Approximation in algebraic groups
ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಜಿ ಗೆ ಚೀನೀ ಉಳಿದ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆ. ಕೆಲವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಇತಿಹಾಸವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. 1960 ಮತ್ತು 1970 ರ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ, ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧ ಸರಳವಾದ ಸರಳವಾಗಿ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು. ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರಣವಾಗಿವೆ; ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪ್ರಕರಣವು ಮತ್ತು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ನಂಬರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಾಟೊನೊವ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ನೆಸೆರ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು G ಯು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು A ಎಂಬುದು k ನ ಅಡೆಲೆ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. S ಎಂಬುದು k ನ ಸ್ಥಳಗಳ ಖಾಲಿ-ಇಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಗುಣಾಕಾರ ks ಗೆ AS ಮತ್ತು AS ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ S ನಲ್ಲಿರುವ s ಗೆ. S ನ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗೆ, G (k) G (AS) ಮತ್ತು G (AS) ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗುತ್ತದೆ. ದುರ್ಬಲ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಕೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ ಜಿ (ಎಎಸ್) ನಲ್ಲಿ ಜಿ (ಕೆ) ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ದಟ್ಟವಾದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು. ಗುಂಪು ಜಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೆ-ರೇಷನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದುರ್ಬಲ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗುಂಪು G ಗೆ, k ನ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಳಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ T ಇದೆ, ಅಂದರೆ G ಯು T ಯೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡುವ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ S ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದುರ್ಬಲ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, k ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗುಂಪು G ಯು ಅನಂತ ಸ್ಥಳಗಳ S = S ≤ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದುರ್ಬಲ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿ (ಎಎಸ್) ನಲ್ಲಿ ಜಿ (ಕೆ) ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ದಟ್ಟವಾದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಜಿ (ಕೆ) ಜಿ (ಎಎಸ್) ಸೆಟ್ ಜಿ (ಎ) ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಕೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜಿನ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು, ಒಂದು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪು G ಯು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ S ಗೆ ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ರಾಡಿಕಲ್ N ಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, G/N ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು G/N ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ಘಟಕ H ಯು S ನಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು s ಗಳಿಗೆ (H ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಸಾಂದ್ರವಲ್ಲದ ಘಟಕ Hs ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜಿನ ಪುರಾವೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹ್ಯಾಸ್ ತತ್ವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ, ಇದು E8 ಪ್ರಕಾರದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಪಕ್ಕದ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಚೆವಾಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಗಳ ಆಂತರಿಕ ರೂಪಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವಿಶಾಲ ವರ್ಗದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ದುರ್ಬಲ ಅಂದಾಜು ಇರುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜು ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಪರ್ ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಅಂದಾಜು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.