Poincaré–Lindstedt method
ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಿಯಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ವಿಫಲವಾದಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್-ಲಿಂಡ್ಸ್ಟೆಡ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಲಿಂಡ್ಸ್ಟೆಡ್-ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ವಿಧಾನ. ಈ ವಿಧಾನವು ಲೌಕಿಕ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ-ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಬೆಳೆಯುವ ಪದಗಳು-ಸೀಮಿತ ಆಂದೋಲನ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನೇರವಾದ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಮತ್ತು ಆಂಡರ್ಸ್ ಲಿಂಡ್ಸ್ಟೆಡ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು 10ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಃ ಡಫ್ಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣವು ಡ್ಯಾಂಪ್ ಮಾಡದ, ಒತ್ತಾಯಿಸದ ಡಫ್ಫಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು t> 0 ಗೆ 0 <ε ′1 ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ x (t) = x0 (t) + ε x1 (t) +. ಎಂಬ ರೂಪದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ-ಸರಣಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳು ಈ ಅಂದಾಜು ಸಮಯದ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಮಾದರಿಗಳ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣವಾದ ಪದವನ್ನು ಜಾತ್ಯತೀತ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್-ಲಿಂಡ್ಸ್ಟೆಡ್ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಮಯ t ಅನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಮತ್ತೊಂದು ಸರಣಿಯನ್ನು ರಚಿಸಿಃ ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಮುಖ ಕ್ರಮ ω0 = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವಾಗ, ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ x (τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) +... ಎಂಬ ರೂಪದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. εಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಜಾತ್ಯತೀತ ಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದುಃ ω1 =. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಆದೇಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈಗಿನಂತೆ, ಅಂದಾಜು-εಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ-ಉದಾಹರಣೆಃ ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ಪೋಲ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ನಾವು ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ಪೋಲ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಅನ್ನು 2ನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್-ಎನ್ ಪದವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪದವನ್ನು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸೂಪರ್-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಪರ್-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಕ್ಕೆ (n + 1) ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಜಾತ್ಯತೀತ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದೇಶ 3ರವರೆಗಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಆದೇಶ 164ರವರೆಗಿನ ಗಣಕಯಂತ್ರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ 10ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ಪೋಲ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿಃ ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಈಗ ಪ್ಲಗ್ ಇನ್ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಯದ ಮೂಲವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ (ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಗುರುತುಗಳ ನಂತರ) ಪಡೆಯಲು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿ ಜಾತ್ಯತೀತ ಪದವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನಾವು ಎರಡೂ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಬೇಕು, ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, 2ನೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳು ನಾಶವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪದವನ್ನು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು WLOG ಅನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಈಗ ಪಡೆಯಲು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿ ಲೌಕಿಕ ಪದವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನಾವು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಸಮೀಕರಣ ಇದು ನಿಯತಾಂಕ ಅನುರಣನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಎರಡು ಸಮಯ-ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವೇಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಈಗ ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಲು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.............................................................. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿನ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ,) ಮೂಲ ಆಂದೋಲಕದ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಆಂದೋಲನವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಮಗು ತೂಗಾಟದ ಮೇಲೆ ತೂಗಾಡುತ್ತಿರುವಂತೆ ಚಂದ್ರನಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಂಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಶೋಹತ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ಪೋಲ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗೆ, ನಾವು ದೊಡ್ಡದಾದದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದೊಡ್ಡದಾದಂತೆ, ಡೈವರ್ಜ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿಡಲು ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಪದಗಳನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಮಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ನಂತರ, ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಜಾತ್ಯತೀತ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯು ನಮಗೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಶೋಹತ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಹಿಂದಿನ ಕಲ್ಪನೆ. ನಿಖರವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು, ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ ಇದನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ