Limit point compact
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗವು ಒಂದು ಮಿತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರ ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಂದ್ರ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರತೆ, ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಈ ಮೂರು ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ, ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಿನಿಲ್ಲದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಪೇಸ್ ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಜಾಗವು ಅನಂತವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಬ್ಸೆಟ್ನ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವು ಸ್ವತಃ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇನ್ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನಂತ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸದ ಸ್ಥಳಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ (1) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅನಂತ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಆದರೆ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್; (2) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಸೆಟ್; (3) ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪೂರಕ ಟೋಪೋಲಜಿ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗವೂ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗವೂ) ಲಿಮಿಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಟಿ1 ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಣಿಸಲಾಗದಷ್ಟು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರದ ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರ ಸ್ಥಳದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು "ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ" ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ವಿವಿಕ್ತ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅವಿವೇಕದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜಾಗವು ಬೆಸ-ಸಮ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಜಾಗವು T0 ಅಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಮಿತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಎಣಿಸಬಹುದಾದಷ್ಟು ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಲ್ಲದ T0 ಜಾಗದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಮದ ಟೋಪೋಲಜಿ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಟೋಪೋಲಜಿ ಜಾಗವು ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಿಮಿಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಲಿಮಿಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಲಿಮಿಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗದ ನಿರಂತರ ಚಿತ್ರಣವು ಲಿಮಿಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವಿವಿಕ್ತ ಮತ್ತು ವಿವೇಚನಾರಹಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ನಕ್ಷೆಯು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗವು ಸೂಡೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ವಿವೇಚನಾರಹಿತ ಎರಡು-ಬಿಂದು ಜಾಗದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಡೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರದ ನಕ್ಷೆಯು ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗದ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂಡೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗವು ಮಿತಿ ಬಿಂದು compact.Proof: ಇದು ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಟಿಟ್ಜ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲದರಲ್ಲೂ (ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ) ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಒಂದುವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವು ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದೇ ರೀತಿ ನೋಡಿ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಂದ್ರತೆ (ಗಣಿತ).