Heston model
ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೀವನ್ ಎಲ್. ಹೆಸ್ಟನ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯು, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಆಸ್ತಿಯ ಚಂಚಲತೆಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆಃ ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯು ಆಸ್ತಿಯ ಚಂಚಲತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ನಿರ್ಣಾಯಕವೂ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯು ಮೂಲ ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯು, ಆಸ್ತಿಯ ಬೆಲೆಯಾದ ಸೇಂಟ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ತತ್ಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಫೆಲ್ಲರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್-ರೂಟ್ ಅಥವಾ ಸಿ. ಐ. ಆರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ρ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು (ಅಂದರೆ, ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳು). ಈ ಮಾದರಿಯು ಐದು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಆರಂಭಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. , ಬೆಲೆಯ ದೀರ್ಘ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಅಥವಾ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ; t ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, νt ಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು θ ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. , νt ಯು θ ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವ ದರ, ಚಂಚಲತೆಯ ಚಂಚಲತೆ, ಅಥವಾ νt ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ 'ವೋಲ್ಟ್ ಆಫ್ ವೋಲ್ಟ್'. ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ (ಫೆಲ್ಲರ್ ಷರತ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ನಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಪಾಯ-ತಟಸ್ಥ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ವತ್ತುಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಾವತಿಸುವ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಬೆಲೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಅದರ ರಿಯಾಯಿತಿ ಪಾವತಿಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಪಾಯ-ತಟಸ್ಥ ಅಳತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸಮಾನವಾದ ಮಾರ್ಟಿನ್ಗೇಲ್ ಅಳತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅಪಾಯ-ತಟಸ್ಥ ಅಳತೆಯು ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಅಳತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆಃ ಅಂತಹ ಅಳತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ವತ್ತುಗಳ ರಿಯಾಯಿತಿ ಬೆಲೆಯು ಮಾರ್ಟಿನ್ಗೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹೆಸ್ಟನ್ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ (ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಚಲನೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಹಳ ಸಡಿಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಚಲನೆಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆ-ಮುಕ್ತ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಮಾನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಾವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ವತ್ತುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮಾನ ಅಳತೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನೆಗಳ ಸ್ಥಳವಾದ ಆರ್ಎಮ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾದ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಕ್ರಮಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಆರ್ಎಂನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ; ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ವತ್ತುಗಳಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಆರ್ಎಂಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ವತ್ತುಗಳು ಸಮಾನ ಕ್ರಮಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ರಿಯಾಯಿತಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯ) ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಅದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮಾನವಾದ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಕ್ರಮಗಳ ಗುಂಪಿನ ಆಯಾಮವನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಆಸ್ತಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸಮಾನ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಅಳತೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಆಯಾಮವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಡ್ರಿಫ್ಟ್ಗೆ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದೇ ಅಪಾಯ-ತಟಸ್ಥ ಅಳತೆ ಇದೆ, ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರಿಯಾಯಿತಿ ಪಡೆದ ಆಸ್ತಿಯು ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ವ್ಯಾಪಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ-ಮೊದಲನೆಯದು ಸ್ಟಾಕ್ ಬೆಲೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (ಎಸ್ಡಿಇ) ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಸ್ಟಾಕ್ ಬೆಲೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಎಸ್ಡಿಇಯಲ್ಲಿ. ಇಲ್ಲಿ, ಸಮಾನವಾದ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಕ್ರಮಗಳ ಗುಂಪಿನ ಆಯಾಮವು ಒಂದಾಗಿದೆ; ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪಾಯ-ಮುಕ್ತ ಕ್ರಮವಿಲ್ಲ. ಇದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ; ಯಾವುದೇ ಅಪಾಯ-ಮುಕ್ತ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆಗೆ ಬಳಸಬಹುದಾದರೂ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಭಿನ್ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಅಪಾಯ-ಮುಕ್ತ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಚಂಚಲತೆ-ಅವಲಂಬಿತ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಬೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯುರೋಪಿಯನ್ ಕರೆಗಳು, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವಿನಿಮಯಗಳು). ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಚಂಚಲತೆ-ಅವಲಂಬಿತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಒಂದೇ ಅಪಾಯ-ಮುಕ್ತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬೆಲೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಅನುಷ್ಠಾನ ಮೌಲ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಕಾರ್ ಮತ್ತು ಮದನ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಕಹ್ಲ್ ಮತ್ತು ಜಾಕೆಲ್ ಚರ್ಚಿಸಿದರು. ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್-ಫಾರ್ಮ್ ಆಯ್ಕೆಯ ಬೆಲೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಬೆನ್ಹಾಮೌ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಡಬಲ್ ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಗೆ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್-ಫಾರ್ಮ್ ಆಯ್ಕೆಯ ಬೆಲೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫರ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ನೀಡಿದರು. ಮತ್ತು ಗೌಥಿಯರ್ ಮತ್ತು ಪೊಸಮೈ ಅವರಿಂದ. ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಡ್ಡಿ ದರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರೆಝೆಲಾಕ್ ಮತ್ತು ಓಸ್ಟೆರ್ಲೀ ನೀಡಿದರು. ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕುಯಿ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವೈಜ್ಸ್ಟ್ ನೀಡಿದರು. ಚಂಚಲತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹೆಸ್ಟನ್ ಬೆಲೆ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೌರಿಟ್ಜಿನ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ತಿಳಿದಿರುವ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರಗಳು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅನುಕರಣೆಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಅಲನ್ ಲೆವಿಸ್ ಅವರ ಬ್ಲಾಗ್ ಪೋಸ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರವಾದ ಉಲ್ಲೇಖ ಬೆಲೆಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯ (ಸ್ಕೋನ್ಬಷರ್, ಎಸ್. ವಿ. ಐ ಮತ್ತು ಜಿ. ಎಸ್. ವಿ. ಐ) ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಚಂಚಲತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕೆಲವು ಪರಿಚಿತ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿವೆ. ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯವು ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯ ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಬೆಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾದ ಬೆಲೆಗಳ ನಡುವಿನ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬೆಲೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೆನಿಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗುಯಿಲ್ಲೌಮ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕೌಟೆನ್ಸ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವಿನಿಮಯ ಪದ-ರಚನೆಗೆ ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮುಂದಕ್ಕೆ ನಗುವನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಅಥವಾ ತಡೆಗೋಡೆ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು. ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ವೆನಿಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಲೆ ಫ್ಲೋಕ್ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಫಿಲಾನ್ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ಕಡಿಮೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸೊಗಸಾದವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯದರ ಒಳನೋಟವುಳ್ಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕುಯಿ ಮತ್ತು ಇತರರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಲಭ್ಯವಾಯಿತು. 2017ರಲ್ಲಿ. ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುವುದು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಭೇದದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಅಪಾಯ-ತಟಸ್ಥ ಅಳತೆ (ಸಮಾನವಾದ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಅಳತೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಹೆಸರು) ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ ಅವರ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಎಸ್. ಎ. ಬಿ. ಆರ್ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಕಹ್ಲ್, ಜಾಕೆಲ್ ಮತ್ತು ಲಾರ್ಡ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಸ್ (ಹಣಕಾಸು) ಹಣಕಾಸು ಮಾದರಿಗಳು ಆಯ್ಕೆಗಳು (ಹಣಕಾಸು) ಗಣಿತ ಹಣಕಾಸು