Nowhere-zero flow
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಹರಿವು ಅಥವಾ NZ ಹರಿವು ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದ ಜಾಲದ ಹರಿವು. ಇದು ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ (ದ್ವಂದ್ವತೆಯಿಂದ) ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಜಿ = (ವಿ, ಇ) ಒಂದು ಡಿಗ್ರ್ಯಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಎಂ ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ನಕ್ಷೆ φ: E → M ಒಂದು M-ಪರಿಚಲನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ v ωV ಗೆ, ಅಲ್ಲಿ δ + (v) ಎಂಬುದು v ನ ಹೊರಗಿನ ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು δ − (v) ಎಂಬುದು v ಗೆ ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕಿರ್ಚಾಫ್ನ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ e ω E ಗೆ φ (e) ಷ್ಣ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು φ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಹರಿವು, M-ಹರಿವು ಅಥವಾ NZ-ಹರಿವು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. k ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 0 <|φ (e) | <k ಆಗಿದ್ದರೆ, φ ಒಂದು k-ಹರಿವು. ಇತರ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಜಿ = (ವಿ, ಇ) ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ v ωV ಇದ್ದರೆ E ಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ k-ಹರಿವು ಆಗಿದೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು M-ಹರಿವಿನ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಹರಿವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು 0 ಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು. (ಟುಟ್ಟೆ 1950) ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಒಂದು |M |-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂ-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೆ-ಹರಿವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹರಿವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಜಿ ಒಂದು ಕೆ-ಹರಿವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಅದು ಅಲ್ಲಿ ಎಚ್-ಹರಿವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶನದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ. ಗ್ರಾಫ್ Gಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದ ಹರಿವು φ ಅನ್ನು ಒಂದು ಅಂಚು e ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿ, ನಂತರ φ (e) ಅನ್ನು −φ (e) ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಈ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಂತರ, φ ಇನ್ನೂ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಹರಿವಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, φ ಮೂಲತಃ k-ಹರಿವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ φ ಸಹ k-ಹರಿವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಎಂ-ಹರಿವಿನ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಕೆ-ಹರಿವಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಜಿ ಯ ಕೆಲವು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು) ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಅಂತಹ ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಎಂ-ಹರಿವು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಕೆ-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹರಿವಿನ ಬಹುಪದವು ಜಿ ಮೇಲೆ ಎಂ-ಹರಿವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಇದು ಅಳಿಸುವಿಕೆ-ಸಂಕೋಚನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು ಪ್ರಚೋದನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದಾದ ಬಹುಪದವು ಎಂ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಜಿ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಎಂನ ಹರಿವಿನ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನವುಗಳು ಸಮಾನ ಕ್ರಮದ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎನ್. ಜೆಡ್ ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಾದ ಏಕೈಕ ಗುಂಪು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಎಂನ ರಚನೆಯಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಟುಟ್ಟೆ ಅವರು 1953 ರಲ್ಲಿ ಹರಿವಿನ ಬಹುಪದದದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾದ ಟುಟ್ಟೆ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರೆ. ಫ್ಲೋ-ಕಲರಿಂಗ್ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಬ್ರಿಡ್ಜ್ಲೆಸ್ ಪ್ಲಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಬ್ರಿಡ್ಜ್ಲೆಸ್ ಪ್ಲಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಕೆ-ಫೇಸ್ ಬಣ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಕೆ-ಹರಿವುಗಳ ನಡುವೆ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಇದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಜಿ ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಕೆ-ಫೇಸ್-ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಬ್ರಿಡ್ಜ್ಲೆಸ್ ಪ್ಲಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿಃ ಅಂಚು ಇ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಬಣ್ಣದ ಮುಖ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ y ಬಣ್ಣದ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, φ (e) = x-y ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ φ ಒಂದು (NZ) k-ಹರಿವು ಏಕೆಂದರೆ x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಣ್ಣಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಜಿ ಮತ್ತು ಜಿ * ಸಮತಟ್ಟಾದ ಉಭಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜಿ * ಕೆ-ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ (ಜಿ ಮುಖಗಳ ಬಣ್ಣವಿದೆ), ಆಗ ಜಿ ಒಂದು NZ ಕೆ-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. |E (G) | ಟುಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವೂ ಸಹ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಆರ್ಎಚ್ಎಸ್ ಹರಿವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಜಿ-ಹರಿವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಕೆ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂ-ಹರಿವುಗಳಿಗೂ ಸಹ ದ್ವಂದ್ವತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಎಂ ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಖ-ಬಣ್ಣದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಆರ್ 1 ಎಂಬುದು ಇ ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮುಖ ಮತ್ತು ಆರ್ 2 ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಎಂ-ಪರಿಚಲನೆಗೆ ಸಿ ಬಣ್ಣದ ಕಾರ್ಯವಿದೆ (ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ). ಒಂದು NZ M-ಹರಿವು (ನೇರವಾದ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ c ಒಂದು |E (G) |-ಮುಖದ ಬಣ್ಣವಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಕೆ-ಹರಿವುಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಪರಿಣತಿ ಹೊಂದಬಹುದು. NZ ಹರಿವುಗಳು ಮತ್ತು ಬಣ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ನಾವು NZ ಹರಿವುಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ (ಕೇವಲ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿ ಅಲ್ಲ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಮುಖದ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಲ್ಲದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನಾವು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಸಮ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಜಿ 2-ಮುಖದ ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ (NZ 2-ಹರಿವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ). ಕ್ಲೈನ್-4 ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಘನ ನಕ್ಷೆಯು 3-ಅಂಚಿನ-ವರ್ಣಮಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಕೆ-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, 3-ಅಂಚಿನ ವರ್ಣಮಯವಾದ ಘನ ನಕ್ಷೆಯು 4-ಮುಖದ ವರ್ಣಮಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯು NZ 4-ಹರಿವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ 4-ಮುಖದ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ಪೀಟರ್ಸನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು NZ 4-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದು 4-ಹರಿವಿನ ಊಹೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಜಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಸಮ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಜಿ 3-(ಶೃಂಗ) ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಗುಂಡಿನ ಮೂಲಕ, G * ಎಂಬ ಎರಡು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು 2-ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಮತ್ತು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಘನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ G * ಒಂದು NZ 3-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ 3-ಮುಖದ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು G 3-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವರ್ಣಮಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಲೂಪ್ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಸರಿಯಾದ ಶೃಂಗದ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರದಂತೆಯೇ, ಸೇತುವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು M ಗೆ NZ M-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸೇತುವೆಯಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ NZ-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ರಾಬಿನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ರೂಪ). ಕೆ-ಹರಿವಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಕೆ ನ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಕೆ-ಹರಿವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಜೇಗರ್ ನ 4-ಹರಿವಿನ ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರತಿ 4-ಅಂಚಿನ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ 4-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೆಮೌರ್ನ 6-ಹರಿವಿನ ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರತಿ ಸೇತುವೆಯಿಲ್ಲದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು 6-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 3-ಹರಿವು, 4-ಹರಿವು ಮತ್ತು 5-ಹರಿವಿನ ಊಹೆಗಳು 2019 ರಂತೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಪ್ರಸ್ತುತ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಟುಟ್ಟೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ): 3-ಹರಿವಿನ ಊಹೆ. ಪ್ರತಿ 4-ಅಂಚಿನ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ 3-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. 4-ಹರಿವಿನ ಊಹೆ. ಮೈನರ್ನಂತೆ ಪೀಟರ್ಸನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೇತುವೆಯಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ 4-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 5-ಹರಿವಿನ ಊಹೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೇತುವೆಯಿಲ್ಲದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ 5-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ K11 ಪೀಟರ್ಸನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು 4-ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 4-ಹರಿವಿನ ಊಹೆಯ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪೀಟರ್ಸನ್ ಮೈನರ್ ಇಲ್ಲದ ಬ್ರಿಡ್ಜ್ಲೆಸ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ, 4-ಹರಿವುಗಳು ಸ್ನಾರ್ಕ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ (ಸೆಮೌರ್, ಮತ್ತು ಇತರರು 1998, ಇನ್ನೂ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ). ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಸ್ನ್ಯಾಕ್ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಸೈಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸೈಕಲ್ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯ ಗ್ರಾಫ್ ಕಲರಿಂಗ್ ಎಡ್ಜ್ ಕಲರಿಂಗ್ ಟುಟ್ಟೆ ಬಹುಪದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಜಾಲಬಂಧ ಹರಿವಿನ ಸಮಸ್ಯೆ