Eventually (mathematics)
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ ಸದರಿ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ನಿದರ್ಶನಗಳು ಕಳೆದುಹೋದ ನಂತರ ಅದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಅಂತಿಮವಾಗಿ" ಎಂಬ ಪದದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ "ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ" ಎಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಗುಂಪಿನ (ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪುಗಳಂತಹ) ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ (ಅಥವಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ) ಪದಗುಚ್ಛವು ಕಂಡುಬರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಅಂತಿಮವಾಗಿ (ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ), ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳು, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಅದು ನಿಜ ಅಥವಾ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. "ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದು" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು "ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದು" ಅಥವಾ "ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದು" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ಆರ್ಬಿಟ್ರಾರ್ಲಿ large#Arbitrarily ಲಾರ್ಜ್ ವರ್ಸಸ್ ಸಾಕಷ್ಟು ಲಾರ್ಜ್ ವರ್ಸಸ್ ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಲಾರ್ಜ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಪ್ರೇರಣೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ನಡವಳಿಕೆಗಳಿಗಿಂತ ಅದರ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ನಡವಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಆಸ್ತಿಯು ಅದರ ನಂತರದ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಗ್ಗೂಡುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆಃ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. "ಅಂತಿಮವಾಗಿ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು "ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇರುವಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ" ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿ ಬಳಸಿದಾಗ, ಒಮ್ಮುಖದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ. ಇಲ್ಲಿ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಅಂದರೆ, ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಅಂತಿಮವಾಗಿ" ಎಂಬ ಪದದ ಬಳಕೆಯು "ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿದೆ-"ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ "ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ" ಅನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ವಿನಾಯಿತಿಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು). ಮೂಲ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು "ಅಂತಿಮವಾಗಿ" ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವಿಲ್ಲದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಂತಹ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವಿದ್ದರೆ, ಯಾವಾಗ ಹೇಳಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವು ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. "2ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಬೆಸವಾಗಿವೆ" ಎಂಬ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು "ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಬೆಸವಾಗಿವೆ" ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ±1 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 6ಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವರ್ಗವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 1 ಮಾಡ್ 24ಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು 3ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ). ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 0 ಅಂಕಿಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು 4ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ). ಪರಿಣಾಮಗಳು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಒಂದು ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಆ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಉಪಯುಕ್ತ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬೀರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಗಣನೆಯಿಂದ ಗಮನಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. "ಅಂತಿಮವಾಗಿ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅನೇಕ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು (ಮೇಲೆ ನೋಡಿದಂತೆ) ಮತ್ತು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಬಿಗ್ ಓ ಸಂಕೇತಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇತರ ಬಳಕೆಗಳು ಸರಿಯಾಗಿ ಹುದುಗಿರುವ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣವು 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹಾಕೆನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಮುಖ್ಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿದೆ. ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ತರ್ಕವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆಃ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಭವಿಷ್ಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಗ್ ಓ ಸಂಕೇತ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.