Schnyder's theorem
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಷ್ನೈಡರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ಗಳ ಕ್ರಮ ಆಯಾಮದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. 1989ರಲ್ಲಿ ಅದರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ವಾಲ್ಟರ್ ಷ್ನೈಡರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಶೃಂಗದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅಂಚಿನ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ ಅದರ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಎತ್ತರ 2 ರ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಶೃಂಗವು, ಒಂದು ಅಂಚು, ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದಾಗ ಒಂದು ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವು ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಛೇದನವು ನೀಡಲಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ; ಅಂತಹ ಕ್ರಮಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ರಿಯಲೈಸರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠ ಮೂರು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗ್ರಾಫ್ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಷ್ನೈಡರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಎತ್ತರದ ಆಯಾಮದ ಮೇಲೆ ಬಿಗಿಯಾದ ಬಂಧದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಶೃಂಗಗಳು, ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಮುಖಗಳಿಂದ ಹೋಲುವಂತೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೂರು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ಗಳು, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ನಃ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಭಂಗಿಯ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾಲ್ಕು-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅವುಗಳ ಮುಖದ ಜಾಲರಿಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣದ ಮುಖದ ಸ್ಥಾನದ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಇತರ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಷ್ನೈಡರ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಮಾರ್ಗದ ಮಾರ್ಗ ಅಥವಾ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಯ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ ಎರಡು ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ ಎರಡು ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಅದರ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ರಿಯಲೈಸರ್ ಎರಡು ಒಟ್ಟು ಆದೇಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾದಾಗ) ಪರಸ್ಪರ ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಇತರ ಎರಡು ಕ್ರಮಗಳು ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಈ ಎರಡು ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ, ಸತತ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂಚನ್ನು ಎರಡು ಅಂಚಿನ ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ನಂತರದ ತಕ್ಷಣವೇ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದಾದರೆ, ಅದರ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ ಗರಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. n ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಪೊಸೆಟ್ ಕ್ರಮದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. .. .. ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು