Content (measure theory)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಿಷಯವು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ವಿಷಯವು ಅಳತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಎರಡನೆಯದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರಬೇಕು, ಮೊದಲನೆಯದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ರಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸೆಮಿರಿಂಗ್ಗಳು ಅಥವಾ ಉಂಗುರಗಳ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ವಿಷಯವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ σ-ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಪೂರ್ವ-ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಲ್ಲದೆ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು (ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ) ಅಳತೆಯು ಒಂದು ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ವಿಷಯಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಉತ್ತಮ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿ ವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕ್ರಮಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಉತ್ತಮ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಧ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ಅವುಗಳ ವಿಷಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ, ಈ ವಿಷಯವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ σ-ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಮತ್ತಷ್ಟು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವ-ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಗಾಗಿ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. σ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಳತೆಯಲ್ಲದ ವಿಷಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಅನಂತವಾಗಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿರುವ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಆದರೆ ಅಳತೆಯಲ್ಲದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿಷಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಬಹುದು. ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ 1 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದ "ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ" ವನ್ನು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ನೀಡಿದರೆ, ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. (ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹಾನ್-ಬನಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.) ನಂತರ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ವಿಷಯವು ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ 0 ಆಗಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಪಗುಂಪಿನ ವಿಷಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಈ ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ "ಅವಕಾಶ" ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು (ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ). ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಗ್ರಹಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ವಿಫಲವಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಸೆಮೀರಿಂಗ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಮೀರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದುಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಷಯವು ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ವಿಷಯವು ಸಬ್ಅಡಿಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಆನ್ ರಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆಃ ಸಬ್ಟ್ರಾಕ್ಟಿವಿಟಿಃ ಅದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಸಬ್ಅಡಿಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ-ಸೂಪರ್ಅಡಿಟಿವಿಟಿಃ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜಾಗದ ಒಟ್ಟು ವಿಷಯವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಿದ ಏಕೀಕರಣದ ಉತ್ತಮ ನಡವಳಿಕೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯಿದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಜಾಗದ ಒಟ್ಟು ವಿಷಯವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ, ವಾಸ್ತವದ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗದ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವು ವಿಷಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯಾಸಗಳು 0 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ಗಳು ಅದು ಕೆಲವು ಜಾಗದ ಮೇಲಿನ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬೌಂಡೆಡ್ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು. ಈ ಸ್ಥಳದ ದ್ವಿಗುಣದ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅದೇ ರೀತಿ ಒಬ್ಬರು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಅಗತ್ಯವಾದ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಳದ ದ್ವಿಗುಣದ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ವಿಷಯಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಳತೆ 0 ರ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಷಯದಿಂದ ಅಳತೆಯ ನಿರ್ಮಾಣ ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ವಿಷಯದಿಂದ ಅಳತೆಯೊಂದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಈ ವಿಭಾಗವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಅಳತೆಯು ವಿಷಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಷಯವು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೀಯವಾಗಿರಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ವಿಷಯವು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅಳತೆಯು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಮೊದಲು ವಿಷಯವನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ ವಿಷಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೂ ಇವೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಹರ್ ಅಳತೆಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಗುಂಪಿನ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನಂತೆ ಎಡ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಎಡ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಅಳತೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೇಲಿನಂತೆ λ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಬೇರೆಯಾದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕಾಗಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೇಲಿನಂತೆ ನೀಡಿದಂತೆ, ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತಾರಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಇದು ಬಾಹ್ಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ. ಒಂದು ಅಳತೆಯ ರಚನೆ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಮೇಲೆ ಹೊರಗಿನ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊರಗಿನ ಅಳತೆಗಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾದಾಗ ಇದು ಒಂದು ಅಳತೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದು, ಜಾಗವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಳತೆಗೆ ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು. ಈ ಅಳತೆಯು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿರುವ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ಗೆ ಅವುಗಳ ಒಳಾಂಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮಾಹಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಸಮೂಹಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳು