Jeep problem
ಜೀಪ್ ಸಮಸ್ಯೆ, ಮರುಭೂಮಿ ದಾಟುವ ಸಮಸ್ಯೆ ಅಥವಾ ಪರಿಶೋಧನೆ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಜೀಪ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಇಂಧನದೊಂದಿಗೆ ಮರುಭೂಮಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಹುದಾದ ದೂರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಜೀಪು ನಿಗದಿತ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಮಾಣದ ಇಂಧನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಾಗಿಸಬಲ್ಲದು, ಆದರೆ ಇದು ಇಂಧನವನ್ನು ಬಿಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಮರುಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಇಂಧನ ನಿಕ್ಷೇಪಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 9ನೇ ಶತಮಾನದ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ಸ್ ಆಡ್ ಅಕ್ಯುಎಂಡೋಸ್ ಜುವೆನ್ಸ್ (ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ಟು ಶಾರ್ಪನ್ ದಿ ಯಂಗ್) ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಇದು ಅಲ್ಕುಯಿನ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಒಗಟು ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಒಂಟೆ ಧಾನ್ಯವನ್ನು ತಿನ್ನುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಇದೆ. ಲುಕಾ ಪ್ಯಾಸಿಯೋಲಿಯ ಡಿ ವಿರಿಬಸ್ ಕ್ವಾಂಟಿಟಾಟಿಸ್ (ಸಿ. 1500) ಸಹ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆಧುನಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಎನ್. ಜೆ. ನೀಡಿದರು. 1947ರಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿತ್ತು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೆಂದರೆ ಒಂಟೆ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳು ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುವ ಒಂಟೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಸಾಗಿಸುವ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಬೇಕು, ಮರುಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾದ್ಯಂತದ ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಅಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಗಮ್ಯಸ್ಥಾನವನ್ನು ತಲುಪಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತೊರೆಯುವ ಬದಲು ಸರಬರಾಜುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮರುಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಕಾರುಗಳು ಮತ್ತೆ ತಮ್ಮ ಇಂಧನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಕಾರುಗಳನ್ನು ಕೈಬಿಡಬಹುದು. ಈ ಅಂತಿಮ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬಹು ಹಂತದ ರಾಕೆಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಇಂಧನದ n ಘಟಕಗಳು ಸ್ಥಿರ ತಳದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಜೀಪು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ 1 ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು 1 ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನದಲ್ಲಿ 1 ಯುನಿಟ್ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಬಲ್ಲದು (ಜೀಪ್ನ ಇಂಧನ ಬಳಕೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ). ಪ್ರಯಾಣದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಜೀಪು ತಾನು ಹೊತ್ತೊಯ್ಯುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಇಂಧನವನ್ನು ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಲ್ಲಿ ಬಿಡಬಹುದು, ಅಥವಾ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಯಾಣದಲ್ಲಿ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಇಂಧನ ಹೊರೆ ಎಂದಿಗೂ 1 ಘಟಕವನ್ನು ಮೀರಬಾರದು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎರಡು ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆಃ ಮರುಭೂಮಿಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುವಾಗ ಜೀಪ್ ಪ್ರತಿ ಪ್ರವಾಸದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನೆಲಕ್ಕೆ ಮರಳಬೇಕು. ಮರುಭೂಮಿಯನ್ನು ದಾಟುವಾಗ, ಇಂಧನ ಖಾಲಿಯಾಗುವ ಮೊದಲು ಜೀಪ್ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೂರ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದಾಗ, ಕೊನೆಯ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯಾಣದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಜೀಪ್ ಬೇಸ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಬೇಕು. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಜೀಪು ತನ್ನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಯಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ದೂರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರದ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಇಂಧನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿರಬಹುದು. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಜೀಪ್ ಮತ್ತು ಇಂಧನ ಡಂಪ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಇಂಧನವನ್ನು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಇಂಧನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬಿಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು. ಒಂಟೆ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಪಾರಿಯು ಬಾಳೆಹಣ್ಣಿನ n ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಒಂಟೆಯು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ 1 ಯುನಿಟ್ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು 1 ಯುನಿಟ್ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳ ಮೇಲೆ 1 ಯುನಿಟ್ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಬಲ್ಲದು. ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯು ಮೀ ಘಟಕಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರವಾಸದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂಟೆಯು ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೊತ್ತೊಯ್ಯುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಬಿಡಬಹುದು, ಅಥವಾ ಅದರ ಬಾಳೆಹಣ್ಣಿನ ಹೊರೆ ಎಂದಿಗೂ 1 ಘಟಕವನ್ನು ಮೀರದವರೆಗೂ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರವಾಸದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಸಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಮರುಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾದ್ಯಂತದ ಪ್ರಯಾಣಿಕರಲ್ಲಿ, ಆರಂಭಿಕ ನೆಲೆಯು ಅನಿಯಮಿತ ಘಟಕಗಳ ಪೂರೈಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಪ್ರಯಾಣಿಕನು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ 1 ಯುನಿಟ್ ಸರಬರಾಜನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು 1 ಯುನಿಟ್ ಸರಬರಾಜಿನಲ್ಲಿ 1 ಯುನಿಟ್ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಹುದು. ಇನ್ನೊಂದು ತಳವು ದೂರದಲ್ಲಿರುವ m ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಮರುಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಸರಬರಾಜುಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರವಾಸದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯಾಣಿಕನು ಎಂದಿಗೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸದಿರುವವರೆಗೆ, ಅವರೊಂದಿಗೆ ಬರುವ ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ತಮ್ಮೊಳಗೆ ಸರಬರಾಜುಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹಿಂದಿರುಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಪ್ರಯಾಣಿಕನು ಹಿಂದಿರುಗುವ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಇತರ ನೆಲೆಯನ್ನು ತಲುಪಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯಾಣಿಕರನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯಾಣಿಕರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಲುಪಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರವನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಮರುಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಕಾರುಗಳಲ್ಲಿ, ಆರಂಭಿಕ ಬೇಸ್ ಅನಿಯಮಿತ ಇಂಧನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಕಾರು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ 1 ಯುನಿಟ್ ಸರಬರಾಜನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು 1 ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನದಲ್ಲಿ 1 ಯುನಿಟ್ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಬಲ್ಲದು. ಇನ್ನೊಂದು ತಳವು ದೂರದಲ್ಲಿರುವ m ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿದೆ. ಕಾರುಗಳು ಇಂಧನವನ್ನು ಮರುಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಯಾಣದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಕಾರು ಎಂದಿಗೂ 1 ಯುನಿಟ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಂಧನವನ್ನು ಸಾಗಿಸದಿರುವವರೆಗೆ, ಅದರ ಜೊತೆಗಿನ ಕಾರುಗಳು ತಮ್ಮೊಳಗೆ ಇಂಧನವನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇಂಧನವಿಲ್ಲದ ಖಾಲಿ ಕಾರುಗಳನ್ನು ಮರುಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಇತರ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ತಲುಪಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರುಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಒಟ್ಟು ಕಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಲುಪಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರವನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರ "ಮರುಭೂಮಿಯ ಅನ್ವೇಷಣೆ" ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಅಂತಿಮ ಪ್ರವಾಸದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಜೀಪ್ ಎನ್ ಟ್ರಿಪ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಟ್ರಿಪ್ ನಲ್ಲಿ ಇದು ಬೇಸ್ ನಿಂದ 1 ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಯಾಣದಲ್ಲಿ ಜೀಪು 1/(2n) ಯುನಿಟ್ಗಳ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಂಧನದ ಡಂಪ್ನಲ್ಲಿ (n-1)/n ಯುನಿಟ್ಗಳ ಇಂಧನವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಜೀಪ್ ಇನ್ನೂ 1/(2n) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಇದು ಬೇಸ್ಗೆ ಮರಳಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಪ್ರತಿ ಎನ್-1 ಟ್ರಿಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಜೀಪ್ ಹೊರಹೋಗುವ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ 1/(2n) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದು 1 ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಹೊತ್ತ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಅನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಿಂತಿರುಗುವ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ 1/(2n) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೇಸ್ಗೆ ಮರಳಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಇಂಧನವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಟ್ರಿಪ್ ನಲ್ಲಿ ಜೀಪ್ ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಮತ್ತು ಇಂಧನ ಮರುಪೂರಣಕ್ಕೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಂತರ 1/(2n−2) ಘಟಕಗಳ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಲ್ಲಿ (n−2)/(n−1) ಘಟಕಗಳ ಇಂಧನವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಜೀಪ್ ಇನ್ನೂ 1/(2n−2) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ಗೆ ಮರಳಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇದು 1/(2n) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೇಸ್ಗೆ ಮರಳಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಇಂಧನವಾಗಿದೆ. ನಂತರದ ಪ್ರತಿ n−2 ಪ್ರಯಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಜೀಪ್ ಹೊರಹೋಗುವ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಎರಡನೇ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ 1/(2n−2) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದು 1 ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಹೊತ್ತ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಅನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಿಂತಿರುಗುವಾಗ ಎರಡನೇ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ 1/(2n−2) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ಗೆ ಮರಳಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಇಂಧನವಾಗಿದೆ. ಜೀಪು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಟ್ರಿಪ್ ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಅದು ಹಿಂದಿನ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ 1/(2n−2k + 2) ಯುನಿಟ್ಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ಹೊಸ kth ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ (n−k)/(n−k + 1) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಪ್ರತಿ n−k ಪ್ರಯಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಹೊರಹೋಗುವಾಗ kth ಡಂಪ್ನಿಂದ 1/(2n−2k + 2) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಮತ್ತು ಹಿಂತಿರುಗುವಾಗ ಮತ್ತೊಂದು 1/(2n−2k + 2) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ. ಜೀಪು ತನ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಅಲ್ಲಿ n-1 ಇಂಧನ ನಿಕ್ಷೇಪಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಅತ್ಯಂತ ದೂರದ ಇಂಧನವು ಒಂದು ಘಟಕದ ಇಂಧನದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮುಂದಿನ ದೂರದ ಇಂಧನವು ಒಂದು ಘಟಕದ ಇಂಧನದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಕೇವಲ 1/n ಘಟಕಗಳ ಇಂಧನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೇಸ್ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ 1 ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನದೊಂದಿಗೆ, ಇದರರ್ಥ ಜೀಪ್ ತನ್ನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಯಾಣದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ರೌಂಡ್ ಟ್ರಿಪ್ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಹುದು (ಮರುಭೂಮಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರವು ಇದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿದೆ). ಇದು ಹೊರಹೋಗುವ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಡಂಪ್ನಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಅದರ ಟ್ಯಾಂಕ್ ಅನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ದೂರದ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಅನ್ನು ತೊರೆದ ನಂತರ ಅದು ಮರುಭೂಮಿಯೊಳಗೆ ಒಂದು ಯೂನಿಟ್ಗೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅತ್ಯಂತ ದೂರದ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ಗೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಿಂತಿರುಗುವ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ ಉಳಿದ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮುಂದಿನ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಅನ್ನು ತಲುಪಲು ಅಥವಾ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ಗೆ ಮರಳಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಟ್ರಿಪ್ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವು n ನೇ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ, Hn ಆಗಿದೆ. ಸ್ವರಮೇಳದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ, ತಳದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಇಂಧನ ಲಭ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂತಿಮ ಪ್ರಯಾಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರವನ್ನು ಮೀರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಇಂಧನದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಇಂಧನ ಡಂಪ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡೂ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬೇಕಾದ ದೂರದೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ. "ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ದಿ ಡೆಸರ್ಟ್" ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈಗ ಅಂತಿಮ ಪ್ರವಾಸದಲ್ಲಿ ಹಿಂತಿರುಗುವಾಗ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಟ್ರಿಪ್ ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಜೀಪ್ ಹಿಂದಿನ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ನಿಂದ 1/(2n−2k + 1) ಘಟಕಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ಹೊಸ kth ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ (2n−2k−1)/(2n−2k + 1) ಘಟಕಗಳ ಇಂಧನವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಪ್ರತಿ n−k−1 ಟ್ರಿಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಹೊರಹೋಗುವಾಗ kth ಡಂಪ್ನಿಂದ 1/(2n−2k + 1) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಮತ್ತು ಹಿಂತಿರುಗುವಾಗ ಮತ್ತೊಂದು 1/(2n−2k + 1) ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಜೀಪು ತನ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಅಲ್ಲಿ n-1 ಇಂಧನ ನಿಕ್ಷೇಪಗಳಿವೆ. ಅತ್ಯಂತ ದೂರದ ಇಂಧನವು ಒಂದು ಘಟಕದ ಇಂಧನದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮುಂದಿನ ದೂರದ ಇಂಧನವು ಒಂದು ಘಟಕದ ಇಂಧನದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಕೇವಲ 1/ (2n−1) ಘಟಕಗಳ ಇಂಧನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೇಸ್ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ 1 ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನದೊಂದಿಗೆ, ಇದರರ್ಥ ಜೀಪ್ ತನ್ನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಯಾಣದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಯುನಿಟ್ಗಳ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೊರಹೋಗುವ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಡಂಪ್ನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಅದರ ಟ್ಯಾಂಕ್ ಅನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ದೂರದ ಇಂಧನ ನಿಕ್ಷೇಪವನ್ನು ತೊರೆದ ನಂತರ ಅದು ಇನ್ನೂ 1 ಯುನಿಟ್ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತಳದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಇಂಧನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಯಾವುದೇ ಗಾತ್ರದ ಮರುಭೂಮಿಯನ್ನು ದಾಟಲು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಇಂಧನದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಇಂಧನ ಡಂಪ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡೂ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬೇಕಾದ ದೂರದೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎನ್ ಟ್ರಿಪ್ಗಳಲ್ಲಿ (ಎನ್-1 ಮಧ್ಯದ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಎನ್ ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಬಳಸುವ) ಜೀಪ್ (ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 1 ಯುನಿಟ್ ದೂರಕ್ಕೆ ಇಂಧನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದೊಂದಿಗೆ) ತಲುಪಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರವೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಟ್ರಿಪ್ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಜೀಪ್ ಬೇಸ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಬೇಕಾದ ಮರುಭೂಮಿಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು; ಮರುಭೂಮಿಯನ್ನು ದಾಟಲು, ಕೊನೆಯ ಟ್ರಿಪ್ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಜೀಪ್ ಇಂಧನ ಖಾಲಿಯಾಗುವ ಮೊದಲು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೂರ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದಾಗ, ಪ್ರತಿ ಟ್ರಿಪ್ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ಗೆ ಮರಳಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ n ನೇ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ. ಇಂಧನದ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣವು ತಳದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಇಂಧನ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇಂಧನದ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ "ಮರುಭೂಮಿಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ" ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾಧಿಸಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರವೆಂದರೆ ಆರಂಭಿಕ ಬೇಸ್ನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್, ಎರಡನೆಯದು ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯದು ಎರಡನೇ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವಿದೆ. ಇಂಧನದ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ "ಮರುಭೂಮಿಯನ್ನು ದಾಟುವ" ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾಧಿಸಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರವೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ಆರಂಭಿಕ ಬೇಸ್ನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯದು ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯದು ಎರಡನೇ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಇತರ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಒಂಟೆ ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಪಾರಿ ಆರಂಭಿಕ ತಳದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು n = 7/3 ಘಟಕಗಳ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯು m ಘಟಕಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆಃ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ; ಸಾಗಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಿಡ್ವೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಒಂಟೆ ಮಿ ದೂರವನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಸಾಗಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು; ಆ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸಲು ಕೆಲವು ಮಿಡ್ವೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆಃ m = 1/4 <(1/3+1 15), ಆರಂಭಿಕ ತಳದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ 1/15 ಘಟಕಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮಿಡ್ವೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 2 ಘಟಕಗಳ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು. ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ನಿಂದ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು (1/4-1 15), ಇದನ್ನು ಒಂಟೆ 3 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಸಾಗಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು 2-(1/4-1 15) * 3 = 1.45 ಯುನಿಟ್ಗಳು; ಮೀ = 1/2> (1/3+1 15) ಗೆ, ಮೊದಲ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ನಿಂದ 1/3 ಯುನಿಟ್ಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಮಿಡ್ವೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 1 ಯುನಿಟ್ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು ಸೇರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ನಿಂದ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯವರೆಗಿನ ಅಂತರವು [1/2 (1/3+1 15)], ಇದನ್ನು ಒಂಟೆ ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಸಾಗಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು 1-[1/2 (1/3+1 15)] * 1 = 0.9 ಘಟಕಗಳು. ಒಂಟೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ತಳಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಬೇಕಾದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ (ಇನ್ನೂ n = 7/3 ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ): ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ; ಸಾಗಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಿಡ್ವೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ದೂರವನ್ನು ಒಂಟೆ ಪದೇ ಪದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಸಾಗಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು; ಆ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸಲು ಕೆಲವು ಮಿಡ್ವೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆಃ m = 1/4 <(1/4+1 18), ಆರಂಭಿಕ ತಳದಿಂದ 1/18 ಯುನಿಟ್ಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮಿಡ್ವೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂಟೆಯ ಅಂತಿಮ ಮರಳುವಿಕೆಗೆ ಒಟ್ಟು 2 ಯುನಿಟ್ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು (ಜೊತೆಗೆ 1/18 ಯುನಿಟ್ಗಳು) ಇರುತ್ತವೆ. ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ನಿಂದ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು (1/4-1 18), ಇದನ್ನು ಒಂಟೆ 4 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಸಾಗಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು 2-(1/4-1 18) * 4 = 1.22 ಯುನಿಟ್ಗಳು; ಮೀ = 1/2> (1/4+1 18) ಗೆ, ಮೊದಲ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ನಿಂದ 1/4 ಯುನಿಟ್ಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಮಿಡ್ವೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 1 ಯುನಿಟ್ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು (ಒಟ್ಟಾರೆಯ ಅಂತಿಮ ಮರಳುವಿಕೆಗೆ 1/4 ಯುನಿಟ್ಗಳು) ಸೇರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ಯಾಂಪ್ ಪೋಸ್ಟ್ನಿಂದ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು [1/2 (1/4+1 18)], ಇದನ್ನು ಒಂಟೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಸಾಗಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು 1-[1/2 (1/4+1 18)] * 2 = 0.61 ಘಟಕಗಳು. ಮರುಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾದ್ಯಂತದ ಪ್ರಯಾಣಿಕರಲ್ಲಿ, n ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಆರಂಭಿಕ ನೆಲೆಯಿಂದ n ಘಟಕಗಳ ಸರಬರಾಜುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊರಟರು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. 1/(n + 1) ಘಟಕಗಳ ಅಂತರದ ನಂತರ, ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ n/(n + 1) ಘಟಕಗಳ ಸರಬರಾಜುಗಳನ್ನು ಸೇವಿಸಿರಬಹುದು; ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಯಾಣಿಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು 1/(n + 1) ಘಟಕಗಳ ಸರಬರಾಜುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಬೇಕು, ಗುಂಪನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ (n-1) ಘಟಕಗಳ ಸರಬರಾಜುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಡಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಉಳಿದ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯಾಣಿಕನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಘಟಕ ಸರಬರಾಜುಗಳನ್ನು ಒಯ್ಯುತ್ತಾನೆ. ಗುಂಪು ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು 1/(n + 1) ಘಟಕಗಳ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಿ, (n-1)/(n + 1) ಘಟಕಗಳ ಸರಬರಾಜನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಉಳಿದ ಪ್ರಯಾಣಿಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು 2/(n + 1) ಘಟಕಗಳ ಸರಬರಾಜುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ನೆಲೆಗೆ ಮರಳಬೇಕು, ಗುಂಪನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ (n-2) ಘಟಕಗಳ ಸರಬರಾಜಿಗೆ ಬಿಡಬೇಕು. ಈ ಗುಂಪು 1/(n + 1) ಯುನಿಟ್ಗಳಷ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಯುನಿಟ್ ಸರಬರಾಜನ್ನು ಒಯ್ಯುವ ಒಬ್ಬ ಪ್ರಯಾಣಿಕ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿರುವವರೆಗೆ ಒಬ್ಬ ಪ್ರಯಾಣಿಕರನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಯಾಣಿಕನು ಅತ್ಯಂತ ದೂರದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತಲುಪಲು ಒಂದು ಏಕಮಾನದ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಬಹುದು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, n ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ತಲುಪಬಹುದಾದ ಅತಿ ಉದ್ದದ ದೂರವೆಂದರೆ ಇದನ್ನು m ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು, m ಯುನಿಟ್ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯಾಣಿಕರಿಗೆ ಒಬ್ಬರು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಪರಿಹಾರಗಳು m <2 ಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೊನೆಯ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಪ್ರಯಾಣಿಕನು ಸಹ ಆರಂಭಿಕ ನೆಲೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಬೇಕಾದರೆ, ಅವನು 1/(n + 1) ಘಟಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾನೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವನು ಮರಳಲು n/(n + 1) ಘಟಕಗಳ ಪೂರೈಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ n ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ತಲುಪಬಹುದಾದ ಅತಿ ಉದ್ದದ ದೂರವೆಂದರೆ ಇದನ್ನು m ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು, m ಘಟಕಗಳ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯಾಣಿಕರಿಗೆ ಒಬ್ಬರು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಪರಿಹಾರಗಳು m <1 ಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮರುಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಕಾರುಗಳಲ್ಲಿ, n ಕಾರುಗಳು ಆರಂಭಿಕ ತಳದಿಂದ n ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನದೊಂದಿಗೆ ಹೊರಟವು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. 1/n ಘಟಕಗಳ ಅಂತರದ ನಂತರ, ಗುಂಪು ಈಗಾಗಲೇ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಘಟಕ ಇಂಧನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿತ್ತು; ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅವರು ತಮ್ಮ ನಡುವೆ ಇಂಧನವನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಬೇಕು, ಖಾಲಿ ಕಾರನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬೇಕು ಮತ್ತು (n-1) ಕಾರುಗಳ ನಡುವೆ (n-1) ಘಟಕಗಳ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಾಗಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತೊಂದು 1/(ಎನ್-1) ಘಟಕಗಳ ಅಂತರದ ನಂತರ, ಗುಂಪು ಮತ್ತೊಂದು ಒಂದು ಘಟಕ ಇಂಧನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿತ್ತು; ಮತ್ತೆ, ಅವರು ಇಂಧನವನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಬೇಕು, ಖಾಲಿ ಕಾರನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬೇಕು ಮತ್ತು (ಎನ್-2) ಕಾರುಗಳ ನಡುವೆ (ಎನ್-2) ಘಟಕಗಳ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಾಗಿಸಬೇಕು. ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಯುನಿಟ್ ಇಂಧನವನ್ನು ಹೊತ್ತೊಯ್ಯುವ ಒಂದು ಕಾರು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿರುವವರೆಗೆ ಗುಂಪು ಒಂದು ಕಾರನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಈ ಕಾರು ಅತ್ಯಂತ ದೂರದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತಲುಪಲು ಒಂದು ಯುನಿಟ್ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಬಹುದು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, n ಕಾರುಗಳು ತಲುಪಬಹುದಾದ ಅತಿ ಉದ್ದದ ದೂರವು n ನೇ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಃ ಇದನ್ನು m ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಿದರೆ, m ಯುನಿಟ್ಗಳಷ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರುಗಳಿಗೆ ಒಬ್ಬರು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆರ್ಡರ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಜೀಪ್ ಟ್ರಿಪ್ಗಳ ಕ್ರಮವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯ "ಮರುಭೂಮಿಯ ಅನ್ವೇಷಣೆ" ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಜೀಪು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ನಡುವೆ ರೌಂಡ್-ಟ್ರಿಪ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ನಲ್ಲಿ ಇಂಧನದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಿಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ಗೆ ಒನ್-ವೇ ಟ್ರಿಪ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಹೀಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಒಟ್ಟು ಇಂಧನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲಿಗೆ ತಲುಪಬಹುದು. ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಲು ಉಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಇಂಧನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ ನಡುವೆ ಇಂಧನವನ್ನು ಸಾಗಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ರೌಂಡ್-ಟ್ರಿಪ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡನೇ ಇಂಧನ ಡಂಪ್ಗೆ ಒನ್-ವೇ ಟ್ರಿಪ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಯುದ್ಧಕಾಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಇಂಧನ ದಕ್ಷತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಎರಡನೇ ಮಹಾಯುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಬಿ-29 ವಿಮಾನಗಳು ಜಪಾನ್ನ ಮೇಲೆ ಬಾಂಬ್ ದಾಳಿ ನಡೆಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರಾಬರ್ಟ್ ಮೆಕ್ನಮಾರಾ ದಿ ಫಾಗ್ ಆಫ್ ವಾರ್ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂಧನವನ್ನು ಮುಂಚೂಣಿ ನೆಲೆಗಳಿಗೆ ಸಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಇಂಧನ ದಕ್ಷತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ ಕಾರಣವಾಗಿತ್ತು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, ಚೀನಾದ ಮುಖ್ಯ ಭೂಭಾಗದಿಂದ ಬಾಂಬ್ ದಾಳಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ದ್ವೀಪ ಜಿಗಿತದ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪರವಾಗಿ ಕೈಬಿಡಲಾಯಿತುಃ (ಎರಡನೇ ಮಹಾಯುದ್ಧದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣು ಬಾಂಬ್ ದಾಳಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಉತ್ತರ ಮರಿಯಾನಾ ದ್ವೀಪಗಳ ಟಿನಿಯನ್ ಪೆಸಿಫಿಕ್ ದ್ವೀಪದಿಂದ ಬಿ-29 ಸೂಪರ್ಫೋರ್ಟ್ರೆಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಹಾರಿಸಲಾಯಿತು.) ಈ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅನ್ವಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಪರೇಷನ್ ಬ್ಲ್ಯಾಕ್ ಬಕ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಫಾಕ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ಯುದ್ಧದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾದ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ರಾಯಲ್ ಏರ್ ಫೋರ್ಸ್, ಅಸೆನ್ಶನ್ ದ್ವೀಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಲ್ಕನ್ ಬಾಂಬರ್ಗಳು ಫಾಕ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ದ್ವೀಪಗಳಲ್ಲಿನ ಗುರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಬಾಂಬ್ ದಾಳಿ ನಡೆಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡಲು ಟ್ಯಾಂಕರ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗಾಳಿಯಿಂದ ಗಾಳಿಗೆ ಇಂಧನ ತುಂಬಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿತು. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ (ಗಣಿತ) ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ (ಗಣಿತ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮನರಂಜನಾ ಗಣಿತವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ.