Linear time-invariant system
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಎಲ್. ಟಿ. ಐ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಯಾವುದೇ ಇನ್ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್ನಿಂದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ; ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ (ನಿಖರವಾಗಿ ಅಥವಾ ಸರಿಸುಮಾರು), ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಇಂಪಲ್ಸ್ ರೆಸ್ಪಾನ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು). ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು (ನಿರ್ಧರಿಸಲು) ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಥವಾ ಅಸಾಧ್ಯ). ಎಲ್. ಟಿ. ಐ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ರತಿರೋಧಕಗಳು, ಕೆಪಾಸಿಟರ್ಗಳು, ಇಂಡಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಆಂಪ್ಲಿಫೈಯರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್. ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ ಲೀನಿಯರ್ ಟೈಮ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪರಿಭಾಷೆಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅನುವಾದ-ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ (ಅಂದರೆ, ಮಾದರಿ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಶಿಫ್ಟ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂಬುದು ಅನುಗುಣವಾದ ಪದವಾಗಿದೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿನ್ಯಾಸ, ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ ವಿನ್ಯಾಸ, ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಇಮೇಜ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್, ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಅಳತೆ ಸಾಧನಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ, ಎನ್ಎಂಆರ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಕೋಪಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಅನೇಕ ಇತರ ತಾಂತ್ರಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಎಲ್ಟಿಐ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ರೇಖೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಅಸ್ಥಿರತೆ. ಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ಎಂದರೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಔಟ್ಪುಟ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆಃ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಔಟ್ಪುಟ್ ಆಗಿದೆ; ಸಿಸ್ಟಮ್ ಔಟ್ಪುಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಔಟ್ಪುಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು,, ನ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೂಪರ್ಪೊಸಿಷನ್ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೈಮ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಎಂದರೆ ನಾವು ಈಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ ಅಥವಾ ಈಗ ಟಿ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ, ಟಿ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಸಮಯ ವಿಳಂಬವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಔಟ್ಪುಟ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇನ್ಪುಟ್ ಕಾರಣವಾದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ಪುಟ್ ಕಾರಣವಾದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಮಯದ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಔಟ್ಪುಟ್ ಇನ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್. ಟಿ. ಐ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಔಟ್ಪುಟ್ ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇನ್ಪುಟ್ನ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನಿರಂತರ ಸಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಲೀನಿಯರ್ ಟೈಮ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ (ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, "ಶಿಫ್ಟ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್") ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ y, x, ಮತ್ತು h ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವರ್ಗಾವಣೆ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಝಡ್ ರೂಪಾಂತರ). ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಔಟ್ಪುಟ್ ವರ್ಗಾವಣೆ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಇನ್ಪುಟ್ನ ರೂಪಾಂತರದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಇನ್ಪುಟ್ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ತರಂಗರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಔಟ್ಪುಟ್ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೈಶಾಲ್ಯಕ್ಕೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನುಪಾತವು ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾವಣೆ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಸಂಯೋಜಿತ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಳಹರಿವು ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಔಟ್ಪುಟ್ ಸಹ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಬಹುಶಃ ವಿಭಿನ್ನ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪಿದ ನಂತರ ಯಾವಾಗಲೂ ಅದೇ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಇನ್ಪುಟ್ನಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಆವರ್ತನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು "ಸುಲಭ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಯ-ಬದಲಾಗುವ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಪ್ರತಿರೋಧಕಗಳು, ಪ್ರಚೋದಕಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಪಾಸಿಟರ್ಗಳಿಂದ (ಆರ್ಎಲ್ಸಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳು) ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳು. ಆದರ್ಶ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್-ಮಾಸ್-ಡ್ಯಾಂಪರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಹ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಆರ್. ಎಲ್. ಸಿ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ನಿರಂತರ-ಸಮಯ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ (ರೇಖೀಯ ಶಿಫ್ಟ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್) ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮಯದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಸ್ಪೇಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಶಿಫ್ಟ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಿಲ್ಟರ್ ಬ್ಯಾಂಕುಗಳು ಮತ್ತು MIMO ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಸಂಕೇತಗಳ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಗ್ರೀನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದಂತಹ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಇನ್ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್ x (t) ಮತ್ತು ಔಟ್ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್ y (t) ಯೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ, ನಿರಂತರ-ಸಮಯ, ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ {| | | |-| | (ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವಿಟಿ ಬಳಸಿ) |} ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಚೋದನೆಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಇನ್ಪುಟ್ ಕಾರ್ಯದ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಾವಣೆಗಳಂತೆ, ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವು ಇನ್ಪುಟ್ ಕಾರ್ಯದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಒತ್ತು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕಗಳಿಗೆ ಯಾವಾಗ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಹಿಂದಿನ ಸಮಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಏಕೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಸಂಕೇತವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಸಂಕೇತವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಿ. ನಂತರ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಇನ್ಪುಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಔಟ್ಪುಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ಪುಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಹತ್ತಿರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರವು ಸ್ವತಃ ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಔಟ್ಪುಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆಸಕ್ತಿರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಪೂರೈಸಬೇಕುಃ ಮತ್ತು ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯೆಂದರೆಃ ಈ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅದೇ ರೀತಿಃ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವುದುಃ ಇದು ಪ್ರಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಇನ್ಪುಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು, ಸಮಯ-ಬದಲಾದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ "ರೇಖೀಯವಾಗಿ" ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೇಖೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಆ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸರಳವಾದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಅನುಕರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಂತೆ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಒಂದು ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂಬುದು ಆಪರೇಟರ್ನ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅದೇ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿ f ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ, ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಔಟ್ಪುಟ್ ನಂತರ, ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನ ಸಂವಹನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ s ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಇನ್ಪುಟ್ನ ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಔಟ್ಪುಟ್ ಇನ್ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು. ನೇರ ಪುರಾವೆ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅದರ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಸಮಯ-ಬದಲಾದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ. ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯತೆಯಿಂದ. ಸಮಯದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ. ನಾವು ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮರುನಾಮಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಅಂದರೆ. ಇನ್ಪುಟ್ನಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕವು ಔಟ್ಪುಟ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಆವರ್ತನದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಒಳನೋಟ ಎರಡಕ್ಕೂ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಶುದ್ಧ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳು (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ರೂಪದ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು). ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಶುದ್ಧ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳಿಗೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡನ್ನೂ ಸಿಸ್ಟಂ ಫಂಕ್ಷನ್, ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೆಸ್ಪಾನ್ಸ್ ಅಥವಾ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಸಂಕೇತಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂಕೇತಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ "ಪ್ರಾರಂಭದ ಸಮಯವನ್ನು" ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ರೂಪಾಂತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನಂತತೆಯ ಏಕೀಕರಣದ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಚೌಕಾಕಾರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗದ ಇನ್ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಔಟ್ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್ಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಮಾಡ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳಂತಹ ಅನಂತ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಿಗ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಚದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಸಂಕೇತಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೀನರ್-ಖಿಂಚಿನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ಅನಂತ ಸಂಕೇತಗಳ ವರ್ಣಪಟಲಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡೂ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ಗಳು ಇರುವ ಸಿಗ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರ್ತನ ಘಟಕವನ್ನು ಆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು (ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ) ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು |H (s) | ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಆವರ್ತನ f ಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಲಾಭವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆ. ಸಮಯದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣತ್ವವು ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ನಿರ್ಬಂಧವು ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಂತಹ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಔಟ್ಪುಟ್ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನದರ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಭವಿಷ್ಯದ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಕಾರ್ಯಕಾರಣಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು-ಬದಿಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಕಾರ್ಯಕಾರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯಕಾರಣತ್ವದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ, ಔಟ್ಪುಟ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸೀಮಿತ-ಇನ್ಪುಟ್, ಸೀಮಿತ-ಔಟ್ಪುಟ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಬಿಐಬಿಒ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇನ್ಪುಟ್ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಔಟ್ಪುಟ್ಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ), ಆಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ, ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಎಲ್ 1 ನಲ್ಲಿದೆ (ಸೀಮಿತ ಎಲ್ 1 ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ): ಆವರ್ತನ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಂಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆದರ್ಶ ಲೋ-ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಬಿಐಬಿಒ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಂಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಎಲ್ 1 ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ, ಆದರ್ಶ ಲೋ-ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್ನ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಟ್-ಆಫ್ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಇನ್ಪುಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲೀನಿಯರ್ ಟೈಮ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆಃ ಸ್ಟೇಟ್ ವೆಕ್ಟರ್, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇನ್ಪುಟ್, ಇನ್ಪುಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ. ದ್ರಾವಣವು ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಕಣಗಳ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಪರಿಹಾರಃ ಇನ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈಗ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಯುನಿಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆಃ ಈಗ ಅಜ್ಞಾತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಃ ಕಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ವಾಹಕವು ಇರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದುಃ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ನಿರಂತರ-ಸಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಿರಂತರ-ಸಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯ (ಡಿಟಿ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ದೊಡ್ಡ ನಿರಂತರ ಸಮಯ (ಸಿಟಿ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿಜಿಟಲ್ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಲಾಗ್ ಧ್ವನಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಡಿಜಿಟೈಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಬಹುಶಃ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜನರು ಕೇಳಲು ಅನಲಾಗ್ ಧ್ವನಿಯನ್ನು ಪ್ಲೇ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪಡೆದ ಡಿಟಿ ಸಂಕೇತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿಟಿ ಸಂಕೇತಗಳ ಏಕರೂಪದ ಮಾದರಿ ಆವೃತ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಸಿಟಿ ಸಿಗ್ನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅನಲಾಗ್-ಟು-ಡಿಜಿಟಲ್ ಪರಿವರ್ತಕಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ಬಳಸುವ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಅದನ್ನು ಡಿಟಿ ಸಿಗ್ನಲ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಟಿ ಮಾದರಿ ಅವಧಿಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಇನ್ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು "ಮಡಿಸುವ ಆವರ್ತನ" 1/(2T) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ; ಇದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಿಗ್ನಲ್ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯು ಕಳೆದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್ ಇಲ್ಲದೆ, ಮಡಿಕೆ ಆವರ್ತನದ (ಅಥವಾ ನಿಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಆವರ್ತನ) ಮೇಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತನ ಘಟಕವನ್ನು ಬೇರೆ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಹೀಗಾಗಿ ಮೂಲ ಸಂಕೇತವನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ), ಏಕೆಂದರೆ ಡಿಟಿ ಸಂಕೇತವು ಮಡಿಕೆ ಆವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಆವರ್ತನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಪಲ್ಸ್ ರೆಸ್ಪಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಸಂಕೇತವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಿ ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಇನ್ಪುಟ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಔಟ್ಪುಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಇನ್ಪುಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ರೂಪಾಂತರವು ಸ್ವತಃ n ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗದ ಹೊರತು, ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆಸಕ್ತಿರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. (ಹೀಗಾಗಿ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್, n.) ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, y [n] ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು nನ ಹತ್ತಿರವಿರುವ xನ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆಃ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಪೂರೈಸಬೇಕುಃ ಮತ್ತು ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯೆಂದರೆಃ ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಇನ್ಪುಟ್ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಇನ್ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು, ಗುರುತನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಇದು ತೂಕದ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದಃ ನಾವು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಿ ಮನವಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು. ಮತ್ತು ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಆದ್ದರಿಂದಃ {| | |-| | (ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವಿಟಿ) |} ಇದು ಪರಿಚಿತ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು x [k] ಕಾರ್ಯದ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವು h [−k] ಆಗಿದೆ, ಇದು ಕೇವಲ n ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. n ಬದಲಾದಂತೆ, ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವು ಇನ್ಪುಟ್ ಕಾರ್ಯದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಒತ್ತು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, n = 0 ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಚೋದನೆಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಬದಲಾಗದ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದ "ಸಮಯ" ಹಿಮ್ಮುಖ ನಕಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕ k ಗೆ h [k] ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಂತೆ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಒಂದು ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಎನ್ನುವುದು ಆಪರೇಟರ್ನ ಔಟ್ಪುಟ್ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲಿ f ಎಂಬುದು ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ, ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಮಧ್ಯಂತರ, ಮತ್ತು. ಒಂದು ಸರಳ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಔಟ್ಪುಟ್ ನಂತರ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನ ಸಂವಹನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು z ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಇನ್ಪುಟ್ ಸಮಯದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಝಡ್ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಒಳನೋಟ ಎರಡಕ್ಕೂ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. Z ರೂಪಾಂತರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಶುದ್ಧ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳು; ಅಂದರೆ. ರೂಪದ ಘಾತಾಂಕಗಳು, ಎಲ್ಲಿ. ಇವುಗಳನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬರೆಯಬಹುದು. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ (ಡಿಟಿಎಫ್ಟಿ) ಶುದ್ಧ ಸೈನೂಸೋಯಿಡ್ಗಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡನ್ನೂ ಸಿಸ್ಟಂ ಫಂಕ್ಷನ್, ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೆಸ್ಪಾನ್ಸ್ ಅಥವಾ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕ-ಬದಿಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರದಂತೆ, Z ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕ-ಬದಿಯ ಸಂಕೇತಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. t <0 ಗೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂಕೇತಗಳು. ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಎರಡೂ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ನಿರಂತರ-ಸಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ, ಝಡ್ ರೂಪಾಂತರವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಳನೋಟವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸುಲಭವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಇನ್ಪುಟ್-ಔಟ್ಪುಟ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆ. ಕಾರಣವಲ್ಲದ (ಸಮಯದಲ್ಲಿ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೈಜ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಒಟ್ಟಾರೆ ವರ್ಗಾವಣೆ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಅವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಔಟ್ಪುಟ್ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ಪುಟ್ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಕಾರ್ಯಕಾರಣಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. Z ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಕಾರ್ಯಕಾರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದಾಗ, ಕಾರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ, ಔಟ್ಪುಟ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸೀಮಿತ ಇನ್ಪುಟ್, ಸೀಮಿತ ಔಟ್ಪುಟ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಬಿಐಬಿಒ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, (ಅಂದರೆ, ಬೌಂಡೆಡ್ ಇನ್ಪುಟ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ), ಆಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ, ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಏಕಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು (ಅಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ z ಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಲೋಕಸ್). ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಸರ್ಕ್ಯುಲೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಫ್ರೀಕ್ವೆನ್ಸಿ ರೆಸ್ಪಾನ್ಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಗ್ರೀನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸಿಗ್ನಲ್-ಫ್ಲೋ ಗ್ರಾಫ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಇಸಿಇ 209: ಎಲ್ಟಿಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳ ವಿಮರ್ಶೆ-(ವಿದ್ಯುತ್) ಎಲ್ಟಿಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕಿರು ಪ್ರೈಮರ್. ಇಸಿಇ 209: ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲಗಳು-ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿದ್ಯುತ್ ಎಲ್ಟಿಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಜೆಎಚ್ಯು 520.214 ಸಿಗ್ನಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಕೋರ್ಸ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. ಎಲ್. ಟಿ. ಐ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸುತ್ತುವರಿದ ಕೋರ್ಸ್. ಸ್ವಯಂ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್. ಟಿ. ಐ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆಃ ಆರ್. ಸಿ. ಲೋ-ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್. ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹಂತದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ. ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಆವರ್ತನ-ಡೊಮೇನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ