Harnack's principle
ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ನಾಕ್ನ ತತ್ವ ಅಥವಾ ಹಾರ್ನಾಕ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹಾರ್ನಾಕ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಮ್ಮುಖದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ತೆರೆದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ನಂತರ ಮಿತಿಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಹಾರ್ನಾಕ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಿತಿಯು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಹಾರ್ನಾಕ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಹಾರ್ನಾಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯು, ಹೊಂದಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪಿಗೆ, ಅದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹಾರ್ನಾಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಕೌಚಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕೌಚಿ ಆಸ್ತಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಹರಡುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ನಂತರ, ಮಿತಿಯ ಸಾಮರಸ್ಯವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು (ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ) ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಪುರಾವೆಯು ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಡಾಕಾರದ ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹಾರ್ನಾಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಬದಲಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕು. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ನಂತರ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಸ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖದ ಪುರಾವೆಯು ಸ್ಕೌಡರ್ ಅಂದಾಜುಗಳಂತಹ ಇತರ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂಲಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಾಮರಸ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳು