Complete intersection ring
ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ರಿಂಗ್ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿರುವ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ರಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲುವ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು "ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ" ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳೆಂದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಭಾವಿಸಬಹುದು. ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ಸರಪಳಿ ಇದೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕ ಉಂಗುರವು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶದಿಂದ ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರಗಳ ಅನುಪಾತಗಳಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಣ್ಣ ತಾಂತ್ರಿಕ ತೊಡಕು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಉಂಗುರವನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರದ ಪರ್ಯಾಯ ಆಂತರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ. ಆರ್ ಗರಿಷ್ಠ ಐಡಿಯಲ್ ಮೀ ಹೊಂದಿರುವ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, m/m2 ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಆರ್ ನ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಯಾಮ ಎಂಬಿಂಮ್ (ಆರ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. m/m2 ನ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೋಸ್ಝುಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಚ್ (ಆರ್) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ; ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ಇದು ಆರ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು m ನ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ. ಎಚ್ 1 (ಆರ್) ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ε1 ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಆರ್ ನ ಮೊದಲ ವಿಚಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಆರ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವು ಅದರ ಹುದುಗುವ ಆಯಾಮವು ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ವಿಚಲನದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಂಬ್ಡಿಮ್ (ಆರ್) = ಡಿಮ್ (ಆರ್) + ε1 (ಆರ್). ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕ ಉಂಗುರಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೂ ಇದೆ. ಆರ್ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. R ಯು 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು x ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕವಲ್ಲದ ಗರಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, R/(x) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ R ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆರ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕ ಉಂಗುರವಲ್ಲ.) R ಆಯಾಮ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ನ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಐಡಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ನಿಜವಲ್ಲಃ ಉಂಗುರವು 0-ಆಯಾಮದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ನಿಯಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನವಲ್ಲ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನದ ಉಂಗುರದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನದ ಉಂಗುರವಲ್ಲ, ಇದು 3 ರ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಕೌಂಟರ್-ಎಕ್ಸಾಂಪಲ್ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳು ಗೊರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜವಲ್ಲಃ ಉಂಗುರವು 0-ಆಯಾಮದ ಗೊರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಉಂಗುರವಲ್ಲ. - ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವಾಗಿ ಈ ಉಂಗುರವು, ಎಲ್ಲಿಗೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಗೊರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಉನ್ನತ-ಮಟ್ಟದ ಘಟಕವು ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕ ಉಂಗುರವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಆದರ್ಶವು-ನಿಯಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯ-ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿನಿಮಯಶೀಲ ಬೀಜಗಣಿತ