Hurwitz surface
ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಡಾಲ್ಫ್ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು ನಿಖರವಾಗಿ 84 (g−1) ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ g ಎಂಬುದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕುಲವಾಗಿದೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಕುರಿತಾದ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು (ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮ 1 = ನೈಜ ಆಯಾಮ 2) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪು (ಸಾಮಾನ್ಯ) (2,3,7) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ತಿರುಚು ರಹಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ಗುಂಪು ನಿಖರವಾಗಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನೈಜ ಮೇಲ್ಮೈಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿವೆ; ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಹಿಮ್ಮುಖ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಇದು 168 (g−1) ಕ್ರಮದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಪರಿಭಾಷೆಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿ-ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, "(2,3,7) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪು" ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪೂರ್ಣ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪು (2,3,7) (ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು (2,3,7) ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪಾಗಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರ) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿಗೆ (ವಾನ್ ಡೈಕ್ ಗುಂಪು) D (2,3,7) ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆಗಳು (ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪು), ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಆಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪು ಸಾಮಾನ್ಯ (ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ (ಪ್ರಾಯಶಃ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಹಿಮ್ಮುಖ) ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪು ಪೂರ್ಣ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕುಲದೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಆ ಕುಲದೊಂದಿಗೆ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕುಲವನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ. ಮೊತ್ತವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂದಾಜು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕುಲವು ಒಂದು ಘನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಕುಲದ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು 3ನೇ ಕುಲದ ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2,7), ಕ್ರಮ 84 (3−1) = 168 = 23·3·7, ಇದು ಸರಳ ಗುಂಪು; (ಅಥವಾ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಹಿಮ್ಮುಖ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಕ್ರಮ 336). ಮುಂದಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಕುಲವು 7 ಆಗಿದ್ದು, ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2,8), ಇದು 84 (7−1) = 504 = 23·32·7 ಕ್ರಮದ ಸರಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಒಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಹಿಮ್ಮುಖ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಗುಂಪು 1,008 ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿದ್ಯಮಾನವು ಮುಂದಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಕುಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 14. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿವೆ (ಕ್ರಮ 84 (14−1) = 1092 = 22·3·7·13). ಈ ವಿದ್ಯಮಾನದ ವಿವರಣೆಯು ಅಂಕಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಸೂಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯ 13 ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ತ್ರಿವಳಿಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಮುಖ ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮೊದಲ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕುಲಕ್ಕೆ ಅನುಮತಿಸಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು 3,7,14,17,118,129,146,385,411,474,687,769,1009,1025,1459,1537,2091 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಕ್ರಮದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಲ್ಕೀಸ್, ಎನ್.: ಶಿಮುರಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಪೋರ್ಟ್ಲ್ಯಾಂಡ್, OR, 1998), 1-47, ಲೆಕ್ಚರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಇನ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್, 1423, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಬರ್ಲಿನ್, 1998. ಕಾಟ್ಜ್, ಎಮ್.; ಸ್ಕ್ಯಾಪ್ಸ್, ಎಮ್.; ವಿಶ್ನೆ, ಯು.: ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಂಕಗಣಿತದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ನ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಜೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜಿಯೋಮ್. 76 (2007), ನಂ. 3, 399-422. ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟೊಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ