Scheinerman's conjecture
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈಗ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿರುವ ಶೈನರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಊಹೆಯು, ಪ್ರತಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ಛೇದಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಇ. ಆರ್. ಶೈನರ್ಮನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ (1984) ರೂಪಿಸಿದರು, ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸರಳ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಛೇದಕ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಅನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ಛೇದಕ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ, G ಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು G ಯ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇವಲ ಮೂರು ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗಗಳು 3-ವರ್ಣರಂಜಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಶೈನರ್ಮ್ಯಾನ್ ಊಹಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೋಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು. ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕೇವಲ ಕೆ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕೆ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಒಂದು ಬಣ್ಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಛೇದಕ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು; ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಸಹ ನೋಡಿ. ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಮೂರು ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದಕ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು; ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮೂರು ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬ ಗ್ರೋಟ್ಜ್ಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಚಕ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಬಳಸದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರ G ಅನ್ನು 4-ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದಾದರೆ, G ವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳು 1-ಎಸ್ಟಿಆರ್ಐಂಗ್ನಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು, ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸರಳ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಛೇದಕ ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ದಾಟುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವರ್ಗವು ಶೈನರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಎರ್ಲಿಚ್ ಮತ್ತು ಇತರರ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸರಳ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಛೇದಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿಯೂ ನೋಡಬಹುದು, ಇದು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಊಹೆಗಳು