Infinity
ಅನಂತತೆಯು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ, ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ಅನಂತ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಅನಂತತೆಯ ತಾತ್ವಿಕ ಸ್ವರೂಪವು ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳ ನಡುವೆ ಅನೇಕ ಚರ್ಚೆಗಳ ವಿಷಯವಾಗಿತ್ತು. 17ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಚಯದೊಂದಿಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅನಂತ ಸರಣಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು (ಎಲ್ 'ಹೋಪಿಟಲ್ ಮತ್ತು ಬರ್ನೌಲಿ ಸೇರಿದಂತೆ) ಅನಂತ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಅನಂತವು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿತು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯದೊಂದಿಗೆ ಹೆಣಗಾಡುತ್ತಿರುವಾಗ, ಅನಂತವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದೇ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬಹುದೆಂಬುದು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಯೇ ಉಳಿಯಿತು. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅನಂತತೆಯ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ಅವು ವಿವಿಧ ಗಾತ್ರಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯು (ಅಂದರೆ, ರೇಖೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಈ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ, ಅನಂತವು ಒಂದು ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನಂತ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಇತರ ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳಂತೆಯೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು, ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಬಳಸಬಹುದು. ಅನಂತತೆಯ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಹಳೆಯ ತಾತ್ವಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಗಾತ್ರದ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಜೆರ್ಮೆಲೋ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಅನಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತತೆಯ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಯೋಜನೆಯಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲೂ ಸಹ ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವೈಲ್ಸ್ನ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳ, ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ಪ್ರಾದೇಶಿಕವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಪ್ರಾಚೀನ ಸಂಸ್ಕೃತಿಗಳು ಅನಂತತೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ವಿವಿಧ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು. ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯರು ಮತ್ತು ಗ್ರೀಕರು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಂತೆ ನಿಖರವಾದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಅನಂತವನ್ನು ತಾತ್ವಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರು. ಗ್ರೀಸ್ನಲ್ಲಿ ದಾಖಲಾದ ಅನಂತತೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಮುಂಚಿನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅನಾಕ್ಸಿಮಂಡರ್ (ಕ್ರಿ. ಪೂ. 610-ಕ್ರಿ. ಪೂ. 546), ಒಬ್ಬ ಪೂರ್ವ-ಸಾಕ್ರಟೀಸ್ ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಆಗಿರಬಹುದು. ಅವರು ಅಪೈರಾನ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಇದರರ್ಥ "ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ", "ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ", ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಇದನ್ನು "ಅನಂತ" ಎಂದು ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು. ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ (ಕ್ರಿ. ಪೂ. 350) ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನಂತವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಅನಂತದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದನು, ಇದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವಂತೆ ತೋರುವ ವಿವಿಧ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಂದಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಅವನು ಪರಿಗಣಿಸಿದನು. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಹೆಲೆನಿಸ್ಟಿಕ್ ಗ್ರೀಕರು "ಅನಂತದ ಭಯಾನಕತೆ" ಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು ಎಂದು ವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ. ಪೂ. 300) ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅನಂತತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಏಕೆ ಹೇಳಲಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ "ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುದೇ ನಿಗದಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು" ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ "ಅನಂತದ ಭೀತಿಯನ್ನು ಜಯಿಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ" ಎಂದು ಸಹ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿವಾದವಿದೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಅನುವಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇತರ ಭಾಷಾಂತರಕಾರರು, "ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ" ಎಂಬ ಅನುವಾದಕ್ಕೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅನಂತತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಆರಾಮದಾಯಕವಾಗಿದ್ದರು ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅನಂತತೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವು, "ಅನಂತದ ಭಯಾನಕತೆಯನ್ನು" ಹೊರಹೊಮ್ಮಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಆರಂಭಿಕ ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ನ "ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನಂತತೆ" ಈ ಅವಧಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಝೆನೋಃ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎಲಿಯಾದ ಜೆನೋ ಆಮೆ (ಕ್ರಿ. ಪೂ. 495-430) ಅನಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಮುಂದಿಡಲಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಅವರ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ", ಜನಪ್ರಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಸಮರ್ಪಕತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರಸ್ಸೆಲ್ ಅವರು "ಅಳೆಯಲಾಗದಷ್ಟು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ" ಎಂದು ಬಣ್ಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಒಂದು ಆಮೆಯನ್ನು ಓಡಿಸುತ್ತಾನೆ, ಅದು ಆಮೆಗೆ ಉತ್ತಮ ಆರಂಭವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹಂತ #1: ಆಮೆ ಮುಂದೆ ನಡೆಯುವಾಗ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಕ್ಕೆ ಓಡುತ್ತಾನೆ. ಹಂತ #2: ಆಮೆ ಇನ್ನೂ ಮುಂದೆ ಹೋಗುವಾಗ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಹಂತ #1 ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಇದ್ದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಹಂತ #3: ಆಮೆ ಇನ್ನೂ ಮುಂದೆ ಹೋಗುವಾಗ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಹಂತ #2 ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಇದ್ದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಹಂತ #4: ಆಮೆ ಇನ್ನೂ ಮುಂದೆ ಹೋಗುವಾಗ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಹಂತ #3 ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಇದ್ದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಇತ್ಯಾದಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಹಿಂದಿಕ್ಕುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವನು ಎಷ್ಟೇ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರೂ, ಆಮೆಯು ಅವನಿಗಿಂತ ಮುಂದಿರುತ್ತದೆ. ಝೆನೋ ಅನಂತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಚಲನೆಯನ್ನು ಒಂದು ಭ್ರಮೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಎಲಿಟಿಕ್ಸ್ ಶಾಲೆಯ ಸದಸ್ಯರಾಗಿ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಓಡಬಹುದೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ತಪ್ಪು ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡರು. ನಂತರದ ಚಿಂತಕರು, ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ವಾದದಲ್ಲಿನ ಇತರ ದೌರ್ಬಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎರಡು ಸಹಸ್ರಮಾನಗಳಿಗೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಹೆಣಗಾಡಿದರು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, 1821 ರಲ್ಲಿ, ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ಮಿತಿಯ ತೃಪ್ತಿದಾಯಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ ಎರಡನ್ನೂ ಒದಗಿಸಿದರು, ಏಕೆಂದರೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 10 ಮೀಟರ್ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಓಡುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆಮೆ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 0.1 ಮೀಟರ್ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು 100 ಮೀಟರ್ ತಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬೆನ್ನಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಅವಧಿಯು ಕೌಚಿಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಜೊತೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಜೈನ ಗಣಿತದ ಪಠ್ಯವಾದ ಸೂರ್ಯ ಪ್ರಜ್ಞಪ್ತಿ (ಸಾ. ಶ. ಪೂ. 4ನೇ-3ನೇ ಶತಮಾನ) ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ, ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಮತ್ತು ಅನಂತ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಮೂರು ಕ್ರಮಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಎಣಿಸಬಹುದಾದಃ ಕನಿಷ್ಠ, ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಅಸಂಖ್ಯಾತಃ ಸುಮಾರು ಅಸಂಖ್ಯಾತ, ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಸಂಖ್ಯಾತ, ಮತ್ತು ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಅನಂತಃ ಸುಮಾರು ಅನಂತ, ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅನಂತ, ಅನಂತ ಅನಂತ 17ನೇ ಶತಮಾನ 17ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಯುರೋಪಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. 1655 ರಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ವಾಲಿಸ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಡಿ ಸೆಕ್ಷನಿಬಸ್ ಕೋನಿಸಿಸ್ನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅಗಲದ ಅನಂತ ಪಟ್ಟಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರದೇಶ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್ 1930 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಗಣಿತ-ದಾರ್ಶನಿಕ ವಿಳಾಸವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ತೆರೆದರುಃ ಅನಂತ ಚಿಹ್ನೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಲೆಮ್ನಿಸ್ಕೇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಯೂನಿಕೋಡ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಲಾಟೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ \ಇನ್ಫ್ಟಿ ಎಂದು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1655 ರಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ವಾಲಿಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಚಯವಾದಾಗಿನಿಂದ, ಇದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೊರಗೆ ಆಧುನಿಕ ಆಧ್ಯಾತ್ಮ ಮತ್ತು ಸಾಹಿತ್ಯಿಕ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಹ-ಸಂಶೋಧಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ಗೆ, ಅನಂತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಪ್ರಮಾಣಗಳೆರಡೂ ಆದರ್ಶ ಘಟಕಗಳಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಶಂಸನೀಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರಂತರತೆಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು. ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, "ಅನಂತ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತವು ಬಂಧವಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಮತ್ತು ಬಂಧವಿಲ್ಲದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಅಂದರೆ ಅದು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಬಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದರೆ ಕೆಳಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಇದರರ್ಥ ಕೆಳಗಿರುವ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅನಂತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದುಃ ಅಂದರೆ ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ಕೆಲವು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ಸರಿಯಾಗಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ. ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅನಂತತೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿಯೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಗುರುತು ಹಾಕಿದ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎರಡು-ಬಿಂದು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ನಮಗೆ ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು-ಬಿಂದು ಸಂಕೋಚನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಜವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ "ಅನಂತ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಹಿ ಮಾಡದ ಅನಂತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಯಾವುದೇ ನಿಗದಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವಾಗಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಒಂದು-ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಜಾಗವು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಥವಾ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲ ಅಥವಾ ರೀಮನ್ ಗೋಳವು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದಂತೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೂ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ (ಇದು ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಒಂದು ವಿನಾಯಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಈ ರೀತಿಯ ಅನಂತತೆಯು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಾಗಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇರೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಧ್ರುವಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಅನಂತದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು (ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರ § ಅವಲೋಕನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಅಸಂಬದ್ಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಅನಂತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅನಂತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿತು. 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧದಲ್ಲಿ, ಈ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಸುಗಮವಾದ ಅನಂತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕಠಿಣ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಇಡಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಅನಂತವಾದವುಗಳು ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಗಳು ಹೈಪರ್ರಿಯಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಭಾಗವಾಗಿವೆ; ಕ್ಯಾಂಟೋರಿಯನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ಗಳಂತೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆ ಇಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ H ಒಂದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, H + H = 2H ಮತ್ತು H + 1 ವಿಭಿನ್ನ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ "ಅನಂತ" ದ ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪವೆಂದರೆ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅನಂತತೆಗಳು-ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಮೊದಲು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಎಂದರೆ ಆಲ್ಫ್-ನಲ್ (α0), ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಿಟೇಟಿವ್ ಇನ್ಫೈನೈಟ್ನ ಈ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಗಾಟ್ಲಾಬ್ ಫ್ರೆಜ್, ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಮತ್ತು ಇತರರ ಕೃತಿಗಳಿಂದ-ಸಂಗ್ರಹಗಳು ಅಥವಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು. ಸೆಟ್ಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಒಬ್ಬರಿಗೊಬ್ಬರು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಇಡೀ ಭಾಗವು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ್ದಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬ ಗೆಲಿಲಿಯೋನ (ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನಿಂದ ಪಡೆದ) ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನ ವಿಧಾನವಾಗಿತ್ತು. (ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗೆಲಿಲಿಯೋನ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ನೋಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾನೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ.) ಅನಂತ ಗುಂಪನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಅದರ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು; ಅನಂತತೆಯ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ನೋಡುವುದು, ಕೆಳಗಿನ ನೀಲಿ ರೇಖೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಮೇಲಿನ ನೀಲಿ ರೇಖೆಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ಹಸಿರು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಗಳು) ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೆಳಗಿನ ನೀಲಿ ರೇಖೆಗೆ (ಕೆಂಪು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಗಳು); ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೆಳಗಿನ ನೀಲಿ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಡ ಅರ್ಧವು ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. "ಗಾತ್ರ". ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ನಿಲುಗಡೆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಂತರದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಎಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿರುವ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸೆಟ್ಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಎಷ್ಟು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆ ಗಾತ್ರದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಾತ್ರದ ಮೊದಲ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಅನಂತತೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳದ್ದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮೂಹವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದಷ್ಟು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇರಿಸಲು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳು ಮೇಲುಗೈ ಸಾಧಿಸಿದವು ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮತ್ತು ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಗವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯ (ಸೀಮಿತ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಗಾತ್ರಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದು, ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ನಿರಂತರ ಊಹೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಝೆರ್ಮೆಲೋ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಳಗೆ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆಯ್ಕೆಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆ ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಂಟರ್ವೆಲ್ () and.The ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 1878 ರಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಆದರೆ 1890 ರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು, ಗ್ಯೂಸೆಪ್ಪೆ ಪೀನೋ ಸ್ಪೇಸ್-ಫಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ, ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಚದರ, ಅಥವಾ ಕ್ಯೂಬ್, ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್, ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ತುಂಬಲು ಸಾಕಷ್ಟು ತಿರುಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ತಿರುಗುತ್ತವೆ. ಚೌಕದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಚೌಕದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದವರೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅನಂತತೆಯನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಈಗ ಲೈನ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಬಯಸಿದಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನೊಂದಿಗೆ; ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯೇ ಇಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಇರಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸ್ಥಾನಗಳಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇರಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಸಾಕ್ಷಿಯೆಂದರೆ "ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳ" (ಏಕವಚನ), ಅಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹ" (ಬಹುವಚನ) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಪರೂಪದ ವಿನಾಯಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ "ಅನಂತದಲ್ಲಿ" ಛೇದಿಸುವ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅನಂತದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿರಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕು, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕಾಗಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದಾಗಿತ್ತು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಈಗ ಅದರ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬದಲು ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಂತರದ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಗಳು ಅನಂತ ಸಮೂಹಗಳಾಗಿವೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಅಮೂರ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ರಚನೆಗಳು ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲೂಪ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುವಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಅದರ ವರ್ಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರುಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಮತ್ತು "ನಯವಾಗದೆ" ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿಸಬಹುದು; ಅವು ಅನಂತ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಅನಂತ ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತಹ ಒಂದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ ಆಗಿದೆ. ಅನಂತತೆಯಿಲ್ಲದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ, ಲಿಯೋಪೋಲ್ಡ್ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಅವರು ಅನಂತತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು 1870 ಮತ್ತು 1880ರ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಅವರ ಸಹವರ್ತಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶಯ ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಈ ಸಂದೇಹವಾದವನ್ನು ಫಿನಿಟಿಜಂ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಗಣಿತದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ರಚನಾತ್ಮಕತೆ ಮತ್ತು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಾತ್ವಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ತೀವ್ರ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಎಣಿಕೆ). ಅನಂತ ಸಮತಲ ತರಂಗಗಳಂತಹ ಅನಂತ ವಸ್ತುಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿಲ್ಲ. ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಮೊದಲ ಪ್ರಕಟಿತ ಪ್ರಸ್ತಾಪವು 1576 ರಲ್ಲಿ ಥಾಮಸ್ ಡಿಗ್ಗೆಸ್ನಿಂದ ಬಂದಿತು. ಎಂಟು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, 1584 ರಲ್ಲಿ, ಇಟಾಲಿಯನ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗಿಯೋರ್ಡಾನೊ ಬ್ರೂನೋ ಅವರು ಆನ್ ದಿ ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ವರ್ಲ್ಡ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರುಃ "ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಸೂರ್ಯರು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ; ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಭೂಮಿಯು ಈ ಸೂರ್ಯರ ಸುತ್ತ ಏಳು ಗ್ರಹಗಳು ನಮ್ಮ ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಸುತ್ತುತ್ತವೆ. ಜೀವಂತ ಜೀವಿಗಳು ಈ ಲೋಕಗಳಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತವೆ ". ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಮ್ಮ ಭೌತಿಕ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ದೀರ್ಘಕಾಲದಿಂದ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆಃ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಕ್ಷತ್ರಗಳಿವೆಯೇ? ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ಅನಂತ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ? ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು "ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆಯೇ"? ಇದು ಇನ್ನೂ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಅನಂತವಾಗಿರುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೂಮಿಯ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಯಾವುದೇ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಭೂಮಿಯ ವಕ್ರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ನಿಖರವಾದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತಾರೆ. ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು, ಕನಿಷ್ಠ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಮೂಲಕ ಸುದೀರ್ಘ ಕಾಲ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ನಂತರ ಒಬ್ಬರು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ತಮ್ಮ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮರಳಬಹುದು. ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಕಾಸ್ಮಿಕ್ ಹಿನ್ನೆಲೆ ವಿಕಿರಣದ ವರ್ಣಪಟಲದಲ್ಲಿ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣಗಳ ಮೂಲಕ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಡಬ್ಲ್ಯೂಎಂಎಪಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನೌಕೆಯು ದಾಖಲಿಸಿದ ವಿಕಿರಣ ಮಾದರಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನಂತ ಭೌತಿಕ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ವಕ್ರತೆಯು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೂ ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವೀಡಿಯೊ ಗೇಮ್ಗಳಂತಹ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪರದೆಯ ಒಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಹೋಗುವ ವಸ್ತುಗಳು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಆಟಗಳ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವು ಟೊರಾಯ್ಡಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೀಮಿತ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹುವಿಶ್ವದ ಊಹೆಗೆ ಸಹ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮಿಚಿಯೋ ಕಾಕುವಿನಂತಹ ಖಗೋಳ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ವಿವರಿಸಿದಾಗ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳಿವೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಆವರ್ತಕ ಮಾದರಿಗಳು ಅನಂತ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಿಗ್ ಬ್ಯಾಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅನಂತ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಿಗ್ ಬ್ಯಾಂಗ್ ಘಟನೆಯ ನಂತರ ಅನಂತ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವಿಕೆಯ ವಾದವು "ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧವು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ತಾತ್ವಿಕ ರೀತಿಯ ವಾದವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅನಂತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ (ರೂಪ ಎ) ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸರಣಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಅಥವಾ (ರೂಪ ಬಿ) ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಬಂಧವು ವಹಿಸಬೇಕಾದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮರ್ಥನೆಯ)". ಐ. ಇ. ಇ. ಇ. ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ (ಐ. ಇ. ಇ. ಇ. 754) ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನೂ ಸಹ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಉಕ್ಕಿ ಹರಿಯುವಿಕೆ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಅಸಾಧಾರಣ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಾವಾ ಮತ್ತು ಜೆ ನಂತಹ ಕೆಲವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು, ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ಗೆ ಭಾಷೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ) ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತವೆ. ವಿಂಗಡಣೆ, ಹುಡುಕಾಟ ಅಥವಾ ವಿಂಡೋಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ಸೆಂಟಿನೆಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ, ಆದರೆ ರಿಲೇಷನಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಓವರ್ಲೋಡಿಂಗ್ಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ಗೆ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಒದಗಿಸದ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಡೇಟಾ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇನ್ನೂ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ನಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಲೂಪ್ ಒಂದು ಲೂಪ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ನಿರ್ಗಮನ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎಂದಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಹೀಗಾಗಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕಲೆಗಳು, ಆಟಗಳು ಮತ್ತು ಅರಿವಿನ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಪರ್ಸ್ಪೆಕ್ಟಿವ್ ಕಲಾಕೃತಿಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಇದು ವೀಕ್ಷಕರಿಂದ ಅನಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಗಣಿತದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಲಾವಿದರಿಗೆ ಸ್ಥಳ, ದೂರ ಮತ್ತು ರೂಪಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವ ವರ್ಣಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಕಲಾವಿದ ಎಂ. ಸಿ. ಎಸ್ಚರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ತನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಫಲಕದಲ್ಲಿ ಆಡುವ ಚದುರಂಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಚದುರಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರಿವಿನ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಜಾರ್ಜ್ ಲಾಕೋಫ್ ಅವರು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಅನಂತತೆಯ (ಬಿಎಂಐ) ಮೂಲ ರೂಪಕವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮ <1,2,3,.> ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ 0.999. ಅಲೆಫ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತ ಘಾತಾಂಕ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪ ಅನಂತ ಮಂಗ ಪ್ರಮೇಯ ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಅನಂತ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಸೂಪರ್ಟಾಸ್ಕ್ ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಮೂಲಗಳು ಡಿ. ಪಿ. ಅಗ್ರವಾಲ್ (2000). ಪ್ರಾಚೀನ ಜೈನ ಗಣಿತಃ ಒಂದು ಪರಿಚಯ, ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಫೌಂಡೇಶನ್. ಬೆಲ್, ಜೆಎಲ್. : ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ಅನಂತತೆಗಳು. ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಫಿಲಾಸಫಿ. 2009ರಲ್ಲಿ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜೈನ್, ಎಲ್. ಸಿ. 1973). "ಜೈನ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ", ಇಂಡಿಯನ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್. ಎಚ್. ಜೆರೋಮ್ ಕೀಸ್ಲರ್ಃ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ಃ ಅನಂತತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ. ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿ 1976; 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ 1986. ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಈಗ ಮುದ್ರಣದಿಂದ ಹೊರಗಿದೆ. ಪ್ರಕಾಶಕರು ಕೃತಿಸ್ವಾಮ್ಯವನ್ನು ಲೇಖಕರಿಗೆ ಹಿಂದಿರುಗಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅವರು 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪಿಡಿಎಫ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಲು http://www.math.wisc.edu ~ ಕೀಸ್ಲರ್/ಕ್ಯಾಲ್ಕ್. ಎಚ್. ಟಿ. ಎಂ. ಎಲ್ ಒ 'ಕಾನ್ನರ್, ಜಾನ್ ಜೆ. ಮತ್ತು ಎಡ್ಮಂಡ್ ಎಫ್. ರಾಬರ್ಟ್ಸನ್ (1998) ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. 'ಜಾರ್ಜ್ ಫರ್ಡಿನ್ಯಾಂಡ್ ಲುಡ್ವಿಗ್ ಫಿಲಿಪ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್', ಮ್ಯಾಕ್ಟೂಟರ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆರ್ಕೈವ್. ಓ 'ಕಾನ್ನರ್, ಜಾನ್ ಜೆ. ಮತ್ತು ಎಡ್ಮಂಡ್ ಎಫ್. ರಾಬರ್ಟ್ಸನ್ (2000). 'ಜೈನಾ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್', ಮ್ಯಾಕ್ಟೂಟರ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆರ್ಕೈವ್. ಪಿಯರ್ಸ್, ಇಯಾನ್. (2002). 'ಜೈನಿಸಂ', ಮ್ಯಾಕ್ಟೂಟರ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆರ್ಕೈವ್. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎ ಕ್ರ್ಯಾಶ್ ಕೋರ್ಸ್ ಇನ್ ದಿ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಸೆಟ್ಸ್, ಪೀಟರ್ ಸುಬರ್ ಅವರಿಂದ. ಸೇಂಟ್ ಜಾನ್ಸ್ ರಿವ್ಯೂನಿಂದ, XLIV, 2 (1998) 1-59. ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಸ್ಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡ್-ಅಲೋನ್ ಅನುಬಂಧ, ಕೆಳಗೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪರಿಚಯ. ಪೀಟರ್ ಸುಬರ್ ಬರೆದ ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಸ್. ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಅನಂತದ ಗಣಿತವು ಅನಂತದ ಬೆರಳೆಣಿಕೆಯಷ್ಟು ಪ್ರಾಚೀನ ತಾತ್ವಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೇಂಟ್ ಜಾನ್ಸ್ ರಿವ್ಯೂನಿಂದ, XLIV, 2 (1998) 1-59. ಹೋಟೆಲ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಜಾನ್ ಜೆ. ಒ 'ಕಾನ್ನರ್ ಮತ್ತು ಎಡ್ಮಂಡ್ ಎಫ್. ರಾಬರ್ಟ್ಸನ್ (1998). 'ಜಾರ್ಜ್ ಫರ್ಡಿನ್ಯಾಂಡ್ ಲುಡ್ವಿಗ್ ಫಿಲಿಪ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್', ಮ್ಯಾಕ್ಟೂಟರ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆರ್ಕೈವ್. ಜಾನ್ ಜೆ. ಒ 'ಕಾನ್ನರ್ ಮತ್ತು ಎಡ್ಮಂಡ್ ಎಫ್. ರಾಬರ್ಟ್ಸನ್ (2000). 'ಜೈನಾ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್', ಮ್ಯಾಕ್ಟೂಟರ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆರ್ಕೈವ್. ಇಯಾನ್ ಪಿಯರ್ಸ್ (2002). 'ಜೈನಿಸಂ', ಮ್ಯಾಕ್ಟೂಟರ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆರ್ಕೈವ್. ದಿ ಮಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ದಿ ಅಲೆಫ್ಃ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ದಿ ಕಬ್ಬಾಲಾಹ್, ಅಂಡ್ ದಿ ಸರ್ಚ್ ಫಾರ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಡಿಕ್ಷನರಿ ಆಫ್ ದಿ ಇನ್ಫೈನೈಟ್ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಲೇಖನಗಳ ಸಂಕಲನ) ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ವಸ್ತುಗಳು