Linear inequality
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ <ಕಡಿಮೆ> ≤ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ≤ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಈ ರೂಪದ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಿಂದ (ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು) ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದಾಗ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳನ್ನು (ಅಕ್ಷ + ಬೈ = ಸಿ) ನಿರ್ಧರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸರಳ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (x0, y0) ಅಕ್ಷ + ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x + 3y <9 ರ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು, ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲು, ಮೊದಲು x + 3y = 9 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಯಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಸಾಲಿನಲ್ಲಿಲ್ಲದ (0,0) ಅನುಕೂಲಕರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. 0 + 3 (0) = 0 <9 ರಿಂದ, ಈ ಬಿಂದುವು ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವು (ರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ) ಈ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಆರ್. ಎನ್. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳೆಂದರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ (ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಬಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಇವುಗಳನ್ನು g ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂದರೆ "ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು" ಅಥವಾ "ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಅಥವಾ ಸಮಾನ" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು "ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ" ಅಥವಾ "ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅದೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತಗಳು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯೆಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ A ಎಂಬುದು m × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, x ಎಂಬುದು ಅಸ್ಥಿರಗಳ n × 1 ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು b ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ m × 1 ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಲ್ಲದ ಅಸಮಾನತೆಗಳೆರಡನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಫೋರಿಯರ್-ಮೊಟ್ಜ್ಕಿನ್ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಅನ್ವಯಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ನೈಜ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಮೂಹವು 'n'-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಜಾಗದ ಅರ್ಧ-ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಒಂದು. ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಮೂಹವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಛೇದನವೂ ಸಹ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿದೆ (ಬಹುಶಃ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳ, ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಲ್ಯಾಬ್ ಅಥವಾ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನ್). ಇದು ಖಾಲಿಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ಇದು n-ಆಯಾಮದ ಸ್ಪೇಸ್ Rn ನ ಅಫೈನ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು (ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು (ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು) ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜನೆ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಹೋಲಿಕೆಯ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮೂಲಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಖಾನ್ ಅಕಾಡೆಮಿಃ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಉಚಿತ ಆನ್ಲೈನ್ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ