Artin–Verdier duality
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಟಿನ್-ವರ್ಡಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು, ಟೇಟ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಂಗುರದ ವರ್ಣಪಟಲದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಕೋಶಗಳ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಎಟೇಲ್ (ಅಥವಾ ಫ್ಲಾಟ್) ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು 3-ಆಯಾಮದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಿನಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ Kಯಲ್ಲಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ವರ್ಣಪಟಲವು X ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು Xಯ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ಎಟೇಲ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಕೋಶವು F ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಯೋನೆಡಾ ಜೋಡಣೆಯು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ r ಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, Hr (X, F) ಎಂಬುದು F ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ X ಯೋಜನೆಯ r-th étale ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರ್ (F, G) ಎಂಬುದು X ನಲ್ಲಿನ étale ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸೀವ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ étale ಶೀಫ್ F ನಿಂದ étale ಶೀಫ್ G ಯ r-ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಜಿಎಂ ಎಕ್ಸ್ನ ರಚನೆಯ ಕೋಶದಲ್ಲಿನ ಘಟಕಗಳ ಎಟೇಲ್ ಕೋಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರಚನಾತ್ಮಕವಾದ ಆರ್ಟಿನ್-ವರ್ಡಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ತಿರುಚು ಕೋಶಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಶೀಫ್ ಎಫ್ಗೆ, ಮೇಲಿನ ಜೋಡಣೆಯು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಫೈನೈಟ್ ಫ್ಲಾಟ್ ಗ್ರೂಪ್ ಯೋಜನೆಗಳು ಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಕೆ ನಲ್ಲಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ವರ್ಣಪಟಲದ ಓಪನ್ ಸಬ್ಶೀಮ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಯು ಮೇಲೆ ಫೈನೈಟ್ ಫ್ಲಾಟ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಕಪ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಫ್ಡಿ ಎಫ್ ನ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಯು ಮೇಲೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸೀಮಿತ ಫ್ಲಾಟ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಫ್ಲಾಟ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಶೀಫ್ ಎಫ್ ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಯು ಯೋಜನೆಯ ಆರ್-ನೇ ಫ್ಲಾಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಫ್ಲಾಟ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಶೀಫ್ ಎಫ್ ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಯು ನ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಆರ್-ನೇ ಫ್ಲಾಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಫ್ಲಾಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಡುಗೆಯಾದ ಹೆಚ್ಆರ್ (ಕೆವಿ, ಎಫ್) ಎಂಬುದು ಕೆ ಯ ಹೆನ್ಸಲೈಸೇಶನ್ ಕೆವಿ ಯ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಲಾ ಟೇಟ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದ್ವಂದ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಇದೆ.