Poincaré metric
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಸ್ಥಿರ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಅಥವಾ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಸಮಾನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿ, ಇದು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಮತ್ತು ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರನೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ಯೂ-ಅನಲಾಗ್ಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಪನಗಳ ಅವಲೋಕನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮಾಪನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ λ ಎಂಬುದು ಮತ್ತು ನ ನೈಜ, ಧನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಉಪವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಪರಿಮಾಣ ರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸುವ ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವರ್ಗಮೂಲವು. ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪರಿಮಾಣದ ರೂಪವು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಒಂದು ವೇಳೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ನೀಡಿದರೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ವಕ್ರತೆಯು ರಿಕ್ಕಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಯ ಅರ್ಧಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್-ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ, ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆಃ ಅಂದರೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆ ಎರಡೂ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಸ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಟಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಯು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿರಬೇಕೆಂಬುದು ಹೇಳಿಕೆಯೇ ಹೊರತು ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನಂತ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ದಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವಾಲ್ಯೂಮ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಅನ್ನು ದಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ರೂಪವನ್ನು ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫೈಡ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಸ್-ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಇರುವಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳು ನೈಜ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಮಾನುಗಳು (ಅರ್ಧ-ವೃತ್ತಗಳು ಅವುಗಳ ಮೂಲವು ನೈಜ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿದೆ) ಮತ್ತು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ನೇರ ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ಮೊಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎಂಬುದು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದು z ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರಾಂಕ z0 ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಹುದು; ಅದನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷವು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಅಂಚಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಸ್ಥಿರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ಮೊತ್ತದಿಂದ ತಿರುಗಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದರೆ i ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು 0 ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ನ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ವಾಲ್ಯೂಮ್ ಅಂಶವನ್ನು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಓಪನ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಹರಿವುಗಳು ಅನೋಸೋವ್ ಹರಿವುಗಳಾಗಿವೆ; ಆ ಲೇಖನವು ಅಂತಹ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯು ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದ ಎರಡನೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದರೆ q-ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್, ಅಲ್ಲಿ q ಎಂಬುದು ನೋಮ್ ಮತ್ತು τ ಅರ್ಧ-ಅವಧಿಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆಃ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, τ ಎಂಬುದು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಇದೆ, ಏಕೆಂದರೆ q = 0 ಮೌಲ್ಯವು ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ಯೂ-ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಆಗಿದೆ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ದೂರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಶ್ವಾರ್ಜ್-ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್-ಪಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪು ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಮಾದರಿ ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಗುಂಪು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿ ಪ್ರೈಮ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹರ್ಷೆಲ್ ಎಮ್. ಫಾರ್ಕಾಸ್ ಮತ್ತು ಇರ್ವಿನ್ ಕ್ರಾ, ರೀಮನ್ ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳು (1980), ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. ಜುರ್ಗೆನ್ ಜೋಸ್ಟ್, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳು (2002), ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್. (ವಿಭಾಗ 2.3ನ್ನು ನೋಡಿ). ಸ್ವೆಟ್ಲಾನಾ ಕಟೋಕ್, ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗ್ರೂಪ್ಸ್ (1992), ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಚಿಕಾಗೊ ಪ್ರೆಸ್, ಚಿಕಾಗೊ (ಸರಳವಾದ, ಸುಲಭವಾಗಿ ಓದಬಹುದಾದ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.) ಏಕರೂಪದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ರೀಮಾನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈ