Ducci sequence
ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಎನ್-ಟುಪಲ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಡಿಫ್ಫಿ ಗೇಮ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ n-ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನೆರೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ n-ಟುಪಲ್ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ n ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಹೊಸ ವೃತ್ತವನ್ನು ಮಾಡಿ; ನಂತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. 1930ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಎನ್ರಿಕೊ ಡುಸಿ (1864-1940) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಡುಸಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಡುಸ್ಸಿ ಮ್ಯಾಪ್ ಅಥವಾ ಎನ್-ನಂಬರ್ ಗೇಮ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಉಳಿದಿವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎರಡನೇ ಎನ್-ಟುಪಲ್ನಿಂದ, ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಎನ್-ಟುಪಲ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು 0ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಎನ್-ಟುಪಲ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸದಸ್ಯರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಎನ್-ಟುಪಲ್ಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುವುದರಿಂದ, ಎನ್-ಟುಪಲ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಸ್ವತಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗುತ್ತದೆ. n ಯು 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಎನ್-ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು (0,0,., 0) ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ತಲುಪುತ್ತದೆ. n ಎಂಬುದು ಎರಡರ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಗಳ n-ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಅಥವಾ 'ಬೈನರಿ' n-ಟುಪಲ್ಗಳ ಆವರ್ತಕ ಲೂಪ್ನಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ರೂಪದ n-ಟುಪಲ್ಗಳು, ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದರೆ ಎನ್-ಟುಪಲ್ಗಳ ಸದಸ್ಯರು ಕೇವಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ 4-ಟುಪಲ್ ನಾಲ್ಕು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ (0,0,0) ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಯೂಬಿಕ್ನ (ಅಭಾಗಲಬ್ಧ) ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವಾಗಿರುವ n-ಟುಪಲ್ (1, q, q2, q3) ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ (0,0,0,0) ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅದು (0,0,0,0) ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಶೂನ್ಯಗಳ ಟುಪಲ್ ಅಥವಾ ಆವರ್ತಕ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ತಲುಪುವ ಮೊದಲು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಉದ್ದವಾಗಿರಬಹುದು. (0,653,1854,4063) ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ 4-ಟುಪಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಶೂನ್ಯ ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ತಲುಪಲು 24 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ 5-ಟುಪಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು 7 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ 15 ಬೈನರಿ 'ಲೂಪ್' ಅವಧಿಯನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ 6-ಟುಪಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಎರಡು ಶಕ್ತಿಯಿಲ್ಲದ ಟುಪಲ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಇನ್ನೂ ಶೂನ್ಯಗಳ ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ "ಎರಡು ಶಕ್ತಿಯ"-ಟುಪಲ್ ಡುಸಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯ ಟುಪಲ್ ಅನ್ನು ತಲುಪಲು ಎರಡು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಂದು ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಬೈನರಿ ಲೂಪ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಿದಾಗ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅಂದರೆಃ ಅನುಕ್ರಮವು ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಸೆಲ್ಯುಲಾರ್ ಆಟೋಮ್ಯಾಟಾ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2ರಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಕೋಡ್ನಲ್ಲಿ ನಿಯಮ 102 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸೆಲ್ಯುಲಾರ್ ಆಟೋಮ್ಯಾಟಾ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮಾರ್ಟಿನ್-ಒಡ್ಲಿಝ್ಕೋ-ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ನಿಯಮ 90ಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನಿಯಮ 102 ಸಿಯೆರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು ಡುಸ್ಸಿ ನಕ್ಷೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಡುಸ್ಸಿ ನಕ್ಷೆಯ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಅನ್ವಯಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸಂಪರ್ಕವು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಡುಸ್ಸಿ ನಕ್ಷೆಯ ಒಂದು ರೂಪವೂ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಊಹೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕಟ್-ದಿ-ಗಂಟು ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಡುಸ್ಸಿ ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು