Complemented group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪೂರಕ ಗುಂಪು ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರಕ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಉಪಗುಂಪು ಗುಂಪು-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪೂರಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರಷ್ಯಾದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಜಿಃ ಜಿ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ಜಿ ಎಂಬುದು ಚದರ-ಮುಕ್ತ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ (ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಝಡ್-ಗುಂಪು) ಜಿ ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸೈಲೋ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು (ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಎ-ಗುಂಪು) ಹೊಂದಿರುವ ಅತಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯು ಪೂರಕ ಜಾಲಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಪೂರಕವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಉಪಗುಂಪು ಎಚ್ಗೆ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಕೆ ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಎಚ್ θಕೆ = 1 ಮತ್ತು ̃ಹೆಚ್, ಕೆ & ಹೇರ್ಸ್ಪ್; ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹಾಲ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ H ಮತ್ತು K ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, H = {hk: h in H, k in K} ಒಂದು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಇಟಾಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ-ಗುಂಪಿನ ಫ್ರ್ಯಾಟಿನಿ ಉಪಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ; ಒಂದು ಗುಂಪು ಕೆ-ಗುಂಪಿನ ಕೋರ್-ಮುಕ್ತ ಗರಿಷ್ಠ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ವತಃ ಕೆ-ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳ ಭಾಗಶಃ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಸರಳ ಗುಂಪು ಪೂರಕ ಗುಂಪು ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ತಿಳಿದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ಕೆ-ಗುಂಪನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪೂರಕವಾಗಿರದ ಗುಂಪಿಗೆ (ಎರಡೂ ಅರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ) ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ p2 ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು, ಅಲ್ಲಿ p ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಂಪು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉಪಗುಂಪು ಎಚ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಪಿ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಚ್ ಗೆ ಪೂರಕವಾಗಲು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪು ಎಲ್ ಇರಬಾರದು.