Lorentz invariance in non-critical string theory
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪಾಲಿಯಾಕೋವ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ವಿಧಾನದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. 4-ಆಯಾಮದ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ನಂಬು-ಗೊಟೋ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದುಃ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳ ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಯನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಲು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕ ಎನ್ಎಂಯು, ಗೇಜ್ ಅಕ್ಷದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಾಹಕವು ಬೆಳಕಿನ ಕೋನ್ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ನಿಯತಾಂಕವು ಬೆಳಕಿನ ಕೋನ್ ಗೇಜ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಯ ಅವಧಿಯಾದ ಪಿಎಂಯು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಮಯದ ರೋಹ್ರ್ಲಿಚ್ನ ಗೇಜ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೆಳಕಿನ ಕೋನ್ ಮಾಪಕದ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ವಾಹಕ ಎನ್ಎಂಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. nμ = (1,1,0,0), ಮತ್ತು ಮಿನ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮತಲಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು "ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟಿದೆ". ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಈ ಸ್ಥಿರ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಂತರ ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ರಿಪರಾಮೆಟ್ರಿಜೇಷನ್ ಗುಂಪು ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿಯೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ರೋಹ್ರ್ಲಿಚ್ನ ಮಾಪಕವು ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಯೊಂದಿಗೆ ಎನ್. ಎಂ. ಯು. ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಎನ್ಎಂಯು ಮತ್ತು ವರ್ಲ್ಡ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ, ರಿಪರಾಮೆಟ್ರಿಜೇಷನ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಇತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಾಹಕಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಪಿಎಂಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಬೆಳಕಿನಂತಹ ಅಕ್ಷ ಎನ್ಎಂಯನ್ನು ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದರೆ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಯ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವೈಪರೀತ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಐ-> ಬೈ ಅನ್ನು ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಲೈಟ್ ಕೋನ್ ಗೇಜ್ಗೆ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಆಸಿಲೇಟರ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಚಿರಪರಿಚಿತ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗ್ರೂಪ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ xii ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಬಿಐ = (ಎಂಎಂಎಂಎನ್, xii) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ಎಂಎಂಎಂಎನ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಹಂತದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಗುಂಪಿನ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ, xii ಯು ಎಂಎಂಯುಎನ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸರಳವಾದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಂತಹ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಧಿಕೃತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಏಕರೂಪದ ಸಮಾನವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವೈಪರೀತ್ಯಗಳು ಒಂದು ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಗುಂಪು-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಾದ ಡಿಫ್ ಎಸ್1 ಎಂಬ ಗೇಜ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ವಿರಾಸೊರೊ ಬೀಜಗಣಿತ Ln ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಲೈಟ್ ಕೋನ್ ಗೇಜ್ ಯು (1) ~ ಎಸ್ 1 ನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಹಂತದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗೇಜ್ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ L0 ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ವಿಕಾಸಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣಃ ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಯ ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ G = U (1) x SO (3) ಗುಂಪು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ವಿಕಾಸದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಗೇಜ್ ಅಕ್ಷದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಲೈಟ್ ಕೋನ್ ಗೇಜ್ ಎಸ್ಒ (3) ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, G ಯ ಗೇಜ್ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು, ಈ ಬಾರಿ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಲ್ಡ್ ಶೀಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಈ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗೆ ಇಳಿಸಿದ ನಂತರ ಅಸಂಗತ ಗೇಜ್ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. U (1) x U (1) ನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಗೇಜ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಉಳಿದಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿಕಸನ ಮತ್ತು ಗೇಜ್ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಆ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಓಪನ್ ನಂಬು-ಗೊಟೋ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹಲವಾರು ಏಕೀಕೃತ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಆವೃತ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗೇಜ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ವಿಶ್ವ ಹಾಳೆಯ ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದು, ಡಿ = 4 ರಿ-ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಜೇಷನ್ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು ಗೇಜ್ ರೆಜ್ ತರಹದ ಸ್ಪಿನ್-ಮಾಸ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆಧುನಿಕ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಹ-ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಓದುಗರಿಗೆ ಒಂದೇ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಏಕೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಾಧನಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ವಿಶೇಷವಾಗಿ d = 4, ಅನ್ವಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹ್ಯಾಡ್ರಾನ್ಗಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ವರ್ಣಪಟಲ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲಿನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಆಯಾಮದ ಹೊರಗಿನ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನ ಅಸಂಗತ-ಮುಕ್ತ ಪರಿಮಾಣದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆಃ ಎಲ್. ಬ್ರಿಂಕ್, ಎಂ. ಹೆನಿಯೋಕ್ಸ್, ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ, ಪ್ಲೆನಮ್ ಪ್ರೆಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ ಮತ್ತು ಲಂಡನ್, (1988), ಪುಟ 157 ಮುಂದೆ, ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ. 157-159, ಅಳತೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿರಾಸೊರೊ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅಲ್ಲದ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿ. ಎಂ. ಬಾರ್ಬಶೋವ್, ವಿ. ವಿ. ನೆಸ್ಟೆರೆಂಕೊ, ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ದಿ ರಿಲೇಟಿವಿಸ್ಟಿಕ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ, ಸಿಂಗಾಪುರ್, ವರ್ಲ್ಡ್ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್, (1990), ಪುಟ 64: ಇದಲ್ಲದೆ, ರೋಹ್ರ್ಲಿಚ್ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಯಾಕೋವ್ ಅವರ ವಿಧಾನಗಳ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ Sec.11 ಮತ್ತು Sec.30 ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಮ್. ಗ್ರೀನ್, ಜೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್, ಇ. ವಿಟ್ಟೆನ್, ಸೂಪರ್ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಸಂಪುಟ. 1, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ. ಪ್ರೆಸ್, (1987), ಪುಟ 124: ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ φ ನ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಗಮನಿಸಿಃ ಇದು ಹ್ಯಾಡ್ರಾನ್ಗಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಯುಗ್ಮಿತ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಬೃಹತ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಥಿರತೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅದರ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ