Convex analysis
ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮಿನಿಮೈಸೇಷನ್ನಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಪ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆಃ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರುವ ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಕ್ಷೆಯು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು () ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಶಿಲಾಶಾಸನಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ವಹಿಸುವ ಪಾತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಶಿಲಾಶಾಸನವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಎಂದಿಗೂ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) ಕಾರ್ಯವು (ನಿರಂತರ) ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಿಂದ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಡ್ಯುಯಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಬ್ಡಿಫೆರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಫೆಂಚೆಲ್-ಯಂಗ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾನದಂಡವಿದೆ, ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ). ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಬ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸೆಟ್ ನೇರವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಬೈಕೋನ್ಜುಗೇಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೈಕೋನ್ಜುಗೇಟ್ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಲವಾದ ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲವಾದ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಹಿಡಿತವನ್ನು (ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ) ತೋರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅಸಮಾನತೆಯು ದಿ ಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಿಯಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಫೆಂಚೆಲ್-ಮೊರೆಯು ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಅರೆ-ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮಿನಿಮೈಸೇಶನ್ ಎ () ಎಂಬುದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಬ್ಸೆಟ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ ನೀಡಿದಾಗ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೈಮಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ ಅಥವಾ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ ಎಂಬ ಎರಡು ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಂದ ನೋಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಡ್ಯುಯಲ್ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಪ್ರೈಮಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ನಿರ್ಬಂಧದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿದ್ದರೆ, ಇಂಡಿಕೇಟರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇವುಗಳನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಒಂದು ಕಲಬೆರಕೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಕಲಬೆರಕೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡೂ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬಲವಾದ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲವಾದ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಡಲು ಅನೇಕ ಷರತ್ತುಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಪ್ರೈಮಲ್ ಮತ್ತು ಡ್ಯುಯಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬೈಕೋನ್ಜುಗೇಟ್ ಆಗಿದೆ; ಪ್ರೈಮಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ರೇಖೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ; ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸ್ಲೇಟರ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆಃ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ