Absolute Galois group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪು GK ಎಂಬುದು Kಯ ಮೇಲೆ Kಸೆಪ್ನ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ Kಸೆಪ್ ಎಂಬುದು Kಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಇದು Kಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ Kಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಅನಂತ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. (ಕೆ ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಕೆಸೆಪ್ ಎಂಬುದು ಕೆ ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಕಾಲ್ಗ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ K ಗೆ, ಅಥವಾ K ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ.) ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆ) ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಿ ಎಂಬುದು ಆರ್ ಮತ್ತು [ಸಿಃ ಆರ್] = 2 ಅನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ (ಸಂಕೇತಕ್ಕಾಗಿ, ವಿಲೋಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ.) ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಫ್ಆರ್ ಎಂಬುದು ಜಿಕೆ ಯ ಅಂಗೀಕೃತ (ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್) ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದೆ. (ಕಾಲ್ಗ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ Fr (x) = xq ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅಲ್ಲಿ q ಎಂಬುದು Kಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.) ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಒಂದು ಅನಂತ ಗುಂಪಾಗಿ). ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಆಡ್ರಿಯನ್ ಡೌಡಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, C ಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಲಿ ಮತ್ತು x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ K = C (x) ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು C ಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಡೇವಿಡ್ ಹಾರ್ಬೇಟರ್ ಮತ್ತು ಫ್ಲೋರಿಯನ್ ಪಾಪ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನಂತರ ಡಾನ್ ಹರನ್ ಮತ್ತು ಮೋಶೆ ಜಾರ್ಡನ್ ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಕೆ ಎಂಬುದು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ ಕ್ಯೂಪಿಯ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರಲಿ. p §2 ಗೆ, ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು [K: Qp] + 3 ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಉವೆ ಜಾನ್ಸೆನ್ ಮತ್ತು ಕೇ ವಿಂಗ್ಬರ್ಗ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಪಿ = 2 ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ, ಆದರೆ ಕ್ಯೂ 2 ರ ರಚನೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನೇರ ವಿವರಣೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನ ಡೆಸಿನ್ ಡಿ 'ಎನ್ಫಾಂಟ್ಸ್ (ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲಿನ ನಕ್ಷೆಗಳು) ಮೇಲೆ ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು "ನೋಡಲು" ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬೇಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. K ಯು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಶಫರೇವಿಚ್ ಅವರ ಊಹೆಯು ಕೆ ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಮುಕ್ತ ಪ್ರೊಫೈನೇಟ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಜಾನ್ ಮಿನಾಕ್ ಮತ್ತು ನ್ಗುಯೆನ್ ಡುಯ್ ಟಾನ್ ಅವರ-ಮಾಸ್ಸಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಬಗೆಗಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸುವುದು. ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಫಿನೇಟ್ ಗುಂಪು ಕೆಲವು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಫಿನೇಟ್ ಗುಂಪು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ಟಿನ್-ಶ್ರಿಯರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಏಕೈಕ ಸೀಮಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಥವಾ 2ನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ, ಅಂದರೆ ಕೇವಲ ಎರಡು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ರೊಫೈನೈಟ್ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಸಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಲುಬೋಟ್ಜ್ಕಿ ಮತ್ತು ಲೌ ವ್ಯಾನ್ ಡೆನ್ ಡ್ರೈಸ್ರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮೂಲಗಳು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ