Semistable reduction theorem
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸರಿಯಾದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ (ಬೇಸ್ ಚೇಂಜ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಂದರೆ ಅದು ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ಆಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಏಕತ್ವಗಳು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸೌಮ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ) ಎಂದು ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ರಿಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಹೇಳುತ್ತವೆ. ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಮೇಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, "ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್" ಎಂದರೆ ವಿಶೇಷ ಫೈಬರ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ರಿಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ರಿಂಗ್ನ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ಕಡಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸೆಮಿಸ್ಟಬಿಲಿಟಿ ಎಂದರೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ನೇರಾನ್ ಮಾದರಿಯು ಓವರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲಿನ ನಾರುಗಳು (ಅವು ಯಾವಾಗಲೂ ನಯವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ) ಟೋರಿ ಮೂಲಕ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ "ಸಣ್ಣ" ಡಿಸ್ಕ್ನ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾದೃಶ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ನಯವಾದ ಕುಟುಂಬವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; ಬೇಸ್ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಂತರ ಈ "ಕುಟುಂಬ" ವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಅರ್ಧಮಟ್ಟದ ಕಡಿತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಮತ್ತು ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅದರ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದವು (ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದವಾಗಿದೆ) ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ಕಡಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ಕಡಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ; ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ದಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಅಧ್ಯಾಯ 55: ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ರಿಡಕ್ಷನ್ಃ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್, https://stacks.math.columbia.edu/tag/0C2Q ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ