Infinite-dimensional holomorphy
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿ ಎಂಬುದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಯಾಮವನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೊದಲ ಹಂತವು ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಾನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೌಂಡೆಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f: U → X, ಅಲ್ಲಿ U ′C ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು X ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬನಾಚ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ-ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಬಹುದಾದಂತಿದ್ದರೆ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f: U → X ನ ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು γ: [a, b] → U ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಂತೆಯೇ, a = t0 <t1 <. <tn = b ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯಂತರದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ [a, b], ಉಪವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ. ಕಾಷಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, f: U → X ಅಂತಹ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು T: X → C ಒಂದು ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, T o f: U → C ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಳಭಾಗವು U ನಲ್ಲಿರುವ ಸರಳವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಟಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಹಾನ್-ಬನಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೌಚಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಸಾಧನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f: U → X ಅನ್ನು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆ T o f: U → C ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ T: X → C ಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳು X ಮತ್ತು Y ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ U ಱ್ X ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, f: U → Y ಅನ್ನು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, f ನ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು U ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಇನ್ನೂ ನಿಜ, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಚೆಂಡಿನ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಅದರ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯು ಇಡೀ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಜವಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಮ್ಮುಖದ ಸೀಮಿತ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ U ಱ್ X ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, f: U → Y ಕಾರ್ಯದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ವಿವಿಧ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, X ಮತ್ತು Y ಅನಂತ ಆಯಾಮದದ್ದಾಗ, ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾದ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲು, X ಮತ್ತು Y ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಭಾಗವು ದುರ್ಬಲವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಪ್ರಬಲವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. X ಮತ್ತು Y ಸ್ಥಳಗಳು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದಾಗ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಚರ್ಚೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿ ಎಂದರೆ ದುರ್ಬಲ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು. X ಮತ್ತು Y ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು U ′X ಒಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f: U → Y ಅನ್ನು ಗಾಟೆಕ್ಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ a ω U ಮತ್ತು b ω X ಗೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ φ: Y → C ಗೆ, ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ z ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗಾಟೆಕ್ಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು HG (U, Y) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು Xನ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಎಂದಿನಂತೆ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪೂರ್ಣ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ, f ಯು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಗಳ ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, x ಯು ಯು ಮತ್ತು h1,., hk X ಗೆ, k-th ಆರ್ಡರ್ ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾದ Dkf (x) {h1,., hk} ಹೈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೈನಲ್ಲಿ ಬಹು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇಡೀ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಬಹು ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ Dnf (x) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ yಯಲ್ಲಿ nನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಇರುವ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಏಕರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, V′X ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯು 0 ωY ಯ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ V ಬದಲಾಗಲು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಒಮ್ಮುಖವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹಾರ್ಟಾಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆಃ f: (U. X1) × (V. X2) → Y ಎಂಬುದು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ f ಎಂಬುದು ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿ ಎ ಕಾರ್ಯವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ x ω ಯು ಗೆ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು (ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ) ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 0 ω ಎಕ್ಸ್ ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ y ಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯು ದುರ್ಬಲ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪವರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಒಮ್ಮುಖದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು H (U, Y) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು f: (U ′ X) → Y ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರೆದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, U ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು f ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು Y ನಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, f ಯು ಯು ಮೇಲೆ ಗೇಟೌಕ್ಸ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ f ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು f ωHLB (U, Y) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ರಿಚರ್ಡ್ ವಿ. ಕ್ಯಾಡಿಸನ್, ಜಾನ್ ಆರ್. ರಿಂಗ್ರೋಸ್, ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್, ಸಂಪುಟ. 1: ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, 1997. (ಸೆಕ್ಟ್ ನೋಡಿ. 3. 3.) ಸೂ ಬಾಂಗ್ ಚೇ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಇನ್ ನಾರ್ಮ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸಸ್, ಮಾರ್ಸೆಲ್ ಡೆಕ್ಕರ್, 1985. ಲಾರೆನ್ಸ್ ಎ. ಹ್ಯಾರಿಸ್, ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯಗಳು (ದಿನಾಂಕವಿಲ್ಲದ). ಬ್ಯಾನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳು