Banach–Stone theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬನಾಚ್-ಸ್ಟೋನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಸ್ಟೀಫನ್ ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಷಲ್ ಸ್ಟೋನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬನಾಚ್-ಸ್ಟೋನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬನಾಚ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ರಚನೆಯಿಂದ ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲಿನ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಇದು ಸುಲಭ-ನಾವು ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) ನ ವರ್ಣಪಟಲದೊಂದಿಗೆ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಡಬಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) * ನಿಂದ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ದುರ್ಬಲ *-ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬನಾಚ್-ಸ್ಟೋನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) * ನ ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಾಕಾರದ ರಚನೆಯ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಗಾಗಿ, C (X) ಯು X ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬನಾಚ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, T: C (X) → C (Y) ಒಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಲೀನಿಯರ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಒಂದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ φ: Y → X ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯ g ωC (Y) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು X ಮತ್ತು Y ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬನಾಚ್ ಕಾರಣ, ಆದರೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸ್ಟೋನ್ ಕಾರಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವೆರಡೂ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತವೆ-ಟಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು ಟಿ ಅಫೈನ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಮಜೂರ್-ಉಲಾಮ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಇದು ರೇಖೀಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಬನಾಚ್-ಸ್ಟೋನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇ ಎಂಬುದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕೇಂದ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬನಾಚ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿ (ವೈ; ಇ) ಮೇಲೆ ಸಿ (ಎಕ್ಸ್; ಇ) ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೀಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯು ಬಲವಾದ ಬನಾಚ್-ಸ್ಟೋನ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಂತ್ರವನ್ನು X ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಲವು ಇತರ ಸ್ಥಳಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ಗಳ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸ್ಪೇಸ್ X ಅನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಏಕಾಂಗಿ ಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ) ಅವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಜಾನಪದ ಪ್ರಮೇಯವು ಬನಾಚ್-ಸ್ಟೋನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ. ಕೇವಲ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಸಿ *-ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಅದು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಅದೇ ಬನಾಚ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಸಹ ನೋಡಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಾಹಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು