Fáry–Milnor theorem
ಗಂಟುಗಳ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಇಸ್ಟ್ವಾನ್ ಫ್ಯಾರಿ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಮಿಲ್ನರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾದ ಫ್ಯಾರಿ-ಮಿಲ್ನರ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಸಣ್ಣ ಒಟ್ಟು ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೆಣೆದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 1949ರಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾರಿ ಮತ್ತು 1950ರಲ್ಲಿ ಮಿಲ್ನೋರ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಿಸೆಕೆಂಟ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಂತರ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. K ಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು κ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಮೃದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಕ್ರತೆಯು 4π ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, K ಒಂದು ಅನ್ಕ್ನೋಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. : ಕಾಂಟ್ರಾಪೊಸಿಟಿವ್ ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ, K ಒಂದು ಅನ್ಕ್ನೋಟ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. K ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಸ್ಥಾನಿಕವಲ್ಲ, ಆಗ ಒಟ್ಟು ವಕ್ರತೆಯು 4π ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಒಟ್ಟು ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಕೇವಲ K ಯು ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿರಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಇದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 4π ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಒಟ್ಟು ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಟುಗಳು ಅನ್ಕ್ನೋಟ್ ಆಗಿದ್ದರೂ, 4π ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನ್ ನಾಟ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ನಯವಲ್ಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮುಚ್ಚಿದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸರಪಳಿಗಳಿಗೆ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವು ವಕ್ರತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಪಳಿಯ ಪಕ್ಕದ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸರಪಳಿಗಳಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಒಟ್ಟು ವಕ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅದರೊಳಗೆ ಫ್ಯಾರಿ-ಮಿಲ್ನರ್ ಪ್ರಮೇಯವು (,) ಅನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು. ಫೆನ್ನರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕನಿಷ್ಠ 2π ಒಟ್ಟು ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಾಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು