Geometric median
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು 1-ಮೀಡಿಯನ್, ಸ್ಪೇಷಿಯಲ್ ಮೀಡಿಯನ್, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಿನಿಸಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಥವಾ ಟೊರಿಸೆಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯಮವು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂದಾಜುದಾರನಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಎಲ್1 ಅಂದಾಜುಗಾರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎಲ್1 ಮಾನದಂಡದ ನಂತರ). ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾರಿಗೆ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸೌಲಭ್ಯವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕೆ-ಮೀಡಿಯನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕೆ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ಹತ್ತಿರದ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಂದು ರೇಖೆ ಅಥವಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೂಲಕ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, = 3 ಮತ್ತು = 2) ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಟೈನರ್ ಮರಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೂಲತಃ ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಅವರು ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇವಾಂಜೆಲಿಸ್ಟಾ ಟೊರಿಸೆಲ್ಲಿಯವರು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಇದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈಗ ಮೂರು ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯಮವನ್ನು ತೂಕದ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ವೆಬರ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ವೆಬರ್ ಅವರ 1909 ರ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ನಂತರ. ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳು ವೆಬರ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಫೆರ್ಮಾಟ್-ವೆಬರ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇತರರು ಈ ಹೆಸರನ್ನು ಭಾರವಿಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಮ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಮೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಲ್ಲದ ಬಿಂದು ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ m ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಇಲ್ಲಿ, ಆರ್ಗ್ಮಿನ್ ಎಂದರೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು n ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 1-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಮಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಏಕರೂಪದ ಮಾಧ್ಯಮವು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಬಿಂದುಗಳು p1,., pn ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯಮವು ಮಧ್ಯದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ n ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ಎರಡು ಮಧ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು.) ಬಿಂದುಗಳು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಹೋಲಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯಮವು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಮಾದರಿ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅದೇ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ದತ್ತಾಂಶದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ದೂರದಿಂದ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನ ಘಟಕವಾರು ಮಾಧ್ಯಮವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು 0.05ರ ವಿಭಜನೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಮಾದರಿ ದತ್ತಾಂಶದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗಳ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಇನ್ನೂ ದೋಷರಹಿತ ದತ್ತಾಂಶದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ದೃಢವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ 3 (ನಾನ್-ಕೊಲೀನಿಯರ್) ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ಆ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಯಾವುದೇ ಕೋನವು 120° ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಆ ಕೋನದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು 120° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ತ್ರಿಕೋನದೊಳಗಿನ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಜೋಡಿ ತ್ರಿಕೋನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ 120° ಕೋನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಬಿಂದು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಇತರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಂತೆಯೇ.) 4 ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಇತರ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದೊಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯಮವು ಆ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣೀಯಗಳ ದಾಟುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೇಡಾನ್ ಬಿಂದುವಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಧ್ಯಮವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಒಂದು ಸವಾಲನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಎಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯದಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕೇಂದ್ರಕ ಅಥವಾ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಸರಳ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು-ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿಗಳಾಗಿವೆ-ಆದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಕಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರ, ಅಥವಾ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು kth ಮೂಲಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡ ನಿಖರವಾದ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಗಣನೆಯ ಮಾದರಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಹಂತವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠದಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಎಂಡ್ರೆ ವೈಸ್ಫೆಲ್ಡ್ರ ಕೆಲಸದ ನಂತರ ವೈಸ್ಫೆಲ್ಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ರೀತಿಯ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಮರು-ತೂಕದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಸ್ತುತ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳವರೆಗಿನ ದೂರಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ತೂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ತೂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮಾದರಿಯ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ ಎಂಬ ಹೊಸ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಅಂದಾಜುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಬಿದ್ದಾಗ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಇದನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸೂಕ್ತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ಬಹುತೇಕ ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿಖರತೆಗೆ ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೋನ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಆಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ y ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಾದ xi ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ y ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಇದು ವೀಸ್ಜ್ಫೆಲ್ಡ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ y ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವೆಂದರೆಃ ಇಲ್ಲಿ xi § y ಗೆ, ಮತ್ತು xi = y ಗೆ, ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ವಿಭಜನೆಯು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ y ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ y ನಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದೇಶನಗಳ ಒಂದೇ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಮಧ್ಯಮ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಸ್ವತಃ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶನಗಳ ಮೊತ್ತವು (ನಿರ್ದೇಶಿತ) ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಗೆ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳವರೆಗೆ (ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳವರೆಗೆ) ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅರ್ಥವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸುವ ಅದೇ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ದೂರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ, 1 ಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ತೂಕಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅವರಿಂದ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನಾವು ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ತೂಕದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು (ಅಥವಾ ತೂಕದ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮಧ್ಯಭಾಗ) ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ತೂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಮ ಎಂದು ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮೆಡೋಯಿಡ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಚಲನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ಮೀನ್ಸ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ನಾನ್ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ಗೆ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು