Semisimple Lie algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಅರ್ಧ ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಸರಳವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸರಿಯಾದ ಆದರ್ಶಗಳಿಲ್ಲದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ). ಲೇಖನದುದ್ದಕ್ಕೂ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳದ ಹೊರತು, ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ; ಕೊಲ್ಲುವ ರೂಪ, κ (x, y) = tr (ad (x) ad (y)), ಕ್ಷೀಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; ಅದರ ಆಮೂಲಾಗ್ರ (ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಆದರ್ಶ) ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಅರೆ ಸರಳೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಲೆವಿ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಆದರ್ಶ (ಅದರ ರಾಡಿಕಲ್) ಮತ್ತು ಅರೆ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಅರೆ ಸರಳವಾದ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಿಲ್ಲ. ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಬಹಳ ಸೊಗಸಾದ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಲಾಕ್ಷಣಿಕ ಶೂನ್ಯದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧ ಸರಳವಾದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಅರೆ-ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೂ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ; ವಾಸ್ತವಿಕ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ನೈಜ ರೂಪವನ್ನು ನೋಡಿ, ಇವುಗಳನ್ನು ಎಲೀ ಕಾರ್ಟನ್ನಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವಚ್ಛವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯು ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ರೇಖೀಯ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ರಚನೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧ ಸರಳವಾದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ (1888-90) ಅವರು ಮೊದಲು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರು, ಆದರೂ ಅವರ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯ ಕೊರತೆಯಿತ್ತು. ಅವರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಎಲಿ ಕಾರ್ಟನ್ (1894) ಅವರು ತಮ್ಮ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಠಿಣಗೊಳಿಸಿದರು, ಅವರು ಅರೆ-ಸರಳ ನೈಜ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಸಹ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದನ್ನು ತರುವಾಯ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಪ್ರಸ್ತುತ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು 1947 ರಲ್ಲಿ ಆಗಿನ 22 ವರ್ಷದ ಯುಜೀನ್ ಡೈನ್ಕಿನ್ ನೀಡಿದರು. ಕೆಲವು ಸಣ್ಣಪುಟ್ಟ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಜೆ. ಪಿ. ಸೆರ್ರಿ ಅವರಿಂದ), ಆದರೆ ಪುರಾವೆಯು ಅದರ ಅಗತ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐಡಿಯಲ್, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೆ ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೇಂದ್ರವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಕೇಂದ್ರವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಚಿತ್ರವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. (ಇದು ವೈಟ್ ಹೆಡ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.) ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕೆಲವು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಈಗಾಗಲೇ ಇತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ (ಅಡೋಸ್ ಪ್ರಮೇಯ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೂಲಕ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ವಿರಳವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, (ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅರೆ-ಸರಳ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದೆ). ಪ್ರತಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಮೂಲ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅರ್ಧ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅರ್ಧ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ x ಅನ್ನು ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿ (ಅಂದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ) ಮತ್ತು s ಮತ್ತು n ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವಂತಹ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, s ಮತ್ತು n ಎರಡೂ x ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಇದು x ನ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನವುಗಳು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅಂಶ x ಅನ್ನು ಅರೆ ಸರಳ (ರೆಸ್ಪ್) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್) ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೆ (ರೆಸ್ಪ್. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್) ಆಪರೇಟರ್. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಅಮೂರ್ತ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯು x ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮತ್ತು. ಇದಲ್ಲದೆ, x ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ಎರಡರೊಂದಿಗೂ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ρ ನೀಡಿದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೂಲಕ ಅಮೂರ್ತ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಅಂಶಗಳು, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ρ (x) ನ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ. (ಇದು ವೇಯ್ಲ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ; ಸಂಪೂರ್ಣ reducibility#Application: ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಕುರಿತು ವೇಯ್ಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ರಚನೆಯು ಒಂದು (ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ) ಅರೆ-ಸರಳವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ, ಅದು ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮುಚ್ಚಿದ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅದರ ರಚನೆಯನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದ, ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಕ್ಕದ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು (ಗರಿಷ್ಠ ಟೋರಲ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಗರಿಷ್ಠ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಬದಲಾದಂತೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ಗೆ, ಲೆಟ್. (ಇದು ಕೇಂದ್ರಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ನಂತರ (ತೋರಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ವಸ್ತು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪುರಾವೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ತೂಕದ ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ, ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೆರೆ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಟ್; ಅಂದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರದ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಳನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ (ಏಕೆಂದರೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದುಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಸೆಟ್ (1) ಮತ್ತು (2) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ ಅದು ಅನುಗುಣವಾದ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನದು ಅದು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಮೂಲವು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಮೂಲಗಳನ್ನು ಸರಳ ಬೇರುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಡಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಂತರ ಅಂಶಗಳು (ಚೆವಲ್ಲಿ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ (ಸೆರ್ರೆ ಸಂಬಂಧಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ): ಜೊತೆ,. ಇದರ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಅಂದರೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳು (ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ) ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಮೇಲಿನಂತೆ ಮೂಲ ಸ್ಥಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ). ಇದು ಸೆರ್ರೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಒಂದೇ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಸೆರ್ರೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸ್ವರೂಪದ ಸೂಚ್ಯಂಕವೆಂದರೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು; ಆದ್ದರಿಂದ, "ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ" ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು (ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ). ವೇಯ್ಲ್ ಸಮೂಹವು sಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ತೂಕಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ ಎಸ್ಎಲ್ಎನ್ (ಸಿ) ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ರೂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವಿಭಜನೆ, ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯದ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ-th ಸಾಲು ಮತ್ತು-th ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ವಾಹಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಎಲ್2 (ಸಿ) ನ ಈ ವಿಭಜನೆಯು ಸಂಬಂಧಿತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಎಸ್ಎಲ್2 ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಸ್ಎಲ್3 (ಸಿ) ಆಗಿದೆ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಎಸ್ಎಲ್3 ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಬರುವ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳುಃ, ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ. , ಬೆಸ-ಆಯಾಮದ ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ. , ಸಮ-ಆಯಾಮದ ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ (). ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅರೆ ಸರಳವಲ್ಲ. ಈ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದು, n ಎಂಬುದು ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ. ಬಹುತೇಕ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಘರ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಈ ಕುಟುಂಬಗಳ ಸದಸ್ಯರು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲರೂ ವಿಭಿನ್ನರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮತ್ತು. ಈ ನಾಲ್ಕು ಕುಟುಂಬಗಳು, ಐದು ವಿನಾಯಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ (E6, E7, E8, F4, ಮತ್ತು G2), ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಏಕೈಕ ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ. ವರ್ಗೀಕರಣ 0 ಲಕ್ಷಣದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ), ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ನಾಲ್ಕು ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ-ಆನ್, ಬಿಎನ್, ಸಿಎನ್, ಮತ್ತು ಡಿಎನ್-ಐದು ವಿನಾಯಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಇ6, ಇ7, ಇ8, ಎಫ್4, ಮತ್ತು ಜಿ2. ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಲ್ಲದ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕವು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣವು ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಂತರ ಮೂಲ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಹಳ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಇದನ್ನು ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಟನ್ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸೊಗಸಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ-ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಕ, ಅಚ್ಚರಿಯ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆದರೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು, ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕು ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣನೆಯು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆನ್, ಬಿಎನ್, ಸಿಎನ್ ಮತ್ತು ಡಿಎನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸರಳ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಬ್ಬರು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ಎಣಿಕೆ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರು ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನಡುವೆ ಅಸಾಧಾರಣ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ, ಇವು ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತವೆ; ಎನ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇ6ಗಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವವು ಇತರ, ವಿನಾಯಿತಿಯಲ್ಲದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ-ಒಬ್ಬರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ, ನಂತರ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ (ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಳ ನೈಜ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೈಜ ರೂಪಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಸ್ಯಾಟೇಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಮಾಡಬಹುದು, ಇವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ("ಅಲಂಕಾರಗಳು") ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು (ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ) ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅದು ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮುಚ್ಚಿದ ಶೂನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, #Structure ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಸರಳ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ; ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ನಂತರ ಧನಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಮೂಲಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಬೋರೆಲ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. V ಒಂದು (ಬಹುಶಃ-ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ) ಸರಳ-ಘಟಕವಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ V ಒಂದು-ತೂಕದ ವಾಹಕವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು V ಯ ಅತ್ಯುನ್ನತ ತೂಕದ ವಾಹಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು-ತೂಕದ ವಾಹಕವೂ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು-ತೂಕದ, ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು, V ಯ ಅತ್ಯುನ್ನತ ತೂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಆದರೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಗತಿಗಳು (1) ಪ್ರತಿ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗೆ, ಅದರ ಅತ್ಯುನ್ನತ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ-ಘಟಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು (2) ಒಂದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಸರಳ ಘಟಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೋರೆಲ್-ತೂಕದ ವಾಹಕವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಸರಳ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ನಡುವೆ ದ್ವಿಭಾಜನವಿದೆ. ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸರಳ-ಘಟಕದಲ್ಲಿ (ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ) ಆಸಕ್ತರಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ) ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಲೈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಮೂಲಕ, ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಮುಂದಿನ ಮಾನದಂಡವು ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆಃ ಧನಾತ್ಮಕ ವೇಯ್ಲ್ ಚೇಂಬರ್ನಿಂದ, ನಾವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಮಾನದಂಡವು ಹೀಗೆ ಓದುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಕ್ಕೆ, (1) ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು (2) ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಮೇಲಿನ ಸಮಾನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಪ್ರಬಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ತೂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಪ್ರಬಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ತೂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸರಳ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅತ್ಯುನ್ನತ ತೂಕದ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ತಿರುವುಗಳಲ್ಲಿ ವೇಯ್ಲ್ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇಯ್ಲ್ ಕಾರಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯವು, ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಇದು ಸರಳ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿರೂಪಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ನೈಜ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮುಚ್ಚಿರದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮುಚ್ಚಿದ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ರಚನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇನ್ನೂ ಇವೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ (ಇದು ಮತ್ತೆ ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿದೆ) ಆಗಿರಲಿ. ನೈಜ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೈಜ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನೈಜ ರೂಪವು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪವು ಋಣಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಸರು). ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೇಸ್ ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೂಪ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಬಹುದಾದ ವಕ್ರ-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಂದ್ರವಾದ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ) ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮೂಲ ಸ್ಥಳ ವಿಭಜನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (cf. #Structure) ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ್ದಾಗಿದೆ; ಹೀಗಾಗಿ, ನೈಜ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೈಜ-ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಟಿಪ್ಪಣಿ. ಫಾರ್ ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ,-th ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಮೂಲವು ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸ್ಥಳ ವಿಭಜನೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆಃ ಸಾಂದ್ರವಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣವು ಸಾಂದ್ರ ರೂಪವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಅಂದರೆ, ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪದ ಸಹಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ). ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಕಾರ್ಟನ್ ಇನ್ವೊಲ್ಯೂಷನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿರಲಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ 1 ಮತ್ತು-1 ರ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಫ್ ಮತ್ತು ನೆಗಟಿವ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್, ಆಗ. ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಸೂಕ್ತವಾದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ನೈಜ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ವಾದಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ (ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮೂಲ ಸ್ಥಳ ವಿಭಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ): ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಬೇರುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಒಂದು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಎರಡೂ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು). ಎಸ್ಎಲ್ (ಎನ್, ಸಿ) ಇಫ್ ನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು, ನಂತರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕರ್ಣೀಯ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಪಾಟ್ನಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದರ ಮೂಲಗಳು ಈ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಅದರ ದ್ವಿಗುಣದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಿದ ನಂತರ, ಬೇರುಗಳು ಶೂನ್ಯದ ಮೊತ್ತದ-ಟುಪಲ್ಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಲೇಬಲಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪು ನಂತರ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ ಅನೇಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿವೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರೆ-ಸರಳ/ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧ-ಸರಳ/ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಿಜವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಭಜಿತ ಅರೆ-ಸರಳ/ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಃ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಸರಳ/ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವಲ್ಲ. ವಿಭಜಿತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಭಜಿತ ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು ವಹಿಸುವ ಅದೇ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ ಸೆಮಿ ಸಿಂಪಲ್/ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅರೆ ಸರಳ ಮತ್ತು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಲೈ ಗುಂಪನ್ನು ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅರೆ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅರ್ಧ ಸರಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತ. ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸರಳ ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ (ಒಂದು ಆಯಾಮದ) ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತ, ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಸದಿಶ ಸ್ಥಳದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಗುಂಪು (ಸಮಾನವಾಗಿ, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪು) ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಗುಂಪು ಸರಳ ಲೈ ಗುಂಪು ಬೋರೆಲ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತ ಜಾಕೋಬ್ಸನ್-ಮೊರೊಜೊವ್ ಪ್ರಮೇಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು