Ihara zeta function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇಹಾರಾ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸೆಲ್ಬರ್ಗ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಕಟವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ನಡಿಗೆಗಳನ್ನು ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವರ್ಣಪಟಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಹಾರಾ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಯಸೂತಕ ಇಹಾರಾ ಅವರು ಎರಡು-ಬೈ-ಎರಡು ಪಿ-ಅಡಿಕ್ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇಹಾರಾ ಅವರ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಜೀನ್-ಪಿಯರ್ ಸೆರೆ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ಟ್ರೀಸ್ನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದರು. ತೋಶಿಕಾಜು ಸುನಾಡಾ ಅವರು 1985ರಲ್ಲಿ ಈ ಸಲಹೆಯನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದರು. ಸುನಾಡಾ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಅದರ ಇಹಾರಾ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ರೀಮನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ರಾಮಾನುಜನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಇಹಾರಾ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ (ಪಿ) ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಧಾನ ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆನ್ (ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ "ರಿಡ್ಯೂಸ್ಡ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ವಾಕ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಗ್ರಾಫ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಅಲ್ಲ) ಎಂಬುದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಉದ್ದವಾಗಿರುವಂತಹ ಶೃಂಗಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಸಮಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸುನಾದಾದಿಂದಾಗಿದೆ. ಇಹಾರ್ನ ಸೂತ್ರ ಇಹಾರಾ (ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸುನಾಡಾ) ನಿಯಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ-ನಿಯಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿ ಎಲ್ಲಿದೆ? ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ,. ಇಹಾರಾ ಝೀಟಾ-ಕಾರ್ಯವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಗ್ರಾಫ್ ಬಹುಪದದ ಪರಸ್ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಕಿ-ಇಚಿರೋ ಹಶಿಮೊಟೊನ ಅಂಚಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಹೈಮನ್ ಬಾಸ್ ಅವರು ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಇಹಾರಾ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳು, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಇಲ್ಲಿ ಇಹಾರಾ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ರುಯೆಲ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಝೀಟಾ ಮತ್ತು ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ