Quartic interaction
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ-ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕು-ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಷಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇತರ ರೀತಿಯ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮುಕ್ತ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕ್ಲೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 4-ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಜೋಡಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಆಯಾಮರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಹಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಈ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಜಾಗತಿಕ Z2 ಸಮ್ಮಿತಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ಪ್ರೆಸ್ಡ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮೇಲಿನ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಆಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಜ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಎಸ್ಒ (2) ಮಾದರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾಣಬಹುದು. ನೈಜ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನೀಡಿದ ಜಾಗತಿಕ ಎಸ್ಒ (ಎನ್) ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಇದು ನೈಜ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಎಸ್ಒ (2) ಮಾದರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ, ಜೋಡಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಕೆಳಗೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಂತಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ನಿರ್ವಾತವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೆ, ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಫೇನ್ಮನ್ ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. 4 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಲ್ಯಾಂಡೌ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಹೆಚ್ಚಿನ-ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕಡಿತವಿಲ್ಲದೆ, ಪುನರ್ರಚನೆಯು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್-ಸೈಮನ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ದುರ್ಬಲ ಮಿತಿಯೆಂದೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗಳೆರಡರ ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರವಾಹ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೂಲಕ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಫೇನ್ಮನ್ ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದಲೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. n-ಕಣ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ φ ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ನಿರ್ವಾತ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಬಾಹ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಲ್ಲದ ನಿರ್ವಾತ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ J (x) φ (x) ನಲ್ಲಿನ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಹಿಯನ್ನು (+ + +) ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ 4-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ φ4 ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮೊಮೆಂಟಾ ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳ ಚದುರುವಿಕೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಬದಲಿಗೆ ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಘಾತೀಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು, ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಎರಡು ಘಾತೀಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. λ = 0 ರೊಂದಿಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಾಸಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫೇನ್ಮನ್ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾದ ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಎನ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಬಾಹ್ಯ ರೇಖೆಯಿಂದ (ಅರ್ಧ-ಅಂಚು) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆವೇಗ p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವನ್ನು-λ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ λk, n ಬಾಹ್ಯ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು k ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಹರಿಯುವ ಆವೇಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಂತರಿಕ ರೇಖೆಯನ್ನು 1/(q2 + m2) ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ q ಎಂಬುದು ಆ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹರಿಯುವ ಆವೇಗವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿ ಅಂಶದಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅದರ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. "ನಿರ್ವಾತ ಗುಳ್ಳೆಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು, ಯಾವುದೇ ಬಾಹ್ಯ ರೇಖೆಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉಪಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಡಿ. ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವು ಭಾಗಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ-ಸ್ಪೇಸ್ ಫೇನ್ಮನ್ ನಿಯಮಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಆಂತರಿಕ ರೇಖೆಯನ್ನು i/(q2-m2 + i ε) ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ε ಪದವು ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ-ಸ್ಪೇಸ್ ಗಾಸಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಣ್ಣ ವಿಕ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ "ಲೂಪ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೊಮೆಂಟಾ ಮೇಲಿನ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪುನರುಜ್ಜೀವನಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಮತ್ತು ಕೌಂಟರ್ಟರ್ಮ್ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ಗೆ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಪ್ರತಿ-ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಪುನರುಜ್ಜೀವನಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ಜೋಡಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅವಲಂಬನೆಯು ಈ ಹಿಂದೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಕಂಬಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಟ್ಆಫ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಕಟ್ಆಫ್ ಅನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಪುನರುಜ್ಜೀವನಗೊಂಡ ಜೋಡಣೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋದರೆ ಮಾತ್ರ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಧ್ರುವವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುವುದು m2 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ λ ಇನ್ನೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಲಕ್ಷಣವು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ವಾತವು ಎರಡು ಕಡಿಮೆ-ಶಕ್ತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದ Z2 ಜಾಗತಿಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತವಾಗಿ ಮುರಿಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಡೊಮೇನ್ ವಾಲ್ಗಳಂತಹ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಾಮೂಹಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನೋಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒ (2) ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ವಾತವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದರ ಆಯ್ಕೆಯು ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತವಾಗಿ ಒ (2) ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಮುರಿದ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಗೋಲ್ಡ್ಸ್ಟೋನ್ ಬೋಸನ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಸಮ್ಮಿತಿ ಒಡೆಯುವಿಕೆಯು ಹಿಗ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ವಿವಿಕ್ತ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಒಡೆಯುವಿಕೆಯು ನಾವು ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಸಮ್ಮಿತಿ ಒಡೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹುದಾದ ಸರಳವಾದ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗ ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಬರವಣಿಗೆಯ ಸುತ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಈಗ ಧನಾತ್ಮಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ವಾತ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸುವುದರಿಂದ ಅದು ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತವಾಗಿ ಮುರಿದುಹೋದಾಗ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಎರಡೂ ಮಿನಿಮಾಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನಿರ್ವಾತಗಳು ಇರಬೇಕುಃ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅದು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ನಿರ್ವಾತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅದು ಇನ್ನೂ ಇದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಈಗ ಹೀಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಇದು ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತವಾಗಿ ಮುರಿದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆಃ ನಿರ್ವಾತವು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಡೆಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ಮುರಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಕೇವಲ ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ರಹಿತಕ್ಕೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಾಕೋಬಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಎರಡು ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಒಂದು ಈಗ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವಾಗುತ್ತದೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವು ಈ ತರಂಗ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ತಪ್ಪು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದರೂ, ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವು ಸರಿಯಾದದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಜಾಕೋಬಿ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಎಂದಿಗೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತಲೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಒಡೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಅನನ್ಯತೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಜಾಕೋಬಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಕ್ಯಾಲರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟ್ರಿವಿಯಾಲಿಟಿ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಪೋಲ್ ರಿನೋರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಹಿಗ್ಸ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಸಮ್ ಗೋಲ್ಡ್ಸ್ಟೋನ್ ಬೋಸನ್ ಕೋಲ್ಮನ್-ವೈನ್ಬರ್ಗ್ ಸಂಭಾವ್ಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವುದು 'ಟಿ ಹೂಫ್ಟ್, ಜಿ., "ದಿ ಕಾನ್ಸೆಪ್ಚುವಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಆಫ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ" (ಆನ್ಲೈನ್ ಆವೃತ್ತಿ). ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸ್ಪಿನ್ 0 ಹೊಂದಿರುವ ಸಬ್ಟಾಮಿಕ್ ಕಣಗಳು