Reflection theorem
ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಫಲನ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಸ್ಪೀಗೆಲುಂಗ್ಸಾಟ್ಜ್ (ಪ್ರತಿಫಲನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕಾಗಿ ಜರ್ಮನ್-ಸ್ಪೀಗೆಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಯಾಟ್ಜ್ ನೋಡಿ) ವಿಭಿನ್ನ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳ (ಅಥವಾ ಕಿರಣ ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳು) ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ವರ್ಗ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಐಸೊಟೈಪಿಕ್ ಘಟಕಗಳ ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಕುಮ್ಮರ್, ಅವರು ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯು, p ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ, ಗರಿಷ್ಠ ನೈಜ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯು p ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸ್ಕೋಲ್ಜ್. ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಯು 3 ನೈಜ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದರೆ, 3 ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಲಿಯೋಪೋಲ್ಟ್ನ ಸ್ಪೀಗಲುಂಗ್ಸಾಟ್ಜ್ ಮೇಲಿನ ಎರಡೂ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಲಿಯೋಪೋಲ್ಟ್ನ "ಸ್ಪೀಗಲುಂಗ್ಸಾಟ್ಜ್" ನಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವರ್ಗ ಗುಂಪಿನ ವಿವಿಧ ಐಸೊಟೈಪಿಕ್ ಘಟಕಗಳ ಪಿ-ರಾಂಕ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎಲ್/ಕೆ ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸೀಮಿತ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರಲಿ, ಗುಂಪು ಜಿ, ಪಿ ಗೆ ಡಿಗ್ರಿ ಪ್ರೈಮ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ ಏಕತೆಯ ಪಿ-th ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎ ಎಂಬುದು ಎಲ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಪಿ-ಸೈಲೋ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. φ ಯು ಕ್ಯೂಪಿ [ಜಿ] ಗುಂಪಿನ ಉಂಗುರದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು Aφ ಯು ಎ ನ ಅನುಗುಣವಾದ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಯಾವುದೇ φ ಗೆ q = pφ (1) ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು G-ಶ್ರೇಣಿಯ eφ ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. δφ ಯು E0 ನ φ ಅಂಶದ G-ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಪೀಗಲುಂಗ್ಸಾಟ್ಜ್ನ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಓರಿಯಟ್ ಮತ್ತು ಓರಿಯಟ್-ಸ್ಯಾಟ್ಜ್ ನೀಡಿದವು ಎಂದು ಸ್ಪೀಗಲುಂಗ್ಸಾಟ್ಜ್ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕೆ/ಕೆ ಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆ/ಕೆ ಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಗುಂಪಿನ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದವು. ಲಿಯೋಪೋಲ್ಟ್ನ ಸ್ಪೀಗಲುಂಗ್ಸಾಟ್ಜ್ ಅನ್ನು ಬೇರೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕುರೋಡಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು, ಅವರು ಅದನ್ನು ರೇ ವರ್ಗದ ಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಜಾರ್ಜಸ್ ಗ್ರಾಸ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ "ಟಿ-ಎಸ್ ಪ್ರತಿಫಲನ ಪ್ರಮೇಯ" ವಾಗಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಕೆಂಕಿಚಿ ಇವಾಸಾವಾ ಇವಾಸಾವಾ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರತಿಫಲನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು