Bézout domain
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಎಂಬುದು ಪ್ರೂಫರ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತೆ ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಬೆಜೌಟ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಐಡಿಯಲ್ ಪ್ರಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ (ಪಿಐಡಿ) ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗದ ಐಡಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು (ಇದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಪಿಐಡಿ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ); ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ (ಯುಎಫ್ಡಿ) ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಜಿಸಿಡಿ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಆಸ್ತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಪಿಐಡಿಗಳ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಎಟಿಯೆನ್ನೆ ಬೆಜೌಟ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪಿಐಡಿಗಳು ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಪಿಐಡಿಗಳಲ್ಲದ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ತುಲ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ ಡಿಗ್ರಿ 1 ರ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಅಂಶವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲವು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಸಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉಂಗುರವು ಯು. ಎಫ್. ಡಿ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಪಿ. ಐ. ಡಿ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರಗಳು ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ನೊಯ್ಥೆರಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರವು ನೊಯ್ಥೆರಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯು ಯಾವುದೇ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಆರ್ ನಿಂದ ಯು. ಎಫ್. ಡಿ ಅಲ್ಲದ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಕ್ಷೇತ್ರವಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪಿಐಡಿ ಯಿಂದ; ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಉಂಗುರವು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಿರ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ X ನಂತಹ ಅಂಶವನ್ನು R ನ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅವು ಇನ್ನೂ S ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ X ಗೆ S ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆ ಇಲ್ಲ). ಎಸ್ ಒಂದು ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. S ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ a, b ಗೆ a ಮತ್ತು b ಎರಡನ್ನೂ ವಿಭಜಿಸುವಂತಹ s, t ಗಳು S ನಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ d ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, a/d ಮತ್ತು b/d ಗೆ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದೇ s, t ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಾವು a ಮತ್ತು b ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು; ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಿರ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು Xn ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ n ಕನಿಷ್ಠ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿರಲಿ; f ನಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ fXn a ಮತ್ತು b ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು a, bಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಎಫ್ [ಎಕ್ಸ್] ನ ಅಂಶಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ಯು. ಎಫ್. ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಪದ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸ್ ನಲ್ಲಿದೆ; ನಾವು ಈ ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಫ್ [ಎಕ್ಸ್] ನಲ್ಲಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ 1 ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬಹುಪದ r ಇರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, R ಒಂದು ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, a0 ಮತ್ತು b0 ಸ್ಥಿರ ಪದಗಳ R ನಲ್ಲಿರುವ gcd d ಇದರಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಪದವಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಥವಾ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರಾಂಕ d ಯು a ಮತ್ತು b ಯ S ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ; ಅದು ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. a0 ಮತ್ತು b0 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ d ಗೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ಬೆಜೌಟ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಸ್ಥಿರ ಪದ d ಯೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದ p ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಂತರ ಡಿ ಸಹ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರಃ ಇದು ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶವು ಒಂದೇ ಅಂಶದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶಗಳು ಪ್ರಧಾನವೆಂದು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿಐಡಿಯ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೆಜೌಟ್ನ ಗುರುತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಪರಿಭಾಷೆ. ಮೇಲಿನ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯು ಕೇವಲ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕಿಂತಲೂ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಜಿ. ಸಿ. ಡಿ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಉದಾಹರಣೆಯು ತೋರಿಸುವಂತೆ, ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ). ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಆರ್ ಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಆರ್ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಆರ್ ಎಂದರೆ ನೊಥೇರಿಯನ್. ಆರ್ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ (ಯು. ಎಫ್. ಡಿ.). ಆರ್ ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶಗಳ (ಎಸಿಸಿಪಿ) ಮೇಲೆ ಆರೋಹಣ ಸರಪಳಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಏಕಮಾನವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (ಆರ್ ಒಂದು ಪರಮಾಣು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ). (1) ಮತ್ತು (2) ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಜಿಸಿಡಿ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ (3), (4) ಮತ್ತು (5) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಆರ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶಗಳ ಅನಂತ ಆರೋಹಣ ಸರಪಳಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶಗಳ ಅನಂತ ಆರೋಹಣ ಸರಪಳಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ (4) ಮತ್ತು (2) ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಪ್ರೂಫರ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಡೊಮೇನ್ ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂವಹನ ಅರೆ-ಆನುವಂಶಿಕ ಡೊಮೇನ್. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು "ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಐಎಫ್ಎಫ್ ಪ್ರೂಫರ್ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಜಿಸಿಡಿ-ಡೊಮೇನ್" ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಾದ "ಪಿಐಡಿ ಐಎಫ್ಎಫ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಯುಎಫ್ಡಿ" ಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ ನೋಡಬಹುದು. ಪ್ರಿಫರ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳೀಕರಣಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಗರಿಷ್ಠ) ಆದರ್ಶಗಳು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ನಲ್ಲಿ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಆದರ್ಶವು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ತುಲವು ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾನ್ಸೈಕ್ಲಿಕ್ (ಸಮಾನವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಲ್ಲದ) ಮೌಲ್ಯ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಡೊಮೇನ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೌಲ್ಯ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದು ನೊಯ್ಥೆರಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬಲ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಸರಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಪ್ರಧಾನ ಸರಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಆರ್ ನಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು x ಗೆ xR ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಬಲ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಬಲ ಅದಿರು ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಓರೆ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಸಂಗತಿಯು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಲ್ಲ. ರೈಟ್ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಸಹ ರೈಟ್ ಅರೆ-ಆನುವಂಶಿಕ ವಲಯಗಳಾಗಿವೆ. ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಪಿಐಡಿಯಲ್ಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಕೆಲವು ಸಂಗತಿಗಳು ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಆರ್ ಒಂದು ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಆರ್ ಮೇಲೆ ಎಂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಎಂ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಮಿಫಿರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಒಂದು ಸಂವಹನ ಸೆಮಿಫಿರ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ.) ಬೆಜೌಟ್ ವರ್ತುಲ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ