Eilenberg–Moore spectral sequence
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮೂರ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಮೇಲೆ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ನ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಉಳಿದ ಸ್ಥಳಗಳ ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಸಿ. ಮೂರ್ ಅವರ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧವು ಇದನ್ನು ಏಕವಚನ ಹೋಮೋಲಜಿ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ kಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕವಚನ ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಫೈಬರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಹೋಮೋಲಜಿ, ಬಿ, ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇ ಯ ಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಕೇವಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕುನ್ನೇತ್ ಸೂತ್ರವು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂಬಂಧವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮೂರ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾರು ಉತ್ಪನ್ನದ (ಸಹ) ಏಕರೂಪತೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮೂರ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮೇಲಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು p ಎಂಬುದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ B ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಟಾರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಕೇವಲ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಿ ಬಿಂದುವಿನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಕೇವಲ ಗುಣಾಂಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕೆ (ಡಿಗ್ರಿ 0 ರಲ್ಲಿ) ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಪುರಾವೆಯ ಮೇಲಿನ ಸೂಚನೆಗಳು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ವಸ್ತುಗಳ (ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು) ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಮೂರ್ ಅವರ ಮೂಲ ಏಕರೂಪದ ರಚನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಚೈನ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಜಿಲ್ಬರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ರಚನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಭೂಮಿಯವರೆಗಿನ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಯು ಏಕ ಸರಪಳಿಯನ್ನು s: Δn → B ಗೆ s ನ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯ ಸೇರ್ಪಡೆ B × B ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಗ್ರೇಡೆಡ್ ಕೋಲ್ಗೆಬ್ರಾಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋಮೋಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಕೋಮೋಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ರಚನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು X ಬದಲಿಗೆ E ಗೆ ಅಂತೆಯೇ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಕೋಬರ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಗ್ರೇಡೆಡ್ ಕೋಮೋಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಈಗ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಕೋಬರ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ n-th ಪದವನ್ನು ಎಡ ಕೋಮೋಡ್ಯುಲ್ನಂತೆ ರಚನೆಯ ನಕ್ಷೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಬರ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಒಂದು ಬೈಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಶ್ರೇಣೀಕರಣದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಸರಳವಾದ ಡಿಗ್ರಿ ಎನ್. ಬೈಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಒಟ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯ ಸಂಪರ್ಕವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅರೆ-ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ನಕ್ಷೆ ಇದೆ (ಅಂದರೆ. ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವುದು) ಅಲ್ಲಿ ಕೋಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋಟರ್ (ಕೋಟೋರ್ಶನ್) ಕೋಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಪಡೆದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು, ಡಬಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವುದೇ ಬೈಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗೆ ಎರಡು ಶೋಧನೆಗಳಿವೆ (ನೋಡಿ ಅಥವಾ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣದ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮ); ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮೂರ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕರೂಪದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಶೋಧಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ (ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಕಾಲಮ್ಗಳಿಂದ). ಈ ಶೋಧನೆ ಫಲ ನೀಡುತ್ತದೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಮ್ಮುಖದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಮಾಡಿ, ಎಲ್ಲರಿಗಾಗಿ ತಟಸ್ಥವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ರಚನೆಯು ಇತರ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಗಳಿಗೆ ಸಾಲ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯದ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಾಮಾನ್ಯ (ಸಹ) ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಲ್ಯಾರಿ ಸ್ಮಿತ್ ಅವರ ಮೂಲ ಕೃತಿ ಅಥವಾ ಅದರ ಪರಿಚಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಲೆನ್ ಹ್ಯಾಚರ್, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸಸ್ ಇನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ, Ch 3. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ಸ್ಪೇಸಸ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಥಿಯರಿ