Divergent geometric series
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ರೂಪದ ಅನಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯು | r | ≤1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳ ಸಂಕಲನದ ವಿಧಾನಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕರಣದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒಪ್ಪುವ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಇದು ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ, ರೇಖೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಕಷ್ಟದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಃ 1−1 + 1−1 + ···, ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು −11−2 + 4−8 + ··· ಆಗಿದೆ, ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು −21 + 2 + 4 + 8 + ··· ಆಗಿದೆ, ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು 211 + 1 + 1 + ··· ಆಗಿದೆ, ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು 1 ಆಗಿದೆ. ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಪ್ರೇರಣೆ ಯಾವ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಗಳು ಯಾವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾಹಿತಿಯ ಒಂದು ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಬೋರೆಲ್-ಒಕಾಡಾ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಉಪಗುಂಪು ಎಸ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಝಡ್ಗಳಿಗೆ ನಿಯಮಿತ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನವು ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಈ ವಿಧಾನವು ಎಫ್ಗಾಗಿ ಮಿಟ್ಟಾಗ್-ಲೆಫ್ಲರ್ ನಕ್ಷತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಎಸ್ನ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರದೇಶದ ಸಾರಾಂಶವು ಓಪನ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕಲನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುತ್ತದೆ |z | <1. ಮುಚ್ಚಿದ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಸೆಸೇರೊ ಸಂಕಲನ ಆಬೆಲ್ ಸಂಕಲನ ದೊಡ್ಡ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು ಯೂಲರ್ ಸಂಕಲನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಟ್ಟನ್ನು ಈ ಸರಣಿಯು ನೈಜ ಭಾಗ <1 ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ z ಗೆ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಕಲನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ a ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದಿಂದ (E, a) ಕೂಡ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದು. ನೆರಳಿನ ಸಮತಲವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಕೆಲವು ಕ್ಷಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ವಿಧಾನಗಳು 1/(1−z) ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಿಟ್ಟಾಗ್-ಲೆಫ್ಲರ್ ನಕ್ಷತ್ರದ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, z−1 ಕಿರಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ z ಗೆ. ಎಲ್ಲೆಡೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಗಳು