Orthogonal transformation
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರವು ನೈಜ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳ Vಯಲ್ಲಿ T: V → Vನ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದರಿಂದ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಬೇಸ್ಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಆರ್ತೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳಾಗಿವೆಃ ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದರ ಕರ್ನಲ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಕಠಿಣವಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು, ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು, ಅಥವಾ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (ಅಸಮರ್ಪಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ಎಂದರೆ (ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ) ಕನ್ನಡಿಗಳಂತೆಯೇ, ಕನ್ನಡಿ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿ, ಮುಂಭಾಗದಿಂದ ಹಿಂಭಾಗಕ್ಕೆ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಸರಿಯಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು (ಪ್ರತಿಫಲನವಿಲ್ಲದೆ) + 1 ರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಬಿಂಬದೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು-1 ರ ನಿರ್ಣಾಯಕದೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು (ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಸಾಲುಗಳು ಏಕಮಾನದ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಾಹಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲುಗಳು ವಿ ಯ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳು ವಿ ಯ ಮತ್ತೊಂದು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರವು ವಿಲೋಮವಾಗಿದ್ದರೆ (ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಅದರ ವಿಲೋಮವು ಮತ್ತೊಂದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಮೂಲ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಆಂತರಿಕ-ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಂತರ, ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆಃ ಅಸಮರ್ಪಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ರೂಪಾಂತರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.