Fuzzy sphere
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಗೋಳವು ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸರಳ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಅಂಗೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಚಾರ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಗೋಳವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗೋಳಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಸ್ಪಿನ್ l ಕೆಲವು j ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜೆ ಅನ್ನು ಮೀರಿದ ಸ್ಪಿನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು-ಆಯಾಮದ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗೋಳವನ್ನು ನೋಡಲು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಈ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸು (2) ನ ಜೆ ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮೂರು ಜೆ-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ಜೆ ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸು (2) ಕಾಸಿಮಿರ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಮೌಲ್ಯವು ಇಲ್ಲಿ I ಎಂಬುದು ಜೆ-ಆಯಾಮದ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು 'ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು' ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ r ಎಂಬುದು ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು r ಮತ್ತು j ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಕ್ಯಾಸಿಮಿರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ತ್ರಿಮಾನ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ F ಎಂಬುದು f ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂವಹನ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನೀಡುವ ಏಕತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಇಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು g ಅನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಜೆನ್ಸ್ ಹೋಪ್ಪೆ, "ಮೆಂಬ್ರೇನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡೆಲ್ಸ್", ಬೇಸಿಗೆ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು 'ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ-ಫ್ರಮ್ ಎ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಫ್ ವ್ಯೂ', ಆಗಸ್ಟ್ 2-9,2000, ಜಾನ್ ಮ್ಯಾಡೋರ್, ಆನ್ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಅಂಡ್ ಇಟ್ಸ್ ಫಿಸಿಕಲ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, ಲಂಡನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ ಲೆಕ್ಚರ್ ನೋಟ್ ಸರಣಿ. 257, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್ 2002 ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಜೆ. ಹೋಪ್ಪೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಎ ಮಾಸ್ ಲೆಸ್ ರಿಲೇಟಿವಿಸ್ಟಿಕ್ ಸರ್ಫೇಸ್ ಅಂಡ್ ಎ ಟೂ ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಬೌಂಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್. ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧ, ಮ್ಯಾಸಚೂಸೆಟ್ಸ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ, 1982. ಗಣಿತದ ಪರಿಮಾಣೀಕರಣ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳದ ರೇಖಾಗಣಿತ