Economic lot scheduling problem
ಎಕನಾಮಿಕ್ ಲಾಟ್ ಶೆಡ್ಯೂಲಿಂಗ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ (ಇಎಲ್ಎಸ್ಪಿ) ಎಂಬುದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿರ್ವಹಣೆ ಮತ್ತು ದಾಸ್ತಾನು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಅನೇಕ ಸಂಶೋಧಕರು 50 ವರ್ಷಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪದವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1958 ರಲ್ಲಿ ಬರ್ಕ್ಲಿಯ ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಜ್ಯಾಕ್ ಡಿ. ರೋಜರ್ಸ್ ಅವರು ಬಳಸಿದರು, ಅವರು ಒಂದೇ ಯಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥಿಕ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಮಾಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಲಾಟ್ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಲಾಟ್ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗ ಉತ್ಪಾದಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಜ್ಯಾಕ್ ಡಿ. ರೋಜರ್ಸ್ ಅವರು ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನವು ವೆಲ್ಚ್, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎವರ್ಟ್ ಅವರ 1956 ರ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಸೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇಎಲ್ಎಸ್ಪಿ ಬಹುತೇಕ ಯಾವುದೇ ಕಂಪನಿ ಅಥವಾ ಉದ್ಯಮಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆಃ ಏನನ್ನು ತಯಾರಿಸಬೇಕು, ಯಾವಾಗ ತಯಾರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಷ್ಟು ತಯಾರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಯೋಜಿಸುವುದು. ಮಾದರಿ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಇಎಲ್ಎಸ್ಪಿ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಒಂದೇ ಯಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ಇದರಲ್ಲಿ ಸೆಟಪ್ ವೆಚ್ಚಗಳು ಮತ್ತು ದಾಸ್ತಾನು ಹಿಡುವಳಿ ವೆಚ್ಚಗಳು ಸೇರಿವೆ). ನಾವು m ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ, ಬದಲಾಗದ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, m = 3 ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಇರಬಹುದು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಹಕರಿಗೆ ದಿನಕ್ಕೆ 7 ವಸ್ತುಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನ 1, ದಿನಕ್ಕೆ 5 ವಸ್ತುಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನ 2 ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ 3ರ ದಿನಕ್ಕೆ 2 ವಸ್ತುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ). ಗ್ರಾಹಕರ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ದಾಸ್ತಾನುಗಳಿಂದ ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಾಸ್ತಾನು ನಮ್ಮ ಉತ್ಪಾದನಾ ಸೌಲಭ್ಯದಿಂದ ಮರುಪೂರಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಯಂತ್ರವು ಲಭ್ಯವಿದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಯಂತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಸೆಟಪ್ ವೆಚ್ಚ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸೆಟಪ್ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಅದು ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತಿಳಿದ ದರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಬಯಸಿದಾಗ, ಯಂತ್ರವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ದುಬಾರಿ ಸೆಟಪ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನ I ರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನ J ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಸೆಟಪ್ ವೆಚ್ಚವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿನ ಸರಾಸರಿ ದಾಸ್ತಾನು ಮಟ್ಟವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ದಾಸ್ತಾನು ವೆಚ್ಚವನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎನ್ ಎಂದರೆ ಮಾಡಿದ ರನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಯು ಎಂದರೆ ಬಳಕೆಯ ದರ, ಎಲ್ ಎಂದರೆ ಲಾಟ್ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಟಿ ಎಂದರೆ ಯೋಜನಾ ಅವಧಿ. ಬಹಳ ದೃಢವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು, ಯಂತ್ರವು ಬಾಟಲಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬಾಟಲಿ ಸೇಬು ರಸ, ಕಿತ್ತಳೆ ರಸ ಮತ್ತು ಹಾಲಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಸೆಟಪ್ ಯಂತ್ರವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುವ, ಅದನ್ನು ಸ್ವಚ್ಛಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತು ಬಯಸಿದ ದ್ರವದಿಂದ ಯಂತ್ರದ ಟ್ಯಾಂಕ್ ಅನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮಾಡಬಾರದು ಅಥವಾ ಸೆಟಪ್ ವೆಚ್ಚಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸೇಬು ರಸದ ಉತ್ಪಾದನೆಯು ಅಷ್ಟೇ ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ನಡೆಯುವುದು ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ದೊಡ್ಡ ದಾಸ್ತಾನು ಹೂಡಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೇಬು ರಸದ ಮಾರಾಟವಾಗದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಕಿತ್ತಳೆ ರಸ ಮತ್ತು ಹಾಲಿನ ದಾಸ್ತಾನು ವೆಚ್ಚಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇ. ಎಲ್. ಎಸ್. ಪಿ. ಯು ಈ ಎರಡು ವಿಪರೀತಗಳ ನಡುವೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ. ರೋಜರ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 1.Define: = ಬಳಕೆಯ ಅವಧಿ cL =, ಬಹಳಷ್ಟು ಗಾತ್ರದ L ಗೆ ಘಟಕ ವೆಚ್ಚವು N ಲಾಟ್ಗಳಿಗೆ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚವಾಗಿದೆ. ಆಪ್ಟಿಮಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲುಃ ಇದು ಆಪ್ಟಿಮಮ್ ಲಾಟ್ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈಗ ನೋಡೋಣಃ ಎನ್ಎಲ್ ± ಎಲ್ ±ಎ ಗಾತ್ರದ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚವಾಗಲಿ ಎಲ್ ±ಎ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಎಲ್ ಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ವೆಚ್ಚವಾಗಲಿ + ಎ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಎಲ್-ಎ 2 ಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ವೆಚ್ಚವಾಗಲಿ. ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಮಾಣ = ಯು. ಟಿ. ವಸ್ತುವಿನ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪಾದನಾ ಸಮಯ = ಯು. ಟಿ./ಪಿ. ಉತ್ಪಾದಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿಃ <ಐ. ಡಿ. 2>: ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವಿಗೆ, θ0 ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿಃ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ + δ ಮತ್ತು-δ <ಐ. ಡಿ. 3> ಟಿ. ಪಿ = ಎಲ್/ಪಿ ನಡುವೆ ಕನಿಷ್ಠ ವೆಚ್ಚ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್0 ಅನ್ನು ಎಲ್ ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ θ = ಎಲ್/ಯು <ಐ. ಡಿ1> ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿಃ ಫಾರ್ಮ್ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಐಥ್ ಅನ್ನು ಐ + 1, ಐ + 2, ಇತ್ಯಾದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯಾದರೆ, 2ಯುನ ಲಾಟ್ ಗಾತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಳಗಳಿಗೆ + α ಮತ್ತು-α ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ಮತ್ತು ವೆಚ್ಚ ಬದಲಾವಣೆಯ ಗಾತ್ರದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಲಾಟ್ ಗಾತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ. ಎರಡೂ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವವರೆಗೆ ಈ ಹಂತವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. 6. ಹಂತ 5ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ, θi <θj ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. tpi> tpj, tpi <tpj ಅಥವಾ tpi = tpj ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. eij ಗೆ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ (eij = 0,1,2,3,., θi-tpi-tpj) ಮತ್ತು tpi + e ಮತ್ತು tpj + e ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿಃ ಯಾವುದೂ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ ನಂತರ ಐಜ್ ಮಧ್ಯಪ್ರವೇಶಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ಐಜ್ ನಲ್ಲಿ ಐ = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಉಪ-ಹಂತ 4 ರಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ದೊಡ್ಡ ಇ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಐ § 1 ಉಪ-ಹಂತ 2 ಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದರೆ. ಕೆಲವು ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ 4ನೇ ಉಪ-ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ. ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪ ಮಾಡದ ಇ ಕಾಣಿಸದಿದ್ದರೆ, ಹಂತ 5ಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ. ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಸಂಭವನೀಯ ಇಎಲ್ಎಸ್ಪಿ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಬೇಡಿಕೆಯ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ ಸಮಯ ಮತ್ತು ವೆಚ್ಚಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಹಂಚಿಕೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವುದು, ಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ. (ನಿರೀಕ್ಷಿತ) ಸೈಕಲ್ ಸಮಯಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮೀರಿ, ("ಸುರಕ್ಷತಾ ಸಮಯ") ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಸ್ವಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಡಿಲತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸೇವಾ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸುರಕ್ಷತಾ ದಾಸ್ತಾನು (ಬಫರ್ ಸ್ಟಾಕ್) ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಶೋಧನಾ ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಚಿರಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಹೊಸ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಮೂಹವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸದೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕಾರಣ ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಎನ್ಪಿ-ಹಾರ್ಡ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆಯೋ ಅದು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿರಲು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವುದು (ಇದು ಕಿರಿದಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ), ಅಥವಾ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಜೆನೆಟಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರ. ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನಂತ ಭರ್ತಿ ದರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಆರ್ಥಿಕ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಮಾಣವು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಭರ್ತಿ ದರಃ ಆರ್ಥಿಕ ಉತ್ಪಾದನಾ ಪ್ರಮಾಣ ಬೇಡಿಕೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆಃ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನ್ಯೂಸ್ವೆಂಡರ್ ಮಾದರಿ ಬೇಡಿಕೆಯು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಲಾಟ್ ಗಾತ್ರದ ಮಾದರಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಎಸ್. ಇ. ಎಲ್ಮಾಘ್ರಾಬಿಃ ದಿ ಎಕನಾಮಿಕ್ ಲಾಟ್ ಶೆಡ್ಯೂಲಿಂಗ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ (ಇಎಲ್ಎಸ್ಪಿ): ರಿವ್ಯೂ ಅಂಡ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಷನ್ಸ್, ಮ್ಯಾನೇಜ್ಮೆಂಟ್ ಸೈನ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 24, ನಂ. 6, ಫೆಬ್ರವರಿ 1978, ಪು. ಎಂ. ಎ. ಲೋಪೆಜ್, ಬಿ. ಜಿ. ಕಿಂಗ್ಸ್ಮನ್ಃ ದಿ ಎಕನಾಮಿಕ್ ಲಾಟ್ ಶೆಡ್ಯೂಲಿಂಗ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಃ ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ಪ್ರಾಕ್ಟೀಸ್, ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಪ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಎಕನಾಮಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 23, ಅಕ್ಟೋಬರ್ 1991, ಪು. ಮೈಕೆಲ್ ಪಿನ್ಡೊ, ಉತ್ಪಾದನೆ ಮತ್ತು ಸೇವೆಗಳಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 2005. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗ್ಯಾಲೆಗೊಃ ದಿ ಇಎಲ್ಎಸ್ಪಿ, ಕೊಲಂಬಿಯಾ ಯು., 2004 ಇನ್ವೆಂಟರಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್