Grothendieck–Katz p-curvature conjecture
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್-ಕಾಟ್ಜ್ ಪಿ-ವಕ್ರತೆಯ ಊಹೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ-ಜಾಗತಿಕ ತತ್ವವಾಗಿದೆ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಚೆಬೊಟರೆವ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದು 1960ರ ದಶಕದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಆತನಿಂದ ಯಾವುದೇ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಪ್ರಗತಿಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವು ಬಗೆಹರಿಯದೆ ಉಳಿದಿದೆ; ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಲೆಗೊಂಚಲುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ತನಿಖೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ, n ಗಾತ್ರದ ವಾಹಕ v ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ n × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಎಂದು ಬರೆಯಲಾದ ವಾಹಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಊಹೆಯನ್ನು ಅದರ ಅಗತ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಯಾವಾಗ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನೀಡುವುದು ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. n ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬ್ಲಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯಿತ್ತುಃ ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಯಾವಾಗ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ? ಈ ಉತ್ತರವನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅವರ ಪಟ್ಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಸುಧಾರಣೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ, ಎ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ p, ಕಡಿತ ಮಾಡ್ಯುಲೋ p ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು p ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ p ಗೆ ಈ ಅಗತ್ಯ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ. ಪಿ-ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವೆಂದರೆ, ಹೇಳಲಾದ ಮಾಡ್ ಪಿ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪಿ-ವಕ್ರತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಹೇಳಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಪಿ ಗೆ 0 ರ ಪಿ-ವಕ್ರತೆಯು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಕಷ್ಟು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಾಟ್ಜ್ ಅವರ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ನಿಕೋಲಸ್ ಕಾಟ್ಜ್ ಈ ಊಹೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಜಿ (ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಜಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪಿನ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ) ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶಾಲ ವರ್ಗದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಮಾಡ್ ಪಿ ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ತನಾಕಿಯನ್ ವರ್ಗದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರಗತಿ ಬೆನ್ಸನ್ ಫಾರ್ಬ್ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕ್ ಕಿಸಿನ್ ಅವರು ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಲವು ಗುಂಪು-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವೈವಿಧ್ಯವಾದ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಕೃತಿಯು ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಫುಚ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಕಾಟ್ಜ್ನ ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ಗೌಸ್-ಮ್ಯಾನಿನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಮಕಾಲೀನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ), ಆಂಡ್ರೆ ಅವರು ತನಾಕಿಯನ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವರ್ಧಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆಯ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಪ್ರಗತಿಯು ಅಂಕಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದಾಗಿದೆ. ಇತಿಹಾಸ ನಿಕೋಲಸ್ ಕಾಟ್ಜ್ 1972 ರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ವಿರೂಪತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ, ಊಹೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದಿನಿಂದ, ಸುಧಾರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕ್ಯೂ-ಅನಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. 2009ರ ಕೊಲೊಕ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೃತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಕಿಸಿನ್ ಅವರ ಭಾಷಣಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ, ಕಾಟ್ಜ್ ಅವರು ಊಹೆಯ ಉಗಮದ ಬಗ್ಗೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಇದನ್ನು 1969ರ ವಸಂತ ಋತುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಬರೆದಿಲ್ಲ. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಪಿಯರೆ ಬೆರ್ಥೆಲಾಟ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಗಳಿಂದ ಅವರು ಈ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣರಾದರು. ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ "ನಿಲ್ಪೊಟೆನ್ಸ್" ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು, ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾದ ವಿಭಜಿತ ಶಕ್ತಿ ರಚನೆಯ ತಂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಲು ಬಯಸಿದ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಉಪ-ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದರು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನಿಕೋಲಸ್ ಎಮ್. ಕಾಟ್ಜ್, ರಿಗಿಡ್ ಲೋಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, ಅಧ್ಯಾಯ 9. ಜೀನ್-ಬೆನೊಯಿಟ್ ಬೋಸ್ಟ್, ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಲೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಲೆಗಳು, ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಡಿ ಎಲ್ಐಹೆಚ್ಇಎಸ್, ಸಂಪುಟ 93, ಸಂಖ್ಯೆ 1, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 2001 ವೈವ್ಸ್ ಆಂಡ್ರೆ, ಸುರ್ ಲಾ ಕನ್ಜೆಕ್ಟರ್ ಡೆಸ್ ಪಿ-ಕೋರ್ಬ್ಯೂರ್ಸ್ ಡಿ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್-ಕಾಟ್ಜ್ ಎಟ್ ಅನ್ ಪ್ರೋಬ್ಲೆಮ್ ಡಿ ಡ್ವರ್ಕ್, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಸ್ಪೆಕ್ಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಡ್ವರ್ಕ್ ಥಿಯರಿ (2004), ಸಂಪಾದಕರು ಅಲನ್ ಅಡಾಲ್ಫ್ಸನ್, ಫ್ರಾನ್ಸೆಸ್ಕೊ ಬಾಲ್ಡಸ್ಸರಿ, ಪಿಯರೆ ಬೆರ್ಥೆಲಾಟ್, ನಿಕೋಲಸ್ ಕಾಟ್ಜ್, ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಲೋಸೆರ್ ಆನಂದ್ ಪಿಲ್ಲೆ (2006), ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು