Cycle graph (algebra)
ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಗುಂಪು ಚಕ್ರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಗುಂಪಿನ ವಿವಿಧ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಚಕ್ರವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವಾದ a ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ a, ಒಂದು ಅಂಶದ n-th ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವತಃ n ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. a ಅಂಶವು ಚಕ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, a ಯ ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಯು ಗುಂಪು ಗುರುತಾಗಿರಬೇಕು, e; ಅಂತಹ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯು ಚಕ್ರದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅದು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಚಕ್ರವನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಚಕ್ರದ ಸದಸ್ಯರೆಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಪರ್ಕ ರೇಖೆಗಳು. ಚಕ್ರಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಚಕ್ರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪ್ರತಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಚಕ್ರವನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ a ಕ್ರಮ 6 ರ ಚಕ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಶೀಘ್ರವಾಗಿ, ಕ್ರಮ 6 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ), ಆಗ a6 = e. ನಂತರ a2, {a2, a4, e} ನ ಘಾತಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ಚಕ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿಯಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, a5 ಅದೇ ಚಕ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಾಚೀನ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಮತ್ತೊಂದು ಚಕ್ರದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, a. ಮೂಲ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಒಂದು ಅಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶಕ್ಕೂ, e ಅನ್ನು a ಗೆ, a ಅನ್ನು a2 ಗೆ, an ಅನ್ನು an ಗೆ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ, e ಅನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಜೋಡಿಸಿ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. a2 = e ಆಗಿರುವಾಗ, a ಯು 2ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಒಂದು ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್), ಮತ್ತು e ಗೆ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಚಕ್ರದ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುವ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗುಂಪು ಚಕ್ರ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಡಿ. ಎಚ್. 4 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವ a4 = e ಹೊಂದಿರುವ {e, a, a2, a3} ಚಕ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂತೆಯೇ, ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಕ್ರದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n ನ ಯೂಲರ್ φ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ನೋಡ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು (ಗುರುತಿನ ಇ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ); ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸದೆ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಚಕ್ರಗಳು ಜನರೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರಧಾನವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಕ್ರಗಳು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸದ ಆವರ್ತಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಡಿಹ್ 4 ಗುಂಪಿಗೆ, ನಾವು a2 ಮತ್ತು e ನಡುವಿನ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ a2 ದೊಡ್ಡ ಚಕ್ರದ ಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚಲ್ಲ. ಎರಡು ಚಕ್ರಗಳು ಗುರುತಿಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಂಡಾಗ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಇರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 8-ಅಂಶದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಗುಂಪು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮಧ್ಯದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದಾಗ-1 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ 1 ಎಂಬುದು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಗಾ ಇಡಲು ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, 2-ಅಂಶಗಳ ಚಕ್ರದ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಂಶದ ವಿಲೋಮವು ಅದರ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ನೋಡ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಗುರುತನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. 1950ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಿ ಡೇನಿಯಲ್ ಶ್ಯಾಂಕ್ಸ್ ಅವರು ಅವಶೇಷಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಾಧನವಾಗಿ ಇತಿಹಾಸದ ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿದರು. ಶ್ಯಾಂಕ್ಸ್ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1962ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ಸಾಲ್ವ್ಡ್ ಅಂಡ್ ಅನ್ಸಾಲ್ವ್ಡ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ಇನ್ ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿಯ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಯಾವ ಗುಂಪುಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಯಾವಾಗ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಶ್ಯಾಂಕ್ಸ್ ತನಿಖೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. 1978ರ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಶ್ಯಾಂಕ್ಸ್ ಅವರು ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳ ಕುರಿತಾದ ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ಬೇಬಿ-ಸ್ಟೆಪ್ ದೈತ್ಯ-ಹಂತದ ವಿಧಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಾಥನ್ ಕಾರ್ಟರ್ ಅವರ 2009ರ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ವಿಷುಯಲ್ ಗ್ರೂಪ್ ಥಿಯರಿಯಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪು ಕುಟುಂಬಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೆಲವು ಗುಂಪು ಪ್ರಕಾರಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆಃ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು Zn, ಕ್ರಮ n, ಸರಳವಾಗಿ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ n-ಬದಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಒಂದೇ ಚಕ್ರವಾಗಿದೆಃ n ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ, ರೂಪದ ಗುಂಪುಗಳು (Zn) m ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ n-ಅಂಶದ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಃ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳು ಡಿಹ್ನ್, ಕ್ರಮ 2n ಒಂದು n-ಅಂಶದ ಚಕ್ರ ಮತ್ತು n 2-ಅಂಶದ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಡೈಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು, Dicn = Q4n, ಕ್ರಮ 4n: ಇತರ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳುಃ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳು-ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು Sn, n ಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿಗೆ, ಆ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ n ಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪಿನ ಚಕ್ರ ನಕ್ಷೆಯು Sn ನ ಚಕ್ರ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ನೋಡಿಃ S4ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಉದಾಹರಣೆಃ ಪೂರ್ಣ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಪೂರ್ಣ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಗುಂಪು S4ನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಮತ್ತು Z2ನ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಕ್ರಮವು 48 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು 48 ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಪ್ರತಿ ಕ್ರಮದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇವು ಈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆ) ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಎಸ್4ನ ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಎರಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಣ್ಣ ಗುಂಪುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸ್ಕಿಯಾನಾ, ಎಸ್. (1990). ಸೈಕಲ್ಗಳು, ನಕ್ಷತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಚಕ್ರಗಳು. ವಿವಿಕ್ತ ಗಣಿತವನ್ನು ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುವುದುಃ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ (pp. 144-147). ಪೆಮ್ಮರಾಜು, ಎಸ್., & ಸ್ಕಿಯಾನಾ, ಎಸ್. (2003). ಸೈಕಲ್ಗಳು, ನಕ್ಷತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಚಕ್ರಗಳು. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ಃ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಥಿಯರಿ ವಿತ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ (pp. 248-249). ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅನ್ವಯ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು