Oriented coloring
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣವು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಸರಿಯಾದ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣಗಳ ನಿಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮಾನವಾಗಿ, G ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣವು ಒಂದು ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಗ್ರಾಫ್ H ಆಗಿದೆ (ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಚಾಪಗಳು ಬಣ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಮಾನ್ಯವಾದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ) ಅಂದರೆ G ಯಿಂದ H ಗೆ ಏಕರೂಪತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. G ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕ್ರೊಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಡಿಮೆ ಬಣ್ಣಗಳಾಗಿವೆ; ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ, ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕ್ರೊಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಓರಿಯೆಂಟೇಶನ್ಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕ್ರೊಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಿತ 5-ಚಕ್ರದ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕ್ರೊಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಐದು. ಚಕ್ರವು ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಪಕ್ಕದ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಎರಡು ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಅಂಚುಗಳು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿವೆಃ ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಜೋಡಿ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಣ್ಣವನ್ನು ನೀಡುವುದು ಮಾನ್ಯವಾದ ಆಧಾರಿತ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಲೂಪ್ಗಳು ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಿತ 2-ಚಕ್ರಗಳಿಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಆಧಾರಿತ ಬಣ್ಣವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದು ಲೂಪ್ ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು, ಮತ್ತು ಎರಡು-ಚಕ್ರವು ಅದರ ಎರಡೂ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹೊಂದಿರಬಾರದು. ಈ ಷರತ್ತುಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾದರೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಬಣ್ಣವಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೂ ಬೇರೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಬಣ್ಣ. ಒಂದು ಉದ್ದೇಶಿತ ಬಣ್ಣವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ವಿಲೀನಗೊಳಿಸಿ ಕಡಿಮೆ ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಅದು ಪಂದ್ಯಾವಳಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪಂದ್ಯಾವಳಿಯು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಣ್ಣಕ್ಕೂ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಬಣ್ಣಗಳಿಗೆ, ಆ ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವ ಬಣ್ಣದ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಚು ಇರುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಪಂದ್ಯಾವಳಿಯ ಅಂಚಿಗೆ ತನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಪೂರ್ಣ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಪಂದ್ಯಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಲ್ಲ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಜೆನಸ್, ಬೌಂಡೆಡ್ ಡಿಗ್ರಿ, ಅಥವಾ ಬೌಂಡೆಡ್ ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಕ್ರೊಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಹ ಬೌಂಡೆಡ್ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕ್ರೊಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸಹ ನೋಡಿ, ಸೋಪೆನಾ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಕಲರಿಂಗ್ ಬಗ್ಗೆ ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ಕಾಗದವನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕಲರಿಂಗ್ ಪೇಜ್ (ಸೋಪೆನಾ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ) ರೆಫರೆನ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ ಕಲರಿಂಗ್