Schröder–Bernstein theorems for operator algebras
ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಶ್ರೋಡರ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂದರ್ಭ ಆಪರೇಟರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಅಂತಹ ನಿರ್ವಾಹಕ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳಿಗೆ, ಎಂ ಒಂದು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಇ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಎಫ್ ಎಂನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ. ಎಂನಲ್ಲಿ ಮುರ್ರೆ-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಇ ~ ಎಫ್ '≤ ಎಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಇ "ಎಫ್ ನಿಂದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಮೇಲೆ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಯು * ಯು = ಇ ಮತ್ತು ಯು * ≤ ಎಫ್ ಇದ್ದರೆ ಇ" ಎಫ್. ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಅಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಮೇಲೆ ಪಿಎಂ ಮತ್ತು ಪಿಎನ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು, ಪಿಎಂ ಪಿಎನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಎಂ, ಎಂ "ಎನ್ ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಶ್ರೋಡರ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಂ "ಎನ್ ಮತ್ತು ಎನ್" ಎಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಂ ~ ಎನ್. ಒಂದು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಾದವನ್ನು ಹೋಲುವ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ, N "M ಎಂದರೆ N ಅನ್ನು M ನಲ್ಲಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ N0 ಎಂಬುದು M ನಲ್ಲಿ N ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಕಲಾಗಿದೆ. ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ, N, ಆದ್ದರಿಂದ N0, M ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಕಲನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸಹ ನಿಜ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಗಮನಿಸಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಈಗ ~ ನ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಶ್ರೋಡರ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಾದೃಶ್ಯವೂ ಇದೆ. A ಯು C *-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, A ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು A ಯಿಂದ L (H) ಗೆ ಒಂದು *-ಏಕರೂಪತೆ, ಕೆಲವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ H ನಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು. L (H) ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ P ಇದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ P φ (a) = φ (a) P ಅನ್ನು A ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು a ಗೆ, ನಂತರ φ ನ ಉಪ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ σ (a) ಎಂಬುದು φ (a) ಅನ್ನು P ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ φ ಅನ್ನು ಎರಡು ಉಪ ನಿರೂಪಣೆಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. H1 ಮತ್ತು H2ಗಳ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ φ1 ಮತ್ತು φ2 ಎಂಬ ಎರಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು, ಪ್ರತಿ a ಗೆ φ1 (a) U = Uφ2 (a) ನಂತಹ ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕ U: H2 → H1 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೋಡರ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಾದ H ಮತ್ತು Gಯಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ρ ಮತ್ತು σ ಎಂಬ ಎರಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದರ ಉಪ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಿಂದಿನ ವಾದವನ್ನು ಹೋಲುವ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. H ನಿಂದ G ಗೆ ಮತ್ತು G ಯಿಂದ H ಗೆ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಭಾಗಶಃ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ಊಹೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಾದಕ್ಕೆ ಅಂತಹ ಎರಡು ಭಾಗಶಃ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಈಗ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಭಾಗಶಃ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗಾಗಿ ಶ್ರೋಡರ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಶ್ರೋಡರ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಿ. ಬ್ಲ್ಯಾಕ್ಅಡಾರ್, ಆಪರೇಟರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 2006. ಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ನಿರ್ವಾಹಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು