Thales's theorem
ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು, ರೇಖೆಯು ವ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಕೋನವು ಸಮಕೋಣೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೆತ್ತಿದ ಕೋನ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ನ ಮೂರನೇ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ 31 ನೇ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಥೇಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮಿಲೆಟಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೊದಲು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಥೇಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮಿಲೆಟಸ್ (ಕ್ರಿ. ಪೂ. 6ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭ) ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಕೀರ್ತಿಗೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಪಾತ್ರರಾಗಿದ್ದಾರೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ರಿ. ಪೂ. 5ನೇ ಶತಮಾನದ ವೇಳೆಗೆ ಸಹ ಥೇಲ್ಸ್ನ ಬರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಏನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಥೇಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಸ್ ನಂತಹ ಬುದ್ಧಿವಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಆಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಥೇಲ್ಸ್ನ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ಪ್ರೊಕ್ಲಸ್ (ಕ್ರಿ. ಶ. 5ನೇ ಶತಮಾನ) ಮತ್ತು ಡಯೋಜನೀಸ್ ಲಾರ್ಟಿಯಸ್ (ಕ್ರಿ. ಶ. 3ನೇ ಶತಮಾನ) ಅವರು ಪಂಫಿಲಾನ (ಕ್ರಿ. ಶ. 1ನೇ ಶತಮಾನ) ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸುತ್ತಾ, ಥೇಲ್ಸ್ "ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಲಂಬ-ಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬರೆದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ" ಎಂದು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಥೇಲ್ಸ್ ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯಾಗಳಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದನೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿತಿದ್ದಾರೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ಗ್ರೀಕರ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಯಾವುದೇ ಸಮರ್ಥನೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನೇರ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವು ಬಹುಶಃ ಊಹಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದವು. ಆಧುನಿಕ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗ್ರೀಕ್ ಡಿಡಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಕ್ರಿ. ಪೂ. 4ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಥೇಲ್ಸ್ನ ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಜ್ಞಾನವು ವೀಕ್ಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅವರ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ () ಪುಸ್ತಕ II ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ 31 ರಂತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ "ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಕೋನವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಅದು ದೊಡ್ಡ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ; ಮುಂದೆ ದೊಡ್ಡ ವಿಭಾಗದ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ವಿಭಾಗದ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ". ಡಾಂಟೆ ಅವರ ಪ್ಯಾರಾಡಿಸೊ (ಕ್ಯಾಂಟೋ 13, ಸಾಲುಗಳು 101-102) ಭಾಷಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂಲ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಮತ್ತು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂಲ ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ಮತ್ತು. ಮತ್ತು ಆಗಲಿ. ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು, ಮತ್ತು. ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಕ್ಯೂ. ಇ. ಡಿ. ಇದೆ. ಎರಡನೇ ಪುರಾವೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಲೆಟ್,, ಮತ್ತು. ನಂತರ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿರುತ್ತದೆ. ಅದು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ-ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು-1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇಳಿಜಾರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತುಃ ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು −1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಗುರುತಿನ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮೂರನೇ ಪುರಾವೆ ಆ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸವಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೊಸ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಿ. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದೇ ರೀತಿ ಮತ್ತು, ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಎರಡೂ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಆಯತವಾಗಿರಬೇಕು. ಒಂದು ಆಯತದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮಕೋಣೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಖರವಾದ ಒಂದು ವೃತ್ತವಿರುತ್ತದೆ. (ಪುರಾವೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರ. ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗದ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಬಿಂದುವು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರಬೇಕು). ಈ ವೃತ್ತವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆಃ ತ್ರಿಕೋನದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನವು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಅಂಶವೆಂದರೆಃ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿದೆ. (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅದರ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.) ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯ ಪುರಾವೆ ಈ ಪುರಾವೆಯು ಆಯತವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು 'ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು' ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಆಯತದ ಕೇಂದ್ರವು ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವೂ ಸಹ ಎಂದು ಗಮನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ (180 ° ಗೆ ಸೇರಿಸಿ) ಮತ್ತು, ಆಯತದ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ದಾಟುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಸಮಕೋಣೆಯನ್ನು, ಹಾದುಹೋಗಲು ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಹಾದುಹೋಗಲು ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು. (ಇದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ.) ಚತುರ್ಭುಜವು ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (180° ಗೆ ಸೇರಿಸಿ) ಮತ್ತು ಸಮಕೋಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ (90°) ಆಗ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (90°); ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು. ನಂತರ, ಮೇಲಿನ ಎರಡನೇ ಅಂಶದ ಪ್ರಕಾರ, ಬಿಂದುವು, ಮತ್ತು ನಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಸರ್ಕಮ್ಸ್ಕ್ರೈಬಿಂಗ್ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವೂ ಹಾಗೆಯೇ, ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ () ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಸವು ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಇದು ಮತ್ತು ಕಿರಣದ ಛೇದಕವಾಗಿರಲಿ. ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಂತರ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. (ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಒರಟಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯ ಪುರಾವೆ ಈ ಪುರಾವೆಯು ಎರಡು ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ತಮ್ಮ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಾಹಕದ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವನ್ನು ವಾಹಕದ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಲಂಬ ಕೋನ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸದ ವೃತ್ತವಿರಲಿ. ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, M ನ ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದ ಮೇಲೆ ಇರಲಿ. ನಂತರ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತವು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಮತ್ತು ಅವು ಮೂಲದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಕೇಂದ್ರದಿಂದ. ಅದು ಮೇಲಿರುವುದರಿಂದ, ಹಾಗೆಯೇ ಆಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, ಕೋನವು ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಕೆತ್ತಿದ ಕೋನವನ್ನು ನೋಡಿ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಒಂದು ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರಃ ಅದು ವೃತ್ತದೊಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಇದ್ದರೆ. ಅನ್ವಯಿಕ ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಭಾಜಿತಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಇದು ಈ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಪಿಯನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳೆರಡೂ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಮಕೋಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವೃತ್ತಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಚೌಕ ಅಥವಾ ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆ. ಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1). ಸುತ್ತಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಛೇದಕಗಳು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 2). ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಛೇದಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಸ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3). ಕೇಂದ್ರವು ವ್ಯಾಸಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿದೆ. ಸಿಂಥೆಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಲೋಮ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಮೈಕೆಲ್ ಶ್ರೈಬರ್ ಅವರ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಅನಿಮೇಷನ್ ಡೆಮೋಸ್ ಆಫ್ ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ, ದಿ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಷನ್ಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಇನ್ಸ್ಕ್ರಿಬ್ಡ್ ಆಂಗಲ್ಸ್ ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಎಸ್ಃ ಟಿಯೋರೆಮಾ ಡಿ <ಐ. ಡಿ. 2> ಟಿಯೋರೆಮಾ ಅವನುಃ ಎಂ.