Z function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಝಡ್ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಾದವು ಅರ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ರೀಮನ್-ಸೀಗೆಲ್ ಝೆಡ್ ಕಾರ್ಯ, ರೀಮನ್-ಸೀಗೆಲ್ ಝೆಟಾ ಕಾರ್ಯ, ಹಾರ್ಡಿ ಕಾರ್ಯ, ಹಾರ್ಡಿ ಝೆಡ್ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಡಿ ಝೆಟಾ ಕಾರ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ರೀಮನ್-ಸೀಗಲ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, t ಯ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ Z ಕಾರ್ಯವು ನೈಜವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ರೀಮನ್-ಸೀಗಲ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳೆರಡೂ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ t ಯ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು −1/2 ಮತ್ತು 1/2 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ, Z ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, Z (t) ನ ನೈಜ ಸೊನ್ನೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು Z ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿನ ರೀಮನ್ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯ ಸೊನ್ನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ರೀಮನ್-ಸೀಗೆಲ್ ಸೂತ್ರವು ನೈಜ t ಗೆ Z (t) ಮೌಲ್ಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೀಮನ್-ಸೀಗೆಲ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬಹಳ ತ್ವರಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ದೋಷ ಪದವಾದ ಆರ್ (ಟಿ) ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಎಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯೋ ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪದಗಳಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. Z (t) ಗಾಗಿ ಇತರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸರಣಿಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಅಪೂರ್ಣ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ Z ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, Z ಕಾರ್ಯದ ನೈಜ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕ c> 2/5 ಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಾತ್ರದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸೊನ್ನೆಗಳು ನೈಜ ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕ c ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಸರಳ ಸೊನ್ನೆಗಳೆಂದು ಸಹ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಮೆಗಾ ಪ್ರಮೇಯವು Z ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಇದು ಆಂದೋಲನದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ರೀಮನ್ ಊಹೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಒಮೆಗಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತವು ω ಒಳಗೆ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ t ಯೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಾಸರಿ ಬೆಳವಣಿಗೆ Z ಕಾರ್ಯದ ಸರಾಸರಿ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮೂಲ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗವನ್ನು (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಆರ್. ಎಂ. ಎಸ್) ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ಇದು ಝಡ್ (ಟಿ) ಯ ಆರ್. ಎಂ. ಎಸ್ ಗಾತ್ರವು ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು Z ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ, ಸರಾಸರಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವು ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಊಹೆಯಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಊಹೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ε ಗೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ "o" ಸಂಕೇತವು ಎಡಗೈಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲಿಟ್ಲ್ o ಎಂಬುದು ω ನ ನಿರಾಕರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ರೀಮನ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ಗಿಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಾನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡೂ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮಿತಿಯು ಬಲವಾಗಿಲ್ಲ, ಯಾವುದೂ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಝಡ್ ಕಾರ್ಯವು ಇಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯಿತು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಿಟಲ್ವುಡ್ ಇದನ್ನು ರೀಮನ್ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಧ್ಯತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ರಿಸರ್ಚ್-ರೀಮನ್-ಸೀಗಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ Z (ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ಲ್ಯಾಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ) ಝೀಟಾ ಮತ್ತು ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು