Stretched grid method
ಸ್ಟ್ರೆಚ್ಡ್ ಗ್ರಿಡ್ ವಿಧಾನವು (ಎಸ್ಜಿಎಂ) ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಗ್ರಿಡ್ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಹವಾಮಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಾಗಿ ಸ್ಟ್ರೆಚ್ಡ್ ಗ್ರಿಡ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರ್ಗಳು ಟೆಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಕರ್ಷಕ ರಚನೆಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಸ್ಟ್ರೆಚ್ಡ್ ಗ್ರಿಡ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಎಫ್ಇಎಂ ಮತ್ತು ಬಿಇಎಂ ಜಾಲರಿ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಇತ್ತೀಚಿನ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಅಂಶ ವಿಧಾನಗಳು (ಎಫ್ಇಎಂ ಮತ್ತು ಬಿಇಎಂ) ಕೈಗಾರಿಕಾ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಮುಖ್ಯ ಆಧಾರವಾಗಿವೆ. ಎಫ್ಇಎಂ ಅಥವಾ ಬಿಇಎಂ ಬಳಸಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಫ್ಇಎಂ ಮತ್ತು ಬಿಇಎಂ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿವೆ. ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಪೂರ್ವ-ಸಂಸ್ಕರಣಾ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆರಂಭಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಬಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಅಂಶ ಜಾಲರಿ ಉತ್ಪಾದನಾ ತಂತ್ರಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಮಾದರಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಾಧನಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಎಫ್ಇಎಂ ಮತ್ತು ಬಿಇಎಂ ಜನಪ್ರಿಯತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಮೆಶಿಂಗ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹ ಬರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ವಿಕೃತ ಮತ್ತು ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕ ಗ್ರಿಡ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ರಚಿಸಬಹುದು. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ತಂತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್ (ಜಾಲರಿಯ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಂಶದ ವಿರೂಪವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನೋಡಲ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ರೆಚ್ಡ್ ಗ್ರಿಡ್ ವಿಧಾನವು (ಎಸ್ಜಿಎಂ) ಒಂದು ಹಂತದ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಹುಸಿ-ನಿಯಮಿತ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ). ಸಮತಲ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಏಕ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಗ್ರಿಡ್ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಅಂಜೂರವನ್ನು ನೋಡಿ. 1) ಭೌತಿಕ ನೋಡಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಗ್ರಿಡ್ ಹಲವಾರು ವಿರೂಪಗಳಿಂದ ವಿರೂಪಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಮತ್ತಷ್ಟು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಜಾಲದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅದರ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಆಯಾಮದ ವಾಹಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ-ಜಾಲದಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ,-ವಿಭಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದ್ದ,-ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕ. ವಿಭಾಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಎರಡು ನೋಡಲ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್ಗಳ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಕೃತವಲ್ಲದ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಕೃತ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಭಾವಿಸಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ಣಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು-ಎಫ್ಇಎಂ ಜೋಡಣೆಯ ಜಾಗತಿಕ ಬಿಗಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆಯೇ ಬ್ಯಾಂಡೆಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಮತ್ತು-1,2 ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ವಾಹಕಗಳು, ಮತ್ತು-1,2 ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಬಲ ಭಾಗದ ವಾಹಕಗಳು. ಎರಡೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರವು, ಎಲ್ಲಾ ಗಡಿ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಸಂಪ್ರದಾಯಬದ್ಧವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಹುಸಿ-ನಿಯಮಿತ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಕೃತವಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೊಸ ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಿ. 2 ತ್ರಿಕೋನ ಜಾಲರಿಯಿಂದ ಆವೃತವಾದ ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಸ್ವಯಂ ಜಾಲರಿಯು ಕೆಲವು ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು (ಎಡ ಜಾಲರಿ) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಜಿಎಂ ವಿಧಾನದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅಂತಿಮ ಜಾಲರಿಯು (ಬಲ ಜಾಲರಿ) ಯಾವುದೇ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದೆ ಹುಸಿ-ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಒಂದು ಹಂತದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಬೇಗನೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂತಿಮ ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ ಸ್ಥಾನವು ಅದರ ಸುತ್ತಲಿನ ನೋಡ್ಗಳ ಸಮನ್ವಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಳಂಬ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಸ್ಜಿಎಂ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ರೀತಿಯ ಸುಗಮಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಅಂತಿಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಎಸ್ಜಿಎಂ 2ಡಿ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ 3ಡಿ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಸಮತಲವಲ್ಲದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಮಾದರಿಯು ತಂತಿ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸೋಪ್ ಫಿಲ್ಮ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ರಚಿಸಲು, ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರೆಸ್ಟ್ರೆಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಾಂವಿಧಾನಿಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನವು ಎಸ್ಜಿಎಂ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸಮತಲವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಗ್ರಿಡ್ನಿಂದ 3ಡಿ ಸಮತಲವಲ್ಲದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ ಭಾಗವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ತ್ರಿಕೋನ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಿಡ್ಗೆ ಒಗ್ಗೂಡಿಸಲು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಅದೇ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಮೂರನೆಯ ನೋಡಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ 3ನೇ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಹೊಸ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಕಾರಣ ಸಮತಲವಲ್ಲದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಅಂದಾಜು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾದ ಕ್ಯಾಟೆನಾಯ್ಡ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 3ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಂಗುರಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಟೆನಾಯ್ಡ್ನ ಎತ್ತರವು 1ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಜಿಎಂನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕ್ಯಾಟೆನಾಯ್ಡಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು 2,9967189ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವು 2.992 ಆಗಿದೆ). ಕರ್ಷಕ ಬಟ್ಟೆಯ ರಚನೆಗಳು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ, ರಚನೆಯ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆದ್ಯತೆಯೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒತ್ತಡದ ಬಟ್ಟೆಯ ರಚನೆಗಳಂತಹ ಕರ್ಷಕ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಒತ್ತಡದ ರಚನೆಯಲ್ಲಿನ ಮೆಂಬರೇನ್ ಯಾವುದೇ ಫ್ಲೆಕ್ಸುರಲ್ ಬಿಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅದರ ರೂಪ ಅಥವಾ ಸಂರಚನೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಿಸ್ಟ್ರೆಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವ ಹೊರೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಲೋಡ್-ಬೇರಿಂಗ್ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಮೆಂಬರೇನ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೆಂಬರೇನ್ ಆಕಾರ, ರಚನೆಯ ಮೇಲಿನ ಹೊರೆಗಳು ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಒತ್ತಡಗಳು ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಒತ್ತಡದ ರಚನೆಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿನ್ಯಾಸವು ಫಾರ್ಮ್ ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಆರಂಭಿಕ ಸಂರಚನೆಯ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತೋಲನದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸಂರಚನೆಯು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ (ಸೌಂದರ್ಯಶಾಸ್ತ್ರ) ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ (ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆ) ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಸರಿಹೊಂದಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ತೆರವುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು, ಸುಕ್ಕುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಮೆಂಬರೇನ್ ಪ್ರಧಾನ ಒತ್ತಡಗಳು ಕರ್ಷಕವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಡಬಲ್-ಕರ್ವ್ಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸಮತಲದ ಹೊರಗಿನ ಹೊರೆಗಳನ್ನು ವಿರೋಧಿಸಲು ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು (ಕೆಲಸ). ಒತ್ತಡದ ಬಟ್ಟೆಯ ರಚನೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಎಂಜಿನಿಯರ್ಗಳಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಎಫ್ಇಎಂ ಆಧಾರಿತ ಫಾರ್ಮ್ ಫೈಂಡಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ವಿವಿಧ ಹೊರೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದ ರಚನೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಬಳಸುವ ಅದೇ ಊಹೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಸಂಶೋಧಕರು ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಒತ್ತಡದ ರಚನೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ 'ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು' ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಜಿಎಂನ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ (ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ) 3ಡಿ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗ್ರಿಡ್ ರಚನೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಗ್ರಿಡ್ ನೋಡ್ಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತದ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಫ್ಇಎಂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾದ ಅಂತಿಮ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಗ್ರಿಡ್ ರಚನೆಯ ಮೊತ್ತದ ಶಕ್ತಿಯ ಕನಿಷ್ಠ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪರ್ಯಾಯವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಶಕ್ತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇದು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಜಿಎಂನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ವಿವಿಧ ಬಾಹ್ಯ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಗ್ರಿಡ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎಸ್ಜಿಎಂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು-ಒಟ್ಟು ಗ್ರಿಡ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ,-ಒಟ್ಟು ನೋಡ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ,-ವಿಭಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದ್ದ,-ವಿಭಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಗಿತ,-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ನೋಡ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಹೆಚ್ಚಳ,-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ನೋಡ್ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ನಿರ್ಬಂಧದ ಬಿಗಿತ,-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ನೋಡ್ನಲ್ಲಿನ ಹೊರ ಬಲ. ಅನ್ಫೋಲ್ಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕತ್ತರಿಸುವ ಮಾದರಿಯ ಉತ್ಪಾದನೆಯು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಆಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಕತ್ತರಿಸುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಒತ್ತಡದ ರಚನೆಗಳು ಅವುಗಳ ಗಾತ್ರ, ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತು ಬಿಗಿತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿವೆ. ಕತ್ತರಿಸುವ ಮಾದರಿಯ ಅಂದಾಜು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಮತಲ ಬಟ್ಟೆಯ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಕತ್ತರಿಸುವ ಮಾದರಿಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಇದು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದರ್ಶ ಡಬಲ್ ಬಾಗಿದ ಪಟ್ಟಿಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಈ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕತ್ತರಿಸುವ ಮಾದರಿಯು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಒತ್ತಡದ ರಚನೆಯ ಜಾಗತಿಕ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಟ್ಟೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕತ್ತರಿಸುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಬಟ್ಟೆಯ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆದರ್ಶ ಡಬಲ್ ಬಾಗಿದ ಮೆಂಬರೇನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ SGM ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಕತ್ತರಿಸುವ ಮಾದರಿಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವು ಪ್ರತಿ ಬಟ್ಟೆಯ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಎರಡು-ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿಸುವ ವಿರೂಪ-ಮುಕ್ತ ಸಮತಲ ರೂಪದ ಪೀಳಿಗೆಯಾಗಿವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಎರಡೂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಇದನ್ನು ಸಮತಲ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಯಾವುದೇ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಸ್ಥಿರ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪ್ರದೇಶದ ತುಣುಕುಗಳ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದಾಗಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಈಕ್ವಿಯರಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕ-ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಸಮ-ಪ್ರದೇಶದ ನಕ್ಷೆಯು ಯಾವುದೇ ವಿರೂಪಗಳಿಲ್ಲದೆ ಬಟ್ಟೆಯ ರಚನೆಗೆ ಕತ್ತರಿಸುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಬಟ್ಟೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ರೇಖೀಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಂಶಗಳ ಕೆಲವು ವಿರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸರಿಸುಮಾರು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಎರಡು ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳ ಮೊದಲ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿರೂಪದ ಅನುಪಾತ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಬಯಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವು ಎರಡು ಮೇಲ್ಮೈ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. - ಅನುಪಾತವು 1ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಯಾವುದೇ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಸ್ಥಿರ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪ್ರದೇಶದ ತುಂಡುಗಳ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಈಕ್ಯೂಎನ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಈಕ್ವಿ-ಏರಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ಮ್ ಫೈಂಡಿಂಗ್ ನ ಮೊದಲ ಹಂತವು ಮೇಲ್ಮೈಯ ತ್ರಿಕೋನ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಈಕ್ವಿ-ಏರಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ತೂಕದ ಉಳಿಕೆಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಬಾಗಿದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ-ಗ್ರಿಡ್ ಕೋಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ,-ತೂಕದ ಅನುಪಾತಗಳು,-ಒಟ್ಟು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಉಳಿಕೆ,-ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸ್ಕೇಲ್ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ತೂಕದ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಾವು ಇಕ್ಯುಎನ್ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಸರಿಸುಮಾರು ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಅದು ಮೇಲ್ಮೈ ಗ್ರಿಡ್ನ ನೋಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ದೂರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈಕ್ವಿ-ಏರಿಯಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಬರೆಯಿರಿ, ಅಲ್ಲಿ-ರೇಖೀಯ ವಿಭಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಉದ್ದ,-ವಿಭಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂತಿಮ ಉದ್ದ,-ವಿರೂಪತೆಯ ಅನುಪಾತವು 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗಕ್ಕೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಎರಡು ನೋಡಲ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳಿಂದ ಎಂದಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು-ಆರಂಭಿಕ ವಿಭಾಗದ ನೋಡ್ಗಳ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳು,-ಅಂತಿಮ ವಿಭಾಗದ ನೋಡ್ಗಳ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳು. ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈ ನಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು 1,2 ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಹುಸಿ-ಒತ್ತಡಗಳ ವಾಹಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಒಟ್ಟು ನೋಡ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ,-ಜಾಗತಿಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮೇಲಿನ ವಿಧಾನವು ಎಸ್ಜಿಎಂನ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾದಷ್ಟೂ ಸಮತಲ ನಕ್ಷೆಯ ನಿಖರತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಸಮತಲ ನಕ್ಷೆಯು ಅಂತಿಮ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೇಖೆಗಳಿಗಿಂತ 1-2% ಕಡಿಮೆ ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ವಿನ್ಯಾಸ ಮಾಡುವಾಗ ಸೂಕ್ತವಾದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಕಟೌಟ್, ಗೋರೆ (ವಿಭಾಗ), ಅಥವಾ ಪ್ಯಾಚ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕಟೌಟ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಂಜೂರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 9, 10, 11. ಮೆಶ್ ಪೀಳಿಗೆಯ ಬಗೆಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ ಮೆಶ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಕರ್ಷಕ ಬಟ್ಟೆಯ ರಚನೆಗಳಿಗಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕೆ3-ಟೆಂಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಫಾರ್ಮ್ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಅಂಡ್ ಕಟಿಂಗ್ ಪ್ಯಾಟರ್ನಿಂಗ್ ಕುಬಾಂಟೆಂಟ್ ಕಾರ್ಪ್ ಮೆಶ್ ಪೀಳಿಗೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು