Geodesic convexity
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ-ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. "ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್" ಎಂಬ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ "ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ" ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು (ಎಂ, ಜಿ) ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಸಿ ಒಳಗೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಇದ್ದರೆ, ಎಂನ ಉಪವಿಭಾಗ ಸಿ ಅನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿ ಅನ್ನು ಎಮ್ ನ ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಳಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ವೇಗದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆರ್ಕ್ γ: [0, T] → M ಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ) ಜಿಯೋಡೆಸಿಕಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎನ್ ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಉಪವಿಭಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. 2-ಆಯಾಮದ ಗೋಳ S2 ನ "ಉತ್ತರ ಗೋಳಾರ್ಧ" ವು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 45° ದಕ್ಷಿಣಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಅಕ್ಷಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ S2ನ ಉಪಗುಂಪು A ಯು ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ Aಯ ದಕ್ಷಿಣದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಭೌಗೋಳಿಕ (ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತ) ಚಾಪವು Aಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ರೇಖಾಂಶದಲ್ಲಿ 180° ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭೌಗೋಳಿಕ ಚಾಪವು ದಕ್ಷಿಣ ಧ್ರುವದ ಮೇಲೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ). ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ (ಗಣಿತ)