Weierstrass–Enneper parameterization
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್-ಎನ್ನೇಪರ್ ನಿಯತಾಂಕವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತುಣುಕು. ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಎನ್ನೆಪರ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅವರು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು 1863ರಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಆಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಯೋ ಅಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿ ಸಮತಲವಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಈ ರೀತಿಯ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎನ್ನೀಪರ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಹೊಂದಿದೆ,. ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿಯತಾಂಕ ಮೇಲ್ಮೈ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್-ಎನ್ನೇಪರ್ ಮಾದರಿಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ () ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. (ಜಾಗವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲ), ಮೇಲ್ಮೈಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಮೂದುಗಳ ಅಂಕಣವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಎರಡು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆಃ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ,,,. ಶರ್ಮಾ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದುಃ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಕೋಸ್ಟಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಈ ಕಾಗದದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಲ್ಲಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಿ. ಹುದುಗಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೀಮಿತ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಹುದುಗಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲ, ಕ್ಯಾಟೆನಾಯ್ಡ್, ಹೆಲಿಕೋಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ಕೋಸ್ಟಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಸೇರಿವೆ. ಕೋಸ್ಟಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಲಿಕಾಟೆನಾಯ್ಡ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು, ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದುಃ ವಿಪರೀತದಲ್ಲಿ, ಮೇಲ್ಮೈಯು ಕ್ಯಾಟೆನಾಯ್ಡ್ ಅಥವಾ ಹೆಲಿಕೋಯ್ಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಮಿಶ್ರಣದ ಕೋನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮೇಲ್ಮೈ, ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನವನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟಲು ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದು, ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ವಕ್ರತೆಯ ರೇಖೆಗಳು ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಾದೃಶ್ಯದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಂಡುಬಂದ ಬ್ರ್ಯಾಂಟ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡುತ್ತವೆ.