Positive harmonic function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಸೀಮಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯ ಪಾಯ್ಸನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶ, ಹರ್ಗ್ಲೋಟ್ಜ್-ರೀಸ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಗುಸ್ತಾವ್ ಹರ್ಗ್ಲೋಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಿಗಿಸ್ ರೀಸ್ಜ್ ಅವರು 1911ರಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ 1907 ರಲ್ಲಿ ಕಾನ್ಸ್ಟಾಂಟಿನ್ ಕ್ಯಾರಥೆಯೋಡರಿ ಅವರ ಟೇಲರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಹರ್ಗ್ಲೋಟ್ಜ್-ರೀಸ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಫ್ (0) = 1 ರೊಂದಿಗಿನ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಸೂತ್ರವು ಎಫ್ (0) = 1 ರೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, f ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಾಮರಸ್ಯದಿಂದ ಕೂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು rn 1ಕ್ಕೆ ಏರಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಾದದಿಂದ (ಅಥವಾ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಹೆಲ್ಲಿಯ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ), ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ದುರ್ಬಲ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಆರ್ಎನ್ 1ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದರಿಂದ, ಎಫ್ಎನ್ (ಝಡ್) ಎಫ್ (ಝಡ್) ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಹರ್ಗ್ಲೋಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಹರ್ಗ್ಲೋಟ್ಜ್-ರೀಸ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ f (0) = 1 ಹೊಂದಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ μ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆಃ ಪಾಯ್ಸನ್ ಕರ್ನಲ್ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ನೈಜ ಭಾಗದ ಮೇಲಿರುವ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ನೈಜ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ λ0, λ1,., λN, ಅಲ್ಲಿ m> 0 ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ f (z) ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ n> 0 ಗಾಗಿ ಹರ್ಗ್ಲೋಟ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, λn = zn ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು, ಬೋಚ್ನರ್ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.