Modular multiplicative inverse
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನವು 1ಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಈ ಏಕರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು (ಸಮವಾಗಿ) ವಿಭಜಿಸುವ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ, ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ನಂತರ ಉಳಿದವು 1 ಆಗಿದೆ. ವಿಲೋಮ ಮಾಡ್ಯುಲೋವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಏಕರೂಪದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ಇದು ಈ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ) ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪತೆ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಏಕರೂಪತೆ ವರ್ಗದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮವು ಏಕರೂಪತೆ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಮಾನತೆ ವರ್ಗಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಂತೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಬಳಕೆಯು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ, ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮಗಳು ಸಹ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸಾರ್ವಜನಿಕ-ಪ್ರಮುಖ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಆರ್. ಎಸ್. ಎ. ಕ್ರಮಾವಳಿ. ಈ ಅನ್ವಯಗಳ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಅತ್ಯಂತ ವೇಗದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ (ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು, ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಅಥವಾ ಶೇಷ ವರ್ಗಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕರೂಪತೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯು ರೂಪದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವೂ ಸಹ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ ನಾವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿವಿಧ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮವು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು (ಅಂದರೆ. ಕೋಪ್ರೈಮ್). ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಇದ್ದಾಗ, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಫ್, ನಂತರ, ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, {{math|b ಷ್ಣ b (ಮಾಡ್ m)}}. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸಂಕೇತದ ದುರುಪಯೋಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಇದು, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ 1 ಅಥವಾ-1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ). ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗದ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮವು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಸಂಕೇತವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಅಥವಾ ಗುಣಿಸಲು, ಮೊದಲು ಪ್ರತಿ ವರ್ಗದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು (ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ) ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ನಂತರ ಎರಡು ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಇರುವ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಏಕರೂಪತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮಾಡಿದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ವರ್ತುಲವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಥವಾ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪಠ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಇತರ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲವು ಅಸಂಭವವಾದಾಗ ಸರಳೀಕೃತ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಅವಶೇಷ ವರ್ಗಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ m ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಇದು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಒಂದೇ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು (ಅಂದರೆ, "ಅವಶೇಷ") ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಭಿನ್ನ ಏಕರೂಪತೆಯ ವರ್ಗ ಮಾಡ್ಯುಲೋ m ನಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅವಶೇಷಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿವಿಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್, ಅವಶೇಷಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಅವಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವಶೇಷಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಉಂಗುರದ ಏಕರೂಪತೆ ವರ್ಗಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಗುಂಪು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವೂ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶೂನ್ಯವು ಎಂದಿಗೂ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ, ಉಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅವಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕಡಿಮೆಯಾದ ಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಯೂಲರ್ ಟೋಶಿಯೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಏಕತೆಯಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹಾಗೆ ಮಾಡುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಘಟಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಉಂಗುರದ ಘಟಕಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಉಂಗುರದ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಂಗುರದ ಹೆಸರು ಇಫ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಉಂಗುರದ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಕ್ರಮವನ್ನು (ಗಾತ್ರ) ಹೊಂದಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪು ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 10 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಏಕರೂಪದ ಮಾಡ್ 10 ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 10 32 − 2 = 30 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 10 111 − 1 = 110 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹತ್ತು ಏಕರೂಪತೆ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹೀಗಿವೆಃ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ 5ಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೆಲ್ಲವೂ ಬೆಸವಾಗಿದ್ದು, ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಮತ್ತು. ದಿ ಮತ್ತು 2ಗಳು 5ನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ 6ನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, 3 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 10 ರ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 7 ಈ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, 21−1 = 20). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಹ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 17 ಮತ್ತು −3 (ಅಂದರೆ, 3 (17) −1 = 50 ಮತ್ತು 3 (−3) −1 = −10). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಈ ಏಕರೂಪತೆಯು ಈ ಒಂದು ಏಕರೂಪತೆಯ ವರ್ಗದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇವುಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಏಕರೂಪತೆ ವರ್ಗಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು 25ರ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು −2ರ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು (25) (−2) = −50 ಏಕರೂಪತೆ ವರ್ಗದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ,. ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳು ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 10, ಅಂದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 10 ಸೆಟ್ {10, −9,2,13,24, −15,26,37,8,9} ಆಗಿರಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ವಿಭಿನ್ನ ಏಕರೂಪತೆಯ ವರ್ಗ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 10 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಅವಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 10 {0,1,2,., 9} ಆಗಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ಅವಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 10 {1,3,7,9} ಆಗಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೆ ಈ ನಾಲ್ಕು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ನಾಲ್ಕು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು, 3 ಅಥವಾ 7 ಅನ್ನು (ಗುಣಾಕಾರದ) ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳು ಉಂಗುರದ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆಂಡೆಡ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಎಕ್ಸ್ಟೆಂಡೆಡ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು (ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ.) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮತ್ತು. ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಜಿಸಿಡಿ 1 ಆಗಿರಬೇಕು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಉತ್ಪಾದಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಈ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, "ಬ್ಯಾಕ್ ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್" ಎಂಬ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೂಲ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಈ ಜಿಸಿಡಿಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬೆಜೌಟ್ನ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಕಂಡುಬರಬಹುದು, ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಆವೃತ್ತಿಯೆಂದರೆ ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಇದು ಸಹಾಯಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಹಾದಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಹಿಂದಿನ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮೂಲಕ ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು). ಬಿಗ್ ಓ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪರ್ಯಾಯವಾದ ಘಾತಕ್ಕಿಂತ ತುಂಬಾ ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯೂಲರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಯೂಲರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಹಮೌಲ್ಯ ಎಂದರೆ, ಯೂಲರ್ನ ಟೋಷಿಯಂಟ್ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಹಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಿಂತ ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಘಾತಾಂಕದ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಈಗಾಗಲೇ ಲಭ್ಯವಿರುವಾಗ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಕೆಲವು ಅನಾನುಕೂಲತೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗಣನೆಗೆ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಕಠಿಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರೈಮ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ತಿಳಿದಾಗ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಘಾತಾಂಕದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೆಚ್ಚ. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೂ, ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ ಇದನ್ನು ಮಾಂಟ್ಗೊಮೆರಿ ಕಡಿತ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ, ಸ್ವತಃ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಿಲೋಮ ಮಾಡ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಮಾಂಟ್ಗೊಮೆರಿ ವಿಧಾನವಿಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಡಿವಿಷನ್ ಮೋಡ್ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೈನರಿ ಘಾತಾಂಕವು ದೊಡ್ಡದಾದಾಗ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ತಂತ್ರದ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಇದರ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಶಾಖೆಗಳಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಸಾರ್ವಜನಿಕ-ಕೀ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ರಹಸ್ಯವಾಗಿರಬಹುದಾದ ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೈಡ್-ಚಾನೆಲ್ ದಾಳಿಗಳಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಕರ್ವ್ 25519 ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅನುಷ್ಠಾನವು ವಿಲೋಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಒಂದೇ ಆಹ್ವಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ ಮೂರು ಗುಣಾಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎ ಕಾಮನ್ ಎಂಬ ಬಹು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮೂಲ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು, ಅದನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ, ನಂತರ ಬಯಸಿದದ್ದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡಲು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಗುಣಿಸಿ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ (ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ): ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಲಭ್ಯವಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಕೆಳಗಿನಿಂದ 2 ರವರೆಗೆ, ಮತ್ತು ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ,. ಸಮಾನಾಂತರ ಗಣನೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಬದಲು ಮರದ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಶೇಖರಣಾ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಎರಡೂ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಯೋಜನಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆರ್ಎಸ್ಎ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ, ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ಗಳಿರುವ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂದೇಶವನ್ನು ಎನ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಡೀಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಾರ್ವಜನಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷಿಪ್ರ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು, ಡೀಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ವಿಭಜನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ನೀವು ಬೆಸ ಪದ-ಗಾತ್ರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿಭಜಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಒಂದು ಪರಿಹಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಪದದಲ್ಲಿನ ಬಿಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಬೆಸ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಈ ವಿಲೋಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಕನಿಷ್ಠ ಮಹತ್ವದ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅನೇಕ ಯಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೆ ಯಂತ್ರಾಂಶ ಬೆಂಬಲವಿಲ್ಲದ ಯಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಭಜನೆಯು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಿಂತ ನಿಧಾನವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಧಾನವು ಗಣನೀಯ ವೇಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಹಂತವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಚೀನೀ ಅವಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಷ್ಣ 4 (ಮಾಡ್ 5) ಷ್ಣ 4 (ಮಾಡ್ 7) ಷ್ಣ 6 (ಮಾಡ್ 11) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು 5,7 ಮತ್ತು 11 ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು = (7 × 11) × 4 + (5 × 11) × 4 + (5 × 7) × 6 ರಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ = 3 ಎಂಬುದು 7 × 11 (ಮಾಡ್ 5) ನ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ, = 6 ಎಂಬುದು 5 × 11 (ಮಾಡ್ 7) ನ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು = 6 ಎಂಬುದು 5 × 7 (ಮಾಡ್ 11) ನ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, = 3 × (7 × 11) × 4 + 6 × (5 × 11) × 4 + 6 × (5 × 7) × 6 = 3504 ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕಡಿಮೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಷ್ಣ 3504 ಷ್ಣ 39 (ಮಾಡ್ 385) 385 ರಿಂದ 5,7 ಮತ್ತು 11 ರ ಎಲ್ಸಿಎಂ ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಇನ್ವರ್ಸಿವ್ ಕಾನ್ಗ್ರುಯೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಹುಸಿ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ (ಗಣಿತ) ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗುವೇರಾ ವಾಸ್ಕ್ವೆಜ್, ಫರ್ನಾಂಡೊ ಯುಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ಪರಿಹಾರಿತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.