Lagrange inversion theorem
ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್-ಬರ್ಮನ್ ಸೂತ್ರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯವು, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಅಥವಾ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅದನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಸರಣಿಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕತೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಸಮರ್ಥನೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ, ಸೂತ್ರವು ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಇದನ್ನು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು; ಯಾವುದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು; ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವು ಬಹು ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 18ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಬರ್ಮನ್ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೇರವಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಿದೆ; ಸಂಕೀರ್ಣ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಆವೃತ್ತಿಯು ಬಹುಪದಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳು ಈ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಔಪಚಾರಿಕ ಅವಶೇಷದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾದ ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ವಿಲೋಮ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಬೆಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಬಹುದುಃ ಏರುತ್ತಿರುವ ಅಪವರ್ತನೀಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಯಾವಾಗ, ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರಾದ ಮುಖಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಪ್ರತಿ ಮುಖಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಲೋಮ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಸರಣಿ ಪರಿಹಾರವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ ಪುರಾವೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಸರಳ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಸಂಕಲನ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಹೇಳಲಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್-ಬರ್ಮನ್ ಸೂತ್ರ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾದಾಗ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್-ಬರ್ಮನ್ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು. ಸೂತ್ರದ ಸರಳವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುವದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಇದು ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. (ಸರಿಸುಮಾರು) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸರಣಿ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕಾರ್ಯವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ನಂತರ ಅದನ್ನು ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮೇಲಿನ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೈನರಿ ಮರಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಬೈನರಿ ಮರಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯ ಗಾತ್ರದ ಎಲೆ, ಅಥವಾ ಎರಡು ಸಬ್ಟ್ರೀಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂಲ ನೋಡ್ ಆಗಿದೆ. ನೋಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೈನರಿ ಮರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ಬೇರನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ಅವಳಿ ಮರವು ಸಣ್ಣ ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ಮರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಹೀಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಇಳುವರಿಯೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಇದು ಹತ್ತನೇ ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಅಂದಾಜು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಎರ್ಡೆಲಿ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ರೀತಿಯ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಿಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ವರ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಾ ಡಿ ಬ್ರೂನೋ ಅವರ ಸೂತ್ರವು ಆ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಯುಕ್ತ ಕ್ರಿಯೆಯ n ನೇ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಲಗ್ರಾಂಜ್ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ series#The ಲಗ್ರಾಂಜ್ ವಿಲೋಮ ಸೂತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಇಒಎಂನಲ್ಲಿ ಬರ್ಮನ್-ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಸರಣಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು