Peano existence theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಪೀನೋ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಪ್ರಮೇಯ, ಪೀನೋ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಕೌಚಿ-ಪೀನೋ ಪ್ರಮೇಯವು, ಗ್ಯೂಸೆಪ್ಪೆ ಪೀನೋ ಮತ್ತು ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಹಿಸ್ಟರಿ ಪೀನೋ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1886 ರಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾದ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿತು. 1890 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಸತತ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೊಸ ಸರಿಯಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಪ್ರಮೇಯವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ f ಯೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲಃ ಒಂದೇ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಪುರಾವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ತೆರೆದಂತೆ ಒಂದು ಆಯತವಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸ್ಟೋನ್-ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. , ಮತ್ತು. ಅವುಗಳನ್ನು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ, ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಆರ್ಝೆಲಾ-ಅಸ್ಕೋಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಅವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸ್ವತಃ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾ, ಅರ್ಜೆಲಾ-ಅಸ್ಕೋಲಿ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, in. ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪೀನೋ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮತ್ತೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವಾದ ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪೀನೋ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ನಿರಂತರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಪೀನೋ ಪ್ರಮೇಯವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆ ಎರಡನ್ನೂ ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವರಿಸಲು, ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಪೀನೋ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಬಲಭಾಗವು 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ಆದರೆ ಅನನ್ಯತೆಯಲ್ಲ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯವು ಪೀನೋ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ನಿರಂತರತೆಗಿಂತ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು