Sum of normally distributed random variables
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಮಿಶ್ರಣದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು X ಮತ್ತು Y ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರಲಿ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಸಹ), ನಂತರ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಇದರರ್ಥ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎರಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ವರ್ಗವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ). ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಸಲುವಾಗಿ, X ಮತ್ತು Y ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಕೈಬಿಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದನ್ನು X ಮತ್ತು Y ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಬದಲು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಹಂಚಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಗೆ ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಬಹುದು. (ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ನೋಡಿ.) ಸರಾಸರಿ ಬಗ್ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಲ್ಲ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಗಳು X ಮತ್ತು Y ಎಂಬ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಕೇವಲ X ಮತ್ತು Y ಎಂಬ ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿತರಣೆಗಳು ಒಂದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಆದ್ದರಿಂದ X + Y ವಿತರಣೆಯು ಕೇವಲ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಗಾಗಿ, Z = X + Y ನ fZ ವಿತರಣೆಯು fX ಮತ್ತು fY ಯ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ fX ಮತ್ತು fY ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿಃ ವರ್ಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದುಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು x ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು 1ಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಾಸಿಯನ್ ನ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು, ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರಃ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆ ಮೊದಲು X, Y ~ N (0,1) ಆಗಿದ್ದಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಪಿಡಿಎಫ್ಗಳು ಮತ್ತು Z = X + Y ಆಗಿರಲಿ. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು x + y = z ರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ರೇಡಿಯಲ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಪ್ರಮುಖ ಅವಲೋಕನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ x + y = z ರೇಖೆಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, x + y = z ರೇಖೆಯು ಈಗ c ಗೆ ಸಮಾನವಾದ x-ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಚಲಿಸುವಂತೆ ನಾವು ಸಮತಲವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದೆವು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈಗ, a, b ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ) ಮೇಲಿನಂತೆ ಅದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಆದರೆ ಬೌಂಡಿಂಗ್ ಲೈನ್ನೊಂದಿಗೆ. ಅದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವಿಧಾನವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ ರೇಖೆಯ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವು (ಸಹಿ) ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಅದೇ ವಾದವು ಈಗ ನಾವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು X ಮತ್ತು Y ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, X + Y ಅನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಸಾಧನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ρ ಎಂಬುದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ ρ <0, ಆಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು X ಮತ್ತು Y ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪುರಾವೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (X ಮತ್ತು Y ಶೂನ್ಯ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ), ಒಬ್ಬರು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು fZ (z) ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ Z = X − Y ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪ್ರತಿ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಹ ನೋಡಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಸರಣ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ (ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು) ಅನುಪಾತ ಉತ್ಪನ್ನ ವಿತರಣೆ ಕಡಿತ ವಿತರಣೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಸುರುಳಿಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ