Point-biserial correlation coefficient
ಪಾಯಿಂಟ್ ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಕೋರಿಲೇಷನ್ ಗುಣಾಂಕವು (ಆರ್ಪಿಬಿ) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ಉದಾ. ವೈ) ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ; ವೈ "ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ" ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ನಾಣ್ಯವು ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲವನ್ನು ಬೀಳಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕೃತಕವಾಗಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಲಾದ ಚಲಪರಿಮಾಣವಾಗಿರಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕೃತಕವಾಗಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಕೃತಕವಾಗಿ ದ್ವಿಭಾಜ್ಯಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಹೊಸ ದ್ವಿಭಾಜ್ಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಬಹುದು. ಇದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ದ್ವಿಮುಖ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪಿಯರ್ಸನ್ (ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಷಣ) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ನಾವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅಳೆಯುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಮತ್ತು ಡೈಕೋಟೋಮಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ Y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, rXY = rpb. ಡೈಕೋಟೋಮಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. rpbಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ದ್ವಿಮುಖ ಚಲಪರಿಮಾಣ Yಯು 0 ಮತ್ತು 1 ಎಂಬ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, Yಯಲ್ಲಿ "1" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದ ಗುಂಪು 1 ಮತ್ತು Yಯಲ್ಲಿ "0" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದ ಗುಂಪು 2, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರಿಗೂ ದತ್ತಾಂಶ ಲಭ್ಯವಿರುವಾಗ ಬಳಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವೆಂದರೆ Sn: ಗುಂಪು 1ರಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ Xನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ M1, ಮತ್ತು ಗುಂಪು 2ರಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ Xನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ M0. ಇದಲ್ಲದೆ, n1 ಎಂಬುದು ಗುಂಪು 1ರಲ್ಲಿನ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n0 ಎಂಬುದು ಗುಂಪು 2ರಲ್ಲಿನ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು n ಎಂಬುದು ಒಟ್ಟು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಗಣನೆಯಲ್ಲಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಲುವಾಗಿ rXY ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆದ ಗಣನೆಯ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ; rXY ಗಿಂತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಎಸ್ಎನ್-1 ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರವಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಎಸ್ಎನ್-1 ಎಂಬುದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ದತ್ತಾಂಶ ಲಭ್ಯವಿರುವಾಗ ಬಳಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆಃ ಎಸ್ಎನ್-1 ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಸೂತ್ರದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಒಂದು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತಿದ್ದರೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಸ್ಎನ್-1 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಲಭ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಎಸ್ಎನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲ. ಗ್ಲಾಸ್ ಮತ್ತು ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಅಂಡ್ ಸೈಕಾಲಜಿ, (3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ) ಪಾಯಿಂಟ್ ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಸೂತ್ರದ ಸರಿಯಾದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಿಂದು ದ್ವಿಭಾಜಕ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು, ಆರ್ಪಿಬಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಜೋಡಿಯಿಲ್ಲದ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸೂತ್ರದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದಾಗ (ಎನ್1 + ಎನ್0−2) ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ವಲ್ಪ ಬೀಜಗಣಿತವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು ದ್ವಿಭಾಜಕ ಗುಣಾಂಕದ ಒಂದು ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ, Y ಯ ವಿತರಣೆಯು 50/50 ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾದಷ್ಟೂ, ಗುಣಾಂಕವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಉತ್ತಮ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ u ಎಂಬುದು ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಏಕಮಾನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿತರಣೆಯನ್ನು n0/n ಮತ್ತು n1/n ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ X ಎಂಬುದು Y ಒಂದಾಗಿರುವ ಹಲವಾರು ಡೈಕೋಟೋಮಸ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, X ಎಂಬುದು n ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿ ಗಳಿಸಿದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಒಟ್ಟು ಅಂಕವಾಗಿದೆ. ಆಸಕ್ತಿಯ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು (ಇದು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಒಟ್ಟು ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಪಕ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಗಣನೆಗಳಿವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆಃ (i) ಐಟಂ ಸ್ಕೋರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಐಟಂ ಸ್ಕೋರ್ಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಒಟ್ಟು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸ್ಕೋರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ, (ii) ಐಟಂ ಸ್ಕೋರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಐಟಂ ಸ್ಕೋರ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಒಟ್ಟು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸ್ಕೋರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ, ಮತ್ತು (iii) ಪರೀಕ್ಷಾ ಸ್ಕೋರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಐಟಂ ಸ್ಕೋರ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪಕ್ಷಪಾತಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು (iii) ಬಿಂದುವಿನ ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಗುಣಾಂಕದ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಶ್ರೇಣಿ ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು X ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ Y ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X ನಿರಂತರವಾಗಿ ಇರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ನಾವು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಆದರೆ Yಯ ವಿತರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಅಸಮಾನವಾಗುವುದರಿಂದ ಅದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗುವುದರಿಂದ ಅದು ಅದೇ ಅನಾನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಗುಣಾಂಕವು ಅದರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಶ್ರೇಣಿಗಳು 0 ರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಶ್ರೇಣಿಗಳು 1 ರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ಲಸ್ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ (n1 + n0)/2 ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ಲಸ್ ಒಂದರಿಂದ ಮೈನಸ್ ಒಂದರವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ ಸರಾಸರಿ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮರುಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಪರಸ್ಪರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಎಂ1 ಮತ್ತು ಎಂ0 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ದ್ವಿಮುಖ ಚಲಪರಿಮಾಣದ 1 ಮತ್ತು 0 ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳ ಸಾಧನಗಳಾಗಿವೆ. ಒಪ್ಪಂದಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಈ ಸೂತ್ರವು ಜೀನ್ ವಿ ಗ್ಲಾಸ್ (1966) ನಿಂದಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ rrb ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಾದ n1 ಮತ್ತು n0 ನೊಂದಿಗೆ ಮನ್-ವಿಟ್ನಿ U ಎಂದು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಕಲಮ್, ರಾಬರ್ಟ್ ಸಿ., ಮತ್ತು ಇತರರು. 2002 ರಲ್ಲಿ. ಕ್ವಾಂಟಿಟೇಟಿವ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಡೈಕೋಟೋಮೈಸೇಶನ್ ಅಭ್ಯಾಸದ ಬಗ್ಗೆ. ಮಾನಸಿಕ ವಿಧಾನಗಳು 7 (1): 19-40. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬೈಸೆರಿಯಲ್ ಗುಣಾಂಕ (ಕೀತ್ ಕಾಲ್ಕಿನ್ಸ್, 2005) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಸೂಚಕಗಳು