Depth (ring theory)
ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಆಳವು ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಆಳವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಸಂವಹನ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಳವು ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ಬುಚ್ಸ್ಬಾಮ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಆಳದ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅಸಮಾನತೆಯು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಕ್ರಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಆಳವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೋಹೆನ್-ಮ್ಯಾಕಾಲೆ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು, ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ, ಇದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಐಡಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ. (ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ.) ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರೇಡ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ-ಡೆಪ್ತ್ ಆಫ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ನ ಡೆಪ್ತ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಂತೆ ಅದರ-ಡೆಪ್ತ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಕೋಹೆನ್-ಮಕೌಲೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಆಳವು ಅದರ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡೇವಿಡ್ ರೀಸ್ನ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಳವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯ (ರೀಸ್) ಇದು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಲೋಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಇದು ಫೈಟೈಲಿ ಜನರೇಟೆಡ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಗರಿಷ್ಠ ನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸೇರಿರುವಲ್ಲಿ,-ಆಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಡೆಪ್ತ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಲೋಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಳವು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾಗಿವೆ. ಇದು ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ಬುಚ್ಸ್ಬಾಮ್ ಸೂತ್ರದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಲೋಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಫೈನೈಟ್-ಜನರೇಟೆಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಆಯಾಮವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ಬುಚ್ಸ್ಬಾಮ್ ಸೂತ್ರವು ಡೆಪ್ತ್ ಝೀರೋ ರಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಸಂಬಂಧಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ನಾಶವಾಗುತ್ತದೆ). ಇದರರ್ಥ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಹುದುಗಿರುವ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು () ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಉಂಗುರವು (ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ), ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಆಳ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಇದು ಕೋಹೆನ್-ಮಕಾಲೆ ಅಲ್ಲದ ಉಂಗುರದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿನ್ಫ್ರೈಡ್ ಬ್ರನ್ಸ್; ಜುರ್ಗೆನ್ ಹೆರ್ಜಾಗ್, ಕೋಹೆನ್-ಮ್ಯಾಕಾಲೆ ಉಂಗುರಗಳು. ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಸ್ಟಡೀಸ್, 39. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್, 1993. xii + 403 pp. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ