Sz.-Nagy's dilation theorem
Sz.-Nagy ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು (ಬೆಲಾ ಸ್ಜೋಕ್ಫಾಲ್ವಿ-ನ್ಯಾಗಿ ಅವರಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ) ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಕೋಚನವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಏಕೀಕೃತ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, K ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದಾಗ ಅಂತಹ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಏಕಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ), ಅಂದರೆ Kಯ ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು Kಯಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕನಿಷ್ಠತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಇದ್ದಾಗ, Uಯನ್ನು Tಯ ಕನಿಷ್ಠ ಏಕಾತ್ಮಕ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. T (ಅಂದರೆ, () ಸಂಕೋಚನಕ್ಕೆ, ಅದರ ದೋಷ ನಿರ್ವಾಹಕ DTಯನ್ನು (ಅನನ್ಯ) ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗಮೂಲ DT = (I-T * T) 1⁄2 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ S ಒಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ, DS * ಒಂದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು DS = 0, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನವು Sz ಆಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಹುಪದೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ S ನ ನ್ಯಾಗಿ ಏಕಾತ್ಮಕ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಃ ಸಂಕೋಚನ T ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದಾಗ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ H ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಕೋಚನ T ಯು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ, S ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ S ಗೆ ಹಿಂದಿನ Sz.-Nagy ಏಕಾತ್ಮಕ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಂಕೋಚನ T ಗೆ ಏಕಾತ್ಮಕ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆಃ ಸ್ಕ್ಯಾಫರ್ ರೂಪ ಏಕಾತ್ಮಕ Sz ನ ಸ್ಕ್ಯಾಫರ್ ರೂಪ. ನ್ಯಾಗಿ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಕೋಚನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಏಕೀಕೃತ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಬರ್ಗರ್, ಫೋಯಾಸ್ ಮತ್ತು ಲೆಬೊ ಅವರ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು, X ಎಂಬುದು T ಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, T ಮೇಲಿನ ರೂಪದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ δX ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೆಟ್ X ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಆಪರೇಟರ್ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ δX ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು Sz.-Nagy ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು, ಸಂಕೋಚನ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ D ಅನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ δD ಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಏಕೀಕೃತರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ನಿರ್ವಾಹಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು