Affine Lie algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಅಫೈನ್ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ರಚಿಸಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು, ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿಕ್ಟರ್ ಕಾಕ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರವು ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜಿತ ಗುರುತುಗಳನ್ನು, ಮೆಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿರುವ ವಿಧಾನಃ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಲೂಪ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಮುಚ್ಚಿದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಪಾಯಿಂಟ್ ವೈಸ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್. ಲೂಪ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಂವಹನವನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅಸಂಗತತೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, WZW ಮಾದರಿಯ ಅಸಂಗತತೆ) ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, σ ಅದರ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ತಿರುಚಿದ ಲೂಪ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ತಿರುಚಿದ ಆವರ್ತಕತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು f ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ತಿರುಚಿದ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಅನೇಕ ಆಳವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಅಕ್ಷರಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತಮ್ಮೊಳಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಲೂಪ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಟಿ ಯಲ್ಲಿ ಲಾರೆಂಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟನ್-ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಅಫೈನ್ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು [d, A] = δ (A) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಜನರೇಟರ್ d ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಪ್ರತಿ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೂಲದ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಂತಹ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಲವಾರು ಸಂಭಾವ್ಯ ಲಗತ್ತುಗಳಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಗುಂಪು ಯಾವಾಗಲೂ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅನ್ಟ್ವಿಸ್ಟೆಡ್ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಆಂತರಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಲ್ಲದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಇತರ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಇವು ತಿರುಚಿದ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನೋಡ್ನ ಲಗತ್ತಿಸುವಿಕೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರಚನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಲೂಪ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಅರ್ಧ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಅರೆ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸರಳ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅರ್ಧ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ n ಅಬೆಲಿಯನ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಇನ್ನೂ n ಕೇಂದ್ರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಳ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಲೂಪ್ ಗುಂಪಿನ ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಜನರೇಟರ್ನಿಂದ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಈ ಮುಕ್ತ ಲೂಪ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಟ್ಟುಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಫೈಬ್ರೇಷನ್ನ ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಫೈನ್ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಕೇಂದ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ನಿಯತಾಂಕ k ನಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಕೆ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅಫೈನ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಗುಂಪುಗಳ ಏಕರೂಪದ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೂಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅರೆ-ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸರಳ ಘಟಕಕ್ಕೂ ಕೇಂದ್ರ ಚಾರ್ಜ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟನ್-ವೇಯ್ಲ್ ಆಧಾರದ ರಚನೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ಕಾರ್ಟನ್-ವೇಯ್ಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ, ಸರಳವಾದ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವಾಗ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಟನ್-ವೇಯ್ಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೂಲವು ಅನಂತವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಫಾರ್ಮ್ಗೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಅಫೈನ್ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲಿನ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಫಾರ್ಮ್ಗೆ ಮತ್ತು ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಫಾರ್ಮ್ಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಸಂಪ್ರದಾಯದಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ, ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧವು ಸಹಿಯೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಫೈನ್ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ಇದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಬೇರುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ನಂತರ ಇದು ಶೂನ್ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಬೇರುಗಳ ಮೇಲಿನ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅಫೈನ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸರಳವಾದ ಬೇರುಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳವಾದ ಮೂಲವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ಬೇರಿನ ಎತ್ತರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಲ್ಲಿದೆ ಅತಿ ಎತ್ತರದ ಮೂಲ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಸ್ತೃತ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಂತೆಯೇ, ಇವು ಅತ್ಯಧಿಕ ತೂಕದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಲ್ಲ; ಇದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪವು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ "ಲೈಟ್ ಕೋನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ರೇಡಿಯಲಿ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಲಾದ" ಪ್ರಸ್ತುತ ಆಪರೇಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ಶೀಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ದಿಕ್ಕಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮಯದಂತಹ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸಮಯದಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. k ಶ್ರೇಣಿಯ ನಿರ್ವಾತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ನಂತರ ಇದು ಅನುಗುಣವಾದ ಲೂಪ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಶ್ರೇಣಿಯ ನಿರ್ವಾತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ, ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (ಜೊತೆ) ಅಫೈನ್ ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ನಿರ್ವಾತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಶೃಂಗ ಬೀಜಗಣಿತ ರಚನೆಯಿಂದ ಸಜ್ಜುಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಫೈನ್ ಶೃಂಗ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಶೃಂಗ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನುವಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಭೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಗಳು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಶೂನ್ಯ-ಕ್ರಮದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ (ಲೂಪ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸುವ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ) ಮತ್ತು ಕೊರೂಟ್ ಜಾಲರಿಯ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಕ್ಷರಗಳ ವೇಯ್ಲ್ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರವು ವೇಯ್ಲ್-ಕಾಕ್ ಅಕ್ಷರ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಿಂದ ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ. ಜಾಕೋಬಿ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ ಗುರುತುಗಳು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ; ಏಕೆಂದರೆ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು "ವಿರೂಪಗಳು" ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೂಕದ ಕ್ಯೂ-ಅನಲಾಗ್ಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಅನೇಕ ಹೊಸ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಇದರಲ್ಲಿ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಇಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿರದ ಅನೇಕ ಗುರುತುಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಸುಗಾವಾರ ರಚನೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತವು ವೀರಸೋರೋ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು WZW ಮಾದರಿಗಳು ಅಥವಾ ಕೊಸೆಟ್ ಮಾದರಿಗಳಂತಹ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವರ್ಲ್ಡ್ಶೀಟ್ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ