Elliptic surface
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಂತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿತ ನಾರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದು, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ನಾರುಗಳು 1ನೇ ಕುಲದ ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ. (ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ನಾರುಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಬಹುಶಃ ಆಯ್ದ ಮೂಲವಿಲ್ಲ.) ಇದು ಜೆನೆರಿಕ್ ಫೈಬರ್ ಒಂದನೇ ಕುಲದ ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸರಿಯಾದ ಮೂಲ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಏಕ-ಅಲ್ಲದ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಅಥವಾ ನಿಯಮಿತ ಯೋಜನೆಗಳು, ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಲ್ಲದ ನಾರುಗಳನ್ನು ಏಕಾಕಾರದ ನಾರುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕುನಿಹಿಕೋ ಕೊಡೈರಾ ಅವರು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಎಫ್-ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಂಡಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಏಕವಚನದ ನಾರುಗಳೆರಡೂ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಯವಾದ 4-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅವು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ (ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ). ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ (ಯಾವುದೇ ಏಕ ತಂತುಗಳಿಲ್ಲ). ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ 1 ರ ಎಲ್ಲಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಂಡಾಕಾರದ ತಂತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಡೈರಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಡೋಲ್ಗಾಚೆವ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಶಿಯೋಡಾ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಕೊಡೈರಾದ ಏಕ ತಂತುಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ನಾರುಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಾರುಗಳು (ಏಕವಲ್ಲದ) ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಉಳಿದ ನಾರುಗಳನ್ನು ಏಕ ನಾರುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಬಹುಶಃ ಏಕತ್ವಗಳು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ನಾರುಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಯೋಜನೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು). ಕೊಡೈರಾ ಮತ್ತು ನೆರೋನ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ನಾರುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಟೇಟ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಾರುಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಡಾಕಾರದ ನಾರುಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ನಾರುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ("ಕನಿಷ್ಠ" ಎಂದರೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ "ಸಣ್ಣ" ಮೂಲಕ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾಗದ ಒಂದು; ನಿಖರವಾಗಿ, ಏಕವಚನದ ನಾರುಗಳು ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ ಸಂಖ್ಯೆ-1 ರೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು. ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಫೈಬರ್ಗೆ ಕೊಡೈರಾದ ಚಿಹ್ನೆ, ಫೈಬರ್ಗೆ ಆಂಡ್ರೆ ನೆರೋನ್ನ ಚಿಹ್ನೆ, ಫೈಬರ್ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಪ್ರಕಾರ I0 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ) ಘಟಕಗಳ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಇದು 1 × 1 ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿರುವ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ನಾರುಗಳ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಾದಗಳು ಫೈಬರ್ನ ಘಟಕಗಳ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್, ಸಂಪರ್ಕಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು-1 (ಕನಿಷ್ಠತೆಯಿಂದ) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕರ್ಣ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 0 ಆಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಎಡಿಇ ಪ್ರಕಾರದ ಅಫೈನ್ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೂರು ವಿನಾಯಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಫೈಬರ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆಃ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಫೈಬರ್ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಬಹುದು (ಟೈಪ್ I0), ಅಥವಾ ಡಬಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ (ಟೈಪ್ I1), ಅಥವಾ ಕಸ್ಪ್ (ಟೈಪ್ II) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಫೈನ್ A1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿ 2 ಹೊಂದಿರುವ 2 ಘಟಕಗಳಿವೆ. ಅವರು ಆರ್ಡರ್ 1 (ಟೈಪ್ I2) ನೊಂದಿಗೆ 2 ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಆರ್ಡರ್ 2 (ಟೈಪ್ III) ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭೇಟಿಯಾಗಬಹುದು. ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಫೈನ್ A2 ಆಗಿದ್ದರೆ, 3 ಘಟಕಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇತರ ಎರಡನ್ನು ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರು 3 ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ಪ್ರಕಾರ I3) ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಭೇಟಿಯಾಗಬಹುದು, ಅಥವಾ ಎಲ್ಲರೂ ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಪ್ರಕಾರ IV) ಭೇಟಿಯಾಗಬಹುದು. ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರತಿ ಏಕ ತಂತಿಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಯು 2x2 ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಝಡ್) ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಒಂದು ನಯವಾದ ನಾರಿನ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು (ಇದು Z2 ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ) ನಾವು ಏಕಾಕಾರದ ನಾರಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಹೋಗುವಾಗ ಬದಲಾಗುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕಾಂಗಿ ನಾರುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಈ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಪ್ರಕಾರ II, III, IV, I0 *, IV *, III *, ಅಥವಾ II * ನ ಏಕಾಂಗಿ ನಾರುಗಳಿಗೆ, ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಯು SL (2, Z) ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ನಾರು ಅಂತಹ ನಾರುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಉತ್ತಮ ಕಡಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಇದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಬೇಸ್ ಕರ್ವ್ನ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಸೀಮಿತ ಹೊದಿಕೆಯ ನಂತರ, ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು ನಯವಾದ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಯಾವ ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 0 ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು 6ನೇ ಕ್ರಮದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 1728 ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು 4ನೇ ಕ್ರಮದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. (ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.) ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗೆ, ಪ್ರತಿ ಫೈಬರ್ನ ನಯವಾದ ಲೋಕಸ್ ಒಂದು ಗುಂಪು ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಏಕಾಂಗಿ ನಾರುಗಳಿಗೆ, ನಯವಾದ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲಿನ ಈ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಅಫೈನ್ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗಿನ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಫೈಬರ್ಗೆ, ನಯವಾದ ಲೋಕಸ್ನ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪು ಇಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿರುವಂತೆ, ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ.) ಏಕಾಂಗಿ ನಾರುಗಳ ಗುಂಪು ರಚನೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ನಾರುಗಳ (ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪು) ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪನ್ನು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅದರ ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ f: X → S ನ ಅಂಗೀಕೃತ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಕೊಡೈರಾ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಗೀಕೃತ ಬಂಡಲ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ಇಲ್ಲಿ f ನ ಬಹು ನಾರುಗಳನ್ನು (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ) ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು L ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. S ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ), L ನ ಮಟ್ಟವನ್ನು X ಮತ್ತು S ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ χ (χ) ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಬಂಡಲ್ ಸೂತ್ರವು KX ಯು S ಮೇಲಿನ ಕೆಲವು Q-ವಿಭಾಜಕದ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ Q-ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲಿ ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ X → S ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಕೆಂಜಿ ಯುನೊ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ತಕಾವೊ ಫುಜಿಟಾ (1986) ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಬಂಡಲ್ ಸೂತ್ರದ ಉಪಯುಕ್ತ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಕೆಎಕ್ಸ್ ಹೇಗೆ ನಯವಾದ ನಾರುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕ್ಯೂ-ಲೀನಿಯರ್ ಸಮಾನತೆಯಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಡಿವಿಸರ್ ಬಿಎಸ್ ಎಂಬುದು ಎಫ್ ನ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಫೈಬರ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ಯೂ-ಡಿವಿಸರ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮಾಡುಲಿ ಡಿವಿಸರ್ ಎಂಎಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜೆಃ ಎಸ್ → ಪಿ 1 ನಯವಾದ ಫೈಬರ್ಗಳ ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. (ಹೀಗಾಗಿ ಎಂ. ಎಸ್. ಎಂಬುದು ಕ್ಯೂ-ವಿಭಾಜಕಗಳ ಕ್ಯೂ-ರೇಖೀಯ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ವಿಭಾಜಕ ವರ್ಗದ ಗುಂಪು ಕ್ಲ್ (ಎಸ್) ಮತ್ತು ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಗುಂಪಿನ ಪಿಕ್ (ಎಸ್) ನಡುವಿನ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಸ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ಗೆ, ಮಾಡುಲಿ ಡಿವಿಸರ್ ಎಂಎಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಐಸೊಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಶೂನ್ಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನಯವಾದ ನಾರುಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಫುಜಿತಾದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಡಿವಿಸರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ c (p) ಲಾಗ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮಿತಿ. ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಫೈಬರ್ನ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಇದು 0 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ನಯವಾದ ನಾರು ಅಥವಾ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಎಲ್. ಸಿ. ಟಿ. 1 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಬಹು ನಾರುಗಳಿಗೆ 1/ಮೀ, 1/2, II ಗೆ 5/6, III ಗೆ 3/4, IV ಗೆ 2/3, IV * ಗೆ 1/3, III * ಗೆ 1/4, ಮತ್ತು II * ಗೆ 1/6 ಆಗಿದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಬಂಡಲ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು (ಫುಜಿತಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ) ಯುಜಿರೊ ಕವಾಮಾತಾ ಮತ್ತು ಇತರರು ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ ಕ್ಯಾಲಾಬಿ-ಯೌ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಥವಾ ನಾರುಗಳ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪಾಂತರವು (ಮಧ್ಯ pಯೊಂದಿಗೆ m ಕ್ರಮದ) ಬೇಸ್ ಜಾಗದ ಒಂದು ಬಿಂದು pಯ ಮೇಲೆ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿ 1ರ ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿ mನ ಫೈಬರ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿಯ ಫೈಬರ್ಗಳನ್ನು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿ 1ರ ಫೈಬರ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಫೈಬರ್ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಹಿಂಸಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದುಃ ಅವು ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಃ L ಯು C ಯ ಜಾಲಕ Z + iZ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು E ಯು C/L ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ E × C ಯಿಂದ C ಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಯು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಆಗಿದೆ. 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿ 2 ನ ಫೈಬರ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. (c, s) ಅನ್ನು (c + 1/2, −s) ಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕ್ರಮ 2 ರ E × C ಯ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆ ಇದೆ. ಈ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನಾವು X ಅನ್ನು E × C ಯ ಅಂಶವಾಗಿರಲು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು (ಸಿ, ಎಸ್) ನಿಂದ ಎಸ್ 2 ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಿ ಮೇಲೆ ಫೈಬರ್ ಜಾಗವಾಗಿ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು (c, s) ನಿಂದ (c-log (s)/2πi, s2) ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ X ಮೈನಸ್ ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು 0 ರಿಂದ E × C ಮೈನಸ್ ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು 0 ಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ. (0ರ ಮೇಲಿರುವ ಎರಡು ನಾರುಗಳು ಸಮರೂಪವಲ್ಲದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ X ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಎಲ್ಲಾ Cಯ ಮೇಲೆ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ E × Cಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ.) ನಂತರ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ X, 2ರಿಂದ 0ರ ಗುಣಾಕಾರದ ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ E × Cನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ 0 ರೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮ 2 ರಿಂದ E × C ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ X ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಎನ್ರಿಕ್ಸ್-ಕೊಡೈರಾ ವರ್ಗೀಕರಣ ನೆರೋನ್ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಬೈರೇಷನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಗಣಿತ ವರ್ಗೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.