Small Latin squares and quasigroups
ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳು ಸಮಾನವಾದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಮೊದಲನೆಯದು ಸಂಯೋಜಿತ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯು ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ಕ್ರಮಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಚೌಕದ ಬದಿಯ ಉದ್ದ, ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಕೇಲೆ ಕೋಷ್ಟಕವು (ಬಹುತೇಕ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಅದರ ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಗಡಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ; ಕಾಲಮ್ ಹೆಡರ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಸಾಲು ಹೆಡರ್ಗಳ ಎಡ ಕಾಲಮ್. ಗಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದು, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ನ ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಗಡಿ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಅಂಕಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನಿಯಂತ್ರಿತತೆ ಇದ್ದರೂ, ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಐಸೊಟೋಪಿ ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎರಡು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು, 1 ಮತ್ತು 2 ಗಾತ್ರಗಳು, 1 ರ ಸಾಲುಗಳು, ಕಾಲಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಮೂರು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 2 ರ ಸಾಲುಗಳು, ಕಾಲಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು 1 ರಿಂದ 2 ರವರೆಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಐಸೊಟೋಪಿ ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಬಲವಾದ ರೂಪವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು, ಪ್ರತಿ ಚೌಕದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳಿಗೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ ಸೆಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಬದಿಯ 1 ಮತ್ತು 2, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಅಂತಹ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇದ್ದರೆ, ಅವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪರ್ಯಾಯ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಅವು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಮೂರು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಹ ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರಚನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಇದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 2x3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಲುಗಳು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಒಂದೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸ್ಥಾನದ ಸಾಲು, ಸ್ಥಾನದ ಕಾಲಮ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಚಿಹ್ನೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಮೂರು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಷರತ್ತು ಏನೆಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕಾಲಮ್ಗಳಿಗೆ ಆ ಕಾಲಮ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜೋಡಿಗಳು 1 ≤ ನೊಂದಿಗೆ () ಜೋಡಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಮ್ಮೆ. ಈ ಗುಣವು ಮೂರು ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಳೆದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ (ಆದರೆ ಲೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲ), ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು (ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಮತ್ತೊಂದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕ) ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚೌಕವನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುವುದಕ್ಕೆ (ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ) ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊದಲ ಎರಡು ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತೊಂದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಸ್ಥಾನಿಕವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ ಸಂವಹನ ನಿಯಮವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಹೊಸ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವು ಮೂಲ ಚೌಕದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ "ಏನನ್ನೂ ಮಾಡಬೇಡಿ" ಸೇರಿದಂತೆ ಆರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ, ಇದು ಮೂಲ ಚೌಕದ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ಗಳು (ಪ್ಯಾರಾಸ್ಟ್ರೊಫ್ಗಳು) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗರಿಷ್ಠ ಆರು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಟೋಪಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗದ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳು, ಪ್ರಭೇದಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ಯಾರಾಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗವು ಆರು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗವು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳು ಎರಡು ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಮೂರು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಆನ್ ಟು ಆನ್ ಟು ಆಲ್ ಫಾರ್ ಇನ್ ಎಂದು ಐಸೊಟೋಪಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳನ್ನು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಂತಲ್ಲದೆ, ಎರಡು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳನ್ನು ಕೇಲೆ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು (ಗಡಿಯ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗಡಿ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೇಜಿನ ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಕೇಲೆ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು (ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಅದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವನ್ನು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೇಲೆ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದು (ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗಡಿ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ನಿಗದಿತ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವುದು) ಸಂಬಂಧಿತ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕೇಲೆ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳೂ ಸಹ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆ ಕ್ರಮದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಗಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್) ಬಳಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಳಸಿದ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು, ಸಣ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಂಕೇತ ಗುಂಪಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವು ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಚೌಕವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಬಳಸುವ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸೆಟ್ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳಂತೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕುಃ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ವಾದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿಸಬಹುದು. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿವೆ. () ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಇನ್ವಾಲ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿರಲಿ, ಕಳುಹಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಳುಹಿಸಿ. ನಂತರ ಐಸೊಟೋಪಿ} ಮೊದಲ ಚೌಕದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡು ಎರಡನೇ ಚೌಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಇದು ಗುರುತಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ). ಆದರೆ, ಎರಡು ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುವ} ಸಹ ಎರಡು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಐಸೊಟೋಪಿ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ,} ಸಹ ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಸ್ಥಾನಿಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಜೋಡಿ ಚೌಕಗಳು ಸಮರೂಪವಾಗಿವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ದೊಡ್ಡ ಕ್ರಮದ ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಗಣನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಬಹುದು. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಡಿಮೆ ಚೌಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು. ಕಡಿಮೆಯಾದ ಚೌಕವು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳು). ಎಡಭಾಗದ ಅಂಕಣದ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವು ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಸ್ಥಾನಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ಕಡಿಮೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಚೌಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ವರ್ಗಗಳಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಮದ ಕಡಿಮೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಗಗಳು, ಮತ್ತು ಇವೆರಡೂ ಸಹ ಕಡಿಮೆಯಾದ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿವೆ ಇದನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು {(3,4), (3,4), (3,4)} ಮತ್ತು {(2,3), (2,3), (2,3)} ನಿಂದ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳು ಬೇರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕಡಿಮೆಯಾದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆಯಾದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದಂತೆಯೇ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ನ ಕೇಲೆ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ ಒಂದು (ಎರಡು ಬದಿಯ) ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಸಾಲಿನ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಅಂಶ). ಎರಡು ಬದಿಯ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಲೂಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಲ್ಲ, ಲೂಪ್ಗಳು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿರಲು, ಸಹವರ್ತಿ ಕಾನೂನು ಸಹ ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಐಸೊಟೋಪಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳ ಎಣಿಕೆಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಈ ಎಣಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐಸೊಟೋಪಿಗೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಐಸೊಟೋಪಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಇಂಟರ್ಕ್ಯಾಲೇಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ 2x2 ಉಪವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಎರಡು ಬಾರಿ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಎಣಿಕೆಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಇಂಟರ್ಕ್ಯಾಲೇಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಸಹ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. 1ನೇ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ 1 ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವಿದೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ {1} ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ ಇದೆ; ಇದು ಒಂದು ಗುಂಪು, ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಗುಂಪು. ಆರ್ಡರ್ 2 ಎರಡು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಗವಿದೆ (ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಎರಡು ಮಾತ್ರ), ಅಂದರೆ ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ವರ್ಗ ಇರುವುದರಿಂದ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ಸಹ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ (ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗವಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡು ಕ್ರಮದ ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ ಮಾತ್ರ ಇದೆ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ) ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಾದ Z/2Z ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಡುವ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. 3ನೇ ಕ್ರಮವು ಮೂರು ಕ್ರಮದ (12ರಲ್ಲಿ) ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ, ಹೀಗಾಗಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗವು ಐದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಐದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ತಲಾ ಮೂರು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಒಂದು ಎರಡು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೇವಲ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆಯಾದ ಚೌಕವು ಮೂರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮರೂಪತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ ಒಂದು ಲೂಪ್ ಆಗಿದೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಗುಂಪು, Z/3Z, ಮೂರು ಕ್ರಮಗಳ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗದ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ): ಕ್ರಮ 4 ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಮದ ನಾಲ್ಕು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳಿವೆ (576 ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ). ಇವುಗಳುಃ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಮೂರು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ). ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳಿವೆ, ಎರಡು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು 35 ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳಿವೆ. 35 ಕ್ವಾಸಿಗ್ರೂಪ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಎರಡು ಲೂಪ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕ್ಲೈನ್ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪು ಇದ್ದರೆ, ಇತರ ಮೂರು ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅನುಗುಣವಾಗಿ Z/4Z ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಇರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಚೌಕವು ಎಂಟು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 12 ಇಂಟರ್ಕ್ಯಾಲೇಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಇಂಟರ್ಕ್ಯಾಲೇಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಲೈನ್ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗವು ನಾಲ್ಕು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗವು 12 ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 576 ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ, 288 ಸುಡೋಕುವಿನ 4x4 ಆವೃತ್ತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಶಿ ಡೋಕು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐದನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ 161,280 ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ, 56 ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಗಳಿವೆ. ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಎರಡು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳಿವೆ, ಆದರೆ 1,411 ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳಿವೆ. ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆರು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಆರು ಲೂಪ್ಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪು ಮಾತ್ರ, ಐದನೇ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು. ಕೆಳಗೆ ಐದು ಕ್ರಮದ ಎರಡು ಕಡಿಮೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗದಿಂದ ಒಂದು. ಮೊದಲ ಚೌಕವು 15 ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಇಂಟರ್ಕ್ಯಾಲೇಟ್ಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇದು ಝಡ್/5ಝಡ್ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ಗಡಿಯಿಲ್ಲದ ಕೇಲೆ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಚೌಕವು ಮೂರು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಇಂಟರ್ಕ್ಯಾಲೇಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಗುಂಪು ಅಲ್ಲದ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 + (3 + 4) = 2 + 0 = 2, ಆದರೆ (2 + 3) + 4 = 0 + 4 = 4, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಹಾಯಕ ನಿಯಮವು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದೇಶಗಳು 6 ರಿಂದ 10 ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಸಂಯೋಜಿತ ಸ್ಫೋಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ; ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಹೆಚ್ಚಳಗಳಿಗೆ ಸಹ ಪ್ರಭೇದಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಹೆಚ್ಚಳವಿದೆ. ಮೂಲ ಎಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಎರಡು ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇತಿಹಾಸ ಈ ದಾಖಲೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳ ಎಣಿಕೆಗೆ ಸುದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಕಟಿತ ದಾಖಲೆಗಳು ಅನೇಕ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. 1782ರಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು 1890ರಲ್ಲಿ ಕೇಲೆ ಇಬ್ಬರಿಗೂ ಐದರವರೆಗಿನ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿತ್ತು. 1915ರಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ ಮೋಹನ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಪಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಐದನೇ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ತಪ್ಪು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದರು. 1890 ರಲ್ಲಿ M.Frolov, ಮತ್ತು 1901 ರಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾರಿ, ಆರನೇ ಕ್ರಮದ ಕಡಿಮೆ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಎಂ. ಫ್ರೋಲೋವ್ ಅವರು ಏಳನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಗಳ ತಪ್ಪಾದ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಆರ್. ಎ. ಫಿಶರ್ ಮತ್ತು ಎಫ್. ಯೇಟ್ಸ್, ಇ. ಸ್ಕೊನ್ಹಾರ್ಡ್ಟ್ನ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ, ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆರು ವರೆಗೆ ನೀಡಿದರು. 1939ರಲ್ಲಿ, ಎಚ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ನಾರ್ಟನ್ ಅವರು ಏಳನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ 562 ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಆದರೆ ಅವರ ವಿಧಾನವು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು. ಎ. ಸಾಡೆ, 1951ರಲ್ಲಿ, ಆದರೆ 1948ರ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಖಾಸಗಿಯಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಪಿ. ಎನ್. ಸಕ್ಸೇನಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ತರಗತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು ಮತ್ತು 1966ರಲ್ಲಿ, ಡಿ. ಎ. ಪ್ರೀಸ್, ಇದು ನಾರ್ಟನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 564 ಐಸೊಟೋಪಿ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಪಡಿಸಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, 1968 ರಲ್ಲಿ, ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಬ್ರೌನ್ 563 ರ ತಪ್ಪಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಘೋಷಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರು ಎಂಟನೇ ಕ್ರಮದ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ತಪ್ಪು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡಿದರು. ಎಂಟನೇ ಕ್ರಮದ ಕಡಿಮೆಗೊಂಡ ವರ್ಗಗಳ ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಂ. ಬಿ. ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ. 1967ರಲ್ಲಿ ವೆಲ್ಸ್, ಮತ್ತು 1990ರಲ್ಲಿ ಜಿ. ಕೊಲೆಸೋವಾ, ಸಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಚ್. ಅವರಿಂದ ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಲ್ಯಾಮ್ ಮತ್ತು ಎಲ್. ಥೀಲ್. ಒಂಬತ್ತನೇ ಕ್ರಮಾಂಕಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಸ್. ಇ. ಬಮ್ಮೆಲ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ರೋಥ್ಸ್ಟೀನ್, 10ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕಕ್ಕೆ ಬಿ. ಡಿ. ಮೆಕ್ಕೇ ಮತ್ತು ಇ. ರೊಗೊಯ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು 11ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕಕ್ಕೆ ಬಿ. ಡಿ. ಮೆಕ್ಕೇ ಮತ್ತು ಐ. ಎಂ. ವಾನ್ಲೆಸ್ ಪಡೆದರು. ಸಣ್ಣ ಗುಂಪುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಸಂಘಟಿತ ಬೀಜಗಣಿತ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು