Lindley's paradox
ಲಿಂಡ್ಲಿಯವರ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅನುಸರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಹಿಂದಿನ ವಿತರಣೆಯ ಕೆಲವು ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಜೆಫ್ರೀಸ್ ಅವರ 1939 ರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ; ಡೆನ್ನಿಸ್ ಲಿಂಡ್ಲಿ 1957 ರ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆದ ನಂತರ ಇದು ಲಿಂಡ್ಲಿಯವರ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿತು. ವಿರೋಧಾಭಾಸವೆಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಜವಾದ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ಪ್ರಿಯರ್ಗಳಿಗೆ, ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆಃ ಲಿಂಡ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಗುರುತಿಸಿದಂತೆ, "ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಡುವ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವುದಿಲ್ಲ" ಮತ್ತು "ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರ ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಹ ಆ ಕಾಗದದ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ, ನಷ್ಟಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ, ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗಬೇಕೆಂಬುದನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಿತು". ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವು ಸೂಕ್ತವಾದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬರುವ ಮತ್ತು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯವು ನಗಣ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿವರಣೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಊಹೆಗಳು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು ಯಾವ ಊಹೆಯು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೆಲವು ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಲಿಂಡ್ಲಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ನಡೆಯುವ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು "ಗಮನಾರ್ಹ" ವಾಗಿರುವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು 5 ಪ್ರತಿಶತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನೀಡಿದ ನಂತರದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಲವಾದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬಹಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ, ಹೆಚ್ಚು ಹರಡುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮುಂಚಿನ ವಿತರಣೆಯು ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿದಂತೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬಲವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯು ಲಿಂಡ್ಲಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಗರದಲ್ಲಿ 49,581 ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು 48,870 ಹುಡುಗಿಯರು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪುರುಷ ಜನನಗಳ ಗಮನಿಸಲಾದ ಪ್ರಮಾಣವು 49,581/98,451 ≈ 0.5036 ಆಗಿದೆ. ಪುರುಷ ಜನನಗಳ ಭಾಗವು ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. 0. 0 ಆಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಮೌಲ್ಯವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವು. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಪಿ-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು, ಇದು ಹುಡುಗರ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಊಹಿಸಿದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಗಮನಿಸುವುದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಜನನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪುರುಷ ಜನನಗಳ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಮತ್ತು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು 49,581 ಸ್ತ್ರೀ ಜನನಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ಅಷ್ಟೇ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಅಂದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬರುವವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾರೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ p-ಮೌಲ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, p-ಮೌಲ್ಯವು 5 ಪ್ರತಿಶತದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವಾದ α ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವು ಗಮನಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಒಪ್ಪದ ಕಾರಣ ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಬೆಂಬಲಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಪೂರ್ವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಬೇಯೆಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಹಿಂಭಾಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು, ಹುಡುಗರ ಜನನಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ದ್ವಿಪದ ಚರರಾಶಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ ಊಹೆಯ ಹಿಂಭಾಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ, ನಾವು ನಂತರದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಬಲವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳು-ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೀಕ್ವಂಟಿಸ್ಟ್-ಸಂಘರ್ಷದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು "ವಿರೋಧಾಭಾಸ" ವಾಗಿದೆ. ನಾಮನ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದ ಊಹೆಯು ಸುಳ್ಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿತುಃ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, 0.00318 ನ ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವವರು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಆದ್ಯತೆಗಳು ನಾವು ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅನುಸರಿಸುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ಏಕರೂಪದ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ (ಅಂದರೆ. ), ನವಜಾತ ಶಿಶುವು ಹುಡುಗಿಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ ಹುಡುಗಿಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪುರುಷ ಜನನಗಳ ಪ್ರಮಾಣವು 0.5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಎರಡೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳು ಪರಿಣಾಮದ ಗಾತ್ರದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಂಡು ಮಕ್ಕಳ ಜನನದ ಭಾಗವು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಿತಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಎರಡನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದು. ನಿಜವಾದ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಕೊರತೆ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯವು ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಉಲ್ಲೇಖವಿಲ್ಲದೆಯೇ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನ. ಬಯೇಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಇದಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವಲೋಕನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲನೆಯದು ಉತ್ತಮ ಸಹಮತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ನಂತರದ ಊಹೆಯು ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಹರಡಬಹುದು, ಇದು ನಂತರದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಏಕೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಎರಡು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅವಲೋಕನಗಳ ಉತ್ಪಾದಕಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆಃ ಕೆಳಗೆ, ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 98,451 ಜನನಗಳಲ್ಲಿ 49,581 ಹುಡುಗರನ್ನು ನೋಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಎಷ್ಟು ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 0 ರಿಂದ 1 ರೊಳಗೆ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ ಬಹಳ ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿವೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯವು ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಊಹೆಗಳು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಾಗಿವೆಃ ಇದು ವೀಕ್ಷಣೆಗೆ ಕಳಪೆ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಹೇಳುವವರು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ವೀಕ್ಷಣೆಗೆ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ನಡೆಯುವ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನವಜಾತ ಶಿಶುಗಳ ಲಿಂಗ ಅನುಪಾತವು ಅಸಂಭವನೀಯವಾಗಿ 50/50 ಗಂಡು/ಹೆಣ್ಣು ಆಗಿದೆ. ಆದರೂ 50/50 ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಲ್ಲ, ಇತರ ಅನುಪಾತಗಳು. ಈ ಊಹೆಯು ವೀಕ್ಷಣೆಗೆ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅನುಪಾತಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಊಹೆಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ "> 0.49 ಮತ್ತು <0.51 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ 0.5 ಆಗಿರುವ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.50/0.51 98% ಆಗಿದೆ". ಅಂತಹ ಬಲವಾದ ಆದ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯವು 0.5 ರಿಂದ ದೂರವಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಬಯೇಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಏಕೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ 2 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಿಗ್ಮಾಗಳ ವಿಚಲನವನ್ನು ಮಹತ್ವದ್ದೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ತಳ್ಳಿಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿದರೆ, ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಇದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಂಶಯಾಸ್ಪದವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೀವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವೆಂದು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಊಹಿಸಬೇಕು. ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಾಸ್ತವಿಕವಾದ ವಿತರಣೆಯು ಅದರ ಹಿಂಭಾಗಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು, ಅಂದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಂತರದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.93 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಕೇವಲ 0.07 ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಸಹಜವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಎಂಎಲ್ಇ ಅನ್ನು ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಇತ್ತೀಚಿನ ಚರ್ಚೆಯು ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಸಕ್ರಿಯ ಚರ್ಚೆಯ ಮೂಲವಾಗಿ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ. ಬೇಯ್ಸ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಫರ್ದರ್ ರೀಡಿಂಗ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ಟೆಸ್ಟಿಂಗ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಪ್ಯಾರಡಾಕ್ಸ್ ಬೇಯೆಸಿಯನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ