Dehn function
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಡೆಹ್ನ್ ಹೆಸರಿನ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಸಂಬಂಧದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು (ಅಂದರೆ ಗುಂಪಿನ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಉತ್ಪಾದಕಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪದ) ಆ ಸಂಬಂಧದ ಉದ್ದದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ (pp ಅನ್ನು ನೋಡಿ. 79-80 in). ಡೆಹ್ನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಕಾರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಾಗಿ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರಮೇಯ 2.1 ಇಂಚನ್ನು ನೋಡಿ). ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಗಡಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಭರ್ತಿ ಪ್ರದೇಶದ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯು 1910 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಡೆಹ್ನ್ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಕುಲಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಧಾರಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಈಗ ಡೆಹ್ನ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಡೆಹ್ನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ವಾಸ್ತವದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಈ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಾಗಿ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಡೆಹ್ನ್ (ಎನ್) ≤ ಎನ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗ್ರೀನ್ಡ್ಲಿಂಗರ್ ಅವರು ಸಿ '(1/6) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಇಂದು ಬಳಸಲಾಗುವ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯದ ಔಪಚಾರಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯು 1980 ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ-1990 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ತನ್ನ 1987 ರ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ "ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು" ನಲ್ಲಿ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಗುಂಪು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು, ಅಂದರೆ, ಈ ಗುಂಪಿನ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು f (n) = n ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ಪುರಾವೆಯು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಭರ್ತಿ ಮಾಡುವ ಪ್ರದೇಶದ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ ತಿಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ-ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವು ಆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವಾಗಿ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಸಾಪಿರ್, ಬಿರ್ಗೆಟ್ ಮತ್ತು ರಿಪ್ಸ್ ಅವರು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ "ಸಮಂಜಸವಾದ" ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಗುಂಪುಗಳ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ X ಒಂದು ಸೀಮಿತ ವರ್ಣಮಾಲೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ R′F (X) ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾದ ಪದಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು gಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ gಯಲ್ಲಿ w = 1 ಎಂದು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪದವಾಗಿದೆ. ಇದು f (X) ನಲ್ಲಿ R ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಅಲ್ಲಿ m ≤ 0 ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ i = 1,,, m ಗೆ r ± 1 ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ w ಇದೆ. ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾದ ಪದವಾದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಫ್. ಎಫ್. (ಎಕ್ಸ್), ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಸಂಕೀರ್ಣದಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ನಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಲೂಪ್ (ಜಿ) ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಶೂನ್ಯ-ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಜಿ ಯಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ = 1 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ವು ವ್ಯಾನ್ ಕ್ಯಾಂಪೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ 2-ಕೋಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ (ಱ್ಱಂ) ಇರುವ ಗಡಿ ಚಕ್ರವನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಐಸೋಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ ಒಂದು ಐಸೋಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು (ಱ್ಱಂ) ಒಂದು ಮೊನೊಟೋನ್ ಅಲ್ಲದ-ಕ್ಷೀಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ ⁄2 ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ಯು ಜಿ ಯಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ = 1 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಏರಿಯಾ (ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ≤ ಎಫ್ (|w |), ಅಲ್ಲಿ |w | ಎಂಬುದು ಪದದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಂತರ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿ (ಱ್ಱಂ) ಯ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಡೆಹ್ನ್ (ಎನ್) ಚಿಕ್ಕ ಐಸೋಪೆರಿಮ್ ಆಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಕಾರಗಳು ನಿಖರವಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ n ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮೊನೊಟೋನ್-ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ≤ 0 ಗೆ C ≤ 1 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ f ಅನ್ನು g ಪ್ರಾಬಲ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. f ಯು g ನಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ f ≈ g ಮತ್ತು g ಯು f ನಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ನಂತರ ≈ ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದವರೆಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಯಾವುದೇ a, b> 1 ಗೆ ನಾವು ≈ bn ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ, f (n) ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿ d ಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಲ್ಲಿ d ≤1 ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ), ಆಗ f (n) ≈ nd. ಅಲ್ಲದೆ, 1 ≈ n. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಒಂದು ರೇಖೀಯ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಘನ, ಬಹುಪದ, ಘಾತಾಂಕ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಐಸೋಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯ f (n) ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ. n ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ, ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ರೇಖೀಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಘನ, ಬಹುಪದ, ಘಾತಾಂಕ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆ. ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು G ಮತ್ತು H ಗಳು ಅರೆ-ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು G ಯ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಸಮಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ f (n) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, H ನ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ f (n) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಸತ್ಯವು G = H ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿಗೆ ಅದರ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಕಾರವು, ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಆ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ G ಗುಂಪಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ G ಯು (ಱ್ಱಂ) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯ f (n) ಇದೆ. ಜಿ ಗುಂಪು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದದ ಪರಿಹಾರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು (ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, |w | ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಬಂಧಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಯುಗ್ಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಂಯುಗ್ಮ ಅಂಶಗಳ ಉದ್ದವನ್ನೂ ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಜಿ ಗಣನೆಗೆ ಯೋಗ್ಯವಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಡೆಹ್ನ್ (ಎನ್), ನಂತರ ಜಿ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಡೆಹ್ನ್ (ಎನ್) ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಎಕ್ಸ್ಪ್ (ಡೆಹ್ನ್ (ಎನ್)) ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಂಜಸವಾದ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು G ಯ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ನಾವು ಡೆಹ್ನ್ (n) ≈ n ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಕುಲ 2 ರ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಧಾರಿತ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ, ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಡೆಹ್ನ್ (n) ≤ n ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ (n) ≈ n ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ k ≤ 2 ಗೆ ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಡೆಹ್ನ್ (n) ≈ n2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಮ್ಸ್ಲಾಗ್-ಸೋಲಿಟಾರ್ ಗುಂಪು ಡೆಹ್ನ್ (n) ≈ 2n ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ನೋಡಿ). 3-ಆಯಾಮದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪು ಒಂದು ಘನವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪುಗಳು, ಅಲ್ಲಿ k ± 2, ಚತುರ್ಭುಜ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿ ಒಂದು "ನೋವಿಕೋವ್-ಬೂನ್ ಗುಂಪು" ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪು, ಆಗ ಜಿ ಯ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಥಾಂಪ್ಸನ್ ಗುಂಪು ಎಫ್ ಗೆ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, n2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ (ನೋಡಿ). ಬಾಮ್ಸ್ಲಾಗ್-ಗೆರ್ಸ್ಟನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗುಂಪು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗೋಪುರಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಘಾತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಾಗ್ 2 (ಎನ್) ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಡೆಹ್ನ್ (ಎನ್) ≈ ಎಕ್ಸ್. ಪಿ. (ಎಕ್ಸ್. ಪಿ. (ಎಕ್ಸ್. ಪಿ. (1))). ತಿಳಿದಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು n ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ರೇಖೀಯ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ. ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಂತರಃ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಸಬ್ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅದು ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳು d ω (1,2) ನೊಂದಿಗೆ nd ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹೋರಾಡಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಗುಂಪು nd ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ d ≤1 ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಗುಂಪು Gಯು c + 1ನೇ ದರ್ಜೆಯ ಬಹುಪದೀಯ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ c ಎಂಬುದು Gಯ ನಿಲ್ಪೊಟೆನ್ಸಿ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಗುಂಪು ಬಹುಪದೀಯ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಚತುರ್ಭುಜ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಈ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. (M, g) ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು G = π1 (M) ಆಗಿದ್ದರೆ, G ಯ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಭರ್ತಿ ಪ್ರದೇಶದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜಿ ಒಂದು ಕ್ಯಾಟ್ (0) ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಹಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಿ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜಿ ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ (ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ) ಮುಚ್ಚಿದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (m, Z) ನ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ m ≤ 3 ಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಘಾತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (3, ಝಡ್) ಗೆ ಈ ಬಂಧವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಉಪ-ಘಾತೀಯ ಮೇಲಿನ ಬಂಧವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (m, Z) ಗೆ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಲ್ಲಿ m> 4 ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (4, ಝಡ್) ನ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಥರ್ಸ್ಟನ್ನಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಮತ್ತು, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಜಾಲರಿಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ಊಹೆಯನ್ನು ಲಿಯುಜಿಂಗರ್ ಮತ್ತು ಯಂಗ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸೀಮಿತ ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳ ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆಟ್ (ಎಫ್ಕೆ) ಮತ್ತು ಔಟ್ (ಎಫ್ಕೆ) ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರತಿ ಕೆ 3 ಗೆ ಘಾತೀಯವಾಗಿವೆ. ಆಟೊ (ಎಫ್ಕೆ) ಮತ್ತು ಔಟ್ (ಎಫ್ಕೆ) ಗೆ ಘಾತೀಯ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹ್ಯಾಚರ್ ಮತ್ತು ವೋಗ್ಟ್ಮನ್ ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ ಕೆ ± 3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಈ ಮಿತಿಗಳು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಬ್ರಿಡ್ಸನ್ ಮತ್ತು ವೋಗ್ಟ್ಮನ್ ಕೆ = 3ಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಂಡೆಲ್ ಮತ್ತು ಮೋಷರ್ ಕೆ ≤ 4ಕ್ಕೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಆಟ (ಎಫ್ಕೆ) ಮತ್ತು ಔಟ್ (ಎಫ್ಕೆ) ಗುಂಪುಗಳು ಸಬ್ಎಕ್ಸ್ಪೊನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ಎಫ್. ಕೆ. ಯ ಪ್ರತಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ, φ ನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಟೋರಸ್ ಗುಂಪು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಪಾಲು "ಸಮಂಜಸವಾದ" ಗಣನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ, ωn4ಅನ್ನು, ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, f (n) ≤n4 ಒಂದು ಸೂಪರ್ಅಡಿಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಗಣಿಸಬಹುದಾದರೆ, f (n) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಗುಂಪಿನ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಗುಂಪಿನ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮಂಜಸವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ, ಬಿರ್ಗೆಟ್, ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿ, ರಿಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಾಪಿರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆದರು, ಇದು ಹಿಗ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ದೂರಗಾಮಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಗುಂಪಿಗೆ ಹುದುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಗುಂಪಿನ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಟಿ (ಎನ್) ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಎನ್ 2 ಟಿ (ಎನ್ 2) 4 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಹಲವಾರು ಸಹವರ್ತಿ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಐಸೊಡೈಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ವ್ಯಾನ್ ಕ್ಯಾಂಪೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಚಿಕ್ಕ ವ್ಯಾಸವನ್ನು (ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) w ನ ಉದ್ದದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಭರ್ತಿ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ವ್ಯಾನ್ ಕ್ಯಾಂಪೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಚಿಕ್ಕ ಭರ್ತಿ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, w ನ ಉದ್ದದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ. ಇಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಭರ್ತಿ ಉದ್ದವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜಿತ ಶೂನ್ಯ-ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಶೂನ್ಯ-ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮಧ್ಯಂತರದ ಲೂಪ್ಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಭರ್ತಿ ಮಾಡುವ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪದದ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯ, ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಐಸೊಡಿಯಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಫಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಲೆಂಗ್ತ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಖರವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ. ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳೂ ಇವೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಕೆ-ಆಯಾಮದ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಕೆ-ಗೋಳಗಳ (ಕೆ + 1)-ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡು-ಭರ್ತಿಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಯೋಜಿತ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕೆ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಗುಂಪು ಸರಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಹಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ; ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಕೆ-ಗೋಳದ ಸಂಯೋಜಿತ ಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಲ್ಪನೆಯು k = 1 ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಕೇಸ್ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಈ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಭರ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪವೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಅವು ತಮ್ಮ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಭರ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ ಎಂಬ ತನ್ನ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ನಿಧಾನವಾದ ಲಕ್ಷಣರಹಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಸರಾಸರಿ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಚಿಕಿತ್ಸೆಗಳನ್ನು ನಂತರ ಇತರ ಸಂಶೋಧಕರು ನೀಡಿದರು, ಅವರು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಂತಹ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಉಪ-ಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವೃತ್ತಿಯು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಓಸಿನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಿಗೊರ್ಚುಕ್ ಮತ್ತು ಇವಾನೋವ್ ಅವರು ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯದ ಹಲವಾರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಮೇಲೆ ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳಿಗಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಿದರು ಆದರೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ. ವ್ಯಾನ್ ಕ್ಯಾಂಪೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಗುಂಪು ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ನೋಯೆಲ್ ಬ್ರಾಡಿ, ಟಿಮ್ ರಿಲೆ ಮತ್ತು ಹಾಮಿಶ್ ಶಾರ್ಟ್. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸುಧಾರಿತ ಕೋರ್ಸ್ಗಳು ಸಿ. ಆರ್. ಎಂ. ಬಾರ್ಸಿಲೋನಾ, ಬಿರ್ಖೌಸರ್, ಬಾಸೆಲ್, 2007. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಆರ್. ಬ್ರಿಡ್ಸನ್. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪದದ ರೇಖಾಗಣಿತ. ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಆಮಂತ್ರಣಗಳು, pp. 29-91, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ಸ್, 7, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್, 2002. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಸ್ಎಲ್ (ಎನ್, ಝಡ್) ಗಾಗಿ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆ. ಅಮೆರಿಕನ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 2008ರ ಕಾರ್ಯಾಗಾರ. "ಸಮಸ್ಯೆಯ ರೇಖಾಗಣಿತ" ಎಂಬ ಬ್ರಿಡ್ಸನ್ ಅವರ ಲೇಖನದ ಪಿಡಿಎಫ್. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಪದಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಯೋಜನೆ