Thue's lemma
ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು "ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಫ್ರಾಕ್ಷನ್" ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಥ್ಯೂಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿರುವಂತಹ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಚಿಕ್ಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ಕೆಳಗೆ) ಹೇಳಲು ಸುಲಭವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯು ಪಾರಿವಾಳದ ರಂಧ್ರದ ವಾದವನ್ನು ಯಾರು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, m ಅನ್ನು 1 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 4 ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು a ಅನ್ನು a2 + 1 = 0 ಮಾಡ್ p ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. (ಅಂತಹ "a" ಅನ್ನು ವಿಲ್ಸನ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು "p" ಗೆ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.) ವಿಶಿಷ್ಟತೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಥ್ಯೂ ಅವರ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಪರಿಹಾರಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ಅವು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರದಿದ್ದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, y ಮತ್ತು m ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಏಕರೂಪದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಆಗಿರುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ, ಇಫ್ ಮತ್ತು, ವಿತ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಅಂಕಿಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಪುರಾವೆಯು ತುಂಬಾ ಸುಲಭಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಊಹೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಪದವು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ. ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಪರಿಹಾರಗಳು ಥ್ಯೂಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಯು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಇದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯಾವುದೇ ವೇಗದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅದೇ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದಕ್ಷ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಥ್ಯೂಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮೂರು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಬಯಸಿದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ, ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ, ಮೊದಲ ಜೋಡಿ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾದ ಪಾಡೆ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.