Kneser's theorem (differential equations)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ನೆಸರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದುಃ ಮೊದಲನೆಯದು, ಅಡಾಲ್ಫ್ ಕ್ನೆಸರ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ; ಎರಡನೆಯದು, ಹೆಲ್ಮತ್ ಕ್ನೆಸರ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ನಿರಂತರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ. ಎ. ನೆಸರ್ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿರಂತರವಾದ ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ y ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅದು ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಘರ್ಷಣೆ ಮಾಡ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಆಯ್ಕೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನೀಡುವ 'ಅನ್ಸಟ್ಜ್' ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವರಿಗೆ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಧನಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ ಗುರುತು ಅವರು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಸ್ಟರ್ಮ್-ಪಿಕೋನ್ ಹೋಲಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗೆಸ್ಟೆಸಿ-ಯುನ್ಲ್ ಮಾನದಂಡ. ಎಚ್. ಕ್ನೆಸರ್ನಿಂದಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಪೀನೋದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಿರಂತರ ಬಲಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಎಚ್. ಕ್ನೆಸರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ, ಎಚ್. ನೀಸರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅಂತಹ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಸೆಟ್ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಆಂದೋಲನ