Berkovich space
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಬರ್ಕೋವಿಚ್ ಜಾಗವು ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜಾಗದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. p-adic ಕ್ಷೇತ್ರ), ಕಠಿಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳದ ಬಗ್ಗೆ ಟೇಟ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಫೈನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಲಯವನ್ನು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಲಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ರಿಂಗ್ಡ್-ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾದರಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಯಾವಾಗ, ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿದರೆ, ನಾವು ಉತ್ತಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಅಂತಹವುಗಳ ಮೇಲೆ ಉತ್ತಮವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಹ ಉತ್ತಮವಾದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ವರ್ಣಪಟಲವು ಒಂದು ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಇದನ್ನು ನಾರ್ಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಢಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೂಚಿಸಲಾದ ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ವರ್ಣಪಟಲವು, ರೂಢಿಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ ಗುಣಾಕಾರದ ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬರ್ಕೋವಿಚ್ ವರ್ಣಪಟಲವು ಅತ್ಯಂತ ದುರ್ಬಲವಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಂಗುರದ ಬರ್ಕೋವಿಚ್ ವರ್ಣಪಟಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡರೆ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವರ್ಣಪಟಲದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶಗಳು. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶದಿಂದ ಅಂಶದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಗುಣಾಕಾರದ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ; ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರವು ಚಿತ್ರದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ನಕ್ಷೆಯು ಚಿತ್ರದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವರ್ಣಪಟಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವರ್ಣಪಟಲವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂವಹನಶೀಲ ಸಿ *-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ವರ್ಣಪಟಲವು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ವರ್ಣಪಟಲದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ವರ್ಣಪಟಲದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ ಆಗಿದೆ. ಓಸ್ಟ್ರೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಬರ್ಕೋವಿಚ್ ವರ್ಣಪಟಲವು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ) ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದಾಗ ಮತ್ತು ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಅನಂತ) ನಾವು ಒಂದು ಶಾಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ನೈಜ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ಶಾಖೆಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಶಾಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಛೇದಕವು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಗುಣಾಕಾರದ ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬರ್ಕೋವಿಚ್ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅತ್ಯಂತ ದುರ್ಬಲವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಬರ್ಕೋವಿಚ್ ವರ್ಣಪಟಲವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಚೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರಗಳ ಬರ್ಕೋವಿಚ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ನಾವು ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ, ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ತುಲ, ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು). ಇದು ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಮಂಜಸವಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರೇರಣೆ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಅದೇ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳಗಳು ಆರ್ಕಿಮೀಯೇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲ. ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ಅಫೈನ್ ಲೈನ್ 1-ಆಯಾಮದ ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ಅಫೈನ್ ಲೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಆರ್ಕಿಮೀಯೇತರ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯಾವಾಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಫೈನ್ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಇದೆ. ಈ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಮತ್ತು ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಬೆರ್ಕೋವಿಚ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಕ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕವೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಜಾಗವು ಸಾಂದ್ರವಾದ, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಮತ್ತು ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಡಿ ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಡಿ ಜುಸ್ಸಿಯು ಸಮ್ಮರ್ ಸ್ಕೂಲ್ "ಬರ್ಕೋವಿಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು" 2010 ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ