Local-density approximation
ಸ್ಥಳೀಯ-ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳು (ಎಲ್. ಡಿ. ಎ.) ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ (ಡಿ. ಎಫ್. ಟಿ.) ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾದ ವಿನಿಮಯ-ಸಂಬಂಧದ (ಎಕ್ಸ್. ಸಿ.) ಶಕ್ತಿಯ ಅಂದಾಜುಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯುನ್ಮಾನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಥವಾ ಕೊಹ್ನ್-ಶ್ಯಾಮ್ ಕಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲ). ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳು XC ಶಕ್ತಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಗಾಧವಾಗಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಂದಾಜುಗಳು ಏಕರೂಪದ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅನಿಲ (ಎಚ್ಇಜಿ) ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಪಡೆದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಎಲ್. ಡಿ. ಎ. ಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಚ್. ಇ. ಜಿ ಅಂದಾಜು ಆಧಾರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ (ಅಣುಗಳು ಮತ್ತು ಘನವಸ್ತುಗಳು) ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸ್ಪಿನ್-ಅನ್ಪೋಲರೈಸ್ಡ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ, ವಿನಿಮಯ-ಸಹಸಂಬಂಧ ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಳೀಯ-ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ρ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು εxc ಎಂಬುದು ಚಾರ್ಜ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಏಕರೂಪದ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅನಿಲದ ಪ್ರತಿ ಕಣಕ್ಕೆ ವಿನಿಮಯ-ಸಹಸಂಬಂಧ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ವಿನಿಮಯ-ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಪದಗಳಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇ. ಸಿ. ಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿನಿಮಯ ಪದವು ಎಚ್. ಇ. ಜಿ. ಗೆ ಸರಳವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿದಿವೆ, ಇದು εc ಗೆ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿನಿಮಯ-ಸಂಬಂಧದ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ-ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅಂದಾಜುಗಳು (ಜಿಜಿಎ) ಅಥವಾ ಹೈಬ್ರಿಡ್ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಯಾವುದೇ ಅಂದಾಜು ವಿನಿಮಯ-ಸಂಬಂಧದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣವೆಂದರೆ ಅದು ಬದಲಾಗದ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಿಗೆ ಎಚ್ಇಜಿಯ ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎಲ್ಡಿಎಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಥಳೀಯ-ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ವಾಲ್ಟರ್ ಕೊಹ್ನ್ ಮತ್ತು ಲು ಜೀಯು ಶಾಮ್ ಅವರು 1965ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಜಿಜಿಎಗಳಂತೆಯೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಘನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅಬ್-ಇನಿಷಿಯೋ ಡಿಎಫ್ಟಿ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ ಸೆಮಿಕಂಡಕ್ಟಿಂಗ್ ಆಕ್ಸೈಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪಿಂಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಸೆಮಿಕಂಡಕ್ಟರ್ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಅಧ್ಯಯನಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ, ಇದು ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯನ್ನು ತರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊದಲ-ತತ್ವಗಳ ಆಧಾರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅಗತ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಡೋಪ್ಡ್ ಸೆಮಿಕಂಡಕ್ಟಿಂಗ್ ಆಕ್ಸೈಡ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಫೆರ್ಮಿ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಂಡ್ ರಚನೆಯ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿಎಸ್ಟಿಇಪಿ ಮತ್ತು ಡಿಎಂಒಎಲ್ 3 ನಂತಹ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾದ ಎಲ್ಡಿಎ ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಲ್ಡಿಎ ಮತ್ತು ಜಿಜಿಎ ಅಂದಾಜುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅಂತರದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಶುದ್ಧತೆಯ ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯ ವಾಹಕತೆ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ವಾಹಕ ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಯ ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಸುಳ್ಳು ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. 1998ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ರೇಲೇ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯವು ಎಲ್. ಡಿ. ಎ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಸ್ತುಗಳ ಬಹುತೇಕ ನಿಖರವಾದ, ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅಂತರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಡಿ. ಎಫ್. ಟಿ. ಯ ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯದ ತಪ್ಪು ತಿಳುವಳಿಕೆಯು, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಡಿ. ಎಫ್. ಟಿ. ಯ ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಎಲ್. ಡಿ. ಎ. ಮತ್ತು ಜಿ. ಜಿ. ಎ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಂದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅಂತರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ εxcಗೆ ಏಕರೂಪದ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅನಿಲದ ಅಂದಾಜುಅನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಯಶಸ್ವಿ ವಿಧಾನವು ಏಕರೂಪದ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅನಿಲವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಎನ್ ಇಂಟರಾಕ್ಟಿಂಗ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಮಾಣ, ವಿ ಗೆ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಚಾರ್ಜ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತಟಸ್ಥವಾಗಿರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ N ಮತ್ತು Vಅನ್ನು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು (ρ = N/V) ಸೀಮಿತವಾಗಿಡುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಚಲನ ಶಕ್ತಿ, ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ತಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ವಿನಿಮಯ-ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಶಕ್ತಿಯ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವು ಗ್ರಹಗಳ ತರಂಗಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವುದರಿಂದ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆ ρ ಗೆ, ವಿನಿಮಯ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ρ1⁄3 ಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಎಚ್. ಇ. ಜಿ. ಯ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್-ಎನರ್ಜಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯ-ಶಕ್ತಿಯನ್ನು, ಎಚ್. ಇ. ಜಿ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂದಾಜಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್. ಡಿ. ಎ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಚ್. ಇ. ಜಿ. ಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಶಕ್ತಿಗಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅನಂತ-ದುರ್ಬಲ ಮತ್ತು ಅನಂತ-ಬಲವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ-ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆ ρ ಹೊಂದಿರುವ HEG ಗೆ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮಿತಿಯು ಮತ್ತು ವಿಗ್ನರ್-ಸೀಟ್ಜ್ ನಿಯತಾಂಕವು ಆಯಾಮರಹಿತವಾಗಿರುವ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಬೋರ್ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಗ್ನರ್-ಸೀಟ್ಜ್ ನಿಯತಾಂಕವು ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬಹು-ದೇಹದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಶಕ್ತಿಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನಿಂದ 2 ಮಿಲಿ-ಹಾರ್ಟ್ರಿಯೊಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮತಿಸುತ್ತವೆ. ಎಚ್. ಇ. ಜಿ. ಯ ಶಕ್ತಿಗಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಹಲವಾರು ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಡೆಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಶಕ್ತಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಧ್ರುವೀಕರಣ ಸ್ಪಿನ್-ಧ್ರುವೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ವಿನಿಮಯಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಸ್ಪಿನ್-ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಡಿ. ಎಫ್. ಟಿ. ಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಧ್ರುವೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ಸ್ಪಿನ್-ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು, ρα ಮತ್ತು ρβ ಅನ್ನು ρ = ρα + ρβ ಯೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ-ಸ್ಪಿನ್-ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜು (ಎಲ್ಎಸ್ಡಿಎ) ರೂಪವು ವಿನಿಮಯ ಶಕ್ತಿಗಾಗಿ, ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು (ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ) ಸ್ಪಿನ್-ಧ್ರುವೀಕರಿಸದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸ್ಪಿನ್-ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಪಿನ್-ಧ್ರುವೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಮಾನ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಯಾಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನ್-ಧ್ರುವೀಕರಿಸದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಒಂದು ಸ್ಪಿನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಒಟ್ಟು ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಧ್ರುವೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, εc (ρ, ς), ಸ್ಪಿನ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು, ವಿಪರೀತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂತರ್ವೇದಿಸಲು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಡಿಎ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ರೂಪಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ವಿನಿಮಯ-ಸಂಬಂಧ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿನಿಮಯ-ಸಂಬಂಧ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸೀಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಡಿಎ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಘಾತೀಯ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ; ನಿಜವಾದ ವಿನಿಮಯ-ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಕೂಲಂಬಿಕ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯವು ಬಂಧಿಸಬಹುದಾದ ಕೊಹ್ನ್-ಶಾಮ್ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ಎಷ್ಟು ಕಕ್ಷೆಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ) ಕೃತಕವಾಗಿ ತ್ವರಿತವಾದ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯು ಸ್ವತಃ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಡಿಎ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ರೈಡ್ಬರ್ಗ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದು ಬಂಧಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಕ್ರಮಿತ ಆಣ್ವಿಕ ಕಕ್ಷೀಯ (HOMO) ಶಕ್ತಿಯು ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಾಗಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೂಪ್ಮನ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಅಯಾನೀಕರಣ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಯಾವುದೇ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳು ಕಳಪೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಡಿಎ ಅಯಾನುಗಳಂತಹ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್-ಸಮೃದ್ಧ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಳಪೆ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರವೆಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಧ್ರುವೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿನಿಮಯ-ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸ್ಪಿನ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿನಿಮಯ-ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವಿನಿಮಯ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ತಿರುಗುವ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ