Nonholonomic system
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅದರ ನಿಯತಾಂಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಂಡಾಗ (ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ) ಆದರೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮಾರ್ಗದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮರಳಿದಾಗ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತನ್ನ ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮರಳದೇ ಇರಬಹುದು. ನಾನ್ಹೋಲಾನಮಿಕ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಸ್ವಾಯತ್ತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವಿವರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನ್ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಾನ್ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಡಳಿತದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಿರಂತರ ಮುಚ್ಚಿದ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಯು ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳದ ಮೂಲಕ ಅದರ ಪಥದ ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲದ ವಿಲೋಮ ವರ್ಗ ನಿಯಮ. ಇದು ಎರಡನೆಯದು ಸಮಗ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಆ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪಥದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ (ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನಗಳು) ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ, ಮೌಲ್ಯವು ಕೆಲವು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಳಗಿನ ವಿಚಲನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಚಲನವನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನ್ಹೋಲೊನೊಮಿ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವನ್ನು ಹೆನ್ರಿಕ್ ಹರ್ಟ್ಜ್ ಅವರು 1894ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅನ್ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು. ಸೂಚ್ಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಪೂರ್ಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಿಂದ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ (ನಿಯತಾಂಕಗಳು) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅನಹೋಲನಾಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿವೆ, ಅವು "ಆಂತರಿಕ" ಅಥವಾ "ಬಾಹ್ಯ" ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕೃತಕವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂರಕ್ಷಣಾ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಸದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡುವೆ ಬಹಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾರಿಗೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕಿಂತ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾಗಣೆಗೆ, ಸೂಚ್ಯ ಅವಲಂಬನೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಇನ್ನೂ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದು, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಅವಲಂಬನೆಯಲ್ಲಿ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, X-Y ಪ್ಲ್ಯಾಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮಗ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಘಟಕಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ಲ್ಯಾಟರ್ ಪೆನ್ನ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಸ್ಥಿರ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪೆನ್ 0,0 ಮತ್ತು 3,3 ಸ್ಥಾನಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡರೆ, x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ 3 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಂತರ y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ 3 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ, ಮೊದಲು Y-ಅಕ್ಷದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ, ಅಥವಾ 3,3ರ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸ್ಥಾನ-ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಗೇರ್ಗಳು ಅದೇ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಯಂತ್ರದ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅದರ ಹೊಸ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ಲ್ಯಾಟರ್-ಪೆನ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮಾರ್ಗ-ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ನಾವು ಟರ್ಟಲ್ ಪ್ಲ್ಯಾಟರ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಪೆನ್ನು 0,0 ರಿಂದ 3,3 ಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ರೋಬೋಟ್ನ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಗೇರ್ಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸ್ಥಾನಗಳ ನಡುವೆ ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಏಕೆ ಹೋಲೋನಮಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗ್ಯಾಂಟ್ರಿ ಕ್ರೇನ್ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಇತಿಹಾಸ ಎನ್. ಎಮ್. ಫೆರೆರ್ಸ್ 1871ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಅವರು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವೇಗಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೇಗಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. 1877ರಲ್ಲಿ, ಇ. ರೌತ್ ಅವರು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆದರು. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕಾಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದ ಮೂರನೇ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಈಗ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಮತ್ತು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಹೆನ್ರಿಕ್ ಹರ್ಟ್ಜ್ ಅವರು 1894ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. 1897ರಲ್ಲಿ, ಎಸ್. ಎ. ಚ್ಯಾಪ್ಲಿಗಿನ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು. ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್-ಆಪರೇಟರ್ ಪ್ರಕಾರದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಉಳಿದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಾನ್ಹೋಲೊನೊಮಿಕತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದಾಗ ಅವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. 1901ರಲ್ಲಿ ಪಿ. V.Voronets ಅವರು ಚ್ಯಾಪ್ಲಿಗಿನ್ ಅವರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ನಿರ್ಬಂಧದಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿಃ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಮೇಲಿನ ರೂಪವು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಆಗಿರಲು, ಎಡಗೈಯು ಒಟ್ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಗಿರಬಾರದು ಅಥವಾ ಒಂದಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಾರದು, ಬಹುಶಃ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ. ವರ್ಚುವಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ನಿರ್ಬಂಧದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಈ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಅಸಮಾನತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧದ ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಕಣ, ಆದರೂ ಅದನ್ನು ಬೀಳಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಕಣದ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ರೋಲಿಂಗ್ ವೀಲ್ ಎ ವೀಲ್ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯುನಿಸೈಕಲ್ ಅಥವಾ ರೋಲಿಂಗ್ ನಾಣ್ಯವಾಗಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ವಿವರಣೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ (ನೆಲದ ಮೇಲೆ) ನಿಲ್ಲಿಸಲಾಗಿರುವ ಬೈಸಿಕಲ್ನ ಚಕ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಹಣದುಬ್ಬರದ ಕವಾಟವು ಚಕ್ರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಬೈಸಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತಲೂ ಸವಾರಿ ಮಾಡಿ, ನಂತರ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಿದರೆ, ಕವಾಟವು ಬಹುತೇಕವಾಗಿ ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಹೊಸ ಸ್ಥಾನವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಚಕ್ರವು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಚಕ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುವವರೆಗೆ ಕವಾಟದ ಕಾಂಡವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆ ಚಕ್ರವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಕ್ರವು ತನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮೂರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದುಃ ಅದರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಬೇರೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು, ಬೇರೆ ಸ್ಟೀರಿಂಗ್ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿರುವುದು. ಅದು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆ,-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ಟೀರಿಂಗ್ ಕೋನ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂರಚನೆಯ ಸ್ಥಳವು ಹೀಗಿದೆಃ ನಾವು ಈಗ ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಬೇಕು. ಚಕ್ರವು ತನ್ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ, ಅದು ತನ್ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ವೇಗಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಸೂಕ್ತವಾದ ಪದಗಳ ಸರಳ ಸಮಯ-ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕೋನೀಯ ವೇಗ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀರಿಂಗ್ ಕೋನವನ್ನು ರೇಖೀಯ ವೇಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವೇಗವು ಕೋನೀಯ ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಹೀಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆಃ ನಂತರ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ (ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗ, ಮೇಲಿನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ). ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಅರಿತುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗ): ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಈಗ ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆಃ ನಾವು ಈಗ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎಂಟು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೊದಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಗಣಿತದ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಯಾವುದೇ ಪದಗಳು, ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣದ ಆ ಭಾಗವು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ನಾವು ನಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿಃ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆಃ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಎಂದು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ನಾವು ನಮ್ಮ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮತ್ತಷ್ಟು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿರಬಹುದೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಕೆಲವು ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ನೀಡಿದೆ. ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸದೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಎಂದು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡಬಹುದುಃ ಚಕ್ರದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಹಾಯಕವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಚಕ್ರವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಅನುಮತಿಸದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಚಲಿಸಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮಗ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸದ ಒಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಒಬ್ಬರು ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾಲ್ಕು) ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಮಗ್ರವಾಗಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ ವೈಫಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬೇಕು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಏಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಕರಣವು ತನ್ನನ್ನು ತಾನೇ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲಃ ಇದು ಕೆಲವು ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ನಿಂದ). ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ, "[ಕವಾಟದ ಕಾಂಡದ] ಹೊಸ ಸ್ಥಾನವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಚಕ್ರವು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಚಕ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುವವರೆಗೆ ಕವಾಟದ ಕಾಂಡವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಚಕ್ರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೇರವಾದ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಿಂಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಲು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಕವಾಟದ ಕಾಂಡವು ಅದೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಸುಲಭ! ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೀಡಿದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವುದು ನೈಜ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಸ್ವತಃ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಲ್ಲೇಖಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಚಕ್ರವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಚಲಿಸಿದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಆಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಅದನ್ನು ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಮಾಡಲು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದಾದ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಮಾಡುವ ನಿರ್ಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾದದ್ದು ಇದೆ. ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟೀರಿಂಗ್ ಕೋನವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಕೇವಲ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದರ್ಥ. ಇಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ಸಂರಚನೆಯ ಸ್ಥಳವು ಎರಡು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಫಾಫಿಯನ್ ನಿರ್ಬಂಧದಿಂದ ರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ನಮ್ಮ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಎರಡು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಲು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಕೇವಲ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಫಾಫಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಮೂಲಕ (ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ), ಅದು ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಎಂದು ನಮಗೆ ಭರವಸೆ ಇದೆ. ರೋಲಿಂಗ್ ಸ್ಫಿಯರ್ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ 'ರೋಲಿಂಗ್ ವೀಲ್' ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೆವೆಲ್ ಟೇಬಲ್ ಟಾಪ್, ಮತ್ತು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಾಕಲಾದ x ಮತ್ತು y ಅಕ್ಷಗಳು. ಯುನಿಟ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಿಂಗ್-ಪಾಂಗ್ ಚೆಂಡು, ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದು ಬಿ ಅನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ. ಈ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸವಿದೆ, ಮತ್ತು ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಈ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮತಲ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಿಂದುವು ಬಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಭೂಮಧ್ಯರೇಖೆ ಎಂಬ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಭಾಜಕದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದು ಆರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ. ಬಿ ಬಿಂದುವು ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ z = 0 ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಗೋಳವನ್ನು ಇರಿಸಿ, ಸಿ x = 0, y = 0, z = 1, ಮತ್ತು ಆರ್ x = 1, y = 0, ಮತ್ತು z = 1, ಅಂದರೆ. ಆರ್ ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಗೋಳದ ಆರಂಭಿಕ ಅಥವಾ ಉಲ್ಲೇಖದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಈ ಗೋಳವನ್ನು ಈಗ z = 0 ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಮುಚ್ಚಿದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮಾರ್ಗವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಅದು ಜಾರುವಂತಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ತಿರುಗುವಂತಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ C x = 0, y = 0, z = 1 ಗೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬಿ ಬಿಂದುವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆರ್ ಬಿಂದುವು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಗೋಳವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಗೋಳದ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ x = 0, y = 0, z = 1 ನಲ್ಲಿರುವ C ಯೊಂದಿಗೆ ಮರು-ನಿರ್ದೇಶಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಗೋಳವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಬಿ ಮತ್ತು ಆರ್ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಹೊಸ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವ ದ್ವಿಗುಣವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ನಿಂದ (q ಮತ್ತು −q) ಅನ್ಹೋಲೊನೊಮಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಫೌಕಾಲ್ಟ್ ಲೋಲಕವು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಫೌಕಾಲ್ಟ್ ಲೋಲಕ. ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಲೋಲಕವು ಪಥದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಭೌಗೋಳಿಕ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ತೂಗಾಡುತ್ತಿದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸೂಚ್ಯ ಪಥವು ಲೋಲಕವು ಇರುವ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿನ ಅಕ್ಷಾಂಶದ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಭೂಮಿಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಲೋಲಕವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಇದು ಸೂರ್ಯನನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯ ಚಲನೆಯ ದರದೊಂದಿಗೆ ಸಿಂಕ್ರೊನಿಯಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಲೋಲಕ ಸಮತಲದ ಏಕೈಕ ಸ್ಪಷ್ಟ ಚಲನೆಯು ಭೂಮಿಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಂತರದ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಜಡತ್ವದ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ಭೂಮಿಯ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಜಡತ್ವರಹಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಶಕ್ತಿಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಅಕ್ಷಾಂಶದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಮಯದ ಅಂಗೀಕಾರದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಫೌಕಾಲ್ಟ್ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಸಮತಲವು ಸಮಯ ಕಳೆದಂತೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮತಲದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನಹೋಲೊನೊಮಿ ಆಗಿದೆ. ಅಕ್ಷಾಂಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅನ್ಹೋಲೊನೊಮಿ ಆ ಅಕ್ಷಾಂಶದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅಕ್ಷಾಂಶದ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲೋಲಕವನ್ನು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು. ಅನ್ಹೋಲೊನೊಮಿ ಇನ್ನೂ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಈಗ ಸಾಕಷ್ಟು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಫೌಕಾಲ್ಟ್ ಲೋಲಕವು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾಗಣೆಗೆ ಒಂದು ಭೌತಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಫೈಬರ್ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಧ್ರುವೀಕೃತ ಬೆಳಕನ್ನು ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಫೈಬರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಮೂರು ಮೀಟರ್ ಎಂದು ಹೇಳಿ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ. ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿ ಧ್ರುವೀಕರಿಸಿದ ಕಿರಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೂ ಲಂಬ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಧ್ರುವೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಲಂಬ ಧ್ರುವೀಕರಣದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಫೈಬರ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಪಟ್ಟೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಿ. ಈಗ, ಹತ್ತು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ವ್ಯಾಸದ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಸುತ್ತ ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಸುರುಳಿ ಮಾಡಿ. ತಂತಿಯ ಮಾರ್ಗವು ಈಗ ಹೆಲಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವೃತ್ತದಂತೆಯೇ ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಲಿಕ್ಸ್ ನಿರಂತರವಾದ ತಿರುಚು ಹೊಂದುವ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾರಿನ ಕೇಂದ್ರರೇಖೆಯು ಹೆಲಿಕ್ಸ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮುಂದುವರೆದಂತೆ ನಾರಿನ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ನಾರಿನ ಕ್ರಮೇಣ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಪಟ್ಟೆಯು ಹೆಲಿಕ್ಸ್ನ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕ ಧ್ರುವೀಕೃತ ಬೆಳಕನ್ನು ಮತ್ತೆ ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ, ಪಟ್ಟೆಯೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಧ್ರುವೀಕರಣದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪಟ್ಟೆಯೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸದ ರೇಖೀಯ ಧ್ರುವೀಕೃತ ಬೆಳಕಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪಟ್ಟೆಗೆ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಕೋನದಲ್ಲಿ, ನಾರಿನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಹೆಲಿಕ್ಸ್ನ ಪಿಚ್ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು ಎರಡನೇ ಹೆಲಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುರುಳಿಯಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ತುದಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಬಹುದು, ಬೆಳಕನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನ್ಹೋಲೊನೊಮಿಯನ್ನು ಫೈಬರ್ನ ಪ್ರತಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಧ್ರುವೀಕರಣದ ಕೋನದ ವಿಚಲನದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸೂಕ್ತ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕೋನೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ರೊಬೊಟಿಕ್ಸ್ ರೊಬೊಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಚಲನೆಯ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಮೊಬೈಲ್ ರೋಬೋಟ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಾನ್ಹೋಲೊನಮಿಕ್ ಅನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ನಿರ್ಬಂಧ ಸೈಕಲ್ ಮತ್ತು ಮೋಟಾರ್ಸೈಕಲ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಬೀಳುವ ಬೆಕ್ಕಿನ ಸಮಸ್ಯೆ ಗೋರ್ಯಾಚೆವ್-ಚ್ಯಾಪ್ಲಿಜಿನ್ ಟಾಪ್ ಪ್ಯಾರಲಲ್ ಪಾರ್ಕಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಫಾಫಿಯನ್ ನಿರ್ಬಂಧ ಉಡ್ವಾಡಿಯಾ-ಕಲಾಬಾ ಸಮೀಕರಣ ಲೈ ಗ್ರೂಪ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್