Holomorphic functional calculus
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾದ z ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ T ಯ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯ f ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆಪರೇಟರ್, f (T) ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾದದಿಂದ ಆಪರೇಟರ್ ವಾದಕ್ಕೆ f ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಟಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳವರೆಗೆ ನಿರಂತರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಕೆಲವು ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಟಿ ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಟಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ಇದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಊಹೆಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ರೇರಣೆಯ ಅಗತ್ಯ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಟಿ ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಎನ್ × ಎನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಂಕ್ಷನ್ f ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, f (T) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಸರಳವಾಗಿ T ಅನ್ನು z ಗೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು T0 = I, ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಬಹುಪದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಬಹುಪದಗಳ ವರ್ತುಲದಿಂದ n × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವರ್ತುಲದವರೆಗಿನ ಏಕರೂಪತೆ. ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಾ, f: C → C ಎಲ್ಲೆಡೆ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಸರಣಿಯು ಆಯ್ದ ಆಪರೇಟರ್ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯು ಬಹುಪದೀಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಘಾತಾಂಕ. f (z) = ez ನ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ z ಅನ್ನು T ಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ f ನ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನಿಂದ ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಟಿ ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಮಾನದಂಡವಾದ ಟಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಎಫ್ ನ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಫ್ (ಟಿ) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಏಕಾಂಕವಲ್ಲದ ಟಿ ಯು ಎಸ್ = ಟಿ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಏಕಾಂಕವಲ್ಲದ ಟಿ, ಎಲ್ಎನ್ (ಟಿ) ಗೆ ಎಸ್ ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸರಣಿಯು ತೆರೆದ ಘಟಕ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಟಿ ಅನ್ನು z ಗೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಟಿ + ಐಗಾಗಿ ಎಲ್ಎನ್ (ಟಿ + ಐ) ಗೆ ಉತ್ತಮವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ f (T) ಗೆ ಅರ್ಥವಾಗಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತನ್ನು T ಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ನಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಏಕವಾಗಿ ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಟಿ ನಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಎಫ್ (ಟಿ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿ ಯ ಕೆಲವು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ λ ಗೆ ಎಫ್ (λ) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿದ್ದರೆ ಒಬ್ಬರು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಟಿ ಯ ವರ್ಣಪಟಲದಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಫ್ (ಟಿ) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಇತರ ಸೂಚನೆಗಳು ಬಲಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಟಿ ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸದಿದ್ದರೆ, (ಟಿ ಒಂದು ಎನ್ ಎಕ್ಸ್ ಎನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು) 0 ಒಂದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅನ್ನು 0 ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ln (T) ಅನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಈ ಸ್ಥಿತಿ ಇದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, f (T) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಂಜಸವಾದ ವಿಧಾನವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವಿಲೋಮಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, 2 ಅಥವಾ 5 ಟಿ ಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಊಹೆಯು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಕ್ಷೆಯಾದ f → f (T) ಕೆಲವು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ X ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು L (X) X ಮೇಲೆ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. f: C → C ಕೆಲವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ D ಱ್ಸಿ ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನಗಳಿಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಉದ್ದದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಯು ಜಾತುವಿನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಅಂದರೆ, zನ ಸುತ್ತಳತೆ ಇರುವ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಆಗಿದ್ದು, ಅದು Dಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವು Uಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ zಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಲ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಈಗ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿದೆ): ಇಲ್ಲಿ (ζ−T) −1 ಎಂಬುದು ζಯಲ್ಲಿ Tಯ ದ್ರಾವಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಬನಾಚ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಮೌಲ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಈ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿತ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಗತ್ಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆವೃತ್ತಿಯು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಫ್ಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದರಿಂದ, ಬನಾಚ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬನಾಚ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಎಲ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಸೂಕ್ತ ಕಲ್ಪನೆ ಇರಬೇಕು. T, σ (T) ವರ್ಣಪಟಲದ ಮೇಲೆ ζ → (ζ−T) −1 ಎಂಬ ದ್ರಾವಕದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು κ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸಬಾರದು. ಈಗ, ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ σ (T) ನ ಪೂರಕದ ಮೇಲೆ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಜಾತವು σ (T) ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯಬೇಕು (ಕನಿಷ್ಠ ಭಾಗ). ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು f (T) ಯು γ ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ T ω L (X) ಗೆ, σ (T) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ D ω C ಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಮತ್ತು γ = {γ1,., γm} ಎಂಬುದು "ಒಳಗಿನ" ಸೆಟ್ U ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ D ಯಲ್ಲಿರುವ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ σ (T) ಯು ನಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ γi ಗಡಿಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಡಿ ಎಫ್ ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳಿಂದ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸಂಪರ್ಕ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಫ್ (ಟಿ) ಅನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳ-ಮೌಲ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ Cf. ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ g ಮತ್ತು L (X) ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕೇಸ್ನಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. [a, b] ಎಂಬ ನೈಜ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಪ್ರತಿ γi ω ಅನ್ನು ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು [a, b] ನ ಎವರ್-ಫೈನರ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತವು ಏಕರೂಪದ ಆಪರೇಟರ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, f ಅನ್ನು ಮುಕ್ತ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೆಸೊಲ್ವೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೆಸೊಲ್ವೆಂಟ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ζ → (ζ−T) −1 ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು T ಯ ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು σ (T) ನ ಪೂರಕದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು T ಯ ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ρ (T) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಲ್ಲಿ ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉಪವಿಭಾಗವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ದ್ರಾವಕ ನಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. 1 ನೇ ದ್ರಾವಕ ಸೂತ್ರ ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, z1, z2 ωρ (T) ಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲ ದ್ರಾವಕ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರವು (z1−T) −1 ಮತ್ತು (z2−T) −1 ಕಮ್ಯೂಟ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಚಿತ್ರಣವು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. z2 → z1 ಅನ್ನು ಬಿಡುವುದು, ಪ್ರತಿ z1 bul ρ (T) ನಲ್ಲಿ ದ್ರಾವಕ ನಕ್ಷೆಯು (ಸಂಕೀರ್ಣ-) ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು L (X) ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹರಿಸುವ ನಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗಿಂತ ಬಲವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ ಸೆಟ್ ρ (T) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ ನಕ್ಷೆಯು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಣವನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಂತರದ ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹಕ್ಕನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಾವು (z2−T) −1 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಔಪಚಾರಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ. ಮೇಲಿನ ಸರಣಿಯು L (X) ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು (z2−T) −1 ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ರೆಸೊಲ್ವೆಂಟ್ ಸೆಟ್ ρ (T) ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು z1−ρ (T) ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ತೆರೆದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ರೆಸೊಲ್ವೆಂಟ್ ನಕ್ಷೆಯು ρ (T) ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಮನ್ ಸರಣಿ (z−T) −1 ಗಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ನ್ಯೂಮನ್ ಸರಣಿಯು, σ (T) ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿದ್ದರೆ (z−T) −1 ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ T ಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ σ (T) ಅನ್ನು C ಯ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ D ಗೆ, σ (T) ′D, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಆಧಾರಿತ ಮತ್ತು ನಯವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ σ (T) Π ನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು D ಯ ಪೂರಕವು Π ನ ಹೊರಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಾಗಿ, ಕೆಲವು ಡಿ ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಪ್ರತಿ ಎಫ್ ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಚರ್ಚೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ f ಗೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಗ್ರಹವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸೂಕ್ತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ತೋರಿಸದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು  ಸದರಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹವಾದ γ = {γ1,., γm} ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾದ a ωC ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, a ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ γ ನ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೌಚಿಯಿಂದ ಬಂದಿದೆಃ ಪ್ರಮೇಯ. g: G → C ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲ a ಗೆ G ನ ಪೂರಕವಾದ n (ಜಾತ, a) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜಾತದ ಮೇಲೆ g ನ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. g ಯು L (X) ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ನಮಗೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಅನಲಾಗ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, g: G → L (X) ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅದೇ ರೀತಿಯ ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಎಲ್ (ಎಕ್ಸ್) ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಲ್ (ಎಕ್ಸ್) * ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕೇಸ್ಗಾಗಿ ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ φωL (X) * ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. φ ಪರಿಮಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಆದರೆ g ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಯೋಜನೆ φ (g): G ρC → C ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೌಚಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ವಾದದ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಉತ್ತಮ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈಗ ಸುಲಭವಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. D ಯು σ (T) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ನೀಡಲಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಎರಡು (ಸೀಮಿತ) ಸಂಗ್ರಹಗಳು γ = {γi} ಮತ್ತು ω = {ωj} ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ωj ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ω′ ಅನ್ನು ω ನಿಂದ ಪಡೆಯೋಣ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಎರಡು ಸಂಗ್ರಹಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. γ ω ′ ಮತ್ತು σ (T) ಎರಡೂ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಯು ಇದೆ, ಅದು γ ω ′ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ σ (T) ಯು ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. U ನ ಪೂರಕದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ a, ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆ n ( ತಾಇಮ್, a) = 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು U ನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಅಂದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, σ (T) ಯ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಾದ D1 ಮತ್ತು D2ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ f1 ಮತ್ತು f2 ಎರಡು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವು σ (T) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ f1 (T) = f2 (T). ಇದಲ್ಲದೆ, ಡಿ1 ಡಿ2 ಆಗಿರದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಆಪರೇಟರ್ (ಎಫ್1 + ಎಫ್2) (ಟಿ) ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (f1·f2) (T) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. σ (T) ನ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ f ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಈ ಊಹೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಲವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ, ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ನಮಗೆ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ U ನಲ್ಲಿ f ಕೇವಲ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ σ (T) ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಏಕರೂಪದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೋರಿಸುವಲ್ಲಿ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಹುಪದ ಪ್ರಕರಣ f′f (T) ನಕ್ಷೆಯ ರೇಖೀಯತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಬಹುಪದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು f (z) = σ0 ≤ i ≤ mi zi ಒಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮರುಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, k ≤0 ಮತ್ತು f (z) = zk ಗೆ, f (T) = Tk, ಅಂದರೆ. σ (T) ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೂಕ್ತವಾದ γ ಗೆ. ಟಿ ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಮಾನದಂಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವಾಗಲು γ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಅಂತಹ γ ಮೇಲೆ, ದ್ರಾವಕ ನಕ್ಷೆಯು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು δ ಎಂಬುದು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ f1 ಮತ್ತು f2 ಗಾಗಿ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ ನಾವು ಮೊದಲ ರೆಸೊಲ್ವೆಂಟ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತು f ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುವ ವಾದವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ಈ ಕೆಳಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಕೊನೆಯ ಸಾಲು ಈ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ω φ2, γ1 ನ ಹೊರಗೆ ಇದೆ ಮತ್ತು f1, σ (T) ನ ಕೆಲವು ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಪದವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರಂತರತೆ σ (T) ρG ನೊಂದಿಗೆ G ρC ತೆರೆದಿರಲಿ. G ಯ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು G ಯ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಂತರ {fk (T)} ಯು L (X) ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆಃ ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಊಹೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೇಲಿನವುಗಳು k, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l ಆದ್ದರಿಂದ {fk (T)} ಕೌಚಿ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್, f → f (T) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆವುಃ ಇದು ಬಹುಪದೀಯ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು σ (T) ನಿಂದ L (X) ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಂದ್ರ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಎಲ್ (ಎಕ್ಸ್) ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಬನಾಚ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎ ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಎಲ್ಲವೂ ಶಬ್ದಶಃ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಎ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪರಿಗಣನೆಗಳ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವರ್ಣಪಟಲದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುಪದೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದ p ಗೆ, σ (p (T)) = p (σ (T)). ಇದನ್ನು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. f (σ (T)) ρ (f (T)) ಅನ್ನು ತೋರಿಸಲು, μ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, σ (T) ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ g ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕಾರ, f (T) − f (μ) = (T − μ) g (T). ಆದ್ದರಿಂದ, m (t) ಎಂದರೆ f (m (t)) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ, μ ಯು f (σ (T)) ನಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು g (T) (f (T) − μ) = I ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, μ ಯು σ (f (T)) ನಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕಲ್ಪನೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. K ಯು σ (T) ಮತ್ತು U ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, V ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ K ಮತ್ತು σ (T) \K ನ ಬೇರ್ಪಡುವ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಾಗಿವೆ. e ಯು [e (z)] 2 = e (z) ಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, U ≤ V ನಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು σ (T) ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಸೂಕ್ತವಾದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಪಯುಕ್ತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. σ (T) ಮೇಲಿನ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ K ತೆರೆದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಅದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸೆಟ್ V ಅನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ e ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ e (T) ಅನ್ನು Kಯಲ್ಲಿ Tಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು P (K; T) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದಿರುವ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿರುವ σ (T) ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪು K ಯು ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜಾತವು K ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ σ (T) ಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ಪಿ = ಪಿ (ಕೆ; ಟಿ) ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಟಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಇದು ಟಿ ಅನ್ನು ಯು = T|PX ಮತ್ತು ವಿ = ಟಿ | (1−ಪಿ) ಎಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪಿಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು (1−ಪಿ) ಎಕ್ಸ್ ಎರಡೂ ಟಿ ಯ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ, ಜೊತೆಗೆ σ (ಯು) = ಕೆ ಮತ್ತು σ (ವಿ) = σ (ಟಿ) \ಕೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ. L ಎಂಬುದು σ (T) ಮೇಲಿನ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, P (K; T) P (L; T) = P (L; T) P (K; T) = P (K θL; T) ಇದು K ಮತ್ತು L ಬೇರ್ಪಟ್ಟಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. σ (T) ಯ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುವು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಎರಡೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. X ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ σ (T) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವರ್ಣಪಟಲದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬ್ಲಾಕ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗವು ಈ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವರ್ಣಪಟಲದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಂದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, T ಎಂಬುದು ವರ್ಣಪಟಲದ ತ್ರಿಜ್ಯ r ಹೊಂದಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪೆರಾನ್-ಫ್ರೊಬೀನಿಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು r ω σ (T) ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪಿ = ಪಿ (ಆರ್; ಟಿ) ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಟಿ. ಪಿ. = ಆರ್. ಪಿ. ಮತ್ತು (ಟಿ/ಆರ್) ಎನ್. → ಪಿ. ಅನ್ನು ಎನ್. →. ಎನ್. ಐ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪಿ (ಇದನ್ನು ಪೆರಾನ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎನ್ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ (ಟಿ/ಆರ್) ಎನ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾಲಮ್ಗಳು ಟಿ ಯ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, σ (ಟಿ) ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಟಿ ಅನ್ನು ಕೊಳೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ರೀತಿಯ ವರ್ಣಪಟಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ರೀಸ್ಜ್ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೈಸ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಅನೇಕ ವರ್ಗಗಳು (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಎಲ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಸಮೃದ್ಧ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, X ಒಂದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೈಸ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಐಡಿಯಲ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬನಾಚ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟ್ ಮಾಡಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವಿಲ್ಲ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ σ (T) ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸದಿದ್ದರೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು X ಅನ್ನು T ಯ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. σ (T) ಒಂದು ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರಲಿ, ಫೈ ಮತ್ತು 0 ಅಂಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ei ಅನ್ನು 1 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ಐ (ಟಿ) ಎಲ್ಲಾ ಐಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪಿ (ಫೈ; ಟಿ) ಆಗಿದೆ. ಈಐ (ಟಿ) ಟಿ = ಟಿಐ (ಟಿ) ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿ ಐ (ಟಿ) ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ಸಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಟಿ ಯ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಪೂರಕ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಅದೇ ರೀತಿ, ಟಿಐ ಅನ್ನು ಕ್ಸಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ R: X '→ X ಅನ್ನು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು T ಯ ಬ್ಲಾಕ್ ಡಯಾಗೊನಲೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ನಿಂದ ಕೇವಲ λi ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ Ei ಅನ್ನು 1 ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಅನುಗುಣವಾದ ಬ್ಲಾಕ್-ಡಯಾಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟಿ. ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಬಲವಾದ ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಟಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೂಪದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥೂಲ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಟಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಎಫ್ ಅನ್ನು σ (ಟಿ) ಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು (ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇ ಱ್ಸ್ (ಟಿ) ಒಂದು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 1ಇ ಇ ಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ 1ಇ (ಟಿ) ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಇಐ (ಟಿ) ಯ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬನಾಚ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಅದೇ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅಂತೆಯೇ, ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಸಿ *-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಖಾಲಿ ಅಲ್ಲದ ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ ಸೆಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ರೆಸೊಲ್ವೆಂಟ್ ಫಾರ್ಮಲಿಸಂ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎನ್. ಡನ್ಫೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಟಿ. ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್, ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ಸ್, ಪಾರ್ಟ್ I: ಜನರಲ್ ಥಿಯರಿ, ಇಂಟರ್ಸೈನ್ಸ್, 1958. ಸ್ಟೀವನ್ ಜಿ. ಕ್ರಾಂಟ್ಜ್. ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ನಿಘಂಟು. ಸಿಆರ್ಸಿ ಪ್ರೆಸ್, 2000. ಇಸ್ರೇಲ್ ಗೋಬರ್ಗ್, ಸೆಮೌರ್ ಗೋಲ್ಡ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಮರಿನಸ್ ಎ. ಕಾಶೊಯೆಕ್, ಕ್ಲಾಸಸ್ ಆಫ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ಸ್ಃ ಸಂಪುಟ 1. ಬಿರ್ಖೌಸರ್, 1991. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು