Supersingular elliptic curve
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಂ ಉಂಗುರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p> 0 ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಅಲ್ಲದ ಅಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ವರ್ಗದ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಶ್ರೇಣಿಯ 4 ರ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗಾಗಿ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯ ಮೇಲಿನ ಅವರ ಕೆಲಸದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. "ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್" ಎಂಬ ಪದವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಏಕ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಏಕವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜೆ-ರೂಪಾಂತರದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ "ಜೆ-ರೂಪಾಂತರದ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಗಳು" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದಿಂದ ಇದು ಬಂದಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಎಂಡೋಮೋರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಶ್ರೇಣಿ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಉಂಗುರವು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಃ ಇದು ಆಯಾಮ 4 ರ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಮವಾಗಿರಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೈಮ್ಗಳು p ಎಂದರೆ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರೈಮ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಬದಲು ಪ್ರೈಮ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಆದರೆ ಸಮಾನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಲಿ ಮತ್ತು Kಯ ಮೇಲೆ E ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಲಿ.-ಮೌಲ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ n ಗೆ, ನಾವು ಗುಣಾಕಾರದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದರ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ K ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು p> 0 ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನಂತರ r = 1,2,3, ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಇ ಅನ್ನು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, p ಕ್ರಮದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅದರ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಓವರ್) ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವರ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಓವರ್) 4ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಇತರ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಕೇವಲ 1 ಅಥವಾ 2ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ನ ಎಂಡೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ 4ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಂಡೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ 4ರ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಬೇಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ Kಯ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ರಮದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್, ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಎಂದಿಗೂ 4ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. G ಯು E ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. K ಧನಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನು ht (G) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು E ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಇದೆ, ಇದು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆ E ಯು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ವರ್ಸಿಬಂಗ್ ಆಪರೇಟರ್ ಇದೆ, ಇದು ಜಾಗತಿಕ 1-ರೂಪಗಳ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆ E ಯು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅದರ ಹ್ಯಾಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು, p ಕ್ರಮದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹ ಯೋಜನೆಯು ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಮೇಲ್ಪಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ನಕ್ಷೆಯ ದ್ವಂದ್ವವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. "p ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು" ನಕ್ಷೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ j-ವ್ಯತ್ಯಾಸವು p2 ಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ K ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ E ಇದೆ ಮತ್ತು p ಬೆಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಮೊತ್ತವು ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ, ಎಲ್ಲಿಗೆ, E ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೆ ಮೇಲೆ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಏಕರೂಪದ ಘನ ಬಹುಪದ f (x, y, z) ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ E ಅನ್ನು ಘನ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. fp-1 ರಲ್ಲಿ (xyz) p-1 ರ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ E ಅನ್ನು ಸೂಪರ್ಸಿಂಕುಲರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. K ಕ್ಷೇತ್ರವು q ಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, q-ಶಕ್ತಿಯ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಕುರುಹು ಶೂನ್ಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋ p ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ K ಮೇಲಿನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು K ವಿಶಿಷ್ಟ 2ರ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, a3 ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಈ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ (ವಾಷಿಂಗ್ಟನ್ 2003, ಪು. 122 ನೋಡಿ). 2 ಅಂಶಗಳಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ 1,3 ಮತ್ತು 5 ಬಿಂದುಗಳಿರುವ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ) ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆ ಇದೆ, ಇದನ್ನು ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 0 ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಉಂಗುರವು ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎರಡು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ ಘನ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪು ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು 24ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ ಗುಂಪಿಗೆ 8ನೇ ಕ್ರಮದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಬೈನರಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 3ರ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು a4 ನಾನ್ಜೀರೋ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಈ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ (ವಾಷಿಂಗ್ಟನ್ 2003, ಪುಟ 122 ನೋಡಿ). 3 ಅಂಶಗಳಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಉಂಗುರವು a ಮತ್ತು b ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ a + bj ರೂಪದ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. , ಎರಡು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ i ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪು ಈ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು 12 ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, 4 ನೇ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. p> 3 ರೊಂದಿಗೆ, ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 0 ರೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು, ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 1728 ರೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (ವಾಷಿಂಗ್ಟನ್ 2003,4.35 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು p = 23ಕ್ಕೆ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಆರ್ಡಿನರಿ ಆಗಿದೆ (ಹಾರ್ಟ್ಶೋರ್ನ್ 1977,4.23.6 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರರೇಖೆ X0 (11) ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್-21211 − 5313 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು y2 + y = x3 − x2 − 10x−20 ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. η (τ) 2η (11τ) 2 ರಲ್ಲಿ qp ಯ ಗುಣಾಂಕವು ಮಾಡ್ p ಅನ್ನು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು 1,19,29,199,569,809,1289,1439,2539,3319,3559,3919,5519,9419,9539,9929, ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು 1/2 ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಾಂದ್ರತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೆರ್ರೆ ತೋರಿಸಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೂ, ಮೇಲ್ಪದರದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಜೆ-ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ Kಯ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂಪರ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು 1/|Aut (E) | ನಿಂದ ತೂಗಿಸಿದರೆ, ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕವು (p-1)/24 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಅವುಗಳ ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 0 ಅಥವಾ 1728 ಆಗಿರದ ಹೊರತು 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ θp/12 θ ಸೂಪರ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, p ಷ್ಣ 3 ಮಾಡ್ 4 ಇದ್ದರೆ, ಒಂದು ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ (ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 1728 ರೊಂದಿಗೆ) ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕ ಅಥವಾ ಕ್ರಮ 4 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಪಿ = 3 ಹೊರತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಕ್ರಮ 12 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಿ ಷ್ಣ 2 ಮಾಡ್ 3 ಇದ್ದರೆ ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ (ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 0 ರೊಂದಿಗೆ) ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು 6 ರ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಪಿ = 2 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಕ್ರಮ 24 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 307 ರವರೆಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೀಡಿ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 0 ಅಥವಾ 1728 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಜೆ ನ ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು (ಪಿ-1)/12 ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸೂಪರ್ಸಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರೈಮ್ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸೂಪರ್ಸಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರೈಮ್ (ಮೂನ್ಶೈನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸೂಪರ್ಸಂಗ್ಯುಲರ್ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರಾಬಿನ್ ಹಾರ್ಟ್ಶೋರ್ನ್ (1977), ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಜೋಸೆಫ್ ಎಚ್. ಸಿಲ್ವರ್ಮನ್ (2009), ದಿ ಅರ್ಥಮೆಟಿಕ್ ಆಫ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್. ಲಾರೆನ್ಸ್ ಸಿ. ವಾಷಿಂಗ್ಟನ್ (2003), ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ಸ್, ಚಾಪ್ಮನ್ & ಹಾಲ್. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು