Hartman–Grobman theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ಟ್ಮನ್-ಗ್ರೋಬ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು-ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಳೀಕರಣ-ನಡವಳಿಕೆಯ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಫಿಲಿಪ್ ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಎಮ್. ಗ್ರೋಬ್ಮನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪವಿರುವ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಈ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಅದರ ರೇಖೀಕರಣದ ನಡವಳಿಕೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಸಿಟಿ ಎಂದರೆ ರೇಖೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ಸಮತೋಲನದ ಸುತ್ತ ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಳ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ಕೆಲವು ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈಗ ನಕ್ಷೆಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಅಂದರೆ, ಅಟ್ ಸ್ಟೇಟ್ನ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನೈಜ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಸಮತೋಲನ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಹರಿವು ಅದರ ರೇಖೀಯತೆಯ ಹರಿವಿಗೆ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೂ ಸಹ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮೃದುವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕೂಡ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಸಿಟಿಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲ್ಡರ್ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಟ್ಮನ್-ಗ್ರಾಬ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ಸ್ವಾಯತ್ತವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯದ ನೈಜ-ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಸಂಭವಿಸುವ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ವಾಯತ್ತ ಅಥವಾ ಸ್ವಾಯತ್ತವಲ್ಲದ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಸಮನ್ವಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವೆಬ್ ಸೇವೆಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಯುಗ್ಮಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ 2ಡಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನೇರ ಗಣನೆಯ ಮೂಲಕ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಏಕೈಕ ಸಮತೋಲನವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್, ಇಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಮೂಲದಲ್ಲಿನ ಸಮತೋಲನದ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅದರ ರೇಖೀಕರಣಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ, ರೇಖೀಕರಣದ ವಿಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲೀನಿಯರ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್ ಸ್ಟೇಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಥಿಯೋರಮ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್ಗಳು