Jacobi sum
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬಿ ಮೊತ್ತವು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ. ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಜಾಕೋಬಿ ಮೊತ್ತಗಳು J (χ, si), ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p, ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಅವಶೇಷಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನವು ಚಲಿಸುವ ಸ್ಥಳದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ a ಅಥವಾ 0 ಎರಡೂ ಅಲ್ಲ). ಜಾಕೋಬಿ ಮೊತ್ತಗಳು ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಿ. ಜಿ. ಜೆ. ಜಾಕೋಬಿ ಅವರು ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಜಾಕೋಬಿ ಮೊತ್ತ J ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತಗಳ g ನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, χsi ಅಕ್ಷರವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ, ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತಗಳು g ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ p ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, χsi, χ, si ಅಕ್ಷರಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ p ಅನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜಾಕೋಬಿ ಮೊತ್ತಗಳು J ಸಣ್ಣ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿವೆ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತಗಳು g. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇದರ ಮೊತ್ತವು ಏಕತೆಯ ಯಾವುದೇ pth ಮೂಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಏಕತೆಯ ಮೂಲಗಳ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಕೇವಲ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತಗಳಂತೆ, ಜಾಕೋಬಿ ಮೊತ್ತಗಳು ತಮ್ಮ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿವೆ; ಸ್ಟಿಕ್ಕಲ್ಬರ್ಗರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. χ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಯಾದಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಾಕೋಬಿ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಝೀಟಾ-ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು p ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯಾದ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1949ರ ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧವು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಪುನರುಜ್ಜೀವನಗೊಳಿಸಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದ ಹ್ಯಾಸ್-ಡೇವನ್ಪೋರ್ಟ್ ಸಂಬಂಧದ ಮೂಲಕ, ಗೌಸ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಅಧಿಕಾರದ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದ್ದವು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಕೋಬಿ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೂಲಕ ಕರ್ಣೀಯ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಝೀಟಾ-ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ವೆಯಿಲ್ (1952) ಜಾಕೋಬಿ ಮೊತ್ತಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೆಕೆ ಅಕ್ಷರಗಳಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರವು ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ನಂತರ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಹ್ಯಾಸ್-ವೆಯಿಲ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿತ್ತು. ಈ ಪಾತ್ರಗಳ ನಿಖರವಾದ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ವೆಯಿಲ್ ತೆರೆದಿದ್ದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನಂತರದ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು