Admissible representation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಉತ್ತಮ ವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರನ್ನು ಹರೀಶ್-ಚಂದ್ರ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಜಿ ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಲೈ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ. ಕೆ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ Vಯಲ್ಲಿ Gಯ ನಿರಂತರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು (π, V) Kಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ π ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು Kಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಜಿ ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ. ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಯು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಎರಡು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ, ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಾನತೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೂ, ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡು ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಏಕೀಕೃತ (ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ,-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಏಕತ್ವದ ಕಲ್ಪನೆಯೂ ಇದೆ. ಇದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಅನಂತ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಈ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ವರ್ಗಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಜಿ ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಅನಂತ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರಾಬರ್ಟ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ವರ್ಗೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಗುಂಪುಗಳು ಜಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಾನಾರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೀಮಿತ ಅಡೇಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪು). Vಯ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ Gಯ ಉಪಗುಂಪು ತೆರೆದಿದ್ದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳ Vಯಲ್ಲಿ Gಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು (π, V) ಸ್ಮೂತ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಓಪನ್ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಥಳವು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, π ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಜಿ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಸೆಲ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ಜೆಲೆವಿನ್ಸ್ಕಿ 1970 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕೈಗೊಂಡರು. ಹೋವೆ, ಮೋಯ್, ಗೋಪಾಲ್ ಪ್ರಸಾದ್ ಮತ್ತು ಬುಷ್ನೆಲ್ ಮತ್ತು ಕುಟ್ಜ್ಕೋ ಅವರು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರು, ಅವರು ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರು (ಅಂದರೆ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಡ್ಮಿಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಸೆಟ್). ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ VIIIನೇ ಅಧ್ಯಾಯ