Time-evolving block decimation
ಟೈಮ್-ಎವಲ್ವಿಂಗ್ ಬ್ಲಾಕ್ ಡೆಸಿಮೇಷನ್ (ಟಿಇಬಿಡಿ) ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಬಹು-ದೇಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಹತ್ತಿರದ-ನೆರೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದನ್ನು ಟೈಮ್-ಎವಲ್ವಿಂಗ್ ಬ್ಲಾಕ್ ಡೆಸಿಮೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮೂಲ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ, ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಬಹು-ದೇಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗವು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಚಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಬಹು-ದೇಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಅಂತರ್ಗತ ತೊಂದರೆಗಳು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಘಾತೀಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಲಾಭ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಬಹು-ದೇಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಬಳಸುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಕಚ್ಚಾ ವಿಧಾನವು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಮಾಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಅದ್ದೂರಿಯಾಗಿ ಘಾತೀಯ ರಚನೆಯಿಂದ ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಅಡ್ಡಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿ ದೀರ್ಘವಾದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಮೆಮೊರಿಯ ವಿಸ್ತೃತ ಬಳಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಕ್ರಮೇಣ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಯಶಸ್ವಿ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನ (ಕ್ಯೂಎಂಸಿ). ಕ್ಯೂಎಂಸಿ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೀನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಗ್ರೂಪ್ (ಡಿಎಂಆರ್ಜಿ) ವಿಧಾನವು ಬಳಕೆದಾರರ ಸಮುದಾಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಇನ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ, ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳು ಆಶಾದಾಯಕವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಆ ದಿನದವರೆಗೆ ಒಬ್ಬರು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ನೀಡುವ ಪ್ರಾಪಂಚಿಕ ಸಾಧನಗಳಿಗೆ ತಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮೊದಲ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗಣಕಯಂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿರುವಾಗ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಕ್ಯೂಐಟಿ) ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿಜವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗಾಗಿ ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಕಯಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಲ್ಲಿ ಬಹಳ ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಹುಡುಕಾಟವು ಇನ್ನೂ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಶೋರ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಮತ್ತು ಗ್ರೋವರ್ನ ಸರ್ಚ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವು (ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಕಂಡುಬರುವವುಗಳು ಮಾತ್ರ). ಕ್ಯೂಐಟಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗಣನೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಪನ್ಮೂಲವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವರ್ಸಸ್ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ನಲ್ಲಿ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಂಜಸವಾದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಕರಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಅಂತಹ ಸಂಪನ್ಮೂಲವೆಂದರೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಗೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆಗ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಇನ್ಫರ್ಮೇಷನ್, ಕ್ಯಾಲ್ಟೆಕ್ನಲ್ಲಿದ್ದ ಗೈಫ್ರೆ ವಿಡಾಲ್ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. "ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗಣನೆಯನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಕಯಂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಅನುಕರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಅವರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನರು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಬ್ಬಾರ್ಡ್ನಂತಹ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನರು. ಈ ವಿಧಾನವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗಣನೆಯ ಸಮಯದ ಹೆಚ್ಚಳದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ-ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ವಿಭಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಂದ ಮರು-ಗಾತ್ರದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಕಯಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸಹ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ (ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಹ) ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳು ಕೇವಲ ಲಘುವಾಗಿ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ-ಬಲವಾಗಿ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡವುಗಳು, ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಿಜವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತಮ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ನೈಜ-ಸಮಯದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕ-ಸಮಯದ ವಿಕಸನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುರಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ನಡುವಿನ ಐಸೆಂಟ್ರೋಪಿಕ್ ಅಂತರ್ವೇಶನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಗಣನೆಯ ಸಮಯವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅಳೆಯುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 1ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಟಿಇಬಿಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಾರಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನದಿಂದ ದೂರವಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ತಂಪಾದ ಪರಮಾಣುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನರ ಸಮಯ ವಿಕಾಸದ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಟಿಇಬಿಡಿ ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ತಂತ್ರವಾದ ಡಿಎಂಆರ್ಜಿಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಆದರೆ ಇತ್ತೀಚಿನವರೆಗೂ ಸಮಯ-ವಿಕಸನಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ ರಾಜ್ಯಗಳ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯು ಡಿಎಂಆರ್ಜಿಯ ಗಣಿತದ ಹೃದಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಟಿಇಬಿಡಿ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಡಿಎಂಆರ್ಜಿ ಸಮುದಾಯವು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಹೀಗಾಗಿ ಸಮಯ ಅವಲಂಬಿತ ಡಿಎಂಆರ್ಜಿ, ಟಿ-ಡಿಎಂಆರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇತರ ಗುಂಪುಗಳು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿಯು ಪ್ರಧಾನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಡಿಎಂಆರ್ಜಿ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಜಾಲರಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಿಶ್ರ-ಸ್ಥಿತಿಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು. ಆ ಕೊನೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೂಲ ಟಿಇಬಿಡಿ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿರ್ವಾಹಕರೊಂದಿಗೆ ವಿಕಸನಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಸಹ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ; ಇದು ಟಿಇಬಿಡಿ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅನಂತ ವಿಕಸನಗಳ ಅನುಕರಣೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಘಟಕಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಭಜನೆಯು ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಎನ್ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವಿವರಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸ್ಥಳೀಯ-ಆಯಾಮದ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ಇಲ್ಲಿ M ಎಂಬುದು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು ಟಿಇಬಿಡಿಯ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ರೂಪವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹುದು, ಇದು ಸೀಮಿತ ತೊಡಕು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಿಭಜನೆಯು ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ರೀತಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಅವು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇವು ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ರಾಜ್ಯದ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಿಭಜನೆ (ಎಸ್. ಡಿ.) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕಲನವು ವರೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ವಿಭಜನೆಯ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್. ಡಿ. ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು-ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಸ್ಥಿತಿಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಸ್. ಡಿ. ಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸ್ಥಿತಿಃ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಃ ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ತಿಳಿದಿದೆ (ಅದನ್ನು ಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ). ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಸ್. ಡಿ. ಯು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ s ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಂಧಕ್ಕೆ (ಮತ್ತು, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, SD) ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ ಹಂತ 1: ಕ್ಯೂಬಿಟ್ 2 ಗಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ s ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿಃ ವಾಹಕಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಂತ 2: ಪ್ರತಿ ವಾಹಕವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ (ವಿಡಾಲ್ನ ಒತ್ತು) ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿಃ ಹಂತ 3: ಬದಲಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿಃ 1 ರಿಂದ 3 ಹಂತಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಬಂಧದಲ್ಲಿ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಡಿ ಯಿಂದ, ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಸರಳವಾಗಿಃ ಮತ್ತು ರೇಷನಲ್ ಈಗ, ಡಿ ಅನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ಆರಂಭಿಕ ಪದಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಇವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಒಂದು ಅಲಂಕಾರಿಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದು ಇದೆ. ಎನ್ ಸಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಸರಪಳಿಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಕಟ್ಗೆ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕನಿಷ್ಠ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಕೇವಲ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಆರಂಭಿಕಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು! ಸತ್ಯವೆಂದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ವಿಭಜನೆ ಡಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಅನೇಕ 1ಡಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಘಾತೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಳೆಯುತ್ತವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು (ಅವುಗಳೆಂದರೆ ದೊಡ್ಡವು) ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇತರವುಗಳನ್ನು ಕೈಬಿಟ್ಟು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆಃ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಅಮೂರ್ತ ಚಿತ್ರಣದಿಂದ ದೂರವಿರೋಣ ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಒಂದು ದೃಢವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಳತೆಗಾಗಿ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ 50 ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. 12 ರ ಆಯಾಮವು ಒಂದು ಸಮಂಜಸವಾದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟು ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಅಂದರೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ. ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಈ ಘಾತೀಯ ಕ್ಷಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಅವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ನಮ್ಮ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಡಿ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಿಷ್ಠಾವಂತ ವಿವರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಪಕ್ಕದ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಒನ್-ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಗೇಟ್ಸ್ (ಒಕ್ಯೂಜಿ) ಮತ್ತು ಟೂ-ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಗೇಟ್ಸ್ (ಟಿಕ್ಯೂಜಿ) ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಡಿ ಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಲು ಒಬ್ಬರು ಈಗ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವ ಬದಲು, ನಾವು ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಗಣನೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಕ್ಯೂಜಿಗಳು ಅವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತವೆ, ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ನ ನಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯ ನವೀಕರಣವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ 'ಗಳು, ಅಥವಾ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ' ಗಳು. ನವೀಕರಿಸಲಾಗುವ ಏಕೈಕ 'ಗಳು' ಗಳು (ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ), ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳು ಕೆ, ಕೆ + 1 ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎರಡು-ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಗೇಟ್ಗಳು 'ಗಳು ಮತ್ತು' ಗಳನ್ನು ನವೀಕರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಬದಲಾವಣೆಗಳು, ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳು ಕೆ, ಕೆ + 1 ಮೇಲೆ ಏಕೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಕಾಳಜಿ ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು. ಅವು ಹಲವಾರು ಮೂಲಭೂತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ವಿಡಾಲ್ನ ಮೂಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದುಃ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಜೆ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಕೆ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳು ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆ + 1 ಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಈ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ ಡಿ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ OQG ಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, TQG V ಅನ್ನು ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳು k, k + 1 ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ನವೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಹೊಸ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಬಂಧ k ನಲ್ಲಿರುವ ಹೊಸವುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ವಿಭಜನೆ D ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಮತ್ತು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು ಹೊಸವುಗಳಾಗಿವೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದುಃ 'ಗಳನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಡಗೈಯ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ನಂತರ,' ಗಳುಃ ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚ ಡಿ ಯಲ್ಲಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಆಯಾಮವು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ; ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಅದು ಸಂಕಲನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಶಗಳ ರಚನೆಗೆ, ಅಥವಾ ಎಡಗೈ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ, ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಪಾತ್ರವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸ್ತುತವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆನ್-ಸೈಟ್ ಆಯಾಮವು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಾಗ ಅದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನರನ್ನು (ಪ್ರಾಯಶಃ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ) ಗುರಿಯಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಒಕ್ಯೂಜಿಗಳು ಮತ್ತು ಟಿಕ್ಯುಜಿಗಳಿಂದ ಕೂಡಿವೆಃ ಎರಡು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು-ದೇಹದ ಪದಗಳು ಸಂಚರಿಸುತ್ತವೆಃ, ಇದನ್ನು ಮಾಸುವೊ ಸುಜುಕಿ ಮತ್ತು ಹೇಲ್ ಟ್ರಾಟರ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಘಾತೀಯ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸುಜುಕಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು (ಎಸ್ಟಿ) ಮಾಡಲು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸುಜುಕಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ (ಎಸ್ಟಿ1) ಸುಜುಕಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಘಾತೀಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ (ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಂತಲ್ಲದೆ), ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಟ್ರಾಟರ್-ಸುಜುಕಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಬರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಸ್ಟಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಏಕತ್ವವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದೋಷವು ಒಟ್ಟಾರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ನಮಗೆ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಂಬಿಗಸ್ತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎಸ್. ಟಿ. ಯು ಫೇಸ್-ಸ್ಪೇಸ್ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್. ಟಿ. 2 ನ ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುವುದುಃ ಎಲ್ಲಿ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಟ್ರಾಟರ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಯ-ವಿಕಾಸದ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸುಲಭ, ಏಕೆಂದರೆಃ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನಿರ್ವಾಹಕರು, (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ,,) ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಯಾಣ ಮತ್ತು ಎಸ್ಟಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ "ಸಮಯ-ಹಂತ" ದ ಪ್ರಕಾರ ಸಮಯ-ವಿಕಸನವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ತಾಣಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಮ ತಾಣಗಳಿಗೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಬೆಸ ತಾಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಮೂಲತಃ ಟಿಕ್ಯುಜಿಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನವೀಕರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎನ್-ಕಣ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟಿ ಸಮಯಕ್ಕೆ, ರಾಜ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮಯ ವಿಕಸನವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ನಮ್ಮ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ n-ಕಣದ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಬಂಧದಲ್ಲಿ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು, ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ನೆನಪಿಡಿ, ಇದು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಉದಾರವಾದ ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಬ್ಬರು ಅನುಕರಿಸಬೇಕಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಮ್ಮ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ತಾಳ್ಮೆಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಬದಲಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದುಃ i) ಸರಳವಾದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಕೆಲವು ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ii) ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಳೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ Q (ಉದಾಹರಣೆಗೆ TQGಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು) iii) ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ-ಸಮಯದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಮಾಡಿ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರಃ ಅಥವಾ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಐಸೆಂಟ್ರೋಪಿಕ್ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಅನುಕರಿಸಿ, ಇದು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ನಡುವೆ ಅಂತರ್ವೇಶನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅದರ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್; ವಿಕಾಸವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ, ಅದಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. iv) ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯದ ಸಮಯ-ವಿಕಸನವನ್ನು ಮಾಡಿಃ ದೋಷ ಮೂಲಗಳು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳು ಸುಜುಕಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಸುಜುಕಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಬರುವ ದೋಷಗಳು ಆರ್ಡರ್ನ ಟ್ರಾಟರ್ ಅಂದಾಜಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದೋಷವು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಹಂತಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಟಿ ಸಮಯದ ನಂತರದ ದೋಷವೆಂದರೆಃ ಅಂದಾಜು ಮಾಡದ ಸ್ಥಿತಿಃ ಟ್ರಾಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ನಂತರ ರಾಜ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ದೋಷವು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯುತ್ತದೆಃ ಟ್ರಾಟರ್ ದೋಷವು ಸರಪಳಿಯ ಆಯಾಮದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಬರುವ ದೋಷಗಳು ವಿಭಜನೆ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ದೋಷಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅವು ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲೆ ನೋಡಿದಂತೆ, ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವರ್ಣಪಟಲಕ್ಕೆ ಸಣ್ಣ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಂಬಿಗಸ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆಃ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಇಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಚಿಕ್ಕ, ಅಪ್ರಸ್ತುತ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಈಗ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿವೆ. ಟ್ರಾಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದೇ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರದ ದೋಷವೆಂದರೆಃ ಮುಂದಿನ ಬಂಧಕ್ಕೆ ಹೋದ ನಂತರ, ಸ್ಥಿತಿಯು ಇದೇ ರೀತಿ ಇರುತ್ತದೆಃ ಎರಡನೇ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ದೋಷವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ನಾವು ಬಂಧದಿಂದ ಬಂಧಕ್ಕೆ ಹೋಗುವಾಗ. ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಎರಡನೇ ದೋಷ ಮೂಲವು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಂತೆ, ಬಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವೆಂದರೆಃ ಈಗ ನಾವು ಬಾಂಡ್ಗೆ ಹೋಗೋಣ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ; ಪೂರ್ಣ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆಃ, ಎಲ್ಲಿ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಜಾಗವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಜಾಡಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಒಟ್ಟು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷ ಒಟ್ಟು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವು, ಎರಡೂ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆಃ ಟ್ರಾಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನಾವು ಬಂಧದಿಂದ ಬಂಧಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯ ಬಂಧಗಳ ನಡುವೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಸ್ಟಿ 2 ಗೆ, ನಾವು ಬೆಸಕ್ಕೆ ಸಮ ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಸ್ವೀಪ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಇನ್ನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನಾವು ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ದೋಷವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಅಡಾಪ್ಟಿವ್" ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಯಾಮವು ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸಬಲ್ಲ ಒಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಒಂದು ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಬಂಧಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಎಂದಿನಂತೆ ಅಗತ್ಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಬಂಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಮಿತ್ ಆಯಾಮವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಬಂಧದಲ್ಲಿ, ನಿರರ್ಥಕವಾಗಿ ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸುವ ಬದಲು, 10 ರಿಂದ 10 ಅಥವಾ 20 ರಿಂದ 20 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೇಳೋಣ, ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ 2 ರಿಂದ 2 ಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಹೀಗಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಏನು ಮಾಡಬಹುದೆಂದರೆ, ಎಸ್. ಡಿ. ಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವುದು, ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದವುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಸುಜುಕಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘಾತೀಯ ಸಮಯ-ವಿಕಸನ ಆಪರೇಟರ್ನ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದಿಂದಾಗಿ ಟಿಇಬಿಡಿ ನೇರವಾದ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ-ಟಿಇಬಿಡಿ ಅದರ ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ಪ್ರತಿರೂಪದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ