Lattice of subgroups
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯು ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದು, ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಅವುಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಡಿಹ್ 4 ಹತ್ತು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಸ್ವತಃ ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂಟು ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಐದು ಕ್ರಮ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು ಗುರುತಿಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ಎರಡೂ ಕ್ರಮ ನಾಲ್ಕು ಒಂದೇ ಆವರ್ತಕ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, Z2 × Z2 ರೂಪದ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ, ಇವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಹತ್ತು ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ದೃಷ್ಟಾಂತದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಲರಿಯು ನಿಷೇಧಿತ "ಪೆಂಟಗನ್" N5 ಅನ್ನು ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು A ≤ C (C ಯ ಉಪಗುಂಪು) ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ A, B, ಮತ್ತು C ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ನಂತರ AB ≤ C = A (B ≤ C); ಇಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಣವನ್ನು ಗುಂಪುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಅಥವಾ (ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನ) ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾನೂನು (,) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಜಸ್ಸೆನ್ಹೌಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿನ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ನಡುವೆ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಜಾಲರಿಯು ಕೆಲವು ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಿನ ಜಾಲರಿಯ ಉಪಗುಂಡಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಜಾಲರಿಯು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಿನ ಜಾಲರಿಯ ಉಪಗುಂಡಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಜಾಲರಿಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಜಾಲರಿಯು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯ ಗುಣವೆಂದರೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಅವು ಕ್ವಾಸಿನಾರ್ಮಲ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಫಿಟಿಂಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ (ಭಾಗವಾಗಿದೆ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ವರ್ಗ ಎಫ್ ಗೆ, ಉಪ-ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಫ್-ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಫ್-ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಎರಡೂ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಮೇಲಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದು, F ಎಂಬುದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾದ F ಎಂಬುದು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್, ಸಬ್-ನಾರ್ಮಲ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಸಬ್-ನಾರ್ಮಲ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಫಿಟಿಂಗ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಅಥವಾ ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ತಿರುಚು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಾಲ್ಟ್ಸೆವ್ ವೈವಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ), ಏಕರೂಪಗಳ ಜಾಲರಿಯು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಉಪಗುಂಪು ಜಾಲರಿಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸುವ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೂಲ ಗುಂಪಿನ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದಿರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ಗುಂಪು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯು ವಿತರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಜಾಲರಿಯು ಆರೋಹಣ ಸರಪಳಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯು ಪೂರಕ ಜಾಲರಿಯಾಗಿರುವ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪೂರಕ ಗುಂಪುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲರಿಗಳಾಗಿರುವ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಇವಾಸಾವಾ ಗುಂಪುಗಳು ಅಥವಾ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಜಾಲರಿ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗುಂಪುಗಳಿಗೂ ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಬುಲ್ನಲ್ಲಿ ರಾಲ್ಫ್ ಫ್ರೀಸ್ ಅವರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವಿಮರ್ಶೆ. ಎಎಮ್ಎಸ್ 33 (4): 487-492. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ ನಮೂದು ಉದಾಹರಣೆಃ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿ ಎಸ್4 ಜಾಲರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ