Euler summation
ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್ ಸಂಕಲನವು ಒಂದು ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಒಂದು ಸರಣಿಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಯೂಲರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, ಆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೂಲ ಸರಣಿಯ ಯೂಲರ್ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಯೂಲರ್ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಯೂಲರ್ ಸಂಕಲನವನ್ನು (E, q) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ q ≤ 0 ಆಗಿದೆ. (ಇ, 1) ಮೊತ್ತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೂಲರ್ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳು ಬೋರೆಲ್ ಸಂಕಲನಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದುರ್ಬಲವಾಗಿವೆ; q> 0 ಗೆ ಅವು ಅಬೆಲ್ ಸಂಕಲನದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯ y ಗೆ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯೂಲರ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು (ಅದು y ನ ಆ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ) ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಾ ಔಪಚಾರಿಕ ಮೊತ್ತಗಳು ನಿಜವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, ಯೂಲರ್ ಮೊತ್ತವು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯೂಲರ್ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಬಹುದು (ಇದು ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ); ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು, ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ, ಯೂಲರ್ನ ಸಂಕಲನವು ಆರಂಭಿಕ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನ್ವಯದಿಂದ ಸುಧಾರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, pk ಯು ಡಿಗ್ರಿ k ನ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಔಪಚಾರಿಕ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ y = 1 ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯು ಬರ್ನೌಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ (ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಮೊತ್ತವು k ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ (ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಇಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ) ಯೂಲರ್ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಇಳುವರಿ (cf. ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿ) ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ y ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ (ಅಂದರೆ. ಈ ಸರಣಿಯು − ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಬೈನೋಮಿಯಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಬೋರೆಲ್ ಸಮ್ಮೇಷನ್ ಸೆಸೇರೊ ಸಮ್ಮೇಷನ್ ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಸಮ್ಮೇಷನ್ ಪೆರ್ರಾನ್ನ ಸೂತ್ರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಟೌಬೇರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಬೆಲ್-ಪ್ಲಾನಾ ಸೂತ್ರ ಅಬೆಲ್ನ ಸಮ್ಮೇಷನ್ ಸೂತ್ರ ವ್ಯಾನ್ ವಿಜನ್ಗಾರ್ಡನ್ ರೂಪಾಂತರ ಯೂಲರ್-ಬೂಲ್ ಸಮ್ಮೇಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ಸರಣಿ ಸಮ್ಮೇಬಿಲಿಟಿ ವಿಧಾನಗಳು