Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ಡೊಮೇನ್ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ಡೊಮೇನ್ (ಪಿಐಡಿ) ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಳ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆ F ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪಾದಕ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಅದರಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪೇಸ್ Fn ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎಫ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ ಆರ್ ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಜವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಆಧಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇನ್ನೂ n ಪರಿಮಿತವಿರುವ ಕೆಲವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ Rnನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ (ಇದನ್ನು ನೋಡಲು Rnನ ಅಂಗೀಕೃತ ಆಧಾರದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಅದರ ಕರ್ನಲ್ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ). ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಉಪಘಟಕದಿಂದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಆರ್. ಎನ್. ನ ಅಂಶವೆಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಡೀಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ, ಆವರ್ತಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವಂತಹ ಸರಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆಃ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಒಂದು ಘಟಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎಂನ ಅಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಸರಿಯಾದದ್ದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಅಂಶಗಳು ಸ್ವತಃ ವಿಲೋಮವಾಗಿರಬಾರದು (ಇದು ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಐಡಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಒಬ್ಬರು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂದರ್ಥ. ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಭಜನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಭಾಗವು ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಂಶಗಳು, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ನೀಡುವ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದು ನಿಜವಾಗಿ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಆದರ್ಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮ, ಆದರೆ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಿದೆ (ಇಫ್). ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಲವರು M ನ ಮುಕ್ತ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಗೋಚರತೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಮತ್ತು f ಎಂಬುದು ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ s ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಜನೆ ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೋ ಒಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇವು ಅನನ್ಯವಾಗಿವೆ (ಘಟಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ). ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎಂನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಾಜಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿಐಡಿಯಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆದರ್ಶಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಘಾತಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಯಾವಾಗ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸ್ವತಃ, ಮತ್ತು ಇದು ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರುವ ಎಂನ ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. ಸಂಕಲನಗಳು ಅಸಂಘಟಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಜನೆಯು ಅಸಂಘಟಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಪಿಐಡಿ ಮೇಲೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಪಿಐಡಿಗಳು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಲಾಸ್ಕರ್-ನೋಥರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಮುಕ್ತ ಭಾಗವನ್ನು (ಅಲ್ಲಿ) ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಮತ್ತು M ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಗೋಚರವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ. ಪುರಾವೆಗಳು ಒಂದು ಪುರಾವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆಃ ಪಿಐಡಿ ಮೇಲೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪಿಐಡಿ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸುಸಂಬದ್ಧತೆಗಿಂತ ಬಲವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಅದು ನಕ್ಷೆ (ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು), ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸ್ಮಿತ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ. ಇದು ಅಸ್ಥಿರ ಅಂಶ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಮಿತ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳು ಅಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಪುರಾವೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪರೇಖೆಃ ಟಿಎಂ ನಿಂದ ಎಂ ನ ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ನಂತರ ಎಂ/ಟಿಎಂ ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ತಿರುಚು ಮುಕ್ತ ಘಟಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ಪಿಐಡಿ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ಘಟಕವು ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮುಕ್ತ ಘಟಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎನ್ ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಮುಕ್ತ ಘಟಕವನ್ನು ಎಂ ನ ಎಫ್ ಉಪಘಟಕವಾಗಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ (ಬಲ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ); ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎಫ್ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎಂ ಗೆ ಎತ್ತುವಂತೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. R ನಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶ p ಗೆ ನಾವು ನಂತರ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಇದು ಟಿಎಂನ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಎನ್ಪಿ ಆವರ್ತಕ ಘಟಕಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಟಿಎಂ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಎನ್ಪಿಯ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಕೊರೊಲ್ಲರೀಸ್ ಇದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಐಡಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಕೆ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವಿ ಮೇಲೆ ಟಿ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಟಿ ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಟಿ. ವಿ ಬಗ್ಗೆ ರಚನೆಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಬದಲಾಗದ ಅಂಶವು ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬದಲಾಗದ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ, ಇದು ವಿವಿಧ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಅಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳು + ಸಹವರ್ತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇಳುವರಿ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ (ಅಕಾ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಜನೆ + ಸಹವರ್ತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇಳುವರಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಜನೆ + ಜೋರ್ಡಾನ್ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಇದು ಎರಡನೆಯದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ) ಅನನ್ಯತೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳು (ಶ್ರೇಣಿ, ಅಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಾಜಕಗಳು) ಅನನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ, M ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನೇರ ಮೊತ್ತ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಸಾರಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಅಂಗೀಕೃತ ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕ ಟಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ (ವಿಶಿಷ್ಟ) ಅಸ್ಥಿರ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಉಪಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಅಂಗೀಕೃತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಜೋರ್ಡಾನ್-ಹೋಲ್ಡರ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮತ್ತೊಂದು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆಧಾರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ (ಸಮಾನವಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ, 2-ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳು). ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪುಗಳು ಜೋರ್ಡಾನ್-ಹೋಲ್ಡರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ (ಅಥವಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು) ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ನೇರ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಕ್ರುಲ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಜನೆಯಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿಭಜನೆಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂಯೋಜನೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಜನೆಯು ಸಂವಹನ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲಾಸ್ಕರ್-ನೋಥರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಂಡು ಸಂಯೋಜನೆಗೊಳ್ಳದ ಉಪಘಟಕಗಳಾಗುವಿಕೆಯು ಅಷ್ಟೇನೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಿಐಡಿಗಳಿಗೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ಡೊಮೇನ್ಗಳಲ್ಲದ ರಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ, ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಅನನ್ಯ ವಿಭಜನೆಯು ಸಹ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ರಿಂಗ್ R = Z [ρ−5] ಗೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ R ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ M ಎರಡನ್ನೂ 2 ಮತ್ತು 1 + ρ−5 ನಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. R ಯು M ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೂ, R ≤ R ಎಂಬುದು M ≤ M ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ; ಹೀಗಾಗಿ M ಸಂಕಲನಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು R ≤ R ನ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಅಸಂಕಲನೀಯ ಉಪಘಟಕಗಳನ್ನು L1, L2 <R ≤ R ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಇನ್ನೂ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ತಿರುಚು ಭಾಗವಿದೆ, ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಪೂರಕದೊಂದಿಗೆ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ), ಆದರೆ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಉಚಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ತಿರುಚು ರಹಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ವರ್ಗದಿಂದ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ) ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಆರ್ (ಶ್ರೇಣಿಯ ಒಂದು ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್) ನ ಪ್ರತಿಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ವರ್ಗವನ್ನು (ಮೊತ್ತದ) ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ, ಅಂತಹ ಉತ್ತಮ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲಃ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಸಹ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಕ್ಯೂ4ನ ಝಡ್-ಉಪಘಟಕಗಳಿವೆ, ಅವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂಯೋಜನೆ ಮಾಡದ ಘಟಕಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಸಂಯೋಜನೆ ಮಾಡದ ಘಟಕಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಜನೆಯ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಘಟಕಗಳಿಗೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಸಹ, ಝಡ್ ಅನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಮುಕ್ತವಾಗಿರದ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯ Z ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಕ್ಯೂ ಒಂದು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಝಡ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಮುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಬೇರ್-ಸ್ಪೆಕರ್ ಗುಂಪು, ಇದು ಪದವಾರು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವ ಅನಂತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಯಾವ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನಂತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಮಾನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಡಿಃ Hauptidealring#Moduln ಯುಬರ್ ಹಾಪ್ಟಿಡಿಯಾಲ್ರಿಂಗನ್