Steinitz's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ದಿಕ್ಕಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆಃ ಅವು ನಿಖರವಾಗಿ 3-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗೆ ವರ್ಗೀಕರಣ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇದು ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಆಕಾರಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಕುರಿತು ಎಬರ್ಹಾರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ಇತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಮೂರ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ದೃಶ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಇದನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ರಾಂಕೊ ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು "3-ಬಹುಪದಗಳ ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಫಲಿತಾಂಶ" ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಅವರ 1922ರ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅವರ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ (ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಮಾಡಿದಂತೆ), ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕನಿಷ್ಠ-ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಾಗಿ ಎತ್ತುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯದ ಹಲವಾರು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಧ್ಯ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವಂತೆ, ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ) ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂಚು ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನಿಂದ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಶೃಂಗಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಅಂಚಿನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅಂಚಿನಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿ ಅದರ ಅಂಚುಗಳು, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಚಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ದಾಟುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಶೃಂಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಫೇರಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೇರಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು 3-ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಇತರ ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಈ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಸಮತಲ ಮತ್ತು 3-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್-ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ದಿಕ್ಕು) ಪ್ರತಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 3-ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ದೃಷ್ಟಾಂತದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಷ್ಲೆಗೆಲ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮತಲತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದುಃ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಒಂದು ಮುಖದ ಬಳಿ ಬೆಳಕಿನ ಮೂಲವನ್ನು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲವನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅಂಚುಗಳ ನೆರಳುಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಅಂಚುಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿದೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನ 3-ಸಂಪರ್ಕವು ಬಾಲಿನ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ-ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಗ್ರಾಫ್-ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ, ಮತ್ತೊಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮತ್ತೊಂದು, ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಮೂರು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಗಳಿವೆಃ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಗಳು, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಕ್ರೆಮೋನಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಟುಟ್ಟೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಾಗಿ ಎತ್ತುವುದು ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಅದನ್ನು ಆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ α-Y ಮತ್ತು Y-α ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಅಂಚುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂದಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ನಡುವೆ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ Y-δ ರೂಪಾಂತರವು ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಡಿಗ್ರಿ-ಮೂರು ಶೃಂಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ; ರಿವರ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರ, δ-Y ರೂಪಾಂತರವು, ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅದೇ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಹೊಸ ಡಿಗ್ರಿ-ಮೂರು ಶೃಂಗದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅದನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಅದು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನಿಂದ ಡಿಗ್ರಿ-ಮೂರು ಶೃಂಗವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ Y-δ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದರ ನೆರೆಯ ಮುಖಗಳನ್ನು ಅವು ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ δ-Y ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಮೂರು ನೆರೆಯ ಮುಖಗಳ ಆ ತ್ರಿವಳಿ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಮುಖದ ದೂರದ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ. ತ್ರಿವಳಿ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವು ಈ ಮುಖದ ದೂರದ ಭಾಗದಲ್ಲಿರದಿದ್ದಾಗ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರವು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಾದ α-Y ಮತ್ತು Y-α ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎಪಿಫಾನೋವ್ ಅವರ ನಂತರದ ಕೆಲಸವು ಪ್ರತಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು α-Y ಮತ್ತು Y-α ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಿತು. ಸಮತಲ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಸರಣಿ-ಸಮಾನಾಂತರ ಕಡಿತಗಳೊಂದಿಗೆ δ-Y ಮತ್ತು Y-δ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಆ ಟರ್ಮಿನಲ್ಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದೇ ಅಂಚಿಗೆ ಇಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಎಪಿಫಾನೋವ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಎಪಿಫಾನೋವ್ ಅವರ ಪುರಾವೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಗ್ರಾಫ್ ಮೈನರ್ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟ್ರೂಂಪರ್ ಇದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರು. ಪ್ರತಿ ಗ್ರಿಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ α-Y ಮತ್ತು Y-α ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಈ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಅಪ್ರಾಪ್ತರು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಗ್ರಿಡ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಟ್ರುಮ್ಪರ್ ಗಮನಿಸಿದರು. ಕಡಿತದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಬದಲಿ ನಂತರ, ಉಳಿದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಯಂತೆಯೇ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬಳಸಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಪುರಾವೆಗಳಿಗಾಗಿ, α-Y ಮತ್ತು Y-α ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರೂಫ್ ನ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವೆಂದರೆ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು (ಮತ್ತು ಈ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಉಳಿದಿರುವ ಡಿಗ್ರಿ-ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವುದು) ಅಥವಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಣ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು. ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ರೀತಿಯ ವಾದಕ್ಕೆ ಕಡಿತದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿತದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸರಳವಾದರೂ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹಂತಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಸಮತೋಲನ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ತೂಕಗಳು) ನಿಯೋಜನೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಸರಾಸರಿ ತೂಕದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಕ್ರೆಮೋನಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮತೋಲನದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ತುಂಡು ತುಂಡಾಗಿ ರೇಖೀಯ ನಿರಂತರ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಎತ್ತಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಯೋಜನೆಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಅಂಚುಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ. ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿನ ತೂಕ ಮತ್ತು ಉದ್ದವು ಅಂಚಿನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಇಳಿಜಾರುಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರೊಂದಿಗೆ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ಇಳಿಜಾರಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸಂಧಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳು ತುಂಡಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಎರಡು ಮುಖಗಳ ನಡುವಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ತುಂಡು-ರೇಖೀಯ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಒತ್ತಡದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಅಂಚುಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಒತ್ತಡವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹ್ಯ ಅಂಚುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಈ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಹೊರಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಅದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪೂರಕದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಲಂಬವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಕ್ರೆಮೋನಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಟಿ. ಟುಟ್ಟೆಯ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಟುಟ್ಟೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಒಂದು ಮುಖವನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಟುಟ್ಟೆಯ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮುಖವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಬಾಹ್ಯ ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಶೃಂಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಉಳಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬೇಕು. ನಂತರ ಟುಟ್ಟೆ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಈ ಪರಿಹಾರವು ಗ್ರಾಫ್ನ ಆಂತರಿಕ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಆದರ್ಶ ಬುಗ್ಗೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ-ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ನೆಲೆಗೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಹುತೇಕ ಸಮತೋಲನದ ಒತ್ತಡವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಆಂತರಿಕ ಅಂಚಿಗೆ ಒಂದು ತೂಕವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಂತರಿಕ ಶೃಂಗವು ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಕೂಡ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಹೊರಗಿನ ಮುಖವು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅಂತಹ ನಿಯೋಜನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೂಲ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಡ್ಯುಯಲ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಧ್ರುವೀಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಲಿಫ್ಟಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವು ಬಾಹ್ಯ ಮುಖವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಐದು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮುಖವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅಂತಹ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಮುಖದ ಸ್ಥಿರ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಉಳಿದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಟುಟ್ಟೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಎತ್ತಬಹುದು. ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಗೋಳದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಮುಖಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದಃ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಮುಖಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಶೃಂಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಅದು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಮುಖವನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನದಲ್ಲಿ ದಾಟುವ ವೃತ್ತಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವೃತ್ತಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮುಖಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಉಭಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ, ಮುಖದ ವೃತ್ತಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿ, ನೀಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗದಿಂದ, ಆ ಶೃಂಗದಿಂದ ಕಾಣುವ ಗೋಳದ ಮೇಲಿರುವ ದಿಗಂತವು ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಕ್ಷಿತಿಜ ಗುಣವು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಂದು ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಗೋಳವು ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಮಧ್ಯದ ಗೋಳವಾಗುತ್ತದೆಃ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುದಿಯು ಗೋಳಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಶೃಂಗದ ವೃತ್ತಗಳು ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮುಖದ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ದಾಟುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗಿನ ಗ್ರಹಿಕೆಗಳು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಲವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿರುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನಿಂದ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಮೂಲ ಇಂಡಕ್ಷನ್-ಆಧಾರಿತ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಲಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ರಚನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣ ಘಾತೀಯವಾಗಿವೆ. ಬೈನರಿ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಘಾತೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಟ್ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಇತರರಿಗಿಂತ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಸಂಶೋಧಕರು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವ ಎತ್ತುವ-ಆಧಾರಿತ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು 0 ರಿಂದ ಹಿಡಿದು ಇತರ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ರೇಖೀಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಬಹುಪದೀಯ ಗಾತ್ರದ ಗ್ರಿಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಕಾರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಪಿರಮಿಡ್ಗಳು (ಚಕ್ರ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳು), ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು (ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳು) ಮತ್ತು ಜೋಡಿಸಲಾದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿಗೆ (ಅಪೋಲೋನಿಯನ್ ಜಾಲಗಳ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳು) ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮುಖಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸಮಾನ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಪೈರಿಟೋಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರ್ಲ್ಸ್ ಸಂರಚನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದವುಗಳು) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಸಮಾನ ಇಳಿಜಾರುಗಳು ಒಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಮರದ ಎಲೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮತಟ್ಟಾದ-ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಮರದಿಂದ (ಡಿಗ್ರಿ-ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದ) ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಲಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ, ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದುಃ ಹೊರಗಿನ ಚಕ್ರವು ಸಮತಲವಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬೇಸ್ ಮುಖವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇತರ ಮುಖವು ಬೇಸ್ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ (ಎತ್ತುವ ಮೂಲಕ ಗ್ರಹಿಸಿದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿರುವಂತೆ), ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೇಲಿನ ಮುಖಗಳು ಒಂದೇ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ತಳದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮೇಲೆ ಸಮಾನ-ಇಳಿಜಾರು ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ನೇರ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮಾನವಾದ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ತಳದ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಮರದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಅದರ ನೇರ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪುರಾವೆಯು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಬೇರೂರಿರುವ ಮರವು ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ನಿಂದ ಎಲೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಸಣ್ಣ ಮರಕ್ಕೆ ಇಳಿಯಬಹುದು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಎಲೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಸಣ್ಣ ಮರದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಹ್ಯಾಲಿನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆಯಿಂದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲೆ ಮಕ್ಕಳನ್ನು ಮರದ ನೋಡ್ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಈ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮುಖದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನಲ್ಲಿ, ಮುಖಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸದ ಚಕ್ರಗಳಾಗಿವೆಃ ಅಂದರೆ, ಮುಖದ ಚಕ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ಉಳಿದವು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಚಕ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮುಖಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ರಚನೆಯನ್ನು (ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳಲ್ಲ) ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಯಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾರ್ನೆಟ್ ಮತ್ತು ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಅವರು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮತ್ತೊಂದು ಬಲವರ್ಧನೆಯು, ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್, ಗ್ರಾಫ್ನ ಯಾವುದೇ ಮುಖ ಮತ್ತು ಆ ಮುಖವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ, ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಮುಖಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇಡೀ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಟುಟ್ಟೆಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರಗಿನ ಮುಖಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಟುಟ್ಟೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗೆ ಎತ್ತುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಬಾರ್ನೆಟ್ ಮತ್ತು ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರೇರಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಚಕ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಸಿಲೂಯೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸರ್ಕಲ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮತ್ತೊಂದು ಬಲವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಯುನಿಟ್ ಗೋಳಕ್ಕೆ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಮಧ್ಯ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೊದಲು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ದೇಹವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಅದು ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸುತ್ತಳತೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳಿಗೆ ಒಳಾಂಗಣ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಸುತ್ತಳತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಂತೆ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ.) ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಗೋಳದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇನ್ ಸ್ಫಿಯರ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮುಖವಲ್ಲದ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಬೇಕು. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಸುತ್ತಳತೆಗಾಗಿ, ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಬೇಕು, ಮತ್ತು ಕಟ್ನ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಕಟ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರಬೇಕು. ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಅನೇಕ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿದ್ದರೂ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (ಒಂದು ಇದ್ದರೆ) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ದ್ರಾವಣದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಜೋಡಿ ವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅದರ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಲರಿಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಮುಖದ ಜಾಲಿಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಿಕ್ಟರ್-ಗೆಬರ್ಟ್ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೂ ಸಹ, ವಾಸ್ತವದ ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾಗಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ವಾಸ್ತವಿಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಗಣನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಶೃಂಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಮುಖದ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ಸಮತಟ್ಟನ್ನು ಮತ್ತು ಮುಖಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರತಿ ಕೋನದ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಎಂದರೆ ಈ ವರ್ಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಮಾನ ನಿದರ್ಶನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು, ಕ್ರಮಾವಳಿ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಾಸ್ತವದ ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಮತ್ತು ಎನ್. ಪಿ. ಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಹಾಗೆಯೇ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮುಖದ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 4-ಬಹುಪದರಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಂಶೋಧಕರು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ವರ್ಗಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಗೆಹರಿಯದೆ ಉಳಿದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಸಹ (ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಯಾಸ್ಜಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಬಗೆಹರಿಯದೆ ಉಳಿದಿದೆ. ಎಬರ್ಹಾರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಮುಖಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಬಹುಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮುಖಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಲಾಸ್ಲೊ ಲೊವಾಸ್ಜ್ ಅವರು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅದೇ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಕಾಲಿನ್ ಡಿ ವರ್ಡಿಯೆರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾದ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕಾಲಿನ್ ಡಿ ವರ್ಡಿಯೆರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ತೂಕದ ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಕೊರಾಂಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇವು ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ಕರ್ಣೀಯ ಗುಣಾಂಕದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದ ತೂಕ ಮತ್ತು ಆಫ್-ಕರ್ಣೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಚಿನ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರದಿದ್ದಾಗ, ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಗ್ರಾಫ್ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಮೂರು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಲೊವಾಸ್ಜ್ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಆಗಿರುವಾಗ, ಕೊರಾಂಕ್ ಮೂರರ ತೂಕದ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಶೂನ್ಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಈ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿ ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಅವರು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅವರು ಮೂಲತಃ 1916 ರಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿಗೂಢ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೊದಲ ನೋಟವನ್ನು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. 1928ರಲ್ಲಿ ಅವರ ಮರಣದ ನಂತರ ಪ್ರಕಟವಾದ ನಂತರದ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧುನಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಗಳು ಇದನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಿಲ್ಲ. ಪ್ರಮೇಯದ ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು 1960 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಂಕೊ ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಮತ್ತು ಥಿಯೋಡೋರ್ ಮೊಟ್ಜ್ಕಿನ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅದರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಅವರ 1967 ರ ಪಠ್ಯ ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಯಿತು. ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವ δ-Y ಮತ್ತು Y-δ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಪಿಫಾನೋವ್ನ ಕೆಲಸವು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೃತಿಯ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ಗೆ ಮನ್ನಣೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಒತ್ತಡದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಲಿಫ್ಟಿಂಗ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಕ್ರೆಮೋನಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು 1864 ರಿಂದ 1870 ರವರೆಗೆ ಜೇಮ್ಸ್ ಕ್ಲರ್ಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಅವರು ಪಿಯರೆ ವರಿಗ್ನಾನ್, ವಿಲಿಯಂ ರಾಂಕಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರರ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಲುಯಿಗಿ ಕ್ರೆಮೋನಾ ಅವರು ಇದನ್ನು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು. ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಟುಟ್ಟೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂಬ ಅವಲೋಕನವು ಬರುತ್ತದೆ; ಸಹ ನೋಡಿ. ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 1936 ರಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ ಕೋಯೆಬೆ ಮತ್ತು 1970 ರಲ್ಲಿ ಇ. ಎಂ. ಆಂಡ್ರೀವ್ ಅವರು (ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು; ಇದನ್ನು 1980 ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿಲಿಯಂ ಥರ್ಸ್ಟನ್ ಅವರು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು, ಅವರು (ಕೋಯೆಬೆ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೀವ್ ಅವರನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದರೂ ಸಹ) ಅದರ ಸಂಶೋಧಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರೆಂದು ಖ್ಯಾತಿ ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಆಂಡ್ರೀವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ತರಹದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯ ಗೋಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಬಳಕೆಯು ಥರ್ಸ್ಟನ್ನ ಕೃತಿಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಕೆತ್ತಿದ ಅಥವಾ ಸುತ್ತುವರಿದ ಗೋಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಸುಮಾರು 1630 ರಲ್ಲಿ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಮತ್ತು 1832 ರಲ್ಲಿ ಜಾಕೋಬ್ ಸ್ಟೈನರ್ ಅವರ ಅಪ್ರಕಟಿತ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ; ಸುತ್ತಳತೆ ಅಥವಾ ಒಳಗೋಳದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು 1928 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ನೀಡಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು