Outer space (mathematics)
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಕಲ್ಲರ್-ವೋಗ್ಟ್ಮನ್ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಎಫ್. ಎನ್. ನ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂಬುದು ಎಫ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ಸಂಪುಟ 1 ರ "ಮಾರ್ಕ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗವಾಗಿದೆ. Xn ಅಥವಾ CVn ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್, Fn ನ ಔಟ್ (Fn) ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೊರಗಿನ ಜಾಗವನ್ನು 1986ರ ಮಾರ್ಕ್ ಕಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಕರೆನ್ ವೋಗ್ಟ್ಮನ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಟೈಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗದ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಅನ್ನು ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ನ ಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ನ ಬೀಜಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಎಫ್ಎನ್ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೇಸ್ Xn ಅನ್ನು ಆರ್-ಟ್ರೀಸ್ Tಯ ಮೇಲೆ Fnನ ಮೇಲೆ Fnನ ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿಯೂ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಅಂಶ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ T/Fn ಪರಿಮಾಣ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದ, 1986ರ ಮಾರ್ಕ್ ಕಲರ್ ಮತ್ತು ಕರೆನ್ ವೋಗ್ಟ್ಮನ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಆನ್ ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಅದೇ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಲರ್ ಮತ್ತು ವೋಗ್ಟ್ಮನ್, ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಅನುವಾದದ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ, ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳ ಸೆಟ್ ಇದೆ. ಇನ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ನಂತರ ಕೋಹೆನ್ ಮತ್ತು ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಮತ್ತು ಬೆಸ್ಟ್ವಿನಾ ಮತ್ತು ಫೀಘನ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮರಗಳ ಮೇಲಿನ "ಅತ್ಯಂತ ಸಣ್ಣ" ಕನಿಷ್ಠ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವರ್ಗಗಳ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಜಾಗವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿತು (ವಿಭಾಗ 1.3 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು n ≤ 2 ಆಗಿರಲಿ. ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿಗೆ Fn ಒಂದು "ಗುಲಾಬಿ" Rn ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಬೆಣೆ, v ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಬೆಣೆ ಹಾಕಿದ n ವೃತ್ತಗಳ, ಮತ್ತು Fn ಮತ್ತು Rn ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು 1 (Rn, v) ನಡುವೆ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಾವು ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮೂಲಕ Fn ಮತ್ತು 1 (Rn, v) ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಫ್ಎನ್ ಮೇಲೆ ಗುರುತು ಹಾಕುವುದು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು f: Rn → ಜಾತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜಾತವು ಡಿಗ್ರಿ-ಒನ್ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ-ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು (ಮುಕ್ತ) ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ, f ಅನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ f #: ಎಂಬ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ L (e) ನ ಪ್ರತಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಂಚಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಫ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಯು ಎಫ್ಃ ಆರ್. ಎನ್. → ಜೆ. ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಜೊತೆಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆ ಎಲ್ ಅನ್ನು ್ಜು ಮೇಲೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಗಳು f1: Rn → γ1 ಮತ್ತು f2: Rn → γ2 ಒಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಮುಕ್ತ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ, ನಾವು θ o f1 = f2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ Xn ಯು Fn ನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಮಾಣ-ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲ ಟೋಪೋಲಜಿ ತೆರೆದ ಸರಳತೆಗಳು f: Rn → k ಆಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ k ಒಂದು ಗುರುತು ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು k ನಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಜಾತದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು e1,., ek ಎಂದು ಆದೇಶಿಸುತ್ತೇವೆ. Rkಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ (k−1)-ಆಯಾಮದ ಮುಕ್ತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ. f ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆ j: δk → Xn ಇರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ x = (x1,., xk) ωk ಗೆ, Xn ನ ಬಿಂದು j (x) ಅನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ f ಅನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುರುತು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ i = 1,., k ಗೆ L (ei) = xi. ಸೆಟ್ ಜೆ (Δk) ಅನ್ನು ಎಫ್ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಕ್ಸ್ಎನ್ ನಲ್ಲಿ ಓಪನ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಎಸ್ (ಎಫ್) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ, Xn ಎಂಬುದು Fn ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ತೆರೆದ ಸರಳತೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. Xn ನಲ್ಲಿನ ಎರಡು ತೆರೆದ ಸರಳತೆಗಳು ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಿಂಪ್ಲಿಸಿಸ್ಗಳು f: Rn → k ಆಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ k ಒಂದು ಗುರುತು ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು k ನಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ನಾವು ಜಾತದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು e1,., ek ಎಂದು ಆದೇಶಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ x = (x1,., xk) ΠRkಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿ δk′Rk ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ xi ±0 ಮತ್ತು xi = 0ರೊಂದಿಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳ ಸಮೂಹವು γನಲ್ಲಿರುವ ಉಪ ಅರಣ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಕ್ಷೆ h: Δk′ → Xn ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. x ಗೆ, h (x) = j (x) ಅನ್ನು ಇರಿಸಿ. Xnನ ಬಿಂದು h (x) ಅನ್ನು f ಎಂಬ ಗುರುತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, xi = 0 ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಿ ಹೊಸ ಗುರುತು f1: Rn → γ1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚುಗೂ γ1 ಉದ್ದ xi> 0 ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಗುರುತು f ಗೆ ನಕ್ಷೆ h: Δk′ → Xn ಇನ್ನೂ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. h ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು Xn ನಲ್ಲಿ f ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು S′ (f) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. Xn ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಮುಚ್ಚಿದ ಸರಳತೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು Xn ನ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು f: Rn →  ತಾಇ-ವ್ಯಾಲೆಂಟ್ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ Xn ನಲ್ಲಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮುಚ್ಚಿದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ S′ (f). ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ Xn ನಲ್ಲಿನ ದುರ್ಬಲ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿ ಗುರುತು f: Rn → γ ಗೆ ಸೆಟ್ h−1 (C) ಅನ್ನು Δk′ ನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಮಾತ್ರ Xn ನ ಉಪಗುಂಪು C ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಕ್ಷೆ h: Δk′ → Xn ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಮರಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬಿಂದುಗಳು x ಅನ್ನು Xn ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ, ಇದು f: Rn → γ ಎಂಬ ಗುರುತು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಪರಿಮಾಣ-ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆ L ಅನ್ನು γ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. T ಯು ಜಾತುವಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆವರಣವಾಗಿರಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ ಟಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಟಿ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮರವಾಗಿದೆ. ಟಿ ಯ ಪ್ರತಿ ತುದಿಯನ್ನು ಅದರ ಚಿತ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಎಲ್ ನಿಂದ ಟಿ ಗೆ ಎತ್ತಬಹುದು. ಇದು ಟಿ ಅನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಟಿ, ಡಿ) ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಜವಾದ ಮರವಾಗಿದೆ. (ಟಿ, ಡಿ) ಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳಾಗಿರುವ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೂಲಕ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು 1 (ಜಾತ) ಟಿ/1 (ಜಾತ) = ಜಾತ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಟಿ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರಿತ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ f #ಎಂಬುದು Fn = 1 (Rn) ಮತ್ತು 1 (್ಜು) ನಡುವಿನ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು T/Fn = ್ಜು ಜೊತೆ Tಯ ಮೇಲೆ Fnನ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ವಿವಿಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಡಿಗ್ರಿ-ಒನ್ ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಹ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಟಿ ಸರಿಯಾದ ಎಫ್ಎನ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಬ್ಟ್ರೀಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ನೈಜ ಮರದ ಮೇಲೆ Fnನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯು, ಭಾಗವು ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, Xnನ ಕೆಲವು ಬಿಂದು xನಿಂದ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು Xn ಮತ್ತು ವಾಲ್ಯೂಮ್-ಒನ್ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಮರಗಳ ಮೇಲೆ Fn ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಮಾನತೆ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ T1 ಮತ್ತು T2 ನಡುವೆ Fn-ಸಮಾನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಇದ್ದರೆ ನೈಜ ಮರಗಳಾದ T1 ಮತ್ತು T2ಗಳ ಮೇಲೆ Fnನ ಅಂತಹ ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೇಲಿನಂತೆ ನಿಜವಾದ ಮರದ T ಮೇಲೆ Fn ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾದ ಅನುವಾದ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ g §1 ಗೆ T ಯಲ್ಲಿ R ನ ಒಂದು (ಅನನ್ಯ) ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂಬೆಡೆಡ್ ನಕಲು ಇದೆ, ಇದನ್ನು g ನ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ g ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪರಿಮಾಣದ ಅನುವಾದದಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಇದನ್ನು g ನ ಅನುವಾದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. Fn ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ g, u ಗೆ, ಅಂದರೆ G ಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಅನುವಾದದ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. Xn ನಲ್ಲಿರುವ Tಅನ್ನು f: Rn →  ಯೆಂದು ಗುರುತು ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪರಿಮಾಣ-ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆ Lಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. g ωFn = 1 (Rn) ಆಗಿರಲಿ. ಮುಚ್ಚಿದ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೊದಲು f #ಮೂಲಕ g ಅನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ತಳ್ಳಿರಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ಮುಳುಗಿದ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗೆ ಬಿಗಿಗೊಳಿಸಿ. ಈ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನ ಎಲ್-ಉದ್ದವು ಜಿ ನ ಅನುವಾದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಮರಗಳ ಮೇಲಿನ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಗತಿಯು ಹೊರಗಿನ ಜಾಗದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಅನುವಾದ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಎಫ್. ಎನ್. ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮುಕ್ತ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಮರಗಳು ಎಫ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಅನುವಾದ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಎರಡು ಮರಗಳು ಎಫ್. ಎನ್.-ಸಮಾನವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ Xn ನಿಂದ Fn ನಲ್ಲಿನ R-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ನಕ್ಷೆಯು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ. Xn ಮೇಲೆ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಥವಾ ಅಕ್ಷಗಳ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. Xn ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ T ಗೆ, Fn ನ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪು K ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ε> 0, Xn ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ T ಗೆ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, Xn ನಲ್ಲಿನ T ನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ VT (K, ε) ಕುಟುಂಬದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ K ಎಂಬುದು Fn ನ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ε> 0 ಆಗಿದೆ. ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. Xn ನಲ್ಲಿನ T ಗೆ ಮತ್ತು Fn ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ g ಗೆ ನಾವು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತೊಂದು ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಥವಾ ಈಕ್ವಿವೇರಿಯಂಟ್ ಗ್ರೊಮೊವ್-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಗ್ರೊಮೊವ್-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ನ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ, ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮರಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಮರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಗ್ರೊಮೊವ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಮರವು "ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ", ಕೆಲವು ದೊಡ್ಡ ಸೀಮಿತ ಉಪವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ (ಭಾಗಶಃ) ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಬಹುತೇಕ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಾಗಿ ನೋಡಿ. ದುರ್ಬಲ, ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳ ಸಂಯೋಗವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮೂಲ ಫಲಿತಾಂಶವು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಟೋಪೋಲಜಿ, ದುರ್ಬಲ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು Xn ಮೇಲಿನ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೊರಗಿನ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ಕ್ರಿಯೆಯು ಗುಂಪು ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ಎಕ್ಸ್ಎನ್ ಮೇಲೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ನಾವು Xn ಮೇಲೆ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನ ಆಟೊ (Fn) ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. α bul ಆಟ (ಎಫ್ಎನ್) ಅನ್ನು ಎಫ್ಎನ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. x ಎಂಬುದು Xnನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಅದು f: Rn → ಿಂಗು ಎಂಬ ಗುರುತಿನಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪರಿಮಾಣ-ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆ L ಇರುತ್ತದೆ. τ: Rn → Rn ಒಂದು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿರಲಿ, ಇದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಪ್ರೇರಿತ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ Fn = 1 (Rn) ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ α ಆಗಿದೆ. Xn ನ xα ಅಂಶವನ್ನು f.65 τ: Rn → ಜಾತ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರಚನೆ L ಅನ್ನು ಜಾತುವಿನ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, x ನಿಂದ xα ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು x ಅನ್ನು τ ಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಜವಾದ ಮರದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. Xn ನಲ್ಲಿರುವ T ಯು Fn ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಹ-ಪರಿಮಾಣ-ಒಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಜವಾದ ಮರವಾಗಿರಲಿ. α bul ಆಟ (Fn) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ, Tα ಯು T ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. Fn ನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು α ನಿಂದ ತಿರುಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, T ಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ t ಮತ್ತು Fn ನಲ್ಲಿನ g ಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಅನುವಾದ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಟ್ರೀ Tα ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ನಂತರ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪೇಸ್ Xn ನಲ್ಲಿ ಆಟ (Fn) ನ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಆಂತರಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಇನ್ (Fn) ಉಪಗುಂಪು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕರ್ನಲ್ನಲ್ಲಿ ಇದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಆಂತರಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ Xn ನಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು Xn ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಆಟೊ (Fn) ಕ್ರಿಯೆಯು Xn ಮೇಲೆ ಔಟ್ (Fn) = ಆಟೊ (Fn)/ಇನ್ (Fn) ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, φ ω ಔಟ್ (Fn) ಎಂಬುದು Fn ನ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಟಿನಲ್ಲಿ (Fn) α ಎಂಬುದು φ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ನಿಜವಾದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, Xn ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ನಾವು xφ = xα ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಎಕ್ಸ್ಎನ್ ಮೇಲೆ ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ನ ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪರಿವರ್ತನೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, Xn ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ φ ω ಔಟ್ (Fn) ಮತ್ತು x ಗೆ φx = xφ−1. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೂಲಗಳು ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆಯಾದರೂ, Xn ಮೇಲಿನ ಔಟ್ (Fn) ನ ಈ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಂಶ ಸ್ಪೇಸ್ Mn = Xn/ಔಟ್ (Fn) ಎಂಬುದು ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಡಿಗ್ರಿ-1 ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ-2 ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು Fn ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ವಾಲ್ಯೂಮ್-1 ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎಂ. ಎನ್. ಮೇಲಿನ ಅಂಶದ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವು ಎಂ. ಎನ್. ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಗ್ರೊಮೊವ್-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಂತರದಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ Mn ಸಾಂದ್ರವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು Mn ನಲ್ಲಿನ "ಕಸ್ಪ್ಸ್" ಹೋಮೋಟೋಪಿಕಲಿ ನಾನ್ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ (ಉದಾ. ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ನ ಅಗತ್ಯ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್). ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಗತಿಗಳು ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ಎನ್ ಸಂಕುಚಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಎನ್ ಮೇಲೆ ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ಕ್ರಿಯೆಯು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕಲರ್ ಮತ್ತು ವೋಗ್ಟ್ಮನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಮೂಲ 1986 ರ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. Xn ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು 3n−4 ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರಣವೇನೆಂದರೆ, ಎಫ್ಎನ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಗ್ರಿ-ಒನ್ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ-ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಸ್ಕ್ಯು ಗರಿಷ್ಠ 3n−3 ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಸ್ಕ್ಯು ತ್ರಿವಳಿಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಅದು ನಿಖರವಾಗಿ 3n−3 ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ Xn ನಲ್ಲಿರುವ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಮುಕ್ತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ 3n−4 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Xn ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬೆನ್ನೆಲುಬು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ Kn ಆಫ್ Xn ಅನ್ನು ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ Kn ಆಯಾಮ 2n−3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಔಟ್ (Fn)-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಔಟ್ (Fn) ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವೈಸ್ಡ್ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವೈಸ್ಡ್ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ Fn ನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಗಳ ಸಮಾನ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನಲ್ಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಜಾಗವನ್ನು ಆರ್-ಮರಗಳ ಮೇಲೆ ಎಫ್. ಎನ್. ನ ಎಲ್ಲಾ ಮುಕ್ತ ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿಯೂ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಎಫ್. ಎನ್-ಸಮಾನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಸ್ಥಳಾಕೃತಿಗಳು (ಗ್ರೊಮೊವ್, ಅಕ್ಷಗಳು, ದುರ್ಬಲ) ಮತ್ತು ಒಂದು-ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆ ಸೇರಿದಂತೆ, ಊಹಿಸಲಾಗದ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಳವು ಅದೇ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಆನ್ ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಸಹ ಒಪ್ಪಂದಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವೈಸ್ಡ್ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವೈಸ್ಡ್ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂಬುದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಳವು ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಮರಕ್ಕೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಪುಟ್. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅವಲೋಕನವೆಂದರೆ ನಕ್ಷೆಯು-ಸಮಾನವಾದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಾಗಿ ರುಡಾಲ್ಫ್ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ನಿಂದ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ದೂರವು ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಥರ್ಸ್ಟನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. Xn ನಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ (ಬಲ) ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ದೂರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗದ (ನೈಸರ್ಗಿಕ) ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು ಇದು ಅಸಮಮಿತಿಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ವಾಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅಂದರೆ. ಇದು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿಫಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಸರಳ ಲೂಪ್, ಎಂಟು ಅಂಕಿ, ಅಥವಾ ಬಾರ್ಬೆಲ್ ಅನ್ನು ಗುರುತಿನ ಮೂಲಕ ಅಳವಡಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ Fn ನಲ್ಲಿನ ಕಾಂಜುಗಸಿ ವರ್ಗಗಳ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಿದೆ (ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ಸ್ಟ್ರೆಚಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಸಹ ಗುರುತಿನ ಮೇಲೆ ಸಾಗಿಸುವ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಗುರುತಿನ ಮೇಲೆ ಗುರುತು ಹಾಕಲು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುವಂತಹ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ? ಪ್ರೇರಿತ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ದುರ್ಬಲ ಟೋಪೋಲಜಿಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಅಂತರ ಎರಡಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಆರ್-ಮರಗಳ ಮೇಲೆ ಎಫ್. ಎನ್. ನ ಎಲ್ಲಾ ಅತ್ಯಂತ ಸಣ್ಣ ಕನಿಷ್ಠ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು (ಎಫ್. ಎನ್.-ಈಕ್ವಿವೇರಿಯಂಟ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ತರಗತಿಗಳು) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಮಪರಿಮಾಣದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯವರೆಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮರಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕನಿಷ್ಠ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ "ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್" ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸಿಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಎರಡೂ ಅರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಿಂದ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವೈಸೇಶನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಥರ್ಸ್ಟನ್ನ ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಾಂದ್ರಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿ, ಬಲ-ಕೋನದ ಆರ್ಟಿನ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗಾಗಿ, ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿರೂಪ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮತ್ತು ಇತರ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ಬೇಸ್-ಪಾಯಿಂಟೆಡ್ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು 1998 ರಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಚರ್ ಮತ್ತು ವೋಗ್ಟ್ಮನ್ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬರುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಟ್ರೈನ್ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಮ್ಲಾಡೆನ್ ಬೆಸ್ಟ್ವಿನಾ, ದಿ ಟೋಪೋಲಜಿ ಆಫ್ ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್). ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. II (ಬೀಜಿಂಗ್, 2002), ಪು. 373-384, ಹೈಯರ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಪ್ರೆಸ್, ಬೀಜಿಂಗ್, 2002; ಕರೆನ್ ವೋಗ್ಟ್ಮನ್, ಆನ್ ದಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ಔಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್. ಬುಲೆಟಿನ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ 52 (2015), ನಂ. 1, 27-46. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿ