Category of manifolds
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾನ್ಫ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅವರ ವಸ್ತುಗಳು ಮೃದುತ್ವ ವರ್ಗದ ಸಿ. ಪಿ. ಯ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವರ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಪಿ-ಟೈಮ್ಸ್ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಸಿ. ಪಿ. ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮತ್ತೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಿ. ಪಿ. ವರ್ಗದದ್ದಾಗಿದೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ವರ್ಗ ಎ ನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಸಿಪಿ-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಮ್ಯಾನ್ (ಎ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಳ Eಯ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ Cp-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಮ್ಯಾನ್ಪ್ (E) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೃದುವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗವಾದ ಮ್ಯಾನ್ φ, ಅಥವಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗವಾದ ಮ್ಯಾನ್ ω ಬಗ್ಗೆಯೂ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಮ್ಯಾನ್ಪ್ ಒಂದು ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಅನೇಕ ವರ್ಗಗಳಂತೆ, ಮ್ಯಾನ್ಪ್ ವರ್ಗವು ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ವಸ್ತುಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ (ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಿಪಿ-ಭೇದಾತ್ಮಕ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಚಾರ್ಟ್ಗಳ ಅಟ್ಲೇಸ್ಗಳ ಸಮಾನ ವರ್ಗ) ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಯು ಇದೆಃ ಮಾನ್ಪ್ → ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪಿ-ಟೈಮ್ಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ U′: Manp → ಅನ್ನು ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ p-ಟೈಮ್ಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟೆಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಪೇಸ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರ ಅಥವಾ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಮ್ಯಾನ್ ಪಿ ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ-ಪಾಯಿಂಟೆಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವರ್ಗ. ಮ್ಯಾನ್ ಪಿ ನ ವಸ್ತುಗಳು ಜೋಡಿಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಜೊತೆಗೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಬೇಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಪಿ-ಟೈಮ್ಸ್ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆಃ ಉದಾ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಅಲ್ಪವಿರಾಮ ವರ್ಗದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ-ಮ್ಯಾನ್ ಪಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಆ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ನಿಂದ ಮ್ಯಾನ್ ನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಬೇಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಮ್ಯಾನ್ ಪಿ ಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ನೋಡಬಹುದುಃ ಚೂಪಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್) ನೀಡಿದ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆಃ ಈ ನಿರ್ಮಾಣವು ನಿಜವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.