Eilenberg–Zilber theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಜಿಲ್ಬರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಥಳದ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1953ರಲ್ಲಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಜೋಸೆಫ್ ಎ. ಜಿಲ್ಬರ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಪುರಾವೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಮಾದರಿ ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ನಂತರ ನಾವು ಮೂರು ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಮತ್ತು. (ಈ ವಾದವು ಸರಳ ಅಥವಾ ಏಕವಚನ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.) ನಾವು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಭೇದವು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಫಾರ್ ಮತ್ತು, ಮೇಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು. ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯವು ನಾವು ಸರಪಳಿ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅದು ಗುರುತು ಮತ್ತು ಗುರುತಿಗೆ ಸರಪಳಿ-ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಒಂದೇ ಹೋಲೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕುಃ ಸಂಯೋಜಿತ ನಕ್ಷೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ ಲೇನ್ ಅವರು ಪದವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೈಲೇಜ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದರು. ಅವರು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್-ವಿಟ್ನಿ ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಜಿಲ್ಬರ್ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಕ್ಷೆಗಳು ಎರಡೂ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಎರಡರಲ್ಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ, ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಕೋಚನ ಅಥವಾ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ರಿಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಡಾಟಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ನಕ್ಷೆಯು ಕೋಚೈನ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್-ವಿಟ್ನಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಹಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಸಹಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಈ ಸಹಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಜಿಲ್ಬರ್ ನಕ್ಷೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಕ್ಷೆಯು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಕೋಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನಕ್ಷೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಯುಕ್ತವು ಸ್ವತಃ ಕೋಲೆಗೆಬ್ರಾಗಳ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್-ವಿಟ್ನಿ ಮತ್ತು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಜಿಲ್ಬರ್ ನಕ್ಷೆಗಳು (ಏಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ಗುಣಾಂಕದ ಉಂಗುರದ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ) ಒಂದು ಜೋಡಿ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅವು ಸಹ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ, ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ಗಳಿಂದ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿರುವಂತೆ, ಡ್ಯುಯಲ್ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಸಹಉತ್ಪನ್ನವು ನೇರವಾಗಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಅನಂತ-ರಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ವಿತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗುಣಾಂಕದ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಇರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಮರೂಪಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಸಮರೂಪಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೀಜಗಣಿತ ನಕ್ಷೆಗಳ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಕಪ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಮರೂಪತೆಗಳಾಗಿವೆ. ನಕ್ಷೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಕೋಚೈನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಪ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೋಚೈನ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಹೊರತು. ಕೋಚೈನ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಈ ನೇರ ನಕ್ಷೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಪ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂವಹನ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್-ವಿಟ್ನಿ ನಕ್ಷೆಯು ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಲು ವಿಫಲವಾದದ್ದು, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗಾಗಿ ಸಂವಹನ ಕೋಚೈನ್-ಮಟ್ಟದ ಮಾದರಿಗಳ ಅಲಭ್ಯತೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆ ಮತ್ತು ತೊಡಕುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಾಸ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ಟಾಂಕ್ಸ್ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಕ್ರಾಸ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ (ಸರಳ) ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಜಾಗದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಜಾಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ರೊನಾಲ್ಡ್ ಬ್ರೌನ್ ಮತ್ತು ಫಿಲಿಪ್ ಜೆ. ಹಿಗ್ಗಿನ್ಸ್ ಅವರು ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಜಿಲ್ಬರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕುನ್ನೇತ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಜಿಲ್ಬರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಏಕರೂಪತೆಯು ಅಂಶಗಳ ಏಕರೂಪತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಲ್ಲಿ ಕುನ್ನೇತ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಷಯವು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಮಾದರಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು