Projective object
ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುವಿನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುವಿನ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ವಸ್ತುವಿನದ್ದಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅಪರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ, ಅಂತಹ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಚಲಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಂಶಗಳು ಪ್ರತಿ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ. ಸಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತು ಎಕ್ಸ್ಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೋಮ್ ಫಂಕ್ಟರ್ (ಕೋರ್ ಪ್ರೆಸೆಂಟಬಲ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಷರತ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳು ಸಿ ವರ್ಗವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗ, ಆಗ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಬ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವಿಗೂ, ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು P ಯಿಂದ A ಗೆ ಒಂದು ಅಪರೂಪತೆ ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಉದ್ದೇಶವು ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಅಂದರೆ, ವಸ್ತುಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿರುವ (ಉದ್ದ) ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮ. ನಿರ್ಬಂಧಿತ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕತೆಯು ದ್ವಿ-ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ (ಮತ್ತು ದ್ವಿಮುಖವಾಗಿ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು) ವಸ್ತುಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ "ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳು" ಮತ್ತು "ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ" ಜೋಡಿ ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಉಪವರ್ಗಗಳು ಯಾವುದೇ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂಬ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಕೆಲವು ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ (ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಸ್ಥಿರ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ನಂತರ ಒಂದು ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಪಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಹೋಮ್ (ಪಿ,-) ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಸ್ಥಿರ ವರ್ಗವನ್ನು (ಎಲ್ಲಾ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ) ಸೆಟ್ಗಳ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎರಡು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳ ಸಹಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುವಿನ ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳು ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಗುರುತಿನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. (ಅಬೆಲಿಯನ್) ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ-ಎಡ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಮಾಡ್. - ಮೋಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ವತಃ-ಮೋಡ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ,-ಮೋಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ವಸ್ತುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಎಡ (ಬಲ)-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಎಡ (ಬಲ)-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ, ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ)-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು). ನಂತರ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ನೀಡಿದ ಸರಳೀಕೃತ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೋಚನಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ 1 ರಷ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು), ಅಪರೂಪತೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ದಟ್ಟವಾದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಜಾಗವು ಏಕೈಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸಂಕೋಚನಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿರುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳಿವೆ. ಸಂಕೋಚನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ (ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಕ್ಷೆಗಳು "ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗಳು"), ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ-ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು 'ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಸ್ (ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ)