Trivial measure
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದ (X, ‡) ಮೇಲಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಳತೆಯು ಪ್ರತಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಾ A ಗೆ μ (A) = 0. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಳತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೆಲವು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (X, ‡) ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ f: X → X ಗೆ ν (X) = 0. μ ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅರೆ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಅಳತೆ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಳತೆ ν ಎಂಬುದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. X ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು X ಮೇಲಿನ ಬೋರೆಲ್ σ-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಶೂನ್ಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, (X,.99) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, μ ಎಂದಿಗೂ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. μ (X) = 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, μ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. X ಅದರ ಬೋರೆಲ್ σ-ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ μ ಮಿತವಾದ ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, μ ಸಹ ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು X ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಗಳ ಚೂಪಾದ ಕೋನ್ ನ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ. X ಅದರ ಬೋರೆಲ್ σ-ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಬನಾಚ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, X ನ ಎಲ್ಲಾ ಅನುವಾದಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ (X, ss) ಮೇಲಿನ ಏಕೈಕ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. "ಯಾವುದೇ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ ಇಲ್ಲ" ಎಂಬ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. X ಎಂಬುದು n-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ Rn ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ σ-ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು n-ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ λn ಆಗಿದ್ದರೆ, λn ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ μ ಒಂದು ಏಕವಚನ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆಃ ಸರಳವಾಗಿ Rn ಅನ್ನು A = Rn\ {0} ಮತ್ತು B = {0} ಎಂದು ವಿಭಜಿಸಿ ಮತ್ತು μ (A) = λn (B) = 0 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕ್ರಮಗಳು (ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ)