Weyl law
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವೇಯ್ಲ್ನ ನಿಯಮವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಡೊಮೇನ್ನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್ ಅವರು 1911 ರಲ್ಲಿ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಈ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂಗಳ (ಅವುಗಳ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ) ಸಂಖ್ಯೆ, ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ಪರಿಮಾಣ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1912ರಲ್ಲಿ ಅವರು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಧಾನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹೊಸ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ವೇಯ್ಲ್ ಕಾನೂನನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಇದನ್ನು ಅಗತ್ಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವಂತೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಅಗತ್ಯ ವರ್ಣಪಟಲವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ವರ್ಣಪಟಲದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್ನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ, ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮೈಕ್ರೋಲೋಕಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಿದೆ. ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿಸ್ತೃತ ವೇಯ್ಲ್ ನಿಯಮವು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಲಗೈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಅಗತ್ಯ ವರ್ಣಪಟಲವಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಿಸ್ತೃತ ವೇಯ್ಲ್ ಕಾನೂನು "ಹೇಳುತ್ತದೆ". ಒಬ್ಬರು ಕಸ್ಪ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ (ಅಂದರೆ. "ಕುಗ್ಗುವ ನಿರ್ಗಮನಗಳು ಅನಂತಕ್ಕೆ") ನಂತರ (ವಿಸ್ತರಿತ) ವೇಯ್ಲ್ ನಿಯಮವು ಪರಿಮಾಣವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಅಗತ್ಯ ವರ್ಣಪಟಲವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗೆ ಪರಿಮಾಣವು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಕಸ್ಪ್ಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕುಗ್ಗುವವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಗತ್ಯ ವರ್ಣಪಟಲವಿಲ್ಲ (ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಮಾಣದ ಮಿತತೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನ್ಯೂಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಕಸ್ಪ್ಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕುಗ್ಗದ ಹೊರತು ಅಗತ್ಯವಾದ ವರ್ಣಪಟಲವಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಮಾಣದ ಮಿತಿಯು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಉಳಿದ ಪದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಮನ್ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವೇಯ್ಲ್ ಊಹೆ ಮಾಡಿದರು. ಉಳಿದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸುಧಾರಿಸಿದರು. 1922ರಲ್ಲಿ, ರಿಚರ್ಡ್ ಕೊರಾಂಟ್ ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1952 ರಲ್ಲಿ, ಬೋರಿಸ್ ಲೆವಿಟನ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಕಠಿಣವಾದ ಬಂಧವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ರಾಬರ್ಟ್ ಸೀಲಿ 1978ರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. 1975ರಲ್ಲಿ, ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಡುಯಿಸ್ಟರ್ಮಾಟ್ ಮತ್ತು ವಿಕ್ಟರ್ ಗಿಲ್ಲೆಮಿನ್ ಆವರ್ತಕ ಬೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ನ ಗುಂಪಿನ ಅಳತೆ 0 ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 1980ರಲ್ಲಿ ವಿಕ್ಟರ್ ಇವ್ರಿಯವರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಬಿಲಿಯರ್ಡ್ನ ಆವರ್ತಕ ಪಥಗಳ ಸಮೂಹವು ಅಳತೆ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಯವಾದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸುತ್ತುವರಿದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇವ್ರಿ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದಿನಿಂದ, ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ