Discriminant of an algebraic number field
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದು, ಸಡಿಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ) ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನ ವರ್ಗ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಯಾವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆ ಯ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಕೆ ಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರದಂತಹ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಎ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೀಮಿತವಾದ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಕೆ ನ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕೆ/ಎಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಕೆ ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೆಯದು L ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನಂತೆ ಇದು K/L ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್ ಅನ್ನು ಕ್ಯೂ ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ = ಕ್ಯೂ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಕೆ/ಕ್ಯೂ ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಕೆ ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಝಡ್ನ ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಬಿ1,.., ಬಿ. ಎನ್. ಗಳು ಓಕೆ (ಅಂದರೆ. ಝಡ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಒಂದು ಆಧಾರ), ಮತ್ತು {σ1,., σn} ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಳಗೆ K ಯ ಹುದುಗುವಿಕೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ (ಅಂದರೆ. ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು K → C). K ಯ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಎಂಬುದು n/n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ B ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ (i, j)-ನಮೂದು σi (bj) ಆಗಿದೆ. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಕೆ ನಿಂದ ಕ್ಯೂ ವರೆಗಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜಾಡಿನ ರೂಪವನ್ನು ಅದರ (i, j)-ನಮೂದು TrK/Q (bibj) ಆಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ BTB ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ K ಯ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ವರ್ಗವು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಧಾರವಾದ b1,., bn ಹೊಂದಿರುವ Kಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮದ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳುಃ d ಒಂದು ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಅದರ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಆಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳುಃ n> 2 ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ζn ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ n ನೇ ಮೂಲವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು Kn = Q (ζn) n ನೇ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಯೂಲರ್ನ ಟೋಶಿಯೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ Knನ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ p ಅನ್ನು n ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪವರ್ ಬೇಸ್ಗಳುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ಪವರ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, OK = Z [α] ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, Kನ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ αನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದಿಯ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, b1 = 1, b2 = α, b3 = α2,., bn = αn−1 ಎಂದು OK ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಂತರ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ αi = σi (α) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಾಂಡರ್ಮೊಂಡೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ವರ್ಗವು ನಿಖರವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದದ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. K = Q (α) ಎಂಬುದು x3 − x2 − 2x−8 ಬಹುಪದದ ಮೂಲವನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ಶಕ್ತಿಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಇದು ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಧಾರವನ್ನು {1, α, α (α + 1)/2} ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು K ಯ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್-503 ಆಗಿದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ಗಳುಃ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅದನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಉನ್ನತ-ಮಟ್ಟದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ 3969 ರ ಎರಡು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಘನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿವೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬ್ರಿಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವುಃ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯು (−1) r2 ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ r2 ಎಂಬುದು Kಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಟಿಕ್ಕಲ್ಬರ್ಗರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿಯ ಬಂಧಃ n ವಿಸ್ತರಣೆಯ K/Q ಮತ್ತು r2 ಅನ್ನು K ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ K ಯು Q ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, |ΔK |> 1 (ಇದು ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿಯ ಬಂಧದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ). ಹರ್ಮೈಟ್-ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ಎನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. |ΔK | <N ನೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳವರೆಗೆ) ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿವೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಇದು ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ನಿಗದಿತ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿವೆ). ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಕೆ ಯ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು 1871 ರಲ್ಲಿ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ನೀಡಿದರು. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮುಂಚೆಯೇ ಇದೆ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಹರ್ಮೈಟ್ 1857ರಲ್ಲಿ ಅದರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 1877 ರಲ್ಲಿ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ವಾನ್ ಬ್ರಿಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಲಿಯೋಪೋಲ್ಡ್ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಅವರು 1882ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು, ಆದರೆ 1891ರಲ್ಲಿ ಹರ್ಮನ್ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿಯವರು ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅದೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಬಗ್ಗೆ ತಮ್ಮ ಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ, ಲುಡ್ವಿಗ್ ಸ್ಟಿಕ್ಕಲ್ಬರ್ಗರ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಫೋರ್ನ ಅವಶೇಷದ ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ K ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು K/L ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ΔK/L ನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು OL ನಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ OL ನಲ್ಲಿನ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿರಬಾರದು ಮತ್ತು OK ಯ OL ಆಧಾರವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. {σ1,., σn} ಎಂಬುದು L ನಲ್ಲಿನ ಗುರುತುಗಳಾದ K ಅನ್ನು C ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. b1,., bn ಎಂಬುದು K ಓವರ್ L ನ ಯಾವುದೇ ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, d (b1,., bn) ಎಂಬುದು n/n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಧಾರಕದ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ, ಅದರ (i, j)-ನಮೂದು σi (bj) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಕೆ/ಎಲ್ ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಡಿ (ಬಿ1,., ಬಿಎನ್) ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ {ಬಿ1,., ಬಿಎನ್} ಕೆ/ಎಲ್ ನ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ i ಗೆ ದ್ವಿ ω ಸರಿ ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಬೇಸ್ಗಳು.) ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಕೆ/ಎಲ್ ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಕೆ/ಎಲ್ ನ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. L = Q ಆಗಿರುವಾಗ, ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ αK/Q ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ αK ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ Zನ ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. ಕೆ/ಎಲ್/ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗೋಪುರದಲ್ಲಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ತಾರತಮ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ರೇಮಿಫಿಕೇಶನ್ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಕೆ/ಎಲ್ ನ ರೇಮಿಫಿಕೇಶನ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. Lನ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶ pಯು Kಯಲ್ಲಿ, ಅದು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ΔK/Lಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ, ಘರ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಯುನಿಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅನ್ರಾಮಿಫೈ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಮಿನ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿಯು ಕ್ಯೂ ನ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದುಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ, ಅದರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ರೂಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಯ ಮೂಲ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗೋಪುರದಲ್ಲಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಮೂಲ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಲ್ಲದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ρ ಮತ್ತು σ, ಎರಡೂ 0 ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಜೋಡಿ (r, 2s) = (ρn, σn) Z × 2Z ನಲ್ಲಿರುವಂತಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, r ನೈಜ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು 2s ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿ n ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ K ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ αn (ρ, σ) rdK ಯ ಅನಂತವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು α (ρ, σ) = ಲಿಮಿನ್ಫ್ನ್ → αn (ρ, σ) ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯು ಬಲವಾದ ಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಾ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಬಂಧವೂ ಇದೆಃ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೈಜ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ, 1229 ವಿನಾಯಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್> 14 ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅನಂತ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಗೋಪುರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು α (ρ, σ) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, m = 3·5·7·11·19ನೊಂದಿಗೆ Q () ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅನಂತ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಗೋಪುರವು 2 ≈ 296.276 ಎಂಬ ಬೇರಿನೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಮಟ್ಟದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ α (0,1) <296.276. ಮಾರ್ಟಿನೇಟ್ನ ಹಿಂದಿನ ಮಿತಿಗಳಿಗಿಂತ α (1,0) <954.3 ಮತ್ತು α (0,1) <82.2 ಸುಧಾರಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹಾಜಿರ್ ಮತ್ತು ಮೈರ್ ಅವರು ನೇರವಾದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಗೋಪುರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ OKಯ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಅದರೊಳಗೆ ಹುದುಗಿದಾಗ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಪರಿಮಾಣವು, ಇಲ್ಲಿ r2 ಎಂಬುದು Kಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ). ಈ ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ K ಯ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬ್ರಾವರ್-ಸೀಗಲ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕೆ/ಎಲ್ ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ತಾರತಮ್ಯವು ಕೆ/ಎಲ್ ನ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆರ್ಟಿನ್ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕೆ/ಎಲ್ ನ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಅಕ್ಷರಗಳ ಆರ್ಟಿನ್ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಾಹಕ-ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮೂಲಗಳು ದ್ವಿತೀಯಕ ಮೂಲಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ