Dehn invariant
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಮರುಜೋಡಿಸಬಹುದೇ ("ವಿಚ್ಛೇದನ") ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅಥವಾ ಅದರ ವಿಚ್ಛೇದನಗಳು ಜಾಗವನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡಬಹುದೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಡೆಹ್ನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಮರುಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ತುಂಬುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಲು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅಗತ್ಯ (ಆದರೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ಷರತ್ತು, ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಅದರ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ತುಂಬುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿ ಮರುಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ-ಮುಕ್ತ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಬಾಗಿದಂತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಗೆ ಒಂದು ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು (ಪರಿಮಾಣದೊಂದಿಗೆ) ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ಯೂಬ್ಗೆ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇತರ ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಇದು ಇತರ ಘನವಸ್ತುಗಳು ಜಾಗವನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ಯೂಬ್ ಆಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಘನವಸ್ತುಗಳು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವು ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾದ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಸಹ ಟೈಲ್ಸ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಬ್ನಂತೆ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಈ ಸ್ಥಳವು ಗುಂಪು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಕ್ಷ-ಸಮಾನಾಂತರ ಕಡಿತಗಳು ಮತ್ತು ಅನುವಾದಗಳಿಂದ ಆಯತಾಕಾರದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಕೆಲವು ಇತರ ಛೇದನ ಒಗಟುಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದ ವ್ಯಾಲೇಸ್-ಬೊಲೈ-ಗೆರ್ವಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಸಮಾನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಮರುಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕಾಗಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಅವರು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಹೆಚ್ಚು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ಪ್ರದೇಶದಂತಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಭಾಗವಾಗಿತ್ತು. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಘನ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಇದು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. 1900ರ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು, ಇದು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿಯಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯು, ಘನ ಪರಿಮಾಣದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಉದ್ದೇಶಿಸಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯು, ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿ ಪರಸ್ಪರ ಮರುಜೋಡಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಕೇಳಿತು. ಇದು ಹೀಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಜೋಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನ ಘನದ ಪರಿಮಾಣ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉತ್ತರವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತುಃ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಘನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಇತರ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉತ್ತರವು ಬಹಳ ಬೇಗನೆ ಬಂದಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ರೌಲ್ ಬ್ರಿಕಾರ್ಡ್ ಈಗಾಗಲೇ ಇದನ್ನು 1896 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಹೇಳಿಕೊಂಡಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದು ಅಪೂರ್ಣವಾಯಿತು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಡೆಹ್ನ್, ತನ್ನ 1900 ರ ಹ್ಯಾಬಿಲಿಟೇಶನ್ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಸಮಾನ ಪರಿಮಾಣದ ಎರಡು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಸಹ ಸಮಾನ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಡೆಹ್ನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಸಮಾನ ಪರಿಮಾಣದ ಎರಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸಿತು. ಡೆಹ್ನ್ ತನ್ನ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದ್ದರೂ, ಡೆಹ್ನ್ರ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗೆ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ವಿವರಿಸುವುದು. ಸರಳೀಕೃತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿಗೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳಂತಹ ಸೀಮಿತವಾದ ಅನೇಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾದಾಗ, ಇದನ್ನು ಸರಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳನ್ನು (ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವ ಎರಡು ಮುಖಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ) ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕೋನಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ಅಥವಾ ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು) ಸೇರಿಸಿ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವನ್ನು ಆಧಾರದಿಂದ ಕೋನಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ. ಉಳಿದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಾಹಕದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅದರ ಆಯಾಮಗಳು ಆಧಾರ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕವನ್ನು ಅಂಚಿನ ಉದ್ದದಿಂದ ಅಳೆಯಿರಿ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಅದರ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿ. ಈ ವಿಧಾನವು ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ, ಈ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತವೆ. ಅಮೂರ್ತ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ, ಅವು ಆಧಾರಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳ ಯಾವ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ನೇರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಐದು ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಗೆ. , ಸಮಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ, ಘನಕ್ಕೆ. ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ಡೊಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ಗೆ, ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ಘನದ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವು ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಉಳಿದವುಗಳಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆಃ ಈ ಐದು ಕೋನಗಳಿಂದ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅಥವಾ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಆಧಾರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಈ ಕೋನಗಳ ನಡುವೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಆಧಾರ ಅಂಶವಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ, ಆದರೆ ನಂತರ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ (ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ) ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ, ಉಳಿದ ಕೋನ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳು, ಮತ್ತು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಪ್ರತಿ ಆಧಾರ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವಿರುವ ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಗೆ. ಇದು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರು ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕ್ಯೂಬ್ಗಾಗಿ. ಇದರ ಅಂಚುಗಳು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನಿಂದ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ಇದರ ಹನ್ನೆರಡು ಅಂಚುಗಳು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ, ಫಾರ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರಲ್ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ 30 ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ಇದು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ 30 ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಏಕೈಕ ಘನವಾಗಿದೆ. ಇತರ ನಾಲ್ಕು ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅಸಮಾನ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವು. ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಅದೇ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದದ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನಾಂತರ ಲಿಪಿಪ್ಡ್ಗಳ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಕ್ಯೂಬ್ನಂತೆಯೇ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನಾಂತರ ಅಂಚುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗೆ ಅವುಗಳ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇತರ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಘನವಸ್ತುಗಳ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳನ್ನು ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿಯೂ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಆಧಾರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಆಕಾರಗಳು ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅದೇ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ, ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಗೆ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಕ್ಯೂಬ್, ರೋಂಬಿಕ್ಯುಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ, ಇದು ಬಿಟ್ರಂಕೇಟೆಡ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಜೇನುಗೂಡಿನಂತೆ ಜಾಗವನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ಐಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ರೋಂಬಿಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಐಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ಗಾಗಿ. ಇದು ನೇರವಾಗಿ ಟೈಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಝೊನೊಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿ ಇದನ್ನು ಪ್ಯಾರಲೆಲ್ಪಿಪೆಡ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅದು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಸಣ್ಣ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ಗಳಾಗಿ ಮರು ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಛೇದನಕ್ಕೆ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕತ್ತರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಅಂಚನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ, ಅದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಮುಖದ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ಗಳಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರವು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವಾಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅಂಚು ಹೊಸ ಮುಖದ ಗಡಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಯಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವ ಹೊಸ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗೆ ಅವರು ಮೊದಲು ಹೊಂದಿದ್ದ ಅದೇ ಕೊಡುಗೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತವೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಬದಲಾಗದ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣಃ ಅದನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಜೋಡಿಸುವುದು ಒಟ್ಟು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತೊಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ಗೆ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮಾತ್ರ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಹ ಟೈಲ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಜಾಗವನ್ನು ತುಂಬುವ ಟೈಲ್ ಕ್ಯೂಬ್ನಂತೆ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಟೈಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗೆ, ಟೈಲ್ನ ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟೈಲ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸಲು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಷ್ಮಿಟ್-ಕಾನ್ವೇ-ಡ್ಯಾನ್ಜರ್ ಬೈಪ್ರಿಸಮ್ನಂತಹ ಅಪೆರಿಯೋಡಿಕ್ ಟೈಲ್ಗಳಿಗೂ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಹಿಮ್ಮುಖವು ನಿಜವಲ್ಲ-ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಟೈಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇವುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಟೈಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ಆಕಾರಕ್ಕೆ (ಕ್ಯೂಬ್) ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಐಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಡೆಹ್ನ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಗೋಳಾಕಾರದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆ ಎರಡೂ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕತ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಜೋಡಿಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಒಂದೇ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜೆಸ್ಸೆನ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸಿಡ್ಲರ್ನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆಃ ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಗೋಳಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಕತ್ತರಿಸಿ ಪರಸ್ಪರ ಜೋಡಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ (ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್) ಆಗಿ ಕತ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜನೆಯು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಟೈಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು (ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ) ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್-ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಜೇನುಗೂಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರ ಮತ್ತು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದಿಂದ (ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದೊಂದಿಗೆ) ಜಾಗದ ಟೈಲಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಎರಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳ (ಒಂದೇ ಬದಿಯ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ) ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗಡಿಗಳು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗೋಲಾಕಾರದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸ್ವಯಂ-ದಾಟುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿಗೂ ಸಹ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿವೆ ಈ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಡ ಅಂಶವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಬಲ ಅಂಶವು ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು 2 ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳು ಕೋನಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕೋನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಇದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನುಂಟು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸರಿಯಾದ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರವು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.) ಅಂಚಿನ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚಿನ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಮೊತ್ತವು ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿ ಅದರ ರಚನೆಯು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಟೆನ್ಸರ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂತಹ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಅಂಚುಗಳ ಮೇಲೆ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಛೇದನದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಮೆಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರ್ಯಾಯ ಆದರೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿವರಣೆಯು ಹ್ಯಾಮೆಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತವಾದ ಅನೇಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂಕಲನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (ಅಥವಾ ಅದರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರ) ಹೊಂದಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಮತ್ತು ಈ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಉಳಿದ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿದರೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (ಅನಂತ ಆಯಾಮದ) ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವನ್ನು ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದದ್ದು, ಹ್ಯಾಮೆಲ್ ಆಧಾರದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಅದರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅಲ್ಲ. ಈ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಆಧಾರ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಘಟಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲು. ಈ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹ್ಯಾಮೆಲ್ ಬೇಸ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಗಮನವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು (ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ). ಅನಂತ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ಗೆ, ಅಂಚಿನ ಉದ್ದಗಳು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದು, ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲು ಜಾತಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಈ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಸೃಷ್ಟಿಯಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಾಗಿದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೊಟಕುಗೊಂಡ ಆಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಒಂದೇ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕತ್ತರಿಸುವವರೆಗೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ ಜಾತಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಈ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ನಿಜವಾದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಃ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಯೂನಿಯನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಬಹುದು), ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ರಂಧ್ರಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಘನಗಳಾಗಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಗ್ರೂಪ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ (ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲ) ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಿದ ಡುಪಾಂಟ್ ಮತ್ತು ಸಾಹರ ಕೆಲಸವು ಯಾವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಕಾರಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತವು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಇದು ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳಿಂದ ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಂಶದ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ). ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಗುಂಪಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಿಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಇದು ಗುಂಪು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಚ್ಛೇದನಕ್ಕೆ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ಮಾತ್ರ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಸಿಡ್ಲರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಗುಂಪು (ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬೇರೆಡೆ 0 ಸಂಕೇತದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿತ್ರಣವು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಅದೇ ಪರಿಮಾಣದ ಘನಕ್ಕೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಶೂನ್ಯ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಡ್ಲರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂತಹ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪು ಕೆಹ್ಲರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಕೆಹ್ಲರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳವರೆಗೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪು ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಅದರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಥವಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವು ಇನ್ನೂ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವು ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿ, ಡುಪಾಂಟ್ ಮತ್ತು ಸಾಹ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮೈನಸ್-ಸೈನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಆಕ್ರಮಣಕ್ಕಾಗಿ (−1)-ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಶೇಷ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉಪಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಇಡೀ ಗೋಳದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪು. ಮತ್ತೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಂಪು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆ. ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ವಿಭಜನೆಗಳ ಗುಂಪು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದಾಗ ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಛೇದನಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಂಪುಟಗಳು ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಛೇದನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇತರ ಮಾಹಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗೆ ಹೋಲುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಕ್ಷ-ಸಮಾನಾಂತರ ಕಡಿತಗಳು ಮತ್ತು ಅನುವಾದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು (ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವ ಬದಲು) ಎರಡು ಆಯತಾಕಾರದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯ ಛೇದನಕ್ಕೆ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಪದಗಳು ಆಯತಗಳ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಆಯತಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿ ಆಯತದ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಅಗಲದ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಹ ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವಿಭಜನೆ ಸಾಧ್ಯ. ಈ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು 1903 ರಿಂದ ಡೆಹ್ನ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಒಂದೇ ಪ್ರದೇಶದ ಎರಡು ಆಯತಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಕಾರ ಅನುಪಾತಗಳು ಪರಸ್ಪರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಇದು ವರ್ಗಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪಾಲಿಮಿನೊವನ್ನು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಈ ಆವೃತ್ತಿಗೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಛೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯತಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಅವು ತಮ್ಮ ಮುಖಗಳ ಆಕಾರವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಿರಂತರ ಚಲನೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತವೆ. ಕೌಚಿಯ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬಾರದು ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಈ ಚಲನೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ("ಬೆಲ್ಲೋಸ್ ಪ್ರಮೇಯ") ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಲವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಅಂತಹ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಚಲನೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು "ಬಲವಾದ ಬೆಲ್ಲೋಸ್ ಪ್ರಮೇಯ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಿಸದ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿಗೆ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಬಾಗಿದಂತೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಮೃದುವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಒಟ್ಟು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಡೆಹ್ನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದಗಳ ಅಂಚುಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬಾಗುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ಗೆ ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಫಲಕದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಭಜನೆಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿನ ಡೆಹ್ನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬಗೆಗಿನ ವೀಡಿಯೊ