Mimetic interpolation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮಿಮೆಟಿಕ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಎಂಬುದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟ್ ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ನೆರೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಇತರ ಅಂತರ್ವೇಶನ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಮಿಮೆಟಿಕ್ ಅಂತರ್ವೇಶನವು ನೆರೆಯ ಗ್ರಿಡ್ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ನೀಡಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ-ರೂಪವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಗ್ರಿಡ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಶದ ಅಂಚುಗಳು ಅಥವಾ ಮುಖಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಮಿಮೆಟಿಕ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸೂಡೋ-ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವಿಧಾನವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲೈನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರೇಟೆಡ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಷನ್ ಒಂದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್-ಫಾರ್ಮ್ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಮಿಮೆಟಿಕ್ ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಷನ್ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದು ಅಲ್ಲಿ ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಷನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಗ್ರಿಡ್ ಅಂಶದ ಮೇಲಿನ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನೋಡ್ (), ಸೆಲ್ ಎಡ್ಜ್ (), ಸೆಲ್ ಫೇಸ್ () ಅಥವಾ ಸೆಲ್ ವಾಲ್ಯೂಮ್ () ಆಗಿರಬಹುದು. ಮೇಲಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟಿಂಗ್-ಫಾರ್ಮ್ಗಳು, ಅವು ಟೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೊಳೆಯುತ್ತವೆ. ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ವಿಟ್ನಿ ರೂಪಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇತರ ಅಂತರ್ವೇಶನ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಮಿಮೆಟಿಕ್ ಅಂತರ್ವೇಶನದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮನ್ವಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಟಿಂಗ್ ರೂಪಗಳು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಟಿಂಗ್ ರೂಪಗಳು ಇತರರ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವಿಲ್ಲದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಿಡ್ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಿಡ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ನಡುವೆ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಗಳು (-ರೂಪಗಳು) ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಮಿಮೆಟಿಕ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಜೀವಕೋಶದ ಅಂಶಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಗ್ರಿಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅಂಚುಗಳ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮುಖಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಜೀವಕೋಶದ ಪರಿಮಾಣಗಳಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಿಮೆಟಿಕ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅದರ ಅಂತರ್ವೇಶನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಮತ್ತು ಇದರ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಇತರ ಅಂತರ್ವೇಶನ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳದ ಅನುಕರಿಸುವ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಡುವಿನ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು, ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್-ಫಾರ್ಮ್ನ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ. .. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೀತಿಯ ಫಾರ್ಮ್ () ಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟೆಡ್ ರೂಪಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಇತರ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಮತ್ತು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ನಡುವಿನ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವಿಟಿಯಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊನೆಯ ಹಂತವು ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ಅಂತರ್ವೇಶನವನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ಒಂದು ಗುರಿ,-ಆಯಾಮದ, ಆಧಾರಿತ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗುರಿಯು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅನ್ವಯಗಳು ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು-ರೂಪಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ವಿವೇಚಿಸುವಾಗ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧದ-ರೂಪವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ದಿಗ್ಭ್ರಮೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಚೆಕರ್ಬೋರ್ಡ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟುವ ಅಗತ್ಯ. ಇದು ಬಾಹ್ಯ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಾಹ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಧಾನಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಇವೆರಡೂ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿವೇಚನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಭೌತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು, ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪ ಮತ್ತು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟ್ ಮಾಡಲು, ಮರುರೂಪಿಸಲು ಅಥವಾ ರೆಗ್ರಿಡ್ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅವುಗಳ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಕೋಶದ () ನಿಯತಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ () ನಲ್ಲಿರುವ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ಅಂತರ್ವೇಶನ ರೂಪಗಳು. ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಚಿನ ಅಂತರ್ವೇಶನ ರೂಪಗಳು ಎಂದರೆ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಪೂರ್ವ ಮತ್ತು ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದ್ದೆವು. ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂತರ್ವೇಶನ ರೂಪವಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟಿಂಗ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳು ಮಿಮೆಟಿಕ್ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಲಾದ 1-ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದನ್ನು ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂಚನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ನಕ್ಷೆ ಇದ್ದರೆ,, ನಂತರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಂಚನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಂತರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ 1-ಫಾರ್ಮ್ಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರೂಪಗಳು