Topological modular forms
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಫಾರ್ಮ್ಸ್ (ಟಿ. ಎಂ. ಎಫ್.) ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವರ್ಣಪಟಲದ ಹೆಸರು. ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಲವು ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಗೆ, X ನಿಂದ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ರಚನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಟಿಎಂಎಫ್ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಒಂದು ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದರ ಗುಣಾಂಕದ ಉಂಗುರವು, (ಬಿಂದು), ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಸ್ಪ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಉಂಗುರದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಎರಡು ಉಂಗುರಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ನಂತರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಈ ವಿಲೋಮವು ಗುಣಾಂಕದ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿನ ಬಹಳಷ್ಟು ತಿರುಚು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅಳಿಸಿಹಾಕುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ) ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟಾಕ್ನಲ್ಲಿ ಇ-ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ರಿಂಗ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದ ಕೋಶದ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗೋಳಗಳ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಲೂಪ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಊಹಾತ್ಮಕ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಟಿಎಂಎಫ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ಮೈಕೆಲ್ ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹೇನ್ಸ್ ಮಿಲ್ಲರ್ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು; ಪಾಲ್ ಗೋರ್ಸ್, ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್, ಮಾರ್ಕ್ ಮಹೋವಾಲ್ಡ್, ಮಿಲ್ಲರ್, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ರೆಜ್ಕ್ ಮತ್ತು ಟಿಲ್ಮನ್ ಬಾಯರ್ ಅವರ ಪೂರ್ವ ಮುದ್ರಣಗಳು ಮತ್ತು ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಟಿಎಂಎಫ್ನ ಮೂಲ ನಿರ್ಮಾಣವು ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್, ಮಿಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ಗೋರ್ಸ್ ಅವರ ಅಡಚಣೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಡ್ವಯರ್, ಕಾನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೋವರ್ ಅವರ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಎಟೇಲ್ ಸೈಟ್ನಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪ್ರಿಶೀಫ್ ಒಟೋಪ್ ("ಟಾಪ್" ಎಂದರೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಇ-ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ರಿಂಗ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದ ಕೋಶಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎತ್ತಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಆರ್ ವರ್ತುಲದ ಮೇಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, ಇದು ಇ-ಅನಂತ ವರ್ತುಲ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ಆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ನಿರ್ಮಾಣವು, ಜಾಕೋಬ್ ಲೂರಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಅದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮಾಡುಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಬದಲು ಟಿಎಂಎಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಃ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತೆಯೇ, ಇ-ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ರಿಂಗ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದ ಕೋಶದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಇ-ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ರಿಂಗ್ಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ನಯವಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಈ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ಗೆ ಸಹ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೋಡಲ್ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟಿಎಂಎಫ್ ಎಂಬುದು ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಮೇಲಿನ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಟಿಎಂಎಫ್ ಎಂಬುದು ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ನ ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಆಗಿದೆ. ಟಿಎಂಎಫ್ ಎಂಬುದು ಸಂಯೋಜಕ ಟಿಎಂಎಫ್ನ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಟಿಎಂಎಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸುವ ರಿಂಗ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾವು 2ನೇ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಟಿಎಂಎಫ್ ಸ್ವತಃ 576ನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆಯು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಟಿಎಂಎಫ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿಯು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಗ್ರೇಮ್ ಸೆಗಲ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1980 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು (ಟಿಎಂಎಫ್ಗೆ ಪೂರ್ವಗಾಮಿ) ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವಾಗಿ ಒದಗಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಈ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಸ್ಟೀಫನ್ ಸ್ಟೋಲ್ಜ್ ಮತ್ತು ಪೀಟರ್ ಟೀಚ್ನರ್ ಮುಂದುವರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವಾಗಿ ಟಿಎಂಎಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಅವರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಎಡ್ವರ್ಡ್ ವಿಟ್ಟೆನ್ ವಿಟ್ಟೆನ್ ಕುಲವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ನಿಂದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ರಿಂಗ್ಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಲೂಪ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಲೋಕಸ್ನ ಔಪಚಾರಿಕ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಈಕ್ವಿವೇರಿಯಂಟ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಇದು ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧ ಮೊದಲ ಪೊಂಟ್ರಿಯಾಗಿನ್ ವರ್ಗವು ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್, ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಆಂಡೋ, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ರೆಜ್ಕ್ ಮತ್ತು ನೀಲ್ ಸ್ಟ್ರಿಕ್ಲ್ಯಾಂಡ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ, ವಿಟ್ಟೆನ್ ಕುಲವನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಏರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ನಿಂದ ಟಿಎಂಎಫ್ಗೆ (ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಒಂದು ನಕ್ಷೆ ಇದೆ, ಈ ವರ್ಣಪಟಲದ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಿತ ನಕ್ಷೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವಿಟ್ಟೆನ್ ಕುಲವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪುಗಳ ನಕ್ಷೆ ಟಿಎಂಎಫ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ. ಇದು ವಿಟ್ಟೆನ್ ಕುಲದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ವಿಭಜನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಟಿಎಮ್ಎಫ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಸ್ಪಿನ್ ಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ನಿಂದ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಕೆ-ಥಿಯರಿಗೆ ಅತಿಯಾ-ಬಾಟ್-ಶಪಿರೊ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೆಹ್ರೆನ್ಸ್, ಎಮ್., ಟಿಎಂಎಫ್ ನಿರ್ಮಾಣದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು (2007), http://www-math.mit.edu ~ ಎಂಬೆಹ್ರೆನ್ಸ್/ಪೇಪರ್ಸ್/ಬಿಲ್ಡ್ಟಿಎಂಎಫ್. ಪಿಡಿಎಫ್ ಗೋರ್ಸ್, ಪಿ. ಮತ್ತು ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್, ಎಂ., ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಪೇಸಸ್, http://www.math.northwestern.edu ~ ಪಿಗೋರ್ಸ್/ಪೇಪರ್ಸ್/ಸಮ್. ಪಿಡಿಎಫ್ ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್, ಎಂ ಮತ್ತು ಮಹೋವಾಲ್ಡ್, ಎಂ., ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ಸ್ನಿಂದ ಹೋಮೊಟಪಿ ಥಿಯರಿಗೆ (1998), http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf ಲೂರಿ, ಜೆ, ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಸಮೀಕ್ಷೆ (2007), http://www.math.harvard.edu ಲೂರಿ/ಪೇಪರ್ಸ್/ಸಮೀಕ್ಷೆ. ಪಿಡಿಎಫ್ ರೆಜ್ಕ್, ಸಿ., http://www.math.uiuc.edu