Method of moments (electromagnetics)
ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನ (ಎಂ. ಓ. ಎಂ.), ಇದನ್ನು ಕ್ಷಣದ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ತೂಕದ ಅವಶೇಷಗಳ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ರೇಡಿಯೋ ತರಂಗಗಳಂತಹ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎನ್ಇಸಿ ಯಂತಹ ಆಂಟೆನಾ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಆಂಟೆನಾದ ವಿಕಿರಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆವರ್ತನ-ಡೊಮೇನ್ ವಿಧಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪೂರ್ವ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಬಯಸಿದ ಅಜ್ಞಾತಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ, ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವು ಗಡಿ ಅಂಶದ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮೈಕ್ರೋವೇವ್ ಮತ್ತು ಆಂಟೆನಾ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಗಡಿ ಅಂಶ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಇತರ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಡಿಜಿಟಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು, ಎರಡನೇ ಮಹಾಯುದ್ಧದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೈಕ್ರೋವೇವ್ ತರಂಗಾಂತರಗಳಲ್ಲಿನ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಜೂಲಿಯನ್ ಶ್ವಿಂಗರ್ ಮತ್ತು ನಾಥನ್ ಮಾರ್ಕುವಿಟ್ಜ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಈ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಾಗಿ ಸಂಕಲಿಸಿದರೆ, ವಿಕ್ಟರ್ ಎಚ್. ರಮ್ಸೇ ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು 1954 ರಲ್ಲಿ "ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ" ಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂತರ ತೋರಿಸಲಾಯಿತು. 1950ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಇಲಿನಾಯ್ಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಯುಯೆನ್ ತ್ಸೇ ಲೋ ಅವರು ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನದ ಆರಂಭಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಧಾನದ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆ. ಮೇಯಿ ಮತ್ತು ಜೆ. ವ್ಯಾನ್ ಬ್ಲಾಡೆಲ್. ಮತ್ತು ಜೆ. ಎಚ್. ರಿಚ್ಮಂಡ್. ಅದೇ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯಲ್ಲಿನ ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರೋಜರ್ ಎಫ್. ಹ್ಯಾರಿಂಗ್ಟನ್ ಅವರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಿದರು. "ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮೊದಲು ಲಿಯೊನಿಡ್ ಕಾಂಟೊರೊವಿಚ್ ಮತ್ತು ಗ್ಲೆಬ್ ಪಿ. ಅಕಿಲೋವ್ ಅವರು ಸಾದೃಶ್ಯದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರೆ, ಹ್ಯಾರಿಂಗ್ಟನ್ ಈ ಪದವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಹ್ಯಾರಿಂಗ್ಟನ್ 1968ರಲ್ಲಿ ಫೀಲ್ಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಬೈ ಮೊಮೆಂಟ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಆನ್ ದಿ ಮೊಮೆಂಟ್ ಮೆಥಡ್ ಎಂಬ ಮೂಲ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ವಿಧಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ರಾಡಾರ್ ಮತ್ತು ಆಂಟೆನಾ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಅದರ ಸೂಚನೆಗಳು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸಿದವು; ಎಂ. ಓ. ಎಂ ಸಂಶೋಧನೆಯು ತರುವಾಯ ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ ಸರ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಬೆಂಬಲ ನೀಡಿತು. 1980 ರ ದಶಕದ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ ಸರ್ಕಾರವು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿದ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ಸ್ ಕೋಡ್ನಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಆಂಟೆನಾ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಕೋಡ್ಗಳ ಪರಿಚಯದಿಂದ ಈ ವಿಧಾನವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಜನಪ್ರಿಯವಾಯಿತು. 1990ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ವೇಗದ ಬಹುಧ್ರುವ ಮತ್ತು ಬಹು ಹಂತದ ವೇಗದ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಧಾನಗಳ ಪರಿಚಯವು ಲಕ್ಷಾಂತರ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮರ್ಥವಾದ ಎಂ. ಓ. ಎಂ. ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಆರ್ಎಫ್ ಮತ್ತು ಮೈಕ್ರೋವೇವ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರುವ ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವು ಫೆಕೊದಂತಹ ಅನೇಕ ವಾಣಿಜ್ಯ ವಿನ್ಯಾಸ ತಂತ್ರಾಂಶಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕತೆಗಳ ಅನೇಕ ವಾಣಿಜ್ಯೇತರ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಡೊಮೇನ್ ಕೋಡ್ಗಳು ಸಹ ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಇದರ ಬಳಕೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಬೆಳಕಿನ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಮತ್ತು ಪ್ಲಾಸ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಏಕರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು (): ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯಿಂದ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಇಳುವರಿಯಾಗಿ ಬದಲಿಸುವುದುಃ ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನದ ಉದ್ದೇಶವು ಈ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ಇದನ್ನು ಸೂಕ್ತ ತೂಕ ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ತೂಕದ ಉಳಿದ ವಿಧಾನದ ಹೆಸರು. ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರತಿರೋಧ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ, ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನದಂತಹ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವೇಗವರ್ಧನೆಗಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ನಿಜವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಎಂ. ಓ. ಎಂ. ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯದ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯವು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ವಿವಿಧ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು; ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಉಪವಿಭಾಗ ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್-ಮ್ಯಾಚಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ತೊಡಕಾದಾಗ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಉಪವಿಭಾಗದ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಾಡಿ, ತುಂಡಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನ, ತುಂಡಾಗಿ ಸೈನೊಸಾಯ್ಡಲ್ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಛಾವಣಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ. 1982ರಲ್ಲಿ ಎಸ್. ರಾವ್, ಡಿ. ವಿಲ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಎ. ಗ್ಲಿಸನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ಯಾಚ್ಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಬ್ಲ್ಯೂಜಿ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಂಓಎಂನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣನೆಯನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಆಧಾರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದ ರಚನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ತಡೆಯಲು ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಮತ್ತು ಬಯಸಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಇಂಟಿಗ್ರೋ-ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎಂಓಎಂನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಆಂಟೆನಾಗಳಂತಹ ತೆಳುವಾದ ತಂತಿಯ ರಚನೆಗಳಿಂದ ವಿಕಿರಣ ಮತ್ತು ಚದುರುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿಶೇಷ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣ (ಇಎಫ್ಐಇ), ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣ (ಎಂಎಫ್ಐಇ) ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ-ಸಂಭಾವ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣ (ಎಂಪಿಐಇ) ಸೇರಿವೆ. ತೆಳುವಾದ ತಂತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅನೇಕ ಆಂಟೆನಾ ರಚನೆಗಳನ್ನು ತಂತಿಗಳಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ತೆಳುವಾದ ತಂತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂಒಎಂ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಎರಡು ತೆಳುವಾದ ತಂತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದರೆ ಪಾಕ್ಲಿಂಗ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಲೆನ್ ಸಮಗ್ರ-ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. 1897ರಲ್ಲಿ ಹೆನ್ರಿ ಕ್ಯಾಬರ್ನ್ ಪಾಕ್ಲಿಂಗ್ಟನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಪಾಕ್ಲಿಂಗ್ಟನ್ನ ಸಮೀಕರಣವು ಗಣನೆಯ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು z-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ರೇಖೀಯ ತಂತಿಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ದಪ್ಪವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಮುಕ್ತ ಸ್ಥಳಕ್ಕಾಗಿ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಫ್ರಿಲ್ಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಚೋದನೆ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. 1938ರಲ್ಲಿ ಇ. ಹ್ಯಾಲೆನ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಹ್ಯಾಲೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನೀಡಬಹುದುಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವು, ಪಾಕ್ಲಿಂಗ್ಟನ್ನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಿದ್ದರೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಂಟೆನಾ ಫೀಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಡೆಲ್ಟಾ-ಗ್ಯಾಪ್ ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಭಾವಿತ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣ (ಇ. ಎಫ್. ಐ. ಇ.) ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ (ಇ. ಎಫ್. ಐ. ಇ.) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಘಟನೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಭಾವಿತ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣದ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಪ್ರತಿರೋಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಪಿಇಸಿ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಎಫ್ಐಇ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಸಮೀಕರಣ (ಎಂ. ಎಫ್. ಐ. ಇ.) ಎಂ. ಓ. ಎಂ. ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಸಮೀಕರಣ (ಎಂ. ಎಫ್. ಐ. ಇ.), ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಎಂ. ಎಫ್. ಐ. ಇ. ಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅಗತ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಎಂ. ಓ. ಎಂ. ಗೆ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಲೊರೆನ್ಜ್ ಗೇಜ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಇಎಫ್ಐಇಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ (ಎಂಎಫ್ಐಇ) ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಏಕತ್ವದ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಡೈಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಅನುರಣನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಸಂಯೋಜಿತ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣ (ಸಿಎಫ್ಐಇ) ಮತ್ತು ಪೊಗ್ಗಿಯೋ-ಮಿಲ್ಲರ್-ಚಾಂಗ್-ಹ್ಯಾರಿಂಗ್ಟನ್-ವು-ತ್ಸೈ (ಪಿಎಂಸಿಎಚ್ಡಬ್ಲ್ಯುಟಿ) ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವಾದ ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಸಮೀಕರಣವು, ವಾಲ್ಯೂಮ್ ಅಂಶಗಳ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅಗತ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಎಂ. ಓ. ಎಂ. ಅನ್ನು ಭೌತಿಕ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಮೈಕ್ರೋಸ್ಟ್ರಿಪ್ಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ಯಾಚ್ ಆಂಟೆನಾಗಳಂತಹ ಸಮತಟ್ಟಾದ-ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ರಚನೆಗಳ ಪೂರ್ಣ ತರಂಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು, ಈ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ-ಡೊಮೇನ್ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಅಗತ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಏಕೀಕರಣ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಂದೋಲಕ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ನಿಧಾನವಾಗಿ-ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸ್ವರೂಪದಿಂದಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಅರೆ-ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಧ್ರುವ ಘಟಕಗಳ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯ ನಂತರ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರೋನಿ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪೆನ್ಸಿಲ್-ಆಫ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕಗಳಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು; ಹೀಗಾಗಿ, ಸೋಮ್ಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಗುರುತಿನಂತಹ ಸೂಕ್ತ ಗುರುತುಗಳ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ಸ್ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಇಮೇಜ್ ಮೆಥಡ್ (ಡಿಸಿಐಎಂ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರೀನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿತ್ರ ದ್ವಿಧ್ರುವಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್-ಫಾರ್ಮ್ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಪದರದ ರಚನೆಗಳಿಗೂ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೇಷನಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಡಿಸಿಐಎಂನೊಂದಿಗಿನ ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್-ಫಾರ್ಮ್ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿದಾದ ಇಳಿಯುವಿಕೆಯ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಹಂತ ಹಂತದ ಸರಣಿಗಳಂತಹ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ರಚನೆಗಳಿಗೆ, ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ಗಣನೆಯನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಎವಾಲ್ಡ್ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ವಿಧಾನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ದ್ವಿಧ್ರುವ ಅಂದಾಜು ವೇಗದ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಧಾನ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನ ಬಹು ಹಂತದ ವೇಗದ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಧಾನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತಶಾಸ್ತ್ರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು