Tangent developable
ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಮೇಲ್ಮೈಯು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲಗಳ ಹೊದಿಕೆ ಕೂಡ ಆಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕವು ಮೃದುವಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಲಿ. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬಾರಿ-ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಅದರ ವಾದವನ್ನು (ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ) ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ; ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅದರ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಗಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅದರ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಹಿಂಜರಿತದ ಅಂಚು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಆಡಳಿತದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಗಳ ಈ ಕುಟುಂಬದ ಲಕೋಟೆಯು ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವು ಹಿಂಜರಿತದ ಅಂಚಾಗಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಇದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಬೆಳೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಮಡಚಬೇಕಾದ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ; ಇತರ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕೋನ್ಗಳು (ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಗಳ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈ), ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳು (ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು). (ಸಮತಲವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಾಲ್ಕನೇ ವಿಧವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಈ ಎರಡು ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು.) ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಈ ಮೂರು ವಿಧದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಬಹುದು; ಇದರಿಂದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯು ಒಂದು ನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ರೇಖೆಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಹೆಲಿಕೋಯ್ಡ್ ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ತಿರುಚುವಿಕೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಡೆವಲಪಬಲ್ಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಲಿಯೋನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಅವರು 1772 ರಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಅಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕೋನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳು ಮಾತ್ರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳೆಂದು ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಶೀಲಗಳು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಲ್ಲವು ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯು ಈ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಯೂಲರ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ