Gelfand pair
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯು ಜಿ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಕೆ ಉಪಗುಂಪನ್ನು (ಜಿ ಯೂಲರ್ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ (ಜಿ, ಕೆ), ಇದು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಲು ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. G ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ, ಸರಳವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, G ಸಂಚಾರದಲ್ಲಿ (K, K)-ಡಬಲ್ ಕೊಸೆಟ್ಗಳು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಹೆಕೆ ಬೀಜಗಣಿತವು, Gಯ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, Kಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಅನುವಾದದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು Gಯಲ್ಲಿನ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ Gಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ Kಯ ನಿರ್ಬಂಧವು 1ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ Kಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲೂ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪ್ರತಿ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲೂ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನಿಯಂತ್ರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಪ್ರಕರಣ ಜಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಜಿ, ಕೆ) ಇದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ G ಯ ಮೇಲೆ (K, K)-ಡಬಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. G ಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ, π ನಲ್ಲಿರುವ K-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಪೇಸ್ πK ಯು 1-ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು-ಆಯಾಮದದ್ದಲ್ಲ. G ಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ, HomK (π, C) ನ ಆಯಾಮವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ C ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Kಯ ಕೊಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ Gಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಗುಣಾಕಾರ-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಶುರ್ ಬೀಜಗಣಿತ) ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ. (ಜಿ/ಎನ್, ಕೆ/ಎನ್) ಒಂದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್ ಎಂಬುದು ಕೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಗುಂಪಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಿ ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಜಿ ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. (ಕೆ, ಕೆ)-ಡಬಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಜಿ ಮೇಲೆ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ನಿರಂತರ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. G ಯ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ, π ನಲ್ಲಿರುವ K-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಪೇಸ್ πK ಯು 1-ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು-ಆಯಾಮದದ್ದಲ್ಲ. Gಯ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ, ಹೋಮ್ಕೆ (π, ಸಿ) ಯ ಆಯಾಮವು 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. G ಯ L2 (G/K) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಬಹುಗುಣ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಏಕೀಕೃತ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಜಿ ಒಂದು ಲೈ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಕೆ ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿ. (ಕೆ, ಕೆ)-ಡಬಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಜಿ ಮೇಲೆ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ನಿರಂತರ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿ/ಕೆ ಮೇಲೆ ಕೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಡಿ (ಜಿ/ಕೆ) ಕೆ ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿದೆ. G ಯ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ, π ನಲ್ಲಿರುವ K-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಪೇಸ್ πK ಯು 1-ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು-ಆಯಾಮದದ್ದಲ್ಲ. Gಯ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ, ಹೋಮ್ಕೆ (π, ಸಿ) ಯ ಆಯಾಮವು 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. G ಯ L2 (G/K) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಬಹುಗುಣ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಏಕೀಕೃತ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನೇರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನೋಡಿ. ಅಂತಹ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ (ಜಿ, ಕೆ), ಅಲ್ಲಿ ಜಿ ಒಂದು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಜಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಕೆ ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿ. (ಕೆ, ಕೆ)-ಡಬಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಜಿ ಮೇಲೆ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ನಿರಂತರ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. G ಯ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ, π ನಲ್ಲಿನ K-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಪೇಸ್ πK ಯು 1-ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು-ಆಯಾಮದದ್ದಲ್ಲ. ಜಿ ಯ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ, ಹೋಮ್ ಕೆ (π, ಸಿ) ಯ ಆಯಾಮವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. G ಯ L2 (G/K) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಬಹುಗುಣ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಏಕೀಕೃತ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನೇರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಜಿ ಒಂದು ಇವಾಸಾವಾ-ಮೊನೊಡ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಜಿ = ಕೆ. ಪಿ. ಜಿ ಯ ಕೆಲವು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಉಪಗುಂಪು ಪಿ. ಇದು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಇವಾಸಾವಾ ವಿಭಜನೆಯ ಅಮೂರ್ತ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. G ಒಂದು ಲೈ ಗುಂಪು ಮತ್ತು K ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ G ಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ HomK (π, C) ನ ಆಯಾಮವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಜೋಡಿಯನ್ನು (G, K) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ π φ ನಯವಾದ ವಾಹಕಗಳ ಉಪ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಗುಂಪು ಜಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಕೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ, ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯ ಮೂರು (ಪ್ರಾಯಶಃ ಸಮಾನವಲ್ಲದ) ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಜಿಪಿ1, ಜಿಪಿ2, ಮತ್ತು ಜಿಪಿ3 ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಜಿಪಿ1) ಜಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಡ್ಮಿಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ ಹೋಮ್ ಕೆ (π, ಸಿ) ನ ಆಯಾಮವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜಿಪಿ2) ಜಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಡ್ಮಿಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಮೂತ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿಪಿ3) ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಜಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಯೂನಿಟರಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಮ್ಕೆ (π, ಸಿ) ಯ ಆಯಾಮವು 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದರೆ ಮಧ್ಯಮ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ನಯವಾದ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಹರೀಶ್-ಚಂದ್ರ ಘಟಕವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜಿಪಿ3 ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಜಿ. ಪಿ. 1. ಜಿ. ಪಿ. 2. ಜಿ. ಪಿ. 3. ಬಲವಾದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳು ಒಂದು ಜೋಡಿಯನ್ನು (ಜಿ, ಕೆ) ಬಲವಾದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಜೋಡಿಯು (ಜಿ × ಕೆ, αಕೆ) ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ αK ≤ ಜಿ × ಕೆ ಕರ್ಣೀಯ ಉಪಗುಂಪುಃ {(ಕೆ, ಕೆ) ಜಿ × ಕೆಃ ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಕೆ). ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಈ ಗುಣವನ್ನು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿ ಒನ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲೂ ಬಲವಾದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಬಲವಾದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿ. ಕೆ ನಿಂದ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಜಿ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ) ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ. G ಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಮತ್ತು K ಯ τ ಗೆ, ಸ್ಪೇಸ್ HomK (τ, π) 1-ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು-ಆಯಾಮದದ್ದಲ್ಲ. G ಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಮತ್ತು K ಯ τ ಗೆ, ಸ್ಪೇಸ್ HomK (π, τ) 1-ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು-ಆಯಾಮದದ್ದಲ್ಲ. ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಮಾನದಂಡ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜೆಲ್ಫಾಂಡ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಜೋಡಿ (ಜಿ, ಕೆ) ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಆಗಲು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾನದಂಡವಿದೆಃ ಜಿ ಎಸ್ ಟಿ ಯ ಅನೈಚ್ಛಿಕ ಆಂಟಿ-ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ σ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಯಾವುದೇ (ಕೆ, ಕೆ) ಡಬಲ್ ಕೋಸೆಟ್ σ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ಜೋಡಿಯು (ಜಿ, ಕೆ) ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾನದಂಡವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ Kಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಎರಡೂ ಅನುವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾಗದ Gಯ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವು σ ಬದಲಾಗದಂತಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ Gಯ ಒಂದು ಅನೈಚ್ಛಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ σ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಈ ಜೋಡಿಯು (ಜಿ, ಕೆ) ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಗುಂಪು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜಿಪಿ 2 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಜೋಡಿಗೆ (ಜಿ, ಕೆ) ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಕಝ್ದಾನ್ ಕಾರಣ ಒಂದು ಮಾನದಂಡವಿದೆ. G ಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ (K, K)-ಡಬಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವಿತರಣೆಯು σ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವಂತಹ G ಯ ಇನ್ವೊಲ್ಯೂಟಿವ್ ಆಂಟಿ-ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ σ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಜೋಡಿ (ಜಿ, ಕೆ) ಜಿಪಿ 2 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನೋಡಿ. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಜೋಡಿಯು ಜಿಪಿ3 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ). ಜಿಪಿ1 ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಿಪಿ2 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆ ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಜಿ ಯ ಅನೈಚ್ಛಿಕ ಆಂಟಿ-ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿ = ಜಿಎಲ್ (ಎನ್) ಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯು ಅಂತಹ ಆಕ್ರಮಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಲೈ ಗುಂಪು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಯನ್ನು (ಜಿ, ಕೆ) ಜೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯೆಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾನದಂಡವಿದೆ. ಜಿ ಎಸ್ ಟಿ ಯ ಅನೈಚ್ಛಿಕ ಆಂಟಿ-ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ σ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. Gಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ K × K ಅಸ್ಥಿರ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತ ವಿತರಣೆಯು σ-ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ಜೋಡಿಯು (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ನೋಡಿ. ಬಲವಾದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮಾನದಂಡ ಕೆ. ಟ್ವಿಸ್ಟೆಡ್ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಯೋಗ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಕೆ × ಕೆ ನ ದ್ವಿಮುಖ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಬಲವಾದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಮಾನದಂಡಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು χ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೆ ಗುಂಪಿನ χ ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಜೋಡಿಯನ್ನು (ಜಿ, ಕೆ) ತಿರುಚಿದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, K ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುವಾಗ ಅದು HomK (π, χ) ನ ಆಯಾಮವು 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ತಿರುಚಿದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿಗಳು ಜೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿ (ಜಿ, ಕೆ) ಯು ಜಿ ಯ ಅನೈಚ್ಛಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ θ ಇದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕೆ ಎಂಬುದು θ-ಅಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆಃ ಜಿ. θ. G ಯು R ನ ಮೇಲೆ ಸಂಪರ್ಕಿತ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು K = Gθ ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ (G, K) ಒಂದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಜಿ = ಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಆರ್) ಮತ್ತು ಕೆ = ಒ (ಎನ್, ಆರ್), ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪಿನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿಯು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸಂಶೋಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ (ಜಿಎಲ್ (ಎನ್ + ಕೆ), ಜಿಎಲ್ (ಎನ್) × ಜಿಎಲ್ (ಕೆ)). ಇದು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಶೂನ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಜೋಡಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು (ಜಿ, ಕೆ) ಗೋಳಾಕಾರದ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. Gಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದ (B, K)-ಡಬಲ್ ಕೊಸೆಟ್ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ B ಎಂಬುದು Gಯ ಬೋರೆಲ್ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. Gಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ (B, K)-ಡಬಲ್ ಕೊಸೆಟ್ ಇದೆ. Gಯ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ πಗೆ, ನಾವು ಮಂದತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ G/H ಜಾಗವನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಜಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಗೋಳಾಕಾರದ ಜೋಡಿ (G, K) ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ದುರ್ಬಲ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆಃ G ಯ ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ, ಸ್ಪೇಸ್ HomK (π, C) ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಆಯಾಮದ ಮಿತಿಯು π ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಊಹೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣ ಜೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಜೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿರಲಿ. ಹೋಮ್ಕೆ (π, ಸಿ) 1-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಜಿ ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಕೆ-ಡಿಸ್ಟಿಂಗ್ವಿಶ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಇಂಡ್ (ಸಿ) ಎಲ್ಲಾ ಕೆ-ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಕೆ-ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿ 1 ರ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ತಿರುಚಿದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳಿಗೂ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಲ್ಪನೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಜಿ ಒಂದು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೆ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಟೇಕ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಮೂಲಕ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಗೋಳಾಕಾರದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹರೀಶ್-ಚಂದ್ರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಜಿ ಒಂದು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವಿಭಜಿತ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೆ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಜೋಡಿ (ಜಿ, ಕೆ) ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಆರ್. ಟಿ. ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಅಕ್ಷರ si (ನೋಡಿ,). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೆ-ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ (ಅಥವಾ ಕ್ಷೀಣಿಸದ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಬಹುತೇಕ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಂಡ್ (si) ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ (ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವರೆಗೆ) ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿಟ್ಟೇಕರ್ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಿ = ಜಿಎಲ್ (ಎನ್) ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾದ ಕಿ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. (ಜಿ, ಕಿ) ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಆರ್. ಟಿ. ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು i ಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ (ನೋಡಿ,) ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್-ಜೈಟ್ಲಿನ್ ನಿರ್ಮಾಣ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಒಬ್ಬರು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದುಃ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. (ಜಿಐ, ಜಿಐ-1) ಒಂದು ಬಲವಾದ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ Gn ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಉಪ-ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ Gn ಯ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. Gn = U (n) (ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು) ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಝೈಟ್ಲಿನ್ ಆಧಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯು (ಎನ್) ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಜಿಎಲ್ (ಎನ್) ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಂತೆಯೇ ಇರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಜಿಎಲ್ (ಎನ್) ನ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಧಾರವನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯು (ಐ) ಯು (ಐ + 1) ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದರಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಆಧಾರವು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಅವಧಿಗಳ ವಿಭಜನೆ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಅವಧಿಗಳ ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ ಜೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳ ಇತ್ತೀಚಿನ ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ. ಜಿ ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಕೆ ಜಿ ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಎಫ್ ನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಜೋಡಿ (ಜಿ, ಕೆ) ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಮೇಲೆ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಜಿ ಮೇಲೆ m ಒಂದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ರೂಪವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಅದರ ಎಚ್-ಅವಧಿಯು ಸ್ಥಳೀಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಳದಲ್ಲೂ m ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಅಂಶಗಳು). ಈಗ ನಮಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿಯತಾಂಕ s ಹೊಂದಿರುವ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಆ ರೂಪಗಳ ಅವಧಿಯು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸ್ಥಳೀಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದರರ್ಥ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಈ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆ ಅವಧಿಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಜಿ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಜಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಆರ್ ಟಿ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಾಮರಸ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, Gಯ ಎಲ್ಲಾ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು Gಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು GxG ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಗೋಳಾಕಾರದ ಜೋಡಿಯು (ಜಿ, ಕೆ) ಜೋಡಿಯನ್ನು (ಜಿ × ಜಿ, ಜಿ) ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಜಿ/ಕೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂಆರ್ಟಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಜೋಡಿಯ (ಜಿ, ಕೆ) ಗೆ ಜೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಶುರ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಯಾವುದೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಜೋಡಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ (ಸಿಮ್ (ಎನ್ + 1), ಸಿಮ್ (ಎನ್)), ಎನ್ + 1 ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಎನ್ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವ ಬಿಂದು ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕ. (ಎಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಕ್ಯೂ), ಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಕ್ಯೂ)), ಅಫೈನ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ) ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಟೆಬಿಲೈಸರ್. (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, (ಜಿ/ಎನ್, ಕೆ/ಎನ್) ಕೆ ನ ಪ್ರತಿ ಜಿ-ನಾರ್ಮಲ್ ಉಪಗುಂಪು ಎನ್ ಗೆ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಗುರುತಿಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಕೆ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಾಕು. Kಯ ಕೊಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ Gಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ನಂತರ ಬಿಂದು ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕ Kಯೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು Gಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವುದು IR (G) ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ χಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ರೋಬೆನಿಯಸ್ ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಗುಣಾಕಾರ-ಮುಕ್ತ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಾಗ ಮಾತ್ರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುಂಪು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ-ಮುಕ್ತ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ವಿರಳ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು. ಇದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆಃ 2-ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕ ಕೆ ಉಳಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಿದರೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಗುಂಪು ಜಿ 2-ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, n + 1 ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು G ಮತ್ತು n ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು K ಪ್ರತಿ n ≤ 1 ಗೆ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ 2-ಪರಿವರ್ತನಶೀಲ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಕೆಲವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಕ್ಷರ χ ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಕ್ಷರ 1, ಗೆ 1 + χ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಜಿ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬಿಂದು ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕ ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ), ಅದರ ಷುರ್ ಉಂಗುರವು ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಜಿ ಎಂಬುದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಟೆಬಿಲೈಸರ್ ಕೆ ಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಗುಂಪು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತೆ (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು (ಸಿಮ್ (ಎನ್), ಕೆ) ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು, ಎನ್ 18ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆಃ ಸಿಮ್ (ಎನ್-ಕೆ) × ಸಿಮ್ (ಕೆ), ಸಿಮ್ (ಎನ್/2) ಡಬ್ಲ್ಯೂಆರ್ ಸಿಮ್ (2), ಸಿಮ್ (2) ಡಬ್ಲ್ಯೂಆರ್ ಸಿಮ್ (ಎನ್/2) ಎನ್ ಈವೆನ್ಗೆ, ಸಿಮ್ (ಎನ್-5) × ಎಜಿಎಲ್ (1,5), ಸಿಮ್ (ಎನ್-6) × ಪಿಜಿಎಲ್ (2,5), ಅಥವಾ ಸಿಮ್ (ಎನ್-9) × ಪಿಎಕ್ಯೂಎಲ್ (2,8). ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳನ್ನೂ ಸಹ ತನಿಖೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ K (GL (n, R), O (n, R)) (GL (n, C), U (n)) (O (n + k, R), O (n, R) × O (k, R)) (U (n + k), U (n) × U (k)) (G, K) ನೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಿಗಳು, ಇಲ್ಲಿ G ಒಂದು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಗುಂಪು ಮತ್ತು K ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೆಲ್ಫ್ಯಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳು ಎಫ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಲಕ್ಷಣದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. (ಎಸ್ಎಲ್ (ಎನ್ + 1, ಎಫ್), ಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಎಫ್)) ಎನ್> 5 ಗೆ. (sp (2n + 2, F), sp (2n, F)) × sp (2, F))) n> 4. (ಎಸ್. ಓ. (ವಿ. ಎಫ್.), ಎಸ್. ಓ. (ವಿ.)) ಅಲ್ಲಿ ವಿ ಎಂಬುದು ವಿಘಟಿತರಾಗದ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮಮಿತಿಯ ಜೋಡಿಗಳು ಎಫ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆಃ (G × G, ΔG): ಇದು ಶೂರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. (ಜಿಎಲ್ (ಎನ್ + ಕೆ, ಎಫ್), ಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಎಫ್) × ಜಿಎಲ್ (ಕೆ, ಎಫ್)). (GL (2n, F), Sp (2n, F)). (ಓ (ಎನ್ + ಕೆ, ಸಿ), ಓ (ಎನ್, ಸಿ) × ಓ (ಕೆ, ಸಿ)). (ಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಸಿ), ಒ (ಎನ್, ಸಿ)). (ಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಇ), ಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಎಫ್)), ಇಲ್ಲಿ ಇ ಎಂಬುದು ಎಫ್. ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿಗಳು ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿವೆಃ (ಸಿಮ್ (ಎನ್ + 1), ಸಿಮ್ (ಎನ್)), ಇದನ್ನು ಇನ್ವಾಲ್ಯೂಟಿವ್ ಆಂಟಿ-ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ g′g−1 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಜಿಎಲ್ (ಎನ್ + 1, ಎಫ್), ಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಎಫ್)) ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. (O (V ωF), O (V)) ಅಲ್ಲಿ V ಎಂಬುದು F ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. U (V ≤ E), U (V), ಇಲ್ಲಿ E ಎಂಬುದು F ಮತ್ತು V ನ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು E ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆ ನಾಲ್ಕು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಗಳು ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯಂತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ (ಸಿಮ್ (ಎನ್ + 1) × ಸಿಮ್ (ಎನ್), Δ ಸಿಮ್ (ಎನ್)). (GL (n + 1, F) × GL (n, F), α GL (n, F)) (O (V ≤ F) × O (V), α O (V) (U (V ≤ E) × U (V), α U (V)) ಸಹ ನೋಡಿ.