Oseen equations
ದ್ರವದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, 1910ರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಲ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಒಸೀನ್ ರೂಪಿಸಿದಂತೆ, ಸಣ್ಣ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ನಿಗ್ಧ ಮತ್ತು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ದ್ರವದ ಹರಿವನ್ನು ಒಸೀನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಅಥವಾ ಒಸೀನ್ ಹರಿವು) ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಹರಿವಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಕಂಡ ಹರಿವು ಈ ಹರಿವಿನ ಸುಧಾರಿತ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಸಂವಹನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ (ಭಾಗಶಃ) ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. ಒಸೀನ್ ಅವರ ಕೃತಿಯು ಜಿ. ಜಿ. ಅವರ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸ್ನಿಗ್ಧ ದ್ರವದ ಮೂಲಕ ಗೋಳದ ಪತನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್. ಅವರು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಹರಿವಿನ ವೇಗಕ್ಕೆ ಜಡತ್ವದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಅವನ ಅಂದಾಜು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸುಧಾರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು-ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ದ್ರವದ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಿರವಾದ ಹರಿವಿನ ವೇಗ U ನೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ-ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿಃ ಇಲ್ಲಿ u ಎಂಬುದು ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಹರಿವಿನ ವೇಗದಲ್ಲಿನ ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ಹರಿವಿನ ವೇಗವು −U + u ಆಗಿದೆ, p ಎಂಬುದು ಒತ್ತಡ, ρ ಎಂಬುದು ದ್ರವದ ಸಾಂದ್ರತೆ, μ ಎಂಬುದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ, ρ ಎಂಬುದು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್, ಮತ್ತು ρ2 ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವಸ್ತುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಓಸಿನ್ ಹರಿವಿನ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ r ವಸ್ತುವಿನ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಇರುವ ದೂರ, ಮತ್ತು p ≤ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ಒತ್ತಡ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಲಾಂಗಿಟ್ಯೂಡಿನಲ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ತರಂಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಒಸೀನ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಭೂತ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ವೇಗವು ಇರ್ರೊಟೇಷನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ನಿಗ್ಧ ಪದವು ಹೊರಬಿದ್ದರೆ ಪರಿಹಾರವು ರೇಖಾಂಶದ ತರಂಗವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೇಗವನ್ನು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಒತ್ತಡವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸೊಲೀನಾಯ್ಡಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಪರಿಹಾರವು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ತರಂಗವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ನಂತರ ಹೋರೇಸ್ ಲ್ಯಾಂಬ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಓಸಿನ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತದಲ್ಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (ಹೇಳಿ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ ವಿಭಜನೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಓಸಿನ್ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ, ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ತರಂಗವನ್ನು ಇರ್ರೊಟೇಷನಲ್ ಮತ್ತು ರೊಟೇಷನಲ್ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಭಜಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಇವೆರಡೂ ಅಥವಾ ಅವು ಸ್ವತಃ ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಕೈಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಂಶವೆಂದರೆ. ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳು ಒಸೀನ್ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಏಕ ಬಿಂದು ಬಲದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಒಸೀನ್ಲೆಟ್. ನಿಯೂಟೋನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಮೈಕ್ರೋಪೋಲಾರ್ ದ್ರವಗಳಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಓಸಿನ್ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಓಸೆನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಹೊರೇಸ್ ಲ್ಯಾಂಬ್ 1911 ರಲ್ಲಿ ಗೋಳದ ಸುತ್ತಲೂ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಹರಿವಿನ ಸುಧಾರಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಡೆಗೆ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿತು. ಅಲ್ಲದೆ, ಕುರಿಮರಿಯು-ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ-ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಸುತ್ತಲೂ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಹರಿವಿನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಿತು. ಯಾವುದೇ ಬಾಹ್ಯ ಗಡಿಗಳಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಏಕ ಬಲದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಏಕ ಬಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಏಕ ಬಲದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಗಡಿಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ವೇಗ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡವನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ವಾಹಕದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು. ನಂತರ ಮೂಲಭೂತ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಆರ್ಡರ್ ಶೂನ್ಯದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೂಲದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು. ನಂತರ ಮೂಲಭೂತ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಗೋಲು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವವು ಗೋಳದಿಂದ ಅನಂತ ದೂರದಲ್ಲಿ ಹರಿವಿನ ವೇಗದಲ್ಲಿ () ಹರಿಯುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಜಡತ್ವದ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋದಾಗ ಇದು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. 0. 1 ನಂತಹ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಡತ್ವ ಪದಕ್ಕೆ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಓಸೆನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹರಿವಿನ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿದರು. ಇವುಗಳನ್ನು ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮಾಣಗಳಲ್ಲಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವುದರಿಂದ ಓಸೀನ್ನ ಅಂದಾಜಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚಲನೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ವರ್ಟಿಸಿಟಿ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಇದು ವರ್ಟಿಸಿಟಿ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆಃ ಹೀಗೆ ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ "ಸವಲತ್ತು ನಿರ್ದೇಶನ" ಆಗಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕಃ ನಂತರ ಮೂರು ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಹೊಸ ಸುಧಾರಿತ ಡ್ರ್ಯಾಗ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಓಸೀನ್ನ ಅಂದಾಜಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ಅದು ತೋರಿಸಿದೆ ಅಂದರೆಃ ಜಡತ್ವ ಪದವು ಈ ಪದದಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆಃ ದೋಷವನ್ನು ನಂತರ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ′1 ಗೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಂತಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದೂರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಜಡತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸುರುಳಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ನೀಡುತ್ತದೆ ದೇಹವು ವರ್ಟಿಸಿಟಿಯ ಮೂಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಅನಿಯಮಿತ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಸ್ಥಿರವಾದ ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಘನ ಗೋಳದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ದ್ರವವನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ದ್ರವವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ), ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದು ಎಂದರೆ ಗೋಳದಿಂದ ದೂರವು ಅನಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಅದರ ವೇಗವು ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಒಂದು ನೈಜ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅದು ತನ್ನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ ಅದರ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಿಂದಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರ ಪರಿಣಾಮವಿರುತ್ತದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯದ ನಂತರ ಅದು ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ದ್ರವದ ವೇಗವು ವಸ್ತುವು ಈಗಾಗಲೇ ಅನಂತ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ವೇಗವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳವು ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅನಂತದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ದ್ರವದಲ್ಲಿ. ಗೋಳದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಗೋಳದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿವೆಃ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಚಲನೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಯದ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ (ಅಂದರೆ. ಸಮಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ, ಪರಿಹಾರವು ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೂ, ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಮಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಎಂ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ಒಸೀನ್ನ ಅಂದಾಜು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಂಕೋಚನಗೊಳ್ಳದ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಆಗುತ್ತವೆಃ ಸಾಂದ್ರತೆ ρ ಮತ್ತು ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ ν = μ/ρ ಹೊಂದಿರುವ ದ್ರವಕ್ಕೆ. p ಎಂದರೆ ಒತ್ತಡ. ಸಂಕೋಚನಗೊಳ್ಳದ ದ್ರವದ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೀಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಹರಿವಿನ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ) ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಹೋಲುವಂತೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಿಸ್ತಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಿಃ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಈ ರೀತಿಯ ವಾಹಕದ ವಾಹಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಆದ್ದರಿಂದಃ ಹೀಗೆ ವರ್ಟಿಸಿಟಿಯೆಂದರೆಃ ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ಕರ್ಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ನ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಚಲನೆಯ ಎಡಭಾಗದ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಸುರುಳಿಯಾಗಿದೆಃ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪದಕ್ಕೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿಃ ಮತ್ತು ಸಹಃ ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿಃ ಸುರುಳಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಒತ್ತಡವಾಗಿದೆಃ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವು ಮುಂಭಾಗದ ನಿಶ್ಚಲತೆಯ ಬಿಂದುವಿನ ವಿರುದ್ಧ ಭಾಗದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ (ಮುಂಭಾಗದ ನಿಶ್ಚಲತೆಯ ಬಿಂದು ಎಲ್ಲಿದೆ). ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸುರುಳಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ p ಮತ್ತು u ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಓಸೀನ್ನ ಅಂದಾಜುಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಸೀನ್ನ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು, ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದವನ್ನು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಶ್ನಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಗೋಳದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಗೋಳದ ಸಮೀಪವಿರುವ ದ್ರವವು ಬಹುತೇಕ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಜಡತ್ವ ಬಲವು ನಗಣ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮರ್ಥನೀಯವಾಗಿದೆ. ಗೋಳದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಹರಿವಿನ ವೇಗವು ಯುಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಸೀನ್ನ ಅಂದಾಜು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇಡೀ ಹರಿವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಒಸೀನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ 1957 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರೌಡ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಉತ್ತರಿಸಿದರು, ಅವರು ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಗೋಳದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಸುಧಾರಿತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಸುಧಾರಿತ ಒಸೀನ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಿದರು. ಅವರು ಪಡೆದದ್ದುಃ ಅನ್ವಯಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹರಿವಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ದ್ರವದಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಕಣಗಳ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಚಲನೆಯು ಜೈವಿಕ-ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಸೀನ್ನ ಡ್ರ್ಯಾಗ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ವಿವಿಧ ವಿಶೇಷ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ದ್ರವಗಳ ಹರಿವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಳಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಕಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದು, ಕಣಗಳ ಸೆಡಿಮೆಂಟೇಶನ್, ಸೆಂಟ್ರಿಫ್ಯೂಗೇಷನ್ ಅಥವಾ ಸಸ್ಪೆನ್ಷನ್ಗಳ ಅಲ್ಟ್ರಾಸೆಂಟ್ರಿಫ್ಯೂಗೇಷನ್, ಕೊಲೊಯಿಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗೆಡ್ಡೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಜನಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಕ್ತ. ದ್ರವವು ದ್ರವವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕಣಗಳು ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಹೊಗೆಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ದ್ರವಗಳ ಪರಮಾಣುಕರಣದಂತಹ ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ರಕ್ತನಾಳಗಳಂತಹ ಸಣ್ಣ ನಾಳಗಳಲ್ಲಿ ರಕ್ತದ ಹರಿವು ಸಣ್ಣ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೋಮರ್ಸ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ರಕ್ತದ ಹರಿವು, ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ, ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಹೃದಯದ ಬಡಿತದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಸದ ಒಂದು ನಾಳವು ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ 0.005 ಮತ್ತು ವೋಮರ್ಸ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆ 0.0126 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಣ್ಣ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೋಮರ್ಸ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ದ್ರವದ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಪ್ರಧಾನವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಔಷಧ ವಿತರಣೆಗೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ಗಳ ಮೆಟಾಸ್ಟಾಸಿಸ್ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ದ್ರವದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದ್ರವದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್