CM-field
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, CM-ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಇದನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜೆ-ಫೀಲ್ಡ್ ಎಂಬುದು ಮತ್ತೊಂದು ಹೆಸರು. "ಸಿಎಂ" ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕೆ ಎಂಬುದು ಸಿಎಮ್-ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಕೆ/ಎಫ್ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೈಜವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎಫ್ ಅನ್ನು ಒಳಸೇರಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಕೆ ಅನ್ನು ಒಳಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, K ಯ ಒಂದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ F ಇದೆ, ಅದು K ಅನ್ನು F ಮೇಲೆ ಒಂದು ಅಂಶದ ಒಂದೇ ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ β =, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ β ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳನ್ನು ನೈಜವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ α ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ σ ಅನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲು, σ (α) <0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು CM-ಕ್ಷೇತ್ರದ ಒಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಅದರ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಅದು β ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಯು "ಘಟಕಗಳ ದೋಷ" ವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು CM-ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಘಟಕ ಗುಂಪು ಕೆ ಯಂತೆಯೇ-ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, F ಎಂಬುದು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ K ಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಏಕಮಾನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಿಎಮ್-ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಕ ಉದಾಹರಣೆಯು ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ಕೇವಲ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಿಎಂ-ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಇದು ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ n ನೇ ಮೂಲದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೈಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯೂನಿಯನ್ ಕ್ಯೂಸಿಎಂನ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಿಎಂ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕ್ಯೂಸಿಎಂ ಅನಂತ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಿಎಂ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕ್ಯೂ. ಆರ್. ಒಕ್ಕೂಟದ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಗಾಲ್ (/ಕ್ಯೂಆರ್) ಅನ್ನು ಗಾಲ್ (/ಕ್ಯೂ) ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮ 2 ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಂದ (ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ) ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಾಲ್ (/ಕ್ಯೂಸಿಎಂ) ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ರ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಗಾಲ್ (ಕ್ಯೂಸಿಎಂ/ಕ್ಯೂ) 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಅಂಶದಿಂದ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆ) ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಅಂಶವು ಗಾಲ್ ಗುಂಪು (ಕ್ಯೂಆರ್/ಕ್ಯೂ) ಆಗಿದೆ. V ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ n ಆಯಾಮದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, V ಯ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ F, Z ಗಿಂತ ಗರಿಷ್ಠ 2n ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು 2n ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಸಿಎಮ್-ಫೀಲ್ಡ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಿಎಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಐಸೋಜೆನಿಯವರೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕೆಲವು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದದಿಂದ ಈ ರೀತಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. CM ಅಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರ (ಗಣಿತ) ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು