Branched covering
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶಾಖೆಯ ಹೊದಿಕೆಯು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬಹುತೇಕ ಹೊದಿಕೆಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಬ್ರಾಂಚ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕವರ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ನಕ್ಷೆಯು ಶಾಖೆಯ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವೃತ್ತಗಳ ಬೆಣೆಗಳಿಂದ ಒಂದೇ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ ವೃತ್ತದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಶಾಖೆಯ ಹೊದಿಕೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ 0 ರ ವಿಶಿಷ್ಟ ನಾರು. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದಟ್ಟವಾದ (ಜರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಗಾಗಿ) ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ (ನಿಂದ, ಅಂದರೆ) ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಬಲವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಕೆಲವು ಸ್ವಲ್ಪ ಬಲವಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕವರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡೂ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಮಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳು ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಅದರ ಹೊರಗೆ ನಾವು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ರಾಮಿಫಿಕೇಷನ್ ಲೋಕಸ್ ಮೇಲಿನ ಅಸಾಧಾರಣ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ರಾಮಿಫಿಕೇಷನ್ ಲೋಕಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಕವರಿಂಗ್ನ ಹಾಳೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೇಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಹ ನಿಖರವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು). ಕುಮ್ಮರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಶಾಖೆಯ ಹೊದಿಕೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕುಮ್ಮರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ. ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಹೊದಿಕೆ ಎಂದರೆ ಖಾಲಿ ರ್ಯಾಮಿಫಿಕೇಷನ್ ಲೋಕಸ್ ಸಂಭವಿಸುವುದು. ಲಂಬವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಹೊದಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಈ ಮೂರು ಫೈಬರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಡಬಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಫೈಬರ್ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ). ಈ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಎರಡರ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಲೈನ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಡಿಗ್ರಿ 2 ಶಾಖೆಯ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದನ್ನು ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಫೈಬರ್ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಒಂದು ಶಾಖೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಅಸಾಧಾರಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಬೇರುಗಳು, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ಬೇರುಗಳು. ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ಮೂಲವೊಂದರ ಮೇಲೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಿಭಜಿತ ಬಿಂದುವಾದರೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವೂ ಆಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಏಕ ಬಿಂದುವೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಸಹ ಗುಣಾಂಕದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವಿಭಜಿತ ಬಿಂದುವು "ಅನಂತದಲ್ಲಿ" ಇರುತ್ತದೆ. ಇನ್ ಗುಣಾಂಕದ ಮೂಲದ ಮೇಲೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅನಂತ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫೈಬರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಬ್ಬರು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ ಆಫ್ ಮತ್ತು-ಆಕ್ಸಿಸ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ನ ಮೂಲವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ಆವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಪದವಿಯ ಶಾಖೆಯ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕವೂ ನೋಡಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಡಿಗ್ರಿ ವೇರಿಯಿಂಗ್ ರಾಮಿಫಿಕೇಷನ್ಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ನಾವು ರೇಖೆಯ ಶಾಖೆಯ ಹೊದಿಕೆಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ರೂಪದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಲೋಕಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ನಾರುಗಳು. ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಗುಣಾಕಾರವು ಒಂದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಿಭಜನೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಯೋಜನಾ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ಸ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾರ್ಫಿಜಮ್ಗಳು ಯೋಜನೆಗಳ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಹೊದಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಫೈನ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ರೇಖೆಯವರೆಗಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ಕೊಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಫೈಬರ್ನ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಯೋಜನೆಯು ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದನ್ನು ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅಫೈನ್ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಡಿಗ್ರಿ ಕವರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಫಾರ್ಮ್ನ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ರೇಖೆಯ ಉನ್ನತ ಡಿಗ್ರಿ ಕವರ್ಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರೇರಿತ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಲ್ಲಿ ಗುರಿಯ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಕವರ್ ಡಿಗ್ರಿ ಆಗಿದೆ. ಸೂಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಕುಟುಂಬದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿಶೇಷೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ರಾಮಿಫೈಡ್ ಕವರ್ಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ವರ್ಗದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ರಾಮಿಫೈಡ್ ಕವರ್ಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಕೀಮ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ರಾಮಿಫಿಕೇಷನ್ ಲೋಕಸ್ನೊಂದಿಗೆ ರಾಮಿಫೈಡ್ ಕವರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಶಾಖೆಯ ಹೊದಿಕೆಗಳು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುಂಪು ಶಾಖೋತ್ಪತ್ತಿ ಸ್ಥಳದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಶಾಖೆಯ ಹೊದಿಕೆಗಳನ್ನು ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಥವಾ ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ (ಗಣಿತ) ರೆಫರೆನ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.