Classical orthogonal polynomials
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆಃ ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಲಗುರ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳು, ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು (ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಗೆಜೆನ್ಬಾಯರ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ). ಅವು ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ), ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಆಡ್ರಿಯನ್-ಮೇರಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದಲ್ಲಿ, ಪಿ. ಎಲ್. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ಎ. ಎ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಮತ್ತು ಟಿ. ಜೆ. ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅವರು ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸ್ಕಿ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಈ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ತೂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ತೂಕದ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು (ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತವಾಗಿವೆ (ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗೆಜೆನ್ಬೌರ್ ಬಹುಪದಗಳು (ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರವು [−1,1] ಮತ್ತು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವು ಕೇವಲ 1 ಆಗಿದೆ): ಏಕೆಂದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ). ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ-ಲಗುರೆ ಬಹುಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲಗುರೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲಗುರೆ ಬಹುಪದಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಈ ರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ Q ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ (ಗರಿಷ್ಠ) ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು L ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. f ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕ λ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. (ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವು ಬಹುಪದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ.) ಇದು ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ λ ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್/ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದುಃ ಡಿ ಅನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮತ್ತು λ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು (ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು) ಎಫ್ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು λ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ f ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು D (f) = λf. λ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ ಹೊರತು ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. λ0, λ1, λ2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗಳಿವೆ. ಇದು ಬಹುಪದ ಪರಿಹಾರಗಳಾದ P0, P1, P2 ಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆಃ Q ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, L ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, Q ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, L ನ ಮೂಲವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ Q ನ ಮೂಲಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Q ಮತ್ತು L ನ ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ಯೂ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜವಲ್ಲ, ಆದರೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, ಎಲ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, ಕ್ಯೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ ನ ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ ನ ಮೂಲವು ಕ್ಯೂ ನ ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಕ್ಯೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ ನ ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಕ್ಯೂ ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಎಲ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ ನ ಪ್ರಮುಖ ಪದವು ಕ್ಯೂ ನ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಜಾಕೋಬಿ ತರಹದ, ಲಗುರೆ ತರಹದ ಮತ್ತು ಹರ್ಮೈಟ್ ತರಹದ ಬಹುಪದಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಪರಿಹಾರಗಳು ಬಹುಪದಗಳಾದ P0, P1, P2,.. ಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ Pn ಡಿಗ್ರಿ n ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು λn ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರವು ಕ್ಯೂ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಎಲ್ ನ ಮೂಲವು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ. ಬಹುಪದಗಳು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯ W (x) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಅಥವಾ ಅನಂತತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಇದು ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಅಥವಾ ಅನಂತತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. W (x) ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ W (x) ಅನ್ನು 0ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿಸಬಹುದು. (ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ Q (x)> 0 ಆಗುವಂತೆ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೆಗೇಟ್ ಮಾಡಿ.) ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಕಾರಣ, ಆರ್ (x) ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ (ಇದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ) ಮತ್ತು ತೂಕದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ (ಇದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವೂ ಆಗಿರಬಹುದು) ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಆರ್ (x) ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ (x) ನ "ಅಧಿಕೃತ" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ಸೂತ್ರ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, Pn (x) ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಇದನ್ನು ಒಲಿಂಡೆ ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ನಂತರ ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎನ್ ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು λn ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಕ್ಯೂ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಎಲ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.) ಈಗ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು R/Q ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಪಡೆಯುವುದು ಅಥವಾ ಪಡೆಯುವುದು ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು S/Q ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಪಡೆಯುವುದು ಅಥವಾ ಪಡೆಯುವುದು. (ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ನಾವು "ಆರ್" ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ.) P ಎಂಬುದು n − r ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ (ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ) ಸ್ಥಿರ r ಗೆ, ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮವಾದ P, P, P,. (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೋಡ್ರಿಗಸ್ ಸೂತ್ರ) P ಯು (ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ) P ಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ λr ಎಂಬುದು λn ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, (ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ, ಎರಡನೇ ರೂಪ) P ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ, ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇತರ ಹಲವಾರು ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಚೆಬಿಶೇವ್, ಸಂಬಂಧಿತ ಲಾಗುರೆ ಮತ್ತು ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅವುಗಳ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಃ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ λ ಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (x ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು) ಇಳುವರಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಕಾಣಬಹುದುಃ ಬಹುಪದಗಳು f ಎಂದರೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಫಾರ್, ಆಗ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸಂಬಂಧವು ಹೀಗೆ ಇರುತ್ತದೆಃ ಫಾರ್. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮೇಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಡೊಮೇನ್ನ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವುದು. ಆ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ವರ್ಗಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು". ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜಾಕೋಬಿ ತರಹದ ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಅಳೆಯಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದರ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರವು [−1,1] ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Q = 1 − x2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಉಪವರ್ಗಗಳಿವೆಃ ಗೆಗೆನ್ಬಾಯರ್, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಚೆಬಿಶೇವ್. ಪ್ರತಿ ಲಾಗ್ಯುರ್ ತರಹದ ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಅಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಫಲಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದರ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರವು, ಮತ್ತು Q = x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸೋಸಿಯೇಟೆಡ್ ಲಾಗ್ಯುರ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಬಹುದು. ಸರಳ ಲಾಗ್ಯುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಹರ್ಮೈಟ್ನಂತಹ ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಅಳೆಯಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದರ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರವು, ಮತ್ತು Q = 1 ಮತ್ತು L (0) = 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಬಹುದು. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಿಜವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಕೋಬಿ ರೀತಿಯ ಬಹುಪದಗಳು, ಒಮ್ಮೆ ಅವು ತಮ್ಮ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರವು [−1,1] ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೂ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮತ್ತು. ಎರಡೂ ಮತ್ತು-1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು. (ಇದು ಎಲ್ ನ ಮೂಲವನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಇರಿಸುತ್ತದೆ.) ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ, ಈ ಬಹುಪದಗಳು x = 0ರ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಜಾಕೋಬಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಒಬ್ಬರು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಮನಾದಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಗೆಜೆನ್ಬೌರ್ ಅಥವಾ ಅಲ್ಟ್ರಾಸ್ಪೆರಿಕಲ್ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಮತ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕವು-1/2ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು. (ಪ್ರಾಸಂಗಿಕವಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವು α = 0 ಮತ್ತು n § 0 ಗೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.) ಮೇಲಿನ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ನಿಯತಾಂಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆಃ ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಃ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜಾಕೋಬಿ ತರಹದ ಬಹುಪದಗಳು (ಲೆಜೆಂಡರ್, ಇತ್ಯಾದಿ). ಇವು ಗೆಜೆನ್ಬಾಯರ್ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಗೆಗೆನ್ಬಾಯರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ರೂಪವೆಂದರೆಃ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ಒಂದು ಮಿಶ್ರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಸೋಸಿಯೇಟೆಡ್ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳು, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ m (ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು) ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ m, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದದ m-th ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ "ಬಹುಪದಗಳನ್ನು" ತಪ್ಪಾಗಿ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ-m ಬೆಸವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅವು ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲ. ಅವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಸ್ಥಿರ m ಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ತೂಕ 1 ರೊಂದಿಗೆ [−1,1] ಮೇಲೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀಡಲಾದ m ಗೆ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಇದು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮರುಕಳಿಸುವ ಸಂಬಂಧವು ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ ಈ ಬಹುಪದಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ) ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠವು-1 ಮತ್ತು + 1 ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಬಹುಪದಗಳು "ಮಟ್ಟ" ವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಣಿತ ಗ್ರಂಥಾಲಯಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲಾದ ಈ ಬಹುಪದಗಳ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಮಧ್ಯಂತರವು [0,1] ಅಥವಾ [−2,2] ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಬಳಿಃ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಬಹುಪದಿಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದ ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಲಗುರೆ ತರಹದ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಅಸೋಸಿಯೇಟೆಡ್ ಲಗುರೆ ಬಹುಪದಿಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲಗುರೆ ಬಹುಪದಿಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವಿದೆ, ಅದು-1ಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ ಲಾಗ್ಯುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಇವುಗಳ ಆವೃತ್ತಿಗಳಾಗಿವೆಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಇದು ಲಾಗ್ಯುರ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ರೂಪವೆಂದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ ಈ ನಿಯತಾಂಕವುಃ ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಃ ಲಗುರ್ರೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಇದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಯಾವಾಗ, ಮತ್ತುಃ ಇದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಲಾಗ್ಯುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಬದಲಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು-ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಪರಮಾಣುಗಾಗಿ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ರೇಡಿಯಲ್ ಭಾಗದಲ್ಲಿ. ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲ್ಯಾಗೆರೆ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಅದು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಬಹುಪದಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಲಾಗುರೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಇದು ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ರೂಪವೆಂದರೆ ಮೂರನೆಯ ರೂಪವೆಂದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸಂಬಂಧಿತ ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಗುಣಕವು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂರನೇ ರೂಪವೆಂದರೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಅವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗೆ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ನಿರಂತರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ (−in) ಸಹ ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಭಾವ್ಯವಾದಿಗಳು, ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಅವನು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನವುಗಳಿಗೆ H ಎಂಬ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಇತರರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಹಲವಾರು ಷರತ್ತುಗಳಿವೆ. ಮೊದಲ ಷರತ್ತನ್ನು ಸೋನಿನ್ (ಮತ್ತು ನಂತರ ಹಾನ್) ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಅವರು (ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ರೇಖೀಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳವರೆಗೆ) ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮಾತ್ರ ಅವುಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಹ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಬೋಚ್ನರ್ ಅವರು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಟ್ರಿಕೋಮಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ರೋಡ್ರಿಗಸ್ ಸೂತ್ರದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ನಿರೂಪಿಸಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇವನ್ನೂ ನೋಡಿಃ ದ್ವಿಪದ ವಿಧದ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕೀಲಿ ಯೋಜನೆ ಬಯೋರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಸೆಕೆಂಡರಿ ಅಳತೆ ಶೆಫರ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಅಂಬ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಶೇಷ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು