Cross section (geometry)
ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗವು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಘನ ವಸ್ತುವಿನ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಉನ್ನತ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಚೂರುಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ ಅನೇಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳು ಸೃಷ್ಟಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಯನ್ನು, ಅಂದರೆ, ಈ ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಮತಲವು ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎತ್ತರಿಸಿದ-ಪರಿಹಾರ ನಕ್ಷೆಯ ಪರ್ವತಗಳ ಮೂಲಕ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಸಮಾನ ಎತ್ತರದ ಪರ್ವತಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವು, ಅದನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುವಿನ ಆಂತರಿಕ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಕ್ರಾಸ್ ಹ್ಯಾಚಿಂಗ್ ಶೈಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಡ್ಡಹಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟೆಡ್ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ ಟೋಮೋಗ್ರಫಿಯೊಂದಿಗೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ಕ್ಷ-ಕಿರಣ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸಮತಲವು ಘನವನ್ನು (3-ಆಯಾಮದ ವಸ್ತು) ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಘನಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಘನದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘನದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಘನದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಆಕಾರವು ಘನಕ್ಕೆ ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚೆಂಡಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ಕ್ಯೂಬ್ನ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳು ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ಕ್ಯೂಬ್ಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ಘನದ ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಮುಖಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವು ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಘನದ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವು ಒಂದು ಬಿಂದು, ತ್ರಿಕೋನ ಅಥವಾ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ವಿಮಾನ ವಿಭಾಗಗಳು ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗ, ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಯೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವು ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಘನದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು (ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಸಮತಲ) ಸಮತಟ್ಟಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಅಥವಾ ಐಸೋಲೈನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು (-ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸಮತಲಗಳು) ಸಮತಲ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಕ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲ ವಿಭಾಗಗಳ ಗಣಿತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳು-ವೃತ್ತಗಳು, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು, ಪ್ಯಾರಬೋಲಾಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು-ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ ವಿವಿಧ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನ್ಗಳ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಯಾವುದೇ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗಗಳು ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲಗಳು ಸಮ್ಮಿತಿ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದಾಗ ಇವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಚತುರ್ಭುಜದ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗಗಳು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ತಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಬೇಸ್ಗಳ ನಡುವೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿರುವ ಘನ ಬಲ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವು ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅಂಡಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶವು (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ) ಅದು ತಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ತಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಿಲಿಂಡರ್ಗೆ ಕೇವಲ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರದ ಹೊರತು ಆಯತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ತೋರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸಿಲಿಂಡರ್ ಎಂಬ ಪದವು ಘನ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಹ ಅರ್ಥೈಸಬಲ್ಲದು (ಸಿಲಿಂಡರ್ (ಜ್ಯಾಮಿತಿ) ನೋಡಿ). ಸಿಲಿಂಡರನ್ನು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಓದಬಹುದುಃ ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಸೀಮಿತ ಉದ್ದದ ಬಲ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವು ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದು ಆ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಲಂಬವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ಸಿಲಿಂಡರಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರದ ಹೊರತು ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವು ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅದರ ಒಂದು ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಕೇವಲ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಟ್ಟದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಯೋಜಿಸಲು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ನಂತರ ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಇಳಿಜಾರಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲವು ಒಂದು ಅಸ್ಥಿರದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಇತರ ಅಸ್ಥಿರದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿದೆ). ಬದಲಿಗೆ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಐಸೊ-ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ, ಈ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳು ಅಂಡಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವು ವಿವಿಧ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಒಳಹರಿವಿನಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಮಿಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಬಂಡವಾಳದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಸ್ಥೆಯ ಅಥವಾ ಸಮಾಜದ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಕಾರ್ಮಿಕ ಮತ್ತು ಬಂಡವಾಳದ ಬಳಕೆಯ ವಿವಿಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಒಂದು ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮತಲ ವಿಭಾಗದ ಎತ್ತರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಉತ್ಪಾದನಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮತಲ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅಂದರೆ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಬಳಕೆಯ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಎಷ್ಟು ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅಥವಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಸರಕುಗಳನ್ನು ಸೇವಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯುವ ಗ್ರಾಹಕರ ತೃಪ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ (ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಮಟ್ಟ) ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಳಕೆಯಾದ ಮೊತ್ತಗಳ ವಿವಿಧ ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇವೆಲ್ಲವೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನವಸ್ತುಗಳು ಸಮಾನ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿಯ ತತ್ವವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನದಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ವಸ್ತುವಿನ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗೀಯ ಪ್ರದೇಶವು () ಆ ಕೋನದಿಂದ ವಸ್ತುವಿನ ಆರ್ಥೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, h ಮತ್ತು r ತ್ರಿಜ್ಯದ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರನ್ನು ಅದರ ಕೇಂದ್ರ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನೋಡಿದಾಗ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಕೋನದಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ r ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳವು ಇರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ವೀಕ್ಷಕರ ಕಡೆಗೆ ನೋಡುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುವ ಘಟಕ ವಾಹಕವು ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಬಾಹ್ಯ-ಸೂಚಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವೀಕ್ಷಕರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ "ಗೋಚರಿಸುವ" ಮೇಲ್ಮೈಯ ಆ ಭಾಗದ ಮೇಲಿನ-ಅತ್ಯಂತ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ದೇಹಕ್ಕೆ, ವೀಕ್ಷಕರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ವಸ್ತುವಿನ ಮೂಲಕ ಹರಿಯುವ ಪ್ರತಿ ಕಿರಣವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು () ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಇದರಿಂದಾಗಿ ವಸ್ತುವಿನ "ಮೇಲ್ಭಾಗ" ಮತ್ತು "ಕೆಳಭಾಗ" ವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಎರಡರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದುಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಘನದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುವಿನ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನೊಂದಿಗೆ (ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಉಪ-ಸ್ಥಳ) ದೇಹದ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಛೇದನವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉನ್ನತ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುವು ನಮ್ಮ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋದರೆ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುವಿನ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 3-ಜಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ 4-ಚೆಂಡು (ಹೈಪರ್ಸ್ಪಿಯರ್) 3-ಚೆಂಡಿನಂತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಸ್ತುವು (3-ಜಾಗದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ) 4-ಚೆಂಡಿನ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಭೂವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಗ್ರಹದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಗ್ರಹದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಹದ ಒಳಭಾಗದ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಭೂಮಿಯ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಅಂಗಾಂಗದ ಆಂತರಿಕ ರಚನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅಂಗರಚನಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮರದ ಕಾಂಡದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗವು, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಮರದ ವಯಸ್ಸು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಸರದ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸ್ಫೋಟಿತ-ವೀಕ್ಷಣೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪ ಯೋಜನೆಗಳು (ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು) ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಗೇಜ್ ವಿಭಾಗದ ಲೈನಿಂಗ್; ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸೆಕೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇನ್ಫೋಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ವಿಮಾನಗಳ ತಾಂತ್ರಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವಿಧಾನಗಳು (ಜ್ಯಾಮಿತಿ)