Small stellated dodecahedron
ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಥರ್ ಕೇಲಿಯಿಂದ ಹೆಸರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಪ್ಲರ್-ಪೊಯಿನ್ಸಾಟ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸ್ಕ್ಲಾಫ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು {, 5} ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ನಾಲ್ಕು ನಾನ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು 12 ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ ಮುಖಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಐದು ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ಗಳು ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ನಿಯಮಿತ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಶೃಂಗದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ದೊಡ್ಡ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಅಂಚಿನ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರೊಂದಿಗೆ ಇದು ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಸಂಯುಕ್ತ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ನ ನಾಲ್ಕು ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು (ಮೂಲ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ). ಕೋರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಅಂಚುಗಳ (1-ಮುಖಗಳು) ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಅವು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾದ ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಪೆಂಟಗ್ರಾಮಿಕ್ ಮುಖಗಳನ್ನು 5 ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಇದು ಪೆಂಟಾಕಿಸ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮೇಲ್ಮೈ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಎತ್ತರದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ, ಪೆಂಟಾಗೋನಲ್ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಿ ಪೆಂಟಗ್ರಾಮ್ನಲ್ಲಿನ ಐದು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಆಗುತ್ತವೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕೋನವು ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಅಟಾನ್ (2) ಆಗಿದೆ. ಈ ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ಗಳು 30 ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು 12 ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಭೇಟಿಯಾಗುವುದರೊಂದಿಗೆ 12 ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ಗಳನ್ನು ಮುಖಗಳೆಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಕುಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ 4ನೇ ಕುಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಲೂಯಿಸ್ ಪಾಯಿನ್ಸಾಟ್ ಮಾಡಿದ ಈ ಅವಲೋಕನವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ 1877ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಪೆಂಟಗ್ರಾಮ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 4ನೇ ಕುಲದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಕವಲೊಡೆದ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬ್ರಿಂಗ್ಸ್ ಕರ್ವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈ, 4ನೇ ಕುಲದ ಯಾವುದೇ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂ. ಸಿ. ಎಸ್ಚರ್ ಅವರ ಎರಡು ಶಿಲಾಮುದ್ರಣಗಳಿಗೆ ಅದೇ ಆಕಾರವು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆಃ ಕಾಂಟ್ರಾಸ್ಟ್ (ಆರ್ಡರ್ ಮತ್ತು ಚೋಸ್) (1950) ಮತ್ತು ಗ್ರಾವಿಟೇಷನ್ (1952). ಸಂಬಂಧಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಇದರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ನಿಯಮಿತ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ತನ್ನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಯುಕ್ತವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಕೀರ್ಣ ಐಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕು ಸಂಬಂಧಿತ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಹಂತಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡ್ಯುಯಲ್ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ. ಡೋಡೆಕಾಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಒಂದು ಸರಿಪಡಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ, ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು 24 ಮುಖಗಳನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಪೈಕ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕೆಳಗಿರುವ ಪೆಂಟಗ್ರಾಮ್ನ ಸಮತಲವನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 24 ಮುಖಗಳು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ 12 ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೊದಲ 12 ಪೆಂಟಗನ್ಗಳನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಡಬಲ್-ಗಾಯದ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ 12 ಡೆಕಗನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರದ ಮುಖಗಳು ಮೂಲ ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ಗಳನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಒಂದು-ಗೋನ್ ಅನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಒಂದು-ಗೋನ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊಟಕುಗೊಂಡ ಪಂಚಭುಜವು ದಶಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವುದು ದ್ವಿಗುಣ-ಗಾಯದ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ (10 ಮತ್ತು 2ರ ನಡುವಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವೆಂದರೆ ನಾವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇಟಿ ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದರ್ಥ). ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೇಟ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರ ಕೆಪ್ಲರ್-ಪೊಯಿನ್ಸೊಟ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರ