Hausdorff moment problem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಕ್ಷಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮವು ಮುಚ್ಚಿದ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಕೆಲವು ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಯ ಕ್ಷಣಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಇದು ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಂಬರ್ಗರ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇಡೀ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಂಬರ್ಗರ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಅವು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದಂತಿದ್ದರೆ, ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ) ಆದರೆ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದಂತಿದ್ದರೆ (ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದೇ ನಿಗದಿತ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನಂತ ಕ್ರಮಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ಷಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಸಮೂಹವು ದಟ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದು ಅಳತೆಯು ತೀವ್ರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕ್ಷಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧಿತ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಸಮೂಹವು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು 1921ರಲ್ಲಿ, ಆ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅಂತಹ ಕ್ಷಣದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೋಟಲ್ ಮೊನೊಟೋನಿಸಿಟಿ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಎಫ್. "ಸಮ್ಮೇಶನ್ಸ್ಮೆಥೋಡೆನ್ ಅಂಡ್ ಮೊಮೆಂಟ್ಫೋಲ್ಜೆನ್" ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಐ. " ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಸ್ಚೆ ಝೀಟ್ಸ್ಚ್ರಿಫ್ಟ್ 9,74-109,1921. ಹಾಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಎಫ್. "ಸಾರಾಂಶಗಳು-ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷಣಗಳು. II ". ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಸ್ಚೆ ಝೀಟ್ಸ್ಚ್ರಿಫ್ಟ್ 9,280-299,1921. ಫೆಲ್ಲರ್, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. "ಆನ್ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ಇಟ್ಸ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್", ಸಂಪುಟ II, ಜಾನ್ ವಿಲೇ & ಸನ್ಸ್, 1971. ಸೋಹತ್, ಜೆ. ಎ. ; ತಮಾರ್ಕಿನ್, ಜೆ. ಡಿ. ದಿ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಆಫ್ ಮೊಮೆಂಟ್ಸ್, ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1943. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕ್ಷಣ (ಗಣಿತ) ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು