Octal game
ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳು ಟೋಕನ್ಗಳ ರಾಶಿಗಳಿಂದ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು (ಆಟದ ತುಣುಕುಗಳು ಅಥವಾ ಕಲ್ಲುಗಳು) ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರ ಆಟಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಿಮ್, ಕೇಯ್ಲೆಸ್ ಮತ್ತು ಅಂತಹುದೇ ಆಟಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಲನೆಯೂ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನಿಗೂ ಲಭ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ ಟೋಕನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು (ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಸಂಪೂರ್ಣ ರಾಶಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು, ರಾಶಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ರಾಶಿಯನ್ನು ಎರಡು ರಾಶಿಯಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ನಿಯಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಆಕ್ಟಲ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋಡಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಆಟ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆ ಒಂದು ಅಷ್ಟಕ ಆಟವನ್ನು ರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಚಲನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾಗದವರೆಗೂ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು ಸರದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಲನೆಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ರಾಶಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ರಾಶಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು, ಯಾವುದೇ ರಾಶಿಯನ್ನು ಬಿಡದಿರುವುದು, ಕೆಲವು ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕದಿರುವುದು, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ರಾಶಿಯನ್ನು ಬಿಡುವುದು, ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ಎರಡು ಖಾಲಿ ರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು. ಆಯ್ದ ರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ರಾಶಿಗಳು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಟದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಆಟಗಾರನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ಈ ಆಟವನ್ನು ಮಿಸೆರೆ ಆಟದಲ್ಲಿಯೂ ಆಡಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಆಟಗಾರನು ಸೋಲುತ್ತಾನೆ. ಈ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಡಲಾಗುವ ಆಟಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ರಾಶಿಗೆ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಮೂಲ ರಾಶಿಗಳ ಗಾತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಟೇಕಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಆಟಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಮುರಿಯುವ ಆಟಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ರಾಶಿಯಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಟೋಕನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಟಕ್ಕೆ ಅಷ್ಟಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು 0 ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡಿ1 ಡಿ2 ಡಿ3 ಡಿ4., ಅಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟಕ ಅಂಕಿ ಡಿಎನ್ ಆಟಗಾರನು ಒಂದು ರಾಶಿಯಿಂದ ಎನ್ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ ಶೂನ್ಯ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ರಾಶಿಯನ್ನು ಬಿಡಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ ಅಂಕಿಯ ಡಿಎನ್ 1 ರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 0; ಒಂದು ರಾಶಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ 2 ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 0; ಮತ್ತು ಎರಡು ರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ 4 ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 0. ಶೂನ್ಯ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ರಾಶಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, n ಟೋಕನ್ಗಳ ರಾಶಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದರೆ, ಡಿ. ಎನ್. ಅಂಕಿಯು ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಎನ್ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು-ರಾಶಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿವರಣೆಯು ಎನ್ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ರಾಶಿಯಿಂದ ಎನ್ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಎನ್ ನಲ್ಲಿ ಎರಡು-ರಾಶಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಎನ್ + 2 ರ ರಾಶಿಯಿಂದ ಎನ್ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಎರಡು ಖಾಲಿ ರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ 4ನೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕದೆ ರಾಶಿಯನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳು ಅವಕಾಶ ನೀಡಬಹುದು. ಇದು ಗ್ರಂಡಿಯ ಆಟದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ರಾಶಿಯನ್ನು ಎರಡು ಅಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟದ ಸಂಕೇತವು ಅಸಮಾನ ಭಾಗಗಳ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳನ್ನು ಫೈನೈಟ್ ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳು ನಿಮ್ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತವಾದ ಆಟವೆಂದರೆ ನಿಮ್, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ರಾಶಿಯಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದು ರಾಶಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ನಿಮ್ಗೆ ಅಷ್ಟಕ ಸಂಕೇತವು 0.333 ಆಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಕಟಿತ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಭಾಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ದಶಮಾಂಶದಂತೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಭಾಗವು ಆಕ್ಟಲ್ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆಟಗಳು ಮತ್ತು ಆಕ್ಟಲ್ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಯ್ಲೆಸ್ ಆಟವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎನ್ ಪಿನ್ಗಳ ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಡುವಂತೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಎನ್ ಕೌಂಟರ್ಗಳ ರಾಶಿಯಿಂದ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ಶೂನ್ಯ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ರಾಶಿಯಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಯ್ಲೆಸ್ನ ಆಕ್ಟಲ್ ಕೋಡ್ 0.77 ಆಗಿದೆ. ಡಾಸನ್ 'ಸ್ ಚೆಸ್ ಡಾಸನ್' ಸ್ ಚೆಸ್ ಎಂಬುದು ಥಾಮಸ್ ರೇನರ್ ಡಾಸನ್ ಅವರು 1938ರಲ್ಲಿ ಕೈಸ್ಸಾ 'ಸ್ ವೈಲ್ಡ್ ರೋಸಸ್ನಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಿದ ಚದುರಂಗದ ಒಗಟುಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಆಟವಾಗಿದೆ. ಒಗಟು ಒಂದೇ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾದ ವಿರುದ್ಧ ಸಾಲುಗಳ ಪ್ಯಾದೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಗಟುಗಳನ್ನು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ ಆಟವೆಂದು ಬಿಂಬಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವಿಕೆಯು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯು ಆಟಗಾರನು ಯಾವುದೇ ಕಡತದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವುದರಿಂದ ಆ ಕಡತವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರನ್ನು (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ) ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಮಾತ್ರ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಎದುರಾಳಿ ಆಟಗಾರನು ಚಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎನ್ ಟೋಕನ್ಗಳ ರಾಶಿಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಿ, ಆಟಗಾರನು ಒಂದು, ಎರಡು, ಅಥವಾ ಮೂರು ಟೋಕನ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ರಾಶಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ರಾಶಿಯನ್ನು ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಟೋಕನ್ಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅಥವಾ ಮೂರು ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ ರಾಶಿಯನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಡಾಸನ್ನ ಚೆಸ್ಅನ್ನು ಆಕ್ಟಲ್ ಕೋಡ್ 0.137 ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಡಾಸನ್ಸ್ ಕೆಯ್ಲ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ 0.7 ಆಟದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ರಾಶಿಯಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಟೋಕನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ಶೂನ್ಯ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ರಾಶಿಯಾಗಿ ವಿತರಿಸುವುದು ಒಂದು ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಡಾಸನ್ನ ಕೆಯ್ಲ್ಸ್ಅನ್ನು ಡಾಸನ್ನ ಚೆಸ್ಗೆ (ಸ್ಪಷ್ಟವಲ್ಲದ) ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಡಾಸನ್ನ ಕೆಯ್ಲೆಸ್ನ n + 1 ಟೋಕನ್ಗಳ ರಾಶಿಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಾಸನ್ನ ಚೆಸ್ ರಾಶಿಯಾದ n ಟೋಕನ್ಗಳಂತೆಯೇ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಡಾಸನ್ನ ಕೇಯ್ಲ್ಸ್ ಡಾಸನ್ನ ಚೆಸ್ನ ಮೊದಲ ಸೋದರಸಂಬಂಧಿ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ ನಂತಹ ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳಂತಹ ಇತರ ಬೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಚಲನೆ ಒಂದು ರಾಶಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದು ರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ವಾಟರ್ನರಿ ಆಟಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಂಕೆಗಳು 0,1,2 ಮತ್ತು 3 ಮಾತ್ರ. ಅಷ್ಟಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಆಟಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಹ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂಕೆಗಳು ರಾಶಿಯನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಬೇಸ್ಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನರಿ, ಆಕ್ಟಲ್ ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಆಟಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಈ ವರ್ಗಗಳ ಆಟಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಬೇಸ್ಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಪಡೆದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಮ್-ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಸ್ಪ್ರಾಗ್-ಗ್ರುಂಡಿ ಪ್ರಮೇಯವು n ಗಾತ್ರದ ರಾಶಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಾತ್ರದ ನಿಮ್ ರಾಶಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ G (n) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಷ್ಟಕ ಆಟದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ನಂತರ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಗಾತ್ರದ ರಾಶಿಗಳಿಗೆ ನಿಮ್-ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಜಿ (0), ಜಿ (1), ಜಿ (2). ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಟದ ನಿಮ್-ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಅಷ್ಟಕ ಆಟಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾದ ನಿಮ್-ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೋರಿಸಿವೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಅಷ್ಟಕ ಆಟಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರಿಚರ್ಡ್ ಗೈ ಅವರು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಟಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಗಣನೆಯ ದಾಖಲೆಗಳು ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಅದರ ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಮ್-ಅನುಕ್ರಮದ ಪೂರ್ವಾವಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತದ ಆಟಗಳ ವಿನ್ನಿಂಗ್ ವೇಸ್ನಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಅಷ್ಟಕ ಆಟವು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಮ್-ಅನುಕ್ರಮದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಗಳಿಗೆ ಬಾಗಿಲು ತೆರೆಯಿತು. ಗರಿಷ್ಠ 3 ಆಕ್ಟಲ್-ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳನ್ನು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. 79 ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಆಕ್ಟಲ್ ಆಟಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 14ನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆಃ 1967ರಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಕ್ ಕೆನ್ಯಾನ್ ಅವರಿಂದ............................................................................................................................................................................... ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ಆಟಗಳು