Schwarz reflection principle
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ (ಏಕವಚನವಲ್ಲದ) ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಪ್ಪುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಹರ್ಮನ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಎಫ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಇದು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸೂತ್ರವು ಇಡೀ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ F ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ F ಒಂದು ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೊರೆರಾ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂತಹ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊರೆರಾ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಈ ತತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಈ ತತ್ವವು ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಹ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕೆಲ್ವಿನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಮೆಥಡ್ ಆಫ್ ಇಮೇಜ್ ಚಾರ್ಜ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.