Whitehead product
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಜಾಗದ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಅರೆ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಜೆ. ಎಚ್. ಸಿ. ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಎಂಎಸ್ಸಿ ಕೋಡ್ ಹೀಗಿದೆಃ 55Q15, ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ, ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಬೆಣೆ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ-ಕೋಶವನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು; ಲಗತ್ತಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯು ನಕ್ಷೆಯ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಗತ್ತಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಬೆಣೆ ರಚಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಕ್ಷೆಯ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಗ್ರೇಡಿಂಗ್ನ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವೈಟ್ ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಬಿಲಿನಿಯಾರಿಟಿ. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಸಮಮಿತಿ. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಜಾಕೋಬಿ ಗುರುತು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವೈಟ್ ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಜಾಗದ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಅರೆ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಸ್ಸಿ ಟ್ರಿಪಲ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಫ್ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ, ನಂತರ ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೈ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಟೋರಸ್ನ-ಕೋಶವು-ಅಸ್ಥಿಪಂಜರದಲ್ಲಿ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕವೂ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಎಚ್-ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಎಚ್-ಸ್ಪೇಸ್ಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಹಿಂದಿನ ಉಪವಿಭಾಗದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಎಚ್-ಸ್ಥಳಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಎಚ್-ಸ್ಥಳಗಳು ಸರಳ ಎಂಬ ಎರಡೂ ಸಂಗತಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ವರ್ಗಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಸಸ್ಪೆನ್ಷನ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಕರ್ನಲ್ನಲ್ಲಿವೆ, ಹೋಪ್ಫ್ ನಕ್ಷೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಹೋಪ್ಫ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯ ಕೋಫೈಬರ್ನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಪೊಂಟ್ರಿಯಾಗಿನ್-ಥಾಮ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೇರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಾದವಿದೆ, ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುವಿನ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಚಿತ್ರಣವು ಹೋಪ್ಫ್ ಲಿಂಕ್ನ ನಕಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. φ-ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಗಳು φ-ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಎಂಬುದು ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಗಳ ಒಂದು-ವರ್ಗದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಮಾರ್ಗಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಆ ಬಿಂದುಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿಗಳಾಗಿವೆ. ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಮುಖ್ಯ ಕಾರಣವಾಗಿದ್ದು, φ-ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅಂತಹ ಬೇಡಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ-ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ರೀತಿಯ ಗೋಳಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮಾಸ್ಸಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಡಾ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.