Polynomial greatest common divisor
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು (ಆಗಾಗ್ಗೆ GCD ಎಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ) ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ್ದಾಗಿದೆ, ಇದು ಎರಡೂ ಮೂಲ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ GCDಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ GCDಯಂತೆ, ದೀರ್ಘ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಬಹುಪದ GCDಯನ್ನು ವಿಲೋಮ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಜಿಸಿಡಿ ಮತ್ತು ಬಹುಪದ ಜಿಸಿಡಿ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಬಹುಪದ GCD ಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯ ಮೂಲಗಳು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡದೆಯೇ ಮೂಲಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಪದದ ಬಹು ಮೂಲಗಳು ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತಷ್ಟು ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬಹುಪದದ ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ, ಇದು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲಗಳು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಬಹುಭಿನ್ನರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಜಿಸಿಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತಕ್ಷಣ ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿವೆ. ಈ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತವೆ. ಅವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಬಹುಪದೀಯ ಜಿಸಿಡಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಧುನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ದಕ್ಷತೆಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಿಗಳಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು ಮತ್ತು ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು ಮತ್ತು ಸಹ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಬಹುಪದಗಳು (ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ) ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಬಹುಪದವು ಎರಡನ್ನೂ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದ್ದರೆ, GCD ಯು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಇದನ್ನು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲಃ ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ನ GCD ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಮತ್ತು ನ ವಿಲೋಮ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬಹುಪದವು ಮತ್ತೊಂದು GCD ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯು ವಿಲೋಮ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದದ್ದು (ಇನ್ನೊಂದು ಇದೆ, ಅದು ಅದರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ). ಈ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯು ಸಹ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ) ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯು ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು (ಅಂದರೆ ಅದರ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು), ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಪ್ರದಾಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಕೇತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದುರುಪಯೋಗಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಓದಬೇಕು "ಇದು ಮತ್ತು" ಮತ್ತು "ನ ಜಿಸಿಡಿ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿಯ ಜಿಸಿಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ". ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಲೋಮ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದರ್ಥ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಸೇರಿದರೆ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ. ಈ ಗುಣವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಯಾವುದೇ ವಿಲೋಮ ಅಂಶಕ್ಕೆ,. ಆದ್ದರಿಂದ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಿಗೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ. ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ, ಬಹುಪದಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಮತ್ತು (ಬೆಜೌಟ್ನ ಗುರುತು) ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಹುಪದಿಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಎರಡು ಬಹುಪದಿಗಳಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಕೈ ಗಣನೆಯ ಮೂಲಕ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡುಃ ಬಹುಪದಗಳ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಪ್ರತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಎಲ್ಲರೂ ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಸರಳ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಬಹುಪದಿಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಎರಡು ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಿ. ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊನಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಅದನ್ನು ಮೊನಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿ. ಇದು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಒಂದುಃ ಮತ್ತು ನ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವರ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬಹುಪದಗಳು ದೊಡ್ಡ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಾತ್ರವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ಬಹುಪದಿಗಳ ಮಟ್ಟವು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಮೋನಿಕ್ ಮಾಡಲಾದ ಕೊನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಳಿದವು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು, ಒಬ್ಬರು ಊಹಿಸಬಹುದು (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ.), ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗವು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು, ಉಳಿದವು ಎ ಬಹುಪದವು ಎರಡನ್ನೂ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನೂ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ. ಹೀಗಾಗಿ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಹೊಸ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರು ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆಃ ಉದಾಹರಣೆಃ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತುಃ ಇದು ಕೊನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಶೇಷವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಮೂಲ ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೋನಿಕ್ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಆಗಿದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಮೊದಲು 12 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಛೇದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ, ಕಾಳಜಿಯಿಲ್ಲದೆ, ಇದು ಗಣನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಣನೆಗಾಗಿ, ಇತರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಣನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ವಿಧಾನವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಬೇಕು, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬೇಕು, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶಗಳಾಗಿರಬೇಕು, ಅಥವಾ ಹಿಂದಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲೊಂದರ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಸೇರಿರಬೇಕು. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿರುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗಣನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಜಿಸಿಡಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು (ಅದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ಪ್ರಕರಣವು ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೊದಲ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಕೇಸ್ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಬಲವಾಗಿ ಆಧರಿಸಿವೆ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಬಹುಪದ GCD ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕದೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಬಹುಪದಗಳ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆಃ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಾದ a ಮತ್ತು b ≤ 0 ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳಾದ q (ಅಂಶ) ಮತ್ತು r (ಉಳಿದವು) ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ "ಡಿಗ್ (.)" ಡಿಗ್ರಿ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದದ ಡಿಗ್ರಿ ಅನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ q ಮತ್ತು r ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಜನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಪದವಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು r ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು. ಅಂತಹ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಂತೆಯೇ, ಬಹುಪದಗಳ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ದೀರ್ಘ ವಿಭಜನೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾಗದ ಮತ್ತು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ದೀರ್ಘ ವಿಭಾಗದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಮತ್ತು ಕಾಗದದ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ "ಡಿಗ್" ಎಂದರೆ ಅದರ ವಾದದ ಮಟ್ಟ (ಸಂಪ್ರದಾಯದೊಂದಿಗೆ), ಮತ್ತು "ಎಲ್ಸಿ" ಎಂದರೆ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ, ಚರರಾಶಿಯ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಗುಣಾಂಕ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಪುರಾವೆಯು ಇಡೀ "ವೈಲ್" ಲೂಪ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಪುರಾವೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗವು ಜಿಸಿಡಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಬಿ = 0 ರವರೆಗೆ ಈ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ (ಅಲ್ಲಿ "ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಿಂದ ಗಣಿಸಲಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗದ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಜಿಸಿಡಿ ಕೊನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಳಿದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಕಡ್ಡಾಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ, ಅದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಉಳಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಹಂತಗಳ ನಂತರ, ಒಬ್ಬರು ಶೂನ್ಯ ಶೇಷವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಒಂದೇ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಮತ್ತು 0 ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಮತ್ತು ನ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಜಿಸಿಡಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಲ್ಲದೆ, ಜಿಸಿಡಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆಜೌಟ್ನ ಗುರುತು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ GCD ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬೆಜೌಟ್ನ ಗುರುತು GCD ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮುಖ ಆದರ್ಶ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು. ಬಹುಪದಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಆಸಕ್ತಿಯು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದೆ ಮತ್ತು, ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಲೂಪ್ನ ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾದ ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಂದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಎಕ್ಸ್ಟೆಂಡೆಡ್ ಜಿಸಿಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನೊಂದಿಗಿನ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಇದು ಉಳಿದವುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗದ "ಕ್ವೋ" ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ತನ್ನ ಔಟ್ಪುಟ್ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯು, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಾವು ನಂತರದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಬೆಜೌಟ್ನ ಗುರುತಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ, ಒಬ್ಬರು ತಮ್ಮ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯಿಂದ ಇನ್ಪುಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅಂಶವನ್ನು ಉಚಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತ ವಿಸ್ತೃತ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಅದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದವು ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಇದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸರಳವಾಗಿ ಬಹುಪದಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆಃ ಇದರಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರವು ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ವಿಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆಃ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶದ ವಿಲೋಮವು ಬೆಜೌಟ್ನ ಗುರುತಿನಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಜಿಸಿಡಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. (ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಜಿಸಿಡಿ 1 ಆಗಿದೆ). ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯಲ್ಲಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಅಸಮಾನತೆಯು ಡಿಗ್ () <ಡಿಗ್ () ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಭಜನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಬಲವಾದ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳಾದ ಪಿ, ಕ್ಯೂಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಗಳ ಜಿಸಿಡಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು 0-ನೇ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳಾದ P ಮತ್ತು Q ಗಳ i-th ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದವಾದ Si (P, Q) ಯು ಗರಿಷ್ಠ i ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು P ಮತ್ತು Q ನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು i-th ಪ್ರಧಾನ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಾಂಕವಾದ si (P, Q) ಯು Si (P, Q) ನ ಡಿಗ್ರಿ i ಯ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ನ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯು ಡಿ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂಬ ಗುಣವನ್ನು ಅವು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, Sd (P, Q) ಎಂಬುದು P ಮತ್ತು Q ನ GCD ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು P ಮತ್ತು Q ನ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಉಪಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ "ಪರಿಣತಿಯನ್ನು" ಪಡೆಯುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಏಕರೂಪತೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಆರ್ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರಗಳ ನಡುವೆ φ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು φ (ಪಿ) ಮತ್ತು φ (ಕ್ಯೂ) ನ ಪ್ರಧಾನ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಗಳ φ ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯ ಗಣನೆಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹದಮಾರ್ಡ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ, ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ವಿಶೇಷತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗಣನೆ ಮತ್ತು ಚೀನೀ ಉಳಿದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ತಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ K ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರಲಿ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ i ಗೆ, ಅಂದರೆ i ≤ m ಮತ್ತು i ≤ n, ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ P ಮತ್ತು Q ನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದು X ನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ಚದರ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, i-ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಉಪ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ. i <0 ಅಥವಾ i> m ಗೆ π = 0 ಮತ್ತು i <0 ಅಥವಾ i> n ಗೆ qi = 0 ಆಗಿರಲಿ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (m + n) × (m + n)-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, i-ನೇ ಸಾಲಿನ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು j-ನೇ ಕಾಲಮ್ನ ಗುಣಾಂಕವು j ≤ n ಗೆ pm + j − i ಮತ್ತು j> n ಗೆ qj − i ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ ಇದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ Ti ಎಂಬುದು (m + n − i) × (m + n − 2i)-S ನ ಉಪ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಾಂಕವು ಟಿಯ ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳ m + n − 2i ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ (m + n − 2i) × (m + n − i) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಮೊದಲು ನಾವು (m + n − 2i − 1) × (m + n − 2i − 1) ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (i + 1) ಸೊನ್ನೆಗಳ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕೆಳಭಾಗವನ್ನು (m + n − i − 1) ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸಾಲಿನಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದೇವೆ, ನಂತರ xi, xi − 1,., X, 1: ಈ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ, i-th ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಡಿಗ್ರಿ ಜೆ ಗುಣಾಂಕವು ಅದರ m + n−2i−1 ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು (m + n−i−j)-th ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ Tiನ ವರ್ಗ ಉಪಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದರೆ ಪುರಾವೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, Ti ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಅದರ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಕೆಲವು ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ. i-th ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದ 'Si' ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಾಹಕವು ಈ ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ 'Si' ನ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಿ = 0 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, GCDಯ ಮಟ್ಟವು i ಆಗಿದ್ದರೆ, m + n−i ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ GCDಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಇದರ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬೆಜೌಟ್ನ ಗುರುತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ m + n − 2i ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದಗಳ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು i ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಲ್ಲ. ಇದು ಟಿಐಯ ಕಾಲಮ್ನ ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದ m + n − 2i ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳ ಸಬ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿ 0 ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಿ ಎಂಬುದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಇದು ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಯ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. GCD ಮತ್ತು ರೂಟ್ ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಫ್ರೀ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೂಟ್-ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಬಹು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ರೂಟ್-ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದದ ಬಹು ಮೂಲಗಳು ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯ ಮೂಲಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಗಣನೆಯು ಬಹು ಮೂಲಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದದ ಜಿಸಿಡಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಮತ್ತಷ್ಟು ಜಿಸಿಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬಹುಪದದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಒಂದು ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಐಗೆ, ಬಹುಪದ ಫೈ f ಗುಣಾಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ (ಅದು ಬಹು ಮೂಲವಿಲ್ಲದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ) ಇದರ ಮೂಲಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ f ನ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ (ಯುನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೋಡಿ). ಹೀಗಾಗಿ ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಅನೇಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದದ ಮೂಲ-ಶೋಧನೆ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಹಲವಾರು ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಬಹುಪದಗಳ ಮೂಲ-ಶೋಧನೆಗಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಫ್ರೀ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಹುಪದೀಯ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟರ್ಮ್ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಜವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದದ ಸ್ಟರ್ಮ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಅವಶೇಷಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟರ್ಮ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಯುಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು V (a) ಆಗಿರಲಿ. ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು V (a) − V (b) ಎಂಬುದು [a, b] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ಟರ್ಮ್ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರವು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವವರೆಗೆ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಉಪವಿಭಾಗಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಣ್ಣ ಉದ್ದದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್, ಮತ್ತು ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಿಗಳ ರಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಆರ್ [ಎಕ್ಸ್] ಮತ್ತು ಎಫ್ [ಎಕ್ಸ್] ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. "ಕಾಂಟ್ (p)" ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಬಹುಪದ p ωR [X] ನ ಅಂಶವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ GCD ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಹುಪದ q ωF [X] ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ p ωR [X] ಮತ್ತು c ωR: ಇದು q (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ) ಮತ್ತು p = cq ನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಛೇದಗಳ c a ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. q ನ ವಿಷಯವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಷಯವನ್ನು R ನ ಏಕಮಾನದಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. R [X] ಅಥವಾ F [X] ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದದ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು R [X] ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ 1 ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ GCD ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ R [X] ಅಥವಾ F [X] ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೀಗೆ ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯು Rನ ಒಂದು ಘಟಕದಿಂದ ವಿಷಯದ ಮತ್ತು ಈ ಘಟಕದ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾಗದ ಗುಣಾಕಾರದವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗಾಸ್ 'ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಎರಡು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಸಂಬಂಧಗಳು ಆರ್ [ಎಕ್ಸ್] ಮತ್ತು ಎಫ್ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿರುವ ಜಿಸಿಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಬಲವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, "ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ". ಎಂಬ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಉಂಗುರದಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. q1 ಮತ್ತು q2ಗಳು F [X] ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, p1 ಮತ್ತು p2ಗಳು R [X] ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಪದ GCDಗಳ ಗಣನೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ F [X] ಮತ್ತು R [X] ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ, ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಒಂದು ಅನುಕೂಲಕರ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹುಸಿ-ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯುಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಉಳಿದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹುಸಿ-ಉಳಿದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಜಿಸಿಡಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆರ್ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ಜಿಸಿಡಿಯನ್ನು ಆರ್ ಮತ್ತು ಎಫ್ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿನ ಜಿಸಿಡಿಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿದರೆ, ಆರ್ [ಎಕ್ಸ್] ಮತ್ತು ಎಫ್ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆರ್ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿ ಜಿಸಿಡಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜಿಸಿಡಿಗಳು ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಇಳಿಸಿದರೆ, ಇದು ಜಿಸಿಡಿಗಳು ಆರ್ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಫ್ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿ ಜಿಸಿಡಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ). n ಚರರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದವನ್ನು (n−1) ಚರರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ವರ್ತುಲದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಜಿಸಿಡಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದರೆ, ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆರ್ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಬಹುವಿಧದ ಬಹುಪದ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆರ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ ಅಥವಾ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಿಸಿಡಿಗಳು ಆರ್ [x1,., xn] ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನದು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದ ಉಂಗುರವು ಸಹ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಪುರಾವೆಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಲು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇಲ್ಲ (ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ). ಸ್ಯೂಡೋ-ರಿಮೈಂಡರ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ Z (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯ Z) ಮತ್ತು ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ Q (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ Q) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದೀಯ ವರ್ತುಲವಾದ Z [X] ನಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಎಂಬ ಎರಡು ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, B ಯಿಂದ Aಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗವು (Q ಮೇಲೆ) ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಭಾಗವು Z [X] ಗೆ ಸೇರದಿರಬಹುದು. ಏಕೆಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅನುಕ್ರಮ ಅವಶೇಷಗಳು ಎಂದರೆ, ಇನ್ಪುಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಣ್ಣ ಪದವಿ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಗಾತ್ರದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ದೊಡ್ಡ ಗಾತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ಹುಸಿ-ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಉಳಿದವುಗಳು Z [X] ಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇಳೆ, a ಅನ್ನು b ಯಿಂದ ಹುಸಿ-ವಿಭಜನೆಯ ಹುಸಿ-ಉಳಿಯುವಿಕೆಯು, ಪ್ರಿಮೆ (A, B) ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ, ಅಲ್ಲಿ B ಯ (Xb ಯ ಗುಣಾಂಕ) ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. Z [X] ನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಹುಸಿ-ವಿಭಜನೆಯ ಹುಸಿ-ಉಳಿಯುವಿಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ Z [X] ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಡೊ-ರಿಮೈಂಡರ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ (ಸೂಡೊ) ಅವಶೇಷಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ α ಎಂಬುದು ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ Zನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. αಯ ವಿವಿಧ ಆಯ್ಕೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವಿಲೋಮ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ (ಕ್ಯೂ ನಲ್ಲಿ) ಗುಣಿಸಿದರೆ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಸೂಡೋ-ರಿಮೈಂಡರ್ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪದವು ಇನ್ಪುಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಜಿಸಿಡಿ (ಕ್ಯೂ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿ) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಕ್ಯೂ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸದೆ ಕ್ಯೂ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿ ಜಿಸಿಡಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಹುಸಿ-ಉಳಿಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅಥವಾ ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಸೂಡೋ-ರಿಮೈಂಡರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು (ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ಅದೇ ನಿಜವಾಗಿದೆ). ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಸ್ಯೂಡೋ-ರಿಮೈಂಡರ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಸರಳವಾದ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು) ಉಳಿದ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವಾಗಲೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಮಟ್ಟದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗಾತ್ರವು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಹುಸಿ-ಉಳಿಕೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಉಳಿಕೆಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ನಡವಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಶದ ವಿಷಯವನ್ನು α ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ರಿಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವು ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು Z ನಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು GCD ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ Z ಸ್ವತಃ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದಾಗ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಅದೇ ಇನ್ಪುಟ್ನೊಂದಿಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಉಳಿದವುಗಳು, ಅವುಗಳ ವಿಷಯದ ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗಿಸಿದ ನಂತರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಣ್ಣ ಗಾತ್ರವು ಹಲವಾರು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಮತ್ತು ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಯಿಂದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಮರೆಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಬ್ರೆಸಲ್ಟೆಂಟ್ ಸೂಡೊ-ರಿಮೈಂಡರ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಡೊ-ರಿಮೈಂಡರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರತಿ ರಿ ಒಂದು ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ α ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, αಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ನಿಖರತೆಯ ಪುರಾವೆ ಕಷ್ಟ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡು ಸತತ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ವಿರಳವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಝೆಡ್ನಲ್ಲಿ ಜಿಸಿಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗಣನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಅದೇ ಇನ್ಪುಟ್ನೊಂದಿಗೆ, ಅನುಕ್ರಮ ಉಳಿದವುಗಳು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಂಜಸವಾದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಜಿಸಿಡಿ ಗಣನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿಖರವಾದ ವಿಭಾಗಗಳು ಮಾತ್ರ. ಇದು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹುಸಿ-ಅವಶೇಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಗಣಿಸುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ, ಇನ್ಪುಟ್ Z [X] ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು Z [X] ನಲ್ಲಿನ ಅನುಕ್ರಮ ಹುಸಿ ಅವಶೇಷಗಳಾಗಿವೆ, ಅಸ್ಥಿರಗಳು i ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳು Z ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಡಿಗ್ () ಮತ್ತು ರೆಮ್ () ಕಾರ್ಯಗಳು ಬಹುಪದದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗದ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ, ಈ ಉಳಿದವು ಯಾವಾಗಲೂ Z [X] ನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ/ಸೂಚಿಸಲಾದ ವಿಭಾಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು Z [X] ಅಥವಾ Z ನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಗಮನಿಸಿಃ "ಎಲ್ಸಿ" ಎಂದರೆ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ, ಇದು ಚರರಾಶಿಯ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು (ಕೊನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ) ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದಗಳನ್ನೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಉಳಿದವು-th ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,-th ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದವು. ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹುಸಿ-ಅವಶೇಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಟರ್ಮ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಸ್ಟರ್ಮ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಹುಸಿ-ಅವಶೇಷಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಸ್ಟರ್ಮ್ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಹುಸಿ-ಅವಶೇಷಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸೂಡೋ-ರಿಮೈಂಡರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇಳೆ b ಆಗಿದ್ದರೆ, B ಯಿಂದ Aಯ ಹುಸಿ-ವಿಭಾಗದ ಮಾರ್ಪಾಟಾದ ಹುಸಿ-ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರಿಮ2 (A, B) ಎಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ |lc (B) | ಎಂಬುದು Bಯ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದ (Xbಯ ಗುಣಾಂಕ) ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇನ್ಪುಟ್ ಬಹುಪದಿಗಳಿಗೆ, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಟರ್ಮ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಬ್ರೆಸಲ್ಟೆಂಟ್ ಸೂಡೋ-ರಿಮೈಂಡರ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವಶೇಷಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂಡೊ-ರಿಮೈಂಡರ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಒಬ್ಬರು ಬಳಸಿದರೆ ತಪ್ಪು ಉಪ-ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ f ಮತ್ತು g ಗಳು F [x] ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮಧ್ಯಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಊತ ಎಂಬ ವಿದ್ಯಮಾನದಿಂದಾಗಿ ಎಫ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿವೆಯಾದರೂ, ಎಫ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಗಣನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಬಿಟ್ ಗಾತ್ರವು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ) ಏಕೆಂದರೆ ಎಫ್ನಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ದೊಡ್ಡ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿ ಯಿಂದ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಛೇದವು ಬಿ 2 ನಿಂದ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಿಟ್ ಗಾತ್ರವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸುಮಾರು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗಣನೆಯನ್ನು ತ್ವರಿತಗೊಳಿಸಲು, f ಮತ್ತು g ಗಳು D [x] ನಲ್ಲಿರುವ ಡಿ ಉಂಗುರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಡಿ/ಐ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಂಗುರವಾಗಿರುವಂತಹ ಐಡಿಯಲ್ I ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಸೀಮಿತ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ಚೀನೀ ಉಳಿದ ಪ್ರಮೇಯ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ನ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಅದರ ಇಮೇಜ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ I ಆದ ಹಲವಾರು ಐಡಿಯಲ್ಗಳಿಂದ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು. ಕನಿಷ್ಠವಲ್ಲದ ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಐಡಿಯಲ್ ಐ ಮಾಡ್ಯುಲೋವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದರೆ ಇದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. , ಮತ್ತು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ (ಗರಿಷ್ಠವಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರವಲ್ಲ). ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಯಶಸ್ಸಿನ ಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಒಳಗಿನ GCD ಕೂಡ 1 ಆಗಿರಬೇಕು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಊದಿಕೊಳ್ಳಲು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದವು, ಆದರೆ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳು ಜಿಸಿಡಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಒಂದೇ ಐಡಿಯಲ್ನ ನಂತರ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಬಹುಪದೀಯ ವಿಷಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ವಿಭಾಗ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಹುಪದಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ