Direct image functor
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂಬುದು ಸೀಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಶೀಫ್ F ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆ f: X → Y ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು Y ಮೇಲೆ ಹೊಸ ಶೀಫ್ f ≤ F ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಡೈರೆಕ್ಟ್ ಇಮೇಜ್ ಶೀಫ್ ಅಥವಾ f ಜೊತೆಗೆ F ನ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಶೀಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ f ≤ F ನ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು F ನ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ರಚನೆಗಳು ಅನೇಕ ಇತರ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಸೀವ್ಗಳು ಮತ್ತು ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಎಟೇಲ್ ಸೀವ್ಗಳು ಸೇರಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ f: X → Y ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು Sh (-) ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಪೊರೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ. ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ X ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕೋಶವನ್ನು F ಅನ್ನು ಅದರ ನೇರ ಚಿತ್ರವಾದ y ಮೇಲೆ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಕೋಶಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾದ U ಆಫ್ Y ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಇದು Y ಮೇಲೆ ಕೋಶವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನೇರ ಚಿತ್ರ ಕೋಶ ಅಥವಾ f ಉದ್ದಕ್ಕೂ F ನ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಕೋಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ Y ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು f: X → Y ಅನನ್ಯ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ Sh (Y) ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಎಬಿ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ f ≤: Sh (X) → Ab ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸೀವ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೀವ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, f: (X, OX) → (Y, OY) ರಿಂಗ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು OX-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸೀವ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ OY-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸೀವ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ f ≤: Sh (X, OX) → Sh (Y, OY) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಫ್ ಈಗ ಅರೆ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಯೋಜನೆಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ ≤ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧವಾಗಿರುವ ಗುಣವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸೀವ್ಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ನೇರ ಇಮೇಜ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎಟೇಲ್ ಸೀವ್ಗಳಂತಹ ಟೋಪೋಯಿ ಮೇಲಿನ ಸೀವ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಚಿತ್ರ f−1 (U) ಬದಲಿಗೆ, Y ಮೇಲೆ U ಮತ್ತು X ನ ಫೈಬರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಶದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಸ್ವತಃ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ವರ್ಗಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆಃ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ f: X → Y ಮತ್ತು g: Y → Z, ನಾವು (gf) ಿಱ = g ಿಱ f ಿಱ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಬಲ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ X, Y ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸೀವ್ಗಳಿಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆಃ ಒಂದು ವೇಳೆ f ಎಂಬುದು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾದ X ವಾಯಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ f ≤ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ x ಮೇಲಿನ ಸೀವ್ಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು X ಮೇಲೆ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ Y ಮೇಲಿನ ಸೀವ್ಗಳ ವರ್ಗದ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಕಾಂಡವು ಇಫ್ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ Yಯಲ್ಲಿ Xನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಎಫ್ ಎಂಬುದು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಫೈನ್ ಸ್ಕೀಮ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಸೀವ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಫ್ ≤ ಅನ್ನು φ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ನೇರ ಚಿತ್ರಗಳು ನೇರ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ ಚಿತ್ರದ ಸರಿಯಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ ನೇರ ಚಿತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್. ಕ್ಯೂ. ಎಫ್. ಐ. ಎಂ. ಆರ್. ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ನೇರ ಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನಂತೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದುಃ X ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕೋಶ F ಗೆ, ಕೋಶ Rq f ≤ (F) ಎಂಬುದು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಕೋಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೋಶವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ Hq ಎಂಬುದು ಕೋಶ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಯೋಜನೆಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದೇ ರೀತಿ ಅರ್ಧ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸೀವ್ಗಳ (ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಸರಿಯಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಿಯಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸಾಧಾರಣ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೂಲ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ. ವಿಭಾಗ II. 4 ಶೀಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ