Narrow class group
ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, K ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಿರಿದಾದ ವರ್ಗ ಸಮೂಹವು K ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು Kಯನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕೆ ಎಂಬುದು ಕ್ಯೂ ನ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನೆನಪಿಡಿ, Kಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗದ ಗುಂಪನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ IK ಎಂಬುದು Kಯ ಭಾಗಶಃ ಆದರ್ಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪಿಕೆ ಎಂಬುದು Kಯ ಪ್ರಧಾನ ಭಾಗಶಃ ಆದರ್ಶಗಳ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ aOK ರೂಪದ ಆದರ್ಶಗಳು, ಅಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು Kಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಕಿರಿದಾದ ವರ್ಗದ ಗುಂಪನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಈಗ ಪಿಕೆ + ಎಂಬುದು Kಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಧಾನ ಭಾಗಶಃ ಆದರ್ಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, aOK ರೂಪದ ಆದರ್ಶಗಳು, ಅಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು Kಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, σ (a) ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಳಕೆಗಳಿಗೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಫ್ರೋಲಿಚ್ ಮತ್ತು ಟೇಲರ್, ಅಧ್ಯಾಯ V, ಪ್ರಮೇಯ 1.25). ಪ್ರಮೇಯ. ಇಲ್ಲಿ d ಒಂದು ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು K ಯ ಕಿರಿದಾದ ವರ್ಗದ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದು K ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ NK/Q ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಯು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ x ಮತ್ತು y ಗೆ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲಿ dK ಯು K ಯ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾದ ಕ್ಯೂ (), ಕ್ಯೂ (), ಕ್ಯೂ () ಎಲ್ಲವೂ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಕಿರಿದಾದ ವರ್ಗ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಯು p = x2 + y & aresp; x ಮತ್ತು y ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (ಇದನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ p = x2 − xy + y ಮತ್ತು a ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ p = x2 − xy + y ಮತ್ತು y ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು (cf. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) ಕಿರಿದಾದ ವರ್ಗ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗ ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ Q (). ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ವರ್ಗದ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಕಿರಿದಾದ ವರ್ಗದ ಗುಂಪು 2ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವರ್ಗ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಅಥವಾ ಅದರ ವಿಲೋಮ − p ಯು ±p = x2 − 6y & ಹೇರ್ಸ್ಪ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ; x ಮತ್ತು y ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಧನಾತ್ಮಕ p ಅನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಹೇಳಿಕೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಯು p = x2 − 6y ಮತ್ತು y ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ p = 3 ಅಥವಾ (ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಎರಡನೆಯದು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಾಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಾರ್ಮ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಎ. ಫ್ರೋಲಿಚ್ ಮತ್ತು ಎಂ. ಜೆ. ಟೇಲರ್, ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿ (ಪುಟ 180), ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1991 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ