Ice-type model
ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಐಸ್-ಟೈಪ್ ಮಾದರಿಗಳು ಅಥವಾ ಸಿಕ್ಸ್-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಮಾದರಿಗಳು ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಫಟಿಕ ಜಾಲರಿಗಳ ಶೃಂಗ ಮಾದರಿಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಮೊದಲ ಮಾದರಿಯನ್ನು 1935 ರಲ್ಲಿ ಲಿನಸ್ ಪಾಲಿಂಗ್ ಅವರು ನೀರಿನ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಉಳಿದಿರುವ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಕೆಲವು ಫೆರೋಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಫೆರೊಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಫಟಿಕಗಳ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. 1967ರಲ್ಲಿ, ಎಲಿಯಟ್ ಎಚ್. ಲೀಬ್ ಅವರು "ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಐಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಐಸ್ ಮಾದರಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವು ವಿಶೇಷ "ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟಿದ" ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ. ವಿವರಣೆ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಮಾದರಿಯು ಸಮನ್ವಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4ರ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಜಾಲರಿಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಜಾಲರಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವು ನಾಲ್ಕು "ಹತ್ತಿರದ ನೆರೆಹೊರೆಯವರಿಗೆ" ಒಂದು ತುದಿಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯು ಜಾಲರಿಯ ಪ್ರತಿ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಒಳಮುಖವಾಗಿ ತೋರಿಸುವ ಬಾಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಣದ ಸಂರಚನೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಈ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಐಸ್ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ 4-ನಿಯಮಿತ ನಿರ್ದೇಶನವಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಯೂಲೆರಿಯನ್ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ 3-ಹರಿವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ, ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ವಾಸ್ತವಿಕ ಮಾದರಿಗಳಿಗಾಗಿ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ, ಹಿಮದ ನಿಯಮವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಾಣಗಳ ಆರು ಸಂರಚನೆಗಳಿವೆ ("ಸಿಕ್ಸ್-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಮಾದರಿ" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ). (ಎರಡು ಆಯಾಮದ) ಚದರ ಜಾಲರಿಯ ಮಾನ್ಯ ಸಂರಚನೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಯು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂರಚನೆಗಳ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಿಂದ th ಸಂರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯವು ಶೃಂಗದ ಸಂರಚನೆ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಐಸ್ ಮಾದರಿಯ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾದರಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಬ್ಬರು ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಭೌತಿಕ ಸಮರ್ಥನೆಯಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ನೈಜ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಐಸ್ ಮತ್ತು ಪೊಟ್ಯಾಸಿಯಮ್ ಡೈಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಫಾಸ್ಫೇಟ್ (ಕೆಡಿಪಿ) ಸೇರಿದಂತೆ ಐಸ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದವು. ಹಿಮದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಆಮ್ಲಜನಕದ ಪರಮಾಣು ನಾಲ್ಕು ಇತರ ಆಮ್ಲಜನಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಂಧದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಂಧವು ಅಂತಿಮ ಆಮ್ಲಜನಕಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಇರುವ ಎರಡು ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ, ಇವೆರಡೂ ಬಂಧದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುಗಳ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಸಂರಚನೆಯು ಪ್ರತಿ ಆಮ್ಲಜನಕದ ಹತ್ತಿರ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಹೈಡ್ರೋಜನ್ಗಳಿರುತ್ತವೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಸರವು ನೀರಿನ ಅಣುವನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪೌಲಿಂಗ್ ವಾದಿಸಿದರು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಆಮ್ಲಜನಕದ ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಜಾಲರಿಯ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಬಂಧಗಳನ್ನು ಜಾಲರಿಯ ಅಂಚುಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಮತ್ತು ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣು ಕುಳಿತಿರುವ ಬಂಧದ ಬದಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಬಂಧದ ಮೇಲೆ ಬಾಣವನ್ನು ಎಳೆದರೆ, ಹಿಮವು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಡಿಪಿ ಸಹ ಐಸ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ತರ್ಕವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ, ಐಸ್-ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪೈರೋಕ್ಲೋರ್ ಸ್ಪಿನ್ ಐಸ್ ಮತ್ತು ಕೃತಕ ಸ್ಪಿನ್ ಐಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಿವರಣೆಗಳಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಿಸ್ಟಬಲ್ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಮೊಮೆಂಟ್ಗಳ ("ಸ್ಪಿನ್ಗಳು") ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆಯು "ಐಸ್-ರೂಲ್" ಸ್ಪಿನ್ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಅಂತಹ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ರೈಸ್ ಎಫ್-ಮಾಡೆಲ್ನಿಂದ ಸ್ಪಿನ್-ಐಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶೃಂಗದ ಶಕ್ತಿಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ, 1ರಿಂದ 6ರವರೆಗಿನ ಶೃಂಗದ ಸಂರಚನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಗಳು ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥೂಲದರ್ಶಕ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಬಹುದು. ಈ ಶೃಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಅನುಮತಿಸಬಹುದಾದ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂರಚನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಐಸ್ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಐಸ್-ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ). ಫೆರೋಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಲೇಟರ್ನ ಕೆಡಿಪಿ ಮಾದರಿಯು ಕೆಡಿಪಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಐಸ್-ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಯು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ವಾದಿಸಿತು. ಈ ಮಾದರಿಗೆ (ಕೆಡಿಪಿ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಬಹುತೇಕ ಸ್ಥಿತಿಯು (ಕನಿಷ್ಠ-ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿ) ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಲ ಬಾಣಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಎಲ್ಲಾ ಲಂಬ ಬಾಣಗಳಿಗೂ ಸಹ. ಅಂತಹ ಸ್ಥಿತಿಯು ಫೆರೋಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುಗಳು ತಮ್ಮ ಬಂಧಗಳ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬದಿಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆಂಟಿಫೆರೊಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಾದ ರೈಸ್ ಎಫ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಈ ಮಾದರಿಯ ಕನಿಷ್ಠ-ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು 5 ಮತ್ತು 6ನೇ ಶೃಂಗದ ಸಂರಚನೆಗಳ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ಸ್ಥಿತಿಗೆ, ಪಕ್ಕದ ಸಮತಲ ಬಂಧಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಲಂಬ ಬಂಧಗಳಿಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಆಂಟಿಫೆರೊಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಊಹೆ ಯಾವುದೇ ಸುತ್ತುವರಿದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಚಾರ್ಜ್ ರಿವರ್ಸಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಬಾಣಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಐಸ್ ಮಾದರಿ, ಕೆಡಿಪಿ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ರೈಸ್ ಎಫ್ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಊಹಿಸಬಹುದು. ವಿಲಿಯಂ ಎಫ್. ಗಿಯಾಕ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಸ್ಟೌಟ್ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ ಐಸ್ನ ಉಳಿದಿರುವ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು 1935ರಲ್ಲಿ ಲಿನಸ್ ಪಾಲಿಂಗ್ ಅವರು ಐಸ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಉಳಿದಿರುವ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು, ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುವ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ತುಂಡುಗಳಲ್ಲಿನ ಆಮ್ಲಜನಕದ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿ (ಉಷ್ಣಬಲದ ಮಿತಿ) ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪಾಲಿಂಗ್ನ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂರಚನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹಿಮದ ನಿಯಮವಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೆವು ಏಕೆಂದರೆ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಐಸ್ ನಿಯಮವು ಇದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪೌಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಗಿಯಾಕ್-ಸ್ಟೌಟ್ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಹಳ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಹಿಮಕ್ಕಾಗಿ ಪೌಲಿಂಗ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಇದುವರೆಗೆ ತಯಾರಿಸಿದ ನೈಜ ಪದಾರ್ಥಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸರಳವಾದ, ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಪೌಲಿಂಗ್ರ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಕಠಿಣವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ ಸುಸ್ಥಿರವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿತ್ತು. ಇದು ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಯಿತು. ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಗಳೆರಡನ್ನೂ 1966ರಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ಎಫ್. ನಾಗ್ಲೆ ಅವರು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರು, ಅವರು ಅದನ್ನು ಮೂರು-ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡು-ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಇವೆರಡೂ ಪೌಲಿಂಗ್ರ 1.5ರ ಸ್ಥೂಲ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಾಗಿವೆ. 1967ರಲ್ಲಿ, ಲೈಬ್ ಮೂರು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಐಸ್-ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಗಳ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರುಃ ಐಸ್ ಮಾದರಿ, ರೈಸ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಕೆಡಿಪಿ ಮಾದರಿ. ಐಸ್ ಮಾದರಿಯ ಪರಿಹಾರವು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿತು, ಇದನ್ನು ಲೈಬ್ಸ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಐಸ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ 1967 ರಲ್ಲಿ, ಬಿಲ್ ಸದರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ಮೂರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಐಸ್-ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಗಳ ಲೈಬ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಊಹೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಚದರ-ಜಾಲರಿ ಐಸ್-ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಇನ್ನೂ ನಂತರ 1967 ರಲ್ಲಿ, ಸಿ. ಪಿ. ಯಾಂಗ್ ಸಮತಲ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚದರ-ಜಾಲರಿ ಐಸ್-ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸದರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. 1969 ರಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ನಾಗ್ಲೆ ಅವರು ಕೆಡಿಪಿ ಮಾದರಿಯ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆದರು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯ ತಾಪಮಾನಗಳಿಗೆ. ಅಂತಹ ತಾಪಮಾನಗಳಿಗೆ, ಮಾದರಿಯು (ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ) ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟಿದೆ". ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಮಾದರಿಯು ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕೈಕ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಎಂಟು-ಕಶೇರುಕ ಮಾದರಿಗೂ ಸಂಬಂಧ ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿರುವ ಎಂಟು-ಕಶೇರುಕ ಮಾದರಿಯು, (ಚದರ-ಜಾಲರಿ) ಆರು-ಕಶೇರುಕ ಮಾದರಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಎಂಟು-ಕಶೇರುಕ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಆರು-ಕಶೇರುಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು, 7 ಮತ್ತು 8ರ ಕಶೇರುಕ ಸಂರಚನೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಿ. ಸಿಕ್ಸ್-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಂಟು-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಮಾದರಿಯು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಕೆಡಿಪಿ ಮಾದರಿಗೆ ನಾಗ್ಲೆಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಸ್-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಮಾದರಿಯ ಯಾಂಗ್ ಪರಿಹಾರ. ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಈ ಹಿಮ ಮಾದರಿಯು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ 'ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆ' ಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಉಷ್ಣಬಲದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಬೃಹತ್ ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿಯು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ನಿಯತಕಾಲಿಕ ವಿರೋಧಿ, ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ ಗೋಡೆಯ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚದರ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಡೊಮೇನ್ ಗೋಡೆಯ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆರು ಶೃಂಗಗಳ ಮಾದರಿಯು ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (ಅದರ ಆಯಾಮವು ಜಾಲರಿಯ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಆದರೆ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಕೆ ಅಂತಹ ಸರಳವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೊರಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಅತಿದೊಡ್ಡದನ್ನು ಮುಕ್ತ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಗಡಿಯಲ್ಲಿನ ಸಂರಚನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಆವರ್ತಕ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ, ಮೂಲತಃ ಪಡೆದಂತೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಜಾಲರಿಯ 3-ಬಣ್ಣಗಳು ಜಾಲರಿಯ ಸರಳವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ಆಂತರಿಕ ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಮಾದರಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚೌಕಗಳನ್ನು 3-ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲು ಇರುವ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಚೌಕಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ಲೆನಾರ್ಡ್ರಿಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಚೌಕವು i = 0,1, ಅಥವಾ 2 ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪಕ್ಕದ ಚೌಕದ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಾಣವು ಪಕ್ಕದ ಚೌಕದ ಬಣ್ಣವು i + 1 ಅಥವಾ i−1 ಮಾಡ್ 3 ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಚೌಕದಲ್ಲಿರುವ ವೀಕ್ಷಕರ ಪ್ರಕಾರ). ಸ್ಥಿರವಾದ ಆರಂಭಿಕ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಲು 3 ಸಂಭವನೀಯ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಒಮ್ಮೆ ಈ ಆರಂಭಿಕ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಇದು ಬಣ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಐಸ್-ರೀತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಾಣಗಳ ಜೋಡಣೆಗಳ ನಡುವೆ 1:1 ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಂಟು-ಕಶೇರುಕ ಮಾದರಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಗಳು ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಮಾದರಿಗಳು ಐಸ್