Hilbert class field
ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, K ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ E ಎಂಬುದು Kಯ ಗರಿಷ್ಠ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. Kಯ ಮೇಲೆ ಅದರ ಡಿಗ್ರಿ Kಯ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Kಯ ಮೇಲೆ Eಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು Kಯ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು Kಯಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, Kಯ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕೇವಲ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆದರ್ಶ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ) ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ Kಯ ಅನಂತ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ. ಅಂದರೆ, Kಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ Eಯ ನೈಜ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ (Eಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗೆ ಬದಲಾಗಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳು K ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪವರ್ತನ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, K ತನ್ನದೇ ಆದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ತಾರತಮ್ಯಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಎಲ್ಲೆಡೆ K ಯ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೆ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವು. K ಯ ಪ್ರಧಾನವಲ್ಲದ ಆದರ್ಶವು (2, (1 +)/2) ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು L ನಲ್ಲಿ ಇದು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶವಾಗುತ್ತದೆ ((1 +)/2). ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವು 3ನೇ ತರಗತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು x3-x-1 ರ ಮೂಲವನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಬಹುದು, ಇದು ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್-23 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು, 3 ರಿಂದ Q ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ನೈಜ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ 12 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ 9 = 32 ರ ಕೆ (ಐ)/ಕೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕೆ ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಯ ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ Kಯು ಸ್ವತಃ K ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲಃ Kಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಿಯಾದ ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತಾರಗೊಳ್ಳಬೇಕು, ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದ K (i)/Kಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆ ಇರುತ್ತದೆಃ Kಯ ನೈಜ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು K (i) ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ (ನೈಜಕ್ಕಿಂತ) ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯಕ್ಕೆ (ಝಡ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ) ಜನರೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ K ಗೆ (ಕಿರಿದಾದ) ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಫಿಲಿಪ್ ಫುರ್ಟ್ವಾಂಗ್ಲರ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ E ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ E ಎಂಬುದು K ಮತ್ತು [E: K] = hK ಯ ಸೀಮಿತ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ hK ಎಂಬುದು K ಯ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. K ಯ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗ ಗುಂಪು K ಮೇಲೆ E ಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. OK ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆದರ್ಶವು ರಿಂಗ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ OE (ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ಪ್ರಮೇಯ) ದ ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. OKಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ Pಯು OEಯಲ್ಲಿನ hK/f ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ f ಎಂಬುದು OKಯ ಐಡಿಯಲ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಗ್ರೂಪ್ನಲ್ಲಿರುವ [P] ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇ ಎಂಬುದು ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ರಚನೆಗಳು K ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು A ಯು K ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ A ಯಿಂದ K ಯ ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಿರಣ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ (ಬಹುಶಃ, ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಔಪಚಾರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ರೇ ಕ್ಲಾಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಹೊರಗೆ ರ್ಯಾಮೀಕರಿಸದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಾಖೋತ್ಪತ್ತಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವು ನಂತರ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 1 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಿರಣ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಿರಿದಾದ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕಿರಣ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ವಾದವು ಅದರ ಕಿರಿದಾದ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜೆ. ಎಸ್. ಮಿಲ್ನೆ, ಕ್ಲಾಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ (ಕೋರ್ಸ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು http://www.jmilne.org/math ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ). ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಪರಿಚಯ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪುಟ 4ನ್ನು ನೋಡಿ. ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ