Hasse diagram
ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು (;) ಒಂದು ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪರಿವರ್ತನಾತ್ಮಕ ಕಡಿತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಶವು ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಶೃಂಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಶೃಂಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗ ಅಥವಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗ, ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ). ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ದಾಟಬಹುದು ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಾರದು. ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಹೆಲ್ಮಟ್ ಹ್ಯಾಸ್ (1898-1979) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ; ಗ್ಯಾರೆಟ್ ಬಿರ್ಖಾಫ್ ಅವರ ಪ್ರಕಾರ, ಹ್ಯಾಸ್ ಅವರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಬಳಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದವರಲ್ಲಿ ಹಸ್ಸೆ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಹಸ್ಸೆಗೆ ಮುಂಚಿನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮೂಲತಃ ಕೈಯಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುವ ತಂತ್ರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. "ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವು ಆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಪರಿವರ್ತನಶೀಲ ಕಡಿತವನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವಿನ್ಯಾಸವು ಹಾಸ್ಸೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದ, ಸೀಮಿತ ಭಂಗಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಸಾಧನಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, "ಉತ್ತಮ" ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಂಗಿಗಾಗಿ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಕ್ರಮದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಸರಳ ತಂತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಳಪೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಸಮರೂಪತೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಆಂತರಿಕ ರಚನೆಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಳೆದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಲಾದ 4-ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವು ಬೈನರಿ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶವು ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ (1) ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ (0) ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಭಂಗಿ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಒಂದೇ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಇತರರಿಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, 4-ಆಯಾಮದ ಘನವು ಎರಡು 3-ಆಯಾಮದ ಘನಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ (ಅಮೂರ್ತ 3-ಪಾಲಿಟೋಪ್) ಅದೇ ರೀತಿ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು (ಅಮೂರ್ತ 2-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು) ವಿಲೀನಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮೂರನೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ರಚನೆಯ ಕೆಲವು ಆಂತರಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು 4x4 ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳು ದಾಟದ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದರ ಕವರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮೇಲ್ಮುಖ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮುಖ ಸಮತಲತೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಾಸಿಂಗ್-ಫ್ರೀ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತಿಳಿದಿವೆಃ ಎಳೆಯಬೇಕಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವು ಜಾಲರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಎಳೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು 45-ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದಿಂದ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಾಟದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ದಾಟದ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಬಹು ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಂಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕ್ರಾಸಿಂಗ್-ಫ್ರೀ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಎಳೆಯಬಹುದೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ರಾಸಿಂಗ್-ಫ್ರೀ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸ್ಥಿರ-ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುತ್ತದೆ, ಇದು ಉಚ್ಚಾರಣಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಡಿತದ ಟ್ರೈ ಕನೆಕ್ಟೆಡ್ ಘಟಕಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿದಾಗ. ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳ y-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ನಿಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್-ಫ್ರೀ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇನ್ಪುಟ್ ಪೊಸೆಟ್ ಒಂದು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಪೊಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಎತ್ತರವು ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್-ಫ್ರೀ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಿದೆಯೇ ಎಂದು ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಈ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಆನುವಂಶಿಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವರ್ಗ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಘನ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಕ್ಲಾಸ್ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ