Möbius configuration
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೋಬಿಯಸ್ ಸಂರಚನೆ ಅಥವಾ ಮೋಬಿಯಸ್ ಟೆಟ್ರಾಡ್ಗಳು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಥವಾ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪರಸ್ಪರ ಕೆತ್ತಲಾದ ಎರಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವು ಇತರ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಮುಖ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಟು ಸಮತಲಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ನಾಲ್ಕು ಸಮತಲಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ (ಮೂರು ಸಮತಲಗಳು ಇದನ್ನು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಇರುವ ಇತರ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮತಲ), ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮತಲವು ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅದರ ಮುಖದ ಮೂರು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಇತರ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನಿಂದ ಶೃಂಗ). ಈ ಸಂರಚನೆಗೆ ಆಗಸ್ಟ್ ಫರ್ಡಿನ್ಯಾಂಡ್ ಮೋಬಿಯಸ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು 1828 ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳು ತಮ್ಮ ಏಳು ಶೃಂಗಗಳು ಇತರ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮುಖ ಸಮತಲಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎಂಟನೇ ಶೃಂಗವು ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಮುಖದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ, ಈ ರೀತಿಯ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಪ್ಪಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಆ ಜಾಗವನ್ನು (ರೀಡೆಮಿಸ್ಟರ್, ಸ್ಕೋನ್ಹಾರ್ಡ್ಟ್) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಘಟನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉಂಗುರವು ಸಂವಹನ ನಿಯಮವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ (ಅಲ್-ಧಾಹಿರ್) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವಿಭಜನೆಯ ಉಂಗುರದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ದ್ವಂದ್ವತೆಯಿಂದ, ಮೊಬಿಯಸ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವು, ಎರಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದ ಎಂಟು ಮುಖ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಏಳು ಇತರ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎಂಟನೇ ಮುಖ ಸಮತಲವು ಅದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಚನೆಯು ಸಂರಚನೆಗೆ ಸರಳವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು p ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, A, B, C, ಮತ್ತು D ಗಳು p ಮೂಲಕ ನಾಲ್ಕು ಸಮತಲಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈ ಸಮತಲಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಛೇದಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಆರು ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ q, r, s, t, u, ಮತ್ತು v ಅನ್ನು ಇರಿಸಿ, ಈ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಮತ್ತು ಡಿ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಏಳು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳು ಪಿ, ಕ್ಯೂ, ಆರ್, ಎಸ್, ಟಿ, ಯು, ಮತ್ತು ವಿ ಆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಅದರಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟಿವೆ; ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಮತ್ತು ಡಿ ಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಮೂಲಕ ಎ ', ಬಿ', ಸಿ 'ಮತ್ತು ಡಿ' ಸಮತಲಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರ, ಮೋಬಿಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ದ್ವಂದ್ವ ರೂಪದಿಂದ, ಈ ನಾಲ್ಕು ಹೊಸ ಸಮತಲಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. p, q, r, s, t, u, v, ಮತ್ತು w ಎಂಬ ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು A, B, C, D, A ', B', C ', ಮತ್ತು D' ಎಂಬ ಎಂಟು ಸಮತಲಗಳು ಮೋಬಿಯಸ್ ಸಂರಚನೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ರಚನೆಗಳು (ಉಲ್ಲೇಖಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಐದು ಸಂರಚನೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಂಟು ಸಮತಲಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಕಾರಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಾಲ್ಕು ಸಮತಲಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆಃ ಅಂತಹ ಸಂರಚನೆಗಳು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವರು ತಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಲೇಖನದಿಂದ ಪಡೆದಿರಬೇಕು. ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಮತ್ತು, ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಐದು ಸಂರಚನೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಎರಡು ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. (ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ನಾನ್-ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಮೂರು ಸಮತಲಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು.) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಇತರ ಹತ್ತು ಸಂರಚನೆಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಹದಿನೈದು ಸಂರಚನೆಗಳು ನೈಜ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಕಾರಗೊಳ್ಳಬಲ್ಲವು. ಆಸಕ್ತಿಯ ಸಂರಚನೆಗಳು ಎರಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇವು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದೊಂದಿಗೆ ಐದು ಸಂರಚನೆಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಐದು ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ S = ABCDಯ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ Sನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದು Pಯು ಎರಡನೇ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ Tಯ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು Tಯ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ, ಇದು Sನ ಸಮತಲದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಇದ್ದು, Sನ ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದು Qಅನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು P → Qಅನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಐದು ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳು ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಇ, (12) (34), (12), (123), (1234) ಮತ್ತು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊಬಿಯಸ್ ಸಂರಚನೆಯು ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಇ. ಇದನ್ನು ಕೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಕೆ ಯ ಪೂರಕ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಂಟು ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಬೆಸದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಸಮ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪೂರಕಗಳು ಕೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ-ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಪೂರಕ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೋಬಿಯಸ್ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ವಿವಾದಾಸ್ಪದವಾಗಿದೆಃ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು "ಪ್ರಮೇಯಗಳು" ಇವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳುಃ ಮೊಬಿಯಸ್ ಸಂರಚನೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು. ಎರಡನೆಯದು (ಇದು ಮೇಲಿನ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಕ್ಕೆ (12) (34) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ) ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಜನಾ ವಲಯಕ್ಕೆ ಅಲ್ಲ. ಎರಡು ಸಂರಚನೆಗಳ ನಡುವೆ ಇತರ ನಿಕಟ ಹೋಲಿಕೆಗಳಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿವೆ. ಅಮೂರ್ತ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ನಂತರದ ಸಂರಚನೆಯು "ಬಿಂದುಗಳು" 0,., 7 ಮತ್ತು "ಸಮತಲಗಳು" 0125 + i, (i = 0,., 7) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಈ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎಂಟು ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು, ಮೋಬಿಯಸ್ನಂತೆ, ಪರಸ್ಪರ ಕೆತ್ತಿದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಎರಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗಿಯೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾವು 0347 ಮತ್ತು 1256 ಆಗಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎರಡು ಸಂರಚನೆಗಳು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದವು, ಏಕೆಂದರೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ನಾಲ್ಕು ಜೋಡಿ ಬೇರ್ಪಡುವ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಎರಡನೆಯದು ಬೇರ್ಪಡುವ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ (ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಚತುರ್ಭುಜ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ), ಮೋಬಿಯಸ್ ಸಂರಚನೆಯು ನಂತರದ ಸಂರಚನೆಗಿಂತ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಹೆಚ್ಚು ಚತುರ್ಭುಜ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿದೆ. ಮೋಬಿಯಸ್ ಸಂರಚನೆಯ ಲೆವಿ ಗ್ರಾಫ್ 16 ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಸಂರಚನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು ಅಥವಾ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಂದು, ಪ್ರತಿ ಆಪಾದಿತ ಬಿಂದು-ಸಮತಲ ಜೋಡಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು 16-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ಯೂ4 ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಕೆತ್ತಿದ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೊಬಿಯಸ್-ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಂರಚನೆಯು, ಅದರ ಲೆವಿ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಕ್ಯೂ 4 ರ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ ಮೊಬಿಯಸ್-ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. .. .. .. ಗೆಸಾಮೆಲ್ಟೆ ವರ್ಕೆಯಲ್ಲಿ (1886), ಸಂಪುಟ. 1, pp. 439-446. .. .. .. .. ಸಂರಚನೆಗಳು (ಜ್ಯಾಮಿತಿ)