Regulated function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ನೈಜ ಚರರಾಶಿಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಉತ್ತಮ ವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸಮಾನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಕೋಲಸ್ ಬೌರ್ಬಾಕಿ ಅವರು 1949 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ "ಲಿವ್ರೆ IV: ಫಾಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಡಿ 'ಯುನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ರೀಲ್" ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ X ಎಂಬುದು | |-| |X ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬನಾಚ್ ಜಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ) ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ f: [0, T] → X ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ [0, T] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ t ಗೆ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಮಿತಿಗಳಾದ f (t−) ಮತ್ತು f (t +) ಎರಡೂ X ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ (ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, f (0−) ಮತ್ತು f (T +) ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ); ಹಂತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ φn: [0, T] → X ಏಕರೂಪವಾಗಿ f (ಅಂದರೆ. | |-| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ಈ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಶ್ರಮ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡನೇ ಷರತ್ತನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮರು-ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡುವುದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭಃ ಪ್ರತಿ δ> 0 ಗೆ, ಕೆಲವು ಹಂತದ ಕಾರ್ಯ φδ: [0, T] → X ಇದೆ, ಅಂದರೆ f, [0, T] ನಿಂದ X ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಂತ ([0, T]; X) ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ (ಬಿ ([0, T] ನಿಂದ X ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ). ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ f: [0, ಟಿ] → ಎಕ್ಸ್. ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ಗಳು ಮತ್ತೆ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ಎಂಬುದು ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನ ಅದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕೆ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. X ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತೆ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X ಒಂದು K-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೆಗ್ ([0, T]; X) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡವು ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ಎಂಬುದು ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ಎಂಬುದು ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಂತ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ನ ಬಿ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿರುವ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. X ಒಂದು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸರ್ವೋಚ್ಚ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೆಗ್ ([0, T]; X) ಸಹ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಆರ್) ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಬನಾಚ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತೆ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ [0, T]) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ f: [0, T] → X ಅನ್ನು ಸಹ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸರ್ವೋಚ್ಛ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ C0 ([0, T]; X) ಸ್ಥಳವು ರೆಗ್ ([0, T]; X) ನ ಮುಚ್ಚಿದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. X ಒಂದು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬೌಂಡೆಡ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಪೇಸ್ BV ([0, T]; X) ರೆಗ್ ([0, T]; X) ನ ದಟ್ಟವಾದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ X ಒಂದು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕೆಲವು φ ಗೆ ಬೌಂಡೆಡ್ φ-ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ f: [0, T] → X ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ X ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೆಗ್ ([0, T]; X) ಫ್ರಾನ್ಕೋವಾ-ಹೆಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಬಿ. ವಿ. ಯ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಗಿತಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಜಂಪ್-ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಮಿತಿಗಳು ಸೀಮಿತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸಾಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿಸ್ಕಂಟೀನ್ಯೂಟಿ ಸೆಟ್ ಶೂನ್ಯದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಬೈರ್ ವರ್ಗದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಅಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಣಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಂತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಹಂತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮಿತಿಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿಯಂತ್ರಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ನಿಂದ ಎಕ್ಸ್ ಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಕ್ಸ್ = ಆರ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಆರ್) ಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುವ ಜಾಗದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ; ಇದು ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಧಗಳು