Fixed points of isometry groups in Euclidean space
ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಖಾಲಿ ಅಥವಾ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಕೃತಿಯ ಕೇಂದ್ರಕಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಭೌತಿಕ ವಸ್ತುವಿನ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಸಮರೂಪತೆಗೆ ಆಕಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನೂ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವಸ್ತುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಇದು ಈ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. "ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರ" ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಅರ್ಥವು ವಿಲೋಮ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಬಿಂದುವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅನುವಾದದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. C3h ಮತ್ತು D2 ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಮೊದಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಲೋಮವಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಸ್ತುವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರಕ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಸಮತಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಈ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. 1ಡಿ ರೇಖೆ ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಇಡೀ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತವೆ. 2ಡಿ ವಿಮಾನ ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಸಿ1 ಇಡೀ ಸಮತಲವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲೈನ್ ಸಿಎಸ್ ಆ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳು ಆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತವೆ. 3ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಸಿ1 ಇಡೀ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಮಾನ ಸಿಎಸ್ ಆ ಸಮತಲವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪುಗಳು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳಾಗಿದ್ದು, ಆ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ 2ಡಿ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. Cn (n> 1) ಮತ್ತು Cnv (n> 1) ಅಕ್ಷದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಇಲ್ಲದ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪು ಅನುವಾದಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಕ್ರೂ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರತಿ ಆಯಾಮದಲ್ಲೂ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವಿಲೋಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಸಮಾನಾಂತರ ಲಿಪಿಪೆಡ್ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸ್ಲಾವಿಕ್ ವಿ. ಜಬ್ಲಾನ್, ಸಿಮೆಟ್ರಿ, ಅಲಂಕಾರ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಾರಿಟಿ, ನಾಟ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎವೆರಿಥಿಂಗ್ ಕುರಿತ ಕೆ & ಇ ಸರಣಿಯ ಸಂಪುಟ 30, ವಿಶ್ವ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ, 2002. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು (ಗಣಿತ) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೇಂದ್ರಗಳು