Topological order
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವು ವಸ್ತುವಿನ ಶೂನ್ಯ-ತಾಪಮಾನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮ್ಯಾಟರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು ರೀತಿಯ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥೂಲದರ್ಶಕವಾಗಿ, ಭೌಗೋಳಿಕ ಕ್ರಮವನ್ನು ದೃಢವಾದ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅವನತಿ ಮತ್ತು ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹಂತಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಕ್ರಮಗಳು ದೀರ್ಘ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಾಜ್ಯಗಳು (ಅಥವಾ ದೀರ್ಘ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ತೊಡಕುಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿಗಳು) ಒಂದು ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ (1) ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಅವನತಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಕಾರಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು; (2) ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವಾಹಕ ಅಂಚಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳು; (3) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಉದಯೋನ್ಮುಖ ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಿ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು; (4) ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಕ್ರಮದ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಇತ್ಯಾದಿ. ತಪ್ಪು-ಸಹಿಷ್ಣು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗಣನೆಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನ್ವಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸ್ಪಿನ್ ದ್ರವಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಪರಿಣಾಮದಂತಹ ಹಲವಾರು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸೂಪರ್ ಕಂಡಕ್ಟರ್ಗಳು (1ಡಿ ಮೀರಿ) ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳ ತೊಡಕುಗಳು ಕೇವಲ ಅಲ್ಪ-ವ್ಯಾಪ್ತಿಯದ್ದಾಗಿವೆ. ಪರಮಾಣುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಹಿನ್ನೆಲೆ ದ್ರವ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಘನ, ದ್ರವ, ಸೂಪರ್ ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಮುಂತಾದ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ದ್ರವ್ಯದ ಈ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ದ್ರವ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅಥವಾ ಹಂತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘನೀಕೃತ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ವಸ್ತುಗಳ ವಿವಿಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪದಾರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಪರಮಾಣುಗಳ (ಅಥವಾ ಇತರ ಕಣಗಳ) ಆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಘಟನೆಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪದಾರ್ಥಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಮಾಣುಗಳು ಅನೇಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಘಟಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಮ್ಮಿತಿ-ಮುರಿಯುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಘಟಕ ಪರಮಾಣುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುವು ಒಂದು ಕ್ರಮದಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಂತೆ (ಅಂದರೆ, ವಸ್ತುವು ಒಂದು ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ), ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂಘಟನೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಮಾಣುಗಳು ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ದೂರದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುವಂತೆಯೇ ದ್ರವವು ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ದ್ರವವು ನಿರಂತರ ಅನುವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಂತರ, ದ್ರವವು ಸ್ಫಟಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಸ್ಫಟಿಕದಲ್ಲಿ, ಪರಮಾಣುಗಳು ನಿಯಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ (ಜಾಲರಿ) ಸಂಘಟಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಜಾಲರಿಯು ನಾವು ಅದನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ (ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬಾರಿ ಜಾಲರಿಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ), ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಫಟಿಕವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅನುವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ದ್ರವ ಮತ್ತು ಸ್ಫಟಿಕದ ನಡುವಿನ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸ್ಫಟಿಕದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ದ್ರವದ ನಿರಂತರ ಅನುವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂತಹ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿ ಒಡೆಯುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ರವಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಫಟಿಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಪರಮಾಣುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಮ್ಮಿತಿ-ಮುರಿಯುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಹಳ ಯಶಸ್ವಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ, ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪದಾರ್ಥಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ (ನಿರಂತರ) ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಂಬಿದ್ದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, 1980 ರ ದಶಕದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ, ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಮ್ಮಿತಿ-ಮುರಿಯುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದು ಕ್ರಮೇಣ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಪಮಾನದ ಸೂಪರ್ ಕಂಡಕ್ಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಕೈರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಮೊದಲಿಗೆ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇನ್ನೂ ಚಿರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಮ್ಮಿತಿ-ಮುರಿಯುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಲು ಬಯಸಿದ್ದರು. ಅವರು ಕೈರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಮಯ ರಿವರ್ಸಲ್ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮುರಿಯುವ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಸ್ಪಿನ್ ರೊಟೇಶನ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯಲ್ಲ. ಲ್ಯಾಂಡೌ ಅವರ ಆದೇಶಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮುರಿಯುವ ವಿವರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಕಥೆಯ ಅಂತ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಕೈರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಕೈರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಮ್ಮಿತಿಯೇ ಸಾಕಾಗಲಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಚಿರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ, ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು "ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. "ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್" ಎಂಬ ಹೆಸರು ಚಿರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ (ಟಿಕ್ಯುಎಫ್ಟಿ) ಆಗಿದೆ. ಹೊಸ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗ್ರೌಂಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಡಿಜೆನೆರಸಿ (ಇದನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳು ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಗ್ಯಾಪ್ಡ್ ಗಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆರೆದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು) ಮತ್ತು ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಗ್ರೌಂಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹಂತವನ್ನು ಕೈರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ತೀರಾ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯಿಂದಲೂ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಕೈರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ-ತಾಪಮಾನದ ಸೂಪರ್ ಕಂಡಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದವು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವಿಲ್ಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೈರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆಯು ವಿವಿಧ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಕೈರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳಂತೆಯೇ, ವಿವಿಧ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಮ್ಮಿತಿ-ಮುರಿಯುವ ವಿವರಣೆಯ ಹೊರಗಿವೆ. ವಿವಿಧ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ (ಎಫ್ಕ್ಯೂಎಚ್) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು 1982 ರಲ್ಲಿ 1989 ರಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಆದರೆ ಎಫ್ಕ್ಯೂಎಚ್ ಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪತ್ತೆಯಾದ ಮೊದಲ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲ. 1911ರಲ್ಲಿ ಪತ್ತೆಯಾದ ಸೂಪರ್ ಕಂಡಕ್ಟರ್, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪತ್ತೆಯಾದ ಮೊದಲ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ; ಇದು Z2 ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಲವಾಗಿ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಬೋಸನ್/ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ಸರಳ ರೀತಿಯ ಭೌಗೋಳಿಕ ಕ್ರಮವು ಮುಕ್ತ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ತುಂಬಿದ ಶಕ್ತಿಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ನ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಂತಹ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿವೆ. ಅಂತಹ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಚಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ (ಬಹುಶಃ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ) ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಕ್ರಮಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿಭಜಿತ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳು (ಅನ್ಯಾನ್ಗಳಂತಹವು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಮ್ಮಿಳನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು (ಇದು ಬೋಸನ್ಗಳು ಅಥವಾ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗಬಹುದು). ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯಗಳು 3 + 1 ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಲೂಪ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನಂತಹ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಹು-ಲೂಪ್/ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್-ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು 3 + 1 ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಂಕೇತಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. 3 + 1 ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳ ಮಲ್ಟಿ-ಲೂಪ್/ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್-ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು 4 ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಲಿಂಕ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳಿಂದ ಸೆರೆಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು 2 + 1ಡಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗವನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್-ನೆಟ್ ಕಂಡೆನ್ಸೇಶನ್ ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮಗಳ ಈ ವರ್ಗವು ಗ್ಯಾಪ್ಡ್ ಎಡ್ಜ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಏಕಾತ್ಮಕ ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗ (ಅಥವಾ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗ) ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್-ನೆಟ್ ಸಾಂದ್ರೀಕರಣವು ಅನಂತವಾದ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಹೊಸ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳು ಉಳಿದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ತಂತಿಗಳ ಸಾಮೂಹಿಕ ಚಲನೆಗಳು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್-ನೆಟ್ ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ. ಆ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳು ಗೇಜ್ ಬೋಸನ್ಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ತಂತಿಗಳ ತುದಿಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಪ್ರಚೋದನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ದೋಷಗಳಾಗಿವೆ. ಆ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳು ಗೇಜ್ ಶುಲ್ಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಹುದು. "ಮೆಂಬ್ರೇನ್ಗಳು", "ಬ್ರೇನ್-ನೆಟ್ಗಳು" ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಂತಹ ಇತರ ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುಗಳ ಘನೀಕರಣಗಳು ಸಹ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಹಂತಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು "ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗ್ಲ್ಯಾಸಿನೆಸ್" ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುವ ಕ್ರಮಗಳ ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮದ ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯ ಯಾವುದು? 2 + 1ಡಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳ ಉಪವರ್ಗವನ್ನು-ಅಬೆಲಿಯನ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳನ್ನು-ಕೆ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್-ನೆಟ್ ಸಾಂದ್ರೀಕರಣವು ಟೆನ್ಸರ್ ವರ್ಗವು (ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗ ಅಥವಾ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗದಂತಹವು) 2 + 1ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮದ ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆಗಳು ಸೂಚಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ (ಯಾವುದೇ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲೈಸ್ಡ್ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳವರೆಗೆ): 2 + 1ಡಿ ಬೋಸೋನಿಕ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳನ್ನು ಏಕೀಕೃತ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಟೆನ್ಸರ್ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತಿ ಜಿ ಹೊಂದಿರುವ 2 + 1ಡಿ ಬೋಸೋನಿಕ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳನ್ನು ಜಿ-ಕ್ರಾಸ್ಡ್ ಟೆನ್ಸರ್ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ 2 + 1ಡಿ ಬೋಸೋನಿಕ್/ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಏಕೀಕೃತ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಮ್ಮಿಳನ ವರ್ಗ ರೆಪ್ (ಜಿ) ಬೋಸೋನಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಸ್ಆರ್ಇಪಿ (ಜಿ) ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ. ಉನ್ನತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಕ್ರಮವು ಎನ್-ವರ್ಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಗಣಿತದ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೆಲವರು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಮ್ಮಿತಿ-ಮುರಿಯುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿವರಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಮೇಲೆ ಗಣನೀಯ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಪಿನ್ ರೊಟೇಶನ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುವ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಡಿಜಿಟಲ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಂಗ್ರಹಣೆಯ ಮಾಧ್ಯಮವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಿದ ಹಾರ್ಡ್ ಡ್ರೈವ್ ಗಿಗಾಬೈಟ್ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು. ಅಣುಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುವ ದ್ರವ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಪ್ರದರ್ಶನ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅನುವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುವ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ನಮಗೆ ಟ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಟರ್ಗಳಂತಹ ಅರೆವಾಹಕ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿ-ಮುರಿಯುವ ಕ್ರಮಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರೀಮಂತವಾಗಿವೆ. ಇದು ಅತ್ಯಾಕರ್ಷಕ, ನವೀನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅವರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ತಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ಗೆ ಮಾಧ್ಯಮವಾಗಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸ್ಥಳೀಯವಲ್ಲದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯತೆಯಿಲ್ಲದಿರುವುದು ಎಂದರೆ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಕಣಗಳ ನಡುವೆ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ತೊಡಕುಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳಿಂದ ನಾಶಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಡಿಕೋಹೆರೆನ್ಸ್ನ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಮಾಹಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಉಳಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ತೊಡಕುಗಳಿಂದ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸುತ್ತಲೂ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ದೋಷಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಭೌತಿಕ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಮೊರಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗಣನೆ ಎರಡಕ್ಕೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾಧ್ಯಮವನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಮೊರಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗಣನೆಯ ಅಂತಹ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿ ದೋಷ ಸಹಿಷ್ಣುವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ರಾಜ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಗಡಿ ರಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶೇಷ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಆ ಗಡಿ ರಾಜ್ಯಗಳು ಶಾಖವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸದೆ ವಿದ್ಯುಚ್ಛಕ್ತಿಯನ್ನು ನಡೆಸುವ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವಾಹಕ ವಾಹಿನಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸಾಧನಗಳಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನ್ವಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮದಂತೆಯೇ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅವಾಹಕಗಳು ಸಹ ಅಂತರವಿಲ್ಲದ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಇನ್ಸುಲೇಟರ್ಗಳ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಇನ್ಸುಲೇಟರ್ಗಳ ಪತ್ತೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಅವಲೋಕನವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಇನ್ಸುಲೇಟರ್ಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೇ? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅವಾಹಕಗಳು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅವಾಹಕಗಳು ಅಲ್ಪ-ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವು ದೀರ್ಘ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವು ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಮರ್ಜೆಂಟ್ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಎಮರ್ಜೆಂಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಚಾರ್ಜ್ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅವಾಹಕಗಳು ಸಮಯ-ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ಯು (1) ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಮಾತ್ರ ದೃಢವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ಅರೆ-ಕಣ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ಚಾರ್ಜ್ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅವಾಹಕವು ಸಮ್ಮಿತಿ-ಸಂರಕ್ಷಿತ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ (ಎಸ್ಪಿಟಿ) ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಸ್ಪಿಟಿ ಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸ್ಪಿನ್-1 ಸರಪಳಿಯ ಹಾಲ್ಡೇನ್ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸ್ಪಿನ್-2 ಸರಪಳಿಯ ಹಾಲ್ಡೇನ್ ಹಂತವು ಯಾವುದೇ ಎಸ್ಪಿಟಿ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಪರಿಣಾಮ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಮ್ಮಿತಿ-ಮುರಿಯುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಾಧಾರವಾಗಿದೆ. ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಮ್ಮಿತಿ-ಮುರಿಯುವ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಿಂತ ಪ್ರಕೃತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರೀಮಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವು ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ದಿಕ್ಕನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತದೆ-ಹೆಚ್ಚು ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ದ್ರವ್ಯದ ಹೊಸ ದಿಕ್ಕು. ದ್ರವ್ಯದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಾವು ಅರಿತುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ಅಂದರೆ. ದ್ರವ್ಯದ ಶೂನ್ಯ-ತಾಪಮಾನದ ಹಂತಗಳನ್ನು) ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದುಃ ದೀರ್ಘ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಲ್ಪ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳು. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವು ದೀರ್ಘ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆಃ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮ = ದೀರ್ಘ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಮಾದರಿ. ಚಿಕ್ಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಚಿಕ್ಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಹ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದವು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಿಗೆ ಸೇರಬಹುದು. ಆ ಹಂತಗಳು ಎಸ್ಪಿಟಿ ಆದೇಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಪಿಟಿ ಕ್ರಮವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅವಾಹಕದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಬೋಸೋನಿಕ್ (ಸ್ಪಿನ್) ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿನ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮವು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್-ನೆಟ್ ಸಾಂದ್ರೀಕರಣ) ನಮ್ಮ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದಲ್ಲಿ ಫೋಟಾನ್ಗಳು, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ಮೂಲವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕೆಲವರು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಎಕೆಎಲ್ಟಿ ಮಾದರಿ ಸಹ ನೋಡಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲೈಸೇಶನ್ ಹರ್ಬರ್ಟ್ಸ್ಮಿಥೈಟ್ ಇಂಪ್ಲಿಕೇಟ್ ಆರ್ಡರ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಸ್ಪಿನ್ ಲಿಕ್ವಿಡ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್-ನೆಟ್ ಲಿಕ್ವಿಡ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿ-ಪ್ರೊಟೆಕ್ಟೆಡ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಡಿಜೆನೆರಸಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ವಿಭಾಗಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ರಾಜ್ಯಗಳು ಚಿರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ರಾಜ್ಯಗಳು ಎಫ್ಕ್ಯೂಎಚ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಆಫ್-ಡಯಾಗೋನಲ್ ದೀರ್ಘ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಕ್ರಮ, ಓರೆಯಾದ ಬಂಧನ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಪರಿಣಾಮ, ಎಸ್. ಎಂ. ಗಿರ್ವಿನ್ ಮತ್ತು ಎ. ಎಚ್. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್, ಫಿಸಿಕ್ಸ್. ರೆವ್. ಲೆಟ್., 58,1252 (1987) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಎಫೆಕ್ಟ್ಗಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ-ಕ್ಷೇತ್ರ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾದರಿ, ಎಸ್. ಸಿ. ಜಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಟಿ. ಎಚ್. ಹ್ಯಾನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಕಿವೆಲ್ಸನ್, ಫಿಸಿಕ್ಸ್. ರೆವ್. ಲೆಟ್., 62,82 (1989) ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ ಕ್ಸಿಯಾವೋ-ಗಾಂಗ್ ವೆನ್, ಫಿಸಿಕ್ಸ್. ರೆವ್. ಬಿ, 40,7387 (1989), "ವ್ಯಾಕ್ಯೂಮ್ ಡಿಜೆನೆರಸಿ ಆಫ್ ಚಿರಾಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಇನ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫೈಡ್ ಸ್ಪೇಸಸ್" ಕ್ಸಿಯಾವೋ-ಗ್ಯಾಂಗ್ ವೆನ್, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಮೆನಿ ಬಾಡಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್-ಫ್ರಮ್ ದಿ ಆರಿಜಿನ್ ಆಫ್ ಸೌಂಡ್ ಟು ಆನ್ ಆರಿಜಿನ್ ಆಫ್ ಲೈಟ್ ಅಂಡ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಸ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ. ಪ್ರೆಸ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್, 2004. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ ಡಿ. ಅರೋವಾಸ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಆರ್. ಶ್ರೈಫರ್ ಮತ್ತು ಎಫ್. ವಿಲ್ಜೆಕ್, ಫಿಸಿಕ್ಸ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ರೆವ್. ಲೆಟ್., 53,722 (1984), "ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ದಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಎಫೆಕ್ಟ್" ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಸಮ್ನ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆರ್ಡರ್ ಚೇತನ್ ನಾಯಕ್, ಸ್ಟೀವನ್ ಎಚ್. ಸೈಮನ್, ಆಡಿ ಸ್ಟರ್ನ್, ಮೈಕೆಲ್ ಫ್ರೀಡ್ಮನ್, ಶಂಕರ್ ದಾಸ್ ಶರ್ಮಾ, http://www.arxiv.org/abs/0707.1889,2007, "ನಾನ್-ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅನ್ಯಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್", ರೆವ್. ಮೋಡ್. ಫಿಸಿಕಲ್. 80, 1083 (2008). ಆಡಿ ಸ್ಟರ್ನ್ ಮತ್ತು ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ಐ. ಹಾಲ್ಪೆರಿನ್, ಫಿಸಿಕ್ಸ್. ರೆವ್. ಲೆಟ್., 96,016802 (2006), ನಾನ್-ಅಬೆಲಿಯನ್ ನ್ಯೂ = 5/2 ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಮರ್ಜೆನ್ಸ್ ಆಫ್ ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ಗಳಾದ ಕ್ಸಿಯಾವೋ-ಗಾಂಗ್ ವೆನ್, ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಪ್ರಯೋಗಗಳು. ರೆವ್. D68,024501 (2003), ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್-ನೆಟ್ ಕಂಡೆನ್ಸೇಶನ್ಗಳಿಂದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆರ್ಡರ್ ಮತ್ತು ಬೆಳಕು ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಝೆಂಗ್-ಚೆಂಗ್ ಗು ಮತ್ತು ಕ್ಸಿಯಾವೋ-ಗಾಂಗ್ ವೆನ್, Gr-qc/0606100, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಬೊಸೋನಿಕ್ ಮಾದರಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ಮನ್ ಎನ್. ಪಿ. ಮತ್ತು ರಂಜಾನ್ ಬಿ., ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋಯಿಡ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪಾಯ್ಸಾನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್, ಪ್ರೋಕ್ನಲ್ಲಿ. ಕಾನ್. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ (ಬೌಲ್ಡರ್ ಸಿ. ಓ., 1999) ', ಸಂಪಾದಕರು ಜೆ. ಕಾಮಿಂಕರ್ ಮತ್ತು ಇತರರು, 159 {192 ಕಾಂಟೆಂಪ್. ಗಣಿತ. 282, ಆಮೇರ್. ಗಣಿತ. Soc., ಪ್ರಾವಿಡೆನ್ಸ್ RI, 2001, (ಗಣಿತವೂ ಸಹ {ph/001005.) ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ (ಎನ್ಎಕ್ಯೂಎಟಿ) 20 ನವೆಂಬರ್ (2008), 87 ಪುಟಗಳು, ಬೈಯಾನು, ಐ. ಸಿ. ಲೆವಿನ್ ಎ. ಮತ್ತು ಓಲ್ಶಾನೆಟ್ಸ್ಕಿ ಎಮ್., ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋಯಿಡ್ಸ್ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳ ವಿರೂಪಗಳು, ಹೆಪ್-th/0301078v1. ಕ್ಸಿಯಾವೋ-ಗಾಂಗ್ ವೆನ್, ಯಾಂಗ್-ಶಿ ವೂ ಮತ್ತು ವೈ. ಹಾತ್ಸುಗೈ., ಚಿರಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಎಫ್ಕ್ಯೂಎಚ್ ಡ್ರಾಪ್ಲೆಟ್ನ (ಪಿಡಿಎಫ್) ಎಡ್ಜ್ ಎಕ್ಸೈಟೇಷನ್ಸ್, ನ್ಯೂಕ್ಲ್. ಫಿಸಿಕಲ್. B422,476 (1994): ಬೃಹತ್ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆದೇಶಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ FQH ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅಂಚಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಚಿರಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಸಿಯಾವೋ-ಗಾಂಗ್ ವೆನ್ ಮತ್ತು ಯಾಂಗ್-ಶಿ ವೂ., ಚಿರಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕೆಲವು ಎಫ್ಕ್ಯೂಎಚ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ (ಪಿಡಿಎಫ್) ಅಡಗಿದೆ, ನ್ಯೂಕ್ಲ್. ಫಿಸಿಕಲ್. ಬಿ419,455 (1994): ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ರಮಗಳು ಕೈರಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ (ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಬದಲಿಗೆ) ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತ. .. ಆರ್. ಬ್ರೌನ್, ಪಿ. ಜೆ. ಹಿಗ್ಗಿನ್ಸ್, ಪಿ. ಜೆ. ಮತ್ತು ಆರ್. ಸಿವೇರಾ, "ನಾನಾಬೆಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಃ ಫಿಲ್ಟರ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು, ಕ್ರಾಸ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗಳು, ಕ್ಯುಬಿಕಲ್ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಗಳು" ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇಎಂಎಸ್ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟ್ಸ್ ಸಂಪುಟ 15 (2011), ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎ ಬಿಬ್ಲಿಯೋಗ್ರಫಿ ಮತ್ತು ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ (ಕ್ಯೂಎಟಿ) ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಂತಗಳು ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ವಸ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ