Domain of holomorphy
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿ ಡೊಮೇನ್ ಗರಿಷ್ಠವಾದ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, n-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಡೊಮೇನ್ ಆಫ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಜವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹಾರ್ಟಾಗ್ಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾದ ಷರತ್ತುಗಳು ಒಂದು ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಲೆವಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ಗೆ (ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ "ಒಳಗಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ") ಸ್ಥಳೀಯ ಲೆವಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೂ ಒಂದು ನೆರೆಹೊರೆ ಮತ್ತು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದನ್ನು ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾಗಿವೆ (ಏಕೆಂದರೆ, ಒಕಾದ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ನೋಡಿ). ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆ ಇದೆ, ಅಂದರೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಸ್ತರಿಸದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳದ ಜಾಗತಿಕ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. ಇದನ್ನು ಲೆವಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇ. ಇ. ಲೆವಿ ನಂತರ) ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಕಿಯೋಶಿ ಓಕಾ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾರ್ಸ್ ಹಾರ್ಮಂಡರ್ ಅವರು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ (-ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಣಾಮ) ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಛೇದನವೂ ಸಹ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಹೋಲೊಮೊರ್ಫಿಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಆರೋಹಣ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಹೋಲೊಮೊರ್ಫಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ (ಬೆಹನ್ಕೆ-ಸ್ಟೀನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಸೋದರಸಂಬಂಧಿ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ; ಇದು ಎರಡನೇ ಸೋದರಸಂಬಂಧಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟೀನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸ್ಟೀವನ್ ಜಿ. ಕ್ರಾಂಟ್ಜ್ ಅವರ ಲೆವಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಲೆವಿ ಸೂಡೋಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪರಿಹಾರದ ಬೆಹನ್ಕೆ-ಸ್ಟೀನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಎ. ಎಂ. ಎಸ್. ಚೆಲ್ಸಿಯಾ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್, ಪ್ರಾವಿಡೆನ್ಸ್, ರೋಡ್ ಐಲೆಂಡ್, 1992. ಬೋರಿಸ್ ವ್ಲಾಡಿಮಿರೋವಿಚ್ ಶಬಾತ್, ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಎಎಮ್ಎಸ್, 1992 ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳು