Convection–diffusion equation
ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ (ಅಡ್ವೆಕ್ಷನ್) ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಕಣಗಳು, ಶಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಎರಡು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದಾಗಿ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಳಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯಾಗುವ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ. ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಡ್ವೆಕ್ಷನ್-ಡಿಫ್ಯೂಷನ್ ಸಮೀಕರಣ, ಡ್ರಿಫ್ಟ್-ಡಿಫ್ಯೂಷನ್ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋರ್ಟ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವೆಂದರೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಚಲರಾಶಿ (ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ವರ್ಗಾವಣೆಗೆ ಜಾತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆಗೆ ತಾಪಮಾನ), ಪ್ರಸರಣವು (ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಗೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಪ್ರಸರಣ ಅಥವಾ ಶಾಖ ಸಾಗಣೆಗೆ ಉಷ್ಣ ಪ್ರಸರಣವು, ಪ್ರಮಾಣವು ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ವೇಗ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಡ್ವೆಕ್ಷನ್ ನಲ್ಲಿ, ನದಿಯಲ್ಲಿ ಉಪ್ಪಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ನೀರಿನ ಹರಿವಿನ ವೇಗವಾಗಿರಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಶಾಂತ ಸರೋವರದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಗುಳ್ಳೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಗುಳ್ಳೆಗಳ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ತೇಲುವಿಕೆಯಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈ ಕಡೆಗೆ ಏರುವ ಗುಳ್ಳೆಗಳ ವೇಗ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಬಹು ಹಂತದ ಹರಿವುಗಳು ಮತ್ತು ಸರಂಧ್ರ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿನ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ, ಇದು (ಊಹಾತ್ಮಕ) ಬಾಹ್ಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೂಲಗಳು ಅಥವಾ ಮುಳುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ರಾಸಾಯನಿಕ ಪ್ರಭೇದಕ್ಕೆ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಮತ್ತು ರಾಸಾಯನಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಶಾಖದ ಸಾಗಣೆಗೆ, ಘರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಉಷ್ಣ ಶಕ್ತಿಯು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಮೂರು ಕೊಡುಗೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದು, ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ರಾಸಾಯನಿಕದ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಎಲ್ಲೋ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ (ಉದಾ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಂದ್ರತೆ), ವಸ್ತುವು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ಹರಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಏಕಾಗ್ರತೆ ಅಧಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ (ಉದಾ. ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಂದ್ರತೆ), ನಂತರ ವಸ್ತುವು ಹರಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸರಣವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ನಿವ್ವಳ ಪ್ರಸರಣವು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ (ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ) ಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕೊಡುಗೆ, ಸಂವಹನವನ್ನು (ಅಥವಾ ಅಡ್ವೆಕ್ಷನ್) ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನದಿಯ ದಡದಲ್ಲಿ ನಿಂತುಕೊಂಡು, ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ನೀರಿನ ಲವಣತ್ವವನ್ನು (ಉಪ್ಪಿನ ಪ್ರಮಾಣ) ಅಳೆಯುವುದನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ, ಯಾರೋ ಒಂದು ಬಕೆಟ್ ಉಪ್ಪನ್ನು ನದಿಗೆ ಎಸೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ಉಪ್ಪಿನ ನೀರಿನ ವಲಯವು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಲವಣಾಂಶವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಏರುವುದನ್ನು, ನಂತರ ಬೀಳುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಹರಿವಿನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಅಂತಿಮ ಕೊಡುಗೆಯು, ಪ್ರಮಾಣದ ಸೃಷ್ಟಿ ಅಥವಾ ನಾಶವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಅಣುವಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿದ್ದರೆ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅಣುವನ್ನು ಹೇಗೆ ರಚಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ನಾಶಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಇತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮಾಣಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದ ನಾಶವು ಇನ್ನೊಂದರ ಸೃಷ್ಟಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೀಥೇನ್ ಉರಿಯುವಾಗ, ಇದು ಮೀಥೇನ್ ಮತ್ತು ಆಮ್ಲಜನಕದ ನಾಶವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಇಂಗಾಲದ ಡೈಆಕ್ಸೈಡ್ ಮತ್ತು ನೀರಿನ ಆವಿಯ ರಚನೆಯನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ರಾಸಾಯನಿಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಳೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಾಂಕವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಮೂಲಗಳು ಅಥವಾ ಮುಳುಗುವಿಕೆಗಳಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವೇಗ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ಹರಿವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ನಂತರ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ, (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಾಪಮಾನವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ದುರ್ಬಲ ಅನಿಲವು ಬಹುತೇಕ ಶೂನ್ಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾರಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳವಾಗಿದೆಃ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಡೊಮೇನ್ (ಅಂದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ನಲ್ನೊಂದಿಗೆ) ಎರಡರಲ್ಲೂ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಟೈಮ್ ಆಫ್ ಫ್ಲೈಟ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ನಿಕಟ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕಂಡೆನ್ಸೇಟ್ಗೆ ತಾಪಮಾನ ಮಾಪನದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಾಯಿ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರ-ಸ್ಥಿತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆಃ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೇರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿಯಂತ್ರಣ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಣ ಪರಿಮಾಣದೊಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪಾದನೆ ಅಥವಾ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆ ಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಹರಿವು ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಒಟ್ಟು ಹರಿವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಟ್ಟು ಪರಿಮಾಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹರಿವಿನ ಎರಡು ಮೂಲಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರಸರಣದಿಂದಾಗಿ ಹರಡುವ ಹರಿವು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫಿಕ್ನ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಂದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹರಡುವ ವಸ್ತುವಿನ ಹರಿವು (ಬೃಹತ್ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಂವಹನ ಅಥವಾ ಹರಿವು ಇದ್ದಾಗ, ಅಡ್ವೆಕ್ಟಿವ್ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಿತ ಹರಿವು ಇರುತ್ತದೆಃ ಒಟ್ಟು ಹರಿವನ್ನು (ಸ್ಥಾಯಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ) ಈ ಎರಡರ ಮೊತ್ತದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದುಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಿಶ್ರಣ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ,,, ಮತ್ತು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಅವು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಂತಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದಾಗ ರೇಲೇ-ಬೆನಾರ್ಡ್ ಸಂವಹನ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ವರ್ಗಾವಣೆ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ-ಪ್ರಸರಣ ಮಾದರಿಯ ರಚನೆಯಂತಹ ಅನೇಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಿಶ್ರಣ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ವೇಗ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವು ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಕರಗಿದ ಅಯಾನುಗಳ ಹರಿವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅಯಾನುಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆಯುತ್ತದೆ (ಜೆಲ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಫೋರೆಸಿಸ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ). ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡ್ರಿಫ್ಟ್-ಡಿಫ್ಯೂಷನ್ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು 1915 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಮರಿಯನ್ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ನಂತರ (ಐನ್ಸ್ಟೀನ್-ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು). ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು ಅನ್ವಯಿಕ ಬಲಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಬಲ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಘರ್ಷಣೆ ಅಥವಾ ಸ್ನಿಗ್ಧ ಎಳೆತವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. (ವಿಲೋಮವನ್ನು ಚಲನಶೀಲತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಬಲವು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಾಗ (ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ಬಲವನ್ನು ನೋಡಿ), ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ-ಸ್ಥಿತಿಯ ಪರಿಹಾರ (ಅಂದರೆ) is: (ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದು). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಶಕ್ತಿಯು ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಣಗಳಿವೆ. ಈ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿವರವು ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆ). ಈ ಊಹೆಯಿಂದ, ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಸ್ಮೋಲುಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣ ಸ್ಮೋಲುಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂವಹನ ಹರಿವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ (ಸ್ಮೋಲುಕೋವ್ಸ್ಕಿ) ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಲವು ಎರಡು ಕೊಲೊಯ್ಡಲ್ ಕಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ಅಂತರಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ಬಲವನ್ನು ಅಥವಾ ದ್ರವದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಅಣುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ಬಲವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಹೇರಿದ ಹರಿವಿನ ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ-ಸ್ಥಿತಿಯ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕತ್ತರಿಸುವ ಹರಿವಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಲೊಯ್ಡಲ್ ಅಮಾನತುಗಳ ಜೋಡಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ (ಇದನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು) ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ-ಸ್ಥಿತಿಯ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವು ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಣುಗಳ ಸಾರಿಗೆ-ನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ದರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಕೊಲೊಯ್ಡಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಕೊಲೊಯ್ಡಲ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಡಿ. ಎಲ್. ವಿ. ಓ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಮೈಕ್ರೋಫ್ಲೂಯಿಡಿಕ್ಸ್, ರಾಸಾಯನಿಕ ರಿಯಾಕ್ಟರ್ಗಳು, ಪರಿಸರದ ಹರಿವುಗಳು). ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಸ್ಥಿರ-ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು, ಕತ್ತರಿಸುವ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಲೆನಾರ್ಡ್-ಜೋನ್ಸ್ ಕಣಗಳ ಜೋಡಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲೆಸ್ಸಿಯೋ ಜಾಕೋನ್ ಮತ್ತು ಎಲ್. ಬನೆಟ್ಟಾ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ಚಾರ್ಜ್-ಸ್ಥಿರವಾದ (ಯುಕಾವಾ ಅಥವಾ ಡೆಬಿ-ಹಕೆಲ್) ಕತ್ತರಿಸುವ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ ಕೊಲೊಯ್ಡಲ್ ಕಣಗಳ ಜೋಡಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಯಾವುದೇ ಮೂಲಗಳು ಅಥವಾ ಡ್ರೈನ್ಗಳಿಲ್ಲದ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಇದು ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪಕ್ಷಪಾತದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಕಣದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಕಣದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಕಣದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಕಣಗಳ ಸಂಗ್ರಹದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ (ಕಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದಿರುವವರೆಗೆ) ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ. ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಆಡ್ ವೆಕ್ಷನ್, ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸರಳ ರೂಪವೆಂದರೆ ಅದರ "ಶಬ್ದ ಪದ" ಗೌಸಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿರಳವಾಗಿ ಪೆನ್ನು ಮತ್ತು ಕಾಗದದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿಃ ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವು ಹರಿವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದೇ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಸಮೀಕರಣವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೂಲಕ ಹರಿಯುವ ಹರಿವಿಗೆ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಕಣದ ವೇಗದ ಫೋಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದು ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಆವೇಗದ ಹರಿವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಅಥವಾ ಶಕ್ತಿಯ ಹರಿವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸಂಕೋಚನಗೊಳ್ಳದ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ದ್ರವದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ದ್ರವದ ಆವೇಗವು (ಪ್ರತಿ ಏಕಮಾನದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ) ಎಲ್ಲಿದೆ (ವೇಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ, ದ್ರವದ ಒತ್ತಡ, ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಂತಹ ಯಾವುದೇ ದೇಹದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪದವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ; ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ಪದವು ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯಿಂದ ಆವೇಗದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ; ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡನೇ ಪದವು ಆವೇಗದ ಅಡೆವೆಕ್ಟಿವ್ ಹರಿವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳು ಆವೇಗದ ಮೂಲಗಳಾಗಿ ಅಥವಾ ಮುಳುಗುವಿಕೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದಾದ ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಅರೆವಾಹಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅರೆವಾಹಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಚಲನೆ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಡ್ರಿಫ್ಟ್" ಎಂಬ ಪದವು ಡ್ರಿಫ್ಟ್ ಕರೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಡ್ರಿಫ್ಟ್ ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ರಂಧ್ರಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು (ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಚಾರ್ಜ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ರಂಧ್ರಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರವಾಹಗಳು, ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ರಂಧ್ರಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ "ಕಣ ಪ್ರವಾಹಗಳು", ವಾಹಕ ಉತ್ಪಾದನೆ ಮತ್ತು ಮರುಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್-ಹೋಲ್ ಜೋಡಿಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆಗೆ, ಮರುಸಂಯೋಜನೆಗಾಗಿ). ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಮತ್ತು ಹೋಲ್ ಚಲನಶೀಲತೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಚಲನಶೀಲತೆಯು ಮೇಲಿನಂತೆ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ. ಡ್ರಿಫ್ಟ್ ಕರೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಡಿಫ್ಯೂಷನ್ ಕರೆಂಟ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ನ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಡ್ರಿಫ್ಟ್ ಡಿಫ್ಯೂಷನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೆಮಿಕಂಡಕ್ಟರ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕು ಹೊಳೆಯುವಾಗ, ವಾಹಕಗಳು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ತುದಿಗಳ ಕಡೆಗೆ ಹರಡುತ್ತವೆ. ಈ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಚಲನೆ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಎರಡು ತುದಿಗಳ ಕಡೆಗೆ ವಾಹಕದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಲೈಬ್ರರಿ ಕನ್ಸರ್ವೇಷನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಇನ್ಕಾಂಪ್ರೆಸಿಬಲ್ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೆರ್ನ್ಸ್ಟ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಡಬಲ್ ಡಿಫ್ಯೂಸಿವ್ ಕನ್ವೆಕ್ಷನ್ ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಷನ್ ಬಕ್ಲಿ-ಲೆವೆರೆಟ್ ಸಮೀಕರಣ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಡಿಫ್ಯೂಷನ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಪಾರ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾರಿಗೆ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು