Coadjoint representation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಆನ್ ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು, ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬಲ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ 1-ರೂಪಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಡ-ಅನುವಾದದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೆ ಕಿರಿಲ್ಲೋವ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಒತ್ತಿಹೇಳಿತು, ಅವರು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅವರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಮೂಲಭೂತ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಕಕ್ಷೆಗಳ ಕಿರಿಲ್ಲೋವ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಕಕ್ಷೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವು ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಮತ್ತೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಕ್ಷೆಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಚರಿಸಬಲ್ಲವು. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಲೈ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. ಇದರ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ನಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣದ ಅನಂತ ಆವೃತ್ತಿಯು ಹೀಗೆ ಓದುತ್ತದೆಃ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ, ಒಳಗಿನ ನಿಜವಾದ ಕಕ್ಷೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕವಾಗಿದೆ; ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕಕ್ಷೆಯ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು. ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೀಣಿಸದ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ 2-ರೂಪವಿದೆಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಉತ್ತಮ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಅವನತಿ ಮತ್ತು-ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದುಃ (i) ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಲ್ಲಿದೆ. (ii) ನಕ್ಷೆಯ ಕರ್ನಲ್ ನಿಖರವಾಗಿದೆ. (iii) ಮೇಲಿನ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದು ಕೂಡ ಮುಚ್ಚಿಹೋಗಿದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ 2-ರೂಪವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಿರಿಲ್ಲೋವ್-ಕೊಸ್ಟಾಂಟ್-ಸೌರಿಯು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪ ಅಥವಾ ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಕೆಎಸ್ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಕೋಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್-ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಆವೇಗದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬೋರೆಲ್-ಬಾಟ್-ವೆಯಿಲ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಕಿರಿಲ್ಲೋವ್ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಕಿರಿಲ್ಲೋವ್ ಕಕ್ಷೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಿರಿಲ್ಲೋವ್, ಎ. ಎ., ಲೆಕ್ಚರ್ಸ್ ಆನ್ ದಿ ಆರ್ಬಿಟ್ ಮೆಥಡ್, ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಸ್ಟಡೀಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 64, ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ