Quasiregular map
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ Rn ನಡುವಿನ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದೇ ಆಯಾಮದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ (= ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಇಡೀ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಸುಂದರ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ನ್ಯೂನತೆಯೆಂದರೆ, ಇದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳ (ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು) ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ. ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಆಯಾಮವು 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಈ ವರ್ಗದ ನಕ್ಷೆಗಳು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಇದು ಕೇವಲ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ಜೋಸೆಫ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ; ಯೂರಿ ರೆಶೆಟ್ನ್ಯಾಕ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಮೃದುತ್ವದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸುವುದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಶ್ರೀಮಂತ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವರ್ಗದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಅನುಸರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಡಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಇದ್ದರೆ, ಆರ್. ಎನ್ ನಿಂದ ಆರ್. ಎನ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಡಿ ಪ್ರದೇಶದ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಕೆ-ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ K ±1 ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, Jf ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, Df ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಜಾಕೋಬಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು | | | ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್) ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ತನ್ನನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವುದು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು "ಸರಿಯಾದ" ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗವು ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಇದರ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ವಿತರಣೆಗಳ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ n-th ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆ-ಚತುಷ್ಕೋಣೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯು ಕೆಲವು ಕೆ ಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆ-ಚತುಷ್ಕೋಣೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಚತುಷ್ಕೋಣೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೆಶೆಟ್ನ್ಯಾಕ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ತೆರೆದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆಯಾಮ 2 ರಲ್ಲಿ, ಈ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆಃ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮತಲ ಡೊಮೇನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರಂತರ ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲೇ ರಚಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಿಮಿಯೋನ್ ಸ್ಟೊಯ್ಲೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ರೆಶೆಟ್ನ್ಯಾಕ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಶುದ್ಧ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ತತ್ವ, ರೌಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಇತ್ಯಾದಿ). ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ. ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಯ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಈ ನಕ್ಷೆಯು 2-ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು z-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ನಯವಾದ ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ Rn → Rn, ಇಲ್ಲಿ n ≤ 3, ಒಂದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ (ಇದು ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಝೋರಿಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ). ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವುದು ಏಕೆ ಸಮಂಜಸವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆಃ ಆರ್. ಎನ್. ನ ಎಲ್ಲಾ ನಯವಾದ ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸ್ವತಃ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿವೆ. ರಿಕ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹಳ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದವು. ಬಹುಶಃ ಈ ರೀತಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಸೆಪ್ಪೋ ರಿಕ್ಮನ್ ಕಾರಣವಾದ ಪಿಕಾರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಕೆ-ಚತುಷ್ಕೋಣೀಯ ನಕ್ಷೆ Rn → Rn ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. n = 2 ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ಬಿಟ್ಟುಹೋದ ಸೆಟ್ ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು (ಇದು ಪಿಕಾರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ). ಆದರೆ n> 2 ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಬಿಟ್ಟುಹೋದ ಸೆಟ್ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು n ಮತ್ತು K ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡೇವಿಡ್ ಡ್ರಾಸಿನ್ ಮತ್ತು ಪೆಕ್ಕಾ ಪಾಂಕಾ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ f ಒಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲಾಗ್ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು f ನ ಸೊನ್ನೆಗಳಿಂದ ದೂರವಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ಲಾಗ್ ಅಂಡಾಕಾರದ ಪ್ರಕಾರದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ರೆಶೆಟ್ನ್ಯಾಕ್ನ ಈ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಿತು, ಇದು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮತ್ತು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂರಿ ರೆಶೆಟ್ನ್ಯಾಕ್ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಝೋರಿಚ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ