Difference set
ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಕ್ರಮದ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುರುತು-ಅಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು ನಿಖರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಿದ್ದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಂಪನ್ನು ಆವರ್ತಕ, ಅಬೆಲಿಯನ್, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಮಾಡಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಅಥವಾ ಸಿಂಪಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜನೀಯ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು ನಿಖರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. "ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೆಟ್" ಎಂಬ ಪದವು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಸಂಗತಿಗಳು ಒಂದು ಸರಳ ಎಣಿಕೆಯ ವಾದವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಗುರುತಿಸಲಾಗದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು. ಒಂದು-ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಗುಂಪಿನ ಪೂರಕವು ಒಂದು-ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೆಟ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅನುವಾದಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬ್ಲಾಕ್ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು (ಉಪಗುಂಪುಗಳು) ಇರುತ್ತವೆ. ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಲ್ಲಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಂಪು ವಿನ್ಯಾಸದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ (7,3,1) ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಉಪಗುಂಪು. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಂಪಿನ ಅನುವಾದಗಳು ಫ್ಯಾನೊ ಸಮತಲವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ನಿಯತಾಂಕ ಸೆಟ್ ಬ್ರೂಕ್-ರೈಸರ್-ಚೌಲಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಪ್ರತಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿನ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮತುಲ್ಯ ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳು ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಗುಂಪು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವರಿಗೆ ಇದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೆಟ್ಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೆಟ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಆವರ್ತಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಕವು ಗುಂಪಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಕೆಲವರಿಗೆ ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ಅಥವಾ ಹಾಲ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. p ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು v ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸದಿದ್ದರೆ, ಗುಂಪು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು D ಯ ಕೆಲವು ಭಾಷಾಂತರಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇದು ಗುಣಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಾದ ಎರಡನೇ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಘಾತಾಂಕದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಕ್ರಮಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರ)-ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಲಿ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. m ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಗೆ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ i ಇದ್ದರೆ, t ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಎಂಬುದು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ (7,3,1)-ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಕವು ಅದರ ಭಾಷಾಂತರವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಅನುವಾದವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಕಗಳಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ತೋರಿಸಬಹುದು. ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಪೂರಕಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯತಾಂಕ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ-ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಇವುಗಳನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನೇಕ ರಚನೆಗಳಿವೆ. ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಾಲೆ-ಟೈಪ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ-ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. - ಮ್ಯಾಕ್ಫಾರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಸ್ಪೆನ್ಸ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ-ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಡೇವಿಸ್-ಜೆಡ್ವಾಬ್-ಚೆನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನೇಕ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬಳಸಲಾಗುವ ಗುಂಪುಗಳು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜಕ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸಂಕೇತವು ಶಿಸ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರುವ ಕ್ರಮದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಿದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪಾಲೆ-ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೆಟ್ಃ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಲಿ. ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಚೌಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಗಾಯಕ-ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಃ ಲೆಟ್. ನಂತರ ಸೆಟ್ ಒಂದು-ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟ್ರೇಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಟ್ವಿನ್ ಪ್ರೈಮ್ ಪವರ್-ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಪ್ರೈಮ್ ಪವರ್ಗಳಾಗಿವೆಃ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬ್ಲಾಕ್ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಆವರ್ತಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಬಳಕೆಯು ಆರ್. ಸಿ. ಬೋಸ್ ಮತ್ತು 1939 ರಲ್ಲಿ ಅವರ ಸೆಮಿನಲ್ ಪೇಪರ್ಗೆ ಹಿಂದಿನದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1933ರ ಹಿಂದಿನ "ಪೇಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸೆಟ್ಸ್". ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು 1955 ರಲ್ಲಿ ಆರ್. ಎಚ್. ಬ್ರಕ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ. 1947ರಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಷಲ್ ಹಾಲ್ ಜೂನಿಯರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಗರಿಷ್ಠ ಅಡ್ಡ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಠಿಣವಾದ ವೆಲ್ಚ್ ಅನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೋಡ್ಬುಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ಕ್ಸಿಯಾ, ಝೌ ಮತ್ತು ಗಿಯಾನ್ನಾಕಿಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ. ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿರುವ ಕೋಡ್ ಪುಸ್ತಕವು ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕುಟುಂಬವು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕ್ರಮವು, ಗಾತ್ರವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುರುತಿಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ. ಎರಡೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ). ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಂಪೊಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ ಮೇಲಿನ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕುಟುಂಬದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು 2-ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ 2-ವಿನ್ಯಾಸವು ಕೆಲವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕುಟುಂಬಕ್ಕಾಗಿ ಆಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜನೆಗಳು