Atom (measure theory)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪರಮಾಣು ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಪರಮಾಣುಗಳಿಲ್ಲದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪರಮಾಣು ರಹಿತ ಅಥವಾ ಪರಮಾಣು ರಹಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಆ ಸ್ಥಳದ ಅಳತೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಪರಮಾಣು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಒಂದು ಪರಮಾಣು ಆಗಿದ್ದರೆ,-ಸಮೀಕರಣ ವರ್ಗದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಪರಮಾಣುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಮಾಣು ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು-ಅನಂತ ಅಳತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನೇಕ ಪರಮಾಣು ವರ್ಗಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು X = {1,2,., 9,10} ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಿಗ್ಮಾ-ಬೀಜಗಣಿತವು X ನ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಅದರ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ, i = 1,2,., 9,10 ಗಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗಳು (ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗಳು) ಒಂದು ಪರಮಾಣು. ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಅಳತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಮಾಣುಗಳಿಲ್ಲ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣು ಇದ್ದರೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎ-ಫೈನೈಟ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪರಮಾಣು ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಮಾಣು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಗುಂಪಿನವರೆಗೆ ಪರಮಾಣುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ವಿಭಾಗವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. - ಫಿನಿಟುಡ್ನ ಊಹೆಯು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಜಾಗವು ಪರಮಾಣುಯಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲಾ ಪರಮಾಣುಗಳು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೂ ಜಾಗವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಬೇರ್ಪಡುವ ಪರಮಾಣುಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್, ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಿರುವಿಕೆಯು ಪೂರಕವು ಎಣಿಸಲಾಗದಂತಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಅಳತೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯ ಗುಂಪಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವು ಮತ್ತೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಪುರಾವೆಯಿಂದ-ಫೈನೈಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪರಮಾಣು ವರ್ಗದ ಪರಮಾಣುಗಳ ಛೇದನವು ಖಾಲಿಯಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಎ-ಫೈನೈಟ್ ಪರಮಾಣು ಅಳತೆಯನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಡಿರಾಕ್ ಅಳತೆಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ತೂಕಗಳು) ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು-th ಪರಮಾಣು ವರ್ಗದ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಳತೆಯು ಪರಮಾಣು ಆದರೆ ವಿಲೋಮ ಪರಿಣಾಮವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಸಹ-ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಹ-ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಒಂದೇ ಪರಮಾಣು ವರ್ಗವಿದೆ, ಇದು ಸಹ-ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ. ಅಳತೆಯು ಪರಮಾಣು ಆದರೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಮಾಣು ವರ್ಗದ ಪರಮಾಣುಗಳ ಛೇದನವು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಡಿರಾಕ್ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಪರಮಾಣು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪರಮಾಣು ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನವು ಪರಮಾಣು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಅನನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಒದಗಿಸಲಾದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಮಾಣುಗಳಲ್ಲದ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಪರಮಾಣುಗಳಿಲ್ಲದ ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಅಳತೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಅಳತೆಯು ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಕ್ರಮಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಅಳತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸಿಯೆರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರ. ಸ್ವಲ್ಪ ಬಲವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಬಲ-ವಿಲೋಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಪರಮಾಣು (ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ)-ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸದೃಶವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆ, ಇದನ್ನು ಪರಮಾಣು ಘಟನೆ ಎಂದು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ದಿ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಮೆಷರ್ ಥಿಯರಿಯಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣು