Gauss–Legendre quadrature
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗಾಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಗಾಸಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲು, ನಿಯಮವು ಈ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಬಳಸಿದ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, wi ಎಂಬುದು ಚತುರ್ಭುಜ ತೂಕಗಳು, ಮತ್ತು xi ಎಂಬುದು n ನೇ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ತೂಕದ ವೈ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನೋಡ್ xi ನ ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್-ಲೆಜೆಂಡರ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನೇಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 1969 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗೋಲುಬ್-ವೆಲ್ಷ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ತೂಕಗಳ ಗಣನೆಯನ್ನು ಕ್ಯೂಆರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಮರ್ಥವಾಗಿವೆ. 2014ರಲ್ಲಿ, ಇಗ್ನೇಸ್ ಬೋಗರ್ಟ್ ಗೌಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ತೂಕಗಳು ಮತ್ತು ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು, ಇವು n ≤ 21ರ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಡಬಲ್-ಪ್ರಿಸಿಷನ್ ಮೆಷಿನ್ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ನೊಳಗೆ ನಿಖರವಾಗಿವೆ. ಇದು ಒಂದು ಶತಕೋಟಿಯನ್ನು ಮೀರಿದ n ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ತೂಕಗಳ ಗಣನೆಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗಾಸ್ ಗೌಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, 1814 ರಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೂಲಕ ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದರು. ಅವರು ಕೈಯಿಂದ n = 7 ಅನ್ನು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲು ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ತೂಕಗಳನ್ನು 16 ಅಂಕೆಗಳವರೆಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು. ಕಾರ್ಲ್ ಗುಸ್ತಾವ್ ಜಾಕೋಬ್ ಜಾಕೋಬಿ ಅವರು ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕುಟುಂಬದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ತೂಕಗಳು ಮತ್ತು ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್-ಫಾರ್ಮ್ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅನೇಕ ದಶಕಗಳಿಂದ ಜನರು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ n ಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೈಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಮತ್ತು ತೂಕ ಮತ್ತು ನೋಡ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು. 1942 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು n = 16 ರವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ f ಅನ್ನು ಗಾಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚತುರ್ಭುಜದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲು, ಸಂಬಂಧಿತ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಿಗಳು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಿಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. - th ಬಹುಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ,-th ಗಾಸ್ ನೋಡ್, ನ-th ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತೂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ನೈಜ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಏಕೀಕರಣದ ಓವರ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಮಧ್ಯಂತರದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಹಲವಾರು ಸಂಶೋಧಕರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ವಿಧಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗಾಸ್-ಲೆಜೆಂಡರ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ತೂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವಿವಿಧ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳ ಬಳಿ ಬೇರುಗಳ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳು ತೂಕವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಯಂತ್ರದ ನಿಖರತೆಗಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಅಂದಾಜಿನ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ನ ಕೆಲವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. 1969 ರಲ್ಲಿ, ಗೋಲುಬ್ ಮತ್ತು ವೆಲ್ಷ್ ಅವರು ಗಸ್ಸಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ತಮ್ಮ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇದು ಮೂರು ಪದಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಿದೆ, ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕ್ಯೂಆರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ತ್ರಿಕೋನ ರಚನೆಯ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಮಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಂದಾಜು ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕೆಲವು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2014 ರ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ, ಇಗ್ನೇಸ್ ಬೋಗರ್ಟ್ ಯಂತ್ರದ ನಿಖರತೆಗೆ ನಿಖರವಾದ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರದ ನಿಖರತೆಗೆ ನಿಖರವಾದ ತೂಕಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಂತೆ ಯಾವುದೇ ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಅಥವಾ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಈ ವಿಧಾನವು 11 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಲಿಯನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೀಪವಿರುವ ನೋಡ್ಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಬಹಳ ಹತ್ತಿರವಾಗುವುದರಿಂದ, ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಈ ವಿಧಾನವು ಡಬಲ್-ಪ್ರಿಸಿಷನ್ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಜೋಹಾನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಮೆಝಾರೊಬ್ಬಾ ಗೌಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ-ನಿಖರ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಎರಡಕ್ಕೂ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. 1000 ಅಂಕಿಗಳ ನಿಖರತೆಯಿರುವ ಕ್ರಮದ ನಿಯಮವನ್ನು ಸುಮಾರು ಒಂದು ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಅವರ ವಿಧಾನವು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ತಂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ದೋಷವನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಗಿಲ್, ಸೆಗುರಾ ಮತ್ತು ಟೆಮ್ಮೆ ಗಾಸ್-ಜಾಕೋಬಿ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ (ಮತ್ತು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗಾಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ) ಗಣನೆಗೆ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಒಮ್ಮುಖದೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಅದರ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನೋಡ್ಗಳ ಆದ್ಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಲ್ಯಾಪ್ಟಾಪ್ನಲ್ಲಿ ಲಕ್ಷಾಂತರ ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಾವಿರಾರು ಅಂಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಗಾಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚತುರ್ಭುಜವು f ಓವರ್ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಹಳ ಕಿರಿದಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮವು n ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಎಲ್ಲಾ ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಖರತೆಯ ಈ ಅಳತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಲ್ಲ-- ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಾದವು ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಲೆನ್ಶಾ-ಕರ್ಟಿಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಚೆಬಿಶೇವ್ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಅಂತರ್ವೇದಕದಿಂದ f ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು n ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ n ವರೆಗಿನ ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಹುಪದಗಳು ಅಥವಾ ಗೌಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚತುರ್ಭುಜದ ದೊಡ್ಡ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಕ್ಲೆನ್ಶಾ-ಕರ್ಟಿಸ್ ಹೆಚ್ಚಿನ (ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಏಕೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಗೌಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚತುರ್ಭುಜದ ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ದರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಗಾಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷಗಳಿಗೆ ದೃಢತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕ್ಲೆನ್ಶಾ-ಕರ್ಟಿಸ್ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಕ್ಲೆನ್ಶಾ-ಕರ್ಟಿಸ್ ಅನ್ನು ಎಫ್ಎಫ್ಟಿ ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನ್ಯೂಟನ್-ಕೋಟ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನ ಅಂತರದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ ಅಂತರ್ವೇಶಕದಿಂದ f ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕ್ಲೆನ್ಶಾ-ಕರ್ಟಿಸ್ನಂತೆ n ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ n ವರೆಗಿನ ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ರುಂಜ್ ವಿದ್ಯಮಾನದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತದೆ; ನ್ಯೂಟನ್-ಕೋಟ್ಸ್ ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳು f ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾದಾಗ ಅದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷಗಳಿಂದ ಬಳಲುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕ್ಲೆನ್ಶಾ-ಕರ್ಟಿಸ್ ಮತ್ತು ಗಾಸ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಇಬ್ಬರೂ ನ್ಯೂಟನ್-ಕೋಟ್ಸ್ಗಿಂತ ಮಧ್ಯಮದಿಂದ ದೊಡ್ಡ n ಗೆ ಗಣನೀಯ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮೂಲಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ (ಚತುರ್ಭುಜ)