Gauss's lemma (number theory)
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಶೇಷವಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಷರತ್ತನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಣನೆಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಚತುರ್ಭುಜ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕೆಲವು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಇದು ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗಾಸ್ನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯ ಮೂರನೇ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ (1808) ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ಅವನು ಅದನ್ನು ತನ್ನ ಐದನೇ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ (1818) ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದನು. ಲೆಮ್ಮಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಹಮೌಲ್ಯವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಶೇಷಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಅವಶೇಷಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ) ಇವೆ. ಇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಈ ಅವಶೇಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ? ಉದಾಹರಣೆ = 11 ಮತ್ತು = 7 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಅನುಕ್ರಮವು 7,14,21,28,35 ಆಗಿದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲೋ 11 ರ ಕಡಿತದ ನಂತರ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು 7,3,10,6,2 ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂರು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು 11/2 (ಅಂದರೆ 6,7 ಮತ್ತು 10) ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ = 3. ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವು ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 7 ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಶೇಷ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 11 ಅಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ 7,3,10,6,2 ಅವಶೇಷಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು −4,3, −1, −5,2 ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, 11/2 ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅವಶೇಷಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು 1,2,3,4,5 ಅವಶೇಷಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೆನಪಿಸುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲೋ p ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಒಂದೆಡೆ ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಎರಡನೇ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ "ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ" ವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಏಕೆಂದರೆ ನಂತರದ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಆ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಆ ಗುಣಾಕಾರಗಳಿಗೆ, ಮೊದಲ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈಗ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ =, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಕನಿಷ್ಠ ಅವಶೇಷಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದವುಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಉಳಿದಿದೆ ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯೂಲರ್ನ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಎಡಭಾಗವು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಹಮೌಲ್ಯದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ನ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟದಂತಹ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಆಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿ. ಮೂಲ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ,. ಸಾಕ್ಷ್ಯವು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಗಾಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಅನೇಕವುಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲದರಲ್ಲೂ ಅಲ್ಲ, ಚತುರ್ಭುಜ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ತಿಳಿದಿರುವ ಪುರಾವೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಾಥೋಲ್ಡ್ ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಪರಸ್ಪರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗಿಂತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಅವರು ಘನ ಮತ್ತು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಲಿಯೋಪೋಲ್ಡ್ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಅವರು ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಚತುರ್ಭುಜ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು ಬಹುಶಃ "ಎರಡನೇ ಪೂರಕ ನಿಯಮ" ದ ಸರಳ ಪುರಾವೆಗಳಾದ ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಹೈಯರ್ ಪವರ್ಸ್ ಜನರಲೈಸೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಹೈಯರ್ ಪವರ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ದ್ವಿಧ್ರುವೀಯ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಎರಡನೇ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಗೌಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ದ್ವಿಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷರದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಗೌಸ್ ನಾಲ್ಕನೇ-ಶಕ್ತಿಯ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ತರುವಾಯ, ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ-ಶಕ್ತಿಯ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. n ನೇ ಶಕ್ತಿಯ ಶೇಷ ಚಿಹ್ನೆಯು k ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿರಲಿ. ಆದರ್ಶ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅವಶೇಷ ವರ್ಗದ ಉಂಗುರದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆದರ್ಶ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಏಕತೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಅದು ಮತ್ತು ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ (ಅಂದರೆ. ). ನಂತರ ಏಕತೆಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳು ಏಕರೂಪದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಆ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಮೋಡ್, ಮತ್ತು. ಏಕತೆಯ ಮೂಲಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಲೆಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅವಶೇಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕೋಪ್ರೈಮ್, ಮೋಡ್ ಆದರೆ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯು ಸುಳ್ಳು. ಹೀಗಾಗಿ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಳಿದ ವರ್ಗಗಳು ಅದರ (ಗುಣಾಕಾರದ) ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಮವು ಅದರ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದರಲ್ಲಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯವಿದೆ. ಫಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಮತ್ತು ಮೋಡ್ನಿಂದ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕತೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಏಕತೆಯ ಈ ಮೂಲವನ್ನು th-ಶಕ್ತಿಯ ಅವಶೇಷದ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 1/n ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಏಕತೆಯ ಒಂಬತ್ತನೇ ಮೂಲಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಕೋಸೆಟ್ಗಳ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಇದನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮೋಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಆರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ನಂತರ ಒಂದು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮೋಡ್ nth ಪವರ್ ಗಾಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ th ಪವರ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಏಕತೆಯ ಆದಿ ಮೂಲವಾಗಿರಲಿ, ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶವಾಗಿರಲಿ, (ಅಂದರೆ. ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿವೆ, ಅನನ್ಯ (ಮಾಡ್), ಮತ್ತು ಅನನ್ಯ (ಮಾಡ್), ಅಂದರೆ ಮತ್ತು th-ಪವರ್ ಅವಶೇಷ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ th-ಪವರ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಯು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಅದೇ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನನ್ಯತೆ (ಮಾಡ್) ಮತ್ತು (ಮಾಡ್), ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. = =, ಅಂದರೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಮತ್ತು ನಂತರ ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಇದು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, ಅದು ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಒಂದೆಡೆ, ಶಕ್ತಿಯ ಶೇಷ ಚಿಹ್ನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಮತ್ತು ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಏಕರೂಪತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಏಕತೆಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿರಬಾರದು (ಮಾಡ್) ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅವಶೇಷಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು {+ 1, −1} ಉಪಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಸೆಟ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಈ ಕೋಸೆಟ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ವರ್ಗಾವಣೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಲೆಮ್ಮಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಎಲ್ಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ನಂತರ ಈ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಶೇಷದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವ ಗಣನೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಮ್ಮಾಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.