Zariski geometry
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜರಿಸ್ಕಿ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಜರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡುವ ಸಲುವಾಗಿ ಎಹುದ್ ಹ್ರುಶೋವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಬೋರಿಸ್ ಜಿಲ್ಬರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಅಮೂರ್ತ ರಚನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಬಹಳ ವಿರಳವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೆರೆಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೃದ್ಧವಾಗಿದೆ. ವಿವರಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜರಿಸ್ಕಿ ರೇಖಾಗಣಿತವು X, X2, X3 ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ X ಮತ್ತು ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. (ಎನ್) ಪ್ರತಿಯೊಂದು Xn ಒಂದು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಗರಿಷ್ಠ n ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಈಗ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಎ) ಪ್ರತಿ Xn ನಲ್ಲಿ, n-ಟುಪಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಇತರವನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು Xm → Xn ಎಲ್ಲವೂ ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ. (ಬಿ) p: Xm → Xn ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ್ಕೆ ಮತ್ತು Xmನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಸೆಟ್ Yಗೆ, p (Y) ಅದರ ಕ್ಲೋಸರ್ Z ಮತ್ತು Zನ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. (ಇದು ಅಮೂರ್ತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಆಗಿದೆ.) (ಸಿ) X ಅನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಡಿ) ಫೈಬರ್ X ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, Xm ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದಲ್ಲಿ ಫೈಬರ್ನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಬಂಧವಿರುತ್ತದೆ. (ಇ) r ಆಯಾಮದ Xm ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಉಪವಿಭಾಗವು, s ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿರುವ ಕರ್ಣೀಯ ಉಪವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಕನಿಷ್ಠ r − s + 1 ಆಯಾಮದ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮುಂದಿನ ಷರತ್ತನ್ನು ತುಂಬಾ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (cf. ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್). ಕೆಲವು Xmನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಸೆಟ್ P ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ P × X2ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಸೆಟ್ Q ಇದೆಃ (I) X2ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಜೋಡಿಗಳು (x, y), (,), Pಯಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು tಗೆ, Qಯಲ್ಲಿನ (t, u, v) ಸೆಟ್ (t, x, y) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ (t,,) ಅಲ್ಲ (J) Pಯ ಸರಿಯಾದ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಸೆಟ್ನ ಹೊರಗಿನ tಗೆ, X2ಯಲ್ಲಿನ (x, y) ಸೆಟ್, (t, x, y) Qಯಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸೆಟ್ ಆಯಾಮ 1 ಆಗಿದೆ. (ಕೆ) ಸರಿಯಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗದ ಹೊರಗಿನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ X2 ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ (x, y), (,), Q ನಲ್ಲಿನ (t, u, v) ಸೆಟ್ (t, x, y) ಮತ್ತು (t,,) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಂತೆ P ಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ t ಇರುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಇದು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (I) ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (K) ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ ಹ್ರುಶೋವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಜಿಲ್ಬರ್ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಮತ್ತು ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ C ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಕೊಟ್ಟಿರುವದಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳು