Geometrical frustration
ಘನೀಕೃತ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆ (ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿಃ ಹತಾಶೆ) ಎಂಬ ಪದವು ಪರಮಾಣುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಫಟಿಕ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ, ಸಂಘರ್ಷದ ಅಂತರ-ಪರಮಾಣು ಶಕ್ತಿಗಳು (ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸರಳವಾದ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ) ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಥವಾ ಬಲಗಳಲ್ಲಿನ ಹತಾಶೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪೂರ್ಣತೆಯು ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಷ್ಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ನಿಗ್ರಹಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಅಸ್ಫಾಟಿಕ ವಸ್ತುಗಳು, ಕನ್ನಡಕಗಳು ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲ ಆಯಸ್ಕಾಂತಗಳು. ಕಾಂತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹತಾಶೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು 1977ರಲ್ಲಿ ಗೆರಾರ್ಡ್ ಟೌಲೌಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ನಿರಾಶೆಗೊಂಡ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆಯೂ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿತ್ತು. ಆರಂಭಿಕ ಕೆಲಸವು 1950 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಜಿ. ಎಚ್. ವಾನಿಯರ್ ಅವರು ಸಮೀಪದ-ನೆರೆಯ ಸ್ಪಿನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಂಟಿಫೆರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕಲ್ ಆಗಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಯಸ್ಕಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜೋಡಿ ಸ್ಪಿನ್ಗಳು ಅಥವಾ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಫೆರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಜೋಡಣೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಅಂತರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಕಾರವಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲತಃ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಎ. ಯೋಶಿಮೋರಿ, ಟಿ. ಎ. ಕಪ್ಲಾನ್, ಆರ್. ಜೆ. ಎಲಿಯಟ್ ಮತ್ತು ಇತರರು 1959ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅಪರೂಪದ ಭೂಮಿಯ ಲೋಹಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಂತಹ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳು ಉಂಟಾಗಬಹುದು. ಸುಮಾರು ಎರಡು ದಶಕಗಳ ನಂತರ, 1970ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಿನ್ ಗ್ಲಾಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಸೂಪರ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರಾಶೆಗೊಂಡ ಅಥವಾ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂತಹ ಸ್ಪಿನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಆಸಕ್ತಿಯು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಸ್ಪಿನ್ ಗ್ಲಾಸ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಅಸ್ವಸ್ಥತೆಯಿಂದ ಹತಾಶೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಟೋಯಿಕಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಕಾಂತೀಯ ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಹತಾಶೆಯಿಂದ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾದ ಸ್ಪಿನ್ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಗ್ಲಾಸ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಶೆರಿಂಗ್ಟನ್-ಕಿರ್ಕ್ಪ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಸೂಪರ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಎ. ಎನ್. ಎನ್. ಐ ಮಾದರಿ ಸೇರಿವೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಹತಾಶೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೆದುಳಿನ ಜಾಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನರಗಳ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೆದುಳಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡರಿಂಗ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆಯು ಕಾಂತೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಜೋಡಣೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳ 2ಡಿ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 1ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಕಾಂತೀಯ ಅಯಾನುಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಆಂಟಿಫೆರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಾಸಿಸುತ್ತವೆ; ಪ್ರತಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ನೆರೆಹೊರೆಯವರಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಶಕ್ತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಸ್ಪಿನ್ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದ ನಂತರ, ಮೂರನೆಯದು ನಿರಾಶೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎರಡು ಸಂಭಾವ್ಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳು, ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ, ಒಂದೇ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಮೂರನೆಯ ಸ್ಪಿನ್ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಇತರ ಎರಡರೊಂದಿಗಿನ ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಈ ಪರಿಣಾಮವು ಸಂಭವಿಸುವುದರಿಂದ, ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಆರು ಪಟ್ಟು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪಿನ್ಗಳು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಇರುವ ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಸ್ಪಿನ್ಗಳು (ಚಿತ್ರ 2) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ನಡುವೆ ಆಂಟಿಫೆರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ಇದ್ದರೆ, ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲು ಸ್ಪಿನ್ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆರು ಹತ್ತಿರದ-ನೆರೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು (1 ಮತ್ತು 2ರ ನಡುವೆ, ಮತ್ತು 3 ಮತ್ತು 4ರ ನಡುವೆ) ಪ್ರತಿಕೂಲವಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿರಾಶೆಗೊಂಡಿದೆ. ಸ್ಪಿನ್ಗಳನ್ನು ನಾನ್-ಕೊಲೀನಿಯರ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆಯೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸುಲಭ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ (ಅಂದರೆ, ನೇರವಾಗಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಕೇಂದ್ರದ ಕಡೆಗೆ ಅಥವಾ ದೂರದಲ್ಲಿ) ತೋರಿಸುವ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುವ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ನಿವ್ವಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಚಿತ್ರ 3). ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ನಡುವೆ ಆಂಟಿಫೆರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ, ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ನಡುವೆ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ಇದ್ದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ಪಿನ್ಗಳಿಂದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎರಡು ಸ್ಪಿನ್ಗಳು ಕೇಂದ್ರದ ಕಡೆಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ದೂರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ನಿವ್ವಳ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷಣವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ವಾಹಕಗಳು ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ. ಮುಂದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮಾಡುವಂತೆ ಆಂಟಿಫೆರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕಲ್ ಆಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ). ಎರಡು ಸ್ಪಿನ್ ಔಟ್ ಮತ್ತು ಎರಡು ಇನ್ ಇರುವ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸರಳವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರೋಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ವಿಲ್ಸನ್ ಲೂಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ): ಉದಾಹರಣೆಗೆ G ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ("ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಗಳು" ಅಥವಾ "ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನರು") ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಹತ್ತಿರದ-ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ನಡುವಿನ "ವಿನಿಮಯ ಶಕ್ತಿಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಇದು (ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಶಕ್ತಿಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ) ±1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಹಿ ಮಾಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ), ಆದರೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸ್ಪಿನ್ಗಳು ಅಥವಾ ಸೂಡೋ-ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಪಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯ "ಪ್ಲ್ಯಾಕ್ವೆಟ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು" ಪಿಡಬ್ಲ್ಯೂ, "ಲೂಪ್-ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆಃ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಇವುಗಳನ್ನು "ಹತಾಶೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕು, ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಫಲಕಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಫಲಕದ ಫಲಿತಾಂಶವು + 1 ಅಥವಾ-1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಫಲಕವು "ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರಾಶೆಗೊಂಡಿದೆ". ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಳ ಗೇಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ-ಅಥವಾ ಇತರ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. "ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿ"-ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವಿನಿಮಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹಃ ಇಲ್ಲಿ εi ಮತ್ತು εk ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಚಿಹ್ನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. + 1 ಅಥವಾ-1, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ರಚನೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಹತಾಶೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಸ್ಪಿನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು. 1936ರಲ್ಲಿ ಗಿಯುಕ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೌಟ್ ಅವರು ದಿ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಆಫ್ ವಾಟರ್ ಅಂಡ್ ದಿ ಥರ್ಡ್ ಲಾ ಆಫ್ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 15 ಕೆ ಯಿಂದ 273 ಕೆ ಗೆ ಐಸ್ನ ಶಾಖ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಪಮಾನದ ಅನಿಲ ಹಂತದವರೆಗೆ ಘನೀಕರಣ ಮತ್ತು ಆವಿಯಾಗುವಿಕೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಮೂಲಕ ನೀರಿನ ಮೇಲೆ ಕ್ಯಾಲೋರಿಮೀಟರ್ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ವರದಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉಷ್ಣ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸುಪ್ತ ಶಾಖದ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಯಿತು; ಕಡಿಮೆ ತಾಪಮಾನದ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಡೆಬೈಯ ಇತ್ತೀಚಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಯಿತು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಎಂಟ್ರೊಪಿ, S1 = 44.28 ಕ್ಯಾಲ್/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) ಅನ್ನು ಆದರ್ಶ ಅನಿಲವಾದ S2 = 45.10 ಕ್ಯಾಲ್/(K·mol) = 188.7 J/(mol·K) ನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳು S0 = 0.82 ± 0.05 ಕ್ಯಾಲೋರಿ/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಂತರ ಲಿನಸ್ ಪೌಲಿಂಗ್ ಅವರು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗೆ ವಿವರಿಸಿದರು, ಅವರು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರೋಟಾನ್ಗಳಿಗೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಸಂರಚನೆಯ ಅಸ್ವಸ್ಥತೆಯಿಂದಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಹಿಮವು ಸೀಮಿತ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು (0.81 ಕ್ಯಾಲೋರಿ/(ಕೆಮೋಲ್) ಅಥವಾ 3.4 ಜೆ/(ಮೊಲ್ ಕೆ) ಎಂದು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಷಟ್ಕೋಣ ಅಥವಾ ಘನ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಆಮ್ಲಜನಕದ ಅಯಾನುಗಳು O-O ಬಂಧದ ಉದ್ದ 2.76 Å (276 ಪಿ. ಎಂ.) ನೊಂದಿಗೆ ಚತುಷ್ಕೋಣೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ O-H ಬಂಧದ ಉದ್ದವು ಕೇವಲ 0.96 Å (96 ಪಿ. ಎಂ.) ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಆಮ್ಲಜನಕದ (ಬಿಳಿ) ಅಯಾನು ನಾಲ್ಕು ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಅಯಾನುಗಳಿಂದ (ಕಪ್ಪು) ಆವೃತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 5ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಪ್ರತಿ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಅಯಾನು 2 ಆಮ್ಲಜನಕ ಅಯಾನುಗಳಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿದೆ. ಆಂತರಿಕ H2O ಅಣುವಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಂಡು, ಪ್ರೋಟಾನ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಾನವು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಆಮ್ಲಜನಕ ಅಯಾನುಗಳ ನಡುವೆ ಅರ್ಧದಾರಿಯಲ್ಲೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. O-O ಬಂಧದ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಆಕ್ರಮಿಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ಸಮಾನ ಸ್ಥಾನಗಳಿವೆ, ದೂರದ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಸ್ಥಾನ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ನಿಯಮವು ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂರಚನೆಗೆ ಪ್ರೋಟಾನ್ನ ಸ್ಥಾನಗಳ ಹತಾಶೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಆಮ್ಲಜನಕಕ್ಕೆ ಎರಡು ನೆರೆಯ ಪ್ರೋಟಾನ್ಗಳು ದೂರದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಹತ್ತಿರದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕು, ಇದನ್ನು 'ಐಸ್ ನಿಯಮಗಳು' ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ತೆರೆದ ಚತುಷ್ಕೋಣೀಯ ರಚನೆಯು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅನೇಕ ಸಮಾನ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪೌಲಿಂಗ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಪೌಲಿಂಗ್ ಅವರು ಸಂರಚನೆಯ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರುಃ NO2− ಮತ್ತು 2N ಪ್ರೋಟಾನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಮೋಲಿನ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರತಿ O-O ಬಂಧವು ಪ್ರೋಟಾನ್ಗೆ ಎರಡು ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಇದು 22N ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂರಚನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಆಮ್ಲಜನಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ 16 ಸಂಭವನೀಯ ಸಂರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ 6 ಮಾತ್ರ ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದ್ದು, H2O ಅಣುವಿನ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನಂತರ ನೆಲದ ಸ್ಥಿತಿಯು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ω <22N () N ಎಂದು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಂರಚನೆಯ ಎಂಟ್ರೊಪಿ S0 = kBln (ω) = NkBln () = 0.81 ಕ್ಯಾಲೋರಿ/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) ಗಿಯುಕ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೌಟ್ ಅಳೆಯುವ ಕಾಣೆಯಾದ ಎಂಟ್ರೊಪಿಗೆ ಅದ್ಭುತವಾದ ಒಪ್ಪಂದದಲ್ಲಿದೆ. ಪೌಲಿಂಗ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಪ್ರೋಟಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಜಾಗತಿಕ ನಿರ್ಬಂಧ ಮತ್ತು ವುರ್ಟ್ಜೈಟ್ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಲೂಪ್ಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ಬಂಧ ಎರಡನ್ನೂ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೂ, ತರುವಾಯ ಅಂದಾಜು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಐಸ್ ಎಂಬುದು ನೀರಿನ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯಲ್ಲಿನ ಅವನತಿಗೆ ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಹೋಲುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಪಿನ್ ಐಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಂದು ಕಾಂತೀಯ ಪರಮಾಣು ಅಥವಾ ಅಯಾನು ಇರುವ ಘನ ಪೈರೋಕ್ಲೋರ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಿರುಗುವ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 6ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಲವಾದ ಸ್ಫಟಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾಂತೀಯ ಅಯಾನುಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಮೊಮೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಐಸಿಂಗ್ ಗ್ರೌಂಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಡಬಲ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮೂಲೆಯ-ಹಂಚಿಕೆಯ ಚತುಷ್ಫಲದ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುವ ಐಸಿಂಗ್ ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ಪಿನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ, <111> ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಆಕ್ಸಿಸ್ಗಳು, ಇದು ಪ್ರತಿ ಚತುಷ್ಫಲದ ಶೃಂಗವನ್ನು ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋಶವು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಎರಡು ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಎರಡು ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಪಿನ್ ಐಸ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಸರಿಸುಮಾರು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅಪರೂಪದ ಭೂಮಿಯ ಪೈರೋಕ್ಲೋರ್ಗಳಾದ ಹೋ2ಟಿ2ಓ7, ಡೈ2ಟಿ2ಓ7, ಮತ್ತು ಹೋ2ಎಸ್ಎನ್2ಓ7. ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಕಡಿಮೆ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಳಿದಿರುವ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಪಾಲಿಂಗ್ ಅವರ ಮಾದರಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹತಾಶೆ ಸ್ಪಿನ್ ಐಸ್ ಮಾದರಿಯು ಹತಾಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಹತಾಶೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಘಟಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಸಂವಹನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸಮರ್ಥತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹತಾಶೆಯು ಸೈಟ್ ಡಿಸಾರ್ಡರ್ನಿಂದಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ (ಖಳನಾಯಕನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ) ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ, ಮುಖ-ಕೇಂದ್ರಿತ ಘನ (ಎಫ್. ಸಿ. ಸಿ), ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ-ನಿಕಟ-ಪ್ಯಾಕ್ಡ್, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್, ಪೈರೋಕ್ಲೋರ್ ಮತ್ತು ಕಾಗೋಮ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಂತಹ ಜಾಲರಿ ರಚನೆಯಿಂದ ಆಂಟಿಫೆರೊಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹತಾಶೆಯನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮೊದಲನೆಯದು ಸ್ಪಿನ್ ಗ್ಲಾಸ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ವಸ್ಥತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ ನಲ್ಲಿ ಹತಾಶೆ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ; ಎರಡನೆಯದು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜಾಲರಿಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ ಹತಾಶೆಯೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆಯಾಗಿದೆ. ತಿರುಗುವ ಗಾಜಿನ ಹತಾಶೆಯನ್ನು ಆರ್ಕೆಕೆವೈ ಮಾದರಿಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು, ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಅಥವಾ ಆಂಟಿ-ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್, ಎರಡು ಕಾಂತೀಯ ಅಯಾನುಗಳ ಅಂತರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಗಾಜಿನಲ್ಲಿನ ಜಾಲರಿಯ ಅಸ್ವಸ್ಥತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಆಸಕ್ತಿಯ ಒಂದು ಸ್ಪಿನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಹತ್ತಿರದ ನೆರೆಹೊರೆಯವರು ವಿಭಿನ್ನ ದೂರದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಪಿನ್ ನ ವಿಭಿನ್ನ ಆದ್ಯತೆಯ ಜೋಡಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಶಿಲಾಮುದ್ರಣ ತಂತ್ರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಉಪ-ಮೈಕ್ರೋಮೀಟರ್ ಗಾತ್ರದ ಕಾಂತೀಯ ದ್ವೀಪಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ತಿರುಗುವ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಹತಾಶೆಯನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಆರ್. ಎಫ್. ವಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಶಿಲಾಮುದ್ರಣದಿಂದ ತಯಾರಿಸಿದ ಏಕ-ಡೊಮೇನ್ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ದ್ವೀಪಗಳ ಸರಣಿಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಕೃತಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹತಾಶಗೊಂಡ ಆಯಸ್ಕಾಂತದ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ವರದಿ ಮಾಡಿದೆ. ಈ ದ್ವೀಪಗಳನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ 'ಸ್ಪಿನ್' ದ್ವೀಪಗಳ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಫೋರ್ಸ್ ಮೈಕ್ರೋಸ್ಕೋಪಿ (ಎಂಎಫ್ಎಂ) ಯೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ನಂತರ ಹತಾಶೆಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ನಿರಾಶೆಗೊಂಡ ಆಯಸ್ಕಾಂತಗಳ ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲಿನ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯಂತಹ ಅಲ್ಪ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯಂತೆಯೇ ದೀರ್ಘ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹತಾಶೆಯ ನೈಜ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೃತಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರಾಶೆಗೊಂಡ ಆಯಸ್ಕಾಂತಗಳಿಂದ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಂಶೋಧನಾ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಬಹುದು. ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೋ-ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಕೆರ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ತಮ್ಮ ಜಾಗತಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಕೃತಕವಾಗಿ ಹತಾಶಗೊಂಡ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟ್ಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕಾಂತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲರಿಯ ಒತ್ತಾಯದ ಏಕತಾನತೆಯಲ್ಲದ ಕೋನೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯು ಕೃತಕ ತಿರುಗುವ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆಯು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಸರಣದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಘನೀಕೃತ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಎದುರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ ಘನದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು. ರಾಸಾಯನಿಕ ಸ್ವರೂಪದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಳೀಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದು ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರಚನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ರಾಸಾಯನಿಕ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಾಗಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂವಹನಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ರಮವು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಹರಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಸರಳವಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿಯಮಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ, ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆಯು ಸಮೂಹಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಫಾಟಿಕ ಘನವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಸಂಕೀರ್ಣ ದ್ರವಗಳವರೆಗಿನ ಘನೀಕೃತ ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಜಾಗದ ವಕ್ರತೆಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಜಾಗವನ್ನು ತುಂಬುವ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಾಗಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶವಾದ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಲ್ಲದ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಈ ಆದರ್ಶ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿರೂಪಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮ ರಚನೆಯು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮಿಶ್ರಣವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ರಮವು ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ದೋಷಗಳು. ಸಂಭವನೀಯ ದೋಷಗಳ ಪೈಕಿ, ಭಿನ್ನತೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಳವಾದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಡುವಿನ ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಿವೆ. ಮೊದಲು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು (ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಲೋಹದ ಮಾದರಿ) ಪರಿಗಣಿಸಿ; ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದಟ್ಟವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲು ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂರು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತ್ರಿಕೋನ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿರುವ ಡಿಸ್ಕ್ ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ದೀರ್ಘ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ರಚನೆಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಇಳಿಜಾರುಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಯ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ನಿಯಮಗಳ ನಡುವಿನ ಒಟ್ಟು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ಟೈಲಿಂಗ್ನಿಂದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು "ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಲ್ಲದ" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈಗ, ಪರಮಾಣುಗಳು ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಕುಳಿತಾಗ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಅಂಚುಗಳನ್ನು (ಪರಮಾಣು ಬಂಧಗಳು) ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು (ಪರಮಾಣುಗಳು) ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ದೀರ್ಘ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಹರಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗದ ಕೋನವು 2 ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲವನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮೂರು ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳ ನಡುವೆ ಅಂತರವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು "ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹತಾಶೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಹೊರಬರಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಟೈಲ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂವಹನ ನಿಯಮದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅನ್ವಯದೊಂದಿಗೆ ಟೈಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಈ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೇಲ್ಮೈಯು ಗೋಳದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮ ರಚನೆಯು, ಇಲ್ಲಿ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್, ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕ್ರಮದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ರಚನೆಗೆ ಇದನ್ನು "ಆದರ್ಶ" (ದೋಷರಹಿತ) ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದಟ್ಟವಾದ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳು ಲೋಹಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯು ಘನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಆವೇಶದ ಅಯಾನುಗಳು ಮತ್ತು ವೇಲೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ವಹನ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೋಹದ ಬಂಧದ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳೀಕೃತ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ರೀತಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ದಟ್ಟವಾದ ಪ್ಯಾಕ್ಡ್ ಗೋಳಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸ್ಫಟಿಕದಂತಹ ಸರಳ ಲೋಹದ ರಚನೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಲೋಸ್ ಪ್ಯಾಕ್ಡ್ ಫೇಸ್-ಸೆಂಟರ್ಡ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ (ಎಫ್ಸಿಸಿ) ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಗೋನಲ್ ಕ್ಲೋಸ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ (ಎಚ್ಸಿಪಿ) ಜಾಲರಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಸ್ಫಾಟಿಕ ಲೋಹಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಕ್ರಿಸ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಗೋಳಗಳ ನಿಕಟ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಮಾಣು ಕ್ರಮವನ್ನು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದ ನಿಕಟ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಪೂರ್ಣ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಗೋಳಗಳ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗೆ ನಿಯಮಿತ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅತ್ಯಂತ ದಟ್ಟವಾದ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಗೋಳಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ದಟ್ಟವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ರೂಪಿಸಲು ಟೇಬಲ್ ಟೆನ್ನಿಸ್ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಚೆಂಡುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ ಹೊಸ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಐದು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮುಂದಿನ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮುಖವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳು; ಈಗಾಗಲೇ ಈ ದ್ರಾವಣದೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ರಂಧ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಫ್. ಸಿ. ಸಿ ರಚನೆಯು ಅಂತಹ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮುಖಗಳಲ್ಲ). ಆರು ಚೆಂಡುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮೂರು ನಿಯಮಿತ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಫಟಿಕದ ರಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ಎಫ್ಸಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಚ್ಸಿಪಿ) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಏಳನೇ ಗೋಳವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಎರಡು "ಅಕ್ಷೀಯ" ಚೆಂಡುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಐದು ಚೆಂಡುಗಳು ನಂತರದ ಎರಡು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ, ಹೊರಗಿನ ಆಕಾರವು ಬಹುತೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ದ್ವಿ-ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಈಗ ನಿಜವಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಟೈಲಿಂಗ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವು 2 ರೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೆರೆಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದ ಎರಡು ಮುಖಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ರಂಧ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದಿಂದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆರ್3 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಟೈಲಿಂಗ್ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹತಾಶೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದಿಂದ ತುಂಬುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ತೀವ್ರವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಂಡಿದೆ, ನಾವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾವನ್ನು (ಇಲ್ಲಿ ಐದು) ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಚನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ವಿಧಿಸಿದರೆ. ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆಃ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂರಚನೆಗಳು ಇಡೀ ಜಾಗದಾದ್ಯಂತ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಮತ್ತು ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ಹರಡಲು ಸಲುವಾಗಿ, ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಲ್ಲದ ರಚನೆಯ ಹುಡುಕಾಟ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದ ನಿಯಮಿತ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಃ ಹನ್ನೆರಡು ಹೊರಗಿನ ಶೃಂಗಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಇಪ್ಪತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರ ಪ್ಯಾಕ್. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ l ಸುತ್ತಳತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯ r (l ≈ 1.05r) ಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಜಾಗವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗೋಳಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಇದು 600-ಕೋಶ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸ್ಕ್ಲಾಫ್ಲಿ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪಾಲಿಟೋಪ್ {3,3,5} ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ನೂರ ಇಪ್ಪತ್ತು ಶೃಂಗಗಳಿವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಹೈಪರ್ಸ್ಪಿಯರ್ ಎಸ್ 3 ಗೆ ಸೇರಿವೆ, ಅಂಚುಗಳು ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದರೆ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ (φ =) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರು ನೂರು ಜೀವಕೋಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಚಿನ ಸುತ್ತ ಐದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದ ಸುತ್ತ ಇಪ್ಪತ್ತು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ನೋಡಿ) ಇದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೆಸರಾಗಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಇದನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ (ಬಾಗಿದ) ಬಹುದ್ವಾರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಅಂಶವು ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ. ವಕ್ರ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಆದರ್ಶ ಮಾದರಿಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಕ್ರ ಟೆಂಪ್ಲೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾದರಿಗಳಂತೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದಿಂದ ಟೈಲಿಂಗ್ ಆಗಿರುವ {3,3,5} ಪಾಲಿಟೋಪ್, ಪರಮಾಣುಗಳು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಬಹಳ ದಟ್ಟವಾದ ಪರಮಾಣು ರಚನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಅಸ್ಫಾಟಿಕ ಲೋಹಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸತತ ಆದರ್ಶೀಕರಣಗಳ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬಾರದು. ಸಾಹಿತ್ಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಆರ್ಡರ್