Regular category
ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗವು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿಖರತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕರ್ನಲ್ ಜೋಡಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಜೋಡಿಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿತ್ರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ, ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗಗಳು ನಿಯಮಿತ ತರ್ಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕದ ತುಣುಕಿನ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಎ ವರ್ಗ ಸಿ ಅನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. f: X → Y ಎಂಬುದು Cಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, p0, p1ನ ಕೋಕ್ವಾಲೈಸರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಜೋಡಿಯನ್ನು (p0, p1) f ನ ಕರ್ನಲ್ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕರ್ನಲ್ ಜೋಡಿಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. f: X → Y ಎಂಬುದು Cಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು f ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, g ಸಹ ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ನಿಯಮಿತ ಎಪಿಕಾಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಂದು ಎಪಿಕಾಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಕೆಲವು ಜೋಡಿ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಕೋಕ್ವಾಲೈಸರ್ ಆಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಸೇರಿವೆಃ ಸೆಟ್, ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಟೋಪೋಸ್ ಜಿಆರ್ಪಿ, ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ರಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ವರ್ಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ವೈವಿಧ್ಯದ ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗ ಪ್ರತಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಮೀಟ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್, ಆರ್ಡರ್ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗಗಳು ನಿಯಮಿತವಾಗಿಲ್ಲಃ ಟಾಪ್, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗ ಕ್ಯಾಟ್, ಸಣ್ಣ ವರ್ಗಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಎಪಿ-ಮೊನೊ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ, ನಿಯಮಿತ-ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. f: X → Y ಎಂಬ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನಿಯಮಿತವಾದ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸ್ ಮಾಡಬಹುದು e: X → E ನಂತರ ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಂ m: E → Y, ಆದ್ದರಿಂದ f = ಮಿ. ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, e ': X → E' ಮತ್ತೊಂದು ನಿಯಮಿತ ಎಪಿಕಾಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು m ': E' → Y ಎಂಬುದು f = m 'e ನಂತಹ ಮತ್ತೊಂದು ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವನು = e' ಮತ್ತು m 'h = m ನಂತಹ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ m ಅನ್ನು f ನ ಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ, ರೂಪದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಕರ್ನಲ್ ಜೋಡಿ ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಭಾಷೆಯು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕರ್ನಲ್ ಜೋಡಿಗಳ ಸಹಸಮಮಾಪಕಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಿದರೆ. ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಿಯಮಿತ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಾಪಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗಗಳು ನಿಯಮಿತ ತರ್ಕವು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕದ ತುಣುಕುಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ರೂಪದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಪರಮಾಣು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳು, ಸತ್ಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ಬೈನರಿ ಮೀಟ್ಸ್ (ಸಂಯೋಗ) ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ. ಅಂತಹ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ (ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸೆಟ್) ಟಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಟಿ ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗ ಮೋಡ್ (ಟಿ, ಸಿ) ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನೆಯು ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಮೋಡ್ (ಟಿ,-) ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಸಣ್ಣ ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗಗಳ ರೆಗ್ಕ್ಯಾಟ್ ವರ್ಗದಿಂದ ರೆಗ್ಕ್ಯಾಟ್ → ಕ್ಯಾಟ್ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ನಿಯಮಿತ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು. ಪ್ರತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿ ಗೆ ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗ ಆರ್ (ಟಿ) ಇದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗ ಸಿ ಗೆ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾದ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಆರ್ (ಟಿ) ಅನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿ ಯ ವರ್ಗೀಕರಣ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗವು ಕೆಲವು ನಿಯಮಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವರ್ಗೀಕರಣ ವರ್ಗವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ) ವರ್ಗಗಳು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲನ, ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಷರತ್ತುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕರ್ನಲ್ ಜೋಡಿಯು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಕರ್ನಲ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ ಅದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಕೋಕ್ವಾಲೈಸರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಇದರ ಕರ್ನಲ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿಯಮಿತ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿಖರವಾದ, ಅಥವಾ ಬಾರ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ, ಅಥವಾ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ನಿಯಮಿತ 'ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಕ್ವಿಲ್ಲೆನ್ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ "ನಿಖರವಾದ ವರ್ಗ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ನಿಖರವಾದ ವರ್ಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗವು ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ (ಪ್ರಾಥಮಿಕ) ಟೋಪೋಸ್ ಕೂಡ ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವು ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಮೊನಾಡಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವರ್ಗವೂ ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಕಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ. ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಲಿಗೊರಿ (ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಟೋಪೋಸ್ ನಿಖರವಾದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ.