Rindler coordinates
ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳ್ಳುವ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕಣವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅದು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಅದರ ಸರಿಯಾದ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಲೋಕನಕ್ಕಾಗಿ, ವೇಗವರ್ಧನೆ (ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ) ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು (ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯ) ನೋಡಿ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಜಡತ್ವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ವೇಗವರ್ಧಿತ ವೀಕ್ಷಕನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದುಃ ವೀಕ್ಷಕನು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (ಕೋಮೋವಿಂಗ್ ಅಕ್ಸೆಲೆರೊಮೀಟರ್ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುವ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ), ಆಗ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ರಿಂಡ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೀಕ್ಷಕನು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮುಲ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋಟ್ಲರ್-ಮುಲ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋಟ್ಲರ್-ಮುಲ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಕರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರ್ಯಾಯ ಚಾರ್ಟ್ ಅನ್ನು ರಾಡಾರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಲಾಸ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಲರ್-ಮುಲ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಸ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೆರಡನ್ನೂ ರಿಂಡಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೆಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತಿಹಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಆಗಮನದ ನಂತರ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಾಗ (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ) ಅಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತುಃ ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ (1907,1912), ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಬಾರ್ನ್ (1909), ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ (1910), ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ವಾನ್ ಲೌ (1911), ಹೆಂಡ್ರಿಕ್ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ (1913), ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಕಾಟ್ಲರ್ (1914), ವೋಲ್ಫ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ಪೌಲಿ (1921), ಕಾರ್ಲ್ ಬೋಲರ್ಟ್ (1922), ಸ್ಟ್ಜೆಪಾನ್ ಮೊಹೊರೊವಿಚಿಕ್ (1922), ಜಾರ್ಜಸ್ ಲೆಮೈಟ್ರೆ (1924), ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ನಾಥನ್ ರೋಸೆನ್ (1935), ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಮೊಲ್ಲರ್ (1943,1952), ಫ್ರಿಟ್ಜ್ ರೊಹ್ರ್ಲಿಚ್ (1913) ವಿವರಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲಗಳಿಗಾಗಿ, ನೋಡಿ. ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಸಮಯ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ವಿಶ್ವರೇಖೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಯೆಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು, ವಿಶ್ವರೇಖೆಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಇದು ಚಲಿಸುವ ವೀಕ್ಷಕರಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಏಕಕಾಲಿಕ "ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಆಕಾರ" ವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ವೀಕ್ಷಕನ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಸಮಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಜಡತ್ವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಃ ವಿಲೋಮ ವಿಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸೇರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕನ ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು (ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ರಿಂಡ್ಲರ್ ಬೆಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದರ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯವನ್ನು ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ವೀಕ್ಷಕನು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು, ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು (ರಿಂಡ್ಲರ್ ಕ್ಷಿತಿಜ) ಹೆಚ್ಚಿನ ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಎಲ್ಲಾ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ತಕ್ಷಣವೇ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕನು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತಾನೆ (ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ಆದರೆ ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ), ಇದು ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ರಿಂಡ್ಲರ್ ದಿಗಂತದಿಂದ ವೀಕ್ಷಕನ ಸ್ಥಿರ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು ತಮ್ಮ ಗಡಿಯಾರಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ ನಮಗೆ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕನ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯವು ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವೀಕ್ಷಕನ ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ರಿಂಡ್ಲರ್ ದಿಗಂತದಿಂದ ವಿವಿಧ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರಿಗೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮಯವು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ). ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸಮನ್ವಯ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕನು ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳೀಕರಿಸದ ಸಮೀಕರಣವು, ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ಹರೈಸನ್ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಲೇಖನದ ಉಳಿದ ಭಾಗವು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿಸುವ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು 1 ಘಟಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೆಳಕಿನ ಸೆಕೆಂಡ್/ಸೆಕೆಂಡ್ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು ಬೆಳಕಿನ ವರ್ಷ/ವರ್ಷ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ನಾವು ಯಾವ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೂ ಸಹ, ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ನಮ್ಮ ಘಟಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ದೂರಕ್ಕೆ ಬೆಳಕಿನ-ವರ್ಷಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, (ಅಥವಾ) ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ವರ್ಷಗಳು, (ಅಥವಾ), ಇದರರ್ಥ ಬೆಳಕಿನ ವರ್ಷ/ವರ್ಷ 2, ಇದು ಸುಮಾರು 9,5 ಮೀಟರ್/ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ದೂರಕ್ಕೆ ಬೆಳಕಿನ-ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, (ಅಥವಾ), ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸೆಕೆಂಡುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, (ಅಥವಾ), ಇದರರ್ಥ ಬೆಳಕು-ಸೆಕೆಂಡ್/ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 2, ಅಥವಾ 299 792 458 ಮೀಟರ್/ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 2). ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಫೆರ್ಮಿ-ವಾಕರ್ ಟೆಟ್ರಾಡ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿದಾಗ ಅದರಿಂದ ಫೆರ್ಮಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಸರಿಯಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಮೂಲ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸಮಯದ ನಡುವಿನ ಸಮಯದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು (ಬೆಳಕಿನ ಈ ಬದಲಾಗುವ ವೇಗವು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬಳಸಿದ ವೇಗವರ್ಧಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಕಲಾಕೃತಿ ಮಾತ್ರ, ಆದರೆ ಜಡತ್ವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಫೆರ್ಮಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ರಾಡಾರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಇವುಗಳನ್ನು ಬೆಳಕಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ), ಅದರ ಮೂಲಕ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಸಮಯದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬೆಳಕಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವೇಗವು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು ಹೊಸ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ () ಮತ್ತು, ಡ್ಯುಯಲ್ ಫ್ರೇಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋಫ್ರೇಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹಜವಾಗಿದೆ ಇದು ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಯಲ್ಲೂ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ನಮ್ಮ ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಿಂದ ಆವೃತವಾದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ರಿಂಡ್ಲರ್ ಬೆಣೆ). ಟೈಮ್ಲೈಕ್ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ರೈಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವೀಕ್ಷಕರ ಕುಟುಂಬದ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಟೈಮ್ಲೈಕ್ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆರ್ಕ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಯೋಚಿತ ಏಕರೂಪದಂತೆಯೇ, ಈ ಏಕರೂಪವು ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ರಾಯ್ಚೌಧುರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರ ಒಗ್ಗಟ್ಟಿನ ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದು ನಮ್ಮ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವೀಕ್ಷಕನು ತನ್ನ ನೆರೆಹೊರೆಯವರೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರ ಅಂತರವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವರ್ಟಿಸಿಟಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದು ನಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಕರ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ತಿರುಗಾಡುತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು "ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ" ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ವೀಕ್ಷಕನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ವಾಹಕವನ್ನು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕನು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವೀಕ್ಷಕನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣದ ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗಳು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಪಥ ವಕ್ರತೆಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರುವ ವೃತ್ತಗಳ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು ವರ್ಟಿಸಿಟಿ-ಮುಕ್ತರಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವರು ಹೈಪರ್ ಸರ್ಫೇಸ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ಸ್ಲೈಸ್ಗಳು; ಇವು ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ರೇಖೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವಾಗ, ಇವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಥಿರರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬಹಳ ಸರಳವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ನಾವು ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರ ಈ ಬಿಗಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು "ವಿರೋಧಾಭಾಸದ" ಗುಣಲಕ್ಷಣವು, ಸಣ್ಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಡಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಂತರವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ವೀಕ್ಷಕರು ಅದೇ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದರೆ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಬಾಹ್ಯ ಬಲದಿಂದ (ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ) ವೇಗಗೊಳ್ಳುವ ರಾಡ್ನ ಹಿಂಭಾಗದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವು ಪ್ರಮುಖ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿ ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮುರಿಯಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಸಂಕೋಚನದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ರಾಡ್ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ಅದರ ವೇಗವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಹಿಂಭಾಗದ ತುದಿಯು ಮುಂಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಇದನ್ನು ನೋಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆಃ ಹಿಂಭಾಗದ ತುದಿಯು ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಬೇಕು. ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಹಿಂಭಾಗದ ತುದಿಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಬೇರೆಡೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರಿಂಡ್ಲರ್ ಕ್ಷಿತಿಜಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ "ವಿರೋಧಾಭಾಸ", ಬೆಲ್ನ ಆಕಾಶನೌಕೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸರಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ವಾಹಕದ ಪ್ರಮಾಣವು ಕೇವಲ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಯ ಪಥ ವಕ್ರತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು. ಆದರೆ ನಮ್ಮ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವೇಗದ ಸ್ಕೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾದ ಒಂದು ಅಂಶದ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಸಾದೃಶ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆಃ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ, ಒಳಗಿನ ವೃತ್ತಗಳು ಹೊರಗಿನವುಗಳಿಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ (ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದಕ್ಕೆ) ಬಾಗಬೇಕು. ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ವೀಕ್ಷಕರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪರ್ಯಾಯ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ (ರಿಂಡರ್ ಬೆಣೆ) ಈ ಚೌಕಟ್ಟು ಗಣನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ; ಅನುಗುಣವಾದ ವೀಕ್ಷಕರು ಜಡತ್ವದ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ವೀಕ್ಷಕರು ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಈ ವೀಕ್ಷಕರು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ, ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ವೀಕ್ಷಕರ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೆಕೆಂಟ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ವೀಕ್ಷಕನ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಯು ಈ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ವೀಕ್ಷಕನ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅವರ ಇತಿಹಾಸದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಏಕೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಸಮಯದಂತಹ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯು ಚಾರ್ಟ್ನಿಂದ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರದೇಶದ ಹೊರಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ ಅನ್ನು ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೂಲ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಚಾರ್ಟ್ನ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚಾರ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಬೆಳಕಿನ ಕೋನ್ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ (ಸರಿಯಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ). ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ x = 0 ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ (ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ) ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ x → 0 ರಂತೆ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಂಡ್ಲರ್ ಬೆಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಚಿತ್ರದಿಂದ ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಲೋಕಸ್ x = 0 ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಲೋಕಸ್ T2 = X2, X> 0 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಶೂನ್ಯ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಏಕರೂಪತೆಯಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ರಿಂಡ್ಲರ್ ದಿಗಂತವನ್ನು ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗಡಿಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ರಿಂಡಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೇಗವರ್ಧಕ ವೀಕ್ಷಕರ ಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ T ≤ Xನೊಂದಿಗಿನ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಬೆಳಕಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇವು ಮೇಲಿನ ಕೆಂಪು ದಿಗಂತವು ಇರುವ T = X ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಘಟನೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ವೀಕ್ಷಕರು ತಮ್ಮ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿ ಈ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ದಾಟಿದರೆ T ≤ Xನೊಂದಿಗಿನ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದು) ಅಥವಾ ಅವರು T ≤ − Xನೊಂದಿಗಿನ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಎಂದಿಗೂ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಕೆಳಗಿನ ಕೆಂಪು ದಿಗಂತವು ಇರುವ T = − X ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಘಟನೆಗಳು; ಆ ಘಟನೆಗಳು ತಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಭವಿಷ್ಯದ ಬೆಳಕಿನ ಶಂಕುಗಳ ಹೊರಗೆ ಇರುತ್ತವೆ). ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ವೇಗವರ್ಧಕ ವೀಕ್ಷಕರ ಗುಂಪಿನ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರವೆಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ದಿಗಂತದ ಅಂತರವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಈ ದೂರದಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಕನು ಅನುಭವಿಸುವ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಿಯಾದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು (ಇದು ಅಂತಹ ವೀಕ್ಷಕನು ಅನುಭವಿಸುವ ಜಿ-ಬಲವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ) ಅನಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯ ಘಟನೆಯ ದಿಗಂತದ ಹೊರಗೆ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ವೀಕ್ಷಕರ ಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಈ ಎರಡೂ ಸಂಗತಿಗಳು ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವೀಕ್ಷಕನು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದಿದ್ದಾನೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯ ಸಮೀಪದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಯ ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ವೇಗವರ್ಧಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿಂಗ್ ವಿಕಿರಣವನ್ನು ಅನ್ರುಹ್ ವಿಕಿರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಪರ್ಕವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು; ಅವು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೂಲ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ನೇರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ನಮ್ಮ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂಲ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಬೋಧಪ್ರದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಆದರೆ ರೇಖೆಯ ಅಂಶದಿಂದ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಯದಂತಹ, ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ನಾಲ್ಕನೇ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದದರೊಂದಿಗೆ, x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ರಿಂಡ್ಲರ್ ಬೆಣೆದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯ ಭೂಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನೀಡುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಳು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕುಟುಂಬವು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಶೂನ್ಯ ಭೂಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಾದಿಗಳನ್ನು ಯೋಜಿಸುತ್ತಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಹೈಪರ್ಸ್ಲೈಸ್ಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತದೆ), ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬದಂತೆ ಮತ್ತು ರಿಂಡ್ಲರ್ ದಿಗಂತಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದವಾಗಿ ಕಾಣುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ಸ್ಲೈಸ್ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಅರ್ಧವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಾಪಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಈಗ ನೀಡಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ನೋಡಲು ಬಹಳ ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯವು ವರ್ಟಿಸಿಟಿ-ಮುಕ್ತ ಟೈಮಲೈಕ್ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಿರ ವೀಕ್ಷಕರಿಗೆ (ಜಡತ್ವ ವೀಕ್ಷಕರಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ) ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ (ಒಂದೇ ರೀತಿಯ) ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ಸ್ಲೈಸ್ಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಈ ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ಸ್ಲೈಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಹೊಸ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲದಿಂದ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಮೂಲ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೊಸ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ (ಇದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ) ನಿಖರವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಶೂನ್ಯ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಹೊಸ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಅಂಶವು ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ, ಸಮಯದಂತಹ ಅನುವಾದವು ಅಂತಹ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವಾಗಿದೆ (ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ ನಿರ್ವಾತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರಿಗೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಆದರೆ ಇದು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೂರು-ಸ್ಪೇಸ್ H3 ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ರೇಖೆಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಲೇನ್ H2 ಗಾಗಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಚಾರ್ಟ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ (ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ತಲೆಮಾರುಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮನಸ್ಸಿನ ಓದುಗರಿಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ H2 ನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಕೇವಲ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳು (ನೈಜ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುವ ಅನಂತ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್). ಸಿಂಮೆಟ್ರಿಗಳು ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಹತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಯ ಅನುವಾದದ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳು, ಮೂರು ಪ್ರಾದೇಶಿಕಗಳು, ಮೂರು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ವರ್ಧನೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ (ಸರಿಯಾದ ಐಸೋಕ್ರೋನಸ್) ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಬೋಧಪ್ರದವಾಗಿದೆ. ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಪರಿಚಿತವಾಗಿ ಕಾಣುವ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಸಮಯದ ಅನುವಾದ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಅನುವಾದಗಳು ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್) ಜೊತೆಗೆ ಇನ್ನೂ ಆರುಃ (ಅಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ + ಅಥವಾ-ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇವು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಇದನ್ನು ಒಂದು ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ; ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೂ ಈ ಅನುವಾದದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರಿಂಡ್ಲರ್ ಬೆಣೆ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಹೇಗೆ ಸಾಧ್ಯ? ಉತ್ತರವೆಂದರೆ, ನಯವಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ವಿಷಯದಂತೆ, ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇವು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಗುಂಪು ನಿಯತಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕೊಲ್ಲುವ ಹರಿವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಹರಿವನ್ನು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುವುದರಿಂದ, ಇದು ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ರಿಂಡ್ಲರ್ ಚಾರ್ಟ್ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಕಲಿಯಬೇಕಾದ ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಯುತ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಅಂತರದ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ (ಆದರೆ ಸಮಂಜಸವಾದ) ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ನಾವು ಮೇಲೆ ಮೌನವಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆಃ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ಸ್ಲೈಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಿತ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್. ಇದು ಈ ಪ್ರೇರಿತ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಇದನ್ನು ರೂಲರ್ ದೂರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅರ್ಥವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಭೌತಿಕ ಮಾಪನದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಎರಡು ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಹೆಚ್ಚು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯು ರಾಡಾರ್ ದೂರವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಕನ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಯಿಂದ (ಘಟನೆ ಎ) ಶೂನ್ಯ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುವಿನ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಅದು ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ (ಘಟನೆ ಬಿ) ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ (ಘಟನೆ ಸಿ). ನಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಕರು ಹೊತ್ತ ಆದರ್ಶ ಗಡಿಯಾರದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದಂತೆ, ರೌಂಡ್ ಟ್ರಿಪ್ ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮಯವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಾಡಾರ್ ದೂರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಮಿನ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ನಾವು ಎರಡು ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಅನೇಕ ಶೂನ್ಯ ಭೌಗೋಳಿಕ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳು ಅಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ. ಇಬ್ಬರು ವೀಕ್ಷಕರ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ವೀಕ್ಷಕರ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ವಿರುದ್ಧ ನಾವು ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಬೇಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. (ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು, ಹಿಂಬಾಲಿಸುವ ವೀಕ್ಷಕ, ಪ್ರಮುಖ ವೀಕ್ಷಕನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಠಿಣವಾಗಿ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ರಿಂಡ್ಲರ್ ರೇಖೆಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಿದಾಗ, ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಶೂನ್ಯ ಭೂಗಣಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಇಬ್ಬರು ವೀಕ್ಷಕರ ನಡುವಿನ ರಾಡಾರ್ ಅಂತರವನ್ನು ಈ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೂರದ ಮೂರನೇ ಸಂಭವನೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆಃ ನಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಕನು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಏಕ ಡಿಸ್ಕ್ನಿಂದ (ಒಂದು ಬಿಂದು ವಸ್ತುವಿನಿಂದಲ್ಲ) ತಗ್ಗಿಸಲಾದ ಕೋನವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಾನೆ, ಅದು ಅವನ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ವ್ಯಾಸದ ದೂರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯ ಸರಳ ಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಜೋಡಿ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರ ನಡುವಿನ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ದೂರವನ್ನು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು (ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ). ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ವ್ಯಾಸದ ಅಳತೆಗಳು ಇಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಮಂಜಸವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮುಖ ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ (ಪ್ರಕರಣ) ದೂರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಹಿಂಬಾಲಕ ವೀಕ್ಷಕನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ದೂರವು ರೂಲರ್ ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಇದು ರಾಡಾರ್ ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿರುವ ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ ದೂರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಪ್ರಮುಖ ವೀಕ್ಷಕನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಓದುಗನು ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಂತರದ ಬಗ್ಗೆ ಇತರ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜೋಡಿ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರಿಗೆ ಈ ವಿವಿಧ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಪ್ಪುವುದಿಲ್ಲವಾದರೂ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯು ಸ್ಥಿರ ಅಂತರವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರೆಲ್ಲರೂ ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ. ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದ ರಿಂಡ್ಲರ್ ವೀಕ್ಷಕರು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಥಿರರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ರಿಂಡ್ಲರ್ ಏಕರೂಪತೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿವಿಧ ಅರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಬಿಗಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ರಾಡ್ ಅನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ)-ಕನಿಷ್ಠ, ಏಕರೂಪದ ಒತ್ತಡಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳದೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಬಿಗಿತದ ಗುಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವಸ್ತುವನ್ನು "ಒದೆಯಿದರೆ", ದೇಹದಲ್ಲಿರುವ ದ್ರವ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ತಕ್ಷಣವೇ ಅವುಗಳ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು. ಯಾವುದೇ ಭೌತಿಕ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಹರಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದಿ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಇದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ರಾಡ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಬಾಹ್ಯ ಬಲದಿಂದ ವೇಗಗೊಳಿಸಿದರೆ, ರಾಡ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸದೆ ವಿಸ್ತರಿಸದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮುರಿಯದಿದ್ದರೆ, ರಾಡ್ನಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ದ್ರವ್ಯದ ಅಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮುರಿಯದ ವೇಗವರ್ಧಿತ ರಾಡ್ ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬದಲಾಗುವ ಒತ್ತಡಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮಯ ಬದಲಾಗುವ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಯಾವುದೇ ಚಿಂತನೆಯ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು "ಒದೆಯುತ್ತೇವೆಯೋ" ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಕ್ರಮೇಣ ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ, ಸಾಪೇಕ್ಷವಾದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ ದೇಹದ ದೂರದ ಭಾಗಗಳು ಅನ್ವಯಿಕ ಬಲಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ವೇಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತವೆ). ಆಡಳಿತಗಾರನ ಅಂತರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದಾಗ, ಇದು ನಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಕರು ಕೈಯಿಂದ ಕೈಯಿಂದ ಹಾದುಹೋಗಲು ಬಹಳ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಹಾದುಹೋದರೆ ಪಡೆಯುವ ದೂರವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ವಸ್ತು ಮಾದರಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಬಾಗಿದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಾಗಿದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಫೆರ್ಮಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಟೆಟ್ರಾಡ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಫೆರ್ಮಿ-ವಾಕರ್ ಸಾರಿಗೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಥದಲ್ಲಿ ಸಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಲ್ಲಿ ನಿ ಮತ್ತು ಝಿಮ್ಮರ್ಮನ್ನ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಭೂಮಿಯ-ಆಧಾರಿತ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದಲ್ಲಿ ಜಡತ್ವ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾದ ಜಡತ್ವ-ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಲರ್-ಮುಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ರಿಂಡ್ಲರ್ ಅವರು ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ (1907) ಅವರನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಸಮನ್ವಯ ಅವಲಂಬಿತ ಸಮಯದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು () ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗಕ್ಕಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು, ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಕನ ಮೂಲದಿಂದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಸಲು, ಅವರು ರಾಡಾರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಒಪ್ಪಂದದಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು () ಪಡೆದರು. ಬಾರ್ನ್ ಬಿಗಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವಾಗ, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಬಾರ್ನ್ (1909) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು () ಗೆ ಸಮಾನವಾದ "ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" () ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ (1910) ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ವಾನ್ ಲೌ (1911) ಇಬ್ಬರೂ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು () ಅನ್ನು ಪಡೆದರು, ಇದನ್ನು ವೋಲ್ಫ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ಪೌಲಿ (1921) ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿದರು, ಅವರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜೊತೆಗೆ () ಸಹ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ () ಅನ್ನು ಪಡೆದರು. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ (1912) ಸ್ಥಿರವಾದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಬೆಳಕಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅವಲಂಬಿತ ವೇಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೊಟ್ಲರ್-ಮುಲ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ () ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ () ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು. ಹೆಂಡ್ರಿಕ್ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ (1913) ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಮಾನತೆಯ ತತ್ವ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ (,,) ಗೆ ಹೋಲುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು. ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಕೊಟ್ಲರ್ (1914) ಅವರು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಅವರು ಅನುಗುಣವಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಟೆಟ್ರಾಡ್, ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ (,) ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು. ಕಾರ್ಲ್ ಬೊಲ್ಲರ್ಟ್ (1922) ಅವರು ಏಕರೂಪದ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಗುರುತ್ವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ () ಅನ್ನು ಪಡೆದರು. ಬಾರ್ನ್ ಬಿಗಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಜಾರ್ಜಸ್ ಲೆಮೈಟ್ರೆ (1924) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ (,) ಅನ್ನು ಪಡೆದರು. ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ನಾಥನ್ ರೋಸೆನ್ (1935) ಅವರು (,) ಅನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ "ಪ್ರಸಿದ್ಧ" ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಮುಲ್ಲರ್ (1943) ಏಕರೂಪದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿ (,) ಪಡೆದ ನಂತರ, ಅವರು (1952) ಮತ್ತು ಮಿಸ್ನರ್ & ಥಾರ್ನ್ & ವೀಲರ್ (1973) ಅದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಫೆರ್ಮಿ-ವಾಕರ್ ಸಾರಿಗೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಈ ತನಿಖೆಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದಾಗಿದ್ದರೂ, ವೋಲ್ಫ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ರಿಂಡ್ಲರ್ (1960) ವಕ್ರವಾದ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರು ಮತ್ತು (1966) ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಕ್ರುಸ್ಕಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (,) ನಡುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಇದು ನಂತರದ ಬರಹಗಾರರ ಮೇಲೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಕರಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದ ಉನ್ರುಹ್ ವಿಕಿರಣದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತು, ಇದು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗಳ ಹಾಕಿಂಗ್ ವಿಕಿರಣದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹರೈಸನ್ ಬಾರ್ನ್ (1909) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಬೋರ್ನ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳು ಆ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್ (1910), ಜಡತ್ವ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೊಟ್ಲರ್ (1914) ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು "ಬಾರ್ಡರ್ ಪ್ಲೇನ್" () ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅದರ ಆಚೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೇತವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಕನನ್ನು ತಲುಪಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಬೊಲ್ಲರ್ಟ್ (1922) ಅವರು "ವೀಕ್ಷಕರ ದಿಗಂತ" () ಎಂದು ಕರೆದರು. ರಿಂಡ್ಲರ್ (1966) ಅಂತಹ ದಿಗಂತ ಮತ್ತು ದಿಗಂತದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕ್ರುಸ್ಕಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು. ರಾಡಾರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬೋಲರ್ಟ್ನ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸ್ಟ್ಜೆಪಾನ್ ಮೊಹೊರೊವಿಚಿಕ್ (1922) ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಬೇರೆ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಮುದ್ರಣ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ () ಅನ್ನು ಪಡೆದರು, ಇದನ್ನು ಬೋಲರ್ಟ್ (1922ಬಿ) ಮತ್ತೊಂದು ಮುದ್ರಣ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಸರಿಪಡಿಸಿದರು, ಮೊಹೊರೊವಿಚಿಕ್ (1923) ಮುದ್ರಣ ದೋಷವಿಲ್ಲದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುವವರೆಗೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ (ಈಗ ಕೊಟ್ಲರ್-ಮುಲ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮೊಹೊರೊವಿಚಿಕ್ ತಪ್ಪಾಗಿ ವಾದಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಬೊಲ್ಲರ್ಟ್ (1922) ನಿರಾಕರಿಸಿದರು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ () ಅನ್ನು ಹ್ಯಾರಿ ಲಾಸ್ (1963) ಮರುಶೋಧಿಸಿದರು, ಅವರು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಲಾಸ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು () ನೀಡಿದರು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ (), ಮತ್ತು (,) ಅನ್ನು ಸಹ ಫ್ರಿಟ್ಜ್ ರೋಹರ್ಲಿಚ್ (1963) ಎಂಬಾತ ಪಡೆದನು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಲಾಸ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (,) ಡೆಸ್ಲೋಜ್ ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಪಾಟ್ (1987) ರಾಡಾರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಿದರು. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕವು ಬೆಲ್ನ ಆಕಾಶನೌಕೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿವಾದಾಸ್ಪದ ವಿಷಯಕ್ಕಾಗಿ ರಿಂಡ್ಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೋರ್ನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವೇಗವರ್ಧಿತ ವೀಕ್ಷಕರ ಚಲನೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ. ಕಾನ್ಗ್ರುಯೆನ್ಸ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ) ಎಹ್ರೆನ್ಫೆಸ್ಟ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿವಾದಾತ್ಮಕ ವಿಷಯಕ್ಕಾಗಿ ಬಾರ್ನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿನ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳು ಮಿಲ್ನೆ ಮಾದರಿ ರಾಯ್ಚೌಧುರಿ ಸಮೀಕರಣ ಅನ್ರುಹ್ ಪರಿಣಾಮ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವುದು ಉಪಯುಕ್ತ ಹಿನ್ನೆಲೆಃ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಿನ್ನೆಲೆಗಾಗಿ ಅಧ್ಯಾಯ 4 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ 8ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ರಿಂಡಲರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಃ ವಿಭಾಗ 6.6 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ರಿಂಡಲರ್ ಹಾರಿಜಾನ್ಃ ಎಪ್ರಿಂಟ್ ಆವೃತ್ತಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ರಿಲೇಟಿವಿಟಿ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಚಾರ್ಟ್ಸ್ ಇನ್ ಜನರಲ್ ರಿಲೇಟಿವಿಟಿ ಆಕ್ಸಿಲರೇಶನ್