Symmetric product of an algebraic curve
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ C ಯ n-ಪಟ್ಟು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವು n-ಪಟ್ಟು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ C × C ×. × C ಅಥವಾ Cn ನ ಅನುಪಾತದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸುವ n ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ Sn ನ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ. ಇದು σnC ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ನಯವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಸಿ ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ σnC ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಆಸಕ್ತಿಯು ಅದರ ಬಿಂದುಗಳು ಡಿಗ್ರಿ n ನ C ಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಮೊತ್ತಗಳು. Cಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯನ್ನು (ರೀಮನ್ ಗೋಳ ≤ {≤} ≈ S2 ಎಂದು ಹೇಳಿ), ಅದರ nನೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು n ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. G ಯು g ≤ 1 ಕುಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, σnC ಯು C ಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದ J ಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ n ನಿಂದ g ವರೆಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅವು ಕೆಳಗಿನಿಂದ J ಗೆ ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಃ J ನಲ್ಲಿರುವ ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು J ಮೇಲೆ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗುತ್ತವೆ (ಥೀಟಾ-ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ನೋಡಿ) ಆಯಾಮ n ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು J ಅನ್ನು ತುಂಬುತ್ತವೆ, ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಜಕಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಕೆಲವು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ. g = n ಗೆ ನಾವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಜೆ ಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಎಂಬುದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಳಗೆ ಬೀಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ C ಯ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಳಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಿರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ J ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ ಅವರ ಜೆ ಅನ್ನು 'ಬೈರೇಷನಲ್ ಡೇಟಾ' ದಿಂದ ಅಮೂರ್ತ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುವ ತಂತ್ರದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಜೆ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿ, ಈಗ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಆದರೆ ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ಗೆ ಸಿ ಎಫ್ (x1) +. + ಎಫ್ (xg) ಜೆ ಮೇಲೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, xi ಎಫ್ ಧ್ರುವಗಳಿಂದ ದೂರವಿರುವುದರಿಂದ. n> g ಗೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಫೈಬರ್ಗಳಿಂದ ಜೆ ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅದನ್ನು ಜೆ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ; ಎನ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (ಸುಮಾರು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಗ್ರಾಂ) ಇದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಬಂಡಲ್ (ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಬಂಡಲ್) ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಂಪ್ ಮತ್ತು ಮುಕಾಯ್. ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು C ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ C ಮೇಲೆ g ಕುಲದ ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಎಲ್ಲಾ n = 0,1,2, ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದ್ವಿ (σnC). ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು e (σnC) ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸಮಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು