Constant-mean-curvature surface
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ-ಸರಾಸರಿ-ವಕ್ರತೆ (ಸಿಎಮ್ಸಿ) ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸ್ಥಿರ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಳವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. 1841ರಲ್ಲಿ ಡೆಲೌನೆಯವರು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಏಕೈಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಕೋನಿಕ್ಸ್ನ ರೌಲೆಟ್ಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸಮತಲ, ಸಿಲಿಂಡರ್, ಗೋಳವು, ಕ್ಯಾಟೆನಾಯ್ಡ್, ಅಂಡ್ಯುಲಾಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ನೋಡಾಯ್ಡ್. 1853 ರಲ್ಲಿ ಜೆ. ಎಚ್. ಜೆಲೆಟ್ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಂದ್ರವಾದ ನಕ್ಷತ್ರದ ಆಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗೋಳವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ತರುವಾಯ, ಎ. ಡಿ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಒಂದು ಗೋಳವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎಚ್. ಹೋಪ್ 1956 ರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮುಳುಗಿದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ನಿಯತಾಂಕ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಗೋಳವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು 1982ರಲ್ಲಿ ವೂ-ಯಿ ಹ್ಸಿಯಾಂಗ್ ಅವರು ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರಾಕರಿಸಿದರು. 1984ರಲ್ಲಿ ಹೆನ್ರಿ ಸಿ. ವೆಂಟೆ ಅವರು ವೆಂಟೆ ಟೋರಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಟೋರಸ್ ಅನ್ನು ಮುಳುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದವರೆಗೆ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಪರೂಪವೆಂದು ತೋರುತ್ತಿತ್ತು; ಹೊಸ ತಂತ್ರಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗ್ಲೂಯಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳು ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ತಡವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಮುಳುಗಿದ ಗುಳ್ಳೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಕೇವಲ ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಮೀಕ್ಸ್ ತೋರಿಸಿದೆ. ಕೊರೆವಾರ್, ಕುಸ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹುದುಗಿರುವ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅಂಡ್ಯುಲಾಯ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಪ್ರತಿ ತುದಿಯು ಅಂಡ್ಯುಲಾಯ್ಡ್ನ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ "ಬಲ" ವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಕುತ್ತಿಗೆಯ ಸುತ್ತಳತೆ), ಮೇಲ್ಮೈ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಅದರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಮತೋಲನಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಪ್ರಸ್ತುತ ಕೆಲಸವು ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 0 ಕುಲದ ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಕೆ-ಅಂಡುಲಾಯ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಬೆಸ ಕೆ, ಮತ್ತು ಸಮ ಕೆ. ಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಕೆ-2 ತುದಿಗಳು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಉತ್ಪಾದನಾ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಂತೆಯೇ, ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ. ಅದರ ಗಾಸ್ ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ವರಮೇಳದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೆನ್ಮೋಟ್ಸುವಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್-ಎನ್ನೇಪರ್ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಇದು ರೀಮನ್ ಗೋಳದೊಳಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಫಾರ್ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಗೌಸ್ ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯಮಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಇದು ಗೋಳವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಸೋದರಸಂಬಂಧಿ ವಿಧಾನ ಲಾಸನ್ 1970 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ "ಸೋದರಸಂಬಂಧಿ" ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಇದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ಯಾಚ್ನಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಸಿಎಮ್ಸಿ ಟೋರಿ ಹಿಚಿನ್, ಪಿಂಕಾಲ್, ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಬೊಬೆಂಕೊ ಅವರು 2-ಟೋರಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮತಲದ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಕರ್ವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ನ ರೂಪದ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಡೇಟಾದ ನಡುವೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇದೆ, ಇದು ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಇದು ಆಂಟಿಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಇನ್ವೊಲ್ಯುಷನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಒಂದು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ (ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳಿಗೆ) ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸೋಪ್ ಗುಳ್ಳೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಒತ್ತಡದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಕ್ರೋಸ್ಕೋಪಿಕ್ ಗುಳ್ಳೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸೂಪರ್ಹೈಡ್ರೋಫೋಬಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಅನಿಲ-ದ್ರವ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಮೂರು ಬಾರಿ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಂತೆ, ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಇಂಟರ್ಫೇಸಿಯಲ್ ಶಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬ್ಲಾಕ್ ಕೋಪಾಲಿಮರ್ಗಳ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿ ಇದೆ. ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಜಾಗದ ಅಸಮಾನ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಎಬಿಸಿ ಟ್ರೈಬ್ಲಾಕ್ ಕೋಪಾಲಿಮರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಎಮ್ಸಿ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದಲ್ಲಿ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಗಾಳಿ-ಬೆಂಬಲಿತ ರಚನೆಗಳಾದ ಗಾಳಿ ತುಂಬಬಹುದಾದ ಗುಮ್ಮಟಗಳು ಮತ್ತು ಆವರಣಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಹರಿಯುವ ಸಾವಯವ ಆಕಾರಗಳ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಡಬಲ್ ಬಬಲ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿವೆರ್ಕ್ಸ್ಟಾಟ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಗ್ಯಾಲರಿ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಗಾಂಗ್ ಗ್ಯಾಲರಿ ನೋಯ್ಡ್, ಎನ್-ನಾಯ್ಡ್ ಸಿಎಮ್ಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ