Contract bridge probabilities
ಸೇತುವೆಯ ಆಟದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಘೋಷಣಾತ್ಮಕ ಆಟದ ತಂತ್ರಗಳು ಎದುರಾಳಿಯ ಕಾರ್ಡ್ಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಯಶಸ್ಸಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಯಾವ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಯಶಸ್ಸಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಘೋಷಣಾಕಾರನು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ವಿವಿಧ ಹಿಂದಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು. ಬಿಡ್ಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಆಟದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕೈಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯು ಲಭ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಟಗಾರರಿಗೆ ತಮ್ಮ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸೂಟ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಕಳೆದುಹೋದ ಟ್ರಂಪ್ಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ) ಎರಡು ಗುಪ್ತ ಕೈಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕೋಷ್ಟಕವು ಎರಡರಿಂದ ಎಂಟು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತ 13-ಕಾರ್ಡ್ ಕೈಗಳ ನಡುವೆ (ಬಿಡ್ಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಆಟದ ಮೊದಲು, ಅಥವಾ ಆದ್ಯತೆಯ ಮೊದಲು) ವಿತರಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋಷ್ಟಕವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಭಜನೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಡ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಖಾಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಪರಿಚಿತ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪೂರ್ವ ಆಟಗಾರನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಪರಿಚಿತ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಶ್ಚಿಮ ಆಟಗಾರನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಆಗಿರಲಿ. ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಡುಗಳ ಒಟ್ಟು ಜೋಡಣೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೆ. ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಡುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಡುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವದ ಕಾರ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಪಶ್ಚಿಮ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವರು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಜನೆಯ ದಿಕ್ಕು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ವಿಭಜನೆಯು ಕೇವಲ-ಪೂರ್ವಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ), ನಂತರ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಿಮಗಳು ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ದಿಕ್ಕು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ಮತ್ತೊಂದು ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಸೂಟ್ ಒಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಬಿಡ್ಡಿಂಗ್. ಪೂರ್ವವು ಬಿಡ್ಡಿಂಗ್ನಿಂದ 7 ಸ್ಪೇಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಡಮ್ಮಿಯನ್ನು ನೋಡಿದ ನಂತರ ನೀವು 2 ಸ್ಪೇಡ್ಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಡಲು ಪಶ್ಚಿಮವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೀರಿ; ನಂತರ ನಿಮ್ಮ ಎರಡು ಆಟದ ಸಾಲುಗಳು ವಜ್ರಗಳಿಗೆ 5-3 ಅಥವಾ ಕ್ಲಬ್ಗಳಿಗೆ 4-4 ಅನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 47 ಪ್ರತಿಶತ ಮತ್ತು 48 ಪ್ರತಿಶತ, ಆದರೆ ಈಗ ಕ್ಲಬ್ ಲೈನ್ ಡೈಮಂಡ್ ಲೈನ್ಗಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಎಚ್ಸಿಪಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಹೈ ಕಾರ್ಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು (ಎಚ್ಸಿಪಿ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಏಸ್/ಕಿಂಗ್/ಕ್ವೀನ್/ಜ್ಯಾಕ್ಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 4/3/2 1 ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಮಿಲ್ಟನ್ ವರ್ಕ್ ಸ್ಕೇಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕೈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಚ್. ಸಿ. ಪಿ. ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಿರುವ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಎರಡು ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂಚಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 12-19 ಎಚ್. ಸಿ. ಪಿ ಕೈಯನ್ನು (ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಗರಿಷ್ಠ 19 ಎಚ್. ಸಿ. ಪಿ ಮೈನಸ್ 11 ಎಚ್. ಸಿ. ಪಿ ಹೊಂದುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಥವಾಃ 0.9855 − 0.6518 = 0.3337. ಕೈ ಮಾದರಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕೈ ಮಾದರಿಯು ನಾಲ್ಕು ಸೂಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಹದಿಮೂರು ಕಾರ್ಡುಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು 39 ಕೈ ಮಾದರಿಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 13 ಮಾತ್ರ 1 ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು ಮೀರಿದ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಎರಡು ನಾಲ್ಕು-ಕಾರ್ಡ್ ಸೂಟ್ಗಳು, ಮೂರು-ಕಾರ್ಡ್ ಸೂಟ್ ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ಟನ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ 4-4-3-2 ಮಾದರಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಕೈ ಮಾದರಿಯು ಯಾವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂಟ್ಗಳು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. 4-4-3-2 ಮಾದರಿಗಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಸೂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಯಾವ ಸೂಟ್ ಮೂರು-ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಸೂಟ್ ಡಬಲ್ ಟನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ಮೂರು-ಕಾರ್ಡ್ ಸೂಟ್ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ನಾಲ್ಕು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ ಡಬಲ್ ಟನ್ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮೂರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 4-4-3-2 ಮಾದರಿಯ ಸೂಟ್ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹನ್ನೆರಡು. ಅಥವಾ, ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಟ್ಟು ಹನ್ನೆರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ 4-4-3-2 ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಸೂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಕೋಷ್ಟಕದ ಕೆಳಗೆ ಎಲ್ಲಾ 39 ಸಂಭವನೀಯ ಕೈ ಮಾದರಿಗಳು, ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಯ ಸೂಟ್ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಕೈ ಮಾದರಿಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. 39 ಕೈ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಕೈ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಸಮತೋಲಿತ ಕೈಗಳು, ಏಕ ಸೂಟರ್ಗಳು, ಇಬ್ಬರು ಸೂಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಸೂಟರ್ಗಳು. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೈ-ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. 39 ಕೈ ಮಾದರಿಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪನ್ನು ಉದ್ದನೆಯ ಸೂಟ್ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಸೂಟ್ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು. ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಉದ್ದದ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಉದ್ದದ ಸೂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೈಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವ ಆದ್ಯತೆಯ ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಕೈಗಳು ಮತ್ತು ಡೀಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ 635,013,559,600 () ವಿವಿಧ ಕೈಗಳಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಉಳಿದ 39 ಕಾರ್ಡುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದಾಗ 53,644,737,765,488,792,839,237,440,000 (53.6 x 1027) ವಿವಿಧ ಡೀಲ್ಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ () "ಪ್ರತಿ ಡೀಲ್ ಕೇವಲ ಒಂದು ಚದರ ಮಿಲಿಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಿದರೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಡೀಲ್ಗಳನ್ನು ಹರಡಲು ನೀವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ?" ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಶಾಲತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉತ್ತರವೆಂದರೆಃ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ ನೂರು ದಶಲಕ್ಷ ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರದೇಶ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯವಹಾರಗಳು-ಉದಾಹರಣೆಗೆ-2 ಮತ್ತು 3 ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ. ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಡುಗಳ ಅಪ್ರಸ್ತುತತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು (ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ), ಸೇತುವೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಡುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 'x' ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ಸಂಭಾವ್ಯ ಡೀಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಷ್ಟು ನಾನ್-ಹಾನರ್ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು (2,3,. 9) 'ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ' ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಡ್ಗಳಿಗೆ 'x' ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಸೂಟ್ ವಿತರಣೆಗಳಾದ A987-K106-Q54-J32 ಮತ್ತು A432-K105-Q76-J98 ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದವು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಡೀಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಟೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ನಮೂದು (37,478,624) ಡೆಕ್ನ ವಿವಿಧ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸೂಟ್ನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದಾಗ ಡೀಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ). ಲೂಸಿಂಗ್-ಟ್ರಿಕ್ ಎಣಿಕೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಃ ಲೂಸಿಂಗ್-ಟ್ರಿಕ್ ಎಣಿಕೆ ಎಂಬುದು ಕೈಯಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವಾಗಿ ಎಚ್. ಸಿ. ಪಿ. ಎಣಿಕೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. 1954 ರಲ್ಲಿ ಲೇಖಕರ ಎರಡನೇ ಫ್ರೆಂಚ್ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಅಲೆಕ್ ಟ್ರಾಬ್ ಅವರು ದಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಎಂದು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿ ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ; 1974 ರಲ್ಲಿ ತೈವಾನ್ನಲ್ಲಿ ಸಿ. ಸಿ. ಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮುದ್ರಿಸಲಾಯಿತು. ವೇಯ್.