Kelly criterion
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡವು (ಅಥವಾ ಕೆಲ್ಲಿ ತಂತ್ರ ಅಥವಾ ಕೆಲ್ಲಿ ಪಂತ) ಒಂದು ಪಂತವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಂಪತ್ತಿನ ಲಾಗರಿದಮ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೆಲ್ಲಿ ಪಂತದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆದಾಯವು ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ತಮ್ಮ ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಆಗಿ ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸುವ ಬೆಟ್ಟರ್ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆಲ್ ಲ್ಯಾಬ್ಸ್ನ ಸಂಶೋಧಕ ಜೆ. ಎಲ್. ಕೆಲ್ಲಿ ಜೂನಿಯರ್ 1956ರಲ್ಲಿ ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹೇಳಲಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡವು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತಂತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಪತ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಪಂತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರಿಂದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗರಿಷ್ಠ ಆದಾಯ). ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಜೂಜಾಟಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೂಡಿಕೆ ನಿರ್ವಹಣೆಯಲ್ಲಿ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅದೇ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. 2000ದ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಕೆಲ್ಲಿ-ಶೈಲಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಹಿನಿಯ ಹೂಡಿಕೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಯಿತು ಮತ್ತು ವಾರೆನ್ ಬಫೆಟ್ ಮತ್ತು ಬಿಲ್ ಗ್ರಾಸ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಯಶಸ್ವಿ ಹೂಡಿಕೆದಾರರು ಕೆಲ್ಲಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ವಾದವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇಂಟರ್ಟೆಂಪೋರಲ್ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಜೂಜಾಟದ ಸೂತ್ರ ಪಂತವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಂತವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಲ್ಲಿ, ಕೆಲ್ಲಿ ಪಂತವೆಂದರೆಃ ಎಲ್ಲಿಃ ಪಂತಕ್ಕೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಬ್ಯಾಂಕ್ರೋಲ್ನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ನಷ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆ (). ಇದು ಗೆಲುವಿನೊಂದಿಗೆ ಗಳಿಸಿದ ಪಂತದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ರಿಂದ 1 ಆಡ್ಸ್ ಪಂತದಲ್ಲಿ $10 ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡಿದರೆ (ಗೆಲ್ಲುವ ನಂತರ ನಿಮಗೆ $30 ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿಮಗೆ $20 ಗೆಲ್ಲುತ್ತದೆ), ಆಗ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಜೂಜಾಟವು ಗೆಲ್ಲುವ ಶೇಕಡಾ 60ರಷ್ಟು ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (,), ಮತ್ತು ಜೂಜುಕೋರನು ಗೆಲ್ಲುವ ಪಂತದಲ್ಲಿ () 1ರಿಂದ 1ರಷ್ಟು ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ಬ್ಯಾಂಕ್ರೋಲ್ನ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು, ಜೂಜುಕೋರನು ಪ್ರತಿ ಅವಕಾಶದಲ್ಲಿ () ಬ್ಯಾಂಕ್ರೋಲ್ನ ಶೇಕಡಾ 20ರಷ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಬೇಕು. ಜೂಜುಕೋರನು ಶೂನ್ಯ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಜೂಜುಕೋರನು ಏನನ್ನೂ ಬಾಜಿ ಮಾಡಬಾರದು ಎಂದು ಮಾನದಂಡವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂಚು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ () ಸೂತ್ರವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಜೂಜುಕೋರನು ಪಂತದ ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಮೆರಿಕನ್ ರೂಲೆಟ್ನಲ್ಲಿ, ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ 18 ಕೆಂಪು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು 20 ಕೆಂಪು-ಅಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ಬೆಟ್ಟರ್ಗೆ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಮೇಲೆ ಸಮ ಹಣದ ಪಾವತಿಯನ್ನು () ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲ್ಲಿ ಪಂತ ಎಂದರೆ, ಜೂಜುಕೋರರು ತಮ್ಮ ಬ್ಯಾಂಕ್ರೋಲ್ನ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣವು ಬರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬಾಜಿ ಮಾಡಬೇಕು. ರೂಲೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಆಡ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಆಂಟಿ-ರೆಡ್ ಪಂತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲ್ಲಿ ಜೂಜುಕೋರನು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕೆಲಸವೆಂದರೆ ಏನನ್ನೂ ಬಾಜಿ ಮಾಡದಿರುವುದು. ಹೂಡಿಕೆ ಸೂತ್ರ ಕೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಭಾಗಶಃ ನಷ್ಟವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೂಡಿಕೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿಃ ಭದ್ರತೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾದ ಸ್ವತ್ತುಗಳ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೂಡಿಕೆಯು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೂಡಿಕೆಯು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ (). ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಕಳೆದುಹೋದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಭದ್ರತಾ ಬೆಲೆಯು ಶೇಕಡಾ 10ರಷ್ಟು ಕುಸಿದರೆ, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಿದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಭದ್ರತಾ ಬೆಲೆಯು ಶೇಕಡಾ 10ರಷ್ಟು ಏರಿದಾಗ. ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡವು ತಿಳಿದಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇದು ಹೂಡಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಪಾಯದಿಂದ ದೂರವಿರುವ ಹೂಡಿಕೆದಾರರು ಪೂರ್ಣ ಕೆಲ್ಲಿ ಭಾಗವನ್ನು ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಬಾರದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಗೆಲುವು-ನಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಡಬ್ಲ್ಯುಎಲ್ಪಿ) ಅನುಪಾತ, ಇದು ಗೆಲ್ಲುವ ಮತ್ತು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪಂತಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪಂತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗೆಲುವು-ನಷ್ಟದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ (ಡಬ್ಲ್ಯುಎಲ್ಆರ್), ಇದು ಗೆಲುವಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಕನಿಷ್ಠ, ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಲು 1 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು (ಆದ್ದರಿಂದ). ಗೆಲುವು-ಸೋಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತವು ಅನನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯೂ ಇದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಅಂಚು ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವು ಸುಲಭವಾಗಿ 1ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ (ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನೋಡಿ). ಇದು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸೂತ್ರವು ಪಂತದ ದೊಡ್ಡ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಸರಿದೂಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ದೊಡ್ಡ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇರುತ್ತದೆ. 1ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಭದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಹತೋಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಉದಾಹರಣೆ-ನಡವಳಿಕೆಯ ಪ್ರಯೋಗ ಒಂದು ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಭಾಗವಹಿಸುವವರಿಗೆ $25 ನೀಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು 60 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ತಲೆಗೆ ಬೀಳಿಸುವ ನಾಣ್ಯದ ಮೇಲೆ ಸಮ-ಹಣದ ಪಂತಗಳನ್ನು ಹಾಕಲು ಕೇಳಲಾಯಿತು. ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಆಡಲು 30 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸುಮಾರು 300 ಪಂತಗಳನ್ನು ಹಾಕಬಹುದಾಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಬಹುಮಾನಗಳನ್ನು $250ಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ವಿಷಯಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿರಲಿಲ್ಲಃ {{blockquote|Remarkably, ಭಾಗವಹಿಸಿದವರಲ್ಲಿ 28 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಜನರು ವಿಫಲರಾದರು, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಪಾವತಿಯು ಕೇವಲ $91 ಆಗಿತ್ತು. ಭಾಗವಹಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 21 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಜನರು ಮಾತ್ರ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪಿದರು. 61 ಭಾಗವಹಿಸುವವರಲ್ಲಿ 18 ಮಂದಿ ಒಂದು ಟಾಸ್ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಯೋಗದ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಎರಡರಷ್ಟು ಮಂದಿ ಬಾಲಗಳ ಮೇಲೆ ಜೂಜು ಆಡುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿನ ಆಡ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ($250 ರ ಕ್ಯಾಪ್ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸೀಮಿತ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ), ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ನಾಣ್ಯದ ಪ್ರತಿ ಟಾಸ್ ಮೇಲೆ ಒಬ್ಬರ ಬ್ಯಾಂಕ್ರೋಲ್ನ 20 ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡುವುದು, ಇದು ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಿನ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ, 4 ಪ್ರತಿಶತದ ಅಂಕಗಣಿತದ ದರವಲ್ಲ (r = 0.2 x (0.6-0.4) = 0.14). 300 ಸುತ್ತುಗಳ ನಂತರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಪತ್ತು ಮಿತಿಗೊಳಿಸದಿದ್ದರೆ $10,505 () ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಪ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಟಾಸ್ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 12 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಮಡಕೆಯನ್ನು ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ತಂತ್ರವು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಕ್ಯಾಪ್ ತಲುಪುವ 95 ಪ್ರತಿಶತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ $242.03 ಪಾವತಿ). ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡದ ಪುರಾವೆ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಪುರಾವೆಗಳು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡವು ಸಂಪತ್ತಿನ ಲಾಗರಿದಮ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೊತ್ತದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಾವು 1 ಯುನಿಟ್ ಸಂಪತ್ತಿನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಆ ಸಂಪತ್ತಿನ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತೇವೆ. ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಮತ್ತು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಂಪತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಷ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು, ಮತ್ತು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಂಪತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವೆಂದರೆಃ ನಾವು ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗರಿಷ್ಠ r ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ (f ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ), ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಮೀಕರಣವುಃ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಂಪತ್ತಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಕೆಲ್ಲಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ನಷ್ಟವು ಪಂತದ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದಾಗ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸರಳ ಜೂಜಿನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. 1738ರ ಒಂದು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಡೇನಿಯಲ್ ಬರ್ನೌಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಪಂತಗಳು ಅಥವಾ ಹೂಡಿಕೆಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಪ್ರೇರಣೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ (ಬರ್ನೌಲಿ ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸಿದ್ದರು). ಬರ್ನೌಲಿ ಲೇಖನದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷಾಂತರವನ್ನು 1954 ರವರೆಗೆ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಕೃತಿಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಚಿರಪರಿಚಿತವಾಗಿತ್ತು. ಷೇರು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಅನ್ವಯ ಗಣಿತದ ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ, ಭದ್ರತಾ ತೂಕವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಿದರೆ (ಇದು ಲಾಗ್ ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಆಗ ಬಂಡವಾಳ ಪಟ್ಟಿಯು ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೊಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಪಾರ ಕಸವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆದಾಯ ಮತ್ತು ಸ್ವತ್ತುಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳು ಅಥವಾ ಗಮನಾರ್ಹ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ತೂಕಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೆಳವಣಿಗೆಯ-ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೊದ ಎಕ್ಸ್-ಪೋಸ್ಟ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯು ಎಕ್ಸ್-ಆಂಟಿ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಿಂದ ಅದ್ಭುತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ದೋಷಗಳು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಅಪಾಯವನ್ನು ಎದುರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರ್ಧ). ಸ್ಥೂಲ ಅಂದಾಜುಗಳು ಇನ್ನೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆದಾಯವನ್ನು 4 ಪ್ರತಿಶತ ಮತ್ತು ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು 16 ಪ್ರತಿಶತ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ವಾರ್ಷಿಕ ಶಾರ್ಪ್ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಕೆಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತವನ್ನು 25 ಪ್ರತಿಶತ ಮತ್ತು 150% ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೈಲಿ ಶಾರ್ಪ್ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಕೆಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತವು 1.7% ಮತ್ತು 150% ಆಗಿದೆ. ಶಾರ್ಪ್ ಅನುಪಾತವು p = (50% + 1.7%/4) ದೈನಂದಿನ ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದೆವು. ಈಗ ನಾವು ಮೇಲಿನದಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಕೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಾವು ಕೆಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥೂಲ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಈ ಎರಡೂ ಅಂದಾಜುಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಂಜಸವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ವಿವೇಕಯುತವಾದ ವಿಧಾನವು ಕೆಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಇನ್ನೂ 50 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಅರ್ಧ ಕೆಲ್ಲಿ). ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಒ. ಥಾರ್ಪ್ ಮತ್ತು ಸಹ-ಲೇಖಕರ ವಿವರವಾದ ಪ್ರಬಂಧವು ಅಮೆರಿಕದ ಷೇರು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯ ಎಸ್. ಪಿ. 500 ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಕೆಲ್ಲಿ ಭಾಗವು 117% ಎಂದು ಅಂದಾಜಿಸಿದೆ. ಈಕ್ವಿಟಿ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಹಿನ್ನಡೆ-ಅಪಾಯವು ಕೆಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ನಿಷ್ಕಪಟ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರ್ಧ-ಕೆಲ್ಲಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು). ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕೆಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಭರವಸೆಯು ಬಲವಾದದ್ದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಕೆಲವು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ತೀವ್ರವಾಗಿ ವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೂಡಿಕೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರದ ಬಯಕೆಯನ್ನು ಮೀರಿಸಬಹುದು. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಪಂತಗಳನ್ನು ಗಾತ್ರಗೊಳಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ (ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ, ಕೆಲ್ಲಿ ಪಂತವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಘರ್ಷವಿಲ್ಲ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೆಲ್ಲಿಯ ಮೂಲ ಕಾಗದವು ಜೂಜಿನ ಆಟಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ). ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲಿಗರು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವುದು ಅಥವಾ ತಮ್ಮ ಪ್ರಯೋಜನ (ಅಂಚು) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ದೋಷಗಳ ವಿರುದ್ಧ ರಕ್ಷಿಸುವಂತಹ ವಿವಿಧ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಕೆಲ್ಲಿಗಾಗಿ (ಕೆಲ್ಲಿ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಿದ ಮೊತ್ತದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗವನ್ನು ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು) ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಘಟನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಜೂಜುಕೋರನು ಗೆಲ್ಲುವ ತಮ್ಮ ನಿಜವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದಾಗ, ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಮಾನದಂಡದ ಮೌಲ್ಯವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದುದರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿನಾಶದ ಅಪಾಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು 'ಸಮಯ ವೈವಿಧ್ಯೀಕರಣ' ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ವಿವಿಧ ಅನುಕ್ರಮ ಕಾಲಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಅಪಾಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಆಸ್ತಿ ವೈವಿಧ್ಯೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ವಿವಿಧ ಸ್ವತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಅಪಾಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ). ಪೌಲ್ ಎ. ಸ್ಯಾಮುಯೆಲ್ಸನ್ ಅವರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಸಮಯ ವೈವಿಧ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ಆಸ್ತಿ ವೈವಿಧ್ಯೀಕರಣದ ನಡುವೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಸಮಗ್ರ-ಸರಾಸರಿ (ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ) ಮತ್ತು ಸಮಯ-ಸರಾಸರಿ (ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಮಯದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲ್ಲಿ ಬಹು-ಅವಧಿಯ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್) ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಇದೆ. ಎರ್ಗೋಡಿಸಿಟಿ ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ನವೀಕರಿಸಲಾಯಿತು. ಆದರೂ ಎರ್ಗೋಡಿಸಿಟಿ ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಮತ್ತು ನೈಟಿಯನ್ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕು. ಕಠಿಣ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ, ಕೆಲ್ಲಿಯ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧ ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಇತರ ಕೆಲವು ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಕೆಲವು ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ವಾದವನ್ನು (50:50 "ಸಮ ಹಣ" ಪಂತ) ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ ಯಾವಾಗ ತಮ್ಮ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಪತ್ತಿನ ಮೇಲೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ. ಅವರು ಗೆದ್ದರೆ, ಅವರಿಗೆ ಒಂದು ಪಂತದ ನಂತರ ಇರುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸೋತರೆ, ಅವರು ಸೋಲುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ಈ ರೀತಿಯ ಪಂತಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಈ ಪಂತಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದ ಸಮಯವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಪತ್ತು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಗೆಲುವು ಮತ್ತು ನಷ್ಟಗಳ ಕ್ರಮವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಂಪತ್ತಿನ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಬೆಟ್ಟರ್ ಬೇರೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ (ಅಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು). ಅವರು ಗೆಲುವಿನ ನಂತರ ಮತ್ತು ಸೋಲಿನ ನಂತರ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟರ್ ಗಳಂತೆಯೇ ಗೆಲುವುಗಳು ಮತ್ತು ನಷ್ಟಗಳ ಸರಣಿಯ ನಂತರ, ಅವರು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿಃ ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಃ ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಗೆಲ್ಲುವ ಪಂತಗಳ ಪ್ರಮಾಣವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದುರ್ಬಲ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಿಮ ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕೆಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದು. ಕೆಲ್ಲಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳೆರಡೂ ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬರು ಕೆ ಮತ್ತು ಎನ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ಸಂಪತ್ತಿನ ಸ್ಥಿರವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸಿದರೆ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಬ್ಬರು ಮೋಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಥ್ ಗೆಲುವಿನ ನಂತರ ಉಳಿದ ಪಂತಗಳು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬಾಜಿ ಮಾಡಬಹುದು), ಒಬ್ಬರು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಿದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ನಿಜ, ಅದು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಲಿ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಲಿ. ಕೆಲ್ಲಿಯ "ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ" ಭಾಗವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಅದು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತಾ ಹೋದಂತೆ, ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲ್ಲಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಯಾರಾದರೂ ಸ್ಟ್ರೆಚ್ಗಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು; ಕೆಲ್ಲಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಯಾರಾದರೂ ಸ್ಟ್ರೆಚ್ಗಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದ ಶೋಧನಾ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಬಂಡವಾಳದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರೆ, ಪ್ರಯೋಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಬಂಡವಾಳವು ಅಂಶದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ, ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ವಿಫಲವಾದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಬಂಡವಾಳವು ಅಂಶದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ (ಯಶಸ್ಸು ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ), $1 ಆರಂಭಿಕ ಬಂಡವಾಳವು ಗರಿಷ್ಠ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಒ. ಥೋರ್ಪ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಸೂತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಅಲ್ಲಿ, ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ "ಯಶಸ್ಸಿನ" ಅನುಪಾತದ ಪರ್ಯಾಯವು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರಿಂದ ಈ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು, ವಿಚಾರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಿಚಾರಣೆಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಪತ್ತಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದೇ ಆಟವನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಆಡುವ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲದ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಶೋಧನಾ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ, ಯಶಸ್ಸು ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವೇ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಲ್ಲಿಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಕುದುರೆ ಓಟಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಪರಸ್ಪರ ವಿಶೇಷ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಜೂಜಾಟದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಹಲವಾರು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. - th ಕುದುರೆಯು ಓಟವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು,-th ಕುದುರೆಯ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಒಟ್ಟು ಪಂತಗಳು, ಮತ್ತು ಪಾವತಿಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. , ಡಿವಿಡೆಂಡ್ ದರವು ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಟೇಕ್ ಅಥವಾ ತೆರಿಗೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಟೇಕ್ ಅನ್ನು ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ಆದಾಯದ ದರವಾಗಿದ್ದು, ಯಾವಾಗ-ಕುದುರೆ ಗೆಲ್ಲುತ್ತದೆ. - th ಕುದುರೆಯ ಮೇಲೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ಬೆಟ್ಟರ್ ನಿಧಿಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಪರಸ್ಪರ ವಿಶೇಷ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೂಜಾಟಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲ್ಲಿಯ ಮಾನದಂಡವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟುವುದು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ಬೆಟ್ಟರ್ ಸಂಪತ್ತಿನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಃ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆದಾಯ ದರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಅತ್ಯಂತ ಭರವಸೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ): ಹೊಸ ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚಾಗದಂತೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಮಾಡಿ (ಖಾಲಿ ಸೆಟ್),. ಹೀಗಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪಂತವನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿಃ ನಂತರ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ-th ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆಃ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿಃ ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೊಂದಿಸಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿಲ್ಲಿಸಿ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಬೇಡಿ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ,-th ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಬಲಭಾಗವು ಮೀಸಲು ದರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆದಾಯ ದರವು ಮೀಸಲು ದರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಭಾಗದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೀಸಲು ದರಕ್ಕಿಂತ-th ಕುದುರೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆದಾಯ ದರವನ್ನು-th ಕುದುರೆಯು ಗೆದ್ದಾಗ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರದ ಆದಾಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅಥವಾ-th ಕುದುರೆಯು ಗೆಲ್ಲುವಾಗ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ಆದಾಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ-th ಕುದುರೆಯು ಮೀಸಲು ದರವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಬೈನರಿ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಘಾತಾಂಕವು ಮತ್ತು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪಂತಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹಲವಾರು ಅತ್ಯಂತ ಭರವಸೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ತಿಳಿದಿರುವಾಗ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಉಳಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಗೆಲ್ಲಲು ಯಾವುದೇ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಮತ್ತು ಆಗಿರಬೇಕು. ಸ್ಟಾಕ್ ಹೂಡಿಕೆಗಳು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಮಾನದಂಡದ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಟಾಕ್ ಹೂಡಿಕೆಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಭಾಗವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಐತಿಹಾಸಿಕ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ-ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಅಂದಾಜು ದೃಢವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಏಕ ಆಸ್ತಿಗಳಿಗೆ (ಸ್ಟಾಕ್, ಸೂಚ್ಯಂಕ ನಿಧಿ, ಇತ್ಯಾದಿ). ), ಮತ್ತು ಅಪಾಯ-ಮುಕ್ತ ದರ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಮೂಲಕ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ. () ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲಾಗ್ನಾರ್ಮಲಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟೆಡ್ ಅಸೆಟ್ನ ವಿಕಾಸವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು (ಶೇಕಡಾವಾರು ಚಲನೆ) ಮತ್ತು (ಶೇಕಡಾವಾರು ಚಂಚಲತೆ) ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಲಾಗರಿದಮ್ನ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದುಃ ನಂತರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಲಾಗ್ ರಿಟರ್ನ್ ಎಂದರೆ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಮಾಡಿದ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ಮತ್ತು ಬಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಅಪಾಯ-ಮುಕ್ತ ದರವನ್ನು ಪಾವತಿಸುವ ಬಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಭಾಗದಿಂದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಒಂದು-ಅವಧಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಥೋರ್ಪ್ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆದರು ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಮೂಲಕ. ಅದು ಅಸೆಟ್ ಲಾಗ್ ರಿಟರ್ನ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ಇದನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದು ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವ ಜಾಲತಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಲೇಖನಗಳು ಮಾಡುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಬಹು ಸ್ವತ್ತುಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಆದಾಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಟಾಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಆದಾಯದೊಂದಿಗೆ ಅಪಾಯವಿಲ್ಲದ ಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಹೂಡಿಕೆದಾರರು ತಮ್ಮ ಬಂಡವಾಳದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಬಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಬಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, ಹೂಡಿಕೆದಾರರ ಆರಂಭಿಕ ಬಂಡವಾಳವು 1ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಕೆಲ್ಲಿ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಒಬ್ಬರು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಬೇಕು ಇದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಸಾಧನಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆದಾಯದ ಎರಡನೇ ಮಿಶ್ರ ಕೇಂದ್ರವಲ್ಲದ ಕ್ಷಣಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಕೆಲ್ಲಿ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಹತೋಟಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾರಾಟದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಹ ಇದೆ. ಜೂಜಾಟದ ಅಪಾಯ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಪ್ರೋಬ್ಸ್ಟಿಂಗ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಮೆರ್ಟನ್ನ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿರ್ಧಾರಗಳು ಜೂಜಾಟದ ಗಣಿತ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪಂತದ ಲೇಖನಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ 1956 ಪರಿಚಯಗಳು ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು