Enriques–Kodaira classification
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎನ್ರಿಕ್ಸ್-ಕೊಡೈರಾ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಹತ್ತು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವರ್ಗಕ್ಕೂ, ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಕೆಲವು ಘಟಕಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ನೋಥರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಗೈಡೋ ಕ್ಯಾಸ್ಟೆಲ್ನುವೊವೊ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯದ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು; ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ರಲ್ಲಿ ಏಕವಚನ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 2 ಮತ್ತು 3 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಹೈಪೆರೆಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣದ ಹೇಳಿಕೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್-ಕೊಡೈರಾ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಪ್ರತಿ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ 10 ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ, ಆಳವಾದ (ಕುಲ> 0), ಪ್ರಕಾರ VII, K3, ಎನ್ರಿಕ್ಸ್, ಕೊಡೈರಾ, ಟೊರಿಕ್, ಹೈಪೆರೆಲಿಪ್ಟಿಕ್, ಸರಿಯಾಗಿ ಅರೆ-ಅಂಡಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ 9 ವರ್ಗದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆ ಇದೆ (ಇದು ಏಳನೇ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಜಾಗತಿಕ ಗೋಳಾಕಾರದ ಚಿಪ್ಪಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, 2009ರಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ). ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆಯಾದರೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (,) ದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಕೊಡೈರಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಥವಾ ಟೈಪ್ VII ನ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ರಲ್ಲಿ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು 2 ಮತ್ತು 3 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಕೋಡೈರಾ ಆಯಾಮ 1 ರಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ 2 ಮತ್ತು 3 ಸಹ ಕ್ವಾಸಿಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಫೈಬ್ರೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರಲ್ಲಿ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಎಟೇಲ್ ಅಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆಸ್ಕರ್ ಜರಿಸ್ಕಿ ಅವರು ಕೆಲವು ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಅವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದ ಆದರೆ ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದವು, ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿಂದ (ಜರಿಸ್ಕಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು) ಪಡೆದವು. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೆರ್ರೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅವು ಅನಿಯಮಿತತೆ (ಪಿಕಾರ್ಡ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ಆಯಾಮ) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಇಗುಸಾ ತೋರಿಸಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸೀಫ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಆಯಾಮಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು. ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ಲುರಿಜೆನೆರಾ ಮತ್ತು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಕೆ ಎಂಬುದು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದರ ವಿಭಾಗಗಳು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ 2-ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ಲುರಿಜೆನೆರಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಬೈರೇಷನಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಅಂಡರ್ ಬ್ಲೋಯಿಂಗ್ ಅಪ್. ಸೈಬರ್ಗ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರಾಬರ್ಟ್ ಫ್ರೀಡ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಮಾರ್ಗನ್ ಅವರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಅವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನಯವಾದ 4-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಕೆಹ್ಲರ್ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಪ್ಲುರಿಜೆರಾವನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ಲುರಿಜೆರಾ ಮತ್ತು ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ಲುರಿಜೆರಾವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುವ ಅವುಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವು ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮವುಃ ಪ್ಲುರಿಜೆನರಾ ಎಲ್ಲಾ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ −1 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ 0,1, ಅಥವಾ 2). ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಿಲ್ಲಃ ಬದಲಿಗೆ ಅವರು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಇವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ನೀಡಿದ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆಃ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಐ-ರೂಪಗಳ ಕೋಶವು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಾಡ್ಜ್ ವಜ್ರದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆಃ ಸೆರ್ರೆ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಆಧಾರಿತ ನೈಜ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ 1 ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಜನನದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೇಲ್ಮೈ ಕೆಹ್ಲರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. (ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ) ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆಃ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಃ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p> 0 ರಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು l-adic ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಅಥವಾ ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆಃ ಅನಿಯಮಿತತೆಯನ್ನು ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಪ್ರಭೇದ ಮತ್ತು ಅಲ್ಬನೀಸ್ ಪ್ರಭೇದದ ಆಯಾಮ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು q ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ (ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಧಾನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕುಲಃ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕುಲಃ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಬಂಡಲ್ನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಇ ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ): ನೋಥರ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಟಾಡ್ ಕುಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ಸಹಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇವು ಗರಿಷ್ಠ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಆಯಾಮಗಳಾಗಿವೆಃ c2 = e ಮತ್ತು ಚೆರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಬಹುಪದಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸದ ಸಾಂದ್ರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಾಜಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ರೇಖೀಯ ಸಮಾನತೆಯ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಗುಂಪಿನ ಪಿಕ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಸಂಖ್ಯೆ ρ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಅಂಶವಾದ ನೆರೋನ್-ಸೆವೆರಿ ಗುಂಪು ಎನ್ಎಸ್ (ಎಕ್ಸ್), ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು π1 ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಂತಹ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಸೈಬರ್ಗ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಂತಹ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನಯವಾದ 4-ಪಟ್ಟುಗಳ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಏಕವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಏಕವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೊಸ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ನಕಲನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಲೇಖನದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದೇ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈ X ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಏಕವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಸ್ಟೆಲ್ನುವೊವೊ ಅವರ ಸಂಕೋಚನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು X ಯಾವುದೇ (−1)-ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ ಸಂಖ್ಯೆ −1 ಹೊಂದಿರುವ ನಯವಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು) ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. (ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಹೆಚ್ಚು ಆಧುನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ನಯವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಕೆಎಕ್ಸ್ ಎನ್ಇಎಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅದರ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆ ಬಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೇಲ್ಮೈ X ಕನಿಷ್ಠ ಏಕವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು X ಕನಿಷ್ಠ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಏಕವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕನಿಷ್ಠ ಏಕಲಿಂಗವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುವ P1 × P1 ಎರಡು ಬಾರಿ ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುವ P2 ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಬೈರೇಶನಲ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಅಲ್ಲದವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು (ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ) ಸಾಕು. ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು − ≤ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. q> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಬನೀಸ್ ಪ್ರಭೇದದ ನಕ್ಷೆಯು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುವ ನಾರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಮೇಲ್ಮೈ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ) ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. q = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ವಾದವು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅಲ್ಬನೀಸ್ ವೈವಿಧ್ಯವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಸ್ಟೆಲ್ನುವೊವೊ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೇಲ್ಮೈ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಕೊಡೈರಾ ಟೈಪ್ VII ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವರ್ಗದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಇವುಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ 2 ಗೆ ಮೇಲ್ಮೈ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸ್ವತಃ P2 ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು n = 0 ಅಥವಾ n ≤ 2 ಗೆ σn ಆಗಿರುತ್ತವೆ. (ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಒ (0) + ಒ (ಎನ್) ಶೀಫ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪಿ 1 ಮೇಲೆ ಪಿ 1 ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಪಿ1 × ಪಿ1 ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪಿ1 ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುವ ಪಿ2 ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠವಲ್ಲ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳುಃ ಪ್ಲುರಿಜೆನರಾ ಎಲ್ಲಾ 0 ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಡೈಮಂಡ್ಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಪಿ2, ಪಿ1 × ಪಿ1 = ಎಸ್ಇ0, ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಸ್ಇಎನ್, ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್, ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಡೆಲ್ ಪೆಝೊ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ವೆರೋನೀಸ್ ಮೇಲ್ಮೈ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಕನಿಷ್ಠವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಜೆನಸ್ ಜಿ ಯ ಜೆನಸ್> 0 ರೂಲ್ಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ರೂಲ್ಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಜೆನಸ್ ಜಿ ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ನಯವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅದರ ನಾರುಗಳು ಪಿ 1 ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿವೆ. (0 ಕುಲದವುಗಳು ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿವೆ.) ಯಾವುದೇ ನಿಯಮಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆ C ಗೆ P1 × C ಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದ್ವಿಗುಣ ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ ನಿಯಮಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. P1 × P1 ಗೆ ಸಮರೂಪವಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಡಳಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (P1 × P1 ಎರಡು ಹೊಂದಿದೆ). ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳುಃ ಪ್ಲುರಿಜೆನರಾ ಎಲ್ಲಾ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಡೈಮಂಡ್ಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಪಿ1ನೊಂದಿಗೆ> 0 ಕುಲದ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ. ಏಳನೇ ತರಗತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಕೆಹ್ಲರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. b2 = 0 ಹೊಂದಿರುವ ಕನಿಷ್ಠವುಗಳನ್ನು ಬೊಗೊಮೊಲೊವ್ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಹೋಪ್ಫ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಥವಾ ಇನೋವ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಎರಡನೇ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇನೋವ್-ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಎನೋಕಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟೊ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಜಾಗತಿಕ ಗೋಳಾಕಾರದ ಶೆಲ್ ಊಹೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಎರಡನೇ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗ VII ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಕ್ಯಾಟೊ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಕಾರ VII ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಥಿರಃ q = 1, h1,0 = 0. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ಲುರಿಜೆನರಾಗಳು 0 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಡೈಮಂಡ್ಃ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ 0 ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ನೊಥರ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ 0 ಕ್ಕೆ, K ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಛೇದಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಇದನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆಃ ಇದಲ್ಲದೆ κ = 0 ರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಇದನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2h0,1 ≤ b1, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಪದಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕೆಲವೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ 2h0,1 − b1 ಎಂಬುದು 0 ಮತ್ತು 2pg ನಡುವಿನ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ 2h0,1 − b1 = 0 ಅಥವಾ 1. ಕೆಹ್ಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ 2h0,1 − b1 = 0 ಮತ್ತು h1,0 = h0,1. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಹಾರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಇವು q = 0 ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ 0 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗವು ಸರಳವಾಗಿ 4-ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ನಯವಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ಃ ಎರಡನೇ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು H2 (X, Z) ಆಯಾಮ 22 ಮತ್ತು ಸಿಗ್ನೇಚರ್-16 ರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿ II3,19 ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಡೈಮಂಡ್ಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಪಿ3 (ಸಿ) ಕುಮ್ಮರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ 4 ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳು. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ a → − a ಮೂಲಕ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಮೂಲಕ ಇವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ 16 ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರುತಿಸಲಾದ K3 ಮೇಲ್ಮೈಯು II3,19 ರಿಂದ H2 (X, Z) ವರೆಗಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ K3 ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಗುರುತಿಸಲಾದ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವು 20ನೇ ಆಯಾಮದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಲ್ಲದ ನಯವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅದರ 19 ಆಯಾಮದ ಉಪವಿಧಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಗಳು ಕೇವಲ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಆಯಾಮ 2 ರ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋರಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ ಎಂದು ರೀಮನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ 2-ಆಯಾಮದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಟೋರಿ ಅಥವಾ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ (ಐಸೊಜೆನಿಯವರೆಗೆ) ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವ ಮಾನದಂಡಗಳು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದ್ದವು. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳುಃ ಪ್ಲುರಿಜೆನರಾ ಎಲ್ಲಾ 1 ಆಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯು S1 × S1 × S1 × S1 ಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು Z4 ಆಗಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಡೈಮಂಡ್ಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಎರಡು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ಜೆನಸ್ 2 ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್. ಜಾಲಕದಿಂದ C2ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ. ಕೊಡೈರಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಇವು ಎಂದಿಗೂ ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ, ಆದರೂ ಅವು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಉಪವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಬಂಡಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕೊಡೈರಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಮತ್ತು 2,3,4, ಅಥವಾ 6 ಕ್ರಮಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಇವುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ದ್ವಿತೀಯ ಕೊಡೈರಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಮತ್ತು ಇವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಬಂಡಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ದ್ವಿತೀಯ ಕೊಡೈರಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಕೆ 3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಬೈಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ಃ ಮೇಲ್ಮೈಯು k = 1,2,3,4,6 ಕ್ರಮದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕೊಡೈರಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, n ಅನ್ನು k ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ ಪ್ಲುರಿಜೆನರಾ Pn 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಡೈಮಂಡ್ಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ, ನಂತರ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z ನ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ Z ನಿಂದ ಫೈಬರ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ. ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕೊಡೈರಾ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಇವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿದ್ದು, q = 0 ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ, ಆದರೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಚೌಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎನ್ರಿಕ್ಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿವೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಹ್ಲರ್). ಅವು 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳುಃ n ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ಲುರಿಜೆನರಾ Pn 1 ಮತ್ತು n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು 2ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡನೇ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು H2 (X, Z) ಆಯಾಮ 10 ಮತ್ತು ಸಿಗ್ನೇಚರ್-8ರ ಅನನ್ಯ ಸಮ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲರಿ II1,9 ಮತ್ತು ಕ್ರಮ 2ರ ಗುಂಪಿನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಡೈಮಂಡ್ಃ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಂಪರ್ಕಿತ 10-ಆಯಾಮದ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ 2ರಲ್ಲಿ, ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಏಕವಚನ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲಿನ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ (ಅಥವಾ ಬೈಎಲಿಪ್ಟಿಕ್) ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇವು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಎರಡು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು Z/2Z, Z/2Z + Z/2Z, Z/3Z, Z/3Z + Z/3Z, Z/4Z, Z/4Z + Z/2Z, ಅಥವಾ Z/6Z ಆಗಿರಬಹುದು, ಇದು ಅಂತಹ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಏಳು ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ 2 ಅಥವಾ 3 ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಬಿಡಾರವಲ್ಲದ ಗುಂಪಿನ ಯೋಜನೆಯಿಂದ ಉದ್ಧರಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. ಹಾಡ್ಜ್ ಡೈಮಂಡ್ಃ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು 1 ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ನಾರುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ (ಬಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಒಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ನಾರುಗಳು ಕುಲ 1 ರ ನಯವಾದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ). ಅಂತಹ ತಂತುಗಳಲ್ಲಿನ ಜೆನೆರಿಕ್ ಫೈಬರ್ ಬಿ ಯ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ 1 ನೇ ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ 1 ನೇ ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿಯು ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಕೊಡೈರಾ ಮತ್ತು ಇತರರು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೊಡೈರಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಏಕ ತಂತುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರಗಳ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, p-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ) ಮತ್ತು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ) ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸರಿಯಾದ ನಿಯಮಿತ ಮಾದರಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ಮತ್ತು 3 ರಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ-ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅವುಗಳ ನಾರುಗಳು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ನೋಡ್ನೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಅವು "ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು" ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ 1 ರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ 2 ಅಥವಾ 3 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ), ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜವಲ್ಲಃ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ, 0, ಅಥವಾ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ಕೊಡೈರಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಕೆಲವು ಕೆ3 ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಕೆಲವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮವನ್ನು 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಹೊಂದಿವೆ. ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಕನಿಷ್ಠ 2ನೇ ಕುಲದ ತಳ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮವು 0 ಅಥವಾ 1ನೇ ಕುಲದ ಬಿ ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಅಂಡಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ 1 ಆಗಿರಬಹುದು. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ಃ ಉದಾಹರಣೆಃ ಇ ಒಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಇ × ಬಿ ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ 1 ರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಕೊಡೈರಾ ಆಯಾಮ 2 ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು) ಇವೆಲ್ಲವೂ ಬೀಜಗಣಿತದವು, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಈ ವರ್ಗದಲ್ಲಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಒರಟಾದ ಮಾಡುಲಿ ಯೋಜನೆ ಇದೆ ಎಂದು ಗೀಸೆಕರ್ ತೋರಿಸಿದರು; ಇದರರ್ಥ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿ ಮತ್ತು ಸಿ 2 ನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಆ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಅರೆ-ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಯೋಜನೆ ಇದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವುದು ಬಹಳ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾದ ಚೇರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವೇ ಜೋಡಿಗಳಿವೆ (ಯೋಜನೆ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವಾಗ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ!) ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳುಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಚೇರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ಹಲವಾರು ಷರತ್ತುಗಳಿವೆಃ (ಬೊಗೊಮೊಲೊವ್-ಮಿಯೋಕಾ-ಯೌ ಅಸಮಾನತೆ) (ನೋಥರ್ ಅಸಮಾನತೆ) ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಚೇರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಕುಲದ ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ, ಮತ್ತು ಪಿ 3ಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 5 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಇತರ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದೊಡ್ಡ ಚೇರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ "ವಿಶಿಷ್ಟ" ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಲ್ಲ ಯಾವುದೇ ರಚನೆಯಿಲ್ಲ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರದ "ವಿಶಿಷ್ಟ" ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಂಜಸವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ನಕಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಗಳು, ಬಾರ್ಲೋ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕ; (ಸಾಫ್ಟ್ಕವರ್)-ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲೆ ಸೂಪರ್ಫಿ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಿಚೆ ಎಂಬುದು ಎನ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ದೃಶ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ-ಕೊಡೈರಾ ವರ್ಗೀಕರಣ, ಪೀಟರ್ ಬೆಲ್ಮಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜೋಹಾನ್ ಕಮೆಲಿನ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಬೈರೇಷನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಗಣಿತದ ವರ್ಗೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು