Row equivalence
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದರೆ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಎರಡು m × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಲು ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರಣ, ಸಾಲು ಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟಿಲ್ಡೆ (~) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಲಮ್ ಸಮಾನತೆಯ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾಲಮ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ; ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕಾಲಮ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಎರಡು ಆಯತಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಮಾನವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಚಲನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆಃ ವಿನಿಮಯಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸ್ಕೇಲ್ಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಪಿವೋಟ್ಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಎ ಅನ್ನು ಬಿ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ರೋ ಸ್ಪೇಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ರೋ ಸ್ಪೇಸ್ ಅದರ ರೋ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಸಾಲು ಜಾಗವು ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿರುವವುಗಳಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಎರಡು m × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಲು ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಸಾಲು ಜಾಗವು ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದೇ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತವೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಎರಡೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಪುರಾವೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆಃ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲಿನ ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲು ಸಮಾನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಲು ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಸಾಲು ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಕಡಿಮೆ ಸಾಲು ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದೇ ಸಾಲು ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಡಿಮೆ ರೋ ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈ ತರ್ಕದ ರೇಖೆಯು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶೂನ್ಯ ಜಾಗವು ಸಾಲು ಜಾಗದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸಾಲು ಜಾಗದ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲು ಸಮಾನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಇದು ಕಡಿಮೆ ರೋ ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಪಿವೋಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಮನಾದ ಸಾಲು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಎ = ಪಿಬಿ ಇರುವಂತಹ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪಿ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ರೋ ಸ್ಪೇಸ್ ಬೇಸಿಸ್ (ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ) ರೋ ರಿಡಕ್ಷನ್ (ಕಡಿಮೆ) ರೋ ಎಚೆಲಾನ್ ಫಾರ್ಮ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮಾನತೆ (ಗಣಿತ)