Abel's summation formula
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೀಲ್ಸ್ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಅಬೆಲ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಅಬೆಲ್ನ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರವು ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರಃ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದ ರೀಮನ್-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ಗಾಗಿ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಎಡ ತುದಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರವು ಅಬೆಲ್ನ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಈ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡೂ ಮಿತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅನುಕ್ರಮವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ,. ಅದೇ ರೀತಿ, ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಸೂತ್ರವು ಆಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡೂ ಪದಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಬೆಲ್ನ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ರೀಮನ್-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ನಿರಂತರವೆಂದು ಭಾವಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಇದು ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಫಾರ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಡಗೈಯು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ರೀಮಾನ್ನ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವು ಇಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಇರುವ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದ್ದು, ಇದು 1 ರ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಪರಸ್ಪರ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಇತರ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮೋಬಿಯಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಇದು ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೂತ್ರವು ಇದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಾರಾಂಶ ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಾರಾಂಶ ವಿಧಾನಗಳು