Gibbs measure
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜೋಶಿಯಾ ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ ಗಿಬ್ಸ್ನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಅನಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೂಹದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಮೂಹವು X ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು x ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಸಮಾನವಾಗಿ, x ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ) ಇಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸ್ಥಳದಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳವರೆಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ; ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು x ಸಂರಚನೆಯ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕವು ಮುಕ್ತ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ; ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದು ವಿಲೋಮ ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಮೂಹದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಾತ್ರವು ಅನಂತತೆಯನ್ನು (ಉಷ್ಣಬಲದ ಮಿತಿ) ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ತೀವ್ರವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿವೆ. ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸೀಮಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ, ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಗಿಬ್ಸ್ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಡೊಬ್ರುಶಿನ್, ಲ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ರುಯೆಲ್ರಂತಹ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಿಗಳು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಬದಲು ಅನಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಅದು ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಒಂದು ಅಳತೆಯು ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆಃ ಸೀಮಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊರಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಈ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೂಹವು ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯು (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ) ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಸೂಕ್ತ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹ್ಯಾಮರ್ಸ್ಲೆ-ಕ್ಲಿಫ್ಫೋರ್ಡ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೊರಗಿನ ವ್ಯಾಪಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಗಳು, ಮಾರ್ಕೋವ್ ಜಾಲಗಳು, ಮಾರ್ಕೋವ್ ತರ್ಕ ಜಾಲಗಳು ಮತ್ತು ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಭಾವ್ಯ ಆಟಗಳು. ಸ್ಥಳೀಯ (ಸೀಮಿತ-ಶ್ರೇಣಿಯ) ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ; ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದು ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಸೀಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೂಹಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಮ್ಮಿತಿ ಒಡೆಯುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಹಂತದ ಸಹಬಾಳ್ವೆಯಂತಹ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲಿನ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆ ಇರುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು "ಎರ್ಗೋಡಿಕ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅಥವಾ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಅಳತೆಗಳಿವೆ (ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು "ನಾನ್ಎರ್ಗೋಡಿಕ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಾನ್-ಎರ್ಗೋಡಿಕ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಗಳನ್ನು "ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಶೇಷ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು (ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು). ಭೌತಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ (ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಳದ ಸ್ವಲ್ಪ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು "ದೂರದ-ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು" ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಭಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಭೌತಿಕವಾಗಿ ವಾಸ್ತವಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಈ ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಅನನ್ಯ (ಅಂದರೆ. ಎರ್ಗೋಡಿಕ್) ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಬಹುವಿಧದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ. ನಾನರ್ಗೋಡಿಕ್) ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಗಳು, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ತಾಪಮಾನಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಅನಂತ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ, "ಹೆಚ್ಚಾಗಿ-ಅಪ್" ಮತ್ತು "ಹೆಚ್ಚಾಗಿ-ಡೌನ್" ಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಇವು ಮಾದರಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಸ್ತಿಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು s ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೀಮಿತ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹತ್ತಿರದ-ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು), ನಾವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸ್ಥಳದ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸೀಮಿತ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಸ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾಗಿ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ಎಲ್ಲೆಡೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಂದ್ರತೆ) ಸೂಕ್ತವಾದ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹ್ಯಾಮರ್ಸ್ಲೆ-ಕ್ಲಿಫ್ಫೋರ್ಡ್ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಗಿಬ್ಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಪರಿಭಾಷೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆಃ ಜಾಲರಿಃ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್. ಸಿಂಗಲ್-ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಃ ಎ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ ಸ್ಪೇಸ್. ಸಂರಚನಾ ಸ್ಥಳಃ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು. ಒಂದು ಸಂರಚನೆ ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, to ನ ನಿರ್ಬಂಧವು. ಇಫ್ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಸಂರಚನೆಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಮೂಹ. ಪ್ರತಿ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ-ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಲ್ಲಿ. ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವಂತೆ ಈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯುಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ-ಅಳೆಯಬಹುದಾದಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬ, ಅಂದರೆ ಅದು ನಿರ್ಬಂಧದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ). ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಃ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಎ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಗೆ (ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್) ಕೊಡುಗೆ ಎಂದು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಭೇಟಿ ಮಾಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯ ಕೊಡುಗೆಯಾಗಿ A. ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ "ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಿದಾಗ" ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬೌಂಡರಿ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ತಾಪಮಾನದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಸಂಭಾವ್ಯ ಮತ್ತು) ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆ ಎ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಎಲ್ಲಿ-ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಡೋಬ್ರುಶಿನ್-ಲ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್-ರುಯೆಲ್ (ಡಿಎಲ್ಆರ್) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ-ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು, ಹತ್ತಿರದ-ನೆರೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು (ಜೋಡಣೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ () ಹೊಂದಿರುವ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆಃ ಸಿಂಗಲ್-ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಎಕ್ಸ್ಪೊನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫ್ಯಾಮಿಲಿ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಗಿಬ್ಸ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಇಂಟರಾಕ್ಟಿಂಗ್ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಗೇಮ್ ಸಾಫ್ಟ್ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸೆಲ್ಯುಲಾರ್ ಆಟೋಮ್ಯಾಟಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು (ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಆಟ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಮತೋಲನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.