Overdetermined system
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮಿತಿಮೀರಿದ ನಿರ್ಧಾರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಿದಾಗ ಮಿತಿಮೀರಿದ ನಿರ್ಧರಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬಹುತೇಕ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಿತಿಮೀರಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಇತರರ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧ ಎಣಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನೂ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ನಿರ್ಬಂಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದಾಗ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರಕರಣವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನೀಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ಬಂಧವಿದೆ. ಮಿತಿಮೀರಿದ ಪ್ರಕರಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮಿತಿಮೀರಿದ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ-ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಮೀರಿಸಿದಾಗ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ-ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ-ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಧರಿತ ಪ್ರಕರಣವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮಿತಿಮೀರಿದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ 3 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು 2 ಅಜ್ಞಾತ (ಮತ್ತು) ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು 3> 2 ರಿಂದ ಮಿತಿಮೀರಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ #1: ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆಃ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (0.2, −1.4), ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (−2/3,1/3), ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (1.5,2.5). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮೂರನ್ನೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು #2 ಮತ್ತು 3 ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಇತರ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಲ್ಲ. ಈ ವಿಧದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅಸಮಂಜಸವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಮೀರಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು #4,5, ಮತ್ತು 6ರಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರದ ಸಾಕಷ್ಟು ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಿತಿಮೀರಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ವಿನಾಯಿತಿಗಳು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಎಂದರೆ ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Y = X + 1 ಮತ್ತು 2Y = 2X + 2 ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (ರೇಖಾಚಿತ್ರ #1 ರಲ್ಲಿ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳು (ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದವು) ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು (ಅಜ್ಞಾತಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದವು) ಮೀರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮಿತಿಮೀರಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು 2 ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಗುಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅದರ ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಕಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ಗುಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಆ ಅಂಕಣವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ). ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 3ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯತೆಯು 0 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ಜಾಗವು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಲು ಸ್ಥಳ, ಕಾಲಮ್ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಚರ್ಚೆಯು ಈ ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕರಣವು (ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ, ಎಲ್ಲಾ-ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ). ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆಃ ಒಂದೋ ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವಿದೆ, ಅಥವಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಇತರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅನಂತ ಸಮೂಹವಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ 1 ≤ i ≤ M ಗೆ Li = 0, ಮತ್ತು X1, X2,., XN ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ Liಯು Xisನ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆಗ X1 = X2 = ꯘꯥ = XN = 0 ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಂ <ಎನ್ ಮಾಡಿದಾಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅನಂತತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ N − M ಆಗಿರುತ್ತದೆ. M ≤ N ಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0 ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠ N−1 ಆಗಿರುವಷ್ಟು ಸಾಕಷ್ಟು ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು (ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು) ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಇತರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅನಂತತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ M ≤ N ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು N ನಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, 1 ≤ i ≤ M ಗೆ Li = ci, X1, X2,., XN ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು N + 1 ಅನ್ನು ಮೀರಬಾರದು. ಎನ್ ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಎಂ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ (ಎಂ> ಎನ್) ಮಿತಿಮೀರಿದ ನಿರ್ಧರಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. M = N + 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ M ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಃ x = 1, x = 2. M> N ಆದರೆ ಕೇವಲ K ಸಮೀಕರಣಗಳು (K <M ಮತ್ತು K ≤ N + 1) ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ. ಇದರ ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ಉಪ-ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆಃ ಕೆ = ಎನ್ + 1. ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಃ 2x = 2, x = 1, x = 2. ಕೆ = ಎನ್. ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಎರಡನೆಯದು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕ ವಾಹಕವನ್ನು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕ ವಾಹಕಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರ ಪದಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ ಪದವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಃ 2x = 2, x = 1. ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಃ 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3. ಕೆ <ಎನ್. ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಎರಡನೆಯದು ಹಿಂದಿನ ಉಪ-ಪ್ರಕರಣದಂತೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಃ 3x + 3y = 3,2x + 2y = 2, x + y = 1. ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಃ 3x + 3y + 3z = 3,2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4. ಗೌಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಲು ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗಬಹುದು. ಈ ಸಾಲು ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ (ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಲು ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದೇ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಮೂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ (ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ) (0 = c ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ c ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ). ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ, ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ. ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೌಚೆ-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಮಿತಿಮೀರಿದ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ) ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಈ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಶ್ರೇಣಿಯು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು k ಮುಕ್ತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅನಂತತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಫ್ ಲೀನಿಯರ್ equations#Matrix ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳು ಮಿತಿಮೀರಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧಾರಣ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಎ ಪೂರ್ಣ ಅಂಕಣ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಯಾವುದೇ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಈ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉತ್ತಮ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎ ಯ ಕ್ಯೂಆರ್ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಮೀರಿದ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಅಥವಾ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮಿತಿಮೀರಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಮೀರಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವಾಗಿ, ಗಾಸ್-ನ್ಯೂಟನ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೂ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಿತಿಮೀರಿದ ನಿರ್ಧರಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಇತರರ ಪರಿಣಾಮವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಾಗ, ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ವತಃ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂಡರ್ಡೆರ್ಮೈನ್ಡ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೌಚೆ-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ, ರೌಚೆ-ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್) ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಇಂಟಿಗ್ರಬಿಲಿಟಿ ಕಂಡಿಷನ್ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪುರಾವೆ ಸಂಕುಚಿತ ಸಂವೇದನೆ ಮೂರ್-ಪೆನ್ರೋಸ್ ಸೂಡೋಇನ್ವರ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಕ್ರ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು