Plücker formula
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜೂಲಿಯಸ್ ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾದ ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಸೂತ್ರವು, 1830ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಅವರು ಮೊದಲು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಉಭಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ವಿಗುಣಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕುಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶವು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ದ್ವಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ C ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ದ್ವಿ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ C * ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ, C ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆ C * ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ C * ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು C ಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆ C ಯ ಡಿಗ್ರಿ d ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ d *, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ C ಯ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯು C ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಎಣಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. (ಇದು ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಉಪಗುಂಪುಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಅಂತೆಯೇ, d * ಎಂಬುದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುವ C ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗವು ಡಿಗ್ರಿ ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಸ್ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. C ಯು ಯಾವುದೇ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಇದನ್ನು ಏಕವಚನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. C ಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, δ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಇವುಗಳನ್ನು ನೋಡ್ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು κ ಎಂಬುದು ಕಸ್ಪ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ಒಂದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು (ಸ್ಪಿನೋಡ್ಗಳು) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಿ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಏಕತ್ವದ ಸ್ವರೂಪದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಇವುಗಳನ್ನು ಬಹು ಡಬಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿವಳಿ ಬಿಂದುವನ್ನು 3 ಡಬಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ, ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಈ ಎಣಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, δ * ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು κ * ಎಂಬುದು C * ನ ಕಸ್ಪ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಎರಡನೇ ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಸಿ * ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡು ಬಿಂದುವಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ) ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಿ * ನ ಕಸ್ಪ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಸ್ಥಾಯಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಯವಾದ ಘನದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಅದು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಘನವು ಕ್ಷೀಣಿಸಿ ದ್ವಿಗುಣ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ 6 ಬಿಂದುಗಳು ಏಕ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕೇವಲ 3 ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು ಮಾತ್ರ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಕಸ್ಪ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲನವು ಉಳಿದಿದೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನೀಡಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯಾವುದೇ ಮೂರನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಿಂದ, ಡಿ, ಡಿ *, δ, δ *, κ, κ * ಎಂಬ ಆರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಉಳಿದ ಮೂರನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಿ ಕೊರತೆಯೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಿ ಕುಲವನ್ನು ಇದು ದ್ವಿ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ 7 ಅಜ್ಞಾತಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಳಿದ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಅಲ್ಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ C ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಅಲ್ಲದದ್ದಾಗ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ δ ಮತ್ತು κ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು d ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಪ್ಲೇನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು 3ನೇ ಕುಲದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು 28 ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 24 ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವಿಧಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದೇ ರೀತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಡಿಗ್ರಿ 2, ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, d = d * = 2, δ = δ * = κ = κ * = g = 0 ರಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಒಂದೇ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಡಿಗ್ರಿ 3 ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ (ii) ಮತ್ತು (iii) ವಿಧಗಳ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘನಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನೋಡಲ್ ಮತ್ತು ಕುಸ್ಪಿಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (i) ವಿಧದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಸ್ (ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು) ಆಗಿವೆ. ಡಿಗ್ರಿ 4 ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ 10 ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕಾರಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಸಾಲ್ಮನ್, ಜಾರ್ಜ್ (1879) ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆನ್ ದಿ ಹೈಯರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಕರ್ವ್ಸ್ pp. 64ff. ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು