Fredholm alternative
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಐವರ್ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾದ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವು ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಅಥವಾ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ವರ್ಣಪಟಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಒಂದು ಭಾಗವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತ V ಒಂದು n-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದುಃ Vಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ Vಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ u ಇರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ ಟಿ ಎಂಬುದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಹಾಗೆಯೇ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ). ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಒಂದು m × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಮತ್ತು m × 1 ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ b ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕುಃ ಒಂದೋಃ A x = b ಯು x ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾಃ AT y = 0 ಯು y ಅನ್ನು yTb § 0 ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎ. ಟಿ. ವೈ = 0 ಇರುವ ಯಾವುದೇ ವೈಗೆ, ಅದು yTb = 0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ A x = b ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಗ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ, ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವು, ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಆಯತದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದು (ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು/ಅಥವಾ b ಮೈನಸ್ ಅಥವಾ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು). ಅಂತಹ ಕೆ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ; ಅಂದರೆ, ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ ಸಂಕೇತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು. ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಲು (ಸ್ವಲ್ಪ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ) ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ ಕರ್ನಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವು ಯಾವುದೇ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಪರಿಹರಿಸುವ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿದೆ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆಃ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿದ್ದರೆ, ಆಗ (1) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ (2) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಯ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೂ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವಾದವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ ಎಂದರೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಲೋವರ್ ಆರ್ಡರ್ ಪದಗಳು. ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ದ್ರಾವಣದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಎರಡನ್ನೂ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ), ಎಲ್ ಎಕ್ಸ್ನಿಂದ ಸ್ವತಃ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ f ω ಎಕ್ಸ್ ನಮಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಯಸುವ ದತ್ತಾಂಶವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವು, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ದೃಢವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವಂತೆ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ωRn ಮೃದುವಾದ ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ತೆರೆದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು h (x) ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭಾವ್ಯ). ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುವ ಚರ ದತ್ತಾಂಶವು f ω X ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು X ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಚದರ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳ L2 (ω) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಡೊಮ್ (L) ನಂತರ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳ W 2,2 (ω) ω W (ω) ಆಗಿದೆ, ಇದು ω ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಚದರ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ದುರ್ಬಲ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಚದರ-ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಇದು ω ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. X ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದರೆ (ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ), ನಂತರ μ0>> 0 ಗೆ ಆಪರೇಟರ್ L + μ0 ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, L + μ0: ಡೋಮ್ (L) → X ಒಂದು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮವು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, X ನಿಂದ X ವರೆಗೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ K ಆಗಿದ್ದು, ಚಿತ್ರವು ಡೋಮ್ (L) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಂತಹ ಒಂದು μ0 ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಧನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ನಂತರ ನಾವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಲಾದ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ (*)-(* *) ಪರಿಹಾರದ ಬಗೆಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವು, ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವಂತೆ, ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ λ ωR ಗೆ, λ ಎಂಬುದು K ಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಆಪರೇಟರ್ K−λ ಎಂಬುದು X ನಿಂದ ಸ್ವತಃ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಾಗಿ ಅವರು ಆಡುವಾಗ ಎರಡು ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸೋಣ. λ §0 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಒಂದೋ (A) λ ಎಂಬುದು K′ ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ (L + μ0) h = λ − 1h ′-μ0 + λ − 1 ನ h ′ ಡೊಮ್ (L) ಪರಿಹಾರವು L ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. (B) ಆಪರೇಟರ್ K − λ: X → X ಒಂದು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ′ (K − λ) (L + μ0) = ID − λ (L + μ0): ಡೊಮ್ (L) → X ಒಂದು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ′ L + μ0 − λ − 1: ಡೊಮ್ (L) → X ಒಂದು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. - μ0 + λ−1 ಅನ್ನು λ ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರಕರಣ λ =-μ0 ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ λ ωR ಗೆ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ (L − λ) u = 0 ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣ (L − λ) u = f ಪ್ರತಿ ದತ್ತಾಂಶ f ω X ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಕಾರ್ಯ ಯು, ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು (*)-(* *) ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೇಲಿನ (1)-(2) ರಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ದ್ವಿಭಾಜನವಾಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪರಿಹಾರವು ವಿಫಲವಾಗುವ λ ಸಮೂಹವು R ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ (L ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು). ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಡೆಯುವ "ಅನುರಣನಗಳು" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ ಫಾರ್ಕಾಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಎ. ಜಿ. ರಾಮ್, "ಎ ಸಿಂಪಲ್ ಪ್ರೂಫ್ ಆಫ್ ದಿ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಲ್ಟರ್ನೇಟಿವ್ ಅಂಡ್ ಎ ಕ್ಯಾರೆಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಆಫ್ ದಿ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ಸ್", ಅಮೇರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಂತ್ಲಿ, 108 (2001) ಪುಟ 855 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ