Generic polynomial
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಶಾಖೆ, ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಜೆನೆರಿಕ್ ಬಹುಪದ ಎಂಬ ಪದವು ವಿಭಿನ್ನವಾದ, ಸಂಬಂಧಿತವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು G ಮತ್ತು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ F ಗೆ ಜೆನೆರಿಕ್ ಬಹುಪದವು ಒಂದು ಮೋನಿಕ್ ಬಹುಪದ P ಆಗಿದ್ದು, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ L = F (t1,., tn) f ಮೇಲೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ P ನ ವಿಭಜನೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರ M ಯು G ಗುಂಪಿನ G ಅನ್ನು L ಮೇಲೆ ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ G ಯೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರತಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು K/F ಅನ್ನು ಬಹುಪದದ ವಿಭಜನೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ವಿಶೇಷೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನಿರ್ಮಾಣವು ಆ ಗುಂಪಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎಂಟನೇ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಎಸ್. ಎನ್. ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ Sn ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು Cn, ಇಲ್ಲಿ n ಅನ್ನು ಎಂಟರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. n ಅನ್ನು ಎಂಟರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಲೆನ್ಸ್ಟ್ರಾ ತೋರಿಸಿದರು, ಮತ್ತು n ಅನ್ನು ಎಂಟರಿಂದ ಭಾಗಿಸದಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಬಹುಪದವನ್ನು ಜಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಸ್ಮಿತ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದಗಳ ಇತರ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಡಿಎನ್ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು, ಎನ್ ಅನ್ನು ಎಂಟರಿಂದ ಭಾಗಿಸದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಗುಂಪು Q8. ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪುಗಳು p. ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪು A4. ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪು A5. ಇ6, ಇ7, ಮತ್ತು ಇ8 ಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ಕ್ಯೂ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪುಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು. ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ಪುಷ್ಪಗುಚ್ಛದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು ಎರಡೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಜೆನೆರಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಡಿಗ್ರಿ 5 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯಾಮ ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಜಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಜಿ ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಜೆನ್ಸನ್, ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಯು., ಲೆಡೆಟ್, ಆರ್ನೆ, ಮತ್ತು ಯುಯಿ, ನೋರಿಕೋ, ಜೆನೆರಿಕ್ ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2002 ಫೀಲ್ಡ್ (ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್) ಗಲೊಯಿಸ್ ಥಿಯರಿ