Helly's theorem
ಹೆಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1913 ರಲ್ಲಿ ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಹೆಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಆದರೆ 1923 ರವರೆಗೆ ಆತ ಪ್ರಕಟಿಸಲಿಲ್ಲ, ಆ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದವು. ಹೆಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೆಲ್ಲಿ ಕುಟುಂಬದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. ಹೇಳಿಕೆಯು, ಜೊತೆಗಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರಲಿ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇಡೀ ಸಂಗ್ರಹವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಅನಂತ ಸಂಗ್ರಹಗಳಿಗೆ ಒಬ್ಬರು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕುಃ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಸಂಗ್ರಹವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಇಡೀ ಸಂಗ್ರಹವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪುರಾವೆ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸೀಮಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನಂತ ಆವೃತ್ತಿಯು ನಂತರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸೀಮಿತ ಛೇದಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಾಂದ್ರ ಸ್ಥಳದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಒಮ್ಮೆ ನೀವು ಒಂದೇ ಗುಂಪನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಇತರ ಎಲ್ಲವುಗಳ ಛೇದಕವು ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರ ಸ್ಥಳದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ). ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ ಇದೆಃ ಬೇಸ್ ಕೇಸ್ಃ ಲೆಟ್. ನಮ್ಮ ಊಹೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸಂಭವನೀಯ ವಿನಾಯಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೆಟ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ನಮಗೆ ವಿಭಜಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಎರಡು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಏಕೈಕ ಅಂಶವು ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ವೇಳೆ, ನಂತರ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ. ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಹ. ಅಂತೆಯೇ, ವೇಳೆ, ಆಗ, ಮತ್ತು ಅದೇ ತರ್ಕದಿಂದ. ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಕೂಡ ಛೇದಕದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವರಿಗೆ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ನಾವು ಛೇದಕವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಪ್ರಕರಣದ ಸಾಕ್ಷ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಟೆಪ್ಃ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮೇಲಿನ ವಾದವು ಸೆಟ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಉಪಸಂಗ್ರಹವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಹೊಸ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಸಂಗ್ರಹವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹೊಸ ಸಂಗ್ರಹವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೂಲ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ವರ್ಣರಂಜಿತ ಹೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೆಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದ ಬದಲಿಗೆ, ಡಿ + 1 ಸಂಗ್ರಹಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಗೆ-ಪ್ರತಿ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ಒಂದು ಸೆಟ್-ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ದ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ, ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅಂಶವಿದೆ. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ, ಡಿ + 1 ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಡಿ + 1 ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಒಂದು ಸೆಟ್-ಪ್ರತಿ-ಬಣ್ಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಯು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಬಣ್ಣದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಬಣ್ಣವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಹೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ ಪ್ರತಿ a> 0 ಗೆ ಕೆಲವು b> 0 ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು n ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ (d + 1)-ಟುಪಲ್ಗಳ ಕನಿಷ್ಠ a-ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸೆಟ್ಗಳ ಕನಿಷ್ಠ b ನ ಒಂದು ಭಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಡೋಯಿಗ್ನಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಕಿರ್ಚ್ಬರ್ಗರ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಶ್ಯಾಪ್ಲೆ-ಫೋಕ್ಮನ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಕ್ರೇನ್-ಮಿಲ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಚೋಕ್ವೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ, ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. ಹೆನ್ರಿಕ್ ಗುಗೆನ್ಹೈಮರ್ (1977) ಅನ್ವಯಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಪುಟ 137, ಕ್ರೀಗರ್, ಹಂಟಿಂಗ್ಟನ್. .. .. .. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ