Crystalline cohomology
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಫಟಿಕದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಬೇಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ k ಮೇಲೆ X ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ವೆಯಿಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು Hn (X/W) ಗಳು k ಮೇಲೆ ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ರಿಂಗ್ W ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಸ್ಫಟಿಕದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ವೈಲ್ ಊಹೆಗಳ ಭಾಗದಲ್ಲಿನ p-adic ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದೆ ಮತ್ತು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ (1963) ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ನಲ್ಲಿ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ X ನ ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು X ನ ನಯವಾದ ಲಿಫ್ಟ್ನ ಡಿ ರ್ಯಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ X ನ ಡಿ ರ್ಯಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ರಿಡ್ಯೂಸ್ಡ್ ಮಾಡ್ p ಆಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಟಾರ್ಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ). ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ, ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಏಕರೂಪಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಲ್ಪನೆಯು, ಜಾರಿಸ್ಕಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿತ ವಿದ್ಯುತ್ ರಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನಂತ ದಪ್ಪವಾಗಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರೇರಣೆಯೆಂದರೆ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ನಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ಗೆ ಒಂದು ಯೋಜನೆಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಎತ್ತುವಿಕೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಸೂಕ್ತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸುಗಮವಾದ ಸರಿಯಾದ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ನಲ್ಲಿನ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಗಳು, ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು p-adic étale ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ p-ತಿರುಚು ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು. ಇದು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಫಟಿಕದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಎಲ್-ಆಡಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮಾಹಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂತರವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ, ಇದು 'ಸಮಾನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು' ಇರುವಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಶಾಖೋತ್ಪಾದನೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂರಕ್ಷಣೆ, ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಡೈಯುಡೋನ್ನೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮುಖ ಹಿಡಿತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಜೀನ್-ಮಾರ್ಕ್ ಫಾಂಟೈನ್ ಅವರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು, ಅದರ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳು p> 0 ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ X ಗೆ, p ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ-adic ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ X ನ ತೃಪ್ತಿಕರ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಸಮಂಜಸವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಯೂ (ಅಥವಾ ಝಡ್, ಅಥವಾ ಕ್ಯೂ, ಅಥವಾ ಝಡ್) ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಶ್ರೇಷ್ಠ ಕಾರಣವೆಂದರೆ (ಸೆರ್ರಿನಿಂದಾಗಿ) X ಒಂದು ಸೂಪರ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಎಕ್ಸ್ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆಯಾಮ 2 ರ ಕ್ಯೂ ಮೇಲೆ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, (ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತ) ಬಿ ಈ 2-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ ಏಕೆಂದರೆ ಬಿ ಅನ್ನು ಪಿ ನಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ಅಡಚಣೆಯನ್ನು ಸುತ್ತುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನೆಲದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೆಲದ ಕ್ಷೇತ್ರವು F ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು Z ನ ಗರಿಷ್ಠ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ p-adic ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು Z ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ p ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ ಏಕತೆಯ n ನೇ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಚೋದನೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ pಯ ಕ್ಷೇತ್ರ kಯ ಮೇಲೆ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ Xನ ವೈಲ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ಉಪಾಯವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು kಯ ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ X * ಗೆ 'ಎತ್ತುವುದು' (ಇದು ರಿಡಕ್ಷನ್ ಮಾಡ್ pಯಲ್ಲಿ X ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಈ ಲಿಫ್ಟ್ನ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಈ ಸಮರೂಪತೆಯು ಎತ್ತುವಿಕೆಯ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಫಟಿಕದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನೇರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಇದು ಅನಂತ ತಾಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೈಟ್ ಇನ್ಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ಓವರ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೀವ್ಗಳ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದು ಯಾವುದೇ ಲಿಫ್ಟ್ನ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಂತೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೈಟ್ ಇನ್ಫ (ಎಕ್ಸ್) ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಕ್ಸ್ನ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರಲ್ಲಿ ಅದರ ವಸ್ತುಗಳು ಅನಂತವಾದ ದಪ್ಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ U → T ಆಫ್ ಜರಿಸ್ಕಿ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು U ಆಫ್ X. ಇದರರ್ಥ ಯು ಎಂಬುದು ಟಿ ಮೇಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕೋಶದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಟಿ ಯೋಜನೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಪೆಕ್ (ಕೆ) → ಸ್ಪೆಕ್ (ಕೆ [x]/(x2)). X ಓವರ್ C ನಯವಾದ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ, ಇನ್ಫ್ (X) ಮೇಲಿನ ಒಎಕ್ಸ್ ಕೋಶದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ (ನಯವಾದ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ) ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ನಲ್ಲಿ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಸೈಟ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಕಾರಣವೇನೆಂದರೆ, ಡಿ ರಾಮ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪಾಯಿನ್ಕೆರೆ ಲೆಮ್ಮಾದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪುರಾವೆಯು ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಿವಿಧ ವಿಭಜಿತ ಶಕ್ತಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಅವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ರಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ನಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು, X ನ ಸ್ಫಟಿಕದ ಸೈಟ್ನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು X ನ ಜರಿಸ್ಕಿ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಅನಂತ ದಪ್ಪವಾಗಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿಭಜಿತ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ವಿಭಜಿತ ಶಕ್ತಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ. ನಾವು n ಉದ್ದದ ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ Wn = W/pnW ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ p> 0 ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, k ಎಂಬುದು p ಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು Wn ಎಂಬುದು Z/pnZ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಬಹುದು. (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿಭಜಿತ ಶಕ್ತಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ I ಆದರ್ಶಗಳ ಸ್ಥಿರ ಕೋಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೇಸ್ ಸ್ಕೀಮ್ S ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದು.) X ಯು k ಮೇಲೆ ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, Wn ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ X ನ ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ತಾಣವು, ಕ್ರಿಸ್ (X/Wn) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ U → T ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು X ನ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ U ಅನ್ನು ಕೆಲವು Wn-ಸ್ಕೀಮ್ T ಆಗಿ ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು J ಆದರ್ಶಗಳ ಕೋಶದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ J ಮೇಲೆ ವಿಭಜಿತ ಶಕ್ತಿ ರಚನೆಯು Wn ಮೇಲೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. X ಓವರ್ k ಯೋಜನೆಯ ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ವಿಲೋಮ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ X/Wn ನ ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಸ್ಥಳದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು O: = OWn ಉಂಗುರಗಳ ಕೋಶದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೆಂದರೆ, k ಮೇಲೆ X ನಯವಾದ ಯೋಜನೆಯ ಸ್ಫಟಿಕೀ ಸಂಯೋಗಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಡಿ ರಾಮ್ ಸಂಯೋಗಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಇದು X ಅನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ನಯವಾಗಿ W ಮೇಲೆ Z ಯೋಜನೆಗೆ ಎತ್ತುವುದಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, Xನ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಅದರ ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ರಿಡಕ್ಷನ್ ಮಾಡ್ p ಆಗಿ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು (ಹೆಚ್ಚಿನ ಟಾರ್ಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ). ಸ್ಫಟಿಕಗಳು X ಎಂಬುದು S ನ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋಶದ OX/S ಅನ್ನು OX/S (T) = T ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಉಂಗುರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು T ಅನ್ನು ಕ್ರಿಸ್ನ (X/S) ವಸ್ತುವಿನ U → T ಗೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕ್ರಿಸ್ (X/S) ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಫಟಿಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ OX/S ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಎಫ್ ಕೋಶವಾಗಿದೆಃ ಕ್ರಿಸ್ (X/S) ನ T, T′ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಗೆ, f * F (T) ನಿಂದ F (T′) ವರೆಗಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯು ಸಮರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಜರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಕ್ವಾಸಿಕೋಹರೆಂಟ್ ಕೋಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸ್ಫಟಿಕದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಒಎಕ್ಸ್/ಎಸ್ ಕೋಶ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರು ಟೇಟ್ಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ (1966) ವಿವರಿಸಲಾದ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಸ್ಫಟಿಕ ಎಂಬ ಪದವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ರೂಪಕವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ (ಡ್ವರ್ಕ್, ಮಾನ್ಸ್ಕಿ, ವಾಷ್ನಿಟ್ಜರ್, ಲುಬ್ಕಿನ್ ಮತ್ತು ಕಾಟ್ಜ್ ಅವರು ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪೂರ್ವಗಾಮಿಗಳು) ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಡ್ವರ್ಕ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಿದ್ದವು. ಅಂತಹ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೊಸ್ಝುಲ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ p-adic ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಗೂಢವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ p-adic ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಬದಲು ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ). ಆದೇಶದ ಮೂಲಕ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಫಟಿಕವು 'ಬಿಗಿತ' ಮತ್ತು 'ಪ್ರಸರಣ' ವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಸಿಎಫ್. 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯಗಳು ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಿದ್ದಾಗ ಜಾನ್ ಟೇಟ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳಗಳೂ ಸಹ.) ಮೋಟಿವಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಅತಿಯಾಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರ, ಅಕ್ಟೋಬರ್ 14,1963). ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ