Height function
ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯವು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ (ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ) ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ನಿಷ್ಕಪಟ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಿಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ), ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ. ಸಿಗ್ನಿಫಿಕೆನ್ಸ್ ಹೈಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳಂತಹ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ, ಅವು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ನಿಷ್ಕಪಟ ಎತ್ತರದ (ಕನಿಷ್ಠ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಗರಿಷ್ಠ) ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬೇಕರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಡಿಮೆ ಎತ್ತರದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ) ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಎಸ್-ಯುನಿಟ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಸೀಗೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದ್ದವು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೇಲೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳ ಎತ್ತರದ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮ್ಯಾನಿನ್ ಊಹೆ ಮತ್ತು ವೋಜ್ತಾದ ಊಹೆ, ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜು, ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತರ್ಕದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ದೂರಗಾಮಿ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯದ ಆರಂಭಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಗಿಯಾಂಬಟ್ಟಿಸ್ಟಾ ಬೆನೆಡೆಟ್ಟಿ (ಸಿ. 1563) ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಅವರು ಸಂಗೀತದ ಮಧ್ಯಂತರದ ವ್ಯಂಜನವನ್ನು ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ (ಕಡಿಮೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ) ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ವಾದಿಸಿದರು; ನೋಡಿ. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ ಮತ್ತು ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ನಾರ್ತ್ಕಾಟ್ ಅವರು 1920ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿನ ನಾವೀನ್ಯತೆಗಳೆಂದರೆ ನೆರೋನ್-ಟೇಟ್ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಇತರ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ರೇಖೆಯ ಕಟ್ಟುಗಳು ಇರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಎತ್ತರಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬ ಅರಿವು. 1970ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಸುರೇನ್ ಅರಕೆಲೋವ್ ಅರಕೆಲೋವ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅರಕೆಲೋವ್ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. 1983ರಲ್ಲಿ, ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಎತ್ತರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ನೈವ್ ಎತ್ತರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ನೈವ್ ಎತ್ತರವನ್ನು ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಮಾಪಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು "ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ" ಅಥವಾ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಿಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಾಹಕದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು, ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಾಹಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಬಹುಪದಿಯ ಅಥವಾ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದದ ಎತ್ತರದಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಯೂ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಎತ್ತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಷ್ಕಪಟ ಎತ್ತರ x = p/q (ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ) ಗುಣಾಕಾರದ ಎತ್ತರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ನಿಷ್ಕಪಟ ಗುಣಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಎತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆ E ಯ ನಿಷ್ಕಪಟ ಎತ್ತರ H ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೆರೋನ್-ಟೇಟ್ ಎತ್ತರ, ಅಥವಾ ಅಂಗೀಕೃತ ಎತ್ತರವು, ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಸ್ಥಳೀಯ ಎತ್ತರಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಆಂಡ್ರೆ ನೆರೋನ್ ಮತ್ತು ಅಪ್ರಕಟಿತ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಜಾನ್ ಟೇಟ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಮಣ್ಣಿನ ಎತ್ತರವು X ಎಂಬುದು K ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿರಲಿ. L ಎಂಬುದು Xಯ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎಲ್ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ವೆಯಿಲ್ ಎತ್ತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಎಲ್ ತುಂಬಾ ಸಾಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಸ್ಥಳದ ಆಧಾರದ ಆಯ್ಕೆಯು X ನಿಂದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ φ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು X ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ p, ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ h ಎಂಬುದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಕಪಟ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರ X ಮತ್ತು L ಗೆ, ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ p ನ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಮಾತ್ರ. ಹೀಗಾಗಿ O (1) ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವವರೆಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಎಲ್ ಅನ್ನು ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2 ಎಂಬ ಎರಡು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಲಿನ ಕಟ್ಟುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಒ (1) ವರೆಗೆ ಯಾವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅರಕೆಲೋವ್ ಎತ್ತರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅರಕೆಲೋವ್ ಎತ್ತರವು ಜಾಗತಿಕ ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಫುಬಿನಿ-ಸ್ಟಡಿ ಮಾಪನಗಳಿಂದ ಬರುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಯಿಲ್ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ತಳಿಯ ಎತ್ತರವು ಅದರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೀಟರ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನ ಎತ್ತರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಅವರು ಮೊರ್ಡೆಲ್ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬಹುಪದದ ಎತ್ತರ H (P) ದಿಂದ ನೀಡಲಾದ nನೇ ದರ್ಜೆಯ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅದೇ ರೀತಿ L (P) ಉದ್ದವನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಮಾಹ್ಲರ್ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧ Pಯ ಮಾಹ್ಲರ್ ಅಳತೆ M (P) ಸಹ Pಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. H (P), L (P) ಮತ್ತು M (P) ಎಂಬ ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಡೆಲಿಕ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಷರತ್ತು ಮಧ್ಯಮ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮೇಲೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಇತರ ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎತ್ತರ x = p/q, q> 0 ಆಗಿದೆ (ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಎ. ಬಿ. ಸಿ. ಊಹೆ ಬಿರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಿನ್ನರ್ಟನ್-ಡೈಯರ್ ಊಹೆ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಲೆಹ್ಮರ್ ಊಹೆ ಹೀತ್-ಬ್ರೌನ್-ಮೊರೊಜ್ ಸ್ಥಿರವಾದ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ನಿಯಮದ ಎತ್ತರ ಎತ್ತರ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ರೇನಾಡ್ನ ಐಸೊಜೆನಿ ಪ್ರಮೇಯ ಮರದ ಎತ್ತರದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂಲಗಳು → ಮ್ಯಾಥ್ವರ್ಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳ ಬಹುಪದ ಎತ್ತರದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅನುವಾದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತ