Smoluchowski coagulation equation
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಮೊಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಸಮೀಕರಣವು 1916ರ ಮೂಲ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ ಮರಿಯನ್ ಸ್ಮೊಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸಮಯ ವಿಕಸನವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟಿದಾಗ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕ್ಲಂಪಿಂಗ್") ಸಮಯ t ನಲ್ಲಿ x ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ. ಪಾಲಿಮರೀಕರಣ, ಏರೋಸಾಲ್ಗಳ ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವಿಕೆ, ಎಮಲ್ಶಿಕೇಷನ್, ಫ್ಲೋಕ್ಯುಲೇಷನ್ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲಿಕ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆ (ಅಥವಾ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆ) ಎದುರಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕಣಗಳ ಗಾತ್ರದ ವಿತರಣೆಯು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕಣ-ಗಾತ್ರದ ವಿತರಣೆಯ ಸಮಗ್ರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟಿದ ಕಣಗಳ ಗಾತ್ರಗಳು ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ dy ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಳತೆಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ. ಕಣಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿದಾಗ, ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೂಪವು ಒಂದು ಸಂಕಲನವಾಗಿದೆಃ ಆಯ್ದ ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆ ಕರ್ನಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಕೆ ಅನ್ನು ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆ ಕರ್ನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರದ ಕಣಗಳು ಗಾತ್ರದ ಕಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವ ದರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಕರ್ನಲ್ ಮೂರು ಸರಳ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆಃ ಇದನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ, ಸಂಯೋಜಕ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲಿಕೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕರ್ನಲ್ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದುರ್ಬಲ ಅನಿಲ-ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಘರ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮುಕ್ತ-ಆಣ್ವಿಕ ಕರ್ನಲ್, ಕೆಲವು ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಪ್ರಸರಣ-ಸೀಮಿತ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಃ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ-ಸೀಮಿತ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಃ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಗಳ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ, ಇದು ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಫುಚ್ಸ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ನಿರಂತರ ಹಂತದ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಕರ್ನಲ್ನ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯತಾಂಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೋಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಮೋಡದ ಕಣಗಳ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮೋಡದ ಕಣಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಪತನದ ವೇಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಭೌತಿಕವಾಗಿ ವಾಸ್ತವಿಕವಾದ ಕರ್ನಲ್ಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಮನವಿ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಆಸಕ್ತಿಯ ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (x) ಇದ್ದಾಗ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ವಿಧಾನಗಳು ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗೀಯ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಹು-ರೂಪಾಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಗಾತ್ರ, ಆಕಾರ, ಸಂಯೋಜನೆ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ, ಆಯಾಮದ ಶಾಪದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಬಳಲುತ್ತಿರುವ ವಿಶೇಷ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ರೇಡಿಯಲ್ ಆಧಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ದ್ರಾವಣದ ನಿಖರತೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದಾಗ, ಸಂಭವನೀಯ ಕಣ (ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ) ವಿಧಾನಗಳು ಆಕರ್ಷಕ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿವೆ. ಸಾಂದ್ರೀಕರಣ-ಚಾಲಿತ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಕಣಗಳು ಸಾಂದ್ರೀಕರಣ, ಶೇಖರಣೆ ಅಥವಾ ಸಂಚಯದ ಮೂಲಕವೂ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಬೆಳೆಯಬಹುದು. ಹಸನ್ ಮತ್ತು ಹಸನ್ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಘನೀಕರಣ-ಚಾಲಿತ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆ (ಸಿಡಿಎ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಘರ್ಷಣೆ ನಂತರ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುವ ನಡುವೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಕಣಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಸಿಡಿಎ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಯೋಜನೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗಾತ್ರದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಳೆದ ಸಮಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಘರ್ಷಣೆ ಸಮಯದ ನಡುವಿನ ಸಾಂದ್ರೀಕರಣದಿಂದಾಗಿ ಗಾತ್ರದ ಕಣವು ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಕರ್ನಲ್ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸಾಂದ್ರೀಕರಣ-ಚಾಲಿತ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಆಯಾಮದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸರಳವಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಕಾನೂನು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿಯೂ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಐನ್ಸ್ಟೀನ್-ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಫ್ಲೋಕ್ಯುಲೇಷನ್ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ವಿಲಿಯಮ್ಸ್ ಸ್ಪ್ರೇ ಸಮೀಕರಣ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ