Stochastic volatility
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಎಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆಗಳಂತಹ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಭದ್ರತಾ ಪತ್ರಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಹಣಕಾಸು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಭದ್ರತೆಯ ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು ಮಾದರಿಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ, ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಭದ್ರತೆಯ ಬೆಲೆ ಮಟ್ಟ, ಕೆಲವು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮರಳುವ ಚಂಚಲತೆಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿ ಮತ್ತು ಚಂಚಲತೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಂತಹ ರಾಜ್ಯದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮಾದರಿಯ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮಾದರಿಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಚಂಚಲತೆಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ಜೀವಿತಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಭದ್ರತೆಯ ಬೆಲೆ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮಾದರಿಗಳು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಚಂಚಲತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಲಕ್ಷಣಗಳಾದ ಚಂಚಲತೆಯ ನಗು ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಸೂಚಿಸುವ ಚಂಚಲತೆಯು ಸ್ಟ್ರೈಕ್ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ಅವಧಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಬೆಲೆಯ ಚಂಚಲತೆಯು ಸ್ಥಿರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರ್ ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಮ ಮೈದಾನವು ಸ್ಥಳೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಚಂಚಲತೆಯು ಯಾವುದೇ ಹೊಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಳೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಚಂಚಲತೆಯು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯಿಲ್ಲದೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಆಸ್ತಿಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವದಂತಹ ಮಾದರಿಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳೆಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಸ್ವಲ್ಪ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಇತಿಹಾಸವು ಅನೇಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಆಯ್ಕೆಯ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ), ಇದನ್ನು ನೀಲ್ ಶೆಫರ್ಡ್ (2005) "ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆ", ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್ನ 1ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಚಂಚಲತೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಆಸ್ತಿ ಬೆಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿಃ ಸ್ಥಿರವಾದ ಚಲನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಭದ್ರತಾ ಬೆಲೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ರಿಟರ್ನ್), ಸ್ಥಿರವಾದ ಚಂಚಲತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಏಕಮಾನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ವಿವಿಧ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸ್ಟಾಕ್ ಬೆಲೆಗಳ ಸ್ಥಿರ ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜುದಾರ ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಸ್ಥಿರ ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಮೂಲ ಮಾದರಿಯು ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್-ರಾಸ್-ರುಬಿನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾದರಿಯಂತಹ ಸಂಭವನೀಯವಲ್ಲದ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಾಗಿ, ಸ್ಥಿರ ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿಯೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ರೂಪವು ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಸ್. ವಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗಾಸಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಜನಪ್ರಿಯ ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಎಸ್ವಿ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆಃ ಸರಾಸರಿ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎಲ್ಲಿದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವ ದರ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಚಂಚಲತೆ, ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಾಸಿಯನ್. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೆಸ್ಟನ್ ಎಸ್ವಿ ಮಾದರಿಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ದರದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಸರಾಸರಿ ಕಡೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮಟ್ಟದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯ ಮೂಲವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಬೆಲೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯೊಂದಿಗೆ (ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಚಂಚಲತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 'ಎಸ್ವಿಐ', ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಸಿಇವಿ ಮಾದರಿಯು ಚಂಚಲತೆ ಮತ್ತು ಬೆಲೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆಃ ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಲೆಗಳು ಏರಿದಾಗ ಚಂಚಲತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸರಕುಗಳು), ಆದ್ದರಿಂದ. ಇತರ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬೆಲೆಗಳು ಕುಸಿಯುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಚಂಚಲತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಇವಿ ಮಾದರಿಯು ಚಂಚಲತೆಗಾಗಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸದ ಕಾರಣ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಕೆಲವರು ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಬದಲಿಗೆ, ಅವರು ಇದನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಎಸ್ಎಬಿಆರ್ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿ ಎಸ್ಎಬಿಆರ್ ಮಾದರಿ (ಸಂಭವನೀಯ ಆಲ್ಫಾ, ಬೀಟಾ, ರೋ), ಹಾಗನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಒಂದೇ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಆಸ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಂಚಲತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ, ಬಡ್ಡಿ ದರ, ಬಾಂಡ್, ಕರೆನ್ಸಿ ಅಥವಾ ಇಕ್ವಿಟಿ): ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮುಂಗಡ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ಚಂಚಲತೆ, ಆದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ (ಅಂದರೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗಳು) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಹೀಗಿವೆ. ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ನಗುವಿನ ನಗು ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು ಎಸ್. ಎ. ಬಿ. ಆರ್ ಮಾದರಿಯ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. GARCH ಮಾದರಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಆಟೋರೆಗ್ರೇಸಿವ್ ಕಂಡಿಷನಲ್ ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ (GARCH) ಮಾದರಿಯು ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಮತ್ತೊಂದು ಜನಪ್ರಿಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ GARCH (1,1) ಮಾದರಿಯು ನಿರಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ GARCH ಮಾದರಿಯನ್ನು NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH, ಇತ್ಯಾದಿ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ, GARCH ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಂಚಲತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಿರ್ಣಾಯಕ). 3/2 ಮಾದರಿಯು ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವೆಂದರೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅರ್ಥವು ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಚಂಚಲತೆ ಎರಡೂ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿವೆ. ಒರಟಾದ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಚಂಚಲತೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಚಂಚಲತೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸುಗಮತೆಯನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲಾಗ್-ಚಂಚಲತೆಯು ಯಾವುದೇ ಸಮಂಜಸವಾದ ಸಮಯದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮದ ಹರ್ಸ್ಟ್ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಂಚಲತೆಯ (ಎಫ್ಎಸ್ವಿ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಇದು ಒಟ್ಟಾರೆ ರಫ್ ಎಫ್ಎಸ್ವಿ (ಆರ್ಎಫ್ಎಸ್ವಿ) ಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ "ಒರಟು" ಎಂದರೆ ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುವುದು. ಆರ್. ಎಫ್. ಎಸ್. ವಿ ಮಾದರಿಯು ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅರಿತುಕೊಂಡ ಚಂಚಲತೆಯ ಸುಧಾರಿತ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಸ್. ವಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಅದನ್ನು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯಿಸಬೇಕು. ಮಾಪನವು ಬಹುಶಃ ಗಮನಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು (ಎಂಎಲ್ಇ) ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಒಂದು ಜನಪ್ರಿಯ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಭದ್ರತಾ ಬೆಲೆಗಳ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಪೊವೆಲ್ ಡೈರೆಕ್ಟೆಡ್ ಸೆಟ್ ವಿಧಾನದಂತಹ ಎಂಎಲ್ಇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಒಂದು ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಾದರಿಗೆ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಬೆಲೆ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ ಉಳಿದಿರುವ ದೋಷಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ, ನಂತರ ಈ ದೋಷಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮರು-ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂದಾಜು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಮಾದರಿಗಳ ಉಪಗುಂಪಿಗಾಗಿ ಅನೇಕ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಬಯೇಸಿಯನ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜಾರಿಗೆ ತರಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯು ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಓಪನ್ ಸೋರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಆರ್ ಗಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣಾ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮೊದಲ ಮೂರು ಮಾದರಿಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಚಂಚಲತೆಗಳೊಂದಿಗೆ GARCH-ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ; ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ರುಗಾರ್ಚ್ಃ ಆರ್ಫಿಮಾ, ಇನ್-ಮೀನ್, ಬಾಹ್ಯ ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಗಾರ್ಕ್ ರುಚಿಗಳು, ಹೊಂದಾಣಿಕೆ, ಮುನ್ಸೂಚನೆ, ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್, ಇನ್ಫೆರೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲ್ಯಾಟಿಂಗ್ನ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ. fGarch: "ಫೈನಾನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಫೈನಾನ್ಸ್" ಅನ್ನು ಕಲಿಸಲು ಆರ್ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಸರದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಬಯೇಸ್ಗರ್ಚ್ಃ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ ನಾವೀನ್ಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ GARCH (1,1) ಮಾದರಿಯ ಬಯೇಸಿಯನ್ ಅಂದಾಜು. ಸ್ಟೋಕ್ವೊಲ್ಃ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ (ಎಂಸಿಎಂಸಿ) ವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ (ಎಸ್ವಿ) ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ಸಮರ್ಥ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಗಳಂತಹ ಬೆಲೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಹಣಕಾಸು ಸ್ವತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ಅನ್ವಯವು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಯು ವಿದೇಶೀ ವಿನಿಮಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಂತಹ ಹೊಸ ಹಣಕಾಸು ಸ್ವತ್ತುಗಳಿಗೆ ಬೆಲೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪೈಥಾನ್ನಂತಹ ಇತರ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂದಾಜು ಗ್ರಂಥಾಲಯಗಳಿವೆಃ ಪೈಫ್ಲಕ್ಸ್ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಮತ್ತು GARCH ಮತ್ತು ಬೀಟಾ-ಟಿ-EGARCH ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮಾದರಿ ಹೆಸ್ಟನ್ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಚಂಚಲತೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಮಲ್ಟಿಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ ರಿಸ್ಕ್-ನ್ಯೂಟ್ರಲ್ ಅಳತೆ ಎಸ್ಎಬಿಆರ್ ಚಂಚಲತೆ ಮಾದರಿ ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆ ಜಂಪ್ ಸಬಾರ್ಡಿನರ್ ಚಂಚಲತೆ ಚಂಚಲತೆ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಚಂಚಲತೆ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಆಕರಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ-ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಹ್ಯೂಂಗ್ಸೋಕ್ ಅಹ್ನ್, ಪಾಲ್ ವಿಲ್ಮೊಟ್, (2006). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಂಚಲತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಪರಿಹಾರ, ಎಸ್ಎಲ್ ಹೆಸ್ಟನ್, (1993). ಇನ್ಸೈಡ್ ವೊಲಾಟಿಲಿಟಿ ಆರ್ಬಿಟ್ರೇಜ್, ಅಲಿರೇಜಾ ಜಾವೇರಿ, (2005). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಂಚಲತೆಯ ಮಾದರಿಗಳ ಮಾಪನವನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸುವುದು, ಕಿಲಿನ್, ಫಿಯೋಡರ್ (2006). ಗಣಿತದ ಹಣಕಾಸು ಆಯ್ಕೆಗಳು (ಹಣಕಾಸು) ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಹಣಕಾಸು)