Barnes integral
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬಾರ್ನ್ಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಮೆಲ್ಲಿನ್-ಬಾರ್ನ್ಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವರನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಧ್ರುವಗಳ ಬಲಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ವಿರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಧ್ರುವಗಳ ಎಡಕ್ಕೆ (a−s) ರೂಪದ ಅಂಶಗಳ ಎಡಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಾರ್ನ್ಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು s = 0,1,2, ನಲ್ಲಿ ಉಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. , ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಮೂಲಕ. ಸರಿಯಾದ ಒಮ್ಮುಖದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಬಾರ್ನ್ಸ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಗೌಸ್ನ 2F1 ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ನ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮೊದಲ ಬಾರ್ನ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಾರ್ನ್ಸ್ನ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಬಾರ್ನ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವು e = a + b + c − d + 1 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಲ್ಷುಟ್ಜ್ನ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಬಾರ್ನ್ಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು (2008 ರ ಪೇಪರ್ಬ್ಯಾಕ್ ಇದೆ) ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು