Local flatness
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮತಟ್ಟಾಗುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಮೃದುವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಹೇರಬಹುದು. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಂತೆಯೇ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯು ವಸ್ತು ಸಂಸ್ಕರಣೆ ಮತ್ತು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ಗೆ ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಡ್ಜ್ ಜಾಲಗಳು ಮತ್ತು ಚೂರುಚೂರು ರಚನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಡಿ ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎನ್ ಅನ್ನು ಎನ್ ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ (ಅಲ್ಲಿ ಡಿ <ಎನ್) ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. X ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ N ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿದರೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜೋಡಿಯು ಜೋಡಿಗೆ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ, ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚೌಕವು ಸಂಚರಿಸಬೇಕುಃ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ N ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು N ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ M ನಲ್ಲಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, N ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಯು ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ M ನಲ್ಲಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ. ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, M ಒಂದು ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, x M ನ ಗಡಿ ಬಿಂದುವಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. x M ನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. X ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜೋಡಿಯು ಜೋಡಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, M ನ ಬೌಂಡರಿ ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ N ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮತಟ್ಟಾಗುವಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಿಂದ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳದ ಬಲವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ರೌನ್ (1962) ಡಿ = ಎನ್ − 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎನ್ ಅನ್ನು ಕಾಲರ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು; ಅಂದರೆ, ಇದು ಎನ್ × [0,1] ಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಎನ್ ಸ್ವತಃ ಎನ್ × 1/2 (ಎನ್ ಎಂ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ ಎನ್ × 0 (ಎನ್ ಎಂ ಗಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ನೆಟ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಬ್ರೌನ್, ಮಾರ್ಟನ್ (1962), ಲೋಕಲಿ ಫ್ಲಾಟ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಎರಡನೇ ಸರಣಿ, ಸಂಪುಟ. 75 (1962), ಪುಟಗಳು. 331-341. ಮಜೂರ್, ಬ್ಯಾರಿ. ಗೋಳಗಳ ಹುದುಗುವಿಕೆಗಳ ಮೇಲೆ. ಬುಲೆಟಿನ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, ಸಂಪುಟ. 65 (1959), ನಂ. 2, pp. 59-65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034. ಭೌಗೋಳಿಕ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರ