Complex measure
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಅಳತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಗಾತ್ರವು (ಉದ್ದ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಪರಿಮಾಣ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದ ಮೇಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಯು ಸಿಗ್ಮಾ-ಅಡಿಟಿವ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ (ಬೈಜೆಕ್ಷನ್) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅದು ಬೇಷರತ್ತಾಗಿ (ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕೀಕರಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯದಂತೆಯೇ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕೀಕರಣದಂತೆಯೇ, ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು (ಸಂಕೀರ್ಣ ಅನಂತ). ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮೊದಲಿನಿಂದ ಏಕೀಕರಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸದಿರುವುದು, ಬದಲಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಈಗಾಗಲೇ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಆ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಯ ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಾದ μ1 ಮತ್ತು μ2 ಗಳು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಅಳತೆಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಹಾನ್-ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ μ1 +, μ1 −, μ2 +, μ2 − ಗಳು ಸೀಮಿತ-ಮೌಲ್ಯದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಮಗಳಾಗಿವೆ (ಇವು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿವೆ). ನಂತರ, ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯ f ಗೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವವರೆಗೆ ಒಬ್ಬರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಒಬ್ಬರು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ φ − φ ಅನ್ನು ಎದುರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈಗ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಧ್ರುವ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಎ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು |μ | ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಧ್ರುವೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಗಾಗಿ ಒಂದು ಧ್ರುವೀಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯ θ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯ f, ಅಂದರೆ, f ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಗಳ ಸ್ಥಳ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಯ ಗುಣಾಕಾರವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಳತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (X,.99) ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಮಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಂದು ಮಾನದಂಡವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆಗಳ ಸ್ಥಳವು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ರೀಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ಸಹ ನೋಡಿ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಅಳತೆ ವಾಹಕ ಅಳತೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಳತೆ ವಿಶ್ವ ಅಳತೆಗಳು (ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು