Chiral model
ಪರಮಾಣು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, 1960 ರಲ್ಲಿ ಫೆಜಾ ಗುರ್ಸೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕೈರಲ್ ಮಾದರಿಯು, ಕೈರಲ್ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ (ಅಲ್ಲಿ ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ) ಮೆಸಾನ್ಗಳ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದು ಒಂದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಿಗ್ಮಾ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಮುಖ ಏಕರೂಪದ ಜಾಗವನ್ನು ಅದರ ಗುರಿ ಬಹುಗುಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ, ಈ ಲೈ ಗುಂಪು ಎಸ್ಯು (ಎನ್) ಆಗಿತ್ತು, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್ ಕ್ವಾರ್ಕ್ ಸುವಾಸನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಗುರಿಯ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಎಸ್ಯು (ಎನ್) ನ ಮೌರರ್-ಕಾರ್ಟನ್ ರೂಪದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯ ಆಂತರಿಕ ಜಾಗತಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಪ್ರತಿಗಳು; ಇಲ್ಲಿ ಎಡ ಪ್ರತಿಯು ಗುರಿ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲ ಪ್ರತಿಯು ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ, ಎಡ ಪ್ರತಿಯು ಎಡಗೈ ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸುವಾಸನೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಲ ಪ್ರತಿಯು ಬಲಗೈ ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳ ನಡುವಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇವು ಎಲ್ ಮತ್ತು ಆರ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಅಕ್ಷೀಯ ತುಣುಕುಗಳು ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತವಾಗಿ ಒಡೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅಗತ್ಯವಾದ ನಂಬು-ಗೋಲ್ಡ್ಸ್ಟೋನ್ ಬೋಸನ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಂತರ ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮಗ್ರ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ಇದರ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು 1982ರಲ್ಲಿ ಫದ್ದೀವ್ ಮತ್ತು ರೆಶೆತಿಖಿನ್ ಅವರು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ತೋರಿಸಿದರು. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಧಾನ ಕೈರಲ್ ಮಾದರಿಯು ಲಕ್ಷ ಜೋಡಿ/ಶೂನ್ಯ-ವಕ್ರತೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪಿನ ಸಮ್ಮಿತಿ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾಂಗಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತಿ) ಯಂತಹ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಸಹಿಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಸ್ಕೈರ್ಮಿಯಾನ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ಕೈರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಕೈರಲ್ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಒಂದು ಬಹುದೂರದ ಮೇಲೆ (ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ, ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಷಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು-ಮೌಲ್ಯದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರ (ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ಕೋವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ) ಇದು ಮೌರರ್-ಕಾರ್ಟನ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಕೈರಲ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮುಖ್ಯ ಏಕರೂಪದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಫೈಬರ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಪ್ರಧಾನ ಕೈರಲ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ). ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರ ಮೂಲ, 2-ರುಚಿಯ ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ರೂಪರೇಖೆ ಗುರ್ಸಿಯ ಕೈರಲ್ ಮಾದರಿಯು (1960; ಜೆಲ್-ಮ್ಯಾನ್ ಮತ್ತು ಲೆವಿ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ) ಈಗ ಯು ಮತ್ತು ಡಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಲಘು ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ಯೂಸಿಡಿ ಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದು ಪ್ರಶಂಸಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಯೂಸಿಡಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಕ್ವಾರ್ಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸ್ವತಂತ್ರ ಜಾಗತಿಕ ಪರಿಮಳ ಆವರ್ತನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಿಸುಮಾರು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ τ ರುಚಿಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು θL, θR ಅನುಗುಣವಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು ಕೈರಲ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಆರು ಸಂರಕ್ಷಿತ ಪ್ರವಾಹಗಳಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಾಹಕ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷೀಯ-ವಾಹಕ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂರಕ್ಷಿತ ಚಾರ್ಜ್ಗಳು ಕೈರಲ್ ಗುಂಪಿನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, I = L, R, ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಹ್ಯಾಡ್ರಾನಿಕ್ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅನ್ವಯವು ಕಳೆದ ಶತಮಾನದ ಎಪ್ಪತ್ತರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸಿತು. ಹೈಡ್ರಾನ್ಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೆಸಾನ್ಗಳು, ಕೈರಲ್ ಮಾದರಿಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ಕೈರಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಕ್ಯೂಸಿಡಿ ನಿರ್ವಾತದಿಂದ ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ನಂಬು-ಗೋಲ್ಡ್ಸ್ಟೋನ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಕ್ಯೂವಿ ನಿರ್ವಾತವನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕ್ಯೂಎ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ! ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಸ್. ಓ. (4) ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಾದದ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ವಿಗ್ನರ್-ವೇಯ್ಲ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅರಿತುಕೊಂಡ ಮುರಿಯದ ಉಪಗುಂಪು, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಎಸ್ಯು (2) (ವಿಃ ಐಸೊಸ್ಪಿನ್) ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎಸ್ಒ (4) ನ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಆರು ಕೋನಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಅನಂತ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ವಾಹಕದ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಾಲ್ಕು ನೈಜ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಚಿಕ್ಕ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕೈರಲ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಿಗ್ಮಾ ಮಾದರಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಎಸ್. ಓ. (4) ನ ರೇಖೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದಿಂದ ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಸ್. ಓ. (4) ನ ನಾಲ್ಕು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮಾತ್ರ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳು ಹೈಪರ್ಸ್ಪಿಯರ್ ಎಸ್ 3 ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಎಫ್ ಎ (ಪಿಯಾನ್ ಕೊಳೆತ) ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಎಸ್ಒ (4) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪದಗಳು (ಸ್ಥಳಾಂತರ) ಎಸ್ಒ (4) ನ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಕೈರಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಪಯಾನ್ಗಳ ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ-ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಐಸೊಸ್ಪಿನ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ "ವರ್ಗಾವಣೆಗಳನ್ನು" (ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಒಡೆಯುವಿಕೆ) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿನರ್ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ, ಈ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಏಕಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೈರಲ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ U ನ ರೂಪಾಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಿಗ್ಮಾ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರದ ಪದಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಈ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದ F2/4 ಅನ್ನು ಪಿಯಾನ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮುಕ್ತ ಪದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪರ್ಯಾಯ ನಿಯತಾಂಕ ಸಂಯೋಜನೆ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ, ಸಮಾನ (ಗುರ್ಸೆ, 1960), ನಿಯತಾಂಕ ನಿರೂಪಣೆಯು U ಗೆ ಸರಳವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ನಂತರ, ಐಸೊರೊಟೇಷನ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನವುಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ, ಮುರಿದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಶಿಫ್ಟ್ಗಳು. ಈ ಸರಳವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸುಲಭವಾಗಿ (ಕ್ರೋನಿನ್, 1967) ಲಘು ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರಿಚರ್ಡ್ ಎಸ್. ವಾರ್ಡ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಚಿರಲ್ ಮಾದರಿ ಅಥವಾ ವಾರ್ಡ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದು ವೆಸ್-ಜುಮಿನೋ-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಪದವನ್ನು ಹೋಲುವ ಪದದೊಂದಿಗೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಚಲನ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬೊಗೊಮೊಲ್ನಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಸಹಿಯೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಅನೇಕ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಧಾನ ಕೈರಲ್ ಮಾದರಿ ಇಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಅಥವಾ ಪ್ಲೇನ್, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ನೈಜ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಿಲಿಂಡರ್ನಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಿದೆ. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಈ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನಿಂದ ಹೊರಬಂದ ವರ್ಲ್ಡ್ ಶೀಟ್ ಆಗಿದೆ. ಜಾಗತಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಜಾಗತಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಗುಂಪು-ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರವಾಹಗಳ ಸಂರಕ್ಷಣೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರವಾಹಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಲ್ಯಾಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಬೆಳಕಿನ-ಕೋನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಲ್ಡ್ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಲಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಘಟಕಗಳೆಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಶೂನ್ಯ-ವಕ್ರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ರವಾಹದ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಸಮತೋಲನದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಧಾನ ಕೈರಲ್ ಮಾದರಿ (ಪಿಸಿಎಂ) ಯಿಂದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಸಿಗ್ಮಾ ಮಾದರಿ ಚಿರಾಲಿಟಿ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ; ಜಾರ್ಜಿ, ಎಚ್. (1984,2009). ದುರ್ಬಲ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಕಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕುರಿತಾದ ಡೋವರ್ ಪುಸ್ತಕಗಳು) ಆನ್ಲೈನ್. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರೋಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಪರಮಾಣು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ