Essential extension
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮತ್ತು ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಎನ್ ನ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಎನ್ ಅನ್ನು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅಥವಾ ಎಂ ನ ದೊಡ್ಡ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ, ಎಂ ನ ಪ್ರತಿ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಚ್ ಗೆ, ಆರ್ ನ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಲೆಫ್ಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಎಡ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್ ಆರ್ ನ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಡ ಐಡಿಯಲ್ ಆರ್ ನ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಎಡ ಐಡಿಯಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಬಲ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್ಆರ್ ನ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ, ಮತ್ತು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕದ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅನಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕದ (ಅಥವಾ ಸಣ್ಣ ಉಪಘಟಕ) ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಉಪಘಟಕಕ್ಕೆ H, ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಉಪಘಟಕ N ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ, ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. M ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು K, N ಮತ್ತು H ಗಳು K N ನೊಂದಿಗೆ M ನ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರಲಿ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ M ಎಂಬುದು M ನ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಶೂನ್ಯ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದಿಗೂ ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಜೊರ್ನ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರಃ ಎಂನ ಯಾವುದೇ ಉಪಘಟಕ ಎನ್ಗೆ, ಅಂತಹ ಉಪಘಟಕ ಸಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸರಿಯಾದ ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಲ್ಲದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ (ಅಂದರೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮತ್ತೊಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಗರಿಷ್ಠ ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದ ಇ (ಎಂ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಎಂ ನ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹಲ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಂ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇ (ಎಂ) ನ ನಕಲನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಲ್ ಸಹ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅನಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಅಲ್ಲ. ಮತ್ತೆ M ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು K, N ಮತ್ತು H ಗಳು K N ನೊಂದಿಗೆ M ನ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಶೂನ್ಯ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ M ಸ್ವತಃ ಎಂದಿಗೂ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಪ್ರತಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಚಿತ್ರವು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ (ಅದರ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಲ್) ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ಮೆಂಟ್ ನಿಜವೇ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಕೇಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಗೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಪಿ ಮತ್ತು ಪಿ ನಿಂದ ಎಂ ಗೆ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆಯೇ, ಅದರ ಕರ್ನಲ್ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ? (ಅಂತಹ ಪಿ ಅನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಉತ್ತರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಇಲ್ಲ", ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಕವರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶೇಷ ವರ್ಗದ ಉಂಗುರಗಳು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಕಯಾಮ ಅವರ ಲೆಮ್ಮಾದ ಒಂದು ರೂಪವೆಂದರೆ ಜೆ (ಆರ್) ಎಂ ಎಂಬುದು ಎಂ ನ ಅನಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದ್ದು, ಎಂ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಸಿ ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಯುಃ ಎಂ → ಇ ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಪವಸ್ತುಗಳಿಗೆಃ ಎನ್ → ಇ, ಫೈಬರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎನ್ × ಇ ಎಂ ≤ 0. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ, g: Y → Z ಎಂಬ ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಒಂದು ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು g ° f ಒಂದು ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ f: X → Y ಎಂಬ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. g ಅನ್ನು Y ಯ ಗುರುತಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ f ಒಂದು ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. X ಒಂದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಲ್ Y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, Y ಎಂಬುದು X ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹಲ್ ಆಗಿರಬಾರದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಟಿ1 ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳವು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಡೆನ್ಸ್ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಅಗತ್ಯ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು, ಡೇವಿಡ್ ಐಸೆನ್ಬುಡ್, ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ವಿಭಾಗ III.2 ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತ