Local cohomology
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಇದನ್ನು 1961 ರಲ್ಲಿ ಹಾರ್ವರ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆದ ವಿಚಾರಗೋಷ್ಠಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಐಎಚ್ಇಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಸ್ಜಿಎ2 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾದ 1961-2 ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮರುಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ (ಅಥವಾ ಯೋಜನೆಯ) ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕ್ವಾಸಿಕೋಹರೆಂಟ್ ಕೋಶದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ) ನೀಡಿದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಅಡಚಣೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಅಫೈನ್ ರೇಖೆಯ ಪೂರಕದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇಡೀ ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ (ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ರಿಂಗ್ ಎಲ್ಲಿದೆ) ಇದನ್ನು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದೇ ಇರುವಾಗ ಪತ್ತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಅಫೈನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು-ಅಕ್ಷದ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಅಥವಾ-ಅಕ್ಷದ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಅಥವಾ ಇದನ್ನು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ); ಈ ಅಡಚಣೆಯು ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಹೊರಗೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಯೋಗಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ, ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕೋಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ರೂಪದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪೇಸ್ X ಎಂಬುದು ಸಂವಹನ ರಿಂಗ್ R ನ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಸ್ಪೆಕ್ (R) ಆಗಿದೆ (ಈ ಲೇಖನದುದ್ದಕ್ಕೂ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಕೋಶ F ಎಂಬುದು R-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ M ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ವಾಸಿಕೋಹರೆಂಟ್ ಕೋಶವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಶೀಮ್ Y ಅನ್ನು ಐಡಿಯಲ್ I ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಫಂಕ್ಟರ್ I-ತಿರುಚು ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನ್ನಿಹಿಲೇಟರ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, M ನ ಅಂಶಗಳು I ನ ಕೆಲವು ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ನಾಶವಾಗುತ್ತವೆ. ರೈಟ್ ಡಿರೈವ್ಡ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿ, I ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ನ I-ತಿರುಚು ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಪಡೆದ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ith ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಐ-ತಿರುಚು ಭಾಗವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂನ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಎಕ್ಸ್ಟ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನೇರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಎರಡೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಆಮೂಲಾಗ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಆದರ್ಶದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸದಿದ್ದರೆ ಅದು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ I ಗಾಗಿ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಹ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಸ್ಝುಲ್ ಮತ್ತು ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಗಣನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಸೆಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಮೊದಲು ಅವರು "ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಾಗಿ ಈ [ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ] ರೀತಿಯ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು" "ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸೆಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು "ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸೀವ್ಗಳ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ" ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು "ಗಣನೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ". ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕೊಸ್ಜುಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಕೊಲಿಮಿಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಕೋಸ್ಝುಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥದಿಂದ ನಾಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಗಳ ಕೊಲಿಮಿಟ್ನಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಕ್ಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಕೊಸ್ಜುಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಂದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಾಶವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೋಸ್ಝುಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಈ ಕೊಲಿಮಿಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ith ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ith ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು (ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಶಾಲವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. X ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಸಿಕೋಹರೆಂಟ್ ಶೀಫ್ F ಗೆ, ಇದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ X ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಮತ್ತು Y ಆದರ್ಶ I ನ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಇದು ಮಧ್ಯದ ನಕ್ಷೆಯು ವಿಭಾಗಗಳ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿರುವ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ಬಂಧದ ನಕ್ಷೆಯ ಗುರಿಯನ್ನು ಆದರ್ಶ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಫ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಕಾರಣ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಯರ್-ವಿಯೆಟೋರಿಸ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಯೋಗಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ Xನಲ್ಲಿ U ಮತ್ತು V ಎಂಬ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಜೋಡಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆದರ್ಶ I ಮತ್ತು J ಜೋಡಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಘಟಕಗಳ ಪೂರಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು (ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲು) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಅಂಕಗಣಿತದ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಬಂಧಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಅದೇ ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಯಾವುದೇ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಅಂದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಿದಾಗ, ಏಕರೂಪದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರುವಾಗ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗ್ರೇಡಿಂಗ್ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಘಟಕಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಮಟ್ಟದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶವು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಪ್ರಸ್ತುತ ಆದರ್ಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದಾಗಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಕೀಮ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸೆರೆ ಟ್ವಿಸ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಯೋಜನೆಗಳ ಜಾಗತಿಕ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಯಾಸ್ಟೆಲ್ನುವೊ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಉನ್ನತ ಮಿತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಗಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ, ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಈ ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಅಂಶವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ ವಲಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳನ್ನು (ಚೆಚ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗಗಳು) ಆಧಾರವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು 1 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಷರತ್ತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. H1 ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಎಲ್ಲಿ) ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಮತ್ತು, ನಂತರ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್, 1-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಯಾಮ ಡಿಮರ್ (ಎಂ) ಅನ್ನು (ಅದರ ಬೆಂಬಲದ ಕ್ರಲ್ ಆಯಾಮ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಆರ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಂ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಿತಿಯು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಆಳವು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂ-ಅನುಕ್ರಮದ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಎಂ ದರ್ಜೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಆಗಿದ್ದು, ಈ ಎರಡು ಮಿತಿಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಕೋಹೆನ್-ಮ್ಯಾಕಾಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆಃ ಅವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಎನ್ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಗೊರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರದ ಏಕರೂಪದ ಚಿತ್ರವಾದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದ್ದರೆ) ಕೋಹೆನ್-ಮ್ಯಾಕಾಲೆ ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜೋಡಣೆಯು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ಲಿಸ್ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸರಳವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಗೊರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಎಂಬ ಊಹೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ. ಆರಂಭಿಕ ಅನ್ವಯಗಳು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಹೈಪರ್ಪ್ಲೇನ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದವು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ನಿಯಂತ್ರಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು 'ನಷ್ಟ' ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಲಜಿ ಅಥವಾ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿಗೆ ಮತ್ತು ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧದ ಅನ್ವಯಗಳೆಂದರೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ಸಂಪರ್ಕ ಪ್ರಮೇಯ (ಬರ್ಟಿನಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾದೃಶ್ಯ) ಅಥವಾ ಮತ್ತು ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಫುಲ್ಟನ್-ಹ್ಯಾನ್ಸನ್ ಸಂಪರ್ಕ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ಸಂಪರ್ಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಎರಡನೆಯದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಭೇದಗಳಾದ ವಿ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂಗೆ, Z = V θ W ನ ಸಂಪರ್ಕದ ಆಯಾಮವನ್ನು (ಅಂದರೆ, Z ನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾದ Z ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪು T ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮವು ಪೂರಕ Z\ T ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) c (Z) ± ಮಂದ V + ಮಂದ W−r−1 ನಿಂದ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಸುಕಾದ V + ಮಸುಕಾದ W> r ಆಗಿದ್ದರೆ Z ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೆಕ್ಮುಲ್ಲೆನ್ನ ಅಪ್ಪರ್ ಬೌಂಡ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ರೂಪದ ಸ್ಟಾನ್ಲಿಯ 1975 ರ ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕಾಂಶವೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಸ್ಟಾನ್ಲಿ-ರೈಸ್ನರ್ ಉಂಗುರವು ಕೋಹೆನ್-ಮ್ಯಾಕಾಲೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯು ಹಾಚ್ಸ್ಟರ್ನ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಈ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ನ ಅನ್ನಿಹಿಲೇಟರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಶಂಕುವಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅನಲಾಗ್ ಮತ್ತು ಗಣನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಉಲ್ಲೇಖ ಹುನೆಕೆ, ಕ್ರೇಗ್; ಟೇಲರ್, ಅಮೇಲಿಯಾ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಕುರಿತ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ಹಾರ್ಟ್ಶೋರ್ನ್ ಶೀಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪುಸ್ತಕ ವಿಮರ್ಶೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವಿಧಾನಗಳು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದ ದ್ವಂದ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು