Fatou–Lebesgue theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫಾಟೌ-ಲೆಬೆಸ್ಗು ಪ್ರಮೇಯವು (ಲೆಬೆಸ್ಗು ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪಿಯರೆ ಫಾಟೌ ಮತ್ತು ಹೆನ್ರಿ ಲಿಯೋನ್ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯವು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವರ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು f1, f2,. ಒಂದು ಅಳತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (S, ‡, μ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸುವ S ಮೇಲೆ ಲೆಬೆಸ್ಗು-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ g ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ n ಗೆ |fn | ≤ g, ಆಗ ಎಲ್ಲಾ fn ಮತ್ತು ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಮಿತಿ ಮತ್ತು fn ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯು ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಮಿತಿ ಮತ್ತು fn ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಿಂದುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೇಲೆ g ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಮಧ್ಯಮ ಅಸಮಾನತೆಯು (ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಪುರಾವೆ ಎಲ್ಲಾ ಎಫ್ ಎನ್ ಮತ್ತು ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಎನ್ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಜಿ ಯಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಗ್ರಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ fn + g ಗೆ ಫಾಟೌಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ಫಾಟೌ ಲೆಮ್ಮಾವಾಗಿದೆ. ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ, |fn | ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ g ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಅಂದಾಜುಗಳು ಎಫ್. ಎನ್. ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವಿಯೆನ್ನಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಜೆರಾಲ್ಡ್ ಟೆಸ್ಚ್ಲ್ ಅವರಿಂದ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು