Vector notation
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕ ಸಂಕೇತವು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಾಹಕಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರಬಹುದು. ವಾಹಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮುದ್ರಣಕಲೆಯ ಸಂಪ್ರದಾಯವು ಲೋವರ್ ಕೇಸ್, ನೇರವಾದ ಬೋಲ್ಡ್ಫೇಸ್ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ. ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಆರ್ಗನೈಸೇಶನ್ ಫಾರ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡೈಸೇಶನ್ (ಐಎಸ್ಒ) ಬಲ ಬಾಣದಂತೆ ದಪ್ಪ ಇಟಾಲಿಕ್ ಸೆರಿಫ್ ಅಥವಾ ಬಲ ಬಾಣದಿಂದ ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗಿರುವ ಬೋಲ್ಡ್ ಅಲ್ಲದ ಇಟಾಲಿಕ್ ಸೆರಿಫ್ ಅನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮುಂದುವರಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಂತೆ ಸರಳ ಇಟಾಲಿಕ್ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 1835 ರಲ್ಲಿ ಗಿಸ್ಟೊ ಬೆಲ್ಲವಿಟಿಸ್ ಅವರು ಸಮಭಾಜಕ ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದು ಅಂತಹ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವಾಗಿ ವಾಹಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು 1843 ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಆರ್. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಅವರು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ q = a + b + cj + dk ಗೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಎರಡು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರುಃ S q = a, q ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಭಾಗಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು V q = b + cj + dk, ವೆಕ್ಟರ್ ಭಾಗ. ಆಧುನಿಕ ಪದಗಳಾದ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ (×) ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ (. ), p ಮತ್ತು q ಎಂಬ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು pq =-p. q + p × q ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. 1878ರಲ್ಲಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕೆ. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ತಮ್ಮ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಎಂಬ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿಸಲು ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದರು. ಯೇಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಉಪನ್ಯಾಸ ನೀಡಿದ ಜೋಶಿಯಾ ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ ಗಿಬ್ಸ್ ಅವರು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. 1891 ರಲ್ಲಿ, ಆಲಿವರ್ ಹೆವಿಸೈಡ್ ಅವರು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಕ್ಲಾರೆಂಡನ್ಗೆ ವಾದಿಸಿದರು. ಅವರು ಟೈಟ್ನಿಂದ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನಿಂದ ಗೋಥಿಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಟೀಕಿಸಿದರು. 1912ರಲ್ಲಿ, ಜೆ. ಬಿ. ಷಾ ಅವರು ತಮ್ಮ "ಕಂಪ್ಯಾರಿಟಿವ್ ನೋಟೇಶನ್ ಫಾರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಕ್ಸ್ಪ್ರೆಶನ್ಸ್" ಅನ್ನು ಬುಲೆಟಿನ್ ಆಫ್ ದಿ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಸೊಸೈಟಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದರು. ತರುವಾಯ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಮ್ಯಾಕ್ಫರ್ಲೇನ್ ಅದೇ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ 15 ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. 1841ರಲ್ಲಿ ಹರ್ಮನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ 1862ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಾಹಕ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಆದರೆ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮಾತನಾಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಂತೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ. ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸುತ್ತಿದ್ದಾಗ, ಅವರು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಅರ್ನಾಲ್ಡ್ ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ರನ್ನು ನೇಮಿಸಿದರು. 1950 ರಲ್ಲಿ, ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್ ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಪುಟ 2 ರ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯ ಜಿ. ಕುಯೆರ್ಟಿಯ ಅನುವಾದವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದಾಗ, ವಾಹಕ ಸಂಕೇತವು ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿಗೆ ವಿಷಯವಾಗಿತ್ತುಃ "ಮೂಲ ಜರ್ಮನ್ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅದೇ ಗೋಥಿಕ್ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅನುವಾದಕ್ಕಾಗಿ ಇವೆರಡರ ನಡುವೆ ಮುದ್ರಣಕಲೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ". ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವಾಹಕವನ್ನು ಅದರ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಅವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಟುಪಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ ಸಂಕೇತವು ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ಆವರಣ ಅಥವಾ ಕೋನ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, n-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡೂ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ v1, v2,.., vn−1, vnಗಳು vನ ಘಟಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ರೋ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರೋ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಒಂದನ್ನು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, n-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡೂ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ v1, v2,., vn −1, vn ಗಳು v ನ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ಮುಂದುವರಿದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕವು ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಿಗಾಗಿ ವಾಹಕಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಂಟ್ರಾವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಕೇತವು (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗೆ vz ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ) ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಘಟಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರದ ಸದಸ್ಯರು ಇದರಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತಾರೆ. ಆಧಾರವನ್ನು ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ vx, vy, ಮತ್ತು vz ಗಳು v ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಘಟಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು; ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಂಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಎರಡು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಾಹಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ವಾಹಕವು ಒಂದು ಪರಿಮಾಣ (ಅಥವಾ ಉದ್ದ) ಮತ್ತು ಒಂದು ದಿಕ್ಕನ್ನು (ಅಥವಾ ಕೋನ) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ r ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಮೂಲದಿಂದ, ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಕೋನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ θ (ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ ಥೀಟಾ) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ x-ಅಕ್ಷದ ಮತ್ತು ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಕೋನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶ್ರೇಣಿಯ ರೇಡಿಯನ್ಗಳೊಳಗೆ ಇರಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಂತೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜೋಡಿ ಸಂಕೇತ (ಕೇವಲ ಎರಡು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ ಸಂಕೇತದ ಉಪವಿಭಾಗ) ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ, ವಾಹಕದ ಮೊದಲ ಘಟಕವು r (v1 ಬದಲಿಗೆ), ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಘಟಕವು θ (v2 ಬದಲಿಗೆ) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ಕೋನವನ್ನು ಕೋನ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ ಮಾಡಬಹುದು. ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜೋಡಿ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು v ಗೆ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ r ಎಂಬುದು ಪರಿಮಾಣ, θ ಎಂಬುದು ಕೋನ, ಮತ್ತು ಕೋನ ಚಿಹ್ನೆ () ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. r ಮತ್ತು θ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸರಳೀಕೃತ ಸ್ವಾಯತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೇರ ಸಂಕೇತ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಅಗಾಧವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜೋಡಿ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಆಯತಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. 5 ಘಟಕಗಳ ಪರಿಮಾಣವಿರುವ ಮತ್ತು π/9 ರೇಡಿಯನ್ಗಳ (20°) ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಾಹಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳು ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಾಹಕವು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಾಹಕವನ್ನು xy-ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ದೂರ, ಒಂದು ಕೋನ ಮತ್ತು xy-ಸಮತಲದಿಂದ (ಎತ್ತರ) ಇರುವ ದೂರದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ದೂರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ r ಅಥವಾ ρ (ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ rho) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು xy-ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ವಾಹಕದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ θ ಅಥವಾ φ (ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ φ) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೋನವನ್ನು, ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ x-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ರೇಖೆಯಿಂದ ಆಫ್ಸೆಟ್ ಎಂದು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕೋನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಇರಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ದೂರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ h ಅಥವಾ z ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು xy-ಸಮತಲದಿಂದ ವಾಹಕದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತಗಳು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಂತರದ ಘಟಕವನ್ನು ಮೂರನೇ ಘಟಕವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ತ್ರಿವಳಿಗಳು (ಮತ್ತೆ, ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ ಸಂಕೇತದ ಉಪವಿಭಾಗ) ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನವನ್ನು ಕೋನ ಚಿಹ್ನೆ () ಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ ಮಾಡಬಹುದು; ದೂರ-ಕೋನ-ದೂರ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಈ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಾಹಕ vಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿ, ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ತ್ರಿವಳಿ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ r ಎಂಬುದು xy-ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ vನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, θ ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ x-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು v ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು h ಎಂಬುದು xy-ಸಮತಲದಿಂದ vನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ನೇರ ಸಂಕೇತವು r (ಅಥವಾ ρ), θ (ಅಥವಾ φ), ಮತ್ತು h (ಅಥವಾ z) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸರಳೀಕೃತ ಸ್ವಾಯತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಾಹಕವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲು ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು; ρ ಅನ್ನು θ ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೆರೆಸಬಾರದು. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ, xy-ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಪ್ರಮಾಣವು 5 ಘಟಕಗಳು, ಧನಾತ್ಮಕ x-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಕೋನವು π/9 ರೇಡಿಯನ್ಗಳು (20°), ಮತ್ತು xy-ಸಮತಲದಿಂದ 3 ಘಟಕಗಳ ಎತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಗೋಳಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳು ಗೋಳಾಕಾರದ ವಾಹಕವು ಧ್ರುವ ವಾಹಕಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ವಾಹಕವನ್ನು ಪರಿಮಾಣ, ಅಜಿಮತ್ ಕೋನ ಮತ್ತು ಉತ್ತುಂಗ ಕೋನದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ρ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ θ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವ ಅಜಿಮುತ್ ಕೋನವು ಧನಾತ್ಮಕ x-ಅಕ್ಷದಿಂದ () ಸರಿದೂಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ φ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವ ಉತ್ತುಂಗ ಕೋನವು ಧನಾತ್ಮಕ z-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಆಫ್ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ (ಅಂತರ್ಗತ) ದಿಂದ 2π (ಪ್ರತ್ಯೇಕ) ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಇರಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಧ್ರುವ ವಾಹಕಗಳಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕೋನವನ್ನು ಮೂರನೇ ಘಟಕವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ತ್ರಿವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಜಿಮುತ್ ಮತ್ತು ಉತ್ತುಂಗ ಕೋನಗಳೆರಡನ್ನೂ ಕೋನ ಚಿಹ್ನೆ () ಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ ಮಾಡಬಹುದು; ಗೋಳಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ದೂರ-ಕೋನ-ಕೋನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಳಸಬೇಕು. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಾಕಾರದ ವಾಹಕ vಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿ, ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ತ್ರಿವಳಿ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ρ ಎಂಬುದು ಪರಿಮಾಣ, θ ಎಂಬುದು ಅಜಿಮತ್ ಕೋನ, ಮತ್ತು φ ಎಂಬುದು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಧ್ರುವೀಯ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳಂತೆ, ಗೋಳಾಕಾರದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕೃತ ಸ್ವಾಯತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ρ, θ, ಮತ್ತು φ. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕದ ಪರಿಮಾಣವು 5 ಘಟಕಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಜಿಮತ್ ಕೋನವು π/9 ರೇಡಿಯನ್ಗಳು (20°) ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕೋನವು π/4 ರೇಡಿಯನ್ಗಳು (45°) ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾರ್ಮ್ಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ನಾರ್ಮ್ (ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣದ ನಿರ್ಣಯ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಹ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿ ಬಳಸುವ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಎಂಬ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಾಕಾರದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ (ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಆವರಣದಲ್ಲಿರಬಹುದು) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ ಡಾಟ್ ಮತ್ತು ರೊಟೇಟೆಡ್ ಕ್ರಾಸ್ ಸಹ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿವೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ರೊಟೇಟೆಡ್ ಕ್ರಾಸ್ ಅನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಅವು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಾಸ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವ ಅಪಾಯವನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಹಕ vಯೊಂದಿಗಿನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ kಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ವಾಹಕ ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಿಭಜನೆ ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಜೊತೆಗೆ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು "ಕಳೆಯಲು" ಮತ್ತು ವಾಹಕವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ "ವಿಭಜಿಸಲು" ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. - 1 ರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಪೆರಾಂಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಪೆರಾಂಡ್ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನಿರ್ವಾಹಕರಾಗಿ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಎಂಬ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಪೆರಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಒಪೆರಾಂಡ್ನ ಸಂಖ್ಯಾ ವಿಲೋಮದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಪಟ್ಟಿ ಅಥವಾ ವಿಭಾಗ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಾಹಕರಾಗಿ ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್ v ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ c ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ನಾರ್ಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಡಬಲ್ ಬಾರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ v ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಿಂಗಲ್ ಬಾರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಹುದು (ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ). ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು) ಕೋನ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಎಂಬ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಒಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಇನ್ನರ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಸಂಕೇತದ ಜೊತೆಗೆ, ಡಾಟ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು (ಡಾಟ್ ಅನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿ ಬಳಸುವುದು) ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು (ಮತ್ತು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ). ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಎಂಬ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಕೆಲವು ಹಳೆಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಡೈಡಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (ಇನ್) ತಿರುಗಿಸಲಾದ ಅಡ್ಡವನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿ ಬಳಸಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. u ಮತ್ತು v ಎಂಬ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಫ್ರಾನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ), ಇದನ್ನು ಬೆಣೆಗಳಿಂದಲೂ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇವೆರಡೂ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಕೆಲವು ಹಳೆಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಯು ಮತ್ತು ವಿ ನಡುವಿನ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಬ್ಲಾ ಆಪರೇಟರ್ ಮೂಲಕ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ನಬ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ನೊಂದಿಗೆ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಫ್ ವಿಚಲನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಫ್ ಕರ್ಲ್ ಅನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫಾಸರ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು (ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.