Pontryagin product
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದು, ಇದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಹೋಮೋಲಜಿ ಕುರಿತಾದ ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಎಚ್-ಸ್ಪೇಸ್ ಮೇಲಿನ ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಲೂಪ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮೇಲಿನ ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಪೊಂಟ್ರಿಯಾಗಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಮೊದಲು ನಕ್ಷೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಅದು m-th ಮತ್ತು n-th ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಜಾಗದ (m + n)-th ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಏಕ ಸರಪಳಿಗಳ ಮಟ್ಟದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಮತ್ತು ಎರಡು ಏಕವಚನ ಸರಳತೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಏಕವಚನ (m + n)-ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಒಂದೇ ತೊಂದರೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಇದನ್ನು (m + n)-ಸರಳತೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇಳೆ ಆವರ್ತಗಳಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದು ಹಾಗೆಯೇ ಇದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಅದು ಒಂದು ಗಡಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಹಾಗೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪದ ಏಕರೂಪತೆಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಎಚ್-ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಹೋಮೋಲಜಿ ಮೇಲಿನ ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ನಕ್ಷೆಯು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎಚ್-ಜಾಗದ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೋಮೋಲಜಿ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಅನ್ವಯವು ಹೋಮೋಲಜಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ನಂತರ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ