Vincent's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೆ ಜೋಸೆಫ್ ಹಿಡುಲ್ಫ್ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುಪದಗಳ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುಪದಗಳ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ವೇಗದ ವಿಧಾನದ ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಇದನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡಲಾಯಿತು, ಇದು ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಮರೆಮಾಚಲ್ಪಟ್ಟಿತು; ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಇದು ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿಯ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ (20ನೇ ಶತಮಾನದ) ಯಾವುದೇ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅವುಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಹಲವಾರು (ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ದ್ವಿಭಾಜನ) ನೈಜ ಮೂಲ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು c0, c1, c2. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. l <r ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಹೀಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ r = l + 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. r ±l + 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು cl + 1,.., cr-1 ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು cl ಮತ್ತು cr ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸಿಎಲ್ ಮತ್ತು ಸಿಆರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದ p (x) ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, p (x) ನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡು ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಆವೃತ್ತಿ, ಮತ್ತು ಅಲೆಸಿನಾ ಮತ್ತು ಗಲುಝಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ದ್ವಿವಿಭಜನೆಯ ಆವೃತ್ತಿ. ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಆವೃತ್ತಿ (1834 ಮತ್ತು 1836) ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮತ್ತು ಬಹು ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲದ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರುವ ರೂಪದ ಅನುಕ್ರಮ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ಅಂತಹ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂಲವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಮೂಲವಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದರೆ, ಮೂಲವನ್ನು (ಅನಂತ) ಅನುಗುಣವಾದ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರಮೇಯದ ನಿಖರವಾದ ಅನುವಾದವಾಗಿದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆಃ n ಪರ್ಯಾಯಗಳ ನಂತರ ಪಡೆದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ (ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ), ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅದು ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ N ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಮೂಲವಿದೆ. ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು> 1 ಎಂಬ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು x ಅನ್ನು −x ನಿಂದ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗುತ್ತವೆ. ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ದ್ವಿಭಾಜನ ಆವೃತ್ತಿ (ಅಲೆಸಿನಾ ಮತ್ತು ಗಲುಝಿ 2000) p (x) ಸರಳವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (p) ಯ ನೈಜ ಬಹುಪದವಾಗಿರಲಿ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣ δ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಜೊತೆಗೆ, ರೂಪದ ಪ್ರತಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಬಹುಪದವು ನಿಖರವಾಗಿ 0 ಅಥವಾ 1 ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (a, b) ಒಳಗೆ p (x) ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣವು ಸಾಧ್ಯ. (a, b) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಿಯು ಯಾವುದೇ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಮೀಕರಣ () ದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ p (x) ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತಿತ ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಿ; ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದ (a, b) ಒಳಗೆ p (x) ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, R [x] ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದ p (x) ನ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b)-ಎಣಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ρab (p), ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (p), ಮೇಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವರಬ್ (p) ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವರಬ್ (p) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ρab (p) = 0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವರಬ್ (p) = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ρab (p) = 1 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲೆಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ಬೇರುಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆ" ಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಬುಡಾನ್ನ "0 _ 1 ಬೇರುಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆ". ಪುರಾವೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿವರವಾದ ಚರ್ಚೆ, ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆ, ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅಲೆಸಿನಾ ಮತ್ತು ಗಲುಝಿ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ನಾಲ್ಕನೇ ಪುರಾವೆಯೆಂದರೆ ಓಸ್ಟ್ರೊವ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಒಬ್ರೆಸ್ಕೋಫ್, ಪುಟ 81,1920-1923 ನಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸಿದ್ದಾರೆ. (ಎರಡೂ ಆವೃತ್ತಿಗಳು) ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅಲೆಸ್ಸಿನಾ ಮತ್ತು ಗಲುಝಿ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಣಿಯ ನಂತರ, ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಲು, ಅವರು ಮೊದಲು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ 1920-1923 ನ ಒಬ್ರೆಸ್ಕೋಫ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಪಪಾದ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ; ಅಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಪಪಾದ್ಯವು ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಗತ್ಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕೊರೊಲ್ಲರಿ. (ಒಬ್ರೆಸ್ಕೋಫ್ನ ಕೋನ್ ಅಥವಾ ವಲಯ ಪ್ರಮೇಯ, 1920-1923 p. 81): ಒಂದು ನೈಜ ಬಹುಪದವು ಒಂದು ಸರಳ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ (ಬಹುಶಃ ಬಹು) ಮೂಲಗಳು ವಲಯದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾದ ಮೂರು ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ; ಇದರ ವ್ಯಾಸವು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವಿಲೋಮ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳನ್ನು (ಅವುಗಳ ನೀಲಿ ಅರ್ಧಚಂದ್ರಗಳು ಮಾತ್ರ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ) ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಲೋಮ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು (ಎಂಟು-ಆಕಾರದ ಆಕೃತಿಯ ಹೊರಗಿನವು) ವಲಯಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಬಹುಪದವು ಎಂಟು-ಆಕಾರದ ಆಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಅದರ ಹೊರಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮೇಲಿನವುಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮುಕ್ತಾಯವನ್ನು ಸಹ ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಆರಂಭಿಕ ಅನ್ವಯಗಳು ತನ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ, ವಿನ್ಸೆಂಟ್, ಬಹುಪದಗಳ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ತನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ತೋರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಂದ ವಿಧಾನವು ಘಾತೀಯ ಗಣನೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಒಂದು ಶತಮಾನದ ನಂತರ ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿ ಪುಟ 136 ರಿಂದ ಅರಿತುಕೊಂಡಂತೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಆಗ ಅರಿತುಕೊಂಡಿರಬೇಕು. ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಘಾತೀಯ ಸ್ವರೂಪವು ಭಾಗಶಃ ಉದ್ಧರಣಗಳನ್ನು (ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನದಿಂದಾಗಿ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಭಾಗಶಃ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು (ಅಂದರೆ, x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬೇರುಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು) ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು "ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲದ ಪರೀಕ್ಷೆ" ಎಂದು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂಲವೊಂದರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ x-1x + 1 ರೂಪದ ಅನುಕ್ರಮ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳಾದ p (x) ಮತ್ತು p (x + 1) ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ನಿಲ್ಲುತ್ತಾನೆ (ಅಂದರೆ. p (x + 1) ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (5,6) ಮೂಲವು ಇರುವ ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ. ಮೂಲವು ಮೂಲದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ವಿಧಾನದ ಘಾತೀಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿವಾರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಿರುವುದು 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ತನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿದ ಕೊನೆಯ ಲೇಖಕನಾಗಿದ್ದನು. ಅದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ 1827ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದು, ಇದು ಬಹುಪದಿಯು ನಿಜವಾದ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b) ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ನಿಖರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮೂಲ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿತು. ಬಹುಪದಗಳ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ (ಸ್ಟರ್ಮ್ನ) ವಿಧಾನವು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಮತ್ತು ಅಂದಿನಿಂದಲೂ ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟ ಏಕೈಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ-ಸುಮಾರು 1980 ರವರೆಗೆ, ಇದನ್ನು (ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ) ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪಡೆದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಯಿತು, ಅತ್ಯಂತ ವೇಗದ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಅಕ್ರಿತಾಸ್-ಸ್ಟ್ರ್ಜೆಬೊನ್ಸ್ಕಿ (ವಿಎಎಸ್) ವಿಧಾನ. ಸೆರೆಟ್ ತನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತ, pp 363-368, ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅದರ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿಕೊಂಡನು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆಸಕ್ತ ಓದುಗರಿಗೆ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಬಂಧಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದನು. 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಕೊನೆಯ ಲೇಖಕ ಸೆರೆಟ್. 20ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಇದಕ್ಕೆ ಅಪವಾದಗಳೆಂದರೆ ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಒಬ್ರೆಸ್ಕೋಫ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕಗಳು, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯಿದೆ. ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿಯ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿಯೇ ಅಕ್ರಿತಾಸ್ ಅವರು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಅದನ್ನು ತಮ್ಮ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧವಾದ "ವಿನ್ಸೆಂಟ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಯಲ್ಲಿ", ನಾರ್ತ್ ಕೆರೊಲಿನಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, ಯುಎಸ್ಎ, 1978 ರ ವಿಷಯವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿದರು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನೆಯೆಂದರೆ 1836ರ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಅವರ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಇದು ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಂಡಿತ್ತು-ಇದರಿಂದಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ತಪ್ಪು ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. 1836ರ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಅವರ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಅಮೆರಿಕದ ವಿಸ್ಕಾನ್ಸಿನ್-ಮ್ಯಾಡಿಸನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಗ್ರಂಥಾಲಯದಲ್ಲಿ ಗ್ರಂಥಪಾಲಕರ ಶ್ಲಾಘನೀಯ ಪ್ರಯತ್ನಗಳ ಮೂಲಕ ಅಕ್ರಿತಾಸ್ಗೆ ಲಭ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪಡೆದ ನೈಜ ಮೂಲ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಮೂಲವು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬಂತಹ ಮುಕ್ತ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಗೆ ಅವುಗಳ ಅಂದಾಜು; ಇದಲ್ಲದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೇಲೆ ಗಮನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಹುಪದ p (x) ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು x ಅನ್ನು −x (x) ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (p) ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಪದ p (x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ. ನಂತರ, f (x) ನ ಏಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವು (ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0, φ)) p (x) ನ ಆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅದು ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು. ಈ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ M (0) ಮತ್ತು M (φ) ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣ () ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದ a, b, c, d ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು-ಪ್ರತಿ ಮೂಲಕ್ಕೂ-ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ನಿರ್ಣಾಯಕ ವೀಕ್ಷಣೆಃ ಸಮೀಕರಣ () ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದ (ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ) a, b, c, d ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ, ಇದು ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಅಕ್ರಿತಾಸ್-ಸ್ಟ್ರ್ಜೆಬೊನ್ಸ್ಕಿ (ವಿಎಎಸ್) ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ದ್ವಿಭಾಜಿತಿಯಿಂದ, (ಇತರರ ನಡುವೆ) ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಕಾಲಿನ್ಸ್-ಅಕ್ರಿತಾಸ್ (ವಿಸಿಎ) ದ್ವಿಭಾಜಿತಿಯ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮುಖ ಅವಲೋಕನಗಳ "ದ್ವಿಭಾಜಿತ ಭಾಗ" ವು ಅಲೆಸಿನಾ ಮತ್ತು ಗಲುಝಿ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳು (ಅವುಗಳ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆಗಾಗಿ ಬುಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ) ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ (ಒಮ್ಮೆ) ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು, ಯುಬಿ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಿನಾಯಿತಿಯು ವಿಎಎಸ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು, ಮುಖ್ಯ ಲೂಪ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡರಿಗಳಾದ ಎಲ್ಬಿ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಬಹುಪದ p (x) ನ ಕೆಳಗಿನ ಬೌಂಡ್ lb ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಹುಪದದ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ub ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಸಿ. ಕೇವಲ ಬಹುಪದಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ (ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ) ಮಿತಿಯನ್ನು ಅಕ್ರಿತಾಸ್, ಸ್ಟ್ರೆಜೆಬೊನ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ವಿಗ್ಕ್ಲಾಸ್ ಅವರು ಡೊರು ಸ್ಟೆಫಾನೆಸ್ಕು ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪಿ. ಎಸ್. ವಿಗ್ಕ್ಲಾಸ್ ಅವರ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧ ಮತ್ತು ಇತರೆಡೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಗಣಕಯಂತ್ರ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾದ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ, ಸೇಜ್ ಮ್ಯಾಥ್, ಸಿಂಪೈ, ಎಕ್ಸ್ಕಾಸ್ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳು ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಬೌಲಿಯರ್ ಅವರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಪುಟ 24. ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಧಾನವು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಇದು 1830 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದಾಗ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು, ನಿರಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ತನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಂದ ವಿಧಾನವು ಘಾತೀಯ ಗಣನೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು. ಈ ವಿಧಾನವು ಹೇಗೆ ವಿಕಸನಗೊಂಡಿತು ಎಂಬುದರ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಅಕ್ರಿತಾಸ್-ಸ್ಟ್ರ್ಜೆಬೊನ್ಸ್ಕಿ (ವಿಎಎಸ್, 2005) ಇದು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ವಿಧಾನದ ಘಾತೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ (ವಿಸಿಎ ನಂತರ). ವಿಎಎಸ್ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಧಾನವು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ನೇರ ಅನುಷ್ಠಾನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೂಲತಃ 1834 ರಿಂದ 1938 ರವರೆಗೆ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಅವರು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು; ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಪ್ರತಿ ಭಾಗಶಃ ಅಂಶವನ್ನು ಎಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐಐ ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅದರ ಬಹುಪದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ರೂಪವಾಗಿ ಅಕ್ರಿತಾಸ್ ಅವರು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರು, ಅವರು ತಮ್ಮ 1978 ರ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಥೀಸಿಸ್ನಲ್ಲಿ (ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಯಲ್ಲಿ, ನಾರ್ತ್ ಕೆರೊಲಿನಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, ಯುಎಸ್ಎ) ಬಹುಪದದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಭಾಗಶಃ ಅಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್, ಎಲ್ಬಿ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು. ಇದನ್ನು ಆದರ್ಶ ಧನಾತ್ಮಕ ಲೋವರ್ ರೂಟ್ ಬೌಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡಿ). ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಈಗ ಎಐಐಎಲ್ಬಿ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಎಕ್ಸ್ಐಎಕ್ಸ್ + ಎಲ್ಬಿ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ, ಇದು ಪರ್ಯಾಯ ಎಕ್ಸ್ಐಎಕ್ಸ್ + 1 ರಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಆದರ್ಶ ಧನಾತ್ಮಕ ಲೋವರ್ ರೂಟ್ ಬೌಂಡ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಸ್ಟ್ರೆಜೆಬೊನ್ಸ್ಕಿ 2005 ರಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯ 16 ಅನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು. ಇದಲ್ಲದೆ, ವಿ. ಎ. ಎಸ್. (ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು) ವಿಧಾನವು ವಿ. ಸಿ. ಎ. (ಬೈಸೆಕ್ಷನ್) ವಿಧಾನದ ತ್ವರಿತ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ; ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ವಿ. ಎ. ಎಸ್. ನ ಮಿಗ್ನೊಟ್ಟೆ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಇದು ವಿ. ಸಿ. ಎ. ಯ ತ್ವರಿತ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕಿಂತ ಸುಮಾರು 50,000 ಪಟ್ಟು ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 2007ರಲ್ಲಿ, ಶರ್ಮಾ ಆದರ್ಶ ಧನಾತ್ಮಕ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ನ ಊಹೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರು ಮತ್ತು ವಿಎಎಸ್ ಇನ್ನೂ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ, ಸೇಜ್ ಮ್ಯಾಥ್, ಸಿಂಪೈ, ಎಕ್ಸ್ಕಾಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಗಾಗಿ ವಿಎಎಸ್ ಡೀಫಾಲ್ಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ವಿ. ಎ. ಎಸ್. ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಎಕ್ಸ್ಕಾಸ್ನ ರಿಯಲ್ ರೂಟ್ (ಪಾಲಿ) ಮತ್ತು ಟೈಮ್ (ರಿಯಲ್ ರೂಟ್ (ಪಾಲಿ)) ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ. ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವಾಗಿ, ಪಾಲಿ ರಿಯಲ್ ರೂಟ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ವಿಎಎಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ; ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ರಿಯಲ್ ರೂಟ್ (ಸ್ಟರ್ಮ್, ಪಾಲಿ) ಬರೆಯಿರಿ. ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುವ ಆಂಡ್ರಾಯ್ಡ್ ಸಾಧನಗಳಿಗಾಗಿ ಎ. ಬರ್ಕಾಕಿಸ್ ಅವರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ವಿಎಎಸ್ (ಪಿ, ಎಂ) ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸರಳತೆಗಾಗಿ ಸ್ಟ್ರೆಜೆಬೊನ್ಸ್ಕಿಯ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲಃ ಪಿ (x) ಯು ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (ಪಿ) ನ ಬಹುಪದವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಪಿ (0) §0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, p (x) ನೊಂದಿಗೆ M (x) = x ಎಂಬ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ {p (x), M (x)} ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಬೇಕು. ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, (ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ವರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು) ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಅದರ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು p (x) ಮೇಲಿನ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಮೂಲವಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ (a, b), ಅಲ್ಲಿ a = ಕನಿಷ್ಠ (M (0), M (≤), ಮತ್ತು b = ಗರಿಷ್ಠ (M (0), M (≤)); b = ≤ ಸೆಟ್ b = ub ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ub ಎಂಬುದು p (x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿದ್ದರೆ, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0, φ) ಶೂನ್ಯ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ ಮೂಲಗಳಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ (0,1) ಒಳಗೆ ಇರುವ p (x) ನ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ (1, φ) ಒಳಗೆ ಇರುವವುಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 1ಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0,1) ಆದರ್ಶ ಕೆಳಭಾಗದ ಮಿತಿಯೊಳಗೆ ಮೂಲಗಳಿವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, lb ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಳಭಾಗದ ಮಿತಿಯ ಸಹಾಯದಿಂದ, p (x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು p (x) ಮತ್ತು M (x) ಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ (ಗಳು) ಮೂಲ (ಗಳ) ದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು x → x + 1 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ. ಮಧ್ಯಂತರ (0,1) ರೊಳಗಿನ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು p (x) ಮತ್ತು M (x) ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಯನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ, ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (1, φ) ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು x → x + 1 ರಿಂದ p (x) ಮತ್ತು M (x) ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ ಮತ್ತು ಜೋಡಿ {p (1 + x), M (1 + x)} ಅನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ. 1 ಎಂಬುದು p (x) ನ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, M (1) ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಎಎಸ್ (ಪಿ, ಎಂ) ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಎಎಸ್ (ಪಿ, ಎಂ): ಇನ್ಪುಟ್ಃ ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (ಪಿ) ಯ ಏಕರೂಪದ, ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಬಹುಪದ, ಮತ್ತು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಔಟ್ಪುಟ್ಃ ಪಿ (ಎಕ್ಸ್) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿ. p (x)// ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮದ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; 2 ವರ್ಷ = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ; 3 ವರ್ಷ = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ {(a, b)}// a = ಕನಿಷ್ಠ (M (0), M (≤)), b = ಗರಿಷ್ಠ (M (0), M (≤)), ಆದರೆ b = ಗರಿಷ್ಠ (M (0), M (≤) ಆಗಿದ್ದರೆ b = ub, ಅಲ್ಲಿ p (x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ub ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ; 4 lb-p (x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೇಲಿನ ಆದರ್ಶ ಕೆಳ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ; 5, lb ≤1 ಆಗಿದ್ದರೆ p (x + lb) 8 p1 ≤ p (x + 1), M1 ≤ M (x + 1)// (1, ≤) ನಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ; 9 p (1) ≤ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ 10 ರಿಟರ್ನ್ ವಾಸ್ (p01, M01) ≤ ವಾಸ್ (p1 ≤, M1 ≤) 11 ಇತರ 12 ರಿಟರ್ನ್ ವಾಸ್ (p01, M01) ≤ {[[m, m]} ≤ ವಾಸ್ (p1 ≤, M1 ≤) 13 ಅಂತಿಮ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಸರಳತೆಗಾಗಿ ಸ್ಟ್ರೆಜೆಬೊನ್ಸ್ಕಿಯ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಹುಪದದೊಂದಿಗೆ M (x) ಎಂಬ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಾಲು 1 ರಲ್ಲಿ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. 4 ಮತ್ತು 5ನೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿ. ಎ. ಎಸ್. (ಪಿ, ಎಂ) ನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಘಾತೀಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದ p (x) ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರ M (x) (ಸಾಲುಗಳು 56 ಮತ್ತು 8) ನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 7ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (12 ಸಹ) ಗಣಿಸಲಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು 3ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಎಎಸ್ (ಪಿ, ಎಂ) ನ ಉದಾಹರಣೆ ನಾವು ವಿಎಎಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ (ಗಮನಿಸಿಃ). ಪುನರಾವರ್ತನೆ 1 ವಿ. ಎ. ಎಸ್. (x3 − 7x + 7, x) 1 ವಾರ್ಕೆ 2// p (x) = x3 − 7x + 7 4 lb ಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ// ಆದರ್ಶ ಕೆಳ ಮಿತಿಯು-lb ಗಣನೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ (ಗಳು) x → x + 1 5 p <x3 + 3x2 − 4x + 1, M → x + 1 6 p01 <x3 − x2 − 2x + 1, M01 <7 m> 1 8 p1 ≤ ≤ x3 + 6x2 + 5x + 1, M1 ≤ ≤ x + ಪುನರಾವರ್ತನೆ 2 ವಿ. ಎ. ಎಸ್. (x3 − x2 − 2x + 1,) 1 ವಾರ್ಕೆ 2// p (x) = x3 − x2 − 2x + 1 4 lb − 0// ನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ-lb ಗಣನೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ (ಗಳು) x → x + 1 6 p01 → x3 + x2 − 2x − 1, M01 → 7 m → 8 p1 ≤ x3 + 2x2 − x−1, M1 ≤ 10 RETURN VAS (x3 + x2 − 2x−1,) ಪುನರಾವರ್ತನೆ 3 ವಿ. ಎ. ಎಸ್. (x3 + x2 − 2x−1,) 1 ಆವೃತ್ತಿ 1// p (x) = x3 + x2 − 2x−13 ರಿಟರ್ನ್ {(, 2)} ನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಸಂಸ್ಕರಿಸಬೇಕಾದ ಜೋಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 4 ವಿ. ಎ. ಎಸ್. (x3 + 2x2 − x−1,) 1 ಆವೃತ್ತಿ 1// p (x) = x3 + 2x2 − x−13 ರಿಟರ್ನ್ {(1,)} ನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಸಂಸ್ಕರಿಸಬೇಕಾದ ಜೋಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 5 ವಿ. ಎ. ಎಸ್. (x3 + 6x2 + 5x + 1, x + 2) 1 ಆವೃತ್ತಿ-0// p (x) = x3 + 6x2 + 5x + 1 2 ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಸಂಸ್ಕರಿಸಬೇಕಾದ ಜೋಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದದ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು}. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗುವವರೆಗೆ ಅದು ಇರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ದ್ವಿಭಾಜಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು; ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಆಗುತ್ತವೆ. ವಿಭಜನೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪಡೆದ ವಿವಿಧ ವಿಭಜನೆಯ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ; ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಬೇರೆಡೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖವಾದವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಕಾಲಿನ್ಸ್-ಅಕ್ರಿತಾಸ್ (ವಿಸಿಎ) ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಅಲೆಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ (ವಿಎಜಿ) ವಿಧಾನ. ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಅಲೆಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ (ವಿಎಜಿ) ವಿಧಾನವು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಬಹುಪದವು ಆಸಕ್ತಿಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು (ಸಾಲು 1 ರಲ್ಲಿ) ಹೊಂದಿದೆ; ಇದು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ನಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಕಾಲಿನ್ಸ್-ಪ್ರಾಕೃತಸ್ (ವಿ. ಸಿ. ಎ.) ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ವಿ. ಎ. ಜಿ. ಗಿಂತ ಸರಳವಾದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು (ಸಾಲು 1ರಲ್ಲಿ) ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆಲವು ಸುಧಾರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿ. ಸಿ. ಎ. ಯನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗದ ದ್ವಿಭಾಜಕ ವಿಧಾನವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿದೆ. ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಕಾಲಿನ್ಸ್-ಅಕ್ರಿತಾಸ್ (ವಿ. ಸಿ. ಎ., 1976) ಇದು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಮೂಲ ವಿಧಾನದ ಘಾತೀಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಸರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಅದರ ಸಂಶೋಧಕರಾದ ಕಾಲಿನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ರಿತಾಸ್ ಅವರು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಿದ್ದರು. "ಕಾಲಿನ್ಸ್-ಅಕ್ರಿತಾಸ್ ವಿಧಾನ" ಮತ್ತು "ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ವಿಧಾನ" (ಫೋರಿಯರ್ನ ಲೇಖನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ತುಂಬಾ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುತ್ತದೆ) ಮುಂತಾದ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ ನಂತರ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಲಿಲ್ಲೆ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಬೌಲಿಯರ್, "ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿಯ ವಿಧಾನ" ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು "ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ವಿಧಾನ" ಇಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಕಾಲಿನ್ಸ್-ಅಕ್ರಿತಾಸ್ (ವಿಸಿಎ) ವಿಧಾನ, ಪುಟ 24 ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಈ ವಿಧಾನದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅನುಷ್ಠಾನವು ರೌಲಿಯರ್ ಮತ್ತು ಝಿಮ್ಮರ್ಮ್ಯಾನ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಮತ್ತು ಈ ದಿನಾಂಕದವರೆಗೆ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗದ ದ್ವಿಭಾಜಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಂತೆಯೇ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಕೇಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಪಲ್ನ ರೂಟ್ ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ನಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿ. ಸಿ. ಎ. (p, (a, b)) ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (p) ನ ಬಹುಪದ ಮೂಲವನ್ನು (x) ನೀಡಿದರೆ, ಅಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾದ ಮೂಲವನ್ನು (0) §0, ಮೊದಲು ಈ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು, ಯು. ಬಿ. ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು p (x) = ಮೂಲವನ್ನು (ub * x) ಮತ್ತು (a, b) = (0, ub) ಎಂದು ಹೊಂದಿಸಿ. p (x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳೆಲ್ಲವೂ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0,1) ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಗಳ (x) ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇರುತ್ತದೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b) = (0, ub) ಇರುತ್ತವೆ (ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡಿ); ಈ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು α (a, b) = a + α (0,1) (b−a) ನಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, (0,1) ಮತ್ತು (0, ಯುಬಿ) ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇರುತ್ತದೆ. {p (x), (a, b)} ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0,1) ಅದರ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ವರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು p (x) ಮೇಲೆ ಬುಡಾನ್ನ "0 _ 1 ಮೂಲಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು" ಬಳಸಿ. ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಮೂಲವಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ (a, b). ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿದ್ದರೆ ಬುಡಾನ್ನ "0 _ 1 ಮೂಲಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆ" ಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0,1) ಶೂನ್ಯ, ಒಂದು, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ ಮೂಲಗಳಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕತ್ತರಿಸಿ (0,) ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ p (x) ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ-ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ (a, (a + b) ಒಳಗಿನ ಮೂಲಗಳಿಂದ (a, (a + b)) ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗಿನ ಮೂಲಕ್ಕೆ (x) ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ((a + b), b) ಒಳಗಿನ ಮೂಲಕ್ಕೆ (x) ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಿ (ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡಿ). ಇದು p (x) ನ ಮೂಲವಾಗಿರಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (a + b) ಮೂಲವು (x) ನ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವಿ. ಸಿ. ಎ (ಪಿ, (ಎ, ಬಿ)) ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿ. ಸಿ. ಎ. (ಪಿ, (ಎ, ಬಿ)) ಇನ್ಪುಟ್ಃ ಒಂದು ಏಕರೂಪದ, ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಬಹುಪದ ಪಿ (ಯುಬಿ * ಎಕ್ಸ್) bul ಝಡ್ [ಎಕ್ಸ್], ಪಿ (0) 0 ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (ಪಿ), ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ (ಎ, ಬಿ) = (0, ಯುಬಿ), ಅಲ್ಲಿ ಯುಬಿ ಪಿ (ಎಕ್ಸ್) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. (p (ub * x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳೆಲ್ಲವೂ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿವೆ (0,1)). ಔಟ್ಪುಟ್ಃ p (x) 1 ವರ್ ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿ-(x + 1) ಡಿಗ್ (p) p ()// ಬುಡಾನ್ನ "0 _ 1 ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; 2 ವರ್ = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ; 3 ವರ್ = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ {(a, b)}; 4 p 0-2ಡಿಗ್ (p) p ()// ನಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ; 5 m-(a + b)// ಒಂದು ಮೂಲವೇ? (, 1) ನಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ; (, 1) ರಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ; (, 1) ರಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ; (, 1) ರಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ; (,) (,) (,) (p0, (a, m)) (, (m, b)) (, p1, (, m)) (, p1, (a, m)) (p1, (a, m)) (p1, (m, b)) (p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p1, p ಬೇರೆಡೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಪುಟ 11, ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಬಹುಪದದೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಸಿಎ ಹೆಚ್ಚು ವಿಎಎಸ್ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಸಾಲು 1ರಲ್ಲಿ ಬುಡಾನ್ನ "0 _ 1 ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿ. ಸಿ. ಎ. ಯ ಉದಾಹರಣೆ (ಪಿ, (ಎ, ಬಿ)) ಬಹುಪದವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ವಿ. ಸಿ. ಎ. ವಿಧಾನದ ವಾದಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಮತ್ತು. (x + 1) 3p () = 7x3 − 7x2 − 35x + 43 4 p0 − 64x3 − 112x + 56 5 m → 2 6 p1 → 64x3 + 192x2 + 80x + 8 p () = 1 8 ರಿಟರ್ನ್ ವಿಸಿಎ (64x3 − 112x + 56, (0,2)) ≤ ವಿಸಿಎ (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಸಂಸ್ಕರಿಸಬೇಕಾದ ಜೋಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 2 ವಿ. ಸಿ. ಎ. (64x3 −112x + 56, (0,2)) 1 ವರ್ಷಗಳು// (x + 1) 3p () = 56x3 + 56x2 − 56x + 8 4 p <64x3 − 448x + 448 5 m <1 6 p1 <64x3 + 192x2 − 256x + 64 7 p () = 8 8 ರಿಟರ್ನ್ ವಿ. ಸಿ. ಎ. (64x3 − 448x + 448, (0,1)) ≤ ವಿ. ಸಿ. ಎ. (64x3 + 192x2 − 256x + 64, (1,2)) ಪುನರಾವರ್ತನೆ 3 ವಿ. ಸಿ. ಎ. (64x3 − 448x + 448, (0,1)) 1 ಆವೃತ್ತಿ (x + 1) 3p () = 448x3 + 896x2 + 448x + 642 ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಸಂಸ್ಕರಿಸಬೇಕಾದ ಜೋಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 4 ವಿ. ಸಿ. ಎ. (64x3 + 192x2 −256x + 64, (1,2)) 1 ಆವೃತ್ತಿ 2// ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (x + 1) 3p () = 64x3 −64x2 −128x + 64 4 p0 → 64x3 + 384x2 − 1024x + 5125 ಮೀ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 5 ವಿ. ಸಿ. ಎ. (64x3 + 384x2 −1024x + 512, (1,)) 1 ಆವೃತ್ತಿ 1// ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (x + 1) 3p () = 512x3 + 512x2 − 128x − 64 3 ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಸಂಸ್ಕರಿಸಬೇಕಾದ ಜೋಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 6 ವಿ. ಸಿ. ಎ. (64x3 + 576x2 − 64x−64, (, 2)) 1 ಆವೃತ್ತಿ 1// ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (x + 1) 3p () = −64x3 − 256x2 + 256x + 5123 ರಿಟರ್ನ್ {(, 2)} ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಜೋಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 7 ವಿ. ಸಿ. ಎ. (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) (x + 1) 3p () = 8x3 + 104x2 + 376x + 344 2 ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಸಂಸ್ಕರಿಸಬೇಕಾದ ಜೋಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದದ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು}. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗುವವರೆಗೆ ಅದು ಇರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ದ್ವಿಭಾಜಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು; ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಆಗುತ್ತವೆ. ವಿನ್ಸೆಂಟ್-ಅಲೆಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ (ವಿಎಜಿ, 2000) ಇದನ್ನು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಇದು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಸರಳವಾದ ನೈಜ ಮೂಲ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ವಿಎಜಿ (ಪಿ, (ಎ, ಬಿ)) ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (ಪಿ) ಯ ಬಹುಪದ ಪಿ (ಎಕ್ಸ್) ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾದ ಪಿ (0) §0, ಮೊದಲು ಈ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು, ಯುಬಿ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು (ಎ, ಬಿ) = (0, ಯುಬಿ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. p (x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳೆಲ್ಲವೂ (a, b) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು (a, b) ಇರುವಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ p (x) ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b) ಅದರ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು (ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ವರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ) p (x) ಮೇಲೆ ಅಲೆಸ್ಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ಅನ್ನು ಬಳಸಿ. ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಮೂಲವಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ (a, b). ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿದ್ದರೆ, ಅಲೆಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b) ಶೂನ್ಯ, ಒಂದು, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು ಇರಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕತ್ತರಿಸಿ (a, (a + b)) ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗಿನ p (x) ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು (a + b), b) ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ; ಅಂದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು (a, (a + b)) ಮತ್ತು (a + b), b) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಿ. (a + b) ಎಂಬುದು p (x) ನ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಎಜಿ (ಪಿ, (ಎ, ಬಿ)) ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಎಜಿ (ಪಿ, (ಎ, ಬಿ)) ಇನ್ಪುಟ್ಃ ಒಂದು ಏಕರೂಪದ, ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಬಹುಪದ p (x) bul Z [x], p (0) 0 ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (ಪಿ) ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ (ಎ, ಬಿ) = (0, ಯುಬಿ), ಇಲ್ಲಿ ub ಎಂಬುದು p (x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಔಟ್ಪುಟ್ಃ p (x) ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿ. (x + 1) ಡಿಗ್ (p) p ()// ಅಲೆಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; (x + 1) ಡಿಗ್ (p) p ()// ಅಲೆಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; (x + 1) ಡಿಗ್ (p) p ()// ಅಲೆಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಃ (x + 1) ಡಿಗ್ (p) p ()// ಅಲೆಸ್ಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಃ (x + 1) ಡಿಗ್ (p) p ()// ಅಲೆಸ್ಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಃ (x + 1) ಡಿಗ್ (p) p ()// ಅಲೆಸ್ಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಃ (x + 1) ಡಿಗ್ರಿ (p) p ()// ಅಲೆಸ್ಸಿನಾ-ಗಲುಝಿ "a _ b ರೂಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್" ನ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಃ (x + 1) ಡಿಗ್ರಿ ( ಅಲೆಸ್ಸಿನಾ ಮತ್ತು ಗಲುಝಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಪುಟ 189, ಡೊನಾಟೊ ಸೇಲಿಯಿಂದಾಗಿ ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವಿದೆ. ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ಸೈಲಿ ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಮಧ್ಯ-ಬಿಂದು" ಆವೃತ್ತಿಗಿಂತ ತುಂಬಾ ನಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಎಜಿ (ಪಿ, (ಎ, ಬಿ)) ಗೆ ಉದಾಹರಣೆ ಬಹುಪದ p (x) = x3 − 7x + 7 ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳಾದ ub = 4 ರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ವಿಎಜಿ ಯ ವಾದಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ p (x) = x3 − 7x + 7 ಮತ್ತು (a, b) = (0,4). (x + 1) 3p () = 43x3 − 35x2 − 7x + 7 4 m (0 + 4) = 2,5 p (m) = 1 8 ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆ VAG (x3 − 7x + 7, (0,2) ≤ VAG (x3 − 7x + 7, (2,4) ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {}. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {(0,2), (2,4)}. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 2 ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (0,2)) 1 ವರ್ಷಗಳು// (x + 1) 3p () = x3−7x2 + 7x + 7 4 m (0 + 2) = 1.5 p (m) = 1 8 ರಿಟರ್ನ್ ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (0,1)) ≤ ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (1,2) ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {(0,1), (1,2), (2,4)}. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 3 ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (0,1)) (x + 1) 3p () = x3 + 7x2 + 14x + 7 2 ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {}. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {(1,2), (2,4)}. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 4 ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (1,2)) 1 ವರ್ಷಗಳು// (x + 1) 3p () = x3−2x2−x + 1 4 m (1 + 2) = 5 p (m) = −8 ರಿಟರ್ನ್ ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (1,)) ≤ ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (, 2)) ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {}. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {(1,), (, 2), (2,4)}. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 5 ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (1,)) 1 ಆವೃತ್ತಿ 1// 23 (x + 1) 3p () = x3 + 2x2−8x−83 ರಿಟರ್ನ್ (1,) ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {(1,)}. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {(, 2), (2,4)}. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 6 ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (, 2)) 1 ಆವೃತ್ತಿ 1// 23 (x + 1) 3p () = 8x3 + 4x2−43 ರಿಟರ್ನ್ (, 2) ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {(1,), (, 2)}. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {(2,4)}. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ 7 ವಿ. ಎ. ಜಿ. (x3−7x + 7, (2,4)) 1 ಆವೃತ್ತಿ (x + 1) 3p () = 344x3 + 376x2 + 104x + 82ರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ {(1,), (, 2)}. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಯು. ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದದ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು}. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗುವವರೆಗೆ ಅದು ಇರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ದ್ವಿಭಾಜಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು; ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಆಗುತ್ತವೆ. ವಿಯೆಟಾದ ರೂಟ್-ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಬೆರ್ಕಾಕಿಸ್, ಆಂಟೊನಿಸ್ಃ ರಿಯಲ್ ರೂಟ್ಸ್, ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ವಿಎಎಸ್ https://play.google.com/store/apps/details?id=org.kde.necessitas.berkakis.realroots ಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಆಂಡ್ರಾಯ್ಡ್ ಸಾಧನಗಳಿಗೆ ಉಚಿತ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್