Lagrange bracket
ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಜೋಸೆಫ್ ಲೂಯಿಸ್ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಅವರು 1808-1810 ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಬಳಕೆಯಿಂದ ಹೊರಗುಳಿದಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (q1,., qn, p1,., pn) ಒಂದು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ, ಯು ಮತ್ತು ವಿ ನ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (q, p) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಕ್ಯೂ, ಪಿ) = (ಕ್ಯೂ1,., ಕ್ಯೂಎನ್, ಪಿ1,., ಪಿಎನ್) ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚಂದಾದಾರಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. 2n-ಆಯಾಮದ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ W ಮತ್ತು u1,., ಮೇಲೆ ω ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, u2n, W ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಃ: ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ u. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪೂರಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (ಕ್ಯೂ1,., ಕ್ಯೂಎನ್, ಪಿ1,., ಪಿಎನ್) ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಗ್ಲೇಷಿಯಸ್, ಪ್ಯಾಟ್ರಿಕ್, ಲೆಸ್ ಒರಿಜಿನ್ಸ್ ಡು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಚೆಜ್ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ [ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ಮೂಲಗಳು], ಎಲ್ 'ಎನ್ಸೈನ್. ಗಣಿತ. (2) 44 (1998), ನಂ. 3-4,257-277. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಬಿಲಿನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ