Triangulated category
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವು "ಅನುವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್" ನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆ ಮತ್ತು "ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ" ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗ. ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು, ಜೊತೆಗೆ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಫೈಬರ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಫೈಬರ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಶೀಫ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ. 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ವರ್ಗಗಳ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಳಕೆಯೆಂದರೆ, X ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಸೀವ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೀವ್ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ಇದನ್ನು X ಮೇಲಿನ ಸೀವ್ಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೀರಾ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ವಿವಿಧ ಮೂಲಗಳ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅನೇಕ ಸಮಾನತೆಗಳು ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ ಅಥವಾ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಊಹೆಯು ಕ್ಯಾಲಾಬಿ-ಯೂ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗವು ಅದರ "ಕನ್ನಡಿ" ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಫುಕಾಯಾ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಶಿಫ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇತಿಹಾಸದ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಡೈಟರ್ ಪಪ್ಪೆ (1962) ಮತ್ತು ಜೀನ್-ಲೂಯಿಸ್ ವರ್ಡಿಯರ್ (1963) ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಪಪ್ಪೆ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಕಡಿಮೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದವು (ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ (ಟಿಆರ್ 4) ಕೊರತೆಯಿತ್ತು). ಪಪ್ಪೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು. ವರ್ಡಿಯರ್ನ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಅವನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದನು, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದನು. ಪಡೆದ ವರ್ಗಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸುಸಂಬದ್ಧ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಮತ್ತು ವರ್ಡಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಸೇರಿವೆ, ಇದು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಏಕವಚನ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಡಿ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಶಿಫ್ಟ್ ಅಥವಾ ಅನುವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದರೆ ಡಿ ಯಿಂದ ಡಿ ಗೆ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆ (ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರಿಗೆ, ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನತೆ). ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ n ಅನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವು (ಎಕ್ಸ್, ವೈ, ಝಡ್, ಯು, ವಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ಎಕ್ಸ್, ವೈ, ಮತ್ತು ಝಡ್ ಎಂಬ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಚ್ಚಿಡದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ. ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಟಿ. ಆರ್. 1), (ಟಿ. ಆರ್. 2), (ಟಿ. ಆರ್. 3) ಮತ್ತು (ಟಿ. ಆರ್. 4) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ, ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು (ಅಥವಾ ವಿಶಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನಗಳು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಅನುವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಯೋಜಕ ವರ್ಗ ಡಿ ಆಗಿದೆ. (ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ (ಟಿ. ಆರ್. 3) ಅನ್ನು ಇತರರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.) ಪ್ರತಿ ವಸ್ತು X ಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನವು ನಿಖರವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ, ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ವಸ್ತು Z (ಕೋನ್ ಅಥವಾ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಕೋಫೈಬರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಇರುತ್ತದೆ. ಇದು ಇತರ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು (ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ Z ವಸ್ತುವು) ಮಾರ್ಫಿಸಂನಿಂದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶಿಷ್ಟ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ಅಲ್ಲ. ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವೂ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವೂ ಆಗಿದೆ. TR2 ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ತಿರುಗುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳೂ ಸಹ ಹಾಗೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ತ್ರಿಕೋನದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, Z [−1] ವಸ್ತುವನ್ನು ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಫೈಬರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ತಿರುಗುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವರ್ಗಗಳ ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಟು ನಿಂದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೆ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ತಯಾರಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಮಾನತೆಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೇರಬೇಕಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದಾಗಿ, ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಎಂಬ ಊಹೆಯು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಟಿಆರ್ 3 ಎರಡು ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಮೂರನೇ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವೆ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಂಚರಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು f ಮತ್ತು g ಗಳು gu = u′f ನಂತಹ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ), ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸಂಚರಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುವ ನಕ್ಷೆ h (ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ TR 4: ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಟಿ. ಆರ್. 1ರ ಪ್ರಕಾರ ಈ ಮೂರು ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸೂತ್ರವು (ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ) ಮೂರು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕೋನ್ಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದೆಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ "ಎಲ್ಲವೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ". ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಆಕ್ಸಿಯಮ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದರಿಂದ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಾಲ್ಕು ಮುಖಗಳು ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ವರ್ಡಿಯರ್ನ ಸ್ವಂತದ್ದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯು ಮತ್ತು ವಿಗಳು ನೀಡಲಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಮೂಲ ಅಕ್ಷರಗಳು ವಿವಿಧ ನಕ್ಷೆಗಳ ಕೋನ್ಗಳಾಗಿವೆ (ಪ್ರತಿ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವು ಎಕ್ಸ್, ವೈ ಮತ್ತು ಝಡ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ). ವಿವಿಧ ಬಾಣಗಳನ್ನು ಅವು "ಡಿಗ್ರಿ 1" ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲು [1] ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ. Z′ ನಿಂದ X ವರೆಗಿನ ನಕ್ಷೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ Z′ ನಿಂದ X [1] ವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸೂತ್ರವು ನಂತರ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ f ಮತ್ತು g ನಕ್ಷೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ f ಮತ್ತು g ಅವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇತರ ಮುಖಗಳಲ್ಲಿ ಸಂವಹನ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಃ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿತ್ರಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತವೆ). ಮೊದಲನೆಯದು ಮೇಲಿನ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಮೇಲಿನ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ತುಂಬಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ Y ನಿಂದ Y′ ಮತ್ತು Y 'ನಿಂದ Y′ ಗೆ ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಹುಶಃ ತಪ್ಪಾಗಿ, ಹಾರ್ಟ್ಷೋರ್ನ್ನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಿಂದ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ). + ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು "d" ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾದವುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿವೆಃ ಎರಡನೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಹೆಚ್ಚು ನವೀನವಾದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು "ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್" ನಲ್ಲಿರುವ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ, X ನಿಂದ Y ಗೆ, Y ನಿಂದ Z ಗೆ, ಮತ್ತು X ನಿಂದ Z ಗೆ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮೊದಲ ಎರಡರ ನಡುವೆ X ಬಗ್ಗೆ "ಪಿವೋಟಿಂಗ್" ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಮೂರನೆಯದು Z ಬಗ್ಗೆ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇಯದು X′ ಬಗ್ಗೆ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆವರಣಗಳು ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿವೆ (ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳೆರಡೂ) ಆದರೆ Y′ ನಿಂದ Y ವರೆಗಿನ ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಇತರ ವಿನಿಮಯಶೀಲ ಚೌಕವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. "ಅಂಚಿನಿಂದ" ಸೂಚಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಣಗಳು ಡಿಗ್ರಿ 1 ಆಗಿವೆಃ ಈ ಕೊನೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಪಯುಕ್ತ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು "ಅನುಪಾತಗಳು" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಒಂದು ಕಡೆ (ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ), ಮತ್ತು (ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ) ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು "ಮೂರನೇ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಮೇಯ" ವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಎ ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗ ಡಿ (ಎ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್, ವೈ, ಝಡ್ ಎ ಯ ವಸ್ತುಗಳು ಡಿಗ್ರಿ 0 ರಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಎ ನಲ್ಲಿನ ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಡಿ (ಎ) ನಲ್ಲಿನ ಈ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಕೋನ್ಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎ ನಲ್ಲಿನ ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, 4 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 4 ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂವಹನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಡಿ ಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಕೆಲವು ಸರಳ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ವೂ = 0, ಡಬ್ಲ್ಯೂವಿ = 0, ಯು [1] ಡಬ್ಲ್ಯೂ = 0, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಒಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, TR 1 ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಕೋನ್ Z ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಯು ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶಂಕುಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಡಿ ಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕರೂಪತೆಯು ನೇರ ಸಾರಾಂಶದ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಪರೂಪತೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ "ಇಂಜೆಕ್ಟಿವಿಟಿ" ಅಥವಾ "ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವಿಟಿ" ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಾರದು ಎಂಬುದು ಸಂಬಂಧಿತ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ "ಕೋಕರ್ನಲ್" Z ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ) ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ "ಕರ್ನಲ್" ಅನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ Z [−1]. ಕೋನ್ ರಚನೆಯ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗಿನ ತಾಂತ್ರಿಕ ತೊಡಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎಂದರೆ ಕೋನ್ ನಿರ್ಮಾಣವು ಕಾರ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಉಂಗುರ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನದ ಭಾಗಶಃ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. ಇದು ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಇವೆರಡೂ ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಲಿಮಿಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ನೆರಳು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ವರ್ಗದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವಸ್ತುವನ್ನು ಡೆರಿವೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉತ್ತಮ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿವೆಯೇ? ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ "ಸರಿಯಾದ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲ ಎಂದು ಕೆಲವು ತಜ್ಞರು pg 190 ಅನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೋಡಿ) ಅನುಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲಭೂತ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಕೋನ್ ವಿಶಿಷ್ಟವಲ್ಲದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಕೋನ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ (TR 3) ಅದ್ವಿತೀಯತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ಈ ಅಪೂರ್ವತೆಯು ದೋಷಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಸ್ತಾಪವೆಂದರೆ 80 ಎಸ್. ಪಿ. ಜಿ 191 ರಲ್ಲಿ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರು ಪರ್ಸೂಯಿಂಗ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮತ್ತು ನಂತರ 90 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಅವರ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಇವು ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವರ್ಗಗಳು ನಂತರ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಈ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯು ಕೋನ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಲಿಮಿಟ್ಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ν-ವರ್ಗಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ν-ವರ್ಗಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮತ್ತೊಂದು ಪರ್ಯಾಯ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ φ-ವರ್ಗದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕೋನ್ಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ (ನಿಖರವಾದ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕಲ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ). ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ-ವರ್ಗವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಅದರ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅದರ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗದ ತ್ರಿಕೋನದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ಥಿರವಾದ-ವರ್ಗದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವುದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ-ವರ್ಗಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಭುಜಾಕೃತಿಯ ವರ್ಗಗಳ ಇದೇ ರೀತಿಯ (ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶೇಷ) ಪುಷ್ಟೀಕರಣವು ಡಿಜಿ-ವರ್ಗದ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರವಾದ φ-ವರ್ಗಗಳು ಅಥವಾ ಡಿಜಿ-ವರ್ಗಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಿಧವಾದ X ಗೆ, ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಸೀವ್ಗಳ ಬೌಂಡೆಡ್ ಡಿರೈವ್ಡ್ ವರ್ಗವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಡಿಜಿ-ವರ್ಗದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. X ಮತ್ತು Y ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ, X ನ ಡಿಜಿ-ವರ್ಗದಿಂದ Y ಯವರೆಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಫೋರಿಯರ್-ಮುಕೈ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಹೊದಿಕೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸೀವ್ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣದಿಂದ ಬಾರದ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ "ಸರಿಯಾದ" ಕಲ್ಪನೆಯು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಡಿಜಿ-ವರ್ಗಗಳ (ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರವಾದ-ವರ್ಗಗಳು) ಮಾರ್ಫಿಸಂನಿಂದ ಬಂದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಭುಜಾಕೃತಿಯ ವರ್ಗಗಳಿಗಿಂತ ಸ್ಥಿರವಾದ-ವರ್ಗಗಳು ಅಥವಾ ಡಿಜಿ-ವರ್ಗಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಯೋಜನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ φ-ವರ್ಗ ಅಥವಾ ಡಿಜಿ-ವರ್ಗ ಸಿ ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು ಸಿ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದರೆ ಡಿಜಿ-ವರ್ಗದ ಉನ್ನತ ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಬಂಧಿತ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸ್ಥಿರವಾದ φ-ವರ್ಗಗಳು ಅಥವಾ ಡಿಜಿ-ವರ್ಗಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ರಚನೆಯು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಬ್ಲೋಚ್-ಕ್ಯಾಟೊ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಮತ್ತು φ-ವರ್ಗಗಳು ಅಥವಾ ಡಿಜಿ-ವರ್ಗಗಳ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರಲಿಲ್ಲ. ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ದೊಡ್ಡ ಪೂರೈಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಡಿ ಯಿಂದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಎ ಗೆ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಫ್ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೂ ಎ ನಲ್ಲಿನ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಫ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಎ ಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆಃ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಡಿ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತು ಬಿ ಗೆ, ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ. (ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಎರಡನೆಯದು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಡಿ ಯ ವಿರುದ್ಧ ವರ್ಗದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು) ಅಂದರೆ, ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಎರಡು ಉದ್ದವಾದ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ, ಈ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಶೀಫ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ, ಗ್ರೂಪ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ಟ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು i ಗಾಗಿ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಎ ಗೆ, ಡಿ (ಎ) ಎಂಬ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗದ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಯು ಎ ನಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಡಿ (ಎ) ನಲ್ಲಿರುವ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವು ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎ ಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಡಿ ಯಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಇ ಗೆ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ (ತ್ರಿಕೋನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಡಿಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನುವಾದದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ, ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಡಿ ಯ ಅನುವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಇ ಯ ಅನುವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ), ಅಂದರೆ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವಿದ್ದಾಗ, ಇ ಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ವರ್ಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಫ್ಜಿ ಮತ್ತು ಜಿಎಫ್ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಆಯಾ ಗುರುತಿನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವಂತಹ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇದೆ. ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳು ಡಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳು (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ) ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಫಂಕ್ಟರ್ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದರೆ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಡಿ ನಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಸ್ ನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಏಕರೂಪತೆ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ವಸ್ತುವಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಸಹಉತ್ಪಾದನೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕೊಲಿಮಿಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ವಸ್ತುವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ವರ್ಣಪಟಲವಾಗಿದೆ. ಉಂಗುರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಯೋಜನೆಯ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ವಸ್ತುವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಧವಾದ Xನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಪರ್ಫ್ (X) ವರ್ಗವನ್ನು ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಹೊದಿಕೆಗಳ ಸೀಮಿತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗವಾಗಿಯೂ ನೋಡಬಹುದು. ಡಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಲ್ಲದ) ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಡಿ ಅನ್ನು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರ ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಸ್ತು ಎಕ್ಸ್ ಗೆ, ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎನ್ ಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಸ್ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಸ್ತು ವೈ ಇದೆ. ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ "ದೊಡ್ಡ" ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್ ಎಂಬ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಸಾಂದ್ರವಾದ ಅರೆ-ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಯೋಜನೆಯ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ವರ್ಗವನ್ನು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ಗೋಳ ವರ್ಣಪಟಲ ಎಂಬ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಮ್ನಾನ್ ನೀಮನ್ ಬ್ರೌನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಡಿ ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ, ಇದು ಸಹಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ H ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ X ಗಳಿಗೂ ಇರುವಂತೆ D ಯ ಒಂದು ವಸ್ತು W ಇದೆ.) ಮತ್ತೊಂದು ಆವೃತ್ತಿಗೆ, ಡಿ ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ, ಟಿ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ. ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಸಹಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಹಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಿದರೆ, ಎಫ್ ಸರಿಯಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ವಿವಿಧ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬ್ರೌನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀಮನ್ ಇದನ್ನು ಸುಸಂಬದ್ಧ ದ್ವಂದ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೇಂದ್ರ ಲಕ್ಷಣವಾದ ಯೋಜನೆಗಳ ರೂಪವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಾಧಾರಣ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಬಳಸಿದರು. ಟಿ-ರಚನೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಎ ಗೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗ ಡಿ (ಎ) ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಎ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಡಿಗ್ರಿ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿವೆ). ವಿವಿಧ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಡಿ (ಎ) ಯಿಂದ ಎ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಬೈಲಿನ್ಸನ್, ಜೋಸೆಫ್ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಡಿ ಮೇಲೆ ಟಿ-ರಚನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಡಿ ಮೇಲೆ ಎ ಟಿ-ರಚನೆಯು ಡಿ ಒಳಗೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಡಿ ಮೇಲೆ ವಿಭಿನ್ನ ಟಿ-ರಚನೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಮತ್ತು ದಪ್ಪ ಉಪವರ್ಗಗಳು ಡಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ. ಡಿ ಯ ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಉಪವರ್ಗವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪೂರ್ಣ ತ್ರಿಕೋನ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಹೆಸರನ್ನು ವಿವರಿಸಲುಃ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಡಿ ಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಪವರ್ಗ ಎಸ್ ಅನ್ನು ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ರಚಿಸಿದರೆ, ಕರ್ನಲ್ ಎಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಬೌಸ್ಫೀಲ್ಡ್ ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇರುತ್ತದೆ. (ಅಂದರೆ, ಡಿ ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ವೈ ಮತ್ತು ಬಲ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಎಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ.) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರಚನೆಯು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸ್ಥಳೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಒಂದು ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ಹೊದಿಕೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣದಿಂದ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. "ಸಣ್ಣ" ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆಃ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಸಿ ಯ ದಪ್ಪ ಉಪವರ್ಗವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪೂರ್ಣ ತ್ರಿಕೋನದ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ನೇರ ಸಾರಾಂಶಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. (ಸಿ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್-ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಉಪವರ್ಗವು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್-ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ದಪ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಸ್ಥಳೀಯ ಉಪವರ್ಗವು ದಪ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸ್ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗ ಡಿ ಯ ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ವಸ್ತುಗಳ ಉಪವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಎಸ್ ನ ಛೇದನವು ಇದರ ದಪ್ಪ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡೆವಿನಾಟ್ಜ್-ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್-ಸ್ಮಿತ್ ಅವರು ಮೊರಾವಾ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ವರ್ಣಪಟಲದ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗದ ಎಲ್ಲಾ ದಪ್ಪ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗದ ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಫೋರಿಯರ್-ಮುಕಾಯ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಸಿಕ್ಸ್ ಆಪರೇಶನ್ಸ್ ಪರ್ವರ್ಸ್ ಶೀಫ್ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬೈಲಿನ್ಸನ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಲೋಕಲೈಸೇಶನ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಸೆಮಿಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಬ್ರಿಡ್ಜ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಕಂಡಿಷನ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಪರಿಚಯಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಾರಾಂಶಃ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಮುಂದುವರಿದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳೆಂದರೆಃ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜೆ. ಪೀಟರ್ ಮೇ, ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳು