Stationary phase approximation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಹಂತದ ಅಂದಾಜು ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲ ತತ್ವವಾಗಿದೆ, ಇದು ವೇಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕದ ವಿರುದ್ಧ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು 19ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಜಾರ್ಜ್ ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲಾರ್ಡ್ ಕೆಲ್ವಿನ್ ಕಾರಣರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಕಡಿದಾದ ಇಳಿಯುವಿಕೆಯ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಕೊಡುಗೆಯು ಇತರರಿಗಿಂತ ಮುಂಚೂಣಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಹಂತದ ವಿಧಾನಗಳ ಮುಖ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ವೇಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಹಂತದೊಂದಿಗೆ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳ ರದ್ದತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಅನೇಕ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಅವು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸೇರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದೇ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳು ಆವರ್ತನವು ಬದಲಾದಂತೆ ವೇಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿ ಸೇರುತ್ತವೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ರಚನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ವಿನಾಶಕಾರಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ನಡುವೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಸೂತ್ರ ಲೆಟಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಿ), ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಆಗಿವೆ (ಅಂದರೆ. ಫಾರ್) ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ನನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ನ ಸಹಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಊಹೆಗಳು ಕ್ಷೀಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಕಡಿದಾದ ಇಳಿಯುವಿಕೆಯ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರದ ವಿಕಿ-ತಿರುಗಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಹಂತದ ಪದವು, ಯಾವಾಗ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಕೆಲವರಿಗೆ ಪ್ರಬಲ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ನಾವು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದಾಗ, ಸಣ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಸಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಳಗೆ ತ್ವರಿತ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ರದ್ದತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ,. .. ಇದು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಕಡಿತ ಕ್ರಮಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತತ್ವದ ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯೆಂದರೆ I (k) ನ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯು f ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. g ನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು f ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಿದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೀಮನ್-ಲೆಬೆಸ್ಗು ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ನೋಡಿ. ಎರಡನೇ ಹೇಳಿಕೆಯೆಂದರೆ, f ಒಂದು ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, f ನ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳು ಕ್ಷೀಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆಗ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು n = 1 ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಂತರ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು ಪಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಜಿ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪಿ ನಲ್ಲಿನ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವು 0 ಅಲ್ಲ ಎಂಬ ಊಹೆಯಿಂದ, ಮೋರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ f ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಜೆ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಿ ನಲ್ಲಿ ಎಫ್ ನ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಹಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಿ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅಗತ್ಯವಾದ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ g ಎಂಬುದು xi ನ ಬಂಪ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಪಿ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ 1 ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮೃದುವಾದ ಬಂಪ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರಗೆ 0 ಗೆ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನಂತರ ಫುಬಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು I (k) ಅನ್ನು f (x) = ±x2 ನಂತಹ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರಕರಣವು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕರಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಅಂದಾಜು ಇದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ತಂತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಏರೀ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೀಗಿದೆಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮುಖ್ಯ ಪದವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ (ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಫ್ರೆಸ್ನೆಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದೇ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮಾದರಿ ಪ್ರಕರಣವು 0 ರಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳೆಯಲು, ಎಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಬೈಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅಂಶವು ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಳ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪದಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೋಡಬಹುದು, ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದ ಅಂದಾಜು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ. ಕೆಳ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮ ನಡವಳಿಕೆಗಾಗಿ ವಿವಿಧ ತೂಕದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಓವರ್ ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಮನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಸ್ಟೀಪಸ್ಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬ್ಲೈಸ್ಟೀನ್, ಎನ್. ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಂಡೆಲ್ಸ್ಮನ್, ಆರ್. (1975), ಅಸಿಮ್ಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಎಕ್ಸ್ಪ್ಯಾನ್ಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್, ಡೋವರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್. ವಿಕ್ಟರ್ ಗಿಲ್ಲೆಮಿನ್ ಮತ್ತು ಶ್ಲೋಮೊ ಸ್ಟರ್ನ್ಬರ್ಗ್ (1990), ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್, (ಅಧ್ಯಾಯ 1 ನೋಡಿ). .. ಅಕಿ, ಕೀಯಿಟಿ; & ರಿಚರ್ಡ್ಸ್, ಪಾಲ್ ಜಿ. (2002). "ಕ್ವಾಂಟಿಟೇಟಿವ್ ಸೀಸ್ಮಾಲಜಿ" (2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ), pp 255-256. ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಸೈನ್ಸ್ ಬುಕ್ಸ್, ವಾಂಗ್, ಆರ್. (2001), ಅಸಿಮ್ಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್, ಕ್ಲಾಸಿಕ್ಸ್ ಇನ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 34 ಆಗಿದೆ. 1989ರ ಮೂಲ ಕೃತಿಯ ಮರುಮುದ್ರಣವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೊಸೈಟಿ ಫಾರ್ ಇಂಡಸ್ಟ್ರಿಯಲ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ (ಎಸ್ಐಎಎಂ), ಫಿಲಡೆಲ್ಫಿಯಾ, ಪಿಎ. xviii + 543 ಪುಟಗಳು. ಡಿಯೋಡೋನ್ನೆ, ಜೆ. (1980), ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲ್ ಇನ್ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್, ಹರ್ಮನ್, ಪ್ಯಾರಿಸ್ ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಲಿಂಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಪರ್ಟರ್ಬೇಷನ್ ಥಿಯರಿ