Gregory coefficients
ಪರಸ್ಪರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗ್ರೆಗೊರಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಬರ್ನೌಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಥವಾ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಕೌಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪರಸ್ಪರ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 1670 ರಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಜೇಮ್ಸ್ ಗ್ರೆಗೊರಿಯವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ತರುವಾಯ ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮರುಶೋಧಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಆಧುನಿಕ ಲೇಖಕರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅವರು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವರನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗಣನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಗ್ರೆಗೊರಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಗ್ರೆಗೊರಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೂಲಕ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಇದನ್ನು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಒಮ್ಮೆ ನೇರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ಮೊದಲು ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಶ್ರೋಡರ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವಾದ ಗಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆ ಗ್ರೆಗೊರಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಜೋಹಾನ್ ಸ್ಟೆಫೆನ್ಸನ್ ನೀಡಿದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಈ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಂತರ ವಿವಿಧ ಲೇಖಕರು ಸುಧಾರಿಸಿದರು. ಅವರಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಬೌಂಡರಿಗಳನ್ನು ಬ್ಲಾಗೌಚೈನ್ ನೀಡಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾನ್ ವೀನ್, ಡೇವಿಸ್, ಕಾಫಿ, ನೆಮೆಸ್ ಮತ್ತು ಬ್ಲಾಗೌಚೈನ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಗ್ರೆಗೊರಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಗ್ರೆಗೊರಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮೂಲ ಸರಣಿಗಳು ಯೂಲರ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬಹಳ ಹಳೆಯವು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಗ್ರೆಗೊರಿಯೊ ಫಾಂಟಾನಾ ಮತ್ತು ಲೊರೆಂಜೊ ಮಾಸ್ಚೆರೋನಿಯವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಗ್ರೆಗೊರಿ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಲೇಖಕರು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು. ಕೊವಾಲೆಂಕೊ, ಅಲಬ್ಡುಲ್ಮೊಹ್ಸಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದಂತೆ ಅಲಬ್ಡುಲ್ಮೊಹ್ಸಿನ್ ಸಹ ಕ್ಯಾಂಡೆಲ್ಪೆರ್ಗರ್, ಕೊಪ್ಪೊ ಮತ್ತು ಯಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಬ್ಲಾಗೌಚೈನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ, ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯ, ಪಾಲಿಗಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಹ ತಿಳಿದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಗ್ರೆಗೊರಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಮೂಲ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯಾನ್ ವೀನ್ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಂತರ ಕೊವಾಲೆಂಕೊ ಮತ್ತು ರುಬಿನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಗ್ರೆಗೊರಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬರ್ನೌಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅಂತಹ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನವುಗಳಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಲಿಟ್ಜ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬ್ಲಾಗೌಚೈನ್ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ,. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಝೀಟಾ-ಕಾರ್ಯಗಳು, ಯೂಲರ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ಬಹುಗಾಮ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ವಿವಿಧ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಕೊಂಡಿವೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಕೊಮಾಟ್ಸು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೇಖಕ ಪಾಲಿ-ಕೌಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕರೆಯುತ್ತವೆ. ಕಾಫಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ. ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ