Affine manifold
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂಬುದು ಸಮತಟ್ಟಾದ, ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದು ಎಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಯ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗದಿಂದ ಆವೃತವಾದ (ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ) ಬಹುದ್ವಾರಿ. ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಕಾರ್ಟನ್-ಅಂಬ್ರೋಸ್-ಹಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸುಲಭವಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದು ಅಫೈನ್ ರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಟ್ಲಾಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ-ಅಂದರೆ ಚಾರ್ಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿವೆ (ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ); ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎರಡಕ್ಕೂ ಅಧೀನವಾಗಿರುವ ಅಟ್ಲಾಸ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಎರಡು ಅಟ್ಲಾಸ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಎರಡೂ ಅಟ್ಲಾಸ್ಗಳಿಂದ ಸಣ್ಣ ಅಟ್ಲಾಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಅಫೈನ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಫೈನ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಚಾರ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಅಫೈನ್ ಚಾರ್ಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಫೈನ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಆ ಡೊಮೇನ್ನ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಫೈನ್ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಂಪರ್ಕ (ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಜಾಲದ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂಬುದು ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಜವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲೆಡೆಗೂ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಲೈ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ಯಾನ್ಸಿಯರ್ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಇದು a (G, X)-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು. ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯು ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕವರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ-ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತಿರುವ ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಅದು ನಿಮಜ್ಜನ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಫ್ಲಾಟ್ ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ಅಫೈನ್ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತಾ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು (ಬೀಬರ್ಬಾಚ್ ಗುಂಪುಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಲುಡ್ವಿಗ್ ಬೀಬರ್ಬಾಚ್ ಅವರು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ 18ನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪು ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬೀಬರ್ಬಾಚ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಊಹೆಗಳ ಜಾಲವಾಗಿದೆ; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಇತರ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದವುಗಳೆಂದರೆಃ ಮಾರ್ಕಸ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ (1962), ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಮಾನಾಂತರ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ 2 ರಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪು ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಪಾಲಿಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್ ಊಹೆ (1964) ಹೇಳುತ್ತದೆ. 6ರವರೆಗಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕದ ಹೋಲೋನಮಿ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪಾಲಿಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪು ಪರಿಮಾಣದ ರೂಪವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್ ಊಹೆಯು ಮಾರ್ಕಸ್ ಊಹೆಯ "ಮಾತ್ರ ಇಫ್" ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಚೆರ್ನ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ (1955) ಯೂಲರ್ ವರ್ಗದ ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಫೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ರಚನೆಗಳು ಬಹುಗುಣಗಳ ಮೇಲೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು