Kuiper's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೈಪರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು (ನಿಕೋಲಾಸ್ ಕೈಪರ್ ನಂತರ) ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಚ್ ನ ವಿಲೋಮವಾದ ಸೀಮಿತ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸ್ಪೇಸ್ ಜಿಎಲ್ (ಎಚ್) ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈ ನಿಂದ ಜಿಎಲ್ (ಎಚ್) ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ. ಕೈಪರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಈ ಗುಂಪು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಎಚ್ಗಾಗಿ, ಈ ಗುಂಪು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, H ನ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು U. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು ಒಂದೇ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಗ್ರಾಮ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ, ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಧ್ರುವ ವಿಭಜನೆಯ ಮೂಲಕ, ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಥಳವು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿದ್ಯಮಾನವೆಂದರೆ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪುಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಳವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಬಾಟ್ನ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಯ ಹಾದಿಯು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸಂದರ್ಭ ಮತ್ತು ಗೋಳಗಳ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಚ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಎಸ್ φ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಏಕಕ ಗೋಳವು ಸಂಕುಚಿತ ಜಾಗವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಗಳು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಕೈಪರ್ ಅವರ ದಶಕಗಳ ಮೊದಲು ಖಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಗಣಿತದ ಜಾನಪದದ ಸ್ಥಾನಮಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿಜವಾಗಿದೆಃ S ≤ H ಗೆ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯಿಂದ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೇನೆಂದರೆ, ಎಚ್ನಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಬಾಲ್ಗೆ ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ನಯವಾದ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಂತಹ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು 1943 ರಲ್ಲಿ ಶಿಝುವೊ ಕಕುಟಾನಿ ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು, ಅವರು ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಸಂಕೋಚನದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಬರೆದಿರಬಹುದು. ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೇಗಾದರೂ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿತ್ತು (1935 ರಲ್ಲಿ ಆಂಡ್ರೆ ನಿಕೊಲಾಯೆವಿಚ್ ಟೈಚೋನೋಫ್ ಯುನಿಟ್ ಗೋಳವು ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿತು). ಡಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ನಿಕೋಲಾಸ್ ಕೈಪರ್ ಅವರು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು; ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ನಂತರ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಯಿತು. ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಗಿಂತ ಬಲವಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಾಗಿ, 1963 ರಲ್ಲಿ ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಡಿಕ್ಸ್ಮಿಯರ್ ಮತ್ತು ಆಡ್ರಿಯನ್ ಡೌಡಿ ಅವರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಗೋಳವು ಮತ್ತು ನಿರ್ವಾಹಕರ ಗುಂಪಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧವೆಂದರೆ ಯುನಿಟ್ ಗೋಳವು ಯು ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಒಂದೇ ವೆಕ್ಟರ್ v ಯ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕವು v ಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕದ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಉದ್ದವಾದ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಕಟ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ವತಃ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ದುರ್ಬಲ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ನೇರವಾಗಿ ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೈಪರ್ ಅವರ ಎರಡು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಪ್ರಕಟವಾದ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ರಿಚರ್ಡ್ ಪ್ಯಾಲೈಸ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವಷ್ಟು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಬಹುಗುಣಗಳ ಮೇಲೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಬಾಟ್ನ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು ಇದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಬಾಟ್ ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಒಪ್ಪಂದವಲ್ಲ. ಕೈಪರ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಬಾಟ್ಸ್ ಗುಂಪು ಎಂಬುದು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಪರೇಟರ್ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೊದಲ N ನಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು N ಗೆ, ಉಳಿದ ಆಧಾರದ ವಾಹಕಗಳ ಗುರುತು. ಅನ್ವಯಗಳು ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಬಂಡಲ್ ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರುವುದು ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಅಂಶಗಳುಳ್ಳ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಗುಂಪಿನಂತಹ ಅದರ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕೆಲವು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು S ≤ ನ ಸಂಕೋಚನದ ಫಲಿತಾಂಶವು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಾಟ್ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು U ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ವರ್ಗೀಕರಣ ಸ್ಥಳ BU ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (U (n) ಗಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಣ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನೋಡಿ). ಕೈಪರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಬರುವ ಆಳವಾದ ಅನ್ವಯವು ಅತಿಯಾ-ಜಾನಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ (ಕ್ಲಾಸ್ ಜಾನಿಚ್ ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ಅತಿಯಾ ನಂತರ), ಇದು H ಮೇಲೆ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸ್ಥಳವು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ, ಫಂಕ್ಟರ್ K ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ (ಸಂಕೀರ್ಣ) ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಇದನ್ನು ಅತಿಯಾ ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣ ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಯಾವುದೇ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ. ಕೆಲವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅನುಕ್ರಮ ಸ್ಥಳಗಳು ಒಂದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲು ವಿಫಲವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವೆಂದು ತಿಳಿದಿರುವಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೋಚನವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕೆ-ಥಿಯರಿ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ