Fano variety
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಜಿನೋ ಫ್ಯಾನೊ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದವು ಸಂಪೂರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯವಾದ ಎಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಂಟಿಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ಬಂಡಲ್ ಕೆಎಕ್ಸ್ * ಸಾಕಷ್ಟಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, X ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಟರ್ಮಿನಲ್ ಅಥವಾ klt ಏಕತ್ವಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೂ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕೆ-ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅಧ್ಯಯನದ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳುಃ k ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ Pnನ ಆಂಟಿಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ O (n + 1) ಆಗಿದೆ, ಇದು ತುಂಬಾ ಸಾಕಷ್ಟಿದೆ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಅದರ ವಕ್ರತೆಯು ಫುಬಿನಿ-ಸ್ಟಡಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪದ n + 1 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು). ಡಿ ಎಂಬುದು ಪಿ. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್-1 ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಅನುಬಂಧ ಸೂತ್ರವು ಕೆಡಿ = (ಕೆಎಕ್ಸ್ + ಡಿ) |D = (− (ಎನ್ + 1) ಎಚ್ + ಡಿಗ್ (ಡಿ) ಎಚ್) |D ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಎಚ್ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಡಿಜೆ (ಡಿ) <ಎನ್ + 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಡಿ ಫ್ಯಾನೋ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n-ಆಯಾಮದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ನಯವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನವು ಅವುಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಗರಿಷ್ಠ n ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಫ್ಯಾನೊ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ತೂಕದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ P (a0,., an) ಏಕವಚನ (klt) ಫ್ಯಾನೊ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಡಿಗ್ರಿ a0,., an ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ n ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೊತ್ತವು a0 + + an ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವಂತಹ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನವು ಫ್ಯಾನೋ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯವೂ ಫ್ಯಾನೊ ಆಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು X ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸಾಕಷ್ಟು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು X ಒಂದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಿಧವಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಫ್ಯಾನೋ ವಿಧವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದ X ಗೆ, ಕೊಡೈರಾ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯವು ರಚನೆಯ ಕೋಶದ ಕೋಶದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಟಾಡ್ ಕುಲವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಲಾಬಿ ಊಹೆಯ ಯೌ ಅವರ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಯವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಯ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಫಾನೋ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೈಯರ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ನಮಗೆ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸೀಮಿತ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಟಾಡ್ ಕುಲವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಈಗಷ್ಟೇ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಟಾಡ್ ಕುಲವು ಸೀಮಿತ ಹೊದಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಫ್ಯಾನೋ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದವು ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮವನ್ನು − φ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಂಪನಾ ಮತ್ತು ಕೊಲ್ಲಾರ್-ಮಿಯೋಕಾ-ಮೋರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದವು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸರಪಳಿಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಶೂನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯಾಮದ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಒಂದು ಸುತ್ತುವರಿದ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕೊಲ್ಲಾರ್-ಮಿಯೋಕಾ-ಮೋರಿ ಸಹ ತೋರಿಸಿದರು, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಆಯಾಮದ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸೀಮಿತವಾದ ಅನೇಕ ವಿರೂಪತೆಯ ವರ್ಗಗಳಿವೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧದ ಪ್ರಭೇದಗಳಂತಹ ಇತರ ವರ್ಗಗಳ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗಿಂತ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶೇಷವಾಗಿವೆ. ಸಣ್ಣ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಣ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚರ್ಚೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೋ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಫ್ಯಾನೋ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಫ್ಯಾನೋ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಡೆಲ್ ಪೆಝೊ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಡೆಲ್ ಪೆಝೊ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಪಿ1 × ಪಿ1 ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವರೆಲ್ಲರೂ ತರ್ಕಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಆಯಾಮ 3ರಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ನಯವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪಿ4ನಲ್ಲಿ ಘನ 3-ಮಡಿಕೆಗಳು (ಕ್ಲೆಮೆನ್ಸ್-ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ನಿಂದ) ಮತ್ತು ಪಿ4ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ 3-ಮಡಿಕೆಗಳು (ಇಸ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿಖ್-ಮಾನಿನ್ನಿಂದ). ಎರಡನೇ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೊ 3-ಮಡಿಕೆಗಳನ್ನು 17 ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 88 ವಿರೂಪತೆ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಎರಡನೇ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಕನಿಷ್ಠ 2 ರೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಯವಾದ ಫ್ಯಾನೊ 3-ಮಡಿಕೆಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಿವರವಾದ ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಫಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಐದು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಯೋಜನೆಯ ಆಕಾರಗಳ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಫ್ಯಾನೋಗ್ರಫಿ-ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಫ್ಯಾನೊ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಾಧನ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ 3-ಮಡಿಕೆಗಳು