Cartan's criterion
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಟನ್ನ ಮಾನದಂಡವು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು 0 ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟ್ರೇ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಪರಿಹಾರಸಾಧ್ಯತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಟನ್ನ ಮಾನದಂಡವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಲೈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಬೇಕಾದರೂ ಮಾತ್ರ. ಜೋರ್ಡಾನ್-ಚೆವಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿಲ್ಪೊಟೆನ್ಸಿ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು (ಪುರಾವೆಗಾಗಿ, ಲಿಂಕ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ). ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಟನ್ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಹೀಗೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ (ಅಲ್ಲಿ K ಎಂಬುದು ಕೊಲ್ಲುವ ರೂಪವಾಗಿದೆ). ಅರೆ-ಸರಳತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಟನ್ನ ಮಾನದಂಡವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪವು ಕ್ಷೀಣಿಸದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ) ಅವನತಿ ಹೊಂದದ ಅಸ್ಥಿರ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅದರ ಕೊಲ್ಲುವ ರೂಪವು ಅವನತಿ ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಸಣ್ಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ಕಾರ್ಟನ್ನ ಪರಿಹಾರಾರ್ಹತೆಯ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅರೆ-ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರಲ್ಲಿ) ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಕೊಲ್ಲುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಟನ್ನ ಮಾನದಂಡಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗುತ್ತವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸರಳವಾಗಿದ್ದು, ಕೆ 2 ಅಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ [ಎಐ, ಎಜೆ] = (ಐ − ಜೆ) ಎಐ + ಜೆ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಕೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ಜಿಎಲ್2 (ಕೆ). ಕೆ2 ಒಂದು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪವು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಸ್ಎಲ್2 (ಕೆ). ಕೆ2 ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪವು ಯಾವುದೇ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆದರ್ಶದ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ಸುಳ್ಳಾಗಿದೆಃ ಕೊಲ್ಲುವ ರೂಪವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ನಾನ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ V ಯ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ 1-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು V ಯ ಮೇಲೆ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ b ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ b ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು Tr (b2) = 0 ಆಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೊತ್ತ) ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಅಸ್ಥಿರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆಃ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಅಸ್ಥಿರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸರಳ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಜಿ = ಎಲ್ [ಟಿ]/ಟಿಎನ್ಎಲ್ [ಟಿ] ಅಲ್ಲಿ ಎನ್> 1, ಎಲ್ ಎಂಬುದು ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ರೂಪ (,) ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಿ ಮೇಲಿನ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ರೂಪವನ್ನು ಎಲ್ ಮೇಲಿನ ರೂಪದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಜಿ ಮೇಲಿನ ಸಿ [ಟಿ] ಮೌಲ್ಯದ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ರೂಪದ ಟಿಎನ್ − 1 ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ರೂಪವು ಕ್ಷೀಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸರಳ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಹ ನೋಡಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು