Tate module
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ಟೇಟ್ ಹೆಸರಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಎ ಯಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ G ಎಂಬುದು K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸಂವಹನ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, Ks ಎಂಬುದು Kಯ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ, ಮತ್ತು A = G (Ks) (Gಯ Ks-ಮೌಲ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳು). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, A ಯ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ K ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು G ಯ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು A ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, A ಯ p-adic ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ A [pn] ಎಂಬುದು A ಯ pn ತಿರುಚು (ಅಂದರೆ. ಗುಣಾಕಾರ-ಮೂಲಕ-pn ನಕ್ಷೆಯ ಕರ್ನಲ್), ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಮಿತಿಯು ಗುಣಾಕಾರ-ಮೂಲಕ-p ನಕ್ಷೆ A [pn + 1] → A [pn] ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು n ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಪಿ-ಪವರ್ ತಿರುಚುಗಳನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ Zp-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು A ಯು K ಯ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ Ks ನಲ್ಲಿ ಏಕತೆಯ ಮೂಲಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ, A ಯ p-adic ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಲ್ಲಿ p ಮತ್ತು K ಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮೌನವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ GK ಯ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ Zp ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು K ಯ p-adic ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಅಕ್ಷರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು Gm, K ಓವರ್ K ಎಂಬ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನ ಯೋಜನೆಯ ಟೇಟ್ ಘಟಕ ಎಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ಟೇಟ್ ಘಟಕವು K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯ G ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, G ಯ Ks-ಮೌಲ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. G ಯ p-adic ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ Tp (G) ಒಂದು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ, GK, K ಯ). ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೇಲಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು K ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ≤ l ಇರುವ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ l ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, Tp (G) ಎಂಬುದು 2d ಶ್ರೇಣಿಯ Zp ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಘಟಕವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ d ಎಂಬುದು G ಯ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಪಿ ಎಂಬುದು ಕೆ ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜಿ ಯ ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಟೇಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಡ್ಯುಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಟೇಟ್ ಊಹೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. K ತನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಉದಾ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಒಂದು ಜಾಗತಿಕ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರ), p ಮತ್ತು A ಮತ್ತು B ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಳ್ಳ ಎರಡು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು K. ಅಲ್ಲಿ HomK (A, B) ಎಂಬುದು A ಯಿಂದ B ವರೆಗಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು Tp (A) ಯಿಂದ Tp (B) ವರೆಗಿನ GK-ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಟೇಟ್ 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಗೆರ್ಡ್ ಫಾಲ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ತನ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ "ಮೊರ್ಡೆಲ್ ಪೇಪರ್" ನಲ್ಲಿ ಕೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೆ ನಿಂದ ಪಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ, ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಏಕತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಪಿ-ಪವರ್ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆ ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎ (ಪಿ) ಗರಿಷ್ಠ ಅಲ್ಲದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪಿ-ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ವಿವರಣೆಯು ಕೆಂಕಿಚಿ ಇವಾಸಾವಾ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಇತರ ವರ್ಗವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ K ಗೆ, ನಾವು ಕಿ. ಮೀ. ಅನ್ನು ಏಕತೆಯ ಪಿ. ಎಂ.-ಶಕ್ತಿಯ ಬೇರುಗಳು, ಕಿ. ಮೀ. ಮತ್ತು A (p) ನ ಗರಿಷ್ಠ ಅನ್-ರಾಮಿಫೈಡ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ p-ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ Tp (K) ಒಂದು ಪ್ರೋ-p-ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ Zp-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು Tp (K) ಅನ್ನು ಮಾನದಂಡದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ Kmನ ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳಾದ Cmನ ವಿಲೋಮ ಮಿತಿಗೆ ಸಮರೂಪವೆಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಇವಾಸಾವಾ Tp (K) ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ Zp [[T] ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದು ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ p ಯ ಘಾತಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟೇಟ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಟೇಟ್ ಟ್ವಿಸ್ಟ್ ಇವಾಸಾವಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಭಾಗ 13 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.