Maxwell stress tensor
ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ (ಜೇಮ್ಸ್ ಕ್ಲರ್ಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ) ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಆವೇಗದ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದು ಆವೇಶದಂತಹ ಸರಳ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬಲ ನಿಯಮದಿಂದ ಆವೇಶದ ಮೇಲಿನ ಬಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಸುಲಭ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದಾಗ, ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಸಂವಿಧಾನಿಕವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಬಹುದು, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅನೇಕ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಸ್ಟ್ರೆಸ್ ಟೆನ್ಸರ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಅನೇಕ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಟೆನ್ಸರ್ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಟೆನ್ಸರ್ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಒತ್ತಡ-ಶಕ್ತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಟ್ಟು ಒತ್ತಡ-ಶಕ್ತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ನ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಹರಿವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಈ ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿರುವಂತೆ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಬಲವನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂಬ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮತ್ತು ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಆವೇಗದ ಹರಿವಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪೊಯಿನ್ಟಿಂಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಮತ್ತು (ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹಗಳೆರಡರ) ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ (BH-ವಕ್ರರೇಖೆಯೊಂದಿಗಿನ ಕಾಂತೀಯ ಕಬ್ಬಿಣದಂತಹ), ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಸಮೀಕರಣ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ. ಎಸ್. ಐ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಪಡೆದಂತೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಆಗಿದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ಸಿಜಿಎಸ್ ಘಟಕದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ, ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೈಸಿಂಗ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆಃ ಡಯಾಡಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಯುನಿಟ್ ಡಯಾಡ್ ಆಗಿದೆಃ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಅಂಶವು ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ಗೆ ಆವೇಗದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಆವೇಗದ ಹರಿವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಬಲದ ಘಟಕಗಳಾಗಿಯೂ ಕಾಣಬಹುದು (ಋಣಾತ್ಮಕ ಒತ್ತಡ), ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ನ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಘಟಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಭವಿಸುವ th ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಬಲ ಎಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಪ್ರದೇಶದ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಒತ್ತಡವನ್ನು (ಎಳೆಯುವ) ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆದರ್ಶ ಅನಿಲದ ಒತ್ತಡದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಬಲಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶ ಅಂಶವು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬಲವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಆಫ್-ಡಯಾಗ್ನಲ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೋಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕೇವಲ ಕಾಂತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೋಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ), ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಹೊರಬರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಎಸ್. ಐ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಮೋಟರ್ನ ರೋಟರ್ನಂತಹ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ಇದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ರೇಡಿಯಲ್ (ಸಿಲಿಂಡರಿನಿಂದ ಹೊರಕ್ಕೆ) ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ (ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಸುತ್ತ) ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೋಟರ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ರೇಡಿಯಲ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. , ಮತ್ತು ನಾವು ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಟಾಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಸ್ಟ್ರೆಸ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಗುರುತಿನ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಘಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಂಕೇತಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಶೆರ್ಮನ್-ಮಾರಿಸನ್ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿಸಿದಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಇದು ನಮಗೆ ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆರ್ಎಚ್ಎಸ್ನ ಕೊನೆಯ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ, ಅದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಶೆರ್ಮನ್-ಮಾರಿಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು ಇತರ ಎರಡು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ರಿಕ್ಕಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಎನರ್ಜಿ ಡೆನ್ಸಿಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಪಾಯಿಂಟಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಒತ್ತಡ-ಶಕ್ತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಒತ್ತಡ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಒತ್ತಡದ ಬಲ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡೇವಿಡ್ ಜೆ. ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್, "ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್" pp. 351-352, ಬೆಂಜಮಿನ್ ಕಮ್ಮಿಂಗ್ಸ್ ಇಂಕ್., 2008 ಜಾನ್ ಡೇವಿಡ್ ಜಾಕ್ಸನ್, "ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್, 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ", ಜಾನ್ ವಿಲೇ & ಸನ್ಸ್, ಇಂಕ್., 1999. ರಿಚರ್ಡ್ ಬೆಕರ್, "ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು", ಡೋವರ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಇಂಕ್., 1964. ಟೆನ್ಸರ್ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಜೇಮ್ಸ್ ಕ್ಲರ್ಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್