Moser spindle
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ (ಮೋಸರ್ಸ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಅಥವಾ ಮೋಸರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಏಳು ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಹನ್ನೊಂದು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಲಿಯೋ ಮೋಸರ್ ಮತ್ತು ಅವರ ಸಹೋದರ ವಿಲಿಯಂ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಏಕಮಾನದ ಅಂತರದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೋಜರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಗ್ಯೋರ್ಗಿ ಹಜೋಸ್ ನಂತರ ಹಜೋಸ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಹಜೋಸ್ ನಿರ್ಮಾಣದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, "ಹಾಜೋಸ್ ಗ್ರಾಫ್" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಷಟ್ಕೋಣದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕಮಾನದ ಅಂತರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ 60 ಮತ್ತು 120 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೋಂಬಿಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ರೋಂಬಿಯ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡು ರೋಂಬಿಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ತೀಕ್ಷ್ಣ-ಕೋನೀಯ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಉಳಿದ ಎರಡು ತೀಕ್ಷ್ಣ-ಕೋನೀಯ ಶೃಂಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಒಂದು ಏಕಮಾನದ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಹನ್ನೊಂದು ಅಂಚುಗಳು ಎಂಟು ರಾಂಬಸ್ ಬದಿಗಳು, ರಾಂಬಿಯ ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಮತ್ತು ಏಕ-ಅಂತರದ ಜೋಡಿ ತೀಕ್ಷ್ಣ-ಕೋನೀಯ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂಚುಗಳಾಗಿವೆ. ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಹಾಜೋಸ್ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ, ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಈ ನಿರ್ಮಾಣವು ಪ್ರತಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಅಂಚುಗಳ ಎರಡು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಗುಂಪುಗಳು ಹಂಚಿಕೊಂಡ ಒಂದೇ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ವಿಲೀನಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಅಂಚಿನ ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಹೊಸ ಅಂಚನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಗ್ರಾಫ್ K3,3 ನಿಂದ ಅದರ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಉಪವಿಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪೂರಕ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಹ್ಯಾಡ್ವಿಗರ್-ನೆಲ್ಸನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಹ್ಯಾಡ್ವಿಗರ್-ನೆಲ್ಸನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಲು ಎಷ್ಟು ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಅನಂತ ಗ್ರಾಫ್ನ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಚುಗಳು ಯುನಿಟ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆಃ ಅದು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ರೋಂಬಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಣ್ಣಗಳಲ್ಲಿ, ರೋಂಬಿಯ ಎರಡು ತೀಕ್ಷ್ಣ-ಕೋನೀಯ ಶೃಂಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಎರಡು ರೋಂಬಿಗಳ ಹಂಚಿಕೆಯ ಶೃಂಗವು ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ತೀಕ್ಷ್ಣ-ಕೋನೀಯ ಶೃಂಗಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಅಂಚು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಮೂರು ಬಣ್ಣಗಳು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿವೆ. ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಲು ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅದರ ಅವನತಿ ಮೂರು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ಗೆ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆ ಹಾಜೋಸ್ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಎರಡೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹಾಜೋಸ್ ನಿರ್ಮಾಣವು ಈ ಗುಣವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ನೇರವಾಗಿ, ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಏಳು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಆವರಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಸಮತಲದ ಅನಂತ ಏಕಮಾನದ ಅಂತರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮತಲದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಡಿ ಬ್ರುಯಿನ್-ಎರ್ಡೋಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ (ಆಯ್ಕೆಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿಜ ಎಂಬ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ), ಸಮತಲದ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಉಪಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; 2018 ರಲ್ಲಿ 5-ವರ್ಣದ ಏಕಮಾನದ ದೂರದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವವರೆಗೆ, ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಣ್ಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅನಂತ ಏಕಮಾನದ ದೂರ ಗ್ರಾಫ್ನ ಯಾವುದೇ ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮತಲದ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಏಳು, ಇದು ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಣ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ದಾಟದೆ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅದು ಏಕಮಾನದ ದೂರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವೂ ಆಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಇದು ಬೆಂಕಿಯ ಸ್ಟಿಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಲ್ಲ. ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಕೂಡ ಒಂದು ಲ್ಯಾಮನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿದಾಗ ಕನಿಷ್ಠ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಲಾಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ಮೊನಚಾದ ಸೂಡೊಟ್ರಿಯಾಂಗ್ಯುಲೇಷನ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಅದನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಮುಖವು ಹುದುಗುವಿಕೆಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮುಖವು ಕೇವಲ ಮೂರು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂಡೊಟ್ರಿಯಾಂಗಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೋಸರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪೂರಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಏಳು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೋಸರ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಯುನಿಟ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಚನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಹುದುಗಿಸಲಾಗದ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ನ ಈ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಏಕಮಾನದ ದೂರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಎನ್ಪಿ-ಗಡಸುತನವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಪುರಾವೆಯು 3ಎಸ್ಎಟಿಯಿಂದ ಕಡಿತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಸತ್ಯ-ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಗ್ಯಾಜೆಟ್ ಆಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರಾಮ್ಸೇ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದುಃ ಟಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳು ಎರಡು ಬಣ್ಣದ ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು ಬಿಳಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಟಿ ಯ ಕಪ್ಪು ಅನುವಾದ ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಏಕಮಾನದ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, M ಎಂಬುದು ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ನ ಯುನಿಟ್-ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು M + T ಎಂಬುದು M ಮತ್ತು T ಯ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಮೊತ್ತವಾಗಿರಲಿ. M + T ಯು ಬಿಳಿ ಯುನಿಟ್-ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, M + T ಯಲ್ಲಿನ ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ನ ಮೂರು ಪ್ರತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬಿಳಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರತಿಯಲ್ಲಿನ ಬಿಳಿ ಬಿಂದುಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ನ ಏಳು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ, ಎಂ + ಟಿ ಯಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ನಕಲನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಆರು ಇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಏಳು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇರಬೇಕು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರತಿಗಳು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ನಂತರ ಈ ಶೃಂಗದ ಮೂರು ಪ್ರತಿಗಳು ಟಿ ಯ ಅನುವಾದವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಗೊಲೊಂಬ್ ಗ್ರಾಫ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು