Categorical distribution
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯು (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆ, ಮಲ್ಟಿನೌಲಿ ವಿತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ವರ್ಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಹಜವಾದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕ್ರಮವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಲಗತ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, (ಉದಾ. 1 ರಿಂದ ಕೆ). ಕೆ-ಆಯಾಮದ ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯು ಕೆ-ವೇ ಘಟನೆಯ ಮೇಲೆ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಗಾತ್ರ-ಕೆ ಮಾದರಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಯು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 0 ರಿಂದ 1 ರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ 1 ಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯು ವರ್ಗೀಕರಣದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಾಗಿ ಬರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಡೈಸ್ನ ಸುರುಳಿಯಂತಹ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಾಗಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯು ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಇದು ಅನೇಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಒಂದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಭಾಷೆಯು ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ, ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು "ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸರಿಯಾಗಿ ವಿತರಣೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷಾ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಂತಹ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ವರ್ಗೀಯ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು "ವರ್ಗೀಯ ವಿತರಣೆ" ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದ್ದಾಗ "ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆ" ಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಖರವಲ್ಲದ ಬಳಕೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 1 ರಿಂದ K ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಬದಲು "1-ಆಫ್-K" ವಾಹಕವಾಗಿ (1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಅಂಶ ಮತ್ತು 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಾಹಕ) ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದೇ ವೀಕ್ಷಣೆಗೆ ಬಹುಪದ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ವರ್ಗೀಯ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷಾ ಸಂಸ್ಕರಣಾ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ಬಹುಪದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ) ಗಿಬ್ಸ್ ಮಾದರಿಯ ಕುಸಿತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಕುಸಿಯುತ್ತವೆ, ಬಹುನಾಮದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ಮಲ್ಟಿನೋಮಿಯಲ್ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವರ್ಗೀಕರಣ ನೋಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಡೊಮೇನ್ ಇರುವ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ನೋಡ್ಗಳ ಮಲ್ಟಿನೋಮಿಯಲ್-ಶೈಲಿಯ ಎಣಿಕೆಗಳ ಮೇಲೆ (ಬರ್ನೌಲಿ-ವಿತರಿಸಿದ ನೋಡ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ದ್ವಿಪದ-ವಿತರಿಸಿದ ನೋಡ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ). ಎರಡೂ ರೂಪಗಳು ಬಹಳ ಹೋಲುವ ಸಂಭವನೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (ಪಿ. ಎಂ. ಎಫ್. ಗಳು) ಹೊಂದಿವೆ, ಇವೆರಡೂ ಒಂದು ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದೀಯ-ಶೈಲಿಯ ನೋಡ್ಗಳ ಎಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಹುಪದೀಯ-ಶೈಲಿಯ ಪಿ. ಎಂ. ಎಫ್. ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಬಹುಪದೀಯ ಗುಣಾಂಕ, ಇದು ವರ್ಗೀಯ-ಶೈಲಿಯ ಪಿ. ಎಂ. ಎಫ್. ನಲ್ಲಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇವೆರಡನ್ನೂ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಬಡ್ಡಿಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಗಿಬ್ಸ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಅಂಶವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಕೆ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದು ವರ್ಗೀಕರಣದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಾಗಿ ಬರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ಜಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೇಬಲ್ಗಳಾಗಿ ಬಳಸುವ ನಿಖರವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ; ಅವು {0,1,., k−1} ಅಥವಾ {1,2,., k} ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ {1,2,., k} ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು {0,1} ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಬರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಒಪ್ಪುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯ f: ಎಲ್ಲಿ, ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ i ಮತ್ತು. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರೀಕರಣವೆಂದರೆ ಐವರ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ಅಲ್ಲಿ 1 ವೇಳೆ, 0 ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಹಲವಾರು ಪ್ರಯೋಜನಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. : ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ವರ್ಗೀಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಸುಲಭ. ಇದು ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಬಹುಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯು ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯ ಮೊದಲು ಏಕೆ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ವರ್ಗೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ವರ್ಗೀಯ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯ (ಮಾದರಿ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ನಿಯತಾಂಕ n ಅನ್ನು 1 ಎಂದು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ಜಾಗವನ್ನು 1-ಆಫ್-ಕೆ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳ x ಆಯಾಮ k ನ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅಂಶವು 1 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳು 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. 1ನೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶವು ಯಾವ ವರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯ f: ಇದು i ಮತ್ತು i ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಿಷಪ್ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ i:, i = 1,., k, ಎಲ್ಲಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿವೆ; k = 2 ಗೆ ಇದು ಬರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆಯು 1-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ವಿತರಣೆಯು "ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಬರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆಯ" ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ k 0-1 ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವಾಗಲಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕ Y ಅನ್ನು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಇಲ್ಲಿ I ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ Y ಒಂದು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗೀಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ Y ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ. n ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಪ್ರತಿ ವರ್ಗದ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಎಣಿಕೆಗಳ (ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅನುಪಾತ) ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (= n) ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಐವರ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾದ i ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರ್ನೌಲಿ ಪೂರ್ವಸಂಯೋಜಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಯತಾಂಕ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ, ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕ ವೆಕ್ಟರ್ p ನೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ) ನಾವು ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಪಡೆದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ ನಿಯತಾಂಕದ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯು ಸಹ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗಮನಿಸುವ ಮೊದಲು ನಿಯತಾಂಕದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಷಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಹಳೆಯದರಂತೆಯೇ ಅದೇ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಗಣಿತದ ತೊಂದರೆಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾಗದೆ, ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಯತಾಂಕದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಬಹುದು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ N ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ನೀಡಿದ ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನಿಯತಾಂಕ p ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಯೇಸಿಯನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ನಾವು ಹೈಪರ್ಪ್ರಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ α ಅನ್ನು ಸೂಡೋಕೌಂಟ್ಗಳಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವರ್ಗದ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತೆ. ನಂತರ ನಾವು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಹೊಸ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ (ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ) ಎಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ (ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ): ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವಿವಿಧ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ನೋಡುವ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಹಿಂದಿನ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಹುಸಿಗಣೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಆ ವರ್ಗದ ಘಟನೆಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ವರ್ಗಗಳಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಶೇಕಡ 40ರಷ್ಟು ಬಾರಿ 1ನೇ ವರ್ಗವು ಕಂಡುಬಂದರೆ, ನಂತರದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ 1 40% ವರ್ಗವನ್ನು ನೋಡಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. (ಈ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹಿಂಭಾಗವು ವಿತರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕವು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ನಿಜವಾದ ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 40:5:55 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ 3 ವರ್ಗಗಳು ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ನಿಜವಾದ ನಿಯತಾಂಕ-ಅಂದರೆ. ನಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ನಿಜವಾದ, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯು (0.40,0.05,0.55) ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹಿಂಭಾಗವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಜವಾದ ವಿತರಣೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ (0.35,0.07,0.58) ಅಥವಾ (0.42,0.04,0.54) ಅಥವಾ ಇತರ ಹತ್ತಿರದ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹಿಂಭಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಟ್ಟು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ-ಹೆಚ್ಚಿನ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ನಿಜವಾದ ನಿಯತಾಂಕದ ಬಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇರುತ್ತದೆ.) (ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವರ್ಗದ ಹಿಂದಿನ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತೆ ನೋಡಬೇಕು. ನಂತರ, ನವೀಕರಿಸಿದ ಹಿಂಭಾಗದ ನಿಯತಾಂಕವು ಹಿಂಭಾಗದ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ-ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, p ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ. ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಈ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು α ವಾಹಕವು ಸೂಡೋಕೌಂಟ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಹಿಂಭಾಗದ ಗಣಿತದ ನವೀಕರಣವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ.) ಎಂಎಪಿ ಅಂದಾಜು ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಪಿ ಯ ಗರಿಷ್ಠ-ಎ-ಪೋಸ್ಟೆರಿಯೋರಿ ಅಂದಾಜು ಕೇವಲ ಹಿಂಭಾಗದ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಐಗೆ ಹೊಂದಿಸಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಅವಲೋಕನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಅಂದರೆ. ಅವಲೋಕನಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯು, ಮುಂಚಿನ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರಿಸಿ) ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ಬಹುಪದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಈ ವಿತರಣೆಯು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಿಬ್ಸ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಅಥವಾ ವೇರಿಯೇಷನಲ್ ಬೇಯೆಸ್ನಂತಹ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಮಾದರಿಗಳ ಮೇಲೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಮುಂಚಿನ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ವಿತರಣೆಯ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಸ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಎನ್ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಅವಲೋಕನಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದ ಹೊಸ ವೀಕ್ಷಣೆಯು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ಬಹುಪದ ವಿತರಣಾ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಇದು ಬಹಳ ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಈ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನವುಗಳ ನಡುವೆ ವಿವಿಧ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆಃ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗವನ್ನು ನೋಡುವ ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಆ ವರ್ಗದ ಹಿಂದಿನ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಹಿಂದಿನ ಹುಸಿ-ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ). ಇದು ತಾರ್ಕಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ-ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಆ ವರ್ಗದ ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದ ಆವರ್ತನದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗವನ್ನು ನೋಡಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ "ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ನೋಡುವ ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಆ ವರ್ಗದ ಒಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿದ ಎಣಿಕೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ" ಅಥವಾ "ಒಂದು ವರ್ಗದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಎಣಿಕೆ ವರ್ಗದ ಒಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿದ ಎಣಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ "ಗಮನಿಸಿದ ಎಣಿಕೆ" ಯನ್ನು ಮೊದಲಿನ ಹುಸಿ-ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು p ಯ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರಣವು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದ ಮರುಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣಾ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯು ಮೂರನೆಯದಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂರನೆಯ ಸಾಲು ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೋಡುವ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ನಿಯತಾಂಕ ಪೈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲು ಸರಳವಾಗಿ ಬೇರೆ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತದೆ, ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗಮನಿಸುವ ಮತ್ತು ಹಿಂಭಾಗವನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವುದೇ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗವನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಆ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಇರುವ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವರ್ಗವು ಸಂಭವಿಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಹೊಸ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳು ಆ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ-ಅದೇ ವರ್ಗವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಶ್ರೀಮಂತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆದ್ಯತೆಯ ಲಗತ್ತು (ಅಥವಾ "ಶ್ರೀಮಂತರು ಶ್ರೀಮಂತರಾಗುತ್ತಾರೆ") ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನೇಕ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳು ಮಾಡಿದ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಉಳಿದ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಅತಿಯಾದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಬೀರುತ್ತವೆ. ಗಿಬ್ಸ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬೇಯ್ಸ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಗಳಿಂದ ಸೆಳೆಯಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಇತರರ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪ್ರಿಯರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗೀಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಾಲಗಳಲ್ಲಿ (ಉದಾ. ಮಿಶ್ರಣ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರಣ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಮಾದರಿಗಳು), ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಜಾಲಬಂಧದಿಂದ "ಕುಸಿಯುತ್ತವೆ" (ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ), ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪೂರ್ವದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ವಿವಿಧ ವರ್ಗೀಯ ನೋಡ್ಗಳ ನಡುವೆ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಒಂದು ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇತರರಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಒಂದು ವರ್ಗೀಕರಣ ನೋಡ್ನ ವಿತರಣೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಉಳಿದ ನೋಡ್ಗಳ ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನೋಡ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನೋಡ್ n ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗ i ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೋಡ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ವರ್ಗೀಕರಣ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ರೀತಿಯ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ "ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ" ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅಜ್ಞಾತ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ. ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಿತರಣೆಯ ಅಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ವರ್ಗಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಆದೇಶವನ್ನು ಹೇರಿರಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. 1 ರಿಂದ k ವರೆಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ, ಅಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ). ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ಯುಮುಲೇಟಿವ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಸಿಡಿಎಫ್) ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಇದನ್ನು O (k) ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೊದಲ ವರ್ಗದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯಃ 0 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಿಡಿಎಫ್ನಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡಿ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಈಗ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಒ (ಲಾಗ್ (ಕೆ)) ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬೈನರಿ ಸರ್ಚ್ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಿಡಿಎಫ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವರ್ಗವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸಿ. ಒಂದೇ ವರ್ಗೀಕರಣ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು O (n) ಸಮಯದಲ್ಲಿ n ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತದೆ (ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು O (1) ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ). ಫಂಕ್ಷನ್ ಡ್ರಾ _ ಕ್ಯಾಟೆರಿಕಲ್ (n)// ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ವರ್ಗೀಕರಣ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಸೆಳೆಯಬೇಕಾದ ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ r = 1 s = 0 i ಗೆ 1 ರಿಂದ k// ಅಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ v = ಒಂದು ದ್ವಿಪದ (n, p [i]/r) ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಸೆಳೆಯುತ್ತದೆ// ಅಲ್ಲಿ p [i] ಎಂಬುದು 1 ರಿಂದ v z [s + +] = i// ಗೆ ವರ್ಗ i ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ z ಎಂಬುದು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುವ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದು n = n-v r = r-p [i] ಷಫಲ್ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಮರು-ಕ್ರಮ) ಗುಂಬೆಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲಕ z ರಿಟರ್ನ್ z ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಣ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಾಫ್ಟ್ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗುಂಬೆಲ್ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಹೆಚ್ಚು ನೇರ ಮಾದರಿ ವಿಧಾನವಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗುಂಬೆಲ್ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಕೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಡ್ರಾ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗೀಕರಣ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಮಾದರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗುಂಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ.) ವರ್ಗೀಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿತರಣೆಗಳು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆ ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆ ಬರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವರ್ಗೀಯ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳು ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬ ವಿತರಣೆಗಳು