CDF-based nonparametric confidence interval
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ಯುಮುಲೇಟಿವ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್)-ಆಧಾರಿತ ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾನ್ಫಿಡೆನ್ಸ್ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ವಿತರಣೆಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸುತ್ತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ (ಐ. ಐ. ಡಿ.) ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯ ಬೆಂಬಲದ ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಮಿತಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಎರಡನೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಸರಳವಾಗಿ ವಿತರಣೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಕೆಲವು ತಿಳಿದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕು ಎಂದರ್ಥ. ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್-ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನದ ಹಿಂದಿನ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯೆಂದರೆ, ವಿತರಣೆಯ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಆ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು. ಸಿಡಿಎಫ್ನ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ಬಡ್ಡಿಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಿತಿಯೊಳಗೆ ಸಿಡಿಎಫನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರ್ಯಾಪ್ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ವಿಧಾನಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್-ಆಧಾರಿತ ಮಿತಿಗಳು ಸೀಮಿತ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಡಿಯಾರ್ಮಿಡ್ನ ಅಸಮಾನತೆಗಳಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮಿತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್-ಆಧಾರಿತ ಮಿತಿಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಬಿಗಿಯಾದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಸಿಡಿಎಫ್ನಲ್ಲಿ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲಿಕ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕು. ಪಾಯಿಂಟ್ ವೈಸ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎ ಪಾಯಿಂಟ್ ವೈಸ್ ಸಿಡಿಎಫ್ ಬೌಂಡ್ ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಿಡಿಎಫ್ನ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಡಿಲವಾದ ಖಾತರಿಗಳ ಕಾರಣ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಮೌಲ್ಯದ ಸಿಡಿಎಫ್ನ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದ್ವಿಪದ ಅನುಪಾತದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್. ಬಂಧವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಏಕಕಾಲಿಕ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್-ಆಧಾರಿತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದ ವಿತರಣೆಯ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಬಂಧದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ವಿತರಣೆಯ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್. ಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ವಿತರಣೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಮಾದರಿ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್) ಆಧರಿಸಿವೆ. ಒಂದು ಐ. ಐ. ಡಿ. ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಗಾತ್ರ n ನ ಮಾದರಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್ ಅನ್ನು ಈವೆಂಟ್ ಎ ಯ ಸೂಚಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡ್ವೊರೆಟ್ಜ್ಕಿ-ಕೀಫರ್-ವೋಲ್ಫೊವಿಟ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯು, ಅದರ ಬಿಗಿಯಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಮಸ್ಸಾರ್ಟ್ ನಿರ್ಧರಿಸಿದನು, ಸಿಡಿಎಫ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಿಡಿಎಫ್ ನಡುವಿನ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್-ಸ್ಮಿರ್ನೋವ್ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಸುತ್ತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಐ. ಐ. ಡಿ. ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಬೌಂಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳಿಂದ n ಗಾತ್ರದ ಮಾದರಿಯು ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಿಡಿಎಫ್ನ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಹೊದಿಕೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಿಡಿಎಫ್ನ ಸುತ್ತ ಸಮಾನ ಅಂತರದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ವಿತರಣೆಯ ಬೆಂಬಲದಾದ್ಯಂತ ವಿವಿಧ ದರಗಳ ಉಲ್ಲಂಘನೆಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿತರಣೆಯ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಹತ್ತಿರಕ್ಕಿಂತ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಡ್ವೊರೆಟ್ಜ್ಕಿ-ಕೀಫರ್-ವೋಲ್ಫೊವಿಟ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಸಿಡಿಎಫ್ ಮಿತಿಯ ಹೊರಗೆ ಸಿಡಿಎಫ್ ಇರುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಲರ್ನ್ಡ್-ಮಿಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಡೆಸ್ಟೆಫಾನೋ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಆರ್ಡರ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್-ಆಧಾರಿತ ಬೌಂಡ್ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡರ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣದ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ವಿತರಣೆಯ ಬೆಂಬಲದ ತುದಿಗಳ ಬಳಿ ಬಿಗಿಯಾದ ಮತ್ತು ಬೆಂಬಲದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಡಿಲವಾದ ಬಂಧಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದೇಶದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ದರವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇತರ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೆಂಬಲದ ಮೇಲಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿಗಿಯಾದ ಬಂಧವನ್ನು ಬಯಸಿದರೆ, ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ಕಡಿಮೆ ದರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲದ ಮೇಲಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ದರವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಬೆಂಬಲದ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಡಿಲವಾದ ಬಂಧವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು. ವಿತರಣೆಯ ಬೆಂಬಲವು ಅದರ ಸಿಡಿಎಫ್ನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಲಕೋಟೆಯಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅದರ ಸರಾಸರಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ. ಸರಾಸರಿ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಸಿಡಿಎಫ್ ಕಡಿಮೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಲಕೋಟೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಿಡಿಎಫ್ ಮೇಲಿನ ಲಕೋಟೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಾಸರಿಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಎ ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬೌಂಡ್ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಬಡ್ಡಿಯ ವಿತರಣೆಯ ಬೆಂಬಲವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಲಕೋಟೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಲಕೋಟೆಯೊಳಗಿನ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್ ಕೆಳಗಿನ ಲಕೋಟೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಲಕೋಟೆಗೆ ಜಂಪ್ ಡಿಸ್ಕಂಟೀನ್ಯೂಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಲಕೋಟೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವ ಸಿಡಿಎಫ್, ಎಫ್ ', ಜಂಪ್ ಸ್ಥಗಿತವು ಸಂಭವಿಸುವ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸಿಡಿಎಫನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮೇಲಿನ ಲಕೋಟೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಳ ಲಕೋಟೆಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಲಕೋಟೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್. ಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ರೊಮಾನೋ ಮತ್ತು ವುಲ್ಫ್ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಗಳು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್-ಆಧಾರಿತ ಚೌಕಟ್ಟು ಬಹಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಮ್ಯೂಚುಯಲ್ ಇನ್ಫರ್ಮೇಷನ್ ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ ಪರ್ಸೆಂಟೈಲ್ಸ್ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರಾಪಿಂಗ್ (ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು) ನಾನ್-ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನಾನ್ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತ ದೃಢ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ