Pseudo-arc
ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿದೆ. ಸೂಡೊ-ಆರ್ಕ್ ಒಂದು ಚಾಪದಂತಹ ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮತಲ ನಿರಂತರತೆಯ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸಿದೆ. ಆರ್. ಎಚ್. ಬಿಂಗ್, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಂಟಿನ್ಯುವಾ, ಎನ್. ಎರ್. 2, ಸೂಡೋ-ಆರ್ಕ್ಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1920ರಲ್ಲಿ, ಬ್ರೋನಿಸ್ಲಾವ್ ನಾಸ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಕಾಜಿಮಿರ್ಜ್ ಕುರಟೋವ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ R2ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆಯು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಬೇಕೇ ಎಂದು ಕೇಳಿದರು. 1921 ರಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೀಫನ್ ಮಜೂರ್ಕಿವಿಕ್ಜ್ ಅವರು ಆರ್ 2 ನಲ್ಲಿನ ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ನಿರಂತರತೆಯು ಅದರ ಪ್ರತಿ ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಉಪಖಂಡಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕೇ ಎಂದು ಕೇಳಿದರು. 1922 ರಲ್ಲಿ, ನಾಸ್ಟರ್ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ನಿರಂತರವಾದ ಕೆ ಯ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ನಂತರ ಇದನ್ನು ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಮಜೂರ್ಕಿವಿಕ್ಜ್ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಿತು. 1948ರಲ್ಲಿ, ಆರ್. ಎಚ್. ಬಿಂಗ್ ಅವರು ನಾಸ್ಟರ್ನ ನಿರಂತರತೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಅಂದರೆ. ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ. ಆದರೂ 1948ರಲ್ಲಿ, ಎಡ್ವಿನ್ ಮೋಯಿಸ್, ನಾಸ್ಟರ್ನ ನಿರಂತರತೆಯು ಅದರ ಪ್ರತಿ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಉಪಖಂಡಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಚಾಪದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಉಪಖಂಡಗಳಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೊಯಿಸ್ ತನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎಂ ಅನ್ನು ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ ಎಂದು ಕರೆದನು. ಬಿಂಗ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವು ಮೊಯಿಸ್ನ ಎಂನ ನಿರ್ಮಾಣದ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅವರು ಮೊದಲು ಉಪನ್ಯಾಸವೊಂದರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆಂದು ಕೇಳಿದ್ದರು. 1951ರಲ್ಲಿ, ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಚಾಪದಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಕಂಟಿನ್ಯೂವಾಗಳು ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಬಿಂಗ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು-ಇದು ನಾಸ್ಟರ್ನ ಕೆ, ಮೊಯಿಸ್ನ ಎಂ ಮತ್ತು ಬಿಂಗ್ನ ಬಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ 2 ಅಥವಾ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂಡೊ-ಆರ್ಕ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂವಾದಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬಿಂಗ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಬಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಎಫ್. ಬರ್ಟನ್ ಜೋನ್ಸ್ ಅವರು ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಇದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ತೆರೆದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಸ್ಯೂಡೋ-ಆರ್ಕ್ಗೆ ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಯೂಡೋ-ಆರ್ಕ್ಗಳ ವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಜೋನ್ಸ್ ಸಹ ಇದು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. 2016ರಲ್ಲಿ ಲೋಗನ್ ಹೋಹ್ನ್ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಸ್ ಓವರ್ಸ್ಟೀಗನ್ ಅವರು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ವೃತ್ತ, ಸೂಡೊ-ಆರ್ಕ್ ಮತ್ತು ಸೂಡೊ-ಆರ್ಕ್ಗಳ ವೃತ್ತ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರು. 2019 ರಲ್ಲಿ ಹೋಹ್ನ್ ಮತ್ತು ಓವರ್ಸ್ಟೀಗನ್ ಅವರು ಸೂಡೊ-ಆರ್ಕ್, ಚಾಪವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಹೀಗಾಗಿ 1921 ರಿಂದ ಮಜೂರ್ಕಿವಿಕ್ಜ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣ ಸೂಡೊ-ಆರ್ಕ್ನ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಮಾಣವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಡೊ-ಆರ್ಕ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಹೃದಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸರಪಳಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸರಪಳಿಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸರಪಳಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅದರ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೊಂಡಿಗಳು ε ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ε-ಸರಪಳಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಸ್ಥಳಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೂ, ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಬಾಗಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು (ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಸರಪಳಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸರಪಳಿಯ mth ಕೊಂಡಿಯಿಂದ nth ಗೆ 'ಸರಿಸಲು', ಸಣ್ಣ ಸರಪಳಿಯು ಮೊದಲು mth ಕೊಂಡಿಯಿಂದ (n−1) th ಕೊಂಡಿಯವರೆಗೆ ಬಾಗಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಬೇಕು, ನಂತರ ಬಾಗಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (m + 1) th ಕೊಂಡಿಯವರೆಗೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಂತಿಮವಾಗಿ nth ಕೊಂಡಿಯವರೆಗೆ ಚಲಿಸಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೊಂಡಿ ಒಂದು ಕೊಂಡಿಗೆ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರುವಂತೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ i, j, m, ಮತ್ತು n ಜೊತೆ, ಮತ್ತು, ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೂಡೋ-ಆರ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಬಾಗಿದಂತೆ ಸರಪಳಿಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಪಿ ಒಂದು ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ ಆಗಿರಲಿ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನಿರಂತರತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ