Gonality of an algebraic curve
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಸಿ ಯ ಗಣ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಿ ಯಿಂದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯವರೆಗಿನ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಕ್ಷೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ Cಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು K (C) ಯು Cಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಏಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅದರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಕ್ಷೇತ್ರದ K (C)/K (f) ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು ಗಣ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. 1ನೇ ಕುಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ (ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು) ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ (ಇದು 2ನೇ ಕುಲದ ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ) ಗೊನಾಲಿಟಿ 2 ಆಗಿದೆ. ಜೆನಸ್ ಜಿ. 3 ಗೆ, ಜೆನಸ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಗೊನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಜೆನಸ್ ಜಿ ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗೊನಾಲಿಟಿಯು (ಜಿ + 3)/2 ರ ನೆಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಗೊನಾಲಿಟಿ 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಸರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ತ್ರಿಕೋನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮೂರನೆಯ ಕುಲದ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು y3 = Q (x) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ Q ಡಿಗ್ರಿ 4 ಆಗಿದೆ. ಎಮ್. ಗ್ರೀನ್ ಮತ್ತು ಆರ್. ಲ್ಯಾಜರ್ಸ್ಫೆಲ್ಡ್ರ ಗೊನಾಲಿಟಿ ಊಹೆಯು, ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಸಿ ಯ ಗೊನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ವಿಲೋಮ ಕೋಶದ ಕನಿಷ್ಠ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನಿಂದ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಗೊನಾಲಿಟಿಯು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಗ್ರೀನ್-ಲ್ಯಾಜರ್ಸ್ಫೆಲ್ಡ್ ಊಹೆಯು, ಕುಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಡಿ ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಾಗಿ, ಆರ್ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ ಡಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಬಿ (ಸಿ) ಅನ್ನು ಬರೆಯುವುದು, ಸಿ ಯ ಅಂತಹ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರಿಂಗ್ಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸೂಚ್ಯಂಕ i ಗೆ βi, i + 1 ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಗೊನಾಲಿಟಿಯ ಊಹಾತ್ಮಕ ಸೂತ್ರವು r + 1 − b (C) ಆಗಿದೆ. ಫೆಡೆರಿಕೊ ಅಮೋಡಿಯೊ ಅವರ 1900ರ ಐಸಿಎಂ ಮಾತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು (ಆದರೆ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲ) ರೀಮಾನ್ನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಭಾಗ Vರಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಅಮೋಡಿಯೊ 1893ರಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ "ಗೊನಾಲಿಟಾ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ