Dual cone and polar cone
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ ಮತ್ತು ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನ್ಗಳು ನಿಕಟವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ. ವಾಹಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು C ಯ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ C ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ X ರಿಯಾಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆರ್ಎನ್, ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಸಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಕೋನ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ X ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಉಪಗುಂಪು C′Xನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ Xನ ಮೇಲಿನ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಂಪಾಗಿದೆಃ, ಇದು-C ಗುಂಪಿನ ಧ್ರುವವಾಗಿದೆ. C ಏನೇ ಇರಲಿ, ಅದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿ ಷ್ {0} ಆಗಿದ್ದರೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಆಂತರಿಕ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್), ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ನಿಜವಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಆರ್ಎನ್) ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಆಂತರಿಕ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. C ಗೆ ಈ ನಂತರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, C ಒಂದು ಕೋನ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕ y C ನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಃ y ಎಂಬುದು C. y ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು C ಆ ಬೆಂಬಲಿತ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಸಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ ಒಳಾಂಗಣವನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಸಿ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಿ * ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸಿ ಒಂದು ಕೋನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಿ ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಸಿ ಖಾಲಿ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಿ ಎಂಬುದು ಸಿ ಹೊಂದಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ (ಹೈಪರ್ಪ್ಲೇನ್ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮ) ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನ್ ಸಿ ಅನ್ನು ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಸಜ್ಜುಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಸ್ವಯಂ-ಡ್ಯುಯಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆಂತರಿಕ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ ಸಿ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಜವಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಲೇಖಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋನ್ ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಡ್ಯುಯಲ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ವಯಂ-ಡ್ಯುಯಲ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಬೇಸ್ ಸೆಲ್ಫ್-ಡ್ಯುಯಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬೇಸ್ ಗೋಳಾಕಾರವಾಗಿಸಲು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನ್ ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಡ್ಯುಯಲ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್. ಎನ್. ನ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆರ್ಥಂಟ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಥಳವು ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನ್ಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಗೋಳಾಕಾರದ ಕೋನ್ಗಳು", "ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಕೋನ್ಗಳು" ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಐಸ್ಕ್ರೀಮ್ ಕೋನ್ಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಹಾಗೆಯೇ R3 ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನ್ಗಳು, ಅವುಗಳ ತಳವು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಆಗಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ನಿಯಮಿತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಆರ್ 3 ನಲ್ಲಿರುವ ಕೋನ್, ಇದರ ತಳವು "ಮನೆ": ಚೌಕದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಮತ್ತು ಚೌಕದ ಹೊರಗಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಚೌಕದ ಒಂದು ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು (ಸೂಕ್ತ ಎತ್ತರದ) ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನ್ X ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ C ಗೆ, C ಯ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ ನ ಋಣಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಕೋ =-ಸಿ. X ನಲ್ಲಿನ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ C ಗೆ, ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನ್ C ಯ ಧ್ರುವೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.