Finite geometry
ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಕೇವಲ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಪರಿಚಿತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖೆಯು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು, ಅಲ್ಲಿ ಪಿಕ್ಸೆಲ್ಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆಯಾದರೂ, ಅವುಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಸರಳತೆಯಿಂದಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗಮನ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಇತರ ಗಮನಾರ್ಹ ವಿಧಗಳೆಂದರೆ ಸೀಮಿತ ಮೋಬಿಯಸ್ ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ ಸಮತಲಗಳು ಮತ್ತು ಲಗುರೆ ಸಮತಲಗಳು, ಇವು ಬೆಂಜ್ ಸಮತಲಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಮಿತ ವಿಲೋಮ ರೇಖಾಗಣಿತಗಳು. ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ; ಹೀಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂರು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವಾಹಕ ಜಾಗವನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವುದು). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಯಾಮ ಎರಡು ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರದ ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಡಿಸಾರ್ಗೆಸಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ಲೇನ್ಗಳು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇತರ ರೀತಿಯ ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಸೀಮಿತ ಸಮತಲಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸೀಮಿತ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ವಿಧದ ಸೀಮಿತ ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತಗಳಿವೆಃ ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್. ಅಫೈನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎರಡನ್ನೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಪ್ಲೇನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸೆಟ್ X (ಇದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು "ಬಿಂದುಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಜೊತೆಗೆ X ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸಂಗ್ರಹ L (ಇದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು "ರೇಖೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅಂದರೆಃ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ಎರಡೂ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ಲೇಫೇರ್ನ ಸೂತ್ರಃ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಆನ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಾಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಒಂದೇ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವು ರೇಖಾಗಣಿತವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಖಾಲಿ ಅಥವಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿರಲು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದೇ ಸಾಲು), ಆದರೆ ಮೊದಲ ಎರಡು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಳವಾದ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವು ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಆರ್ಡರ್ 2 ರ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಅಫೈನ್ ಸಮತಲದ ಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ.) ಯಾವುದೇ ಮೂರೂ ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮತಲವು ಆರು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು "ಸಮಾನಾಂತರ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಕರ್ಣೀಯಗಳನ್ನೂ ಸಹ "ಸಮಾನಾಂತರ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಡರ್ 3ರ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವನ್ನು ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವು n2 ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು n ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಒಂದು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸೆಟ್ X (ಇದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು "ಬಿಂದುಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಜೊತೆಗೆ X ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸಂಗ್ರಹ L (ಇದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು "ರೇಖೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅಂದರೆಃ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ಎರಡೂ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಒಂದೇ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಪಾತ್ರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಮೊದಲ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಅವು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಏಳು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ, ಏಳು ರೇಖೆಗಳಿವೆ; ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಮೂರು ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಫ್ಯಾನೊ ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಿಂದ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಆ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ರೇಖಾಗಣಿತವು 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ಯಾನೋ ಸಮತಲವನ್ನು ಕ್ರಮ 2ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲವು n2 + n + 1 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು n + 1 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು n + 1 ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು) ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವ ಫ್ಯಾನೊ ಸಮತಲದ ಏಳು ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಸಮತಲದ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಗುಂಪು 168ನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2,7) ≈ ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (3,2) ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಈ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು n ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಕ್ಕೆ), ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು n + 1 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ). ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆಃ ಸೀಮಿತ ಸಮತಲದ ಕ್ರಮವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಯೇ? ಇದು ನಿಜವೆಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. n ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಾದಾಗ (ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ), ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ n ಕ್ರಮದ ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಂದ ಪಡೆಯದ ವಿಮಾನಗಳು ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಫಾರ್), ಆದರೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಆರ್ಡರ್ ಎ ಪ್ರೈಮ್ ಪವರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗಿನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ 1949ರ ಬ್ರೂಕ್-ರೈಸರ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಇದು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ n ಒಂದು ರೂಪದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ n ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, n ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಮತಲದ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಬ್ರೂಕ್-ರೈಸರ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಆವರಿಸದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು 10 ಆಗಿದೆ; 10 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಡರ್ 10 ರ ಸೀಮಿತ ಸಮತಲದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು 1989 ರಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ-ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ. ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾದ ಮುಂದಿನ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ 12, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಥಾಮಸ್ ಪೆನಿಂಗ್ಟನ್ ಕಿರ್ಕ್ಮನ್ (1847) ಅವರ ಕೃತಿ ಮತ್ತು ವಾನ್ ಸ್ಟಾಡ್ಟ್ (1856) ನೀಡಿದ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗಿನೋ ಫ್ಯಾನೊ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಎನ್-ಸ್ಪೇಸ್ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅವರ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಅವರು 15 ಬಿಂದುಗಳು, 35 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 15 ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ (ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ), ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು ಕೇವಲ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅದರ ಮೇಲೆ. 1906ರಲ್ಲಿ ಓಸ್ವಾಲ್ಡ್ ವೆಬ್ಲೆನ್ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಚ್. ಬುಸ್ಸಿ ಅವರು ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಜಿಎಫ್ (ಕ್ಯೂ) ಯ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎನ್ + 1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಪಿಜಿ (ಎನ್, ಕ್ಯೂ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ರೂಪಾಂತರ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 3 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಳಗಳು ಸೀಮಿತ ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಳಗಳ ರೇಖಾಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗಾಗಿ, ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಳಗಳ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯು. ಪಿ. ಯ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಹಿರ್ಷ್ಫೆಲ್ಡ್. ಈ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳ () ಅಧ್ಯಯನವು ಮುಂದುವರಿದ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ S ಅನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ P (ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಜೊತೆಗೆ P (ರೇಖೆಗಳ ಸೆಟ್) ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ L ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು p ಮತ್ತು q ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿವೆ. ವೆಬ್ಲೆನ್ನ ಸೂತ್ರಃ a, b, c, d ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ab ಮತ್ತು cd ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳು ಸಂಧಿಸಿದರೆ, AC ಮತ್ತು bd ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳೂ ಸಹ ಹಾಗೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಾಲು ಕನಿಷ್ಠ 3 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ 2-ಬಿಂದು ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಪಿ, ರೇಖೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಲ್, ಮತ್ತು ಯಾವ ಬಿಂದುಗಳು ಯಾವ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ರಚನೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆಃ P ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಾಗದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು X ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ X ನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು X ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ X ನಲ್ಲಿದೆ). ಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಪ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಯಾಮವು ಈ ರೂಪದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಆರೋಹಣ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು n ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿರ್ಮಾಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಡಿಗೆ ಡಿ ಮೇಲೆ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ (ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಯಾಮವು ಬೇಸಿಸ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ). ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ 1-ಆಯಾಮದ (ಏಕ ಜನರೇಟರ್) ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಪಿ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು 2-ಆಯಾಮದ (ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಜನರೇಟರ್ಗಳು) ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಲ್ ಆಗಿರಲಿ (ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ). ಘಟನೆಯು ನಿಯಂತ್ರಣವಾಗಿದೆ. ಡಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಜಿಎಫ್ (ಕ್ಯೂ) ಆಗಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್ನ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ವಿಭಾಗ ವಲಯಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಯಾಮವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ವಿಭಾಗ ವಲಯವಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಯಾಮಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಮದ ಎರಡು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪಿಜಿ ಎಂದರೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಎನ್ ಎಂಬುದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು q ಎಂಬುದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗಾತ್ರ (ಕ್ರಮ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಗೌಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕದ q ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಯಾಮದಿಂದ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಆಯಾಮ 0 (ರೇಖೆಗಳಿಲ್ಲ): ಸ್ಥಳವು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಎಷ್ಟು ಕ್ಷೀಣವಾಗಿದೆಯೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ 1 (ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಾಲು): ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ 2: ಕನಿಷ್ಠ 2 ಸಾಲುಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ a ಯೊಂದಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ. ಡೆಸಾರ್ಗ್ಯೂಸಿಯನ್ ಸಮತಲಗಳು (a ಯೊಂದಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವವು) ಡೆಸಾರ್ಗ್ಯೂಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅನೇಕ ಡೆಸಾರ್ಗ್ಯೂಸಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸಮತಲಗಳಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮ 3: ಛೇದಿಸದ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ವೆಬ್ಲೆನ್-ಯಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೀಮಿತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಯಾಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ GF (q) ಮೇಲೆ n-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ತ್ರಿ-ಸ್ಥಳವು GF (2) ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪಿಜಿ (3,2) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 15 ಅಂಕಗಳು, 35 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 15 ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮತಲವು 7 ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು 7 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಲು 3 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಂತೆ, ಈ ಸಮತಲಗಳು ಫ್ಯಾನೊ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಅಂಕವೂ 7 ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮತಲಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. 1892ರಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಗಿನೋ ಫ್ಯಾನೊ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. ಕಿರ್ಕ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಶಾಲಾ ಬಾಲಕಿಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಪಿಜಿ (3,2) ಕಿರ್ಕ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಶಾಲಾ ಬಾಲಕಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ "ಹದಿನೈದು ಶಾಲಾ ಬಾಲಕಿಯರು ಪ್ರತಿದಿನ ಮೂರು ಜನರ ಐದು ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ವಾರದವರೆಗೆ ಹುಡುಗಿಯರ ನಡಿಗೆಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡಿ, ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಹುಡುಗಿಯರು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಾರಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ನಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಹುಡುಗಿಯರು ಒಟ್ಟಿಗೆ ನಡೆಯಲು 35 ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿವೆ. ವಾರದಲ್ಲಿ 7 ದಿನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ 3 ಹುಡುಗಿಯರೂ ಇರುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಏಳು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಫ್ಯಾನೋ 3-ಸ್ಪೇಸ್, ಪಿಜಿ (3,2) ನಲ್ಲಿನ ರಚನೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಹರಡುವಿಕೆಯು ಅದರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಹರಡುವಿಕೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು. ಪಿಜಿ (3,2) ಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಪ್ರೆಡ್ ಎಂದರೆ 15 ಅಂಕಗಳನ್ನು 5 ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ (ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 3 ಅಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ) ವಿಭಜಿಸುವುದು, ಹೀಗಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿನದಂದು ಶಾಲಾ ಬಾಲಕಿಯರ ಜೋಡಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪಿಜಿ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ (3,2) ಏಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಪ್ರೆಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ವಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬ್ಲಾಕ್ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಜ್ಯಾಮಿತಿ) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಹತ್ತಿರ ಭಾಗಶಃ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪೋಲಾರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎರಿಕ್ ಮೂರ್ಹೌಸ್ ಅವರ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಟೆರೆನ್ಸ್ ಟಾವೊ ಅವರ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮೈಕೆಲ್ ಗ್ರೀನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರ ಫೈನೈಟ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಬಂಧ ಫೈನೈಟ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ (ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್) ಫೈನೈಟ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳು ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯು. ಪಿ. ಹಿರ್ಷ್ಫೆಲ್ಡ್, ಪರಿಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಂಶೋಧಕರು ಹಿರ್ಷ್ಫೆಲ್ಡ್ ಅವರ ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಎಎಂಎಸ್ ಕಾಲಮ್ಃ ಫೈನೈಟ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು? ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು, 1998 ರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಥೊವರ್ಫ್ಲೋದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ 12 ರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಯೋಜನೆಗಳು