Hyperfunction
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಒಂದು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬೌಂಡರಿಗೆ 'ಜಂಪ್' ಆಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಅನಂತ ಕ್ರಮದ ವಿತರಣೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಲಾರೆಂಟ್ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್, ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಮತ್ತು ಇತರರ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ 1958ರಲ್ಲಿ ಜಪಾನೀಸ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ (1959,1960ರಲ್ಲಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ) ಮಿಕಿಯೋ ಸಾಟೋ ಅವರು ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ವಾಸ್ತವಿಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಕಾರ್ಯದ ನಡುವಿನ 'ವ್ಯತ್ಯಾಸ' ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಜೋಡಿ (ಎಫ್, ಜಿ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜಿ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದರೆ ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿಯೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುತ್ತದೆ. f ಮತ್ತು g ಎರಡಕ್ಕೂ ಒಂದೇ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಡೀ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ h ಒಂದು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು (f, g) ಮತ್ತು (f + h, g + h) ಸಮಾನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಶೀಫ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರೇರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ನಿಜವಾದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವಾಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ಕೋಶದ ಝೀರೋತ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪು ಸರಳವಾಗಿ ಆ ಕೋಶದ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂಬುದು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಇರುವ ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ "ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು" ಎಂದು ಯೋಚಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರಣವನ್ನು ನೀಡುವ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ f ಯಾವುದೇ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೈಜ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ f ನ ನಿರ್ಬಂಧವು ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು (f, 0) ಅಥವಾ (0, −f) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆವಿಸೈಡ್ ಹಂತದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲಾಗರಿದಮ್ನ ಪ್ರಧಾನ ಮೌಲ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ "ಕಾರ್ಯ" ವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಸ್ವಲ್ಪ ಕೆಳಗೆ f ನ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ g ನ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಕಳೆಯಬಹುದು. ಘಟಕಗಳು ಅದೇ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೆವಿಸೈಡ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. g ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ) ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿರುವ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ, g ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ (f, −f) ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ f ಎಂಬುದು I ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪೂರಕದ ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. f ನ ಸೂತ್ರವು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ g ಅನ್ನು ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಃ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎಂದು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕತೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ವಿತರಣೆ) ಸಾಂದ್ರವಾದ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ (ವಿತರಣೆಗಳು) ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಎಫ್ ಎಂಬುದು 0 (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇ1/ಝಡ್) ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು 0 ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವ ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ವಿತರಣೆಯಲ್ಲ. ಎಫ್ 0 ರಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಫ್ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ 0 ರಲ್ಲಿ "ಅನಂತ ಕ್ರಮದ ವಿತರಣೆ" ಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. (ವಿತರಣೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ನಿರ್ಬಂಧದ ನಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದು ಕವಚವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ (ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ತೆಳ್ಳಗಿರುತ್ತದೆ). ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. ಬೈಲೀನಿಯರ್ ರೂಪದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಇದು ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಕರಣವು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಒಬ್ಬರು (ಅಥವಾ) ಮೇಲಿನ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಲೆಬ್ಸ್ಗು-ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆಃ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ನಿಜವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕೀಕರಣದ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗದಂತಹ ಔಪಚಾರಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆಃ ನಿಜವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ದಟ್ಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅದೇ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಪರ್ಯಾಯ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ. ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಜವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆಃ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯ ವಿತರಣೆ (ಗಣಿತ) ಮೈಕ್ರೋಲೋಕಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸೂಡೋ-ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಶೀಫ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. - ಇದನ್ನು ಎಸ್ಕೆಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. .. .. .. .. .. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಶೀಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ