Madhava's correction term
ಮಾಧವ ಅವರ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದವು ಕೇರಳ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಸ್ಥಾಪಕರಾದ ಸಂಗಮಗ್ರಾಮದ ಮಾಧವ (ಸುಮಾರು 1340-ಸುಮಾರು 1425) ಅವರ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಧವ-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅನಂತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಅಂದಾಜುಗಿಂತ ಗಣಿತದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ (ಪೈ) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ನೀಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಮಾಧವ-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಮಾಧವ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಮಾಧವನಿಗೆ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಕೇರಳ ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬರಹಗಳಲ್ಲಿ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಸೂಚನೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೂಚನೆಗಳಿಲ್ಲ. ಇದು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸಾಕಷ್ಟು ಊಹಾಪೋಹಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಕೇರಳದ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವಂತೆ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದಗಳು 1530ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಕೇರಳದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಶಾಲೆಯ ಭಾರತೀಯ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜ್ಯೇಷ್ಠದೇವ ರಚಿಸಿದ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಕುರಿತ ಪ್ರಮುಖ ಗ್ರಂಥವಾದ ಯುಕ್ತಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಆ ಪದವು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ವಾದದ ಒಂದು ಹಂತವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಕೇರಳದ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಪಂಥಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ/ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ನೀಲಕಂಠ ಸೋಮಯಾಜಿ ಬರೆದ ಮತ್ತು 1501ರಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ತಂತ್ರಸಂಗ್ರಹದ ಯುಕ್ತೀದೀಪಿಕ-ಲಘು ವಿವೃತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪದ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಅಧ್ಯಾಯ 2: ಶ್ಲೋಕ 271-274): ಪದ್ಯಗಳ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷಾಂತರಃ "ವ್ಯಾಸವನ್ನು 4ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಸವನ್ನು 4ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು 3,5, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಳೆಯಿರಿ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಆ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು, ವ್ಯಾಸದ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಮುಂದಿನ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು [ನಂತರ] ಆ [ಸಮ] ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿದ ಒಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು. ಕೊನೆಯ ಪದವನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಕಳೆಯಬೇಕು. ಇದು ಆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಸುತ್ತಳತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ". ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು (ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸ ಎಲ್ಲಿದೆ): ಸುತ್ತಳತೆ ನಾವು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೊನೆಯ ಪದವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪದ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದವನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ (ಅಧ್ಯಾಯ 2: ಶ್ಲೋಕಗಳು 295-296): ಪದ್ಯಗಳ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅನುವಾದಃ "ಮತ್ತೊಂದು ತಿದ್ದುಪಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ವಿಧಾನ. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, 3,5, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಸದ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು [ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ]. [ಆದರೆ] ನಂತರ ಅದನ್ನು [ವ್ಯಾಸದ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು] ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮುಂದಿನ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅರ್ಧ ಮತ್ತು ವರ್ಗವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಒಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಹಿಂದಿನ ಗುಣಕಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಸೇರಿಸಿ [ಇದರೊಂದಿಗೆ] ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ "ಗುಣಕ" ವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೊನೆಯ ಪದವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದಗಳ ನಿಖರತೆ ಲೆಟ್. ನಂತರ, ಬರೆಯುವಾಗ, ದೋಷಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಃ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಈ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಕೆಲವು ಆಯ್ದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಈ ದೋಷಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದಗಳಿಗೆ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊದಲ ಮೂರು ಒಮ್ಮುಖಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಅನಂತ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನಾಂಶದ ಮೊದಲ ಮೂರು ಒಮ್ಮುಖಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಾಧವದ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಹಯಶಿ ಮತ್ತು ಇತರರು ಊಹಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. 1990ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಜಪಾನಿನ ಮೂವರು ಸಂಶೋಧಕರ ಗುಂಪೊಂದು ಮಾಧವನು ಮೂರು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿರಬಹುದಾದ ಒಂದು ಜಾಣ್ಮೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿತು. ಅವರ ಪ್ರಸ್ತಾಪವು ಎರಡು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿತ್ತುಃ ಮಾಧವನು ಇದರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಿದನು ಮತ್ತು ಅವನು ವಿಭಾಗಕ್ಕಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದನು. ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಗಣಿಸುವುದು ಅವುಗಳನ್ನು 1 ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆಃ ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೊದಲ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊದಲು ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಂತರ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಅಂಶವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಛೇದಗಳಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎರಡು ಹಂತಗಳೆಂದರೆಃ ಇದು ಮುಂದಿನ ಎರಡು ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದಗಳಂತೆಯೇ ನಿಖರವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಧವನಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಮಾಧವ ಸರಣಿ ಮಾಧವ ಸೈನ್ ಟೇಬಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಓದುವಿಕೆ ಪೈ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಕೇರಳ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಗಣಿತದ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.