Elliptic cohomology
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಣೆ ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕುಲದ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಸುಗಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಡಿರಾಕ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅತಿಯಾ ಮತ್ತು ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. 1983ರಲ್ಲಿ, ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಿರುಚಿದ ಡಿರಾಕ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸಮಪರಿಮಾಣ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಿಟ್ಟೆನ್ ಊಹಿಸಿದರು. ಇದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕುಲದ ಪರಿಚಯದ ಮೂಲಕ ಒಕನೈನ್ನಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ವಿಟ್ಟೆನ್ ಇವುಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತ ಲೂಪ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲಿನ (ಊಹಾತ್ಮಕ) ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದಾನೆ. 1980ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಂಡ್ವೆಬರ್, ಸ್ಟಾಂಗ್ ಮತ್ತು ರಾವೆನೆಲ್ ಅವರು ಅದರ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು, ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಜೆನೆರಾದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಫ್ರೀ ಲೂಪ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳ (ಊಹಾತ್ಮಕ) ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮುಕ್ತ ಲೂಪ್ ಜಾಗದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ರಚನೆಗಳು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತವೆ, i ಗೆ ಬೆಸ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಮೃದ್ಧವಾದ ಮೂಲವೆಂದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು. ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಮ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ನಿಯಮವು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅಂಡಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯು ಲ್ಯಾಂಡ್ವೆಬರ್ ನಿಖರವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಡ್ವೆಬರ್ನ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ನಿಯಮವು ನಿಖರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲ್ಯಾಂಡ್ವೆಬರ್ನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಫ್ರಾಂಕೆಯವರು (ಸೀಮಿತ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಮೇಲೆ) ಅಂಡಾಕಾರದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಅದು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನಿಂದ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪುಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗೆ ನಕ್ಷೆಯು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಮೇಲೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಗಳ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಜಾಗತಿಕ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಅಂಡಾಕಾರದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಬಯಕೆಯು ಹಿಂದಿನ ಸೈಟ್ಗಿಂತ ಈ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಶೀಫ್ನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮಧ್ಯಂತರ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಕ್ರೋಮಾಟಿಕ್ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. .. ಸ್ಥಾಪಕ ಲೇಖನಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ-ಗ್ರೇಮ್ ಸೆಗಲ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಷನ್ಸ್ ಟು ಕ್ಯಾಲಾಬಿ-ಯೂ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಕೆ3 ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕೆ3 ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳು