Lie product formula
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೋಫುಸ್ ಲೈ (1875) ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಲೈ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವು, ಆದರೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಟ್ರಾಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೇಲ್ ಟ್ರಾಟರ್ನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ m × m ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ A ಮತ್ತು B ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ eA ಎಂಬುದು A ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲೈ-ಟ್ರಾಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಟ್ರಾಟರ್-ಕ್ಯಾಟೊ ಪ್ರಮೇಯವು ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರಾದ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಘಾತೀಯ ನಿಯಮದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಮತ್ತು B ಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತಾಂಕದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಿಯಮವು ಇನ್ನೂ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು A ಮತ್ತು B ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂವಹನ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೈ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ, ಸಂಚಾರ ಮಾಡದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೂ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಲೈ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವು ಬೇಕರ್-ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಘಾತೀಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ, ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ. ಇದು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಎವಲ್ಯೂಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ (ಪ್ರೊಪೇಗೇಟರ್) ಅನ್ನು ಚಲನಶೀಲ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಏರಿಕೆಗಳಾಗಿ (ಟ್ರಾಟರ್ ಮತ್ತು ಮಾಸುವೊ ಸುಜುಕಿಯ ನಂತರ ಸುಜುಕಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ವಿಭಜನೆ) ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇದೇ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಫೇನ್ಮನ್-ಕಾಕ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಲೈ ಉತ್ಪನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಿ0-ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ಗಳ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಟ್ರಾಟರ್-ಕ್ಯಾಟೊ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸೋಫಸ್ ಲೈ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಎಂಜೆಲ್ (1888,1890,1893) ಅವರ ಸಮಯ-ವಿಕಸನದ ಬ್ಲಾಕ್ ಡೆಸಿಮೇಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಥಿಯೋರಿ ಡೆರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮೇಷನ್ಸ್ಗ್ರುಪ್ಪೆನ್ (1 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಲೀಪ್ಜಿಗ್; 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಎಎಂಎಸ್ ಚೆಲ್ಸಿಯಾ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್, 1970). , ಪು. 99. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸುಳ್ಳು ಗುಂಪುಗಳು