Numerical continuation
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ನಿಯತಾಂಕಬದ್ಧ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ನಿಯತಾಂಕವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಎನ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಎನ್-ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲ ನಕ್ಷೆಯು ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಿಂದ ಸ್ವತಃ ಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಎನ್-ಜಾಗವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಬನಾಚ್ ಜಾಗವಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಹರಿವುಗಳು ಅಥವಾ ನಕ್ಷೆಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹರಿವಿನ ಪಥಗಳನ್ನು ವಿವೇಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಟೆರೊಕ್ಲಿನಿಕ್ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇತರ ರೂಪಗಳು ಕೆಲವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇತರರಲ್ಲಿ ಅವು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು n-ವಾಹಕವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿತ್ರಣವು n-1 ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳವಿಲ್ಲದ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿದ ಸ್ವಾಯತ್ತ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಗಳು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಅವಧಿಗೆ, ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ತೇವವಿಲ್ಲದ ಲೋಲಕ. ಹಂತದ ಜಾಗವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಗಳಿವೆ. ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಗೆ ಸೂಚ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೊದಲ ಹಂತವೆಂದರೆ ಅವಧಿಯನ್ನು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುವುದುಃ ಎರಡನೇ ಹಂತವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಇದು ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದಾದ ಹಂತದ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು (ಸಮಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ-ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ವಾಯತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಹಂತದ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆಯು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮತಲವನ್ನು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಹಂತದ ನಿರ್ಬಂಧವು ಯುಸೇಬಿಯಸ್ ಡೋಡೆಲ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಇದು ತಿಳಿದಿರುವ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಕಕ್ಷೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಹಂತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಹೋಮೋಕ್ಲಿನಿಕ್ ಮತ್ತು ಹೆಟೆರೊಕ್ಲಿನಿಕ್ ಚಲನೆಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪರಿಹಾರ ಘಟಕ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರ ಘಟಕವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ನಿಯತಾಂಕಬದ್ಧ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುವು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಪರಿಹಾರ ಘಟಕವು ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ (ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ). ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುವಿರುತ್ತದೆ. ಏಕ ಬಿಂದುವು ಎಫ್ ನ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಏಕ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ದ್ರಾವಣ ಘಟಕವು ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಬಾರದು. ಸ್ಥಳೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ನೀಲಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ದಾಟುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದ್ರಾವಣದ ಘಟಕಗಳು ಕವಲೊಡೆದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ಏಕಾಂಗಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಏಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಹೋಗುವ ಪರಿಹಾರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಶಾಖೆಯ ಬದಲಾಯಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ (ಏಕತ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ದುರಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ (ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ) ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಲಿಯಾಪುನೋವ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಲಿಯಾಪುನೋವ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಿಭಜನೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಪೂರಕವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಶೂನ್ಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಎಡ ಶೂನ್ಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಜಾಗದ ಪೂರಕವಾಗಿರುವಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಜಾಕೋಬಿಯನ್ () ನ ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಳದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕವಚನವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಬದಲಿಯಾಗಿ) ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಬಹುದು). ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಮೀಕರಣದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರ ಪದವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಒಂದು ಶಾಖೆ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಏಕ ಬಿಂದುವು ತಿರುವು ಬಿಂದು ವಿಭಜನೆ, ಅಥವಾ ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದಾಗ ನಿಯತಾಂಕದ ದಿಕ್ಕು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಕೆಂಪು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ತಿರುವು ಬಿಂದುವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯತಾಂಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಧಾನಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯತಾಂಕದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಿಹಾರಕದ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮೌಲ್ಯದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಹಾರದ ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದಾಗ, ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬೇಕು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯತಾಂಕದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಪ್ಪು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುವುದು (ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾದ ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ). ಕಪ್ಪು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಹಾರಕಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಕೆಲಸಗಳು ನಡೆದಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಲೊಕಾ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯತಾಂಕದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ತಿರುವುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ದ್ರಾವಣಗಳ ಶಾಖೆಯು ಸುತ್ತುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತಿರುವು ಬಿಂದುಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಸರಳವಾದ ಅಥವಾ ತುಂಡು ತುಂಡಾದ ರೇಖೀಯ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಸರಳವಾದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಅಥವಾ ತುಂಡು ತುಂಡಾದ ರೇಖೀಯ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು (ಆಲ್ಗೋವರ್ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್) ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದು {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" |-|If F (x) ನಕ್ಷೆಗಳು IR ^ (n-1), ಒಂದು (n-1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ರೇಖೀಯ ಅಂತರ್ವೇಶಕವಿದೆ, ಇದು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮತಿಸುತ್ತದೆ. |} ಎರಡನೇ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆಃ {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" |-|An (n-1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನೊಳಗೆ ಅನನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಅಂತರ್ವೇಶಕವು 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. |} ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ದಯವಿಟ್ಟು ಸ್ಲೈಸ್ ರೈಖಿಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹೇಳುವುದು ಸುಲಭ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಮರ್ಥ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನೋಡಿ [ಬಿ1]). ಸರಳವಾದ ವಿಭಜನೆಯ ಉಲ್ಲೇಖದಿಂದ ಆರಂಭಿಕ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅದು ಆ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಅನನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಅಂತರ್ವೇಶಕದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಇತರ ಮುಖಗಳನ್ನು ನಂತರ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಂತರಿಕ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮುಖ ಇರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡೂ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳುಃ ಆಲ್ಗೋವರ್ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ [ಬಿ1] ಆಲ್ಗೋಥಿಮ್ ಬಗ್ಗೆ ಗರಿಗರಿಯಾದ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸೂಡೋ-ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಈ ವಿಧಾನವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ "ಆದರ್ಶ" ನಿಯತಾಂಕವು ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸೂಡೋ-ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ ಎಂದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನ ಅಂದಾಜು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ವಿಧಾನವು ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಲ್ಲಿ (ಬದಲಿಗೆ) ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಿಹಾರಕವು ನೀಡಲಾದ ಸೂಡೋ-ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದಕ್ಕೆ n ನಿಂದ n + 1 ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು (ಸೂಡೋ-ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ ನಿರ್ಬಂಧ) ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ಗಾತ್ರವು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಯೂಡೋ-ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಎಡ್ವರ್ಡ್ ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜೆರಾಲ್ಡ್ ವೆಂಪ್ನರ್ ಅವರು 1960ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಅಂಶಗಳ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1970ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಎಚ್. ಬಿ. ಅವರು ನಿಯತಕಾಲಿಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಕೆಲ್ಲರ್. ಈ ಆರಂಭಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಎಂ. ಎ. ಕ್ರಿಸ್ಫೀಲ್ಡ್ ಅವರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆಃ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಫ್ ಸಾಲಿಡ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಸ್, ಸಂಪುಟ 1: ಬೇಸಿಕ್ ಕಾನ್ಸೆಪ್ಟ್ಸ್, ವಿಲೇ, 1991. ಕ್ರಿಸ್ಫೀಲ್ಡ್ ಈ ವರ್ಗದ ವಿಧಾನಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಸಕ್ರಿಯ ಅಭಿವರ್ಧಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾಗಿದ್ದರು, ಇವು ಈಗ ವಾಣಿಜ್ಯ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಅಂಶಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಒಂದು ಮುನ್ಸೂಚಕ-ಸರಿಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಹಂತವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಪಾಯಿಂಟರಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಹಂತವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು (ಐಆರ್ ^ (ಎನ್ + 1) ನಲ್ಲಿ) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಶೋಧಕವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವು ಅಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಗಡಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾರ್ಪಡಿಸದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವಾಗ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವು ಈ ಹೊಸ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನ ಶೂನ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವನ್ನು ಕೊನೆಯ ಸಾಲುಯಾಗಿ ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಕಾರ). ಗಾಸ್-ನ್ಯೂಟನ್ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಈ ವಿಧಾನವು ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ ನಿರ್ಬಂಧದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು, ಪ್ರಸ್ತುತ ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನ ಹುಸಿ-ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ದೀರ್ಘ ಹಂತಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. [ಬಿ17] ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿನ ನಿಯತಾಂಕವು ನಿಜವಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ವಿನ್ಯಾಸ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಕೆ-ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಏಕವಚನ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪೂರ್ಣ ದರ್ಜೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಪರಿಹಾರವು ಕೆ-ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಳ) ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ನೇರವಾದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ತಂತ್ರಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ತಂತ್ರಗಳು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಪತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಹಲವಾರು ಇತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವೀಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿವೆ. ಅಂತಹ ಬಳಕೆಗೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ವಿವಿಧ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗ ಊಹಿಸಲಾಗದಂತಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಏನು (ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಯಿತು. ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸ್ಥಿರ/ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು ವಿಭಜನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಒಳನೋಟಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್, ಟ್ರಾನ್ಸ್ಕ್ರಿಟಿಕಲ್, ಪಿಚ್-ಫೋರ್ಕ್, ಪೀರಿಯಡ್ ಡಬ್ಲಿಂಗ್, ಹೋಪ್ಫ್, ಸೆಕೆಂಡರಿ ಹೋಪ್ಫ್ (ನೈಮಾರ್ಕ್) ಸ್ಥಿರ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಭಜನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚರ್ಚೆಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ, ಸಮಯ-ಹಂತದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಬಹು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ) ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವವಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ. ಕ್ರ್ಯಾಂಕ್ ನಿಕೋಲ್ಸನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕುವ ಸಮಯವು ಅತ್ಯಂತ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಹಾರಗಳ (ಆಕರ್ಷಿಸುವ ಅಥವಾ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸುವ) ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಒಳನೋಟವುಳ್ಳದ್ದಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಆಗಮನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂಶೋಧನೆಯು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮೂರು-ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್-ಟೋರಿಗೆ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಲೋರೆಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ನೀಡಿದೆ. ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ (ನಿರ್ಮಾಣ ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ) ಸಹ ನೋಡಿ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಸ್ಐಎಎಂ ಚಟುವಟಿಕೆ ಗುಂಪು http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw ಆಟೋಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬೌಂಡರಿ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ (ಟಿಪಿಬಿವಿಪಿ) ಪರಿಹಾರಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. https://sourceforge.net/projects/auto-07p ಸೋರ್ಸ್ಫೋರ್ಜ್ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ. HOMCONT: ಹೋಮೋಕ್ಲಿನಿಕ್ ಮತ್ತು ಹೆಟೆರೊಕ್ಲಿನಿಕ್ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಆಟೋ ಮ್ಯಾಟ್ಕಾಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸೋರ್ಸ್ಫೋರ್ಜ್ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಟೂಲ್ಬಾಕ್ಸ್. ಡಿ. ಡಿ. ಇ. ಬಿ. ಐ. ಎಫ್. ಟಿ. ಓ. ಎಲ್.: ವಿಳಂಬ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್. ಕೆ. ಯು. ಲುವೆನ್ ಪೈಕಾಂಟ್ನಿಂದ ಲಭ್ಯವಿದೆಃ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ ಪೈಥಾನ್ ಟೂಲ್ಬಾಕ್ಸ್. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಮುಂದುವರಿಕೆಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಪೈಥಾನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು, ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಆಟೋಗೆ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್. PyDSTool CANDYS/QAಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಾಟ್ ಪಾಟ್ಸ್ಡ್ಯಾಮ್ [A16] MANPAK ನಿಂದ ಲಭ್ಯವಿದೆಃ Netlib [A15] PDDE-CONT ನಿಂದ ಲಭ್ಯವಿದೆಃ http://seis.bris.ac.uk ~ rs1909/pdde/ಮಲ್ಟಿಫಾರಿಯೋಃ http://multifario.sourceforge.net LOCA: https://trilinos.org/packages/nox-and-loca DSTool GAIO OSCILL8: ಆಸಿಲ್8 ಎಂಬುದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಧನವಾಗಿದ್ದು, ದ್ವಿಭಾಜನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ODEಗಳ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸೋರ್ಸ್ಫೋರ್ಜ್ನಿಂದ ಲಭ್ಯವಿದೆ. MANLAB: ಪರಿಹಾರದ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ (ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮತೋಲನ ವಿಧಾನ) ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಶಾಖೆಯ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳನ್ನು (ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮತೋಲನ, ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಪರಿಹಾರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಎಲ್. ಎಂ. ಎ. ಮಾರ್ಸಿಲ್ಲೆಯಿಂದ ಲಭ್ಯವಿದೆ. BifurcationKit.jl: ಈ ಜೂಲಿಯಾ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳು, ವಿರಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಾರ್ಡ್ವೇರ್ಗಳ (ಉದಾ. ಜಿಪಿಯು). ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಎಫ್ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳು (ಎನ್ = 2), ಅಥವಾ ಐಸೊಸರ್ಫೇಸ್ (ಎನ್ = 3) ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎಚ್ ಮೌಲ್ಯದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯು ಎಫ್-ಎಚ್ = 0 ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪುಸ್ತಕಗಳ [ಬಿ1] "ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ನ್ಯೂಮರಿಕಲ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಯೇಷನ್ ಮೆಥಡ್ಸ್", ಯೂಜೀನ್ ಎಲ್. ಆಲ್ಗೋವರ್ ಮತ್ತು ಕರ್ಟ್ ಜಾರ್ಜ್, ಎಸ್ಐಎಎಂ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ಸ್ ಇನ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ 45 ರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. 2003 ರಲ್ಲಿ. [ಬಿ2] "ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಇಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಾದ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು", ವಿಲ್ಲಿ ಜೆ. ಎಫ್. ಗೋವರ್ಟ್ಸ್, ಎಸ್ಐಎಎಂ 2000. [ಬಿ3] "ಲೈಪುನೋವ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್", ನಿಕೊಲಾಯ್ ಸಿಡೊರೊವ್, ಬೋರಿಸ್ ಲೋಗಿನೋವ್, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಸಿನಿಟ್ಸಿನ್, ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ಫಲಲೀವ್, ಕ್ಲೂವರ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್, 2002. [ಬಿ4] "ಮೆಥಡ್ಸ್ ಆಫ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಥಿಯರಿ", ಶೂಯಿ-ನೀ ಚೌ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಕ್ ಕೆ. ಹೇಲ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ 1982. [ಬಿ5] "ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಥಿಯರಿ", ಯೂರಿ ಎ. ಕುನೆಟ್ಸೊವ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ 112,1995. [ಬಿ6] "ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಸಿಲೇಷನ್ಸ್, ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, ಅಂಡ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್", ಜಾನ್ ಗೂಕೆನ್ಹೈಮರ್ ಮತ್ತು ಫಿಲಿಪ್ ಹೋಮ್ಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ 42,1983. [ಬಿ7] "ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಿದ್ಧಾಂತ", ಗೆರಾರ್ಡ್ ಐಯೋಸ್ ಮತ್ತು ಡೇನಿಯಲ್ ಡಿ. ಜೋಸೆಫ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪದವಿಪೂರ್ವ ಪಠ್ಯಗಳು, 1980. [ಬಿ8] "ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿ ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ಆನ್ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಕ್ಯಾಟಸ್ಟ್ರೋಫ್ ಥಿಯರಿ", ಯುಂಗ್-ಚೆನ್ ಲು, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, 1976. [ಬಿ9] "ಗ್ಲೋಬಲ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಚೋಸ್, ಅನಾಲಿಟಿಕ್ ಮೆಥಡ್ಸ್", ಎಸ್. ವಿಗ್ಗಿನ್ಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ 73,1988. [ಬಿ10] "ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟೀಸ್ ಅಂಡ್ ಗ್ರೂಪ್ಸ್ ಇನ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಥಿಯರಿ, ಸಂಪುಟ I", ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗೊಲುಬಿಟ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಜಿ. ಶೇಫರ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ 51,1985. [ಬಿ11] "ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟೀಸ್ ಅಂಡ್ ಗ್ರೂಪ್ಸ್ ಇನ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಥಿಯರಿ, ಸಂಪುಟ II", ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗೊಲುಬಿಟ್ಸ್ಕಿ, ಇಯಾನ್ ಸ್ಟೀವರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಜಿ. ಸ್ಕೇಫರ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ 69,1988. [ಬಿ12] "ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು", ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಮಾರ್ಗನ್, ಪ್ರೆಂಟಿಸ್-ಹಾಲ್, ಎಂಗಲ್ವುಡ್ ಕ್ಲಿಫ್ಸ್, ಎನ್. ಜೆ. 1987. [ಬಿ13] "ಪಾಥ್ವೇಸ್ ಟು ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ಸ್, ಫಿಕ್ಸ್ಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಇಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಾ", ಸಿ. ಬಿ. ಗಾರ್ಸಿಯಾ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಐ. ಜಾಂಗ್ವಿಲ್, ಪ್ರೆಂಟಿಸ್-ಹಾಲ್, 1981. [ಬಿ14] "ದಿ ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಥೀಮ್ಃ ಹಿಸ್ಟರಿ, ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್", ಸ್ಟೀವನ್ ಜಿ. ಕ್ರಾಂಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಆರ್. ಪಾರ್ಕ್ಸ್, ಬಿರ್ಖೌಸರ್, 2002. [ಬಿ15] "ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್", ಜೆ. ಟಿ. ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್, ಗಾರ್ಡನ್ ಮತ್ತು ಬ್ರೀಚ್ ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್, ನೋಟ್ಸ್ ಆನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಇಟ್ಸ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, 1969. [ಬಿ16] "ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ನ ವಿಷಯಗಳು", ಲೂಯಿಸ್ ನಿರೆನ್ಬರ್ಗ್ (ರಾಲ್ಫ್ ಎ. ಆರ್ಟಿನೊ ಅವರ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು), ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಎಂಎಸ್ ಕೋರಂಟ್ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 6,1974. [ಬಿ17] "ನ್ಯೂಟನ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಫಾರ್ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್-ಅಫೈನ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಅಡಾಪ್ಟಿವ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಸ್", ಪಿ. ಡ್ಯೂಫ್ಲಾರ್ಡ್, ಸೀರೀಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ 35, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 2006. ಜರ್ನಲ್ ಲೇಖನಗಳು [A1] "ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್ಗಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್", ಯುಜೀನ್ ಎಲ್. ಆಲ್ಗೋವರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀಫನ್ ಗ್ನುಟ್ಜ್ಮನ್, ಎಸ್ಐಎಎಂ ಜರ್ನಲ್ ಆನ್ ನ್ಯೂಮರಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಸಂಪುಟ 24, ಸಂಖ್ಯೆ 2,452-469,1987. [ಎ2] "ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜುಗಳು, ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಸರಳ ಮತ್ತು ಮುಂದುವರಿಕೆ ವಿಧಾನಗಳು", ಇ. ಎಲ್. ಆಲ್ಗೋವರ್ ಮತ್ತು ಕೆ. ಜಾರ್ಜ್, ಎಸ್ಐಎಎಂ ರಿವ್ಯೂ, ಸಂಪುಟ 22,28-85,1980. [ಎ3] "ಆನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಫಾರ್ ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಲೀನಿಯರ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್ ಆಫ್ ಆನ್ ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ಲಿ ಡಿಫೈನ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್", ಯೂಜೀನ್ ಎಲ್. ಆಲ್ಗೋವರ್ ಮತ್ತು ಫಿಲಿಪ್ ಎಚ್. ಸ್ಮಿತ್, ಎಸ್ಐಎಎಂ ಜರ್ನಲ್ ಆನ್ ನ್ಯೂಮರಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಸಂಪುಟ 22, ಸಂಖ್ಯೆ 2,322-346, ಏಪ್ರಿಲ್ 1985. [ಎ4] "ಕಂಟೂರ್ ಟ್ರೇಸಿಂಗ್ ಬೈ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್ಸ್", ಡೇವಿಡ್ ಪಿ. ಡಾಬ್ಕಿನ್, ಸಿಲ್ವಿಯೋ ವಿ. ಎಫ್. ಲೆವಿ, ವಿಲಿಯಂ ಪಿ. ಥರ್ಸ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಅಲನ್ ಆರ್. ವಿಲ್ಕ್ಸ್, ಎಸಿಎಂ ಟ್ರಾನ್ಸಾಕ್ಷನ್ಸ್ ಆನ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್, 9 (4) 389-423,1990. [ಎ5] "ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಮತ್ತು ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ", ಎಚ್. ಬಿ. ಕೆಲ್ಲರ್, "ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಥಿಯರಿ" ನಲ್ಲಿ, ಪಿ. ರಾಬಿನೋವಿಟ್ಜ್ ಆವೃತ್ತಿ, ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್, 1977. [ಎ6] "ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ", ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಸಿ. ರೈನ್ಬೋಲ್ಟ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ವಿ. ಬರ್ಕಾರ್ಡ್ಟ್, ಎಸಿಎಂ ಟ್ರಾನ್ಸಾಕ್ಷನ್ಸ್ ಆನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್, ಸಂಪುಟ 9,236-246,1983. [ಎ7] "ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ನ್ಯೂಮರಿಕ್ಸ್" ಇ. ಡೋಡೆಲ್, ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಅಂಡ್ ಚೋಸ್, 7 (9): 2127-2143,1997. [ಎ8] "ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್", ಆರ್. ಸೆಡೆಲ್, ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಅಂಡ್ ಚೋಸ್, 7 (9): 2105-2126,1997. [A9] "ಆನ್ ಎ ಮೂವಿಂಗ್ ಫ್ರೇಮ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅಂಡ್ ದಿ ಟ್ರಯಾಂಗ್ಯುಲೇಷನ್ ಆಫ್ ಇಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಮ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್", W. C. ರೈನ್ಬೋಲ್ಟ್, ಇನ್ ಟಿ. ಕುಪರ್, ಆರ್. ಸೆಡೆಲ್, ಮತ್ತು ಎಚ್. ಟ್ರೋಗರ್ ಆವೃತ್ತಿಗಳು. "ISNM79: ದ್ವಿಭಾಜನಃ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು, ಅನ್ವಯಗಳು", ಪುಟಗಳು 256-267. ಬಿರ್ಖೌಸರ್, 1987. [ಎ10] "ಆನ್ ದಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಆಫ್ ಮಲ್ಟಿ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಆಫ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಸ್ಡ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್", ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಸಿ. ರೈನ್ಬೋಲ್ಟ್, ನ್ಯೂಮರಿಶ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್, 53,1988, ಪುಟಗಳು 165-181. [ಎ11] "ಆನ್ ದಿ ಸಿಂಪ್ಲಿಸಿಯಲ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್ ಆಫ್ ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ಲಿ ಡಿಫೈನ್ಡ್ ಟು-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್", ಎಂ. ಎಲ್. ಬ್ರಾಡ್ಜಿಕ್ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಸಿ. ರೈನ್ಬೋಲ್ಟ್, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ವಿತ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, 28 (9): 9-21,1994. [ಎ12] "ದಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಆಫ್ ಸಿಂಪ್ಲಿಸಿಯಲ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ಲಿ ಡಿಫೈನ್ಡ್ ಪಿ-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್", ಎಂ. ಎಲ್. ಬ್ರಾಡ್ಜಿಕ್, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ವಿತ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, 36 (6): 93-113,1998. [ಎ13] "ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗೆ ಹೊಸ ಕ್ರಮಾವಳಿ", ಆರ್. ಮೆಲ್ವಿಲ್ಲೆ ಮತ್ತು ಡಿ. ಎಸ್. ಮ್ಯಾಕಿ, ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತ, 30 (1): 31-46,1995. [ಎ14] "ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಯೇಷನ್ಃ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ಲಿ ಡಿಫೈನ್ಡ್ ಕೆ-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್", ಎಂ. ಇ. ಹೆಂಡರ್ಸನ್, ಐಜೆಬಿಸಿ 12 [3]: 451-76,2003. [ಎ15] "ಮ್ಯಾನ್ಪ್ಯಾಕ್ಃ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಗಣನೆಗಳಿಗಾಗಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್", ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಸಿ. ರೈನ್ಬೋಲ್ಟ್, ಕಂಪ್ಯೂಟ್. ಗಣಿತ. ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಿ. 27 ಪುಟಗಳು 15-9,1996. [ಎ16] "ಕ್ಯಾಂಡಿಸ್/ಕ್ಯೂಎ-ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ನ ಗುಣಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಒಂದು ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್", ಫ್ಯೂಡೆಲ್, ಯು. ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಜಾನ್ಸೆನ್, ಇಂಟ. ಜೆ. ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಮತ್ತು ಚೋಸ್, ಸಂಪುಟ. 2 ಇಲ್ಲ. 4, ಪು. 773-794, ವರ್ಲ್ಡ್ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್, 1992. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್