Nilpotent orbit
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುವ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಒಂದು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ X ಅಂಶವು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ AD X: g → g, AD X (Y) = [X, Y] ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ n ಗೆ (AD X) n = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬಹುಪದ ಪ್ಯಾಡ್ X (t) tdim g ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ X ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪು G ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಯು ಪಕ್ಕದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಯಾವುದೇ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ) ಅಂಶಗಳು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರೇರಕ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಪ್ರತಿ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಗಾತ್ರದ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ n ನ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ n = 2 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎರಡು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳಿವೆ, ಶೂನ್ಯ ಕಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗೆ (1,1) ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಧಾನ ಕಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯ ಜಾಡು ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕದೊಂದಿಗೆ A ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಜನೆಗೆ (2) ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಈ ಕಕ್ಷೆಯು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಕೋನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ತುದಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಒಂದೇ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ನೈಜ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಹೊಸ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, n = 2 ಗೆ ಈಗ 3 ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳಿವೆಃ ಶೂನ್ಯ ಕಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ನೈಜ ಅರ್ಧ-ಕೋನ್ಗಳು (ತುದಿ ಇಲ್ಲದೆ), ಮೇಲಿನ ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು, ಅದರ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು 0ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಕ್ಕದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಕ್ಷೆಗಳೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಯ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಜಾಕೋಬ್ಸನ್-ಮೊರೊಜೊವ್ ಪ್ರಮೇಯವುಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶ ಇ ಅನ್ನು ಎಸ್ಎಲ್2-ಟ್ರಿಪಲ್ {ಇ, ಎಚ್, ಎಫ್} ಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಟ್ರಿಪಲ್ಗಳು ಜಿ ಯಲ್ಲಿ ಇ ಕೇಂದ್ರಕವಾದ ಜೆಡ್ಜಿ (ಇ) ಯಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಎಸ್ಎಲ್2 ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಯೋಜಿತ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಡೈನ್ಕಿನ್-ಕೋಸ್ಟಂಟ್ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪೊಸೆಟ್ ರಚನೆಯ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಃ ಎರಡು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, O1 ಅನ್ನು O2 ನ ಜರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ O1 O2 ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಾನವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶ, ಶೂನ್ಯ ಕಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಸ್ಥಾನವಲ್ಲ. ನೆಲದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಕಕ್ಷೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಕಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಕ್ಷೆಯಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಕಕ್ಷೆಯು ಅನಿಯಮಿತ ಕಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಆವರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ಎನ್ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಎನ್ ವಿಭಜನೆಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೆರ್ಸ್ಟೆನ್ಹಾಬರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕಕ್ಷೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಎನ್ ವಿಭಜನೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಜಿ ದ್ವಿರೇಖೀಯ ರೂಪದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಎಸ್ಎಲ್ಎನ್ನ ಒಂದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಥವಾ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಉಪಗುಂಪು, ನಂತರ ಅದರ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ n ನ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಭಂಗಿ ರಚನೆಯು ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಕ್ರಮದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ (ಇದು ಗೆರ್ಸ್ಟೆನ್ಹಾಬರ್ ಮತ್ತು ಹೆಸೆಲಿಂಕ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ). ಡೇವಿಡ್ ಕಾಲಿಂಗ್ವುಡ್ ಮತ್ತು ವಿಲಿಯಂ ಮೆಕ್ಗೋವರ್ನ್ ಅವರ ಜಂಟಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ಅರ್ಧ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು. ವ್ಯಾನ್ ನಾಸ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರೀನ್ಹೋಲ್ಡ್ ಗಣಿತ ಸರಣಿ. ವ್ಯಾನ್ ನಾಸ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರೀನ್ಹೋಲ್ಡ್ ಕಂ, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1993. .. .. ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು