CAT(k) space
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸ್ಪೇಸ್, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಒಂದು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ "ಮಾದರಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗಿಂತ" "ತೆಳ್ಳಗಿರುತ್ತವೆ". ಒಂದು ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರತೆಯು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ವಿಶೇಷ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ; ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಅವರ ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು "ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲತಃ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ ಈ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು "ಡೊಮೇನ್" ಎಂದು ಕರೆದರು. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು 1987 ರಲ್ಲಿ ಮಿಖಾಯಿಲ್ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದು ಎಲೀ ಕಾರ್ಟನ್, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಡ್ಯಾನಿಲೋವಿಚ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೊವ್ ಮತ್ತು ವಿಕ್ಟರ್ ಆಂಡ್ರೀವಿಚ್ ಟೋಪೊನೊಗೊವ್ ಅವರ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಟೋಪೊನೊಗೊವ್ ಅವರು ಪ್ರಕಟಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅನ್ವೇಷಿಸಲಿಲ್ಲ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನನ್ಯವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು (ನೈಜ 2-ಆಯಾಮದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್) ಸೂಚಿಸೋಣ. ಇದರ ವ್ಯಾಸದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ, ಇದು ಇಫ್ ಮತ್ತು ಇಫ್ ಆಗಿದೆ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸೇರಿಸಬಹುದಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದದ ನಿಯತಾಂಕ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆ, ಅದರ ಉದ್ದ ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅದರ ಬದಿಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ. ಮಾದರಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಕೆ ತ್ರಿಕೋನವಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಧಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು (ಅನಗತ್ಯವಾಗಿ-ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಅಲ್ಲದ) ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ವಕ್ರತೆಯಿರುವ ಜಾಗವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಕ್ರತೆಯಿರುವ ಜಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಜಾಗವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದು ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದು ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳವು (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ) ಒಂದು ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ; ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಿಜವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವು ಕೆಲವು ನೈಜ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗವು ಒಂದು ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಸ್ಥಳವೂ ಆಗಿದೆ. - ಆಯಾಮದ ಏಕಕ ಗೋಳವು ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಯಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳವು (ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆ) ಒಂದು ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸವು (ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾದಂತೆ) (ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಅಳೆಯಲಾದಂತೆ) ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಪ್ಲೇನ್ ಒಂದು ಸ್ಪೇಸ್ ಅಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದ 2 ರೊಂದಿಗೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ನಿಂದ ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವಕ್ರತೆಯ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರೇರಿತ ಉದ್ದದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸ್ಥಳವಲ್ಲ. ಸ್ಥಳಗಳ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. (ಇದು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ವಾದಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಯಾಟ್ (0) ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಇದು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗವಿದೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ, ಬಹುಶಃ ಅಪೂರ್ಣವಾದ, ಸಿಎಟಿ (0) ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ). ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ದೂರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆಃ X ನಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅದು t ನಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಃ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಇಫ್ ನೊಂದಿಗೆ) ನೀಡಿದರೆ, ಸೇರುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗವಿದೆ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ವಿಭಾಗವು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಭೌಗೋಳಿಕವು ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿರುವ-ಚೆಂಡುಗಳು (ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಚೆಂಡುಗಳು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅಂದಾಜು ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆಃ ಪ್ರತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ, ಅದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಜಾಗದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಜಾಗದ ಉನ್ನತ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿವೆ. - ಗೋಳದ ಉದಾಹರಣೆಯು ತೋರಿಸುವಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಸ್ಥಳವು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಭರವಸೆ ಇಲ್ಲ. ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಕ್ರತೆಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಟನ್, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೊವ್ ಮತ್ತು ಟೋಪೋನೋಗೊವ್ ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಹೋಲಿಕೆ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಿಎಟಿ (0) ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಭೌಗೋಳಿಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಬ್ರೂಹತ್ ಮತ್ತು ಟಿಟ್ಸ್ ಅವರು ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ದೃಷ್ಟಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಆಧುನಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಆಳವಾದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರಿದೆ. ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾದ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಿರ್ಖೋಫ್ನ ವಕ್ರ-ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ವ್ಯಾನ್ ಮ್ಯಾಂಗೋಲ್ಟ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ನ ಹೋಲಿಕೆ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೋಲಿಕೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸರಳ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ 1940ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದನು, ಅಸಮಾನತೆಯು ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾದರೆ, ಅದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಟನ್-ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.