Stochastic differential equation
ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು (ಎಸ್. ಡಿ. ಇ.) ಒಂದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದಾದ್ಯಂತ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾಕ್ ಬೆಲೆಗಳು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಅಥವಾ ಉಷ್ಣದ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾಗುವ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಳ ವಿವಿಧ ನಡವಳಿಕೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೆಮಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇತರ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡವಳಿಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಂತಹ ಜಿಗಿತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಜಿಗಿತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೆಮಿಮಾರ್ಟಿಂಗ್ಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬಹುಗುಣಗಳಿಗೆ ಸಹ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು 1905 ರಲ್ಲಿ ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಮತ್ತು ಮರಿಯನ್ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಲೂಯಿಸ್ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ 1900 ರಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಈಗ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಆರಂಭಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಈ ಆರಂಭಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿದ್ದವು, ಇದನ್ನು ಫ್ರೆಂಚ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ನಂತರ 'ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್' ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಲಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು 1940 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಜಪಾನಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಕಿಯೋಸಿ ಇಟೋ ಅವರ ಅದ್ಭುತ ಕೆಲಸದ ಮೂಲಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಅವರು ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ನಂತರ ರಷ್ಯಾದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಸ್ಟ್ರಾಟೊನೊವಿಚ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಪರಿಭಾಷೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಬಲಭಾಗವು ಬಿಳಿ ಶಬ್ದದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಪದದಿಂದ ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಎಸ್ಡಿಇಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರಂತರ ಸಮಯ ಮಿತಿ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಈ ತಿಳುವಳಿಕೆಯು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸರಿಯಾದ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಅಂತಹ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1940 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕಿಯೋಸಿ ಇಟೊ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದು ಇಂದು ಇಟೊ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನಂತರ ರಷ್ಯಾದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಸ್ಟ್ರಾಟೊನೊವಿಚ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದು ಸ್ಟ್ರಾಟೊನೊವಿಚ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರಾಟೊನೊವಿಚ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇಟೋ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಅಸ್ಥಿರತೆ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಕಾರಣತ್ವದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಮಯವಾಗಿರುವ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸ್ಟ್ರಾಟೊನೊವಿಚ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಯಂತಹ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿಸುವ ಆಂತರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಪರ್ಯಾಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವೆಂದರೆ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಹರಿವು. ಈ ತಿಳುವಳಿಕೆಯು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರಂತರ ಸಮಯ ಮಿತಿಯ ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಡಿಇಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಫೋಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮಯದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಫಾಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ವಿಕಾಸದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಿಕಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಕಾಸ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಒದಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಭೌತಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, "ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಎಸ್ಡಿಇಗಳು" ಎಂಬ ಪದದ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಇದೆ. ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಫ್ಲೋ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಕಿರಿದಾದ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಈ ವರ್ಗವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪ್ಯಾರಿಸಿ-ಸೋರ್ಲಾಸ್ ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಎನ್ = 2 ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭೌತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಈ ವರ್ಗವು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎಂದಿಗೂ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಯ ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, (ಮಿತಿಮೀರಿದ) ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಅಥವಾ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬಹುತೇಕ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಭೇದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದಕ್ಕೆ ತನ್ನದೇ ಆದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡು ಪ್ರಬಲ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿವೆ, ಇಟೋ ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ. ಇವೆರಡೂ ಅನುಕೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಹೊಸಬರನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾದುದೆಂದು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುತ್ತಾರೆ. ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳಿವೆ (ಉದಾ. Øksendal, 2003) ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ಐಟೋ ಎಸ್ಡಿಇಯನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಎಸ್ಡಿಇ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಹಿಂತಿರುಗಬಹುದು. ಆದರೂ, ಎಸ್ಡಿಇಯನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ ಯಾವ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್-ಮರ್ಯಾಮಾ ವಿಧಾನ, ಮಿಲ್ಸ್ಟೀನ್ ವಿಧಾನ, ರುಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ವಿಧಾನ (ಎಸ್ಡಿಇ), ರೋಸೆನ್ಬ್ರೊಕ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವಿವಿಧ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆ, ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಗಳು ಆಣ್ವಿಕ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಹಿಡಿದು ನರ-ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದವರೆಗೆ ಮತ್ತು ಖಗೋಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದವರೆಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯಿಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಎಸ್ಡಿಇಗಳನ್ನು ಶಬ್ದದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನೈಜ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪರಿಸರದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಬಾಹ್ಯ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಥಮ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗವಾಗಿದೆಃ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾದ ಅದರ ಹಂತದ (ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿ) ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ವಿಕಾಸದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಹರಿವಿನ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಗೌಸಿಯನ್ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಂಯೋಜಕ ಶಬ್ದಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಗುಣಕ ಶಬ್ದಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ದಾರಿತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶಬ್ದದ ಸ್ಥಿರ ಸಂರಚನೆಗಾಗಿ, ಎಸ್ಡಿಇ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಶಬ್ದ ಸಂರಚನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಾಗ ಸಂಭವನೀಯ ಕೇಸ್ನ ನಾನ್ಟ್ರಿವಿಯಾಲಿಟಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಶಬ್ದವು ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಎಸ್ಡಿಇಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರಂತರ ಸಮಯ ಮಿತಿ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿದಾಗ ಎಸ್ಡಿಇ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಘಟಕವಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇಟೋ ಅಥವಾ ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಂತಹ "ಎಸ್ಡಿಇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ಎಸ್ಡಿಇ ಪೂರಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಎಸ್ಡಿಇಯನ್ನು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಹರಿವು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರಂತರ ಸಮಯ ಮಿತಿಗೆ ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಮನಾದ ಫೋಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಎಫ್. ಪಿ. ಇ.) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಪರಿಹಾರದ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಫಾಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಯದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಹೇಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವು ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸಮಯದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಹೇಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರಂತೆಯೇ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇತರ ತಂತ್ರಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಮಾರ್ಗ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮರುಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಫಾಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು) ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ (ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಿಗ್ನಲ್ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಹಣಕಾಸುಗಳಲ್ಲಿ) ಬಳಸುವ ಸಂಕೇತವು ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳ ಕುರಿತಾದ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಕೇತವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲಕ್ಷಣ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಈ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮೀಕರಣವು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ನಿರಂತರ ಸಮಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ Xt ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಶೋಧನಾತ್ಮಕ (ಆದರೆ ಬಹಳ ಸಹಾಯಕವಾದ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ, δ ಉದ್ದದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಕಾಲಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು Xt ತನ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುವ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು σ (Xt, t) δ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ σ (Xt, t) 2 δ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂದಿನ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಏರಿಕೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು μ ಅನ್ನು ಚಲನೆ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ σ ಅನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ Xt ಅನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಏನು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಡಿಇಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ, ಒಂದು ಬಲವಾದ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಒಂದು ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರ ಎರಡೂ ಎಸ್ಡಿಇಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿದೆ (). ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಲವಾದ ಪರಿಹಾರವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಇದು ಹಣಕಾಸು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಬೆಲೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾಕ್ನ ಬೆಲೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಬಲವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಎಸ್ಡಿಇಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆಯು ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗಳು ಅಥವಾ ಬ್ಲ್ಯಾಕ್ ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಬರುವ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಒಂದೇ ಎಸ್ಡಿಇಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಬ್ಲ್ಯಾಕ್ ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಮಾದರಿಗಳ ಲಾಗ್ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಮಿಶ್ರಣ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಣಕಾಸಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಚಂಚಲತೆಯ ನಗುವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸರಳವಾದ ಎಸ್ಡಿಇಯನ್ನು ಲೂಯಿಸ್ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ 1900 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾಕ್ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಇಂದು ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಾದ μ ಮತ್ತು σ ಗಳು Xt ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಇತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತ ಅಥವಾ ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೂ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಎಕ್ಸ್, ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಇಟೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲ. ಗುಣಾಂಕಗಳು X ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಳಂಬ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಂಪ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸೆಮಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದ ಫಿಸ್ಕ್-ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಮಾರ್ಕಸ್ ಪ್ರಕಾರದ ಎಸ್ಡಿಇಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಕಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನವೀನ ಅನ್ವಯವು ಓರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಉಹ್ಲೆನ್ಬೆಕ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ, ಇದು ರಿಟರ್ನ್ಸ್ ಲಾಗ್-ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾಕ್ನ ಬೆಲೆಯ ರಿಟರ್ನ್ನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಮಾರ್ಸೆಲ್ಲೊ ಮಿನೆನ್ನಾ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯ ದುರುಪಯೋಗದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಮರೆಮಾಚಬಹುದಾದ ಅಸಹಜ ಲಾಭವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಫಿಸ್ಕ್-ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್, ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಒಂದು-ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು-ಅಳೆಯಬಹುದಾದಂತಿರಲಿ. ಲಿಖಿತದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ನಿರಂತರ-ಮೌಲ್ಯದ ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಕ್ಷೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ. ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಎಸ್ಡಿಇಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಜೀವಿತಾವಧಿಯವರೆಗೆ ನಿರಂತರ-ಅಳವಡಿಸಿದ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಎಸ್. ಟಿ. ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರತಿ ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಯಕ್ಕೂ-ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಜೀವಿತಾವಧಿಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಸಮಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಟ್ರಾಟೊನೊವಿಚ್ ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಎಸ್ಡಿಇಗಳಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಐಟೋ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಇಟೊ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮೊದಲು ಲಾರೆಂಟ್ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಅವರು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೂಲಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಜೆಟ್-ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಇಟೊ ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ 2-ಜೆಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ದೊಡ್ಡ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆ ಜಾಗದ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಯ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಆಧಾರಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಒರಟಾದ ಮಾರ್ಗಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಸ್ಡಿಇ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಯನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನೀಡಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ () ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಸ್ಡಿಇಯ ನೇರ ಮಾರ್ಗವಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಮಾರ್ಗಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಭೇದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ರೀತಿಯ ಪದಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡಲು ಯಾವುದೇ ನಿಷ್ಕಪಟ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ನಿಷ್ಕಪಟ ಮಾರ್ಗವಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಯಮಿತ ಶಬ್ದದೊಂದಿಗೆ ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಒರಟಾದ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುವ ವಾಂಗ್-ಜಾಕಾಯ್ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟು, ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಆಯ್ದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಒರಟಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಇಟೊ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಂತಹ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಥವಾರು ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಣಕಾಸಿನ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಲ್ಲದ ಬೆಲೆ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಮತ್ತು ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಆರ್ಎನ್ ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಎಂ-ಆಯಾಮದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಿಂದ ನಡೆಸಲ್ಪಡುವ ಇಟೋ ಎಸ್ಡಿಇಗಳಿಗೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ; ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಓಕ್ಸೆಂಡಲ್ (2003, § 5.2) ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. T> 0 ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು C ಮತ್ತು D ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ t ω [0, T] ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ x ಮತ್ತು y ω Rn, ಅಲ್ಲಿ Z ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅದು Bs ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ σ-ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, s ω0, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆಃ ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ/ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯು P-ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ-ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾದ t-ನಿರಂತರ ಪರಿಹಾರ (t, ω) Xt (ω) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ X ಅನ್ನು Z ಮತ್ತು Bs, s ≤ t, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಃ ಸ್ಥಳೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಶೋಧನೆ FtZ ಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಅದರ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸ್ಥಳೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಇದು ಆರಂಭಿಕ σ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಯವಾಗಿರಲಿ. ನಿಲ್ಲಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸುವ ಒಂದು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ) ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎ-ಮೌಲ್ಯದ ಸೆಮಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಅನ್ನು ಜೀವಿತಾವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಫೋಟದ ಸಮಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ಲೀನಿಯರ್ ಎಸ್. ಡಿ. ಇ.: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಗಳುಃ ಕೇಸ್ 1 ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಗಳುಃ ಕೇಸ್ 2 ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊದಲಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿ ಎಸ್ಡಿಇಗಳ ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯ ಹಂತದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಕಾಸ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಮೂಲಕ ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ನಿರಂತರ ಸಮಯದ ಹರಿವಿನಿಂದ ಹಂತದ ಜಾಗದ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಯ ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ವಿಭಜನೆಯು ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ, ಸ್ವಯಂ-ಸಂಘಟಿತ ನಿರ್ಣಾಯಕತೆ ಮುಂತಾದ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರ್ವವ್ಯಾಪಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಗಣಿತದ ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಗೋಲ್ಡ್ಸ್ಟೋನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಬಂಧಿತ ದೀರ್ಘ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಚಿಟ್ಟೆ ಪರಿಣಾಮ, 1/ಎಫ್ ಮತ್ತು ಕ್ರ್ಯಾಕ್ಲಿಂಗ್ ಶಬ್ದಗಳು, ಮತ್ತು ಭೂಕಂಪಗಳು, ನ್ಯೂರೋವಾಲಾಂಚ್ಗಳು, ಸೌರ ಜ್ವಾಲೆಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಪ್ರಮಾಣ-ಮುಕ್ತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. ಹಿಂದುಳಿದ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಚಂಚಲತೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಸಂಭವನೀಯ ಚಂಚಲತೆ ಸಂಭವನೀಯ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಸಂಭವನೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಡೆಸ್ಮಂಡ್ ಹಿಗಮ್ ಮತ್ತು ಪೀಟರ್ ಕ್ಲೋಡೆನ್ಃ "ಸಂಭವನೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗೆ ಒಂದು ಪರಿಚಯ", ಎಸ್ಐಎಎಂ, (2021). ವಿಭೇದಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು