Generic point
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧವಾದ X ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೂ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಅಥವಾ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಆಯಾಮಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವೈವಿಧ್ಯದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಡಿ ಅನ್ನು ಮೀರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೀಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನ ವರ್ಣಪಟಲವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. ಜರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಣಪಟಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು X ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಣೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು P ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ X ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, X ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ಉಪವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆಃ ಉಪವರ್ಗಗಳ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಎರಡು ಸರಿಯಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಲ್ಲ). ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗವೆಂದರೆ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್. ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಯೋಜನೆಯು (ಅನನ್ಯ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅಫೈನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಯೋಜನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವರ್ಣಪಟಲ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಕ್ಕೆ (0) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ತನ್ನ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ನ ಅಡಿಪಾಯದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಿದವು, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಯಿತು. K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾದ V ಗೆ, V ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ V ಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, K ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಹೊಸ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟಗಳ ಅನಂತ ಪೂರೈಕೆಯೂ ಆಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ವಿ (ಕೆ-ಜರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿ, ಅಂದರೆ) ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಶೇಷತೆಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಬಹುದು (1930ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದ್ದ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನದಂತೆ). ಇದು ಸಮಾನವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಹೊಂದುವ ವೆಚ್ಚವಾಗಿತ್ತು. ಎರಡನೇ ಮಹಾಯುದ್ಧದ ನಂತರ ಸಾವೊ ಪಾಲೊದಲ್ಲಿನ ವೆಯಿಲ್ನ ಸಹೋದ್ಯೋಗಿ ಆಸ್ಕರ್ ಜಾರಿಸ್ಕಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಯಾವಾಗಲೂ ಒತ್ತಾಯಿಸಿದರು. (ಇದನ್ನು ಭೂವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಪದಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದುಃ ವೆಯಿಲ್ ಅವರ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ಗೆ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಲು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅಂಶದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸುತ್ತಾನೆ.) 1950ರ ದಶಕದ ಕ್ಷಿಪ್ರ ಮೂಲಭೂತ ಬದಲಾವಣೆಗಳಲ್ಲಿ ವೈಲ್ನ ವಿಧಾನವು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದಂತಾಯಿತು. ಸ್ಕೀಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಆದಾಗ್ಯೂ, 1957 ರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಮರಳಿದವುಃ ಈ ಬಾರಿ ಎ ಲಾ ಜಾರಿಸ್ಕಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ವಲಯವಾದ ಆರ್ ಗೆ, ಸ್ಪೆಕ್ (ಆರ್) ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶ {0} ದಿಂದ ಬರುವ) ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗರಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶದಿಂದ ಬರುವ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದು ಅಥವಾ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದು. ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಸ್ಪೆಕ್ (ಆರ್) ಗೆ, ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲಿರುವ ಫೈಬರ್ ವಿಶೇಷ ಫೈಬರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರಿಡಕ್ಷನ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಪಿ, ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅವನತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಇತರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು. ಜೆನೆರಿಕ್ ಫೈಬರ್, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಜೆನೆರಿಕ್ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲಿರುವ ಫೈಬರ್ ಆಗಿದೆ. ಅವನತಿಯ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಜೆನೆರಿಕ್ನಿಂದ ವಿಶೇಷ ನಾರುಗಳಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವಿಶೇಷತೆಯು ವಿಷಯಗಳ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ. (ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ವಲಯಕ್ಕೆ, ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಹವಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಸಿಯೆರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಪ್ರಕರಣವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ). ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿ