Holonomic constraints
ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಾನದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯಶಃ ಸಮಯ) ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿವೆಃ ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ n ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂರಚನೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಇರಲು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲಾದ ಕಣದ ಚಲನೆಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಣವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಗೋಳದಿಂದ ಬೀಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ನಿರ್ಬಂಧವು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಅಲ್ಲದಂತಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರವಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ವೇಗ-ಅವಲಂಬಿತ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದ (ಅರೆ-ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ನೀಡಬಹುದು. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ಬಂಧವು ಸಮಗ್ರವಾಗಿರಬೇಕಾದರೆ ಅದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದಂತಿರಬೇಕುಃ ಅಂದರೆ. ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೇಗಗಳು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದ ನಿರ್ಬಂಧವು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ) ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಘಟಕಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಲ್ಲ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವೇಗವನ್ನು ಅಥವಾ ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳ ವೇಗಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು, ಅಥವಾ ಚಲಿಸುವ ಭಾಗವು ನಿರ್ಬಂಧದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಬಂಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ನೈಜ ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕ. ಸಮಗ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಗ್ಯಾಂಟ್ರಿ ಕ್ರೇನ್ಗಳು, ಪೆಂಡ್ಯುಲಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ರೋಬೋಟಿಕ್ ತೋಳುಗಳು. ಸೆಗ್ವೇಗಳು, ಯುನಿಸೈಕಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಟೋಮೊಬೈಲ್ಗಳು ನಾನ್ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಪರಿಭಾಷೆ ಸಂರಚನೆಯ ಸ್ಥಳವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಘಟಕಗಳ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು. ಸಂರಚನೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ಕ್ಲೆರೊನೊಮಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಈವೆಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ (ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ). ಕೇವಲ ಸಂರಚನೆಯ ಸ್ಥಳದ ಬದಲು ಈವೆಂಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬೇಕಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಿಯೋನಾಮಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ಲೆರೊನೊಮಿಕಲ್ ಅಥವಾ ರಿಯೊನೊಮಿಕಲ್ ಆಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲೋಲಕದ ಒಟ್ಟು ಅನುಮತಿಸಬಹುದಾದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸ್ಕ್ಲೆರೋನಾಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಲೋಲಕದ ಕಾಲಾನಂತರದ ಚಲನೆಯನ್ನು ರಿಯೋನಾಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಬೇಕು. ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದರೆ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಜೊತೆಗೆ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದದ ವೇಗವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪದಗಳು. ರಾಜ್ಯ-ಸಮಯದ ಸ್ಥಳವು ಸಮಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗ್ಯಾಂಟ್ರಿ ಕ್ರೇನ್ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಗ್ಯಾಂಟ್ರಿ ಕ್ರೇನ್ ಒಂದು ಓವರ್ಹೆಡ್ ಕ್ರೇನ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಬಾಣಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ 3 ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಹುಕ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಕ್ರೇನ್ ಒಂದು ಸಮಗ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಘಟಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಲನೆಗೆ, ಘಟಕಗಳು ಯಾವ ಕ್ರಮ ಅಥವಾ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕಗಳ ಒಟ್ಟು ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವವರೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದುಃ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂರಚನೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಕ್ರೇನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕವು ಅದರ "ಶೂನ್ಯ" ಸ್ಥಾನದಿಂದ ವಿಕ್ಷೇಪಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು, ಮತ್ತು, ನೀಲಿ, ಹಸಿರು ಮತ್ತು ಕಿತ್ತಳೆ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಮತ್ತು ನಿಯೋಜನೆಯು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳು ಅದರ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವು ಕ್ರೇನ್ನ ಹಿಂಭಾಗದ-ಕೆಳಭಾಗದ-ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸ್ಥಾನ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಕ್ರೇನ್ನ ಎತ್ತರ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಂತರ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ನಾವು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದಿರುವುದರಿಂದ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಸರಳ ಲೋಲಕವು ತೂಕ ಮತ್ತು ದಾರದಿಂದ ಕೂಡಿದ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ದಾರವನ್ನು ಮೇಲಿನ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಪಿವೋಟ್ಗೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ತೂಕಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ದಾರದ ಉದ್ದವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ತೂಕದ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ದಾರದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಕಣಗಳು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಕಣಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಅಲ್ಲದಂತೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂರಚನೆಯ ಸ್ಥಳವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ). ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪ ನಿರ್ಬಂಧದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ith ನಿರ್ಬಂಧ ಸಮೀಕರಣದ ಭೇದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಈ ರೂಪವನ್ನು ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪ ಅಥವಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿರ್ಬಂಧವು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಅಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಾನ್ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದ ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೇಗಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ. ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ, ನಿರ್ಬಂಧವು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಅಥವಾ ನಾನ್ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಕೊರತೆಯನ್ನು) ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಫಾಫಿಯನ್ ನಿರ್ಬಂಧದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಅಥವಾ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ (ಮೇಲಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ಗಳನ್ನು) ಸೇರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ): ನಾವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ಪದಗಳು ಪದಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಾಲ್ಕು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಪದಗಳು ಪದಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ. ಐದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಆ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಹತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೂರು ಸೆಟ್ ನಿರ್ಬಂಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಐದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಮೂವತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು (ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಬದಲಾವಣೆಯಂತಹ ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ). ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾವ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಮೊದಲು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಗಣಿತದ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ, ಮೊದಲಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು ಉತ್ತಮ. ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಇದು ಸುಳ್ಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಂರಚನಾ ಸ್ಥಳವು, ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲಕ, ಆಗಿದೆ. ಸಂರಚನೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಮೂರು ಪದಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯದ ತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ಸಂಘಟಿಸಬಹುದುಃ ಪದಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಸರಳಗೊಳಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ನಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ನಾವು ನಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಈಗ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸಬಹುದು. ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಗ್ಗೂಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದುಃ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ನಮ್ಮ ಏಕೀಕರಣಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭಃ ಅಲ್ಲಿ ಸಿ ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಫಾಫಿಯನ್ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಾಂಕವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಃ ನಿರ್ಬಂಧವು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದುಃ ನೇರವಾಗಿ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಭೇದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಾಂಕವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ನಾವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಬೇಕಾದ ಮೂರು ಪದಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಮೂರು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿಃ,, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (ಒಟ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ). ,, ಮತ್ತು ಇವು ಮತ್ತು ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ) ಎಂದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನುಃ ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಅಥವಾ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಫಾಫಿಯನ್ ನಿರ್ಬಂಧದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು ಅಥವಾ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಥವಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನಮಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಸಂರಚನಾ ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳದಿಂದ ವಿವರಿಸಿದರೆ, ಅದು ನಮ್ಮ ಸಮಯದ ಚಲಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂರಚನೆ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು, ನಾವು ಕೇವಲ ಸಂರಚನೆಗೆ ಅಥವಾ ರೂಪಿಸಲು ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಡಮ್ಮಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಏಕೆಂದರೆ ಡಮ್ಮಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅಳತೆಯಲ್ಲ, ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗುಣಾಂಕವು ಇರಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ನಮ್ಮ ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುತ್ತೇವೆಃ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ಈಗ ನಾವು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಅದನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡ ನಂತರಃ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಡಮ್ಮಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ ಒನ್-ಡಿಗ್ರಿ-ಆಫ್-ಫ್ರೀಡಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲು ಸಂರಚನಾ ಅಥವಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಜವಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಎರಡು ಡಮ್ಮಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಪಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೂ, ಎರಡು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂರಚನೆಯ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಅರಿತುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಮುಖ ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಿ ಏಕೆಂದರೆ ಡಮ್ಮಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಡಮ್ಮಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್, ನಿಜವಾದ ಸಂರಚನೆ ಅಥವಾ ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂರಚನೆ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರುವ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದುಃ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಭೇದವು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಇನ್ನೂ ಮೂರು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿವೆ ಸಂರಚನೆ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ನಾವು ಬಯಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೆಲವು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈಗ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಸಮಗ್ರ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು () ಬಳಸಬಹುದು. ರೂಪಾಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಚರ್ಚೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನ್ವಯಿಸುವಿಕೆಯ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಮೊನೊಜೆನಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರತೆಗೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ತತ್ವವು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತಾಗಿದೆ. ಗೋರ್ಯಾಚೆವ್-ಚ್ಯಾಪ್ಲಿಜಿನ್ ಅಗ್ರ ಫಾಫಿಯನ್ ನಿರ್ಬಂಧ ಉಡ್ವಾಡಿಯಾ-ಕಲಾಬಾ ಸಮೀಕರಣ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.