Point groups in two dimensions
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಬಿಂದು ಗುಂಪು ಅಥವಾ ರೋಸೆಟ್ ಗುಂಪು ಎಂಬುದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ (ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳು) ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪು ಓ (2) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಓ (2) ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದರ ಅಂಶಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪು ಎಸ್ಒ (2) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಎಸ್ಒ (2) ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಆ ಗುಂಪು R/Z ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು, U (1), ವೃತ್ತ ಗುಂಪು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ, ಅಕ್ಷೀಯ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಅವು ನಕ್ಷತ್ರ ಮೀನು ಮತ್ತು ಜೆಲ್ಲಿ ಮೀನುಗಳಂತಹ ಜೀವಿಗಳ ಮತ್ತು ಹೂವುಗಳಂತಹ ಜೀವಿಗಳ ಭಾಗಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪುಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳ ಎರಡು ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎನ್ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇಂಟಲ್ ಎಂಬುದು ಹರ್ಮನ್-ಮೌಗಿನ್ ಸಂಕೇತ ಅಥವಾ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ರೇಖೆಯ ಗುಂಪುಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಗುಂಪು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಲರಿ ಅಥವಾ ಗ್ರಿಡ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರ್ಬಂಧ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ nನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 1,2,3,4 ಮತ್ತು 6ಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ 10 ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳಿವೆಃ C1, C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4, D6 ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ Cn. Cn ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಂಶದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು 2π/n ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಅಂಶಗಳೆಂದರೆ E (ಗುರುತು), Cn, Cn2,., Cnn−1, ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳಾದ 0,2π/n, 4π/n,., 2 (n−1) π/n ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಎನ್. ಅಂಶ Cn ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನ σ ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಂಶಗಳು σ, Cnσ, Cn2σ,., Cnn−1σ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ Cn ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿಗಳು 0, π/n, 2π/n,., (n−1) π/n ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಗಳಾದ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ Dn ಎಂಬುದು Cn ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ (E, σ) ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, C2 ಮತ್ತು D1 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅವು ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪು Z2 ಅನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಥವಾ ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮಾತ್ರಃ D1 ~ Z2 ಮತ್ತು D2 ~ Z2 × Z2. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡಿ3 ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಮ n ಗೆ, ಹರ್ಮನ್-ಮೌಗುಯಿನ್ ಚಿಹ್ನೆ nm ಎಂಬುದು ಪೂರ್ಣ ಚಿಹ್ನೆ nmm ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. H-M ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ n ಎಂಬುದು n-ಪಟ್ಟು ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ m ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿಫಲನ ಅಥವಾ ಕನ್ನಡಿ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಂಪುಗಳು ಈ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಎಸ್. ಓ. (2) ಅಥವಾ ಸಿ. ಐ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಎಸ್. ಓ. (2) ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ θ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ, ಎಸ್. ಓ. (2) ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿವೆ; ತಿರುಗುವ ಕೋನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸಂಚಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ Cn, ಅಂಶಗಳು Cnk = R (2πk/n) ನಿರಂತರ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು O (2) ಅಥವಾ D φ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ತಿರುಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಫಲನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಇಲ್ಲಿ O (2) ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ θ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ O (2) ನ ಏಕೈಕ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು D1 ಮತ್ತು D2 ಆಗಿವೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳಾದ Dn, ಅಂಶಗಳಾದ Cnkσ = S (2πk/n) ಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಈ ಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್. ಓ. (2) ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ವಿಧಗಳುಃ ಸೀಮಿತ ಆವರ್ತಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸಿ. ಎನ್. (ಎನ್. ಒ. ಆರ್. 1); ಪ್ರತಿ ಎನ್. ಗೆ ಒಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಇರುತ್ತದೆ, ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕಾರ ಝಡ್. ಎನ್. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪುಗಳು, ಪ್ರತಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪವು ಸಿ. ಎನ್. ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಝಡ್. ಎಂ. ಝಡ್. ಎನ್. ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತಿರುವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಂ, ಎನ್. ಒ. ಆರ್. 1; ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ (ಎಂ, ಎನ್) ಅಸಂಖ್ಯಾತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪುಗಳಿವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ; ಜೋಡಿಗೆ (1,1) ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ, SO (2) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ n ಎಣಿಸಲಾಗದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಲವಾರು ತಿರುವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪು SO (2) ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪಿಗೆ O (2) ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಣಿಸಲಾಗದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವಿದೆ, ಅವು ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಒಂದು ವರ್ಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮೊದಲು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ) ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದು, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಡಿಹ್ನ್ ಎಂಬ ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕಾರದ ಡಿಎನ್ (ಎನ್ ≤1) ಎಂಬ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳು ಸೇರಿವೆ. n = 1 ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತವು Cs ಆಗಿದೆ, ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕಾರ Z2 ಆಗಿದೆ. O (2) ನ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು SO (2) ಮತ್ತು O (2) ಮಾತ್ರ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಈ ಗುಂಪುಗಳು ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕುಟುಂಬಗಳಾಗಿ ಸೇರುತ್ತವೆ. ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು, Cn (ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪು ಪ್ರಕಾರ Zn), 360°/n ಮೂಲಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಕಾಲಿನ ಮಲವು 0°, 90°, 180° ಮತ್ತು 270° ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ C4 ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಚೌಕದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಡಿಎನ್ (ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕಾರ ಡಿಹ್ನ್), ಇದರಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಷ್ಟು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ಸೇರಿವೆ. ವೃತ್ತದ ಅನಂತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವೃತ್ತದ ಗುಂಪು ಎಸ್ 1 ಡಿಹ್ (ಎಸ್ 1) ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಅನಂತ ಗುಂಪು ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು 360°/ಆವರ್ತನದ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು 180° ಆವರ್ತನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅಡ್ಡ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮಟ್ಟದ ವಿವರಗಳವರೆಗೆ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆಗೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. n = 1,2,3,4, ಮತ್ತು 6 ಗಾಗಿ Cn ಮತ್ತು Dn ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುವಾದದ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಈ 10 ಗುಂಪುಗಳು 17 ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಒ (2) ಮತ್ತು ಎಸ್. ಓ. (2) ಪ್ರಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಮ್ಮಿತಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, 2ಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅಡ್ಡ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ವಿವರಗಳವರೆಗೆ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆಗೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದು ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆಃ ನಾವು O (2) ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಬಹುದುಃ ಸೀಮಿತವಾದವುಗಳು ಮತ್ತು O (2) (ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿ), ಮತ್ತು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ SO (2). ಈ ಗುಂಪುಗಳು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಿಕೊಂಡಾಗ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, O (2) ಎಂಬುದು E (2) ನ ಅನುಪಾತ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವ E (2) ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆಃ T: O (2) E (2)/T. ಒಂದು "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ p: E (2) → E (2)/T ಇದೆ, ಇದು E (2) ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವಾದ g ಅನ್ನು g ಸೇರಿದ T ಯ ಕೋಸೆಟ್ಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆಃ p (g) = gT, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ E (2) ಅನ್ನು E (2)/T ಅಥವಾ O (2) ಮೇಲೆ ಕ್ಯಾನಾನಿಕಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಕರ್ನಲ್ ಟಿ. ಇ (2) ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ನಾವು ಅದರ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದುಃ ಉಪಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಸೇರಿರುವ ಕೊಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು ಗುಂಪು, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಅನುವಾದದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಬಿಂದು ಗುಂಪು. ಇ (2) ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ, ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಬಂಧ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಈ ಬಿಂದು ಗುಂಪು ಸಿಎನ್ ಅಥವಾ ಎನ್ = 1,2,3,4, ಅಥವಾ 6 ಕ್ಕೆ ಡಿಎನ್ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ. n = 1,2,3,4, ಮತ್ತು 6 ಗಾಗಿ Cn ಮತ್ತು Dn ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುವಾದದ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಈ 10 ಗುಂಪುಗಳು 17 ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು n = 1 ಮತ್ತು 2 ಹೊಂದಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳು 7 ಫ್ರೇಜ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ p1, p2, p3, p4, p6, ಎಲ್ಲಾ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪುಗಳ p ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರ (ಅಂದರೆ. ಇ (2)/ಟಿ ಅಥವಾ ಒ (2) ಮೇಲಿನ "ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು" ಎಲ್ಲಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿಎನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಎರಡು ಫ್ರೇಜ್ ಗುಂಪುಗಳು ಸಿ 1 ಮತ್ತು ಸಿ 2 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪಿ6ಎಂನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಡಿ6 ಪ್ರಕಾರದ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇತರ 11 ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪನ್ನು ಡಿ1, ಡಿ2, ಡಿ3, ಅಥವಾ ಡಿ4 ಪ್ರಕಾರಗಳ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐದು ಫ್ರೇಜ್ ಗುಂಪುಗಳು ಡಿ1 ಮತ್ತು ಡಿ2 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಷಟ್ಕೋಣ ಅನುವಾದ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಗುಂಪುಗಳು D3 ಇವೆ, ಇದು P31m ಮತ್ತು p3m1 ಅನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಡಿ1, ಡಿ2 ಮತ್ತು ಡಿ4 ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 3,4 ಮತ್ತು 2 ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನುವಾದ ವಾಹಕದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅನುವಾದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳು ಒಂದೇ ಕೋಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದೇ ಕನ್ನಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಮತ್ತು ಗ್ಲೈಡ್ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಒಂದೇ ಕೋಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪುಗಳು. ಪಿ4ಎಂ ಮತ್ತು ಪಿ4ಜಿ ವಿಧಗಳೆರಡನ್ನೂ ಡಿ4 ಪ್ರಕಾರದ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿಗೆ, ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಭಾಷಾಂತರದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅನುವಾದ ಗುಂಪನ್ನು (ಜಾಲರಿ) ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತವೆ-ಇದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದು ಅದು ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ಲೈಡ್ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ಅನುವಾದದ ಸಂಯೋಗವು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ ಅನುವಾದ ವಾಹಕವು ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ. ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು n-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಜಾಲಕವು ಸಮ n ಗೆ n-ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಬೆಸ n ಗೆ 2n-ಪಟ್ಟು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅನುವಾದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಉದ್ದದ ಅನುವಾದಕ್ಕಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ನಂತರ, ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುವಾದಗಳ ವಾಹಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದು n ≤ 6 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬೆಸ n ಗೆ 2n ≤ 6, ಆದ್ದರಿಂದ n = 1,2,3,4, ಅಥವಾ 6 (ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರ ನಿರ್ಬಂಧ ಪ್ರಮೇಯ). ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳುಃ ಲ್ಯಾನ್ಸ್ ಡ್ರೇಗರ್ ಬರೆದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು (ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪುಗಳು). ಪಾಯಿಂಟ್ ಗ್ರೂಪ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಕ್ರಿಸ್ಟಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, ಬೈ ಯಿ-ಶು ವೇಯ್, pp. 4-5 ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೇಂದ್ರಃ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳಲ್ಲಿ (ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳು) ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಗೆ 2 ಸೂತ್ರಗಳು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ