Linearly disjoint
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, kಯ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯೊಳಗಿನ ಕ್ಷೇತ್ರ kಯ ಮೇಲೆ A, B ಬೀಜಗಣಿತಗಳು kಯ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ (i) ಅದರಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ನಕ್ಷೆಯು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ. (ii) A ಯ ಯಾವುದೇ k-ಆಧಾರವು B ಯ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (iii) ಎ, ಬಿ ಗೆ ಕೆ-ಬೇಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಕೆ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗಮನಿಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, (i) ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ A ಮತ್ತು B ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು A ಅಥವಾ B ಎರಡೂ k ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು A ಮತ್ತು B ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡೊಮೇನ್ ಆದರೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎ = ಬಿ = ಕೆ (ಟಿ), ಕೆ ಮೇಲೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ. ಒಂದು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆಃ ಎ, ಬಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಕೆ ಮೇಲೆ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ, ರೆಸ್ಪ್ ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮಾತ್ರ. ಅವು k ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ. (cf. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ) ಎ, ಬಿ ಗಳು ಕೆ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೆಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಉಪಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಆಗ ಮತ್ತು ಕೆ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೆಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಎ, ಬಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೆಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟರೆ, ನಂತರ ಎ, ಬಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೆಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ). ಟೆನ್ಸರ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಆಫ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪಿ. ಎಂ. ಕೊಹ್ನ್ (2003) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಮೂಲ ಬೀಜಗಣಿತ ಬೀಜಗಣಿತ