Analytic function of a matrix
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರತಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಒಂದು ನೈಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಎತ್ತುವ ಹಲವಾರು ತಂತ್ರಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ತಂತ್ರಗಳು ಒಂದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಪವರ್ ಸರಣಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವು ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಪವರ್ಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪವರ್ಗಳಾಗುತ್ತವೆ, ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೊತ್ತಗಳಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸರಣಿಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೆಲವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದೆ, ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತಹ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ನಂತರ ಸರಳವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಅದೇ ರೀತಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು, ಅವು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಪವರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಬ್ಲಾಕ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿಃ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮೀರಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಪವರ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ವಿಭಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೂ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯು ಜೋರ್ಡಾನ್-ಚೆವಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಭಾಗದ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಯಾವಾಗಲೂ ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪಿ ಯಿಂದ ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಹಜವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಆಗ. (ರೂಢಿಯಂತೆ, ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ-ಸಮಾನ-ಮಿತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.) ಪುರಾವೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ಡೊಮೇನ್ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಒಳಗೆ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸರಳ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಒಳಗಿನ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಒಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯೆಂದರೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾನದಂಡಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂಲದ ಸುತ್ತ ವೃತ್ತವಾಗಿರುವುದು. ನಂತರ, ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಿಯಂ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ನೋಡ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿಖರತೆಯು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಾಡಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಡೆಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅನಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳು ಮೇಲಿನ ಟೇಲರ್ ಪವರ್ ಸರಣಿಯು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸುಮಾರು ಹೊರತು ವಿಸ್ತರಿಸುವಾಗ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಉದ್ದದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ವಿತರಣಾ ನಿಯಮಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದುಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಂವಹನವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಮೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು f (x) ಗೆ ಇದನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,. ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಮೊದಲ ಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ನಂತರ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಾನದಂಡಗಳು ನಂತರ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತವೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾನದಂಡದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು. ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನ್ವಯದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬೇಕು. 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ ಫಂಕ್ಷನ್ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ ಫಂಕ್ಷನ್ f (A) ಅದರ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಹುಪದೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಮೊನೊಟೋನ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ ಮೊನೊಟೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಕಾನ್ಕೇವ್/ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಲಾಗ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮೊನೊಟೋನ್ ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತಾಂಕವು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಅಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರ್ಧ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯವು ಆಪರೇಟರ್ ಮೊನೊಟೋನ್ ಎಂದು ಲೋವ್ನರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ರಿಕ್ಕಾಟಿ ಸಮೀಕರಣ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ನ ಸೂತ್ರ ಲೋವೆನರ್ ಆರ್ಡರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಟ್ರೇಸ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.