8-cube
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, 8-ಘನವು ಎಂಟು ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು 256 ಶೃಂಗಗಳು, 1024 ಅಂಚುಗಳು, 1792 ಚದರ ಮುಖಗಳು, 1792 ಘನ ಕೋಶಗಳು, 1120 ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ 4-ಮುಖಗಳು, 448 5-ಘನ 5-ಮುಖಗಳು, 112 6-ಘನ 6-ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು 16 7-ಘನ 7-ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿ 6-ಮುಖದ ಸುತ್ತಲೂ 3 7-ಕ್ಯೂಬ್ಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸ್ಕ್ಲಾಫ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಆಕ್ಟೆರಾಕ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ನ ಪೋರ್ಟ್ಮಾಂಟಿಯು (4-ಕ್ಯೂಬ್) ಮತ್ತು ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಂಟು (ಆಯಾಮಗಳು) ಗಾಗಿ ಆಕ್ಟ್. ಇದನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಹೆಕ್ಸ್ಡೆಕಾ-8-ಟೋಪ್ ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಡೆಕಾಜೆಟ್ಟನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು, ಇದು 16 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ 8-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. 8-ಘನದ ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು 8-ಆರ್ಥೋಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಅಡ್ಡ-ಬಹುಪದಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಮತ್ತು ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ 2ರಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ 8-ಘನದ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (±1, ±1, ±1, ±1, ±1, ±1, ±1) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಒಳಭಾಗವು-1 <xi <1ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಂರಚನೆಯಾಗಿ ಈ ಸಂರಚನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 8-ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳು ಶೃಂಗಗಳು, ಅಂಚುಗಳು, ಮುಖಗಳು, ಕೋಶಗಳು, 4-ಮುಖಗಳು, 5-ಮುಖಗಳು, 6-ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು 7-ಮುಖಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇಡೀ 8-ಘನದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಎಷ್ಟು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತವೆ. ನಾನ್ಡಿಯಾಗೊನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಲಿನ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಂಕಣದ ಎಷ್ಟು ಅಂಶಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತವೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಎಫ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೈಥಾಫ್ ರಚನೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಉಪಗುಂಪು ಕ್ರಮದ ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಆಕ್ಟೆರಾಕ್ಟ್ನ ಪರ್ಯಾಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು 8-ಡೆಮಿಕ್ಯೂಬ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, (ಡೆಮಿಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬದ ಭಾಗ), ಇದು 16 ಡೆಮಿಹೆಪ್ಟೆರಾಕ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು 128 8-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಅನಂತ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ 8-ಕ್ಯೂಬ್ 8 ನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆಃ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ಃ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್, (3ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, 1973), ಡೋವರ್ ಆವೃತ್ತಿ, ಪುಟ 296, ಕೋಷ್ಟಕ I (iii): ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್, ಎನ್-ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ (n ≤ 5) ಕೆಲಿಡೋಸ್ಕೋಪ್ಸ್ಃ ಆಯ್ದ ಬರಹಗಳು ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ಎಫ್. ಆರ್ಥರ್ ಶೇರ್ಕ್, ಪೀಟರ್ ಮೆಕ್ಮುಲ್ಲೆನ್, ಆಂಥೋನಿ ಸಿ. ಥಾಂಪ್ಸನ್, ಏಷ್ಯಾ ಐವಿಕ್ ವೈಸ್, ವಿಲೇ-ಇಂಟರ್ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್, 1995, (ಪೇಪರ್ 22) ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ I, [ಗಣಿತ. ಜೀತ್. 46 (1940) 380-407, ಎಂಆರ್ 2,10] (ಪೇಪರ್ 23) ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ II, [ಮಠ. ಜೀತ್. 188 (1985) 559-591] (ಪೇಪರ್ 24) ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ III, [ಮಠ. ಜೀತ್. 200 (1988) ನಾರ್ಮನ್ ಜಾನ್ಸನ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್, ಹಸ್ತಪ್ರತಿ (1991) ಎನ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಜಾನ್ಸನ್ಃ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಹನಿಕೋಂಬ್ಸ್, ಪಿಎಚ್ಡಿ. (1966) ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಲಿಂಕ್ಸ್ ಮಲ್ಟಿ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಗ್ಲೋಸರೀಃ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಗ್ಯಾರೆಟ್ ಜೋನ್ಸ್ 8-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್