Complete set of invariants
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸಮೂಹವು ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ (ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದವರೆಗೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸೆಟ್ಗಳು), ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ, ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೂಹವು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನಂತಹ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಾನ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಗೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮಾನತೆಯು ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತಾಗಿದೆ; ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪೊಂದು ಈ ರೀತಿಯ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇವುಗಳ ಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನತೆಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದುಃ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ನಾಣ್ಯವರಣಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ (ಸಮಾನತೆ ವರ್ಗಗಳು, ಕಕ್ಷೆಗಳು), ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪೊಂದು ನಾಣ್ಯವರಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ನಾಣ್ಯವರಣಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ). ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮುಚ್ಚಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (ಅಥವಾ ಕುಲ) ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಸಂಯೋಗದವರೆಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಗುಣಾಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ) ಅಲ್ಲ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗ್ರಹಿಕೆಯು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೂಹವು ತಕ್ಷಣವೇ ವರ್ಗೀಕರಣ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲಃ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ, ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಗಣಿತೀಯ ಪರಿಭಾಷೆಯ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು.