Signed measure
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಹಿ ಅಳತೆಯು (ಧನಾತ್ಮಕ) ಅಳತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಒಬ್ಬರು ಅನುಮತಿಸುತ್ತಾರೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಅಳತೆಯ ಎರಡು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಇವೆ. ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಈ ಲೇಖನವು ಈ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು "ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಗಳು" ಮತ್ತು "ವಿಸ್ತೃತ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತದೆ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್), ವಿಸ್ತೃತ ಸಹಿ ಅಳತೆಯು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು σ-ಅಡಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ-ಅಂದರೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ವಿಸ್ತೃತ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮವು ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಅಳತೆ (ಅಕಾ. ನೈಜ ಅಳತೆ) ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅಥವಾ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಸ್ತೃತ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಕ್ರಮಗಳು ವಿಸ್ತೃತ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ (X,.99) ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಳತೆ ಮತ್ತು f: X → R ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು + ν ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡಲು, f ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದೆಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಶಾಂತ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ f − (x) = ಗರಿಷ್ಠ (−f (x), 0) f ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಹಾನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು, ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಅಳತೆ μ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಾದ P ಮತ್ತು N ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ P ≤ N = X ಮತ್ತು P ≤ N = φ; ಪ್ರತಿ E ಗೆ ≤ 0 ಅಂದರೆ E ≤ P-ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, P ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ; ಪ್ರತಿ E ಗೆ ≤ 0 ಅಂದರೆ E ≤ N-ಅಂದರೆ, N ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ವಿಭಜನೆಯು ಪಿ ಮತ್ತು ಎನ್ ನಿಂದ μ-ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ/ಕಳೆಯುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರೊಂದಿಗೆ, ಎರಡೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಮಗಳು ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು, ಆ μ = μ + − μ − ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಳತೆ |μ | = μ + + μ-ಅನ್ನು μ ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾದ | |μ | = |μ | (X) ಅನ್ನು μ ನ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಈ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಪಿ ಮತ್ತು ಎನ್ಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಈ ಅಳತೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ. ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಥಳ ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಅಳತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ-ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ (ಎಕ್ಸ್, ಎಸ್ಎಸ್) ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮಗಳ ಸಮೂಹವು ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇವು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಆದರೆ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಥಳವು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಜಾಗವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬನಾಚ್ ಜಾಲರಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಫ್ರಾಯ್ಡೆಂಥಲ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. X ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಬೈರ್ ಅಳತೆಗಳ ಜಾಗವು ರೀಸ್ಜ್-ಮಾರ್ಕೋವ್-ಕಕುಟಾನಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ X ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನೈಜ ಬನಾಚ್ ಜಾಗದ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ. ಕೋನೀಯ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅಳತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಳತೆ ರೀಸ್ಜ್-ಮಾರ್ಕೋವ್-ಕಕುಟಾನಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಚಾಪದ ಉದ್ದ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಪ್ರದೇಶ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ದೂರ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಪರಿಮಾಣ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಮಗ್ರ ಕಲನ ಮಾಪನಗಳು (ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಸೈನ್ (ಗಣಿತ) ನಿಂದ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಿಕಿಪೀಡಿಯ ಲೇಖನಗಳು