Resolution of singularities
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪ್ರತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧವಾದ V ಯು ಒಂದು ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಸರಿಯಾದ ದ್ವಿವಾರ್ಷಿಕ ನಕ್ಷೆಯಾದ W → V ಯೊಂದಿಗೆ ಏಕವಲ್ಲದ ವಿಧವಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಹಿರೋನಾಕದಲ್ಲಿ (1964) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ 4 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮೂಲತಃ ಏಕತ್ವಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಿವಿಧ X ನ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಾಗಿತ್ತು, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಾನ್-ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ವೈವಿಧ್ಯ X′. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬೇರೆ ಷರತ್ತನ್ನು ಕೇಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆಃ ನಾವು ಏಕವಚನವಲ್ಲದ X′ ಪ್ರಭೇದವನ್ನು ಮತ್ತು X′ ನಿಂದ X ವರೆಗಿನ ಸರಿಯಾದ ದ್ವಿಗುಣ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ X ಪ್ರಭೇದವು ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು ನಕ್ಷೆಯು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ X′ ಅನ್ನು Xನ ಏಕ-ಅಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ವಿಧವಾದ ಡಬ್ಲ್ಯೂನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ವಿವಿಧ ಎಕ್ಸ್ನ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿಯಮಿತ ವಿಧವಾದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಆಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು (ಷರತ್ತುಗಳ ನಿಖರವಾದ ಆಯ್ಕೆಯು ಲೇಖಕರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ನಿಯಮಿತ ವೈವಿಧ್ಯವಾದ ಡಬ್ಲ್ಯೂನಿಂದ ಡಬ್ಲ್ಯೂಗೆ ಸರಿಯಾದ ಬೈರೇಷನಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂನಿಂದ ಎಕ್ಸ್ನ ಬಲವಾದ ಡಿಸಿಂಗ್ಯುಲರೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಕ್ಸ್ನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಅಸಾಧಾರಣ ಲೋಕಸ್ಗೆ ಅಡ್ಡಹಾಯುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಎಕ್ಸ್ನ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ). X′ ನಿಂದ X ಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ನಕ್ಷೆಯು X. W′ ನ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು W ನ ನಿಯಮಿತ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಅಥವಾ X ನ ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾದ ನಿಯಮಿತ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹಿಂದಿನ ಸ್ಫೋಟಗಳ ಅಸಾಧಾರಣ ಲೋಕಸ್ಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ. W′ ನ ನಿರ್ಮಾಣವು W ಗೆ ನಯವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು W ಅನ್ನು ದೊಡ್ಡ ವೈವಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರತವಾಗಿದೆ. (ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಮಂಜಸವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ನಯವಾಗಿರದ) ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಿಗೆ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.) X′ ನಿಂದ X ವರೆಗಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ W ನಲ್ಲಿ X ಅನ್ನು ಹುದುಗಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸುಗಮ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಫೋಟಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿರೋನಾಕನು, ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0ರ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ X ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಲವಾದ ಡಿಸಿಂಜುಲರೈಸೇಶನ್ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದನು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ಅವನ ರಚನೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿದರು. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಏಕತ್ವಗಳ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಪ್ರತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಜವಲ್ಲಃ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸುಮಾರು 20 ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯದ ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದವರು, ಅವರು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಪುಯ್ಸೆಕ್ಸ್ ಸರಣಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ರೀಮನ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ನಯವಾದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿತು, ಇದು ಅದರ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಲ್ಬನೀಸ್ ವಿಧಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಆಯಾಮದ (ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು) ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಣ್ಣ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಪದೇ ಪದೇ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ n-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಭೇದವು ಗರಿಷ್ಠ n! ನಲ್ಲಿ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, n = 1, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಏಕಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ಹಂತದ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡಿತು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ 1ರಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಒಂದು ಹಂತದ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಈ ಜಾಗವನ್ನು ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುವ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಏಕತ್ವದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ಫೋಟಿಸುವಿಕೆಯು ಈ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕುಲವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನೋಥರ್ನ ವಿಧಾನವು ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದೇ ಪದೇ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಏಕ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇದು ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಏಕತ್ವಗಳು ಕೇವಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ (ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಬಹುಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ). ಬರ್ಟಿನಿಯ ವಿಧಾನವು ನೋಥರ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ದ್ವಿಗುಣ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನೋಥರ್ನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗಿಂತ ದ್ವಿಗುಣ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಏಕತ್ವಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಏಕತ್ವಗಳ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾದರಿಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಇತರ ಎಲ್ಲ ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಉಳಿದವೆಲ್ಲವೂ ಅದರ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಾಗಿವೆ). ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ,,,, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹಲವಾರು ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ನಡೆದಿವೆ, ಆದರೆ ಈ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಾದದ ಕೆಲವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿವೆ (ಅಥವಾ ತಪ್ಪಾಗಿವೆ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದವರು, ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದವರು. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಎಲ್ಲಾ ಅತ್ಯುತ್ತಮ 2-ಆಯಾಮದ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ (ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಸಹ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜರಿಸ್ಕಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯದ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು (ಇದು ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ 1 ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಗಳನ್ನು ಕೊಲ್ಲುತ್ತದೆ) ಪದೇ ಪದೇ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ (ಇದು ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ 2 ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೊಸ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ 1 ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು). ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಹೆಚ್ಚು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರುಃ ಅವರು ಮೊದಲು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ನಂತರ ಜಾರಿಸ್ಕಿ-ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಕೇಂದ್ರವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿರುವಂತಹ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವಿನ ದ್ವಿಗುಣ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಈ ಸೀಮಿತ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಏಕವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಜಂಗ್ನ ವಿಧಾನವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಬಲವಾದ ಹುದುಗಿರುವ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಕೇವಲ ವಿಶೇಷ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು (ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಂಶ ಏಕತ್ವಗಳು) ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಡಿ ಜೋಂಗ್ನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಬನೀಸ್ ವಿಧಾನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಬನೀಸ್ ವಿಧಾನದ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಭೇದಕ್ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ n! ಕ್ರಮದ ಏಕತ್ವಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಇದು 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಏಕತ್ವಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸುಲಭ. ಅಭ್ಯಂಕರರ ವಿಧಾನವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಅತ್ಯಂತ ಕಠಿಣವಾದ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ 1ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ವಲಯಗಳು, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಗುಂಪು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿವಿಕ್ತವಲ್ಲದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಉಳಿದ ಪುರಾವೆಗಳು ಜರಿಸ್ಕಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರಂಕುಶವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಹಿರೋನಾಕದ ವಿಧಾನವು ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಏಕವಚನ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪದೇ ಪದೇ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಲಿಪ್ಮ್ಯಾನ್ನ ವಿಧಾನವು Y ಮೇಲ್ಮೈಯು (2-ಆಯಾಮದ ಕಡಿಮೆ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಯೋಜನೆ) ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು Y ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅದರ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಅಳಿಸಿಹಾಕುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೈ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಡಿಸಿಂಜುಲರೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾದ Z ಅನ್ನು Y ಗೆ ಬೈರೇಷನಲ್ ಸರಿಯಾದ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕುಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಅವರ ವಿಧಾನವಾಗಿತ್ತು. ನಂತರ ಅವರು ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಝಡ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಏಕತ್ವಗಳು ಹುಸಿ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪದೇ ಪದೇ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹುಸಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನೇಕ ತಪ್ಪಾದ ಪ್ರಕಟಿತ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಕಾಣಿಸದ ಪುರಾವೆಗಳ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳಿಗೆ ಕುಖ್ಯಾತವಾಗಿದೆ. ಜಾರಿಸ್ಕಿಯ ವಿಧಾನವು 3-ಮಡಿಕೆಗಳಿಗೆ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು 0 ರಿಂದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಉಂಗುರಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಅವರು ಮೊದಲು ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು 0 ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅವರು ಜಾರಿಸ್ಕಿ-ರೀಮನ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಸ್ಥಳವು ಅರೆ-ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ (ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ) ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಇದು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯದ ಮಾದರಿಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕುಟುಂಬವಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಕನಿಷ್ಠ ಈ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಸುಗಮ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಆಯಾಮ 3 ರದ್ದಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಯ ಅಂತಿಮ ಮತ್ತು ಕಠಿಣ ಭಾಗವೆಂದರೆ, 2 ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪರಿಹರಿಸುವ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು. ಅಭ್ಯಂಕರ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು 6 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ 3-ಪಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಏಕತ್ವದ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಭ್ಯಂಕರನು ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ 3-ಪಟ್ಟು ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಲ್ಬನೀಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕತ್ವವನ್ನು ಬಹುಪಾಲು (ಆಯಾಮ) ಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತಾನೆ! = 3! = 6. ಅಭ್ಯಂಕರ್ ಅವರ ಪುರಾವೆಯ ಸರಳೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ 3-ಮಡಿಕೆಗಳ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಗರಿಷ್ಠ 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮತ್ತು ನಂತರ 3-ಮಡಿಕೆಗಳಿಗೆ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಜಾರಿಸ್ಕಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಇನ್ನೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿರೋನಾಕರ ವಿಧಾನವು ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ರಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಆಯಾಮದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಏಕವಲ್ಲದ ಉಪ-ಪ್ರಭೇದಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪದೇ ಪದೇ ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅವರ ಅಸಾಧಾರಣ ಪುರಾವೆಗಳ ಸರಳೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು,,,,,, ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಜನರು ನೀಡಿದರು. ಇತ್ತೀಚಿನ ಕೆಲವು ಪುರಾವೆಗಳು ಹಿರೊನಾಕನ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಯ ಉದ್ದದ ಹತ್ತನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪದವಿ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡುವಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ, ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ ನೋಡಿ. ಡಿ ಜೋಂಗ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿತು, ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಜಂಗ್ ಅವರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿತು, ಇದನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ರಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಡಿ ಜೋಂಗ್ನ ವಿಧಾನವು ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ದುರ್ಬಲ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಿತು, ಇದು ಅನೇಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವಷ್ಟು ಪ್ರಬಲವಾಗಿತ್ತು. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ಯಾವುದೇ X ಪ್ರಭೇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪ್ರಬಲವಾದ ಸರಿಯಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಇದೆ ಎಂದು ಡಿ ಜೋಂಗ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಆಯಾಮವನ್ನು ನಿಯಮಿತ ವೈವಿಧ್ಯದಿಂದ X ಗೆ ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬೈರೇಷನಲ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಏಕತ್ವಗಳ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ X ನ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಡಿ ಜೋಂಗ್ ಅವರ ಕಲ್ಪನೆಯು X ಅನ್ನು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರುವ ಫೈಬರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಜಾಗ Y ಮೇಲೆ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು (ಇದು X ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು), ನಂತರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಮೂಲಕ Y ಯ ಏಕತ್ವವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು, ನಂತರ ಫೈಬರ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಏಕತ್ವವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು. ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿ ಪರಿಹಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಎಲ್ಲಾ ಯೋಜನೆಗಳು ಅವುಗಳ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲಃ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಯೋಜನೆಯಾದ X, X ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಯೋಜನೆಯ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, X ಅರೆ-ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನೊಥೆರಿಯನ್ ಯೋಜನೆ X ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅರೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಸಹ ಸೂಚಿಸಿದರು. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ಮತ್ತು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ X ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಇದು ಹಿರೊನಾಕನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು X ಗರಿಷ್ಠ 2 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ಲಿಪ್ಮ್ಯಾನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಪಿ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸದ ಸಮೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯ ವಿಧಾನವು ಬಲವಾದ ಡೆಸಿಂಗ್ಯುಲರೈಸೇಶನ್ನ ಅನೇಕ ರಚನೆಗಳಿವೆ ಆದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಜಾಗತಿಕ ವಸ್ತುವನ್ನು (ಡಿಸಿಂಜುಲರೈಸ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ವೈವಿಧ್ಯ) ಸ್ಥಳೀಯ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ವೈವಿಧ್ಯ ಮತ್ತು ಅಸಾಧಾರಣ ವಿಭಾಜಕಗಳ ಆದರ್ಶ ಕೋಶ ಮತ್ತು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೆಲವು ಕ್ರಮಗಳು). ಈ ಸ್ಥಳೀಯ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಫೋಟದ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಜಾಗತಿಕ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವ ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಇದು ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವಿವಿಧತೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಯದ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು (ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೇಂದ್ರಗಳು) ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ ಈ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಸಾಧಾರಣ ವಿಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಸುಗಮ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ರವಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಕೋಶ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಟುಪಲ್ನ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಸಾಧಾರಣ ಭಾಜಕಗಳು ಮತ್ತು ಆ ಆದರ್ಶಕ್ಕೆ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಹೋಗಬೇಕಾದ ಕ್ರಮ, ಡಿ). ಈ ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಆದರ್ಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದರ್ಶದ ಕ್ರಮವು d ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅದರ ಸಹ-ಬೆಂಬಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರುತಿಸಲಾದ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಿಗೆ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಇದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಆಯಾಮದ ಮೇಲೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ n−1 ಆಯಾಮದ ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ಐಡಿಯಲ್ನ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಡಿಸಿಂಗುಲರೈಸೇಶನ್, n ಆಯಾಮದ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ರಮದ ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಡಿಸಿಂಗುಲರೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. n ಆಯಾಮದ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ರಮದ ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಡಿಸಿಂಗುಲರೈಸೇಶನ್, n ಆಯಾಮದ ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ಐಡಿಯಲ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ನ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಡಿಸಿಂಗುಲರೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಅದರ ಸಹ-ಬೆಂಬಲದ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಐಡಿಯಲ್ನ ಕ್ರಮವು d ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ಐಡಿಯಲ್ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ರಮದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಬಲವಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕಾಂಶವೆಂದರೆ ವೈವಿಧ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಸ್ಯಾಮುಯೆಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಬಳಕೆ. ಇದು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬಹುಗುಣವು ಸ್ಫೋಟದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಏಕತ್ವದ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಅದರ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸ್ಫೋಟದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಾಂಫಾಯಿಡ್ ಕಸ್ಪ್ y2 = x5 ಮೂಲದಲ್ಲಿ 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದರ ಏಕ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಫೋಟಿಸಿದ ನಂತರ ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಸ್ಪ್ y2 = x3 ಆಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಇನ್ನೂ ಗುಣಾಕಾರ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮಟ್ಟವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಏಕತ್ವವು ಸುಧಾರಿಸಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಅದು ಇಲ್ಲದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮೂಲದಲ್ಲಿ x2 + y3z + z3 = 0ರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಏಕತ್ವದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದರಿಂದ ಏಕತ್ವ x2 + y2z + yz3 = 0 ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಸ ಏಕತ್ವವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಏಕತ್ವಗಳು ಗುಣಾಕಾರ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು 2,3, ಮತ್ತು 4 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಏಕತ್ವವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ "ಕೆಟ್ಟ" ಏಕತ್ವದ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದು. ವಿಟ್ನಿ ಛತ್ರಿ x2 = y2z ಏಕವಚನವು z ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪಿಂಚ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಏಕತ್ವವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಟ್ಟ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದು ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದರಿಂದ ಸಮನ್ವಯ ನಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಅದೇ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ (ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ) "ಕೆಟ್ಟ" ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದರಿಂದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ ಝಡ್-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ಕೆಟ್ಟ" ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು "ಕೆಟ್ಟ" ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. x = yz = 0ರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕವಚನವಾಗಿರುವ x2 = ymznನಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏಕತ್ವಗಳಿಗೆ, ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದರಿಂದ x2 = ym + n − 2zn ಮತ್ತು x2 = ymzm + n − 2 ಎಂಬ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು m ಮತ್ತು n ಎರಡೂ ಕನಿಷ್ಠ 3 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮೂಲ ಏಕತ್ವಕ್ಕಿಂತ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ. ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ನಂತರ, ಒಟ್ಟು ರೂಪಾಂತರವು (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ಅಸಾಧಾರಣ ವಿಭಾಜಕಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ) ಸರಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳ ಪ್ರಕಾರದ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದೆ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಹಜವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಯವಾದ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಾಟುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುವ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರವು ಒಂದು ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದ್ದಾಗ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ ಆಗಿ ಒಂದು ಸಬ್ವೇರಿಯೇಟಿಯನ್ನು ನಯವಾದ ವೈವಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು) ಸರಳವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಾಟುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಬಲವಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಿಟ್ನಿಯ ಛತ್ರಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟಲ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಮೆಮೊರಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ನಯವಾದ ಉಪವಿಧಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದು. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. x2 = y2z2 ನ ಏಕವಚನ ಸಮೂಹವು y ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಏಕೈಕ ಸಮಂಜಸವಾದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಮೂಲ, ಈ ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕವಚನ ಸೆಟ್ (ಎರಡೂ ಅಕ್ಷಗಳು). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕವಚನ ಗುಂಪನ್ನು ಅದು ನಯವಾಗಿರದ ಕಾರಣ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಅಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು, ಆದರೆ ಇದು ಮೂಲ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ, ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದರಿಂದ ಏಕತ್ವದ ಪ್ರಕಾರವು ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದು ಎರಡು ಏಕ ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಿಂದಿನ ಸ್ಫೋಟಕ್ಕೆ ಅಸಾಧಾರಣ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸ್ಫೋಟಿಸಲು ಈಗ ಅನುಮತಿ ಇದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಈ 2 ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಮರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಸ್ಫೋಟದ ಕೇಂದ್ರವು ಏಕತ್ವದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅದನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಬಳಸುವ ಹಿಂದಿನ ಸ್ಫೋಟಗಳ ಮೇಲೂ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ವಿಧಾನಗಳು (ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ರಲ್ಲಿ) ಎಲ್ಲಾ ನಯವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಿಗೆ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ (ಬಹುಶಃ ನಯವಲ್ಲದ) ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಬಲವಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಫೈನ್ ಸಮತಲ A2 ನಿಂದ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಏಕತ್ವ x2 + y2 = z2 ಗೆ (X, Y) ನಿಂದ (2XY, X2 − Y2, X2 + Y2) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. XY-ಸಮತಲವು ಈಗಾಗಲೇ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಬಾರದು, ಮತ್ತು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಏಕತ್ವದ ಯಾವುದೇ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಏಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಕನಿಷ್ಠ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಮೂಲಕ ಅಪವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, XY-ಸಮತಲದಿಂದ ಈ ಸ್ಫೋಟದವರೆಗಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಕ್ಷೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕನಿಷ್ಠ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು (ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅಂಶಗಳು) 1 ಮತ್ತು 2 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅತಿಯಾ ಫ್ಲಾಪ್ ಕನಿಷ್ಠ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಇಲ್ಲದ ಏಕತ್ವದ 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. A4ಯಲ್ಲಿ Yಯು xy = zwನ ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು Vಯು ಮೂಲದಲ್ಲಿ Yನ ಸ್ಫೋಟವಾಗಿರಲಿ. ಈ ಸ್ಫೋಟದ ಅಸಾಧಾರಣ ಸ್ಥಳವು P1 × P1 ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು 2 ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ P1 ಗೆ ಹಾರಿಸಬಹುದು, ಇದು Y ಯ ಎರಡು ಸಣ್ಣ ನಿರ್ಣಯಗಳಾದ X1 ಮತ್ತು X2 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ಮುಂದೆ ಹಾರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಾರದು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. f: A → B ಯು ಅಫೈನ್ 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಕೋನ್ B ಯ ಮೂಲದ ಸ್ಫೋಟವಾಗಿದ್ದರೆ, f × f: A × A → B × B ಅನ್ನು ಎಟೇಲ್ ಸ್ಥಳೀಯ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಸಾಧಾರಣ ಲೋಕಸ್ ಛೇದಿಸುವ 2 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಟೊರಿಕ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಗಳು, ಟೊರಿಕ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಟೊರಿಕ್ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ಫ್ಯಾನ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕೋನ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಕೋನ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಉಪವಿಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಜಾಲರಿಯ ಆಧಾರದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಟೊರಿಕ್ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. X ನ ನಿಯಮಿತ ಉಪವರ್ಗಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ವಿವಿಧ X ನ ಡಿಸಿಂಜುಲರೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು X ನ ನಯವಾದ ಉಪವರ್ಗಗಳಾಗಿರುವ ಸ್ಫೋಟಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡದಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ವಿಧವಾದ Xನ ಡಿಸಿಂಜುಲರೈಸೇಶನ್ನಿನ ಅನೇಕ ರಚನೆಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ Xಅನ್ನು ನಯವಾದ ವಿಧವಾದ Wನಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತವೆ, Wನಲ್ಲಿ ಅದರ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಆದರ್ಶದ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಡಿಸಿಂಗುಲರೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಆದರ್ಶಗಳ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯು ಆದರ್ಶವು ಎಷ್ಟು ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಆದರ್ಶದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಜಾಗತಿಕ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸ್ಥಳೀಯ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶದ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ಹಿರೊನಾಕಾದ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಕೆಟ್ಟ ಏಕತ್ವಗಳ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರೂಫ್ಸ್ ಇನ್,, ಮತ್ತು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಧಾನವು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುವ ಸ್ಫೋಟಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ವಿಧಾನವು ಎಕ್ಸ್ ನೊಂದಿಗೆ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರ) ಸುಗಮವಲ್ಲದ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ಡಿಸಿಂಜುಲರೈಸೇಶನ್, ಅಮೂರ್ತ ವಿಧವಾದ X ಗೆ ಸೀಮಿತವಾದಾಗ, X ನ ನಿಯಮಿತ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. x, y, z, w ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ y2-x3 ಮತ್ತು x4 + xz2-w3ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲದ ಉಪವಿಭಾಗ X ಆಗಿರಲಿ. ಈ ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಐಡಿಯಲ್ನ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಡಿಸಿಂಗ್ಯುಲರೈಸೇಶನ್ x = y = z = w = 0 ಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ C0 ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುತ್ತದೆ. x-y2 ಮತ್ತು y2 (y2 + z2-w3) ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದರೆ x-ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶದ ರೂಪಾಂತರ. C1 ಅನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮುಂದಿನ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು x = y = 0 ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, X ನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರವು X1 ಆಗಿದೆ, ಇದು x-y2 ಮತ್ತು y2 + z2-w3 ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ C1 ಮತ್ತು X1 ನ ಛೇದನವನ್ನು x = y = 0 ಮತ್ತು z2-w3 = 0 ರಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಯಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. X ಬಲವಾದ ಪುರಾವೆಗಳ ನಿಯಮಿತ ಉಪವಿಧಗಳಿರುವ ಸ್ಫೋಟಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು, W ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಆದರ್ಶದ ಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ X ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಸ್ಯಾಮುಯೆಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯಗಳ ಇತರ ರೂಪಾಂತರಗಳು ನಿರ್ಣಯದ ನಂತರ ಒಟ್ಟು ರೂಪಾಂತರ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರ, X ಮತ್ತು ಅಸಾಧಾರಣ ಭಾಜಕದ ಒಕ್ಕೂಟವು ಸರಳವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಾಟುವ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಈ ರೀತಿಯ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದೆ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಹಜ. ನಯವಾದ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಾಟುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುವ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. X ಒಂದು ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅಂದರೆ. ಇದನ್ನು ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್-ಒನ್ ಸಬ್ ವೇರಿಯೆಟಿಯಾಗಿ ನಯವಾದ ವೈವಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸರಳವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಾಟುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಬಲವಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ನಿಜವೆಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪಿಂಚ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಏಕತ್ವಗಳು ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕವಚನ ಲೋಕಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ (1998ರ 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ) ಮತ್ತು (ಅವರ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಫ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟೀಸ್ನಂತೆಯೇ-ಸಿಯಾಟಲ್ ಉಪನ್ಯಾಸ. , ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಫ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟೀಸ್ I ನಲ್ಲಿ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಹಿರೋನಾಕರ ಭಾಷಣದ ವೀಡಿಯೊ ಆಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯ, ಹಿರೋನಾಕರ ಭಾಷಣದ ವೀಡಿಯೊ. ಏಕತ್ವಗಳ ಕೆಲವು ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರ್ಣಯಗಳು ಒಂದೇಃ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ವರ್ಕಿಂಗ್ ವೀಕ್ ಆನ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಫ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟೀಸ್ ತಿರೋಲ್ 1997, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 7-14,1997, ಒಬೆರ್ಗರ್ಲ್, ತಿರೋಲ್, ಆಸ್ಟ್ರಿಯಾ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಸಮ್ಮರ್ ಸ್ಕೂಲ್ ಆನ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಫ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟೀಸ್, ಜೂನ್ 2006, ಟ್ರೈಸ್ಟೆ, ಇಟಲಿ. ಡೆಸಿಂಗ್-ಏಕತ್ವಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಹೌಸರ್ನ ಮುಖಪುಟವು ಏಕತ್ವಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಕುರಿತು ಹಲವಾರು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಏಕತ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು