Saunders Mac Lane
ಸಾಂಡರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ (4 ಆಗಸ್ಟ್ 1909-14 ಏಪ್ರಿಲ್ 2005) ಒಬ್ಬ ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾಗಿದ್ದು, ಅವರು ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ-ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಆರಂಭಿಕ ಜೀವನ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಣ ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ಅವರು ಕನೆಕ್ಟಿಕಟ್ನ ನಾರ್ವಿಚ್ನಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರ ಕುಟುಂಬವು ಟಾಫ್ಟ್ವಿಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿತ್ತು. ಅವನನ್ನು "ಲೆಸ್ಲಿ ಸೌಂಡರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ಅವನ ಪೋಷಕರು, ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ವಿನಿಫ್ರೆಡ್ ಸೌಂಡರ್ಸ್, ಅದನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡದ ಕಾರಣ "ಲೆಸ್ಲಿ" ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಅವರ ಮೊದಲ ಪತ್ನಿಗೆ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವಿಲ್ಲದೆ ಹೆಸರನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತಿದ್ದ ಕಾರಣ ಅವರು ತಮ್ಮ ಉಪನಾಮಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಅವರು ಮೂವರು ಸಹೋದರರಲ್ಲಿ ಹಿರಿಯರಾಗಿದ್ದರು; ಅವರ ಸಹೋದರರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ ಗೆರಾಲ್ಡ್ ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ಅವರು ರೈಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಮತ್ತು ಪರ್ಡ್ಯೂ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾದರು. ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಸಹೋದರಿ ಮಗುವಾಗಿದ್ದಾಗಲೇ ತೀರಿಕೊಂಡಳು. ಅವರ ತಂದೆ ಮತ್ತು ಅಜ್ಜ ಇಬ್ಬರೂ ಮಂತ್ರಿಗಳಾಗಿದ್ದರು; ಅವರ ಅಜ್ಜ ಪ್ರೆಸ್ಬಿಟೇರಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರು, ಆದರೆ ವಿಕಾಸದಲ್ಲಿ ನಂಬಿಕೆ ಇಟ್ಟಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರನ್ನು ಚರ್ಚ್ನಿಂದ ಹೊರಹಾಕಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಅವರ ತಂದೆ ಕಾಂಗ್ರೆಗೇಷನಲಿಸ್ಟ್ ಆಗಿದ್ದರು. ಅವರ ತಾಯಿ, ವಿನಿಫ್ರೆಡ್, ಮೌಂಟ್ ಹೋಲ್ಯೋಕ್ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಇಂಗ್ಲಿಷ್, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸಿದರು. ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ಅವರ ನೆಚ್ಚಿನ ವಿಷಯವು ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿತ್ತು. ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಅವರ ತಂದೆ ನಿಧನರಾದರು ಮತ್ತು ಅವರು ತಮ್ಮ ಅಜ್ಜನ ಆರೈಕೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟರು. ಅವರ ಮಲ-ಚಿಕ್ಕಪ್ಪ, ಒಬ್ಬ ವಕೀಲ, ಅವರನ್ನು ಯೇಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರ ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಿಕರು ಶಿಕ್ಷಣ ಪಡೆದಿದ್ದರು, ಮತ್ತು 1926 ರಿಂದ ಅಲ್ಲಿ ಹಣ ಪಾವತಿಸಿದರು. ಹೊಸ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅವರು ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಭ್ರಮನಿರಸನಗೊಂಡರು. ಅವರ ಗಣಿತ ಬೋಧಕ, ಲೆಸ್ಟರ್ ಎಸ್. ಹಿಲ್ ಅವರು ಸ್ಥಳೀಯ ಗಣಿತ ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ಅವರಿಗೆ ತರಬೇತಿ ನೀಡಿದರು, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಗೆದ್ದು, ಅವರ ಭವಿಷ್ಯದ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶನ ನೀಡಿದರು. ಅವರು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಡಬಲ್ ಮೇಜರ್ ಆಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಜೆಸ್ಸಿ ಬೀಮ್ಸ್, ಅರ್ನೆಸ್ಟ್ ವಿಲಿಯಂ ಬ್ರೌನ್, ಅರ್ನೆಸ್ಟ್ ಲಾರೆನ್ಸ್, ಎಫ್. ಎಸ್. ಸಿ. ನಾರ್ತ್ರೋಪ್ ಮತ್ತು ಓಸ್ಟೀನ್ ಓರೆ ಅವರಿಂದ ಕೋರ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು. ಅವರು ಯೇಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಬಿ. ಎ. ಪದವಿ ಪಡೆದರು. 1930 ರಲ್ಲಿ. ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಮೊದಲ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇರ್ವಿಂಗ್ ಲಾಂಗ್ಮುಯಿರ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಸಹ-ಲೇಖಕರಾಗಿದ್ದರು. 1929 ರಲ್ಲಿ, ನ್ಯೂಜೆರ್ಸಿಯ ಮಾಂಟ್ಕ್ಲೇರ್ನಲ್ಲಿ ಯೇಲ್ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಬೆಂಬಲಿಗರ ಪಾರ್ಟಿಯಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ (ಅಲ್ಲಿ ಯೇಲ್ ನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ದಾಖಲಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಗ್ರೇಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ಬಹುಮಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು) ಚಿಕಾಗೊ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಹೊಸ ಅಧ್ಯಕ್ಷ ರಾಬರ್ಟ್ ಮೇನಾರ್ಡ್ ಹಚಿನ್ಸ್ ಅವರನ್ನು ಭೇಟಿಯಾದರು, ಅವರು ತಮ್ಮ ಪದವಿ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಲು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಅವರಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿವೇತನವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗೆ ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಲು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ಹೇಗಾದರೂ ಪ್ರವೇಶ ಪಡೆದರು. ಚಿಕಾಗೋದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಇ. ಎಚ್. ಮೂರ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯುಜೀನ್ ಡಿಕ್ಸನ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅಮೆಸ್ ಬ್ಲಿಸ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಟಿಮರ್ ಜೆ. ಆಡ್ಲರ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ ಸೇರಿವೆ. 1931 ರಲ್ಲಿ, ಚಿಕಾಗೋದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ಪದವಿಯನ್ನು ಗಳಿಸಿದ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸಿದ ಅವರು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಎಜುಕೇಶನ್ನಿಂದ ಫೆಲೋಶಿಪ್ ಗಳಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಾಝಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಅವನತಿಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಗೊಟ್ಟಿಂಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಕೊನೆಯ ಅಮೆರಿಕನ್ನರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದರು. ಪಾಲ್ ಬರ್ನೇಸ್ ಮತ್ತು ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್ ಅವರ ಪ್ರಭಾವವು ಅಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿತ್ತು. 1934ರಲ್ಲಿ ಅವರು ತಮ್ಮ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪದವಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ, ಬರ್ನೇಸ್ ಅವರು ಯಹೂದಿಗಳಾಗಿದ್ದರಿಂದ ಹೊರಹೋಗಬೇಕಾಯಿತು, ಮತ್ತು ವೇಯ್ಲ್ ಅವರ ಮುಖ್ಯ ಪರೀಕ್ಷಕರಾದರು. ಗೊಟ್ಟಿಂಗನ್ನಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ಅವರು ಗುಸ್ತಾವ್ ಹರ್ಗ್ಲೋಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಎಮ್ಮಿ ನೋಥರ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ತಮ್ಮ ಪದವಿಯನ್ನು ಮುಗಿಸಿದ ಕೆಲವೇ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಅವರು ಚಿಕಾಗೋದ ಡೊರೊಥಿ ಜೋನ್ಸ್ರನ್ನು ವಿವಾಹವಾದರು ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಯು. ಎಸ್. ವೃತ್ತಿಜೀವನಕ್ಕೆ ಮರಳಿದರು. 1934ರಿಂದ 1938ರವರೆಗೆ, ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ಯೇಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, ಕಾರ್ನೆಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಮತ್ತು ಚಿಕಾಗೊ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ನೇಮಕಾತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು. ನಂತರ ಅವರು 1938 ರಿಂದ 1947 ರವರೆಗೆ ಹಾರ್ವರ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ನೇಮಕಾತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು. 1941 ರಲ್ಲಿ, ಮಿಚಿಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಸಂದರ್ಶಕ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿರುವಾಗ, ಅವರು ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರನ್ನು ಭೇಟಿಯಾದರು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ಫಲಪ್ರದವಾದ ಸಹಯೋಗವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. 1944 ಮತ್ತು 1945ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ಕೊಲಂಬಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರು, ಇದು ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಪ್ಯಾನೆಲ್ನ ಗುತ್ತಿಗೆದಾರರಾಗಿ ಯುದ್ಧದ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿತ್ತು; ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅವರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಗಣಿತವು ಅಗ್ನಿ-ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. 1947 ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ಚಿಕಾಗೋಕ್ಕೆ ಮರಳುವ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು, ಅಲ್ಲಿ (ಭಾಗಶಃ ಮ್ಯಾನ್ಹ್ಯಾಟನ್ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಪಾಲ್ಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಮಾರ್ಷಲ್ ಸ್ಟೋನ್ನ ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಿಂದಾಗಿ) ಅನೇಕ ಇತರ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಿದ್ದರು. ಅವರು ಗುಗೆನ್ಹೀಮ್ ಫೆಲೋ ಆಗಿ ಇ. ಟಿ. ಎಚ್. ಜ್ಯೂರಿಚ್ಗೆ 1947-1948 ಅವಧಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಹೈನ್ಜ್ ಹಾಫ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ 1952ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟೋನ್ನ ನಂತರ ಇಲಾಖೆಯ ಅಧ್ಯಕ್ಷರಾದರು ಮತ್ತು ಆರು ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ಅವರು ನ್ಯಾಷನಲ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸಸ್ ಮತ್ತು ಅಮೆರಿಕನ್ ಫಿಲಾಸಫಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಉಪಾಧ್ಯಕ್ಷರಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಅಧ್ಯಕ್ಷರಾಗಿದ್ದರು. 1950ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಅಮೆರಿಕಾದ ಅಧ್ಯಕ್ಷತೆಯನ್ನು ವಹಿಸಿದ್ದ ಅವರು, ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಬೋಧನೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅದರ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಅವರು ಅಮೆರಿಕನ್ ಸರ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುವ ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ವಿಜ್ಞಾನ ಮಂಡಳಿಯ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದರು. 1976 ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಚೀನಾಕ್ಕೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ನಿಯೋಗವನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸಿದರು. ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ 1949ರಲ್ಲಿ ನ್ಯಾಷನಲ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸಸ್ಗೆ ಆಯ್ಕೆಯಾದರು ಮತ್ತು 1989ರಲ್ಲಿ ನ್ಯಾಷನಲ್ ಮೆಡಲ್ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್ ಪಡೆದರು. ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದ ನಂತರ, ಅವರ ಆರಂಭಿಕ ಕೆಲಸ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿತ್ತು. ಅವರು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು 1942 ರಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಮತ್ತು 1943 ರಲ್ಲಿ ಈಗ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಕೆ (ಜಿ, ಎನ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಗ್ಗೆ ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಇದು ಆಯಾಮ ಎನ್ ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗ್ರೂಪ್ ಜಿ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಸ್ಟೀನ್ರೋಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಮೂಲಕ, ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅಮೂರ್ತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಅವರು ಮತ್ತು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ 1945 ರಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿದರು. ಅವರು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸುಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ. ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಇತರ ಕೆಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಉತ್ಪನ್ನಗಳಂತಹ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಬಾಣಗಳನ್ನು (ಮಾರ್ಫಿಸಂ) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ. ಮೆಕ್ಲಾರ್ಟಿಯ (2005) ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಕಾಲೀನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ (1948) ನಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ಅವರು ಲೆಮ್ಮಾಗೆ ಯೊನೆಡಾ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಹ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು, ಇದು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನೇಕ ಕೇಂದ್ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನೊಬುವೊ ಯೊನೆಡಾ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ಅವರು 1941ರಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾರೆಟ್ ಬಿರ್ಖಾಫ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಸಹ-ಲೇಖಕರಾಗಿದ್ದ ತಮ್ಮ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಎ ಸರ್ವೆ ಆಫ್ ಮಾಡರ್ನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಮೀಪಿಸಬಹುದಾದ ಪಠ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಲ್ಲಿ ಅನುಕರಣೀಯವಾದ ಭಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಅಂದಿನಿಂದ, ಪದವಿಪೂರ್ವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಕಾರ್ಯನಿರತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಬಗೆಗಿನ ಅವರ ವರ್ಗಗಳು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪರಿಚಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿವೆ. ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್, ಡೇವಿಡ್ ಐಸೆನ್ಬುಡ್, ವಿಲಿಯಂ ಹೊವಾರ್ಡ್, ಇರ್ವಿಂಗ್ ಕಪ್ಲಾನ್ಸ್ಕಿ, ಮೈಕೆಲ್ ಮೊರ್ಲಿ, ಅನಿಲ್ ನೆರೋಡ್, ರಾಬರ್ಟ್ ಸೊಲೊವೇ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಜಿ. ಥಾಂಪ್ಸನ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಅನೇಕ ಇತರರ Ph.Ds ಅನ್ನು ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡಿದರು. ಅವರ ಗಣಿತದ ಫಲಿತಾಂಶದ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಮೆಕ್ಲಾರ್ಟಿ (2005,2007) ಅವರ ಸಂತಾಪ ಲೇಖನಗಳು ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ಅವರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ನೀಡಿದ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ (1986) ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಲುಪಬಹುದಾದ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ. ಆಯ್ದ ಕೃತಿಗಳು 1997 (1941). ಎ ಸರ್ವೆ ಆಫ್ ಮಾಡರ್ನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ (ಗ್ಯಾರೆಟ್ ಬಿರ್ಖಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ). ಎ ಕೆ ಪೀಟರ್ಸ್. 1948, "ಗುಂಪುಗಳು, ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ದ್ವಂದ್ವತೆ", ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ನ್ಯಾಟ್. ಅಕಾಡ್. ಆಫ್ ಸೈನ್ಸಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಯುಎಸ್ಎ 34:263-67. 1995 (1963). ಹೋಮೋಲಜಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ಸ್) (ಮೂಲತಃ, ಐನ್ಜೆಲ್ಡಾರ್ಸ್ಟೆಲ್ಲುಂಗೆನ್ನಲ್ಲಿ ಡೈ ಗ್ರುಂಡ್ಲೆಹ್ರೆನ್ ಡೆರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಸ್ಚೆನ್ ವಿಸ್ಸೆನ್ಶಾಫ್ಟನ್ನ ಬ್ಯಾಂಡ್ 114.) ಡೇವಿಡ್ ಬುಚ್ಸ್ಬಾಮ್ ಅವರ ಎಎಮ್ಎಸ್ ವಿಮರ್ಶೆ. 1999 (1967). ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ (ಗ್ಯಾರೆಟ್ ಬಿರ್ಖಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ). ಚೆಲ್ಸಿಯಾ. 1998 (1972). ವರ್ಕಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಶಿಯನ್ ವಿಭಾಗಗಳು, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪದವಿ ಪಠ್ಯಗಳು) 1986. ಗಣಿತ, ರೂಪ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್. 1992 ರಲ್ಲಿ. ಶೀವ್ಸ್ ಇನ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಅಂಡ್ ಲಾಜಿಕ್ಃ ಎ ಫಸ್ಟ್ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಟೋಪೋಸ್ ಥಿಯರಿ (ಐಕೆ ಮೊರ್ಡಿಜ್ಕ್ನೊಂದಿಗೆ). 1995 ರಲ್ಲಿ. 2005 ರಲ್ಲಿ. ಸೌಂಡರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ಃ ಎ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಆಟೋಬಯಾಗ್ರಫಿ. ಎ ಕೆ ಪೀಟರ್ಸ್. ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಜಾಮೆಟ್ರಿ ಪಿ. ಆರ್. ಓ. ಪಿ. (ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಎಸ್ಪಿಕ್ಯು. ಆರ್. ಮರದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಇ-ಪುಸ್ತಕಃ). ಜೀವನಚರಿತ್ರೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಆಯ್ದ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ನ ತಾತ್ವಿಕ ಬರಹಗಳಿಗೆ ಒತ್ತು ನೀಡುತ್ತದೆ. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಚಿಕಾಗೊ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಸಂತಾಪ ಪತ್ರಿಕಾ ಪ್ರಕಟಣೆ. ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ನ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು, 1984-1999. ಕುಟಾಟೆಲಾಡ್ಜೆ ಎಸ್. ಎಸ್., ಸೌಂಡರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್, ದಿ ನೈಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ 1909 ಜನನಗಳು 2005 ಸಾವುಗಳು ಕನೆಕ್ಟಿಕಟ್ನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಾರ್ವಿಚ್, ಕನೆಕ್ಟಿಕಟ್ನ ಜನರು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು 21ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಚಿಕಾಗೊ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಗೊಟ್ಟಿಂಗನ್ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯೇಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಲ್ಜಿಬ್ರಿಸ್ಟ್ಸ್ ವರ್ಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತಿಗಳು ಕಾರ್ನೆಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಡಿಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ನ್ಯಾಷನಲ್ ಮೆಡಲ್ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ವಿಜೇತರು ಅಮೆರಿಕನ್ ಫಿಲಾಸಫಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ ನ್ಯಾಷನಲ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನ ಸದಸ್ಯರು ಅಮೇರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಅಧ್ಯಕ್ಷರು ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಅಮೆರಿಕಾದ ನ್ಯಾಷನಲ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನ ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಅಧ್ಯಕ್ಷರು