Eilenberg–Steenrod axioms
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಸ್ಟೀನ್ರೋಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ನಾರ್ಮನ್ ಸ್ಟೀನ್ರಾಡ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಏಕಸ್ವಾಮ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸ್ವಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಏಕಸ್ವಾಮ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಸ್ಟೀನ್ರೋಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. 1945 ರಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನವು, ಮೇಯರ್-ವಿಟೋರಿಸ್ ಅನುಕ್ರಮದಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು (ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ, ಉಳಿದ ಸೂತ್ರಗಳು ಅಸಾಧಾರಣ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಅಸಾಧಾರಣ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮೊದಲು ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ನಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಸ್ಟೀನ್ರೋಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗದವರೆಗಿನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಗಡಿ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ (ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರಗಳೆಂದರೆಃ ಹೋಮೋಟೋಪಿಃ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪ್ರೇರಿತ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಃ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಯು ಎ ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯು ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಎ ಯ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ ಸೇರ್ಪಡೆ ನಕ್ಷೆಯು ಏಕರೂಪದಲ್ಲಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮಃ ಪಿ ಒಂದು-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ; ನಂತರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಸೇರ್ಪಡೆಃ ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವು, ಆಗ ನಿಖರತೆಃ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಯು (X, A) ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತುಃ P ಒಂದು ಬಿಂದು ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಗುಣಾಂಕ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕವಚನ ಏಕರೂಪಶಾಸ್ತ್ರವು (ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದಂತೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಕೆಲವು ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಳಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಎನ್-ಗೋಳಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಸ್ಥಳಗಳ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದರಿಂದ (n−1)-ಗೋಳವು n-ಡಿಸ್ಕ್ನ ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯಲ್ಲ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಸ್ಟೀನ್ರೋಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ "ಹೋಮೋಲಜಿ ತರಹದ" ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಸಾಧಾರಣ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ದ್ವಿಮುಖವಾಗಿ, ಅಸಾಧಾರಣ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳು 1950 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕೆ-ಥಿಯರಿ ಮತ್ತು ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇವು ಅಸಾಧಾರಣ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಹೋಲೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ. ಸಹ ನೋಡಿಃ ಜಿಗ್-ಜಾಗ್ ಲೆಮ್ಮಾ ನೋಟ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು