Courant algebroid
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೊರಂಟ್ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಮೂಲತಃ 1997 ರಲ್ಲಿ ಝಾಂಗ್-ಜು ಲಿಯು, ಅಲನ್ ವೈನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ಪಿಂಗ್ ಕ್ಸು ಅವರು ಲೈ ಬಯಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ಗಳ ಡಬಲ್ಸ್ನ ತನಿಖೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಲಿಯು, ವೈನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ಕ್ಸು ಅವರು 1990 ರ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕೋರಂಟ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮೂಲಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದರು, ಅವರು ಇಂದು ಕೋರಂಟ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಓರೆಯಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಇದು ಜಾಕೋಬಿ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಲೈ ಬಯಾಲ್ಜಿಬ್ರಾದ ಡಬಲ್ ಎರಡೂ ಕುರಾಂಟ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋಯಿಡ್ಗಳ ವಿಶೇಷ ನಿದರ್ಶನಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎ ಕುರಾಂಟ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯ್ಡ್ ದತ್ತಾಂಶವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್, ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಫೈಬರ್-ಬುದ್ಧಿವಂತ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಬಂಡಲ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇ ಮತ್ತು ಎಫ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಬೇಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂ. ಡಿ ಎಂಬುದು ಡಿ ಡಿ ರಾಮ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್, ಡ್ಯುಯಲ್ ಮ್ಯಾಪ್, ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಇ ಯಿಂದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೇಲಿನ ಜಾಕೋಬಿ-ಗುರುತಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ ಇದು ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಜಾಕೋಬಿ-ಗುರುತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಟಿ ಎಂಬುದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಮಾರ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯ ಆವರಣವು ಡಿ ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿಯೇಟರ್ ಟಿ ಎಂಬ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬಲವಾದ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಮೂರನೇ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೋಡುವಂತೆ ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಕೋಬಿ-ಗುರುತು (ಮೊದಲ ಸೂತ್ರ) ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮವನ್ನು (ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರ) ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಆಂಕರ್ ನಕ್ಷೆ ρ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಂದು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ನಾಲ್ಕನೇ ನಿಯಮವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಕೆಳಗಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಧ್ರುವೀಕರಣವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಕುರಾಂಟ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯ್ಡ್ನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಡಾರ್ಫ್ಮನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಟ್ವಿಸ್ಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸೆವೆರಾದಿಂದ ಪರಿಚಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, (1998) ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ X, Y ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, φ, η 1-ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು H ಎಂಬುದು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮುಚ್ಚಿದ 3-ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಯು ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯ್ಡ್ ಎ ಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಡಿ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಡಾರ್ಫ್ಮನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, H ಮತ್ತು A-3-ರೂಪವನ್ನು d ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಕೋರಂಟ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯ್ಡ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಂದರೆ. ಬದಲಾಗದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ. ಇಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಂಕರ್ ಮ್ಯಾಪ್ (ಮತ್ತು ಡಿ) ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ವೈನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆ. ಇದು ಲೈ ಬಯಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ನಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಎ ಎ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ (ಆಂಕರ್ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ), ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಎ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು (ಆರ್ಎಚ್ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಎ-ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೀರಿ). ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಎ ಮತ್ತು (ರಾಯ್ಟೆನ್ಬರ್ಗ್ ನೋಡಿ) ನಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಆಂಕರ್ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ X ಮತ್ತು αಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನವುಗಳ ವಕ್ರ-ಸಮನ್ವಯತೆ ಇದೆ (Y ಮತ್ತು βಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ): ಡಿರಾಕ್ ರಚನೆಗಳು ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ (ಉದಾ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಒನ್), ನಂತರ ಡಿರಾಕ್ ರಚನೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ ಎಲ್ → ಎಂ, ಅಂದರೆ. ,,,. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೋರಂಟ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಡಾರ್ಫ್ಮ್ಯಾನ್ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, 2-ರೂಪದ ω ω ω2 (M) ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಗರಿಷ್ಠ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದ iff dω = 0, ಅಂದರೆ. 2-ರೂಪವನ್ನು ಡಿ ರಾಮ್ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ರಚನೆ. ಎರಡನೇ ವರ್ಗದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಗರಿಷ್ಠ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಮತ್ತು ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಐಎಫ್ಎಫ್ [Π, Π] = 0, ಅಂದರೆ. Π ಎಂಬುದು ಎಂ. ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ (ಮುಖ್ಯ ಲೇಖನದ ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ) ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಕೋರಂಟ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯಾದ L → M ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕೌರಂಟ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯ್ಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿರಾಕ್ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದರ್ಥ. ಗ್ವಾಲ್ಟಿಯೇರಿ ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರಿಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ರಚನೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯ ಗ್ರಾಫ್ J: TM → TM. ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಿಮಿಟ್ರಿ ರಾಯ್ಟೆನ್ಬರ್ಗ್ಃ ಕೋರಂಟ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋಯಿಡ್ಸ್, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು, ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸೂಪರ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು, ಪಿಎಚ್ಡಿ ಥೀಸಿಸ್ ಯುನಿವ್. ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾ ಬರ್ಕ್ಲಿಯ (1999) ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ