Multicollinearity
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬಹುಕೋಶೀಯತೆ (ಸಹಕೋಶೀಯತೆ) ಎಂಬುದು ಒಂದು ವಿದ್ಯಮಾನವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮುನ್ಸೂಚಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಇತರರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಮಾದರಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವಂತೆ ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದ ಗುಣಾಂಕ ಅಂದಾಜುಗಳು ತಪ್ಪಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಜನಪ್ರಿಯ ನಂಬಿಕೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಮಾದರಿಯ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಶಕ್ತಿ ಅಥವಾ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಥಿರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬಲವಾದ ಗೊಂದಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳಂತಹ ಹಿಂಜರಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಊಹೆಗಳ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, "ನೋ ಮಲ್ಟಿಕಾಲಿನೇಯರಿಟಿ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಲ್ಟಿಕಾಲಿನೇಯರಿಟಿಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಖರವಾದ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ) ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡಿಸೈನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊಮೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಾರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯು ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪೊಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಹುಕೋಶೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಅವಲೋಕನವಾಗಿದೆ. ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು, ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಅಲ್ಲಿ ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು. ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಿದ್ದರೆ (ಪರಿಪೂರ್ಣ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆ), ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಕಣವು ಇತರರ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ) ರ ಶ್ರೇಣಿಯು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅನಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಚ್ಚಾ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಜೊತೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ, ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದಾಗಿ ಬಹುತೇಕ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣ () ಅನ್ನು ದೋಷ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಬಹುತೇಕ ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಅಸಮರ್ಪಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅಂದಾಜು ವಿಲೋಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿರಬಹುದು; ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾದರೂ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಲೋಮವು ದೊಡ್ಡ ಸುತ್ತಿನ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮಗಳು ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗಳಾಗಿವೆಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಹಣದುಬ್ಬರದ ಅಂಶ (ವಿಐಎಫ್): ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂಜರಿತಕಾರಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂಬತ್ತನೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. 5, 10, 20, ಅಥವಾ 40ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳು "ತೀವ್ರ" ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಜನಪ್ರಿಯ ತಪ್ಪು ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಎಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗಿದೆಯೆಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ದೊಡ್ಡ ವಿಐಎಫ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅನಾರೋಗ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಳತೆಯು ಸ್ಥಿತಿಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮವು ಸೀಮಿತ-ನಿಖರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಫ್ಲೋಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಡಬಲ್ಸ್) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೆಡ್ ವಿಲೋಮದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂವೇದನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸೈನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಗರಿಷ್ಠ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 30 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಹಿಂಜರಿತವು ತೀವ್ರವಾದ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು; ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರೆ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಃ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜೋಡಿ ಬಲ-ಬದಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಬಹುಕೋಶೀಯತೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿವೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ 0.4 ರ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (ಆಫ್-ಡಯಾಗ್ನಲ್ ಅಂಶಗಳು) ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹುಕೋಶೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ; ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಇರಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಅಂದಾಜು ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅಂದಾಜು ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪಡೆಯುವಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು. ಅದು ಒಂದನ್ನು ಪಡೆದರೂ, ವಿಲೋಮವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ಬಲವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿದ್ದಾಗ, ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಕಳಪೆ ಮಾದರಿಯ ಕಲಾಕೃತಿಯಲ್ಲ. ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಭಾಗಶಃ ಗೊಂದಲವಿದೆ, ಇದು ಯಾವ ರಿಗ್ರೆಸರ್ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಶೋಧಕರು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಾಗಲೂ (ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುವ ಮೂಲಕ) ಈ ಗೊಂದಲವು ಉಳಿದಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಿಂಜರಿತಗಳಿಂದ ಬಹುಕೋಶೀಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುವುದರಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಗೊಂದಲಕಾರಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ದತ್ತಾಂಶವು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಡೇಟಾಸೆಟ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಗತ್ಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದತ್ತಾಂಶ ಸಂಗ್ರಹವು ಆದಾಯ, ವೆಚ್ಚಗಳು ಮತ್ತು ಉಳಿತಾಯಗಳ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆದಾಯವು ವೆಚ್ಚಗಳು ಮತ್ತು ಉಳಿತಾಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ), ಎಲ್ಲಾ 3 ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವುದು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರತಿ ವರ್ಗಕ್ಕೂ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೇಸಿಗೆ, ಶರತ್ಕಾಲ, ಚಳಿಗಾಲ ಮತ್ತು ವಸಂತಕಾಲ) ಡಮ್ಮಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಪದವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಮುನ್ಸೂಚಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿ. ಬಹುಪದ ಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು (ಅಂದರೆ, ಫಾರ್,,, ಇತ್ಯಾದಿ) ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪದಗಳು (ಅಂದರೆ,, ಇತ್ಯಾದಿ) ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ಸರಾಸರಿ-ಕೇಂದ್ರೀಕರಣವು ಈ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಬಹುಕೋಶೀಯತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ದತ್ತಾಂಶದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಬಲವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಕಳಪೆ-ಲಿಖಿತ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತಂತ್ರಾಂಶವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಧಾರದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕೇವಲ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಹಿಂಜರಿಕೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಇನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಬೇಕು. ಬಹುಕೋಶೀಯತೆ ಮಾದರಿಯ ನಿಖರತೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೇ ಹೊರತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಕೃತಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾದ (ಅಂದಾಜು ಮಾಡದ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಹಣದುಬ್ಬರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಹಿಂಜರಿತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪೋಸ್ಟ್ ಹಾಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ಪಿ-ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್-ಕಂಡಿಷನ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಆರಂಭಿಕ ಉಪಯೋಗಗಳುಃ ಮಲ್ಟಿಕಲಿನಿಯಾರಿಟಿಯಲ್ಲಿನ ನಮೂದು ಕೆಲವು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ