Airy wave theory
ದ್ರವದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗಾಳಿಯ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಏಕರೂಪದ ದ್ರವದ ಪದರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ರೇಖೀಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ದ್ರವದ ಪದರವು ಏಕರೂಪದ ಸರಾಸರಿ ಆಳವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವದ ಹರಿವು ಅಗೋಚರವಾಗಿದೆ, ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಬಿಡಲ್ ಐರಿ ಅವರು ಸರಿಯಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ವಾಯು ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಗರ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕರಾವಳಿ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮುದ್ರ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಇದು ತರಂಗ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳ ಹಲವಾರು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಗಾಳಿಯ ಅಲೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಮುದ್ರದಲ್ಲಿನ ಸುನಾಮಿ ಅಲೆಗಳು ಕರಾವಳಿಯ ಬಳಿ ಮುಳುಗುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ. ಈ ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ತರಂಗ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳ ತ್ವರಿತ ಮತ್ತು ಸ್ಥೂಲ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂದಾಜು ಅಲೆಗಳ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ನೀರಿನ ಆಳದ ಸಣ್ಣ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ (ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಅಲೆಗಳು) ಮತ್ತು ಅಲೆಗಳ ಎತ್ತರದಿಂದ ತರಂಗಾಂತರಕ್ಕೆ (ಆಳವಾದ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಅಲೆಗಳು) ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಗಾಳಿಯ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ದ್ರವದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಂಭಾವ್ಯ ಹರಿವಿನ (ಅಥವಾ ವೇಗದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ, ವರ್ಟಿಸಿಟಿ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ಅಥವಾ ಹರಿವಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಇತರ ಅನೇಕ ದ್ರವದ ಹರಿವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅದರ ವೈಫಲ್ಯದಿಂದಾಗಿ ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳಲ್ಲಿ (ಇನ್ವಿಸ್ಕಿಡ್ ಮತ್ತು ಇರ್ರೊಟೇಷನಲ್) ಸಂಭಾವ್ಯ ಹರಿವಿನ ಬಳಕೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆ. ದ್ರವದ ಚಲನೆಯ ಆಂದೋಲನದ ಭಾಗಕ್ಕೆ, ತರಂಗ-ಪ್ರೇರಿತ ವರ್ಟಿಸಿಟಿಯು ದ್ರವದ ಡೊಮೇನ್ನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲವು ತೆಳುವಾದ ಆಂದೋಲನದ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಗಡಿ ಪದರಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ವಾಯು ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಗರ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕರಾವಳಿ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತರಂಗ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ಎಂದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ತರಂಗಗಳಿಗೆ, ತರಂಗ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ತರಂಗ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಬಹಳ ದೂರದವರೆಗೆ (ತರಂಗಾಂತರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ತುಂಬಾ ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿವರ್ತನೆಯು ಏರೀ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ ತರಂಗ ಪರಿಣಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಡಬ್ಲುಕೆಬಿಜೆ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ತರಂಗ ಶೋಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ವಕ್ರೀಭವನವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಸಂಭಾವ್ಯ ಹರಿವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್, ಪಾಯ್ಸನ್, ಕೌಚಿ ಮತ್ತು ಕೆಲ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ಅವರು ಮಾಡಿದರು. ಆದರೆ 1841ರಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಐರಿ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, 1847ರಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ತರಂಗ ಚಲನೆಗಾಗಿ ಏರೀಯ ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು-ಇದು ತರಂಗ ಸ್ಟೀಪ್ನೆಸ್ನಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಐರಿಯ ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೂ ಮುಂಚೆಯೇ, ಗೆರ್ಸ್ಟ್ನರ್ 1802 ರಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಟ್ರೊಕೊಯ್ಡಲ್ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪಡೆದರು, ಆದರೆ ಇದು ಇರ್ರೋಟೇಶನಲ್ ಅಲ್ಲ. ಗಾಳಿಯ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಭಾವ್ಯ ಹರಿವಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ತಳದ ಮೇಲೆ ಅಲೆಗಳ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ತರಂಗ ಘಟಕದ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರವು ಸಮತಲ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಸೈನುಸಾಯ್ಡಲ್ ಆಗಿದೆಃ ಮೀಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ತರಂಗ ವೈಶಾಲ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್ಗೆ ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ತರಂಗಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅಲೆಗಳು ನೀರಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹಂತದ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಹರಡುತ್ತವೆಃ ಕೋನೀಯ ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನವು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲ (ಹೀಗಾಗಿ ತರಂಗಾಂತರ ಮತ್ತು ಅವಧಿಯೂ ಸಹ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಅವು ಜೋಡಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ದ್ರವದ ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳು ಪ್ರಸರಣ ತರಂಗಗಳಾಗಿವೆ-ಆವರ್ತನ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ-ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತನ್ನದೇ ಆದ ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಹಂತದ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅಲೆಯ ಎತ್ತರ-ಶಿಖರ ಮತ್ತು ತೊಟ್ಟಿಯ ನಡುವಿನ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ರೇಖೀಯ ಆವರ್ತಕ ಅಲೆಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ದ್ರವದ ಚಲನೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರವು ಹರಡುವ ಅಲೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ದ್ರವದ ಕಣಗಳು ಕಕ್ಷೀಯ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಏರ್ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ, ಕಕ್ಷೆಗಳು ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆಃ ಆಳವಾದ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಆಳದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು-ದ್ರವ ಪದರದ ಕೆಳಭಾಗವನ್ನು ತಲುಪುವ ಮೊದಲು ವೃತ್ತಗಳು ಸಾಯುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ ಪದರದ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲೆಯು ಹರಡುತ್ತಿರುವಾಗ, ದ್ರವದ ಕಣಗಳು ತಮ್ಮ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಾನದ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ (ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ). ಪ್ರಸರಣ ತರಂಗ ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ, ದ್ರವದ ಕಣಗಳು ತರಂಗ ಪ್ರಸರಣ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತವೆ, ಸರಾಸರಿ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಗಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಆಳದೊಂದಿಗೆ ಕಕ್ಷೆಗಳ ವ್ಯಾಸವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆಳವಾದ ನೀರಿನಲ್ಲಿ, ಅರ್ಧ ತರಂಗಾಂತರದ ಆಳದಲ್ಲಿ ಕಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಸವು ಅದರ ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಮೌಲ್ಯದ ಶೇಕಡಾ 4ಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕೆಳಗೆ ಒತ್ತಡದ ಆಂದೋಲನವೂ ಇದೆ, ತರಂಗ-ಪ್ರೇರಿತ ಒತ್ತಡದ ಆಂದೋಲನಗಳು ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಗಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಆಳದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ-ದ್ರವದ ಪಾರ್ಸೆಲ್ಗಳ ಕಕ್ಷೀಯ ಚಲನೆಯಂತೆಯೇ. ತರಂಗ ಚಲನೆಯ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಹರಿವಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಅಲೆಗಳು ಸಮತಲ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಬಂಧಿಸಲಾದ ದ್ರವದ ಡೊಮೇನ್, ಲಂಬ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ (ಮೇಲ್ಮುಖ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ) ಮತ್ತು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಹರಡುತ್ತವೆ. ಮಟ್ಟವು ಸರಾಸರಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ದ್ರವದ ಪದರದ ಕೆಳಗಿರುವ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದ ಹಾಸಿಗೆಯು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹರಿವನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ತಿರುಗಿಸಲಾಗದ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ-ದ್ರವದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಅಲೆಗಳ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಹರಿವಿನ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು-ಮತ್ತು ಹರಿವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ವೇಗದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಹರಿವಿನ ವೇಗದ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲ () ಮತ್ತು ಲಂಬ () ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ನಂತರ, ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ಹರಿವಿನ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದಾಗಿ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮುಚ್ಚಲು ಹಾಸಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಅವುಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಹರಿವಿನ ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿ (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರಿಹಾರ) ಏನೆಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನ ವೇಗಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಾಸಿಗೆಯು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಾಸಿಗೆಯ ಗಡಿ-ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಆಳವಾದ ನೀರಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ-ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಇದು ಅನಂತ ನೀರಿನ ಆಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ-ಲಂಬ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರಿಂದ ಹರಿವಿನ ವೇಗಗಳು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ತರಂಗಗಳಿಗೆ, ಹರಿವಿನ ಲಂಬ ಚಲನೆಯು ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಲಂಬ ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಇದು ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಗಡಿ-ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರವು ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹರಿವಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರವು ಹೆಚ್ಚು ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಭಾವ್ಯ ಹರಿವಿನ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಿರುವ ಒತ್ತಡವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, ಅಂತಹ ಸ್ಥಿರ ಒತ್ತಡದ ಮಟ್ಟವು ಹರಿವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ನಂತರ, ಇದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ-ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ, ಸಮೀಕರಣಗಳು () ಮತ್ತು ()-ಸ್ಥಿರ ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಗತಿಪರ ಏಕವರ್ಣದ ತರಂಗಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಒಂದೇ ಆವರ್ತನದ ಹರಡುವ ತರಂಗಕ್ಕೆ-ಏಕವರ್ಣದ ತರಂಗ-ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರವು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಃ ದ್ರವದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (1) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಂಬಂಧಿತ ವೇಗದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈ (2) ಮತ್ತು ಹಾಸಿಗೆ (3) ನಲ್ಲಿರುವ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿಃ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ. ಆದರೆ ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ ಬೌಂಡರಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸಬೇಕು, ಇದು ರೇಖೀಯ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ತರಂಗ ವೈಶಾಲ್ಯಕ್ಕೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ) ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕದೊಂದಿಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು-ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಅವಧಿ ಮತ್ತು ತರಂಗಾಂತರವನ್ನು-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ದ್ರವದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ತರಂಗ ಪ್ರಸರಣವು ಐಗನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದಾಗ, ತರಂಗ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಆದರೆ ಏರೀ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮಾನ್ಯವಾದ ಅಂದಾಜಾಗಿರಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ). ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ಏರೀ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ ಹಲವಾರು ಹರಿವಿನ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ದ್ರಾವಣಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಲೆಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮತಲ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹರಡಬಹುದು. ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾಹಕವು ತರಂಗ ಶಿಖರಗಳ ಕ್ಯಾಮ್ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಸಮತಲ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನ ವೇಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಆಳದ ಮೇಲೆ (ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಭತ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಡಾಪ್ಲರ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಭೂಮಿಯ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ, ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವು (ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸರಾಸರಿ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ (ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಗಮನಿಸಿದ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ (ಅಥವಾ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಶುದ್ಧ ತರಂಗ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಆವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಮತ್ತು ತರಂಗಾಂತರಗಳು) ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಡಾಪ್ಲರ್ ಶಿಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಏಕವರ್ಣದ ತರಂಗಗಳಿಗೆ). ಕೋಷ್ಟಕವು ಹರಿವಿನ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಆಂದೋಲನದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ-ವೇಗಗಳು, ಕಣಗಳ ವಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ-ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಚಲನೆ ಅಲ್ಲ. ಆಂದೋಲನದ ಕಣಗಳ ವಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ಹರಿವಿನ ವೇಗಗಳ ಸಮಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನೀರಿನ ಆಳವನ್ನು ಮೂರು ನಿಯಮಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಆಳವಾದ ನೀರು-ತರಂಗಾಂತರದ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೀರಿನ ಆಳಕ್ಕೆ, ಅಲೆಗಳ ಹಂತದ ವೇಗವು ಆಳದಿಂದ ಅಷ್ಟೇನೂ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಸಮುದ್ರ ಮತ್ತು ಸಾಗರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಾಳಿ ಅಲೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು), ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರು-ತರಂಗಾಂತರದ ಶೇಕಡಾ 5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ನೀರಿನ ಆಳಕ್ಕೆ, ಅಲೆಗಳ ಹಂತದ ವೇಗವು ನೀರಿನ ಆಳವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅವಧಿ ಅಥವಾ ತರಂಗಾಂತರದ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ; ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಆಳ-ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀರಿನ ಆಳ ಮತ್ತು ಅವಧಿ (ಅಥವಾ ತರಂಗಾಂತರ) ಎರಡೂ ಗಾಳಿಯ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಬೀರುತ್ತವೆ. ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರಿನ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ದ್ರಾವಣಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮಧ್ಯಂತರ ಆಳಕ್ಕೆ, ಪೂರ್ಣ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದಿಂದಾಗಿ, ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್ಗೆ ನ್ಯೂಟನ್ನಲ್ಲಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ತರಂಗಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಅಲೆಗಳು ವೇಗವಾಗಿ ಹರಡುತ್ತವೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡವು ಸಣ್ಣ ಅಲೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತದೆ, ನೀರು-ಗಾಳಿಯ ಅಂತರಸಂಪರ್ಕದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತರಂಗಾಂತರಗಳು ಕೆಲವು ಡೆಸಿಮೀಟರ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತವೆ. ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ತರಂಗಾಂತರಗಳಿಗೆ-2 ಮಿ. ಮೀ. ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಗಾಳಿ ಮತ್ತು ನೀರಿನ ನಡುವಿನ ಅಂತರಸಂಪರ್ಕದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ-ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ತೀರಾ ಕಡಿಮೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸರ್ಫ್ಯಾಕ್ಟಂಟ್ಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವಿರುವ ಕ್ಯಾಪಿಲ್ಲರಿ ಅಲೆಗಳ ಗುಂಪು ವೇಗವು ಹಂತದ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತ್ವ ಅಲೆಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ (ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡವು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಅಲ್ಲಿ ಹಂತದ ವೇಗವು ಗುಂಪಿನ ವೇಗವನ್ನು ಮೀರುತ್ತದೆ. ಇಂಟರ್ಫೇಶಿಯಲ್ ಅಲೆಗಳು ಮೇಲ್ಮೈ ಅಲೆಗಳು ಇಂಟರ್ಫೇಶಿಯಲ್ ಅಲೆಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಎರಡು ದ್ರವಗಳ ನಡುವಿನ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನಲ್ಲಿವೆ. ಅನಂತ ಆಳದ ಎರಡು ಪದರಗಳು ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಎರಡು ದ್ರವಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಡಿಗಳಿಲ್ಲದೆ. ನಂತರ ಅವುಗಳ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಎರಡು ದ್ರವಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಮೂಲಕ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನ ಕೆಳಗೆ () ಮತ್ತು ಮೇಲೆ () ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ γ ಎಂಬುದು ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡವಾಗಿದೆ. ಇಂಟರ್ಫೇಸಿಯಲ್ ಅಲೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು, ಕೆಳಗಿನ ಪದರವು ಮೇಲಿನ ಪದರಕ್ಕಿಂತ ಭಾರವಾಗಿರಬೇಕು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಲೇ-ಟೇಲರ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಸಮತಲ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸಮತಲಗಳ ನಡುವೆ ಎರಡು ಪದರಗಳು ದ್ರವಗಳ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ಪದರಗಳಿಗೆ, ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನ ಕೆಳಗೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿರುವ ಸರಾಸರಿ ದಪ್ಪದ-ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗೋಡೆಗಳಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ-ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಲೆಗಳ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೀಗೆ ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನ ಕೆಳಗೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿರುವ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು, ಆದರೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಸೀಮಿತ ಆಳದ ನೀರಿನ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಎರಡು ಪದರಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಇಂಟರ್ಫೇಸಿಯಲ್ ತರಂಗದ ವೈಶಾಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬ್ಯಾರೋಟ್ರೋಪಿಕ್ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ-ಇಂಟರ್ಫೇಸಿಯಲ್ ತರಂಗವು ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈ ತರಂಗದೊಂದಿಗೆ ಆಂಟಿಫೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣದ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರಂಗ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ತರಂಗ ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರುವ ಹಲವಾರು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರಂಗ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಏರೀ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಲೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿವೆ. ಡಬ್ಲ್ಯು. ಕೆ. ಬಿ. ಜೆ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರಂಗ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಬಾತಿಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರದ ಸರಾಸರಿ-ಹರಿವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಲೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಹಾಗೆಯೇ ತರಂಗ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವೈಶಾಲ್ಯ, ಆವರ್ತನ, ತರಂಗಾಂತರ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳ-ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ತರಂಗ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ-ಹರಿವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರಂಗ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರಂಗ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವು ಪೂರೈಸುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಕೋಷ್ಟಕವು ಒಂದು ಸಮತಲ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ತರಂಗ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಮತಲ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನೊಂದಿಗಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಾತಿಮೆಟ್ರಿಯ ಮೇಲೆ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ತರಂಗ ರೈಲುಗಳ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ತತ್ವದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ವ್ಹಿಥಮ್ನ ಸರಾಸರಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ಸರಾಸರಿ ಸಮತಲ-ಆವೇಗದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ನೀರಿನ ಆಳ, ಅಂದರೆ, ದ್ರವದ ಪದರದ ಕೆಳಗಿರುವ ಹಾಸಿಗೆಯು ಇದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ-ಹರಿವಿನ ವೇಗವು ಸಮತಲ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಾಗಣೆಯ ಮೇಲೆ ಅಲೆಗಳ ಸ್ಪ್ಲಾಶ್-ವಲಯದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಾಗಣೆಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಯೂಲೆರಿಯನ್ ವೇಗವಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಥಿರ ಹರಿವಿನ ಮೀಟರ್ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬಡ್ಡಿಯ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ತರಂಗ ರೈಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಗಿಸಲಾಗುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ನೋಡುವಂತೆ, ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಕಕ್ಷೀಯ ವೇಗದಂತಹ ಅನೇಕ ತರಂಗ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ (ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ) ದೋಲನಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಿದ ಶಕ್ತಿಯ ಅಳತೆಯು ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ ಸಮತಲ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದು, ದ್ರವ ಪದರದ ಆಳದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಆಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳ ಸಮತಲ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ, ಇದು ಅಲೆಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆಃ ಓವರ್ಬಾರ್ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ಆವರ್ತಕ ತರಂಗಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮಯವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತರಂಗಾಂತರಕ್ಕಿಂತ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು). ತರಂಗ ಚಲನೆಯ ಪ್ರತಿ ಘಟಕದ ಸಮತಲ ಪ್ರದೇಶದ ಸರಾಸರಿ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಇದೇ ರೀತಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ ಆಂತರಿಕ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ, ತರಂಗ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡಿ. ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸರಾಸರಿ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಪರ ರೇಖೀಯ ತರಂಗಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಮತ್ತು ಚಲನಶೀಲ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಮತ್ತು, ತರಂಗ ಚಲನೆಯ ಪ್ರತಿ ಏಕಮಾನ ಸಮತಲ ಪ್ರದೇಶದ ಸರಾಸರಿ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಕೊಡುಗೆಯು ಸಂಭಾವ್ಯ ಮತ್ತು ಚಲನಶೀಲ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆ, ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಹರಿವು ಮತ್ತು ವಿಕಿರಣ ಒತ್ತಡ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ತರಂಗ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ದ್ರವ ಚಲನೆಯ ನಡುವೆ ಶಕ್ತಿಯ ವರ್ಗಾವಣೆ ಇರಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ, ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣವಲ್ಲ (ಪ್ರಸರಣ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ), ಆದರೆ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು-ತರಂಗ ಚಲನೆಯ ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನ ಚಲನೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಅಲೆಯ ರೈಲುಗಳು, ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಬಾತಿಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ-ಹರಿವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮತ್ತು ಸಂರಕ್ಷಿತ ತರಂಗ ಪ್ರಮಾಣ, ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಃ ಆಕ್ಷನ್ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೂಪ್ ವೆಲಾಸಿಟಿ ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯು ಅನೇಕ ಗಾಳಿ ಅಲೆಗಳ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಲೆಗಳ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಇದು ತರಂಗ ಶೋಲಿಂಗ್ನ ಗಣನೆಗೆ ಕರಾವಳಿ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಕಾಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದರೊಂದಿಗೆಃ ಸರಾಸರಿ ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಹರಿವು, ವಿಕಿರಣ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ-ವೇಗದ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯ ದರ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂರಕ್ಷಣೆಯಲ್ಲದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನೊಂದಿಗೆ ತರಂಗ ಚಲನೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ವಿನಿಮಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮೂಲ ಪದವಾಗಿದೆ. ಸರಾಸರಿ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಸರಾಸರಿ ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ರೂಪದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿವೆಃ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾಹಕದ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ವೇಗ ವಾಹಕದ ಘಟಕಗಳು. ತರಂಗ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಹರಿವು ಮತ್ತು ತರಂಗ ಆವೇಗವು ತರಂಗ ಚಲನೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರತಿ ಏಕಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಸಮತಲ ಆವೇಗ-ಮತ್ತು ತರಂಗ-ಪ್ರೇರಿತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಹರಿವು ಅಥವಾ ಸಾಮೂಹಿಕ ಸಾಗಣೆಯೂ ಸಹ-ಇದು ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಪ್ರಗತಿಪರ ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಲೆಗಳೂ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವು ತರಂಗ ಆವೇಗ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಹರಿವನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಬಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಯತಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಲೆಗಳ ಹಂತದ ವೇಗದ ಎರಡು ಸಂಭಾವ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಈಗಾಗಲೇ ಗುರುತಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ತರಂಗ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಎಸ್1)-ತರಂಗ ತೊಟ್ಟಿಗಳ ಕೆಳಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಎತ್ತರಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸರಾಸರಿ ಯೂಲೇರಿಯನ್ ಹರಿವಿನ ವೇಗ, ಮತ್ತು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ತರಂಗ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಎಸ್2)-ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸರಾಸರಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಾಗಣೆಯೊಂದಿಗೆ. ತರಂಗ ಆವೇಗ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ನಡುವಿನ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕರಾವಳಿ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯ ತರಂಗ ಕಾಲುವೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು (ಎಸ್ 2) ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಈ ತರಂಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಶೂನ್ಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಹರಿವು ಮತ್ತು ಆವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ (ಎಸ್1) ಪ್ರಕಾರ, ತರಂಗ ಪ್ರಸರಣ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತರಂಗ-ಪ್ರೇರಿತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಹರಿವು ಇದೆ, ಇದನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನಿಂದ ಸಮತೋಲನಗೊಳಿಸಬೇಕು-ಇದನ್ನು ಅಂಡರ್ಟೋ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲೆಗಳ ಸ್ಯೂಡೋ-ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ತರಂಗ ಆವೇಗದ ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ವಿಕಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಸ್ನಾನಮಾಪಕ, ತರಂಗ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ-ಹರಿವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ, ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ-ಸಾಗಣೆ ವೇಗದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಆಳವಾದ ನೀರಿಗೆ, ಸರಾಸರಿ ಆಳವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋದಾಗ, ಸರಾಸರಿ ಯೂಲೇರಿಯನ್ ವೇಗ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಸಾಗಣೆ ವೇಗವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮೂಹಿಕ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಸಮೀಕರಣವೆಂದರೆಃ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಸರಾಸರಿ ನೀರಿನ ಆಳ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸರಾಸರಿ ಸಮತಲ ಆವೇಗವು ಹೀಗೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಸ್ಥಿರ-ನೀರಿನ ಆಳದೊಂದಿಗೆ (ಸಮುದ್ರದ ತಳವು), ತರಂಗ ವಿಕಿರಣ-ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಡೈಡಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆಃ ನೋಥರ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಮುದ್ರದ ತಳವು ಸಮತಲವಾಗಿದ್ದರೆ (ಸ್ಥಿರ-ನೀರಿನ ಆಳವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಸಮತಲ ಆವೇಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಲೆಗಳ ವಿವರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ತರಂಗ-ಕ್ರಿಯೆ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತರಂಗ ಸಂವಹನಗಳಿಲ್ಲದೆ): ತರಂಗ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ತರಂಗ-ಕ್ರಸ್ಟ್ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ (ಕೋನೀಯ) ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧದ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬೇಕಾದರೆ, ತರಂಗ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸುಸಂಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು. ತರಂಗ-ಕ್ರೆಸ್ಟ್ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಸುರುಳಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇರ್ರೊಟೇಷನಲ್ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಇರ್ರೊಟೇಷನಲ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಶುದ್ಧ ತರಂಗ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ () ಒಂದೇ ಕಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವಾಗ, ರೇಖೀಯ ಏರೀ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಮೊದಲ ಅಂದಾಜು ನೀರಿನ ಕಣಗಳಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಅಂಡಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತರಂಗಗಳಿಗೆ, ಕಣಗಳು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಡ್ರಿಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಏರೀ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು (ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರಂಗ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡಿ). ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಡ್ರಿಫ್ಟ್ ವೇಗ, ಇದು ಒಂದು ತರಂಗ ಚಕ್ರದ ನಂತರ ಕಣಗಳ ಚಲನೆ ಅವಧಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೂತ್ರವು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ಗೆ ತರಂಗ ವೇಗಶೀಲತೆಯ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಆಳದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ಸರಾಸರಿ ತರಂಗ ಆವೇಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೌಸಿನ್ಸ್ಕ್ ಅಂದಾಜು (ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳು)-ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಅಲೆಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕ್ಯಾಪಿಲ್ಲರಿ ಅಲೆಗಳು-ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಲೆಗಳು-ನೊಯ್ಡಲ್ ಅಲೆಗಳು-ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆವರ್ತಕ ಅಲೆಗಳು, ಕೊರ್ಟೆವೆಗ್-ಡಿ ವ್ರೀಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು-ವಿವಿಧ ಆಳದ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಲೆಗಳ ವಕ್ರೀಭವನ ಮತ್ತು ವಿವರ್ತನೆಯ ಸಾಗರ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಲೆಗಳು-ಸಾಗರ ಮತ್ತು ಸಮುದ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ ನೈಜ ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳು-ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆವರ್ತಕ ಅಲೆಗಳು-ವಿದ್ಯುತ್ ಉತ್ಪಾದನೆಗೆ ಸಾಗರ ಮತ್ತು ಸಮುದ್ರ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸಹಃ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ, ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರಣ, ಅಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಲೆಗಳು", 396 ಪುಟಗಳು. ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆಃ ಎರಡು ಭಾಗಗಳು, 967 ಪುಟಗಳು. ಮೂಲತಃ 1879ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ 6ನೇ ವಿಸ್ತೃತ ಆವೃತ್ತಿಯು ಮೊದಲು 1932ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. 504 pp. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವಿಕಿ ತರಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾಗರ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಲೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಎಂಐಟಿಯಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳು. ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ ತರಂಗ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ