Ramanujan's master theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೆಲಿನ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಮೆಲ್ಲಿನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ರಾಮಾನುಜನ್ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿಯೂ (ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ) ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಗ್ಲೇಷರ್ ಸಹ ಪಡೆದರು. ಪರ್ಯಾಯ ಔಪಚಾರಿಕತೆ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಇದು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಬಳಸಿದ ನಂತರ ಮೇಲಿನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಊಹೆಗಳಿಗೆ (ದುರ್ಬಲವಾದ ಅಗತ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೂ) ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿ (11ನೇ ಅಧ್ಯಾಯ) ಅವರು ಅವಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮೆಲ್ಲಿನ್ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವು ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಿಗಳ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಫಾರ್ ಮೂಲಕ. ರಾಮಾನುಜನ್ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ನ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ರಾಮಾನುಜನ್ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ನಮಗೆಃ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿದರೆ, ಸೂತ್ರವು ಅದಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಗುರುತುಗಳಾದ್ಯಂತ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆಯ್ಕೆಯ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದ ವರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ನಕಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಫಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ವರೆಗೆ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನವು (ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ವಿಧಾನ) ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಶಾಲ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನವು ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ, ಸರಳೀಕೃತ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಈ ವಿಧಾನವು ಎಂ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಮತ್ತು ಎಸ್ ಸಂಕಲನ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಈ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ (), ಇಂಡಿಕೇಟರ್ (), ಮತ್ತು ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಪವರ್ ಸಂಕೇತಗಳು ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂಕೇತಗಳ ಅನ್ವಯವು ಬಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸರಣಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸರಣಿಯು ಸೂಚ್ಯಂಕ = ಮೊತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ-ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸರಣಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗರಿಷ್ಠ ಶ್ರೇಣಿಯ, ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಪ್ರಮುಖ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಪದಗಳು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣ () ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಉಚಿತ ಸಂಕಲನ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಗೂ ಒಂದು ಸರಣಿಯನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಸರಣಿಯನ್ನು (ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿ) ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರೆ, ಸರಣಿಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸರಣಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದರೆ, ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತವು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ () ಅನ್ವಯಿಸಿ. .. ಇದು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ () ಮತ್ತು ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಮಾಸ್ಟರ್ ಥೀರಂ () ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ (ಬಿ) ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ (ಎಂ) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (,) ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ರೂಪಾಂತರವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (,) ಸಹ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ () ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ (,). ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ () ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. () ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು