Peridynamics
ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಥಳೀಯವಲ್ಲದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ವಿರಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುರಿತಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿರೂಪಗಳ ಕಡೆಗೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲತಃ, ಬಂಧ-ಆಧಾರಿತ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ, ವಸ್ತು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅದು ಸಂವಹನ ನಡೆಸಬಹುದಾದ ಇತರ ಎಲ್ಲ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಆಂತರಿಕ ಸಂವಹನ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಬಲಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಬಲಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಹಾರಿಜಾನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂತರದೊಳಗೆ ದೇಹದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡುವ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಬಂಧಗಳ ಜಾಲರಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ವಸ್ತುವಿನ ಪಾಯ್ಸನ್ನ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಬಂಧ-ಆಧಾರಿತ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು (ಸಮತಲದ ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಸಂರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದ ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ; ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ), ಸ್ಥಿತಿ-ಮೂಲ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವೆ ವಿನಿಮಯವಾಗುವ ಬಲವು ಅದರ ಸಂವಹನ ವಲಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಬಂಧಗಳ ವಿರೂಪ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ವಸ್ತು ದೇಹದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಸೀಮಿತ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಂಧದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆಃ ಇದು ದ್ರವ್ಯದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೆಸೊ-ಸ್ಕೇಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಒಂದು ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಪೆರಿಡೈನಾಮಿಕ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ವಿಶೇಷಣವಾಗಿ 2000ನೇ ಇಸವಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಇದು ಪೆರಿ ಎಂಬ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯದಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಸುತ್ತಲೂ, ಹತ್ತಿರ, ಅಥವಾ ಸುತ್ತಮುತ್ತ; ಮತ್ತು ಮೂಲ ಡೈನಾ, ಅಂದರೆ ಶಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಶಕ್ತಿ. ಪೇರಿಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಎಂಬ ಪದವು, ನಾಮಪದವಾಗಿ, ಘನ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಪೆರಿಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಾದರಿ ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉದ್ದೇಶ ಮುರಿತವು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗದ ಗಣಿತದ ಏಕತ್ವವಾಗಿದೆ. ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಾದ ಮೂಳೆ ಮುರಿತಗಳ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಉದ್ದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ಬಿರುಕು ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಏಕತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅಂತಹ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ವಿರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕತ್ವಗಳ ಮೇಲೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುವ ರಚನೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು xFEM ನಂತಹ ಮುರಿತ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶೇಷ ತಂತ್ರಗಳ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಒತ್ತಡದ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಂಶದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿರುಕು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ನಿಯಮದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಪರಿಭಾಷೆ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭೌತಿಕ ಕಾಯಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ ಬಿಂದುಗಳ ಜಾಲರಿಯು ರಚಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಸುಸ್ಥಾಪಿತ ಅಂತರದೊಳಗೆ ದೀರ್ಘ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಹಾರಿಜಾನ್ ತ್ರಿಜ್ಯ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಸ್ಥೂಲದರ್ಶಕ ದೇಹಗಳಿಗಿಂತ ಆಣ್ವಿಕ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ (ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಕ್ಷಿತಿಜದಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯವಾಗುವ ಜೋಡಿಯ ಬಲದ ಕಲ್ಪನೆಯತ್ತ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ದಿಗಂತವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ಸಂರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ, ದೇಹದೊಂದಿಗೆ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. 1, 2 ಅಥವಾ 3 ಆಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಭೌತಿಕ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ದೇಹವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉಲ್ಲೇಖ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖದ ಸಂರಚನೆಯು ಒತ್ತಡ-ಮುಕ್ತ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ದೇಹದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪೆರಿಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯೊಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ದೂರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಅನೇಕವೇಳೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದಿಗಂತ ಅಥವಾ ಕುಟುಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಅದರ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸಂವಹನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸಂರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಂಧದ ಉದ್ದದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಒತ್ತಡದ ಮೂಲಕ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಿ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಜೋಡಿವಾರು ಬಂಧಗಳು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ವಾಲ್ಯೂಮ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಲವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬಲ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಕರ್ನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಂವಿಧಾನಿಕ (ವಸ್ತು-ಅವಲಂಬಿತ) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ವಿರೂಪತೆಯ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ ಸರಳತೆಗಾಗಿ ಆನ್ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯ ಒತ್ತಾಯ ಪದವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪದವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರತಿ-ಘಟಕ-ಪರಿಮಾಣ ಬಲಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆಃ ವಾಹಕ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಬೀರುವ ಬಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಬಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಆಯಾಮವು. ಬಂಧ-ಆಧಾರಿತ ಪೆರಿಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಪೆರಿಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಎರಡು ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಕ್ಟಿಒ ಎಟ್ ರಿಯಾಕ್ಟಿಯೋ ತತ್ವವು ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಮೂರನೇ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಕಣಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದವರಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತು ಇರುತ್ತದೆಃ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಕಿರಣ-ವಾಹಕವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮತ್ತು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಾಹಕವು ಸಾಪೇಕ್ಷ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಕಿರಣ-ವಾಹಕದ ಅದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುವುಃ ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯವು ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸ್ವರೂಪವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಃ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಲವು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಸಂರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ನಡುವಿನ ಆರಂಭಿಕ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಊಹೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ವಾಹಕದ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಾಂಡ್ ಬಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ನೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತಲೂ ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆಃ ನಂತರ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈಕ್ರೋ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದು ಗುರುತಿನ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಮತ್ತು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಮೈಕ್ರೋ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೀಯ ಹೈಪರ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ಅದರ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಕರ್ನಲ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕರ್ನಲ್ನ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ-ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ (ಪಿಎಂಬಿ) ವಸ್ತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಪಿ. ಎಂ. ಬಿ ಪದಾರ್ಥಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬಲವನ್ನು ವಸ್ತುವು ಅನುಭವಿಸುವ ಸೀಮಿತ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಗೆ ರೇಖೀಯ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಫಾಲೋ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಮೈಕ್ರೋ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಜೋಡಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಂಧದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಕಾರ್ಯವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರಿದರೆ, ಬಂಧವನ್ನು ಮುರಿದಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬಲವನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಮ್ ಥಿಯರಿ ಫ್ರೇಮ್ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸ್ಟ್ರೈನ್ ಎನರ್ಜಿ ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆಯ ನಂತರ, ಮೈಕ್ರೋ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಭೌತಿಕ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮೈಕ್ರೋ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಈಗ ಮೈಕ್ರೋ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಕ್ಷಿತಿಜದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬಲಗಳ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಬಲಗಳ ತೀವ್ರತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಇಳಿಕೆ ಸಂಭವಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನವು ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಸೂಕ್ಷ್ಮ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಸ್ಟ್ರೈನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುವಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಮತ್ತು ಐಸೊಟ್ರಾಪಿಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ) ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಸಿಲಿಂಡ್ರಿಕಲ್ ಮೈಕ್ರೋ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸೂಕ್ಷ್ಮ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಳವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೆಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿಃ ಉಪಗುಂಪಿನ ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಸೂಕ್ಷ್ಮ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಈ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೈಕ್ರೋ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಸೂಕ್ಷ್ಮ-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಕರ್ನಲ್ಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯು ಸಮಗ್ರವಾಗಿಲ್ಲ. ಹಾನಿ ಹಾನಿಯನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬಲದ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಉದ್ದವು ಕೆಲವು ನಿಗದಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರಿದಾಗ ಬಂಧಗಳನ್ನು ಮುರಿಯಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಂಧವು ಮುರಿದುಹೋದ ನಂತರ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಬಲವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಬಂಧವು ಮುರಿದಾಗ, ಅದು ಹೊತ್ತ ಬಲವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಮುರಿಯದ ಇತರ ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಮರುಹಂಚಿಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚಿದ ಹೊರೆ ಈ ಇತರ ಬಂಧಗಳು ಮುರಿಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬಂಧ ಒಡೆಯುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಲೋಡ್ ಮರುವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮತ್ತಷ್ಟು ಒಡೆಯುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಬಿರುಕುಗಳು ಹೇಗೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಬಾಂಡ್ ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಕರ್ನಲ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಳಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವರ್ಸಸ್ ಬಾಂಡ್ ಸ್ಟ್ರೆಚಿಂಗ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸಿದರೆ, ಮುರಿತದ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಂಡ್ ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಠಾತ್ ಮುರಿತವನ್ನು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ರಾಜ್ಯ-ಆಧಾರಿತ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪ್ರತಿ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಬಂಧವು ಇತರ ಎಲ್ಲವುಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅತಿಯಾದ ಸರಳೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಘನವು 1/4 ರ ಪಾಯ್ಸನ್ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈ ಊಹೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಇದು ಪ್ರತಿ ಬಂಧದಲ್ಲಿನ ಬಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅದರ ಸ್ವಂತ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಎಲ್ಲಾ ಬಂಧಗಳಲ್ಲಿನ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಂಧದಲ್ಲಿನ ಬಲವು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ನಿವ್ವಳ ಪರಿಮಾಣದ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಂಡ್ ಸ್ಟ್ರೆಚ್ನ ಪರಿಣಾಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪರಿಮಾಣ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವು ಪಾಯ್ಸನ್ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಪೆರಿಡೈನಾಮಿಕ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಳಗೆ ರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪೆರಿಡೈನಾಮಿಕ್ ವಸ್ತುವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಮುರಿತಕ್ಕೆ ಪೆರಿಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಬಂಧ-ಆಧಾರಿತ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಬಲ ಪದದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಲ ವಾಹಕ ಸ್ಥಿತಿ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂ-ಆರ್ಡರ್ ಸ್ಥಿತಿಯು ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ ಹೋಲುವ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರವಲ್ಲದದ್ದು; ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದದ್ದಲ್ಲ. ವಾಹಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಸರಳ ವಸ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ರೀಮನ್-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವಿರೂಪ ವಾಹಕ ಸ್ಥಿತಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ವಿರೂಪತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಂಧದ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ ಅಂದರೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಣಗಳು ವಿರೂಪವು ಮುಂದುವರೆದಂತೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಆಕ್ರಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ, ಸಾಂವಿಧಾನಿಕ ಸಂಬಂಧವು ಬಲ ವಾಹಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಆಸಕ್ತಿಯು ದ್ರವ್ಯದ ಪರಮಾಣು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ತುಂಬುವ ಅದರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಬಿರುಕು ರಚನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ, ತರಂಗ ಪ್ರಸರಣ, ಇಂಟ್ರಾ-ಗ್ರ್ಯಾನ್ಯುಲರ್ ಮುರಿತದಂತಹ ಸೂಕ್ಷ್ಮ-ಪ್ರಮಾಣದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ ಹಾರಿಜಾನ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸೂಕ್ತವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದು ವಸ್ತುವಿನೊಳಗಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಥಳೀಯೇತರ ಸಂವಹನಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸಂಶೋಧನಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸ್ಥಗಿತಗಳಿಗೆ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನ ಸ್ಥಳೀಯವಲ್ಲದ ವಿಧಾನವು ಇತರ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದೆ. ಜಿಯೋ-ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ನೀರಿನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಮಣ್ಣಿನ ಬಿರುಕುಗಳು, ಜಿಯೋ-ಮೆಟೀರಿಯಲ್ ವೈಫಲ್ಯ, ಬಂಡೆಗಳ ವಿಘಟನೆ ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜೀವಂತ ಅಂಗಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಜೀವಕೋಶದ ಛಿದ್ರಗಳು, ಜೈವಿಕ-ಪೊರೆಗಳ ಬಿರುಕುಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಉಷ್ಣ ಪ್ರಸರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಗಿತಗಳು, ದೋಷಗಳು, ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಬಿರುಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಶಾಖ ವಹನದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹು-ಹಂತದ ದ್ರವಗಳಲ್ಲಿ ಅಡ್ವೆಕ್ಷನ್-ಪ್ರಸರಣ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಕ್ಷಣಿಕ ಅಡ್ವೆಕ್ಷನ್-ಪ್ರಸರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಹ ಇದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಬಹುಮುಖತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸೂಕ್ಷ್ಮ-ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಯುಕ್ತ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಆಯಾಸ ಮತ್ತು ಶಾಖದ ವಹನ, ಲೋಹಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಲ್ವಾನಿಕ್ ತುಕ್ಕು, ಅವಾಹಕ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್-ಪ್ರೇರಿತ ಬಿರುಕುಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿವಿಧ ಬಹು-ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಕಂಟಿನ್ಯೂಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಚರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಮೂವೆಬಲ್ ಸೆಲ್ಯುಲಾರ್ ಆಟೋಮ್ಯಾಟನ್ ಮಾಲಿಕ್ಯುಲರ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ನಾನ್-ಲೋಕಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿ ರೆಫರೆನ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವುದು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪರಿಮಿತ ಅಂಶದ ಅನುಷ್ಠಾನ ಮತ್ತು ನಾನ್ಲೋಕಲ್ ಮಾದರಿಗಳ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಂದಾಜು ಪೆರಿಡಿಗ್ಮ್, ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ತೆರೆದ ಮೂಲ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಕೋಡ್ ಪೆರಿಡಾಕ್ಸ್ ಓಪನ್ ಸೋರ್ಸ್ ರೆಪೊಸಿಟರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ದಾಖಲಾತಿ ಸ್ಯಾಂಡಿಯಾ ಲ್ಯಾಬೊರೇಟರಿ-ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ವೆಬ್ಸೈಟ್ ಪೆರಿಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಚರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್