Plateau's problem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಾಗಿದೆ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 1760ರಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್-ಲೂಯಿಸ್ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ಎತ್ತಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಬೂನು ಚಿತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗ ಮಾಡಿದ ಜೋಸೆಫ್ ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಗವಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ವಿಶೇಷ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ 1930ರಲ್ಲಿ ಜೆಸ್ಸಿ ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಮತ್ತು ಟಿಬೋರ್ ರಾಡೋ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ನಕ್ಷೆಗಳ (ಇಮ್ಮರ್ಶನ್) ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಅವರ ವಿಧಾನಗಳು ತುಂಬಾ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದವು; ರೆನೆ ಗಾರ್ನಿಯರ್ನ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ರಾಡೋ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸರಳ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ತನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಹಿಡಿತದೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸರಳ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಸ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಎರಡೂ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ; ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಈಗ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಿದರೆ, ರಾಡೋ "ಶಕ್ತಿ" ಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಿದರು. 1936ರಲ್ಲಿ ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಅವರಿಗೆ ಅವರ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಿಗಾಗಿ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಪದಕವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು (ಅಂದರೆ,-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ-ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೂ, ವಿಸ್ತೃತ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಗಳು ಕೇವಲ ಫಾರ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂತಹ ಏಕ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸೈಮನ್ಸ್ ಕೋನ್, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ಜಿಮ್ ಸೈಮನ್ಸ್ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಬೊಂಬಿಯೇರಿ, ಡಿ ಗಿಯೋರ್ಗಿ ಮತ್ತು ಗಿಯುಸ್ಟಿ ಅವರು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವ ಸಾಧನವೆಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತೃತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ 1 ಗಾಗಿ ಪರಿಧಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಡಿ ಜಾರ್ಜಿಯ) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ಗಾಗಿ ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು (ಫೆಡರರ್ ಮತ್ತು ಫ್ಲೆಮಿಂಗ್) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮದ ಮುಚ್ಚಿದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಯವಾದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ 1 ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರೋಡೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಲ್ಮ್ಗ್ರೆನ್ ತನ್ನ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಏಕವಚನ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದನು. ಆಲ್ಮ್ಗ್ರೆನ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾದ ಎಸ್. ಎಕ್ಸ್. ಚಾಂಗ್, ಆಲ್ಮ್ಗ್ರೆನ್ನ ಕೃತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರವಾಹಗಳನ್ನು (ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರೋಡೀಕರಣದಲ್ಲಿ) ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ 2-ಆಯಾಮದ ಪ್ರದೇಶದ ಏಕತ್ವಗಳು ಸೀಮಿತ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಜೆನ್ನಿ ಹ್ಯಾರಿಸನ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾರಿಸನ್ ಪಗ್ ಅವರ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್, ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಥವಾ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕಲ್ ಸ್ಪ್ಯಾನಿಂಗ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕಾಗಿ ಅನಿಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಕ್ರೋಡೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತವೆ. ಹ್ಯಾರಿಸನ್-ಪಗ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಮಿಲ್ಲೊ ಡಿ ಲೆಲ್ಲಿಸ್, ಫ್ರಾನ್ಸೆಸ್ಕೊ ಗಿರಾಲ್ಡಿನ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾನ್ಸೆಸ್ಕೊ ಮ್ಯಾಗಿ ಪಡೆದರು. ಭೌತಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಭೌತಿಕ ಸೋಪ್ ಫಿಲ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಫ್ರೆಡೆರಿಕ್ ಆಲ್ಮ್ಗ್ರೆನ್ನ-ಕನಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಕೊರತೆಯು ಪ್ರದೇಶ ಕನಿಷ್ಠಕಾರಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ-ಪ್ರದೇಶದ ಸೋಪ್ ಫಿಲ್ಮ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ನಿರಂತರವಾದ ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ರಾಬರ್ಟ್ ರೀಫೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರು ಏಕ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಗೋಳಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಗಡಿಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ "ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು" ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಡಬಲ್ ಬಬಲ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಸ್ಟ್ರೆಚ್ಡ್ ಗ್ರಿಡ್ ವಿಧಾನ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.