Trapezoidal rule (differential equations)
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮದಿಂದ ಪಡೆದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯ್ಡಲ್ ನಿಯಮವು ಸೂಚ್ಯವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ರುಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಬಹು ಹಂತದ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವಿಧಾನ ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯ್ಡಲ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಹಂತದ ಗಾತ್ರ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ಸೂಚ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆಃ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನ. ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವುದು ಹ್ಯೂನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಅಭಿಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮವು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ದೋಷ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಇದು ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕಾಗಿ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮದ ದೋಷ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಹೀಗಾಗಿ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ದೋಷವು ಹಂತದ ಗಾತ್ರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು (ಇದರ ಅರ್ಥಕ್ಕಾಗಿ ದೊಡ್ಡ O ಸಂಕೇತವನ್ನು ನೋಡಿ). ಸ್ಥಿರತೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರದೇಶ ಇದು ಎಡ-ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮವು ಎ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಎ-ಸ್ಥಿರ ರೇಖೀಯ ಬಹು ಹಂತದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮವು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಎರಡನೇ ಡಾಲ್ಕ್ವಿಸ್ಟ್ ತಡೆಗೋಡೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎ-ಸ್ಟೇಬಲ್ ಆಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಬಹು ಹಂತದ ವಿಧಾನವು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎ-ಸ್ಟೇಬಲ್ ರೇಖೀಯ ಬಹು ಹಂತದ ವಿಧಾನದ ದೋಷ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯ್ಡಲ್ ನಿಯಮದ ದೋಷ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯ್ಡಲ್ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರದೇಶವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಡ-ಅರ್ಧ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಟ್ರೈಪೆಜಾಯ್ಡಲ್ ನಿಯಮವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣ y "'= λy" ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವು ಮಾಡಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. ಕ್ರ್ಯಾಂಕ್-ನಿಕಲ್ಸನ್ ವಿಧಾನವಾದ ರುಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ.