Matrix differential equation
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಕ್ರಮಗಳ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿ, ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು n ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ A ಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು; A ಯ ಆಯಾ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು; ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದರೆ ಮ್ಯಾಗ್ನಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಪ್ರಮುಖ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ವಾಂಡರ್ಮೊಂಡೆ-ಮಾದರಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ, ಈ ಔಪಚಾರಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಕೆಳಗೆ, ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪುಟ್ಜರ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ n × 1 ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕ b ಯೊಂದಿಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿ x * ಅನ್ನು ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ A ಅನ್ನು ವಿಲೋಮ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮಾನವಾದ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ x * ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (b = 0) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು-ಸ್ಥಿತಿ-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಪ್ರಕರಣದ ಸ್ಥಿರತೆ n = 2 ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ (ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ), ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಎರಡು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಋಣಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು A ಯ ಕುರುಹು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರದ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಪುಟ್ಜರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸರಳವಾದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ODE ಗಳಾಗಿವೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗಳನ್ನು ಬೈಪಾಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಡೀಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟ್ ಉದಾಹರಣೆ x (t) ಮತ್ತು y (t) ಎಂಬ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿ,, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ODE ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಡೀಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮತ್ತು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ರೂಪದ ಅಗತ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು 3 ಪ್ರಮುಖ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಃ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಈ ರೀತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂತಿಮ, ಮೂರನೇ ಹಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಂತರ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ವಿಶೇಷ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಯ ಪರಿಹಾರಿತ ಉದಾಹರಣೆ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಮೂರು ಹಂತಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಮಗೆ ಎರಡು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ (ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ಮೊದಲ ಹಂತ ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ಹಂತವು, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೇತ x′ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ A ಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಮೇಲಿನ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ಸಂಕೇತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಜೋಸೆಫ್ ಲೂಯಿಸ್ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೇತ dx/dt ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಹೆಸರನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಸಂಕೇತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದ ನಂತರ, ಒಬ್ಬರು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಆ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬಹುಪದವನ್ನು ನೀಡಲು ಮೇಲಿನ ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಕಳೆಯುವಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಡಿಷನ್ ಯೀಲ್ಡ್ಸ್ನ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳೀಕರಣ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಒಂದೇ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸರಳ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಈಗ ಎರಡು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಮತ್ತು ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳಂತೆ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮುಂದಿನ ಹಂತ, ಹಾಗೆಯೇ ಅಂತಿಮ ರೂಪ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಎರಡನೇ ಹಂತವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಹಂತವು ಮೂಲತಃ ಒದಗಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ A ಯ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮೊದಲ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮಗಳ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಈಗ ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಬಹುಶಃ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಅಥವಾ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ), ನಾವು ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಸರಳವಾದ ವಾಹಕವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಮ್ಮ ವೆಕ್ಟರ್ ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಎರಡನೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿರುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಎರಡನೇ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಾಹಕವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೂರನೇ ಹಂತವಾಗಿದೆ ಈ ಅಂತಿಮ ಹಂತವು ಮೂಲತಃ ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಹಿಂದೆ 'ಅಡಗಿರುವ' ಅಗತ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು, ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಯಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ (ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ), ಆದರೆ ನಾವು ಅವುಗಳ ನಿಖರವಾದ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈಗ ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ (ನೀಡಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ). ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ಷರತ್ತುಗಳ ಅನ್ವಯವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗಗಳು ಯಾವಾಗ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನ 1/3 ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿಖರವಾದ ರೂಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತಾಂಕದ ನೇರ ಅನ್ವಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಿತ್ತು. ಅಂದರೆ, (ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ನ ಎಕ್ಸ್ಪ್ಮ್ ಟೂಲ್ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಾಧನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತಾಂಕವು ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಅಂಶವಾರು ಘಾತಾಂಕದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಗುಣವನ್ನು ಹತೋಟಿಯಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ) ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ನಾನ್ಹೋಮೋಜೀನಿಯಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಶೀತಲೀಕರಣದ ನಿಯಮ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣ ಸ್ವಾಯತ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಗಣಿತ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು