Tangent lines to circles
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ವೃತ್ತದ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಪ್ರವೇಶಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಆ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಡಿಯಲ್ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಲಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ, ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳು ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸದಿರಬಹುದು. ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ಗಳು, ತಿರುಗುವಿಕೆ, ಅನುವಾದಗಳು, ವಿಲೋಮಗಳು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತವು ವಿರೂಪಗೊಂಡಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಘಟನೆಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅದೇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದೊಳಗಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವೃತ್ತದ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಬಹುದು. ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಅದೇ ರೀತಿ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರುವ ರೇಡಿಯಲ್ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳವರೆಗಿನ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಕೆಂಟ್-ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದು ಪಿ ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಶಕ್ತಿಯು ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದನ್ನು ಧ್ರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಧ್ರುವ ರೇಖೆಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತದ ಹೊರಗಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯ ನಡುವೆ ಅದೇ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಹೊರಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಮತ್ತು ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ (180° ಗೆ ಮೊತ್ತ). ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಎಳೆದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಇದನ್ನು ವೃತ್ತದ ಸೂಚ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ವೃತ್ತವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳಿ ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೂಚ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಈಗ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು. ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಮತ್ತು ನೇರ ಅಂಚಿನ ರಚನೆಗಳು ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ರೇಡಿಯಲ್ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ರೇಖೆಯು ಲಂಬ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಥೇಲ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವೃತ್ತದ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದುಃ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿ, ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಮತ್ತೆ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಾದದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಹೊಸ ವೃತ್ತವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು; ಇವೆರಡನ್ನೂ ಅರ್ಧವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಮಾತ್ರ ರೇಡಿಯಲ್ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿವೆ. ಕೇವಲ ನೇರ ಅಂಚನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೃತ್ತದ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆಃ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಛೇದಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಆರು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ, ಒಂದೇ ರೇಖೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕ 1 ಆಗಿರಲಿ. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಅದೇ ರೀತಿ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು. ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಈ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡೂ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕವು-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಗಿಂತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸಂಧಿಸಿದರೆ ವಾಹಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಃ ಬಿಂದುವು-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆಃ ವಾಹಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಂದು ದೂರದಿಂದ ಮತ್ತು ಏಕಮಾನದ ಮೂಲ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಆರ್ತೋಗೋನಲ್ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ 2 ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಇದ್ದರೆ ವೃತ್ತ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಃ ಸಮೀಕರಣವು ಬಿಂದುವಿನ ವೃತ್ತ ವಿಲೋಮವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಧ್ರುವ ಮತ್ತು ಧ್ರುವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಃ ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಅದರ ಒಳವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೂ ಆಗಿದೆ; ಜೊತೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿವೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಿದ ವೃತ್ತಗಳು ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ನಾಲ್ಕು ನೇರ ಬದಿಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ವೃತ್ತವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ. ಪಿಟೋಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ತೀರ್ಮಾನವು ಚತುರ್ಭುಜದ ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಭಾಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ), (ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ), (ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು (ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಆದರೆ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಂತಹ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದುದೂ ಸಹ ನಿಜಃ ಪ್ರತಿ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ವಿವಿಧ ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಆಯತವು ಚೌಕವಾಗಿರದ ಹೊರತು ಕೆತ್ತಿದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ರಾಂಬಸ್ ಕೆತ್ತಿದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ತಕ್ಷಣವೇ ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡಕ್ಕೂ (ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್) ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳಿರುತ್ತವೆ-ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹೊರಗೆ ಇದ್ದರೆ-ಆದರೆ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಬಹುದು; ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತಿಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು, ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ, ವೃತ್ತಗಳು ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ; ಇತರ ಎರಡು, ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ, ವೃತ್ತಗಳು ರೇಖೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ. ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಆಂತರಿಕ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರಗಳೆರಡೂ ಕೇಂದ್ರಗಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ (ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆ), ಸಣ್ಣ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆಃ ಆಂತರಿಕ ಕೇಂದ್ರವು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೇಂದ್ರವು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಸಣ್ಣ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹೊರಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಸಮಾನ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೂ ನಾಲ್ಕು ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಾಹ್ಯ ಕೇಂದ್ರವಿಲ್ಲ; ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರವು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನಂತ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಕೆಂಪು ರೇಖೆಯು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು, ಬಿಂದುಗಳನ್ನು, ಕೋನದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನೀವು ಅಲ್ಲಿ ಅಟಾನ್ 2 ಅನ್ನು 2-ವಾದದ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ಹತ್ತಿರದ ಮತ್ತು ದೂರದ ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಎರಡು ಹೊರಗಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು (ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಸೆಂಟರ್) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ, ಹತ್ತಿರದ ಅಥವಾ ದೂರದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಗಳಿಂದ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಅವಲಂಬಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು. ಇದು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಒಳಗಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಭಾಗವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಿಸಿದಾಗ ಒಳಗಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ, ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ರೇಖೆಯು ನಂತರ ಇತರ ವೃತ್ತಕ್ಕೂ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಈ ರಚನೆಗಳು ಒಡೆಯುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಇದನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ರಚನೆಯ ಒಂದು ರೂಪವು ಮಿತಿ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಹೊಸ ವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಹೊಸ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಎರಡೂ ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಕುಗ್ಗುವುದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕುಗ್ಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ರೇಡಿಯಲ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಬಹುದು; ಇವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಬಯಸಿದ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಈ ರೇಡಿಯಲ್ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಒಂದು ಹೊಸ ವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಹೊಸ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕುಗ್ಗುವುದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ರೇಡಿಯಲ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಬಹುದು; ಇವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಬಯಸಿದ ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಈ ರೇಡಿಯಲ್ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ವೃತ್ತಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಎರಡನೇ ಇಳುವರಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಒಳಗಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ. ಇದು ದೂರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (1) ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದುಃ ಎರಡು ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು () ಪಡೆಯಲು ಇವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿಃ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಇದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರಗಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕೇಂದ್ರಗಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಅದನ್ನು ಬಳಸಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು (ಬಾಹ್ಯ) ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರ, ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ತ್ರಿಜ್ಯವು ಕೋನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಭಾಗವು ಕೇಂದ್ರಗಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೇಂದ್ರಗಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಏಕ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ. ನಂತರ (ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸಮಾನವಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ), ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತಿರುಗುತ್ತವೆಃ ಇದು ವೃತ್ತಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ವೃತ್ತಗಳ ಬಲಭಾಗದಿಂದ ನೋಡುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೃತ್ತವು ಧನಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ದಾಟುತ್ತವೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ತ್ರಿಜ್ಯ ಸ್ವಿಚ್ಗಳ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು. ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶದ ನಾಲ್ಕು ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶದ ರೇಖೆಯು ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುಗಳು ಆಯಾ ವೃತ್ತಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಇವು ಎರಡು ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಜೋಡಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವೃತ್ತಗಳು ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬಹುದು; ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸಿದರೆ (ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಣಿಸಿದರೆ) ಶೂನ್ಯ, ಎರಡು ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕು ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ತ್ರಿಜ್ಯ ಹೊಂದಿರುವ ವಲಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಇತರ ಸಂರಚನೆಗಳ ಮಿತಿಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದಲೂ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುತೇಕ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಮಿತಿ, ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವಂತೆ ಚಲಿಸುವುದು, ಅಥವಾ ಸಣ್ಣ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವು ಶೂನ್ಯ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಕುಗ್ಗುವುದು. ವೃತ್ತಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹೊರಗೆ ಇದ್ದರೆ (), ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ, ನಾಲ್ಕು ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳಿವೆ. ಅವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ () ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ-ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ-ಅವು ಎರಡು ಬಾಹ್ಯ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಂತರಿಕ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಬಹುಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಿಗೆ (ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ) ವೃತ್ತಗಳನ್ನು (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು) ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ () ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅವು ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಾಹ್ಯ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಅವುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಂತರಿಕ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳಿಲ್ಲ). ವೃತ್ತಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ () ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ-ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ-ಅವು ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಾಹ್ಯ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಮೇಲಿನಂತೆ ಎರಡು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆ. ಒಂದು ವೃತ್ತವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದು ವೃತ್ತದ () ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ ಅವು ಯಾವುದೇ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೊರಗಿನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಒಳಗಿನ ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಒಳಗಿನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಹೊರಗಿನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ (ಬಾಹ್ಯ) ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವೃತ್ತದ ಮೌಲ್ಯದ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು (ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದೇ ಲೋಕಸ್, ಆದರೆ "ಇನ್ಸೈಡ್ ಔಟ್" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಜ್ಯವು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಒಂದು ವೃತ್ತವು ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಧನಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಜ್ಯ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು) "ಬಾಹ್ಯ" ಮತ್ತು "ಆಂತರಿಕ" ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನ್ನೂ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ). ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ವೃತ್ತಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವು ದ್ವಿಗುಣ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವನ್ನು ಎರಡು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು "ಸ್ಪರ್ಶಕ" ವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೃತ್ತವು ತ್ರಿಜ್ಯ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಯು ಕೇವಲ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ವೃತ್ತಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೇಖೆಯು ಅವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೇಂದ್ರವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ವೃತ್ತಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಎರಡೂ ವೃತ್ತಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಬೆಲ್ಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಬೆಲ್ಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ, ಇದು ಎರಡು ಪುಲ್ಲಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಲು ಬೇಕಾದ ಬೆಲ್ಟ್ ಅಥವಾ ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು. ಬೆಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಅತ್ಯಲ್ಪ ದಪ್ಪದ ಗಣಿತದ ರೇಖೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಪುಲ್ಲಿಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಬೆಲ್ಟ್ನಿಂದ ಒಳಪಟ್ಟ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಾಪಗಳ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ದಾಟಲು ಬೆಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳು ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಬೆಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪುಲ್ಲಿಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸುತ್ತಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳು ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪುಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳುಃ ಮೊಂಗೆಯವರ ಪ್ರಮೇಯವು, ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೂರು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ, ಮೂರು ಜೋಡಿ ವೃತ್ತಗಳಿವೆ (,, ಮತ್ತು). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ವಲಯಗಳು ಎರಡು ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಆರು ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಕೇಂದ್ರಗಳಿವೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ಡ್ ಮೊಂಗೆಯು ಈ ಆರು ಅಂಕಗಳು ನಾಲ್ಕು ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿವೆ, ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು ಮೂರು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಅಪೋಲೋನಿಯಸ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅನೇಕ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದದ್ದು ಮೂರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ (ಎಲ್ಎಲ್ಎಲ್ ಸಮಸ್ಯೆ) ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ರೇಖೆಗಳ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಮೇಲೆ ಇರಬೇಕು; ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರತಿ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಎರಡು ಕೋನ-ವಿಭಜಕ ರೇಖೆಗಳಿವೆ. ಈ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದಕಗಳು ದ್ರಾವಣ ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ನಾಲ್ಕು ವೃತ್ತಗಳಿವೆ, ಮೂರು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೆತ್ತಿದ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಮೂರು ಬಹಿಷ್ಕೃತ ವೃತ್ತಗಳು. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪೋಲೋನಿಯಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ವೃತ್ತ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸ್ವತಃ ಎಲ್ಎಲ್ಸಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ). ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ನೀಡಲಾದ ಮೂರು ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಅವು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವವರೆಗೆ ಅಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗುವವರೆಗೆ ಅಳೆಯುವುದು ಸಾಕು. ಸೂಕ್ತ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಮೂರನೇ ವೃತ್ತವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ವೃತ್ತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಿರ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮೂರನೇ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವವರೆಗೆ ಜಾರುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಮರು-ವಿಲೋಮವು ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಯೋಗ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಧ್ರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಧ್ರುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಧ್ರುವ ಬಿಂದುಗಳು ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಇರಬಹುದು. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಶೇಷ (ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ) ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಈ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು 28 ಬಿಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ; ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅನಂತ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಎರಡೂ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಮೋಬಿಯಸ್ ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಗಳನ್ನು "ಅನಂತದಲ್ಲಿ" ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ವೃತ್ತಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ, ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವಿದೆ. ಮೋಬಿಯಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ನಡುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶವು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಲೈ ಗೋಳದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಏಕಮಾನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್-ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಜ್ಯ ವಾಹಕದ ಮೂಲಕ ಘಟಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ನಿಯತಾಂಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು. ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಪ್ಲಿಟ್-ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಎಲ್ಲಿ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ