Von Neumann paradox
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು, ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ನಂತಹ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಒಳಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಅಂಕಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು 1929 ರಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರು ಸಾಬೀತಾಯಿತು, ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಊಹಿಸಿದರು. ಇದು ಹಿಂದಿನ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮತ್ತು ಪುನಃ ಜೋಡಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೂಲ ಆಕೃತಿಯಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದರು. ಇದು ಒಂದರಿಂದ ಎರಡು ಏಕಮಾನದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದನ್ನು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ತಂತ್ರವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅರಿತುಕೊಂಡರು, ಅದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಎರಡು ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಣಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು (ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ವಿಶೇಷ ಅಫೈನ್ ಗುಂಪು) ಅಂತಹ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಈ ಕೆಳಗಿನವು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ವಿಧಾನದ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಗುರುತಿನ ಅಂಶದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿಲ್ಲದ σ ಮತ್ತು τ ಎಂಬ ಎರಡು ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು H ಅನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಲವು n ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ s ಮತ್ತು s ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಬಹುಶಃ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ನಾವು ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದುಃ ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಗೆ σ ಯಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವವು (ನಾವು ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು A ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ) ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಶಕ್ತಿಗೆ τ ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವವು (ಅಂದರೆ, ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ-ನಾವು ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು B ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಗುರುತನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ). ನಾವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ 2-ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ H ನ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಕಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಕಕ್ಷೆಯಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಂ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಎಚ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಎಚ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಎಂನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು (ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ನಿಖರವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಎ ಅಥವಾ ಬಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಎಂ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಆದರೆ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಥವಾ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಂತಹ ಕೆಲವು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅದರೊಳಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಸಣ್ಣ ಚೌಕ. ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಹಲವಾರು ಪ್ರತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಆವರಿಸಬಹುದು, ಆದರೂ ಕೆಲವು ಅಂಕಗಳು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರತಿಗಳಿಂದ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಪ್ರತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯೋಣ. ನಾವು ಈಗ ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಣಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೊಡ್ಡ ಅಂಕಿ-ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಅದರ ಒಳಭಾಗದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದೊಂದಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡೋಣ. ಚೌಕದ ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದಲ್ಲಿರಲು ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಭಾಷಾಂತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ στ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಅವರನ್ನು ಬಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಬಿ ಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ σ2 ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವರು ಈಗ ಇನ್ನೂ ಬಿ ನಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಈ ಅಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ಹಿಂದಿನ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. C2 ನಿಂದ A ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ σ3τ ಅನ್ನು (ಅದನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ) ಮತ್ತು ಅದರ B ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ σ4 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಅಂಕಿ ಅಂಶದಿಂದ (ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ತುಂಬಾ ದೂರದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿ ರೀತಿಯ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಅಂಕಿ ಅಂಶದೊಳಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಎ ಟೈಪ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಎರಡನೇ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ಯಾಂಟರ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಶ್ರೋಡರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ನಮಗೆ ಹೇಳುವಂತೆ, ಸೆಟ್ ಡಿ ಯಿಂದ ಇ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಇದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ದೊಡ್ಡ ಅಂಕಿ ಅಂಶದಿಂದ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎ ಪ್ರಕಾರದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ), ಮತ್ತು ಇ ಯಿಂದ ಡಿ ಗೆ ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಇದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎ ಪ್ರಕಾರದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್), ನಂತರ ಡಿ ಮತ್ತು ಇ ನಡುವೆ ಒಬ್ಬರಿಗೊಬ್ಬರು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಅಂಕಿ ಅಂಶದಿಂದ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಹೊಂದಿರುವ ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಅಂಕಿ ಅಂಶದಿಂದ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಎ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ (ಬೈಜೆಕ್ಷನ್) ಮಾಡಬಹುದು. (ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತರರಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಅಂತೆಯೇ ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಅಂಕಿ ಅಂಶದಿಂದ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿ ಬಿಂದುಗಳವರೆಗೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಾಗ, ನಾವು ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಅದರ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ)! ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದರಂತಹ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸುತ್ತ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಚೌಕದ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಲಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಖಾಲಿ ಒಳಾಂಗಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸುತ್ತುವರಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಫೈನ್ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಳತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ. ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, "ಇನ್ಫೋಲ್ಜೆಡೆಸೆನ್ ಗಿಬ್ಟ್ ಎಸ್ ಡೆರ್ ಎಬೆನೆ ಕೀ ನಿಕ್ಟ್ನೆಗೇಟಿವ್ಸ್ ಅಡಿಟಿವ್ಸ್ ಮಾಸ್ (ವೋ ದಾಸ್ ಐನ್ಹೈಟ್ಸ್ಕ್ವಾಡ್ರಾಟ್ ದಾಸ್ ಮಾಸ್ 1 ಹ್ಯಾಟ್), ದಾಸ್ [sic] ಜೆಜೆನ್ಯೂಬರ್ ಅಲೆನ್ ಅಬಿಲ್ಡುಂಗೆನ್ ವಾನ್ ಎ 2 ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವೇರ್". "ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಈಗಾಗಲೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜಕ ಅಳತೆ ಇಲ್ಲ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಘಟಕ ವರ್ಗವು 1 ರ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಇದು A2 [ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ] ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ". ಇದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಿಸಲು, ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿರುವ ಸೀಮಿತವಾದ ಸಂಯೋಜಕ ಅಳತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಯಾವ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸೆಟ್ಗಳ ಬನಾಚ್ ಅಳತೆ, ಅನುವಾದಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಿದರೂ ಸಹ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಎರಡು ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅದನ್ನು ನಾವು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಎರಡೂ ಸೆಟ್ಗಳು ಎರಡು ಹೊಸ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಿ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಬಹುದು. ಹೊಸ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಹಳೆಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಎರಡು ಸಮೂಹಗಳು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ "ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ" ಅಳತೆ ಇಲ್ಲ. ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತುಃ ಇವು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪುಗಳು, ಅಥವಾ ಬದಲಾಗದ ಸರಾಸರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳು, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮತೋಲನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಗಳಿಗಾಗಿ ಬಳಸುವ ಗುಂಪು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದಾಗ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಪ್ರಗತಿಯಾದ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧವು ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) (ವ್ಯಾಗನ್, ಪ್ರಶ್ನೆ 7,4) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕಮಾನ ಚೌಕದ ಒಳಭಾಗದ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತೆರೆದಿಟ್ಟಿದೆ. 2000 ರಲ್ಲಿ, ಮಿಕ್ಲೋಸ್ ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ ಅಂತಹ ವಿಭಜನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 'ಎ' ಎಂಬುದು ಖಾಲಿ ಒಳಾಂಗಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಮೂಲದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಸುತ್ತುವರಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು 'ಬಿ' ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಮುಚ್ಚಯಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದು, ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕರ ಒಕ್ಕೂಟವು ಮೂಲದ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎ ಕುಟುಂಬದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್)-ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಬಿ ಯಲ್ಲಿನ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ. ಇದು ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಮೂಹ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು