Product measure
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಇದು ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎರಡು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಗೆ ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಯ್ಕೆಗಳಿರಬಹುದು. ಎರಡು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಿಗ್ಮಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಅಳತೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ರೂಪದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲಿನ ಸಿಗ್ಮಾ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಈ ಸಿಗ್ಮಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರ್-ಉತ್ಪನ್ನ σ-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಯನ್ನು (ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ) ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಳತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಗುಣಿಸುವ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅನಂತವಾಗಿವೆ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸ್ಥಳಗಳು-ಅನಂತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ E ಗೆ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು, ಇವೆರಡೂ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಅಳತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಹಾನ್-ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಯ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಎರಡೂ σ-ಅನಂತವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿನ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆ ಆರ್. ನಲ್ಲಿನ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಗಳ ಎನ್ ಪ್ರತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳತೆ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಥಳವು ಇರದೇ ಇರಬಹುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಎರಡು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಎರಡು ಅಳತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ರಚನೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ರಚನೆಯು ವಿಘಟನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಳತೆಯನ್ನು ಮೂಲ ಅಳತೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಅಳತೆಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿ "ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ". ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎರಡು ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ A ಗೆ μmax (A) ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಗೆ μmax (A) = μ (A) ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಇತರ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಯದ್ದಾಗಿದೆ. ಇದು ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಯೂ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೈಕ್ರೋಮ್ಯಾಕ್ಸ್ (ಎ) ಸೀಮಿತ ಮೈಕ್ರೋಮ್ಯಾಕ್ಸ್ (ಎ) ಎಂಬ ಮೈಕ್ರೋಮ್ಯಾಕ್ಸ್ (ಎಸ್) ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನ X × Y ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಅಲ್ಲಿ X ಎಂಬುದು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು Y ಎಂಬುದು ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಳತೆಯು ಅದರ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ, ಅದು ಎ × ಬಿ ರೂಪದ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಬಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು.) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕರ್ಣೀಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಗೆ ಅಳತೆ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಗೆ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಫುಬಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕ್ರಮಗಳು (ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸಮಗ್ರ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.