Appell series
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಪ್ಪೆಲ್ ಸರಣಿಯು ನಾಲ್ಕು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಗಳಾದ ಎಫ್1, ಎಫ್2, ಎಫ್3, ಎಫ್4ಗಳ ಎರಡು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇವು ಗೌಸ್ನ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿ 2ಎಫ್1 ಅನ್ನು ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಪರಿಚಯಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅಪ್ಪೆಲ್ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸರಣಿಯ ವಿವಿಧ ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅಪ್ಪೆಲ್ ಸರಣಿ ಎಫ್1 ಅನ್ನು |x | <1, |y | <1 ಗಾಗಿ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪೋಚಮ್ಮರ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ. x ಮತ್ತು y ನ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ F1 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅದೇ ರೀತಿ, F2 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಿಂದ |x | + |y | <1 ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು |x | <1, |y | <1 ಗಾಗಿ F3 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ |x | 1⁄2 + |y | 1⁄2 <1 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಪ್ಪೆಲ್ನ ಎಫ್1ಗೆ ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲ ಗುಂಪನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಎಫ್1ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ನಾಲ್ಕರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಅಪ್ಪೆಲ್ನ F3ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು ಈ ಐದು ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಪ್ಪೆಲ್ನ F1ಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಎರಡು ಸರಣಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆಃ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅಪ್ಪೆಲ್ನ F1 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ F2ಗೆ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಪ್ಪೆಲ್ನ ಎಫ್1ಅನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಯೂಲರ್-ಮಾದರಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆಃ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಪದವಾರು ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪಿಕಾರ್ಡ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅಪೂರ್ಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎಫ್ ಮತ್ತು ಇ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ Πಗಳು ಅಪೆಲ್ನ ಎಫ್1ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಂಬಂಧಿತ ಸರಣಿಗಳು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಏಳು ಸಂಬಂಧಿತ ಸರಣಿಗಳಿವೆ, φ1, φ2, φ3, χ1, χ2, χ1, ಮತ್ತು χ2, ಇದು ಕುಮರ್ನ ಸಂಯೋಜಿತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು 1ಎಫ್1ನ ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು 1920 ರಲ್ಲಿ ಪಿಯರೆ ಹಂಬರ್ಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅಪೆಲ್ ಸರಣಿಯಂತೆಯೇ ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕೇವಲ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ x ಮತ್ತು y ಗಿಂತ ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಈ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಪ್ಪೆಲ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಅವು ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಯೂಲರ್-ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ನೀಡಬಹುದು. ಸಿ. ಆರ್. ಅಕಾಡ್ನಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ("ಸುರ್ ಲಾ ಸೆರಿ ಎಫ್3 (α, α ', β, β', γ; x, y)" ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ವಿಜ್ಞಾನ. 90, ಪು. 977-980) (ಪುಟ 14 ನೋಡಿ) (ಪುಟ 224 ನೋಡಿ) (ಸಿ. ಆರ್. ಅಕಾಡ್ ಕೂಡ ನೋಡಿ. ವಿಜ್ಞಾನ. 90 (1880), ಪು. 1119-1121 ಮತ್ತು 1267-1269) (ಇದರೊಂದಿಗೆ 2008ರ ಪೇಪರ್ಬ್ಯಾಕ್ ಇದೆ) ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗಣಿತದ ಸರಣಿಗಳು