Antiderivative (complex analysis)
ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯ g ಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್, ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು g ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಅದ್ವಿತೀಯತೆಯು ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಏಕೈಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ವಿರೋಧಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ). ಈ ಅವಲೋಕನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಸೇರ್ಪಡೆಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗವಾದ γ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ, a ಯಿಂದ b ಯವರೆಗಿನ ಪ್ರತಿ γ ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ, ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ g ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೋಲಿಕೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ-ಪ್ರತಿರೋಧಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅದರ ನೈಜ ಪ್ರತಿರೂಪಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರಂತರ ನೈಜ ಕಾರ್ಯವು ವಿರೋಧಿ-ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ವಿರೋಧಿ-ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, g (z) = 1/z ಇದು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಪ್ಲೇನ್ C\ {0} ನಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ g ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು g ವಿಫಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕನ್ಸರ್ವೇಟಿವ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗ್ರೀನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆಯೇ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಮಾರ್ಗ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ z ಗೆ, g ಯು ಯು ಮೇಲೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯ U ಯು ಇದ್ದರೆ ಅದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಲು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿ ಒಂದು ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿವಿಧ ಆವೃತ್ತಿಗಳು, ಇದು ಕೌಚಿ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ g ಗೆ, ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗ γ ಗೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, g ನ ಡೊಮೇನ್ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದೆ ಅಥವಾ ಸ್ಟಾರ್-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬಹುದು). ಅಗತ್ಯ ಮೊದಲು, f ಯು ಯು ಮೇಲೆ g ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ g ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಪೀಸ್ವೈಸ್ C1 ಮಾರ್ಗ γ: [a, b] → U ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು g ಓವರ್ γ ನ ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮುಂದೆ ನಾವು g ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ g ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, g ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಂಟಿ-ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಹಾಗೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, g ಯ ಡೊಮೇನ್ U ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ, ಯು ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು z0 ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಯು ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ z ಗೆ γ ಎಂಬುದು z0 ನಿಂದ z ಗೆ ಸೇರುವ ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. U ಅನ್ನು ತೆರೆದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಂತಹ ಮಾರ್ಗವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. f ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು γ ನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ f ಯು g ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನೈಜ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ ವಾದಿಸಬಹುದು. U ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ z ಗೆ, z ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ U ಒಳಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಡಿಸ್ಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ನಂತರ ಈ ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗಿನ z ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿ w ಗೆ, ಅಲ್ಲಿ [z, w] ಎಂಬುದು z ಮತ್ತು w ನಡುವಿನ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. g ನ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ, w, z ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಅಂತಿಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, f′ = g. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ