Subharmonic function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಆ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಚೆಂಡಿನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಚೆಂಡಿನೊಳಗಿನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸೂಪರ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅದೇ ವಿವರಣೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, "ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ" ಅನ್ನು "ಚಿಕ್ಕದಲ್ಲ" ಎಂದು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸೂಪರ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಕೇವಲ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಣವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸೂಪರ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಅರೆ-ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವರಮೇಳದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸೂಪರ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ C2 (ಎರಡು ಬಾರಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರು ಆನ್ ಮಾಡಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದ ಹೊರತು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಹ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಿಂದುವಾರ ಗರಿಷ್ಠವು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಿಂದುವಿನ ಗರಿಷ್ಠವು ಮೇಲಿನ ಅರೆ-ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಸುಭಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿಸುವ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗರಿಷ್ಠ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಆಯಾಮ 1 ರಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ರೀಸ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ನಂತರ ಇದನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮೇಜರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ವರಮೇಳದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆಯಾಮ 2ರಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ವರಮೇಳದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರೀಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ (ಅಂದರೆ, ಎರಡು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ) ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಒಂದನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಇದರರ್ಥ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲಿನ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಶೂನ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ α> 0 ಗೆ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಅವಲೋಕನವು ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ 0 <p <1 ಆಗಿರುವಾಗ Hನ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ನೈಜ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮೇಜರ್ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಇಫ್ ಇನ್ ನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮೇಜರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. ರೇಡಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ φ ಮುಚ್ಚಿದ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ D (0,1) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು. φ ಕಾರ್ಯದ ರೇಡಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ) ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ನಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪಿಆರ್ ಪಾಯ್ಸಾನ್ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು 1 <p <≤ ಮಾಡಿದಾಗ Lp (T) ಮೇಲೆ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದು ಕೆಲವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕ C ಗೆ, f ಎಂಬುದು ω ಮತ್ತು 0 <p <φ ನಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಿಂದಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು φ = |f | ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಾರ್ಡಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Hpಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವು F ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈ ಸಂಗತಿಗಳಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸದಿಂದ, F ಯು ಏಕಕ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ರೇಡಿಯಲ್ ಮಿತಿಗಳನ್ನು F (e) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು (ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ) Fr (e) = F (ರೀ) ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ Fr, Lp (T) ಯಲ್ಲಿ F ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ M ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಅರೆಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ, ಮತ್ತು U ನ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಾರ್ಯ f1 ಗೆ, U ನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ U ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಸಿಟಿಯು ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ಲುರಿಸುಫಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಟೋಪೋಲಜಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು