Lill's method
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲಿಲ್ಲ್ನ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ಹಂತದ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ದೃಶ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1867ರಲ್ಲಿ ಆಸ್ಟ್ರಿಯಾದ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಲಿಲ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಲಿಲ್ಲ್ರ ನಂತರದ ಪ್ರಬಂಧವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ. ಲಿಲ್ಲ್ನ ವಿಧಾನವು ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಂತರ ಇತರ ಬಲ-ಕೋನ ಮಾರ್ಗಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ಟರ್ಮಿನಸ್ಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗದ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ. ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಮೂಲದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕದ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ (ಅತ್ಯುನ್ನತ-ಶಕ್ತಿ ಪದದ ಗುಣಾಂಕ) ಬಲಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಗವು ಮೂಲದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ). ಮೊದಲ ವಿಭಾಗದ ಕೊನೆಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮೂರನೇಯ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇಯ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದಿಕ್ಕುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು (ತಿರುವುಗಳಲ್ಲ) ಯಾವಾಗಲೂ ಬಲಕ್ಕೆ, ಮೇಲಕ್ಕೆ, ಎಡಕ್ಕೆ, ಕೆಳಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಸ್ವತಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ತಿರುವು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೂ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು "ಹಿಂದಕ್ಕೆ ನಡೆಯುತ್ತವೆ". ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ ಪದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಭಾಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತಲುಪಿದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವು ಟರ್ಮಿನಸ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ಮೂಲದಿಂದ ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಉಡಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯ ಭಾಗದಿಂದ ಬಲ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ ("ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಪ್ರತಿಫಲನದ ಕೋನ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ), ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಮಾರ್ಗವು ಆ ರೇಖೆಯ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಮುಟ್ಟದಿದ್ದಾಗ (ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗದ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಬಲ ಕೋನದಲ್ಲಿ ವಕ್ರೀಭವನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಲಂಬ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ವಕ್ರೀಭವನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆಃ ನಂತರ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆ. ಮಾರ್ಗವು ಟರ್ಮಿನಸ್ನಲ್ಲಿ ಇಳಿಯುವಂತೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಋಣಾತ್ಮಕವು ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೂ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆರಂಭಿಕ ಕೋನ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಗವಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಟರ್ಮಿನಸ್ನಲ್ಲಿ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜವು ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿಖರವಾದ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಆದರೆ ಮೂಲ ಮಾರ್ಗದ ಶೃಂಗಗಳು ಬಹುಪದ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಬೇರೆಯಾದಾಗ ಬೇರಿನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಮಾರ್ಗವು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿವರಣೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾದ ರಚನೆಯು ಹಾರ್ನರ್ರ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಬಹುಪದವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದಕ್ಕೆ,, ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಮಾರ್ಗಗಳ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಬಹುಪದದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊನೆಯ ಶೃಂಗವು ಬಹುಪದ ಮಾರ್ಗ ಟರ್ಮಿನಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ನೀಡುವ ದ್ರಾವಣ ರೇಖೆಯು ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಲಿಲ್ಲ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದೃಶ್ಯ ರಚನೆಯು ರೇಖೀಯ (ಮೂಲ) ಮೋನಿಕ್ (ರುಫಿನಿಯ ನಿಯಮ) ಮೂಲಕ ಬಹುಪದದ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ವಿಭಜನೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳು ಮೂಲ ಬೇರುಗಳ ಪರಸ್ಪರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರದ ತಿರುವುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಇತರ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿತ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಗುಣಾಂಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲ-ಕೋನದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಬೇರೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಆದರೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಮೂಲ ಮೂಲಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರಗಳಾಗಿವೆ. ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಾದ ಲಿಲ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚತುರ್ಭುಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 3x2 + 5x−2 ನೊಂದಿಗೆ, ಬಹುಪದದ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಮೇಲಿನಂತೆ ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಆರಂಭ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಲಿಲ್ಲ್ನ ವಿಧಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಈ ವೃತ್ತದ ಛೇದನಗಳು, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಲಿಲ್ಲ್ನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಎರಡು ಕೋನೀಯ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ಮೊದಲ ಭಾಗಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ, m, ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು 1/3 ಮತ್ತು −2 ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕಾಗದದ ಮಡಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು 1936 ರಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಗೆರಿಟಾ ಪಿಯಾಝೋಲಾ ಬೆಲೋಚ್ ಕಾಗದದ ಮಡಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಲಿಲ್ಲ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಏಕಕಾಲಿಕ ಮಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ n ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು n-2 ಏಕಕಾಲಿಕ ಮಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 3x3 + 2x2 − 7x + 2 ನೊಂದಿಗೆ, ಬಹುಪದದ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ (ಕಪ್ಪು) ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ (ಮಸುಕಾದ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಚೌಕ) ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ (ಬೂದು ರೇಖೆಗಳು) ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮೂಲಕ್ಕೂ, ಕಾಗದವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು (ಕಪ್ಪು ವೃತ್ತ) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದು (ಕಪ್ಪು ಚೌಕ) ಈ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುವವರೆಗೆ ಮಡಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಅಕ್ಷವು (ಡ್ಯಾಶ್-ಡಾಟ್ ಲೈನ್) ಮೂಲಕ್ಕೆ (ನೀಲಿ, ನೇರಳೆ ಮತ್ತು ಕೆಂಪು) ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನೀಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಮೊದಲ ಭಾಗಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ, m, ನೈಜ ಮೂಲಗಳಾದ 1/3,1 ಮತ್ತು −2 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಲೈಲ್ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕಾಗಿ ಲಿಲ್ಲ್ನ ವಿಧಾನದ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲಿಲ್ಲ್ಸ್ ಮೆಥಡ್ ಮ್ಯಾಥೋಲಾಜರ್ ವೀಡಿಯೊಗಾಗಿ ಅನಿಮೇಷನ್ಃ "ಲೇಸರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಮೆಗಳನ್ನು ಶೂಟ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪೇಪರ್ ಫೋಲ್ಡಿಂಗ್ ಬಹುಪದಗಳು