Gaussian binomial coefficient
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು (ಗಾಸಿಯನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಗಾಸಿಯನ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಅಥವಾ q-ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ q-ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಅಥವಾ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾದ ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ q ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು q ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿದಾಗ, ಆಯಾಮ n ಓವರ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಯಾಮ k ಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ, q ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ; ಅಂದರೆ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ m ಮತ್ತು r ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು 0 ಎಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ ಖಾಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಆಗಿದೆ. ಸೂತ್ರವು ಮೊದಲಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಭಜನೆಯು Z [q] ನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅಂಶವು q-ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಃ ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ವಿವರಣೆಗಳು ವಿಲೋಮಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ವಿವರಣೆಯು ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು-ಅಂಶ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ-ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪದದ ಉದ್ದದಲ್ಲಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷರ ಸ್ಥಾನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ-ಸಂಯೋಜನೆಯು ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳ ವರ್ಣಮಾಲೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದ್ದದ ಪದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1ನೇ ಅಕ್ಷರದ ಪ್ರತಿಗಳು (ಆಯ್ದ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು 0 (ಉಳಿದ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0s ಮತ್ತು 1s ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಪದಗಳು. ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಪ್ರತಿ ಪದವು ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪದದ ವಿಲೋಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಲೋಮವು ಜೋಡಿಯ ಎಡಭಾಗವು 1 ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಬಲ ಸ್ಥಾನವು 0 ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಾನಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ, 0 ವಿಲೋಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಪದವಿದೆ, 1 ವಿಲೋಮದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಪದವಿದೆ, 2 ವಿಲೋಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಪದಗಳಿವೆ,,,, 3 ವಿಲೋಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಪದವಿದೆ, ಮತ್ತು 4 ವಿಲೋಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಪದವಿದೆ. ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದಿಂದ 1 ರ ಎಡ-ಶಿಫ್ಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಆಗಿದೆ. ಇವು ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಕೆಳಗಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಿಂದ ಮೇಲಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯವರೆಗೆ ಹೋಗುವ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಅಗಲದೊಂದಿಗೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಗ್ರಿಡ್ಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದು. ಮಾರ್ಗವು ಪ್ರತಿ 0 ಗೆ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ 1 ಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮೇಲಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮವು ಒಂದು ಹಂತದ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ (ಬಲ + ಮೇಲಕ್ಕೆ + ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ), ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಲೋಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮಾರ್ಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಡಬ್ಬಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗದ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ಡಬ್ಬಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಸೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಡಬ್ಬಿಯು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಅನ್ವಯಗಳ ವಿಭಾಗವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ). ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಂತೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕೇಂದ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, q = 1ರ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಅಂದರೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅನುಗುಣವಾದ ದ್ವಿಪದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದದ ಪದವಿ ಎಂದರೆ. ಕ್ಯೂ ಗುರುತುಗಳು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಗುರುತಿನ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಗುರುತಿನ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ, ಇವೆರಡೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ವಿಪದ ಗುರುತನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಅನಲಾಗ್ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗೌಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ (m ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೌಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ (q ನಲ್ಲಿ) ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುರುತುಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅದು ಆರ್-ಆಯಾಮದ ಉಪ-ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರಲಿ. ಮೊದಲ ಗುರುತು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ; ಸ್ಪೇಸ್ ಆರ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಇರುವ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬೇಕು; ಆದರೆ, ಸ್ಪೇಸ್ (ಆರ್-1)-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಮಾಡಬಹುದು. ಎರಡನೇ ಗುರುತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು (m−1)-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾದೃಶ್ಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು ಎರಡೂ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಸಮೀಕರಣವು () ಆಗುವುದರಿಂದಃ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ () ಮೊದಲ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು, ಬದಲಿಗೆ, ಎರಡನೇ ಅನಲಾಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. q-ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವು q-ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೌಚಿ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಒಂದು ಸೂತ್ರವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಇಳುವರಿ ಮತ್ತು. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. (ಬೇಸಿಕ್ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.) ಕೇಂದ್ರೀಯ q-ದ್ವಿಪದ ಗುರುತು ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ q-ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಾದೃಶ್ಯವೆಂದರೆಃ ಅನ್ವಯಗಳು ಗಾಸ್ ಮೂಲತಃ ಚತುರ್ಭುಜ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತದ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಿರ್ಣಯದಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಗೌಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. qr in ನ ಗುಣಾಂಕವು m ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ r ನ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದು n ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ r ನ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಆಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ m ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗೌಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಹ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, q ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ Fq ಗೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು Fq (ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್) ಮೇಲೆ n-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ k-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. q ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ, ಇದು ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಶುಬರ್ಟ್ ಕೋಶಗಳಾಗಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು (Fq) n ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ). ಇದಲ್ಲದೆ, q 1 (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ-1) ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣದ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನೈಜ) ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. Fqn ನ k-ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ (m−1)-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ (r−1)-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಆ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂತಹ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುರುತಿನ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ನಂತರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಈ ಸ್ಥಿರ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಸ್ಥಳದ (r−1)-ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕ್ವಾಂಟಮ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕದ ಈ ಆವೃತ್ತಿಯು ಮತ್ತು ವಿನಿಮಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಕ್ಸ್ಟನ್, ಎಚ್. (1983), ಕ್ಯೂ-ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಹಾಲ್ಸ್ಟೆಡ್ ಪ್ರೆಸ್, ಚಿಚೆಸ್ಟರ್ಃ ಎಲ್ಲಿಸ್ ಹಾರ್ವುಡ್, 1983,, (ದಿನಾಂಕವಿಲ್ಲದ, 2004 ಅಥವಾ ಹಿಂದಿನದು). ರತ್ನಾಧಾ ಕೋಲ್ಹತ್ಕರ್, ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯ (ದಿನಾಂಕ ಜನವರಿ 26,2004) (2009). ಕ್ಯೂ-ಅನಲಾಗ್ಸ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ವಿಷಯಗಳು