Exterior space
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Xನಲ್ಲಿನ ಬಾಹ್ಯವಿಜ್ಞಾನದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕುಟುಂಬದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ εXCC = {E′X: X\E ಎಂಬುದು Xನ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪೂರಕಗಳ X} ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅದರ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಾಫ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯವಿಜ್ಞಾನವು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು, ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಬಲೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಂದ್ರವಲ್ಲದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳ ಕೆಲವು ಕುಟುಂಬಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಲು ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಸಾಂದ್ರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಅದರ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ ಬಾಹ್ಯವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (X, τ) ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. (X, τ) ಮೇಲಿನ ಬಾಹ್ಯವಿಜ್ಞಾನವು ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಖಾಲಿ-ಇಲ್ಲದ ಸಂಗ್ರಹ εಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ E1, E2 ω ε ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ E1 ω E2 ω ε; E ω ε, U ω τ ಮತ್ತು E ω U ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ U ω ε. ಒಂದು ಬಾಹ್ಯ ಜಾಗವು (X, τ, ε) ಒಂದು ಬಾಹ್ಯವಿಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗವನ್ನು (X, τ) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ε ನಲ್ಲಿರುವ ತೆರೆದ E ಅನ್ನು ಬಾಹ್ಯ-ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಕ್ಷೆ f: (X, τ, ε) → (X ', τ', ε ') ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಾಹ್ಯ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು f − 1 (E) ω ε, ಎಲ್ಲಾ E ω ε' ಗೆ. ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಇ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಜಾಗಕ್ಕೆ (X, τ) ಒಬ್ಬರು ಯಾವಾಗಲೂ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಬಾಹ್ಯಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು εtr = {X}, ಮತ್ತು, ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಒಟ್ಟು ಬಾಹ್ಯಶಾಸ್ತ್ರ εtot = τ. ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ε ನ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ε = τ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬಾಹ್ಯಶಾಸ್ತ್ರ ε ಒಂದು ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದು ಜಾಗವನ್ನು (X, τ) ನೀಡಿದರೆ, X ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಪೂರಕಗಳ ಬಾಹ್ಯಶಾಸ್ತ್ರವು ಸರಿಯಾದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜಾಗವನ್ನು (X, τ) ಮತ್ತು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು A′X ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕುಟುಂಬ ε (X, A) = {U′X: A′U, U′τ} ಎಂಬುದು Xನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ A ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕ್ಯೂಬ್ X = Q ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಾಹ್ಯಶಾಸ್ತ್ರ εA = ε (Q, A) ಆಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ A ಯ ನಿರ್ಣಯವಾಗಿದೆ. X ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು P ಆವರ್ತಕ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಲಿ; ನಾವು ಬಾಹ್ಯಶಾಸ್ತ್ರ ε (X, P) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, A ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹರಿವಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಾಹ್ಯಶಾಸ್ತ್ರ ε (X, A) ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು ಸರಿಯಾದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ Y ಯ ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ K ಗೆ, f−1 (K) X ನ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆ f: X → Y ಅನ್ನು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪಿ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಿಯಾದ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗವು ಸಾಂದ್ರವಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಈ ವರ್ಗವು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕೊಲಿಮಿಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಮಸ್ಯೆ ಇದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಲೂಪ್ಗಳು, ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಲಿಮಿಟ್ಗಳು ಮುಂತಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗ E, ಇದು ಕ್ವಿಲೆನ್ ಮಾದರಿ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಬಾಹ್ಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ (X, τ, εXCC) ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವನ್ನು (X, τ) ಹೊಂದಿರುವ ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಫಂಕ್ಟರ್ P → E ಇದೆ. ಸರಿಯಾದ ಎಲ್. ಎಸ್. ವಿಭಾಗಃ (ಕೋ) ಮಿತಿಗಳ ಕೊರತೆಯಿಂದಾಗಿ ಈ ಸರಿಯಾದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಗನೇಯಾ ಮತ್ತು ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗದೊಳಗೆ ಎದುರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಈ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸರಿಯಾದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೆರೆದ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕ್ಯೂಬ್ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಬಾಹ್ಯ ಜಾಗದ ಬಾಹ್ಯ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಅನೇಕ ಆಕಾರದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (ಬೋರ್ಸಕ್ ಗುಂಪುಗಳು, ಕ್ವಿಗ್ಲೆ ಒಳಮುಖ ಮತ್ತು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವ ಗುಂಪುಗಳು) ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (ಅರೆ-ಹರಿವುಗಳು ಮತ್ತು ಹರಿವುಗಳು): ಬಾಹ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅನೇಕ ರಚನೆಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ನಿರಂತರ (ಪ್ರತ್ಯೇಕ) ಹರಿವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆವರ್ತಕ ಬಿಂದುಗಳು, ಪಾಯ್ಸನ್ ಆವರ್ತಕ ಬಿಂದುಗಳು, ಒಮೆಗಾ ಮಿತಿಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಬಂಧಿತ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಅರೆ-ಹರಿವು) ಹರಿವಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಂ. ಕಾರ್ಡೆನಾಸ್, ಎಫ್. ಎಫ್. ಲ್ಯಾಶೆರಾಸ್ ಮತ್ತು ಎ. ಕ್ವಿನ್ಟೆರೊ. ಸರಿಯಾದ ಎಲ್ಎಸ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ತರಗತಿಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು. ಅರೆ-ಸ್ಥಿರವಾದ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣ, ಮಠ. ಪ್ರೊ. ಕ್ಯಾಂಬ್. ಫಿಲೊಸ್. ಎಸ್. ಸಿ. (2011). ಎ. ಡೆಲ್ ರಿಯೋ, ಎಲ್. ಜೆ. ಹೆರ್ನಾಂಡೆಜ್ ಮತ್ತು ಎಂ. ಟಿ. ರಿವಾಸ್ ರೊಡ್ರಿಗಸ್. ಜಾಗಗಳ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಜಾಗತಿಕ ಗೋಪುರಗಳ ಎಸ್-ವಿಧಗಳು, ಆಪಲ್. ವರ್ಗ. ಸ್ಟ್ರಕ್ಟ್., 17 ನಂ. 3, 287-301, (2009). ಎಲ್. ಎಸ್ಪಾನೋಲ್, ಜೆ. ಎಮ್. ಗಾರ್ಸಿಯಾ-ಕ್ಯಾಲ್ಸಿನ್ಸ್, ಎಂ. ಸಿ. ಮಿಂಗ್ಯೂಜ್. ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಆಪಲ್. ವರ್ಗ. ಸ್ಟ್ರಕ್ಟ್., 18, ನಂ. 6, 653-668, (2010). ಜೆ. ಐ. ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೆಮಿಯಾನಾ, ಎಲ್. ಜೆ. ಹೆರ್ನಾಂಡೆಜ್ ಮತ್ತು ಎಂ. ಟಿ. ರಿವಾಸ್. ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಪೋಸ್ಟ್ನಿಕೋವ್ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಗಳು, ಟೋಪೋಲ್. , 153,370-393, (2005). ಜೆ. ಐ. ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೆಮಿಯಾನಾ, ಎಲ್. ಜೆ. ಹೆರ್ನಾಂಡೆಜ್ ಮತ್ತು ಎಂ. ಟಿ. ರಿವಾಸ್. ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ವಿಧಾನ. ಮಿರಿಯನ್ ಆಂಡ್ರೆಸ್ ಗೊಮೆಜ್ ಅವರ ಗೌರವಾರ್ಥ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕೊಡುಗೆಗಳು, 307′318, ಯುನಿವ್. ಲಾ ರಿಯೋಜಾ ಸರ್ವ್. ಪಬ್ಲಿ., ಲೋಗ್ರೊನೊ, 2010. ಜೆ. ಎಂ. ಗಾರ್ಸಿಯಾ-ಕ್ಯಾಲ್ಸಿನ್ಸ್, ಪಿ. ಆರ್. ಗಾರ್ಸಿಯಾ-ಡಿಯಾಜ್, ಎ. ಮುರಿಲ್ಲೊ ಮಾಸ್. ಸರಿಯಾದ ಲುಸ್ಟರ್ನಿಕ್-ಸ್ನೀರೆಲ್ಮನ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವೈಟ್ಹೆಡ್-ಗನೇಯಾ ವಿಧಾನ. ಗಣಿತ. ಪ್ರೊ. ಕ್ಯಾಂಬ್. ಫಿಲೊಸ್. ಎಸ್. ಸಿ. 142 (2007), ನಂ. 3, 439-457 ಜೆ. ಎಂ. ಗಾರ್ಸಿಯಾ-ಕ್ಯಾಲ್ಸಿನ್ಸ್, ಪಿ. ಆರ್. ಗಾರ್ಸಿಯಾ-ಡಿಯಾಜ್, ಎ. ಮುರಿಲ್ಲೊ ಮಾಸ್, ಬಾಹ್ಯ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ ಸರಿಯಾದ ಹೋಮೋಟೋಪಿಯಲ್ಲಿ ಗನೇಯಾ ಊಹೆ. ಗಣಿತ. ಪ್ರೊ. ಕ್ಯಾಂಬ್. ಫಿಲೊಸ್. ಎಸ್. ಸಿ. 149 (2010), ನಂ. 1, 75-91. ಜೆ. ಎಂ. ಗಾರ್ಸಿಯಾ-ಕ್ಯಾಲ್ಸಿನ್ಸ್, ಎಮ್. ಗಾರ್ಸಿಯಾ ಪಿನಿಲ್ಲೋಸ್ ಮತ್ತು ಎಲ್. ಜೆ. ಹೆರ್ನಾಂಡೆಜ್. ಸರಿಯಾದ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗಾಗಿ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾದರಿ ವರ್ಗ, ಬುಲ್. ಆಸ್ಟಿನ್. ಗಣಿತ. ಎಸ್. ಸಿ. 57 ನಂ. 2,221-242, (1998). ಜೆ. ಎಂ. ಗಾರ್ಸಿಯಾ-ಕ್ಯಾಲ್ಸಿನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎಲ್. ಜೆ. ಹೆರ್ನಾಂಡೆಜ್. ಅನುಕ್ರಮ ಹೋಮೋಲಜಿ, ಟೋಪೋಲ್. ಆಪಲ್. 114/2, 201-225, (2001). ಜೆ. ಎಂ. ಗಾರ್ಸಿಯಾ-ಕ್ಯಾಲ್ಸಿನ್ಸ್, ಎಮ್. ಗಾರ್ಸಿಯಾ ಪಿನಿಲ್ಲೋಸ್ ಮತ್ತು ಎಲ್. ಜೆ. ಹೆರ್ನಾಂಡೆಜ್. ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಹೋಮೋಟಾಪಿಗಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸರಳ ಮಾದರಿ ರಚನೆಗಳು, ಆಪಲ್. ವರ್ಗ. ರಚನೆ. 12, ಸಂಖ್ಯೆ 3,225-243, (2004). ಎಂ. ಗಾರ್ಸಿಯಾ-ಪಿನಿಲ್ಲೋಸ್, ಎಲ್. ಜೆ. ಹೆರ್ನಾಂಡೆಜ್ ಪ್ಯಾರಿಸಿಯೋ ಮತ್ತು ಎಂ. ಟಿ. ರಿವಾಸ್ ರೊಡ್ರಿಗಸ್. ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾದರಿ ವರ್ಗಗಳು, ಆಪಲ್. ವರ್ಗ. ಸ್ಟ್ರಕ್ಟ್., 18, ನಂ. 4, 343-375 (2010). ಡಿಒಐ 10.1007/s10485-008-9176-x (2009). ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ