Torsion (algebra)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ತಿರುಚು ಅಂಶವು ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಉಂಗುರದ ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ-ವಿಭಜಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕವು ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ. ತಿರುಚು ಘಟಕವು ಅದರ ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಅದರ ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕವು ಶೂನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಘಟಕವು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ರಿಂಗ್ನ ನಿಯಮಿತ ಅಂಶಗಳು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ("ಮಾಡ್ಯೂಲ್" ಮತ್ತು "ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್" ಅನ್ನು "ಗ್ರೂಪ್" ಮತ್ತು "ಸಬ್ ಗ್ರೂಪ್" ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಪರಿಭಾಷೆಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೊದಲು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ). ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳದ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಿರುಚು ಅಂಶವು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಸಂವಹನ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ R ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಒಂದು ಅಂಶ m ಅನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ತಿರುಚು ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ರಿಂಗ್ನ ನಿಯಮಿತ ಅಂಶ r ಇದ್ದರೆ (ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕವಲ್ಲದ ಅಂಶ) ಅದು m ಅನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ (ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರ), ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ತಿರುಚು ಅಂಶವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶದಿಂದ ನಾಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಇದನ್ನು ತಿರುಚು ಅಂಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ತಿರುಚು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವು ಕೇವಲ ತಿರುಚು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆರ್ ಉಂಗುರವು ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳ ಸಮೂಹವು ಎಂನ ಉಪಘಟಕವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎಂನ ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಟಿ (ಎಂ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಟಿ (ಎಂ) ಒಂದು ಉಪಘಟಕವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಸರಿಯಾದ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಟಿ (ಎಂ) ಎಂನ ಉಪ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆರ್ ಬಲ ಅದಿರು ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೈಟ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಓರೆ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಆರ್ ರೈಟ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವಾಗ (ಇದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿರದೇ ಇರಬಹುದು) ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, R ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ M ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು S ಎಂಬುದು R ನ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಲಿ. S ನಲ್ಲಿ s ಅಂಶವು m ಅನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸಿದರೆ M ನ ಒಂದು ಅಂಶ m ಅನ್ನು S-ತಿರುಚು ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು R ಉಂಗುರದ ನಿಯಮಿತ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು S ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು. G ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಂಶವು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಗುಂಪಿನ ತಿರುಚು ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, gm = e ನಂತಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಇದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ e ಗುಂಪಿನ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು gm g ನ m ಪ್ರತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ತಿರುಚು (ಅಥವಾ ನಿಯತಕಾಲಿಕ) ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಏಕೈಕ ತಿರುಚು ಅಂಶವು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ. ಯಾವುದೇ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ Z ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಘಟಕವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಿರುಚುವಿಕೆಯ ಎರಡು ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಂ ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಇದು ಎಂ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಡೊಮೇನ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಆರ್ ನ ಶೂನ್ಯ-ಅಲ್ಲದ-ವಿಭಾಜಕಗಳ ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಿರುಚು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು K ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕದ ಜಾಗವನ್ನು K ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1ಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು (ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲ) ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ತರ "ಇಲ್ಲ". ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನ ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳು ಅದರ ಏಕತೆಯ ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, 2x2 ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಝಡ್) ನಿಂದ ಅದರ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಯುನಿಟ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ತಿರುಚು ಅಂಶವು ಎರಡು ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಮೂರು ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಟಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, S·ST = T, ಇದು ಅನಂತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 1 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಕ್ಯೂ/ಝಡ್, ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ R = K [t] ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ K (t)/K [t] ಶುದ್ಧ ತಿರುಚು ಆಗಿದೆ. ಈ ಎರಡೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಆರ್ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ಯೂ/ಆರ್ ಒಂದು ತಿರುಚು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. (ಆರ್/ಝಡ್, +) ನ ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪು (ಕ್ಯೂ/ಝಡ್, +) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗುಂಪುಗಳು (ಆರ್, +) ಮತ್ತು (ಝಡ್, +) ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಉಪಗುಂಪು ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಭಾಗವು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ Vಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ L ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು Vಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ F [L]-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, (ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೇವಲ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದಿಂದ ಅಥವಾ ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ), V ಒಂದು ತಿರುಚು F [L]-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಪ್ರಕರಣವು ಆರ್ ಒಂದು (ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಎಂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂನಿಂದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗಿನ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಫ್ ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮುಕ್ತ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಎಂ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಟಿ (ಎಂ) ಎಂ ನ ತಿರುಚು ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ವರ್ತುಲವಾದ R = K [x, y] ಗೆ ಸಹ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂವಹನ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ ಈ ಪರಿಣಾಮವು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ನೇರ ವಿಭಜನೆಯು ನಿಜವಲ್ಲ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪು ಅದರ ನೇರ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿರದೇ ಇರಬಹುದು. ತಿರುಚು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಆರ್ ಒಂದು ಸಂವಹನ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಎಂ ಒಂದು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಕ್ಯೂ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ನ ಅಂಶ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಎಂ ನಿಂದ ಪಡೆದ ಕ್ಯೂ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯೂ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕ್ಯೂ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ಘಟಕವು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ಬಹುಶಃ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿರಬಹುದು. M ನಿಂದ MQ ವರೆಗಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಕರ್ನಲ್ ನಿಖರವಾಗಿ ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕ T (M) ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಸ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ನ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ನ ಸ್ಥಳೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಥಳೀಕರಣ ಆರ್ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಎಂ ನಿಂದ ಎಂಎಸ್ ವರೆಗೆ ಅಂಗೀಕೃತ ನಕ್ಷೆ ಇದೆ, ಅದರ ಕರ್ನಲ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಎಂ ನ ಎಸ್-ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಂ ನ ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕವನ್ನು "ಸ್ಥಳೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ" ಅಂಶಗಳ ಸಮೂಹ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅದಿರು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬಲ ವಿಭಾಜಕ ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಮತ್ತು ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ. ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ತಿರುಚು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ತಿರುಚು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಒಂದು ಸಂವಹನ ಡೊಮೇನ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು, ಆರ್ = ಝಡ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ), ಟಾರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಟೋರಿ (ಎಂ, ಎನ್) ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂನ ಎಸ್-ತಿರುಚುವಿಕೆಯು ಟಾರ್ಆರ್ * ನ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಟಾರ್ಆರ್1 (ಎಂ, ಆರ್ಎಸ್/ಆರ್) ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಎಂನ ಸ್ಥಳೀಕರಣ ನಕ್ಷೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ತಿರುಚುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಇದೇ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಬಲ ಛೇದದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದದ ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳು ತಿರುಚು ಬಿಂದುಗಳು ಅಥವಾ, ಹಳೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಭಜನೆಯ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ತಿರುಚು ಅರಿಥ್ಮೆಟಿಕ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಫ್ಲಾಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನಿಹಿಲೇಟರ್ (ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ) ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಸ್ಥಳೀಕರಣ ರೇ-ಸಿಂಗರ್ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಶ್ರೇಯಾಂಕ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಾಂಕ ಪ್ರಮೇಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಕುಂಜ್, "ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪರಿಚಯ", ಬಿರ್ಖೌಸರ್ 1985, ಇರ್ವಿಂಗ್ ಕಪ್ಲಾನ್ಸ್ಕಿ, "ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು", ಮಿಚಿಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, 1954. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ