Fraňková–Helly selection theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫ್ರಾನ್ಕೋವಾ-ಹೆಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಹೆಲ್ಲಿಯ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1991 ರಲ್ಲಿ ಜೆಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಡಾನಾ ಫ್ರಾನ್ಕೋವಾ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹಿನ್ನೆಲೆ X ಒಂದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು BV ([0, T]; X) ಎಲ್ಲಾ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ನಾರ್ಮ್ಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ f: [0, T] → X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ [0, T], ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಲ್ಲಿಯ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಿ. ವಿ. ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆಃ ಬಿ. ವಿ. ಯಲ್ಲಿ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ಕಾರ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಟಿಗೆ [0, ಟಿ] ಎಫ್ಎನ್ (ಕೆ) (ಟಿ) ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಂತಹ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ಎನ್ (ಕೆ) (ಟಿ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ λ bul X * ಗೆ, ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ರೆಗ್ ([0, T]; X) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ f: [0, T] → X, ಇದು ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ಪೇಸ್ ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲಃ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ದುರ್ಬಲ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವೇ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಕೇಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಫ್ರಾನ್ಕೋವಾ-ಹೆಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಫ್ರಾನ್ಕೋವಾ-ಹೆಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆ ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, X ಒಂದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ರೆಗ್ ([0, T]; X) ನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ f: [0, T] → X, ಇದು ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ರೆಗ್ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ (ಎಫ್ಎನ್) ಎನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣಃ ಪ್ರತಿ ε> 0 ಗೆ, ಕೆಲವು ಎಲ್ಇ> 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಎಫ್ಎನ್ ಅನ್ನು ಯುಎನ್ ಬಿವಿ ([0, ಟಿ]; ಎಕ್ಸ್) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ |-| ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವರ್ (ಯು) ನಲ್ಲಿನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಯು ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು [0, ಟಿ] ನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಸರ್ವೋನ್ನತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಒಂದು ಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ fn (k) (t), X ನಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಪ್ರತಿ t ಗೆ f (t) ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ λ bul X * ಗೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ನೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.