Balanced module
ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಂನ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್-ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಎಂನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬಲ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಸಮತೋಲಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಡಬಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಜರ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ). ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಡಿಟಿವ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ f ಗೆ, ಪ್ರತಿ R ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ g ಗೆ fg = gf ಆಗಿದ್ದರೆ, R ನಲ್ಲಿ ಒಂದು r ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ m ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ f (x) = xr. ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವವರ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮತೋಲಿತ ಘಟಕವು ಡಬಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಂನ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಎಂ ಗುಂಪಿನ ಏಕೈಕ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ರಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಬಲ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಮತೋಲಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತೋಲನವು ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಎಡ-ಬಲ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು "ಎಡ" ಅಥವಾ "ಬಲ" ಎಂದು ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಜೋಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಮತೋಲಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಉಂಗುರಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಿ. ಜೆ. ಅವರ ಕ್ಯೂ. ಎಫ್-1 ಉಂಗುರಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ. ನೆಸ್ಬಿಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್. ಎಮ್. ಥ್ರಾಲ್. ಈ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ವಿ. ಪಿ. ಕ್ಯಾಮಿಲ್ಲೊ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ನಂತರ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು. ಈ ಲೇಖನವು ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿಶಾಲವಾದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಕೆ. ಮೊರಿಟಾ ಮತ್ತು ಎಚ್. ತಚಿಕಾವಾ ಸಹ ಪ್ರಕಟಿತ ಮತ್ತು ಅಪ್ರಕಟಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಸಮತೋಲಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಉಂಗುರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವ ಲೇಖಕರ ಭಾಗಶಃ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅರೆ-ಸರಳ ಉಂಗುರಗಳು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿವೆ. ಸರಳವಾದ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಸಮತೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಫ್ರೊಬೀನಿಯಸ್ ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಘಟಕವು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಲ ಆರ್ಟೀನಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳ ಡಬಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಸರಳ ಬಲ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕಾಗದವು ಅಸಮತೋಲಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಹಲವಾರು ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಏಕಾಂಗಿ ಉಂಗುರಗಳು ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಇದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಮತೋಲಿತ ಉಂಗುರವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪರಿವರ್ತಕ ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮತೋಲಿತ ಉಂಗುರಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಅರೆ-ಫ್ರೊಬೀನಿಯಸ್ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿರುವುದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ವರ್ಗೀಕರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಮೊರಿಟಾ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಫ್ (-) ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಎಸ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮೊರಿಟಾ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಂ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ (ಎಂ) ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತೋಲಿತ ಉಂಗುರಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುವಿನ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಸಮತೋಲಿತ ಉಂಗುರವಾಗಿರುವ ಗುಣವು ಮೊರಿಟಾ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣವಾಗಿದೆ. ಯಾವ ಉಂಗುರಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನಿಖರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಸಮತೋಲನಗೊಳಿಸಿವೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಅನ್ನು ಸಮತೋಲನಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ