Beta prime distribution
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯು (ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಡ್ಸ್ ಬೀಟಾ ಪ್ರೈಮ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು α ಮತ್ತು β ಎಂಬ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ B ಎಂಬುದು ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು I ಎಂಬುದು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಿದ ಅಪೂರ್ಣ ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯ ಇತರ ವಿವರಗಳನ್ನು ಸೈಡ್ಬಾಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ; ಏಕೆಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಎಂಬುದು ಸಂಬಂಧಿತ ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಬರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕದ ಸಂಯೋಜಿತ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಬೆರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕದ ಸಂಯೋಜಿತ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪ್ರಕಾರದ VI ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯೇಟ್ X ನ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸರಾಸರಿ (ಸರಾಸರಿ ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಅದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸರಾಸರಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇಫ್ ಆಗಿದೆ. ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್. ಅನ್ನು ಗಾಸ್ ನ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯ 2 ಎಫ್ 1 ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯ ನಿಯತಾಂಕಕರಣ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ಸರಾಸರಿ μ> 0 ಮತ್ತು ನಿಖರ ν> 0 ನಿಯತಾಂಕಗಳ (ಪು. 36) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಮರುಪರಿಮಾಣ ಮಾಡಬಹುದು. ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ μ = α/(β-1) ಮತ್ತು ν = β-2, ಅಂದರೆ, α = μ (1 + ν) ಮತ್ತು β = 2 + ν. ಈ ನಿಯತಾಂಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ E [Y] = μ ಮತ್ತು Var [Y] = μ (1 + μ)/ν. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದುಃ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕಾರ (ನೈಜ) ಮಾಪಕ (ನೈಜ): ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ p = q = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದರೆ. ಸಂಯುಕ್ತ ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರಮಾಣದ ನಿಯತಾಂಕ, q ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ p = 1 ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕಾರಣ ಇದಕ್ಕೆ ಈ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆಃ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮಾಣದ ಗಾಮಾ ಪಿಡಿಎಫ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಇನ್ಫೊಬಾಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮೀನ್ ಅನ್ನು q ನಿಂದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು q2 ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಯುಕ್ತ ಗಾಮಾದ ಮೋಡ್, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಂಯುಕ್ತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ. (ಇದು ಸಂಯುಕ್ತ ಗಾಮಾ ಅಥವಾ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು, ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗಾಮಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮೂಲಕ.) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇದ್ದರೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು, ನಂತರ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಐ. ಐ. ಡಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು, ನಂತರ ಮತ್ತು, ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದೇ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಐ. ಐ. ಡಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅಂದರೆ. , ನಂತರ ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ಮೊತ್ತ. ಸಂಬಂಧಿತ ವಿತರಣೆಗಳು ಎಫ್-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ,. ಹಾಗಿದ್ದರೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ. ಗಾಮಾ ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕ I: ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಅವುಗಳ ಆಯಾ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮಾಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕ II: ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ಇವು ದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಕೇಲ್ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಇವು ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಗಳ ದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಸಿಂಗ್-ಮದ್ದಲಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಡಾಗುಮ್ ವಿತರಿಸಲಾಯಿತು. ಲಾಗ್ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವಿತರಣೆ. ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಟೈಪ್ 6 ಪಿಯರ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. X ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ. X ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲ್ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಟೈಪ್ II ವಿತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಲೋಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ. X ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಟೈಪ್ IV ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ. ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯು ಬೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇಫ್, ನಂತರ ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ಡ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಜಾನ್ಸನ್, ಎನ್. ಎಲ್., ಕೋಟ್ಜ್, ಎಸ್., ಬಾಲಕೃಷ್ಣನ್, ಎನ್. (1995). ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಯುನಿವೇರಿಯೇಟ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್, ಸಂಪುಟ 2 (2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ), ವಿಲೇ. ಮ್ಯಾಥ್ವರ್ಲ್ಡ್ ಲೇಖನ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು