Mordell–Weil group
ಅಂಕಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸರಳವಾಗಿ-ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಗ್ರೂಪ್ 207 ಆಗಿದೆ. ಈ ಗುಂಪಿನ ಮುಖ್ಯ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದರೆ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಈ ಗುಂಪನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಊಹೆಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಿರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಿನ್ನರ್ಟನ್-ಡೈಯರ್ ಊಹೆಯು ವಿಶೇಷ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದದ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಣತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಇದು ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಮತ್ತು ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು). ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ತಿರುಚು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅವು ಹೀಗಿವೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ ನಂತರ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿರುಚು ಅಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ತಿರುಚು ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ತಿರುಚು, ಉತ್ತಮ ಕಡಿತವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ತಿರುಚು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಬಿಂದುವು ಅನಂತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎರಡೂ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಗಳು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಶ್ರೇಣಿಯು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯಾಸಕರವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕುಮ್ಮರ್ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಕೆಲವು ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಂಪನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯಾಮಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪುಗಳ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಇತರ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು k (t) ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಕವರಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಪ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ 1-ಕೋಸೈಲ್ ಫಾರ್ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮೂಲಕ (ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್) ಟ್ವಿಸ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಅಂಶವು ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ 1-ಕೋಸೈಲ್ ಅನ್ನು ಗುಂಪುಗಳ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತಿರುಚಿದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ರಚನೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ, ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಮೇಲೆ ಬೇಸ್-ಬದಲಾವಣೆಯ ನಂತರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸೆಟಪ್ಗೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಇದು 2-ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕರಣಗಳು ದಿ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಗ್ರೂಪ್ ಆಫ್ ಕರ್ವ್ಸ್ ಆಫ್ ಜೀನಸ್ 2 ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ವಂಶಸ್ಥರು ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ತಿರುವುಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ನರ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪುಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ.