Azumaya algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಂದ-ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗೊರೊ ಅಜುಮಯಾದ 1951 ರ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂವಹನ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಇದನ್ನು 1964-65 ನಿಂದ ಬೌರ್ಬಾಕಿ ವಿಚಾರಗೋಷ್ಠಿಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಮಾಡಿದರು. ಈಗ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶದ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳಿವೆ. ಒಂದು ವರ್ತುಲದ ಮೇಲೆ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವರ್ತುಲದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆಃ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೊರಿಟಾಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. - ಬೀಜಗಣಿತವು ಮೊರಿಟಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತವಿದೆ. ಇದರ ಕೇಂದ್ರವು, ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದಂತಿರುತ್ತದೆ. ಇದು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆರ್ಟಿನ್-ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಇವು ಕೆಲವು ವಿಭಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸರಳ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ತುಲಗಳ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂವಹನ ವರ್ತುಲವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು-ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತವು ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ಆವರ್ತಕ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಲಿಕೆ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು (ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ). ಡಿಗ್ರಿಯ ಸೀಮಿತ ಆವರ್ತಕ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಜನರೇಟರ್ಗೆ ಒಂದು ತಿರುಚಿದ ಬಹುಪದ ಉಂಗುರವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂವಹನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಓವರ್ ಆಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವ ಟಿಪ್ಪಣಿ ನೀಡಿದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂಶ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಆವರ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತವೂ ಇದೆ. ವಲಯಗಳ ಮೇಲೆ, ಎಟೇಲ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ವರ್ಗೀಕರಣವಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ವರ್ಗಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉಂಗುರಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದ್ದರೆ ಉಂಗುರಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ನಂತರ, ಈ ಸಮಾನತೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ, ನಂತರ, ತೋರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಂತಹ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಗುಂಪು ರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈಟೇಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಕಲ್ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೊಲಿಮಿಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಗಣನೆ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಸ್ಥಳೀಯ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ pg 193 ಏಕೆಂದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂವಹನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಲಂಬ ನಕ್ಷೆಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲ ನಕ್ಷೆಗಳು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ n-ತಿರುಚು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುವ ಕುಮ್ಮರ್ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ 90 ಸೂಚಿಸುವುದರಿಂದ, ಏಕತೆಯ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡನೇ ಇಟೇಲ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಎನ್-ತಿರುಚು ವರ್ಗಗಳ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದೆ. ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಚಿಹ್ನೆ, ಅಥವಾ ನಾರ್ಮ್-ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಚಿಹ್ನೆಯು,-ತಿರುಚು ಮಿಲ್ನರ್ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಇಟೇಲ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿಗೆ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕುಮ್ಮರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ, ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮತ್ತು ಎಟೇಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮೂಲಕ ಪರ್ಯಾಯ, ಆದರೆ ಸಮಾನವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವಿದೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಉದ್ದವಾದ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಏಕತೆಯ ಮೂಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ವರ್ಗವೂ ಇದೆ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಶೇಷದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣ, ಇದು ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು-ತಿರುಚು ವರ್ಗಗಳು ಆವರ್ತಕ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸ್ಕೋಲೆಮ್-ನೋಥರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ರಚನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಸ್ಕೋಲೆಮ್-ನೋಥರ್ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆಃ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂವಹನ ವರ್ತುಲ ಮತ್ತು ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಳಗಿನ ಏಕೈಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು. ಅಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆಃ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪು ಎಲ್ಲಿದೆ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ವರ್ಗಗಳ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕೆಲವರಿಗೆ ರಚನೆಯ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಚೆಕ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಅಂತಹ ಕಟ್ಟುಗಳ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಇದು ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಮೂಲ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವಿಚಾರಸಂಕಿರಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಮೂಲ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ವಿಚಾರಸಂಕಿರಣದ ಪ್ರಕಾರ, ರಚನೆಯ ಕೋಶದೊಂದಿಗೆ X ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋಶಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳ ಕೋಶವಾಗಿದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋಶವು ಧನಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿಯದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕೋಶದ 'ತಿರುಚಿದ-ರೂಪ' ವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮಿಲ್ನೆ, ಎಟೇಲ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ, ಇದು-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕೋಶವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕಾಂಡವು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಸೀವ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಸೀಮಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸೀಫ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು (ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾದೃಶ್ಯ) ಎಂಬುದು ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸ್ಪೆಕ್ನ ಮೇಲೆ ಉದಾಹರಣೆ (Z [1/n]) ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಂವಹನವಲ್ಲದ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಜಾಗತೀಕರಿಸಬಹುದು, ನಂತರ,-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕೋಶವಾಗಿ, ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಅಫೈನ್ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಲು ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಿ. ಎನ್. ಓವರ್ ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೇಲೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದರ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಕೋಶವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕೋಶವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಂತಹ ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಒತ್ತಿಹೇಳಲಾದ ಈ ಕೋಶದಿಂದ ಅಜುಮಯಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಯೂರಿ ಮ್ಯಾನಿನ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಅನ್ವಯಗಳಿವೆ. ಹ್ಯಾಸ್ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾನಿನ್ ಅಡಚಣೆಯನ್ನು ಬ್ರಾವರ್ ಯೋಜನೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗೆರ್ಬ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮೋಟಿವಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ನಾರ್ಮ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಮೇಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಮಿಲ್ನೆ, ಜಾನ್. ಎಟೇಲ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ. "ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು" ವಿಭಾಗ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಯೋಜನೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೇಲೆ Ch IV ಮ್ಯಾಥೋವರ್ಫ್ಲೋ ಥ್ರೆಡ್