Differentiation of trigonometric functions
ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೇದವು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗಣಿತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು sin′ (a) = cos (a) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ x = a ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನದಲ್ಲಿ sin (x) ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಆ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ಯಾನ್ (x) = sin (x)/cos (x) ನಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಅಂಶ ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು sin (x) ಮತ್ತು cos (x) ನಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೂಚ್ಯ ಭೇದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು sin (θ)/θ ನ ಮಿತಿಯು θ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಾದ OA ಮತ್ತು OBಯು θ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಚಾಪವನ್ನು ಮಾಡಲಿ. ನಾವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ θ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ನಾವು θ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಮೊದಲ ಚತುರ್ಥದಲ್ಲಿ 0 <θ <1⁄2π ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, R1 ತ್ರಿಕೋನವು OAB ಆಗಿರಲಿ, R2 ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಲಯವು OAB ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು R3 ತ್ರಿಕೋನವು OAC ಆಗಿರಲಿ. ತ್ರಿಕೋನ ಒ. ಎ. ಬಿ. ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಃ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಲಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಒ. ಎ. ಬಿ. ಆಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಒ. ಎ. ಸಿ. ಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರದೇಶವು ಮುಂದಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೊದಲ ಚತುರ್ಥದಲ್ಲಿ, ನಾವು 1⁄2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂರು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಪರಸ್ಪರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸುತ್ತೇವೆ. 0 <θ <1⁄2π ಗೆ, ಪ್ರಮಾಣವು ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ cos (θ) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, θ ಯು 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, 1 ನೇ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರುವ ಸೀಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು 1 ನೇ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರುವ ನೆಲದ ನಡುವೆ "ಹಿಸುಕುತ್ತದೆ", ಇದು 1 ಕಡೆಗೆ ಏರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ θ ಧನಾತ್ಮಕ ಬದಿಯಿಂದ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ sin (θ)/θ 1 ಗೆ ಒಲವು ಹೊಂದಿರಬೇಕುಃ θ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ-1⁄2 π <θ <0 ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸೈನ್ ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ (cos (θ)-1)/θ ನ ಮಿತಿಯು θ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ ಕೊನೆಯ ವಿಭಾಗವು ಈ ಹೊಸ ಮಿತಿಯನ್ನು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ, θ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯು ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮಿತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ಟ್ಯಾನ್ (θ)/θ ನ ಮಿತಿಯು 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯು ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಾವು ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆಃ ಕೋನ ಸೇರ್ಪಡೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಮತ್ತೆ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆಃ ಕೋನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಈ ಮೂರು ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಲೆಟ್, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರಃ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕೋನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯು ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಮತ್ತು δ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವಾಗ ಟ್ಯಾನ್ δ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಃ ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆಃ ಭಾಗಫಲ ನಿಯಮದಿಂದ ಭಾಗಫಲ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು 1ಕ್ಕೆ ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇದು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುವ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ y ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಸೂಚ್ಯ ಭೇದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ನಂತರ dy/dx ಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು y ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. x ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ dy/dx ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ನಾವು θ ಅನ್ನು y ಎಂದು ಅನುಮತಿಸುವ, ಏಕಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ x ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ dy/dx ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ವಿಲೋಮ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು dy/dx ಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದುಃ ಮೇಲಿನಿಂದ ಬದಲಿಸುವುದು, ಮೇಲಿನಿಂದ ಬದಲಿಸುವುದು, ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು. ವಿಲೋಮ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ನಾವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ನಂತರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು dy/dx ಗಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದುಃ ಎಡಭಾಗಃ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಗುರುತಿನ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನಿಂದ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ವಿಲೋಮ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮತ್ತು dy/dx ಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದುಃ ಎಡಭಾಗಃ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಗುರುತನ್ನು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುವುದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಸೂಚ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಲೋಮ ಸೆಕೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ನಂತರ (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ y ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ರಾಡಿಕಲ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಧಾನ ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉಳಿದ ಅಂಶವು ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು, ಇದನ್ನು x ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚೈನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಆರ್ಕ್ಸೆಸೆಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಚೈನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೀಗೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣಃ ಸೂಚ್ಯ ಭೇದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಲೋಮ ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಆಗಿರಲಿ (y ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಧಾನ ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ರಾಡಿಕಲ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉಳಿದ ಅಂಶವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು, ಇದನ್ನು x ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆರ್ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣಃ ಅಬ್ರಾಮೋವಿಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೆಗನ್, ನ್ಯಾಷನಲ್ ಬ್ಯೂರೋ ಆಫ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ಸ್, ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಸೀರೀಸ್, 55 (1964) ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗಣಿತದ ಗುರುತುಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಸಂಪಾದಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಕೈಪಿಡಿಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.