Picard–Lefschetz theory
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಕೀರ್ಣದ ಬಹುಗುಣದ ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಬಹುಗುಣದ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎಮಿಲ್ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಇದು ಮೋರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ನೈಜ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ನೈಜ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವೈವಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ತನ್ನ ವೈಲ್ ಊಹೆಗಳ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರು. ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರ ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಒಂದು (ಕೆ + 1)-ಆಯಾಮದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸಂಕೀರ್ಣದಿಂದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಲೈನ್ ಪಿ 1 ಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ಕ್ಷೀಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ನಾರುಗಳಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಪಿ1ನಲ್ಲಿ x1,., xn ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪಿ1ನಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ x ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು π1 (P1-{x1,., xn}, x) ಅನ್ನು xi ಬಿಂದುಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವ ಲೂಪ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು xi ಗೆ x ನಲ್ಲಿ ಫೈಬರ್ನ ಹೋಮೋಲಜಿ Hk (Yx) ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಚಕ್ರವಿದೆ. ಫೈಬರ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮ k ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಮಧ್ಯಮ ಹೋಮೋಲಜಿ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೈಜ ಆಯಾಮ 2k ಆಗಿದೆ. Hk (Yx) ಮೇಲೆ π1 (P1-{x1,., xn}, x) ನ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. (ಇತರ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ.) ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ವೈ ಜನರೇಟರ್ನ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು bul Hk (Yx) ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ δi ಎಂಬುದು xi ನ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಚಕ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು k = 2 ರಲ್ಲಿ (ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಚಕ್ರಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕುಲದ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ, ಈ ಕುಟುಂಬವು ಯಾವಾಗ ಬೇಕಾದರೂ ಡಬಲ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿಜೆನೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಟೋರಿಯ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಛೇದಕ ರೂಪವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ನಾವು ಅವನತಿಯ ಸುತ್ತ ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಅದು-th ಟೋರಸ್ನಿಂದ-ಚಕ್ರಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರವು-th ಟೋರಸ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಚಕ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ