Ambient construction
ಸಾಮರಸ್ಯದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸುತ್ತುವರಿದ ರಚನೆಯು ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಫೆಫರ್ಮನ್ ಮತ್ತು ರಾಬಿನ್ ಗ್ರಹಾಂ ಅವರ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ n ಆಯಾಮದ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳನ್ನು (ಸುತ್ತುವರಿದಂತೆ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಗಡಿಯಾಗಿ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹುಸಿ-ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಆಕಾಶ ಗೋಳವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ರಚನೆಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರ್ಮಾಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂದಾಜಿನ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮೀರಿ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ಒಂದು ಅಡಚಣೆಯಿದೆ. ಅಡಚಣೆಯು ಸ್ವತಃ ಟೆನ್ಸೋರಿಯಲ್ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು (ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್) ಅಡಚಣೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು, ವೇಯ್ಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಜೊತೆಗೆ, ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಪ್ರಾಚೀನ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅಡಚಣೆ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಹೊರತಾಗಿ, ಜಿಜೆಎಂಎಸ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸುತ್ತುವರಿದ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿರ್ಮಾಣವೆಂದರೆ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್. ಅವಲೋಕನ ಸುತ್ತುವರಿದ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಮಾದರಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಭವಿಷ್ಯದ ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಮೂಲವನ್ನು ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಖಗೋಳ ಗೋಳವು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೋನ್ ನಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯ ಕಿರಣಗಳು M ಮೇಲೆ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೋನ್ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಸುತ್ತುವರಿದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಕೇಳುತ್ತದೆಃ ಅಂತಹ ಒಂದು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜೊತೆಗೆ ಒದಗಿಸಿದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ನಿಂದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯ, ಹೀಗೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಜಾಗವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ? ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಂಭವಿಸಿದಂತೆ, ವಿಸ್ತರಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರಿಕ್ಕಿ ಫ್ಲಾಟ್ ಆಗಿರುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದಿಂದಾಗಿ). ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ ರಚನೆಯು ಇದನ್ನು M ಅನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಾಗಿಸಿದಾಗ, ಮೊದಲು ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶೂನ್ಯ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ N ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ N × (-1,1) ನಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವರಗಳು ಈ ವಿಭಾಗವು ನಿರ್ಮಾಣದ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಮೊದಲು ಶೂನ್ಯ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಸುತ್ತುವರಿದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ M ಒಂದು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಅದು [g] M ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ g0 ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, N ಎಂಬುದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾದ ω2g0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. N ಮೇಲೆ R + ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ, ಇದನ್ನು N ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಎನ್ ಮೇಲೆ ಆರ್ + ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ 2 ರ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಲಂಬ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರ X ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತಕ್ಷಣದವುಃ h (X,-) = 0 LXh = 2h, ಇಲ್ಲಿ LX ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ Xನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಲೈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸುತ್ತುವರಿದ ಜಾಗವು N ~ = N × (-1,1) ಆಗಿರಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ i: N → N ~. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಗಳು δω ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ N ~ ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಜನರೇಟರ್ X ಕೂಡ ಹಾಗೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಃ δω * h ~ = ω2 h ~ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಒಂದು ಸುತ್ತುವರಿದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆಃ i * h ~ = h, ಇಲ್ಲಿ i * ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರಿಕ್ಕಿ ಫ್ಲಾಟ್ ಆಗಿದೆಃ ರಿಕ್ (ಎಚ್ ~) = 0. ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ g ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ x = (xi) ನ ಸ್ಥಿರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು M ಮೇಲೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇವು N ನ ನಾರಿನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು (x, t2g (x)) ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ N ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ t> 0 ಎಂಬುದು ನಾರಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ. (ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, X = t. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ρ ಎಂಬುದು N ~ ನಲ್ಲಿನ N ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ 0 ರ ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, (x, t, ρ) ಗಳು N ~ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಡಿಗ್ರಿ 2 ರ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ gij ಎಂಬುದು g (x, 0) = g (x) ನೊಂದಿಗೆ n2 ಕಾರ್ಯಗಳು, ನೀಡಲಾದ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿ. ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಂತರ ರಿಕ್ಕಿ ಚಪ್ಪಟೆತನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ρ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆಃ ನಂತರ ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ρ ನಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ρ = 0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ gij′ (x, 0) = 2Pij ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ P ಎಂಬುದು ಸ್ಕೌಟೆನ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ. ಮುಂದೆ, ಮತ್ತೆ ಭೇದಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಿಳಿದಿರುವ gij′ (x, 0) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬ್ಯಾಚ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಗುಣಾಕಾರವೆಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಎ. ಡಿ. ಎಸ್./ಸಿ. ಎಫ್. ಟಿ. ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಹೊಲೊಗ್ರಾಫಿಕ್ ತತ್ವದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.