Wythoff's game
ವೈಥಾಫ್ಸ್ ಆಟವು ಎರಡು ಆಟಗಾರರ ಗಣಿತದ ವ್ಯವಕಲನ ಆಟವಾಗಿದ್ದು, ಎರಡು ರಾಶಿಗಳ ಕೌಂಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಟಗಾರರು ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ರಾಶಿಗಳಿಂದ ಕೌಂಟರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತಾರೆ; ಎರಡೂ ರಾಶಿಗಳಿಂದ ಕೌಂಟರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ರಾಶಿಯಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಕೌಂಟರ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ಕೊನೆಯ ಕೌಂಟರ್ ಅಥವಾ ಕೌಂಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ ಆಟವು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಹೀಗೆ ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ಆಟದ ಸಮಾನವಾದ ವಿವರಣೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದೇ ಚೆಸ್ ರಾಣಿಯನ್ನು ಚೌಕಗಳ ದೊಡ್ಡ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೋ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನು ರಾಣಿಯನ್ನು ಗ್ರಿಡ್ನ ಕೆಳಗಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸಬಹುದುಃ ದಕ್ಷಿಣ, ಪಶ್ಚಿಮ ಅಥವಾ ನೈಋತ್ಯ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳು. ರಾಣಿಯನ್ನು ಮೂಲೆಯೊಳಗೆ ಚಲಿಸುವ ಆಟಗಾರನು ವಿಜೇತನಾಗುತ್ತಾನೆ. ರಾಣಿಯ ಎರಡು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ರಾಶಿಗಳಿಂದ ಕೌಂಟರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಆಟದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರಾಶಿಗಳ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗಾರ್ಡ್ನರ್ ತನ್ನ ಮಾರ್ಚ್ 1977ರ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಅಮೇರಿಕನ್ "ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಗೇಮ್ಸ್ ಅಂಕಣ" ದಲ್ಲಿ ಈ ಆಟವನ್ನು ಚೀನಾದಲ್ಲಿ ಚಿನ್ ಜಿನ್ ಶಿಝಿ ("ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಎತ್ತುವುದು") ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಆಡಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಡಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎ. ವೈಥಾಫ್ 1907ರಲ್ಲಿ ಈ ಆಟದ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಸ್ಟ್ರಾಟಜಿ ಆಟದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು n ≤ m ನೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯು (n, m) ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡೂ ರಾಶಿಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಥವಾ ರಾಣಿಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆಟದ ತಂತ್ರವು ತಂಪಾದ ಸ್ಥಾನಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಸಿ ಸ್ಥಾನಗಳ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತದೆಃ ತಂಪಾದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ, ಚಲಿಸುವ ಸರದಿ ಇರುವ ಆಟಗಾರನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಟದಿಂದ ಸೋಲುತ್ತಾನೆ, ಆದರೆ ಬಿಸಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ, ಚಲಿಸುವ ಸರದಿ ಇರುವ ಆಟಗಾರನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಟದಿಂದ ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ಬಿಸಿ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವೆಂದರೆ ತಲುಪಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ತಂಪಾದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಬಿಸಿ ಮತ್ತು ತಂಪಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದುಃ (0,0) ಒಂದು ತಂಪಾದ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ತಂಪಾದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತಲುಪಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನವು ಬಿಸಿ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಚಲನೆಯು ಬಿಸಿ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಆ ಸ್ಥಾನವು ತಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಯಮ 2ರ ಪ್ರಕಾರ, m> 0 ಹೊಂದಿರುವ ರೂಪದ (0, m) ಮತ್ತು (m, m) ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಾನಗಳು ಬಿಸಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಥಾನವು (1,2) ತಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರಿಂದ ತಲುಪಬಹುದಾದ ಸ್ಥಾನಗಳು, (0,1), (0,2), (1,0) ಮತ್ತು (1,1) ಎಲ್ಲವೂ ಬಿಸಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. (0,0), (1,2), (3,5), (4,7), (6,10) ಮತ್ತು (8,13) ಗಳು n ಮತ್ತು m ನ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತಂಪಾದ ಸ್ಥಾನಗಳು (n, m). (ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಒಇಐಎಸ್ನಲ್ಲಿ) (ಸಹ ನೋಡಿ) ಈ ಆಟದ ಮಿಸೆರೆ ಆಟಕ್ಕೆ, (0,1) ಮತ್ತು (2,2) ತಂಪಾದ ಸ್ಥಾನಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಟದಲ್ಲಿ (ಎನ್, ಎಂ) ತಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂ, ಎನ್> 2 ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಾನವು (ಎನ್, ಎಂ) ತಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೋಲ್ಡ್ ಪೊಸಿಷನ್ಗಳ ಸೂತ್ರವಾದ ವೈಥಾಫ್, ಕೋಲ್ಡ್ ಪೊಸಿಷನ್ಗಳು ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ನಿಯಮಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, k ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು φ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಾವು ನೆಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, (nk, mk) k ನೇ ಕೋಲ್ಡ್ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಈ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಆನ್ಲೈನ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಇಂಟಿಜರ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸಸ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಂದು ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳಾದ nk ಮತ್ತು mk ಗಳು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೀಟಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೀಟಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಈ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿವೆಃ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಎರಡೂ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ ಗ್ರಂಡಿಯ ಆಟವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಚೌಕಾಕಾರದ ವಿಥೋಫ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗಣಿತದ ಆಟಗಳು