Van Hiele model
ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಾದರಿಯು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು 1957 ರಲ್ಲಿ ನೆದರ್ಲೆಂಡ್ಸ್ನ ಉಟ್ರೆಕ್ಟ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ದಿನಾ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್-ಗೆಲ್ಡಾಫ್ ಮತ್ತು ಪಿಯರೆ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ (ಪತ್ನಿ ಮತ್ತು ಪತಿ) ಅವರ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಸೋವಿಯತ್ಗಳು 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶೋಧನೆ ನಡೆಸಿದರು ಮತ್ತು ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರು. ಅಮೆರಿಕಾದ ಸಂಶೋಧಕರು 1970ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 1980ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ದೊಡ್ಡ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಟ್ಟಗಳು ಪ್ರೂಫ್-ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ದರ್ಜೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಸಿದ್ಧತೆಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದರು. ಪಿಯರೆ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಅವರು 1986 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಅಂಡ್ ಇನ್ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇದು ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಆರಂಭಿಕ ದರ್ಜೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒತ್ತು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ವಿಶ್ವದಾದ್ಯಂತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿದೆ. ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕೌನ್ಸಿಲ್ ಆಫ್ ಟೀಚರ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಮನ್ ಕೋರ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ಸ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಮಾನದಂಡಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಎಳೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿದೆ. ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಟ್ಟಗಳು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ತನಗೆ ಅರ್ಥವಾಗದ ಮತ್ತು ತಾನು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ನೋಡಿರದ [ಗಣಿತದ] ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ರೋಟೆ ಮೂಲಕ ಕಲಿಯುತ್ತಾನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಬಂಧಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮಗುವಿನ ಇತರ ಅನುಭವಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಏನು ಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಏನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅವರು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಇಂದ್ರಿಯ ಪ್ರಪಂಚದ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಕಲಿಯಲಿಲ್ಲ. ಹೊಸ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ತಾನು ಕಲಿತದ್ದನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಅವನಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದಿಲ್ಲ. - ಪಿಯರೆ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್, 1959 ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಾದರಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಭಾಗವೆಂದರೆ ಮಕ್ಕಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ತರ್ಕಿಸಲು ಹೇಗೆ ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ಸ್ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಐದು ಹಂತಗಳು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬೆಳೆಸುವವರೆಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಲ್ಲ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ರೋಟೆ ಮೂಲಕ ಕಲಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕೃತಿಗಳು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ ವಿವಿಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕ್ರಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಿತತೆಯ ಮೂಲಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬೇಕು. ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ಸ್ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಐದು ಹಂತಗಳು ಈ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಹೇಗೆ ಮುನ್ನಡೆಯುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಐದು ವ್ಯಾನ್ ಹೈಲೆ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಕಾರ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ವಿವರಣೆಗಳೆಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮಟ್ಟಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಚಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತರ್ಕಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಪಿಯರೆ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ "ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿ" ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರು ಈ ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಟ್ಟಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಹಂತಗಳು ವಯಸ್ಸಿನ ಬದಲು ಅನುಭವ ಮತ್ತು ಬೋಧನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಪಿಯಾಜೆಟ್ನ ಅರಿವಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಯಸ್ಸಿನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮಗುವು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಗೆ ತೆರಳಲು ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಅನುಭವಗಳನ್ನು (ತರಗತಿಯ ಅಥವಾ ಬೇರೆ) ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಶ್ರೀಮಂತ ಅನುಭವಗಳ ಮೂಲಕ, ಮಕ್ಕಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ 2ನೇ ಹಂತವನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು. ಅಂತಹ ಅನುಭವಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಅನೇಕ ವಯಸ್ಕರು (ಶಿಕ್ಷಕರು ಸೇರಿದಂತೆ) ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ ಸಹ, ತಮ್ಮ ಜೀವನದುದ್ದಕ್ಕೂ 1ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೇ ಇರುತ್ತಾರೆ. ಮಟ್ಟಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಮಟ್ಟ 0. ದೃಶ್ಯೀಕರಣಃ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮಗುವಿನ ಚಿಂತನೆಯ ಗಮನವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಆಕಾರಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮಗು ಅವರ ಸಮಗ್ರ ನೋಟವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತಿದೆ. ಮಕ್ಕಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಣೆಯಿಲ್ಲದೆ, "ಅದು ವೃತ್ತ" ಎಂದು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಮಕ್ಕಳು ಮೂಲ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ (ತ್ರಿಕೋನ, ವೃತ್ತ, ಚೌಕ) ಮೂಲಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ದೃಶ್ಯ ಮೂಲಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಂತರ ಇತರ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆಕಾರವು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸೂರ್ಯನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ; ಒಂದು ಆಕಾರವು ಆಯತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಬಾಗಿಲು ಅಥವಾ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಚೌಕವು ಆಯತಕ್ಕಿಂತ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಆಕಾರವನ್ನು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ರಾಂಬಸ್ ಇತರ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಂತೆ ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಮಗುವಿನ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಕ್ಕಳು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸದೆ ಸಮಗ್ರವಾಗಿ ವೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಆಕಾರವು ಅದರ ಮೂಲಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೋಲದಿದ್ದರೆ, ಮಗುವು ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಕ್ಕಳು ತೆಳುವಾದ, ಬೆಣೆ-ಆಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು (ಬದಿಗಳು 1,20,20 ಅಥವಾ ಬದಿಗಳು 20,20,39) "ತ್ರಿಕೋನ" ಎಂದು ಕರೆಯಲು ನಿರಾಕರಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು "ತ್ರಿಕೋನ" ದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲ ತಳವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎದುರಾಳಿ ಶೃಂಗವು ಕೆಳಗಿದ್ದರೆ, ಮಗು ಅದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನವೆಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದು "ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ದುಂಡಾದ ಅಥವಾ ಅಪೂರ್ಣವಾದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕಾರಗಳು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಗ್ರ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು "ತ್ರಿಕೋನಗಳು" ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಚೌಕಗಳನ್ನು "ವಜ್ರಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬದಿಗಳು 45° ಸಮತಲದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಚೌಕಗಳೆಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿರುವ ಮಕ್ಕಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಉದಾಹರಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಏನಾದರೂ ನಿಜವೆಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಹಂತ 1. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಃ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಆಕಾರಗಳು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಾಹಕಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಚಿಂತನೆಯ ವಸ್ತುಗಳು ಆಕಾರಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಮಗು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯು, "ಒಂದು ಚೌಕವು 4 ಸಮಾನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 4 ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಇದರ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಪರಸ್ಪರ ದ್ವಿಭಾಜಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಕಾರದ ಆಕಾರಕ್ಕಿಂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕಪ್ಪು ಹಲಗೆಯ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕನು ಅದನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ, ಅದು ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಈ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಆಸ್ತಿಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮಕ್ಕಳು ಮೂಲ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಇತರರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ಇನ್ನೂ "ಚೌಕವು ಆಯತವಲ್ಲ" ಎಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತಾರೆ. (ಅಂತಹ ನಂಬಿಕೆಗಳನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು ಅವು ಬಾಹ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಇತರ ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳಿಗಿಂತ ಉದ್ದವಾದ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕಾರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು.) ಮಕ್ಕಳು ಆಕಾರಗಳ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಚೋದಕವಾಗಿ ತರ್ಕಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಆಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದ ಕಾರಣ ಇನ್ನೂ ಊಹಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತರ್ಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹಂತ 2. ಸಾರಾಂಶಃ ಈ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಂತನೆಯ ವಸ್ತುಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದಾನೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸರಳ ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಈ ಹಂತದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು, "ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಮೂಲ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು" ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಕಲಿಯುವವರು ಆಕಾರಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳು ಆಯತಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಆಯತಗಳು ಚೌಕಗಳಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಚೌಕಗಳು ಏಕೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಆಯತಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಾಂಬಸ್ ಆಗಿರುವ ಆಯತವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವರು ಹೇಳಬಹುದು. ಅವರು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರು ಕಡಿತದ ಆಂತರಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ಅವರು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾದವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಔಪಚಾರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹಂತ 3. ಕಡಿತ-ಈ ಹಂತದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕಡಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಚಿಂತನೆಯ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆ (ಸರಳ ಪುರಾವೆಗಳು), ಇದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತಾನೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲಾ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅವರು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಪದಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಹಂತದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಇನ್ನೂ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳು ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಹಂತ 4. ಕಠಿಣತೆಃ ಈ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಚಿಂತನೆಯ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಲಿಯುವವರು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕಲಿಯುವವರು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ತಿಳುವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು. ಜನರು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಶಿಸ್ತನ್ನು ಮತ್ತು ಅದು ಗಣಿತವಲ್ಲದ ಅಧ್ಯಯನಗಳಿಂದ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಚಿಕ್ಕ ಮಕ್ಕಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ "ಲೆವೆಲ್ 0" ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಅಮೆರಿಕಾದ ಸಂಶೋಧಕರು ಹಂತಗಳನ್ನು 1 ರಿಂದ 5 ಎಂದು ಮರುಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಿದರು. ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಈಗಲೂ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಕೆಲವು ಸಂಶೋಧಕರು ಮಟ್ಟಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಹಂತಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಟ್ಟಗಳು ಐದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಮಃ ಮಟ್ಟಗಳು ಶ್ರೇಣೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು "ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅನುಭವಿಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೊಂದರೆಗಳು ಅವರು ಇನ್ನೂ ಅಮೂರ್ತ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸಾಧಿಸದಿದ್ದಾಗ ಕಡಿತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದಾಗಿವೆ ಎಂದು ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ಸ್ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. 2. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಃ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. (ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ದೃಶ್ಯೀಕರಣ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇವೆ, ಆದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಹಂತದವರೆಗೆ ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಪ್ರಜ್ಞಾಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಆದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.) 3. ವ್ಯತ್ಯಾಸಃ ಪ್ರತಿ ಹಂತವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಭಾಷಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳ ಜಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಭಾಷಾ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅರ್ಥವು ಅದರ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ನೀಡಿದ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪೀಕರ್ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅನುಭವಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದು "ಸರಿಯಾಗಿರಬಹುದು" ಎಂಬುದು ಮತ್ತೊಂದು ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಮಟ್ಟ 0 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೌಕವು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಹಂತ 2ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೌಕವು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಆಯತವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ ತರ್ಕಿಸುವ ಯಾರಿಗಾದರೂ "ಚೌಕ" ಎಂಬ ಅರ್ಥದ ಸರಿಯಾದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿಲ್ಲ. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಅನುಭವಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡದೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಸ್ತಾಂತರಿಸಿದರೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. 4. ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಃ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಿಸುವ ಶಿಕ್ಷಕನು ಕೆಳಮಟ್ಟದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಿಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾದ "ಭಾಷೆಯನ್ನು" ಮಾತನಾಡುತ್ತಾನೆ, ಇದು ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬ ಶಿಕ್ಷಕನು "ಚೌಕ" ದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ ಅವನು ಅಥವಾ ಅವಳು ಎಂದರೆ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಆಯತ ಎಂದರ್ಥ. 0 ಅಥವಾ 1 ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಈ ಪದದ ಬಗ್ಗೆ ಅದೇ ರೀತಿಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಶಿಕ್ಷಕನನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಹೇಗೆ ತರ್ಕಿಸುತ್ತಿದ್ದಾನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಉತ್ತರಗಳು ಕೇವಲ "ತಪ್ಪು" ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ವೈಫಲ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಗುಣವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಣವೆಂದು ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ಸ್ ನಂಬಿದ್ದರು. ಶಿಕ್ಷಕರು ತಾವು ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅವರ 3 ಅಥವಾ 4ನೇ ಹಂತದ ತರ್ಕವು ಕೆಳಮಟ್ಟದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಶಿಕ್ಷಕರು ತಮ್ಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಚಿಂತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಭಾಷೆಯ ಹಿಂದಿನ ಅನುಭವಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. 5ರಷ್ಟಿದೆ. ಸಾಧನೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡಲು ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ಸ್ ಐದು ಹಂತಗಳನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಿದರುಃ ಮಾಹಿತಿ ಅಥವಾ ವಿಚಾರಣೆಃ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೊಸ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತಾರೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಭವಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅವರು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಸಂಭಾಷಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು. (ಒಬ್ಬ ಶಿಕ್ಷಕ ಹೇಳಬಹುದು, "ಇದು ರಾಂಬಸ್. ನಿಮ್ಮ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ರೋಂಬಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಿತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಃ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸೂಚ್ಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಶಿಕ್ಷಕರು ತಾವು ಕಲಿಯಬೇಕೆಂದು ಬಯಸುವ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪರಿಚಿತರಾಗಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ಸ್ವರೂಪದ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾರೆ. (ಒಬ್ಬ ಶಿಕ್ಷಕ ಕೇಳಬಹುದು, "ನೀವು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರಾಂಬಸ್ ಅನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಮಡಿಸಿದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಇನ್ನೊಂದು ಕರ್ಣ? ". ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಚರ್ಚೆಯ ನಂತರ.) ವಿವರಣೆಃ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡದ್ದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಶಬ್ದಕೋಶವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಅನುಭವಗಳು ಹಂಚಿಕೊಂಡ ಭಾಷಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೆಸೆದುಕೊಂಡಿವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ದೊರೆತ ನಂತರ ಶಬ್ದಕೋಶವನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕ ಎಂದು ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ಸ್ ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಒಬ್ಬ ಶಿಕ್ಷಕ ಹೇಳಬಹುದು, "ನಾವು ಗಮನಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಶಬ್ದಕೋಶಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ಇವುಗಳ ಅರ್ಥವೇನೆಂದು ಚರ್ಚಿಸೋಣ ". ಮುಕ್ತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಃ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿಷಯದಲ್ಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಜಾಲವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಜಾಲವನ್ನು ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ನಿರರ್ಗಳತೆಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ರೀತಿಯ ಚಟುವಟಿಕೆಯು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಗದಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೆಚ್ಚು ಮುಕ್ತ ಪರಿಶೋಧನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. (ಒಬ್ಬ ಶಿಕ್ಷಕ ಹೇಳಬಹುದು, "ಕೇವಲ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ನೀವು ಹೇಗೆ ರಾಂಬಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ?" ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ನಿಗದಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಕಲಿಯದ ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು). ಏಕೀಕರಣಃ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಾವು ಕಲಿತದ್ದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಗೆ ಒಪ್ಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಶಿಕ್ಷಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅವರು ಕಲಿತ ಎಲ್ಲದರ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಅವಲೋಕನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಯಾವುದೇ ಹೊಸ ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಾರದು, ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತ ವಿಷಯಗಳ ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಶಿಕ್ಷಕನು ಭವಿಷ್ಯದ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಲಿತ ತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಶಬ್ದಕೋಶವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ನೀಡಬಹುದು, ಬಹುಶಃ ಮುಂದಿನ ಅಭ್ಯಾಸಗಳ ಮೂಲಕ. (ಒಬ್ಬ ಶಿಕ್ಷಕ ಹೇಳಬಹುದು, "ನಾವು ಕಲಿತ ವಿಷಯಗಳ ಸಾರಾಂಶ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಇದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮನೆಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಈ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಬೋಧನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೊನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಾದರಿಯ ಬೆಂಬಲಿಗರು ಗಮನಸೆಳೆದಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿಷಯವನ್ನು ಏಕೆ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿನಾ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲೆ-ಗೆಲ್ಡಾಫ್ ಅವರ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪ್ರಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ, ಅವರು ನೆದರ್ಲೆಂಡ್ಸ್ನ ಮಾಂಟೆಸ್ಸರಿ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ 12 ವರ್ಷದ ಮಕ್ಕಳೊಂದಿಗೆ ಬೋಧನಾ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸಿದರು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ 20 ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಮಟ್ಟವನ್ನು 0ರಿಂದ 1ಕ್ಕೆ ಮತ್ತು 50 ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ 1ರಿಂದ 2ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಎಂದು ಅವರು ವರದಿ ಮಾಡಿದರು. ಸಂಶೋಧನೆಯು ವ್ಯಾನ್ ಹೈಲೆ ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸುಮಾರು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಕೇವಲ 50-50 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. - ಝಲ್ಮನ್ ಉಸಿಸ್ಕಿನ್, 1982 ಸಂಶೋಧಕರು ಅಮೆರಿಕನ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಟ್ಟಗಳು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ. ಯುರೋಪಿಯನ್ ಸಂಶೋಧಕರು ಯುರೋಪಿಯನ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಅನೇಕ, ಬಹುಶಃ ಹೆಚ್ಚಿನ, ಅಮೇರಿಕನ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪ್ರೂಫ್-ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಹೈಸ್ಕೂಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರವೂ ಕಡಿತ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಬಹುಶಃ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ಸ್ ಹೇಳಿಕೊಂಡಂತೆ ವಿಷಯವನ್ನು ರೋಟೆ ಮೂಲಕ ಕಲಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಮೆರಿಕಾದ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ಗಳು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕನಿಷ್ಠ 2ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ, 3ನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅನೇಕ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇನ್ನೂ 1ನೇ ಹಂತ ಅಥವಾ 0ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ. ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿರ ಅನುಕ್ರಮ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಟೀಕೆ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಮಟ್ಟಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಮಟ್ಟಗಳು ನಿಜವಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶೋಧಕರು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅನೇಕ ಮಕ್ಕಳು ಅನೇಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ತರ್ಕಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಕಂಡುಕೊಂಡಿವೆ, ಇದು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಮಕ್ಕಳು ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಒಡ್ಡಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ದರಗಳಲ್ಲಿ ಹಂತಗಳ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಕೆಲವು ಆಕಾರಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇತರ ಆಕಾರಗಳಿಗೆ. ದೃಶ್ಯೀಕರಣ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಮಕ್ಕಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮಗ್ರ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ತರ್ಕಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಚೌಕದ ಸಮಾನ ಬದಿಗಳು ಅಥವಾ ವೃತ್ತದ ದುಂಡುತನದಂತಹ ಒಂದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕೆಲವು ಸಂಶೋಧಕರು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಈ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸಿಂಕ್ರೆಟಿಕ್ ಮಟ್ಟ ಎಂದು ಮರುನಾಮಕರಣ ಮಾಡಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮುಖ್ಯ ಹಂತಗಳ ನಡುವೆ ಉಪ-ಹಂತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಂತಹ ಇತರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಈ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಇನ್ನೂ ಜನಪ್ರಿಯತೆಯನ್ನು ಗಳಿಸಿಲ್ಲ. ಮಾರ್ಗರೈಟ್ ಮೇಸನ್ ಅವರ ದಿ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಲೆವೆಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಂಡರ್ಸ್ಟ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವುದು ಮೇರಿ ಅನ್ನಿ ಹ್ಯಾನಿಬಲ್ ಅವರ ಯಂಗ್ ಚಿಲ್ಡ್ರನ್ಸ್ ಡೆವಲಪಿಂಗ್ ಅಂಡರ್ಸ್ಟ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಶೇಪ್ಸ್ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಲೆವೆಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಂಡರ್ಸ್ಟ್ಯಾಂಡಿಂಗ್-ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಾದರಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಪದೇ ಪದೇ ಕೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಪಿಡಿಎಫ್, ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸೂಚನೆಗೆ ಲಿಂಕ್ ಮಾಡುವುದು-ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿಂತನೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಃ ಸೂಚನೆಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ. ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಲೆವೆಲ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಅಚೀವ್ಮೆಂಟ್ ಇನ್ ಸೆಕೆಂಡರಿ ಸ್ಕೂಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ-ಲಾರ್ಜ್ 1982 ಚಿಕಾಗೊ ಅಧ್ಯಯನವು ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಮೇರಿಕನ್ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಅದರ ಮಹತ್ವವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತದೆ ಎ ಫ್ರೇಮ್ವರ್ಕ್ ಫಾರ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಕೆ-12-ಪವರ್ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿಂತನೆಯ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಾದರಿ ಕ್ರೊಯೇಷಿಯಾದ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಮಾದರಿ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಮ್ಮೇಳನ "ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಥಿಯರಿ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಎಜುಕೇಶನ್" ನ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಸ್ತುತಿ. ಇದನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಿದ್ದುಃ ಝಾದರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, ಶಿಕ್ಷಕರ ಶಿಕ್ಷಣ ಇಲಾಖೆ ಮತ್ತು ಹುನಿ-ಹ್ರವಟ್ಸ್ಕಾ ಉಡ್ರುಗಾ ನಸ್ತಾವ್ನಿಕಾ ಇಸ್ತ್ರಾಜಿವಾಕಾ (ಶಿಕ್ಷಕ ಸಂಶೋಧಕರ ಕ್ರೊಯೇಷಿಯನ್ ಸಂಘ). ವೃತ್ತಿಪರ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಗಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅಂಶಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾನ್ ಹೀಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಟ್ಟದ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರೊಯೇಷಿಯಾದ ರಾಜ್ಯ ಶಾಲಾ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಪ್ರಸ್ತಾಪದ ವಿಷಯಗಳು ಸೇರಿದ್ದವು. ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಶಿಕ್ಷಣ ಶಿಕ್ಷಣಶಾಸ್ತ್ರ