Dirac comb
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯು (ಶಾ ಫಂಕ್ಷನ್, ಇಂಪಲ್ಸ್ ಟ್ರೈನ್ ಅಥವಾ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ t ಒಂದು ನೈಜ ಚಲಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ k. ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗಳು ಸಮಶೀತೋಷ್ಣ ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬಾಚಣಿಗೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ (ಬಾಚಣಿಗೆ ಹಲ್ಲುಗಳಂತೆ s), ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಹೆಸರು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಾಚಣಿಗೆ ತರಹದ ಸಿರಿಲಿಕ್ ಅಕ್ಷರದ ಶಾ (ಷ್) ಬಳಕೆ. ಅವಧಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾದ ಚಿಹ್ನೆಯು, ಏಕಮಾನದ ಅವಧಿಯ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆ ಕಾರ್ಯವು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆ ಕಾರ್ಯವು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖವಿಲ್ಲದೆ, ಟೆಂಪರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಒಂದೇ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ನಂತಹ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಮತ್ತೊಂದು ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ. ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಟೆಂಪರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದಾಗಿ, ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾದರಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಮೂಲಕ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್-ಬಾಚಣಿಗೆ ಗುರುತನ್ನು ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಒಂದೋ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಬಾಚಣಿಗೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ರೆಪ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ (ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ). ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಈ ಇಳುವರಿ (;) ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಗುಣವು ಒಂದು ಕಡೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಇದು () ನೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಮೂಲಕ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಮೃದುವಾದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇರುತ್ತದೆಃ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯವು ನಿರ್ಬಂಧವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯು ಒಳಗಿನ ಸಂಕಲನದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯು ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಟಿ. ಅಂತಹ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯು ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು (ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ) ಎಲ್ಲಾ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು 1/ಟಿ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅವಧಿಯು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಇದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ಅತ್ಯಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ, ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ರೀಮನ್ ಅಥವಾ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಏಕೀಕರಣವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು (ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ಣಯ) "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ" ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ, ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು, ಕಟೌಟ್ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಲೈಟ್ಹಿಲ್ ಏಕೀಕೃತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಪುಟ 62, ಪ್ರಮೇಯ 22 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವೂ ಸಹ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ. ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ (Hz) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಅವಧಿಯ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯು ಅವಧಿಯ ಮರುಬಳಕೆಯ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ ಮತ್ತೊಂದು ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ (ರೇಡಿಯನ್/ಸೆ). ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಗೌಸಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಗೌಸಿಯನ್ನರು ಗೌಸಿಯನ್ನರುಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಗೌಸಿಯನ್ನರ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಹ ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಮದೂರದ ಗೌಸಿಯನ್ ಸ್ಪೈಕ್ಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆಯಾ "ಎತ್ತರಗಳು" (ಪೂರ್ವ-ಅಂಶಗಳು) ನಿಧಾನವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಗೌಸಿಯನ್ ಲಕೋಟೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಸ್ಪೈಕ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಅನಂತ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಡಿರಾಕ್ ಪ್ರಚೋದನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ವ-ಅಂಶಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆಯಾ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತ ಸಮದೂರದ ಗಾಸಿಯನ್ ಸ್ಪೈಕ್ಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಸ್ಪೈಕ್ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಪೂರ್ವ-ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಯುನಿಟ್ ಅವಧಿಗೆ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಃ ಮತ್ತು, ನಾವು ಈ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದರಿಂದಃ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅವಧಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗೆ ಪರಿಣತಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮವು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ರೂಢಿಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಏಕೆಂದರೆ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕೇವಲ ಸಂಭವನೀಯ ವಿನಾಯಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ ಅನುಗುಣವಾದ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಅವಧಿಯ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ಡಿರಾಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಯಾವಾಗ, ಅಂದರೆ ಯಾವಾಗ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆ, ಆದರೆ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ (ರೇಡಿಯನ್/ಸೆ) ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ. ಹೇಳಿದಂತೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮವು ಬಳಸಿದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಮೇಲಿನವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ (Hz) ನಲ್ಲಿ ಮರು-ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಅಂದರೆ ಯುನಿಟ್ ಅವಧಿಯ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯು ತನ್ನಷ್ಟಕ್ಕೇ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯು ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ 1 ಕ್ಕೆ ಏಕೀಕೃತ ನಿರಂತರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಏಕೀಕೃತ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲಿನದನ್ನು ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ ಎಂದು ಮರು-ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ವಯಂ-ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ, ಇದು ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಡೆಲ್ಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗಿನ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆ ಹೊಂದಿರುವ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಪ್ರತಿಕೃತಿ ಅಥವಾ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಇದು ನಿಕ್ವಿಸ್ಟ್-ಶ್ಯಾನನ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ವರ್ಣಪಟಲವು ಬಿ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ವರ್ಣಪಟಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ) ನಂತರ ಮೂಲ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮಾದರಿಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ. ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯದ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಇಟ್ಟಿಗೆ-ಗೋಡೆಯ ಲೋ ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಟೈಮ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, ಈ "ರೆಕ್ಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರ" ವು "ಸಿಂಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್" (, p.33-34) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಅದರ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ವಿಟ್ಟೇಕರ್-ಶಾನನ್ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೀಕೆಃ ಅತ್ಯಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ, ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗಳಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ರೆಕ್ಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಾಕಾರವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿವೆ. ಪರಿಹಾರವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ರೆಕ್ಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ಲೈಟ್ಹಿಲ್ ಏಕೀಕೃತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರ್ಧರಿತ ಗುಣಾಕಾರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಪುಟ 62, ಪ್ರಮೇಯ 22 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಿ ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಅವಧಿಯ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಯು ಸುತ್ತುವ ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಏಕತೆಯಾಗಿದೆ. ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದ್ದದ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಏಕತೆಯಾಗಿದೆ. ನೈಜ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಆ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವಂತೆಯೇ, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅವಧಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅವಧಿಯ ಡಿರಾಕ್ ಬಾಚಣಿಗೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಆ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕಾಂಬ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಫ್ರೀಕ್ವೆನ್ಸಿ ಕಾಂಬ್ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್