Pseudoreflection
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಎನ್ನುವುದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ವಿಲೋಮ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವಲ್ಲ, ಸೀಮಿತ (ಗುಣಾಕಾರದ) ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸರಳವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಚೆವಾಲ್ಲಿ-ಶೆಫರ್ಡ್-ಟಾಡ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ V ಎಂಬುದು K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ಆಯಾಮವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ n ಆಗಿದೆ. ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಒಂದು ವಿಲೋಮ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ g ನ ಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು g ನಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಥಿರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು n-1 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ g ಯು ಗುಣಾಕಾರ n-1 ರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ 1 ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ 1 ರ ಮತ್ತೊಂದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ r ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. g ಯು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ r ಯು K ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕತೆಯ ಮೂಲವಾಗಿರಬೇಕು. ವಿಕರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಗಳು p ಎಂಬುದು K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿರಲಿ. g ನ ಕ್ರಮವು p ಗೆ ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, g ಅನ್ನು ವಿಕರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಕರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಯಾಗ್ (1,, 1, r) = ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ r ಎಂಬುದು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದ ಏಕತೆಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತಹ ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅರೆ-ಸರಳ ಪ್ರತಿಫಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. K ಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದ ಡಯಾಗ್ (1,., 1,-1) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ರಿಯಲ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಜಾಗವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಪರಿವರ್ತನೆಯು ನಿಜವಾದ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು K ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದಾಗ, ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರತಿಫಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಯಾಗ್ (1,, 1, r) ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ r ಎಂಬುದು 1ಕ್ಕೆ ಅಸಮಾನವಾದ ಏಕತೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ g ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸದಿದ್ದರೆ r = 1 ಮತ್ತು g ಜೋರ್ಡಾನ್ ನಾರ್ಮಲ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ g ಅನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಪಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜಿ ಕ್ರಮವು ಪಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೂಡೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಜಿ ಒಂದು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್ವೆಕ್ಷನ್ಗಳು ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಲನೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗಳು