Hahn polynomials
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಾನ್ ಬಹುಪದಗಳು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅಸ್ಕಿ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು 1875ರಲ್ಲಿ ಪಾಫ್ನ್ಯೂಟಿ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ವೋಲ್ಫ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ಹಾನ್ ಪುನಃ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಹಾನ್ ವರ್ಗವು ಹಾನ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಮೀಕ್ಸ್ನರ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಕ್ರಾವ್ಟ್ಚೌಕ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಚಾರ್ಲಿಯರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಹಾನ್ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೆಸರಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹಾನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಈ ಬಹುಪದಗಳ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹಾನ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿವರವಾದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಈ ಬಹುಪದಗಳು ಸ್ಕೇಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಹುಪದಿಗಳಲ್ಲಿ ಡ್ಯುಯಲ್ ಹಾನ್ ಬಹುಪದಿಗಳು Rn (x; γ, δ, N), ನಿರಂತರ ಹಾನ್ ಬಹುಪದಿಗಳು pn (x, a, b,), ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಹಾನ್ ಬಹುಪದಿಗಳು Sn (x; a, b, c) ಸೇರಿವೆ. ಈ ಬಹುಪದಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ q-ಅನಲಾಗ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿಯತಾಂಕ q ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ q-ಹಾನ್ ಬಹುಪದಿಗಳು Qn (x; α, β, N; q), ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಅಲ್ಲಿ δx, y ಎಂಬುದು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು. ಇತರ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ರಾಕಾ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ಹಾನ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ.