Taylor expansions for the moments of functions of random variables
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ f ಕಾರ್ಯದ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, f ಸಾಕಷ್ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು X ನ ಕ್ಷಣಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಮೊದಲ ಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಜೊತೆಗೆ, ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೇ ಕ್ಷಣ ಅದೇ ರೀತಿ, ಮೊದಲ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಮೇಲಿನದನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಅಂದಾಜು ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಕಳಪೆ ಅಂದಾಜು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಡೆಲ್ಟಾ ವಿಧಾನದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಅಂದಾಜು, X ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದಾಗ, ಇದುಃ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಷಣ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (ಎರಡಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ), ಒಬ್ಬರು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಎರಡು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಮೇಲಿನವುಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು-ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು-ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳು X ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮತ್ತು ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು X ನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಸರಣ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕೆ. ಬಿ. ಅಂದಾಜು ಡೆಲ್ಟಾ ವಿಧಾನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಕ್ಷಣ (ಗಣಿತ)