Noether normalization lemma
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೋಥರ್ ನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಲೆಮ್ಮಾವು 1926ರಲ್ಲಿ ಎಮ್ಮಿ ನೋಥರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ k, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವಿನಿಮಯಶೀಲ k-ಬೀಜಗಣಿತ A ಗೆ, A ಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳಾದ y1, y2,., yd ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ A ಎಂಬುದು ಬಹುಪದೀಯ ವರ್ತುಲ S = k [y1, y2,., yd] ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ d, A ಉಂಗುರದ ಕ್ರಲ್ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು A ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, d ಸಹ k ಮೇಲೆ A ನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ. ಎ ಒಂದು ಅಫೈನ್ ವಿಧದ ಎಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಅನ್ನು ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಜಾಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಉಂಗುರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಸೇರ್ಪಡೆ ನಕ್ಷೆಯು ಅಫೈನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸೀಮಿತ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ಪ್ರಭೇದವು ಅಫೈನ್ ಜಾಗದ ಕವಲೊಡೆದ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆ ಅನಂತವಾಗಿದ್ದಾಗ, X ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಫೈನ್ ಜಾಗದಿಂದ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅಂತಹ ಕವಲೊಡೆದ ಆವರಣ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯೋಜನೆಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದುಃ ಪ್ರತಿ ಅಫೈನ್ ಕೆ-ಸ್ಕೀಮ್ (ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ) ಎಕ್ಸ್ ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಆಯಾಮಗಳ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಆರ್ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಕ್ಸ್ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು) ಆದರ್ಶಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಬಹುದು. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ನಲ್ಸ್ಟೆಲ್ಲೆನ್ಸಾಟ್ಜ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ನೋಥರ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಹಂತವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಕೆ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಕ್ರಲ್ ಆಯಾಮದ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯು ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ನ ಕೆಂಪು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ನಾಗಟಾದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಕೆಂಪು ಪುಸ್ತಕದ 127ನೇ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಲೆಮ್ಮಾದಲ್ಲಿನ ರಿಂಗ್ ಎ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕೆ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎಂ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ A ಯ ಸಬ್ ರಿಂಗ್ S ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ A ಯು S ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನಿಂದ, ನಾವು S ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ S ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಏನೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, k ಮೇಲೆ m ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಹುಪದ f ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ r ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ನಂತರ ಹಿಂದಿನದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಈಗ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ನಂತರದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮೇಲಿನ ಘಾತಾಂಕವು ಇತರ ಕೆಲವು ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಅದರಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವು ಮೇಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ರದ್ದತಿಯಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, f ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಘಾತಾಂಕಕ್ಕಿಂತ r ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮೂಲ r ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಸಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, A ಯು S ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ A ಯು S ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು S ಅನ್ನು m-1 ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನಿಂದ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. A ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, d ಎಂಬುದು ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, A ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಅತಿಕ್ರಮಣಾ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟ) ಏಕೆಂದರೆ Aಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು Sನ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ A, Sನ ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು S, ಅತಿಕ್ರಮಣಾ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕರಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಡಿ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಸರಪಳಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆಯಾಮವು ಕನಿಷ್ಠ d ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಮ್ಮುಖ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಸರಪಳಿಯಾಗಿರಲಿ. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಾವು ನೋಥರ್ ನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಮುಕ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ) ಅಂದರೆ ಎಸ್ ಟಿ ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನಿಂದ, ಡಿ-1 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೋಲಿಸಲಾಗದಿರುವಿಕೆಯಿಂದ, ಇದು ಉದ್ದದ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಅದು ಉದ್ದದ ಸರಪಳಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,. ಪರಿಷ್ಕರಣ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯು ಐಸೆನ್ಬುಡ್ನ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ನಾಗಟಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆಃ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಮೇಯದ ಕೊನೆಯ ಭಾಗವು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಸೀಮಿತ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ (cf. ಲೆಡೆ); ಐಸೆನ್ಬುಡ್ ಜೊತೆಗೆ, ಸಹ ನೋಡಿ. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅನ್ವಯಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮುಕ್ತತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಲೆಮ್ಮಾದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅನ್ವಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮುಕ್ತತೆ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆಃ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನಂತಹ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಫ್ರೀ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿವೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ನ ಕ್ರಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ವಾದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಕ್ರಲ್ ಆಯಾಮವು; ಅಂದರೆ; ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಇದ್ದಾಗ, ಅದು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಹಂತಕ್ಕೆ, ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೋಥರ್ ನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವು ಸೇರಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಈಗ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ನಂತರ ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ, ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಕೆಲವರಿಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಛೇದಗಳನ್ನು ಕೊಲ್ಲುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತವಾದ ಅನೇಕ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜನರೇಟರ್ಗೆ ಈ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವ (ಆದ್ದರಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ) ಕೆಲವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ (ಅಂತಹ ಶೋಧನೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ)-ಉಪಘಟಕಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತ ಶೋಧನೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರತಿ i ಗೆ, ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನ ಮೂಲಕ, ನಾವು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವಂತಹ ಕೆಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಬಹುಪದ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜೊತೆಗೆ, ಒಂದು ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಎನ್. ಬಿ. ಲೆಮ್ಮಾವು ನವೀಕರಿಸುವ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿದೆ. ಮುಂದೆ ಓದುವುದು ರಾಬರ್ಟ್ಜ್, ಡಿ.: ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಕೋನ್ ವಿಭಜನೆಗಳಿಂದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ನೋಥರ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ. ಜೆ. ಸಾಂಕೇತಿಕ ಗಣನೆ. 44 (10), 1359-1373 (2009) ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಲೆಮ್ಮಾಗಳು