Reflection symmetry
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿ, ರೇಖೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿ, ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿ, ಅಥವಾ ಕನ್ನಡಿ-ಚಿತ್ರ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ಒಳಗಾದ ನಂತರ ಬದಲಾಗದ ಅಂಕಿ-ಅಂಶವು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 2ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆ/ಅಕ್ಷವಿದೆ, 3ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸಮತಲವಿದೆ. ಅದರ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಚಿತ್ರಣದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಯು ಆಕಾರವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಅರ್ಧಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವು ಪ್ರತಿಫಲನ, ತಿರುಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಅನುವಾದದಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ವಸ್ತುವಿನ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಿದರೆ. ವಸ್ತುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಪಡೆದರೆ (ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಆಕೃತಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಲಂಬವಾದ ರಚನೆಗೆ, ಲಂಬವಾದ ಆಕೃತಿಯು ಲಂಬವಾದ ಅಕ್ಷದಿಂದ 'd' ದೂರದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಛೇದಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಕ್ಷದಿಂದ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿ 'd', ಲಂಬವಾದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ, ಆಕಾರವನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮಡಿಸಿದರೆ, ಎರಡು ಭಾಗಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆಃ ಎರಡು ಭಾಗಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಚೌಕವು ನಾಲ್ಕು ಸಮಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಮಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಒಂದು ವೃತ್ತವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಮಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಮಿತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಗಾಳಿಪಟಗಳು, (ಕಾನ್ಕೇವ್) ಡೆಲ್ಟಾಯ್ಡ್ಗಳು, ರೋಂಬಿ ಮತ್ತು ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ಟ್ರಾಪೆಜೋಯಿಡ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಮ-ಬದಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಎರಡು ಸರಳ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಒಂದು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಚುಗಳ ಮೂಲಕ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಕಾರಕ್ಕೆ, ಆಕಾರದ ಅಕ್ಷೀಯತೆಯು ಅದು ದ್ವೈಪಾಕ್ಷಿಕವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕಾರಗಳಿಗೆ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಕಾರಕ್ಕೆ 2/3 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸುಧಾರಿತ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಅಫೈನ್ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ (ಒಂದು ರೇಖೆ, ಸಮತಲ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಓರೆಯಾದ ಪ್ರತಿಫಲನ) ವೃತ್ತ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಣಿಗಳು ಸಾಗಿಟಲ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ದೇಹವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡೂ ಇಂದ್ರಿಯಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಗಗಳ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಣಿಗಳು ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮುಂದೆ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತತೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದಲ್ಲಿ, ಫ್ಲಾರೆನ್ಸ್ನ ಸಾಂಟಾ ಮಾರಿಯಾ ನೊವೆಲ್ಲಾದ ಮುಂಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದಲ್ಲಿ ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಟೋನ್ಹೆಂಜ್ ನಂತಹ ಪ್ರಾಚೀನ ರಚನೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಪಲ್ಲಾಡಿಯನ್ ಶೈಲಿಯಂತಹ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದ ಕೆಲವು ಶೈಲಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮರೂಪತೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿತ್ತು. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪುಗಳ ಪಾಯಿಂಟ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಸಮ್ಮಿತಿ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆವರ್ತನ ಸಮ್ಮಿತಿ (ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸುಧಾರಿತ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್-ಡೆಲ್ಫಿ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಮೂಲ ಗಣಿತದಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೋಜಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮಮಿತಿಗಳು