Bolza surface
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬೊಲ್ಜಾ ವಕ್ರರೇಖೆ (ಪರಿಚಯಿಸಿದ), ಈ ಕುಲದಲ್ಲಿ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕುಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಆರ್ಡರ್ 48 (ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು). ಪೂರ್ಣ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು (ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) 96ನೇ ಕ್ರಮದ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬೋಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಫೈನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಲೋಕಸ್ ಆಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅಫೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸುಗಮ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಜಾತಿಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ, ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಸಿಸ್ಟೋಲ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿ, ಇದು ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ವಿಭಜಿತ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಗೋಳದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಆರು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಶಾಖೀಕರಣ ಲೋಕಸ್ನೊಂದಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಡಮಾರ್ಡ್-ಗುಟ್ಜ್ವಿಲ್ಲರ್ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೋಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ನ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಬ್ಬರಿಗೂ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಂದ್ರ, ಮುಚ್ಚಿದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಮೇಲ್ಮೈ ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯು ತ್ರಿಕೋನ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೋಡಿ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪು ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಓರಿಯೆಂಟೇಶನ್ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕ-ಎರಡು ಉಪಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಹ (3,3,4) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2ರ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗುಂಪು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯಮಿತ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಈ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಉದ್ದದ ವರ್ಣಪಟಲಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಲೂಪ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಡಿಮೆ ಉದ್ದವನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೋಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಎಂಬುದು ಬೋಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಉದ್ದದ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಆದರೆ 4,24,48,72,140, ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಉನ್ನತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ನ ಸಮಾನವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. (2,3,8) ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಸೂತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. (2,3,8) ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಉದ್ದದ ಬದಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಉದ್ದಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಫೆಂಚೆಲ್-ನೀಲ್ಸೆನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಜೆನಸ್ 2ರ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಫೆಂಚೆಲ್-ನೀಲ್ಸೆನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮೂರು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಯು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ತಿರುವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಅಂತಹ ಸರಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗುಂಪು, ಎಲ್ಲಿ. ಒಂದು "ಸಮ್ಮಿತೀಯ" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಮೂಹವೂ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಉದ್ದಗಳು ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ತಿರುವುಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮಮಿತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೂಲಭೂತ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತವಾದ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ; (ಪೂರ್ಣ) ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ನಾಲ್ಕು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳೆಂದರೆಃ ಆರ್-ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಕ್ರಮ 8 ರ ತಿರುಗುವಿಕೆ; ಎಸ್-ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನ; ಟಿ-ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಅಲುಗಾಡಿಸುವ 16 (4,4,4) ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನ; ಯು-(4,4,4) ತ್ರಿಕೋನದ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಕ್ರಮ 3 ರ ತಿರುಗುವಿಕೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ದಪ್ಪ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ (ಗುರುತಿನ) ಕ್ರಿಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹಿಂಪಡೆಯಲು ಈ ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಜಿಎಪಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ನಾಲ್ಕು 1-ಆಯಾಮದ, ಎರಡು 2-ಆಯಾಮದ, ನಾಲ್ಕು 3-ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು ಮೂರು 4-ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿವೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಇಲ್ಲಿ, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೊದಲ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ (ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಜೆನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್) ಮೂರು ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು, ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ನೋಡಲ್ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವುದು ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯು ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು 2ನೇ ಕುಲದ ಇತರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವರ್ಣಪಟಲವು ಅತ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೊದಲ ಹತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವರ್ಣಪಟಲದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಕಾಸಿಮಿರ್ ಶಕ್ತಿಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ 2ನೇ ಕುಲದಲ್ಲಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಲಾಕ್ಲಾನ್ ಮತ್ತು ರೀಡ್ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಜನರೇಟರ್ಗಳಾದ i, j ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಸೂಕ್ತ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಬ್ರಿಂಗ್ 'ಸ್ ಕರ್ವ್ ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೊದಲ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಟ್ರಿಪ್ಲೆಟ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಿಸ್ಟೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.