Catastrophic cancellation
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ದುರಂತ ರದ್ದತಿಯು ಎರಡು ಹತ್ತಿರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಕೆಟ್ಟ ಅಂದಾಜು ನೀಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಸ್ಟಡ್ಗಳಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಉದ್ದ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತಮವಾದ ಆಡಳಿತಗಾರನೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮತ್ತು ಆಗಬಹುದು. ಇವುಗಳು, ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷದಲ್ಲಿ, ನಿಜವಾದ ಉದ್ದಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿರಬಹುದುಃ ಅಂದಾಜುಗಳು ನಿಜವಾದ ಉದ್ದಗಳ ಶೇಕಡಾ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ದೋಷದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂದಾಜು ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಉದ್ದಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಜವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು, ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣದ 100% ನಿಂದ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ವಿನಾಶಕಾರಿ ರದ್ದತಿಯು ಒಳಹರಿವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ-ಇದು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಒಳಹರಿವಿನಷ್ಟೇ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ಪುಟ್ಗಳ ದೋಷದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜುಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಗೆ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಅಂದಾಜುಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಗೆ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ದೋಷವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೂ ಸಹ ವಿನಾಶಕಾರಿ ರದ್ದತಿಯು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು, ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ-ಇದು ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂಕಗಣಿತದಂತಹ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಲ್ಲ; ಬದಲಿಗೆ, ಇನ್ಪುಟ್ಗಳು ಸ್ವತಃ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, ಇದು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಇನ್ಪುಟ್ಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಟರ್ಬೆನ್ಜ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ-ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಅಪಾಯದ ರದ್ದತಿಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಹತ್ತಿರದ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಕಲನವು ಅಸಮರ್ಪಕ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಃ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಅಂದಾಜುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಅಂದಾಜುಗಳ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ, ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ದುರಂತ ರದ್ದತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ದೋಷವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ-ಸ್ಟರ್ಬೆನ್ಜ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ರದ್ದತಿಯು ಇತರ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ರೌಂಡಿಂಗ್ನಿಂದ ಉಂಟಾದ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಃ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು, ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂಕಗಣಿತದಿಂದ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಷ್ಕಪಟ ಪ್ರಯತ್ನವು ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ವಿನಾಶಕಾರಿ ರದ್ದತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯವಕಲನವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಸುತ್ತಿನ ದೋಷಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು. ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂಕಗಣಿತದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಪರ್ಯಾಯ ಅಪವರ್ತನವು ದುರಂತದ ರದ್ದತಿಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ಆಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು. ಐ. ಇ. ಇ. ಇ. 754 ಬೈನರಿ64 ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿಲ್ಲದೆ), ಆದರೆ ನಿಷ್ಕಪಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಂಕೆಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರ (ಅಂಡರ್ಲೈನ್ ಮಾಡಲಾದ) ಅಂಕೆಗಳು ಕಾಣೆಯಾದ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ, ಮಧ್ಯಂತರ ವರ್ಗ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದಾಗಿ ಕಳೆದುಹೋಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸಲು ಪ್ರಚೋದಿಸಬಹುದುಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಮತ್ತು; ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕರೆಯಿರಿ-ಬಹಳ ಸಣ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಸುಮಾರು ಶೂನ್ಯ. ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ರೌಂಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಹತ್ತಿರದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು, ಎರಡೂ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ, ಒಂದು ಇನ್ಪುಟ್ನಲ್ಲಿನ ದೋಷವನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ವರ್ಧಿಸಬಹುದು-ಇದು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸುಮಾರು ಶೂನ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದರ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಸರಿಸುಮಾರು ಇದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಐ. ಇ. ಇ. ಇ. 754 ಬೈನರಿ64 ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನೈವ್ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಹದಿನಾರು ಅಂಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಐದು ಅಂಕೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವು (ಅಂಡರ್ಲೈನ್ ಮಾಡಲಾದ) ಎಲ್ಲಾ ಕಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಫಾರ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ರದ್ದತಿಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯವಕಲನವು ರದ್ದುಗೊಳ್ಳದ ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ರಾಡಿಕ್ಸ್ ಪರಿವರ್ತನೆ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದಶಮಾಂಶದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಿ ತುಣುಕು ಡಬಲ್ x = 1.000000000000001; x ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಐ. ಇ. ಇ. ಇ 754 ಬೈನರಿ 64 ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಘೋಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಬೈನರಿ 64 ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ; ಈ ತುಣುಕಿನಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಗುವ ಹತ್ತಿರದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ದಶಮಾಂಶ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ನಿಂದ ಬೈನರಿ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗೆ ಮೂಲಂಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ದುರಂತದ ರದ್ದತಿಯು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡದನ್ನಾಗಿ ವರ್ಧಿಸಬಹುದುಃ ಡಬಲ್ x = 1.000000000000001;// 1 + 5 * 2 ^ {-52} ಡಬಲ್ y = 1.000000000000002;// 1 + 9 * 2 ^ {-52} ಡಬಲ್ z = y-x;// ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಿಖರವಾಗಿ 4 * 2 ^ {-52} ಆಗಿದೆ. x ನಿಂದ ಮತ್ತು y ನಿಂದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷಗಳು ಎರಡೂ ಕೆಳಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ವ್ಯವಕಲನ y-x ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸ್ಟರ್ಬೆಂಜ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳು ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅಂದಾಜುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ದಶಮಾಂಶದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದಂತೆ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ದುರಂತ ರದ್ದತಿಯು ಮೂಲದ್ರವ್ಯದ ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ದೋಷವನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ದೋಷವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸಿತು. ಬೆನೈನ್ ಕ್ಯಾನ್ಸಿಲೇಷನ್ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಡಿಷನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ದೋಷ ಏನೆಂದು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು 2 ಸಮ್ ಮತ್ತು ಫಾಸ್ಟ್ 2 ಸಮ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಎರಡೂ ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷದ ನಂತರ ಅಂತಹ ರದ್ದತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಕಾರ್ಯವು, ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯವು ಹತ್ತಿರದ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ದೋಷವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅದನ್ನು ಶೋಷಣೆಯೆಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ರದ್ದತಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ರದ್ದತಿಯು ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯದ ಬಳಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸ್ಥಿತವಾಗಿದೆ, ಅದು ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ