Buffon's noodle
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ, ಬಫನ್ನ ನೂಡಲ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು 18ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಜಾರ್ಜಸ್-ಲೂಯಿಸ್ ಲೆಕ್ಲರ್ಕ್, ಕಾಮ್ಟೆ ಡಿ ಬಫನ್ನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಬಫನ್ನ ಸೂಜಿಯ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು 1860ರಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್-ಎಮಿಲ್ ಬಾರ್ಬಿಯರ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಬಫನ್ನ ಸೂಜಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಮಾನ ಅಂತರದ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ನಾವು ಪಕ್ಕದ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದದ ಸೂಜಿಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎಸೆಯಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಇಳಿದ ನಂತರ ಸೂಜಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸೂಜಿಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಸೂಜಿಯು ಸಮತಲವಾಗಿ ಮಾಡುವ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಕೋನವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಸೂಜಿಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಹತ್ತಿರದ ರೇಖೆಯವರೆಗಿನ ದೂರವಾಗಿರಲಿ. ಸೂಜಿ ಹತ್ತಿರದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಸೂಜಿಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ, ಹತ್ತಿರದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಸೂಜಿಯು ಹತ್ತಿರದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವಾಗ ಉದ್ದದ ರೇಖೆಯಿಂದ ನಾವು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈಗ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾವಾಗ, ಎಲ್ಲಿ, ಯಾವಾಗ, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಇಳಿಯುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳವು ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಆಯತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು. ಸೂಜಿ ಹತ್ತಿರದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂಜಿಯು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಗಿದಾಗಲೂ (ಅದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು) ಸೂತ್ರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು "ನೂಡಲ್" ಅನ್ನು-ಒಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನೂಡಲ್ ನ ಉದ್ದವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ನಾವು ಕೈಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ನೂಡಲ್ಗಳ ಆಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಲ್ಲ; ಇದು ನೂಡಲ್ಗಳ ಉದ್ದ ಎಲ್ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಡಿ ಅಂತರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಬಾಗಿದ ನೂಡಲ್ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅನೇಕ ಬಾರಿ ದಾಟಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು (ಕ್ಲೈನ್ ಮತ್ತು ರೋಟಾ ನೋಡಿ). ಮೊದಲು ನೂಡಲ್ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಇದು ನೇರವಾದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ith ತುಣುಕು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ದಾಟುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕ್ಸಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ರೇಖೀಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಸಂಯೋಜನೀಯವಾಗಿವೆಃ ಬಾಗಿದ ನೂಡಲ್ ಅನ್ನು ತುಣುಕುಗಳ ರೇಖೀಯ ನೂಡಲ್ಸ್ನ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಟಾಸ್ಗೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳು ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇದು ಎಲ್ ಉದ್ದದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಗಳು. ಒಂದು ವೇಳೆ ನೂಡಲ್ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಡಿ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಸದ ವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ = ಡಿ ಮತ್ತು ದಾಟುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ = ಡಿ ಆಗ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳು 2 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದಾಟುವಿಕೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು 2 ಎಲ್/(ಡಿ) ಆಗಿರಬೇಕು. ಬಾರ್ಬಿಯರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ವಾದವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ಇದು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೂಡಲ್ ಸ್ಥಿರ ಅಗಲ ಡಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ದಾಟುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಸಹ ನಿಖರವಾಗಿ 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪರಿಧಿಯು ವೃತ್ತದಷ್ಟೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಬಾರ್ಬಿಯರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಟ್-ದಿ-ನಾಟ್ ಜಾಲತಾಣದ ಇಂಟರಾಕ್ಟಿವ್ ಗಣಿತ ಪುಟದ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಇಂಟರಾಕ್ಟಿವ್ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್. ಪ್ರದರ್ಶನ ಸಮಗ್ರ ರೇಖಾಗಣಿತ