Heawood graph
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ 14 ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು 21 ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪರ್ಸಿ ಜಾನ್ ಹೀವುಡ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಘನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳು ಆರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಸಣ್ಣ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಚಿಕ್ಕ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಗ್ರಾಫ್ 6-ಕೇಜ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸುತ್ತಳತೆ 6 ರ ಚಿಕ್ಕ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ದೂರ-ಸಂಕ್ರಮಣದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ (ಫೋಸ್ಟರ್ ಜನಗಣತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ದೂರವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ. ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ 24 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳಿವೆ; ಪ್ರತಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗೆ, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅಂಚುಗಳ ಸೆಟ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರವು ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಚಕ್ರದ ಆಂತರಿಕ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸೈಕಲ್ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಎರಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳಾಗಿ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು 3-ಬಣ್ಣ) ಎಂಟು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಹೀವುಡ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ 28 ಆರು-ಅಕ್ಷತಂತು ಚಕ್ರಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು 6-ಚಕ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಇತರ ಮೂರು 6-ಚಕ್ರಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತದೆ; ಈ ಮೂರು 6-ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇತರ ಎರಡರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ 6-ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಒಂದು ನೋಡ್ ಮತ್ತು 6-ಚಕ್ರಗಳ ಪ್ರತಿ ಬೇರ್ಪಡುವ ಜೋಡಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್, ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಭೌಗೋಳಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಟೊರಾಯ್ಡಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಟೊರಸ್ ಮೇಲೆ ದಾಟದೆ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯ ಒಂದು ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಟೊರಸ್, ಸ್ಜಿಲಾಸ್ಸಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ನಾನ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಇರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಷಟ್ಕೋಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮತಲವನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ 7 ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಿ. ಯಾವುದೇ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ, ಈ ಬಣ್ಣದ ಷಟ್ಕೋಣಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ, ಆಯ್ದ ಬಣ್ಣದ ಷಟ್ಕೋಣಗಳ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಮಾನಾಂತರರೇಖೆಯನ್ನು ಮಡಿಸುವುದರಿಂದ 7 ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಹೆಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟೋರಸ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ, ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ (ಕೆಳಗಿನ ಗ್ಯಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದಂತೆ, ಆದರೆ ಚೌಕದೊಂದಿಗೆ) ಈ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಪರ್ಸಿ ಜಾನ್ ಹೀವುಡ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು 1890 ರಲ್ಲಿ ಟೋರಸ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಾಗಿ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಏಳು ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಏಳು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರದೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಟೋರಸ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಬಂಧವು ಬಿಗಿಯಾಗಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂಬುದು ಫ್ಯಾನೊ ಸಮತಲದ ಲೆವಿ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಆ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ, ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ 6-ಚಕ್ರಗಳು ಫ್ಯಾನೊ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಹೀವುಡ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಎಸ್ಎಲ್3 (ಎಫ್2) ಗುಂಪಿನ ಟಿಟ್ಸ್ ಕಟ್ಟಡವಾಗಿದೆ. ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಆ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರೊಂದಿಗೆ 14 ನೇ ಕ್ರಮದ 8 ವಿಭಿನ್ನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿವೆ. ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಘನ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಕಾಲಿನ್ ಡಿ ವರ್ಡಿಯೆರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ. ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಏಕಮಾನದ ಅಂತರದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆಃ ಇದನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಹುದುಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಂಚಿನೊಳಗಿನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಲೀನಿಯರ್ ಗ್ರೂಪ್ ಪಿಜಿಎಲ್ 2 (7) ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು 336 ಕ್ರಮದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದು ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ, ಅಂಚುಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಚಾಪಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂಚನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಚಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾಗಿ, ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ 4-ಆರ್ಕ್-ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಫೋಸ್ಟರ್ ಜನಗಣತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, F014A ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್, 14 ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿರುವ ಏಕೈಕ ಘನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪ 3 ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದವು. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಗ್ರಾಫ್ ಇದಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅದರ ವರ್ಣಪಟಲದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಗ್ಯಾಲರಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವೈಯಕ್ತಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ನಿಯಮಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು