Band (algebra)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬ್ಯಾಂಡ್ (ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಅದರ ಸ್ವಂತ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅವರು ಹೆಸರಿಸಿದರು. ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ವಿಧಗಳ ಜಾಲರಿಯನ್ನು 1970ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬಿರ್ಯುಕೋವ್, ಫೆನ್ನೆಮೋರ್ ಮತ್ತು ಗೆರ್ಹಾರ್ಡ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳು, ಎಡ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು, ಬಲ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು, ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು, ಎಡ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು, ಬಲ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಈ ಜಾಲರಿಯ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವು ಉಪಗುಂಪುಗಳು, ಏಕರೂಪದ ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದ ರಚನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧದ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಗುರುತಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸೆಮಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂವಹನ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳಾಗಿವೆ; ಅಂದರೆ, ಅವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಆದೇಶವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಂವಹನದ ಅಗತ್ಯವು ಈ ಪೂರ್ವ ಕ್ರಮವು (ಸೆಮಿಲಟೈಸ್) ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಡ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬ್ಯಾಂಡ್, ಅಲ್ಲಿಂದ ಅದರ ಕೇಲೆ ಟೇಬಲ್ ಸ್ಥಿರ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಬಲ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇಲೆ ಟೇಬಲ್ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬ್ಯಾಂಡ್, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಯಾವುದೇ ಅರೆಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಗುರುತು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸಂವಹನ ಮಾಡುವ ಅರೆಗುಂಪನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸಂವಹನ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಮೊದಲ ಗುರುತನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಶಿಲಾಪಾಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಅದರ ಚೌಕದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ನೋವೇರ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ನೋವೇರ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನೋವೇರ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಯಾವುದೇ ಸಂವಹನ ಅರೆಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುರುತಿನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅರೆಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಗುರುತು ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ತುಂಬಾ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ (ಬ್ಯಾಂಡ್) ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬ್ಯಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಗುರುತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ಅರೆಗುಂಪಿನ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳು ಉಪ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆದರೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಅರೆಗುಂಪು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಅಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಬ್ಯಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಗುರುತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಆದರೆ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದ ಅರೆಗುಂಪುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗೀಕರಣವಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಗ್ಮಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಈ ಎರಡು ಮ್ಯಾಗ್ಮಾ ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಎರಡನೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುರುತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎರಡು ಆಯತಾಕಾರದ ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಶಿಲಾಪಾಕವು ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುರುತುಗಳನ್ನು (ನಾಲ್ಕು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮ್ಯಾಗ್ಮಾ ಗುರುತುಗಳು) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಗ್ಮಾ ಒಂದು ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಗ್ಮಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಶಿಲಾಪಾಕವು ಸಹವರ್ತಿ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮೇಲಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ (ಒಂದೋ ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಆರಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ () ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ). ಎಡ-ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಬಲ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎಡ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಬಲ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ನ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಆಯತಾಕಾರದ ಪಟ್ಟಿಗಳು ಶೂನ್ಯ ಪಟ್ಟಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ. ಆಯತಾಕಾರದ ಪಟ್ಟಿಯು ಎಡ-ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಬಲ-ಶೂನ್ಯ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಯತಾಕಾರ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಬರುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಈ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಜೋಡಿ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಆಯತಾಕಾರದ ಪಟ್ಟಿಗಳು ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಸಹ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊನಾಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕರ್ಣೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಬ್ಯಾಂಡ್, ಮತ್ತು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು,,, ಮತ್ತು. ಇದು ಮಧ್ಯದ ಶಿಲಾಪಾಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸುವ ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಮಧ್ಯದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಮಧ್ಯದ ಶಿಲಾಪಾಕಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎಡ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಎಡ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗಿದೆ, ನಾವು ಒಂದು ಅರೆ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಈ ಅರೆ ಗುಂಪು ಎಡ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎಡ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಪೊಸೆಟ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಬಲ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬಲ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಬ್ಯಾಂಡ್. ಯಾವುದೇ ಬಲ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ ವಿರುದ್ಧ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಡ-ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧದ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು 'ವಿರುದ್ಧ' ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ವಿಧದ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ಪ್ರಭೇದಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಂಗಮವು ಅವುಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪ್ರಭೇದಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಭೇದವಾಗಿದೆ. ಈ ಜಾಲರಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ರಚನೆಯು ತಿಳಿದಿದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ 13 ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಡ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು, ಅರೆ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬಲ-ಶೂನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಈ ಜಾಲರಿಯ ಮೂರು ಪರಮಾಣುಗಳಾಗಿವೆ (ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳು). ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧದ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಗುರುತಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧದ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಗುರುತಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು (ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ) ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಿಯೂ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್, ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ಗಳ ಆರ್ಥೊಡಾಕ್ಸ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವಿಶೇಷ ವರ್ಗಗಳಿಲ್ಲ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ