Turbulence modeling
ದ್ರವದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಮಾದರಿಯು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ. ಹೃದಯರಕ್ತನಾಳದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಕ ರಕ್ತದ ಹರಿವು, ವಿಮಾನದ ರೆಕ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಗಾಳಿಯ ಹರಿವು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹನಗಳ ಮರು-ಪ್ರವೇಶ ಸೇರಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ-ಜೀವನದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಹರಿವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ದಶಕಗಳ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಈ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಹರಿವಿನ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಯಾವುದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವಿಲ್ಲ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಹರಿವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದ ಹರಿವಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ-ಜೀವನದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ, ಸಿಎಫ್ಡಿ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಮಾದರಿಗಳು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಹರಿವಿನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಸರಳೀಕೃತ ಸಾಂವಿಧಾನಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದ್ರವದ ಹರಿವಿನ ವೇಗ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಸರಾಸರಿ ಭಾಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಏರಿಳಿತದ ಭಾಗವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ರೇನಾಲ್ಡ್ಸ್-ಸರಾಸರಿ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ (ಆರ್ಎಎನ್ಎಸ್) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸರಾಸರಿ ಹರಿವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ವೇಗದ ಏರಿಳಿತಗಳು ಇನ್ನೂ ಆರ್ಎಎನ್ಎಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಸಂವಹನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಿಂದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪದದಲ್ಲಿ. ಈ ಪದವನ್ನು ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಒತ್ತಡ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪರಿಣಾಮವು ಒತ್ತಡ ಅಥವಾ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯಂತಹ ಒತ್ತಡದ ಪದದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ವೇಗ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ರೇನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಒತ್ತಡ ಪದವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ, ವೇಗದ ಏರಿಳಿತದ ಭಾಗದ ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ RANS ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ದಾಳಿ ಮಾಡಿದವರಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್ ವ್ಯಾಲೆಂಟಿನ್ ಬೌಸೈನ್ಸ್ಕ್ ಮೊದಲಿಗರು. 1877ರಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮುಚ್ಚಲು ಟರ್ಬುಲೆನ್ಸ್ ಒತ್ತಡಗಳನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಬೌಸೈನ್ಸ್ಕ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಇಲ್ಲಿ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಒತ್ತಡದ ಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬೌಸೈನ್ಸ್ಕ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟರ್ಬುಲೆನ್ಸ್ ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ ಎಂಬ ಹೊಸ ಅನುಪಾತದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ರೀತಿಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ ಮಾದರಿಗಳು ಅಥವಾ ಇವಿಎಂಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸರಾಸರಿ ದರವು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಆಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಣ್ವಿಕ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಒತ್ತಡಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರಳ ಸ್ಥಿರವಾದ ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯಾಗಿರಬಹುದು (ಇದು ಅಕ್ಷಸಮಿತೀಯ ಜೆಟ್ಗಳು, 2-ಡಿ ಜೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರಣ ಪದರಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ಮುಕ್ತ ಕತ್ತರಿಸುವ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ). ಬೌಸೈನ್ಸ್ಕ್ ಊಹೆಯು-ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬೌಸೈನ್ಸ್ಕ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳದಿದ್ದರೂ-ರೇನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಅಂದರೆ. : ಸರಾಸರಿ ಹರಿವಿನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯ ಒತ್ತಡಗಳ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯಿಂದಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯು ಒತ್ತಡಕ್ಕೊಳಗಾಗುತ್ತದೆ). ಅಂದಿನಿಂದ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ವೈದ್ಯರು ಊಹಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಆದರೂ, ಬೌಸೈನ್ಸ್ಕ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಮಾದರಿಗಳು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿವೆ. ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕತ್ತರಿಸುವ ಪದರಗಳ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಸ್ಟ್ರೀಮ್ವೈಸ್ ಕತ್ತರಿಸುವ ಘಟಕಗಳ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದಿಂದಾಗಿ ಆಗಿರಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಹರಿವು-ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿನ ಗಣನೀಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷಗಳು ಇನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಗಣ್ಯವಾಗಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಮಾದರಿಗಳು ಮಾಪನಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯಕ್ಕೆ ಬಳಸುವ ರೀತಿಯ ಹರಿವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಮಂಜಸವಾದ ನಿಖರವಾದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಂಡ್ಟಲ್ನ ಮಿಶ್ರಣ-ಉದ್ದದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನಂತರ, ಲುಡ್ವಿಗ್ ಪ್ರಾಂಡ್ಟ್ಲ್ ಅವರು ಮಿಶ್ರಣದ ಉದ್ದದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಜೊತೆಗೆ ಗಡಿ ಪದರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಗೋಡೆಯ-ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ, ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯು ಗೋಡೆಯಿಂದ ದೂರಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ 'ಮಿಶ್ರಣದ ಉದ್ದ' ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಗೋಡೆಯ-ಗಡಿಯ ಹರಿವಿನ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿಃ ಗೋಡೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಿಕ್ಕಿಗೆ (y) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ವೈಸ್ ವೇಗ (u) ದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ; ಇದು ಮಿಶ್ರಣದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಈ ಸರಳ ಮಾದರಿಯು "ಗೋಡೆಯ ನಿಯಮ" ಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಣ್ಣ ಒತ್ತಡದ ಇಳಿಜಾರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೋಡೆ-ಸುತ್ತುವರಿದ, ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ (ಬೇರ್ಪಡಿಸದ) ಹರಿವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಮಾದರಿಗಳು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಂಡಿವೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಧುನಿಕ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆಯೇ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೇಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಗ್ರಿಡ್ ಗಾತ್ರದ ಸ್ಥಳೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ದೊಡ್ಡ ಎಡ್ಡಿ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್ ಸ್ಮಾಗೊರಿನ್ಸ್ಕಿ ಮೊದಲಿಗರುಃ ದೊಡ್ಡ ಎಡ್ಡಿ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಟರ್ಬುಲೆನ್ಸ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಿದ ವೇಗ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸಬ್ ಗ್ರಿಡ್ ಸ್ಕೇಲ್ ಒತ್ತಡವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಬ್ ಗ್ರಿಡ್-ಸ್ಕೇಲ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಾಲಾರ್ಟ್-ಆಲ್ಮರಾಸ್, k-ε ಮತ್ತು k-ω ಮಾದರಿಗಳು ಬೌಸೈನ್ಸ್ಕ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ಪಾಲಾರ್ಟ್-ಆಲ್ಮರಾಸ್ (S-A), k-ε (k-ಎಪ್ಸಿಲೋನ್) ಮತ್ತು k-ω (k-ಒಮೆಗಾ) ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಗೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ವೆಚ್ಚದ ಗಣನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಸ್-ಎ ಮಾದರಿಯು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಸಾಗಣೆಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆ-ಇ ಮತ್ತು ಕೆ-ω ಮಾದರಿಗಳು ಎರಡನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿಗಳು ಆಧುನಿಕ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಅವಲೋಕನ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನೋಟ್ಸ್ ಅದರ್ ಅಬ್ಸಿ, ಆರ್. (2019) "ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ ಮತ್ತು ವೇಗ ಪ್ರೊಫೈಲ್ಸ್ ಇನ್ ಫುಲ್ಲಿ-ಡೆವಲಪ್ಡ್ ಟರ್ಬುಲೆಂಟ್ ಚಾನೆಲ್ ಫ್ಲೋಸ್" ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಡೈನ್ (2019) 54:137. https://doi.org/10.1134/S0015462819010014 ಅಬ್ಸಿ, ಆರ್. (2021) "ರೀಇನ್ವೆಸ್ಟಿಗೇಟಿಂಗ್ ದಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್-ಶೇಪ್ಡ್ ಎಡ್ಡಿ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಫಾರ್ ಫ್ರೀ ಸರ್ಫೇಸ್ ಫ್ಲೋಸ್" ಹೈಡ್ರಾಲಜಿ 2021,8 (3), 126. https://doi.org/10.3390/hydrology8030126 ಟೌನ್ಸೆಂಡ್, ಎ. ಎ. (1980) "ದಿ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಆಫ್ ಟರ್ಬುಲೆಂಟ್ ಶಿಯರ್ ಫ್ಲೋ" 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ (ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಸ್ ಆನ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್), ಬ್ರಾಡ್ಷಾ, ಪಿ. (1971) "ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಳತೆಯ ಪರಿಚಯ" (ಪೆರ್ಗಾಮನ್ ಪ್ರೆಸ್)