Paraproduct
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ಯಾರಾಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆಯೇ ಇರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ದ್ವಿಪದರದ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ವಾಂಟೆ ಜಾನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಜಾಕ್ ಪೀಟ್ರೆ ಅವರ ಪ್ರಕಾರ, 1988ರ ಒಂದು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, "'ಪ್ಯಾರಾಪ್ರೊಡಕ್ಟ್' ಎಂಬ ಹೆಸರು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಹಲವಾರು ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು". ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಜೆ. ಎಮ್. ಬೋನಿ ಅವರ ಪ್ಯಾರಾಡಿಫೆರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಇದು ಹೇಳುವಂತೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ತನ್ನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸೂಕ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ, ಅದು "ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು" ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ. ಇದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮದ ಕೆಲವು ರೂಪವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು. ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಹೋಲ್ಡರ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಪ್ಯಾರಾಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಕೂಡ ಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಅರ್ಪಾಡ್ ಬೆನಿ, ಡಿಯಾಗೋ ಮಾಲ್ಡೋನಾಡೋ ಮತ್ತು ವರ್ಜೀನಿಯಾ ನೈಬೊ ಅವರನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ, "ಪ್ಯಾರಾಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಎಂದರೇನು? ", ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಸೂಚನೆಗಳು, ಸಂಪುಟ. 57, ನಂ. 7 (ಆಗಸ್ಟ್, 2010), ಪುಟಗಳು. 858-860. ಬಿಲಿನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಗಳು