Telephone number (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ದೂರವಾಣಿ ಕರೆಗಳ ಮೂಲಕ ಜನರನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಹೊಸೋಯಾ ಸೂಚ್ಯಂಕ), ಇನ್ವೊಲ್ಯೂಷನ್ಗಳಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು, ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು, ಕೋಶಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1800 ರಲ್ಲಿ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಆಗಸ್ಟ್ ರೋಥೆ ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅವರು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಅದರ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ) ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಜಾನ್ ರಿಯೋರ್ಡಾನ್ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಜನರು ದೂರವಾಣಿ ಸೇವೆಗೆ ಚಂದಾದಾರರಾಗುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಇಬ್ಬರನ್ನು ಕರೆ ಮೂಲಕ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಜನರನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದೇ ಕರೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಂಪರ್ಕದ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿಗಳು ಸಾಧ್ಯ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಚಂದಾದಾರರೊಂದಿಗೆ, ಒಂದೇ ದೂರವಾಣಿ ಕರೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಮೂರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕರೆಗಳನ್ನು ಮಾಡದ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾದರಿಯಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಎಷ್ಟು ಮಾದರಿಗಳು ಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಎಣಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನರ ನಡುವಿನ ಜೋಡಿವಾರು ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾದರಿಯು ಅದರದೇ ಆದ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವ ಜನರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾದ ಆಕ್ರಮಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರಿಗೊಬ್ಬರು ಕರೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಇಬ್ಬರು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕರೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಯಾಗದ ಜನರು ಸ್ಥಳದಲ್ಲೇ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಆಕ್ರಮಣವು ಈ ರೀತಿಯ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿನಿಮಯದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಹ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತವೆ. 1800 ರಲ್ಲಿ ರೋಥೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮೂಲ ಸಂಯೋಜಿತ ಎಣಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಾಸಾಯನಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮಾದರಿ ಅಣುಗಳು ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೊಸೋಯಾ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ. - ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಹೊಸೋಯಾ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ; ಹೀಗಾಗಿ, ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನ ಹೊಸೋಯಾ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಫೆರರ್ಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಚೌಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರವಾಗಿದ್ದು, ಸಮತಲವಾದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಅಂಚು, ಲಂಬವಾದ ಎಡ ಅಂಚು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಬಲದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಏಕತಾನತೆಯ ಅಂಚುಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಮಿನೊ ಆಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. 1 ರಿಂದ ಈ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಾಬಿನ್ಸನ್-ಷೆನ್ಸ್ಟೆಡ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಪ್ರಕಾರ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳ ಜೋಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದು ಎರಡು ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ವಯಂ-ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಒಂದೇ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ತಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚೌಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಎಣಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಫೆರೆರ್ಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳು ಆ ಆಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಚದುರಂಗದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಮೇಲೆ ರೂಕ್ಗಳನ್ನು ಇರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತವೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ರೂಕ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಮೇಲೆ ದಾಳಿ ಮಾಡದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ಎಂಟು ರೂಕ್ಗಳ ಒಗಟು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ), ಮತ್ತು ರೂಕ್ಗಳ ಸಂರಚನೆಯು ಫಲಕದ ಕರ್ಣೀಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೊಲ್ಯಾ ಎಣಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಆಕ್ರಮಣ ಮಾಡದ ರೂಕ್ಗಳ "ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ" ಸಂರಚನೆಗಳ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಫಲಕದ ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1800 ರಲ್ಲಿ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಆಗಸ್ಟ್ ರೋಥೆ ಅವರು ಮೊದಲು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ದೂರವಾಣಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಚಂದಾದಾರರ ಸಂಪರ್ಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬೇರೆಯವರಿಗೆ ಕರೆ ಮಾಡದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕರೆ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವುದು. ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಪರ್ಕ ಮಾದರಿಗಳಿವೆ, ಇದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಯಾರೊಂದಿಗಾದರೂ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಜನರಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕದ ಮಾದರಿಗಳಿವೆ, ಇದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾರಾಂಶ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಕಲನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮೊದಲ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರತಿ ಪದದಲ್ಲಿ, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅದರ ವಾದದವರೆಗಿನ ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಯ್ದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ನ ಅಂದಾಜುಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಓದಬಹುದು, ಮತ್ತು ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಹತ್ತನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಬಹುಪದಿಗಳಾದ ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಿಗಳ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. th (ಸಂಭಾವ್ಯವಾದಿಗಳ) ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು th ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳೆಂದು ಸಹ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, th ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು,. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಮತ್ತು ಅದರ 2-ಅಡಿಕ್ ಕ್ರಮವು (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ); ಏಕೆಂದರೆ ಅದು, ಮತ್ತು ಅದು. ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಅಥವಾ ಚಕ್ರವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವವರೆಗೆ ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಈ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಥ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಂಯೋಜನೆ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ವಿಷಯಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ (ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು