Vitali covering lemma
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಿಟಾಲಿ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಂಯೋಜಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ವಿಟಾಲಿ ಕವರಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಲೆಮ್ಮಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಆಸಕ್ತಿಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಕವರಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗ್ಯೂಸೆಪ್ಪೆ ವಿಟಾಲಿಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಇ. ವಿಟಾಲಿಯ ವಿಟಾಲಿ ಹೊದಿಕೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು-ನೆಗ್ಲಿಬಲ್ ಗುಂಪಿನವರೆಗೆ ನೀಡಲಾದ Rd ಯ E ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಲೆಮ್ಮಾದ ಎರಡು ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿವೆ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಆವೃತ್ತಿ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆವೃತ್ತಿ. ಎರಡೂ ಲೆಮ್ಮಾಗಳನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ ಚೆಂಡು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ನಾವು ಚೆಂಡಿಗಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸೀಮಿತ ಆವೃತ್ತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ (ಸೀಮಿತ ಆವರಿಸುವ ಲೆಮ್ಮಾ). ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚೆಂಡುಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಚೆಂಡುಗಳ ಒಂದು ಉಪಸಂಗ್ರಹವಿದೆ, ಅದು ಬೇರ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ; ಅಂದರೆ, n> 0. ಅತಿದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡು ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ, ಅದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಅದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಚೆಂಡು ಬೇರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೆಂಡಾಗಿರಲಿ (ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಮುರಿಯುವುದು), ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು m: = k ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಸೆಟ್ ಮಾಡಿ. ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ತೋರಿಸುವುದು ಉಳಿದಿದೆ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಅದರಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸಮಾನತೆಯು, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಆವೃತ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಅನಂತ ಆವರಿಸುವ ಲೆಮ್ಮಾ). ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಚೆಂಡುಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರಲಿ, ಅದು ಚೆಂಡಿನ ಬಿ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪ-ಸಂಗ್ರಹವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಚೆಂಡುಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಃ F ಅನ್ನು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ, B ಚೆಂಡುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯವು (2−n−1R, 2−nR] ನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾದ Gn ಅನ್ನು, Gn′Fnನೊಂದಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರೇರಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, H0 = F0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು G0 ಅನ್ನು H0 ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಉಪಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರಲಿ (ಅಂತಹ ಉಪಸಂಗ್ರಹವು ಝೋರ್ನ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ). G0,., Gn ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, Gn + 1 ಅನ್ನು Hn + 1 ರ ಗರಿಷ್ಠ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಉಪಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರಲಿ. ಎಫ್ ನ ಉಪಸಂಗ್ರಹವು ಪ್ರಮೇಯದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಃ ಜಿ ಒಂದು ಬೇರ್ಪಡುವ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರಣ ಇದನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಚೆಂಡು B ωF ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು C ωG ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ B ω5C. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಮಗೆ ಕೆಲವು ನೀಡಿದರೆ, B Fn ಗೆ ಸೇರುವಂತಹ ಕೆಲವು n ಇರಬೇಕು. ಒಂದೋ B ಯು Hn ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಇದು n> 0 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ B ಯು G0,., Gn−1, ಅಥವಾ B ωHn ನ ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Gn ನ ಗರಿಷ್ಠತೆಯಿಂದ, B ಚೆಂಡನ್ನು Gn ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, B ಯು G0,., Gn ನ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ C ಚೆಂಡನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚೆಂಡು C ಯು 2−n−1R ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. B ಯ ತ್ರಿಜ್ಯವು 2 − nR ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಚೆಂಡುಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಗ್ರಹವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಂತಿರಬಹುದು. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಚೆಂಡುಗಳ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಸಂಗ್ರಹವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದಂತಿರಬೇಕು. ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಅದೇ ವಾದವು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಉಪಕುಟುಂಬವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದುಃ Rdಯಲ್ಲಿ 0 ಕೇಂದ್ರಿತವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ; ಯಾವುದೇ ಬೇರ್ಪಡುವ ಉಪಕುಟುಂಬವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚೆಂಡು Bಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 5B ಈ ಕುಟುಂಬದ ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಿರಾಂಕ 5 ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. Fn ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು 2−n ಬದಲಿಗೆ c−n, c> 1 ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು 5ರ ಬದಲಿಗೆ 1 + 2c ಆಗಿರುತ್ತದೆ. 3ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಲೆಮ್ಮಾದ ಸರಿಯಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ 3 ಅಲ್ಲ. ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೂಲ ಸಂಗ್ರಹ ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಆರ್ಡಿ ಯ ಉಪವಿಭಾಗ ಇ ಯ ವಿಟಾಲಿ ಕವರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಉಪವಿಭಾಗ ಜಿ, ಇ ಅನ್ನು ಲೆಬ್ಸ್ಗು-ನಗಣ್ಯ ಗುಂಪಿನವರೆಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ಬಳಕೆಯ ವಿಧಾನ ವಿಟಾಲಿ ಲೆಮ್ಮಾದ ಅನ್ವಯವು ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಗರಿಷ್ಠ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ವಿಟಾಲಿ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಇದು ಚೆಂಡುಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಗ್ರಹದ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಒಬ್ಬರು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುವ ವಿಶೇಷ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಒಕ್ಕೂಟದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಇ ಅಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆಯಾದರೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಅಂಟಿಕೊಂಡರೆ ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಕಷ್ಟ. ವಿಟಾಲಿ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ನಾವು ಬೇರ್ಪಡುವ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಉಪಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ, ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡಿನ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಐದು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಿಂದ ಅದರ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು 5d ಅಂಶದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಟಾಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ವಿಟಾಲಿಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯಲ್ಪ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅತ್ಯಲ್ಪ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಕ್ರಮಗಳು, ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಲೋಕನವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆಃ ಇಗೆ ವಿಟಾಲಿ ಕವರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ω rd, ನಂತರ ω ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯು ಸೆಟ್ಗಳ ಉಪಸಂಗ್ರಹವು ಇ. ವಿಟಾಲಿ ಕವರಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿಟಾಲಿ ಕವರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ V ಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ C ಇದ್ದರೆ Rd ಯ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ (ಲೆಬೆಸ್ಗು ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ). ಘನಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ R2 ನಲ್ಲಿನ ಆಯತಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ m ≤ 1 ಗೆ ಬದಿಗಳ ಅನುಪಾತವು m−1 ಮತ್ತು m ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆರ್. ಡಿ. ಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಚೆಂಡುಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಆರ್ 2 ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಯತಗಳ ಕುಟುಂಬವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದರ ಮೂಲ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ d = 1 ಮತ್ತು ಇದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗ E ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಟಾಲಿ ಆಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಇ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸದೆ ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ±0 ಗೆ, x ಬಿಂದುಗಳ ತೆರೆದ ವಾರ್ಷಿಕದಲ್ಲಿ ಇರುವ E ನ ಭಾಗಕ್ಕೆ n <|x | <n + 1 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೆಸಿಕೊವಿಚ್ ಕವರಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿತವಾದ ಕವರಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಉಪಗುಂಪು ಎ ಆರ್ಡಿ ಯ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಕೇಂದ್ರ ಎ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಜ್ಯ ರಾ ಹೊಂದಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಚೆಂಡು ಬಿ (ಎ, ಆರ್ಎ) ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ವಿಟಾಲಿ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಎ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಈ ಚೆಂಡುಗಳ ಉಪಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಟಾಲಿ ಕವರಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗಿನ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೆಂದರೆ, ಒಂದೆಡೆ, ವಿಟಾಲಿಯ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಸಡಿಲವಾಗಿದ್ದು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು x ± Rd ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯ್ದ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ Nx ಅನ್ನು ಕೇವಲ d ಆಯಾಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸ್ಥಿರವಾದ Bd ಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿದೆ; ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಆಯ್ದ ಚೆಂಡುಗಳು ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಸೆಟ್ A ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಳತೆಗಾಗಿ ವಿಟಾಲಿಯ ಆವರಣ ಪ್ರಮೇಯವು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, E ಯು ಸೀಮಿತವಾದ s-ಆಯಾಮದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ε> 0 ಗೆ, ನಾವು ಈ ಉಪಸಂಗ್ರಹವನ್ನು (ಉಜ್) ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, s = d ಆಗಿರುವಾಗ, Rdಯ ಮೇಲೆ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಳತೆ Hsಯು ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಸಂಬದ್ಧ ಸಂಗ್ರಹವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಪ್ರದೇಶ ಬಿ ಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಇ ಅನ್ನು ಲೆಬ್ಸ್ಗು-ನೆಗ್ಲಿಬಲ್ ಗುಂಪಿನವರೆಗೆ, ಆಯ್ದ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಉಪಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕವರಿಂಗ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಕವರಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದವರೆಗೆ ಕವರಿಂಗ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ವಿಟಾಲಿ ಕವರಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲ ರೂಪದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಪುರಾವೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, ಎಫ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಕವರಿಂಗ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಅನಂತ ರೂಪದಿಂದ, ಎಫ್ ನ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಉಪಸಂಗ್ರಹವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಚೆಂಡು ಬಿ ω ಎಫ್ ಚೆಂಡನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಸಿ ω ಜಿ ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬಿ ω 5 ಸಿ. r> 0 ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಮತ್ತು Z ಎಂಬುದು ಜಿ ಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರದ ಮತ್ತು 0 ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಬಿ (ಆರ್) ತೆರೆದ ಚೆಂಡಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ r ಗೆ Z ಲೆಬ್ಸ್ಗು-ನಗಣ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. B (r) ಅನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ಆ ಚೆಂಡುಗಳ ಉಪಸಂಗ್ರಹವನ್ನು G ಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದಷ್ಟು ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. Z ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಎನ್ಗೆ, ಝಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಝಡ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ವಿಟಾಲಿ ಕವರ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿಯಿಂದ, ಬಿ (ಆರ್) ನಲ್ಲಿರುವ ಝಡ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಕೆ ಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡುವ ಚೆಂಡು ಬಿ ಅನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಜಿ ಯ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿಯಿಂದ, ಚೆಂಡು ಬಿ ಕೆಲವು ಚೆಂಡನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಬೇರ್ಪಡುವ ಕಾರಣ, ನಾವು ಐ> ಎನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಐ> ಎನ್ ಗೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಪ್ರತಿ ಎನ್ ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳು ವಿಟಾಲಿ ಆವರಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 1979 ರಲ್ಲಿ ಡೇವಿಡ್ ಪ್ರೈಸ್ ನೀಡಿದರುಃ (ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ) ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಅಳತೆ γ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ವಿಟಾಲಿ ಆವರಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವು (ಎಚ್, ಬೋರೆಲ್ (ಎಚ್), γ) ಗೆ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 2003ರಲ್ಲಿ ಜಾರೊಸ್ಲಾವ್ ಟಿಸರ್ ಅವರು ಬಲಪಡಿಸಿದರುಃ ವಿಟಾಲಿ ಆವರಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದೇ (ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ) ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಗಾಸಿಯನ್ ಅಳತೆಗೆ ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೆಸಿಕೋವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಶೀರ್ಷಿಕೆ ಅನುವಾದ) "ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ" ಎಂಬುದು ವಿಟಾಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಗದವಾಗಿದೆ. ಲೆಮ್ಮಾಸ್ ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವುದು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ