Quantile function
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇನ್ಪುಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇನ್ಪುಟ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಕಾರ್ಯ (ಶೇಕಡಾವಾರು ನಂತರ), ಶೇಕಡಾವಾರು-ಬಿಂದು ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ (ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ನಂತರ) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ Xನ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಇನ್ಪುಟ್ p ಅನ್ನು ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯ x ಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಲೋಮ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್. ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಒಂದು (ಸಂಭಾವ್ಯ) ಸೆಟ್ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು (ಎಫ್ ನ ಬಲ-ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ) ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್ ಮೌಲ್ಯವು ಪಿ ಅನ್ನು ಮೀರಿದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ x ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ವಿತರಣೆಯು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಸರಿಯಾದ-ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದರಿಂದ, ಅನಂತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಎಫ್ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಲು ವಿಫಲವಾದರೂ, ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಯೂ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ "ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದ ಎಡ ವಿಲೋಮ" ವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ. ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘಾತೀಯ (λ) ನ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ (ಅಂದರೆ. ತೀವ್ರತೆ λ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ (ಸರಾಸರಿ) 1/λ) ಎಕ್ಸ್ಪೋನೇನ್ಷಿಯಲ್ (λ) ಗೆ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು Q ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ 0 ≤ p <1 ಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ವಾರ್ಟೈಲ್ಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಮೊದಲ ಕ್ವಾರ್ಟೈಲ್ (p = 1/4) ಮೀಡಿಯನ್ (p = 2/4) ಮೂರನೇ ಕ್ವಾರ್ಟೈಲ್ (p = 3/4) ಅನ್ವಯಗಳು ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಕಾರ್ಯ (ಪಿಡಿಎಫ್) ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯ, ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ (ಸಿಡಿಎಫ್) ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯ, ಕ್ಯೂ, ಅದರ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ನ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಅಂದರೆ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾದ ಪಿಡಿಎಫ್ನ ಪರಸ್ಪರವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಬಳಕೆದಾರರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಶೇಕಡಾವಾರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು 25 ಪ್ರತಿಶತ ಮತ್ತು 75 ಪ್ರತಿಶತ ಕ್ವಾರ್ಟೈಲ್ಗಳು ಅಥವಾ 5 ಪ್ರತಿಶತ, 95 ಪ್ರತಿಶತ, 2.5 ಪ್ರತಿಶತ, 97.5% ಮಟ್ಟಗಳು ಇತರ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಅದರ ವಿತರಣೆ ತಿಳಿದಿದೆ; ಪರಿಮಾಣ ನಮೂದನ್ನು ನೋಡಿ. ಗಣಕಯಂತ್ರಗಳ ಜನಪ್ರಿಯತೆಯ ಮೊದಲು, ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಅನುಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೇನಲ್ಲ. ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಗಿಲ್ಕ್ರಿಸ್ಟ್ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮಾಂಟೆ-ಕಾರ್ಲೋ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಥವಾ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಅದರ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಮಾದರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳ ಬೇಡಿಕೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಫೈನಾನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಕಾಪುಲಾ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಸಿ-ಮಾಂಟೆ-ಕಾರ್ಲೋ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ತಂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆ, ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ (ಇತರವುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪ, ವೈಬುಲ್, ಟುಕಿ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ (ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಲಾಗ್-ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಸೇರಿವೆ). ಸಿಡಿಎಫ್ ಸ್ವತಃ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಸಿಡಿಎಫ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಬೈಸೆಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದಂತಹ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೂಲ-ಹುಡುಕುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಇತರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪಾಕವಿಧಾನಗಳ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತಂತ್ರಾಂಶ ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿಯೂ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ, ಬೀಟಾ ಮತ್ತು ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ಥಳ-ಪ್ರಮಾಣದ ಕುಟುಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅದರ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯದ ಸರಳ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಪ್ರೋಬಿಟ್ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಚುರಾ ಮತ್ತು ಅಕ್ಲಂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೀಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಯೋಜಿತವಲ್ಲದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಷಾ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ (ಪಿ) ಅನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಇದು ಕೇಂದ್ರ (ಆರಂಭಿಕ) ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿ ವಿಧಾನ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು (ಸ್ಟೀನ್ಬ್ರೆಚರ್ ಮತ್ತು ಶಾ, 2008 ನೋಡಿ). ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆ ಇದು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್, ν, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂದಾಜುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ν = 1,2,4 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ν ಸಮವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಹುಪದದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಸರಳ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ν = 1 (ಕೌಚಿ ವಿತರಣೆ) ν = 2 ν = 4 ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ "ಚಿಹ್ನೆ" ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ವಾದಗಳಿಗೆ + 1, ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾದಗಳಿಗೆ-1 ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಪರಿಮಾಣದ ಮಿಶ್ರಣಗಳು ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಮಿಶ್ರಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ, ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಮಾಣದ ಮಿಶ್ರಣಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ, ಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ನಾಲ್ಕು-ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಮಿಶ್ರಣಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯ-ಬಹುಪದೀಯ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಮಿಶ್ರಣ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ-ಬಹುಪದೀಯ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಮಿಶ್ರಣವನ್ನು ಕಾರ್ವನೆನ್ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ ನಾನ್-ಲೀನಿಯರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ನೀಡಲಾದ ನಾನ್-ಲೀನಿಯರ್ ಆರ್ಡಿನರಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ನ ಸಮೀಕರಣವಾದ ಕ್ಯೂ (ಪಿ) ಅನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಇದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ವರ್ಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು f (x) ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ, ಗಾಮಾ ಮತ್ತು ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಅದರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸ್ಟೈನ್ಬ್ರೆಚರ್ ಮತ್ತು ಷಾ (2008) ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರಗಳು ನಿಖರವಾದ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲೈವ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಬಳಕೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸರಣಿಗಳು. ಇನ್ವರ್ಸ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಪರ್ಸೆಂಟೇಜ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ರ್ಯಾಂಕ್-ಸೈಜ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಅಬರ್ನಾಥಿ, ರೋಜರ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಮತ್ತು ಸ್ಮಿತ್, ರಾಬರ್ಟ್ ಪಿ. (1993) * "ಎಫ್-ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ನ ಪರ್ಸೆಂಟೇಲ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇನ್ವರ್ಸ್ ಬೀಟಾ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗೆ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು", ಎಸಿಎಂ ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಗಣಿತ. Softw., 9 (4), 478-480 ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಮಾಣದ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ "ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ" ಟಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಹೊಸ ವಿಧಾನಗಳು ಎಸಿಎಂ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 396: ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು pt: ಕ್ವಾಂಟೈಲ್