Mapping cone (homological algebra)
ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕೋನ್ ಎಂಬುದು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಸದೃಶ ರಚನೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಕೋಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದೆಃ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ತಮ್ಮ ಪದಗಳನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು, ನಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಕೋನ್ f ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುವುದು ಎಂದರೆ ನಕ್ಷೆಯು ಅರೆ-ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದರ್ಥ; ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಹೋದರೆ, ಇದರರ್ಥ ಅಲ್ಲಿ f ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಗುಂಪುಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳು, ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಅಥವಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಚಿತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ, ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಕೋಕರ್ನಲ್ ಎರಡೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ, ನಕ್ಷೆಯು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಟಿ-ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕೋನ್ ಅದರ ಕೋರ್ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವೆ ನಕ್ಷೆಗಳ ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಕೋಕರ್ನಲ್ ಎರಡನ್ನೂ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜಕ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಕೋಚೈನ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು). ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಕ್ಷೆಗಾಗಿ ನಾವು ಕೋನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೀರ್ಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪದಗಳ ಮೇಲೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿ (ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ವರ್ತಿಸುವಂತೆ). ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆನ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆನ್ ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ವಿಭಿನ್ನ ಸೈನ್ ಕನ್ವೆನ್ಶನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಮ್ಮ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಭೇದವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋನ್ ನ ಮುಖ್ಯ ಬಳಕೆಯು ಅರೆ-ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದುಃ ಕೋನ್ ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಕ್ಷೆಯು ಅರೆ-ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೇರ ಸಂಕಲನಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗವನ್ನು ನೋಡಿ). ಇದು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಸುದೀರ್ಘವಾದ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಮೇಲಿನ ಬಾಹ್ಯ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಖರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ (ಮತ್ತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ) ಇದು ಅರೆ-ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಸತ್ಯವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಕೋಕರ್ನಲ್ ಎರಡೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ನಕ್ಷೆಗಳು. ಸಂಯೋಜಿತ ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಕೋಕರ್ನಲ್ ಆಗಿ ಕೋನ್ ಕಾಣಿಸುವುದು ಆಕಸ್ಮಿಕವಲ್ಲ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನ್ ಅಕ್ಷರಶಃ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ 0 ರಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಕೇವಲ (ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುಗಳ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ). ನಂತರ ಕೋನ್ ಕೇವಲ (ಅಂಡರ್ಸೆಟ್ ಪಠ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಪದದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.) ಈ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದರೆ ಇದು ಆಕಸ್ಮಿಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಟಿ-ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ಃ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿರಲಿ, ಮುಂದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ. ಎಫ್ ನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಜಿ ನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕೋನ್ ಆಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಈ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕೋನ್ (ಟೋಪೋಲಜಿ) ಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕೋನ್ ನ ಏಕವಚನ ಸರಪಳಿಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಎಕ್ಸ್ ನಿಂದ ವೈ ಯ ಏಕವಚನ ಸರಪಳಿಗಳ ಪ್ರೇರಿತ ನಕ್ಷೆಯ ಕೋನ್ (ಸರಪಳಿ-ಸಂಕೀರ್ಣ-ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಕ್ಷೆಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಅದೇ ರೀತಿ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜೋಸೆಫ್ ಜೆ. ರಾಟ್ಮನ್, ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಒಂದು ಪರಿಚಯ (1988) ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ (ಅಧ್ಯಾಯ 9 ನೋಡಿ) ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ