Hamburger moment problem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಲುಡ್ವಿಗ್ ಹ್ಯಾಂಬರ್ಗರ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹ್ಯಾಂಬರ್ಗರ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (m0, m1, m2,.) ನೀಡಿದರೆ, ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಅಳತೆ) ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ದೃಢವಾದ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ (m0, m1, m2,.) ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಯ ಕ್ಷಣಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ, ವೊರೊಬಿಯೆವ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹೋಲುತ್ತವೆ ಆದರೆ ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು (ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಮತ್ತು ವೊರೊಬಿಯೆವ್; ಆದರೆ ವೊರೊಬಿಯೆವ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ), ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರ (ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್) ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತಾರೆ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ಕರ್ನಲ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹ್ಯಾಂಬರ್ಗರ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ, (mn) ಕ್ಷಣಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ), ಅಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ (cj) j ≤ 0, ಅಂದರೆ. cj = 0, j ನ ಸೀಮಿತವಾದ ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ). ಹಕ್ಕುಗಳ "ಒನ್ಲಿ ಇಫ್" ಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಯಾವುದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಸಂಭಾಷಣೆಗಾಗಿ ಒಂದು ವಾದವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತೇವೆ. Z + ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು F0 (Z +) ಪರಿಮಿತ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ಕರ್ನಲ್ ಎ ಸೀಮಿತ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಮೇಲೆ (ಬಹುಶಃ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ) ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಶವು [f] ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಎನ್ (m) = δnm ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಫ್0 (Z +) ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶವು ಎನ್ ಆಗಿರಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, "ಶಿಫ್ಟ್" ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಆನ್, ಟಿ [ಎನ್] = [ಎನ್ + 1] ನೊಂದಿಗೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಗಮನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಬಯಸಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ [1], ಇದು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಅನ್ನು x ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವಂತಹ "ಕಾರ್ಯ ಮಾದರಿ" ಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಟಿ ಯ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು F0 (Z +) ನಿಂದ ಬಹುಪದಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಒಂದೇ ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ n ≤ 0 ಗೆ, xn ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಿ. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ x ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಟಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅಳತೆಯಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮೇಯ 3.2 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟತೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (n + 1) × (n + 1) ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಎ ನ ಧನಾತ್ಮಕತೆ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ n ಗೆ, ಡಿಟ್ (Δn) ≤0. ಕೆಲವು n ಗೆ, ಡಿ. ಇ. ಟಿ. (Δn) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಟಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯದ್ದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಂಬರ್ಗರ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಟಿ ಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅಳತೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸೀಮಿತ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ n, |mn | ≤ CDnn ಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾದ C ಮತ್ತು D ಇದ್ದರೆ ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ! .. ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕಾರ್ಲ್ಮನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನೋಡಿ. ಮುಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹ್ಯಾಂಬರ್ಗರ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ನೋಡಬಹುದು. ಗ್ರಾಮ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ಃ ತ್ರಿಕೋನ ಜಾಕೋಬಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ಕರ್ನಲ್ಗಳ ತ್ರಿಕೋನ ಮಾದರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿ ಯ ಕೇಲೆ ರೂಪಾಂತರದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಎಡ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ವರ್ಗದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, ಇದು ಭಾಗಶಃ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ಕ್ರೆಯಿನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊಮೆಂಟ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಒಮ್ಮುಖಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕ್ಷಣ (ಗಣಿತ) ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು