(2,3,7) triangle group
ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪು (2,3,7) ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅದರ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಅದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಮವಾದ 84 (g−1) ನೊಂದಿಗೆ ಜಿ ಕುಲದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು. "(2,3,7) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪು" ಎಂಬ ಪದವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪೂರ್ಣ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪು α (2,3,7) (ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು (2,3,7) ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪಾಗಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರ) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿಗೆ (ವಾನ್ ಡೈಕ್ ಗುಂಪು) D (2,3,7) ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆಗಳ (ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪು), ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಆಗಿದೆ. (2,3,7) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್, ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಫಸ್ಟ್ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳಂತಹ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ರಚನೆಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರಚನೆ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, π/2, π/3, ಮತ್ತು π/7 ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಈ ತ್ರಿಕೋನವು, ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಿಂದ ಸಮತಲವನ್ನು ಅಂಚು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು (ತ್ರಿಕೋನ ಅಂಚುಗಳಿಂದ) ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ಗಾಗಿ ಈ ತ್ರಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪು); ಸಂಬಂಧಿತ ಟೈಲಿಂಗ್ ಆರ್ಡರ್-3 ದ್ವಿಭಾಜಿತ ಹೆಪ್ಟಾಗೋನಲ್ ಟೈಲಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. (2,3,7) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪು (ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಎನ್ಇಸಿ ಗುಂಪು) ಆಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಇದು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, g2, g3, ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಇವು ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ (2,3,7) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡ 1 ರ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ತ್ರಿಕೋನ ಸಮೂಹವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರ ±1 ರಿಂದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. η = 2cos (2π/7) ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ನಾವು ಕ್ಯೂ (η) ಯು ಕ್ಯೂ ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಘನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. (2,3,7) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪು ಎಂಬುದು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ 1 ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಜೋಡಿ i, j ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು i2 = j2 = η, ij = −i ಯಿಂದ ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕ್ರಮವು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ Z [η]-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಇಳಿಯುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಮಾಡಿದ ನಂತರ. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಗೆ ಸಂಬಂಧಃ ಕ್ಯೂ (η) ನಿಂದ ಆರ್ ಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯ ಮೂಲಕ), ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ನೈಜ 2 ರಿಂದ 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂ (2, ಆರ್) ನಡುವೆ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ (2,3,7) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪನ್ನು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವಾಗಿ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದಂತೆ ಇದನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳಿಂದ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ (2,3,7) ಟೈಲಿಂಗ್ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಟೈಲಿಂಗ್ನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಸ್ಪಷ್ಟ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಂಶಗಳ ಅನುವಾದ ಉದ್ದಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ಗಳು) ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕುರುಹುಗಳ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸೂತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವುದು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳು ಸಿಸ್ಟೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು