Grothendieck category
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೀವ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಏಕೀಕೃತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ 1957 ರ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ತೋಹೋಕು ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವರ್ಗಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು 1962ರಲ್ಲಿ ಪಿಯರೆ ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್ ಅವರ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಪ್ರತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಹೊದಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವರ್ಗವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು (ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್-ರೋಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಪ್ರಮೇಯ) ದಿಂದ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆಃ "ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ" ಅಧ್ಯಯನವು (ಕೆಲವು) ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಲ್ಲದೆ ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ಜನರೇಟರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಎಬಿ5 ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಅದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ; ಪ್ರತಿಯೊಂದು (ಬಹುಶಃ ಅನಂತ) ವಸ್ತುಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಸಹಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (ನೇರ ಮೊತ್ತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಹೊಂದಿದೆ; ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ನೇರ ಮಿತಿಗಳು ನಿಖರವಾಗಿವೆ; ಇದರರ್ಥ ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ನೇರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನೇರ ಮಿತಿಗಳ ಪ್ರೇರಿತ ಅನುಕ್ರಮವು ಚಿಕ್ಕ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. (ನೇರ ಮಿತಿಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಿಯಾದ-ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಅವು ಎಡ-ನಿಖರವಾಗಿರಬೇಕು. ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುವ ಒಂದು ವಸ್ತು ಇದೆ. (ನಮ್ಮ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವು ಒಂದು ಅಪರೂಪತೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, (ಬಹುಶಃ ಅನಂತ) ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಒಂದು.) "ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗ" ಎಂಬ ಹೆಸರು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ತೋಹೋಕು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಾಗಲೀ ಅಥವಾ ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಾಗಲೀ ಕಾಣಿಸಲಿಲ್ಲ; ಇದು 1960ರ ದಶಕದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಜಾನ್-ಎರಿಕ್ ರೂಸ್, ಬೋ ಸ್ಟೆನ್ಸ್ಟ್ರೋಮ್, ಉಲ್ರಿಚ್ ಒಬರ್ಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ಬೋಡೋ ಪರೇಗಿಸ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿತು. (ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಜನರೇಟರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.) ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದ ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ; ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪು ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ (ಸಹವರ್ತಿ, ಜೊತೆಗೆ, ಆದರೆ ಸಂವಹನ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ), ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಲ (ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿಃ ಎಡ) ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ; ಸ್ವತಃ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಪೊರೆಗಳ ವರ್ಗವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಃ ಬಲ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೀವ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ಗೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ.) ರಿಂಗ್ಡ್ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಎಕ್ಸ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸೀವ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು (ಅಫೈನ್ ಅಥವಾ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್) ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಃ ಯಾವುದೇ ಯೋಜನೆ) ನೀಡಿದರೆ, ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಹೊದಿಕೆಗಳ ವರ್ಗವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ತಾಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಸಿ, ಜೆ) (ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ವರ್ಗ ಸಿ ಜೊತೆಗೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಜೆ), ಸೈಟ್ನಲ್ಲಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಪೊರೆಗಳ ವರ್ಗವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗವು ಸ್ವತಃ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ವರ್ಗವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರೀಅಡಿಟಿವ್ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಡಿಟಿವ್ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಫಂಕ್ಟರ್ ವರ್ಗವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಸೆರ್ರೆ ಅಂಶ ವರ್ಗಗಳು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪ್ರತಿ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಕೋಜೆನೆರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಕೋಜೆನೆರೇಟರ್ ಅಂಶ ಗುಂಪು. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಧನಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. (ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗಗಳು ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಥಳದಂತಹ ಅನೇಕ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಪೊರೆಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವಿನ ಉಪ-ವಸ್ತುಗಳ ಯಾವುದೇ ಕುಟುಂಬವು ಸರ್ವೋನ್ನತ (ಅಥವಾ "ಮೊತ್ತ") ಮತ್ತು ಅನಂತ (ಅಥವಾ "ಛೇದಕ") ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇವೆರಡೂ ಮತ್ತೆ ಅದರ ಉಪ-ವಸ್ತುಗಳಾಗಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ (ಅಂದರೆ. ಕುಟುಂಬದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ಎರಡನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ವಸ್ತು ಇದೆ), ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಉಪ-ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಆ ಪದವನ್ನು ಬೇರೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವಿನ ಉಪ-ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗದ ಬದಲಿಗೆ). ಪ್ರತಿ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಆಳವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಿತಿಗಳು (ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಇದು ಸಹ-ಪೂರ್ಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕೊಲಿಮಿಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳು) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದ ಸಹಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿಖರವಾಗಿವೆ (ಅಂದರೆ. ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಸಹಉತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ), ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿಖರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಡ ಪಕ್ಕವಾದ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಕೊಲಿಮಿಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಬಲ ಪಕ್ಕವಾದ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಪೀಟರ್ ಜೆ. ಫ್ರೈಡ್ನ ವಿಶೇಷ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಫಂಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ವಂದ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ಕೆಲವು ಏಕಾಂಗಿ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಬಲ ಘಟಕಗಳ ವರ್ಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಪವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಜನರೇಟರ್ನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು), ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ಥಳೀಯ ಉಪವರ್ಗದಿಂದ ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್ ಅಂಶವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್-ಪೊಪೆಸ್ಕು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್-ಪೊಪೆಸ್ಕುವಿನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್-ಪೊಪೆಸ್ಕುವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಕೆಲವರಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಣ್ಣ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು. ಲೆಫ್ಟ್-ಎಕ್ಸ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಡಿಟಿವ್ (ಕೋವೆರಿಯಂಟ್) ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ವರ್ಗವು (ಅಲ್ಲಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ) ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಟರ್, ಪೂರ್ಣ, ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲರ ಸಹಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವರ್ಗವು ಇಂಡ್-ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಇದನ್ನು ಸಹ-ಪೂರ್ಣತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗಗಳು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಫೈನೈಟ್ಲಿ ಜನರೇಟೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಉಪ-ವಸ್ತುಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಅದು ಈಗಾಗಲೇ ಸೀಮಿತ ಉಪಕುಟುಂಬದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. (ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ವರ್ಗಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಪರಿಚಿತ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳ ಅಪುರೂಪದ ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಒಂದುವೇಳೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಹಾಗೆಯೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಒಂದು ಏಕರೂಪವಾದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾದ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಾರ್ಫಿಸಂನಂತಹ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಕುಟುಂಬ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ; ಸಮಾನವಾಗಿಃ) ನ ಪ್ರತಿಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಕ್ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವೂ ಅದರ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪವಸ್ತುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದ ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರತಿ ಅಪರೂಪತೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಇದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದುವೇಳೆ ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದುಃ ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇನ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಉಪ-ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಇದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಹೊದಿಕೆಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.) ಎಲ್ಲಾ ಸುಸಂಬದ್ಧ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಪವರ್ಗವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ ಫಂಕ್ಟರ್ ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಉಪವಸ್ತುಗಳ ಸಮೂಹವು ಆರೋಹಣ ಸರಪಳಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುವನ್ನು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಬ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದರೆ. X ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಪರಿಚಿತ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.) ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗವು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಎಡ-ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳು, ಡೇನಿಯಲ್ ಮರ್ಫೆಟ್ ಅವರ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. ವಿಭಾಗ 2.3 ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಯೋಜಕ ವರ್ಗಗಳು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ