Aronszajn tree
ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅರೋನ್ಸಾಜನ್ ಮರವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಎತ್ತರದ ಮರವಾಗಿದ್ದು, ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಕೊಂಬೆಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಮಟ್ಟಗಳಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಸುಸ್ಲಿನ್ ಮರವು ಅರೋನ್ಸಾಜನ್ ಮರವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಡಿನಲ್ κ ಗೆ, κ-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರವು κ ಎತ್ತರದ ಮರವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳು κ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಶಾಖೆಗಳು κ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರಗಳು-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ). 1934ರಲ್ಲಿ ಅರೋನ್ಸಾಜನ್ ಮರವೊಂದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಾಚ್ಮನ್ ಅರೋನ್ಸಾಜನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ; ಅವರ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಅವರು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಯಾವುದೇ κ-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ κ ಮರದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ κ ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಿರುವ ಷರತ್ತನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). κ-ಅರಾನ್ಜಾಜ್ನ್ ಮರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು-ಅರಾನ್ಜಾಜ್ನ್ ಮರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಾನಿಗ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅರೋನ್ಸಾಜ್ನ್ ಮರಗಳ (-ಅರೋನ್ಸಾಜ್ನ್ ಮರಗಳು) ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಾಚ್ಮನ್ ಅರೋನ್ಸಾಜ್ನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಕಾನಿಗ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಮರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆಡ್ಎಫ್ಸಿಯಲ್ಲಿ-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆಃ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನಿರಂತರ ಊಹೆಯು-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಿಚೆಲ್ ಮತ್ತು ಸಿಲ್ವರ್ ಯಾವುದೇ-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ (ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ κ ಗೆ κ-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರವಿದೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ κ-ಸುಸ್ಲಿನ್ ಮರ) ಎಂದು V = L ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಜೆನ್ಸನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. (ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು) 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ n ಗೆ ಯಾವುದೇ-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. κ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಯಾವುದೇ κ-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, κ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು κ-ಅರಾನ್ಜಾಜ್ನ್ ಮರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, κ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಅರೋನ್ಝಾಜ್ನ್ ಮರಗಳು ಮರದಿಂದ ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳಿಗೆ f ಕಾರ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅರೋನ್ಝಾಜ್ನ್ ಮರವನ್ನು ವಿಶೇಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x <y ಬಂದಾಗಲೆಲ್ಲಾ f (x) <f (y). ಮಾರ್ಟಿನ್ ಅವರ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಎಂ. ಎ. () ಎಲ್ಲಾ ಅರೋನ್ಝಾಜ್ನ್ ಮರಗಳು ವಿಶೇಷವೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇ. ಎ. ಟಿ. ಎಸ್. ನಿಂದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಲವಾದ ಸರಿಯಾದ ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅರೋನ್ಝಾಜ್ನ್ ಮರಗಳಿಗೆ ಈ ಮಟ್ಟಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಮರಗಳ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಎಂಬ ಬಲವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅರೋನ್ಝಾಜ್ನ್ ಮರಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ವಿಶೇಷವಲ್ಲದ ಅರೋನ್ಸಾಜನ್ ಮರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರಂತರ ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಸುಸ್ಲಿನ್ನ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಅರೋನ್ಸಾಜನ್ ಮರದ ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಶೇಷ ಅರೋನ್ಸಾಜನ್ ಮರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಮರದ ಅಂಶಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದ ಅಥವಾ-φ ಶ್ರೇಷ್ಟವಾದ ಕೆಲವು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. x ಮತ್ತು y ಈ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು x ಅನ್ನು x ≤ y (ಮರದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆರ್ಡಿನಲ್ α ಗೆ ನಾವು α ಮಟ್ಟದ ಮರದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ Uα ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ Uα ಯ ಅಂಶಗಳು ಕ್ರಮ ಪ್ರಕಾರದ α ಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಶೇಷವಾದ ಅರೋನ್ಸಾಜನ್ ಮರ T ಯು ಎಲ್ಲಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ α ಗೆ Uα ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು Uα ಅನ್ನು α ಮೇಲೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ನಿಂದ U0 ಆಗಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆಃ α + 1 ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, Uα + 1 ಯು Uαಯಲ್ಲಿನ x ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಸೂಪ್ x ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯಿಂದ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. Uα + 1 ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು Uαಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. α ಒಂದು ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, Tα ಯು α ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಮರವಾಗಿರಲಿ. ಟಿಎಫ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಮತ್ತು ಸೂಪ್ x ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರತಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ q ಗೆ, ಸರ್ವೋನ್ನತ q ಯೊಂದಿಗೆ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟಿಎಫ್ನ ಮಟ್ಟ α ಶಾಖೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ನಂತರ Uα ಈ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. Uα ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು Tαಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. f (x) = sup x ಕಾರ್ಯವು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ − ini ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು x <y ಆಗಿದ್ದರೆ f (x) <f (y) ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. Tಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಶಾಖೆಯನ್ನು f ನಕ್ಷೆಯು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿ − ν ಮತ್ತು ರೇಷನಲ್ಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವಂತೆ ಎಣಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆರ್ಡಿನಲ್ α ಗೆ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಮಟ್ಟದ Uα ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ T ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಮೊದಲ ಎಣಿಸಲಾಗದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಟಿ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಅರೋನ್ಝಾಜ್ನ್ ಮರ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ η ಗುಂಪಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ κ ನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರಂತರತೆಯ ಊಹೆಯ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಯಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಈ ರಚನೆಯನ್ನು κ-ಅರಾನ್ಜಾಜನ್ ಮರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಕುರೆಪಾ ಮರ ಅರೋನ್ಸಾಜನ್ ಸಾಲು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಮರಗಳು (ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.