Synthetic geometry
ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ರೇಖಾಗಣಿತ ಅಥವಾ ಶುದ್ಧ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬಳಕೆಯಿಲ್ಲದ ರೇಖಾಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. "ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು 17ನೇ ಶತಮಾನದ ನಂತರವಷ್ಟೇ ಸೃಷ್ಟಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ "ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ಗಿಂತ ಮೊದಲು ತಿಳಿದಿರುವ ಹಳೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸದೆ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ನಂತರ ಬರೆಯಬಹುದಾದಂತಹ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು ಸಾಕಾಗಲಿಲ್ಲ ಎಂದು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿತು. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ನೀಡಿದರು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳೆರಡನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಅನುಮೋದನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಎಮಿಲ್ ಆರ್ಟಿನ್ ತನ್ನ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತಗಳು ಮತ್ತು ಡೆಸರ್ಗ್ಯೂಸಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ರೇಖಾಗಣಿತದಂತಹ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರದ ರೇಖಾಗಣಿತಗಳಿಗೆ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ. ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವು ಈ ಆದಿಮಾನವಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅಥವಾ ಆದಿಮಾನವಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆಃ ಆದಿಮಾನವಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ವಿಚಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವು ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುಗಳು ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳಂತಹ ವಸ್ತುಗಳು, ಆದರೆ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಬಂಧವು ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ-ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಭೇಟಿಯಾಗುವುದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದರೊಂದಿಗೆ ಸೇರುವುದು. ಪದಗಳು ಸ್ವತಃ ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಒಮ್ಮೆ ಹೇಳಿದ್ದು, ಅಂಕಗಳು, ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಟೇಬಲ್ಗಳು, ಕುರ್ಚಿಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಯರ್ ಮಗ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು, ಮೂಲ ಪದಗಳು ಕೇವಲ ಖಾಲಿ ಪ್ಲೇಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು ಈ ಆದಿಮಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಕಗಳಿಗೆ, ಇವೆರಡರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ರೇಖೆ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ). ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳು ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ. ಅವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಬಿಲ್ಡಿಂಗ್ ಬ್ಲಾಕ್ಸ್ ಆಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಆದಿಮಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ವಾದವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಅದೇ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ನೀಡುವ ವಿಭಿನ್ನ ಸೆಟ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೂ ಇವೆ. ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸಮೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ, ಏಕವಚನದಲ್ಲಿ "ರೇಖಾಗಣಿತ" ದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಇತರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಅದನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವುದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವುದರಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಮೂಹಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಅಫೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಂತಹ ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು "ನಡುವಿನ" ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸಹ ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವ ಅಥವಾ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಕ್ಲೈನ್ನ ಎರ್ಲ್ಯಾಂಜೆನ್ ಕಾರ್ಯಸೂಚಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಶೈಲಿಯ ಬದಲು ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ವಿಷಯದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಾಸ್, ಬೊಲ್ಯಾಯ್, ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಅವರು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸುವವರೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಮೂಲ ವಿಧಾನವು ಎರಡು ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಪ್ರಶ್ನಾತೀತವಾಗಿಯೇ ಉಳಿಯಿತು. ಆರಂಭಿಕ ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿಶ್ಲೇಷಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖಕನು, ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಮಂಡಿಸಿದ ನಂತರ, ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ ನಂತರ, ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದನು, ಅದನ್ನು ಅವನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹಿಂದಿನದರ ಮೂಲಕ ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಳದಿಂದ ಸಂಯುಕ್ತಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾನೆ, ಇದು ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಉಚ್ಛ್ರಾಯ ದಿನವನ್ನು 19ನೇ ಶತಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಯಾಕೋಬ್ ಸ್ಟೈನರ್ ನಂತಹ ಕೆಲವು ರೇಖಾಗಣಿತಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಪರವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದವು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘಟನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದಕ್ಕಿಂತ ವಿಶಾಲವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗೆ). ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಸೊಗಸಾದ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತನ್ನ ಎರ್ಲ್ಯಾಂಜೆನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ವೇಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರುಃ ಆಧುನಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದ ನಡುವಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಬಗ್ಗೆಃ ಆಧುನಿಕ ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಷಯ-ವಿಷಯ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳೆರಡೂ ಕ್ರಮೇಣ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅವೆರಡರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೆಸರಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ವಿಧಾನವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಗ್ರಹಿಕೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಅದರ ಮೊದಲ ಸರಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಿಗೆ ಅಪರೂಪದ ಆಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಗ್ರಹಿಕೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ನಿಖರವಾದ ಮತ್ತು ಎದ್ದುಕಾಣುವ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಉತ್ತಮವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಾರದು-ಇದು ಚಿಂತನೆಯ ಮುಂಚಿತವಾಗಿಯೇ ಅದರ ಚಲನೆಯಿಂದಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಗಣಿತದ ವಿಷಯವು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವವರೆಗೆ ಅದು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಾರದು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಪ್ರಗತಿಯು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದರೂ ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಯಾವಾಗಲೂ ಒತ್ತಾಯಿಸಬೇಕು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ನಿಕಟ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಅಧ್ಯಯನವು ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಸಾಚೆರಿ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಈ ರಚನೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದವು, ಅಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಾಸ್, ಬೊಲ್ಯಾಯ್ ಮತ್ತು ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಅವುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸಮಾನಾಂತರ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಯನವು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಾಯಿತು. ಅಂತೆಯೇ, ಗೌಸ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾದ ರೀಮನ್, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದನು, ಅದರಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು ಲುಡ್ವಿಗ್ ಇಮ್ಯಾನ್ಯುಯೆಲ್ ಮ್ಯಾಗ್ನಸ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ವಿಲೋಮ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದನ್ನು ಆತ್ಮದಲ್ಲಿ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯದ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಮತಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಲ್ ವಾನ್ ಸ್ಟಾಡ್ಟ್, ವಿನಿಮಯಶೀಲತೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜನೆಯಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂರಚನೆಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಘಟನೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಡೆಸಾರ್ಗ್ಸ್ ಸಂರಚನೆಯು ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಿದೆ ಎಂದು ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಮುಂದಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ರುತ್ ಮೌಫಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಆಕೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮಾಡಿದರು. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರೇರಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಅಫೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾಣೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಒದಗಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಮ್ಯತೆಯು ಅಫೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಅಫೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. 1955ರಲ್ಲಿ ಹರ್ಬರ್ಟ್ ಬುಸೆಮನ್ ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ಜೆ. ಕೆಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ನಾಸ್ಟಾಲ್ಜಿಕ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರುಃ ಇಷ್ಟವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸೌಂದರ್ಯವು ಹೊಸ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ತನ್ನ ಆಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ರೇಖಾಗಣಿತಕಾರರು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕಾರಣಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿವೆಃ ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವು ತರ್ಕವು ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಏಕೈಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ಜನರಿಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾದ ಈ ಮನವಿಯನ್ನು ಈಗ ಇತರ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮಾಡಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಲೇಜು ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಈಗ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ, ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಗಳಿಂದ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಶ್ಲೇಷಿತವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಷಯದ ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂದಿನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿಯ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಕಾಟರ್ 1901ರಲ್ಲಿ "ದಿ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಸಿಂಥೆಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಫ್ರಮ್ ಮೋಂಗೆ ಟು ಸ್ಟಾಡ್ಟ್ (1847)" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ (ಜರ್ಮನ್) ವರದಿಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು; ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಗಳು ಸಹಾಯಕ ರಚನೆಗಳನ್ನು (ಸಹಾಯ ರೇಖೆಗಳಂತಹವು) ಮತ್ತು ಬದಿಗಳು ಅಥವಾ ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪತೆಯಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಪುರಾವೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಟರ್ಫ್ಲೈ ಥೀರಂ, ಆಂಗಲ್ ಬೈಸೆಕ್ಟರ್ ಥೀರಂ, ಅಪೋಲೋನಿಯಸ್ ಥೀರಂ, ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಥೀರಂ, ಸೆವಾ ಥೀರಂ, ಈಕ್ವಲ್ ಇನ್ಸರ್ಕಲ್ಸ್ ಥೀರಂ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಥೀರಂ, ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರ, ಐಸೊಸೆಲೆಸ್ ತ್ರಿಕೋನ ಥೀರಂ, ಕೊಸೈನ್ಗಳ ನಿಯಮ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಇತರ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಿಂಥೆಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಿಂಥೆಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬಹುಗುಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳಿಗೆ ಟೋಪೋಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಸಿಂಥೆಟಿಕ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಹಾಲ್ಸ್ಟೆಡ್, ಜಿ. ಬಿ. ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. (1896) ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಆರ್ಕೈವ್ ಮೂಲಕ ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಸಿಂಥೆಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಹಾಲ್ಸ್ಟೆಡ್, ಜಾರ್ಜ್ ಬ್ರೂಸ್ (1906) ಸಿಂಥೆಟಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಆರ್ಕೈವ್ ಮೂಲಕ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಕೊಹ್ನ್-ವೋಸೆನ್, ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪನೆ. ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು