Pure subgroup
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದರೆ ನೇರ ಸಾರಾಂಶದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಬೆಲಿಯನ್) ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದಾದರೆ ಅದನ್ನು ಶುದ್ಧ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿಃ, ಜಿ ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಎ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಅಥವಾ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತಿರುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ಪ್ರುಫರ್ನ 1923ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ತನಿಖೆ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ಪ್ರೂಫರ್ನ ಕೆಲಸವು ಕುಲಿಕಾಫ್ನಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿತ್ತು, ಅಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಘಾತಾಂಕದ ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ಚರ್ಚೆ, ಅನಂತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಅವರ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಸಮೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಇರ್ವಿಂಗ್ ಕಪ್ಲಾನ್ಸ್ಕಿಯ ಚಿಕ್ಕ ಕೆಂಪು ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೇರ ಸಂಕಲನವು ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪು ಶುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಜಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪು ಶುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಗುಂಪು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉಪಗುಂಪು ಶುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪು ಶುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಒಕ್ಕೂಟವು ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪು ನೇರ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ನೇರ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಕೇಳಬಹುದು. ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾರಾಂಶವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸೌಮ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕುಲಿಕಾಫ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮಿತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರ ಸಂಕಲನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮಿತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರ ಸಂಕಲನಗಳ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ಣ ಫಲಿತಾಂಶದ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಂತರ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಬಳಕೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ರೂಫರ್ನ ಕಾಗದ, ಅಲ್ಲಿ "ಸೀಮಿತ ತಿರುಚು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ" ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮಧ್ಯಂತರ ಪರಿಗಣನೆಯ ಮೂಲಕ "ಸೀಮಿತ ಘಾತಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ತಿರುಚು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ" ಎಂಬ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶುದ್ಧ ಉಪಘಟಕಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೇಲೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿತು; ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ n 'th ಮೂಲಗಳಿಗೆ ಮೇಲೆ ಬಳಸಿದ ಏಕ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿದ್ದವು. ಶುದ್ಧ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಶುದ್ಧ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಪ್ರುಫರ್ನ 1923ರ ಪ್ರಬಂಧದ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ನಿಕಟವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಶುದ್ಧ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಶುದ್ಧ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳಂತೆ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯದಿದ್ದರೂ, ಅವು ಮೂಲ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ನೇರ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಶುದ್ಧ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಘಟಕವು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಧ್ಯಾಯ III. ಉಪಗುಂಪು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ