Waldhausen category
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗವು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗ ಸಿ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಎಸ್-ನಿರ್ಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ಸಿ ಯ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಫ್ರೀಡ್ಹೆಲ್ಮ್ ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು (ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ) ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವರ್ಗ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಿ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ, ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಕೋ (ಸಿ) ಮತ್ತು ನಾವು (ಸಿ) ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳು. ಟ್ರಿಪಲ್ (ಸಿ, ಕೋ (ಸಿ), ನಾವು (ಸಿ)) ಅನ್ನು ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ದುರ್ಬಲ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆಃ ಸಿ ಶೂನ್ಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು 0 ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಕೋ (ಸಿ) ಮತ್ತು ನಾವು (ಸಿ) ಎರಡರಲ್ಲೂ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಕೋ (ಸಿ) ಮತ್ತು ನಾವು (ಸಿ) ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ; ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಎ upl ಸಿ ಅನನ್ಯ ನಕ್ಷೆ 0 → ಎ ಒಂದು ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಕೋ (ಸಿ); ಕೋ (ಸಿ) ಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು (ಸಿ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪುಶ್ಔಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆ ಇದ್ದರೆ, ಆಗ ಒಂದು ಪುಶ್ಔಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯು ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಆಗಿರಬೇಕುಃ ಇತರ ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗಗಳ ಹಲವಾರು ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ. ಸಿ ಒಂದು ನಿಖರವಾದ ವರ್ಗದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು (ಸಿ) ಅನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಎಂದು, ಕೋ (ಸಿ) ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಸಿ ಮೇಲೆ ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗದ ರಚನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸಿ ಯ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ನಿಖರವಾದ ರಚನೆಗೆ ಕ್ಯೂ-ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ರಚನೆಗೆ ಎಸ್-ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ಥಳಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಸಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿ ಯಲ್ಲಿರುವ ಕೋಫೈಬ್ರಂಟ್ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಪವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಎಸ್-ನಿರ್ಮಾಣ ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ಎಸ್-ನಿರ್ಮಾಣವು ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗ ಸಿ ಯಿಂದ ಕಾನ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಲೂಪ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಗುಂಪು ಸಿ ಯ ಎನ್-ನೇ ಕೆ-ಗುಂಪು. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಕ್ವಿಲ್ಲೆನ್ನ ಕ್ಯೂ-ನಿರ್ಮಾಣ. ಇದರ ನಿರ್ಮಾಣವು ಫ್ರೀಡ್ಹೆಲ್ಮ್ ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ರಿಂದಾಗಿದೆ. ಬಯೋವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗಗಳು ಎ ವರ್ಗವು ಕೋಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ವರ್ಗ ಸಿ. ಓ. ಪಿ ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಬೈಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಿ. ಓ. ಪಿ. ಯ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳನ್ನು ಕ್ವೋಟ್ (ಸಿ) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಸಿ, ಕೋ (ಸಿ), ವಿ) ಮತ್ತು (ಸಿಒಪಿ, ಕ್ವೋಟ್ (ಸಿ), ವಿಒಪಿ) ಎರಡೂ ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗಗಳಾಗಿರುವಂತಹ ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿ ಬೈವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ಮತ್ತು ಬಿವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಅಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವರ್ಗಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಯೋವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ನಿಖರವಾದ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ವರ್ಗ. ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಯಾವಾಗ. ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಒಳ್ಳೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬಿವಾಲ್ಡ್ಹೌಸೆನ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಿ. ವೈಬೆಲ್, ದಿ ಕೆ-ಬುಕ್, ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಚಯ-http://www.math.rutgers.edu ~ ವೈಬೆಲ್/ಕೆಬುಕ್. ಎಚ್ಎಂಎಲ್ ಜಿ. ಗರ್ಕುಶಾ, ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತ-https://arxiv.org/abs/math/0401062 ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಸೆಗಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಲಿಂಕ್ಸ್ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ