Complete intersection
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿ ಯ ಆದರ್ಶವು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೋಡಿಮ್ ವಿ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದರೆ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾದ ವಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, V ಆಯಾಮ m ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ Pn ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, n − m ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕುಃ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ Xj, ಇದು V ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ Fi ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಛೇದಕವು V ಆಗಿರಬೇಕು. ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಛೇದಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ m ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ, ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ಆಯಾಮವನ್ನು m ಗೆ ಇಳಿಸಬಹುದೇ? ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ ಆದ ತಕ್ಷಣ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಆಗ V ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಅತಿಯಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಏನೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನಗಳ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬಹುಪದದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಲೋಕಸ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲದ ಟ್ವಿಸ್ಟೆಡ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ 3-ಪಟ್ಟು ಪ್ರಕಾರದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಟ್ವಿಸ್ಟೆಡ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಇನ್ಃ ಇದು ಒಂದು ನಯವಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಲೋಕಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಹುಪದಗಳ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಲೋಕಸ್ನಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಮೇಲೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಅನುಮತಿಸಿದರೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ತಿರುಚಿದ ಘನವು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದ್ದು, ಸಂಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಅದು ಎಂದಿಗೂ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕವಾಗಿರಬಾರದು, ಅವುಗಳ ಆಯಾಮಗಳು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಂಯೋಗವು ಈ ವಿದ್ಯಮಾನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಲ್ಟಿಡಿಗ್ರೀನ್ ಯೋಜನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕವು ಮಲ್ಟಿಡಿಗ್ರೀನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಟುಪಲ್ (ಸರಿಯಾಗಿ ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಆದರೂ) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪಿ3ಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, (2,2) ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನದ ಬಹು-ಹಸಿರು ಆಗಿದೆ, ಇದು ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವಾಗ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ನಯವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕಗಳ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕುನಿಹಿಕೋ ಕೊಡೈರಾ ರೂಪಿಸಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಷ್ಕೃತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ, ಛೇದಕದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವಿಕೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು (ಅವುಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳಗಳು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ). ಛೇದನವು ಯೋಜನೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿರಬಹುದು, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಇಲ್ಲಿ Fi (X0,., Xn) ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಏಕರೂಪದ ಐಡಿಯಲ್ V ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಸರಿಯಾದ ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ನಂತರ ಆದರ್ಶವು ನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನಗಳು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಾಂಕ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಮಧ್ಯದ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ಜಾಗದ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾದ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಬಹು-ಹಂತದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕಗಳ ಆಯಾಮವನ್ನು ಗಣಿಸುವ ಉತ್ಪಾದಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿತು. ಇದು ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಓದುತ್ತದೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಟ್ಲಾಸ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕಗಳು ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ