Algebraically compact group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಂದ್ರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸಮಾನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಃ ಗುಂಪಿನ ಕಡಿಮೆ ಭಾಗವು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಶುದ್ಧ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಶುದ್ಧ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರುವ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ. ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳುಃ ಒಂದು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಕೊಟೋರ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಟೋರ್ಶನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಉಲ್ಮ್ ಅಂಶಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು