Bessel–Clifford function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಬೆಸೆಲ್ ಮತ್ತು ವಿಲಿಯಂ ಕಿಂಗ್ಡನ್ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾದ ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯವು, ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರ್ಯಾಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತವು z/k (n + k) ಆಗಿದೆ, ಇದು z ಮತ್ತು n ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ k ನೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಅನುಪಾತ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ, ಈ ಸರಣಿಯು ಎಲ್ಲಾ z ಮತ್ತು n ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ |z |, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ n ಮತ್ತು z ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಇದು x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭೇದಿಸುವ ಮೇಲಿನ ಸರಣಿಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ರೇಖೀಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯವು ಪೊಚಮ್ಮರ್-ಬಾರ್ನೆಸ್ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶದವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ; ನಾವು n ಅನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರದ ಹೊರತು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ, ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ; ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು z = 0 ಆಗಿದೆ. ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ n ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಇದರಿಂದ ನೋಡಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹಜವಾಗಿ ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಆದರೆ ಈ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಿಂದ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸರಣಿಯಿಂದ, ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು 0F1 ಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್ನ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ನಾವು ಈ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸೆಲ್-ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೂಲವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯಮಿತ ಏಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಏಕವಚನವಾಗಿರಬೇಕು. ನಾವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡನೇ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲು 1/2 ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಬೆಸೆಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಬೆಸೆಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎರಡನ್ನೂ ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಎರಡನೇ ರೀತಿಯವುಗಳೆರಡನ್ನೂ ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಎಕ್ಸ್ಪ್ (ಟಿ) ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಪ್ (ಝಡ್/ಟಿ) ಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು (ಟಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ) ಎಕ್ಸ್ಪ್ (ಟಿ + ಝಡ್/ಟಿ) ಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಾವು ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. .. .. .. .. .. ವಿಶೇಷ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು