Abstract algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಗುಂಪುಗಳು, ಉಂಗುರಗಳು, ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು, ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳು, ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹಳೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ, ಗಣನೆ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲಾಯಿತು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲಿನ ಅಮೂರ್ತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಮುಂದುವರಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆಯೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಶಿಕ್ಷಣಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಏಕರೂಪತೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಗಣಿತದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿವಿಧ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ರಚನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಏಕೀಕೃತ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುಂಪುಗಳ ರಚನೆಯು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗುಂಪುಗಳ ವೈವಿಧ್ಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನಕ್ಕೆ ಮೊದಲು, ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಹುಪದಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಂತೆ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಬಂದಿತು. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ರೇಖಾಗಣಿತ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬಂದವು. ಈಗ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾದ ಸಂಗತಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾದವು, ವಿವಿಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡವು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಏಕೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು. ಈ ಏಕೀಕರಣವು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭಿಕ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿತು ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳು, ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಈ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಜನಪ್ರಿಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ಬಹುತೇಕ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವೇರ್ಡೆನ್ರ ಮಾಡರ್ನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ರಚನೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ದೃಢವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಸುದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಈ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹಂತವನ್ನು ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯದ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು 16ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೂ ಪ್ರಬಲವಾದ ವಿಧಾನವಾಗಿತ್ತು. ಮುಹಮ್ಮದ್ ಇಬ್ನ್ ಮೂಸಾ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಕ್ರಿ. ಶ. 830 ರಲ್ಲಿ "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿದರು, ಆದರೆ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿತ್ತು. ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ವಿಯೆಟ್ನ 1591ರ ಹೊಸ ಬೀಜಗಣಿತದವರೆಗೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕಾಣಿಸಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟನ 1637ರ ಲಾ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಕೆಲವು ಉಚ್ಚರಿಸಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿತ್ತು. ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಔಪಚಾರಿಕ ಅಧ್ಯಯನವು ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ 18ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ "ಅಸಂಬದ್ಧ" ಮೂಲಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಹುಪಾಲು ಯುರೋಪಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದವರೆಗೂ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವಿರೋಧಿಸಿದರು. ಜಾರ್ಜ್ ಪೀಕಾಕ್ ಅವರ 1830 ರ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆಫ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾವು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸುವ ಮೊದಲ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ. ಅವರು ಹಳೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಹೊಸ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದರು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಾಂಕೇತಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಈ ನವಿಲನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಒಳಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವಂತಹ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ನವಿಲು ತನ್ನ ವಾದವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಮಾನ ರೂಪಗಳ ಶಾಶ್ವತತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿತು, ಆದರೆ ಅವನ ತರ್ಕವು ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಬಳಲಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ಆರಂಭಿಕ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವಾರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದವು. ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ನ 1770ರ ಅಧ್ಯಯನವು ಬಹುಪದದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಮೇಯದ 1801ರ ಗೌಸ್ನ ಅಧ್ಯಯನವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎನ್, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎನ್, ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಕ್ಲೈನ್ನ 1872ರ ಎರ್ಲ್ಯಾಂಜೆನ್ ಯೋಜನೆಯು ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿತು ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿನಂತಹ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. 1874ರಲ್ಲಿ ಲೈ, "ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗಲೊಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ವನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. 1876ರಲ್ಲಿ ಪಾಯಿನ್ಕೆರೆ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೆಲಸದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಗುಂಪಿನ ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. 1832ರಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ "ಗುಂಪು" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಇದು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥರ್ ಕೇಲಿಯವರ 1854ರ ಆನ್ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಗ್ರೂಪ್ಸ್ ಎಂಬ ಪ್ರಬಂಧವು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಸಹಸಂಯೋಜಕ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಮತ್ತು ಐಡೆಂಟಿಟಿ 1 ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದೆ, ಇದನ್ನು ಇಂದು ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 1870 ರಲ್ಲಿ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು, ಅದು ಮುಚ್ಚಿದ, ಸಂವಹನ, ಸಹವರ್ತಿ ಮತ್ತು ಎಡ ರದ್ದತಿ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಇದು ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಆಧುನಿಕ ಕಾನೂನುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ವೆಬರ್ ಅವರ 1882 ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಹವರ್ತಿ ಮತ್ತು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ರದ್ದತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು. 1882 ರಲ್ಲಿ ವಾಲ್ಥರ್ ವಾನ್ ಡೈಕ್ ಅವರು ಗುಂಪಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಭಾಗವಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರು. ಈ ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದ ನಂತರ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಈ ಅಮೂರ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮರುರೂಪಿಸಲಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಯ್ಲೋ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 1887 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಅವರು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪುನರುಚ್ಚರಿಸಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಟೀಕಿಸಿದರು. ಒಟ್ಟೊ ಹೋಲ್ಡರ್ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಮೃದ್ಧರಾಗಿದ್ದರು, 1889 ರಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು, 1893 ರಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು. ಅವರು ಜೋರ್ಡಾನ್-ಹೋಲ್ಡರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಮತ್ತು ಮಿಲ್ಲರ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಬರ್ನ್ಸೈಡ್, ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಮತ್ತು ಮೋಲಿಯನ್ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ಜೆ. ಎ. ಡಿ ಸೆಗುಯೆರ್ ಅವರ 1905 ರ ಪ್ರಬಂಧ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಗ್ರೂಪ್ಸ್ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಅಮೂರ್ತ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿತು, ಇದು "ಕಾಂಕ್ರೀಟ್" ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅನುಬಂಧಕ್ಕೆ ತಳ್ಳಿತು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿತ್ತು. ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪುಗಳೆರಡರ ಕುರಿತಾದ ಮೊದಲ ಪ್ರಬಂಧವು ಒ. ಕೆ. ಸ್ಮಿತ್ ಅವರ 1916ರ ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಕಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ 1843 ರಲ್ಲಿ ವಿಲಿಯಂ ರೋವನ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ರ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳು. ಅನೇಕ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಅನುಸರಿಸಿದವು. 1844ರಲ್ಲಿ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಬೈಕ್ವಾಟರ್ನೀಯನ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು, ಕೇಲಿಯು ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಬಾಹ್ಯ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಜೇಮ್ಸ್ ಕಾಕ್ಲೆ 1848ರಲ್ಲಿ ಟೆಸರಿನ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 1849ರಲ್ಲಿ ಕೋಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ವಿಲಿಯಂ ಕಿಂಗ್ಡನ್ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ 1873ರಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿತ-ಸರ್ವವ್ಯಾಪಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಕೇಲಿಯು 1854 ರಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 1855 ಮತ್ತು 1858 ರ ಎರಡು ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದನು. ಒಮ್ಮೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಉಳಿದಿತ್ತು. 1870 ರ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಬೆಂಜಮಿನ್ ಪಿಯರ್ಸ್ ಅವರು 6 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮದ 150 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಹೈಪರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅವರು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅವರು ಪಿಯರ್ಸ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. 1878ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಮತ್ತು 1881ರಲ್ಲಿ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಸ್ಯಾಂಡರ್ಸ್ ಪಿಯರ್ಸ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಕೇವಲ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿಭಜನಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮಾತ್ರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1880 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟನ್ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದವುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರು. ಇದರಿಂದ ಪ್ರೇರಿತರಾಗಿ, 1890ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟನ್, ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಮತ್ತು ಮೋಲಿಯನ್ (ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ) ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಹವರ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತವು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಅಥವಾ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ನೇರ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದವರು ಕಾರ್ಟನ್, ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿಯಾಗಿ ಸಾಬೀತಾದವು. 1907ರಲ್ಲಿ ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್ ಕಾರ್ಟನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಈಗ ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್ ಪ್ರಧಾನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಆರ್ಟಿನ್-ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಸಂವಹನ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ, ಹಲವಾರು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದವು. 1828 ಮತ್ತು 1832ರ ಎರಡು ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ, ಗೌಸ್ ಗೌಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು (ಯು. ಎಫ್. ಡಿ.) ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ದ್ವಿಘಾತ ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಜಾಕೋಬಿ ಮತ್ತು ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಘನ ಪರಸ್ಪರ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅಧ್ಯಯನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. 1847 ರಲ್ಲಿ, ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್ ಲಾಮೆ ಅವರು ಎಫ್ಎಲ್ಟಿ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಯುಎಫ್ಡಿಗಳೆಂದು ಅವರು ಭಾವಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಅವರ ಪುರಾವೆ ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿತ್ತು, ಆದರೂ ಕುಮ್ಮರ್ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಯುಎಫ್ಡಿ ಅಲ್ಲ. 1846 ಮತ್ತು 1847ರಲ್ಲಿ ಕುಮ್ಮರ್ ಆದರ್ಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಆದರ್ಶ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಐಡಿಯಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಇದನ್ನು 1871 ರಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ಇದು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪೂರ್ವಗಾಮಿಯಾಗಿದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನ ಕೆಲಸವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿತು. 1850ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ರೀಮನ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ರೀಮನ್ರ ವಿಧಾನಗಳು ಅವರು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆದ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದವು, ಇದನ್ನು 1870ರಲ್ಲಿ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಶ್ನಿಸಿದನು. ಬಹಳ ಸಮಯದ ನಂತರ, 1900ರಲ್ಲಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನೇರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೀಮನ್ರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಂಡರು. 1860 ಮತ್ತು 1870 ರ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ಲೆಬ್ಷ್, ಗೋರ್ಡಾನ್, ಬ್ರಿಲ್ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಎಂ. ನೋಥರ್ ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶದ ಅಂಶವಾಗಲು ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಯಾವ ಷರತ್ತುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಥರ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ನೋಥರ್ ಈ ಆಧುನಿಕ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಿಲ್ಲ. 1882 ರಲ್ಲಿ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಮತ್ತು ವೆಬರ್, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು, ಇದು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೊದಲ ಕಠಿಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. 1880ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕ್ರೋನೆಕರ್, 1890ರಲ್ಲಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್, 1905ರಲ್ಲಿ ಲಾಸ್ಕರ್ ಮತ್ತು 1913ರಲ್ಲಿ ಮಕಾವ್ಲಿಯು ಇ. ನೋಥರ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿರುವ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿದರು. ಬಹುಪದೀಯ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐಡಿಯಲ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಛೇದನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಲಾಸ್ಕರ್-ನೋಥರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಲಾಸ್ಕರ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮಕಾವ್ಲಿಯು ಈ ವಿಭಜನೆಯ ಅಪೂರ್ವತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದನು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಈ ಕೆಲಸವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. 1801ರಲ್ಲಿ ಗೌಸ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ದ್ವಿಮಾನ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು. ಅವರು ಈ ರೂಪಗಳ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು, ಇದು ಬೈನರಿ ರೂಪದ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. 1860ರ ದಶಕ ಮತ್ತು 1890ರ ದಶಕಗಳ ನಡುವೆ ಅಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿತು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಯಿತು. ಕೇಲೆ, ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್, ಗೋರ್ಡಾನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೈನರಿ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಘನ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮತ್ತು ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಬೈನರಿ ರೂಪದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು 1868ರಲ್ಲಿ ಗೋರ್ಡಾನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರು 1885 ರಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಬರೆದರು ಮತ್ತು 1890 ರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವಿ ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಅವರು ಇದನ್ನು 1890 ರಲ್ಲಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಆಧಾರ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಒಮ್ಮೆ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ನಂತರ, ಅಮೂರ್ತ ಉಂಗುರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಹೊರಹೊಮ್ಮಲು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ದಶಕಗಳಿದ್ದವು. ಮೊದಲ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು 1914ರಲ್ಲಿ ಅಬ್ರಹಾಂ ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ನೀಡಿದರು. ಅವನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದವುಃ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಇದು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಸಂವಹನ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ), ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ, ಇದು ಸಹವರ್ತಿ, ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೇಲೆ ವಿತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೆಲಸದಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದ "ನಿಯಮಿತ ಅಂಶಗಳ" ಮೇಲೆ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದಂತಹ ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿದೆ. ಇವುಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟವು. ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ನ ಕೆಲಸವು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ 1910 ರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಆದರೆ ಇದು ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲಸದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ. ಮಸಾಜೊ ಸೊನೊ ಅವರ 1917ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪ್ರಸ್ತುತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. 1920ರಲ್ಲಿ, ಎಮ್ಮಿ ನೋಥರ್, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಷ್ಮಿಡ್ಲರ್ ಸಹಯೋಗದೊಂದಿಗೆ, ಆದರ್ಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮುಂದಿನ ವರ್ಷ ಅವರು ಐಡಿಯಾಲ್ಥಿಯೋರಿ ಇನ್ ರಿಂಗ್ಬೆರೀಚೆನ್ (ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ ಐಡಿಯಲ್ ಥಿಯರಿ) ಎಂಬ ಹೆಗ್ಗುರುತು ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, (ಗಣಿತದ) ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರೋಹಣ ಸರಪಳಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರಕಟಣೆಯು "ನೊಥೇರಿಯನ್ ರಿಂಗ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಇತರ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಇರ್ವಿಂಗ್ ಕಪ್ಲಾನ್ಸ್ಕಿ ಈ ಕೃತಿಯನ್ನು "ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಿ" ಎಂದು ಕರೆದರು; ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗದಷ್ಟು ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೋಥರ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದ ಆರ್ಟಿನ್, ಅವರೋಹಣ ಸರಪಳಿ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅಮೂರ್ತ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜನ್ಮವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದವು. ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು 1801 ರಲ್ಲಿ ಗಾಸ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ ಮಾಡ್ ಪಿ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಪಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. 1830ರಲ್ಲಿ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಇದನ್ನು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. 1871 ರಲ್ಲಿ ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ, ಜರ್ಮನ್ ಪದ ಕಾರ್ಪರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದರರ್ಥ "ದೇಹ" ಅಥವಾ "ಕಾರ್ಪಸ್" (ಸಾವಯವವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು). "ಫೀಲ್ಡ್" ಎಂಬ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಪದವನ್ನು ಮೂರ್ ಅವರು 1893ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. 1881ರಲ್ಲಿ ಲಿಯೋಪೋಲ್ಡ್ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಅವರು ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು, ಇದು ಆಧುನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಮೂರ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೊದಲ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು 1893 ರಲ್ಲಿ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಮಾರ್ಟಿನ್ ವೆಬರ್ ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿತ್ತು. ಇದು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹಾಯಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿತ್ತು, ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. 1910ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಅವರು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾದ ಅಮೂರ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಂಶ್ಲೇಷಿಸಿದರು. ಅವರು ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು, ಅವುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಕಂಡಿತು. 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಇದರ ಅಧ್ಯಯನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಬೌದ್ಧಿಕ ತೀವ್ರತೆಯ ಚಾಲನೆಯ ಭಾಗವಾಗಿತ್ತು. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು (ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗಗಳು) ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಊಹೆಗಳು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡವು. ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ತೃಪ್ತರಾಗದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದತ್ತ ತಿರುಗಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದವು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ವಿವಿಧ ಗುಂಪುಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ನಿದರ್ಶನಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಯಿತು. ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ರಚನೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮುನ್ನೆಲೆಗೆ ಬಂದವು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದಾದ್ಯಂತ ಸಂಭವಿಸುತ್ತಿದ್ದವು, ಆದರೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉಚ್ಚರಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು. ಗುಂಪುಗಳು, ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಮೂಲಭೂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ವಿಷಯಗಳು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡವು. ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ತನಿಖೆಗಳು ಮತ್ತು ನಂತರ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್, ಎಮಿಲ್ ಆರ್ಟಿನ್ ಮತ್ತು ಎಮ್ಮಿ ನೋಥರ್ ಅವರು ಸಂವಹನ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಡೆಸಿದ ತನಿಖೆಗಳು, ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದ ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಕುಮ್ಮರ್, ಲಿಯೋಪೋಲ್ಡ್ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಜಾರ್ಜ್ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಮತ್ತು ಇಸೈ ಶುರ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಇದು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಂದಿತು. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯ ತ್ರೈಮಾಸಿಕ ಮತ್ತು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದ ಈ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳನ್ನು ಬಾರ್ಟೆಲ್ ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವೇರ್ಡೆನ್ರ ಮಾಡರ್ನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮರುರೂಪಿಸಿದ ಎರಡು-ಸಂಪುಟಗಳ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ಪ್ರಮಾಣದ ವಿವರಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳು ಶಿಲಾಪಾಕಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಶಿಲಾಪಾಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ (ಅರೆಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು); ಐಡೆಂಟಿಟಿ, ಮತ್ತು ವಿಲೋಮಗಳು (ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು); ಮತ್ತು ಇತರ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳು. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ "ಕ್ರಮಾನುಗತ" ಕ್ರಮವು (ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ) ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು) ಏಕೆಂದರೆ ಉಂಗುರವು ಅದರ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಗುಂಪು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮೃದ್ಧಿಯ ನಡುವೆ ಸಮತೋಲನವಿದೆಃ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದೇ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ಮ್ಯಾಗ್ಮಾ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಗ್ರೂಪ್ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ರಿಂಗ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಓವರ್ ಎ ಫೀಲ್ಡ್ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಶಾಖೆಗಳು ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಗುಂಪು "ಗುಂಪು ಉತ್ಪನ್ನ" ದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಂಪು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಐಡೆಂಟಿಟಿಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ, ಅದು ಅದನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ, ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ ': ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂರು ಅಂಶಗಳಿಗೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಎರಡು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಸೇರ್ಪಡೆಃ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂವಹನ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗುಣಾಕಾರವು ವಿತರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸುತ್ತದೆ. 2003ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾದ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಊಹೆಯು, ಸಂಪರ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಒಂದು ಗೋಳವೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ವೈಲ್ಸ್ ಅವರು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಳಕೆಯು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗುಂಪುಗಳು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು, ಮತ್ತು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಲ ವಾಹಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ಬೋಸನ್ಗಳು ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆ ವಹಿಸುವ ಬಲದೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕೀತ್ ನಿಕೋಲ್ಸನ್ (2012) ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, 4 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಜಾನ್ ವಿಲೇ & ಸನ್ಸ್. ಜಾನ್ ಆರ್. ಡರ್ಬಿನ್ (1992) ಮಾಡರ್ನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಃ ಆನ್ ಇಂಟ್ರಡಕ್ಷನ್, ಜಾನ್ ವಿಲೇ & ಸನ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಲಿಂಕ್ಸ್ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಸಿ. ಪಿಂಟರ್ (1990) [1982] ಎ ಬುಕ್ ಆಫ್ ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಮೇರಿಲ್ಯಾಂಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ