Higher-order singular value decomposition
ಬಹು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಟೆನ್ಸರ್ನ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆ (ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಟಕರ್ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್, ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ, ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು 1928 ರಲ್ಲಿ ಎಫ್. ಎಲ್. ಹಿಚ್ಕಾಕ್ನಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು, ಆದರೆ ಎಲ್. ಆರ್. ಟಕರ್ ಅವರು 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟಕರ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಎಲ್. ಡಿ ಲಾಥೌವರ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು. ವಿದ್ಯುತ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಎಂ-ಮೋಡ್ ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ವಾಸಿಲೆಸ್ಕು ಮತ್ತು ಟೆರ್ಜೋಪೌಲೋಸ್ ಅವರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ತಮ್ಮ ಬಹುಪದರದ ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ (ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿ) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಡೆಲಾಥೌವರ್ ಎಂದು ಸೃಷ್ಟಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಟಕರ್ ಅಥವಾ ಡೆಲಾಥೌವರ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಾಸಿಲೆಸ್ಕು ಮತ್ತು ಟೆರ್ಜೊಪೊಲೊಸ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯ ದೃಢವಾದ ಮತ್ತು ಎಲ್1-ಮಾನದಂಡ-ಆಧಾರಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಈ ಲೇಖನದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಅಮೂರ್ತ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಎಂ-ವೇ ರಚನೆಯಾಗಿ ಕೆಲವು ಆಧಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಂ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ನ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಶುದ್ಧ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಮೋಡ್ನ ಎಡ ಏಕವಚನ ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ-m ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಅದರ j ನೇ ಕಾಲಮ್ ನ j ನೇ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮೋಡ್/ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೋಡ್ m ಚಪ್ಪಟೆಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಬಹುಪದರದ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ, ನಾವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ಏಕೆಂದರೆ 'ಗಳು ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಈಗ ಕೋರ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ನಂತರ, ಅದರ ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯು ಪ್ರತಿ ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದು ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್-m ಫ್ಲ್ಯಾಟನಿಂಗ್ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಡ ಏಕವಚನ ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೀಕೃತ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಅದರ ಅಂಕಣಗಳನ್ನು ಅದರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸೋಣ. ರೂಪದ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಚಿತ್ರದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಸಮಾನತೆಯು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ (ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ಬಹು ರೇಖೀಯ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಪ್ಪಟೆಯಾದವುಗಳು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೋರ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಈಗ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಪದರದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ-ಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದರದ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಟುಪಲ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಟುಪಲ್ಗಳು ಬಹು ರೇಖೀಯ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲ. ಬಹುಪದರದ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯು ಅದರ ಕೋರ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಆಯಾಮಗಳು ಟೆನ್ಸರ್ನ ಬಹುಪದರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ. ವಿವರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ ಎರಡಕ್ಕೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ನ ಬಹುಪದರ ಶ್ರೇಣಿಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದು ಬಹುಆಯಾಮದ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಫಾಲೋಸ್ವೇರ್ ಆಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಒಂಬತ್ತನೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೇಸಿಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಬಹುಪದರದ ಗುಣಾಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ಕಾಲಮ್ಗಳಿವೆಯೋ ಅಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಇದರರ್ಥ ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಬಹುಆಯಾಮದ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಗಣನೆಯು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿರಲಿ-, ಅಲ್ಲಿ ರಿಯಾಲ್ಗಳನ್ನು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಹರೇಖೀಯ ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಮತ್ತು ಎಂ-ಮೋಡ್ ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯ ಗಣನೆಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಎಲ್. ಆರ್. ಟಕರ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಎಲ್. ಡಿ. ಲಾಥೌವರ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಮತ್ತು ವಾಸಿಲೆಸ್ಕು ಮತ್ತು ಟೆರ್ಜೋಪುಲಸ್ ಅವರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು. ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಲೀವೆನ್ ಡಿ ಲಾಥೌವರ್ ಅವರು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ವಾಸಿಲೆಸ್ಕು ಮತ್ತು ಟೆರ್ಜೊಪೊಲೊಸ್ ಅವರು ಎಂ-ಮೋಡ್ ಎಸ್ವಿಡಿ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಮೋಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಮಾನಾಂತರ ಗಣನೆಯಾಗಿದೆ. ಎಂ-ಮೋಡ್ ಎಸ್ವಿಡಿಃ ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿಃ ಮೋಡ್-ಎಂ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುವುದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ; (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್) ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ಎಡ ಏಕವಚನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ; ಬಹುಪದರದ ಗುಣಾಕಾರ ಇಂಟರ್ಲೇಸಿಂಗ್ ಗಣನೆಯ ಮೂಲಕ ಕೋರ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಕೆಲವು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಕೋರ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗಣನೆಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಜೋಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗವಾದ ತಂತ್ರ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಃ ಹೊಂದಿಸಿ; ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲುಃ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಮೋಡ್-ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುವುದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ; (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್) ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ಎಡ ಏಕವಚನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ; ಹೊಂದಿಸಿ, ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ,. ಇನ್-ಪ್ಲೇಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ HOSVD ಅನ್ನು HOSVD ಕೋರ್ ಟೆನ್ಸರ್ನಿಂದ ಮೂಲ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ತಿದ್ದಿ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಫ್ಯೂಸ್ಡ್ ಇನ್-ಪ್ಲೇಸ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ (FIST-HOSVD) ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಇದು HOSVD ಅನ್ನು ಗಣನೆಯ ಮೆಮೊರಿ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಕೆಳಗೆ ತಿಳಿಸಲಾದಂತಹ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಬಹು ರೇಖೀಯ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಬಹುಪದರದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್-ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಬಹುಪದರದ ಶ್ರೇಣಿಯು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಈ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಒಂದು ಸರಳ ಉಪಾಯವೆಂದರೆ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಅಥವಾ ಇಂಟರ್ಲೇಸ್ಡ್ ಗಣನೆಯ 2ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್) ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವುದು. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾದ ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಗಣನೆಯ ಹಂತ 2ರ ಬದಲಿಗೆ ಶ್ರೇಣಿ-ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾದ ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಮೇಲಿನ ಎಡ ಏಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾದ ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾದ ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ.) ಶ್ರೇಣಿ-ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾದ ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅಂತರ್ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗಣನೆಯ ಹಂತ 2ರ ಬದಲಿಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಎಡ ಏಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕಡಿಮೆ ಬಹುಪದರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಇಂಟರ್ಲಿವ್ಡ್ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿ ಎರಡೂ ಅರ್ಧ-ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆಃ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕಡಿಮೆ ಬಹು ರೇಖೀಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದರರ್ಥ ಸಣ್ಣ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರವಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿ ಅನೇಕ ಉದ್ದೇಶಿತ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹು-ಮಾರ್ಗ ಸರಣಿಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2000ದ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ವಾಸಿಲೆಸ್ಕು ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಹರೇಖೀಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ನಡಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ, ಮುಖ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ-ಟೆನ್ಸರ್ಫೇಸಸ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್-ಟೆನ್ಸರ್ಟೆಕ್ಚರ್ಸ್ಗಾಗಿ ಮಾನವ ಚಲನೆಯ ಸಹಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದತ್ತಾಂಶ ರಚನೆಯ ಕಾರಣ ಅಂಶಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕೊಳೆಯುವ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಟೆನ್ಸರ್ ಫ್ರೇಮ್ವರ್ಕ್ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಯಿತು. ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ದತ್ತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೀನೋಮಿಕ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ. ಈ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಜಿ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. (ಎಚ್. ಓ. ಜಿ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ.) ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಜಿ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಸಹ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದವು. ರೋಗದ ಕಣ್ಗಾವಲಿನಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ದತ್ತಾಂಶ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗಳಿಂದ (ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಆಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುವಿಧದ ದತ್ತಾಂಶ) ನೈಜ-ಸಮಯದ ಈವೆಂಟ್ ಪತ್ತೆಗಾಗಿ ಎಚ್ಓಎಸ್ವಿಡಿ ಮತ್ತು ಎಸ್ವಿಡಿ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮಾದರಿ ರೂಪಾಂತರ-ಆಧಾರಿತ ನಿಯಂತ್ರಕ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಟಿ. ಪಿ. ಮಾದರಿ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಬರಾನ್ಯಿ ಮತ್ತು ಯಾಮ್ ಅವರು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ದರು. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು HOSVD-ಆಧಾರಿತ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೂಪದ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ವೇರಿಯಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮಾದರಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಷನ್ ಆಧಾರಿತ ನಿಯಂತ್ರಣ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ TP ಮಾದರಿ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನೋಡಿ. ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಬಹು-ವೀಕ್ಷಣೆ ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಜೀನ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಸಿಲಿಕೋ ಔಷಧ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಯಿತು. ದೃಢವಾದ ಎಲ್1-ನಾರ್ಮನ್ ರೂಪಾಂತರವಾದ ಎಲ್1-ಟಕ್ಕರ್, ಟಕರ್ ವಿಭಜನೆಯ ಎಲ್1-ನಾರ್ಮನ್ ಆಧಾರಿತ, ದೃಢವಾದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಎಲ್1-ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯು ಎಲ್1-ಟಕ್ಕರ್ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಎಚ್. ಓ. ಎಸ್. ವಿ. ಡಿ. ಯ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಹು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು