Cactus graph
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕಳ್ಳಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಳ್ಳಿ ಮರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸರಳ ಚಕ್ರಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸರಳ ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ (ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಗೆ) ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬ್ಲಾಕ್ (ಕಟ್-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಇಲ್ಲದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್) ಒಂದು ಅಂಚು ಅಥವಾ ಚಕ್ರವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಸಮತಲೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹುಸಿ ಮರವೂ ಒಂದು ಕಳ್ಳಿ. ಪ್ರತಿ ಬ್ಲಾಕ್ ಒಂದು ಸರಳ ಚಕ್ರ ಅಥವಾ ಒಂದೇ ತುದಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಕಳ್ಳಿ. ಪ್ರತಿ ಘಟಕವು ಕಳ್ಳಿ ಕಳ್ಳಿಗಳಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಗ್ರಾಫ್ ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ K4 ನಿಂದ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ನಾಲ್ಕು-ಅಕ್ಷೀಯ ವಜ್ರದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂಬ ಏಕೈಕ ನಿಷೇಧಿತ ಮೈನರ್ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನ ಕಳ್ಳಿಗಳು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಕಳ್ಳಿ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಚಕ್ರವು ಮೂರು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಒಂದು ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ನೇಹದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು, ಒಂದೇ ಹಂಚಿದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಳ್ಳಿಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ಯಾಕ್ಟಸ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಜೊತೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಯು ಬ್ಲಾಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಕಳ್ಳಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ಅವು ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ, ಅವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮರವನ್ನು ಅದರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನ ಕಳ್ಳಿಗೆ ವರ್ಧಿಸಬಹುದು, ಇದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಧನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಳ್ಳಿಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಳ್ಳಿಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅತಿದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಳ್ಳಿಗಳನ್ನು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಅಂದಾಜಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಸಮತಲೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿ, ಈ ವಿಧಾನವು ಅಂದಾಜು ಅನುಪಾತ 4/9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದೆ. ಅತಿದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಕೋನ ಕಳ್ಳಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಈ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಕಳ್ಳಿಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಲೊವಾಸ್ಜ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲಮ್ಮರ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಲೊವಾಸ್ಜ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲಮ್ಮರ್ ಅವರು ನೀಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳ ಜೋಡಿ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ಶೃಂಗ ವಿಭಜನೆಯ ಒಂದೇ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಂಚಿನ ವಿಭಜನೆಯ ಒಂದೇ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅವರು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜೋಡಿ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮಾನ್ಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಂತರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಳ್ಳಿಗಳಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮಾನ್ಯವಾದ ವಿಭಾಗಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಮೇಲೆ ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಂಚಿನ ವರ್ಗದಿಂದ ಪೂರೈಸಲ್ಪಟ್ಟ ಶೃಂಗ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮತಲ ನಕ್ಷೆಯು ಕಳ್ಳಿಗಳ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಳ್ಳಿಗಳ ಉಪರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೇಲಿನ ಕನಿಷ್ಠ-ಗರಿಷ್ಠ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸದೆ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ 4/9-ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ನೇರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಳ್ಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಊಹೆಯೆಂದರೆ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ರೋಸಾದ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರೋಸಾದ ಕಲ್ಪನೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಳ್ಳಿಗಳು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿವೆ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, t ಷ್ಣ 0,1 ಮಾಡ್ 4 ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಗಳು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು t ಷ್ಣ 2,3 ಮಾಡ್ 4 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಗಳು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಇತರ ಗ್ರಾಫ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಗೆ ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಸಮತಲೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಹಲವಾರು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಗಳು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಯ ಆರಂಭಿಕ ಅನ್ವಯವು ಆಪ್-ಆಂಪಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವಿವಿಧ ಜೀನೋಮ್ಗಳು ಅಥವಾ ಜೀನೋಮ್ಗಳ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ತುಲನಾತ್ಮಕ ಜೀನೋಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಳ್ಳಿ ಗಿಡವು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕ್ರಿಸ್ಮಸ್ ಕಳ್ಳಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಿಸ್ಮಸ್ ಕ್ಯಾಕ್ಟಸ್ ಉಪಗ್ರ್ಯಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ದುರಾಸೆಯಿಂದ ಹುದುಗಿರುವುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಿಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ದುರಾಸೆಯಿಂದ ಫಾರ್ವರ್ಡಿಂಗ್ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಸಂದೇಶಗಳನ್ನು ರವಾನಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸೆಲ್ಯುಲಾರ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಕ್ಯಾಕ್ಟಸ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಉಪಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಡೈಮಂಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಫೈವ್-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಫ್ರೆಂಡ್ಶಿಪ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂಬ ಎರಡು ನಿಷೇಧಿತ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇತಿಹಾಸದ ಕ್ಯಾಕ್ಟಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಹುಸಿಮಿ ಮರಗಳ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು, ಫ್ರಾಂಕ್ ಹರಾರಿ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಯುಜೀನ್ ಉಹ್ಲೆನ್ಬೆಕ್ ಅವರು ಈ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸದ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ ಅವರಿಗೆ ನೀಡಿದರು. ಅದೇ ಹರಾರಿ-ಉಹ್ಲೆನ್ಬೆಕ್ ಕಾಗದವು ಈ ರೀತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ "ಕ್ಯಾಕ್ಟಸ್" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಕಾಯ್ದಿರಿಸಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಚಕ್ರವು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಉದ್ದಗಳ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ. ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಹುಸಿಮಿ ಮರ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಂದಿತು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬ್ಲಾಕ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇತರ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಛೇದಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು). ಈ ಬಳಕೆಯು ಹುಸಿಮಿಯ ಕೆಲಸದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪದ ಬ್ಲಾಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಈಗ ಈ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಿಂದಾಗಿ ಈ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ಕಳ್ಳಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಕ್ಟಸ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನ್ವಯ ಗ್ರಾಫ್ ಕುಟುಂಬಗಳು ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಇಂಟಿಗ್ರೇಟೆಡ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳು