Permutohedron
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, n ಕ್ರಮದ ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರನ್ (ಪರ್ಮುಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದೂ ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು n-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ (n−1)-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಶೃಂಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (ಲೇಬಲ್ಗಳು) ಮೊದಲ n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂಚುಗಳು ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು (ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು) ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು (ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಸೆಟ್ಗಳು) ಗುರುತಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅಂಚಿನಿಂದ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಎರಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಒಂದು ವರ್ಗಾವಣೆ), ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೆರೆಹೊರೆಯವರಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು 4ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊಟಕುಗೊಂಡ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಶೃಂಗಗಳು (1,2,3,4) ನ 24 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಅಂಚಿನ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. 6 ಅಂಚಿನ ಬಣ್ಣಗಳು 4 ಅಂಶಗಳ 6 ಸಂಭವನೀಯ ವರ್ಗಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಸಂಪರ್ಕಿತ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಯಾವ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. (ಉದಾ. ಕೆಂಪು ಅಂಚುಗಳು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ.) ಇತಿಹಾಸದ ಪ್ರಕಾರ, ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಪರ್ಮುಟೊಡೆರ್ ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಅವರು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು. ಅವರು ಈ ಪದವನ್ನು ಅನಾಗರಿಕ, ಆದರೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭ ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತಮ್ಮ ಓದುಗರ ಟೀಕೆಗೆ ಒಪ್ಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರ್ಮುಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂಬ ಪರ್ಯಾಯ ಕಾಗುಣಿತವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಬಿರ್ಖೋಫ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗೆ ಆ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಕೆಲವು ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಶೃಂಗಗಳು, ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಮುಖಗಳು ಕ್ರಮದ ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರನ್ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇತರರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉದ್ದ. ಎರಡು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಶೃಂಗಗಳು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿನಿಮಯವಾದ ಸ್ಥಳಗಳ ಜೋಡಿಯು ಅಂಚಿನ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಉದಾಹರಣೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ನೀಲಿ ಅಂಚಿನಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. 2 ಮತ್ತು 3ರ ಮೌಲ್ಯಗಳು 1ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ನೀಲಿ ಅಂಚುಗಳು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿನಿಮಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ.) ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸರಿಯಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮುಖದ ಶೃಂಗಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಉಳಿದವುಗಳಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆಯಾಮಗಳ ಮುಖಗಳು 0 (ಶೃಂಗಗಳು) ನಿಂದ (ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರನ್ ಸ್ವತಃ) ಗುಂಪಿನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದುರ್ಬಲ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು-ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮದ ಮುಖವು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. |} ಕ್ರಮದ ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾನ್ನಲ್ಲಿನ ಆಯಾಮದ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಬೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರನ್ ಶೃಂಗ-ಸಂಕ್ರಮಣಶೀಲವಾಗಿದೆಃ ಸಮನ್ವಯಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಮೂಲಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು Sn ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರನ್ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾನ್ ಒಂದು ಝೋನೋಟೋಪ್ ಆಗಿದೆ; ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಅನುವಾದಿತ ನಕಲನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ n (n−1)/2 ರೇಖೆ ವಿಭಾಗಗಳ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸತತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವರ್ಗಾವಣೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಲೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಶೃಂಗಗಳು ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾನ್ನಲ್ಲಿರುವವುಗಳ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ಎಸ್4ನ ಕೇಲೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಂಚಿನ ಬಣ್ಣಗಳು 3 ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆಃ,, ಈ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಗಿದೆ; ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರವನ್ನು ಸ್ಟೀನ್ಹೌಸ್-ಜಾನ್ಸನ್-ಟ್ರಾಟರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಪ್ರಸರಣ n ಕ್ರಮದ ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರನ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ()-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು 1 + 2 +. + n = n (n + 1)/2 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಅನುವಾದಿತ ಪ್ರತಿಗಳಿಂದ ಟೈಲ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲ ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾನ್ನಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (n−1)-ಆಯಾಮದ ಜಾಲರಿಯ ಅಂಶದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ n-ಟುಪಲ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಶೇಷಗಳು (ಮಾಡ್ಯುಲೋ n) ಎಲ್ಲವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ x1 + x2 +. + xn = 0 x1 ಷ್ಣ x2 ಷ್ಣ. ಷ್ಣ xn (ಮಾಡ್ n). ಇದು ಜಾಲರಿ, ಮೂಲ ಜಾಲರಿಯ ಎರಡು ಜಾಲರಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರನ್ ಎಂಬುದು ವೊರೊನೊಯಿ ಕೋಶವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಲ್ ಜಾಲರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ 4ನೇ ಕ್ರಮದ ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರನ್ ಅನುವಾದದ ಮೂಲಕ 3-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ 3-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವು x, y, z, w ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 4-ಆಯಾಮದ ಜಾಗ R4 ನ ಅಫೈನ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು 10, x + y + z + w = 10 ಮೊತ್ತದ 4-ಟುಪಲ್ಗಳ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, (1,1,1,-3), (1,1,-3,1), (1,-3,1,1) ಮತ್ತು (-3,1,1,1), ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು 1 (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಈ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು ಅನುವಾದ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆರ್ಡರ್-2, ಆರ್ಡರ್-3, ಮತ್ತು ಆರ್ಡರ್-4 ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾದಿಂದ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಟೆಸೆಲೇಷನ್ಗಳು ಅಪಿರೋಗಾನ್, ನಿಯಮಿತ ಷಟ್ಕೋಣ ಟೈಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಬಿಟ್ರಂಕೇಟೆಡ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಜೇನುಗೂಡುಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಟೆಸಿಲೇಷನ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವು ಆರ್ಡರ್-3 ಅನ್ನು ಮೀರಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಸೈಕ್ಲೋಹೆಡ್ರನ್ ಪರ್ಮುಟೊಸೊಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. ಗೂಗಲ್ ಬುಕ್, 370-381 ಸಹ ಆನ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿ KNAW ಡಿಜಿಟಲ್ ಲೈಬ್ರರಿಯಲ್ಲಿ http://www.dwc.knaw.nl/toegangen/digital-library-knaw/?pagetype=publDetail&pId=PU00011495 ನಲ್ಲಿದೆ. .. ಮುಂದೆ ಓದಿ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು