Oscillatory integral
ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದು ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಸಿಲ್ಲೇಟರಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಅನೇಕ ಕಠಿಣ ವಾದಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಅದು ನಿಷ್ಕಪಟ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಆಂದೋಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಆಂದೋಲನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಕಾರ್ಯವು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ, ಧನಾತ್ಮಕ-ಏಕರೂಪದ ಡಿಗ್ರಿ 1, ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಅದರ ಬೆಂಬಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಂತದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹಂತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವರಿಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಈ ಸಂಕೇತ ವರ್ಗಗಳು ಪದವಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಹಂತದ ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ಗಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ, ಔಪಚಾರಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವಾಗ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಆಂದೋಲನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಇನ್ನೂ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೃದುವಾದ ವಿತರಣೆಗಳ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವುದು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಒಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿತರಣೆಯು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಸ್ಥಳದಿಂದ ದೊರೆಯುವಂತಹ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹಂತದ ಕಾರ್ಯ, ಚಿಹ್ನೆಯ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಕೇತ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅನೇಕ ಪರಿಚಿತ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಆಂದೋಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ನಾವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಈ ಆಂದೋಲನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಗೌಸಿಯನ್ನ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಆಂದೋಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಆಂದೋಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ನೋಡಿ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಆಂದೋಲನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಆಂದೋಲನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಖರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್-ಲೆಬೆಸ್ಗು ಲೆಮ್ಮಾ ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ಕಾರ್ಪುಟ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.