Engel's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎಂಗೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು, ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ನೀಡಲಾದ ಪಕ್ಕದ ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ; ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಕೆ. ಇದು ಎಂಗೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕೇವಲ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ತೀರ್ಮಾನವು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಅಂದರೆ. ಲೈ ಅವರ "ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ" ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ "ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್" ಮತ್ತು "ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರ" ದೊಂದಿಗೆ "ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರ" ದ ನಿಷ್ಕಪಟ ಬದಲಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ; ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಲೈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ವಿಫಲವಾಗಿದೆ). ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ 20 ಜುಲೈ 1890 ರಂದು ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಎಂಗೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಎಂಜೆಲ್ ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಕೆ. ಎ. ಉಮಲಾಫ್ ತನ್ನ 1891 ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದನ್ನು ಮರುಮುದ್ರಣ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ಮತ್ತು ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಎಂಜೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿ ಮೇಲೆ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಬೇಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಊಹೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ಮತ್ತು ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ, V ಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ v ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೂ ಇದು #Proof ನಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪವಾಗಿದೆ. (ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅಲ್ಪಸ್ವಲ್ಪವಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆ 2ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ಧ್ವಜವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆಳಗಿನ ಕೇಂದ್ರ ಸರಣಿಯು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ ಅದನ್ನು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, = (i + 1)-th ಘಾತಕ್ಕೆ, ಕೆಲವು k ಇದೆ. ನಂತರ ಎಂಗೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಎಂಗೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ): ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 1 ರಿಂದ. 2. ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಅಂತಹ ಒಂದು ಧ್ವಜವಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.) ಪುರಾವೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಲೈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಿ ಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣವು ಅದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. (ಪುರಾವೆಯ ರಚನೆಯು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಯಾಮವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಂತ 1: ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ ಒಂದರ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಕಠಿಣ ಹೆಜ್ಜೆ. ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ (ಸರಿಯಾದ) ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ, ಇದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ ಒಂದರ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, (1) ರೇಖೀಯ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (2) ಈ ಪ್ರೇರಿತ ನಕ್ಷೆಯು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ನಂತೆ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ; ಜೋರ್ಡಾನ್-ಚೆವಲ್ಲಿ decomposition#Lie ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಹೀಗಾಗಿ, ಲೈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು Y ಒಳಗೆ ಆದರೆ ಒಳಗೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ. ಆದರೆ ನಂತರ Y ನಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದು ಲೈ ಸಬ್ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ ಒಂದರ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗರಿಷ್ಠತೆಯಿಂದ,. ಇದು ಆರೋಪವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹಂತ 2: ಬಿಡಿ. ನಂತರ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಹಂತ 3ರಲ್ಲಿದೆಃ ಅದರ ಮೂಲಕ ಕೊಲ್ಲಲ್ಪಡುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ. ಎಲ್ಲಿ L ಒಂದು ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಎಲ್ ನಲ್ಲಿ ವೈ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನಲ್ಲಿ ವಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ, ಇದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ (ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಕೆ ಗೆ. ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಹಂತ 2 ರ ಮೂಲಕ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾದ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಲೈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕೃತಿಗಳು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿವೆ.