One- and two-tailed tests
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಊಹಿಸಲಾದ ನಿಯತಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪರ್ಯಾಯ ಮಾರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಬಹುದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು ಉಲ್ಲೇಖ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ಗಮಿಸಿದರೆ, ಆದರೆ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಒಂದು ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಯಂತ್ರವು ಶೇಕಡಾ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದರೆ, ಬಡ್ಡಿಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ (ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ), ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಹೆಸರುಗಳು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮತ್ತು ದ್ವಿಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ; ಏಕೆಂದರೆ ವಿತರಣೆಗಳ ವಿಪರೀತ ಭಾಗಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಅವಲೋಕನಗಳು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಅವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ "ಟೈಲ್ ಆಫ್" ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಹಳದಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ "ಬೆಲ್ ಕರ್ವ್", ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಒನ್-ಟೈಲ್ಡ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್, ಇದು ಗುಡ್ನೆಸ್-ಆಫ್-ಫಿಟ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯುವಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಎರಡು ಬಾಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ಬದಿಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ, ಇದು ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಇದು ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತಹ ಎರಡು ಬಾಲಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ರೊನಾಲ್ಡ್ ಫಿಶರ್ ಅವರ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶದ p-ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ (ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ) ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯಾದ H0 ಅನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಆಕಸ್ಮಿಕದ ಫಲಿತಾಂಶವಲ್ಲ ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಸೂಚಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ p-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒನ್-ಟೈಲ್ಡ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, "ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್" ಅನ್ನು "ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದು" ಅಥವಾ "ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದು" ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮೊದಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಲ್ಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಬಾಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದು ಬಾಲದ p-ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ವರದಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶವು H0 ನಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, "ತೀವ್ರ" ಎಂದರೆ "ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ", ಮತ್ತು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀಡಲಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶಕ್ಕೆ, ಒಂದೇ ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಒಂದು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿವೆ, ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಿಗೆ ತಲಾ ಒಂದು. ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದಾಗ, ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆಯ ಎರಡು ಬಾಲದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರದೇಶವು ಒಂದೇ ಬಾಲದ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ, ದತ್ತಾಂಶವು ಪರೀಕ್ಷೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಒಂದು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಮಹತ್ವದ್ದೆಂದು (ಪಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಅರ್ಧ) ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ದತ್ತಾಂಶವು ಪರೀಕ್ಷೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರದೇಶದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ (ಮೇಲಿನ ಪಿ-ಮೌಲ್ಯ) ಅಷ್ಟೇನೂ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಅದು ತಲೆಯ ಕಡೆಗೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಒಂದು ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು "ಎಲ್ಲಾ ತಲೆಗಳ" ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "ಎಲ್ಲಾ ಬಾಲಗಳ" ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (p = 1). ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಪಾತಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು "ಎಲ್ಲಾ ತಲೆಗಳು" ಅಥವಾ "ಎಲ್ಲಾ ಬಾಲಗಳು" ಎರಡನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಮಹತ್ವದ ದತ್ತಾಂಶವಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೈದ್ಯಕೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ಅವಕಾಶಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ, ಹೀಗೆ ಒಂದು ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೂ ಕೆಟ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ಅವಕಾಶಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಬದಲು ಎರಡು ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ಉತ್ತಮ ಅಥವಾ ಕೆಟ್ಟದು. ಮೂಲರೂಪದ ಲೇಡಿ ಟೇಸ್ಟಿಂಗ್ ಟೀ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಫಿಶರ್ ಅವರು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಚಹಾ ತಯಾರಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶಕ್ಕಿಂತ ಮಹಿಳೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರು, ಅವಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಅವಕಾಶಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಅಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಒಂದು ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ನಾಣ್ಯ ಫ್ಲಿಪ್ಪಿಂಗ್ನ ಉದಾಹರಣೆ ನಾಣ್ಯ ಫ್ಲಿಪ್ಪಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ಹೊಂದಿರುವ ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ತಲೆಗಳಿಗೆ 1 ಮತ್ತು ಬಾಲಗಳಿಗೆ 0 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ (ತಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಗಳ ಕಡೆಗೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತಲೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಐದು ತಲೆಗಳ (HHHHH) ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ 1 ರೊಂದಿಗೆ, ಸಂಭವಿಸುವ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, (2 ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ 5 ಸತತ ಫ್ಲಿಪ್ಗಳು-((1/2) = 1/32). ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ (ಕಟ್ಆಫ್ ಬೌಂಡ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟ) ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರೆ ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು). ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾಣ್ಯವು ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳ ಕಡೆಗೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ಎರಡು ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಐದು ತಲೆಗಳ ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್ (ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ 1) ಐದು ಬಾಲಗಳ ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನಷ್ಟು ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ 0). ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಹತ್ವದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರೆ p-ಮೌಲ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಿ-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಪಿ (ಮೂಲ ಸಂಕೇತ) ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಒನ್-ಟೈಲ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಯು ಅಸಮ್ಮಿತವಾಗಿದೆ, ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮೇಲಿನದು. ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ದತ್ತಾಂಶದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಒಳ್ಳೆಯತನವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ, ಶೂನ್ಯವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಒಪ್ಪಂದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಪಿ-ಮೌಲ್ಯವು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಎಷ್ಟು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಒಂದು-ಬಾಲದ ಮತ್ತು ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ರೊನಾಲ್ಡ್ ಫಿಶರ್ ಅವರು ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಫಾರ್ ರಿಸರ್ಚ್ ವರ್ಕರ್ಸ್ ಎಂಬ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಅದನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರು, ಇದು ಎರಡು ಸಮಾನ ಬಾಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ಥಳದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಾಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಳವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿರುವ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸರಾಸರಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ). ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತಹ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು-ಬಾಲದ p-ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡು-ಬಾಲದ p-ಮೌಲ್ಯದ ನಿಖರವಾಗಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆಃ ಫಿಶರ್ ತನ್ನ ದಿ ಡಿಸೈನ್ ಆಫ್ ಎಕ್ಸ್ಪೆರಿಮೆಂಟ್ಸ್ (1935) ನಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬದಲಿಗೆ, ಬಾಲವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಿದರು-ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಹೆಚ್ಚು ತೀವ್ರ. ಅವರು ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದತ್ತಾಂಶವು ಅಸಂಭವವಾಗಿರಬಹುದು (ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ), ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ತೀವ್ರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಅಸಂಭವವಲ್ಲದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಾರದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶವು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ-ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಂದು-ಬಾಲ ಅಥವಾ ಎರಡು-ಬಾಲದ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯ ಅಂದಾಜಿನ ಬದಲು ನಿಜವಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಒಂದು-ಬಾಲ ಅಥವಾ ಎರಡು-ಬಾಲದ ಝಡ್-ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿ ಮತ್ತು ಝಡ್ಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು-ಬಾಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಅವು ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು (ಅರ್ಧ ಗಾತ್ರದ) ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಜೋಡಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.