Van Aubel's theorem
ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಚೌಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿರುದ್ಧ ಚೌಕಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಎರಡು ರೇಖೆ ವಿಭಾಗಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಕೋಣೆಯಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದೇ ಮಾತನ್ನು ಹೇಳುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಚೌಕಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಸಮಭುಜಾಕೃತಿಯ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ 1878ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಬೆಲ್ಜಿಯಂನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹೆನ್ರಿಕಸ್ ಹಬರ್ಟಸ್ (ಹೆನ್ರಿ) ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ (1830-1906) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಮರು-ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದಾಗ. ಸಂಕೀರ್ಣ (ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಿಸುವ) ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ, ಚೌಕಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ರಚನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆಃ ಅನುಕ್ರಮ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಚೌಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಚತುರ್ಭುಜ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅನುಕ್ರಮ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಚೌಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ (ಅಥವಾ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ) ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಮಾನ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ) ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಬಾಹ್ಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಹೊರಗಿನ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ಬಿಂದು, ಆಂತರಿಕಕ್ಕೆ ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ಒಳಗಿನ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ಬಿಂದು. ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂರಚನೆಯು ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಿತ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇತರವುಗಳಲ್ಲಿಃ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ಬಿಂದುಗಳು ಚತುರ್ಭುಜದ ಎರಡು ಸುತ್ತುವರಿದ ಚೌಕಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ಬಿಂದುಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜ ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಮಧ್ಯ-ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯ-ಬಿಂದುಗಳು ಆವರ್ತಕವಾಗಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಕೆಲವು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆಯತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನೀಡಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರೋಂಬಿ ಮತ್ತು ಅಂತಹುದೇ ಸಮಾನಾಂತರಗ್ರಾಮ್ಗಳನ್ನು ದಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಗೆಜೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪೆಟ್ರ್-ಡಗ್ಲಸ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಥೆಬಾಲ್ಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ನೆಪೋಲಿಯನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬೊಟೆಮಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಜೇ ವೇರ್ನ್ಡಾರ್ಫ್ನ ದಿ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಷನ್ಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗಾಗಿ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ. ದಿ ಬ್ಯೂಟಿಫುಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಥೀರಂ ಆಫ್ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ಬೈ ಯುಟಾಕಾ ನಿಶಿಯಾಮಾ, ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಪ್ಯೂರ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್. ಜಿಯೋಜೆಬ್ರಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತಯಾರಿಸಲಾದ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಟಿಮ್ ಬ್ರೆಝಿನ್ಸ್ಕಿಯ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಆಪ್ಲೆಟ್. ಡೈನಾಮಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು, ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು. ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿ-ಫಿಗರ್ಸ್ (ಇಕ್ಯೂಎಫ್) ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಸ್ ವ್ಯಾನ್ ಟಿಯೆನ್ಹೋವನ್ ಅವರ ಕ್ಯೂಜಿ-2ಪಿ6: ಔಟರ್ ಅಂಡ್ ಇನ್ನರ್ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್. ಹ್ಯಾಥಿ ಟ್ರಸ್ಟ್ ಡಿಜಿಟಲ್ ಲೈಬ್ರರಿಯಲ್ಲಿ ಎಂ. ಎಚ್. ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ ಅವರು ರಚಿಸಿದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ರಚನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನಹರಿಸಿ. ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು