Angle of parallelism
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಕೋನವು ಎರಡು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸಮಾನಾಂತರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಲ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಲ-ಅಲ್ಲದ ಕೋನ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಕೋನದ ಶೃಂಗದ ನಡುವಿನ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಇಳಿಸಿ. a ಈ ಲಂಬವಾದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾದ ರೇಖೆಯು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸದಂತಹ ಕನಿಷ್ಠ ಕೋನವಾಗಿರಲಿ. ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಐದು ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು a: ಇಲ್ಲಿ sinh, cosh, tanh, sech ಮತ್ತು csch ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು gd ಎಂಬುದು ಗುಡೆರ್ಮನ್ನಿಯನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆ r ಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸಮಾನಾಂತರ s ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಒಂದು ರಚನೆಯನ್ನು ಜಾನೊಸ್ ಬೊಲ್ಯಾಯ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. r ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ. r ಮೇಲೆ A ಯಿಂದ B ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಇಳಿಸಿ. B ಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾದ r ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು C ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾದ ಟಿ ಅನ್ನು ಆರ್ ಗೆ ಏರಿಸಿ. ಟಿ ಮೇಲೆ ಎ ನಿಂದ ಡಿ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಇಳಿಸಿ. ನಂತರ ಡಿ. ಎ ಉದ್ದವು ಸಿಬಿ ಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಿಎ ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಸಿ ಸುತ್ತಲೂ ಡಿ. ಎ. ಗೆ ಸಮನಾದ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಇದು AB ವಿಭಾಗವನ್ನು E ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ BEC ಕೋನವು BC ಉದ್ದದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ABಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ. AB ಯಿಂದ BEC ಕೋನದಲ್ಲಿ A ಮೂಲಕ s ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳಿಗಾಗಿ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ. 1840ರಲ್ಲಿ ನಿಕೊಲಾಯ್ ಲೋಬಾಚೆವ್ಸ್ಕಿಯವರ ಜರ್ಮನ್ ಪ್ರಕಟಣೆಯಾದ "ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಸ್ಚೆ ಅನ್ಟರ್ಸ್ಚುಂಗೆನ್ ಜುರ್ ಥಿಯರಿ ಡೆರ್ ಪ್ಯಾರಲಲ್ಲಿನಿಯನ್" ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಕೋನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. 1891ರಲ್ಲಿ ಟೆಕ್ಸಾಸ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಜಿ. ಬಿ. ಹಾಲ್ಸ್ಟೆಡ್ ಅವರು ಭಾಷಾಂತರವನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದ ನಂತರ ಈ ಪ್ರಕಟಣೆಯು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಯಿತು. (ಸಮಾನಾಂತರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಶೋಧನೆಗಳು) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆಃ ಸಮಾನಾಂತರ ಎಚ್ಎ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ಎಡಿ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಕೋನ (ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಕೋನ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ AD = p ಗಾಗಿ Π (p) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. (1,0) ಮತ್ತು (0, y) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಧವೃತ್ತವು Q ಆಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ y> 1 ಆಗಿದೆ. ಕ್ಯೂ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಏಕಮಾನದ ಅರ್ಧವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡು ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. y-ಅಕ್ಷವು ಎರಡೂ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳನ್ನು ದಾಟಿ, ಘಟಕ ಅರ್ಧವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಸಮಕೋಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತು Q ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ (0, y) ಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ Q ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಸಹ φ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾದ ಬದಿಗಳನ್ನು, ಎಡದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅರ್ಧವೃತ್ತ Q ತನ್ನ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು (x, 0), x <0 ನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವು 1 − x ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕ್ಯೂ ನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವರ್ಗವು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಿರಣದ ಮೇಲಿನ ಅಂತರವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡುತ್ತದೆ {(0, y): y> 0} ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಲಾಗ್ y = a ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ y = ea ಅಲ್ಲಿ e ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿದಮ್ನ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ನಂತರ φ ಮತ್ತು a ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು {(x, 0), (0,0), (0, y)} ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಾರ್ವಿನ್ ಜೆ. ಗ್ರೀನ್ಬರ್ಗ್ (1974) ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ನಾನ್-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು, pp. 211-3, W. H. ಫ್ರೀಮನ್ & ಕಂಪನಿ. ರಾಬಿನ್ ಹಾರ್ಟ್ಷೋರ್ನ್ (1997) ಕಂಪ್ಯಾನಿಯನ್ ಟು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ pp. 319, 325, ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ,. ಜೆರೆಮಿ ಗ್ರೇ (1989) ಐಡಿಯಾಸ್ ಆಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ಃ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್, ನಾನ್-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್, ಮತ್ತು ರಿಲೇಟಿವಿಸ್ಟಿಕ್, 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಕ್ಲಾರೆಂಡನ್ ಪ್ರೆಸ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ (ಪುಟಗಳು 113 ರಿಂದ 118 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಬೆಲಾ ಕೆರೆಕ್ಜಾರ್ಟೊ (1966) ಲೆಸ್ ಫಾಂಡೆಮೆಂಟ್ಸ್ ಡೆ ಲಾ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ, ಟೋಮ್ ಡ್ಯೂಕ್ಸ್, § 97.6 ಆಂಗಲ್ ಡಿ ಪ್ಯಾರಲ್ಲೇಲಿಸ್ಮೆ ಡೆ ಲಾ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್, pp. 411, 2, ಅಕಾಡೆಮಿ ಕಿಯಾದೊ, ಬುಡಾಪೆಸ್ಟ್. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗಳ ಕೋನ