Jordan curve theorem
ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು (ಸಮತಲದ ಸರಳ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆ) ಸಮತಲವನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ "ಆಂತರಿಕ" ಪ್ರದೇಶವಾಗಿ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಮತ್ತು ದೂರದ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ "ಬಾಹ್ಯ" ಪ್ರದೇಶವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರಂತರ ಮಾರ್ಗವು ಎಲ್ಲೋ ವಕ್ರರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಜಾಣ್ಮೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಜೆಸಿಟಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೂ, ವೃತ್ತಿಪರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಅದರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಓದಿಲ್ಲ. (). ಹೆಚ್ಚು ಪಾರದರ್ಶಕ ಪುರಾವೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಗಣಿತದ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ, ಮತ್ತು ಇವು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅದರ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಕ್ಯಾಮಿಲ್ಲೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ (1838-1922) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ದಶಕಗಳವರೆಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಪುರಾವೆಯು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಓಸ್ವಾಲ್ಡ್ ವೆಬ್ಲೆನ್ ಅವರು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಥಾಮಸ್ ಸಿ. ಹೇಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ತಳ್ಳಿಹಾಕಿದ್ದಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು A ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆ ಅಥವಾ ಸಮತಲ R2 ನಲ್ಲಿನ ಸರಳ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಮತಲದೊಳಗೆ ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರ C ಆಗಿದೆ, φ: S1 → R2. ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಚಾಪವು ಸಮತಲದೊಳಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ನಯವಾಗಲೀ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಲೀ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು φ: [0,1] → R2 ಎಂಬ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅದು φ (0) = φ (1) ಮತ್ತು φ ನಿಂದ [0,1) ರ ನಿರ್ಬಂಧವು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳು ಸಿ ಒಂದು ನಿರಂತರ ಲೂಪ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕೊನೆಯ ಷರತ್ತು ಸಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದುಃ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಚಾಪದ ಪೂರಕವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 1911ರಲ್ಲಿ ಎಚ್. ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಮತ್ತು ಎಲ್. ಇ. ಜೆ. ಬ್ರೌವರ್ ಅವರು ಉನ್ನತ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಜೋರ್ಡಾನ್-ಬ್ರೌವರ್ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯವು ರೂಪುಗೊಂಡಿತು. ಪುರಾವೆಯು ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, X ಯು k-ಗೋಳಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, Y = Rn + 1\X ನ ಕಡಿಮೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಏಕರೂಪದ ಗುಂಪುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ ಎಂದು ಮೊದಲು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದನ್ನು ಮೇಯರ್-ವಿಯೆಟೋರಿಸ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು k ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. n = k ಆಗಿದ್ದಾಗ, Y ಯ ಸೊನ್ನೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಏಕರೂಪತೆಯು ಶ್ರೇಣಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ Y ಯು 2 ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇವು, ಮೇಲಾಗಿ, ಮಾರ್ಗ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿವೆ), ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕೆಲಸದೊಂದಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಡಿಯು X ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಅವರು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಅವರು ಆರ್ಎನ್ + 1 ರ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪು ಎಕ್ಸ್ನ ಕಡಿಮೆ ಹೋಲೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಪೂರಕದ ಕಡಿಮೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ನಡುವೆ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. X ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಗಡಿಯಿಲ್ಲದ Rn + 1 (ಅಥವಾ Sn + 1) ನ n-ಆಯಾಮದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪೂರಕವು 2 ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್-ಸ್ಕೊನ್ಫ್ಲೈಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಆರ್ 2 ರಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಪಿ ಮತ್ತು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಎ ಗೆ, ಪಿ ಅನ್ನು ಎ ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಚಾಪವಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದು ಎ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಇದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್-ಸ್ಕೊನ್ಫ್ಲೈಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆ φ: S1 → R2, ಅಲ್ಲಿ S1 ಅನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಏಕ ವೃತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸಮತಲದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ±: R2 → R2 ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಬೆಸ್ಗು ಮತ್ತು ಬ್ರೌವರ್ ಅವರ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾಗುತ್ತದೆಃ R3ಯಲ್ಲಿನ ಏಕಮಾನದ ಚೆಂಡಿನ ಹೊರಭಾಗವು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಏಕಮಾನದ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಕೊಂಬಿನ ಗೋಳವು ಒಂದು ಗೋಳಕ್ಕೆ R3 ಸಮರೂಪದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ತಿರುಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ R3ಯಲ್ಲಿನ ಅದರ ಪೂರಕದ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಘಟಕವು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕಮಾನದ ಚೆಂಡಿನ ಹೊರಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಲ್ಲ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ (2 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದುಃ "ಹೆಕ್ಸ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಟವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ವಿಜೇತರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ", ಇದರಿಂದ ನಾವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಹೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು "ಬಲವಾದ ಹೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ" ವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಃ "ಹೆಕ್ಸ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಟವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಬ್ಬ ವಿಜೇತರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಎರಡೂ ಕಡೆಯವರು ಸೋಲುವ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಕಡೆಯವರು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ", ಹೀಗಾಗಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಲವಾದ ಹೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯವು, ಎರಡು ಸಮಾನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಹಿಮ್ಮುಖ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಕಯಂತ್ರ-ಔಪಚಾರಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಬಲವಾದ ಹೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಂತರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಗೆ ಅನ್ವಯವು ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಬೈನರಿ ಚಿತ್ರವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಚದರ ಗ್ರಿಡ್ ಆಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಚಿತ್ರದ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತಹ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು. ಎರಡು ಸ್ಪಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಗಳಿವೆಃ "4-ನೆರೆಯ ಚದರ ಗ್ರಿಡ್", ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. "8-ನೆರೆಯ ಚದರ ಗ್ರಿಡ್", ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಐಎಫ್ಎಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು. ಎರಡೂ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಗಳು ಬಲವಾದ ಹೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗಿವೆ. 4-ನೆರೆಯ ಚದರ ಗ್ರಿಡ್ ಯಾವುದೇ-ವಿಜೇತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 8-ನೆರೆಯ ಚದರ ಗ್ರಿಡ್ ಎರಡು-ವಿಜೇತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕರ್ವ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ಸಂಪರ್ಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎರಡೂ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. "6-ನೆರೆಯ ಚದರ ಗ್ರಿಡ್" ರಚನೆಯನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ಷಟ್ಕೋಣ ಗ್ರಿಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಬಲವಾದ ಹೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಬೈನರಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, 6-ನೆರೆಯ ಚದರ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಟೈನ್ಹೌಸ್ ಚೆಸ್ ಬೋರ್ಡ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ 4-ನೆರೆಯ ಗ್ರಿಡ್ ಮತ್ತು 8-ನೆರೆಯ ಗ್ರಿಡ್ "ಒಟ್ಟಿಗೆ" ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 6-ನೆರೆಯ ಗ್ರಿಡ್ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಖರವಾದ ಅಂತರ್ವೇಶನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ನೀವು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಚೌಕಗಳ ಮೇಲೆ ಬಾಂಬ್ಗಳನ್ನು ಹಾಕಿದ್ದರೆ, ರಾಜನು ಬಾಂಬ್ ಮೇಲೆ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕದೆ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆಗ ಬಂಡೆಯು ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಾಂಬ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕಬಹುದು. ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪುರಾವೆಗಳು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಮೊದಲಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಬೊಲ್ಜಾನೊ ಅವರು ನಿಖರವಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು, ಇದು ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಂತಹ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಭೇದಿಸಲಾಗದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಕೆಟ್ಟ ನಡವಳಿಕೆಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಂದಿತು, ಅಥವಾ ಅವರು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರದೇಶದ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯೂ ಸಹ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕ್ಯಾಮಿಲ್ಲೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅವರು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕುರಿತಾದ ತಮ್ಮ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅವರ ಕೋರ್ಸ್ ಡಿ ಅನಲೈಸ್ ಡಿ ಎಲ್ ಎಕೋಲ್ ಪಾಲಿಟೆಕ್ನಿಕ್ ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪುರಾವೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ವಿವಾದಗಳಿವೆಃ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕಾರರು ಮೊದಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಂತರ ಓಸ್ವಾಲ್ಡ್ ವೆಬ್ಲೆನ್ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ, ಅವರು ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವನ ಪುರಾವೆಯು ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಅತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸರಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆ ಹಂತದ ವಾದದ ಬಗ್ಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ವಿವರಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಥಾಮಸ್ ಸಿ. ಹೇಲ್ಸ್ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆಃ ನಾನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಧುನಿಕ ಉಲ್ಲೇಖವೂ ಮೊದಲ ಸರಿಯಾದ ಪುರಾವೆಯು ವೆಬ್ಲೆನ್ ಕಾರಣ ಎಂದು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಭಾರೀ ಟೀಕೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ನಾನು ಅವರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಓದಲು ಕುಳಿತಾಗ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಆಕ್ಷೇಪಾರ್ಹವಾದದ್ದೇನೂ ಕಂಡುಬರಲಿಲ್ಲ. ಅಂದಿನಿಂದ, ನಾನು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅನ್ನು ಟೀಕಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲೂ ಲೇಖಕನು ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿನ ದೋಷದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ನೇರ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ. ಸರಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ಸುಲಭವಾದ ವ್ಯಾಯಾಮ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅದನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಹೇಗಾದರೂ ಬಳಸಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಲ್ಸ್ ಗಮನಸೆಳೆದರು ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ರೀಕೆನ್ ಅವರನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ ಹೀಗೆ ಹೇಳಿದರುಃ ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪುರಾವೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪುರಾವೆಯು ವಿವರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಕರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೊಳಪು ನೀಡುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪುರಾವೆಯು ದೋಷರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು, ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಜೀನ್ ಡೆ ಲಾ ವಲ್ಲೀ ಪೌಸಿನ್ ಅವರ ಮತ್ತೊಂದು ಆರಂಭಿಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಕೋನ್ಫ್ಲೈಸ್ (1924) ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದರು. ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಇದು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಪೂರ್ವಾರ್ಧದ ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನವನ್ನು ಪಡೆಯಿತು. ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್, ಲೂಯಿಸ್ ಆಂಟೊಯಿನ್, ಲುಡ್ವಿಗ್ ಬೀಬರ್ಬಾಚ್, ಲುಯಿಟ್ಜೆನ್ ಬ್ರೌವರ್, ಆರ್ನೌಡ್ ಡೆನ್ಜೋಯ್, ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಹಾರ್ಟಾಗ್ಸ್, ಬೆಲಾ ಕೆರೆಕ್ಜಾರ್ಟೋ, ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಪ್ರಿಂಗ್ಶೀಮ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಥರ್ ಮೊರಿಟ್ಜ್ ಸ್ಕೋನ್ಫ್ಲೈಸ್ ಅವರು ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ವಿವಿಧ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೊಸ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪುರಾವೆಗಳ ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವರು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆ. ರಚನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆ. ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಪುರಾವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ K3,3 ನ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಬಳಸದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅವರು ನೀಡಿದರು. ಕಷ್ಟದ ಮೂಲವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು (ಲೆಮ್ಮಾ 1) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಿಂದ (ಲೆಮ್ಮಾ 2) ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಜೋರ್ಡಾನ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದ್ದು, ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಗಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ತೆರೆದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಮುಚ್ಚಿದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಡಿಸ್ಕ್ನ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಒಗ್ಗೂಡುವ) ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಗ್ಗೂಡುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಡಿಸ್ಕ್ನ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನುಕ್ರಮವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಕೇವಲ ನೀಡಲಾದ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಬಹುಶಃ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವಲ್ಲ. ಇದು ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ 3ರ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಎಲ್ಲೆಡೆ ತೆಳ್ಳಗಿರಬಾರದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಎಲ್ಲೋ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತೆಳುವಾಗಬಾರದು, ಇದು ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ 4 ರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು 2005ರ ಜನವರಿಯಲ್ಲಿ HOL ಬೆಳಕಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರಚಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಇದು ಸುಮಾರು 60,000 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು. ಮತ್ತೊಂದು ಕಠಿಣವಾದ 6,500-ಸಾಲಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು 2005 ರಲ್ಲಿ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ತಂಡವು ಮಿಜಾರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ತಯಾರಿಸಿತು. ಮಿಜಾರ್ ಮತ್ತು ಎಚ್ಓಎಲ್ ಲೈಟ್ ಪ್ರೂಫ್ ಎರಡೂ ಈ ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಗ್ರಂಥಾಲಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎರಡು ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹಿಮ್ಮುಖ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲಿನ ದುರ್ಬಲ ಕೋನಿಗ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸರಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಳಗೆ ಅಥವಾ ಹೊರಗೆ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ಕಿರಣವನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡಿ (ಎಲ್ಲಾ ಕಿರಣಗಳು ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ನಂತರ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ ಕಿರಣದ ಛೇದಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಬಿಂದುವು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಅಂಶಗಳು ಆಡ್ಲರ್, ಡಸ್ಕಲಾಕಿಸ್ ಮತ್ತು ಡಿಮೈನ್ ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಆವೃತ್ತಿಯು ಪಿಪಿಎಡಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಮೆಹರಾದ ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ, ಬ್ರೌವರ್ನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಡೆಂಜಾಯ್-ರೀಸ್ಜ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿರಬಹುದಾದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ ವಿವರಣೆ ಲೇಕ್ಸ್ ಆಫ್ ವಾಡಾ ಕ್ವಾಸಿ-ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪು, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಗಣಿತದ ಗುಂಪು. ಲೇಖಕರ ತಾಣ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮಿಜಾರ್ನಲ್ಲಿನ ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ 6,500 ರೇಖೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆ. ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ರಾನಿಕಿಯವರ ಮುಖಪುಟದಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಡೇವಿಡ್ ಬಿ. ಗೌಲ್ಡ್ ಅವರ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ (ಪಿಡಿಎಫ್) ಒಂದು ಸರಳ ಪುರಾವೆ.