Pivot element
ಪಿವೋಟ್ ಅಥವಾ ಪಿವೋಟ್ ಅಂಶವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಒಂದು ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್, ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ), ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಿವೋಟ್ ನಮೂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅದರಿಂದ ದೂರವಿರಬೇಕು; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ನಂತರ ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ಗಳ ವಿನಿಮಯವು ಪಿವೋಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ತರಲು ಮತ್ತು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ರೌಂಡ್-ಆಫ್ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ರೋ ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಥವಾ ವಿಂಗಡಿಸುವುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ವಿರಳವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ; ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಕೇವಲ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಗಾ ಇಡುತ್ತವೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವೆಚ್ಚಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ. ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಪಿವೋಟ್ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು. ಶೂನ್ಯ ಪಿವೋಟ್ ಅಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಲುಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ರ ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ. ಪಿವೋಟಿಂಗ್ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಿವೋಟ್ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಖ್ಯಾ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೌಂಡ್-ಆಫ್ ದೋಷದಿಂದ ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು x1 = 10.00 ಮತ್ತು x2 = 1.000 ನ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ, a11 ನ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಸಣ್ಣ ರೌಂಡ್-ಆಫ್ ದೋಷಗಳನ್ನು ಪ್ರಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಇಲ್ಲದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ x1 ≈ 9873.3 ಮತ್ತು x2 ≈ 4 ರ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ ಸರಿಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಾದ x1 = 10.00 ಮತ್ತು x2 = 1.000 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಸ್ತುತ ಪಿವೋಟ್ ಅಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ನಿಂದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಮೂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಲು ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಕಾಲಮ್ನ ಸಾಲು ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ವಿನಿಮಯ ಸಾಲುಗಳು ಪಿವೋಟ್ ಅಂಶವನ್ನು ಅದೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿರುವ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ರೌಂಡ್-ಆಫ್ ದೋಷವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಭಾಗಶಃ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗೆ, ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಖರತೆಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ (ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಪಿವೋಟಿಂಗ್) ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ) ಅಂಶವನ್ನು ಪಿವೋಟ್ ಆಗಿ ಬಳಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳೆರಡನ್ನೂ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವೆಚ್ಚದಿಂದಾಗಿ, ಅದು ಒದಗಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸುಧಾರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಅದರ ಕಡಿಮೆ ದಕ್ಷತೆಯಿಂದ ಮೀರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಕ್ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ತಂತ್ರವು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳೆರಡನ್ನೂ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಪಿವೋಟ್ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಪ್ರವೇಶ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಪ್ರವೇಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಉಳಿದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಪಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಸೀರಿಯಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಈ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಭಾಗಶಃ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ಗಿಂತ ಕೇವಲ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ವೆಚ್ಚವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ಗಿಂತ ಅಗ್ಗವಾಗಿದೆ. ರೂಕ್ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೇಲ್ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಭಾಗಶಃ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಎಂದು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅದರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ನಮೂದನ್ನು ಪಿವೋಟ್ ಅಂಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಮೂದುಗಳ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ರೌಂಡ್-ಆಫ್ ದೋಷದ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದಾಗ ಈ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲ್ ಪಿವೋಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಲಿನ ನಮೂದುಗಳು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಹಳವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಪಿವೋಟ್ ಅಂಶ 30 5.291 ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಅದರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ನಮೂದುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೋ ಇಂಟರ್ಚೇಂಜ್ ಇಲ್ಲದೆ, ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷಗಳನ್ನು ಪ್ರಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿವೋಟ್ ಸ್ಥಾನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಪಿವೋಟ್ ಸ್ಥಾನ, ಎ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಸ್ಥಾನವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎ ನ ಕಡಿಮೆ ಸಾಲು ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಲು-ಲೀಡಿಂಗ್ 1 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎ ಯ ಕಡಿಮೆ ರೋ ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪಿವೋಟ್ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ರೋ ಇಂಟರ್ಚೇಂಜ್ಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆಯೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೆ, ಸಾಲಿನ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಲು ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಆರ್. ಎಲ್. ಬರ್ಡನ್, ಜೆ. ಡಿ. ಫೈರ್ಸ್, ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, 8ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಥಾಮ್ಸನ್ ಬ್ರೂಕ್ಸ್/ಕೋಲ್, 2005. ಜಿ. ಎಚ್. ಗೋಲಬ್, ಸಿ. ಎಫ್. ಲೋನ್, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಷನ್ಸ್, 3ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಜಾನ್ಸ್ ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್, 1996. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವಿನಿಮಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಎಸ್. ವಿ.: ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ