Variable-mass system
ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಚಲಿಸಬಲ್ಲ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಬಹುದು. ಬದಲಿಗೆ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸಮಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಳಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಅಥವಾ ಹೊರಹೋಗುವ ಆವೇಗವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ವೇರಿಯೇಬಲ್-ಮಾಸ್ ಚಲನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಫೆಕ್ಸ್ಟ್ ಎಂಬುದು ದೇಹದ ಮೇಲೆ ನಿವ್ವಳ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ವ್ರೆಲ್ ಎಂಬುದು ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಥವಾ ಒಳಬರುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೇಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು v ಎಂಬುದು ದೇಹದ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಕ್ಷಿಪಣಿಗಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಆಸ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ವ್ರೆಲ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ನಿಷ್ಕಾಸ ವೇಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ದೇಹವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಬಿಡುತ್ತಿದೆಯೇ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ) ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್-ಮಾಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳಿವೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ಎಲ್ಲಾ ಪದಾರ್ಥಗಳನ್ನು ಕಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಚಯ/ಕ್ಷಯಿಸುವಿಕೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಹೊರಗೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಂಚಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು (ಸಂಚಯ) ಪಡೆಯುತ್ತಿರುವ ದೇಹಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಮಯ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m ಯ ಒಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಆರಂಭಿಕ ಸಮಯ t ನಲ್ಲಿ v ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ dm ಕಣವು ಭೂಮಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೇಗ u ಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ t + dt ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ದೇಹ ಮತ್ತು ಕಣಗಳೆರಡೂ v + dv ವೇಗದ ದೇಹಕ್ಕೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಸ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ dmdv ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ dt ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವೇಗವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. t ಸಮಯದಲ್ಲಿ, m ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು v ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲಿ, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಆವೇಗವು u ಅನ್ನು ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ಷಯಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ dm ವೇಗವೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತದೆ, t + dt ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವೇಗವು ಅಲ್ಲಿ ಆಗುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ u ಎಂಬುದು ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೊರಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ಷಯಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು, a = dv/dt, ಆದ್ದರಿಂದ ಚರ-ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಎಫ್ನೆಟ್ ಅನ್ನು ಫೆಕ್ಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ಥ್ರಸ್ಟ್ನ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಸಮೀಕರಣವು ನ್ಯೂಟನ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಆದರ್ಶ ರಾಕೆಟ್ ಸಮೀಕರಣ ಆದರ್ಶ ರಾಕೆಟ್ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸಿಯೋಲ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿ ರಾಕೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಾಕೆಟ್ನಂತೆ ವರ್ತಿಸುವ ವಾಹನಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು (ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವು ತನ್ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಭಾಗವಾದ ಪ್ರೊಪೆಲ್ಲೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹೊರಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ತನ್ನ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ). ವೇರಿಯೇಬಲ್-ಮಾಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳ ಚಲನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಯಾವುದೇ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದಿದ್ದಾಗ (ಫೆಕ್ಸ್ಟ್ = 0) ವೇರಿಯೇಬಲ್-ಮಾಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್