Three-dimensional space
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವು (3ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್, 3-ಸ್ಪೇಸ್ ಅಥವಾ, ವಿರಳವಾಗಿ, ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಪೇಸ್) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳು (ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗಣಿತದ ಜಾಗವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಭೌತಿಕ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ n = 3 ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ n-ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವು ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಉಪಗುಂಪು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪ್ರದೇಶ (ಅಥವಾ 3D ಡೊಮೇನ್), ಘನ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಳದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ-ಟುಪಲ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಜೋಡಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಯಾವಾಗ, ಈ ಜಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಸಂದರ್ಭವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದಾಗ ಸರಳವಾಗಿ "ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್"). ಇದು ಭೌತಿಕ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದಾಗ), ಇದರಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಸ್ಥಳವು ಅನುಭವಿಸಿದಂತೆ ಜಗತ್ತನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಬಲವಾದ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಉಳಿದಿದ್ದರೂ, ಇದು 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ (ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಾಗ, ಯಾವುದೇ ಮೂರು ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಈ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ 2-ಸ್ಪೇಸ್ (ಸಮತಲ) ನಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಗಲ/ಅಗಲ, ಎತ್ತರ/ಆಳ ಮತ್ತು ಉದ್ದ ಎಂಬ ಪದಗಳಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಮೂರರ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಈ ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ನ ಇತಿಹಾಸ ಪುಸ್ತಕಗಳು XI ರಿಂದ XIII ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತವೆ. ಹನ್ನೊಂದನೇ ಪುಸ್ತಕವು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ಗಳು, ಪಿರಮಿಡ್ಗಳು, ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು, ಗೋಳಗಳು, ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರ, ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರ ಮತ್ತು ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಘನವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಹನ್ನೆರಡನೇ ಪುಸ್ತಕವು ಘನವಸ್ತುಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪುಸ್ತಕ XIII ಒಂದು ಗೋಳದಲ್ಲಿ ಐದು ನಿಯಮಿತ ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. 17ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಯಿತು, ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಕೃತಿ ಲಾ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ ಆಡ್ ಲೊಕೊಸ್ ಪ್ಲ್ಯಾನೊಸ್ ಎಟ್ ಸಾಲಿಡೊಸ್ ಇಸಾಗೊಜ್ (ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಸಾಲಿಡ್ ಲೋಕಿಯ ಪರಿಚಯ) ಎಂಬ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಯು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಜೀವಿತಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೆಲಸವು ಕೇವಲ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ವಿಲಿಯಂ ರೋವನ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಅವರ ಚತುಷ್ಕೋಣಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಬಂದವು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಅವರು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಅವರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಯಿತು. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ನಂತರ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಬೇಸಿಸ್ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿತು, ಇಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ, ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವೆಕ್ಟರ್ ಭಾಗಕ್ಕೆ (ಋಣಾತ್ಮಕ) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಜೋಶಿಯಾ ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ ಗಿಬ್ಸ್ ಈ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸುವವರೆಗೂ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಮತ್ತು ಕ್ರಾಸ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅವರ ತರಗತಿಯ ಬೋಧನಾ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಗಿಬ್ಸ್ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎಡ್ವಿನ್ ಬಿಡ್ವೆಲ್ ವಿಲ್ಸನ್ ಬರೆದ 1901 ರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ನಲ್ಲಿಯೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಅಮೂರ್ತ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಬಂದವು, ಹರ್ಮನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಗ್ಯೂಸೆಪ್ಪೆ ಪೀನೋ ಅವರ ಕೆಲಸದೊಂದಿಗೆ, ಅವರಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯವರು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದರು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು (ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ಎರಡಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ, ಅವು ದಾಟುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಈ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾದ ಮೂಲದಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ದೂರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಇತರ ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಮತಲದಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಇತರ ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸೇರಿವೆ, ಆದರೂ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು (ನೇರ) ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮತಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್, ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಆಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಬಹುದು, ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ವಕ್ರವಾಗಿರಬಹುದು. ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು, ಅಥವಾ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಕ್ರ ರೇಖೆಗಳು ಸಂಧಿಸದ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರದ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮತಲಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮತಲಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ, ಒಂದೋ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೊನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸಮತಲಗಳ ಛೇದನದ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದಾಗಿದ್ದು, ಆ ಸಮತಲವನ್ನು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಬಹುದು. ಕೊನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಎಂಬುದು ಪೂರ್ಣ ಜಾಗದ ಆಯಾಮಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಅಂದರೆ ಸಮತಲಗಳು. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು-ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಈ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ವರಿಗ್ನಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು R3ಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಗೋಳಗಳು ಮತ್ತು ಚೆಂಡುಗಳು 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಗೋಳವು (ಇದು 2-ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುವಾಗಿರುವುದರಿಂದ 2-ಗೋಳ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಿಗದಿತ ದೂರದಲ್ಲಿ 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಗೋಳದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಘನವನ್ನು ಚೆಂಡು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ 3-ಚೆಂಡು). ಚೆಂಡಿನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು 4-ಚೆಂಡಿನಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಗೋಳವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈ 3-ಗೋಳವಾಗಿದೆಃ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬಿಂದುಗಳು. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಘಟಕ 3-ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ 3-ಗೋಳವು 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ 3-ಡಿ ಜಾಗದಂತೆ 'ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಣುವ' ಜಾಗ. ನಿಖರವಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, 3-ಗೋಳದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು 3-ಡಿ ಜಾಗದ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂಬತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿವೆಃ ಐದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ನಾನ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್-ಪೊಯಿನ್ಸಾಟ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು. ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಒಂದು ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತ ಅಕ್ಷವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಜನರೇಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಜನರೇಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾದಾಗ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಜನರೇಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಚಲನೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೋನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಶೃಂಗವು (ತುದಿ) ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜನರೇಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚಲನೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಿಲಿಂಡರಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎರಡನೇ ಡಿಗ್ರಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಆರು ವಿಧದ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಚತುರ್ಭುಜ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿವೆಃ ಒಂದು ಹಾಳೆಯ ಎಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯಿಡ್ ಎರಡು ಹಾಳೆಗಳ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕೋನ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯಿಡ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯಿಡ್ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಚತುರ್ಭುಜ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್, ಒಂದೇ ಬಿಂದು, ಒಂದೇ ರೇಖೆ, ಒಂದೇ ಸಮತಲ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮತಲಗಳು ಅಥವಾ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಿಲಿಂಡರ್ (ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಆ ಕೋನಿಕ್ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳು). ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕೋನ್ಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಾಳೆಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯಿಡ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯಿಡ್ ಎರಡೂ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಲೈನ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಎರಡು ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಕುಟುಂಬದ ಸದಸ್ಯರು ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರು, ಒಂದು ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಇತರ ಕುಟುಂಬದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರು ಛೇದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರೆಗ್ಯುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ನೋಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಜಾಗವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಉದ್ದವು ಅದರ ಅಗಲ ಅಥವಾ ಅಗಲದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ಮೂರು ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಕೋನ ಮತ್ತು ಉದ್ದ ಎ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಾಣವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ವಾಹಕದ ಪ್ರಮಾಣವು ಅದರ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕು ಬಾಣದ ಬಿಂದುಗಳ ದಿಕ್ಕಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಾಹಕವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಾಹಕದ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ವಾಹಕದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ವಾಹಕದ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಾಹಕದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಉದ್ದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ, ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಾಹಕಗಳ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ವಾಹಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು x ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಎ × ಬಿ ಎರಡೂ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಗಣಿತ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಯಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಚಿಹ್ನೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಕಲನ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅದು ಆ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪರಿವರ್ತಕ ಅಥವಾ ಸಹವರ್ತಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಆಗಿರುವ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಇರುವ ಜಾಗವು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಜಾಕೋಬಿ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು n ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಾಹಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವೆಲ್ಲಕ್ಕೂ ಲಂಬವಾದ ವಾಹಕವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಾಹಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಅವಳಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೂರು ಮತ್ತು ಏಳು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅಮೂರ್ತ ವಿವರಣೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಜಾಗ ಎಂದು ವಿವರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಧಾರವಿದೆ. ಇದು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ರಚನೆಯು ಇಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ 'ಆದ್ಯತೆಯ' ಅಥವಾ 'ಅಂಗೀಕೃತ ಆಧಾರ' ಇಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಒಂದು ಆದ್ಯತೆಯ ಆಧಾರವಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಅದರ ವಿವರಣೆಯಿಂದಾಗಿ, ಅಂದರೆ,. ಇದು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,. ಇದು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರವು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧಾರದ ಆಯ್ಕೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಮೂರ್ತ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು 'ಮರೆತು' ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಆಧಾರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಜಾಗವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌತಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡದಿದ್ದರೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ರಚನೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅಮೂರ್ತ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಹೆಚ್ಚು ದೃಢವಾದ ವಿವರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಅಕ್ಷಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಧಾರದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಲಾಗಿರುವ ಅದೇ ಗುಂಪಿನ ಅಕ್ಷಗಳೆಂದು ಹೇಳಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ. ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆದ್ಯತೆಯ ಅಕ್ಷಗಳ ಆಯ್ಕೆಯು ಭೌತಿಕ ಜಾಗದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುತ್ತದೆ. ಗಣಕೀಯವಾಗಿ, ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ವಿವರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಅಫೈನ್ ವಿವರಣೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತವಾದ ವಿವರಣೆಯೆಂದರೆ ಭೌತಿಕ ಜಾಗವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಜಾಗವಾಗಿ ರೂಪಿಸುವುದು. ಇದು ಅಫೈನ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವಿವರಣೆಯು 'ಆದ್ಯತೆಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಮರೆತು' ಬಂದಂತೆಯೇ, ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವಿವರಣೆಯು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ 'ಮೂಲವನ್ನು ಮರೆತು' ಬರುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಭೌತಿಕ ಸ್ಥಳದ ಅನುವಾದದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಇದು ದೈಹಿಕವಾಗಿ ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ಯತೆಯ ಮೂಲವು ಅನುವಾದದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಮುರಿಯುತ್ತದೆ. ಇನ್ನರ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯು ಡಾಟ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಭೌತಿಕ ಜಾಗವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಕಲ್ಪನೆ). ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ, ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಬೇಸ್ಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಮತ್ತೆ, ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಬೇಸ್ಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವು ಪರಸ್ಪರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು SO (3) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್, ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕರ್ಲ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಅನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್) ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ F = U i + V j + W kನ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು, ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಕಲನ ಸಂಪ್ರದಾಯದೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಗೋಳಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಡೆಲ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ), ಕರ್ಲ್ [Fx, Fy, Fz] ನಿಂದ ಕೂಡಿದ F ಗೆ ρ × F ಆಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ i, j ಮತ್ತು k ಏಕಮಾನ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆಃ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಕಲನ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಂಬದ್ಧ ಸಂಕೇತವಾದ ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ರೇಖೆ, ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ f: U rn → R, ತುಣುಕಿನ ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು C ಱ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ r: [a, b] → C ಎಂಬುದು ವಕ್ರರೇಖೆ C ಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ r (a) ಮತ್ತು r (b) ಗಳು C ಮತ್ತು ನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ F: U: Rn → Rn ಗೆ, r ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತುಣುಕಿನ ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಲ್ಲಿ · ಡಾಟ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು r: [a, b] → C ಎಂಬುದು c ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ r (a) ಮತ್ತು r (b) C ಯ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲೈನ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ನ ಡಬಲ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನಲಾಗ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಅಕ್ಷಾಂಶ ಮತ್ತು ರೇಖಾಂಶದಂತಹ S ಮೇಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ, S ಅನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ನಿಯತಾಂಕವು x (s, t) ಆಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ (s, t) ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶ T ಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪಟ್ಟಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು x (s, t) ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈ ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. S ನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ v ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು S ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ x ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ v (x) ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಘಟಕವಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು; ಫಲಿತಾಂಶವು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಪರಿಮಾಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಡೊಮೇನ್ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದಾಗ (ಏಕತೆ), ಪರಿಮಾಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕೇವಲ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ R3ಯಲ್ಲಿ D ಪ್ರದೇಶದೊಳಗಿನ ತ್ರಿವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಅರ್ಥೈಸಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಮೂಲ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ 'ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ' ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೂರು-ಜಾಗದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕರ್ಲ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಗಡಿಯ ಮೇಲಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (3D ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಇದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತುಂಡು ತುಂಡಾದ ನಯವಾದ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಒಂದು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಎಡಭಾಗವು ಪರಿಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಪರಿಮಾಣದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಬಲಭಾಗವು ಪರಿಮಾಣದ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ-ಪಾಯಿಂಟಿಂಗ್ ನಾರ್ಮಲ್ಗಳಿಂದ ಆಧಾರಿತವಾದ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಗಡಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಪಾಯಿಂಟಿಂಗ್ ಯುನಿಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. (ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು.) ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವು ಹಲವಾರು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ಇತರ ಆಯಾಮದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಾರದ ತುಂಡಿನಲ್ಲಿ ಗಂಟು ಕಟ್ಟಲು ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳು 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಯಾಮದ ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪಿಜಿ (3,2), ಇದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ಫ್ಯಾನೊ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಜಿಎಫ್ (ಕ್ಯೂ) ಗೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪಿಜಿ (3, ಕ್ಯೂ) ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಿಜಿ (3, ಕ್ಯೂ) ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಕ್ರ ರೇಖೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ನಿಯಂತ್ರಣದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ನಕ್ಷೆ ಘನ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಆರ್ಫ್ಕೆನ್, ಜಾರ್ಜ್ ಬಿ. ಮತ್ತು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಜೆ. ವೆಬರ್. ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳು, ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್; 6 ಆವೃತ್ತಿ (ಜೂನ್ 21,2005). .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ-ಅಧ್ಯಾಯ 8: ಕ್ವೀನ್ಸ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೀತ್ ಮ್ಯಾಥ್ಯೂಸ್, 1991 ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬಹು ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು 3 (ಸಂಖ್ಯೆ) ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ