Weierstrass point
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಧ್ರುವಗಳು ಕೇವಲ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರ್ಲ್ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಪೇಸ್ ಕನಿಷ್ಠ ಅದರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಧ್ರುವಗಳಿಲ್ಲ. ನಮಗೆ ಮೂರು ವಿಷಯಗಳು ತಿಳಿದಿವೆಃ ಆಯಾಮವು ಕನಿಷ್ಠ 1 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆನ್ ಆಗಿವೆ; ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ; ಮತ್ತು ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಾವು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಆಯಾಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ 1 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಅದು ಕುಲವಾಗಿದ್ದರೆ,-th ಪದದ ಆಯಾಮವು ಅನುಕ್ರಮದ ಬಗೆಗಿನ ನಮ್ಮ ಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ? ನಮೂದುಗಳು ಎಂದರೆ ಅವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಗರಿಷ್ಠ 1 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು (ಇದು ಸರಳ ವಾದವಾಗಿದೆಃ ಗರಿಷ್ಠ 1 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಧ್ರುವದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅದು ಕೆಳ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಥಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಹಂತಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಳವಿಲ್ಲದ ಹಂತಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬಲಕ್ಕೆ ದೂರದಲ್ಲಿರುವಾಗ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅಲ್ಲದ ಬಿಂದುವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಂದರೆ. ಅನುಕ್ರಮವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕರಣವು ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಬಿಂದುವಿನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ವೇಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅಂತರವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿ-ಪಟ್ಟು ಧ್ರುವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತರದ ಅನುಕ್ರಮವು ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಿನದ್ದಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅಂತರ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಲುಕೆನ್ಸಾಟ್ಜ್ ಅಂತರಗಳು ಇರಬೇಕು ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ.) ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಡಬಲ್ ಪೋಲ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಅದರ ಶಕ್ತಿಗಳು ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ a ಅಂತರದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತರದ ಅನುಕ್ರಮವು ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಬಿಂದುವಿನ ತೂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆಃ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಬಿಂದುಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವು. ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೇಖೆಯವರೆಗಿನ ಡಿಗ್ರಿ ಎರಡರ ರ್ಯಾಮಫೈಡ್ ಕವರಿಂಗ್ನ ರ್ಯಾಮಿಫಿಕೇಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇವು ಕುಲದ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತವೆ. ಕ್ಲಿಫೋರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅಂತರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯು ಬರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಅಂತರಗಳಲ್ಲದವುಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅರೆಗುಂಪು ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಡಾಲ್ಫ್ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ನ ಹಳೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವ ಅರೆಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆರ್. ಓ. ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. 1980 ರಲ್ಲಿ ಬುಚ್ವೀಟ್ಜ್ ಅವರು 16 ಅಂತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಪಗುಂಪಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು 16 ನೇ ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಂತರಗಳಲ್ಲದ ಅರ್ಧಗುಂಪಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ನೋಡಿ). ಧನಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣಗಳಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಏಕಕಾಲಿಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಬಿಂದುವಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು 1939ರಲ್ಲಿ ಎಫ್. ಕೆ. ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ನೀಡಿದರು. ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಏಕಕಾಲಿಕವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಅಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ಥಿರ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಅಂತರದ ಅನುಕ್ರಮವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇವು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿ ಇದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು