Ore condition
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅದಿರು ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಯ್ಸ್ಟೀನ್ ಅದಿರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಸಂವಹನ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಂಗುರದ ಸ್ಥಳೀಕರಣ. R ಉಂಗುರದ ಗುಣಾಕಾರದ ಉಪಗುಂಪು S ಗೆ ಸರಿಯಾದ ಅದಿರು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಮತ್ತು, ಛೇದನ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಸರಿಯಾದ ಅದಿರು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು (ಸಂವಹನವಲ್ಲದ) ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬಲ ಅದಿರು ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಉಪಗುಂಪು S ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ R [S−1] ಬಲ ವರ್ತುಲವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ರೂಪದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ −1 ಆಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು R [S−1] ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವರ್ತುಲ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲ (−1) (bt−1); ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಮಗೆ s−1 ಅನ್ನು bಯ ಹಿಂದೆ "ಸರಿಸಲು" ಒಂದು ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು s − 1b ಅನ್ನು b1s1 − 1 ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ s ನಿಂದ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ s1 ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ a ಮತ್ತು s ಗಳಿಗಾಗಿ, a1 ಮತ್ತು s1 ಮತ್ತು ಅಂತಹವುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ (ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಮೂಲಕ) ಉಪ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು rs−1 ಮತ್ತು s ನಾನ್ಜೀರೋ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರಣ, ಅದೇ ರಚನೆಯು ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದೇ ಮತ್ತು ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು (ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಫೀಲ್ಡ್) ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಕೇಳುವುದು ಸಹಜ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉತ್ತರ "ಇಲ್ಲ" ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸದೃಶವಾದ "ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಲ ವಿಭಜನಾ ವಲಯ" ವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಬಲ ಅದಿರು ಡೊಮೇನ್ R ಗೆ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ (ನೈಸರ್ಗಿಕ R-ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ) ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ D ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು R ಅನ್ನು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ D ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು R ನಲ್ಲಿ r ಗೆ rs − 1 ಮತ್ತು R ನಲ್ಲಿ s ನಾನ್ಜೀರೋ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ D ಅನ್ನು R ನ ಬಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು R ಅನ್ನು D ಯಲ್ಲಿ ಬಲ ಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಎಡ ಕ್ರಮದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, D ಯ ಅಂಶಗಳು s − 1r ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಆರ್ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಡಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆರ್ಎಸ್-1 ರೂಪದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅದಿರು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ನ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಆರ್ ಎಡ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಡಿ s−1r ರೂಪದಲ್ಲಿರದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಆರ್ ಬಲ-ಎಡ-ಅದಿರು ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಡಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಆರ್ಎಸ್-1 ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತು ಆರ್ ಡಿ ಯ "ದೊಡ್ಡ" ಆರ್-ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಆರ್ಆರ್ ಡಿಆರ್ನ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ವಿಭಾಗ ವಲಯದಲ್ಲಿನ ಡೊಮೇನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯೂ ಸಹ ಅದಿರು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆಃ "ವಿಭಜನೆಯ ಉಂಗುರದ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಯಾವಾಗ ಬಲ ಅದಿರು ಆಗಿರುತ್ತದೆ?" ಡಿ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಡಿ ಯ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಬಲ ಅದಿರು ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಆರ್ ಡೊಮೇನ್ ಅಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದಿರು ಷರತ್ತುಗಳ ವಿಭಿನ್ನ, ಬಲವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಯು, ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹು ಸಿ = ಎಯು = ಬಿವಿ ಇರಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಓರೆ ಪ್ರಮೇಯವು (ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡ) ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರಿಂಗ್ ಆಫ್ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಓವರ್-ರಿಂಗ್ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಓರೆ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗೆ, ಅಬ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ರೈಟ್ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಂತಹ ರೈಟ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ರೈಟ್ ಓರ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆರ್ಆರ್ ಸೀಮಿತ ಏಕರೂಪದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಡೊಮೇನ್ ಆರ್ ಸರಿಯಾದ ಅದಿರು ಎಂದು ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಗೋಲ್ಡಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಬಲ ಬೆಜೌಟ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಬಲ ಅದಿರು ಎಂಬುದು ಸಹ ನಿಜ. ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡ ಅಲ್ಲದ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ನ ಸಬ್ಡೊಮೇನ್ ಅದಿರುಃ ಎಫ್ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಫ್ರೀ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ರಿಂಗ್ ಯಾವುದೇ ಅದಿರು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಫ್ರೀ ಐಡಿಯಲ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ನ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಅದಿರು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇತರ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ a, b, R ನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು s, t, S ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ R ಉಂಗುರದ ಉಪಗುಂಪು S ಅನ್ನು ಬಲ ವಿಭಾಜಕ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ (ಸೆಟ್ S ಅನ್ನು ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.) aS θ sR ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ; (ಸೆಟ್ S ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟವಾಗಿದೆ.) ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಯು ಇರುತ್ತದೆ; (ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದು.) S ಒಂದು ರೈಟ್ ಡಿನಾಮಿನೇಟರ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಕೇಸ್ನಂತೆಯೇ ರೈಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನ್ಗಳ ಆರ್ಎಸ್-1 ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. Sಅನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಅಂಶಗಳ ಸಮೂಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ (Rನಲ್ಲಿರುವ a ಅಂಶಗಳೆಂದರೆ, Rನಲ್ಲಿರುವ b ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಬ್ ಮತ್ತು ಬಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ), ಆಗ ಸರಿಯಾದ ಅದಿರು ಸ್ಥಿತಿಯು ಸರಳವಾಗಿ S ಅಂಶವು ಸರಿಯಾದ ಛೇದಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. R ಉಂಗುರಕ್ಕೆ S ಬಲ ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಡ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್ಎಸ್-1 ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಂ ಒಂದು ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಸ್-ತಿರುಚು, ಆರ್-ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಎಂಎಸ್-1 ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸಂವಹನ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿರುವಂತೆ "ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು" ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಓರೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಪುಟ ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಪುಟ ಓರೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಪುಟ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರಿಂಗ್ ಆಫ್ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ಸ್ ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ