Macdonald polynomials
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು Pλ (x; t, q) ಎಂಬುದು 1987ರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಆತ 1995ರಲ್ಲಿ ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಮೂಲತಃ ತನ್ನ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ತೂಕ λಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ t ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಆದರೆ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗಿಂತ ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಹಜ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಂಡರು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ t ಅನ್ನು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು t = (t1,., tk), ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಮೂಲಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು k ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು x = (x1,., xn) ಎಂಬ n ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ. ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಇತರ ಅನೇಕ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜ್ಯಾಕ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಹಾಲ್-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಕಿ-ವಿಲ್ಸನ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಇವು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ 1-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ. ಕೂರ್ನ್ವಿಂಡರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕೆಲವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ಅಫೈನ್ ಹೆಕೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಳವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಡಿದ ಹಲವಾರು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿಃ ಆರ್ ಒಂದು ನೈಜ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ವಿ. ಆರ್ + ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ವೇಯ್ಲ್ ಚೇಂಬರ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎಂಬುದು ಆರ್ ಕ್ಯೂ ನ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪು. ಆರ್ ನ ಮೂಲ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ (ಬೇರುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಜಾಲರಿ). ಪಿ ಎಂದರೆ ಆರ್ (ಕ್ಯೂ ಹೊಂದಿರುವ) ತೂಕದ ಜಾಲರಿ. ತೂಕದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕ್ರಮಃ ಸರಳ ಮೂಲಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಪಿ + ಎಂಬುದು ಪ್ರಬಲ ತೂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆಃ ಧನಾತ್ಮಕ ವೇಯ್ಲ್ ಕೊಠಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪಿ ಯ ಅಂಶಗಳು. ρ ಎಂಬುದು ವೇಯ್ಲ್ ವಾಹಕವಾಗಿದೆಃ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅರ್ಧ; ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ವೇಯ್ಲ್ ಕೊಠಡಿಯ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ P + ನ ವಿಶೇಷ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಎಫ್ ಎಂಬುದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0ರ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. A = F (P) ಎಂಬುದು P ಯ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, λ ωP ಗೆ eλ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾದ ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎಂಎಂಯು = ಎಎಸ್ಎಲ್ಒಡಬ್ಲ್ಯುಎಂಇಎಲ್ ಒಂದು ಕಕ್ಷೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ; ಈ ಅಂಶಗಳು ಅನಂತ ಕ್ಯೂ-ಪೋಚಮ್ಮರ್ ಸಂಕೇತವಾದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ನಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳ ಎಡಬ್ಲ್ಯೂ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಕನಿಷ್ಠ t ಯು q ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಅದು A ಯ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳಾದ ಪಿಎಲ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಯುಎಲ್ಎಂಯು ಯುಎಲ್ಎಲ್ = 1 ರೊಂದಿಗೆ ಕ್ಯೂ ಮತ್ತು ಟಿ ಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ; λ <μ ಆಗಿದ್ದರೆ ಪಿಎಲ್ ಮತ್ತು ಪಿಎಂಯು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಎ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ (ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ). ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆಃ λ  ಒತ್ತಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ φ, φ, φ = 0. ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಣಾಮವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಪಿ + ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೋಲಿಸಲಾಗದ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಪದಗಳು ಇನ್ನೂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು 1-ಆಯಾಮದ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಐಜೆನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಸರಳ-ಲೇಪಿತವಲ್ಲದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ (ಬಿ, ಸಿ, ಎಫ್, ಜಿ) ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಟಿ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಮೂಲದ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವಂತೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಮೂರು-ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಬಿ. ಸಿ. ಗೆ ಸಹ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಆರು-ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು (ಮೂಲಗಳ ಪ್ರತಿ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಒಂದು ಟಿ, ಜೊತೆಗೆ ಕ್ಯೂ) ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಕೂರ್ನ್ವಿಂದರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಶಃ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಬೇರುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ t, ಜೊತೆಗೆ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ q ಇರುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1ರಿಂದ 5ರವರೆಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು q = t ಆಗಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಂದ್ರ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವೇಯ್ಲ್ ಅಕ್ಷರಗಳಾಗುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಎ ವಿಧದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. q = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅರೆ-ಸರಳವಾದ p-adic ಗುಂಪಿಗೆ (ಮರುಸ್ಥಾಪನೆಗೊಂಡ) ವಲಯ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು A ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಹಾಲ್-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಟಿ = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತಗಳಾಗುತ್ತವೆ, ಇವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು t = qα ಅನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ ಮತ್ತು q 1 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು A ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಜ್ಯಾಕ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಹೆಕ್ಮನ್-ಆಪ್ಡಮ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆ A1 ಗೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ರೋಜರ್ಸ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಶ್ರೇಣಿ 1 ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ (ಸಿ, ಸಿ1), ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅಸ್ಕಿ-ವಿಲ್ಸನ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ 1 ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ (ಸಿ, ಸಿಎನ್), ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಿಗಳು ಕೂರ್ನ್ವಿಂಡರ್ ಬಹುಪದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ k ಗೆ t = qk ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ (1982) ಅವರು ಡೈಸನ್ ಊಹೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಚೆರೆಡ್ನಿಕ್ (1995) ಅವರು ಡಬಲ್ ಅಫೈನ್ ಹೆಕೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಲ್ಲಾ (ಕಡಿಮೆ) ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರು ಎನ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಕೇಸ್-ಬೈ-ಕೇಸ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದರು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಊಹೆಗಳು ಎಂದು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುವ ಇತರ ಎರಡು ಊಹೆಗಳಿವೆಃ ಮಾನದಂಡದ ಸೂತ್ರದ ಜೊತೆಗೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ tρ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ Pλನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿದರು. ಮೆಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯ ಊಹೆ ಪ್ರಕಾರ ಎಎನ್-1 ಪ್ರಕಾರದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೆಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕೇವಲ ಎನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ, q ಮತ್ತು t ಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೆಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಆವೃತ್ತಿಯು (ಕೆಳಗಿನ ಸಂಯೋಜಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ) ಮೇಲಿನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂತರದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಶುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಾದ Kλμ (q, t) ಅನ್ನು ಕೋಸ್ಟ್ಕಾ-ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ qt-ಕೋಸ್ಟ್ಕಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಸ್ಟ್ಕಾ-ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ q ಮತ್ತು t ನಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಈಗ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ; ಅತ್ಯಂತ ಕಠಿಣ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಹಂತವೆಂದರೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು, ಇದನ್ನು ಮಾರ್ಕ್ ಹೈಮನ್ (2001) ಅವರು ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಿದರು. ಕ್ಯೂಟಿ-ಕೋಸ್ಟ್ಕಾ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಕೇಂದ್ರ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎನ್! ಊಹಿಸಿ ದಿ ಎನ್! ಆಡ್ರಿಯಾನೊ ಗಾರ್ಸಿಯಾ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕ್ ಹೈಮನ್ ಅವರ ಊಹೆಯು, n ನ ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, n ನ ಎಲ್ಲಾ ಉನ್ನತ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಜಾಗವು n! ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ (pj, qj) ವಿಭಜನೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ n ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n = 3ರ 3 = 2 + 1 ವಿಭಾಗವು μ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜೋಡಿಗಳು (pj, qj) (0,0), (0,1), (1,0) ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು 6 = 3! ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು (Dμ) ವ್ಯಾಪಿಸಿದೆ. ಹೈಮನ್ರ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಎನ್! ಸಮತಲದಲ್ಲಿ n ಬಿಂದುಗಳ ಐಸೊಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೋಜನೆಯು ಕೋಹೆನ್-ಮ್ಯಾಕಾಲೆ (ಮತ್ತು ಗೊರೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಹ) ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ. ಹೈಮನ್ ಮತ್ತು ಗಾರ್ಸಿಯಾದ ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇದು ಎನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ತೋರಿಸಿವೆ! ಊಹೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಎನ್! ಕೋಸ್ಟ್ಕಾ-ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಡಿ. ಎಂ. ಯು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಗುಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೆಂದು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಕ್ಷರಗಳ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಇಯಾನ್ ಗ್ರೋಜ್ನೋವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕ್ ಹೈಮನ್ ಅವರು ಎಲ್ಎಲ್ಟಿ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯ ಊಹೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. 2005ರಲ್ಲಿ, ಜೆ. ಹ್ಯಾಗ್ಲಂಡ್, ಎಮ್. ಹೈಮನ್ ಮತ್ತು ಎನ್. ಲೋಹರ್ ಅವರು ಮೆಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. 1988ರಲ್ಲಿ ಐ. ಜಿ. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ (ಸಮೀಕರಣಗಳು (4.11) ಮತ್ತು (5.13)) ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಎರಡನೇ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಅವರ ಸೂತ್ರವು ಹ್ಯಾಗ್ಲಂಡ್, ಹೈಮನ್ ಮತ್ತು ಲೋಹ್ರ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅನೇಕ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ (ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಅವರ ಮೂಲ ಕೃತಿಯಾದ Ch. VI (7.13). ಗಣನೆಗೆ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೂ ಮತ್ತು ತನ್ನದೇ ಆದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ಕೋಸ್ಟ್ಕಾ-ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಧನಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಷುರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಅವು, ಅಲ್ಲಿ σ ಎಂಬುದು ಆಕಾರದ ಯುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ತುಂಬುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇನ್ವ್ ಮತ್ತು ಮಜ್ ಗಳು ತುಂಬುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು (ಕಾರ್ಯಗಳು). ಈ ಸೂತ್ರವು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. n ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಕೇವಲ 1,2,., n ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವ ಭರ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿ. xσ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದರೆ σi ಎಂಬುದು ವಿಷಯ i ನೊಂದಿಗೆ μ ಅನ್ನು ತುಂಬುವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪವು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸುವ ಮರು-ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಆಗಿದೆಃ ಯಂಗ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ತೋಳು ಮತ್ತು ಕಾಲನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿಃ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಯಂಗ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಕಿಪೀಡಿಯ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನಂತರ 'ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತವು ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಜ್ಯಾಕ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ನೋಪ್ ಮತ್ತು ಸಾಹಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. 1995ರಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಅವರು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲದ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲದ ಪ್ರತಿರೂಪದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು. ತನ್ನ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಏಕಪದದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ. 2007ರಲ್ಲಿ, ಹಗ್ಲಂಡ್, ಹೈಮನ್ ಮತ್ತು ಲೋಹ್ರ್ ಅವರು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಸಮಮಿತೀಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು q = t = 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಡಿಮಾಜೂರ್ ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು q = t = φ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮುಖ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಪರಿಣತಿ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಹೊರಗಿಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಸೂತ್ರಗಳು 2018 ರಲ್ಲಿ, ಎಸ್. ಕಾರ್ಟೆಲ್, ಒ. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಶಾಮ್ ಮತ್ತು ಎಲ್. ವಿಲಿಯಮ್ಸ್ ಅವರು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಅಸಂಬದ್ಧ ಮೆಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ನೇರ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಹೊರಗಿಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಭಾಗಶಃ ಹ್ಯಾಗ್ಲಂಡ್ನ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಅದರ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಿಂತ ನೇರವಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಅವರು ಮಲ್ಟಿಲೈನ್ ಕ್ಯೂ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಚೆಂಡುಗಳು ಅಥವಾ ಖಾಲಿ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಚೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ನಡುವೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಸಿಂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದವು ನಂತರ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವು ಎಲ್ಲಾ ಬಹು ಸಾಲಿನ ಸಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಪದಿಗಳಿಗೆ ಆ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಹೊರಗಿನ ಮೊತ್ತವು ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಳಗಿನ ಮೊತ್ತವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಮಾರ್ಕ್ ಹೈಮನ್ ಸಂಯೋಜನೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೋಜನೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು 2002, ನಂ. 1 (2002), 39-111. ಹೈಮನ್, ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೋಜನೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾರ್ಕ್ ನೋಟ್ಸ್. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು 2001: ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳ ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳು, 1-64, ನ್ಯಾಟೋ ಸೈನ್ಸ್. ಸರ್. II ಗಣಿತ. ಫಿಸಿಕಲ್. ಕೆಮ್., 74, ಕ್ಲೂವರ್ ಅಕಾಡ್. ಪಬ್ಲಿ., ಡೋರ್ಡ್ರೆಕ್ಟ್, 2002. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್, ಐ. ಜಿ. ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹಾಲ್ ಬಹುಪದಗಳು. ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಸ್. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್. ದಿ ಕ್ಲಾರೆಂಡನ್ ಪ್ರೆಸ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1995. x + 475 pp. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್, ಐ. ಜಿ. ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು. ಡೀನ್ ಜಾಕ್ವೆಲಿನ್ ಬಿ. ಲೆವಿಸ್ ಸ್ಮಾರಕ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನ್ಯೂ ಬ್ರನ್ಸ್ವಿಕ್, ಎನ್. ಜೆ. ಯ ರಟ್ಜರ್ಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಉಪನ್ಯಾಸ ಸರಣಿ, 12. ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, ಪ್ರಾವಿಡೆನ್ಸ್, ಆರ್ಐ, 1998. xvi + 53 pp. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್, ಐ. ಜಿ. ಅಫೈನ್ ಹೆಕೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು. ಸೆಮಿನೈರ್ ಬೌರ್ಬಕಿ 797 (1995). ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೈಕ್ ಜಬ್ರೋಕಿಯ ಪುಟ. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೈಮನ್ರ ಕೆಲವು ಪ್ರಬಂಧಗಳು. ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು