Closed monoidal category
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವು (ಅಥವಾ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವರ್ಗ) ರಚನೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ವರ್ಗಗಳೆರಡೂ ಆಗಿರುವ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗ, ಸೆಟ್, ಅಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ನಿಂದ ಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವರ್ಗವಾದ ಕೆ-ವೆಕ್ಟ್. ಇಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳ ಆಂತರಿಕ ಭಾಷೆಯು ರೇಖೀಯ ತರ್ಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯ ಪ್ರಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೀಗೆಯೇ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಭಾಷಾಶಾಸ್ತ್ರದ ವರ್ಗ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಏಕಪದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಬಹುದು; ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಪದ-ಕ್ರಮವೇ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವು ಒಂದು ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಬಲ ಟೆನ್ಸರಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಬಲವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಇದರರ್ಥ ಎ ಮತ್ತು ಸಿ ಎರಡರಲ್ಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾದ ಹೋಮ್-ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವೆ 'ಕರಿಂಗ್' ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನವಾದ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಫಂಕ್ಟರ್ ಸಮಾನವಾಗಿ ಬಲವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಹೇಳಬಹುದು, ಮುಚ್ಚಿದ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವು ಸಜ್ಜುಗೊಂಡ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ, ಒಂದು ವಸ್ತು, ಮಾರ್ಫಿಸಂ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯು ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಆಫ್ ಮತ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ಗೆ ಇತರ ಅನೇಕ ಸಂಕೇತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಸ್ತುವನ್ನು ಘಾತೀಯ ವಸ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೈಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಮತ್ತು ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ವರ್ಗಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ರೈಟ್ ಟೆನ್ಸರಿಂಗ್ ರೈಟ್ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಬಯಸಿದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ರೈಟ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಎಡ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ಎಡ ಟೆನ್ಸರಿಂಗ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಬಲ ಪಕ್ಕದ ಎ ಬೈಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವು ಬಲಕ್ಕೆ ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಮುಚ್ಚಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು 'ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ವರ್ಗ' ದ ಬಗ್ಗೆ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಬಹುದು, ಅದು ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಮುಚ್ಚಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಹೆಣೆಯುವಿಕೆಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಟೆನ್ಸರಿಂಗ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬಲ ಮುಚ್ಚಿದ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ನಾವು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳೆಂದು ವಿವರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ವರ್ಗ ಎಂದು ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಬೇಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವರ್ಗವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ರಚನೆಯು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಘಾತೀಯ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗ, ಸೆಟ್, ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಕೇವಲ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗ, ಆರ್-ಮೋಡ್ ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಅನ್ನು ಅದರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಆರ್-ಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸ್ಥಳದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಝಡ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವು ಸಹ ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವರ್ಗವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ಮುಚ್ಚಿದ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು ಇದರಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಫೈನೈಟ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವರ್ಗ, ಎಫ್ಡಿವೆಕ್ಟ್. ಕೌಂಟರ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗವು ಉಂಗುರಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಏಕ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವರ್ಗವು ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ. ಅದು ಇದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಉಂಗುರಗಳ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಏಕರೂಪತೆ ಇರುತ್ತದೆಃ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ಆರ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಇಸ್ಬೆಲ್ ಕಾಂಜುಗಸಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳು ಮುಚ್ಚಿದ ವರ್ಗಗಳು