Gromov product
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೊಮೊವ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮಿಖಾಯಿಲ್ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ δ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (X, d) ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು x, y, z ω X ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ x ನಲ್ಲಿ y ಮತ್ತು z ನ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (y, z) x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ನಲ್ಲಿ x, y, z ಎಂಬ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a, b, c ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ನಂತರ ಗ್ರೋಮೋವ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. x, y, z ಬಿಂದುಗಳು ಟ್ರೈಪಾಡ್ನ ಹೊರಗಿನ ನೋಡ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಗಳಾಗಿವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್, ಗೋಳಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೊಮೊವ್ ಉತ್ಪನ್ನ (ಎ, ಬಿ) ಸಿ ಯು ಸಿ ಮತ್ತು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿಯ ಒಳವೃತ್ತವು ಸಿಬಿ ಅಥವಾ ಸಿಎ ಅಂಚನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಹೀಗಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ, (ಎ, ಬಿ) ಸಿ ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು (ಎ, ಬಿ, ಸಿ) ಅನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆಃ (y, z) x = (z, y) x. ಗ್ರೋಮೋವ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆಃ (y, z) y = (y, z) z = 0. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ p, q, x, y ಮತ್ತು z, ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ Hn ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. p ಮೂಲ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. δ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ δ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. : (X, d) ಅನ್ನು, X ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ p, x, y ಮತ್ತು z ಗಳಿಗೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, δ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಎಷ್ಟು ಸಮಯದವರೆಗೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, x, y ಮತ್ತು z ಒಂದು δ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, x ನಿಂದ y ಮತ್ತು x ನಿಂದ z ವರೆಗಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಉದ್ದದ (y, z) x ನ ಆರಂಭಿಕ ಭಾಗಗಳು 2δ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಂತರದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ). ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್