Map-coloring games
ಹಲವಾರು ನಕ್ಷೆ-ಬಣ್ಣದ ಆಟಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ, ನಮಗೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ, ನಕ್ಷೆಯ ಬಣ್ಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ವಿವಿಧ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು, ಪ್ರತಿ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಣ್ಣವಿಲ್ಲದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಚಲನೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಗೆಲ್ಲುವ ಸ್ಥಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಟದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಕೆಲವು ಆಟಗಾರರು ಡ್ಯುಯಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆಟದ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ವೃತ್ತಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೆರೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳು ಅಥವಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನಗಳೆಂದರೆ, ಒಂದು ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗುರುತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾಗದ ಅಥವಾ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಜಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಮತ್ತು ಕಾಗದದ ಬದಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಆಡುವಾಗ ಮೊದಲ ಪ್ರಯೋಜನವು ಕಡಿಮೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗೋ ಸ್ಟೋನ್ಸ್ ಅಥವಾ ಚೆಕರ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಆಡಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಆಟದಲ್ಲೂ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ನಿರ್ಬಂಧವೆಂದರೆ ಬಣ್ಣದ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಬಣ್ಣಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣಗಳು ಲಭ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಆಟವು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಆಟವು ಪಕ್ಷಪಾತದಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. ಬಣ್ಣಗಳ ಸೆಟ್ ಸಹ ಆಟದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಳಸಿದ ಬಣ್ಣವು ಹಿಂದಿನ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಬಣ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು. ನಕ್ಷೆ ಆಧಾರಿತ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಣ್ಣದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಕ್ಷೆಯ ಬಣ್ಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ ಉದ್ದವಾದ ಗಡಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಧಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ನೆರೆಹೊರೆಯವರು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಬಣ್ಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೆರೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ನೀಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಚಲನೆಯ ನಿರ್ಬಂಧವು ಒಂದು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಅದರ ನೆರೆಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವುದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆಂಟಿಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ನಿರ್ಬಂಧವು ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಬಣ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವುದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ನಿರ್ಬಂಧವೆಂದರೆ ಎಂಟೈಲ್ಮೆಂಟ್, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯ ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಚಲನೆಯು ಹಿಂದಿನ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದ ಪ್ರದೇಶದ ನೆರೆಹೊರೆಯವರಿಗೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಆಂಟಿ-ಎಂಟೈಲ್ಮೆಂಟ್ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಇತರ ರೀತಿಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಅಥವಾ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಗ್ರಾಫ್ ದೂರ ಎರಡರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ದೂರಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಗೆಲ್ಲುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ವಿಜೇತನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಕೊನೆಯ ಆಟಗಾರನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಟದ ಸಂಪ್ರದಾಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಿಸೆರೆ ಆಟದ ಸಂಪ್ರದಾಯವು ಆಟವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಕೊನೆಯ ಆಟಗಾರನನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಗೋ ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಎಣಿಸುವಂತಹ ಇತರ ಸಂಭಾವ್ಯ ಗೆಲ್ಲುವ ಮತ್ತು ಸೋಲುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ. ಏಕವರ್ಣದ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳು (ಸಿಲ್ವರ್ಮ್ಯಾನ್, 1971) ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಈ ಆಟಗಳೆಲ್ಲವೂ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಚಲನೆಯ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ ಆಟ "ಏಕವರ್ಣ" ದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಣ್ಣ ಮಾತ್ರ ಲಭ್ಯವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಚಲನೆಯು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರನ್ನು ಆಟದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. "ಬೈಕ್ರೋಮ್" ನಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರೂ ಆಟಗಾರರು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಇಬ್ಬರೂ ಆಟಗಾರರು ಒಂದೇ ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಟವು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. "ಟ್ರೈಕ್ರೋಮ್" ಇದನ್ನು ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಮೂರು ಬಣ್ಣಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಣ್ಣಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮತ್ತಷ್ಟು ಆಟಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಿಲ್ವರ್ಮ್ಯಾನ್ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ, ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಇದು ಕೆಲವು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ತುಂಬಿರುವ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಆಟಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಬಹುದು. "ಕೋಲ್" ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಬಿ "ಎಲ್" ಯುಇ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಅವುಗಳನ್ನು "ಆರ್" ಎಡಿ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಪಕ್ಷಪಾತದ ಆಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಟದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನ ಚಲನೆಗಳು ಲಭ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. "ಸ್ನೋರ್ಟ್" ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪಕ್ಷಪಾತದ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆಂಟಿಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆಃ ನೆರೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚುವುದನ್ನು ಗೂಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಹಸುಗಳಿಗೆ ಹೊಲಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವುದು ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಹೊಲಗಳಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ ಲಿಂಗದ ಜಾನುವಾರುಗಳಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವು ತಮ್ಮ ಮೇಯಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ವಿಚಲಿತವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಆಟಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಯಿತು (ಕಾನ್ವೇ, 1976). ಈ ಹೆಸರುಗಳು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಬಣ್ಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಶಬ್ದಗಳು) ಸ್ಮರಣೀಯವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಕಾನ್ವೇ ಅವುಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ಸಹೋದ್ಯೋಗಿಗಳಾದ ಕಾಲಿನ್ ವೌಟ್ ಮತ್ತು ಸೈಮನ್ ನಾರ್ಟನ್ಗೆ ಸಹ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಇತರ ಆಟಗಳು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ ಆಟ "ಕಾಂಟ್ಯಾಕ್ಟ್" (ಸಿಲ್ವರ್ಮ್ಯಾನ್, 1971) ಪ್ರವೇಶ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಚಲನೆಗಳು ಮೊದಲ ಬಣ್ಣದ ನಂತರ ಇತ್ತೀಚಿನ ಬಣ್ಣದ ಪ್ರದೇಶದ ನೆರೆಹೊರೆಯವರಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಿಲ್ವರ್ಮ್ಯಾನ್ "ಮಿಸೆರೆ ಕಾಂಟ್ಯಾಕ್ಟ್" ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನೂ ಒದಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಕ್ಷೆಯ ಬಣ್ಣದ ಆಟದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಏಂಜಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡೆವಿಲ್ಸ್ನಂತಹ ಆಟಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದ ನಿಯಮಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ಆಟಗಳಾಗಿ ಮರುಮುದ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ