Rigidity (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸಂಗ್ರಹವಾದ ಸಿ ಎಂದರೆ ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಿ ಅನ್ನು ಒಬ್ಬರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸಿ ಬಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಬದಲಿಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು "ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ" ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಸೇರಿವೆಃ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಮಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಅಂತಹ ಕಠಿಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಿ ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳು ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಸೆಟ್, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎನ್, ಅಥವಾ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾದ X, Y ನಡುವಿನ ಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಗಳು L (X, Y) ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ L ω L (X, Y) ಅನ್ನು X ನ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉತ್ತಮ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗಣವು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಏಕೈಕ (ಕ್ರಮ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ) ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯು ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎರಡು ಉತ್ತಮ-ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕುರಿತಾದ ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಮುಖಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಾಮೀಪ್ಯದ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ನ ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿರುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಠಿಣ ಗುಂಪುಗಳು. ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಪದವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ,;-ಟುಪಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂಶಗಳ ಮೊದಲ ಘಟನೆಗಳು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ; ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೇಲಿನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತುಣುಕುಗಳ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಿ. ಈಗ-ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೀಲುಗಳಿಂದ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಭೌತಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಸಮೂಹಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾದ ರಚನಾತ್ಮಕ ಬಿಗಿತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಮಟ್ಟದ ರಚನೆ (ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆ