Density (polytope)
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಕಿರಣವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ, ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಮುಖಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದು ಎಷ್ಟು ಮುಖಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿ ಈ ಎಣಿಕೆ ಕಿರಣದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಈ ಅಡ್ಡ ಬದಿಗಳ ಎಣಿಕೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಒಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ಗೆ, ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಲ್ಲದ ಒಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ಗೆ ಸಹ ಅದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಿಸದ (ಅಕೊಪ್ಟಿಕ್) ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ಗೆ, ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ 1 ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಅದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಮುಖಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಹಾದುಹೋಗುವ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಈ ಕಿರಣವು ಒಳಗಿನಿಂದ ಹೊರಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋದಾಗ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದಾಟುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಈ ನಿಯೋಜನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಳಾಂಗಣ ಮತ್ತು ಹೊರಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗಿನ ಟೆಸೆಲ್ಲೇಷನ್ಗಳು ಅದೇ ರೀತಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಮುಖಗಳ ಹೊದಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಗಡಿಯು ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬೀಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಾಗಿದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ (ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ), ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಂದ್ರತೆಯು 1 ಆಗಿದೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಅದರ ತಿರುಗುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು; 360° ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ತಿರುಗುವ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ. ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಏಕಕಾಲೀನ ಮಾರ್ಗಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಯುಕ್ತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಘಟಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷತ್ರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷತ್ರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ (p/q), ಸಾಂದ್ರತೆಯು q ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಅನಂತದವರೆಗಿನ ಕಿರಣದ ಅಂಚಿನ ದಾಟುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಒಂದೇ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಒಟ್ಟು ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೋನ ದೋಷದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು 4π ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ ಒಟ್ಟು ವಕ್ರತೆಗೆ (ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಘನವು 8 ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 3 ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, π/2ರ ಕೋನ ದೋಷವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. 8 × π/2 = 4π. ಆದ್ದರಿಂದ ಘನದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು 1 ಆಗಿದೆ. ಸರಳ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಸರಳ ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ, χ. ಅದರ ಕುಲವು g ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಾಂದ್ರತೆಯು 1-g ಆಗಿರುತ್ತದೆ. χ = V − E + F = 2D = 2 (1-g). ನಿಯಮಿತ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಆರ್ಥರ್ ಕೇಲಿಯು ಯೂಲರ್ನ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು (ವಿ − ಇ + ಎಫ್ = 2) ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಬಳಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು, ಅಲ್ಲಿ ಡಿವಿ ಒಂದು ಶೃಂಗದ ಆಕೃತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಮುಖದ ಡಿಎಫ್ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಡಿಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೊಡ್ಡ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್, {3,5/2}, 20 ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮುಖಗಳನ್ನು (ಡಿಎಫ್ = 1), 30 ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 12 ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು (ಡಿವಿ = 2) ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು 2·12−30 + 1·20 = 14 = 2ಡಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು 7ರ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಪಡಿಸದ ಯೂಲರ್ನ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಸೂತ್ರವು ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ (5/2,5) ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಗ್ರೇಟ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ (5,5/2) ಗೆ ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ V − E + F = −6. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವು ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಕಿ ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಒಂದು ಜೋಡಿ (ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್-ದೊಡ್ಡ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್) 3 ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು (ದೊಡ್ಡ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್-ದೊಡ್ಡ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್) 7 ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಜನರಲ್ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಎಡ್ಮಂಡ್ ಹೆಸ್ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಇತರರ ಮೇಲೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮಡಚಬಹುದು. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಬಂಧಿತ ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಗೋಳವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಆವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಮತ್ತು ಇತರರಿಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಒಂದು ಶೃಂಗದ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಮುಖದ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪಾಲು ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು. ಹೆಮಿಪೊಲಿಹೆಡ್ರಾಗಾಗಿ, ಅವರ ಕೆಲವು ಮುಖಗಳು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ, ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾನ್-ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಸಹ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. 4, 6, 20, 66, 76 ಮತ್ತು 191ರ ನಡುವೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 10 ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷತ್ರ 4-ಬಹುಪದಗಳಿವೆ (ಶ್ಲಾಫ್ಲಿ-ಹೆಸ್ 4-ಬಹುಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ). ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಸಾಂದ್ರತೆ-6 ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆ-66 ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವು ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ.; ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್, (3ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, 1973), ಡೋವರ್ ಆವೃತ್ತಿ, ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್