Second derivative
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು "ಬದಲಾವಣೆಯ ದರದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಸ್ತುವಿನ ತತ್ಕ್ಷಣದ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಅಥವಾ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗವು ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ದರವಾಗಿದೆ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿಃ ಎಲ್ಲಿ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ವೇಗ, ಸಮಯ, ಸ್ಥಾನ, ಮತ್ತು d ತತ್ಕ್ಷಣದ "ಡೆಲ್ಟಾ" ಅಥವಾ ಬದಲಾವಣೆ. ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಾನ () ದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವಕ್ರತೆ ಅಥವಾ ಕುಹರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ನಿಮ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶಕ್ತಿ ನಿಯಮ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಶಕ್ತಿ ನಿಯಮವು, ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶಕ್ತಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೇತ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಅಪ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಋಣಾತ್ಮಕವಾದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಳಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸರಳವಾಗಿ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಅವತಲದಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಅವತಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುವಲ್ಲ. ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವು (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವು) ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇಫ್, ನಂತರ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರಣವನ್ನು ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ನೋಡಬಹುದು. ಮೊದಲಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇಗದಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮುಂದೆ ಸಾಗುತ್ತಿರುವ ವಾಹನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ವೇಗವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಾಹನದ ಸ್ಥಾನವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರವಾಗಿರುತ್ತದೆ-ಈ ಸಮಯದ ನಂತರ, ವೇಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾಹನವು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ ಬಹಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ವೇಗವನ್ನು ಆದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಾಹನದೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠದ ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಮಿತಿ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಒಂದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಃ ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಎರಡನೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂಶವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಎರಡನೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿರಂತರ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಕಾರ್ಯವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ-ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಂದಾಜು ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವಂತೆಯೇ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂದಾಜಿನ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಊಹಿಸಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು (ಅಂದರೆ, ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ), ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು (ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಇಲ್ಲಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಎರಡನೇ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಭಾಗಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಕಾರ್ಯದ ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ ಎರಡೂ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇವುಗಳು ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಬಹುವಿಧದ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. (ಎರಡನೇ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.) ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದರೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್. ಇದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ (ಅಥವಾ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಟ್ರೇಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಿರ್ಪಿನೆಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ತತ್ಕ್ಷಣದ ಹಂತದ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಎರಡನೇ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಮುದ್ರಣ ಆನ್ಲೈನ್ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅಸಮಾನ ಅಂತರದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡಿಫೆರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು