Imprecise probability
ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿಶೇಷಣಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯು ವಿರಳವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅಥವಾ ಸಂಘರ್ಷದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಆ ಮೂಲಕ, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತಜ್ಞರ ವಿವರಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ನಿಖರತೆಯು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆಃ ಜನರು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೀಮಿತ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅವರು ಕೇವಲ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒದಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರವು ಹಲವಾರು ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ವಿವಿಧ ಜನರಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಮನವರಿಕೆಯಾಗಬೇಕು. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್, ಡಿ ಫಿನೆಟ್ಟಿ, ರಾಮ್ಸೇ, ಕಾಕ್ಸ್, ಲಿಂಡ್ಲೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದಂತೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯವಾದಿಗಳು ಸರ್ವಾನುಮತದಿಂದ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿಲ್ಲಃ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲವು ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು ಅಥವಾ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಹಿತಿ ಅಥವಾ ದತ್ತಾಂಶ ಲಭ್ಯವಿರುವಾಗ-ಅಂತಹ ಟೀಕೆಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಲಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಕೆಲಸದ ಬಗ್ಗೆ ಬೂಲ್ ಅವರ ವಿಮರ್ಶೆ-ಅಥವಾ ನಾವು ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಒಪ್ಪುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಯಸಿದಾಗ. ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ವಿವರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು, ಮತ್ತು, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು (ಪೂರ್ವಭಾವಿಗಳು), ಈ ಅಂತರವನ್ನು ತುಂಬುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಸೂಪರ್ ಅಡಿಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಅಡಿಟಿವ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಬ್ ಅಡಿಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ನಿಖರವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪೂರಕವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳು, ಈ ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಘಟಕವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅನಿಶ್ಚಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸುದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದ ಜಾರ್ಜ್ ಬೂಲ್ ಅವರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಔಪಚಾರಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ. 1920ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆನ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿಯಲ್ಲಿ, ಕೀನ್ಸ್ ಅವರು ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. 20ನೇ ಶತಮಾನದುದ್ದಕ್ಕೂ, ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಕೂಪ್ಮನ್, ಸಿ. ಎ. ಬಿ. ಅವರ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೆಲಸವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯಿತು. ಸ್ಮಿತ್, ಐ. ಜೆ. ಗುಡ್, ಆರ್ಥರ್ ಡೆಂಪ್ಸ್ಟರ್, ಗ್ಲೆನ್ ಶೇಫರ್, ಪೀಟರ್ ಎಮ್. ವಿಲಿಯಮ್ಸ್, ಹೆನ್ರಿ ಕಿಬರ್ಗ್, ಐಸಾಕ್ ಲೆವಿ ಮತ್ತು ಟೆಡ್ಡಿ ಸೈಡೆನ್ಫೆಲ್ಡ್. 1990ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಪೀಟರ್ ವಾಲೆ ಅವರ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ರೀಸನಿಂಗ್ ವಿತ್ ಇಂಪ್ರೆಸೈಸ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿಗಳ ಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಟಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸ್ವಲ್ಪ ವೇಗವನ್ನು ಗಳಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು (ಇಲ್ಲಿಯೇ "ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ" ಎಂಬ ಪದವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ). 1990ರ ದಶಕವು ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಮತ್ತು ವೀಚ್ಸೆಲ್ಬರ್ಗರ್ ಅವರ ಪ್ರಮುಖ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಂಡಿತು, ಅವರಿಬ್ಬರೂ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ವಾಲಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಜೂಜುಗಳಿಗೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಮತ್ತು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವೈಚ್ಸೆಲ್ಬರ್ಗರ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೇರದೆ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಿಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ವಾಗತಾರ್ಹ ಉಪ-ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ದೃಢವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕವಲ್ಲದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಚೊಕ್ವೆಟ್ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು-ಮೊನೊಟೋನ್ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಇವು ಕೃತಕ ಬುದ್ಧಿಮತ್ತೆಯಲ್ಲಿ (ಡೆಂಪ್ಸ್ಟರ್-ಶೇಫರ್) ನಂಬಿಕೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಶೇಫರ್ ಮತ್ತು ವೋವ್ಕ್ ಅವರ ಆಟದ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಬಲವಾದ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು "ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ" ಎಂಬ ಪದವು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ತಪ್ಪುದಾರಿಗೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಆ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ನಿಖರತೆ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿಖರವಲ್ಲದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ನಿಖರವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಪದವು 1990 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸೆಟ್ಗಳು, ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಡೆಂಪ್ಸ್ಟರ್-ಶೇಫರ್ ಸಾಕ್ಷ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು, ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ನಂಬಿಕೆ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಧ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ತುಲನಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕ್ರಮಗಳು ಭಾಗಶಃ ಆದ್ಯತೆಯ ಕ್ರಮಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಜೂಜುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಪಿ-ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ದೃಢವಾದ ಬೇಯ್ಸ್ ವಿಧಾನಗಳು ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಅನೇಕ ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ವಾಲ್ಲಿಯು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದರೂ, ಇದು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವ ಮೊದಲ ಪ್ರಯತ್ನವಲ್ಲ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಲಿಯ ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಯೇಸಿಯನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ವಾಲ್ಲಿಯು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಚಲಿತಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರೂನೋ ಡಿ ಫಿನೆಟ್ಟಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಜೂಜಿನ ಚೌಕಟ್ಟು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರ ಕಡಿಮೆ ಒಲವು ಎಂದರೆ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರು ಅವರು ಅಥವಾ ಅವಳು ಜೂಜಾಟವನ್ನು ಖರೀದಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿರುವ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಒಲವು ಎಂದರೆ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರು ಅವರು ಅಥವಾ ಅವಳು ಜೂಜಾಟದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಖರೀದಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿರುವ ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ (ಇದು ಮೂಲ ಜೂಜಾಟವನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ). ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರ ಜೂಜಾಟದ ನ್ಯಾಯಯುತ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರು ಜೂಜಾಟದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಿದ್ಧರಿರುವ ಬೆಲೆ. ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಬೆಲೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ನಿಖರವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರತೆಗಾಗಿ ಅನುಮತಿ, ಅಥವಾ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಆದ್ಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ನಿಖರ ಮತ್ತು ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಅಸಮ್ಮಿತ ಮಾಹಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಆರ್ಥಿಕವಾಗಿ ದ್ರವರಹಿತವಾಗಿರುವ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅಂತರಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಅಂತರವನ್ನು ಹೆನ್ರಿ ಕಿಬರ್ಗ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಮಧ್ಯಂತರದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗಾಗಿ ಪದೇ ಪದೇ ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಆದರೂ ಅವರು ಮತ್ತು ಐಸಾಕ್ ಲೆವಿ ಅವರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ವಿತರಣೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಇತರ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಇದು ನಂಬಿಕೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ವಿಶಾಲವಾದ ಅಥವಾ ಕಿರಿದಾದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಟ್ಟದ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ಅಥವಾ ಧೈರ್ಯವು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಶ್ವಾಸದ ಮಟ್ಟ, ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸದಸ್ಯತ್ವದ ಮಟ್ಟ ಅಥವಾ ಸ್ವೀಕಾರದ ಮಿತಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪಡೆದ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆದ್ಯತೆಯ ಗುಂಪಿನ ನಂತರ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧತೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಆದ್ಯತೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಏಕೆ ಇಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಇದು ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿರಬಹುದು, ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿ, ಒಂದು ಬಿಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕೇವಲ ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಯ ದೃಢತೆಯು ಪಾಯಿಂಟ್-ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಿಂತ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರತೆಯ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲದ ಹಕ್ಕುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಳವಳವನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಯಾವ ರೀತಿಯ ನಿರ್ಧಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ, ರೊನಾಲ್ಡ್ ಆರ್. ಯಾಗರ್ ಅವರ ಕೆಲಸವಿದೆ. ವಿತರಣೆಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ, ಲೆವಿಯ ಕೃತಿಗಳು ಬೋಧಪ್ರದವಾಗಿವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಧೈರ್ಯವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಮಿತಿಯು ಕೇವಲ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅಥವಾ ಹರ್ವಿಕ್ಜ್ ನಿರ್ಧಾರದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಇತರ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ನಿವಾರಣೆ ಬಲವಾದ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ನಿಖರವಲ್ಲದ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ದಿ ಸೊಸೈಟಿ ಫಾರ್ ಇಂಪ್ರೆಸೈಸ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿಃ ಥಿಯರೀಸ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಇಂಪ್ರೆಸೈಸ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಮುಕ್ತ ಮೂಲ ಅನುಷ್ಠಾನ ಐ. ಡಿ. ಎಸ್. ಐ. ಎ. ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಫಿಲಾಸಫಿಯಲ್ಲಿನ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಂಪು ಇಂಪ್ರೆಸೈಸ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಅಂದಾಜುಗಳ ಲೇಖನ