Krein–Milman theorem
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕ್ರೇನ್-ಮಿಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ (ಟಿವಿಎಸ್) ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲಭೂತ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ (ಅಂದರೆ. "ತುಂಬಿದ") ತ್ರಿಕೋನವು, ಅದರ ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು "ಅದರ ಒಳಗಿನ" ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ಅದರ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಈ ಶೃಂಗಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಆಕಾರದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಅವಲೋಕನವು ಸಮತಲದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನೂ ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪ್ರಿಲಿಮಿನರಿಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವುಗಳ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಅವುಗಳ ಯಾವುದೇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವು ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ತೆರೆದ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದರೆ ಅದು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆತ್ಯಂತಿಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಆತ್ಯಂತಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವನ್ನು (ಅವು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ ಅದರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಘನ (ಅಂದರೆ, "ತುಂಬಿದ") ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವೃತ್ತವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಘಟಕ ಡಿಸ್ಕ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಡಿಸ್ಕ್ ವೃತ್ತದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಲ್ಪಿ ಜಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಚದರ-ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಈ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜಾಗವು ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಇದನ್ನು "ಪೂರ್ವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ ಕೂಡ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ರೇನ್-ಮಿಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೀವ್ರವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪುರಾವೆಯ ಮುಖ್ಯ ಹೊರೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ತೀವ್ರವಾದ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯಲು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮೂಲೆಗಳು (ಅದರ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು) ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸುಳ್ಳು, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮೂಲೆಗಳಾಗಿ ನೀಡಿದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬಲವರ್ಧಿತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಥವಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸೀಮಿತ ಛೇದಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು (ಎಫ್. ಐ. ಪಿ) ಹೊಂದಿರುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕುಟುಂಬವು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಕರ್ನಲ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ) ಮಾತ್ರ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎಫ್. ಐ. ಪಿ. ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರ ಸ್ಥಳಗಳ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಎಲ್ಲಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗಿಂತ). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳು ಸುತ್ತುವರಿದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಊಹೆಯು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಳೀಯವಲ್ಲದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಎಟಿ (0) ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ದುರ್ಬಲವಾದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ರೆನ್-ಮಿಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಿಎಟಿ (0) ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹಿಂದಿನ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಲ್ಲಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕ್ರೇನ್-ಮಿಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ (ಭಾಗಶಃ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚೊಕ್ವೆಟ್-ಬಿಷಪ್-ಡಿ ಲೀಯು ಪ್ರಮೇಯವು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯ ಬೇರಿಸೆಂಟರ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಜೆರ್ಮೆಲೋ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಝೆಡ್ಎಫ್) ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆಎಂ ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಎಸ್ಕೆಎಂ ಸೇರಿದಂತೆ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರೇನ್-ಮಿಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಎಲ್ಲಾ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು (ಎಸಿ) ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬನಾಚ್-ಅಲೋಗ್ಲು ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ಬಿಪಿಐ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕ್ರೇನ್-ಮಿಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಕೆಎಂ ಮತ್ತು ಬೂಲಿಯನ್ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಬಿಪಿಐ) ಒಟ್ಟಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಎಂ ಮತ್ತು ಬಿಪಿಐ ಎರಡೂ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಸಿ ಇರುತ್ತದೆ. ZF ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಜಾಗದ ನಿರಂತರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಜಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ಏಕಮಾನದ ಚೆಂಡು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ (ಎಚ್. ಬಿ.) ಕುರಿತಾದ ಹಾನ್-ಬನಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಎಸ್ಕೆಎಂ ಕೂಡ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಬಿಪಿಐ ಎಚ್. ಬಿ. ಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ (ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಿಪಿಐ ಎಚ್. ಬಿ. ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ). ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಮೂಲ ಹೇಳಿಕೆಯು ಇಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ರೂಪಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಹಿಂದೆ, ಇದು 3-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಈ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. ಕ್ರೇನ್-ಮಿಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಇದನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೀಮಿತದಿಂದ ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು, ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಎನ್. ಕೆ. ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿಜ್ (ಆವೃತ್ತಿ) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ I. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, 1992. ಎಚ್. ಎಲ್. ರಾಯ್ಡನ್, ರಿಯಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್. ಪ್ರೆಂಟಿಸ್-ಹಾಲ್, ಎಂಗಲ್ವುಡ್ ಕ್ಲಿಫ್ಸ್, ನ್ಯೂಜೆರ್ಸಿ, 1988. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರೋಯಿಡ್ಸ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು