Opposite ring
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಉಂಗುರದ ವಿರುದ್ಧವು ಅದೇ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಉಂಗುರದ ವಿರುದ್ಧವಾದ ವರ್ತುಲವು ಅದರ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ವರ್ತುಲವನ್ನು ಬಹುವಿಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ದ್ವಿಗುಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಹ ಅವು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ (ನೋಡಿ). ಮೊನಾಯ್ಡ್ಗಳು, ಗುಂಪುಗಳು, ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿನ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ವಿರುದ್ಧ ವರ್ಗದ ರಚನೆಯು ವಿರುದ್ಧ ಗುಂಪು, ವಿರುದ್ಧ ವರ್ತುಲ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಯೂನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ವಿರುದ್ಧ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಕ್ಷತ್ರದಿಂದ ವಜ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಿರುದ್ಧ ಉಂಗುರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರವನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅದರಂತೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರಗಳು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಂಟಿಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಎಲ್ಲಿಗಾಗಿ. ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಆಂಟಿಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆಂಟಿಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ಗಳು, ಮೊನೊಯಿಡ್ಗಳು, ಗುಂಪುಗಳು, ಉಂಗುರಗಳು, ಆರ್ಎನ್ಜಿಗಳು, ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಉಂಗುರಗಳ (ಮತ್ತು rngs) ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಃ ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಂಟಿಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಸ್ವತಃ ಆಂಟಿಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. : ಒಂದು ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಎರಡು ಆಂಟಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ ಇದು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಃ ಊಹೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಆದರೆ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಪ್ರತಿ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್. ಅದೇ ರೀತಿಯ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಹ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸಿನ್ಸ್ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ರಿಂಗ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಕಾಂಟ್ರಾಪೊಸಿಷನ್ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ), ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ಮೇಲಿನ ಟೀಕೆಗಳು ಸೂಚಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ, ಒಂದು ವರ್ತುಲವು (ಅಥವಾ ಆರ್. ಎನ್. ಜಿ.) ವಿನಿಮಯಶೀಲವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ. ಅದು ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಏಕತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳದ ಉಂಗುರ ಅಂತಹ ಚಿಕ್ಕ ಉಂಗುರವು ಎಂಟು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ ಕ್ರಮ 8 ರ ಏಕತೆಯೊಂದಿಗೆ 11 ಉಂಗುರಗಳ ನಡುವಿನ ಏಕೈಕ ವಿನಿಮಯವಾಗದ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುವಂತೆ, ಇದು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆಳಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಉಂಗುರಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಕೋಷ್ಟಕವು ನೀಡಿದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ನಕ್ಷೆಯು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು. ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು (ವಾದಗಳು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಎಂದು ಮರುನಾಮಕರಣ ಮಾಡಿ. ಮುಂದೆ, ವಾದಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಮರಳಿ ತರಲು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ. ಕೋಷ್ಟಕವು ನಿಖರವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರದ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜನೀಯ ಗುಂಪಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಅದೇ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಗುಂಪಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ರಿಂಗ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯು ಅನೈಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. , ಆದ್ದರಿಂದ = ಮತ್ತು ಇದು ಸಮರೂಪತೆಯಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಉಂಗುರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. 4ನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಗಣನೆಯ ಮೂಲಕ ದೃಢೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪು (ಅಥವಾ ಕ್ಲೈನ್ ಗುಂಪು) ಆಗಿರಬೇಕು. ಈ ಉಂಗುರದ "ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು" ಯು ಆಯತದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. 27 ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ 3 ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ 2 x 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ರಿಂಗ್ 27 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಏಕತೆ ಮತ್ತು 27 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. "ಬುಕ್ ಆಫ್ ದಿ ರಿಂಗ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರವು 27 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ "ದಿ ಬುಕ್" ನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕುಃ ಇದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಂಶವು ಏಕತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಏಕತೆಯಲ್ಲ. ಇದರ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು. ಎಲ್ಲಾ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪು 6 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇದು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು 6 ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು "ದಿ ಬುಕ್" ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮರುನಾಮಕರಣ ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಈ ಬಾರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ ಕೋಷ್ಟಕವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಐದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು (ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕೈಬಿಡಬಹುದು): ಈ ಗುಂಪು 2ನೇ ಕ್ರಮದ 7 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (3 ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮತ್ತು 4 ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು) ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು (ಸಣ್ಣ ಗುಂಪುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾದೃಶ್ಯದಲ್ಲಿ, ಉಂಗುರವು 3-ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿಗೆ "ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸ್ಕೋನ್ಫ್ಲೈಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ 3-ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಹರ್ಮನ್-ಮೌಗಿನ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಏಕತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಚಿಕ್ಕ ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳು 9 ರಿಂದ 15 ರವರೆಗಿನ ಕ್ರಮಗಳ ಏಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಉಂಗುರಗಳು ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರದ ಉಂಗುರಗಳು, 16ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉಂಗುರಗಳ ನಡುವೆ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಒಟ್ಟು 50 ಉಂಗುರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ 4 ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳಿವೆ, ಏಕತೆಯು 16 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (37 ಸಂವಹನ ಮತ್ತು 13 ಸಂವಹನವಲ್ಲದ). ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಎದುರಾಗಿರುವ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಉಂಗುರಗಳ ಆಂಟಿಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪುಗಳ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಜೋಡಿಯ ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದಾಗ್ಯೂ, "ದಿ ಬುಕ್ ಆಫ್ ದಿ ರಿಂಗ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಉಂಗುರವು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉಳಿದ 13−4 = 9 ವಿನಿಮಯಶೀಲವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳು ಸ್ವಯಂ-ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮುಕ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಂತರ ವಿರುದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಮಾನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮೂರು ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅದು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" ಶೈಲಿ = "ಟೆಕ್ಸ್ಟ್-ಅಲೈನ್ಃ ಸೆಂಟರ್" | +! ! ! ! |-! | | | |-! | | | |-! | | | | ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ವಿರುದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ {| ವರ್ಗ = "ವಿಕಿ ಮಾಡಬಹುದಾದ" ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಕೇಂದ್ರ" | +! ! ! ! |-! | | | |-! | | | |-! | | | ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಎಲ್ಲಾ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ರಿಂಗ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಅವು ಸಮವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. .. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎರಡು ಉಂಗುರಗಳಾದ R1 ಮತ್ತು R2 ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿರುದ್ಧ ಉಂಗುರಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಉಂಗುರದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನ ವಿರುದ್ಧ ಭಾಗವು ರೋಪೋಪ್ = ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉಂಗುರ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಉಂಗುರವು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್-ವಿರೋಧಿಗಳಾಗಿವೆ. ಅದರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಉಂಗುರವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರದ ಎಡ ಆದರ್ಶಗಳು ಅದರ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ನ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಉಂಗುರವು ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನ ಮೇಲೆ ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಹ ನೋಡಿ ವಿರುದ್ಧ ಗುಂಪು ವಿರುದ್ಧ ವರ್ಗ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ