Pregeometry (model theory)
ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ, ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ "ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್" ಗೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಕಡಿಮೆ "ಅನಿರ್ವಚನೀಯವಾಗಿ ಕಾಕೊಫೋನಸ್" ಪರ್ಯಾಯ ಪದವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಉದ್ದೇಶದಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಜಿಯಾನ್-ಕಾರ್ಲೋ ರೋಟಾ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅಲ್ಲದೆ, ಸಂಯೋಜನೆಯ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು "ಸರಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್" ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಈಗ ಮ್ಯಾಟ್ರೋಯಿಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು-ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ, ಆಧಾರ, ಆಯಾಮ-ಪೂರ್ವಮಾಪಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ "ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಗಳು" (ಮತ್ತು ಅವು ಸರಳ ಮ್ಯಾಟ್ರೋಯಿಡ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ "ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು") ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನಂತ ಅಂತಿಮ ಮ್ಯಾಟ್ರೋಯಿಡ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವ-ರೇಖಾಗಣಿತಗಳು, ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮಾದರಿಗಳ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಿರತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಆಫ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಈ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಃ ಇಫ್, ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಿನ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಸೆಟ್, ಬೇಸಿಸ್ ಮತ್ತು ಆಯಾಮವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ-ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯು ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಅಮೂರ್ತತೆಯಾಗಿದೆಃ ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಪರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಉಪವಿಭಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೂ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ "ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಆಯಾಮದ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಲ್ಪನೆಯು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಾದಿಸಬಹುದುಃ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ (ಫೈನಟರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಜೋಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು (ಕ್ಲೋಸರ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತುಃ ಮೊನೊಟೋನ್ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ) ಸೀಮಿತ ಅಕ್ಷರಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಅಕ್ಷರಗಳಿವೆ. ವಿನಿಮಯ ತತ್ವಃ ಇಫ್, ನಂತರ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸ್ನಿಂದ). ಕೆಲವರಿಗೆ ಫಾರ್ಮ್ನ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಛೇದಕಗಳು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಂತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಒಂದು ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ನೆಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಆಯಾಮಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳು, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅದು ಖಾಲಿ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಓವರ್ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಆಧಾರವು ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಉಪವಿಭಾಗದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಜೊರ್ನ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಒಂದು ಆಧಾರವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯು ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಓವರ್ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಬೇಸಿಸ್ನ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೆ, ಇದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಖಾಲಿ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಡೈಮೆಷನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಏಕರೂಪವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಂಗೀಕೃತ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಏಕರೂಪದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧಿತ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಸ್ಥಳೀಕರಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಇದೆ. ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ವಿಧಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ (ಅಥವಾ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಸೆಟ್ಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಓವರ್ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ) ಮಾಡ್ಯುಲರ್. ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುವ ಸಿಂಗಲಟನ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ) ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ) ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆ, ಮಾಡ್ಯುಲಾರಿಟಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾಡ್ಯುಲಾರಿಟಿ ಸಂಬಂಧಿತ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಹೋಮೋಜೀನಿಯಸ್ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇನ್ ನ ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಉದಾಹರಣೆ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯು ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ, ಏಕರೂಪದ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ (ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳು ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಆಯಾಮದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯು ಏಕರೂಪ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲಾರಿಟಿಯ ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ವಾಹಕದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲ. ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಸಂಬಂಧಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ಅಫೈನ್ ಹಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಅದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಅಫೈನ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್). ಇದು ಏಕರೂಪದ-ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಾಡ್ಯುಲಾರಿಟಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಸೂತ್ರವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳೀಕರಣಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಮಟ್ಟವು ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೆಟ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಆಯಾಮವು ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಮಟ್ಟದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಚ್ಚಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು "ಬಹುತೇಕ" ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್), ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಇತರ ತುದಿಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಕರಣಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ). ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಲವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ಗಳು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಷೆ ಎಲ್ ಮತ್ತು ಎಲ್-ರಚನೆ ಎಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಂನ ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪು ಡಿ ಬಲವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದು ಸೆಟ್ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕ್ಲೋಸರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಿಂದ ಮಾದರಿ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ಅದರ ಆಯಾಮದಿಂದ ಪ್ರಿಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಮಾರ್ಲಿಯ ವರ್ಗೀಕರಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಮೇಲೆ ಕನಿಷ್ಠ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಸಂಬಂಧವು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಮುರಿಯುವ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಚ್. ಎಚ್. ಕ್ರಾಪೊ ಮತ್ತು ಜಿ. ಸಿ. ರೋಟಾ (1970), ಆನ್ ದಿ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಥಿಯರಿಃ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು. ಎಂ. ಐ. ಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್, ಮಾಸ್. ಪಿಳ್ಳೈ, ಆನಂದ್ (1996), ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಿರತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಲಾಜಿಕ್ ಗೈಡ್ಸ್. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ