Plethystic exponential
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕವು (ಔಪಚಾರಿಕ) ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯದಂತೆ, ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಘಾತೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಂಬಂಧವು ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಉಂಗುರಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಮ್ ಎಂಬ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಇದರ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ. ಸಂಯೋಜಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಬಹುಪದಗಳು ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತಹ ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳ ಅನೇಕ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುಗಳ ಎಣಿಕೆ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಜಾಗದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ/ಟೋಪೋಲಾಜಿಕ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕವು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಚಲಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ವರ್ತುಲವಾಗಿರಲಿ, ಸಂವಹನ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಿರ ಪದವಿಲ್ಲದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆದರ್ಶದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ನಂತರ, ಅದರ ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಾಗ ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು): ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ಈ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಉತ್ಪನ್ನ-ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರ ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಉತ್ಪನ್ನ-ಮೊತ್ತದ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲಃ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಚಕ್ರ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಅದರ ಸಂಬಂಧ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಡಿಗ್ರಿ k ಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ದಿ ಮತ್ತು ದಿ ಪವರ್ ಮೊತ್ತದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆಃ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಗುರುತುಗಳಿಂದ, ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಹೀಗೆಃ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ನ ಸೂತ್ರ X ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಲಿ, ಆಯಾಮ ಡಿ, ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಬಹುಪದದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಕೆಥ್ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ X ನ n ನೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಲೇಖನಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ, ಬೋ ಫೆಂಗ್, ಅಮಿಹೇ ಹನಾನಿ ಮತ್ತು ಯಾಂಗ್-ಹುಯಿ ಹೇ ಸೇರಿದಂತೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಗುಂಪು, ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಏಕ ಮತ್ತು ಬಹು-ಟ್ರೇಸ್ ಗೇಜ್ ಅಸ್ಥಿರ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಎಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿತು. ಕ್ಯಾಲಾಬಿ-ಯೌ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಡಿ-ಬ್ರೇನ್ಗಳ ಕ್ವಿವರ್ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಏಕತ್ವದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸರಣಿಯ ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಮಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು