Spin representation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಸಹಿಯಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಥವಾ ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಅವು ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಎರಡು ಸಮಾನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪುಗಳ ಡಬಲ್ ಕವರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ನಂತಹ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಭೌತಿಕ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರಚನೆಯು ಗುಂಪಿನ ವಾಹಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು (ಬಹುಶಃ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಮಾತ್ರ) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಾಹಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನೈಜ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೈಜ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಸೂಕ್ಷ್ಮ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಸಹಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ ದ್ವಿ-ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ವಿಶೇಷ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ; ಇದು ಈ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್-ಅಪ್ ಒಂದು ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿರುವ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಗುಂಪಿನ ಗುರುತಿನ ಘಟಕವನ್ನು ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪ ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜಕ್ಕೆ, ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲಃ ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಡಬಲ್ ಕವರ್, ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆ ಇದೆ, ಅದರ ಕರ್ನಲ್ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ನಂತರ ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಒಳಭಾಗಕ್ಕೆ. ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಅವು ಒಂದೇ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ನೈಜ ವಾಹಕ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲೆ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಹುದುಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಮರೂಪತೆಯವರೆಗಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳನ್ನು ಅದರ ಆಯಾಮದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಆಯಾಮ, ಮತ್ತು ಅದು ಸಹಿಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಸಹಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಲು ನಾವು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು, ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಮತ್ತು ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಂದ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಒಂದು ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅಥವಾ ಗುಂಪಿನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಆ ಅಂಶವು ಕರ್ನಲ್ನಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಮ್ಯೂಟೇಟರ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನೊಂದಿಗಿನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಅಥವಾ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ನಿಜವಾದ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ; ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ, ನಾವು ಮೊದಲು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನೈಜ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಇರಲಿ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಧ್ರುವೀಕರಣದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರಚನೆಯು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ (ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಜೋಡಿಯ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ವೇಳೆ ಅಥವಾ, ಆಗ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, 1-ಆಯಾಮದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವು ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಆಗಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅವು ಡ್ಯುಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಧಾರವಿದೆ, ಅದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್, ಆನ್, ಆನ್ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ (ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ), ವಕ್ರವಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡಿ) ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆಃ ಇದರ ಶ್ರೇಣಿ, ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು-ಆಯಾಮದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅದರ ಹತ್ತನೇ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದು ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವುದರಿಂದ, ಈಗ ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಬೇರಿನ ಸ್ಥಳಗಳು (ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಏಕಕಾಲಿಕ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿವೆಃ ಬೇರಿನೊಂದಿಗೆ (ಏಕಕಾಲಿಕ ಐಜೆನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ) (ಇದು ಬೇರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಬೇರಿನೊಂದಿಗೆ ಬೇರಿನೊಂದಿಗೆ ಇಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರಿನೊಂದಿಗೆ ಬೇರಿನೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮತ್ತು (ಬೆಸಕ್ಕೆ) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಳ ಮೂಲಗಳೆಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳು ಸರಳ ಮೂಲಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ತೂಕಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ (ಗಳು) ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಬಳಕೆಗಳ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಒಂದು ರಚನೆಯು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಹೀಗೆ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಕೋಚನವಾಗಿದೆ (ಆಂತರಿಕ ಗುಣಾಕಾರ), ಇದು ಜೋಡಿಗಳು ಮತ್ತು. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಆವರಣದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮಾನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳು ಎ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿವರಣೆಯು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಾರ್ ರೂಪದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ತೂಕದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆಃ ಕೆಲವರಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರ ವಾಹಕದಲ್ಲಿ-1/2 ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ತೂಕಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ತೂಕದ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಡಿರಾಕ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಲ್ಲಃ ಮತ್ತು ಇವು ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ತೂಕಗಳು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವುಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. S + ಮತ್ತು S-ಎರಡೂ ಆಯಾಮ 2m−1 ರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವೇಯ್ಲ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೈರಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಅರ್ಧ-ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, S + ಮತ್ತು S-ನ ಅತ್ಯಧಿಕ ತೂಕಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಆಗಿವೆ. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಿಎಲ್ಎನ್ಸಿಯನ್ನು ಎಂಡ್ (ಎಸ್) ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈವನ್ ಸಬ್ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾವನ್ನು ಎಸ್ + ಮತ್ತು ಎಸ್-ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ S′ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ S ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದಾಗ, S ಎಂಬುದು 2m ಆಯಾಮದ ಆದ್ದರಿಂದ (n, C) ಅನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು u ± U ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ (n, C) ಯು ಅಥವಾ ಯು ರೂಪದ ಅಂಶಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎಸ್ ನ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ತೂಕವು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಎಸ್ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ವಾಸ ಹೊಂದಿಲ್ಲಃ ಸಿಎಲ್ಎನ್ಸಿಯನ್ನು ಎಂಡ್ (ಎಸ್) ± ಎಂಡ್ (ಎಸ್) ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಯು ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಎರಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಿಎಲ್ಎನ್ಸಿಯ ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಇನ್ವೊಲ್ಯೂಷನ್ α ನಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ (ಇದನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದು ಸಮ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುರುತು, ಮತ್ತು ಸಿಎಲ್ಎನ್ಸಿಯ ಬೆಸ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಗುರುತನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, S ನಿಂದ S′ ಗೆ ರೇಖೀಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ, ಇದು S ನ ಮೇಲೆ α (A) ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ClnC ಯಲ್ಲಿ A ಯ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. λ ಎಂಬುದು Sನ ತೂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಿಲಿನಿಯರ್ ರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ −λ ಆಗಿದೆ. ಇದು S ಅನ್ನು ದ್ವಂದ್ವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ S ≤ ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. n = 2m + 1 ಬೆಸವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ B: S → S ಱ್ಱಂ ಸ್ಕರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಅಳೆಯುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ S ಅನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು S ಮೇಲೆ ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ರೂಪ β ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಎಸ್ ಿರಿಮ್ ಎಂಬುದು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿಎಲ್ಎನ್ಸಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸರಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾದ ಎಸ್ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಇನ್ವೊಲ್ಯೂಷನ್ α ನಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಸಿಎಲ್ಎನ್ಸಿಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಿಎಲ್ಎನ್ಸಿಯ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ τ ಇದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ τ ಎಂಬುದು m ಈವೆನ್ಗೆ ರಿವರ್ಸನ್ (V ಮೇಲಿನ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್), ಮತ್ತು m ಬೆಸಕ್ಕೆ ಕಾಂಜುಗೇಷನ್ (V ಮೇಲಿನ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್) ಆಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಇನ್ವೊಲ್ಯೂಷನ್ α ನಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಇದು V ಯ ಮೇಲಿನ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. n = 2m ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು m ನ ಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. m ಸಮಕ್ಕೆ, ಒಂದು ತೂಕ λ, − λ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ಅದರ ದ್ವಿಗುಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಅರ್ಧ-ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು B ±: S ± → S ± ≤ ಇವೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅಳತೆಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಬಿಃ ಎಸ್ → ಎಸ್ ಿರಿಮ್ ಆಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. m ಬೆಸಕ್ಕೆ, −λ ಎಂಬುದು S−ನ ತೂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, λ ಎಂಬುದು S +ನ ತೂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ, S + ನಿಂದ S−ಯೂರ್ವರೆಗೆ ಒಂದು ಸಮರೂಪತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮತ್ತೆ ಅಳತೆಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಗಾವಣೆಯು S− ನಿಂದ S +ಯೂರ್ವರೆಗೆ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬಿಃ ಎಸ್ → ಎಸ್ ಿಱ ಎಂಬ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. m ಸಮ ಮತ್ತು m ಬೆಸ ಎರಡಕ್ಕೂ, B ಯ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು B ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪ β ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (1) ಎಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಟ್ಟಾರೆ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ τ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ (ಹಿಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜನೆ). ಸಮಮಿತಿ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ β: S: S → C ಯ ಸಮಮಿತಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದುಃ ಟೆನ್ಸರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ S′S ವಿವಿಧ k ಗಾಗಿ V ಮೇಲೆ k-ರೂಪಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ತೂಕಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಘಟಕಗಳು {− 1,0,1} ಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಈಗ ಈಕ್ವಿವೇರಿಯಂಟ್ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳು S′S′S′S′S′S′S′Cʼಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂತಹ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ′ಕೆವಿಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, β (φ, si) = ε β (si, φ) ಮತ್ತು τ, kVಯಲ್ಲಿ εk ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ kVಯಲ್ಲಿ Aಗೆ. n = 2m + 1 ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಶೂರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು 22 ಮೀ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಅಸಮಾನವಾಗಿವೆ). ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಸಂಯೋಗ ಅಥವಾ ಹಿಮ್ಮುಖವಾದ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ τ ನಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆಯಾದ್ದರಿಂದ, 2jV ಅಂಶದ ಸಮ್ಮಿತಿಯು j ನೊಂದಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಯೋಜನೆಯು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯು S2Sನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವವು 2Sನಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು v ωV ಗೆ (ಇದು ω2mV ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ), τ ಎಂಬುದು m ಸಮಕ್ಕೆ ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು m ಬೆಸಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. n = 2m ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆಃ S2S ±, ±2S ± ಮತ್ತು S + ±S-ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ k-ರೂಪಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಅಲ್ಲಿ k = m ಗೆ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಮತ್ತು ಸ್ವ-ವಿರೋಧಿ m-ರೂಪಗಳಾಗಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಭಜನೆ ಇರುತ್ತದೆ). ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದ ಪ್ರಕಾರ, n ಮಾಡ್ಯುಲೋ 8 ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, S ಮೇಲಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಆದ್ದರಿಂದ (n, C) ಅನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆಃ n ≤ 6 ಗೆ, ಈ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು (n = 6 ಗಾಗಿ gl ಬದಲಿಗೆ sl ಮೇಲೆ): ನೈಜ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಆದ್ದರಿಂದ (n, C) ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೈಜ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆದ್ದರಿಂದ (p, q) ನ ನೈಜ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೈಜ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ "ರಿಯಾಲಿಟಿ" ರಚನೆಗಳಿವೆ. ಇವು ಮೂರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಂಟಿಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆ r: S → S ಜೊತೆಗೆ r2 = IDS ಇದೆ. r ನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೂಹವು ನಂತರ ಎಸ್ಆರ್ ಸಿ = ಎಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಎಸ್ನ ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಎಸ್ಆರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೈಜ ರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೆ2 = − ಐ. ಡಿ. ಎಸ್. ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಂಟಿಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆ ಜೆಃ ಎಸ್ → ಎಸ್ ಇದೆ. ಇದು i, j ಮತ್ತು k: = ij ಎಂಬ ತ್ರಿಕೋನವು S ಅನ್ನು ಕ್ವಾಟರನಿಯಾನಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ SH ಆಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಾಗದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಂಟಿಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆ b: S → S ≤ ಇದೆ, ಅದು ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಸೂಡೊಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ದ್ವಿಪದರದ ರೂಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ (p, q) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ರಚನೆಯ ಪ್ರಕಾರವು ಸಿಗ್ನೇಚರ್ p − q ಮಾಡ್ಯುಲೋ 8 ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಆರ್, ಸಿ ಮತ್ತು ಎಚ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನೈಜ, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆರ್ + ಆರ್ ಮತ್ತು ಎಚ್ + ಎಚ್ ಅರ್ಧ-ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನೈಜ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ನೈಜ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಈ ರಚನೆಗಳು ಅಸ್ಥಿರ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸಬೇಕು. n = p + q + p − q ಮಾಡ್ 2 ರಿಂದ, ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆಃ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಸಹಿ ಎರಡೂ ಸಮವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಸಹಿ ಎರಡೂ ಬೆಸವಾಗಿವೆ. ಬೆಸ ಪ್ರಕರಣವು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಸ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರಚನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪ್ರಕರಣ n = 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, S ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ, ಡಿಮ್ S = 2N ಎಂದು ಹೇಳಿ. ಆದ್ದರಿಂದ (2N, C) ನ ನೈಜ ರೂಪಗಳು (K, L) K + L = 2N ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ (N, H) ಆಗಿವೆ, ಆದರೆ sp (2N, C) ನ ನೈಜ ರೂಪಗಳು sp (2N, R) ಮತ್ತು sp (K, L) K + L = N ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಸ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು. (†) ಸಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಇದು. ಸಮ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣವು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರ್ಧ-ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಮ-ಆಯಾಮದವುಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನೈಜ ರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. (*) ಏಕೆಂದರೆ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (†) ಸಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು (ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ), ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನೈಜ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ನೈಜ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಏಕೈಕ ವಿಶೇಷ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಜಾಲತಾಣವನ್ನೂ ನೋಡಿ. .. .. .. .. ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ