Theta correspondence
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಥೀಟಾ ಕರೆಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್ ಅಥವಾ ಹೋವೆ ಕರೆಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್ ಎಂಬುದು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಜೋಡಿಯ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಥೀಟಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಜಾಗತಿಕ ಥೀಟಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಥೀಟಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ರೋಜರ್ ಹೋವೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ ಅವರ ಥೀಟಾ ಸರಣಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂಲದಿಂದಾಗಿ ಇದರ ಹೆಸರು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಜೀನ್-ಲೂಪ್ ವಾಲ್ಡ್ಸ್ಪರ್ಗರ್ ಅವರು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಶಿಮುರಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಥೀಟಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಹೇಳಿಕೆ ಸೆಟಪ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ, ವಿಶಿಷ್ಟವಲ್ಲ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿರಲಿ. ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಜೋಡಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಥೀಟಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಈಗ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜಕ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ವೆಯಿಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಪ್ರಯಾಣದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಥೀಟಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಕೆಲವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ 1-1 ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ವೆಯಿಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ರೋಜರ್ ಹೋವೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು 1-1 ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಹೋವೆ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಥೀಟಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಜೆಲೆವಿನ್ಸ್ಕಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ವಿಟ್ ಗೋಪುರಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೊದಲ ಸಂಭವಿಸುವ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಜಾಗತಿಕ ಥೀಟಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಸ್ಟೀಫನ್ ರಾಲಿಸ್ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಹೋವೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಊಹೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು, ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕಸ್ಪಿಡಲ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಜಾಗತಿಕ ಹೋವೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಊಹೆಯ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಹೌ ದ್ವೈತದ ಊಹೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಡ್ಮಿಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಇವುಗಳನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ. ಹೋವೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಊಹೆ ಇದು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಹೋವೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ರೋಜರ್ ಹೋವೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಜೀನ್-ಲೂಪ್ ವಾಲ್ಡ್ಸ್ಪರ್ಗರ್ ಅವರು ವಿಲಕ್ಷಣವಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆಲ್ಬರ್ಟೊ ಮಿಂಗ್ಯೂಜ್ ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅವಶೇಷದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಅಥವಾ ಏಕೀಕೃತ ಡ್ಯುಯಲ್ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ, ಇದನ್ನು ವೀ ಟೆಕ್ ಗಾನ್ ಮತ್ತು ಶುಚಿರೊ ಟಕೆಡಾ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ವಾಟರನಿಯಾನಿಕ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಜೋಡಿಗಳ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ವೀ ಟೆಕ್ ಗನ್ ಮತ್ತು ಬಿನ್ಯಾಂಗ್ ಸನ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. ರೆಡಕ್ಟಿವ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಜೋಡಿ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಬಿಬ್ಲಿಯೋಗ್ರಫಿ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ರೆಪ್ರೆಸೆಂಟೇಶನ್ ಥಿಯರಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.