Stable normal bundle
ಶಸ್ತ್ರಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ (ದ್ವಿಮುಖವಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ) ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುವ ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಿವೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಪಿಎಲ್-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು. ಮೈಕೆಲ್ ಸ್ಪಿವಾಕ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸ್ಪಿವಾಕ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಎಂಬ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾದೃಶ್ಯವೂ ಇದೆ. ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಾಣ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಹ್ಯಾಸ್ಲರ್ ವಿಟ್ನಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ) ಅನೇಕ ಪಟ್ಟುಗಳ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಇದು ಐಸೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ (ವರ್ಗದ) ಬಂಡಲ್ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣವು ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ-ಸಂಕೀರ್ಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದ ಮೂಲಕ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ (ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ) ಹುದುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ತಂತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪಿಎಲ್-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು), ಒಬ್ಬರು ಬಲವಾದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ವಿವರಗಳು ಎರಡು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಎರಡು ಹುದುಗುವಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕ ಪಟ್ಟು ಅಥವಾ ಇತರ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಜಾಗಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೊನೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು 0: ಆಗಿರಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಇವುಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪ್ರತಿಗಳ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಒಂದೇ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ (ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ) ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು, ಇನ್ನೂ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವಿದೆಃ ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಲ (ಅನೇಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಿರುವುದರಿಂದ), ಅಥವಾ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವಲ್ಲ (ಗುರಿ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸದ ಕಾರಣಃ ಇದು ಕೇವಲ "ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳ"), ಆದರೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ (ಸ್ಥಿರ ವರ್ಗದ) ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ನಂತರ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ಗುರಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ (ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸ್ಥಿರ ಆಯಾಮಕ್ಕಾಗಿ) ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಸ್ಥಿರ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಸ್ಥಿರ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ N ಕೇವಲ n ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ, ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ಬದಲು, ಯಾವುದೇ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಜಾಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಾಣ ಒಂದು ಎನ್-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಸೇರ್ಪಡೆ ಇಳುವರಿಯೊಂದಿಗೆ (ವರ್ಗೀಕರಣ ನಕ್ಷೆಯ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗ) ಸಂಯೋಜಿಸುವ ವರ್ಗೀಕರಣ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು (ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ) ಹೊಂದಿದೆ. ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ (ದೊಡ್ಡದು) ಒಂದು ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ವಿಟ್ನಿ ಮೊತ್ತವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಯುಕ್ತದ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಥವಾ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ವಾಹಕಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಕಲ್ಪನೆ ಇಲ್ಲ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳವು ಯಾವ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಹುದುಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ-ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮೊತ್ತಗಳವರೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳ (ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು). ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕೆ? ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ-ರೀತಿಯ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಕೊಳವೆಯಾಕಾರದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಪರ್ಶಕವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಳೀಯ ರಚನೆಯು ಸುಗಮವಾಗಿಲ್ಲ. X ಜಾಗದ ಮೇಲಿರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಾರುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತವೆ, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳು ಗೋಳಗಳ ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಮರೆತುಹೋಗುವ ನಕ್ಷೆಯು ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಆಗಿದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಕ್ಸ್ಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಡಚಣೆಯೆಂದರೆ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಎತ್ತುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಪಿವಾಕ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಅನ್ನು ಎತ್ತಬೇಕು, ಇದು ನಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಗೋಡೆಯ ಶಸ್ತ್ರಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ಅಡಚಣೆಯು ಎರಡನೆಯ ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಶಸ್ತ್ರಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಡಚಣೆಯಾಗಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ನಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಎರಡು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕಾದರೆ, ಅದು ಎನ್ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಎಂ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು (ಅಸ್ಥಿರ) ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಶಸ್ತ್ರಚಿಕಿತ್ಸೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ