Repeated game
ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟವು ಕೆಲವು ಮೂಲ ಆಟದ ಹಲವಾರು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯಾಪಕ ರೂಪದ ಆಟವಾಗಿದೆ (ಇದನ್ನು ಸ್ಟೇಜ್ ಗೇಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ವೇದಿಕೆಯ ಆಟವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ 2-ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ಆಟಗಾರನು ಇತರ ಆಟಗಾರರ ಭವಿಷ್ಯದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ; ಈ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವರ ಖ್ಯಾತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕ ಹಂತದ ಆಟ ಅಥವಾ ಏಕ ಹೊಡೆತದ ಆಟಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗದ ಆಟಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುಗಳಾಗಿವೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟದ ನೈಜ-ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ಅನಿಲ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವರು ಸಾರ್ವಜನಿಕವಾಗಿ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಪರ್ಧಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಸಿ (ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ನ ಸಗಟು ಬೆಲೆ) ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಇಬ್ಬರೂ ಪಿ = 10 ಅನ್ನು ವಿಧಿಸಿದಾಗ, ಅವರ ಜಂಟಿ ಲಾಭವು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಇದು ಅವರಿಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವರು ಬೇರೆಡೆಗೆ ತಿರುಗಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಾರೆ. ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಯಾರಾದರೂ ತಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಧಿಗಳ ಗ್ರಾಹಕರನ್ನು ಕದಿಯಬಹುದು, ಅವರ ಆದಾಯವನ್ನು (ಸುಮಾರು) ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಪಿ = ಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಅವರ ಲಾಭವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಲಾಭದ ವಿಚಲನವಿಲ್ಲದ ಏಕೈಕ ಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೆಲೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಪಿ = ಸಿ ಅನ್ನು ಚಾರ್ಜ್ ಮಾಡುವ ಏಕೈಕ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವು ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ (ಅನಿಲ ಕೇಂದ್ರಗಳಿಗೆ). ಇದು ಒಂದು ವಿನಾಯಿತಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಯಮವಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಹಂತದ ಆಟದಲ್ಲಿ, ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವು ಏಜೆಂಟ್ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುವ ಏಕೈಕ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವರಿಗೆ ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಏಜೆಂಟರು ತಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಹಿತಾಸಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಪರ್ಧಿಗಳಿಗೆ ತರುವ ಪ್ರಯೋಜನಗಳು ಅಥವಾ ವೆಚ್ಚಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚಿಂತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಅನಿಲ ಕೇಂದ್ರವಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅನಿಲ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಲಾಭವನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತವೆ. ಅತ್ಯಂತ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಅವರ ಸಂವಹನವು ಒಮ್ಮೆಯೇನಲ್ಲ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅನಿಲ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟಿ = 0,1,2, ನಲ್ಲಿ ಬೆಲೆ (ಹಂತದ ಆಟಗಳು) ಗಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ಅನಂತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ಆಟವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸಮಯದವರೆಗೆ ಆಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಎಂಬ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಸೀಮಿತ ಆಟಗಳು ಎಂದರೆ ಆಟವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಆಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಆಡಿದ ನಂತರ ಆಟವು ಖಚಿತವಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇಬ್ಬರೂ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಆಟಗಳನ್ನು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅನಂತ ಆಟಗಳು ಎಂದರೆ ಆಟವನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟವು (ಆಡುವ ತಂತ್ರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ) ಆಟದ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಆಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಆಟಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಆಟಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುವ ಆಟಗಳನ್ನು) ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು "ಕೊನೆಯ ಸುತ್ತು" ಇಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲೂ ಆಡುವ ಆಟವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಆ ಆಟವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ (ಸಮತೋಲನ) ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಜೊತೆಗೆ ಅತ್ಯಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಅನಂತ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ಅತ್ಯಂತ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವ ಆಟಗಳಾಗಿವೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಖೈದಿಗಳ ಸಂದಿಗ್ಧತೆಯ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ, ವೇದಿಕೆಯ ಆಟದ ನ್ಯಾಶ್ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಡುವುದು ಆದ್ಯತೆಯ ತಂತ್ರವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಹಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕವಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಡುವುದು ಎಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಹಕಾರಿ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದಿಂದ ವಿಮುಖವಾಗುವ ಆಟಗಾರರನ್ನು ಶಿಕ್ಷಿಸುವುದು ಅನಂತ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಗಳ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಶಿಕ್ಷೆಯು ಆಟದ ಉಳಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಎರಡೂ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರತಿಫಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಡುತ್ತಿರಬಹುದು (ಪ್ರಚೋದಕ ತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾಜಿಕವಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಆಡುವ ಬದಲು ತಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸ್ವಾರ್ಥದಿಂದ ವರ್ತಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ಪ್ರಚೋದಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬದಲಾದರೆ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಆಟಗಾರನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪ್ರಚೋದಕ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಈಗ ಸ್ವಾರ್ಥದಿಂದ ವರ್ತಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಇತರ ಆಟಗಾರನ ಶಿಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸಹಕಾರವು ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾಜಿಕವಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಧಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ "ಜಾನಪದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಆಟಗಾರನ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟದಲ್ಲಿ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಹಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಮಾರ್ಗಗಳೆಂದರೆಃ ಸಾಧನಗಳ ಮಿತಿ-ಆಟವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರನು ಮೂಲಭೂತ-ಆಟದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಟಗಾರನ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಎಂದರೆಃ ರಿಯಾಯಿತಿ-ಆಟಗಾರನ ಆಟದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ರಿಯಾಯಿತಿ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ಆಟಗಾರನು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಾಗಿದೆಃ ಸಾಕಷ್ಟು ತಾಳ್ಮೆಯುಳ್ಳ ಆಟಗಾರರಿಗೆ (ಉದಾ. ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರು), ಮಿನ್ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪ್ರತಿಫಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವೂ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು-ಇದು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ತಕ್ಷಣದ ಲಾಭಗಳು ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾದ ಆಟವು ಒಂದೇ ಒಂದು-ಶಾಟ್ ಹಂತದ ಆಟವನ್ನು ಹಲವಾರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅವಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಆಡಲಾಗುವ ಆಟವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಕಾಲಾವಧಿಯನ್ನು 0 <t ≤ T ಯಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ T ಎಂಬುದು ಒಟ್ಟು ಅವಧಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆಟಗಾರನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರತಿಫಲವು ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಿನಿಂದ ಅವರು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರತಿಫಲಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ನಿಗದಿತ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾಲಾವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳಿಗೆ, ವೇದಿಕೆಯ ಆಟವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟವು ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ವೇದಿಕೆಯ ಆಟದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಆಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಬ್ಗೇಮ್ ಪರಿಪೂರ್ಣ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನ ತಂತ್ರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಹಿಂದಿನ ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಏನಾಯಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹಂತದ ಆಟವನ್ನು ಕೊನೆಯ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಆಡಬೇಕು. ಇದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಎರಡನೇ-ಕೊನೆಯ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹಂತದ ಆಟವಾದ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದಿಂದ ವಿಮುಖವಾಗಲು ಯಾವುದೇ ಪ್ರೋತ್ಸಾಹವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ತರ್ಕವನ್ನು ಆಟದ ಮೊದಲ ಸುತ್ತಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಟದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಈ 'ಬಿಚ್ಚಿಡುವಿಕೆಯನ್ನು' ಚೈನ್ಸ್ಟೋರ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಸ್ಟೇಜ್ ಆಟವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟವು ಅನೇಕ ಸಬ್ಗೇಮ್ ಪರಿಪೂರ್ಣ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಕೊನೆಯ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಆಡಬೇಕಾಗಿದ್ದರೂ, ಬಹು ಸಮತೋಲನದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಬಹುಮಾನ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷೆಯ ತಂತ್ರಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಟೇಜ್ ಗೇಮ್ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದಿಂದ ವಿಚಲನವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಅಥವಾ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾಲಾವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಆಟಗಳಿಗೆ ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳಲ್ಲಿನ ಸಹಕಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆ 1: ಬಹು ನ್ಯಾಶ್ ಈಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಾದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು-ಹಂತದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟ ಉದಾಹರಣೆ 1 ಬಹು ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು-ಹಂತದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ನ್ಯಾಶ್ ಈಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯ. ಈ ಸಮತೋಲನವು ಆಟಗಾರ 2 ರ ಪ್ರತಿಫಲದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆಟಗಾರ 1 ಆಟದ ಅನೇಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಬಹುದು, ಅದು ಆಟಗಾರ 2 ಕ್ಕೆ ಶಿಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಬಹುಮಾನದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಟಗಾರ 1 ಅವರು ಮೊದಲ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ (ಎ, ಎಕ್ಸ್) ಆಡಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಬಹುದು. ಆಟಗಾರ 2 ಮೊದಲ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ಆಟಗಾರ 1 ಎರಡನೇ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನವನ್ನು (ಎ, ಝಡ್) ಆಡುವ ಮೂಲಕ ಅವರಿಗೆ ಬಹುಮಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ (7,9) ಒಟ್ಟು ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆಟಗಾರ 2 ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಂತೆ (ಎ, ಎಕ್ಸ್) ಆಡುವ ಬದಲು ಮೊದಲ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ (ಎ, ಝಡ್) ಗೆ ವಿಚಲನಗೊಂಡರೆ, ಆಟಗಾರ 1 ಎರಡನೇ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ (ಬಿ, ವೈ) ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಆಡುವ ಮೂಲಕ ಅವರನ್ನು ಶಿಕ್ಷಿಸುವ ಬೆದರಿಕೆ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ನಂತರದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (5,7), ಇದು ಎರಡೂ ಆಟಗಾರರನ್ನು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಭವಿಷ್ಯದ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷೆಯ ಬೆದರಿಕೆಯು ಮೊದಲ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸಹಕಾರಿ, ಸಮತೋಲನವಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾದ ಆಟದ ಅಂತಿಮ ಸುತ್ತು, ಅದರ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಲೇ, ಭವಿಷ್ಯದ ಶಿಕ್ಷೆಯ ಬೆದರಿಕೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಆಟದ ಸಮತೋಲನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಆಟದಲ್ಲಿನ ಸಮತೋಲನದ ನಡುವಿನ ಪ್ರತಿಫಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಶಿಕ್ಷೆ/ಬಹುಮಾನದ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಆಟದ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಮೇಲೆ ಶಿಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಬಹುಮಾನದ ಪ್ರಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, 'ಪಬ್ಲಿಕ್ ಗೂಡ್ಸ್ ಗೇಮ್ ವಿತ್ ಪನಿಷ್ಮೆಂಟ್ ಅಂಡ್ ಫಾರ್ ರಿವಾರ್ಡ್' ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆ 2: ವಿಶಿಷ್ಟ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು-ಹಂತದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟ ಉದಾಹರಣೆ 2 'ವಿಶಿಷ್ಟ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು-ಹಂತದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಮತೋಲನವಿರುವುದರಿಂದ, ಆಟದ ಎರಡನೇ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷೆಯ ಬೆದರಿಕೆ ಹಾಕಲು ಅಥವಾ ಬಹುಮಾನದ ಭರವಸೆ ನೀಡಲು ಯಾವುದೇ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲೂ ಆಟದ ವಿಶಿಷ್ಟ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನ ತಂತ್ರವನ್ನು (ಡಿ, ಎನ್) ಆಡುವುದು ಸಬ್ಗೇಮ್ ಪರಿಪೂರ್ಣ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿಸಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದರರ್ಥ ಎರಡು ಹಂತಗಳಿಗೆ (n = 2) ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಆಡುವುದು (D, N), ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳಿಗೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲುಃ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ತಿಳಿದಿರುವ, ಸೀಮಿತ ಸಮಯದ ದಿಗಂತದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಆಟದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸುತ್ತಿನಲ್ಲೂ ಸಹಕಾರವನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಕಾರವು ಸುತ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅಥವಾ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳನ್ನು ಜಾನಪದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಒದಗಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಆಟದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಅನಂತ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಪಾವತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ a ಮತ್ತು f, ಸರಾಸರಿ ಪಾವತಿಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ a ಮತ್ತು f ನಡುವಿನ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ಕೆಲವು ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳನ್ನು ಓಮನ್ ಮತ್ತು ಮಾಸ್ಲರ್ ಅವರು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಮಾಹಿತಿ ನೀಡಿದಾಗ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ತಿಳಿಸದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾದರೂ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಲ್ಲದ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಆಟಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಆಟ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪೋಕರ್ಗೆ ಬಳಸುವುದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಆಟ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು ಮತ್ತು ಚೈನ್ಸ್ಟೋರ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಟದ ತರಗತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳು