Vector fields on spheres
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗೋಳಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಚರ್ಚೆಯು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಕೂದಲುಳ್ಳ ಚೆಂಡಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಆರಂಭಿಕ ಕೆಲಸವಾಗಿತ್ತು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ,-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಎಷ್ಟು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ನಯವಾದ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. 1962ರಲ್ಲಿ ಫ್ರಾಂಕ್ ಆಡಮ್ಸ್ ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೇರ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ ಅಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿದ್ದವು ಎಂಬುದು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು (ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಯಾವುದೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಆಡಮ್ಸ್ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ()-ಆಯಾಮದ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಿಖರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿವರಗಳು ವಿವರವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯು 'ದುಂಡಗಿನ ಗೋಳಗಳು' ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ವಿಲಕ್ಷಣ ಗೋಳಗಳು ಸಮರೂಪದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ರೇಡಾನ್-ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ಗೋಳದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಟ್ಟುಗಳ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಭಾಗಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಬೆಸ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪಾಯಿಂಕೇರ್-ಹಾಪ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಪ್ರಮೇಯವು ನೋಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಹೇರ್ ಬಾಲ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ), ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇಸ್ ಈವೆನ್ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ()-ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಂತರತೆ (ನಯವಾದದ್ದು ಇಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ) ನಿಖರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಆಡಮ್ಸ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ನಿಜವಾದ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 8 ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ, ಅದು ಇಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಮ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ, (ಬಿಂದುವಾಗಿ) ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ನೀಡುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಕೇಳುವುದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ರೇಡಾನ್-ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಮೇಲೆ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕುರಿತು ಜೋಹಾನ್ ರೇಡಾನ್ (1922) ಮತ್ತು ಅಡಾಲ್ಫ್ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ (1923) ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಎರಡರ ಶಕ್ತಿಯ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಬರೆಯಲು, ಬರೆಯಿರಿ. ನಂತರ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು (ರಿಂದ): 2,4,2,8,2,4,2,9,2,4,2,8,2,4,2,10,. ಬೆಸಕ್ಕೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ರೇಡಾನ್-ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಗರಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೋಲಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ. ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ, ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ನಡುವೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು 1952ರಲ್ಲಿ ಬೆನೋ ಎಕ್ಮನ್ ಅವರು ಮರುಪರಿಶೀಲಿಸಿದರು. ಅವುಗಳನ್ನು ಈಗ ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಸೇರಿದಂತೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು