Hahn decomposition theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆಸ್ಟ್ರಿಯಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಹ್ಯಾನ್ನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹ್ಯಾನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು,-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಅಳತೆಗೆ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು, ಅಂತಹವುಗಳಲ್ಲಿಃ ಮತ್ತು. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಒಂದು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಒಂದು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ವಿಭಜನೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳು ಬಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪು ಶೂನ್ಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಜೋಡಿಯನ್ನು ನಂತರ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಅಳತೆಯ ಹಾನ್ ವಿಭಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅಳತೆ ವಿಭಜನೆಯು ಹಾನ್ ಕೊಳೆತ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಹಿ ಅಳತೆಯು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕೊಳೆತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ-ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ-ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಯಾವುದೇ ಹಾನ್ ಕೊಳೆತಕ್ಕೆ. ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆ (ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹಾನ್-ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಹಾನ್ ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಹಾನ್ ವಿಭಜನೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಅಳತೆಯ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದಾದರೊಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸೀಮಿತ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಮಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕನಿಷ್ಠ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಇದು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಪುರಾವೆಃ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅಳತೆಯ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ, ಅನನ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠತೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಫಿಶರ್ (2012) ನೋಡಿ. ಹಾನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧತೆಃ ಅದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ). ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಮೂಹವು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪಿಗೂ ಇರುವ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಹಕ್ಕುಃ ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಇದೆ. ಹಕ್ಕಿನ ಪುರಾವೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈ ಆದ್ಯತೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಸೆಟ್ಗಳು ಬೇರ್ಪಡುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಅಳತೆಯ ಸಿಗ್ಮಾ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು, ಇದು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ವಿಭಜನೆಯ ನಿರ್ಮಾಣಃ ಹೊಂದಿಸಿ. ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಂತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಅನಂತವು ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯಂತೆ, ಮತ್ತು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮೇಲಿನ ಹಕ್ಕಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಇದೆ. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಂತವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ಹೊಂದಿಸಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಸೆಟ್ಗಳು ಬೇರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಿಗ್ಮಾ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮೂಲಕ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಮೂಹವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತಿತ್ತು. ನಂತರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಅನುಮತಿ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಅನನ್ಯತೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪುರಾವೆಃ ಅದು ಮತ್ತೊಂದು ಹಾನ್ ವಿಭಜನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಧನಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಕೂಡ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವು ಶೂನ್ಯದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವಿಷಯಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ. ಇ. ಡಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ನಲ್ಲಿ ಹಾನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ. ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು