P-form electrodynamics
ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ,-ರೂಪದ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ (ಮೂಲಕ. ಒಂದು-ರೂಪ) ಅಬೆಲಿಯನ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ನಾವು ಒಂದು-ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಒಂದು ಗೇಜ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ 0-ರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಗೇಜ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರವಾಹವು ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾವು ಆ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗೇಜ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 2-ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಇದನ್ನು ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಇರುವ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪಿ-ಫಾರ್ಮ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ನಾವು ಒಂದು-ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಒಂದು ಗೇಜ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ-ರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆ 1 ಹೊಂದಿರುವ ಗೇಜ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್-ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಗೇಜ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್-ರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಇದನ್ನು ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಇರುವ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇತರ ಸಂಕೇತ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಕಾಲ್ಬ್-ರಾಮೊಂಡ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಡಿ-ಬ್ರೇನ್ಗಳ ಆವೇಶದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಾಮೊಂಡ್-ರಾಮೊಂಡ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. 11-ಆಯಾಮದ ಸೂಪರ್ ಗ್ರಾವಿಟಿ ಅಥವಾ ಎಂ-ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು 3-ರೂಪದ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆಯೇ, ನಾವು-ಫಾರ್ಮ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜೆರ್ಬ್ಗಳ ಬಳಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೆನಿಯೋಕ್ಸ್; ಟೀಟೆಲ್ಬೊಯಿಮ್ (1986), "-ಫಾರ್ಮ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್", ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ 16 (7): 593-617, ನವಾರೋ; ಸ್ಯಾಂಚೋ (2012), "ಎನರ್ಜಿ ಅಂಡ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಸಮ್ ಆಫ್ ಎ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್-ಫಾರ್ಮ್", ಜೆ. ಗಣಿತ. ಫಿಸಿಕಲ್. 53, 102501 (2012) ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ