1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು 1 ಆಗಿದೆ. ಸಂಕಲನ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಈ ಸರಣಿಯು ಪ್ರಾಚೀನತೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ತಾತ್ವಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಝೆನೊನ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಪುರಾವೆ ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಸರಣಿಯಂತೆ, ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ವಾದಗಳ ಮೂಲಕ, ಈ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವು ಅನಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಪದವು 0 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಝೆನೋದ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಝೆನೋದ ಅನೇಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆಗಳ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಲ್ಲಿ, ಯೋಧ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆ ವಿರುದ್ಧ ಸ್ಪರ್ಧಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಈ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ 100 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 10 ಮೀಟರ್ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಓಡಬಹುದಾದರೆ, ಆಮೆ ಕೇವಲ 5 ಮೀಟರ್ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಓಡಬಹುದಾಗಿತ್ತು. 10 ಮೀಟರ್ ಮುನ್ನಡೆ ಹೊಂದಿರುವ ಆಮೆ ಗೆಲ್ಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ಝೆನೋ ವಾದಿಸಿದರು. ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯಲು ಅಕಿಲ್ಸ್ 10 ಮೀಟರ್ ಚಲಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಆಮೆಯು ಆಗಲೇ ಇನ್ನೂ ಐದು ಮೀಟರ್ ಚಲಿಸುತ್ತಿತ್ತು. ಅಕಿಲ್ಸ್ ನಂತರ 5 ಮೀಟರ್ ಚಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆಮೆ 2.5 ಮೀಟರ್ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಆಮೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಕಿಲೆಸ್ಗಿಂತ ಮುಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಝೆನೋ ವಾದಿಸಿದರು. ಡೈಕೋಟಮಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರವನ್ನು ಚಲಿಸಲು, ನೀವು ಅದರ ಅರ್ಧವನ್ನು, ನಂತರ ಉಳಿದ ಅಂತರದ ಅರ್ಧವನ್ನು ಚಲಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಅನಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯ ಒಂದು ಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಹೋರಸ್ನ ಕಣ್ಣಿನ ಭಾಗಗಳು ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಆರು ಸಾರಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಒಮ್ಮೆ ಭಾವಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಯುಗಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಖಾಲಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಈ ಸರಣಿಯ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಪ್ರಾಚೀನ ಟಾವೊವಾದಿ ಪುಸ್ತಕವಾದ ಝುವಾಂಗ್ಜಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. "ಆಲ್ ಅಂಡರ್ ಹೆವನ್" ಎಂಬ ವಿವಿಧ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ "ಒಂದು ಚಿ ಉದ್ದನೆಯ ಕೋಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಪ್ರತಿದಿನ ಅರ್ಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ, ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಯುಗಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಖಾಲಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ". ಸಹ ನೋಡಿ 0.999.1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ꯘꯥ ವಾಸ್ತವಿಕ ಅನಂತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿ 1 (ಸಂಖ್ಯೆ)