Resolution (algebra)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ (ಅಥವಾ ಎಡ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್; ದ್ವಿಮುಖವಾಗಿ ಒಂದು ಕೋರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅಥವಾ ಬಲ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್) ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುಗಳ), ಇದನ್ನು ಈ ವರ್ಗದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬಾಣಗಳು ಬಲಕ್ಕೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅನುಕ್ರಮವು (ಎಡ) ನಿರ್ಣಯಗಳಿಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲ ನಿರ್ಣಯಗಳಿಗೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಅನಂತವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೀಮಿತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಎಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ವಸ್ತುಗಳು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವು; ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದ ವಸ್ತು (ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಿಗಾಗಿ) ಅಥವಾ ಬಲಭಾಗದ ವಸ್ತು (ಕೋರೆಸಲ್ಯೂಷನ್ಗಳಿಗಾಗಿ) ಶೂನ್ಯ-ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಪಿ ಅನ್ನು ಹೊಂದಲು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವುದು). ಹೀಗಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಪಿ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಉಚಿತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಫ್ಲಾಟ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಅಥವಾ ಫ್ಲಾಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ ಪ್ರತಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸರಿಯಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಂನ ಎಡ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್) ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಅನಂತ) ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಗಡಿ ನಕ್ಷೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಕ್ಷೆ ε ಅನ್ನು ವರ್ಧನೆಯ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಿಯಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ (ಅಥವಾ ಕೋರೆಸಲ್ಯೂಷನ್, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್) ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸರಿಯಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಎಂಬುದು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಅನಂತ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಿಐ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ (ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನ ದ್ವಂದ್ವ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಗಳು). ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಎ (ಕೋ) ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನ ಉದ್ದವು ಸೀಮಿತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸೂಚ್ಯಂಕ n ಆಗಿದೆ. ಉಚಿತ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್, ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಫ್ಲಾಟ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂನ ಉಚಿತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಎಡ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಗಿದ್ದು ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಉಚಿತ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಫ್ಲಾಟ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು ಎಡ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲಾ ಇಐಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಫ್ಲಾಟ್ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು ಸರಿಯಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಿ. ಐ. ಗಳು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮುಕ್ತ ಎಡ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಪ್ರತಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಫ್ಲಾಟ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. E0 ಅನ್ನು M ನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಚಿತ R-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ E1 ಅನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯ E0 → M ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಕರ್ನಲ್ನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಚಿತ R-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಇದರ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಟಾರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಫ್ಲಾಟ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು) ಬಳಸಬಹುದು. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಚೈನ್ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಾದ ಪಿ0 → ಎಂ ಮತ್ತು ಪಿ1 → ಎಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಚೈನ್ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಿರ್ಣಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ನ ಸೀಮಿತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ನ ಕನಿಷ್ಠ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು pd (M) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಂ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಲೋಕಲ್ ರಿಂಗ್ R ಗೆ, R ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು R ನ ಕ್ರಲ್ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಆಯಾಮವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮ ID (M) ಮತ್ತು ಫ್ಲಾಟ್ ಆಯಾಮ fd (M) ಅನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆರ್ಗೆ ಸರಿಯಾದ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಏಕರೂಪದ ಆಯಾಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ದುರ್ಬಲ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಆಯಾಮಗಳ ವರ್ತನೆಯು ಉಂಗುರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಅರೆ-ಸರಳವಾದ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸರಿಯಾದ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ದುರ್ಬಲ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರೇಡೆಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳು ಎಂ ಅನ್ನು ಗ್ರೇಡೆಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಗ್ರೇಡೆಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಇದು ಅದರ ಧನಾತ್ಮಕ ಹಂತದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಂ ಒಂದು ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾದ ಐ ಅನ್ನು ಡಿಐ ಮತ್ತು ε ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಬಹುದು. ಈ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಣಯಗಳಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಣಯಗಳು ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಇ. ಐ. ಯ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಣಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಇಐ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. I ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, I ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ಕ್ಯಾಸ್ಟೆಲ್ನುವೊವೊ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಪೂರ್ಣಾಂಕ r ಆಗಿದ್ದು, ಕನಿಷ್ಠ ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನಲ್ಲಿ Ei ಯ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳು r-i ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನಿನ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಕೊಸ್ಝುಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣದಿಂದ ಅಥವಾ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. X ಒಂದು ಅಸ್ಪೆರಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕವರ್ E ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ E ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕವಚನ (ಅಥವಾ ಸರಳ) ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣವು Z ರಿಂಗ್ Z ನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಗುಂಪು ರಿಂಗ್ Z [π1 (X)] ನ ಮೇಲೆಯೂ ಸಹ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ Z ನ ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿನ ನಿರ್ಣಯಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಎ ಯಲ್ಲಿ ಎಂ ವಸ್ತುವಿನ ನಿರ್ಣಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಐ ಮತ್ತು ಸಿ ಐ ಗಳು ಎ ನಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳು, ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನಕ್ಷೆಗಳು ಎ ನಲ್ಲಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಣಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಎ ಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಎ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ರೆಸ್ಪ್. ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್) ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್, ನಂತರ ಎ ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳನ್ನು (ರೆಸ್ಪ್) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳು). ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಣಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ M → M 'ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯಾವುದೇ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಿಲ್ಲದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಿಲ್ಲದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವು ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಸೀವ್ಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಕೋಶವು ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಎರಡೂ ಪದಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಗಣನೆಗಳಿಗೆ ಎರಡೂ ವರ್ಗದ ಸೀವ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನ ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ಎಡ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಫ್ಃ ಎ → ಬಿ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪಡೆದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಾದ ಆರ್ಐಎಫ್ (ಎನ್) ಎಲ್ಲಾ ಐ> 0 ಮತ್ತು ಎನ್ ≤ 0 ಗಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ, ಎ ವಸ್ತುವಿನ ಎಂನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಎಫ್-ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ, ಎಡ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಬಲ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸರಿಯಾದ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಮೋಡ್ (ಆರ್) → ಮೋಡ್ (ಆರ್) ಆಗಿದೆ. ಈ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಪ್ರತಿ ಎಂ ನಿಂದ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುವ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು ಹೋಮ್ (⋅, M) ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುವವು ಹೋಮ್ (M, ⋅) ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್) ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಯಾವುದೇ ಎಡ ನಿಖರವಾದ (ಬಲ ನಿಖರವಾದ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ) ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಎಫ್-ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು, ಎಫ್-ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳ ಹೋಮೋಲಜಿಯಿಂದ ಪಡೆದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಾದ ಆರ್ಐಎಫ್ (ಎಡ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ನ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಬಲ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಎಲ್ಐಎಫ್) ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿದೆಃ ಎಂ ವಸ್ತುವಿನ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಬಲಭಾಗವು ಸಂಕೀರ್ಣದ ಐ-ಥ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ Mಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೀಫ್ R ಅನ್ನು ನಯವಾದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರೂಪಗಳ ಸೀವ್ಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದುಃ ಸೀವ್ಗಳು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಸೀವ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಇವು ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗದ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುವ ಶೀಫ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ಗೊಡೆಮೆಂಟ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಬರ್ಚ್ ಪ್ರಮೇಯ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಿಜಿಜಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಉಚಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ (ಬೀಜಗಣಿತ) ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ