Construction of an irreducible Markov chain in the Ising model
ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಚೈನ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸೀಮಿತ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಗುಡ್ನೆಸ್-ಆಫ್-ಫಿಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ ಎದುರಾಗುವ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಅಡಚಣೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸುವ ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಾಂತೀಯ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಂವಹನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವಾಹಕವನ್ನು, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ಎಂದು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಧಾರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಾಹಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆಃ (i) ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಮತ್ತು ಇರಬೇಕು. (ii) ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಯಾವಾಗಲೂ ತೃಪ್ತಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು l = 1,.., k. ನಂತರ, ಮೆಟ್ರೋಪೊಲಿಸ್-ಹೇಸ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅಪೆರಿಯೋಡಿಕ್, ರಿವರ್ಸಿಬಲ್ ಮತ್ತು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಚೈನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. 1998ರಲ್ಲಿ ಪರ್ಸಿ ಡಯಾಕೋನಿಸ್ ಮತ್ತು ಬರ್ನ್ಡ್ ಸ್ಟರ್ಮ್ಫೆಲ್ಸ್ ಅವರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ 'ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಫಾರ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಫ್ರಮ್ ಕಂಡಿಷನಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್' ಎಂಬ ಪ್ರಬಂಧವು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಗದದ ಪ್ರಕಾರ, ಆದರ್ಶಕ್ಕಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪಾದಕ ಸೆಟ್ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸದೆ, ಏಕರೂಪದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ತಪ್ಪಾದ p-ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಸ್ವಾಪ್ ಅನ್ನು ರೂಪದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಬೇಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಸರಳ ವಿನಿಮಯಗಳು yಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಜಾಲರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ. Z ಮಾದರಿ ವಿನಿಮಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎರಡು ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು Z ನಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸರಳ ವಿನಿಮಯಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಾರ್ಗವಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ l = 1,., k ನೊಂದಿಗೆ ಇರುವಂತೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಈಗ ಹೀಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ (i) ಸಂರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ (ii) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. (iii) ಸ್ವೀಕರಿಸಿ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ y ನಲ್ಲಿಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಿಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ, 1-ಆಯಾಮದ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, 1-ಆಯಾಮದ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರೋಪೊಲಿಸ್-ಹೇಸ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಣ್ಣ ವಿಸ್ತರಿತ ಮಾದರಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸಬಹುದು 1-ಆಯಾಮದ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯ ಪುರಾವೆಗೆ ಎರಡು ಲೆಮ್ಮಾಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಲೆಮ್ಮಾ 1:1-ಆಯಾಮದ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್-ಸಿಂಗ್ಲೆಟನ್ ಸಂರಚನೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಅದರ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳ ಸ್ಥಳದವರೆಗೆ) ಮತ್ತು ಸಿಂಗ್ಲೆಟನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗಾತ್ರದ ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಲೆಮ್ಮಾ 2: ಫಾರ್ ಮತ್ತು, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್-ಸಿಂಗ್ಲೆಟನ್ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ಮತ್ತು l = 1,., k ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ವಿಸ್ತರಿತ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಸರಳ ವಿನಿಮಯಗಳು Z ನಿಂದ ಬಿಡದೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಲೆಮ್ಮಾ 2 ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು 1-ಆಯಾಮ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗೆ ಸರಳ ವಿನಿಮಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಹಂತಗಳ ಮೂಲಕ ಆಯಾಮ 2 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗೆ ಅದೇ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಮಾದರಿಗಳು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ