Vibrations of a circular membrane
ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಪೊರೆಯು ಅಡ್ಡ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾದ ಡ್ರಮ್ಹೆಡ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಠಿಣ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಏಕರೂಪದ ದಪ್ಪದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪೊರೆಯ ಕಂಪನಗಳಿಂದ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಅನುರಣನದ ವಿದ್ಯಮಾನದಿಂದಾಗಿ, ಕೆಲವು ಕಂಪನ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ, ಅದರ ಅನುರಣನ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ, ಮೆಂಬರೇನ್ ಕಂಪನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು, ಮೇಲ್ಮೈ ನಿಂತಿರುವ ಅಲೆಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಂಬರೇನ್ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಡಿಮೆ ಆವರ್ತನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಂಬರೇನ್ ಕಂಪಿಸುವ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೆಂಬರೇನ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೆಂಬರೇನ್ನ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಅಡ್ಡವಾದ ವೇಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಚೌಕಟ್ಟಿನ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ ಪೊರೆಯ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಂಬರೇನ್ನ ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಂಪನವನ್ನು ಮೆಂಬರೇನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ಅನಂತ ಸರಣಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಮಯದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಡ್ರಮ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಂಪನಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಡ್ರಮ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಕೇಳಬಹುದೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು, 1992 ರಲ್ಲಿ ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು (ಅದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ) ನೀಡಲಾಯಿತು. ಪ್ರಚೋದನೆ ಕಂಪಿಸುವ ಡ್ರಮ್ ಹೆಡ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು ಡ್ರಮ್ ಮತ್ತು ತಿಮ್ಪಾನಿಯಂತಹ ತಾಳವಾದ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಿವಿಯ ಡ್ರಮ್ನ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಜೈವಿಕ ಅನ್ವಯವೂ ಇದೆ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುವಿನ ವಿಧಾನಗಳು ವಿಧಾನಗಳು, ನೋಡ್ಗಳು, ಆಂಟಿನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಪರಮಾಣುವಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ ತೆರೆದ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು "ಸ್ಥಿರ" ಡ್ರಮ್ ತಲೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ "ಸ್ಥಿರ" ಡ್ರಮ್ ಹೆಡ್ ಆಕಾರದಿಂದ ಅಳೆಯುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಡ್ರಮ್ ಹೆಡ್ ಆಕಾರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅದರ ಗಡಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತ, ಇದು ಡ್ರಮ್ ತಲೆಯನ್ನು ಜೋಡಿಸಲಾಗಿರುವ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಡ್ರಮ್ ತಲೆಯ ಕಂಪನವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದಾಗಿ, ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ ಕಂಪನ ತರಂಗಗಳು ಹರಡುವ ವೇಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಭೌತಿಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ತರಂಗದ ವೇಗ, c ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ, ಮೆಂಬರೇನ್ ಬೌಂಡರಿಯಲ್ಲಿ () ಉಂಟಾಗುವ ರೇಡಿಯಲ್ ಮೆಂಬರೇನ್, ಮೆಂಬರೇನ್ ದಪ್ಪ, ಮತ್ತು ಮೆಂಬರೇನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಂಬರೇನ್ ಏಕರೂಪದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಒತ್ತಡದ ಬಲವನ್ನು ಅಜಿಮುತಲ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮೆಂಬರೇನ್ ಎಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆಕ್ಸಿಸ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕೇಸ್ ನಾವು ಮೊದಲು ಆಕ್ಸಿಸ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಡ್ರಮ್ ಹೆಡ್ನ ಕಂಪನದ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಇಳುವರಿಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಕಂಪಿಸುವ ಡ್ರಮ್ ಹೆಡ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಆಂದೋಲನಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಈ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳು 0 ಕ್ರಮದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬೆಸೆಲ್ನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಕಂಪಿಸುವ ಡ್ರಮ್ ಹೆಡ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಭೌತಿಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ನಂತರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಬರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಡ್ರಮ್ ತಲೆಯ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಎತ್ತರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಅಗತ್ಯತೆಯು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿ, ಎಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವಧಿಯು ಕೋನೀಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದು ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದದೊಂದಿಗೆ,-th ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುವಿನ ಸದೃಶ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ಫಲ ನೀಡುವ ಗಡಿ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ಇದನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೈಪ್ ಲೈಬ್ರರಿಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪೈಥಾನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಸ್ಕೈಪ್ ಇಂಪೋರ್ಟ್ನಿಂದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಎಸ್ಸಿ ಎಂ = 0 #ಕ್ರಮದಂತೆ (ಅಂದರೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೆಂಬರೇನ್ಗೆ ಕೋನೀಯ ಕ್ರಮ) nz = 3 #ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇರುಗಳು ಆಲ್ಫಾ _ mn = sc.jn_zeros (m, nz) #ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳು ಜೆಎಂನ nz ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕಂಪಿಸುವ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್, ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕೇಸ್ ಕ್ಲಾಡ್ನಿ ಮಾದರಿಗಳು, ಸಂಬಂಧಿತ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಆರಂಭಿಕ ವಿವರಣೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಗೀತ ವಾದ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ; ಸಹ ನೋಡಿ ಸೈಮಾಟಿಕ್ಸ್ ಡ್ರಮ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಕೇಳುವುದು, ಮೆಂಬರೇನ್ ಪರಮಾಣು ಕಕ್ಷೆಯ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದು, ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ವಾಂಟಮ್-ಯಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಂಪನಗಳು ಡ್ರಮ್ಮಿಂಗ್