Excellent ring
ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉಂಗುರವು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ "ಚೆನ್ನಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ" ಉಂಗುರಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉಂಗುರಗಳು ಒಂದು ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತಿತ್ತು, ಆದರೆ ಮಸಯೋಶಿ ನಾಗಟಾ ಮತ್ತು ಇತರರು ಹಲವಾರು ವಿಚಿತ್ರವಾದ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನಡೆಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ (1965) ಅವರು ಉತ್ತಮ ವರ್ತನೆ ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರಗಳ ಅಂತಹ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಉಂಗುರಗಳೆಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು; ಇದನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕರಣವು (2016 ರಂತೆ) ಇನ್ನೂ ಪ್ರಮುಖ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಎಲ್ಲಾ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅತ್ಯುತ್ತಮವಲ್ಲದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉಂಗುರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸುದೀರ್ಘ ಪಟ್ಟಿಯಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಂಗುರಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಗಳು, ಸಂಪೂರ್ಣ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳು, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಮೇಲಿನ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು, ಮತ್ತು ಈ ಉಂಗುರಗಳ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಉಂಗುರಗಳು. ಮರುಪಡೆಯಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ರಿಂಗ್ನ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಯಮಿತ ಓವರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರಗಳ ಏಕರೂಪತೆಯು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಾರು ಉಳಿದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉಂಗುರವು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಔಪಚಾರಿಕ ನಾರುಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಜಿ-ರಿಂಗ್ (ಅಥವಾ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ರಿಂಗ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರದಿಂದ ಅದರ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯವರೆಗಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಜೆ-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಜೆ-2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಘಟಕವು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಜೆ-2 ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅರೆ-) ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರೆ-ಉತ್ಕೃಷ್ಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ pg 214 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉಂಗುರಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಒಂದು ಯೋಜನೆಯು ಅದೇ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಓಪನ್ ಅಫೈನ್ ಸಬ್ಶೀಮ್ಗಳ ಮೂಲಕ ರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಥವಾ ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಓಪನ್ ಅಫೈನ್ ಸಬ್ಶೀಮ್ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಉಂಗುರವು ಜಿ-ಉಂಗುರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಸರಪಳಿಯು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಉಂಗುರಗಳ ಆಯಾಮ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಗರಿಷ್ಠ ಸರಪಳಿಯಿಂದ ಬಂಧಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಉಂಗುರವನ್ನು ನೀಡುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸರಪಳಿಗಳ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯೋಜನೆಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ pg 217 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠತೆ ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉಂಗುರವು ನಾಗಾಟಾ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಉತ್ಕೃಷ್ಟವಾದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ವಲಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳೀಯ ವಲಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉಂಗುರಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಃ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ. ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಡೆಡೆಕೈಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಡೆಡೆಕೈಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್ ಪವರ್ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರಗಳು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉಂಗುರದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದೀಯ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಂಗುರಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿವೆ. ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಅಲ್ಲದ ಜೆ-2 ರಿಂಗ್ ಇಲ್ಲಿ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ರಿಂಗ್ಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು-ರಿಂಗ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠವಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಯಾವುದೇ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವಂತಹ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಔಪಚಾರಿಕ ನಾರುಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಆದ್ದರಿಂದ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದು, ನೋಥೇರಿಯನ್ ಅಳತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳು ಉಂಗುರಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಕೆಳಗಿರುವ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆ-2 ಉಂಗುರವಲ್ಲದ ಜಿ-ಉಂಗುರವು ಇಲ್ಲಿ ಜಿ-ಉಂಗುರದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಜೆ-2 ಉಂಗುರವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠವಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಘನಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಜನರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರದ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಪಕ್ಕದ ವಿಲೋಮಗಳಿಂದ ಪಡೆದರೆ, ಅದು 1-ಆಯಾಮದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಸ್ಪ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಉಂಗುರವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಇದು ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಉಂಗುರವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆದರೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಅಲ್ಲದ 2-ಆಯಾಮದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರದ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಲ್ಲದ ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉಂಗುರವು ಜಿ-ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಜಿ-ಉಂಗುರವು ಜೆ-2 ಉಂಗುರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಜೆ-2 ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅರೆ-ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲ. ಏಕತ್ವಗಳ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉಂಗುರಗಳು ಏಕತ್ವಗಳ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ಪ್ರೇರಣೆ ಇದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸ್ಥಳೀಯ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕಡಿಮೆ ಅರ್ಧ-ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉಂಗುರಗಳ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ (1965) ಗಮನಿಸಿದರು. ಹಿರೋನಾಕಾ (1964) ಇದನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಯೋಜನೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನೊಥೇರಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೀಮಿತ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದ ಎಲ್ಲಾ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಆರ್ ರಿಂಗ್ ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್, ಜೀನ್ ಡೈಯುಡೋನ್ನೆ, ಎಲೆಮೆಂಟ್ಸ್ ಡಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಿಕ್ IV ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಡಿ ಎಲ್ಐಹೆಚ್ಇಎಸ್ 24 (1965), ವಿಭಾಗ 7 ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.