Hadamard product (matrices)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು (ಅಂಶವಾರು ಉತ್ಪನ್ನ, ಪ್ರವೇಶವಾರು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಶುರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಒಂದೇ ಆಯಾಮಗಳ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು "ನೈವ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ" ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಫ್ರೆಂಚ್-ಯಹೂದಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಅಥವಾ ಜರ್ಮನ್-ಯಹೂದಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಇಸೈ ಶುರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹವರ್ತಿ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ವಿನಿಮಯಶೀಲವೂ ಆಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ, ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ) ಆಪರೇಂಡ್ಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ವಿಭಿನ್ನ ಆಯಾಮಗಳ (ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಿ ಅಥವಾ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ, ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ 2x3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹೀಗಿದೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿದೆ (ಸಂವಹನ ರಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ), ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಸಹಾಯಕ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ. ಅಂದರೆ, ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೆ ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆಃ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಯಮಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದ ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸಂಯುಗ್ಮ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಕುರುಹು ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾಲು-ಮೊತ್ತಗಳು ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆಃ ಅಂತೆಯೇ, ಇದಲ್ಲದೆ, ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕರ್ಣೀಯಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ವಾಹಕವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮುಖ ಉಪಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಅದರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ವಾಹಕವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ವಾಹಕದ ಅನುಗುಣವಾದ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ವಾಹಕವನ್ನು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮಿಶ್ರ-ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅಲ್ಲಿ ಮುಖವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಕಣವಾರು ಖತ್ರಿ-ರಾವ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಲ್ಲಿದೆ? ಶುರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ-ಅರೆ-ಪರಿಮಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕ-ಅರ್ಧ-ಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರಷ್ಯಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಇಸೈ ಶುರ್ ನಂತರ ಶುರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ-ಅರೆ-ಸೀಮಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಅವುಗಳ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಅವುಗಳ ಆಯಾ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ತಿಳಿದಿದೆಃ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಇತರ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಮತ್ತು (ಇದು ಭಿನ್ನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ), ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ಃ ಎ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿವಿಧ ಹೆಸರುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಯಾದ ಜೂಲಿಯಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಸಾರ ನಿರ್ವಾಹಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು. ಹೀಗಾಗಿ, ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪ್ರಸಾರ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು a ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. * b, ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಪವರ್ಗಳು a. ^ b ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ ಸಂಕೇತ f ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು f. (x) ಎಂದು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ * ಮತ್ತು ^ ಅನ್ನು ಕಾಯ್ದಿರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪೈಥಾನ್ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಇದು ಅಸಮಂಜಸ/ಸಂಘರ್ಷದ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. NumPy ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗ್ರಂಥಾಲಯವು a * b ಅಥವಾ a.multiply (b) ಅನ್ನು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ a@b ಅಥವಾ a.matmul (b) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸಿಂಪೈ ಸಿಂಬಾಲಿಕ್ ಲೈಬ್ರರಿಯೊಂದಿಗೆ, a * b ಅಥವಾ a@b ಎಂದು ವಸ್ತುಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು a.multiply_elementwise (b) ಎಂಬ ಕರೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕೆಲವು ಪೈಥಾನ್ ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳು np.power (a, b), ಅಥವಾ ಪಾಂಡಸ್ ವಿಧಾನ a.pow (b) ನಂತಹ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಸಿ + + ನಲ್ಲಿ, ಐಜೆನ್ ಲೈಬ್ರರಿಯು ವರ್ಗಕ್ಕೆ (a.cwiseProduct (ಬಿ)) ಸಿವೈಸ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಮೆಂಬರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆರ್ಮಡಿಲ್ಲೊ ಲೈಬ್ರರಿಯು ಆಪರೇಟರ್% ಅನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಳಸುತ್ತದೆ (a% b; a * b ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ). ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್, ಗೌಸ್ ಮತ್ತು ಎಚ್. ಪಿ. ಪ್ರೈಮ್ನಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅರೇ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫೋರ್ಟ್ರಾನ್, ಆರ್, ಎಪಿಎಲ್, ಜೆ ಮತ್ತು ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ (ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ), ಗುಣಾಕಾರ ನಿರ್ವಾಹಕ * ಅಥವಾ × ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ಮುಲ್,% *%, +. ×, +/ಬಳಸಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. * ಮತ್ತು., ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ. R ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ ಸಂಖ್ಯಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ hadamard.prod () ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಜೆಪಿಇಜಿಯಂತಹ ಲಾಸಿ ಕಂಪ್ರೆಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಹಂತವು ಎಂಟ್ರಿ-ಫಾರ್-ಎಂಟ್ರಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, ನಿಗ್ರಹಿಸಲು ಅಥವಾ ಮರೆಮಾಚಲು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೂಲ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ತೂಕ ಅಥವಾ ಮಾಸ್ಕಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ನರ ಜಾಲಗಳ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪವನ್ನು ಜಿಆರ್ಯುಗಳು ಅಥವಾ ಎಲ್ಎಸ್ಟಿಎಂಗಳು ಎಂದು ವಿವರಿಸಲು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನುಗ್ಗುವ ಮುಖದ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಿ. ಸ್ಲ್ಯೂಸರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, p × g ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನುಗ್ಗುವ ಮುಖದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು p × g ಬ್ಲಾಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ () n-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (n> 1) ರೂಪದ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆ ವೇಳೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮುಖ-ವಿಭಜನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ನುಗ್ಗುವ ಮುಖದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡಿಜಿಟಲ್ ಆಂಟೆನಾ ಸರಣಿಗಳ ಟೆನ್ಸರ್-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕೃತಕ ನ್ಯೂರಲ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿಯೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನಲ್ ಪದರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಫ್ರೋಬೆನಿಯಸ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಿಂದುವಾರ ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಖತ್ರಿ-ರಾವ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.