Lorentz invariance in loop quantum gravity
ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮಲ್ಟಿವರ್ಸ್ ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗ್ರಾವಿಟಿ ಯೂನಿವರ್ಸ್ ವಿನ್ಯಾಸ ಮಾದರಿಗಳು ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ತತ್ವದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಏಕೀಕರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಿಸಲು ಸ್ಪರ್ಧಿಗಳಾಗಿವೆ; ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿತ ಬಹುವಿಶ್ವದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಯೂನಿಫಿಕೇಷನ್ ಯುಗವು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಕಾಲಾನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರದ ಯುಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ, ದುರ್ಬಲ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಮಾಡೆಲ್ನ ಮೂರು ಗೇಜ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಲೀನಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಗ್ ಬ್ಯಾಂಗ್ ಆದ 3 ನಿಮಿಷಗಳ ನಂತರ, ಪ್ರೋಟಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್ಗಳು ಒಗ್ಗೂಡಿ ಸರಳ ಅಂಶಗಳ ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದವು ಎಂದು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಒಮ್ಮತವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಯಸ್ಸು ಮತ್ತು ಲೋರೆಂಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಶತಕೋಟಿ ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ 13.799 ± 0.021 ಮೀರಿ ಇರಿಸುತ್ತವೆ. ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ಬಹುವಿಶ್ವಗಳಿಂದ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಿಗ್ ಬ್ಯಾಂಗ್ಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಯುಗಗಳಿವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದು, ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನೀಡುವಂತಹ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಆಯ್ದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ. ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಲೀ ಸ್ಮೋಲಿನ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ "ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ" ಮತ್ತು "ರೂಪಾಂತರ" ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳ ವಿಕಾಸಾತ್ಮಕ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳು ಬಿಗ್ ಬ್ಯಾಂಗ್ಗೆ ಮುಂಚಿನ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳಲ್ಲಿ, "ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗ್ರಾವಿಟಿ ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳು" ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದವು ಎಂಬ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿವೆ. ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಇನ್ನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಫೆಕಂಡ್ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗಳ ಪಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಲೀ ಸ್ಮೋಲಿನ್ ಅವರ ಬಹುವಿಶ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿವೆ, ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗಳಿಗೆ ಎಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಫೆಕಂಡ್ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದೊಳಗೆ ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಆರಂಭಿಕ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳ ರೂಪಾಂತರದಂತೆ ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗ್ರಾವಿಟಿ (LQG) ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್-ಕಾರ್ಟನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ತಿರುಚುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಅದೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, LQG ಸ್ಥಳೀಯ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗೌರವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು. ಗ್ಲೋಬಲ್ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಮುರಿದಂತೆ LQGಯಲ್ಲಿ ಮುರಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾದ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸದ ಹೊರತು). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸರಳವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ್ದನ್ನು ಮೀರಿ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಉಲ್ಲಂಘನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಗಳು ನಡೆದಿವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿಯ LQG ಅನಾಲಾಗ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯವು ಮುರಿಯುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡುವುದು, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲೊ ರೊವೆಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಹೋದ್ಯೋಗಿಗಳು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಸ್ಪಿನ್ ಫೋಮ್ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ವಿವಿಧ LQG ಮಾದರಿಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದವರೆಗೂ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಗಳಿಗಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ LQG ಯು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪಿನ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಉಪಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ವೇಯ್ಲ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದು ಭಾಗಶಃ ಗಣಿತದ ಅನುಕೂಲತೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಎಸ್. ಓ. (3,1) ಅಥವಾ ಎಸ್. ಎಲ್. (2. ಸಿ) ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಎಸ್. ಓ. (3) ಅಥವಾ ಎಸ್. ಯು. (2) ಎಂಬ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಗುಂಪನ್ನು ಗೇಜ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸಾಂದ್ರವಲ್ಲದ ಸುಳ್ಳು ಗುಂಪುಗಳ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಕೆಲವು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ವರ್ಣಪಟಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇಮ್ಮಿರ್ಜಿ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಅಸಮಾನವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಕೆಲವು, ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಾಗಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಸ್. ಓ. (3) ಮತ್ತು ಎಸ್. ಯು. (2) ನಡುವೆ ಅಥವಾ ಎಸ್. ಓ. (3,1) ಮತ್ತು ಎಸ್. ಎಲ್. (2, ಸಿ) ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲಃ ಆಯಾ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡು ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಈ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಗುಂಪು ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿದ್ದು, ಗೇಜ್ ಬೋಸನ್ಗಳು (ಗ್ರಾವಿಟಾನ್ನಂತಹವು) ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಲ್ಲ. ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ವೇಗದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ದ್ರವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ LQG ಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ಇದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕ್ಯೂ-ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು q ನಿಯತಾಂಕವು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು q-ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯ ಮೂಲಕ ಬದಲಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಧ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸ್ಪಿನ್ಗಳಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದುವ ಬದಲು, ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಒಟ್ಟು ಸ್ಪಿನ್ ಜೆ ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಳಿದಿದೆ). ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಬದಲಿಗೆ q-ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ LQG ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ವೇಗದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಪಿನ್ ಜಾಲಗಳು ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಸ್ಪಿನ್-ಫೋಮ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ 4ಡಿ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಭರವಸೆಯ ಸ್ಥಿತಿ-ಮೊತ್ತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದ ಬ್ಯಾರೆಟ್-ಕ್ರೇನ್ ಮಾದರಿಯು ಸಾಂದ್ರವಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಎಸ್ಒ (3,1) ಅಥವಾ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಿನ್ ಫೋಮ್ ಮುಖಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಿನ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಅಂಚುಗಳನ್ನು) ಎಸ್ಯು (2) ಸ್ಪಿನ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳ ಅರ್ಧ-ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಲೇಬಲ್ಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಪರಿಗಣನೆಗಳು, ಸ್ಪಿನ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವ ತೊಂದರೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ, ಲೀ ಸ್ಮೋಲಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಸ್ಪಿನ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಮುರಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಲೀ ಸ್ಮೋಲಿನ್ ಮತ್ತು ಜೊವೊ ಮ್ಯಾಗೈಜೊ ನಂತರ ದ್ವಿಗುಣ ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ವೇಗ c ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ದೂರ l ಕೂಡ ಇದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪನ್ನು ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ದ್ವಿಗುಣವಾದ ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯು ದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ (ದ್ವಿಗುಣವಾದ ವಿಶೇಷ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಉದ್ದ l ನ ಕ್ರಮದ ಸಣ್ಣ ತರಂಗಾಂತರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಜಿಯೋವನ್ನಿ ಅಮೆಲಿನೊ-ಕ್ಯಾಮೆಲಿಯಾ ನಂತರ ಫೋಟಾನ್ಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ-ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧದ ಅಂತಹ ಉಲ್ಲಂಘನೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಹೈ-ಎನರ್ಜಿ ಕಾಸ್ಮಿಕ್ ಕಿರಣಗಳ ನಿಗೂಢತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ವೈಪರೀತ್ಯ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ (ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲಕ್ಯೂಜಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ) ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಆಸ್ಟ್ರೋಫಿಸಿಕಲ್ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾಸ್ಮಿಕ್ ಕಿರಣಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಅವಲೋಕನಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅತ್ಯಂತ ಕಠಿಣ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹಾಕಲು ಸಮರ್ಥವಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲೂಪ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗ್ರಾವಿಟಿ