Free Lie algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಪರ್ಯಾಯ K-ಬೈಲಿನಿಯರಿಟಿ ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಹೇರಿದ ಸಂಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ X ಗುಂಪಿನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ X ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು X ನಿಂದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ L ಗೆ ಸೆಟ್ಗಳ (ಕಾರ್ಯ) ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿರಲಿ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ L ಅನ್ನು X ನಲ್ಲಿ ಫ್ರೀ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಸೆಟ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ A ಗೆ, ಅಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಇದ್ದರೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, X ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, X ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸೆಟ್ X ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಉಚಿತ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. X ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರೀ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ 1-ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಘಟಕವು ಆ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಫ್ರೀ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ Vಯಲ್ಲಿ ಫ್ರೀ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳವರೆಗೆ ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಮರೆತು, ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸುತ್ತುವ ಬೀಜಗಣಿತವು X ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸುತ್ತುವ ಬೀಜಗಣಿತವು X ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮುಕ್ತ ಸಹವರ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್-ಬಿರ್ಖೋಫ್-ವಿಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ "ಒಂದೇ ಗಾತ್ರ" ವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎಕ್ಸ್ ಡಿಗ್ರಿ 1 ರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಿದರೆ ಅವು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ). ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದ ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ತುಣುಕಿನ ಆಯಾಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎಂ-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ ಕೆ ಯ ಮೂಲ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಾರದ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ವಿಟ್ ತೋರಿಸಿದರುಃ ಮೋಬಿಯಸ್ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ದ್ವಿಗುಣವು ಷಫಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಷಫಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಷಫಲ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೋಡಿ. ಹಾಲ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಉಚಿತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ಹಾಲ್ ಸೆಟ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು, ಇದು ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲಿನ ಮುಕ್ತ ಶಿಲಾಪಾಕದೊಳಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಮುಕ್ತ ಶಿಲಾಪಾಕದ ಅಂಶಗಳು ಅವಳಿ ಮರಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಎಲೆಗಳನ್ನು X ಅಂಶಗಳಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಫಿಲಿಪ್ ಹಾಲ್ನ ಕೆಲಸದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹಾಲ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ತರುವಾಯ, ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಮ್ಯಾಗ್ನಸ್ ಅವರು ಕೆಳ ಕೇಂದ್ರ ಸರಣಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಶೋಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಫಿಲಿಪ್ ಹಾಲ್ ಮತ್ತು ವಿಟ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂವಹನ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು. ಲಿಂಡನ್ ಪದಗಳು ಹಾಲ್ ಪದಗಳ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಲಿಂಡನ್ ಪದಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫ್ರೀ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಧಾರವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲಿಂಡನ್ ಬೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ರೋಜರ್ ಲಿಂಡನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. (ಇದನ್ನು ಚೆನ್-ಫಾಕ್ಸ್-ಲಿಂಡನ್ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ಲಿಂಡನ್-ಶಿರ್ಶೋವ್ ಆಧಾರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಶಿರ್ಶೋವ್ ಆಧಾರದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಈ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮೇಲಿನ ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ವರ್ಣಮಾಲೆಯಲ್ಲಿನ ಲಿಂಡನ್ ಪದಗಳಿಂದ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ γ ಇದೆಃ ಒಂದು ಪದವು ಉದ್ದ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜನರೇಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಿಂಡನ್ ಪದಗಳಿಗೆ ಯು, ವಿ ಅನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಾಲ ಬರೆಯಿರಿ ("ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್"). ನಂತರ. ಶಿರ್ಶೋವ್-ವಿಟ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಯಾವುದೇ ಲೈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಸ್ವತಃ ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಅರೆ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲಿನ ಸೆರ್ರೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಅರೆ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಲಿಂಕ್ ಗುಂಪಿನ ಮಿಲ್ನರ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಆ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ ಲಿಂಕ್ನ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿನ ಮುಕ್ತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಒಪೆರಾಡ್ನ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಉಚಿತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಲೈ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಫ್ರೀ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್, ಫ್ರೀ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಫ್ರೀ ಗ್ರೂಪ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ಗಳು, ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಫ್ರೀ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಕ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.