Hyperhomology
ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೋಹೋಲಜಿ () ಎಂಬುದು (ಕೋ) ಹೋಮೋಲಜಿ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ವಸ್ತುಗಳ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಹೋಮೋಲಜಿ ನಡುವಿನ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಅಡ್ಡವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೋಹೋಲಜಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಸುಮಾರು 1970 ರಿಂದ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿಗೆ ಪ್ರೇರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ನಿಖರವಾದ sequencesi.e ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಂಬಂಧಿತ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಒಳಹರಿವುಗಳನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ) ಇದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೋಹಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನಾವು ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಂದಿನಂತೆ, ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆಃ ಒಂದನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಬಾಣಗಳ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಎ ಸಾಕಷ್ಟು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಮತ್ತೊಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಬಿ ಗೆ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. C ಯು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ A ಯ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, C ಯ ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿ ಹೈ (C) ಅನ್ನು (ಪೂರ್ಣಾಂಕ i ಗೆ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅರೆ-ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ φ: C → I, ಇಲ್ಲಿ I ಎಂಬುದು A ಯ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸಿ ಯ ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿ ಹೈ (ಸಿ) ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಫ್ (ಐ) ನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಹೈ (ಎಫ್ (ಐ)) ಆಗಿದೆ. ಸಿ ಯ ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳವರೆಗೆ ಅರೆ-ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೋಹೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಸಿ ಯ ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೋಹೊಮಾಲಜಿಯು ಕೇವಲ ಬಿ ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗದ ಅಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಆರ್ಎಫ್ (ಸಿ) ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ, ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೋಹೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು H0 = FH0 = H0F ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಎರಡು ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿವೆ; ಒಂದು ಇ 2 ಪದದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಇ 1 ಪದ ಮತ್ತು ಇ 2 ಪದದೊಂದಿಗೆ ಎರಡೂ ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ಜೆಎಫ್ ಎಫ್ ನ ಬಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಂದು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಗೆರ್ಬ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿದೆ. ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಶ್ರೇಣಿಯ n ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಸೆಕ್-ಆಲ್ಕೊಹಾಲಜಿ ಗುಂಪು ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಗೆರ್ಬ್ಗಳ ಹಿಂದಿನ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಬದಲು, ನಾವು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮೂಲ ವರ್ಗೀಕರಣ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆರ್ಬ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೋಹೋಲಜಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಆಲ್ಕೋಹೋಲಜಿ. ಕಾರ್ಟನ್-ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಗೆರ್ಬ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಎಚ್. ಕಾರ್ಟನ್, ಎಸ್. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್, ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್, ಸುರ್ ಕ್ವೆಲ್ಕ್ಯೂಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್ ಡಿ 'ಆಲ್ಗೆಬ್ರೆ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕ್ ತೋಹೋಕು ಮಠವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಜೆ. 9 (1957) ಪು. 119-221 ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ