Sylvester–Gallai configuration
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯು ಉಪವಿಭಾಗದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಬದಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಅಮೂರ್ತ ಘಟನೆಯ ರಚನೆಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ರಚನೆಯು ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಖರವಾದ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್, ಇದು ಎರಡು-ಬಿಂದು ರೇಖೆಗಳಿಲ್ಲದ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಯ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಆಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲ, ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಅಥವಾ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳು, ಅಥವಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳು, ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಪ್ರಮೇಯವು ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಗಳು ಒಂದು-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಅವು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳಲು ಈ ಸತ್ಯದಿಂದ ಮತ್ತು ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಸೆರೆ ಅವರ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ದೃಢವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಿದರು; ಕೆಲ್ಲಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದೊಳಗೆ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಂರಚನೆಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿವೆ, ಅವು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಗಳಾಗಿವೆ; ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಂರಚನೆಯು ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಮತ್ತು ಇವೆಲ್ಲವೂ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸಂರಚನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಂರಚನೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಕೇತವನ್ನು (ಪಾ ಎಲ್ಬಿ) ನೀಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪಿ ಎಂದರೆ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎಲ್ ಎಂದರೆ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದು ಪಾ = ಎಲ್ಬಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊಟ್ಜ್ಕಿನ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, b> 2, ಆ p <l (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಾನ್-ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಂತೆ ಅನೇಕ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಅವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ಗಳಾಗಿರುವ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಎಸ್ಟಿ (2, ಬಿ, ಪಿ) ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಟೈನರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಮೊಟ್ಜ್ಕಿನ್ ಈ ರೀತಿಯ ಸಣ್ಣ ಸಂರಚನೆಗಳ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆಃ 7373, ಫ್ಯಾನೋ ಸಮತಲದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು, ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲ. 94123, ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು. ಇದು ಮೂರು-ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಇದನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. 134134, ಮೂರು-ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು. 136263, ಎರಡು 13-ಅಂಶಗಳ ಸ್ಟೈನರ್ ತ್ರಿವಳಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳು. 157353, ಎರಡು-ಅಂಶದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು 79 ಇತರ ಸ್ಟೈನರ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು 165204, ನಾಲ್ಕು-ಅಂಶದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು. 215215, ನಾಲ್ಕು-ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು. 256305, ಐದು-ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು. ಮತ್ತು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿನ್ಯಾಸದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಓರೆಯಾದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಳು-ಬಿಂದು ಮತ್ತು 13-ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಗಳೆರಡೂ ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ 14 ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ಹತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ; ಅದರಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳು ಮೂರು ನಾಲ್ಕು-ಬಿಂದು ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಬಿಂದುಗಳು ಮೂರು ಮೂರು-ಬಿಂದು ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ನಾಲ್ಕು-ಬಿಂದು ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 11-ಬಿಂದುಗಳ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ವಿನ್ಯಾಸ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ 12-ಬಿಂದುಗಳ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಅನಿಯಮಿತ 13-ಬಿಂದುಗಳ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿವೆ. 14 ಅಂಕಗಳಿಗೆ, ಮತ್ತೆ ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ವಿನ್ಯಾಸವಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. .. .. ಸಂರಚನೆಗಳು (ಜ್ಯಾಮಿತಿ)