Peetre theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾಕ್ ಪೀಟ್ರೆಯ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ (ರೇಖೀಯ) ಪೀಟ್ರೆ ಪ್ರಮೇಯವು, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಪರಿಣಾಮದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಪೀಟ್ರೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಹಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅದನ್ನು ಬಹುಪದವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನವು ಪೀಟ್ರೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡು ರೂಪಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ತನ್ನದೇ ಆದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೂ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಿಗೆ ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಪೀಟ್ರೆ ಪ್ರಮೇಯವು M ಮೇಲೆ M ಒಂದು ನಯವಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು E ಮತ್ತು F ಎರಡು ಸದಿಶ ಕಟ್ಟುಗಳಾಗಿರಲಿ. E ಮತ್ತು F ನ ನಯವಾದ ವಿಭಾಗಗಳ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ನಿರ್ವಾಹಕವು ಕೋಶಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದು, D ಯ ಬೆಂಬಲವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿಲ್ಲಃ E ಯ ಪ್ರತಿ ನಯವಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ Ds ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಮೂಲ ಪೀಟ್ರೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, M ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು p ಗೆ, p ನ ನೆರೆಹೊರೆ U ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ k (U ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ D ಯು ಯು ಮೇಲೆ ಕ್ರಮ k ನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಡಿ ಅಂಶವು ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಐಡಿ ಮೂಲಕ ಇ ವಿಭಾಗಗಳ ಕೆ-ಜೆಟ್ನಿಂದ ಎಫ್ ನ ನಯವಾದ ವಿಭಾಗಗಳ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಕೆ-ಜೆಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ Rn ನಲ್ಲಿ M ಒಂದು ತೆರೆದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು E ಮತ್ತು F ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕಟ್ಟುಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಲೆಮ್ಮಾಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆಃ ಲೆಮ್ಮಾ 1. ಪ್ರಮೇಯದ ಊಹೆಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾದರೆ, ಪ್ರತಿ x ωM ಮತ್ತು C> 0 ಗೆ, x ನ ನೆರೆಹೊರೆ V ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ k ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ y ωV\ {x} ಗೆ ಮತ್ತು E ಯ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ k-ಜೆಟ್ y (jks (y) = 0) ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ, ನಾವು |Ds (y) | <C ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಲೆಮ್ಮಾ 2. ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಲೆಮ್ಮಾ 1ರ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಲೆಮ್ಮಾ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ x ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಅನುಕ್ರಮ xk ಇದೆ, ಮತ್ತು xk ಸುತ್ತಲೂ ಬಹಳ ಬೇರ್ಪಡುವ ಚೆಂಡುಗಳ ಅನುಕ್ರಮ Bk ಇದೆ (ಅಂದರೆ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚೆಂಡುಗಳ ನಡುವಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಅಂತರವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ), ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ Bk ಮೇಲೆ E ಯ ವಿಭಾಗಗಳು sk ಅಂದರೆ jksk (xk) = 0 ಆದರೆ |Dsk (xk) | ±C> 0. ρ (x) ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬಂಪ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ B1/2 (0) ನಲ್ಲಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನಯವಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯ, ಇದು ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಇತರ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ s2k. x2k ನಲ್ಲಿ, ಇವು j2ks2k (x2k) = 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. 2k ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ j2k (s2k) (x2k) = 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ, ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಾಲಿಸುವಂತಹ ಸಣ್ಣ ಚೆಂಡು B′ δ (x2k) ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಈಗ B′ δ (x2k) ನಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬಂಪ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು s2kρ2k ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಏಕೆಂದರೆ Dq (x2k + 1) = 0 ಏಕೆಂದರೆ q ಎಂಬುದು B2k + 1ರಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು D ಎಂಬುದು ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಿರುವುದನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ Dq (x) = 0 ಆಗಿದೆ. ಇದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈಗ ಲೆಮ್ಮಾ 2 ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಮೊದಲ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಸಿ ಅನ್ನು ವಿತರಿಸೋಣ. ಲೆಮ್ಮಾ 1 ರ ಅದೇ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, |Ds (y) | = 0 ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ jks (y) = 0 ಆದರೆ |Ds (y) | = g> 0. 2C/g ಅಂಶದಿಂದ s ಅನ್ನು ಮರುಮಾರಾಟ ಮಾಡಿ. ನಂತರ g ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, D ಯ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯಿಂದ, |Ds (y) | = 2C> C, ಇದು ಲೆಮ್ಮಾ 1 ರಿಂದ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ V\ {x} ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ, ನಾವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು x ಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು. ಡಿ ಎಂಬುದು ನಯವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು x ನಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳಿಗೆ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಡಿ ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಹ x ನಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಅನ್ವಯವು ಎಂ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಮೂತ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ (ಬಹುಶಃ ಬೌಂಡರಿಯೊಂದಿಗೆ), ಮತ್ತು ಇ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಇ ನ ಸ್ಮೂತ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರಲಿ. ಆಪರೇಟರ್ ಒಂದು ಸ್ಮೂತ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ) ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಫೈಬರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಂ ಮೇಲಿನ ಬೇಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಗೌರವಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಆಪರೇಟರ್ ಡಿ ಗೆ, ಡಿ ಆರ್ಡರ್ ಕೆ ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರುವಂತಹ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಪೀಟ್ರೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇ ವಿಭಾಗಗಳ ಜೆಟ್ಗಳಿಂದ ಬಂಡಲ್ ಎಫ್ ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಆಂತರಿಕ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗೋಳವು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಪೀಟ್ರೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಹತ್ತಿರದ ನಡವಳಿಕೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಾಗೆಯೇ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಂಬಲವು ಬೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ತಾಂತ್ರಿಕ ಪುರಾವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣಿಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕಟ್ಟುಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಕೋಶವಾಗಿ, ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧವು ಕಾರ್ಯ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ನೋಡಲು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ, ನಾವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮತ್ತು. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಎರಡೂ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೇಗಾದರೂ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭಃ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಅದು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಫಾರ್, ಫಾರ್, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ,. ಆದ್ದರಿಂದ ಪೀಟ್ರೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪೀಟ್ರೆ, ಜೆ., ಯುನ್ ಕ್ಯಾರಕ್ಟೆರೈಸೇಶನ್ ಅಬ್ಸ್ಟ್ರೈಟ್ ಡೆಸ್ ಒಪೆರೇಟರ್ಸ್ ಡಿಫರೆಂಟಿಯಲ್ಸ್, ಮ್ಯಾಥ್. ಸ್ಕ್ಯಾಂಡ್. 7 (1959), 211-218. ಪೀಟರ್, ಜೆ., ರೆಕ್ಟಿಫಿಕೇಷನ್ ಎ ಎಲ್ ಆರ್ಟಿಕಲ್ ಯುನ್ ಕ್ಯಾರಕ್ಟೆರೈಸೇಶನ್ ಅಬ್ಸ್ಟ್ರೈಟ್ ಡೆಸ್ ಒಪೆರೇಟರ್ಸ್ ಡಿಫರೆಂಟಿಯಲ್ಸ್, ಮ್ಯಾಥ್. ಸ್ಕ್ಯಾಂಡ್. 8 (1960), 116-120. ಟೆರ್ನ್ಗ್, ಸಿ. ಎಲ್., ನ್ಯಾಚುರಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು, ಆಮ್. ಜೆ. ಗಣಿತ. 100 (1978), 775-828. ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು