Staircase paradox
ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಿತಿಗಳು ಅವುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಘಟಕ ಚೌಕದಲ್ಲಿ "ಮೆಟ್ಟಿಲು" ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸರಪಳಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಉದ್ದದ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಈ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳು ಚೌಕದ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಮೆಟ್ಟಿಲು ಎರಡು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದವು 2 ರ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ಉದ್ದದ ಅನುಕ್ರಮವು ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗಾರ್ಡ್ನರ್ ಇದನ್ನು "ಪ್ರಾಚೀನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸರಪಳಿಗಳು, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸತತ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಚಾಪದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸರಿಯಾದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಒಗ್ಗೂಡಲು ವಿಫಲವಾಗುವುದನ್ನು ಅವುಗಳ ಕೆಲವು ಶೃಂಗಗಳು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಲ್ಯಾಂಟರ್ನ್ ಒಂದು ಸದೃಶವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅದರ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಚಾಪದ ಉದ್ದವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಡಿಜಿಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಪಿಕ್ಸೆಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸದ ಪಿಕ್ಸೆಲೇಟೆಡ್ ಆಕಾರಗಳ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿಕ್ಸೆಲೇಷನ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ತಪ್ಪುಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿದ್ಯಮಾನವಾದ ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಕ್ಯಾಬ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಉದ್ದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಮಿತಿಗಳು (ಗಣಿತ)