Geometric genus
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಭೇದವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೂಲ ದ್ವಿ-ಆನುವಂಶಿಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕುಲವನ್ನು ಏಕ-ಅಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸೆರ್ರೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಗೆ ಸಮಾನ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಒಂದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿವಿಧ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಇದು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್-ರೂಪಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, ನಂತರದ ಆಯಾಮವು ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ಗೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಹ್ಲರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ಕೋಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯು (ಮೇಲ್ಭಾಗ) ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕುಲವು ಪ್ಲುರಿಜೆನೆರಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಏಕ-ಅಲ್ಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಳಗಳು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ. ಕುಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿದೆ. ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗಾಗಿ ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ರೀಮನ್-ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕುಲದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಡಿಗ್ರಿ ಡಿ ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ಲೇನ್ ಕರ್ವ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕುಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ s ಎಂಬುದು ಏಕತ್ವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ (ಮತ್ತು ನಯವಾದ) ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಸೆರ್ರೆ ಟ್ವಿಸ್ಟಿಂಗ್ ಶೀಫ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಸೂತ್ರದಿಂದ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಏಕವಚನ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಜೀನಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಬೈರೇಷನಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬೈರೇಷನಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜೆನಸ್ (ಗಣಿತ) ಅಂಕಗಣಿತದ ಜೆನಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಸರ್ಫೇಸ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.