Curve fitting
ಕರ್ವ್ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಬಹುಶಃ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಕರ್ವ್ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಅಥವಾ ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ "ನಯವಾದ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಮನಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದೆ ಎಂಬಂತಹ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ದತ್ತಾಂಶದ ದೃಶ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ, ಯಾವುದೇ ದತ್ತಾಂಶ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಎಂಬುದು ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ಅಳವಡಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಮಟ್ಟದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವಷ್ಟು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬಹುದು. ದತ್ತಾಂಶದ ರೇಖೀಯ-ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ, "ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್" ಎಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಲಂಬವಾದ (y-ಅಕ್ಷ) ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳವಡಿಕೆಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ದೃಶ್ಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ; ಇದರರ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ದೂರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಟ್ಟು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು), ಅಥವಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಎರಡೂ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವು ಹೆಚ್ಚು ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಳವಡಿಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ. ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಇಳಿಜಾರು a ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಎರಡನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆಃ ಇದು ಸರಳವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮೂರನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ಬಂಧವು ಒಂದು ಬಿಂದು, ಕೋನ ಅಥವಾ ವಕ್ರತೆಯಾಗಿರಬಹುದು (ಇದು ತೂಗಾಡುವ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಪರಸ್ಪರ). ಕೋನ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ತುದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಸ್ಪ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವೆ ಸುಗಮ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂತಿಮ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ವಕ್ರತೆಯ ದರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆ" ಯಂತಹ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಕಾರಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಬಲಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೆದ್ದಾರಿ ಕ್ಲೋವರ್ಲೀಫ್ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ (ಜರ್ಕ್ ನೋಡಿ), ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕ್ಲೋವರ್ಲೀಫ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಮಂಜಸವಾದ ವೇಗದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಕೋನಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಮೂರನೇ ಹಂತದ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಬಹುದು, ಒಂದು ಕೋನ ನಿರ್ಬಂಧ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅನೇಕ ಇತರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. n + 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿದ್ದರೆ (n ಎಂಬುದು ಬಹುಪದದ ಡಿಗ್ರಿ), ಬಹುಪದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಮೂಲಕ ಚಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಖಚಿತವಾಗಿಲ್ಲ (ಆದರೆ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬಹುಪದವು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಕೆಲವು ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ ಅಂದಾಜು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. : ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಬಳಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕರಣವಿರಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರದ ಅಗತ್ಯವಿರಬಹುದು. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಹ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುವ ಬದಲು ಸರಾಸರಿ ಮಾಡುವ ಪರಿಣಾಮವು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿರಬಹುದು. ರುಂಜ್ ವಿದ್ಯಮಾನಃ ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಹುಪದಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಆಂದೋಲನಶೀಲವಾಗಿರಬಹುದು. ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ಆ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುವಿನ ಹತ್ತಿರವೂ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸದಿರಬಹುದು; ಅವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಹತ್ತಿರ ಬೀಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ (ಇದು ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಿಖರವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ). ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದಗಳು ನಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು "ಮುದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ". ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಬಹುಪದೀಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುಗಳು n-2 ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುವ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಇದು "ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ನೀರು" ಯಿಂದ "ಚೆಲ್ಲುವ ನೀರು" ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದಗಳು ಮುದ್ದೆಯಾಗಿರುವುದು ಮಾತ್ರ "ಸಾಧ್ಯ" ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಅವು ಮೃದುವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಇದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಗ್ಯಾರಂಟಿ ಇಲ್ಲ. ಹದಿನೈದನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದವು ಗರಿಷ್ಠ ಹದಿಮೂರು ವಿಭಜನಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಹನ್ನೊಂದು, ಅಥವಾ ಒಂಬತ್ತು ಅಥವಾ ಯಾವುದಾದರೂ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. (ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳು n-2 ರಿಂದ ಶೂನ್ಯದವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.) ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗೆ ಬಹುಪದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮಟ್ಟವು ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಈ ಹಿಂದೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿರುವ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೂ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾದ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬಹುಪದವು (ಒಂದು ರೇಖೆ) ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಮತ್ತು ಮನುಷ್ಯರಿಗೂ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಬಹುದು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ತಮ, ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಹುಶಃ ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ. ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಂತಹ (ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ನಂತಹ) ಇತರ ರೀತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಕೋಪಿಯಲ್ಲಿ, ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್, ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್, ವಾಯ್ಟ್ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನ, ಜನಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ, ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗದ ಹರಡುವಿಕೆ ಇತ್ಯಾದಿ. ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳವಡಿಸಬಹುದು. ಕೃಷಿಯಲ್ಲಿ ಬೆಳೆ ಇಳುವರಿ ಮತ್ತು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇನ್ವರ್ಟೆಡ್ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಸಿಗ್ಮಾಯ್ಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಎಸ್-ಕರ್ವ್) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೃಷಿ ಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾದ ದತ್ತಾಂಶದ ಸಿಗ್ಮಾಯ್ಡ್ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ನೀಲಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಕಡಿಮೆ ಮಣ್ಣಿನ ಲವಣತ್ವದಲ್ಲಿ, ಮಣ್ಣಿನ ಲವಣತ್ವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ ಬೆಳೆ ಇಳುವರಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಇಳಿಕೆಯು ವೇಗವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಮತಲ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳವಡಿಕೆ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಮೋದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳು (ವೃತ್ತಾಕಾರದ, ಅಂಡಾಕಾರದ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಚಾಪಗಳು) ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ನಂತಹವು) ಮುಂತಾದ ಇತರ ರೀತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದಾಗ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಪಥಗಳು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಪಥದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಅಲೆಗಳು ಸೈನೂಸೋಯ್ಡಲ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಚಂದ್ರ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಉಬ್ಬರವಿಳಿತದ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೈನ್ ತರಂಗಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ವಿವಿಧ ಅವಧಿಗಳ ಎರಡು ಸೈನ್ ತರಂಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಬೇಕು. ನಿಯತಾಂಕ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಚಾಪದ ಉದ್ದದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವುದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ; ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಸ್ವರಮೇಳದ ದೂರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು 2ಡಿ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ದೃಶ್ಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಸುಂದರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಹಿಂದಿನ ತಂತ್ರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸುವುದು ಮೇಲಿನ ತಂತ್ರವನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೇಗವಾದ ವಿಧಾನವಿದೆ, ಆದರೂ ದೃಷ್ಟಿಗೆ ಹಿತಕರವಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಈ ಚರ್ಚೆಯು 2ಡಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿದೆಯಾದರೂ, ಈ ತರ್ಕದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವು 3ಡಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ಯಾಚ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶನಗಳಲ್ಲಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಿವ್ವಳದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಂತ್ರಾಂಶ ಆರ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರಾಂಶಗಳಾದ ಗ್ನ್ಯುಪ್ಲಾಟ್, ಗ್ನು ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಲೈಬ್ರರಿ, ಎಂಎಲ್ಎಬಿ, ಮ್ಯಾಪಲ್, ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್, ಟಿಕೆ ಸಾಲ್ವರ್ 6, ಸೈಲ್ಯಾಬ್, ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ, ಗ್ನು ಆಕ್ಟೇವ್ ಮತ್ತು ಸೈಪೈನಂತಹ ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳು ವಿವಿಧ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಕರ್ವ್ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಆಜ್ಞೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಕರ್ವ್ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಸಹ ಇವೆ; ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ-ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ವರ್ಗಃ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮತ್ತು ಕರ್ವ್ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್. ಕ್ಯಾಲಿಬ್ರೇಶನ್ ಕರ್ವ್-ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಷನ್ ಎಸ್ಟಿಮೇಷನ್ ಥಿಯರಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಂದಾಜು ಫಿಟ್ ಜೆನೆಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನ ಒಳ್ಳೆಯತನ ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಲೆವೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮಾರ್ಕ್ವಾರ್ಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಲೈನ್ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಲೀನಿಯರ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾಡೆಲ್ ಮಲ್ಟಿ ಎಕ್ಸ್ಪ್ರೆಶನ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಓವರ್ಫಿಟಿಂಗ್ ಪ್ಲೇನ್ ಕರ್ವ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಸೈನೂಸಾಯ್ಡಲ್ ಮಾಡೆಲ್ ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್ ಸ್ಪ್ಲೈನ್ಸ್ (ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟಿಂಗ್, ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್) ಟೈಮ್ ಸೀರೀಸ್ ಒಟ್ಟು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಅಂದಾಜು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮುಂದೆ ಓದುವುದು ಎನ್. ಚೆರ್ನೋವ್ (2010), ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತಃ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು, ಚಾಪ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಹಾಲ್/ಸಿಆರ್ಸಿ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಸಂಪುಟ 117 (256 ಪಿಪಿ. ).