Reflection principle
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೋಲುವ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. "ಹೋಲಿಕೆ" ಎಂದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಏನು ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವದ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ತತ್ವದ ದುರ್ಬಲ ರೂಪಗಳು ZF ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಬಲವಾದ ರೂಪಗಳು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿರಬಹುದು. "ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ತತ್ವ" ಎಂಬ ಹೆಸರು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೂಹಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಣ್ಣ ಗುಂಪಿಗೆ "ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತವೆ" ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ತತ್ವದ ನಿಷ್ಕಪಟ ಆವೃತ್ತಿಯು "ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ನಾವು ಒಂದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ತಕ್ಷಣದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಇಲ್ಲ. ಉಪಯುಕ್ತ (ಮತ್ತು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು "ಆಸ್ತಿ" ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ನಾವು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆ, ಕಲ್ಪನೆ ಅಥವಾ ಹೇಳಿಕೆಯು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನಂತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವಾದಿಸಬಹುದು. ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಗ್ರಹ ಎ ನಮ್ಮಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪವರ್ ಸೆಟ್ಗಳು, ಉಪಗುಂಪುಗಳು, ಬದಲಿ ಸೂತ್ರ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು). ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಂದು ವರ್ಗ X ಆಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ, ವಿ ಬೆರಳೆಣಿಕೆಯಷ್ಟು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಖಾಲಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಈ ತತ್ವವನ್ನು ಅಕ್ಷಯತೆ (ವಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, V ಯು X ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. Aಯಲ್ಲಿನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸೆಟ್ Xಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ Vಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಸಂಗ್ರಹವೂ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ Aಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ Xನ ಚಿತ್ರದಿಂದ V ಖಾಲಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ನಾವು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೊಸ ತತ್ವವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದುಃ "A ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವೂ ಸಹ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ". ಈ ತತ್ವವನ್ನು ಎ ಗೆ ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ, ಈ ಹೊಸ ಎ ಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ವಿ ಇನ್ನೂ ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಎ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳಾದ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು X ಯು V ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು A ಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ V ಯೊಂದಿಗೆ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ವಾದವನ್ನು ನಾವು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ZF ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು; ಇದನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ZF ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿಫಲನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಕೆಲವು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಂತಹ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲು ನಾವು ಈ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ZF ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವಕ್ಕಾಗಿ ವಾದವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಂಗ್ರಹದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು). ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಹಲವಾರು ನಿಕಟವಾದ "ಪ್ರತಿಫಲನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು" ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ನಾವು ಬಹುತೇಕ ZFC ಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆ. ಬಲವಾದ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಇವುಗಳನ್ನು ZFC ಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ZFC ಯ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಪ್ರಮೇಯ ಸ್ಕೀಮಾವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ, ಅದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ (ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿ), ಸಂಚಿತ ಕ್ರಮಾನುಗತದ ಒಂದು ಮಟ್ಟವಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಲೆವಿ-ಮಾಂಟೆಗ್ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವ ಅಥವಾ ಲೆವಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ತನಿಖೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವದ ಮತ್ತೊಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಹೇಳುವಂತೆ, ZFC ಯ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ನಾವು ಸಂಚಿತ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ನೀಡಲಾದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. ZFC ಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮೇಯ ಸ್ಕೀಮಾವಾಗಿದೆಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮುಕ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ZFC ಯು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ). ಜೆಡ್ಎಫ್ಸಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವದ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪವು, ಜೆಡ್ಎಫ್ಸಿಯ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪರಿವರ್ತಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು, ಅಸಮಂಜಸವಲ್ಲದ ಹೊರತು, ZFC ಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಇದ್ದರೆ ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಮಾದರಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಗೊಡೆಲ್ನ ಎರಡನೇ ಅಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ.) ಪ್ರತಿಫಲನ ಪ್ರಮೇಯದ ಈ ಆವೃತ್ತಿಯು ಲೋವೆನ್ಹೀಮ್-ಸ್ಕೋಲೆಮ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಬಲವಾದ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ZFC ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದುರ್ಬಲವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದು-ಮಾದರಿಯು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸರಿಯಾದ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಏಳನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ-ಮಾದರಿಯು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು-ಮಾದರಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು a-model.Theorem VII.2.16 ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ-ಮಾದರಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವು ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅದರ ಏಕೈಕ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಕೋಡೆಡ್-ಮಾದರಿ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅವಲಂಬಿತ ಆಯ್ಕೆಯ ಸ್ಕೀಮಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು-ಪ್ರತಿಬಿಂಬಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ-formulas.Theorem VII.7.6-ಮಾದರಿ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ದುರ್ಬಲ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾದ ಕೆ. ಪಿ. ಯ ಮೇಲೆ,-ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರತಿಫಲನದ ಸ್ಕೀಮಾವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಕ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ (ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ) ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಅದೇ-ಅನುಪಾತಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ-ಮಾದರಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಸ್ಕೀಮಾವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಾದ ಬರ್ನೇಯವರ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತೆ, ಪೌಲ್ ಬರ್ನೇಯರು ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ತತ್ವವನ್ನು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು (ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್-ಬರ್ನೇಯರು-ಗೊಡೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಲ್ಲ, ಇದು ದುರ್ಬಲ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ). ಅವರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ತತ್ವವು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವಂತೆ, ಒಂದು ವರ್ಗವು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, "ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ" ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಬಲವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳಂತಹ ಹಲವಾರು ಸಣ್ಣ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ZFCಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವನ್ನು ನಂತರ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಅದು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ.) ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ZFC ಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮೋರ್ಸ್-ಕೆಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬರ್ನೇಸ್ನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ತತ್ವದ ಸ್ಥಿರತೆಯು ω-ಎರ್ಡೋಸ್ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬರ್ನೇಸ್ ಅವರ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸೂತ್ರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ವಿಸ್ತಾರತೆ ವರ್ಗ ವಿವರಣೆಃ ಮುಕ್ತವಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ, ಉಪಗುಂಪುಗಳುಃ ಪ್ರತಿಫಲನಃ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ, ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಡಿಪಾಯ ಆಯ್ಕೆ. ಅಕಿಹಿರೋ ಕನಮೋರಿಯ ಪ್ರಕಾರ, 1961ರ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಬರ್ನೇಸ್ ಮುಕ್ತ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸ್ಕೀಮಾವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಬರ್ನೇಸ್ ಈ ಸ್ಕೀಮಾದೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಣೆ, ಒಕ್ಕೂಟ, ಅನಂತತೆ ಮತ್ತು ಬದಲಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ZF ನ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಆರ್ಥಿಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರು. ಇತರರು ಅಕರ್ಮನ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಅಕರ್ಮನ್ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು, ಉಲ್ಲೇಖಿಸದ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ, ಪೀಟರ್ ಕೊಯೆಲ್ನರ್ "ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಸಮರ್ಥನೆ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ತತ್ವಗಳು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿವೆ ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಎರ್ಡೋಸ್ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ತತ್ವಗಳಿವೆ, ಅವು ವಿವಿಧ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಬಹುತೇಕ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೂ ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವೂ ತಿಳಿದಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ n ಗೆ ಸೂಪರ್-ಎನ್-ಬಿಗ್ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು I3 ಶ್ರೇಣಿಯ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಓರ್ಡ್ ಒಂದು ಮಹ್ಲೋ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ-ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ವರ್ಗದ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಿ (ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು), ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಇದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮಿಜಾರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪುರಾವೆಗಳುಃ http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html ಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ