Schwartz–Bruhat function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲಾರೆಂಟ್ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಬ್ರುಹಾಟ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಅಡೆಲೆಗಳಂತಹ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ನೈಜ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸೌಮ್ಯವಾದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ನೈಜ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೇವಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ (ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವೇಗವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿವೆ) ಮತ್ತು ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಟೋರಸ್ನಲ್ಲಿ, ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ, ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಗವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ನೈಜ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ವೃತ್ತ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು), ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ವೇಗವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿವೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುವಂತಹ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಒಂದು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದುದಕ್ಕಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವು ಪ್ರೇರಕ ಮಿತಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.) ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಂದ್ರ ಬೆಂಬಲದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಅಡೆಲೆಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ, ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಳದ ಮೇಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. (ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ಇವು ಕೇವಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಇವು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.) ಅಡೆಲ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಳದ ಅಂಶಗಳು ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕವಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ, ಮತ್ತು. ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವುದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಉಪ ಕವಚವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ (ಕೆಲವರಿಗೆ ಮತ್ತು) ರೂಪದ ತೆರೆದ ಚೆಂಡುಗಳ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವರಿಗೆ. (ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಪದವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಡೇಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ. ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಕ್ರಮವಾಗಿ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು p-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಅಂತಹ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಮಶೀತೋಷ್ಣ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ದ್ವಿ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಮಶೀತೋಷ್ಣ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಕ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ (ಸಂಯೋಜಕ) ಹಾರ್ ಅಳತೆಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಡೆಲ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಸ್ಕ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರದ ಅಡೆಲಿಕ್ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಎಲ್ಲಿದೆ. ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಜಾನ್ ಟೇಟ್ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಮ್ಮ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಇದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ತಿರುಚಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಾಕಾರದ ಹಾರ್ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಝೀಟಾ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು