Shapiro polynomials
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಮೊತ್ತಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ 1951ರಲ್ಲಿ ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಎಸ್. ಶಾಪಿರೋ ಅವರು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಕ್ರಮವೇ ಶಾಪಿರೋ ಬಹುಪದಗಳು. ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಶಾಪಿರೋ ಬಹುಪದಗಳು ಉತ್ತಮ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಸದಸ್ಯರುಗಳೆಂದರೆಃ ಇಲ್ಲಿ Q ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಎರಡನೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೊದಲ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು P. ನಿರ್ಮಾಣವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಪಿರೋ ಬಹುಪದಗಳಾದ Pn (z) ಅನ್ನು ಗೊಲೇ-ರುಡಿನ್-ಶಾಪಿರೋ ಅನುಕ್ರಮ an ನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಇದು n ನ ಅವಳಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸತತ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ-1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1, a3 = −1, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮೊದಲ ಶಾಪಿರೋ Pn (z) ಎಂಬುದು f (z): = a0 + a1z + a2z2 + ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯ 2n−1 ಕ್ರಮದ (ಇಲ್ಲಿ n = 0,1,2,.) ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಗೊಲೇ-ರುಡಿನ್-ಶಾಪಿರೋ ಅನುಕ್ರಮವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ತರಹದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, an = a2n-ಇದು ಅನುಕ್ರಮವು (a0, a2, a4,.) ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ f (z) ನಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದ ಗಮನಾರ್ಹ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ಪೂರಕವಾದ ಶಾಪಿರೋ ಬಹುಪದಗಳಾದ Qn (z) ಅನ್ನು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ Qn (z) = (1-) nz2n-1Pn (-1/z) ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. {Pn} ನ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, Pn (z) ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಘಟಕ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ 2 (n + 1) ರ ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು Pn ನ L2 ಮಾನದಂಡದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. {−1,1} ಗುಂಪಿನಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳು, ಅವುಗಳ ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಸಂವಹನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಂಟೆನಾ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶ ಸಂಕೋಚನ). ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ (iii) (ಪಿ, ಕ್ಯೂ) ಗೋಲೆ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬಹುಪದಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಧ್ಯಾಯ 4 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಬಹುಪದಗಳು