Church encoding
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಎಂಬುದು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಮೊದಲು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಿದ ಅಲೊಂಜೊ ಚರ್ಚ್ಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತರ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಬೂಲಿಯನ್ಗಳು, ಜೋಡಿಗಳು, ಪಟ್ಟಿಗಳು ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ ಒಕ್ಕೂಟಗಳಂತಹ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಚೀನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಪದಗಳನ್ನು ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು (ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು) ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಬಂಧವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಟೈಪ್ ಮಾಡದ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೈಕ ಪ್ರಾಚೀನ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರವೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯ. ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನ ನೇರವಾದ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಕೆಲವು ಪ್ರವೇಶ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿಧಾನಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ದತ್ತಾಂಶ ರಚನೆಯ ಗಾತ್ರ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಉದ್ದೇಶಿತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಂಶೋಧನೆ ತೋರಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ತಮ್ಮ ಮಧ್ಯಂತರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಟೈಪ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಾಚೀನ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯು ಅನೇಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರ. ಜನರಿಗೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿ ಭಾಷಾಂತರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಮಾನತೆಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಿಂದಾಗಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಸ್ತರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅನುವಾದವು ಅದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂಪಡೆಯಲು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಕ್ಷರಶಃ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಪದವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೀವ್ರವಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ತೀವ್ರ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳು ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ n-ಪಟ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಂಕಿಗಳ "ಮೌಲ್ಯ" ವು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವಾದವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಆವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳು ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳು 0,1,2,., ಅನ್ನು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, 1 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, 2 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, 3 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಚರ್ಚ್ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮೂರು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಸ್ವಂತ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವು 3ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ (ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕವು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಕಾರ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ). ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ, ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವಲ್ಲ, ಚರ್ಚ್ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಆಗಿದೆ. ಚರ್ಚ್ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಎಂದರೆ ಕೇವಲ ಮೂರು ಬಾರಿ ಏನನ್ನಾದರೂ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಇದು "ಮೂರು ಬಾರಿ" ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದರ ಆಡಂಬರದ ಪ್ರದರ್ಶನವಾಗಿದೆ. ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು (ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ನೋಡಿ). ಅಡಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಕಾರ್ಯವು β-ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯವು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ನಿರೂಪಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಗೆಟ್ ಅಂಡ್ ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ. ಒಂದು ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು n ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು n-1 ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸಬೇಕು. ಎಫ್ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ ಸುತ್ತಲೂ ಧಾರಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕಾರ್ಯದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ,. ಪೂರ್ವವರ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಮಗೆ 1 ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮಾರ್ಗ ಬೇಕು. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಸಮಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ಸಮಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಮೊದಲು, ಧಾರಕ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಒಂದು ಯೋಜನೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಬೇಕಾದ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಧಾರಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಷ್ಟಕದ ಎಡಭಾಗವು ಮತ್ತು ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ನಿಯಮವೆಂದರೆ, ಧಾರಕದಿಂದ (ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂಪಡೆಯಲು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಕಾರ್ಯವು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಅದರ ಧಾರಕ ವಾದಕ್ಕೆ ಕರೆ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಮೊದಲ ಅರ್ಜಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಧಾರಕವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದು ಅದರ ವಾದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ ಅದರ ಮೊದಲ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಸ ಆರಂಭಿಕ ಧಾರಕಕ್ಕೆ ಕರೆ ಮಾಡಿ. ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದ ಬಲಭಾಗವು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ,,, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಪ್ರಿಡ್ ಪ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಸರಳವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಿಡ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನುಃ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಾಗ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಈ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಗಣನೆಯು ಅನೇಕ ಬೀಟಾ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕೈಯಿಂದ ಕಡಿತವನ್ನು ಮಾಡದ ಹೊರತು, ಇದು ಅಷ್ಟೇನೂ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಮಾಡದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯು ಇಸ್ಜೀರೋ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆದರೆ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವಿಭಜನೆಯ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬಯಸಿದಂತೆ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದೇ ಕರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಿಭಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಮೊದಲು n ಗೆ 1 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು. ವಿಭಜನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ, ವಿಭಜನೆ 1 ಎಂಬುದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ವೈ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಡಿವ್ ಬೈ ಎಂಬ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸಿ; ಎಡಗೈಯಲ್ಲಿ ಬಲಗೈಯಲ್ಲಿ, ಪಡೆಯಲು, ನಂತರ, ಎಲ್ಲಿ, ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಪಠ್ಯವಾಗಿ,\for, ಭಾಗ = (\n. ((\f. (\x. xx) (\x. f (xx))) (\c. \n. \m. \f. \x. (\d. (\n. n (\x. (\a. \b. b)) (\a. \b. a)) d (((\f. \x. x) fx) (f (\m. \n. n (\n. \f. \x. n (\g. \h. h (gf)) (\u. x) (\u. x) m) nm) ((\n. \f. \x. \x.)) ((\n. f (n f x)) n)) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 9/3ಅನ್ನು (\f. \x. f (f (f (f (f (f (f (f x))))))) (\f. \x. f (f (f (f x)))) ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 3ಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. \f. \x. f (f (f (x))) ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚರ್ಚ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಒಂದು ಸರಳ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚರ್ಚ್ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡು ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒನ್ ಝೀರೋ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಷರತ್ತನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ವೈ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಪ್ಲಸ್ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಜೋಡಿಯ ಮೇಲೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಹೀಗೆ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದೇ ರೀತಿ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ನೀಡುವುದು, ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಹೀಗೆ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ವಿಭಜನೆಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು (ಮೇಲಿನ ಒನ್ ಝೀರೋವನ್ನು ನೋಡಿ). ಡಿವ್ಜೆಡ್ ಕಾರ್ಯವು ನಮಗೆ ಶೂನ್ಯ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಡಿವ್ಜೆಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮಲ್ಟಿಯನ್ನು ಡಿವ್ಜೆಡ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು, ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದಾದ ತಂತ್ರಾಂಶವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರ ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಭಾಷೆಗಳು ಯಂತ್ರ-ಸ್ಥಳೀಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಚರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಅನ್ಚರ್ಚ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳ ನಡುವೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಹಾಸ್ಕೆಲ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ λ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ λ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು ಇದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿವೆ. ಚರ್ಚ್ a = (a-> a)-> a-> ಒಂದು ಚರ್ಚ್ಃಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕ-> ಚರ್ಚ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಚರ್ಚ್ 0 = \f-> \x-> x ಚರ್ಚ್ n = \f-> \x-> f (ಚರ್ಚ್ (n-1) f x) ಅನ್ಚರ್ಚ್ಃಃ ಚರ್ಚ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ-> ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನ್ಚರ್ಚ್ cn = cn (+ 1) 0 ಚರ್ಚ್ ಬೂಲಿಯನ್ಸ್ ಚರ್ಚ್ ಬೂಲಿಯನ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಬೂಲಿಯನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಇವುಗಳನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅನುಷ್ಠಾನ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಸ್ಮಾಲ್ಟಾಕ್ ಮತ್ತು ಪಿಕೋ. ಬೂಲಿಯನ್ ತರ್ಕವನ್ನು ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಆಫ್ ಟ್ರೂ ಮತ್ತು ಫಾಲ್ಸ್ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆಃ ಟ್ರೂ ಮೊದಲ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಫಾಲ್ಸ್ ಎರಡನೇ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಚರ್ಚ್ ಬೂಲಿಯನ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು) ನೇರವಾಗಿ ಇಫ್-ಷರತ್ತುಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಬೂಲಿಯನ್ ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಕಾರ್ಯವು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್-x ಅನ್ನು ಸರಿ ಎಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದರೆ ನಂತರ-ಷರತ್ತಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್-x ಅನ್ನು ತಪ್ಪು ಎಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದರೆ ಬೇರೆ-ಷರತ್ತಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸರಿ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳು ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ತರ್ಕ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದರ ಅನೇಕ ಸಂಭವನೀಯ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್ಗಳು ಎ ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್ ಎಂಬುದು ಬೂಲಿಯನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅದರ ವಾದವು ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಾದವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಹಿಂದಿರುಗುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲ ವಾದವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ-ಅಥವಾ-ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆಃ, ಗುರುತಿನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು, ಚರ್ಚ್ ಜೋಡಿಗಳು ಚರ್ಚ್ ಜೋಡಿಗಳು ಜೋಡಿಯ (ಎರಡು-ಟುಪಲ್) ಪ್ರಕಾರದ ಚರ್ಚ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಜಾರಿಗೆ ತರಬಹುದು. ಈ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ವಾದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ವಾದವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಅದು ಜೋಡಿಯ ಎರಡು ಘಟಕಗಳಿಗೆ ವಾದವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಟ್ಟಿ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ಗಳು ಒಂದು (ಬದಲಾಗದ) ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ನೋಡ್ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೆಂದರೆ; ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಗಳ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆಃ ಪ್ರತಿ ಪಟ್ಟಿ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಿ (ಖಾಲಿ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು). ಪ್ರತಿ ಪಟ್ಟಿ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಬಲ ಮಡಿಕೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ. ಸ್ಕಾಟ್ನ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ, ಇದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ವಾದಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಲಿಸ್ಟ್ ನೋಡ್ ಎ ಖಾಲಿ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಚರ್ಚ್ ಜೋಡಿಯು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು; ಮೊದಲನೆಯದು ತಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಬಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಖಾಲಿ ಪಟ್ಟಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ "ಶೂನ್ಯ" ಪಾಯಿಂಟರ್ ಇಲ್ಲ. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು, ಜೋಡಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಿ, ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದುಃ ಮೊದಲನೆಯದು-ಶೂನ್ಯ ಸೂಚಕ (ಖಾಲಿ ಪಟ್ಟಿ). Second.First ತಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. Second.Second ಬಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲ ಪಟ್ಟಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಶೂನ್ಯ ನೋಡ್ನಲ್ಲಿ ಸೆಕೆಂಡ್ ಅನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ತಲೆ ಮತ್ತು ಬಾಲವನ್ನು ಖಾಲಿ ಪಟ್ಟಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಬಲ ಮಡಿಕೆ ಬಳಸಿ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ ಚರ್ಚ್ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅದರ ಬಲ ಮಡಿಕೆ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x, y ಮತ್ತು z ಎಂಬ ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದು ಸಂಯೋಜಕ c ಮತ್ತು n ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ c x (c y (c z n)) ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಕಾಟ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಬಳಸಿ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವೆಂದರೆ ಸ್ಕಾಟ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್, ಇದು ನಿರಂತರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳ ಕೋಡ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. (ಮೊಗೆನ್ಸನ್-ಸ್ಕಾಟ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ). ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಕಾಲಾ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಪಟ್ಟಿಯು ಖಾಲಿ ಪಟ್ಟಿ ನೀಲ್ ಮತ್ತು ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟರ್ ಕಾನ್ಸ್ (ಎಚ್, ಟಿ) ನೊಂದಿಗೆ ಪಟ್ಟಿಯ ಪ್ರಕಾರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿಯು ಖಾಲಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿಯು ಖಾಲಿಯಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ನೀಲ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಪಟ್ಟಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ {ಕೇಸ್ ನೀಲ್ => ನೀಲ್ ಕೋಡ್ ಕೇಸ್ ಕಾನ್ಸ್ (ಎಚ್, ಟಿ) => ಕಾನ್ಸ್ಕೋಡ್ (ಎಚ್, ಟಿ)} ಇದು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅಂತಹ ಮತ್ತು ವಾದಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಖಾಲಿ ಪಟ್ಟಿಯು ಶೂನ್ಯ ವಾದವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆಃ ತಲೆ ಮತ್ತು ಬಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪರ್ಯಾಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರವು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. th ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟರ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯತಾಂಕವು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಕಾಟ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡದ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಪ್ರಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಬಳಕೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಟೈಪ್ ಪಾಲಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಟೈಪ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಸಿ ವಿಧದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರ ಇ ಹೊಂದಿರುವ ಪಟ್ಟಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ '=>' ಪ್ರಕಾರವು ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಕಾರ ಪಟ್ಟಿ = ಸಿ =>// ಶೂನ್ಯ ವಾದ (ಇ => ಪಟ್ಟಿ => ಸಿ) =>// ಕಾನ್ಸ್ ವಾದ ಸಿ// ಮಾದರಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯು ಸಿ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇ ಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪಟ್ಟಿಯು ಇ ಅನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಕಾರದ ವಾದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೊಗೆನ್ಸನ್-ಸ್ಕಾಟ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ವೊನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಎಂಬ ಬೆರಳಚ್ಚು ಮಾಡಲಾದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನಃ ಸೆಟ್ಗಳಂತೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಚರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಇತರ ರೀತಿಯ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ, ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಚರ್ಚ್ ಅಂಕಿಗಳ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ಕೆಲವು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಲೈವ್ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ಃ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್