Regular singular point
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ, ನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ (ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ವಲಯದಲ್ಲಿ) ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದು, ಅಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ನಡುವೆ, ಮೂರು ನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಬೆಸೆಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ-th ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ಏಕ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕು. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಸೀಮಿತ ಭಾಗಕ್ಕೆ φ ಅನ್ನು ಸರಿಸಲು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಕೆಳಗಿನ ಬೆಸೆಲ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ನಂತರ ಸೂಚಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಯಾವುದೇ ಹತ್ತಿರದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಶಕ್ತಿಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು; ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿರುವ ಶಾಖೆಯ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಇದು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ (ಲಜಾರಸ್ ಫುಚ್ಸ್ 1866). ನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವು ಯಾವಾಗ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಮಾಡಬಹುದು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಬಿಂದುವು ಅನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವದ ಅನಿಯಮಿತತೆಯನ್ನು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಶ್ರೇಣಿ () ಯಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದು ರೀತಿಯ ನ್ಯೂಟನ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಧ್ರುವಗಳು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ 45° ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅನಂತದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಕೇವಲ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆಃ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. 1 ರಿಂದ 2ರವರೆಗಿನ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ 2ರವರೆಗಿನ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಬಿಂದುವು ನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಬಿಂದುವು ಅನಿಯಮಿತ ಏಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವು ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದುಃ ಹೀಗೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನಂತ x ನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವು ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದವು ಅದರ ಅಂಶದ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಛೇದವು ಅದರ ಅಂಶದ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಬೆಸೆಲ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಇದು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಮ). ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವಾಗ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವು 0 ರಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು. ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದ ನಂತರಃ ಈಗ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮದ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು φಯಲ್ಲಿ xಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಇದು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ ಚದರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯುವುದರಿಂದ ಹೀಗೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಭಾಗಿಸಿದಾಗಃ ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ±1 ಮತ್ತು φ ನಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹರ್ಮೈಟ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗೆ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಮಯದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿ V (x): ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು φಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು 0,1 ಮತ್ತು φಯಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇ. ಟಿ. ಕಾಪ್ಸನ್, ಆನ್ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಎ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (1935) ಎ. ಆರ್. ಫೋರ್ಸಿತ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್ ಸಂಪುಟ. IV: ಆರ್ಡಿನರಿ ಲೀನಿಯರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1906) ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಗೌರ್ಸ್ಯಾಟ್, ಎ ಕೋರ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಸಂಪುಟ II, ಭಾಗ II: ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು pp. 128−ff. (ಗಿನ್ & ಕಂ, ಬೋಸ್ಟನ್, 1917) ಇ. ಎಲ್. ಇನ್ಸೆ, ಆರ್ಡಿನರಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಈಕ್ವೆಷನ್ಸ್, ಡೋವರ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ (1944) ಟಿ. ಎಮ್. ಮ್ಯಾಕ್ರೋಬರ್ಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಎ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಪುಟ 243 (ಮ್ಯಾಕ್ಮಿಲನ್, ಲಂಡನ್, 1917) ಇ. ಟಿ. ವಿಟ್ಟೇಕರ್ ಮತ್ತು ಜಿ. ಎನ್. ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಎ ಕೋರ್ಸ್ ಆಫ್ ಮಾಡರ್ನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಪುಟ 188-ಎಫ್ಎಫ್. (ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1915) ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ