Random measure
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಯು ಅಳತೆ-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವು ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಎರಡೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗಾಗಿ, ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೋರೆಲ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಆಗಿರಲಿ. (ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ) ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಯು ಒಂದು (ಎ. ಎಸ್.) ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿರುವುದು ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಅಳತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು-ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಈ ಕ್ರಮಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಗಾಗಿ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ನಿಂದ ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ-ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಯು ಮೂಲಭೂತ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಳತೆಯನ್ನು ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಗೆ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಳತೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು s-ಫೈನೈಟ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವ ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಪೋಷಕ ಅಳತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಗಾಗಿ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಅಳತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಗಾಗಿ, ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ-ಅಳೆಯಬಹುದಾದವುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಳ-ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ಗೆ. ಡೀಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಒಂದು ಅಳತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ವಿಭಜಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣುಗಳಿಲ್ಲದ ಹರಡುವ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಮಾಣು ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆ ರೂಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಃ ಡಿರಾಕ್ ಅಳತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆಯು ಎನ್ ಕಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೌಲ್ಯದ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಗೆ ಹರಡುವ ಘಟಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತವಾದ ಸೀಮಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವಿದೆ (ಎಣಿಕೆಯ ಕ್ರಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಅಳತೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ, ಕ್ಷಣದ ಅಳತೆಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಕಣ ಶೋಧಕಗಳಂತಹ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನಗಳ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಳತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಳತೆ ಎನ್ಸೆಂಬಲ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಅಳತೆಗಳು (ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.