Large set (combinatorics)
ಸಂಯೋಜಿತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಮೂಹವು ಪರಸ್ಪರಗಳ ಅನಂತ ಮೊತ್ತವು ಬೇರೆಯಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಮೂಹವು ದೊಡ್ಡದಲ್ಲದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ಮೊತ್ತವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂಟ್ಜ್-ಸ್ಜಾಜ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಕುರಿತಾದ ಎರ್ಡೋಸ್ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸ್ವರಮೇಳದ ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು (ಅಂದರೆ, an + b ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, a ≤1, b ≤1 ಮತ್ತು n = 0,1,2,3,.) ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (ಬಾಸೆಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಕ್ಯೂಬ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್, 4 ನೇ ಪವರ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಡಿಗ್ರಿ 2 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. 2ರ ಘಾತಗಳ {1,2,4,8,.} ಸಮೂಹವು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯೂ ಸಹ (ಅಂದರೆ, a ≤1, b ≤2 ಮತ್ತು n = 0,1,2,3,.). ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (ಬ್ರೂನ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ನೋಡಿ). ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಸಮೂಹವು (ಅಂದರೆ, n ≤ 2 ಮತ್ತು p ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ pn ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಣವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿಗಳ ಸಮೂಹವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ; ಪ್ರಬಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವೂ ಸಹ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 7ನೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರದ ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಮೂಹವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಕೆಂಪ್ನರ್ ಸರಣಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಣ್ಣ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಣ್ಣ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. (ಸೆಟ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸಣ್ಣ ಸೆಟ್ಗಳು ಆದರ್ಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.) ಪ್ರತಿ ಸಣ್ಣ ಗುಂಪಿನ ಪೂರಕವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಸಮೂಹವು ದಟ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಸೆಟ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮುಂಟ್ಜ್-ಸ್ಜಾಜ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಟೋನ್-ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಎಲ್ಲಾ ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೀರ್ಘವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಪುರಾವೆಗಾಗಿ $3000 ಬಹುಮಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಅವರ ಇತರ ಯಾವುದೇ ಊಹಾಪೋಹಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಮತ್ತು ಈ ಬಹುಮಾನದ ಪ್ರಸ್ತಾಪವು ಕನಿಷ್ಠ ವೇತನ ಕಾನೂನನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದೆ ಎಂದು ತಮಾಷೆ ಮಾಡಿದರು. ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇನ್ನೂ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸುವುದು ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ದೊಡ್ಡದು ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಅನೇಕ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ. ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಎ. ಡಿ. ವಾಧ್ವಾ (1975) ಎಂಬ ಪರಸ್ಪರರ ಮೊತ್ತಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉಪ ಸರಣಿ. ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಂತ್ಲಿ 82 (9) 931-933. ಸಂಯೋಜಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಗಣಿತದ ಸರಣಿಗಳು