Join (topology)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಜೋಡಣೆ ಮತ್ತು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಥವಾ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಜಾಗದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗಃ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆ-ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪು. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಜೋಡಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಎ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆ-ವಿಭಾಗಗಳು, ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ, ಅವು ತಮ್ಮ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು "ಜೋಡಿಸಬಹುದಾದಂತೆ" ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು m = n = 1 ಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಲು-ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎರಡು ಸರಳತೆಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆಃ n-ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು m-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಜೋಡಣೆಯು (m + n + 1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಃ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (m = n = 0). ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಜೋಡಣೆಯು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ (m = 0, n = 1). ಎರಡು ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಬಲಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (m = n = 1) ವಿವರಿಸಲಾದ ಘನ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅಥವಾ ಡಿಸ್ಪೆನಾಯ್ಡ್ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಒಂದು (n-1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಜೋಡಣೆಯು ಒಂದು n-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ (ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಟೋಪ್) ಜೋಡಣೆಯು ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದೆ, ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಚೌಕದ ಜೋಡಣೆಯು ಚೌಕಾಕಾರದ ಪಿರಮಿಡ್ನಂತೆ. ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಘನದ ಜೋಡಣೆಯು ಒಂದು ಘನ ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಜೋಡಣೆಯು ಕೋನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಗೋಳದ ಜೋಡಣೆಯು ಹೈಪರ್ಕೋನ್ ಆಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಯಾವುದೇ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರಃ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಅನ್ನು ಮೂಲ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಮುಖಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಜೋಡಿಸುವ ಬದಲು ಮತ್ತು, ಈ ಮುಖಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆಃ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಭಾಗವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ, ಮತ್ತು, ಅವುಗಳ ಅಫೈನ್ ಹಲ್ನ ಆಯಾಮವು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎರಡು ಛೇದಿಸದ ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳು), ನಂತರ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, "ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಜಾಯಿನ್" "ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಯಿನ್" ಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆಃ ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಜಾಯಿನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆಃ ಶೃಂಗದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ನ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಸರಳತೆಗಳೆಂದರೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟಗಳು (ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜಾಯಿನ್ ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ, ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಇದು ಲೈನ್-ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪುಗಳು ಬೇರೆಯಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬೇರೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಲ್ಲಿ a1 ಮತ್ತು a2 ಗಳು V (A) ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದೇ ಅಂಶದ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಲೈನ್-ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ "ಚೌಕ" ವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಸಂಕೀರ್ಣದ ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ನಕ್ಷೆಗಳು ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಅವುಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೆಲವರಿಗೆಃ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗದ ಕೋನ್ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಅಮಾನತು ಎಂದರೆ (0-ಆಯಾಮದ ಗೋಳ, ಅಥವಾ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಳ). ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವಿಟಿ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಜಾಯಿನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಸ್ಥಳದ ಕೆ-ಟೈಮ್ಸ್ ಜಾಯಿನ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, (ಕೆ ಟೈಮ್ಸ್). ವಿಭಿನ್ನ ಜಾಯಿನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅದು ಅದೇ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಸೇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೇಸ್ಪಾಯಿಂಟೆಡ್ ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು, "ರಿಡ್ಯೂಸ್ಡ್ ಜಾಯಿನ್" ಸ್ಮ್ಯಾಶ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಡಿಮೆ ಅಮಾನತಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಥಾನಿಕ ಸಂಪರ್ಕ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಸಮಸ್ಥಾನಿಕ ಸಂಪರ್ಕವು () ಕನಿಷ್ಠ ಅದರ ಭಾಗಗಳ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ 1-ಆಯಾಮದ ರಂಧ್ರವಿದೆ. ಜಾಯಿನ್ ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಇದು 2-ಆಯಾಮದ ರಂಧ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಚೌಕದ ಜೋಡಣೆಯು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರ ರಂಧ್ರವು 3-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಪ್ರತಿಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಮತ್ತು ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಮೂರ್ತ ಸಂಕೀರ್ಣ A ಯ ಅಳಿಸಲಾದ ಜೋಡಣೆಯು A ಯ ವಿಭಿನ್ನ ಮುಖಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಮೂರ್ತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಒಂದೇ ಬಿಂದು). ನಂತರ, ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಳ (ಅದು = ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ). (ಎರಡು ಅಂಕಗಳು) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಮುಖಗಳನ್ನು (ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಅಂಚುಗಳು) ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. (ಒಂದು ಅಂಚು) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಮುಖಗಳನ್ನು (ಒಂದು ಚೌಕ) ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಘನ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. A ಒಂದು (n-1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು (n ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಜೋಡಣೆಯು (2n-1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ (2n ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ): ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ (x1,., x2n) ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ x1 +. + x2n = 1. ಅಳಿಸಲಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಈ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ (x1,., x2n) ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x1,., xn ನಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲವು k ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು xn + 1,., x2n ನಲ್ಲಿರುವ ಪೂರಕ n-k ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮಾತ್ರ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಳಿಸಲಾದ ಜಾಯಿನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಜಾಯಿನ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಅಮೂರ್ತ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿಃ ಪ್ರೂಫ್. ಎಡ-ಬದಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಬೇರೆಯಾಗಿವೆ. ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ, ನಂತರದ ಸ್ಥಿತಿಯುಃ ಬೇರ್ಪಡುವ ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಲ-ಬದಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಸರಳತೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಸ್ವತಃ ಅಳಿಸಲಾದ ಜೋಡಣೆಯು ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಕ್ರಾಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣ A ಯ n-ಪಟ್ಟು k-ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ಅಳಿಸಲಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ "k-ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆ" ಎಂದರೆ k ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವು ಖಾಲಿ intersection.In ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, n-ಪಟ್ಟು n-ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ಅಳಿಸಲಾದ ಜೋಡಣೆಯು n ಮುಖಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ಒಕ್ಕೂಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಛೇದಕವು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು n-ಪಟ್ಟು 2-ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ಅಳಿಸಲಾದ ಜೋಡಣೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆಃ ಇದು ಜೋಡಿಯಂತೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ n ಮುಖಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ಒಕ್ಕೂಟಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 2 ಪಟ್ಟು 2-ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ಅಳಿಸಲಾದ ಜಾಯಿನ್ ಕೇವಲ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಸರಳ ಅಳಿಸಲಾದ ಜಾಯಿನ್ ಆಗಿದೆ. m ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಳದ n-ಪಟ್ಟು 2-ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ಅಳಿಸಲಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು (m, n)-ಚೆಸ್ಬೋರ್ಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸಸ್ಪೆನ್ಷನ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಹ್ಯಾಚರ್, ಅಲೆನ್, ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್, 2002. xii + 544 pp. ಮತ್ತು ಬ್ರೌನ್, ರೊನಾಲ್ಡ್, ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಗ್ರೂಪೋಯ್ಡ್ಸ್ ವಿಭಾಗ 5.7 ಸೇರುತ್ತವೆ. ರಚನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು