Runge's theorem
ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, 1885ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ರುಂಜ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ರುಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ (ರುಂಜ್ ಅವರ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು C ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, K ಯು C ಯ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು f ಎಂಬುದು K ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. A ಯು C\K ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕದಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, Kಯ ಮೇಲೆ f ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಧ್ರುವಗಳು A ನಲ್ಲಿರುವಂತಹ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಎ ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಧ್ರುವವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರಿಗೆ ಕಂಬಗಳಿವೆ, ಆ ಕಂಬಗಳು ಎ ನಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತುಂಬಾ ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿಸುವ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ ಒಬ್ಬರು ಸೆಟ್ ಎ ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಿ. ಕೆ. ಯ ಸೀಮಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಆಯ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಮಾತ್ರ ಧ್ರುವಗಳೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. C\K ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ K ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಾಗ), ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿನ ಸೆಟ್ A ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಧ್ರುವಗಳಿಲ್ಲದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಪಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಕೆ ಎಂಬುದು ಸಿ ಯ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿ ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಕೆ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕೆ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ (ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮೆರ್ಗೆಲಿಯನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ರುಂಜ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಬ್ಬರು A ಅನ್ನು ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು A ಯು K ಯ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕವನ್ನು ಸಹ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ಈಗ φ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಅಂದರೆ, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಧ್ರುವವನ್ನು C\K ಯ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪುರಾವೆ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೆರೆದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಲೀನಿಯರ್ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ಇದೆ, ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೆ. ಯಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ರೀಮನ್ ಅಂದಾಜು ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಕೆ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಬಿಂದು z ಗೆ (z−w) −1 ರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು κ ಮೇಲೆ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಏಕರೂಪದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು K ಯ ಪೂರಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಧ್ರುವಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು, (z−w) −1 ರೂಪದ ಪದಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಕು. z0 ಎಂಬುದು zನ ಅದೇ ಘಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, zನಿಂದ z0ರವರೆಗಿನ ತುದಿಯಲ್ಲಿ-ರೇಖೀಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡನೇ ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಆ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕೆ ಮೇಲಿನ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಧ್ರುವಗಳೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಬಹುದು. z ನಿಂದ z0 ಗೆ ಹೋಗುವ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಹಂತಗಳ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುವುದರಿಂದ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (z−w) −1 ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. z0 ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (z−w) −1 ಅನ್ನು ಮೊದಲು R> 0 ನಲ್ಲಿರುವ ಧ್ರುವಗಳೊಂದಿಗಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ R ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ K ಯು w <R ನಲ್ಲಿದೆ. ಸುಮಾರು 0 ರ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನಂತರ ಕೆ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದ ಅಂದಾಜು ನೀಡಲು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮೆರ್ಗೆಲಿಯನ್ನ ಸ್ಟೈನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಓಕಾ-ವೆಯಿಲ್ ಪ್ರಮೇಯ ಬೆಹನ್ಕೆ-ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.