Cartier duality
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಸಂವಹನ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಪೋಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂವಹನ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆ ಜಿ ಓವರ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಎಸ್-ಸ್ಕೀಮ್ ಟಿ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಗ್ರೂಪ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಸ್-ಸ್ಕೀಮ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರ ಗುಂಪುಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ನಕ್ಷೆಗೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ಫ್ಲಾಟ್ ಎಸ್-ಗ್ರೂಪ್ ಯೋಜನೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಸೀಮಿತ ಫ್ಲಾಟ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಎಸ್-ಗ್ರೂಪ್ ಯೋಜನೆಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಅನೈಚ್ಛಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂವಹನ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕರ್ಣೀಯ ಗುಂಪು ಡಿ (ಜಿ) ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಎಸ್ ಅಫೈನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಡ್ಯುಯಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಡ್ಯುಯಲಿಟಿಯು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಸಂವಹನ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಯು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಸಂವಹನ ಕೋಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲಿಯ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಉಂಟಾಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಎಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂವಹನ ಗುಂಪುಗಳ ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್ ಪೊರೆಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಉತ್ತಮ ಮಿತಿ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಬಯಸಿದಾಗ ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಮಧ್ಯಂತರ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧದ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಜಿ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವವು ಗುಣಾಕಾರದ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಿ ಟೋರಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವವು ಎಟೇಲ್ ಮತ್ತು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಟೋರಿಯ ಲೂಪ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಸ್ಥಳೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿಗ್ರಹ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆರಾರ್ಡ್ ಲೌಮನ್ ಈ ಅನೇಕ ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಣತಿ ಹೊಂದಿರುವ 1-ಉದ್ದೇಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಶೀಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು n ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಏಕತೆಯ n-th ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಯು (pth ಪವರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಿನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಕರ್ನಲ್) ತನ್ನದೇ ಆದ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು