Sample mean and covariance
ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ (ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ) ಅಥವಾ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸರಾಸರಿ (ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸರಾಸರಿ), ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಗಳು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ದತ್ತಾಂಶದ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಎಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ (ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ), ಅಲ್ಲಿ "ಜನಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂಬುದು ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ಚೂನ್ 500 ರಿಂದ 40 ಕಂಪನಿಗಳ ಮಾರಾಟದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡುವ ಬದಲು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಎಲ್ಲಾ 500 ಕಂಪನಿಗಳ ಮಾರಾಟ. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಅಂದಾಜುಗಾರನಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಡೀ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ಅಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂದಾಜು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರಬಹುದು. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾದರಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುವಾಗ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಾಹಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು "ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಫಾರ್ಚೂನ್ 500 ಕಂಪನಿಗಳ ಮಾದರಿಯ ಮಾರಾಟ, ಲಾಭ ಮತ್ತು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಕೇವಲ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಇರುತ್ತದೆ. 3 ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಇದು 3x3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅಂದಾಜುಗಾರರಾಗಿ ಮಾದರಿ ವಿಧಾನದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂದಾಜಾಗಿಯೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸುಲಭತೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಎಂದರೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ, ಇದು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಮೇಲಿನ N ಅವಲೋಕನಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯನ್ನು (1,4,1) ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ (1,1,3,4,0,2,1,0), ನಂತರ ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ. ಒಂದು ಮಾದರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅದು ವಿರಳವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಮಾದರಿಗಳು ಒಂದೇ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಂದ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಇತರ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾದರಿಯು (2,1,0) 1ರ ಸರಾಸರಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಅವಲೋಕನವು ಆ ಕೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಒಟ್ಟಾರೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಗೆ ಕೆ ಮಾದರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಜೆಥ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ಜೆ = 1,., ಕೆ) ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಅವಲೋಕನ (ಐ = 1,., ಎನ್) ಆಗಿರಲಿ. ಈ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಎನ್ ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕೆ × 1 ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕವು ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳ i-th ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (i = 1,., N). ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮೀನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಜೆ-th ಅಂಶವು ಜೆಥ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಎನ್ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ವೀಕ್ಷಣಾ ವಾಹಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ವೀಕ್ಷಣಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಕೆ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಎನ್ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದರ ವಾಹಕದಿಂದ N ಆಗಿದೆ. ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸಾಲುಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ, ಈಗ ಅದು 1 × ಕೆ ರೋ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎನ್ × ಕೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕಾಲಮ್ ಜೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಜೆ ಮೇಲೆ ಎನ್ ಅವಲೋಕನಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ಸೂಕ್ತ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸಸ್ಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವಾಹಕಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯು ಕೆ. ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಸಾಲು ವಾಹಕದ ಜೆಥ್ ಅಂಶವು (ಜೆ = 1,., ಕೆ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೆಸೆಲ್ನ ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ರೂಪಾಂತರದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಛೇದದಲ್ಲಿದೆಃ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಪ್ರತಿ ವೀಕ್ಷಣೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿ ವೀಕ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೋಲಿಕೆಯ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜು ಛೇದದಲ್ಲಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳು) ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳು) ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಏಕೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ಕೂಡ ಛೇದದಲ್ಲಿ N ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 1/N ನಿಂದ 1/(N−1) ಅನುಪಾತವು ದೊಡ್ಡ N ಗೆ 1 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾದರಿಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ಸುಮಾರು ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಯ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಾರನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ "ಉತ್ತಮ" ಅಂದಾಜುಗಾರನನ್ನು ದಕ್ಷ ಮತ್ತು ಪಕ್ಷಪಾತರಹಿತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಜವಾದ ಸರಾಸರಿಯ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದರಿಂದ ಅಂದಾಜುದಾರನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಲಾರನು. ಹೀಗಾಗಿ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಸ್ಥಿರವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಜೆಥ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೇಲಿನ ಎನ್ ಅವಲೋಕನಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಾಗಿ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ವಿತರಣೆಯು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಅಥವಾ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ μ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ (ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮಾದರಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ) ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುದಾರನನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುದಾರ). ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಸ್ಥಿರವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವ ಸದಸ್ಯರ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. n ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವಲೋಕನಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಾಗಿ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾದರಿಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸೂಡೊರೆಪ್ಲಿಕೇಶನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ವಿಶೇಷ ಕಾಳಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸದಿದ್ದರೆ, n ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು σ2/n <+ φ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ತೂಕದ ಮಾದರಿಗಳು ತೂಕದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ವಾಹಕಕ್ಕೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್) ಒಂದು ತೂಕವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, ತೂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿಃ (ಅವು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ತೂಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ). ಎಲ್ಲಾ ತೂಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ (ಪಕ್ಷಪಾತದ) ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಮರ್ಶೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ದೃಢವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಅವು ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ದೃಢತೆಯು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ದೃಢವಾದ ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪರಿಮಾಣ-ಆಧಾರಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಾದ ಸ್ಥಳಕ್ಕಾಗಿ ಮಾದರಿ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣಕ್ಕಾಗಿ ಇಂಟರ್ಕ್ವಾರ್ಟೈಲ್ ಶ್ರೇಣಿ (ಐಕ್ಯೂಆರ್). ಇತರ ಪರ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಟ್ರಿಮ್ಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ವಿನ್ಸೋರೈಸಿಂಗ್ ಸೇರಿವೆ, ಟ್ರಿಮ್ಡ್ ಮೀನ್ ಮತ್ತು ವಿನ್ಸೋರೈಸ್ಡ್ ಮೀನ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ. ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂದಾಜು ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳು ಸಾರಾಂಶ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯು-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು