Kasch ring
ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ರೈಟ್ ಕಾಸ್ಕ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸರಳ ರೈಟ್ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್ ನ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಕಾಸ್ಕ್ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಕಾಸ್ಕ್ ಅವರ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಸ್ಚನ್ನು ಮೂಲತಃ ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಅವುಗಳ ಸರಿಯಾದ ಆದರ್ಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಿನಾಶಕಾರಿ ಎಸ್-ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕ್ಯಾಸ್ ಉಂಗುರಗಳು ಎಸ್-ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಲಗೈ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುವುದು, ಎಡಗೈ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಸಹ ನಿಜವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಸ್ಕ್ ಷರತ್ತುಗಳು ಅನ್ನಿಹಿಲೇಟರ್ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಲವು ಸಮಾನವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನವು ಅನ್ನಿಹಿಲೇಟರ್ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅದೇ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಆರ್ ಉಂಗುರವು ಸರಿಯಾದ ಕಾಸ್ಕ್ ಆಗಿರಲು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆಃ ಪ್ರತಿ ಸರಳ ಬಲ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಗೆ, ಎಂ ನಿಂದ ಆರ್ ಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ. ಆರ್ ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ರಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳ ರೈಟ್ ಎನಿಹಿಲೇಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ x ಆರ್ ನಲ್ಲಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಗರಿಷ್ಠ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಟಿ ಆರ್ ಗೆ,. ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಟಿ ಆಫ್ ಆರ್ ಗೆ,. ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಟಿ ಆಫ್ ಆರ್ ಗೆ,. R ಸ್ವತಃ R ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ದಟ್ಟವಾದ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಷಯವನ್ನು,, ನಂತಹ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಜೆ ಜೊತೆ ಆರ್ ಅರೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. ಆರ್ ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಆರ್/ಜೆ ಸರಳವಾದ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ ಬಲ (ಮತ್ತು ಎಡ) ಕಾಸ್ಕ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಕಾಸ್ಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ k ಗೆ, k ಯಿಂದ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು-ಬೈ-ನಾಲ್ಕು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಬ್ರಿಂಗ್ R ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಬ್ರಿಂಗ್ R ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಃ ಇದು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಆರ್ಟೀನಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಬಲ ಕಾಸ್ಕ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎಡ ಕಾಸ್ಕ್ ಅಲ್ಲ. X ಮತ್ತು Y ಎಂಬ ಎರಡು ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಮೇಲೆ F ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ S ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. ಕೋಶೆಂಟ್ ರಿಂಗ್ ಎಸ್/ಎ ಒಂದು ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಬಲವಾದ ಕಾಸ್ಕ್ ಆದರೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕಾಸ್ಕ್ ಅಲ್ಲ. ಆರ್ ಎಂಬುದು ಅಕ್ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳ ರಿಂಗ್ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಕೆ ಯ ನೇರ ಮೊತ್ತವು ಆರ್ ನ ಸರಿಯಾದ ಆದರ್ಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಆದರ್ಶದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಸರ್ವನಾಶೀಕಾರಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆರ್ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡ ಕಾಸ್ಕ್ ಅಲ್ಲ. ಎರಡು-ಬೈ-ಎರಡು ಮೇಲಿನ (ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ) ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಂಗುರವು ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡ ಕ್ಯಾಸ್ಚ್ನಲ್ಲ. ಬಲ ಸೋಕ್ಲೆ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಉಂಗುರ (ಅಂದರೆ) ಉಂಗುರವು ಕನಿಷ್ಠ ಸರಿಯಾದ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸರಿಯಾದ ಕ್ಯಾಸ್ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲದ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ರೈಟ್ ಅಥವಾ ಲೆಫ್ಟ್ ಕಾಸ್ಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ