CR manifold
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್, ಅಥವಾ ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ನ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೆಣೆ ಅಂಚಿನ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಸಿ. ಆರ್. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಒಂದು ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿತರಣೆ ಎಲ್ ನೊಂದಿಗೆ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಆಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಉಪಗುಂಪು (ಎಲ್ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ). ಸಬ್ ಬಂಡಲ್ ಎಲ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ಸಿಆರ್ ರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಆರ್ ಸಂಕ್ಷೇಪಣವು "ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್" ಅಥವಾ "ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್-ರಿಯಲ್" ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಣೆ ಸಿ. ಆರ್ ರಚನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ನ ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಬ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು) ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, M ಎಂಬುದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅತಿಯಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ z ಮತ್ತು w ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ವಾಹಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಎಂ ಮೇಲೆ ಎಲ್ ವಿತರಣೆಯು ಎಂ ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಈ ವಾಹಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳು ಎಂ ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಲ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುವ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಲ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, [ಎಲ್, ಎಲ್] = 0 (ಎಲ್ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕಾರಣ) ಮತ್ತು ಷ್ಣ/ಷ್ಣ ಮತ್ತು ಷ್ಣ/ಷ್ಣ ಅವುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, F (z1,., zn) = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ M ಒಂದು ನೈಜ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಿಆರ್ ರಚನೆ ಎಲ್ ಮೂಲಭೂತ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಾಹಕಗಳ ಆ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಃ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಫ್ ಅನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುವ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ [ಎಲ್, ಎಲ್] ಎಲ್ ಮತ್ತೆ ಎಫ್ ಅನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುವ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಮತ್ತು ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು (ಸಂಕೀರ್ಣ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಬೆಣೆಗಳ ಅಂಚುಗಳು) ಮತ್ತು ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ (ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿತರಣೆ ಎಲ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾದವು) ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನಡುವೆ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಅನೇಕ ಔಪಚಾರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಸೇರಿವೆಃ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆ (ಲೆವಿ ರೂಪದಿಂದ ಒದಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ) ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಹೋಲುವ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ (ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ). ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂಃ ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನ್ಯೂಮನ್ ಮತ್ತು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಮೊದಲು ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇವುಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಅಗ್ರಗಣ್ಯವಾಗಿ, ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಆಂಟಿಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿಃ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿಃ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿನಾಶಕಾರಿಗಳು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿವೆಃ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಇವುಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಕೇತ ω (p, q) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯುಗ್ಮ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕಃ ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವಿಭಜನೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಜಾಗದ ನೈಜ ಸಬ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ನೈಜ ಸಬ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿರಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನಯವಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಲೋಕಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣ-ರೇಖೀಯ ಭಾಗವು ಗರಿಷ್ಠ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿಃ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, M ಎಂಬುದು ನೈಜ ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, k = 1, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೈಪರ್ ಸರ್ಫೇಸ್ ಪ್ರಕಾರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುವ ವಾಹಕಗಳ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ, ಎಲ್ ಇನ್ವಾಲ್ಯೂಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಿತಿಯು L ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರ ಶ್ರೇಣಿಯ n − k ಯ ಒಂದು ಕಟ್ಟು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಮುಂದೆ, k = 1 (ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಹೈಪರ್ ಸರ್ಫೇಸ್ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಲೆವಿ ರೂಪ ಎಂ ಒಂದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ = 0 ನೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ. ಯುಜೆನಿಯೊ ಎಲಿಯಾ ಲೆವಿಯ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎಂನ ಲೆವಿ ರೂಪವು ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ 2-ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಲ್. ಎಂ ಮೇಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಚ್ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಎಚ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್) ಇದನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ (ಎಫ್ <0 ಬದಿಯಿಂದ) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಈ ನಾಮಕರಣವು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಬಂದಿದೆಃ ಎಂ ಎಂಬುದು ಡೊಮೇನ್ನ ಬದಿಯಿಂದ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಂತೆ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ) ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ) ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ. (ಪ್ಲುರಿಸುಫಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಟೀನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ.) ಅಮೂರ್ತ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಗಳು ನೈಜ ಆಯಾಮ n ರ ನೈಜ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ಅಮೂರ್ತ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ ಎಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೀಯವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ [ಎಲ್, ಎಲ್] ಎಲ್, ಇದು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯ ಸಿಆರ್ ಕ್ರೋಡೀಕರಣವು ಡಿಮ್ ಎಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಕೆ = 1 ರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯು ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಮೂರ್ತ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿವೆ. ಲೆವಿ ರೂಪ ಮತ್ತು ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಎಂ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಲೆವಿ ರೂಪವು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೌಲ್ಯದ 2-ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಎಲ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಚ್ ನೀಡಿದ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ರೂಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಇಂಟಿಗ್ರೆಬಿಲಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಎಲ್ನ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ವಿ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ರೂಪವು ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಬಂಡಲ್ ಮೇಲಿನ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಲೆವಿ ರೂಪ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೆವಿ ರೂಪವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ α ω (H0M), ರೂಪವು α ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಲೆವಿ ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೂಪವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ. ನಂತರ ಒಬ್ಬರು ಲೆವಿ ರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡದೆ, ರಚನೆಗಾಗಿ ಲೆವಿ ರೂಪಗಳ ಸಂಗ್ರಹದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಅಮೂರ್ತ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲವಾದ ಹುಸಿ-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಕಾರದ, ಲೆವಿ ರೂಪವು ಹುಸಿ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪರ್ಕ ಮತ್ತು ತಿರುಚು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಡೇವಿಡ್ ಜೆರಿಸನ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಲೀ ಅವರು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಹೋಲಿಕೆಯ ಸಿ. ಆರ್. ಯಮಬೆ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಮೊದಲು ಸಿಡ್ನಿ ಎಮ್. ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ಅವರು ಸಮಾನತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದ ಕುರಿತ ತಮ್ಮ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಟನಕ ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ವಿವರಗಳನ್ನು ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಸಿ. ಆರ್. ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ, ಅಮೂರ್ತ ಸಿ. ಆರ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಯವಾದ ಬಹುಗುಣವನ್ನು ಕೆಲವಿನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಬಹುಗುಣವಾಗಿ ಯಾವಾಗ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ಕೇಳುವುದು. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡುವುದಲ್ಲದೆ, ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡುವ ನಕ್ಷೆಯು ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡಲಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಪ್ರೇರಿತ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಜಾಗತಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗೆ ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅದು ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ) ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪುಲ್ ಬ್ಯಾಕ್ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯು ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಜಾಗತಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಎಂಬೆಡೆಬಿಲಿಟಿ ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕ ಎಂಬೆಡೆಬಿಲಿಟಿಗಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಕೇಳಬಹುದು. ಲೂಯಿಸ್ ಬೌಟೆ ಡಿ ಮೊನ್ವೆಲ್ನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ನೈಜ ಆಯಾಮವು 5 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಾಗ, ಬಲವಾಗಿ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಜಾಗತಿಕ ಎಂಬೆಡೆಬಿಲಿಟಿ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಲೆವಿ ರೂಪವು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮ 3ರಲ್ಲಿ, ಜಾಗತಿಕ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಗೆ ಅಡೆತಡೆಗಳಿವೆ. ಮೂರು ಗೋಳಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಿ. ಆರ್ ರಚನೆಯ ಸಣ್ಣ ಅಡಚಣೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಮೂರ್ತ ಸಿ. ಆರ್ ರಚನೆಯು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಹುದುಗಿಸಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರೊಸ್ಸಿ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಗ್ರೌರ್ಟ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಲ್ಡೊ ಆಂಡ್ರೋಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ಯುಮ್-ಟಾಂಗ್ ಸಿಯು ಅವರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಜೋಸೆಫ್ ಜೆ. ಕೊಹ್ನ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಜಾಗತಿಕ ಎಂಬೆಡೆಬಿಲಿಟಿಯು ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಿಆರ್ ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲ. ಆಯಾಮ 3ರಲ್ಲಿ, ಸಗುನ್ ಚಾನಿಲ್ಲೊ, ಹಂಗ್-ಲಿನ್ ಚಿಯು ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ಸಿ. ಯಾಂಗ್ ಅವರು ಸಿಆರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧವಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಮೂರ್ತ ಬಲವಾದ ಹುಸಿ-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಜಾಗತಿಕ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿ. ಆರ್. ಪನೀಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಸಿ. ಆರ್. ಯಮಬೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಜಾಗತಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಬಂಧಿಸಬೇಕೆಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡನೇ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಿಆರ್ ಅಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದು ಲೇಖಕರಿಗೆ ಕೊಹ್ನ್ ಅವರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ನ ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಡ್ರೆ ಲಿಚ್ನೆರೋವಿಕ್ಜ್ನ ಸಿಆರ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅನಲಾಗ್ ಕೆಳ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮ 3ರಲ್ಲಿ ಸಿ. ಆರ್. ಪನಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಿ. ಆರ್. ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ನೈಜ ಆಯಾಮ 3ರ ಸಿ. ಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಿ. ಆರ್. ಪನಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೆಂಗೊ ಹಿರಚಿಯವರು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಿದರು. ಸಿ. ಆರ್. ಪನಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪನಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸಿಆರ್ ಆವೃತ್ತಿಯು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಸಿ. ರಾಬಿನ್ ಗ್ರಹಾಂ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಲೀ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ನೈಜ ಆಯಾಮ 5 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದರಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೈಜ ಆಯಾಮ 3 ರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಜ ಆಯಾಮ 5 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಹುದುಗಿರುವ ಸಿ. ಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪನೀಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳಬಹುದು. ಇದು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಜೆಫ್ರಿ ಕೇಸ್, ಸಾಗುನ್ ಚಾನಿಲ್ಲೊ ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ಸಿ. ಯಾಂಗ್ ಅವರು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಕುಟುಂಬದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಕುಟುಂಬದ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯು ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೈಜ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾದರೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಸಿಆರ್ ಯಮಬೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಕೆಳಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಸಿಆರ್ ಪ್ಯಾನಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ ಇಡೀ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಕುಟುಂಬದ ಒಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರು ಅದರ ಸಿಆರ್ ಪ್ಯಾನಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಈ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯುಯಾ ಟೇಕುಚಿ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ ಹುದುಗಿರುವ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಿಆರ್-3 ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ, ಈ ಹುದುಗಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಿಆರ್ ಪನೀಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಡೇನಿಯಲ್ ಬರ್ನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಎಪ್ಸ್ಟೀನ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ 3-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯ ಸಣ್ಣ ಅಡಚಣೆಗಳಿಗೆ ಜಾಗತಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಪದದ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅಮೂರ್ತ ಸಿ. ಆರ್. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವರಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇದು ಎಫ್. ರೀಸ್ ಹಾರ್ವೆ ಮತ್ತು ಎಚ್. ಬ್ಲೇನ್ ಲಾಸನ್ ಅವರು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟೀಫನ್ ಎಸ್. ಟಿ. ಯಾವ್ ಅವರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಅಮೂರ್ತ ಸಿ. ಆರ್ ರಚನೆಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಳವಡಿಕೆಯು ನೈಜ ಆಯಾಮ 3ರಲ್ಲಿ ನಿಜವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಲೂಯಿಸ್ ನಿರೆನ್ಬರ್ಗ್ನ ಉದಾಹರಣೆ (ಕೆಳಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಚೆನ್ ಮತ್ತು ಮೀ-ಚಿ ಷಾ ಅವರ ಪುಸ್ತಕವು ನಿರೆನ್ಬರ್ಗ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ). ಎಲ್. ನಿರೆನ್ಬರ್ಗ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಲೆವಿಯ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸುಗಮ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಎರಡು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂದರೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ನಾವು ನೈಜ ಆಯಾಮ ಮೂರರಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಂತೆ ಲೆವಿ ರೂಪವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ L ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ನಮಗೆ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಿರೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರು ಮೂಲದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಏಕೈಕ, ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ, ನಂತರ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಮೇಲಿರುವ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್-ವಿರೋಧಿ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಯವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕಃ ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಹೊಸ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪಿ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾದ ಸಿ. ಆರ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ನಂತೆ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನೈಜ ಆಯಾಮ 9 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದರಲ್ಲಿ, ಅಮೂರ್ತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹುಸಿ-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಮಸಾತಕೆ ಕುರಾನಿಶಿ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಮತ್ತು ನೈಜ ಆಯಾಮ 7 ರಲ್ಲಿ ಅಕಾಹೋರಿ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನೈಜ ಆಯಾಮ 5ರಲ್ಲಿ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಆದರ್ಶಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ (ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್, ಕೊಹ್ನ್-ರೊಸ್ಸಿ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಸಹ-ಗಡಿ ನಿರ್ವಾಹಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಗಡಿಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ, ಈ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗಿನಿಂದ ಗಡಿಯವರೆಗಿನ ನಿರ್ಬಂಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಬಿ ಎಂದರೆ ನಾವು ಗಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸುವುದು. ಕೋ-ಬೌಂಡರಿ ಆಪರೇಟರ್ (0, p) ಫಾರ್ಮ್ಗಳನ್ನು (0, p + 1) ಫಾರ್ಮ್ಗಳಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯದ ಗಡಿಯಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅಮೂರ್ತ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಾಗಿ ಸಹ-ಗಡಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಸಹ-ಗಡಿ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಥವಾ ಕೊಹ್ನ್-ರೊಸ್ಸಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೀರ್ಣದ ತನಿಖೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಕೋಹೋಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಜೋಸೆಫ್ ಜೆ. ಕೊಹ್ನ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯೂಗೋ ರೊಸ್ಸಿ ಅವರು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದರು. ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಿಆರ್ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಸಿಆರ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಾದ ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮೂಲಭೂತ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸಿ. ಆರ್. ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪದಿಂದ ಪರಿಮಾಣ ರೂಪವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜೆ. ಎಂ. ಪತ್ರಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಮೇರಿಕನ್ ಜೆ. ನಲ್ಲಿ ಲೀ. ಕೆಳಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ (0, p) ರೂಪಗಳನ್ನು (0, p) ರೂಪಗಳಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನಿಂದ ನಾಶವಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಿಆರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗಡಿ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಸಿಆರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ನೈಜ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಿಆರ್ ಪ್ಲುರಿಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅವನತಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೂಹವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್, ಬಲವಾದ ಸೂಡೋ-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ, ಇದು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕರ್ನಲ್ ಸಿಆರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಂತ ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದರೆ, ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ. ಹೀಗಾಗಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಲಾದ ಕೊಹ್ನ್ ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹುದುಗಿರುವ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಗಳಿಗೆ, ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಕೆಳಗಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬಲವಾಗಿ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ ಸಾಂದ್ರ ಸಿಆರ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಿಆರ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಬಲವಾಗಿ ಸೂಡೋಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಈ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ, ಆಗ ಒಬ್ಬರು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ತೂಗಾಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಅಟೆಂಡೆಂಟ್ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮಗಳು/ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಬಂಧಿತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ನಿರ್ವಾಹಕನ ಒಂದು ದೃಢವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಲೆಫ್ಟ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಆಂಟಿಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಂತರ u ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು (0,1) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಕೋಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಗುಂಪು ಎಡ ಅಸ್ಥಿರ, ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಮೇಲಿನ ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ಆಪರೇಟರ್ ನಿಜವಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಕೊಹ್ನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ನೈಜ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಬ್-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಾರ್ಮಂಡರ್ ಸಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಭಾಗಗಳ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ ಇದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಉಪ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಉಪ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಅಂಗೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅದರ ಸಬ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿ ನೈಜ ಗೋಳವಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಾಹಕಗಳ ಬಂಡಲ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ನಿಜವಾದ ರೂಪವನ್ನು, ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಬಂಡಲ್, ಆನ್ ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯು ಕೇವಲ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಧನಾತ್ಮಕ ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ತಿರುಚು ಹೊಂದಿರುವ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪು ಶೂನ್ಯ ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ತಿರುಚು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲದ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಜೀನಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ ಬಂಡಲ್ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಬಲವಾಗಿ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ತಿರುಚು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಋಣಾತ್ಮಕ ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಎಚ್. ಇ. ಗೆ ಹೋಲುವ ಶೂನ್ಯ ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ತಿರುಚುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ಹೋಲಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಈ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ರೌಚ್ ಹೋಲಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯ. ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ, ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವುಗಳಂತಹ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಇತರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಯುಜೀನಿಯೊ ಎಲಿಯಾ ಲೆವಿ ಸ್ಯೂಡೋಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ನೋಟ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷಾಂತರವು ಹೀಗೆ ಓದುತ್ತದೆಃ "ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳ ಅಧ್ಯಯನಗಳು". ಸ್ಮೂತ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್