Denjoy–Wolff theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಡೆಂಜಾಯ್-ವೋಲ್ಫ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 1926ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ನೌಡ್ ಡೆನ್ಜೋಯ್ ಮತ್ತು ಡಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೂಲಿಯಸ್ ವೋಲ್ಫ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹೇಳಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯ. ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಡಿ ಓಪನ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಡಿ ಅನ್ನು ಡಿ ಆಗಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಇದು ಡಿ ಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಲ್ಲ (ಅಂದರೆ. ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರ). ನಂತರ ಡಿ ಮುಚ್ಚುವಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಿಂದು z ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ಡಿ ಯ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಎಫ್ ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಝಡ್ ಆಗುತ್ತವೆ. ಝಡ್ ಡಿ ಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಎಫ್ ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಫ್ ಬದಲಾಗದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಝಡ್ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಝಡ್ ಡಿ ಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು ಝಡ್ ನಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಝಡ್ ಡಿ ಯ ಗಡಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಝಡ್ = 0 ನಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಝಡ್ ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು ಕೇವಲ ಕೇಂದ್ರ 0 ಹೊಂದಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ f ಅನ್ನು ಮೊಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶಾಪಿರೋ (1993) ಮತ್ತು ಬರ್ಕೆಲ್ (1981) ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಲ್ಸನ್ & ಗ್ಯಾಮಲಿನ್ (1993) ನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಸಂಯೋಗಗೊಂಡ ನಂತರ, ಅದನ್ನು z = 0 ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. M (r) ಯು |z | = r <1 ರಲ್ಲಿ f ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿರಲಿ. |z | ≤ r ಗಾಗಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಇದು |z | ≤ r ಗಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ, ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಝಡ್ ಇದೆ ಎಂದು ವೋಲ್ಫ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಅಂದರೆ ಎಫ್ ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗಡಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಡಿಸ್ಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತವೆ. 1ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಸಿ ರೂಚೆ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು, ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಬಿಂದುವು ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ, ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ, z ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬೇಕು. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ವಿಷಯದ ಫಲಿತಾಂಶವು ನಕ್ಷೆಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, k ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅಂತಹ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವು z ನಲ್ಲಿರುವ ಗಡಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಡಿಸ್ಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ, f ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕ z ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ನೋಡಲು, ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು, ಅದೇ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ g ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಮಿತಿಗಳು ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಮತ್ತು g ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನಂತರ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಗೆ. ಎಚ್ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಜಿ (ಡಿ) ತೆರೆದಿರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಗೆ. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್, ಇದು ಎಫ್ ಹೇಳಲು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನಂತರ ಎಫ್ (ಎಫ್ (ಡಬ್ಲ್ಯೂ)) = ಡಬ್ಲ್ಯೂ = ಎಫ್ (ಎಫ್ (ಡಬ್ಲ್ಯೂ)), ಎಫ್ ಒಂದು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮವು Dಯಲ್ಲಿನ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕ z ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪ್ರಮೇಯಗಳು