Khintchine inequality
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಖಿಂಚಿನ್ರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾದ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗಿರುವ ಖಿಂಚೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಶೋಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಮೊತ್ತದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಅದು ಸರಾಸರಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ತುಂಬಾ ದೂರವಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಎಂದರೆ ಐ. ಡಿ. ಆಗಿರಬೇಕು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅಂದರೆ, ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ. ಬಿಡಿ ಮತ್ತು ಬಿಡಿ. ನಂತರ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸಂಕೇತನಕ್ಕಾಗಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ತೀಕ್ಷ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಾಗರುಪ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ (ಉಲ್ಲೇಖ. 2; ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ನೋಡಿ. 3 ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ). ಯಾವಾಗ, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸರಳ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಹಾಗೇರುಪ್ ಅವರು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಉಪಯೋಗಗಳು ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಳಕೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಳಕೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಃ ನಾವು ಎರಡು ಎಲ್ಪಿ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ಸೀಮಿತ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಖಿಂಟ್ಚೈನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾವೆಲ್ ಹಿಟ್ಸೆಂಕೊ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯೆಂದರೆಃ ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಅವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಇವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಾಗದವು ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮಾರ್ಸಿನ್ಕಿವಿಕ್ಜ್-ಝಿಗ್ಮಂಡ್ ಅಸಮಾನತೆ ಬರ್ಕ್ಹೋಲ್ಡರ್-ಡೇವಿಸ್-ಗಂಡಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಥಾಮಸ್ ಎಚ್. ವೋಲ್ಫ್, "ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು" ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಲೆಕ್ಚರ್ ಸರಣಿ ಸಂಪುಟ. 29, 2003. ಉಫ್ಫೆ ಹಾಗೆರಪ್, "ಖಿಂಟ್ಚೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು", ಸ್ಟಡಿಯಾ ಮಠ. 70 (1981), ನಂ. 3, 231-283 (1982). ಫೆಡೋರ್ ನಜರೊವ್ ಮತ್ತು ಅನಾಟೊಲಿ ಪೊಡ್ಕೋರಿಟೊವ್, "ಬಾಲ್, ಹ್ಯಾಗರಪ್, ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳು", ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ನಿರ್ವಾಹಕರು, ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು, 247-267, ಆಪರೇಷನ್. ಥಿಯರಿ ಅಡ್ವ. , 113, ಬಿರ್ಖೌಸರ್, ಬಾಸೆಲ್, 2000. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು