Nonlinear Schrödinger equation
ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, (ಒಂದು-ಆಯಾಮದ) ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು (ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ಇ) ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಫೈಬರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ತರಂಗ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕಂಡೆನ್ಸೇಟ್ಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನಿಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್, ಸಿಗಾರ್-ಆಕಾರದ ಬಲೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಸರಾಸರಿ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಆಡಳಿತದಲ್ಲಿ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಆಳವಾದ ಅಗೋಚರ (ಶೂನ್ಯ-ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ) ನೀರಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ-ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ ಗುರುತ್ವ ಅಲೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ; ಬಿಸಿ ಪ್ಲಾಸ್ಮಾಗಳಲ್ಲಿನ ಲ್ಯಾಂಗ್ಮುಯಿರ್ ಅಲೆಗಳು; ಅಯಾನುಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲ-ವಿವರಿತ ತರಂಗ ಕಿರಣಗಳ ಪ್ರಸರಣ; ಆಣ್ವಿಕ ಸರಪಳಿಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಗಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾದ ಡೇವಿಡೋವ್ನ ಆಲ್ಫಾ-ಹೆಲಿಕ್ಸ್ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳ ಪ್ರಸರಣ; ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ಇ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದುರ್ಬಲ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಏಕವರ್ಣದ ಅಲೆಗಳ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ಗಳ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ಇ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮಯದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. 1ಡಿ ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ಇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, 1ಡಿ ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ಇ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಬದ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿದಾಗ, ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು 'ಕ್ವಾಂಟಮ್ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣ' ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ) ಇದು ಡೆಲ್ಟಾ-ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೋಸೋನಿಕ್ ಬಿಂದು ಕಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ-ಕಣಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಆಕರ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಲೈಬ್-ಲಿನಿಗರ್ ಮಾದರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ 1ಡಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳೆರಡೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿವೆ. ಅನಂತ ಶಕ್ತಿ ವಿಕರ್ಷಣದ ಮಿತಿಯು ವಿಶೇಷ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೈಬ್-ಲಿನಿಗರ್ ಮಾದರಿಯು ಟೋಂಕ್ಸ್-ಗಿರಾರ್ಡೌ ಅನಿಲವಾಗುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಹಾರ್ಡ್-ಕೋರ್ ಬೋಸ್ ಅನಿಲ ಅಥವಾ ತೂರಲಾಗದ ಬೋಸ್ ಅನಿಲ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್-ವಿಗ್ನರ್ ರೂಪಾಂತರದ ನಿರಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ, ಬೋಸನ್ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ ಸ್ಪಿನ್ ರಹಿತ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಗಿನ್ಜ್ಬರ್ಗ್-ಲ್ಯಾಂಡೌ ಸಮೀಕರಣದ ಸರಳೀಕೃತ 1 + 1-ಆಯಾಮದ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು, 1950 ರಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ ಕಂಡಕ್ಟಿವಿಟಿಯ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಕಿರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಎರಡನೇ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಕುಸಿತ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣವು (ಆಯಾಮರಹಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ): ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರ si (x, t) ಗೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ನಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ರೇಖೀಯ ಪ್ರತಿರೂಪಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮಯದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಋಣಾತ್ಮಕ κಯೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಫೋಕಸಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾದ ಸಾಲಿಟಾನ್ ದ್ರಾವಣಗಳಿಗೆ (ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತತೆಯ ಕಡೆಗೆ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಅಟೆನ್ಯುಯೇಷನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಜೊತೆಗೆ ಉಸಿರಾಟದ ದ್ರಾವಣಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ವಿಲೋಮ ಚದುರುವಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. κ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ, ಡಾರ್ಕ್ ಸಾಲಿಟಾನ್ ದ್ರಾವಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಫೋಕಸಿಂಗ್ ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ (ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕುಸಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಉಷ್ಣಬಲವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಚೆನ್-ನಿಂಗ್ ಯಾಂಗ್ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಕೊರೆಪಿನ್ 1993ರಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಮಾದರಿಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-1989 ರಲ್ಲಿ ಡೇವಿಸ್ ಮತ್ತು ಕೊರೆಪಿನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 1d ಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದುಃ ವಿಲೋಮ ಚದುರುವಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಜಾಖರೋವ್-ಶಬಾಟ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಜಾಖರೋವ್-ಶಬಾಟ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆಃ q = r * ಅಥವಾ q = − r * ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆಕರ್ಷಕ ಅಥವಾ ವಿಕರ್ಷಣೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವು ಜಾಖರೋವ್-ಶಬಾಟ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, φ ಎಂಬುದು ವರ್ಣಪಟಲದ ನಿಯತಾಂಕ ω ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಖರೋವ್-ಶಬಾಟ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (φ ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ): U = 0 ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, n ಸಾಲಿಟನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಟ್ಟು-ಪಿಟಾವ್ಸ್ಕಿ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು-ಪಿಟಾವ್ಸ್ಕಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಾದ ಸ್ಪ್ಲಿಟ್-ಸ್ಟೆಪ್ ಕ್ರ್ಯಾಂಕ್-ನಿಕಲ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅದರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ವಿವಿಧ ಫೋರ್ಟ್ರಾನ್ ಮತ್ತು ಸಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಿವೆ. ಗೆಲಿಲಿಯನ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಗೆಲಿಲಿಯನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆಃ x (x, t) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ x ಅನ್ನು x (x, t) ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ x + vt ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೊಸ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಫೈಬರ್ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಫೈಬರ್ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ತರಂಗ ಪ್ರಸರಣದ ಮಾದರಿಯಾದ ಮನಾಕೋವ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ± ಕಾರ್ಯವು ತರಂಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾಧ್ಯಮದ ಮೂಲಕ ತರಂಗದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ κ ಪದವು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಫೈಬರ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ-ಹಂತದ ಸಮನ್ವಯತೆ, ನಾಲ್ಕು-ತರಂಗ ಮಿಶ್ರಣ, ಎರಡನೇ-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪೀಳಿಗೆಯ, ಪ್ರಚೋದಿತ ರಾಮನ್ ಚದುರುವಿಕೆಯ, ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳು, ಅಲ್ಟ್ರಾಶೋರ್ಟ್ ಪಲ್ಸ್ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಆದರೆ ಅವುಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರದ ಅನೇಕ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮಾಡ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ತರಂಗ ಗುಂಪುಗಳ ಹೊದಿಕೆಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. 1968ರ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಇ. ಜಾಖರೋವ್ ಅವರು ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ರಚನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅದೇ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಜಾಖರೋವ್, ನಿಧಾನವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ತರಂಗ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ತರಂಗ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಸರಿಸುಮಾರು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿಯತಾಂಕ k ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಪೇಕ್ಷ ನೀರಿನ ಆಳವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆಳವಾದ ನೀರಿಗೆ, ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ ತರಂಗ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ನೀರಿನ ಆಳವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, k ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊದಿಕೆ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಹೊದಿಕೆ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳ ಗುಂಪು ವೇಗವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ನೀರಿನ ಹರಿವಿನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರಿಗೆ, ನೀರಿನ ಆಳಕ್ಕಿಂತ 4.6 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ತರಂಗಾಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿಯತಾಂಕ k ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊದಿಕೆ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತರಂಗ ಗುಂಪುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರಿನ ಮೇಲ್ಮೈ-ಎತ್ತರದ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳು ಅಥವಾ ಅನುವಾದದ ಅಲೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಆದರೆ ಅವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ರಾಕ್ಷಸ ಅಲೆಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರವು ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನೀರಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರ η ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ವಾಹಕ ತರಂಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಇಲ್ಲಿ a (x0, t0) ಮತ್ತು θ (x0, t0) ನಿಧಾನವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹಂತಗಳಾಗಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ω0 ಮತ್ತು k0 ಗಳು ವಾಹಕ ತರಂಗಗಳ (ಸ್ಥಿರ) ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇವು ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ω0 = ω (k0) ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ |ψ | ತರಂಗ ವೈಶಾಲ್ಯ a ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವಾದವು arg (si) ಹಂತ θ ಆಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದಂತೆ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (x0, t0) ಮತ್ತು (x, t) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ (x, t) ವಾಹಕ ತರಂಗಗಳ ಸಮೂಹ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಆಳವಾದ ನೀರಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ತರಂಗಗಳಿಗೆ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ g ಎಂಬುದು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲ (x0, t0) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗೆ ಓದುತ್ತದೆಃ (ಅಂದರೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಳವಾದ ನೀರಿನ ಅಲೆಗಳಿಗೆ. ಗೇಜ್ ಸಮಾನ ಪ್ರತಿರೂಪವಾದ ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ಇ (1) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಲ್ಯಾಂಡೌ-ಲಿಫ್ಶಿಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣ (ಎಲ್ಎಲ್ಇ) ಅಥವಾ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ-ವಕ್ರತೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ಇ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ-ಸಂಪರ್ಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ ಅದರ ವಕ್ರತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಂಪರ್ಕ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿವೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಶೂನ್ಯ-ವಕ್ರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ಇಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ-ವಕ್ರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ವಕ್ರತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಕ್ಸ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬದಲು ಶೂನ್ಯ-ವಕ್ರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಪಿಡಿಇಯನ್ನು ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಎನ್ಎಲ್ಎಸ್ಇಗೆ ಲ್ಯಾಕ್ಸ್ ಜೋಡಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸುಳಿಯ ತಂತುಗಳ ಕಾರ್ಯವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸುಳಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ತೋರಿಸಿದೆ. ತರುವಾಯ, ಸುಳಿಯ ತಂತುಗೆ ಉಸಿರಾಟದ ದ್ರಾವಣಗಳು ಸಹ ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಎಕೆಎನ್ಎಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಕ್ಹೌಸ್ ಸಮೀಕರಣ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಸಾಲಿಟಾನ್ (ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ) ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಇತರ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದ (ವಿಡಿಯೋ) ಕುರಿತ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಉಪನ್ಯಾಸ. ಇಕ್ಯೂವರ್ಲ್ಡ್ಃ ದಿ ವರ್ಲ್ಡ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ನಾನ್ಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ನಾನ್ಲೀನಿಯರ್ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣ. ಇಕ್ಯೂವರ್ಲ್ಡ್ಃ ದಿ ವರ್ಲ್ಡ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪವರ್-ಲಾ ನಾನ್ಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ನಾನ್ಲೀನಿಯರ್ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣ. ಇಕ್ವರ್ಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣಃ ದಿ ವರ್ಲ್ಡ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪ್ರಸರಣದಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳು ವಿಕಿ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಗಳು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣ ಸಮಗ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು