List of conjectures by Paul Erdős
ಸಮೃದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪೌಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ಅವರ ವಿವಿಧ ಸಹಯೋಗಿಗಳು ವಿಷಯಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಎರ್ಡೋಸ್ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ಹಣಕಾಸಿನ ಬಹುಮಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಎರ್ಡೋಸ್-ಗ್ಯಾರ್ಫಾಸ್ ಕನಿಷ್ಠ ಡಿಗ್ರಿ 3 ರೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವಿರುವ ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಊಹೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ಹಾಜ್ನಾಲ್ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಪ್ರೇರಿತ ಉಪಗ್ರ್ಯಾಫ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ಮೊಲ್ಲಿನ್-ವಾಲ್ಷ್ ಅವರು ಪ್ರಬಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸತತ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ಸೆಲ್ಫ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕವರಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಮ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣ 4/n = 1/x + 1/y + 1/z ಬಗ್ಗೆ ಎರ್ಡೋಸ್-ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಊಹೆಯು. ಎರ್ಡೋಸ್ ಅವರು ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಮೊತ್ತದ ಪರಸ್ಪರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಬಿಂದು ಸಮೂಹವು ದೊಡ್ಡ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಎರ್ಡೋಸ್-ಸ್ಜೆಕೆರೆಸ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಯೋಜಕ ಆಧಾರಗಳ ಕುರಿತಾದ ಎರ್ಡೋಸ್-ಟುರಾನ್ ಊಹೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪರಸ್ಪರ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಬಗ್ಗೆ ನಾರ್ಮನ್ ಓಲರ್ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಊಹೆ. ಎಂ (ಎನ್) ಮಿತಿಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕನಿಷ್ಠ ಓವರ್ಲ್ಯಾಪ್ ಸಮಸ್ಯೆ. ತ್ರಿಕೋನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಕಿಯ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆ. ಡಾಂಗ್ ಯೀಪ್ ಕಾಂಗ್, ಟಾಮ್ ಕೆಲ್ಲಿ, ಡೇನಿಯೆಲಾ ಕುಹ್ನ್, ಅಭಿಷೇಕ್ ಮೆಥುಕು ಮತ್ತು ಡೆರಿಕ್ ಓಸ್ತಸ್ ಅವರಿಂದ ಸಾಬೀತಾದ ಗುಂಪುಗಳ ಬಣ್ಣದ ಒಕ್ಕೂಟಗಳ ಕುರಿತಾದ ಎರ್ಡೋಸ್-ಫೇಬರ್-ಲೊವಾಸ್ಜ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜೋಯಲ್ ಮೊರೆರಾ, ಫ್ಲೋರಿಯನ್ ಕಾರ್ಲ್ ರಿಕ್ಟರ್, ಡೊನಾಲ್ಡ್ ರಾಬರ್ಟ್ಸನ್ ಅವರು 2018 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಎರ್ಡೋಸ್ ಸಂಸೆಟ್ ಊಹೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯು 2019ರ ಮಾರ್ಚ್ನಲ್ಲಿ "ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ರಾಮ್ಸೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಬರ್-ಎರ್ಡೋಸ್ ಊಹೆಯನ್ನು 2015 ರಲ್ಲಿ ಚೂಂಗ್ಬಮ್ ಲೀ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1970ರಲ್ಲಿ ಆಂಡ್ರಾಸ್ ಹಾಜ್ನಾಲ್ ಮತ್ತು ಎಂಡ್ರೆ ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ ಅವರು ಸಾಬೀತಾದ ಮತ್ತು ಈಗ ಹಾಜ್ನಾಲ್-ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಾನ ಬಣ್ಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಊಹೆ. ಒಂದು ವರ್ಗ-ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಮುಕ್ತ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಬಹುಪದಗಣಿತೀಯ ಅಂಶದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಮೀರಬಹುದೆಂದು ಹೇಳಲು ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್-ಸಾರ್ಕೋಜಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು 1978 ರಲ್ಲಿ ಆಂಡ್ರಾಸ್ ಸಾರ್ಕೋಜಿಯವರು ನಿರಾಕರಿಸಿದರು. ದುರ್ಬಲ/ಬಲವಾದ ಡೆಲ್ಟಾ-ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕುರಿತಾದ ಎರ್ಡೋಸ್-ಲೊವಾಸ್ಜ್ ಊಹೆಯನ್ನು 1974ರಲ್ಲಿ ಮೈಕೆಲ್ ಡೆಜಾ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1994 ರಲ್ಲಿ ಡಯಾಸ್ ಡಾ ಸಿಲ್ವಾ ಮತ್ತು ಹಮಿದೌನ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ಅವಶೇಷಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎರ್ಡೋಸ್-ಹೇಲ್ಬ್ರೋನ್ ಊಹೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎ ಪ್ರೈಮ್. ಏಕತೆಯ ಏಕವರ್ಣದ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ನಿರೂಪಣೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎರ್ಡೋಸ್-ಗ್ರಹಾಂ ಊಹೆಯನ್ನು 2000 ರಲ್ಲಿ ಎರ್ನೀ ಕ್ರೂಟ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬಗ್ಗೆ ಎರ್ಡೋಸ್-ಸ್ಟೀವರ್ಟ್ ಊಹೆಯು n! + 1 = ಪಿಕಾ ಪಿಕೆ + 1ಬಿ, ಇದನ್ನು 2001ರಲ್ಲಿ ಫ್ಲೋರಿಯನ್ ಲುಕಾ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಬೆನ್ ಗ್ರೀನ್ ಮತ್ತು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಸಪೊಝೆಂಕೊ ಅವರು 2003-2004 ನಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ-ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ಯಾಮೆರಾನ್-ಎರ್ಡೋಸ್ ಊಹೆಯನ್ನು. 2009ರಲ್ಲಿ ರಾನ್ ಅಹರೋನಿ ಮತ್ತು ಎಲಿ ಬರ್ಗರ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಎರ್ಡೋಸ್-ಮೆಂಗರ್ ಅವರ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರ್ಡೋಸ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ದೂರಗಳ ಸಮಸ್ಯೆ. ಸರಿಯಾದ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು 2010 ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾರಿ ಗುತ್ ಮತ್ತು ನೆಟ್ಸ್ ಕಾಟ್ಜ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಲಾಗ್ ಎನ್ ನ ಸರಿಯಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. 2014 ರಲ್ಲಿ ಫೋರ್ಡ್, ಗ್ರೀನ್, ಕೊನ್ಯಾಗಿನ್ ಮತ್ತು ಟಾವೊ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಪ್ರಧಾನ ಅಂತರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎರ್ಡೋಸ್-ರಾಂಕಿನ್ ಊಹೆ. ±1-ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೇಲೆ ಎರ್ಡೋಸ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮಸ್ಯೆ. ಟೆರೆನ್ಸ್ ಟಾವೊ 2015ರ ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಘೋಷಿಸಿದರು; ಇದನ್ನು 2016ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಕೇಂದ್ರ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾದ C (2n, n) ಗಳು n> 4ಕ್ಕೆ ಎಂದಿಗೂ ವರ್ಗರಹಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಎರ್ಡೋಸ್ ವರ್ಗರಹಿತ ಊಹೆಯನ್ನು 1996ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಚೀನ ಸೆಟ್ A ಯ ಮೊತ್ತವು (ಸೆಟ್ನ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರು ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ವಿಭಜಿಸದ ಸೆಟ್) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎರ್ಡೋಸ್ ಪ್ರಾಚೀನ ಸೆಟ್ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು 2022 ರಲ್ಲಿ ಜಾರೆಡ್ ಡ್ಯೂಕರ್ ಲಿಚ್ಟ್ಮನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎನ್-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕೆ-ನಿಯಮಿತ ಉಪ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಎರ್ಡೋಸ್-ಸಾಯರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಆಲಿವರ್ ಜಾಂಜರ್ ಮತ್ತು ಬೆನ್ನಿ ಸುದಾಕೋವ್ ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಹೆಸರಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಫ್ಯಾನ್ ಚುಂಗ್, "ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ನ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು" ಫ್ಯಾನ್ ಚುಂಗ್, "ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ನ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು" ನ ಜೀವಂತ ಆವೃತ್ತಿ ಎರ್ಡೋಸ್ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಊಹೆಗಳು, ಎರ್ಡೋಸ್