Mock modular form
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ತೂಕದ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು 1920 ರಲ್ಲಿ ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿಗೆ ಬರೆದ ಕೊನೆಯ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವರ ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ಯಾಂಡರ್ ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ಅವರು ಕೆಲವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಇತಿಹಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಹಾರ್ಡಿಗೆ ಬರೆದ 12 ಜನವರಿ 1920ರ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವರು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆದ ಕಾರ್ಯಗಳ 17 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. (ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು "ಥೀಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಇಂದು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪದಕ್ಕೆ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ.) ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಂತೆಯೇ, ಬಹುಶಃ ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಧ್ರುವಗಳೊಂದಿಗೆ, ಆದರೆ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಅವರು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು "ಮಾಕ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು" ಎಂದು ಕರೆದರು. ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ನಂತರ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಕ್ರಮವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರು, ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ನ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ, ತಿಳಿದಿರುವ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ರಮಗಳು 3,5,6,7,8,10 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದವು. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಕ್ರಮದ ಕಲ್ಪನೆಯು ನಂತರ ತೂಕದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮಾಸ್ ರೂಪಗಳ ನೆಬೆಂಟಿಪಸ್ ಪಾತ್ರದ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಇದು ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಕೆಲವು ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ, ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಟ್ಸನ್, ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್, ಸೆಲ್ಬರ್ಗ್, ಹಿಕರ್ಸನ್, ಚೋಯಿ, ಮೆಕಿಂತೋಷ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅವರು ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. (ಹೆಚ್ಚಿನ "ಹೊಸ" ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ರಾಮಾನುಜನ್ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಮತ್ತು ಅವರ ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು.) 1936ರಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪ್ರಕಾರ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮ 3 ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬಹುತೇಕ ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (q ನ ಸೂಕ್ತ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ "ದೋಷ ಪದಗಳು" ಇವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಉತ್ತಮ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿರಲಿಲ್ಲ. 2001ರಲ್ಲಿ ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳು, ಲೆರ್ಚ್ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಥೀಟಾ ಸರಣಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ ಇದು ಬದಲಾಯಿತು. ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, 3,5, ಮತ್ತು 7 ಕ್ರಮಗಳ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೂಕದ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ತೋರಿಸಿದರು. ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ತೂಕದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯ); ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಕಸ್ಪ್ಗಳ ಬಳಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವೇಗವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮಾಸ್ ತರಂಗ ರೂಪಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ. ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮಾಕ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಕ್ನ ಆಯಾಮ 2 ರ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಲರಿಗಳ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅಪೆಲ್-ಲೆರ್ಚ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಜಾಕೋಬಿ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ತೂಕದ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ "ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಭಾಗಗಳು" ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಣಕಿಸಲು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಂತೆ, ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳೆಲ್ಲವೂ ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅನೇಕ ಗುರುತುಗಳ ದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವಾಡಿಕೆಯ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು; ಈ ಕೃತಿಗೆ ಮೊದಲು ಕೇವಲ 50 ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿತ್ತು (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ರಾಮಾನುಜನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು). ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ಅವರ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಾಗಿ, ರೋಜರ್ಸ್-ಫೈನ್ ಮೂಲ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಕೆಲವು ಕ್ಯೂ-ಸರಣಿಗಳು ತೂಕದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪಗಳ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂದು ಕ್ಯಾಥರಿನ್ ಬ್ರಿಂಗ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಕೆನ್ ಒನೊ ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಲೈಲಾ ಡ್ರಾಗನೆಟ್ಟೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ 3ನೇ ಕ್ರಮದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸರಣಿಯು ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಕ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಕಸ್ಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಕಸ್ಪ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಧ್ರುವಗಳೊಂದಿಗೆ ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪದ "ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಭಾಗ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2k ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ k ತೂಕವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಎಸ್ಎಲ್2 (ಝಡ್) ನ ಉಪಗುಂಪನ್ನು (ಅಥವಾ ಕೆ ಅರ್ಧ-ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ) ಮತ್ತು ಜಾತುವಿನ ρ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಈ ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪ f ಮತ್ತು ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ತೂಕದ k ರೂಪವು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ತೂಕದ k ನ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪದಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ತೂಕದ k ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ತೂಕದ ಕೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. (ಮಾಸ್ ರೂಪವು ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ವೇಗವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.) ಎಫ್ ಯಾವುದೇ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನೀಡಲಾದ g ಕಾರ್ಯವು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತೂಕದ k ನ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪದಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದು ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಚಿತ್ರ gನೊಂದಿಗೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ g * ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, F − g * ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಪೂರ್ಣವಾದ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. g ಯು cusp i ≤ ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣವಾದ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು f ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಭಾಗವಾದ g * ಅನ್ನು i ≤ ನಲ್ಲಿ g ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವಾಗಲೂ ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದಕ್ಕೆ k 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ n = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಾಳಜಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ವಿಲೋಮವು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು g * ಗೆ ಅದರ ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದಂತೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ g * ಕಾರ್ಯವು ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಎಚ್ = ಎಫ್ − ಜಿ * ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಫ್ ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವನ್ನು ಕೆಲವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪ ಎಫ್ ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಭಾಗ ಎಚ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ. ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾದ h ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ h + g * ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲ. ಕೆ ತೂಕದ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಅಂತರವು ಕೆ ತೂಕದ ಸುಮಾರು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ("ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಬಹುದಾದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳು") ಅಂತರವನ್ನು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಶವು 2−k ತೂಕದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಜಾಗಕ್ಕೆ (ಆಂಟಿಲಿನಿಯರ್ಲಿ) ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾಕ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾದ h ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ತೂಕ-(2−k) ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾದ g ಅನ್ನು ಅದರ ನೆರಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ನೆರಳು ಹೊಂದಿರುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಾಮಾನುಜನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ 5ನೇ ಕ್ರಮದ 10 ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು 5ರ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಸೇರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ನೆರಳು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ). ಡಾನ್ ಝಾಗಿಯರ್ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು q = e2i ಪಟ್ಟು ತೂಕದ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದರ ನೆರಳು ಧನಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ κ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯ ε ಗೆ ರೂಪದ ಥೀಟಾ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. (ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಥೀಟಾ ಸರಣಿಯು ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ). q ನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಅಪಘಾತವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪಗಳು ಕಸ್ಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ತ್ವರಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವು ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ಹೇರುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಅವು ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ "ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್" ಎಂದರ್ಥ). ಮಾಕ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತೂಕ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ) ಜಾಗವು, ಅವುಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾದ ಅಪ್ಪೆಲ್-ಲೆರ್ಚ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೊದಲು ಪಾಲ್ ಎಮಿಲ್ ಅಪ್ಪೆಲ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಥಿಯಸ್ ಲೆರ್ಚ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಕ್ರಮ 3ರ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಪ್ಪೆಲ್-ಲೆರ್ಚ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಅಪೆಲ್-ಲೆರ್ಚ್ ಸರಣಿಯು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು y = Im () ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾಕ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಪ್ಪೆಲ್-ಲೆರ್ಚ್ ಸರಣಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಇದರರ್ಥ ಮಾಕ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಥೀಟಾ ಸರಣಿ ಜಾರ್ಜ್ ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಹಲವಾರು ಐದನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ θ () ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು θ () ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೈನರಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪದ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಡೀನ್ ಹಿಕರ್ಸನ್ ಏಳನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ತರಂಗ ರೂಪಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಮೇರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಜಾಕೋಬಿ ರೂಪಗಳಾದ ಜಾರ್ಜ್ ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್, ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಐದನೇ ಕ್ರಮದ ಕೆಲವು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಜಾಕೋಬಿಯ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಜಾಕೋಬಿ ರೂಪಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಿದರು. ರೂತ್ ಲಾರೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡಾನ್ ಝಾಗಿಯರ್ ಅವರು 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು. ಎ. ಎಮ್. ಸೆಮಿಖಟೋವ್, ಎ. ಟಾವೋರ್ಮಿನಾ ಮತ್ತು ಐ. ಯು ಟಿಪುನಿನ್ ಅವರು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಸೂಪರ್ಅಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಜೆ. ಟ್ರೂಸ್ಟ್ ಅವರು ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು ನಿರಂತರ ವರ್ಣಪಟಲದೊಂದಿಗೆ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕುಲಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಂಬ್ರಲ್ ಮೂನ್ಶೈನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಆತಿಶ್ ದಾಭೋಲ್ಕರ್, ಸಮೀರ್ ಮೂರ್ತಿ ಮತ್ತು ಡಾನ್ ಝಾಗಿಯರ್ ಅವರು ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳು ಎನ್ = 4 ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗಳ ಅವನತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆ ತೂಕದ ಯಾವುದೇ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವು (ಬಹುಶಃ ಕಸ್ಪ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್) ನೆರಳು 0 ಹೊಂದಿರುವ ತೂಕ ಕೆ ತೂಕದ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ತೂಕ 2 ಮತ್ತು ಮಟ್ಟ 1 ರ ಕ್ವಾಸಿಮೋಡ್ಯುಲರ್ ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸರಣಿಯು ತೂಕ 2 ರ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ನೆರಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ತೂಕ 2 ರ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪದಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ = x + iy). ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ H (N) ಎಂಬ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಾನ್ ಝಾಗಿಯರ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವು ತೂಕ, ಮಟ್ಟ 4 ಮತ್ತು ನೆರಳು ‡qn2 ನ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ತರಂಗ ರೂಪವು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು y = IM (), q = e2i ಆಗಿದೆ. ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ತೂಕದ ಅಣಕು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ನೆರಳು ಯೂನರಿ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು q ನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಐತಿಹಾಸಿಕ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ). ಝ್ವೆಗರ್ಗಳ ಕೆಲಸವು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಮೊದಲು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಅಪಘಾತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. "ಕ್ಷುಲ್ಲಕ" ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ತೂಕದ (ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್) ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸೆರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾರ್ಕ್ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅವರು 1-ಆಯಾಮದ ಜಾಲರಿಗಳ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು q-ಪೋಚಮ್ಮರ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು (a; q) n ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಆರ್ಡರ್ 2 ಕೆಲವು ಆರ್ಡರ್ 2 ಮಾಕ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೆಕಿಂತೋಷ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಇವುಗಳು ಆರ್ಡರ್ 3ರ ಆರ್ಡರ್-8 ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಹಾರ್ಡಿಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಆರ್ಡರ್-3 ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ತಮ್ಮ ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಜಿ. ಎನ್. ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಅವರು ಮರುಶೋಧಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎರಡನೆಯದು ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಹೇಳಿದ ಅವರ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಪೆಲ್-ಲೆರ್ಚ್ ಮೊತ್ತಗಳೆಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿತು. ಡ್ರ್ಯಾಗನೆಟ್ ತಮ್ಮ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ವರಮೇಳದ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನಾಥನ್ ಫೈನ್ ಅವರ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ರಾಮಾನುಜನ್ ನೀಡಿದ ಏಳು ಆರ್ಡರ್-3 ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು, .. .. .. .. .. .. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಒಂದೇ ನೆರಳು (ಸ್ಥಿರಾಂಕದವರೆಗೆ) ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳೂ ಹಾಗೆಯೇ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ (ರಾಮಾನುಜನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ): ಆರ್ಡರ್ 5 ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಹಾರ್ಡಿಗೆ ಬರೆದ 1920 ರ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ 5 ರ ಹತ್ತು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ತನ್ನ ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಆತ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ, ಇದು ಹಿಕರ್ಸನ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಊಹೆಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನೇಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಿಂದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಥೀಟಾ ಸರಣಿಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಆರ್ಡರ್ 6 ರಾಮಾನುಜನ್ ತನ್ನ ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ 6 ರ ಏಳು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ 11 ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಹಿಕರ್ಸನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳು ವಿವಿಧ ವಾದಗಳಲ್ಲಿ φ ಮತ್ತು si ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಪ್ಪೆಲ್-ಲೆರ್ಚ್ ಸರಣಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ φ ಮತ್ತು si ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಐದು ಗುರುತುಗಳು ಉಳಿದ ಐದು ಆರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು φ ಮತ್ತು si ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಬರ್ನ್ಡ್ ಮತ್ತು ಚಾನ್ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಆರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಆರ್ಡರ್ 6 ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಆರ್ಡರ್ 7 ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಹಾರ್ಡಿಗೆ ಬರೆದ 1920ರ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ 7ರ ಮೂರು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಸೆಲ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್ ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಹಿಕರ್ಸನ್ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನೇಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಿಂದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಥೀಟಾ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಝ್ವೆಗರ್ಸ್ ತಮ್ಮ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಮೂರು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ನೆರಳುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಆರ್ಡರ್-3 ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್-5 ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ. ಅನುಗುಣವಾದ ದುರ್ಬಲ ಮಾಸ್ ರೂಪಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಪೂರಕ ದೋಷ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ 3-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಆರ್ಡರ್ 8 ಗೋರ್ಡಾನ್ ಮತ್ತು ಮೆಕಿಂತೋಷ್ ಅವರು ಆರ್ಡರ್ 8ರ ಎಂಟು ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಐದು ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಪ್ಪೆಲ್-ಲೆರ್ಚ್ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು. ವಿ1 ಮತ್ತು ಯು0 ಎಂಬ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಈ ಹಿಂದೆ ತಮ್ಮ ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದರು. ಆರ್ಡರ್ 10 ರಾಮಾನುಜನ್ ತಮ್ಮ ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಆರ್ಡರ್-10 ಅಣಕು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೇಳಿದರು, ಇದನ್ನು ಚೋಯಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅವರ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಕೃತಿಗಳ ಮೊದಲ ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾನ್ಫರೆನ್ಸ್ಃ ಮಾಕ್ ಥೀಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು 2009 ಜಾರ್ಜ್ ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್ ಅವರ ಮಾಕ್ ಥೀಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್