Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಮೂತ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್-ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್-ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಜಿಆರ್ಆರ್) ನಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಮೂತ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು 1959 ರಲ್ಲಿ ಮೈಕೆಲ್ ಅತಿಯಾ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಅವರು ಪಡೆದರು, ಇದು ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಿನ್ ರಚನೆಯಂತೆಯೇ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿತು. ಸೂತ್ರೀಕರಣ X ಮತ್ತು Y ನಯವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಮತ್ತು f: X → Y ಒಂದು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ. ಕೆ-ಗುಂಪು ಕೆ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ವಿಎಫ್ = ಎಫ್ * (ಟಿವೈ)-ಟಿಎಕ್ಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಡಿಮ್ (X) ಷ್ಣ (Y) ಮಾಡ್ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ch ಎಂಬುದು ಚೆರ್ನ್ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ, d (vf) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಿನ H2 (Y, Z) ಅಂಶವು d (vf) ಷ್ಣ f * w2 (TY)-w2 (TX) ಮಾಡ್ 2 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, fK * ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಗೈಸಿನ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್, ಮತ್ತು fH * ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಗೈಸಿನ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಆತಿಯಾ ಮತ್ತು ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹಲವಾರು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೈ ಎಂಬುದು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ವಿ ಓವರ್ ಎಕ್ಸ್ನ ಥಾಮ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗೈಸಿನ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಕೇವಲ ಥಾಮ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ, ವಿಭಜನೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೆಯ ಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಗಣನೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸಾಕು. f: X → Y ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, Yಯಲ್ಲಿ Xನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ನ ಥಾಮ್ ಜಾಗವನ್ನು Yಯಲ್ಲಿ Xನ ಕೊಳವೆಯಾಕಾರದ ನೆರೆಹೊರೆಯಂತೆ ನೋಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಕೆ-ಥಿಯರಿ/ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಗಾಗಿ ಗೈಸಿನ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಈ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಥಾಮ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು X ನಿಂದ N ನ ಥಾಮ್ ಜಾಗದವರೆಗಿನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಚೆರ್ನ್ ಅಕ್ಷರವು u ಮತ್ತು v ನೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವುದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಿಗೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ. f: X → Y. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು f: X → Y ಅನ್ನು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಗೆ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕಾಗಿ ಗೈಸಿನ್ ನಕ್ಷೆಯು ಬಾಟಲ್-ಪಿರಿಯೋಡಿಸಿಟಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಚೆರ್ನ್ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಪ್ರಮೇಯವು ಇದೆ. ಕೊರೊಲ್ಲರಿಗಳಾದ ಅತಿಯಾ ಮತ್ತು ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ನಂತರ X = a ಬಿಂದುವಿನ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಮತ್ತು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯು Yಯ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುವ ರಚನೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊರೊಲ್ಲರಿಗಳು ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು J-ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಲ್ಲಿವೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್