Classical group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಥವಾ ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯ ದ್ವಿ-ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳ ವಿಶೇಷ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಅಥವಾ ವಕ್ರ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ರೂಪಗಳು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ನಾಲ್ಕು ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ಅಸಾಧಾರಣ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಮುಗಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಂದ್ರವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಸಾಂದ್ರವಾದ ನೈಜ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಲೈ ಪ್ರಕಾರದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪು" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್ ಅವರು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು, ಇದು ಅವರ 1939 ರ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ದಿ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಗ್ರೂಪ್ಗಳ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ರೇಖೀಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಷಯದ ಅತ್ಯಂತ ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ರೀತಿಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಪರಿಭ್ರಮಣ ಗುಂಪು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರೋಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ರೂಪಗಳ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಗುಂಪುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ಷರತ್ತಿನೊಂದಿಗೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಉತ್ತರಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ಷರತ್ತನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಹಿತದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು, ಮತ್ತು. ಒಂದು ಗುಂಪು ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನೈಜ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಂದ್ರವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಸಾಂದ್ರವಾದ ನೈಜ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ. ಇವುಗಳು, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತು. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ನೈಜ ರೂಪದ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಇದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ, ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ರಚಿತವಾದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗುಂಪು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರಿಯಲ್ ರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು (ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ಷರತ್ತಿನೊಂದಿಗೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನೈಜ ರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಒಂದು ನೈಜ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ನೈಜ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ನೈಜ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ಷರತ್ತು ಇಲ್ಲದೆ, ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ "ನೈಜ ರೂಪ" ದ ಸರಿಯಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು "ಬೀಜಗಣಿತದ" ಅರ್ಹತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಬಿಲಿನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ರೂಪಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೂಪಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳು, ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಗುಣಾಕಾರವು ಸಂವಹನ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ; ಅವು ವಿಭಾಗ ವಲಯ ಅಥವಾ ವಕ್ರ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲು ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು. ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ರೂಪ, ಅಥವಾ ಇದನ್ನು ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎನ್ನುವುದು ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ರೂಪವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಗುಂಪು, ಅಥವಾ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸ್ವಲ್ಪ ಅತಿರೇಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿ ರೇಖೀಯವು ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳಿಲ್ಲ. ಸಮಮಿತೀಯ, ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತೀಯ, ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಮತ್ತು ವಕ್ರ-ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪಗಳು ಒಂದು ರೂಪವು ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒಂದು ದ್ವಿ-ರೇಖೀಯ ರೂಪವು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಮಿತೀಯ ರೂಪ ಮತ್ತು ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತೀಯ ರೂಪದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ವಕ್ರ-ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೂಪಾಂತರ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ವಕ್ರ-ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು. ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ಯೂ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಮುಟಾಟಿಸ್ ಮ್ಯುಟಾಂಡಿಸ್ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ವರ್ಗೀಕರಣದ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ವಕ್ರ-ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಅಥವಾ ವಕ್ರ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು ಬೇಸ್ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂಕ್ತ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡುವ ಬೇಸ್ಗಳಾಗಿವೆಃ ಸ್ಕ್ಯೂ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಬೇಸಿಸ್ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ನೆಲೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ನ ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮ, ಪ್ಲಸ್ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ, ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಜೋಡಿಯನ್ನು, ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ರೂಪದ ಸಹಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ವಿವರಣೆಃ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳಿಲ್ಲ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ರೂಪಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಹಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ಸಹಿ" ಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು, ಆಧಾರದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ, ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು "ಇರುವ" ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೈಜ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಧಾರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಪ್ರಕರಣ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಆಧಾರ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಹಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. (ನೈಜ ಪ್ರಕರಣವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.) ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಕ್ರ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮೊದಲ ವಿಭಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ದ್ವಿ-ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ರೂಪಗಳ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು. ಆಟೊ (φ)-ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ಷರತ್ತು () ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ () ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ಫಿಕ್ಸ್ ಎ ಬೇಸಿಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅದರ ಘಟಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸಿ. ಇದು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ರೂಪಗಳು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು () ನಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅವನತಿಯಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಯು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಕ್ಕದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಬರೆಯಬಹುದು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಘಾತೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ () ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮಾತ್ರ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ,. ಹೀಗಾಗಿ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದು ಆಧಾರ ಅಥವಾ ಪಕ್ಕದ ಉಲ್ಲೇಖವಿಲ್ಲದೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಓದಬಹುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳು () ಮತ್ತು () ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿಲಿನಿಯರ್ ಪ್ರಕರಣವು ರೂಪವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯಾದಾಗ ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಕೇಸ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಪ್ರಕರಣವು ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಅಸಮಮಿತಿವಿರೋಧೀ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಒ (ಪಿ, ಕ್ಯೂ) ಮತ್ತು ಒ (ಎನ್)-ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪುಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಾಹಕದ ಸ್ಥಳವು ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ಲಸ್ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್-ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್-ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಂಕೇತವಿದ್ದರೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಆಧಾರವನ್ನು ಮರುಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು () ಆಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವಾಗ ಅಥವಾ 0 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ () ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ಅನ್ಸ್ಯಾಟ್ಜ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು () ಪ್ರಕಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪಿನ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು,-ಬ್ಲಾಕ್ ಮೇಲಿನ ಎಡ (ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಬ್ಲಾಕ್) ಆಗುವಂತೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ "ಸಮಯದ ಘಟಕ" ವು ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಮೊದಲನೆಯದಲ್ಲ. sp (m, R)-ನಿಜವಾದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಾಹಕದ ಸ್ಥಳವು ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಿ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀಡುವ ಆಧಾರವಿದೆ. ಒಬ್ಬರು ಬರೆಯುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಓದುತ್ತಾರೆ-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿರುವ ಅನ್ಸ್ಯಾಟ್ಜ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು () ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪನ್ನು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಕೇಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒ (ಎನ್, ಸಿ)-ಸಂಕೀರ್ಣ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಕೇಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೇವಲ ಪ್ಲಸ್-ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೆಸ ಮತ್ತು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮವಾಗಿವೆ. ಸ್ಪೆ (ಎಮ್, ಸಿ)-ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗೆ, ಅದೇ ಸೂತ್ರವು ನೈಜ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪನ್ನು ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣ ಗುಣಾತ್ಮಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ವಕ್ರ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪಗಳ ಪರಿಗಣನೆ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ) ಯಾವುದೇ ಹೊಸ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ವಕ್ರ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಹೀಗಾಗಿ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಯು (ಪಿ, ಕ್ಯೂ) ಮತ್ತು ಯು (ಎನ್)-ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪುಗಳು ಎ-ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಅಲ್ಲದ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ, ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ,. ಸಂಕೇತವಿದ್ದರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಈ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ g ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ n x n ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಕರೆಯುವ g ನ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿ, ಯುನಿಟರಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯು (ಎನ್) ಅನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಕೇಸ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗೆ, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಎಡ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಓವರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಲು ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಬಲದಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಆಧಾರವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಇದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಎಡದಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದರ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಸ್ವರೂಪದಿಂದಾಗಿ ಕಾಳಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದರಿಂದ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ) ವಿವರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಗುಣಾಕಾರವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಸಂಯೋಗವು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಪಕ್ಕವಾದ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ ಅನ್ನು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಹೊಸ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸಂಪ್ರದಾಯವು ಒಂದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬಲದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಸಂಗಿಕವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಯುನಿಟ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ () ಗುಂಪು ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು, ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬ್ಲಾಕ್-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಒಬ್ಬರು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ರೂಪದ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈಗ α ಮತ್ತು β-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು () ನಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ. ಈ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದು ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಲ್ಲ. ಪ್ರವೇಶವಾರು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಿಸುವುದು (ಎಡದಿಂದ) ಮತ್ತು ನಂತರ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಪ್ರವೇಶವಾರು ನೇರವಾಗಿ ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮಗಳು ಹೊಸ ಮತ್ತು ಆವರಣದೊಳಗೆ ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಆಯಾಮ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿವೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಈ ನಿರೂಪಣೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಸ್ವರೂಪವು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹುದುಗಿರುವ ಮಾರ್ಗವು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಹುದುಗುವಿಕೆಗಳು ಫಾರ್ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇಷದಲ್ಲಿ ಇದರ ಹೆಸರು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ಯೂ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಎರಡೂ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಹೊಸದನ್ನು ತರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಿಎಲ್ (ಎನ್, ಎಚ್) ಮತ್ತು ಎಸ್ಎಲ್ (ಎನ್, ಎಚ್) ಮೇಲಿನ ಗುರುತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮೇಲಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಡೈಯುಡೋನ್ನೆ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನ ಕರ್ನಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು sp (p, q)-ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು ಮೇಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ಲಸ್-ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆಧಾರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಫಾರ್ಮ್ನೊಂದಿಗೆ,. ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಿಸ್ಕ್ರಿಪ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ರೂಪದ ಸಹಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಇಫ್ ಅಥವಾ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೈಪರ್ನಿಯೇಟರಿ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ರೂಪದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯನ್ನು ವಹಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅವು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇವು ಪ್ರತಿ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ಪ್ರತಿ ಬ್ಲಾಕ್ಗೆ ಪ್ರಿಸ್ಕ್ರಿಪ್ಷನ್ () ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಆಗಿದ್ದರೆ () ನಲ್ಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಅದನ್ನು-ಮೌಲ್ಯದ ರೂಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳು, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪದ ಸಹಿ ಮತ್ತು ಕ್ಷೀಣಿಸದ ವಕ್ರ-ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪ ಎರಡನ್ನೂ ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ರೂಪಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ರೂಪದ ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಮತ್ತು ಇದು ಗುಂಪಿನ ಹೆಸರು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ ಎರಡನ್ನೂ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. O ≤ (2n) = O (n, H)-ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಸ್ಕ್ಯೂ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಬೇಸಿಸ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದರ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಕ್ರ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ರೂಪದ ಸಹಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಿಂದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು () ನಿಂದ ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಪ್ರಿಸ್ಕ್ರಿಪ್ಷನ್ () ಪ್ರಕಾರ ಹಾಕಿ. ಈಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ () ಕೊನೆಯ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪನ್ನು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ, ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು-ಮೌಲ್ಯದ ಫಾರ್ಮ್ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿ. ನಂತರ ಸಹಿ ರೂಪವು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ರೂಪವು ಸ್ಕ್ಯೂ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್) ಆಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಬೇಸಿಸ್ ವಾಹಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿಂದ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಸಹಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ರೂಪವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂಶದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಎರಡನ್ನೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಒ" ಸಂಕೇತವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ಗುಂಪುಗಳು ಕೇವಲ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ನೆಲದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಲೈ ಪ್ರಕಾರದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸೀಮಿತ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಈ ಗುಂಪುಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಆರ್ ಏಕಾಂಗಿ ಸಹವರ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ = ಎಚ್ (ವಾಸ್ತವದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತ) ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಗಾಗಿ ಲೇಖನವು ಆರ್ ಮೇಲಿನ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ ಸ್ವತಃ ಎಫ್ ನೆಲದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು. ತಮ್ಮ ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅನೇಕ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳು "ವಿಶೇಷ" ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೆಲದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು "ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ" ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವು ಗುಂಪಿನ ಕೇಂದ್ರದ ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿವೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ 2 "ಎಸ್" ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಬೇರೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗುಂಪಿನ ಹೆಸರಿನ ಮುಂದೆ ಇರುವ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಎಂಬ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುವ ಬದಲು ಒಂದು ರೀತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ n ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುಂಪು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; R = F ಆಗಿದ್ದರೆ ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಆರ್) ಎಂಬುದು ಆರ್ಎನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್-ರೇಖೀಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಇದೆಃ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ಎನ್ (ಆರ್), ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತಗಳುಃ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಪಿಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಆರ್) = ಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಆರ್)/ಝಡ್ (ಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಆರ್)) ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಪಿಎಸ್ಎಲ್ಎನ್ (ಆರ್) = ಎಸ್ಎಲ್ಎನ್ (ಆರ್)/ಝಡ್ (ಎಸ್ಎಲ್ಎನ್ (ಆರ್)). ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಪಿ. ಎಸ್. ಎಲ್. ಎನ್. (ಎಫ್), ಎನ್ = 2 ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರವು 2 ಅಥವಾ 3 ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಎನ್ ≤ 2 ಗೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪುಗಳು ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು ಯು. ಎನ್. (ಆರ್) ಒಂದು ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ರೂಪವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಒಂದು ಗುಂಪು. ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಇದೆ, ವಿಶೇಷ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು ಎಸ್ ಯು ಎನ್ (ಆರ್) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಭಾಗಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು ಪಿ ಯು ಎನ್ (ಆರ್) = ಯು ಎನ್ (ಆರ್)/ಝಡ್ (ಯು ಎನ್ (ಆರ್)) ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಿಶೇಷ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು ಪಿ ಎಸ್ ಯು ಎನ್ (ಆರ್) = ಎಸ್ ಯು ಎನ್ (ಆರ್)/ಝಡ್ (ಎಸ್ ಯು ಎನ್ (ಆರ್)) ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಎಸ್ ಪಿ 2 ಎನ್ (ಆರ್) ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ ವಕ್ರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಪಿಎಸ್ಪಿ2ಎನ್ (ಆರ್). ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಜಿ. ಎಸ್. ಪಿ. 2. ಎನ್ (ಆರ್) ಒಂದು ವಕ್ರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಕೆಲವು ವಿಲೋಮ ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಪಿ. ಎಸ್. ಪಿ. 2 ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಪಿ. ಎಸ್. ಪಿ. 2. ಎನ್. (ಎಫ್. ಕ್ಯೂ.) ಎನ್. ≤1 ಗೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪುಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಆನ್ (ಆರ್) ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಇದೆ, ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಎಸ್ಒಎನ್ (ಆರ್) ಮತ್ತು ಕೋಶಗಳು, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಪಿಒಎನ್ (ಆರ್), ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಪಿಎಸ್ಒಎನ್ (ಆರ್). ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ರಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿಕ್ಸನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ 1 ರ ಅಂಶಗಳ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪಿನರ್ ಮಾನದಂಡ 1 ರ ಅಂಶಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ωn (R) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಹೆಸರಿಲ್ಲದ ಗುಂಪು ಇದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅಂಶ ಗುಂಪುಗಳಾದ Sωn (R), Pωn (R), Pωn (R). (ವಾಸ್ತವದ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳಿಗೆ, ಗುಂಪು ω ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.) ಪಿನ್ ಗುಂಪು ಪಿನ್ (ಆರ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ωn (ಆರ್) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಸಹ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪು ಸ್ಪಿನ್ (ಆರ್) ಎಂಬ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಜಿಒಎನ್ (ಆರ್) ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವನ್ನು ಕೆಲವು ವಿಲೋಮ ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿರುವ ಅಸಾಧಾರಣ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು, ಅಸಾಧಾರಣ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು, ಜಿ2, ಎಫ್4, ಇ6, ಇ7, ಇ8, ಅವುಗಳ ಅಮೂರ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಎಲೀ ಕಾರ್ಟನ್ ಅವರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಳವಾದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ 1890 ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಇವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇ. ಆರ್ಟಿನ್ (1957) ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಅಧ್ಯಾಯಗಳು III, IV, & V ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಆರ್ಕೈವ್ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲಕ