Generalized Jacobian
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಎಂಬುದು ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು 1954 ರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ರೊಸೆನ್ಲಿಕ್ಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಹೊದಿಕೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ನರು ವಿನಿಮಯಶೀಲ ಅಫೈನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಚೆವಾಲಿಯ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ C ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕಕಾಲಿಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, m ಎಂಬುದು Cಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ, S ಎಂಬುದು mನ ಬೆಂಬಲವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು P ಎಂಬುದು Cಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೂಲ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, Sನಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ Jm ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, Cಯಿಂದ Jmನವರೆಗಿನ fನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ f ಎಂಬುದು Pಯನ್ನು Jmನ ಗುರುತಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎಫ್ (ಡಿ) = 0 ಎಂಬುದು ಎಸ್. ನ ಹೊರಗೆ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿ ಯು ಸಿ ಯ ಮೇಲೆ g ನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಜಕವಾಗಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ g ಷ್ಣ 1 ಮಾಡ್ ಮೀ. ಇದಲ್ಲದೆ Jm ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ C ಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಕ್ಷೆಯು Jm ಮೂಲಕ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿಗೆ. Jm ಗುಂಪು P ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೂ P ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ f ಅನ್ನು ಭಾಷಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನ ರಚನೆ m = 0 ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ Jm ಕೇವಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ J ಆಗಿದೆ, ಇದು ಆಯಾಮ g ನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು C ನ ಕುಲವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 0 → Lm → Jm → J → 0 Lm ಗುಂಪು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ 0 → Gm → ΠUPI (ni) → Lm → 0 ಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಾಕಾರವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪು Gm ನಿಂದ. ಉತ್ಪನ್ನವು m ನ ಬೆಂಬಲದಲ್ಲಿ ಪೈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯುಪಿಐ (ಎನ್ಐ) ಗುಂಪು ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ 1 ಮೋಡ್ ಪಿನಿಗಳ ವಿಲೋಮ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಯು. ಪಿ. ಐ. (ಎನ್. ಐ.) ಗುಂಪಿನ ಆಯಾಮವು ಎನ್. ಐ. ಆಗಿದೆ, ಪಿ. ಐ. ಯು ಎಂ. ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನ ಜಿ. ಎಂ. ನ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎನ್. ಐ.-1 ಪರಿಮಾಣದ ಏಕರೂಪದ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ 0, ಎನ್. ಐ.-1 ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೈ ಗುಂಪನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. (ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಬಹುದು.) C ಯು S ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಭಾಜಕ m ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳ ω (−m) (m ಮೇಲೆ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 1-ರೂಪಗಳು) ನ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು H1 (C−S) ನಿಂದ ಡ್ಯುಯಲ್ ω (−m) * ಗೆ 1-ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ 1-ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆ ಇದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನಂತರ ಅಂಶ ಗುಂಪು ω (−m) */H1 (C −S) ಆಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು