CCR and CAR algebras
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಿಸಿಆರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು (ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ನಂತರ) ಮತ್ತು ಸಿಎಆರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು (ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂವಹನ ವಿರೋಧಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ನಂತರ) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬೋಸನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸಿಸಿಆರ್ ಮತ್ತು ಸಿಎಆರ್ ಅನ್ನು *-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇದು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ರಿಯಲ್ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬೈಲೀನಿಯರ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಿಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್). ಯಾವುದೇ ಅಂಶದ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ *-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಕಮ್ಯುಟೇಷನ್ ರಿಲೇಶನ್ಸ್ (ಸಿಸಿಆರ್) ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿರೂಪಣೆಗಳ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ರಿಯಲ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬೈಲೀನಿಯರ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಯುನಿಟಲ್ *-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾವನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟೇಷನ್ ರಿಲೇಶನ್ಸ್ (ಸಿಎಆರ್) ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಸಿಆರ್ನ ಸಿ *-ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಿಸಿಆರ್ ಸಿ *-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಿಸಿಆರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ, ಆದರೆ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ನಿಜವಾದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಆಪರೇಟರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಿಸಿಆರ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಏಕೀಕೃತ ಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾವಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಕಮ್ಯುಟೇಷನ್ ಸಂಬಂಧಗಳ ವೇಯ್ಲ್ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಸಿಸಿಆರ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ-ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಿಸಿಆರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಫಾಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪಿನ ಜನರೇಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವರು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪೂರೈಸುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಿಯೋಜನೆಯು ನೈಜ-ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ವಾಹಕರು ವಿಭಾಗ 1 ರ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಿಸಿಆರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಿಎಆರ್ನ ಸಿ *-ಬೀಜಗಣಿತವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಆಪರೇಟರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಿಎಆರ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಯುನಿಟಲ್ *-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದ ಅನನ್ಯ ಸಿ *-ಪೂರ್ಣತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದಾಗ ಸಿಎಆರ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಎಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಆಯಾಮದಂತೆ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿಃ ಸಿಎಆರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಸಿ *-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಸೃಷ್ಟಿ ಮತ್ತು ವಿನಾಶ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕ್ಷೇತ್ರ ನಿರ್ವಾಹಕರು ವಿಭಾಗ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುವುದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸೂಪರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬೈಲೀನಿಯರ್ ಸೂಪರ್ಫಾರ್ಮ್ (ಅಂದರೆ) ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ-ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಅಂಶವು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶುದ್ಧ ಅಂಶಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ *-ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಿ. ಸಿ. ಆರ್. ಗಳನ್ನು ಸಿ. ಎ. ಆರ್. ಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕೀಕರಿಸುವ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂಪರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಶುದ್ಧ ಅಂಶಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಸಿ. ಸಿ. ಆರ್. ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಶುದ್ಧ ಅಂಶಗಳು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಸಿ. ಎ. ಆರ್. ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸಿಸಿಆರ್ ಮತ್ತು ಸಿಎಆರ್ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಅಮೂರ್ತ ರಚನೆಯನ್ನು ವೇಯ್ಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದೊರೆತಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ವೇಯ್ಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಲ್ಲದ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂವಹನ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ವಿರೋಧಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಆಧಾರ-ಮುಕ್ತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ವೇಯ್ಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಬೈನರಿ ಅಂಶಗಳು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಆಧಾರ-ಮುಕ್ತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಫೆರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಗ್ಲೋಸರಿ ಆಫ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗ್ರೂಪ್ ಬೊಗೋಲಿಯುಬೋವ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫರ್ಮೇಷನ್ (−1) ಎಫ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು