Godeaux surface
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, 1931ರಲ್ಲಿ ಲುಸಿಯೆನ್ ಗೋಡಿಯಾಕ್ಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಗೋಡಿಯಾಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಇತರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗೋಡಿಯಾಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು (ಬಾರ್ಲೋ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಂತಹವು) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗೋಡಿಯಾಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 5ನೇ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು P3ಯಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ (w: x: y: z) ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು (w: x: y: z) ನಿಂದ (w: ρx: ρ2y: ρ3z) ವರೆಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ w5 + x5 + y5 + z5 = 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ρ ಎಂಬುದು 1ರ ಐದನೇ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂಶವು ಮೂಲ ಗೋಡಿಯಾಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು (ಮೂಲ ಗೊಡಿಯೊ ಮೇಲ್ಮೈಯ) 5ನೇ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಂತಹ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗದ ಚೌಕವು (ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ ವರ್ಗವು ಸಾಕಷ್ಟಿದೆ). ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು