Proebsting's paradox
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರೋಬ್ಸ್ಟಿಂಗ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡವು ನಾಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಒಂದು ವಾದವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಇದು ಕೆಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯದ ಬಗ್ಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಹೂಡಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು 2008 ರಲ್ಲಿ ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಒ. ಥಾರ್ಪ್ ಅವರು ಹೆಸರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಚರ್ಚಿಸಿದರು. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಅದರ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತರಾದ ಟಾಡ್ ಪ್ರೋಬ್ಸ್ಟಿಂಗ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಹೇಳಿಕೆ ಒಂದು ಪಂತವು ಗೆಲ್ಲುವ ಅಥವಾ ಸೋಲುವ ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಗೆಲುವಿಗಾಗಿ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಪಾಲನ್ನು ಪಾವತಿಸಿದರೆ, ಕೆಲ್ಲಿ ಪಂತವೆಂದರೆಃ ಸಂಪತ್ತಿನ ಬಾರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು 50/50 ಪಂತವು 2 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸಿದರೆ, ಕೆಲ್ಲಿ 25 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಲು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಒಂದು 50/50 ಪಂತವು 5 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸಿದರೆ, ಕೆಲ್ಲಿ 40 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಲು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಈಗ ಒಬ್ಬ ಜೂಜುಕೋರನಿಗೆ 2 ರಿಂದ 1 ಪಾವತಿ ಮತ್ತು 25 ಪ್ರತಿಶತ ಪಂತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಹೊಸ ಪಂತಗಳ ಮೇಲಿನ ಪಾವತಿಯು 5 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಬದಲಾದರೆ ಅವನು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಅವನು f * ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕುಃ ಏಕೆಂದರೆ ಅವನು ಗೆದ್ದರೆ ಅವನು 1.5 (2 ರಿಂದ 1 ಆಡ್ಸ್ನಲ್ಲಿ 25 ಪ್ರತಿಶತ ಪಂತವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವುದರಿಂದ 0.5) ಜೊತೆಗೆ 5f * ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ; ಮತ್ತು ಅವನು ಸೋತರೆ ಅವನು ಮೊದಲ ಪಂತದಿಂದ 0.25 ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ f * ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. f * ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದಃ ಇದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಆದ್ದರಿಂದ f * = 0.225. ವಿರೋಧಾಭಾಸವೆಂದರೆ, ಪ್ರಾರಂಭದಿಂದಲೂ 5 ರಿಂದ 1 ಆಡ್ಸ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಒಟ್ಟು ಪಂತ, 0.25 + 0.225 = 0.475,0 ಕೆಲ್ಲಿ ಪಂತಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಪಂತಗಳು ಪ್ರತಿಕೂಲವಾದ ಪ್ರತಿಕೂಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಬಗ್ಗೆ ಟಾಡ್ ಪ್ರೋಬ್ಸ್ಟಿಂಗ್ ಅವರು ಎಡ್ ಥೋರ್ಪ್ ಅವರಿಗೆ ಇಮೇಲ್ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ ನಾಶವಾಗುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಎಡ್ ಥಾರ್ಪ್ ಅರಿತುಕೊಂಡರು. ಒಬ್ಬ ಜೂಜುಕೋರನಿಗೆ 2 ರಿಂದ 1 ಆಡ್ಸ್ ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ 4 ರಿಂದ 1, ನಂತರ 8 ರಿಂದ 1 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ (n = 1 ರಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ 2n ನಿಂದ 1) ಕೆಲ್ಲಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ಹೇಳುತ್ತಾನೆಃ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪಂತಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲ್ಲಿ ಜೂಜುಕೋರನು ತನ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಶೇಕಡಾ 50ರಷ್ಟು ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬೆಟ್ಟರ್ ಒಂದು 50/50 ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿ1 ಪಾವತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲ್ಲಿ ಪಂತವನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಬಿ2ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವನು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡುತ್ತಾನೆಃ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬಿ2ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಬೆಟ್ಟರ್ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದೇ ಮೊದಲ ಅವಧಿ. ಎಫ್2> ಎಫ್1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪಾವತಿಯು ಸುಧಾರಿಸಿದರೆ, ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ ಅವರು ಎರಡನೇ ಪಾವತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅವರು ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಪಾವತಿಯು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದ್ದರೆ ಅವರು ಎರಡನೇ ಪಾವತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡಿದರೆ ಅವರು ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನೇಕ ಪಂತಗಳು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೊದಲು ಪ್ರತಿಫಲಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಬದಲಾಗಬಹುದಾದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ರೀಡಾ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಈವೆಂಟ್ ನಡೆಯುವ ಮೊದಲು ಸಾಲು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಸುದ್ದಿಗಳು (ಗಾಯ ಅಥವಾ ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಂತಹವು) ಹೊರಬರಬಹುದು. ಹೂಡಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲತಃ ಪ್ರತಿ ಷೇರಿಗೆ $20ಕ್ಕೆ ಖರೀದಿಸಿದ ಸ್ಟಾಕ್ ಈಗ $10 ಅಥವಾ $30 ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಬೆಲೆಗೆ ಲಭ್ಯವಿರಬಹುದು. ಕೆಲವು ಕ್ರೀಡಾ ಬೆಟ್ಟರ್ಗಳು ಈವೆಂಟ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಬದಲು ಲೈನ್ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದರಿಂದ ಆದಾಯವನ್ನು ಗಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವು ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳು ಭದ್ರತೆಯ ದೀರ್ಘಕಾಲೀನ ಮೂಲಭೂತ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಬೆಲೆ ಚಲನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಗಮನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹೂಡಿಕೆಯ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸ್ಟಾಕ್ನಲ್ಲಿ $1 ದಶಲಕ್ಷಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಪಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮಾನ್ಯತೆ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಾಪಾರಿ. ಇದರರ್ಥ ಆತ $1 ದಶಲಕ್ಷಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಹಣವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದಲ್ಲ. ಅವರು $20ಕ್ಕೆ $1 ಮಿಲಿಯನ್ ಸ್ಟಾಕ್ ಅನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು $10ಕ್ಕೆ ಹೋದರೆ, ಅವರು ಇನ್ನೂ $500,000 ಖರೀದಿಸಬಹುದು. ಅದು $5ಕ್ಕೆ ಹೋದರೆ, ಅವನು ಇನ್ನೂ $500,000 ಖರೀದಿಸಬಹುದು. ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋದರೆ, ಅವನು ಎಂದಿಗೂ $1 ದಶಲಕ್ಷಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಪಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೂ, ಅನಂತ ಮೊತ್ತದ ಹಣವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿಲ್ಲ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದು ಕೆಲ್ಲಿಯ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ; ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇದು ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ತಳ್ಳಿಹಾಕುವ ಒಂದು ಸುಲಭ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕೆಲ್ಲಿ ಭಾವಿಸುತ್ತಾನೆ. ಆಡ್ಸ್ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕೆಲ್ಲಿ ಪಂತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ಗೆ 2 ರಿಂದ 1 ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ 50/50 ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಬಾರಿ ಅವಕಾಶ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 5 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಎರಡನೇ ಬಾರಿ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಶೇಕಡಾ 50 ರಷ್ಟು ಅವಕಾಶವಿದೆ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈಗ ಅವನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಬೇಕುಃ f1 ಮತ್ತು f2 ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. ಉತ್ತರವು 2 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯ ಪಂತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಅವಕಾಶಕ್ಕಾಗಿ ಕಾಯಿರಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು 40 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ. 5 ರಿಂದ 1 ಆಡ್ಸ್ ನೀಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 50 ಪ್ರತಿಶತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು 25 ಪ್ರತಿಶತದ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಮೊತ್ತವು 2 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಪಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 5 ರಿಂದ 1 ಆಡ್ಸ್ ನೀಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 50 ಪ್ರತಿಶತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 2 ರಿಂದ 1 ಆಡ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪಂತವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ (ಅಂದರೆ, ಅವನು ಗೆದ್ದರೆ 1⁄2 ರ ಪಾವತಿಯೊಂದಿಗೆ 50/50 ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅವನು ಸೋತರೆ 1 ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತಾನೆ). ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, 5 ರಿಂದ 1 ಆಡ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅವನ ಪಂತವು ಅವನ 2 ರಿಂದ 1 ಪಂತದ 40 ಪ್ರತಿಶತ ಮೈನಸ್ 0.7 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಏನು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ, ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ ಭವಿಷ್ಯದ ಪಂತಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ತಪ್ಪಾದ ನಂಬಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವನು ಕಡಿಮೆ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮುರಿಯಬಹುದು. ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡವು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ತಂತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಬೆಟ್ಟರ್ಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಪಾವತಿಗಳು ತಿಳಿದಿರುವವರೆಗೆ ನಾಶವಾಗುವ ಶೂನ್ಯ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆರನ್ ಬ್ರೌನ್ ಅವರು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇ-ಮೇಲ್ ಮೂಲಕ ಎಡ್ ಥೋರ್ಪ್ ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಳಕು ಚೆಲ್ಲಲಾಯಿತು. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಬೆಟ್ಟರ್ ಮೊದಲು ಆರಂಭಿಕ ಪಂತವನ್ನು ಮರಳಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ, ನಂತರ ಎರಡನೇ ಪಾವತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಪಂತವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವನ ಒಟ್ಟು ಪಂತವೆಂದರೆಃ ಇದು ಪ್ರೋಬ್ಸ್ಟಿಂಗ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ರಿಂದ 1 ಪಾವತಿ ಮತ್ತು ನಂತರ 5 ರಿಂದ 1 ಪಾವತಿಯ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ ಮೊದಲು 25 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಸಂಪತ್ತನ್ನು 2 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ. 5 ರಿಂದ 1 ಪಾವತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಬೆಟ್ಟರ್ 0.125 ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಮೂಲ ಪಂತವನ್ನು ಮರಳಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಬಹುದು. ಅವನ 2 ರಿಂದ 1 ಪಂತವು ಅವನು ಗೆದ್ದರೆ 0.50 ಪಾವತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವನು ಸೋತರೆ 0.25 ವೆಚ್ಚವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಸ 5 ರಿಂದ 1 ಪಾವತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವನು ಗೆದ್ದರೆ 0.625 ಪಾವತಿಸುವ ಪಂತವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವನು ಸೋತರೆ 0.125 ವೆಚ್ಚವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡೂ ರಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅವನ ಮೂಲ ಪಂತಕ್ಕಿಂತ 0.125 ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವನ ಮೂಲ ಪಂತವು ಈಗ-0.125 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವರ ಹೊಸ ಸಂಪತ್ತಿನ ಮಟ್ಟವಾದ 0.875 ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಅವರ 40 ಪ್ರತಿಶತ ಪಂತವು (5 ರಿಂದ 1 ಪಾವತಿಗೆ ಕೆಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತ) 0.35 ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಬೆಟ್ಟರ್ 2 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ 0.25 ಪಂತವನ್ನು ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ 0.225 ಪಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಗೆದ್ದರೆ, ಅವನು 2.625 ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅವನು ಸೋತರೆ ಅವನು 0.525 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಬೆಟ್ಟರ್ 0.875 ಮತ್ತು 0.35 ಪಂತವನ್ನು 5 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಅವನು ಗೆದ್ದರೆ, ಅವನು 2.625 ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅವನು ಸೋತರೆ ಅವನು 0.525 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಹೊಸ ಪಾವತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಹೂಡಿಕೆದಾರರು ಅನುಭವಿಸುವ ಮಾರ್ಕ್-ಟು-ಮಾರ್ಕೆಟ್ ನಷ್ಟದಿಂದ ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಜೂಜುಕೋರನಿಗೆ ಇದು ಕಡಿಮೆ ಸಹಜವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಪಾವತಿಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಅನಂತ ಸರಣಿಯು ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಾಳುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಅವನ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಮೀರಿದ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅವನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜೂಜು ಗಣಿತ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು