Sums of powers
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ; ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆಯ ಮೂರು-ವರ್ಗ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿಯ ನಾಲ್ಕು-ವರ್ಗ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ; ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಫೌಲ್ಹಾಬರ್ನ ಸೂತ್ರವು ಒಂದು ಬಹುಪದಿಯಾಗಿ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತು ಗಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು. ಸ್ಕ್ವರ್ಕಲ್ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ,. ಯೂಲರ್ನ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಊಹೆಯು (ನಿರಾಕರಿಸಿದ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು th ಶಕ್ತಿಯು ಮತ್ತೊಂದು th ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎರಡು ಸಹಮೌಲ್ಯದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಶಕ್ತಿಯು, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಸಮಾನಗೊಳಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಫೆರ್ಮಾಟ್-ಕ್ಯಾಟಲನ್ ಊಹೆಯು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಮೂರು ಶಕ್ತಿಗಳ ಪರಸ್ಪರ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ. ಎರಡು ಸಹಮೌಲ್ಯದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯು, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ, 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯುಳ್ಳ ಮತ್ತೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಬೀಲ್ನ ಊಹೆಯು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಜಾಕೋಬಿ-ಮ್ಯಾಡೆನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರೌಹೆಟ್-ಟ್ಯಾರಿ-ಎಸ್ಕಾಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಕ್ಯಾಬ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ನೈಜ ಭಾಗವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಡರ್, ಪಾರ್ಕಿನ್ ಮತ್ತು ಸೆಲ್ಫ್ರಿಡ್ಜ್ ಊಹೆಯು ವಾರಿಂಗ್ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗರಿಷ್ಠ th ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದ ಅನುಕ್ರಮ ಶಕ್ತಿಗಳು φ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆಃ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಗುರುತುಗಳು ಬಹುಪದಿಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳ th ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮತ್ತೊಂದು ಘನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತೊಂದು ಘನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಘನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪವರ್ ಸಮ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಎಂಬುದು ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ಗಳಿಗೆ ಬಿಲ್ಡಿಂಗ್ ಬ್ಲಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಗಳು (ಆದರೆ 1 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ) ಸೇರಿದಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ಮೋಸರ್ ಸಮೀಕರಣವು, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವು 4 ಅಥವಾ 5 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 9 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಇಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಹ ನೋಡಿ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಪರಸ್ಪರಗಳ ಮೊತ್ತ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತ-ಸಂಬಂಧಿತ ಪಟ್ಟಿಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವರ್ಗಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು