Homography
ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಪಡೆಯುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಹೀಗಾಗಿ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳ ನೈಜ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಾಗಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವಿಟಿ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫರ್ಮೇಷನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಸೇರಿವೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು) ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಎಂಬ ಪದವು, ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ "ಹೋಲುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರ" ಎಂದರ್ಥ, ಈ ಸಮಯದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಥವಾ ಅಫೈನ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿತ್ತು. "ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫರ್ಮೇಷನ್" ಎಂಬ ಪದವು ಈ ಅಮೂರ್ತ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಈ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವು ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ರೇಖೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು (ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ); ಈ ರಚನೆಯು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಘಟನೆಯ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ); ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳಿಗಿಂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಮತ್ತು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು "ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳದ ಹೊರತು, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು (ಸಂವಹನ) ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ ಪಪ್ಪಸ್ನ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಡೆಸಾರ್ಗ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವು ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ, ಅಥವಾ ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಹೊಂದಿರದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ದೃಶ್ಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ವಿವರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಂದ ನೋಡುವ ಎರಡು ಸಮತಲ ವಸ್ತುಗಳ ನೋಟದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, O (ಕೇಂದ್ರ) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ P ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ O ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ರೇಖಾ OA ಮತ್ತು ಸಮತಲ P ಯ ಛೇದಕಕ್ಕೆ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವು O ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು P ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು, ಅಂದರೆ, O ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಅದಕ್ಕೆ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ. O ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲ Q ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ Q ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ, ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಕೇವಲ ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ ಅದು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪಿ ಯಿಂದ ಕ್ಯೂ ಗೆ ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವಿಟಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಜಿ ಯಿಂದ ಕ್ಯೂ ಗೆ ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವಿಟಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬೇರೆ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ, ನಂತರ ಪಿ ಯಿಂದ ಸ್ವತಃ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪಿ ಯ ಆಯಾಮವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಆಗಿದ್ದರೆ. (ಕೆಳಗೆ ಮತ್ತು ನೋಡಿ.) ಮೂಲತಃ, ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ n ಆಯಾಮದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ P (V) ಅನ್ನು K-ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ಆಯಾಮದ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. V ಯ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದ್ದರೆ, V ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು Kn + 1 ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಪಿ (ವಿ) ಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ವಿ ನಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಬಿಂದುವಿನ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಆಯಾಮದ ಎರಡು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾದ ಪಿ (ವಿ) ಮತ್ತು ಪಿ (ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಪಿ (ವಿ) ಯಿಂದ ಪಿ (ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅಂತಹ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪಿ (ವಿ) ಯಿಂದ ಪಿ (ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಫ್ ನ ರೇಖೀಯತೆ. ಅಂತಹ ಎರಡು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು, ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ, ಕೆ ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶ ಎ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದೇ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ [ಎಐ, ಜೆ] ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿತ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು φ ನಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ (ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ) ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಆಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನ ಹೊರಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯನ್ನು K ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು "ಅನಂತದ ಬಿಂದು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು φ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಭಾಗಶಃ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್ ಗೋಳದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳನ್ನು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ನಿಖರವಾಗಿ ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಅವು ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಸಣ್ಣ ಆಯಾಮದಿಂದಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರಕರಣವು ವಿಶೇಷವಾಗಿದೆ. ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಕೊಲಿನೇಷನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಕೊಲಿನೇರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಿದರೆ, ಆ ಜಾಗದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೇರಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ಒಂದು ಆಯಾಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯು ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ಸಹ ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚೌಕಟ್ಟು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚೌಕಟ್ಟು ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಆಧಾರವು ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದಂತಹ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗ ವಲಯದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಆಯಾಮದ-ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಾಹಕ ರೇಖೆಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಫ್ರೇಮ್ಗೆ, ಫ್ರೇಮ್ಗೆ ಒಂದು ಆಧಾರವಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಚೌಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎರಡನೆಯದರ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಏಕೈಕ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಚೌಕಟ್ಟು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು; ಈ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಳದಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಅಥವಾ p (v) ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು K ಯ ಅದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಆಧಾರದ ಮೂಲಕ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಫ್ರೇಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಮೂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಟುಪಲ್ನ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕೇವಲ ಟುಪಲ್ನ ನಮೂದುಗಳು (ಗುಣಾಂಕಗಳು). ಅದೇ ಆಯಾಮದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿರುವ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ವಿಶೇಷ ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಪಿ, ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ, ಪಿ ಯ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಪಿ ನಿಂದ ಪಿ ಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಕೊಲಿನೇಶನ್ (ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವಿಟಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದರೆ ಈ ಪದವು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತೊಂದು ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ನೋಡಿ) P ನಿಂದ P ಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ α ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ H (α ನ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು α ನಿಂದ ಬಿಂದುವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, H ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ X) ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದು O (α ನ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದನ್ನು α ನಿಂದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (O ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು α ನಿಂದ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ). ಎರಡು ರೀತಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳಿವೆ. ಎಲೆಷನ್ಗಳು ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಇನ್ಸಿಡೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಲಜಿಗಳು ಕೇಂದ್ರವು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಇನ್ಸಿಡೆಂಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಕೇಂದ್ರ, ಅದರ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ O ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು P ಯ ಚಿತ್ರ α (P) ನಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಕ್ಯೂ ನ ಚಿತ್ರ α (ಕ್ಯೂ) ಯು ಒ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು α (ಪಿ) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಎಂಬುದು (n + 1) × (n + 1) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು n ಆಯಾಮದ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತೊಂದು ಐಜೆನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು ಹೋಮೋಲಜಿ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸದಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಂದು ಉಲ್ಲಾಸವಾಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನೋಟವನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ α ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕೇಂದ್ರ O ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿತ್ರವನ್ನು α, ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ, α ನ ಅಕ್ಷವು M ನಿಂದ R ವರೆಗಿನ ಕೆಲವು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. α ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಚಿತ್ರವು OA ಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ. ಬಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರದ ಬಿ 'ಚಿತ್ರದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ ಹಾಗಾದರೆ. ಎರಡು ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಅಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಈ ಗುಣವನ್ನು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, F ಕ್ಷೇತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ (ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಮೇಲೆ) σ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ F ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ P ಯ ಎರಡು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫ್ರೇಮ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ P ಯ ಒಂದು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಮೊದಲ ಫ್ರೇಮ್ ಅನ್ನು ಎರಡನೆಯದರ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ P ಯ ಆಯಾಮವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಆಗಿದ್ದರೆ, P ಯ ಪ್ರತಿ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಾಸ್ತವಿಕತೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೇಂದ್ರ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳ (ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತ) ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಮೂರನೇ ಭಾಗವು ಕೇವಲ ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲ ಭಾಗವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸುಲಭ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಭಾಗದ ಪುರಾವೆ ಎರಡೂ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಹಂತಗಳಾಗಿವೆ. ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಗುಂಪುಗಳು ಪ್ರತಿ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ವಿಲೋಮ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗದ ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೋಬಿಯಸ್ ಗುಂಪು ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಆಯಾಮದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಒಂದೇ ಗುಂಪು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವಲ್ಲ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಲೀನಿಯರ್ ಗ್ರೂಪ್ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಆಯಾಮ ಎನ್ ಯ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಗಳ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದನ್ನು ಅಂಶ ಗುಂಪಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಎಫ್ × ಐ ಗಾತ್ರದ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎಫ್ ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಂಪು. ಎಫ್ ಒಂದು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದಾಗ ಜಿಎಫ್ (ಕ್ಯೂ) ಆಗ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಗುಂಪನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಜಿಎಫ್ (7) ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ, ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪು ಎ 5 ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಇದು ಐದು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಗುಂಪು ಎಂಬುದು n ಆಯಾಮದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗದ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗದ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಬ್ಲಾಕ್ ವಿನ್ಯಾಸವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಗುಂಪನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವು ನಾಲ್ಕು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ರೇಖೆಗಳ ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು, ಮತ್ತು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲೆ, 0, ಮತ್ತು 1 ಗೆ ಈ ರೇಖೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಇದೆ. ಅದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಾಲ್ಕನೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತ, ಮತ್ತು, ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ಒಂದು ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ A ಒಂದು ಉಂಗುರ ಮತ್ತು U ಅದರ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪಿ (ಎ) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾದ ಎ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಪಿ (ಎ) ಯ ಮೇಲಿನ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎ ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಆದರೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಭಾಗಶಃ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಝಡ್ ರಿಂಗ್ನ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಗುಂಪು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ರೂ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲು ಡ್ಯುಯಲ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲದ ಏಕರೂಪದ ಗುಂಪನ್ನು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಎ ಎಂಬುದು ದ್ವಿಗುಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಗಳು ವರ್ತುಲವು Z/nZ (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ n) ಆಗಿರುವಾಗ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದಿನಿಂದ ಆರ್ಥರ್ ಕೇಲಿಯವರು 1879 ರಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಗಳ ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆಗೆ ಬ್ರೂಟ್ ಫೋರ್ಸ್ ವಿಧಾನದ ವಿಮರ್ಶೆಯಲ್ಲಿ, ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರುಃ ನಿಜವಾದ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಅನೈಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅವಧಿ 2). ಇದು ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಯಾವುದೇ ನಷ್ಟವು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬೇರುಗಳು ಎಕ್ಸ್ಪ್ (±hπi/m) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಲ್ಲಿ, ಕುರುಹು. ಎಮ್. ಕೋಲ್ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಲೆವಿ 1977ರ ಫ್ರೆಂಚ್ ಮೂಲದಿಂದ ಅನುವಾದಿಸಿದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ-ಕರ್ವ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್, 1987ರ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷಾಂತರದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮುದ್ರಣ ಪ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ ಡು ವಾಲ್ (1964) ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳು, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ರೊಟೇಷನ್ಸ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಸ್, ಕ್ಲಾರೆಂಡನ್ ಪ್ರೆಸ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಗುಂಟರ್ ಎವಾಲ್ಡ್ (1971) ಜ್ಯಾಮಿತಿಃ ಒಂದು ಪರಿಚಯ, ಪುಟ 263, ಬೆಲ್ಮಾಂಟ್ಃ ವ್ಯಾಡ್ಸ್ವರ್ತ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿವರ್ತನೆ (ಕಾರ್ಯ)