Grandi's series
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬರೆಯಲಾದ ಅನಂತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು 1703 ರಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಸ್ಮರಣೀಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ ಪಾದ್ರಿ ಗೈಡೋ ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿ ಅವರ ನಂತರ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಇದನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳಿಗೂ ಸಹ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಅನೇಕ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸರಣಿಯ ಸೆಸರೊ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನವು 1/2 ಆಗಿದೆ. ಅಸಮರ್ಪಕ ವಿಧಾನಗಳು 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ದೂರದರ್ಶಕ ಸರಣಿಯಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +. = 0 + 0 + 0. = 0. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಬ್ರಾಕಟಿಂಗ್ ವಿಧಾನವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶ 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +. = 1 + 0 + 0 +. = 1 ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು 0 ಅಥವಾ 1 ಅನ್ನು "ಮೌಲ್ಯ" ವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. (ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮಜೂರ್ ವಂಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗಂಟು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.). ಈ ಎರಡು "ಮೌಲ್ಯಗಳ" ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು. ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಮ್ಮುಖ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಅದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ S = 1 − 1 + 1 − 1 +. ಆದ್ದರಿಂದ 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 +.) = 1 − 1 + 1 − 1 +. = S '1 − S = S1 = 2S, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ S =. ಅದೇ ತೀರ್ಮಾನವು −S ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದರಿಂದ, S ನಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು 2S = 1 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಕುಶಲತೆಗಳು ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ನಿಜವಾಗಿ ಏನು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೂ, ಇಚ್ಛೆಯಂತೆ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು ಎಷ್ಟು ಮುಖ್ಯವೋ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವೋ, ಒಬ್ಬರು ಎರಡು ತೀರ್ಮಾನಗಳಿಗೆ ಬರಬಹುದುಃ ಸರಣಿ 1 −1 + 1 −1 +. ಯಾವುದೇ sum.Davis p.152 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಇರಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಎರಡೂ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬಹುದು. ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ 17ನೇ ಶತಮಾನದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ತೀವ್ರತೆಯ ಆಗಮನದ ಮೊದಲು, ಈ ಉತ್ತರಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ವಿಗ್ನತೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧದ ನಡುವಿನ "ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ" ಮತ್ತು "ಹಿಂಸಾತ್ಮಕ" ವಿವಾದವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಟಕ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸರಣಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು 0 ಮತ್ತು 1ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೇಖರಣೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರದ ಹೊರತು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಕ್ರಮಗೊಳಿಸುವಂತಹ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ನಿರುಪದ್ರವಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮಾನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಂಕಲನದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಯ ಪದಗಳನ್ನು 0 ಅಥವಾ 1 ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸತತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶೇಖರಣೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಣಿಯು (ಇದರಲ್ಲಿ, ಐದು ಆರಂಭಿಕ + 1 ಪದಗಳ ನಂತರ, + 1 ಮತ್ತು-1 ಪದಗಳ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ಪದಗಳು-+ 1 ಮತ್ತು-1 ಎರಡರ ಅನಂತತೆಯು ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಹೋಟೆಲ್ನ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ 1 ಅಥವಾ-1 ಅನ್ನು ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ) ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಮೂಲ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಸ್ಥಾನಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅದರ ಶೇಖರಣೆಯ ಬಿಂದುಗಳು 3,4 ಮತ್ತು 5 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. 1987ರ ಸುಮಾರಿಗೆ, ಅನ್ನಾ ಸಿಯೆರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಾ ಅವರು ವಾರ್ಸಾ ಲೈಸಿಯಂನಲ್ಲಿ 17 ವರ್ಷದ ಪ್ರಿಕಾಲ್ಕುಲಸ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ತಮ್ಮ ಸಹವರ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಅವರ ಗಣಿತದ ಅನುಭವವು ಕಡಿಮೆ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವರು ಮಾನವಿಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಮೇಲೆ ಗಮನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದರು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಡೆತಡೆಗಳು ಲೈಸಿಯಂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಇರುವ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಸಿಯೆರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಾ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿಯುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ್ದರು, ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯ ಸೂತ್ರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಅವರನ್ನು ಆಘಾತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ, ತರ್ಕದಲ್ಲಿನ ದೋಷವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು "ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸರಣಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖದ ಸೂಚ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಹುಟ್ಟುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತಾರೆ". ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ಹೇಳಿದಾಗ ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಹೇಳಿದಾಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಆಘಾತವನ್ನು ತೋರಿಸಲಿಲ್ಲ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮತ್ತು ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿ ಒಂದು ಸಮಂಜಸವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ತುಂಬಾ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ಸಿಯೆರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಾ ಟೀಕಿಸಿದ್ದಾರೆ; "ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕಡೆಯಿಂದ ಈ ಆಘಾತದ ಕೊರತೆಯ ವಿವರಣೆಯು ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಅವರು ಈ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಶಾಂತವಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು, ಏಕೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, 'ಗಣಿತವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವದಿಂದ ದೂರವಿದೆ', ಮತ್ತು 'ಆ ಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು' ಎಂದು ಹುಡುಗರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ನಂತರ ಹೇಳಿದರು. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಶ್ನೆಯಿಂದ ಮುಕ್ತರಾಗಿರಲಿಲ್ಲ; ಮರುದಿನ ಅದನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅವರನ್ನು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಸಿಯೆರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಾ ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು. 0.999. = 1 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತಗೊಳಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ, ಆಕೆಯ ಉಳಿದ ವಿಷಯಗಳು "ಅವರ ಕಿವಿಗಳನ್ನು ದಾಟಿ ಹೋದವು". 2000ನೇ ಇಸವಿಯ ಸುಮಾರಿಗೆ ಇಟಲಿಯ ಟ್ರೆವಿಸೊದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೇ ವರ್ಷ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ವರ್ಷದ ಲೈಸಿಯೋ ಸೈಂಟಿಫಿಕೊ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ (16 ಮತ್ತು 18 ವರ್ಷದೊಳಗಿನ) ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಕೇಳುವ ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತುಃ "1703ರಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗೈಡೋ ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿ ಈ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರುಃ 1-1 + 1-1 +. (ಪೂರಕಗಳು, ಅನಂತವಾಗಿ, ಯಾವಾಗಲೂ + 1 ಮತ್ತು-1 ಆಗಿರುತ್ತವೆ). ಈ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯವೇನು "ಎಂದು ಪ್ರಶ್ನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅನಂತ ಗುಂಪಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಅವರಿಗೆ ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಹಿಂದಿನ ಅನುಭವವಿರಲಿಲ್ಲ. ಅವರಿಗೆ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಅಥವಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಹತ್ತು ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. 88 ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆಃ (26) ಫಲಿತಾಂಶವು 0 (18) ಫಲಿತಾಂಶವು 0 ಅಥವಾ 1 ಆಗಿರಬಹುದು (5) ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ (4) ಫಲಿತಾಂಶವು 1⁄2 (3) ಫಲಿತಾಂಶವು 1 (2) ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ (30) ಯಾವುದೇ ಉತ್ತರವಿಲ್ಲ ಸಂಶೋಧಕ ಜಾರ್ಜಿಯೊ ಬಾಗ್ನಿ ಅವರು ಹಲವಾರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸಂದರ್ಶಿಸಿ ಅವರ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಅವರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು 16 ಮಂದಿ ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿ ಮತ್ತು ರಿಕಾಟಿಯಂತೆಯೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 0 ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಂಡರು. ಇತರರು 1⁄2 ಅನ್ನು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಸಮರ್ಥಿಸಿದರು. ಅವರ ತರ್ಕವು, ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆಯಾದರೂ, 18ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬಾಗ್ನಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಸಾಂಸ್ಕೃತಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೂ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಾಸ್ಪೆಕ್ಟ್ಸ್ ಜೋಯಲ್ ಲೆಹ್ಮನ್ ವಿಭಿನ್ನ ಮೊತ್ತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಬಿರುಕಿನ ಮೇಲೆ ಸೇತುವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆಃ 18ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಕಾಡಿದ ಭಿನ್ನತೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಗೊಂದಲ. "ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇತಿಹಾಸವಿಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು" "ಇವುಗಳು ಯಾವುವು?" ಆದರೆ "ನಾವು ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ?" ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ನಿರತವಾಗಿರುವುದು ಆದರೆ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ, ಇಡೀ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕೃತಕ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಹೀನವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ". ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯೂಲರ್ ಅವರ ".............................................................................................................................................................................................. ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ಬಹುಶಃ ಸರಿ, ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಿ. ಹಾಗಾದರೆ ಹೋಮ್ವರ್ಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಿವರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏಕೆ ತಲೆಕೆಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು? ಕ್ಯಾಲೆಟ್ರಿಂದ ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೂಲರ್ ನೀಡಿದ ವರ್ತನೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಅದೇ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಆಕ್ಷೇಪಣೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಲೆಹ್ಮನ್ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 +. (ಅನಂತತೆಯವರೆಗೆ) ಸರಣಿಯು ಸಹ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲು ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಗಳ ಮೌಲ್ಯದ ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿಯ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳ ಕೌಚಿ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರಣ ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. 1−1 + 2−6 + 24−120 + ··1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ··1 −2 + 3 −4 + ··1 + 2 + 3 + 4 + ··1 + 2 + 4 + 8 + ··1 − 2 + 4 − 8 + ꯘꯥ ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನ ಸೆಸರೊ ಸಂಕಲನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಥಾಮ್ಸನ್ರ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಒಂದು ಪ್ಲಸ್ ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಒಂದು-ಸಂಖ್ಯೆ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿಯ ಸರಣಿ ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್ ಸರಣಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿ 1 (ಸಂಖ್ಯೆ) ಗಣಿತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಸಮಾನತೆ (ಗಣಿತ)