Rectangular potential barrier
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಆಯತಾಕಾರದ (ಅಥವಾ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಚದರ) ಸಂಭಾವ್ಯ ತಡೆಗೋಡೆಯು ತರಂಗ-ಯಾಂತ್ರಿಕ ಟನಲಿಂಗ್ ("ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟನಲಿಂಗ್" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ತರಂಗ-ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ತಡೆಗೋಡೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುವ ಕಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಮಯ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿದ್ದಂತೆ, ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಕಣವು ಎಡದಿಂದ ಬರುವ ತಡೆಗೋಡೆಗೆ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ ಕಣವು ಅದರ ಶಕ್ತಿಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ದ್ರವ್ಯ ತರಂಗವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ ಕಣಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ತಡೆಗೋಡೆಯನ್ನು ಭೇದಿಸುವ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ತರಂಗವಾಗಿ ತನ್ನ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತರಂಗ-ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಇವಾನೆಸೆಂಟ್ ತರಂಗ ಜೋಡಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಣವು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿಫಲಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ನ ತರಂಗ-ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಯ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದು (ಕಡಿಮೆಯಾದ) ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಕಣದ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಅಗಲದೊಂದಿಗೆ ತಡೆಗೋಡೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೆವಿಸೈಡ್ ಹಂತದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ತಡೆಗೋಡೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ತಡೆಗೋಡೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ತಡೆಗೋಡೆ ಜಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ (). ಈ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕಣವು ಅರೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಚಲಿಸುವ ಅಲೆಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು (ಮುಕ್ತ ಕಣವನ್ನು ನೋಡಿ). ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮೂಲಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವೇಗ ವಾಹಕದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕಣದ ಶಕ್ತಿಯು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಡೆಗೋಡೆಯೊಳಗೆ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಲೆಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಹರಡುತ್ತಿಲ್ಲವಾದರೂ ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ತರಂಗ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಮೇಲೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಣವು ತಡೆಗೋಡೆ ಪ್ರದೇಶದ ಹೊರಗೆ ಮುಕ್ತ ಕಣವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ತಡೆಗೋಡೆಯ ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ತಡೆಗೋಡೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಮೇಲೆ ಆಪಾದಿತವಾಗಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಎಡಭಾಗದಿಂದ ತಡೆಗೋಡೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕಣದ ಘಟನೆ ಇದು ಪ್ರತಿಫಲಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಹರಡಬಹುದು ಎಡದಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಒಳಬರುವ ಕಣ), (ಪ್ರತಿಫಲನ), (ಬಲದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಒಳಬರುವ ಕಣವಿಲ್ಲ), ಮತ್ತು (ಪ್ರಸರಣ) ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆಃ ಮಾದರಿಯ ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದಾಗಿ, ಬಲದಿಂದ ಸಂಭವಿಸುವ ವೈಶಾಲ್ಯದ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಎಡದಿಂದ ಬರುವ ವೈಶಾಲ್ಯದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಎರಡೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವವಿದೆ. ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ E <V0 ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ತಡೆಗೋಡೆಯ ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ, ಕಣವು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಮೂಲಕ ಹರಡುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಈ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟನಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಅಗಲದೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ನಿಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ರೂಪದಿಂದ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ತಡೆಗೋಡೆಯ ಹೊರಗೆ ಇದು ತರಂಗ ವಾಹಕದೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಆದರೆ ತಡೆಗೋಡೆಯೊಳಗೆ ಅದನ್ನು ದೂರದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ತೇವಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ತಡೆಗೋಡೆ ಈ ಕೊಳೆಯುವ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಗಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗವು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸುರಂಗವನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. E> V0 ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಡೆಗೋಡೆಯ ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ, ಕಣವು ತಡೆಗೋಡೆಯಿಂದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಅಷ್ಟೇ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿಫಲನ (,) ಇಲ್ಲದೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಪ್ರಸರಣದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಅಗಲವು ತೃಪ್ತಿಯಾದಾಗ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ (ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರದ ಶಿಖರಗಳು ಮತ್ತು 1.8 ನೋಡಿ). ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಎತ್ತರದ ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ (ಮೇಲಿನ/ಕೆಳಗಿನ) ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. E = V0 ಪ್ರಸರಣದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಇತರ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಅದರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಅನುಪಾತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಈಗ, x 1 ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ (ಎಲ್ 'ಹೋಪಿಟಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು), 1 ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮಿತಿಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, T ಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೀಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಮೊದಲಿಗೆ ಅವಾಸ್ತವಿಕವೆಂದು ಮತ್ತು ಅಷ್ಟೇನೂ ಉಪಯುಕ್ತವಲ್ಲವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ವಿವಿಧ ನೈಜ-ಜೀವನದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾದರಿಯೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಎರಡು ವಾಹಕ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಸಾಧನಗಳು. ಬಹುಪಾಲು ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳ ಚಲನೆಯು ಅರೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಚಲನಶೀಲ ಪದದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಂತಹ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಆಕ್ಸೈಡ್ ಪದರಗಳಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಇತರ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಈ ತೆಳುವಾದ, ವಾಹಕವಲ್ಲದ ಪದರವನ್ನು ನಂತರ ಮೇಲಿನಂತೆ ತಡೆಗೋಡೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ನಂತರ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸುರಂಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ಸ್ಕ್ಯಾನಿಂಗ್ ಟನಲಿಂಗ್ ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ (ಎಸ್ಟಿಎಂ) ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಈ ಟನಲಿಂಗ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಡೆಗೋಡೆ ಎಸ್ಟಿಎಂನ ತುದಿ ಮತ್ತು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ನಡುವಿನ ಅಂತರದಿಂದಾಗಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಸುರಂಗದ ಪ್ರವಾಹವು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಅಗಲದ ಮೇಲೆ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಾಧನವು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಎತ್ತರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯು ಒಂದು-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳವು ಮೂರು-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅನೇಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನುವಾದವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಅವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದವು. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಂತರ ಪ್ರಕಾರದ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅನ್ಸಟ್ಜ್ನಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದುಃ. ತಡೆಗೋಡೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾದರಿಗಾಗಿ, ಡೆಲ್ಟಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ತಡೆಗೋಡೆ (ಕ್ಯೂಎಂ) ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಭಾವ್ಯ ತಡೆಗೋಡೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನದ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಡೆಲ್ಟಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ತಡೆಗೋಡೆಗೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಮೋರ್ಸ್/ಲಾಂಗ್-ರೇಂಜ್ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸ್ಟೆಪ್ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫೈನೈಟ್ ವೆಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಡೆಲ್ಸ್ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.