Theories of iterated inductive definitions
ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬುಚ್ಹೋಲ್ಜ್ನ ಐಡಿ ಕ್ರಮಾನುಗತವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕ್ರಮಾನುಗತವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು/ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು "ν-ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು" ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಡಿಎನ್ಒ ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಿಎ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ IDω (ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ IDν) ಎಂಬುದು ಪೀನೋ ಅಂಕಗಣಿತದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು LID ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ LID-ಸೂತ್ರ F (x) ಗೆ ν § ω ಹೊಂದಿರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತ IDν ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ LID-ಸೂತ್ರ F (x) ಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ u <ν ವಿವರಣೆ/ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ID1 A ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಐಡಿ1ನ ಭಾಷೆಯನ್ನು, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಎನ್ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಎಕ್ಸ್-ಪಾಸಿಟಿವ್ ಸೂತ್ರ ಎ (ಎಕ್ಸ್, ಎಕ್ಸ್) ಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಅಥವಾ ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್) ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಐಎ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದು ಎಕ್ಸ್ (ಹೊಸ ಸೆಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್) ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ (ಸಂಖ್ಯೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್) ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮುಕ್ತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. X-ಧನಾತ್ಮಕ ಎಂಬ ಪದವು X ಎಂಬುದು Aಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ (X ಎಂದಿಗೂ ಒಂದು ಅರ್ಥದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ). ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸೆಟ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಅಂದರೆ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಎಂದರೆ. ನಂತರ ಐ. ಡಿ. 1 ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ (ಪಿ. ಎ.) ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಹೊಸ ಭಾಷೆಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಯೋಜನೆಯುಃ ಎಲ್ಲ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿರುವುದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ (ಕನಿಷ್ಠ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ). ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಐ. ಡಿ. ಎನ್. ν-ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಅಲ್ಲಿ ν ಒಂದು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಆರ್ಡರ್ ಪ್ರಕಾರ ν ನ ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವೆಲ್-ಆರ್ಡರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಐ. ಡಿ. ಎನ್. ಒ. ನ ಭಾಷೆಯನ್ನು, ಪ್ರತಿ ಎಕ್ಸ್-ಪಾಸಿಟಿವ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬೈನರಿ ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದ ಜೆ. ಎ. ಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ತೋರಿಸಿರುವ ಮುಕ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತೆ ಯೂನರಿ (ಸೆಟ್) ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವೈ ಹೊಸ ಬೈನರಿ ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುವ ಬದಲು ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೊಸ ಭಾಷೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಐಡಿಎನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಈಗ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ (ಪಿಎ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನಾವು ಸೂತ್ರದ ಸಂಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ, ಡಿಸ್ಟಿಂಗ್ವಿಶ್ಡ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ) ಎಂದು ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳು-ಒಂದು ದುರ್ಬಲಗೊಂಡ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆಃ, ಆದರೆ. ಇದು ಇನ್ನೂ ದುರ್ಬಲಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ-ವಿಧಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ದುರ್ಬಲಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಮಾಣವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ ಬಾರ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. , ಆದರೆ. ಇದು ಒಂದು "ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುವ" ಬಲವರ್ಧನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ν-ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭವಿಷ್ಯಸೂಚಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಿಂದ ಏನನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. ಬಲದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದ ಪ್ರಮಾಣವು ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆಃ, ಆದರೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ν> 0 ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು bul T0 ಯು ν <μ ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆ Dμ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ "a bul W0" ಅನ್ನು IDν ನಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. IDω ಇದರಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿದೆ. ಐ. ಡಿ. ಎನ್. ಓ. ನಲ್ಲಿ ಒಂದು-ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ν <ω ಗೆ IDν ನಲ್ಲಿ A ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, k ω N ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ ID <ν ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಐಡಿಎನ್ಒನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಐಡಿ1 (ಬ್ಯಾಚ್ಮನ್-ಹೋವರ್ಡ್ ಆರ್ಡಿನಲ್) ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಹ, ಮತ್ತು ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ. W-IDω () ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಹ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ. IDω (ಟೇಕೂಟಿ-ಫೆಫರ್ಮಾನ್-ಬುಚ್ಹೋಲ್ಜ್ ಆರ್ಡಿನಲ್) ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಹ, ಮತ್ತು ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ. ID <ω ^ ω () ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಹ ID <ω ^ ω () ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಐಡಿ <ε0 () ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಹ ಮತ್ತು ನ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಃ ಇತ್ತೀಚಿನ ಪುರಾವೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಎನ್ಲ್ಯಾಬ್ ಲೆಮ್ಮಾದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎನ್ಲ್ಯಾಬ್ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಗಣಿತದ ತರ್ಕ