Free Boolean algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ (ಮತ್ತೆ ಬೂಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸೀಮಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ) ಅದು ಪ್ರತಿ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೂ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಜಾನ್ ಎತ್ತರವಾಗಿದ್ದಾನೆ" ಮತ್ತು "ಮೇರಿ ಶ್ರೀಮಂತಳಾಗಿದ್ದಾಳೆ" ಎಂಬ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವು ನಾಲ್ಕು ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ಜಾನ್ ಎತ್ತರವಾಗಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಮೇರಿ ಶ್ರೀಮಂತಳಾಗಿದ್ದಾಳೆ; ಜಾನ್ ಎತ್ತರವಾಗಿದ್ದಾಳೆ ಮತ್ತು ಮೇರಿ ಶ್ರೀಮಂತಳಲ್ಲ; ಜಾನ್ ಎತ್ತರವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮೇರಿ ಶ್ರೀಮಂತಳಲ್ಲ; ಜಾನ್ ಎತ್ತರವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮೇರಿ ಶ್ರೀಮಂತಳಲ್ಲ. ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಇತರ ಅಂಶಗಳು ಪರಮಾಣುಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಭಜನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ "ಜಾನ್ ಎತ್ತರವಾಗಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಮೇರಿ ಶ್ರೀಮಂತಳಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಜಾನ್ ಎತ್ತರವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೇರಿ ಶ್ರೀಮಂತಳಲ್ಲ". ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಶವಿದೆ, FALSE, ಇದನ್ನು ಖಾಲಿ ವಿಭಜನೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಮಾಣುಗಳ ವಿಭಜನೆ ಇಲ್ಲ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು 16 ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೀಮಿತ n ಗೆ, n ಉತ್ಪಾದಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು 2n ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಶಗಳು. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳಿದ್ದರೆ, ಈಗ ಯಾವುದೇ ಪರಮಾಣುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು, ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅನೇಕ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಎನ್-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಎನ್ ಬಿಟ್ಗಳಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಾಡಲು 0 ಅಥವಾ 1 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ವರ್ಗ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗ, ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ವರ್ಗದ ನಡುವಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ವಿಧಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ, ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸುವ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ; ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಒಂದು ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೇಳಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ X ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಉಚಿತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ FX ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಬೀಜಗಣಿತ B ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ f: X → B ಗೆ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ f′: FX → B ಇದೆ, ಅದು f ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲಿ iX ಎಂದರೆ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಮತ್ತು ಡ್ಯಾಶ್ ಮಾಡಿದ ಬಾಣವು ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Xನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಕಳುಹಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಮುಕ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ FXನಲ್ಲಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಲ್ಲಿ ಕಳುಹಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಎಫ್ಎಕ್ಸ್ Xನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ f′ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು Xನ ಅಂಶಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಆಗ f′ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ! ಎಫ್ಎಕ್ಸ್ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ), ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಮೂಲತಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, ಸೆಟ್ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಫ್ಎಕ್ಸ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಒಂದು ನ್ಯೂನತೆಯೆಂದರೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು f′ ಅನ್ನು ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ; ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬಾಣವು ಕೇವಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇದನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ಬಿಎ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ. ಇವೆರಡನ್ನೂ ಸಂಬಂಧಿಸಲು, ನಾವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು "ಮರೆತುಬಿಡುವ" U: BA → ಸೆಟ್ ಎಂಬ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪತೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮೇಲಿನ ಬಾಣವನ್ನು ಬಿಎಯಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯವು f: X → UB ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಫಂಕ್ಟರ್ U ಅನ್ನು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ f′ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸೆಟ್ಗೆ ಎಳೆಯುವ ಸಾಧನವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು f ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಇದರ ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶವೆಂದರೆ ನಂತರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಎರಡು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವಾಗ ವಿವಿಧ (ಸಮಾನ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಎಫ್ ಸುಲಭವಾಗಿ ಫಂಕ್ಟರ್ ಸೆಟ್ → ಬಿಎಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಫ್ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಎಕ್ಸ್ನ ನಮ್ಮ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಿಖರವಾಗಿ ಯು ಎಡ ಪಕ್ಕದ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರಿಯಲೈಸೇಶನ್ κ ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಲ್ಲಿ κ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, {0,1} κ ನ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಲೋಪೆನ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯು {0,1} ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ α <κ ಗೆ, αth ಜನರೇಟರ್ {0,1} κ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ αth ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು 1 ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಲೋಪೆನ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಗ್ರಹವು ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, n ಸೀಮಿತ ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು, ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಯಾವುದೇ ಮುಕ್ತ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನೇಕ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಂತೆ, ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮುಕ್ತ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಈ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಗೆ ಸ್ಟೋನ್ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ (ರಚನೆ) ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಸ್ಟೀವ್ ಅವೊಡೆ (2006) ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಲಾಜಿಕ್ ಗೈಡ್ಸ್ 49) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ಪಾಲ್ ಹಾಲ್ಮೊಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀವನ್ ಗಿವಾಂಟ್ (1998) ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಆಗಿ ಲಾಜಿಕ್. ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕಾ. ಸಾಂಡರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ (1998) ವರ್ಕಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಶಿಯನ್ ವಿಭಾಗಗಳು. 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. (ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪದವಿ ಪಠ್ಯಗಳು 5). ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್. ಸೌಂಡರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ (1999) ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, 3ಡಿ. ಎಡ್. ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ. .. ರಾಬರ್ಟ್ ಆರ್. ಸ್ಟೋಲ್, 1963. ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ ಮತ್ತು ಲಾಜಿಕ್, chpt. 6. 7 ಆಗಿದೆ. ಡೋವರ್ ಮರುಮುದ್ರಣ 1979. ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮುಕ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು