1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪದಗಳು ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡರ ಅನುಕ್ರಮ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವಾದ 1 ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವಾದ-2ರಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಇದು ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದು ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯು ν ಜೊತೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು 2-ಅಡಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಸರಣಿಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕ ವಾದಗಳಾದ ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಈ ವಿಭಿನ್ನ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು 1673ರಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು. ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಉತ್ತರಗಳು ತಪ್ಪಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಅವರು ವಾದಿಸಿದರುಃ ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಕೃತಿಯು ಎರಡನ್ನೂ ಅನುಮತಿಸದಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸರಣಿಯು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರು ಮರ್ಕೇಟರ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರು. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಒಂದು ಸರಣಿಯು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಸೇರಿಸದೆ ಸಮನಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಮನೋಭಾವವು 18ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ವೋಲ್ಫ್ 1712ರ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ, ವೋಲ್ಫ್ ಈ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಎಷ್ಟು ಸಂತೋಷಗೊಂಡನೆಂದರೆ, ಅವರು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಈ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉಪಾಂತ ಪದದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಅಥವಾ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ, ಮತ್ತು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಇಳುವರಿ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಅವರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇಷ್ಟು ದೂರಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದನ್ನು ತಡೆಯಿತು, ಮತ್ತು ಅವರು ವೋಲ್ಫ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳಿಂದ ಅಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬರೆದರು. ನೆರೆಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮ್ಮಬಲ್ ಸರಣಿಯ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಯಬೇಕು; ಅಂತಹ ಸರಣಿಯ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರು ವೋಲ್ಫ್ಗೆ ಮರುಪರಿಶೀಲಿಸುವಂತೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವರು "ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಯೋಗ್ಯವಾದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು". ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಗಳು ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ, ರೇಖೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಲರ್ ಸಾರಾಂಶ ತನ್ನ 1755 ರ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ನಲ್ಲಿ, ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಈಗ ಯೂಲರ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು, ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯನ್ನು ತಲುಪಿದರು. ನಂತರದ ಮೊತ್ತದಿಂದ, ಯೂಲರ್ ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದರು. ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಬಗೆಗಿನ ಅವರ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಇಂದು ಒಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ಯೂಲರ್ ಸಮ್ಮಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಯೂಲರ್ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಯೂಲರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಅನುಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆಃ a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,. ಮುಂದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಆಗ α0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, α1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, α2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, α3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8, ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮುಂದಕ್ಕೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಪ್ರತಿ n ಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಯೂಲರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಬೋರೆಲ್ ಮೊತ್ತವು ಸಹ; 1896ರಲ್ಲಿ ಎಮಿಲ್ ಬೋರೆಲ್ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಕಲನದ ಮಿತಿ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ, ಇದು 1−1 + 1−1 + ꯘꯥ-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಂತರ ಅವರ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿ. 1 + 2 + 4 + 8 + ꯘꯥ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿ ಪಿ-ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.