Berezinian
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ ಅಥವಾ ಸೂಪರ್ ಡಿಟೆರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಎಂಬುದು ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೆಸರು ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಬೆರೆಜಿನ್ ಅವರದ್ದಾಗಿದೆ. ಸೂಪರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಮನ್ವಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಎಸ್ಟಿಆರ್ (ಎಕ್ಸ್) ಎಕ್ಸ್ನ ಸೂಪರ್ ಟ್ರೇಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಣಾಯಕಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ ಅನ್ನು ವಿಲೋಮ ಸೂಪರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾದ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್. ಅಂತಹ ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಕೆ ಮೇಲೆ ಸೂಪರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮ ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದ ಬ್ಲಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೆ ಮೇಲೆ ಎ ಮತ್ತು ಡಿ ಎರಡೂ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಎಕ್ಸ್ನ ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದ ಪ್ರೇರಣೆಗೆ ಬೆಸ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೂಪರ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಆರ್ ನಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದು ಸಮ ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಂತರ ಎ ಮತ್ತು ಡಿ ಸಮ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಬೆಸ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವರ್ತುಲ R0 (R ನ ಸಮ ಬೀಜಗಣಿತ) ದಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು D ಎರಡೂ ವಿಲೋಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳ ನಮೂದುಗಳು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ R0 ನಲ್ಲಿವೆ. ಸಮ ಆಯಾಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೆಸ ಆಯಾಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬೆಸ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, X ನ ವಿಲೋಮವು JX ನ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ X ನ ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಎಂನ 1-ಆಯಾಮದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಿತ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ. M ಎಂಬುದು Rನ ಮೇಲೆ ಆಯಾಮ (p, q) ದ ಮುಕ್ತ ಘಟಕ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. A ಎಂಬುದು Mನ ಉಭಯ M *ನ (ಸೂಪರ್) ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ S * (M *) ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ Mನ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯು ext ಘಟಕದಲ್ಲಿ (ಇದು q ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಯಾಮ (1,0) ಮತ್ತು q ಬೆಸೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಆಯಾಮ (0,1) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ) ಬೆರೆಜಿನಿಯನ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆರೆಜಿನ್ ಏಕೀಕರಣದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸೂಪರ್ ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.