Tensor product of modules
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಾದಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಒಂದು ರಚನೆಯಾಗಿದೆ (ಉದಾ. ಗುಣಾಕಾರ) ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ನಿರ್ಮಾಣವು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂರನೇ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಬಲ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮತ್ತು ಎಡ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಸಹ ಇದನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಇರುತ್ತದೆ. ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ, ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಆಪರೇಟರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನ ರಿಂಗ್ ಆರ್, ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ, ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎನ್, ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಜಿ, ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಆರ್-ಸಮತೋಲಿತ, ಆರ್-ಮಧ್ಯಮ-ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ಆರ್-ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಎಂ, ಎಂನಲ್ಲಿ ಎಂ, ಎನ್, ಎನ್ ನಲ್ಲಿ ಎನ್, ಮತ್ತು ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಆರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿದ್ದರೆಃ ಆರ್ ನಿಂದ ಜಿ ವರೆಗಿನ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. φ, si ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು-φ ಬಿಂದುವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. M ಮತ್ತು N ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ, ನಕ್ಷೆಯು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಸ್ವತಃ ಕಾರ್ಯನಿರತವಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಭಾಗವನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಗುಂಪಿನ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಂದ ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಡಿಎಲ್) ಮತ್ತು (ಡಾ) φ ನ ಬಯ್ಯಾಡಿಟಿವಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು φ ನ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ವಿತರಣೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ (ಎ) ಯು φ ನ ಕೆಲವು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಒಂದು ಆರ್-ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆರ್ ನಲ್ಲಿನ ರಿಂಗ್ ಗುಣಾಕಾರವು ಆರ್-ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಆರ್ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ, ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ, ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎನ್, ಆರ್ ಮೇಲೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ (ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ) ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಜಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆ ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಂತೆ, ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಃ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ (ಅಥವಾ ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಸ್ತು ಎಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು; ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆಃ ಇದು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೇಳುವ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. (ಆದ್ಯತೆಗೆ ಈ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು.) ಅಂತೆಯೇ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುರುತನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇದನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್-ಹೋಮ್ ಅಡ್ಜಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. M ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಗೆ, N ನಲ್ಲಿನ y ಗೆ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ನಕ್ಷೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (x, y) ಚಿತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶುದ್ಧ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸರಿಯಾದ ಸಂಕೇತವು x′Ry ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ R ಅನ್ನು ಬಿಡುವುದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ, ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆಃ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಪುರಾವೆಃ ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಗೆ, ಎಲ್ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ರೂಪದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಗೆ ಭಾಗಶಃ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಹಾಗೆಯೇ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಅನನ್ಯತೆಯ ಭಾಗದಿಂದ, q = 0. ಎರಡನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಕು. ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅನ್ವಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು 0 ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಸ್ತಿಯು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಆರ್-ಬೈಲಿನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಆಗ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದನ್ನು ನೋಡಲು, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದದ್ದು, ಮತ್ತು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇದು ಶುದ್ಧ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವರೆಗೂ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಆಹ್ವಾನಿಸುವ ಬದಲು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಆರ್ ನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆರ್-ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವಿಟಿಯಲ್ಲದ ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ; ಕೆಳಗಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಯಿಂದ ಸಜ್ಜುಗೊಂಡರೆ, ಮೇಲಿನವುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಜಿಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆಃ ಆರ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಆದರೆ ಎಂ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಎಸ್ನಿಂದ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್), ನಂತರ ಎಡ ಎಸ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಮೇಲಿನಂತೆ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಎನ್ ರಿಂಗ್ ಎಸ್ನಿಂದ ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬಲ ಎಸ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ರಿಂಗ್ನ ಬದಲಾವಣೆಯು ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮತ್ತು ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನೆಯು ಟೆನ್ಸರಿಂಗ್ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂಬ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಎನ್ ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆಗೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಏಕರೂಪತೆ ಎಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಂ ಬಲ ಎಸ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎನ್ ಎಡ ಎಸ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆಃ ಇದು ಶುದ್ಧ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ಇಡೀ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ನಕ್ಷೆಯು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು (ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ ನೋಡಿ.) ಒಂದೇ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೈನರಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿದೆಃ (M1′ M2) ′ M3 ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ M1′ (M2′ M3) ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೂರು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಎರಡೂ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಆರ್1, ಆರ್2, ಆರ್3, ಆರ್ಗಳು ಉಂಗುರಗಳಾಗಿರಲಿ, ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಆರ್1-ಆರ್2-ಬೈಮೋಡಲ್ ಎಂ12 ಮತ್ತು ಎಡ ಆರ್2-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ20ಗೆ, ಇದು ಎಡ ಆರ್1-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಬಲ R2-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ M02 ಮತ್ತು R2-R3-ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ M23, ಬಲ R3-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. (ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ) ಬಲ ಆರ್1-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ01, ಆರ್1-ಆರ್2-ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ12, ಮತ್ತು ಎಡ ಆರ್2-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ20ಗಳಿಗೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಆರ್ ಒಂದು ಆರ್-ಆರ್-ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ರಿಂಗ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಆರ್ ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎಂ, ಎನ್ ಮತ್ತು ಪಿ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ ಮೊದಲ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳ ಮೇಲಿನ ಗುರುತುಗಳು) ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಆರ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಮಿತಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, {1,., n} ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆಃ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೇಲೆ ವಿತರಣೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ I ಗೆ. ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೀಮಿತ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ವಿತರಣೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ, ಬೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ ಎಸ್ ಆರ್-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬರೆಯುವುದು, ಸಿಎಫ್. .. ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆಃ ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಮೇಲೆ ವಿತರಣೆ R ನ ಯಾವುದೇ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪು S ಗೆ,-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆರ್-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆಃ ನೇರ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ನೇರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮಿ, ಸಂಯೋಜನೆ ಎ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆಃ ರೈಟ್-ಎಕ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್-ಹೋಮ್ ಸಂಬಂಧವು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಆರ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇದು ಎಂ ಅಥವಾ ಪಿ ಒಂದನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಿದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನೋಡಿ) ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ; ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಆರ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಇದೆಃ ಇದು ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು, ಎಂ, ಎನ್ ಬೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ M ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು N ಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆಃ ಅಂದರೆ, R-ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಎಂ ಉಚಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಎಂನ ಉಚಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿಲೋಮ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ಒಂದು ಕಡೆ, (cf. "ಉದಾಹರಣೆಗಳು"). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, p-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲ ಮತ್ತು p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಲ್ಲಿವೆ? ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆತ್ಮದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ "ಅನಂತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ" ವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಆರ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕ್ರಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಬಹುದುಃ ನಾವು ಎಂ ನ ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಎನ್ ನ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು "ಬಳಸುತ್ತೇವೆ"; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. M, N ದ್ವಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, M ನ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಬರುವ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು N ನ ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಬರುವ ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಆ ಕ್ರಿಯೆಗಳು M ನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆಃ ಎಂ ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎನ್ಎ (ಆರ್, ಎಸ್)-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮತ್ತು ಪಿ ಎಡ ಎಸ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು. ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಆರ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎಂ ಒಂದು ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎನ್ ಒಂದು (ಆರ್, ಎಸ್)-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪಿ ಒಂದು ಬಲ ಎಸ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಕೊಡಲಾಗುತ್ತದೆ. N ಒಂದು ತಿರುಚು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರುವ M ನ ಉಪ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, R-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿ. ಒಳಗೆ, ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಅಥವಾ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಿ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಳೀಕರಣ). ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಸಂಬಂಧವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಆರ್-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಸ್, ಎಂ ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್, ಪಿ ಬಲ ಎಸ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಇದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಸ್-ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆರ್-ಕ್ರಿಯೆಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರ್ ನಿಂದ ಎಸ್ ಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಆರ್, ಎಸ್ ಗುಂಪು ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಆರ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಸ್ಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಅಂದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ನಂತರ ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆರ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಸ್ಗಾಗಿ, ನಾವುಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆದರ್ಶವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಚೀನೀ ಉಳಿದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಇದು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಾಗ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ರಚನೆಯು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಜಿ ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಜಿ ಒಂದು ತಿರುಚು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಆಗಿರಬಹುದು). ನಂತರಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.............................................. ನಂತರ. M ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ,. (ಏಕೆಂದರೆ ಟೆನ್ಸರಿಂಗ್ ಮೂಲ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ). ಉದಾಹರಣೆಃ ಜಿ ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು 1 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಇದು 3 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗುಂಪುಗಳ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ p, q, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಜಿ ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ 2 ಇಂಚಿನ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಏಕತೆಯ n-th ಮೂಲಗಳ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ. ಇದು ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ಅಲ್ಲದ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, g ಎಂಬುದು n ಮತ್ತು m ನ gcd ಆಗಿರುವಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಃ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಏಕೆಂದರೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ-ರೇಖೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇರುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ r, s, x, u ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು s ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವು. ಕರ್ನಲ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು. - ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ, ಆಯಾಮ 4 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಆಯಾಮ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಃ ನಾವು ಮತ್ತು ಅನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ನಾವುಃ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ-ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (-ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ-ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯು-ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ). - ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ, ನಿರಂತರತೆಯ ಆಯಾಮವನ್ನು (ಬೇಸಿಸ್ನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ) ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರಂತರತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ-ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಅದರ-ಆಯಾಮವು ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯಾಮದ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ,-ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಕ್ಯಾನಾನಿಕಲ್ ಅಲ್ಲದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆಃ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಈ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಯಾವಾಗ ನಿರ್ಮಾಣ ಎಂಬುದು.................................. ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶದಿಂದ χ ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಆರ್ ನ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ರಚಿಸಲಾದ ಉಪಗುಂಪಿನ ಅನುಪಾತ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು, ಬಯಸಿದಲ್ಲಿ, ಆರ್-ಸಮತೋಲಿತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೇರುವ ಮೂಲಕ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಂಶವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ವರ್ಗ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ, σ ಎಂಬುದು M ಮೇಲೆ R ನ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರಲಿ; ಅಂದರೆ, σ (m, r) = m·r ಮತ್ತು τ ಎಂಬುದು N ನ R ನ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆ. ನಂತರ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, M ಮತ್ತು N ಓವರ್ R ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕೋಕ್ವಾಲೈಸರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಇಲ್ಲದೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಮುಕ್ತ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಅಂಶವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಉಪ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಗೆ ಝಡ್ (ಆರ್)-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಆರ್ ನ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾದ ಆರ್ (ಆರ್) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ನ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ವಿರಳವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ ಸಂವಹನವಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅವು ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವ G ಯಿಂದ G ವರೆಗಿನ ಏಕೈಕ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ನಕ್ಷೆ. ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೂ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಉಳಿದಿವೆ. ಡ್ಯುಯಲ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇ ಯ ಡ್ಯುಯಲ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಇ ಐಆರ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ರಚನೆಯು ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಬಿಂದುವಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, E ≤ ಎಂಬುದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ R-ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ (ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇ ಯಿಂದ ಅದರ ಎರಡನೇ ಡ್ಯುಯಲ್ ವರೆಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಇ ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮುಕ್ತ ಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇ ಅನ್ನು ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಪೇಯರಿಂಗ್ ನಾವು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಇ ಿರಿ ಮತ್ತು ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇ, ಅಥವಾ ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಎಫ್ ಿರಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂವಹನ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿಯಾದ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ, ಅದು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇ ಮತ್ತು ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಕ್ಷೆಯಂತಹ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ. ಎರಡೂ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾದ ಇ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಲ್ಲಿ) ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ ಅವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ಅಂಶವು ಆರ್-ಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಂತೆಯೇ, ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಅಂತಹ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಪೂರ್ಣ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇ ಮತ್ತು ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಕ್ಷೆಯಂತಹ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ಅಂಶವು ಆರ್-ಬೈಲಿನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಟ್ರೇಸ್ ಆರ್ ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಇ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಆರ್-ಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆ ಇದೆಃ ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜೋಡಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಆರ್-ಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಇ ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮೂಲಕ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೇಲಿನದು ಟ್ರೇಸ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗಿದೆಃ ಆರ್ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಇದು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕುರುಹು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಃ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಸ್ಥಳಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆರ್ ಒಂದು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ (ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು γ ಎಂದರೆ ವಿಭಾಗಗಳ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಎಂದರೆ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಪಿ ಬಾರಿ ಟೆನ್ಸರಿಂಗ್ ಎಂದರ್ಥ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಅಂಶವು ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ (ಪಿ, ಕ್ಯೂ). ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಂತೆ, ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹಗುರಗೊಳಿಸಲು, ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ (k, l) ಗೆ p, q ≤ 1, ಆರ್-ಬಹು-ರೇಖಾತ್ಮಕ ನಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಟ್ ಎಂದರೆ ಪದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ಇದು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಆರ್-ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಇದನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ (ಕೆ, ಎಲ್) ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಸಂಕೋಚನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಏನನ್ನು ನೋಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆಃ ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಹಿಂದಿನ ಚರ್ಚೆಯು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಲ್ಗಾಸನ್). ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಕೋಶ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ರಚನೆಯು (ಅಂದರೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಕೋಶದ ಭಾಷೆ) ಹೆಚ್ಚು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಅದಕ್ಕಾಗಿ, ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ. ಫ್ಲಾಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನಿಯೋಜಿಸುವ ಬೈಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಬಲ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೋಮ್ ಬೈಫಂಕ್ಟರ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಎರಡೂ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಲು ಎಡ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎನ್ ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಿಯಾದ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಬಿಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ (ಮೊದಲ ನಕ್ಷೆಯು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ ಅಲ್ಲ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಟಿ ಒಂದು ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಗಾಗಿ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದು ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮೂಲ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬಾರದು. ಎಂ ಒಂದು ಫ್ಲಾಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಫ್ಲಾಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಫಂಕ್ಟರ್ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಮೇಲಿನಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದ್ದೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಎಫ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ದ್ವಿಗುಣಕವು ಎರಡೂ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸೆಟ್ಗಳು ಬೇಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಗೆ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಸ್ ಮತ್ತು ಟಿ ಸಂವಹನ ಆರ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, #For ಸಮಾನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಸಂವಹನ ಆರ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಗುಣಾಕಾರದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆರ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಫೈಬರ್ಡ್ ಕೋಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಆಗುತ್ತದೆ. (ಆದರೆ ಇದು ಆರ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸಹಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ.) ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಎರಡೂ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೆ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. R ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, RM ಒಂದು ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು R ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಾದ r ಮತ್ತು s ಗಳ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ M ನ ಅನ್ನಿಹಿಲೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ M ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ R ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ M ಅನ್ನು ಬಲ R ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಃ ಇರುವ ಎಂ ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೆ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದು ಬಹಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. X, Yಗಳು R-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (R ಒಂದು ಸಂವಹನ ವರ್ತುಲ), ಅವುಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆಃ x ಗೆ x ನಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗೆ Yj, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, C ಫ್ಲಾಟ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು G ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, Gಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ C ಯ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಾಂಕ ಪ್ರಮೇಯ). ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸೀವ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸೀವ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪೂರ್ವ-ಶೀಫ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶೀಫ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸೆಟಪ್ನಲ್ಲಿ, ಮೃದುವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ (ಜಾಗತಿಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ) ವಿಭಾಗವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (ಇದನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅಲ್ಲಿ ಓ ಎಂಬುದು ಎಂ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಂಗುರಗಳ ಕೋಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಂಡಲ್ಗಳನ್ನು ಎಂ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಹೊದಿಕೆಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂ ಮೇಲಿನ ಬಾಹ್ಯ ಕಟ್ಟು ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಟೆನ್ಸರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಬಂಡಲ್ನ ವಿಭಾಗಗಳು ಎಂ ಮೇಲೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳ ಕೋಶದ ಮೇಲೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕರಣವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಕೋಶದ ಮೇಲೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳ ಟಾರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬಹು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರಚನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು