Whitney's planarity criterion
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಟ್ನಿಯ ಪ್ಲ್ಯಾನಾರಿಟಿ ಮಾನದಂಡವು ಹ್ಯಾಸ್ಲರ್ ವಿಟ್ನಿಯ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಸಹ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಆಗಿದೆ). ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದುಃ ಮತ್ತೊಂದು (ಡ್ಯುಯಲ್) ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ '= (ವಿ', ಇ ') ಮತ್ತು ಮೂಲ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ' ಯ ಅಂಚುಗಳು ಇ 'ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಇರಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಪೂರಕ ಉಪಗುಂಪು ಇ-ಟಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಚುಗಳು ಜಿ' ಯ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಮರವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಇ ಯ ಉಪವಿಭಾಗ ಟಿ ಜಿ ಯ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಮರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಟ್ನಿಯ ಮಾನದಂಡದ ಸಮಾನ ರೂಪವೆಂದರೆ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಜಿ ಯ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುವ ಡ್ಯುಯಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಜಿ ಯ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಜಿ ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಡ್ಯುಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಟ್ನಿಯ ಪ್ಲ್ಯಾನಾರಿಟಿ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಗ್ರಾಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲದಂತಹ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಿದರೆ, ಹುದುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಹುದುಗುವಿಕೆಯ ಡ್ಯುಯಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ (ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿಗ್ರಾಫ್) ಎಚ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹುದುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿ ಮುಖಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮುಖಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರತಿ ಸಾಮೀಪ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಟ್ನಿಯ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಇರುವ ಮೇಲ್ಮೈ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮತಲ, ಗೋಳ ಅಥವಾ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ H ಎಂಬುದು G ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ G ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ಚಕ್ರವು H ನಲ್ಲಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ H ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ಚಕ್ರವು G ನಲ್ಲಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ G ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಮರವು H ನಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಮರದ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಟೋರಸ್ನಂತಹ ಸಮತಲವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಎರಡು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಟ್ನಿಯ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಡಿತಗಳು, ಚಕ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಮರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು