Saddle-node bifurcation
ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ದ್ವಿಭಾಜನ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ದ್ವಿಭಾಜನ ಅಥವಾ ಮಡಿಕೆ ದ್ವಿಭಾಜನವು ಒಂದು ಸ್ಥಳೀಯ ದ್ವಿಭಾಜನವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು (ಅಥವಾ ಸಮತೋಲನ) ಪರಸ್ಪರ ಡಿಕ್ಕಿ ಹೊಡೆದು ನಾಶವಾಗುತ್ತವೆ. 'ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆ' ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅದೇ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಡಿಕೆ ವಿಭಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಹಠಾತ್ ಸೃಷ್ಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಹೆಸರು ನೀಲಿ ಆಕಾಶದ ವಿಭಜನೆ. ಹಂತದ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ತಡಿ), ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನೋಡ್). ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಗಳು ಹಿಸ್ಟರೆಸಿಸ್ ಲೂಪ್ಗಳು ಮತ್ತು ದುರಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ದ್ವಿಭಾಜನ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುಗಳಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು. (ದ್ವಿಭಾಜನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ) ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಮೊದಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೆಸಿ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅನಿಮೇಷನ್ನಿಂದ ನೋಡಬಹುದು, ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಯಾವುದೇ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುಗಳಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವಾಗ, ಒಂದು ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ, ಎರಡು ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುಗಳಿವೆಃ ಅಂದರೆ, ಒಂದು ತಡಿ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಒಂದು ನೋಡ್ (ಆಕರ್ಷಕ ಅಥವಾ ನಿವಾರಕ). ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಜೈವಿಕ ಸ್ವಿಚ್ಗಳ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿವೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮಡಿಕೆ ವಿಭಜನೆಯಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಯಾಡಲ್-ನೋಡ್ ವಿಭಜನೆಯ ಸ್ವಾಯತ್ತವಲ್ಲದ ಆವೃತ್ತಿ (ಅಂದರೆ. ನಿಯತಾಂಕವು ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ) ಅನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಪಿಚ್ಫೋರ್ಕ್ ದ್ವಿಭಾಜನ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ದ್ವಿಭಾಜನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಹೋಪ್ಫ್ ದ್ವಿಭಾಜನ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ದ್ವಿಭಾಜನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವೀಡಿಯೊ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು