Topological property
ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಅಥವಾ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂಬುದು ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಸ್ತಿಯು ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, X ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ಆ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ X ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಳವೂ ಆ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಸ್ತಿಯು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಜಾಗದ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅವು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು. ಪ್ರತಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಸೆಟ್ಗೆ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಸಬ್ಸೆಟ್ಗೆ ದುರ್ಬಲ ಆನುವಂಶಿಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯುಃ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಟೋಪೋಲಜಿಯ (ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸೆಟ್) ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ. ತೂಕವು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಆಧಾರದ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆ, ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಉಪವಿಭಾಗದ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ. ಈ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಹಳೆಯ ಗಣಿತ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ನೋಡಿ. T0 ಅಥವಾ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ x ಮತ್ತು y ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆದರೆ y ಅಲ್ಲದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಇದ್ದರೆ, ಅಥವಾ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಆದರೆ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಇದ್ದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ x ಮತ್ತು y ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ, x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಇದ್ದರೆ ಆದರೆ y ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (T0 ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ; ಇಲ್ಲಿ, ತೆರೆದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಒಂದು ಜಾಗವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಅದು T1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. T1 ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ T0 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸೌಮ್ಯ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸೆಟ್ C ಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು p ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಜಾಗವು ಶಾಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, C ಯು ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ (ಪ್ರಾಯಶಃ ನಾನ್ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್) ಒಕ್ಕೂಟವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, {p} ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು C ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವಂತಹ p ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ p ಏಕೈಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಟಿ2 ಅಥವಾ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್. ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಬೇರೆಯಾದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಜಾಗವನ್ನು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. T2 ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ T1 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. T2 1⁄2 ಅಥವಾ ಯುರಿಸೋನ್. ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಜಾಗವನ್ನು ಯುರಿಸೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. T2 1⁄2 ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ T2 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಟಿ2 ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್. ಪ್ರತಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದರೆ ಒಂದು ಜಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ T2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗವು ಯುರಿಸೋನ್ ಆಗಿದೆ. ನಿಯಮಿತವಾಗಿ. ಸಿ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪಿ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಸಿ ಮತ್ತು ಪಿ ಬೇರ್ಪಡುವ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟಿ3 ಅಥವಾ ನಿಯಮಿತ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್. ಒಂದು ಜಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಟಿ0 ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. (ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳವು ಟಿ0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಯಮಿತ. C ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು p ಎಂಬುದು Cಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, C ಮತ್ತು {p} ಅನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟಿ1⁄2, ಟೈಚೋನೋಫ್, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಟಿ3. ಟೈಚೋನೋಫ್ ಸ್ಥಳವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಟಿ0 ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾದ ಜಾಗವು ಟಿ0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಟೈಚೋನೋಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳು ಏಕತೆಯ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಟಿ4 ಅಥವಾ ಸಾಧಾರಣ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳವು ಟಿ1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಟೈಚೋನೋಫ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಸೆಟ್ಗಳು ಬೇರೆಯಾದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟಿ5 ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್. ಟಿ1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದರೆ ಜಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಟಿ6 ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಟಿ4. ಒಂದು ಜಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಟಿ1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾಗ. ಒಂದು ಜಾಗವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದರೆ ಅದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪು ತೆರೆದಿದ್ದರೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಒಂದು ಭೌಗೋಳಿಕ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಣಿಕೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ-ಎಣಿಸಬಹುದಾದ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ನೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಜಾಗವನ್ನು ಮೊದಲು ಎಣಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೇ-ಎಣಿಸಬಹುದಾದ. ಒಂದು ಸ್ಥಳವು ಅದರ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಎಣಿಕೆಯ ಸ್ಥಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ-ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ, ಮೊದಲ-ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಜಾಗವು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಕ್ಲೋಪೆನ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಮಾತ್ರ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮಾರ್ಗ. X ನಲ್ಲಿ x, y ಎಂಬ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, x ನಿಂದ y ಗೆ ಒಂದು ಮಾರ್ಗ p ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆ p: [0,1] → X ಜೊತೆಗೆ p (0) = x ಮತ್ತು p (1) = y. ಪಥ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಮಾರ್ಗ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳವು ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಕ್-ಸಂಪರ್ಕಿತ. X ನಲ್ಲಿ x, y ಎಂಬ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, x ನಿಂದ y ಗೆ ಒಂದು ಆರ್ಕ್ f ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆ ಇದ್ದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ X ಅನ್ನು ಆರ್ಕ್-ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಮಾನು-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳಗಳು ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿವೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸ್ಪೇಸ್ X ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ನಕ್ಷೆಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. X ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ಯು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಯ U ನ ಸ್ಥಳೀಯ ತಳವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ X ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ನೆರೆಹೊರೆಯ U ನ ಸ್ಥಳೀಯ ನೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ X ಅನ್ನು ಅರೆ-ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ U ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಲೂಪ್ X ನಲ್ಲಿ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಸರಳ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದುರ್ಬಲ ಸ್ಥಿತಿಯಾದ ಅರೆ-ಸ್ಥಳೀಯ ಸರಳ ಸಂಪರ್ಕವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಒಪ್ಪಂದಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು. X ನಲ್ಲಿನ ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ನಕ್ಷೆಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ X ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಒಪ್ಪಂದದ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಹೈಪರ್ ಕನೆಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಎರಡು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳು ಬೇರ್ಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಹೈಪರ್ ಕನೆಕ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಹೈಪರ್ ಕನೆಕ್ಟೆಡ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾ ಕನೆಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಎರಡು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳು ಬೇರ್ಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಅಲ್ಟ್ರಾಕನೆಕ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಜಾಗವು ಮಾರ್ಗ-ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದೆ. ಅಸಂಬದ್ಧ ಅಥವಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ. ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳು ಮಾತ್ರ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸ್ವತಃ ಆಗಿದ್ದರೆ ಜಾಗವು ವಿವೇಚನಾರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಜಾಗವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್. ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಹೊದಿಕೆಯು ಸೀಮಿತ ಉಪ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಈ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಹೊದಿಕೆಯು ಸೀಮಿತ ಉಪ ಕವಚವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಕಾಂಪಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್. ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಜಾಗವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತೆರೆದ ಹೊದಿಕೆಯು ಸೀಮಿತ ಉಪ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಡೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ಸೂಡೋಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. σ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ಅನೇಕ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು σ-ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಿಂಡೆಲೋಫ್. ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಹೊದಿಕೆಯು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಜಾಗವನ್ನು ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಕಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್. ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಹೊದಿಕೆಯು ತೆರೆದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಕಾಂಪಾಕ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಸಾಂದ್ರ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸ್ಥಳೀಯ ನೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಟೈಚೋನೋಫ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್. ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಕವರ್ X ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಏಕಶಿಲೆಯೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸರಿಯಾದ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಮೆಟ್ರಿಜಬಿಲಿಟಿ ಮೆಟ್ರಿಜಬಲ್. ಒಂದು ಜಾಗವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು. ಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಟೈಚೋನೋಫ್), ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಎಣಿಕೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಪೋಲಿಷ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲುವಂತಹ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇದ್ದರೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜಾಗವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದರೆ ಅದನ್ನು ಪೋಲಿಷ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದು. ವಿವಿಧ ಬೈರ್ ಸ್ಪೇಸ್. ಒಂದು ಸ್ಪೇಸ್ X ಸ್ವತಃ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಬೈರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದಕವು ದಟ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ X ಒಂದು ಬೈರ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಬಾಗಿಲಿನ ಸ್ಥಳ. ಪ್ರತಿ ಉಪವಿಭಾಗವು ತೆರೆದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿದರೆ (ಅಥವಾ ಎರಡೂ) ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ಬಾಗಿಲಿನ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಏಕರೂಪತೆ. Xನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಮತ್ತು yಗೆ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದರರ್ಥ ಜಾಗವು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬಂತಹ ಏಕರೂಪತೆ ಇದ್ದರೆ X ಜಾಗವು (ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ) ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪುಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿವೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಅಥವಾ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್. X ನಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಛೇದಕಗಳು ತೆರೆದಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಒಕ್ಕೂಟಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸ್ಪೇಸ್ X ಅನ್ನು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ನಿಖರವಾಗಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಶೂನ್ಯ-ಆಯಾಮದ. ಒಂದು ಜಾಗವು ಕ್ಲೋಪೆನ್ ಸೆಟ್ಗಳ ತಳವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಇವು ನಿಖರವಾಗಿ 0 ರ ಸಣ್ಣ ಪ್ರೇರಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ. ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಜಾಗವು ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಲೋಪೆನ್). ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸ್ಥಳಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಶೂನ್ಯ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಬೂಲಿಯನ್. ಒಂದು ಜಾಗವು ಶೂನ್ಯ-ಆಯಾಮದ, ಸಾಂದ್ರವಾದ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ, ಸಾಂದ್ರವಾದ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್) ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ನಿಖರವಾಗಿ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಮಾನರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ರೀಡೆಮಿಸ್ಟರ್ ತಿರುಚು-ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ. ಒಂದು ಜಾಗವು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುವ κ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿಃ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಆದರ್ಶದ ಮೇಲೆ ಬಹುತೇಕ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆ) κ-ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿಃ ಬಹುತೇಕ κ-ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಗವು-ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು-ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ. ಜಾಗವು-ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದಂತಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ನ ಪ್ರಸರಣ ಅಕ್ಷರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರೆಯಾದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದು ಜಾಗದ ಬಲವಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಕೆಲವು ಬಲವಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪಿನ ಶೇಖರಣೆಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಬಲವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಭೌಗೋಳಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು, ಎರಡು ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು, ಆದರೆ ಅದು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮೂಲಕ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಆದರೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಹೋಮೊಟೊಪಿ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೊಟೊಪಿ ಗುಂಪು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು [2] ಸೈಮನ್ ಮೌಲಿಯಾರಸ್, ಮಾಸಿಯೆಜ್ ಲೆವೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಸಿಯಾನಾ ಪುವೆಂಟೆಸ್, ಎನ್ಟ್ಯಾಂಗಲ್ಮೆಂಟ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವಾಕ್ಗಳಿಂದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಪ್ರೊಟೆಕ್ಷನ್, ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಬಿಃ ಅಟಾಮಿಕ್, ಮಾಲಿಕ್ಯುಲರ್ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ರುಃ τοπολογιχεσκιί ινVARIANT