Lee–Yang theorem
ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿಯಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಥವಾ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಂತರ ಏಕಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಂತರ ಹಲವಾರು ಜನರು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. 1970ರಲ್ಲಿ ಅಸಾನೋ ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮಾದರಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಸಾನೋ ಸಂಕೋಚನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಶೂನ್ಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀಡಿದೆ. ಆರ್ ಮೇಲಿನ ಅಳತೆಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಅಳತೆಗಳವರೆಗೆ ನ್ಯೂಮನ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಯಿತು. ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಊಹಾಪೋಹಗಳಿವೆ; ನೋಡಿ. ಸ್ಟೇಟ್ಮೆಂಟ್ ಪ್ರಿಲಿಮಿನರಿಗಳು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನಲ್ಲಿನ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ Sj ಗಳು ಸ್ಪಿನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು, zj ಬಾಹ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೆಜೆಕೆ ಎಂಬ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪದದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಾಸ್ತವಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡಿ. ಎಂ. ಯು. ಜೆ. ಯು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಗಾಸಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ನೈಜ ಆರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮ ಅಳತೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೈಜಗಳ ಮೇಲೆ ವೇಗವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಮವು ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಫೆರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಳತೆಗಳು dμj ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು zj ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು zj ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ z ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಸೊನ್ನೆಗಳು (z ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಲೀ ಮತ್ತು ಯಾಂಗ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಮೂಲ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಗಳು 2 ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್-1,1 ಮೇಲೆ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ρ = eπz ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಈ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಲ್ಲಾ ಸೊನ್ನೆಗಳು ρ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಅಳತೆಯ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ಅಳತೆ, ಇದು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 1 ಮತ್ತು-1) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 1/2 ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಲೀ ಮತ್ತು ಯಾಂಗ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಿನ್ n/2 ರ ವಿತರಣೆ, ಇದರ ಬೆಂಬಲವು n + 1 ಸಮಾನ ಅಂತರದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 1/(n + 1) ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿ ಪ್ರಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಳತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು −1 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ λ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವಿಕ b ಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು (φ4) 2 ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ λಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಡಿಎಂಯು ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಬಿ ಗೆ ಎಕ್ಸ್ಪ್ (ಬಿಎಸ್ 2) ಡಿಎಂಯು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಡಿಎಂಯು ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಮ ಬಹುಪದ ಕ್ಯೂಗೆ ಕ್ಯೂ (ಎಸ್) ಡಿಎಂಯು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿವೆ. ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಕ್ರಮಗಳ ವಿಲೀನವು ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಲೀ-ಯಾಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಯಾಂಗ್ ಚೆನ್-ನಿಂಗ್ ತ್ಸುಂಗ್-ಡಾವೊ ಲೀ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ.