Skew lattice
ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯು ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಜಾಲರಿಯ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದರೂ, 1989 ರಿಂದ ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಎರಡು ಸಹವರ್ತಿ, ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೀಟ್ ಮತ್ತು ಜಾಯಿನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುರುತುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ವೇಳೆ, ವೇಳೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆಯು 60 ವರ್ಷಗಳಿಗೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ, ಜಾಲರಿಗಳ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರೇರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ ಈ ಪ್ರೇರಣೆಯು ಜಾಲರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಇತರರಿಗೆ ಇದು ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ರೂಪಗಳ ಹುಡುಕಾಟವಾಗಿತ್ತು; ಮತ್ತು ಇತರರಿಗೆ ಇದು ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಯು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವು ಸಂಯೋಜಕ, ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ನಿಖರವಾದ ಗುರುತುಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಪ್ರೇರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧದ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ತರ್ಕದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ಯಾಸ್ಕುವಲ್ ಜೋರ್ಡಾನ್, ತನ್ನ 1949 ರ ಪ್ರಬಂಧವಾದ über Nichtkommutative verbände ನಲ್ಲಿ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಹಲವಾರು ವಿಧದ ವಿನಿಮಯಶೀಲವಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು. ಜೊನಾಥನ್ ಲೀಚ್ ಅವರ 1989 ರ ಪ್ರಬಂಧದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳು, ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳು ಅಧ್ಯಯನದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿವೆ. ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದ್ದವು. ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅನೇಕ ಮೂಲಭೂತ ಆಸ್ತಿಗಳ ವಿಷಯವಾಗಿತ್ತು. ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವು ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಇಫ್, ಅಥವಾ ದ್ವಿಮುಖವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಆದೇಶವನ್ನು ಇಫ್ ಅಥವಾ ಡ್ಯುಯಲ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಷ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರೇಪಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು, ಇಫ್, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಅಥವಾ ದ್ವಿಮುಖವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಇಫ್ ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಜಾಲರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿಯಂತಹ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅದು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಡ್ಯಾಶ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಓರೆಯಾದ ರೇಖೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ಗಗಳ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂಶಗಳು, ಮತ್ತು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್-ವರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಏಕ-ವರ್ಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಆಯತಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ, ಮತ್ತು. ಆಯತಾಕಾರದ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿವೆ (ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ): ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು. ಮೇಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಯ-ವರ್ಗದ ವಿಭಜನೆಯು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಆಯತಾಕಾರದ ಉಪಅಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರೇರಿತ ಅಂಶ ಬೀಜಗಣಿತವು ಗರಿಷ್ಠ ಜಾಲರಿಯ ಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ಉಪಅಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಜಾಲಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್-ಮೆಕ್ಲೀನ್ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಲೀನ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ ನೀಡಿದರು. ಇದನ್ನು ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೊದಲ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಗೈ (ಎಡಗೈ) ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಿಮುರಾ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಒಂದು ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿ ಅದು ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ದ್ವಿಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಲಗೈ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುರುತುಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿ ವರ್ಗದಲ್ಲೂ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲಗೈ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಎರಡೂ ಮತ್ತು (ಅಥವಾ ದ್ವಿಮುಖವಾಗಿ, ಮತ್ತು) ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಒಂದು ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಯು ಪ್ರತಿ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಎಡಗೈ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯ ಗರಿಷ್ಠ ಎಡಗೈ ಚಿತ್ರವು ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬಲಗೈ ಅಥವಾ ಎಡಗೈ ಆಗಿವೆ. ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಇದು ಗುರುತಿನ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರೇರಿತ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡರ ಮೂಲಕ ಪ್ರೇರಿತ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಂಶಗಳು. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಗೈ ಚಿತ್ರಗಳ ನಾರಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಿಮುರಾ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್-ಮೆಕ್ಲೀನ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆಯೇ, ಕಿಮುರಾ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವನ್ನು (ಅಥವಾ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಎರಡನೇ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ) ಮೊದಲು ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ (ಮಧ್ಯಮ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು) ನೀಡಲಾಯಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇವೆರಡೂ ನಿಯಮಿತವಾದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮೇಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೂಲ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳ ಉಪವಿಧಗಳು ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು, ಎಡಗೈ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೂಲ ರಚನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಇವೆ. ಸಮಮಿತೀಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ಒಂದು ವಕ್ರ ಜಾಲರಿ ಎಸ್ ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅಂತಹ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಹನದ ಘಟನೆಗಳು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸಂವಹನ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ಗಳು. (ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) ಈ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ಸ್ಪಿಂಕ್ಸ್ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ನೆಲೆಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಮತ್ತು. ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯ ಜಾಲರಿ ವಿಭಾಗವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವರ್ಗದ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವ ಒಂದು ಉಪ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಸಂಯೋಜನೆಯು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಜಾಲರಿಯ ಆಂತರಿಕ ನಕಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ಜಾಲರಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ, ಜಾಲರಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಆಂತರಿಕ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಹೀಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಅವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಹಿಂದಿನ ಕಿಮುರಾ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಯಾಣದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾನ್ಸಲೇಟಿವ್ ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಒಂದು ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಂದಾದರೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾನ್ಸಲ್ಲಟೈಸ್ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಜಾಲರಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಅವು ವಿತರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿತರಣಾ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಗುರುತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ (ಡಿ1) (ಡಿ1) ಜಾಲರಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, (ಡಿ1) ಮತ್ತು (ಡಿ1) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (ಡಿ1) (ಡಿ2) ಗೆ ಬಲಪಡಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಡಿ1) ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯು ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿ ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರದ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ (ಡಿ2) ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ವಿಗುಣ ಎರಡನ್ನೂ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಡಿ2) ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಗೆ ಬಲಪಡಿಸಬಹುದು. (ಡಿ3) ಸ್ವತಃ, (ಡಿ3) ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ (ಡಿ2) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ (ಡಿ1), (ಡಿ2), (ಡಿ3) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳ ಆರು ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮೇಲೆ ನೋಡಿದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು, ಮತ್ತು ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಬಲವಾದ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೂ, {} ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ {} ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೆಟ್, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಒಂದು ಉಪ ಜಾಲಿಯಾಗಿದೆ. (ಹೀಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಜಾಲರಿಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಎರಡೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದಾಗ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿ ಜಾಲರಿ ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರದ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಜಿತ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ಎರಡೂ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವಿತರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದರಿಂದ, ಅದು ವಿತರಣಾ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು (ಡಿ3) ವಿವಿಧ ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ವಿತರಣಾ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವರ್ಗೀಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳು ಈ ವಿಧದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ, ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ. ಒಬ್ಬರು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಕಾಂಪೋಸಿಟ್ ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು a-ಕೊಸೆಟ್ನಿಂದ a-ಕೊಸೆಟ್ನವರೆಗಿನ ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಅದು. ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವು ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಕ್ಯೂ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳು ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಸ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶವು ಎಸ್ ನ 0 ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಅಥವಾ, ದ್ವಿಮುಖವಾಗಿ, (0) ಬೂಲಿಯನ್ ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ 0 ರೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ವಿತರಣಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಬೂಲಿಯನ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಆಗಿದೆ ಅಂತಹ ಸ್ಕ್ಯೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು x\y = ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ವಕ್ರವಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು 0 ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು 0-ಅಲ್ಲದ ಡಿ-ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ವಕ್ರ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ (0) ಮೂಲಕ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು 0ಅನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ರಾಚೀನ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಉಪ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬೂಲಿಯನ್ ನಡವಳಿಕೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೇಟರ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಸ್ಕ್ಯೂ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳು ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಆದರೆ ಸಹವರ್ತಿ ಕೂಡ. ಒಂದು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತು ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದರೆ, ಅದು ವಿತರಣಾ, ರದ್ದತಿ ವಕ್ರ ಜಾಲಕವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗರಿಷ್ಠವಾದವುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸರಿಯಾದ ನಿಯಮಿತ (=) ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಕೆಳಗೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲಗೈ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಬಲ ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಬಲಗೈ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಎಡ ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ (ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳು) ಸಹ ದ್ವಂದ್ವ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಗರಿಷ್ಠ ನಿಯಮಿತ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಗುಣಾಕಾರದ ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಿ ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ. ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಿಂದ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಕೆಳಗೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಬೂಲಿಯನ್ ಸ್ಕ್ಯೂ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಮುಚ್ಚಿದಾಗ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಬೂಲಿಯನ್ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ವಕ್ರವಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು. ಎ ಒಂದು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸ್ಥಿತಿಯು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಣೆಯ ಉತ್ತಮ ಮೂಲವಾಗಿ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಡಿ-ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಾಚೀನ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯನ್ನು-ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು, ಉಪಗುಂಪುಗಳಾದ {} ಮತ್ತು {} ಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, Bಯಲ್ಲಿ Aಯ ಕೊಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು Aಯಲ್ಲಿ Bಯ ಕೊಸೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೊಸೆಟ್ಗಳು ಬಿ ಮತ್ತು ಎ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ. ಕೋಸೆಟ್ಟುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ತಮ್ಮ-ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ಉಪಗಣಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವು ಐಎಫ್ಎಫ್, ಫಾರ್ ಮತ್ತು ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ಗಗಳ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಕೊಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ವೆಚ್ಚದ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರಃ ಮತ್ತು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೀಡಲಾದ ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ-ಕೊಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ-ಕೊಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್, ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರ ಜೋಡಿಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಚೀನ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯ ಅಂಶಗಳು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಪ್ರಾಚೀನ ಚಿತ್ರಗಳ ನಾರು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬಲಗೈ ಪ್ರಾಚೀನ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಿ. ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಆನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು; ಆದರೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಜೀವಕೋಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಜೀವಕೋಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ವಿವಿಧ ಕಾಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳು. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಶಃ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಣಗಳು-ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಒಬ್ಬರು ಎಡಗೈ ಪ್ರಾಚೀನ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಬಲ [ಎಡ] ಕೈಗಳ ಪ್ರಾಚೀನ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಈ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳ ಕೊಸೆಟ್ ರಚನೆಯು ಆಯತಾಕಾರವಲ್ಲದ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಾಚೀನ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿದೆಃ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ-ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಂತಹ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಾಚೀನ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ-ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಾಚೀನ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೊಸೆಟ್ ರಚನೆಗಳು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಗ್ಗೂಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಇದು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೊಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ-ಹೋಲಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ನೇರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿ-ಕ್ಲಾಸ್ ಜೆ ಅನ್ನು ಸೇರುವ ಮತ್ತು ಡಿ-ಕ್ಲಾಸ್ ಅನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡುವ ಎರಡು ಹೋಲಿಸಲಾಗದ ಡಿ-ಕ್ಲಾಸ್ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಜೆ (ಅಥವಾ ಎಂ) ನ ಎರಡು ಕೋಸೆಟ್ ವಿಭಜನೆಗಳ ನಡುವೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಗಳ ಕೊಸೆಟ್ ಅಟ್ಲಾಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಜಾಲರಿ ಮತ್ತು ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನಡುವಿನ ಭಾಗಶಃ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನುಗುಣವಾದ ಜೋಡಿ ಕೊಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಓರೆಯಾದ ಜಾಲರಿಯ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಕ್ರಮದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. (ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗ 3ರಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.) ಡಿ-ವರ್ಗಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಮೂರು ಸೆಟ್ಗಳ ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆಃ ಎ ಯಿಂದ ಬಿ, ಬಿ ಯಿಂದ ಸಿ ಮತ್ತು ಎ ಯಿಂದ ಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು, ಭಾಗಶಃ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಖಾಲಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಅದು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. (ಮತ್ತೆ, ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕೊಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ.) ಈ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರಬಹುದು. ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ವಕ್ರ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನೀಡಲಾಗಿರುತ್ತದೆ) ನಿಖರವಾಗಿ ಎಸ್ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದಾಗ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಆಯತಾಕಾರದ ಡಿ-ವರ್ಗದ ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಡಿ-ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ಪಕ್ಕದ ಖಾಲಿ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಸೆಟ್ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗ 3ರಲ್ಲಿರುವ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ