Hasse–Witt matrix
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಸಿ ಯ ಹ್ಯಾಸ್-ವಿಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಚ್ ಎಂಬುದು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ (ಪಿ-ಥ್ ಪವರ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ q ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, q ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪಿ ಪವರ್) ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಭೇದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. ಇದು g × g ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ C ಯು g ಕುಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹ್ಯಾಸ್-ವಿಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಹ್ಯಾಸ್ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಸ್-ವಿಟ್ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮೀಪನೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವಂತೆ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಹಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಹೆಲ್ಮಟ್ ಹಸ್ಸೆ ಮತ್ತು ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ವಿಟ್ (1936) ಕಾರಣರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ವಿಧವಾದ ಜೆ ಆಫ್ ಸಿ ಯ ಪಿ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ; ಪಿ-ಶ್ರೇಣಿಯು ಎಚ್ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಸ್ವತಃ ಜಿ ಬಾರಿ ರಚಿಸಲಾದ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಆಗಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೂ ಆಗಿದೆ. ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯವಾಗಿ ಇದರಲ್ಲಿ ಗಣನೀಯವಾದ ಇತ್ತೀಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯಿದೆ, ಸಿ ಹೈಪೆರೆಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. H = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ C ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸೂಪರ್ ಸ್ಪೆಶಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದೆರಡು ಎಚ್ಚರಿಕೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಸಂಪ್ರದಾಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಚ್ಗೆ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ನ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಫ್-ಲೀನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ; ಇದು ಎಫ್ ನಲ್ಲಿನ Z/pZ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ. ಕೋಹೋಮಾಲಜಿ ಶೀಫ್ ಕೋಹೋಮಾಲಜಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೀಗಿದೆಃ ಪಿ-ಪವರ್ ನಕ್ಷೆಯು ಎಚ್1 (ಸಿ, ಒಸಿ) ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ರಚನೆಯ ಕೋಶದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿ ಯ ಮೊದಲ ಕೋಹೋಮಾಲಜಿ. ಇದನ್ನು ಈಗ ಪಿಯರೆ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಮತ್ತು ಯೂರಿ ಮ್ಯಾನಿನ್ಗೆ ಕಾರ್ಟಿಯರ್-ಮ್ಯಾನಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕೇವಲ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಸ್-ವಿಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ಸೆರ್ರೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಮೂಲಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಆ ಗುಂಪನ್ನು H0 (C, ωC) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ωC = ωC ಎಂಬುದು C. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ p-ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೇಲಿನ ಕೆಹ್ಲರ್ ಭೇದಗಳ ಕೋಶವಾಗಿದೆ. ಇದು A ಯ ಆಯಾಮವಾದ 0 ರಿಂದ d ವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ l ಗೆ A [l] ನಲ್ಲಿ l2d ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಪಿ-ಶ್ರೇಣಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ಎ ಮೇಲೆ ಪಿ ಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಐಸೊಜೆನಿ ಆಗಿದೆಃ ಭೇದವು ಕೆ ನಲ್ಲಿ 0 ಆಗಿರುವ ಪಿ ಆಗಿದೆ. ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಯಾಗಿ ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಒಬ್ಬರು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು (ಉಲ್ಲೇಖ ಡೇವಿಡ್ ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಪಿಪಿ. 146-7); ಆದರೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಿಭಾಗ ಸಮೀಕರಣದ ಕಡಿತ ಮಾಡ್ p ಅನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಟಿಯರ್-ಮ್ಯಾನಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಸ್-ವಿಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಪಿ-ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪಿ-ಶ್ರೇಣಿಯು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸ್ವತಃ ಜಿ ಬಾರಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಹ್ಯಾಸ್ ಮತ್ತು ವಿಟ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಜೆ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸದೆ, ಸಿ ಗೆ ಅಂತರ್ಗತವಾದ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಫ್ (ಸಿ) ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಭವನೀಯ ಆರ್ಟಿನ್-ಶ್ರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯಿದೆ (ಕುಮ್ಮರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾದೃಶ್ಯ). ಕುಲ 1ರ ಪ್ರಕರಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು 1934ರಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಸೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಕುಲವು 1 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಚ್ಗೆ ಇರುವ ಏಕೈಕ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳೆಂದರೆಃ ಎಚ್ ಶೂನ್ಯ, ಹ್ಯಾಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 0, ಪಿ-ರ್ಯಾಂಕ್ 0, ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಕೇಸ್; ಅಥವಾ ಎಚ್ ನಾನ್-ಝೀರೋ, ಹ್ಯಾಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 1, ಪಿ-ರ್ಯಾಂಕ್ 1, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೇಸ್. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕರೂಪ ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಕನಿಷ್ಠ q = p ಆಗಿರುವಾಗ, H ಯು C ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ N ಗೆ ಏಕರೂಪದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ p ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಹ್ಯಾಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದಾಗಿ, N ಮಾಡ್ಯುಲೋ p ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು p ≤5 ಗೆ N ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಝೀಟಾ-ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗಿನ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ತನಿಖೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಘನ f (X, Y, Z) = 0 ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, fp−1 ರಲ್ಲಿ (XYZ) p−1 ನ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹ್ಯಾಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು (ರಷ್ಯಾದ ಮೂಲದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅನುವಾದ) ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು