Bulirsch–Stoer algorithm
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಬುಲಿರ್ಷ್-ಸ್ಟೊಯರ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಮೂರು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆಃ ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಬಹಿರ್ವೇಶನ, ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್-ರೀತಿಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದ ಬಹಿರ್ವೇಶನದ ಬಳಕೆ, ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ವಿಧಾನ, ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪ್ರಯತ್ನದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (ODE) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು. ಇದಕ್ಕೆ ರೋಲ್ಯಾಂಡ್ ಬುಲಿರ್ಷ್ ಮತ್ತು ಜೋಸೆಫ್ ಸ್ಟೋಯರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗ್ರ್ಯಾಗ್-ಬುಲಿರ್ಷ್-ಸ್ಟೊಯರ್ (ಜಿಬಿಎಸ್) ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಲಿಯಂ ಬಿ. ಗ್ರ್ಯಾಗ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ವಿಧಾನದ ದೋಷ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಹತ್ವವಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ವಿಚಾರಗಳು ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು, ಅದರ ನಿಖರತೆಯು ಬಳಸಿದ ಹಂತಗಳ ಗಾತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಹಂತಗಳ ಗಾತ್ರದ ಎಚ್ ನ (ಅಜ್ಞಾತ) ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಎಚ್ ನ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ (ಆಯ್ದ) ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಚ್ = 0 ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದಲ್ಲಿ ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬುಲಿರ್ಷ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೋಯರ್ ಗುರುತಿಸಿದರು, ಏಕೆಂದರೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು ಧ್ರುವಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಮರ್ಥವಾಗಿವೆ (ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ), ಏಕೆಂದರೆ ಹತ್ತಿರದ ಧ್ರುವಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಲು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ-ಶಕ್ತಿಯ ಪದಗಳಿವೆ. ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಅಥವಾ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ಸುತ್ತ ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಅಥವಾ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಹತ್ತಿರದ ಧ್ರುವಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಗಮನಾರ್ಹ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಮಿಡ್ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಸ್ವತಃ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಧಾನಗಳಾದ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರಾಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಮಟ್ಟದ್ದಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಸಬ್ಸ್ಟೆಪ್ಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಬ್ಸ್ಟೆಪ್ಗಳಿಗೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ), ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಗ್ರಾಗ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದಂತೆ, ಎಚ್ ಗಾತ್ರದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಹಂತದ ದೋಷವು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗಾತ್ರದ ಎಚ್ = ಎಚ್/ಎನ್ ಗಾತ್ರದ ಎನ್ ಸಬ್ಸ್ಟೆಪ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಚ್ನಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಚ್ನ ಸಮ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬುಲಿರ್ಷ್-ಸ್ಟೊಯರ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿಖರತೆಯು ಎರಡು ಆದೇಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಬ್ಸ್ಟೆಪ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಚ್ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ದಾಟಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಯತ್ನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ. ಈ ವಿಧಾನದ ಬಗೆಗಿನ ಅವರ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದೀಯ ಅಂತರ್ವೇಶನಕ್ಕಿಂತ ಬಹುತೇಕ ಎಂದಿಗೂ ಸುಧಾರಣೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಮಿಡ್ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿಡ್ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಸಲು ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಕಾರಣ ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ODEX.F, ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಹೈಯರ್ ಮತ್ತು ಗೆರ್ಹಾರ್ಡ್ ವಾನ್ನರ್ರಿಂದ ಬುಲರ್ಷ್-ಸ್ಟೊಯರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅನುಷ್ಠಾನ (ಇತರ ದಿನಚರಿಗಳು ಮತ್ತು ಪರವಾನಗಿ ಷರತ್ತುಗಳಿಗಾಗಿ, ಅವರ ಫೋರ್ಟ್ರಾನ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಕೋಡ್ಗಳ ಪುಟವನ್ನು ನೋಡಿ). ಬೂಸ್ಟ್ ಲೈಬ್ರರಿ, ಸಿ + + ನಲ್ಲಿ ಅನುಷ್ಠಾನ. ಅಪಾಚೆ ಕಾಮನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥ್, ಜಾವಾದಲ್ಲಿ ಅನುಷ್ಠಾನ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ (ಚತುರ್ಭುಜ)