Quasiconvex function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ರೂಪದ ಗುಂಪಿನ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಬಿಂದುವು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಂಶವನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ ಕೇವ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಕೇವ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಬಹು ವಾದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2-ಆಯಾಮದ ರೋಸೆನ್ಬ್ರೊಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾರ್-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪ ಮಟ್ಟದ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರದೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ನೇರವಾಗಿ ಇರುವ ಬಿಂದುವು ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ n-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅರೆ-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ (ಪರಿಚಯವನ್ನು ನೋಡಿ) ಪ್ರತಿ ಉಪ ಹಂತದ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ವಾಸಿಕೋವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಗೆ ಇತರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ನೇರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ ಕೇವ್ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ ಕೇವ್ ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ) ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೆಳ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ) ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಕೇವ್ ಕಾರ್ಯವು (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮೇಲಿನ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಕೇವ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಕೇವ್ ಎರಡೂ ಇರುವ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿದೆ. ಅರೆ-ಕುಹರದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವು ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ (ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಎಂಬುದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು "ಸರ್ರೋಗೇಟ್" ಡ್ಯುಯಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ದ್ವಿಗುಣಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗಳಿಗಿಂತ ಬಿಗಿಯಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮಂಜಸವಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಿಯಂತೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಸರಿಸುಮಾರು ದೋಷದ ಪರಸ್ಪರ ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯಲ್ಲಿ); ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಅಂತಹ "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ" ವಿಧಾನಗಳು "ವಿಭಿನ್ನ-ಸರಣಿ" ಹಂತದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉಪ-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ವಿಭಿನ್ನ-ಸರಣಿ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉಪ-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ತುಂಬಾ ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಉಪ-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನಗಳು, ಬಂಡಲ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ನಾನ್ಮೂತ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ವಿಧಾನಗಳು. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳುಃ ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಕೇವ್ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗ್ರಾಹಕರು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಕೈಗಾರಿಕಾ ಸಂಘಟನೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತೋಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಿಯೋನ್ನ ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ. ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ರ ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಸಿಯೋನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದು (ಅಂದರೆ) ಇದು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಗರಿಷ್ಠ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಕನಿಷ್ಠ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ ಕೇವ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ ಕೇವ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ-ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ ಕೇವ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ-ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ ಕೇವ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಃ ಕ್ವಾಸಿಕೊನ್ವೆಕ್ಸ್, ಕಡಿಮೆಯಾಗದ, ನಂತರ ಕ್ವಾಸಿಕೊನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಕೇವ್, ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಕೇವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ (ಅಂದರೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್, ನಂತರ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್) ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಅದೇ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲಃ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ವಿವಿಧ ಡೊಮೇನ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ (ಅಂದರೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ,) ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ "ಸಂಯೋಜನೀಯವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಂಡಿದೆ" ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ "ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಅವತಲ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಕೇವ್ ಎರಡೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮತ್ತು ಆ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ (ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ). ನೆಲದ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಲಾಗರಿಥಮಿಕವಾಗಿ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನೋಡಿ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯಲ್ಲ) ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಾನ್ಕಾವಿಫಿಕೇಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅವ್ರಿಯೆಲ್, ಎಂ., ಡೈವರ್ಟ್, ಡಬ್ಲ್ಯು. ಇ., ಸ್ಕೈಬಲ್, ಎಸ್. ಮತ್ತು ಜಾಂಗ್, ಐ., ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾನ್ಕಾವಿಟಿ, ಪ್ಲೆನಮ್ ಪ್ರೆಸ್, 1988. ಗಾಯಕ, ಇವಾನ್ ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಕೆನಡಿಯನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ ಸರಣಿ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸುಧಾರಿತ ಪಠ್ಯಗಳು. ವಿಲೇ-ಇಂಟರ್ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್. ಜಾನ್ ವಿಲೇ & ಸನ್ಸ್, ಇಂಕ್., ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1997. xxii + 491 pp. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಸ್. ಐ. ಓ. ಎನ್., ಎಂ., "ಆನ್ ಜನರಲ್ ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು", ಪೆಸಿಫಿಕ್ ಜೆ. ಗಣಿತ. 8 (1958), 171-176. ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಗ್ಲಾಸರಿ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿ-ಕಾನ್ಕೇವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು-ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ವಿಲ್ಸನ್ ಅವರಿಂದ, ಎನ್ವೈಯು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಭಾಗ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ ಕ್ಯಾವಿಟಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ ವೆಕ್ಸಿಟಿ-ಮಾರ್ಟಿನ್ ಜೆ. ಓಸ್ಬೋರ್ನ್ ಅವರಿಂದ, ಟೊರೊಂಟೊ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಭಾಗ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು