Quasicircle
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಎಂಬುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಮತಲದ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ. ಮೂಲತಃ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು, ಹಳೆಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ (ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ) ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಚಾಪಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತದ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗದ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳು ಮೂಲಭೂತ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳು ಸಹ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಮತಲದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ನ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಡಿಸ್ಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಹಳೆಯ ಪದವಾದ "ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಕರ್ವ್" ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ನಕ್ಷೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಿಸ್ತರಿತ ಸಮತಲದ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರವೂ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಆಗಿದೆ. ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವಿಸ್ತೃತ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಮಾನಿನ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಚಿತ್ರಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ "ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಆರ್ಕ್ಗಳಿಗೆ" ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿ ನೀಡಿತು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಕೆಳಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾದ z1 ಮತ್ತು z2 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಆರ್ಕ್ಗಳ ಚಿಕ್ಕದರ ಮೇಲೆ z3 ಇದ್ದರೆ, ಈ ಗುಣವನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಟರ್ನಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಆರ್ಕ್ ಕಂಡಿಷನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. φ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಸ್ತೃತ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಆಗಿರಲು ಸರಳವಾದ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿತು. ಒಂದು ಸ್ಥಿರ C> 0 ಇದೆ, ಅಂದರೆ z1, z2 ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ z3 ಇದ್ದರೆ, ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಚಾಪ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮಧ್ಯಂತರದ ಚಿತ್ರವಾಗಿ ಅಥವಾ ದ್ವಿ-ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಕ್ಷೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾದ ಸಿ. ಐ. ಗೆ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು φ ವೃತ್ತದ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, f ಮತ್ತು g ಚಿತ್ರಗಳ ಪೂರಕವು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗುವಂತೆ, [z | <1 ರ f ಮತ್ತು |z |> 1 ರ g ಅನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. f ಮತ್ತು g ನಕ್ಷೆಗಳು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ |z | = 1 ಮತ್ತು ಹೊಲಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರಣವು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ರೀಮನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ನ ಹೊರಭಾಗವನ್ನು ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸುವ f ಮತ್ತು g ನ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಮೊಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಭಾಗಶಃ ಜಾಗವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸಹ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಪ್ರತಿಫಲನವು 2ನೇ ಅವಧಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಥಿರೀಕರಣ ಬಿಂದುಗಳ ಒಳಭಾಗ ಮತ್ತು ಹೊರಭಾಗವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಕ್ಷೆಯು ಏಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿ ಯ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ f (z) ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ ಗಮನಿಸಿದರು. ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯು ತನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ತುದಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ, f ಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಘಟಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ವ್ಯಾಸದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯು 1-1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ. ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ ಅದು ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಿಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಕೇವಲ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ f ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗೆ f ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿದ ಪ್ರಕಾರ, ಷ್ಣುವು ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು R1, ಷ್ಣುವು ಷ್ಣುವಿನಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, |z |> 1ರ ನಿಯೋಜನೆಯು ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ fನ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾದ ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಕ್ಷೆಗಳಾದ ಆರ್ (ಝಡ್) ನ ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಆರ್ ನ ಫಾಟೌ ಸೆಟ್ ಎರಡು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಆರ್ ನ ಕ್ರಿಯೆಯು "ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್" ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು, ಅಂದರೆ. c> 0 ಮತ್ತು A> 1 ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ, ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆಃ ಆಕರ್ಷಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳು R (z) = z2 + c ಡೌಡಿ ಮೊಲ (c =-0.122561 + 0.744862i, ಇಲ್ಲಿ c3 + 2 c2 + c + 1 = 0) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳು z2 + λz ಜೊತೆಗೆ |λ | <1 ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ ಕ್ವಾಸಿ-ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ವಾಸಿ-ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ವಿರೂಪಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳ ಮಿತಿ ಸೆಟ್ಗಳು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಮೊದಲ ವಿಧದ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿಃ ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಮೋಬಿಯಸ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪು. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಡಿ ಯ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಲಿ, ಅಂದರೆ, ಡಿ ಯ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ, ಡಿ ಯ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಡಿ ಯ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಡಿ ಯ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಡಿ ಯ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಜಿ ಗೆ ್ಜು. (ಹೀಗಾಗಿ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಡಿ/ಜಾತುವಿನ ಮೇಲೆ "ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್" ಆಗಿದೆ.) ಡಿ ಯಿಂದ μ (z) = 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಿ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ μ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ. ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣವು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯವರೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. g ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, f (g (z)) ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣದ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು α (ಕುಲು) ಒಂದು ಅರೆ-ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ, f. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಮೊದಲು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿದರು, ಅವರು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು [1,2]. , "ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಚಲನೆಗಳ" ಹೊಸ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ನಕ್ಷೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗುಂಪಿನ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಕೆ. ಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಸ್ ಸಿಗೆ, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಕಚ್ಚಾ ಅಂದಾಜು ಇತ್ತು, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಕ್ಷೆಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಜೆಸಿ ಅನ್ನು ರೂಫಸ್ ಬೋವೆನ್ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ರುಯೆಲ್ ಅವರ ಕೆಲಸದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು ಇವು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿತು, ಇದು ಕೆ ಸ್ಮಾಲ್ಗೆ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಅರೆ-ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮ d ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಡಿ <2 ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಪ್ರಮಾಣವು ಅನುಗುಣವಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು, ವಿಭಾಗ 13.2, ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಲ್ಗಳ ಆಯಾಮ ". + ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್