Median absolute deviation
(ಎಂ. ಎ. ಡಿ.) ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ; ಇದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಒಪ್ಪಂದವು ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಇದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನವು (ಎಂ. ಎ. ಡಿ.) ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಏಕರೂಪದ ಮಾದರಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ದೃಢವಾದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಮಾದರಿಯೊಂದರಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾದ ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸಹ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. X1, X2,., Xn ಎಂಬ ಏಕರೂಪದ ದತ್ತಾಂಶ ಸಮೂಹಕ್ಕೆ, MAD ಅನ್ನು ದತ್ತಾಂಶದ ಮಧ್ಯದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮಧ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಂದರೆ, ದತ್ತಾಂಶದ ಮಧ್ಯದಿಂದ ಉಳಿದಿರುವ (ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು) ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, MAD ಅವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (1,1,2,2,4,6,9). ಇದು 2 ರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 2ರ ಸುತ್ತ ಇರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (1,1,0,0,2,4,7) ಇವು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ 1ರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಏಕೆಂದರೆ ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (0,0,1,2,4,7)). ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ದತ್ತಾಂಶದ ಸರಾಸರಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನವು 1 ಆಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಂ. ಎ. ಡಿ ಒಂದು ದೃಢವಾದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕಿಂತ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೊರಗಿನವರಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಅಂತರಗಳು ವರ್ಗವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ವಿಚಲನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಭಾರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊರಗಿನವರು ಅದರ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಬಹುದು. ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಯಲ್ಲಿ, ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿವೆ. ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕಿಂತ ಎಂ. ಎ. ಡಿ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ದೃಢವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಕೌಚಿ ವಿತರಣೆಯಂತಹ ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಡೀವಿಯೇಷನ್ಗೆ ಸಂಬಂಧ ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಸರಾಸರಿಗಾಗಿ ಡೀವಿಯೇಷನ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರಂತೆಯೇ ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಅಂದಾಜುಗಾರನಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಅಂದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಪರಸ್ಪರ (ಕ್ಯುಮುಲೇಟಿವ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ವಿಲೋಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ 3/4 ವಾದವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ 50 ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು (1/4 ಮತ್ತು 3/4 ರ ನಡುವೆ) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಸ್ಕೇಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಎಂ. ಎ. ಡಿ ಅರ್ಧ-ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಮಾಧ್ಯಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದುಃ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಸಂಭಾವ್ಯ ದೋಷದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ (X + iY) ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ MAD ನ ಸಂಬಂಧವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯಮವನ್ನು (ಜಿ. ಎಂ.) ಮಾಧ್ಯಮವು ಹೇಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವಂತೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವ ಎಂ. ಎ. ಡಿ., ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಎನ್ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಜಿ. ಎಂ. (ಜಿ. ಎಂ. ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರದ ಮಧ್ಯಮ) ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು n ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು 1 ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಜಿ. ಎಂ. ಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆ ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಅನ್ನು ಮಾದರಿ ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಮಾದರಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಯು ವಿತರಣೆಯ 75ನೇ ಪ್ರತಿಶತವಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆ MAD ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೌಚಿ ವಿತರಣೆಯು ವಿವರಿಸಲಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ MAD 1 ಆಗಿದೆ. 1816ರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗಾಸ್ ಅವರು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅವಲೋಕನಗಳ ನಿಖರತೆಯ ನಿರ್ಣಯದ ಕುರಿತಾದ ಪ್ರಬಂಧವೊಂದರಲ್ಲಿ ಎಂ. ಎ. ಡಿ. ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಮುಂಚಿನ ಉಲ್ಲೇಖವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ವಿಚಲನ (ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು) ಇಂಟರ್ಕ್ವಾರ್ಟೈಲ್ ಶ್ರೇಣಿ ಸಂಭವನೀಯ ದೋಷ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಲವಾದ ಕ್ರಮಗಳು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸರಾಸರಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಾಸರಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಬಲವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು