Bergman kernel
ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೀಫನ್ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಕರ್ನಲ್, ಸಿ. ಎನ್. ನಲ್ಲಿನ ಡೊಮೇನ್ ಡಿ ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಆರ್. ಕೆ. ಎಚ್. ಎಸ್) ಗೆ ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದೆ. ವಿವರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, L2 (D) ಯು Dಯಲ್ಲಿನ ವರ್ಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು L2, h (D) ಯು L2 (D) ನಲ್ಲಿನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿಃ ಅಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿ H (D) ಎಂಬುದು Dಯಲ್ಲಿನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಡಿ ಯ ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪು ಕೆ ಗೆ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ 2 (ಡಿ) ನಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. () ನ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ z ωD ಗೆ, ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು L2, h (D) ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ರೀಸ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು L2, h (D) ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಕರ್ನಲ್ K ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕರ್ನಲ್ K (z, ζ) z ನಲ್ಲಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮತ್ತು ζ ನಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಚಿತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅವಲೋಕನವೆಂದರೆ L2, h (D) ಅನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಕ D ಮೇಲಿನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ (n, 0)-ರೂಪಗಳ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಈ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಡಿ ಯ ಬಯೋಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸ್ಜೆಗೋ ಕರ್ನಲ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳು