Lie bracket of vector fields
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬಿ-ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಗೆ ಮೃದುವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ X ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಹರಿವಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ Y ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ("X ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ Y ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ"). ಇದು X ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಹರಿವಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಲೈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಒಂದು ಆರ್-ಬೈಲಿನಿಯರ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಯವಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ) ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಬಿಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಹ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಮೂರು ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಆದರೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಧಾನಗಳಿವೆಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಯವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು X (p) ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ p ನಲ್ಲಿ f ನ ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಮೂತ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ X, C ≤ (M) ಮೇಲೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, C ≤ (M) ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಯವಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರ X ನಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಹರಿವುಗಳು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ X ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹರಿವು ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು D ಸ್ಪರ್ಶಕ ನಕ್ಷೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ. ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ X ಮತ್ತು Y ನ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಲೈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಇದು x ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮರಳಲು ಸತತ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಹರಿವಿನ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಅಳೆಯುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿದ್ದರೂ (ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ), ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ. ನಂತರ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ M ಎಂಬುದು (Rn ನ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ), ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ರೂಪದ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ X ಮತ್ತು Y ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು (ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ) ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವುವು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಎಂ (ಅಂದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ನಯವಾದ ವಿಭಾಗಗಳು) ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಜ್ಜುಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ [1] ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಃ ಆರ್-ಬೈಲಿನಿಯರಿಟಿ ಆಂಟಿ-ಸಿಮೆಟ್ರಿ, ಜಾಕೋಬಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿ, ಎರಡನೇ ಆಸ್ತಿಯ ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಗೆ "ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ" ಇದೆ. ಎಂನಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾದ (ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ) ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಎಂನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ವೈ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ವೈಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಹೊಸ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್. ವೈ. ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರಃ ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯ X (f) ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ Y ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯ f ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯ್ಡ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. X ಮತ್ತು Y ನ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದು ಎಂದರೆ ಈ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಹರಿವುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದು M ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಮೇಯ-iff X ಮತ್ತು Y ನ ಹರಿವುಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ s, t. ಇದು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಬಿಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಜಿ ಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಗುರುತಿನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಜಿ ಮೇಲಿನ ಎಡ ಅಸ್ಥಿರ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಎಡ ಅಸ್ಥಿರ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಜಾಕೋಬಿ-ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಲೈ ಗುಂಪಿಗೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಜಾಗವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ, ಇಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದರ್ಥ ಮತ್ತು I ಎಂಬುದು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗಣನೆಯು ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಲೈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ (ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳಿಗೆ) ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದರೆ ಫ್ರೊಲಿಚರ್-ನಿಜೇನ್ಹುಯಿಸ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್. ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಚರ್ಚೆ. ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ. ಬಿಲಿನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ