Hilbert modular variety
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಥವಾ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಬ್ಲುಮೆಂಥಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂಬುದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವೈವಿಧ್ಯವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದ ಅನೇಕ ಪ್ರತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಸುಮಾರು 10 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಬರೆದ ಕೆಲವು ಅಪ್ರಕಟಿತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಆರ್ ಒಂದು ನೈಜ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ 2 (ಆರ್) ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಎಚ್ನ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳ ಎಚ್ × ಎಚ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವಾರು ದ್ವಿಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದುಃ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಎಚ್ × ಎಚ್/ಎಸ್ಎಲ್ 2 (ಆರ್) ನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ; ಇದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಬರುವ ಅಂಶ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಸ್ಪ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ X ನಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈ X * ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು X ನ ಭಾಗಶಃ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅದರ ಕಸ್ಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ X * ನಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈ Y ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ನಯವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಅಸಾಧಾರಣವಾದ −1-ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬೀಸುವ ಮೂಲಕ Y ಯಿಂದ Y0 ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ) ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿವೆಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಕೆಲವು ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪು. ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪನ್ನು 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಏಕತ್ವಗಳು ಭಾಗಶಃ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸಿದವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕಸ್ಪ್ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸಿದವು. ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಕಾಗದಗಳು, ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಥವಾ ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸುದೀರ್ಘ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಕ್ಲೆಬ್ಷ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅದರ 10 ಎಕಾರ್ಡ್ಟ್ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಫೋಟಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶದ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ಸಾಂದ್ರಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದ ಸಂಬಂಧಿತ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ಗಳು ಇರುವ ಸ್ಥಳದ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸೋಣ. ಸಂಬಂಧಿತ ಅಂಶದ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಸ್ಪ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಾಂದ್ರಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇವು ಆದರ್ಶ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅದರ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವೈವಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬೈಲೆಯ್-ಬೋರೆಲ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಫಾರ್ಮ್ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಸೀಗಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು