Pendulum (mechanics)
ಲೋಲಕವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವಂತೆ ಸ್ಥಿರ ಬೆಂಬಲದಿಂದ ಅಮಾನತುಗೊಂಡ ದೇಹವಾಗಿದೆ. ಲೋಲಕವು ಅದರ ವಿಶ್ರಾಂತಿ, ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಾಗ, ಅದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಬಲಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಕಡೆಗೆ ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಡುಗಡೆಯಾದಾಗ, ಲೋಲಕದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಬಲವು ಅದನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದ ಸುತ್ತಲೂ ತೂಗಾಡುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಲೋಲಕಗಳ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಸರಳ ಲೋಲಕದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ-ಕೋನದ ಆಂದೋಲನಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಗುರುತ್ವ ಲೋಲಕ ಒಂದು ಸರಳ ಗುರುತ್ವ ಲೋಲಕವು ನೈಜ ಲೋಲಕದ ಆದರ್ಶ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಘರ್ಷಣೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಪಿವೋಟ್ನಿಂದ ಅಮಾನತುಗೊಂಡ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಹಗ್ಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ತೂಕವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಬಾಬ್). ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘರ್ಷಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾದ ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ಈ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆಃ ಬಾಬ್ ಸ್ವಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ರಾಡ್ ಅಥವಾ ಹಗ್ಗವು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ, ವಿಸ್ತರಿಸದ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಬ್ ಒಂದು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಚಲನೆಯು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಬಾಬ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಚಾಪವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯು ಘರ್ಷಣೆ ಅಥವಾ ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧಕ್ಕೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಗುರುತ್ವ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಬೆಂಬಲವು ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಳ ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣ, ರಾಡ್ ಅಥವಾ ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದ, ಮತ್ತು ಲಂಬದಿಂದ ಲೋಲಕದವರೆಗಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಸಣ್ಣ-ಕೋನ ಅಂದಾಜು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯದ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕೋನವು 1 ರೇಡಿಯನ್ಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 0.01 ರೇಡಿಯನ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಸುಮಾರು 6° ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅಥವಾ ನಂತರ ಸಣ್ಣ-ಕೋನದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ದೋಷವು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ (ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ). ಆರಂಭಿಕ ಕೋನವು ಆಗಿರಲಿ. ಲೋಲಕವು ಶೂನ್ಯ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಬಿಡುಗಡೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಪರಿಹಾರವು ಆಗುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯು ಸರಳ ಸ್ವರಮೇಳದ ಚಲನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯ (ಅಂದರೆ, ಲೋಲಕದ ರಾಡ್ ಮತ್ತು ಲಂಬದ ನಡುವಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಕೋನ). ಚಲನೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂದಾಜು ಅವಧಿಯನ್ನು ಆ ಅವಧಿಯ ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯಾನ್ ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ-ಕೋನ ಅಂದಾಜು ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅವಧಿಯು ವೈಶಾಲ್ಯದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಇದು ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಐಸೋಕ್ರೋನಿಸಮ್ನ ಗುಣವಾಗಿದೆ. ಲೋಲಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಹೆಬ್ಬೆರಳಿನ ನಿಯಮವು ಎಸ್. ಐ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ (ಅಂದರೆ. ಅಳತೆ ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಮತ್ತು (0.994 ಎಂಬುದು 3 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಂದಾಜು). ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅವಧಿಗೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಂಜಸವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಎರಡು ಬಡಿತಗಳ ನಡುವಿನ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಸ್ವಿಂಗ್ ನ ಪ್ರತಿ ಬದಿಗೆ ಒಂದು ಬಡಿತ), ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೀಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ-ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ ಅವಧಿ ಸಣ್ಣ ಕೋನದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮೀರಿದ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಶಕ್ತಿಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಕೋನೀಯ ವೇಗದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅರ್ಧ-ಚಕ್ರದ ಎರಡು ಬಾರಿ ಅಥವಾ ಕಾಲು-ಚಕ್ರದ ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಖರವಾದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. (ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಲೋಲಕವು ಕೆಳಗಿಳಿಯಲು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಬಹಳ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.) ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಅಪೂರ್ಣ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದ ಪರಿಹಾರಃ ಇಲ್ಲಿ ಡಬಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಸರಳ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆಃ ಚಿತ್ರ 4 ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು, ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 2 ರಿಂದ 10 ನೇ ಪವರ್ಗಳವರೆಗಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮೇಲಿನ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರೆ ಮೇಲಿನ ದ್ರಾವಣದ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಆನ್-ಲೈನ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅಂಕಗಣಿತ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಅಂಕಗಣಿತ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಪರಿಹಾರಃ ಮತ್ತು ನ ಅಂಕಗಣಿತ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಈ ಅವಧಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿ-ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮೊದಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಈ ಅಂದಾಜು 96.11 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗಿನ ಕೋನಗಳಿಗೆ 1 ಪ್ರತಿಶತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಎರಡನೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಈ ಎರಡನೇ ಅಂದಾಜು 163.10 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗಿನ ಕೋನಗಳಿಗೆ 1 ಪ್ರತಿಶತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರಗಳು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ವೈಶಾಲ್ಯದ ರಾಡ್ಗೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಡಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಿಖರವಾದ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕಾರಣ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತಪ್ಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ (ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯಗಳು, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತತೆ, ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್, ಸೂಪರ್ ಕಂಡಕ್ಟಿವಿಟಿ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ) ಸರಳ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರಗಳ ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿದೆ. ವಿವಿಧ ಲೇಖಕರು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದುಃ 'ಅಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಕೋನವಲ್ಲ' ಸೂತ್ರಗಳು, ಅಂದರೆ. ನಿಖರವಾದ ಅವಧಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಚಲನವು ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ರಾಡ್ಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ರಾಡ್ಗಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳಿಗೆ (ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಬ್ಗಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಿತಿ) ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಿಮಾ (2006) ಬರೆದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆಃ, ಎಲ್ಲಿ. 'ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಕೋನ' ಸೂತ್ರಗಳು, ಅಂದರೆ. ಸಣ್ಣ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳಿಗೆ (ಅಂದರೆ, ಸಣ್ಣ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ) ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ, ರಾಡ್ಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವವು. ಅಂತಹ ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ ಕ್ರೋಮರ್, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರಾಡ್ ಅಥವಾ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನೇಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ವೈಶಾಲ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ನಿಖರವಾದ ಟೈಮರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂವೇದಕಗಳು ಲಭ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ, 'ಅತಿ ದೊಡ್ಡ-ಕೋನ' ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೋಷಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ನಿಖರವಾದ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಘರ್ಷಣೆ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ನಡುವಿನ ಉತ್ತಮ ಒಪ್ಪಂದವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಅನೇಕ ಬೋಧಕರು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಗೆ ಸರಳ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕೋರಲಾಯಿತು. 2008 ರಲ್ಲಿ, ಲಿಮಾ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ತೂಕದ-ಸರಾಸರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತುಃ ಎಲ್ಲಿ, ಇದು ಕೇವಲ 0.6% (ಅಟ್) ಗರಿಷ್ಠ ದೋಷವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ-ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ ಕೋನೀಯ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ನೋಮ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು (ನೋಡಿ). ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಹೀಗಾಗಿ ಅಂದಾಜು ದೊಡ್ಡ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳಿಗೂ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಕೋನವನ್ನು ಜಾಕೋಬಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಫಾರ್ ಸ್ಮಾಲ್, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಪೆಂಡುಲಮ್ (ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) #Small-ಆಂಗಲ್ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಅನಿಮೇಷನ್ಗಳು ಬಾಬ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳ (ಘರ್ಷಣೆಯಿಲ್ಲದ) ಲೋಲಕದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಲೋಲಕದ ಮೇಲಿರುವ ಸಣ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದ ಸಮತಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ; ಸಮತಲ ಅಕ್ಷವು ಸ್ಥಳಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಅಕ್ಷವು ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಒದ್ದೆಯಾದ, ಚಾಲಿತ ಲೋಲಕವು ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಲೋಲಕದ ಬಾಬ್ನ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಫೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧ ಮತ್ತು ಸೈನೂಸೈಡಲ್ ಚಾಲನಾ ಶಕ್ತಿಯು ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒದ್ದೆಯಾದ, ಚಾಲಿತ ಆಂದೋಲಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು (ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣ (1) ರ ಟಾರ್ಕ್ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಜೋಡಿ ಕೋನೀಯ ವೇಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿರುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತಲುಪಲು ನಾವು ಈಗ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಪದ ಮತ್ತು ಬಲವಂತದ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು (ಇದು ಕಡಿಮೆ ವೇಗದ ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಡ್ರ್ಯಾಗ್ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ). ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಫೋರ್ಸಿಂಗ್ನ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಚಾಲನಾ ಆಂದೋಲನಗಳ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಈಗ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಲೋಲಕದ ನಿಖರವಾದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವೈಶಾಲ್ಯ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿರುವ ಸಣ್ಣ ಕೋನದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಅಂದಾಜು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಲು ಅಗತ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಸಂಯುಕ್ತ ಲೋಲಕವು (ಅಥವಾ ಭೌತಿಕ ಲೋಲಕ) ರಾಡ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿತ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು; ಅಂದರೆ, ಪಿವೋಟ್ನಿಂದ ತೂಗಾಡುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಕಾರದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೋಲಕದ ಅವಧಿಯು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಅದರ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಟಾರ್ಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿಃ ಕೋನೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ. ಟಾರ್ಕ್ ಎಂದರೆ ಟಾರ್ಕ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿಃ ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಪಿವೋಟ್ನಿಂದ ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರವು ಲಂಬವಾದ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಣ್ಣ-ಕೋನ ಅಂದಾಜಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಪಿವೋಟ್ ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ದೇಹದ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಕೋನವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ (ದೊಡ್ಡ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳಿಗೆ), ನಂತರ ಫಾರ್ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯುಃ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅವಧಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನದ ಗರಿಷ್ಠ ಕೋನವಾಗಿದೆ (ಲಂಬಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಮತ್ತು ಇದು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಡಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅವಧಿಯ ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಲೋಲಕದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯವು ನೈಜ ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಅವಧಿಯು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಲೋಲಕವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಚಕ್ರದ ಮೂಲಕ ಹೋಗಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವಾಗಿದೆ. ಪೌಲ್ ಅಪ್ಪೆಲ್ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅವಧಿಯ ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸಿದರುಃ ಒಂದು ಲೋಲಕದ ಗರಿಷ್ಠ ಕೋನ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಗರಿಷ್ಠ ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ನೈಜ ಅವಧಿಯು ಇನ್ನೊಂದರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅವಧಿಯ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿ ಪೆಂಡ್ಯುಲಾಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಚಲನೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಬಹುದು, ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಮೂಲಕ (ಬಾಬ್ಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ನಂತಹವು) ಅಥವಾ ಪೋಷಕ ರಚನೆಯಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಗಳ ಮೂಲಕ (ಟೇಬಲ್ ಟಾಪ್ನಂತಹವು). ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸರಳ ಲೋಲಕಗಳ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಾಬ್ಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯುಃ ಬಾಬ್ಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ತಂತಿಗಳ ಉದ್ದ, ಮತ್ತು, ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಎರಡು ಬಾಬ್ಗಳ ಕೋನೀಯ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯುಃ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ವಸಂತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ವಸಂತದ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಸಣ್ಣ ಕೋನದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು, ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಕೋನದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು, ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತುಃ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು,, ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದುಃ ಬಾಬ್ಗಳಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಪುಶ್ ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಷರತ್ತಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಸ್ವಲ್ಪ ಮರುಹೊಂದಿಕೆಯ ನಂತರ): ಹಾರ್ಮೋನೋಗ್ರಾಫ್ ಕೋನಿಕಲ್ ಲೋಲಕ ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡಲ್ ಲೋಲಕ ಡಬಲ್ ಲೋಲಕ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಲೋಲಕ ಕಾಪಿಟ್ಜಾದ ಲೋಲಕ ರೇಲೇ-ಲೊರೆಂಟ್ಸ್ ಲೋಲಕ ಇಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಲೋಲಕ ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಕಾರ್ಯ ಲೋಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮುಂದೆ ಓದುವುದು ಮ್ಯಾಥ್ವರ್ಲ್ಡ್ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಕಾರ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹಾರೋಲಜಿ ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಗಣಿತ