Multipole expansion
ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕೋನಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗಣಿತದ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕಾಗಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (ಧ್ರುವ ಮತ್ತು ಅಜಿಮುತಲ್ ಕೋನಗಳು) ಬಳಸುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳು. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಂತೆಯೇ, ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ನೈಜ-ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ್ದಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕೆಲವು ಇತರ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ದೂರದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶದ ಮೂಲಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನಗಳೊಂದಿಗಿನ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಾದ್ಯಂತ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಕೋನೀಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ (ಕ್ಷಣಗಳು) ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ (ಶೂನ್ಯ-ಕ್ರಮ) ಪದವನ್ನು ಮೊನೊಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ (ಮೊದಲ-ಕ್ರಮ) ಪದವನ್ನು ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಮೊಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರನೇ (ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮ) ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್, ನಾಲ್ಕನೇ (ಮೂರನೇ-ಕ್ರಮ) ಪದವನ್ನು ಆಕ್ಟುಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಗ್ರೀಕ್ ಸಂಖ್ಯಾ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಧ್ರುವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ "-ಪೋಲ್" ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 32-ಪೋಲ್ (ವಿರಳವಾಗಿ ಡಾಟ್ರಿಯಾಕೊಂಟಾಪೋಲ್ ಅಥವಾ ಟ್ರಯಾಕೊಂಟಡಿಪೋಲ್) ಮತ್ತು 64-ಪೋಲ್ (ವಿರಳವಾಗಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಕ್ಸಾಕೊಂಟಾಪೋಲ್ ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಕೊಂಟಟೆಟ್ರಾಪೋಲ್). ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲದ ಅಂತರದ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಕೆಲವು ಕೋನೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ನಿಖರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಃ (1) ಮೂಲಗಳು (ಉದಾ. ಚಾರ್ಜ್ಗಳು) ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಮೂಲದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ; ಅಥವಾ (2) ಹಿಮ್ಮುಖ, ಅಂದರೆ, ಮೂಲಗಳು ಮೂಲದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದರೆ. ಮೊದಲ (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ) ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಗಳು ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಕ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಪದವು ಏಕಧ್ರುವಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ದ್ವಿಧ್ರುವಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸರಣಿಯನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಪದವು ಮೊನೊಪೋಲ್ ಆಗಿದೆ; ದ್ವಿಧ್ರುವವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಮೇಲಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯವು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಬಹು-ವಾಹಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಗುಣಾಂಕವು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿರಬೇಕುಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನ್ವಯವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ವಾಹಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಲೆಗಳ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮೂಲದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರದ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದು ಬರೆಯಬಹುದು-ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪವರ್ಸ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಮೂಲದ ಸಮೀಪವಿರುವ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶದ ಮೂಲದಿಂದ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗುರುತ್ವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ವಿದ್ಯುದಾವೇಶ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರಸರಣಗಳ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗಗಳ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಆರ್ಬಿಟಲ್ಗಳ ಆಂತರಿಕ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಪರಮಾಣು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಕ್ಷಣಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ಗಳ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಕ್ಷಣಗಳು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ನೊಳಗಿನ ಚಾರ್ಜ್ಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ನ ಆಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ವರದಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪದಕ್ಕೆ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವುದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುವ ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬಲಗಳ ಸಮರ್ಥ ಗಣನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಂತ್ರವಾದ ಗ್ರೀನ್ಗಾರ್ಡ್ ಮತ್ತು ರೋಕ್ಲಿನ್ಗಳ ವೇಗದ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಧಾನದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಕಣಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಇದರ ಮೂಲ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ; ಒಂದು ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ಕಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ, ಪೂರ್ಣ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ), ಆದರೆ ಕಣಗಳ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬಲಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇಗದ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಧಾನದ ದಕ್ಷತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎವಾಲ್ಡ್ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಣಗಳು ಸಮೂಹವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ತಿನ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಹೊರಗಿನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದು ಚಾರ್ಜ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಮೂಲದ ಸುತ್ತಲೂ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ i:, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಹೊರಗಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ಮೊದಲನೆಯದು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಗೋಳಾಕಾರದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ತೊಡಕಿನದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದರ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಭಾಗವು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸೂಚ್ಯ ಪುನರುತ್ಪಾದನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು 1780 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಮಾಡಿದರು). ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಕ್ಕೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುವುದು ಕಷ್ಟ-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ನಂತರ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಟ್ರೇಸೆಲೆಸ್ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಘಟಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು. ಜಾಡು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ನಿಂದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ನಂತರ ನೇರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಏಕಧ್ರುವ, ದ್ವಿಧ್ರುವ ಮತ್ತು (ಟ್ರೇಸ್ಲೆಸ್) ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಒಟ್ಟು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಚಾರ್ಜ್ಗಳ ಕೂಲಂಬ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ನೈಜ ಘನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿದೆ, ಗಮನಿಸಿಃ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯು ಅನಂತ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎರಡು ಚಾರ್ಜ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಲ ಪದವು ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ರೂಪವು ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಅಂದರೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಘನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ (ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಇದು ನಿಯಮಿತ ಘನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ (ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮಯಗಳು). ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣವನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯಿಂದ (ಎನ್ ಚಾರ್ಜ್ಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಗಳು) ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದು ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಘಟಕ ವಾಹಕದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಒಂದು ಏಕಕ ವಾಹಕವನ್ನು ಎರಡು ಗೋಳಾಕಾರದ ಧ್ರುವ ಕೋನಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಿಯಮಿತ ಘನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪದವಿಪೂರ್ವ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಏಕೈಕ ಪದಗಳಾದ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ನೈಜ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ m ಸಂಕಲನದ ಮೊತ್ತವು ಬದಲಾಗದ ಕಾರಣ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೈಜ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಏಕಾತ್ಮಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ನೈಜ ಅನಿಯಮಿತ ಘನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ನೈಜ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸಬಹುದು. ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕೂಲಂಬ್ನ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಪದಕ್ಕೆ ಈ ಪದವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪದವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಪದವನ್ನು ಬರೆಯಲು, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ನ ಐದು ನೈಜ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಕೇತದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೈಜ ಸಂಕೇತವು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ವಿಚಿತ್ರವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅತಿಕ್ರಮಿಸದ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ಎರಡು ಸೆಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಚಾರ್ಜ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಅಣುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅಣುವು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು (ಋಣಾತ್ಮಕ ಬಿಂದು ಚಾರ್ಜ್ಗಳು) ಮತ್ತು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ಗಳನ್ನು (ಧನಾತ್ಮಕ ಬಿಂದು ಚಾರ್ಜ್ಗಳು) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡು ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಒಟ್ಟು ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ತಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯೆಂದರೆ ಈ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ನ ವಿಲೋಮ ದೂರದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಯು. ಎ. ಬಿ. ಯ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸುವ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ವಿತರಣೆಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಘನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿಯಮಿತ ಘನ ಸ್ವರಮೇಳದ ಅನುವಾದವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊನಚಾದ ಆವರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮಾಣವು ಕ್ಲೆಬ್ಷ್-ಗೋರ್ಡಾನ್ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಹುಧ್ರುವಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಆವರಿಸುವುದು (ಇದು ಅನಂತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ) ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ ಇದು ಎರಡು ಅತಿಕ್ರಮಿಸದ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅಧಿಕಾರದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಆಣ್ವಿಕ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪರಮಾಣುಗಳು ಮತ್ತು ಅಣುಗಳು (ಎಸ್-ಸ್ಥಿತಿಯ ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ಶಾಶ್ವತ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಆದರೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ನೈಜ ಪ್ರತಿರೂಪಕ್ಕಿಂತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಎಂಬ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಚಾರ್ಜ್ ಇಝಿ ಹೊಂದಿರುವ ಎನ್ ಕಣಗಳನ್ನು (ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ಗಳು) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಣುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು-1ರ ಝಡ್-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ಗಳಿಗೆ ಇದು ಪರಮಾಣು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ). ಕಣ Iಯು ಗೋಳಾಕಾರದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ r, θi, ಮತ್ತು φi ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ xi, yi, ಮತ್ತು ziಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (ಸಂಕೀರ್ಣ) ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ತಿನ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕವು ರಾಚಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಘನ ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಇದನ್ನು ಷ್ಮಿಡ್ನ ಅರೆ-ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಅಣುವು ಒಟ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ), ನಂತರ ಅಣುವಿನ ಕ್ರಮದ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷೆಯ (ನಿರೀಕ್ಷಿತ) ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಣುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು ಗುಂಪಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇದು ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆಃ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ λ ಪ್ರಕಾರ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಆಯ್ಕೆ ನಿಯಮಗಳು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಇದು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ವಿಲೋಮ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಣುಗಳು ದ್ವಿಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸಮ್ಮಿತಿ ಇಲ್ಲದ ಅಣುವಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಅಣುವು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ದ್ವಿಧ್ರುವಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್, ಆಕ್ಟುಪೋಲ್, ಹೆಕ್ಸಾಡೆಕಾಪೋಲ್ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಸಾಮಾನ್ಯ ಘನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪಗಳು (ಕಾಂಡನ್-ಶಾರ್ಟ್ಲಿ ಹಂತದೊಂದಿಗೆ) ನೀಡುತ್ತವೆಃ (ಅಣುವಿನ ಒಟ್ಟು ಚಾರ್ಜ್). (ಸಂಕೀರ್ಣ) ದ್ವಿಧ್ರುವ ಘಟಕಗಳೆಂದರೆಃ ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಧ್ರುವ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ನೈಜವಾದವುಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನೈಜ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಅಥವಾ ಸೈನ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಣ್ವಿಕ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಜಾಕ್ಸನ್ನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಜಾಕ್ಸನ್ನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಎನ್-ಕಣ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದದ್ದು ಒಂದು-ಕಣ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು-ಕಣದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ (ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್) ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಲೇಖನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜಾಕ್ಸನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಎನ್-ಕಣದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಇತರರ ಜೊತೆಗೆ, ಫಾನೋ ಮತ್ತು ರಾಕಾ ಮತ್ತು ಬ್ರಿಂಕ್ ಮತ್ತು ಸ್ಯಾಚ್ಲರ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣಗಳಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಅಕ್ಷೀಯ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣಗಳು; ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣಗಳು; ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣಗಳು. ಅನಂತ ರೇಖೆಯ ವಿದ್ಯುದಾವೇಶವು ವಿದ್ಯುದಾವೇಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಜನೆಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಾದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ, ವಿತರಣಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ದಿಕ್ಕಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಭೌತಿಕ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮೂಲ ಪದಗಳು (ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು, ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರವಾಹಗಳಂತಹವು) ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅವುಗಳನ್ನು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಡಿಯಲ್ ಅವಲಂಬನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು (ಆದಾಗ್ಯೂ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರಬಹುದು). ಸ್ಥಳೀಯ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅದರ ಏಕಧ್ರುವ ಮತ್ತು ದ್ವಿಧ್ರುವ ಪದಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅಂತಿಮ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಬಾರ್ನ್ಸ್-ಹಟ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಫಾಸ್ಟ್ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಮೆಥಡ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ಪ್ಯಾನ್ಷನ್ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ಆಯಸ್ಕಾಂತಗಳನ್ನು ಕಣ ವೇಗವರ್ಧಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಘನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಟೊರಾಯ್ಡಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮೊಮೆಂಟ್ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ)