Large deviations of Gaussian random functions
ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಯು ಬಹುವಿಧದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು-ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣದ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ), ಅಥವಾ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ)-ಗೌಸಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಸ್ಮಿಕ್ ಮೈಕ್ರೋವೇವ್ ಹಿನ್ನೆಲೆ ವಿಕಿರಣದಲ್ಲಿನ ವೈಪರೀತ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಗಾಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) (ನೋಡಿ, pp. 8-9); ಮೆದುಳಿನ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪಾಸಿಟ್ರಾನ್ ಹೊರಸೂಸುವಿಕೆ ಟೊಮೊಗ್ರಫಿಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (ನೋಡಿ, ಪುಟಗಳು. 9-10). ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಸಣ್ಣ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ (ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ/ಮತ್ತು ಸಮಯದ) ಅಪರೂಪವಾಗಿದ್ದರೂ, ದೊಡ್ಡ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಮೂಲ ಹೇಳಿಕೆಯು (ಎರಡು ಆಯಾಮದ) ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಇದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು (ಗೋಳದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು (ಗೋಳದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ) ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನಂತರ, ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ, ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಎಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ), ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಅಂದಾಜಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಗೋಳಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಗೋಳದ) ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಶೂನ್ಯ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು (ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳಕ್ಕೆ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿನ ಗುಣಾಂಕವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗೋಳದ ಯೂಲರ್ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ (ಟೋರಸ್ಗೆ ಅದು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ). ಇದು ಎರಡು ಬಾರಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು (ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ), ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ) ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸುಳಿವುಃ ಸರಾಸರಿ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸುಳಿವು, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ (ಗೋಳದ) ಗುಂಪಿನ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ (ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಕೇರ್-ಹಾಫ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಗಾಸ್-ಬಾನೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯ, ರೈಸ್ನ ಸೂತ್ರ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ). ಸೆಟ್ ಯಾವಾಗ ಬೇಕಾದರೂ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಇನ್ನೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ ಯಾವಾಗ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಅದರ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸೆಟ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಈ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಭವನೀಯ ರಂಧ್ರಗಳು). ಆದಾಗ್ಯೂ, ದೊಡ್ಡದಾದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೆಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಣ್ಣ, ಸ್ವಲ್ಪ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಡಿಸ್ಕ್ ಅಥವಾ ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಊಹಿಸಲು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ). ಹೀಗಾಗಿ, ಅದರ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (ಅದನ್ನು ನೀಡಿದರೆ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಗೌಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವುದು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಮೂಲ ಹೇಳಿಕೆಯು ಆಡ್ಲರ್ ಹೇಳಿರುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ (ಮತ್ತು ಕಷ್ಟಕರ) ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸರಳವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದ ವಿವರವಾದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಾಗಿ ಸೈರೆಲ್ಸನ್ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು