Yamabe invariant
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಿಗ್ಮಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಯಮಬೆ ಅಸ್ಥಿರವು, ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿರುವ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಒ. ಕೊಬಯಾಶಿ ಮತ್ತು ಆರ್. ಸ್ಕೋನ್ ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಬರೆದರು ಮತ್ತು ಎಚ್. ಯಮಬೆ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಪಡೆದರು. ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಮಾನ್ಕ್ರೀಫ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಥರ್ ಫಿಶರ್ ಅವರು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಆಯಾಮದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಮೂತ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ (ಬೌಂಡರಿ ಇಲ್ಲದ) ಆಗಿರಲಿ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಐನ್ಸ್ಟೀನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಪ್ರತಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಮಾಣ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಜಕದಲ್ಲಿನ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಸ್ಕೇಲ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ, ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸರಾಸರಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದು. ಮಾಪನಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗವು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಯಮಬೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಎಂದು ಯಮಬೆ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಇದು ಯಮಬೆ, ಟ್ರುಡಿಂಗರ್, ಔಬಿನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕೋನ್ ಅವರಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗದ ಮಾಪನಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಈ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸುಗಮ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಂತವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅನಂತವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಅಲ್ಲ): ಹೋಲ್ಡರ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಯಮಬೆ ಎನರ್ಜಿ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಔಬಿನ್ ಕಾರಣವಾದ ಹೋಲಿಕೆ ವಾದವು ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ,-ಗೋಳದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸರ್ವೋನ್ನತವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ನಂತರ (ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ). ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಮಬೆ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಮಬೆ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಆದ್ದರಿಂದ M ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ) ಐನ್ಸ್ಟೈನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು g ನ ಗಾಸ್ ವಕ್ರತೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಾಸ್-ಬಾನೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಗಾಸ್ ವಕ್ರತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, M ನ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2-ಗೋಳವು ಯಮಬೆ ಅಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 2-ಟಾರಸ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಮಬೆ ಅಸ್ಥಿರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು 1990ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಲೌಡ್ ಲೆಬ್ರನ್ ಮತ್ತು ಅವರ ಸಹಯೋಗಿಗಳಿಂದ 4-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಯಮಬೆ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಯಿತು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ, ನಿಖರವಾಗಿ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಯಮಾಬೆ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯ ಯಾವುದೇ ಕಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮ 4 ರಲ್ಲಿ ಯಮಾಬೆ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಮಬೆ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಫುಬಿನಿ-ಸ್ಟಡಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು 4-ಗೋಳಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಸೀಬರ್ಗ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯಾಮ 4ಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿವೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಂದು ಪೀಟನ್ ಕಾರಣವಾದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಊಹೆಯ ಪೆರೆಲ್ಮನ್ರ ಪರಿಹಾರದ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಯಮಬೆ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಈಗಾಗಲೇ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಯಮಬೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕವು ಯಮಬೆ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಕೆಲವು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮ 3 ರಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂಡರ್ಸನ್ ಕಾರಣವಾದ ಒಂದು ವಾದದಿಂದ, ರಿಕ್ಕಿ ಹರಿವಿನ ಮೇಲೆ ಪೆರೆಲ್ಮನ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರ-ವಕ್ರತೆಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಯಮಬೆ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಮಗೆ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಗಣನೀಯವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಮಾಬೆ ಅಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯ ಮಾಪನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂಬುದು ಈ ಸಂಗತಿಯ ಮಹತ್ವವಾಗಿದೆ. ಯಮಾಬೆ ಫ್ಲೋ ಯಮಾಬೆ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಒಬಾಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಂ. ಟಿ. ಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಆಂಡರ್ಸನ್, "ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆನ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಅಂಡ್ 4-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್", ಏಷ್ಯನ್ ಜೆ. ಗಣಿತ. 10 127-163 (2006). ಕೆ. ಅಕುತಗವಾ, ಎಮ್. ಇಶಿದಾ, ಮತ್ತು ಸಿ. ಲೆಬ್ರನ್, "ಪೆರೆಲ್ಮನ್ರ ಅಸ್ಥಿರ, ರಿಕ್ಕಿ ಹರಿವು, ಮತ್ತು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಯಮಬೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳು", ಆರ್ಚ್. ಗಣಿತ. 88, 71-76 (2007). ಎಚ್. ಬ್ರೇ ಮತ್ತು ಎ. ನೆವ್ಸ್, "ಪ್ರೈಮ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಯಮಾಬೆ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ", ಆನ್. ಗಣಿತದ. 159, 407-424 (2004). ಎಂ. ಜೆ. ಗುರ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಸಿ. ಲೆಬ್ರನ್, "ಯಮಬೆ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಸ್", ಜಿಯೋಮ್. ಕಾರ್ಯನಿರತವಾಗಿದೆ. ಗುದದ್ವಾರ. 8965-977 (1998). ಓ. ಕೊಬಯಾಶಿ, "ಯುನಿಟ್ ವಾಲ್ಯೂಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆ", ಮಠ. ಆನ್. 279, 253-265,1987. ಸಿ. ಲೆಬ್ರನ್, "ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇಲ್ಲದ ನಾಲ್ಕು-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು", ಮ್ಯಾಥ್. ರೆಸ್. ಬಿಡಿ. 3 133-147 (1996). ಸಿ. ಲೆಬ್ರನ್, "ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಯಮಬೆ ಸಮಸ್ಯೆ", ಕಾಮ್. ಗುದದ್ವಾರ. ಜಿಯೋಮ್. 7 133-156 (1999). ಜೆ. ಪೀಟನ್, "ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಯಮಬೆ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್", ಜೆ. ರೈನ್ ಏಂಜೆವ್. ಗಣಿತ. 523 225-231 (2000). ಆರ್. ಸ್ಕೋನ್, "ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಒಟ್ಟು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಿದ್ಧಾಂತ", ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಷಯಗಳು, ಉಪನ್ಯಾಸ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಗಣಿತ. 1365, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಬರ್ಲಿನ್, 120-154,1989. ವಿಭೇದಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ವಿಭೇದಕ ಟೋಪೋಲಜಿ