Transfer operator
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ನಕ್ಷೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಡೇವಿಡ್ ರುಯೆಲ್ ನಂತರ ರುಯೆಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅಥವಾ ಪೆರಾನ್-ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅಥವಾ ರುಯೆಲ್-ಪೆರಾನ್-ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿರ್ಣಯಕ್ಕೆ ಪೆರಾನ್-ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಂಪಿನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಹಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ನ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು g ನ ಅಳತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ನ ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೆಟ್ ಮಿತಿಯೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದುಃ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ಇಮೇಜ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಫ್ರೋಬೆನಿಯಸ್-ಪೆರಾನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಎಡ-ಅಂಚು ಕೂಪ್ಮನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜನೆ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮದಂತೆ, ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಿಫ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ (ಎಡ-) ಶಿಫ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಶಿಫ್ಟ್ಗಳು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಬ್ಶಿಫ್ಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೈಟ್-ಶಿಫ್ಟ್ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ರೈಟ್-ಶಿಫ್ಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಜಾಕೋಬಿ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಹೆಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರಿವೆ, ಇವೆರಡೂ ರೈಟ್-ಶಿಫ್ಟ್ ಮೂಲಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ X ಬಿಂದುಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ (ಬಿಂದು ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನ), ವರ್ಗಾವಣೆ ನಿರ್ವಾಹಕನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ನಯವಾದ) ನಕ್ಷೆಗಳು ಹೇಗೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವರ್ಗಾವಣೆ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಂತಹ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗಮನವು ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮಯದ ವಿಕಾಸದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಇದು ಆಣ್ವಿಕ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಔಷಧ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ವೈದ್ಯಕೀಯ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್-ಪೆರಾನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ನ ಲಾಗರಿದಮ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದಾಗ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹಳ ನಿಕಟ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹಳ ಕಿರಿದಾದ ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಐಗನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಎಂಟ್ರೊಪಿಯ ಹೆಚ್ಚಳವೂ ಸೇರಿದೆ. ಬರ್ನೌಲಿ ನಕ್ಷೆಯ ವರ್ಗಾವಣೆ ನಿರ್ವಾಹಕವು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಆಪರೇಟರ್ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರಂತರ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಗಾಸ್ ನಕ್ಷೆಯ ವರ್ಗಾವಣೆ ನಿರ್ವಾಹಕನನ್ನು ಗಾಸ್-ಕುಜ್ಮಿನ್-ವಿರ್ಸಿಂಗ್ (ಜಿಕೆಡಬ್ಲ್ಯೂ) ನಿರ್ವಾಹಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಿಕೆಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲೆ ಗಾಸ್ ಅವರ ಊಹೆಗೆ ಹಿಂದಿನದು ಮತ್ತು ಇದು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಬರ್ನೌಲಿ ಸ್ಕೀಮ್ ಶಿಫ್ಟ್ ಆಫ್ ಫೈನೈಟ್ ಟೈಪ್ ಕ್ರೆಯಿನ್-ರುಟ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ). ಚೋಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ