Weil's conjecture on Tamagawa numbers
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ತಮಗವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ತಮಗವಾ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಎಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ಸರಿಯಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ", ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಇತಿಹಾಸವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತಮಗವಾ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿತು ಮತ್ತು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ ಅದು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದೆ. ಮೊದಲ ಅವಲೋಕನವು ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ತಮಗವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ಅವಲೋಕನ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ತಮಗವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1 ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಾಬರ್ಟ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ (1966) ಇದನ್ನು ಚೆವಾಲ್ಲೆ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ತೋರಿಸಲು ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಕೆ. ಎಫ್. ಲೈ (1980) ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಸ್ಪ್ಲಿಟ್ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ E8 ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದ್ದ ಹ್ಯಾಸ್ ತತ್ವವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಇದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ವಿ. ಐ. ಚೆರ್ನೋಸೋವ್ (1989) ಈ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರು, ನಿರೋಧಕ ಇ8 ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹ್ಯಾಸ್ ತತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೋಡಿ), ಹೀಗೆ ವೆಯಿಲ್ನ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. 2011 ರಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬ್ ಲೂರಿ ಮತ್ತು ಡೆನ್ನಿಸ್ ಗೈಟ್ಸ್ಗೊರಿ ಅವರು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಿದರು. ಎಲ್ಲಾ ಅರೆ-ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ ತಮಗವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅನ್ವಯಗಳು ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡವು. ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಊಹೆಯು ತಿಳಿದಿರುವ ಸ್ಮಿತ್-ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ-ಸೀಗಲ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ತಮಗವಾ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ಅರವಿಂದ್ ಅಶೋಕ್, ಬ್ರೆಂಟ್ ಡೋರನ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ಕಿರ್ವಾನ್, "ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ತಮಗವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಃ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಕೊಂಡಿಗಳ ಆಕರ್ಷಣೆ", ಫೆಬ್ರವರಿ 22,2013 ಜೆ. ಲೂರಿ, ದಿ ಸೀಗೆಲ್ ಮಾಸ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ, ತಮಗವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ನಾನಾಬೆಲಿಯನ್ ಪಾಯಿನ್ಕೆರೆ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಜೂನ್ 8,2012 ರಂದು ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಊಹೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ