1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಹ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ, ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅನುಕ್ರಮ 1 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ (−1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ), ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಾಗಲೀ ಅಥವಾ ಕೆಲವರಿಗೆ-ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಾಗಲೀ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ರೇಖೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌತಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿಃ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳು ಆದಾಗ್ಯೂ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು. ಇದನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ (ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ), ಅಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಒಂದು ಸರಳ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ. ಎಮಿಲಿಯೊ ಎಲಿಜಾಲ್ಡೆ ಈ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಇತರರಿಂದ ಒಂದು ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿ 1−2 + 3−4 + ··1 + 2 + 3 + 4 + ··1 + 2 + 4 + 8 + ··1 − 2 + 4 − 8 + ꯘꯥ1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · · ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಣಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿ 1 (ಸಂಖ್ಯೆ) ಗಣಿತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು