Radon's theorem
ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, 1921ರಲ್ಲಿ ಜೋಹಾನ್ ರೇಡಾನ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ Rdಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ d + 2 ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳ ಛೇದನದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು set.For ಉದಾಹರಣೆಯ ರೇಡಾನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ d = 2 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಟ್ರಿಪಲ್ ಮತ್ತು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಟ್ರಿಪಲ್ನ (ತ್ರಿಕೋನ) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಇದು ಎರಡು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಅದು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಡಿ + 2 ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ a1,., ad + 2 ಎಂಬ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ d + 2 ಅಜ್ಞಾತಗಳು (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳು) ಇವೆ ಆದರೆ ಅವು ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ d + 1 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮಾತ್ರ (ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಂದು, ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ). ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ದ್ರಾವಣ a1,., ad + 2 ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಅಗತ್ಯವಾದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಛೇದಿಸುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ರಚಿಸಿ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆರಡೂ ಸೂತ್ರದ ಎಡಭಾಗವು ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಂದುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಭಾಗವು ಅದನ್ನು ಬಿಂದುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳಿಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಗುಣಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅಥವಾ ಇತರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನವು ರೇಡಾನ್ ಬಿಂದುವಿನ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ರಚನೆಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರೇಡಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ f ಒಂದು (d + 1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ αd + 1 ರಿಂದ Rd ಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, αd + 1 ರ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಮುಖಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು α intersect.They ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, f ಎಂಬುದು Δd + 1 ರಿಂದ Rd ವರೆಗಿನ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. δd + 1 ನ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು f ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಲಿ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಮೂಲಕ, ಇದನ್ನು ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. (xi) i ಅನ್ನು I ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು (xj) j ಅನ್ನು J ನಲ್ಲಿ, ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನೊಂದಿಗೆ. f ಅಫೈನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, I ನಲ್ಲಿನ (xi) i ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ I ನಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ (vi) i ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಮುಖದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ J ನಲ್ಲಿನ (xj) j ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಜೆ ನಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ (vj) j ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಮುಖದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಮುಖಗಳು ಬೇರೆಯಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಹೊಸ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಹೇಳುವಂತೆ ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು f ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರೇಡಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು f ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ-ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಅಫೈನ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲಃ f ಒಂದು (d + 1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ αd + 1 ರಿಂದ Rd ಗೆ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, αd + 1 ನ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಮುಖಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ f intersect.More ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ, K ಯಾವುದೇ (d + 1)-ಆಯಾಮದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು f ಎಂಬುದು K ಯಿಂದ d-ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ g ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ g ತನ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಕೆಲವು ಬಿಂದು ಮತ್ತು g ತನ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಇತರ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ f ನಿಂದ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ ಒಂದು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎರಡು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮುಖಗಳು ನಂತರ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಮುಖಗಳಾಗಿರಬೇಕು, ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯು, ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಬದಲಿಗೆ ಹೈಪರ್ಸ್ಪಿಯರ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಬೊರ್ಸುಕ್-ಉಲಾಮ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಗೋಳದ ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಪುರಾವೆಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರೇಡಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಬಾಜ್ಮೋಕ್ಸಿ ಮತ್ತು ಬರಾನಿ ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು x ಗೆ, g (x) ಮತ್ತು g (-x) ಗಳು Δd + 1 ರ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಮುಖಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, Sd (d-ಆಯಾಮದ ಗೋಳ) ದಿಂದ Δd + 1 ರವರೆಗೆ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಬೋರ್ಸಕ್-ಉಲಾಮ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಇದು Sd ಯಿಂದ Rd ವರೆಗಿನ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, Sdಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಬಿಂದು y ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ f (g (y)) = f (g (-y)) ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. g (y) ಮತ್ತು g (-y) ಬಿಂದುಗಳು δd + 1ರ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಮುಖಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು Rdಯ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ fನಿಂದ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಮುಖಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲೊವಾಸ್ಜ್ ಮತ್ತು ಶ್ರೈಜ್ವರ್ ಅವರು ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಮೂರನೇ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟೌಸೆಕ್ ನೀಡಿದ್ದಾರೆಃ ಕೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಡಿ + 1 ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಕೆ ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಳಿಸಲಾದ ಜಾಯಿನ್ ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು Sd + 1 ಗೋಳಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, Z2-ಸೂಚ್ಯಂಕವು d + 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರೇಡಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ K ಗೆ, ಅದರ Z2-ಸೂಚ್ಯಂಕವು d ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ | |K | | ನಿಂದ Rd ವರೆಗಿನ ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗೆ, K ಯ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಮುಖಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ರೇಡಾನ್ ಬಿಂದುವು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಹಂತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ಪುರಾವೆಯು ರೇಡಾನ್ನ ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಪ್ರೇರಣೆಯಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ವಿಭಜನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಬಿಂದುಗಳ ವಿಸಿ ಆಯಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಡಿ + 1 ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಯಮಿತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಬಿಂದುಗಳು) ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡಿ + 2 ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದರೂ, ರೇಡಾನ್ ವಿಭಾಗದ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸಿ ಆಯಾಮವು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಿ + 1 ಆಗಿದೆ. ಡಿ + 2 ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ರೇಡಾನ್ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪದೇ ಪದೇ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಗುಂಪಿನ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಮ. ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ರೇಡಾನ್ ಬಿಂದುವು ಕೇವಲ ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ; ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ದೃಢವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ರೇಡಾನ್ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯ. r ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಅವರು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಈಗ ಇದನ್ನು ಟ್ವರ್ಬರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಡಿ-ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ, ಆರ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಇದೆ, ಅದರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಗರಿಷ್ಠ ಡಿ + 1 ಬಿಂದುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನೊಳಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುವು ರೇಡಾನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯು ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಂತೆಯೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಗರಿಷ್ಠ d + 1 ಉಳಿದಿರುವವರೆಗೆ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು. ರೇಡಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕುಟುಂಬದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನವು ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳು, ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸೆಟ್ S ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಂಬುದು S ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕುಟುಂಬದ ಸದಸ್ಯರ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಜಾಗದ ರೇಡಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ r ಆಗಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ r ಬಿಂದುಗಳು ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಹೆಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ h ಮತ್ತು ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ಸಂಖ್ಯೆ c ಅನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು h <r ≤ ch + 1 ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗಾಗಿ ರೇಡಾನ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರ್ದೇಶನವಿಲ್ಲದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಪ್ರತಿ ಪ್ರೇರಿತ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ, ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ω + 1 ಶೃಂಗಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ω + 1 ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ω ಎಂಬುದು ನೀಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಕ್ಲಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪ್ರೇರಿತ ಮಾರ್ಗಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಚಿಕ್ಕ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ ಮತ್ತು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ. .. .. .. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ. .. .. .. .. .. .. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ