Hartman effect
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟನಲಿಂಗ್ ಕಣದ ವಿಳಂಬದ ಸಮಯವು ಅಪಾರದರ್ಶಕ ತಡೆಗೋಡೆಯ ದಪ್ಪದಿಂದ ಹೇಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮವು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. 1962ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಥಾಮಸ್ ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಅವಲೋಕನ ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮವು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಮೂಲಕ ಸುರಂಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸುರಂಗದ ಸಮಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ದಪ್ಪವಾದ ಅಡೆತಡೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1962 ರಲ್ಲಿ ಥಾಮಸ್ ಇ. ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಣಗಳಿಗೆ ಈ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಮೊದಲು ಊಹಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಅಡೆತಡೆಗಳ ಮೂಲಕ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗಗಳಾಗಿ ಸುರಂಗ ಮಾಡುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ಗಳಿಗೂ ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗಗಳ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಮಯ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಟನಲಿಂಗ್ ಒಂದು ತರಂಗ ವಿದ್ಯಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ತರಂಗಗಳಿಗೆ-ದ್ರವ್ಯ ತರಂಗಗಳು, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಧ್ವನಿ ತರಂಗಗಳಿಗೂ ಸಹ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸುರಂಗದ ಅಲೆಗಳಿಗೆ ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ "ಟನಲಿಂಗ್ ಟೈಮ್" ಗೆ ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಯವು ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗದಂತಹ ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅಲ್ಲ. "ಟನಲಿಂಗ್ ಟೈಮ್" ಗಾಗಿ ಅನೇಕ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ (i) ಗುಂಪು ವಿಳಂಬ ಅಥವಾ ಹಂತದ ಸಮಯ, (ii) ವಾಸದ ಸಮಯ, (iii) ಲಾರ್ಮರ್ ಸಮಯ, (iv) ಬಟಿಕರ್-ಲ್ಯಾಂಡೌರ್ ಸಮಯ, ಮತ್ತು (v) ಅರೆಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಯ ಸೇರಿವೆ. ಈ ಸುರಂಗದ ಮೂರು ಸಮಯಗಳು (ಗುಂಪು ವಿಳಂಬ, ವಾಸದ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಲಾರ್ಮರ್ ಸಮಯ) ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ತಡೆಗೋಡೆಯ ದಪ್ಪ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಚುರೇಟ್ ಆಗುತ್ತವೆ. ತಡೆಗೋಡೆಯ ದಪ್ಪ L ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಸುರಂಗದ ಸಮಯ T ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸುರಂಗದ ವೇಗ v = L/T ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಂತಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮವು ದಟ್ಟವಾದ ಅಡೆತಡೆಗಳ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಂಗತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಲೂಮಿನಲ್ ಟನಲಿಂಗ್ ವೇಗಗಳ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ತಡೆಗೋಡೆಯ ಮೂಲಕ ಹರಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತಡೆಗೋಡೆಯೊಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಉದ್ದದ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಶೀಲನೆ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳಂತಹ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಟನಲಿಂಗ್ ಸಮಯದ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಯದ ಅಳತೆಗಳು (ಅಟೊಸೆಕೆಂಡ್ಗಳು) ಮತ್ತು ಉದ್ದದ ಅಳತೆಗಳು (ಉಪ-ನ್ಯಾನೊಮೀಟರ್) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಪರಿಸರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಗೊಂದಲಮಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನಿಜವಾದ ಟನಲಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮದ ಏಕೈಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅವಲೋಕನಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟನಲಿಂಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮದ ಮೊದಲ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಎಂಡರ್ಸ್ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಟ್ಜ್ ಅವರಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿತು, ಅವರು ಕಿರಿದಾದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೈಕ್ರೋವೇವ್ ತರಂಗಮಾರ್ಗವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಅದು ಆ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಡಿತ ಆವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತರಂಗಗಳಿಗೆ ತಡೆಗೋಡೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿತು. ಅವರು ರಚನೆಯಿಂದ ಹರಡುವ ನಿರಂತರ ತರಂಗ (ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ) ಮೈಕ್ರೋವೇವ್ಗಳ ಆವರ್ತನ-ಅವಲಂಬಿತ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆವರ್ತನ-ಅವಲಂಬಿತ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯು ತಡೆಗೋಡೆ ಪ್ರದೇಶದ ಉದ್ದದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವು (ಹಂತದ ಸಮಯ) ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಈ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಎಂದರೆ ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮದ ದೃಢೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿ ಅದೇ ತಡೆಗೋಡೆ ದೂರ ಎಲ್ ಮೇಲೆ ಬೆಳಕಿನ ಸಿ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ನಾಡಿಮಿಡಿತಕ್ಕೆ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವು ಸಾರಿಗೆ ಸಮಯ ಎಲ್/ಸಿ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಇದರಿಂದ, ಎವೆನೆಸೆಂಟ್ ಅಲೆಗಳ ಸುರಂಗಮಾರ್ಗವು ಸೂಪರ್ಲೂಮಿನಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟನಲಿಂಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಫೋಟಾನಿಕ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗ್ಯಾಪ್ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ತರಂಗ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಆಂತರಿಕ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಕುಂಠಿತಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಪೀಲ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಬಹು ಪದರದ ಡೈಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ರಚನೆಯ ಸ್ಟಾಪ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮೂಲಕ 12 ಎಫ್ಎಸ್ (ಎಫ್ಡಬ್ಲ್ಯೂಹೆಚ್ಎಂ) ಲೇಸರ್ ಪಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ ಗುಂಪಿನ ವಿಳಂಬವು ಪದರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಫೋಟಾನಿಕ್ ತಡೆಗೋಡೆಯ ದಪ್ಪದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಹೀಗಾಗಿ ಬೆಳಕಿನ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಸುರಂಗ ಮಾಡಲು ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಲಾಂಗಿ, ಮತ್ತು ಇತರರು. ಫೈಬರ್ ಬ್ರ್ಯಾಗ್ ಗ್ರೇಟಿಂಗ್ (ಎಫ್ಬಿಜಿ) ನ ಸ್ಟಾಪ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮೂಲಕ 380-ಪಿಎಸ್ ಅಗಲದ ಲೇಸರ್ ಪಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರು 1 ಸೆಂ. ಮೀ., 1 ಸೆಂ. ಮೀ., ಮತ್ತು 2 ಸೆಂ. ಮೀ. ಉದ್ದದ ಗ್ರ್ಯಾಟಿಂಗ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಹರಡುವ ದ್ವಿದಳ ಧಾನ್ಯಗಳ ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವಿಳಂಬವು ತಾನ್ಹ್ (ಕ್ಯೂಎಲ್) ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂ ಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಜೋಡಣೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮದ ಮತ್ತೊಂದು ದೃಢೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಊಹಿಸಲಾದ ಟನಲಿಂಗ್ ಗುಂಪಿನ ವೇಗವು ತಡೆಗೋಡೆಯಿಲ್ಲದೆ ಫೈಬರ್ನಲ್ಲಿ ಹರಡುವ ಉಲ್ಲೇಖ ನಾಡಿಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಎಫ್ಬಿಜಿ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು. ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಟನಲಿಂಗ್ಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಬಾಲ್ಕೌ ಮತ್ತು ಡ್ಯುಟ್ರಿಯಾಕ್ಸ್ ಎರಡು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಣ್ಣ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಸಾಗಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುವ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ಗಾಜಿನ-ಗಾಳಿಯ ಅಂತರಸಂಪರ್ಕದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಂತರಿಕ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಯು ಗಾಳಿಗೆ ಹರಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ (ತರಂಗಾಂತರದೊಳಗೆ) ತಂದಾಗ, ಬೆಳಕು ಅಂತರವನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗೆ ಸಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಫ್ರೆಸ್ಟೆಡ್ ಟೋಟಲ್ ಇಂಟರ್ನಲ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ (ಎಫ್ಟಿಐಆರ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟನಲಿಂಗ್ನ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ. ಎಫ್ಟಿಐಆರ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬೀಮ್ ಶಿಫ್ಟ್ನ (ಗೂಸ್-ಹನ್ಚೆನ್ ಶಿಫ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಅಳತೆಯಿಂದ ಬಾಲ್ಕೌ ಮತ್ತು ಡುಟ್ರಿಯಾಕ್ಸ್ ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಯಾಚುರೇಟ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಹೀಗಾಗಿ ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಮೂಹ ವಿಳಂಬಗಳು ಹರಡುವ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಕಿರಣಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ ಅಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾಂಗ್, ಮತ್ತು ಇತರರು. ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಟಂಗ್ಸ್ಟನ್ ಕಾರ್ಬೈಡ್ ಮಣಿಗಳಿಂದ ಮಾಡಿದ 3ಡಿ ಫೋನೋನಿಕ್ ಸ್ಫಟಿಕಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರಸರಣಗೊಂಡ ಅಲ್ಟ್ರಾಸೌಂಡ್ ದ್ವಿದಳ ಧಾನ್ಯಗಳು. ಸ್ಟಾಪ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ನೊಳಗಿನ ಆವರ್ತನಗಳಿಗಾಗಿ, ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವು ಮಾದರಿ ದಪ್ಪದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ವಿಳಂಬವನ್ನು v = L/T ಮೂಲಕ ವೇಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮಾದರಿ ದಪ್ಪದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಗುಂಪು ವೇಗವನ್ನು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ರಾಬರ್ಟ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಆಡಿಯೋ ಆವರ್ತನ ಪಲ್ಸ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗ್ಯಾಪ್ನೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ ತರಂಗಮಾರ್ಗ ರಚನೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಟಾಪ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ನೊಳಗೆ ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ವಿಳಂಬವು ರಚನೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಇದು ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮದ ಪರಿಶೀಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗುಂಪಿನ ವೇಗವು ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು ಮತ್ತು ಧ್ವನಿಯ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿತ್ತು, ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಅವರು "ಧ್ವನಿ ತಡೆಗೋಡೆಯನ್ನು ಮುರಿಯುವುದು" ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮದ ಮೂಲವು ಕಣ ಅಥವಾ ತರಂಗ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ನ ಸುರಂಗದ ಸಮಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ದಪ್ಪವಾದ ಅಡೆತಡೆಗಳಿಗೆ ತಡೆಗೋಡೆಯ ಅಗಲದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗುವುದು ಏಕೆ? ಹಾರ್ಟ್ಮನ್ ಪರಿಣಾಮದ ಮೂಲವು ದಶಕಗಳಿಂದ ನಿಗೂಢವಾಗಿತ್ತು. ಸುರಂಗದ ಸಮಯವು ತಡೆಗೋಡೆಯ ಅಗಲದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ತಡೆಗೋಡೆ ಉದ್ದವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ತರಂಗ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದಲ್ಲದೆ, ಹೆಚ್ಚಿದ ದೂರವನ್ನು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದಾಟಲು ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. 2002ರಲ್ಲಿ ಹರ್ಬರ್ಟ್ ವಿನ್ಫುಲ್ ಫೋಟಾನಿಕ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗ್ಯಾಪ್ ರಚನೆಯ ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವು ತಡೆಗೋಡೆಯಲ್ಲಿನ ಸಂಗ್ರಹಿತ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ವಾಸದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಾಸದ ಸಮಯವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಇನ್ಪುಟ್ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟಾಪ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅಂತರದ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಚೌಕದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಘಾತಾಂಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದದ ತಡೆಗೋಡೆಗೆ ಉದ್ದದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯು ಸ್ಯಾಚುರೇಟ್ ಆಗುವುದರಿಂದ ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವು ಸ್ಯಾಚುರೇಟ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸುರಂಗಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ವಿಳಂಬವನ್ನು ಎರಡೂ ತುದಿಗಳ ಮೂಲಕ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಗ್ರಹಿತ ಶಕ್ತಿಯ ಜೀವಿತಾವಧಿಯೆಂದು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು. ಗುಂಪು ವಿಳಂಬದ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜೀವಿತಾವಧಿಯಾಗಿ ಸಂವಹನ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪಿನ ವಿಳಂಬಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ತಡೆಗೋಡೆಗೆ ಏಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸುರಂಗ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಮಯವು ಪ್ರಸರಣ ವಿಳಂಬವಲ್ಲ ಮತ್ತು "ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಅಲೆಗಳು ಹರಡುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ವೇಗಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಬಾರದು" ಎಂದು ಅವರು ಗಮನಸೆಳೆದರು. ಇತರ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿನ್ಫುಲ್ ತನ್ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ (ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ) ಟನಲಿಂಗ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ವಿಳಂಬವು ವಾಸದ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪದ ವಿಳಂಬಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಇವೆರಡೂ ಸಮಗ್ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತಡೆಗೋಡೆಯ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಯಾಚುರೇಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್