Enriques surface
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅನಿಯಮಿತತೆ q = 0 ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ K ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಆದರೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಎನ್ರಿಕ್ಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಹ್ಲರ್) ಮತ್ತು 0 ಕುಲದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ. 2 ಅಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮ 2 ರ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೆ 3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ 3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. q = pg = 0 ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವಾಗಿ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು, ಆದರೂ ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ರೇಯ್ ಏಕರೂಪತೆಗಳು ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎನ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. 2 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ, ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಹೊಸ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ, ಇದನ್ನು ಏಕವಚನ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕುಟುಂಬಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2ರ ಕ್ರಮ 2ರ ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ಪ್ಲುರಿಜೆನರಾ ಪಿಎನ್ n ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ 1 ಮತ್ತು n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು 2ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡನೇ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪು H2 (X, Z) ಯು ಆಯಾಮ 10 ಮತ್ತು ಸಿಗ್ನೇಚರ್-8ರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿ II1,9 ಮತ್ತು ಕ್ರಮ 2ರ ಗುಂಪಿನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಡೈಮಂಡ್ಃ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಂಪರ್ಕಿತ 10-ಆಯಾಮದ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2ರಲ್ಲಿ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ವಾಸಿ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಥವಾ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಥವಾ (ಸೂಪರ್) ಏಕವಚನ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ("ಏಕವಚನ" ಎಂಬ ಪದವು ಮೇಲ್ಮೈ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ "ವಿಶೇಷ" ಎಂದು ಅರ್ಥ). ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2ರಲ್ಲಿ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅವುಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ವರ್ಗ ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಎರಡನೇ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆ 10 ಆಗಿದೆ. (2 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಈಗ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ 3 ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆಃ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯಃ ಮಂದ (H1 (O)) = 0. ಇದು 2K = 0 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ K ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ್ದು, ಮತ್ತು ಪಿಕಟ್ Z/2Z ಆಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯು ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಏಕವಚನ ಗೊರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಏಕಃ ಮಂದ (H1 (O)) = 1 ಮತ್ತು ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆ = 0 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಿಕ್ಟಿಯು μ2 ಆಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯು Z/2Z ಗುಂಪಿನ ಯೋಜನೆಯಿಂದ K3 ಮೇಲ್ಮೈಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ಃ ಮಂದ (H1 (O)) = 1 ಮತ್ತು ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆ = 0 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಿಕ್ಟಿಯು α2 ಆಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯು α2 ಗುಂಪಿನ ಯೋಜನೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಏಕವಚನ ಗೋರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಂಡಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಅರೆ ಅಂಡಾಕಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎ ರೇಯ್ ಏಕರೂಪತೆಯು ಪಿ3ಯಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಯ್ ಏಕರೂಪವು ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಡಿಗ್ರಿ 2 ರ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದ ಕ್ಯೂ ನಂತಹ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ 3 ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ 6 ರ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಮುಕ್ತ ಆಕ್ರಮಣದಿಂದ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಯ ಭಾಗವು ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು 2 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಸ್ ಎಂಬುದು ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈ ಡಬ್ಲ್ಯೂ4 + x4 + ವೈ4 + ಝಡ್4 = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಟಿ ಎಂಬುದು (ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ಎಕ್ಸ್, ವೈ, ಝಡ್) ನಿಂದ (ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ಐಕ್ಸ್,-ವೈ,-ಐಜ್) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಮ 4 ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಟಿ2 ಎಂಟು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು T2 ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು-ಮುಕ್ತ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ T ಯೊಂದಿಗೆ K3 ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು T ಯಿಂದ ಇದರ ಅಂಶವು ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಮೂಲ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅಂಶವನ್ನು 4 ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಟಿ ಕ್ರಮದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅಂಶದ ಎಂಟು ಏಕಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪೈ (ಯು, ವಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ) + ಕಿ (ಎಕ್ಸ್, ವೈ, ಝಡ್) = 0 ರೂಪದ 3 ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಛೇದನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು (ಯುಃ ವಿಃ ಡಬ್ಲ್ಯೂಃ ಎಕ್ಸ್ಃ ವೈಃ ಝಡ್) ಅನ್ನು (-ಎಕ್ಸ್ಃ-ವೈಃ-ಝಡ್ಃ ಯುಃ ವಿಃ ಡಬ್ಲ್ಯೂ) ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೆನೆರಿಕ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಈ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಕೆ 3 ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು-ಮುಕ್ತ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಆಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಶವು ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ವುಲ್ಫ್ ಪಿ. ಬಾರ್ತ್, ಕ್ಲಾಸ್ ಹುಲೆಕ್, ಕ್ರಿಸ್ ಎ. ಎಂ. ಪೀಟರ್ಸ್, ಆಂಟೋನಿಯಸ್ ವ್ಯಾನ್ ಡಿ ವೆನ್ ಅವರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್-ಕೊಡೈರಾ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಸೂಪರ್ಸಿಂಗುಲರ್ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಇದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಬೈರೇಷನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು