Parafree group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಕೇಂದ್ರ ಸರಣಿಯ ಪದಗಳಿಂದ ಅದರ ಅನುಪಾತಗಳು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಉಳಿದಂತೆ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಕೇಂದ್ರ ಸರಣಿಯ ಪದಗಳ ಛೇದನವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ) ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೀ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೀ ಗುಂಪುಗಳು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಈ ಎರಡು ವಿಧಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಬಾಮ್ಸ್ಲಾಗ್ ಅವರು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮದ ಒಂದು ಗುಂಪು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೀ ಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಕಾರಣರಾದರು. ಅವರ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದರೆ, ಸ್ವತಂತ್ರವಲ್ಲದ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೀ ಗುಂಪುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಉರ್ಸ್ ಸ್ಟಾಂಬಾಚ್ನೊಂದಿಗೆ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮುಕ್ತವಲ್ಲದ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೀ ಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಮ್ಸ್ಲಾಗ್, ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ ಕಡಿಮೆ ಕೇಂದ್ರ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳು. ಐ. ಗುಂಪುಗಳು. ಟ್ರಾನ್ಸ್ಜೆಂಡರ್. ಅಮೀರ್. ಗಣಿತ. ಎಸ್. ಸಿ. 129 1967 308-321. ಬಾಮ್ಸ್ಲಾಗ್, ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್; ಸ್ಟಾಂಬಾಚ್, ಉರ್ಸ್, ಮುಕ್ತವಲ್ಲದ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೀ ಗುಂಪು, ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಗಣಿತ. Z. 148 (1976), ನಂ. 1, 63-65. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೀ ಒನ್-ರಿಲೇಟರ್ ಗುಂಪುಗಳು ಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು