Cotorsion group
ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯು ವಿಭಜನೆಗೊಂಡರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ಕೊಟೋರ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು ಇದ್ದರೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಫ್ಲಾಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಫ್ ಗೆ ಎಕ್ಸ್ಟ1 (ಎಫ್, ಎಂ) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಕೋಟರ್ಷನ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್ ಝಡ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಏಕೆಂದರೆ ಓವರ್ ಝಡ್ ಫ್ಲಾಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಕೊಟೋರ್ಶನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಃ ಕೊಟೋರ್ಶನ್ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಕೊಟೋರ್ಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೊಟೋರ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಜಿತ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಗುಂಪು ಕೋಟೋರ್ಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಬೇರ್ ಫೋಮಿನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುವಂತೆ, ಒಂದು ತಿರುಚು ಗುಂಪು ಒಂದು ವಿಭಜಿತ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ, ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಂಪಿನ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಕೋಟೋರ್ಷನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಕೊಟೋರ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟೋರ್ಶನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಉಲ್ಮ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕೊಟೋರ್ಶನ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೊಟೋರ್ಶನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಉಲ್ಮ್ ಅಂಶಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು