Order of integration (calculus)
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಕ್ರಮದ ವಿನಿಮಯವು ಏಕೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಫುಬಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಬಹು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು) ಇತರ, ಆಶಾದಾಯಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು; ಇತರರಲ್ಲಿ ಅದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು xy-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಡಿ ಕೆಲವು ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿರುವ ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಫ್ ನೇರವಾದ ಏಕೀಕರಣವು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ನಿಜವಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸರಳವಾದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಡಿ ಡೊಮೇನ್ನ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಈ ವಿನಿಮಯದೊಂದಿಗಿನ ತೊಂದರೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಇತರ ಬಹು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೂ, ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಒಂದೇ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು, ಮುಂದೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ. ಒಂದೇ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಗಳಿಂದ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಬರೆಯುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಇಡಲಾಗುತ್ತದೆ-ಅಗಲದ dx ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮೊದಲು y-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (x ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಗಲದ dx ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು y ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ y ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), y-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಗಲ dy ಯ ಅನಂತ ಪ್ರಮಾಣದ ಆಯತಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, y-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ y = a ನಿಂದ y = x ವರೆಗೆ, ಮತ್ತು z ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ z = h (y) ಎಂಬ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸ್ಲೈಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ದಪ್ಪ dx ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, x ಸ್ಲೈಸ್ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. x ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಏಕೀಕರಣವು ಚಿತ್ರ 1 ರ ಎಡ ಫಲಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಆದರೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ h (y) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸದಿದ್ದಾಗ ಅನನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರದ ಬಲ ಫಲಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಏಕೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಒಂದೇ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಈ ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ಅಗಲ dyಯ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮೊದಲು x = y ರೇಖೆಯಿಂದ x = z ಮಿತಿಯವರೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು y = a ನಿಂದ y = z ಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಃ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದ ಸೂತ್ರದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಕೆಳಗೆ ಹೇಳಿರುವಂತೆಃ ಪರ್ಯಾಯಃ ಇದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಧಾನ-ಮೌಲ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಪ್ರಧಾನ-ಮೌಲ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು, ವಿಟ್ಟೇಕರ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಟ್ಸನ್, ಗಖೋವ್, ಲು, ಅಥವಾ ಜ್ವಿಲ್ಲಿಂಗರ್ ನೋಡಿ. ಒಬೋಲಾಶ್ವಿಲಿಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್-ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರೂಪಾಂತರದ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಏಕೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕನ್ವಾಲ್ ನೀಡಿದ್ದಾರೆಃ ಆದರೆಃ ಎರಡನೇ ರೂಪವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೊಖೋಟ್ಸ್ಕಿ-ಪ್ಲೆಮೆಲ್ಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೇತವು ಕೌಚಿ ಪ್ರಧಾನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕನ್ವಲ್ ನೋಡಿ. ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಏಕೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಆಧಾರದ ಚರ್ಚೆಯು ಟಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಅವರ ಫೋರಿಯರ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ನರ್. ಅವರು ತಮ್ಮ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣದ ವಿನಿಮಯವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಉತ್ತರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯ II ರ ಷರತ್ತುಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ವಿನಿಮಯದ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಚೌಧರಿ ಮತ್ತು ಜುಬೈರ್ ಅವರು ಕೆಳಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರೊಟರ್ ಮತ್ತು ಮೊರ್ರಿಯವರು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಫುಬಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಪೌಲನ ಆನ್ಲೈನ್ ಗಣಿತದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡಿಃ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ III ಒರೆಗಾನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯ ಗಣಿತ ವಿಭಾಗದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು "ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ" ಗಣನೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಉತ್ತಮ 3D ಚಿತ್ರಗಳು. ರಾನ್ ಮಿಚ್ನ ಯುಸಿಎಲ್ಎ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ಏಕೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ 33,35,37,39,41 & 43 ನೋಡಿ) ಡುವಾನ್ ನೈಕ್ಯಾಂಪ್ನ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಮಿನ್ನೇಸೋಟ ವೆಬ್ಸೈಟ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್