Residually finite group
ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, Gಯಲ್ಲಿ ಗುರುತು ಇಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ Gಯಿಂದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ಏಕರೂಪತೆ ಇದ್ದರೆ G ಗುಂಪು ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದಾದಂತಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಲವಾರು ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆಃ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಗುರುತು-ಅಲ್ಲದ ಅಂಶಕ್ಕೆ, ಆ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಇದ್ದರೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಛೇದನವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಗುಂಪು ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಛೇದನವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಗುಂಪು ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಕುಟುಂಬದ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದೊಳಗೆ ಹುದುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳು, ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳು, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಗುಂಪುಗಳು, ಪಾಲಿಸೈಕ್ಲಿಕ್-ಬೈ-ಫೈನೈಟ್ ಗುಂಪುಗಳು, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು. ಉಳಿದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಉಳಿದಿರುವಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಯಾವುದೇ ವಿಲೋಮ ಮಿತಿಯು ಉಳಿದಿರುವಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳು ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಉಳಿದಂತೆ ಉಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳು ಹೋಪ್ಫಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉಳಿದಿಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಮ್ಸ್ಲಾಗ್-ಸೋಲಿಟಾರ್ ಗುಂಪು ಬಿ (2,3) ಹೋಪ್ಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪು ಜಿ ಅನ್ನು ಗುರುತಿನ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಜಿ ಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಜಿ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪು ಅದರ ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಉಪಗುಂಪು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದವು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಉಳಿದಿರುವ ಸೀಮಿತಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಇಆರ್ಎಫ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾಂಜುಗಸಿ ವರ್ಗವು ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ಕಾಂಜುಗಸಿ ಸೇಪರಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಃ ಉಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ವೈವಿಧ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುವು? ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಉಳಿದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಭೇದವನ್ನು ಎ-ಗುಂಪು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಭೇದಕ್ಕೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವಂತಹ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಆಸ್ತಿ (ಗಣಿತ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮೇಲಿನ ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಲೇಖನ ಅನಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು