Method of mean weighted residuals
ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ತೂಕದ ಅವಶೇಷಗಳ (MWR) ವಿಧಾನಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತೂಕದ ಅವಶೇಷಗಳ ಆಯ್ದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯ್ದ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಪರಿಹಾರದ ನಡುವಿನ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಮೊದಲು ಬಳಸುವ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. MWR ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು "ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಫಂಕ್ಷನ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ತೂಕದ ಉಳಿಕೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧಾನವು ಕೆಲವು "ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು" ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಊಹಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ರೂಪವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳಲ್ಲಿ), ನಂತರ ಹೇಳಲಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನದ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸರಾಸರಿ ತೂಕದ ಅವಶೇಷಗಳ ವಿಧಾನವು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇರುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೆಲವು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೇಸಿಸ್ ಸೆಟ್ ಕೇವಲ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಂತರ ಚೆಬಿಶೇವ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದ್ದು, ಅವು ಮೂಲ ಬಿ. ವಿ. ಪಿ. ಯಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ (ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪದ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪದ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ), ಅಥವಾ ವಿವೇಚನಾಯುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ n ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೇರುವ ಮೂಲಕ, ಅಲ್ಲಿ n ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಯ್ಕೆ, ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯದ ಆಯ್ಕೆಯು ಬಳಸಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಸರಾಸರಿ ತೂಕದ ಉಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಆರ್ ವಿಧಾನಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಜನಪ್ರಿಯತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇಲ್ಲಿವೆಃ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವು ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಟೆಸ್ಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಊಹಿಸಲಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ (ಅಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನಲ್ಲಿದೆ) ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತ್ಯೇಕ x ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಆ x ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ವಿಧಾನವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಈ ವಿಧಾನವು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯದ (ಅಂದರೆ) ಎಲ್2-ಮಾನದಂಡದ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವು ಸರಳವಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸಲು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಚಯ, ವೆಲ್ಲೆಸ್ಲಿ-ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಪ್ರೆಸ್ (1986). ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು