Catenary ring
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳಾದ p, q, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸರಪಳಿಗಳಾದ p = p0. p1.................... ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶವು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಆಯಾಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಸರಪಳಿಯ ಉದ್ದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಕ್ಯಾಟನರಿ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಉಂಗುರವನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 'ಕ್ಯಾಟನರಿ' ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದವಾದ ಕ್ಯಾಟೆನಾದಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ "ಸರಪಳಿ". ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ಸರಪಳಿ ಇದೆ. ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರ ಎ ಎಂಬುದು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬುದು ಎ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಎ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪಿ ಯು ಬಿ ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪಿ ಯು ಎ ಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಉಂಗುರಗಳ ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರವು ಎ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನತೆಯು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ κ (P) ಎಂಬುದು P ಮತ್ತು tr.deg ನ ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ (ಅಂಶ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ) ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಪದವಿ ಎಂದರ್ಥ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಸಮಾನತೆಯು ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಂಗುರಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿಗಳಾಗಿವೆಃ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು (ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು) ಕೋಹೆನ್-ಮ್ಯಾಕಾಲೆ ಉಂಗುರಗಳು (ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳು) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಉಂಗುರದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತ. ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆದರೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಅಲ್ಲದ ಉಂಗುರವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಅಲ್ಲದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡವರು, ಅವರು 2-ಆಯಾಮದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಅದು ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆದರೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಅಲ್ಲ. ನಾಗತನ ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮತ್ತು ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಅಂದರೆ x ಮತ್ತು x ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವಂತೆ, x ಓವರ್ kಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯ S ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ z = ssi> 0aixi ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. z1 = z ಮತ್ತು ಝೀ + 1 = ಝೀ/ಎಕ್ಸ್-ಐ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. R ಎಂಬುದು x ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಾದ zi ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ (ನೊಥೇರಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ) ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. m ಐಡಿಯಲ್ (x) ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು n ಅನ್ನು x-1 ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಾದ zi ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಇವೆರಡೂ Rನ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು k ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ Rm ಆಯಾಮ 1 ರ ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ (ಇದರ ಪುರಾವೆಯು z ಮತ್ತು x ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ Rn ಆಯಾಮ 2 ರ ನಿಯಮಿತ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. m ಅಥವಾ n ಅಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ B ಯು R ನ ಸ್ಥಳೀಕರಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ B ಯು 2 ಗರಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 2 ಆಯಾಮದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಅರೆ-ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ, mB (ಎತ್ತರ 1) ಮತ್ತು nB (ಎತ್ತರ 2). ನಾನು ಬಿ ಯ ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎ = ಕೆ + ಐ ಆಗಿರಲಿ. ರಿಂಗ್ ಎ ಗರಿಷ್ಠ ಐಡಿಯಲ್ I ನೊಂದಿಗೆ ಆಯಾಮ 2 ರ ಸ್ಥಳೀಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ 2-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ರಿಂಗ್ ಎ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬಿ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸೀಮಿತ ಎ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ A ಯು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಆಗಿದ್ದರೆ B ಯ ಆದರ್ಶ mB ಯು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಉಂಗುರಗಳ ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರದಿಂದ mB θA ಯ ಅದೇ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಂತರದ ಆದರ್ಶವು ಮಂದ (A) = 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾಗಟಾದ ಉದಾಹರಣೆಯು ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠವಾದ ಉಂಗುರವೂ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಉಂಗುರವಲ್ಲದ ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠವಾದ ಉಂಗುರದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ರಿಂಗ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ). ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಚ್. ಮಾತ್ಸುಮುರಾ, ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ 1980. ನಾಗಟಾ, ಮಸಯೋಶಿ ಸ್ಥಳೀಯ ವಲಯಗಳು. ಶುದ್ಧ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂತರವಿಜ್ಞಾನದ ಪ್ರದೇಶಗಳು, ನಂ. 13 ಇಂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್ ಜಾನ್ ವಿಲೇ & ಸನ್ಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್-ಲಂಡನ್ 1962ರ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಆರ್. ಇ. ಕ್ರೀಗರ್ ಪಬ್ನಿಂದ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆ. ಸಹ (1975) ಸಹ ನೋಡಿ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ತುಲಗಳು ಸಂವಹನ ವರ್ತುಲಗಳು ಕೋಹೆನ್-ಮಕಾಲೆ ವರ್ತುಲಗಳು ಗೊರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ತುಲಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ