Unbounded operator
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ಅಮೂರ್ತ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. "ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್" ಎಂಬ ಪದವು ತಪ್ಪುದಾರಿಗೆಳೆಯುವಂತಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ "ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್" ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಅಲ್ಲ" ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು; "ಆಪರೇಟರ್" ಅನ್ನು "ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್" ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ("ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್" ನಂತೆ); ಆಪರೇಟರ್ನ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಲೀನಿಯರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಡೀ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಈ ಲೀನಿಯರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಆಗಾಗ್ಗೆ (ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ) ಇದನ್ನು ದಟ್ಟವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇಡೀ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಜಾಗವನ್ನು ಸಹ ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. "ಆಪರೇಟರ್" ಎಂಬ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಬೌಂಡೆಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್" ಎಂದರ್ಥ, ಆದರೆ ಈ ಲೇಖನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಮೀಸಲಾತಿಗಳೊಂದಿಗೆ "ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್" ಎಂದರ್ಥ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ಕಠಿಣವಾದ ಗಣಿತದ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಭಾಗವಾಗಿ 1920 ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 1930 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು. ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಷಲ್ ಸ್ಟೋನ್ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ 1932 ರಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್) ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ-ಡೊಮೇನ್ ಆಫ್-ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಪ್ರದಾಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇಡೀ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿರಬಹುದು. ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಇಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಅಂತಹ ಡೊಮೇನ್ನಿಂದ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ ಮತ್ತು, ಅದು ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಮಾನದಂಡದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದಲೂ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ನೆಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದುಃ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ದಟ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಇಡೀ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇಡೀ ಜಾಗವು ಸ್ವತಃ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡೊಮೇನ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ (ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ) ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ; ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ, ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ಆಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲರಿಗೂ (ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದೆ). ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಸಜ್ಜುಗೊಳಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಬನಾಚ್ ಜಾಗವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಪ್ರತಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಇದು ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂತಹ ಕೆಲವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕು. ಇದು ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಹ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು, ಮತ್ತು ನಿರ್ವಾಹಕವು ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸು ಆದರೆ ಹೀಗೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಬನಾಚ್ ಜಾಗದ ಅನೇಕ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಅದೇ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಾರದು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಇತರ ಜೋಡಿ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿ ಬಂಧಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಃ ಸರಿಹೊಂದದ ಆಪರೇಟರ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದನ್ನು ಹಾನ್-ಬನಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ಇಡೀ ಜಾಗಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ನಂತರ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದು ಘೋಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ರೀಸ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ನಿರಂತರ ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ವಾಹಕವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಬಿಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಡೊಮೇನ್ ಆಫ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಡೊಮೇನ್ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು; ಅದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನ ಮಿತಿಯು ಅದರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇಡೀ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇಡೀ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಡೊಮೇನ್ ದಟ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಬಂಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಕ್ಕವಾದ್ಯದ ಇತರ ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಇದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದಃ ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲವು ಆಪರೇಟರ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಈ "ಕೆಲವು" ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ. ಹೀಗೆ ಅದರ ಪಕ್ಕವಾದ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕ (ಅರ್ಥ) ವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮುಚ್ಚಿದ ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕರ್ನಲ್ ಪಕ್ಕದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ರ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತು ಅವು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕರ್ನಲ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ದಟ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಮೇಲಿನ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ). ಇದಲ್ಲದೆಃ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಅಂತಹ ಒಂದು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ (ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ರೇಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಕೇಸ್ಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯೂ ಸಹ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ, ಮುಚ್ಚಿದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ; ಡೊಮೇನ್ ಆಫ್ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಈ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರತಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ನಡುವೆ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅದರ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ (ಅಥವಾ ಡ್ಯುಯಲ್) ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆಃ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅದು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ). ಯಾವುದೇ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಆ್ಯಂಟಿ-ಲೀನಿಯರ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆಃ ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಮೂಲಕ, ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿ. (ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.) ಇದು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಬಾನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅವು ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಮತ್ತು (ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ) ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅವು ಇನ್ನೂ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಬಂಧಿಸಲು ವಿಫಲವಾದ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಡುತ್ತಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕರು. ಎರಡು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಿರಲಿ. ಒಂದು ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಮತ್ತು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ನೇರ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು ಕೆಲವು ಆಪರೇಟರ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕ್ಲೋಸರ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕ್ಲೋಸಬಲ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಬೈ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಅದು ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲೋಸಬಲ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕೋರ್ (ಅಥವಾ ಎಸೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್) ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು. ಉದಾಹರಣೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಒಬ್ಬರು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಬದ್ಧವಾಗಿರದ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ನಮ್ಮ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ x ಮತ್ತು y ಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಟಿ ಿರಿಮ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಟಿ ಿರಿಮ್ ಇದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, Tಯನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಕ್ಕದ T ≤ನ ಡೊಮೇನ್ Tಯ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಸಮನಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಗಮನಿಸಿ, ಟಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪಕ್ಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಟಿ ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟಿ ≤ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ, ಟಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು (ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಜೆ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ (ಇಲ್ಲಿ ಜೆ (x, y): = (y,-x)) ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಮುಚ್ಚಿದರೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅದು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಎರಡೂ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು, ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಟಿ ಯ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಇಡೀ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ ಎಚ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ x ಗೆ ಟಿ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ y ಮತ್ತು z ಇರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಮತ್ತು. ಎರಡು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಥವಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಪಕ್ಕದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಲ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕವನ್ನು ಅದರ ಕೇಲೆ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಅದರ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವು ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಟಿ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದು ಆಗದೇ ಇರಬಹುದು. ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಅನ್ನು ಅದರ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಟಿ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ (ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಆಪರೇಟರ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ, ಮುಚ್ಚಿದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಎಲ್ಲೆಡೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕವು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್-ಟೋಪ್ಲಿಟ್ಜ್ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಎಂಬುದು ಆಪರೇಟರ್ ಎಸ್ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾದ ನೇರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಎಸ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ x ಗೆ, x ಟಿ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಪ್ರತಿ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇದು ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸದಿದ್ದರೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಒಂದು ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ನೀಡಿದ ನಿರ್ವಾಹಕನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕಾರಣ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ಕಡಿಮೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಿಷ್ಟವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಅನ್ನು ಕ್ಲೋಸಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಟಿ ಒಂದು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಟಿ ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು ಕೆಲವು ಆಪರೇಟರ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ; ಟಿ ಡೊಮೇನ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ (xn) xn → 0 ಮತ್ತು Txn → y ಇದು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮುಚ್ಚಬಹುದಾದವರಲ್ಲ. ಮುಚ್ಚಬಹುದಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಟಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕನಿಷ್ಠ ಮುಚ್ಚಿದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಟಿ ಯ ಗ್ರಾಫ್ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ, ಕನಿಷ್ಠವಲ್ಲದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಮುಚ್ಚಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು S ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು T ಯು S ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, S ಿಱವು T ಿಱಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಬಹುದು. ತನ್ನನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಗರಿಷ್ಠ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಮಾತು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಒಂದು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನೂ ಸಹ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಎರಡೂ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ದಟ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟಿ ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. "ಟಿ ಎಂಬುದು ಎಸ್ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಎಸ್. ಟಿ. ಯಿಂದ (γ (ಎಸ್) γ (ಟಿ) ಗೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ) ಒಂದು. T ಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, T ಱ್ಹಿಟ್ ಟಿ ಿರಿಟ್ ಟಿ ಿರಿಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಟಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಟಿ = ಟಿ ಿರಿಮ್ ಿರಿಮ್ ಟಿ ಿರಿಮ್. ಟಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಟಿ = ಟಿ ಿರಿ = ಟಿ ಿರಿ. T ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, T′T ≤ = T ≤ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ವರ್ಗವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದುದನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗಿಂತ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವರ್ಣಪಟಲದ ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲಿನ ಸ್ಟೋನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರು ನಿಖರವಾಗಿ ಬಲವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾದ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪುಗಳ ಅನಂತ ಉತ್ಪಾದಕರು ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ನೋಡಿ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅಂತಹ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪುಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಸೈಟೇಷನ್ಸ್ ಬಿಬ್ಲಿಯೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಅಧ್ಯಾಯ 12 "ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ವನ್ನು ನೋಡಿ). (ಅಧ್ಯಾಯ 5 "ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಸ್" ಅನ್ನು ನೋಡಿ). (ಅಧ್ಯಾಯ 8 "ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಸ್" ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಡಿಃ ಲೀನಿಯರ್ Operator#Unbeschränkte ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟೊರೆನ್