Rotation system
ಸಂಯೋಜಿತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (ಸಂಯೋಜಿತ ಹುದುಗುವಿಕೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜಿತ ನಕ್ಷೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಸುತ್ತಲೂ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಹುದುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜೋಡಿಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಒಂದು ಜೋಡಿಯು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿಗ್ರಾಫ್, ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು 2-ಕೋಶಗಳ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಯೋಜನೆಯು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಧಾರಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ (ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ) ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮಲ್ಟಿಗ್ರಾಫ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ 2-ಕೋಶಗಳ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಒಂದು ಆಧಾರಿತ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮಲ್ಟಿಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಜಿ ಅನ್ನು ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮಲ್ಟಿಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು 2-ಕೋಶ-ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1890 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಲೋಥರ್ ಹೆಫ್ಟರ್ ಅವರು ಉಭಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸಿದರು ಮತ್ತು 1950 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ರಿಂಗೆಲ್ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು. ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಎಡ್ಮಂಡ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿವರಗಳನ್ನು ಯಂಗ್ಗಳು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಬಹು ಶಾಸನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಗ್ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಅಲ್ಪರ್ಟ್ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ರೀನ್ಗೋಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಬಳಸಿದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. (2002) ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಸುತ್ತಲಿನ ಅಂಚುಗಳ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಅಂಚುಗಳ (ವೃತ್ತಾಕಾರವಲ್ಲದ) ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ರೀನ್ಗೋಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಜೋಡಿ (σ, θ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ σ ಮತ್ತು θ ಒಂದೇ ಗ್ರೌಂಡ್ ಸೆಟ್ B ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ, θ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು-ಮುಕ್ತ ಆಕ್ರಮಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು σ ಮತ್ತು θ ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪು <σ, θ> B ಮೇಲೆ ಪರಿವರ್ತನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮಲ್ಟಿಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಯ 2-ಸೆಲ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನಿಂದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಬಿ ಜಿ ಯ ಡಾರ್ಟ್ಸ್ (ಅಥವಾ ಫ್ಲಾಗ್ಗಳು, ಅಥವಾ ಅರ್ಧ-ಅಂಚುಗಳು) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಜಿ ಯ ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿಗೆ ನಾವು ಬಿ ಯ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂಚಿನ ಪ್ರತಿ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದು. ಒಂದು ಅಂಚು ಅದರ ಎರಡೂ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ನಾವು ಆ ಅಂಚಿಗೆ ಎರಡು ಡಾರ್ಟ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು θ (b) ಅನ್ನು b ಯ ಅದೇ ತುದಿಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಇತರ ಡಾರ್ಟ್ ಆಗಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತೇವೆ; ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದ ಇನ್ವೊಲ್ಯುಷನ್ ಆಗಿದೆ. ನಾವು σ (b) ಅನ್ನು ಅದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಅಂಚುಗಳ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ b ಯಿಂದ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಡಾರ್ಟ್ ಆಗಿರಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ "ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ" ಅನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹು ಶಾಸನವನ್ನು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯ ಎರಡು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು. ಈ ಎರಡು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ θ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ σ ಇತರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹುದುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುವುದು ಒಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಬಹುರೂಪವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು, ನಾವು σನ ಪ್ರತಿ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಮತ್ತು θನ ಪ್ರತಿ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಎರಡು ಕಕ್ಷೆಗಳು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಶೃಂಗವು ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಕ್ಷೆಯ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮಲ್ಟಿಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಯ ಎರಡು-ಕೋಶಗಳ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಹುದುಗಿಸಲು, σθ ಯ ಪ್ರತಿ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ, ಮತ್ತು e ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ಡಾರ್ಟ್ಗಳು ಈ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎರಡು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಿ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬಹು ಲಿಪಿಯ 2-ಕೋಶಗಳ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು-ಕೋಶಗಳು σθ ನ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಸುತ್ತಲಿನ ಅಂಚುಗಳ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರ ಕ್ರಮವು σ ನೀಡಿದ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರ ಕ್ರಮದಂತೆಯೇ ಇರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದು ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಜೆನಸ್ g ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮಲ್ಟಿಗ್ರಾಫ್ 2-ಕೋಶವನ್ನು ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡಿದ ಮೇಲ್ಮೈ). ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು. ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ನಕ್ಷೆಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ