Jean-François Mertens
ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ (11 ಮಾರ್ಚ್ 1946-17 ಜುಲೈ 2012) ಬೆಲ್ಜಿಯಂನ ಆಟ ಸಿದ್ಧಾಂತಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾಗಿದ್ದರು. ಆರ್ಡರ್-ಬುಕ್ ಆಫ್ ಮಾರ್ಕೆಟ್ ಗೇಮ್ಸ್, ಸಹಕಾರಿ ಆಟಗಳು, ಅಸಹಕಾರಿ ಆಟಗಳು, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು, ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ನಡವಳಿಕೆಯ ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ (ಪರಿಹಾರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಸಹಕಾರಿ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಕೋರ್ ಮತ್ತು ಶಾಪ್ಲೆ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪರಿಹಾರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದರು. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ 1982 ಮತ್ತು 1986ರ ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ಲೇಖನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಲ್ವೈನ್ ಸೊರಿನ್ ಮತ್ತು ಶ್ಮುಯೆಲ್ ಜಮೀರ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಸಹ-ಲೇಖಕರಾಗಿದ್ದ ಅವರ 1994ರ ಸಮೀಕ್ಷೆಯು, ಅವರ ಸ್ವಂತ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಕಲನಗಳಾಗಿವೆ. ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಅವರು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಟೋಪೋಲಜಿ ಕುರಿತು ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ಮಾದರಿಗಳಾದ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಮೀರ್ ಅವರು ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಟಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಜಾನ್ ಹರ್ಸಾನ್ಯಿಯ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದರು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ತನ್ನ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಖಾಸಗಿ ಪರಿಚಿತ ಪ್ರಕಾರದಿಂದ ಮತ್ತು ಇತರ ಆಟಗಾರರ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧವು ಇತರರ ಸಂಭವನೀಯ ನಂಬಿಕೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ಸಂಭವನೀಯ ನಂಬಿಕೆಗಳ ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಯಾವುದೇ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ನಿಕಟವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು, ಇದು ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು, ಔಮನ್ ಮತ್ತು ಮಾಸ್ಲರ್ ಅವರಿಂದ ಪ್ರವರ್ತಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು. ಮೈದಾನಕ್ಕೆ ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಅವರ ಎರಡು ಕೊಡುಗೆಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಎರಡು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಆಟಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ (1) ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು (2) ಸಿಗ್ನಲಿಂಗ್ ರಚನೆ. (1) ಮಾಹಿತಿಃ ಆಟಗಾರರ ಖಾಸಗಿ ಮಾಹಿತಿಯು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. (2) ಸಿಗ್ನಲಿಂಗ್ ರಚನೆಗಳುಃ ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ನಂತರ ಇಬ್ಬರೂ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಆಡಿದ ಹಿಂದಿನ ಚಲನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಿಗ್ನಲಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿಗ್ನಲಿಂಗ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಬಹುದಾದ ಖಾಸಗಿ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಆ ಸೆಟ್-ಅಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಅವರು ರಾಜ್ಯದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವಲಂಬಿತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಆಟಕ್ಕೆ ಮಿನ್ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ಮಿನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಷ್ಮುಯೆಲ್ ಜಮೀರ್ ಜೊತೆಗೆ, ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವೇದಿಕೆಯ ಆಟಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮಿತಿ, ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ-ರಿಯಾಯಿತಿ ಪಡೆದ ಆಟಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮಿತಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ತಾಳ್ಮೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ತಾಳ್ಮೆಯಿಂದ ಇರುತ್ತಾರೆ. ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಮೀರ್ ಅವರ ವಿಧಾನದ ಒಂದು ನಿರ್ಮಾಣ ಘಟಕವೆಂದರೆ ನಿರ್ವಾಹಕರ ನಿರ್ಮಾಣ, ಈಗ ಅವರ ಗೌರವಾರ್ಥ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ MZ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ (ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಟಗಳು), MZ ಆಪರೇಟರ್ ಅಂತಹ ಆಟಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತಿರುಳಿನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗುತ್ತಾನೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾದ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಮೀರ್, ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯವು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ಮಿನ್ ಅಥವಾ ಮಿನ್ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ) ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿಗ್ನಲಿಂಗ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಒಮ್ಮುಖದ ದರವನ್ನು ಸಹ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಎನ್-ಹಂತದ ಆಟದ (ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ) ಮೌಲ್ಯದ ಅದರ ಮಿತಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ವೇಗದ ವಿವರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಆಳವಾದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಬೌಂಡೆಡ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ರಾಜ್ಯ ಅವಲಂಬಿತ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ರಚನೆಯಿಲ್ಲದ ಆಟಗಳ ಕಠಿಣ ಪ್ರಕರಣದ ಅಧ್ಯಯನದ ಮೇಲೆ ದಾಳಿ ಮಾಡಿದ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಮೀರ್ ಸಹಾಯಕ ಆಟದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯದ ಮೇಲೆ ಹೊಸ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ತಂತ್ರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು 'ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಾಕಾಗುವಷ್ಟು' ಕೋರ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಅವರು ಜಮೀರ್ (ಮತ್ತು ಸೊರಿನ್ ಅವರೊಂದಿಗೂ ಸಹ) ಅವರ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಶೂನ್ಯ ಮೊತ್ತದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಖ್ಯಾತಿ, ಪ್ರತಿಫಲಗಳಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮಟ್ಟಗಳ ಮಿತಿಗಳು, ಆದರೆ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು, ಸಿಗ್ನಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಮೀಪಿಸುವಿಕೆಯಂತಹ ಸಾಧನಗಳು. ಅನೇಕ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲಿ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಎರಡು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸ್ಥಾಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಮೂಲ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದರೂ, ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯದೊಂದಿಗೆ ಚೈತನ್ಯ ಮತ್ತು ನಾವೀನ್ಯತೆಗಳು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿವೆ. 1953ರಲ್ಲಿ ಲಾಯ್ಡ್ ಶಾಪ್ಲೆ ಅವರು ಸಂಭವನೀಯ ಆಟಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮೊದಲ ಪ್ರಬಂಧವು ರಿಯಾಯಿತಿಯ ಎರಡು-ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟವನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿತು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಯಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿತು. 1968ರಲ್ಲಿ ಬ್ಲ್ಯಾಕ್ವೆಲ್ ಮತ್ತು ಫರ್ಗುಸನ್ ಮತ್ತು 1974ರಲ್ಲಿ ಕೊಹ್ಲ್ಬರ್ಗ್ ಅವರು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಕರಣದ ಅಧ್ಯಯನವು ಮುಂದಿನ ಮೂರು ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಂಡಿತು. 1981 ರಲ್ಲಿ ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಬ್ರಹಾಂ ನೆಯ್ಮನ್ ಅವರು ಅತ್ಯಂತ ಬಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೊತ್ತದ ಅಧ್ಯಯನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಿತು, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪಾರ್ಥಸಾರಥಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಆಟಗಳುಃ ಮಿತಿ ಬೆಲೆ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಅವರು ರೇಖೀಯ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಆರ್ಥಿಕತೆಗಳನ್ನು ಆರ್ಡರ್ ಬುಕ್ (ಟ್ರೇಡಿಂಗ್) ಆಗಿ ಬಳಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು, ಇದು ಮಾದರಿ ಮಿತಿ ಆರ್ಡರ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ಸೆಟಪ್ಗೆ ಡಬಲ್ ಹರಾಜನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆಟಗಾರರ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅವರ ರೇಖೀಯ ಆದ್ಯತೆಗಳಿಂದ ತಿಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹಣವು ಸರಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಹಣಕ್ಕೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಕನಿಷ್ಠ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಸರಿ (ಎಲ್ಲಾ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಕೇವಲ ಆದೇಶಗಳಾಗಿವೆ!). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆದೇಶಗಳು (ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಆದೇಶ-ಏಜೆಂಟ್) ಒಂದೇ ನಿಜವಾದ ಏಜೆಂಟ್ನಿಂದ ಬರಬಹುದು. ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿ, ಮಾರಾಟವಾದ ಸರಕುಗಳು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದ ಖರೀದಿ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ತಂದ ಸರಕುಗಳನ್ನು (ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳು) ಆರಂಭಿಕ ದತ್ತಿಗಳ ಮೂಲಕ ರವಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಿತಿ ಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಆದೇಶ-ಏಜೆಂಟ್ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ತರುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು (ಹಣ ಅಥವಾ ಅಂಕಿ). ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿನ ಮಾರಾಟದ ಆದೇಶವು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟವಾಗುವ ಸರಕುಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಣ ಅಥವಾ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಎಂಜಿನ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುವ ಆದೇಶಗಳನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ-ಸಹಾಯಕ ರೇಖೀಯ ಆರ್ಥಿಕತೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಂತರಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ನ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಶಾಪ್ಲೆ-ಶುಬಿಕ್ ವ್ಯಾಪಾರ ಪೋಸ್ಟ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಬ್ಬ ತಜ್ಞರ ಬದಲು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಾದ್ಯಂತ ಮಿತಿ ಆದೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಜ ಜೀವನದ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಸಹಕಾರಿ ಆಟಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಕರ್ಣೀಯ ಸೂತ್ರವು ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಆಟಗಾರನ ಶೇಪ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಮಾಡಿದಾಗ ಆಟಗಾರರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅವನ ಕನಿಷ್ಠ ಕೊಡುಗೆಯೆಂದು ಸುಂದರವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕನಿಷ್ಠ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ-ಇದು ಔಮನ್ ಮತ್ತು ಶಾಪ್ಲೆ ರೂಪಿಸಿದ ಕರ್ಣೀಯ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಸಹಕಾರಿ ಆಟಗಳ ಶಾಪ್ಲೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮೂಲತಃ ಬೇಕಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಇದು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು "ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು" ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ, ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯ ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅಂತಹ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸುಗಮಗೊಳಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ತಂತ್ರವು ಬಹುಪಾಲು ಆಟಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೇಕಡಾವಾರು ಮೇಲೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಹಂತ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ). ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಸಂವಹನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾ, ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು ಅಸ್ಥಿರ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಖರ್ಚು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಟಗಳ ದೊಡ್ಡ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಖರ್ಚು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶಾಪ್ಲೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳಾದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್-ಸ್ಥಿರ ಸಮತೋಲನ ಪರಿಹಾರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಹಿಂದುಳಿದ ಪ್ರಚೋದನೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಚೋದನೆಗಾಗಿ ವಾದಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಆಟಗಾರನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕ್ರಿಯೆಯು ಈಗ ಅವನ ಮತ್ತು ಇತರರ ಭವಿಷ್ಯದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮತೆಯನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಬ್ಗೇಮ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಈಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯು ಹಿಂದುಳಿದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ದುರ್ಬಲ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾದ ಆವೃತ್ತಿಗಳೆಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮ ಸಮತೋಲನ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಮತೋಲನ, ಅರೆ-ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಮತೋಲನ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಸಮತೋಲನ, ಅಲ್ಲಿ ನಂತರದ ಮೂರನ್ನು ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾದ ತಂತ್ರಗಳ ಮಿತಿಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಆಟಗಾರನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕ್ರಿಯೆಯು ಈಗ ಅವನ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಇತರರ ಹಿಂದಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮತೋಲನದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಹಿತಿಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಆಟಗಾರನ ನಂಬಿಕೆಯು ಆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಇತರರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಿಶ್ರವಾದ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ-ಅಂತಹ ಸಮತೋಲನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಚೋದನೆ ಎರಡನ್ನೂ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ತನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅಂತಹ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾದ ಆಟಗಳಿಂದ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುವುದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ-ಮತ್ತು ಗುರಿಯನ್ನು ಸರಳವಾದ ಕೊಹ್ಲ್ಬರ್ಗ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಸಮತೋಲನದೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್-ಸ್ಥಿರ ಸಮತೋಲನದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲೋನ್ ಕೊಹ್ಲ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಅವರು ಪರಿಹಾರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿರ್ಧಾರದ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಒತ್ತಿ ಹೇಳಿದರು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಅನೇಕ ಸಮಾನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ವ್ಯಾಪಕ-ರೂಪದ ಆಟವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಅನಗತ್ಯವಾದ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ ಪಡೆದ ಆಟದ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಅವರ ಪ್ರತಿಫಲಗಳನ್ನು ಇತರ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳ ಮಿಶ್ರಣದಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪರಿಹಾರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಆಟಗಾರರ ಆದ್ಯತೆಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆಟವು ಬಾಹ್ಯ ಆಟಗಾರರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಪಂಚದ ತತ್ವದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಸಹ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದರು, ಅವರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೂಲ ಆಟಗಾರರ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೊಹ್ಲ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಅವರು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರತೆ ಎಂಬ ಸೆಟ್-ಮೌಲ್ಯದ ಪರಿಹಾರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹತೆ, ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆ ತೋರಿಸಿದೆ. ಸೆಟ್ ಅನುಕ್ರಮ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ತರುವಾಯ, ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಒಂದು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಸ್ಥಿರತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಇದನ್ನು ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್-ಸ್ಥಿರ ಸಮತೋಲನದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹಲವಾರು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣತೆಃ ಸ್ಥಿರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಮತೋಲನವು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ಃ ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೆಟ್ ಆಟದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಸರಿಯಾದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಪಕ-ರೂಪದ ಆಟದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಪರಿಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಮರುಪಡೆಯುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗವು ದುರ್ಬಲ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಉತ್ತರಗಳಾಗಿವೆ. ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಮಾಲ್ ವರ್ಲ್ಡ್ಸ್ಃ ಆಟದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ಆಟದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದು ಮೂಲ ಆಟಗಾರರ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲೇಯರ್ ಸ್ಪ್ಲಿಟಿಂಗ್. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಆಟಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಥಿರ ಸೆಟ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಿರ ಸೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಆಟಗಾರನನ್ನು ಏಜೆಂಟ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದರಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಆಟದ ಮರದ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವು ಇಬ್ಬರು ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಮರುಪಡೆಯುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರತಿಫಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರ ಆಟಗಳಿಗೆ, ಸ್ಥಿರತೆಯು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಮೂರು ಗುಣಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೆಟ್ ಕೇವಲ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅರೆ-ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಆಟದಲ್ಲಿ ಹುದುಗುವಿಕೆಗೆ ನಿರೋಧಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ಕಡೆಗೆ ಆಟಗಾರರ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾದ ಆಟಗಳ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಯ ಅಗತ್ಯತೆಯಿಂದ (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ) ಸ್ಥಿರವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹತ್ತಿರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಟವು ಹತ್ತಿರದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯತೆಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಗಡಿರೇಖೆಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಯಾವುದೇ ವಿರೂಪತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ನ್ಯಾಶ್ ಈಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಾವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ಹತ್ತಿರದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾಜಿಕ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಒಂದು ಸಾಮಾಜಿಕ ಕಲ್ಯಾಣ ಕಾರ್ಯವು (ಎಸ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಫ್.) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರ್ಯಾಯಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾಜಿಕ ಆದ್ಯತೆಗಳಿಗೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಆದ್ಯತೆಗಳ ಪ್ರೊಫೈಲ್ಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧವೊಂದರಲ್ಲಿ ಬಾಣವು (1950) ಪ್ರಸಿದ್ಧ "ಅಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ" ವನ್ನು ತೋರಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಡೊಮೈನ್, ಅಪ್ರಸ್ತುತ ಪರ್ಯಾಯಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಮಾನದಂಡ ಮತ್ತು ಸರ್ವಾಧಿಕಾರವಿಲ್ಲದಂತಹ ಅತ್ಯಂತ ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಎಸ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಫ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಾಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಲು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಾಹಿತ್ಯವು ದಾಖಲಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಲೇಟಿವ್ ಯುಟಿಲಿಟೇರಿಯನಿಸಂ (ಆರ್. ಯು.) (ಧಿಲ್ಲಾನ್ ಮತ್ತು ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್, 1999) ಒಂದು ಎಸ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಫ್. ಆಗಿದ್ದು, ಇದು 0 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಬಾಣದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಆದರೆ ಲಾಟರಿಗಳಿಗಿಂತ ಆದ್ಯತೆಗಳ ಸ್ಥಳಕ್ಕಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪಡೆದ "ಸಾಧ್ಯತೆ" ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉಪಯುಕ್ತತಾವಾದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಆರ್. ಯು. ಪ್ರಮುಖ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಅಥವಾ ಅಂತರ್ವ್ಯಕ್ತೀಯ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ವಾನ್-ನ್ಯೂಮನ್-ಮೊರ್ಗೆನ್ಸ್ಟೆರ್ನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಸಮಾನ) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುವ ಲಾಟರಿಗಳ ಮೇಲೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಆದ್ಯತೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಂತರ್ವ್ಯಕ್ತೀಯ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು "ಸರಿಯಾದ" ಅಂತರ್ವ್ಯಕ್ತೀಯ ಹೋಲಿಕೆಗಳಿಗೆ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಸಾಮಾಜಿಕ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಾಧಿಸಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ವಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ವೈಯಕ್ತಿಕತೆಃ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯಗಳ ನಡುವೆ ಅಸಡ್ಡೆ ತೋರಿದರೆ, ಸಮಾಜವೂ ಸಹ ಅಸಡ್ಡೆ ತೋರುತ್ತದೆಃ ಎಸ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಫ್. ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯಗಳ ನಡುವೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಡ್ಡೆ ತೋರುವುದಿಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಅನಾರೋಗ್ಯವಿಲ್ಲಃ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಆದರೆ ಒಬ್ಬರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಡ್ಡೆ ತೋರುವಾಗ ಸಮಾಜದ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಅವನ, ಅನಾಮಧೇಯತೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವಲ್ಲಃ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಸಾಮಾಜಿಕ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ವಿಪರೀತ ಪರ್ಯಾಯಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಃ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ನಂತರ, "ಅಪ್ರಸ್ತುತ" ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಇತರ ಪರ್ಯಾಯಗಳ ಮೇಲೆ ಲಾಟರಿಗಳಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಾಣದ ಅಪ್ರಸ್ತುತ ಪರ್ಯಾಯಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು (ಐಐಎ) ಈ ಸೂತ್ರವು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕತಾನತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ "ಒಳ್ಳೆಯ ಇಚ್ಛೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ಕ್ಕಿಂತ ತುಂಬಾ ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆಃ ಎರಡು ಲಾಟರಿಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಆದ್ಯತೆಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಮೊದಲ ಪ್ರೊಫೈಲ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಅಸಡ್ಡೆ ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಪ್ರೊಫೈಲ್ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಮಾಜವು ಎರಡನೇ ಪ್ರೊಫೈಲ್ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಆದ್ಯತೆಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಪ್ರಬಲವಾದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಆರ್ ಯು ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 5ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಎಸ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎಫ್ ಆರ್ ಯು ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಅಥವಾ ನಿಖರವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಕನಿಷ್ಠ 2 ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇದ್ದಾಗ. ನೀತಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಜನಾಂಗೀಯ ಸಮಾನತೆ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಉಪಯುಕ್ತತಾವಾದವು ವೆಚ್ಚ-ಲಾಭದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ 2 ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು ಅಂತರ್ಜನಾಂಗೀಯವಾಗಿ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಸಾಮಾಜಿಕ ರಿಯಾಯಿತಿ ದರವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ರುಬಿಂಚಿಕ್ ಅವರು (ತಾತ್ಕಾಲಿಕ) ನೀತಿಗಳ ಸಮೃದ್ಧ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಶಿಫ್ಟ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಕಲ್ಯಾಣ ಕಾರ್ಯವು, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಿಯಾಯಿತಿ ದರದೊಂದಿಗೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರೇರಿತ ಸಾಮಾಜಿಕ ರಿಯಾಯಿತಿ ದರದೊಂದಿಗೆ ಪಾಲಿಸಿಯ ರಿಯಾಯಿತಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು (ಬದಲಾವಣೆ) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ. (ಶಿಫ್ಟ್-ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಮೂಲ ಪಾಲಿಸಿಯ ಮೌಲ್ಯದ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸಲು ಶಿಫ್ಟ್ ಪಾಲಿಸಿಯ ಮೇಲೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಯ-ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತವೆ.) ಬಾಹ್ಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ (ಸಮಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ರೇಖೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಪೀಳಿಗೆಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮತೋಲಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಮತೋಲನದ ಸುತ್ತ (ಸಣ್ಣ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ) ನೀತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಶಿಫ್ಟ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ (ಬಂಡವಾಳದ ಸ್ಟಾಕ್ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ). ನೀತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ದತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಾಗಿ (ವರ್ಗಾವಣೆ ಅಥವಾ ತೆರಿಗೆಗಳು) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ತಲೆಮಾರುಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಸಾಪೇಕ್ಷ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಾಮಾಜಿಕ ರಿಯಾಯಿತಿ ದರವು ತಲಾ ಜಿ. ಡಿ. ಪಿ. ಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವಾಗಿದೆ (ಯು. ಎಸ್. ನಲ್ಲಿ 2 ಪ್ರತಿಶತ). ಇದು ಯು. ಎಸ್. ಆಫೀಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾನೇಜ್ಮೆಂಟ್ ಅಂಡ್ ಬಜೆಟ್ನ ಸುತ್ತೋಲೆ ಎ-4ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಪ್ರಸ್ತುತ ಪದ್ಧತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ನಿಮ್ಮ ನಿಯಮವು ಪ್ರಮುಖ ಅಂತರ್ಜನಾಂಗೀಯ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ವೆಚ್ಚಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು 3 ಮತ್ತು 7 ಪ್ರತಿಶತ ರಿಯಾಯಿತಿ ದರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿವ್ವಳ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಆದರೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ರಿಯಾಯಿತಿ ದರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಬೆಲ್ಜಿಯಂನ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಗೇಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾದಿಗಳು ಬೆಲ್ಜಿಯಂನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಯೂನಿವರ್ಸಿಟೆ ಕ್ಯಾಥೊಲಿಕ್ ಡಿ ಲೌವೈನ್ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯೂನಿವರ್ಸಿಟೆ ಕ್ಯಾಥೊಲಿಕ್ ಡಿ ಲೌವೈನ್ ಫೆಲೋಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಿಬ್ಬಂದಿ 1946 ಜನನಗಳು 2012 ಸಾವುಗಳು