Ordinal utility
ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಕಾರ್ಯವು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಏಜೆಂಟ್ನ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯಾವ ಆಯ್ಕೆಯು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೇಳುವುದು ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಎಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಎಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೇಳುವುದು ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಿದೆ. ನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಹಕ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ನಾನು ಎ ಯಿಂದ ಬಿ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಿಂದ ಸಿ ಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ" ಎಂದು ಜಾರ್ಜ್ ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಜಾರ್ಜ್ನ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಯು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಆದರೆ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ವಿಮರ್ಶಕರು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಏಕೈಕ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಸಂದೇಶವು ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ; ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜಾರ್ಜ್ನ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯ v ನಿಂದಲೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ u ಮತ್ತು v ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ-ಅವು ಜಾರ್ಜ್ನ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆಃ ಎರಡನೆಯದು ಆದ್ಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಹ ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಯು ನಲ್ಲಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿ ನಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1906 ರಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸಂಕೇತ ಪ್ರಪಂಚದ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ದುರ್ಬಲ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೀಗೆ ಗುರುತಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ "ಏಜೆಂಟ್ ಕನಿಷ್ಠ ಎ ಅನ್ನು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ". ಈ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉದಾಸೀನತೆಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ, ಇದು "ಏಜೆಂಟ್ ಬಿ ಮತ್ತು ಎ ನಡುವೆ ಅಸಡ್ಡೆ ತೋರುತ್ತಾನೆ" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಲವಾದ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ, ಇದು "ಏಜೆಂಟ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಬಿ ನಿಂದ ಎ ಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ" ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಬದಲು, ಪ್ರತಿನಿಧಿಯ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸರಕುಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಒಂದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎರಡು ಸರಕುಗಳು ಅಥವಾ ಸೇವೆಗಳ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಗ್ರಾಹಕರು ಸಮಾನವಾಗಿ ತೃಪ್ತರಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲದಿಂದ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಎಷ್ಟು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆಯೋ, ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಮಟ್ಟವು ಅಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು (X ಅನ್ನು Y ಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಕನಿಷ್ಠ ದರದ ಋಣಾತ್ಮಕ) ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅದೇ ಮಟ್ಟದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಂಡು ಒಳ್ಳೆಯ X ಅನ್ನು ಒಳ್ಳೆಯ Y ವಿರುದ್ಧ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಲು ಸಿದ್ಧರಿರುವ ದರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಹಕನು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪರ್ಯಾಯ ದರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಗ್ರಾಹಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು (ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ವಿಧಾನ) ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು-ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸರಕುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರ್ಯಾಯದ ಕನಿಷ್ಠ ದರವು ಆ ಸರಕುಗಳ ಬೆಲೆಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಹಕರು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ (ಈಕ್ವಿ-ಮಾರ್ಜಿನಲ್ ತತ್ವ). ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನೈಜ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗಮನಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸರಕುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ, ಅವು ಕಡಿಮೆ ಇಷ್ಟವಾಗುವುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಯಾವ ಸರಕುಗಳ ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಮುಂದೂಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಹಿರಂಗವಾದ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸವಾಲು ಭಾಗಶಃ ಇರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತುಗಳು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲು ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿವೆಃ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಃ ಇಫ್ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಸಂಪೂರ್ಣತೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆಃ ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಎರಡೂ. ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯು ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂಃ ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತವಾದಾಗ, ಆರಂಭಿಕ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಸುಲಭ. X ಎಣಿಸಬಹುದಾದಷ್ಟು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅದೇ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅನಂತವಾದಾಗ, ಈ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿದೆ. ಬಿ ಅಥವಾ ಎ ಗಿಂತ ಬಿ ಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಬಿ ಅಥವಾ ಎ ಯಿಂದ ಸಣ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸದಿದ್ದರೆ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಸೆಟ್ X ಮೇಲಿನ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಬೇಕು). ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ, ಎಲ್ಲಾ i ಮತ್ತು ಮತ್ತು, ನಂತರ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಸುತ್ತಲೂ ಒಂದು ಚೆಂಡು ಮತ್ತು ಸುತ್ತಲೂ ಒಂದು ಚೆಂಡು ಇರುತ್ತದೆ, ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, (ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಬೇಕು). ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರಂತರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡೆಬ್ರೂ (1954) ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದುದೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರಂತರ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಆದ್ಯತೆಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲೂ (5,1) ಅಂಕಗಳಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಂಕಗಳು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಮಟ್ಟದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಯುಟಿಲಿಟಿ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇದು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟತೆ ಪ್ರತಿ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿ ಗೆ, ವಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜವಲ್ಲಃ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅದೇ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅದು v ನ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಆಗ v ಮತ್ತು v ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮೊನೊಟೋನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವವರೆಗೆ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಕಾರ್ಯವು ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಡಿನಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಏಕತಾನತೆ, ಈ ಕ್ಷಣದಿಂದ, ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಾಹಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಸೇವಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಜೋಡಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೇಬು ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು. ನಂತರ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ "ಹೆಚ್ಚು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ": ನಂತರ, ಎರಡೂ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, v ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿಃ ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯದ ಕನಿಷ್ಠ ದರ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಂಡಲ್ ಮತ್ತು ಬಂಡಲ್ ನಡುವೆ ತಾನು ಅಸಡ್ಡೆ ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ ಅವನು y ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು x ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸಿದ್ಧನಿದ್ದಾನೆ. ಈ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೀಗೆ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ನಡುವಿನ ಪರ್ಯಾಯದ ಕನಿಷ್ಠ ದರ (ಎಂಆರ್ಎಸ್) ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಎಂಆರ್ಎಸ್ನ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆಧರಿಸಿದೆ-ಇದು ಸಂಖ್ಯಾ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳಿಂದ ಎಂಆರ್ಎಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಗ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಎಂಆರ್ಎಸ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದರಿಂದ ಇದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ-ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ನೊಂದರ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮೊನೊಟೋನ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಂಆರ್ಎಸ್ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಂಆರ್ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಹಳಷ್ಟು x ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ, ಆದರೆ ಅಥವಾ ಎಂಆರ್ಎಸ್ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಎಂಆರ್ಎಸ್ ಬಂಡಲ್ನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ, ಅಂದರೆ, ಎಂಆರ್ಎಸ್ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆಃ ಮತ್ತು ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ (ಸಹಜವಾಗಿ, ಅದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಥವಾ ನಂತಹ ಅನೇಕ ಇತರ ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಸರಳವಾಗಿದೆ.) ಎಂಆರ್ಎಸ್ ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೂ ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ, ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಲೀನಿಯರ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಂಆರ್ಎಸ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ-ಅವು ಪರಸ್ಪರರ ಸಮತಲ ವರ್ಗಾವಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಸರಕುಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಯೋಜಕತೆ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಯೋಜಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ನೀಡಲಾದ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಸಂಯೋಜಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಆದ್ಯತೆಗಳು ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಸರಳವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ "ಡಬಲ್-ಕ್ಯಾನ್ಸಿಲೇಷನ್" ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಂಯೋಜಕತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಡೆಬ್ರೂ (1960) ತೋರಿಸಿದರುಃ ಅಂದರೆ, ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಡಬಲ್-ಕ್ಯಾನ್ಸಿಲೇಷನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಅಡಿಟಿವ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಕ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಸರಳವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಈ "ಅನುಗುಣವಾದ ವಿನಿಮಯಗಳು" ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯೂ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸರಕುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸರಕುಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎರಡು ಸರಕುಗಳಿಗಿಂತ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಇದು ಡೆಬ್ರೂನ 3ನೇ ಪ್ರಮೇಯದ (1960) ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತು ಆದ್ಯತೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉಪಗುಂಪು ಎ ಯಲ್ಲಿನ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವು, ಉಪಗುಂಪು ಬಿ ಗೆ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಕುಗಳ ಉಪಗುಂಪು ಎ ಅನ್ನು ಸರಕುಗಳ ಉಪಗುಂಪು ಬಿ ಯಿಂದ ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಸರಕುಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ x y ಮತ್ತು z. ಉಪಗುಂಪು {x, y} ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ-ಉಪಗುಂಪು {z} ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂಃ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದುಃ ಸ್ಥಿರಾಂಕ z ಗೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಸರಕುಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಆದ್ಯತೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೇಬು ಮತ್ತು ಬಾಳೆಹಣ್ಣಿನ ಕಟ್ಟುಗಳ ನಡುವಿನ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಬಹುಶಃ ಏಜೆಂಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಬೂಟುಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಕ್ಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಡೆಬ್ರೂ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಕುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಅವುಗಳ ಪೂರಕಗಳಿಂದ ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಂಯೋಜಕ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂಯೋಜಕ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪುರಾವೆಯು ಮೂರು ಸರಕುಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆಃ x, y, z. ಮೂರು ಮೌಲ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆಃ 0 ಬಿಂದು, 1 ಬಿಂದು ಮತ್ತು 2 ಬಿಂದು. ಇತರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. 0 ಪಾಯಿಂಟ್ಃ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ನಿಯೋಜಿಸಿ, ಅಂದರೆ. : 1 ಅಂಶಃ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಅದನ್ನು ಮೌಲ್ಯದ ಘಟಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ, ಅಂದರೆ. : ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಸೀನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತಹವುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಃ ಈ ಉದಾಸೀನತೆಯು y ಮತ್ತು z ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು x ನ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುವಂತೆ ಅಳೆಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಆಗಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು 2 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಈಗ ನಾವು ಆದ್ಯತೆಯ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಊಹೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು z ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು x ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು y ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದರರ್ಥ ಈ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ v ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು-2-ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಅಂತಹದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು 3 ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿಃ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗಿನ ನಮ್ಮ ನಿಯೋಜನೆಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು, 3 ರ ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳು ಉದಾಸೀನತೆಯ ಅಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ, ಮತ್ತೆ, ಆದ್ಯತೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಊಹೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು z ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಇತರ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ); ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಇತರ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 3 ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಈ ರೀತಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ-ಸರಕು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯ ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂಚ್ಯ ಊಹೆಯೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸರಕುಗಳು ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಆದ್ಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಕುಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಹೊಸ ಬಂಡಲ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸರಕುಗಳ ಪುರಾವೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಿಂದುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಸರಕುಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸರಕುಗಳಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಎರಡು ಸರಕುಗಳು ಇತರ ಸರಕುಗಳಿಂದ ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸಾಕು. ಸಂಯೋಜನೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆ ಒಂದು ಸಂಯೋಜನೀಯ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೀಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆಃ ಅವು ಪರಸ್ಪರರ ಮೊನೊಟೋನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ (ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಕಾರ್ಯಗಳು); ಅವು ಪರಸ್ಪರರ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಿವೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವವರೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಡೇಟಾದಿಂದ ಅಡಿಟಿವ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಜೆರಾರ್ಡ್ ಡೆಬ್ರೂ ಅವರು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಅಡಿಟಿವ್ ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳು ಆಂಡ್ರಾನಿಕ್ ಟ್ಯಾಂಗಿಯನ್ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಡೇಟಾದಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟವು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಯೋಜಕ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರ ಸಂದರ್ಶನಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ 2ಡಿ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತದೆಃ ಆದ್ಯತೆ (ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ) ಮಲ್ಟಿ-ಆಟ್ರಿಬ್ಯೂಟ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಗ್ರಾಹಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾರ್ಜಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಆದ್ಯತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಯುಟಿಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. Economics.SE ನಲ್ಲಿ ಆರ್ 2 ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದಾದ ರೇಖೀಯ ಆದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಆಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. Math.SE ನಲ್ಲಿ. ಮುರ್ರೆ ಎನ್. ರೋಥ್ಬಾರ್ಡ್, "ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಮತ್ತು ಕಲ್ಯಾಣ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣದ ಕಡೆಗೆ" ಉಪಯುಕ್ತತೆ