Euclid's theorem
ಯುಕ್ಲಿಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪುರಾವೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ತನ್ನ ಕೃತಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ (ಬುಕ್ IX, ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ 20) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. p1, p2,., pn ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು P ಆಗಿರಲಿಃ P = p1p2.pn. q = P + 1 ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ q ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲಃ q ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ, q ಸ್ವತಃ. q ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶ p, q ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ p ಅಂಶವು ನಮ್ಮ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು P ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ P ಎಂಬುದು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ); ಆದರೆ p, ಈಗ ಹೇಳಿದಂತೆ, P + 1 = q ಅನ್ನು ಸಹ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. p ಯು P ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದರೆ, p ಯು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಹ ಭಾಗಿಸಬೇಕು, ಅದು (P + 1) −P ಅಥವಾ ಕೇವಲ 1 ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, p ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಪಟ್ಟಿಗೂ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅವರು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಉದಾಹರಣೆಯ ವಿಧಾನ. ಅಂದರೆ, ಅವನು ಕೇವಲ ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅವನು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮೂಲತಃ ಎಷ್ಟು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೂ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತನ್ನ ಓದುಗರಿಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಊಹಿಸುತ್ತಾನೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ವರದಿಯಾಗಿದೆ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಂದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ, ನೇರ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಟೋರ್ಕೆಲ್ ಫ್ರಾಂಜೆನ್, ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಕುರಿತಾದ ಒಂದು ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, "ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪುರಾವೆಯು ಪರೋಕ್ಷ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲ [.] ವಾದವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ 'ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ' ಎಂಬ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರೋಕ್ಷ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಬಳಸದ ಕಾರಣ, ಈ ಸುಧಾರಣೆಯು ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಿದೆ ". ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿವೆಃ ಅಪವರ್ತನೀಯ n! ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ n ರವರೆಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅವುಗಳೆಲ್ಲದರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 2 ರಿಂದ n ರವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, (ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಇದು 1 ರ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ n ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು n ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯೂಲರ್ ಅವರ ಪುರಾವೆ, ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಅವರ ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯೂಲರ್ ಬರೆದದ್ದು (ಈ ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು, ಆಧುನಿಕ ಮಾನದಂಡಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿನ ವಾದಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸದಿರುವುದು) ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಉಪಾಂತದ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ತನ್ನ ಮೊದಲ ಉಪಸಂಹಾರದಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ "ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನಂತ" ಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಅನಂತ ಮೊತ್ತವು "ಮೌಲ್ಯ" ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆಧುನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯವರೆಗಿನ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ). ನಂತರ ಯೂಲರ್ ತನ್ನ ಎರಡನೇ ಉಪಸಂಹಾರದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯ 2ಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವರ್ಗಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ (ಅನುಕ್ರಮ ಅನಂತತೆಗಳು ಎಸ್ಸೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರೈಮೋಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತವೆ) ಎಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ (ಪ್ರಮೇಯ 19) ಯೂಲರ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು, ತನಗೆ ಮೊದಲು ತಿಳಿದಿರದ ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಿದರು, ಅಂದರೆ ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಯೂಲರ್ ಅನಂತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಆಧುನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸರಣಿಯವರೆಗಿನ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ). ಎರ್ಡೋಸ್ನ ಪುರಾವೆ ಪೌಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಅದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಒಂದು ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಿರಿ. ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅಥವಾ ಇರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಚೌಕ-ಮುಕ್ತ ಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಇದು ಸಹ ಆಗಿರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಥವಾ, ಮರುಜೋಡಣೆ, ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಬಯಸಿದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು. 1950ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಹಿಲ್ಲೆಲ್ ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೆಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸಮಾನ ಅಂತರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ Z ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಒಂದು ಉಪಗುಂಪನ್ನು U′Z ಅನ್ನು ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಘೋಷಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಅದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಾದ S (a, b) ನ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಲ್ಲಿ ನಂತರ ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ತೆರೆದಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು S (a, b) ಅನ್ನು ಆಧಾರವು ಹೊಂದಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಎರಡೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಪೂರಕವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆ-ಹೊರಗಿಡುವ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇತ್ತೀಚಿನ ಪುರಾವೆಗಳು ಪುರಾವೆ ಜುವಾನ್ ಪಾಬ್ಲೊ ಪಿನಾಸ್ಕೊ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. p1,., pN ಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ N ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸೇರ್ಪಡೆ-ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆಯ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು x → φ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು p1,., pN ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, (1) ನಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (2) ನಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ (3) ನಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, p1,., pN ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಇರಬೇಕು. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆ 2010 ರಲ್ಲಿ, ಜುನ್ಹೋ ಪೀಟರ್ ವಾಂಗ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. k ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಡಿ ಪಾಲಿಗ್ನಾಕ್ಗೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಲ್ಲಿ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, (ಭಿನ್ನಾಂಶದ ಅಂಶವು ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ನ ಅಂದಾಜಿನ ಪ್ರಕಾರ ಛೇದವು ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ), ಇದು ಪ್ರತಿ k ಗೆ ಅಂಶವು ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣದ ಪುರಾವೆ ಫಿಲಿಪ್ ಸೈದಾಕ್ ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ರಿಡಕ್ಟಿಯೋ ಆಡ್ ಅಬ್ಸರ್ಡಮ್ ಅಥವಾ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ (ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಅಬ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದರೆ ಅದು a ಅಥವಾ b ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಬೇಕು). ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು (> 1) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ n ಮತ್ತು (n + 1) ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, n (n + 1) ನ ಗುಣಾಕಾರವು n ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾನಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಪಳಿಃ 1 × 2 = 2 {2}, 2 × 3 = 6 {2,3}, 6 × 7 = 42 {2,3,7}, 42 × 43 = 1806 {2,3,7,43}, 1806 × 1807 = 326342 {2,3,7,43,13,13,139}, · · · ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೋಚನವಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆ ಕೇವಲ k ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು (p1,., pk) ಇದ್ದವು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಅನ್ನು ನಂತರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಗಾತ್ರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ i ಗೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ i ಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಬೇಸ್-2 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗಾತ್ರದ n ಗೆ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ದೊಡ್ಡ O ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ): ಬಿಟ್ಗಳು. ಇದು ಬೈನರಿಯಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ n ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದ ದತ್ತಾಂಶ ಸಂಕೋಚನದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಹಿತಿಯ ಎನ್ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಎನ್ ಬಿಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು n ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ ಇದನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಾರದು. ಬಲವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಕುರಿತಾದ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಹಮೌಲ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ a ಮತ್ತು d ಗೆ, a + nd ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಡಿ ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಣಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್-ಚೆಬಿಶೇವ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್-ಚೆಬಿಶೇವ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್-ಚೆಬಿಶೇವ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಹ ಹೇಳಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ-ಎಣಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯ (ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ): ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲು 1845 ರಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ (1822-1900) ಅವರು ಊಹಿಸಿದ್ದರು. ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ಸ್ವತಃ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ತನ್ನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದನು, ಅವನ ಊಹೆಯನ್ನು 1852 ರಲ್ಲಿ ಚೆಬಿಶೇವ್ (1821-1894) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದನು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್-ಚೆಬಿಶೇವ್ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ಸ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್, ಬುಕ್ IX, ಪ್ರೋಪ್. 20 (ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪುರಾವೆ, ಕ್ಲಾರ್ಕ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಡೇವಿಡ್ ಜಾಯ್ಸ್ನ ಜಾಲತಾಣದಲ್ಲಿ) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು