Étale fundamental group
ಎಟೇಲ್ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅನಲಾಗ್/ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಚರ್ಚೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಮೊನಚಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ಆಧಾರಿತ ಲೂಪ್ಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಜರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಅನಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆವರಣ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆವರಣ ಸ್ಥಳದ ಡೆಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಆಶಾದಾಯಕವಾಗಿದೆಃ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸೀಮಿತ ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಆವರಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ "ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆ" ಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸೀಮಿತ ಎಟೇಲ್ ಹೊದಿಕೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ನಂತರ ಎಟೇಲ್ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ಸೀಮಿತ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಲೋಮ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಯೋಜನೆಯಾಗಿರಲಿ, ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಗಳ ವರ್ಗವಾಗಲಿ, ಅದು ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತ ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರಲಿ, ಈ ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಮುಖಪುಟಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ನಿರ್ದೇಶಿತ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಕವರ್ಗಳು, ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ ಸೀಮಿತ ಎಟೇಲ್ ಯೋಜನೆಗಳು. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದ್ದೇವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ಎರಡಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಯು ಸಮೂಹ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆಃ ಅಟ್ನ étale ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ವಿಲೋಮ ಮಿತಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಫಂಕ್ಟರ್ ಈಗ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ-ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ-ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದ ನಡುವಿನ ವರ್ಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ವಿಸ್ತರಣಾ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಟೇಲ್ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಪ್ರಭೇದಕ್ಕೆ (ಅಂದರೆ, ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದದ್ದು) ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಫೈನೇಟ್ ಗುಂಪುಗಳ ಯೋಜನೆಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು, ಅದರ ಅನಂತ ಪೂರ್ಣತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ರೀಮನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಎಟೇಲ್ ಹೊದಿಕೆಗಳು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು (ಅಂದರೆ, ತೆರೆದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು) ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ; ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾದ ಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ನಿಗ್ರಹಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಯೋಜನೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಟಿನ್-ಶ್ರಿಯರ್ ಹೊದಿಕೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಫೈನ್ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಸ್ಕೀಮ್ U ಯ ಟ್ಯಾಮ್ಡ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಗ್ರೂಪ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಗ್ರೂಪ್ನ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಮ್ಲಿ ರೆಮಿಫೈಡ್ ಕವರ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಇದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಇನ್ ಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಫೈನ್ ರೇಖೆಯ ನಿಗ್ರಹಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಯು ಎ-ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಎಟೇಲ್ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅದರ ಎಟೇಲ್ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮುಂದಿನ ವಿಷಯಗಳು ವರ್ಗ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ವಿಲೋಮ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ (ಅಥವಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ) ಯಾವ ಗುಂಪುಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಅನಾಬೆಲಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನ ವಿಭಾಗದ ಊಹೆಯು, ಅವುಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಯೋಜನೆಯ ಎಟೇಲ್ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಮೂಲಕ ಉನ್ನತ ಎಟೇಲ್ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರೋ-ಎಟೇಲ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಗುಂಪು ಪ್ರೊ-ಎಟೇಲ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎಟೇಲ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಗುಂಪಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಎಟೇಲ್ ಕವರ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಎಟೇಲ್ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಏಕ-ಶಾಖೆ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆಗಳು), ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರೋ-ಎಟೇಲ್ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಃ ಅದರ ಅನಂತ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಎಟೇಲ್ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಯೋಜನೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವಿಧಾನಗಳು