Superperfect group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಎರಡು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ H1 (G, Z) = H2 (G, Z) = 0. ಇದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅವರ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಅದರ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ಶುರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಎರಡೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ; ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಶುರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಎರಡನೇ ಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಸ್ವತಃ ಗುಂಪಿನ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ G ಗುಂಪಿನ ಹೋಮೋಲಜಿಯು K (G, 1) ಪ್ರಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ಜಾಗದ ಹೋಮೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ; K (G, 1) ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು G ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು K (G, 1) ನ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿಯು ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಗುಂಪು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನ ಎರಡನೇ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ (ಯುಸಿಇ) ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಿ ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಗೋಳದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಿ ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು (ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗೋಳದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು) ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸೀಮಿತ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪು A5 ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲಃ ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು (ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದರ UCE) ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2,2) ಮತ್ತು ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2,3) ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (ಎನ್, ಕ್ಯೂ) ಗಳು ಸರಳವಾಗಿವೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ), ಆದರೆ ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲ, ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಎಸ್ಎಲ್ (ಎನ್, ಕ್ಯೂ) ಗಳು ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಕುಟುಂಬವು ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪನ್ನು (ಎಸ್ಎಲ್ (2,5) ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ) ಎ5ನ ಯುಸಿಇ (ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2,5) ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ) ಎಂದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜವಲ್ಲಃ ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಅಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎ. ಜಾನ್ ಬೆರಿಕ್ ಮತ್ತು ಜೊನಾಥನ್ ಎ. ಹಿಲ್ಮನ್, "ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು", ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ದಿ ಲಂಡನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ (2) 68 (2003), ನಂ. 3, 683-698. ಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು