Schwarzschild geodesics
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಿರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಚಲನೆ. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಊರ್ಜಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವು ಸೌರವ್ಯೂಹದಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಗಳ ಅಸಂಗತ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಬೆಳಕಿನ ವಿಚಲನದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಖರವಾದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವು ಅನೇಕ ಖಗೋಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅದು ಕೇಂದ್ರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಿಂತ ಅನೇಕ ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಮ್ಮ ನಕ್ಷತ್ರವನ್ನು ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ ಗ್ರಹಗಳಿಗೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಎರಡು ಕಾಯಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಚಲನೆಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ, ಇದು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಅವಳಿ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಸಂಶೋಧಕ ಕಾರ್ಲ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಅವರ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವರು 1915 ರಲ್ಲಿ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಸುಮಾರು ಒಂದು ತಿಂಗಳ ನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೊದಲ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. 1931ರಲ್ಲಿ, ಯುಸುಕೆ ಹಗಿಹಾರಾ ಅವರು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣದ ಪಥವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 1949ರಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಮುಯಿಲ್ ಕಪ್ಲಾನ್, ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲು ಕನಿಷ್ಠ ತ್ರಿಜ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಇದು ಚಾರ್ಜ್ ಮಾಡದ, ತಿರುಗಿಸದ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು, ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯ (ಕಣದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಗಡಿಯಾರದಿಂದ ಅಳೆಯುವ ಸಮಯ), ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಮೀಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಸಮಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು (ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಗಡಿಯಾರದಿಂದ ಅಳೆಯುವ ಸಮಯ) ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕೆಂದರೆ, ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು (ನಕ್ಷತ್ರವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ) ಮೀಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ, ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಕೊಲ್ಯಾಟಿಟ್ಯೂಡ್ (ಉತ್ತರದಿಂದ ಕೋನ), ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೃಹತ್ ವಸ್ತುವಿನ (ಮೀಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ) ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿರುವ ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅನುಪಾತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಅನುಪಾತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಹಳ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೂಮಿಯ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸರಿಸುಮಾರು 9 ಮಿಮೀ (ಇಂಚು) ಆಗಿದೆ; ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳು ಒಂದು ಶತಕೋಟಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸೂರ್ಯನ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ತ್ರಿಜ್ಯವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಸರಿಸುಮಾರು 2953 ಮೀಟರ್, ಆದರೆ ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಅನುಪಾತವು ಸರಿಸುಮಾರು 4 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಬಿಳಿ ಕುಬ್ಜ ನಕ್ಷತ್ರವು ಹೆಚ್ಚು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿನ ಅನುಪಾತವು ದಶಲಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸರಿಸುಮಾರು 250 ಭಾಗಗಳಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್ ನಕ್ಷತ್ರಗಳು (ಅಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತವು ಸರಿಸುಮಾರು 50 ಪ್ರತಿಶತ) ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಗಳಂತಹ ಅತಿ-ದಟ್ಟವಾದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಈ ಅನುಪಾತವು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳು ನಾವು ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸುಮಾರು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ (ಸಮತಲವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಣದ ಕಕ್ಷೆಯು ಆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ (ಈ ಸಮತಲದ) ಚಲನೆಯ ಎರಡು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸರಳವಾಗುತ್ತದೆ (ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಗುರುತಿಸಬಹುದು (cf. ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ). ಒಂದು ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗಃ ಎರಡು ಕಾಯಗಳ ಒಟ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ, ಕಡಿಮೆಯಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬುಧ ಗ್ರಹದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಈ ಸರಳೀಕರಣವು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಪರಿಣಾಮಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ದೋಷವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳು ಯಾವುವು. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಅನಂತವಾದ (ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಪಥಗಳನ್ನು ನೀಡುವ) ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾದ (ಟ್ಯಾಕ್ಯೋನಿಕ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ) ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಫೋಟಾನಿಕ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಟ್ಯಾಕೋನಿಕ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗೆ ವರ್ಗಮೂಲವು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಆಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ತಲುಪದೆ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಟ್ಟು ಪರಿಹಾರವು ಎರಡು ಅಥವಾ ಅನಂತ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಆದರೆ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ, ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಫೋಟಾನಿಕ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗೆ () (ಫೋಟಾನಿಕ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದ್ದರೂ, ಒಬ್ಬರು ಅಫೈನ್ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಯಾವುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸರಿಯಾದ ಸಮಯವನ್ನು ನೀಡುವ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ದ್ರಾವಣದ ಹೊರಗೆ ಟ್ಯಾಕ್ಯೋನಿಕ್ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಸರಿಯಾದ ಸಮಯ" ಸ್ಥಳದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆಃ ಇದು ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಇತರ ಟ್ಯಾಕ್ಯೋನಿಕ್ ದ್ರಾವಣಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಟ್ಯಾಕ್ಯೋನಿಕ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಹೊರಭಾಗವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಒಳಗಿನಿಂದ ಮುಂದುವರಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ "ಸಮಾನಾಂತರ ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರದೇಶ" ದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ (ಕ್ರುಸ್ಕಲ್-ಸ್ಜೆಕೆರೆಸ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಇತರ ಟ್ಯಾಕ್ಯೋನಿಕ್ ದ್ರಾವಣಗಳು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಮತ್ತೆ ನಿರ್ಗಮಿಸಬಹುದು. ಈವೆಂಟ್ ಹಾರಿಜಾನ್ () ಒಳಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಬಿಳಿ ರಂಧ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ದ್ರಾವಣದಿಂದ ಮುಂದುವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಕೋನದ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಕ್ಷೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ಎರಡು ಉದ್ದ-ಮಾಪಕಗಳು, ಮತ್ತು, ಟ್ಯಾಕೋನಿಕ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮತ್ತು ನೈಜ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಜಾಕೋಬಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಯ ಮತ್ತು ವಿಳಂಬಿತ ವೇಗಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ವೇಗದ ರೇಡಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಘಟಕಗಳಲ್ಲ (ಸ್ಥಿರ ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ), ಬದಲಿಗೆ ಅವು ರೇಡಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಅಡ್ಡ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ದೃಶ್ಯದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಬುಕ್ಕೀಪರ್ ಶಾಪಿರೋ-ವಿಳಂಬಿತ ವೇಗವನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತಾನೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು. ಬುಕ್ಕೀಪರ್ ಮತ್ತು ಚಲಿಸುವ ಪರೀಕ್ಷಾ-ಕಣದ ನಡುವಿನ ಸಮಯದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಸಹ ಅಂಶವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಸಮಯದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಅನಂತದಿಂದ ಬೀಳುವ ಕಣಕ್ಕೆ ಎಡ ಅಂಶವು ಬಲ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ವೇಗವು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವೇಗಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯೊಂದಿಗಿನ ಪರೀಕ್ಷಾ-ಕಣದ ಎರಡು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಎಂಬುದರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೃಹತ್ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣಗಳಿಗೆ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸರಿಯಾದ ಸಮಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಫೋಟಾನ್ಗಳಂತಹ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ನಿಯತಾಂಕದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕಣವು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ರಹಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿದ ಆವರ್ತನ ಇರುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರ ಕಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಘನ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಮೂರು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೂರು ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪದದ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಮೂಲಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹಾಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ನೈಜ ಮೂಲವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೂಲವಿರಬಹುದು; ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬೇರುಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಮೂಲಗಳ ಈ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಮೂಲಭೂತ ಕಕ್ಷೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಜಾಕೋಬಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಹಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು, ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ ಒಬ್ಬರು ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೇ ಮೂಲವು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ, ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ; ಆ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಗಳಿಗೆ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ಫೋಕಲ್ ಕೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಕ್ಷೆಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಂತರದ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಹತ್ತಿರದ ವಿಧಾನದ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ಕಕ್ಷೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರಿಂದ (), ದೂರದ ವಿಧಾನದ ದೂರವಿಲ್ಲ. ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಅವಲೋಕನ ಒಂದು ಮೂಲವು ಕಕ್ಷೆಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಿ. ಅಂತಹ ತಿರುವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಗರಿಷ್ಠ, ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಮೂಲಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು u ಮತ್ತು φ ನಡುವಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು u1 ಮತ್ತು u2 ನಡುವೆ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಥವಾ ಅದು u3 ನಿಂದ ಅನಂತದ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸಬಹುದು (ಇದು r ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ). ಯು1 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, "ಆಂದೋಲನ" ದ ಒಂದು ಭಾಗ ಮಾತ್ರ ನಿಜವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನಂತದಿಂದ ಬರುವ ಕಣಕ್ಕೆ, ಕೇಂದ್ರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಹತ್ತಿರವಾಗುವುದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪಥದಂತೆ ಅನಂತದ ಕಡೆಗೆ ಮತ್ತೆ ಚಲಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕಣವು ತನ್ನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಮಾಣದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, u2 ಮತ್ತು u3 ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ. ಕಕ್ಷೆಯು ಸುರುಳಿಯಾಗಬಹುದು, ಆ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು (ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ) φ ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ. ಅಥವಾ ಆ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಅಥವಾ ಆ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗೆ ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಆಂತರಿಕ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು 3 ರಿಂದ 3 ಪಟ್ಟು ಆರ್ಎಸ್ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯು ಸಮನಾದಾಗ ಸಹ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೊರ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಣವು ಸಾಕಷ್ಟು ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಕೇಂದ್ರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಬಂದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯೊಳಗೆ ಬೀಳುವ ಕಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕಕ್ಷೆಯ ಸುರುಳಿಗಳು φಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ. ಕಕ್ಷೆಗಳ ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಕಾರ್ಯವು sn ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಗ sn2 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 4K ಮತ್ತು 2K ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ Kಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ, φಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು (ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಒಂದು ಆಂದೋಲನದ) ಒಂದು ಆಂದೋಲನದ ಮೇಲೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, δφಯ ಛೇದವು ಸರಿಸುಮಾರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, K ಅವಧಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಈ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು δφ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಆಂದೋಲನಕ್ಕೆ ಕೋನೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಕ್ಷೀಯ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಬೆಳಕಿನ ಬಾಗುವಿಕೆ ಎಂಬ ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಣ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವಾಗ (ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ ಬೆಳಕು ನೇರವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯತ್ತ ಸಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಉದ್ದದ ಮಾಪಕವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ), ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಿದೆ, ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ರಮದ ಪದವು ಅನಂತದಿಂದ ಬರುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು ಕೋನೀಯ ವಿಚಲನ δφ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮದ ನಿಯತಾಂಕವು ಹತ್ತಿರದ ವಿಧಾನದ ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿದೆಃ ಈ ಸೂತ್ರವು ಅಂದಾಜು ಆದರೂ, ಅದು. ಸೂರ್ಯನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಮೇಯಿಸುವಿಕೆಗೆ, ಅಂದಾಜು ಕೋನೀಯ ವಿಚಲನವು ಸರಿಸುಮಾರು 1.75 ಆರ್ಕ್ ಸೆಕೆಂಡುಗಳು, ಇದು ವೃತ್ತದ ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದು ದಶಲಕ್ಷದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಕಣದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ rs ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಕಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಆಕರ್ಷಕ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ವಿಕರ್ಷಣಶೀಲ "ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ" ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂರನೇ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಕರ್ಷಕ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಈ ವಿಲೋಮ-ಘನ ಶಕ್ತಿಯು ಅಂಡಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಕ್ರಾಂತಿಗೆ δφ ಕೋನದಿಂದ ಕ್ರಮೇಣ ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಸಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯ ಪದವು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಆಂತರಿಕ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಣವನ್ನು ನಿರ್ವಿವಾದವಾಗಿ ಒಳಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ಆಂತರಿಕ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ಕಣದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಉದ್ದ-ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಉದ್ದದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಬಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅಂದರೆ ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ (ಮೊದಲ ಪದ) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಕರ್ಷಣೆ (ಮೂರನೇ ಪದ) ಎಂಬ ಎರಡು ಆಕರ್ಷಕ ಬಲಗಳು ವಿಕರ್ಷಣ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲದಿಂದ (ಎರಡನೇ ಪದ) ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮತೋಲನಗೊಂಡಾಗ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಈ ಸಮತೋಲನವು ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ರಿನ್ನರ್ ಮತ್ತು ರೌಟರ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ ತ್ರಿಜ್ಯದ ರಿನ್ನರ್ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ r ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದಾಗ ಆಕರ್ಷಕವಾದ ಮೂರನೇ ಬಲವು ಇತರ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಬಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಕಣವು ರಿನ್ನರ್ನಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಒಳಮುಖವಾಗಿ ಜಾರಿದರೆ (ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಶಕ್ತಿಗಳು ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ), ಮೂರನೇ ಬಲವು ಇತರ ಎರಡರ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಣವನ್ನು r = 0 ಗೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಮುಖವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊರಗಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಮೂರನೆಯ ಪದವು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಪೇಕ್ಷವಲ್ಲದ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಕರಣ) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡದಾದಾಗ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು rs ಅನ್ನು ರೂಟರ್ ಆಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ದೇಹವನ್ನು ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಣಕ್ಕೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ωφ ಎಂಬುದು ಕಣದ ಕಕ್ಷೀಯ ಕೋನೀಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಪೇಕ್ಷವಲ್ಲದ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಕಡಿಮೆಯಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಲ್ಲಿದೆ? ನಮ್ಮ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಕ್ಷೀಯ ಕೋನೀಯ ವೇಗವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ, a2 ಮೇಲಿನಿಂದ 3r2 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ, ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. rs ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೆ, a ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರಿನ್ನರ್ = rs ನಲ್ಲಿ ಫೋಟಾನ್ಗಳಿಗೆ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಫೋಟಾನ್ ಗೋಳವು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯ ಮಾರ್ಗನಿರ್ದೇಶಕದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ತ್ರಿಜ್ಯ ವಿಚಲನವು ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ rs ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯ ಅರೆಅಕ್ಸಿಸ್ A ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಸಂಕೇತಗಳ ಕಕ್ಷೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಕೋನವನ್ನು ಗಣಿತದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಮೂಲದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಈ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯವು ಬಾಗಿದಾಗ ಅವು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಭೌಗೋಳಿಕ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣವು ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯದ ಮೂಲಕ ಕಣದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿಶ್ವ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದು ಸ್ಥಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಮಯದಂತಹ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ (ಬೃಹತ್ ಕಣಗಳಿಂದ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ) ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಗುರವಾದ (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ) ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ (ಫೋಟಾನ್ನಂತಹ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಂದ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ), ಸರಿಯಾದ ಸಮಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಬೆಳಕಿನಂತಹ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸಮಯದಂತಹ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಅತಿ-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಕಣ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m ಅದರ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅತ್ಯಂತ ನೇರವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಸ್ಪರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ, ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ, ಕಕ್ಷೆಯು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಸಮಭಾಜಕ ಸಮತಲವು ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮತಲವಾಗುವಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಸಾಕು. ಇದು ಚಲನೆಯ ಎರಡು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಣಗಳು ಸ್ಥಿರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಭೂಗಣತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದರಿಂದ, ಆ ಕಣಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಸ್ಥಳೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (ಅವುಗಳ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಾಗ) ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟಾರೆ ಉದ್ದ s ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ τ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯ, s = cτ ಎಂಬುದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ಚಾಪ-ಉದ್ದ ಮತ್ತು T ಅನ್ನು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಿಯಾದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಟಿ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶಗಳು (ಸಿ ಅಥವಾ ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲದಂತಹವು) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉತ್ತರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಳಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ತತ್ವವು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಎ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಸಮಾನ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಸಂಯುಗ್ಮ ಆವೇಗವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅವುಗಳನ್ನು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಉದ್ದ-ಮಾಪಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಕ್ಷೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ರೇಡಿಯಲ್ ಆವೇಗವನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು r ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು; ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಕಕ್ಷೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಜಾಕೋಬಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದು ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ತರಂಗದ ಪ್ರಸರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ತತ್ವದ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಬೆಳಕಿನ ವಿಚಲನದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾಗಿ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ, ಸಮಯದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಧಾನಗತಿಯಿಂದಾಗಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ತರಂಗ-ಮುಂಭಾಗದ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ, ಹೀಗಾಗಿ ತರಂಗ-ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಸರಣದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯುನಿಟ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಒಂದೇ ಕಣಕ್ಕೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಜಾಕೋಬಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೇಲಿನ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮೊಮೆಂಟಾದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಿಎಂಯುಎನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ನಾವು ಮತ್ತೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಕ್ಷೆಯ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ತಿರುಗಿಸುವ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಸಮಯ t ಮತ್ತು ಅಜಿಮುತಲ್ ಕೋನ φ ಆವರ್ತಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ಪ್ರಧಾನ ಕಾರ್ಯ S ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮೊಮೆಂಟಾ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಜಾಕೋಬಿ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಡಿಯಲ್ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂರಕ್ಷಿತ ಆವೇಗದ pφ ಇಳುವರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ಪ್ರಧಾನ ಕಾರ್ಯ Sನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಅದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. φ ಮತ್ತು r ನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಮೂಲಭೂತ ಕಕ್ಷೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿತ ಉದ್ದ-ಮಾಪಕಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿತ ಆವೇಗದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ಮೊದಲು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಚೌಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಕಣವು ಸಮಭಾಜಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಆ ಚೌಕವು ಇದರ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ರೇಖಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚಲನೆಯು ರೇಖಾಂಶದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಳಗಿನ ಇತರ ಅಂಶವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದ ಹೊರತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚಲನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಹೀಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಮೊಮೆಂಟಾವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಈ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ. ರೇಡಿಯಲ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದು (ಮತ್ತು ಬಳಸುವುದು) ಯಾವುದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕಣಗಳಿಗೂ ಸಹ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದ್ದದ ಮಾಪಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿನ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್-ಫೋರ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿನ ಎರಡು-ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್, ಕೆ. (1916). ಗ್ರೇವಿಟೇಷನ್ಸ್ ಫೆಲ್ಡ್ರವರು ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಯೋಚಿಸಲಿಲ್ಲ. ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ವಿಸ್ಸೆನ್ಶಾಫ್ಟೆನ್ 1,189-196. ಮೂಲ ಕಾಗದದ ಮೂಲ ಕಾಗದದ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡಿ, ಆಂಟೊಸಿ ಮತ್ತು ಲೋಯಿಂಗರ್ ಅವರ ವಿಕಿಸೋರ್ಸ್ ಅನುವಾದದಲ್ಲಿ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್, ಕೆ. (1916) ಎಂಬ ಸರಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾವಿಟೇಷನ್ಸ್ ಫೆಲ್ಡ್ನ ಮೊದಲನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಫ್ಲೂಸಿಗ್ಕಿಟ್ ಅನ್ನು ಇಂಕ್ಅಂಪ್ರೆಸಿಬಲ್ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ವಿಸ್ಸೆನ್ಶಾಫ್ಟನ್ 1,424-? (ಗ್ರಾವಿಟೇಷನ್ (ಪುಸ್ತಕ) ನೋಡಿ.) ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕೆವಿನ್ ಬ್ರೌನ್ ಅವರ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಸ್ ಆನ್ ರಿಲೇಟಿವಿಟಿಯ ಆಯ್ದ ಭಾಗ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು