Nil ideal
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವರ್ತುಲದ ಎಡ, ಬಲ ಅಥವಾ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಉಂಗುರದ ನಿಲ್ರಾಡಿಕಲ್ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ಗೆ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಸಮೂಹವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳದ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನೀಲ್ ಆದರ್ಶಗಳು ಇನ್ನೂ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಕೋಥೆ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಸಂವಹನ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತಗಳು ಎರಡೂ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ a ಮತ್ತು bಗಳು an = 0 ಮತ್ತು bm = 0 ಹೊಂದಿರುವ Rನ ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು r ಎಂಬುದು Rನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, (a·r) n = an·rn = 0, ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, (a + b) m + n = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳ ಸಮೂಹವು ಉಂಗುರದ ನೀಲ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಆದರ್ಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನೀಲ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ನೀಲ್ ರಾಡಿಕಲ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರದ ಆದರ್ಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೀಲ್ ಅಲ್ಲದ ಆದರ್ಶಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ R ನ ಯಾವುದೇ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶ a ಗೆ, ಆದರ್ಶ aR ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ, ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳ ಸಮೂಹವು ಆದರ್ಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ a, ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ a, ಶೂನ್ಯ (ಏಕಪಕ್ಷೀಯ) ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಉಂಗುರಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಮೂಲಕ-ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಉಂಗುರಗಳು-ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವಾಗಲೂ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ನಿಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಇರುತ್ತದೆಃ ರಿಂಗ್ ನ ನಿಲ್ರಾಡಿಕಲ್. ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಗರಿಷ್ಠ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡು ಎಡ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತೆ ಎಡ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಸತ್ಯವು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ; ಇದು ಕೋಥೆ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕೋಥೆ ಊಹೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1930 ರಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ 2023 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಶೂನ್ಯ ಐಡಿಯಲ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಐಡಿಯಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಆಳವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವರ್ಗದ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಆದರ್ಶವು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರಲು ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಅಡೆತಡೆಗಳಿವೆಃ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಘಾತಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಬೇಕಾಗಬಹುದು. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ n ಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಎಂದು ಅರ್ಹತೆ ಪಡೆಯಲು ಈ ಎರಡೂ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬೇಕು. ಬಲ ಆರ್ಟೀನಿಯನ್ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವು ಉಂಗುರದ ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ರಾಡಿಕಲ್ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಒಂದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆದರ್ಶವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಊಹೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ), ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಬಲ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆವಿಟ್ಜ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಟುಮಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆದರ್ಶ ನೀಲ್ರಾಡಿಕಲ್ ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಆದರ್ಶಗಳು (ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಎಂಬ ಕೋಥೆ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.