Microcontinuity
ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದೊಳಗಿನ ಒಂದು ವಿಭಾಗ, a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ S-ನಿರಂತರತೆ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ a ಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ, f (x) ಮೌಲ್ಯವು f (a) ಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ x ಯು f ನ ಡೊಮೇನ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ. ಎಫ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹಾಲೋ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಹೈಪರ್ರಿಯಲ್ಗಳಿಗೆ ಎಫ್ ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಎಫ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಮೈಕ್ರೋ ಕಾಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸಿ ನಲ್ಲಿನ ಮೈಕ್ರೋ ಕಾಂಟಿನ್ಯೂಟಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಿ ಯ ಹಾಲೋದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ "ಸ್ಟ್" ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ಆಧುನಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಮೊದಲು 1817ರಲ್ಲಿ ಬೊಲ್ಜಾನೊ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದನು. ಆದಾಗ್ಯೂ, 1860ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಹೈನ್ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮರುಶೋಧನೆಯವರೆಗೆ ದೊಡ್ಡ ಗಣಿತ ಸಮುದಾಯವು ಬೊಲ್ಜಾನೊ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಗಮನಿಸಲಿಲ್ಲ. ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಕೌಚಿಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಕೋರ್ಸ್ ಡಿ ಅನಲೈಸ್ 1821 ರಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನಂತೆ ಅನಂತತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದೆ. ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ನಿರಂತರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಾಸ್ತವಿಕ ಕಾರ್ಯ f * ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, I ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f * ಸೂಕ್ಷ್ಮ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ನೈಜ ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ f ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಅದರ ಡೊಮೇನ್ I ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದ I * ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ) f * ಮೈಕ್ರೊಕೊಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ f ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಡೇವಿಸ್, 1977, ಪುಟ 96 ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆ 1 ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0,1) ನೈಜ ಕಾರ್ಯವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ f ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದ f * ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮೈಕ್ರೋ ಕಾಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿರಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ a ಗೆ, a ಮತ್ತು 2a ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ f * ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ 2 ಕಾರ್ಯವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ f * ಅನಂತ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೈಕ್ರೋ ಕಾಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿರಲು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು K = H + e, H ಮತ್ತು K ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಆದರೆ f * (H) ಮತ್ತು f * (K) ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡುತ್ತಾರೆ. ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವು ಅದೇ ರೀತಿ ಹೈಪರ್ರಿಯಲ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಸರಳೀಕೃತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, f * ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ n ಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ f ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಪಾರ್ಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಬಿಬ್ಲಿಯೋಗ್ರಫಿ ಮಾರ್ಟಿನ್ ಡೇವಿಸ್ (1977) ಅಪ್ಲೈಡ್ ನಾನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಶುದ್ಧ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ. ವಿಲೇ-ಇಂಟರ್ಸೈನ್ಸ್ [ಜಾನ್ ವಿಲೇ & ಸನ್ಸ್], ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್-ಲಂಡನ್-ಸಿಡ್ನಿ. xii + 181 pp. ಗಾರ್ಡನ್, ಇ. ಐ.; ಕುಸ್ರಾವ್, ಎ. ಜಿ.; ಕುಟಾಟೆಲಾಡ್ಜೆ, ಎಸ್. ಎಸ್.: ಅನಂತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. 2001ರ ರಷ್ಯನ್ ಮೂಲದ ನವೀಕರಿಸಿದ ಮತ್ತು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿದ ಅನುವಾದ. ಅನುವಾದಿಸಿದವರು ಕುಟಾಟೆಲಾಡ್ಜೆ. ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳು, 544. ಕ್ಲೂವರ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್, ಡೋರ್ಡ್ರೆಕ್ಟ್, 2002. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ