De Donder–Weyl theory
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೇಲಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಜಾಗ ಮತ್ತು ಸಮಯ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಬದಲಾಗುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೆಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. xi ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ, i = 1 ರಿಂದ n ಗೆ (n = 4 ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ 3 + 1 ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ya ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, a = 1 ರಿಂದ m ಗೆ, ಮತ್ತು L ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆ ಪಾಲಿಮೊಮೆಂಟಾ ಪಿಯಾದಿಂದ ಮತ್ತು ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕಾರ್ಯ H: ಈ ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪವು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡರ್ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಳಾದ ಪಿಯಾ ಮತ್ತು H ಗೆ ಏಕವಚನವಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಇದು ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು n = 1 ಗೆ ಇದು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ). 1935ರಲ್ಲಿ ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್ ಅವರು ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಜಾಕೋಬಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂತೆಯೇ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯು ಹಂತದ ಜಾಗದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಹು-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬಹು-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜೆಟ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ಗೆರ್ಸ್ಟೆನ್ಹಾಬರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು 1993ರಲ್ಲಿ ಕನಾಚಿಕೋವ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಈಗ ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ (ಡಿಡಬ್ಲ್ಯೂ) ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಥಿಯೋಫೈಲ್ ಡಿ ಡೋಂಡರ್ ಮತ್ತು ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್ ಅವರು 1934 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಮಾಡಿದರು, ಇದು ಕಾನ್ಸ್ಟಾಂಟಿನ್ ಕ್ಯಾರಥೆಯೋಡರಿ ಅವರ ಕೃತಿಯಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಟೊ ವೋಲ್ಟೆರಾ ಅವರ ಕೃತಿಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಡಿ ಡೋಂಡರ್ನ ಕೆಲಸವು ಎಲಿ ಕಾರ್ಟನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು 1930ರ ದಶಕದಿಂದಲೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಇದನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. 1970 ರಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಲೇಖಕರಾದ ಜೆಡ್ರೆಜ್ ಸ್ನಿಯಾಟಿಕಿಯು ಜೆಟ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಏಕರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಡಿ ಡೋಂಡರ್ ಮತ್ತು ವೇಯ್ಲ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. 1999ರಲ್ಲಿ ಇಗೊರ್ ಕನಾಚಿಕೋವ್ ಡಿ ಡೋಂಡರ್-ವೇಲ್ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಡಫಿನ್-ಕೆಮ್ಮರ್-ಪೆಟಿಯೌ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಡಿ. ಎಚ್. ಡೆಲ್ಫೆನಿಚ್ ಅನುವಾದಿಸಿದ ಮತ್ತು ಸಂಪಾದಿಸಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ನ ಆಯ್ದ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವುದು. ಭಾಗ 1, ಭಾಗ 2 ಎಚ್. ಎ. ಕಸ್ತುರಪ್, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ವರದಿಗಳು, ಸಂಪುಟ 101, ಸಂಚಿಕೆಗಳು 1-2, ಪುಟಗಳು 1-167 (1983). ಮಾರ್ಕ್ ಜೆ. ಗೊಟೆ, ಜೇಮ್ಸ್ ಇಸೆನ್ಬರ್ಗ್, ಜೆರಾಲ್ಡ್ ಇ. ಮಾರ್ಸ್ಡೆನ್, ರಿಚರ್ಡ್ ಮಾಂಟ್ಗೊಮೆರಿಃ "ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಮ್ಯಾಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ರಿಲೇಟಿವಿಸ್ಟಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್. ಭಾಗ I: ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ "ಕಾರ್ನೆಲಿಯಸ್ ಪೌಫ್ಲರ್, ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ರೋಮರ್ಃ ಡಿ ಡಾಂಡರ್-ವೇಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಬಹುರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವರದಿಗಳು, ಸಂಪುಟ. 49 (2002), ನಂ. 2-3, ಪು. ಕ್ರಿಝಿಸ್ಟೋಫ್ ಮೌರಿನ್ಃ ದಿ ರೀಮನ್ ಲೆಗಸಿಃ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ವಿಚಾರಗಳು, ಭಾಗ II, ಅಧ್ಯಾಯ 7.16 ಬಹು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ಕ್ಲೂವರ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್, 1997, ಪುಟ 482 ಎಫ್ಎಫ್. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ