Schur polynomial
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇಸೈ ಶುರ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಶುರ್ ಬಹುಪದಗಳು, n ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಬಹುಪದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಅಕ್ಷರಗಳಾಗಿವೆ. ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಜಾಗಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು; ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ನಿಯಮದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸ್ಕ್ಯೂ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಜೋಡಿ ವಿಭಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಜಾಕೋಬಿಯ ಬೈಯಲ್ಟರ್ನೆಂಟ್ ಸೂತ್ರ) ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪರ್ಯಾಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಬಹುಪದವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ವಾಂಡರ್ಮೊಂಡೆ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅನುಪಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಇದನ್ನು ಜಾಕೋಬಿಯ ಬೈಯಲ್ಟರ್ನೆಂಟ್ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ವೇಯ್ಲ್ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯ ಬಹುಪದಿಗಳು ವಾಂಡರ್ಮೊಂಡೆ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಡಿಗ್ರಿ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಏಕರೂಪದ ಡಿಗ್ರಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಜಾಗಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಷುರ್ ಬಹುಪದವು ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನವು ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಧ-ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಘಾತಾಂಕಗಳು ತೂಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಲಿಂಡ್ಸ್ಟ್ರಾಮ್-ಗೆಸೆಲ್-ವಿಯನ್ನಾಟ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು (ಆ ಪುಟದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವಂತೆ) ಮೊದಲ ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಕೊಸ್ಟ್ಕಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಕೊಸ್ಟ್ಕಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು λ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ತೂಕದ ಅರೆ-ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಕೋಬಿ-ಟ್ರುಡಿ ಗುರುತುಗಳು ಮೊದಲ ಜಾಕೋಬಿ-ಟ್ರುಡಿ ಸೂತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಷುರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ. ಎರಡನೇ ಜಾಕೋಬಿ-ಟ್ರುಡಿ ಸೂತ್ರವು ಷುರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಗುರುತುಗಳಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಂದಾದಾರಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಗುರುತು ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗುರುತು ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿಯ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಂಗ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಹುಕ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ ಶುರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ನ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ, ಅದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಕೆಳಗಿರುವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ ತೋಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಿನ ಉದ್ದ). ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಗುರುತು ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಶುರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಕ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ ಗುರುತು ಷುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕೌಚಿ ಗುರುತು (ಈಗ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ವಂದ್ವ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳ λ ಮೇಲೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊತ್ತವನ್ನು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಚರರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಮೊತ್ತವು ಉದ್ದದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಇತರ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ಈ ಗುರುತುಗಳ ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಶುಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕೌಚಿಯಂತಹ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುರುತುಗಳು ಷುರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹಾಲ್-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷತೆಯ ಮೂಲಕವೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ i, ಮತ್ತು w ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವಂತಹ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಉಪಗುಂಪು ಇದೆ. ಮುರ್ನಾಘನ್-ನಕಾಯಾಮಾ ನಿಯಮ ಮುರ್ನಾಘನ್-ನಕಾಯಾಮಾ ನಿಯಮವು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ-ಮೊತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿಃ ಇಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವು ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ μ/λ ಎಂಬುದು r ಗಾತ್ರದ ರಿಮ್-ಹುಕ್ ಮತ್ತು ht (μ/λ) ಎಂಬುದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಪಿಯರಿಯ ಸೂತ್ರವು ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿರುವ ಶೂರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಅವು ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದು, ದಿ ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ನಿಯಮವು ಇದು ಓರೆಯಾದ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ತೂಕದ ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪಿಯರಿಯ ಸೂತ್ರವು ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ನಿಯಮದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉಭಯ ಆವೃತ್ತಿಯು ಶುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷತೆಗಳು ಷುರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅರೆ-ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಕಾರದ ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಯ್ಲ್ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯಂಗ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನ ಅಗಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಉದ್ದದವರೆಗೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು. ಸ್ಥಿರವಾದ λ ಗೆ ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಹುಕ್ ಉದ್ದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಸ್ತೃತ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. n = 3, d = 4 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಫೆರರ್ಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗರಿಷ್ಠ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ 4ರ ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಾಗಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳಿವೆ, ವಾಂಡರ್ಮೊಂಡೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಸಾರಾಂಶಃ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಏಕರೂಪದ ಡಿಗ್ರಿ-ನಾಲ್ಕು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಈ ನಾಲ್ಕು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಗ್ರೋಬ್ನರ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತದ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ವೇಯ್ಲ್ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರವು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಅಕ್ಷರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಷುರ್ನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಷುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ρ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾದ ಚಕ್ರ ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ λ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಅಕ್ಷರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು χ ಅನ್ನು ಬರೆದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ρ = (1r1,2r2,3r3,.) ಎಂದರೆ ವಿಭಾಗವು k ಉದ್ದದ rk ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಇದರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಆರ್. ಸ್ಟಾನ್ಲಿಯ ಎನ್ಯೂಮರೇಟಿವ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ ಸಂಪುಟ 2, ಕೊರೋಲರಿ 7.17.5 ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು χ ಅನ್ನು ಮುರ್ನಾಘನ್-ನಕಾಯಾಮ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಷುರ್ ಪಾಸಿಟಿವಿಟಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದಾಗಿ, ಷುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಕ್ಯೂ ಷುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಷುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಇದರ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಶುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಭಜನೆಯು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಘಟಕವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಷುರ್ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ನ ಷುರ್ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಎಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದರೆ, ಅರೆ-ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು ನೇರ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಎಡೆಲ್ಮನ್-ಗ್ರೀನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಮತ್ತು ರಾಬಿನ್ಸನ್-ಷೆನ್ಸ್ಟೆಡ್-ಕ್ನುತ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಗಳು ಅಂತಹ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸ್ಫಟಿಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ದ್ವಂದ್ವ ಸಮಾನತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಗ್ರಾಫ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂಲಭೂತ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ. ಇದು ಆರ್ಎಸ್ಕೆ-ಕರೆಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್ಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸ್ಕ್ಯೂ ಸ್ಕರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಕ್ಯೂ ಸ್ಕರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು sλ/μ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಇಲ್ಲಿ, ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹಾಲ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಕ್ಯೂ ಬಹುಪದಗಳು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳಂತೆಯೇ, ಇವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಜಾಕೋಬಿ-ಟ್ರುಡಿ ಗುರುತುಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಸ್ಕ್ಯೂ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೂ ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಸ್ಕ್ಯೂ ಆಕಾರದ ಎಲ್ಲಾ ಅರೆ-ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್-ಸ್ಟ್ರಿಕ್ಟ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳು) ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕ್ಯೂ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ನಿಯಮವು ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಒಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಡಬಲ್ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಡಬಲ್ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಬಹುಪದಗಳು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎರಡು ಷುರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಹಿಮ್ಮುಖ ಅರೆ-ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಕಾರದ ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಮೂದುಗಳ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ (a ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ನಿಯಮವನ್ನು ಎ. ಐ. ಮೊಲೆವ್ ನೀಡಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಬದಲಾಯಿಸಲಾದ ಶುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬದಲಾಯಿಸಲಾದ ಷುರ್ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಷುರ್ ಬಹುಪದಿಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಅನ್ನು ವಿಶೇಷೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಡಬಲ್ ಶುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಡಬಲ್ ಶುಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು λ, ಮತ್ತು ದ್ವಿಗುಣ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ., a − 1, a0, a1,. ಒಬ್ಬರು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಷುರ್ ಬಹುಪದ sλ (x|a) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು λ ಆಕಾರದ ಎಲ್ಲಾ ಅರೆ-ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳು T ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 1,, n ನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಮೂದುಗಳು. ಇಲ್ಲಿ T (α) ಬಾಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು c (α) ಬಾಕ್ಸ್ನ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸೂತ್ರವೂ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ (y|a) k = (y−a1). (y−ak). ನಾವು ಎಲ್ಲಾ i ಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಷುರ್ ಬಹುಪದ sλ ಅನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು n ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು sλ (x | |a) = sλ (x|u) ಗುರುತಿನ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ − i + 1 = ui. ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿವೆಃ ಹಾಲ್-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಶಿಫ್ಟೆಡ್ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಫ್ಲಾಗ್ಡ್ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸ್ಕಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಸ್ಥಿರ ಸ್ಕಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಪ್ರಮುಖ ಬಹುಪದಗಳು (ಡಿಮ್ಯಾಝರ್ ಅಕ್ಷರಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಅರೆ-ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಕರ್ ಬಹುಪದಗಳು ರೋ-ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸ್ಕರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಜ್ಯಾಕ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಸ್ಕರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಲೂಪ್ ಸ್ಕರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸ್ಕರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿಗಾಗಿ. ಕೆ-ಷುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳು (ಕೆ-ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯ) ಎಲ್ಎಲ್ಟಿ ಬಹುಪದಗಳು ಷುರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಕೆಲವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳು ಬದಲಾಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು