Current (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಜಾರ್ಜಸ್ ಡಿ ರಾಮ್ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕೆ-ಪ್ರವಾಹವು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕೆ-ರೂಪಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೃದುವಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಎಂ. ಪ್ರವಾಹಗಳು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಅವು ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ (ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ಗಳು) ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು m-ಆಯಾಮದ ಪ್ರವಾಹವಾಗಿದೆಃ ನಯವಾದ ರೂಪಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು, ಒಂದೇ ಸಾಂದ್ರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಏಕರೂಪವಾಗಿ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ನಂತರ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಎಮ್-ಆಯಾಮದ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಸ್ಥಳವು ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದು, ವಿತರಣೆಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರವಾಹಗಳಿಗೆ ಸಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರವಾಹದ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಅತಿದೊಡ್ಡ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಪೂರಕವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ (ಮೇಲಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರವಾಹಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ m ಆಯಾಮದ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಆಧಾರಿತ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ M (ಬೌಂಡರಿಯೊಂದಿಗೆ) ಮೇಲೆ ಏಕೀಕರಣವು m-ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ M ನ ಬೌಂಡರಿಯು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದು ಸಹ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆಃ ಇದು ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ d ಅನ್ನು ಬೌಂಡರಿ ಆಪರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. M ನ ಹೋಮೋಲಜಿ. ಈ ಸೂತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಮೇಲೆ ಬೌಂಡರಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಮೂಲಕ ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಉಪವರ್ಗವು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಮಾನದಂಡಗಳು ಪ್ರವಾಹಗಳ ಸ್ಥಳವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ದುರ್ಬಲ-* ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಅಂತರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆ ಸಾಮೂಹಿಕ ಮಾನದಂಡ. ಒಂದು ಸರಳವಾದ m-ರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಮಾನದಂಡವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ L ≤-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಪ್ರವಾಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮೇಲ್ಮೈಯ ತೂಕದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪ್ರವಾಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೈಸ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯ ಮೂಲಕ ನಿಯಮಿತ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಯ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ M (T) <ν ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದಂತಹ ಪ್ರವಾಹ. ಇದು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಏಕೀಕರಣದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರ ಮಾನದಂಡವು ವಿಟ್ನಿಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರವಾಹಗಳು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಭಾಗದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಸಾಮೂಹಿಕ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅವು ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಅವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು 0-ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ನಿಯಮಿತ ಅಳತೆಯು 0-ಪ್ರವಾಹವಾಗಿದೆಃ (x, y, z) ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನವು 2-ಪ್ರವಾಹವನ್ನು (ಅನೇಕವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆಃ ಜಾರ್ಜಸ್ ಡಿ ರಾಮ್ ಹರ್ಬರ್ಟ್ ಫೆಡರರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳು