Standard error
ಅಂಕಿಅಂಶದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು (ಎಸ್ಇ) (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕದ ಅಂದಾಜು) ಅದರ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಅಥವಾ ಆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶವು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎರರ್ ಆಫ್ ದಿ ಮೀನ್ (SEM) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಾಸರಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ವಿತರಣೆಯು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪಡೆದ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಮಾದರಿ ಎಂದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಸುತ್ತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಎಂದರ್ಥ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ, ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದ ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸರಾಸರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಯ ಸುತ್ತ ಮಾದರಿ ಸಾಧನಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, "ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ" ಎಂಬ ಪದವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಅಂಕಿಅಂಶದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದಂತೆ). ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಸರಾಸರಿ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಅವಲೋಕನಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ, ಅಂಶದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿನ ದೋಷವನ್ನು ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ; ಹತ್ತು ಅಂಶದಿಂದ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಅವಲೋಕನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಇದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ವಿರಳವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾದರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ನಿಜವಾದ "ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ" ಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂದಾಜುಗಾರನಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ಇತರ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (), ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (), ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (, ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ), ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅಂದಾಜುಗಾರ (, ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ನಡುವೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ವಿಫಲವಾದಾಗ ಗೊಂದಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಜವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಬದಲು ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವೂ ಸಹ. n = 2 ರೊಂದಿಗೆ, ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಸುಮಾರು 25 ಪ್ರತಿಶತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ n = 6 ಕ್ಕೆ, ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಕೇವಲ 5 ಪ್ರತಿಶತವಾಗಿದೆ. ಗುರ್ಲಾಂಡ್ ಮತ್ತು ತ್ರಿಪಾಠಿ (1971) ಈ ಪರಿಣಾಮಕ್ಕೆ ಒಂದು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸೋಕಲ್ ಮತ್ತು ರೋಹ್ಲ್ಫ್ (1981) n <20ರ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೋಡಿ. ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಸರಾಸರಿ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವಲೋಕನಗಳ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೈನೇಮ್ ಸೂತ್ರದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳು, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾಪನಗಳು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಕೇವಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕೆಲವು ಮಾನದಂಡಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಎಷ್ಟು ಅವಲೋಕನಗಳು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವೆಂದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿಯದೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸುವ ಅಂದಾಜುದಾರನಾಗುತ್ತಾನೆಃ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ). σ ಮೌಲ್ಯವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅಂದಾಜು ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, σ ನ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯ σ ಗಳ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಿಜವಾದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯು ಗೌಸಿಯನ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಾಗ, ಅಜ್ಞಾತ σ ನೊಂದಿಗೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ವಿತರಣೆಯು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ t-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಟಿ-ವಿತರಣೆಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯು ಗಾಸಿಯನ್ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಾರವಾದ ಬಾಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು σ ಬದಲಿಗೆ ಮಾದರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ "s" ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಗಮನಿಸಿಃ ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವು 100ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಾಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಎರಡನೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ 'ನಿಜವಾದ' ವಿತರಣೆಯು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯು ಸಮಂಜಸವಾದ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮಾದರಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಿಎಲ್ಟಿ ನೋಡಿ. ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರ್ಯಾಪ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಗಣನೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಊಹೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅಜ್ಞಾತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವುದು. ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನಿಜವಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ 95 ಪ್ರತಿಶತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ 97.5 ಪ್ರತಿಶತ ಬಿಂದುವಿನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು 1.96 ಆಗಿದೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮಾದರಿ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು (ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮುಂತಾದವು) ಅದನ್ನು ರಚಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಗಳ ನಿಜವಾದ ಅಥವಾ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಮಾದರಿ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ನಿಜವಾದ ಅಥವಾ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷದ ಸಂಕೇತವು ಎಸ್ಇ, ಎಸ್ಇಎಂ (ಮಾಪನದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿಗಾಗಿ), ಅಥವಾ ಎಸ್ಇ ಆಗಿರಬಹುದು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸರಳ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕವೇಳೆ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆಃ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು; ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಾಗ, ನಿಖರವಾದ ವಿಶ್ವಾಸದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು; ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ವಿಶ್ವಾಸದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಥವಾ ವೈಸೊಚಾನ್ಸ್ಕಿ-ಪೆಟುನಿನ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು; ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಅನಂತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಸರಾಸರಿ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾದರಿ ದತ್ತಾಂಶದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ಬಳಸಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅವುಗಳ ವಿನಿಮಯದ ಬಗ್ಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿವರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ದತ್ತಾಂಶದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜಿನ ಮೇಲೆ ಉತ್ತಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸಂಭವನೀಯ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಮಾದರಿಯೊಳಗಿನ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಎಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದಾಗಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗಳ ಅಂದಾಜು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಸೀಮಿತ ಜನಸಂಖ್ಯೆ ತಿದ್ದುಪಡಿ (ಎಫ್. ಪಿ. ಸಿ.) ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸೀಮಿತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಜನರು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಯನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಮಾದರಿ ಭಾಗವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ-ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸೀಮಿತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜನರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಇದನ್ನು "ಸರಿಸುಮಾರು ಅನಂತ" ಜನಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸೀಮಿತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಒಬ್ಬರು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಎನ್ಯೂಮರೇಟಿವ್ ಸ್ಟಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಎಣಿಕೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಭಾಗವು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (ಸರಿಸುಮಾರು 5 ಪ್ರತಿಶತ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು), ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷದ ಅಂದಾಜನ್ನು "ಸೀಮಿತ ಜನಸಂಖ್ಯೆ ತಿದ್ದುಪಡಿ" ಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕು. : ಎಫ್ಪಿಸಿ): ಇದು, ದೊಡ್ಡ ಎನ್ಃ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೇಕಡಾವಾರು ಹತ್ತಿರ ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿಖರತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಎಫ್. ಪಿ. ಸಿ. ಯ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರ n ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ N ಗೆ ಸಮನಾದಾಗ ದೋಷವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಆಗ ಎಫ್. ಪಿ. ಸಿ. ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಮಾಣ ಎ ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, x "ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿನ ತಿಳಿದಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಪಡೆದಿದ್ದರೆ, ಸರಾಸರಿ ನಿಜವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜನ್ನು (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ತಿದ್ದುಪಡಿ) ಮಾದರಿಯ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು f" ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಪಕ್ಷಪಾತ ಗುಣಾಂಕ ρ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲಾ ಮಾದರಿ ಬಿಂದು ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧ-ಗುಣಾಂಕದ (−1 ಮತ್ತು + 1 ನಡುವಿನ ಪ್ರಮಾಣ) ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪ್ರೈಸ್-ವಿನ್ಸ್ಟನ್ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರವು ಮಧ್ಯಮದಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಆಗಿದೆ; ಉಲ್ಲೇಖವು ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾಲ್ ಸ್ಟ್ರೀಟ್ ಸ್ಟಾಕ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಯ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ρಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಸಂಭಾವ್ಯ ದೋಷದ ಮಾರ್ಜಿನ್ ಎಂಬ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಊಹಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ