Theodore Frankel
ಥಿಯೋಡೋರ್ ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ (ಜೂನ್ 17,1929-ಆಗಸ್ಟ್ 5,2017) ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾಗಿದ್ದು, ಅವರು ಆಂಡ್ರೋಟ್ಟಿ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ 1955ರಲ್ಲಿ ಬರ್ಕ್ಲಿಯ ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪಡೆದರು. ಹಾರ್ಲೆ ಫ್ಲಾಂಡರ್ಸ್ ಅವರ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಸಲಹೆಗಾರರಾಗಿದ್ದರು. ಸ್ಯಾನ್ ಡಿಯಾಗೋದ ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎಮೆರಿಟಸ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದ ಫ್ರಾಂಕೆಲ್, ನ್ಯೂಜೆರ್ಸಿಯ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಸ್ಟಡಿಯ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದರು. ಅವರು ಜಾಗತಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಮೋರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಮತ್ತು ಬ್ರೌನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಬೋಧಕವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದ ನಂತರ 1965 ರಲ್ಲಿ ಯುಸಿ ಸ್ಯಾನ್ ಡಿಯಾಗೋ ಗಣಿತ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದರು. 1930 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ಸಿಂಜ್ ಕನಿಷ್ಠ ಲೂಪ್ಗೆ ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ಗಾಗಿ ಎರಡನೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈಗ ಸಿಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಅವರು ಸಿಂಜ್ ಅವರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಗಿದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಆಯಾಮಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಛೇದಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಎರಡು ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಭೂಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಿಂಜ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಗಿದ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಆಯಾಮಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಛೇದಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಂತರ ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಗೋಲ್ಡ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಶೋಶಿಚಿ ಕೊಬಯಾಶಿ ಅವರು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಬೈಸೆಕ್ಷನಲ್ ವಕ್ರತೆಯ ಧನಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ರೆನೆ ಥಾಮ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತರಾದ ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಮತ್ತು ಆಲ್ಡೊ ಆಂಡ್ರೋಟ್ಟಿ ಅವರು ಮೋರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಹೈಪರ್ಪ್ಲೇನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೊಸ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದ ನೈಜ ಭಾಗದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ರೂಪದ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮೋರ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಗುಣವಾದ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಕಾರ್ಟನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕೆಹ್ಲರ್ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಮೊದಲ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಡಿ ರಾಮ್ ಪ್ರಮೇಯವು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಶೂನ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ರೌಲ್ ಬಾಟ್ನ ಮೋರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ನಂತರ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂದು ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಈ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅವನ ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ. ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ನ ಈ ವಿಚಾರಗಳು ನಂತರ ಮೈಕೆಲ್ ಅತಿಯಾ ಮತ್ತು ನಿಗೆಲ್ ಹಿಚಿನ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಮುಖ್ಯವಾದವು. ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು ಲೇಖನಗಳು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು 21ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, ಸ್ಯಾನ್ ಡಿಯಾಗೋ ಅಧ್ಯಾಪಕವರ್ಗ 1929 ಜನನಗಳು 2017 ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, ಬರ್ಕ್ಲಿ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಸ್ಟಡಿ ಜನರು ಬ್ರೌನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಅಧ್ಯಾಪಕವರ್ಗ ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಅಧ್ಯಾಪಕವರ್ಗ