Zolotarev's lemma
ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಝೊಲೊಟರೆವ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವು ಹೇಳುವಂತೆ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಯು a ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಒಂದು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p, ಅಲ್ಲಿ p a ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ε ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಹಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು πa ಎಂಬುದು a ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅವಶೇಷಗಳ ವರ್ಗಗಳಾದ ಮಾಡ್ p ಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a = 2 ಮತ್ತು p = 7 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವರ್ಗಗಳು ಮಾಡ್ 7 1,2, ಮತ್ತು 4 ಆಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ (2|7) = 1 ಮತ್ತು (6|7) = −1. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ 7ರ ಮೇಲೆ 2ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಚಕ್ರ ವಿಭಜನೆ (1,2,4) (3,6,5) ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು 1 ಆಗಿದೆ, ಅದು (2|7). ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ 7 ಮೇಲೆ 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಚಕ್ರ ವಿಭಜನೆ (1,6) (2,5) (3,4) ಇರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಚಿಹ್ನೆ-1, ಅಂದರೆ (6|7). ಪುರಾವೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು G ಗೆ, G ಯ ಅಂಶದಿಂದ ಎಡ-ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಹಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಸಮ ಗಾತ್ರದ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, n ಸಮ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, g ಯು k ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, πg ಗೆ ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಷರತ್ತು ಏನೆಂದರೆ n/k ಬೆಸವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಥವಾ g ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪು <g> ಬೆಸ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ನಾವು ಇದನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪು ಮಾಡ್ ಪಿ ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಪಿ-1 ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲ ಮಾಡ್ಯುಲೋ p ಯ jth ಪವರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ i = (j, p−1) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡ್ p ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಅವಶೇಷವಾಗಬೇಕೆಂಬ ಷರತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲದ ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಲೆಮ್ಮಾವು ಜೆ ಬೆಸವಾಗಿದ್ದಾಗ ಐ ಬೆಸವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿ ಫೋರ್ಟಿಯೋರಿ, ಮತ್ತು ಐ ಬೆಸವಾಗಿದ್ದಾಗ ಜೆ ಬೆಸವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪಿ-1 ಸಮವಾಗಿದೆ (ಪಿ ಬೆಸವಾಗಿದೆ). ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆ ಜೊಲೊಟರೆವ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂದರೆ. a = 3 ಮತ್ತು p = 11 ಹೊಂದಿರುವ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಯು (a/p), ಪುರಾವೆ ಹೇಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. {1,2,.... ಸೆಟ್ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಯಾವುದೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯ ಮಾಡ್ p ಆಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ p − 1}, ಹೀಗೆ ಹೇಳಿಃ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿಃ ಒಂದು ಅಂಕಣದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯ ಮಾಡ್ p ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಾಲಮ್ಗಳು ಇನ್ನೂ ಹೊಂದಿವೆ. ಈಗ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ V ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಇದು ಮೇಲಿನ ಸದಸ್ಯನು ಮೂಲತಃ ಕೆಳಗಿನ ಸದಸ್ಯನಾಗಿದ್ದ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ W ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿಃ ನಾವು W − 1 = VU ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. U ಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (a/p) = 1 ಎಂದು ಝೊಲೋಟರೆವ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವು (a/p) = 1 ಐಎಫ್ ವಿ ಸಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದರೆ W ಸಮವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಲೆಮ್ಮಾಗಳು ನೀಡಲಾದ (ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ) a ಮತ್ತು p ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಜಾಕೋಬಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಯ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಜಾಕೋಬಿ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು n ಬೆಸ n> 0 ಹೊಂದಿರುವ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆಃ a ಎಂಬುದು ವಿಲೋಮ ಮಾಡ್ n ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ Z/nZ ಮೇಲೆ a ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಜಾಕೋಬಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಜೋಲೋಟರೆವ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Z/21Z ಮೇಲೆ 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಚಕ್ರ ವಿಭಜನೆ (0) (1,2,4,8,16,11) (3,6,12) (5,10,20,19,17,13) (7,14) (9,18,15) ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು (1) (−1) (1) (−1) (1) = −1 ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿ ಚಿಹ್ನೆಯು (2|21) −1 ಆಗಿದೆ. (ಮಾಡ್ 21 ಘಟಕಗಳ ಮೇಲೆ 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎರಡು 6-ಚಕ್ರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆ 1 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಕೇವಲ ಘಟಕಗಳಾದ ಮಾಡ್ ಎನ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ ಮಾಡ್ ಎನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.) n = p ಒಂದು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a ಅನ್ನು p ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದಿದ್ದಾಗ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 0 ಮಾಡ್ p, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ a ಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮಾಡ್ p ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ p ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಂಯುಕ್ತ n ಗೆ ಅದು ಹಾಗಲ್ಲ. ಈ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಯೆಗರ್ ಇವಾನೋವಿಚ್ ಝೊಲೊಟರೆವ್ ಅವರು 1872 ರಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಪ್ರೊಸಿಟಿಯ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜೊಲೊಟರೆವ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಕುರಿತಾದ ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಲೇಖನ; ಅವನ ಚತುರ್ಭುಜ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಲೇಖನಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಮ್ಮಾಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಶೇಷಗಳು ಚೌಕಗಳು