Positive-definite kernel
ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕರ್ನಲ್ ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಜೇಮ್ಸ್ ಮರ್ಸರ್ರಿಂದ ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಅಂದಿನಿಂದ, ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿವಿಧ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ. ಅವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ನಿರ್ವಾಹಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ-ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಕ್ಷಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ, ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆ, ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ (p. d.) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಕರ್ನಲ್ ಆನ್ ಮಾಡಿ, ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕರ್ನಲ್ಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ (1.1) ರಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತ (p. s. d.) ಈ ಷರತ್ತನ್ನು ವಿಧಿಸದ ಕರ್ನಲ್ಗಳು. ಇದು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪಿ. ಡಿ.) ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ (ಪಿ. ಎಸ್. ಡಿ) ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಗಣಿತದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಕಾಳುಗಳು. ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಪಿ. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೊತ್ತವು ಪಿ. ಡಿ. ಆಗಿದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪಿ. ಡಿ. ಆಗಿದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮಿತಿಯು ಪಿ. ಡಿ. ಆಗಿದೆ. ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ. ಇದು ಸೆಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ. ಕರ್ನಲ್ಗಳು, ನಂತರ ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಪಿ. ಡಿ. ಕೆರ್ನಲ್ಗಳು ಆನ್. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ ನಿರ್ಬಂಧವು ಕೂಡ ಪಿ. ಡಿ. ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕರ್ನಲ್. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪಿ. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಬಹುಪದೀಯ ಕರ್ನಲ್ಃ. ಗಾಸಿಯನ್ ಕರ್ನಲ್ (ಆರ್ಬಿಎಫ್ ಕರ್ನಲ್): ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಕರ್ನಲ್ಃ ಅಬೆಲ್ ಕರ್ನಲ್ಃ. ಸೋಬೋಲೇವ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕರ್ನಲ್ಃ, ಮೂರನೇ ರೀತಿಯ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಪಾಲೆ-ವೀನರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕರ್ನಲ್ಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪಿ. ಡಿ ಆಗಿದೆ. ಕರ್ನಲ್. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ನಿಜ ಜೀವನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎದುರಾಗುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಲೋಕನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಣಿಕೆಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುತ್ತವೆ, ಇವು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಆವರ್ತನಗಳ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೆನ್ಸನ್ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್,-ಸ್ಕ್ವೇರ್, ಟೋಟಲ್ ವೇರಿಯೇಷನ್, ಮತ್ತು ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರದ ಎರಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಾದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಕರ್ನಲ್ಗಳು, (1.1) ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕರ್ನಲ್ಗಳು, 1909 ರಲ್ಲಿ ಜೇಮ್ಸ್ ಮರ್ಸರ್ ಅವರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ಮುಂದಿನ ಎರಡು ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಇತರ ಲೇಖಕರು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಆದರೆ ಅವರಲ್ಲಿ ಯಾರೂ ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬಳಸಲಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಪಿ. ಡಿ ಕಾರ್ಯಗಳು (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಂ. ಮ್ಯಾಥಿಯಸ್ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಬೋಚ್ನರ್ ಅವರಿಗೆ ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಅಧ್ಯಯನದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಕರ್ನಲ್ಗಳು). ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕುರಿತಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ 1904 ರ ಪ್ರಬಂಧದಿಂದ ಮರ್ಸರ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತುಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರು ನಿರಂತರ ನೈಜ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕರ್ನಲ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು s ಗಳು (1.2) ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ "ನಿರ್ದಿಷ್ಟ" ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಕರ್ನಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮರ್ಸರ್ರ ಪ್ರಬಂಧದ ಮೂಲ ಉದ್ದೇಶವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ತುಂಬಾ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮರ್ಸರ್ರವರು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ನಿರಂತರ ನೈಜ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕಾರವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ (ಅಂದರೆ. ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ) ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಕರ್ನಲ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿರಲು (1.1) ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮರ್ಸರ್ ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಪಿ. ಡಿ. ಗೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಕರ್ನಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಸುಮಾರು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಚ್. ಯಂಗ್, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಶ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟು, ನಿರಂತರ ಕರ್ನಲ್ಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗೆ (1.1) ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಇ. ಎಚ್. ಮೂರ್ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಕರ್ನಲ್. ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಎಲ್ಲರಿಗೂ (1.1) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ "ಧನಾತ್ಮಕ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್" ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಮೂರ್ ಅವರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಗುಣವನ್ನು ಕರ್ನಲ್ನ ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲು ಇದರಲ್ಲಿ ಪಿ. ಡಿ. 1929 ರಲ್ಲಿ ಇ. ಕಾರ್ಟನ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕರ್ನಲ್ಗಳು ದೊಡ್ಡ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಿದವು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಎಚ್. ವೇಯ್ಲ್ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಇಟೊ ಮುಂದುವರಿಸಿದರು. ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಅತ್ಯಂತ ಸಮಗ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಎಂ. ಕ್ರೀನ್ನದ್ದಾಗಿದ್ದು, ಇದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಮೇಲಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪುಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪಿ. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಕರ್ನಲ್ಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಪುನರುತ್ಪಾದನೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಬಿಗಿಯಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವುದು. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ, ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆನ್ ಆಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮೊದಲು ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಆರ್ಕೆಎಚ್ಎಸ್) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆರ್. ಕೆ. ಎಚ್. ಎಸ್. ಗೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಪುನರುತ್ಪಾದನೆ ಕರ್ನಲ್ಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಪುನರುತ್ಪಾದನೆ ಕರ್ನಲ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು. ನಂತರದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಆಸ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಆರ್ಕೆಎಚ್ಎಸ್ ಮತ್ತು ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಈಗ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಕೆಎಚ್ಎಸ್ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಪಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ಕರ್ನಲ್ಗಳು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನಕ್ಷೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಜಾಗವನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪಿ. ಡಿ. ಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪಿ. ಡಿ. ಯಿಂದ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತತೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಸ್ತಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪ್ರತಿ ಪಿ. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಆರ್. ಕೆ. ಎಚ್. ಎಸ್, ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಿತ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಲೆಟ್, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ನಂತರ, ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಆಸ್ತಿಯ ಮೂಲಕ. ಇದು ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಹೊಸ ನೋಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ಕರ್ನಲ್ಗಳು, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಪಿ. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಇದು ಮೌಲ್ಯದ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಎಷ್ಟು ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆರ್. ಕೆ. ಎಚ್. ಎಸ್, ಪ್ರತಿ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಆರ್. ಕೆ. ಎಚ್. ಎಸ್. ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ದೂರಗಳ ಕರ್ನಲ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದ ನೆರೆಯವರಂತಹ ದೂರ ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವುಗಳ ಎರಡು ಪದಾರ್ಥಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನಾಂತರಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ದೂರಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ, ನಾವು ಆ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ, ದೂರ ಮತ್ತು ಪಿ. ಡಿ. ನಡುವಿನ ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕ. ಕೆರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೆರ್ನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಕೆರ್ನಲ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಎನ್. ಡಿ.) ಕೆರ್ನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎನ್. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ದೂರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನಾಂತರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಒಂದು ಎನ್. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗ, ಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಅದರ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ದೂರವು ಎನ್. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ದೂರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಕೆಲವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದಾದರೆ ದೂರವನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಎನ್. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಪಿ. ಡಿ. ಉಪಕುಟುಂಬದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದಾದ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕರ್ನಲ್ಗಳು. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕರ್ನಲ್ ಇದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಕೊಂಡಿ ಎಂದರೆ ಪಿ. ಡಿ. ಕರ್ನಲ್ ಸೂಡೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ದೂರ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ದೂರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕರ್ನಲ್ಗಳ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳು, ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಲಿಕಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆರ್ಕೆಎಚ್ಎಸ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಿನಿಮೈಸರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತರಬೇತಿ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯದ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಪ್ರಮೇಯ. ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪಾಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅನಂತ ಆಯಾಮದಿಂದ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುವ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ನಿರ್ಧಿಷ್ಟವಲ್ಲದ ಚೇತರಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಃ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಹೊಸ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ವೀಕ್ಷಣೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಇನ್ಪುಟ್-ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಜೋಡಿಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಇದರ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿವರಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗೆ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಕರ್ನಲ್ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕರ್ನಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಸಂಭವನೀಯ ಹಿನ್ನೆಲೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಕರ್ನಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಕರ್ನಲ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಬ್ದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅಂದರೆ ಶಬ್ದವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೇಲಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಕರ್ನಲ್ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕರ್ನಲ್ಗಳಿಂದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜುಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಬಹುವಿಧದ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳು ದಟ್ಟವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ, ನಿಜವಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಗ್ರಿಡ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಶದಲ್ಲಿನ ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದು ತುಣುಕಿನ ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅನುವಾದದ ಅಸ್ಥಿರ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸುಗಮ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವು ಜಾಲರಿ-ಮುಕ್ತ ವಿಧಾನಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ಅನ್ವಯಿಕ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಜನಪ್ರಿಯ ಜಾಲರಿ-ಮುಕ್ತ ವಿಧಾನಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕರ್ನಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಪೆಟ್ರೋವ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ (ಎಂ. ಎಲ್. ಪಿ. ಜಿ), ಪುನರುತ್ಪಾದನೆ ಕರ್ನಲ್ ಕಣ ವಿಧಾನ (ಆರ್. ಕೆ. ಪಿ. ಎಂ) ಮತ್ತು ನಯವಾದ-ಕಣ ಹೈಡ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ (ಎಸ್. ಪಿ. ಎಚ್)). ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಕೊಲೋಕೇಷನ್ಗಾಗಿ ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಟೈನ್ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಡೈಲೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಇತರ ಅನ್ವಯಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಪಿ. ಡಿ. ಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕರ್ನಲ್ಗಳು, ಆರ್ಬಿಎಫ್ಗಳು ಅಥವಾ ಕ್ರಿಗಿಂಗ್. ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಧಾನ. ಡೇಟಾ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ಕುದಿಯುವ ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳೆಂದರೆ ಕ್ಷಿಪ್ರ ಮೂಲಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್. ಇಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕ್ಲೌಡ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟ್ ಮಾಡಲು ಸೂಚ್ಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರ್ಜಿಗಳು ಪಿ. ಡಿ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿನ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಬಹುವಿಧದ ಏಕೀಕರಣ, ಬಹುವಿಧದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ವೇಗವಾಗಿ, ನಿಖರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಪಾಸಿಟಿವ್-ಡೆಫಿನಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆನ್ ಎ ಗ್ರೂಪ್ ರಿಪ್ರೊಡಕ್ಟಿಂಗ್ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕರ್ನಲ್ ಮೆಥಡ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಥಿಯರಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.