PDIFF
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಪಿ. ಡಿ. ಐ. ಎಫ್. ಎಫ್, ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ, ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಸ್ಮೂತ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಸ್ಮೂತ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಡಿಐಎಫ್ಎಫ್ (ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗ) ಮತ್ತು ಪಿಎಲ್ (ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗ) ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಈ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸ್ಪ್ಲೈನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸರಪಳಿಗಳಂತಹ ತುಣುಕುಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಪಿ. ಡಿ. ಐ. ಎಫ್. ಎಫ್ ಅವುಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲು ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಪಿ. ಡಿ. ಐ. ಎಫ್. ಎಫ್. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಒಂದು ತಾಂತ್ರಿಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆಃ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳು ತುಂಡಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ರೇಖೀಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ), ಮತ್ತು ತುಂಡಾಗಿ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸುಗಮವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ರೇಖೀಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ)-ಛೇದಕವು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತವೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿಲ್ಲ)-ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಅವು ಅಫೈನ್ ನಕ್ಷೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಒಂದು ಪಿಎಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಅಂಗೀಕೃತ ಪಿಎಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಇದು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಬಲ್ಲದು; ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪಿಎಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಥವಾ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಾಗಿ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರತಿ ತುಣುಕಿನ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಥವಾ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದುಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ 2-ಗೋನ್ನಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಹುದುಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪಿಎಲ್ ನಡುವಿನ ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪಿಎಲ್ನ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ನಯವಾದ ಬಹುಗುಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪಿಎಲ್ ಬಹುಗುಣವು ಪಿಡಿಫ್ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಡಿಫ್ನಿಂದ ಪಿಡಿಫ್ಗೆ ಮತ್ತು ಪಿಎಲ್ನಿಂದ ಪಿಡಿಫ್ಗೆ ಹೋಗುವುದು ಸಹಜ-ಅವು ಕೇವಲ ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆ. ಪಿಎಲ್ ನಿಂದ ಪಿಡಿಫ್ ವರೆಗಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲದಿದ್ದರೂ-ಪ್ರತಿ ತುಣುಕಿನ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯವು ತುಣುಕಿನ ರೇಖೀಯವಾಗಿಲ್ಲ-ಇದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆಃ ರೇಖೀಯ ತುಣುಕುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಈ ವರ್ಗಗಳೆಲ್ಲವೂ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗವಾದ ಟಾಪ್ ಒಳಗೆ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಿಡಿಫ್ ಡಿಫ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ತುಣುಕುಗಳನ್ನು (ಮೂಲೆಗಳನ್ನು) ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಯವಾದ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪಿಎಲ್ ಪಿಡಿಫ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಒಬ್ಬರು ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಪಿಡಿಫ್ನಲ್ಲಿ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು). ಪ್ರತಿ ನಯವಾದ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಿ1) ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪಿಎಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಮೂಲತಃ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ವಿವರವಾದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿವರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಧುನಿಕ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪುರಾವೆ ರೂಪರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಆದರೆ ವಿವರವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರ