Period mapping
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಯು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಬ್ಮರ್ಸಿವ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿರಲಿ. ಬಿ ಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ, ನಾವು ಎಫ್ ಓವರ್ ಬಿ ಬೈ ಎಕ್ಸ್ ಬಿ ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬಿ. ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು 0ರ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯ U ಇದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ f ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಯೋಜಿತ ನಕ್ಷೆಯು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಟ್ರಿವಿಯಲೈಸೇಷನ್ನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಯು ನಲ್ಲಿನ ನಯವಾದ ಮಾರ್ಗಗಳಿಂದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ಬಿ ಯಿಂದ 0 ರವರೆಗಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗದ ಮಾರ್ಗಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯು ಸಂಕುಚಿತಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆ. Xb ಯಿಂದ X0ವರೆಗಿನ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವುದರಿಂದ, ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ b ಯಿಂದ 0ರವರೆಗಿನ ಮಾರ್ಗದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಧ್ರುವೀಕರಿಸದ ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಎಫ್ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್0 ಒಂದು ಕೆಹ್ಲರ್ ವಿಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಹ್ಲರ್ ಷರತ್ತು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾಯಶಃ ಯು ಕುಗ್ಗಿದ ನಂತರ, ಎಕ್ಸ್ಬಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯು ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಿ ಗೆ ಕೆಹ್ಲರ್ ಆಗಿದೆ. ಯು ಅನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕುಗ್ಗಿಸಿದ ನಂತರ ಅದು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಂತರ X0 ಮತ್ತು Xb ನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ X0 ಮತ್ತು Xb ಯ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಡಿಫಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಬಯೋಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದಲ್ಲ. ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆಯ pth ಹಂತವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. Xb ಯ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು X0 ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯು b ಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಯು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ F ಎಂಬುದು bp ಆಯಾಮಗಳ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸರಪಳಿಗಳ ಧ್ವಜ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ p ಗೆ k, ಇದು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ Xb ಒಂದು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆ ಹಾಡ್ಜ್-ರೀಮನ್ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಧ್ವಜಗಳು ಈ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇವು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಫ್ಲಾಗ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಧ್ರುವೀಕರಿಸದ ಸ್ಥಳೀಯ ಅವಧಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಧ್ರುವೀಕೃತ ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಈಗ ಪ್ರತಿ Xb ಕೇವಲ ಕೆಹ್ಲರ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ b ಯಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಕೆಹ್ಲರ್ ವರ್ಗವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ b ಗೆ, ω ನಿಂದ Xb ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧ ωb ಒಂದು ಕೆಹ್ಲರ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಂದು ವರ್ಗ ω ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ωb ಯು Hk (Xb, C) ಮೇಲೆ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವಾದ Q ಅನ್ನು ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಈ ರೂಪವು b ಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರವು ಹಾಡ್ಜ್-ರೀಮನ್ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಬರುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಃ ಇದು ಕ್ಯೂಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತತೆಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಪ್ರಕಾರದ ಪ್ರಾಚೀನ ವರ್ಗಗಳ ನಿರ್ಬಂಧವು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. ಧ್ರುವೀಕರಿಸಿದ ಸ್ಥಳೀಯ ಅವಧಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಎಂಬುದು ಧ್ರುವೀಕರಿಸದ ಸ್ಥಳೀಯ ಅವಧಿಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಧ್ವಜಗಳು ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಷರತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ತೆರೆದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಧ್ರುವೀಕರಿಸಿದ ಸ್ಥಳೀಯ ಅವಧಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಧ್ರುವೀಕರಿಸದ ಸ್ಥಳೀಯ ಅವಧಿಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ವೈವಿಧ್ಯ ಎಫ್. ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಧ್ರುವೀಕೃತ ಸ್ಥಳೀಯ ಅವಧಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಧ್ರುವೀಕೃತ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಗತಿಕ ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಬಿ ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾಹಿತಿಯು ಇನ್ನೂ ಲಭ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಜಾಗತಿಕ ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಾಗತಿಕ ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿನ ತೊಂದರೆ ಬಿ ಯ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆಃ ಫೈಬರ್ಗಳಾದ ಎಕ್ಸ್ಬಿ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, Bಯಲ್ಲಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಮಾರ್ಗಗಳು ಬಹುಶಃ ವಿಭಿನ್ನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಶಃ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಫೈಬರ್ಗೆ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಧ್ವಜವಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಧ್ವಜವನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಧ್ರುವೀಕರಿಸದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನಂತೆ Bಯಲ್ಲಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗದಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಎಲ್ಲಾ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ GL (Hk (X0, Z)) ನ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಧ್ವಜದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪು ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಜಾಗತಿಕ ಧ್ರುವೀಕರಿಸದ ಅವಧಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಧ್ರುವೀಕರಿಸದ ಅವಧಿಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಡಬಲ್ ಕೊಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ). ಧ್ರುವೀಕರಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವಾದ ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ಸಹ ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಧ್ರುವೀಕರಿಸಿದ ಅವಧಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜಾತಿಯಿಂದ ಭಾಗವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಯು Xbಯಲ್ಲಿನ ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ Bಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಯು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಅವನ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಅವಧಿಯ ನಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. kth ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಭಾಗಕ್ಕೆ δ1,., δr ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. p ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ω1,., ωs ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಈ ಬೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ X0 ನ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಮೂದುಗಳು ಆಧಾರದ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. δಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ λನ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಬದಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ωಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ Aನ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಬದಲಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು A ಮತ್ತು λ ನ ಕೆಲವು ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ Aωλ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಾದರೆ ಅದು ω ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಕರಣವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ λ ಎಂಬುದು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೊದಲ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆ ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, F0 ಮತ್ತು F1. ಆದಾಗ್ಯೂ, F0 ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಶೋಧನೆಯ ಏಕೈಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪದವೆಂದರೆ F1, ಇದು H1,0, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ 1-ರೂಪಗಳ ಸ್ಥಳ. H1,0 ಒಂದು-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ λ ಗೆ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಬಹು ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ಶೂನ್ಯ, ಒಂದು, λ ಮತ್ತು ಅನಂತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ, ಒಂದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು λ ನಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಇವು ಕಾರ್ಯದ ಶಾಖೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಬಹು-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಹಾಳೆಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಈ ಹಾಳೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೇಲೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದರೆ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕೊಂಬೆಯ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊಂಬೆಯ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈಗ ಮತ್ತೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ δ (t) ಅನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡಿ ಅದು ಒಂದು ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿ ಅರ್ಧವು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಎರಡು ಹಾಳೆಗಳ ಮೇಲೆ 1 ಮತ್ತು λ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀಫರ್ಟ್-ವ್ಯಾನ್ ಕ್ಯಾಂಪೆನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗಗಳೆರಡೂ ಇತರ ಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗದ ಸರಿಯಾದ ಗುಣಾಕಾರವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು H1 ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕುಟುಂಬದ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ನಮೂದನ್ನು ನಾವು ಎ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬಿ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವಾದ Q ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ω ಅನ್ನು f dz ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯಿಂದ, γ ಮತ್ತು δ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗಗಳಾದ γ * ಮತ್ತು δ * ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಆಧಾರವಾಗಿವೆ. ಇದು ω ಅನ್ನು γ * ಮತ್ತು δ * ನ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. γ ಮತ್ತು δ ಎಂಬ ಎರಡು ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ω ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಾವು ಈ ಪದಗಳಲ್ಲಿ Q ನ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವಾಗ, γ * ಮತ್ತು δ * ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಸಂಯೋಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, γ ಮತ್ತು δ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವು H0 ನ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, γ * ಮತ್ತು δ * ನ ಕಪ್ ಉತ್ಪನ್ನವು X0 ನ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎ ಅಥವಾ ಬಿ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ω ಅನ್ನು ಮರುಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ τ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಬರುವ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಇದರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವಧಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ರೀಮನ್ ಗೋಳವಾಗಿದೆ. ಇದು ಜಾಲರಿಯಾಗಿ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ರೂಪದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ-ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ-ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಹೈಪರ್ ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಅವಧಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಜನರಲ್ ವೋಸಿನ್, ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ I, II ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ನರ ಸ್ಥಳದೊಳಗಿನ ಶಿಮುರಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮೂರು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು