Characteristic function (probability theory)
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿತರಣೆಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್-ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಮೊಮೆಂಟ್-ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ವಾದದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ಷಣಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವ. ಪರಿಚಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು, t ಯ ಕಾರ್ಯವು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, (ಇಲ್ಲಿ 1 {X ≤ x} ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ-ಇದು ಯಾವಾಗ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೂ ಅವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ವಿಭಿನ್ನ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿರಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ನೊಂದರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್-ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಮೊಮೆಂಟ್-ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯವು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ವಿಧಾನವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆಃ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಲೆವಿಯ ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು eitX ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ i ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವಾದವಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ FX ಎಂಬುದು X ನ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, fX ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, QX (p) ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಲೋಮ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ರೀಮನ್-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ಹಿಮ್ಮುಖದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಈ ಸಂಪ್ರದಾಯವು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಪ್ರದಾಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇತರ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸಬಹುದುಃ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ p ಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ಅಥವಾ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ f. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹುವಿಧದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವಾದವು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಜಾಗದ ನಿರಂತರ ದ್ವಿಗುಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಃ X ಒಂದು k-ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಾಹಕದ ವರ್ಗಾವಣೆಯು ಎಲ್ಲಿಗೆ, X ಒಂದು k × p-ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಜಾಡಿನ ನಿರ್ವಾಹಕ ಎಲ್ಲಿಗೆ, X ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, X ಒಂದು k-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಾಹಕದ ವರ್ಗಾವಣೆಯು ಎಲ್ಲಿಗೆ, X (s) ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ t (s) ಎಂದರೆ X-ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಬೆರ್ಹೆಟ್ಟಿಂಗರ್ (1973) ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯ ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಇಡೀ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಶೂನ್ಯದ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲಃ φ (0) = 1. ಇದು ಬದ್ಧವಾಗಿದೆಃ |φ (t) | ≤1. ಇದು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ಃ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತಿಯ (ಮೂಲದ ಸುತ್ತಲೂ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಮತ್ತು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇದೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ X1, X2, ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X, k-th ಕ್ರಮದವರೆಗಿನ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, φX ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ k ಬಾರಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯ φX ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ k-th ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X, k ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ k ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ k ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. X1,., Xn ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು a1,., an ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ xi 's ನ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಾದ X1 ಮತ್ತು X2 ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಬಾಲದ ನಡವಳಿಕೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಮೃದುತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಇದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು (ಇಲ್ಲಿ A ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು B ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು Fj (x) ಕೆಲವು ವಿತರಣೆ F (x) ಗೆ (ದುರ್ಬಲವಾಗಿ) ಒಮ್ಮುಖವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು φj (t) ಸಹ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಿತಿ φ (t) ಯು ನಿಯಮ F ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಲೆವಿಯ ನಿರಂತರತೆ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ n-ರೂಪಾಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ Xj ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣ X ಗೆ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು φXj ಅನುಕ್ರಮವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯ φ ಗೆ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ ಮಾತ್ರ. ಇಲ್ಲಿ φ ಎಂಬುದು Xನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ (ಅಥವಾ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಫ್) ತಿಳಿದಾಗ φ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಮಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯ φ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ φX ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದರೆ, FX ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ X ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ. X ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ್ದಾಗ) ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ λ: ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ (ಲೆವಿ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣೆಯ ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. φX ಎಂಬುದು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾದ FXನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, a <b ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು, ಅವು μXನ ನಿರಂತರತೆಯ ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಏಕರೂಪದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ FXನ ನಿರಂತರತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಆಗ X ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆಃ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗಣನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮರು-ಹೇಳಬಹುದು. X ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆಃ ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು ವೇಳೆ a ಎಂಬುದು (ಪ್ರಾಯಶಃ) Xನ ಪರಮಾಣು ಆಗಿದ್ದರೆ (ಏಕರೂಪದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದರರ್ಥ FXನ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದು) ಆಗ X ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆಃ X ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆಃ ಪ್ರಮೇಯ (ಗಿಲ್-ಪೆಲೇಜ್). ಏಕರೂಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣ X ಗೆ, x ಯು FX ನ ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಲೆಬ್ಸ್ಗು-ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುವಿಧದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಾನದಂಡ ಎಲ್ಲಾ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಹ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಸಹ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. φ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು α ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, Re (φ), |φ |2, ಮತ್ತು φ (αt) ಸಹ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. F (− ini) = 0, F (+ ini) = 1 ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ φ ಯಾವಾಗ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸರಳ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಬೋಚ್ನರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅದರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಮುಖ್ಯ ಷರತ್ತು, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಇತರ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಖಿಂಚೈನ್, ಮ್ಯಾಥಿಯಸ್, ಅಥವಾ ಕ್ರಾಮರ್ಸ್, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯವು ಅಷ್ಟೇ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪೊಲ್ಯನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹಳ ಸರಳವಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೊಲ್ಯಾ-ಟೈಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೋಚ್ನರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ. φ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು φ (0) = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯ φ: Rn → C ಎಂಬುದು ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಖಿಂಚೈನ್ನ ಮಾನದಂಡ. ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯ φ, φ (0) = 1 ರೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಥಿಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ, ಸಮ, ನಿರಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯ φ, φ (0) = 1 ರೊಂದಿಗೆ, n = 0,1,2,., ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ p> 0 ಗಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ H2n ಎಂಬುದು 2n ಡಿಗ್ರಿ ಇರುವ ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪೊಲ್ಯನ ಪ್ರಮೇಯ. ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ, ಸಮ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ φ (t) ಎಂಬುದು ಸುಮಾರು 0ರಷ್ಟಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರ ವಿತರಣಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉಪಯೋಗಗಳು ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣ, ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮುಖ್ಯ ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಗುರುತಿಸುವುದು. ವಿತರಣಾ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಕುಶಲತೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ (ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸದ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಐ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಸ್ಎನ್ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿಃ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು X ಮತ್ತು Y ಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ನಂತರ Sn ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸರಾಸರಿ, ಮೊಮೆಂಟ್ಸ್ ಕ್ಯಾರೆಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಬರೆಯುವುದನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. n ನೇ ಕ್ಷಣವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು n ಬಾರಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದುಃ ಇದನ್ನು ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಇದು ಕ್ಷಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೌಚಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ. ಇದು t = 0 ನಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಕೌಚಿ ವಿತರಣೆಯು ಯಾವುದೇ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, n ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವಲೋಕನಗಳ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೌಚಿ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, X ಒಂದು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. .. ನಂತರ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಭಾಗಗಳ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯದ ಲಾಗರಿದಮ್ ಒಂದು ಕ್ಯುಮುಲೇನ್ಟ್ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ಯುಮುಲೇನ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ; ಕೆಲವರು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಕ್ಯುಮುಲೇನ್ಟ್ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೊಮೆಂಟ್-ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಲಾಗರಿದಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯದ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ಯುಮುಲೇನ್ಟ್ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ದತ್ತಾಂಶದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಇತರ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವುದು ಸೇರಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜಿನ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಪಾಲ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. (1975) ಮತ್ತು ಹೀಥ್ಕೋಟ್ (1977) ಅಂತಹ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಯು (2004) ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿರುವ ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ಸಾರಿ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. (2020) ಮತ್ತು ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರರು. (2020) ಉತ್ಪಾದಕ ಪ್ರತಿಕೂಲ ಜಾಲಗಳ ತರಬೇತಿಗಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆ ಸ್ಕೇಲ್ ನಿಯತಾಂಕ θ ಮತ್ತು ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕ k ಹೊಂದಿರುವ ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಈಗ ನಾವು X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು X + Y ವಿತರಣೆಯು ಏನು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಗಾಮಾ ವಿತರಣಾ ಪ್ರಮಾಣದ ನಿಯತಾಂಕ θ ಮತ್ತು ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕ k1 + k2 ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ n ಸ್ವತಂತ್ರ ಗಾಮಾ ವಿತರಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವಾದವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ. ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಕ್ಷಣ-ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಕ್ಷಣ-ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆಃ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ p (x) ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು p (x) ನ ನಿರಂತರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ; ನಿರಂತರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ-ಇತರ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಇಲ್ಲಿ ಪಿ (ಟಿ) ಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾದ ಪಿ (ಎಕ್ಸ್) ನ ನಿರಂತರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, p (x) ಅನ್ನು φX (t) ನಿಂದ ವಿಲೋಮ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದುಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಳತೆಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಕರ್ನಲ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದುರ್ಬಲ ಸ್ಥಿತಿಯಾದ ಅಧೀನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಯುಮುಲಾಂಟ್, ಕ್ಯುಮುಲಾಂಟ್ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಪದ, ಇವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ದಾಖಲೆಗಳಾಗಿವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂಲಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳು