Yang–Mills equations
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಮಾಪಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ ಮೇಲಿನ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಅವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ಗಣಿತದಲ್ಲೂ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಅಥವಾ ಇನ್ಸ್ಟಂಟಾನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸೈಮನ್ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಅವರು ಇನ್ಸ್ಟಂಟನ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ತಮ್ಮ ಅಡಿಪಾಯದ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ರಾಬರ್ಟ್ ಮಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಚೆನ್-ನಿಂಗ್ ಯಾಂಗ್ ಅವರು ಭೌತಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವಂತೆ ಗೇಜ್ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಗೇಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಪ್ರಧಾನ ಕಟ್ಟುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು (ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಸಾಹಿತ್ಯದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಈಗ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಯಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಮಿಲ್ಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಜೇಮ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೃತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದವು, ಇದನ್ನು ವೋಲ್ಫ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ಪೌಲಿ ಮತ್ತು ಇತರರು ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿದ್ದರು. ಯಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಮಿಲ್ಸ್ ಅವರ ಕೆಲಸದ ಹೊಸತನವೆಂದರೆ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯ್ಕೆಗಾಗಿ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ಇದನ್ನು ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗೇಜ್ ಗ್ರೂಪ್, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಗೇಜ್ ಗ್ರೂಪ್ (ಗಣಿತ) ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಈ ಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದವರಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲು ಸರಿಯಾದ ಚೌಕಟ್ಟು ಪ್ರಧಾನ ಕಟ್ಟುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಯಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಮಿಲ್ಸ್ ಅವರ ಕೆಲಸದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಭೌತಿಕ ಮಾದರಿಯ ಮೂಲಭೂತ ವಿವರಣೆಯು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆಯ ಬದಲಾವಣೆ), ಈ ಭೌತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕವು (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರ) ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನ ಮೇಲೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬೇಕು. ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಲವು ಸಂಪರ್ಕದ ವಕ್ರತೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯಿಂದ (ಸ್ಥಿರತೆಯವರೆಗೆ) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ಕ್ರಿಯೆಯ ತತ್ವವು ಈ ಭೌತಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚಲನೆಯ ಸರಿಯಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಬೇಕು ಎಂದು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ, ಇವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆಃ ಗಣಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭೌತಿಕ ಮೂಲದ ಜೊತೆಗೆ, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕದ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಯ್ಕೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಬಂಡಲ್ ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಯ್ಕೆ ಇದೆ, ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಸಂಪರ್ಕ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಿದೆ. ನಾವು ಈಗ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಸಂಪರ್ಕದ ಒಂದು ರೀತಿಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಂಡಲ್ಗೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾದ ತೆರೆದ ಕವರ್ಗಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಳೀಯ ರೂಪಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೊದಲ ಪ್ರಯತ್ನವೆಂದರೆ ಈ ರೂಪಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬೇಕೆಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸುವುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರದ ಹೊರತು ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಬಂಡಲ್ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪರ್ಕ ಫಾರ್ಮ್ಗಳು ಸ್ವತಃ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಕೇಳಬಹುದು. ಮುಖ್ಯ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೇಳಲು ಸರಿಯಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವಕ್ರತೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಚೇರ್ನ್-ವೆಯಿಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ವಕ್ರತೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ (ಅಂದರೆ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕ), ನಂತರ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಚೇರ್ನ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಇದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಬದಲು, ಬಂಡಲ್ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೇಳುವುದು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದದ್ದು. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ವಕ್ರತೆಯ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಿನಿಮಾ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿನಿಮಾವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಅವುಗಳ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವು ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಬಹುಗುಣದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಧಾನ ಅಥವಾ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಮೇಲೆ ಸಂಪರ್ಕದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್, ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ. ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಲೈ ಗುಂಪಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್-ಬಂಡಲ್ ಓವರ್ ಮೇಲಿನ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಪದವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸಮಾವೇಶವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಧಾನ-ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಮುಖ್ಯ ಬಂಡಲ್ನ ಒಟ್ಟು ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ-ಮೌಲ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಪರ್ಕವು ವಕ್ರತೆಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಪಕ್ಕದ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು-ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಬಾಹ್ಯ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಬಂಡಲ್ ಮೇಲೆ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಂಡು-ಮೌಲ್ಯದ ಎರಡು-ರೂಪಗಳ ಬಂಡಲ್ ಮೇಲೆ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ. ಇದು ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಬಂಡಲ್ನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಒಳಗೆ ಬಂಡಲ್-ಬುದ್ಧಿವಂತ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಪರಿಮಾಣದ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದರ ಔಪಚಾರಿಕ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೆಟಪ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು () ಅಥವಾ () ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಪರ್ಕವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಬಿಯಾಂಚಿ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಸ್ವರಮೇಳದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು, ಇದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರೂಪದ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸ್ವರಮೇಳದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತದೆ. ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಂತೆ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. () ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಪರ್ಕವು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು () ತೃಪ್ತಿಯಾದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗೇಜ್ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರವು ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ () ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳವಿದೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗೇಜ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಥವಾ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಂದಲೂ ಹೋಲೊನೊಮಿ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳು, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಮೈಕೆಲ್ ಅತಿಯಾ ಮತ್ತು ರೌಲ್ ಬಾಟ್ ಅವರು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುಗಳ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಅಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಪರ್ಯಾಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು ನರಸಿಂಹನ್-ಶೇಷಾದ್ರಿ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ನಿಂದ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಈ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬೇಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಆಯಾಮವು ನಾಲ್ಕು ಆಗಿರುವಾಗ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪಿಡಿಇಯಿಂದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪಿಡಿಇ, ವಿರೋಧಿ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಬೇಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಆಯಾಮವು ನಾಲ್ಕು ಆಗಿರುವಾಗ, ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಃ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎರಡು-ರೂಪಗಳನ್ನು ಎರಡು-ರೂಪಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಗೆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ವಿರೋಧಿ ಎರಡು ರೂಪಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆ ಇದೆ. ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲಿರುವ ಪ್ರಧಾನ-ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ () ಮೂಲಕ, ಸಂಪರ್ಕವು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಅಥವಾ ವಿರೋಧಿ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ (ಎಸ್ಡಿ) ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿರೋಧಿ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ (ಎಎಸ್ಡಿ) ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಮತ್ತು ವಿರೋಧಿ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಎಸ್ಡಿ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್, ಅಥವಾ ಇನ್ಸ್ಟಂಟನ್ಗಳನ್ನು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಧಾನ-ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಅದರ ಎರಡನೇ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನ ವಿವಿಧ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವಾಗಲೂ ಈ ಸ್ಥಳಗಳು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಯವಾದ ಭಾಗವು ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅತಿಯಾ-ಸಿಂಗರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಎಎಸ್ಡಿ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮವು ಯಾವಾಗ, ಮೊದಲ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು, ಛೇದಕ ರೂಪವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಬಿಪಿಎಸ್ಟಿ ಇನ್ಸ್ಟಾಂಟನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ 5 ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕುಟುಂಬದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಎಎಸ್ಡಿ ಇನ್ಸ್ಟಾಂಟನ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಉಹ್ಲೆನ್ಬೆಕ್ನ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ ಏಕತ್ವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಂತ ಬಿಂದುವಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ನಾಲ್ಕು-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಛೇದಕ ರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಬಳಸಿದರು. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಟೌಬ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕರೆನ್ ಉಹ್ಲೆನ್ಬೆಕ್ ಅವರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ಛೇದಕ ರೂಪವು ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ) ಎಎಸ್ಡಿ ಇನ್ಸ್ಟಂಟನ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳವು ನಯವಾದ, ಸಾಂದ್ರವಾದ, ಆಧಾರಿತ, ಸರಳವಾಗಿ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ನಾಲ್ಕು-ಪಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ನಕಲು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟದ ನಡುವಿನ ಸಮನ್ವಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಛೇದಕ ರೂಪವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ಬದಲಾಗದ ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕರ್ಣೀಯ ಛೇದಕ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಎಸ್ಡಿ ಇನ್ಸ್ಟಂಟನ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ನಾಲ್ಕು-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ನಾಲ್ಕು-ದ್ವಿಗುಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ತರುವಾಯ ಸೈಬರ್ಗ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ಮೀರಿಸಿವೆ. ಆಯಾಮದ ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಇತರ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಆಯಾಮದ ಕಡಿತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಮಾಪಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ರಿಡಕ್ಷನ್ ಎಂದರೆ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇರುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅನುವಾದಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವ-ದ್ವಂದ್ವ-ವಿರೋಧಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬದಲಾಗದೆ ಇರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯದಿಂದ, ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಏಕಧ್ರುವಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಬೊಗೊಮೊಲ್ನಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನುವಾದದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬದಲಾಗದೆ ಇರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಮೊದಲು ಹಿಚಿನ್ನಿಂದ ತನಿಖೆಗೊಳಗಾದ ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಹಿಗ್ಸ್ ಕಟ್ಟುಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಚಿನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ದ್ವಂದ್ವ-ವಿರೋಧಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮೂರು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದೆ ಇರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಹಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಎಎಸ್ಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಡುವೆ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಇದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನಹ್ಮ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವರ್ನರ್ ನಹ್ಮ್ ನಂತರ, ಅವರು ನಹ್ಮ್ ಸಮೀಕರಣದ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಮೊನೊಪೋಲ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕೆಂದು ಮೊದಲು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹಿಚಿನ್ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಅವರು ನಹ್ಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸ್ವತಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉಭಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹಿಡಿದಿಡಲು ಸಿದ್ಧಾಂತೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಳಗೆ ಎರಡು ಜಾಲರಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಇನ್ಸ್ಟಂಟಾನ್ಗಳು, ಡ್ಯುಯಲ್ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಟೋರಿಯ ಮೇಲೆ ಇನ್ಸ್ಟಂಟಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎಡಿಎಚ್ಎಂ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಇನ್ಸ್ಟಂಟಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಡ್ಯುಯಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಎಎಸ್ಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಮಿತಿ ಕಡಿತಗಳು ಸಹ ಹಲವಾರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಒಡಿಇಗಳು ಮತ್ತು ಪಿಡಿಇಗಳು ಎಎಸ್ಡಿವೈಎಂನ ಸಮಮಿತಿ ಕಡಿತದಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ವಾರ್ಡ್ನ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಸ್ಯು (2) ಎಎಸ್ಡಿವೈಎಂನ ಕಡಿತಗಳು ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೆವೆಗ್-ಡಿ ವ್ರೀಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಎಎಸ್ಡಿವೈಎಂನ ಟಿಜಿಟ್ಜಿಕಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಡಿತವು ವಾರ್ಡ್ನ ಸಮಗ್ರ ಕೈರಲ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಮಗ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ 'ಮುಖ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ' ವಾಗಿದ್ದು, ಗೇಜ್ ಗುಂಪಿನ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿ ಕಡಿತ ಯೋಜನೆಯಂತಹ ಸೂಕ್ತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅನೇಕ ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೆಂದರೆ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಚೆರ್ನ್-ಸೈಮನ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ಗೌಡಿನ್ ಮಾದರಿ. ಚೆರ್ನ್-ಸೈಮನ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಮೇಲೆ ಚೆರ್ನ್-ಸೈಮನ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂರಚನೆಯ ಸ್ಥಳವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಿಗೆಲ್ ಹಿಚಿನ್ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸೆಲ್ರೋಡ್-ಡೆಲ್ಲಾ ಪಿಯೆಟ್ರಾ-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಪರ್ಕ (ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್) ಸಂಪರ್ಕ (ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್) ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್-ಹಿಗ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು