Epsilon-equilibrium
ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎಪ್ಸಿಲಾನ್-ಸಮತೋಲನ, ಅಥವಾ ಹತ್ತಿರದ-ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವು, ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ರೂಪರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ತನ್ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದಾಜು ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿ, ಆಟಗಾರನು ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಮಾಡಲು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಹಾರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯಥಾಸ್ಥಿತಿಯ ಪಕ್ಷಪಾತ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಟಗಾರರ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಖರವಾದ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಈ ಪರಿಹಾರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನಕ್ಕಿಂತ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಆಟ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ಆಟಗಾರನು ತನ್ನ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದಿಂದ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿ ವಿಮುಖವಾಗುವ ಮೂಲಕ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಪ್ರತಿಫಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವು-ಸಮತೋಲನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಕ್ಷನ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟಗಾರರ ಆಟವಾಗಿರಲಿ. ಸ್ಟ್ರಾಟಜಿ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಆಡುವಾಗ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಜಾಗವು ಇರಲಿ. ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ತಮ-ಬೆಂಬಲಿತ ಅಂದಾಜು ಸಮತೋಲನಕ್ಕಾಗಿ ತಂತ್ರಗಳ ವಾಹಕವು-ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವಾಗಿದೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಆಟಗಾರನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಪ್ರತಿಫಲಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಬಲವಾದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಆಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರಲಿ. ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಇತರ ಆಟಗಾರರ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ಗಳು ಇರಲಿ; ಆಟಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಆಟಗಾರರು ಆಡುವ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಫಲವಾಗಲಿ. ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ε-ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನಕ್ಕೆ ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಅಂದಾಜು ಯೋಜನೆಯ (ಪಿಟಿಎಎಸ್) ಅಸ್ತಿತ್ವವು ε-ಉತ್ತಮ-ಬೆಂಬಲಿತ ಅಂದಾಜು ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪಿಟಿಎಎಸ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ε ನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅಂದಾಜು ಸಮತೋಲನಕ್ಕಾಗಿ ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ε ನ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿವೆ, ಅವು ಉತ್ತಮ-ಬೆಂಬಲಿತ ಅಂದಾಜು ಸಮತೋಲನಕ್ಕೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿವೆ. [0,1] ಮತ್ತು ε = 0.3393 ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟಗಳಿಗೆ, ε-ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು [0,1] ಮತ್ತು ε = 2/3 ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟಗಳಿಗೆ, ε-ಉತ್ತಮ-ಬೆಂಬಲಿತ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವಿಲ್ಲದ ಆದರೆ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾವುದೇ ε ಗೆ ε-ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ ಆಟಗಳಿಗೆ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಬಹುಶಃ ಅಂತಹ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಎವೆರೆಟ್ ಸೂಚಿಸಿದ ಮ್ಯಾಚಿಂಗ್ ಪೆನ್ನೀಸ್ನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಆಟಗಾರ 1 ಒಂದು ಪೈಸೆಯನ್ನು ಮರೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ 2 ಅದು ತಲೆಯ ಮೇಲಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಬಾಲ ಮೇಲೆಯೇ ಎಂದು ಊಹಿಸಬೇಕು. ಆಟಗಾರ 2 ಸರಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸಿದರೆ, ಅವನು ಆಟಗಾರ 1ರಿಂದ ಒಂದು ಪೈಸೆಯನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆಟವು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. 2ನೇ ಆಟಗಾರನು ಪೆನ್ನಿ ತಲೆಯ ಮೇಲೆ ಇದೆ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಊಹಿಸಿದರೆ, ಆಟವು ಎರಡೂ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಪಾವತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದು ಬಾಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಊಹಿಸಿದರೆ, ಆಟವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆಟವು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿದರೆ, ಎರಡೂ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ε> 0 ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆಟಗಾರ 2 ಊಹಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ε ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ 1−ε (ಆಟದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಹಂತಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ) ಆಟಕ್ಕೆ ε-ಸಮತೋಲನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ನಲ್ಲಿ ಆಟಗಾರ 2 ರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಪ್ರತಿಫಲವು ಕನಿಷ್ಠ 1-ε ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ಲೇಯರ್ 2 ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ 1 ರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ತಂತ್ರವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಟವು ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಟಿ ಅವಧಿಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಖೈದಿಗಳ ಸಂದಿಗ್ಧತೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟಿ ಅವಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿಯೂ ದೋಷವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಈ ಆಟದ ಏಕೈಕ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಟೈಟ್-ಫಾರ್-ಟ್ಯಾಟ್ ಮತ್ತು ಗ್ರಿಮ್ ಟ್ರಿಗರ್ ಎಂಬ ಎರಡು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆಟಕ್ಕೆ ಟೈಟ್-ಫಾರ್-ಟ್ಯಾಟ್ ಅಥವಾ ಕಠೋರ ಪ್ರಚೋದಕಗಳೆರಡೂ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಇವೆರಡೂ ಕೆಲವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಗಳಿಗೆ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಘಟಕ ಆಟದ ಪ್ರತಿಫಲಗಳು ಮತ್ತು ಅವಧಿಗಳ ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮಿಶ್ರ-ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಾಸ್ತವಿಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಶುದ್ಧ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್-ಸಮತೋಲನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶುದ್ಧ-ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್-ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನು ತನ್ನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಶುದ್ಧ-ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ನೊಳಗಿರುವ ಶುದ್ಧ-ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್-ಎಡ್ಜ್ವರ್ತ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಶುದ್ಧ-ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಸಮತೋಲನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಶುದ್ಧ-ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಮತೋಲನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇನ್ಲೈನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂಲಗಳು ಎಚ್. ಡಿಕ್ಸನ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಟ್ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ಇಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಮ್ ಇನ್ ಎ ರೆಪ್ಲಿಕೇಟೆಡ್ ಇಂಡಸ್ಟ್ರಿ, ರಿವ್ಯೂ ಆಫ್ ಎಕನಾಮಿಕ್ ಸ್ಟಡೀಸ್, 54 (1987), ಪುಟಗಳು 47-62. ಎಚ್. ಎವೆರೆಟ್. "ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಗೇಮ್ಸ್". ಎಚ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕುಹ್ನ್ ಮತ್ತು ಎ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಟಕರ್, ಸಂಪಾದಕರು. ಆಟಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಸಂಪುಟ. III, ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸ್ಟಡೀಸ್ನ 39ನೇ ಸಂಪುಟ. ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1957. 88-ಪುಟಗಳ ಗಣಿತದ ಪರಿಚಯ; ವಿಭಾಗ 3.7ನ್ನು ನೋಡಿ. ಅನೇಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಆನ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿ ಉಚಿತ. ಆರ್. ರಾಡ್ನರ್. ದೀರ್ಘ ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಜೀವಿತಾವಧಿಯೊಂದಿಗಿನ ಅಲ್ಪಾಧಿಕಾರಗಳ ಸಹಕಾರಿ-ಅಲ್ಲದ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ನಡವಳಿಕೆ, ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಎಕನಾಮಿಕ್ ಥಿಯರಿ, 22,121-157,1980. ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಮಗ್ರ ಉಲ್ಲೇಖ; ವಿಭಾಗ 3.4.7 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಆನ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿ ಉಚಿತವಾಗಿ ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಎಸ್. ಎಚ್. ಇದು ನಿಜ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಹಕಾರಿ ಎನ್-ವ್ಯಕ್ತಿ ಆಟಗಳಿಗೆ ನ್ಯಾಶ್ ಇಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಾ, ಎಸ್ಐಎಎಂ ರಿವ್ಯೂ, 23,225-237,1981. ಆಟ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮತೋಲನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು