Duffing equation
ಡಫ್ಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣವು (ಅಥವಾ ಡಫ್ಫಿಂಗ್ ಆಸಿಲೇಟರ್), ಜಾರ್ಜ್ ಡಫ್ಫಿಂಗ್ (1861-1944) ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಡ್ಯಾಂಪ್ಡ್ ಮತ್ತು ಚಾಲಿತ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಅಜ್ಞಾತ) ಕಾರ್ಯವು ಸಮಯದ ಸ್ಥಳಾಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ವೇಗ, ಮತ್ತು ಇದು ಎರಡನೇ ಸಮಯ-ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಅಂದರೆ. ವೇಗವರ್ಧನೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳವಾದ ಸ್ವರಮೇಳದ ಚಲನೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡ್ಯಾಂಪ್ಡ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ); ಭೌತಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಮಾದರಿಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಸಂತದ ಬಿಗಿತವು ಹುಕ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪಾಲಿಸದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಲೋಲಕ. ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಡಫಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಜಂಪ್ ರೆಸೋನೆನ್ಸ್ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಆವರ್ತನ ಹಿಸ್ಟರೆಸಿಸ್ ನಡವಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳೆಂದರೆಃ ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ, ರೇಖೀಯ ಬಿಗಿತವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ, ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಬಲದಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ; ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣವು ಡ್ಯಾಂಪ್ಡ್ ಮತ್ತು ಚಾಲಿತ ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರೆ, ಆವರ್ತಕ ಚಾಲನಾ ಶಕ್ತಿಯ ವೈಶಾಲ್ಯವಾಗಿದೆ; ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಚಾಲನಾ ಶಕ್ತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಇದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಚಾಲನಾ ಶಕ್ತಿಯ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಡ್ಯಾಂಪರ್ಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಸಂತದಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಬಲವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ವಸಂತವನ್ನು ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿಸುವ ವಸಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ಮೃದುವಾಗಿಸುವ ಬುಗ್ಗೆಯಾಗಿದೆ (ಇನ್ನೂ ಇದೆ). ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮೃದುಗೊಳಿಸುವುದು ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು (ಮತ್ತು) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಎರಡರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಬಕಿಂಗ್ಹ್ಯಾಮ್ π ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಪ್ರವಾಸ ಮತ್ತು ಸಮಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ (ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವಿವಿಧ ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಒತ್ತುಗಾಗಿ ಇತರ ಮಾಪನಗಳು ಸಾಧ್ಯ). ನಂತರಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಇದು ಬಲವಂತದ ಮತ್ತು ತೇವದ ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಮೂರು ನಿಯತಾಂಕಗಳು (,, ಮತ್ತು) ಮತ್ತು ಎರಡು ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳ (ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು). ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾದ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆಃ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿಖರತೆಗೆ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು. ಡಫಿಂಗ್ ಪದ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಈ ಪದವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದು ಎಂದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾದ ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ವಿಧಾನವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆದರೆ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ರುಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನಗಳಂತಹ ಯಾವುದೇ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಧಾನವನ್ನು (ಎಚ್ಎಎಂ) ಸಹ ವರದಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಲವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದೂ ಆಗಿದೆ. ಅನ್ಡ್ಯಾಂಪ್ಡ್ () ಮತ್ತು ಅನ್ಡ್ರೈವೆನ್ () ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬಿಯ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬಲವರ್ಧಿತ ಆಂದೋಲಕಕ್ಕೆ ದ್ರಾವಣದ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಮಿತಿಯ ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು H ನಲ್ಲಿನ ಪರ್ಯಾಯವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪರಿಹಾರವು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆಃ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡ್ಯಾಂಪ್ಡ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಅದೇ ರೀತಿ, ಡ್ಯಾಂಪ್ಡ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ. ಡ್ಯಾಂಪ್ಡ್ ಡಫಿಂಗ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸದೆ ಅದರ ಸ್ಥಿರ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (ಗಳಲ್ಲಿ) ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಮತೋಲನವು ಇಫ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಮತೋಲನವು ಅಟ್ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆಃ ಈ ಆಂದೋಲಕದ ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ) ಪ್ರಚೋದನೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಆಂದೋಲಕವು ಸಹ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘನ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಂತಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನ್ಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಡಫಿಂಗ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಗಟ್ಟಿಯಾಗುವುದು, ಮೃದುಗೊಳಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಮಿಶ್ರ ಗಟ್ಟಿಯಾಗುವುದು-ಮೃದುಗೊಳಿಸುವ ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೇಗಾದರೂ, ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಆಂದೋಲನ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಛೇದನ ಎಂದು ನಾವು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದುಃ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೊದಲ ಚತುರ್ಥಾಂಶದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ತುದಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಬದಲಾದರೆ, ಪರವಲಯದ ತುದಿಯು ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಬದಲಾದಂತೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ರೀತಿ ದೊಡ್ಡ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು. ಜಂಪ್ಗಳು ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕೆಲವು ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ, ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿಸುವ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗೆ (ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಧನಾತ್ಮಕ) ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದ ಬದಿಗೆ ಮತ್ತು ಮೃದುವಾಗಿಸುವ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗೆ (ಮತ್ತು) ಕಡಿಮೆ ಆವರ್ತನದ ಬದಿಗೆ ತೂಗಾಡುತ್ತದೆ. ಕೆಳಭಾಗದ ತೂಗಾಡುತ್ತಿರುವ ಭಾಗವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ-ಅಂದರೆ. ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಡ್ಯಾಶ್-ಲೈನ್ ಭಾಗಗಳು-ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಜಿಗಿತದ ವಿದ್ಯಮಾನವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವನ್ನು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ (ಇತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದಾಗ), ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ A ಯಿಂದ B ಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ, ಆವರ್ತನವು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ನಂತರ C ಯಲ್ಲಿ ವೈಶಾಲ್ಯವು D ಗೆ ಜಿಗಿಯುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿಗಿತಗಳು ಎ-ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ-ಡಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆವರ್ತನ ಸ್ವೀಪ್ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹಿಸ್ಟರೆಸಿಸ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮೇಲಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಮೂಲ ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ (ಸ್ವರಮೇಳದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅಗತ್ಯ) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ನಗಣ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಿದೆ. ಬಲವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಬಲವಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ಊಹೆಯು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿವಿಧ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಇವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸತತ ಅವಧಿಯ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಡಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಯ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಅವಧಿಯ-ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ವಿಭಜನೆಯ ಮೂಲಕ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನ ನೋಟವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ-ಜೊತೆಗೆ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು-ಕೆಳಗಿನ ಅಂಕಿಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವಧಿಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸ್ಕಾಲರ್ಪೀಡಿಯಾ ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಡಫಿಂಗ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ವೀಡಿಯೊ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು