Finite potential well
ಫೈನೈಟ್ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಬಾವಿ (ಇದನ್ನು ಫೈನೈಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಬಾವಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂಬುದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಅನಂತ ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಾವಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಣವು "ಪೆಟ್ಟಿಗೆ" ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಭಾವ್ಯ "ಗೋಡೆಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿದೆ. ಅನಂತ ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಾವಿಯಂತಲ್ಲದೆ, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಹೊರಗೆ ಕಣವು ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಣದ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಗೋಡೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ತಡೆಗೋಡೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಹೊರಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಕಣದ ಶಕ್ತಿಯು ಗೋಡೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ತಡೆಗೋಡೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೂ ಸಹ ಕಣವು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ (cf ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟನಲಿಂಗ್). 1-ಆಯಾಮದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಕಣ x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ 1-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಯ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ಕಣದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದೆ, ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುವ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ) ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯು, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಐಜೆನೆರ್ಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ ಉದ್ದದ 1-ಆಯಾಮದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಕಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಹೊರಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ x ಗೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯು x ನ ವಿವಿಧ ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು x ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಒಳಗೆ ಅಥವಾ ಹೊರಗೆ ಇದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಒಳಗೆ, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯೊಳಗಿನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ, V (x) = 0 ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ 1 ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಹೊರಗೆ, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಹೊರಗಿನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ಆಗುತ್ತದೆಃ ಪರಿಹಾರಗಳ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ, ಇದು ಇ ಕಡಿಮೆ ಇದೆಯೇ (ಕಣವು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ) ಅಥವಾ ಇ ಇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (ಕಣವು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ) ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಕಣಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು ಒಳಗಿನ ಬಾವಿಯ ಕೇಸ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ದ್ರಾವಣ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅವಕಾಶಃ ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಬೌಂಡ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಘಾತೀಯವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ ಲೆಟಿಂಗ್ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಂತೆಯೇ, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಹೊರಗಿನ ಇತರ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆಃ ಈಗ ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎ, ಬಿ, ಎಫ್, ಜಿ, ಎಚ್ ಮತ್ತು ಐ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಶ್ರೊಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬೌಂಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದ್ದಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಈ ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಬಾವಿಯ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಡುವಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಾವಿಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಗತ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುವುದುಃ ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಮತ್ತು ಇರಬೇಕಾದದ್ದುಃ ಈ ಪದವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಪದವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವು ವರ್ಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಲು, ನಾವು ಹೊಂದಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿಸಬೇಕುಃ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ, ಒಟ್ಟಾರೆ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ವಿಭಜಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕುಃ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಅಸಮಮಿತಿವಿರೋಧೀ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು. ಅದೇ ರೀತಿ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕೇಸ್ಗೆ ನಾವು ಎರಡನ್ನೂ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತರಾಗುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡದ್ದು ಏನೆಂದರೆ, ಶಕ್ತಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರಂತರತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅನಂತ ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಾವಿಯ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಎರಡಕ್ಕೂ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಶಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ; ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿವೆ. (ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.) ಶಕ್ತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಾವಿಯು ತುಂಬಾ ಆಳವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಶಕ್ತಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಆಯಾಮರಹಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಗಮನಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಓದುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ನೀಲಿ ಅರ್ಧವೃತ್ತವು ನೇರಳೆ ಅಥವಾ ಬೂದು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು) ಛೇದಿಸುವಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೇರಳೆ ಅಥವಾ ಬೂದು ಬಣ್ಣದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ, (ಅಂದರೆ, ನೀಲಿ ವೃತ್ತದಿಂದ ಛೇದಿಸಲಾದ ನೇರಳೆ/ಬೂದು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಆದ್ದರಿಂದ ನೀಲಿ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು, ಪ್ರತಿ ಪರಿಹಾರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನೆಲ ಅಥವಾ ಸೀಲಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ. ಮತ್ತು, ಅನುಗುಣವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಹಿಂತಿರುಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು (ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ವಿಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ). ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟಗಳು ಮತ್ತು ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅಲ್ಲಿ): ಬಾವಿಯು ಎಷ್ಟೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ (ಬಾವಿಯು ಎಷ್ಟೇ ಆಳವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಕಿರಿದಾಗಿದ್ದರೂ), ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಎತ್ತರವು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅನಂತ ಚೌಕದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಕರಣವು ಬಹಳ ಕಿರಿದಾದ, ಆಳವಾದ ಬಾವಿಯದ್ದಾಗಿದೆ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕೇಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬೌಂಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ, ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯು ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಬೌಂಡ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಅದು ಇರಬೇಕಾದಂತೆ. ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟಗಳಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಮಾನತೆಯ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತಿವೆ. ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಮತಿಸಲಾದ ದಂಪತಿಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೀಡುವ ಚಾರ್ಟ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವರದಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಒಂದು ಶಕ್ತಿಯ ಸಮಯ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳು ಬಾವಿಯ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿಹಾರವು ಎಂದಿಗೂ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಅಂದರೆ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಣವು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ, ಇದರರ್ಥ ಕೇವಲ ಮೇಲಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿರಂತರ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಐಗನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳು ಚೌಕಾಕಾರದ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ, ಅವು ಇನ್ನೂ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವರ್ಣಪಟಲಕ್ಕೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ಬಾವಿಯು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮೂಲದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದರೆ, ಮತ್ತು ನೀಡಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವಿಲ್ಲ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಾವಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಕುಹರದ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು, ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಕುಹರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿಭವದ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯು (n = 1) ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯ ಕಕ್ಷೀಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು (l = n − 1) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಗೊಂಡ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯು ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೇಡಿಯಲ್ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. (n = 1) ಕೋನೀಯ ಭಾಗವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (l = 0) ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಖಾತ್ರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಅಲೆಯು ಗೋಳದೊಳಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇದು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಃ ವಿಭಿನ್ನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು l §0 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಬೆಸೆಲ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಕೆಲವು ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆಃ ಬೆಸೆಲ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಮನ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವುವು, ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂಲದಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಇದು ಅಲೆಯು ಗೋಳದೊಳಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಃ, ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಟ್ರೆಸೆಂಡೆಂಟಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿಃ ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಾವಿ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನಂತ ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಾವಿ ಅರ್ಧವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಾವಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟನಲಿಂಗ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಂಭಾವ್ಯ ತಡೆಗೋಡೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾದರಿಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಗಳು