪದವು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ. ಅಂಶ Q ಅನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಹಂತ 3. ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಾಡಿ, ಅದು ಕ್ಯೂ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಟಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಕೆಳಗಿನ ಹಕ್ಕುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಹಕ್ಕು 1: (2) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಪುರಾವೆಃ-ತೂಕದ ಡಿಗ್ರಿಯ ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದು ಅಜ್ಞಾತ {} ಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹಕ್ಕು 2: ಆಗ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (2) ಪುರಾವೆಃ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು. ಗರಿಷ್ಠ ಡಿಗ್ರಿಯು m ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಡಿಗ್ರಿಯು m ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನಂತರ ಅದರ ಮಟ್ಟವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಬೇಕು. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು (2) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಈ ಮೌಲ್ಯವು n ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಹಕ್ಕು 3: ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದ್ದರೆ (2) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದ್ದರೆ (1) ಮತ್ತು ನಂತರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಗರಿಷ್ಠ-ತೂಕದ ಪದವಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಪದವು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿ ಇದೆ ಮುಂದಿನ ವಾದವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆಯೋ, ಆಗ ಅಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನದಕ್ಕೆ ಅದು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಅದರ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮತ್ತು ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಎರಡನೇ ಷರತ್ತು ಹೊಂದಿರುವ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅದನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬದಲಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ (ಗುರುಸ್ವಾಮಿ-ಸುಡಾನ್ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಗುರುಸ್ವಾಮಿ-ಸುಡಾನ್ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋಡ್ ವರ್ಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ 1 ರಿಂದ 1 ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿರುವ ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜೊತೆಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ದ್ವಿ-ರೂಪಾಂತರ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ದ್ವಿ-ರೂಪಾಂತರದ ಬಹುಪದವು ಯಾವುದೇ ಪದದ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ x-ಪದವನ್ನು ಯಾವುದೇ x ಪದದ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/76/Fig1.jpg ಆದ್ದರಿಂದ, (0,0) ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ 1 ರ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಿಡಿ. https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/76/Fig2.jpg ಆದ್ದರಿಂದ, (0,0) ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ 1 ರ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/76/Fig3.jpg ಆದ್ದರಿಂದ, (0,0) ನಲ್ಲಿ 2ರ ಗುಣಾಕಾರದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಅಂತೆಯೇ, ಥೆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, 2 ರ ಗುಣಾಕಾರದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಯಾವಾಗ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿಯ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹರಡುವ ಸಂಕೇತ ಪದವು, ಹರಡುವ ಸಂಕೇತ ಪದದ ಬೆಂಬಲ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಪದವಾಗಿರಲಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ವಾಹಕಕ್ಕೆ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ದ್ವಿ-ರೂಪಾಂತರ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ತೂಕದ ಡಿಗ್ರಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಅದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಹಂತವು ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಎಲ್ಲಿ & ಎಂಬುದು ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಹಂತವು ಸಂಕೇತಪದಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಷನ್ ಹಂತ ಲೆಮ್ಮಾಃ ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಷನ್ ಹಂತವು ಲೆಟ್ ವೇರ್ ಮತ್ತು ಥೆನ್ ನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ಸಮೀಕರಣ 1) ಅಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಪುರಾವೆ 1:. ಲೆಮ್ಮಾದ ದ್ವಿಪದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ಬಹುಪದವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಗುಣಾಕಾರದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಟ್ಟು ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಹಂತದ ಪ್ರಸ್ತಾಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಪುರಾವೆಯ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆಃ ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಪಡೆದ ಅಂಶವು ಉಳಿದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಎಚ್ಎಸ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಎಚ್ಎಸ್ ಹಿಂದಿನ ಸಾಬೀತಾದ ಲೆಮ್ಮಾವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುರುಸ್ವಾಮಿ-ಸುಡಾನ್ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದೋಷಗಳವರೆಗೆ ಡೀಕೋಡ್ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು https://web.archive.org/web/20100702120650/http:// ಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಗುರುಸ್ವಾಮಿ-ಸುಡಾನ್ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಎಂ. ಸುಡಾನ್. ರೀಡ್ ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ದೋಷ-ತಿದ್ದುಪಡಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ