Class formation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗ ರಚನೆಯು ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ವಿವಿಧ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಲು ಎಮಿಲ್ ಆರ್ಟಿನ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಟೇಟ್ ಅವರು ವರ್ಗ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಎ ರಚನೆಯು ಜಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎ ಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪು ಜಿ ಆಗಿದೆ. ರಚನೆಯ ಇ/ಎಫ್ ಪದರವು ಇ, ಜಿ ಯ ಎಫ್ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎಫ್ ಇ ಯ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎಫ್ ಇ ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಅಂಶ ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಆವರ್ತಕ ಪದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇ ಜಿ ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಇ ಅನ್ನು ಇ ಯಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಎ ಅಂಶಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇ/ಎಫ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರವಾಗಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ನಾವು ಟೇಟ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಎಚ್ಎನ್ (ಇ/ಎಫ್, ಎಎಫ್) ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. (ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಇ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಅನ್ನು ಜಿ ಯ ಉಪಗುಂಪಿನ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇ/ಎಫ್ ಬದಲಿಗೆ ಎಫ್/ಇ ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.) ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಜಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ವರ್ಗ ರಚನೆಯು ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರಕ್ಕೆ E/F H1 (E/F) ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು H2 (E/F) |E F | ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಈ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಯು. ಇ./ಎಫ್. ಯು. ಎಚ್. 2 (ಇ/ಎಫ್) ಎಂಬ ಅಂಗೀಕೃತ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವು ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗದ ನಿರ್ಬಂಧವು (ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗಗಳ) ಮತ್ತೊಂದು ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅನೇಕವೇಳೆ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ರಚನೆಯ ರಚನೆಯ ಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. H1 (E/F) = 1 ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ರಚನೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಿ ಎಂಬುದು ಎಲ್ ಮತ್ತು ಎ = ಎಲ್ × ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ 90ರ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ಷೇತ್ರ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ವರ್ಗ ರಚನೆಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಕಷ್ಟದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ಘಟಕ ಎ ಎಂಬುದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಜಿ ಎಂಬುದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ರಮ 2ರ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳುಃ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಜಿ-ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ), ಮತ್ತು ಜಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನಂತ ಪೂರ್ಣತೆಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವಾದ p> 0: ಮಾಡ್ಯೂಲ್ A ಎಂಬುದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು G ಎಂಬುದು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು. ಆರ್ಕೈಮೀಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0: ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎ ಎಂಬುದು ಪಿ-ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಿ ಎಂಬುದು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p> 0ಯ ಜಾಗತಿಕ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ A ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು G ಎಂಬುದು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರ ಜಾಗತಿಕ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎ ಎಂಬುದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಿ ಎಂಬುದು ಎ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ) ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪ್ರಕರಣ ಮತ್ತು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ವರ್ಗ ರಚನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಉಳಿದ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿವೆ. ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಠಿಣ ಪರಿಶ್ರಮವು ಇವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ವರ್ಗ ರಚನೆಗಳೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಇದನ್ನು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯು ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯು, ಇ/ಎಫ್ ಆವರ್ತಕ ಪದರಗಳಿಗೆ |H0 (ಇ/ಎಫ್) | ≤ |E ಎಫ್ | ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ಅಂಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ |H0 (E/F) | = |E F | × |H1 (E/F) | ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ಅಂಶವು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ 1 ಆಗಿದೆ. ಸುಮಾರು 1950ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು, ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯು ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರಗಳಾದ E/F ಗೆ |H0 (E/F) | ≤ |E F | ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ 90ನೇ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಸಮನ್ವಯಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎಲ್ ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಬರ್ ಅವರು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇ/ಎಫ್ ಪದರವು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದ ಕೆ. ಕೆ. ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕೆ ಒಂದರ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಕೆ ಯ 1ನೇ ದರ್ಜೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಧ್ರುವದ ಕ್ರಮದಿಂದ s = 1ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು 1 ಆಗಿದೆ (ಕೆ ಯು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದಾಗ, ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ s = 1ರಲ್ಲಿ ಧ್ರುವವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಯೂಲರ್ನ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ.) k ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು K ಯ ಡಿಗ್ (K/k) = |E F | ವಿಶಿಷ್ಟ ಡಿಗ್ರಿ 1 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು k ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು 1/|E F | ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, H0 (E/F) ಗುಂಪಿನ ಅಕ್ಷರಗಳ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ L-ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಗುಂಪಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ k ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯು 1/|H0 (E/F) | ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. (ಪುರಾವೆಯ ಈ ಭಾಗವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ.) ಆದರೆ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು H0 (E/F) ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸೆಟ್ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾನದಂಡಗಳಾಗಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಷ್ಟು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 1/|H0 (E/F) | ≤1/|E F | ಇದು ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. 1940 ರಲ್ಲಿ ಚೆವಾಲ್ಲಿಯು ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಆದರೆ ಇದು ವೆಬರ್ನ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ಸುಮಾರು 1950ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು, ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು; ಅದರ ಹೆಸರನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಯಿತು ಏಕೆಂದರೆ ಚೆವಲೆಯವರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಟಕಾಗಿ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಇರುವ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೆಳಗಿನ ಆರ್ಟಿನ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಪ್ರಕಾರ, H0 (E/F) ಯು E/F ನ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಆವರ್ತಕ ಪದರಗಳಿಗೆ, ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ H1 (E/F) |E F | = H0 (E/F) ≤ |E F | ಆದ್ದರಿಂದ H0 (E/F) = |E F | ಮತ್ತು H1 (E/F) = 1 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತಕ ಪದರಗಳಿಗೆ H1 (E/F) = 1 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರಗಳಿಗೆ H1 (E/F) = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ರಚನೆಯು ಕ್ಷೇತ್ರ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ). H1 (E/F) ಯಾವಾಗಲೂ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಈ ಪುರಾವೆಯು ಬದಲಿಗೆ ವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿದೆ; ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ "ನೇರ" ಪುರಾವೆ (ಇದರ ಅರ್ಥ ಏನೇ ಇರಲಿ) ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. (ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ, H1 (E/F) ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದು ಕೇವಲ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ 90 ಆಗಿದೆ.) ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿಗೆ, H0 ಎಂಬುದು H2ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತಕ ಪದರಗಳಿಗೆ H2 (E/F) = |E F. ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರಗಳಿಗೆ H1 (E/F) = 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತಕ ಪದರಗಳಿಗೆ H2 (E/F) ≤ |E F | ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರಗಳಿಗೆ H2 (E/F) ≤ |E F | ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಗುಂಪು ಸಮರೂಪಶಾಸ್ತ್ರದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶ್ರಮ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ; ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ.) ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು ಒಂದು ವರ್ಗದ ರಚನೆಯ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಎಚ್2 (ಇ/*) ಅನ್ನು ಎಚ್2 (ಇ/ಎಫ್) ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಫ್ ಇ ಯ ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪದರಗಳಿಗೆ ಎಚ್1 ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರ ಸುಲಭ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಎಚ್2 (ಇ/ಎಫ್) ಗುಂಪುಗಳು ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪುಗಳು ಬ್ರಾವರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗುಂಪುಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಜಾಗತಿಕ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ರಚನೆಯ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು ಅನುಗುಣವಾದ ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪಲ್ಲ (ಅವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೂ). ಮುಂದಿನ ಹಂತವು H2 (E/F) ನಿಖರವಾಗಿ |E F | ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು; ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗವು ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ H2 (E/F) ನಲ್ಲಿ |E F | ಕ್ರಮದ ಕೆಲವು ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಪುರಾವೆಯು G ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಕರ್ನಲ್ G ≤, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, G ನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರ್ನಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ n ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ಏಕರೂಪತೆಗಳನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಆವರ್ತಕ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ; ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ನೀಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಅವು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಜನರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ H2 (G/Gn) n ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ಯಾವುದೇ E ಪದರಕ್ಕೆ, H2 (E/E ≤ G ≤) ಗುಂಪು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿ Q/Z ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಏಕತೆಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಚೆಬೊಟರೆವ್ ಅವರು ಚೆಬೊಟರೆವ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಆರ್ಟಿನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಿದರು. ಈ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಕ್ಯೂ/ಝೆಡ್ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಂತರ |E ಎಫ್ | ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಗುಂಪು ಮಾನ್ಯವಾಗಿ Z/nZ ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. H2 (E/F) ಗರಿಷ್ಠ Z/nZ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅದು Z/nZ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು (ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಧ್ಯದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ). ಯಾವುದೇ ಪದರದ ಎರಡನೇ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು H2 (E/F) ಯು |E F | ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವರ್ಗ ರಚನೆಯ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಳಜಿಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ H2 (E/F) ನ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು H2 (E/*) ಯು ಕ್ಯೂ/ಝಡ್ ಗುಂಪಿಗೆ (ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿ) ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾದ ಆರ್ ಮತ್ತು ಸಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ 2 ಅಥವಾ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಗ್ರೂಪ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಟೇಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಆರ್ಟಿನ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಟೇಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಎ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಜಿ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮತ್ತು ಎ ಎಚ್ 2 (ಜಿ, ಎ) ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ ಜಿ ಎಚ್ 1 (ಇ, ಎ) ನ ಪ್ರತಿ ಉಪಗುಂಪು ಇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಚ್ 2 (ಇ, ಎ) ಅನ್ನು ಇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೆಸ್ (ಎ) ನಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಟೇಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ n = −2 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗ ರಚನೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರ E/F ಗೆ H − 2 (E/F, Z) → H0 (E/F, AF) ಎಂಬ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಗುಂಪು H−2 (E/F, Z) ಕೇವಲ E/F ನ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪು H0 (E/F, AF) ಎಇ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎಎಫ್ ಮಾನದಂಡಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎ. ಇ. ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಇ/ಎಫ್ ನ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ನಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ವಿಲೋಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಇ/ಎಫ್ ನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಇ → ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಆರ್ಟಿನ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಇ ನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಇ → ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆರ್ಟಿನ್ ನಕ್ಷೆಯು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ದಟ್ಟವಾದ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದರ ಕರ್ನಲ್ನ ಕೆಳಗಿರುವ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಇಯ (ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ) ಸಂಪರ್ಕಿತ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು. ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದರೆ ತಕಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಪ್ರಮೇಯ, ಇದು ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪು ಕೆಲವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಾನದಂಡಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಮೊದಲು ಏಕತೆಯ ಅನೇಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕುಮ್ಮರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಟಿನ್-ಶ್ರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸಣ್ಣ ಗುಂಪುಗಳ ಮಾನದಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿರಬಹುದು (ಅವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿದ್ದರೂ); ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಂಪು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಬಳಸಿ ತೋರಿಸಬಹುದು). ಇದು ಐಡೆಲ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು (ಅಬೆಲಿಯನ್) ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಆರ್ಟಿನ್ ನಕ್ಷೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಗುರುತಿನ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಫ್ ನ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಅನಂತ ಪೂರ್ಣತೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ, ಲುಬಿನ್-ಟೇಟ್ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತರ್ಕಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಏಕತೆಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಇದರ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪು ಇದು ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪು ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ವೇಯ್ಲ್-ಚಾಟೆಲೆಟ್ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗಗಳಾದ ಯುಇ/ಎಫ್, ಎಚ್2 (ಇ/ಎಫ್, ಎಎಫ್) ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗ ರಚನೆಯ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇ/ಎಫ್ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇ/ಎಫ್ ನ ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪು ಯು, ಎಚ್2 (ಇ/ಎಫ್, ಎಎಫ್) ನಲ್ಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗ ಯುಇ/ಎಫ್ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇಡೀ ರಚನೆಯ ವೈಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಜಿ/ಎಫ್ ಪದರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವೈಲ್ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಲೋಮ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಫ್ ಗೆ ಜಿ ಯ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪು. ವರ್ಗ ರಚನೆಯ (ಜಿ, ಎ) ಪರಸ್ಪರ ನಕ್ಷೆಯು ಎಜಿಯಿಂದ ವೈಲ್ ಗುಂಪಿನ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ ಆರ್ಟಿನ್ ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಟಿನ್ ರೆಸಿಪ್ರೋಸಿಟಿ ಕ್ಲಾಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಹ್ಯಾಸ್ ನಾರ್ಮ್ ಥಿಯರಿ ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ವೆಬರ್ ಥಿಯರಿಮ್ ಲೋಕಲ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ತಕಾಗಿ ಎಕ್ಸಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಥಿಯರಿ ಟೇಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗ್ರೂಪ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನೋಡಿ. ಅಧ್ಯಾಯ XI: ವರ್ಗ ರಚನೆಗಳು, ಅವರ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಮೊದಲ ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ