Mordell curve
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮೊರ್ಡೆಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು y2 = x3 + n ರೂಪದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಲೂಯಿಸ್ ಮೊರ್ಡೆಲ್ ನಿಕಟವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಪ್ರತಿ ಮೊರ್ಡೆಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (x, y) ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೇಕರ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿತು. ಊಹಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಷಲ್ ಹಾಲ್ನ ಊಹೆಯಿಂದ ನಿಭಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (x, y) ಒಂದು ಮೊರ್ಡೆಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು (x,-y) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊರ್ಡೆಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ n ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ; ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳೆಂದರೆಃ 6,7,11,13,14,20,21,23,29,32,34,39,42,. - 3,-5,-6,-9,-10,-12,-14,-16,-17,-21,-22,. n = −2 ಇರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಮೊರ್ಡೆಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆ y2 = x3 + n |n | ≤25 ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. y ≤0 ಇರುವ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 1998ರಲ್ಲಿ, ಜೆ. ಗೆಬೆಲ್, ಎ. ಪೆಥೋ, ಎಚ್. ಜಿ. ಜಿಮ್ಮರ್ ಅವರು 0 <|n | ≤ 104ರ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. 2015ರಲ್ಲಿ, ಎಮ್. ಎ. ಬೆನೆಟ್ ಮತ್ತು ಎ. ಗದರ್ಮಾರ್ಜಿ ಅವರು 0 <|n | ≤ 107ಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜೆ. ಗೆಬೆಲ್,-10000 ≤ n ≤ 10000 ಎಂ. ಬೆನೆಟ್ಗಾಗಿ ಮೊರ್ಡೆಲ್ನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ದತ್ತಾಂಶ,-107 ≤ n ≤ 107 ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗಾಗಿ ಮೊರ್ಡೆಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ದತ್ತಾಂಶ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು