Kazhdan–Lusztig polynomial
ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದವು ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಹುಪದಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ವೈ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಾಗಿರಬಹುದು. ಪ್ರೇರಣೆ ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸ 1978ರ ವಸಂತ ಋತುವಿನಲ್ಲಿ ಕಝ್ದಾನ್ ಮತ್ತು ಲುಸ್ಜ್ಟಿಗ್ ಅವರು ಏಕಶಕ್ತಿಯುಳ್ಳ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ-ಅಡಿಕ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಹೊಸ ರಚನೆಯನ್ನು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ನೆಲೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಬಹುಪದಗಳ ನಿಜವಾದ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ರಚನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಹೆಕೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಗೀಕೃತ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕಜ್ದಾನ್ ಮತ್ತು ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ತಮ್ಮ ಮೊದಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಝ್ದಾನ್ ಮತ್ತು ಲುಸ್ಟಿಗ್ ತಮ್ಮ ಬಹುಪದಗಳು ಶುಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಪಾಯಿನ್ಕೆರೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ವೈಫಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಇದನ್ನು ಮಾರ್ಕ್ ಗೋರೆಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ರಾಬರ್ಟ್ ಮ್ಯಾಕ್ಫೆರ್ಸನ್ ಅವರ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಆಯಾಮಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಆಧಾರದ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಎರಡು ನೆಲೆಗಳು ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕೆಲವು ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಎರಡು ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಜ್ದಾನ್ ಮತ್ತು ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಅವರಿಗೆ ನೆನಪಿಸಿದವು. ಈ ಸಾದೃಶ್ಯ ಮತ್ತು ಜೆನ್ಸ್ ಕಾರ್ಸ್ಟನ್ ಜಾಂಟ್ಜೆನ್ ಮತ್ತು ಆಂಥೋನಿ ಜೋಸೆಫ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ವೇಲ್ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಆವರಿಸುವ ಪ್ರಾಚೀನ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಜ್ಟಿಗ್ ಊಹಾಪೋಹಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ (ಎಸ್ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಕ್ಕ ಉದ್ದ). W ನ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಲೋಮಗಳು ಸಂಬಂಧವನ್ನು (−2q−1 ರಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಬ್ರೇಡ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದ ಹೆಕೆ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಡಿ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು q1/2 ಅನ್ನು q−1/2 ಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಡಿ ಅನ್ನು ಸಹ ಒಂದು ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳಾದ ಪೈವ್ (ಕ್ಯೂ) ಅನ್ನು ವೈ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಿಯು ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. y ≤ w ಹೊರತು ಅವು 0 ಆಗಿರುತ್ತವೆ (W ನ ಬೃಹತ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ), y = w ಆಗಿದ್ದರೆ 1, ಮತ್ತು y <w ಗೆ ಅವುಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ (l (w) −l (y) −1)/2. ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಡಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅಂಶಗಳು ಹೆಕೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಧಾರವನ್ನು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಆಧಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು, ಕಝ್ದಾನ್ ಮತ್ತು ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಅವರು ರೈವ್ (ಕ್ಯೂ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪೈವ್ (ಕ್ಯೂ) ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅವುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ನಂತರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪದಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದಗಳಿಲ್ಲದೆ q1/2 ಮತ್ತು q−1/2ರಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸುಮಾರು 3ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಕೈಯಿಂದ ಬಳಸಲು ದಣಿವನ್ನುಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಏಕೈಕ ಮಿತಿಯೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೊಡ್ಡ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳ ಶೇಖರಣಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಮೀರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು y ≤ w ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪೈ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸ್ಥಿರ ಪದ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವೈ ≤ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪೈ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ = 1. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಅತಿ ಉದ್ದದ ಅಂಶವು w = w0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ y ಗೆ py, w = 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. W ಎಂಬುದು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು A1 ಅಥವಾ A2 ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗುಂಪು ಗರಿಷ್ಠ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ), y ≤ w ಆಗಿದ್ದರೆ ಪೈ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. W ಎಂಬುದು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು A3 ಆಗಿದ್ದರೆ, a ಮತ್ತು c ಸಂಚಾರದೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ S = {a, b, c} ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ, Pb, bacb = 1 + q ಮತ್ತು Pac, acbca = 1 + q, ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಬಹುಪದಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕೆಳ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸರಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, E8ನ ವಿಭಜಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲುಸ್ಜ್ಟಿಗ್-ವೋಗನ್ ಬಹುಪದವು (ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಜ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಃ ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ಸ್ಥಿರ ಪದ 1 ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವು ಕೆಲವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಕೆಲವು ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಜ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಜ್ಟಿಗ್ ಊಹೆಗಳು ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಜ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅವುಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಹೆಕೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಧಾರಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಲೇಖನವು ಈಗ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಊಹೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡು ಸಮಾನವಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಮುಂದಿಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಅವುಗಳ ಬಹುಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 1 ರಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. W ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾದ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂಗೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ತೂಕದ ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ρ ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ (ಅಥವಾ ವೇಯ್ಲ್ ವೆಕ್ಟರ್) ಅರ್ಧ-ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕ್ವೋಶೆಂಟ್ ಆಗಿರಲಿ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ತೂಕದ ಸರಳವಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇವೆರಡೂ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ-ಸೀಮಿತ ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ವೇಲ್ ಗುಂಪು W ಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಇವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. g-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ X ನ ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ ch (X) ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಊಹೆಗಳು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತವೆಃ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದದ ಅಂಶ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಊಹೆಗಳನ್ನು 0 ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ವಿಧಾನಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ 1980 ಮತ್ತು 1990 ರ ದಶಕದುದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡಿವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 1. ಈ ಎರಡು ಊಹೆಗಳು ಸಮಾನವೆಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಬೊರ್ಹೋ-ಜಾಂಟ್ಜೆನ್ನ ಅನುವಾದ ತತ್ವವು ಅದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಬಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ತೂಕದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್-ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ವರ್ಗದ O ಯ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬ್ಲಾಕ್ನಲ್ಲಿ ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಜೋರ್ಡಾನ್-ಹೋಲ್ಡರ್ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಊಹೆಗಳು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. 2. ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜಾಂಟ್ಜೆನ್ ಊಹೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಕೆಲವು ಉಪಘಟಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಶೋಧನೆ, ಜಾಂಟ್ಜೆನ್ ಶೋಧನೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಜಾಂಟ್ಜೆನ್ ಊಹೆಯನ್ನು ನಂತರದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 3. ಡೇವಿಡ್ ವೋಗನ್ ಊಹೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವರ್ಗ ಒ ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಎಕ್ಸ್ಟಿನ ಗುಂಪುಗಳ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತವಾದ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾದ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿನ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯು, ಊಹೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಆಯಾಮಗಳೆಂದು ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಟ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. 4. ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಊಹೆಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಂ1 ಎಂಬುದು ಆಂಟಿಡೋಮಿನಂಟ್ ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸರಳ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಎಂ1 = ಎಲ್1, ಇದು ಡಬ್ಲ್ಯೂ = 1ರ ಎರಡನೇ ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಪದಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ, w = w0 ಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಊಹೆ ವೇಯ್ಲ್ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಅಕ್ಷರದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. 5ರಷ್ಟಿದೆ. ಕಾಶಿವಾರಾ (1990) ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಊಹೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾದ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಛೇದಕ ಏಕರೂಪತೆಗೆ ಸಂಬಂಧ ಬ್ರೂಹತ್ ವಿಭಜನೆಯ ಮೂಲಕ ವೇಲ್ ಗುಂಪು W ಯೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ G ಯ ಸ್ಥಳ G/B ಯು W ನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಅಫೈನ್ ಸ್ಥಳಗಳ Xw ನ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಳಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಡೆಲಿಗ್ನೆಯ ಸಲಹೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಕಝ್ಡಾನ್ ಮತ್ತು ಲುಸ್ಟಿಗ್, ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಛೇದಕ ಏಕರೂಪದ ಗುಂಪುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಝ್ಡಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದವಾದ ಪೈ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ (ಕ್ಯೂ) ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಕೋಶಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಐಸಿ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಅದರ ಹೈಪರ್ಹೊಮಾಲಜಿಯು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ವಿಧದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ (ಜೀವಕೋಶದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ) ಯ ಛೇದಕ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ, ಅದರ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಕೋಶದ ಕಾಂಡದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಜೀವಕೋಶದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ವಿಧದ ವೈ ಆಗಿದೆ. ಬೆಸ-ಆಯಾಮದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸೀಮಿತ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದು ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು. ನೈಜ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಲುಸ್ಟಿಗ್-ವೋಗನ್ ಬಹುಪದಿಗಳಿಗೆ (ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಿಗಳು ಅಥವಾ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್-ವೋಗನ್ ಬಹುಪದಿಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಅವು ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನೈಜ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಏಕಾತ್ಮಕ ದ್ವಂದ್ವಗಳ ಊಹಾತ್ಮಕ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ನೈಜ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಡಬಲ್ ಕೋಸೆಟ್ಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಇತರ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಜಿ/ಬಿ ಅಲ್ಲಿ ಜಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೈ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಬಿ ಎ ಬೋರೆಲ್ ಉಪಗುಂಪು. ಮೂಲ (ಕೆ-ಎಲ್) ಪ್ರಕರಣವು ನಂತರ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ವಿವರಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕೋಶಗಳ ಮೊದಲು. ಎಲ್-ವಿ ಪ್ರಕರಣವು ಜಿ ಯ ನೈಜ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆ ಅರೆ-ಸರಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಕೆ ನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಂಬಂಧಿತ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. 2007ರ ಮಾರ್ಚ್ನಲ್ಲಿ, ಎಲ್-ವಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಇ8ನ ವಿಭಜಿತ ರೂಪಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಘೋಷಿಸಲಾಯಿತು. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇತರ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಕಝ್ದಾನ್ ಮತ್ತು ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಅವರ ಎರಡನೇ ಪ್ರಬಂಧವು ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಧ್ವಜ ವೈವಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಏಕತ್ವಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಅವರ ನಂತರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸವು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಇತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಏಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿತು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಿವರ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗಳು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ಹೆಕೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಎಲ್ಲವೂ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸೂಕ್ತ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಿಂದ ಬಿಗಿಯಾಗಿ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು. ಅವರು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಈ ಬಹುಪದಗಳ ಆಳವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ತಂತ್ರಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ, ವಿಕೃತ ಸೀವ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬೈಲಿನ್ಸನ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಡೆಲಿಗ್ನೆ ವಿಭಜನೆಯ ಬಳಕೆ. ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸೊರ್ಜೆಲ್ನ ಬೈಮೋಡಲ್ ವರ್ಗದ ಕೆಲವು ಏಕರೂಪತೆ ಸ್ಥಳಗಳ ಆಯಾಮಗಳೆಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕೈಕ ಧನಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಇದಾಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸಕ್ರಿಯ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಛೇದಕ ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸುಧಾರಿತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ. ಇದು ಮಾದರಿ-ತಪ್ಪಿಸುವ ವಿದ್ಯಮಾನದಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೇಜಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವಿದೆ. ಅನೇಕ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಸಮಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೂ ಸಹ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ (ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಳಾಗಿ) ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲ. ಅಸಮಾನತೆ ಕೋಬಯಾಶಿ (2013) ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಜಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತುಃ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಜಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಫಲನವಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಯು. ಸಿ. ಯಲ್ಲಿ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕುರಿತ 2005ರ ವಸಂತ ಋತುವಿನ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ಓದುವಿಕೆಗಳು ಮೋನಿಕಾ ವಜೀರಾನಿ ಅವರ ಡೇವಿಸ್ ದಿ ಜಿಎಪಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಸ್ ಫಾರ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳು. ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್-ವೋಗನ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಅಟ್ಲಾಸ್ ತಂತ್ರಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಕಝ್ದಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಫೋಕ್ಕೋ ಡು ಕ್ಲೌಕ್ಸ್ನ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ತಂತ್ರಾಂಶ. ಬಹುಪದಗಳು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಯೋಜನೆ