Diophantus II.VIII
ಡಿಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ ಬರೆದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಎರಡನೇ ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಟನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವುದು. ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ ನೀಡಿದ ಪರಿಹಾರವು ಚೌಕವನ್ನು 16 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು. 16 ಅನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು. ಮೊದಲ ಸಾರಾಂಶವು ಹೀಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಎರಡನೆಯದು ಹೀಗಿರಲಿ. ಎರಡನೆಯದು ಚೌಕವಾಗಿರಬೇಕು. ನಾನು x ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಕಾರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು [ನ] 16 ರ ಮೂಲದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 4 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾನು 2x−4ರ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅದು. ನಾನು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಇಡುತ್ತೇನೆ. ನಾನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು 16 ಅನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇನೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾನು ಪಡೆಯುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ 256/25 ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು 144/25 ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 16 ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ನಾವು x2 + y2 = 42 ವೃತ್ತವನ್ನು ಮತ್ತು y = 2x-4 ರೇಖೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಬಯಸಿದ ಚೌಕಗಳ ಜೋಡಿಯು ನಂತರ x02 ಮತ್ತು y02 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ (x0, y0) ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತವು ಛೇದಿಸುವ y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪಕ್ಕದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ನ ಪರಿಹಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ನಾವು ಯಾವುದೇ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಅದನ್ನು ನಾವು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ a2 ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ x ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು tx ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಪಕ್ಕದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ನಾವು x2 + y2 = a2 ವೃತ್ತವನ್ನು y = tx-a ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಒ. ಎ. ಬಿ. ಯ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳಾದ ಒ. ಬಿ., ಒ. ಎ. ಮತ್ತು ಎ. ಬಿ. ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಟುಪಲ್ ಎಂದು ಬರೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ತ್ರಿವಳಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ನಿಂದ ಪಡೆದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು a = 4 ಮತ್ತು t = 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ರಾವಣವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಮಾರುವೇಷದಲ್ಲಿರುವ (3,4,5) ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, a ಮತ್ತು t ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರುವವರೆಗೆ ತ್ರಿವಳಿ ಯಾವಾಗಲೂ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು t ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ x ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತಲುಪಲು ಕೇವಲ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಂತದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಬದಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. a = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬದಿಗಳು [OB, OA, AB] ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ಡಿಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ ನೀಡಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, t ಯು 2 ರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು x ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ. ಛೇದಗಳನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿ, x ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಕವು ಜನರೇಟರ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (ಗಳ) ಯ ಮೂಲಾಧಾರವಾಗಿದೆ. ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ II.IX ಅದೇ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಇನ್ನೂ ವೇಗವಾಗಿ ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೇಲಿನ 'ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ದ್ರಾವಣ' ಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ 16 ಅನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು N ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು N ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದು, ಮೂಲ (ನ) 16 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 2N−4. ನಂತರಃ ನಂತರ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅಂಕಗಣಿತದ 1670ರ ಆವೃತ್ತಿಯ 61ನೇ ಪುಟದಲ್ಲಿ 'ಕ್ವೆಸ್ಟಿಯೋ VIII' ಮತ್ತು 'ಕ್ವೆಸ್ಟಿಯೋ IX' ನಡುವೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸ್ II.VIII ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.