Weak equivalence (homotopy theory)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಯು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ "ಆಕಾರ" ವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ವರ್ಗದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ವರ್ಗವು ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳು, ಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಹಲವಾರು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ವರ್ಗದ ಸಂಬಂಧಿತ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ ಸಲುವಾಗಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಫೈಬ್ರೇಶನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಅವಲೋಕನವಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮಾದರಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕ್ವಿಲ್ಲೆನ್ ಅವರು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಇತರ ಅನೇಕ ವರ್ಗಗಳಿಗೂ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸೆರ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳನ್ನು ಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿ (ಈ ಮಾದರಿ ರಚನೆಯ ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಜೀವಕೋಶ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಗಳು ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪಥದ ಘಟಕಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೇರಿತ ಕಾರ್ಯವು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳಗಳ ನಿರಂತರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ f: X → Y ಅನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು X ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ n ≤ 1 ಗೆ, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೇರಿತ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. (X ಮತ್ತು Y ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ, ಮೊದಲ ಷರತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು X ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದು x ಗೆ ಎರಡನೇ ಷರತ್ತನ್ನು ಹೇಳಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.) ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಗೆ, f: X → Y ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ದುರ್ಬಲ ಸಮರೂಪತೆಯ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಸಮರೂಪಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಿತ ಸಮರೂಪತೆ f *: Hn (X, Z) → Hn (Y, Z) ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಅಂತೆಯೇ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಗೆ, f: X → Y ನಕ್ಷೆಯು ದುರ್ಬಲ ಸಮರೂಪತೆಯ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಸಮರೂಪತೆ f *: Hn (Y, Z) → Hn (X, Z) ಏಕವಚನ ಸಮರೂಪಶಾಸ್ತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಃ X ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ 0 ರಿಂದ 0 ಮತ್ತು n ನಿಂದ 1/n ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ f: X → Y ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗವು (ದುರ್ಬಲ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗವು ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದ ಇತರ ಅನೇಕ ಮಾದರಿ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಮಾದರಿ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ, ಫೈಬ್ರೇಶನ್ಗಳು ಹ್ಯುರೆವಿಕ್ಜ್ ಫೈಬ್ರೇಶನ್ಗಳು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಕೆಲವು ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಮಾದರಿ ವರ್ಗಗಳು ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಎ ಒಂದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗ ಅಥವಾ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಪೊರೆಗಳ ವರ್ಗ. ಸಿ (ಎ) ವರ್ಗವನ್ನು ಎ ನಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಾದ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸರಪಳಿ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. (ಇದು ಎ ಯ ವಸ್ತುಗಳ "ಕೋಚೈನ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು" ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಕ್ಸಿ = ಎಕ್ಸ್-ಐ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.) ವರ್ಗ ಸಿ (ಎ) ಒಂದು ಮಾದರಿ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳು ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳು ಅರೆ-ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಸರಪಳಿ ನಕ್ಷೆ f: X → Y ಒಂದು ಸಮರೂಪತೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೇರಿತ ಏಕರೂಪತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು n ಗೆ ಸಮರೂಪತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಅರ್ಧ-ಸಮರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ. (ಇಲ್ಲಿ Hn (X) ಎಂಬುದು Xn → Xn−1 ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಕರ್ನಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ A ಯ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಡಿ (ಎ) ಎಂಬ ವರ್ಗದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಫೈಬ್ರೇಶನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕೋಫೈಬ್ರೇಶನ್ಗಳು ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಯಿರುವ ಫೈಬ್ರೇಶನ್ ಅನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ (ಅಥವಾ ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್) ಫೈಬ್ರೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಯಾದ ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಅನ್ನು ಟ್ರಿವಿಯಲ್ (ಅಥವಾ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್) ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಾನತೆ (ಗಣಿತ)