Hirzebruch surface
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಆಳವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು-ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೋಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತದ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆಃ ಸೆರ್ರೆ ಟ್ವಿಸ್ಟ್ ಕೋಶದ-th ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿ, ವಿಲೋಮ ಕೋಶ ಅಥವಾ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಟಿಯರ್ ವಿಭಾಜಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್. ಮೇಲ್ಮೈಯು ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳಲು ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠವಲ್ಲ. ಜಿಐಟಿ ಅಂಶವು ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಜಿಐಟಿ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಿಯೆಯು ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವೈಸೇಶನ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ನೇರ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಇದನ್ನು ಅಂಶದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯಿಂದ ನೀಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಸಮಾನ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ಮೂಲ ಅಂಶವು ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಈ-ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಅಫೈನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಚಾರ್ಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಬಂಡಲ್ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾದರಿ ಇದೆ, ನಂತರ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳು, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು, ಅಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಾರ್ಯವು ಆನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರ್ಯಾಂಕ್ 2 ಬಂಡಲ್ಗಳು ಪಿ1 ಮೇಲೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ರ್ಯಾಂಕ್ 2 ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಃ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ನಿಂದ ಟೆನ್ಸರಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಈ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಕಾರಣ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಯಮಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಅವಲೋಕನವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ಗಳನ್ನು ರಿಲೇಟಿವ್ ಪ್ರೊಜ್ ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಇದು ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಕೋಶದಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಆಂಟಿ-ಸಮ್ಮೆಟ್ರಿಕ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇದೆ. ಈ ಹೊದಿಕೆಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಶೇಷ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಹೊದಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಕಟ್ಟು ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವಯಂ ಛೇದನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯ ಸ್ವಯಂ ಛೇದಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ನಾರುಗಳಾಗಿವೆ (ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ). ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಗುಂಪು ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಫೈಬರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದ್ವಿ-ರೇಖೀಯ ರೂಪವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಹಾರಿಹೋದ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು () ವಿಶೇಷ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಹಾರಿಹೋಗಲು ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಟ್ಲಾಸ್ https://www.mathematik.uni-kl.de ~ ಗಾಥ್ಮನ್/ಕ್ಲಾಸ್/ಆಲ್ಗ್ಗಿಯೋಮ್-2002/ಆಲ್ಗ್ಗಿಯೋಮ್-2002-c10.pdf https://mathoverflow.net/q/122952 ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.