Nevanlinna's criterion
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, 1920 ರಲ್ಲಿ ಫಿನ್ನಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ರಾಲ್ಫ್ ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಅವರ ಮಾನದಂಡವು, ನಕ್ಷತ್ರದಂತಹ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಕ್ಷತ್ರದಂತಹ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಬೀಬರ್ಬಾಚ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಮಾನದಂಡದ ಹೇಳಿಕೆಯು h (0) = 0 ಮತ್ತು h (0) = 1 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವು ನಕ್ಷತ್ರದಂತಿದೆ, ಅಂದರೆ. |z | <1 ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 0 ರಲ್ಲಿ 1 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ, [0,1] ನಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. a·h (rz) ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮಾನದಂಡವು ಯಾವುದೇ ಡಿಸ್ಕ್ |z | <r ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು f (0) = 0 ಮತ್ತು f "(0) ಷ್ಣ 0 ಎಂಬ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮಾನದಂಡದ ಪುರಾವೆ, h (0) = 0 ಮತ್ತು h (0) = 1 ನೊಂದಿಗೆ |z | <1 ಮೇಲೆ h (z) ನಕ್ಷತ್ರದಂತಹ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಟಿ <0 ಗೆ, ಡಿ ಯ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ 0 ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಚ್ ಎಂಬುದು ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅಡಿಗೆ ಕೊಯಿನಿಗ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಟಿ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ |ft (z) | ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ, |w |2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಪರಸ್ಪರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು t ಅನ್ನು 0 ಗೆ ಹೋಗಲು ಬಿಡುವುದು ಎಲ್ಲ |z | <1 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗವು ಸಾಮರಸ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವವು ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗ ಮತ್ತು g (0) = 1 ಇದ್ದರೆ, ಆಗ h ಕೇವಲ 0ರಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಸರಳವಾದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಈಗ ಹೀಗೆ z ವೃತ್ತವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿದಂತೆ, ಚಿತ್ರದ ವಾದವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ವಾದದ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, 0 ರಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಮೂಲವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಗುರುತಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ಒಳಭಾಗವು ನಕ್ಷತ್ರದಂತಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿ a ಮತ್ತು N (0) = 1ರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, n (a) ನ h (z) = a ಯೊಂದಿಗೆ |z | <r ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಡಿಸ್ಕ್ |z | <r ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲೆಡೆ h ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ನಕ್ಷತ್ರದಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಕಾರಥೋಡರಿಯ ಲೆಮ್ಮಾ ಕಾನ್ಸ್ಟಾಂಟಿನ್ ಕಾರಥೋಡರಿ 1907 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿ ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದೇ r <1 ಗೆ g ಅನ್ನು g (z) = g (rz) ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು ಮತ್ತು ನಂತರ r = 1 ಮಿತಿಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ g ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುವ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಕ್ಷತ್ರದಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪುರಾವೆ |z | <1 ರಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ನಕ್ಷತ್ರದಂತಹ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನ ಮಾನದಂಡವು |z | <1 ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ a "1 = 1 ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ