Degree of a continuous mapping
ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಆಯಾಮದ ಎರಡು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಿರಂತರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಮಟ್ಟವು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಡೊಮೇನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪದವಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ನಕ್ಷೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮೊದಲು ಬ್ರೌವರ್ ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು, ಅವರು ಡಿಗ್ರಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ (ಹೋಮೋಟೋಪಿಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್) ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಯ ಮಟ್ಟವು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಮಟ್ಟವು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಿಂದ ಕೆಲವು ಕ್ರಮದ ನಿಯತಾಂಕ ಗುಂಪಿಗೆ ನಕ್ಷೆ) ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎಸ್. ಎನ್ ನಿಂದ ಎಸ್. ಎನ್. ವರೆಗಿನ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು-ಗೋಳದಿಂದ ಸ್ವತಃ ತನಕದ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಮಟ್ಟವು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ): ಇದು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ th ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು. ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ನಂತರ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವೆ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಆಧಾರಿತ m-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಓರಿಯಂಟಬಿಲಿಟಿ ಅದರ ಉನ್ನತ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು Z ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಉನ್ನತ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಒಂದು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯು f: X → Y, Hm (X) ನಿಂದ Hm (Y) ಗೆ f ≤ ಅನ್ನು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. [X], ರೆಸ್ಪ್ ಆಗಿರಲಿ. [Y] ಅನ್ನು Hm (X), ರೆಸ್ಪ್ನ ಆಯ್ದ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿರಿ. Hm (Y) (ಅಥವಾ X, Y ಯ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗ). ನಂತರ f ನ ಮಟ್ಟವನ್ನು f * ([X]) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, Yಯಲ್ಲಿ y ಮತ್ತು f−1 (y) ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, f−1 (y) ಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ Xನ m-th ಸ್ಥಳೀಯ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ fನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ f ಒಂದು ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು p ಯು f ನ ನಿಯಮಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಓರಿಯೆಂಟೇಶನ್ ಪ್ರಿಸರ್ವೇಷನ್ ಅಥವಾ ಓರಿಯೆಂಟೇಶನ್ ರಿವರ್ಸಿಂಗ್ ಆಗಿರಬಹುದು. r ಎಂಬುದು xi ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಅದರಲ್ಲಿ f ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು s ಎಂಬುದು f ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. f ನ ಕೋಡೊಮೈನ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ, r − s ಸಂಖ್ಯೆಯು p ನ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆದರೂ n ಅಲ್ಲ!). ಮತ್ತು ಒಂದು f ನ ಮಟ್ಟವನ್ನು r − s ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ನಂತರ f X ನ ಗಡಿಯನ್ನು Y ನ ಗಡಿಗೆ ಕಳುಹಿಸಬೇಕು. ಡಿಗ್ರಿ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 (ಡಿಗ್ 2 (ಎಫ್)) ಅನ್ನು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಆದರೆ ಝಡ್ 2 ಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡಿಇಜಿ2 (ಎಫ್) ಯು ಝಡ್2 (ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರ) ದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎನ್ ಎಂಬುದು ಮೊದಲಿನಂತೆ ಪಿ ಯ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಡಿಇಜಿ2 (ಎಫ್) ಎನ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 ಆಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಏಕೀಕರಣವು (ಸಿ-) ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಡಿ ರಾಮ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ನಡುವಿನ ಜೋಡಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಕ್ರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುವ ಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಡಿ ರಾಮ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ m-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವೆ f: X → Y ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಾಗಿ, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸರಪಳಿಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಗಳ ಮೇಲೆ f ಿರಿ ಮತ್ತು f ಿರಿ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. f ಿಱ [X] = ಡಿಗ್ f· [Y] ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು Yಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ m-ರೂಪ ω ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದ ನಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದು ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಯವಾದ, ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಡಿಗ್ರಿಯನ್ನು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪದವಿಯ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಅನಿಯಮಿತವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಪದವಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಡೀಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿಃ ಇಫ್ ಈಸ್ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಪಾರ್ಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಅಂಡ್. ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ಃ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಮೂಲಕ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪದವಿಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪದವಿಯನ್ನು ಅವು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಕ್ಷೆಯ ಮಟ್ಟವು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ; ಇದಲ್ಲದೆ ಗೋಳದಿಂದ ಸ್ವತಃ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳು ಹೋಮೊಟೊಪಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿಗ್ರಿ ಎಂಬುದು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ-ಆಯಾಮದ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M ಗೆ, n-ಗೋಳದ ಸ್ವಯಂ-ನಕ್ಷೆಯನ್ನು n + 1-ಚೆಂಡಿನಿಂದ n-ಗೋಳದವರೆಗೆ ನಕ್ಷೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೋಪ್ಫ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. (ಇಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಕಾರ್ಯವು ಎಫ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಎಫ್ ನಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ.) ಡಿಗ್ರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ಬಿ (ಎನ್ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ) ಗೆ ಎಫ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಡಿಗ್ರಿ ಡಿಗ್ (ಎಫ್, ಬಿ, 0) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಟಾಪ್ಡೆಗ್ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ-ಇದು ಪದವಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ (ಎಲ್ಜಿಪಿಎಲ್-3). ಇದೇ ಹೆಸರಿನ ಪದವಾದ ಕವರಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಇದು ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯ (ಪಾಲಿಟೋಪ್) ಗುಂಪಿನ ಕವರ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಅನಲಾಗ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಡಿಗ್ರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ರೇಡ್ ಟಿ. ಜಿವಾಲ್ಜೆವಿಕ್ ಅವರಿಂದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಡಿಗ್ರಿ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ