Numerical model of the Solar System
ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯು ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ಗ್ರಹಗಳ ಅಂದಾಜು ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಖಗೋಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದವು. ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಈ ಅನುಕರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಭವಿಷ್ಯದ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಬಳಕೆಯು ಪಂಚಾಂಗಗಳ ತಯಾರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಆಗಿದೆ. ಹಳೆಯ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಅಥವಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ತೀವ್ರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡನೆಯದು ಕಡಿಮೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸರಳ ಅಂದಾಜುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ಮತ್ತು ನಂತರ ಬಯಸಿದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವಷ್ಟು ಗೊಂದಲಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಈ ಗಣಿತದ ಅನುಕರಣೆಯು ಎನ್-ಬಾಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸೂರ್ಯ, 8 ಗ್ರಹಗಳು, ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ಉಪಗ್ರಹಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಗ್ರಹಶಿಲೆಗಳು, ಧೂಮಕೇತುಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಬೆಳೆಯಬಹುದಾದ ದೇಹಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎನ್ ಚಿಹ್ನೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಇತರ ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಸೂರ್ಯನ ಪ್ರಭಾವವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ದೇಹಗಳ ಪ್ರಭಾವವು ಪರಸ್ಪರರ ಮೇಲೆ ಎಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ 2-ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಗ್ರಹದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಕಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಸ್ಥಾನದ ಸರಳ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ಚಂದ್ರರು ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಮೇಲೆ ಬೀರುವ ಪ್ರಭಾವಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣ ಗ್ರಹಗಳ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಳತೆಗಳನ್ನು 1 "ಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ನಿಖರತೆಗೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಕರಣೆಗಳಿಗೆ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದರೂ, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಬಹುಶಃ ಕೆಲವು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಬಯಸಿದ ಗ್ರಹಗಳ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರಮವಿಲ್ಲದೆ ತಲುಪಬಹುದು ಎಂದು ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಪಕಾಲಿಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇನ್ನೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಹಳ ಮುಂದುವರಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನವು 3-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸ್ಥಾನ (x, y, z) ಮತ್ತು ವೇಗ (vx, vy, vz) ದ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಸಹ ತಿಳಿದಾಗ, ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು (ಅಕ್ಷ, ಅಯ್, ಅಜ್) ನ್ಯೂಟನ್ರ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದೇಹವು ಪರಸ್ಪರ ದೇಹವನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಒಟ್ಟು ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಆಕರ್ಷಣೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮುಂದಿನದು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಮಯ-ಹಂತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ನ ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು Δt ಯೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದರೆ ವೇಗಕ್ಕೆ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. Δt ಯೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವೇಗವು ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ದೇಹಗಳಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎಲ್ಲಾ ಪದಾರ್ಥಗಳ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ವೇಗಕ್ಕೆ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಈ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ಸಮಯ-ಹಂತದ Δt ಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ದೇಹಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳ ವಿವರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾದ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ದೇಹಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಗೊಂದಲಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಕಷ್ಟಕರ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಅನಾನುಕೂಲವೆಂದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು, ಅಥವಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ವಾಸ್ತವದಿಂದ ದೂರ ಸರಿಯುತ್ತವೆ; ಒಬ್ಬರು x, y, z ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಗ್ರಹಣ ಅಥವಾ ಸಮಭಾಜಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಅಥವಾ ಏನೂ ಇಲ್ಲದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗ್ರಹದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಹಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮಯ-ಹಂತಗಳನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಏಕೀಕರಣ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಟೈಮ್ಸ್ಟೆಪ್ Δt ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿತ್ತು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಸರಳವಾಗಿ V × Δt ಅನ್ನು R ಗೆ ಸೇರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ, ಒಬ್ಬರು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಕ್ರಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಷೇಧಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವಾಗ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವೇಗವರ್ಧನೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತತ್ಕ್ಷಣದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಮೊದಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೇಹ ಜೆ ಮೇಲೆ 1 ರಿಂದ ಎನ್ ವ್ಯಾಯಾಮದವರೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಯಗಳ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಎಕ್ಸ್, ವೈ, ಝಡ್ ಘಟಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ 3 ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ, ವೈ ಮತ್ತು ಝಡ್ಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ. ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣವು (ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ) ಮುನ್ಸೂಚಿಸುವಂತೆ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಲ್ಲ. ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳು) ಸರಳವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅವು ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ dt ಬದಲಿಗೆ ನಾವು Δt ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆಃ, ಮತ್ತುಃ a ಇನ್ನೂ ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ಇವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಯೂಲರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ರೇಖೀಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನಮ್ಮನ್ನು 1 ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವುದುಃ a.old = ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕಾರ್ಯ (x.old) x.new = x.old + v.old * dt v.new = v.old + a.old * dt ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಟೈಮ್ಸ್ಟೆಪ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಗೆ ಬಳಸುವ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು, ಟೈಮ್ಸ್ಟೆಪ್ನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದ್ದಂತೆ, ಈ ಸರಳ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸರಾಸರಿ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ (ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ) ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿಃ a.old = ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕಾರ್ಯ (x.old) x.expect = x.old + v.old * dt v.new = v.old + (a.old + a.expect) * 0.5 * dt x.new = x.old + (v.new + v.old) * 0.5 * dt ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ರುಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ 4 ಅಥವಾ 5ನೇ ದರ್ಜೆಯ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಉತ್ತಮ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಲೀಪ್ಫ್ರಾಗ್ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಬಳಕೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಆದರೆ r ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಬದಲು, ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ r ಮತ್ತು v (ಅಂದರೆ r ') ನಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ f ಮತ್ತು g ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂದಾಜುಗಳು ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಆಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನಲ್ಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಮಾಣವು ಕಾಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಃ ಕಾಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಣ್ಣ ಸಮಯದ ಹಂತಗಳನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಮತ್ತೆ ಕೆಲಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಈ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿರುವಂತೆ, ಸರಿಯಾದ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಘಟಕಗಳ ಆಯ್ಕೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಸ್. ಐ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಬದಲು, ಇದು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳನ್ನು 1 ರ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೌರವ್ಯೂಹದಲ್ಲಿನ ದೂರಗಳಿಗೆ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಘಟಕವು ಅತ್ಯಂತ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಓವರ್ಫ್ಲೋ ಅಥವಾ ಅಂಡರ್ಫ್ಲೋ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೈಬಿಡಲಾದ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವುದು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಷ್ಟು ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷಗಳಿಂದಾಗಿ ನಿಖರತೆಯು ಕಳೆದುಹೋಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. N ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗ್ಯಾಲಕ್ಸಿ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು) ದೇಹಗಳ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಉಲ್ಲೇಖ ದೇಹದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಯಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಆಕರ್ಷಣೆಯು ಇಡೀ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸರಾಸರಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಸಂರಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ನಂತರ ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಅವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಹಂತಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವರು ಹಾಗೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಹಿಂದಿನಂತೆ ದೇಹಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ದೇಹಗಳಿಗಿಂತ ದೂರದ ದೇಹಗಳ ಮೇಲೆ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವು ಉಲ್ಲೇಖ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಅತಿಯಾದ ತ್ವರಿತ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು, ಸಣ್ಣ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ತೊಡಕುಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಧೂಮಕೇತುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಕಿರಣದ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಅನಿಲದ ಎಳೆತದಂತಹ ಅಭೇದ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಬುಧ ಮತ್ತು ಇತರ ಗ್ರಹಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಆವೇಗದೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ವಾಹಕ ಶಕ್ತಿಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಬೆಳಕಿನ ಸೀಮಿತ ವೇಗವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಬೆಳಕಿನ-ಸಮಯದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದನ್ನು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೂಮಿಯ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುವುದು ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಕ್ಷೀಯ ಓರೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಹಗಳ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಚಲನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಕೊರತೆಯಿಂದಾಗಿ ಕೆಲವು ಹತ್ತಾರು ದಶಲಕ್ಷ ವರ್ಷಗಳನ್ನು ಮೀರಿದ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಮಾದರಿಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಫೆಮೆರಿಸ್ ವಿ. ಎಸ್. ಓ. ಪಿ. (ಗ್ರಹಗಳು) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಸೋಲಾರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮಾಡೆಲ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.