Schottky group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದವರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಬಿಂದು p ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. p ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ರೀಮನ್ ಗೋಳವನ್ನು ಎರಡು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು p ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತುಣುಕನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯ "ಬಾಹ್ಯ" ಮತ್ತು ಇತರ ತುಣುಕನ್ನು ಅದರ "ಆಂತರಿಕ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ರೀಮನ್ ಗೋಳದಲ್ಲಿ 2ಜಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು A1, B1,., Ag, Bg ಇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಟಿಯು ಐಯ ಹೊರಭಾಗವನ್ನು ಬಿಯ ಒಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪು ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಈ ರೀತಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಗುಂಪು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಆಗಿದ್ದು, ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದರೆ, ಮುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಗಿತದ ಖಾಲಿ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ಲಾಕ್ಸೋಡ್ರೋಮಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ರೀಮನ್ ಗೋಳದಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುಗಳಾದ ω (G) ಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪು G ಯ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಹೊರಭಾಗದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಪಾತದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಇದು ಜಿ ಕುಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಇದು 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಗಡಿಯಾಗಿದ್ದು, 3-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಚ್ ಜಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು (ಎಚ್ ≤ ≤ (ಜಿ))/ಜಿ ಜೊತೆಗೆ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪು ಜಿ ಯ ನಿಯಮಿತ ಸೆಟ್ ≤ (ಜಿ) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಜಿ ಕುಲದ ಹ್ಯಾಂಡಲ್ಬಾಡಿಯಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಜಿ ಕುಲದ ಯಾವುದೇ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಜಿ ಕುಲದ ಕೆಲವು ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಮತ್ತು ನಾನ್-ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕೆಲವು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ವೃತ್ತಾಕಾರವೆಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಎ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪನ್ನು ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಪರೋಕ್ಷ ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪುಗಳು 2ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಹಾಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮದ ಮಿತಿ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮಿತಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕೆಳ ಮಿತಿಯಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ω (G) ನ ಪೂರಕವಾದ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪಿನ ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ d <2 ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇದು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಪೊಯಿನ್ಕೇರ್ ಸರಣಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, | ci | −4 ಸರಣಿಯು ಗುಂಪಿನ ಗುರುತಿಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ವಿವಿಧ ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿತ್ರಗಳು ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 0 ರಷ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರ ಸೂತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ, ಪ್ರದೇಶವು ಸ್ಥಿರ ಸಮಯ | ci | −4 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದವು ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು n ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪದದ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರದೇಶದ ಚಿತ್ರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ವೃತ್ತಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆ ಪ್ರದೇಶವು ಪದದ ಉದ್ದದ n ಅಂಶಗಳ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಿರಂತರ ಬಾರಿ ಕೊಡುಗೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 0 ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು (ಕೆಲವು ಕುಲಗಳ g ≤ 2) g ಕುಲದ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪುಗಳ ಜಾಗವಾಗಿದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಪಿಎಸ್ಎಲ್ 2 (ಸಿ) ನ ಜಿ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಜಾಗ, ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ. ಇದು 3g−3 ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಜೆನಸ್ ಜಿ ಯ ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಜಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜೆನಸ್ ಜಿ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣ ರಿಲೇ ಸ್ಲೈಸ್ ನೋಟ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡೇವಿಡ್ ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್, ಕ್ಯಾರೋಲಿನ್ ಸರಣಿ, ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ರೈಟ್, ಇಂದ್ರಾಸ್ ಪರ್ಲ್ಸ್ಃ ದಿ ವಿಷನ್ ಆಫ್ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2002 ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸ್ಕಾಟ್ಕಿ ಗುಂಪನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಮೂರು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪುಗಳು ಸುಳ್ಳು ಗುಂಪುಗಳು