Toda field theory
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಮೊರಿಕಾಜು ತೋಡಾ ಹೆಸರಿನ ತೋಡಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಹಿನ್ನೆಲೆ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವು 2-ಆಯಾಮದ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು ಸಮಯದಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗ್ರೀಕ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂಲ ಆಧಾರದ ಕೆಲವು ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ, ಇದು ಸರಳವಾದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದನ್ನು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಷಯವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಅವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪದ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಇವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ಯಾಕ್ ಲೇಬಲ್ಗಳು ಅಥವಾ ಡೈನ್ಕಿನ್ ಲೇಬಲ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌತಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಜೋಡಣೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ತೋಡಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟೋಡಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಅಫೈನ್ ಟೋಡಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (φ ಘಟಕವನ್ನು ಡೀಕಪಲ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ). ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಟೋಡಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೋಡಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಾಲಿಟಾನ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಎ1 ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸರಳ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಿನ್ಹ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಮಾದರಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗಿನ ಅಫೈನ್ ಟೋಡಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು φನ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಡೀಕಪಲ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ βಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಮಾದರಿಯು ಅದೇ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ β ಆಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದೇ ಸರಳವಾದ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ಅಫೈನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಫೈನ್ ರೂಟ್ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಲೇಬಲ್ ಕೂಡ ಇದೆ. ಒಬ್ಬರು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಫೈನ್ ಮೂಲಕ್ಕೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಘಟಕವು ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊತ್ತವು ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು. ನಂತರ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಎಂದರೆ ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಮಾದರಿಗಳು ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು