Collinearity
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯು ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಮಲಗುವ ಗುಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಪದವನ್ನು ಜೋಡಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವಸ್ತುಗಳು "ಸಾಲಿನಲ್ಲಿವೆ" ಅಥವಾ "ಸಾಲಿನಲ್ಲಿವೆ". ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು "ನೇರ ರೇಖೆಯ" ಮೇಲೆ ಸಾಲು ಸಾಲು ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸೇರಿದಂತೆ) ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ) ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ದೃಶ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಹೇಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯಂತಹ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆ ಮಾದರಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗೋಳದ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಒಂದೇ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ನೇರ ರೇಖೆಯ" ಮೇಲೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಲು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಕೊಲಿನೇಯರಿಟಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುವ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳು (ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು), ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ; ಅಂದರೆ, ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವು ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕೇವಲ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಆಗಿವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪುಗಳು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆಃ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್, ಸರ್ಕಂಸೆಂಟರ್, ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್, ಎಕ್ಸೆಟರ್ ಪಾಯಿಂಟ್, ಡಿ ಲಾಂಗ್ಚಾಂಪ್ಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತು-ಪಾಯಿಂಟ್ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಯೂಲರ್ ಲೈನ್ ಎಂಬ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬೀಳುತ್ತವೆ. ಡಿ ಲಾಂಗ್ಚಾಂಪ್ಸ್ ಬಿಂದುವು ಇತರ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಸ್ಪ್ಲಿಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗ, ಎಕ್ಸರ್ಕಲ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಯ ಸ್ಪರ್ಶಕತೆ ಮತ್ತು ನಾಗೆಲ್ ಬಿಂದುವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಬದಿಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು, ತ್ರಿಕೋನದ ಗಡಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದು (ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ದ್ವಿಭಾಜಿತಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ), ಮತ್ತು ಸ್ಪೈಕರ್ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಸೀಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. (ಸ್ಪೈಕರ್ ವೃತ್ತವು ಮಧ್ಯದ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳವೃತ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.) ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗ, ಒಳವೃತ್ತದ ಎದುರು ಬದಿಯ ಸ್ಪರ್ಶಕತೆ ಮತ್ತು ಗೆರ್ಗೋನ್ ಬಿಂದುವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುಗಳು ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುವಿನ ಸಿಮ್ಸನ್ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಎತ್ತರದ ಪಾದಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರಚೋದಕ, ಎತ್ತರದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು, ಮತ್ತು ಆ ಬದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಕ್ಸರ್ಕಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿಯ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೆನೆಲಾಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು (ಕೆಲವು ವಿಸ್ತರಿತ) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರಃ ಇನ್ಸೆಂಟರ್, ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪೈಕರ್ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಭುಜದ ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರ, ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಮತ್ತು ಲೆಮೋಯಿನ್ ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಎರಡು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತರಿತ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಡ್ರೋಜ್-ಫಾರ್ನಿ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿವೆ. ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು, ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್-ಗಾಸ್ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಚತುರ್ಭುಜವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಚೋದಕವೂ ಸಹ ಈ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿಯೋರ್ಥೋಸೆಂಟರ್, "ಏರಿಯಾ ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್", ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಸರ್ಕಮ್ಸೆಂಟರ್ ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು. (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ Quadrilateral#Remarkable ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.) ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜದ ಇತರ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ quadrilateral#Collinear ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರ, ಶೃಂಗ ಕೇಂದ್ರಕ (ಎರಡು ದ್ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದಕ) ಮತ್ತು ಆಂಟಿಸೆಂಟರ್ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಪ್ರದೇಶ ಕೇಂದ್ರಕ, ಶೃಂಗ ಕೇಂದ್ರಕ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಛೇದನವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರಲ್ಲಿ, ಎರಡು ತಳಗಳೊಂದಿಗಿನ ಒಳವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಪ್ರಚೋದಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರಲ್ಲಿ, ಕಾಲುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಪ್ರಚೋದಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಷಟ್ಕೋಣಗಳ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು (ಇದನ್ನು ಹೆಕ್ಸಾಗ್ರಾಂಮಮ್ ಮಿಸ್ಟಿಕಮ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲ) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸೇರಿಕೊಂಡರೆ, ಷಟ್ಕೋಣದ ಮೂರು ಜೋಡಿಗಳು (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ) ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಷಟ್ಕೋಣದ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದುದೂ ಸಹ ನಿಜಃ ಒಂದು ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂರು ಜೋಡಿ ರೇಖೆಗಳ ಮೂರು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಷಟ್ಕೋಣದ ಆರು ಶೃಂಗಗಳು ಕೋನಿಕ್ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಇದು ಪಪ್ಪಸ್ನ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಕ್ಷೀಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಬ್ರೈಕೆನ್ರಿಡ್ಜ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಮೋಂಗೆ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದರೊಳಗೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಮೂರು ಜೋಡಿ ರೇಖೆಗಳ ಮೂರು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರ, ಎರಡು ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯ ಚಿಕ್ಕ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯ ಅತಿದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರ, ಎರಡು ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೋನ್ಗಳು ಏಕರೂಪದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕೋನಿಕ್ ಘನದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವು ತಳದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಶೃಂಗದವರೆಗಿನ ಮಾರ್ಗದ ಕಾಲು ಭಾಗದಷ್ಟು, ಎರಡನ್ನೂ ಸೇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಗಳು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವು ಅದರ ಮಾಂಗೆ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರದ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಯೂಲರ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೋಲುವ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಯೂಲರ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಹನ್ನೆರಡು-ಬಿಂದು ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರವು ಯೂಲರ್ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ,-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿ 1 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕ 1 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಂಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೂ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕ 2 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮತಲ () ದಲ್ಲಿನ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ; ಏಕೆಂದರೆ ಆ 3x3 ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಆ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಪ್ಲಸ್ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಶೂನ್ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೇರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಆ ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ಕೇಲೆ-ಮೆಂಗರ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಮತ್ತು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ) ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ): ಹೆರಾನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದವಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ-16 ಪಟ್ಟು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಶೂನ್ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಶೃಂಗಗಳು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ). ಸಮಾನವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಆ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಸಹಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ-ಅಂದರೆ, ಅವು 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ-ಒಂದು ಚದರ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತಕ್ಕೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವು ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ವಿವಿಧ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ "ಬಿಂದುಗಳು" ಮತ್ತು "ರೇಖೆಗಳ" ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಮತಲ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಮತಲ ದ್ವಂದ್ವತೆಯಿಂದ ನಾವು ರೇಖೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಹೊಂದಿರುವ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವ) ಗುಣವನ್ನು ಕಾಂಕರೆನ್ಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲೀನ ರೇಖೆಗಳೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾಂಕರೆನ್ಸಿಯು ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಗೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದರೆ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯು ಎರಡು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡರ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು 1 ಅಥವಾ-1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಇದರರ್ಥ ವಿವಿಧ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಈ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿರಳವಾಗಿ ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ "ಬಲವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧ" ಇದ್ದಾಗ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಪಾರ್ಶ್ವದ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಮಾನದಂಡಗಳ (ಅಂದರೆ, ವಿವರಿಸಿದ) ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ದೂರಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ, ಕಾಲಿನಿಯರ್ (ಅಥವಾ ಸಹ-ರೇಖೀಯ) ಆಂಟೆನಾ ರಚನೆಯು ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಆಂಟೆನಾಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಆಂಟೆನಾದ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಛಾಯಾಗ್ರಹಣ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಫೋಟೊಗ್ರಾಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸ್ಟಿರಿಯೊ ವಿಷನ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇಮೇಜ್ (ಸಂವೇದಕ) ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ) ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ (ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ) ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಛಾಯಾಗ್ರಹಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರದ (ಸಂವೇದಕ) ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಕ್ಯಾಮೆರಾದ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ವಸ್ತುವಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು, ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್, ಇಮೇಜ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಸೆಂಟರ್, ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಹೇಳಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳೆಲ್ಲವೂ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲೀನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪಪ್ಪಸ್ನ ಷಟ್ಕೋಣ ಪ್ರಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರು-ಇನ್-ಲೈನ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ (ಜ್ಯಾಮಿತಿ) #Collinearity ಕೋಪ್ಲಾನಾರಿಟಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.