Harmonic polynomial
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮರಸ್ಯದ ಬಹುಪದಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ವಾಹಕ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ನೈಜ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳು ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡನೇ ಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುವಿಧದ ಬಹುಪದವನ್ನು ರೇಡಿಯಲ್ ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಬಹುಪದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವು ರೇಡಿಯಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಘಟಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಅಮೆರಿಕನ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಸಂಪುಟ 85 ನಂ 3 (ಜುಲೈ 1963) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಬರ್ಟ್ರಾಮ್ ಕೋಸ್ಟಂಟ್ ಅವರ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು.