Landau's problems
1912ರ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಎಡ್ಮಂಡ್ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಅವರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವರ ಭಾಷಣದಲ್ಲಿ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿಯಲ್ಲದ" ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಂಡೌ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ನ ಊಹೆಃ 2ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದೇ? ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಊಹೆಃ p + 2 ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವಂತೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು p ಇದೆಯೇ? ಲೆಜೆಂಡರ್ನ ಊಹೆಃ ಸತತ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳ ನಡುವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ? p-1 ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗುವಂತೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು p ಇದೆಯೇ? ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ n2 + 1 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ? ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಬಗೆಹರಿಯದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿವೆ. 5ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ನ ದುರ್ಬಲ ಊಹೆಯು ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ನ ಊಹೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಇವಾನ್ ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್ ಇದನ್ನು 1937 ರಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ n (ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಹೆಲ್ಫ್ಗಾಟ್ ಇದನ್ನು 2013 ರಲ್ಲಿ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ನ ದುರ್ಬಲ ಊಹೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಚೆನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು, ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ನ ಊಹೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು, ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ n ಗೆ, p ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು q ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಅರ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬೋರ್ಡಿಗ್ನಾನ್, ಜಾನ್ಸ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾರಿಚ್ಕೋವಾ, ಯಮಡಾದ ಮೇಲೆ ಸರಿಪಡಿಸುವ ಮತ್ತು ಸುಧಾರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಚೆನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ಪ್ರತಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಬೋರ್ಡಿಗ್ನಾನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾರಿಚ್ಕೋವಾ ಇದನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಜಾನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾರಿಚ್ಕೋವಾ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಅರ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ 369 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ n> = 4 ಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ; GRH ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವರು 369 ರಿಂದ 33 ಅನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮಾಂಟ್ಗೊಮೆರಿ ಮತ್ತು ವಾಘನ್ ಅವರು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸಾಧಾರಣ ಸೆಟ್ ಸಾಂದ್ರತೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ. ಅಸಾಧಾರಣ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ರವಾಹದ ಮಿತಿಯು ಪಿಂಟ್ಜ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ x ಗೆ) ಮತ್ತು ಗೋಲ್ಡ್ಸ್ಟನ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ RH ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಲ್ಲದ) ಸ್ಥಿರಾಂಕ K ಅನ್ನು 2ರ ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಲಿನ್ನಿಕ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅನೇಕ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ (ಅವಲೋಕನಕ್ಕಾಗಿ ಪಿಂಟ್ಜ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ), ಪಿಂಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ರುಝಾ ಇದನ್ನು ಕೆ = 8 ಗೆ ಸುಧಾರಿಸಿದರು. ಜಿಆರ್ಎಚ್ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕೆ = 7ಕ್ಕೆ ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಊಹೆ ಯಿಟಾಂಗ್ ಜಾಂಗ್ 70 ದಶಲಕ್ಷದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಜೋಡಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಮಾತ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ನ ಸಹಯೋಗದ ಪ್ರಯತ್ನದಿಂದ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 246 ಉದ್ದದ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸುಧಾರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಎಲಿಯಟ್-ಹಾಲ್ಬರ್ಸ್ಟಾಮ್ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು 6ಕ್ಕೆ ಸುಧಾರಿಸಲಾಯಿತು, ಮೇನಾರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಗೋಲ್ಡ್ಸ್ಟನ್, ಪಿಂಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಯೆಲ್ಡಿರಿಮ್ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. p + 2 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಅರ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವಂತಹ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು p (ನಂತರ ಚೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟವು) ಇವೆ ಎಂದು ಚೆನ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆಯ ಊಹೆಯು p ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂತರವು p ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂತರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಊಹೆಯು 264 ≈ 1.8ರಷ್ಟಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ಗಾತ್ರದ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ನೂರು ದಶಲಕ್ಷ ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂತರದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹೀತ್-ಬ್ರೌನ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟೊಮಾಕಿಯ ಮೇಲೆ ಸುಧಾರಿಸಿದ ಜಾರ್ವಿನಿಮಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸಾಧಾರಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಂತರ ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಅಂತರಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇಂಗಮ್ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರತಿ n ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹತ್ತಿರದ-ಚದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಲ್ಯಾಂಡೌ ಅವರ ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ನ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳಿತು. (ಈ ರೂಪದ ತಿಳಿದಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ.) ಅಂತಹ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಊಹಾಪೋಹ ಮತ್ತು ಬಾಟೆಮನ್-ಹಾರ್ನ್ ಊಹಾಪೋಹಗಳಂತಹ ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಊಹಾಪೋಹಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. , ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಹತ್ತಿರದ-ಚದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು. ಹೆನ್ರಿಕ್ ಇವಾನಿಯೆಕ್ ಅವರು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲೆ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಸ್ತೃತ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು, ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಆಂಕೆನಿ ಮತ್ತು ಕುಬಿಲಿಯಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಲ್ಯಾಂಡೌ ಅವರ ಊಹೆ ಬಲವಾದವರಿಗಾಗಿ ಆಗಿದೆ. ಹರ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಲೂಯಿಸ್ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಮೆರಿಕೊಸ್ಕಿ, ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತಾ, ಕನಿಷ್ಠ ಗರಿಷ್ಠ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಘಾತಾಂಕವನ್ನು 2 ರೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಅವರ ಊಹೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಫ್ರೀಡ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ಇವಾನಿಯೆಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೀಮನ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲಿಯಟ್-ಹಾಲ್ಬರ್ಸ್ಟಾಮ್ ರೀತಿಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಬೈರ್ ಮತ್ತು ಝಾವೋ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಬ್ರನ್ ಜರಡಿ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ರೂಪದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಊಹೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು