Eight-point algorithm
ಎಂಟು-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಗತ್ಯವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಸ್ಟಿರಿಯೊ ಕ್ಯಾಮೆರಾ ಜೋಡಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫರ್ ಲಾಂಗ್ಯುಟ್-ಹಿಗ್ಗಿನ್ಸ್ ಅವರು 1981 ರಲ್ಲಿ ಎಸೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ 1997 ರಲ್ಲಿ ರಿಚರ್ಡ್ ಹಾರ್ಟ್ಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಎಂಟು-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಹೆಸರು ಎಂಟು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು) ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅಗತ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಎಂಟಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಕೋಪ್ಲಾನಾರಿಟಿ ನಿರ್ಬಂಧ ಎರಡು ಕ್ಯಾಮೆರಾಗಳ ಎಪಿಸೋಲಾರ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವು ಎಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಎಡ ಕಣ್ಣಿನ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಬಲ ಕಣ್ಣಿನ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳ ನಡುವಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನುವಾದವನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ. ಇದು ಎರಡು ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವಾಹಕವು ಎರಡಕ್ಕೂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತುಃ ಏಕೆಂದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದಾದ ಓಬ್ಸ್ರ್ವ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ಲಾಂಗ್ಯುಟ್-ಹಿಗ್ಗಿನ್ಸ್ ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಸೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳು ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ ಕೋಪ್ಲಾನಾರಿಟಿ ನಿರ್ಬಂಧವು ಇರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಚಿತ್ರದ ಸಮತಲಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆದರೆ, ಕೋಪ್ಲಾನಾರಿಟಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಬೇಸಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದು ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಇದು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಆಂತರಿಕ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಲಾಂಗ್ಯುಟ್-ಹಿಗ್ಗಿನ್ಸ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಹಂತಗಳು ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಅಗತ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರ್ಬಂಧವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಶಬ್ದದಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿರಬಹುದು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಂತ 1: ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಂದರೆ, 9-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕವು ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರಬೇಕು, ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಾಹಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ವಾಹಕವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. 3D ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಇದು ವಾಹಕಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಬೇಕು. ಸಾಕಷ್ಟು (ಕನಿಷ್ಠ ಎಂಟು) ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದನ್ನು ನೇರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಹಂತ 2: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವು ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಲ ಏಕವಚನ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಎಂಟು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಈ ಏಕ ವಾಹಕವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ) ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಂಟಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಚಿತ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಶಬ್ದಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾದಾಗ ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಒಟ್ಟು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸುವುದು; ಇದು ಯಾವಾಗ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ. ನ ಚಿಕ್ಕ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಡ ಏಕವಚನ ವಾಹಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಮರುಕ್ರಮಗೊಳಿಸುವುದು ಈ ಹಂತದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಂತ 3: ಆಂತರಿಕ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸುವುದು ಗದ್ದಲದ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಗತ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಆಂತರಿಕ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸದಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಎರಡು ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಆಂತರಿಕ ನಿರ್ಬಂಧದಿಂದ ಸಣ್ಣ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಂತರಿಕ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಶ್ರೇಣಿ 2 ರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು, ಇದು ಹಂತ 2 ರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೊದಲು ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇದು ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಆದರ್ಶ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಕರ್ಣ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಥವಾ ಇತರ ಎರಡು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಒದಗಿಸಿದ ಅಗತ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮೂಲಭೂತ ಎಂಟು-ಅಂಶಗಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ನಿರ್ಬಂಧವೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ). ಇದರರ್ಥ ಎಸೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆಯೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದರ ಮರುರೂಪಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಎಂಟು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಪಿಪೋಲಾರ್ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗದಿರಬಹುದು. ತೊಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಸಮರ್ಪಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿರುತ್ತದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಉಳಿದವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಬಹುದು. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕೇವಲ ಸರಿಸುಮಾರು ನಿಖರವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಂಟು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಸರಿಸುಮಾರು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಲು ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಕಾಸ್ ಹಾರ್ಟ್ಲಿಯು ತನ್ನ 1997ರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈ ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಅವರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು, ಅವುಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಕಳಪೆ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಂಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. 2ಡಿ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವೆಂದರೆ ಆಧುನಿಕ ಡಿಜಿಟಲ್ ಕ್ಯಾಮೆರಾಗಾಗಿ ಎರಡೂ 0 ರಿಂದ 1000-2000 ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ ಮೊದಲ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮೂರನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಚಿತ್ರದ ಬಿಂದುಗಳು ಚಿತ್ರದ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ಎರಡು ಚಿತ್ರಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಹಾರ್ಟ್ಲೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವು ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ) ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರಬೇಕು (ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು). ಮೂಲ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಸ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಷಾಂತರದ ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದುಗಳವರೆಗಿನ ಅಂತರದ ಸರಾಸರಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ತತ್ವವು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮನ್ವಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಳೆಯ ಚಿತ್ರದಿಂದ ಹೊಸ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳು (ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್) ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಹೊಸ ಏಕರೂಪದ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ಯಾಮರಾದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಎಪಿಪೋಲಾರ್ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಈಗ ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಮೂಲ ಎಂಟು-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಚಿತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪರಿಹಾರವು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಈ ಅಂದಾಜು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಎಂಟಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಜೋಡಿಯು ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಐದು ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕೇವಲ ಐದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಜೋಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಐದು-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಐದು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅಗತ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಡೇವಿಡ್ ನಿಸ್ಟರ್ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಹಾರ್ಟ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಅಲ್. ನಂತರ ನೀಸ್ಟರ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರವಾದ ಐದು-ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಎಸೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರೈಫೋಕಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ