Moduli scheme
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಯೋಜನೆಯು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಯೋಜನೆಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯೋಜನಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇತರರಿಗೆ 'ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತು' ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳು, ಮೈಕೆಲ್ ಆರ್ಟಿನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಾಶಿಗಳು). ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಅವರ ಹಿಸ್ಟರಿ ವರ್ಕ್ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೋಡಿ) 1960 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ತೆರೆಯಿತು. ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವುದು, ನಂತರ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು. ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತಮ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸರಿಯಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು. ಇದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಬರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಮಾಡುಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯಂತೆಯೇ ಇದೆ (ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿ). ಫಲಿತಾಂಶವು ನಂತರ ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಅದರ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಕೊರತೆಯು, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ಇದು ಖಾತರಿ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಥಿಯರಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಒಬ್ಬರು ಉತ್ತಮ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಬಯಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದುವ ಅವಕಾಶದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಮಸ್ಯೆ (ಮಟ್ಟದ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಇತರ 'ಗುರುತುಗಳು') ಇದೆ. ತೆರುಹಿಸಾ ಮಾಟ್ಸುಸಾಕನು ಈಗ ಮಾಟ್ಸುಸಾಕನ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದನು, ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಯೋಜನೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದನು. ಉದಾಹರಣೆಗಳಾದ ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್, ಜಿ> 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜಿ ಕುಲದ ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಯೋಜನೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಅರೆ-ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದೆ. ಜಾನೊಸ್ ಕೊಲ್ಲರ್ ಅವರ ಇತ್ತೀಚಿನ ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು "ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶ್ರೀಮಂತ ಮತ್ತು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಆಂತರಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ". ಬೇಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಬ್ರಾಂಗಾರ್ಡ್ ಮುಂದಿಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದ ಸೀಮಿತ ಎಟೇಲ್ ಹೊದಿಕೆಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಿರ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಒರಟಾದ ಮಾಡುಲಿ ಯೋಜನೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸೆಮಿಸ್ಟಬಿಲಿಟಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕೋನಿಕ್ಸ್ನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಇನ್ಸ್ಟಾಂಟನ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ಒರಟಾದ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮಾಡುಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಕಾರಿಗಳು