Upper and lower probabilities
ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂಬ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಈ ವಿಧಾನವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಘಟನೆಯ ಮೇಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಘಟನೆಯ ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮೆಟಾಪ್ರಾಬಿಲಿಟಿಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ತಜ್ಞರು ಹೊಸ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಸೆಡ್ರಿಕ್ ಸ್ಮಿತ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಥರ್ ಡೆಂಪ್ಸ್ಟರ್ ಇಬ್ಬರೂ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಗ್ಲೆನ್ ಶೇಫರ್ ಡೆಂಪ್ಸ್ಟರ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈಗ ಡೆಂಪ್ಸ್ಟರ್-ಶೇಫರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ಚೊಕ್ವೆಟ್ (1953) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಲೇಖಕರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ನಂಬಿಕೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡು ಪೂರಕವಲ್ಲದ ನಿರಂತರ ಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅನಂತವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧಿತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲದಂತೆ ಇರಬಹುದು. ಹಾಲ್ಪರ್ನ್ (2003) ನ ಪುಟ 36ನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕ್ರಮಗಳು ನಂಬಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಾಮೂಹಿಕ ಕಾರ್ಯವು ಈವೆಂಟ್ ಜಾಗದ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಧನಾತ್ಮಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ವರ್ಗ ಸಿ ಯಿಂದ ಪಡೆದ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಲಕೋಟೆಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಶ್ಯಕತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಧ್ಯಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮಿತಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿದೇಶಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಮಿತಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡೆಂಪ್ಸ್ಟರ್-ಶೇಫರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.