Quadrature of the Parabola
ಚತುರ್ಭುಜವು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕುರಿತಾದ ಒಂದು ಗ್ರಂಥವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಕ್ರಿ. ಪೂ. 3ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಬರೆದಿದ್ದು, ತನ್ನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯನ್ ಪರಿಚಯಸ್ಥ ಡೊಸಿಥಿಯಸ್ ಅವರನ್ನು ಉದ್ದೇಶಿಸಿ ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ. ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ 24 ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೆತ್ತಿದ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಎರಡು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಬಳಸಿದ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತಾನೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಅವರು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ರಿಡಕ್ಟಿಯೋ ಆಡ್ ಅಬ್ಸರ್ಡಮ್ ವಾದದ ಅತ್ಯಂತ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 17ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯವರೆಗೆ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ನ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದಂತಿತ್ತು, ನಂತರ ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವು ಬಂದಿತು. ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ವಿಭಾಗವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೆತ್ತಿದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾನೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ತಳವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ನೀಡಲಾದ ಸ್ವರಮೇಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಶೃಂಗವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸ್ವರಮೇಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾದ ಮೂರನೇ ಶೃಂಗದಿಂದ ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೃತಿಯ ಪ್ರಸ್ತಾಪ 1 ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಕೆತ್ತಿದ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಂತಹ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳ ರಚನೆಯು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಚಿರಪರಿಚಿತವಾಗಿತ್ತು, ಒಂದು ಶತಮಾನದ ಹಿಂದೆ ಮೆನಾಕ್ಮಸ್ರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಗಮನದ ಮೊದಲು, ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸುಲಭ ಮಾರ್ಗಗಳಿರಲಿಲ್ಲ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಮೊದಲ ದೃಢೀಕರಿಸಿದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಾನೆ. ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆಃ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಶುದ್ಧ ರೇಖಾಗಣಿತದಿಂದ. ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ, ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿರುವ ಲಿವರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾನೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ತೂಕದ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನವು ಫುಲ್ಕ್ರಮ್ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರದಲ್ಲಿ ಲಿವರ್ನ ತೋಳುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ತೂಗುಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಾಗ, ಲಿವರ್ನ ಸಮತೋಲನವು ಅದೇ ತಳ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಆನ್ ದಿ ಈಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಮ್ ಆಫ್ ಪ್ಲೇನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತಾನೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವನು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸಮತೋಲನಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ. ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಪುರಾವೆಯು ಶುದ್ಧ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇಪ್ಪತ್ತನಾಲ್ಕು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಮೂರನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಕೋನಿಕ್ಸ್ನಿಂದ (ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಕಳೆದುಹೋದ ಕೃತಿ) ಪುರಾವೆಯಿಲ್ಲದೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು 4 ಮತ್ತು 5 ಪ್ಯಾರಬೋಲಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು 6-17 ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ; ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು 18-24 ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆ ವಿಭಜನೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಪುರಾವೆಯ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತನ್ನದೇ ಆದ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ. ಹದಿನೆಂಟರಿಂದ ಇಪ್ಪತ್ತೊಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಪ್ರತಿ ಹಸಿರು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಹಸಿರು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತವೆ. ಆಧುನಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಹಸಿರು ತ್ರಿಕೋನವು ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣಃ ಅದೇ ವಾದವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಳದಿ ತ್ರಿಕೋನವು ಹಸಿರು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅಥವಾ ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ; ಕೆಂಪು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಳದಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ; ಇತ್ಯಾದಿ. ಬಳಲಿಕೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಇಲ್ಲಿ ಟಿ ದೊಡ್ಡ ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ಪದವು ಎರಡು ಹಸಿರು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮೂರನೇ ಪದವು ನಾಲ್ಕು ಹಳದಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಇದು ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡಲು ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ-ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮ ಪದವು ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆ ಸೂತ್ರವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಈ ಚಿತ್ರವು ಸಣ್ಣ ಚೌಕಗಳ ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಏಕಮಾನದ ಚೌಕವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸತತ ಕೆನ್ನೇರಳೆ ಚೌಕವು ಹಿಂದಿನ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಒಟ್ಟು ಕೆನ್ನೇರಳೆ ಪ್ರದೇಶವು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆನ್ನೇರಳೆ ಚೌಕಗಳು ಹಳದಿ ಚೌಕಗಳ ಎರಡೂ ಗುಂಪಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕಮಾನದ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಸರಣಿಯು (ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ (ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ) ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆಗೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಜ್ಕ್ಸ್ಟರ್ಹುಯಿಸ್, ಇ. ಜೆ. (1987) "ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್", ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯು. ಪ್ರೆಸ್ ಮಾಡಿ. .. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪೂರ್ಣ ಪಠ್ಯ, ಟಿ. ಎಲ್. ಅನುವಾದಿಸಿದಂತೆ ಹೀತ್. .. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ 1-3 ಮತ್ತು 20-24 ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ಪಠ್ಯ. http://planetmath.org/ArchimedesCalculus ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ನ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತದ ಕೃತಿಗಳು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ನ ಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸದ ಕೃತಿಗಳು