Hodge structure
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ವಿ. ಡಿ. ಹಾಡ್ಜ್ನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ನೀಡುವ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ (1970) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ (ಅವು ಏಕವಚನ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಫಿಲಿಪ್ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ (1968) ಅವರು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮೊರಿಹಿಕೋ ಸೈಟೋ (1989) ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೇಲೆ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ತೂಕ n ನ ಶುದ್ಧ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ H ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆಃ ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧಕದಿಂದ H ನ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಂದ H ನ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಶೋಧನೆ ಈ ಷರತ್ತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ವಿವರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಕಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ X ನ n-th ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು, ನಂತರ ಅದರ n-th ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಆಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಅವಧಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ, ತೂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ಸಮೂಹವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಾಡ್ಜ್ ರೀಮನ್ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ರೀಮನ್ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ತೂಕ n ರ ಧ್ರುವೀಕರಿಸಿದ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯು ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವಾದ Q ಆನ್ (ಧ್ರುವೀಕರಣ) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯತೆಯಿಂದ H ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಷರತ್ತುಗಳು ಸೂಚಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಿ C ಎಂಬುದು H ಮೇಲೆ ವೇಯ್ಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಆನ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ-ಗ್ರೇಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ವೃತ್ತ ಗುಂಪಿನ ಯು (1) ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋರಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು H ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು an ನಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂಬುದು ಎ-ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಉದ್ದೇಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಎ ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ತೂಕ n ರ ಶುದ್ಧ ಹಾಡ್ಜ್ A-ರಚನೆಯನ್ನು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ A. ಹಾಡ್ಜ್ ಎ-ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬಿ-ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬೇಸ್ ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಿವೆ. ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳು 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಜೀನ್-ಪಿಯರ್ ಸೆರೆ ಅವರು ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಏಕವಚನ (ಬಹುಶಃ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ) ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಸಹ 'ವರ್ಚುವಲ್ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು' ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧವಾದ X ಗೆ ಅದರ ವರ್ಚುವಲ್ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಬಹುಪದವಾದ PX (t) ಅನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವೈವಿಧ್ಯದ n ನೇ ಸಮರೂಪತೆಯು ವಿಭಿನ್ನ ತೂಕದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರ ಉದ್ದೇಶಗಳ ಊಹಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು, ಇದು ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಂಡಿತು. ಅವರು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅವುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು (ಹೈಸುಕೆ ಹಿರೊನಾಕ ಅವರ ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎಲ್-ಆಡಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮೇಲಿನ ತೂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ, ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಗಳ ಕೊನೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲು, ಎರಡು ಏಕಕಾಲಿಕವಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ X ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಇದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಘಟಕಗಳು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿಲ್ಲವೆಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಆದರೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಂದ್ರಗೊಳಿಸಬಹುದು. X ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೊದಲ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು (ಸಾಂದ್ರವಾದ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ) ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮೂರು ರೀತಿಯ ಏಕ-ಚಕ್ರಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪಂಕ್ಚರ್ಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಸಣ್ಣ ಲೂಪ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಂಶಗಳಿವೆ. ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕಗಳ ಸಂಕೋಚನದ ಮೊದಲ ಏಕರೂಪತೆಯಿಂದ ಬರುವ ಅಂಶಗಳಿವೆ. ಈ ಅಂಶದ ಸಂಕೋಚನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ () ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು-ಚಕ್ರವು ಅಂಗೀಕೃತವಲ್ಲಃ ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅದರ ಅವಧಿಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಮೊದಲ ಎರಡು ವಿಧಗಳು, ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ಚಕ್ರದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸತತ ಅಂಶಗಳಾದ Wn/Wn−1 ನಯವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸಂಯೋಗಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಹುಟ್ಟುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ತೂಕಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ (ಶುದ್ಧ) ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು "ಎ ನೈವ್ ಗೈಡ್ ಟು ಮಿಕ್ಸ್ಡ್ ಹಾಡ್ಜ್ ಥಿಯರಿ" ಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳ H (ಸಂಕೀರ್ಣತೆ) ದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಶೋಧನೆ Fp ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಶೋಧನೆ ವೈ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ತೂಕ ಶೋಧನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ತೂಕದ ಶೋಧನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ n-th ಸಂಬಂಧಿತ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಅಂಶವು, ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಮೇಲೆ F ನಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಶೋಧನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ ತೂಕ n ನ ಶುದ್ಧ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರೇರಿತ ಶೋಧನೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ವರ್ಗದ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಕರ್ನಲ್ಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವರ್ಗದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಕರ್ನಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರೇರಿತ ಶೋಧನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಒಟ್ಟು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ತೂಕದ ಶೋಧನೆ Wn ನ n ನೇ ಸ್ಥಳವು n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ (ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ) ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಡಬಲ್ ಗ್ರೇಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಇದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಶೋಧನೆ Fp ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಡಿಮೆ ಶೋಧನೆ Wn ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಟ್ಟು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಇನ್ನೂ ಈ ಎರಡು ಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅವು ನೇರ ಮೊತ್ತದ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಶುದ್ಧ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ಮೂರನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, (ಮಿಶ್ರ) ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ವರ್ಗವು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ತಮ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಭೇದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಮತ್ತು ಡ್ಯುಯಲ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ನ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ತನಾಕಿಯನ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ತನ್ನಾಕಾ-ಕ್ರೀನ್ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ವರ್ಗವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಡೆಲಿಗ್ನೇ, ಮಿಲ್ನೆ ಮತ್ತು ಎಟ್ ಎಲ್. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದೆ, ನೋಡಿ ಮತ್ತು. ಈ ಗುಂಪಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಮರುರೂಪಿಸಲಾಯಿತು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಶುದ್ಧ ಧ್ರುವೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ (ಹೆಚ್ಚು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ) ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅವರು ಮಾಡಿದರು. ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯು (ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ) ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ n ನೇ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪು ಅಂಗೀಕೃತ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯು ಕಾರ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಭೇದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ (ಕುನ್ನೇತ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್) ಮತ್ತು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರಭೇದ X ಗೆ ಈ ರಚನೆಯು ತೂಕ n ನಿಂದ ಶುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆ ಅನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಡಿ ರಾಮ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಹೈಪರ್ ಆಲ್ಕೋಹಾಲಜಿ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಪುರಾವೆಯು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಏಕತ್ವವನ್ನು ನೋಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳು ಏಕತ್ವಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು (ಹಿರೋನಾಕದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ) ಅತ್ಯಗತ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಏಕವಚನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದ ಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಮೇಲೆ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ತಾಂತ್ರಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ). ಉದ್ದೇಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಮಗ್ರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಮೇಲೆ ತೂಕದ ಶೋಧನೆ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಟೇಟ್-ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯು (ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು) ನೀಡಿದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ತೂಕ-2 ರಿಂದ ಶುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳವರೆಗೆ ತೂಕ-2 ರ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 1-ಆಯಾಮದ ಶುದ್ಧ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದರ n ನೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು 1-ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು ತೂಕದ ಶುದ್ಧ-2n ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು n ನೇ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪು ತೂಕದ n ನಿಂದ ಶುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು (ಬಹುಶಃ ಏಕವಚನ ಅಥವಾ ಅಸಮರ್ಪಕ) ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ನಯವಾದ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಅವನತಿ ಹೊಂದಿದ ಇ2-ಪುಟದೊಂದಿಗೆ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇ1-ಪುಟವು ಸರಳವಾದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಬರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ವಿಧವಾದ X ಸಾಮಾನ್ಯ ದಾಟುವ ವಿಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾದ ನಯವಾದ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪಗಳನ್ನು X ನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅವರು ತಮ್ಮ "ಪೀರಿಯಡ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್" ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಾಗಿ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಬಹುಪದವು ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಗ್ರೇಡೆಡ್ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ರಿಂಗ್ ಅದರ ಮಧ್ಯಮ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, K3 ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು. ನಂತರ, ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಉಂಗುರವು ಪ್ರಾಚೀನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಓದಿ, ಆದ್ದರಿಂದ 19-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ವರ್ಗವು ನೀಡಿದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಾಹಕವಿದೆ. ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಹೈಪರ್ಪ್ಲೇನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಹಾಡ್ಜ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯಿಂದ, ಉಳಿದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು-ಆಯಾಮದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹಾಡ್ಜ್ ವಜ್ರವು ಡಿಗ್ರಿ ಪ್ಲೇನ್ ಕರ್ವ್ನ ಕುಲವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇತರ ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆಗ ನಾವು ಅದೇ ಕುಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಉಂಗುರದ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದು ಆಯಾಮವು ಬಯಸಿದಂತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದನಕ್ಕೆ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಹ ಸುಲಭವಾಗಿ ಗಣಿಸಬಹುದಾದವುಃ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಹಿರ್ಜೆಬ್ರೂಚ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಸಂಯೋಜಿತ ಸೂತ್ರವಿದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ರೂಪಿಸಿದ ಉದ್ದೇಶಗಳ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಊಹಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಎಲ್-ಆಡಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಅಂಶಗಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾದ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯ X ಗಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮಾಹಿತಿಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ X ನಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೆರ್ಗೆಯ್ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಯೂರಿ ಮ್ಯಾನಿನ್ ಅವರು 1988ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ತಮ್ಮ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಆಫ್ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದಲ್ಲಿ, ಇತರ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, "ಹಾಡ್ಜ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ" ಮೂಲವು ಬಹಳ ನಿಗೂಢವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಡಿ ರಾಮ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಮೇಲೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಜಟಿಲವಲ್ಲದ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ, ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಈ ನಿಗೂಢತೆಯು ಗಾಢವಾಗಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ಒಂದು ಬದಲಾವಣೆಯು (,,) ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ X ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಗುಣ Xನ ಮೇಲೆ ತೂಕ nನ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯು Xನ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೀಫ್ Sಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು S′OXನಲ್ಲಿ ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆ F ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಶೋಧನೆ ಸೀಫ್ Sನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾಂಡದ ಮೇಲೆ ತೂಕ nನ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ (ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಾಲಿಟಿ) S′OXನಲ್ಲಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಪರ್ಕವು ಇಲ್ಲಿ S′OXನಲ್ಲಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ (ಫ್ಲಾಟ್) ಸಂಪರ್ಕವು Sʼನಲ್ಲಿನ ಫ್ಲಾಟ್ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ಮತ್ತು OXನಲ್ಲಿನ ಫ್ಲಾಟ್ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು OX ಎಂಬುದು Xನಲ್ಲಿನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಶೀಫ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು Xನಲ್ಲಿನ 1-ರೂಪಗಳ ಶೀಫ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕವು ಗಾಸ್-ಮ್ಯಾನಿನ್ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಫುಚ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಎಸ್ ಗೆ ಶ್ರೇಣೀಕರಣ ಅಥವಾ ಶೋಧನೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫೈಬರ್ಗಳು 10ನೇ ಕುಲದ ನಯವಾದ ಸಮತಲ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಏಕಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತವೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ಹೊದಿಕೆಗಳಂತೆಯೇ ಯೋಚಿಸಬಹುದು; ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿ ನಯವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವಿದೆ. ಇವು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀವ್ಗಳ ವರ್ಗಗಳಂತೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು f, f *, f!, f! ಸೀವ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಡುವೆ (ಪಡೆದ ವರ್ಗಗಳ). ಮಿಕ್ಸ್ಡ್ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಹಾಡ್ಜ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಐಡಿಯಲ್ ಹಾಡ್ಜ್-ಟೇಟ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದು ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳ ಪಿ-ಎಡಿಕ್ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು (ಶೀಫ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಉಪಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ) ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿಷ್ಕಪಟ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ (ತೂಕದ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದದ ಅಫೈನ್ ಮಿಲ್ನರ್ ಫೈಬರ್ನ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತೂಕದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತೂಕದ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ಪೂರಕಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.) ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ಲೇಖನಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯದ ಸಂಯೋಗಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯದ ಸಂಯೋಗಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯದ ಸಂಯೋಗಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. .. ಈ ಲೇಖನದ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಜೆ. ಮಿಲ್ನೆ ಅವರ ಮುಖಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ರಚನೆಗಳು