J-integral
ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದ ಶಕ್ತಿಯ ಬಿಡುಗಡೆ ದರವನ್ನು ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಮುರಿತದ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಕೆಲಸ (ಶಕ್ತಿ) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆ-ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 1967 ರಲ್ಲಿ ಜಿ. ಪಿ. ಚೆರೆಪಾನೋವ್ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ 1968 ರಲ್ಲಿ ಜೇಮ್ಸ್ ಆರ್. ರೈಸ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅವರು ಶಕ್ತಿಯುತ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಜೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಬಿರುಕಿನ ಸುತ್ತಲಿನ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಲೀನಿಯರ್ ಎಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರಾಕ್ಚರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ (ಎಲ್ಇಎಫ್ಎಂ) ಮಾನ್ಯವಾಗಿರಲು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮುರಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಮುರಿತ ಶಕ್ತಿಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮುರಿತದ ಗಟ್ಟಿತನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಸರಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಇಳುವರಿ ಮೋಡ್ I ಲೋಡಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಏಕತಾನತೆಯ ಲೋಡಿಂಗ್ಗೆ ಒಳಗಾದ ದೇಹದಲ್ಲಿನ ಬಿರುಕುಗಳಿಗೆ ಒತ್ತಡದ ಶಕ್ತಿಯ ಬಿಡುಗಡೆ ದರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕ್ವಾಸಿಸ್ಟಾಟಿಕ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಬಿರುಕು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ಮೋಡ್ III (ಆಂಟಿಪ್ಲೇನ್ ಶಿಯರ್) ನಲ್ಲಿ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಲೋಡಿಂಗ್ನಂತಹ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಬಿಡುಗಡೆ ದರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಜೆ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಬಿರುಕು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಇಳುವರಿಗೆ ಒಳಗಾಗುವ ಶುದ್ಧ ಪವರ್-ಲಾ ಗಟ್ಟಿಯಾಗುವ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಜೆ ನಿಂದ ಸ್ಟ್ರೈನ್ ಎನರ್ಜಿ ಬಿಡುಗಡೆ ದರವನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಮೋಡ್ I ಮತ್ತು ಮೋಡ್ II ಲೋಡಿಂಗ್ಗೆ J ಪ್ರಮಾಣವು ಮಾರ್ಗ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿರುಕು ತುದಿಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ಮಾತ್ರ ಶಕ್ತಿಯ ಬಿಡುಗಡೆ ದರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಅನುಪಾತರಹಿತ ಲೋಡಿಂಗ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಜೆ ಮಾರ್ಗ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ರೈಸ್ ತೋರಿಸಿದೆ. ಇಳಿಸುವಿಕೆಯು ಇದರ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಲ್ಲದ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಲೋಡಿಂಗ್ ಸಹ ಮಾರ್ಗ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಅಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಲ್ಲದ ಲೋಡಿಂಗ್ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಇನ್-ಪ್ಲೇನ್ ಲೋಡಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳ ಮಾರ್ಗ-ಅವಲಂಬನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಮೂಲತಃ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಒಂದು ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಚಿತ್ರ 1 ಅನ್ನು ನೋಡಿ) ಅಲ್ಲಿ W (x1, x2) ಒತ್ತಡದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆ, x1, x2 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು, t = [σ] n ಮೇಲ್ಮೈ ಎಳೆತದ ವಾಹಕ, n ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ, [σ] ಕೌಚಿ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್, ಮತ್ತು u ಸ್ಥಳಾಂತರದ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಬಿರುಕು ತುದಿಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ನಿಂದ ಒತ್ತಡದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ (ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ) ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬಿರುಕು ತೆರೆಯಲು ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ನ ಅಂಶ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬಿರುಕು ತುದಿಯ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಗ್ರೀನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗಡಿಯನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿದಾಗ ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಬಿರುಕಿನ ಮುಖಗಳು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಳೆತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಸಹ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಕ್ರ್ಯಾಕ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ಬಿಡುಗಡೆ ದರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ರೈಸ್ ತೋರಿಸಿದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಿರುಕಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತೊಂದರೆಗಳಿಂದಾಗಿ ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕತಾನತೆಯ ಲೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸಿದರೆ (ಯಾವುದೇ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಇಳಿಸುವಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ) ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಬಿಡುಗಡೆ ದರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ರೈಸ್ ತೋರಿಸಿದೆ. {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ಟೋಕ್ಕಲರ್ಗಳು ಕುಸಿಯಬಲ್ಲವು" ಅಗಲ = "80 ಪ್ರತಿಶತ" ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಎಡ"! ಮುಚ್ಚಿದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ |-|To ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ನ ಮಾರ್ಗ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾದ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಶೂನ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ತೋರಿಸಬೇಕು. ನಾವು ಇದನ್ನು ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ (ಅಥವಾ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ) ಬರೆಯಬಹುದು, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈಗ, ಯಾವುದೇ ದೇಹದ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮತೋಲನಕ್ಕೆ (ರೇಖೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆ) ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಈಗ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ನಂತರ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಏಕರೂಪತೆಯಿಲ್ಲದೆ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿದ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಬಿರುಕುಗಳು. |} {| ವರ್ಗ = "ಟೋಕ್ಕಲರ್ಗಳು ಕುಸಿಯಬಲ್ಲವು" ಅಗಲ = "80 ಪ್ರತಿಶತ" ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಎಡ"! ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಮಾರ್ಗ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ |-| ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯು ಮುಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವುದರಿಂದ, ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಬಿರುಕು ತುದಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಈಗ, ಬಿರುಕು ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಬಿರುಕುಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಳೆತದಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಮಾರ್ಗ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. |} ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಚರ್ ಟಫ್ನೆಸ್ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ, ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ಬಿರುಕು ಅದರ ಮೂಲ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೇರವಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಚರ್ ಟಫ್ನೆಸ್ಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಬಹುದು. ಪ್ಲೇನ್ ಸ್ಟ್ರೈನ್ಗೆ, ಮೋಡ್ I ಲೋಡಿಂಗ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂಬಂಧವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸ್ಟ್ರೈನ್ ಎನರ್ಜಿ ಬಿಡುಗಡೆ ದರವಾಗಿದೆ, ಮೋಡ್ I ಲೋಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಮುರಿತದ ಕಠಿಣತೆ, ಪಾಯ್ಸನ್ನ ಅನುಪಾತ, ಮತ್ತು ಇ ವಸ್ತುವಿನ ಯಂಗ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮೋಡ್ II ಲೋಡಿಂಗ್ಗಾಗಿ, ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಮತ್ತು ಮೋಡ್ II ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಚರ್ ಟಫ್ನೆಸ್ () ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಮೋಡ್ III ಲೋಡಿಂಗ್ಗಾಗಿ, ಸಂಬಂಧವು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಪದಾರ್ಥಗಳು ಮತ್ತು ಎಚ್ಆರ್ಆರ್ ದ್ರಾವಣ ಹಚಿನ್ಸನ್, ರೈಸ್ ಮತ್ತು ರೋಸೆನ್ಗ್ರೆನ್ ತರುವಾಯ ಜೆ ಅಲ್ಲದ ರೇಖಾತ್ಮಕ (ಪವರ್ ಲಾ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿಸುವ) ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಬಿರುಕಿನ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಏಕ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಲಯದ ಗಾತ್ರವು ಬಿರುಕು ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ರಾಮ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಓಸ್ಗುಡ್ ಸೂಚಿಸಿದ ರೂಪದ ವಸ್ತು ಸಾಂವಿಧಾನಿಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಹಚಿನ್ಸನ್ ಬಳಸಿದರುಃ ಇಲ್ಲಿ σ ಯು ಏಕ ಅಕ್ಷೀಯ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡವಾಗಿದೆ, σy ಯು ಇಳುವರಿ ಒತ್ತಡವಾಗಿದೆ, ε ಎಂಬುದು ಒತ್ತಡವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು εy = σy/E ಅನುಗುಣವಾದ ಇಳುವರಿ ಒತ್ತಡವಾಗಿದೆ. ಇ ಪ್ರಮಾಣವು ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಯಂಗ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಸ್ತುವಿನ ಆಯಾಮರಹಿತ ಸ್ಥಿರ ಲಕ್ಷಣವಾದ α ಮತ್ತು ಕೆಲಸದ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿಸುವಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕವಾದ n ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಒತ್ತಡವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಒತ್ತಡದ ಘಟಕಗಳು ಲೋಡಿಂಗ್ ಮುಂದುವರೆದಂತೆ (ಅನುಪಾತದ ಲೋಡಿಂಗ್) ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಇಳಿಸುವಿಕೆ ಇಲ್ಲ. ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ದೇಹಕ್ಕೆ ದೂರದ-ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕರ್ಷಕ ಒತ್ತಡ σfar ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಮಾರ್ಗದ ಸುತ್ತಲಿನ J-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಲಯದೊಳಗೆ ಇರಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ) ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಬಿರುಕಿನ ಸುತ್ತಲಿನ ಒಟ್ಟು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಬಿರುಕಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಜೆ-ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು γ1 ಮತ್ತು γ2 ಸುತ್ತಲೂ ದೂರದ-ಕ್ಷೇತ್ರದ ಒತ್ತಡದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಕೆಗೆ ನಿರ್ಬಂಧ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಮತಲದ ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ β = 1 ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ β = 1 − ν2 (ν ಎಂಬುದು ಪಾಯ್ಸನ್ನ ಅನುಪಾತ). ಒತ್ತಡ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಜೆ-ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆಯಾಮರಹಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಜೆ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮುರಿತ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಒತ್ತಡದ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ (ಕೆ) ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಅನಲಾಗ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಜೆ> ಜೆಐಸಿ ಯಂತಹ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಿರುಕು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಇವುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮುರಿತದ ಕಠಿಣತೆ ಮುರಿತದ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಒತ್ತಡದ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಂಶ ಸ್ಲಿಪ್ ಬ್ಯಾಂಡ್ನ ಸ್ವರೂಪ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜೆ. ಆರ್. ರೈಸ್, "ಎ ಪಾತ್ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಅಂಡ್ ದಿ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಟ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಫ್ ಸ್ಟ್ರೈನ್ ಕಾನ್ಸಂಟ್ರೇಶನ್ ಬೈ ನಾಚ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಕ್ರ್ಯಾಕ್ಸ್", ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್, 35,1968, ಪುಟಗಳು. ವ್ಯಾನ್ ವ್ಲಿಯೆಟ್, ಕ್ರಿಸ್ಟಿನ್ ಜೆ. (2006); "ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಬಿಹೇವಿಯರ್ ಆಫ್ ಮೆಟೀರಿಯಲ್ಸ್", ಎಕ್ಸ್. ಚೆನ್ (2014), "ಪಾತ್-ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್", ಇನ್ಃ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಥರ್ಮಲ್ ಸ್ಟ್ರೆಸ್ಸ್, ಇದನ್ನು ಆರ್. ಬಿ. ಹೆಟ್ನಾರ್ಸ್ಕಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಜಾನ್ ಹಚಿನ್ಸನ್ (ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಿಂದ) ಬರೆದ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಫ್ರಾಕ್ಚರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು) ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಜಾನ್ ಹಚಿನ್ಸನ್ (ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಿಂದ) ಬರೆದ ತೆಳುವಾದ ಚಲನಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಬಹು ಪದರಗಳ ಮುರಿತದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಪ್ರೊಫೆಸರ್ಗಳಿಂದ ಲೇಯರ್ಡ್ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಮಿಶ್ರ ಮೋಡ್ ಕ್ರ್ಯಾಕಿಂಗ್. ಜಾನ್ ಹಚಿನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಝಿಗಾಂಗ್ ಸುಯೋ (ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಿಂದ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಚರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಬೈ ಪೀಟ್ ಶ್ರೂರ್ಸ್ (ಟಿ. ಯು. ಐಂಡ್ಹೋವನ್, ನೆದರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ನಿಂದ) ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಚರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಬೈ ಡಾ. ಸಿ. ಎಚ್. ವಾಂಗ್ (ಡಿ. ಎಸ್. ಟಿ. ಓ-ಆಸ್ಟ್ರೇಲಿಯಾ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಚರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕೋರ್ಸ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಪ್ರೊ. ರುಯಿ ಹುವಾಂಗ್ (ಯುನಿವ್ನಿಂದ). ಆಸ್ಟಿನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಟೆಕ್ಸಾಸ್ನ) ಲುಡೋವಿಕ್ ನೋಯೆಲ್ಸ್ನ ಎಚ್ಆರ್ಆರ್ ಪರಿಹಾರಗಳು (ಲೀಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ) ವೈಫಲ್ಯ ಘನ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮೆಟೀರಿಯಲ್ಸ್ ಟೆಸ್ಟಿಂಗ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಫ್ರಾಕ್ಚರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್