Thin set (Serre)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜೀನ್-ಪಿಯರ್ ಸೆರ್ರೆಯ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೆರ್ರೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೆಳುವಾದ ಗಣವು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ 'ಅಸಂಭವ' ಎಂದು ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಕೆ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಮೂಲಭೂತವಾದವುಗಳೆಂದರೆಃ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು; Kಯೊಳಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿರದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಹ ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ವಿ ಎಂಬುದು ಕೆ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿರಲಿ (ಇಲ್ಲಿ ಊಹೆಗಳೆಂದರೆಃ ವಿ ಒಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸೆಟ್, ಅರೆ-ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯ, ಮತ್ತು ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಒಂದು ವಿಧದ I ತೆಳುವಾದ ಸೆಟ್ V (K) ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಜರಿಸ್ಕಿ-ದಟ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಡಿ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಳತೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ವಿ. ಒಂದು ವಿಧ II ತೆಳುವಾದ ಸೆಟ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ (ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಬಹುಪದೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) φ, ಇದು ಕೆಲವು ಇತರ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದವಾದ ವಿ 'ನ ಕೆ-ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿ ಮೇಲೆ ಡಿಗ್ರಿ ಇ> 1 ರೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಟೈಪ್ II ನ ತೆಳುವಾದ ಸೆಟ್ φ (V′ (K)) ನ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ V′ ಅದೇ ಊಹೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು φ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಿಯೋಮೀಟರ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಾವು [K (V): K (V′)] = e> 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. V ಯ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದು v ಯು φ (u) ಆಗಿದ್ದು, u ಯು V′ ನಲ್ಲಿದೆ, K (V) ನಲ್ಲಿರುವ v ನಿಂದ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು, u ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು K ಮೇಲೆ ಡಿಗ್ರಿ e ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ತೆಳುವಾದ ಸೆಟ್, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, I ಮತ್ತು II ವಿಧಗಳ ತೆಳುವಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎ ಎಂಬುದು ಕ್ಯೂ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯ ತೆಳುವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಎಚ್ನಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದ ಎ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ′ ಎಚ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ ಗರಿಷ್ಠ ಎಚ್ನಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ತೆಳುವಾದ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಜರಡಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಎಸ್. ಡಿ. ಕೋಹೆನ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಎತ್ತರದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ತೆಳುವಾದ ಸೆಟ್ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಸೆರ್ರೆಯ ಲೆಕ್ಚರ್ಸ್ ಆನ್ ದಿ ಮೊರ್ಡೆಲ್-ವೆಯಿಲ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸುದೀರ್ಘವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ). ನಂತರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯ V ಮೇಲೆ K ಎಂದರೆ V (K) ತೆಳುವಲ್ಲಃ ಇದು V ಯ ಬೈರೇಷನಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಎಂದರೆ K ಮೇಲೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಆಯಾಮವಿದೆಃ ಈ ಪದವನ್ನು 1962 ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಂಗ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. K ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, K ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕ್ಯೂ ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯವು, ಕ್ಯೂ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೀಮಿತ ಡಿಗ್ರಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನಂತ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಶಾಶ್ವತ ಮಾನದಂಡಗಳ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯಾನಿಟಿಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. N ಒಂದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, N ಸ್ವತಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, N ನ ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಎಂದು ವೈಸಾಯರ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಹಾರನ್ನ ವಜ್ರದ ಪ್ರಮೇಯ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಚರ್ಚೆಯು ಫ್ರೈಡ್-ಜಾರ್ಡನ್ ಅವರ ಫೀಲ್ಡ್ ಅರ್ಥಮೆಟಿಕ್ ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದು ಅಳತೆಯ ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಳುವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಅವು, ಇತರ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ (ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಅಲ್ಲ. ಡಬ್ಲ್ಯುಡಬ್ಲ್ಯುಎ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು (ದುರ್ಬಲ 'ದುರ್ಬಲ ಅಂದಾಜು', sic) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ವಿಗೆ ದುರ್ಬಲ ಅಂದಾಜು (ಸಿಎಫ್. ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು), ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ K ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆ = ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿಃ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಪಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ವಿ (ಕ್ಯೂ) Π ವಿ (ಕ್ಯೂಪಿ) ಯಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು, ಒಮ್ಮೆ ನೀಡಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ {ಪಿ 1,., ಪಿಎಂ} ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಗೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂಎ ಎಂದರೆ ವಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಎಂದು ಎಕೆಡಾಲ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕೊಲಿಯಟ್-ಥೆಲೀನ್ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಡಬ್ಲ್ಯು. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎ. ಹೊಂದುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಬಲವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯು ವಿಲೋಮ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಗಣಿತ)