Ross–Littlewood paradox
ರಾಸ್-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು (ಚೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು ಹೂದಾನಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಅಥವಾ ಪಿಂಗ್ ಪಾಂಗ್ ಚೆಂಡು ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅನಂತತೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಲ್ಲದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಥಾಮ್ಸನ್ ಅವರ ದೀಪ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಂತೆ, ರಾಸ್-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಸೂಪರ್ ಟಾಸ್ಕ್ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಾನ್ ಇ. ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಅವರು ತಮ್ಮ 1953 ರ ಪುಸ್ತಕ ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ಸ್ ಮಿಸೆಲ್ಲಾನಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಶೆಲ್ಡನ್ ರಾಸ್ ಅವರು ತಮ್ಮ 1988 ರ ಪುಸ್ತಕ ಎ ಫಸ್ಟ್ ಕೋರ್ಸ್ ಇನ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಖಾಲಿ ಹೂದಾನಿ ಮತ್ತು ಚೆಂಡುಗಳ ಅನಂತ ಪೂರೈಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ 10 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೂದಾನಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ 1 ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಕಾರ್ಯವು ಮುಗಿದ ನಂತರ ಹೂದಾನಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ? ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಮೊದಲು ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಹೂದಾನಿ ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಮೊದಲು 30 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಹಂತವನ್ನು ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಮೊದಲು 15 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಹಂತವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದ ಅರ್ಧ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಹಂತ ಎನ್ ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಮೊದಲು 2 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ವೇಳೆಗೆ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಹಂತವು ಹಿಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕಿಂತ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ನಿಮಿಷ ಕಳೆದುಹೋಗುವ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆಃ ಮಧ್ಯಾಹ್ನ ಹೂದಾನಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ? ಒಗಟಿನ ಉತ್ತರಗಳು ಹಲವಾರು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೂದಾನಿ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ವೇಳೆಗೆ ಹೂದಾನಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಅತ್ಯಂತ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಉತ್ತರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಹಿಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕಿಂತ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ಹಂತವಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಅನಂತ ಹಂತಗಳ ನಂತರ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಹೂದಾನಿ ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಚೆಂಡುಗಳ ಅನಂತ ಪೂರೈಕೆಯ ಚೆಂಡುಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗಿನ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೂದಾನಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಚೆಂಡು ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಂತ 2ರಲ್ಲಿ, 11ರಿಂದ 20ರವರೆಗಿನ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಚೆಂಡು 2ನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ವೇಳೆಗೆ, ಹೂದಾನಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುವ ಎನ್ ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಂತರದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಹಂತ ಎನ್ ನಲ್ಲಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನ ಹೂದಾನಿ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಕೊಯೆಟ್ಸಿಯರ್ ಅವರ ಒಲವುಳ್ಳ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೂದಾನಿ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹೂದಾನಿ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಹೆಚ್ಚು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ, ಈ ವಾದದ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರಾಸ್-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ. ರಾಸ್ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೂದಾನಿಗಳಲ್ಲಿದ್ದ ಚೆಂಡನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚೆಂಡು ಹೂದಾನಿಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 ಎಂದು ಅವರು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೂಲೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಚೆಂಡುಗಳ ಮೇಲೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನ ಹೂದಾನಿ ಖಾಲಿಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೂದಾನಿನಿಂದ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ವೇಳೆಗೆ ಹೂದಾನಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಚೆಂಡುಗಳು ಉಳಿದಿರದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ತೆಗೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, 1ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ 10ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚೆಂಡನ್ನು ಹೂದಾನಿನಿಂದ, 2ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ 20ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನ ಹೂದಾನಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳು ಉಳಿದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ತೋರಿಸುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಆಯ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ವೇಳೆಗೆ ಹೂದಾನಿಗೆ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಟಾಮ್ ಟಿಮೋಕ್ಸ್ಕೊ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಿಮ್ ಹೆನ್ಲೆ ಅವರ ಒಲವುಳ್ಳ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೂದಾನಿಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಆಯ್ದ n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೂದಾನಿಗೆ ಬೇಕಾದ ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು n ಸೂಚಿಸೋಣ (n ≤ 0). i ಪ್ರಸ್ತುತ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ (i ≤1). ವಿಧಾನಃ i = 1 ರಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆಃ (10 * i-9) ರಿಂದ (10 * i) ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೂದಾನಿಗೆ ಹಾಕಿ, i ≤ n ಆಗಿದ್ದರೆ ನಂತರ ಚೆಂಡಿನ ಸಂಖ್ಯೆ 2 * i ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ನಂತರ ಚೆಂಡಿನ ಸಂಖ್ಯೆ n + i ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಖರವಾಗಿ n ಚೆಂಡುಗಳು ಹೂದಾನಿಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಮೊದಲು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣವೂ ಚೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು ಹೂದಾನಿಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯಾದರೂ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ನಂತರ ಅಥವಾ ನಂತರದ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನ, ಹೂದಾನಿ ಕೇವಲ ಮಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಬೇರೆ ಏನಾದರೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ಪರಿಹಾರದಂತೆ, ಈ ಪರಿಹಾರವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಿಂತ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಣಿತದ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಪೌಲ್ ಬೆನಾಸೆರಾಫ್ ಬೆಂಬಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಮೊದಲು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಝೆನೋದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನದ ಮೊದಲು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ನಡೆಯಬೇಕಾದರೆ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ), ಮಧ್ಯಾಹ್ನವು ಎಂದಿಗೂ ತಲುಪಲಾಗದ ಸಮಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನ ಎಷ್ಟು ಚೆಂಡುಗಳು ಉಳಿದಿವೆ ಎಂದು ಕೇಳುವುದು ಎಂದರೆ ಮಧ್ಯಾಹ್ನ ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ 'ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು' ಎಂಬ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಜೀನ್ ಪಾಲ್ ವ್ಯಾನ್ ಬೆಂಡೆಜೆಮ್ ಅವರು ಬೆಂಬಲಿಸಿದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಸೂಪರ್ಟಾಸ್ಕ್ ಥಾಮ್ಸನ್ ಅವರ ಲ್ಯಾಂಪ್ ಝೆನೋ ಅವರ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಹೋಟೆಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವ "ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ಸ್ ಮಿಸೆಲ್ಲಾನಿ" (ಆವೃತ್ತಿ. ಬೆಲಾ ಬೊಲ್ಲೊಬಾಸ್), ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್, 1986. ಪು. 26. (ಮೊದಲು "ಎ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್ ಮಿಸೆಲ್ಲಾನಿ" ಎಂದು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಬೆಲಾ ಬೊಲ್ಲೊಬಾಸ್, ಮೆತುಯೆನ್ & ಕಂ, 1953) "ಟಾಸ್ಕ್ಗಳು, ಸೂಪರ್-ಟಾಸ್ಕ್ಗಳು, ಮತ್ತು ಮಾಡರ್ನ್ ಎಲಿಟಿಕ್ಸ್", ಪಾಲ್ ಬೆನಾಸೆರಾಫ್, ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಫಿಲಾಸಫಿ, LIX, 1962, pp. "ಎ ಫಸ್ಟ್ ಕೋರ್ಸ್ ಇನ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ", ಶೆಲ್ಡನ್ ರಾಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಮ್ಯಾಕ್ಮಿಲನ್, 1976 "ಆನ್ ಸಮ್ ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಇನ್ಫೈನೈಟ್", ವಿಕ್ಟರ್ ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಟ್ಯೂನಿಸ್ ಕೊಯೆಟ್ಸಿಯರ್, ದಿ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಜರ್ನಲ್ ಫಾರ್ ದಿ ಫಿಲಾಸಫಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್, v. 42 n. 2, ಜೂನ್ 1991, pp. "ರಾಸ್ ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸ್ ಈಸ್ ಆನ್ ಇಂಪಾಸಿಬಲ್ ಸೂಪರ್-ಟಾಸ್ಕ್", ಜೀನ್ ಪಾಲ್ ವ್ಯಾನ್ ಬೆಂಡೆಜೆಮ್, ದಿ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಜರ್ನಲ್ ಫಾರ್ ದಿ ಫಿಲಾಸಫಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್, v. 45 n. 2, ಜೂನ್ 1994, pp. 743-748 "ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಪೇನ್ಸ್ಃ ದಿ ಟ್ರಬಲ್ ವಿತ್ ಸೂಪರ್ಟಾಸ್ಕ್ಸ್", ಅರ್ಮಾನ್, ಜೆ. ಮತ್ತು ನಾರ್ಟನ್, ಜೆ. ಡಿ., ಎಸ್. ಸ್ಟಿಚ್ನಲ್ಲಿ (ಆವೃತ್ತಿ.) ಪಾಲ್ ಬೆನಾಸೆರಾಫ್ಃ ದಿ ಫಿಲಾಸಫರ್ ಅಂಡ್ ಹಿಸ್ ಕ್ರಿಟಿಕ್ಸ್ (ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಬ್ಲ್ಯಾಕ್ವೆಲ್), 1994 "ಸ್ವೀಟ್ ರೀಸನ್ಃ ಎ ಫೀಲ್ಡ್ ಗೈಡ್ ಟು ಮಾಡರ್ನ್ ಲಾಜಿಕ್", ಟಾಮ್ ಟಿಮೋಕ್ಸ್ಕೊ ಮತ್ತು ಜಿಮ್ ಹೆನ್ಲೆ, ಫ್ರೀಮನ್ ಪ್ರೆಸ್, 1995 ಸೂಪರ್ಟಾಸ್ಕ್ಸ್ ಪ್ಯಾರಡಾಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ