Herbrandization
ತಾರ್ಕಿಕ ಸೂತ್ರದ ಹೆರ್ಬ್ರಾಂಡೈಸೇಶನ್ (ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಹೆರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ) ಒಂದು ಸೂತ್ರದ ಸ್ಕೊಲೆಮೈಸೇಶನ್ಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾದ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಥೋರಾಲ್ಫ್ ಸ್ಕೋಲೆಮ್ ಅವರು ಸೂತ್ರಗಳ ಸ್ಕೋಲೆಮೈಸೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಿನೆಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಲೋವೆನ್ಹೀಮ್-ಸ್ಕೋಲೆಮ್ ಪ್ರಮೇಯದ (ಸ್ಕೋಲೆಮ್ 1920) ಪುರಾವೆಯ ಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು. ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ 1930) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಹರ್ಬ್ರಾಂಡೈಸೇಷನ್ನ ಈ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿತು, ಇದು ಪ್ರೆನೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸೂತ್ರವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸ್ಕೊಲೆಮೈಸೇಷನ್ನಂತೆ, ಇದು ತೃಪ್ತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಸ್ಕೊಲೆಮೈಸೇಷನ್ನ ದ್ವಿಗುಣವಾದ ಹೆರ್ಬ್ರಾಂಡೈಸೇಶನ್ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆಃ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬೌಂಡ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೀ ಎರಡೂ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. (ಅಂದರೆ, ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಾನ ಸೂತ್ರವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು). ಹೆರ್ಬ್ರಾಂಡೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲು, ಯಾವುದೇ ಮುಕ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, (1) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿದ ಮತ್ತು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಾಕರಣೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಳಗೆ, ಅಥವಾ (2) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿದ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಾಕರಣೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಳಗಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಮಾಣಕಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಇನ್ನೂ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಬದಲಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಉಚಿತ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಿಲ್ಲ. ಅಸ್ಥಿರಗಳು ನಾವು ಎರಡನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ (ಯಾವುದೇ ಇತರ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ), ಮತ್ತು ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಸೂತ್ರದ ಸ್ಕೊಲೆಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುತ್ತೇವೆ (1) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಡ್ ಮತ್ತು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಾಕರಣೆಗಳೊಳಗೆ, ಅಥವಾ (2) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಡ್ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಾಕರಣೆಗಳೊಳಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದನ್ನೇ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ಸ್ಕೋಲೆಮೈಸೇಶನ್ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಈ ರಚನೆಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಲೋವೆನ್ಹೀಮ್-ಸ್ಕೋಲೆಮ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಲಾಜಿಕ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಸ್ಕೊಲೆಮ್, ಟಿ. "ಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಿಕೆ ಅಥವಾ ದೃಢೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಲಾಜಿಕೋ-ಸಂಯೋಜಿತ ತನಿಖೆಗಳುಃ ಎಲ್. ಲೋವೆನ್ಹೀಮ್ ಅವರಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳೀಕೃತ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು". (ವಾನ್ ಹೈಜೆನೂರ್ಟ್ 1967ರಲ್ಲಿ, 252-63.) ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್, ಜೆ. "ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ತನಿಖೆಗಳುಃ ನಿಜವಾದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು". (ವಾನ್ ಹೈಜೆನೂರ್ಟ್ 1967ರಲ್ಲಿ, 525-81.) ವ್ಯಾನ್ ಹೈಜೆನೂರ್ಟ್, ಜೆ. ಫ್ರಮ್ ಫ್ರೆಜ್ ಟು ಗೊಡೆಲ್ಃ ಎ ಸೋರ್ಸ್ ಬುಕ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್, 1879-1931. ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1967. ತರ್ಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು (ತರ್ಕ)