Field equation
ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣವು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಭೌತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮಯದ ವಿಕಸನ ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣವು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿವಿಧ ಭೌತಿಕ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪರಿಹಾರಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಜೋಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. "ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣ", "ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣ" ಮತ್ತು "ನಿರಂತರತೆ ಸಮೀಕರಣ" ಎಲ್ಲವೂ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು), "ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದೇ, ವಿಶೇಷ ಸಮೀಕರಣವಿಲ್ಲ. ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಸ್ತುವಿನ ಉಷ್ಣಾಂಶ, ದ್ರವದ ವೇಗ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಒತ್ತಡಗಳು, ಪ್ರವಾಹದಿಂದ ಬರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮುಂತಾದ ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಂತಹ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಫೋಟಾನ್ಗಳಂತಹ "ಕಣಗಳ" ಕಣಗಳು ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಇದು ಅನಂತ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು (ಕಣ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ) ಮತ್ತು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ನಾಶಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರ ಕಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣದಂತೆ) ಅಥವಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ (ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆ) ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸುವ ಮತ್ತು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಅವರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಅವುಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಯಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ತತ್ವದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸೂಕ್ತವಾದ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸ್ಥಾಯಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ತತ್ವವು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ, ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹಿನ್ನೆಲೆ ಭೌತಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಯ ಗೆಲಿಲಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಸಾಕು, ವೇಗಗಳಿಗೆ (ಹರಡುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ) ಬೆಳಕುಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ. ಕಣಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಬೆಳಕಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹರಡಿದಾಗ, ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳು ನಂತರ ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಗೇಜ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವರ್ಗೀಕರಣ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್, ಸಾಪೇಕ್ಷವಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದಿ, ಕ್ಷೇತ್ರದ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರವು ಹೊಂದಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಮನ್ವಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಸ್ಪಿನರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಟ್ವಿಸ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ). ಅವರು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು, ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ಅತ್ಯುನ್ನತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಸಹ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಥವಾ ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ತರಂಗಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ತರಂಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಯಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ತರಂಗಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪೂರಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಪಿ. ಡಿ. ಇ.) ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ ಸಹ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ "ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಅವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. "ನಿರಂತರತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ಮತ್ತು "ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ಸಾರಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅವು ಸಾರಿಗೆ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು "ಸಾಂವಿಧಾನಿಕ ಸಮೀಕರಣ" ವು ಪಿಡಿಇ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ದ್ರವ್ಯದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದಾಗ ಸಾಂವಿಧಾನಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (ಎಲಾಸ್ಟೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಸೇರಿದಂತೆ), ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂಲಭೂತ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಪೇಕ್ಷವಲ್ಲದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಗಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಗೆ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪ್ರಮುಖ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದರೆಃ ದ್ರವದ ಹರಿವಿನ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ನಿಜ ಜೀವನದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಚಲನೆಯ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಾಂವಿಧಾನಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕಣಗಳನ್ನು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಸೃಷ್ಟಿ ಮತ್ತು ವಿನಾಶದ ನಿರ್ವಾಹಕರಾಗಿದ್ದು, ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್-ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್-0 ಕಣಗಳಿಗೆ ಕ್ಲೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣ, ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಕಣಗಳಿಗೆ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಿನ್ ಕಣಗಳಿಗೆ ಬರ್ಗ್ಮನ್-ವಿಗ್ನರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಫೀಲ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೆಂತ್ ವೇವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೂಲಭೂತ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ಫೀಲ್ಡ್ ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಡಿಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ವ್ಯಾಕ್ಯೂಮ್ ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ