Euclidean field
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಂಶವು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆಃ ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಇದನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪ್ರತಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜವಲ್ಲ. ಇ/ಎಫ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಇ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ ಕೂಡ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ "ಕೆಳಗೆ ಹೋಗುವ ಪ್ರಮೇಯ" ವು ಡಿಲ್ಲರ್-ಡ್ರೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆಡಳಿತಗಾರ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಸೂಚಿ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಂದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಿಭಾಗದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ (ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ) ಉದ್ದಗಳು, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ನಿಜವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಹ ನಿಜವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಒಂದು ವರ್ಗವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ 2ರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಿಗೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗರಿಷ್ಠವಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರ (ಗಣಿತ)