Fenchel's theorem
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಫೆಂಚೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮುಚ್ಚಿದ ನಯವಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಟ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಒಟ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಕ್ರತೆಯು ಸಮನಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯು ಸಮನಾಗಿರುವ ಈ ರೀತಿಯ ಏಕೈಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸಮತಲ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ 1929ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ವರ್ನರ್ ಫೆಂಚೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಫೆಂಚೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಫ್ಯಾರಿ-ಮಿಲ್ನರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ವರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ ನಯವಾದ ಸರಳ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಗಂಟು ಹಾಕಿದರೆ, ಒಟ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಕ್ರತೆಯು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣ ಏಕಮಾನದ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವೇಗವು ಮುಚ್ಚಿದ ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಕ್ರತೆಯು ಅದರ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯು ತೆರೆದ ಗೋಳಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿದೆ. ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ ಗೋಳಾರ್ಧದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯೂ ಹಾಗೆಯೇ ಎಂದು ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಕ್ರವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಗೋಳವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಧ್ರುವಗಳ ಮೂಲಕ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಭೂಮಧ್ಯರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ. ನಾವು ಸಮತಲದಾದ್ಯಂತ, ಮತ್ತು ಉತ್ತರ ಧ್ರುವದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಆಂಟಿಪೋಡಲ್ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನಡುವಿನ ದೊಡ್ಡ ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯು ಇದ್ದರೆ ಅದು ಸಮಭಾಜಕವನ್ನು ದಾಟುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯು ಇದ್ದರೆ ಅದು ಮುಚ್ಚಿದ ಗೋಳಾರ್ಧದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು; ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣ 13, ಪುಟ 49 ನೋಡಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು (ಗಣಿತ)