Mild-slope equation
ದ್ರವದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ನಾನಮಾಪಕದ ಮೇಲೆ ಹರಡುವ ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ ವಿವರ್ತನ ಮತ್ತು ವಕ್ರೀಭವನದ ಸಂಯೋಜಿತ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬ್ರೇಕ್ವಾಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕರಾವಳಿಯಂತಹ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಗಡಿಗಳಿಂದಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಸಮುದ್ರ ತಳದ ಸೌಮ್ಯ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲೆಗಳ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕಾಗಿ ಮೂಲತಃ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಹೆಸರನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ. ಕರಾವಳಿ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಬಂದರುಗಳು ಮತ್ತು ಕರಾವಳಿಯ ಬಳಿ ತರಂಗ-ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣವು ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ವಿವಿಧ ಆಳದ ನೀರಿನ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬಂಡೆಗಳು, ಕಡಲತೀರಗಳು, ಕಡಲತೀರಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರೇಕ್ವಾಟರ್ಗಳಂತಹ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಗಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಇದು ತರಂಗ ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ತರಂಗ ಎತ್ತರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ತರಂಗ ವೈಶಾಲ್ಯದಿಂದ, ನೀರಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಹರಿವಿನ ವೇಗದ ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳು-ತರಂಗ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹರಿವಿನ-ವೇಗದ ವೈಶಾಲ್ಯ-ತರುವಾಯ ಕರಾವಳಿ ಮತ್ತು ಕಡಲಾಚೆಯ ರಚನೆಗಳು, ಹಡಗುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ತೇಲುವ ವಸ್ತುಗಳು, ಕೆಸರು ಸಾಗಣೆ ಮತ್ತು ಸಮುದ್ರ ತಳ ಮತ್ತು ಕರಾವಳಿಯ ಸ್ನಾನಮಾಪಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳು, ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕರಗಿದ ಮತ್ತು ತೇಲುವ ವಸ್ತುಗಳ ಸಾಮೂಹಿಕ ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಮೇಲೆ ಅಲೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ರೂಪವನ್ನು 1952 ರಲ್ಲಿ ಎಕಾರ್ಟ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಸುಧಾರಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು-ಅದರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು-1972 ರಲ್ಲಿ ಜೂರಿ ಬರ್ಖಾಫ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪಡೆದರು. ಅದರ ನಂತರ, ಅನೇಕ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ತರಂಗ-ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂವಹನ, ತರಂಗ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆ, ಕಡಿದಾದ ಸಮುದ್ರ-ತಳದ ಇಳಿಜಾರುಗಳು, ತಳದ ಘರ್ಷಣೆ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಒಡೆಯುವಿಕೆ. ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಆಳದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರಿನ ಸಮೀಕರಣವು ತರಂಗ ವಿವರ್ತನೆಗೆ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕವರ್ಣದ ತರಂಗ ಚಲನೆಗಾಗಿ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ ಏಕವರ್ಣದ ತರಂಗಗಳಿಗೆ-ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರವನ್ನು ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನೀರಿನ ಆಳದ ದ್ರವ ಪದರದ ಮೇಲೆ ಹರಡುವ ಅಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ-ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರಿನ ಸಮೀಕರಣವೆಂದರೆಃ ಅಲ್ಲಿಃ ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರದ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಸಮತಲ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ; ಏಕವರ್ಣದ ತರಂಗ ಚಲನೆಯ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ; ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವಾಗಿದೆ; ಎಂದರೆ ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು; ಸಮತಲ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ; ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ; ತರಂಗಗಳ ವೇಗ ಮತ್ತು ತರಂಗಗಳ ಗುಂಪು ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಹಂತ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ವೇಗವು ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇವುಗಳನ್ನು ಏರೀ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆಃ ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ, ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನೀರಿನ ಆಳಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಸೌಮ್ಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಚಲಾಯಿಸಬಹುದುಃ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಸರಣ ತರಂಗಗಳು ಪ್ರಸರಣ ತರಂಗಗಳ ಪ್ರಾದೇಶಿಕವಾಗಿ ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಅದರ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇವೆರಡೂ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ವೈಶಾಲ್ಯ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಹಂತ, ಇದು ಇದರ ವಾದವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ (ಏಕವಚನವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ): ಪ್ರತಿ ಏಕ ಸಮತಲ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ತರಂಗ-ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಚಲನ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಮೊತ್ತ), ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಘಟಕಗಳು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಂಪು ವೇಗ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ದ್ರವ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತರಂಗ ಶಿಖರಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಸರಾಸರಿ ಪ್ರವಾಹಗಳಿಲ್ಲದ ಶುದ್ಧ ತರಂಗ ಚಲನೆಯ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ). ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗುಂಪಿನ ವೇಗವು ಗುಂಪಿನ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯು ಇರ್ರೋಟೇಶನಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ತರಂಗ ಹಂತದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಐಕಾನಲ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ವಿವರ್ತನದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಹೆಚ್ಚು-ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಗತಿಪರ ತರಂಗಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯು ಸ್ಥಿರ-ಬದಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, κ2 ಋಣಾತ್ಮಕವೂ ಆಗಬಹುದು. ವಿವರ್ತನೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದಾಗ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆ κ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ತರಂಗ ವಕ್ರೀಭವನಕ್ಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿಃ ಈಗ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕುಃ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾಹಕವನ್ನು ತರಂಗ ಹಂತದ ಇಳಿಜಾರು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು ಅದರ ವಾಹಕದ ಉದ್ದವು ಇರ್ರೊಟೇಷನಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಸುರುಳಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಈಗ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು, ಮೊದಲು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಿಃ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ನೇರವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಐಕಾನಲ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದು-ಇದರಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವು ಸಮಯ-ಸಾಮರಸ್ಯದ ಚಲನೆಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ-ತರಂಗ-ಶಕ್ತಿ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ, ನಾವು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ದ್ರವವು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹರಿವು ಇರ್ರೊಟೇಷನಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಗಳು ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವರ್ಟಿಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಗಡಿ ಪದರಗಳಲ್ಲಿ (ಹರಿವಿನ ಆಂದೋಲನದ ಭಾಗಕ್ಕೆ) ಮಾತ್ರ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿವೆ. ಹರಿವು ಇರ್ರೊಟೇಷನಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಹರಿವಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತರಂಗ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಲ್ಯೂಕ್ನ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ತತ್ವವಾದ ಲ್ಯೂಕ್ನ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತ್ವ ತರಂಗಗಳಿಗೆ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಡೊಮೇನ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯೂಕ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ತತ್ವದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ದ್ರವದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಸಮುದ್ರದ ತಳವು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಮತಲವಾದ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ವೇಗ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಹರಿವಿನ ವೇಗದ ಘಟಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿವೆ. ಲ್ಯೂಕ್ನ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿ ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸಂಭಾವ್ಯ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ದ್ರವದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಲೀನಿಯರ್ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹಾಸಿಗೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರದ ಸುತ್ತ ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ತರಂಗ ಚಲನೆಗೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಆಗುತ್ತದೆ ಲಂಬ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿನ ಪದವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿರಹಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಕೈಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಯೂಲರ್-ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಏಕೀಕರಣ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈಗ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಳ ಪದಕ್ಕೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲೆಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹರಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ರಚನೆಯು ಲಂಬ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತರಂಗದಂತೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸರಾಸರಿ ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಊಹೆಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಿದೆ ಮುಂದೆ, ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯವು-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹರಿವಿನ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದಃ ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಃ ಈ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ, ಎರಡನ್ನೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈಗ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ತರಂಗ ಚಲನೆಯ ವಿಕಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮತಲ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಹಂತವೆಂದರೆ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಏರ್ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಲಂಬ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವು ಸ್ವಲ್ಪ ಇಳಿಜಾರಿನ ಹಾಸಿಗೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲೆಗಳ ವಿವರಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಏರ್ ತರಂಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಆಳದಲ್ಲಿ ಹರಡುವ ಅಲೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯದ ರೂಪವೆಂದರೆಃ ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಆಳ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವನ್ನು, ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿರುವ ತರಂಗ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆಗುತ್ತವೆಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಎರಡು ವಿಕಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರ ಅಥವಾ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ, ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಲುಃ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಏಕವರ್ಣದ ಅಲೆಗಳ ಸುತ್ತ ಆವರ್ತನಗಳ ಕಿರಿದಾದ ಬ್ಯಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಅಲೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಏಕವರ್ಣದ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸಮಯಕ್ಕಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೌಮ್ಯ-ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಅಲೆಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯದಂತಹ ಕೆಲವು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಂಶಗಳು, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಇಳಿಜಾರುಗಳಿಗೂ ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಪ್ಪಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಗಣಿತದ ಕುತೂಹಲವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಸಣ್ಣ ಕೆಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳಿಗೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು, 2 ಭಾಗಗಳು, 967 ಪುಟಗಳು. , 740 ಪುಟಗಳು. ಕರಾವಳಿ ಭೌಗೋಳಿಕತೆ ದ್ರವದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳು