Functional-theoretic algebra
ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಏಕಾಂಗಿ ಸಹವರ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ವಿನಿಮಯಶೀಲವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಾಗ ಅದು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಎಎಫ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎಎಫ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲವು ಇ ಗೆ ಎಲ್ 1 (ಇ) = ಎಲ್ 2 (ಇ) = 1 ಎಫ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2 ಎಎಫ್ ಮೇಲೆ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಎ. ಎಫ್. ನಲ್ಲಿ x, y ಎಂಬ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹವರ್ತಿ ಮತ್ತು e ಈ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತು ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಎಫ್ ಘಟಕ ಇ ಯೊಂದಿಗೆ ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ (ಎಫ್ಟಿಎ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಳಾದ ಎಲ್1 ಮತ್ತು ಎಲ್2 ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಎಲ್. ನಂತರ ಎಎಫ್ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ X ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಫ್ಎಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಎಕ್ಸ್ ನಿಂದ ಎಫ್ ವರೆಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎಫ್, ಜಿ ಎಫ್ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎಫ್ನಲ್ಲಿ α ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಡಿಷನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಫ್ಎಕ್ಸ್ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಈಗ, ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎ, ಬಿ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಎಕ್ಸ್ಗೆ ಇ ನಿಂದ ಎಫ್ ಗೆ ಇ (ಎಕ್ಸ್) = 1 ಎಫ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. L1 (f) = f (a) ಮತ್ತು L2 (f) = f (b) ನಿಂದ FX ನಿಂದ F ಗೆ L1 ಮತ್ತು L2 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ L1 ಮತ್ತು L2 ಗಳು FX ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ L1 (e) = L2 (e) = 1F. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಎಫ್ಟಿಎ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ [0,1] ಕ್ಷೇತ್ರ C ಗೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ γ ಅನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು γ (0) ಮತ್ತು γ (1) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಲೂಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸೆಟ್ ವಿ [0,1] ಯು ಸಿ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಮೇಲಿನಂತೆ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ α, β ಅನ್ನು C [0,1] ನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ನಂತರ, V [0,1] ಎಂಬುದು e ಅನ್ನು ಏಕತೆಯಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನಾವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಎಫ್-ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದಾಹರಣೆ (1) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (1,0) ಮತ್ತು (0,1) ಮತ್ತು (2) ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. V [0,1] ನಲ್ಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಂತೆ, ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ವೃತ್ತವು g ಒಂದು ಲೂಪ್ ಆಗಿದೆ. ಲೈನ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ f: ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಈಗ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಎರಡು f-ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ. ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಎರಡೂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೀ-ಎನ್-ಕರ್ವ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಸೆಬಾಸ್ಟಿಯನ್ ವಟ್ಟಮಟ್ಟಂ ಮತ್ತು ಆರ್. ಶಿವರಾಮಕೃಷ್ಣನ್, ಎ ನೋಟ್ ಆನ್ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್, ರೀಸೆಂಟ್ ಟ್ರೆಂಡ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಅಲೈಡ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್, 2003 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಸೆಬಾಸ್ಟಿಯನ್ ವಟ್ಟಮಟ್ಟಂ ಮತ್ತು ಆರ್. ಶಿವರಾಮಕೃಷ್ಣನ್, ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಮೂಲಕ ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ಸ್, ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ವಾರ್ಷಿಕ ಕಾನ್ಫರೆನ್ಸ್ ಆಫ್ ಕೆ. ಎಂ. ಎ., ಜನವರಿ 17-19,2000, ಪುಟಗಳು. 81-89 ಸೆಬಾಸ್ಟಿಯನ್ ವಟ್ಟಮಟ್ಟಂ, ನಾನ್-ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್, ಇನ್ ಬುಲೆಟಿನ್ ಆಫ್ ಕೇರಳ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್, ಸಂಪುಟ. 4, ನಂ. 2, ಡಿಸೆಂಬರ್ 2007 ಸೆಬಾಸ್ಟಿಯನ್ ವಟ್ಟಮಟ್ಟಂ, ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮಿಂಗ್ ಕರ್ವ್ಸ್ ಬೈ ಎನ್-ಕರ್ವಿಂಗ್, ಇನ್ ಬುಲೆಟಿನ್ ಆಫ್ ಕೇರಳ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್, ಸಂಪುಟ. 5, ನಂ. 1, ಡಿಸೆಂಬರ್ 2008 ಸೆಬಾಸ್ಟಿಯನ್ ವಟ್ಟಮಟ್ಟಂ, ಬುಕ್ ಆಫ್ ಬ್ಯೂಟಿಫುಲ್ ಕರ್ವ್ಸ್, ಜನವರಿ 2015 ಬುಕ್ ಆಫ್ ಬ್ಯೂಟಿಫುಲ್ ಕರ್ವ್ಸ್ ಆರ್. ಶಿವರಾಮಕೃಷ್ಣನ್, ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಂತುಗಳು, ಚಾಪ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಹಾಲ್/ಸಿಆರ್ಸಿ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಂತುಗಳು