Symmetric derivative
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಿತಿಯೊಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ನಿಜವಲ್ಲ. ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ 0 ರೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ತಮ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂದಾಜನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಎರಡೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ರೋಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಲೀ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಲೀ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; ಕೆಲವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆದರೆ ದುರ್ಬಲ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 0ಯಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆರಡೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಅವು ಅಸಮಾನವಾಗಿವೆ (ಒಂದು-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು + 1); ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ 0 ಆಗಿದೆ. x − 2 ಕಾರ್ಯವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಲ್ಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಗಿತದಿಂದಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ರಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾದ ವಿರಾಮವಾಗಿದೆ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಕಾರ್ಯಃ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಭೇದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಅಂದರೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಆದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಅರೆ-ಅರ್ಥ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು (ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ನ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಾಸರಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ f ಗೆ ಸೆಕೆಂಟ್ಗಳು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಇಳಿಜಾರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು (ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಆದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಮತ್ತು, ನಂತರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು. ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಮೇಲೆ ಬಳಸಿದ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮೆಟ್ಟಿಲು ಕಲ್ಲಾಗಿ ಆಲ್ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಲೆಮ್ಮಾವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯದ ಅರೆ-ಅರ್ಥ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು, ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂತಹ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅನ್ವಯವಾಗಿ, 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅರ್ಧ-ಅರ್ಥ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಸೆಕೆಂಟ್ನ ಇಳಿಜಾರು −1 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, (ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ನ) ನಿಯಮಿತ ಸರಾಸರಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು (ಅದರ ರೂಪ), ಅಂದರೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಸಹ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ (ಹೀಗಾಗಿ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಆಗ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಎರಡನೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಭಿನ್ನತೆಯ ಯೋಜನೆಯನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ-ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು-ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು-ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು-ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು (ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳ ಯೋಜನೆ)-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ.