Padé approximant
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಎಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪವಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದ "ಅತ್ಯುತ್ತಮ" ಅಂದಾಜು. ಈ ತಂತ್ರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅಂದಾಜು ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯು ಅದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು 1890 ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಹೆನ್ರಿ ಪಾಡೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಜಾರ್ಜ್ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತಾರೆ, ಅವರು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪವರ್ ಸರಣಿಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂದಾಜುಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿದರು. ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಇನ್ನೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಹಾಯಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗಾಗಿ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಿಧಾನಗಳು-ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪಾಡೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾಗಿವೆ-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ. ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೃತಕ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುವು ಅಂದಾಜಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಬೋರೆಲ್-ಪಾಡೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ಬಹು-ಬಿಂದು ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಒಂದು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಆಗಲು ಕಾರಣ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು 0 ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರವಾಗುವ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು "ಅಪೂರ್ಣ ಎರಡು-ಬಿಂದು ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ f ಮತ್ತು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ m ≤ 0 ಮತ್ತು n ≤ 1 ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕ್ರಮದ [m/n] ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದು f (x) ಅನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಒಪ್ಪುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ (0 ರಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ) ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದಗಳು ಮೊದಲ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಕೊಟ್ಟಿರುವ m ಮತ್ತು n ಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಎಂದು ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಕ್ಕಾಗಿ ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮೂಲಕ ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಬಹುಪದಗಳ ವಿಸ್ತೃತ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದ ಬೆಜೌಟ್ ಗುರುತು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನೆನಪಿಡಿ, p ಮತ್ತು q ಎಂಬ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಒಂದು ದೀರ್ಘ ವಿಭಜನೆಯ ಮೂಲಕ ಉಳಿದ ಅನುಕ್ರಮ k = 1,2,3,. ಜೊತೆಗೆ, ವರೆಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. [m/n] ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ, ಒಂದು ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಡಿಗ್ರಿ n ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಬಹುಪದಗಳು [m/n] ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತವೆ. ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಗಣನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಪಾಡೆ ಕೋಷ್ಟಕದ ವಿರೋಧಿ ಕರ್ಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ರೀಮನ್-ಪಾಡೆ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಪುನಸ್ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಪಾಡೆ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಿ, ಅಲ್ಲಿ f (x) ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಮದ (m, n) ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಇರುತ್ತದೆ. s = 0 ನಲ್ಲಿರುವ ಝೀಟಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪಾಡೆ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ aj ಮತ್ತು bj ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ '0' ಎಂದರೆ ಪ್ಯಾಡೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ [0/0] ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಡ್ಲಾಗ್ ಪ್ಯಾಡೆ ವಿಧಾನದ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಉಷ್ಣಬಲವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, f (x) ಕಾರ್ಯವು x = r ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು x = r ಅನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು ಮತ್ತು p ಅನ್ನು f ನ ಸಂಬಂಧಿತ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಘಾತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಒಂದು ಚರರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಚಿಶೋಲ್ಮ್ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಜೆ. ಎಸ್. ಆರ್. ಚಿಶೋಲ್ಮ್ ನಂತರ), ಅನೇಕ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರ್ಬರಿ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಂಟ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಗ್ರೇವ್ಸ್-ಮೋರಿಸ್ ನಂತರ). ಎರಡು-ಬಿಂದುಗಳ ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಕಳಪೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಇದನ್ನು 2-ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಲ್ಟಿಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅಟ್, ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಃ ಮತ್ತು ಅಟ್, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಃ ಪ್ರಮುಖ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವಂತಹ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿರಬಹುದಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ, 2-ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜಿನ ಉತ್ತಮ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 2-ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ನೀಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿರಬಹುದು. ಬಹುಪದಗಳು ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಸರಣಿಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ, ನಾವು 2-ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ, ಮೊದಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಬಹು-ಬಿಂದು ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು 2-ಬಿಂದು ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜಿನ ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಬಹು-ಬಿಂದು ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯದ ಏಕತ್ವದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 2-ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜು ಜೊತೆಗೆ, ಇದು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವುದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಜಾಕೋಬಿ ಬೆಸೆಲ್ ಫ್ರೆಸ್ನೆಲ್ ಪಾಡೆ ಟೇಬಲ್ ಒಂದನೇ ಭಾಸ್ಕರ ಅವರ ಸೈನ್ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲಿಟರೇಚರ್ ಬೇಕರ್, ಜಿ. ಎ., ಜೂನಿಯರ್; ಮತ್ತು ಗ್ರೇವ್ಸ್-ಮೋರಿಸ್, ಪಿ. ಪಾಡೆ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಂಟ್ಸ್. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯು. ಪಿ, 1996. ಬೇಕರ್, ಜಿ. ಎ., ಜೂನಿಯರ್ ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜು, ಸ್ಕೋಲಾರ್ಪೀಡಿಯಾ, 7 (6): 9756. ಬ್ರೆಜಿನ್ಸ್ಕಿ, ಸಿ.; ರೆಡಿವೊ ಝಾಗ್ಲಿಯಾ, ಎಂ. ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಮೆಥಡ್ಸ್. ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ. ಉತ್ತರ-ಹಾಲೆಂಡ್, 1991. ಫ್ರೋಬೆನಿಯಸ್, ಜಿ.;, [ಜರ್ನಲ್ ಫರ್ ಡೈ ರೈನ್ ಉಂಡ್ ಏಂಜೆವಾಂಡೆ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ (ಕ್ರೆಲ್ಲೆಸ್ ಜರ್ನಲ್)]. ಸಂಪುಟ 1881, ಸಂಚಿಕೆ 90, ಪುಟಗಳು 1-17. ಗ್ರ್ಯಾಗ್, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಬಿ.; ದಿ ಪೇಡ್ ಟೇಬಲ್ ಅಂಡ್ ಇಟ್ಸ್ ರಿಲೇಶನ್ ಟು ಸೆರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಸ್ ಆಫ್ ನ್ಯೂಮರಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ [ಎಸ್ಐಎಎಂ ರಿವ್ಯೂ], ಸಂಪುಟ. 14, ನಂ. 1, 1972, ಪುಟಗಳು. 1-62. ಪಾಡೆ, ಎಚ್.;, ಥೀಸಿಸ್, [ಆನ್. ಎಕೋಲ್ ನೊರ್. (3), 9,1892, ಪು. 1-93 ಪೂರಕ. .. ಬಾಹ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಪಾಡೆ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಂಟ್ಸ್, ಒಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಪಾವ್ಲಿಕ್, ದಿ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಷನ್ಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್. ಡೇಟಾ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಬ್ರೀಫ್ಬುಕ್ಃ ಪೇಡ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್, ರುಡಾಲ್ಫ್ ಕೆ. ಬಾಕ್ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಲ್ಯಾಬೊರೇಟರಿ ಫಾರ್ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್, ಸಿಇಆರ್ಎನ್. Sinewave, ಸ್ಕಾಟ್ ದತ್ತಾಲೋ, ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದ 2010-11-11. ಸಮಯದ ವಿಳಂಬದೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳ ಪ್ಯಾಡೆ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಕಾರ್ಯ. ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು