Regge–Wheeler–Zerilli equations
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ರೆಗ್-ವೀಲರ್-ಜೆರಿಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಟುಲ್ಲಿಯೋ ರೆಗ್, ಜಾನ್ ಆರ್ಚಿಬಾಲ್ಡ್ ವೀಲರ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾಂಕ್ ಜೆ. ಜೆರಿಲ್ಲಿ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿವೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಅಕ್ಷೀಯ ಮತ್ತು ಧ್ರುವೀಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು, ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಸುಬ್ರಹ್ಮಣ್ಯನ್ ಚಂದ್ರಶೇಖರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅಕ್ಷೀಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಜಿಮುತಲ್ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಧ್ರುವೀಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಜಿಮುತಲ್ ದಿಕ್ಕಿನ ಹಿಮ್ಮುಖದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಕ್ಷೀಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೆಗ್-ವೀಲರ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಧ್ರುವೀಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಜೆರಿಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅದೇ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಧ್ರುವೀಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷೀಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಆಮೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು (ನಾವು ಹೊಂದಿಸಿದಂತೆ) ಇಲ್ಲಿ ಇದೆ, ಇದು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ರೆಜ್-ವೀಲರ್ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಜೆರಿಲ್ಲಿ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಐಗನ್ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಡಚಣೆಗಳಿಗೆ, ವಿಧಾನಗಳು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಭೌತಿಕವಾಗಿ (ಮೊನೊಪೋಲ್) ಮೋಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ (ದ್ವಿಧ್ರುವಿ) ಮೋಡ್ ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಆಕಾರವನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಮೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಯ ದಿಗಂತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ರಂಧ್ರದಿಂದ ದೂರವಿರುವ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಅವುಗಳಿಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುವುದರಿಂದ ಅವು ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ; ನಾವು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯು ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು 1975 ರಲ್ಲಿ, ಸುಬ್ರಹ್ಮಣ್ಯನ್ ಚಂದ್ರಶೇಖರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀವನ್ ಡಿಟ್ವೀಲರ್ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎರಡೂ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವರ್ಣಪಟಲವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲೆಗಳ ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣವು ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ತಡೆಗೋಡೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ ಹೊಂದಿರುವ ಇನ್ಸಿಡೆಂಟ್ ತರಂಗವು ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ದ್ರಾವಣದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಯ ದಿಗಂತದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಲೆಗಳು ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಾರದು ಎಂಬ ಭೌತಿಕ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಹೇರಿದೆವು. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ್ಗತ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದಾಗಿ, ಇದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅರೆ-ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅರೆ-ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯ ಶುದ್ಧ ಸ್ವರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯೊಳಗೆ ಬೀಳುವ ವಸ್ತು, ಅದರ ಸುತ್ತಲಿನ ದ್ರವ್ಯದ ಶೇಖರಣೆ, ಸ್ವಲ್ಪ ಆಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಕುಸಿತದ ಕೊನೆಯ ಹಂತ ಮುಂತಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ, ಆದರೆ ಸಣ್ಣ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳಿಗೆ ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಡಚಣೆಗಳು ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಗತ್ಯವಾದ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ನಾವು ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊರಹೋಗುವ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ದಿಗಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಹೋಗುವ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧದಿಂದಾಗಿ, ವರ್ಣಪಟಲವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.