Vector area
ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಾಹಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರದೇಶ ವಾಹಕವು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಆಧಾರಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸುತ್ತುವರಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಅದರ ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶ ವಾಹಕದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮಾನ್ಯದ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ (ಸ್ಕೇಲಾರ್) ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ನ ಸೀಮಿತ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದ ಯುನಿಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೂಡಿದ ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಯುನಿಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ವೆಕ್ಟರ್. ಸಾಕಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ ಬೌಂಡೆಡ್, ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಅನಂತ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ. ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನಂತ ಅಂಶಕ್ಕೂ, ನಾವು ಅನಂತವಾದ ಪ್ರದೇಶ ವಾಹಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಘಟಕ ವಾಹಕವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ. ಏಕೀಕರಣವು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ವಾಹಕದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದು ಅತಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯ (ಸಹಿ) ಯೋಜಿತ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ "ನೆರಳು" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು; ಅದರ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆ ಸಮತಲದ ಲಂಬದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಗಿದ ಅಥವಾ ಮುಖದ (ಅಂದರೆ. ಸಮತಲವಲ್ಲದ) ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ವಾಹಕದ ಪ್ರದೇಶವು ನಿಜವಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕಿಂತ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದರ ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಡಿಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವು ಒಂದೇ ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು-ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಡಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹರಡುವ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಒಂದೇ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ (ವಾಹಕ) ಪ್ರದೇಶದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಯ ತ್ರಿಕೋಣೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ಶೂಲೇಸ್ ಸೂತ್ರದ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಗಡಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಇದರ ಗಡಿ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದೇಶಿತ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು. ಇದು ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಮೂಲಕ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಹರಿವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ ಪ್ರದೇಶ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು (ಅನಂತ) ಪ್ರದೇಶ ವಾಹಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮತಲಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಯೋಜಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶ Sನ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಮತ್ತು ಗುರಿ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಯೋಜಿತ ಪ್ರದೇಶವು ವಾಹಕ ಪ್ರದೇಶದ-ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು-ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡುವುದರ ಮೇಲೆ ಡಿ ಗುವಾನ ಪ್ರಮೇಯದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಆಧಾರಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕ್ರಾಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಏರಿಯಾ ವೆಕ್ಟರ್ಸ್ (ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ