Construction of t-norms
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಗಳು ನೈಜ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [0,1] ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಗಳ ವಿವಿಧ ರಚನೆಗಳು, ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅಥವಾ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗಗಳ ಸಮೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಥವಾ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕದ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲು. ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ನಿಯತಾಂಕ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಅಥವಾ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಮೊತ್ತಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಹಿನ್ನೆಲೆಯನ್ನು ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಸ್ ಕುರಿತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಕೆಲವು ತಿಳಿದಿರುವ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಸೇರ್ಪಡೆ ಅಥವಾ ಗುಣಾಕಾರ) ಟಿ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಯೂನರಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಜನರೇಟರ್) ಬಳಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಲ್ಲದ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಸೂಡೋ-ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ f: [a, b] → [c, d] ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಎರಡು ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ನಡುವಿನ ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಅಡಿಟಿವ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಗಳ ರಚನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆಃ f: [0,1] → [0, + ≤] f (1) = 0 ಮತ್ತು f (x) + f (y) f ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ f (0 +) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ [0,1] ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x, y ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ T (x, y) = f (-1) (f (x) + f (y)) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ T: [0,1] 2 → [0,1] ಕಾರ್ಯವು t-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸೂಡೋ-ಇನ್ವರ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ಶೇಷವನ್ನು ನಂತರ ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಬೈರೆಸಿಡ್ಯುಮ್. 0 ರಲ್ಲಿ ಬಲ-ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ f ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಂತರದ ರಚನೆಯಿಂದ t-ನಾರ್ಮ್ T ಉಂಟಾದರೆ, f ಅನ್ನು T ಯ ಸಂಯೋಜಕ ಜನರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ [0,1] ರಲ್ಲಿ x ಗೆ f (x) = 1-x ಕಾರ್ಯವು Îukaseevicz t-ನಿಯಮದ ಸಂಯೋಜಕ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. 0 <x ≤ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ f (x) =-log (x) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು f (0) = + ≤ ಉತ್ಪನ್ನ t-ಮಾನದಂಡದ ಸಂಯೋಜಕ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದೆ. 0 ≤ x <1 ಮತ್ತು f (1) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ f (x) = 2-x ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರ t-ಮಾನದಂಡದ ಸಂಯೋಜಕ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜಕ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ f: [0,1] → [0, + φ] ಎಂಬುದು ಟಿ-ನಾರ್ಮಲ್ ಟಿ ಯ ಸಂಯೋಜಕ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿರಲಿ. ಎಫ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಟಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. f (0) = + φ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ T ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. (0,1) ರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು, f (0) <+ ≤ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, T ಯ ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ f ನ ಗುಣಾಕಾರವು ಟಿ. ಟಿ ಯ ಸಂಯೋಜಕ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. (ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವು ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜಕ ಉತ್ಪಾದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.) ಗುಣಾಕಾರದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ [0, + ν] ಮೇಲೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು [0,1] ಮೇಲೆ ಗುಣಾಕಾರದ ನಡುವಿನ ಸಮರೂಪತೆಯು ಟಿ-ಮಾನದಂಡದ ಸಂಯೋಜಕ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ನಡುವೆ ದ್ವಿಮುಖ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. f ಒಂದು t-ನಾರ್ಮಲ್ T ಯ ಸಂಯೋಜಕ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದ್ದರೆ, h: [0,1] → [0,1] ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ h (x) = e −f (x) ಎಂಬುದು T ಯ ಗುಣಾಕಾರ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, h ಅನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುವಂತಹ h ಕಾರ್ಯವು h (1) = 1h (x)·h (y) ಎಂಬುದು h ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ 0 ಅಥವಾ h (0 +) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, [0,1] h ನಲ್ಲಿ y ಎಂಬುದು 0 T (x, y) = h (−1) (h (x)·h (y) ನಲ್ಲಿ ಬಲ-ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, h ಎಂಬುದು Tಯ ಗುಣಾಕಾರ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದ್ದರೆ, f: [0,1] → [0, + ≤] ಇದನ್ನು f (x) = − log (h (x)) ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು Tಯ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ Tp (x, y) ≤ Tq (x, y) ಆಗಿದ್ದರೆ p ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ t-ಮಾನದಂಡಗಳ Tp ಕುಟುಂಬವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, p ≤ q (ಅದೇ ರೀತಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಲು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು). ನಿಯತಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ p0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿಯತಾಂಕ p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ t-ಮಾನದಂಡಗಳ Tp ಕುಟುಂಬವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶ್ವೈಜರ್-ಸ್ಕ್ಲಾರ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮಸ್ 1960ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬರ್ಥೋಲ್ಡ್ ಶ್ವೈಜರ್ ಮತ್ತು ಅಬೆ ಸ್ಕ್ಲಾರ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಶ್ವೈಜರ್-ಸ್ಕ್ಲಾರ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮಸ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎ ಶ್ವೈಜರ್-ಸ್ಕ್ಲಾರ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮನ್ ಅನ್ನು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು p> − φ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು p <+ φ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು − φ <p ≤ 0 (p = −1 ಇದು ಹಮಾಚೆರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ) 0 <p <+ ≤ (p = 1 ಇದು ಲುಕಾಸಿವಿಕ್ಜ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್). ಕುಟುಂಬವು p ≤0 ಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು [− ≤, + ≤] ನಲ್ಲಿ p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. 1970ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಹೋರ್ಸ್ಟ್ ಹ್ಯಾಮಚೆರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಹ್ಯಾಮಚೆರ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು 0 ≤ ಪಿ ≤ + ≤ ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯತಾಂಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹ್ಯಾಮಚೆರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಮಾಚೆರ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರುವ ಏಕೈಕ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಹಮಾಚೆರ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪಿ <+ φ (ಪಿ = 1 ಗೆ ಇದು ಉತ್ಪನ್ನ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ). 1970ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಎಂ. ಜೆ. ಫ್ರಾಂಕ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಫ್ರಾಂಕ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು 0 ≤ ಪಿ ≤ + ≤ ಗೆ ನಿಯತಾಂಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಪಿ <+ ≤ ಆಗಿದ್ದರೆ ಫ್ರಾಂಕ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1980ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ರೊನಾಲ್ಡ್ ಆರ್. ಯಾಗರ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಯಾಗರ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು 0 ≤ ಪಿ ≤ + ≤ ಗೆ 0 <ಪಿ <+ ≤ (ಪಿ = 1ಕ್ಕೆ ಇದು ಲುಕಾಸಿವಿಕ್ಜ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಯಾಗರ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕುಟುಂಬವು p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. 0 <p <+ ν ಗೆ ಯಾಗರ್ t-ಮಾನದಂಡವು ಅದರ ಸಂಯೋಜಕ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು p ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲುಕಾಸಿವಿಕ್ಜ್ t-ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. 0 <p <+ ν ಗೆ ಸಂಯೋಜಕ ಜನರೇಟರ್ ಅಕ್ಸೆಲ್-ಅಲ್ಸಿನಾ t-ಮಾನದಂಡಗಳು. 1980 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಜಾನೊಸ್ ಅಕ್ಸೆಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲೌಡಿ ಅಲ್ಸಿನಾ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಅಕ್ಸೆಲ್-ಅಲ್ಸಿನಾ t-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು 0 ≤ p ≤ + ν ಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕುಟುಂಬವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. 0 <p <+ φ ಗೆ ಅಕ್ಸೆಲ್-ಆಲ್ಸಿನಾ t-ಮಾನದಂಡವು ಉತ್ಪನ್ನ t-ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಅದರ ಸಂಯೋಜಕ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು p ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. 0 <p <+ φ ಗೆ ಸಂಯೋಜಕ ಜನರೇಟರ್ ಡೊಂಬಿ t-ಮಾನದಂಡಗಳು. ಜೋಸೆಫ್ ಡೊಂಬಿ (1982) ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಡೊಂಬಿ t-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು 0 ≤ p ≤ + ≤ ಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕುಟುಂಬವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. 0 <p <+ ν ಗೆ ಡೊಂಬಿ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವು ಹಮಾಚೆರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಟಿ-ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಅದರ ಸಂಯೋಜಕ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು p ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. 0 <p <+ ν ಗೆ ಸಂಯೋಜಕ ಜನರೇಟರ್ ಸುಜೆನೊ-ವೆಬರ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳು ಸುಜೆನೊ-ವೆಬರ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು 1980 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸೀಗ್ಫ್ರೈಡ್ ವೆಬರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು; ಡ್ಯುಯಲ್ ಟಿ-ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ 1970 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಿಚಿಯೊ ಸುಜೆನೊ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದನ್ನು −1 ≤ p ≤ + ≤ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಸುಗೆನೋ-ವೆಬರ್ t-ಮಾನದಂಡವು −1 <p <+ ≤ (p = 0 ಗೆ ಇದು Îukaseevicz t-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕುಟುಂಬವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. 0 <p <+ φ [sic] ಗೆ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಉತ್ಪಾದಕವು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮೊತ್ತವು t-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕುಟುಂಬದಿಂದ t-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ [0,1] ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ಕುಗ್ಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಘಟಕ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ t-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆಃ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ i ಗೆ Ti ಎಂಬುದು t-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಲಿ ಮತ್ತು (ಎಐ, ಬಿಐ) [0,1] ನ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುವ (ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ) ತೆರೆದ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಲಿ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ಟಿಃ [0,1] 2 → [0,1] ಅನ್ನು ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.] ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಐ ಇನ್ ಐಗೆ, ಅಥವಾ ಐ ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ, ಮೊತ್ತಗಳ (ಟಿಐ, ಎಐ, ಬಿಐ) ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಗಳ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮೊತ್ತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಪ್ರತಿ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಇಡೀ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [0,1] ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಖಾಲಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮೊತ್ತವು (ಖಾಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗೆ) ಕನಿಷ್ಠ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಟಿಮಿನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದೆಂದು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಊಹಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ನೈಜ ರೇಖೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸಂಘಟಿತ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂಕಲನವು ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡದ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಮೊತ್ತವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಎಡ-ನಿರಂತರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ.) ಒಂದು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮೊತ್ತವು ಇಡೀ ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ, ಐ = 0 ಮತ್ತು ಟಿಐ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ.) ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅವಶೇಷ ಆರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ರಿ ಎಂಬುದು ಟಿ ಯ ಅವಶೇಷವಾಗಿದೆ, ಐನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಐಗೆ. ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೊತ್ತಗಳು ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಮೊತ್ತವು ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಮೋಸ್ಟರ್ಟ್-ಶೀಲ್ಡ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೆಯದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (ಮತ್ತು ನಂತರ ಲುಕಾಸಿವಿಕ್ಜ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ) ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ), ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವು ಲುಕಾಸಿವಿಕ್ಜ್ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಮೊತ್ತಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ 1980ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಡಿಡಿಯರ್ ಡುಬೋಯಿಸ್ ಮತ್ತು ಹೆನ್ರಿ ಪ್ರೇಡ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಡುಬೋಯಿಸ್-ಪ್ರೈಡ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳು, [0, ಪಿ] ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಟಿ-ಮಾನದಂಡದ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ. 1990ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ ಮೇಯರ್ ಮತ್ತು ಜೋನ್ ಟೊರೆನ್ಸ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಮೇಯರ್-ಟೊರೆನ್ಸ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳು, [0,1] ರಲ್ಲಿ ಪಿ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ [0, ಪಿ] ಮೇಲಿನ ಲುಕಾಸಿವಿಕ್ಜ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡದ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (ಡೀಫಾಲ್ಟ್) ಕನಿಷ್ಠ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಮೇಯರ್-ಟೊರೆನ್ಸ್ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಪಿ. ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸ್ಯಾಂಡರ್ ಜೆನೆ (2000) ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆಃ ಟಿ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲದ ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿರಲಿ, ಎನ್ಃ [0,1] → [0,1] 1 − x ಅನ್ನು x ಗೆ ಮತ್ತು t = 0.5 ಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟಿ1 ಅನ್ನು ಟಿ ಯಿಂದ [ಟಿ, 1] ಗೆ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಟಿ-ಮಾನದಂಡ ಟಿ ಯ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ರಚನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಟಿ-ಮಾನದಂಡ ಟಿ ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ [0.5,1] ಕುಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (0,0,1) ಮತ್ತು (1,1,0) ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ 2π/3 ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಬಲವಾದ ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು N ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, [0,1] ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು n ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ t ಗೆ. [0,1] ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x, y, z ಗೆ T (y, N (z)) ≤ N (x) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ t-ಮಾನದಂಡವು N ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆಃ T (x, y) ≤ z. ಟ್ರಾಟ್ನಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರಾಕರಣೆಯು ಎನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಎನ್ (x) = ರಾಟ್ (x, 0), ಅಲ್ಲಿ ರಾಟ್ ಟ್ರಾಟ್ನ ಶೇಷವಾಗಿದೆ. ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಫಜಿ ಲಾಜಿಕ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ಲೆಮೆಂಟ್, ಎರಿಕ್ ಪೀಟರ್; ಮೆಸಿಯರ್, ರಾಡ್ಕೊ; ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಪ್, ಎಂಡ್ರೆ (2000), ತ್ರಿಕೋನ ನಾರ್ಮ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಡಾರ್ಡ್ರೆಚ್ಟ್ಃ ಕ್ಲೂವರ್. .. ಫೋಡರ್, ಜಾನೋಸ್ (2004), "ಲೆಫ್ಟ್-ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಸ್ ಇನ್ ಫಜಿ ಲಾಜಿಕ್ಃ ಆನ್ ಓವರ್ವ್ಯೂ". ಆಕ್ಟಾ ಪಾಲಿಟೆಕ್ನಿಕಾ ಹಂಗರಿಕಾ 1 (2), ಐಎಸ್ಎಸ್ಎನ್ 1785-8860 ಡೊಂಬಿ, ಜೋಸೆಫ್ (1982), "ಫಜಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗ, ಫಜಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಡಿಮಾರ್ಗನ್ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಫಜಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಫಜಿನೆಸ್ ಕ್ರಮಗಳು". ಫಜಿ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ 8,149-163. ಜೆನೆ, ಸ್ಯಾಂಡರ್ (2000), "ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಆಫ್ ಲೆಫ್ಟ್-ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಸ್ ವಿತ್ ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಇಂಡ್ಯೂಸ್ಡ್ ನೆಗಷನ್ಸ್. (I) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ರಚನೆ. ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ನಾನ್-ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್ 10,83-92. ನವಾರಾ, ಮಿರ್ಕೋ (2007), "ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು", ಸ್ಕೋಲಾರ್ಪೀಡಿಯಾ. ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ತರ್ಕ