Laplacian matrix
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್, ಅಡ್ಮಿಟನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಕಿರ್ಚಾಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪಿಯರೆ-ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಗ್ರಾಫ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಫೈನೈಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರಂತರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅನೇಕ ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಕಿರ್ಚಾಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ ಹರಡಿದ ಮರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ನ ಅತ್ಯಂತ ವಿರಳವಾದ ಕಟ್ ಅನ್ನು ಫೀಡ್ಲರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು-ಗ್ರಾಫ್ನ ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ನ ಎರಡನೇ ಚಿಕ್ಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್-ಚೀಗರ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಭಜನೆಯು ಅನೇಕ ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್-ಆಧಾರಿತ ಸಿಗ್ನಲ್ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯು ಗ್ರಾಫ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಸಿಗ್ನಲ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂಚಿನ-ತೂಕದ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಅಂಚುಗಳ ಮೇಲೆ ತೂಕದೊಂದಿಗೆ-ಗ್ರಾಫ್ ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಮೂದುಗಳು. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗ್ರಾಫ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಂಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಅಸಮತೋಲಿತ ತೂಕಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಮೇಲೆ ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಬಹುದು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಮೂದುಗಳ ಕಾಲಮ್/ರೋ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್-ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂಶವಾರು ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಡಿ ಡಿಗ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸರಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೇವಲ 1s ಅಥವಾ 0s ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ಎಲ್ಲಾ 0s ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ, ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸಮೀಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎರಡೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್-ಮೊತ್ತಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ದೇಶನದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಇಂಡೆಗ್ರೀ ಅಥವಾ ಔಟ್ ಡಿಗ್ರಿ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ನಿರ್ದೇಶನದ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎರಡೂ ಅಸಮ್ಮಿತವಾಗಿವೆ. ಅದರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಕಾಲಮ್-ಮೊತ್ತಗಳು ಅಥವಾ ಸಾಲು-ಮೊತ್ತಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಇಂಡೆಗ್ರೀ ಅಥವಾ ಔಟ್ ಡಿಗ್ರಿ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೂಲಕ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಶೃಂಗ v ಮತ್ತು ಅಂಚು e (ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮತ್ತು i> j ನೊಂದಿಗೆ) ಗಾಗಿ Bve ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ B ಅನ್ನು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಶೃಂಗ-ಆಧಾರಿತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್. ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಂಚು-ಆಧಾರಿತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ನ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮೂಲ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂಲ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬೂಲಿಯನ್ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ, ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ತಾರ್ಕಿಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ದೊಡ್ಡ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಶೃಂಗ, ಇದನ್ನು ಹೆವಿ ನೋಡ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿರುವ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಶೃಂಗದ ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂತಹ ಶೃಂಗಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಇತರ ಶೃಂಗಗಳ ಪ್ರಭಾವಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಹೊಂದಿದೆ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಶೂನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮೂರ್-ಪೆನ್ರೋಸ್ ವಿಲೋಮ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲದ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅಭೇದ್ಯ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ದರ್ಜೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಎಡ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ-ನಡಿಗೆ) ಮತ್ತು ಬಲ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗಳು ಎಡ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ-ನಡಿಗೆ) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮೂರ್-ಪೆನ್ರೋಸ್ ವಿಲೋಮ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಸರಿಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬಲ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಎಡ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಪ್ರತಿ ಸಾಲನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ-ನಡಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಡಿಮೆ ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಿದ ಬಲ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಕಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಡ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲದ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಇಂಡೆಗ್ರಿ ಅಥವಾ ಔಟ್ ಡಿಗ್ರಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ 0 ಸಾಲು-ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಡ-ಹೊರ-ಮಟ್ಟದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಬಲ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ 0 ಕಾಲಮ್-ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ-ಮಟ್ಟದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಡ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ತೂಕದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ತೂಕದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಮೀಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗ್ರಾಫ್ ಶೃಂಗಗಳು ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್-ಆಧಾರಿತ ಸಿಗ್ನಲ್ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂಚಿನ ತೂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ತೂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಹೋಲಿಕೆಯ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ವಿರೋಧಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತೂಕಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದಲ್ಲಿ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಡಿ ಡಿಗ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಇಂಡೆಗ್ರೀ ಅಥವಾ ಔಟ್ ಡಿಗ್ರಿ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ವಯಂ-ಲೂಪ್ಗಳು, ಸಮೀಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಮೂದುಗಳಿಂದ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಗ್ರಾಫ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ತೂಕದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಒಬ್ಬರು ತೂಕದ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಿ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಪರ್ಯಾಯ ಸ್ವಚ್ಛ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ತೂಕವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದುಃ ನಿಯಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತೆ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ ಮತ್ತು ತೂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಬಿಗಿತ ಮತ್ತು ಏಕಮಾನದ ಉದ್ದದ ಬುಗ್ಗೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಈ ಮಾದರಿಗೆ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಿಗಿತದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅಂಚುಗಳ ತೂಕದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಭಾರವಿಲ್ಲದ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ B ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು Bve ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಶೃಂಗ v ಮತ್ತು ಅಂಚು e (ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮತ್ತು i> j ನೊಂದಿಗೆ) ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿ ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಅಂಚುಗಳು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೂ ಅದೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ ಅನ್ನು ಬಿ ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ರಚನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿಗೆ ತೂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತೆಯೇ, ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ತೂಕದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೊದಲು ಮೂಲ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೂಲ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬದಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ-ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಇನ್ನೂ ಸರಳವಾಗಿರಬೇಕು, ಅದರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕೇವಲ ತಾರ್ಕಿಕ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಾರ್ಕಿಕ ಮೊತ್ತವು 1 ವಿ 1 = 1, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೊತ್ತವು 1 + 1 = 2 ಆಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಇಬ್ಬರು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗಳಿಂದ ಇಂಡೆಗ್ರೀ ಮತ್ತು ಔಟ್ ಡಿಗ್ರಿ ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಔಟ್-ಡಿಗ್ರಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಜ್ಡ್ ಮತ್ತು ಇನ್-ಡಿಗ್ರಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮೊತ್ತವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಗುರಿಯು, ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತೆಯೇ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವುದು, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆಫ್-ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು. ತೂಕದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಶೃಂಗವು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಅಂಚುಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಘಟಕ ತೂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಅಂಚುಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ. ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ವಯಂ-ಲೂಪ್ಗಳು, ಅಂದರೆ, ಸಮೀಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಮೂದುಗಳು, ಗ್ರಾಫ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಅಂಶಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಎಣಿಸಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ ಅಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್, ಎ ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಡಿ ಡಿಗ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಮತ್ತು ಮೂರ್-ಪೆನ್ರೋಸ್ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಡಿಗ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಕೇವಲ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳು ಡಿ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಪರಸ್ಪರಗಳಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚಿನ ತೂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಡಿಗ್ರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಡಿಗ್ರಿ ಮೌಲ್ಯವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಶೂನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಾಮ್ಯತೆಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಡಿ ಯ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತೂಕವಿಲ್ಲದ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಿ ಮತ್ತು ಅಂಚಿನ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೊಸ ತೂಕದ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಜಿ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ e = {u, v} ಅಂಚಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾಲಮ್ ಯು ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಮೂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು v ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲಿನ ನಮೂದು, ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ 0 ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಡಿ ಡಿಗ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡಿಗ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಇದು ಡಿ ಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳ ಪರಸ್ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ (ಡಿಗ್ರಿ 0 ಹೊಂದಿರುವ), ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು 0 ಗೆ ಹೊಂದಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ-ನಡಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತೂಕಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಕರ್ನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, i-th ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಬೇಸಿಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಶೃಂಗದಿಂದ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಕರ್ನ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಕರ್ನ ಸ್ಥಳದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಂತಗಳ ನಂತರ ವಾಕರ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಎಡ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು. ಇದು ಪ್ರತಿ ಸಾಲನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ತೂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲವೆಂದು ಭಾವಿಸಿ ಇದು ಸರಿಯಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಿದ ಬಲ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಕಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಡ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲದ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಇಂಡೆಗ್ರಿ ಅಥವಾ ಔಟ್ ಡಿಗ್ರಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ 0 ಸಾಲು-ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಡ-ಹೊರ-ಮಟ್ಟದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಬಲ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ 0 ಕಾಲಮ್-ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ-ಮಟ್ಟದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಡ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಸವಾಲುಗಳನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತವೆಃ ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರದ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಸಾಲು-ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್-ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಧನಾತ್ಮಕ ತೂಕದ ದೊಡ್ಡ ಸಾಲು-ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕದ ಸಮಾನವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ದೊಡ್ಡ ಸಾಲು-ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶೃಂಗವನ್ನು, ಒಟ್ಟಾಗಿ ಶೂನ್ಯದವರೆಗೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಭಾರೀ ನೋಡ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗದಂತೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ತೂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಾಲು-ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್-ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗಮೂಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಲು-ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್-ಮೊತ್ತಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ವಾದಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಹೀಗಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯ-1 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದ ಕಾನೂನುಬದ್ಧ ಘಟಕ ನಮೂದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ನಿರ್ದೇಶಿಸದ) ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಗೆಃ ಎಲ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ ಧನಾತ್ಮಕ-ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ). ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಎಲ್ ಒಂದು ಎಂ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ (ಅದರ ಆಫ್-ಡಯಾಗ್ನಲ್ ನಮೂದುಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನೈಜ ಭಾಗಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ). ಎಲ್ ನ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಂಕಣದ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ, ಶೃಂಗದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಪ್ರತಿ ನೆರೆಯವರಿಗೆ "-1" ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಾಹಕವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ಶೂನ್ಯಸ್ಥಾನದ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು 0 ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ ನ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಗ್ಯಾಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ ನ ಎರಡನೇ ಚಿಕ್ಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು (ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು) ಜಿ ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಫೀಡ್ಲರ್ ಮೌಲ್ಯ) ಮತ್ತು ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನ ವಿರಳವಾದ ಕಟ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂಬುದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜಿ ಯ ಶೃಂಗದ ಸೆಟ್, ಮತ್ತು. G ಯು k-ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂದರೆಃ, ಇಲ್ಲಿ A ಎಂಬುದು ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು I ಒಂದು ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಬಹು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ, ಎಲ್ ಒಂದು ಬ್ಲಾಕ್ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬ್ಲಾಕ್ ಪ್ರತಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಆಯಾ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಬಹುಶಃ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮರುಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ (ಅಂದರೆ. ಎಲ್ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ-ಬ್ಲಾಕ್ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ). ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ ನ ಕುರುಹು ಪರಿಗಣಿತ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಯುನಿಟ್-ನಾರ್ಮಲ್ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಐಜೆಂಡೆ-ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0 = μ0 ≤. ≤ μn − 1 ≤ 2 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ವರ್ಣಪಟಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಇತರ ಗ್ರಾಫ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದುಃ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಇದು ನೈಜ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಫೈನೈಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರಂತರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. (ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ) ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಶೃಂಗವನ್ನು ಗ್ರಿಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಶೃಂಗದ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪರ್ಕವು ಈ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜು ಕೊರೆಯಚ್ಚುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಗ್ರಿಡ್ ಗಾತ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿಗೆ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ, ಇದು ಏಕರೂಪದ ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಗೆ, ಅಂದರೆ ಮುಕ್ತ ಗಡಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನಂತ ಗಾತ್ರದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನಮೂದುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದದ್ದಾಗಿರಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನೈಜ ತೂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮತ್ತು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನೈಜ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹಂತಕ್ಕೆ ಅಂಚಿನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಆವೇಶದ ಕಣದ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿಃ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ I ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, A ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, D ಡಿಗ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು s ಒಂದು (ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ) ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತವಿಲ್ಲದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂಕೇತವಿಲ್ಲದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನಂತೆ, ಸಂಕೇತವಿಲ್ಲದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 0-ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ತೋರಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ನಿರ್ದೇಶಿತ ಬಹು ಶಾಸನಗಳು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಬಹು ಶಾಸನಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಡಿ ಎಂಬುದು ಡಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಐ ಶೃಂಗದ ಹೊರ ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎ ಐ ಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಜೆ ಐ ಯಿಂದ ಜೆ ವರೆಗಿನ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಲೂಪ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ). ಓಪನ್ ಸೋರ್ಸ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು ಸೈಪೈ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಎಕ್ಸ್ ಜೂಲಿಯಾ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಸ್ಕೈಕಿಟ್-ಲರ್ನ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಪೈಜಿಎಸ್ಪಿಃ ಪೈಥಾನ್ ಮೆಗಾಮ್ಯಾನ್ನಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ಃ ಲಕ್ಷಾಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಲರ್ನಿಂಗ್ ಸುಗಮ ಜಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಚೇಂಜ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿಟೆಕ್ಷನ್ ಫಾರ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಸ್ (ಕೆಡಿಡಿ 2020) ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಪ್ಟ್ (ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅವರ ತೂಕದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಎರಡನೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಜೂಲಿಯಾ ಪ್ಯಾಕೇಜ್) ಲಿಗ್ಎಂಜಿ (ದೊಡ್ಡ ಅನಿಯಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಮಲ್ಟಿ ಗ್ರಿಡ್) Laplacians.jl ಸೀಮಿತ ತೂಕದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಟಿಫ್ನೆಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ದೂರ ಪರಿವರ್ತನೆ ದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ