LP-type problem
ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಪಿ-ಮಾದರಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸ್ವತಃ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳಲ್ಲದ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಉಪ-ಘಾತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು, ಒಂದು ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಇನ್ಪುಟ್ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಕಾರ್ಯವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಏಕತಾನತೆಃ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ, f (A) ≤ f (B) ≤ f (S). ಸ್ಥಳಃ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ, ವೇಳೆ, ಆಗ. ಎಲ್ಪಿ-ಮಾದರಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆಧಾರವು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗವು ತನಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆಯಾಮವನ್ನು (ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಯಾಮ) ಆಧಾರದ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸ್ವತಃ ಬೇಸ್ ಆಗಿರುವ ಅಥವಾ ಬೇಸ್ಗೆ ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಒಂದು ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಉಲ್ಲಂಘನೆ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಮತ್ತು (ಅದೇ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ) ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಆಧಾರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಈ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ಅಥವಾ ಪೂರ್ವಭಾವಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಾಸ್ತವಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು (ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಣ್ಣ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಕನಿಷ್ಠ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇರಿಸಬಹುದು. ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದ ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ಒಂದೇ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟುವ ಸಲುವಾಗಿ), ಇದು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ (ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕೇವಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ) ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆರಡನ್ನೂ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗೆ, ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಪಿ-ವಿಧಗಳಾಗಿವೆಃ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಕನಿಷ್ಠ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ವೃತ್ತವು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಸ್ಥಳವನ್ನು (ಗುಂಪಿನ ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ಅದೇ ವೃತ್ತವು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ). ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲವು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂರು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಸುತ್ತುವ ಚೆಂಡು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಯಾಮದ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚೆಂಡುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಚೆಂಡು, ಚೆಂಡುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಅಥವಾ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಚೆಂಡು, ತೂಕದ 1-ಮಧ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆ ಅಥವಾ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಣ್ಣ ಸುತ್ತುವ ಚೆಂಡಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಚಿಕ್ಕದಾದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಂಡಾಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. - ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಅತಿ ಉದ್ದದ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಿ ಎ ಯ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯನಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಎ ನ ಛೇದಿಸುವ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸದಸ್ಯ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಯಾಮವು. ನಮಗೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷ-ಜೋಡಿಸಲಾದ ಆಯತಾಕಾರದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಯಾಮ 4ರೊಂದಿಗಿನ ಎಲ್ಪಿ-ಮಾದರಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಹತ್ತಿರದ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು, ಅವುಗಳ ಶೃಂಗಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ ಎರಡೂ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡು ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ಅಂತರದ ನಿರಾಕರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಬೇರ್ಪಟ್ಟರೆ ಅಥವಾ ಅವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. } ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠವು ಸ್ವತಃ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಡೊಮೇನ್ನ ಆಯಾಮ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಯಾಮವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇತರ ಅನೇಕ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದೇ ಚಿಕ್ಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಆಟಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನದ ಜಾಲರಿಗಳಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು, ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕೆಲವು ಘಾತೀಯ-ಸಮಯದ ಹುಡುಕಾಟ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ವಸ್ತುಗಳ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಸ್ ಸೀಡೆಲ್ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿತು, ಅದನ್ನು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸೀಡೆಲ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಬೇಸಿಸ್ಗೆ ಸೇರಿದ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು (ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ನಂತರ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಉಲ್ಲಂಘನೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ತಿಳಿದಿರುವ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕರೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂಡೊಕೋಡ್ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸೀಡೆಲ್ (ಎಸ್, ಎಫ್, ಎಕ್ಸ್) ಆರ್ಃ = ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಬಿಃ = ಎಸ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ ಎಕ್ಸ್ಃ ಎಫ್ (ಬಿ) ಷ್ಣುವ ಎಫ್ (ಬಿ ≤ {x}): ಬಿಃ = ಸೀಡೆಲ್ (ಆರ್, ಎಫ್, ಎಕ್ಸ್ ≤ {x}) ಆರ್ಃ = ಆರ್ ≤ {x} ರಿಟರ್ನ್ ಬಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ನೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಉಳಿದ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಡೆಸಿದ ಒಟ್ಟಾರೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಲ್ಲಂಘನೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಘಾತಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿ ತಂತ್ರಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಎರಡರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಗಾತ್ರವು ಇನ್ಪುಟ್ ಗಾತ್ರದ ಸರಿಸುಮಾರು ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಮಾದರಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಆಧಾರ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಲ್ಲಂಘನೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಫಂಕ್ಷನ್ ರಿಕರ್ಸಿವ್ (ಎಸ್, ಎಫ್) ಎಕ್ಸ್ಃ = ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಆರ್ಃ = ಎಸ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಉಪವಿಭಾಗವು ಡಿ σಎನ್ಬಿ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆಃ = ಆರ್ ಎಕ್ಸ್ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಃ = {x | ಎಫ್ (ಬಿ) ≤ ಎಫ್ (ಬಿ ≤ x)} ಎಕ್ಸ್ಃ = ಎಕ್ಸ್ ≤ ವಿ ಖಾಲಿ ರಿಟರ್ನ್ ಬಿ ಆಗುವವರೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ, ಇದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಗಾತ್ರ, ಮತ್ತು ಅದು ಖಾಲಿಯಾಗದಿದ್ದಾಗ ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಉಲ್ಲಂಘನೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರದ ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಒಂದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕರೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ತೂಕವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ತೂಕವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಾರಿ ಒಟ್ಟು ತೂಕವಾಗಿದ್ದರೆ (ಸ್ಥಿರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುವಂತೆ) ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದ ತೂಕವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಖಾಲಿಯಾಗುವವರೆಗೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ, ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಬೇಸಿಸ್ನ ತೂಕವು ಒಟ್ಟು ತೂಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ದರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಳಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬೇಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಕರೆಗಳಿಗಾಗಿ ಇಟರೇಟಿವ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇಟರೇಟಿವ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮಾಡಿದ ಕರೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸೀಡೆಲ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಮತ್ತೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಡ್ಯುಯಲ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಬೇಸಿಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ಗಳನ್ನು ಮೀರಿದ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿಸಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟೌಸೆಕ್, ಶಾರಿರ್ ಮತ್ತು ವೆಲ್ಜ್ಲ್ ಅವರು ಇತರ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಯಾವಾಗಲೂ ಹೊಂದಿರದ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬೇಸ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಒಂದು ಎಲ್ಪಿ-ಮಾದರಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹೊಸ ನಕಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಳೆಯ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆದೇಶಿಸಿದ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಆಗಿ ಹಿಂದಿರುಗಿಸಲು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಸ್ ಒನ್ ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಬದಲು, ಅಥವಾ ಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಬದಲು, ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಇದು ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಕಲಿ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂಡೊಕೋಡ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಕಾರ್ಯ ಎಂ. ಎಸ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. (ಎಸ್, ಎಫ್, ಸಿ) ಎಂದರೆ ಎಸ್ = ಸಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವ ಸಿ, ಎಸ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶ x ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ\ಸಿ. ಬಿ = ಎಂ. ಎಸ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. (ಎಸ್\ಎಕ್ಸ್, ಎಫ್, ಸಿ) ಆಗ ಎಫ್ (ಬಿ) = ಎಫ್ (ಬಿ ≤ {ಎಕ್ಸ್}) ಆಗಿದ್ದರೆ ಬಿಃ = ಬೇಸಿಸ್ (ಬಿ ≤ {ಎಕ್ಸ್}) ಬಿಃ = ಎಂ. ಎಸ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. (ಎಸ್, ಎಫ್, ಬಿ) ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕರೆಗಳಲ್ಲಿ, ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಧಾರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕರೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಲೇಖಕರು ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಮಯವು n ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸಮಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹೊರಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಒ (ಡಿಎನ್) ಉಲ್ಲಂಘನೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿನ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಹೊರಗಿನವರೊಂದಿಗಿನ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉಳಿದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಲು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಇದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬೇಸ್ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು) ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಇನ್ಪುಟ್ ಡೇಟಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಸವು ಅದರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಸಮಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು, ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಜೋಡಿಯ ನಡುವಿನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರವನ್ನು ಅಳೆಯುವ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಂದು, ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಿಂದುವಾರ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಯಾಮ ಎರಡರ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸೆಟ್ ಇನ್ಪುಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ-ಟುಪಲ್ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಲ್ಪಿ-ಮಾದರಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾದ ನಿರ್ಧಾರ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಇದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು. ಚಾನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಃ ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೆಲವು ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಅದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಎಲ್ಪಿ-ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟ ಎಲ್ಪಿ-ಪ್ರಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೂಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಮತ್ತು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್. ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸೂಚ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅದೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ (ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ) ಎಲ್ಪಿ-ಮಾದರಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಲ್ಲಂಘನೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಧಾರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಚಾನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕರೆಗಳ ಮೂಲಕ ಆಧಾರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಉಲ್ಲಂಘನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಕರೆಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು. ನಿರ್ಧಾರ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ ಇನ್ಪುಟ್ ಗಾತ್ರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬಹುಪದೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸ್ಪಷ್ಟ ಎಲ್ಪಿ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಸಹ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಚಾನ್ ತೋರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ, ನಿರ್ಧಾರ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಒಂದು ನಿಗದಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಿರುಗುವ ಕ್ಯಾಲಿಪರ್ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಸಮಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಚಾನ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಹ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. - ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹದ ನಡುವೆ ಗರಿಷ್ಠ ಟುಕಿ ಆಳದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಚಾನ್ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಟುಕಿ ಆಳದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದೇ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದೆಂಬ ಅವಲೋಕನವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತ ಸಮಸ್ಯೆ ಎರಡಕ್ಕೂ ರೇಖೀಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಮಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದವರಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೆಗಿಡ್ಡೊ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಬದಲು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದರು, ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಮೂರ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ. ಅಂತೆಯೇ, ಮತ್ತು ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ (1988 ರ ಕಾನ್ಫರೆನ್ಸ್ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ) ಅವರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಕನಿಷ್ಠ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಂಡಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಅವರು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಇಲ್ಲಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಇತರ ಲೇಖಕರು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮುರಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಗಾರ್ಟ್ನರ್ ಅಂಶಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಗಣನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಕೆಲವು ಪೂರ್ವಭಾವಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಪೂರಕತೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೆರಡರ ಮತ್ತೊಂದು ಅಮೂರ್ತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು, ಹಲವಾರು ಇತರ ಲೇಖಕರು ರೂಪಿಸಿದ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ, ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ಅಂಚುಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವು (ಮುಖವಾಗಿ ಇಡೀ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಿಂಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಹೊರಹೋಗುವ ಅಂಚುಗಳಿಲ್ಲದ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಎಲ್ಪಿ-ಮಾದರಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಸ್ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಶೃಂಗಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಒಂದೇ ಅಂಶದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನೆರೆಯ ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂಚನ್ನು ಇಫ್ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಿಂಕ್ ಅನ್ನು (ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಧಾರ) ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ಚೌಕಟ್ಟು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವ ಸ್ಥಳದಿಂದ ರೂಪಿಸಬಹುದು ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದೇಶದ ಕೊರತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೇಸ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇಡೀ ಸೆಟ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ಗಳು) ಇದನ್ನು ಎಲ್ಪಿ-ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ಕಾಣಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳು ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್