Belyi's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೇಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಸಿ, ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ವಿಭಜಿತ ಆವರಣವಾಗಿದ್ದು, ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದು 1979 ರಿಂದ ಜಿ. ವಿ. ಬೇಲಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಇದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ಡೆಸಿನ್ಸ್ ಡಿ 'ಎನ್ಫಾಂಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು, ಇದು ಸಂಯೋಜಿತ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದ ಅಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕಸ್ಪ್ಗಳಿಂದ ಸಾಂದ್ರಗೊಳಿಸಲಾದ ಅಂಶ H/κ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಇಲ್ಲಿ H ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು κ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ). ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನವಲ್ಲ. ಬೆಲೀ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದು ಬೆಲೀ ಕಾರ್ಯವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಸ್ ನಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಲೈನ್ ಪಿ 1 (ಸಿ) ಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕೇವಲ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಬೆಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಡೆಸಿನ್ ಡಿ 'ಎನ್ಫಾಂಟ್ಸ್ನಿಂದ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಬೆಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಡೆಸಿನ್ಸ್ ಡಿ 'ಎನ್ಫಾಂಟ್ಸ್-ಆದರೆ ಬೆಲಿ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವಲ್ಲ-ಕನಿಷ್ಠ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ; ಅವರು ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪು ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2,11) ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ 11 ಪಟ್ಟು ಕವರ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ತಮ್ಮ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಬೆಲೀಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಬೆಲೀ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ವಿಲೋಮ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು