1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವು ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು-ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಮತ್ತು ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿದೆ ಸರಣಿಯ ಸ್ವಲ್ಪ ಮರುಜೋಡಣೆ ಈ ಸರಣಿಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅನಂತ ನೀಲಿ-ಕೆಂಪು ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದುಃ ಎಲ್ಆರ್ಆರ್ಎಲ್ಆರ್ಎಲ್ಆರ್. =. ಸ್ವಲ್ಪ ಸರಳವಾದ ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆರ್ಃ ಎಲ್ಆರ್ಎಲ್ಆರ್ಎಲ್ಆರ್ಎಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. =. ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಆಟದ ರಚನೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಫಲಕವು 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ; ಯಾವ ಆಟಗಾರನು ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತಾನೋ ಅವನು ಗೆಲ್ಲುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಂತರದ ಸರಣಿಯು 1 ಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು 1 ರ ಬೈನರಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 0.111 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ಅದೇ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಣಿಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ ಸಿರ್ಕಾ 250-200 ಕ್ರಿ. ಪೂ. ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಯೂಲರ್ ರೂಪಾಂತರವು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ಸರಣಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಅದನ್ನು ಯೂಲರ್ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿ