Freudenthal spectral theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫ್ರಾಯ್ಡೆಂಥಾಲ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು 1936ರಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಫ್ರಾಯ್ಡೆಂಥಾಲ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ರೀಸ್ಜ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಧಾನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೀಸ್ಜ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಇದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಫ್ರಾಯ್ಡೆಂಥಲ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಹಲವಾರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಪಾಯ್ಸಾನ್ ಸೂತ್ರದ ಸಿಂಧುತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವರ್ಣಪಟಲದ ಪ್ರಮೇಯಗಳೆಲ್ಲವೂ ಫ್ರಾಯ್ಡೆಂಥಲ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೇಳಿಕೆಯು e ಎಂಬುದು ರೀಸ್ ಜಾಗ Eಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವಾಗಿರಲಿ. Eಯಲ್ಲಿ pಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವನ್ನು eಯ ಒಂದು ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇ ಯ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುವ ಘಟಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಇ ಯ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಇ-ಸರಳ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರಾಯ್ಡೆಂಥಲ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ E ಎಂಬುದು ಪ್ರಧಾನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ರೈಸ್ಜ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು E ಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವಾಗಲಿ. ನಂತರ e ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ f ಗೆ, ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಇ-ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅಂದರೆ ಮೊನೊಟೋನ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು e-ಅನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ f ಗೆ ಒಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು e-ಅನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ f ಗೆ ಒಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಒಂದು ಅಳತೆ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ-ಪೂರಕ ಕ್ರಮಗಳ ನೈಜ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಇದು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬನಾಚ್ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಧಾನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಗಾಗಿ,-ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ)-ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಫ್ರಾಯ್ಡೆಂಥಲ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಬ್ಯಾಂಡ್ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು-ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಲೆಬೆಸ್ಗುನ ಮೊನೊಟೋನ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಬನಾಚ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ನಡುವೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ.