Heinrich August Rothe
ಹೆನ್ರಿಕ್ ಆಗಸ್ಟ್ ರೋಥೆ (1773-1842) ಒಬ್ಬ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಎರ್ಲ್ಯಾಂಜೆನ್ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದರು. ಅವರು ಕಾರ್ಲ್ ಹಿಂಡೆನ್ಬರ್ಗ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಹಿಂಡೆನ್ಬರ್ಗ್ನ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ನ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದರು. ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ ರೋಥೆ 1773 ರಲ್ಲಿ ಡ್ರೆಸ್ಡೆನ್ನಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1793 ರಲ್ಲಿ ಲೀಪ್ಜಿಗ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾದರು. ಅವರು 1796 ರಲ್ಲಿ ಲೀಪ್ಜಿಗ್ನಲ್ಲಿ ಅಸಾಧಾರಣ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾದರು, ಮತ್ತು 1804 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಪೂರ್ಣ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿ ಎರ್ಲಾಂಗೆನ್ಗೆ ತೆರಳಿದರು, ಹಿಂದೆ ಕಾರ್ಲ್ ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ವಾನ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅವರು ಹೊಂದಿದ್ದ ಅಧ್ಯಕ್ಷ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವಹಿಸಿಕೊಂಡರು. ಅವರು 1842 ರಲ್ಲಿ ನಿಧನರಾದರು, ಮತ್ತು ಎರ್ಲ್ಯಾಂಜೆನ್ನಲ್ಲಿ ಅವರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೋಹಾನ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಪ್ಫಾಫ್ನ ಸಹೋದರ ಜೋಹಾನ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಪ್ಫಾಫ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು. ರೋಥೆ-ಹ್ಯಾಗನ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಸಂಶೋಧಿಸಿ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರವು ರೋಥೆ ಅವರ 1793ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಇದನ್ನು ಆತನ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ ಮತ್ತು ಜೋಹಾನ್ ಜಾರ್ಜ್ ಹ್ಯಾಗನ್ ಅವರ ನಂತರದ ಕೃತಿಗಾಗಿ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಪ್ರಬಂಧವು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, 1800ರಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದವರು ರೋಥೆ. ಅವರು ಈಗ ರೋಥೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಪ್ರತಿ ಕೋಶದಲ್ಲಿ (i, j) ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಾಕಾರದ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು i ಅನ್ನು j ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕೋಶದಲ್ಲಿ (i, j) ಒಂದು ಅಡ್ಡವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ರೋಥೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅವರು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ವಿಲೋಮದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಅದರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಮೂಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಶಿಲುಬೆಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ನ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನಂತೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ರೋಥೆ ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರುಃ ಒಬ್ಬರು ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬಹುಪದಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಪದವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅದರ ವಿಲೋಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ನ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಲೋಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ಗಳು ಸಹ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ 1800 ರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದವರು ರೋಥೆ; ಅಂದರೆ, ಅವು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವಿಲೋಮವಾಗಿವೆ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಅವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೋಥೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವರು ಈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಇದು ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಎಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ 1,2,4,10,26,76,232,764,2620,9496 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 1811ರ ಪ್ರಕಟಣೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ q-ಸಾದೃಶ್ಯವಾದ q-ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ರೋಥೆ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. ಆಯ್ದ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳಾದ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಡಿ ಸಿರಿಯಮ್ ರಿವರ್ಸಿಯೋನ್ ಡೆಮನ್ಸ್ಟ್ರೇಷಿಯೋ ಯೂನಿವರ್ಸಲಿಸ್ ಸಿಗ್ನಿಸ್ ಲೋಕಲಿಬಸ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯೊ-ಅನಾಲಿಟಿಕೋರಮ್ ವಿಕಾರಿಸ್ ಎಕ್ಸಿಬಿಟಾಃ ಡಿಸರ್ಟಾಷಿಯೋ ಅಕಾಡೆಮಿಕಾ, ಲೀಪ್ಜಿಗ್, 1793. "ಯುಬರ್ ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್, ಬೆಝೀಹಂಗ್ ಆಫ್ ದಿ ಸ್ಟೆಲ್ಲೆನ್ ಇಹ್ರರ್ ಎಲಿಮೆಂಟೆಯಲ್ಲಿ. ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಕ್ರಮ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಹಿಂಡೆನ್ಬರ್ಗ್ನಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಲ್, ಆವೃತ್ತಿ., ಸಮ್ಮ್ಲುಂಗ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಸ್ಕ್-ಅನಲೈಟಿಸರ್ ಅಭಾಂಡ್ಲುಂಗೆನ್, ಪುಟಗಳು. 263-305, ಬೇ ಜಿ. ಫ್ಲೆಷರ್ ಡೆಮ್ ಜುಂಗರ್ನ್, 1800. ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಲೆಹ್ರ್ಬುಚ್ ಡೆರ್ ಅರ್ಥ್ಮೆಟಿಕ್, ಲೀಪ್ಜಿಗ್, 1811 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 1842ರ ಜನನಗಳು 18ನೇ ಶತಮಾನದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಂಯುಕ್ತ ಲೀಪ್ಜಿಗ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಲೀಪ್ಜಿಗ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಿಬ್ಬಂದಿ 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು