Operad
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಪೆರಾಡ್ ಎಂಬುದು ಅಮೂರ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳು (ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗಳು) ಮತ್ತು ಒಂದು ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ರಚಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದರ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಈ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಅಮೂರ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಂತೆಯೇ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಲೈ ಒಪೆರಾಡ್ ಇದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ; ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಪೆರಾಡ್ ಅದರ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಅದರ ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ. ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಪ್ರೇಡ್ಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಅವುಗಳನ್ನು 1968ರಲ್ಲಿ ಜೆ. ಮೈಕೆಲ್ ಬೋರ್ಡ್ಮ್ಯಾನ್ ಮತ್ತು ರೈನರ್ ಎಮ್. ವೋಗ್ಟ್ ಮತ್ತು 1972ರಲ್ಲಿ ಜೆ. ಪೀಟರ್ ಮೇ ಅವರು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲೂಪ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಮಾರ್ಕ್ಲೆ, ಸ್ಟೀವ್ ಸ್ನೈಡರ್ ಮತ್ತು ಜಿಮ್ ಸ್ಟ್ಯಾಶೆಫ್ ಅವರು ಒಪೆರಾಡ್ಗಳ ಕುರಿತಾದ ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆಃ "ಒಪೆರಾಡ್ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು 1970 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಜೆ. ಪೀಟರ್ ಮೇ ಅವರ" ದಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಫ್ ಇಟರೇಟೆಡ್ ಲೂಪ್ ಸ್ಪೇಸಸ್ "ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ವರ್ಷ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಹಿಂದೆ, ಆಡಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ನ PROP ಗಳು ಮತ್ತು PACT ಗಳಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದ ಬೋರ್ಡ್ಮ್ಯಾನ್ ಮತ್ತು ವೋಗ್ಟ್ ಅದೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಹೆಸರಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಾಗೈತಿಹಾಸಿಕತೆ ಹೇರಳವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಒಂದು ಶತಮಾನದ ಹಿಂದೆ ಎ. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು ಎಂದು ವೈಬೆಲ್ [ವೇಯ್] ಗಮನಸೆಳೆದಿದ್ದಾರೆ. 1898ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ವೈಟ್ಹೆಡ್ನ "ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ". "ಒಪೆರಾಡ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮೇ ಅವರು "ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು" ಮತ್ತು "ಮೊನಾಡ್" (ಮತ್ತು ಅವರ ತಾಯಿ ಒಪೆರಾ ಗಾಯಕರಾಗಿದ್ದ ಕಾರಣ) ಎಂಬ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ರಚಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮ್ ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್, ವಿಕ್ಟರ್ ಗಿನ್ಜ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಮಿಖಾಯಿಲ್ ಕಪ್ರಾನೋವ್ ಅವರ ಆರಂಭಿಕ ಒಳನೋಟಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ದ್ವಂದ್ವ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಒಪೆರಾಡ್ಗಳ ಕೋಸ್ಝುಲ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ 90 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಲಾಯಿತು. ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮ್ ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ಮತ್ತು ಥಾಮಸ್ ವಿಲ್ವಾಚರ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವಿರೂಪತೆಯ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕತೆ, ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಊಹಾಪೋಹ ಅಥವಾ ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯಂತಹ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಆಪರೇಡ್ಗಳು ಕಂಡುಕೊಂಡಿವೆ. ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಪ್ರತಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದುಃ ಕೊಟ್ಟರೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗಳಿಂದ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲ ಬ್ಲಾಕ್ಗೆ, ಎರಡನೇ ಬ್ಲಾಕ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಂತರ ನಾವು ಅಂತಹ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ವಾದಗಳನ್ನು ಸಹ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಫಾರ್, ಮತ್ತು ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಒಪೆರಾಡ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಗತ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ-ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲದ ಒಪೆರಾಡ್ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಲ್ಲದ ಒಪೆರಾಡ್ ಅಥವಾ ಸರಳವಲ್ಲದ ಒಪೆರಾಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು-ಆರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ಅಂಶ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಃ ಐಡೆಂಟಿಟಿಃ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಃ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಒಪೆರಾಡ್ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲದ ಒಪೆರಾಡ್ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಪೆರಾಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮೇಲಿನಂತೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, (ಅಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಲೂಪ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಮೂಲ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಒಪೆರಾಡ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಗುರುತನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಎನ್-ಆರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳು ಈ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾದ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳನ್ನು ಸೆಟ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ C ಯ ಒಂದು ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಸಂಯೋಜನೆಯು C ಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ (ಅಲ್ಲಿ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗದ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು C ಯಲ್ಲಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಳಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ (ಸೆಟ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಪೆರಾಡ್ನ ರಚನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳು (ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳು) ನಂತರ ನಿರಂತರವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಪೆರಾಡ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಕ್ಷೆಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಪೆರಾಡ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು, ಚೈನ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗಳು, ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳು (ಅಥವಾ ವರ್ಗಗಳ ವರ್ಗವೂ ಸಹ), ಕೋಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಸಂವಹನ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಆರ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಮಿತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ (ಇದು ಮೊನಾಡ್ ಆಗಿದೆ) ಎಂಡೋಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ವಸ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಎಂಡೋಫಂಕ್ಟರ್ಸ್" ಆನ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ವಸ್ತುವು ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು-ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಎಂದರ್ಥ. ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ವಸ್ತುವು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಕೊಲಾಯ್ ದುರೊವ್ ತನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಕೊಲಿಮಿಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಆ ಪ್ರಯಾಣದ ಮೇಲೆ ಎಂಡೋಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ವಸ್ತುಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಇದು ಉಂಗುರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರ R ಒಂದು ಮೊನಾಡ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು X ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಚಿತ R-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ X ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ "ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ" ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಂದರೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ (ಕಾರ್ಯವು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ), ಇದು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ; ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸ್ವತಃ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಕೆಳಗಿನ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಒಪೆರಾಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ. ಒಪೆರಾಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ ಎಂದರೆ ಬಿಟ್ಟುಹೋದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಿಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ ಬಿಟ್ಟುಹೋದ ಆವರಣಗಳಿಂದ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಿಲ್ಲದೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಫ್ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅಥವಾ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸಹವರ್ತಿ ಆಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಯೋ ಅದನ್ನು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಆಪರೇಡಿಕ್ ಆಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು (ಮೊದಲ ಎರಡರ ಮೇಲೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದರ ಮೇಲೆ ಗುರುತನ್ನು) ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ "ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ". ಮರದಂತೆ ಚಿತ್ರಿಸಿದಾಗ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು 3-ಏರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಆದ್ಯತೆಯ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಃ ಇದರರ್ಥ, ಒಳಗಿನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ಅಥವಾ ಹೊರಗಿನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ (ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ). ಬರೆಯುತ್ತಾ, ಇದು ವರ್ಸಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಮರವು "ಲಂಬವಾದ ಆವರಣಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿಲ್ಲಃ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ರಚಿಸಿದರೆ (ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಆವರಣವನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತದೆ; ಆಂತರಿಕ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಮಾಡುತ್ತದೆ), ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳುಃ ಇದು ನಂತರ 4-ಏರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿಃ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ರಚಿಸಿದರೆ (ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಮುಖವಾದ ಆವರಣವನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತದೆ; ಹೊರಗಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಮಾಡುತ್ತದೆ), ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದು ನಂತರ 4-ಏರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯ ಒಪೆರಾಡ್ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ ಇವು ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿದೆ. ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಆಕ್ಸಿಯಂ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಆಕ್ಸಿಯಂ ಅನ್ನು (ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ) ಮರದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಅಂದರೆ ಪಡೆದ ಮೂರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ವ ಅಥವಾ ನಂತರದ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನುಂಟು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಗುರುತಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಉಪಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಒಪೆರಾಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೇಲಿನ "ಇಂಟ್ಯೂಷನ್" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿಗೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಒಪೆರಾಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಒಪೆರಾಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಒಪೆರಾಡ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಅಂತಹ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಪ್ರತಿಯೊಂದು "ಅಮೂರ್ತ" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ "ಕಾಂಕ್ರೀಟ್"-ಆರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಒಪೆರಾಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಪೆರಾಡ್ನಿಂದ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಒಪೆರಾಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಪೆರಾಡ್ k ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು k ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; ಇದು k ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗುತ್ತದೆ. V ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ V ಯ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಪೆರಾಡ್ = ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, (ಸಂಯೋಜನೆ) ನೀಡಲಾಗಿದೆ,,,, ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, (ಗುರುತು) ಗುರುತಿನ ಅಂಶವು ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, (ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆ) ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೆ-ಲೀನಿಯರ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವಿ ಓವರ್ ಕೆ ಮತ್ತು ಒಪೆರಾಡ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ವಿ ಮೇಲೆ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಬಹುಪದರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. (ಒಪೆರಾಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಒಪೆರಾಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಎಂ ನೀಡುತ್ತದೆ.) ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಾಧ್ಯಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಒಬ್ಬರು (ಸಮಂಜಸವಾದ) ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. "ಲಿಟ್ಲ್ ಸಮ್ಥಿಂಗ್" ಒಪೆರಾಡ್ಗಳು ಲಿಟ್ಲ್ 2-ಡಿಸ್ಕ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗಿನ n ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಅಂತಹ ಸಂರಚನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣಾ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಜೊತೆಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಕುಗ್ಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಫಾರ್ ನ ಐ-ಥ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ಒಳಗೆ ಬೇರೆಯಾದ ಎನ್-ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲಿಟಲ್ ಎನ್-ಡಿಸ್ಕ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮೂಲತಃ ಲಿಟ್ಲ್ ಎನ್-ಕ್ಯೂಬ್ಸ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಅಥವಾ ಲಿಟ್ಲ್ ಇಂಟರ್ವಲ್ಸ್ ಒಪೆರಾಡ್ (ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಲಿಟ್ಲ್ ಎನ್-ಕ್ಯೂಬ್ಸ್ ಪಿಆರ್ಒಪಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು) ಅನ್ನು ಮೈಕೆಲ್ ಬೋರ್ಡ್ಮ್ಯಾನ್ ಮತ್ತು ರೈನರ್ ವೋಗ್ಟ್ ಅವರು ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನೊಳಗೆ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಆಕ್ಸಿಸ್-ಅಲೈನ್ಡ್ ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ಗಳ (ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು) ಸಂರಚನೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನಂತರ ಇದನ್ನು ಮೇ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ದೇಹಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು "ಲಿಟಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು" ಎಂಬುದು "ಲಿಟಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ದೇಹಗಳಿಂದ" ಪಡೆದ "ಜಾನಪದ" ದ ಒಂದು ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ, n ಎಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲೆಗಳನ್ನು 1 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪು ಎಲೆಗಳ ಲೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣಾ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು i-th ಎಲೆಯನ್ನು i-th ಮರದ ಮೂಲದಿಂದ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಹೀಗೆ n ಮರಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ ದೊಡ್ಡ ಮರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲವು ಅದರ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಿಸ್-ಚೀಸ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಸ್ವಿಸ್-ಚೀಸ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಎಂಬುದು ಎರಡು ಬಣ್ಣದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಎನ್-ಸೆಮಿಡಿಸ್ಕ್ ಮತ್ತು ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಸೆಮಿಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ಒಳಗೆ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ಸಂರಚನೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಯುನಿಟ್ ಸೆಮಿಡಿಸ್ಕ್ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಳಗೆ ಕುಳಿತಿರುತ್ತದೆ. ಒಪೆರಾಡಿಕ್ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗಿನ "ಲಿಟಲ್" ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ಅಂಟು ಸಂರಚನೆಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಯುನಿಟ್ ಸೆಮಿಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ "ಲಿಟಲ್" ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಸೆಮಿಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗಿನ "ಲಿಟಲ್" ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಮಿಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ಸಂರಚನೆಯಿಂದ ಇತರ ಯುನಿಟ್ ಸೆಮಿಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಸ್ವಿಸ್-ಚೀಸ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಎ. ವೊರೊನೊವ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮ್ ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ಅವರು ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಕುರಿತು ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಅವರ ಊಹೆಯ ಸ್ವಿಸ್-ಚೀಸ್ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ನ ಊಹೆಯನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಪೊ ಹು, ಇಗೊರ್ ಕ್ರಿಜ್ ಮತ್ತು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಎ. ವೊರೊನೊವ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಜಸ್ಟಿನ್ ಥಾಮಸ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ವರ್ಗದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವುದು. ಇವೆರಡನ್ನೂ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಈ ಮೂರರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ; ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು, ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತು. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಈ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಒಪೆರಾಡ್ನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು; ಮೇಲಿನ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಒಪೆರಾಡ್ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾದ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಯುಕ್ತವು ತನ್ನ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳನ್ನು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದಂತೆ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳೊಳಗೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಒಪೆರಾಡ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ಗಳಾಗಿವೆಃ ಒಂದೇ ಬೈನರಿ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡುತ್ತವೆ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಒಪೆರಾಡ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಕೆ-ಲೀನಿಯರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಕೆ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ. ಟರ್ಮಿನಲ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಒಪೆರಾಡ್ ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ n ಗೆ ಒಂದೇ n-ಆರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಒಪೆರಾಡ್ ಮೇಲಿನ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ಗಳಾಗಿವೆ; ಕೆ-ಲೀನಿಯರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಕೆ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು. ಅದೇ ರೀತಿ, ಆರ್ಟಿನ್ ಬ್ರೇಡ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ನೀಡಲಾಗುವ ಒಂದು ನಾನ್-ಒಪೆರಾಡ್ ಇದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ನಾನ್-ಒಪೆರಾಡ್ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಒಪೆರಾಡ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಒಪೆರಾಡ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಗುಂಪುಗಳವರೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ಫಾರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸುವ ಘಟಕಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸಂಯೋಜನೆ, ಅಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಾಹಕವು 2,3,-5,0, ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ-ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಒಪೆರಾಡ್ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ನಿಖರವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಒಪೆರಾಡ್ಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಒಪೆರಾಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧಿಕೃತವಾಗಿ ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಫೈನ್ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು, ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಉಪ-ಒಪೆರಾಡ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ವಾಹಕದ ಮೊತ್ತವು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಇವು ಅನಂತ ಅಫೈನ್ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್, ಅನಂತ ಹೈಪರ್-ಆಕ್ಟಂಟ್ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್. ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅಥವಾ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರುವುದನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬಂತಹ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಬೋಪೆರಡ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್-ರಿಂಗ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಮತ್ತು ಲೈ ಒಪೆರಾಡ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್-ರಿಂಗ್ ಒಪೆರಾಡ್ ಒಂದು ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು (ಮರುಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ) ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣಾ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬೇಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸಹಾಯಕ, ಸಂವಹನ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಒಪೆರಾಡ್ನ ಕೋಸ್ಝುಲ್-ಡ್ಯುಯಲ್ ಲೈ ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದೆ (ಇದರ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು), ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮುಕ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿರ್ಮಾಣ) ಒಪೆರಾಡ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಗುಂಪು ಯಾವ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಯೋ ಆ ಗುಂಪಿನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇದೆ, ಅದು ಕೇವಲ ಆಪರೇಡಿಕ್ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡುತ್ತದೆ. ಈ ಮರೆಯಲಾಗದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಎಡ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಇದು ಉಚಿತ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ). ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾದ ಇ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಒಪೆರಾಡ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಉಂಗುರದಂತೆ, ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಮಾಣವು ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಒಪೆರಾಡ್ನ ಮುಕ್ತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯುವುದನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಒಪೆರಾಡ್ನ ಭಾಗವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಕರ್ನಲ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಜನರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಂತಹ ಮುಕ್ತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎ (ಸಮ್ಮಿತೀಯ) ಒಪೆರಾಡ್ ಅನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತದ್ರೂಪುಗಳು ಒಪೆರಾಡ್ಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವ ವಾದಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಲವು ಡೇಟಾವನ್ನು "ಮರುಬಳಕೆ" ಮಾಡುವುದು). ತದ್ರೂಪುಗಳನ್ನು ಮಿನಿಯಾನ್ (ಅಥವಾ ಕ್ಲೋನಾಯ್ಡ್) ಆಗಿರುವ ಒಪೆರಾಡ್ಗಳೆಂದು ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸ್ಟ್ಯಾಶೆಫ್ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆಃ "ಹೋಮೋಟೋಪಿ" ಯ ಉತ್ತಮ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಆಪರೇಡ್ಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿಗಳ ಶ್ರೇಣಿವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. PRO (ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಹೈಯರ್-ಆರ್ಡರ್ ಒಪೆರಾಡ್ E ≤-ಒಪೆರಾಡ್ ಸ್ಯೂಡೋಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಮಲ್ಟಿಪೇಟರಿ ನೋಟ್ಸ್ ಸೈಟೇಷನ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಿಗ್ಯುಯೆಲ್ ಎ. ಮೆಂಡೆಜ್ (2015) ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಆಪ್ರೇಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ಬ್ರೀಫ್ಸ್. .. ಸ್ಯಾಮುಯೆಲ್ ಗಿರೌಡೋ (2018). ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅಸಂಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ