Notation for differentiation
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಭೇದಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೇತವಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ವಿವಿಧ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂಕೇತದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಅದರ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, ಭಿನ್ನತೆ ವಿರೋಧಿ ಅಥವಾ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಕೀಕರಣ) ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಬಳಸಿದ ಮೂಲ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಗಣಿತದಾದ್ಯಂತ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿತ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನ ಸಂಕೇತವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಟ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಆದ್ದರಿಂದ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಉನ್ನತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಕೇತಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ಬರುವ ಸೂಚಕ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸಂಕೇತವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ (ಛೇದದಲ್ಲಿ). ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಗುರುತಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿಸುತ್ತದೆಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಅಥವಾ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಈ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಈ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಚಿಹ್ನೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು. ನಂತರದ ಲೇಖಕರು ಅವುಗಳಿಗೆ ಇತರ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದವುಗಳು ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೆ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಅರ್ಥವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಲವು ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು "ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕ" (ಅಂದರೆ, ಗುಣಾಂಕ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಮತ್ತು ನಿಯತಕಾಲಿಕಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇಟಾಲಿಕ್ ಬದಲಿಗೆ ರೋಮನ್ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಿವೆಃ ಐಎಸ್ಒ/ಐಇಸಿ 80000 ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಶೈಲಿಯ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ಈ ಶೈಲಿಯನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆಂಟಿಡಿಫೆರೆನ್ಸಿಯೇಷನ್ಗಾಗಿ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಸಂಕೇತವು ಅನಾಲಿಸಿಯೋಸ್ ಟೆಟ್ರಾಗೊನಿಸ್ಟಿಕ್ ಪಾರ್ಸ್ ಸೆಕೆಂಡಾ ಮತ್ತು ಮೆಥೋಡಿ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟಿಯಮ್ ಇನ್ವರ್ಸೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ (ಎರಡೂ 1675 ರಿಂದ) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿತು. ಇದು ಈಗ ಏಕೀಕರಣದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜ್ನ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಜೋಸೆಫ್ ಲೂಯಿಸ್ ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯೂಲರ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲಿನಿಂದ ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ನ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. f ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, x ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1749ರಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಣದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುರುತುಗಳ ಬಳಕೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಗಾಧವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾಲ್ಕನೇ, ಐದನೇ, ಆರನೇ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ರೋಮನ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇತರ ಲೇಖಕರು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅರೇಬಿಕ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಈ ಸಂಕೇತವು n ನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f (x, y) ಗೆ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದುಃ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರುಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಏಕೀಕರಣವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ನ ಸಂಕೇತವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ (ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಹುದು), ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ, ಮೂರನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಮತ್ತು n ನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಡಿ-ಸಂಕೇತನ ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ಲೂಯಿಸ್ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಆಂಟೊಯಿನ್ ಅರ್ಬೋಗಾಸ್ಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೇತವು (ಡಿ ಆಪರೇಟರ್) ಅಥವಾ (ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಆಪರೇಟರ್) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಹೈಯರ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಡಿ ಯ "ಪವರ್ಸ್" ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳು ಡಿ ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ), ಎರಡನೇ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗೆ, ಮೂರನೇ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗೆ ಮತ್ತು n ನೇ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗೆ. ಡಿ-ಸಂಕೇತವು ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಹೆಸರನ್ನು ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಆಗಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕವೂ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದುಃ f ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ, ಮೂರನೇ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಮತ್ತು n ನೇ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಹಲವಾರು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, "" ಬದಲಿಗೆ "", ಶೈಲಿಯ ಕರ್ಸಿವ್ ಲೋವರ್-ಕೇಸ್ ಡಿ "ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ, ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ನೋಡಿ. ಡಿ-ಸಂಕೇತವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗೆ, ಎರಡನೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗೆ ಮತ್ತು nth ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗೆ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ನ ಸಂಕೇತವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳಿಗೆ ಡಿ-ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಸಂಕೇತವಾದ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಸಂಕೇತವು (ಡಾಟ್ ಸಂಕೇತ, ಫ್ಲಕ್ಸಿಯನ್ಸ್, ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಒರಟಾಗಿ, ಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಫ್ಲೈಸ್ಪೆಕ್ ಸಂಕೇತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, y ಎಂಬುದು t ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ y ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನ್ಯೂಟನ್ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ದೂರಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದಂತೆಃ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯೂನಿಕೋಡ್ ಅಕ್ಷರಗಳು ಸೇರಿವೆಃ ಎರಡು ಬಾರಿ "ಕಂಬೈನಿಂಗ್ ಡೈಯರೆಸಿಸ್" ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲಪರಿಮಾಣವು ಸಮಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದಾಗ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳವು t ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ವೇಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೇತವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತಹ ಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಇದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ y = f (x) ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಕೇತವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ನ್ಯೂಟನ್ ವಕ್ರವಾದ X (x) ಮೇಲೆ ಸೈಡ್-ಡಾಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ವೈಟ್ಸೈಡ್ ನೀಡಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಸಂಕೇತವು ತನ್ನ ಕ್ವಾಡ್ರಟುರಾ ಕರ್ವರಮ್ (1704) ಮತ್ತು ನಂತರದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿತುಃ ಅವರು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ () ಮೇಲೆ ಸಣ್ಣ ಲಂಬವಾದ ಪಟ್ಟಿ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬರೆದರು, ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ ಆಯತ (), ಅಥವಾ ನಿರರ್ಗಳ ಅಥವಾ ಸಮಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು (ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ) ಸೂಚಿಸಲು ಆಯತದಲ್ಲಿ ಪದದ ಒಳಹರಿವು. ಬಹು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ನ್ಯೂಟನ್ ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಲಂಬ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು () ಅಥವಾ ಹಿಂದಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಬಾರಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು (ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ) ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಿದರು. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಟೈಮ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದ್ದವುಃ ಮುದ್ರಣದ ತೊಂದರೆಗಳು ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್-ನ್ಯೂಟನ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಾದದಿಂದಾಗಿ ಈ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಟೆನ್ಸರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ, ಇತರ ಸಂಕೇತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ f ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಕೇತವು ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ d ಅನ್ನು "ಷ್ಣ" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ x ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ y ಅಥವಾ z ಗೆ ಅಲ್ಲಃ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ, ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗಲು ಅನುಮತಿಸಿದಾಗ ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನ ವಿವಿಧ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಉಷ್ಣಬಲವಿಜ್ಞಾನದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪರಿಮಾಣ V ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಾಪಮಾನ T ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದು, ಎಂಟ್ರೊಪಿ (ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್) S ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒತ್ತಡ ಪಿ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಾಪಮಾನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಿಶ್ರ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಕೊನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸಂಕೇತಗಳ ನಡುವೆ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮೇಲಿನ ಸಂಕೇತವು ತೊಡಕಿನ ಅಥವಾ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಪಟ್ಟಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ನಂತರ ನಾವು ಸಂಕೇತಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇತರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಬೇಸರದ ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು (ಲೆಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮದಂತಹ) ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು-ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಂಕೇತವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಹಲವಾರು ಸಂಕೇತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಇದು ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಎ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ವಿಲಿಯಂ ರೋವನ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಡೆಲ್ ಅಥವಾ ನಬ್ಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ρ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ A ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ρ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ A ಯ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ρ2 ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ φ ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ A ಯ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ρ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ A ಯ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅನೇಕ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕ-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ನೇರ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಸಿಂಗಲ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಅನೇಕ ನಿಯಮಗಳು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್, ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್, ಕರ್ಲ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ವಿಲಕ್ಷಣ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ, ಡಿ 'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಡಿ' ಅಲೆಂಬರ್ಟಿಯನ್, ತರಂಗ ಆಪರೇಟರ್ ಅಥವಾ ಬಾಕ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಘರ್ಷದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಅಥವಾ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೆಫ್ ಮಿಲ್ಲರ್ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಬಳಕೆಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತ