Primary ideal
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ A ಯ ಸರಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ Q ಅನ್ನು ಪ್ರೈಮರಿ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, xy ಯು Q ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ x ಅಥವಾ yn ಸಹ Q ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಕೆಲವು n> 0 ಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Z ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ, p ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (pn) ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. ಸಂವಹನ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆದರ್ಶಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನೊಥೇರಿಯನ್ ವರ್ತುಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆದರ್ಶವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆದರ್ಶಗಳ ಛೇದನ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲಾಸ್ಕರ್-ನೋಥರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ. ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಆದರೆ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರಗಳಿಗಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿರುವ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿನೊಂದಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ ಆದರ್ಶವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ. (ಇಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.) ಆರ್/ಕ್ಯೂ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕವು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆರ್ ನ ಆದರ್ಶ ಕ್ಯೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಇದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ R/Pಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ P ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಐಡಿಯಲ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಒಂದು ಐಡಿಯಲ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಅರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸಂವಹನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಐಡಿಯಲ್ ಪ್ರೈಮಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. Q ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, Q ನ ರಾಡಿಕಲ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ P ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು Q ನ ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ಪಿ-ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ರಾಡಿಕಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವ ಆದರ್ಶವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಫ್,, ಮತ್ತು, ನಂತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಆದರೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ n> 0 ಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಲ್ಲ. ಇದರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಜನೆಯು; ಇಲ್ಲಿ-ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು-ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗರಿಷ್ಠ ರಾಡಿಕಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಆದರ್ಶವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಾಡಿಕಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆದರ್ಶವೂ ಚಿಕ್ಕದಾದ-ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಕೆಲವರಿಗೆ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು. ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ-ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಅದರ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿ ಒಂದು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪಿ ಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಐಡಿಯಲ್ ಪಿ-ಪ್ರೈಮರಿ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪಿ-ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಪಿ ಯ ಪವರ್ಗಳಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಅವು ಪಿ ಯ ಪವರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆ [x, y] ರಿಂಗ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಐಡಿಯಲ್ ಪಿ = (x, y) ಗೆ ಐಡಿಯಲ್ (x, y2) ಪಿ-ಪ್ರೈಮರಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಪಿ ಯ ಪವರ್ ಅಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಪಿ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. A ಒಂದು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು P ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿದ್ದರೆ, A ಯಿಂದ Pಯಲ್ಲಿ Aಯ ಸ್ಥಳೀಕರಣದವರೆಗಿನ ನಕ್ಷೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಎಲ್ಲಾ P-ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆದರ್ಶಗಳ ಛೇದನವಾಗಿದೆ. - ಪ್ರೈಮರಿ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉತ್ಪನ್ನವು-ಪ್ರೈಮರಿ ಆದರೆ-ಪ್ರೈಮರಿ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನವು-ಪ್ರೈಮರಿ ಆಗಿರಬಾರದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ನೊಥೆರಿಯನ್ ಲೋಕಲ್ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, (ಕ್ರಲ್ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯ) ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ-ಪ್ರೈಮರಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ನ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರೈಮ್ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರೈಮರಿ) ಐಡಿಯಲ್ನ ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರೈಮರಿಯಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕವು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಲ್ಲ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ,-ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆದರ್ಶಗಳ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ-ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರೈಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ, ಲಾಡಿಸ್ಲಾಸ್ ಫುಚ್ಸ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಐಡಿಯಲ್ಸ್ (ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ)