Kuratowski's closure-complement problem
ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೆಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಕ್ಲೋಸರ್-ಕಂಪ್ಲೀಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕ್ಲೋಸರ್ನ ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರಂಭಿಕ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಉತ್ತರ 14 ಆಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1922 ರಲ್ಲಿ ಕಾಜಿಮಿರ್ಜ್ ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಜಾನ್ ಎಲ್. ಕೆಲ್ಲಿಯವರ 1955 ರ ಕ್ಲಾಸಿಕ್, ಜನರಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿ ಖ್ಯಾತಿಯನ್ನು ಗಳಿಸುವ ಮೊದಲು ಇದು ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ಟೋಪೋಲೋಗಿಯಲ್ಲಿ (ಮೊದಲು 1933 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು; ಮೊದಲ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅನುವಾದವು 1966 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು) ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಗಳಿಸಿತು. ಪ್ರೂಫ್ ಲೆಟಿಂಗ್ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮುಚ್ಚಲು ಮತ್ತು ಪೂರಕಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಗುರುತುಗಳು 14 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಭಿನ್ನ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ (ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ.) .. (ಪೂರಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಒಂದು ಆಕ್ರಮಣವಾಗಿದೆ.) .. (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುವುದು (2)). ಮೊದಲ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿವೆ. ಮೂರನೆಯದು ಗುರುತನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಒಳಭಾಗವು ಪೂರಕದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ.) ಗರಿಷ್ಠ 14 ಅನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವ ಉಪಗುಂಪನ್ನು 14-ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂತರವು 14-ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ 14 ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದುಃ, ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೆಟ್. ಮುಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಪ್ರದೇಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂಲದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ-ಪೂರಕ ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. 1960 ರಿಂದ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಸಮೃದ್ಧಿಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೆಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಏನೂ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ-ಪೂರಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಬಿ. ಜೆ. ಗಾರ್ಡ್ನರ್ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಸೆಲ್ ಜಾಕ್ಸನ್ ಅವರ ಕುರಟೋವ್ಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ-ಪೂರಕ ಪ್ರಮೇಯ ಮಾರ್ಕ್ ಬೌರೋನ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅವರ ಕುರಟೋವ್ಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ-ಪೂರಕ ಸಮಸ್ಯೆ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು