Porous set
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ರಂಧ್ರಗಳುಳ್ಳ ಗಣವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಪ ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಂತೆ, ರಂಧ್ರಯುಕ್ತ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು "ವಿರಳ" ಅಥವಾ "ಕೊರತೆ ಬೃಹತ್" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಂಧ್ರಯುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳು ಕೆಳಗಿರುವಂತೆ ಅಲ್ಪ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ (X, d) ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು E, Xನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಬಿ (x, r) ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡನ್ನು (X, d) ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ x bul X ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ r> 0 ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. 0 <α <1 ಮತ್ತು r0> 0 ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ E ಅನ್ನು ರಂಧ್ರಯುಕ್ತ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ 0 <r ≤ r0 ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ x ωX ಗೆ, X ನ ಉಪಗುಂಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಬಿಂದು y ωX ಅನ್ನು σ-ರಂಧ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು X ನ ರಂಧ್ರಯುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುದೇ ರಂಧ್ರಯುಕ್ತ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ σ-ರಂಧ್ರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ (ಅಥವಾ ಮೊದಲ ವರ್ಗದ). X ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Rn ಆಗಿದ್ದರೆ, ರಂಧ್ರಯುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, Rnನ ಮೊದಲ ವರ್ಗದ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂ ಅಳತೆಯ ಶೂನ್ಯದ ನಾನ್-σ-ಪೋರಸ್ ಉಪವಿಭಾಗ P ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಇದನ್ನು ಝಾಜಿಸೆಕ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಂಧ್ರತೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿರದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ E ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, x Π X ಮತ್ತು r> 0 ಗೆ, ಒಂದು ಬಿಂದು y Π X ಮತ್ತು s> 0 ಇರುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, E ಸಹ ರಂಧ್ರಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, s = αr ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ r ಗೆ), ಅಲ್ಲಿ 0 <α <1 ಎಂಬುದು E ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ.