Weak Hopf algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದುರ್ಬಲ ಬಿಯಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳೆರಡೂ ಆಗಿರುವ ಬಯಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು ರಚನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು "ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ". ಅದೇ ಮನೋಭಾವದಲ್ಲಿ, ದುರ್ಬಲ ಹೋಪ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ದುರ್ಬಲ ಬಯಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದು, ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆ ಎಸ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ; ಅವು ಹೋಪ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬೋಮ್, ನಿಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಜ್ಲಾಚಾನಿಯವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮೊದಲ ಪ್ರೇರಣೆಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಂದ ಬಂದವು. ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಸರಳ ಸೀಮಿತವಾದ ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ (ಇದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ). ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗವು ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎಟಿಂಗೋಫ್, ನಿಕ್ಷಿಚ್ ಮತ್ತು ಓಸ್ಟ್ರಿಕ್ ಸಹ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ದುರ್ಬಲವಾದ ದ್ವಿ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಘಟಕದೊಂದಿಗೆ ಸಹವರ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಕೌಂಟಿಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಹಸಂಯೋಜಕ ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಒಂದು ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಃ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಾಕಾರಃ, ಕೌಂಟಿಟ್ನ ದುರ್ಬಲ ಗುಣಾಕಾರಃ, ಘಟಕದ ದುರ್ಬಲ ಗುಣಾಕಾರಃ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಟೆನ್ಸರ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ಇದು ವಿರುದ್ಧವಾದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ನ ಸುಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಲ್ಲಿದ್ದಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಘಟಕ ಮತ್ತು ಕೌಂಟಿಗಳು ದುರ್ಬಲಗೊಂಡಿವೆ. ಇದು ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದುರ್ಬಲವಾದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಆಂಟಿಪೋಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ,,. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತ. ಸಹಜವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತ. ಒಂದು ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತ. ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಇದು ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯು ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ H ಒಂದು ಅರೆ ಸರಳ ಸೀಮಿತ ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ H ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸರಳ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅರೆ ಸರಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸರಳ ವಸ್ತುಗಳ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದು-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ಘಟಕವು ಒಂದು ಸರಳ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ (ಇವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ), ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗವು ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎಟಿಂಗೋಫ್, ನಿಕ್ಷಿಚ್ ಮತ್ತು ಓಸ್ಟ್ರಿಕ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು