Cauchy formula for repeated integration
ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿಯ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೌಚಿ ಸೂತ್ರವು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ n ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ (cf. ಕೌಚಿಯ ಸೂತ್ರ). ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕೇಸ್ ಎಫ್ ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಬೇಸ್-ಪಾಯಿಂಟ್ a ಯೊಂದಿಗೆ f ನ n ನೇ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಏಕ ಏಕೀಕರಣ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. n = 1 ರೊಂದಿಗಿನ ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಃ ಈಗ, ಇದು n ಗೆ ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು n + 1 ಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಂತರ, ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಬೇಸ್ ಕೇಸ್ಗೆ ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಕೌಚಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೀಮನ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನೀಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದನ್ನು ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಕೌಚಿ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ರೀಮನ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳೆರಡನ್ನೂ ರೀಸ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಡಿಫರೆಂಟ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿಃ ಟ್ರೆಂಟೆ-ಸಿನ್ಕ್ವಿಮೆ ಲೆಕೊನ್. ಇಲ್ಲಿಃ ಎಕೋಲ್ ರಾಯಲ್ ಪಾಲಿಟೆಕ್ನಿಕ್ ಸರ್ ಲೆ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲ್ ಇನ್ಫಿನಿಟೇಸಿಮಲ್. ಇಂಪೀರಿಯರಿ ರಾಯಲ್, ಪ್ಯಾರಿಸ್ 1823. ಮರುಮುದ್ರಣಃ ಯುವ್ರೆಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಟ್ಸ್ II (4), ಗೌಥಿಯರ್-ವಿಲ್ಲರ್ಸ್, ಪ್ಯಾರಿಸ್, ಪು. 5-261. ಜೆರಾಲ್ಡ್ ಬಿ. ಫೋಲ್ಯಾಂಡ್, ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್, ಪುಟ 193, ಪ್ರೆಂಟಿಸ್ ಹಾಲ್ (2002). ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ಸಮಗ್ರ ಕಲನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು