Hyperbolic group
ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ಅಮೂರ್ತವಾದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಪದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಬಂದಿದೆಃ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಟೋಪೋಲಜಿ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಡೆಹ್ನ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಮತ್ತು ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು), ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ. 1987 ರಿಂದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ (1000 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು) ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೊಮೊವ್ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವಿಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅಡಿಪಾಯವು ಜಾರ್ಜ್ ಮೊಸ್ಟೋವ್, ವಿಲಿಯಂ ಥರ್ಸ್ಟನ್, ಜೇಮ್ಸ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕ್ಯಾನನ್, ಎಲಿಯಾಹು ರಿಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕರ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸೆಟ್ಗೆ ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂಚುಗಳು ಒಂದು ಉದ್ದವಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಇದು ಅದನ್ನು ಉದ್ದದ ಜಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಭೌಗೋಳಿಕ ತ್ರಿಕೋನವು-ತೆಳ್ಳಗಿರುತ್ತದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ (ಜಾಗವನ್ನು-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ). ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪಾದಕ ಗುಂಪಿನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಂಗತಿಗಳಿಂದ ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪಾದಕ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ; ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಗ್ರೊಮೊವ್-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಜಾಗವು ಸ್ವತಃ ಗ್ರೊಮೊವ್-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಕಾನೂನುಬದ್ಧವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ,-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಜಾಗವು ಕೆಲವರಿಗೆ ಸ್ವತಃ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಮೂಲ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿ ಎರಡನ್ನೂ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಸ್ವಾರ್ಕ್-ಮಿಲ್ನರ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಹೇಳುವಂತೆ, ಒಂದು ಗುಂಪು ಸರಿಯಾದ ಉದ್ದದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ (ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅರ್ಧ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಗುಂಪು ಸರಿಯಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ), ನಂತರ ಸೇರ್ಪಡೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ವತಃ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಸರಿಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳು (ಅವುಗಳ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ-ಈ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್). ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೇಲೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು (ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ನಕಲನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ) ಸಹ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನಂತ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು. ಈ ವರ್ಗದ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ). ಮರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಕೇಲಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಮರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ 0-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಮರದ ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದರರ್ಥ ನಿಖರವಾಗಿ ಶೃಂಗಗಳ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಉಪವೃಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಅದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾರ್ಕ್-ಮಿಲ್ನೋರ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗುಂಪುಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಉಚಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ), ಇದು ಅವುಗಳ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಸಿಟಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪುಃ ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದ ಸಂಬಂಧಿತ ಟೆಸಿಲೇಷನ್ನ 1-ಅಸ್ಥಿಪಂಜರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕ 6 ರ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪನ್ನು (ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ) ಹೊಂದಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗುರುತಿನ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 ಅಂತಹ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೆಟ್). ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಲೇನ್) ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಕೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲ (ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲ). ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪು) ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲವು-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ವಾರ್ಕ್-ಮಿಲ್ನೋರ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಕೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಕೇರ್-ಕೋಯೆಬೆ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಕುಟುಂಬವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿವೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಹಿಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಥವಾ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಕೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಲರಿಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ಯಾಟ್ (ಕೆ) ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಹಿಂದಿನ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಟ್ಟಡಗಳ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುಂಪುಗಳು). ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಗುಂಪುಗಳು ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳು ಅತಿಶಯೋಕ್ತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದಂತೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಒಂದು ಪ್ರೇರಣೆಯೆಂದರೆ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿಯ ಹೆಚ್ಚು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುವುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗುಂಪುಗಳು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ "ಹೆಚ್ಚಿನ" ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಅತಿಶಯೋಕ್ತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂಬುದರ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಹೇಳಿಕೆಗಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡಿ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪಿನ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಫ್ರೀ ರ್ಯಾಂಕ್ 2 ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೋಮೋಥೆಟಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದಾಗಿ). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಗಂಟು ಪೂರಕಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮುಚ್ಚಿದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲು ಸಹ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಮ್ಸ್ಲಾಗ್-ಸೋಲಿಟಾರ್ ಗುಂಪುಗಳು ಬಿ (ಎಂ, ಎನ್) ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬಿ (ಎಂ, ಎನ್) ಗೆ ಉಪಗುಂಪು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಬಿ (1,1) =, ಇದು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ). ಶ್ರೇಣಿ 1 ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಐಸೊಜೆನಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ). ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗಂಟು ಗುಂಪುಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಯಾಂಚಿ ಗುಂಪುಗಳು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆಃ ಅವು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲವು (ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ) ಅಥವಾ ಅವು ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿಗೆ ಉಪಗುಂಪು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಾನ್-ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಬಹಳ ಬಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲಃ ನಾನ್-ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅನಂತ ಉಪಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಅನಂತವಾಗಿವೆ. ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೂಲವಲ್ಲದ (ಅನಂತ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಇದು ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ). ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ರೇಖೀಯ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು (ರಿಪ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಗುಂಪು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಎಫ್ φ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಗುಂಪಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. 2002 ರಲ್ಲಿ, ಐ. ಮಿನಿಯೇವ್ ಅವರು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆ ನಕ್ಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಡಿಗ್ರಿ 2 ರಲ್ಲಿ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವು ದ್ವಿ-ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವು ಬಲವಾಗಿ ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ರಚನೆಯಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಪದವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಭಾಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಭೌಗೋಳಿಕ ಪದಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು 2010 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಮಸ್ಯೆ, ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಯೋಗದ ಸಮಸ್ಯೆ) ಮತ್ತು ವೈಟ್ಹೆಡ್ನ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಲ್ಲವೂ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಅನಂತದಲ್ಲಿ 2-ಗೋಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉಪವಿಭಾಗದ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಕ್ಯಾನನ್ ಮತ್ತು ಸ್ವೆನ್ಸನ್ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಕ್ಯಾನನ್ನ ಊಹೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕಗಳು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಸರಿಯಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು (ಕೊಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಅದು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಅದರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಸ್ವತಃ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ!). ಈ ವರ್ಗದ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ 1ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಗಳು ಸೇರಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣದ ಸಾಂದ್ರವಲ್ಲದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲದವುಗಳು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಜಾಲರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಅಸೈಲಿಂಡ್ರಿಕಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಅಸೈಲಿಂಡ್ರಿಕಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಿಲಿಂಡರಹಿತತೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸರಿಯಾದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವುದಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪು ಗ್ರೊಮೊವ್-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸರಿಯಾದದ್ದಲ್ಲ) ಅಂಶವಲ್ಲದ ಅಸೈಲಿಂಡ್ರಿಕಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಅದನ್ನು ಅಸೈಲಿಂಡ್ರಿಕಲ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವಕ್ರ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಅವುಗಳ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಜಾಲರಿಗಳು (ಇನ್ನೂ!) ಅಸೈಲಿಂಡ್ರಿಕಲ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಟ್ (0) ಗುಂಪುಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ವಕ್ರತೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಕ್ಯಾಟ್ (0) ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಕ್ಯಾಟ್ (0) ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪು. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಿಎಟಿ (0) ಅಲ್ಲದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಪದಗಳ ಮೇಲೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ