Complex torus
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಟೋರಸ್ ಆಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎನ್ ವೃತ್ತಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ). ಇಲ್ಲಿ N ಯು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ 2n ಆಗಿರಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು M ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ನಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ λ ಅನ್ನು ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ Cn ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ; ನಂತರ ಅಂಶ ಗುಂಪು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. n = 1 ಗೆ ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅವಧಿಯ ಜಾಲರಿ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ. n> 1 ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು; ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಾಗಿವೆ. n> 1 ಆಗಿದ್ದಾಗ ನಿಜವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ), ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (ಸ್ಥಿರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ) ಥೀಟಾ-ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸಹ-ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. n = 1 ಗೆ ಘನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿವರಣೆಯಷ್ಟು ಸರಳವಾದದ್ದು ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಣ್ಣ n ಗಾಗಿ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮಂಜಸವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲದು. ಚೌ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ 'ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ'. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಂಕೀರ್ಣ ತೋರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೈ ಗುಂಪು. ಇವು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ರಚನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕವರ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ಲೈ ಗುಂಪಿಗೆ ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಒಂದು ಜಾಲರಿ ಮತ್ತು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಶ್ರೇಣಿಯ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಂಶ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ನ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜಿ-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಅದರ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಜಾಲರಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು. ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಹಿಮ್ಮುಖ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೋದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಪೀರಿಯಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಜಾಲರಿಯ ಕಾಲಮ್ನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ಗೆ, ಇದು ರೂಪದ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ 4 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯಾಮದ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ಗೆ ಇದು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ರೂಪದ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ರೂಪದ ಬ್ಲಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಆಧಾರದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ನಾವು ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವುದರಿಂದ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಷರತ್ತು ಇದು ಏಕ-ಅಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಬ್ಲಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ಇದು ಸರಳವಾಗಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು 2-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಂತಹ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕೆಂದರೆ ಇದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೀಮನ್ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿ ಮತ್ತು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯ ಏಕರೂಪತೆಯು ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವಂತಹ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹಲವಾರು ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಏಕರೂಪತೆಯು ಅವುಗಳ ಆವರಣಾ ಸ್ಥಳಗಳ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಅವುಗಳ ಆವರಣಾ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವುದರಿಂದ, ಇದು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬೇಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಇವುಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಜಾಗದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ತೋರಿಯ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ತೋರಿಯ ನಡುವಿನ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗವು ಬಹಳ ಸರಳವಾದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಏಕರೂಪತೆಯು ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಯು ಏಕರೂಪತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಗಳ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಐಸೋಜೆನಿಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವರ್ಗವನ್ನು ಐಸೋಜೆನಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕರ್ನಲ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಕರ್ನಲ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಬಂಧಿತ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಟೋರಿ ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಟೋರಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಜಾಲರಿಗಳ ಆಧಾರದ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ನೀಡಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಇದು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಡಬಲ್ ಕೋಸೆಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ, ಇದು ನಿಜವಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಟೋರಿಯಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯಲ್ಲಿ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ನಿರ್ಮಾಣವಿದೆ, ಅದರ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ನ ಗ್ರೂಪ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ತೋರಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಆಟೋಮೊರ್ಫಿಯ ಅಂಶಗಳು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪೊರೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಿತ ಕ್ರಿಯೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ದಿ-ಆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇಳೆ ಕೋಸಿಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. 1-ಕೋಶಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ಆಟೋಮೊರ್ಫಿಯ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ತೋರಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಸಿಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಅಲ್ಲದೆ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಸಂಬಂಧಿತ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆಟೋಮೊರ್ಫಿಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳು ಆಟೋಮೊರ್ಫಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನೀಡಲಾದ-ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳದ ಕಾರಣ, ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ಬಂಡಲ್ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕವರಿಂಗ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್. ಇದು ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಯ ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಂಪಿನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ 1-ಕೋಶಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಜಾಲರಿಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಂತೆ ಬರೆಯುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ರೇಖೆಯ ಕಟ್ಟುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯ ಮೇಲೆ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗವು ಘಾತೀಯ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ-ಮೌಲ್ಯದ 2-ರೂಪ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಅವಧಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಜಾಲರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವು ಹಲವಾರು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯ ಅಂಶದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ತೆರೆದಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಕೋಶವಿದೆ. ನಂತರ, ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದರೆ, ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ನಿಖರವಾದ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳಂತಹ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಂಶವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ನಲ್ಲಿ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಅಪ್ಪೆಲ್-ಹಂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಮೇಯ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರ್ಯಾಯ-ಮೌಲ್ಯದ 2-ರೂಪಕ್ಕಾಗಿ, ಅದನ್ನು-ಮೌಲ್ಯದವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯದ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನ ಕೆಲವು ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪವಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ಗಾಗಿ ನಾವು ನೆರೋನ್-ಸೆರ್ವೆರಿ ಗುಂಪನ್ನು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪಗಳ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪದ ಉದಾಹರಣೆ ಜಾಲರಿಯು ನೀಡಿದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ವರ್ತಿಸಲು ಸರಿಯಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಾವು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಬೇಸಿಸ್ ಅನ್ನು ರಿಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಆದ್ದರಿಂದ) ಆಗಿ ಬಳಸಿದರೆ, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇವುಗಳು ನಂತರ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ) ನಾವು ಪಡೆಯುವ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ನಾವು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಅದು ಮೇಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಅರೆ-ಅಕ್ಷರ ಜೋಡಿಗಳು ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಅರೆ-ಅಕ್ಷರವು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಕ್ಷೆಯು ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪದಿಂದ ತಿರುಚಿದ ಅಕ್ಷರದಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗ ಸಂಬಂಧಿತ ಅರೆ-ಪಾತ್ರಗಳು ಅಕ್ಷರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಡಿಗ್ರಿ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಟೋರಸ್, ಇದನ್ನು ಅಕ್ಷರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೋಡಬಹುದು, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಾಗಿ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ನಕ್ಷೆಗಳಂತೆ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ನಿಜವಾದ ಟೋರಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಕ್ಷರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಅರೆ-ಪಾತ್ರಗಳ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪ, ಅಥವಾ ಅರೆ-ಅಕ್ಷರ ಜೋಡಿಗಳು, ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಈ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯು ಹೊಸ ಅರೆ-ಪಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಅರೆ-ಪಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂವಹನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಬರುತ್ತದೆಃ ಇದು ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆತ್ತುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಅಕ್ಷರಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಕಟ್ಟುಗಳು ಅರೆ-ಅಕ್ಷರಗಳ ಜೋಡಿಗೆ ನಾವು 1-ಕೋಸಿಕಲ್ ಅನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಕೋಸಿಕಲ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೇರ ಗಣನೆಯ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋಸಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ-ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಇದನ್ನು ಆಟೋಮೊರ್ಫಿಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಸಂಬಂಧಿತ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅರೆ-ಅಕ್ಷರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂವಹನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಬಾಣಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಅಥವಾ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಪ್ಪೆಲ್-ಹಂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡ್ಯುಯಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಟೋರಸ್ ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲಿನ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಡ್ಯುಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳ ನೈಜ ಟೋರಸ್ ಮೇಲೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ಹಾಕಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಂಟಿಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವು ನೈಜ ಡ್ಯುಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಡ್ಯುಯಲ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಜಾಲರಿ ಇದೆ. ನಂತರ, ನಾವು ಡ್ಯುಯಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಟೋರಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಇದು ಡ್ಯುಯಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಟೋರಸ್ನ ಆ ಡ್ಯುಯಲ್ ಮೂಲ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಟೋರಸ್ ಎಂಬ ವಿಶೇಷ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯಿಂದ, ದ್ವಂದ್ವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ ಅನ್ನು ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ದ್ವಂದ್ವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ ಮೂಲಕ ಯಾವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಗೆ ನೀಡಲು ಆ್ಯಂಟಿ-ಲೀನಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡ್ಯುಯಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಟೋರಸ್ನ ಇತರ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿವೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ (ಅಥವಾ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯ) ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಅನುವಾದಗಳು ಬದಲಾಗದ ಸ್ಥಳಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ, ಅಂದರೆ. ನಂತರ, ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ ಅನ್ನು ಐಸೊಜೆನಿ ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಇದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ದ್ವಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ (ಅಥವಾ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯ) ಆಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಬಂಡಲ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಟೋರಸ್ನ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ, ಟೋರಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ 0 ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಈ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ತೋರಿಸುವುದರಿಂದ ಸಂಬಂಧಿತ ಅಂಗೀಕೃತ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಬಂಡಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಲೈ ಗ್ರೂಪ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇಂಟರ್ಮೀಡಿಯೇಟ್ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಗಾಮಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ 2-ಆಯಾಮದ ಟೋರಿ-ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಪಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಜರ್ಬಸ್-ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಸ್ ಮೇಲೆ ಜರ್ಬೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ-ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಯ ಮೇಲೆ ಜರ್ಬೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ-ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿ ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಟೋರಿ ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದುಃ ಥಿಯರಿ ಟು ಪ್ರಾಕ್ಟೀಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು