Tight span
ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊದಿಕೆ ಅಥವಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂನ ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಎಂ ಅನ್ನು ಹುದುಗಿಸಬಹುದಾದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದು ಎಮ್ ನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಬಿಗಿಯಾದ ಅಂತರವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹೊದಿಕೆ ಅಥವಾ ಎಂನ ಹೈಪರ್ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹೊದಿಕೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹೊದಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಇದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗಿಂತ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಬಿಗಿಯಾದ ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ವಿವರಿಸಿದವರು, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಹೋಲ್ಸ್ಟೈನ್ಸ್ಕಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು; ಈ ಇತಿಹಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಮರುಶೋಧಿಸಲಾಯಿತು. ಬಿಗಿಯಾದ ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಟಿ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೇಂದ್ರ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. (X, d) ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು T (X) ಎಂಬುದು X ನ ಮೇಲಿನ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು X ನಿಂದ R ಗೆ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು X ಮೇಲೆ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ x ಗೆ, x ನಲ್ಲಿ y, d (x, y) ≤ f (x) + f (y), ಮತ್ತು X ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಗೆ, f (x) = supp {d (x, y)-f (y): x ನಲ್ಲಿ y. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ (ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 1 ರಲ್ಲಿ x = y ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು) ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ f (x) ≤ 0. ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ, f ಒಂದು ಹೊಸ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ X ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ದೂರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (X, d) ನಲ್ಲಿನ ದೂರಗಳೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು. ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸದೆ ಈ ಯಾವುದೇ ದೂರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಎರಡನೇ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. (X, d) ನ ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ (T (X), δ) ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. (d ಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, δ ಎಂಬುದು ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. d ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸದಿದ್ದರೆ, X ನ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಪರೀತ ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಯಾವುದೇ f ಗೆ, T (X) ನಲ್ಲಿನ g ಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸೇರಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X ನಿಂದ R ಗೆ ಮೊದಲ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಅವಶ್ಯಕತೆಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ X ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಗೆ, f (x) = sup {d (x, y)-f (y): x ನಲ್ಲಿ y. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ f ಬಿಂದುವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, X ನಿಂದ R ಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ g ಗೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ d (x, y) ≤ g (x) + g (y), X ನಲ್ಲಿ y, g ≤ f ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, f = g. ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು X ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ, X ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಗೆ, ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಪುರಾವೆಃ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ.) X ಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ X ನಿಂದ R ಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ಎರಡನೇ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು X ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ x ಗೆ, x ನಲ್ಲಿ y ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ f (x) + f (y) = d (x, y). (ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ. ಆಗ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). |X | = 2 ಎಂದು ಹೇಳಿ, ಮತ್ತು X = {a, b} ಇರುವಂತೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ a, b ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ನಂತರ {{(a, 1), (b, 0)}, {(a, 0), (b, 1)}} ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಆಗಿದೆ. [ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಶೀರ್ಷಿಕೆಃ X = {0,1} ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು {(0,1), (1,0)} ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. X ನ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಪರೀತ ಕಾರ್ಯವು f ಎಂಬುದು ಕ್ಯಾಟೆಟೊವ್ ಆಗಿದೆಃ f ಮೊದಲ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, f ಮೊದಲ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (1-ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿದೆ), ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, f ಮೊದಲ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು T (X) C (X). (ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ.) ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (1-ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿರುವ Xನ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಪರೀತ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; cf. Equicontinuity#Examples.) Xನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಯಾಟೆಟೋವ್ ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a, b ಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ, X = {a, b} ಆಗಿರಲಿ, d = ([x ಿಱೀ]) x ಆಗಿರಲಿ, Xನಲ್ಲಿ y ಎಂಬುದು Xನ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು f = {(a, 1), (b, 2)} ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ f ಎಂಬುದು ಕ್ಯಾಟೆಟೋವ್ ಆದರೆ ತೀವ್ರವಲ್ಲ. (ಇದು ಬಹುತೇಕ ತಕ್ಷಣವೇ f ಎಂಬುದು ಕ್ಯಾಟೆಟೊವ್. ಈ ವಿಭಾಗದ ಮೂರನೇ ಬುಲೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಗುಣವನ್ನು ಅದು ವಿಫಲಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ f ತೀವ್ರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.) d ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸಿದರೆ, T (X) ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು f ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಎಫ್ ಗೆ, (ಟಿಪ್ಪಣಿ) (ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಮೂರನೇ ಸಮಾನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.) ಡಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದವರಾಗಿದ್ದರೆ, ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಎಫ್ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದವರಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. (ಮೊದಲ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.) ಬಿಂದುವಿನ ಮಿತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. (X, d) ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, (T (X), δ) ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಪುರಾವೆಃ ತೀವ್ರ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೂಚಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ, ಡಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ (ಹಿಂದಿನ ಬುಲೆಟ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ) ಇದು ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) ನ ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆವು, ಆದ್ದರಿಂದ ಆರ್ಜೆಲಾ-ಅಸ್ಕೋಲಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಿಂದಿನ ಬುಲೆಟ್ ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ಅನ್ನು ಮಾನದಂಡದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಮ್ಮುಖವು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಮೊದಲ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ X ನಿಂದ R ವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, T (X) ನಲ್ಲಿ f ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ f ≤ g ಬಿಂದುವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎಫ್, ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿನ ಜಿ ಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸೇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. (ಮೇಲಿನ ಗುಂಡು ಬಳಸಿ.) ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿ ನಕ್ಷೆಯು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ. (ಎಕ್ಸ್ = ಐಎಲ್ ಆಗಿರುವಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X ಷ್ಣುವು ಷ್ಣವಾಗಿದ್ದಾಗ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.) ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಆಗಿರಲಿ. X ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ a ಗೆ, f (a) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, f = e (a) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. (X ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಗೆ ನಾವು f ನ ಕನಿಷ್ಠತೆಯಿಂದ (ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಸಮಾನವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ) ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅನುಸರಿಸುವ ಮೊದಲ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ) (T (X), δ) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (X, d) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ ಕಾನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಟಿ (ಎಕ್ಸ್), δ) ಮತ್ತು ಇವೆರಡೂ ಹೈಪರ್ ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಹೈಪರ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ Y ಗೆ. ("(ಟಿ (ಎಕ್ಸ್), δ) ಎಂಬುದು (ಎಕ್ಸ್, ಡಿ) ನ ಹೈಪರ್ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಎಲ್ಲಾ I ಜೊತೆಗೆ ಹೈಪರ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು (T (X), δ) ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ("(X, d) ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೈಪರ್ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ (T (X), δ) ನೊಂದಿಗೆ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ".) ಉದಾಹರಣೆಗಳು |X | = 3 ಎಂದು ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X = {a, b, c}, ಮತ್ತು i = d (a, b), j = d (a, c), k = d (b, c) ಎಂದು ಹೇಳುವಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ a, b, c ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಿ [ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಶೀರ್ಷಿಕೆಃ X = {0,1,2} ಆಗಿದ್ದರೆ, T (X) = ಕಾನ್ವ್ {(,,), (,,)} u ಕಾನ್ವ್ {(,,), (,)} u ಕಾನ್ವ್ {(,,), (,)} ಅನ್ನು Y ಅಕ್ಷರದಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಸಿ. ಎಫ್.) ಈ ಚಿತ್ರವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ 16 ಬಿಂದುಗಳ X ಗುಂಪನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು, ನಾವು ಮ್ಯಾನ್ಹ್ಯಾಟನ್ ದೂರವನ್ನು (ದೂರ) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ನೀಲಿ ಪ್ರದೇಶವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ z ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕು ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ವಾಡ್ರಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ X ನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು z ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಬಿಂದು z ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ f (x) ಕಾರ್ಯವು f (x) = d (z, x) ಆಗಿದೆ. ಈ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವು ಮ್ಯಾನ್ಹ್ಯಾಟನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾನ್ಹ್ಯಾಟನ್-ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ z ಗೆ ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 1 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ಅನ್ನು ತೋರಿಸಲು, X ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಿಂದು x ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ; ನಾವು x ನಲ್ಲಿ y ಅನ್ನು f (x) + f (y) = d (x, y) ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಆದರೆ x ನಾಲ್ಕು ಚತುರ್ಥಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, y ಅನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚತುರ್ಥಾಂಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ಅನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾನ್ಹ್ಯಾಟನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಹಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ, ಬಿಗಿಯಾದ ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X ಸೀಮಿತವಾದಾಗ ಬಿಗಿಯಾದ ಅಂತರದ ಆಯಾಮ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು n () ಗುಂಪಿನ ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ T (X) ಅನ್ನು RX ಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು n ಆಯಾಮದ ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾವು T (X) ನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೇಲೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು n/3 ಮತ್ತು n/2 ನಡುವಿನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅದರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ಅವರು, ಬನಾಚ್ ಜಾಗಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬನಾಚ್ ಜಾಗದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹೊದಿಕೆ ಬಿಗಿಯಾದ ಅಂತರದೊಂದಿಗೆ (ರೇಖೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಮರೆತ ನಂತರ) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) ರೂಪದ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪರಸ್ಪರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ವಾಹಕಗಳ ಉಷ್ಣವಲಯದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಂದು ಸೀಮಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದೇ ವರ್ಷದ ನಂತರ ಅವರು ಎರ್ರಾಟಮ್ನಲ್ಲಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು, ಉಷ್ಣವಲಯದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಅದು ಅದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿರಬಹುದು. ಜೈವಿಕ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ವಿಕಸನೀಯ ಮರಗಳನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಗಳು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆ-ಸರ್ವರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹಲವಾರು ಆನ್ಲೈನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಗಿಯಾದ ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಒಂದು ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆರು ಬಿಂದುಗಳವರೆಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಬಿಗಿಯಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಕಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೀಮಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಿಗಿಯಾದ ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಕುರಟೋವ್ಸ್ಕಿ ಮ್ಯಾಪ್ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ನಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹುದುಗಿಸುವ ಕುರಟೋವ್ಸ್ಕಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ