Dirac algebra
ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಡಿರಾಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗಾಮಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಿನ್-ಕಣಗಳಿಗೆ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪಿ. ಎ. ಎಂ. ಡಿರಾಕ್ 1928ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಗಾಮಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ನಾಲ್ಕು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಲೇಖನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸಹಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮೈನಸ್, ಅಂದರೆ, ಎಂದು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಡಿರಾಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ನಂತರ ಗುರುತಿನ ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಗಾಮಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗಾಮಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಆಧಾರವು ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಪ್ರತಿ ಗ್ರೀಕ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕವಿಲ್ಲ. ಆಯಾಮ ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಯಾಮವು 16 ಆಗಿದೆ. ಏಕಾಂಗಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದುಃ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇತರರು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಅಂಶಗಳು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪವರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಧಾರವನ್ನು ನಾವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಬದಲಿಗೆ ಆಂಟಿ-ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಆಗಲು ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚತುರ್ಭುಜ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗವಿದೆಃ ಜೊತೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆಃ ಈ ರೂಪವು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬೀಜಗಣಿತದ (ನೈಜ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳೊಂದಿಗೆ) ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಸಂಯೋಗವು (ಸ್ಥಳಾವಧಿಯ ಗ್ರೀಕ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಿಗ್ಮಾ ಜನರೇಟರ್ಗಳ 'ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್' ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಯಿಂದಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವು, ಟೆನ್ಸರ್ನ ಆರು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತದೆ-ಒಳಗಿನ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಳಗೆ ಕುಳಿತಿರುವ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬೀಜಗಣಿತದ (ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಪಿನ್ (1,3) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ, ಗುರುತಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಭವಿಷ್ಯದ-ನಿರ್ದೇಶಿತ ಭಾಗ). ನಂತರ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸ್ಪಿನ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳು. ಅದು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಘಟಕಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆ ಅದರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪ್ರದಾಯದಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಸ್ಪಿನರ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯು, ಅಥವಾ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಸ್ಪಿನರ್ನಲ್ಲಿನ ಅನಂತ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಘಟಕಗಳಿಂದ (ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇನ್) ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅದು ಅನುಸರಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಇದು ಸ್ಪಿನರ್ಗಳಿಗೆ ಡಿರಾಕ್ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರವು. ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಡಿರಾಕ್ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನಂತಹ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಪವರ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದೇ ಆಧಾರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಗಾಮಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವಿನಿಮಯದಲ್ಲಿ ಇದು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. γ5 ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಈ ಆಧಾರ ಅಂಶವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಪರಿಮಾಣದ ರೂಪವಾಗಿ, ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಅಂಶದ ಒಟ್ಟು ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಯಿಂದ, ಇದನ್ನು ಪರಿಮಾಣದ ರೂಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಅವಲೋಕನವು ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಚರ್ಚೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆಃ ಎರಡೂ ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಡಿರಾಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ರೂಪವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಗಾಮಾ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣಃ ನೀಡಬೇಕಾದದ್ದು, ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಪುರಾವೆ). ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಫಲಿತಾಂಶಃ ಕ್ಲೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗಿನ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬೇಡಿಕೆಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಆಂಟಿಕಮ್ಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಸಿಗ್ನೇಚರ್ (+ −−) ಹೊಂದಿರುವ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಇದು 4x4 ಯುನಿಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸಿಎಲ್ 1,3 (ಸಿ) ಮತ್ತು ಸಿಎಲ್ 1,3 (ಆರ್) ಡಿರಾಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೈಜ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಸಿಎಲ್ 1,3 (): ಸಿಎಲ್ 1,3 () ಸಿಎಲ್ 1,3 () ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಃ ಸಿಎಲ್ 1,3 () ನಲ್ಲಿ ಗಾಮಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನೈಜ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಪಾದಕರು ಸಾಧ್ಯವಾದಲ್ಲೆಲ್ಲಾ ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಭೌತಿಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ (ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜ್ಞಾನೋದಯ) ಎಂದು ಅವರು ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಂತಹ ಘಟಕಗಳು ನೈಜ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ-1ರ ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುವ ಅನೇಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ವಿವಿಧ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದಾಗಿ ಇವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಪ್ರತಿಪಾದಕರಲ್ಲಿ ಕೆಲವರು ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವೇ ಅಥವಾ ಉಪಯುಕ್ತವೇ ಎಂದು ಪ್ರಶ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕ್ಲಾಪ್, q () ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮಗಳಿಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿದೆ; ವೇಯ್ಲ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ವಿರೋಧಿ ಸಂವಹನವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ವೇಲ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪಿನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ, ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದು, ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವೆಂದರೆ, ಇದು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವ ನೈಜ ಸ್ಪಿನರ್ ಅನ್ನು ಘಟಕದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಇದು ಡಿರಾಕ್ ಕಣ/ಆಂಟಿ-ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು (ಸಮಾನವಾಗಿ, ವೇಯ್ಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೈರಲ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು) ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಜ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಬೈಸ್ಪಿನಾರ್, ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸಬಲ್ಲದು. ಇದು ಮಜೋರಾನಾ ಸ್ಪಿನರ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಕೋ ಸ್ಪಿನರ್ಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ. ಅವು ವಿದ್ಯುತ್ ತಟಸ್ಥವಾಗಿರುತ್ತವೆ), ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಿಂದ ಬರುವ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ಮಾಡದಂತೆ ಸ್ಪಿನರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಚಾರ್ಜ್ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಗೊಂದಲಮಯ ವಿಷಯವಾಗಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿವರಣೆಗಳು ವೇಯ್ಲ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತವೆ; ಅವು "ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ" ಸಂವಹನ-ವಿರೋಧಿ ಎಂಬುದು ನಿರ್ಮಾಣದ ಸೊಗಸಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉಪ-ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪೌಲಿ ಹೊರಗಿಡುವ ತತ್ವಕ್ಕೆ (ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಾದದ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂವೇದನೆಗೆ) ಮನವಿ ಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ವಾದಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮೀರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಕಾಲೀನ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಡಿರಾಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದ "ಲೈವ್" ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪರಿಸರವಾಗಿ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಗಾಮಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಫಿಯರ್ಜ್ ಗುರುತಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಬೀಜಗಣಿತ