P-adic gamma function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, p-adic ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ p-adic ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಅದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. p-adic ಅನಲಾಗ್ Gp ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಜಾತುವಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಹಿಂದೆ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನ p-adic ಅನಲಾಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿತ್ತು, ಆದರೆ ಅವನ ಕಾರ್ಯವು ತೃಪ್ತಿಕರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ p-adic ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವು p-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕ x (ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ) ನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ x ಗೆ, ಗುಣಾಕಾರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವಾಗ i ಅನ್ನು p ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು p-adic ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದಟ್ಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣಕ್ಕೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ p-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲವಿದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು p ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ನಿರಂತರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ನಂತರ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ. ಇಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವಾದ p-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಮೂಹವಿದೆ. ಪಿ-ಅಡಿಕ್ ಗಾಮಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಾಮಾ ಕ್ರಿಯೆಯು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೊರಿಟಾ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಯೂಲರ್ನ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸೂತ್ರವು p-adic ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಳ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ x ನ p-adic ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 0 ಬದಲಿಗೆ. ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮೊರಿಟಾ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಇದನ್ನು ಸಹ ನೋಡಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ. ಇತರ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗ್ರಾಸ್-ಕೊಬ್ಲಿಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬಂದಿವೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಉಪಕರಣಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯ 3 ರೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯ 2 ರೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದರೆ ಅಂತಹ ವಿಶೇಷಣಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾಡಬೇಕು.) ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, 1 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 3. ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ರಾಬೆ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಲ್ಲಿದೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ರಾಬೆ-ಸೂತ್ರವು ಇದು ಮೊರಿಟಾ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದ ಇವಾಸಾವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಸೀಲಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಮಿತಿ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮಹ್ಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಂತೆ p-adic ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಹ್ಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದ ಮಾಹ್ಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಗ್ರಾಸ್-ಕೊಬ್ಲಿಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.