Large set (Ramsey theory)
ರಾಮ್ಸೇ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವೇರ್ಡೆನ್ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ವಿಭಾಗವು ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೀರ್ಘವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಸ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವರ್ಡನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿವೆ. ದೊಡ್ಡತನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆಃ S ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ, S ಕನಿಷ್ಠ n ನ ಒಂದು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅನಂತ ಅನೇಕ ಗುಣಾಕಾರಗಳು) ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಎರಡು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳೆಂದರೆಃ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ n ಗೆ S n-ಕ್ಯೂಬ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, S ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಹುಪದವು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವಿದ್ದರೆ, ಅದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು S ಒಂದು ದಪ್ಪ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, S ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಇತರ ಸಂಗತಿಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಎಸ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಸ್-ಎಫ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಎಸ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕೂಡ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಅದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. 2-ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಕೆ-ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಕೆ-ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆ> 0 ಗೆ, ಇದು ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವರ್ಡೆನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಕೆ-ಬಣ್ಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವಾಗ ದೊಡ್ಡತನಕ್ಕಾಗಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಕೆಲವು ಗರಿಷ್ಠ k ಗೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ k-ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಇದು ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಗತಿಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೂ, ಕೆ-ದೊಡ್ಡತನವು (k-1) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ-ಎಲ್ಲಾ k ಗೆ k> 1 k-ದೊಡ್ಡತನವು ದೊಡ್ಡತನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲದ 2-ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಬ್ರೌನ್, ಗ್ರಹಾಂ, ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಂಡ್ಮ್ಯಾನ್ (1999) ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮ್ಯಾಥ್ವರ್ಲ್ಡ್ಃ ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವೇರ್ಡೆನ್ರ ಪ್ರಮೇಯ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ರಾಮ್ಸೇ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು