Complete homogeneous symmetric polynomial
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವು, ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ಪದವಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಹೀಗಿವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಚರರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವು ಇರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಷರತ್ತಿನಿಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಹುಪದ ಉಂಗುರವು ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಮೊದಲ ಮೂರು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮೂಲ (ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ) ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಫಾರ್ಃ ಫಾರ್ಃ ಫಾರ್ಃ ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಾರ್ಮಲ್ ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ನ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ (ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೀರೀಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವು ಮಧ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಅಂಶವಾದ ಔಪಚಾರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹೇಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುರುತನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಪ್ರತಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕಪದವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಂತಹ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯ ಪದಗಳಿಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಏಕಪದದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ ಮಹೊನ್ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಮಹಾನ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಬಹುಪದಿ ಗುಣಾಂಕದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕದ ಪವರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯೆಂದು ಬರೆಯಬಹುದು (ಮತ್ತು ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಜೆ-th ಪವರ್ ಮೊತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ನಡುವೆ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಬಂಧವಿದೆಃ ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ, ಇದನ್ನು ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದುಃ (ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬಹುಪದಗಳ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಶೂನ್ಯವಾದ ನಂತರ). ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಇದನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಸ್ಥಿರ ಸರಣಿ 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಘಾತಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ), ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪದವಿಯ ಸ್ಥಿರ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿನ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು. ಮೊನೊಮಿಯಲ್ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪದದಿಂದ, ಎಲ್ಲಿಂದ ಮತ್ತು ಮೊನೊಮಿಯಲ್ನಿಂದ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೊಡುಗೆಯಿದೆ; ಈ ಕೊಡುಗೆಯು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಬಂಧವು ನಂತರ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಎರಡೂ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯೋಗದ ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಕೊನೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ; ಎರಡನೆಯದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಇದು ವಿಲೋಮವನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಈ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೂ ಹಿಂದಿನ ಬಹುಪದಗಳು ನಂತರ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಂಗುರದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದು ರಿಂಗ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಗ್ರಿ 1 ರಿಂದ ಇನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಸೆಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ವಲಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಹುಪದ ವಲಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸದೃಶವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ. ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದಿಯು ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಗುರುತುಗಳ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ pk ಎಂಬುದು k-th ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಃ, ಮೇಲಿನಂತೆ. ಸಣ್ಣದಕ್ಕೆ ನಾವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರ th ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಿತ ಆಪರೇಟರ್ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ಪ್ರತಿಪಾದನೆಃ ಪುರಾವೆ ಸುಲಭವಾಗಿದೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ಐಗನ್ಬೇಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆಧಾರವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕುರುಹುಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಎರಡೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಷುರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಕುರುಹುಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವೇಲ್ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಕಾಣಬಹುದು. 1 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾದ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದ ನಾವು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ, ಲೆಮ್ಮಾ 3.5 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ-ಟುಪಲ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಷುರ್ ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಐಡೆಂಟಿಟೀಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ ಮಹೊನ್ ಮಾಸ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್, ಐ. ಜಿ. (1979), ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹಾಲ್ ಬಹುಪದಗಳು. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಸ್. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ಃ ಕ್ಲಾರೆಂಡನ್ ಪ್ರೆಸ್. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್, ಐ. ಜಿ. (1995), ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಹಾಲ್ ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ಸ್, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ಃ ಕ್ಲಾರೆಂಡನ್ ಪ್ರೆಸ್. (ಪೇಪರ್ಬ್ಯಾಕ್, 1998). ರಿಚರ್ಡ್ ಪಿ. ಸ್ಟಾನ್ಲಿ (1999), ಎನ್ಯುಮರೇಟಿವ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 2. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ಃ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳು ಸಮಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು