Biological applications of bifurcation theory
ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜೈವಿಕ ಅನ್ವಯಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮಾದರಿಯ ಜೈವಿಕ ಜಾಲಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಜೈವಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇನ್ಪುಟ್ ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆ ಅಥವಾ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉತ್ಪಾದನೆಯಲ್ಲಿ ನಾಟಕೀಯ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜೀವಿಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಜೀವಕೋಶದ ಚಕ್ರದ ಸ್ವಿಚ್ಗಳಂತಹ ಜೈವಿಕ ಜಾಲಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಗಳು ಸರ್ವತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಜೈವಿಕ ಜಾಲಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಜೈವಿಕ ಜಾಲಗಳು ವಿಕಾಸದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಜಾಲಗಳಂತಹ ಮಾನವರು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಿದ ಜಾಲಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಜೀವಕೋಶದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ಜಾಲದ ಘಟಕಗಳು ದೊಡ್ಡ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಪ್ರೋಟೀನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಜೀವಿಗಳ ನಡುವೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರೋಟೀನ್ಗಳು ಪ್ರತಿಲೇಖನ, ಅನುವಾದ, ಸ್ಥಳಾಂತರ, ಫಾಸ್ಫೊರಿಲೇಷನ್ ಅಥವಾ ಇತರ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲಕ ಇನ್ನೊಂದರ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿದಾಗ ಜಾಲಬಂಧ ಸಂವಹನಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಗುರಿ ಪ್ರೋಟೀನ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಮಾನವರು ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಕಾಳಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಜಾಲಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ಜೈವಿಕ ಜಾಲಗಳು ವಿಕಾಸದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರುಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜೈವಿಕ ಜಾಲದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ಸಂಸ್ಥೆಯ ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಊಹಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದರ ಸಂಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಆದರೂ ನಡವಳಿಕೆಯು ಕೆಲವು ಜಾಲದ ಲಕ್ಷಣಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜಾಲಬಂಧ ಸಂವಹನಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಟೀನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಟೀನ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಜಾಲಬಂಧದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಪ್ರೋಟೀನ್ಗಳಿಗೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ x ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರೋಟೀನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆಃ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ, ಆದ್ದರಿಂದ ಜಾಲಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿ ರೂಪಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು xs ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲವು. ಅವು ಎಲ್ಲಾ i ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಜೈವಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಜೈವಿಕ ಜಾಲಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಜಾಲದ ನಡವಳಿಕೆಯು ನಾಲ್ಕು ಸಂಭವನೀಯ ಇನ್ಪುಟ್-ಔಟ್ಪುಟ್ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಥವಾ ಮೈಕೆಲಿಸ್-ಮೆಂಟೆನ್, ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಸೆನ್ಸಿಟಿವ್, ಬಿಸ್ಟಬಲ್ ಮತ್ತು ಬಿಸ್ಟಬಲ್ ಇರ್ರಿವರ್ಸಿಬಲ್ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಲು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಜೈವಿಕವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಇನ್ಪುಟ್ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಿಸ್ಟಬಿಲಿಟಿ). ಜೈವಿಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಆಯಾ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಅಲ್ಟ್ರಾಸೆನ್ಸಿಟಿವ್, ಬಿಸ್ಟೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಬಿಸ್ಟೇಬಲ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳು ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸುತ್ತ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ-ಇವು ಅವುಗಳ ದ್ವಿಭಾಜನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ದೋಷದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಉದಾಹರಣೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ x (ಉದಾ. ಪ್ರೋಟೀನ್ ಸಾಂದ್ರತೆ) ಸಮೃದ್ಧಿಯು ತನ್ನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆಃ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಷ್ಟಕರ ಅಥವಾ ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಬದಲು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ತ್ವರಿತ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ತಿಳಿವಳಿಕೆಯುಳ್ಳದ್ದಾಗಿದೆ. ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ನಡವಳಿಕೆಯ ಗುಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಮತೋಲನ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ನಿಯಂತ್ರಣ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ದ್ವಿಭಾಜನಗಳು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ವಿಭಜನೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿ, ಲಂಬವಾದ ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿರುವ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಣ ನಿಯತಾಂಕ, r ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಲಂಬ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಕಿರಣದ ವಿಚಲನವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್, x ಆಗಿದೆ. r ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, x ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ-ದ್ವಿಭಾಜನ ಬಿಂದು-ಕಿರಣವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಸೆಟಪ್ನಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ದೋಷಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬಕಲ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪಿಚ್ಫೋರ್ಕ್ ವಿಭಜನೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಯಂತ್ರಣ ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾತ್ಮಕ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದವು. ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಇಲ್ಲಿ r ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಿಯಂತ್ರಣ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ε ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ). ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರ ವಕ್ರರೇಖೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ದಾಟುವ ಸ್ಥಳದಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಹರಿವಿನ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 2ರಲ್ಲಿ, ಹಸಿರು ಬಿಂದುವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ (ವಿಭಿನ್ನ ಹರಿವು), ಮತ್ತು ಕೆಂಪು ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ (ಒಮ್ಮುಖ ಹರಿವು). ಮೊದಲಿಗೆ, r 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಾಗ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ, ಆರ್ = 0 ನಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಡಿಕ್ಕಿ ಹೊಡೆಯುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಆರ್ <0 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿಯಂತ್ರಣ ನಿಯತಾಂಕ r 0 ಆಗಿರುವಾಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ, 0 ಒಂದು ದ್ವಿಭಾಜನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು r ಬದಲಾಗುವಂತೆ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವ ಮೂಲಕ, ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ದ್ವಿಭಾಜನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ರೀತಿಯ ವಿಭಜನೆಗಳು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತಡಿ-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಜೈವಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷ ಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಸಣ್ಣ ಸಂಭವನೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ತಡಿ ಗ್ರಂಥಿಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದಾದ "ಅಪೂರ್ಣ" ವಿಭಜನೆಗಳ ಅಂತಹ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ದೋಷದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಡಲ್ ನೋಡ್ ಸ್ವತಃ x-r ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿ ಭಾಷಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಗುಣಾತ್ಮಕ ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಯಿಲ್ಲ; ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಅದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಅಪೂರ್ಣ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ದ್ವಿಭಾಜನ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಳ ದ್ವಿಭಾಜನವೆಂದರೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ದ್ವಿಭಾಜನ, ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 4 (ಕಪ್ಪು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು) ರಲ್ಲಿ ದ್ವಿಭಾಜನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹಂತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 5ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಂತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ x-ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ಗಳನ್ನು r ಬದಲಾದಂತೆ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪಥಗಳಿವೆ; ಇದು ದ್ವಿಭಾಜನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ x-ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬದಲಾದಾಗ). ಎಡ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ದೋಷ ಪದ h ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ 0 <h <<1 ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ದೋಷ ಪದವು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ, h ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 6ರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ (x <0), ಕಪ್ಪು, ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ, ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ಅರ್ಧಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೆಜೆಂಟಾ, ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು ನೀಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ (x> 0). ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವು ತಡಿ-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಯಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚಿತ್ರ 4ರ ಕೆಂಪು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಎರಡು ತಡಿ-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಗಳಿಂದ ಅಪೂರ್ಣ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಹಂತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಹರಿವನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವಿಧ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 0ಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿಃ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ x *: ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು 4h <<r2 ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಚಿತ್ರ 6ರಲ್ಲಿನ ತಿಳಿ ನೀಲಿ ಮತ್ತು ಹಸಿರು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಂತಹ ದ್ವಿಭಾಜನ ಬಿಂದುವನ್ನು ದಾಟಿದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ, ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಇದನ್ನು x * ಅನ್ನು ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. r ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಇದು ಅಚ್ಚರಿಯೇನಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಹಂತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಹರಿವಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿರುವ ಬಣ್ಣಗಳು ಚಿತ್ರ 6ರಲ್ಲಿರುವ ಬಾಣಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಅಪೂರ್ಣ ಪಿಚ್ಫೋರ್ಕ್ ವಿಭಜನೆ ಹಿಂದಿನ ಬಕ್ಲಿಂಗ್ ಕಿರಣದ ಉದಾಹರಣೆಯು ಪಿಚ್ಫೋರ್ಕ್ ವಿಭಜನೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಬಹುಶಃ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ "ಟ್ರೈಫರ್ಕೇಷನ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಚಿತ್ರ 7 ರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ "ಆದರ್ಶ" ಪಿಚ್ಫೋರ್ಕ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆರ್ = 0 ಅಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 8 ರ ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ಕಪ್ಪು ಚುಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ 0 ದಾಟಿದಂತೆ, ಕಪ್ಪು ಚುಕ್ಕೆಯು ಮೂರು ಪಥಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ನೀಲಿ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು, ಎಡಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಕೆಂಪು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಮೂರನೇ ಅಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು. ನೀಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣಗಳು ಚಿತ್ರ 7 (ಎಡ) ರಲ್ಲಿ ಘನ ರೇಖೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಪ್ಪು ಅಸ್ಥಿರ ಪಥವು ಧನಾತ್ಮಕ x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚುಕ್ಕೆಗಳಿರುವ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ದೋಷ ಪದ h ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ 0 <h <<1, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಚಿತ್ರ 9.Tracking ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಹಂತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ x-ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ಗಳು r ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಚಿತ್ರ 7 (ಬಲ) ನಿಂದ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚಿತ್ರ 9ರ ನೀಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಚಿತ್ರ 7ರ (ಬಲ) ಮೇಲಿನ ಪಥಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ; ಹಸಿರು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಪಥವಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಕೆಂಪು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಳಭಾಗದ ಪಥವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪೂರ್ಣ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (h ಷ್ಣ 0), ಪಿಚ್ಫೋರ್ಕ್ ವಿಭಜನೆಯು ತಡಿ-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬದಲಿಗೆ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಇಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ 1) ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು x * ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ, 2) ಪ್ರತಿ x * ಅನ್ನು ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿ, ನಂತರ 3) ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪರತೆಯ ಸಂಯೋಜಿತ ತಡಿ-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಗಳು ಬಹುಪರತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ಅನೇಕ ಜೈವಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರತೆಯು (ಬಹುಸ್ಥಾಯಿತ್ವದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ) ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅತಿ-ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಂಶಗಳ ಮಿಶ್ರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಲಬಂಧ ವಿನ್ಯಾಸದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಬಿಸ್ಟೇಬಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಹಿಸ್ಟೆರೆಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಳಹರಿವಿನ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೆಲ್ಯುಲಾರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸ್ವಿಚ್ ತರಹದ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಜೀವಕೋಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಬೇಕೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ; ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಮಿತಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಉಷ್ಣದ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾದಾಗ, ಹಿಸ್ಟೆರೆಟಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಆನ್-ಆಫ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಸಂಪನ್ಮೂಲ-ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿರಬಹುದು. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಜಾಲಗಳಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅವುಗಳ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಜೀವಕೋಶದ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತವೆ. ಜಿ1/ಎಸ್, ಜಿ2/ಎಂ, ಮತ್ತು ಮೆಟಾಫೇಸ್-ಅನಾಫೇಸ್ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಜೀವಕೋಶದ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಜೀವರಾಸಾಯನಿಕ ಸ್ವಿಚ್ಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಸೆನೋಪಸ್ ಲೇವಿಸ್ನ ಮೊಟ್ಟೆಯ ಸಾರಗಳನ್ನು ಸೈಕ್ಲಿನ್-ಅವಲಂಬಿತ ಕೈನೇಸ್, ಸಿಡಿಸಿ 2 ರ ಫಾಸ್ಫೊರಿಲೇಷನ್ನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದಂತೆ ಮಿಟೋಸಿಸ್ನ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಓಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಆಹಾರ ಜಾಲ ಸಂವಹನ ಜಾಲಗಳ ಚಲನಶೀಲತೆಯು ಹೋಪ್ಫ್ನ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉತ್ಪಾದಕ, ಖನಿಜ ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಮತ್ತು ಸಸ್ಯಾಹಾರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಲವಾಸಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮತೋಲನ, ಸೈಕ್ಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಳಿವಿನ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಂಶೋಧಕರು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಉದಯೋನ್ಮುಖ ಯೀಸ್ಟ್ನಲ್ಲಿ (ಎಸ್. ಸೆರೆವಿಸಿಯಾ) ಗ್ಯಾಲಕ್ಟೋಸ್ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಗ್ಯಾಲಕ್ಟೋಸ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಜಿಎಎಲ್ ಪ್ರವರ್ತಕರಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಜಿಎಫ್ಪಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೂಲಕ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪ್ರಚೋದಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಚೋದಿತವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಸ್ಟಬಲ್ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಜಿಎಫ್ಪಿ-ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಲ್ಯಾಕ್ ಪ್ರವರ್ತಕದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದ ಥಿಯೋ-ಮೀಥೈಲ್ ಗ್ಯಾಲಕ್ಟೋಸೈಡ್ (ಲ್ಯಾಕ್ಟೋಸ್ ಅನಲಾಗ್) ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಇ. ಕೋಲಿಯಲ್ಲಿನ ಲ್ಯಾಕ್ಟೋಸ್ ಬಳಕೆಯು ಅಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಹಿಸ್ಟರೆಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ). ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಥಿಯರಿ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಥಿಯರಿ ಸೆಲ್ ಸೈಕಲ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಬಯಾಲಜಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಬಯಾಲಜಿ ಸೆಲ್ಯುಲಾರ್ ಮಾದರಿ ರಿಕಾರ್ಡೊ ಕೆವಿನ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್ ಥಿಯರಿ