Spacetime algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಎಸ್ಟಿಎ) ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಿಎಲ್ 1,3 (ಆರ್) ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೆಸರಾಗಿದೆ. ಡೇವಿಡ್ ಹೆಸ್ಟೆನ್ಸ್ನ ಪ್ರಕಾರ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇದು ವಾಹಕಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳು (ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅಥವಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳು) ಅಥವಾ ಬ್ಲೇಡ್ಗಳನ್ನು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೈಪರ್-ವಾಲ್ಯೂಮ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮಾಣಗಳು) ಸಂಯೋಜಿಸಲು, ಹಾಗೆಯೇ ತಿರುಗಿಸಲು, ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ಅಥವಾ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ವರ್ಧನೆಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೂಲ ಬೀಜಗಣಿತವೂ ಆಗಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅರ್ಥಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಬಹಳ ಸಹಾಯಕವಾಗಬಹುದು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದು ಸಮಯದಂತಹ ವಾಹಕ ಮತ್ತು ಮೂರು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ, ಸಹಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಡಿರಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಸ್ಟಿಎಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದು ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್, ನಾಲ್ಕು ವಾಹಕಗಳು, ಆರು ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳು, ನಾಲ್ಕು ಸ್ಯೂಡೋವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ನ ಆಧಾರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಮ ದರ್ಜೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳು, ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳು. ಸಮ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳು ಎರಡೂ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಪೇಸ್ಟೈಮ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ-ದರ್ಜೆಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಂಟಿಕಮ್ಮ್ಯೂಟ್ಗಳು, ಪ್ಯಾರಿಟಿ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಡೊವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ನಿರಾಕರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಚೌಕಟ್ಟು ಪರಸ್ಪರ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಸ್ಪರ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ವಾಹಕಗಳು ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ, ಜೊತೆಗೆ, ಮತ್ತು ಫಾರ್ನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಕೇತದ ಪ್ರಕಾರ, ವಾಹಕವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರಗಳೊಂದಿಗೆ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸ್ಥಾನದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಜಿಮ್ನಾಸ್ಟಿಕ್ಸ್ನ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಧಿಸಬಹುದುಃ ಮಲ್ಟಿವೆಕ್ಟರ್ ವಿಭಾಗ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿಭಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಇವುಗಳನ್ನು ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬೆಳಕಿನ-ಕೋನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಲ್ಟಿವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಪ್ರದೇಶವು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಇಳಿಜಾರು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಇಳಿಜಾರಿನಂತೆಯೇ, ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಇಳಿಜಾರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಭಾಗಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಿಭಜಿತವಾಗಿವೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ವಿಭಜನೆಯು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಿಂದ ಆಯ್ದ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ (3 + 1)-ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆಃ ಆಯ್ದ ಸಮಯದ ಅಕ್ಷದ ಕುಸಿತ, ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಂದ ಹರಡಿರುವ 3D ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಭೌತಿಕ ಜಾಗದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ 3D ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಯ್ದ ಸಮಯದ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ 4D ಜಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು 1D ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಟೈಮ್ಲೈಕ್ ಬೇಸಿಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದ ಪೂರ್ವ ಅಥವಾ ನಂತರದ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಾಲ್ಕು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಟೈಮ್ಲೈಕ್ ಮತ್ತು ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಲೈಕ್ ಘಟಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಸಹ-ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಏಕತೆಗೆ ಚದರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಟಿಎಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬೋಲ್ಡ್ಫೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಂತರ ಮತ್ತು,-ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಸ್ಪ್ಲಿಟ್, ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಮ್ಮುಖವು ಹೀಗಿವೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹಿಯೊಂದಿಗೆ (+--) ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಸಹಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಿಭಜನೆಯ ರೂಪಗಳಿಗೆ, ಯಾವ ಮತ್ತು ಬಳಸಬೇಕಾದ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಾಹಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ, ತಿರುಗಿಸಬೇಕಾದ ಕೋನ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮತಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಂತಹ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ "ಸಮಯದ ಮೂಲಕ ತಿರುಗುವಿಕೆ" ಸ್ಪ್ಲಿಟ್-ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸದೃಶ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ, ಸಮಯದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಈ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಇವು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿನ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ವರ್ಧನೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಈ ಎರಡೂ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲದರ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಟಿಎಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಆಧಾರದಿಂದ (ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ) ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ಈ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯು ಫ್ಯಾರಡೆ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಎಸ್ಟಿಎಯಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಂದೇ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಏಕೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಫ್ಯಾರಡೆ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಫ್ಯಾರಡೆ ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎಸ್ಟಿಎ ಸೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಘಟಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಈ ಪದವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ಯಾರಡೆ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅದರ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇದು ಎರಡು ಹೊಸ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್-ಅಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು, ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಭಾಗವು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ ಭಾಗವು ಕಡಿಮೆ-ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಾಹಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದಾದದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಫೀಲ್ಡ್ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ನಂತೆಯೇ, ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು-ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಒಂದೇ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕವಾಗಿ ಏಕೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಘಟಕಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ 3-ಆಯಾಮದ ಪ್ರವಾಹ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಘಟಕಗಳಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳಾವಧಿಯ ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಚಾರ್ಜ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ನೀಡಿದ ಸಮಯದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಮೊದಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವಸ್ತುಗಳು ಎಂಬ ಅಂಶವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ತೋರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಚಾರ್ಜ್ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯಂತಹ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ, ಅದರ ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ವಿಚಲನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿಚಲನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಚಾರ್ಜ್ ಮತ್ತು ಕರೆಂಟ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಬಲಭಾಗವು ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಬೈವೆಕ್ಟರ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಮೊನೊಪೋಲ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸೂಡೊವೆಕ್ಟರ್ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರಯೋಗವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಸಮಮಿತಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬಲವು ಆವೇಶದ ಕಣದ ಮೇಲಿನ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬಲದ ರೂಪವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಾಹಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ವಾಹಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ. ಎಸ್ಟಿಎ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಟೆನ್ಸರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ನಾಲ್ಕು-ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಟಿಎಯಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕಾಂತೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್ಗೆ ವೆಬರ್ಗಳ ಎಸ್. ಐ. ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಈ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಗೇಜ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ, ಈ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗೇಜ್ ಫಿಕ್ಸಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದಿ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲೊರೆನ್ಜ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಎಸ್ಟಿಎ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮರುರೂಪಿಸಲು, ಮೊದಲು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಎಸ್ಟಿಎಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತಾರೆಃ ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಟೆನ್ಸರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಎಸ್ಟಿಎಯಲ್ಲಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಬಹು-ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಲ್ಲದ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗಣಿತದ ತೀವ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಡಿಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಆಗುತ್ತವೆ ಈ ರೂಪದಿಂದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮರು-ಪಡೆಯುವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಲೊರೆನ್ಜ್ ಗೇಜ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ, ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ದ ಗೇಜ್ನ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ರಚನೆಯಿಂದಾಗಿ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಅದೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪೌಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪೌಲಿ ಕಣದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬದಲಿಗೆ ನೈಜ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಲಿ ಕಣದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವರಣೆಯು ಹೀಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನರ್, ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವಾಗಿದೆ, ಪಾಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ 'ಹ್ಯಾಟ್' ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ), ಮತ್ತು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪೌಲಿ ಕಣವನ್ನು ನೈಜ ಪೌಲಿ-ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಈಗ ಘಟಕ ಸೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮ ಬಹು-ವಾಹಕದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ; ಇದು ಮತ್ತೆ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದವನ್ನು ಕೈಬಿಟ್ಟರೆ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಹೆಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಇದನ್ನು ನಿಜವಾದ ಪೌಲಿ-ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಭೌತಿಕ ಜಾಗದ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದದ್ದೇನೂ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬದಲಿಗೆ ನೈಜ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಡಿರಾಕ್ ಕಣದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್ ಕಣದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವರಣೆಯು ಹೀಗಿದೆಃ ಡಿರಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಹೆಸ್ಟೆನೆಸ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಡಿರಾಕ್ ಕಣವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಿನರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ನಾಲ್ಕು-ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಎರಡಕ್ಕೂ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದೇ ಗಣಿತದ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಇವೆರಡರ ಸರಳ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಪಿನರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ, ಡೇವಿಡ್ ಹೆಸ್ಟೆನೆಸ್ರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮ ಬಹು-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಪಿನರ್ (ಅಥವಾ "ರೋಟರ್") ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಡಿರಾಕ್ ಸ್ಪಿನರ್ನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಘಟಕಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು, ಇವೆರಡೂ 8 ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಿನ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವಾಹಕಗಳ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ವಾಹಕಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ನೋಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟಿಲ್ಡೆ ಚಿಹ್ನೆಯು ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಾಕು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ). ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್-ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೂಲತಃ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಜಿಟ್ಟರ್ಬೆಗಂಗ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಬೆಂಬಲ ನೀಡಲು ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಸ್ಟೆನ್ಸ್ ತನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಫೇನ್ಮನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದ್ದಾರೆಃ-ಪಥದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ರಿಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಭೌತಿಕ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಪ್ರವಾಹದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಯು (1) ಗೇಜ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಡೈರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕೆಲವು ಜಾಗತಿಕ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಕ್ಷೇತ್ರದ ಚಾರ್ಜ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಭೌತಿಕ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಬಲವಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಹಂತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯು ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಯ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸಂವಹನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮತ್ತು ಸೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ ಭಾಗವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡೂ ಸಮ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಈ ಬಲವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಸ್ಥಳಾವಧಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವಂತೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ರೂಪದಂತೆಯೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ (ಅಂದರೆ. ಇದು ಹಂತವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಹಂತ ಬದಲಾಗದಂತೆ ತಡೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಹಂತದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಇಲ್ಲಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪದವು ಬರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಅಮೂರ್ತ ಮಾಪಕ ಕ್ಷೇತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿ ಏನನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅದರ ಪರಿಚಯದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಅದು ಕೇವಲ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ನಾಲ್ಕು-ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಕೇವಲ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಣದ ಚಾರ್ಜ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹಂತ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರದಂತೆ ಒತ್ತಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬೋನಸ್ ಎಂದು ವಿವರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ ದುರ್ಬಲ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಸ್ಟಿಎಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಇದು ಈ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪುನರ್ರಚಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ಕೆಲವರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಹೊಸ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾದ ಲಾಸೆನ್ಬಿ, ಡೋರನ್ ಮತ್ತು ಗುಲ್ ಅವರು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಹೊಸ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದನ್ನು ಗೇಜ್ ಥಿಯರಿ ಗ್ರಾವಿಟಿ (ಜಿಟಿಜಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೇಲೆ ಘಟನೆಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಯವಾದ ಮರುಮುದ್ರಣ" (ಲಾಸೆನ್ಬಿ, ಮತ್ತು ಇತರರು. ); ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ನಂತರ ಭೌಗೋಳಿಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತಹ ಬಾಹ್ಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗಳ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಭರವಸೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ದ್ರಾವಣದ ರೂಪವು ಏಕತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ; ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಡಿರಾಕ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಜವಲ್ಲ-ಎಸ್. ಗುಲ್, ಎ. ಲಾಸೆನ್ಬಿ, ಸಿ. ಡೋರನ್ ಅವರಿಂದ ಭೌಮಿತಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಪರಿಚಯವಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭೌತಿಕ ಅನ್ವಯಗಳು ಕೋರ್ಸ್-ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗ 2 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಗುಂಪು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ