Pseudoconvex function
ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡೂ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿನಿಮಾವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದಂತೆ ವರ್ತಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ. ಆಸ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ (ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಮಾನವಾಗಿಃ ಇಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಇದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಿದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿಯೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ಭೇದಿಸಬಹುದಾದಂತೆ, ಈ ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇತರ ರೀತಿಯ "ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ" ಗೆ ಸಂಬಂಧ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆದರೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಯಾವುದೇ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೊನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ; ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಕಾರ್ಯವು ನಿಜವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಸಿಕೊನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆದರೆ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಯೋಜನಾಬದ್ಧವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡಲು, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ನಂತರ, ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರಬೇಕುಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದರೆ ಅದು ಹಾಗಲ್ಲಃ ಯಾವುದೇ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ, ನಾವು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಅಗತ್ಯವಾದ ಆಪ್ಟಿಮಾಲಿಟಿಯ ಷರತ್ತನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಓಪನ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು (ಅಂದರೆಃ) ನ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬೇಕು. ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆಃ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಜಾಗತಿಕ ಕನಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಜಾಗತಿಕ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು (ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ) ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಕೊನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸೂಡೋಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ಅಂಶವು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಜಾಗತಿಕ ಕನಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವೂ ಅಲ್ಲ). ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿಃ, ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ನ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆ, ಆದರೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ, ಇದುಃ ಚಿತ್ರವು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಿಗೆ ಹೀಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಸೂಡೋಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ, ಆದರೆ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಕಾನ್ಕವಿಟಿಯಿಂದಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಭೇದಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸೂಡೋಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಭೇದಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಡಿನಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ u ಯಾವುದೇ ಏಕ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಡಿನಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದ್ದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಉಪವಿಭೇದಕದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿರುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಎ ಎಂಬುದು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂಬ ಋಣಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎ ಎಂಬುದು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸೂಡೋಕಾಂಕೇವ್ಗಳೆರಡರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖೀಯ-ವಿಭಾಜಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಸೂಡೋಲಿನೇರ್ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ-ಅಸಮ ಗುಣಮಟ್ಟದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಭಾಗಶಃ-ರೇಖೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ (ಜಾರ್ಜ್ ಬಿ. ಡ್ಯಾಂಟ್ಜಿಗ್ನ) ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ,-ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಮತ್ತು-ಸೂಡೋಲಿನಿಯಾರಿಟಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ; ಇದರಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಸೂಡೋಲಿನಿಯಾರಿಟಿ ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸೂಡೋಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ವಾಸಿಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಪ್ರಕಾರಗಳು