Span (category theory)
ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪ್ಯಾನ್, ರೂಫ್ ಅಥವಾ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಒಂದು ವರ್ಗದ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ವರ್ಗವು ಎಲ್ಲಾ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ (ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಇತರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದಾಗ), ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯು ನೊಬುವೊ ಯೊನೆಡಾ (1954) ಮತ್ತು ಜೀನ್ ಬೆನಾಬೌ (1967) ರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎ ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಎಂಬುದು ಪ್ರಕಾರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, λ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ (-1 → 0 → + 1). ನಂತರ C ವರ್ಗದ ಒಂದು ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ S: λ → C. ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ಸ್ಪ್ಯಾನ್ C ಯ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳು X, Y ಮತ್ತು Z ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು f: X → Y ಮತ್ತು g: X → Z: ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಪ್ಯಾನ್ನ ಕೊಲಿಮಿಟ್ ಒಂದು ಪುಶ್ಔಟ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು R ಎಂಬುದು X ಮತ್ತು Y ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ. X × Y) ನ ಉಪಗುಂಪು, ನಂತರ X → R → Y ಒಂದು ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು. ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವು ಅಲ್ಪಾವಧಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆಲವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕಾಲಾವಧಿಯು ಎ-ಎ-ಬಿ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಡ ನಕ್ಷೆಯು ಎ ಮೇಲಿನ ಗುರುತು, ಮತ್ತು ಬಲ ನಕ್ಷೆಯು ನೀಡಲಾದ ನಕ್ಷೆ φ ಆಗಿದೆ. ಎಂ ಒಂದು ಮಾದರಿ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಡ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನಲ್ಲಿರುವ ರೂಪದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು "ದುರ್ಬಲ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸುತ್ತಾರೆ"). ಮಾದರಿ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. C ವರ್ಗದ ಒಂದು ಕಾಸ್ಪಾನ್ K ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ K: λop → C; ಸಮಾನವಾಗಿ, λ ನಿಂದ C ಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್. ಅಂದರೆ, ಪ್ರಕಾರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು C ಯ X, Y ಮತ್ತು Z ಎಂಬ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು f: Y → X ಮತ್ತು g: Z → X ಎಂಬ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಃ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋಡೋಮೈನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕೋಸ್ಪಾನ್ನ ಮಿತಿಯು ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಕೋಸ್ಪಾನ್ಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಎಂಬ ಎರಡು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ಗಳು ಕೋಸ್ಪಾನ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ಗಳ ವರ್ಗವು "ಕೋಸ್ಪಾನ್ ವರ್ಗ" ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಇದು "ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗ" ದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೋಸ್ಪಾನ್ಗಳ ವರ್ಗವಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಅದರ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಗಡಿಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಜಾಗತಿಕ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ಗಳ ವರ್ಗ nCob ಒಂದು ಕಠಾರಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗ ಸಿ ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ಸಿ) ಸಹ ಕಠಾರಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ (ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಪುಶ್ಔಟ್ (ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಯೊನೆಡಾ, ನೊಬುವೊ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಜೆ. ಫೇಸ್. ವಿಜ್ಞಾನ. ಯುನಿ. ಟೋಕಿಯೊ ಸೆಕ್ಟ್. I, 7 (1954), 193-227. ಬೆನಾಬೌ, ಜೀನ್, ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಬೈಕಾಟೆಗರೀಸ್, ಲೆಕ್ಚರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ 47, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ (1967), pp.1-77 ಫಂಕ್ಟರ್ಸ್