Modes of convergence
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವ ಅನೇಕ ಇಂದ್ರಿಯಗಳಿವೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಒಮ್ಮುಖದ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು (ಇಂದ್ರಿಯಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಭೇದಗಳು) ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ವಿಧಾನಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಾಗಿ, ಒಮ್ಮುಖದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (ಟಿಪ್ಪಣಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಸೆಟ್ಗಳು, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು, ಏಕರೂಪದ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು, ಟಿಎಜಿಗಳು (ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು), ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ/ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವು ಏಕರೂಪದ ಜಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮೊದಲ-ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನೆಟ್ಗಳು ಮೊದಲು ಎಣಿಸಲಾಗದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಶೋಧಕಗಳು ಒಮ್ಮುಖದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕೌಚಿ ಬಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಶೋಧಕಗಳು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೌಚಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಕೌಚಿ ಶೋಧಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಒಮ್ಮುಖವು "ಕೌಚಿ-ಒಮ್ಮುಖ" ವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೌಚಿ-ಒಮ್ಮುಖವು ಒಮ್ಮುಖದ ನಂತರದ ಅಸ್ತಿತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸರಣಿಯು ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಒಮ್ಮುಖ, ಇದು ಸರಣಿಯ ಮಿತಿಯು ಸಂಕಲನಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಮಾನದಂಡಗಳ () ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖವು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ), ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಕೆಲವು ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ-ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಮರುಕ್ರಮವಲ್ಲ). ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪಡೆದ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೂಲ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳವು ಬನಾಚ್ (ಅಂದರೆ. : ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ). ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಒಮ್ಮುಖವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಜಾಗವು ಬನಾಚ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಇದರ ಅರ್ಥವು ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖವು ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ರೀತಿಯ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ) ಇದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ತಮ್ಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮುಖ, ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಕೌಚಿ-ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸ್ಥಳವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ಇರುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವು ಬಿಂದುವಾರು ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವು ಅನುಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೋಡೋಮೈನ್ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡರೆ, ಏಕರೂಪದ ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮುಖವು ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ (ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ) ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾದ (ಏಕರೂಪದ) ಒಮ್ಮುಖ (ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಾಂದ್ರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. "ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್" ಯಾವಾಗಲೂ "ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಏಕರೂಪದ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್" ಗೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ "ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ವೈಸ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್" ಎಂದರೆ "ಪಾಯಿಂಟ್ ವೈಸ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್" (ಬಿಂದುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ) ಎಂದರ್ಥ. ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವು ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಒಮ್ಮುಖ ಎರಡನ್ನೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಸ್ಥಳೀಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಆದರೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿದೆ. X ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ (ದುರ್ಬಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿಃ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಸಾಂದ್ರ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ), ಆಗ ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವು ಸಾಂದ್ರವಾದ (ಏಕರೂಪದ) ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ಸ್ಥಳೀಯ" ಮತ್ತು "ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್" ಒಂದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖವು ಧನಾತ್ಮಕ, ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. "ಪಾಯಿಂಟ್ ವೈಸ್ ಅಬ್ಸೊಲ್ಯೂಟ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್" ಎಂದರೆ ಸರಳವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ವೈಸ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್. ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಏಕರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. "ಸೂಪ್") ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮಾನದಂಡ (ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ). ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವಿಷಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖವು ಬಿಂದುವಿಷಯದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾದ (ಏಕರೂಪದ) ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು (ಮೇಲಿನಂತೆ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖ (ಸ್ಥಳೀಯ, ಏಕರೂಪ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖ) ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖ ಎರಡನ್ನೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಡೊಮೇನ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ (ದುರ್ಬಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಹ), ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಳತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಕೇವಲ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಳತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಹಲವಾರು ಒಮ್ಮುಖದ ವಿಧಾನಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು, p-ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಟೋಪೋಲಜಿ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ (ಗಣಿತ) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.