Free lattice
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯು ಜಾಲರಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮುಕ್ತ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಮುಕ್ತ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ, ಅವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಜಾಲರಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಜಾಲರಿಗಳ ವರ್ಗವು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು (ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ) ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವರ್ಗದೊಳಗೆ (ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವಗಳ ಪ್ರಕಾರ) ಮುಕ್ತ ವಸ್ತುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಲರಿಗಳು. ಈ ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫ್ರೀ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳವರೆಗೆ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಸೆಟ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫ್ರೀ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಜಾಲರಿಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜಾಲರಿಯ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಸಂವಹನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ಜಾಲರಿಗಳಿಂದ ಅವುಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯ ಬಗ್ಗೆ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ವಾದಗಳು ಅಮೂರ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ನಿರ್ಮಾಣವು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳು ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ನ ಸ್ಪಷ್ಟ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ; ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಹಲವಾರು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮುಕ್ತ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ ಯೂನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಜಾಯಿನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನಕ್ಷೆಯು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಯಾವುದೇ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ನಕ್ಷೆಗೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೂಪವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಒತ್ತಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಕೆಲವರ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿನ ಸಮಾನತೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಏಕರೂಪತೆಯ ಸ್ಥಾನಮಾನವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಯಾವುದೇ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು (ಒಂದು ಸಹ ಇದ್ದರೆ) ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಂತ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳು ಇರಬಾರದು. ಕೆಳ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳಿಗೆ ಉಚಿತ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇದೇ ರೀತಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆಃ ಜಾಯಿನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಸ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಗೌರವಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದಿರುವುದು ಮಾಡಬೇಕು. ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯ ನಿಜವಾದ ರಚನೆಯು ಮುಕ್ತ ಅರ್ಧ ಜಾಲರಿಗಿಂತ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಚಿತ ಜಾಲರಿಗಳ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸುತ್ತುವರಿದ ಜಾಲರಿಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಎರಡು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು (ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು) 0 ಮತ್ತು 1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ X ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು W (X) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪದಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅನೇಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a ಎಂಬುದು Xನ ಕೆಲವು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ a′1 = 1 ಮತ್ತು a′1 = a ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ರೀ ಬೌಂಡೆಡ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದವು W (X) ನ ಈ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಫ್ರೀ ಬೌಂಡೆಡ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ FX ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ನಲ್ಲಿ. ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ W (X) ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ W = v (ಇದನ್ನು W ಮತ್ತು V ಗಳು X ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು), W = 0, v = 1, W = W1 ≤ W2 ಮತ್ತು ಎರಡೂ W1 ≤ v ಮತ್ತು W2 ≤ v ಹೋಲ್ಡ್, W = W1 ≤ v ಅಥವಾ W2 ≤ v ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, v = v1 ≤ v2 ಮತ್ತು ಎರಡೂ W ≤ v1 ಅಥವಾ W ≤ v2 ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, v = v1 ≤ v2 ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಇದು ಡಬ್ಲ್ಯೂ (ಎಕ್ಸ್) ಮೇಲೆ ಪೂರ್ವ ಕ್ರಮವನ್ನು ≤ ~ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ≤ ~ ವಿ ಮತ್ತು ವಿ ≤ ~ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಆಗಿದ್ದಾಗ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ~ ವಿ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಡಬ್ಲ್ಯೂ (ಎಕ್ಸ್)/~ ನ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಮತ್ತು ವಿ ಪದಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ಡಬ್ಲ್ಯೂ ≤ ವಿ ಮತ್ತು ವಿ ≤ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಇವೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪದಗಳು ವಿ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಪ್ರತಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ≤ ವಿ ಮತ್ತು ವಿ ≤ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ; ಮೇಲಿನ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಂತರದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಈ ಕೋಷ್ಟಕವು ಗಣನೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು xwz ಮತ್ತು xwzw (xwy) ಪದಗಳು ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು, ಬಂಧಿಸದ ಜಾಲರಿಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದದ ಪರಿಹಾರವು ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉಪಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು, ಮೂರು-ಅಂಶಗಳ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂರು ಜನರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಉಚಿತ ಜಾಲರಿಯು ನಾಲ್ಕು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಉಚಿತವಾದ ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಹ ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ, ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಜನರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣವು ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ SQ-ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಜನರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯು ಅನಂತವಾದದ್ದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯೆಂದರೆ pn + 1 = xw (yw (xw (yw (xw (yw (zw))))) ಅನ್ನು ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ x, y, ಮತ್ತು z ಮೂರು ಜನರೇಟರ್ಗಳು, ಮತ್ತು p0 = x. ನಂತರ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದದ ಪ್ರೇರಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, pn + 1 ಎಂಬುದು pn ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪದಗಳು pn ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿ FXನಲ್ಲಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯು (ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ) ಸಂಪೂರ್ಣ ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯು "ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ", ಅಂದರೆ ಅದು ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪುರಾವೆಯು ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದದಿಂದಲೂ ಬರುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಮೀಟ್ ಮತ್ತು ಜಾಯಿನ್ ನ ಫೈನಟರಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಅನಂತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೀಟ್ ಮತ್ತು ಜಾಯಿನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅನಂತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಜಾಯಿನ್" ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನಂತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ, f ಎಂಬುದು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ N ನಿಂದ FX ವರೆಗಿನ ಅಂಶಗಳ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ; ಆಪರೇಟರ್ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದು f ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಅದರ ಜಾಯಿನ್ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಎನ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ "ಜಾಯಿನ್" ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ; ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಬಿಂದುವು ಜಾಯಿನ್ ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ಎನ್ ಅನಂತ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪದದ ಪೂರ್ವ-ಆದೇಶದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮೀಟ್ ಮತ್ತು ಜಾಯಿನ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ಅನಂತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಒಂದು ಮಿತಿಯು ಯಾವಾಗ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳಿರುವಷ್ಟು ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಿವೆ, ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮುಕ್ತ ಜಾಲರಿಯು ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗವಾಗಿರಬೇಕು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪೀಟರ್ ಟಿ. ಜಾನ್ಸ್ಟೋನ್, ಸ್ಟೋನ್ ಸ್ಪೇಸಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಸ್ಟಡೀಸ್ ಇನ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ 3, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್, 1982. () (ಅಧ್ಯಾಯ 1 ನೋಡಿ) ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮುಕ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು ಪದಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜನೆ