Band matrix
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಬ್ಯಾಂಡೆಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ವಿರಳವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಮೂದುಗಳು ಕರ್ಣ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು n × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A = (ಎಐ, ಜೆ) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಗಡಿಯ ಬ್ಯಾಂಡ್ನ ಹೊರಗೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾದ k1 ಮತ್ತು k2 ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಂತರ k1 ಮತ್ತು k2 ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗರಿಷ್ಠವು k1 ಮತ್ತು k2 ಆಗಿದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು k ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು k1 = k2 = 0 ಹೊಂದಿರುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ k1 = k2 = 1 ಹೊಂದಿರುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು k1 = 0, k2 = n − 1, ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, k1 = n − 1, k2 = 0 ಗೆ ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಹೆಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಟೋಪ್ಲಿಟ್ಜ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬ್ಲಾಕ್ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಶಿಫ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಶಿಯರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಜೋರ್ಡಾನ್ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಎ ಸ್ಕೈಲೈನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇದನ್ನು "ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಲೆಹ್ಮರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವಿಲೋಮಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಜೋಡಣೆಯ ವಿವರಣೆಗಳಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು; ಬ್ಯಾಂಡೆಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ದೂರಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬ್ಯಾಂಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬ್ಯಾಂಡೆಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿವೇಚಿಸುವಾಗ ಇವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಬ್ಯಾಂಡೆಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಸ್ವತಃ ವಿರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಚದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು (ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯಾಮದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬ್ಯಾಂಡ್ನೊಳಗೆ ಕೇವಲ 5 ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ LU ವಿಭಜನೆ) ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅನೇಕ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ತುಂಬುತ್ತದೆ. ಬ್ಯಾಂಡ್ ಶೇಖರಣಾ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬ್ಯಾಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉಳಿದವು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 6-ಬೈ-6 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು 6-ಬೈ-3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತಷ್ಟು ಉಳಿತಾಯ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ರ ಮೇಲಿನ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ 6-ಬೈ-6 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು 6-ಬೈ-3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆಃ ವಿರಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಬ್ಯಾಂಡ್ ರೂಪ ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆಯಾಮದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಸಾಲಿನ ಆಯಾಮವು ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರದಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೆಲಸವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಉಳಿತಾಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿರಳವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ದಟ್ಟವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗಣನೆಗೆ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ನೀಡುವುದರಿಂದ, ಹಾಗೆಯೇ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಂಗ್ರಹಣೆಯ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ (ಅಥವಾ ನೇರವಾಗಿ ಫಿಲ್-ಇನ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ) ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದೆ, ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಇತರ ಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಹೋಲಿಕೆ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ವಿರಳವಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಕುಥಿಲ್-ಮೆಕ್ಕೀ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಿವರ್ಸ್ ಕುಥಿಲ್-ಮೆಕ್ಕೀ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿವೆ. ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎನ್ಪಿ-ಹಾರ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲ್ಯಾಪಾಕ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಂಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿ ಬ್ಯಾಂಡೆಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಿರಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ವರೂಪಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ವಿರಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು