Generator (mathematics)
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜನರೇಟರ್ ಅಥವಾ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ಎಂಬ ಪದವು ಹಲವಾರು ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲೂ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ, ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಸ್ತುಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಗ್ರಹದ ಸೃಷ್ಟಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ಸಣ್ಣ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸೆಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರಚಿಸಿದ ಸೆಟ್ಗಿಂತ ಸರಳವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದನಾ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ; ಅಂತೆಯೇ, ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದನಾ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತವೆ. ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅಥವಾ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸೆಟ್ಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಸೆಟ್ಃ ಇಡೀ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪು ಒಂದು ಉಂಗುರದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ S ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ A ಯ ಏಕೈಕ ಉಪಶ್ರೇಣಿಯು A ಆಗಿದ್ದರೆ A ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಜನರೇಟರ್, ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪ ಬೇಸ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲಿನ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೇನಲ್ಲ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಚಾರ್ಜ್ ಅಥವಾ ಪ್ರವಾಹದ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಯೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಜನರೇಟರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ಅಂಶಗಳಲ್ಲ. ಲೈ ಗುಂಪಿಗೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅನಂತ ವಾಹಕಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಭವನೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇಟೋ ಪ್ರಸರಣ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಇಟೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಂತ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಉತ್ಪಾದಕವು ನೋಥರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಚಾರ್ಜ್ ಅಥವಾ ನೋಥರ್ ಚಾರ್ಜ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ, ಅನುವಾದಗಳ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿ ರೇಖೀಯ ಆವೇಗ, ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ ಯು (1) ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳ ಬಣ್ಣದ ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರೋಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಸ್ಯು (3) ಬಣ್ಣದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, "ಚಾರ್ಜ್" ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು. ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಲೈ ಥಿಯರಿ ಸಮಮಿತಿ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ಕಣ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿ ಗೇಜ್ ಥಿಯರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ಗಳು, ಕೆ. ಕಾನ್ರಾಡ್ ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ