Power sum symmetric polynomial
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಿಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಿಗಳಿಗೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮೂಲ ನಿರ್ಮಾಣ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವು ಪವರ್-ಸಮ್ ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಅವು ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳ ಮೇಲೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ k = 0,1,2,.. ಗೆ x1,., xn, pk ಎಂದು ಬರೆಯಲಾದ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿನ ಡಿಗ್ರಿ k ಯ ಪವರ್ ಮೊತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ kth ಪವರ್ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಈ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಹೀಗಿವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಚರರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಘಾತದ ಮೊತ್ತದ ಸಮಮಿತಿಯ ಬಹುಪದವು ಇರುತ್ತದೆ. ಪವರ್ ಸಮ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಮೊದಲ ಮೂರು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ n ವರೆಗಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಈ ಪಟ್ಟಿಯು ಡಿಗ್ರಿ n ವರೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ 1 ರಿಂದ n ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಕೆಳಗೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ. n = 1 ಗೆಃ n = 2 ಗೆಃ n = 3 ಗೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು n ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ 1,2,., n ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಸೆಟ್ n ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಃ ಪ್ರಮೇಯ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಹುಪದದ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು 0 ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದೇ ನಿಜ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಬೇಕಾದರೆ ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n = 2 ಗೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು p1 ಮತ್ತು p2 ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, P ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಹುಪದ ವಲಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಮೊತ್ತದ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಷೇತ್ರವು 0ಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಮೇಯವೂ ಸಹ ಸುಳ್ಳಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, F ಕ್ಷೇತ್ರವು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, p1 ಮತ್ತು p2 ಗಳು e2 = x1x2 ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರಮೇಯದ ಭಾಗಶಃ ಪುರಾವೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಃ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಗುರುತುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ; ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ej ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುವ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆಃ ಅದೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದರಿಂದ, ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಸಹ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ, ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ): ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬಹುಪದಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, 1,, n ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಬಹುಪದಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರವು ಪವರ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಪವರ್ ಮೊತ್ತದ ಬಹುಪದವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡು ಉಂಗುರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. (ಇದು f ಬಹುಪದವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ನ್ಯೂಟನ್ನ ಗುರುತುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು, ಇಯಾನ್ ಜಿ. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ (1979), ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹಾಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಸ್. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ಃ ಕ್ಲಾರೆಂಡನ್ ಪ್ರೆಸ್. ಇಯಾನ್ ಜಿ. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ (1995), ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹಾಲ್ ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ಸ್, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ಃ ಕ್ಲಾರೆಂಡನ್ ಪ್ರೆಸ್. (ಪೇಪರ್ಬ್ಯಾಕ್, 1998). ರಿಚರ್ಡ್ ಪಿ. ಸ್ಟಾನ್ಲಿ (1999), ಎನ್ಯುಮರೇಟಿವ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 2. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ಃ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳು ಸಮಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು