Dolbeault cohomology
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು (ಪಿಯರೆ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. M ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಗುಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು p ಮತ್ತು q ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ (p, q) ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ರಚನೆಯು ωp, q ಡಿಗ್ರಿ (p, q) ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ರೂಪಗಳ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನಯವಾದ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಆಪರೇಟರ್ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಿತ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಇ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇ ಯ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇ ಯ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಕೋಶದ ಉತ್ತಮ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಟು-ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ-ಸಂಪರ್ಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ, ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಿಲಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಮೇಲಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ರಚನೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಕೈಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಾವು ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು (ಅಥವಾ-ಪೊಯಿನ್ಕೆರೆ ಲೆಮ್ಮಾ) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲು ನಾವು-ಪೊಯಿನ್ಕೇರ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ; ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ ಪ್ರಸ್ತಾಪಃ ತೆರೆದ ಚೆಂಡನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ತೆರೆಯಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲೆಮ್ಮಾ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ-ಪೊಯಿನ್ಕೇರ್ ಲೆಮ್ಮಾ): ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಮತ್ತು ನಯವಾದ ರೂಪವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಪುರಾವೆಯ ಮೇಲೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಮ್ಮ ವಾದವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದರ ಬೆಂಬಲವು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕೌಚಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು, ಆದರೆ ನಂತರ. ಇದು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಈಗ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆ ಈಗ ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಿದ್ಧವಾಗಿವೆ; ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಪುರಾವೆಯು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನಿಂದಾಗಿದೆ. ನಾವು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ತೆರೆದ ಪಾಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಲೆಮ್ಮಾ (ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್): ಎಲ್ಲಿ ತೆರೆದಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದದ್ದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು ಯಾವುದೇ-ರೂಪವನ್ನು ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೆಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಕರಣದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪುರಾವೆ. - ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಕೋಶದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುವಂತಹ ಚಿಕ್ಕ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಅಂದಿನಿಂದ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; ಮುಂದೆ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಗಮನಿಸಿ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅದು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಡಿಸ್ಕಿನ ಮೇಲೆ ಉಳಿದವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ನಾವು ತೆರೆದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ-ಪೊಯಿನ್ಕೇರ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತವನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಲಿರಾಡಿಯಸ್ನ ಕೆಲವು ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಪಾಲಿಸ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಲೆಮ್ಮಾ (ವಿಸ್ತೃತ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್). ಒಂದು ವೇಳೆ ತೆರೆದ ಪಾಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಪ್ರೂಫ್. ನಾವು ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು. ಪ್ರಕರಣ 1. ನಂತರ ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ನಾವು ತೆರೆದ ಮೇಲೆ ಬೈಡ್ಗ್ರೀನ ರೂಪಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು; ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಹಕ್ಕು ನಿಜವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿ, ನಂತರ ಅಂತಹ ಒಂದು ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ-ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆಗ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅಂತಹ-ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಮತ್ತೆ ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈಗ, ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿಃ ನಂತರ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಯವಾದ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ರೂಪವು ಕೇಸ್ 2 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ; ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲಿನಂತೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತೆ, ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆಃ ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕವರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹ-ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೋ ಅಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್-ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಟೋನ್-ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಹುಪದಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಆ ರೂಪವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕೆಲವು-ರೂಪಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಕ್ಯೂ. ಇ. ಡಿ. ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಡಿ ರಾಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಕೋಶದ ಕೋಶದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಂನಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪಿ ರೂಪಗಳ ಕೋಶ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಎ ಆವೃತ್ತಿಯು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ ರೀತಿಯ ರೂಪಗಳ ಉತ್ತಮ ಕೋಶವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ-ಪೊಯಿನ್ಕೇರ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಖರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದಂತೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಉದ್ದವಾದ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಒಮ್ಮೆ ಒಬ್ಬರು ಬಳಸಿದರೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕೋಶದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ನಾವು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ಮತ್ತು ಇದಲ್ಲದೆ ಅದು ಕೆಹ್ಲರ್ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಫುಬಿನಿ-ಸ್ಟಡಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಕೆಹ್ಲರ್ ಆಗಿದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಅದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸೆರ್ರೆ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ-ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ-ನಿಖರವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಹೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹಲವು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ