Schubert calculus
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಹರ್ಮನ್ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಎಣಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ (ಎಣಿಕೆಯ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಭಾಗ). ಇದು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಆಧುನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪೂರ್ವಗಾಮಿಯಾಗಿತ್ತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ವರ್ಗಗಳು, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅದರ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಅಂಶಗಳು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಸ್ತುತ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಶುಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ನರ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಶುಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸದೃಶ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶುಬರ್ಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳು ಶುಬರ್ಟ್ ಕೋಶಗಳಾಗಿವೆ, ಇವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಧ್ವಜದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಘಟನೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಂಬಂಧಿತ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗಗಳ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ರಚನೆಯಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದಾದ ಈ ಜೀವಕೋಶಗಳ ಛೇದಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವು, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಜೀವಕೋಶಗಳ ಛೇದಕಗಳು ಸೀಮಿತವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇವು ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ದೃಢವಾದ ಉತ್ತರಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಜೀವಕೋಶಗಳು (ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ವರ್ಗಗಳು, ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಚಕ್ರಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು) ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ವಲಯವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಚಕ್ರಗಳ ಗಣನೆಯ ಛೇದಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಅಂಶಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಏಕರೂಪದ ಜಾಗವಾದ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ನಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಏರಿಸಲಾದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಬ್ರೂಹತ್ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ (ಬ್ಲಾಕ್ ಟ್ರೈಂಗ್ಯುಲರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿ) ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಶುಬರ್ಟ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಠಿಣ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಇಡುವುದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಹದಿನೈದನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು. ನಿರ್ಮಾಣ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ನ ಚೌ ಉಂಗುರವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ಆಫ್-ಪ್ಲೇನ್ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಚೌ ಉಂಗುರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸುತ್ತುವರಿದ ಜಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು-ಟುಪಲ್ಗೆ (ಅನಿಯಂತ್ರಿತ) ಸಂಪೂರ್ಣ ಧ್ವಜವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು, ಅಂದರೆ, ಆಯತಾಕಾರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ತೂಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೂ, ನಾವು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು (ಅಥವಾ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಸೈಕಲ್) ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕೋಶದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಚೌ ರಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ ಸೆಲ್ಯುಲಾರ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಭಿನ್ನವಾದ ಸಂಬಂಧದ ಸ್ಥಳಗಳು, ಆಯಾಮದ, ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಷುಬರ್ಟ್ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಧ್ವಜದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಈ ವರ್ಗಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಚೌ ಉಂಗುರವನ್ನು ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸಂಬಂಧಿತ ಛೇದನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಶುಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶುಬರ್ಟ್ ವರ್ಗದೊಂದಿಗಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೇವಲ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ (ಅಂದರೆ, ಸಮತಲ ವಿಭಾಗ) ನೀಡಲಾದ ಶುಬರ್ಟ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ವಿಶೇಷ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಶುಬರ್ಟ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇತರ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕೋಶಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪೂರಕ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅದರ ಯುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಆಯತಾಕಾರದೊಳಗೆ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ (ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ). ಮತ್ತೊಂದು ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಸಂಪ್ರದಾಯವು ಮತ್ತು ಮತ್ತು, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಅಥವಾ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿವರಣೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತಲವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ಫಾರ್ ನೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್, ಎ-ಪ್ಲೇನ್ ಐದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾದಾಗ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಸ್ಥಳವು (ಅದರ ಛೇದನ) ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮತ್ತು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ನ ಛೇದನದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆಯಾಮವು, ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, ವಿಥ್ನ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ-ಪ್ಲೇನ್ಗಳು ನಂತರ ಇದರ ವಿಶೇಷ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಎಲ್ಲಾ-ಟುಪಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ-ಟುಪಲ್ಗಳಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವಿದೆ. ಇದು ಸೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಉಪ-ಪ್ರಭೇದಗಳ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶೇಷತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರ ಎ ಶುಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದವು ವಿಭಜನೆಯ ತೂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಕ್ರೋಡೀಕರಣವು ಆಯಾಮದ ಆಯತಾಕಾರದ ಯುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪೂರಕ ವಿಭಾಗದ ತೂಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ನರ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಧಾರ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ, ಒಂದು ಸಮತಲವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ, ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊದಲು ಪಿಯರಿ ಮತ್ತು ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು. ಪಿಯರಿ ಸೂತ್ರ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ವರ್ಗದೊಂದಿಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗಗಳ ತೂಕಗಳು. ಇದನ್ನು ಪಿಯರಿ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶುಬರ್ಟ್ ವರ್ಗಗಳ ಛೇದಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಉದ್ದದ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನಮೂದುಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೊದಲ ಜಾಕೋಬಿ-ಟ್ರುಡಿ ಗುರುತಿನ ಅದೇ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಶುಬರ್ಟ್ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಛೇದಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದ್ದವಿದ್ದಾಗ ಪಿಯರಿ ಸೂತ್ರವು ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಾಹಕ ಕಟ್ಟುಗಳ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ರಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಚೌ ರಿಂಗ್ ಬಗ್ಗೆ ಸುಲಭವಾದ ವಿವರಣೆ ಇದೆ. ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಫೈಬರ್, ಯಾವುದೇ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ, ಫೈಬರ್ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಂಶ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ, ಫೈಬರ್ನೊಂದಿಗೆ. ಬಂಡಲ್ಗಳ ಚೇರ್ನ್ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಂಗ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಉದ್ದದ ಒಂದೇ ಅಂಕಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟಾಟಾಲಾಜಿಕಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಚೌ ಉಂಗುರದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಒಂದು ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಚೌ ಉಂಗುರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಘನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಶುಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಚೌ ಉಂಗುರವು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಇದನ್ನು ಘನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು. ಘನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕರೂಪದ ಘನ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖೆಯು ವಿಭಾಗವು ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯೂಲರ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಯೂಲರ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಒಟ್ಟು ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು, ಇದನ್ನು ದಿ ಸ್ಪ್ಲಿಟಿಂಗ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ರೇಖೆಯ ಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಓದುತ್ತದೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕ ರೇಖೆಯ ಕಟ್ಟುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಒಟ್ಟು ಚೇರ್ನ್ ವರ್ಗವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಉನ್ನತ ವರ್ಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಘನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸಾಲುಗಳಿವೆ. ಎನ್ಯುಮರೇಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಚೌ ರಿಂಗ್ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಗಿಯಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಅವರ ಸೂತ್ರ ಪಿಯೆರಿಯ ಸೂತ್ರ ಚೆರ್ನ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಕ್ವಿಂಟಿಕ್ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿ ಕಲ್ಪನೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೇಸಿಗೆ ಶಾಲೆಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು http://homepages.math.uic.edu ~ coskun/poland. ಎಚ್. ಟಿ. ಎಂ. ಎಲ್ ಫಿಲಿಪ್ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜೋಸೆಫ್ ಹ್ಯಾರಿಸ್ (1978), ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ತತ್ವಗಳು, ಅಧ್ಯಾಯ 1.5 ಡೇವಿಡ್ ಐಸೆನ್ಬುಡ್ ಮತ್ತು ಜೋಸೆಫ್ ಹ್ಯಾರಿಸ್ (2016), "3264 ಮತ್ತು ಆಲ್ ದಟ್ಃ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕೋರ್ಸ್". ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳ ಟೋಪೋಲಜಿ