Sylvester equation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೇಮ್ಸ್ ಜೋಸೆಫ್ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಬೇಕಾದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, A ಮತ್ತು B ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ n ಮತ್ತು m ಗಾತ್ರಗಳ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ X ಮತ್ತು C ಎರಡೂ n ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು m ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ A ಮತ್ತು −B ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ X ಗೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, AX + XB = C ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಬಹುಶಃ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ) ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, X ಪರಿಹಾರದ ಅನನ್ಯತೆಯ ಷರತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ A ಮತ್ತು −B ನ ವರ್ಣಪಟಲವು ಬೇರ್ಪಟ್ಟಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ X ಇರುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಯಾಮ, ಆಯಾಮ, ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಯಾಮದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು, ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪುರಾವೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಇದು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವಾಗುತ್ತದೆ. (i) ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಬೇಡಿ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗೋಣ. ನಂತರ, ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಎತ್ತಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ; ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳದ ಕಾರಣ, ಅದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗೆ, ಬಯಸಿದಂತೆ. ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ "ಇಫ್" ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. (ii) ಈಗ ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಲ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಡ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ "ಮಾತ್ರ" ಭಾಗವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ. ಇ. ಡಿ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಪುರಾವೆಯ ಭಾಗ (i) ದ ನಾನ್ಸಿಂಗುಲಾರಿಟಿಯನ್ನು ಸಹಮೌಲ್ಯದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಬೆಜೌಟ್ನ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಸಹ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬಹುಪದವಾಗಿರಲಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವು ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಅಂತಹವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಹೀಗಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. "ಇಫ್" ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಇನ್ನೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ; "ಓನ್ಲಿ ಇಫ್" ಭಾಗಕ್ಕೆ, ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ರೋತ್ಸ್ ರಿಮೂವಲ್ ನಿಯಮವು n ಮತ್ತು m ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ಚದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾದ A ಮತ್ತು B ಮತ್ತು n/m ಗಾತ್ರದ C ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ n + m ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಯಾವಾಗ ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕೇಳಬಹುದುಃ ಮತ್ತು. ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X ಇದ್ದಾಗ ಈ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ AX − XB = C. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X ಎಂಬುದು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರೋತ್ಸ್ ರಿಮೂವಲ್ ರೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ಒಂದು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಎಎಕ್ಸ್-ಎಕ್ಸ್ಬಿ = ಸಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೋತ್ನ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ನಿಯಮವು ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೋತ್ನ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯ ನಿಯಮವು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದರೆ ಬಾರ್ಟೆಲ್ಸ್-ಸ್ಟೀವರ್ಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಇದು ಕ್ಯೂಆರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ಷುರ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಬ್ಯಾಕ್-ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿರುವ ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಇತರರ ಜೊತೆಗೆ, ಲ್ಯಾಪಾಕ್ ಮತ್ತು ಗ್ನೂ ಆಕ್ಟೇವ್ನಲ್ಲಿನ ಲೈಪ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣಾ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಪಡೆದ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಿಕ್ಕಾಟಿ ಸಮೀಕರಣದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾದ ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಆನ್ಲೈನ್ ಪರಿಹಾರಕ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಕಾರ್ಯ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ