Liouville's equation
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್) ನೋಡಿ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ-ಬ್ರಾಟು-ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಜೋಸೆಫ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣವು, ಸ್ಥಿರವಾದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಅನುರೂಪ ಅಂಶದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಫ್ಲಾಟ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಫ್ಲಾಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪದ ಅಂಶವೆಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಇದು ಸ್ವತಃ ಬದಲಿಗೆ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ತನ್ನ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಇತರ ಎರಡು ರೂಪಗಳನ್ನು, ಹಿಂದಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸ್ವಲ್ಪ ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ವಿರ್ಟಿಂಗರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ತನ್ನ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿಯೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗಾಸ್-ಕೊಡಾಝಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣವು 3-ಜಾಗಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಗಾಸ್-ಕೊಡಾಝಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಪ್ಫ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, ವಿರ್ಟಿಂಗರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಅದರ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಕಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ 3-ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆಃ ಗೋಲು ಇಫ್; ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಇಫ್; ಲೋಬಾಚೆವ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಸಮತಲ ಇಫ್. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಚಲನೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಅವರ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. .. ಇದನ್ನು ಮೇರಿ ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ವಿನ್ಸ್ಟನ್ ನ್ಯೂಸನ್ ಅವರು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವಿಭೇದಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿಭೇದಕ ರೇಖಾಗಣಿತ