G-ring
ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ನೊಥೇರಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ಗಳ ನಕ್ಷೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ). ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳು ಜಿ-ಉಂಗುರಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಜಿ-ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಜೆ-2 ರಿಂಗ್ಗಳೆರಡೂ ಆಗಿರುವ ಉಂಗುರವನ್ನು ಅರೆ-ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು k ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ A (ನೊಥೇರಿಯನ್) ಉಂಗುರ R ಅನ್ನು k ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, k ನ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ K ಉಂಗುರವು ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. R ನಿಂದ S ವರೆಗಿನ ಉಂಗುರಗಳ ಏಕರೂಪತೆಯು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ p ω ಸ್ಪೆಕ್ (R) ಗೆ ಫೈಬರ್ S ωRk (p) p ನ ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರ k (p) ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಪೊಪೆಸ್ಕುವಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.) ಒಂದು ಉಂಗುರವು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ನಕ್ಷೆಯು (ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉಂಗುರವು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಜಿ-ರಿಂಗ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. (ಕೇವಲ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಸಾಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಜಿ-ರಿಂಗ್ಗಳು ಜಿ-ರಿಂಗ್ಗಳಾಗಿವೆ.) ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಪ್ರತಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಆರ್ ಅಥವಾ ಸಿ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರಿಂಗ್ ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0ರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಜಿ-ರಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲದ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿವೆ (ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರಗಳೂ ಸಹ). ಜಿ-ರಿಂಗ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಜಿ-ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೀಜಗಣಿತವು ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನಿಂದ ಉಂಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಜಿ-ರಿಂಗ್ ಅಲ್ಲದ ಪಿ> 0 ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ರಿಂಗ್ ಎ ಯ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. k ಎಂಬುದು [k: kp] = ini ಮತ್ತು R = k [[x]] ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು A ಯು [kp (a0, a1,.): kp] ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವಂತಹ ಪವರ್ ಸರಣಿ σaixi ಯ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜೆನೆರಿಕ್ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ A ಯ ಫಾರ್ಮಲ್ ಫೈಬರ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಆದ್ದರಿಂದ A ಯು G-ರಿಂಗ್ ಅಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ kp ಯು ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ a → ap ಅಡಿಯಲ್ಲಿ k ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್, ಜೆ. ಡಿಯೋಡೋನ್ನೆ, ಎಲೆಮೆಂಟ್ಸ್ ಡಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಿಕ್ IV ಪಬ್ಲಿಷ್. ಗಣಿತ. ಐಎಚ್ಇಎಸ್ 24 (1965), ವಿಭಾಗ 7 ಎಚ್. ಮಾಟ್ಸುಮುರಾ, ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಧ್ಯಾಯ 13. ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ