Proofs of quadratic reciprocity
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆಯೇ, ಚತುರ್ಭುಜ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ನಿಯಮವು ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ನೀಡಿದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಪ್ರೊಸಿಟಿಯ ಕಾನೂನಿನ ಹಲವಾರು ನೂರು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ ಸಾರಾಂಶ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಯೋಜಿತ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಿಧದ ಎಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ. ಗಾಥೋಲ್ಡ್ ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಬರೆದ ಒಂದು ಅಂಕವು ಜಾಲರಿಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಬ್ಬರು ಝೊಲೊಟರೆವ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಚೀನೀ ಉಳಿದ ಪ್ರಮೇಯವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಹಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಪುರಾವೆಯು ಎರಡು ಎಣಿಕೆಯ ಸರಳೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಎರಡು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಚತುರ್ಭುಜ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಗಾಸ್ನ ಮೂರನೇ ಪುರಾವೆಯ ಸರಳೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ಕುಶಲತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಗಮನದ ಬಿಂದುವು "ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ" ಆಗಿದೆ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ p, q, ಅಲ್ಲಿ ನೆಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕ), ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ u = 2,4,6,., p−1. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಗೌಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಪುರಾವೆ). (q/p) ನ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮುಖ್ಯ ವಾದವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೊಗಸಾದವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮ x-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಲರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊತ್ತವು ಎಣಿಸುತ್ತದೆಃ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಅಂಕಣವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅವುಗಳೆಂದರೆ q−1 ಬಿಂದುಗಳು), BCYX ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಜಾಲರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು CZY ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಂದೇ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ ನಂತರ ಎರಡೂ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, CZY ಒಳಗೆ ಸಮ x-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೆಸ x-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ AXY ಒಳಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು. ತೀರ್ಮಾನವೆಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿ μ ಎಂಬುದು AXYಯ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ಜಾಲರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. p ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಅದೇ ವಾದವು ಎಲ್ಲಿ ν ಎಂಬುದು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ವೈ. ಎ. ಯ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಜಾಲರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. AY ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಜಾಲರಿ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ (p ಮತ್ತು q ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ), ಮತ್ತು WYXA ಆಯತದಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. (−1) r (u) r (u) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಕನಿಷ್ಠ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಶೇಷಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ p ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಸಮವಾಗಿವೆ (ನಮ್ಮ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅವು 8,6,2,10,4 ಆಗಿವೆ.) ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ (−1) r (u) r (u) ಷ್ಣ (−1) r (t) r (t) (ಮಾಡ್ p) ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು u ಷ್ಣ (ಮಾಡ್ p) ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು q ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಇದು u ಷ್ಣ t (ಮಾಡ್ p) ಅನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ u ಮತ್ತು t ಎರಡೂ ಸಮವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ p ಬೆಸವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ (p−1)/2 ಇರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಕೇವಲ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ 2,4,., p−1 ಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, r (u) ಮತ್ತು ನೆಲದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಮತ್ತು p ಬೆಸ ಮತ್ತು u ಸಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು r (u) ಏಕರೂಪದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇದು ನಾವು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಡಭಾಗವು (q/p) ಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಲೆಮ್ಮಾಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಈ ಲೆಮ್ಮಾವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡ ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ಅವಶೇಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದು (q/p) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಗೌಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, r (u) ಮತ್ತು r (u) ಎರಡೂ ಏಕರೂಪದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 ಅಥವಾ ಅಸಂಗತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೇವಲ u ನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಅವಶೇಷಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ (ಇನ್) ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅವಶೇಷಗಳು ಮತ್ತು ನೆಲದ ಕಾರ್ಯವು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪತೆಯ ಮಾದರಿಯು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಪ್ರೊಸಿಟಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಪುರಾವೆಗಳು ಏಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಒಂದು ಯೂಲರ್ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಯೂಲರ್ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೊದಲ ಪೂರಕ ಪ್ರಕರಣದ ತ್ವರಿತ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ನಾವು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಯೂಲರ್ನ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಆದರೆ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ±1 ಮತ್ತು p ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೇ ಪೂರಕ ಪ್ರಕರಣ ಲೆಟ್, ಏಕತೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ನ ಪ್ರಾಚೀನ 8 ನೇ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, p ಒಂದು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. (ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ನಾವು p ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶದೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ, 1,2,., p ಇದರ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ.) ಯೂಲರ್ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಇದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು ಆದರೆ ನಾವು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ದ್ವಿಪದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಅಡ್ಡ ಪದಗಳೆಲ್ಲವೂ p ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. .. ಪ್ರೈಮ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 8ಕ್ಕೆ ಇವುಗಳು ಮಾತ್ರ ಆಯ್ಕೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಎರಡೂ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನಾವು ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ p ಎಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಈ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಎರಡೂ ಮತ್ತು ±1 ಮತ್ತು 2 ಗಳು ವಿಲೋಮ ಮಾಡ್ಯುಲೋ p ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುರಾವೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಮೇಲಿನ ಪೂರಕ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದುಃ p ಗಾಗಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ನಂತರ ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮಾಡ್ಯುಲೋ q ನ q ನೇ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ, ಒಂದು ಯೂಲರ್ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ pth ಮೂಲ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಇದು ಚತುರ್ಭುಜ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣವೆಂದರೆ ಅದು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪುರಾವೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳು ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿವೆ ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಮೊತ್ತವು ಎಲ್ ನಲ್ಲಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂಲಭೂತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಆದ್ದರಿಂದ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನಾವು a ಅನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ವಿಲೋಮ ಮಾಡ್ಯುಲೋ q ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ±1 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಪುರಾವೆಯು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಳವಾದದ್ದಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಆಳವಾದದ್ದು, ಇದು ಆರ್ಟಿನ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೆಲವು ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ. ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಸೆಟಪ್ p ಒಂದು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಳಗೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ζp ಯು ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ pth ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೂಲ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಂಗಾಂಶಕ್ಕೆ σa ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆಃ ಈಗ G ಯ ಅಂಶಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಉಪಗುಂಪು H ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. G ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, H G ಯಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ H ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು Q ನ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರಬೇಕು. (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಎಲ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಕ್ಯೂ ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ) ಗಾಸಿಯನ್ ಅವಧಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯಾವುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ; ಅದು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಮ್ಮ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಪರಸ್ಪರತೆಯ ಸುಳಿವನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೆಡೆ, H ನ ಚಿತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ) ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಶೇಷಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ p ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, H ಯು p ನ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು (ಅಥವಾ ಪ್ರಾಯಶಃ −p) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಯತ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈಗ q ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (p ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ), ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿರುವೆವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ, q ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ β ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು β ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರಲಿ; ಇದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ (ಅಂತಹ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಅಂಶದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ). ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, L ನ ಯಾವುದೇ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ K ಗೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, δ ಎಂಬುದು β ಗಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ q ಗಿಂತ ಮೇಲಿರುವ) ಯಾವುದೇ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಅದು δ ಗೆ ಫ್ರೊಬೀನಿಯಸ್ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಅದರ ಕ್ರಮವು ಅನುಗುಣವಾದ ಜಡತ್ವ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, φ K ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಡಭಾಗವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು q ಮಾತ್ರ K ಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಂಡರೆ ಬಲಭಾಗವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ, ಏಕತೆಯ pth ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲೋ β ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (ಅಂದರೆ. ಬಹುಪದ Xp−1 ಅನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ q) ನಲ್ಲಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ σq ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. K ಅನ್ನು ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಚತುರ್ಭುಜ ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯ ನಿಯಮವು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೊರಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕು. ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ x ಇದೆ (q ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದು (q) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು q ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಯುನಿಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿರಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು q ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಮತ್ತೆ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ (q) ಅನ್ನು Kಯಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, (q) ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು βಯು qಗಿಂತ ಮೇಲಿರುವ Kಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನಾವು ಕೆಲವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವು K ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಆದ್ದರಿಂದ a ಮತ್ತು b ಯ ಛೇದಗಳು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. q §2 ರಿಂದ, ನಾವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈಗ a ಮತ್ತು b ಗಳು Z ನಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, q ಯು b ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಂದಿನಿಂದ q ಸಹ a ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವೂ (ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗೆಗಿನ ಕೆಲವು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು) ಚತುರ್ಭುಜ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಎರಡು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿವೆಃ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಶಕ್ತಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಕಾನೂನುಗಳೆರಡರ ಅನೇಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು (ಕೆಲವು ಅಭ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ) ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಇತಿಹಾಸದ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಅಪಾರ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ 196 ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಟಿತ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯ ಅನೇಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ (ಮತ್ತು ಅನೇಕ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು), ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಮತ್ತು ಬೈಕಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಕ್ಸರ್ಸೈಸ್ 13.26 (p 202) ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನೀಡಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಫ್. ಲೆಮ್ಮರ್ಮೇಯರ್ ಅವರ ಕಾಲಾನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಪ್ರೋಸಿಟಿ ಲಾ (332 ಪುರಾವೆಗಳು) ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪುರಾವೆಗಳ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಲೇಖನ ಪುರಾವೆಗಳು