Data transformation (statistics)
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ದತ್ತಾಂಶ ರೂಪಾಂತರವು ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ-ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದು zi ಅನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮೌಲ್ಯ yi = f (zi) ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ f ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ದತ್ತಾಂಶವು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅರ್ಥವಿವರಣೆ ಅಥವಾ ನೋಟವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುತೇಕ ಯಾವಾಗಲೂ, ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಅಳತೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಕೆಲವು ಕರೆನ್ಸಿ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಜನರ ಆದಾಯದ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಆದಾಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು, ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರೇರಣೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಬರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಅಂದಾಜು 95 ಪ್ರತಿಶತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸರಳ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಪ್ಲಸ್ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಘಟಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶ 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಸಮಂಜಸವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ವಕ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವು ಅತ್ಯಂತ ಮಧ್ಯಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಅಂದಾಜು ಕಳಪೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು ತಪ್ಪಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಗಣನೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ಪುರಾವೆ ಇದ್ದಾಗ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೊದಲು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಯಸಿದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ಪ್ಲಾಟ್ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಶ್ವದ ದೇಶಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ರತಿ ದೇಶದ ಭೂಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿವೆ. ಬದಲಾಗದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಚದರ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆ), ಹೆಚ್ಚಿನ ದೇಶಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನ ಕೆಳಗಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಗಿಯಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ದೇಶಗಳು ಗ್ರಾಫ್ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರದೇಶದ ಸುತ್ತಲೂ ತೆಳುವಾಗಿ ಹರಡಿರುತ್ತವೆ. ಕೇವಲ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮರುಬಳಕೆ ಮಾಡುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾವಿರ ಚದರ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಅಥವಾ ಲಕ್ಷಾಂತರ ಜನರಿಗೆ) ಇದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಅಂಕಗಳು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಹರಡುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಥವಾ ದೃಶ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ದತ್ತಾಂಶ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಅರ್ಥವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಕಾರುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಇಂಧನ ಮಿತವ್ಯಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹೋಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಪ್ರತಿ ಲೀಟರ್ಗೆ ಕಿಲೋಮೀಟರ್" ಅಥವಾ "ಪ್ರತಿ ಗ್ಯಾಲನ್ಗೆ ಮೈಲುಗಳು" ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಕಾರನ್ನು ಓಡಿಸುವಾಗ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಒಂದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇಂಧನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಸ್ಪರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿ ಕಿಲೋಮೀಟರಿಗೆ ಲೀಟರ್ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ಮೈಲಿಗೆ ಗ್ಯಾಲನ್ಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾದ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಹಜ. ಮೂಲ ದತ್ತಾಂಶವು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿಸಲು ದತ್ತಾಂಶ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗಳು Y ಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ (ಊಹಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ಇತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹಿಡಿದಾಗ) ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ. ರೇಖೀಯತೆಯು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ವಿಫಲವಾದರೆ, ಸರಿಸುಮಾರು, ರೇಖೀಯತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಥವಾ ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂಲ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು Y ಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಹುಪದ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು, ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಮತ್ತೊಂದು ಊಹೆ ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ದೋಷಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ (ಅಂದರೆ. ದತ್ತಾಂಶವು ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ), Y ಮಾತ್ರದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಥವಾ X (ಮುನ್ಸೂಚಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು) ಮತ್ತು Y ಎರಡರ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಏಕರೂಪತೆಯ ಊಹೆಯು (ರೇಖೀಯತೆಯ ಊಹೆಯ ಜೊತೆಗೆ) ಪರಿವರ್ತಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ದತ್ತಾಂಶ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ದೋಷಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಕೊರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಹಿಂಜರಿತದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರಲು ಏಕರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ (ಗಾಸ್-ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಬಹುವಿಧದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಊಹಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಉತ್ತಮ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ದೋಷ ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳು (ಅಂದರೆ. ಹೆಟೆರೊಸೆಡಟೈಸಿಟಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪದಗಳು) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೋಷ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಮೀಕರಣಃ ಅರ್ಥಃ Xನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಘಟಕದ ಹೆಚ್ಚಳವು Yನಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ b ಘಟಕಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಃ (ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಘಾತಾಂಕದಿಂದಃ) ಎಂದರೆಃ X ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಘಟಕದ ಹೆಚ್ಚಳವು b ಘಟಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, Y ನ ಗುಣಾಕಾರ ಅಂಶದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬದಲಿಗೆ ಬೇಸ್-10 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು (a ಮತ್ತು b) ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಿದರೆ, X ನಲ್ಲಿನ ಏಕಮಾನದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸರಾಸರಿ Y ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. b ಯು 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದು X ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ Y ಯಲ್ಲಿ 10 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಂದರೆಃ X ನಲ್ಲಿ k-ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವು Y ನಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಘಟಕಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬದಲಿಗೆ ಬೇಸ್-10 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು (a ಮತ್ತು b) ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಿದರೆ, X ನಲ್ಲಿ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವು Y ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ (ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದಃ) ಎಂದರೆಃ X ನಲ್ಲಿ k-ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವು Y ನಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಗುಣಾಕಾರದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ X ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡರೆ, ಅದು Y ನ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಂಶದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗಳು (ಜಿಎಲ್ಎಂ) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ದೋಷ ವಿತರಣಾ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಜಿಎಲ್ಎಂಗಳು ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಳತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವು ಅದರ ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿದಮ್ ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು (ಪರಸ್ಪರ ರೂಪಾಂತರ) ಬಳಸಬಹುದು. ಶಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯ λ ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್, ವರ್ಗಮೂಲ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ದತ್ತಾಂಶ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸಲು, ಶಕ್ತಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ λ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂದಾಜು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸರಿಸುಮಾರು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಶಕ್ತಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕುಟುಂಬವು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ವಿಧಾನವು ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಲ್ಲದೆ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಪರಿವರ್ತನೆ, ಯೆಯೊ-ಜಾನ್ಸನ್ ರೂಪಾಂತರದಂತಹ ಕೆಲವು ಶಕ್ತಿ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಂತಹ ಕೆಲವು ಇತರ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು (λ ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಶಕ್ತಿ ರೂಪಾಂತರವು ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ದತ್ತಾಂಶದ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ದತ್ತಾಂಶ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯೆಂದರೆ ಬಡ್ಡಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮಾಣದ ಕ್ರಮಗಳ ಮೇಲೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಅಂತಹ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ-ಆದಾಯಗಳು, ಪ್ರಭೇದಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆ, ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜಗಳ ಗಾತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮಳೆಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳು. ಪವರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ಸ್, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು, ಅಂತಹ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು "ಮಡಿಕೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳ" ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಲಾಗರಿದಂಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿದಮ್ ಸಹ ಅನುಪಾತಗಳ ಮೇಲೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ. ನಾವು X/Y ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, X <Y ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಪಾತವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (0,1), ಆದರೆ X> Y ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಪಾತವು ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (1, φ), ಅಲ್ಲಿ 1 ರ ಅನುಪಾತವು ಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲಾಗ್-ಅನುಪಾತ ಲಾಗ್ (X/Y) ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು X ಯು Y ಗಿಂತ K ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಲಾಗ್-ಅನುಪಾತವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ (ಈ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗ್-ಅನುಪಾತಗಳು ಲಾಗ್ (K) ಮತ್ತು-ಲಾಗ್ (K) ಆಗಿರುತ್ತವೆ). ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ 0 ರಿಂದ 1 ರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರಲು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಿಮ-ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗಿಟ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸೂಕ್ತವಾಗಬಹುದುಃ ಇದು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ. ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೋಲುವಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮ್ಮಿತಿ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಬಯಸಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಶಕ್ತಿ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಬಹುದು. 2. ಝಿಪ್ಫ್-ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಭಾಷಾ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪೈಕ್ ಮತ್ತು ಲೆಪ್ಟೋಕರ್ಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಂಶೋಧಕರು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗೆ ತಮ್ಮ ಬೆನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಲೇಖಕರ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದತ್ತಾಂಶ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗಾಸಿಯನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಬಳಕೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. 3. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ದತ್ತಾಂಶದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಮಾದರಿ ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಹೆಬ್ಬೆರಳಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿತರಣೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧಗಳಿಲ್ಲದ n ಮೌಲ್ಯಗಳಾದ X1,., Xn ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ (ಅಂದರೆ, n ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ), ನಾವು xi ಅನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವಾದ yi = k ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ k ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ X ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ xi ಎಂಬುದು k ನೇ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರ್ಯಾಂಕ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, X ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು F ಎಂಬುದು X ನ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, F ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದಾದವರೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ U = F (X) ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ, ನಾವು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಕ್ಯುಮುಲೇಟಿವ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ವಿತರಣೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. G ಒಂದು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಕ್ಯುಮುಲೇಟಿವ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು U ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ G−1 (U) ಅದರ ಕ್ಯುಮುಲೇಟಿವ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿ G ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದರೆ, X ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, F ಎಂಬುದು Xನ ವಿಲೋಮ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು G ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ G−1 (F (X)) ಅದರ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ Gಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದತ್ತಾಂಶಗಳು "ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಮೇಲೆ-ಅರ್ಥದ ಸಂಬಂಧ" ವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದತ್ತಾಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಶ್ವದ ವಿವಿಧ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಆದಾಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹಲವಾರು ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ನ ಕೌಂಟಿಗಳು) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕೌಂಟಿಯೊಳಗಿನ ಆದಾಯದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೌಂಟಿಗಳು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ರೂಪಾಂತರವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಮೇಲೆ-ಅರ್ಥದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಮಾದರಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಫಿಶರ್ ರೂಪಾಂತರ, ಪಾಯ್ಸನ್ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ವರ್ಗಮೂಲ ರೂಪಾಂತರ ಅಥವಾ ಅನ್ಸ್ಕೊಂಬೆ ರೂಪಾಂತರ (ಎಣಿಕೆ ದತ್ತಾಂಶ), ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರ, ಮತ್ತು ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ವರ್ಗಮೂಲ ರೂಪಾಂತರ ಅಥವಾ ಕೋನೀಯ ರೂಪಾಂತರ (ದ್ವಿಪದ ದತ್ತಾಂಶ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣ ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ರೂಟ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಅಥವಾ ಲಾಗಿಟ್ ರೂಪಾಂತರವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ದ್ವಿಪದ ಅಥವಾ ದ್ವಿಪದವಲ್ಲದ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಟೈಪ್-II ದೋಷದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಡೇಟಾ ಯುನಿವೇರಿಯೇಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಡೇಟಾಗೆ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುವಿಧದ ವಿತರಣೆಯ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಯ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಇತರ ರೀತಿಯ ಅನುಕ್ರಮ ದತ್ತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕ X ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ವಾಹಕಗಳ xi ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಅಲಂಕರಿಸಲು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಚೋಲ್ಸ್ಕಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು 'ಎ' = ಎ 'ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ವಾಹಕ Yi = A − 1X "i ಅದರ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆರ್ಸಿನ್ ಫೀಚರ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಲಾಗಿಟ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಪವರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ (ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್) ವಿಲ್ಸನ್-ಹಿಲ್ಫೆರ್ಟಿ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮೇಶನ್ ವೈಟೆನಿಂಗ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮೇಶನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲಾಗ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮೇಷನ್ಸ್ ಫಾರ್ ಸ್ಕ್ಯೂಡ್ ಅಂಡ್ ವೈಡ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್-ಲಾಗ್ ಮತ್ತು "ಸೈನ್ಡ್ ಲಾಗರಿಥಮ್" ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವುದು ("ಪ್ರಾಕ್ಟಿಕಲ್ ಡೇಟಾ ಸೈನ್ಸ್ ವಿತ್ ಆರ್" ನಿಂದ ಒಂದು ಅಧ್ಯಾಯ). ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂದಾಜು