Coxeter complex
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ (ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣ). ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಕಟ್ಟಡಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಮೂಲ ವಸ್ತುಗಳು; ಅವು ಕಟ್ಟಡದ ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಘಟಕಾಂಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಗಿರಲಿ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ,. ನಂತರ ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಚೇಂಬರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಟಿಟ್ಸ್ ಕೋನ್ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪು ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಎಚ್ಚರಿಕೆಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ನಂತರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಅದರ ದ್ವಂದ್ವದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಕೋಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಇದು ಗೋಡೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇತರ ಕೋಣೆಗಳನ್ನು ಅನುವಾದದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಅವು ಫಾರ್ ಆಗಿವೆ. ಟಿಟ್ಸ್ ಕೋನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲದರಲ್ಲೂ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಮುಖ್ಯವಾದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯೆಂದರೆ ಅದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪರಿಮಿತ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳು (2n ಕ್ರಮದ) ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಧದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಇವುಗಳು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ-ಗೋನ್ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಪ್ರಕಾರದ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರತಿಫಲನವು ಡ್ಯುಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇದನ್ನು ಬೈಲೀನಿಯರ್ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಿಂದಲೇ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ); ಇವು ಗೋಡೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಳಗಿರುವಂತೆ ಅವು ಕೋಣೆಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆಃ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ-ಗೋನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಆಯಾಮ 1 ರ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೋಟೈಪ್ನಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು. ಅನಂತ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರೇರಕ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅನಂತ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು. ಇದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು; ಇದು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವನತಿಯಾದಂತೆ ಅದರ ದ್ವಂದ್ವ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಕೇವಲ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ, ಅಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಟಿಟ್ಸ್ ಕೋನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಮಾತ್ರ. ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಗಳಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ನಕಲನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನಂತ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಿನ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಪರ್ಯಾಯ ನಿರ್ಮಾಣ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಮತ್ತೊಂದು ವಿವರಣೆಯು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೊಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕೊಸೆಟ್ ಎಂಬುದು ರೂಪದ ಕೊಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ನಂತರ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕೊಸೆಟ್ಗಳ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ರಿವರ್ಸ್ ಇನ್ಕ್ಲೂಷನ್ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಭಂಗಿಗಳುಃ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಅಂಶಗಳ ಸ್ಥಾನವು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. W ಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು-ಗೋಳಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು W ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಟಿಟ್ಸ್ ಕಟ್ಟಡದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಬಿಲ್ಡಿಂಗ್ಸ್ ವೇಯ್ಲ್ ಗ್ರೂಪ್ ರೂಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂಲಗಳು ಪೀಟರ್ ಅಬ್ರಾಮೆಂಕೊ ಮತ್ತು ಕೆನ್ನೆತ್ ಎಸ್. ಬ್ರೌನ್, ಬಿಲ್ಡಿಂಗ್ಸ್, ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 2008. ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಯೋಜನೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು