Gas in a harmonic trap
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟ್ರ್ಯಾಪ್ನಲ್ಲಿರುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆದರ್ಶ ಅನಿಲದ ಸಮತೋಲನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೋಡಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ತತ್ಕ್ಷಣದ ಉಷ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಘರ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೋಸ್ ಅನಿಲಗಳ ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ಅಂತಹ ಸ್ವರಮೇಳದ ಬಲೆಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಬಹಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಫೆರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಥಾಮಸ್-ಫೆರ್ಮಿ ಅಂದಾಜನ್ನು (ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಲ) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಬಲೆಯ ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷೀಣತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಮಹಾ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಿಲದ ಉಷ್ಣಬಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತೇವೆಯ. ಬೃಹತ್ ಕಣಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶ ಅನಿಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನಗಳಿಗೆ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಹಾರ್ಮೋನುಗಳ ಬಾವಿಯಲ್ಲಿನ ಬೃಹತ್ ಕಣಗಳಿಗೆ, ಕಣಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪೂ ಘರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ ಕಣದ ಆಂತರಿಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಕಣವು ಪ್ರತಿ ಸ್ಪಿನ್ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ 3-ಆಯಾಮದ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ನಾವು ಯೋಚಿಸಬಹುದು. ಥಾಮಸ್-ಫರ್ಮಿ ಅಂದಾಜು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಸಮತಲದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಆಕ್ಟಂಟ್ನ ಬೌಂಡಿಂಗ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಕೇವಲ ಪಟ್ಟು. ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೀಗಿದೆಃ ಈ ನಿರಂತರ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನಾವು ಕಡಿಮೆ-ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಘನೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅನಿಲದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವು ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಅಥವಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ನಾವು ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸದೆ, ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗಿನ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು |-| ಪಾಲಿಸುವ ಕಣಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು |-| ಪಾಲಿಸುವ ಕಣಗಳಿಗೆ ಫೆರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು |} ಪಾಲಿಸುವ ಕಣಗಳಿಗೆ, ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ. ನಿರಂತರ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಃ ಶಕ್ತಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ನಾವು ಈಗ "ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟ್ರ್ಯಾಪ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅನಿಲ" ಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ. ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಃ ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗಗಳು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಬೃಹತ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಕಣಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಃ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ನೀಡುವುದುಃ ಮೂಲ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದುಃ ಬೃಹತ್ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕಣಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಃ ಎಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ನೀಡುವುದುಃ ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮ್ ಪದವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ನೈಜವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು 0 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ತಾಪಮಾನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ, ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕಂಡೆನ್ಸೇಟ್ ರೂಪುಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ನಿರಂತರ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಪ್ರಚೋದಿತ ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬೋಸನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪದವು ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. (ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ.) ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನದವರೆಗೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶ ಬೋಸ್ ಅನಿಲದ ಬಗೆಗಿನ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಬೃಹತ್ ಫರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ಕಣಗಳು (ಉದಾ. ಲೋಹದಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಃ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದಃ ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ, ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಆದರ್ಶ ಫೆರ್ಮಿ ಅನಿಲದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹುವಾಂಗ್, ಕೆರ್ಸನ್, "ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್", ಜಾನ್ ವಿಲೇ ಅಂಡ್ ಸನ್ಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1967 ಎ. ಇಸಿಹರಾ, "ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್", ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1971 ಎಲ್. ಡಿ. ಲ್ಯಾಂಡೌ ಮತ್ತು ಇ. ಎಂ. ಲಿಫ್ಶಿಟ್ಜ್, "ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್, 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ ಭಾಗ 1", ಬಟರ್ವರ್ತ್-ಹೈನ್ಮನ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್, 1996 ಸಿ. ಜೆ. ಪೆಥಿಕ್ ಮತ್ತು ಎಚ್. ಸ್ಮಿತ್, "ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕಂಡೆನ್ಸೇಶನ್ ಇನ್ ಡೈಲ್ಯೂಟ್ ಗ್ಯಾಸಸ್", ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್, 2004 ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್