Riemann–Roch theorem for surfaces
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಆಯಾಮವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಮೊದಲು ನೀಡಿದವರು, ಅದರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ. ಶೀಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯು ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ರೂಪವು ಹೇಳುವಂತೆ, ಡಿ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಭಾಜಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ χ ಎಂಬುದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಯೂಲರ್ ಲಕ್ಷಣವಾದ ಚುಕ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಛೇದಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು K ಎಂಬುದು ಅಂಗೀಕೃತ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕ χ (0) ಎಂಬುದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಬಂಡಲ್ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಯೂಲರ್ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು 1 + ಪಾ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪಾ ಎಂಬುದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕುಲವಾಗಿದೆ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ, ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯವು χ (D) = χ (0) + ಡಿಗ್ (D) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನೋಥರ್ನ ಸೂತ್ರವು χ = χ (0) ಯೂಲರ್ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದ್ದರೆ, c12 = (K. K) ಒಂದು ಚೇರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ವರ್ಗ K ಯ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು e = c2 ಯೂಲರ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ χ (0) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು; ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್-ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್-ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ, ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್-ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನೋಥರ್ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ನೆನಪಿಡಿ, ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಭಾಜಕ ಡಿ ಗೆ ವಿಲೋಮ ಕೋಶ ಎಲ್ = ಒ (ಡಿ) ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಡಿ ನ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಲ್ ನ ವಿಭಾಗಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಟಾಡ್ ವರ್ಗ, ಮತ್ತು ಕೋಶ ಎಲ್ ನ ಚೆರ್ನ್ ಅಕ್ಷರವು ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್-ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ಡಿ = 0 ಅನ್ನು ಹಾಕುವುದು (ನೋಥರ್ನ ಸೂತ್ರ) ವಿಲೋಮ ಸೀವ್ಗಳಿಗೆ (ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳು) ಎರಡನೇ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ನಾವು ರೀಮನ್ ರೋಚ್ನ ಹೆಚ್ಚು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ನಾವು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು h2 (O (D)) ಅನ್ನು h0 (O (K−D)) ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸೆರ್ರೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ h1 (O (D)) ಪದವನ್ನು ಶೀಫ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಯಾವುದೇ ಸುಲಭ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ). ಆರಂಭಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಆರಂಭಿಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಗಿಂತ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಮರೂಪಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪುಗಳ ಯಾವುದೇ ನೇರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ r ಎಂಬುದು ಒಂದು ಭಾಜಕ Dಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯಾಮ |D | ಆಗಿದ್ದರೆ (ಆದ್ದರಿಂದ r = h0 (O (D)) −1) n ಎಂಬುದು Dಯ ವರ್ಚುವಲ್ ಡಿಗ್ರಿ, ಇದನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ ಸಂಖ್ಯೆ (D. D.) π ಎಂಬುದು Dಯ ವರ್ಚುವಲ್ ಜೆನಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು 1 + (D. D. + K. D.) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ/2 ಪಾ ಎಂಬುದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಗಣಿತದ ಜೆನಸ್ χ (OF) −1 ಆಗಿದ್ದು, ಇದು Dಯ ವಿಶೇಷತೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮಸುಕಾದ H0 (O (K−D) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸೆರ್ ದ್ವಿಗುಣದಿಂದ ಇದು ಮಸುಕಾದ H2 (O (D)) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿಭಾಜಕ ಡಿ ಯ ಸೂಪರ್ಅಬಂಡೆನ್ಸ್ ಎಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಶೀಫ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆವೃತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಡಿ ಯ ಸೂಪರ್ಅಬಂಡೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಎಸ್ = ಡಿಮ್ ಎಚ್1 (ಒ (ಡಿ)) ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. i = s = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, O (D) ಯ ಎಲ್ಲಾ ಉನ್ನತ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ) ಮತ್ತು s> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸೂಪರ್ಅಬಂಡೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಡಿವಿಸರ್ D ಅನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಅವರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು