Tietze's graph
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಟಿಟ್ಜೆಯ ಗ್ರಾಫ್ 12 ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು 18 ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಘನ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಮೊಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಆರು ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು-ಪಟ್ಟಿಯ ಗಡಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಮೂರು ಮತ್ತು ಅದರ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೂರು-ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಯ ಮೇಲೆ ಹುದುಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಆರು ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗಬಹುದು ಎಂದು 1910ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಫ್ರಾಂಜ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಟೀಟ್ಜ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಟಿಟ್ಜೆಯ ಉಪವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಗಡಿ ಭಾಗಗಳು (ಮೊಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಯ ಗಡಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಟಿಟ್ಜೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪೀಟರ್ಸನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ, ಪೀಟರ್ಸನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಅದರ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಟಿಟ್ಜೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಟಿಟ್ಜ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಂತೆ, ಪೀಟರ್ಸನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಆರು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಗಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಯ ಬದಲು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಈ ಉಪವಿಭಾಗದಿಂದ ಒಂದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ರಂಧ್ರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಸುತ್ತುವರಿದ ಶೃಂಗವನ್ನು ರಂಧ್ರದ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಗಳ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಹಿಂದೆ ವಿವರಿಸಿದ ಟಿಟ್ಜ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಸಿಟಿಯು ಟಿಟ್ಜೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಪೀಟರ್ಸನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಎರಡೂ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆಃ ಅವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಟಿಟ್ಜೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಪೀಟರ್ಸನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು 12 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 2-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘನವಲ್ಲದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಪೀಟರ್ಸನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಟಿಟ್ಜೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಹೈಪೋಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅಲ್ಲಃ ಅದರ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಸಣ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅಲ್ಲದೇ ಉಳಿದಿದೆ. ಎಡ್ಜ್ ಬಣ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳು ಎಡ್ಜ್ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಟಿಟ್ಜೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ; ಅಂದರೆ, ಅದರ ವರ್ಣ ಸೂಚ್ಯಂಕವು 4 ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಟಿಟ್ಜೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ ಇಲ್ಲ. ಟಿಟ್ಜೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ನಾರ್ಕಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು 3-ಅಂಚಿನ ಬಣ್ಣವಿಲ್ಲದ ಘನ ಸೇತುವೆಯಿಲ್ಲದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೇಖಕರು ಸ್ನ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು 3-ಚಕ್ರಗಳಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಟಿಟ್ಜೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ನ್ಯಾಕ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಇದು 1975 ರಲ್ಲಿ ಆರ್. ಐಸಾಕ್ಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಹೂವಿನ ಸ್ನಾರ್ಕಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬದ ಭಾಗವಾದ ಜೆ 3 ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪೀಟರ್ಸನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಟಿಟ್ಜ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳಿಂದ ಆವರಿಸಬಹುದು. ನಾಲ್ಕು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟಿಟ್ಜೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆ 3, ವರ್ಣದ ಸೂಚ್ಯಂಕ 4, ಸುತ್ತಳತೆ 3 ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸ 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು 12ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಷಟ್ಕೋಣದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಗುಂಪಾದ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು D6ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಂಪು 3 ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ 6 ಗಾತ್ರದ ಒಂದು ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಶೃಂಗ-ಸಂಕ್ರಮಣಶೀಲವಾಗಿಲ್ಲ. ಗ್ಯಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಡ್ಯೂರರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾಂಕ್ಲಿನ್ ಗ್ರಾಫ್, ಇತರ ಎರಡು 12-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ನಿಯಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.