Length function
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯವು ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಜಿ ಗುಂಪಿನ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಃ ಜಿ → ಆರ್ + ತೃಪ್ತಿಕರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ. ಪದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಉದ್ದದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದಃ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಅಂಶದ ಉದ್ದವು ಅದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಚಿಕ್ಕ ಪದದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳು (ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸೇರಿದಂತೆ) ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಮುಖ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಸರಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಕಗಳಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ (ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸರಳ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಉದ್ದ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಇವನ್ನೂ ನೋಡಿಃ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶದ ಉದ್ದ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಅತಿ ಉದ್ದದ ಅಂಶವು ಸಂಯೋಜನೆಯವರೆಗೆ (ಸರಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಯವರೆಗೆ) ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪು ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಉಪ ಹಂತದ ಸೆಟ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತವು ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಸೂತ್ರವು ಶೋಧನೆ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ