Petrov–Galerkin method
ಪೆಟ್ರೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವು ಬೆಸ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಬಳಸುವ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬುಬ್ನೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ನೆಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಆಪರೇಟರ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಪೆಟ್ರೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬುಬ್ನೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ನೋಡಬಹುದು. ಅಮೂರ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದರ ಪರಿಚಯವಾದ ಪೆಟ್ರೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವು ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ದುರ್ಬಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಜೋಡಿಯ ಮೇಲೆ ದುರ್ಬಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿ ಒಡ್ಡಲಾದ ಅಮೂರ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಂತಹದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇಲ್ಲಿ, ಇದು ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಪೆಟ್ರೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಆಯಾಮ n ಮತ್ತು ಆಯಾಮ m ನ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸರಿಹೊಂದುವಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ. ಸಮೀಕರಣವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಗಳು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪೆಟ್ರೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಪೆಟ್ರೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ದೋಷವು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆಯ್ದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ "ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್" ಆಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ವಾಹಕವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಇವೆರಡನ್ನೂ ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ದೋಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ನಡುವಿನ ದೋಷವಾಗಿದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಿಕೆಯ ಗುರಿಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕ್ರಮಾವಳಿಯಂತೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಅದಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗೋಣ ಮತ್ತು ಆಧಾರವಾಗೋಣ. ನಂತರ, ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಇವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಕು, ಅಂದರೆ. ಈ ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಮೂದುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದಾಗಿ, ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ,,,, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಬುಬ್ನೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ ಚೌಕವಲ್ಲ, ಬುಬ್ನೋವ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.