Mean line segment length
ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡದ ಸರಾಸರಿ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆಕಾರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಚೌಕ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನದಂತಹ ಸರಳ ಆಕಾರಗಳಿಗೂ ಸಹ, ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಗಳ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ 1ನೇ ಬದಿಯ ಉದ್ದವಿರುವ ಚೌಕದೊಳಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರ ಎಷ್ಟು? ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸರಳವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಇದಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವೆಂದರೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ n-ಆಯಾಮದ ಆಕಾರ S ಗೆ ಸರಾಸರಿ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುಗಳಾದ x ಮತ್ತು y ನಡುವಿನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ | | | ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ λ ಎಂಬುದು n-ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ (x1, y1) ಮತ್ತು (x2, y2) ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ದೂರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕಾರದ ಸರಾಸರಿ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತಗಳ ಹಲವಾರು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ, ಈ ದೂರಗಳ ಸರಾಸರಿ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಅಂದಾಜು ಮಾತ್ರ ನೀಡಬಲ್ಲವು; ಅವುಗಳ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸೂತ್ರಗಳ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗ ಉದ್ದದ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರವು. ತ್ರಿಕೋನವು ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದವಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು, ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರವನ್ನು ಅರ್ಧಪರಿಮಿತಿಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದ a ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಇದು ಚೌಕ ಮತ್ತು ಆಯತಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದ s ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕದೊಳಗಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದ l ಮತ್ತು w ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತದ ಸರಾಸರಿ ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದವು ಆಯತದ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಬದಲಿಗೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಚೌಕದ ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಸರಾಸರಿ ದೂರವನ್ನು ಕ್ಯೂಬ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ n-ಆಯಾಮದ ಘಟಕ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನೊಳಗಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಯುನಿಟ್ ಕ್ಯೂಬ್ನ ಸರಾಸರಿ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ರಾಬಿನ್ಸ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಡೇವಿಡ್ ಪಿ. ರಾಬಿನ್ಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ಸರಿಸುಮಾರು ಆಂಡರ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಅಲ್. (1976) ಸೂಚ್ಯಂಕ ಘನದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮುಖಗಳಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಬಿಂದುಗಳು ಸಹ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಗೋಳದ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ r ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು r ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎತ್ತುವುದು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು r ತ್ರಿಜ್ಯದ ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರವು ಅರ್ಧ ಡಿಸ್ಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾರ್ಟರ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಹ ತಿಳಿದಿವೆ. ತ್ರಿಜ್ಯ 1 ರ ಅರ್ಧ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆಃ ತ್ರಿಜ್ಯ 1 ರ ಕಾಲು ಡಿಸ್ಕ್ಗೆಃ ಚೆಂಡುಗಳು ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡಿಗೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು n-ಚೆಂಡಿನ ಸರಾಸರಿ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಅದರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿಗಳು ಬರ್ಗ್ಸ್ಟಾಲರ್ ಮತ್ತು ಪಿಲ್ಲಿಚ್ಶಾಮರ್ (2008) 1 ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ n-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಅದರ ಸರಾಸರಿ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ L ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. n = 2 ಗೆ, ಬಲವಾದ ಬಂಧವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿ