Differentiation rules
ಇದು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳದ ಹೊರತು, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಆರ್) ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಸಿ) ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಲ್ಲೆಲ್ಲಾ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಿರ ಪದದ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಎಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ. ಪ್ರೂಫ್ ಲೆಟ್ ಮತ್ತು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ) ವಿವರಣೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು. ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೋನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x ನ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯ, y, ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಭೇದವು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಃ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಃ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶ ನಿಯಮ ಮೊತ್ತ ನಿಯಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ f ಮತ್ತು g ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ h (x) = f (x) g (x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಕ್ಷೆಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಃ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಃ ಪರಸ್ಪರ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ (ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಃ ಪರಸ್ಪರ ನಿಯಮವನ್ನು ಅಂಶ ನಿಯಮದಿಂದ ಅಥವಾ ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮದ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಭಾಗಶಃ ನಿಯಮವು ಇಫ್ ಅಂಡ್ ಆರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು, ನಂತರಃ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ನಿಯಮದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮವು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮವಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವಲ್ಲಿ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವಾಗ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೇಳುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ (ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ): ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಭೇದವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ವ್ಯವಕಲನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು-ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸರಳೀಕೃತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ವಿಲೋಮ ಸೆಕೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕೋಸೆಕೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಎರಡು ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚತುರ್ಥಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಚತುರ್ಥಾಂಶಕ್ಕೆ (ಅಂದರೆ) ಒಂದು ಇದೆ. ಇದರ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವು ಡಿಗಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಆವರಣದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳು x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಂತರಃ ಈ ಸೂತ್ರವು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. n ನೇ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳ-th ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಫಾ ಡಿ ಬ್ರೂನೋ ಅವರ ಸೂತ್ರವು-ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮ-ಒಂದುವೇಳೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಶುದ್ಧ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಮುಂದುವರಿದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಅನೇಕ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿರುವವುಗಳನ್ನು (ಮೇಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಜೊತೆಗೆ) ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಕೈಪಿಡಿ (3ನೇ ಆವೃತ್ತಿ), ಎಸ್. ಲಿಪ್ಸುಟ್ಜ್, ಎಂ. ಆರ್. ಸ್ಪೀಗೆಲ್, ಜೆ. ಲಿಯು, ಸ್ಕಾಮ್ಸ್ ಔಟ್ಲೈನ್ ಸರಣಿ, 2009,. ದಿ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಹ್ಯಾಂಡ್ಬುಕ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಫಾರ್ಮುಲಾಸ್, ಜಿ. ವೋನ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2010. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ಗೆ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳು, ಕೆ. ಎಫ್. ರಿಲೆ, ಎಂ. ಪಿ. ಹಾಬ್ಸನ್, ಎಸ್. ಜೆ. ಬೆನ್ಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2010, ಎನ್ಐಎಸ್ಟಿ ಹ್ಯಾಂಡ್ಬುಕ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್, ಎಫ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಜೆ. ಓಲ್ವರ್, ಡಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಲೋಜಿಯರ್, ಆರ್. ಎಫ್. ಬೋಯ್ಸ್ವರ್ಟ್, ಸಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕ್ಲಾರ್ಕ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2010. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸೂತ್ರ ಸರಳೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಗಣಿತದ ಗುರುತುಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು