Chapman–Kolmogorov equation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಚಾಪ್ಮನ್-ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸಮೀಕರಣವು (ಸಿಕೆಇ) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಗುರುತಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಸಿಡ್ನಿ ಚಾಪ್ಮನ್ ಮತ್ತು ರಷ್ಯಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆಂಡ್ರೆ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಇಬ್ಬರೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪಡೆದರು. ಇತ್ತೀಚಿನ ವೇರಿಯೇಷನಲ್ ಬಯೇಸಿಯನ್ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಕೆಇ ಅನ್ನು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆ {fi} ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. f1 ರಿಂದ fn ವರೆಗಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಚಾಪ್ಮನ್-ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅಂದರೆ. ಉಪದ್ರವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೇಲೆ ನೇರವಾದ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವಿಕೆ. (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ (ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ) ಕ್ರಮದ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಏನನ್ನೂ ಊಹಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ-ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದರ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವಿಕೆಗೂ ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.) ಕಾಲ-ಹಿಗ್ಗಿಸಲಾದ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಿಕೆಯು, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಚಾಪ್ಮನ್-ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಗುರುತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಚೈನ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, i1 <. <in ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಾಪ್ಮನ್-ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು 1 ರಿಂದ 3 ನೇ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು 1 ರಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಥಿತಿ 2 ಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಂತರ 2 ರಿಂದ 3 ರವರೆಗೆ ಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಚಾಪ್ಮನ್-ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಬಹುಶಃ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಹೀಗಾಗಿಃ ಇಲ್ಲಿ ಪಿ (ಟಿ) ಜಂಪ್ ಟಿ ಯ ಪರಿವರ್ತನಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪಿ (ಟಿ) ಎಂಬುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರವೇಶವು (i, j) ಸರಪಳಿಯು t ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿ i ನಿಂದ ಸ್ಥಿತಿ j ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಜಂಪ್ ಟಿ ಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ಜಂಪ್ ಒನ್ ನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟಿ ಯ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವುದು ಸಾಕು, ಅಂದರೆ ಚಾಪ್ಮನ್-ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸಮೀಕರಣದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಮಾಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಾಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಹಿಂದುಳಿದ ಸಮೀಕರಣ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ