Oscillation theory
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆಂದೋಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಚಲನರಹಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಆಂದೋಲನದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆಂದೋಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಬಂಧಿತ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವರ್ಣಪಟಲದ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು sin (x) ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು 1836 ರಿಂದ ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ತನಿಖೆಯಲ್ಲಿ ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಸ್ಟರ್ಮ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ n 'th ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ನಿಖರವಾಗಿ n-1 ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ನಿರಂತರ ವರ್ಣಪಟಲದ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಗ್ರಹವಾಗುತ್ತವೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಆಂದೋಲನ/ದೋಲನವಲ್ಲದ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. 1996ರಲ್ಲಿ ಗೆಸ್ಟೆಸಿ-ಸೈಮನ್-ಟೆಸ್ಚ್ಲ್, ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎರಡು ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ನಂತರ ಕ್ರೂಗರ್-ಟೆಸ್ಚ್ಲ್ ಅವರು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಎರಡು ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳ ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತನಿಖೆಯನ್ನು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆಂದೋಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಆಂದೋಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ನೆಸರ್ನ ಪ್ರಮೇಯ (ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು) ಸ್ಟರ್ಮ್-ಪಿಕೋನ್ ಹೋಲಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯ ಸ್ಟರ್ಮ್ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು