Embedding problem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಿಲೋಮ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿರ್ಬಂಧದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಅದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ K ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು H ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಬಹುದು (ವಿಲೋಮ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ). ಗಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ನಿಂದ ಎಚ್ ಗೆ ಗಲೊಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದ ಎಫ್/ಕೆ ಇದೆಯೇ ಎಂಬೆಡೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಎಲ್/ಕೆ ಗಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಜಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಗಲೊಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ಃ ಎಚ್ → ಜಿ ಒಂದು ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರಲಿ. ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಎಚ್ ನೊಂದಿಗೆ ಎಫ್/ಕೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಇದೆಯೇ ಮತ್ತು ಎಫ್/ಕೆ ನ ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಎಲ್/ಕೆ ನ ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧದ ನಕ್ಷೆಯು ಎಫ್ ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ α: ಎಲ್ → ಎಫ್ ಫಿಕ್ಸಿಂಗ್ ಕೆ ಎಂಬ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಇದೆಯೇ? ಅಂತೆಯೇ, ಎಫ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಪ್ರೊಫೈನೇಟ್ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಎಚ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿರಂತರ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು φ: ಎಫ್ → ಜಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ಃ ಎಚ್ → ಜಿ. ಗುಂಪು ಎಚ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ನಿರಂತರ ಏಕರೂಪತೆ γ: F → H ಆಗಿದ್ದು ಅದು φ = f γ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್ ಫೈನೈಟ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ. ಎಫ್ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ (ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ) ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಅನಂತ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಎಫ್ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಫ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಫ್ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಾಹಿದ್ ಶಿರ್ಬಿಶೇಹ್, ಗೈಲೋಯಿಸ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ವಿತ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಕರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಎಕ್ಸ್ಪೋನೆಂಟ್ ಪಿ ವಿಡಿಎಂ ವೆರ್ಲಾಗ್ ಡಾ. ಮುಲ್ಲರ್, (2009). ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ