Abel's identity
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಬೆಲ್ನ ಗುರುತನ್ನು (ಅಬೆಲ್ನ ಸೂತ್ರ ಅಥವಾ ಅಬೆಲ್ನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಗುರುತು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳ ವ್ರಾನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು nನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಈ ಗುರುತನ್ನು ನಾರ್ವೇಜಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ನೀಲ್ಸ್ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಅಬೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಅಬೆಲ್ನ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಪಯುಕ್ತ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಧಾನದಂತಹ ಇತರ ತಂತ್ರಗಳ ಭಾಗವಾಗಿಯೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳು ಸರಳವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬೆಸೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ. ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನೈಜ ರೇಖೆಯ I ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೈಜ-ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ p ಮತ್ತು q. ಅಬೆಲ್ನ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಎರಡು ನೈಜ-ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಪರಿಹಾರಗಳ ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಮತ್ತು ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ, ಅಂದರೆ ನಿರ್ಣಾಯಕದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದದ್ದಾಗ, ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ (ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಪರಿಹಾರಗಳ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಪುರಾವೆ ನೀಡುತ್ತದೆ (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ವಾದವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು) ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅಬೆಲ್ನ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ, ಇದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮ, ಸರಪಳಿ ನಿಯಮ, ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು, ಇದಕ್ಕೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಏಕೆಂದರೆ, ಅಬೆಲ್ನ ಗುರುತನ್ನು ಫಾರ್ ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ನೈಜ-ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ. ಈ n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಕ ನೋಡೋಣ. ನಂತರ ಅಬೆಲ್ನ ಗುರುತಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಈ ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ. ನೇರ ಪುರಾವೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ವಾದವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪುರಾವೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗವು ನಂತರ ಪ್ರಕರಣದ ಒಂದು ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಫಾರ್ಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಫಾರ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಲನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಕೊನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಾಲುಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಕೊನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಅದರ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಸಮಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಅದರ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಸಮಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಅದರ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ನಂತರದ ಸಮಯದವರೆಗೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಾವು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಬೆಲ್, ಎನ್. ಎಚ್., "ಪ್ರೀಸಿಸ್ ಡಿ ಯುನೆ ಥಿಯೋರಿ ಡೆಸ್ ಫಾಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್" ಜೆ. ರೀನ್ ಏಂಜೆವ್. ಮಠ., 4 (1829) ಪುಟಗಳು. 309-348. ಬಾಯ್ಸ್, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಇ. ಮತ್ತು ಡಿಪ್ರಿಮಾ, ಆರ್. ಸಿ. (1986). ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, 4ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ವಿಲೇ. ಗಣಿತದ ಗುರುತುಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೀಲ್ಸ್ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಅಬೆಲ್