Alexander duality
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು 1915 ರಲ್ಲಿ ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಅವರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ದ್ವಂದ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪಾವೆಲ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ ಮತ್ತು ಲೆವ್ ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಗಿನ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಗೋಳವು ಅಥವಾ ಇತರ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳಲ್ಲಿನ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ Xನ ಪೂರಕಗಳ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸ್ಪೈನಿಯರ್-ವೈಟ್ ಹೆಡ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗೋಳಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯು n ಆಯಾಮದ ಗೋಳದ ಸಾಂದ್ರವಾದ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕಡಿಮೆಗೊಂಡ ಹೋಮೋಲಜಿ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಗೊಂಡ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸ್ಥಳೀಯ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಚೆಚ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಊಹೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ ನಾವು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ಕೈಬಿಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅನ್ವಯಗಳು ಇದು ಗಂಟು ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕ ಪೂರಕಗಳ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಗಂಟು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೊಂಡಿ ಬೊರೊಮಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳಂತಹ ಗಂಟುಗಳ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ, ನಾವು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಲಿಂಕ್/ಗಂಟುಗಳನ್ನು ಬರೆದರೆ. ನಂತರ, ಮಾಸ್ಸಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕೊಂಡಿಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೊರೊಮಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ, ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ರಚನಾತ್ಮಕ ಸೀವ್ಗಳಿಗೆ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಡ್ಯುಯಲಿಟಿಯಾಗಿವೆ. ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಡ್ಯುಯಲಿಟಿಯು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸೀವ್ಗಳಿಗೆ ವರ್ಡಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲಿಟಿಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನಾವು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟರೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೈಕಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್, ಅಥವಾ ಸಬ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್) ಆಗಿರಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟರೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ,-ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಕೋಶವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂಬುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅನ್ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೀಫ್ ಮತ್ತು ನಯವಾದ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿತಗಳ ಮೂಲಕ, ಕೋಹೋಮಾಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೋಹೋಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಉಂಗುರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ನ 1915ರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ನ ಮೂಲ ಕೃತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾ, X ಒಂದು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಆಧುನಿಕ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಹೊಂದಿದ್ದನು, ಮತ್ತು ಅವನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಏನನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3-ಗೋಳದಲ್ಲಿರುವ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಟೋರಸ್ ನಿರ್ಮಾಣವು ಘನ ಟೋರಸ್ನ ಪೂರಕವು ಮತ್ತೊಂದು ಘನ ಟೋರಸ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಇನ್ನೊಂದು ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಅದು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅದರ ಏಕರೂಪತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘನ ತೋರಿಯು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವೃತ್ತದ 1,1,0,0 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದರೆ (ನಾವು 3-ಗೋಳದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ), ನಂತರ 0,0,1,1 ಎಂದು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ 0,1,0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಕಷ್ಟ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಅದೇ ವಿಧಾನವು, ಆರಂಭಿಕ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದು, 0,1,0,0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0,0,1,0 ಅನ್ನು 0,1,0,0 ರಿಂದ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪೂರಕದ ಕಡಿಮೆ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮೂಲಮಾದರಿಯು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ರೀಮನ್ ಗೋಳದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತದ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದು ಕೂಡ ಅದೇ ಕಥೆಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1,1,0 ಇವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ 0,1,1 ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು 1,1,0 ಅನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಇದು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾದದ್ದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಎರಡು ಘಟಕಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಸ್ಕೋನ್ಫ್ಲೈಸ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಇಲ್ಲಿ ಏನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿರಬೇಕು). ಅಂದರೆ, ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾದ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವು 2,0,0 ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಕಡಿಮೆಯಾದ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಅವರೊಂದಿಗೆ, ನಾವು 0,1,0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ 1,0,0 ರೊಂದಿಗೆ ಮುಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದುಃ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು