Girsanov theorem
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಳತೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹಣಕಾಸಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಭೌತಿಕ ಅಳತೆಯಿಂದ ಹೇಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಾಧನವು (ಷೇರು ಬೆಲೆ ಅಥವಾ ಬಡ್ಡಿ ದರದಂತಹ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಪಾಯ-ತಟಸ್ಥ ಅಳತೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಇತಿಹಾಸದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1940ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಮೆರಾನ್-ಮಾರ್ಟಿನ್ ಮತ್ತು 1960ರಲ್ಲಿ ಇಗೊರ್ ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ತರುವಾಯ ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಂಗ್ಲಾರ್ಟ್ (1977) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ಯೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾದ ಅಳತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಪಿ-ಸೆಮಿಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಕ್ಯೂ-ಸೆಮಿಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾದಾಗ ನಾವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅಪಾಯ-ತಟಸ್ಥ ಬೆಲೆಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ವೀನರ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರಲಿ; ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, W ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ X ನ ಸಂಭವನೀಯ ಘಾತಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು X ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. X ಒಂದು ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು P ಅಳತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ W ಎಂಬುದು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು Q ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರವಾದ ಅಂಶವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ; ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಕ್ಯೂ ಲೋಕಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಲೆವಿಯವರು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕ್ಯೂ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯೆಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, X ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ರೂಪದ X ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ X ಒಂದು ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ನೊವಿಕೋವ್ ಅವರ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ಘಾತಾಂಕವು ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ Z ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅಳತೆ Q ಯು P ಆನ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಘಾತೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಅಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನೊವಿಕೋವ್ ಅವರ ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸುವವರೆಗೆ ಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಈ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕ್ಯೂ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಇಗೊರ್ ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಮೂಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿತ್ತು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪಾಯ-ತಟಸ್ಥ ಅಳತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಮೌಲ್ಯವು ರಿಯಾಯಿತಿಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾದ ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ಲ್ಯಾಂಗೆವಿನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಮತ್ತೊಂದು ಅನ್ವಯವು, ಇಗೊರ್ ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಲವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದರಿಂದ, ಕ್ಯೂ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ನಿಯಮವು ಕ್ಯೂ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ Q ಎಂಬುದು Y ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈಗ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೇವಲ ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಅನ್ವಯದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವೆಂದರೆ, ಎರಡೂ ಅನನ್ಯವಾದ ಬಲವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಟೋಚಾಸ್ಟಿಕ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮೇಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಗಣಿತೀಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಗಣಿತೀಯ ಹಣಕಾಸು