Carathéodory kernel theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ಕರ್ನಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು 1912 ರಲ್ಲಿ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಕಾನ್ಸ್ಟಾಂಟಿನ್ ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 0 ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಚಿತ್ರಗಳ ಸೀಮಿತ ನಡವಳಿಕೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಕರ್ನಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಲೋವನರ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಸಿ ಯಲ್ಲಿ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. Vn ಎಂಬುದು 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಳಭಾಗದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಅಂಶವಾಗಿರಲಿ. ಅನುಕ್ರಮದ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು Vn ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಕರ್ನಲ್ 0 ಅಥವಾ ಒನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪರ್ಕಿತ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದೇ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯು. ಎನ್. ಯು 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪರ್ಕಿತ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕರ್ನಲ್ ಕೇವಲ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯುಎನ್ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪರ್ಕಿತ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, 0 ಯು ಯು 1 θ ಯು 2 θ ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವು 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಳಭಾಗದ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, 0 ಒಂದು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಕರ್ನಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು fn (z) ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ Dಯಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ fn (0) = 0 ಮತ್ತು f 'n (0)> 0 ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಯುಎನ್ = ಎಫ್ಎನ್ (ಡಿ) ಅದರ ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಕರ್ನಲ್ ಸಿ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಫ್ಎನ್ ಡಿ ಯಲ್ಲಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಎಫ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕರ್ನಲ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಯು ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಫ್ ಡಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ (ಡಿ) = ಯು ಮೇಲೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎಫ್ಎನ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದಿಂದ ಎಫ್ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ, ಯು. ಎನ್. ನ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಭಾಗವು ಕರ್ನಲ್ ಯು = ಎಫ್ (ಡಿ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯು. ಎನ್. ಯು ಸಿ ಗೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದ ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, ಕೋಯೆಬೆ ಕ್ವಾರ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಯು. ಎನ್. ಯು ಕೇಂದ್ರ 0 ರೊಂದಿಗೆ f 'n (0)/4 ತ್ರಿಜ್ಯದ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂದು U ಷ್ಣ C ಎಂಬ ಊಹೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋಯೆಬೆ ವಿರೂಪತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಆದ್ದರಿಂದ fn ಅನುಕ್ರಮವು ಸಾಂದ್ರ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳು f ಮತ್ತು g ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, f (0) = g (0) ಮತ್ತು f '(0), g' (0) ≤ 0. ಮೊದಲ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಇದು f (D) = g (D) ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿನ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯು f = g ಅನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮ f "n ಸಾಂದ್ರ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು