Homoscedasticity and heteroscedasticity
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು (ಅಥವಾ ವಾಹಕ) ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ () ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರಕ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಭಿನ್ನತೆಯ ಭಿನ್ನತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಮೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಎಂಬ ಕಾಗುಣಿತಗಳನ್ನು ಸಹ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೋಮೋಸೆಡೆಸ್ಟಿಕ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಅದು ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಹೆಟೆರೊಸೆಡೆಸ್ಟಿಕ್ () ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಆದರೆ ಅಸಮರ್ಥವಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದಂತೆ ಯೋಗ್ಯತೆಯ ಒಳ್ಳೆಯತನವನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾಳಜಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮಾದರಿ ದೋಷಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಅಂದಾಜುದಾರನು ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ತೀರ್ಮಾನವು ತಪ್ಪುದಾರಿಗೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳನ್ನು (ಜಿಎಲ್ಎಸ್) ಹಿಂದೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಭ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಜಿಎಲ್ಎಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಏಕೆಂದರೆ ನಿಜವಾದ ಸ್ಕೆಡೆಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಜಿಎಲ್ಎಸ್ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯು ದೋಷಗಳ ಎರಡನೇ ಕ್ಷಣದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ತಪ್ಪಾದ ವಿವರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ರಾಬರ್ಟ್ ಎಂಗಲ್ ಅವರಿಗೆ 2003 ರ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ನೊಬೆಲ್ ಸ್ಮಾರಕ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ನೀಡಲಾಯಿತು, ಇದು ಅವರ ಆಟೋರೆಗ್ರೆಸಿವ್ ಕಂಡಿಷನಲ್ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಟಿ (ಎಆರ್ಸಿಎಚ್) ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ತಂತ್ರದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬಾರಿ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಡಚಣೆ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಡಚಣೆಗಳು ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಡಚಣೆಗಳು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರಬಹುದಾದ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ (ಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ), ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಕರ್ಣೀಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಡಚಣೆಯು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಮೂರು ಅವಲೋಕನಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ನಲ್ಲಿನ ಅಡಚಣೆಯು ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ; ಇದು ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಾರನಾಗಿರುವ ಸರಳ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಡಚಣೆಗಳು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಿ ಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಯ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುತ್ತದೆ, ಸಮಯದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ; ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿ ಯಲ್ಲಿನ ಅಡಚಣೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕರ್ಣೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೂ ಆಫ್-ಕರ್ಣೀಯ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು ಬೇರೆ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಸರಣಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಅವಲೋಕನಗಳ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದ್ದಾಗ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಆದಾಯ ಮತ್ತು ಊಟದ ಮೇಲಿನ ವೆಚ್ಚ. ಶ್ರೀಮಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಗ್ಗದ ಆಹಾರವನ್ನು ಮತ್ತು ಇತರ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ದುಬಾರಿ ಆಹಾರವನ್ನು ಸೇವಿಸಬಹುದು. ಬಡ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಹುತೇಕ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಗ್ಗದ ಆಹಾರವನ್ನು ತಿನ್ನುತ್ತಾನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದಾಯ ಹೊಂದಿರುವ ಜನರು ಆಹಾರದ ಮೇಲಿನ ವೆಚ್ಚಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತಾರೆ. ರಾಕೆಟ್ ಉಡಾವಣೆಯಲ್ಲಿ, ವೀಕ್ಷಕನು ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಒಮ್ಮೆ ರಾಕೆಟ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ, ಅಳತೆಗಳು ಹತ್ತಿರದ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿರಬಹುದು. ಐದು ನಿಮಿಷಗಳ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚಿದ ದೂರ, ವಾತಾವರಣದ ವಿರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳಿಂದಾಗಿ ಅಳತೆಗಳ ನಿಖರತೆಯು 100 ಮೀಟರ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತಮವಾಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ದೂರದ ಅಳತೆಗಳು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಊಹೆಯೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಇಲ್ಲ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಮುರಿಯುವುದು ಎಂದರೆ ಗಾಸ್-ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ OLS ಅಂದಾಜುದಾರರು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಾರರು (BLUE) ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಾರರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ. ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಗುಣಾಂಕದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಷಪಾತಿಯಾಗಿರಲು ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಗುಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು, ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು) ಪಕ್ಷಪಾತಿಯಾಗಿರಲು ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಬಹುಶಃ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಜವಾದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಇನ್ನೂ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದವಾಗಿವೆ. ಪಕ್ಷಪಾತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ಪಕ್ಷಪಾತದ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬಹುಶಃ ತಪ್ಪಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅನ್ನು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ಪಕ್ಷಪಾತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಂಶೋಧಕರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ವಿಫಲರಾಗಬಹುದು, ಆ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಿಜವಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಕ್ಷಣವಲ್ಲದ್ದಾಗ (ಟೈಪ್ II ದೋಷವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ). ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, OLS ಅಂದಾಜುಗಾರನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದಾಗ (ದತ್ತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಬರದಿದ್ದರೂ ಸಹ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಊಹಾಪೋಹ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಚಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ) ಬಳಸುವುದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅಂದಾಜುದಾರನು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ, ಸರಿಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ. 1980ರಲ್ಲಿ, ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅಂದಾಜುಗಾರನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂದಾಜುಗಾರನನ್ನು ವೈಟ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಇದು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅಂದಾಜುದಾರರು ಮತ್ತು ವೈಟ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅಂದಾಜುದಾರರನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಎ. ಎನ್. ಓ. ವಿ. ಎ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯು ಎದುರಾಗುವ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎಫ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಗೆ ಅತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸಬಾರದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. "ಅಸಮಾನ ದೋಷ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಸ್ಯೆಯು ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸರಿಪಡಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಒಬ್ಬ ಲೇಖಕ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪದವು "ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಎಂದಿಗೂ ಉತ್ತಮ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊರಹಾಕಲು ಕಾರಣವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ" ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿತ್ತು. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎರಡನೇ ಕ್ಷಣದ ದೋಷ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದೆ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಹಿಂದಿನಷ್ಟು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಲಾಜಿಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಬಿಟ್ ಮಾದರಿಗಳು), ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯು ಹೆಚ್ಚು ತೀವ್ರವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳು (ಎಂಎಲ್ಇ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪಕ್ಷಪಾತದಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ನಿಖರವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ವಿತರಣೆಯು ರೇಖೀಯ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬದ ಸದಸ್ಯನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ). ಆದರೂ, ಬೈನರಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಮಾದರಿಗಳ (ಲಾಜಿಟ್ ಅಥವಾ ಪ್ರೋಬಿಟ್) ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯು ತಪ್ಪಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಎಂಎಲ್ಇಯ (ಅಂದರೆ ಬೈನರಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಮಾದರಿಗಳು) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸರಾಸರಿ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ ಮಾದರಿ). ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ತಪ್ಪಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಎಂಎಲ್ಇಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ತಪ್ಪಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರೋಬಿಟ್ ಮತ್ತು ಲಾಗಿಟ್ ಎಂಎಲ್ಇ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು (ಸೂಕ್ತವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ) ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಗ್ರೀನ್ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, "ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಅಂದಾಜುಗಾರನಿಗೆ ದೃಢವಾದ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅದು ವಿಮೋಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೃಢವಾದ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗುಣವು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. "ತಿದ್ದುಪಡಿ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಗೆ ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ದತ್ತಾಂಶದ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ರೂಪಾಂತರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಲಾಗರಿಥಮೈಸ್ಡ್ ಡೇಟಾ. ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತವಲ್ಲದ ಸರಣಿಗಳು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ಏರಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶೇಕಡಾವಾರು ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬಹುದು. ಮಾದರಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ (ವಿಭಿನ್ನ ಎಕ್ಸ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಎಕ್ಸ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೂಪಾಂತರಗಳು). ತೂಕದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ X ಮತ್ತು Y ನ ಪರಿವರ್ತಿತ ಅಥವಾ ತೂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ OLS ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೂಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ದೋಷ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ತೂಕಗಳು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಕನ್ಸಿಸ್ಟೆಂಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎರ್ರರ್ಸ್ (ಎಚ್ಸಿಎಸ್ಇ), ಇನ್ನೂ ಪಕ್ಷಪಾತಿಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅಂದಾಜುಗಳ ಮೇಲೆ ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಚ್ಸಿಎಸ್ಇ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂದಾಜುದಾರ. ಈ ವಿಧಾನವು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಎಲ್ಎಸ್ಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿರಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಇದ್ದರೆ ಅದು ಅದನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ದತ್ತಾಂಶವು ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅಂದಾಜಿಸಿದ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಗಣಿಸುವ ಬಿಳಿ ವಿಧಾನದ ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ ಸೀಮಿತ ಮಾದರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೈಲ್ಡ್ ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ದೋಷ ಪದದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ಮರುಸಾಮ್ಪ್ಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ ದೋಷಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಮರುಸಾಮ್ಪಲ್ ಮಾಡುವುದು. ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಗೌರವ ನೀಡದೆ ಮರುಸಾಮ್ಪ್ಲಿಂಗ್ ದೋಷಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಹೋಮೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. MINQUE ಅಥವಾ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಅಂದಾಜುದಾರರನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಿ (ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ), ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಯ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (), ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳ ದಕ್ಷತೆಯ ನಷ್ಟಗಳು ಗಣನೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅವಶೇಷಗಳನ್ನು ಬ್ರಷ್-ಪಾಗನ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ರೆಸಿಡ್ಯುಯಲ್ಗಳ ಸಹಾಯಕ ಹಿಂಜರಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಹಾಯಕ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ, ವಿವರಿಸಿದ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ರಷ್-ಪಾಗನ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯತೆ ಅಥವಾ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುವಿಕೆಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಕೊಯೆಂಕರ್-ಬಾಸೆಟ್ ಅಥವಾ 'ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬ್ರಷ್-ಪಾಗನ್' ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಹಾಯಕ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ, ಇದು ಆರ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಅದೇ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ). ಕೊಯೆಂಕರ್-ಬಾಸೆಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಇದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲವಾದರೂ, ಬ್ರಷ್-ಪಾಗನ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅವಶೇಷಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗಳ ಉಳಿದ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಲ್ಡ್ಫೆಲ್ಡ್-ಕ್ವಾಂಡ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪುವಾರು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದಾಗಿ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗಳೊಳಗಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಕೆಲವು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೆವೆನ್ 'ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಗೋಲ್ಡ್ಫೆಲ್ಡ್-ಕ್ವಾಂಡ್ಟ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಪಾರ್ಕ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಗ್ಲೆಜ್ಸರ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಬ್ರೌನ್-ಫೋರ್ಸಿ ಟೆಸ್ಟ್ ಹ್ಯಾರಿಸನ್-ಮೆಕ್ಕ್ಯಾಬ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಬ್ರಷ್-ಪಾಗನ್ ಟೆಸ್ಟ್ ವೈಟ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಕುಕ್-ವೀಸ್ಬರ್ಗ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಗ್ರೂಪ್ಡ್ ಡೇಟಾ ಎಫ್-ಟೆಸ್ಟ್ ಆಫ್ ಈಕ್ವಾಲಿಟಿ ಆಫ್ ವೇರಿಯೆನ್ಸ್ ಕೊಕ್ರಾನ್ನ ಸಿ ಟೆಸ್ಟ್ ಹಾರ್ಟ್ಲಿಯ ಟೆಸ್ಟ್ ಬಾರ್ಟ್ಲೆಟ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟ್ ಜನರಲೈಸೇಶನ್ಸ್ ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳು, ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ತಮ್ಮ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಂಡರೆ ಸೀರಿಯಲ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕರ್ಣೀಯವಲ್ಲದ ನಮೂದುಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿತರಣೆಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಒಂದು ಜನಪ್ರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಫಿಶರ್ನ ರೇಖೀಯ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗೋಳಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಡೇಟಾ ಹೋಮ್ಸೀಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಕೇಸ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅವಲೋಕನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಬದಲು ವೆಕ್ಟರ್ ಅವಲೋಕನಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯೆಂದರೆ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಸರಣದ ಬಹುವಿಧದ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಬಳಸುವುದು. ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ಗುಂಪು-ದತ್ತಾಂಶ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾದ ದತ್ತಾಂಶದ ನಡುವಿನ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಗಾಗಿ ಬಾರ್ಟ್ಲೆಟ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಬಹುವಿಧದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ 2 ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವೆರಡನ್ನೂ ಬಾಕ್ಸ್ನ ಎಂ ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಟೆರೋಜೆನಿಟಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ದೋಷವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಹೋಮೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ಮಾರ್ಕ್ ಥೋಮಾ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಡೀವಿಯೇಷನ್ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಪರ್ಶನ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ನಿಂದ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜಾಃ ARCH ಮಾಡೆಲ್ #分散不均一性