Modulus and characteristic of convexity
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಬಾಲ್ ಎಷ್ಟು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಅಳತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಏಕರೂಪದ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ε-δ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದೇ ರೀತಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ನಿರಂತರತೆಯ ε-δ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಬನಾಚ್ ಜಾಗದ (X, | | | |) ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು S ಯು (X, | | | |) ನ ಯುನಿಟ್ ಗೋಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. δ (ε) ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು x, x ನಲ್ಲಿ y ಅಂದರೆ ಮತ್ತು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ (X, | | |) ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ε0 ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಈ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಜೆ. ಎ. ಯಿಂದ ಏಕರೂಪದ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿವೆ. ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ (ಇದು ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅದೇ ಕಾಗದವಾಗಿದೆ). "ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಫ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ" ಎಂಬ ಪದವು ಎಂ. ಎಂ. ಡೇ ಕಾರಣವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್, δ (ε), ε ನ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಂಶವು ಸಹ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸ್ವತಃ ε ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ δ1 (ε) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. δ (2) = 1, ಅಂದರೆ, ಘಟಕ ಗೋಳದ ಪ್ರತಿಫಲಕ ಬಿಂದುಗಳು (x ಮತ್ತು y = −x ರೂಪದ) ಮಾತ್ರ 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬನಾಚ್ ಜಾಗವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜಾಗವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಘಟಕ ಚೆಂಡಿನ B ಯ ಗಡಿಯು ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ). X ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವಾಗ, ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಪವರ್ ಟೈಪ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಪಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಲ್ಪಿ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವುದು. ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನವುಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಂತೆ ಸುತ್ತಲೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ,. ಯುನಿಫಾರ್ಮ್ಲಿ ಸ್ಮೂತ್ ಸ್ಪೇಸ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಫಸ್ಟರ್, ಎನ್ರಿಕ್ ಲೋರೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೈಪಿಡಿ, 133-175, ಕ್ಲೂವರ್ ಅಕಾಡ್. ಪಬ್ಲಿ., ಡೋರ್ಡ್ರೆಕ್ಟ್, 2001. ಲಿಂಡೆನ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್, ಜೋರಮ್ ಮತ್ತು ಬೆನ್ಯಾಮಿನಿ, ಯೋವ್. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕೊಲೋಕ್ವಿಯಂ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು, 48. ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ. .. ವಿಟಾಲಿ ಡಿ. ಮಿಲ್ಮನ್. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ II. ಏಕಕ ಗೋಳದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಉಸ್ಪೆಚಿ ಮ್ಯಾಟ್. ನೌಕ್, ಸಂಪುಟ. 26, ಇಲ್ಲ. 6, 73-149,1971; ರಷ್ಯನ್ ಮಠ. ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳು, v. 26 6,80-159. ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ