Parallelizable manifold
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಆಯಾಮ n ನ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ಆಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವೃತ್ತವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ನಾವು V1 ಅನ್ನು ಏಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುವುದು. ಆಯಾಮದ ಟೋರಸ್ ಸಹ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವೃತ್ತಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ವಿರುದ್ಧ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಕಾಗದದ ಚೌಕದಿಂದ ಟೋರಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಲೈ ಗುಂಪು ಜಿ ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಗುರುತಿನ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ಆಧಾರವನ್ನು ಜಿ ಮೇಲೆ ಜಿ ನ ಅನುವಾದ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಸುತ್ತಲೂ ಚಲಿಸಬಹುದು (ಪ್ರತಿ ಅನುವಾದವು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅನುವಾದಗಳು ಜಿ ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ರೇಖೀಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತವೆ). ಯಾವ ಗೋಳಗಳು Sn ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು. ಶೂನ್ಯ-ಆಯಾಮದ ಕೇಸ್ S0 ಅನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಕರಣ ಎಸ್ 1 ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಕೂದಲುಳ್ಳ ಚೆಂಡಿನ ಪ್ರಮೇಯವು S2 ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಲೈ ಗುಂಪು ಎಸ್ಯು (2) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಎಸ್ 3 ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇತರ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಗೋಳವೆಂದರೆ ಎಸ್7; ಇದನ್ನು 1958 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್, ಮೈಕೆಲ್ ಕೆರ್ವೈರ್ ಮತ್ತು ರೌಲ್ ಬಾಟ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಮಿಲ್ನರ್ ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಗೋಳಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಕ್ಟೋನಿಯಾನ್ಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಭಾಗ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿನ ಏಕಮಾನದ ಮಾನದಂಡದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇತರ ಗೋಳಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ, ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಬಹುಗುಣವು ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ರೇಮ್ ಮಾಡಲಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ (ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ರಿಗ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹುದುಗಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಮೂರ್ತ (ಅಂದರೆ, ಹುದುಗಿಸದ) ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಯು π-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿದಾಗ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದರೆ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು π-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಒಂದು π-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಾರ್ಟ್ (ಟೋಪೋಲಜಿ) ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಫ್ರೇಮ್ ಬಂಡಲ್ ಕೆರ್ವೈರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಫ್ರೇಮ್ ಬಂಡಲ್ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಬಂಡಲ್ ಸಂಪರ್ಕ (ಗಣಿತ) ಜಿ-ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳು