Grassmann number
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹರ್ಮನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ (ಆಂಟಿಕಮ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೂಪರ್ ನಂಬರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. 1-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ದ್ವಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಆರಂಭಿಕ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಕಂಡವು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಈಗ ಸೂಪರ್ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸೂಪರ್ಸೈಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಚರ್ಚೆಯಾದ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಚಾರ-ವಿರೋಧಿ ಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿ ವಸ್ತುಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆಃ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳು ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು "ಮರೆತು" ಅಥವಾ "ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ" ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ರೂಪಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು "ಮರೆತು" ಅಥವಾ "ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ", ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತ ಅಥವಾ ಪೂರ್ವ-ಊಹಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ವಸ್ತುಗಳು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ "ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂಬ ನಾಮಕರಣವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದುಃ ಅವು ಬಹುತೇಕ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ವಿರೋಧಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ಸಮಾನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸಮಂಜಸವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹೋಲಿಕೆಯು ಅಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲಃ ಒಬ್ಬರು ಸೂಪರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಅನಲಾಗ್ ಸೂಪರ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಅನಲಾಗ್ ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ, ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅನಲಾಗ್ ಲೈ ಸೂಪರ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುವ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ರಚನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ರಿಂಗ್ಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್-ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ನಡವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಲವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದುಃ ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿ ಎಂಬುದು ಪೌಲಿ ಹೊರಗಿಡುವ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್ನ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಿಂದ ಬಲವಾಗಿ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ, ಬಹು-ಕಣ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳಿಗೆ ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಫೀಲ್ಡ್ ಕ್ವಾಂಟಾವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಪೌಲಿ ಹೊರಗಿಡುವ ತತ್ವದಿಂದ ಒತ್ತಾಯಿಸಲ್ಪಡುವುದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೆಲವು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ಥಿರವಾದಾಗ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದಾಗ, ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟೇಷನ್ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏಕ-ಉದ್ದದ ವಾಹಕಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿ ವೇಯ್ಲ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಆ್ಯಂಟಿ-ಕಮ್ಯುಟೇಷನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎರಡೂ ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅಥವಾ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಅಥವಾ ಸೂಪರ್ಚಾರ್ಜ್ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಬಹುಶಃ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. "ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು" ಎಂಬ ಪದದ ಬಳಕೆಯು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿದೆ; ಅವು ಸ್ವತಃ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲ; ಅವುಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳೆಂದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್-ಮೌಲ್ಯದ್ದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಷೆಯ ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ, ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಬರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ದಿಕ್ಕಿನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸೂಪರ್ಸ್ಪೇಸ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್-ಮೌಲ್ಯದ "ನಿರ್ದೇಶನಗಳೊಂದಿಗೆ" ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುದಾವೇಶದ ನಾಮಕರಣವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯುದಾವೇಶದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಭೌತಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪಾದಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನೋಥರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ). ಗ್ರಹಿಸಿದ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಒಂದೇ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಗುಣಾಕಾರವು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬೋಸನ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಶ್ರೇಣೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ (ಆಯಾಮದ) ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ವಾಸ್ತವಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಂತಹ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಬೀಜಗಣಿತವು ಏಕ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿಗಳಾಗಿವೆಃ ಅವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಹಕದ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಚೌಕಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆಃ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಶೂನ್ಯದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಚದರ-ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಂತರ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ನಂತರ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಬೆಣೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು-ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಇರುವ ಟುಪಲ್ಗಳು. ಮತ್ತೆ, ದಿ, ಮತ್ತು (ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು), ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಇದು ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ-ಪಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬೇಕು. ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಗುಣಾಂಕದ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು 1873ರಲ್ಲಿ ವಿಲಿಯಂ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಸರಣಿಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಈಗ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ದೇಹ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ ನಂಬರ್ನ ಆತ್ಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಅದೇ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು) ಆತ್ಮವು ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಆದರೆ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಅದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಸೂಪರ್ ನಂಬರ್ಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆಃ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ = 1,2,3 ಅಥವಾ 4, ಮತ್ತು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ-ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವು. ಈ ಎರಡು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ಮೊದಲಿಗೆ ತೋರುವಷ್ಟು ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಂತರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಪರಿಮಾಣದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಸಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ತಲಾ ಒಂದು. ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್, ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆಯ್ಕೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಂಯೋಗ ಅಥವಾ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ ಕೆಲವು ವಿಚಿತ್ರ ನಡವಳಿಕೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಆಪರೇಟರ್ * ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಜನರೇಟರ್ ಯಾವಾಗ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು z ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇವುಗಳನ್ನು (ಸೂಪರ್) ರಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಪಾಲಿಸುವವರನ್ನು (ಸೂಪರ್) ಇಮ್ಯಾಜಿನರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಬಳಸಿದರೂ ಸಹ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸರಾಗವಾಗಿ ಸಾಗುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅನೇಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ; ಮೇಲಿನವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಡೆವಿಟ್ ಸಮಾವೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ರೋಜರ್ಸ್ ಆಕ್ರಮಣಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸೂಪರ್ ನಂಬರ್ಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಆದರೆ ಡೆವಿಟ್ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸೂಪರ್ ನಂಬರ್ಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿವಿಟ್ ಸಮಾವೇಶದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ವಿರೋಧಿ; ಅಂತಹ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎ-ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತವೆ (ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ); ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿ-ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಭಾಷೆಯ ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ, ಎ-ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಆಂಟಿಕಮ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಿ-ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಈ ವಿಭಜನೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಶ್ರೇಣೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಸೂಪರ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸಿ-ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಎ-ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹಾಗೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ (ಅವು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲ, ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ). ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಸೂಪರ್ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಜೊತೆಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕುರಿತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮದಂತೆ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ಘಟಕಗಳ ಸೂಪರ್-ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಲಭಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ನೇರವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಬೋಸೋನಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದೇ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್,-ಆಯಾಮದ ಸೂಪರ್ಸ್ಪೇಸ್, ನಂತರ ಈ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಕೆಲಸದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸ್ಪಿನರ್ ಜಾಗವನ್ನು ವೇಯ್ಲ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ (ಮತ್ತು ಆಂಟಿ-ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು) ಜಾಗದ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ n ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಇಂಟಿಗ್ರೇಷನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಬೆರೆಜಿನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಫೆರ್ಮಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು, ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಏಕೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕುಃ ರೇಖೀಯ ಭಾಗಶಃ ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಎರಡು ಪದಗಳ ನಂತರ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಏಕೀಕರಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗಾಸಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಆಂಟಿಕಮ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎ ಒಂದು ಎನ್ × ಎನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆಃ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಏಕೀಕರಣವು ಅನೇಕ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ನಿರ್ವಾಹಕರ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಸಂಯೋಗದಂತೆಯೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಪ್ರದಾಯದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 4 × 4 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು 2n × 2n ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಭೌತಿಕವಾಗಿ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಆಕ್ಯುಪೇಷನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ n ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ರೈಸಿಂಗ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ನ ಉದ್ಯೋಗ ಸಂಖ್ಯೆಯು 0 ಅಥವಾ 1 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, 2n ಸಂಭವನೀಯ ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಡ ಬಾಹ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ N ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಕೆಲವು N> 2 ಗೆ. ಇವು ಎನ್-ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಹೈಪರ್ಡಿಟರ್ಮಿನೇನ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್> 2 ಮತ್ತು 2 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಎನ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವೂ ಇದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, N = 3 ರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಆದ್ದರಿಂದ. ಎರಡು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 10x10 ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ N = 3ರ ನಿಯಮಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು 2x2x2 ಟೆನ್ಸರ್ನ ಹೈಪರ್ ಡಿಟೆರ್ಮಿನೆಂಟ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.