Nielsen realization problem
ನೀಲ್ಸನ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪುಗಳ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಲಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದಕ್ಕೆ ನೀಲ್ಸನ್ ಅವರಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಆಧಾರಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪು π0 (ಡಿಫ (ಎಸ್)) ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾದ ಡಿಫ (ಎಸ್) ಅನ್ನು ಐಸೊಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದೇ ಎಂದು ಊಹೆಯು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪು ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪು ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಜಾಗದ ಕೆಲವು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹೇಳುವ ಸಮಾನ ವಿಧಾನವು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪುಗಳ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಇತಿಹಾಸವು ಕೇಳಿದೆ. ನೀಲ್ಸನ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಾಗಿ ಹೇಳಿಕೊಂಡರೂ, ಅವನ ಪುರಾವೆಯು ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನೊಂದಿಗೆ) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿತ್ತು. ವಾದದಲ್ಲಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸಿದ ಅವರು, ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಸ್ಥಳವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪುಗಳ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಎಡ ಭೂಕಂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಅವರು ಸರಿಯಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು