Kretschmann scalar
ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ ಅನ್ವಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ರೆಟ್ಸ್ಚ್ಮನ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಎರಿಕ್ ಕ್ರೆಟ್ಸ್ಚ್ಮನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕ್ರೆಟ್ಸ್ಚ್ಮನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂದರೆ ರೀಮನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಕಲನ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಲೇಖನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇದು ಟೆನ್ಸರ್ ಘಟಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಗಣಕಯಂತ್ರ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಳಕೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಬರವಣಿಗೆಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗೆ, ಕ್ರೆಟ್ಸ್ಚ್ಮನ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಫ್ಆರ್ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲಕ್ಕೆ, ಕ್ರೆಟ್ಸ್ಚ್ಮನ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಇತರ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಲವು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪದವನ್ನು ಬರೆಯುವಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ) ಅಲ್ಲಿ ವೇಯ್ಲ್ ಟೆನ್ಸರ್, ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಕರ್ವ್ಚರ್ ಟೆನ್ಸರ್, ಇದು ರೀಮನ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಟ್ರೇಸ್ಲೆಸ್ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಇರುವ ಕ್ರೆಟ್ಸ್ಚ್ಮನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ರಿಕ್ಕಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯಾಗಿದೆ (ರೀಮನ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಅನುಕ್ರಮ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ರಿಕ್ಕಿ ಟೆನ್ಸರ್ ನಿರ್ವಾತ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ದ್ರಾವಣ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಲಿ ರೀಮನ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ವೇಯ್ಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅವುಗಳ ಅಸ್ಥಿರಗಳಂತೆಯೇ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳು ರೀಮನ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಎಡ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುವ ಕ್ರೆಟ್ಸ್ಚ್ಮನ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮತ್ತು ಚೆರ್ನ್-ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ (ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ, ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ) ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ, ಈ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವಕ್ರತೆ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಜಾಡಿನ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಫ್ರೇಮ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಕ್ರೆಟ್ಸ್ಚ್ಮನ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಮಿನಾಟಿ-ಮೆಕ್ಲೆನಾಘನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪಿಗಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಟೆನ್ಸರ್ ವಕ್ರತೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಸೂಡೋ-ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ವಕ್ರತೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರತೆಯ ಅಸ್ಥಿರ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ) ರಿಕ್ಕಿ ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ, ರಿಮನ್ ಮತ್ತು ವೇಯ್ಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ.