Quasi-isometry
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯು ಈ ಸ್ಥಳಗಳ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ವಿವರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ ಎರಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ನಡುವೆ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿ ಇದ್ದರೆ ಅವು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅರೆ-ಸಮಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಇದು ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಿಂದ ಎರಡನೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ (ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ) ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎರಡೂ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತಹ ಅರ್ಧ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ಅಂತರದ ಅಂಶದೊಳಗೆ ಸಂಯೋಜಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿಃ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಿರ ಅಂತರದಲ್ಲಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿಃ ಎರಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನುವರೆಗಿನ ಕ್ವಾಸಿ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಇದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಸಿ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯು ಮೊದಲ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಇದು ಒರಟಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆದರೆ ಒರಟಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅರೆ-ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾದ M1 ಮತ್ತು M2 ಅನ್ನು ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಇದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾನ್ಹ್ಯಾಟನ್ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ತನ್ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅರೆ-ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಇದರಲ್ಲಿ, ದೂರಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಇರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾನ್ಹ್ಯಾಟನ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ 4 ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು-ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಳುಹಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯು (ಎರಡೂ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ) ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆಃ ದೂರಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಟುಪಲ್ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟುಪಲ್ನ ಅಂತರದಲ್ಲಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ಹತ್ತಿರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟುಪಲ್ಗೆ ಸುತ್ತುವ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಸಹ ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆಃ ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೌಂಡಿಂಗ್ ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಅರೆ-ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸ್ಥಳದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದರ ಚಿತ್ರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಜಿ ಯ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪಾದಕ ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಎಸ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ವಿಭಿನ್ನ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸೆಟ್ ಟಿ ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿ ವರ್ಗವು ಜಿ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಜಾಗದ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ತಕ್ಷಣವೇ ಗುಂಪುಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸ್ವಾರ್ಕ್-ಮಿಲ್ನರ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಒಂದು ಗುಂಪು ಜಿ ಸರಿಯಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಜಿ ಎಕ್ಸ್ಗೆ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಜಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಅರೆ-ಸಮಮಿತಿಯ ಗುಂಪುಗಳ ಹೊಸ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ G 'ಎಂಬುದು Gಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ G' ಎಂಬುದು G 'ಗೆ ಅರೆ-ಸಮಮಿತಿಯಾಗಿದೆ; G ಮತ್ತು H ಒಂದೇ ಆಯಾಮದ ಎರಡು ಸಾಂದ್ರ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಎರಡೂ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ Hdಗೆ ಅರೆ-ಸಮಮಿತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಪರಸ್ಪರ; ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಸೀಮಿತ-ಪರಿಮಾಣದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಅರೆ-ಸಮಮಿತಿಯ ವರ್ಗಗಳಿವೆ. ಕ್ವಾಸಿಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮೋರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಎಂದರೆ ಅದರೊಳಗೆ ಅರ್ಧ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು-ಕ್ವಾಸಿ-ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ (ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ) ಅರೆ-ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ಒರಟಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅರೆ-ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ನಿಜವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ನ ಸೀಮಿತ ಅಂತರದೊಳಗೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೋರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಭೇದಾತ್ಮಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮೋರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು). ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯುಃ ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ δ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್. ಯಾವುದೇ-ಅರೆ-ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಗೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಸರಿಯಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯು ಅವುಗಳ ಗಡಿಗಳ ನಡುವೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ತಕ್ಷಣದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೋಸ್ಟೋ ರಿಗಿಡಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯ ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗೂಗಲ್ ನಕ್ಷೆಗಳಂತಹ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆದಾರರ ಸಂವಹನ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದೆ. ಗುಂಪುಗಳ ಕ್ವಾಸಿ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕ್ವಾಸಿ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಗುಂಪು ಕೇಲಿಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಅದರ ಕೇಲಿಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಕೆಲವು δಗಳಿಗೆ δ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಸಿಟಿ ಎ ಗುಂಪನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಸಿಟಿಯ ವಿವಿಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ನಡುವೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವಾಗ, δ ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವು ದ್ವಿ-ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿವೆ. : ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವು ಬಲವಾಗಿ ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ರಚನೆಯಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಪದವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಭಾಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಭೌಗೋಳಿಕ ಪದಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪಾದಕ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗುಂಪಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಚೆಂಡುಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವು n ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಬಹುಪದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಒಂದು ಗುಂಪು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬಹುಪದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ. ಯಾವುದೇ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಿಂತ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬೆಳೆದರೆ, ಜಿ ಉಪ-ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಳದ ತುದಿಗಳು, ಸ್ಥಳದ "ಆದರ್ಶ ಗಡಿ" ಯ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ತುದಿಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದೊಳಗೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಮೂಲ ಜಾಗದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎಂಡ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ತುದಿಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ತುದಿಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ; ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ-ರಚಿಸಲಾದ ಅನಂತ ಗುಂಪು 0,1,2, ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳ ತುದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಲಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಅರೆ-ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ಅರೆ-ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅನುಕೂಲವಾದ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪು ಜಿ, ಇದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅನುವಾದದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸರಾಸರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, ಜಿ ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಯ (ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ 1929 ರಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರು ಜರ್ಮನ್ ಹೆಸರು "ಮೆಸ್ಬಾರ್" (ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ "ಅಳೆಯಬಹುದಾದ") ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. 1949ರಲ್ಲಿ ಮಹ್ಲೋನ್ ಎಮ್. ಡೇ ಅವರು "ಅಮೇನಬಲ್" ಎಂಬ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷಾಂತರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಜಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪು G ಯ ಎಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪು ಫೋಲ್ನರ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಕೋನ್ ಒಂದು ಅಲ್ಟ್ರಾಲಿಮಿಟ್ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ Xn ಸೀಮಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಲ್ಟ್ರಾಲಿಮಿಟ್ಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. (X, d) ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ω ಒಂದು ಪ್ರಧಾನವಲ್ಲದ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು pn bul X ಬೇಸ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮದ ω-ಅಲ್ಟ್ರಾಲಿಮಿಟ್ ಅನ್ನು ω ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ X ನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬೇಸ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು p ω X ಗೆ pn = p; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ p ω X ನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿದೆ. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ಗಳು (ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ದ್ವಿ-ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಪ್ರಕಾರಗಳು) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪುಗಳ ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಒರಟಾದ ರಚನೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಮಾನತೆ (ಗಣಿತ)