Lagrangian Grassmannian
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ಎಂಬುದು ನೈಜ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ಯ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಯವಾದ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಆಯಾಮವು n (n + 1) ಆಗಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ V ಯ ಆಯಾಮವು 2n ಆಗಿದೆ). ಇದನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಇರುತ್ತದೆ. ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ನಂತರ ಇದನ್ನು λ (n) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ಎಂಬುದು ವಿ ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ನ ಉಪಮಾನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ಎಂಬುದು 2n ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ಯ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮ n (n + 1) ನ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು. ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ λ (n) ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದೆಂದು ನೋಡಲು, ಅದು 2n-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು ಅದನ್ನು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ನಂತರ ನೈಜ ಆಯಾಮ n ನ ನೈಜ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು ಈ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ λ (n) ಅನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ಗಳ ಸ್ಥಿರ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸ್ಥಳಗಳು ಬಾಟ್ ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆಃ, ಮತ್ತು-ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ (ಆಯಾಮ) ಬದಲಾವಣೆಯಾಗುವವರೆಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಸಹ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು, ಯುನಿಟರ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನ ವರ್ಗದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ವಿ. ಪಿ. ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ವಿವರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ತೋರಿಸಿದರು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, V ಯ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ M ಗೆ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಜಾಗವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ನಕ್ಷೆ ಇದೆ (cf. ಗಾಸ್ ನಕ್ಷೆ). ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಈ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಜನರೇಟರ್ನ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಒಂದು ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ವಿ. ಪಿ. ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ; ಮಾರ್ಗವು ಒಂದು ಲೂಪ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರ್ಧ-ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾರ್ಗವು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ರೀಬ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಾನ್ಲೆ-ಜೆಹಂಡರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಫ್ಲೋರ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್-ರೀತಿಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ವರ್ಣಪಟಲದ ಹರಿವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೂಲತಃ ಡಬ್ಲುಕೆಬಿ ಅಂದಾಜಿನ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕತೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿ. ಐ. ಆರ್ನಾಲ್ಡ್, ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವರ್ಗ, ಫಂಕ್ಷನಲ್ 'ನೈ ಅನಾಲಿಜ್ ಐ ಇಗೋ ಪ್ರಿಲೋಝೇನಿಯಾ, 1967,1,1,1-14,. ವಿ. ಪಿ. ಮಾಸ್ಲೋವ್, ಥಿಯೋರಿ ಡೆಸ್ ಪರ್ಟರ್ಬೇಷನ್ಸ್ ಎಟ್ ಮೆಥೋಡ್ಸ್ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್. 1972 ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಯೋಜಿತ ಮೂಲ ವಸ್ತುಗಳು. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳ ಟೋಪೋಲಜಿ ಗಣಿತದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕತೆ