Rotor (mathematics)
ರೋಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ (ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ವಸ್ತುವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮೂಲದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವು ವಿಲಿಯಂ ಕಿಂಗ್ಡನ್ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ನಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಹರ್ಮನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅವರ "ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ದ (ಆಸ್ಡೆಹ್ನಂಗ್ಸ್ಲೆಹ್ರೆ) ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಸ್ಟೆನೆಸ್ ರೋಟರ್ ಅನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅದನ್ನು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ "ಹಿಮ್ಮುಖ"-ಅಂದರೆ, ಅದೇ ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ, ಆದರೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ರೋಟರ್ ಸ್ಪಿನ್ (V) ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಂಶದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪ q ಹೊಂದಿರುವ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಸಿಎಲ್ (ವಿ) ವಿ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. (ಕ್ಲ್ (ವಿ) ನಲ್ಲಿನ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ವಿ ಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲಿನ ಝಡ್-ಶ್ರೇಣೀಕರಣವು ಕ್ಲೆ (ವಿ) ಮೇಲೆ ಝಡ್/2ಝಡ್-ಶ್ರೇಣೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕ್ಲೆವೆನ್ (ವಿ) ಸಮ-ಡಿಗ್ರಿ ಬ್ಲೇಡ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಡ್ (ವಿ) ಬೆಸ-ಡಿಗ್ರಿ ಬ್ಲೇಡ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಲ್ (ವಿ) ನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ, ಇದು ವಿ ಮೇಲಿನ ಗುರುತಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆಃ ಇದನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮಲ್ಟಿವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಯ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ಲೇಡ್ನಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ಸರಳ ಟೆನ್ಸರ್), ಇದು ಕೇವಲ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿನ್ (ವಿ) ಗುಂಪನ್ನು ಕ್ಲೆವೆನ್ (ವಿ) ನ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಹು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಆರ್ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಬಹು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು (ಮೈನಸ್) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಇದು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ v ಮತ್ತು ಆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವಿಲೋಮ v−1: ನಡುವೆ ಮಲ್ಟಿವೇಕ್ಟರ್ M ಅನ್ನು ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಮ ದರ್ಜೆಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ರೋಟರ್ ಆರ್ ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಲ್ಟಿವೆಕ್ಟರ್ ಎಂ ಡಬಲ್-ಸೈಡೆಡ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ಪಿನ್ (ವಿ) ಅನ್ನು ಎಸ್ಒ (ವಿ) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. (ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡಿ.) ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕಾಗಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು (ಮೈನಸ್) ಒಂದು ಘಟಕದ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚಿಂಗ್ (ಅಂದರೆ. ನಾರ್ಮಲೈಸ್ಡ್) ಮಲ್ಟಿವೆಕ್ಟರ್ಃ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಾರ್ಮಲೈಸ್ ಮಾಡಲಾದ ರೋಟರ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದುಃ ಪಡೆದ ರೋಟರ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಂತರ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ರಿವರ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸೂಡೋ-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಂತೆಯೇ ಸಂಬಂಧಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯಾಗುವ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕಾಗಿ, ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಚೌಕದ ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ನಾರ್ಮಲೈಸ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬುಕ್ಕೀಪಿಂಗ್ ರೋಟರ್ ಅಗತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಲ್ಟಿವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಡಬಲ್-ಸೈಡೆಡ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ರೋಟರ್ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅನೇಕ ರೋಟರ್ಗಳು ಏಕ-ಸೈಡೆಡ್ ಆಗಿ ರಚಿಸುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ವಸ್ತು ಎಂದು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ-ಅಂದರೆ, ಸ್ಪಿನರ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ರೋಟರ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮದ ಬದಲು ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಂತಹ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ರೋಟರ್ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ, ಅನುವಾದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಡಬಲ್ ರೊಟೇಶನ್ ಲೈ ಗುಂಪು ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರ ಜನರೇಟರ್ (ಗಣಿತ) ಆವೃತ್ತಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.