Lebesgue differentiation theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲೆಬೆಸ್ಗು ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೂ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅನಂತ ಸರಾಸರಿಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹೆನ್ರಿ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿರುವ ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ರಿಯಲ್ ಅಥವಾ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್-ವ್ಯಾಲ್ಯೂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f ಗೆ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ A ಅನ್ನು ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ A ಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ λ ಎಂಬ n-ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. x ನಲ್ಲಿ ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ |B | ಎಂಬುದು x ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಚೆಂಡಿನ B ಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು B → x ಎಂದರೆ B ಯ ವ್ಯಾಸವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f (x) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಬಲವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಬಲಗೈ ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಬಲವಾದ ಸಮರ್ಥನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ನಿಜವಾಗಿರುವ x ಬಿಂದುಗಳನ್ನು f ನ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಒಬ್ಬರು ಬಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಯು ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸಿ> 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಕುಟುಂಬದ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಯು ಚೆಂಡನ್ನು ಬಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ωRn ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಹ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸೆಟ್ಗಳು x ಗೆ ಕುಗ್ಗಿದಾಗ, ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ಗೆ, ಘನಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಅಂತಹ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, R2 ನಲ್ಲಿನ ಆಯತಗಳ ಕುಟುಂಬವು (m) ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ m ≤ 1 ಗೆ ಬದಿಗಳ ಅನುಪಾತವು m − 1 ಮತ್ತು m ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಚೆಂಡುಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ದುರ್ಬಲ-L1 ಅಂದಾಜುಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ f ನ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದರ ಬಲವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯು, ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, f ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಕೆಲವು ಚೆಂಡಿನ ಹೊರಗೆ ಶೂನ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ α> 0 ಗೆ ಅಳತೆ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. ε> 0 ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. L1 (Rn) ನಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು g ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನಂತರ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಇದು ಸಹಾಯಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು f-g ಗಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ x ನಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬಂಧಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎರಡನೇ ಪದವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ g ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪದವು |f (x) −g (x) | ನಿಂದ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಮೂಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ 2α ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಬೇಕಾದರೆ, ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಮೂರನೇ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ α ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಅಂದಾಜು ಏನನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವು n ಆಯಾಮವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಅಸಮಾನತೆಯು (ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ε ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಚರ್ಚೆಯು ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಿಟಾಲಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗೆ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ; ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಅದರ ಪಾತ್ರವಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ವ್ಯಾಸದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಲೆಬ್ಸ್ಗುನ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಿಟಾಲಿ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ) ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲು ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ, ಇದು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾ. ಅಳತೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗವನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಆರ್. ಎನ್ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಗೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಒಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಅಲ್ಟ್ರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವಾಗಿದೆ, ಅಳತೆಯು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪುರಾವೆಯನ್ನು (ಫೆಡರರ್ 1969) ನ 2.8-2.9 ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವಾಸ್ತವಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.