Boustrophedon transform
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೌಸ್ಟ್ರೋಫೆಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು "ಅಡಿಷನ್" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಬೌಸ್ಟ್ರೋಫೆಡಾನ್ (ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ-ಅಥವಾ ಸರ್ಪೈನ್-ರೀತಿಯ) ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತುಂಬುವಂತೆ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಇದು "ರಾಸ್ಟರ್ ಸ್ಕ್ಯಾನ್" ಮರದ ಹಲ್ಲಿನಂತಹ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಬೌಸ್ಟ್ರೋಫೆಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ, ಅನುಕ್ರಮ-ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು "ಸೇರ್ಪಡೆ" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆಃ, ಬೌಸ್ಟ್ರೋಫೆಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಮತ್ತೊಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ, ಅಲ್ಲಿ ಬಹುಶಃ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತುಂಬುವ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು). ಬೌಸ್ಟ್ರೋಫೆಡಾನ್ ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಐಸೋಸೆಲ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು (ಚಿತ್ರ 1) ತುಂಬಲು, ನೀವು ಇನ್ಪುಟ್ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಮತ್ತು ಬೌಸ್ಟ್ರೋಫೆಡಾನ್ ಸ್ಕ್ಯಾನ್ (ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ-ಅಥವಾ ಸರ್ಪಾಕಾರದಂತಹ) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿಗೆ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಇನ್ಪುಟ್ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ) ಇರಿಸಿ. ತ್ರಿಕೋನದ ಮೇಲಿನ ಶೃಂಗವು ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಔಟ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಮೇಲಿನ ಸಾಲನ್ನು ಸಾಲು 0 ಎಂದು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು (ತ್ರಿಕೋನದ ತಳಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುವುದು) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ (0 ರಿಂದ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಪ್ರಸ್ತುತ ತುಂಬುತ್ತಿರುವ ಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ () ಪ್ರಕಾರ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ, ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಲಿನ ಬಲ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ. ಈ ಸಾಲಿನ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವು (ಸೂಚ್ಯಂಕಃ) ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ (ಸೂಚ್ಯಂಕಃ) ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಬಲಕ್ಕೆ (ಸೂಚ್ಯಂಕಃ) ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ "ಸೇರ್ಪಡೆಯ" ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಔಟ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯವು ಬೆಸ ಸಾಲಿನ ಎಡಗೈ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (ಅಲ್ಲಿ ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಲಿನ ಎಡ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ. ಈ ಸಾಲಿನ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವು (ಸೂಚ್ಯಂಕಃ) ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯ (ಸೂಚ್ಯಂಕಃ) ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯದ (ಸೂಚ್ಯಂಕಃ) ನಡುವಿನ "ಸೇರ್ಪಡೆಯ" ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಔಟ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮ ಸಾಲಿನ ಬಲ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (ಅಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಈ "ಸೇರ್ಪಡೆ" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಚಿತ್ರ 1ರಲ್ಲಿರುವ ಬಾಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಸೀಮಿತ ಇನ್ಪುಟ್-ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ಃ, ಗೆ, ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಲುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆಃ (ವಿಶೇಷ). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೊನೆಯ ಸಾಲು. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧ ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (k ≤ n ≤ 0 ನೊಂದಿಗೆ) ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೇಟರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಜೋಡಿಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಹೊರಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ (ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ) ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು a0 = 1, an = 0 (n> 0) ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸೀಡೆಲ್-ಎಂಟ್ರಿಂಗರ್-ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಂಟ್ರಿಂಗರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮ bn ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯೂಲರ್ ಅಪ್/ಡೌನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಆನ್-ಲೈನ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಇಂಟಿಜರ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸಸ್ನ A000111 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು n ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಬರ್ನೌಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಗಳು) ಬೌಸ್ಟ್ರೋಫೆಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು () ನಿಂದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ () ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಗೆ ("ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು") ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ (ರಿಯಲ್) ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ () ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದಲ್ಲಿ ರಿಯಲ್ ()-ಮೌಲ್ಯದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಿಗೆ, ಬೌಸ್ಟ್ರೋಫೆಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ರಿಯಲ್-ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಹೀಗೆಃ, ಹಿಮ್ಮುಖ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ (ಔಟ್ಪುಟ್ನಿಂದ ಇನ್ಪುಟ್) ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ, ಅಲ್ಲಿ "ಅಪ್/ಡೌನ್" ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ-ಇದನ್ನು ಸೆಕೆಂಟ್ ಅಥವಾ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವು ಅನುಕ್ರಮ (an) ದ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಬೌಸ್ಟ್ರೋಫೆಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರದ (bn) ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ (an) ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.