Biharmonic equation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬಿಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಹರಿವಿನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುವ ತೆಳುವಾದ ರಚನೆಗಳ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತ ಇದನ್ನು ಅಥವಾ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಡೆಲ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ (ಅಥವಾ) ಚೌಕವನ್ನು ಬಿಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅಥವಾ ಬಿಲಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಾಲ್ಕು ನಬ್ಲಾ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಸಂಕುಚಿತಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಬೈಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಮೂಲವಿಲ್ಲದ n-ಆಯಾಮದ ರಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, n = 3 ಮತ್ತು n = 5 ಮಾತ್ರ, ಬೈಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಬೈಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬೈಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಬೈಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವಲ್ಲ. ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಬೈಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಮೈಕೆಲ್ ದ್ರಾವಣ. 2-ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ 2-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಅವು ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ. 2 ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವಂತೆಯೇ, 2 ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಾರ್ಯಗಳೂ ಸಹ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಎರಡು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಿ-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎರಿಕ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ವೈಸ್ಸ್ಟೀನ್, ಸಿಆರ್ಸಿ ಕನ್ಸೈಸ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಸಿಆರ್ಸಿ ಪ್ರೆಸ್, 2002 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಎಸ್ ಐ ಹಯಕ್, ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ ಸೈನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಮಾರ್ಸೆಲ್ ಡೆಕ್ಕರ್, 2000. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು