Bergman space
ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಾಹಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೀಫನ್ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಸ್ಥಳವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಡಿ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದು, ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಸ್ಥಳವು ಡಿ ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪಿ-ಮಾನದಂಡವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಮಾನದಂಡ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ನಿಜವಾದ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Lp (D) ನಲ್ಲಿರುವ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಅಂದಾಜಿನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಡಿ ಯ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾದ ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಅದು ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಕರ್ನಲ್ ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಡೊಮೇನ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ತೆರೆದ ಘಟಕ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಅಂದರೆ, ತೂಕದ lp (1/(n + 1)) ಜಾಗಕ್ಕೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಹುಪದಗಳು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಬಲ (ಅಥವಾ ಮೇಲಿನ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ತೂಕದ Lp1/t (0, φ) ಜಾಗಕ್ಕೆ (ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ) ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ತೂಕದ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಅಂತಹ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಬನಾಚ್ ಜಾಗ (ಅಥವಾ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗ, ವೇಳೆ). ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತೂಕದ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಜಾಗದಿಂದ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಬಲ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ,) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಮತ್ತು ಈ ಜಾಗವು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ, ಜಾಗಕ್ಕೆ, ಅಲ್ಲಿಃ (ಇಲ್ಲಿ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಲ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅನುವಾದ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯಮಿತ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೂಕದ ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಜಾಗವನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಝೆನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆಃ ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವುದು ಅಟ್ ಬಿಂದುವಿನ ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರಃ ತೂಕದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವುಃ ಮತ್ತುಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ. ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಕರ್ನಲ್ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ರಿಪ್ರೊಡಕ್ಟಿಂಗ್ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಥಿಯರಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.