Binary icosahedral group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು 2I ಅಥವಾ 120 ಕ್ರಮದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು. ಇದು ಕ್ರಮ 2 ರ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕ್ರಮ 60 ರ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು I ಅಥವಾ (2,3,5) ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 2:1 ರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಿನ ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು 120 ಕ್ರಮದ ಸ್ಪಿನ್ (3) ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು, ಇದು 120 ಕ್ರಮದ ವಿಭಿನ್ನ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಓ (3) ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ಸರಳವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ Sp (1) ಯುನಿಟ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. (ಈ ಏಕರೂಪತೆಯ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಕುರಿತ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ.) ಅಂಶಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಾಹಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ 96 ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ 16 ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ 8 ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ 120 ಅಂಶಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಐಕೋಸಿಯನ್ಗಳ ಘಟಕ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಏಕಮಾನದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕಮಾನದ ಚತುರ್ಧಾತುವಿನ ಗುಂಪು Sp (1) ನಲ್ಲಿವೆ. 4-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 120 ಅಂಶಗಳು 120 ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ 600-ಕೋಶಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕೇಂದ್ರೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು 2I ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು, ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಾಸಿಸಿಂಪಲ್ ಆಗಿದೆಃ ಇದು ಸರಳ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ 2I ಎಂಬುದು I ನಿಂದ {±1} ನ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, I ಗೆ 2I ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪು ಇಲ್ಲ. 2I ಯ ಕೇಂದ್ರವು ಉಪಗುಂಪು {±1} ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಂತರಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು I ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು S5 (5 ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು) ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ-2I ಯ ಯಾವುದೇ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಕೇಂದ್ರದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು () ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ I ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, I ನ ಯಾವುದೇ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ 2I ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಏರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ I ನ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಲಿಫ್ಟ್ 2I ನ ಜನರೇಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ (ವಿಭಿನ್ನ ಲಿಫ್ಟ್ಗಳು ಅದೇ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ). ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಅದರ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 2I ಎಂಬುದು 120ನೇ ಕ್ರಮದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದು 2I ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಅದರ ಮೊದಲ ಎರಡು ಗುಂಪು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಅದರ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ (ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಅದರ ಶುರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ (ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ (ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ) ಪರಿಪೂರ್ಣವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಅಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ, Hn (2I, Z) n = 4k + 3 ಗೆ 120 ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ n> 0 ಗೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಸ್ಪಿನ್ (3) ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಎಸ್ಒ (3) ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು 4-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಎಸ್ಒ (4) ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಸ್ಪಿನ್ (4) ನಲ್ಲಿರುವ ಇದರ ಡಬಲ್ ಕವರ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು 4-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಪೂರ್ಣ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಾಗಿ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ), ಮತ್ತು 4-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಪೂರ್ಣ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಪೂರ್ಣ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಲ್ಲ (ಇವು 120 ಕ್ರಮದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಗುಂಪುಗಳು). ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪಿನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ, ಡಬಲ್ ಓವರ್ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ. ಅಂದಿನಿಂದ ಇಂದಿನವರೆಗೆ 2-1 ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ 2-1 ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ (2,5) ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು-ಯುನಿಟ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ 5 ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ 2 × 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪು; ಇದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2,5) ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಾಧಾರಣ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಸ್. ಎಲ್., ಜಿ. ಎಲ್., ಪಿ. ಎಸ್. ಎಲ್., ಪಿ. ಜಿ. ಎಲ್. ಗಳ ಪರಿವರ್ತಕ ವರ್ಗವು ಪರಿವರ್ತಕ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಸ್ಪಿನ್ (4), ಪಿನ್ (4), ಎಸ್. ಓ. (4), ಓ. (4) ಗಳ ಪರಿವರ್ತಕ ವರ್ಗಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತಿ 2I ಗುಂಪು ನೀಡಿದ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ನೀಡುತ್ತವೆ 2I ಯ ಏಕೈಕ ಸರಿಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಕೇಂದ್ರ {±1} ಆಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, 2Iನ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು Iನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ಗಲೊಯಿಸ್ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ 2Iನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ಲೋಸರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು {±1} ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಏಕೈಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮ ಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ 2Iನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪು ಬೆಸ ಕ್ರಮದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ Iನ ಉಪಗುಂಪಿನ ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ಹೊರತಾಗಿ (ಅವು ಬೆಸ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು), 2Iಯ ಇತರ ಉಪಗುಂಪುಗಳು (ಸಂಯೋಗದವರೆಗೆ) ಹೀಗಿವೆಃ ಅವೆಂದರೆ ಬೈನರಿ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳು, Dic5 = Q20 = ± 2,2,5 57, ಕ್ರಮ 20 ಮತ್ತು Dic3 = Q12 = ± 2,2,3 12ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ವಾಟರನಿಯನ್ ಗುಂಪು, 8 ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಕ್ವಾಟರನಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸೂಚ್ಯಂಕ 15ರ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಡೈಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪು Dic2 ಆಗಿದೆ; ಇದು ಅಂಚಿನ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. 24 ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಘಟಕಗಳು ಬೈನರಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೂಚ್ಯಂಕ 5 ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ; ಇದು ಕೈರಲ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಗುಂಪು ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗವು 5 ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇದು ಅದರ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ). 4-ಆಯಾಮದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ 4-ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯವು 600-ಜೀವಕೋಶದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (ಅದರ ದ್ವಂದ್ವ, 120-ಜೀವಕೋಶದ ಸಹ). ಮೊದಲನೆಯದು H3 ಪ್ರಕಾರದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ, ಎರಡನೆಯದು H4 ಪ್ರಕಾರದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು [3,3,5] ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉಪಗುಂಪನ್ನು [3,3,5] + ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು SO (4) ನಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುವ 7200 ಕ್ರಮದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಒ (4) ಸ್ಪಿನ್ (4) ಎಂಬ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್ (3) ಎಸ್ಒ (3) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಪಿನ್ (3) = ಸ್ಪಿನ್ (1) ಎಂಬ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಂತೆಯೇ, ಸ್ಪಿನ್ (4) ಗುಂಪು ಸ್ಪಿನ್ (1) × ಸ್ಪಿನ್ (1) ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಪಿನ್ (4) ನಲ್ಲಿರುವ [3,3,5] + ನ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರವು (2I ನ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯ) ನಿಖರವಾಗಿ 14400 ಕ್ರಮದ 2I × 2I ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. 600-ಕೋಶದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು ನಂತರ [3,3,5] + = (2I × 2I)/{±1} ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಇತರ 4-ಆಯಾಮದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು 2I ನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ನೋಡಿ (ಕಾನ್ವೇ ಮತ್ತು ಸ್ಮಿತ್, 2003). ಅನ್ವಯಗಳು ಕೊಸೆಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸ್ಪಿನ್ (3)/2I = S3/2I ಎಂಬುದು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸ್ಫಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗೋಳಾಕಾರದ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗೋಳದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು 3-ಗೋಳದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಗೋಳದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಗೋಳವು ಬೈನರಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ 3-ಗೋಳದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಬೈನರಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರೂಪ್ ಬೈನರಿ ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್, 2n ಬೈನರಿ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರೂಪ್, 2n ಬೈನರಿ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರೂಪ್, 4n ಬೈನರಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರೂಪ್, 2T = λ 2,3,3 λ, ಆರ್ಡರ್ 24 ಬೈನರಿ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರೂಪ್, 2O = λ 2,3,4 λ, ಆರ್ಡರ್ 48 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 6.5 ಬೈನರಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳು, p. 68 ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಇಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್