Jacobi rotation
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಒಂದು n-ಆಯಾಮದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಜಾಗದ 2-ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು n × n ನೈಜ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಆಫ್-ಡಯಾಗ್ನಲ್ ನಮೂದುಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, A, ಹೋಲಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗಃ ಇದು ಜಾಕೋಬಿ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಕೇವಲ ಕೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಎ ಯ ಕೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಕ್ಯೂಕೆಎಲ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ; ಬದಲಿಗೆ, ಸಹಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎ ಅನ್ನು ದಕ್ಷ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉಲ್ಲೇಖಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಕ್ಯೂಕೆಎಲ್ ನಾಲ್ಕು ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಒಂದು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಎರಡು ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ (ಕ್ಯೂಕೆಕೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಎಲ್ಎಲ್, ಎರಡೂ ಸಿ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಕರ್ಣದಿಂದ (ಕ್ಯೂಕೆಎಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಎಲ್ಕೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಸ್ ಮತ್ತು-ಎಸ್ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕೋನ θ ಗೆ c = cos θ ಮತ್ತು s = sin θ; ಆದರೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಕೋನವು ಸ್ವತಃ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ h ಎಂಬುದು k ಅಥವಾ l ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಇದು ಸ್ವತಃ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು). ನಂತರ ಹೋಲಿಕೆಯ ನವೀಕರಣವು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಗಣನೆ ನವೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಆಫ್-ಡಯಾಗ್ನಲ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಇದು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ β ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿಃ akl ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ನವೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡದೆ ನಿಲ್ಲಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎಂದಿಗೂ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ. t ತಾನ್ θ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ಇದರಿಂದ ನಾವು c ಮತ್ತು s ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ನಾವು ಈಗ ಈ ಹಿಂದೆ ನೀಡಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ನವೀಕರಣ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದಾದರೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ. ಲೆಟ್ಃ ಆದ್ದರಿಂದ ρ = ಟ್ಯಾನ್ (θ/2). ನಂತರ ಪರಿಷ್ಕೃತ ನವೀಕರಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಈ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ನಾವು ತಿರುಗುವ ಕೋನ θ ಅನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು k, l, ಮತ್ತು t ಎಂಬ ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ Qkl ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ನವೀಕರಣವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು, ಶೂನ್ಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ t ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಗಿವೆನ್ಸ್ ರೊಟೇಶನ್ ಹೌಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫರ್ಮೇಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.