Murnaghan equation of state
ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವ ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಒತ್ತಡದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಭೂ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಆಘಾತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಅನೇಕ ಸ್ಥಿತಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಅಗಲವಾದ ಒತ್ತಡದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು 1944 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ಡಿ. ಮುರ್ನಾಘನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಗೆ ಇದು ಬದ್ಧವಾಗಿದೆಃ ಘನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು, ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಎರಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೋಚನಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ K0 ಮತ್ತು ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾದ K′0, ಇವೆರಡನ್ನೂ ಸುತ್ತುವರಿದ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಿ ಒತ್ತಡದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಮಾಣ ವಿ ಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಕ್ಷ-ಕಿರಣ ವಿವರ್ತನೆಯಿಂದ ಅಥವಾ ಆಘಾತ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಬ್-ಇನಿಷಿಯೋ ಮತ್ತು ಮಾಲಿಕ್ಯುಲರ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಶಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಸಹ ಮಾಡಬಹುದು. ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೋಚನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಕಡಿತವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, V/V0 ಸುಮಾರು 90 ಪ್ರತಿಶತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ತೃಪ್ತಿದಾಯಕ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರಸ್ತಾಪಿತ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅನೇಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಒತ್ತಡದ ವಿ (ಪಿ) ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಮಾಣದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಥಿತಿಯ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಘನ ಸ್ಫೋಟಕಗಳ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಭೂಮಿಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗುವ ಬಿರ್ಚ್-ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಲೋಹಗಳು ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳ ಆಘಾತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣವೆಂದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೈ-ಗ್ರುನೀಸೆನ್ ಸಮೀಕರಣ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಗ್ರಹದ ಒಳ ಪದರಗಳ ಘಟಕಗಳ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಮೂಲಕ ಭೂಮಿಯ ಆಂತರಿಕ ರಚನೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ವಿಪರೀತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ; ಒತ್ತಡವನ್ನು ನೂರಾರು ಗಿಗಾಪಾಸ್ಕಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಸಾವಿರಾರು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಒತ್ತಡಗಳಿಗಾಗಿ ಡೈಮಂಡ್ ಅನ್ವಿಲ್ ಕೋಶದಂತಹ ಸಾಧನಗಳ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಘಾತ ತರಂಗಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಅಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿವಿಧ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳುಃ ಪರಿಮಾಣ (ಅಥವಾ ಸಾಂದ್ರತೆ), ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ. ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿವೆಃ ಅಂತರ ಪರಮಾಣು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಸ್ಥಿತಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅಥವಾ ಪ್ರಾಯಶಃ ಅಬ್ ಇನಿಷಿಯೋ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು; ಸ್ಥಿತಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಉಷ್ಣಬಲವಿಜ್ಞಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಎರಡನೇ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ವಿವಿಧ ಲೇಖಕರು ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳು, ಗುಣಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯು ಅದರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಮಾನದಂಡಗಳಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದುಃ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಗುಣಮಟ್ಟ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೋಚನದಲ್ಲಿ ಘನವಸ್ತುಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಊಹೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ. ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ, ಪಿ ಮತ್ತು ವಿ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ, ಘನದ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ವಿರೂಪದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಹುಕ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒತ್ತಡದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಮಾಣವು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತೃಪ್ತಿಕರ ಫಲಿತಾಂಶವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಘನವನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ ಹೋಗಲು, ನಾವು ಸಂಕೋಚನದೊಂದಿಗೆ ಘನದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಬೃಹತ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಒತ್ತಡದ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮುರ್ನಾಘನ್ ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆಃ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನಾವು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಸರಳೀಕೃತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಪೊಯ್ರಿಯರ್ ತೀವ್ರತೆಯ ಕೊರತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಟೀಕಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಕೋಚನಶೀಲತೆ ಮತ್ತು ಉಷ್ಣ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವಿನ ಒತ್ತಡದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವು ಹಳೆಯ ಪಾಲಿಟ್ರೋಪ್ ಸಂಬಂಧದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಬ್ ಇನಿಷಿಯೋ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಶಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದರ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವು K0/2ರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಒತ್ತಡಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿ/ವಿ0 ಅನುಪಾತವು ಸುಮಾರು 90 ಪ್ರತಿಶತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಒತ್ತಡದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಇತರ ಸ್ಥಿತಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, V/V0 ಅನುಪಾತವು ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಟ್ಟಿಗೆ, K′ 5/3 ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಥಾಮಸ್-ಫರ್ಮಿ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, K′ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, K′0 = 5/3 ಮೌಲ್ಯವು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಟ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಊಹಿಸಲಾದ ನಡವಳಿಕೆಯು ಬಹಳ ಬೇಗ ಅಸಂಭವವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಾದದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, K′ ಒತ್ತಡದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಭವವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಸಂಕುಚನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ K′′ ನ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು (ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ) ಈ ಅವಲೋಕನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ವಿಧಾನವು ಇನ್ನೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಒತ್ತಡವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಬೃಹತ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೂ ಇದು ಅನಿವಾರ್ಯವಾದ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬೇರೆಯಾಗುವ ಪ್ರಬಲ ಪದವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮುಖ ಮಿತಿಗಳು ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಹೋಲ್ಜಾಪೆಲ್ "ಯಾವುದೇ ಭೌತಿಕ ಸಮರ್ಥನೆಯಿಲ್ಲದ ಉಪಯುಕ್ತ ಗಣಿತದ ರೂಪ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಂಕೋಚನ ದತ್ತಾಂಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಜ್ಞಾನ ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಬಿರ್ಚ್-ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವು, ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದ ಗುಣಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿಯೆಂದರೆ ಕರಗುವಿಕೆಯ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ತಾಪಮಾನದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅವುಗಳ ಅಸಮರ್ಥತೆ, ಆದರೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಬೃಹತ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನಲ್ಲಿ ಹಠಾತ್ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಅನೇಕ ಘನ-ಘನ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಒತ್ತಡದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು K0 ಮತ್ತು K′0 ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪಡೆದ ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಪರಿಮಾಣ, ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಬೃಹತ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ದತ್ತಾಂಶ ಸಮೂಹವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಕ ಒತ್ತಡದ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಮಾಣ ಮಾಪನಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕ್ಷ-ಕಿರಣ ವಿವರ್ತನೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಬ್ ಇನಿಷಿಯೋ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಮಾಣದ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ, ನಂತರ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳ ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಪಡೆದ ಮಾದರಿಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಪೂರ್ವಾಗ್ರಹವಿಲ್ಲದೆ, ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡಲಾದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಏಕೈಕ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮುರನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾದ ಟೀಕೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಅಥವಾ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿರುವ ಟೀಕೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಊಹೆಯನ್ನು ಕೈಬಿಟ್ಟು ಮತ್ತೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಗುಣಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥದ ಪ್ರಶ್ನೆಯೂ ಸಹ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಪಿ2 ಎಂಬ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಒಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಅವಧಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ. ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದುಃ ಕುಮಾರಿ ಮತ್ತು ದಾಸ್ ಅವರು K = 0 ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ ಆದರೆ ಒತ್ತಡದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ K/K′ ವರದಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ; ಆಂಡರ್ಸನ್ ನಿಯತಾಂಕದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕುಮಾರ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣವು ಹೊಸದಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಟೈಟ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತರುವಾಯ ತೋರಿಸಲಾಯಿತು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಸಹ ನೋಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬರ್ಚ್-ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೋಸ್-ವೈನೆಟ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪಾಲಿಟ್ರೋಪ್ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಇಒಎಸ್ಫಿಟ್, ಇದು ಮುರ್ನಾಘನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪಿ (ವಿ) ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಆಗಿದೆ. ಕಾಂಟಿನಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಾಮಸೂಚಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು