Inductive dimension
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ Xನ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮವು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಣ್ಣ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮ ಇಂಡ್ (X) ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮ ಇಂಡ್ (X). ಇವುಗಳು, n-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ Rn ನಲ್ಲಿ, (n−1)-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಗಳು (ಅಂದರೆ, n-ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡುಗಳ ಗಡಿಗಳು) n−1 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಗಡಿಗಳ ಆಯಾಮಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರೇರಕ ಆಯಾಮಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ "ಆಯಾಮ" ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವ ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು, ಇದು ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ). ಇನ್ನೊಂದು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಕವರ್ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. "ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಕವರ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಸಾಕಷ್ಟು ಒಳ್ಳೆಯ" ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ಮೂರು ಅಳತೆಗಳ ಆಯಾಮಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಆಯಾಮವು 0 ಆಗಿರಬೇಕೆಂದು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಖಾಲಿ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಇದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. (X ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ n-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, V ಅನ್ನು x ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ n-ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡು ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.) ದೊಡ್ಡ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು V ಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇಂಡ್ (X) ಚಿಕ್ಕ n ಆಗಿದ್ದು, X ನ ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ U ಯ ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ F ಗೆ, ನಡುವೆ ತೆರೆದ V ಇರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, F ಎಂಬುದು V ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು V ಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು U ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ), ಅಂದರೆ V ಯ ಗಡಿಯು n−1 ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ದೊಡ್ಡ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಕವರಿಂಗ್ ಆಯಾಮವಾಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಗೆ, ಯುರಿಸೋನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು X ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ X ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಯುರಿಸೋನ್ನ ಮಾಪನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ನೊಬೆಲಿಂಗ್-ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನಂತರ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮೆಂಗರ್-ನೋಬೆಲಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು (1932) ಹೇಳುವಂತೆ ಸಾಂದ್ರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಹುದುಗುತ್ತದೆ. (ಜಾರ್ಜ್ ನೊಬೆಲಿಂಗ್ ಅವರು ಕಾರ್ಲ್ ಮೆಂಗರ್ ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿದ್ದರು. ಅವರು ನೊಬೆಲಿಂಗ್ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಕನಿಷ್ಠ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ, ಇದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (ಮಿರೋಸ್ಲಾವ್ ಕಟೆಟೊವ್) ಇಂಡ್ ಎಕ್ಸ್ ≤ ಇಂಡ್ ಎಕ್ಸ್ = ಡಿಮ್ ಎಕ್ಸ್; ಅಥವಾ ಎಕ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ (ಪಿ. ಎಸ್. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್) ಡಿಮ್ ಎಕ್ಸ್ ≤ ಇಂಡ್ ಎಕ್ಸ್ ≤ ಇಂಡ್ ಎಕ್ಸ್ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಒಂದೋ ಇಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರಬಹುದು; ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ವಿ. ಫಿಲಿಪೋವ್ ಅವರ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು ಎರಡು ಪ್ರೇರಕ ಆಯಾಮಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ X, ಜಾಗದ ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪ-ಜಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗೆ ನಿರಂತರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಲ್ಲಿ, ಟೋನಿ, 2005, "ಪಾಲ್ ಯುರಿಸೋನ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್ ಮೆಂಗರ್ಃ ಪೇಪರ್ಸ್ ಆನ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಥಿಯರಿ" ಇನ್ ಗ್ರ್ಯಾಟನ್-ಗಿನ್ನಿಸ್, I., ಆವೃತ್ತಿ, ಲ್ಯಾಂಡ್ಮಾರ್ಕ್ ರೈಟಿಂಗ್ಸ್ ಇನ್ ವೆಸ್ಟರ್ನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್. ಎಲ್ಸೆವಿಯರ್ಃ 844-55. ಆರ್. ಎಂಜೆಲ್ಕಿಂಗ್, ಆಯಾಮಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಫೈನೈಟ್ ಅಂಡ್ ಇನ್ಫೈನೈಟ್, ಹೆಲ್ಡರ್ಮನ್ ವೆರ್ಲಾಗ್ (1995). ವಿ. ವಿ. ಫೆಡೋರ್ಚುಕ್, ದಿ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಥಿಯರಿ, ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್, ಸಂಪುಟ 17, ಜನರಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ I, (1993) ಎ. ವಿ. ಅರ್ಖಾಂಜೆಲ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಎಲ್. ಎಸ್. ಪೊಂಟ್ರಿಯಾಗಿನ್ (ಎಡ್ಸ್. ), ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ಬರ್ಲಿನ್. ವಿ. ವಿ. ಫಿಲಿಪ್ಪೋವ್, ಆನ್ ದಿ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಆಫ್ ದಿ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಆಫ್ ಬೈಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ, ಸೋವಿಯತ್. ಗಣಿತ. , 13 (1972), N°1,250-254. ಎ. ಆರ್. ಪಿಯರ್ಸ್, ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಜನರಲ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್ (1975). ಆಯಾಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ