Householder's method
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಹೌಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ಗಳ ವಿಧಾನಗಳು ರೂಟ್-ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧಾನವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಧಾನದ ಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖದ ದರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಅಮೆರಿಕದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆಲ್ಸ್ಟನ್ ಸ್ಕಾಟ್ ಹೌಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಧಾನ ಹೌಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ಸ್ ವಿಧಾನವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ವಿಧಾನವು ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಬಾರಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆಃ, ಕೆಲವರಿಗೆ ಇದರರ್ಥ ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವು ಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಕೆಲವರಿಗೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಮ್ಮುಖವು ಬಲದಿಂದ ಇರುತ್ತದೆ; ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಮ್ಮುಖವು ಎಡದಿಂದ ಇರುತ್ತದೆ; ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವು ಅದು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಬದಿಯಿಂದ ಇರುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರ್ಯಾಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಕ್ರಮದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ನಿಖರತೆಯಲ್ಲಿನ ಲಾಭವು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರಯತ್ನದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಓಸ್ಟ್ರೋವ್ಸ್ಕಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಎಣಿಕೆಯ ಬದಲು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ದೋಷ ಕಡಿತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ, ಹಾರ್ನರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಬಹುಪದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ದೋಷದ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ನೀಡುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಘಾತಾಂಕವು, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಫಾರ್, ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೇಸ್ (ಹ್ಯಾಲಿಯ ವಿಧಾನ) ಇದರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಭೇದದ ಟೇಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಹ್ಯಾಲಿಯ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಘಾತಾಂಕದಿಂದ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ 1 ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಕಡೆಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಮತ್ತು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಿರ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ, ಅದರ ಸ್ಥಿರ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆ ಸ್ಥಿರ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದ ಕಾರಣ, ಪರಸ್ಪರವು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಿರ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು, ನಾವು ಅದರ-th ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ, ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ದೊಡ್ಡ O ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಹೀಗೆ ನಾವು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಶೂನ್ಯವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೇ ಅಂಶವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ 1 ಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವು ಸರಳ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಹತ್ತಿರ, ಒಂದು ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಇತರ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ. ಕೋನಿಗ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಹೌಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಉತ್ತಮ ಒಮ್ಮುಖದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಇವು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ನಿಜವಾದ ಪುರಾವೆಯೂ ಸಹ ಈ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಲೋವರ್ ಆರ್ಡರ್ ಹೌಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ನ ಆರ್ಡರ್ 1 ವಿಧಾನವು ಕೇವಲ ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆಃ ಹೌಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ನ ಆರ್ಡರ್ 2 ವಿಧಾನವು ಹ್ಯಾಲಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ನವೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಈ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಥರ್ಡ್ ಆರ್ಡರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಥರ್ಡ್ ಆರ್ಡರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಉದಾಹರಣೆ ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್-ಸಿಂಪ್ಸನ್ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ನ್ಯೂಟನ್ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣ. 2ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವಿರಬೇಕು ಎಂದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು. ಬದಲಿಸುವಿಕೆಯು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಹೌಸಹೋಲ್ಡರ್ನ ವಿವಿಧ ಆದೇಶಗಳ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಂತರದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ನೆರೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಆದೇಶಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಹಂತದ ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ನೇ ಕ್ರಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ,. ಒಬ್ಬರು ನೋಡುವಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಇವೆ. ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, 1 ನೇ ಕ್ರಮ; 2 ನೇ ಕ್ರಮ; 3 ನೇ ಕ್ರಮ; ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ, ಮನೆ ಮಾಲೀಕರ ವಿಧಾನಗಳ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಮದ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ ನಂತರ, ಅಂಶದ ಅನನ್ಯ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜಿನ ನವೀಕರಣವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಡಿಗ್ರಿಯ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವು ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆಯೇ, ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಕೂಡ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜುಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಬಹುಪದಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬಯಸಿದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ, ಅಂಶದ ಶೂನ್ಯದ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಇದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಹೌಸಹೋಲ್ಡರ್ನ ವಿಧಾನವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಲಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಈ ಕೊಂಡಿಗೆ ಪೋಸ್ಟ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ; ಜಾಲತಾಣದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ರೂಟ್-ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು