Pasch's axiom
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಪಾಸ್ಚ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನೀಡಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು 1882ರಲ್ಲಿ ಮೊರಿಟ್ಜ್ ಪಾಸ್ಚ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಎಸಿ ಮತ್ತು ಬಿಸಿ ವಿಭಾಗಗಳು ರೇಖೆಯಿಂದ ಛೇದಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಪಿ. ಬರ್ನೇಸ್ ಬರೆದ ಪೂರಕ I, 1ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರದ ಹೆಚ್ಚು ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ (ಮೂರನೇ ಭಾಗವು ನಮ್ಮ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು "ಅನಂತದಲ್ಲಿನ ಛೇದನವನ್ನು" ಬಾಹ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.) ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೆಚ್ಚು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ಹಿಸ್ಟರಿ ಪಾಸ್ಚ್ 1882ರಲ್ಲಿ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿತು ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿತು. ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಪಾಸ್ಚ್ನ ವಿಧಾನದ ಭಾಗವಾಗಿ ಈ ಸೂತ್ರವು ಇತ್ತು. ಸಮಾನತೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಇತರ ಚಿಕಿತ್ಸೆಗಳಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪಾಸ್ಚ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು; ಇದು ಸಮತಲ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ಸೂತ್ರದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ತನ್ನ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಸ್ಚ್ನ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾನೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಉಳಿದ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಪಾಸ್ಚ್ನ ಆಧಾರಸೂತ್ರವು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಮತಲ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ಆಧಾರಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರು ಪಾಸ್ಚ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾದ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಬಳಕೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಆಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಪಾಸ್ಚ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಇದನ್ನು II. 4 ಅಥವಾ II. 5 ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ರಮದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕ್ರಮದ ಸಮತಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ (ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಬದಲಿಗೆ ರೇಖೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಳದ ಕಾರಣ, ತ್ರಿಕೋನದ ಎಬಿಸಿಯ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಛೇದಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಕೇವಿಯಟ್ಸ್ ಪಾಸ್ಚ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪಾಸ್ಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ರಮದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಪಾಸ್ಚ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪಾಸ್ಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಅನೇಕ ನಿದರ್ಶನಗಳಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆ. ಪಾಸ್ಚ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವೆಬ್ಲೆನ್-ಯಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದುಃ ವೆಬ್ಲೆನ್-ಯಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಛೇದಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖವಿಲ್ಲ, ಇದು ರೇಖೆಗಳ ಭೇಟಿಯ ಘಟನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು (ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅಗತ್ಯ) ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳು ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಡಿಪಾಯಗಳು