Interval finite element
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವು (ಮಧ್ಯಂತರ ಎಫ್ಇಎಂ) ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ರಚನೆಯ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಫ್ಇಎಂ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ರಚನೆಗಳು, ಮರದ ರಚನೆಗಳು, ಜಿಯೋಮೆಕಾನಿಕ್ಸ್, ಸಂಯೋಜಿತ ರಚನೆಗಳು, ಬಯೋಮೆಕಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ಗುರಿಯು ಮಾದರಿಯ ವಿವಿಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಒತ್ತಡ, ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳು, ಇಳುವರಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಇತ್ಯಾದಿ) ಮತ್ತು ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿ. ಇದನ್ನು ಕೆಟ್ಟ ಕೇಸ್ ವಿನ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಿತಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಟ್ಟ ಕೇಸ್ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಹಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪ್ರದಾಯಶೀಲವಾಗಿವೆ [ಕೊಯಿಲೊಗ್ಲು ಮತ್ತು ಎಲಿಶಾಕೋಫ್ 1998]. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು. ಆಗಾಗ್ಗೆ, a ಮತ್ತು b ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಿಳಿದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪಿಗೆ ಹಲವಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಇದು ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಅಲ್ಲಿ ನೋಡಿ ಮಧ್ಯಂತರ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವು ನಿಯತಾಂಕ-ಅವಲಂಬಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ). ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯತಾಂಕ ಅವಲಂಬಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ x ಎಂಬುದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. , ಏಕೆಂದರೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. , ನಂತರ ಪರಿಹಾರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಧ್ಯಂತರ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪಿನ ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಯುಕ್ತ ದ್ರಾವಣದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನವು ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆ ಸಮೀಕರಣವು ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳು (ಅಂದರೆ. ). ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು () ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ವಿಧಾನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯತಾಂಕ ಅವಲಂಬಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಿಗಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಹು ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮೇಲಿನ ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಬಹುಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು (ಫಾರ್) ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. n ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಹಲವು ಪಟ್ಟು ಅಗಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೊತ್ತವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ (ಸಿಕ್ಸ್ ಸಿಗ್ಮಾ ನೋಡಿ) ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಗಲವು 6 ಸಿಗ್ಮಾಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು (ಸಿಕ್ಸ್ ಸಿಗ್ಮಾ ಹೋಲಿಸಿ). ಈಗ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಗಲ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೋಲಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದ ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಟ್ಟ-ಪ್ರಕರಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ) ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ತ್ರೀ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು (ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಭವನೀಯವಲ್ಲದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ (ಎಲಿಶಾಕೋಫ್ 2000). ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ (ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು) ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಮಧ್ಯಂತರ ಸರಾಸರಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಇತ್ಯಾದಿಗಳೊಂದಿಗೆ). ಕೆಲವು ಸಂಶೋಧಕರು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ (ಅಸ್ಪಷ್ಟ) ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ). ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿ ನಾವು ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಸಮರ್ಪಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬಹಳ ವಿಶಾಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅವಕಾಶ ಅಥವಾ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗುಣಾತ್ಮಕ (ತುಲನಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಭಾಗಶಃ ಆದ್ಯತೆಯ ಕ್ರಮಗಳು,.) ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು (ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು, ನಂಬಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಆದ್ಯತೆಗಳು,.) ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾಹಿತಿಯು ವಿರಳವಾಗಿರುವ, ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಸಂಘರ್ಷಕ್ಕೊಳಗಾಗುವ ಅನುಮಾನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆದ್ಯತೆಗಳು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದಾದ ನಿರ್ಧಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಃ ಮಾದರಿ ಒತ್ತಡ, ಸಂಕೋಚನ, ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ) 1-ಆಯಾಮದ ಉದಾಹರಣೆ ಒತ್ತಡ-ಸಂಕೋಚನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು ಬಲದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಉದ್ದ, ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಮತ್ತು ಯಂಗ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿದೆ. ಯಂಗ್ ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಬಲವು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿಃ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿಃ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒತ್ತಡದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿಃ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿಃ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒತ್ತಡದ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ ಎಫ್ಇಎಂ ಬಹುಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ [ಪೌನುಕ್ 2004] ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಹುಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಯಾವಾಗಲೂ ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಆಯಾಮದ ಉದಾಹರಣೆ ಒತ್ತಡ-ಸಂಕೋಚನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಯಂಗ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿತರಿಸಿದ ಹೊರೆ ಆಗಿದೆ. ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಪ್ರತಿ ಎಫ್ಇಎಂ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಏಕೀಕರಣದ ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ದುರ್ಬಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಎಫ್ಇಎಂ ಅಂಶಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಎಡ ತುದಿ, ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೆ "ಇ" ನ ಎಡ ತುದಿ. "e"-th ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವು ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಸಮೀಕರಣದ ದುರ್ಬಲ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾದ ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜಾಗತಿಕ ಬಿಗಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಪರಿಹಾರ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಬಲಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಒತ್ತಡ-ಸಂಕೋಚನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿತರಿಸಿದ ಭಾರವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ ಬಿಗಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಬಲಗೈ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಯಂಗ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್, ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಭಾರವು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮಧ್ಯಂತರ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳು, ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಸುರಕ್ಷತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ). ಮಧ್ಯಂತರ ಪರಿಹಾರವು ಎಲ್ಲಾ ಸುರಕ್ಷತಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸರಳವಾದ ಪೋಸ್ಟ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಒತ್ತಡ, ಮಧ್ಯಂತರ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಮಿತಿ ಸ್ಥಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಮತ್ತು ವಿನ್ಯಾಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ರಚನೆಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು (ಎಲಿಶಾಕೋಫ್ 2000). ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವಿಧಾನ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಎಂಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಈ ವಿಧಾನವು ಘಾತೀಯ ಗಣನೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು [ಪೌನುಕ್ 2004] ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿ ಅಂಶದ ವಿಧಾನದಲ್ಲೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಹಳ ವೇಗವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರದ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಅನೇಕ ರಚನಾತ್ಮಕ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವು ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಮೊನೊಟೋನಿಸಿಟಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಸೆನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ [ಪೌನುಕ್ 2004] ನ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಸಿವಿಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು [ಎಂ. ವಿ. ರಾಮ ರಾವ್, ಎ. ಪೌನುಕ್ ಮತ್ತು ಐ. ಸ್ಕಲ್ನಾ 2008]. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿ ಅಂಶದ ವಿಧಾನದಲ್ಲೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅಂಶ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಅಂಶವನ್ನು ಮುಹನ್ನಾ ಮತ್ತು ಮುಲ್ಲೆನ್ ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅಂಶ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಅಂಶವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟ್ರಸ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೇಮ್ ರಚನೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಖಚಿತವಾದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ದ್ರಾವಣದ ಬಿಗಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲೋಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮಧ್ಯಂತರ ಪರಿಹಾರದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಬಹಳ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ದೊಡ್ಡ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಧಾನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಶುದ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನಗಳು ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರು ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಶುದ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. [ಪೊಪೊವಾ, ಯಾಂಕೋವ್, ಬೊನೆವ್ 2008]. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ವಿಧಾನವು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕ ಮಧ್ಯಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾದ ಪೊಪೊವಾ ಮತ್ತು ಸ್ಕಾಲ್ನಾಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದವು, ಇದರಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಖಚಿತವಾದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ ಗಡಿ ಅಂಶ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮಧ್ಯಂತರ (ಗಣಿತ) ಮಧ್ಯಂತರ ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಬಹು ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೇರ್ಪಡೆ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ದೋಷ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ (ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು) ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ, ಕೆಟ್ಟ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಕರಣ ಸಂಭವನೀಯ ವಿನ್ಯಾಸ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ನಿರಂತರತೆ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಟ್ರಸ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ವಸ್ತುಗಳ ಶಕ್ತಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡೆಂಪ್ಸ್ಟರ್, ಎ. ಪಿ. (1967). "ಬಹು ಮೌಲ್ಯದ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು". ದಿ ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ 38 (2): 325-339. .. W. ಫೆಲಿನ್, H. ಲೆಸ್ಮನ್, M. ಒಬರ್ಗುಗೆನ್ಬರ್ಗರ್, ಮತ್ತು R. ವೈಡರ್ ಅವರಿಂದ ಸಿವಿಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ಬರ್ಲಿನ್, 2005 ಐ. ಎಲಿಶಾಕೋಫ್, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮಿತಿಗಳು. ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ರಿವ್ಯೂಸ್, Vol.53, ಸಂಖ್ಯೆ 2, pp. 19-25,2000. ಹ್ಲಾವಸೆಕ್, ಐ., ಕ್ಲೆಬೌನ್, ಜೆ., ಬಾಬುಸ್ಕಾ, ಐ.: ಅನಿಶ್ಚಿತ ಇನ್ಪುಟ್ ಡೇಟಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಟ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಶದ ವಿಧಾನ. ಎಲ್ಸೆವಿಯರ್, ಆಮ್ಸ್ಟರ್ಡ್ಯಾಮ್ (2004) ಕೋಯ್ಲೊಗ್ಲು, ಯು., ಐಸಾಕ್ ಎಲಿಶಾಕೋಫ್; ಅನಿಶ್ಚಿತ ಬಿಗಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕತ್ತರಿಸುವ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶಗಳ ಹೋಲಿಕೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ರಚನೆಗಳು ಸಂಪುಟಃ 67, ಸಂಚಿಕೆಃ 1-3, ಏಪ್ರಿಲ್ 1,1998, ಪುಟಗಳು. ಡಿ. ಮೋಯೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡಿ. ವಾಂಡೆಪಿಟ್ಟೆ, ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂವೇದನೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತ ರಚನೆಗಳ ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಲಕೋಟೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಅದರ ಅನ್ವಯ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಂಪುಟ. 196, ನಂ. 21-24,1 ಏಪ್ರಿಲ್ 2007, ಪುಟಗಳು. 2486-2496. ಮುಲ್ಲರ್, ಬಿ., ಬಿಯರ್, ಎಂ., ಫಜಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆ-ಸಿವಿಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಬರ್ಲಿನ್, 2004. ಇ. ಪೊಪೊವಾ, ಆರ್. ಇಯಾನ್ಕೋವ್, ಝಡ್. ಬೊನೆವ್ಃ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾಂತ್ರಿಕ ರಚನೆಗಳ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಂಧಿಸುವುದು. R.L.Muhannah, R.L.Mullen (Eds): ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಎನ್. ಎಸ್. ಎಫ್. ವರ್ಕ್ಶಾಪ್ ಆನ್ ರಿಲಯಬಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ (REC), ಸ್ವನ್ನಾಹ್, ಜಾರ್ಜಿಯಾ, ಯುಎಸ್ಎ, ಫೆಬ್ರವರಿ. 22-24,2006,245-265 ಎ. ಪೌನುಕ್, ಫಜಿ ಪಾರ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್, ಫಜಿ ಪಾರ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ರಿಲೇಷನಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳುಃ ರಿಸರ್ವಾಯರ್ ಕ್ಯಾರೆಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಅಂಡ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ (ಎಂ. ನಿಕ್ರವೇಶ್, ಎಲ್. ಜಾಡೆಹ್ ಮತ್ತು ವಿ. ಕೊರೊಟ್ಕಿಖ್, ಎಡ್ಸ್. ), ಸ್ಟಡೀಸ್ ಇನ್ ಫಜ್ನೆಸ್ ಅಂಡ್ ಸಾಫ್ಟ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್, ಫಿಸಿಕಾ-ವೆರ್ಲಾಗ್, 2004, ಪುಟಗಳು. 308-347 ಎ. ಪೌನುಕ್, ಎಫಿಷಿಯೆಂಟ್ ಮೆಥಡ್ ಆಫ್ ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ ಆಫ್ ಲಾರ್ಜ್ ಸ್ಕೇಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ವಿತ್ ಇಂಟರವಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಸ್ ಬೇಸ್ಡ್ ಆನ್ ಸೆನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ ಆಫ್ ಎನ್ಎಸ್ಎಫ್ ವರ್ಕ್ಶಾಪ್ ಆನ್ ರಿಲಯಬಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 15-17,2004, ಸವನ್ನಾ, ಜಾರ್ಜಿಯಾ, ಯುಎಸ್ಎ, ಪಿಪಿ. 305-316 ಎಂ. ವಿ. ರಾಮಾ ರಾವ್, ಎ. ಪೌನುಕ್ ಮತ್ತು ಐ. ಸ್ಕಾಲ್ನಾ, ಸ್ಟ್ರೆಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಫ್ ಎ ಸಿಂಗ್ಲಿ ರೀನ್ಫೋರ್ಸ್ಡ್ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಬೀಮ್ ವಿತ್ ಅನ್ಸರ್ಟೆನ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಸ್, ಎನ್ಎಸ್ಎಫ್ ವರ್ಕ್ಶಾಪ್ ಆನ್ ರಿಲಯಬಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್, ಫೆಬ್ರವರಿ 20-22,2008, ಸವನ್ನಾ, ಜಾರ್ಜಿಯಾ, ಯುಎಸ್ಎ, ಪಿಪಿ. 459-478 ಬರ್ನಾರ್ಡಿನಿ, ಆಲ್ಬರ್ಟೊ, ಟೋನನ್, ಫುಲ್ವಿಯೋ, ಬೌಂಡಿಂಗ್ ಅನ್ಸರ್ಟೆನಿಟಿ ಇನ್ ಸಿವಿಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ 2010 ಬೆನ್-ಹೈಮ್ ವೈ., ಎಲಿಶಾಕೋಫ್ I., 1990, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮಾಡೆಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಅನ್ಸರ್ಟೆನಿಟಿ ಇನ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್. ಎಲ್ಸೆವಿಯರ್ ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ ವಲ್ಲಿಯಪ್ಪನ್ ಎಸ್., ಫಾಮ್ ಟಿ. ಡಿ., 1993, ಫಜಿ ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಫ್ ಎ ಫೌಂಡೇಶನ್ ಆನ್ ಎಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಸಾಯಿಲ್ ಮೀಡಿಯಂ. ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಜರ್ನಲ್ ಫಾರ್ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಅಂಡ್ ಅನಾಲಿಟಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ ಜಿಯೋಮೆಕಾನಿಕ್ಸ್, Vol.17, pp. ಎಲಿಶಾಕೊಫ್ I., ಲಿ Y. W., ಸ್ಟಾರ್ನೆಸ್ J. H., 1994, ಸಂಯೋಜಿತ ರಚನೆಗಳ ಬಕ್ಲಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಅಜ್ಞಾತ-ಆದರೆ-ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿಧಾನ. ಅನ್ವಯಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಧಾನಗಳು, Vol.111, pp. 155-167 ವಲ್ಲಿಯಪ್ಪನ್ ಎಸ್. ಫಾಮ್ ಟಿ. ಡಿ., 1995, ಎಲಾಸ್ಟೋ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ವಿತ್ ಫಜಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಸ್. ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಜರ್ನಲ್ ಫಾರ್ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, 38, ಪು. ರಾವ್ ಎಸ್. ಎಸ್., ಸಾಯರ್ ಜೆ. ಪಿ., 1995, ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಫಜಿ ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಅಪ್ರೋಚ್. AIAA ಜರ್ನಲ್, Vol.33, No.12, pp. 2364-2370 ಕೊಯಿಲೊಗ್ಲು H. U., ಕಾಕ್ಮಾಕ್ A., ನೀಲ್ಸನ್ S. R. K., 1995, ಇಂಟರ್ವಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇನ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್. ರಲ್ಲಿಃ ಸ್ಪಾನೋಸ್, ಆವೃತ್ತಿ. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಭವನೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ. 125-133. ಬಾಲ್ಕೇಮಾ, ರೋಟರ್ಡಮ್ ಮುಹನ್ನಾ, ಆರ್. ಎಲ್. ಮತ್ತು ಆರ್. ಎಲ್. ಮುಲ್ಲೆನ್ (1995). ಉತ್ತರ ಅಮೆರಿಕಾದ ಫಜಿ ಇನ್ಫರ್ಮೇಷನ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಸೊಸೈಟಿಯ (ಐ. ಎಸ್. ಯು. ಎಂ. ಎ.-ಎನ್. ಎ. ಎಫ್. ಐ. ಪಿ. ಎಸ್. '95), ಐ. ಇ. ಇ. ಇ., <ಐ. ಡಿ. 1> ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್, ಜಾರ್ಜಿಯಾ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ, ಸವನ್ನಾ, ಯು. ಎಸ್. ಎ. ಮಧ್ಯಂತರ ಗಣನೆಗಳು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ (ಜರ್ನಲ್) ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳು) ಮಧ್ಯಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವೆಬ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಇ. ಪೊಪೋವಾ, ಮಧ್ಯಂತರ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಸೊಸೈಟಿಃ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನ