Tate conjecture
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು 1963ರ ಜಾನ್ ಟೇಟ್ ಅವರ ಊಹೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೈವಿಧ್ಯದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಟೇಲ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಊಹೆಯು ಕೇಂದ್ರ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹಾಡ್ಜ್ ಊಹೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಾದೃಶ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಊಹೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು, V ತನ್ನ ಪ್ರಧಾನ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ k ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ks ಎಂಬುದು k ನಿಂದ ks ಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚಳವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು G ಎಂಬುದು k ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ (ks/k). k ನಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವಾಗಬಹುದಾದ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ l ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. V ಯಿಂದ ks ಗೆ ಮೂಲ ವಿಸ್ತರಣೆಯ l-adic ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು (l-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು Zl, ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳು ನಂತರ l-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಗುಂಪುಗಳು G ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ i ≤ 0 ಗೆ, V ಯ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್-i ಉಪವಿಭಾಗವು (k ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ) G ಯಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ Ql (i) ith ಟೇಟ್ ಟ್ವಿಸ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು G ಯಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ W ನ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ WG ಅನ್ನು, Ql-ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ, V ಯ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್-i ಸಬ್ ವೇರಿಯೆಟಿಗಳ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಟೇಟ್ ಊಹೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರ ಎಂದರೆ ಸಬ್ ವೇರಿಯೆಟಿಗಳ ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ; ಆದ್ದರಿಂದ WG ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು Ql ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ V ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸಮಾನವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು (ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ 1ರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳು) ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f: X → C ಒಂದು ನಯವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿರಲಿ. f ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫೈಬರ್ F, ಇದು k (C) ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, k (C) ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ X ಮೇಲಿನ ಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ವಿಧವಾದ F ನ ಬಿರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಿನ್ನರ್ಟನ್-ಡೈಯರ್ ಊಹೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಧದ ವಿಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಾಡ್ಜ್ ಊಹೆಯು ತಿಳಿದಿದೆ (ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ (1,1)-ಪ್ರಮೇಯ). ಬಹುಶಃ ತಿಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಟೇಟ್ ಊಹೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಟೇಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ನ ಮೊರ್ಡೆಲ್ ಊಹೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಝಾರ್ಹಿನ್ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಬೇಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೇಲಿನ ಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು C1 ×. × Cn ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲಿನ ಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಟೇಟ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಭಾಜಕಗಳಿಗೆ (ತಿಳಿದಿರುವ) ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ನಡುವಿನ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಬಲವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕೆ ಮೇಲೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದ ಎ ಅನ್ನು ಅದರ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಚ್1 (ಅಕ್ಸ್, ಝಡ್ಎಲ್) ನಲ್ಲಿರುವ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ಐಸೊಜೆನಿಯವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2 ಅಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಸಹ ಟೇಟ್ ಊಹೆ ಹೊಂದಿದೆ. (ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಊಹೆಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಭಾಗವು ವಿಭಾಜಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.) ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಟೇಟ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಆಂಡ್ರೆ ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಂಕೀವ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳು 2 ಅಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆದ್ದರೆ, ಟೇಟ್ ಊಹೆಯನ್ನು ನೈಗಾರ್ಡ್, ಓಗಸ್, ಚಾರ್ಲ್ಸ್, ಮಡಪುಸಿ ಪೆರಾ ಮತ್ತು ಮೌಲಿಕ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಟೇಟ್ ಊಹೆಯ ಪರಿಚಿತ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳು ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಊಹೆಗಳು X ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಅರೆ-ಸರಳೀಕರಣದ ಊಹೆಯು X ನ l-adic ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ G = Gal (ks/k) ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತ) ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. 0 ರ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ k ಗೆ, ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು (ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ) q ಕ್ರಮದ k ಪರಿಮಿತಿಯ ಅರ್ಧ ಸರಳತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ಸರಳತೆಯ ಊಹೆಯು ಬಲವಾದ ಟೇಟ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ t = q−j ನಲ್ಲಿರುವ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ Z (X, t) ನ ಧ್ರುವದ ಕ್ರಮವು ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ j ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಊಹೆಯಂತೆ, ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ); ಕರ್ಣೀಯದ ಕುನ್ನೇತ್ ಘಟಕಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದವು; ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜೇಮ್ಸ್ ಮಿಲ್ನೆ, ದಿ ಟೇಟ್ ಕಾಂಜೆಕ್ಚರ್ ಓವರ್ ಫೈನೈಟ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ (AIM ಟಾಕ್). ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ