Umbilical point
ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಅಥವಾ ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡೂ ಪ್ರಮುಖ ವಕ್ರತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ದಿಕ್ಕಾಗಿರುತ್ತದೆ. "ಹೊಕ್ಕುಳ" ಎಂಬ ಹೆಸರು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದವಾದ ಹೊಕ್ಕುಳ (ಹೊಕ್ಕುಳ) ದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಅಂಬಿಲಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅಂಡಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ; ಅಂದರೆ, ಗೌಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಹೊಕ್ಕುಳವಾಗಿರುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಗೋಳವಾಗಿದೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹೊಕ್ಕುಳವು ಶೂನ್ಯ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೊಕ್ಕುಳವಾಗಿದೆ. ಮಂಕಿ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹೊಕ್ಕುಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹೊಕ್ಕುಳವಾಗಿದೆ. ಟೋರಸ್ ಯಾವುದೇ ಹೊಕ್ಕುಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು, ಆದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯು, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸುಗಮವಾಗಿ ಹುದುಗಿದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೊಕ್ಕುಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಾನ್ಸ್ಟಾಂಟಿನ್ ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ಒಂದು ಸಾಬೀತಾಗದ ಊಹೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಯವಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗೋಳವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಹೊಕ್ಕುಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ವಿಧದ ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಬಿಂದುಗಳೆಂದರೆ ಅಂಡಾಕಾರದ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು. ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂರು ರಿಡ್ಜ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಇತರ ಸಂರಚನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳು ರೆನೆ ಥಾಮ್ನ ದುರಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಡಿ4-, ಡಿ5 ಮತ್ತು ಡಿ4 + ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಪತ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂಬಿಲಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಾದರಿಯು ಸಹ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಸಂರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ನಕ್ಷತ್ರ, ನಿಂಬೆ ಮತ್ತು ನಿಂಬೆ ನಕ್ಷತ್ರ (ಅಥವಾ ಮಾನ್ಸ್ಟಾರ್). ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೂಚ್ಯಂಕವು-1⁄2 (ನಕ್ಷತ್ರ) ಅಥವಾ 1⁄2 (ನಿಂಬೆ, ಮಾನ್ಸ್ಟಾರ್) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ನಕ್ಷತ್ರದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ನಕ್ಷತ್ರ, ನಿಂಬೆ ಅಥವಾ ಮಾನ್ಸ್ಟಾರ್ ಆಗಿರಬಹುದು. ಈ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಮೊದಲು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನಿಂದಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಹೆಸರುಗಳು ಹ್ಯಾನೇಯಿಂದ ಬಂದಿವೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಹೊಕ್ಕುಳಿನೊಂದಿಗೆ 0 ಕುಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಧಾನ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಪಾಯಿಂಕೇರ್-ಹಾಪ್ಫ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ 2 ಆಗಿರಬೇಕು. ಜೆನೆರಿಕ್ ಜೆನಸ್ 0 ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಸೂಚ್ಯಂಕ 1⁄2 ಹೊಕ್ಕುಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಎರಡು ಜೆನೆರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಹೊಕ್ಕುಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸೂಚ್ಯಂಕ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ರೂಪಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ವರ್ಗೀಕರಣವು ನೈಜ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ರೂಪಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಘನ ರೂಪವು ಹಲವಾರು ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಘನ ರೂಪವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಹಲವಾರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆಃ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳುಃ ಅಂಡಾಕಾರದ ಘನ ರೂಪ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿ. ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿವೆಃ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ರೂಪ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿ. ಒಂದೇ ನೈಜ ರೇಖೆಃ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ರೂಪ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿ. ಮೂರು ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿ. ಏಕರೂಪದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಘನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ-ಇದನ್ನು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫರ್ ಜೀಮನ್ ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಕಂಕಣ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಘನ ರೂಪಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘನ ರೂಪದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಒಳಗಿನ ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್, ಅಂಡಾಕಾರದ ರೂಪಗಳು ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಹೊರಗೆ ಇದ್ದಾಗ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಏಕತೆಯ ಘನಮೂಲವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಘನ ರೂಪವು ಬಲ-ಕೋನದ ಘನ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಹೊಕ್ಕುಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ಘನ ರೂಪವಾದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್, ವಾಹಕ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಕಾರದವರೆಗೆ ಇದು ಘನ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ವರ್ಗೀಕರಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊರಗಿನ ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಉಂಬಿಲಿಕ್ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಹೊಕ್ಕುಳ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಮಾಂಗೆ ರೂಪದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಧಾನ ವಕ್ರತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಘನ ಭಾಗದಿಂದ ಘನ ರೂಪ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಘನ ರೂಪದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಕ್ಕುಳದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರ್ವತಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವಾಗ ಮುಖ್ಯ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ಮತ್ತು ಇವು ಘನ ರೂಪದ ಮೂಲ-ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಬಿಂದುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಒಳಗಿನ ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್ ಒಳಗೆ-ಅಂಡಾಕಾರದ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಒಳಗಿನ ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್ ಮೇಲೆ-ಎರಡು ರಿಡ್ಜ್ ರೇಖೆಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ-ಒಳಗಿನ ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್ ಹೊರಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು-ಹೊರಗಿನ ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು-ನಕ್ಷತ್ರದ ಮಾದರಿ ಹೊರಗಿನ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ-ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳ ಜನನ ಹೊರಗಿನ ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್ ನಡುವೆ-ಮಾನ್ಸ್ಟಾರ್ ಮಾದರಿ ಹೊರಗಿನ ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್-ನಿಂಬೆ ಮಾದರಿಯ ಒಳಗಿನ ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್ನ ಕಸ್ಪ್ಸ್-ಘನ (ಸಾಂಕೇತಿಕ) ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ-ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ರಚಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ನಾಶಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಜನನ. ಎರಡೂ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಒಂದು ಸ್ಟಾರ್ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಮಾನ್ಸ್ಟಾರ್ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಹೊರಗಿನ ವೃತ್ತವು, ಲಂಬ ಕೋನದ ಘನ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಂಕೇತಿಕ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಇದರ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಫೋಕಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಂಡಾಕಾರದ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಫೋಕಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪರ್ವತಶ್ರೇಣಿಯು ಶಿಖರದ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಡಾಕಾರದ ಕೇಂದ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರತಿ ಹಾಳೆ ಮೂರು ಶಿಖರದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವು ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇನ್ನೊಂದು ಹಾಳೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಹೊಕ್ಕುಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಕುಸ್ಪೈಡಲ್ ಅಂಚು ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ಒಂದು ಹಾಳೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, p ನಲ್ಲಿ, (ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ) ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪವು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರಚೋದಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ (ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವು p ಹೊಕ್ಕುಳಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, p, II (U, V) = gp (U, V) ನಲ್ಲಿರುವ U, V ಎಂಬ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ, p ನಲ್ಲಿರುವ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ವಾಹಕವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ("ಸುತ್ತುವರಿದ") ಬಹುಗುಣದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಗೋಳದ ತುಂಡು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಕ್ಕುಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೊಕ್ಕುಳವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಒಂದು ಅಂಗರಚನಾ ಪದದ ಅರ್ಥ, ಅಥವಾ ಹೊಕ್ಕುಳಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಸಂಪುಟ I ಸಂಪುಟ II ಸಂಪುಟ III ಸಂಪುಟ IV ನಕ್ಷತ್ರ, ನಿಂಬೆ, ದೈತ್ಯಾಕಾರದ ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ