Dual curve
ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ದ್ವಂದ್ವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಎರಡು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಅದರ ದ್ವಿಗುಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಕ್ಷೆ ಇದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಗೆ ದ್ವಿಗುಣ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ದ್ವಿಗುಣವೂ ಹಾಗೆಯೇ ಮತ್ತು ದ್ವಿಗುಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಡುಯಲ್ ಆಫ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಒಂದು ಆಕ್ರಮಣವಾಗಿದೆಃ ದ್ವಂದ್ವದ ದ್ವಂದ್ವವು ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಉಭಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರಲಿ. ಎರಡು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರಲಿ. ರೇಖೆಯು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ,,, ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ಜೊತೆಗೆ, ದ್ವಂದ್ವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿರಲಿ. ಮೊದಲ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು,,, ಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಛೇದಗಳಿಂದ ಕ್ಲಿಯರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ದ್ವಿಗುಣದ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕದಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮತಲವಾಗಿದ್ದು, ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇದು ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿಃ ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುವಿನ ದ್ವಿಗುಣವು ಕಸ್ಪ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ದ್ವಿಗುಣದ ಮೇಲೆ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿವರಣೆಯಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿ ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದ್ವಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ದ್ವಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ದ್ವಿಗುಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪರಿಚಯದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಂಪು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂರು ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೋಡ್, ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಬಲ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಸ್ಪ್ಗಳು. ಕಪ್ಪು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಯಾವುದೇ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾಲ್ಕು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಎರಡು ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ನೋಡ್ (ಡಬಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್) ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆರಡೂ ಒಂದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುಗಳು ಕಸ್ಪ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಮೊದಲು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇನ್ನೊಂದು (ಇಳಿಜಾರು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ನಯವಾದ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಕೋನವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಉಭಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯೂ ಸಹ ನಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೇಲಿನ ಎರಡೂ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದ್ವಂದ್ವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಎಡ-ಬಲ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಉಭಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಒಂದು ಕಲಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇವು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿಗ್ರಿ ಒಂದು ಸಮತಲ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಡ್ಯುಯಲ್ನ ಡಿಗ್ರಿ ಎಂದರೆ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉಭಯ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ದ್ವಿಗುಣದ ಮಟ್ಟವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಧ್ರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮಟ್ಟವು ಧ್ರುವದ ಮಟ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖೆಯ ದ್ವಿಗುಣವು (1ನೇ ಹಂತದ ವಕ್ರರೇಖೆ) ಇದಕ್ಕೆ ಹೊರತಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ದ್ವಿಗುಣ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ ಮೂಲ ರೇಖೆ) ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ದ್ವಿಗುಣ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ನಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಏಕಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ) ಅದರ ದ್ವಿಗುಣವು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೋನಿಕ್ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೂಡ ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದಿಂದ ಅದರ ದ್ವಿಗುಣದವರೆಗಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಡಿಗ್ರಿ 4 ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಸಲೀಸಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಃ ದ್ವಿಗುಣದಲ್ಲಿನ ಕಸ್ಪ್ಗಳಿಗೆ ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುವಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಡಿಗ್ರಿ 3 ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ). ಏಕಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ, ಈ ಬಿಂದುಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಧ್ರುವದ ಛೇದನದ ಮೇಲೆ ಕೂಡ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಸೂತ್ರಗಳು ದ್ವಿಗುಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಡಿ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಧ್ರುವೀಯ ಪರಸ್ಪರ ದ್ವಂದ್ವವನ್ನು ಧ್ರುವೀಯ ಪರಸ್ಪರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಲೋಕಸ್ ಆಗಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಕೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳ ಧ್ರುವಗಳ ಲೋಕಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಯಾವಾಗಲೂ ವೃತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಧ್ರುವೀಯ ಪರಸ್ಪರವು ಪೆಡಲ್ನ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳು ಅದೇ ರೀತಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ, ಹೈಪರ್ ಸರ್ಫೇಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳವು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಡ್ಯುಯಲ್ ಹೈಪರ್ ಸರ್ಫೇಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವರ್ಗಗಳಿಗೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಸಮೂಹವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ದ್ವಿಗುಣದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ದ್ವಿಗುಣದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಅನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ನಕ್ಷೆಯ ದ್ವಿಮುಖ ವೈವಿಧ್ಯವು ದ್ವಿಮುಖ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಇಳಿಯುವ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಎರಡು ವಿಧವು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯು ತುಂಡಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಅಥವಾ ತುಂಡಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದ್ದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಡ್ಯುಯಲ್ ಕರ್ವ್ ರಚನೆಯು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ನಕ್ಷೆಯು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ (ರೇಖೀಯ ಘಟಕಗಳಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಏಕಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳಿದ್ದರೆ). ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ದ್ವಂದ್ವದ ಒಂದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಶೃಂಗದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಚುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ದ್ವಂದ್ವತೆ (ರೇಖೆಗಳು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳು) ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಅಂಶವಿಲ್ಲದ ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅಂಚಿಗೆ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಹತ್ತಿರ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ; ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಹರಡುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅಥವಾ ಕೋನ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬೌಂಡರಿ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ H ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ X ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ X * ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಬೌಂಡರಿ ಡ್ಯುಯಲ್ ವೈವಿಧ್ಯ H * ಆಗಿದೆ. ಹೌಫ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಗೌಸ್ ನಕ್ಷೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕರ್ವ್ಸ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ