Acyclic space
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಚಕ್ರಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಗಡಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ. ಇದು X ನ ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಂತಹ ಜಾಗವನ್ನು "ರಂಧ್ರಗಳು" ಇಲ್ಲದ ಖಾಲಿ ಜಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೃತ್ತ ಅಥವಾ ಗೋಳವು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಅಲ್ಲ ಆದರೆ ಡಿಸ್ಕ್ ಅಥವಾ ಚೆಂಡು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಲೂಪ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೇಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಕೇಳುವುದು ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಲೂಪ್-ಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಅನಲಾಗ್-"ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈ" ನಂತಹದ್ದನ್ನು ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. X ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಅಸೈಕ್ಲಿಸಿಟಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು-ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗೋಳಗಳಿಗೆ Xನ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯ-ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸ್ಪೇಸ್ X ಸಂಕುಚಿತಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನಿಂದ ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, X ಒಂದು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ CW ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು X ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೈಟ್ ಹೆಡ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಹ್ಯುರೆವಿಕ್ಜ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ X ಒಂದು ಸಂಕುಚಿತ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಇತರ, ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕರೂಪದ ಗೋಳವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M ನಿಂದ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಅಂತಹ ಜಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗೋಳವು ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್, 3-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು ಜಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಒಬ್ಬರು (ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್, ಟರ್ಮಿನಲ್) ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ನೀಡಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಜಿ ಯ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧಿತ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸ್ಥಳ ಬಿಜಿ ಯ ಮೇಲೆ ಕ್ವಿಲೆನ್ ಪ್ಲಸ್ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಅದರ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸ್ಪೇಸ್ ಬಿಜಿ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ (ಕಡಿಮೆ) ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ಸೂಪರ್ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಗುಂಪು, ಅಂದರೆ ಮೊದಲ ಎರಡು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜವಲ್ಲಃ ಅವಳಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ) ಆದರೆ ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಅಲ್ಲ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.