Additive polynomial
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಜಕ ಬಹುಪದಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ k ಎಂಬುದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ p ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. kಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದ P (x) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಕ ಬಹುಪದ ಅಥವಾ a ಮತ್ತು bಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಅದರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಂತಹ k ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಅನಂತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ a ಮತ್ತು b ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಿ (ಎ + ಬಿ) = ಪಿ (ಎ) + ಪಿ (ಬಿ) ಎಂಬ ದುರ್ಬಲ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಎ ಮತ್ತು ಬಿಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಅವು ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಸ್ಥಿತಿಯು "ತಪ್ಪು" ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, q ಕ್ರಮದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ xq − x ನ ಯಾವುದೇ ಬಹು P ಯು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ a ಮತ್ತು b ಗಳಿಗೆ P (a + b) = P (a) + P (b) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ) ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬಹುಪದ xp ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, k ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ a ಮತ್ತು b ಗೆ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವು ಇರುತ್ತದೆ, p ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ n = 1,, p − 1 ಗೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು p ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು a ಮತ್ತು b ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳು ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. k ಎಂಬುದು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಕೇವಲ k ನಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು a ಗೆ ರೂಪವಾದ x ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಯೋಜನೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ವರ್ತುಲವು k ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಹ ಒಂದು ಸಂಯೋಜನೀಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಈ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಸಂಯೋಜಕ ಬಹುಪದಗಳಿವೆಯೇ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಉತ್ತರವೆಂದರೆ ಇವುಗಳು ಮಾತ್ರ. P (x) ಮತ್ತು M (x) ಸಂಯೋಜಕ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, P (x) + M (x) ಮತ್ತು P (M (x)) ಕೂಡ ಹಾಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಸಂಯೋಜನೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಬಹುಪದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇವು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಉಂಗುರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಉಂಗುರವು k ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರದ ಹೊರತು ಸಂವಹನವಲ್ಲ (ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ನೋಡಿ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, k ನಲ್ಲಿನ a ಗುಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಯೋಜಕ ಬಹುಪದಗಳಾದ x ಮತ್ತು xp ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ನಾವು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ap − a = 0 ಆಗಿರಬೇಕು. ಸಂಯೋಜನೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಪಿ (x) ಅನ್ನು ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಪಿ (ಎಕ್ಸ್) ನ ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ (ಅಂದರೆ, ಪಿ (ಎಕ್ಸ್) ಅನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು), ನಂತರ ಸೆಟ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಪಿ (ಎಕ್ಸ್) ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅಡಿಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಡೇವಿಡ್ ಗಾಸ್, ಬೇಸಿಕ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಸ್ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಅರ್ಥಮೆಟಿಕ್, 1996, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಬರ್ಲಿನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಬಹುಪದಗಳು