Spanier–Whitehead duality
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪ್ಯಾನಿಯರ್-ವೈಟ್ ಹೆಡ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳ X ಅನ್ನು n-ಗೋಳದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ದ್ವಿಗುಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ n ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮೂಲಗಳು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ದ್ವಂದ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪೂರಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಎಸ್-ದ್ವಂದ್ವತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಈಗ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎಸ್-ದ್ವಂದ್ವತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಗೊಂದಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. 1955ರಿಂದ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಎಡ್ವಿನ್ ಸ್ಪ್ಯಾನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಎಚ್. ಸಿ. ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಗೋಳದ ಪೂರಕಗಳು ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ಪೈನಿಯರ್-ವೈಟ್ ಹೆಡ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆ X ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮತ್ತು ಒಂದು ಮೊನಾಯ್ಡ್ ರಚನೆಯಾಗಿ ಸ್ಮ್ಯಾಶ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಚೂಪಾದ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಯೋಜನೆ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಅಮಾನತುಗಳಾಗಿವೆ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ವರ್ಣಪಟಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ದ್ವಂದ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು