Spinors in three dimensions
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾದ ಸ್ಪಿನರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದು ಎಸ್. ಓ. (3) ಪರಿಭ್ರಮಣ ಗುಂಪಿನ ವಿವರವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚರ್ಚೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರೀಕರಣ 2x2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಿನರ್ನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಎಲೀ ಕಾರ್ಟನ್ ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವಿವರವಾಗಿ, ನೈಜ (ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ x = (x1, x2, x3) ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಈ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಅವುಗಳನ್ನು 3-ಜಾಗದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ, ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. , ಅಲ್ಲಿ I ಎಂಬುದು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ Z ಎಂಬುದು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಸಮತಲದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, 3-ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಎರಡು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಓರಿಯೆಂಟೇಶನ್-ರಿವರ್ಸಿಂಗ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರವು ಪ್ರತಿಫಲನ ಅಥವಾ ಮೂರು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.) ಹೀಗಾಗಿ ಆರ್ ಒಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ, ಆಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆರ್ ಮೂಲಕ ವಾಹಕದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. 3-ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ರೇಖೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, 2x1 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು (ಅಂದರೆ, ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕಗಳು) ಯಾವ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕೇಳುವುದು ಸಹಜ. ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ, ಸ್ಪಿನರ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಮೂದುಗಳಾದ ω1 ಮತ್ತು ω2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಜಾಗವು ಸಂಕೀರ್ಣ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ಏಕ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿದೆಃ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ R ಅನ್ನು −R ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಉದ್ಭವಿಸುವ ಏಕೈಕ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ಪಿನರ್ನ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುವ ಕ್ರಿಯೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 2x2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಟನ್ನ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಪೂರ್ವಗಾಮಿಗಳು ಇದ್ದವುಃ ವೋಲ್ಫ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ಪೌಲಿ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದರು ಎಂದರೆ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ σi ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪೌಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೈಕೆಲ್ ಸ್ಟೋನ್ ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾರ್ ಇದನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತಾ, "ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು 1913 ರಲ್ಲಿ 'ಎಲೀ ಕಾರ್ಟನ್ ಅವರು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೆಲವು ವರ್ಷಗಳ ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆ 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪಿನರ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಈ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲು, X ಸಂಕೀರ್ಣ 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ x ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. x ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಅಂದರೆ, ನಂತರ X ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ಗಳ ನಡುವೆ ಅನುಪಾತವಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ 2-ವಾಹಕಗಳ ಹೊರಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಈ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ವಾಹಕ x ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿಮೀರಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ಪಿನರ್ ಅನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕವಲೊಡೆಯುವಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ, ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಪೂರ್ಣ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ () ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿನರ್ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಈ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಆವರ್ತನಗಳು ω1: ω2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿ () ಚಿಹ್ನೆಯ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯು ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಸ್ಥಳವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ಪಿನರ್ಗಳನ್ನು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ವಾಹಕಗಳ ಒಂದು ರೀತಿಯ "ವರ್ಗಮೂಲ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು () ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಪಿನರ್ಗಾಗಿ X = 2 ω t ω C ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಫೋರ್ಟಿಯೋರಿ, φ ಮತ್ತು x ನ ಪಾತ್ರಗಳು ಈಗ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಪಿನರ್ φ ಗೆ Q (φ) = x ರೂಪವು, φ ನ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ x ಅನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವು ಧ್ರುವೀಕರಣಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ಪಿನರ್ಗಳಾದ Q (μ, x) ಗಳ ಮೇಲೆ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವು ನಂತರ ಪ್ರತಿಫಲನ ಅಥವಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕರ್ಷಕವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವ ಈ ಮೇಲಿನ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂಲ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳವು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದಕ್ಕೂ ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಜಾಗವು ನೈಜವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಸಹಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಈ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ವಾಹಕಗಳು ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, () ರೂಪವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನೈಜ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು (ಎರಡು-ಮೌಲ್ಯದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಧುನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ವಿಶೇಷ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು ಎಸ್ಯು (2) ಅನ್ನು ಎಸ್ಒ (3) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ಪಿನರ್ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತನಗಳಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಹಿಯು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಕ್ಷೀಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ), ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ಮೇಲಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಬೇಕು. ನಂತರ 3-ಜಾಗದ ಉದ್ದದ ರೂಪವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ನಂತರ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಸ ಸಂಪ್ರದಾಯದೊಂದಿಗೆ, ನೈಜ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ವತಃ ನೈಜವಾಗಿದೆಃ ರೂಪವು () ನೈಜ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ (ಅಥವಾ ಹಿಮ್ಮುಖ) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ಗುಂಪು () ಈಗ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪು O (2,1) ಆಗಿದೆ. ಬದಲಿಗೆ, ಆಂಟಿ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪವು ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂಕ್ತ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೂಪವು O (2,1) ನ ಗುರುತಿನ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕದಲ್ಲಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ರೂಪವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒ (3) (ಅಥವಾ ಒ (2,1)) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಗಮನವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಈ ರೂಪದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ದ್ವಿಗುಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ ಎಸ್ಒ (3) (ಅಥವಾ ಎಸ್ಒ (2,1)) ನ ಒಂದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಿವರ್ಸಲ್ಗಳನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು) ಸಹ ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿಫಲನದ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಒ (3) (ಅಥವಾ ಒ (2,1)) ನ ಎರಡು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿವೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಯಾಲಿಟಿ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳು ಈ ಎರಡು ಸಹಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರಿಯಾಲಿಟಿ ರಚನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಪಿನರ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸೂಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಪಿನರ್ನ ಘಟಕಗಳ ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಾಸ್ತವದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ K ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ವತಃ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆಃ K2 = ID. ವಾಹಕಗಳ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, () ಅಥವಾ ()) ಮೇಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವು, X ಒಂದು ನೈಜ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೂಲಕ ವಾಸ್ತವ ರಚನೆಯನ್ನು (-1 ರ ಅಂಶದವರೆಗೆ) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಕೆ = ಐಸಿ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ () ನಲ್ಲಿ ರಿಯಾಲಿಟಿ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆ = ಐಡಿ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ () ಆಗಿದೆ. ಕೈಯಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವದ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆಃ X ಒಂದು ನೈಜ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ, μ ಮತ್ತು ω ಒಂದು ಸ್ಪಿನರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸರಿಯಾದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾದ ಪೌಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಎದುರಿಸುವ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪೌಲಿಯ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ 2x1 ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು. ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸ್ಪಿನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮೂರು 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ (a, b, c) 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕ ವಾಹಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಘಟಕ ವಾಹಕದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತಿರುಗಲು ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪೌಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಿದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಆಧಾರಿತವಾದ ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಗೆ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ u = (0.8,-0.6,0) ಒಂದು ಏಕಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಪೌಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಚುಕ್ಕೆ ಹಾಕುವುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಪೌಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಅನೈಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವರ್ಗವು ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ±1ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಒಂದು (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಪರಿಹಾರವು ಕೇವಲ 1 ±Su ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಕಾಲಮ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಅಂಕಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎರಡು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಹಾರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸುವ ತಂತ್ರವು ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು (1 ± ಸು)/2 ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಅಥವಾ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪೌಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ತಂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಡಿರಾಕ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವು ಶುದ್ಧ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, (a, b, c) ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತಿರುಗಲು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎರಡು ಕಾಲಮ್ಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ಅವು ಒಂದೇ ಸ್ಪಿನರ್ನ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ (ಬಹುಶಃ ಶೂನ್ಯ) ಎಂದು ತೋರಿಸಲು a2 + b2 + c2 = 1 ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪರಮಾಣು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಿನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕಣಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸ್ಪಿನ್, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಿನ್ ಇಲ್ಲದ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಿಗೆ, si = si (r), ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ si = si (r, σ), ಅಲ್ಲಿ σ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕಣದ ಒಟ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ನಿರ್ವಾಹಕವು ಕಕ್ಷೀಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ (ಅಂದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಭಾಗವಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬೋಸನ್ಗಳನ್ನು (S = 0, ±1, ±2,.) ಮತ್ತು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು (S = ±1/2, ±3/2, ±5/2,.) ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ಲೊಚ್ ಗೋಳದ ಪೌಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಸ್ಪಿನರ್ಸ್ ರುಃ σπινορ τρίχμερνογο προστρανστβα