Niven's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇವಾನ್ ನಿವೇನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿವೇನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು, 0° ≤ θ ≤ 90° ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ θ ಯ ಏಕೈಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ θ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸೈನ್ ಸಹ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ, 0 ≤ x ≤/2, x/ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು sinx ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು. ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು sin 0 = 0, sin/6 = 1/2, ಮತ್ತು sin/2 = 1 ಮಾತ್ರ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕುರಿತಾದ ನಿವೇನ್ರ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ 3.12ನೇ ಕರೋಲರಿಯಂತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಇತರ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. θ ಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ನ ಏಕೈಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0, ±1/2, ಮತ್ತು ±1; ಸೆಕೆಂಟ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ನ ಏಕೈಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳು ±1 ಮತ್ತು ±2; ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಥವಾ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ಏಕೈಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0 ಮತ್ತು ±1 ಆಗಿವೆ. ನಿವೆನ್ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪುರಾವೆಯು ಅವರ ಪುಸ್ತಕ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಮೊದಲು, ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಡಿ. ಎಚ್. ಲೆಹ್ಮರ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಎಮ್. ಎಚ್. ಓಲ್ಮ್ಸ್ಟೆಡ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದರು. ತನ್ನ 1933 ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಲೆಹ್ಮರ್ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅಂದರೆ, ಲೆಹ್ಮರ್ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ನ ಟೋಷಿಯಂಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಡಿಗ್ರಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇವಲ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು 1,2,3,4, ಅಥವಾ 6 ಆಗಿವೆ. ಮುಂದೆ, ಅವರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೈನ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1956ರಲ್ಲಿ, ನಿವೇನ್ ಲೆಹ್ಮರ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ನಂತರದ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹೊಸ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ಗಳು ಸರಿಯಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೂ ತೀಕ್ಷ್ಣ ಕೋನಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು