Homotopy category of chain complexes
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅಡಿಟಿವ್ ವರ್ಗ ಎ ಯಲ್ಲಿ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗ ಕೆ (ಎ) ಸರಪಳಿ ಹೋಮೋಟಾಪಿಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಚೌಕಟ್ಟಾಗಿದೆ. ಇದು ಎ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಎ ಯ ಕೊಮ್ (ಎ) ಮತ್ತು ಎ ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗ ಡಿ (ಎ) ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ; ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಇದು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಅದರ ರಚನೆಯು ಎ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಎಂದು ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಡಿ (ಎ) ಕೋಮ್ (ಎ) ನಲ್ಲಿನ ಅರೆ-ಸಮರೂಪತೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಮರೂಪತೆಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ಕೆ (ಎ) "ಒಳ್ಳೆಯ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ" ಅರೆ-ಸಮರೂಪತೆಗಳಿರುವವುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹಾಗೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಡಿ (ಎ) ಗಿಂತ ಕೆ (ಎ) ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಎ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ. ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗ ಕೆ (ಎ) ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆಃ ನಾವು ಎ, ಬಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎ ನಿಂದ ಬಿ ಗೆ ಎಫ್, ಜಿ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ ನಿಂದ ಜಿ ಗೆ ಸರಪಳಿ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯು ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ (ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲ) ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದುಃ ನಾವು ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಸರಪಳಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಅಥವಾ ಅದು ಶೂನ್ಯ-ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಅಥವಾ 0 ಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯ-ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಕೆ (ಎ) ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅದರ ವಸ್ತುಗಳು ಕೋಮ್ (ಎ) ನ ವಸ್ತುಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು. ಇದರ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು "ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಹೋಮೋಟಾಪಿ": ಅಂದರೆ, f ಯು g ಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಅಂಶ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಶೂನ್ಯ-ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಇದು ಸಂಯೋಜಕ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಒಬ್ಬರು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸೀಮಿತ-ಕೆಳಭಾಗವನ್ನು (n <<0 ಗೆ an = 0), ಸೀಮಿತ-ಮೇಲಿರುವ (n>> 0 ಗೆ an = 0), ಅಥವಾ ಸೀಮಿತವಾದ (|n |>> 0 ಗೆ an = 0) ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಒಬ್ಬರು ಸೀಮಿತ-ಕೆಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆ + (ಎ), ಕೆ-(ಎ) ಮತ್ತು ಕೆಬಿ (ಎ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ (ಎ) ಯಲ್ಲಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುವ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಮತ್ತೊಂದು ನಕ್ಷೆ ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಎರಡು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿವೆಃ ಮತ್ತು. "ಹೋಮೋಟೋಪಿ" ಎಂಬ ಹೆಸರು, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಏಕ ಸರಪಳಿಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ (ಮೇಲಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಎರಡು ಸರಪಳಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳು f ಮತ್ತು g ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ (f−g) ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಗಡಿಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯು ಅರೆ-ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. (ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಳ್ಳು.) ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ (ಎ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ) ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ರಚನೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಎ ಯ ಶಿಫ್ಟ್ ಎ [1] ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ (ಗಮನಿಸಿ), ಅಲ್ಲಿ ಭೇದವು. ಎಫ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಕೋನ್ಗಾಗಿ ನಾವು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಗಳಿವೆ ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗ ಕೆ (ಎ) ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಒಬ್ಬರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ (ಕೆ (ಎ) ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾದ) ಹೋಮೋಟೋಪಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ A, B ಮತ್ತು f. ಇದು K + (A), K− (A) ಮತ್ತು Kb (A) ಎಂಬ ಸೀಮಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಕೋಮ್ (ಎ) ನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೂ, ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆ ವರ್ಗವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯ ಕೋನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ 0 ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರದ ಕಾರಣ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶೂನ್ಯ ನಕ್ಷೆಯು ಸಮರೂಪ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕೆ (ಎ) ಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ). ಇದಲ್ಲದೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಕೋಮ್ (ಎ) ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ (ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ) ಕೆ (ಎ) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ವರ್ಗ ಸಿ ಯ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗ ಹೋ (ಸಿ) ಅನ್ನು ಸಿ ಯಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಸಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವಾದರೆ ಇದು ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿಗೆ ಕುದಿಯುತ್ತದೆ). ಸಿ ಸೂಕ್ತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕೋನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಹೋ (ಸಿ) ಕೂಡ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಯೋಜಕ ವರ್ಗಗಳು