Serre spectral sequence
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೆರೆ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಲೆರೆ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೀನ್ ಲೆರೆ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲು ಲೆರೆ-ಸೆರೆ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮ) ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಬಿ ಮತ್ತು ಫೈಬರ್ ಎಫ್ ನ (ಕೋ) ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ (ಸೆರೆ) ಫೈಬ್ರೇಷನ್ನ ಒಟ್ಟು ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನ ಏಕವಚನ (ಕೋ) ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋಹೋಮಾಲಜಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸೆರ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎಫ್ (ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ) ಫೈಬರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸೆರೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ,-ಪದದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕ ಗುಂಪು ಎಫ್ ನ ಕ್ಯೂ-ನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಗುಂಪು ಆ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿ ಯ ಏಕವಚನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿವಿಧ ಫೈಬರ್ಗಳ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಬಿ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಗುಣಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಎಂದರೇನು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಗ ಸಂಪರ್ಕಿತ ತಳಕ್ಕೆ, ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ನಾರುಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯು ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ "ಫೈಬರ್" ನ ಆಯ್ಕೆಯು ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅಬುಟ್ಮೆಂಟ್ ಎಂದರೆ ಒಟ್ಟು ಸ್ಪೇಸ್ X ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಎಂದರ್ಥ. ಈ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಜೋಡಿಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಉದ್ದವಾದ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ನಿಖರವಾದ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಬಿ ಯ ಪಿ-ಅಸ್ಥಿಪಂಜರದ ಮೇಲಿನ ತಂತುರೂಪದ ನಿರ್ಬಂಧವಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, f ಅನ್ನು ಪ್ರತಿ ತುಣುಕನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, g ಅನ್ನು ಜೋಡಿಯ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೋಬೌಂಡರಿ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು h ಅನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೋಮೋಲಜಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಅದೇ ರೀತಿ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ಗೆ, ಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಒಂದು ಇದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತಗಳು ಮೇಲಿನವುಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಗಣನೆಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಹೋಪ್ಫ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಲೆರೇ-ಸೆರ್ರೆ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮದ-ಪುಟವು ದಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕೆಳಗೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರದ ಏಕೈಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಉಳಿದವು ಡೊಮೇನ್ ಅಥವಾ ಕೋಡೊಮೈನ್ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಇ2-ಪುಟದಲ್ಲಿವೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು E2 = E ≤ ನಲ್ಲಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಇ3-ಪುಟವು ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅಂದರೆ. ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡರ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಭೇದವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯದ ಮೇಲೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಂಡಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನಿಂದ ಬರಲು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಕುಟುಂಬವಿದೆ. ನಾವು ಶ್ರೇಣಿಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ವೈಟ್ನಿ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದು, ಫೈಬರ್ಗಳು ಗೋಳಗಳಾಗಿರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಯೂಲರ್ ವರ್ಗದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಯೂಲರ್ ವರ್ಗದ ಜೊತೆಗೆ ಸೆರೆ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. - ಪುಟವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು-ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಕಪ್ಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅಗ್ರ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗದವರು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ, ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ವರ್ಗದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಗಣನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಬೇಸಿಕ್ ಪಾತ್ಸ್ಪೇಸ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ; ಪಾತ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಮಗೆ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಜಾಗದ ಹೋಮೋಲಜಿ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಸೆರೆ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಲೂಪ್ ಜಾಗದ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ನಮಗೆ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇ2 ಪುಟದಲ್ಲಿ ಏನಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಇ φ ಪುಟವನ್ನು (ಒಟ್ಟು ಜಾಗದ ಹೋಮೋಲಜಿ) ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ನ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಒಂದು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಆದ್ದರಿಂದ q = 0 ಯಾವಾಗ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯದ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಾದ Hp (Sn + 1) ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಇದು 0 ಮತ್ತು n + 1 ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪಥದ ಸ್ಥಳವು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅನುಕ್ರಮವು E ≤ ಗೆ ತಲುಪುವ ಹೊತ್ತಿಗೆ, p = q = 0 ನಲ್ಲಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲವೂ 0 ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಗುಂಪಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಗುಂಪು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳು p = 0 ಅಥವಾ p = n + 1 ಅಂಕಣಗಳಲ್ಲಿವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎನ್ + 1 ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕೋಡೊಮೈನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸಬೇಕು ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ a ಅನ್ನು ಹಾಕುವುದು ಎಂದರೆ Hn + 1 (Sn + 1; Hn (F)) ನಲ್ಲಿ a ಇರಬೇಕು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲೆಡೆ n ಮತ್ತು 0ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಯ್ (ωSn + 1) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ ನಾವು ಫೈಬ್ರೇಶನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆಃ ಈಗ, E2 ಪುಟದಲ್ಲಿ, 0,0 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉಂಗುರದ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. 0, 1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅಂಶ i ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಿತಿ ಪುಟದ ಮೂಲಕ, 2n + 1 ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರಬಹುದೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಜನರೇಟರ್ i 2,0 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಂಶ x ಗೆ ಮೀರಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈಗ, 2,1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ix ಅಂಶವಿರಬೇಕು ಎಂದು ಇದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. 4, 0 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು x2 ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ d (ix) = x2 ಅನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ 2n + 1ನೇ ಹಂತದವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಏಕರೂಪತೆ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. 2n + 1 ರವರೆಗೆ ಈ ವಾದವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ 2n ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ixn ದೊರೆಯುತ್ತದೆ, ಅದು ಆ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಏಕೈಕ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿರಬೇಕು, ಹೀಗಾಗಿ 2n + 1,0 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು 0 ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮದ ಸಮತಲವಾದ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲನ್ನು ಓದುವುದು ನಮಗೆ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಅನಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮೂರು-ಗೋಳದ ನಾಲ್ಕನೇ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫೈಬ್ರೇಶನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ; ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಫೈಬರ್ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ಲೂಪ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಫೈಬರ್ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಟ್ಟು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ 3ರಲ್ಲಿ ಏನೂ ಇಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಕೊಲ್ಲಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ನ ಜನರೇಟರ್ ಎ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಪ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ರಚನೆಯಿಂದ, 4ನೇ ದರ್ಜೆಯಲ್ಲಿರುವ ಜನರೇಟರ್, ಜನರೇಟರ್ಗೆ 2ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 6ನೇ ದರ್ಜೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಜನರೇಟರ್ 3ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು X ನ ಕೆಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ, 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಂಪುಗಳು) ನಾಶಪಡಿಸಿದ್ದರಿಂದ, ಹ್ಯುರೆವಿಕ್ಜ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಕೊರೋಲರಿಃ ಪ್ರೂಫ್ಃ ಹೋಪ್ಫ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಾಗಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಗೈಸಿನ್ ಅನುಕ್ರಮ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಸೆರ್ರೆ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಅಲೆನ್ ಹ್ಯಾಚರ್, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸಸ್ ಎಡ್ವಿನ್ ಸ್ಪೈನಿಯರ್, ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಜೇಮ್ಸ್ ಡೇವಿಸ್, ಪಾಲ್ ಕಿರ್ಕ್, ಲೆಕ್ಚರ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸೆರ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಅನೇಕ ಉತ್ತಮ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸೊಗಸಾದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಆಂಡ್ರಿಯಾಸ್ ಡ್ರೆಸ್, ಜುರ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾಲ್ಸೀಕ್ವೆನ್ಜ್ ಐನರ್ ಫಾಸೆರಂಗ್, ಇನ್ವೆನ್ಷನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕೆ 3 (1967), 172-178, ಇಯುಡಿಎಂಎಲ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಆಗಿದೆ. ಸರಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪಾಲ್ ಗೋರ್ಸ್, ರಿಕ್ ಜಾರ್ಡಿನ್, ಸರಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಬಿರ್ಖೌಸರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.