Shattered set
ವಿ. ಸಿ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ವಾಪನಿಕ್-ಚೆರ್ವೊನೆಂಕಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಛಿದ್ರಗೊಂಡ ಸೆಟ್ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಶೇಟರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ವಿಸಿ-ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಲಿಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸಿ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 'ಎ' ಯ ಪ್ರತಿ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ, 'ಸಿ' ಯ ಕೆಲವು ಅಂಶವಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಛೇದನವು 'ಎ' ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾದಾಗ 'ಸಿ' ಯು 'ಎ' ಅನ್ನು ಛಿದ್ರಗೊಳಿಸಿದರೆ 'ಸಿ' ವರ್ಗವು 'ಎ' ಗುಂಪನ್ನು ಚೂರುಚೂರು ಮಾಡುತ್ತದೆಃ 'ಪಿ' (ಎ) = {'ಸಿ. ವಾಪ್ನಿಕ್-ಚೆರ್ವೊನೆಂಕಿಸ್ ವರ್ಗದ (ವಿಸಿ-ಕ್ಲಾಸ್)ಂತೆ, ಸೆಟ್ಗಳ "ವರ್ಗ" ಅಥವಾ "ಸಂಗ್ರಹ" ವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ನಾವು ಸಿ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಎ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಡೇಟಾ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಚೂರುಚೂರಿನಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ವರ್ಗವು (ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳ) ಏಕಕ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಚೂರುಚೂರು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೂ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಏಕಕ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಚೂರುಚೂರು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಘಟಕ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಎ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ. ಸಿ ಎ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಚೂರುಚೂರು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ನಾವು ಎ ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುವಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಬಿಂದು ಜೋಡಿಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗದ ಸುತ್ತಲೂ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಪಕ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವೃತ್ತದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಿದಂತೆಃ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಡಿಸ್ಕ್ನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ಕೆಲವು ಉಪಗುಂಪು ಇರುವುದರಿಂದ, ಎ ಅನ್ನು ಸಿ ಯಿಂದ ಛಿದ್ರಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಚಿಂತನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಈ ಸಿ ಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಛಿದ್ರಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಸಿ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಡಾಕಾರದ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ವರ್ಗವೆಂದು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಮೇಲಿನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಹಿಂದೆ ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, 4 ಬಿಂದುಗಳ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪನ್ನು ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಛಿದ್ರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸ್ವಲ್ಪ ಚಿಂತನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಛಿದ್ರಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು (ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವುದನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಿ). ಚೂರುಗಳ ಸಿ ಸಂಗ್ರಹದ ಸಮೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಚೂರುಚೂರು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕಾರ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಸೆಟ್ಗಳ ಸಿ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಿ ಯ n ನೇ ಶೇಟರಿಂಗ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಯಾವುದೇ n ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಿ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಬಹುದಾದ n ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಎ ಯ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ n ನ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಇದೆ, ಅದನ್ನು C ಯಿಂದ ಛಿದ್ರಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವರಿಗೆ ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಮೂರನೆಯ ಗುಣವೆಂದರೆ ಸಿ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ಎನ್ ಅನ್ನು ಚೂರುಚೂರು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅದು ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಚೂರುಚೂರು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಾಪ್ನಿಕ್-ಚೆರ್ವೊನೆಂಕಿಸ್ ವರ್ಗ ಸಿ ವರ್ಗದ ವಿಸಿ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಥವಾ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎನ್ಗೆ ಸಿ ಯಿಂದ ಛಿದ್ರಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ಎನ್ ಸೆಟ್ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಎನ್ ಮತ್ತು ಈ ವರ್ಗ ಸಿ ಯ ವಿಸಿ ಆಯಾಮವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ವಿಸಿ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗವನ್ನು ವಾಪನಿಕ್-ಚೆರ್ವೊನೆಂಕಿಸ್ ವರ್ಗ ಅಥವಾ ವಿಸಿ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 'ಸಿ' ವರ್ಗವು ವಿಸಿ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಗ್ಲಿವೆಂಕೊ-ಕ್ಯಾಂಟೆಲ್ಲಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೌರ್-ಶೆಲಾ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದು ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಅದರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಛಿದ್ರಗೊಂಡ ಸೆಟ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜೆ. ಸ್ಟೀಲ್ ಅವರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಲಿಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ "ಛಿದ್ರಗೊಂಡ ಸಮೂಹಗಳ" ಪರಿಭಾಷೆಯ ಮೂಲ