Multilevel modeling for repeated measures
ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಯ (ಎಂಎಲ್ಎಂ) ಒಂದು ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳ ದತ್ತಾಂಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಬಹು ಹಂತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಉದ್ದದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗಾಗಿ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮಾದರಿ); ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮಯವನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿರದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟಾರೆ ಬದಲಾವಣೆಯ ಕಾರ್ಯ (ಉದಾ. ರೇಖೀಯ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಘನ ಇತ್ಯಾದಿ) ಇಡೀ ಮಾದರಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಡ್ ಡೇಟಾಗಾಗಿ ಬಹು ಹಂತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ನಂತೆಯೇ, ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಬಂಧವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಯಸ್ಸಿನೊಂದಿಗೆ ಆದಾಯದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ನೋಡುವ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಖರವಾದ ತಡೆ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ನಡುವೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು (ಅಂದರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ). ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹು ಹಂತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಡ್ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಎಂಎಲ್ಎಂನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಳತೆಗಳ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಮಾಪನದ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ವ್ಯಕ್ತಿ ಅಥವಾ ವಿಷಯ). ಹೀಗಾಗಿ, ಹಂತ-1 ಘಟಕಗಳು ಪ್ರತಿ ವಿಷಯಕ್ಕೂ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹಂತ-2 ಘಟಕವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಥವಾ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆ ನಿಯತಾಂಕ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಎಂಎಲ್ಎಂ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕರ್ವ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ತಂತ್ರವಾಗಿ, ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಅಂತರ-ವೈಯಕ್ತಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಂತರ-ವೈಯಕ್ತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿನ ವೈಯಕ್ತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ತಿರುವುಗಳು). ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಯ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಕೆಲವು ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳು-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಆರ್. ಎಂ.-ಎ. ಎನ್. ಓ. ವಿ. ಎ) ಯಂತಹ ಇತರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಊಹೆಗಳು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಡ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಂಎಲ್ಎಂನ ಊಹೆಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆಃ (1) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕಗಳು ಶೂನ್ಯದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ (2) ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬೈನರಿ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎಂಎಲ್ಎಂನಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ. ವಿವಿಧ ಲಿಂಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ). ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಎಂಎಲ್ಎಂ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಊಹೆಯೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ರೇಖೀಯ, ಚತುರ್ಭುಜ ಇತ್ಯಾದಿ). ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಎಂಎಲ್ಎಂನ ಮತ್ತೊಂದು ಊಹೆಯೆಂದರೆ, ಗಮನಿಸಿದ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಸಮಯದ ಅಂಗೀಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹು ಹಂತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ದತ್ತಾಂಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಪ್ರವೃತ್ತಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಳತೆಯ ಒಟ್ಟಾರೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಮಯ-ಸಂಬಂಧಿತ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಮೂದಿಸಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಮಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ). ಸ್ಥಿರ ಪರಿಣಾಮಗಳುಃ ವಿಷಯಗಳಾದ್ಯಂತ ಸರಾಸರಿ, ವಿಷಯಗಳು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳುಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಷಯಕ್ಕೂ Y ಗೆ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಳೆಯುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಘಟಕಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ (1) ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರತಿಬಂಧಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು; (2) ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಷಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು; ಮತ್ತು (3) ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯದ ಇಳಿಜಾರುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಬಂಧಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮನ್ವಯತೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದಾಗ, ಪ್ರತಿ ವಿಷಯವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳು ಅವುಗಳ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದುಃ ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಬಹು ಹಂತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳು (ಬಹುಪದೀಯ ಮಾದರಿಗಳು): ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳು (ಚತುರ್ಭುಜ, ಘನ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಟೈಮ್ (ಟೈಮ್ಎಕ್ಸ್ಟೈಮ್, ಟೈಮ್ಎಕ್ಸ್ಟೈಮ್ಎಕ್ಸ್ಟೈಮ್ ಇತ್ಯಾದಿ) ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಂಎಲ್ಎಂನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಮಾದರಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಣಾಮಗಳು. ಮಾದರಿಗೆ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದುಃ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (ಅಂದರೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು) ಸಮಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸ್ಥಿರ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾದಂತಲ್ಲದೆ, ಬಹು ಹಂತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ನಿರಂತರ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ಕೇವಲ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಬದಲು), ಮತ್ತು ಈ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳು ಪ್ರತಿಬಂಧಗಳಲ್ಲಿನ ವೈಯಕ್ತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರುಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಯು ಸಮಯ-ಬದಲಾಗುವ ಕೋವೇರಿಯೇಟ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ವಿಶೇಷಣಗಳುಃ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಃ ಬಹು ಹಂತದ ದತ್ತಾಂಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಬಹು ಹಂತದ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅಥವಾ ದೋಷ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ). ಇವುಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾದರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಃ ದ್ವಿಗುಣ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶೇಷವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹು ಹಂತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ. ಲಾಗಿಟ್ ಅಥವಾ ಪ್ರೋಬಿಟ್ ಲಿಂಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು). ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ ಬಹು ಹಂತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತಂತ್ರಗಳು ಬಹು ಹಂತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವರ್ಸಸ್ ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾ) ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾದ ಊಹೆಗಳ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯು ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಬಹುದು. ಮಲ್ಟಿಲೆವೆಲ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ (ಎಂಎಲ್ಎಂ) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಳತೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾಃ 1ಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಯೋಜನಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ರೀತಿಯ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂಎಲ್ಎಂ ಕಡಿಮೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾಗೆ ಸ್ಥಿರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಏಕರೂಪತೆ, ಅಥವಾ ಏಕರೂಪತೆ), ಸ್ಥಿರ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಗಳು (ಸಂಯುಕ್ತ ಸಮ್ಮಿತಿ), ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅಂಕಗಳ ಸ್ಥಿರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ (ಗೋಳಾಕಾರ) ಊಹೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ ಎಂಎಲ್ಎಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎಂಎಲ್ಎಂ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ, ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಈ ಊಹೆಗಳು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. 2. ಎಂಎಲ್ಎಂ ಕ್ರಮಾನುಗತ ರಚನೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆಃ ಎಂಎಲ್ಎಂ ಅನ್ನು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾ ಎರಡು-ಹಂತದ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಂಎಲ್ಎಂ ವಿಷಯಗಳೊಳಗೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂರನೇ ಹಂತದೊಳಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾ ವಿಷಯಗಳೊಳಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. 3. ಎಂಎಲ್ಎಂ ಕಳೆದುಹೋದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದುಃ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡದೆ ಎಂಎಲ್ಎಂನಲ್ಲಿ ಕಾಣೆಯಾದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾದೊಂದಿಗೆ, ವಿಷಯದ ದತ್ತಾಂಶವು ಒಂದೇ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬೇಕು. ಕಾಣೆಯಾದ ದತ್ತಾಂಶ ಮತ್ತು ಕಾಣೆಯಾದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು (ಅಂದರೆ. ಕಾಣೆಯಾಗದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ವಿಷಯದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು) ಆರ್ಎಂ-ಅನೋವಾದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. 4. ದತ್ತಾಂಶ ಸಂಗ್ರಹಣೆಯ ನಿಖರವಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುವ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಹ ಎಂಎಲ್ಎಂ ನಿರ್ವಹಿಸಬಲ್ಲದು (ಅಂದರೆ. ಸ್ಥಿರ ಸಮಯದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಲಾಗುವ ಸಮಯ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖಾಂಶದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ದತ್ತಾಂಶವು 6 ತಿಂಗಳು, 9 ತಿಂಗಳು, 12 ತಿಂಗಳು ಮತ್ತು 15 ತಿಂಗಳುಗಳ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭಾಗವಹಿಸುವವರ ಲಭ್ಯತೆ, ಬ್ಯಾಂಕ್ ರಜಾದಿನಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಡೇಟಾವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ "ವಯಸ್ಸು" ಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎಂಎಲ್ಎಂನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಎಂಎಲ್ಎಂನಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. 5ರಷ್ಟಿದೆ. ಎಂಎಲ್ಎಂ ಅನ್ನು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿಃ ಎಂಎಲ್ಎಂನಲ್ಲಿ ಕಾಣೆಯಾದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಕಾಣೆಯಾದ ದತ್ತಾಂಶವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮಲ್ಟಿ ಲೆವೆಲ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವರ್ಸಸ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ (ಎಸ್ಇಎಂ; ಲೇಟೆಂಟ್ ಗ್ರೋತ್ ಮಾಡೆಲ್) ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ (ಎಸ್ಇಎಂ) ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಲೇಟೆಂಟ್ ಗ್ರೋತ್ ಕರ್ವ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್. ಈ ವಿಧಾನವು ಬಹು ಹಂತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಎಸ್ಇಎಂನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಂಎಲ್ಎಂ ಅಥವಾ ಎಸ್ಇಎಂ ಎರಡೂ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆಃ ಬಹು ಹಂತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನಃ ಸಮಯದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ (ಎಸ್ಇಎಂ ಸಮಯದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ) ಪ್ರತಿ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ಡೇಟಾ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಟ್ಟದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಮಾಡಿದಾಗ (ಅಂದರೆ. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ರಚನೆ) ಬಹು ಹಂತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (ಲಿಂಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ದೋಷ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನಃ ಮಾದರಿಯನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಮಾರ್ಗ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುವ ವಿಸ್ತೃತ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಲೋಪ್ ಅನ್ನು ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಎಸ್ಇಎಂ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಮ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಸುಪ್ತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು ತಮ್ಮ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಮಾದರಿ ತಂತ್ರಾಂಶದೊಳಗೆ ಬಹು ಹಂತದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿ ತಂತ್ರಾಂಶಗಳು ಸುಪ್ತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಿವೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಳತೆಗಳ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ದತ್ತಾಂಶ ರಚನೆ ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಯು ಗಣನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಿರುವ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಾಂಶವು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೊದಲು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು "ವಿಶಾಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ" ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬದಲು "ದೀರ್ಘ ರೂಪದಲ್ಲಿ" ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ವಿಷಯದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಪ್ರತಿ "ಸಮಯ" ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದು (ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಅವಲೋಕನ). ಇದು ವಿಶಾಲವಾದ ರೂಪಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಾಲು ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಕಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಮಯದ ಅಸ್ಥಿರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ವಿಷಯದ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ವಿಶಾಲ ರೂಪದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ದೀರ್ಘ ರೂಪಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿಃ ವಿಶಾಲ ರೂಪಃ ದೀರ್ಘ ರೂಪಃ ಸಹ ನೋಡಿ ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಗಳು ವಿನ್ಯಾಸ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಮಾದರಿ ರೇಖಾಂಶ ಅಧ್ಯಯನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಎಸ್. ಎ. ಎಸ್ ಮತ್ತು ಸರಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾದರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಎಂಎಲ್ಎಂನ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಎಸ್ಎಎಸ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ಎಸ್. ಎ. ಎಸ್ ಕೋಡ್ ಹೊಂದಿದೆ. ಎಸ್ ಮತ್ತು ಎಸ್-ಪ್ಲಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಆರ್ ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗಳು