Brauer's theorem on induced characters
ಪ್ರೇರಿತ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲಿನ ಬ್ರಾವರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬ್ರಾವರ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಬ್ರಾವರ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಳಗೆ ಅಕ್ಷರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಬ್ರಾವರ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪೂರ್ವಸೂಚಕವಾದ ಆರ್ಟಿನ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಜಿ ಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಕ್ಷರದ |G | ಪಟ್ಟುಗಳು ಅಕ್ಷರಗಳ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಜಿ ಯ ಆವರ್ತಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಬ್ರಾವರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು |G | ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಳಸಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ. ಬ್ರಾವರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಕೆಲವು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ಜೆ. ಎ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ರೇಖೀಯ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಅಕ್ಷರಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ) ಬ್ರಾವರ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗ್ರೀನ್ (1955 ರಲ್ಲಿ) ತೋರಿಸಿದರು. ಆರ್ಟಿನ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಬ್ರಾವರ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ನಡುವಿನ ಮತ್ತೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಬ್ರಾವರ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತು ಬ್ರಾವರ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಬ್ರಾವರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಜಿ ಯ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳು ಮತ್ತು ಜಿ ಯ ಆವರ್ತಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆರ್ಟಿನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪಾತ್ರದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆರ್ಟಿನ್ನ ಎಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಗಳು ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದು ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ). ಹೇಳಿಕೆಯು ಜಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಚಾರ್ (ಜಿ) ಯು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಿ ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಂಗುರದ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಚಾರ್ (ಜಿ) ಅನ್ನು ಜಿ ಅಕ್ಷರದ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವರ್ಚುವಲ್ ಅಕ್ಷರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಅಕ್ಷರಗಳು ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷರಗಳು). G ಅಕ್ಷರಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಮತ್ತೆ G ಅಕ್ಷರದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವರ್ಗ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶವಾರು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರಾವರ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಕ್ಷರದ ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪದ ಪ್ರೇರಿತ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ (ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿ) ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ H ಯು G ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು λ ಯು H ನ ರೇಖೀಯ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲೆ (ಡಿಗ್ರಿ 1 ಹೊಂದಿರುವ) ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬ್ರಾವರ್ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು H ಅನ್ನು ಬಹಳ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಬ್ರಾವರ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಈಗ ಇದನ್ನು ಬ್ರಾವರ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳ ಕ್ರಮವು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಗಳು ಬ್ರಾವರ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಚಾರ್ (ಜಿ) ಯ ವರ್ತುಲ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಪುರಾವೆಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ದೊಡ್ಡ ವರ್ತುಲವಾದ ಚಾರ್ * (ಜಿ) ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಕ್ಷರಗಳ-ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ω ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಸಂಕೀರ್ಣ |G |-ಏಕತೆಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ). ಬ್ರಾವರ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ರೇಖೀಯ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಅಕ್ಷರಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಚಾರ್ (ಜಿ) ಯ ಆದರ್ಶ ಐ (ಜಿ) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪುರಾವೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಕ್ಷರವು ಐ (ಜಿ) ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಹಲವಾರು ಪುರಾವೆಗಳು, ಬ್ರಾವರ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಟೇಟ್ ಕಾರಣವಾದ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಮೇಲೆ ಗಮನವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು I * (G) ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಕ್ಷರವು ಚಾರ * (G) ನ ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಐಡಿಯಲ್ I * (G) ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಕ್ಷರದಿಂದ (ಅಂಶವಾಗಿ) p ನ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ (ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರಗಳು) ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಹಾಯಕ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ-ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗ ಕಾರ್ಯವು ಆದರ್ಶ I * (G) ನಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು |G | ನಿಂದ (in) ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಬ್ರಾವರ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 1946ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಈಗ ಅನೇಕ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ. 1986 ರಲ್ಲಿ, ವಿಕ್ಟರ್ ಸ್ನೈತ್ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಭೌಗೋಳಿಕ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿದೆ (ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ). ಬ್ರಾವರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಇತ್ತೀಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆಗಳು ನಡೆದಿವೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ರಾಬರ್ಟ್ ಬೋಲ್ಟ್ಜೆ ಅವರಿಂದ. ಫ್ರೋಬೆನಿಯಸ್ ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಅನ್ವಯಗಳು, ಬ್ರಾವರ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು G ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗ ಕಾರ್ಯವು G ಯ ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾವರ್ನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಅದರ ನಿರ್ಬಂಧವು ವಾಸ್ತವ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವಾಸ್ತವ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು, θ (1)> 0 ಮತ್ತು (ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಲಯದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಿದೆ) ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸದೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮಾತ್ರ ವಾಸ್ತವ ಅಕ್ಷರ θ ಒಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ. ಬ್ರಾವರ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರೇರಣೆಯೆಂದರೆ ಆರ್ಟಿನ್ ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೆಕೆ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. G ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಕ್ಷರವು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ರೇಖೀಯ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಕ್ಷರಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಆ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಟಕೆಟಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಜಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳು ಅಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಿ ಒಂದು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಾಗಿರಬೇಕು (ಆದಾಗ್ಯೂ ಪರಿಹಾರಸಾಧ್ಯತೆಯು ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಖಾತರಿ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ (2,3) ಡಿಗ್ರಿ 2 ರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ರೇಖೀಯ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಅಕ್ಷರಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಬ್ರಾವರ್ನ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಜಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ, ಜಿ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಕ್ಷರವು ಕೆಲವು ಉಪಗುಂಪಿನ ರೇಖೀಯ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ 1976ರ ಮೂಲ ಕೃತಿಯ ಮರುಮುದ್ರಣವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿವೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು