Étale morphism
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ () ಎಂಬುದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎಟೇಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಯೋಜನೆಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಜರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಸ್ಥಳೀಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಎಟೇಲ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಎಟೇಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಎಟೇಲ್ ಎಂಬ ಪದವು ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿಶೇಷಣವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ "ಸಡಿಲ", "ಸಡಿಲವಾದ ಉಬ್ಬರವಿಳಿತ", ಅಥವಾ, ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ, ಶಾಂತ, ನಿಶ್ಚಲ, ನೆಲೆಗೊಳ್ಳಲು ಉಳಿದಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರಲಿ. ಇದು-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮೋನಿಕ್ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದು ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಟೇಲ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಯೋಜನೆಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿರಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಎಟೇಲ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆಃ ಅದು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ನಯವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮತ್ತು ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಫೈಬರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೀಮಿತ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ವರ್ಣಪಟಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಾರು ಬಿಂದುಗಳ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆಯಾಮ ಶೂನ್ಯದ ನಯವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ನಯವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅರೆ-ಸೀಮಿತ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ, ಲೆಟ್. ನಂತರ ಒಂದು ತೆರೆದ ಅಫೈನ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ತೆರೆದ ಅಫೈನ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ ಮತ್ತು ಅದು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳಿಂದ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆಃ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅಂತಹದಕ್ಕೆ ಆದರ್ಶವಾಗಿರಲಿ. ಸೆಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ ಆಗಿರಲಿ. ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಆ ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅನನ್ಯ-ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಒಳಗೆ, ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಿತ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಇರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೇರಿತ ನಕ್ಷೆಯು ಆಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಮುಕ್ತ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫೈಬರ್ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೀಮಿತ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. (ಇಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ.) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವನ್ನು ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅವಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅವಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಕ್ಷೆಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೇರಿತ ನಕ್ಷೆಯು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಎಟೇಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ ಅನ್ನು ಎಟೇಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆವರಣದ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದು ಡಿಗ್ರಿ ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ರ್ಯಾಮಫೈಡ್ ಹೊದಿಕೆಯು ಎಟೇಲ್ ಆಗಿರುವ ರ್ಯಾಮಫೈಡ್ ಲೋಕಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಎಟೇಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ-ಅವು ನೀಡಿದ ಡೆಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಆವರಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ವರ್ತುಲ ಏಕರೂಪತೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳು, ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ, étale ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಡೆಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಜಾಗವನ್ನು ಆವರಿಸುವ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಾ, ನಾವು ನಯವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ರೂಪವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಎಟೇಲ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. X, Y ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನೊಥೇರಿಯನ್, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಮತ್ತು Y ನಾರ್ಮಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಪ್ರಬಲ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿರಲಿ. f ಅನ್ನು ಅನ್ರಾಮಿಫೈ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದು ಎಟೇಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ K ಗೆ, ಯಾವುದೇ K-ಬೀಜಗಣಿತ A ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎ ಒಂದು ಇಟೇಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಇದು ಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು ಸೀಮಿತ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೊತ್ತಗಳು. ಎಟೇಲ್ ಕೆ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೆಟ್ಟಿಲು ಕಲ್ಲಾಗಿದೆ (ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೋಡಿ). ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತಳದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ತೆರೆದ ಉಪಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ಹೊದಿಕೆಗೆ ಹೊದಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತೆರೆದ ಉಪಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳ ನಿರ್ಬಂಧವು ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಉಪಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ಹೊದಿಕೆಗೆ ಪ್ರಚೋದಿತ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಎಟೇಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಓಪನ್ ಅಫೈನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿರುವ ಗುಣವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕುಟುಂಬದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಯೂನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಎಟೇಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೆಟ್ ಅಂಡ್, ಮತ್ತು ಅದು ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಮತ್ತು ಎಟೇಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಮೇಲೆ ಎಟೇಲ್. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಎಟೇಲ್ ಓವರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ-ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಅರೆ-ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಒಂದು ತೆರೆದ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಎಟೇಲ್ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಎಟೇಲ್ ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ). ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು f: X → Y ಸ್ಥಳೀಯ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಯವಾದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ನಡುವಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಳೀಯ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, x ನ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆ U ಇದೆ, ಅಂದರೆ f ನಿಂದ U ಗೆ ಇರುವ ನಿರ್ಬಂಧವು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ತೀರ್ಮಾನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವು ತುಂಬಾ ಒರಟಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ y = x2 ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ f ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮೂಲವನ್ನು (0,0) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು 2x ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, f ಗೆ ಯಾವುದೇ (ಜರಿಸ್ಕಿ-) ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಲೋಮವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವರ್ಗಮೂಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲ, ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಟೇಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ನಿಖರವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ étale ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, Yಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ étale ಮಾರ್ಫಿಸಂ V → Y ಇರುತ್ತದೆ (Vಯನ್ನು yಯ ಮುಕ್ತ ನೆರೆಹೊರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು), ಅಂದರೆ ನಾವು f ಅನ್ನು V ಗೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, (ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯನು Vಯ ಪೂರ್ವ-ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದ್ದು, V ಒಂದು ಜರಿಸ್ಕಿ ಮುಕ್ತ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ) Vಗೆ ಸಮರೂಪದ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸೀಮಿತ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆಯ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, Yಯಲ್ಲಿ étale-ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ, ಮಾರ್ಫಿಸಂ f ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸೀಮಿತ ಆವರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆಯಾಮ n ನ ನಯವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಾಗಿ, X ಮತ್ತು Y ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ, f ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ತೆರೆದ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸಬ್ಮರ್ಶನ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಎಟೇಲ್ ಅನಲಾಗ್ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಶುದ್ಧತೆ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಜೆ. ಎಸ್. ಮಿಲ್ನೆ (2008) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಎಟೇಲ್ ಕೊಹೊಮಾಲಜಿ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಸ್ಕೀಮ್ಸ್ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು