Quasiconvexity (calculus of variations)
ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಕ್ವಾಸಿಕೋವೆಕ್ಸಿಟಿಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಮಿನಿಮೈಸರ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಯಮಿತ ಡೊಮೇನ್ಗೆ, ದುರ್ಬಲ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಕಡಿಮೆ ಅರೆ-ನಿರಂತರವಾಗಿರಲು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಕ್ವಾಸಿಕೋವೆಕ್ಸಿಟಿಯು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಾದಗಳಿಂದ (ಬನಾಚ್-ಅಲೋಗ್ಲು ಪ್ರಮೇಯ) ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಅರೆಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕನಿಷ್ಠಕಾರಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ನೇರ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸಬಹುದು. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 1952ರಲ್ಲಿ ಮೊರ್ರಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಅದೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ ಬೋರೆಲ್-ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ, ಯುನಿಟ್ ಬಾಲ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜಾಡಿನೊಂದಿಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸೀಮಿತ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್-ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಇತರ ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ರೀಸ್ಜ್-ಮಾರ್ಕೋವ್-ಕಕುಟಾನಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ, ಸೀಮಿತವಾದ ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಗಳ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಫಾರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬ್ಯಾರಿಸೆಂಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಯೆಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಇದು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಜೆನ್ಸನ್ಸ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ. ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡಲು, ಅದು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಆದರೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ನಿರ್ಧಾರಕವು ಗೇಮ್ ಥಿಯರಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ವೆಕ್ಟೊರಿಯಲ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಇತರ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ 1952ರಲ್ಲಿ, ರ್ಯಾಂಕ್-1-ಸಂವಹನವು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಮೊರ್ರೆ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆಫ್ ವೇರಿಯೇಷನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, 1993ರಲ್ಲಿ ಸ್ವೆರಾಕ್ ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಮೊರ್ರಿಯವರ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ದುರ್ಬಲ ಕಡಿಮೆ ಅರೆ-ನಿರಂತರತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಕೆಲವು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಅನುಕ್ರಮ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಅರೆ-ನಿರಂತರತೆ (ಎಸ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಲ್. ಎಸ್. ಸಿ) ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಸರ್ಬಿ ಮತ್ತು ಫುಸ್ಕೊ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದರೆಃ ಇಫ್ ಎಂಬುದು ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಸ್ವಾಲ್ಸ್ಸಿ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಇಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಇತರ ಲೇಖಕರು ವಿಭಿನ್ನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಪುರಾವೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆ ಮೊರ್ರಿಯವರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿತ್ತು, ಆದರೆ ಅವರಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿತ್ತು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ