Solid angle
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಘನ ಕೋನವು (ಚಿಹ್ನೆಃ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವು ಆವರಿಸಿರುವ ವೀಕ್ಷಣಾ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಆ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೋಡುವ ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ ವಸ್ತುವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುವನ್ನು ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆಯೋ ಅದನ್ನು ಘನ ಕೋನದ ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ವಸ್ತುವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಫ್ ಯೂನಿಟ್ಸ್ (ಎಸ್. ಐ.) ನಲ್ಲಿ, ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಸ್ಟೆರಡಿಯನ್ (ಚಿಹ್ನೆಃ ಎಸ್. ಆರ್.) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಆಯಾಮರಹಿತ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸ್ಟೆರಡಿಯನ್ ತುದಿಯನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಪ್ರದೇಶದ ಒಂದು ಘಟಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತುದಿಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ವಸ್ತುವು ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಲವಾರು ಸ್ಟೆರಡಿಯನ್ಗಳನ್ನು ಆವರಿಸುತ್ತದೆ. ಘನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳು, ನಿಮಿಷಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಂತಹ ಕೋನೀಯ ಅಳತೆಗಳ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುವು ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ದೊಡ್ಡ ವಸ್ತುವಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಂದ್ರನು ಸೂರ್ಯನಿಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕವನಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದು ಭೂಮಿಗೆ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೋಡಿದಂತೆ, ಎರಡೂ ವಸ್ತುಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಗಾತ್ರ). ಇದು ಸೂರ್ಯಗ್ರಹಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ಟೆರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಘನ ಕೋನವು ವಸ್ತುವು ಆವರಿಸಿರುವ, ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ, ಒಂದು ಏಕಕ ಗೋಳದ ವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಟೆರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕ ಗೋಳದ ವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡುವುದು ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಚಾಪದ ಉದ್ದವನ್ನು ನೀಡಲು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಕೋನವು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕಮಾನಿನ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತವಾಗಿರುವಂತೆಯೇ, ಸ್ಟೆರಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಘನ ಕೋನವು ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಆವೃತವಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದ್ದು, ಆ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವರ್ಗದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಗೋಳಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣಿತ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಖಗೋಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಘನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹಳ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ಘನ ಕೋನವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಚದರ ಅಂತರದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ "ಪ್ರದೇಶ" ಎಂದರೆ ನೋಡುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರದೇಶ ಎಂದರ್ಥ. ಅದರ ಒಳಭಾಗದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದ ಗೋಳದ ಘನ ಕೋನವು 4 ಎಸ್ಆರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಘನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಒಂದು ಮುಖದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘನ ಕೋನವು ಅದರ ಆರನೇ ಒಂದು ಭಾಗ ಅಥವಾ 2/3 ಎಸ್ಆರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಘನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಚದರ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ (1 ಎಸ್ಆರ್ = 2 ಚದರ ಡಿಗ್ರಿಗಳು), ಚದರ ಆರ್ಕ್-ನಿಮಿಷಗಳು ಮತ್ತು ಚದರ ಆರ್ಕ್-ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಗೋಳದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ (1 ಎಸ್ಆರ್ = ಭಾಗಶಃ ಪ್ರದೇಶ) ಅಳೆಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಸ್ಪ್ಯಾಟ್ (1 ಎಸ್ಆರ್ = 4 ಎಸ್ಆರ್) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಭೇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷಾಂಶ (ಉತ್ತರ ಧ್ರುವದಿಂದ ಕೋನ) ಮತ್ತು ರೇಖಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಧಾರಿತ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಘನ ಕೋನವು ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಏಕಕ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಘನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕಕ ವಾಹಕ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅನಂತ ಪ್ರದೇಶದ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕದ ಘಟಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅನೇಕ ಮಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಕರಿಂದ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಣ್ಣ ಮುಖದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾದ ತೀವ್ರತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಸಂವಾದಿ ರೇಡಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ವಿಕಿರಣದ ತೀವ್ರತೆ ಮತ್ತು ವಿಕಿರಣವು ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಅಧಿಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು (ಬಿಇಎಂ) ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಲೋಹದ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಲ್ಲಿನ ಲಿಗಂಡ್ಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು, ಲಿಗಾಂಡ್ ಕೋನ್ ಕೋನವನ್ನು ನೋಡಿ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಸುತ್ತ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಗಾಸ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೊರಸೂಸುವ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ವಿಕಿರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ರುದರ್ಫೋರ್ಡ್ ಚದುರುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ರಾಮನ್ ಚದುರುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಘನ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಫೈಬರ್ ಘನ ಕೋನಗಳ ಸ್ವೀಕಾರದ ಘನ ಕೋನ ಕೋನ್, ಗೋಳಾಕಾರದ ಕ್ಯಾಪ್, ಗೋಳಾರ್ಧದ ಘನ ಕೋನ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಘಟಕ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಗಿನ ದ್ವಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲಿನದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದುಃ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಳಕೆಯಿಲ್ಲದೆ ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು. 2200 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಮುಚ್ಚಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಗೋಳಾಕಾರದ ಮುಚ್ಚಳದ ಅಂಚಿನಿಂದ ಮುಚ್ಚಳದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವು ಮುಚ್ಚಳವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಏಕಕ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ಮುಚ್ಚಳದ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಯಾವಾಗ = ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಮುಚ್ಚಳವು 2 ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳಾರ್ಧವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನ್ ಪೂರಕದ ಘನ ಕೋನವು ಇದು ಆಕಾಶ ಗೋಳದ ಭಾಗದ ಘನ ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅಕ್ಷಾಂಶದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಖಗೋಳ ವೀಕ್ಷಕನು ಭೂಮಿಯು ತಿರುಗುತ್ತಿರುವಾಗ ನೋಡಬಹುದು. ಭೂಮಧ್ಯರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಖಗೋಳ ಗೋಳವು ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ; ಎರಡೂ ಧ್ರುವಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಅರ್ಧ ಮಾತ್ರ. ಕೋನ್ ನ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಮತ್ತು ಕೋನ್ ನ ತುದಿಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕ್ಯಾಪ್ ನ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ, ಆಗ ಸೂತ್ರವು ಮೇಲಿನ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕ್ಯಾಪ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲ ಪದವು ಆಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು. ಒ. ಎ. ಬಿ. ಸಿ. ಯು ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮುಖವಾದ ಎ. ಬಿ. ಸಿ. ಯಿಂದ ಒ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುಷ್ಕೋಣದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ A, B ಮತ್ತು C ಶೃಂಗಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಾನಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಶೃಂಗದ ಕೋನವನ್ನು BOC ಕೋನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಮುಖಗಳಾದ ಒಎಸಿ ಮತ್ತು ಒಬಿಸಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲಗಳ ನಡುವಿನ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ ಎ. ಬಿ. ಸಿ. ಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ನಾಲ್ಕು ಆಂತರಿಕ ಘನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ "ಸಮತಲೀಯ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸದೃಶವಾದ ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಇದು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಮುಖಗಳಾದ ಒ. ಎ. ಬಿ., ಒ. ಎ. ಸಿ., ಒ. ಬಿ. ಸಿ. ಮತ್ತು ಎ. ಬಿ. ಸಿ. ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಮತಲಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಆರು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಇರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ O ನಲ್ಲಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎಲ್ 'ಹುಯಿಲಿಯರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೂತ್ರವು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು 3 ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಶೃಂಗಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಾನಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಾಹಕದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿರಲಿ (ಮೂಲ-ಬಿಂದು ದೂರ). ತ್ರಿಕೋನ ಮೇಲ್ಮೈ ಎ. ಬಿ. ಸಿ. ಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘನ ಕೋನವುಃ ಇಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ತಪ್ಪಾದ ಘನ ಕೋನಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಇಲ್ಲಿ ಕಾಳಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸಂಭಾವ್ಯ ದೋಷಗಳ ಒಂದು ಮೂಲವೆಂದರೆ, ತಪ್ಪಾದ ಅಂಕುಡೊಂಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವು ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಆದರೆ ವಿಭಾಜಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಇತರ ಅಪಾಯವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಪಿರಮಿಡ್ನ ತುದಿ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು (ಪಿರಮಿಡ್ನ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳಿಗೆ ಅಳೆಯುವ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳು) ನಾಲ್ಕು-ಬದಿಯ ಬಲ ಆಯತಾಕಾರದ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಘನ ಕೋನವು ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದ ಎರಡೂ ಬದಿಯ ಉದ್ದಗಳು (ಮತ್ತು) ಮತ್ತು ತಳದ ಆಯತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಪಿರಮಿಡ್ನ ತುದಿಯವರೆಗಿನ (ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರ) ದೂರವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಲ-ಗೋಳದ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳವು ವೃತ್ತದ ನಿಯಮಿತ-ಬದಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸೈಕಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬ್ರಾಂಚ್ ಕಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಕಳೆದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬೇಕು. ಅಲ್ಲದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹಂತಗಳ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬಹುತೇಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಭಾಗಗಳ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಹರಿವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಅಳೆಯಬೇಕು. ಅಕ್ಷಾಂಶ-ರೇಖಾಂಶ ಆಯತವು ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಅಕ್ಷಾಂಶ-ರೇಖಾಂಶ ಆಯತದ ಘನ ಕೋನವು ಅಕ್ಷಾಂಶದ ಉತ್ತರ ಮತ್ತು ದಕ್ಷಿಣ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ (ಭೂಮಧ್ಯರೇಖೆಯಿಂದ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಿಮ ರೇಖಾಂಶದ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ (ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋನವು ಪೂರ್ವಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ). ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದು ರೇಡಿಯನ್ಗಳಿಂದ ಗೋಳದ ಸುತ್ತಲೂ ಹರಡಿದ ಕೋನದ ಚಾಪವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಂಶವು 2 ರೇಡಿಯನ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಾಂಶವು ರೇಡಿಯನ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸಿದಾಗ, ಘನ ಕೋನವು ಗೋಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷಾಂಶ-ರೇಖಾಂಶದ ಆಯತವನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಘನ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಆಯತಾಕಾರದ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಮಾನುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಅಕ್ಷಾಂಶ-ರೇಖಾಂಶ ಆಯತದೊಂದಿಗೆ, ರೇಖಾಂಶದ ರೇಖೆಗಳು ಮಾತ್ರ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಮಾನುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಅಕ್ಷಾಂಶದ ರೇಖೆಗಳು ಅಲ್ಲ. ಖಗೋಳ ವಸ್ತುಗಳು ಕೋನೀಯ ವ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ಖಗೋಳ ವಸ್ತುವಿನ ಘನ ಕೋನದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವಸ್ತುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿಗೆ ವೀಕ್ಷಕನಿಂದ ಇರುವ ಅಂತರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ (ಭೂಮಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಸೂಕ್ತವಾದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸೂರ್ಯನ ಸರಾಸರಿ ಘನ ಕೋನವು ಸ್ಟೆರೇಡಿಯನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ ಸರಾಸರಿ ಘನ ಕೋನವು ಸ್ಟೆರೇಡಿಯನ್ಗಳು. ಒಟ್ಟು ಖಗೋಳ ಗೋಳದ ಪ್ರಕಾರ, ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರರ ಸರಾಸರಿ ಭಾಗಶಃ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ% () ಮತ್ತು% () ಆಗಿವೆ. ಈ ಘನ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಗ್ರಹಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಭೂಮಿ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಚಂದ್ರನು ಒಟ್ಟು ಮತ್ತು ವಾರ್ಷಿಕ ಸೂರ್ಯಗ್ರಹಣಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಘನ ಕೋನಗಳು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಘಟಕ ಗೋಳದ ಸಂಪೂರ್ಣ ()-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಘನ ಕೋನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವುವೇಳೆ ಈ ಘನ ಕೋನ ಅಂಶದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಯಾವಾಗ, ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ 3ಡಿ ಗೋಳಕ್ಕೆ 4 ಸ್ಟೆರೇಡಿಯನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಉದ್ದದ ಸುತ್ತಳತೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ 2ಡಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ 2 ರೇಡಿಯನ್ಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು 1ಡಿ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ 2 ಅನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೂಲ-ಕೇಂದ್ರಿತ 1ಡಿ "ಗೋಳವು" ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ವಾಹಕ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಅಮೊಟೊ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ರಿಬಾಂಡೋ ಪಡೆದರು. ಇದು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಕೋನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಯೂನಿಟ್ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಆದ್ದರಿಂದ th ಕಾಲಮ್, ಮತ್ತು. ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. "ಏಕರೂಪದ" ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಮಲ್ಟಿಎಕ್ಸ್ಪೊನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ = ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಅಥವಾ 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅದರ ಸಂಕೇತವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದರ್ಥ, ಅದೇ ರೀತಿ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೂ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪದವು ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ l ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಲ್ಲಿ, ಅದು ವಾಹಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಘನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮುಂದೆ ಓದುವುದು ಎರ್ರಟಮ್ ಐಬಿಡ್. ಸಂಪುಟ 50 (2011) ಪುಟ 059801. ಬಾಹ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಆರ್ಥರ್ ಪಿ. ನಾರ್ಟನ್, ಎ ಸ್ಟಾರ್ ಅಟ್ಲಾಸ್, ಗಾಲ್ ಮತ್ತು ಇಂಗ್ಲಿಸ್, ಎಡಿನ್ಬರ್ಗ್, 1969. ಎಂ. ಜಿ. ಕೆಂಡಾಲ್, ಎ ಕೋರ್ಸ್ ಇನ್ ದಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಫ್ ಎನ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್, ನಂ. ಗ್ರಿಫಿನ್ನ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಸ್ & ಕೋರ್ಸ್ಗಳ 8, ಆವೃತ್ತಿ. ಎಂ. ಜಿ. ಕೆಂಡಾಲ್, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಗ್ರಿಫಿನ್ & ಕಂ ಲಿಮಿಟೆಡ್, ಲಂಡನ್, 1961 ಆಂಗಲ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಘನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ