Gauss's lemma (polynomials)
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗಾಸ್ನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಾಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ (ಅಂದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರ). ಗಾಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಬಹುಪದಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ (ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗಾಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಗಾಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಒಂದು ಉಪಸೂತ್ರವೆಂದರೆ, ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು" "ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ" ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಇದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲ ಅಥವಾ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಬಹುಪದೀಯ ವರ್ತುಲವು (ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟಗಳಲ್ಲಿ) ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಗಣನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದಗಳ ಮೇಲೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗಣನೆಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅಥವಾ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ) (ನೋಡಿ ಬಹುಪದೀಯ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರ). ಗಾಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಯಾವುದೇ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ (ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್) ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಬಹುಪದ ವಲಯವು ಸಹ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಯುನಿಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವಂತಹ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಅನ್ನು ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆದರೆ, ಪ್ರತಿ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಗಾಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ನ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಾಳಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ, ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ ಅಲ್ಲದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಆಗಿರುವ ಮತ್ತು ಈ ಹೊಸ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಅಲ್ಲದ ಬಹುಪದಗಳಿವೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಲೆಮ್ಮಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪುರಾವೆಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎರಡು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದಗಳ f (x) g (x) ಗುಣಾಕಾರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಪ್ರಾಚೀನವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಇರಬೇಕು. ಆದರೆ p ಯು f (x) ಅಥವಾ g (x) ಎರಡರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ). arxr ಎಂಬುದು f (x) ಅನ್ನು p ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು bsxs ಎಂಬುದು g (x) ಅನ್ನು p ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ xr + s ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕವು rb ಪದವು p ಯಿಂದ ಭಾಗಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ p ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ), ಆದರೂ ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು p ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು p ಯಿಂದ ಭಾಗಿಯಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. Z [X] ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಹುಪದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ Z (ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ) ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶವು ಇನ್ನೂ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಇದು ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ "ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ" ಅಗತ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನನ್ಯ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ವಿಷಯವನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯಂತೆ, ವಿಷಯವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಹಾಯಕ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ). ಯು. ಎಫ್. ಡಿ. ಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದವು, ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ ವಿಲೋಮ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಿಮಿಟಿವಿಟಿ ಸ್ಟೇಟ್ಮೆಂಟ್ಃ ಯು. ಎಫ್. ಡಿ. ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿನ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಷಯವು ಅವುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಷಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ ಸ್ಟೇಟ್ಮೆಂಟ್ಃ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಬಹುಪದವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. (ಪುರಾವೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ #General ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ.) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪವರ್ತನ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಬಹುಪದವು ಓವರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವರಿಗೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ-ಗುಣಾಂಕಗಳ gcd ಅನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು-ನಾವು ಕೆಲವು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಬ್ಬರು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದಾದಂತೆ, ಈ ಬಹುಪದವು ಒಂದು ಘಟಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಇದರ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾಗ (ಅಥವಾ ಪ್ರಾಚೀನ ಪ್ರತಿನಿಧಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನವು ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಯು. ಎಫ್. ಡಿ. ಯ ಮೇಲಿರುವ ಬಹುಪದ ವಲಯವು ಯು. ಎಫ್. ಡಿ. ಆಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ, ಯು. ಎಫ್. ಡಿ ಯು ಯು. ಎಫ್. ಡಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು. ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಹುಪದವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ (ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದಗಳಿವೆ. ಈಗ, ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳ gcd ಗಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ನಂತರಃ ಈಗ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಇದು UFD ಆಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ಗಳಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು) ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಇದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ (1) ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ಮೆಂಟ್ನಿಂದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು (2) ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದರ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಹ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಘಟಕ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪಘಟಕೀಕರಣವಾಗಿದೆ. "ಆರ್ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಡೊಮೇನ್" ಎಂಬ ಷರತ್ತು ಅನಗತ್ಯವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಈ ರಿಂಗ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶವೂ ಸಹ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಆರ್ ನ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಬಂಧದವರೆಗಿನ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರದ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ, ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸದ p ಮತ್ತು q ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರೈಮಿಟಿವಿಟಿ ಹೇಳಿಕೆಯ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ದೃಢವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ,,, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವು (ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿ ಸ್ಟೇಟ್ಮೆಂಟ್ನ ವೈಫಲ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ಆರ್ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ). ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಬಹುಪದ, ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಯೋಗವು ಅದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯು. ಎಫ್. ಡಿ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಂಗುರವನ್ನು ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು (ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಯು. ಎಫ್. ಡಿ. ಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಆರ್ ಈಗಾಗಲೇ ಸಮಗ್ರವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಇದು ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ಗಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಕಂಟೆಂಟ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮುಂದಿನ ಪ್ರಸ್ತಾಪವು ಹೆಚ್ಚು ಗಣನೀಯವಾದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಹುಪದವು ಯುನಿಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಯಾವಾಗ), ಇದು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. (ಆದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಯು. ಎಫ್. ಡಿ. ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ <ಐ. ಡಿ. 1> ನಲ್ಲಿರುವ ಆದಿಮತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.) ಪುರಾವೆಃ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸುಲಭಃ () ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ 1 ಎಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬರೆಯುವ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಬರೆಯುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಬಹುಪದಿಗಳಿಗೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಕೆಲವರಿಗೆ, ಬಹುಪದವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಣಾಂಕಗಳ gcd ಅನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನಾವು ಕೆಲವರಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈಗ, ಕೆಲವರಿಗೆ ಬಿಡಿ. ನಂತರ. ಇದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಅಂದರೆ, ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯು ಅದರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿಗೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. () ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಊಹೆಯಿಂದ ತಳ್ಳಿಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಪುರಾವೆಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ,. ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಐಡಿಯಲ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ. ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದೋ ಅಥವಾ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಛೇದನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಆಯ್ಕೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈಗ "ಮೇಲಾಗಿ" ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಗಳು ಎರಡೂ 1 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಮರ್ಥನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು; ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳ gcd ಗಳು ಎರಡೂ 1 ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪವರ್ತನ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಉಳಿದ ಪುರಾವೆಯು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಪಾರದರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ (ಮತ್ತು ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಪ್ರಕರಣದ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ನೋಡಿ). ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ; ನಂತರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಏಕಕೇತರ ಅಂಶವಿದೆ. ಆ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಆ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡೂ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್), ಬಹುಪದದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ., ಯುನಿಟ್ ಅಂಶಗಳವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅದರ ವಿಷಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಪ್ರತಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಡೊಮೇನ್ಗೆ, ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವು ಸಹ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ (ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗಾಗಿ #Statements ಅನ್ನು ನೋಡಿ) ಎಂದು ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳು (ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೀಕೃತ ಘಟಕಗಳು) ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಗಾಸ್ 'ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಡೊಮೇನ್) ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ಮೋನಿಕ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೂಲವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮೋನಿಕ್ ಬಹುಪದದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೂಲವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ (cf. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯ). ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡಲು, ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಕೆಲವರೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ನಂತರ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿದೆ (ಯು. ಎಫ್. ಡಿ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಇದು ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ GCD ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು. ಯು. ಎಫ್. ಡಿ. ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಆಗ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಹುಪದಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಲೆಮ್ಮಾಗಳು