Flat manifold
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅದರ ರೀಮನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಫ್ಲಾಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದರೆ ದೂರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ "ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ", ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು 180° ವರೆಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಫ್ಲಾಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಟೋರಿಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು; 3-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಇದು ಅವರ 'ಪ್ರಮಾಣಿತ' ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2-ಆಯಾಮದ ಟೋರಸ್ನ ಮೇಲಿನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹುದುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲ). ಆಯಾಮ 1 ಪ್ರತಿ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎರಡಕ್ಕೂ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅವುಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀಮಾನಿಯನ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ) ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆಃ ನೈಜ ರೇಖೆಯು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ, ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದುವೇಳೆ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್-ವಿತ್-ಬೌಂಡರಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅರ್ಧ-ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆಯ ಸರಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಮೃದುವಾದ ಏಕ-ಉದ್ದದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಆಯಾಮ 2 ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗಿನ ಐದು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಮೃದುವಾದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಫ್ಲಾಟ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿ ಅಥವಾ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಗೆ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಕೇವಲ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿ ಮಾತ್ರವೇ ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಕೇವಲ ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಫ್ಲಾಟ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಈ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸ್ಥಳವು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವು ಸ್ಕೇಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ನವರೆಗೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಐದು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಲು, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು, ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯವರೆಗಿನ ಐದು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅನುವಾದವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೀಡಿದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒದಗಿಸಿದಂತೆ ಇವುಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿವಿಧ ಕೋಸೆಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಫ್ಲಾಟ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಫ್ಲಾಟ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು 17 ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ (ಟೋರಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿ ಸೇರಿದಂತೆ) 17 ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ 2-ಆಯಾಮದ ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿವೆ. ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಅತ್ಯಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಡೊನಟ್ನಂತೆ ಟೋರಸ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ 'ಚಿತ್ರ' ವು ಅದನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾಪನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಗಮನಿಸುತ್ತವೆ. ನ್ಯಾಶ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕೈಪರ್ ಅವರ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಒಂದು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಇದೆ ಆದರೆ ಇವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ದೃಶ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ಮಾಣವು, ಕಾಗದದ ಪಟ್ಟಿಯ ತುದಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಆಯಾಮ 3 6 ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಮತ್ತು 4 ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಫ್ಲಾಟ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಸೀಫರ್ಟ್ ಫೈಬರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿವೆ; ಅವು 10 ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಪಾತ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. 4 ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಮತ್ತು 4 ನಾನ್-ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ನಾನ್-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಿವೆ. ಓರಿಯಂಟಬಲ್ 10 ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಫ್ಲಾಟ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳೆಂದರೆಃ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ 3-ಸ್ಪೇಸ್,. 3-ಟೋರಸ್, ಕ್ಯೂಬ್ನ ವಿರುದ್ಧ ಮುಖಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿಯ ಮೇಲೆ ಒಂದೂವರೆ ತಿರುವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಘನದ ವಿರುದ್ಧ ಮುಖಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿಯ ಮೇಲೆ 1/4 ತಿರುವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಘನದ ವಿರುದ್ಧ ಮುಖಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷಟ್ಕೋಣ ಮುಖಗಳ ಮೇಲೆ 1/3 ತಿರುವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಷಟ್ಕೋಣ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ವಿರುದ್ಧ ಮುಖಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷಟ್ಕೋಣ ಮುಖಗಳ ಮೇಲೆ 1/6 ತಿರುವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಷಟ್ಕೋಣ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ವಿರುದ್ಧ ಮುಖಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಂಟ್ಜ್ಷೆ-ವೆಂಡ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್. ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲಗಳ ನಡುವಿನ ಜಾಗವಾಗಿ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್. ಅನಂತ ಚೌಕಾಕಾರದ ಚಿಮಣಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಗೋಡೆಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ತಯಾರಿಸಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್. ಒಂದು ಜೋಡಿಯ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ತಿರುವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಚೌಕಾಕಾರದ ಚಿಮಣಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಗೋಡೆಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನ್-ಓರಿಯಂಟಬಲ್ 8 ನಾನ್-ಓರಿಯಂಟಬಲ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳೆಂದರೆಃ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್, ಆದರೆ ಗ್ಲೈಡ್ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಭಾಷಾಂತರವಾಗಿ ಸರಿದೂಗಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವುದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಎದುರು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಪೆರೆಂಡಿಕ್ಯುಲರ್ ಗ್ಲೈಡ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್, ಆದರೆ ಒಂದು ಗ್ಲೈಡ್ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಭಾಷಾಂತರವಾಗಿ ಸರಿದೂಗಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವುದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಎದುರು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತ ಮತ್ತು (ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ) ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಯ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಒಂದು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲಂಬವಾದ ಗ್ಲೈಡ್ ಸಮತಲದಾದ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್. ಒಂದು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಗ್ಲೈಡ್ ಸಮತಲದಾದ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್. ಎರಡು ಲಂಬವಾದ ಗ್ಲೈಡ್ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಟೋರಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಫ್ಲಾಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಫ್ಲಾಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಅನುಕೂಲಕರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಆಡಮ್ಸ್-ಬಾಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದ (1998) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಗುಂಪುಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬೀಬರ್ಬಾಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ದೂರಗಾಮಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆಡಮ್ಸ್-ಬಾಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ವಿವೇಚನಾರಹಿತ ಊಹೆಯು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವರ್ಗೀಕರಣವು ಕ್ಯಾಪ್ರೆಸ್-ಮೊನೊಡ್ನ "ವಿವೇಚನಾರಹಿತ" ಬೀಬರ್ಬಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳು, ಬ್ರೂಹತ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಕಟ್ಟಡಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಸ್-ಸೆರ್ರೆ ಮರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು. ಸ್ಪೇಸ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪುಗಳಾದ ರಿಕ್ಕಿ-ಫ್ಲಾಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲಿ ಫ್ಲಾಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ನೋಟ್ಸ್ ಬಿಬ್ಲಿಯೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು