Hyperfinite equivalence relation
ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ ಇ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. X ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಇದು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಪೋಲಿಷ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಅನ್ನು ಅದರ ಬೋರೆಲ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ σ-ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಸಜ್ಜುಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡುತ್ತದೆ). Eಯು Xನ ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಲಿ. σ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಗ, E ಯು X ನ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೋರೆಲ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, E ಅನ್ನು ಬೋರೆಲ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇ ಸೀಮಿತ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ) ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಇ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ) ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಹೆಸರುಗಳು ತಪ್ಪುದಾರಿಗೆಳೆಯುವಂತಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ X ಒಂದು ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಸಿಗದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, X ನಿಂದ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಜೋಡಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಸಿಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ನಲ್ಲಿ E ಒಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಲಿ. X ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವು ಇದ್ದರೆ, E ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಇದರರ್ಥ X ಮೇಲೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ ಸೀಮಿತ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅದರ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿದ್ದು, E ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದರೆ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದವುಗಳು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ಬೋರೆಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರದ ಕೆಲವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದೇ ಎಂದು ಕೇಳುವುದು ಸಹಜ. ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಆವರಿಸುವಷ್ಟು ಶ್ರೀಮಂತವಾದ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆಳವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವಷ್ಟು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ E ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಒಕ್ಕೂಟವೆಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಎರಡು ಗಾತ್ರದ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಂತರ ಒಂದೇ ಇ-ವರ್ಗದೊಳಗಿನ ಹೊಸ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾಲ್ಕನೇ ಗಾತ್ರದ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಗವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬೋರೆಲ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಪ್ರಮುಖ ಅವಲೋಕನವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಅಲ್ಲದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ದೊಡ್ಡ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಂದಾಜು. ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಉಪ-ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆ. ಜಿ ಎಂಬುದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್-ಅಳೆಯಬಹುದಾದಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಶೋಧನೆ ಮಾಡುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ X ಮೇಲೆ G ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿ ಶೋಧಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದರ ಹೈಪರ್ಫಿನಿಟ್ನೆಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇ ಒಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಇ-ವರ್ಗವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಇ '-ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ), ಆಗ ಇ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆ. ಬೋರೆಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಫೆಲ್ಡ್ಮನ್-ಮೂರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ಅನ್ವಯದಿಂದ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ನಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿನ G ಯ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಬೋರೆಲ್-ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅಲ್ಲಿ G ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕೆಲವು ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ನೆಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವೈ ಮೇಲೆ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಫ್ ನಿಂದ ಇ ಗೆ ಬೋರೆಲ್ ಕಡಿತವಾಗಿದೆ, ಆಗ ಎಫ್ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆ (ಮೇಲಿನಂತೆ ಅದು ತೃಪ್ತಿಯಾದಾಗ ಬೋರೆಲ್ ಕಡಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ). ಎಫ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದೆಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ಮೇಲಿನವುಗಳು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಬೋರೆಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ, ಆದರೆ ಇದು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿರುವ ಕಮೆಗರ್ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಒಬ್ಬರು ಅಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಮಾನತೆ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಮ್ಮತಿಯಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಅಲ್ಲದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಶಿಫ್ಟ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೂಲಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಅಲ್ಲ. ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಅನೇಕವೇಳೆ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಸಂಯೋಜಿತ ರೂಪಾಂತರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೆರೆದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವೈಸ್ ಅವರ ಊಹೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಂಜಸವಾದ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವೈಸ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಒಕ್ಕೂಟದ ಸಮಸ್ಯೆ ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಮತ್ತೊಂದು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಒಕ್ಕೂಟವು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಕ್ಕೂಟದ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಒಕ್ಕೂಟವು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು "ಬೋರೆಲ್-ಬೌಂಡ್ನೆಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಇದರರ್ಥ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ಬೋರೆಲ್ ನಿಯೋಜನೆಯಿಂದ "ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಬಹುದು", ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಆಗ ಅದು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಕ್ಕೂಟವು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅಳತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ಪೇಸ್ X ಬೋರೆಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಸೃಷ್ಟಿಯಾದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು "μ-ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್" ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆ (ಕ್ರಿಯೆಯು ಅಳತೆ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಥವಾ ಅರೆ-ಅಳತೆಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ). ಬೋರೆಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (X,) ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಫೆಲ್ಡ್ಮನ್-ಮೂರ್ ಆಗಿದ್ದು, ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ವಿಟಾಲಿಯ ವಾದದೊಂದಿಗೆ), ಮೇಲಿನವುಗಳು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಎರ್ಗೋಡಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಜಾಗವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದಾಗ). ಅಂತೆಯೇ, ಅಂತಹ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಒಕ್ಕೂಟವೂ ಸಹ μ "-ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಟೈಪ್ II ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆ ಸಂಬಂಧ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಮಾನತೆ (ಗಣಿತ)