Indecomposable continuum
ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೆಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಇಂಡೆಕಂಪೋಸಬಲ್ ನಿರಂತರತೆಯು ಇಂಡೆಕಂಪೋಸಬಲ್ ಆಗಿರುವ ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದನ್ನು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸರಿಯಾದ ಉಪಖಂಡಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. 1910ರಲ್ಲಿ, ಎಲ್. ಇ. ಜೆ. ಬ್ರೌವರ್ ಅವರು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು. ಸಂಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗದ ಕಂಟಿನ್ಯೂವಾಗಳನ್ನು ಭೌಗೋಳಿಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲವಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ನಿರಂತರತೆಯು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಕ್, ಎನ್-ಗೋಳ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕ್ಯೂಬ್ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ನಿರಂತರತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ; ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಸೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತವಲ್ಲದ ನಿರಂತರತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ವಾರ್ಸಾ ವೃತ್ತವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರತೆಯ ಉಪಖಂಡವು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ, ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಜಾಗವು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಆನುವಂಶಿಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಉಪಖಂಡಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹವು ಮತ್ತು ಆದರೆ ಇದ್ದರೆ ನಿರಂತರತೆಯು ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪುನರುತ್ಪಾದನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೊಳೆಯಲಾಗದ ನಿರಂತರತೆಯು ಕೊಳೆಯಲಾಗದ ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಖಂಡವು ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳದ ನಿರಂತರತೆಯು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗದಂತಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳದ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಕೆಲವು ಸರಿಯಾದ ಉಪಖಂಡದೊಳಗೆ ಇರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರಂತರತೆಯು ಮತ್ತು ಇಫ್ ನಡುವೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ಸಬ್ ಕಾಂಟಿನೆಮ್ ಎರಡೂ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಇಂಡೆಕಂಪೋಸಬಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಮ್ಗೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುವಂತಹ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ. 1910ರ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಎಲ್. ಇ. ಜೆ. ಬ್ರೌವರ್, ಆರ್ಥರ್ ಮೊರಿಟ್ಜ್ ಸ್ಕೋನ್ಫ್ಲೈಸ್ ಮಾಡಿದ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದನು, ಅದು ತೆರೆದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಮುಚ್ಚಿದ, ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸರಿಯಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರಬೇಕು. ಝೈಗ್ಮಂಟ್ ಜಾನಿಸ್ಜೆವ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಬಕೆಟ್ ಹ್ಯಾಂಡಲ್ನ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅಂತಹ ಅಸಂಘಟಿತ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜಾನಿಸ್ಜೆವ್ಸ್ಕಿ ಈ ನಿರಂತರತೆಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯ ಮೇಲೆ ಗಮನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದರು. 1917ರಲ್ಲಿ ಕುನಿಜೊ ಯೋನಿಯಾಮಾ ಅವರು ವಾಡಾದ ಸರೋವರಗಳನ್ನು (ಟೇಕೊ ವಾಡಾದ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ) ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಡಿಯನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದು. 1920ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ವಾರ್ಸಾ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಇನ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕೆಯು, ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಅಸಂಕಲನೀಯ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಸ್ಟೀಫನ್ ಮಜೂರ್ಕಿವಿಕ್ಜ್ ಅವರು ಅಭೇದ್ಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದಾರೆ. 1922ರಲ್ಲಿ ಬ್ರಾನಿಸ್ಲಾ ನಾಸ್ಟರ್ ಹುಸಿ-ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿದನು, ಇದು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ನಿರಂತರತೆಯ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಬಕೆಟ್ ಹ್ಯಾಂಡಲ್ ಉದಾಹರಣೆ ಇಂಡೆಕಂಪೋಸಬಲ್ ಕಂಟಿನುವಾವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಛೇದಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಅಥವಾ (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ) ಕಂಟಿನುವಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ವಿಲೋಮ ಮಿತಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಕೆಥ್ಯಾಂಡಲ್, ಅಥವಾ ಬ್ರೌವರ್-ಜಾನಿಸ್ಜೆವ್ಸ್ಕಿ-ನಾಸ್ಟರ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಮ್ ಅನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳದ ನಿರಂತರತೆಯ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು (ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ). ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ-ಅಕ್ಷದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ತ್ರಿಕೋನ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ (ಇದು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ)-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿರಲಿ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ-ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗಿರುವ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿರಲಿ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ-ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗಿರುವ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲದರ ಒಕ್ಕೂಟವು ಬಕೆಟ್ ಹ್ಯಾಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ. ಬಕೆಟ್ ಹ್ಯಾಂಡಲ್ ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಂಯುಕ್ತದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಇಲ್ಲ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, 'ಹೆಚ್ಚಿನವು' ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ-ಸೆಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸೆಟ್, ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಸಜ್ಜುಗೊಂಡ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸದಸ್ಯರ ಹೈಪರ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಇಂಡೆಕಂಪೋಸಬಲ್ ಸಬ್ ಕಾಂಟಿನೆಂಟುವಾದ ಸೆಟ್ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳಲ್ಲಿ 1932ರಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಬಿರ್ಖೋಫ್ ತನ್ನ "ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆ" ಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದನು, ಇದು ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರವಾದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆನ್ಯುಲಸ್ನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಮೇರಿ ಚಾರ್ಪೆಂಟಿಯರ್ ಈ ನಿರಂತರತೆಯು ಅಸಂಘಟಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಇದು ಅಸಂಘಟಿತ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ಕೊಂಡಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಣ್ಣ ಕುದುರೆಮುಖದ ನಕ್ಷೆಯ ಬದಲಾಗದ ಸೆಟ್ ಬಕೆಟ್ ಹ್ಯಾಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾರ್ಸಿ ಬಾರ್ಜ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಂಘಟಿತ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಇಂಡೆಕಂಪೋಸಬಿಲಿಟಿ (ರಚನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತ) ಲೇಕ್ಸ್ ಆಫ್ ವಾಡಾವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಸಮತಲದ ಮೂರು ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗಡಿಯು ಇಂಡೆಕಂಪೋಸಬಲ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಮ್ ಸೊಲೆನಾಯ್ಡ್ ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಕಾರ್ಪೆಟ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜರ್ನಲ್ನ ಮುಖಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಬ್ರೌವರ್ ಅವರ ಇಂಡೆಕಂಪೋಸಬಲ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಮ್ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ