Ternary Golay code
ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನ ಗೊಲೆ ಸಂಕೇತಗಳು ಎರಡು ನಿಕಟವಾದ ದೋಷ-ಸರಿಪಡಿಸುವ ಸಂಕೇತಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕೋಡ್-ಕೋಡ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಟೆರ್ನರಿ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಕೋಡ್ ಆಗಿದೆ; ಕೋಡ್ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಂತರವು ಟೆರ್ನರಿ ಕೋಡ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕೋಡ್ ಆಗಿದೆ. [11,6,5] ಕೋಡ್ಗೆ ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಚೆಕ್ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾದ [12,6,6] ರೇಖೀಯ ಸಂಕೇತವು ವಿಸ್ತೃತ ತ್ರೈಮಾಸಿಕ ಗೋಲೆ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವಿಸ್ತೃತ ತ್ರಿಕೋನ ಗೊಲೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತ್ರಿಕೋನ ಗೊಲೆ ಸಂಕೇತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ 36 = 729 ಸಂಕೇತ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದರ ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಚೆಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೇತಪದಗಳು ಕನಿಷ್ಠ 5 ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. 11ನೇ ಉದ್ದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನ ಪದವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಕೇತಪದದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ 2ರ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು F3 (ಅಂದರೆ, ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ GF (3)) ಎಂಬ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ 11 ನೇ ಉದ್ದದ ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಶೇಷ ಸಂಕೇತವಾಗಿಯೂ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. 11 ಆಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಪೂಲ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ, ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ 729 ಪಂತಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ 2 ತಪ್ಪು ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪಂತವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ತೂಕ 5 ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೇತಪದಗಳ ಸಮೂಹವು 3-(11,5,4) ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಗೊಲೇ ನೀಡಿದ ಜನರೇಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (1949, ಕೋಷ್ಟಕ 1.) (ಮೂಲ) ತ್ರಿಕೋನ ಗೊಲೆ ಸಂಕೇತದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಗುಂಪು M11 ಆಗಿದೆ, ಇದು ವಿರಳವಾದ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಎಕ್ಸ್ಟೆಂಡೆಡ್ ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆಂಡೆಡ್ ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ತೂಕದ ಎನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ ಎಕ್ಸ್ಟೆಂಡೆಡ್ ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು 2.M12 ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ M12 ಎಂಬುದು ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಗುಂಪು M12 ಆಗಿದೆ. ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನ ಗೊಲೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು F3 ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ 12ನೇ ಕ್ರಮದ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳ ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಕೇವಲ ಆರು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಸ್ತೃತ ಕೋಡ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೇತಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸ್ಥಾನಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಸ್ಟೈನರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಸ್ (5,6,12) ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಜನರೇಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಚೆಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋಡ್ಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಜನರೇಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಚೆಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬದಲು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಅಂದರೆ, 1 ರ ಸಂಯೋಜಕ ವಿಲೋಮ) ಮತ್ತು ಎಂದು ಸಹ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಸಾಲು ಮತ್ತು ಅಂಕಣ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲೋ 3 ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳ ಲೀನಿಯರ್ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಕೋಡ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಲುಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನರೇಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜನರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಿಟಿ-ಚೆಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವು, ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉದ್ದೇಶದಿಂದ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಅದರ ಜನರೇಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಚೆಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹಿಸ್ಟರಿ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ದಿ ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಅವರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಫಿನ್ನಿಷ್ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಪೂಲ್ ಉತ್ಸಾಹಿ ಜುಹಾನಿ ವರ್ಚಕಾಲಿಯೊ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಅವರು ಇದನ್ನು 1947 ರಲ್ಲಿ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ನಿಯತಕಾಲಿಕೆ ವೀಕ್ಕಾಜಾದ 27,28 ಮತ್ತು 33 ಸಂಚಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಡಿಸ್ಟಿಲೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ದೋಷ-ಸಹಿಷ್ಣು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಟೆರ್ನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬರ್ಲೆಕಾಂಪ್-ವ್ಯಾನ್ ಲಿಂಟ್-ಸೀಡೆಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಬೈನರಿ ಗೋಲೆ ಕೋಡ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಜಾಃ 3