Cohomological dimension
ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವು ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿ, ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವು "ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ" R ನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, R = Z, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ. ಜಿ ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪು, ಆರ್ ಒಂದು ಘಟಕದೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಂಗುರ ಮತ್ತು ಆರ್ಜಿ ಗುಂಪು ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಆರ್ಜಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್ ಉದ್ದದ ಎನ್, ಅಂದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಜಿ ಗುಂಪು ಎನ್ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಿಡಿಆರ್ (ಜಿ) ≤ ಎನ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ RG-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು P0,., Pn ಮತ್ತು RG-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು dk: PkPk−1 (k = 1,., n) ಮತ್ತು d0: P0R ಇವೆ, ಅಂದರೆ dk ಯ ಚಿತ್ರವು k = 1,., n ಗೆ dk−1 ನ ಕರ್ನಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು dn ನ ಕರ್ನಲ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ RG-ಘಟಕ M ಗೆ, M ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ G ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ k> n ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವು n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, k> n ಬಂದಾಗಲೆಲ್ಲಾ Hk (G, M) = 0. ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಗೆ p-ಆಲ್ಕೊಮಾಲಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ p-ತಿರುಚು ಗುಂಪುಗಳಾದ Hk (G, M) {p} ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. G ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವು n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುವ ಚಿಕ್ಕ n, G ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ (ಗುಣಾಂಕಗಳು R ನೊಂದಿಗೆ), ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಜಿ ಗುಂಪಿನ ಮುಕ್ತ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X ಎಂಬುದು ಕೋಶಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪು G ಯ ಮುಕ್ತ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಯಾಮ n ರ ಸಂಕುಚಿತ CW ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಜಾನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಲಿಂಗ್ಸ್ (ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿಗೆ) ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಸ್ವಾನ್ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಗೆ) ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಲಿಂಗ್ಸ್-ಸ್ವಾನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಿ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಟ್ಯಾಲಿಂಗ್ಸ್-ಸ್ವಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಕರ್ನಲ್ನೊಂದಿಗಿನ ಜಿ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಜಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಗೋಳವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್, ಸಂಪರ್ಕಿತ, ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಆಯಾಮದ ಮುಚ್ಚಿದ, ಸಂಪರ್ಕಿತ, ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಆಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ n-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾನ್ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳು ಅನಂತ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ತಿರುಚು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳಿಗೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರ ಗ್ರೂಪ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ಜಿ ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎ ಗ್ರೂಪ್ ಜಿ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು 0 ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಕ್ರಮವು (ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಗಳು) ವಿಲೋಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಲಿಂಗ್ಸ್-ಸ್ವಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಮಾರ್ಟಿನ್ ಡನ್ವುಡಿ, ಒಂದು ಗುಂಪು ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವಾಗಬಹುದಾದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮ ಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪಿ-ಆಲ್ಕೋಹೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವು ಕೆ ನ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಪಿ-ಆಲ್ಕೋಹೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಕೆ ನ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವು ಎಲ್ಲದರ ಮೇಲೆ ಪಿ-ಆಲ್ಕೋಹೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರ k ಯ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಗಾನಿಯಾ ಕನ್ಜೆಕ್ಟರ್ ಗ್ರೂಪ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗ್ಲೋಬಲ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಥಿಯರಿ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.