Epigraph (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಶಿಲಾಶಾಸನ ಅಥವಾ ಸೂಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದರೆ ಅದರ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಮೇಲಿರುವ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸೆಟ್. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಶಿಲಾಶಾಸನವು ಅದರ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಶಿಲಾಶಾಸನಗಳೆರಡೂ ಶಿಲಾಶಾಸನದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದು ಅದರ ಶಿಲಾಶಾಸನದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆ ಬಿಂದುವು ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರುವುದಿಲ್ಲ. ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು (ಮತ್ತು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು) ಒದಗಿಸುವ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಶಿಲಾಶಾಸನಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಮನವು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ) ಮೌಲ್ಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಮೌಲ್ಯದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ಗಿಂತ ಕಾರ್ಯದ ಶಿಲಾಶಾಸನದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರಂತೆಯೇ, ಶಿಲಾಶಾಸನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಲು, ಊಹೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಶಾಸನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ 'ನ' ಅನ್ನು ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಕಂಡುಬರುವ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು "ಲಂಬ ಕಿರಣ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಅದರದ್ದಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನೂ) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದರೂ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಅದರ ಶಿಲಾಶಾಸನವನ್ನು ಆದಾಗ್ಯೂ ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಯಾವಾಗ ಅದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಖಾಲಿ-ಇಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಎಂದಿಗೂ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಒಂದು ಭಾಗವೂ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಶಿಲಾಶಾಸನವು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ (ಮತ್ತು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ (ಕೋಡೊಮೈನ್ ಬದಲಿಗೆ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ; ಇದು ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಂಪಾಗಿರಬಹುದು. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಶಿಲಾಶಾಸನ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಶಿಲಾಶಾಸನವು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಶಿಲಾಶಾಸನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಶಿಲಾಶಾಸನಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಆ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶಿಲಾಶಾಸನವು ಖಾಲಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದಂತೆಯೇ, ಯಾವುದೇ ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಶಿಲಾಶಾಸನದಿಂದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು (ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ ಸಹ). ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹಾದುಹೋಗುವ "ಲಂಬ ರೇಖೆಯ" ಛೇದಕದಿಂದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ ಪ್ರಕರಣ 1: ಪ್ರಕರಣ 2: ಪ್ರಕರಣ 3: ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಮಧ್ಯಂತರದ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ರೂಪದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅದರ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಶಿಲಾಶಾಸನದಿಂದ ಪುನರ್ರಚಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು-ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಶಿಲಾಶಾಸನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು-ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಶಿಲಾಶಾಸನವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಜವಾದ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಶಿಲಾಶಾಸನವು ಎ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶಿಲಾಶಾಸನವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಕಡಿಮೆ ಅರೆಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಾಕ್ಫೆಲ್ಲರ್, ರಾಲ್ಫ್ ಟೈರೆಲ್ (1996), ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್, ಎನ್ಜೆ. .. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ