Floquet theory
ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಆವರ್ತಕ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ತುಂಡು ತುಂಡಾಗಿ ನಿರಂತರ ಆವರ್ತನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವಾದ ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು, ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಯತಕಾಲಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ, ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಮನ್ವಯ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರೀಕೃತ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸ್ಫಟಿಕಗಳಂತಹ ಆವರ್ತಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬ್ಲೋಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ಕಾಲಮ್ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕಾಲಮ್ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಧಾನ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಹಾರ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ರೇಖೀಯ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರಲಿ, ಇಲ್ಲಿ ಉದ್ದದ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ). ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಇಲ್ಲಿ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಒಂದು ನಿಯತಕಾಲಿಕ (ಅವಧಿ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ನೈಜ ನಿಯತಕಾಲಿಕ (ಅವಧಿ-) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಈ ನಕ್ಷೆಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ () ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನೈಜ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಬಂಧಿಸಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು (ರೇಖೀಯ) ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ಘಾತಾಂಕವು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಘಾತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಕವಾಗಿರುವಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ಘಾತಾಂಕಗಳ ನೈಜ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯ ದ್ರಾವಣವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹಿಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (ಜಾರ್ಜ್ ವಿಲಿಯಂ ಹಿಲ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ) ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಂದ್ರನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತೀವ್ರವಾದ ಲೇಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಬಂಧದ ಮೃದುಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಬಂಧದ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಿ. ಚಿಕೋನ್. ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ 1999. ಎಂ. ಎಸ್. ಪಿ. ಈಸ್ಟಮ್, "ದಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಪೀರಿಯೋಡಿಕ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್", ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಸ್ಕಾಟಿಷ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್, ಎಡಿನ್ಬರ್ಗ್, 1973. , ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುವಾದ, 19,294ಪಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಮ್ಯಾಗ್ನಸ್, ಎಸ್. ವಿಂಕ್ಲರ್. ಹಿಲ್ನ ಸಮೀಕರಣ, ಡೋವರ್-ಫೀನಿಕ್ಸ್ ಆವೃತ್ತಿಗಳು,. ಎನ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಮೆಕ್ಲಾಕ್ಲಾನ್, ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಡೋವರ್, 1964. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು