Bombieri–Lang conjecture
ಅಂಕಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬಾಂಬಿಯೆರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಎನ್ರಿಕೊ ಬಾಂಬಿಯೆರಿ ಮತ್ತು ಸರ್ಜ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ ಅವರು ಊಹಿಸಿದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ದುರ್ಬಲ ಬಾಂಬೇರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬಿಂದುಗಳು ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬೊಂಬಿಯೇರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ ಧನಾತ್ಮಕ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬಿಂದುಗಳು ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬಾಂಬೇರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯ ಪರಿಷ್ಕೃತ ರೂಪವು, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬಾಂಬೇರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಎನ್ರಿಕೊ ಬಾಂಬೇರಿ ಮತ್ತು ಸರ್ಜ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮಂಡಿಸಿದರು. 1980 ರಲ್ಲಿ ಚಿಕಾಗೊ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಎನ್ರಿಕೊ ಬೊಂಬಿಯೇರಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳ ಅವನತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡಿದರು. 1971 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಸರ್ಜ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಸಿಟಿಯ ನಡುವಿನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಊಹಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಬಾಂಬೇರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯ "ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ" ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಗಳು ಬಾಂಬೇರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯು ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸದೃಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕುಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬಾಂಬೆಯೇರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯು ಎರ್ಡೋಸ್-ಉಲಾಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಅಂತರಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿವೆ. 1997ರಲ್ಲಿ, ಲೂಸಿಯಾ ಕ್ಯಾಪೋರಾಸೊ, ಬ್ಯಾರಿ ಮಜೂರ್, ಜೋ ಹ್ಯಾರಿಸ್ ಮತ್ತು ಪೆಟ್ರೀಷಿಯಾ ಪಾಸೆಲ್ಲಿ ಬಾಂಬೆಯೇರಿ-ಲ್ಯಾಂಗ್ ಊಹೆಯು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರುಃ ಯಾವುದೇ ಡಿಗ್ರಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದೆ. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು