Euler method
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣನೆಯ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು (ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ODE) ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸರಳವಾದ ರುಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನಮ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಿ ಇಂಟೆಗ್ರಾಲಿಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಸ್ಥಳೀಯ ದೋಷವು (ಪ್ರತಿ ಹಂತಕ್ಕೆ ದೋಷ) ಹಂತದ ಗಾತ್ರದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ದೋಷವು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೋಷ) ಹಂತದ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮುನ್ಸೂಚಕ-ಸರಿಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆ ಉದ್ದೇಶ ಮತ್ತು ಅದು ಏಕೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಜ್ಞಾತ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ಸೂತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಮೂಲಕ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಒಮ್ಮೆ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ನಾವು ಸೂಚಿಸುವ ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವು ತಿಳಿದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 1 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ನಂತರ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು. ಆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನವರೆಗೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಹೆಜ್ಜೆ ಇರಿಸಿ ಈ ಸಣ್ಣ ಹಂತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಇಳಿಜಾರು ಹೆಚ್ಚು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದು ಇನ್ನೂ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಟಿಸಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳ ನಂತರ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು () ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂಲ ಅಜ್ಞಾತ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ತುಂಬಾ ದೂರ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಹಂತದ ಗಾತ್ರವು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗಣನೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ದೋಷವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಮುಂದೆ, ಟಿ-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಸಿ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ). ಈಗ, ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮತ್ತು ನಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಯದ ಪರಿಹಾರದ ಅಂದಾಜು, ಅಂದರೆ. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪರಿಹಾರವು ಫಾರ್ ನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಯಾವುದೇ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಕ್ರಮವನ್ನು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆದೇಶದ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಅನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮತ್ತು, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಅಂದಾಜು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಈ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಯೂಲರ್ನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಥವಾ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಯೋಜನೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉದಾಹರಣೆ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ನಾವು ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. 1 () ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಂತದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕು. ಈ ಸರಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಹಂತವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರಾವಣ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಅಥವಾ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಂತದ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು, ಅದನ್ನು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ಹಂತದ ಗಾತ್ರವು ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹಂತದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬೇಕಾದ ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸ್ವರೂಪದಿಂದಾಗಿ, ದೋಷಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿದಂತೆ, ಗಣನೆಗಳನ್ನು ಚಾರ್ಟ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಘಟಿಸುವುದು ಸಹಾಯಕವಾಗಬಹುದು. {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" |-! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! |-| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಅಂದಾಜು ಬಹಳ ನಿಖರವಾಗಿರದಿದ್ದರೂ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯದ ಹಂತದ ಗಾತ್ರದಿಂದಾಗಿ, ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯು ಅಂಕಿ-ಅಂಶವು ತೋರಿಸುವಂತೆ ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಇತರ ಹಂತದ ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಹಂತದ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ವಿವಿಧ ಹಂತದ ಗಾತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಾಲು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" |-! ಹೆಜ್ಜೆ ಗಾತ್ರ! ! ಯೂಲರ್ ಅವರ ವಿಧಾನದ ಫಲಿತಾಂಶ! ! ದೋಷ |-| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ಮೇಜಿನ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಹಂತದ ಗಾತ್ರವು ಹಿಂದಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಹಂತದ ಗಾತ್ರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ದೋಷವು ಹಿಂದಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ದೋಷಕ್ಕಿಂತ ಸರಿಸುಮಾರು ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ದೋಷವು ಹಂತ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತ ಗಾತ್ರದ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ; ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಜಾಗತಿಕ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ದೋಷ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಂಕಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ವಿಧಾನದಂತಹ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆಃ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ವಿಧಾನದ ಜಾಗತಿಕ ದೋಷವು ಹಂತದ ಗಾತ್ರದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಧಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ವಿಧಾನವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಮೂರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹಂತದ ಗಾತ್ರವು ಸರಿಸುಮಾರು 0.00001 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಮಗೆ 400,000 ಹಂತಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಬಯಸಿದರೆ, ರಂಗ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಬಹು-ಹಂತದ ವಿಧಾನಗಳಂತಹ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿಃ ಇದರಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು y 'ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದುಃ ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ನಾವು ಬಯಸಿದ್ದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವಷ್ಟು ಕಾಲ ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. (1) ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆ ಇದೆ. (2) ಕಾರ್ಯದ ಸುತ್ತಲಿನ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯೆಂದರೆಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಇದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಮಾಡಿದ ದೋಷವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ರುಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. (3) ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗೆ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಫೈನೈಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೆ, ಇದು ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗಣನೆಯು ಮಿಡ್ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. (4) ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದುಃ ಈಗ ಎಡಗೈ ಆಯತ ವಿಧಾನದಿಂದ (ಕೇವಲ ಒಂದು ಆಯತದೊಂದಿಗೆ) ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿಃ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಚಿಂತನೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೇಖೀಯ ಬಹು ಹಂತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತಲುಪಲು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಸ್ಥಳೀಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ದೋಷವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಹಂತದ ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವನ್ನು (ಎಲ್. ಟಿ. ಇ) ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸೀಮಿತ ಮೂರನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣದಕ್ಕೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವು ಸರಿಸುಮಾರು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ರಂಗ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಬಹು-ಹಂತದ ವಿಧಾನಗಳಂತಹ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತಂತ್ರಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವು ಹಂತದ ಗಾತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಪದಕ್ಕೆ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಳೀಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ದೋಷಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿರಂತರ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ದೋಷಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಜಾಗತಿಕ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷ ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಜಾಗತಿಕ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವು ಒಂದು ನಿಗದಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ದೋಷವಾಗಿದೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸಮಯದಿಂದ ಆ ಸಮಯವನ್ನು ತಲುಪಲು ವಿಧಾನವು ಎಷ್ಟು ಹಂತಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕೆಂಬುದರ ನಂತರ. ಜಾಗತಿಕ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಮಾಡಿದ ಸ್ಥಳೀಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷಗಳ ಸಂಚಿತ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಹಂತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಮಾಡಿದ ದೋಷವು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ). ಹೀಗಾಗಿ, ಜಾಗತಿಕ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವು ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಈ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ತರ್ಕವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿಸಬಹುದು. ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡನೇ ವಾದದಲ್ಲಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಾಗತಿಕ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವು (ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ನೀಡಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಬೌಂಡ್ನ ನಿಖರವಾದ ರೂಪವು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬೌಂಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮಾಡಿದ ನಿಜವಾದ ದೋಷವನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಏನೆಂದರೆ, ಇದು ಜಾಗತಿಕ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ದೋಷವು (ಸರಿಸುಮಾರು) ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಏನು ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು t = 2.5 ಮತ್ತು h = 0.5 ರಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ದೋಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದುಃ t0 ಯು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು t ಗೆ ಕೆಳ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ, ಅಂದರೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಂತದ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವು ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆಃ ಇದು ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದು ಎಂದರೆ ಇದೇ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಹಂತದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಹೊರಗೆ ಇದ್ದರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು (ರೇಖೀಯ) ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರದೇಶದ ಹೊರಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮಿತಿಯು-ಅದರ ದೋಷಗಳ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಜೊತೆಗೆ-ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷವು ಸರಿಸುಮಾರು ಯಂತ್ರದ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಇರುವ ಪ್ರಮಾಣದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಒಟ್ಟು ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷವು ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹಂತದ ಗಾತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷದ ಪರಿಣಾಮವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರಿದೂಗಿಸಿದ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ರೌಂಡಿಂಗ್ ದೋಷದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸುವ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಸರಳ ಮಾರ್ಪಾಡು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆಃ ಇದು (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್, ಅಥವಾ ಫಾರ್ವರ್ಡ್) ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದ ಬದಲು ಹಂತದ ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ಸೂಚ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಇದು ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೆಚ್ಚದಾಯಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಇತರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು ಘಾತೀಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಅರೆ-ಸೂಚ್ಯ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿಧಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರತೆಯನ್ನು) ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಒಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿರುವ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ರುಂಗೆ-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು-ಹಂತದ ಆಡಮ್ಸ್-ಬ್ಯಾಷ್ಫೋರ್ತ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯಾಗಿದೆಃ ಇದು ರೇಖೀಯ ಬಹು-ಹಂತದ ವಿಧಾನಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಮೊರಿ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಂಕೋಚಕ ಸಂವೇದನೆಯಿಂದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಇತರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಿವೆ ಜನಪ್ರಿಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಡನ್ ಫಿಗರ್ಸ್ ಚಲನಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಥರೀನ್ ಗೋಬಲ್ ಭೂಮಿಯ ಕಕ್ಷೆಯಿಂದ ಗಗನಯಾತ್ರಿ ಜಾನ್ ಗ್ಲೆನ್ನ ಮರು-ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕ್ರ್ಯಾಂಕ್-ನಿಕಲ್ಸನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ಇದೇ ರೀತಿ ಸೀಮಿತ ಹಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಮಿನಿಮಾವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ರುಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನಗಳ ಪಟ್ಟಿ ರೇಖೀಯ ಬಹು ಹಂತದ ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು) ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು ವಿವಿಧ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ರೋಸೆಟ್ಟಾ ಕೋಡ್ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರುಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನಗಳು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಧಾನಗಳು ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಲೇಖನಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಆರ್ ಕೋಡ್ ಲೇಖನಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ಲಾಬ್/ಆಕ್ಟೇವ್ ಕೋಡ್