Power transform
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಪವರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡೇಟಾದ ಏಕತಾನತೆಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲು, ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಮಾಡಲು, ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕ್ರಮಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು (ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದಂತಹ) ಮತ್ತು ಇತರ ದತ್ತಾಂಶ ಸ್ಥಿರೀಕರಣ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಬಳಸುವ ದತ್ತಾಂಶ ಪರಿವರ್ತನೆ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಬಹು-ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಮತ್ತು ತರಂಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ವೈದ್ಯಕೀಯ ಸಂಶೋಧನೆ, ಭೌತಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮಾದರಿ, ಭೂರಾಸಾಯನಿಕ ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ವೈದ್ಯಕೀಯ, ಪರಿಸರ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ಸಂಶೋಧನಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪವರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಶಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯ ನಿಯತಾಂಕ λ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಏಕತ್ವದ ಹಂತದಲ್ಲಿ (λ = 0) ಅದನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿಸುವ ತುಂಡು-ಬುದ್ಧಿವಂತ ಕಾರ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ದತ್ತಾಂಶ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ (y1,., yn), ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ yi> 0, ಶಕ್ತಿ ರೂಪಾಂತರವು y1,., yn ಅವಲೋಕನಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 0 ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ-ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ನಂತರ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ವಿಭಜಕದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯ (λ−1) ನೇ ಶಕ್ತಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳು λ ಬದಲಾದಂತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ (1964) ಈ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮೊದಲು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮರುಬಳಕೆಯ ಶಕ್ತಿ ರೂಪಾಂತರದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರು. ಈ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿಂದ, ಫಾರ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಉಳಿದಿರುವ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ λ ಗೆ Y = 1 ರ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವುದೇ λ ಗೆ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ Y ಎಂಬುದು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ Y = 1 ಅನ್ನು ನೀಡಲು ಅಳತೆ ಮಾಡಲಾದ ಇತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ರೂಪಾಂತರವು ಶಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು λ = 0 ರಲ್ಲಿ λ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಬಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ ಸಹ ಶಿಫ್ಟ್ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಇದು ಎಲ್ಲಾ i ಗೆ yi + α> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. τ (Y, λ, α) ಒಂದು ಮೊಟಕುಗೊಂಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, Y ಅನ್ನು ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಕೆಲ್ ಮತ್ತು ಡಾಕ್ಸಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎಲ್ಲಾ y ಗೆ ರೂಪಾಂತರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರುಃ ಇದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಈ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇರುವಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಇರುವವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕ ಅಂದಾಜುಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಬಿಕೆಲ್ ಮತ್ತು ಡಾಕ್ಸಮ್ ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಆದರೂ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ರಾಮರ್-ರಾವ್ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ಶಬ್ದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಗಣನೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗದಿರಬಹುದು. ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು-ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೊದಲಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಗುಡ್ನೆಸ್-ಆಫ್-ಫಿಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ವಿಲ್ಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ ಉದಾಹರಣೆ ಬಿ. ಯು. ಪಿ. ಎ ಯಕೃತ್ತು ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್ ಯಕೃತ್ತಿನ ಕಿಣ್ವಗಳಾದ ಎಎಲ್ಟಿ ಮತ್ತು ಜಿಜಿಟಿಯ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಎಲ್ಟಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಲಾಗ್ (γGT) ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ದತ್ತಾಂಶದ ಕಥಾವಸ್ತುವು ಚಿತ್ರದ ಫಲಕದಲ್ಲಿ (ಎ) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು. ಪವರ್ ನಿಯತಾಂಕದ ಲಾಗ್-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ ಫಲಕದಲ್ಲಿ (ಬಿ) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಮತಲವಾದ ಉಲ್ಲೇಖ ರೇಖೆಯು ಗರಿಷ್ಠದಿಂದ χ 12/2 ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು λ ಗೆ ಅಂದಾಜು 95 ಪ್ರತಿಶತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಓದಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಒಳ್ಳೆಯದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಲಾಗ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಶಃ, ಲಾಗ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಶಿಫ್ಟ್ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಚಿತ್ರದ ಫಲಕ (ಸಿ) ಲಾಗ್-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದು, ಶಿಫ್ಟ್ ನಿಯತಾಂಕದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮ ಫಲಕವು ಸೂಪರ್ಇಂಪೋಸ್ಡ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್ನೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಡೇಟಾವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮಾದರಿಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸುಧಾರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದಾದರೂ, ರೂಪಾಂತರವು ಸಹಾಯ ಮಾಡದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ದತ್ತಾಂಶವು ಭಾರೀ-ಬಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಊಹೆಯು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ದೃಢವಾದ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಮಾದರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರದ ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದನಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಬಂಡವಾಳದ ಸ್ಟಾಕ್ K ಒದಗಿಸಿದ ಸೇವೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಮಿಕ ಗಂಟೆಗಳ ಮೂಲಕ N: ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ Q ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಇದನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ (ಸಿಇಎಸ್) ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಇಎಸ್ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವು ಮೊದಲ ಹಂತದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. λ = 1 ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಇದು ರೇಖೀಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ λ → 0 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಇದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಕಾಬ್-ಡಗ್ಲಸ್ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರದರ್ಶನಗಳು ಎಸ್. ಓ. ಸಿ. ಆರ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಪುಟಗಳು ಜಾವಾ ಆಪ್ಲೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಚಾರ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ (ಶಕ್ತಿ) ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳು ಕ್ಯೂ-ಕ್ಯೂ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳು, ಎಕ್ಸ್-ವೈ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳು, ಟೈಮ್-ಸೀರೀಸ್ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಈ ರೂಪಾಂತರದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಯೆಯೊ-ಜಾನ್ಸನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಯೆಯೊ-ಜಾನ್ಸನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಇದು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು (ಸ್ಥಿರ ಕೊಂಡಿ) ಸ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್ ವೈಸ್ಬರ್ಗ್, ಯೊ-ಜಾನ್ಸನ್ ಪವರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮೇಷನ್ಸ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಡೇಟಾ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮೇಶನ್