Hardy–Littlewood maximal function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂ ಎಂಬುದು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಗಮನಾರ್ಹ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಆಪರೇಟರ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f: Rd → C ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ Mf ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು x ω Rd ಗೆ, Mf ಕಾರ್ಯವು ವಾಸ್ತವಿಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ x ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದ b (x, r) ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳಿಗೆ f ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ |E | ಎಂಬುದು ಉಪಗುಂಪು E ಱ್ಆರ್ಡಿ ಯ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿಗಳು x ಮತ್ತು r ನಲ್ಲಿ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ Mf, r> 0 ಮೇಲೆ ಸರ್ವೋಚ್ಚವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಳೆಯಬಹುದು. ಎಂಎಫ್ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದು ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಗರಿಷ್ಠ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಗರಿಷ್ಠ ಅಸಮಾನತೆ ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿ ಮತ್ತು ಜೆ. ಇ. ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಅವರ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು, p> 1 ಗಾಗಿ M ಅನ್ನು Lp (Rd) ನಿಂದ ಸ್ವತಃ ಸಬ್ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, f ω Lp (Rd) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ Mf ದುರ್ಬಲ L1-ಬೌಂಡೆಡ್ ಮತ್ತು Mf ω Lp (Rd) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವ ಮೊದಲು, ಸರಳತೆಗಾಗಿ, {f> t} ಸೆಟ್ {x | f (x)> t} ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಪ್ರಮೇಯ (ದುರ್ಬಲ ಪ್ರಕಾರದ ಅಂದಾಜು). ಎಲ್ಲಾ λ> 0 ಮತ್ತು f bul L1 (Rd) ಗಳಿಗೂ ಸ್ಥಿರವಾದ Cd> 0 ಇದ್ದು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಗರಿಷ್ಠ ಅಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬಲವಾದ-ರೀತಿಯ ಅಂದಾಜು ಮಾರ್ಸಿನ್ಕಿವಿಕ್ಜ್ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಪ್ರಮೇಯದ ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರಮೇಯ (ಬಲವಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಅಂದಾಜು). d ≤1,1 <p ≤ ≤, ಮತ್ತು f ≤ Lp (Rd) ಗೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ Cp, d> 0 ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಬಲವಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ Cp, d ಗೆ ಉತ್ತಮ ಮಿತಿಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ ತರುವಾಯ ಎಲಿಯಾಸ್ ಎಮ್. ಸ್ಟೀನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಝಿಗ್ಮಂಡ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರುಃ ಪ್ರಮೇಯ (ಆಯಾಮ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ). ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಪುರಾವೆಗಳಿವೆಯಾದರೂ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ p = α ಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಸರಾಸರಿ ಅದರ ಮೂಲ ಸರ್ವೋನ್ನತಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ). 1 <p <≤ ಗೆ, ಮೊದಲು ನಾವು ದುರ್ಬಲ-ರೀತಿಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಿಟಾಲಿಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. (ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ.) ಲೆಮ್ಮಾ. X ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಚೆಂಡುಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ 5 ಬಿ ಎಂದರೆ ಬಿ 5 ಪಟ್ಟು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಕುಟುಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. Mf (x)> t ಆಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು x ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ Bx ಚೆಂಡನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಅಂತಹ ಚೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ, 5Bj ಯ ಒಕ್ಕೂಟವು {Mf> t} ಅನ್ನು ಆವರಿಸುವಂತಹ ಬೇರ್ಪಡುವ ಚೆಂಡುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಃ ಇದು ದುರ್ಬಲ-ರೀತಿಯ ಅಂದಾಜಿನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮುಂದೆ ಇದರಿಂದ ಎಲ್ಪಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. |f (x) |> t/2 ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ b ಅನ್ನು b (x) = f (x) ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಬಿ ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ದುರ್ಬಲ-ರೀತಿಯ ಅಂದಾಜಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಸಿ = 5 ಡಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಅಂದಾಜಿನ ಪ್ರಕಾರ ನಾವುಃ ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕ Cp ಯು p ಮತ್ತು d ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯ ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಿಟಾಲಿಯ ಸೀಮಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಚರ್ಚಾ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ. ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಗರಿಷ್ಠ ಅಸಮಾನತೆಯ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯ ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯ ನಾನ್ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಒಮ್ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಫಾಟೌ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ತ್ವರಿತ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. (ಆದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಿಟಾಲಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ.) ನಾವು f = h + g ಅನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಅಲ್ಲಿ h ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು g = L1 (Rn) ಅನ್ನು ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ. ಈಗ, ωg ≤ 2Mg ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಈಗ, ನಾವು ωf = 0 ಅನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಬಿಡಬಹುದು ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು; ಅಂದರೆ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ f (x) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಸುಲಭಃ ಇದು ತಿಳಿದಿದೆ (ಗುರುತಿನ ಅಂದಾಜು) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಮಿತಿಯ ಅನನ್ಯತೆಯಿಂದ, ನಂತರ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ fr → f. ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ Cp, d ಮತ್ತು Cd ಎಂಬ ಚಿಕ್ಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದು ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಲಿಯಾಸ್ ಸ್ಟೀನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು, 1 <p <≤ ಗೆ, ನಾವು p ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಮಾತ್ರ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕ Cp> 0 ಗೆ ಆಯಾಮ, ಅಂದರೆ Cp, d = Cp ಮೇಲೆ Cp, d ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ, ಇದು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಚೆಂಡುಗಳ ಮೇಲಿನ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸೆಟ್ಗಳ ವಿವಿಧ ಕುಟುಂಬಗಳ ಸರಾಸರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸದ ಎಚ್ಎಲ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು (ಸ್ಟೈನ್-ಶಕರಚಿಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಬಿಎಕ್ಸ್ ಚೆಂಡುಗಳು x ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಬದಲು ಕೇವಲ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಡಯಾಡಿಕ್ ಎಚ್ಎಲ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಹ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಎಕ್ಸ್ ಬಿಂದು x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡಯಾಡಿಕ್ ಘನಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡೂ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಚ್ಎಲ್ ಗರಿಷ್ಠ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ರೈಸಿಂಗ್ ಸನ್ ಲೆಮ್ಮಾ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಜಾನ್ ಬಿ. ಗಾರ್ನೆಟ್, ಬೌಂಡೆಡ್ ಅನಾಲಿಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, 2006 ಆಂಟೋನಿಯಸ್ ಡಿ. ಮೆಲಾಸ್, ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಗರಿಷ್ಠ ಅಸಮಾನತೆಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, 157 (2003), 647-688 ರಾಮಿ ಶಕರ್ಚಿ & ಎಲಿಯಾಸ್ ಎಮ್. ಸ್ಟೈನ್, ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಲೆಕ್ಚರ್ಸ್ ಇನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ III: ರಿಯಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್. ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2005 ಎಲಿಯಾಸ್ ಎಮ್. ಸ್ಟೀನ್, ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳುಃ ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿಧಾನ, ಪ್ರೋಕ್. ನ್ಯಾ. ಅಕಾಡ್. ವಿಜ್ಞಾನ. ಯು. ಎಸ್. ಎ. 73 (1976), ಎಲಿಯಾಸ್ ಎಮ್. ಸ್ಟೈನ್, ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಾಬಿಲಿಟಿ ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್. ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1971 ಜೆರಾಲ್ಡ್ ಟೆಸ್ಚ್ಲ್, ಥೀಮ್ಸ್ ಇನ್ ರಿಯಲ್ ಅಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ (ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು) ರಿಯಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು