Köthe conjecture
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೋಥೆ ಊಹೆಯು ಮುಕ್ತವಾದ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆರ್ ಒಂದು ಉಂಗುರ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಊಹೆಯನ್ನು ಹೇಳಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, Rಗೆ {0} ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯ ಐಡಿಯಲ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು {0} ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಶೂನ್ಯ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು 1930ರಲ್ಲಿ ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ಕೊಥೆ (1905-1989) ಮುಂದಿಟ್ಟರು. ಬಹುಪದೀಯ ಗುರುತಿನ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಬಲ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ವರ್ಗದ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಕೋಥೆ ಊಹೆಯು ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದೆ. ಸಮಾನ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಊಹೆಯು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ (ಕೋಥೆ ಊಹೆ) ಯಾವುದೇ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ಎಡ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ, ಉಂಗುರದ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯ ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಶೂನ್ಯ ರಾಡಿಕಲ್ನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ವರ್ತುಲ R ಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶ J ನ R ಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆದರ್ಶ Mn (J) ಪ್ರತಿ n ಗೆ Mn (R) ನ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ವರ್ತುಲ R ಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶ J ನ R ಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆದರ್ಶ M2 (J) ಎಂಬುದು M2 (R) ನ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ R ಗೆ, Mn (R) ನ ಮೇಲಿನ ನಿಲ್ರಾಡಿಕಲ್ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ R ನ ಮೇಲಿನ ನಿಲ್ರಾಡಿಕಲ್ನಿಂದ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ R ಗೆ ಮತ್ತು R ನ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶ J ಗೆ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ x ಮತ್ತು J ನಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳು ಬಹುಪದೀಯ ರಿಂಗ್ R [x] ನ ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ರಾಡಿಕಲ್ನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ವರ್ತುಲ R ಗೆ, R [x] ನ ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ರಾಡಿಕಲ್ R ನ ಮೇಲಿನ ನಿಲ್ರಾಡಿಕಲ್ನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅಮಿತ್ಸರ್ ಅವರ ಒಂದು ಊಹೆಃ "J ಎಂಬುದು R ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿದ್ದರೆ, J [x] ಎಂಬುದು ಬಹುಪದೀಯ ವರ್ತುಲ R [x] ನ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ". ಈ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮಾನ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕೋಥೆ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಿತ್ತು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅಗಾಟಾ ಸ್ಮೊಕ್ಟುನೋವಿಕ್ಜ್ ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಇದು ಕೊಥೆ ಊಹೆಯ ನಿರಾಕರಣೆಯಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಕೊಥೆ ಊಹೆಯು ಸುಳ್ಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಅನುಮಾನಗಳಿಗೆ ಉತ್ತೇಜನ ನೀಡಿತು. ಎರಡು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾದ ಉಂಗುರವು ಸ್ವತಃ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಎಂದು ಕೆಗೆಲ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. "ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್" ಅನ್ನು "ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್" ಅಥವಾ "ನಿಲ್" ಎಂದು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸಿತು. ಕೆಲಾರೆವ್ ಒಂದು ಉಂಗುರದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಭಾಗಶಃ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಯಿತು, ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಉಂಗುರಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕೆಗೆಲ್ ಅವರ "ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್" ಬದಲಿಗೆ "ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್" ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ನಿಲ್ ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಪೇಜ್ ಸರ್ವೆ ಪೇಪರ್ (ಪಿಡಿಎಫ್) ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ