Out(Fn)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ಎಂಬುದು ಎನ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಂಪುಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ಕುಲರ್-ವೋಗ್ಟ್ಮನ್ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಜೀವಕೋಶದ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವೃತ್ತಗಳ ಪುಷ್ಪಗುಚ್ಛಕ್ಕಾಗಿ ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ n ವೃತ್ತಗಳ ಪುಷ್ಪಗುಚ್ಛಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ-ಗ್ರಾಫ್ X ಹೋಮೋಟಾಪಿಯಾಗಿದ್ದು, X ನಿಂದ n ವೃತ್ತಗಳ ಪುಷ್ಪಗುಚ್ಛಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯ ಮುಕ್ತ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು-ಗ್ರಾಫ್ ಕೇವಲ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೂಕದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ತೂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ತೂಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು (ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲು) ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ವೇಲೆನ್ಸಿ ಕನಿಷ್ಠ 3 ಆಗಿರಬೇಕು. ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಮಾನತೆ f ಅನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ನಾವು n ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ n ವೃತ್ತಗಳ ಪುಷ್ಪಗುಚ್ಛದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಗುರುತನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು X ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿಗೆ ಒಂದು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಈಗ ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇ ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಗರಿಷ್ಠ ಮರದಲ್ಲಿ ಇ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ. ಈ ಮಾರ್ಗವನ್ನು f ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು n ವೃತ್ತಗಳ ಪುಷ್ಪಗುಚ್ಛದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ; ನಾವು f ಅನ್ನು ಮುಕ್ತ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ನಾವು ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಎಫ್ ನ ಉಚಿತ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು f ನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಉಂಟಾಗುವ ಅನಾನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಬ್ಬರು ಗರಿಷ್ಠ ಮರ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅಂಚುಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ g ಯು n ವೃತ್ತಗಳ ಪುಷ್ಪಗುಚ್ಛದ ಸ್ವಯಂ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆ g′ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. f ಅನ್ನು g′ ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇತರ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಕೇವಲ g ನ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಪದವನ್ನು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪದವು ಆಯ್ದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ X ನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಪದದ ಉದ್ದವು ಆ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗದ ಮುಕ್ತ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗದ ಮಾರ್ಗದ ಕನಿಷ್ಠ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯೋಜನೆಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ಕೆಲವು ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅಳವಡಿಸುವುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ರಚನೆಯು ಎರಡನೇ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ-ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ತೆರೆದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅವು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು). ಅಂತಹ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಗಡಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಈ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಕುಸಿಯುವ ಮೂಲಕ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಆ ಅಂಚು ಒಂದು ಲೂಪ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಅದನ್ನು ಕೆಡವಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಗಡಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ಕೆಲವು ಸರಳತೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ರಚನೆ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ನಕ್ಷೆಯು ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು. ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಗುಂಪಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕರ್ನಲ್ ಎಂದರೆ ಟೊರೆಲ್ಲಿ ಗುಂಪು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಯು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು n ವೃತ್ತಗಳ ಪುಷ್ಪಗುಚ್ಛದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ n ವೃತ್ತಗಳ ಪುಷ್ಪಗುಚ್ಛದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗ ಗುಂಪು ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು (ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ), ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಆ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಟ್ರೈನ್ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ