Eilenberg–Niven theorem
ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ನಿವೇನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ, ಅಂದರೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಇವಾನ್ ಎಮ್. ನಿವೆನ್ ಕಾರಣರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು x, a0, a1,.., an ಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಮತ್ತು φ (x) ಮೊದಲ ಪದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಆದರೆ n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆಗ P (x) = 0 ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಮೇಯವು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು P (x) = x + ixi + 1 = 0 ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲದ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ನಿವೆನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಕ್ಟೋನಿಯಾನ್ಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಏಕನಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಕ್ಟೋನಿಯಾನಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಆವರಣದ ಕ್ರಮದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆಕ್ಟೋನಿಯಾನ್ಗಳು ಸಹಸಂಯೋಜಕವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಮೋನಿಕ್ ಮತ್ತು ನಾನ್-ಮೋನಿಕ್ ಆಕ್ಟೋನಿಯಾನಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬಹುಪದಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು