Semi-differentiability
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಾಸ್ತವಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯ f ನ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಗಿಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, f ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ವಾದ x ಬಲದಿಂದ a ಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು x ಎಡದಿಂದ a ಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದರೆ a ನಲ್ಲಿ ಎಡ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಡ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಬಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವಾದದಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ; ಅಂದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ) ಚಲನೆಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ (ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಗಳು). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಎಫ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗುಂಪು I ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, f ಅನ್ನು a ನಲ್ಲಿ ಬಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಷ್ಣುಲ + f (a) ಅನ್ನು a ನಲ್ಲಿ f ನ ಬಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, f ಅನ್ನು a ನಲ್ಲಿ ಲೆಫ್ಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಷ್ಣಲ್-f (a) ಅನ್ನು a ನಲ್ಲಿ f ನ ಲೆಫ್ಟ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು aಯಲ್ಲಿ f ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ fಅನ್ನು aಯಲ್ಲಿ ಅರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ("ದ್ವಿದಿಶಾತ್ಮಕ") ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ (ಅವೆರಡೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ) ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಡ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಬಲ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಭೇದಿಸಬಹುದು. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಅರೆ-ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, a = 0 ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು a ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಡಿಕೇಟರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ 1 [0, ≤) ಪ್ರತಿ ನೈಜ aಯಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಇಂಡಿಕೇಟರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಲು ಬಿಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ವಾಸ್ತವಿಕ ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಂತರ I ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ f, ಎಲ್ಲೆಡೆ ಶೂನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ಎಫ್ ನ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಗೆ ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಬಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಎಡ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆವೃತ್ತಿಯು ಸದೃಶವಾಗಿದೆ. ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳಕೆಯೆಂದರೆ ಇನ್ಫಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಒಪೆರಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಜೋಡಿಗೆ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಬ್ರಾ-ಕೆಟ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಆಪರೇಟರ್ ಬಲ ಒಪೆರಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಅಥವಾ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣ ಈ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ನ ದುರ್ಬಲ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು Rn ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. f ಡೊಮೇನ್ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ rನೊಂದಿಗಿನ ಮಿತಿಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, fಅನ್ನು a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಭೇದಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅರೆ-ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಗಿಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಒಬ್ಬರು h ಅನ್ನು ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸದೆ h → 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವು ಅರೆ-ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, (ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು n = 1 ರ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಬಲವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಆರ್. ಎನ್. ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಅರೆ-ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅರೆ-ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೂ, ಇದು ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಗೆ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಜವಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ, Rn ಅಥವಾ ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಪಾರ್ಟಿಯಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು) ಡಿನಿ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರಿಯಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಪುರಾವೆಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು