Kodaira vanishing theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೊಡೈರಾ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು q> 0 ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶೀಫ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ q = 0 ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಆಯಾಮ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ-ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್-ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕರಣ ಕುನಿಹಿಕೋ ಕೊಡೈರಾ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಎಂ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮ ಎನ್ ನ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಎಂ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ, ನಂತರ q> 0 ಗೆ. ಇಲ್ಲಿ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆರ್ರೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಮೂಲಕ, q <n ಗಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಿದೆ, ಕೊಡೈರಾ-ನಕಾನೋ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಮೇಯ, ಇದರಲ್ಲಿ, ωn (L) ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ (n, 0)-ರೂಪಗಳ ಕೋಶವನ್ನು M ಮೇಲೆ L ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ωr (L) ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ (r, 0)-ರೂಪಗಳ ಕೋಶವು L ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ. ನಂತರ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು Hq (M, ωr (L)) ಯಾವಾಗ q + r> n ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕರಣ ಕೊಡೈರಾ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖವಿಲ್ಲದೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಎಲ್ ನ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಲೋಮ ಕೋಶವು ಸಾಕಷ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿಯು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ). ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೊಡೈರಾ-ಅಕಿಜುಕಿ-ನಕಾನೋ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆಃ k ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, X ಎಂಬುದು d ಆಯಾಮದ ನಯವಾದ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ k-ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು L ಎಂಬುದು X ಮೇಲೆ ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಲೋಮ ಕೋಶವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ωp ಸಾಪೇಕ್ಷ (ಬೀಜಗಣಿತದ) ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಕೆಹ್ಲರ್ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p> 0 ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ರೇನಾಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ನಂತರ ಲಾಗ್-ಅಲ್ಲದ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕವಚನ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿ, ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 1987ರವರೆಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕೈಕ ಪುರಾವೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಜಿಎಜಿಎ ಹೋಲಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, 1987 ರಲ್ಲಿ ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಮತ್ತು ಲುಕ್ ಇಲುಸಿ ಅವರು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅವರ ಪುರಾವೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗಾಗಿ ಹಾಡ್ಜ್-ಡಿ ರಾಮ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಡಿಗ್ರಿ 1 ರಲ್ಲಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿ> 0 ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎತ್ತುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಧನಾತ್ಮಕ-ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮಿತಿಗಳಿಲ್ಲದೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಪೂರ್ಣ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಅದನ್ನು ಎತ್ತಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಕೊಡೈರಾ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಸೆರ್ರೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಅನ್ವಯದೊಂದಿಗೆ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವಿವಿಧ ಸೀಫ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ) ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎನ್ರಿಕ್ಸ್-ಕೊಡೈರಾ ವರ್ಗೀಕರಣ. ಕವಾಮಾತಾ-ವಿಹೆವೆಗ್ ವ್ಯಾನಿಶಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ವ್ಯಾನಿಶಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯ ರಾಮಾನುಜಂ ವ್ಯಾನಿಶಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಫಿಲಿಪ್ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜೋಸೆಫ್ ಹ್ಯಾರಿಸ್, ಸಂಕೀರ್ಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು.