Quartic surface
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು 4ನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆಃ ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್. ಅಫೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಡಿಗ್ರಿ 4 ರ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿರುವ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಇದು ಅಫೈನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅದೇ ರೂಪದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈಗ 4ನೇ ಹಂತದ 4 ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಬೇಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಒಬ್ಬರು ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು, ಅವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಎಂಬುದು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ನೈಜ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಡುಪಿನ್ ಸೈಕ್ಲೈಡ್ಗಳು ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್, x4 + y4 + z4 + w4 = 0 ರಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (K3 ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಉದಾಹರಣೆ). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕುಮ್ಮರ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಬೆಣಚುಕಲ್ಲು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಮೇಲ್ಮೈ (ಎರಡು ಚತುರ್ಭುಜ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ) ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈ (ಘನ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಒಕ್ಕೂಟವು ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು