Smoothness
ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೃದುತ್ವವು ಕೆಲವು ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅದು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ಗುಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಾಬಿಲಿಟಿ ಕ್ಲಾಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಮೂತ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (ಆದ್ದರಿಂದ ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ತನ್ನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಿ-ಅನಂತ ಕಾರ್ಯ (ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಾಬಿಲಿಟಿ ಕ್ಲಾಸ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. k ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಾಬಿಲಿಟಿ ವರ್ಗದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ-ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ತರಗತಿಯಲ್ಲಾದರೂ ಇರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಆನ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ, ನಯವಾದ ಅಥವಾ ವರ್ಗದ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.) ಕಾರ್ಯವು ಸುಗಮವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ವರ್ಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ವರ್ಗ ಅಥವಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಅದರ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಬಂಪ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವರ್ಗವು ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವರ್ಗವು ಎಲ್ಲಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗದ್ದಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವೆಂದು ಘೋಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವೆಂದು ಘೋಷಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ನಿಯಂತ್ರಣವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದೆ () ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವು, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಬದಲಾಗುವ ವರ್ಗಗಳ ಛೇದನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ (C0) ಆದರೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಅಲ್ಲ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಅಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು C0 ವರ್ಗದದ್ದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ C1 ವರ್ಗದದ್ದಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಫೈನಟೈಲಿ-ಟೈಮ್ಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ (ಸಿ) ಪ್ರತಿ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಭೇದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಹಾಗೆಯೇ ಇದು ಸಿ ವರ್ಗದದ್ದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಿ ವರ್ಗದದ್ದಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆದರೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಅಲ್ಲ (C1 ಅಲ್ಲ) ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಏಕೆಂದರೆ oscillates = 0, ಇದು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಆದರೆ ವರ್ಗ C1 ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆದರೆ ನಾಟ್ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆದರೆ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಆದರೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ (ಸಿ) ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು Cω ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೋ ಅಲ್ಲೆಲ್ಲಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ನಯವಾದ (ಸಿ) ಆದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ (ಸಿ) ಬಂಪ್ ಕಾರ್ಯವು ಸುಗಮವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವರ್ಗ ಸಿ ≤, ಆದರೆ ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವರ್ಗ ಸಿω ಅಲ್ಲ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಫ್ರೆಚೆಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ-th ಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ವರ್ಗದಲ್ಲಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ವರ್ಗದ್ದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳು ವರ್ಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ವರ್ಗದ್ದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆನ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಕೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಮಿನೋರ್ಮ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಅದರ ಒಕ್ಕೂಟದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಹ ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿರುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಮೇಲಿನಂತೆ ಅದೇ ಸೆಮಿನೋರ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವು ಕ್ರಮಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಳಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಫಲಪ್ರದವಾಗಬಹುದು. ನಿರಂತರತೆ ನಿಯತಾಂಕ ನಿರಂತರತೆ (ಸಿಕೆ) ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರಂತರತೆ (ಜಿಎನ್) ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಬ್ರಿಯಾನ್ ಬಾರ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ವೇಗದ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೃದುತ್ವವನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು, ಅದರೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕವು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕ ನಿರಂತರತೆ (ಸಿಕೆ) ಎಂಬುದು ನಿಯತಾಂಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅಂತರದೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯದ ಮೃದುತ್ವವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಎ (ನಿಯತಾಂಕ) ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ವರ್ಗ ಸಿಕೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಬಲದಿಂದ ಮತ್ತು ಎಡದಿಂದ). ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯವಾಗಿ, ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು C1 ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ವಸ್ತುವು ಸೀಮಿತ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅದರ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಲನಚಿತ್ರವನ್ನು ತಯಾರಿಸುವಾಗ ಕ್ಯಾಮೆರಾದ ಮಾರ್ಗದಂತಹ ಸುಗಮ ಚಲನೆಗೆ, ನಿಯತಾಂಕ ನಿರಂತರತೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ನಿಯತಾಂಕ ನಿರಂತರತೆಯ ಕ್ರಮ ನಿಯತಾಂಕ ನಿರಂತರತೆಯ ವಿವಿಧ ಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಶೂನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ): ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಶೂನ್ಯ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ 0 ರಿಂದ-th ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರಂತರತೆ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರಂತರತೆಯ (Gn) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಲೆಬ್ನಿಜ್, ಕೆಪ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ರಂತಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ (ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಆಕಾರಗಳಿಗೆ) ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಕ, ನಿಯತಾಂಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಂತೆ ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿತ್ತು. ಐದು ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಕಾರದ ಐದು ವಿಭಿನ್ನ ಆವೃತ್ತಿಗಳಾಗಿದ್ದವು ಎಂಬುದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರಂತರತೆಯ ಹಿಂದಿನ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದು ಒಂದನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ ಪರವಲಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಒಂದರ ಕಡೆಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಪರವಲಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ; ಇದು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವೆ ನಿರಂತರತೆ ಇತ್ತು. ಈ ವಿಚಾರಗಳು ನಿರಂತರತೆಯ ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದವು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯು ಒಂದೇ ಆಕಾರದ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಬಹುಶಃ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಅನಂತ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮುಚ್ಚಬೇಕು, ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಅಂತಹ ವಿಚಾರಗಳು ಆಧುನಿಕ, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದವು ಮತ್ತು (ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರಂತರತೆಯ ಕ್ರಮವು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಮೃದುತ್ವದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃಃ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಜೋಡಣೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. : ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಜೋಡಣೆಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸಹ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. : ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಜೋಡಣೆಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಕ್ರತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಸಹ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು (ನಿಯತಾಂಕ) ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಮರುಪರಿಮಾಣಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ನಿರಂತರತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮರುಪರಿಮಾಣವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ; ನಿಯತಾಂಕವು ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎರಡು ವಾಹಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗೆ (ಅಂದರೆ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ದಿಕ್ಕು, ಆದರೆ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ) ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸುಗಮವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿರಂತರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದರೂ, ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ ಮತ್ತು ಕ್ರೀಡಾ ಕಾರಿನ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಆಶಿಸಿದಂತಹ ಉತ್ತಮ ಸೌಂದರ್ಯಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರಂತರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೇಹವು ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಹೊರತು ಕಾರಿನ ದೇಹದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ಸುಗಮವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎ (ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ತೊಂಬತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಾಪಗಳೊಂದಿಗೆ) ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಗೋಳದ ಆಕ್ಟಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕ್ವಾರ್ಟರ್-ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ a ಗೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪಾದಿಸಬಹುದಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಘನ ಸ್ಪ್ಲೈನ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕೈಗಾರಿಕಾ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಸಂಬಂಧ ಎಲ್ಲಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು "ಸುಗಮ" ವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ) ಅವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ, ಬಂಪ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ) ರಿಯಾಲ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ನಿಜವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಯವಾದ ನೈಜ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಆದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು; ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಫ್ಯಾಬಿಯಸ್ ಕಾರ್ಯ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಯಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಪವಾದವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಯವಾದವುಗಳ ನಡುವೆ ಬಹಳ ತೆಳುವಾಗಿ ಚದುರಿಹೋಗಿವೆ; ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಲ್ಪ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗ ಎ ಗೆ, ಎ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾದ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರ್ವವ್ಯಾಪಿತ್ವಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನೆರಡರಲ್ಲೂ, ನಾವು ಮೊದಲ ಆಲೋಚನೆಯಲ್ಲಿ (ಬೀಜಗಣಿತ/ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಹೊಂದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬಹುಪಾಲು ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆಃ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಯೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಅವುಗಳ ಪೂರಕಗಳು ಕಡಿಮೆ). ಹೀಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಾರಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಆ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕತೆಯ ನಯವಾದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕತೆಯ ನಯವಾದ ವಿಭಾಗಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಏಕತೆಯ ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿ ಗ್ಲಾಸರಿಯನ್ನು ನೋಡಿ); ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಇವು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು. ಒಂದು ಸರಳ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬಂಪ್ ಫಂಕ್ಷನ್, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದ [a, b] ಹೊರಗೆ 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಬಂಪ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇಡೀ ರೇಖೆಯನ್ನು ಆವರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗಷ್ಟೇ ಹೇಳಲಾಗಿರುವಂತೆ, ಏಕತೆಯ ವಿಭಾಗಗಳು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ನಡವಳಿಕೆಯು ಸೀಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪೊರೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್, ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಅಟ್ಲಾಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಚಾರ್ಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಒಂದು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ನಕ್ಷೆಯು ಸುಗಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಚಾರ್ಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಮೃದುತ್ವದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಒಂದು ಚಾರ್ಟ್ನ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಚಾರ್ಟ್ನ ಹತ್ತಿರ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುವುದರಿಂದ ಅಟ್ಲಾಸ್ನ ಯಾವುದೇ ಚಾರ್ಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸುಗಮತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಚಾರ್ಟ್ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಚಾರ್ಟ್ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಏಕೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ (ಅಥವಾ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್) ಮ್ಯಾಪ್ಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಇಲ್ಲಿಃ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆಃ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ಗೆ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಕೋವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕೋವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ "ಎಳೆಯುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು-ರೂಪಗಳಿಗೆ-ರೂಪಗಳಿಗೆಃ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಹುದು, ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರೂಪಗಳಂತೆ, ಒಂದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ. ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪೂರ್ವಭಾವಿಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ತಳ್ಳುವುದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಬಹುಗುಣಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುಗಳ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳು (ಅಂದರೆ, ಪೂರ್ವಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಭೇದವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ) ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿವೆ; ಇದು ಪೂರ್ವಚಿತ್ರ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ಗಳು ಬಹುಗುಣಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ. ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಇಫ್ ಆಗಿದೆ. (ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸೊಬೋಲೆವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಸ್ಮೂತ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮುಕ್ತವಾದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸುಗಮವಾದ ಕಾರ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಮೂತ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.