Affine geometry of curves
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅಫೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಅಫೈನ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಅಫೈನ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಅಂತಹ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಸಾಧನವೆಂದರೆ ಫ್ರೆನೆಟ್-ಸೆರೆಟ್ ಚೌಕಟ್ಟು. ಅಫೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಫ್ರೆನೆಟ್-ಸೆರೆಟ್ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಗೀಕೃತ ಚಲಿಸುವ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಮತ್ತು ಜೀನ್ ಫೇವರ್ಡ್ ಅವರ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಿಂದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಅಫೈನ್ ಚೌಕಟ್ಟು x (t) ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ, x (t) ನ ಮೊದಲ n ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, x (t) ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕ t ಅನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಬಹುದು ಅಂತಹ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಅಫೈನ್ ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ, ವಿಶೇಷ ಅಫೈನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ವಿಶೇಷ ಅಫೈನ್ ಫ್ರೇಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅಂತರದ ಒಂದು ಬಿಂದು x ಮತ್ತು x ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಫೈನ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಅಫೈನ್ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಈ ನಕ್ಷೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೌರರ್-ಕಾರ್ಟನ್ ರೂಪದ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಫೈನ್ ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಫೈನ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕ s ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಮೇಲೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದು, n ಷ್ಣ 0 (ಮಾಡ್ 4) ಅಥವಾ n ಷ್ಣ 3 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು + 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಡೆಕ್ಸ್ಟ್ರೋರ್ಸ್ (ಬಲ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ, ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ವೀನ್ವೆಂಡಿಗ್) ಮತ್ತು-1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಿನಿಸ್ಟ್ರೋರ್ಸ್ (ಎಡ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ, ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಹೋಪ್ಫೆನ್ವೆಂಡಿಗ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು-ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲಗೈ ಹೆಲಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಡೆಕ್ಸ್ಟ್ರೋರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎಡಗೈ ಹೆಲಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಿನಿಸ್ಟ್ರೋರ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಕ್ರತೆಯು x ಇನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅಫೈನ್ ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅಫೈನ್ ವಕ್ರತೆಗಳನ್ನು, k1,., kn−1 ಆಫ್ x ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x (n + 1) x′, x (n−1) ನ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ಕಾಲಮ್ಗಳು x ನ ಮೊದಲ n ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ (ಇನ್ನೂ ವಿಶೇಷ ಅಫೈನ್ ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ). ನಂತರ, ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿ ಎಂಬುದು x ನ ಮೊದಲ n ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಮೌರರ್-ಕಾರ್ಟನ್ ರೂಪದ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಮೂವಿಂಗ್ ಫ್ರೇಮ್ ಅಫೈನ್ ಸ್ಫಿಯರ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಕರ್ವ್ಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಅಫೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.