Refinement monoid
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಒಂದು ಸಂವಹನ ಮೊನಾಯ್ಡ್ M ಆಗಿದ್ದು, M ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಾದ a0, a1, b0, b1 ಗೆ a0 + a1 = b0 + b1, m ನ c00, c01, c11 ಅಂಶಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ a0 = c00 + c01, a1 = c10 + c11, b0 = c00 + c10, ಮತ್ತು b1 = c01 + c11. x + y = 0 ಎಂದರೆ x = y = 0, ಎಂನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ x, y. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಜಾಯಿನ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಅದು ವಿತರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು G ಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನ್ G + ಒಂದು ಪರಿಷ್ಕರಣ ಮೊನೊಯ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು G ಒಂದು ಅಂತರ್ವೇಶನ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಎರಡನೆಯದು ಎಂದರೆ G ಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ a0, a1, b0, b1 ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ i, j <2 ಗೆ ಎಐ ≤ bj, G ಯ ಒಂದು ಅಂಶ x ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ i, j <2 ಗೆ ಎಐ ≤ x ≤ bj. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಿ ಅನ್ನು ಜಾಲರಿ-ಆದೇಶಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಬಿ ಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಕಾರವು ಎಲ್ಲಾ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. (ಇದು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಬಯಸಿದರೆ, ಬಿ ಯ ಕೆಳಗಿನ ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿ.) ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಕಾರಗಳ ವರ್ಗವು (ಯಾವುದೇ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು X ಮತ್ತು Y ಗೆ, ಇಲ್ಲಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ) ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ವೋಟ್ ಅಳತೆಗಳು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ A ಮತ್ತು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಮೊನೊಯಿಡ್ M ಗಾಗಿ, ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ಅಳತೆ, a = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ಬೇರ್ಪಟ್ಟಾಗಲೆಲ್ಲಾ (ಅಂದರೆ, a, b = 0), Aಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ a, b. (ರಾಬರ್ಟ್ ಲಾಸನ್ ವೋಟ್ ನಂತರ), ಅಥವಾ V-ಅಳತೆ, Aಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ c ಮತ್ತು Mಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x, y ಗಳಿಗೂ, ಅಂದರೆ, μ (c) = x + y ಆಗಿದ್ದರೆ, aಯಲ್ಲಿ a, bಅನ್ನು c = a ′ b, μ (a) = x, ಮತ್ತು μ (b) = y ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ಅದು ಒಂದು ವೋಟ್ ಅಳತೆ (ರಾಬರ್ಟ್ ಲಾಸನ್ ವೋಟ್ ನಂತರ), ಅಥವಾ V-ಅಳತೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ A ಮತ್ತು V-ಅಳತೆ μ: A → M ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ μ (1) = e-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಒಂದು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಪರಿಷ್ಕರಣ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಎ1 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಡಾಬ್ಬರ್ಟಿನ್ 1983ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅತ್ಯಂತ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಮೊನಾಯ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ) ವಿ-ಅಳತೆಯಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಯಾವುದೇ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದೇ ಎಂಬ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅವರು ಅಲ್ಲಿ ಎತ್ತಿದರು. ಇದಕ್ಕೆ 1998ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ವೆಹ್ರುಂಗ್ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಿದರು. ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎ2 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರಗಳ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ಉಂಗುರಕ್ಕೆ (ಘಟಕದೊಂದಿಗೆ) ಆರ್, ಎಫ್ಪಿ (ಆರ್) ಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, FP (R) ನ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳು Rn ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, n ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ಪಿ (ಆರ್) ಯಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ವಸ್ತುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಕಾರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ನಂತರ ಎಫ್. ಪಿ. (ಆರ್) ಯ ಎಲ್ಲಾ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸದಸ್ಯರ ಸೆಟ್ ವಿ (ಆರ್) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಸಂವಹನ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಆರ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿ (ಆರ್) ಒಂದು ಪರಿಷ್ಕರಣ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಆರ್ಡರ್-ಯುನಿಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಿ (ಆರ್) ಆರ್ ನ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ ಒಂದು ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ಪಿ (ಆರ್) ನ ಸದಸ್ಯರು ನಿಖರವಾಗಿ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ರೈಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿ (ಆರ್) ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊನಾಯ್ಡ್ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ರೂಪದ ಉಂಗುರಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಎನ್ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉಂಗುರ ಮತ್ತು ಎಫ್ ನಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳು, ಚರ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ. ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನೇರ ಮಿತಿಯು ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಆರ್, ವಿ (ಆರ್) ಎಂಬುದು ಆಯಾಮ ಗುಂಪಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನ್ ಆಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಆಯಾಮ ಸಮೂಹವು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕ್ರಮವು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅದರ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನ್ ಒಂದು ಪರಿಷ್ಕರಣ ಮೊನೊಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ರಂಧ್ರರಹಿತವಾಗಿದೆ, mx ≤0 ಎಂಬ ಅಕ್ಷರವು G ಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ x ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಗೆ x ≤0 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸರಳವಾದ ಗುಂಪು, ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು, ಒಂದು ಆಯಾಮ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎಫ್ರೊಸ್, ಹ್ಯಾಂಡೆಲ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಶೆನ್ 1980 ರಲ್ಲಿ ಆಯಾಮ ಗುಂಪುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕರೂಪತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ 1976ರಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಿ. ಎ. ಗ್ರಿಲೆಟ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದರು. ಸರಳವಾದ ಗುಂಪುಗಳ ಯಾವುದೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ನೇರ ಮಿತಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನ್ V (R) ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಎಲಿಯಟ್ 1976 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಕೆಲವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ರಿಂಗ್ R. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಗುಡೆರ್ಲ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಂಡೆಲ್ಮನ್ 1986 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ ಗುಂಪಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನ್ ಗರಿಷ್ಠ α1 ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ V (R) ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ರಿಂಗ್ R ಗೆ (ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ). ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ವರ್ತುಲ R ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನ್ ಅನ್ನು V (R) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದ ಕ್ರಮ-ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯಾಮ ಗುಂಪುಗಳಿವೆ ಎಂದು 1998 ರಲ್ಲಿ ವೆಹ್ರಂಗ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ನೀಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು α2 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಗರಿಷ್ಠ ಎ1 (ಅಥವಾ ಎ0) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಪರಿಷ್ಕರಣ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಆರ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತಕ್ಕೆ ವಿ (ಆರ್) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬುದು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ