Fenchel's duality theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫೆಂಚೆಲ್ನ ದ್ವಂದ್ವ ಪ್ರಮೇಯವು ವೆರ್ನರ್ ಫೆಂಚೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. f ಎಂಬುದು Rn ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು g ಎಂಬುದು Rn ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾದ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾದರೆ, ಅಲ್ಲಿ f * ಎಂಬುದು f ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ (ಇದನ್ನು ಫೆಂಚೆಲ್-ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು g * ಎಂಬುದು g ನ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ಫೆಂಚೆಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಃ ದುರ್ಬಲ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ. .. ಅವು ಕ್ರಮವಾಗಿ f, g ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ದ್ವಂದ್ವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. f, g, ಮತ್ತು A ಎರಡೂ ಕಡಿಮೆ ಅರೆ-ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಳಭಾಗ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು, ಇಲ್ಲಿ h ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಬಲವಾದ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆಯಾಮದ ವಿವರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. x ನಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾನ್ಕೇವ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಲಂಬವಾದ ಅಂತರವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವಂತೆ x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಾನವು (ಅಂದಾಜು) ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಒಂದೇ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ p. ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಪರಸ್ಪರ ದೂರವಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ p ಅನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಅವು y-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಪರಸ್ಪರ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ). ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಲಂಬವಾದ ಬುಗ್ಗೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೋಹದ ಪಟ್ಟಿಗಳಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅದು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫೆಂಚೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಲಂಬವಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಸಹ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಮೊರೆಯು ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ ವೋಲ್ಫ್ ಡ್ಯುಯಲಿಟಿ ವರ್ನರ್ ಫೆಂಚೆಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿ.