Enumerative geometry
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಣಿಕೆಯ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಛೇದಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ. ಅಪೋಲೋನಿಯಸ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಆರಂಭಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೂರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೃತ್ತಗಳು, ಬಿಂದುಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ರಚನೆಯನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೀಡಲಾದ ಮೂರು ವೃತ್ತಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎಂಟು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು 23 ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಿತಿಯು ವೃತ್ತಗಳ ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೇರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೃತ್ತಗಳ ವಿಶೇಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 0 ರಿಂದ ಆರುವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬಹುದು; ಅಪೋಲೋನಿಯಸ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಏಳು ಪರಿಹಾರಗಳಿರುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇಲ್ಲ. ಪ್ರಮುಖ ಉಪಕರಣಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕದಿಂದ ಹಿಡಿದು ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದವರೆಗೆ ಹಲವಾರು ಸಾಧನಗಳು ಸೇರಿವೆಃ ಬೆಜೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಾದ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಯಾಮ ಎಣಿಕೆ, ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವರ್ಗಗಳು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಸಂಪರ್ಕವು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿದೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ, ಗ್ರೊಮೊವ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಕ್ಲೆಮೆನ್ಸ್ನ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಿತು. ಎನ್ಯೂಮರೇಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಬಹಳ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ ಹರ್ಮನ್ ಶುಬರ್ಟ್ನ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಎನ್ಯುಮರೇಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಅದ್ಭುತವಾದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಕಂಡಿತು. ಅವರು ಇದನ್ನು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದು ವಿಶಾಲ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಗತ್ಯಗಳನ್ನು 1960 ಮತ್ತು 1970ರ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ಟೀವನ್ ಕ್ಲೈಮನ್ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ) ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನ ಹರಿಸುವವರೆಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿತ್ತು (ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಅಡಿಪಾಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಭಾಗವಾಗಿ 1942-6, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ತರುವಾಯ), ಆದರೆ ಇದು ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಸರಿಯಾದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡಲಿಲ್ಲ. ಫಡ್ಜ್ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಹದಿನೈದನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಆಯಾಮ ಎಣಿಕೆಯ ನೈವ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಮತ್ತು ಬೆಜೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತಗಳು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾದ "ಫಡ್ಜ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು" ಪರಿಚಯಿಸಿದವು, ಇವುಗಳನ್ನು ದಶಕಗಳ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಐದು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ. ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗಳು ಆಯಾಮ 5 ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಆರು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಐದು ಬಿಂದುಗಳು ಕೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆ L ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕತೆ (ಸ್ಪರ್ಶಕತೆಯು ಬಹುಗುಣದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನವಾಗಿದೆ) ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ P5 ನಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಭಾಜಕಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬೇಸ್ ಲೋಕಸ್ ಇಲ್ಲದೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚತುರ್ಭುಜವು ವೆರೋನೀಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು 'ಡಬಲ್ ಲೈನ್ಸ್' ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೋನಿಕ್ಸ್ (aX + bY + cZ) 2 = 0 ಅನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಅದೇ ಛೇದಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (ಗುಣಾಕಾರ ಎರಡರ ಛೇದನ) ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಕೋನಿಕ್ನಂತೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. 5-ಜಾಗದಲ್ಲಿ 5 ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು 32 = 25 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೆಜೌಟ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಲ್ಲ. 32 ರಿಂದ, 31 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು (ರೇಖಾಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ), ಅಂದರೆ 1 ಅನ್ನು ಬಿಡಲು ವೆರೋನೀಸ್ಗೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಬೇಕು. 'ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ' ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಆರೋಪಿಸುವ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು 'ಫಡ್ಜ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್' ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಹದಿನೈದನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಜಯಿಸುವುದಾಗಿತ್ತು; ಈ ಅಂಶವು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. 1984ರಲ್ಲಿ ಎಚ್. ಕ್ಲೆಮೆನ್ಸ್ ಅವರು ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಎಣಿಸುವುದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ತಲುಪಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಮೂರು ಪಟ್ಟು, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಡಿಗ್ರಿ ಆನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತವೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಈ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನದಕ್ಕೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. 1991 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಕ್ವಿಂಟಿಕ್ ಮೇಲೆ ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರಬಂಧವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಡಿಗ್ರಿ ಡಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಮೊದಲು, ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತಗಳು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾಗಿತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಎಣಿಕೆಗಳ ಕೆಲವು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ 2 ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ 4 ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 8 3 ಸಾಮಾನ್ಯ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಪೋಲೋನಿಯಸ್ನ ಸಮಸ್ಯೆ). 27 ನಯವಾದ ಘನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸಾಲ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಕೇಲೆ) 2875 ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿಂಟಿಕಿನ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರು ಪಟ್ಟು 3264 ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 5 ಸಮತಲ ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಚಾಸಲ್ಸ್) 609250 ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿಂಟಿಕಿನ ಮೇಲಿನ ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರು ಪಟ್ಟು 4407296 8 ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 666841088 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 5819539783680 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ