Analytic subgroup theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಉಪಗುಂಪು ಪ್ರಮೇಯವು ಆಧುನಿಕ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳ ಕುರಿತಾದ ಬೇಕರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. 1980ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಗಿಸ್ಬರ್ಟ್ ವಸ್ಟ್ಹೋಲ್ಜ್ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇದು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಿತು. ಅನೇಕ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೇರ ಪರಿಣಾಮಗಳೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಲೈ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಿಯಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಹೊರತು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಡೇವಿಡ್ ಮಾಸರ್ ಮತ್ತು ಗಿಸ್ಬರ್ಟ್ ವಸ್ಟ್ಹೋಲ್ಜ್ ಅವರು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಉಪಗುಂಪು ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಸ್ಟ್ಹೋಲ್ಜ್ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಗುಂಪು ಪ್ರಭೇದಗಳ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪುರಾವೆಯ ಕೇಂದ್ರ ಹೊಸ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಉಪಗುಂಪು ಪ್ರಮೇಯದ ಅದ್ಭುತ ಪರಿಣಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಮಾಸರ್ ಮತ್ತು ವುಸ್ಟ್ಹೋಲ್ಜ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಐಸೋಜೆನಿ ಪ್ರಮೇಯ. ಆಧುನಿಕ ಅಂಕಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೆರ್ಡ್ ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು ಇದರ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವುಸ್ಟ್ಹೋಲ್ಜ್ ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ಗೆ ಅಂತಿಮ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು. ಪ್ರಸ್ತುತ ಕಲೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಅಲನ್ ಬೇಕರ್ ಅವರ ಜಂಟಿ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲಾಯಿತು. ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅತ್ಯಂತ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅತ್ಯಂತ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಬಳಕೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಹೊಸ ಘಟಕಾಂಶವಾಗಿತ್ತು. ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.