Unbiased estimation of standard deviation
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜು ಎಂದರೆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ (ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆ) ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಯ ಗಣನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ವಿವರಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಬಳಕೆ ಅಥವಾ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ, ಇದು ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೇಳಲು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜಿನ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಹೇರುವುದನ್ನು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಪ್ರಯೋಜನವಿಲ್ಲದೆ ಕೇವಲ ಅನಾನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವಂತೆ ನೋಡಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮಾದರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾದರಿ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನಿಂದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳು) ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಅಂದಾಜುದಾರನೆಂದು ನೋಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ, ಆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, s2 ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ σ2 ಗೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುದಾರನಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು. ವರ್ಗಮೂಲವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ವರ್ಗಮೂಲವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅವತಲ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವು ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಜೆನ್ಸನ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ n ಬದಲಿಗೆ n-1 ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಬೆಸೆಲ್ನ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು, ಆದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪಕ್ಷಪಾತವಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪಕ್ಷಪಾತವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಬಯಾಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದಾಗ, ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಣ್ಣ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ X ಗೆ, ಕೊಕ್ರಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಚಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಚಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶವು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಚಿ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು n ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ κ (·) ಎಂಬುದು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. σ ಅನ್ನು σ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುದಾರನನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಬೆಳೆದಂತೆ ಇದು 1 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಈ ಚಿತ್ರವು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದ ವಿರುದ್ಧ ಒಂದು ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ X ಗೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುದಾರನನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಿದಾಗ, s ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ s ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ, ಆದರೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಹೆಬ್ಬೆರಳಿನ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ c4 (n) ಕಾರ್ಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಕಂಡುಬಂದರೆ, ಅಂದಾಜುದಾರನನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಹೆಬ್ಬೆರಳಿನ ಸರಳ ನಿಯಮವಿದೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕೇವಲ ಅಂದಾಜು; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪಕ್ಷಪಾತವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು 2.3% ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಕ್ಷಪಾತವು ಈಗಾಗಲೇ 0.1% ಆಗಿದೆ. ಇತರ ವಿತರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವಿತರಣೆಗಳ ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ರಾವ್-ಬ್ಲ್ಯಾಕ್ವೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳು ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಆದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೊಡೆದುಹಾಕುವ ಬದಲು, ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎರಡು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ, ಎರಡೂ ಮರುಮಾದರಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಇವು ಜಾಕ್ನಿಫಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿವೆ. ಎರಡನ್ನೂ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ನಿಯತಾಂಕ ಆಧಾರಿತ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಮಾದರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಾರನಿಗೆ ಅಂದಾಜು (O (n−1) ಪದಗಳವರೆಗೆ) ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ γ2 ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಮೊದಲೇ ತಿಳಿದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧದ ಪರಿಣಾಮ (ಸರಣಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ) ಮೇಲಿನ ವಿಷಯವು, ಬಿಂದುವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒತ್ತಿಹೇಳಲು, ಸ್ವತಂತ್ರ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ದತ್ತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ; ಇದು ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ (ಇದನ್ನು ಸರಣಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ರೀತಿಯ "ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್" (ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿ, ಲೋ-ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಳತೆ ಸಾಧನದ ಸತತ ಓದುವಿಕೆಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಓದುವಿಕೆಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಿತ ದತ್ತಾಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಪಕ್ಷಪಾತದಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತವೆ. ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ (ಅಳತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶದ ಆಟೋಕೊರಿಲೇಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಎಸಿಎಫ್) ಆಗಿದೆ. (ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಓದುವಿಕೆಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸ್ವಯಂ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.) ಎಸಿಎಫ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜು (ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ) ಪಕ್ಷಪಾತದಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ದತ್ತಾಂಶದ ನಿಜವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಿಪಡಿಸದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾದರೆ, ಎಸಿಎಫ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತಿಳಿಯಬೇಕು, ದತ್ತಾಂಶದ ಅಂದಾಜಿನ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಏಕೆಂದರೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಎಸಿಎಫ್ ಸ್ವತಃ ಪಕ್ಷಪಾತದಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದಲ್ಲಿನ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಿಜಿಟಲ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧನದಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ ಓದುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಡೇಟಾಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ಎಸಿಎಫ್ ಅನ್ನು ಅಲ್ಲಿ α ಫಿಲ್ಟರ್ನ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏಕತೆಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಸಿಎಫ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದ n ಕಾರ್ಯವಾಗಿ α ನ ಹಲವಾರು ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಅದರ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಈ ಡಿಜಿಟಲ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು). α ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಫಿಲ್ಟರ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕಡಿತ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು α ನ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಅಥವಾ "ಸುಗಮಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ" ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಏಕತೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಅನುಪಾತವು ಏಕತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಾಧಾರಣ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಪಕ್ಷಪಾತವಿರಬಹುದು (ಎರಡು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶ). ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ದತ್ತಾಂಶವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಾಗ, ಇದು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ನೇರ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಂತರ σ2 ಅಂದಾಜನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂದಾಜನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ E [s2] ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮೊದಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಎಸಿಎಫ್ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಗಮನಿಸಿದ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಪ್ರಮಾಣದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಗಮನಿಸಿದ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಾರನಾಗಿರುವ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸ್ವತಂತ್ರ ದತ್ತಾಂಶದ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕನ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯು ಸರಾಸರಿ (ಅಂದರೆ, ಸರಾಸರಿ) ಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಆಯಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುದಾರನನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು θ ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರ n ಮತ್ತು ACF ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು θ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಎನ್ಐಡಿ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ) ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೇಡಿಕ್ಯಾಂಡ್ ಏಕತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು θ ಕೇವಲ ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ c4 ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. c4ನಂತೆ, ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ θ ಏಕತೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ (γ1ನಂತೆ). ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು, θ ಅನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವುದು (ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಏಕತೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು) ಮತ್ತು ಬಳಸುವುದು ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಕೆಲವು ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಾರನ ಬದಲಿಗೆ ಕಡಿಮೆ-ಪಕ್ಷಪಾತದ ಅಂದಾಜುಗಾರನನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾಪನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಪಕ್ಷಪಾತವು ಉಳಿದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಪಕ್ಷಪಾತದಲ್ಲಿನ ಈ ಕಡಿತವು ಗಮನಾರ್ಹ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಅಂದಾಜನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ; ನಿಜವಾದ ಪಕ್ಷಪಾತವು ಆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪಕ್ಷಪಾತ θ ಅನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಎಸಿಎಫ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ σ ಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅಂದಾಜು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೆಸೆಲ್ನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಸಿ. ಮಾಂಟ್ಗೊಮೆರಿ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಸಿ. ರುಂಗರ್, ಅಪ್ಲೈಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಫಾರ್ ಎಂಜಿನಿಯರ್ಸ್, 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ವಿಲೇ ಮತ್ತು ಸನ್ಸ್, 2003 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. (ವಿಭಾಗಗಳು 7-2.2 ಮತ್ತು 16-5 ಅನ್ನು ನೋಡಿ) ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹೇಲ್ಮರ್ಟ್ ಪಿಡಿಎಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಜಾವಾ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ನಿಂದ ಪಕ್ಷಪಾತ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ಮಾಂಟೆ-ಕಾರ್ಲೋ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಡೆಮೊ. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc32.htm ವೇರಿಯೇಬಲ್ಸ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್ ಚಾರ್ಟ್ಗಳು ಎಂದರೇನು? ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳು ಸಾರಾಂಶ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ