Semi-implicit Euler method
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಯೂಲರ್, ಅರೆ-ಸ್ಪಷ್ಟ ಯೂಲರ್, ಯೂಲರ್-ಕ್ರೋಮರ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್-ಸ್ಟೊರ್ಮರ್-ವೆರ್ಲೆಟ್ (ಎನ್ಎಸ್ವಿ) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗಿದೆ, ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು f ಮತ್ತು g ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ, x ಮತ್ತು v ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳು ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಈ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ವಿಧಾನ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ δt ಸಮಯ ಹಂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು tn = t0 + nδt ಎಂಬುದು n ಹಂತಗಳ ನಂತರದ ಸಮಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು xn + 1ರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ vn + 1 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು vn ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಮಯದ ಹಂತದೊಂದಿಗೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಎರಡನೇ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಇದು Δt ಕ್ರಮದ ಜಾಗತಿಕ ದೋಷವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಬಹುತೇಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ (ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಸಮಯ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಶಕ್ತಿಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಡಿಮೆ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಎರಡು ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುವುದು ಸ್ಟೊರ್ಮರ್-ವೆರ್ಲೆಟ್ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸರಳೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೀಪ್ಫ್ರಾಗ್ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಳೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ದೋಷದ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಕ್ರಮ ಎರಡನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ವಿಧಾನದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರಾನೆನ್ ಅವರು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ಅವರನ್ನು ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಯೂಲರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲಗಳು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವ ವೃತ್ತದೊಳಗೆ ಇದ್ದರೆ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ವಿಧಾನವು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರದೇಶವು ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ವಿಧಾನವು ಎಡ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಲ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎರಡನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಅನುಕರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಫಾರ್ವರ್ಡ್ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್) ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ಗಿಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಹತ್ತಿರ ಬಂದಾಗ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ನೈಜ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಗಳು ಬಲ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಸಹ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು 1 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ರೂಪಾಂತರವು ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಖರವಾದ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವ ಸ್ಥಿರ ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ (ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಹಂತದ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ) ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆವರ್ತನವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು