Bring radical
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರಾಡಿಕಲ್ ಅಥವಾ ಅಲ್ಟ್ರಾರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ತನ್ನಿ ಬಹುಪದದ ಅನನ್ಯ ನೈಜ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ತನ್ನಿ a ಎಂಬುದು ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದದ ಐದು ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು (ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಬಹು-ಮೌಲ್ಯದ), ಅಥವಾ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಬ್ರಿಂಗ್ ರಾಡಿಕಲ್ ನೈಜ a ಗೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕು ಶಾಖೆ ಬಿಂದುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಕಾರಣ, ಬ್ರಿಂಗ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಇಡೀ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರಂತರತೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ನಾಲ್ಕು ಶಾಖೆಗಳ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಎರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ಬ್ರಿಂಗ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರಿಂಗ್ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಲವು ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಜಾರ್ಜ್ ಜೆರಾರ್ಡ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಎ ನ ಬ್ರಿಂಗ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನೈಜ ವಾದಕ್ಕಾಗಿ, ಇದು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೆಸ, ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಐದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಕಷ್ಟಃ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಚಿರ್ನ್ಹೌಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಧಾನ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ರೂಪ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ರೂಪವೆಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದುಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಬೇರುಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಿರ್ನ್ಹೌಸ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳು α ಮತ್ತು β ಅನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಥವಾ ಮೂಲಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ನ ಗುರುತುಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದು α ಮತ್ತು βಯಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ರೂಪದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂರು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ರೂಪವನ್ನು ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ಗೆ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ನ ದ್ರಾವಣದಿಂದ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಫಾರ್ಮ್ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪದವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದು ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಚಿರ್ನ್ಹೌಸ್ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಂತೆ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೆ ಪವರ್-ಸಮ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆರನೇ-ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ 1796 ರಲ್ಲಿ ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಧಾನ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಟಿಶಿರ್ನ್ಹೌಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಇದರ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರುಃ ಈ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೂಪಾಂತರವು ಒದಗಿಸುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿಯತಾಂಕವು ಇತರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಇದು ಆರು ಅಜ್ಞಾತಗಳಲ್ಲಿ ಐದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ನಂತರ ಘನ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು 1852 ರಲ್ಲಿ ಜೆರಾರ್ಡ್ ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಆದರೆ ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಬ್ರಿಂಗ್ನ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸದ ಬಗ್ಗೆ ಅವನಿಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಪಲ್ನಂತಹ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದಂತೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಗಾಧವಾಗಿರಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಸಾಂಕೇತಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿಂಟಿಕಿಗೆ ಅನೇಕ ಮೆಗಾಬೈಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿರುವ, d1 ಮತ್ತು d0 ಎಂಬ ಎರಡು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪರಿಹಾರಗಳು; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಡಿತವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ರಾಡಿಕಲ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ರೂಪವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ z ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ. ಈ ರೂಪವು ಹರ್ಮೈಟ್-ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಬ್ರಿಯೋಶಿ ವಿಧಾನ, ಗ್ಲಾಸರ್ನ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ದ್ರಾವಕಗಳ ಕಾಕಲ್-ಹಾರ್ಲೆ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೂಪವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬ್ರಿಂಗ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರಿಯೋಸ್ಚಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಬ್ರಿಯೋಸ್ಚಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬ್ರಿಯೋಸ್ಚಿ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಟಿಶಿರ್ನ್ಹೌಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಐದು ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಈ ಚಿರ್ನ್ಹೌಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಬಳಸುವ ಕಠಿಣ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಡೋಯ್ಲ್-ಮೆಕ್ ಮುಲ್ಲೆನ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಕೀಪರ್ಟ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಣಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳನ್ನು ತರಲು ಒಂದು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ, ಜೊತೆಗೆ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬಯಸಿದ ಪರಿಹಾರವು ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಇಐಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮ A002294 ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು (ಇದು ಸರಳವಾಗಿ) ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಫಾರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಿಂಗ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಗ್ಲಾಸರ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಬ್ರಿಂಗ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ನಾಲ್ಕು ಸಂಯೋಗಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತದವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ಬಾಹ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸರಿಯಾದವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ, ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವರ್ಗಮೂಲಗಳು, ಘನಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರಿಂಗ್ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (ರಾಡಿಕಲ್ಗಳನ್ನು ತರಲು ವಿಶಾಲವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ)-ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರ. ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬ್ರಿಂಗ್ ರಾಡಿಕಲ್ನ ಅನೇಕ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು 1858 ರಲ್ಲಿ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಹರ್ಮೈಟ್ ಅವರು "ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಸೆಂಡೆಂಟ್ಸ್" (ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ) ಮತ್ತು ನಂತರದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಇತರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಹರ್ಮೈಟ್-ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಬ್ರಿಯೋಸ್ಚಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 1858ರಲ್ಲಿ, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಹರ್ಮೈಟ್ "ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಗಳ" ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸೆಸ್ಕೊ ಬ್ರಿಯೋಸ್ಚಿ ಮತ್ತು ಲಿಯೋಪೋಲ್ಡ್ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಸಮಾನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಘನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹರ್ಮೈಟ್ ಈ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬಂದಿತು ಮತ್ತು ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಕಿರ್ನ್ಹೌಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಗೆ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ಕ್ವಿಂಟಿಕ್ನ ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೋಲುವ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು. ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿಃ ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು "ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅತೀಂದ್ರಿಯಗಳನ್ನು" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಸರಣಿಗಳಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ n ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಮತ್ತು n ಒಂದು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು n + 1 ಇಂಚಿನ ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ n + 1 ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ 1 ಅಥವಾ-1 ಆಗಿದ್ದು, 2 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಶೇಷ ಮಾಡ್ಯುಲೋ n ಆಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. n = 5ಕ್ಕೆ, ನಾವು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಆರು ಮೂಲಗಳೊಂದಿಗೆ. n = 5ರೊಂದಿಗಿನ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಆರು ಮೂಲಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ಕ್ವಿಂಟಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು (ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಸುರ್ ಲಾ ಥಿಯೋರಿ ಡೆಸ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್ ಮಾಡ್ಯುಲೇರ್ಸ್ ಎಟ್ ಲಾ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಡಿ ಎಲ್ 'ಇಕ್ವೇಶನ್ ಡು ಸಿನ್ಕ್ವಿಮೆ ಡಿಗ್ರೆನಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ): ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸೂತ್ರವು ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕವು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಐದು ಪ್ರಮಾಣಗಳು,,, ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆಃ ಇದನ್ನು ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಹರ್ಮೈಟ್-ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಬ್ರಿಯೋಶಿ ವಿಧಾನವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ರೂಟ್ ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ. ) ನ ಭಾಗಶಃ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಸ್ಕ್ವೇರಿಂಗ್ (*) ಕೇವಲ (ಬಳಸಿ) ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. (*) ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದ್ರಾವಣವು (ಇನ್) ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ನ ದ್ರಾವಣವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದ್ರಾವಣವು (*) ನ ದ್ರಾವಣವಲ್ಲ. ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಂತರ ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಫಾರ್. ಪರ್ಯಾಯವಾದ, "ಅವಿಭಾಜ್ಯ" ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಂತರವು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿ (ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅದನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ಈ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಂತರ ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಫಾರ್. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು n ನೇ ಮೂಲದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹರ್ಮೈಟ್-ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಬ್ರಿಯೋಶಿ ವಿಧಾನವು ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ "ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅತೀಂದ್ರಿಯ" ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು (ಅಥವಾ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ವಿಲೋಮ) ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ (ಅಥವಾ "ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅತೀಂದ್ರಿಯ" ದ ಭಾಗಶಃ ವಿಲೋಮದಿಂದ) ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಭಾವಿಸಿದರು, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಥೋಮೆಯ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 1984 ರಲ್ಲಿ ಹಿರೋಷಿ ಉಮೆಮುರಾ ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರು, ಅವರು ಘಾತೀಯ/ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಗಳ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸೀಗೆಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರು. ಎಂ. ಎಲ್. ಗ್ಲಾಸರ್ನಿಂದಾದ ಈ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಸರಣಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಚಿರ್ನ್ಹೌಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಬನ್ನಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಹೀಗಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಒಂದು ಸೂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ಮೇಲಿನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಬರಬಹುದುಃ ಗಾಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಅನಂತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ಸರಣಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನವು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೀಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಎನ್-1 ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾದ ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ಕ್ವಿಂಟಿಕ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಇವು ಮೇಲಿನ ಸರಣಿ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಪಂಚಕದ ಬೇರುಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರಿಸಾಲ್ವೆಂಟ್ಗಳ ವಿಧಾನವಾದ ಜೇಮ್ಸ್ ಕಾಕಲ್ ಮತ್ತು ರಾಬರ್ಟ್ ಹಾರ್ಲೆ 1860ರಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಅವರು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ದ್ರಾವಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತಾರೆ. ಬ್ರಿಂಗ್-ಜೆರಾರ್ಡ್ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕುಃ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕುಃ ಇವುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ದ್ರಾವಣದ ಪರಿಹಾರವು, ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಏಕೀಕರಣದ ನಾಲ್ಕು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಮೂಲ ಭೇದವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಇದು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಕಾರದ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಪರಿಹಾರವು ಮೇಲಿನ ಗ್ಲಾಸರ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಹಾಯ್ ಅವರ ಪವರ್ಸಂ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೋಯ್ಲ್-ಮೆಕ್ಮುಲ್ಲೆನ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು 1989ರಲ್ಲಿ, ಪೀಟರ್ ಡೋಯ್ಲ್ ಮತ್ತು ಕರ್ಟ್ ಮೆಕ್ಮುಲ್ಲೆನ್ ಬ್ರಿಯೋಸ್ಚಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ವಿಂಟಿಕನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರುಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಇದು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಇಟರೇಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವವರೆಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕರೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೂ ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಇವು ಬ್ರಿಯೋಸ್ಚಿ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಈ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವು ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನ ಎರಡು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ, ಘನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೂ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆ ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕಿನ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಇತರ ಮೂಲಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬಹುಪದಗಳು ವಿಶೇಷ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು