Zero dagger
ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, 0 (ಶೂನ್ಯ ಬಾಕು) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ರಾಬರ್ಟ್ ಎಮ್. ಸೊಲೊವೇ ಅವರು 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅಪ್ರಕಟಿತ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. (ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಒಂದು ಬಾಕು ಆಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಇದು ಕೆಲವು ಬ್ರೌಸರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಝಡ್ಎಫ್ಸಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಝಡ್ಎಫ್ಸಿ + "0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ" ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ZFC + "0 Å ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ" ಎಂಬುದು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಿಗಳು ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ (ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಾಪೇಕ್ಷವಾದ ಗೊಡೆಲ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಬಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸ್ ಎಲ್ [ಯು] ಗಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಜೆಃ ಎಲ್ [ಯು] → ಎಲ್ [ಯು] ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ κ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. 0 Å ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ [ಯು] ಅನ್ನು ತನ್ನೊಳಗೆ ಹುದುಗಿಸುವ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು κ ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ ಮತ್ತು κ ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗದ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ರಚನೆಗೆ ವಿವೇಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು 0 Å ಅನ್ನು ಎಲ್ [ಯು] ನಲ್ಲಿನ ಅವಿವೇಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಜವಾದ ಸೂತ್ರಗಳ ಗೊಡೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎರಡು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ 0 Å ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೊಲೊವೇ ತೋರಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಇದು ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅಲ್ಲ, ಅಥವಾ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅಲ್ಲ. 0 #ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳ (ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಪವಿಭಾಗ) ಒಂದು ಸೆಟ್, ಆದರೆ ಸರಳ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ "ಝೆನ್ಟ್ರಾಲ್ಬ್ಲಾಟ್ ಗಣಿತ ದತ್ತಸಂಚಯ" (ಪಿಡಿಎಫ್) ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಸ್