Taubes's Gromov invariant
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಟೌಬ್ಸ್ನ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಣಿಕೆಗಳು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ 4-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ (ಬಹುಶಃ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ) ಸೂಡೊಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸಹಾಯಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಬಹುತೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. (ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ 0 ಹೊಂದಿರುವ 2-ಟೋರಿಯ ಬಹು ಕವರ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಈ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯು ಸೈಬರ್ಗ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಟೌಬ್ಸ್ ನಾಲ್ಕು ಸುದೀರ್ಘ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈ ಕವರ್ಡ್ ಸ್ಯೂಡೋಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಎಣಿಸುವುದರಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಹುತೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಸೂಡೊಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹುದುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮೈಕೆಲ್ ಹಚಿಂಗ್ಸ್ ಅವರ ಈ ಕೃತಿಯಿಂದಾಗಿ ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಕಾಂಟ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲದ ಫಾರ್ಮ್ನ ನಾಲ್ಕು-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ Y ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಂಟ್ಯಾಕ್ಟ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಇಸಿಎಚ್ ಒಂದು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಇದು ವೈ ಮೇಲಿನ ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪದ ರೀಬ್ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದರ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಕೆಲವು ಹುದುಗಿರುವ ಸೂಡೊಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಇಸಿಎಚ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ" 1 ಇಂಚಿನೊಂದಿಗೆ ಸೂಡೊಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ. ಇಸಿಎಚ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಕೇಸ್ಗಾಗಿ ಟೌಬ್ಸ್ನ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸೂಕ್ತವಾದ ಬಹುತೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೂಡೋಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು Y ಯ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಟೌಬ್ಸ್ ಮೋನೋಪೋಲ್ ಫ್ಲೋರ್ ಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು Y ಗಾಗಿ ಸೈಬರ್ಗ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ.