Ultraparallel theorem
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ (ವಿಭಿನ್ನ) ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬರೇಖೆಯನ್ನು (ಎರಡೂ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆ) ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವು r ಮತ್ತು s ಎರಡು ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾದ ಎ ಮತ್ತು ಸಿ ಯಿಂದ ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಎಬಿ ಮತ್ತು ಸಿಬಿ 'r ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಬಿ ಮತ್ತು ಬಿ' ಅನ್ನು r ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದು ಎಬಿ = ಸಿಬಿ 'ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಯಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವು ಎಸಿ ಮತ್ತು ಬಿಬಿ' ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುತ್ತದೆ (ಸಾಚೆರಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಸಿಬಿ 'ಬಿ ಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ). ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಎಬಿ <ಸಿಬಿ 'ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಸಿ ಯಿಂದ ಎ ಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಸಿಬಿ ಮೇಲೆ 'ಎ' ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಇದರಿಂದ ಎ 'ಬಿ' = ಎಬಿ. 'ಎ' ಮೂಲಕ ಇ ಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು (ಎ 'ಇ') ಎಳೆಯಿರಿ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಬಿ 'ಎ' ಇ 'ಕೋನವು ಬಿ. ಎ. ಇ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ 's' ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ 's' ಅನ್ನು ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಎಇ ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಡಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ರಚಿಸಿ, ಇದರಿಂದ AD = A 'D' ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ D '§ D. ಅವು r ನಿಂದ ಒಂದೇ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ s ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ D' D ಯ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕವು (s ನ ಒಂದು ಭಾಗ) ಸಹ r ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (r ಮತ್ತು s ಗಳು ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಆಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ರಚನೆಯು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ s 's ಅನ್ನು ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ s' s ಮತ್ತು r ಎರಡಕ್ಕೂ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಆಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದ ಮೇಲೆ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿ HP ಯಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿಃ ನಂತರ ಈಗ ಈ ಎರಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಸಿಃ ನಂತರ,,, (ಹೇಳಿ) ನಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅರ್ಧವೃತ್ತವು ಇನ್ನೊಂದರ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಲಂಬ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಆನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಯಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವು ತ್ರಿಜ್ಯ-ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ನಾಲ್ಕು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿ ಮೂಲ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಅರ್ಧವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಪುರಾವೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿಃ ಎರಡು ಅತಿ-ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಎರಡು ಛೇದಿಸದ ಸ್ವರಮೇಳಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಧ್ರುವಗಳು ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಗಡಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳ ಆಯಾ ಛೇದಕಗಳಾಗಿವೆ. ರೇಖೆ l ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ಸ್ವರಮೇಳಗಳಿಂದ ರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯು l ನ ಧ್ರುವದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಧ್ರುವಗಳ ನಡುವಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಗಡಿ ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತೇವೆ; ಛೇದನದ ಸ್ವರಮೇಳವು ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳವು ವ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಮಗೆ ಧ್ರುವವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸ್ವರಮೇಳವು ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸಹ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಧ್ರುವದ ಮೂಲಕ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ರಚನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎರಡೂ ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ವ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. (ಗಡಿ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಸ್ವರಮೇಳಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಸ್ವರಮೇಳವು ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ಸ್ವರಮೇಳದ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಧ್ರುವದ ಲಂಬಗೋಳದಿಂದ ವ್ಯಾಸದವರೆಗಿನ ರೇಖೆಯು ವ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳ ಎರಡನ್ನೂ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ರೇಖೆಗಳು ವ್ಯಾಸವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಧ್ರುವದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ಕೆತ್ತಲಾದ ಏಕ ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಧ್ರುವಗಳು ಈ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಶೃಂಗದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ, ವಿರುದ್ಧ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಲಾದ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಚತುರ್ಭುಜವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಧ್ರುವಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೆಯು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಲಾದ ಎರಡೂ ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವು ಇತರ ಎರಡು ಸ್ವರಮೇಳಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಅತಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಎರಡು ಛೇದಿಸದ ಸ್ವರಮೇಳಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಅವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕರೋಲ್ ಬೊರ್ಸುಕ್ ಮತ್ತು ವಾಂಡಾ ಸ್ಜ್ಮೀಲೆವ್ (1960) ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ, ಪುಟ 291. ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು