Cut point
ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಜಾಗದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಾನ್-ಕಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳಗಳು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರ, ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಟೋರಸ್ನಂತಹ ಅನೇಕ ಪರಿಚಿತ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗವಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಂಪರ್ಕಿತ T1 ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ನ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್, X-{p} ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿರದಂತಹ X ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ p ಆಗಿದೆ. ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಲ್ಲದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಾನ್-ಕಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. X ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು X ನ ಕಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಒಂದು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರವು [a, b] ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಅಂತಿಮ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಅಂಕಗಳು {a, b} ನಾನ್-ಕಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವು (a, b) ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಂತಹ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಅಂತಿಮ-ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಕಟ್-ಅಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವೃತ್ತವು ಯಾವುದೇ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಕಟ್-ಅಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು X ನ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಸೆಟ್ {p, U, V} ಆಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ p ಎಂಬುದು X, U ಮತ್ತು V ನ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದ್ದು X-{p} ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು X\ {p} = U|V ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ f: [0,2] → R2, ಇದನ್ನು f (x) = (cos x, sin x) ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು (ಎರಡು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ f (x) ಯಾವುದೇ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ವೃತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಟಿನ್ಯುವಾ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಂಟಿನ್ಯೂಮ್ (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ನಾನ್-ಕಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಜಾಗವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕತ್ತರಿಸದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಕತ್ತರಿಸದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರಂತರತೆಯು ಏಕಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. K ಯು a, b ಮತ್ತು K-{a, b} ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ, K ಯು ಏಕಮಾನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು X ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು X ನಲ್ಲಿ X ಒಂದು ಕಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ X\ {x} = A|B. ನಂತರ {x} ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ. {x} ತೆರೆದಿದ್ದರೆ, A ಮತ್ತು B ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. {x} ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದರೆ, A ಮತ್ತು B ತೆರೆದಿರುತ್ತವೆ. X ಒಂದು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. X ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಒಂದು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಜಾಗವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಜಾಗವಲ್ಲ. ಖಲೀಮ್ಸ್ಕಿ ಸಾಲುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಆಧಾರ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಖಲೀಮ್ಸ್ಕಿ ರೇಖೆಯು ಈ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ. X ಎಂಬುದು ಖಾಲಿಮ್ಸ್ಕಿ ರೇಖೆಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ (ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಮೂಲತಃ 1970 ರಲ್ಲಿ ಅಡಿಸನ್-ವೆಸ್ಲಿ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಕಂಪನಿ, ಇಂಕ್. ಪ್ರಕಟಿಸಿತು.) ಜನರಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ