Cayley–Bacharach theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೇಲೆ-ಬಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಘನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ (ಮೂರು ಡಿಗ್ರಿ ಸಮತಲ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು) ಬಗೆಗಿನ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ರೂಪವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಘನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂಬತ್ತು (ವಿಭಿನ್ನ) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ರತಿ ಘನವೂ ಒಂಬತ್ತನೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಕೇಲೆ-ಬಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೆಚ್ಚು ಆಂತರಿಕ ರೂಪವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಓದುತ್ತದೆಃ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘನ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ) ಒಂಬತ್ತನೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೇವಲ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನಿಕ್ಸ್ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೊದಲು ಫ್ರೆಂಚ್ ಜಿಯೋಮೀಟರ್ ಮೈಕೆಲ್ ಚಾಸ್ಲೆಸ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ ಆರ್ಥರ್ ಕೇಲೆ ಮತ್ತು ಇಸಾಕ್ ಬಚರಾಚ್ ಅವರು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ವಿವರಗಳು ಏಳು ಬಿಂದುಗಳು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಒಂಬತ್ತನೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೆಜೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಏಳು ಬಿಂದುಗಳು ಸಹ-ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, (ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ) ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಘನ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವು ಎರಡು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಘನವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಘನಗಳ ಛೇದನದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೆಜೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ನಮಗೆ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲೆ ಏಳು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಃ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಕೋನಿಕ್ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಏಳು ಬಿಂದುಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, (ಅಫೈನ್ ಕೋನ್ಗಳ) ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಘನ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವು ಎರಡು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಏಳು ಅಂಕಗಳು ಕೋ-ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಐದು ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಅಂಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೆಜೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, (ಅಫೈನ್ ಕೋನ್ಗಳ) ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಘನ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವು ಎರಡು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ (ಅಫೈನ್ ಕೋನ್ಗಳ) ಚತುರ್ಭುಜ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಆಯಾಮಗಳ ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಷರತ್ತುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವೆರಡೂ ಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದುರ್ಬಲವಾಗಿವೆಃ ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕೋನಿಕ್ ಮೇಲೆ ಇರಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಅಂಕಗಳು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಐದು ಅಂಕಗಳು ಕೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ). ಕೇಲೆ-ಬಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಬದಲು ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಘನಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಬೆಜೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಘನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ (ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಎಂಟು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಏಳು ಸಹ-ಕೋನಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಈಗಾಗಲೇ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸದಸ್ಯರ ಛೇದನದ ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುವು ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕೇಲೆ-ಬಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಘನಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತವೆಃ ಕೋನಿಕ್ (ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ) ಮೇಲೆ ಆರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ-ಇದು ತಲಾ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳ ಎರಡು ಘನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು 9 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ-ಕೋನಿಕ್ ಮೇಲಿನ 6 ಬಿಂದುಗಳು, ಮತ್ತು ಇತರ 3. ಈ 3 ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೋನಿಕ್ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯು 8 ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಘನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಮೇಲಿನವುಗಳಂತೆಯೇ ಇರುವ ಪಪ್ಪಸ್ನ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ, ಆದರೆ ಆರು ಬಿಂದುಗಳು ಕೋನಿಕ್ ಬದಲಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಡಿಷನ್ನಿನ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಘನವು BC, O (A + B) ಮತ್ತು A (B + C) ಎಂಬ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ; ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಘನವು AB, O (B + C) ಮತ್ತು C (A + B) ಎಂಬ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳು ಎರಡೂ ಘನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಎ + ಬಿ,-ಎ-ಬಿ, ಬಿ + ಸಿ,-ಬಿ-ಸಿ, ಒ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಒಂಬತ್ತನೇ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು-ಎ-(ಬಿ + ಸಿ) =-(ಎ + ಬಿ)-ಸಿ, ಇದು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಕೇಲೆ-ಬಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದು 3ನೇ ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಏಕೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಘನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಘನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಘನದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಸಮಾನವಾಗಿ ಎರಡು ಘನಗಳ (ಆಸ್) ಛೇದಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ-ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದಿಂದ ಮಿತಿಮೀರಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಘನಗಳು ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಇದು "ಎಂಟು ಎಂದರೆ ಒಂಬತ್ತು" ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಸೂಪರ್ಬಂಡೆನ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗಾಗಿ ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ವಿವರಗಳು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಡಿಗ್ರಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು (ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಮೊದಲು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ; ಇದು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಿಯತಾಂಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕೇಲೆ-ಬಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ (ಬೆಜೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ), ಡಿಗ್ರಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅವರು ಮೊದಲು ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಕೇಲೆ-ಬಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಘನಗಳಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು. ವಿವರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿಗ್ರಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಡಿಗ್ರಿ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವೈಸೇಶನ್ನಿಂದ ಮೈನಸ್ 1 ಆಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಇಳುವರಿಗಳಿಗೆಃ 2 ಮತ್ತು 1: ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, 5 ಮತ್ತು 4: ಐದು ಬಿಂದುಗಳು ಕೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಎರಡು ಕೋನಿಕ್ಗಳು ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, 9 ಮತ್ತು 9: ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಎರಡು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಸ್ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, 14 ಮತ್ತು 16. ಹೀಗಾಗಿ ಇವುಗಳು ಮೊದಲು 3 ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಛೇದಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಎರಡು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಗಳ ಛೇದನದ 9 ಬಿಂದುಗಳು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಶೇಷ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಒಂದು ಫೋರ್ಟಿಯೋರಿ, ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿಃ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ಸ್ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು (ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಐದು ಬಿಂದುಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ) ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ಸ್ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಘನಗಳಿಗೆ, ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಘನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಘನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ-ಹೀಗಾಗಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಘನಗಳು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪೆನ್ಸಿಲ್) ವಿಶೇಷವಾಗಿದೆ-ದ್ರಾವಣದ ಸ್ಥಳವು ನಿರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಒಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ದ್ರಾವಣಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ "8 ಎಂದರೆ 9" ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಎಂಟು (ವಿಭಿನ್ನ) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಘನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಮಾಣದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದು ಒಂದೇ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೇರುತ್ತದೆ). ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಏಳು ಬಿಂದುಗಳು ಕೋನಿಕ್ ಮೇಲೆ ಇರದಿದ್ದರೆ ಆಯಾಮವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಕೇಲೆ-ಬಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಸತ್ಯದಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಪಾದದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಮೈಕೆಲ್ ಚಾಸ್ಲೆಸ್, ಟ್ರೇಟೆ ಡೆಸ್ ಸೆಕ್ಷನ್ಸ್ ಕೋನಿಕ್ಸ್, ಗೌಥಿಯರ್-ವಿಲ್ಲರ್ಸ್, ಪ್ಯಾರಿಸ್, 1885 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಡಿ. ಡೇವಿಸ್, ಆಂಥೋನಿ ವಿ. ಗೆರಾಮಿಟಾ, ಮತ್ತು ಫೆರುಸ್ಸಿಯೋ ಒರೆಚಿಯಾ, ಗೋರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಕೇಲೆ-ಬ್ಯಾಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ 93 (1985), 593-597. ಡೇವಿಡ್ ಐಸೆನ್ಬುಡ್, ಮಾರ್ಕ್ ಗ್ರೀನ್, ಮತ್ತು ಜೋ ಹ್ಯಾರಿಸ್, ಕೇಲೆ-ಬಚರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳು, ಬುಲೆಟಿನ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ 33 (1996), ನಂ. 3, 295-324. ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು