1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಂತ ಸರಣಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ. ಸರಣಿಯ n ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು n ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ ಬಂಧವಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗೆ ಒಗ್ಗೂಡಲು ವಿಫಲವಾದ ಕಾರಣ, ಸರಣಿಯು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಈ ಸರಣಿಯು ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಇದನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳಿಗೂ ಸಹ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಅನೇಕ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನದ ವಿಧಾನಗಳು ಸರಣಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ. ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಮೂನ್ಶೈನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರಬಂಧವೊಂದರಲ್ಲಿ, ಆಲ್ಬರ್ಟಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಟೆರ್ರಿ ಗ್ಯಾನನ್ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ವಿಜ್ಞಾನದ ಅತ್ಯಂತ ಗಮನಾರ್ಹ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. n ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸರಳ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ನರಿಗೆ ಸಾ. ಶ. ಪೂ. ಆರನೇ ಶತಮಾನದಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಈ ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವು + ν ಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಂತ ಸರಣಿಯು + ν ಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಣಿಯ ರೂಪದ ಒಂದು ಸರಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆಃ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಅನೇಕ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ಇತರರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಸರೊ ಸಂಕಲನವು ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು, ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅಬೆಲ್ ಸಂಕಲನವು ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದಲ್ಲದೆ, ಜಟಿಲವಾದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸರಣಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಸೆಸರೊ ಸಾರಾಂಶವಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅಬೆಲ್ ಸಾರಾಂಶವಲ್ಲ. ಆ ವಿಧಾನಗಳು ಡಿಸ್ಸಿಲೇಟಿಂಗ್ ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್ ಸರಣಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವು + ν ಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗುವ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾದ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಝೀಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಅಥವಾ ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನದಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ಸುಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಸ್ಥೂಲ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಾದಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಮೊದಲ ನೋಟ್ಬುಕ್ನ 8ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ "" ಎಂಬ ಪದದ ಎರಡು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಸರಳವಾದ, ಕಡಿಮೆ ಕಠಿಣವಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿಕಟವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಒಳನೋಟವಾಗಿದೆ. ನಂತರದ ಸರಣಿಯು ಸಹ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ; ಇದಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಹಲವಾರು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು 18ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ ಅನ್ವೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ಎರಡನೇ ಪದದಿಂದ 4, ನಾಲ್ಕನೇ ಪದದಿಂದ 8, ಆರನೇ ಪದದಿಂದ 12 ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು. ಕಡಿತಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಮೂಲ ಸರಣಿಯ 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸರಣಿಯ "ಮೊತ್ತ" ಏನೇ ಇರಲಿ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಿರಿ ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿಃ ಎರಡನೇ ಪ್ರಮುಖ ಒಳನೋಟವೆಂದರೆ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯದ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ x ಅನ್ನು 1 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಇದನ್ನು x ನ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮತ್ತು ನಿರಾಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೋಡಬಹುದು.) ಅಂತೆಯೇ, ರಾಮಾನುಜನ್ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು c = ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನಂತ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಅವು ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತಗಳಂತೆಯೇ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಇತರ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದೆ, ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತಲುಪಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಡಿಟಿವ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಈ ಹಂತವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಸರಣಿಯ ಮುಂಭಾಗಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಬೇರೆ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದ ಮೇಲೆ ನಿಗಾ ಇಡುವುದು. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪದ n ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. n ಪದವನ್ನು n − s ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬಡ್ತಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ s ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಯೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಚಲಪರಿಮಾಣ s ಅನ್ನು ನಂತರ −1 ಎಂದು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಮಬದ್ಧೀಕರಣ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಮಬದ್ಧೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯನ್ನು ಸರಣಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಸರಣಿಯು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. s ನ ನೈಜ ಭಾಗವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಾಗ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ζ (s) ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, s ನ ನೈಜ ಭಾಗವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಯು ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, s =-1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಮೂಲಕ s ನ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಝೀಟಾ-ನಿಯಮಿತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ζ (−1) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಹಂತದಿಂದ, ಒಂದು ವಿಧಾನವು, ಯೂಲರ್ನ ತರ್ಕದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಇಟಾ ಕಾರ್ಯ η (ಗಳು) ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕೆಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಇಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಧಾನವು ಹಿಂದಿನ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುರುತು ಇರುತ್ತದೆಃ ಮೇಲಿನ ಸರಣಿಯು ಬೇರೆಯಾಗುವ sಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಿಂದ ಎರಡೂ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ಗುರುತು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಈಗ, η (−1) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸರಣಿಯ ಅಬೆಲ್ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆಃ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಕಟ್ಆಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯೊಂದಿಗೆ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅದರ ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ನೊಂದಿಗೆ ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನದ ನಡುವಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಸೇತುವೆಯಾಗಿದೆ. ಬದಲಿಗೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಟ್ಟ ನಡವಳಿಕೆಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಯವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಸೂಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಆಫ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಆಫ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬೇಕು; ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಆಫ್ ಕಾರ್ಯವು ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಸುಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಅದು ಸರಣಿಯು ಬೆಳೆಯುವುದಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ 0 ಗೆ ಕ್ಷೀಣಿಸಬೇಕು. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಎಫ್ ನಯವಾದ, ಸುತ್ತುವರಿದ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಬಯಸಬಹುದು. ಈ ನಯವಾದ ಮೊತ್ತವು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಎಫ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸ್ಥಿರ ಪದವು ಎಫ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲಃ ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ,. ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನವು ರಾಮಾನುಜನ್ ಮೊತ್ತವೂ ಸಹ ಆಗಿದೆ. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು 1913ರ ಫೆಬ್ರವರಿ 27ರಂದು ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿಗೆ ಬರೆದ ಎರಡನೇ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆಃ "ಪ್ರಿಯ ಸರ್, 1913ರ ಫೆಬ್ರವರಿ 8ರಂದು ಬರೆದ ನಿಮ್ಮ ಪತ್ರವನ್ನು ಓದಿದ ನನಗೆ ತುಂಬಾ ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ. ಬ್ರೊಮ್ವಿಚ್ನ ಅನಂತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಂತೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಅಪಾಯಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾಗದಂತೆ ಲಂಡನ್ನ ಗಣಿತ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರೊಬ್ಬರು ನನಗೆ ಬರೆದ ಉತ್ತರದಂತೆಯೇ ನಿಮ್ಮಿಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನಾನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಿದ್ದೆ. .. ಸರಣಿಯ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಃ ನನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಂದು ನಾನು ಅವನಿಗೆ ಹೇಳಿದೆ. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಇದನ್ನು ಹೇಳಿದರೆ ನೀವು ತಕ್ಷಣ ನನಗೆ ಹುಚ್ಚು ಆಶ್ರಯವನ್ನು ನನ್ನ ಗುರಿಯಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೀರಿ. ನಾನು ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ನೀವು ನನ್ನ ಪುರಾವೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಲು ನಾನು ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇನೆ. ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನವು ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಯೂಲರ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಪದವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f ಗೆ, ಸರಣಿಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರಾಮಾನುಜನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ f (2k−1) ಎಂಬುದು f ನ (2k−1)-th ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು B2k ಎಂಬುದು 2k-th ಬರ್ನೌಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಃ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್, f ನ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 1 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸಂಗತತೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನದ ಆಧುನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯೂಲರ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಪದಗಳಿಗೆ ಎಫ್ ನ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಕೊಳೆಯುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಎಫ್ "ನಿಯಮಿತ" ಎಂದು ಬಯಸುತ್ತದೆ. ರಾಮಾನುಜನ್ ಮೌನವಾಗಿ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಹಿಸಿಕೊಂಡರು. ನಿಯಮಿತತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಅಂತರ-ಔಟ್ ಸರಣಿಯ ಮೇಲೆ ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯವು ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಅಂತಹ ಸರಣಿಯನ್ನು ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಸಂಬಂಧಿತ ಸರಣಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಯ ರಾಮಾನುಜನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ ಹಾರ್ಡಿ "ಬಹಳ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ" ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಸ್ಥಿರ ರೇಖೀಯ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಗಳ ವೈಫಲ್ಯ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. (ಸ್ಥಿರ ಎಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಸೇರಿಸಿದ ಪದದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.) ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು. ನಂತರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 0 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯಿಂದ, ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು (ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಕಾಲಮ್ಗಳಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು) ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 0 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧಾನವೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಬೋಸೋನಿಕ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ಡಿ-2 ಸ್ವತಂತ್ರ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ಅಡ್ಡ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಅಲ್ಲಿ ಡಿ ಎಂಬುದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಆಂದೋಲನದ ಆವರ್ತನವು ω ಆಗಿದ್ದರೆ, n-th ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವ ಆಂದೋಲಕದಲ್ಲಿನ ಶಕ್ತಿಯು ω/2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎಲ್ಲಾ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೊತ್ತವು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಗೊಡ್ಡಾರ್ಡ್-ಥಾರ್ನ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಈ ಸತ್ಯವು, ಬೋಸೋನಿಕ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು 26ನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲು ವಿಫಲವಾಗಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾಸಿಮಿರ್ ಬಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲು ಘಾತೀಯ ಕಟ್ಆಫ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವಾಹಕ ಫಲಕಗಳಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ-ಶಕ್ತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪದವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಉಳಿದಿರುವುದು ಸ್ಥಿರ ಪದ-1/12, ಮತ್ತು ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕಾಸಿಮಿರ್ ಬಲವು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದು, ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಎಪ್ಸ್ಟೀನ್ ಝೀಟಾ-ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿದ್ದಾರೆಯೇ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೋರಿಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಮೇಲಿನ ಯೂಲರ್ ಅವರ ಆರಂಭಿಕ ಕೆಲಸವು ಕಾರ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿತ್ತು, ಅದರಿಂದ ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದರು. ರೇಮಂಡ್ ಅಯೂಬ್ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಝೀಟಾ ಸರಣಿಯು ಅಬೆಲ್-ಸಮ್ಮಬಲ್ ಅಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಯೂಲರ್ ಅವರು ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಏಟಾ ಕಾರ್ಯದಂತೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಬಳಸುವುದನ್ನು ತಡೆಯಿತು, ಮತ್ತು ಅವರು ಈ ಸರಣಿಗೆ "ಒಂದು ಅರ್ಥವನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ". ಇತರ ಲೇಖಕರು ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಯೂಲರ್ಗೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಯೂಲರ್ ಜೀಟಾ ಮತ್ತು ಇಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಭಿನ್ನವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಯೂಲರ್ನ 1760ರ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸರಣಿಗಳು ಸೀಮಿತ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಯೂಲರ್ ಸುಳಿವು ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದು ಅವರು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅವರು ಚರ್ಚಿಸಲು ಹಿಂತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್ ಅವರ ಮೊತ್ತವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಜನಪ್ರಿಯ ಮಾಧ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಡೇವಿಡ್ ಲೀವಿಟ್ ಅವರ 2007ರ ಕಾದಂಬರಿ ದಿ ಇಂಡಿಯನ್ ಕ್ಲರ್ಕ್ ನಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಡಿ ಮತ್ತು ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಈ ಸರಣಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಒಂದು ದೃಶ್ಯವಿದೆ. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ζ (−1) ಅನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದರ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ಅವರು ಅವರ ಎರಡನೇ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ "ಹುಚ್ಚು ಆಶ್ರಯ" ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಸೈಮನ್ ಮೆಕ್ಬರ್ನಿ ಅವರ 2007 ರ ನಾಟಕ ಎ ಡಿಸ್ಅಪಿಯರಿಂಗ್ ನಂಬರ್ ಆರಂಭಿಕ ದೃಶ್ಯದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರವಾದ ರುತ್, ಉಪನ್ಯಾಸ ಸಭಾಂಗಣದೊಳಗೆ ನಡೆದು, "ನಾನು ನಿಮಗೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ರೋಮಾಂಚಕಾರಿ ಏನನ್ನಾದರೂ ತೋರಿಸಲಿದ್ದೇನೆ" ಎಂದು ಘೋಷಿಸುವ ಮೊದಲು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾನೆ. ರುತ್ ಝೀಟಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಇನ್ನೊಬ್ಬ ನಟ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಉದ್ದೇಶಿಸಿ, ಅವರು ನಟರು ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆಃ "ಆದರೆ ಗಣಿತವು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಇದು ಭಯಾನಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ನಿಜ ". ಜನವರಿ 2014 ರಲ್ಲಿ, ನಂಬರ್ಫೈಲ್ ಈ ಸರಣಿಯ ಯೂಟ್ಯೂಬ್ ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿತು, ಇದು ಅದರ ಮೊದಲ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ 15 ಲಕ್ಷಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿತು. 8 ನಿಮಿಷಗಳ ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ನಾಟಿಂಗ್ಹ್ಯಾಮ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಟೋನಿ ಪಾಡಿಲ್ಲಾ ನಿರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪಡಿಲ್ಲಾ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ವಾದದಂತೆಯೇ ಪದ-ದರ-ಪದ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಬಳಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ನಂಬರ್ಫೈಲ್ ಸಹ ನಾಟಿಂಗ್ಹ್ಯಾಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಎಡ್ ಕೋಪ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ಒಳಗೊಂಡ ವೀಡಿಯೊದ 21 ನಿಮಿಷಗಳ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿತು, ಅವರು ಅಬೆಲ್ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ζ (−1) ಎಂದು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮೊದಲ ವೀಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯ ಕೊರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ದೂರುಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಪಾಡಿಲ್ಲಾ ತಮ್ಮ ವೆಬ್ಪುಟದಲ್ಲಿ ವೀಡಿಯೊದಲ್ಲಿನ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗಳ ನಡುವಿನ ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬರೆದರು. ನಂಬರ್ಫೈಲ್ ವೀಡಿಯೊದ ದಿ ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ ಟೈಮ್ಸ್ ಪ್ರಸಾರದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಫ್ರೆಂಕೆಲ್ ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸಿದ್ದಾರೆಃ "ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಇಡಲಾದ ರಹಸ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೊರಗಿನವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ "ಎಂದು ಹೇಳಿದರು. ಸ್ಮಿತ್ಸೋನಿಯನ್ ನಿಯತಕಾಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದ ಪ್ರಸಾರವು ನಂಬರ್ಫೈಲ್ ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ತಪ್ಪುದಾರಿಗೆಳೆಯುವಂತಿದೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ತಂತ್ರಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ ಎಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಅರ್ಥಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ನಂಬರ್ಫೈಲ್ ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಬರ್ಕಾರ್ಡ್ ಪೋಲ್ಸ್ಟರ್ ಅವರು 2018 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಮ್ಯಾಥೋಲೋಗರ್ ಯೂಟ್ಯೂಬ್ ಚಾನೆಲ್ನಲ್ಲಿ ಇದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಟೀಕಿಸಿದರು, ಅವರ ವೀಡಿಯೊ 2023 ರ ವೇಳೆಗೆ 27 ಲಕ್ಷ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿತು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಪುಟ 293 ನೋಡಿ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲ್ಯಾಂಬ್ ಇ. (2014), "1 + 2 + 3. ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ-1/12? ", ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಅಮೆರಿಕನ್ ಬ್ಲಾಗ್ಸ್. ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ವಾರದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳು (ವಾರ 124), (ವಾರ 126), (ವಾರ 147), (ವಾರ 233) ಯೂಲರ್ ಅವರ ಪುರಾವೆ 1 + 2 + 3 + ꯘꯥ = − 1/12-ಜಾನ್ ಬೇಜ್ ಅವರಿಂದ ಯೂಲರ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸೂತ್ರ, ಬರ್ನೌಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಟೆರೆನ್ಸ್ ಟಾವೊ ಅವರಿಂದ ನೈಜ-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೀಟಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಲುಬೋಸ್ ಮೋಟ್ಲ್ ಲಿಂಕ್ ಟು ನಂಬರ್ಫೈಲ್ ವಿಡಿಯೋ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +. =-1/12 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ (ಎರಡನೇ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತುಣುಕು) ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದರೆ ನಮಗೆ ಏನು ಸಿಗುತ್ತದೆ? ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ ಟೈಮ್ಸ್ನ ಸಂಬಂಧಿತ ಲೇಖನವಾದ ವೈ-1/12 ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಫ್ರೆಂಕೆಲ್ ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಗೋಲ್ಡ್ ನಗ್ಗೆಟ್ ಫಾಲೋ-ಅಪ್ ನಂಬರ್ಫೈಲ್ ವೀಡಿಯೊ ಆಗಿದೆಃ ಏಕೆ 1 + 2 + 3 + ಹಿ = − 1/12 ಅರಿಝೋನಾ ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್ ಸರಣಿಯ ಅಂಕಗಣಿತ ಸರಣಿಯ ಬ್ರೈಡನ್ ಕೈಸ್ ಅವರಿಂದ