Projective cover
ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಎಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಹೊದಿಕೆಯು ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಎಕ್ಸ್ನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಪಿ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಹೊದಿಕೆಗಳು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಲಕೋಟೆಗಳ ದ್ವಿಗುಣಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ವರ್ಗ ಮತ್ತು X ಒಂದು ವಸ್ತುವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ (ಪಿ, ಪಿ), ಇದರಲ್ಲಿ ಪಿ ಒಂದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಮತ್ತು ಪಿ ಹೋಮ್ (ಪಿ, ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯದ್ಭುತವಾದ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆರ್ ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ, ಅನಗತ್ಯವಾದ ಎಪಿಕಾಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಂದು ಎಪಿಕಾಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪಿ ಯ ಕರ್ನಲ್ ಪಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ಗಳ ಅನಗತ್ಯವಾದ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನಗತ್ಯ ಎಪಿಕಾಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು, ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಲ್ಲ. ಅನಗತ್ಯವಾದ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ p ಯ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಣಾಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ N ಎಂಬುದು P ಯ ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಅನಗತ್ಯವಾದ ಕರ್ನಲ್ ಪಿ ಅನ್ನು ಎಂ ಅನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಆವರಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಉಪಘಟಕವು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಪಿ ಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲಃ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಅನಗತ್ಯ ಅಪರೂಪತೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ. (ಪಿ, ಪಿ) ಎಂನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪಿ 'ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪಿ' ಯಿಂದ ಪಿ 'ಗೆ ವಿಭಜಿತ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ α ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಲಕೋಟೆಗಳು ಮತ್ತು ಫ್ಲಾಟ್ ಕವರ್ಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಎಡ (ಬಲ) ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಎಡ (ಬಲ) ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಎಡ (ಬಲ) ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್-ಮೋಡ್ (ಮೋಡ್-ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಅನ್ನು ಎಡ (ಬಲ) ಪರಿಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತಿ ಎಡ (ಬಲ) ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್-ಮೋಡ್ (ಮೋಡ್-ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಉಂಗುರವನ್ನು ಅರೆ-ಪರಿಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಸೆಮಿಪೆರ್ಫೆಕ್ಟ್" ಒಂದು ಎಡ-ಬಲ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳು ಆರ್/ಜೆ ನಿಂದ ಆರ್ ಗೆ ಎತ್ತಿದರೆ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಲಿಫ್ಟ್/ರಾಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜೆ ಆರ್ ನ ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಆಗಿದೆ. ಲಿಫ್ಟ್/ರಾಡ್ ಎಂಬ ಗುಣವನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದುಃ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್/ಜೆ (ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ) ಯ ನೇರ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆರ್ ಅನ್ನು ಲಿಫ್ಟ್/ರಾಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಎಂ ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಂ ನಿಂದ ಎಂ ವರೆಗಿನ ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಅತ್ಯದ್ಭುತವಾದ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ (ಅದರ ಕರ್ನಲ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. J (R) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, M ಘಟಕವು ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಲಕೋಟೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಕೆಲವು ಉಂಗುರಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Z ನಿಂದ Z/2Z ಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯು Z-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ Z/2Z ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ ಅಲ್ಲ (ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ). ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಕವರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸರಿಯಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗವು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಆರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹೊದಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.