Pseudoelementary class
ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗವು ಅದರ ಕೆಲವು ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗದಿಂದ (ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ) ಪಡೆದ ರಚನೆಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ (ಕೋಡೋಮೈನ್) ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (ಕಲ್ಪಿತ) ಗುಪ್ತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಿರುವ ಕಲ್ಪನೆಯ ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಪ್ರತಿರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತರಗತಿಗಳು (ನಿರ್ವಾತವಾಗಿ) ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಲ್ಟ್ರಾಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗದ ಕಡಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗದ ಕೆಲವು ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಕ್ಕೂಟ ಮತ್ತು ಛೇದನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅದರ ರಚನೆಗಳು (W, ≤, ≤) ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಎರಡು-ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗದ ರಚನೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗ ಎಂದು ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು (A, W, ≤, ≤) ಅಲ್ಲಿ ≤ A × W ಮತ್ತು ≤ ಮತ್ತು ≤ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಮೇಲೆ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು (ಕ್ವಾ ಟೆರ್ನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳು). [a ω X ω Y ω a ω X ω a ω Y] ω X, Y ω W. [a ω X ω Y ω a ω X ω a ω Y] ω X, Y ω W. [(ಎ. ಎ. ಉದ್ದೇಶಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ A ಎಂಬುದು a, b, ಪರಮಾಣುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. W ಎಂಬುದು X, Y ಪರಮಾಣುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು bul ಎಂಬುದು ಪರಮಾಣುಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸದಸ್ಯತ್ವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳು ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳು ಪರಮಾಣುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ನೀಡದ ಕಾರಣ, ಅವು ಪರಮಾಣುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಎ ಮತ್ತು ಸದಸ್ಯತ್ವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಒಕ್ಕೂಟ ಮತ್ತು ಛೇದನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿಂದ ಈ ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಗಳ ವೈವಿಧ್ಯತೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ವರ್ಗಗಳು (ಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೊರಗುಳಿಯುವ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ನಂತರ) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ನಂತರದ ವರ್ಗವನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವು ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಲು ಒಂಬತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಮೊದಲಿನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಸ್ವಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಎರಡನೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಹಿಂದಿನದರ ಕಡಿತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಕ್ಕೂಟದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವಳಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು R ≤ S, ಛೇದಕ R ≤ S, ಪೂರಕ R −, ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂಯೋಜನೆ R; S, ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕನ್ವರ್ಸ್ R, ಇದರ ರಚನೆಗಳು (W, ≤, ≤, ≤,) ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ರೂಪದ ಮೂರು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗದ ರಚನೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಹುಸಿ ಘಟಕ ವರ್ಗ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು (A, P, W, ≤, ≤, ≤). ಮೂರು ವಿಧಗಳ ಉದ್ದೇಶಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ಪರಮಾಣುಗಳು, ಪರಮಾಣುಗಳ ಜೋಡಿಗಳು, ಮತ್ತು ಪರಮಾಣುಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು, π: A ×; A → P ಮತ್ತು λ, ρ: P → A ಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟ ಜೋಡಣೆ ಸಂಯೋಜಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧ್ವಂಸಕಗಳು, ಮತ್ತು Π ×; W ಎಂಬುದು ಜೋಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳ ನಡುವಿನ ಸದಸ್ಯತ್ವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ (ಜೋಡಿಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ). ಉದಾಹರಣೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ, W ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂಯೋಜಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಠ್ಯಗಳ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣುಗಳು ಮತ್ತು ಪರಮಾಣುಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಶುದ್ಧ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಂತರ ಪರಮಾಣು ಮತ್ತು ಜೋಡಿ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಿಟ್ಟುಹೋದ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಈ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗದ ಮಾದರಿಗಳ ಕಡಿತಗಳ ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ವರ್ಗಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ವರ್ಗವು ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ನಂತರದ ವರ್ಗವನ್ನು (ಕಡಿತ) 1955 ರಲ್ಲಿ ಟಾರ್ಸ್ಕಿಯು ತೋರಿಸಿದನು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಆರ್ಆರ್ಎ, ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಬಂಧ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು. ಪ್ರಾಚೀನ ಉಂಗುರವು ಸರಳ ಉಂಗುರದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ (ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ) ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಉಂಗುರದ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಆದರ್ಶಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು-ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ರಚನೆಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗದಿಂದ ಪ್ರಾಚೀನ ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಹುಸಿ ಘಟಕ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸೂಡೊಎಲಿಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವರ್ಗವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಲ್ಲದ ಸೂಡೊಎಲಿಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹಾರ್ನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗ ಎಂದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಸಿವೇರಿಟಿಯನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು, ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ರಚನೆಗಳ ವರ್ಗ ಎಂದು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಮಿಶ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕ್ವಾಸಿವೇರಿಟಿಯನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು, ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು "ಕಡಿಮೆ" ಅನ್ನು "ನೇರ" ಎಂದು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ). ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಸಹಾಯಕ ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ರಚನೆಯ ಕೆಲವು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಹಾಯಕ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಕೈಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಸೂಡೊಎಲೆಮೆಂಟರಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವರ್ಗದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹಾರ್ನ್ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು (ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ತಂತ್ರವು ಉದಾಹರಣೆ 2 ಕ್ಕೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಉಪಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸ್ವತಃ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಬಂಧದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗ ಆರ್ಆರ್ಎ ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿವೇರಿಯೇಟಿ (ಮತ್ತು ಫೋರ್ಟಿಯೋರಿ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವರ್ಗ) ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಣ್ಣ ಪುರಾವೆಯು ಅಮೂರ್ತ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ; ಆರ್ಆರ್ಎ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಟಾರ್ಸ್ಕಿಯ ಬಲವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಶ್ರಮದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪಾಲ್ ಸಿ. ಎಕ್ಲೋಫ್ (1977), ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ಸ್ ಫಾರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಯಿಸ್ಟ್ಸ್, ಇನ್ ಹ್ಯಾಂಡ್ಬುಕ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್ (ಆವೃತ್ತಿ. ಜಾನ್ ಬಾರ್ವೈಸ್), ಉತ್ತರ-ಹಾಲೆಂಡ್. ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ