Preissmann's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರೈಸ್ಮನ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಗಿದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. 1943ರಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯೊಂದನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೆ ಪ್ರೀಸ್ಮನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರೀಸ್ಮನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪಗುಂಪು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಪ್ರೀಸ್ಮನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಹೆಚ್ಚು ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಇದನ್ನು ಸಡಿಲವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಸ್ವತಃ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರಬಾರದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರೈಸ್ಮನ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು-ಆಯಾಮದ ಟೋರಸ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ಯಾವುದೇ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಎರಡು ಹೊರತು). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಆಯಾಮಗಳ ಎರಡು ಮುಚ್ಚಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರೀಸ್ಮನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪುರಾವೆಯು ಭೌಗೋಳಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಮೇಲೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯು ಉಂಟುಮಾಡುವ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ತಂತ್ರಗಳಿಂದಲೂ ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ಜೇಮ್ಸ್ ಈಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜೋಸೆಫ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಸನ್ ಅವರ ಸ್ವರಮೇಳದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಡಿಪಾಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಪ್ರೈಸ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಡೆಟ್ಲೆಫ್ ಗ್ರೋಮೋಲ್ ಮತ್ತು ಜೋಸೆಫ್ ವುಲ್ಫ್ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಬ್ಲೇನ್ ಲಾಸನ್ ಮತ್ತು ಶಿಂಗ್-ತುಂಗ್ ಯಾವು ಪಡೆದ ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಫ್ಲಾಟ್ ಟೋರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ವಿಶೇಷವಾದ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಟೋರಸ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ಗಳು. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಿದೆ, ಇದು ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ಲಾಟ್ ಟೋರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು, ಪ್ರೈಸ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ, ಈ ವಿಶಾಲವಾದ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕಗಳು. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು