Relaxation (iterative method)
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ದೊಡ್ಡ ವಿರಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸೀಮಿತ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿವೇಚನಾಶೀಲವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ರೇಖೀಯ ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವಂತಹ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ, ಪಾಯ್ಸನ್ನ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸುವ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ-ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಡೊಮೇನ್ನ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿಯೂ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವೇಚನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಂದ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಡಿಲಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಪರಿಹಾರ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್ ಫಿಲ್ಟರ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿನ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು, ಇದು ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದರ "ಶಾಂತ" ಪರಿಹಾರವು ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ φ ಒಂದು ನಯವಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅದರ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಬಿಂದು (x, y) ಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾದಗಳ φ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಇದನ್ನು ಎರಡೂ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು φ (x, y) ಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲುಃ ಗ್ರಿಡ್ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನವು φ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗಡಿಯ ಸಮೀಪವಿರುವ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ φ: = φ * ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ φ * ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವವರೆಗೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಹೊಸ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪೂರ್ವ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನದ ಆಯ್ಕೆಗಿಂತ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಷರತ್ತಿನ ಆಯ್ಕೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಮಲ್ಟಿಗ್ರಿಡ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಬ್ಬರು ಮೊದಲು ಒರಟಾದ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಬಲ್ ಅಂತರ 2h-ಮತ್ತು ಆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇತರ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟೆಡ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ನಿಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ನಂತರ ಒರಟಾದ ಗಣನೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿಯೂ ಮಾಡಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನಗಳ ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳೆಂದರೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕ್ರಿಲೋವ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ವಿಧಾನಗಳು. ಜಾಕೋಬಿ ವಿಧಾನವು ಸರಳವಾದ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಗಾಸ್-ಸೀಡೆಲ್ ವಿಧಾನವು ಜಾಕೋಬಿ ವಿಧಾನದ ಸುಧಾರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಜಾಕೋಬಿ ಮತ್ತು ಗಾಸ್-ಸೀಡೆಲ್ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅತಿಯಾದ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅಬ್ರಹಾಂ ಬರ್ಮನ್, ರಾಬರ್ಟ್ ಜೆ. ಪ್ಲೆಮನ್ಸ್, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, 1994, ಎಸ್ಐಎಎಂ. .. ಯೂಸೆಫ್ ಸಾದ್, ಇಟರೇಟಿವ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಫಾರ್ ಸ್ಪಾರ್ಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, 1 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಪಿಡಬ್ಲ್ಯೂಎಸ್, 1996. ರಿಚರ್ಡ್ ಎಸ್. ವರ್ಗಾ 2002 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇಟರೇಟಿವ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಸೆಕೆಂಡ್ ಎಡಿಷನ್. (1962ರ ಪ್ರೆಂಟಿಸ್ ಹಾಲ್ ಆವೃತ್ತಿ), ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್. ಡೇವಿಡ್ ಎಮ್. ಯಂಗ್, ಜೂನಿಯರ್ ಇಟರೇಟಿವ್ ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ ಆಫ್ ಲಾರ್ಜ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್, 1971. (ಡೋವರ್ನಿಂದ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆ, 2003) ಸೌತ್ವೆಲ್, ಆರ್. ವಿ. (1940) ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನಗಳು. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್. ಸೌತ್ವೆಲ್, ಆರ್. ವಿ. (1946) ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ವಿಧಾನಗಳು. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್. ಪಿ. ಗ್ರಿವೆಟ್, ಪಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಹಾಕ್ಸ್, A.Septier (1972). ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್, 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಪರ್ಗಾಮೋನ್ ಪ್ರೆಸ್. .. ಡಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಒ. ಹೆಡ್ಲ್ (2000). ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಟಾಟಿಕ್ ಲೆನ್ಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಸಿಆರ್ಸಿ ಪ್ರೆಸ್. .. ಎರ್ವಿನ್ ಕ್ಯಾಸ್ಪರ್ (2001). ಅಡ್ವಾನ್ಸಸ್ ಇನ್ ಇಮೇಜಿಂಗ್ ಅಂಡ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 116, ಚಾರ್ಜ್ ಮಾಡಲಾದ ಕಣಗಳ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್. .. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ