Kantorovich theorem
ಕಾಂಟೊರೊವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ನ್ಯೂಟನ್-ಕಾಂಟೊರೊವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಅರೆ-ಸ್ಥಳೀಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1948 ರಲ್ಲಿ ಲಿಯೊನಿಡ್ ಕಾಂಟೊರೊವಿಚ್ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ ಶೂನ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನವು ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಾಹಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಂಟೊರೊವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಪರಿಹಾರವು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವು ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಊಹೆಗಳು ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಜೊತೆಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ). ಅಂದರೆ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅಂತಹ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಹಿಡಿತಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮಾನದಂಡವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಕೆಲವು ಆಪರೇಟರ್ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಅಸಮಾನತೆಯು ಉಳಿಯಬೇಕು. ಈಗ ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಅದು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ ಹಂತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮುಂದಿನ ಊಹೆ ಎಂದರೆ ಮುಂದಿನ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಇಡೀ ಚೆಂಡು ಸೆಟ್ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ಗೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರಲಿ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ). ಕೊನೆಯ ತಯಾರಿಯಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಾಲ, ಅನುಕ್ರಮಗಳು, ಹೇಳಿಕೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಈಗ, ನಂತರ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನೊಳಗೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ರೇಖೀಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಆದರೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನೊಳಗೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ದೊಡ್ಡ ಚೆಂಡಿನೊಳಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವು ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮೂಲದ ಕಡೆಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದದ ನ್ಯೂಟನ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ, ಆಗ, ದೋಷ ಅಂದಾಜು ಕೊರೋಲರಿಯಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 1986 ರಲ್ಲಿ, ಡೋರಿಂಗ್ (1969), ಓಸ್ಟ್ರೋವ್ಸ್ಕಿ (1971,1973), ಗ್ರ್ಯಾಗ್-ಟಪಿಯಾ (1974), ಪೊಟ್ರಾ-ಟಾಕ್ (1980), ಮೈಲ್ (1981), ಪೊಟ್ರಾ (1984) ನಂತಹ ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಧಾನದ ದೋಷ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಯಮಾಮೊಟೊ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಕಾಂಟೊರೊವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಕ್ಯೂ-ಅನಲಾಗ್ ಇದೆ. ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು/ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗಾಗಿ, ಒರ್ಟೆಗಾ & ರೈನ್ಬೋಲ್ಟ್ (1970) ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಕಾಂಟೊರೊವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಓಶಿ ಮತ್ತು ತಾನಾಬೆ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು. ಜಾನ್ ಎಚ್. ಹಬ್ಬಾರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಬಾರ್ಬರಾ ಬರ್ಕ್ ಹಬ್ಬಾರ್ಡ್ಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್, ಲೀನಿಯರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಾರ್ಮ್ಸ್ಃ ಎ ಯೂನಿಫೈಡ್ ಅಪ್ರೋಚ್, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಡಿಷನ್ಸ್, (3. ಆವೃತ್ತಿಯ ಪೂರ್ವವೀಕ್ಷಣೆ ಮತ್ತು Kant.-thm ಸೇರಿದಂತೆ ಮಾದರಿ ವಸ್ತು.) ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು