Moduli of algebraic curves
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, (ಬೀಜಗಣಿತದ) ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಜಾಗವಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್) ಇದರ ಬಿಂದುಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮತ್ತು ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಹ ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಕುಲದ ನಯವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಇವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಆಯಾಮಗಳು ("ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ"). ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ನಯವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ, ಸ್ಥಿರ ನೋಡಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ (ಅವುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಹೊಸ "ಗಡಿ" ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಸಾಂದ್ರಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಎರಡೂ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ ನೋಡಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಕೆಳ ಕುಲದಲ್ಲಿ, ಅವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ನಯವಾದ ಕುಟುಂಬಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಶೂನ್ಯ ಕುಲದ ನಿಖರವಾದ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಕ್ರರೇಖೆ ಇದೆ, ಅದು ರೀಮನ್ ಗೋಳವು, ಮತ್ತು ಅದರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪು ಪಿಜಿಎಲ್ (2) ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, 1ನೇ ಕುಲದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ 0 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು, ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಅವರು ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಂದರೆ ಇದನ್ನು ಎರಡು ಸರಿಯಾದ ಸಬ್ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟ್ರೈ-ಕ್ಯಾನೊನಿಕ್ ಎಂಬೆಡೆಡ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವರು ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಂತರ, ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ. ವಿರೂಪತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಮತ್ತು ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಈ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ನಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವೆ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಒಂದು ಶ್ರೇಣೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಅವರು (ಜಿಐಟಿ ಅಂಶವಾಗಿ) ಘಟಕಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅನೇಕ ಘಟಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಪೂರ್ಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಘಟಕವು ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಏಕವಚನ ಲೋಕಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅದರ ಒಂದೇ ಘಟಕದಲ್ಲಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕವು ಛೇದಿಸುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳು ಒಂದೇ ಘಟಕದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಒರಟಾದ ಜಾಗವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ, ಇದು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅಂಶವನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ತತೆ, ಅಥವಾ ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಂದ್ರತೆ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಡಿತದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು curves.section 5.2 ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಅದರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೊದಲು ಈ ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಮತ್ತು ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಅವರು ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಟಾಕ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ರಾಶಿಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗ ರಾಶಿಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶೂನ್ಯ ಕುಲದಲ್ಲಿ ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳವು ಶೂನ್ಯ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕುಲದಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಲೋ ಜೆನಸ್ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಜೆನಸ್ 0 ವಿರೂಪತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜೆನಸ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. , ಅನ್ನು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸೆರ್ರೆ ಡ್ಯುಯಲಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪು ಡ್ಯುಯಲೈಸಿಂಗ್ ಶೀಫ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ, ರೀಮನ್-ರಾಚ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಬಂಡಲ್ನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮಟ್ಟವು, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಕುಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಯಾವುದೇ ವಿರೂಪಗಳಿಲ್ಲ. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಕುಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಏಕೈಕ ತಾಂತ್ರಿಕ ತೊಂದರೆಯೆಂದರೆ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೇಖಕರು ಅರ್ಥವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಜೆನಸ್ 1 ಜೆನಸ್ 1 ಪ್ರಕರಣವು ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಮೊದಲ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಜೆ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಗಿ, ಇದು ಕೇವಲ ಅಫೈನ್ ಲೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗೆ ಸಾಂದ್ರಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದು ಒಂದೇ ಕಸ್ಪ್ ಹೊಂದಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಜನರಲ್ ಕೇಸ್ ಓವರ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಮತ್ತು ರಾಪೊಪೋರ್ಟ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಗುಂಪಿನ ಮೂಲವೆಂದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೇಖಕರು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕ ಗುಂಪು ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅನಗತ್ಯ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಮೃದುವಾದ ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಜೆನಸ್ 2 ಅಫೈನ್ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳವು ಜೆನಸ್ 2 ರಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಹೈಪೆರೆಲಿಪ್ಟಿಕ್, pg 298 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ರೀಮನ್-ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಶಾಖೆಯ ಲೋಕಸ್ನಿಂದ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಜೆನಸ್ 2 ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೂಪದ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಲೋಕಸ್ಗೆ ಎಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೂಕದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತೂಕದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ರೀಮನ್-ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿರುವ ರೂಪದ ಬಹುಪದ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಮೂರು ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲದ ವಿಭಾಗಗಳ ಲೋಕಸ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜೆನಸ್ 3 ಇದು ಹೈಪೆರೆಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಲೋಕಸ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೆರೆಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಲೋಕಸ್ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೊದಲ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್-ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ 4 ರ ಸಮತಲ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಜೆನಸ್ ಡಿಗ್ರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ), ಇವುಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಲೋಕಸ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಸಬ್ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಿಂದ ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೈರೇಷನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಏಕರೂಪತೆಯ ಊಹೆ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಏಕರೂಪವೆಂದು ಕಂಡುಬರಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಪ್ರಬಲವಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಕುಲಗಳಲ್ಲೂ ನಿಜವೆಂದು ದೀರ್ಘಕಾಲದಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸೆವೆರಿ ಇದು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗಿನ ಕುಲಕ್ಕೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕುಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಏಕರೂಪವಲ್ಲ. ಅವರು ಒರಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಫಾರ್, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿಯಮಿಸಲಾದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಡಿಯ ಶ್ರೇಣೀಕರಣ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗವು ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶ್ರೇಣೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಬಿಂದುಗಳು ಏಕ ಕುಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಸ್ತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಿಗೆ. ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಎರಡು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಸರಿ. ಈ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಒಂದು ಜೋಡಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದೇ ಡಬಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಏಕತ್ವದಲ್ಲಿ ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ. ಒಂದೇ ಕುಲದ ಜೋಡಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯವರೆಗೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. 2ನೇ ಕುಲಕ್ಕೆ ಸ್ತರೀಕರಣವು ಕುಲದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಸ್ತರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ತರಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಚೌ ರಿಂಗ್ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ 9.1 ರ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಗುರುತಿಸಲಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯು ನೋಡ್ಗಳಿಂದ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾದ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನವಾದ, n ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜೆನಸ್ ಜಿ ನೋಡಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೃದ್ಧಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಗುರುತಿಸಲಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. n ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ (ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರವಾದ) ಜೆನಸ್ ಜಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ), ಮತ್ತು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯ ಒಂದು ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಒಂದು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಕುಲ 1 ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಲೆವೆಲ್ 1 ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳು ಈ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಲೆವೆಲ್ ಎನ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳು ಲೆವೆಲ್ ಎನ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ (ಸರಿಸುಮಾರು ಎನ್ ಕ್ರಮದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುರುತು) ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಬೌಂಡರಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಸಾಂದ್ರೀಕೃತ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಗಡಿಯನ್ನು ಕುಲಗಳಿಗೆ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಗುರುತಿಸಲಾದ, ಸ್ಥಿರವಾದ, ನೋಡಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ದ್ವಂದ್ವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಲೂಪ್ಗಳು, ಬಹು ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಧ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ನೋಡಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಶೃಂಗದ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕುಲವಾಗಿದೆ, ಅಂಚುಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಅಂಚುಗಳು ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ವಿ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸ್ಥಳದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಾಂದ್ರೀಕೃತ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಟಾಕ್ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗ v ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವು ಲೇಬಲಿಂಗ್ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಜೆನಸ್ ಜಿ. ವಿ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೊರಹೋಗುವ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, ಅವುಗಳ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಹೆಸರಿಟ್ಟಿರುವ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಶೃಂಗಗಳು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಮರವಾಗಿದೆ) ಅವುಗಳನ್ನು "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಾಲ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು "ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಟೈಪ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರುತಿಸಲಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ವಿಟ್ಟೆನ್ ಕನ್ಜೆಕ್ಟರ್ ಟೌಟಲಾಜಿಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್-ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು "ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿ" "ಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮಾಡುಲಿ, ಗ್ರೊಮೊವ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್, ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ" ಮಾಡುಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳು