Synge's world function
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ಸಿಂಜ್ ನ ವಿಶ್ವ ಕಾರ್ಯವು ನಯವಾದ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಯವಾದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ನಾರ್ಮಲ್ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅಫೈನ್ ನಿಯತಾಂಕದವರೆಗೆ ಸೇರಿಸಲು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಿಂಜ್ 'ಸ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಫ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರೈಸ್ಡ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧ ಚದರವಾಗಿದೆ. ಸಿಂಜ್ ನ ವಿಶ್ವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲಕ್ಕೆ, ಸಿಂಜ್ ನ ವಿಶ್ವ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಿಂಜ್ ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿಯೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಿಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹು ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಹಲವಾರು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಇರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದನ್ನು ಕರ್ಣದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೂ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯ್ಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಂಗೆಯ ವಿಶ್ವ ಕಾರ್ಯವು (ಅದರ ಕರ್ಣದ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯೂ ಸಹ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಾಗಿದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹಲವಾರು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಇದು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗಾಸಿಯನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಗ್ರೀನ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ