Octonion algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಕೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಎಫ್ ಮೇಲೆ 8 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಎ ಮೇಲೆ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಇರುವ 8-ಆಯಾಮದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಸಂಘಟಿತ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪ ಎನ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ), ಅಂದರೆ ಎ ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಮತ್ತು y ಗೆ. ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ಗಳು, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ವಿಭಜಿತ-ಆಕ್ಟೋನೀಯನ್ಗಳು ಆರ್ ಮೇಲೆ ಆಕ್ಟೋನೀಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆರ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ, ಇವುಗಳು ನಿಜವಾದ ಆಕ್ಟೋನೀಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ. ಬಯೋಕ್ಟೋನೀಯನ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿ ಮೇಲಿನ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಎನ್ ನ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿಭಜನ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಎನ್ ರೂಪವು ಅನಿಸೋಟ್ರೋಪಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ವಿಭಜಿತ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು Nನ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, N (x) = 0ನೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ x ಇರುತ್ತದೆ). ಎಫ್-ಬೀಜಗಣಿತದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವಿಭಜಿತ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಿದೆ. ಎಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದಾಗ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಇವು ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಏಕೈಕ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದವು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವು ಪರ್ಯಾಯ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದು, ಆಲ್ಟರ್ನೇಟಿವಿಟಿಯು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯ ದುರ್ಬಲ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೌಫಾಂಗ್ ಗುರುತುಗಳು ಯಾವುದೇ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮ ಅಂಶಗಳು ಮೌಫಾಂಗ್ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಯುನಿಟ್ ಮಾನದಂಡದ ಅಂಶಗಳು ಹಾಗೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕೆ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಡಿಕ್ಸನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ಆಲ್ಜೆಬ್ರೆನ್ ಉಂಡ್ ಇಹ್ರೆ ಝಹ್ಲೆಂಥಿಯೋರಿ (1927) (ಸೈಟ್ 264) ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಝಾರ್ನ್ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಉತ್ಪನ್ನವು k ನಿಂದ γ ನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. k ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ q ಮತ್ತು Q ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು q + Qe ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು r + Re ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ನಂತರ * ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ, ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಝಾರ್ನ್ನ ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಈ ಕೇಲೆ-ಡಿಕ್ಸನ್ ರಚನೆಯು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಈ ನಾಮಪದದ ನಿರಂತರ ಬಳಕೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ಕೋಲ್ ಫ್ಯೂರೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವರ್ಗೀಕರಣ ಇದು ಅಡಾಲ್ಫ್ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ನ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಎಫ್-ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳು ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಎಫ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಫಿಸ್ಟರ್ 3-ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಎಫ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಎಫ್ ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗುವುದರಿಂದ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಭಜಿತ ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ಗಳ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ವಿಭಜಿತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪು ಜಿ2 ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ ಎಫ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಜಿ2-ಟಾರ್ಸರ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಂಯೋಜನೆ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ನಾನ್-ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳು