Hadwiger–Nelson problem
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹ್ಯೂಗೋ ಹ್ಯಾಡ್ವಿಗರ್ ಮತ್ತು ಎಡ್ವರ್ಡ್ ನೆಲ್ಸನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹ್ಯಾಡ್ವಿಗರ್-ನೆಲ್ಸನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು, ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದರ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉತ್ತರ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ 5,6 ಅಥವಾ 7 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಿಯಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. G ಸಮತಲದ ಏಕಮಾನದ ಅಂತರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿರಲಿಃ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರ. ಹ್ಯಾಡ್ವಿಗರ್-ನೆಲ್ಸನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಜಿ ಯ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಸಮತಲದ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿ ಬ್ರುಯಿನ್-ಎರ್ಡೋಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಸ್ಯೆಯು (ಆಯ್ಕೆಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತದ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ) ಸೀಮಿತ ಏಕಮಾನದ ದೂರ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಭವನೀಯ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇತಿಹಾಸದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1950 ರಲ್ಲಿ ನೆಲ್ಸನ್ ರೂಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಐದು ಏಕರೂಪದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಕವರ್ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಯುನಿಟ್ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅವರು ಈ ಹಿಂದೆ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ್ದರು, ಮತ್ತು ಅವರು ನಂತರದ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ಅನ್ವಯವು ಅದನ್ನು ಬೆಕ್ಮನ್-ಕ್ವಾರ್ಲೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯು (ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳ) ಏಕಮಾನದ ದೂರವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿರಬೇಕು, ಎಲ್ಲಾ ದೂರಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಳಗಳ ಸೀಮಿತ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಅವುಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಅದು ದೂರವನ್ನು ಕಾಪಾಡುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲವನ್ನು ಏಳು ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಆರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಆರು ಆಯಾಮದ ನಿಯಮಿತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಏಳು ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಏಕಮಾನದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ, ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಏಕಮಾನದ ದೂರದಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ದೂರಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲ. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲು ಬೇಕಾದ ಬಣ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಏಳರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಇಳಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದೇ ಕಡಿತವು ಈ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಗುರಿ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಳ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳು ಸಮತಲದ ವರ್ಣಸಂಯಮದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶವು ವರ್ಣಸಂಯಮದ ಸಂಖ್ಯೆ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಳು-ಅಕ್ಷತಂತು ಏಕಮಾನದ ದೂರ ನಕ್ಷೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು 1961 ರಲ್ಲಿ ವಿಲಿಯಂ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ಮೋಸರ್ ಸಹೋದರರು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು x ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಎರಡು ಏಕಮಾನದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ; ಈ ಜೋಡಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ y ಮತ್ತು z ಶೃಂಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಏಕಮಾನದ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ. ಸಮತಲವು ಮೂರು ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಳಗಿನ ಬಣ್ಣವು y ಮತ್ತು z ಎರಡನ್ನೂ x ನಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದುವಂತೆ ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಂತರ, y ಮತ್ತು z ಪರಸ್ಪರ ಏಕಮಾನದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮತಲದ ಏಕಮಾನದ ಅಂತರ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸರಿಯಾದ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಲು ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಸುಮಾರು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸೊಲೊಮನ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಗೊಲೊಂಬ್ ಅವರು, ಹತ್ತು-ಶೃಂಗದ ನಾಲ್ಕು-ವರ್ಣದ ಏಕಮಾನದ ಅಂತರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ಕೆಳಬಂಡೆಯನ್ನು, ಗೊಲೊಂಬ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆಬ್ರೆ ಡಿ ಗ್ರೇ ಅವರು 1581-ಕಶೇರುಕ, 4-ಅಲ್ಲದ ಬಣ್ಣದ ಏಕಮಾನ-ಅಂತರದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ 2018 ರಲ್ಲಿ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಐದಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾಯಿತು. ಸಾಕ್ಷ್ಯಾಧಾರವೆಂದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಹಾಯ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗಿಲ್ ಕಲೈ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಸ್ಕಾಟ್ ಆರೊನ್ಸನ್ ಅವರು ಡಿ ಗ್ರೇ ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಿದರು, ಆರೊನ್ಸನ್ ಅವರು ಎಸ್ಎಟಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಿ ಗ್ರೇ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಶೀಲನೆಗಳನ್ನು ವರದಿ ಮಾಡಿದರು. ಕಲಾಯ್ ಅವರು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಎಲ್ಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ನೋಮ್ ಎಲ್ಕೀಸ್ ಅವರ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪೋಸ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಎಲ್ಕೀಸ್ ಮತ್ತು (ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ) ಡಿ ಗ್ರೇ ಅವರು ಡಿ ಗ್ರೇ ಅವರ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 4-ಅಲ್ಲದ ವರ್ಣರಂಜಿತ ಏಕಮಾನದ ದೂರ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪಾಲಿಮಾತ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. 2021 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ರೊಂದಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಏಕಮಾನದ ಅಂತರದ ನಕ್ಷೆಯು 509 ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪಾಲಿಮ್ಯಾಥ್ ಯೋಜನೆಯ ಪುಟವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ, ಮಾಧ್ಯಮ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲನಾ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಏಳುಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಸಮತಲದ ಟೆಸಿಲೇಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮತಲದ 7-ಬಣ್ಣವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಏಳು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಜಾನ್ ಆರ್. ಇಸ್ಬೆಲ್ ಗಮನಿಸಿದರು. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. 3-ಜಾಗದ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವಿಮಾನದ ಆವೃತ್ತಿಯಂತೆ, ಉತ್ತರ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕನಿಷ್ಠ 6 ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ 15 ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಟೈಲಿಂಗ್ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಘನಗಳಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಅಗತ್ಯ ಬಣ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಸುಲಭವಾದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಕೆಳ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಮೋಸರ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಕೆಳ ಮಿತಿಯು ಲಭ್ಯವಿದೆಃ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯಿಂದ ಜೋಡಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿ (ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎರಡು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿರುತ್ತವೆ). 1981 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರಾಂಕ್ಲ್ ಮತ್ತು ವಿಲ್ಸನ್ ಅವರು ಘಾತೀಯ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸಮತಲದ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಣ್ಣದ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಣ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಕೆಲವು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಲದ ಬಣ್ಣವು ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಆರು ಬಣ್ಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣ ಅನಂತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು