Polymer field theory
ಪಾಲಿಮರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ತಟಸ್ಥ ಅಥವಾ ಆವೇಶದ ಪಾಲಿಮರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಹಬ್ಬರ್ಡ್-ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ರೂಪಾಂತರ ಅಥವಾ ಡೆಲ್ಟಾ-ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಹಾಯಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಕಣಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪಾಲಿಮರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳು ಉಪಯುಕ್ತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪಾಲಿಮರ್ ದ್ರಾವಣಗಳ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು (ಬೇಯರ್ಲೆ 2007, ಷ್ಮಿಡ್ 1998), ಪಾಲಿಮರ್ ಕರಗುವಿಕೆಗಳು (ಷ್ಮಿಡ್ 1998, ಮ್ಯಾಟ್ಸೆನ್ 2002, ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ಸನ್ 2002) ಮತ್ತು ಥರ್ಮೋಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ಸ್ (ಬೇಯರ್ಲೆ 2006). ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್ (ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್ 1965) ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಫ್ಲೆಕ್ಸಿಬಲ್ ಪಾಲಿಮರ್ಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರಂತರ ಮಾದರಿಯು, ರೇಖೀಯ ಮೊನೊಡಿಸ್ಪರ್ಸ್ ಹೋಮೋಪಾಲಿಮರ್ಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒರಟಾದ-ಧಾನ್ಯದ ಪಾಲಿಮರ್ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸರಪಳಿಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನಿರಂತರ ಗಾಸಿಯನ್ ಥ್ರೆಡ್ ಮಾದರಿ (ಬೇಯರ್ಲ್ 2007) ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದ್ರಾವಕವನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೌಸಿಯನ್ ಥ್ರೆಡ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗೌಸಿಯನ್ ಸರಪಳಿ ಮಾದರಿಯ ನಿರಂತರ ಮಿತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಾಲಿಮರ್ಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ, ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ತಂತುಗಳು ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಲೋಮ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು, ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವೆ ದ್ರಾವಕ-ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯ ಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸರಾಸರಿ ಬಲದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸರಪಳಿಗಳ ಸ್ವರಮೇಳದ ಬಂಧಿಸುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಶಕ್ತಿಯ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಮರೀಕರಣ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ರೂಪಾಂತರ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಪಾಲಿಮರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (2) ಮುಂದೆ, ಹಬ್ಬರ್ಡ್-ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ರೂಪಾಂತರ ಅಥವಾ ಡೆಲ್ಟಾ-ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಡೆಲ್ಟಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ಆವರ್ತಕ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು-ವಾಹಕಗಳು ಸೂಪರ್ಸೆಲ್ನ ಪರಸ್ಪರ ಜಾಲರಿ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. Eqs ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ. (3), (4) ಮತ್ತು (5), ನಾವು Eq ನಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು. (1) ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ ಪಾಲಿಮರ್ಗಳ ಆದರ್ಶ ಅನಿಲಕ್ಕೆ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಪಾಲಿಮರ್ನ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, Eq ನಲ್ಲಿ. (6) ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಒಂದೇ ಪಾಲಿಮರ್ನ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಮೂಹದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು Eq ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. (6). ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ, ಇದು ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು Eq ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (8) ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕ. ಇದಲ್ಲದೆ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು Eq ಒದಗಿಸಿದ ಸ್ಥಳದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. (7). ಸರಾಸರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಂದಾಜು ಪಾಲಿಮರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಂದಾಜು ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಸರಾಸರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಎಂಎಫ್) ಅಂದಾಜು, ಇದು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಹು-ದೇಹದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪದವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ದೇಹಗಳು ಸರಾಸರಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಪದದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಮಾದರಿಯ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಂರಚನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಬಹು-ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಏಕ-ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎಮ್ಎಫ್ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಎಸ್ಸಿಎಫ್ಟಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ, ಇದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹು-ದೇಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಉಪಯುಕ್ತ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಯಶಸ್ವಿ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಮರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ದ್ರವಗಳ ವಿವಿಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಕಾಣಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಣ್ವಿಕ ತೂಕದ ಬಲವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಬ್ಲಾಕ್ ಕೋಪಾಲಿಮರ್ಗಳು, ಹೆಚ್ಚು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ತಟಸ್ಥ ಪಾಲಿಮರ್ ದ್ರಾವಣಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಬ್ಲಾಕ್ ಪಾಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಲೈಟ್ (ಪಿಇ) ದ್ರಾವಣಗಳು (ಷ್ಮಿಡ್ 1998, ಮ್ಯಾಟ್ಸೆನ್ 2002, ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ಸನ್ 2002). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಸ್ಸಿಎಫ್ಟಿ ತಪ್ಪಾದ ಅಥವಾ ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ (ಬೇಯರ್ಲೆ 2006ಎ). ಇವುಗಳು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತು ಅರೆ-ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ತಟಸ್ಥ ಪಾಲಿಮರ್ ಅಥವಾ ಪಾಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಲೈಟ್ ದ್ರಾವಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಕ್ರಮ-ಅಸ್ವಸ್ಥತೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಬಳಿ ಕೋಪಾಲಿಮರ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ, ಪಾಲಿಮರ್ ಮಿಶ್ರಣಗಳು ಅವುಗಳ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಬಳಿ ಇರುತ್ತವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದೇ ಎಂಎಫ್ ಸಂರಚನೆಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಂರಚನೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಇದಕ್ಕೆ ಎಂಎಫ್ ಮಟ್ಟದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮೀರಿ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ತಂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುವ ಒಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯೆಂದರೆ ಎಂಎಫ್ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು. ತ್ಸೋನ್ಚೆವ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಲೀಡಿಂಗ್ (ಒನ್-ಲೂಪ್) ಆರ್ಡರ್ ಏರಿಳಿತದ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಸೀಮಿತ ಪಿಇ ಪರಿಹಾರಗಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಹೊಸ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು (ತ್ಸೋನ್ಚೆವ್ 1999). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಂಎಫ್ ಅಂದಾಜು ಕಳಪೆಯಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪುನರುಜ್ಜೀವನಗೊಳಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಬಲವಾದ ಏರಿಳಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಾಧನವನ್ನು 1940 ರ ದಶಕದ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಪುನರುಜ್ಜೀವನಗೊಳಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೂಲತಃ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ (ಕ್ಯೂಎಫ್ಟಿ) ಉದ್ಭವಿಸುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಯೂ. ಎಫ್. ಟಿ. ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಪೆರ್ಟರ್ಬೇಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಕಾನ್ಸ್ಟೆಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಪವರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪದಗಳು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದು, ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಶಿರ್ಕೋವ್ 2001). ಕ್ಯೂ. ಎಫ್. ಟಿ. ಗಳಿಂದ ಅನಂತತೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ಬೇಯರ್ಲೆ 2007). ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಬೇರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಅಥವಾ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಜೋಡಣೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಈ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಪದಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುದ್ವಿಚ್ಛೇದ್ಯ ದ್ರಾವಣದಂತಹ ಧ್ರುವೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿದ್ಯುದಾವೇಶದ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಪುನರ್ರಚನೆಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಸರಳ ಭೌತಿಕ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮಾಧ್ಯಮದ ಧ್ರುವೀಕರಣದಿಂದಾಗಿ ಚಾರ್ಜ್ನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಕೂಲಂಬ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಬೇರ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ ಬದಲಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ (ಪುನರಾವರ್ತಿತ) ಚಾರ್ಜ್. 1970ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕೆ. ಜಿ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ (ವಿಲ್ಸನ್ 1971) ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಲು, ಪುನರ್ಭರಣ ಗುಂಪು (ಆರ್ಜಿ) ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುನರ್ಭರಣ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಲ್ಸನ್ ಮತ್ತಷ್ಟು ಪ್ರವರ್ತಿಸಿದರು. ಪುನರುಜ್ಜೀವನಗೊಳಿಸುವ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆರ್ಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಆರ್ಜಿ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒರಟಾದ-ಧಾನ್ಯದ ಹಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಮಾಣದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ವಿಲ್ಸನ್ 1974). ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ-ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಭಜನೆಯ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮತ್ತು ಮರುಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿ ಜೆನ್ನೆಸ್ ಈ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಮೀಪವಿರುವ ಶೂನ್ಯ-ಘಟಕ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಾಹಕ ಮಾದರಿಯ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಅನಂತ ಉದ್ದದ ಪಾಲಿಮರ್ ಸರಪಳಿಯ ಸ್ವಯಂ-ತಪ್ಪಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ, ಪಾಲಿಮರ್ ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಪರಿಮಾಣದ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು (ಡಿ ಜೆನ್ನೆಸ್ 1972) ನಡುವೆ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಬಳಸಿದರು. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ (ವಿಲ್ಸನ್ 1974) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಾಗ ಮತ್ತು ಮರುಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಯು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹಾರ್ಟ್ರಿ ಅಂದಾಜು ಅಥವಾ ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಒನ್-ಲೂಪ್ ಅಂದಾಜು (ಅಮಿತ್ 1984) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಡಳಿತಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಏರಿಳಿತಗಳ ಪ್ರಬಲ ಉದ್ದದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಥಿರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲು,-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಂಎಫ್ ಕೊಡುಗೆಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಏರಿಳಿತದ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಒಂದು ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಎಫಿಮೋವ್ ಮತ್ತು ನೊಗೊವಿಟ್ಸಿನ್ ಅವರು, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಹು-ಕಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ (ಎಫಿಮೋವ್ 1996) ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಟ್ಯಾಡ್ಪೋಲ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಕ್ಯೂಎಫ್ಟಿಯಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡ ಪರ್ಯಾಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ತಂತ್ರವು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಿಗೆ ಮುಖ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಲೋ-ಆರ್ಡರ್ ಟ್ಯಾಡ್ಪೋಲ್-ಟೈಪ್ ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು, ಇದು ಕಣಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಸಂವಹನದಿಂದಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕೊಡುಗೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವ ಪುನಸ್ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಶುಲ್ಕದ ಸ್ವಯಂ-ಸಂವಹನ ಕೊಡುಗೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅಥವಾ ಅಯಾನು), ಆ ಚಾರ್ಜ್ ಇರುವಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಸ್ಥಿರ ಧ್ರುವೀಕರಣದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ (ಬೇಯರ್ಲ್ 2007). ಎಫಿಮೊವ್ ಮತ್ತು ಗ್ಯಾನ್ಬೋಲ್ಡ್ ಅವರು ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ (ಎಫಿಮೊವ್ 1991) ಸಾಕ್ಷ್ಯ ನೀಡಿದಂತೆ, ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಟ್ಯಾಡ್ಪೋಲ್ ಪುನರ್ರಚನೆಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಬಹಳ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಗೌಸಿಯನ್ ಸಮಾನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ (ಜಿಇಆರ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪರ್ಯಾಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸುಧಾರಿತ ಒಮ್ಮುಖದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ನಂತರದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಯರ್ಲೆ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಪಾಲಿಮರ್ ಮತ್ತು ಪಿಇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ (ಬೇಯರ್ಲೆ 2006ಎ, ಬೇಯರ್ಲೆ 2006ಬಿ, ಬೇಯರ್ಲೆ 2007ಎ) ಉಪಯುಕ್ತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿರುವ ಟ್ಯಾಡ್ಪೋಲ್ ರೀನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕಡಿಮೆ-ವೆಚ್ಚದ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ (ಎಂಸಿ) ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದ ಪೂರ್ಣ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ನಂತರ ಪಾಲಿಮರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇತ್ತೀಚಿನ ಒಂದು ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಎಂ. ಸಿ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆ ಸಮಸ್ಯೆ (ಬೇಯರ್ಲೆ 2002) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದರಿಂದ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಬೇಯರ್ಲೆ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ತೊಂದರೆಯು ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿತರಣಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಆಂದೋಲನದ ಸ್ವರೂಪಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಉಷ್ಣಬಲ ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಮಗ್ರ ಸರಾಸರಿಗಳ ಕಳಪೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ವಿಶೇಷ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿವೆ (ಬೇಯರ್ಲೆ 2003, ಬೇಯರ್ಲೆ 2003ಎ, ಬೇಯರ್ಲೆ 2004). ಸರಾಸರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಗಣನೆಗೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಸಲು, ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕರೂಪದ ಎಂಎಫ್ ಪರಿಹಾರದ ಮೂಲಕ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಏಕೀಕರಣದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬಯೂರ್ಲೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದು ಸರಾಸರಿ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ ಬೇರ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರು. ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ರಚನೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ (ಬೇರ್ 1998). ಈ ತಂತ್ರವು ಎಂ. ಸಿ. ಮಾದರಿ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ (ಬೇಯರ್ಲೆ 2002, ಬೇಯರ್ಲೆ 2002ಎ) ಸಮಗ್ರ ಸರಾಸರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಗಮನಾರ್ಹ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬೇಯರ್ಲೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಗೌಸಿಯನ್ ಸಮಾನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ನಂತರದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಯೂರ್ಲೆ ಮತ್ತು ಇತರರು. (ಬೆಯೂರ್ಲೆ 2002, ಬೆಯೂರ್ಲೆ 2002ಎ, ಬೆಯೂರ್ಲೆ 2003, ಬೆಯೂರ್ಲೆ 2003ಎ, ಬೆಯೂರ್ಲೆ 2004) ಟ್ಯಾಡ್ಪೋಲ್ ಪುನರ್ರಚನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿತು, ಇದು ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಮೂಹದಲ್ಲಿನ ಸುಧಾರಿತ ಎಂಸಿ ತಂತ್ರಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಮಾನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಈ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಮಗ್ರ ಸರಾಸರಿಗಳ (ಬೇಯರ್ಲೆ 2002) ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಒಮ್ಮುಖದಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಉತ್ತೇಜನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಿಕೊಡಬಲ್ಲರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ರೆಜೆನ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಗ್ರೂಪ್ ಆನ್ ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಆಫ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಮೆಟೀರಿಯಲ್ಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿಗಳು