Isothermal coordinates
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಐಸೊಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಐಸೊಥರ್ಮಲ್ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತಾರೆ.) ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದು ಗಾಸ್. ಕಾರ್ನ್ ಮತ್ತು ಲಿಚ್ಟೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಐಸೊಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಅಂದರೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆಯಾಮ 3ರಲ್ಲಿ, ಅದರ ಕಾಟನ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮಗಳು> 3 ರಲ್ಲಿ, ಅದರ ವೇಯ್ಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1822ರಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗಾಸ್, ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ನ ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ನೈಜ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಗೌಸ್ ಬಳಸಿದ ರಚನೆಯು ಕೌಚಿ-ಕೊವಲೆವ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿತು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವನ ವಿಧಾನವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನೈಜ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಥರ್ ಕಾರ್ನ್ ಅವರ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ನಾವೀನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಲಿಯಾನ್ ಲಿಚ್ಟೆನ್ಸ್ಟೈನ್ 1916 ರಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮಾಪನಗಳಿಗೆ ಸಮತಾಪ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಇದರಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಮಾಪನಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಲ್ಡರ್ ನಿರಂತರ ಮಾಪನಗಳು ಸಹ ಸೇರಿವೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಐಸೊಥರ್ಮಲ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಚಾರ್ಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯವು, ಇದು ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ (ಅನೇಕವುಗಳಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಐಸೊಥರ್ಮಲ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಚಾರ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಟ್ಲಾಸ್ ಅನ್ನು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಟ್ಲಾಸ್ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಇದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಮೇಲಿನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ರೀಮಾನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್). ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎರಡು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮಾಪನಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದೇ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಟ್ಲಾಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮಾಪನಗಳ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ವರ್ಗಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. 1950 ರ ದಶಕದ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ಕಾರ್ನ್ ಮತ್ತು ಲಿಚ್ಟೆನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ವಿಚಾರಗಳ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲಿಪ್ಮನ್ ಬೆರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಶಿಂಗ್-ಶೆನ್ ಚೆರ್ನ್ ಅವರು ಇತರರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿದರು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವುದು ಸಹಜವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಬಂಧಿತ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಮೊರ್ರೆ ಅವರು 1938 ರಲ್ಲಿ ದ್ವಿಮಿತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕುರಿತಾದ ತಮ್ಮ ಮೂಲ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಇದು ನಂತರ ಲಾರ್ಸ್ ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬೆರ್ಸ್ ಅವರ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ರೀಮನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣವು ಐಸೊಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕಾಲ್ಡೆರಾನ್ ಮತ್ತು ಜಿಗ್ಮಂಡ್ನ ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಎಲ್ಪಿ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸರಳವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಆಡ್ರಿಯನ್ ಡೌಡಿ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಐಸೊಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ρ ನಯವಾದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣವು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (ಯು, ವಿ) ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೂಲಕ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಮೃದುವಾದ ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಹಾರದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧಿತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಲ್ವಬಿಲಿಟಿ ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮರಸ್ಯವು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ 1-ರೂಪದ ನಿಕಟತೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಹಾಡ್ಜ್ ನಕ್ಷತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಇದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಐಸೊಥರ್ಮಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಕರ್ಣೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹಾಡ್ಜ್ ನಕ್ಷತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ-ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಎರಡು ಕರ್ಣೀಯ ಘಟಕಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗೌಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆ ಐಸೋಥರ್ಮಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಗೌಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯು ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆಃ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು