Kloosterman sum
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಘಾತೀಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. 1926ರಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ವೃತ್ತದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡು, ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕರ್ಣೀಯ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು, 1924ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಐದು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ವೃತ್ತದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಡಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹೆಂಡ್ರಿಕ್ ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಇಲ್ಲಿ x * ಎಂಬುದು ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ ಮೊತ್ತಗಳು ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ರಿಂಗ್ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿವೆ. ಅವು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿವೆ, ಸಣ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳಿವೆ. ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೂಡಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ನಂತರ ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಮೊತ್ತವು ರಾಮಾನುಜನ್ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಉಳಿದಿರುವ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲೋವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಮತ್ತು. ಜೊತೆಗೂಡಿ ಮತ್ತು ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಮಾಡಿ. ಅಂತಹವುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು. ನಂತರ ಇದು ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಇರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಸೆಲ್ಬರ್ಗ್ ಗುರುತನ್ನು ಅಟ್ಲೆ ಸೆಲ್ಬರ್ಗ್ ಅವರು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅವರು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ, ಯಾವುದೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಾಟೋ-ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು ಯಾವುದೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಳಗಿನ ಎತ್ತುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿವೆ. ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಜಾಕೋಬಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೈಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಇರಲಿ ಮತ್ತು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರಃ ಎಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಗಮನಿಸಿ ಅದು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ): ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೊದಲು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಸಲೀ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು ಮತ್ತು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸರಳ ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ. ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಮೊತ್ತಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವುದರಿಂದ, ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಇಳುವರಿ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಅಂದಾಜು ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ನಿಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಜಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ. ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಈ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ವೆಯಿಲ್ನ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ತಂತ್ರವು ಸ್ಥಳೀಯ ಜೀಟಾ-ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ತನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಅಬ್ §0 ಆಗಿರುವಾಗ ಅಂದಾಜನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು 'ಹೈಪರ್ಬೋಲ' XY = ab ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಂತೆ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಆರ್ಟಿನ್-ಶ್ರಿಯರ್ ಆವರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಝೀಟಾ-ಕಾರ್ಯವು ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ವೆಯಿಲ್ ತೋರಿಸಿದರು; ಇದು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿರುವ ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆರ್ಟಿನ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವೆಯಿಲ್ 1938ರ ಜೆ. ವೈಸಿಂಗರ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತಾರೆ (ಮುಂದಿನ ವರ್ಷ ಅವರು ಈ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹಿಂದಿನ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ 1935ರ ಹ್ಯಾಸ್ಸೆ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಿದರು; ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಿಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವೆಯಿಲ್ ಅವರ ಬದಲಿಗೆ ಅವಹೇಳನಕಾರಿ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಿ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ರೂಪಿಸಲು, ಅವರ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಚಾರಗಳು ಬಹುಶಃ ಸಾಕಷ್ಟು ದೀರ್ಘಕಾಲದ 'ಜಾನಪದ' ಗಳಾಗಿದ್ದವು). ಧ್ರುವೀಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ವಿಧದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂದಾಜು 1940ರ ವೆಯಿಲ್ ಅವರ ಮೂಲ ಕೃತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ತಂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆಯಾಮ> 1ರಲ್ಲಿರುವ ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಘಾತೀಯ ಮೊತ್ತಗಳು 'ಉದ್ದಕ್ಕೂ' ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ, ಗೆರಾರ್ಡ್ ಲೌಮನ್ ಮತ್ತು ನಿಕೋಲಸ್ ಕಾಟ್ಜ್ ಅವರು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮುಂದೂಡಿದ್ದಾರೆ. ಸಣ್ಣ ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೂಪದ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಮೊತ್ತಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಟು, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯು ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮಾಡ್ಯುಲೋಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆಃ 1990 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದವರೆಗೆ, ಈ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮೊತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಅಂತಹ ಅಂದಾಜುಗಳು ಎಚ್. ಡಿ. ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್, ಐ. ಎಂ. ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್, ಎಚ್. ಸಲೀ, ಎಲ್. ಕಾರ್ಲಿಟ್ಜ್, ಎಸ್. ಉಚಿಯಾಮಾ ಮತ್ತು ಎ. ವೆಯಿಲ್ ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿವೆ. ಕೇವಲ ವಿನಾಯಿತಿಗಳು ರೂಪದ ವಿಶೇಷ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದವು, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಇವಾನ್ ಮ್ಯಾಟ್ವೆವಿಚ್ ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಎ. ಜಿ. ಪೋಸ್ಟ್ನಿಕೋವ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು). 1990ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅನಾಟೊಲಿ ಅಲೆಕ್ಸಿವಿಚ್ ಕರತ್ಸುಬಾ ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಹೊಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಕರತ್ಸುಬಾದ ವಿಧಾನವು ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೀರದ ಮೊತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಎ. ಎ. ಕರತ್ಸುಬಾ ಅವರ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಬಂಧವು ಅವರ ಮರಣದ ನಂತರ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಕಾರಟ್ಸುಬಾ ವಿಧಾನದ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿವೆಃ ರೂಪದ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ (A.A.Karatsuba); ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಟು, (ಎಎ ಕರಟ್ಸುಬಾ); ರೂಪದ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳಿಂದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜು ನಿಖರತೆಃ ಅಲ್ಲಿ (ಎಎ ಕರಟ್ಸುಬಾ); ಬ್ರನ್-ಟಿಚ್ಮಾರ್ಷ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಃ ಎಲ್ಲಿ? (ಡಿ. ಆರ್. ಹೀತ್-ಬ್ರೌನ್); ರೂಪದ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ (ಜೆ. ಫ್ರೀಡ್ಲ್ಯಾಂಡರ್, ಎಚ್. ಇವಾನಿಯೆಕ್); ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (A.A.Glibichuk): ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎತ್ತುವುದು ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗದಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ "ಎತ್ತಬಹುದು", ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ a, b ಸಹಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಇಲ್ಲಿ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಈ ಸೂತ್ರವು ಡಾನ್ ಝಾಗಿಯರ್ನಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದ ಯಾಂಗ್ಬೋ ಯೆ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತು ಹರ್ವೆ ಜಾಕ್ವೆಟ್ ಮತ್ತು ಯೆ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಾತೀಯ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಎತ್ತಬಹುದು. ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರ ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅಥವಾ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರವು ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಆಳವಾದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲತಃ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದಿತ್ತು. ಸಾಕಷ್ಟು "ಚೆನ್ನಾಗಿ ವರ್ತಿಸಿದ" ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯ ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರದ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪಾಂತರ ಭಾಗವು g ನ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಣಪಟಲದ ಭಾಗವು ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮತ್ತು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು g ನ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ತಿರುಚಲಾಗಿದೆ. ತೂಕ ಶೂನ್ಯ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅವರು ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಅವರ ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು ಅನ್ವಯವಾಗದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವರಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ನಂತರ ಜಾಕ್ವೆಟ್ ಅವರು ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿದರು. ಎಫ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರವು ಜಿ ಮೇಲಿನ ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಸಾಪೇಕ್ಷ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಅವಲೋಕನಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಹಿಸ್ಟರಿ ವೆಯಿಲ್ನ ಅಂದಾಜನ್ನು ಈಗ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಮ್. ಷ್ಮಿಡ್ಟ್, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳುಃ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಧಾನ, 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು. (ಕೆಂಡ್ರಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್, 2004). ಇಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿಚಾರಗಳು ಎಸ್. ಸ್ಟೆಪನೋವ್ ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಆಕ್ಸೆಲ್ ಥ್ಯೂ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿವೆ. ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ನಡುವೆ ಅನೇಕ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಮೊತ್ತವು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1912ರ ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಅವರ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು (ಹೆಸರನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ). ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಸಾಲಿಯೇ ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತದ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅದನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ತಿರುಚಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಂತಹ ಸಾಲಿಯೇ ಮೊತ್ತಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. 1979 ರಲ್ಲಿ ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅವರು ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ, ಇದು ವರ್ಗಮೂಲ ಅಂದಾಜಿನ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು 'ಸರಾಸರಿ ಉಳಿತಾಯ' ವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು, ಇನ್ವೆನ್ಸನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕೆಯಲ್ಲಿ (1982) ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಇವಾನಿಯೆಕ್ ಮತ್ತು ಡೆಶೌಲರ್ಸ್ ಅವರು ಮತ್ತಷ್ಟು ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನಂತರದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬೊಂಬಿಯೇರಿ, ಫೌವ್ರಿ, ಫ್ರೀಡ್ಲ್ಯಾಂಡರ್ ಮತ್ತು ಇವಾನಿಯೆಕ್ ರಚಿಸಿದರು. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ತಲುಪಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವರವಾದ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಆರ್. ಸಿ. ಬೇಕರ್, ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮನ್ ಸಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮಾಸ್ ಫಾರ್ಮ್ಸ್, ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಐ (ಕೆಂಡ್ರಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್, 2003). ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧಕರಿಗೂ ಇದು ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ. ಯಿಟಾಂಗ್ ಝಾಂಗ್ ತನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸೀಮಿತ ಅಂತರಗಳ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಲೂಸ್ಟರ್ಮ್ಯಾನ್ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಹಾಸ್ಸೆಯ ಬದ್ಧ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.