Superellipsoid
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ (ಅಥವಾ ಸೂಪರ್-ಎಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್) ಒಂದು ಘನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗಗಳು ಅದೇ ಸ್ಕ್ವೇರ್ನೆಸ್ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸ್ (ಲ್ಯಾಮ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು) ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಅದರ ಲಂಬ ವಿಭಾಗಗಳು ಸ್ಕ್ವೇರ್ನೆಸ್ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಆದಿಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಅಲನ್ ಎಚ್. ಬಾರ್ ಅವರು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು (ಅವರು ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಟೊರೊಯಿಡ್ಸ್ ಎರಡನ್ನೂ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು "ಸೂಪರ್ಕ್ಯಾಡ್ರಿಕ್ಸ್" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಬಳಸಿದರು). ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ ಮತ್ತು ರೊಬೊಟಿಕ್ಸ್ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಸೂಪರ್ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸೂಪರ್ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಆಕಾರವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯೂಬಾಯ್ಡ್ಗಳು, ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳು, ಎಲಿಪ್ಸಾಯ್ಡ್ಗಳು, ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸಾಯ್ಡ್ಗಳು ಶ್ರೀಮಂತ ಆಕಾರದ ಶಬ್ದಕೋಶವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ, ರೊಬೊಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪ್ರಮುಖ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿದೆ. ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಸರವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದರ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡು ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಮೊತ್ತದ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಇದು ರೋಬೋಟ್ ಗ್ರಹಿಕೆ, ಘರ್ಷಣೆ ಪತ್ತೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಯೋಜನೆಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಪರ್ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ದೃಶ್ಯೀಕರಣ, ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಚೇತರಿಕೆಗಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಬೆರಳೆಣಿಕೆಯಷ್ಟು ಗಮನಾರ್ಹ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು, ಇವುಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಸ್ಫಿಯರ್ ಸ್ಟೈನ್ಮೆಟ್ಜ್ ಘನ ಬೈಕೋನ್ ನಿಯಮಿತ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಕ್ಯೂಬ್, ಘಾತಾಂಕಗಳು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಪಿಯೆಟ್ ಹೈನ್ನ ಸೂಪರೆಗ್ಗಳು ಸಹ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಸೂತ್ರಗಳು ಮೂಲ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ) ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಮೂಲ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಆಕಾರದ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಬಿಂದುವು ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ನ ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಇದ್ದರೆ. ಸೂಪರ್ಎಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ನ ಯಾವುದೇ "ಅಕ್ಷಾಂಶದ ಸಮಾನಾಂತರ" ವು (-1 ಮತ್ತು + 1ರ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ zನಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗ) ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲ್ಯಾಮ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ "ರೇಖಾಂಶದ ಮೆರಿಡಿಯನ್" (ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಲಂಬ ಸಮತಲದಿಂದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ) ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲ್ಯಾಮ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ವಿಭಾಗಿಸುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಅಂಶದಿಂದ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮತಲ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳು ವೃತ್ತಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಮತಲ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಲ್ಯಾಮೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುವ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಘನೀಕರಣದ ಘನವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಮೂಲ ಆಕಾರವು ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ −1 ರಿಂದ + 1 ರವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೂಲ ಆಕಾರವನ್ನು, ಅಂದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಘನದ ಅರೆ-ವ್ಯಾಸದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವು. ಅಂತೆಯೇ, ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಬಿಂದುವು ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ನ ಒಳಗೆ ಇಫ್, ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಇಫ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ನ ಒಳಗಿನ-ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ನಿಯತಾಂಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ ಮತ್ತು ರೋಬೋಟಿಕ್ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, 3ಡಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಂಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ, ವಿಶ್ವ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಡ್ಡಿದ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ವಿಶ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ರೂಪಾಂತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಆವೃತವಾದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಚ್ಚಾ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಕ್ಲೌಡ್, ಮೆಶ್, ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವೋಕ್ಸೆಲ್ಗಳು) ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ (ಅಥವಾ ಸೂಪರ್ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುವುದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ, ರೊಬೊಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಗಣನೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಮಾಡುವ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇದರ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ವಿಶ್ವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಫ್ರೇಮ್ನ ಭಂಗಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಎರಡು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಾ ಇನ್ಪುಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಚೇತರಿಸಿಕೊಂಡ ಸೂಪರ್ಎಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯವು ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ನಡುವಿನ ರೇಡಿಯಲ್ ಅಂತರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇಎಂಎಸ್ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಶಬ್ದ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಚೇತರಿಕೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಮರುರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿನಿಮಾವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ತಂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಬಾರ್, "ಸೂಪರ್ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಂಗಲ್-ಪ್ರಿಸರ್ವಿಂಗ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮೇಷನ್ಸ್", ಐ. ಇ. ಇ. ಇ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಪುಟ. 1, ಇಲ್ಲ. 1, ಪು. 11-23, ಜನವರಿ 1981, ಡೋಯಿಃ 10.1109/MCG.1981.1673799. ಅಲೆಸ್ ಜಾಕ್ಲಿಕ್, ಅಲೆಸ್ ಲಿಯೊನಾರ್ಡಿಸ್, ಫ್ರಾಂಕ್ ಸೊಲಿನಾ, ಸೆಗ್ಮೆಂಟೇಶನ್ ಅಂಡ್ ರಿಕವರಿ ಆಫ್ ಸೂಪರ್ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್. ಕ್ಲೂವರ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್, ಡೋರ್ಡ್ರೆಕ್ಟ್, 2000. ಅಲೆಶ್ ಜಾಕ್ಲಿಕ್, ಫ್ರಾಂಕ್ ಸೊಲಿನಾ (2003) ಮೊಮೆಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಸೂಪರೆಲ್ಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಸ್ ಅಂಡ್ ದೇರ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಟು ರೇಂಜ್ ಇಮೇಜ್ ರಿಜಿಸ್ಟ್ರೇಶನ್. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಪುರುಷರು ಮತ್ತು ಸೈಬರ್ನೆಟಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಐ. ಇ. ಇ. ಇ. ವರ್ಗಾವಣೆಗಳು, 33 (4). ಪಿಪಿ. 648-657 ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಲಿಯು, ವೈ. ವು, ಎಸ್. ರುಯಾನ್ ಮತ್ತು ಜಿ. ಎಸ್. ಚಿರಿಕ್ಜಿಯಾನ್, "ರೋಬಸ್ಟ್ ಅಂಡ್ ಏಕ್ಯುರೇಟ್ ಸೂಪರ್ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ರಿಕವರಿಃ ಎ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಸ್ಟಿಕ್ ಅಪ್ರೋಚ್", 2022 ಐಇಇಇ/ಸಿವಿಎಫ್ ಕಾನ್ಫರೆನ್ಸ್ ಆನ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಷನ್ ಅಂಡ್ ಪ್ಯಾಟರ್ನ್ ರೆಕಗ್ನಿಷನ್ (ಸಿವಿಪಿಆರ್), ನ್ಯೂ ಓರ್ಲಿಯನ್ಸ್, ಎಲ್ಎ, ಯುಎಸ್ಎ, 2022, ಪುಟಗಳು. 2666-2675, ಡೋಯಿಃ 10.1109/CVPR52688.2022.00270. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿಃ ಸೂಪರ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸೂಪರ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಗ್ಲೈಫ್ಸ್ ಸೂಪರ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಎಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ಸ್ ಮತ್ತು ಟೊರೊಯಿಡ್ಸ್, ಓಪನ್ಜಿಎಲ್ ಲೈಟಿಂಗ್, ಮತ್ತು ರಾಬರ್ಟ್ ಕ್ರಾಗ್ಲರ್ ಅವರ ಟೈಮಿಂಗ್ ಸೂಪರ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ಸ್, ದಿ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಷನ್ಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್. ಪೈಥಾನ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಕವರಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ ರೋಬೋಟಿಕ್ಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ