Quantum mutual information
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿ, ಅಥವಾ ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಂತರ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಶಾನನ್ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಲೇಖನದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದವು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮ್ಯೂಚುಯಲ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ p (x, y) ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿ I (X: Y) ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ S (q) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಶಾನನ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬರು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು 2 ರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ p (x, y) ಮತ್ತು p (x) p (y) ನಡುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲವೆಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯು ಈ (ಬಹುಶಃ ತಪ್ಪಾದ) ಊಹೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ I (X: Y) ≤0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು p (x, y) = p (x) p (y) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವು ನಂತರ ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಸ್ಥಳಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ρAB ಯು ಎಚ್ಎಬಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ S (ρ) ನ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯು ಶಾನನ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ p (x, y) ಗೆ, x ಅಥವಾ y ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಭಾಗಶಃ ಜಾಡಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಎ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ρ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಬಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಟ್ರಿಬಿ ಭಾಗಶಃ ಜಾಡಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ Aಯಲ್ಲಿ ρABಯ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಎ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ρAB ಯ ಕಡಿಮೆಯಾದ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಎಸ್ (ρB) ಎಂದು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರಬೇಕು ಎಂದು ಈಗ ಕಾಣಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಬಂಧಿತ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಇವೆರಡರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಡಿಸ್ಕಾರ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯು ಶುದ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ), ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯು ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವ ಎಂಟ್ರೊಪಿಗಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಧನಾತ್ಮಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಸ್ಪರ ಮಾಹಿತಿಯು ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಿಶ್ರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕ್ಯೂಎಂಐ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿತಿಯು ಕೇವಲ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಬಹುಪಕ್ಷೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು n ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿಃ ಈಗ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿಃ ನಾವು ನಿಜವಾಗಿ ಏನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಒಂದು ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಭಾಗಶಃ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ