Method of lines
ರೇಖೆಗಳ ವಿಧಾನವು (ಎಂ. ಓ. ಎಲ್., ಎನ್. ಎಂ. ಓ. ಎಲ್., ಎನ್. ಯು. ಎಂ. ಓ. ಎಲ್.) ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಗಳು) ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವೇಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಯನ್ನು ಒಂದೇ ನಿರಂತರ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ರೇಖೆಗಳ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳು) ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ (ಡಿ. ಎ. ಇ. ಗಳು) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಾಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಏಕೀಕರಣದ ದಿನಚರಿಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವನ್ನು ಮುಕ್ತ ಮೂಲ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೇಖೆಗಳ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ ಅಥವಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೊದಲು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿವೇಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ವಿಧಾನವು ಕನಿಷ್ಠ 1960 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿದೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ರೇಖೆಗಳ ವಿಧಾನದ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಅನೇಕ ಪ್ರಬಂಧಗಳು ನಂತರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಎಂ. ಓ. ಎಲ್. ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯ (ಕೌಚಿ) ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಮತ್ತು ಡಿ. ಎ. ಇ. ಸಂಯೋಜಕಗಳು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆ (ಐವಿಪಿ) ಪರಿಹಾರಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತಪ್ಪಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಂ. ಓ. ಎಲ್. ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಮಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನಂತರ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎಂ. ಓ. ಎಲ್. ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಗಳ ಅರೆ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಂಡಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಂಬಂಧಿತ ಘಾತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವ ODE ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಫಾಲ್ಸ್ ಟ್ರಾನ್ಷಿಯಂಟ್ಗಳ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪಿಡಿಇಗಳಿಗೆ ಫಾಲ್ಸ್ ಟ್ರಾನ್ಷಿಯಂಟ್ಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದೃಢವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ರೇಖೆಗಳ ತಪ್ಪು ಅಸ್ಥಿರ ವಿಧಾನ-ಮಾದರಿ ಸಂಕೇತ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು