Adjunction formula
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸೂತ್ರವು ವೈವಿಧ್ಯದ ಅಂಗೀಕೃತ ಕಟ್ಟು ಮತ್ತು ಆ ವೈವಿಧ್ಯದೊಳಗಿನ ಅತಿಯಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ನಂತಹ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಥವಾ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಯವಾದ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆ ನಯವಾದ ಉಪ-ಪ್ರಭೇದಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ X ಒಂದು ನಯವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದ ಅಥವಾ ನಯವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು Y X ನ ನಯವಾದ ಉಪ-ಪ್ರಭೇದವಾಗಿರಲಿ. ಸೇರ್ಪಡೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು i ನಿಂದ ಮತ್ತು X ನಲ್ಲಿ Y ನ ಆದರ್ಶ ಕೋಶವನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. i ನ ಏಕರೂಪದ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಲ್ಲಿ ω ಎಂಬುದು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಂಶವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ನ ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮೃದುವಾದ ವಿಭಾಜಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವು ಡಿ X ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ X ಮೇಲಿನ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು D ಯ ಆದರ್ಶ ಕೋಶವು ಅದರ ದ್ವಿಗುಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿ, ನೀಡುತ್ತದೆ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ವರ್ಗಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಡ್ಜಂಕ್ಷನ್ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಡಿಗ್ರಿ ಡಿ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳು ಮೃದುವಾದ ಡಿಗ್ರಿ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಅದರ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮತ್ತು ಆಂಟಿ-ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಬಂಡಲ್ಗಳನ್ನು ಅಡ್ಜಂಕ್ಷನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣ ಛೇದಕಗಳು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ನಯವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕಕ್ಕಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕಗಳಿಗೆ ಅದೇ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಏಕ-ಅಲ್ಲದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಬರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಲೋಕಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿ ಹುದುಗುತ್ತವೆ. ನಂತರ ನಾವು ನಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೇಲೆ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು. ನಂತರ, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಕೋಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಬೆಣೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾಣಬಹುದು. ನಂತರ, ಜೋಡಣೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಲೋಕಸ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ನಿರ್ಬಂಧದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. X ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅವಶೇಷವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ D ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ U ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. U ನ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು s/f ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ s ಯು ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. η ಯು ಆಫ್ ωX ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಶೇಷವು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಪರಿಮಾಣ ರೂಪ η ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ s ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ. ಯು ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು z1,., zn ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಕೆಲವು i, ಷ್ಣಲ್ f/ಷ್ಣಲ್ zi §0, ನಂತರ ಇದನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅವಶೇಷವನ್ನು ನೋಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನ ಮೊದಲು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅವಶೇಷವು ωD ಯ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಜೋಡಣೆಯ ವಿಲೋಮ ಜೋಡಣೆಯ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಜೋಡಣೆಯ ಸೂತ್ರವು ತಪ್ಪಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, X ನ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು D ಯ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಈ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಆಧುನಿಕ ಜನನದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿವೆ. ವಿಮಾನದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಡಿವಿಸರ್ ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದ ನಯವಾದ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಡಿವಿಸರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಡಿವಿಸರ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಫೈನ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕೆಲಸ. ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ಸ್ಥಳೀಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಕ್ರಮವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ವಿಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಅನಂತ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಈಗ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನೋಡಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ನೋಡಲು ಸಾಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಮತ್ತು. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಸಮತಲ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಜೆನಸ್-ಡಿಗ್ರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಸಿ ಱ್ ಪಿ 2 ಡಿಗ್ರಿ ಡಿ ಮತ್ತು ಜೆನಸ್ ಜಿ ಯ ನಯವಾದ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಎಚ್ ಪಿ 2 ರಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ರೇಖೆಯ ವರ್ಗ. P2ನ ಅಂಗೀಕೃತ ವರ್ಗವು −3H ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನುಬಂಧ ಸೂತ್ರವು C ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧವು C ಯ ಅಂಗೀಕೃತ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ಬಂಧವು C ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲಾದ ಛೇದಕ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ C ಯ ಅಂಗೀಕೃತ ವರ್ಗದ ಮಟ್ಟವು. ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, g−1 = (d−3) d−g + 1, ಇದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಅದೇ ರೀತಿ, C ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ P1 × P1 ಬೈಡ್ಗ್ರೀ (d1, d2) (ಅಂದರೆ d1, d2 ಎಂಬುದು P1 ಗೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಫೈಬರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಛೇದಕ ಡಿಗ್ರಿಗಳು), ಏಕೆಂದರೆ P1 × P1 ನ ಅಂಗೀಕೃತ ವರ್ಗವು ಬೈಡ್ಗ್ರೀ (−2, −2) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅನುಬಂಧ ಸೂತ್ರವು C ಯ ಅಂಗೀಕೃತ ವರ್ಗವು ಬೈಡ್ಗ್ರೀಸ್ (d1, d2) ಮತ್ತು (d1 −2, d2 −2) ಗಳ ಭಾಜಕಗಳ ಛೇದಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿ1 × ಪಿ1 ಮೇಲಿನ ಛೇದಕ ರೂಪವು ದ್ವಿಗುಣ ಮತ್ತು ದ್ವಿಗುಣತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೀಮನ್-ರಾಚ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ ಪಿ3ಯಲ್ಲಿ ಡಿ ಮತ್ತು ಇ ಎಂಬ ಎರಡು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕವಾಗಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಿ ಕುಲವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಡಿ ಮತ್ತು ಇ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಡಿ ಮತ್ತು ಇ ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಡಿ ಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಭಾಜಕವು, ಇದು ಮತ್ತು ಡಿ ನ ಛೇದಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇ ನೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮಾಡುವುದು, ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಏಕೆಂದರೆ ಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ, ಅಂಗೀಕೃತ ಭಾಜಕವು ಸಿ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿದೆ. ರೀಮನ್-ರೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಸಿ ಕುಲವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಿ ಎಂಬುದು ಪಿ. ಎನ್. ನಲ್ಲಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಒಂದು ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಗಣನೆಯು ಸಿ ಯ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ವರ್ಗವು ಸಿ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕುಲವು ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ S ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರಲಿ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ 4-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್) ಮತ್ತು ನಯವಾದ (ಏಕ-ಅಲ್ಲದ) ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಿ ಕುಲವು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಾರ್ಮ್ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಥಾಮ್ ಕಾಂಜೆಕ್ಚರ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಥಿಯರಿ 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ವಿಲಿಯಂ ಫುಲ್ಟನ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಉದಾಹರಣೆ 3.2.12 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ತತ್ವಗಳು, ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾರಿಸ್, ವಿಲೇ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ಸ್ ಲೈಬ್ರರಿ, pp 146-147. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ, ರಾಬಿನ್ ಹಾರ್ಟ್ಷೋರ್ನ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಜಿಟಿಎಂ 52, ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ II.8.20. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ