Hecke character
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರವು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಿಕ್ ಹೆಕ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಜೀಟಾ-ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಜೀಟಾ-ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಇತರರು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೆಕೆ ಪಾತ್ರಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಹೆಸರು ಜರ್ಮನ್ ಪದವಾದ ಗ್ರೊಸೆನ್ಚಾರಕ್ಟರ್ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರೊಸೆನ್ಚಾರಕ್ಟರ್, ಗ್ರೊಸೆನ್ಚಾರಕ್ಟರ್, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರವು ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಆದರ್ಶ ಗುಂಪಿನ ಪಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರಧಾನ ಐಡೆಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಕ್ಷರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಲೇಖಕರ ನಡುವೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ("ಕ್ವಾಸಿಕಾರಕ್ಟರ್" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಸಿ ("ಏಕೀಕೃತ") ಯಲ್ಲಿನ ಏಕಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. (ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ) ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಸಿಚಾರ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಅಕ್ಷರದ ಗುಣಗಳು ರೂಢಿಯ ನೈಜ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ. ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರದ ವಾಹಕ χ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಆದರ್ಶ m ಆಗಿದ್ದು, χ ಒಂದು ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರದ ಮಾಡ್ m ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೇಳುವುದಾದರೆ χ ಒಂದು ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರದ ಮಾಡ್ m ಆಗಿದೆ, χ (ಆದರ್ಶ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅಕ್ಷರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ) ಸೀಮಿತ ಐಡೆಲ್ಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು v-adic ಘಟಕವು 1 + mOv ನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರದ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, ಹೆಕ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಹೋಗುವಾಗ, ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಕ್ಷರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿತ್ತು. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಗೆ, m = mfm ≤ ಒಂದು K-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿರಲಿ, mf ನೊಂದಿಗೆ, "ಸೀಮಿತ ಭಾಗ", K ಮತ್ತು m ≤ ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿದ್ದು, "ಅನಂತ ಭಾಗ", K ಯ ನೈಜ ಸ್ಥಳಗಳ (ಔಪಚಾರಿಕ) ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ m ಹೊಂದಿರುವ ಹೆಕೆ ಅಕ್ಷರವು IM ನಿಂದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲೆ (a) Pm ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರಂತರ ಏಕರೂಪತೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು K ಯ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಳೀಯ ಘಟಕವು ಒಂದೇ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು (ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿ) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೆ ಮೇಲಿನ ವಿವಿಧ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆ ನ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಎ ಅನ್ನು ಹುದುಗಿಸುತ್ತೇವೆ.) ಹೀಗಾಗಿ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ರೇ ಕ್ಲಾಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎಂನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಇಮ್/ಪಿಎಂ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೆಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಉತ್ಪಾದಕವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವವರಿಗೆ ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲಿನ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಷರತ್ತನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅವರು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸ್ಥಳಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಅನಂತ ಭಾಗವಾದ m ≤ ನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಈಗ ಅನಂತ-ಪ್ರಕಾರದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ ಆದರ್ಶ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಐಡೆಲಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳಿಂದ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೆಕೆ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಹೆಕೆ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಪ್ರೇರಣೆಯಾಗಿತ್ತು. ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರದ χ ಗೆ, ಅದರ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ m ಗೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲಾಗುವ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎನ್ (ಐ) ಸಂಕೇತವು ಆದರ್ಶ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿಎಂ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಹೆಕೆ ಅಕ್ಷರಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೈಜ ಭಾಗದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಗಳು ಕೆಲವು ಬಲ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಇಡೀ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹೆಕ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಅಕ್ಷರವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದಾಗ s = 1 ರಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ 1 ರ ಸರಳ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ (ಪ್ರಾಚೀನ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ), ಈ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದು ಅಕ್ಷರದ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಪಾತ್ರದ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೆಕ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಧಾನ ಐಡೆಲ್ಗಳಲ್ಲಿ 1 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಾಧಾರಣ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ. ನಂತರ, S ನಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು, ಆದರ್ಶ ಗುಂಪಿನ ISನ χ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. S ನಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಗೆ ಏಕರೂಪದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ p ಅನ್ನು ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ IS ನಿಂದ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ Π ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಇದು p ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ π ಮತ್ತು ಎಲ್ಲೆಡೆ 1 ಆಗಿದೆ. χ ಎಂಬುದು Π ಮತ್ತು siಗಳ ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ χ ಅನ್ನು ಆದರ್ಶ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅಕ್ಷರವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಐ. ಎಸ್. ನ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಅಕ್ಷರ χ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಅಕ್ಷರ si ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವು ಸೆಟ್ S ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ m ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 1 ಮಾಡ್ m ಆಗಿರುವ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲೆ χ ಅಕ್ಷರವು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷರಗಳು 'ದೊಡ್ಡ' ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅನಂತ-ಪ್ರಕಾರವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಅಕ್ಷರಗಳು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ. ಸೀಮಿತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳೆಲ್ಲವೂ, ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲ್ಪಟ್ಟಿವೆಃ ಆರ್ಟಿನ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ತೋರಿಸುವಂತೆ, ಅವುಗಳ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಆರ್ಟಿನ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರವೂ ಸಹ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮೀರಿ ಗಂಭೀರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ನಂತರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು 'ದೊಡ್ಡ' ಅಕ್ಷರಗಳ ಸರಿಯಾದ ಸ್ಥಾನವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ (ಅಥವಾ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗೂ ಸಹ) ಹ್ಯಾಸ್-ವೆಯಿಲ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿವೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರವು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದ ಹೆಕೆ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ m ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅಕ್ಷರವು ವಾಹಕ 1 ರ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕ್ಷೇತ್ರದ ವರ್ಗ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಪಾತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪು p-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಿಕ R + ನ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಾಸಿಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ರೂಢಿಯ ಶಕ್ತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ವಾಹಕ 1 ರ ಗಾಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರ χ, s ಕಾಲ್ಪನಿಕಕ್ಕೆ χ ((a)) = |a |s (a/|a |) 4n ಮತ್ತು n ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಆದರ್ಶದ (a) ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಕೇವಲ ಘಟಕಗಳು i ನ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿ 4 ರ ಅಂಶವು ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. L (s, χ) ಗಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಹೆಕ್ ಅವರ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಥೀಟಾ-ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿತು. ಎಮಿಲ್ ಆರ್ಟಿನ್ ಅವರ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಜಾನ್ ಟೇಟ್ ಅವರ 1950 ರ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪ್ರಬಂಧವು ಯಾವುದೇ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಿತು. ಕೆಂಕಿಚಿ ಇವಾಸಾವಾ ಅವರು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಅವರ 1950ರ ಐಸಿಎಂ ಭಾಷಣದ ವಿಷಯವಾಗಿತ್ತು. ಬೋರ್ಬಾಕಿ ವಿಚಾರಸಂಕಿರಣದಲ್ಲಿ ನಂತರ ಮಾಡಲಾದ ಸುಧಾರಣೆಯು, ಟೇಟ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿತರಣಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆಃ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ಥಳವು (ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ) ಕೆ ನ ಅಡೆಲೆ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ χ ಯಿಂದ ಐಡೆಲ್ಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳು ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಹೆಕ್ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆಃ ಅವುಗಳನ್ನು 1947 ರಲ್ಲಿ ವೆಯಿಲ್ ಅವರು ಎ0 ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅಂತಹ ಅಕ್ಷರಗಳು ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ E ಯು F ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರ K ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು K ಯು F ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಅಕ್ಷರವು ಉತ್ತಮ ಕಡಿತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶ p ಗೆ, χ (p) ಮೌಲ್ಯವು ಫ್ರೊಬೀನಿಯಸ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, E ಗೆ ಹ್ಯಾಸ್-ವೆಯಿಲ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, χ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜೆ. ಟೇಟ್, ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಹೆಕ್ನ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಟೇಟ್ನ 1950ರ ಪ್ರಬಂಧ), ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿ ಎಡಿಡ್ ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಸ್. ಕ್ಯಾಸೆಲ್ಸ್, ಎ. ಫ್ರೋಲಿಚ್ (1967) ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಝೀಟಾ ಮತ್ತು ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು