Four-tensor
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು-ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂಬುದು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ನಾಲ್ಕು-ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು 0 ರಿಂದ 3 ರವರೆಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಸಮಯದಂತಹ ಘಟಕಗಳಿಗೆ 0 ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಘಟಕಗಳಿಗೆ 1,2,3. ಎನ್ ಕಾಂಟ್ರಾವೆರಿಯಂಟ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಎಂ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿವೆ. ವಿಶೇಷ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ಆಸಕ್ತಿಯ ಅನೇಕ ನಾಲ್ಕು-ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಮೊದಲ ಕ್ರಮ (ನಾಲ್ಕು-ವಾಹಕಗಳು) ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ವಾಹಕದ ಆಧಾರವನ್ನು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು-ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ನಿರ್ಬಂಧವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕಾರಣ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ನಾಲ್ಕು-ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸರಳವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ನಾಲ್ಕು-ಸ್ಥಳಾಂತರವು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಶ್ರೇಣಿಯ 1 ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯ 0 ರೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು-ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ನಾಲ್ಕು-ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು-ವಾಹಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ x0 = ct ಅಂಶವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮಯ t ಅನ್ನು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ c ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ x0 ಉದ್ದದ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ನಾಲ್ಕು-ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಉಳಿದ ಘಟಕಗಳು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವಾಹಕ x = (x1, x2, x3) ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಬೃಹತ್ ಅಥವಾ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೆ ನಾಲ್ಕು-ಆವೇಗವು ಅದರ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು (c ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ) p0 = E/c ಮತ್ತು 3-ಆವೇಗ p = (p1, p2, p3) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅಸ್ಥಿರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಕ್ಕೆ, ಕಣದ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಆವೇಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಂಶದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ (− + + +) ಸಂಪ್ರದಾಯಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ರೇಖೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವೇಗದ p ಹೊಂದಿರುವ ಕಣದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು (ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಕರಿಂದ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟಂತೆ) ಸಾಪೇಕ್ಷ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಟೆನ್ಸರ್ನಲ್ಲಿನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ವಾಹಕದ ಪ್ರಮಾಣದೊಂದಿಗೆ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹೆಸರಿಲ್ಲದೆ) ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರತೆ ಅಥವಾ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಒತ್ತಡ-ಶಕ್ತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ T ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಯದಂತಹ ಘಟಕವು ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ (ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಶಕ್ತಿ), ಆವೇಗದ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಮಿಶ್ರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಘಟಕಗಳಿಗೆ (ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಆವೇಗ), ಮತ್ತು 3d ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಟೆನ್ಸರ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಇ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಬಿ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಟೆನ್ಸರ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಕ್ಷೇತ್ರ ಡಿ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಕಾಂತೀಕರಣ-ಧ್ರುವೀಕರಣ ಟೆನ್ಸರ್ ಪಿ ಮತ್ತು ಎಂ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಮೂರು ಕ್ಷೇತ್ರ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಡಿ ಮತ್ತು ಎಚ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಣದ ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಮೊಮೆಂಟ್ ಡಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಮೊಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿ ಏಕೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಯರ್-ಆರ್ಡರ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಆಗಿರುವ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೀಮನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ವೇಯ್ಲ್ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್, ಇವೆರಡೂ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಟೆಟ್ರಾಡ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು-ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.