Bauer–Fike theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಪದಾರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಇದು ನಿಖರವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸರಿಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯನ್ನು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಎಲ್. ಬಾಯರ್ ಮತ್ತು ಸಿ. ಟಿ. ಫೈಕ್ ಅವರು 1960ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೀಗೆ ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಇದು ಕರ್ಣೀಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ; ಇದು ಕರ್ಣೀಯವಲ್ಲದ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದೆ. ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು-ನಾರ್ಮ್ನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯ ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆಃ ಪ್ರೂಫ್. ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮ್ಮ ಊಹೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಇದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ-ಮಾನದಂಡಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾನದಂಡಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಇದು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಆದರೆ ಇದು ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿಂದಃ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದುವಂತೆ ಪುನರ್ರಚಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೈಜ ಐಜೆನ್ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅಂದಾಜು ಐಜೆನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ-ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ದೋಷವನ್ನು ಬಂಧಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಆವೃತ್ತಿಯು ಸಹಾಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ). ಅಂದಾಜು ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ-ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜೋಡಿ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು. ನಂತರ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆಃ ಪ್ರೂಫ್. ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಏಕೆಂದರೆ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದೆ; ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿಂದಃ ಒಂದು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಬೌಂಡ್ ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡೂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ಬಂಧದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಣಾಮವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆಃ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅಂತಹವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಃ ಗಮನಿಸಿ. ಇದರ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಂತೆಯೇ ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಅದರ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಪುರಾವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಎಡದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ನಾವು ಹೊಂದಿಸಿದರೆಃ ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಅಂದರೆ ಅದು ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈಗ, ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅದೇ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಹೀಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದಃ ಆದ್ದರಿಂದ. ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನಂತರ ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿಃ ಇದು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಇರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ವೇಯ್ಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅದರ ವರ್ಣಪಟಲಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ನಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಸ್ತರಿಸದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು