Klein transformation
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕ್ಲೈನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸ್ಪಿನ್-ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಮಾಡಲು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ φ ಮತ್ತು χ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಂದರೆ, x ಮತ್ತು y ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತೆ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು i ಮತ್ತು j ಸ್ಪಿನರ್/ಟೆನ್ಸರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, χ ಸಹ Z2 ಸಮಾನತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ!) χ ಅನ್ನು − χ ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡಿ ಆದರೆ φ ಅನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮುಕ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರ, χ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ Z2 ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ Kχ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ಇದು χ-ಸಮ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಮತ್ತು χ-ಬೆಸ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಕೆ. ಸಿ. ಎಚ್ ಅನೈಚ್ಛಿಕ, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ φ ಮತ್ತು χ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಬೋಸನ್ ಅಥವಾ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗೆ ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ. ಅವು ತಮಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬೊಸೊನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಫರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಿದರೆ, ಅದು ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಂತೆಯೇ ನಿಖರವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಏಕೆಃ ಎರಡು ಹೊಸ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾದ φ 'ಮತ್ತು χ' ಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಮತ್ತು ಈ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ Kχ ಆಗಿದೆ). ಈಗ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಫೆರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ಆಗುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು χ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ Z2 ಸಂರಕ್ಷಿತ ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಆಪರೇಟರ್ Kχ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿದ್ದರೆ, ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ "ತಪ್ಪು" ಸಂವಹನ/ಸಂವಹನ ವಿರೋಧಿ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಕ್ಲೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಇದು ಪ್ಯಾರಾಸ್ಟಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಾದ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೀನ್/ಫರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜೋರ್ಡಾನ್-ಶ್ವಿಂಗರ್ ರೂಪಾಂತರ ಜೋರ್ಡಾನ್-ವಿಗ್ನರ್ ರೂಪಾಂತರ ಬೊಗೋಲಿಯುಬೊವ್-ವಲಟಿನ್ ರೂಪಾಂತರ ಹೋಲ್ಸ್ಟೀನ್-ಪ್ರಿಮಾಕೋಫ್ ರೂಪಾಂತರ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.