Leibniz integral rule
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಭೇದಕ್ಕಾಗಿ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮವು, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಳಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೌಚಿಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ), ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮವು ಆಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು, ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೊಮೆಂಟ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೊಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮಿತಿಗಳ ವಿನಿಮಯದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜ್ನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಲವಾದ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರಬಾರದು. ಈ ಸೂತ್ರವು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ (ಮೊದಲ) ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಎರಡೂ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಸೂತ್ರವು ಆಪರೇಟರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಆಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಗಳ ವಿನಿಮಯದ ಮೇಲಿನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವಿನಿಮಯ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ; ಅಂದರೆ, ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮ); ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಕ್ರಮದ ಬದಲಾವಣೆ; ಏಕೀಕರಣದ ಕ್ರಮದ ಬದಲಾವಣೆ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣ; ಅಂದರೆ, ಫುಬಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯ). ಮೂರು ಆಯಾಮದ, ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕರಣ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಒಂದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮವೆಂದರೆಃ ಸಮಯದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಾಹಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಾಹಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಪ್ರದೇಶದ ಚಲನೆಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ, ವಾಹಕ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ, ವಾಹಕ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಗಡಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಆಯಾಮಗಳು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಹುಆಯಾಮದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ನಿಯಮವು ದ್ರವದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಾರಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ R3 ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿಯ ಸಮಯ-ಬದಲಾಗುವ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಗಡಿಯ ಯೂಲೇರಿಯನ್ ವೇಗವಾಗಿದೆ (ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಮತ್ತು ಯೂಲೇರಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ಇದು ಮೇಲ್ಮೈ ಅಂಶದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳು, ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಆ ಸಾಧನಗಳೊಂದಿಗೆ, n ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮವೆಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಯ-ಬದಲಾಗುವ ಡೊಮೇನ್, ω ಒಂದು p-ರೂಪವಾಗಿದೆ, ವೇಗದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, dxω ಎಂಬುದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ω ಯ ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ω ಯ ಸಮಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಲೈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವು ವಾಸಿಸುವ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬಹುಗುಣವು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣದ ಪ್ರದೇಶವು (ಒಂದು ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್) (ಇದು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರಿಜೇಷನ್ ಒಂದು ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿ ಸಮಯದ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ), ಲೈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ (ಅಂದರೆ, ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ವೇಗ) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಯದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದ ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹರಿವಿನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅಂತಹ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಅದು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ವಿರೂಪಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಲೆಬ್ಸ್ಗು-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದು ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ನಂತರ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ (ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಗಳು). ಮೂಲ ರೂಪದ ಪುರಾವೆಗಳು ನಾವು ಮೊದಲು a ಮತ್ತು b ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ ಮಿತಿಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಏಕೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ನಾವು ಫುಬಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮತ್ತು, ಅಂತಹ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಯತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಡಿಟಿ ಅಥವಾ ಡಿಎಕ್ಸ್ ಮೂಲಕ ಇತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಸಹ ಸಮಗ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಇದು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಏಕೀಕರಣ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಮಿತಿಯನ್ನು ದಾಟಬಹುದು, ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ). ಆದ್ದರಿಂದಃ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿರುವಲ್ಲಿಃ (ನಾವು ಇಲ್ಲಿ x0 ಅನ್ನು x0 ಮತ್ತು x ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು) F ಅನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಭೇದಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎಡಗೈಗೆ ಈ ಮಿತಿಯುಃ ಬಲಗೈಗೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಬೌಂಡೆಡ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆ ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ನಾವು ಬೌಂಡೆಡ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಈ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ರೀಮನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ). ಈ ಪುರಾವೆಯು fx (x, t) ಅನ್ನು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲಿನ (ಬಲವಾದ) ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ, f (x, t) ರೀಮನ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ fx (x, t) ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ). ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮೀಕರಣ () ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣ () ಗೆ ಬದಲಿಸಿ. ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 1/ಗಂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈಗ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಅಂಗೀಕಾರವು ಬೌಂಡೆಡ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮ). ಪ್ರತಿ δ> 0 ಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸ್ಥಿರ t ಗೆ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು [x, x + δ] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ z ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ fx (x, t) ನ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಒಟ್ಟಾಗಿ fx (x, t) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವು ಒಂದು ಏಕರೂಪದ (ಸ್ವತಂತ್ರ) ಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯಿಂದ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ಗಳು ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ fx ಗೆ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ವಾದವು ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ {δn} → 0, ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು fx ಗೆ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಅಂಗೀಕಾರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೀಮಿತ ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, {δn} → 0ರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, δ → 0 ಎಂಬ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮಿತಿಗಳು ಒಂದು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನಿರಂತರ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಮತ್ತು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ, ಇದು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು (ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು) ನಂತರ, ಇದನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಚೈನ್ ರೂಲ್ ನಂತರ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಗಮನಿಸಿಃ ಭೇದಿಸಬೇಕಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಈ ರೂಪವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದುಃ ಏಕೆಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರದ ಕಾರಣ, ಅದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ರೂಪವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಗಳು α ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅದು α ಅನ್ನು α ಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ α ಮತ್ತು αb ಹೆಚ್ಚಳಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ರೂಪ, ಅಲ್ಲಿ a <ω <b ಅನ್ನು ಮೇಲಿನ ω ಸೂತ್ರದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ α ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ α → 0 ಆಗಲಿ. ಗಮನಿಸಿಃ ω1 − a ಮತ್ತು ω2 − b. ನಾವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದುಃ ಮತ್ತೆ ಬೌಂಡೆಡ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ. ಇದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಬದಲಾಗುವ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆ, ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ನಿಯಮದ ಮೂಲ ರೂಪ, ಬಹುವಿಧದ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಆಯತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಲ್ಲದೆ, ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎರಡೂ ಈ ಆಯತದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ (ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ). ಈಗ, ಸೆಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಡೆಫಿನಿಟ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (ಪುರಾವೆಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡಿ), ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಬಲ್ ಚೈನ್ ನಿಯಮದಿಂದ, ಅದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈಗ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತೇವೆಯೆಂದು ಗಮನಿಸಿ; ಹೀಗಾಗಿ ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ನಿಯಮದ ಮೂಲ ರೂಪವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; ಏಕೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಮೊದಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದಃ ಬಯಸಿದಂತೆ. ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಒಂದು ತಾಂತ್ರಿಕ ಅಂಶವಿದೆಃ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅದು ಈಗಾಗಲೇ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ನಮ್ಮ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಇದರ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೂ ಸಹ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಹ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಎರಡೂ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿರಂತರತೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ, ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ರೂಪ t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರ 1ರ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಕೇಂದ್ರಕದ ಸುತ್ತಲೂ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮಯದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಚಲಿಸುವ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಹೊಸ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲವು. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ, ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ನಂತರ ಸಮಯದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದಃ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಮಯ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಏಕೀಕರಣದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಚಲನೆಯ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಸ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಚಲಿಸುವ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. (ಕರ್ಲ್ ಮೇಲಿನ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕರ್ಲ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೈನ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಓವರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಲೈನ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಲೈನ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಡಿಎಸ್ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಬಲಗೈ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, F ಕ್ಷೇತ್ರವು ಧನಾತ್ಮಕ z-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯು xy-ಸಮತಲದ ಪರಿಧಿಯ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ z-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರಲು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ σಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ತಿರುವುಗಳು ನಂತರ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (ಹೆಬ್ಬೆರಳಿನೊಂದಿಗೆ ಬಲಗೈ ನಿಯಮವು z-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತದೆ). ನಂತರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎಫ್ ನಿಂದ ಎಸ್ ಮೂಲಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಹರಿವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ವೇಗದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ x-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ v. y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ x ನ ಗಡಿಯ ಒಂದು ಅಂಶವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ds, ಸಮಯ t ಯಲ್ಲಿ vt × ds ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತದೆ. ನಾವು ಗಡಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, vt × ds ಬಿಂದುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ z-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಅಲ್ಲಿ ds ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ z-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಅಲ್ಲಿ ds ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ), ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ σ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಎಫ್ ನ ಹರಿವು ಷ್ಣುವಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. v ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯು ಮೇಲ್ಮೈ ಚಲಿಸುವಾಗ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಲೆಮ್ಮಾ. ಒಂದರ ಬಳಿ ಇದೆಃ ಪುರಾವೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಿಂದ, ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು f (x) ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ α ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಏಕೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬದಲಾಗಬಹುದು. f (x, α) ಎಂಬುದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ {(x, α): α0 ≤ α ≤ α1 ಮತ್ತು a ≤ x ≤ b} ನಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು α ನ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ fα (x, α) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಒಬ್ಬರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆಃ ನಂತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ α ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಹೈನ್-ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಆ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ε> 0 ಗೆ, [a, b] ನಲ್ಲಿರುವ x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, φ (α) ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ε> 0 ಗೆ δα ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿಃ ಈಗ, ε → 0 ಅನ್ನು δα → 0 ಎಂದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹೊರಟ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈಗ, a ಮತ್ತು b ಗಳು α ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಇದು α ಅನ್ನು α ಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ α ಮತ್ತು αb ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ರೂಪ, ಅಲ್ಲಿ a <ω <b ಅನ್ನು ಮೇಲಿನ ω ಸೂತ್ರದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ω ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ω → 0 ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ, ω1 → a ಮತ್ತು ω2 → b ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಇಳುವರಿಗಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಇದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1: ಸ್ಥಿರ ಮಿತಿಗಳು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವು (x, α) = (0,0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು φ (α) ಕಾರ್ಯವು α = 0 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ φ (α) ±π/2 ಅನ್ನು α → 0 ± ಎಂದು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ α ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ φ (α) ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದರೆ, α = 0 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ α ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2: ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು (α ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ ಸೂತ್ರವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದಾಗ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಫೇನ್ಮನ್ನ ತಂತ್ರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3 ಪರಿಗಣಿಸಿ ಈಗ, ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು 1 ಇಂಚುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ. ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈಗ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಕಾರಣ, ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ 4 ಮೊದಲು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆಃ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆಃ ಈ ಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ ನಂತರ ಇಳುವರಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಡಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಫಾರ್ ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ 5 ಇಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದಃ ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 6 ಇಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ನಾವು ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ φ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದುಃ ಈಗ, φ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನೀಡಿದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಧನಾತ್ಮಕ ಆಧಾರಿತ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಅಂತಿಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿ ಓವರ್ನ ರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಡಬಲ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಒಂದೇ ರೀತಿ 0 ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು f (φ) ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದುಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಇತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಸ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದುಃ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ α ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಯಾವಾಗ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಸಮರ್ಥಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ಕೆಲಸದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಸರಣಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಳತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯು ಸಂಕಲನವನ್ನು ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ) ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅನ್ವಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳು ಅವುಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲವು. ಜನಪ್ರಿಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ದಿವಂಗತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ರಿಚರ್ಡ್ ಫೇನ್ಮನ್ ಅವರ ಹೆಚ್ಚು ಮಾರಾಟವಾದ ಆತ್ಮಚರಿತ್ರೆ ಶೂರ್ಲಿ ಯು ಆರ್ ಜೋಕಿಂಗ್, ಮಿಸ್ಟರ್ ಫೇನ್ಮನ್! "ಎ ಡಿಫರೆಂಟ್ ಬಾಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಟೂಲ್ಸ್" ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ. ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಫ್ರೆಡೆರಿಕ್ ಎಸ್. ವುಡ್ಸ್ (ಅವರು ಮ್ಯಾಸಚೂಸೆಟ್ಸ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದರು) ಬರೆದ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ (1926) ಎಂಬ ಹಳೆಯ ಪಠ್ಯದಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದನ್ನು ಅವರು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಂತರ ಫೇನ್ಮನ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಪಡೆದಾಗ ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಫೇನ್ಮನ್ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಪದವಿ ಶಾಲೆಗೆ ಆಗಮಿಸಿದ ನಂತರ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಏಕೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತುಃ ನಾನು ಎಂದಿಗೂ ಕಲಿಯದ ಒಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಏಕೀಕರಣ. ನನ್ನ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಿಕ್ಷಕ ಶ್ರೀ ಬೇಡರ್ ನನಗೆ ನೀಡಿದ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ನಾನು ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇನೆ. ಒಂದು ದಿನ ಅವರು ನನಗೆ ತರಗತಿಯ ನಂತರ ಉಳಿಯಲು ಹೇಳಿದರು. "ಫೇನ್ಮನ್", ಅವರು ಹೇಳಿದರು, "ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಮಾತನಾಡುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಶಬ್ದ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ. ಏಕೆ ಎಂದು ನನಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ನಿಮಗೆ ಬೇಸರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೀಡಲಿದ್ದೇನೆ. ನೀವು ಅಲ್ಲಿ ಹಿಂಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ಹೋಗಿ ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೀವು ತಿಳಿದಾಗ, ನೀವು ಮತ್ತೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು ". ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾನು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಏನು ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ ಅಥವಾ ಅವರು ಏನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಲಿಲ್ಲ. ವುಡ್ಸ್ ಬರೆದ "ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್" ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕದೊಂದಿಗೆ ನಾನು ಹಿಂದೆ ಇದ್ದೆ. ನಾನು "ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಫಾರ್ ದಿ ಪ್ರಾಕ್ಟಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನ್" ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಬೇಡರ್ಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ನನಗೆ ನಿಜವಾದ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು-ಅದು ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಕಿರಿಯ ಅಥವಾ ಹಿರಿಯ ಕೋರ್ಸ್ಗೆ. ಇದು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ, ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು, ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು-ನನಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿರದ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಅದ್ಭುತ ಸಂಗತಿಗಳು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಆ ಪುಸ್ತಕವು ತೋರಿಸಿದೆ-ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಅವರು ಅದಕ್ಕೆ ಒತ್ತು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಾನು ಆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡೆ ಮತ್ತು ನಾನು ಆ ಒಂದು ಕೆಟ್ಟ ಸಾಧನವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಬಳಸಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾನು ಸ್ವಯಂ-ಕಲಿತಿದ್ದರಿಂದ, ಏಕೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾನು ಹೊಂದಿದ್ದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎಂಐಟಿ ಅಥವಾ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹುಡುಗರಿಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮಾಡಲು ತೊಂದರೆ ಉಂಟಾದಾಗ, ಅವರು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿತ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಇದು ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಏಕೀಕರಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದರು; ಇದು ಸರಳ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದರು. ನಂತರ ನಾನು ಬಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನನಗೆ ದೊಡ್ಡ ಖ್ಯಾತಿ ಸಿಕ್ಕಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ನನ್ನ ಉಪಕರಣಗಳ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯು ಇತರರಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಅವರು ನನಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೊದಲು ಅದರ ಮೇಲೆ ತಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಚೈನ್ ರೂಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ರೂಲ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ) ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋರ್ಟ್ ಥಿಯೋರಮ್, ಲೆಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು