Bilateral hypergeometric series
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ದ್ವೈಪಾಕ್ಷಿಕ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ n ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾದ ಒಂದು ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎರಡು ಪದಗಳ ಅನುಪಾತ an/an + 1 ಎಂಬುದು n ನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ n ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬೇಕು; ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ಸರಣಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ n ಎರಡಕ್ಕೂ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಪಾಲು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಹಲವಾರು ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ದ್ವೈಪಾಕ್ಷಿಕ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಯ pHp ಅನ್ನು ಏರುತ್ತಿರುವ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಅಥವಾ ಪೋಚಮ್ಮರ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ z ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು 1 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಂಕೇತದಿಂದ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ p ಮತ್ತು q ನೊಂದಿಗೆ pHq ಸರಣಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು a ಅಥವಾ b ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ n <0 ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳು |z | <1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು n> 0 ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳು |z |> 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ |z | = 1 ಹೊರತು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. |z | = 1 ಆಗಿದ್ದಾಗ, ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಬಹು ಮೌಲ್ಯದ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದರ ಏಕತ್ವಗಳು z = 0 ಮತ್ತು z = 1 ರಲ್ಲಿ ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಎಐ = −1, −2, ಮತ್ತು ಬೈ = 0,1,2, ನಲ್ಲಿ ಸರಳ ಧ್ರುವಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಎ ಅಥವಾ ಬಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. n ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳು z = 0 ಮತ್ತು z = 1 ರಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ |z | <1 ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಬಹು ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ n ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳು z = 0 ಮತ್ತು z = 1 ರಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ |z |> 1 ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಬಹು ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು 0 ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ z ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ದ್ವೈಪಾಕ್ಷಿಕ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ z ನಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾರಾಂಶ ಸೂತ್ರಗಳು ಡೌಗಲ್ ಅವರ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ಮೊತ್ತ ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಮಾನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬೈಲೆಯ್ ಅವರ ಸೂತ್ರವು ಡೌಗಲ್ ಅವರ ಸೂತ್ರದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಬೇಸಿಕ್ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (2008 ರ ಪೇಪರ್ಬ್ಯಾಕ್ ಇದೆ) ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು.