Alexander's trick
ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಟ್ರಿಕ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ನ ಟ್ರಿಕ್, ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಗಡಿ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಒಪ್ಪುವ n-ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡಿನ ಎರಡು ಏಕರೂಪತೆಗಳು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಡಿ. ಎನ್. ನ ಎರಡು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರೂಫ್ ಬೇಸ್ ಕೇಸ್ಃ ಗಡಿಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗಡಿರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುರುತಿಗೆ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ತೃಪ್ತಿಯಾದರೆ, ಗುರುತಿಗೆ f ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಐಸೊಟೋಪಿಯನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಗಡಿಯಿಂದ 'ನೇರಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ', ಮೂಲಕ್ಕೆ 'ಹಿಸುಕುತ್ತದೆ'. ವಿಲಿಯಂ ಥರ್ಸ್ಟನ್ ಇದನ್ನು "ಎಲ್ಲಾ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಜೋಡಿಸುವುದು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲ 2-ಪುಟಗಳ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ, ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ವಿವರಿಸುತ್ತಾ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ರೂಪಾಂತರವು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಅದು ಗುರುತಿಗೆ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯೆಂದರೆ, "ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ": ಮೂಲದ ಸೂಕ್ಷ್ಮಾಣು ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯಿಂದ ಗುರುತಿಗೆ "ಜಿಗಿಯುತ್ತದೆ". ಹೋಮೋಟಾಪಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತಗಳನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಬಹುದು (ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಬಹುದು), ಆದರೆ ಹೋಮೋಟಾಪಿ (ಒಟ್ಟಾರೆ ನಕ್ಷೆ) ನಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ತಂತ್ರವು ಪಿಎಲ್ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸುಗಮವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಃ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎರಡು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಆನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಿಂದ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯವರೆಗೆ ಐಸೊಟೋಪಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಕ್ಷೆಯು ನಂತರ ಒಂದು ಐಸೊಟೋಪಿ ಆಗಿದೆ. ರೇಡಿಯಲ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಟ್ರಿಕ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಇಡೀ ಚೆಂಡಿನ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕಿಂತ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭಃ ಇದನ್ನು ರೇಡಿಯಲ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ (ಅಥವಾ ಕೋನಿಂಗ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸುಗಮವಾಗಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಚೆಂಡಿನ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ನಯವಾದ ರೇಡಿಯಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ವೈಫಲ್ಯ ಮತ್ತು ಪಿಎಲ್ ರೇಡಿಯಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಯಶಸ್ಸು ತಿರುಚಿದ ಗೋಳಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಲಕ್ಷಣ ಗೋಳಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಚಿಂಗ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ