Conjugate gradient method
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನೇಕವೇಳೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನೇರ ಅನುಷ್ಠಾನದಿಂದ ಅಥವಾ ಕೊಲೆಸ್ಕಿ ವಿಭಜನೆಯಂತಹ ಇತರ ನೇರ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾದ ವಿರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ದೊಡ್ಡ ವಿರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಶಕ್ತಿಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದಂತಹ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾಗ್ನಸ್ ಹೆಸ್ಟೆನೆಸ್ ಮತ್ತು ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಟೀಫೆಲ್ ಅವರು Z4 ನಲ್ಲಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮ್ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಸಂಶೋಧಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಬೈಕೋನ್ಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತವೆ. ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿವರಣೆ ವೆಕ್ಟರ್ಗಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, AT = A), ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. xTAx> 0 Rn ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ), ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವಿಕ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಹ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನೇರ ವಿಧಾನವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗಾಗಿ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ನಿರ್ದೇಶನ ವಿಧಾನದ ವಿಶೇಷತೆ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅರ್ನಾಲ್ಡಿ/ಲ್ಯಾನ್ಜೋಸ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಸೇರಿದೆ. ಅವುಗಳ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಈ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ-ಉಳಿದಿರುವವುಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಮತ್ತು ಹುಡುಕಾಟ ನಿರ್ದೇಶನಗಳ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಈ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿವೆ. ಸಮಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತವಾದುದರಿಂದ, ಎಡಭಾಗವು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಈ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿರುವುದು ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜಿತ ವಾಹಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ನಂತರ ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಇಳುವರಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎಡ-ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಸಂಯೋಗ ನಿರ್ದೇಶನಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿ ನಾವು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ನೇರ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ n ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಬೈಗಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಅಜ್ = ಬಿ-ಆಕ್ಸ0 ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು). x0 ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದೇವೆಯೇ ಎಂದು ಹೇಳಲು ನಮಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ (ಅದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ). ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠಕಾರಕವು (ಡಿಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) = 0 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ) ಅದರ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಆರಂಭಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕನಿಷ್ಠಕಾರಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. f ನ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆ x0 ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಇದರರ್ಥ ನಾವು p0 = b − Ax0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆಧಾರದಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ವಾಹಕಗಳು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗೆ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಈ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಉಳಿದ ಭಾಗವೂ ಸಹ p0 ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. k ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ rk ಶೇಷವಾಗಿರಲಿಃ ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಇದು at ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನವು rk ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸಲು ಒಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಉಳಿದಿರುವ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಹುಡುಕಾಟ ನಿರ್ದೇಶನಗಳಿಂದ ಮುಂದಿನ ಹುಡುಕಾಟ ನಿರ್ದೇಶನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಗದ ನಿರ್ಬಂಧವು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್-ರೀತಿಯ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಮ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ನಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ (ಒಮ್ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಗ ನಿರ್ಬಂಧದ ಪರಿಣಾಮಕ್ಕಾಗಿ ಲೇಖನದ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಮುಂದಿನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. xk + 1 ಅನ್ನು f ಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ಫಾರ್ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನದ ಅತ್ಯಂತ ನೇರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೇಳಲಾದಂತೆ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಹುಡುಕಾಟ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಮತ್ತು ಅವಶೇಷ ವಾಹಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅನೇಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಗಣನೆಗೆ ದುಬಾರಿಯಾಗಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಹತ್ತಿರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಅದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. , i §j ಗೆ. ಮತ್ತು ಇದು-ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. , ಫಾರ್. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮುಂದುವರೆದಂತೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಕ್ರಿಲೋವ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರೇರಿತ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಕ್ರಿಲೋವ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವಿಕ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ Ax = b ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇನ್ಪುಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಂದಾಜು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ 0 ಆಗಿರಬಹುದು. ಇದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ನಿಖರವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ. ಫ್ಲೆಚರ್-ರೀವ್ಸ್ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲೂ ಇದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮರುಪ್ರಾರಂಭಗಳು ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಪುನರಾರಂಭದ ಸರಳ ಅನುಷ್ಠಾನವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ರೀಸ್ಟಾರ್ಟ್ಗಳು ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿಧಾನಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ತಪ್ಪಾಗಿ ವರ್ತಿಸಿದರೆ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೌಂಡ್-ಆಫ್ ದೋಷದಿಂದಾಗಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಉಳಿದಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು, ಇವೆರಡೂ ನಿಖರವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರಬಹುದು, ಸುತ್ತಿನ ದೋಷ ಶೇಖರಣೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ಸೂಚ್ಯವಾದ ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಶೇಷದ ಮಾನದಂಡವು ನಿಖರವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಿನ ದೋಷಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಖಚಿತವಾದ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸೂಚ್ಯ ಅವಶೇಷವು ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೋಷಗಳ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖದ ನಿಶ್ಚಲತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆಲ್ಫಾ ಮತ್ತು ಬೀಟಾದ ಗಣನೆಯು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವಂತೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಛೇದವನ್ನು ಅಂದಿನಿಂದ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಬಳಸುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ ಅಂಶವನ್ನು ಏಕೆಂದರೆ ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಶೋಧನೆ ನಿರ್ದೇಶನಗಳಾದ pk ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಛೇದವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಜೂಲಿಯಾದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆ ಕೋಡ್ (ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆ) "" ಕಾಂಜುಗೇಟ್ _ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್! (ಎ, ಬಿ, ಎಕ್ಸ್) ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು 'ಎ * ಎಕ್ಸ್ = ಬಿ' ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ _ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್! (ಎಃ ಎಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಬಿಃ ಎಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ವೆಕ್ಟರ್, ಎಕ್ಸ್ಃ ಎಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ವೆಕ್ಟರ್; ಟೋಲ್ = ಇಪ್ಸ್ (ಎಲ್ಟೈಪ್ (ಬಿ))) #ಉಳಿದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಉಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ = ಬಿ-ಎ * ಎಕ್ಸ್ #ಹುಡುಕಾಟ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ _ ದಿಕ್ಕು = ಉಳಿದಿರುವ #ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಉಳಿದಿರುವ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹಳೆಯ _ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ _ ರೆಸಿಡ್ _ ನಾರ್ಮ್ = ಉಳಿದಿರುವ '* ಉಳಿದಿರುವ #ಐಟರ್ ಅನ್ನು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ಆದರೆ ಹಳೆಯ _ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ _ ರೆಸಿಡ್ _ ನಾರ್ಮ್> ಟೋಲ್ ಎ _ ಸರ್ಚ್ _ ಡೈರೆಕ್ಷನ್ = ಎ * ಸರ್ಚ್ _ ಡೈರೆಕ್ಷನ್ ಸ್ಟೆಪ್ _ ಸೈಜ್ = ಹಳೆಯ _ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ _ ರೆಸಿಡ್ _ ನಾರ್ಮ್ 2/(ಸರ್ಚ್ _ ಡೈರೆಕ್ಷನ್' * ಎ _ ಸರ್ಚ್ _ ಡೈರೆಕ್ಷನ್) #ನವೀಕರಣ ಪರಿಹಾರ @ x = x + ಹೆಜ್ಜೆ _ ಗಾತ್ರ * ಹುಡುಕಾಟ _ ನಿರ್ದೇಶನ #ಉಳಿದ @ಅನ್ನು ನವೀಕರಿಸಿ. ರೆಸಿಡ್ಯೂಯಲ್ = ರೆಸಿಡ್ಯೂಯಲ್-ಸ್ಟೆಪ್ _ ಸೈಜ್ * ಎ _ ಸರ್ಚ್ _ ಡೈರೆಕ್ಷನ್ ನ್ಯೂ _ ಸ್ಕ್ವಿಯರ್ _ ರೆಸಿಡ್ಯೂಲ್ _ ನಾರ್ಮ್ = ಡಾಟ್ (ರೆಸಿಡ್ಯೂಯಲ್, ರೆಸಿಡ್ಯೂಯಲ್) #ಸರ್ಚ್ ಡೈರೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ @ಅನ್ನು ನವೀಕರಿಸಿ. ಸರ್ಚ್ _ ಡೈರೆಕ್ಷನ್ = ರೆಸಿಡ್ಯುಯಲ್ + (ಹೊಸ _ ಸ್ಕ್ವೇರ್ _ ರೆಸಿಡ್ಯುಯಲ್ _ ನಾರ್ಮ್/ಹಳೆಯ _ ಸ್ಕ್ವೇರ್ _ ರೆಸಿಡ್ಯುಯಲ್ _ ನಾರ್ಮ್) ^ 2 * ಸರ್ಚ್ _ ಡೈರೆಕ್ಷನ್ #ಮುಂದಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ರೆಸಿಡ್ಯುಯಲ್ ನಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ನವೀಕರಿಸಿ ಹಳೆಯ _ ಸ್ಕ್ವೇರ್ _ ರೆಸಿಡ್ಯುಯಲ್ _ ನಾರ್ಮ್ = ಹೊಸ _ ಸ್ಕ್ವೇರ್ _ ರೆಸಿಡ್ಯುಯಲ್ _ ನಾರ್ಮ್ ಎಂಡ್ ರಿಟರ್ನ್ x ಎಂಡ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆ. ಪರಿಹಾರ ಉಲ್ಲೇಖಕ್ಕಾಗಿ, ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ x0 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಳಿದ ವೆಕ್ಟರ್ r0 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೊದಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಉಳಿದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ r0 ಅನ್ನು ನಮ್ಮ ಆರಂಭಿಕ ಹುಡುಕಾಟ ದಿಕ್ಕಾದ p0 ಆಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ; pk ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ಮುಂದಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ನಾವು ಈಗ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು x1 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೊದಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ "ಸುಧಾರಿತ" ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, x1. ನಾವು ಈಗ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ಉಳಿದ ವೆಕ್ಟರ್ r1 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈಗ, ಈ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಮುಂದಿನ ಹುಡುಕಾಟ ದಿಕ್ಕನ್ನು p1 ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು x1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಿದ ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು x2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು, x2, x1 ಮತ್ತು x0 ಗಿಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ "ಉತ್ತಮ" ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ-ನಿಖರತೆಯ ಬದಲಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾದರೆ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು n = 2 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ ತಲುಪಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು (n ಎಂಬುದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ). ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ನೇರ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ರೌಂಡ್-ಆಫ್ ದೋಷದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗಾತ್ರಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಿಲೋವ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿ, ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ (ಶಕ್ತಿಯ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ) ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ (ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ) ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು. ಸುಧಾರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವೇಗವನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸುಧಾರಣೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವಂತೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುಪದಗಳ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಗಳ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಈಗ, ಒಮ್ಮುಖದ ದರವನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಗಮನಿಸಿ, ಈ ಮಿತಿಯು ಜಾಕೋಬಿ ಅಥವಾ ಗಾಸ್-ಸೀಡೆಲ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೌಂಡ್-ಆಫ್ ದೋಷವನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆನ್ನೆ ಗ್ರೀನ್ಬಾಮ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಬೌಂಡ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಒಮ್ಮುಖ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೊದಲ ಹಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ರಿಲೋವ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಎರಡನೇ ಹಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ದೋಷದ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸೂಪರ್-ಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರಬಹುದು. ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಸಾಧಿಸಬಹುದಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಸ್ಟಾಲ್ಗಳು ಅಥವಾ ವಿಧಾನವು ಬೇರೆಡೆಗೆ ತಿರುಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಎರಡು-ನಿಖರ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುವ ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಲುಗಡೆ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನದ ತ್ವರಿತ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ವಿಧಾನವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ rk + 1 ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ನಂತರ ಅಂತ್ಯವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾದರೆ ನಿರ್ಗಮನ ಲೂಪ್ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಫಲಿತಾಂಶವು xk + 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿಯಮಿತ ಸಂಯೋಜಿತ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು (ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು) ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತದ ಚೋಲ್ಸ್ಕಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಇದು ಅದೇ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ವ ಷರತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಷರತ್ತಿನ ಮೇಲಿನ ಈ ಯಾವುದೇ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನದ ನಡವಳಿಕೆಯು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಪೂರ್ವ ಷರತ್ತಿನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅಪೂರ್ಣವಾದ ಕೊಲೆಸ್ಕಿ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆ. ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸವಾಲಿನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಪೂರ್ವನಿಯಂತ್ರಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬದಲಾವಣೆಗಳ ನಡುವೆ ಬದಲಾಗುವ, ಬದಲಾಗುವ ಪೂರ್ವನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲೂ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಷರತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅದು ಬದಲಾಗಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವು ಮೇಲಿನ ವಾದಗಳನ್ನು ಅಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಗಮನಾರ್ಹ ನಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ಲೆಚರ್-ರೀವ್ಸ್ ಸೂತ್ರದ ಬದಲಿಗೆ ಪೊಲಾಕ್-ರಿಬಿಯರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನದ ಈ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಫ್ಲೆಕ್ಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬದಲಾಗುವ ಪೂರ್ವನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಕಂಡಿಷನರ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತ (ಎಸ್. ಪಿ. ಡಿ) ಆಗಿರದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಆವೃತ್ತಿಯು ದೃಢವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಆವೃತ್ತಿಯ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಾಹಕವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಎಸ್. ಪಿ. ಡಿ. ಪೂರ್ವ ಷರತ್ತಿಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳು ನಿಖರವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ರೌಂಡ್-ಆಫ್ ದೋಷವಿಲ್ಲದೆ. ಪೋಲಕ್-ರಿಬಿಯರ್ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಿಧಾನದ ಉತ್ತಮ ಒಮ್ಮುಖದ ನಡವಳಿಕೆಯ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯೆಂದರೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸ್ಟೀಪಸ್ಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವರ್ಸಸ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಸ್ಟೀಪಸ್ಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಮೂಲ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ, ಲೈನ್ ಸರ್ಚ್, ಸ್ಟೀಪಸ್ಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರ್ಯಾಯದೊಂದಿಗೆ, ವಾಹಕಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ವಾಹಕಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಕಡಿದಾದ ಇಳಿಜಾರಿನ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅಗ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡನೆಯದು ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, (ಹೆಚ್ಚು) ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಎಸ್. ಪಿ. ಡಿ ಅಲ್ಲದ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಕಂಡಿಷನರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲೆ ನೋಡಿ. ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ನಿಯಂತ್ರಕವಾಗಿದೆ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ನಿಯಂತ್ರಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ, ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಬದಲಾಗುವ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಲಾಭಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾದ ಎಟಿಎ ಮತ್ತು ರೈಟ್ ಹ್ಯಾಂಡ್ ಸೈಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಟಿಬಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಎನ್-ಬೈ-ಎಂ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಎಟಿಎ ಯಾವುದೇ ಎಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಧನಾತ್ಮಕ-ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ (ಸಿಜಿಎನ್ಆರ್) ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಎಟಿಎಎಕ್ಸ್ = ಎಟಿಬಿ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿ, ಎಟಿಎಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮೆಮೊರಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಮಾತ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎ ವಿರಳವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಸಿಜಿಎನ್ಆರ್ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ತೊಂದರೆಯೆಂದರೆ ಷರತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ κ (ATA) κ2 (A) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ CGNR ನ ಒಮ್ಮುಖದ ದರವು ನಿಧಾನವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರದ ಗುಣಮಟ್ಟವು ರೌಂಡ್ಆಫ್ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರಬಹುದು. ಉತ್ತಮ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಕಂಡಿಷನರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿಜಿಎನ್ಆರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಜಿಎಲ್ಎಸ್, ಎಲ್ಎಸ್ಕ್ಯೂಆರ್). ಎಲ್ಎಸ್ಕ್ಯೂಆರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎ ಅನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎ ದೊಡ್ಡ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ x ಗಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮಾರ್ಪಾಡಿನೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಎ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ (ಅಂದರೆ, ಎ '= ಎ) ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆ' ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮಾರ್ಪಾಡು ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ ನೈಜ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ಗೆ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು. ಬೈಕೋನ್ಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮೆಥಡ್ (ಬಿಐಸಿಜಿ) ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಮೆಥಡ್ (ಸಿಜಿಎಸ್) ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ರೆಸಿಡ್ಯುಯಲ್ ಮೆಥಡ್ ಗಾಸಿಯನ್ ನಂಬಿಕೆ ಪ್ರಸರಣ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಃ ಲೀನಿಯರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಕ್ರಿಲೋವ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮೆಥಡ್ ಪ್ರಿಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಸ್ಪಾರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವ ಗೆರಾರ್ಡ್ ಮ್ಯೂರಾಂಟ್ಃ "ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಸೈಲೆಂಟ್ ದೋಷಗಳ ಪತ್ತೆ ಮತ್ತು ತಿದ್ದುಪಡಿ", ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಸ್, vol.92 (2023), pp.869-891. ಯುಆರ್ಎಲ್ = https://doi.org/10.1007/s11075-022-01380-1 ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್/ಆಕ್ಟೇವ್ ಕೋಡ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು