Order dimension
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ (ಪೊಸೆಟ್) ಆಯಾಮವು ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಛೇದನವು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ರಮ ಆಯಾಮ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ದುಶ್ನಿಕ್-ಮಿಲ್ಲರ್ ಆಯಾಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಅಧ್ಯಯನದ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮ; ಇಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಈ ವಿಷಯದ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಚಿಕಿತ್ಸೆಗಾಗಿ, ನೋಡಿ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಭಂಗಿ Pಯ ಆಯಾಮವು ಕನಿಷ್ಠ ಪೂರ್ಣಾಂಕ t ಆಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ Pಯ ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ Pಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಮತ್ತು yಗೆ, xಯು ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ yಗಿಂತ ಮೊದಲು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ Pಯಲ್ಲಿ yಗಿಂತ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮದ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ಒಟ್ಟು ಆದೇಶಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪಿ ಘಟಕವಾರು ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ i (,) ಗಾಗಿ ಮಾತ್ರ. ರಿಯಲೈಸರ್ಗಳು X ಮೇಲಿನ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವನ್ನು P = (X, <P) ಸ್ಥಾನದ ರಿಯಲೈಸರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ X ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗೆ, x <Py ನಿಖರವಾಗಿ x <1 y, x <2 y,., ಮತ್ತು x <t y. ಹೀಗಾಗಿ, ಪೊಸೆಟ್ P ಯ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ "P ಯ ರಿಯಲೈಸರ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ". P ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಜೋಡಿಗೆ (x, y), y <ix ಅನ್ನು R ನಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಕ್ರಮಕ್ಕೆ <i ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ ಕುಟುಂಬ R ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ಸೆಟ್ P ಯ ರಿಯಲೈಸರ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಿ ಯಲ್ಲಿ ಎಐ ಮತ್ತು ಬಿ ಅನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗದು; ಪಿ ಅನ್ನು ಕಿರೀಟ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಆಧಾರಿತ ರೂಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿವರಣೆಯು n = 4ಕ್ಕೆ ಈ ರೀತಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಐಗೆ, ಯಾವುದೇ ರಿಯಲೈಸರ್ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅದು ಎಐ (ಕೆಲವು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಎಜೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಬಿಐ, ನಂತರ ಎಐ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಜೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರದ ರಿಯಲೈಸರ್ ಇದ್ದರೆ, ಆ ರಿಯಲೈಸರ್ನ ಆದೇಶಗಳ ಛೇದನವು ಎಐ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಬಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಿ ಯಲ್ಲಿ ಎಐ ಮತ್ತು ಬಿಯ ಅಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಆದೇಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಕುಟುಂಬವು ಈ ರೀತಿಯ ಒಂದು ಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಐ ಅದರ ಛೇದನವಾಗಿ ಪಿ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, P ನಿಖರವಾಗಿ n ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, P ಅನ್ನು n ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ Sn ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮ ಎರಡು ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮ ಎರಡು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಗಳೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಹೋಲಿಕೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ಹೋಲಿಕೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮ Q ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ P ಎಂಬುದು ಎರಡು ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ x, y ಅನ್ನು ಈ ಎರಡು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಪಿ ಅನ್ನು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅರಿತುಕೊಂಡರೆ, ಎರಡು ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಿ ಗೆ ಪೂರಕವಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯಾಮ ಎರಡರ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಗಳ ತುಲನಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಸ್ವತಃ ತುಲನಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ತುಲನಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿವೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಗಳು ಸರಣಿ-ಸಮಾನಾಂತರ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಅವು ನಿಖರವಾಗಿ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ರಿಯಲೈಸರ್ನ ಎರಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸೀಮಿತ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗಣವು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ತುಲನಾತ್ಮಕತೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ k ≤ 3 ಗೆ, ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠ k ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು NP-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ಗಳು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ G ಯ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ G ಯ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಅದರ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ; ಈ ಪೊಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ, x = y ಅಥವಾ x ಒಂದು ಶೃಂಗವಾಗಿದ್ದರೆ x ≤ y, y ಒಂದು ಅಂಚು, ಮತ್ತು x y ನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ಗಳ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದುಃ ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಅದರ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ನ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ನ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠ ಮೂರು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. n ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ, ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ನ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವು. ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ಎನ್-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆ-ಆಯಾಮ ಮತ್ತು 2-ಆಯಾಮವು ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಕೆ-ಆಯಾಮ (ಲಿಖಿತ) ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಕೆ ಉದ್ದದ ಸರಪಳಿಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹುದುಗಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆದೇಶದ 2-ಆಯಾಮವನ್ನು ಚಿಕ್ಕ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವೆಂದು ಕಾಣಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಆದೇಶವು ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹುದುಗುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ ಆಯಾಮದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. .. .. .. .. .. ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆಯಾಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ