Spin-1/2
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳ ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ರವ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕಣಗಳು, ಒಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕಣವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಿನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ ಕಣವು ಪ್ರಾರಂಭವಾದಾಗ ಅದೇ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದುವ ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಪೂರ್ಣ ತಿರುವುಗಳಿಂದ (720° ಮೂಲಕ) ತಿರುಗಿಸಬೇಕು. ನಿವ್ವಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರೋಟಾನ್, ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್, ನ್ಯೂಟ್ರಿನೊ ಮತ್ತು ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಸೇರಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸ್ಪಿನ್-ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಕೇಂದ್ರ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟರ್ನ್-ಗೆರ್ಲಾಕ್ ಪ್ರಯೋಗ ಅರ್ಧ-ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಸ್ಟರ್ನ್-ಗೆರ್ಲಾಕ್ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಪರಮಾಣುಗಳ ಕಿರಣವು ಬಲವಾದ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು ಪರಮಾಣುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎನ್ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬೆಳ್ಳಿಯ ಪರಮಾಣುಗಳಿಗೆ, ಕಿರಣವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ-ಆದ್ದರಿಂದ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಮಾಣುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ) ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, 1, ಕಿರಣವನ್ನು 3 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು Lz = −1, + 1, ಮತ್ತು 0 ಹೊಂದಿರುವ ಪರಮಾಣುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, 0 ಸರಳವಾಗಿ −1 ಮತ್ತು + 1 ರ ನಡುವೆ ಬರುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಸಂಪೂರ್ಣ-ಪೂರ್ಣಾಂಕವೂ ಆಗಿದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಧ್ರುವೀಕೃತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಕಾಲ್ಪನಿಕ "ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಂತದ" ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಮೂರನೇ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸದ ಮೂರನೇ ಕಿರಣ. ಬೆಳ್ಳಿಯ ಪರಮಾಣುಗಳು ನಿವ್ವಳ ಆಂತರಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು ಎಂಬುದು ತೀರ್ಮಾನವಾಗಿತ್ತು. ಸ್ಪಿನ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳಾಗಿವೆ (ಸ್ಪಿನ್-ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಸತ್ಯ) ಮತ್ತು ಪೌಲಿ ಹೊರಗಿಡುವ ತತ್ವವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಕಣಗಳು ತಮ್ಮ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಶಾಶ್ವತವಾದ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷಣವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಆವಿಷ್ಕಾರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಅಂತಹ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಜೀಮನ್ ಪರಿಣಾಮ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸ್ಪಿನ್-ಕಣದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಎರಡು ಐಜೆನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳು ಅಥವಾ ಐಜೆನ್ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಸ್ಪಿನ್ ಅಪ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ ಡೌನ್ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್-ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಸರಳ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಸೃಷ್ಟಿ ಮತ್ತು ವಿನಾಶ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು; ಇವು ಇತರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ನಿರ್ವಾಹಕರಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ತತ್ವದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು (x, y, ಅಥವಾ z ನಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯುವ) ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಭೌತಿಕವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ಕಣವು ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ z-ಅಂಶದ ಅಳತೆಯು ಈ ಹಿಂದೆ ಪಡೆದಿರಬಹುದಾದ x-ಮತ್ತು y-ಘಟಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆ ಒಂದು ಸ್ಪಿನ್-ಕಣವು ಸ್ಪಿನ್ s ಗಾಗಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು ತಿರುಗುವ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, z-ಅಕ್ಷದಂತಹ ಒಂದು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಕಂಡುಬರುವ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಒಟ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಂಶದ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಇದು ಕೇವಲ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಅಥವಾ ಆವೇಶದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಅವಲಂಬನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ (ಯಾವುದೇ ಫೋಟಾನ್ನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ) ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹಂತದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಸ್ಪಿನರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಎರಡು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ವಾಹಕದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯ ನಡುವೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿವೆ. ಸ್ಪಿನರ್ ಅನ್ನು 360° ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ (ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ತಿರುವು), ಅದು ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ 360° ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಅದು ಮತ್ತೆ ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಣ ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವೈಶಾಲ್ಯದಿಂದ (ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆ) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುವಾಗ, ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು, ವೈಶಾಲ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಕ್ಕೆ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗ) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಘೂರ್ಣನ ಗುಂಪಿನ ಎಸ್ಒ (3) ಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದ ಡಿಟೆಕ್ಟರ್ ಡಿಟೆಕ್ಟರ್ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಕಣವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು 360° ಮೂಲಕ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ, ಗಮನಿಸಿದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದ್ದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಆವರ್ತಕ ಕಣಕ್ಕೆ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳನ್ನು −1 ಅಂಶದಿಂದ ಅಥವಾ 360°ನ ಅರ್ಧ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ, −1 ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, (−1) 2 = 1, ಆದ್ದರಿಂದ ಊಹಿಸಲಾದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಸ್ಪಿನ್-ಕಣದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೂ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ-1 ಅಂಶದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಇಂಟರ್ಫೆರೆನ್ಸ್ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ನೇರವಾಗಿ ಗಮನಿಸಲಾಗದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಡಿಟೆಕ್ಟರ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ತಿರುಗಿದರೆ, ಉಪಕರಣವನ್ನು 180° ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅವು −1 ಅಂಶದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತಿದ್ದವು, ಇದು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡಿದಾಗ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಇದನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಡಿಟೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು 180° ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ತಿರುಗುವ ಕಣಗಳೊಂದಿಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ತಿರುಗಿಸದಿದ್ದರೆ ಅದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳು ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲು ಅರ್ಧದ ಅಂಶವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನೇರ ಸಾಕ್ಷ್ಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, 720° ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ 360° ಯಿಂದ ತಿರುಗುವ ಕಣದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಭೌತಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್ ಇಂಟರ್ಫೆರೊಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಪಿನ್-ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಸ್ಪಿನ್-ಕಣಗಳ ಕಿರಣವು ವಿಭಜನೆಗೊಂಡರೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಿರಣವನ್ನು ಅದರ ಚಲನೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸಿ ನಂತರ ಮೂಲ ಕಿರಣದೊಂದಿಗೆ ಮರುಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಿಭಿನ್ನ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 360° ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರದ್ದತಿಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ 720° ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಿರಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬಲಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಎನ್ಆರ್ಕ್ಯೂಎಂ (ಸಾಪೇಕ್ಷವಲ್ಲದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) ಸ್ಪಿನ್-ಕಣದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಿನರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಎರಡು-ಘಟಕ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ವಾಹಕದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ Sx, Cy, ಮತ್ತು Sz, ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ S. ಅಬ್ಸರ್ವಬಲ್ಸ್ಗಳು ಕಣದ ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸ್ಪಿನರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಮೂರು ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು (Sx, Cy, Sz) ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ Sz, z ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಅಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. Sz ನ ಎರಡು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಐಗನ್ಸ್ಪಿನರ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಈ ವಾಹಕಗಳು ಸ್ಪಿನ್-ಕಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು x-ಮತ್ತು y-ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೆಂದರೆಃ ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿಃ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಐಜೆನ್ಸ್ಪಿನರ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಎಸ್ಎಕ್ಸ್ಗೆ, ಅವು ಹೀಗಿವೆಃ ಸೈಗೆ, ಅವುಃ ಆರ್ಕ್ಯೂಎಂ (ಸಾಪೇಕ್ಷ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) ಎನ್ಆರ್ಕ್ಯೂಎಂ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 3-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ 2 ಆಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಸಾಪೇಕ್ಷ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 4 ಆಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 4-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳ-ಸಮಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್. ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯದ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಸ್ವರೂಪದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು 4x4 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸ್ಪಿನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪಾಲ್ ಡಿರಾಕ್ ಅವರು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಾಗ ಅದು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಇದು ತರಂಗವು ತಿರುಗಲು ಕಾರಣವಾಗುವ ಅನೇಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಆವರ್ತನ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ