Rational number
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಛೇದಗಳ ಭಾಗ ಅಥವಾ ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ, ಇದನ್ನು "ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳು" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೋಲ್ಡ್ಫೇಸ್ ಅಥವಾ ಕಪ್ಪು ಹಲಗೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ನಂತರ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ), ಅಥವಾ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ). ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಬೇಸ್ 10ರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಬೈನರಿ ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ಗಳಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ (ನೋಡಿ). ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ರ ವರ್ಗಮೂಲ, ಮತ್ತು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು () ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳೆಂದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ನಂತರ ಅದರ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜೋಡಣೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು, ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಕಡಿತಗಳು ಅಥವಾ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು (ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನೋಡಿ). ಪರಿಭಾಷೆ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಎಂಬ ಪದವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, "ತರ್ಕಬದ್ಧ" ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ನಾಮಪದವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಿಶೇಷಣವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದರ್ಥ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು); ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ; ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಹುಪದಿಯು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ" ಮತ್ತು "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ" ದ ನಡುವಿನ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು "ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಒಂದು ಬಹುಪದವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಪಾತಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯಾದರೂ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಎಂಬ ಪದವು ಅನುಪಾತದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆಃ ಅದರ ಆಧುನಿಕ ಅರ್ಥದೊಂದಿಗೆ ಅನುಪಾತದ ಮೊದಲ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 1660 ರಲ್ಲಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ಅರ್ಹತಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಳಕೆಯು ಸುಮಾರು ಒಂದು ಶತಮಾನದ ಹಿಂದೆ, 1570 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ತರ್ಕಬದ್ಧದ ಈ ಅರ್ಥವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧದ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥದಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು 1551 ರಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು "ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅನುವಾದಗಳಲ್ಲಿ (ಅವನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ)" ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಈ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಇತಿಹಾಸವು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು "ಆ [ವಿವೇಚನಾರಹಿತ] ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಯೋಚಿಸುವುದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಧರ್ಮದ್ರೋಹಿಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದರು" ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಉದ್ದಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದವು, ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ "ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಾರದು" (ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ). ಈ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನ್ ಪ್ರತಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನ್ ಆಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಅವುಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರಃ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಆದೇಶಿಸುವುದು ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ): ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ವಿಭಾಜಕ ಎರಡರ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಧನಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಜಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು. ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಸಹಮೌಲ್ಯದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಕಲನ ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಸಹಮೌಲ್ಯದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮವೆಂದರೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಭಾಗವಾಗಿರಬಹುದು-ಎರಡೂ ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಸಹ. ವಿಲೋಮ ಪ್ರತಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿಭಜನೆಯ ನಿಯಮವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸುವುದು ಘಾತಾಂಕದ ಪರಸ್ಪರದಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವೆಂದರೆ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಎಂದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ಪ್ರತಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇತರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಃ ಮಿಶ್ರ ಅಂಕಿಃ ವಿನ್ಕ್ಯುಲಮ್ ಬಳಸಿ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದುಃ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದುಃ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಮುದ್ರಣಕಲೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಃ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಃ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ವಿಭಜನೆಃ ಉಲ್ಲೇಖ ಸಂಕೇತಃ ಒಂದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ರಚನೆಯು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜೋಡಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಈ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಏಕರೂಪತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಅಂಶ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಸಜ್ಜುಗೊಂಡಿದೆ. (ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ನಡೆಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು.) ಒಂದು ಜೋಡಿಯ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ (ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕೋಪ್ರೈಮ್, ಮತ್ತು. ಇದನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಇಫ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಗುರುತನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. (ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯು 0 ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬೇಕು; ಇದು ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬೇಕು; ಇದು ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳ ಅಂಶವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಪ್ರತಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಗುರುತು. ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವತಃ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ, ಇದು ತನ್ನನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಹುಪದಗಳ ಮೂಲಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳು ದಟ್ಟವಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ನಡುವೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಇತರವುಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ (ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ), ನಾವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ, ದಟ್ಟವಾದ (ಮೇಲಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಎಣಿಕೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಧಾನವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಒದಗಿಸಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಬಲಕ್ಕೆ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಹೋಗುವ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು; ಅಂತಹ ಅನುಪಾತಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಕಿನ್-ವಿಲ್ಫ್ ಮರ ಮತ್ತು ಸ್ಟರ್ನ್-ಬ್ರೋಕಾಟ್ ಮರಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ (ಹಾಗೆಯೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗದ ಕಾರಣ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ, ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ. ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ; ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಅದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣವೆಂದರೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಯಮಿತ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳ ಕ್ರಮದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳು ಕ್ರಮದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ, ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಟೋಪೋಲಜಿಗಳ ಮೇಲೆ ಮೂರನೇ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಗಳನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದ ಅನನ್ಯ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಾಗವೂ ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೇಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜೊತೆಗೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಇತರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗಳಿವೆಃ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ವಿಭಜನೆಯ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು-adic ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಓಸ್ಟ್ರೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನೈಜ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ-adic ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಯಾಡಿಕ್ ತರ್ಕಬದ್ಧ ತೇಲುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಫೋರ್ಡ್ ವೃತ್ತಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನೈವ್ ಎತ್ತರ-ಕಡಿಮೆ ಪದದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎತ್ತರ ನಿವೇನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರ ದೈವಿಕ ಅನುಪಾತಗಳುಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಿಂದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ" ಗಣಿತದ ಪ್ರಪಂಚದಿಂದ-ಎ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ವೆಬ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಗಣಿತ) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು (ಗಣಿತ) ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು