Gas in a box
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಣದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆದರ್ಶ ಅನಿಲದ ಸಮತೋಲನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೋಡಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ತತ್ಕ್ಷಣದ ಉಷ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಘರ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಣುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸರಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆದರ್ಶ ಅನಿಲ ಮತ್ತು ಆದರ್ಶ ಬೃಹತ್ ಫೆರ್ಮಿ ಅನಿಲ, ಆದರ್ಶ ಬೃಹತ್ ಬೋಸ್ ಅನಿಲ ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ದೇಹದ ವಿಕಿರಣ (ಫೋಟಾನ್ ಅನಿಲ) ನಂತಹ ವಿವಿಧ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆದರ್ಶ ಅನಿಲಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಬೋಸ್ ಅನಿಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಉಷ್ಣೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮತೋಲಿತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಫೆರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಥಾಮಸ್-ಫೆರ್ಮಿ ಅಂದಾಜು (ಎನ್ರಿಕೊ ಫೆರ್ಮಿ ಮತ್ತು ಲೆವೆಲ್ಲಿನ್ ಥಾಮಸ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ) ಅನ್ನು ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅವನತಿಯನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಕಲನಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನಿಲದ ಉಷ್ಣಬಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಮಹಾ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯದ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬೃಹತ್ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ರಹಿತ ಕಣಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನಗಳಿಗೆ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅವನತಿಗೆ ಥಾಮಸ್-ಫರ್ಮಿ ಅಂದಾಜು ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಬೃಹತ್ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ರಹಿತ ಕಣಗಳೆರಡಕ್ಕೂ, ಕಣಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆವೇಗದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ h ಎಂಬುದು ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು L ಎಂಬುದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ 3-ಆಯಾಮದ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಮೂಲದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು f ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ f ಎಂಬುದು ಘರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ ಕಣದ ಆಂತರಿಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ತಿರುಗುವ ಕಣವು f = 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ತಿರುಗುವ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಒಂದು. n ನ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ p ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಆವೇಗದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸರಿಸುಮಾರು f ಆಗಿದೆ, ಇದು ತ್ರಿಜ್ಯದ n ಗೋಳದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಎಂಟು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ni ಹೊಂದಿರುವ ಅಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಅಂದಾಜು ಬಳಸಿ, p ಮತ್ತು p + dp ನಡುವೆ ಆವೇಗದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆದ್ದರಿಂದ V = L3 ಎಂಬುದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಥಾಮಸ್-ಫೆರ್ಮಿ ಅಂದಾಜು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಈ ನಿರಂತರ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಕಡಿಮೆ-ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಕಳೆದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ Ni = 1 ಇರುವ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯೂ ಸೇರಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಘನೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅನಿಲದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವು ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಅಥವಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಮುಖ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸದೆ, ಶಕ್ತಿ εi ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು i ಸ್ಥಿತಿಯ ಕ್ಷೀಣತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು β = 1/kBT, ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ kB, ತಾಪಮಾನ T, ಮತ್ತು ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ μ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.) ಥಾಮಸ್-ಫೆರ್ಮಿ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇ ಮತ್ತು ಇ + ಡಿಇ ನಡುವಿನ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಡಿಎನ್ಇ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಃ ಇ ಮತ್ತು ಇ + ಡಿಇ ನಡುವಿನ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಅನಿಲದ ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಈಗ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯು ಕಣಗಳಿಂದ ಆಕ್ರಮಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಒಟ್ಟು ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಆವೇಗದ ವಿತರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಆವೇಗದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳ ಭಾಗವುಃ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳ ಭಾಗವುಃ ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಕಣಕ್ಕೆ (ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಕಣಕ್ಕೂ ಸಹ), ಬೃಹತ್ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೆ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೃಹತ್ ಕಣಗಳಿಗೆ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೆ, ಕಣದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬೃಹತ್ ಕಣಗಳಿಗೆ ಅನಿಲದ ಉಷ್ಣ ತರಂಗಾಂತರ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತರ-ಕಣ ಅಂತರದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನಿಲವನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಅನಿಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೆ ಈಗ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೆ ಉಷ್ಣ ತರಂಗಾಂತರ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗಗಳು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಬೃಹತ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಕಣಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಃ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮೂಲ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಪಡೆದ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಆದರ್ಶ ಅನಿಲದ ಲೇಖನದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಬೃಹತ್ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಕಣಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಃ ಅಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು N ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ Lis (z) ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮ್ ಪದವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ನೈಜವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು 0 ರಿಂದ ζ (3/2) ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ z 0 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ತಾಪಮಾನವು ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ z = 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ತಾಪಮಾನವು ಯಾವ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕ ತಾಪಮಾನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ತಾಪಮಾನಕ್ಕೆ, ಕಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ತಾಪಮಾನವು ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕಂಡೆನ್ಸೇಟ್ ರೂಪುಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ನಿರಂತರ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಚೋದಿತ ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೋಸನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪದವು ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನದವರೆಗೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶ ಬೋಸ್ ಅನಿಲದ ಬಗೆಗಿನ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕಣಗಳು (ಉದಾ. ಕಪ್ಪು ದೇಹದ ವಿಕಿರಣ) ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆವರ್ತನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆಃ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೆ ಉಷ್ಣ ತರಂಗಾಂತರ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು (ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಶಕ್ತಿ) ನಂತರ ಇತರ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬೃಹತ್ ಕಣಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆವರ್ತನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಬೋಸ್ ಅನಿಲವು ಕಪ್ಪು ದೇಹದಲ್ಲಿರುವ ಫೋಟಾನ್ ಅನಿಲವಾಗಿದೆ. "ಬಾಕ್ಸ್" ಅನ್ನು ಕಪ್ಪು ದೇಹದ ಕುಹರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಫೋಟಾನ್ಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹೀರಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗೋಡೆಗಳಿಂದ ಮರು-ಹೊರಸೂಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ, ಇದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು (μ) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಫೋಟಾನ್ಗಳು ಎರಡು ತಿರುಗುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, f ನ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಆಗಿದೆ. ವರ್ಣಪಟಲದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ನಂತರ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ಕಪ್ಪು ದೇಹದ ವಿಕಿರಣದ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ವರ್ಣಪಟಲದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಪಮಾನ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಿಗೆ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಕಣಗಳಿಗೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ ವೀನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಫೋಟಾನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಬೆಳಕು-ಹೊರಸೂಸುವ ಡಯೋಡ್ಗಳು, "ಬಿಳಿ" ಕುಳಿಗಳು). ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಫೋಟಾನ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. (ಹರ್ಮನ್ 2005) ಮತ್ತೊಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ರಹಿತ ಬೋಸ್ ಅನಿಲವನ್ನು ಶಾಖ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಡೆಬೈ ಮಾದರಿಯು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಫೋನಾನ್ಗಳ ಅನಿಲವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಫೋನಾನ್ಗಳ ವೇಗವು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷಕ್ಕೂ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಗರಿಷ್ಠ ತರಂಗಾಂತರವಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಹಂತದ ಜಾಗದ ಮೇಲಿನ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಬದಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಡೆಬೈ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೃಹತ್ ಫರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ಕಣಗಳು (ಉದಾ. ಲೋಹದಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಃ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ, Lis (z) ಎಂಬುದು ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಥರ್ಮಲ್ ಡಿ ಬ್ರೊಗ್ಲಿ ತರಂಗಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಆದರ್ಶ ಫೆರ್ಮಿ ಅನಿಲದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಫರ್ಮಿ ಅನಿಲದ ಅನ್ವಯಗಳು ಮುಕ್ತ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಮಾದರಿ, ಬಿಳಿ ಕುಬ್ಜಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ದ್ರವ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಗ್ಯಾಸ್ ಇನ್ ಎ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟ್ರ್ಯಾಪ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವು-ಕ್ವಾಕ್, ಎಲ್., ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ (ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್), 2008. ಈ ವಿಕಿ ಸೈಟ್ ಡೌನ್ ಆಗಿದೆ; 2012ರ ಏಪ್ರಿಲ್ 28ರ ವೆಬ್ ಆರ್ಕೈವ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ