Arc (projective geometry)
ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ (ಸರಳ) ಚಾಪವು ನಿರಂತರ ರೇಖಾಗಣಿತಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಗಿದ ಅಂಕಿಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಡಿಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ "ರೇಖೆಯಂತಹ" ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ "ಸಮತಲದಂತಹ" ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ದೂರವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸರಳ ಆರ್ಕ್ಗಳನ್ನು-ಆರ್ಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ-ಆರ್ಕ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದರೆ ()-ಆರ್ಕ್ಸ್. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ-ಆರ್ಕ್ಗಳು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಡೆಸಾರ್ಗುಸಿಯನ್ ಅಲ್ಲ) ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು (ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ) ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಂತಹ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು {{math|k-ಚಾಪ}} ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲವು ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಕ್ರಮದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, a-ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಅಂಡಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, a-ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಹೈಪರೋವಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೆಸಾರ್ಗ್ಯೂಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲವಾದ ಪಿಜಿ (2,) ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಿಕ್, ಅಂದರೆ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಹೋಮೋಜೀನಿಯಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸೆಟ್, ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಬೆನಿಯಾಮಿನೊ ಸೆಗ್ರೆಯ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬೆಸವಾಗಿರುವಾಗ, ಪಿಜಿ (2,) ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ-ಆರ್ಕ್ ಒಂದು ಕೋನಿಕ್ (ಸೆಗ್ರೆಯ ಪ್ರಮೇಯ) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರವರ್ತಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು-ಆರ್ಕ್ ಇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಒಕ್ಕೂಟವು a (+ 2)-ಆರ್ಕ್ ಆಗಿರುವಂತಹ (ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ವಾದಗಳ ಮೂಲಕ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಅಂಡಾಕಾರವನ್ನು ಸಮ ಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೈಪರೋವಲ್ಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಆರ್ಕ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ಎ-ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರ್ಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೆಸಾರ್ಗ್ಯೂಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ, ಪಿಜಿ (2,), ಯಾವುದೇ-ಆರ್ಕ್ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಅಂಡಾಕಾರದವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ-ಆರ್ಕ್ಗಳು ಸೀಮಿತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಪಿಜಿ () ಯೊಂದಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದಂತಹ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎ (ಸ್ಪೇಷಿಯಲ್)-ಆರ್ಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಎಲ್ಲಿ)-ಆರ್ಕ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ()-ಆರ್ಕ್ಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ A ()-ಆರ್ಕ್ () ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಡೆಸಾರ್ಗುಸಿಯನ್ ಅಲ್ಲ) ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತಹ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾದರೂ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಎ ()-ಆರ್ಕ್ ಒಂದು-ಆರ್ಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರವು ಕಾಳಜಿಯ ವಿಷಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಆರ್ಕ್ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ a ()-ಕಮಾನಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಹೈಪರೋವಲ್ಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಕ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಮಾನುಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಕಮಾನುಗಳಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರರೇಖೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.