Congruence lattice problem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪ್ರತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಯು ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೊ ಜಾಲರಿಯ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲಿಯಂತೆ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರಾಬರ್ಟ್ ಪಿ. ದಿಲ್ವರ್ತ್ ಅವರು ಮುಂದಿಟ್ಟರು, ಮತ್ತು ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ ಇದು ಜಾಲರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿತ್ತು; ಇದು ಜಾಲರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೇಲೆ ಆಳವಾದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರಿತು. ಪ್ರತಿ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಯು ಏಕರೂಪದ ಜಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಎ1 ಸಾಂದ್ರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎಫ್. ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎ2 ಸಾಂದ್ರ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರಿಲಿಮಿನರಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಾನ್ ಎ ನಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತ ಎ ಯ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಸೇರ್ಪಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಏಕರೂಪಗಳ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆಯಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪತೆಗೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವುದು ಜಾಲರಿ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಲೆಮ್ಮಾ. ಬೀಜಗಣಿತ ಎ ಯ ಏಕರೂಪತೆಯು ಕಾನ್ ಎ ಯ ಸಾಂದ್ರ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕರೂಪತೆಯು ಅದರ ಕೆಳಗಿರುವ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಘಟಕವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಉಪಘಟಕಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ), ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಬಿರ್ಖೋಫ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಿಂಕ್ 1948ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಪ್ರಮೇಯ (ಬಿರ್ಖಾಫ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಿಂಕ್ 1948). ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತ ಎ ಯ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲಕ ಕಾನ್ ಎ ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಲಕವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪುಗಳು, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು, ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಜಾಲರಿಗಳ ಏಕರೂಪತೆಗಳು ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆಯಾದರೂ (ಅವುಗಳನ್ನು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಉಪಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ಅವು ಇನ್ನೂ ಎದುರಾದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಫನಾಯಾಮಾ ಮತ್ತು ನಕಾಯಾಮಾ 1942). ಯಾವುದೇ ಜಾಲರಿಯ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿಯು ವಿತರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಲರಿಯ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪತೆಗಳಾದ α, β, ಮತ್ತು γ ಗಳಿಗೆ, α (β) = (α) (α) ಎಂದು ಇದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಾದೃಶ್ಯವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ, ನಿಯಮದಂತೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ನಂತರ, ದಿಲ್ವರ್ತ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅವರು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಬಿರ್ಖೋಫ್ 1948 ರಲ್ಲಿ ಅವರಿಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕಟಿತ ಪುರಾವೆಯು ಗ್ರ್ಯಾಟ್ಜರ್ ಮತ್ತು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ 1962ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ದಿಲ್ವರ್ತ್ ≈ 1940, ಗ್ರ್ಯಾಟ್ಜರ್ ಮತ್ತು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ 1962). ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಯು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಜಾಲರಿಯ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಗ್ರ್ಯಾಟ್ಜರ್ ಮತ್ತು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಅವರ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ದ್ರಾವಣ ಜಾಲರಿಯು ವಿಭಾಗೀಯವಾಗಿ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ನಿಜ) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ a ≤ b ಒಂದು ಅಂಶ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ a ≤ x = b ಮತ್ತು a ≤ x = 0. ಆ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಸಿಎಲ್ಪಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಕಟಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಿಎಲ್ಪಿಯಲ್ಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ದಿಲ್ವರ್ತ್ ಅವರೇ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಜಾಲರಿಗಳ ಸಂಯೋಗ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಅಗಾಧ ಪ್ರಮಾಣದ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಗ್ರ್ಯಾಟ್ಜರ್ನ 2005ರ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿ ಸಮಸ್ಯೆ (ಸಿಎಲ್ಪಿ): ಪ್ರತಿ ವಿತರಣಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಲರಿಯು ಕೆಲವು ಜಾಲರಿಯ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ? ಸಿಎಲ್ಪಿ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಜಾಲರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅತ್ಯಂತ ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಗ್ರ್ಯಾಟ್ಜರ್ ಮತ್ತು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ 1963). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಲಕವು ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಬ್ V ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಬೀಜಗಣಿತದ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ತೋರಿಸುವಂತೆ, ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಪ್ರಮೇಯ (ಫ್ರೀಸ್, ಲ್ಯಾಂಪ್, ಮತ್ತು ಟೇಲರ್ 1979). ಎಣಿಸಲಾಗದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ವಿ ಒಂದು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸಬ್ ವಿ ಗೆ ಕಾನ್ ಎ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತ ಎ ಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡ್ ಎಫ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಿ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಕಾರಣ, ಸಬ್ ವಿ ಯ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಂಶವು (ಘಟಕ) ಸಾಂದ್ರವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದು ಎಷ್ಟೇ ನಿರುಪದ್ರವವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಯುನಿಟ್ ಊಹೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಲ್ಯಾಂಪ್ 1982). ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಲರಿಯು ಕೆಲವು ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ನ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಿಎಲ್ಪಿಯ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಎ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲಕ ಕಾನ್ ಎ ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಲಕವಾಗಿದೆ. ಕಾನ್ ಎ ಯ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಂಶಗಳ (ಷ್ಣ, 0)-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಅನ್ನು ಕಾಂಕ್ ಎ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಎ ಯ ಏಕರೂಪದ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕಾನ್ ಎ ಯು ಕಾಂಕ್ ಎ ಯ ಆದರ್ಶ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮಾನತೆಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಲರಿಗಳ ವರ್ಗದ (ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳ ಸೂಕ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ) ನಡುವಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಿಎಲ್ಪಿಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಿ. ಎಲ್. ಪಿ. ಯ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಃ ಪ್ರತಿ ವಿತರಣಾ (ಷ್ಣ, 0)-ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಕೆಲವು ಜಾಲರಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ? ಒಂದು ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದೆಂದು ಹೇಳಿ, ಅದು ಕೆಲವು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ಗೆ, ಕಾಂಕ್ ಎಲ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಸಿಎಲ್ಪಿ ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಅನೇಕ ತನಿಖೆಗಳು ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳು ಅಥವಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಜಾನಪದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ. ನೀಡಲಾದ ಸಹಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಕಾಂಕ್, ಎಲ್ಲಾ (′, 0)-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳಿಗೆ, ನೇರ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ ಜಾಯಿನ್-ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಸ್ಮಿತ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು ಬಿ ಯ ಕೆಲವು ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ ಜಾಯಿನ್-ಸಂಯೋಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬೂಲಿಯನ್ ಸೆಮಿಲಾಟಿಸ್ ಬಿ ಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, a (ಷ್ಣ, 0)-ಸೆಮಿಲಾಟಿಸ್ ಸ್ಮಿತ್ ಅವರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮಾನತೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಆಳವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ 1968). ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮಾನತೆಯು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು, ಅದೇ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆ 1 (ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ 1968). ಯಾವುದೇ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮಾನತೆಯು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಭಾಗಶಃ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಉತ್ತರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ 1981). ಶೂನ್ಯವಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಯು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಬಲವಂತದ ಮತ್ತು ಬೂಲಿಯನ್-ಮೌಲ್ಯದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹಳ ದೀರ್ಘವಾದ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಕ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸುಧಾರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ವೆಹ್ರಂಗ್ 2003). ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು (ಷ್ಣ, 0)-ಏಕರೂಪತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೇರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. 1985ರಲ್ಲಿ ಹುಹ್ನ್ ನಿಧನರಾದ ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಡಾಬ್ಬರ್ಟಿನ್ ಪ್ರಕಟಣೆಗಾಗಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಎರಡು ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಬಂಧಗಳು 1989ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದವು. ಪ್ರಮೇಯ (ಹುಹ್ನ್ 1985). ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಪ್ರತಿ ವಿತರಣಾ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮಾನತೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಎ1ನಲ್ಲಿ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕವಾಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಡಾಬ್ಬರ್ಟಿನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಪ್ರಮೇಯ (ಡಾಬ್ಬರ್ಟಿನ್ 1986). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ಅನ್ನು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ (0,0)-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಸಮಸ್ಯೆ 2 (ಡಾಬರ್ಟಿನ್ 1983). ಪ್ರತಿ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದೇ? ಪುದ್ಲಾಕ್ ಅವರ ವಿಧಾನ; (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮಾನತೆಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಎತ್ತುವುದು ಪುದ್ಲಾಕ್ ಅವರು ತಮ್ಮ 1985 ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದ ಸಿಎಲ್ಪಿಯ ವಿಧಾನವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಪುದ್ಲಾಕ್ನ 1985 ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟ್ 4, ಪುಟ 100, ಇದನ್ನು ಯೂರಿ ಎಲ್. ಎರ್ಶೋವ್ ಅವರು ತಮ್ಮ 1977 ರ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ಪರಿಚಯದ ವಿಭಾಗ 3 ರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಪಡೆದರು. ಪ್ರಮೇಯ (ಎರ್ಶೋವ್ 1977, ಪುಡ್ಲಾಕ್ 1985). ಪ್ರತಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಿಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಅದರ ಸೀಮಿತ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಬ್ಸಿಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸೆಮಿಲಾಟಿಸ್ S ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವು S ನ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಬ್ಸಿಮಿಲಾಟಿಸ್ ನಲ್ಲಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸೆಮಿಲಾಟಿಸ್ S ಅನ್ನು ಕಾಂಕ್ L ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಕೆಲವು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ L. S ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಬ್ಸಿಮಿಲಾಟಿಸ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರತಿ Si ಅನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ Li ಯ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಆಶಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಕಾಂಕ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ನೇರ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದಂತೆ, ನೇರ ಮಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದೇ ಎಂಬ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸುಮಾರು 20 ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಮುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಪುದ್ಲಾಕ್ ಇದನ್ನು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಹೀಗಾಗಿ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಾರ್ಯಕಾರಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯ (ಪುದ್ಲಾಕ್ 1985). ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನೇರ ಮಿತಿಗಳಿವೆ, ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು 0-ಜಾಲರಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು 0-ಜಾಲರಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಜಾಲರಿಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ ಕಾಂಕ್ಫೈ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಗುರುತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ವಿತರಣಾ (ಱ್, 0)-ಸಿಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಸ್. ಗೆ ಸೀಮಿತ ಪರಮಾಣು ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ರಚನೆಯಿಂದ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, 2004 ಮತ್ತು 2006 ರಲ್ಲಿ ರುಝಿಚ್ಕಾದಿಂದ ವಿಭಾಗೀಯವಾಗಿ ಪೂರಕವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಪುದ್ಲಾಕ್ ಅವರು 1985ರಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು (, 0)-ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ವಿತರಣಾ (, 0)-ಸಮಾನತೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಕೇಳಿದರು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ತುಮಾ ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಅವರು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವವರೆಗೂ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮುಕ್ತವಾಗಿತ್ತು. ಪ್ರಮೇಯ (ಟುಮಾ ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ 2006). ಕಾಂಕ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆತ್ತಲಾಗದ ಸೀಮಿತ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ ಬೂಲಿಯನ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಿಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳು ಮತ್ತು (ಷ್ಣ, 0,1)-ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಡಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಿಎಲ್ಪಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಕೀರ್ನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಜೆಂಡ್ರೇಯಿ ಅವರ 1998 ರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಳವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಂವಹನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಜಾಲರಿಗಳ ವೈವಿಧ್ಯದಿಂದ ಯಾವುದೇ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಾನ್ ಎ, ಸಿಗ್ನೇಚರ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಏಕರೂಪತೆಯ ಗುರುತಿನೊಂದಿಗೆ). ಸಿಎಲ್ಪಿಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬೇಕು, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು 1978 ರಲ್ಲಿ ಬುಲ್ಮನ್-ಫ್ಲೆಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಡೊವೆಲ್ ಅವರು ಶಾನನ್ನ 1974 ರ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ನೇರ ವಾದಕ್ಕಾಗಿ 2001 ರಲ್ಲಿ ಗುಡೆರ್ಲ್ ಮತ್ತು ವೆಹ್ರಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಪ್ರಮೇಯ (ಬುಲ್ಮನ್-ಫ್ಲೆಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಡೊವೆಲ್ 1978). ಪ್ರತಿ ವಿತರಣಾ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮರೂಪತೆಯು ಸೀಮಿತ ಬೂಲಿಯನ್ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮರೂಪತೆಗಳು ಮತ್ತು (ಷ್ಣ, 0)-ಏಕರೂಪತೆಗಳ ನೇರ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಎರ್ಶೋವ್-ಪುಡ್ಲಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಏಕರೂಪತೆಗಳು (ಷ್ಣ, 0)-ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಏಕರೂಪತೆಗಳು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೂರು-ಅಂಶಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಾಗ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ತೊಂದರೆ ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪೂರಕವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ (ಟುಮಾ 1998 ಮತ್ತು ಗ್ರ್ಯಾಟ್ಜರ್, ಲ್ಯಾಕ್ಸರ್, ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ 2000) ಗೆ, ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಪ್ರತಿ ವಿತರಣಾ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮರೂಪತೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಎ1 ನಲ್ಲಿ (1) ಕಾಂಕ್ ಎಲ್ ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. (2) ಕೆಲವು (ಏಕರೂಪವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ) ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ವರ್ತುಲದ (ವೆಹ್ರುಂಗ್ 2000) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್. (3) ಕಾಂಕ್ ಎಲ್, ಕೆಲವು ವಿಭಾಗೀಯ ಪೂರಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ (ವೆಹ್ರಂಗ್ 2000). (4) ಕೆಲವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಗುಂಪಿನ (ರುಜಿಚ್ಕಾ, ಟುಮಾ, ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ 2007) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್. (5) ಒಂದು (ಸಂವಹನವಲ್ಲದ) ಉಂಗುರದ (ರುಝಿಕಾ, ಟುಮಾ, ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ 2007) ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಉಪಘಟಕ ಜಾಲರಿ. ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಸಂಯೋಗ ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರಗಳ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಒಂದು (ಏಕಾಂಗಿ, ಸಹವರ್ತಿ) ಉಂಗುರ ಆರ್ಗೆ, ನಾವು ವಿ (ಆರ್) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೈಟ್ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳ (ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ, ಸಂವಹನ) ಮೊನಾಯ್ಡ್, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ನೋಡಿ. ಆರ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿ (ಆರ್) ಒಂದು ಪರಿಷ್ಕರಣ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ಐ. ಡಿ. ಸಿ. ಆರ್. ನಿಂದ ಆರ್. ನ ಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಆದರ್ಶಗಳ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮರೂಪವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ನಾವು ಎಲ್ (ಆರ್) ನಿಂದ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ವರ್ತುಲ ಆರ್ ನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮುಖ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳ ಜಾಲಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ (ಆರ್) ಒಂದು ಪೂರಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲಕ ಎಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಗಮನಿಸಿದರು, ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಜಾನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಗುಡೆರ್ಲ್ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ವೆಹ್ರುಂಗ್ 1999). R ಒಂದು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ (ಷ್ಣ, 0)-ಸಮಾನಾಂಕಗಳಾದ ಐ. ಡಿ. ಸಿ. ಆರ್. ಮತ್ತು ಸಿ. ಎನ್. ಎಲ್. (ಆರ್) ಎರಡೂ ವಿ (ಆರ್) ನ ಗರಿಷ್ಠ ಅರ್ಧವಿರಾಮಾಂಕದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿವೆ. 1986ರಿಂದ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಅಪ್ರಕಟಿತ ಟಿಪ್ಪಣಿಯಲ್ಲಿ ಬರ್ಗ್ಮನ್, ಯಾವುದೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ವಿತರಣಾ (ಱ್, 0)-ಸಮರೂಪತೆಯು ಐಡಿಸಿ ಆರ್ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ಗೆ (ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ). ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 2000 ರಲ್ಲಿ ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಅವರು ಆರ್ ನ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಸೆಮಿಲಟೈಸಿಸ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ (ಪುರಾವೆಯಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಉಂಗುರವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಅಲ್ಲ). ಎ1 ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಆರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು 2004ರಲ್ಲಿ ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಅದನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವವರೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿತ್ತು. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಜಗತ್ತಿಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವುದು ಮತ್ತು 1998 ರಲ್ಲಿ ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿ (ಆರ್) ರಚನೆಯ ಲ್ಯಾಟಿಸ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ವೆಹ್ರಂಗ್ 2004). ಯಾವುದೇ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ಗೆ, ಸೀಮಿತ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ಗೆ, ಕಾಂಕ್ ಎಲ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎ1ನ ಒಂದು ವಿತರಣಾ (ಷ್ಣ, 0,1)-ಸಮರೂಪತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆ 3 (ಗುಡೆರ್ಲ್ 1991). ಆರ್ಡರ್-ಯುನಿಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ ಗುಂಪಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನ್, ಕೆಲವು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ರಿಂಗ್ R ಗೆ V (R) ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆಯೇ? ಕುರಟೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಫ್ರೀ ಸೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಅನ್ವಯವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆ 1 (ಷ್ಮಿಡ್ಟ್), ಸಮಸ್ಯೆ 2 (ಡಾಬರ್ಟಿನ್), ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ 3 (ಗುಡೆರ್ಲ್) ಅನ್ನು 1998 ರಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಯಿತು. ಪ್ರಮೇಯ (ವೆಹ್ರುಂಗ್ 1998). ಯಾವುದೇ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ವರ್ತುಲ R ಗೆ, ಅದರ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನ್ G +, V (R) ಗೆ ಸಮರೂಪವಲ್ಲದ ಕ್ರಮ-ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಆಯಾಮ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ G ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಡಾಬರ್ಟಿನ್ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, G + ನ ಗರಿಷ್ಠ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಅಂಶವು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಜಿ ಅನ್ನು ಎ2 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಷ್ಮಿಡ್ಟ್, ಹುಹ್ನ್, ಡಾಬ್ಬರ್ಟಿನ್, ಗುಡೆರ್ಲ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಂಡೆಲ್ಮ್ಯಾನ್ ಅವರ ಹಿಂದೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ α2 ಬಂಧವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಎ2 ಬಂಧವು ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಅನಂತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. 1951ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಕಟವಾದ ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಫ್ರೀ ಸೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ n = 2 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಭಾಗವನ್ನು ಅನಂತ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಹೇಳಿಕೆ ಯುಆರ್ಪಿ (ಏಕರೂಪದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಆಸ್ತಿ) ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, (1) ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬೂಲಿಯನ್ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಯುಆರ್ಪಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು (ಇದು ಸುಲಭ), (2) ಯುಆರ್ಪಿಯನ್ನು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಣದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಏಕರೂಪತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇದು ಸಹ ಸುಲಭ), ಮತ್ತು (3) ಯುಆರ್ಪಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ α2 ನ ವಿತರಣಾ (′, 0)-ಸಮಾನತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ (ಇದು ಕಷ್ಟ, ಮತ್ತು ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಫ್ರೀ ಸೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ). ಯೋಜನಾಬದ್ಧವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸೆಟ್ಗೆ, ನಾವು ಜನರೇಟರ್ 1ರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ E (ω) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು i <2 ಮತ್ತು x ಗೆ ω ನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು a0, x + a1, x = 1, a0, x ω0, ಮತ್ತು a1, x ω0, ω ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ x ಗೆ. ಆಯಾಮ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ಕೋಲೆಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಇ (ω) ಅನ್ನು ಆಯಾಮ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಫ್ (ω) ಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕೌಂಟರ್ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ G = F (ω), ಕನಿಷ್ಠ α2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ಗೆ. ಈ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತರುವಾಯ ಪ್ಲೊಸಿಕಾ ಮತ್ತು ಟುಮಾಗಳು ನೇರ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎ (, 0)-ಸಿಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗೆ, ದೊಡ್ಡ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಆರ್ (ಎಸ್) ಎಂಬುದು ಹೊಸ ಅಂಶಗಳಾದ ಟಿ (ಎ, ಬಿ, ಸಿ) ಯಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ (, 0)-ಸಿಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಆಗಿದೆ, ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಗೆ ಸಿ ≤ ಎ, ಬಿ, ಟಿ (ಬಿ, ಎ, ಸಿ) ಮತ್ತು ಟಿ (ಎ, ಬಿ, ಸಿ) ≤ ಎ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ ಎಸ್ ನ ಮುಕ್ತ ವಿತರಣಾ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, G (ω) = D (L (ω)) ಅನ್ನು ಇರಿಸಿ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಏಕರೂಪದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 1998 ಮತ್ತು 1999ರಲ್ಲಿ ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಪ್ಲೊಸ್ಕಿಕಾ, ಟುಮಾ, ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ 1998). ಎಲ್ಲಾ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು S ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ, ಅಂದರೆ i ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ i ಗೆ ಎಐಬಿಐ = ಇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ದುರ್ಬಲ ಏಕರೂಪದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಡಬ್ಲ್ಯುಯುಆರ್ಪಿ ಇ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, S ನ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಬಂಧಗಳು; ಸಿಐ, ಜೆ ≤ ಎಐ, ಬಿಜೆ, ಸಿ, ಜೆ ≤ ಎಐ = ಇ, ಸಿ, ಕೆ ≤ ಸಿಐ, ಜೆ ≤ ಸಿಇ, ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಐ, ಜೆ, ಕೆ. ಆಯಾಮ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಅವರ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪ್ಲೊಸಿಕಾ ಮತ್ತು ಟುಮಾ, ಕನಿಷ್ಠ ಎ 2 ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ω ಗೆ ಡಬ್ಲ್ಯುಯುಆರ್ಪಿ ಜಿ (ω) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ G (ω) ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ನ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲವು ಏಕರೂಪದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಆಯಾಮ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಬಗ್ಗೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ. 1998ರಲ್ಲಿ ಪ್ಲೊಸಿಕಾ, ಟುಮಾ ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸ್ಮಿತ್ ಅವರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು FV (ω) ನಿಂದ Vಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ Vಯ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಪ್ಲೋಸ್ಕಿಕಾ, ಟುಮಾ, ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ 1998). ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಕಾಂಕ್ ಎಫ್. ವಿ. (ω) ಯು ಡಬ್ಲ್ಯು. ಯು. ಆರ್. ಪಿ. ಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ω ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಿತರಣಾ-ಅಲ್ಲದ ವಿಧವಾದ ವಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಿಗೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಾಂಕ್ ಎಫ್. ವಿ. (ω), ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಅವರ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ. 2001 ರಲ್ಲಿ ಟುಮಾ ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಅವರು ಕಾಂಕ್ ಎಫ್. ವಿ (ω) ಯು ಕಾಂಕ್ ಎಲ್ ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಯಾವುದೇ ಜಾಲರಿ ಎಲ್ ಗೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಏಕರೂಪತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಡಬ್ಲ್ಯು. ಯು. ಆರ್. ಪಿ. ಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 2007 ರಲ್ಲಿ ರುಝಿಕಾ, ಟುಮಾ ಮತ್ತು ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಅವರು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಏಕರೂಪತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ω ಕನಿಷ್ಠ α2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕಾಂಕ್ ಎಫ್. ವಿ. (ω) ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಜಾಲಕಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಉಪಘಟಕ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಲ್ಲ. ಸಿ. ಎಲ್. ಪಿ. ಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಃ ಸವೆತದ ಲೆಮ್ಮಾ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಇತ್ತೀಚಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಿ. ಎಲ್. ಪಿ. ಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ವೆಹ್ರುಂಗ್ 2007). ಸೆಟ್ ω ಕನಿಷ್ಠ αω + 1 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಯಾವುದೇ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ L ಗೆ ಸೆಮಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ G (ω) ಯು ಕಾಂಕ್ L ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿಎಲ್ಪಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಉದಾಹರಣೆ ಸುಮಾರು ಹತ್ತು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಅದು ಏಕೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಯಾರಿಗೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ! ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿನ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿವೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ-ಪರ್ಮುಟಬಲ್ ಜಾಲರಿಗಳ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ರಚನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿತ್ತು. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ 'ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್' ಅನ್ನು ನಾವು ε ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ε (n) = n ಮಾಡ್ 2. ನಾವು L ಅನ್ನು ಸೆಮಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ (L, ′) ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ L ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕರೂಪತೆಯು ′ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಾವು (u, v) (= u ಮತ್ತು v ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ L ನ ಕನಿಷ್ಠ ಏಕರೂಪತೆ), ಇಲ್ಲಿ (u, v), U × U ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಎಲ್. ಬಿ. ಆರ್/> ದಿ ಇರೋಷನ್ ಲೆಮ್ಮಾದಲ್ಲಿ (ವೆಹ್ರುಂಗ್ 2007) ಎಲ್ಲಾ ಯು, ವಿಗೆ ನಾವು θ + (ಯು, ವಿ) = θ (ಯು, ವಿ) ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. L ನಲ್ಲಿ x0, x1 ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ, L ನ ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಜೆ <2 ಗೆ ಏಕರೂಪತೆಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ (ಗಣಿತದ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಯದೊಂದಿಗೆ ಮಸುಕಾದ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದೇ?) ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಸೆಮಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಡೆಯುತ್ತದೆ-ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸವೆತ ಲೆಮ್ಮಾ, ಮುಕ್ತ ವಿತರಣಾ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ G (ω) ಗಾಗಿ ರಚನೆಯಲ್ಲದ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮುಖ್ಯವಾದುದನ್ನು ಆವಿಯಾಗುವಿಕೆ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಬಹುದಾದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸವೆತದ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಶಃ ಅದರ ಹೇಳಿಕೆಯ ವಿಚಿತ್ರತೆಯು ಅದನ್ನು ಇಷ್ಟು ದೀರ್ಘಕಾಲ ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಎಲ್ ಘಟಕದೊಂದಿಗೆ ಜಾಯಿನ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ನ ಏಕರೂಪ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ αω + 1 ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ಗೆ, ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಏಕರೂಪತೆ ಇಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಿಎಲ್ಪಿಯು ಜಾಲರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು-ಇನ್ನೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅರೆ ಜಾಲರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ! ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದಲೂ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ವೆಹ್ರಂಗ್ನ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಸಿಎಲ್ಆರ್ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಿಎಲ್ಪಿಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಡಬ್ಲ್ಯುಯುಆರ್ಪಿಗಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ಬೌಂಡ್ αω + 1 ಅನ್ನು ರುಝಿಕಾ ಅವರು ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಬೌಂಡ್ α2 ಗೆ ಸುಧಾರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರಮೇಯ (2008). ಸೆಟ್ ω ಕನಿಷ್ಠ α2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಯಾವುದೇ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ L ಗೆ ಸೆಮಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ G (ω) ಯು ಕಾಂಕ್ L ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರುಝಿಕಾ ಅವರ ಪುರಾವೆಯು ವೆಹ್ರಂಗ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಮುಖ್ಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕುರಟೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಫ್ರೀ ಸೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಫ್ರೀ ಟ್ರೀಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಇದು ಸವೆತ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಅಂತಿಮ ವಾದದಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಸೆಮಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಿಎಲ್ಪಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದ ಪುರಾವೆಯು ವಿತರಣಾ ಸೆಮಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾನ್ಗ್ರುವೆನ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ಸೆಮಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಕಾನ್ಗ್ರುವೆನ್ಸ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ವೆಹ್ರುಂಗ್ 2008). (1) x ≤ y ಎಂದರೆ, (2) (x, z) ≤ μ (x, y) ≤ (x, y) ≤ (y, z), Pಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x, y, z ಗಳಿಗೂ. (3) Pಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ≤ y ಮತ್ತು Sಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ α, β ಗಳಿಗೂ, ಅಂದರೆ, (x, y) ≤ α ≤ β, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿರುತ್ತದೆ. (4) 'ಪಿ' ಯಲ್ಲಿನ 'ಎಕ್ಸ್' ಗೆ, 'ಎಸ್' ಅನ್ನು, 'ಮೈಕ್ರೋ (x, 0)' ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಜೋಡಣೆ-ಸಮರೂಪವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳು (1)-(4) ಎಸ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು (′, 0)-ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು