Iterated function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಸೆಟ್ನಿಂದ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ). ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆಃ ಕಾರ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗಣಕಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು, ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಮೂಹ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ X ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯದ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ. (ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಬರ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಫ್ರೆಡೆರಿಕ್ ವಿಲಿಯಂ ಹರ್ಷೆಲ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸಂಕೇತ) n-th ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮೂಲಕಃ ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಸಹವರ್ತಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಕೇತವು ಕಾರ್ಯದ ಪುನರಾವರ್ತನೆ (ಸಂಯೋಜನೆ) ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ ಘಾತಾಂಕ ಎರಡನ್ನೂ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು (ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಕೆಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಕಾರ್ಯದ-th ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರ್ಥ. ಅದೇ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಬೆಂಜಮಿನ್ ಪಿಯರ್ಸ್ ಬಳಸಿದರೆ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಪ್ರಿಂಗ್ಶೀಮ್ ಮತ್ತು ಜೂಲ್ಸ್ ಮೊಲ್ಕ್ ಸೂಚಿಸಿದರು. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, ಇದು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ (ಋಣಾತ್ಮಕ, ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಮತ್ತು, ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನುವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ, cf ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶ್ರೋಡರ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅಬೆಲ್ ಸಮೀಕರಣ. ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಇದು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವು ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಎಮಿಲ್ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಇನ್ಗೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆರ್ಬಿಟ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಕ್ಷೆಯ ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಆವರ್ತಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸೈಕಲ್ ಡಿಟೆಕ್ಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಆವರ್ತಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮತ್ತು ಕಕ್ಷೆಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಕಕ್ಷೆಯ ಅವಧಿಯು) ಇದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಬ್ರೌವರ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಹಲವಾರು ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಐಟ್ಕೆನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸ್ಟೆಫೆನ್ಸನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಚತುರ್ಭುಜ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವುದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ನಂತರ, ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಕಡೆಗೆ ಕುಗ್ಗುವ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಕರ್ಷಕ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರ ಹೋಗುವ ಬಿಂದುಗಳ ನೋಟವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು; ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕಕ್ಷೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಗ್ಗೂಡಿದಾಗ, ಕಕ್ಷೆಯ ಶೇಖರಣೆ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ω-ಮಿತಿ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಕರ್ಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿಕರ್ಷಣೆಯ ವಿಚಾರಗಳು ಇದೇ ರೀತಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ; ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. (ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನಂತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.) ಇತರ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ನಡವಳಿಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಲೆದಾಡುವ ಬಿಂದುಗಳು ದೂರ ಹೋಗುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವೂ ಹಿಂತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಅಳತೆಯು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ವಿಕಸನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದು ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ನಂತರ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದು-ಮೋಡ ಅಥವಾ ಧೂಳು-ಮೋಡದ ನಡವಳಿಕೆಯಂತೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಬದಲಾಗದ ಅಳತೆಯು ರುಯೆಲ್-ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್-ಪೆರಾನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅಥವಾ ವರ್ಗಾವಣೆ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು 1 ರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಸ್ಥಿರ, ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಶಿಫ್ಟ್, ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಪಕ್ಕವಾದ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೂಪ್ಮನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಶಿಫ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಶಿಫ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಬ್ಶಿಫ್ಟ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನೇಕ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಳನೋಟವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಭಿನ್ನಾಂಕದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಮತ್ತು ಹರಿವುಗಳು, ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಸಮೀಕರಣವು ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬಳಸಬೇಕು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬ್ಯಾಬೇಜ್ ಅವರ ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿರುವಂತೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳು; ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನೇಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆಯೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ "0/0" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಎಫ್ಎಸ್ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಎಫ್ ನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮೂಲವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಸಿಎಫ್. ಚಿತ್ರ. ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಬೇರುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿರುವ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಸೇರಿದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಭಿನ್ನಾಂಕದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅರ್ಧ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಮೊದಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಎಣಿಕೆ ನಿರಂತರ ನಿಯತಾಂಕವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರಂತರ ಕಕ್ಷೆಯ ಒಂದು ರೀತಿಯ ನಿರಂತರ "ಸಮಯ". ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹರಿವು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಸಿಎಫ್. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಯೋಗದ ವಿಭಾಗ.) ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ), ನಂತರ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಕಾರ್ಯ ವಿಲೋಮಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಲೋಮವು ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಭಿನ್ನಾಂಶ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನಾಂಶ ಧನಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದನ್ನು, ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅಂತಹ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭಾಗಶಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಸರಣಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಮೊದಲು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ರಿಯಲ್ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ n ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಇದು, ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ a ಅನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ಯಾವುದೇ k ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ಪದಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಿದೆ, ಯಾವಾಗ, ಇದನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು, ಆದರೂ ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿ, ನಂತರದ ಪದಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಸಂಯೋಗದ ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾದುದಕ್ಕೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2 ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಿ n ಬಾರಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ (ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ n ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಅಂತರ್ವೇಶನಗೊಂಡ ಮೌಲ್ಯಗಳು). ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇದೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 2 ರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತಲೂ ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ ಅದು ಅನಂತ ಸರಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು n ಧನಾತ್ಮಕ-cf ಆಗಿರುವಾಗ ಮೊದಲ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಟೆಟ್ರೇಶನ್ಃ (ಇತರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಸರಣಿಯು ಬೇರೆಡೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ.) ಏಕೆಂದರೆ, ಸರಣಿಯು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3 ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು 1 ರ ಸುತ್ತಲೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ಇದು ಸರಳವಾಗಿ x (bn) ನ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು 1 ರ ಸುತ್ತಲೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ. ಸಂಯೋಗವು ಎರಡು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೆಂಟ್ ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಎಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಮಾಡುವುದು, ಅಬೆಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ, ಇಲ್ಲಿ = 0, (0) = 0 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶ್ರೋಡರ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕೇವಲ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅದರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕಕ್ಷೆ, ಅಥವಾ ಹರಿವು, ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಬಂಧನೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ,), ಮೊನೊಮಿಯಲ್ನ ಕಕ್ಷೆಯ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸರಳ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಃ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ! ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ, ಘಾತಾಂಕವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದು ಪೂರ್ಣ ಕಕ್ಷೆಯ ವಿಕಾಸದ ನಿರಂತರ "ಸಮಯ" ವಾಗಿದೆಃ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊನಾಯ್ಡ್ (cf. ರೂಪಾಂತರ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್) ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು (ಪ್ರಧಾನ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ನಿರ್ಣಯ, cf. ಕಾರ್ಲ್ಮನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳು ಕಾರ್ಯವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅನೇಕ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಶ್ರೋಡರ್, 1870 ರಲ್ಲಿ, ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಪ್ರಕರಣದಂತಹ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು, ಆದ್ದರಿಂದ. ಶ್ರೋಡರ್ ತನ್ನ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಿದ ಒಂದು ಅಸಂಬದ್ಧ ಪ್ರಕರಣವು, ಫಲ ನೀಡಿತು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಗುಂಪು ಅಂಶದ ಕ್ರಿಯೆಯಿದ್ದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು n-th ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಕೆಲವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ n, ಹಾಗೆಯೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಗಮನಿಸಿಃ ಈ ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮಾತ್ರ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ರಮವಾಗಿ b = 2 =-a ಮತ್ತು b = 4 =-a ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದ ಮೊದಲು ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸರಳ ಸಂಯೋಗಗಳಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಧಾನಗಳಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆರ್ಟಿನ್-ಮಜೂರ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗಾವಣೆ ನಿರ್ವಾಹಕರೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಂತಹ ವಿಶಾಲವಾದ ವಿಷಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಅಥವಾ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಡಿನೋಟೇಶನಲ್ ಶಬ್ದಾರ್ಥದಂತಹ ಕಿರಿದಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರಿಸುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇವುಗಳು ಸಂಕಲನಃ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಉತ್ಪನ್ನಃ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಲೈ ನ ದತ್ತಾಂಶ ಸಾರಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ th ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವೇಗ ಅಥವಾ ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ಲೈನ್ ಶಿಫ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ನಿಂದ ಕ್ರಿಯೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಬೆಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾದದ್ದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ನಿರಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕಾಗಿ, ಈಗ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಲೈ ಅವರ ನಿರಂತರ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಘಾತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆರಂಭಿಕ ಹರಿವಿನ ವೇಗವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಹರಿವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಘಾತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಅನುವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆವರ್ತನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.