First-fit-decreasing bin packing
ಫಸ್ಟ್-ಫಿಟ್-ಡಿಕ್ರೀಸಿಂಗ್ (ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ) ಎಂಬುದು ಬಿನ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗೆ ಒಂದು ಕ್ರಮಾವಳಿ. ಇದರ ಇನ್ಪುಟ್ ವಿವಿಧ ಗಾತ್ರದ ವಸ್ತುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಉತ್ಪಾದನೆಯು ಒಂದು ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ-ಪ್ರತಿ ಡಬ್ಬಿಯಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಗಾತ್ರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದುವಂತಹ ಸ್ಥಿರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಡಬ್ಬಿಗಳಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು. ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ತೊಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ತೊಟ್ಟಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಎನ್ಪಿ-ಕಠಿಣ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸರಿಸುಮಾರು-ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ವಿವರಣೆ ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡದಾದ ಪದಾರ್ಥಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಪದಾರ್ಥಗಳವರೆಗೆ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿ. ಹೊಸ ಖಾಲಿ ಬಿನ್, ಬಿನ್ #1 ಅನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ. ದೊಡ್ಡದಾದ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೂ, ಆ ವಸ್ತುವು ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಮೊದಲ ಡಬ್ಬಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಅಂತಹ ತೊಟ್ಟಿ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಹೊಸ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹಾಕಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹೊಸ ಖಾಲಿ ಡಬ್ಬಿಯನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಹೊಸ ವಸ್ತುವನ್ನು ಇರಿಸಿ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ ಇಳಿಯುವ ಗಾತ್ರದ ಮೂಲಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಬಿನ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗೆ ಕರೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸಮಾನವಾದ ವಿವರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ದೊಡ್ಡದಾದ ಪದಾರ್ಥಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಪದಾರ್ಥಗಳವರೆಗೆ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿ. ಉಳಿದಿರುವ ವಸ್ತುಗಳು ಇವೆಃ ಹೊಸ ಖಾಲಿ ಡಬ್ಬಿಯನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ. ದೊಡ್ಡದಾದ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೂಃ ಅದು ಪ್ರಸ್ತುತ ಡಬ್ಬಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಒಮ್ಮೆ ಲೂಪ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅನೇಕ ತೆರೆದ ತೊಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಇಡುತ್ತೇವೆ. ಸಮಾನ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಲೂಪ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಒಂದೇ ತೆರೆದ ಬಿನ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಫ್. ಎಫ್. ಡಿ. ಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗೆ, ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ ಇನ್ಪುಟ್ ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಮತ್ತು ಬಿನ್-ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಸಿ ಗಾಗಿ ಬಳಸುವ ತೊಟ್ಟಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 1973 ರಲ್ಲಿ, ಡಿ. ಎಸ್. ಜಾನ್ಸನ್ ತಮ್ಮ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಸ್ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಸಿ. 1985 ರಲ್ಲಿ, ಬಿ. ಎಸ್. ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಬ್ಯಾಕರ್ ಸ್ವಲ್ಪ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. 1991ರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 1997ರಲ್ಲಿ ಲೀ ರೋಂಗೆಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಯುಯೆ ಮಿನಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 2007 ರಲ್ಲಿ ಗ್ಯೋರ್ಗಿ ಡಾಸಾ ಬಿಗಿಯಾದ ಬಂಧವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಕೆಟ್ಟ-ಸಂದರ್ಭದ ಉದಾಹರಣೆ ಡೋಸಾ ನೀಡಿದ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಬಿನ್ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ 4 ಪ್ರತಿಗಳು ಮತ್ತು 2 ಪ್ರತಿಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೊಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತದೆಃ ಸಂರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ 4 ತೊಟ್ಟಿಗಳು, ಸಂರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ 1 ತೊಟ್ಟಿ, ಸಂರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ 1 ತೊಟ್ಟಿ, ಸಂರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ 1 ತೊಟ್ಟಿ, ಸಂರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ 1 ಅಂತಿಮ ತೊಟ್ಟಿ, ಅಂದರೆ ಒಟ್ಟು 8 ತೊಟ್ಟಿಗಳು, ಆದರೆ ಗರಿಷ್ಠವು ಕೇವಲ 6 ತೊಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದುಃ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂರಚನೆಯಲ್ಲಿ 9k + 6 ತೊಟ್ಟಿಗಳಿವೆಃ ಬಿ1 ಪ್ರಕಾರದ 6k + 4 ಮತ್ತು ಬಿ2 ಪ್ರಕಾರದ 3k + 2. ಆದರೆ ಎಫ್ಎಫ್ಡಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ 11 ಸಾವಿರ + 8 ತೊಟ್ಟಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಂತರ್ಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಿ ಯ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಎಸ್ ನಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಗಾತ್ರಗಳ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲಃ ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಕುಗ್ಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ, ಆದರೆ ತೊಟ್ಟಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ "ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಮೊನೊಟೋನಿಸಿಟಿ" ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ನಿದರ್ಶನಕ್ಕೂ S ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ m, ಮಿನ್ಕ್ಯಾಪ್ (S, m) ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ C ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಗೆ, ಮಿನ್ ರೇಶಿಯೋ (m) ಎಲ್ಲಾ ಇನ್ಪುಟ್ ಸೆಟ್ಗಳು S ಗೆ, r ≤1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತವಾಗಿರಲಿ. ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೊಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ತೊಟ್ಟಿಗಳನ್ನು "ಉಬ್ಬಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ" ಮೊತ್ತ ಇದಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಇನ್ಪುಟ್ S ಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ r ± ಕನಿಷ್ಠ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ (m),. ಇದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಅನಂತವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ಪುಟ್ಃ 44,24,24,22,21,17,8,6,6 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸಾಮರ್ಥ್ಯ 60 ರೊಂದಿಗೆ, ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ 3 ತೊಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ 44,8,8; 24,24,6,6; 22,21,17. ಆದರೆ 61 ಸಾಮರ್ಥ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ 4 ತೊಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ 44,17; 24,24,8; 22,21,8,6; 6. ಏಕೆಂದರೆ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯ 61 ರೊಂದಿಗೆ, 17 ಮೊದಲ ಬಿನ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಮುಂದಿನ 8,8 ಗೆ ದಾರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಇನ್ಪುಟ್ಗಳು ಹೀಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ 51,28,28,27,25,12,12,10,10,10,10,10,10,10. ಸಾಮರ್ಥ್ಯ 75 ರೊಂದಿಗೆ, ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ 4 ತೊಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ 51,12,12,28,28,10,28,27,10,25,10,10,10,10. ಆದರೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ 76 ರೊಂದಿಗೆ, ಇದಕ್ಕೆ 5 ತೊಟ್ಟಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆಃ 51,25,28,28,12,27,12,10,10,10,10,10. ಸಾಮರ್ಥ್ಯ 60 ರೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. 17 16 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ 44,16; 24,24,8; 22,21,8,6; 6. ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಫಸ್ಟ್-ಫಿಟ್-ಡೀಕ್ರೀಸಿಂಗ್ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಫಸ್ಟ್-ಫಿಟ್ ಡೀಕ್ರೀಸಿಂಗ್ (ಎಂ. ಎಫ್. ಎಫ್. ಡಿ.) ಯು ಎಫ್. ಎಫ್. ಡಿ. ಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಬಿನ್ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಗಾತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ದೊಡ್ಡ, ಮಧ್ಯಮ, ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ನಾಲ್ಕು ಗಾತ್ರದ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಗಾತ್ರದ> 1/2 ಬಿನ್,> 1/3 ಬಿನ್,> 1/6 ಬಿನ್ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅದು ಐದು ಹಂತಗಳ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ದೊಡ್ಡ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಒಂದು ಬಿನ್ ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿ, ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕೆ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ತೊಟ್ಟಿಗಳ ಮೂಲಕ ಮುಂದೆ ಸಾಗಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೇಲೆಃ ಉಳಿದಿರುವ ಸಣ್ಣ ಮಧ್ಯಮ ವಸ್ತುವು ಸರಿಹೊಂದದಿದ್ದರೆ, ಈ ಡಬ್ಬಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದಿರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮಧ್ಯಮ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದುವಂತೆ ಇರಿಸಿ. ಮಧ್ಯಮ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಡಬ್ಬಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೇಲೆಃ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಚಿಕ್ಕ ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುಗಳು ಸರಿಹೊಂದದಿದ್ದರೆ, ಈ ಡಬ್ಬಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದಿರುವ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುವನ್ನು ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ದೊಡ್ಡದಾದ ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುವನ್ನು ಇರಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ತೊಟ್ಟಿಗಳ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ. ಯಾವುದೇ ಗಾತ್ರದ ವರ್ಗದ ಉಳಿದಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ವಸ್ತುವು ಸರಿಹೊಂದದಿದ್ದರೆ, ಈ ಡಬ್ಬಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸರಿಹೊಂದುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವಸ್ತುವನ್ನು ಈ ಡಬ್ಬಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ. ಉಳಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಸ ತೊಟ್ಟಿಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಲು ಎಫ್ಎಫ್ಡಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಜಾನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಗ್ಯಾರಿ ಅವರು 1985 ರಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು 1995ರಲ್ಲಿ ಯುಯೆ ಮತ್ತು ಜಾಂಗ್ ಅವರು ಸುಧಾರಿಸಿದರು, ಅವರು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇತರ ರೂಪಾಂತರಗಳಾದ ಬೆಸ್ಟ್-ಫಿಟ್-ಡಿಕ್ರೀಸಿಂಗ್ (ಬಿ. ಎಫ್. ಡಿ) ಎಫ್. ಎಫ್. ಡಿ. ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದನ್ನು ಬೆಸ್ಟ್-ಫಿಟ್ ಬಿನ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಸಂಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಅಂದಾಜು ಅನುಪಾತವು ಎಫ್ಎಫ್ಡಿ-11/9 ಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು ಪೈಥಾನ್ಃ ಪ್ರಾಟಿಪಿ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಮೊದಲ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಕಡಿತದ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮಲ್ಟಿಫಿಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಯಂತ್ರಗಳ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಗಾಗಿ ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಇದು ಎಫ್ಎಫ್ಡಿಯನ್ನು ಸಬ್ರುಟೈನ್ ಆಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಿನ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್