Banach's matchbox problem
ಬನಾಚ್ನ ಪಂದ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸ್ಟೀಫನ್ ಬನಾಚ್ಗೆ ಕಾರಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹ್ಯೂಗೋ ಸ್ಟೀನ್ಹೌಸ್ ಅವರನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ಭಾಷಣದಲ್ಲಿ ಬನಾಚ್ ಅವರ ಧೂಮಪಾನದ ಅಭ್ಯಾಸದ ಬಗ್ಗೆ ಹಾಸ್ಯಮಯ ಉಲ್ಲೇಖದಿಂದ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದೆ ಎಂದು ಫೆಲ್ಲರ್ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ್ದು ಅಥವಾ ಉತ್ತರವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ್ದು ಬನಾಚ್ ಅಲ್ಲ. ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಎರಡು ಬೆಂಕಿಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಒಯ್ಯುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಒಂದು ಅವನ ಎಡ ಜೇಬಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅವನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಅವನಿಗೆ ಪಂದ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ, ಅವನು ಅದನ್ನು ಎರಡೂ ಜೇಬಿನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಅವನು ತನ್ನ ಜೇಬನ್ನು ತಲುಪುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮ್ಯಾಚ್ಬಾಕ್ಸ್ಗಳು ಮೂಲತಃ ಮ್ಯಾಚ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಮ್ಯಾಚ್ಗಳು ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ ವಿಥೌಟ್ ಲಾಸ್ ಆಫ್ ಜನರಲಿಟಿಯನ್ನು ಅವನ ಬಲ ಪಾಕೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಬೆಂಕಿಪಟ್ಟಿಯು ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮ್ಯಾಚ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗವು ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವುದು ಕಂಡುಬರುವ ಮೊದಲು ಇದರಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಮ್ಯಾಚ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಎಡ ಪಾಕೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವುದು ಕಂಡುಬಂದಾಗ, ಆ ವ್ಯಕ್ತಿ ಆ ಪಾಕೆಟ್ ಸಮಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದಾನೆ. ನಂತರ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿನ ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಹಿಂದಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದಾಗ, ಎಡ ಪಾಕೆಟ್ ಮೊದಲು ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವುದು ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಪಾಕೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಪಂದ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಿಸುಮಾರು. (ಇದನ್ನು ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ನ ಅಂದಾಜು ಬಳಸಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.) ಆದ್ದರಿಂದ ಪಂದ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಎರಡನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪಂದ್ಯಗಳು. ಸ್ಟೀಫನ್ ಬನಾಚ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಹೆಸರಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜಾವಾ ಆಪ್ಲೆಟ್ ಅನ್ವಯಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು