Square root of 5
5 ರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ 5 ರ ಪ್ರಧಾನ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತದ ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸರ್ಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅದರ ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೊದಲ ಅರವತ್ತು ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಕೆಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಇದನ್ನು 2.236 ನಿಂದ 99.99% ನಿಖರತೆಯೊಳಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಐದರ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು (≈ 2.23611) ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಕೇವಲ 72 ರ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಸರಿಯಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ (ಅಂದಾಜು. ). ಜನವರಿ 2022 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ದಶಮಾಂಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ 2,250,000,000,000 ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂದಾಜುಗಳು 5 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು, ಇದನ್ನು ಅದರ ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಧಾನಃ ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳು 2,9,38,161, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದಗಳು 1,4,17,72,. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಸಣ್ಣ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದಾಗ, ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು ಬಳಸುವಾಗ, th ಅಂದಾಜು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ th ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಮೂಲ ಶೋಧನೆಗಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ನವೀಕರಣವು ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಧಾನವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವು 1 ಮತ್ತು 1 ರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ. ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದ () ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಡುವಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ (ಆಯತದ ವಿಭಜನೆಗಳಾಗಿ ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ.) ನಂತರ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೂತ್ರಃ ಮತ್ತು (ಅಥವಾ ಮತ್ತು ನ ಗುಣಾಕಾರ), ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಸ್ಪರ, ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಲ್ಯೂಕಾಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆಃ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್ಗಳ ಸರಣಿಯು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಲ್ಯೂಕಾಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಕಿಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಲ್ಯೂಕಾಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶದ ಮಿತಿಯು ನೇರವಾಗಿ ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಡಿ. ಐ. ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಆಯತವನ್ನು ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಎರಡು ಸಮಾನ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಚೌಕಾಕಾರದ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಐದು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಾಗಿದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಗ್ರಿಡ್ ಆಗಿ ಉಪವಿಭಾಗ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಒಂದು ಚೌಕದಿಂದ ಚಿನ್ನದ ಆಯತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾದ ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ (ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದಿಂದ ಕರ್ಣೀಯ ಅನುಪಾತವು). ಒಂದು ಘನದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಮುಖಗಳು 1:2 ಆಯತವಾಗಿ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಘನದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಘನದ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಶೃಂಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಇರುವ ಕಡಿಮೆ ಅಂತರದ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವು. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಘನದ ಒಳಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಕಡಿಮೆ ದೂರವು ಘನ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಂಚಿನ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಪಾರ್ಶ್ವ ಅನುಪಾತ 1: ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತವನ್ನು ಮೂಲ-ಐದು ಆಯತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮೂಲ ಆಯತಗಳ ಸರಣಿಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಆಯತಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇವು ಚೌಕದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಹಿಂದಿನ ಮೂಲ ಆಯತದ ಕರ್ಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮೂಲ-5 ಆಯತವನ್ನು ಒಂದು ಚದರ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಮಾನವಾದ ಚಿನ್ನದ ಆಯತಗಳಾಗಿ (ಆಯಾಮಗಳ) ಅಥವಾ ವಿವಿಧ ಗಾತ್ರಗಳ (ಆಯಾಮಗಳ ಮತ್ತು) ಎರಡು ಚಿನ್ನದ ಆಯತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನವಾದ ಚಿನ್ನದ ಆಯತಗಳ (ಆಯಾಮಗಳ) ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿಯೂ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಛೇದನವು ಚೌಕವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ, ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ನಡುವಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಮೂಲ-5 ಆಯತವನ್ನು 1:2 ಆಯತದಿಂದ (ಮೂಲ-4 ಆಯತ) ಅಥವಾ ನೇರವಾಗಿ ಚೌಕದಿಂದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಚಿನ್ನದ ಆಯತಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಉದ್ದದ ಚಾಪವನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಂತೆ ಮತ್ತು, 5 ರ ವರ್ಗಮೂಲವು ನಿಖರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕೋನದ ಸೈನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ಗಳು ಸೇರಿವೆ, ಅವುಗಳ ಅಳತೆಯನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಆದರೆ 15 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದವು ಎಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣನೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅರ್ಧ-ಚದರ ಆಯತಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಪೆಂಟಗನ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಅಂಕಿಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜುಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜುಗಳಲ್ಲಿನ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ, ಕೆಲವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಂತಹ ಅಂದಾಜುಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸತತ ಒಮ್ಮುಖಗಳಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದರೂ ಹೊಂದುವ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತದ ಒಮ್ಮುಖಗಳು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಛೇದದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾದ ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸತತ ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಿಗಿಯಾದ ಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತ ಉಂಗುರವು ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಉಂಗುರವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಡೊಮೇನ್ ಅಲ್ಲ. 6ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ವರ್ತುಲದೊಳಗೆ ಎರಡು ಅಸಮಾನ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತೆ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ವೆಬರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಐದು ಮೂಲಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಏಕತೆಯ ಮೂಲಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಗುರುತುಗಳು ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ವಿವಿಧ ಗುರುತುಗಳಲ್ಲಿ 5 ರ ವರ್ಗಮೂಲವು ನಿರಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೋಜರ್ಸ್-ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಭಾಗವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿತುಃ 7 ಉಲ್ಲೇಖಗಳ 6 ವರ್ಗಮೂಲದ 3 ವರ್ಗಮೂಲದ 2 ವರ್ಗಮೂಲದ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತದ ವರ್ಗಮೂಲದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.