Riemann–Siegel theta function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ರೀಮನ್-ಸೀಗಲ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಟಿ ಯ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಾದವನ್ನು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಲಾಗ್-ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಧಾನ ಶಾಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ. ಇದು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದರ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಅದರ ಟೇಲರ್-ಸರಣಿಯು 0 ರಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಮದ ಪಾಲಿಗಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್-ಸೀಗಲ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬಲ್ಲದು, ಅದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ Z ಕಾರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ವಕ್ರ ಚರ್ಚೆಯು ರೀಮನ್-ಸೀಗೆಲ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತು ಮೂರು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಬೆಸ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಥೀಟಾ ನಾವು ಲಾಗ್-ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ γ ಯೂಲರ್ನ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. - 1 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವಿನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಈ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ-1/2 ಮತ್ತು 1/2ರ ನಡುವಿನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ Z ಕಾರ್ಯವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು t ಯ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಲಾಗ್ನ ಪ್ರಧಾನ ಶಾಖೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದೇ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ θ (t), i/2ರ ಮೇಲಿರುವ ಮತ್ತು −i/2ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಶಾಖೆಯ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, Z ಕಾರ್ಯವು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣವು ಸಂಭವಿಸುವ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಜೆ. ಪಿ. ಗ್ರಾಮ್ ನಂತರ ಗ್ರಾಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳೆಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಈ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ W ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗ್ರಾಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಿವೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ n ನ ಆಯ್ಕೆಯು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಚ್ಚಾ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು 0 ಆಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ (ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದಲ್ಲಿ 14.13472515.) ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಗಮನಿಸಿ, ಈ-ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ-ಸಣ್ಣ ನೈಜ ವಾದಗಳಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ [−24,24] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ! ಹೀಗಾಗಿ ಬೆಸ ಥೀಟಾ-ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗ್ರಾಮ್ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಸೂಚ್ಯಂಕ-3ರಲ್ಲಿ 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ ಗ್ರಾಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಗ್ರಾಮ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇದು ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಗ್ರಾಮ್ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಗ್ರಾಮ್ನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನೈಜ ಭಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು ಗ್ರಾಮ್ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ವಲ್ಪ ನಿಯಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. 0 ರಿಂದ ಟಿ ವರೆಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು, ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವ ದೋಷ ಪದವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಗ್ರಾಮ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ, ನಂತರ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿನ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸರಳವಾಗಿ ಆಗುತ್ತದೆ.................................................................................................................................................................................. ದೊಡ್ಡ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಇದು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು ಎಂದು ಗ್ರಾಮ್ ಹೆದರುತ್ತಿದ್ದರು (ಮೊದಲ ಮಿಸ್ 127 ನೇ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಸೂಚ್ಯಂಕ 126 ರಲ್ಲಿದೆ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಎಂದು ಹೇಳಿಕೊಂಡರು. ನಂತರ ಹಚಿನ್ಸನ್, ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಮ್ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ (ಸುಳ್ಳು) ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಗ್ರಾಮ್ನ ನಿಯಮ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು. ಝಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಗ್ಯಾಬ್ಕ್, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. (1979), ನ್ಯೂ ಹೆರ್ಲೀಟಂಗ್ ಉಂಡ್ ಎಕ್ಸ್ಪ್ಲಿಸಿಯೆರ್ಟ್ ರೆಸ್ಟಾಬ್ಷಾಟ್ಜಂಗ್ ಡೆರ್ ರೀಮನ್-ಸೀಗೆಲ್-ಫಾರ್ಮೆಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಥೀಸಿಸ್, ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಗೊಟ್ಟಿಂಗನ್. ಪರಿಷ್ಕೃತ ಆವೃತ್ತಿ (eDiss Göttingen 2015) ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ರಿಸರ್ಚ್-ರೀಮನ್-ಸೀಗೆಲ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯ (ಕಾರ್ಯ ಪ್ಲ್ಯಾಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ) ಝೀಟಾ ಮತ್ತು ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್