Undefined (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ ರೂಪ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಈ ಪದವು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ "ಬಿಂದು", "ರೇಖೆ" ಮತ್ತು "ಸಮತಲ" ಎಂಬ ಪದಗಳು). ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು "ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದಗಳು" ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ "ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾದಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಅದರ ಒಪೆರಾಂಡ್ಗಳ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸದಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಾಗಿಸುವುದು). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಒಪೆರಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು "ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ 2 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ-4,-9,-16 ಇತ್ಯಾದಿ. (ಉದಾಃ 6x6 = 36 ಮತ್ತು-6x-6 = 36). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಪದಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದವು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು "ಯಾವುದೇ ಭಾಗವಿಲ್ಲದದ್ದು" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆಧುನಿಕ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ("ಬಿಂದು" ನಂತಹ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೆ ಬಿಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ (ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ವಿಧಾನವು ಫಲಪ್ರದವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಈ "ಬಿಂದುಗಳ" ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವರ್ಗವು "ವಸ್ತುಗಳು" ಮತ್ತು "ಬಾಣಗಳನ್ನು" ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅವು ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾಚೀನ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಅಂತಹ ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು 1ಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕೇ ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೆ ಬಿಡಬೇಕೇ ಎಂಬ ಬಗ್ಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಯಾವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆ ಕಾರ್ಯವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ "ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ, ಇವುಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇವುಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ) ಋಣಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಏಕತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ ಏಕತ್ವಗಳು (ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು), ಧ್ರುವಗಳು (ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು), ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಏಕತ್ವಗಳ (ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ) ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಕಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಗಣನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು "f (a) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು "ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅನಂತ ಹುಸಿ-ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯು ಸ್ವತಃ ಯಾವುದೇ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು, ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಸಂವೇದನಾಶೀಲ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲಃ (ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್