Orr–Sommerfeld equation
ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣವು, ದ್ರವದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಹರಿವಿಗೆ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನಾಂತರವಾದ, ಲ್ಯಾಮಿನಾರ್ ಹರಿವಿನ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಹರಿವಿನ ಮೇಲಿನ ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾದರೆ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣವು ಹೈಡ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪಡೆದ ವಿಲಿಯಂ ಮೆಕ್ಫ್ಯಾಡೆನ್ ಓರ್ ಮತ್ತು ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ವೇಗ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಮೂಲ ಹರಿವು ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವೇಗವು ಅಲೆಯಂತಹ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ನಿಜವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ). ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮತ್ತು ಹರಿವಿನ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಯಾಮದ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ, ದ್ರವದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಥವಾ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ () ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ರೇಲೇ ಅವರ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ವೇಗದಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಮಾಪಕದ ಪ್ರಕಾರ ವೇಗಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಚಾನೆಲ್ ಆಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಯಾಮದಲ್ಲದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಬೇಸ್ ಫ್ಲೋದ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಬೌಂಡರಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಚಾನೆಲ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನೋ-ಸ್ಲಿಪ್ ಬೌಂಡರಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಅಥವಾಃ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅಲೆಯ ವೇಗದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಹರಿವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ವರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ ವೇಗದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಹರಿವಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ವರ್ಣಪಟಲವು ಸೀಮಿತ ಹರಿವಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ (ಗಡಿ-ಪದರದ ಹರಿವಿನಂತಹ), ವರ್ಣಪಟಲವು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳೆರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದ ಪೊಯ್ಸೂಯಿಲ್ಲೆ ಹರಿವಿಗೆ, ಹರಿವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ) ಕೆಲವರಿಗೆ ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ತಟಸ್ಥವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೋಡ್,. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡಲು, ಪ್ರಸರಣ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು, ಅಂದರೆ, ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರದ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸುವುದು ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣದ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ (ರೂಪದಲ್ಲಿ) ಕಥಾವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಅತ್ಯಂತ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲಭಾಗದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ (ಕಡಿಮೆ) ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಬಲಭಾಗದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಧನಾತ್ಮಕ (ಋಣಾತ್ಮಕ) ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪೂರ್ಣ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಈ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಎರಡನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಕೌಯೆಟ್ ಹರಿವಿನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಣಪಟಲವು ಎಲ್ಲಾ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲೂ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅನ್ವಯಿಸದ ಸಣ್ಣ, ಆದರೆ ಸೀಮಿತ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳಿಗೆ ಕೌಯೆಟ್ ಹರಿವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಕೌಯೆಟ್ (ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪೊಯ್ಸೂಯಿಲ್ಲೆ) ಹರಿವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯು ಆ ಗಮನಿಸಿದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಲ್ಲ. ನಂತರ, ಅಡಚಣೆಯ ಶಕ್ತಿಯು ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತಿದೆಯಾದರೂ (ಕೌಯೆಟ್ ಹರಿವಿನ ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಊಹಿಸಿದಂತೆ), ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಉಂಟಾಗುವ ಅಡ್ಡ ಪದಗಳು ಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವ ಮೊದಲು). ಈ ಕ್ಷಣಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಲ್ಯಾಮಿನಾರ್ ಹರಿವನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ವಾದವನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ವಾದವಾಗಿದೆ. ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ರೇಖೀಯ ಅಸ್ಥಿರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ, ಕತ್ತರಿ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗಬಹುದೆಂದು ಬಲವಾಗಿ ಶಂಕಿಸಲಾಗಿರುವ 3ಡಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಗಮನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಪೂರ್ಣ 3ಡಿ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಪ್ರಯಾಣದ ಅಲೆಗಳು ಮತ್ತು ನಾವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಯ-ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಶಿಯರ್ ಹರಿವಿನ ಹತ್ತಿರದ ಗೋಡೆಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸುಸಂಬದ್ಧ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. "ಪರಿಹಾರ" ವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ದ್ರವ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು "ಪರಿಹಾರಗಳು" ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಪಾಠವಾಗಿದೆ-ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳು ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ತೃಪ್ತಿಕರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಒಂದು ದ್ರಾವಣದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ದ್ರಾವಣಕ್ಕೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವ ದ್ರವದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಿಜವಾದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ (ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ). ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಗತ್ಯತೆಯ ಮೇಲಿನ ಈ ಸಡಿಲಿಕೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಮ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ (ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ), ಕಠಿಣತೆ ಮತ್ತು (ಪ್ರಾಯಶಃ) ನಿಖರತೆಯ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನಗಳಂತೆ ಕಠಿಣವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಅಪಾರ ಜನಪ್ರಿಯತೆಯನ್ನು ಗಳಿಸಿದೆ. ರಂಧ್ರಯುಕ್ತ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿನ ಹರಿವಿಗೆ ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳು ಕೌಟ್ಟೆ ಹರಿವಿಗೆ, ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಹರಿವಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನದ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾಲುವೆಯ ಮೇಲಿನ ಮುಚ್ಚಳವನ್ನು ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ. ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮೇಲಿನ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಗಮನಿಸಿ. ಆಯಾಮದ-ಅಲ್ಲದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಈಗ,, ನಲ್ಲಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಮುಕ್ತ-ಮೇಲ್ಮೈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಒತ್ತಡದ ನಿರಂತರತೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಫ್ರೌಡ್ ಮತ್ತು ವೆಬರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಕೌಯೆಟ್ ಹರಿವಿಗೆ, ಆಯಾಮದಲ್ಲದ ಓರ್-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಏರೀ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಸೂಪರ್ಪೊಸಿಷನ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ನಾಲ್ಕು ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾವಿಟೇಷನಲ್ ಕಾಮೆಟ್-ಆಸ್ಟೆರಾಯ್ಡ್ ಫೋರ್ಸಿಂಗ್ ಈವೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಗ್ರಾವಿಟಿ ತರಂಗ ಲೀ ಅಲೆಗಳು ರೋಗ್ ತರಂಗ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳ ಡಿಃ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಟ್ಯಾಬಿಲಿಟಾ tstheorie#Orr-ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್-ಗ್ಲೀಚಂಗ್