Tverberg's theorem
ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1966ರಲ್ಲಿ ಹೆಲ್ಜ್ ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ ಹೇಳಿದ ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು, ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ d, r ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದು x ಇರುತ್ತದೆ (ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲ) ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು r ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ x ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ r = 2 ಅನ್ನು ಮೊದಲು ರೇಡಾನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ 2r-1 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ r ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕೇಸ್ d = 1 ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಿಂದುಗಳು x1 <x2 <. <x2r <x2r-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 1,., r ನಲ್ಲಿ i ಗೆ ಐ = {xi, x2r-i} ಆಗಿ ವಿಭಜನೆಯು ಈ ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಇದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ). r = 2ಕ್ಕೆ, ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ d + 2 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ರೇಡಾನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ವಿಭಾಗವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಏಳು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು r = 3 ಮತ್ತು d = 2 ಪ್ರಕರಣವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಾಂತವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಏಳು ಬಿಂದುಗಳು ನಿಯಮಿತ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಯು ತೋರಿಸುವಂತೆ, ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಇರಬಹುದು; ಈ ಏಳು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಏಳು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅದು ಪರಸ್ಪರರ ಆವರ್ತನಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವೆಂದರೆಃ d, r ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು N: = (d + 1) (r-1) ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ f ಎಂಬುದು N-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಿಂದ Rd ಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ r ಜೋಡಿಯಾಗಿ-ಬೇರೆಯಾಗಿರುವ ಮುಖಗಳಿರುವ δNನ ಚಿತ್ರಗಳು f ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆಃ F1,., Fr ಆಫ್ ΔN ಮುಖಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, f ಎಂಬುದು ΔN ನಿಂದ Rd ವರೆಗಿನ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ΔN ನ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು f ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಲಿ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಮೂಲಕ, r ಅನ್ನು ಬೇರೆಯಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ((xi) i ಅಜ್ನಲ್ಲಿ) ಜೆ [ಆರ್] ನಲ್ಲಿ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನೊಂದಿಗೆ. ಎಫ್ ಅಫೈನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಜ್ ನಲ್ಲಿರುವ (xi) i ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್, [r] ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಜೆ ಗಳಿಗೂ ಅಜ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ (vi) i ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಮುಖದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಮುಖಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ-ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹೊಸ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು f ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು f ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ-ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಅಫೈನ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಇದು r ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆಃ d ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು r ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರಲಿ. N: = (d + 1) (r-1) ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ f ಎಂಬುದು N-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಿಂದ Rd ವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ r ಜೋಡಿಯಾಗಿ-ಬೇರೆಯಾಗಿರುವ ಮುಖಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು f ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆಃ F1,., Fr ಆಫ್ ΔN ಮುಖಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು. ಪುರಾವೆಗಳು ಬರಾನಿ, ಶ್ಲೋಸ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಜುಕ್ಸ್ ಅವರು r ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮಾಟೌಸೆಕ್ ಅಳಿಸಲಾದ ಜಾಯಿನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಾನೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಓಜೈದಿನ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ವೊಲೊವಿಕೋವ್ ಮತ್ತು ಸರ್ಕಾರಿಯಾ ಅವರು r ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಯೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ರೋಟಾನ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆ ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್-ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಹೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು