Class number formula
ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅದರ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಇದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. , ಅಲ್ಲಿ ನೈಜ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ನಿಯಂತ್ರಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಏಕತೆಯ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ವಿಸ್ತರಣೆಯ ತಾರತಮ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರಃ ಪ್ರಮೇಯ (ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರ). ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಗ್ಗೂಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಸರಳ ಧ್ರುವದೊಂದಿಗೆ, ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ "ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರ" ವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಯಾವಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರದ ಪುರಾವೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕೆ = ಕ್ಯೂ (ಐ) ಆಗಿದ್ದಾಗ ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, Kಯಲ್ಲಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯವು ಗಾಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕುಶಲತೆಯು s = 1ರಲ್ಲಿರುವ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಶೇಷವು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಯ n-th ಗುಣಾಂಕವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ n ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ s = 1 ರಲ್ಲಿ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಶೇಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಗಾಸ್ ವೃತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಲೇಖನದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಮೂಲವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ಕಾಲು ವೃತ್ತದೊಳಗಿನ ಜಾಲರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಅವಶೇಷವು ಪೈ ನ ಕಾಲು ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. K ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವಾಗ ಪುರಾವೆಯು ಬಹಳ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಏಕಮಾನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, K ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯದಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪು ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಶೇಷದ ಗಣನೆಯನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಣಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರ ಪೀಟರ್ ಗುಸ್ತಾವ್ ಲೆಜ್ಯೂನ್ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ 1839 ರಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಆದರ್ಶಗಳ ವರ್ಗಗಳಿಗಿಂತ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. 1801ರಲ್ಲಿ ಗಾಸ್ಗೆ ಈ ಸೂತ್ರವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರೂಪಣೆಯು ಡೇವನ್ಪೋರ್ಟ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಡಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಚ್ (ಡಿ) ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನಂತರ ಒಂದು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪಾತ್ರ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಎಲ್-ಸರಣಿಗಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. d> 0 ಗೆ, t> 0, u> 0 ಯು ಯು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಪೆಲ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ (ನಂತರ ಇದು ನೈಜ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಘಟಕ ಅಥವಾ ಮೂಲಭೂತ ಘಟಕದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ). ಡಿ <0 ಗೆ, ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಡಿ ನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ; ಅಂದರೆ, ನಂತರ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಇದು ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆಃ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕೆ ಗೆ, ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಶೇಷವು. ಎಲ್-ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಇದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೀಮಿತ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರೈಮ್ ಕಂಡಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕೆ ಎಂಬುದು ಕ್ಯೂ ನ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ಟಿನ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಇದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಅವಶೇಷದ ಒಂದು ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಪಾತವು s = 1 ರಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಎಡಭಾಗವಾದ ΠL (1, ρ) ಮಂದ ρ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ρ, ಅಳತೆಯ ಮಂದ (ρ) ದ ಗ್ಯಾಲಿನ (K/Q) ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ನಾನ್-ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ನಿಯಮಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ. ಗ್ಯಾಲ್ (ಕೆ/ಕ್ಯೂ) ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಇದು ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ρ ಅನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ (ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ) ಕಂಡಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕೆಲವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ f ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಎಲ್ (1) ಮೌಲ್ಯಗಳು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂತ್ರವಿದೆ. ಕ್ರೋನೆಕರ್-ವೆಬರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕುಮ್ಮರ್ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಘಟಕಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಂತೆ 'ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್' ನಲ್ಲಿನ ಪರಿಮಾಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಾದ ನಿಯಂತ್ರಕವನ್ನು ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಘಟಕಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ (1) ನಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಇಡೀ ಘಟಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಘಟಕಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರಗಳು. ಇವಾಸಾವಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಸ್ಟಿಕ್ಕಲ್ಬರ್ಗರ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ರೂಮರ್-ಸ್ಟಾರ್ಕ್ ಕಲ್ಪನೆ ಸ್ಮಿತ್-ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ-ಸೀಗಲ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸೂತ್ರ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.