1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಸರಣಿಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ಅನಂತ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ ಸಿರ್ಕಾ 250-200 ಕ್ರಿ. ಪೂ. ಬಳಸಿದರು. ಇದು ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಮೊತ್ತವು ದೃಶ್ಯ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳು ಈ ಸರಣಿಯು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳಿಗೆ ತನ್ನನ್ನು ತಾನೇ ನೀಡುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಚೌಕ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಎರಡೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನಾಲ್ಕು ತುಣುಕುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಚೌಕವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಕಪ್ಪು ಚೌಕವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ × = ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡನೇ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಕಪ್ಪು ಚೌಕವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಕಪ್ಪು ಚೌಕವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಕಪ್ಪು ಚೌಕಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರದೇಶವು, ಮತ್ತು ಇದು ಬೂದು ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಳಿ ಚೌಕಗಳು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರದೇಶವೂ ಆಗಿದೆ. ಈ ಮೂರು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಏಕಾಂಕ ಚೌಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ನ ಸ್ವಂತ ವಿವರಣೆಯು, ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದು, ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿತ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಚಿತ್ರವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಅದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೂ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆಃ ದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಕೋನವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಕಪ್ಪು ತ್ರಿಕೋನವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಈ ಆಕೃತಿಯು ದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಉಪ-ತ್ರಿಕೋನದ ನಡುವೆ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಮೂಲೆಯ ತುಣುಕುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಸಂಬಂಧಿತ ರಚನೆಯು ಸಿಯೆರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಅವರ ಪುರಾವೆ ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಆಫ್ ದಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂಬ ತನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಬಳಲಿಕೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಒಳಗಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಮತ್ತು ಅವನು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ; ನಿರ್ಮಾಣದ ಪ್ರತಿ ಹಂತವು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದ ಪ್ರದೇಶದ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವನ ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಮೊದಲ ಹಂತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಲು, ಅವನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳಿಂದ ವಿರಾಮ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆಃ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ 23. ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎ ಅತಿ ದೊಡ್ಡದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಇಳುವರಿಗಳಿಂದ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಎ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇಂದು, ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಅವರ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪದವಿನ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವೂ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಅದೇ ತಂತ್ರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ನ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ 24ರ ಮಿತಿಯು ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ 23ರಲ್ಲಿರುವ ಸೀಮಿತ (ಆದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ) ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಒಳಗಿನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಡಬಲ್ ರಿಡಕ್ಟಿಯೋ ಆಡ್ ಅಬ್ಸರ್ಡಮ್ ಮೂಲಕ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರು ಮೇಲಿನ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಹಂತವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿದೆಃ ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಚ್ಟಿಎಂಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಪುಟದ ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪದಗಳಿಲ್ಲದ ಪುರಾವೆ