Development (differential geometry)
ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳುವ ಸರಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ (ಗೋಳ ಅಥವಾ ಸಿಲಿಂಡರ್ನಂತಹ) ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಂಪರ್ಕವು ಎರಡು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವು (ಬಹುಶಃ ಸ್ಥಳೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ) ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವಿನ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎರಡು ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಹೊಂದುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಎರಡು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮತಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಲಿಂಡರ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಗೋಳವು ಅಲ್ಲ. ಫ್ಲಾಟ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫ್ಲಾಟ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಸುತ್ತುವುದು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾಗಣೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಈ ಸಂಪರ್ಕವು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಫ್ಲಾಟ್ ಕಾರ್ಟನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಮಾದರಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫ್ಲಾಟ್ ಎನ್-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ-ಜಾಗವು ಎನ್-ಗೋಳವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯಿಂದ ಎನ್-ಗೋಳದವರೆಗಿನ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳೀಯ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಗದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಡಬಲ್-ಕರ್ವ್ಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗವು (ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಗದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು) ಸರಳವಾಗಿ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗದ (ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗದ) ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಂಶಗಳ ಕೆಲವು ವಿರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು (ಸ್ಟ್ರೆಚ್ಡ್ ಗ್ರಿಡ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡಿ) ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೇಲ್ಮೈ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನೋಡಿ (ಗಣಿತ)