Elementary matrix
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಎಡ ಗುಣಾಕಾರವು (ಪೂರ್ವ ಗುಣಾಕಾರ) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಲ ಗುಣಾಕಾರವು (ಗುಣಾಕಾರದ ನಂತರದ) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾಲಮ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೋ ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ಗೌಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೋ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ರೋ ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಗೌಸ್-ಜೋರ್ಡಾನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ನಲ್ಲಿ ಸಹ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ವಿಧದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿವೆ, ಅವು ಮೂರು ವಿಧದ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕಾಲಮ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು): ಸಾಲು ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಳಗಿನ ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಸಾಲು ಗುಣಾಕಾರ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಎ ರೋ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ಆ ಸಾಲಿನ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಲಿನ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಯೊನೆಡಾ ಲೆಮ್ಮಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ರೋ-ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ರೋ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಲು ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕೂಡ ಇದೇ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕದ ಪ್ರಕಾರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆಃ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಏಕತೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ (ಸರಿಯಾದ ಗಾತ್ರದ), ನಾವು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದು ಇರುವ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು 1 ಹೊಂದಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕದ ಪ್ರಕಾರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮವು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ (ಸರಿಯಾದ ಗಾತ್ರದ), ನಾವು ಸಾಲು-ಸೇರ್ಪಡೆ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಅಂತಿಮ ರೀತಿಯ ಸಾಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಾಲಿಗೆ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆದರೆ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು. ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಸಾಲುಗಳ ಸಮಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕೂಡ ಇದೇ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗೆ ಕಾಲಂಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕದ ಪ್ರಕಾರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಶಿಯರ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವೆಕ್ಷನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮವು ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ (ಸರಿಯಾದ ಗಾತ್ರದ) ನಾವು ಸ್ಟೈನ್ಬರ್ಗ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ರೋ-ಅಡಿಷನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಗೌಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಗಣಿತ) LU ವಿಭಜನೆ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತ