Closed geodesic
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೇಲೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಒಂದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಅದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಹರಿವಿನ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ (ಎಂ, ಜಿ), ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಎನ್ನುವುದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಿಗೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಮತ್ತು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ತತ್ವದ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. Mಯ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ 1-ನಿಯತಕಾಲಿಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸೂಚಿಸುವ, 1ನೇ ಅವಧಿಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು p ಅವಧಿಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಕ್ರರೇಖೆಯು 1ನೇ ಅವಧಿಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು Eಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ M ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಭೂಗಣತಿಯು ಶಕ್ತಿಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸುತ್ತಿನ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಕ ಗೋಳದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತವು ಮುಚ್ಚಿದ ಭೂಗಣತಿಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗೋಳದ ಮೇಲೆ, ಎಲ್ಲಾ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಗಳು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಗೋಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಇದು ನಿಜವಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಸರಳ ಮುಚ್ಚಿದ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಗಳಿರುತ್ತವೆ; ಇದು ಮೂರು ಭೌಗೋಳಿಕತೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೂಲಂಕಷವಾಗಿ ತನಿಖೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಯಾವುದೇ ತಿರುಚು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಲ್ಯುಸ್ಟರ್ನಿಕ್-ಫೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮೂರು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳ ಪ್ರಮೇಯ ವಕ್ರ-ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಹರಿವಿನ ಸೆಲ್ಬರ್ಗ್ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರ ಸೆಲ್ಬರ್ಗ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಝೋಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೆಸ್ಸೆ, ಎ.: "ಯಾರ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿವೆಯೋ ಅವರೆಲ್ಲರನ್ನೂ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ", ಎರ್ಜೆಬಿಸ್ ಗ್ರೆನ್ಜೆಬ್. ಗಣಿತ., ಇಲ್ಲ. 93, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಬರ್ಲಿನ್, 1978. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ (ಗಣಿತ)