Berezin integral
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಬೆರೆಜಿನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬೆರೆಜಿನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು (ಹರ್ಮನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳು) ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲ; "ಅವಿಭಾಜ್ಯ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬೆರೆಜಿನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಇತಿಹಾಸಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಆಂಟಿಕಮ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. (ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಕ್ರಮವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಏಕೈಕ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೇಲೆ ಬೆರೆಜಿನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಬೆರೆಜಿನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದರ್ಥ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ ಸೂತ್ರವು ಫುಬಿನಿ ನಿಯಮವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೊನೊಮಿಯಲ್ನ ಆಂತರಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ; ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಬದಲಾವಣೆ ಕೆಲವು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರಲಿ. ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಎಂಬುದು ಸರಿಯಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು () ಸೂಚಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸೂತ್ರವು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಈಗ ನೈಜ ಸಂಚಾರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ವಿರೋಧಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಇದನ್ನು ಮುಕ್ತ ಸೂಪರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಆಫ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು m ಈವೆನ್ (ಬೋಸೋನಿಕ್, ಕಮ್ಯುಟಿಂಗ್) ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು n ಬೆಸ (ಫರ್ಮಿಯೋನಿಕ್, ಆಂಟಿ-ಕಮ್ಯುಟಿಂಗ್) ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಅಂಶವು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ವಾದದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರ ಗುಂಪಿನ ಪೂರಕದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಬೆರೆಜಿನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬ್ಲಾಕ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಮ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತದೆ; ಬೆಸ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ನಮೂದುಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ ಮತ್ತು ಆಫ್-ಕರ್ಣೀಯ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ನಮೂದುಗಳು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದರ್ಥ. ನಮಗೆ ಈಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ (ಅಥವಾ ಸೂಪರ್ಡೆಟರ್ಮಿನಂಟ್) ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದು ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮವಾದಾಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉಪಯುಕ್ತ ಸೂತ್ರಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಗೌಸಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಅದರ ಫಾಫಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ, ಇತರ ಉಪಯುಕ್ತ ಸೂತ್ರಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ (ಅನುಬಂಧ ಎ ಅನ್ನು ನೋಡಿ): ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರಯಾಣ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ವಿರೋಧಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಬೆರೆಜಿನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು 1956ರಲ್ಲಿ ಡೇವಿಡ್ ಜಾನ್ ಕ್ಯಾಂಡ್ಲಿನ್ ಅವರು ಮಾಡಿದರು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಖಲತ್ನಿಕೋವ್ (ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪುಗಳಿದ್ದರೂ), ಮ್ಯಾಥ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಸಲಾಮ್ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಟಿನ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಇತರ ಲೇಖಕರು ಈ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಥಿಯೋಡೋರ್ ವೊರೊನೊವ್ಃ ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಏಕೀಕರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಹಾರ್ವುಡ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರಕಾಶಕ, ಬೆರೆಜಿನ್, ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವಿಚ್ಃ ಸೂಪರ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ಗೆ ಪರಿಚಯ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ನೆದರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್, ಮಲ್ಟಿಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳು ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಸೂಪರ್ಸೆಮೆಟ್ರಿ