Grothendieck spectral sequence
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ತನ್ನ ಟೋಹೋಕು ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎರಡು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಜ್ಞಾನದಿಂದ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿದರ್ಶನಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಲೆರೆ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮ. ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ಎರಡು ಸಂಯೋಜಕ ಮತ್ತು ಎಡ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳನ್ನು-ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವಿಗೂ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಇರುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ p-th ಬಲದಿಂದ ಪಡೆದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಬಾಣವು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ಗಳ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಐದು ಪದಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಲೆರೇ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಓದುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಾಗಿ (ಎಡ-ನಿಖರವಾದ) ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ (ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ ನಿಖರವಾದ ಎಡ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ಗಳು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ), ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಆಗುತ್ತದೆಃ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕೋಶಕ್ಕೆ. ಲೋಕಲ್-ಟು-ಗ್ಲೋಬಲ್ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಗ್ಲೋಬಲ್ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಶೀಫ್ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಇದೆಃ ಎಫ್, ಜಿ ರಿಂಗ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಶೀವ್ಗಳಾಗಿರಲಿ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸ್ಕೀಮ್. ನಂತರ ಇದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮತ್ತು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಫ್ಲಾಸ್ಕ್ ಸೀವ್ಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು-ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಊಹೆಯು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ ಪುರಾವೆಃ ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಯಾವ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಇಟ್ ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಲೆಮ್ಮಾದ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಅದರ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ. A ಯ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಗಿರಲಿ. ಬರೆಯುವಾಗ, ನಾವುಃ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಹಾರ್ಸ್ಶೂ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಅವುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆಃ ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಲೆಮ್ಮಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (cf. ಕಾರ್ಟನ್-ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ನಿರ್ಣಯ.) ಈಗ, ಡಬಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ಎರಡು ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಿದ್ದೇವೆ. ಒಂದೆಡೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು q = 0 ಹೊರತು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಜಿ-ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಇದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (ಇದು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಅದೇ ಸೀಮಿತ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಪುರಾವೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಶಾರ್ಪ್, ಎರಿಕ್ (2003). ಡಿ-ಬ್ರೇನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಶೀವ್ಸ್ (ಪುಟಗಳು 18-19), ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು