Leibniz harmonic triangle
ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನವು ಏಕಾಂಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ತ್ರಿಕೋನ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಹೊರಗಿನ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಸ್ಪರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಒಳಗಿನ ಕೋಶವು ಮೇಲಿನ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, (ಅಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎಂದಿಗೂ r ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೊದಲ ಎಂಟು ಸಾಲುಗಳೆಂದರೆಃ ಛೇದಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂಕಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ 1s ಆಗಿವೆ. ಪದಗಳು ಪದಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ನಮೂದು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ನಮೂದುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೀಬ್ನಿಜ್ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ನಮೂದು ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ನಮೂದುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ನಮೂದು (1/30) 6 ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು (1/60) ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದಂತೆಯೇ, ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಕೂಡ ಮಾಡಬಹುದುಃ ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ "ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ ನಮೂದುಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಪದಗಳಾಗಿವೆ". ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಕರ್ಣೀಯವು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ ಕರ್ಣೀಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಮೊದಲ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಕರ್ಣೀಯವು 1/(1x ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಎರಡನೆಯದು 1/(2x ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಮೂರನೆಯದು 1/(3x ಚತುಷ್ಕೋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಾಮರಸ್ಯದ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಮೂದು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಆಯಾ ನಮೂದಿನ ಪರಸ್ಪರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಯಾ ಸಾಲಿನ ಪರಸ್ಪರದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮರಸ್ಯದ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ನಮೂದು ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಆಯಾ ನಮೂದು ಅನಂತ ಸರಣಿ ಯಾವುದೇ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳ ಅನಂತ ಮೊತ್ತವು ಹಿಂದಿನ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸರಣಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ದೂರದರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಅನಂತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯು ಮೂಲತಃ 1694 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸುತ್ತ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3ನೇ ಸಾಲಿಗೆ, ನಾವು 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಪಾಸ್ಕಲ್ನ ನಿಯಮ ಹಾಕಿ-ಸ್ಟಿಕ್ ಗುರುತಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ-ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಗಳು