Epsilon number
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅವು ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಆಯ್ದ ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಅನ್ವಯಗಳ ಸೀಮಿತ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಂತಹ "ದುರ್ಬಲ" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು 0 ರಿಂದ ತಲುಪಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೂಲ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಅವರು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು; ಅವು ω ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಅನಂತ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಕನಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನಲ್ ε0 (ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ನಾಟ್ ಅಥವಾ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದನ್ನು ಸಣ್ಣ ಮಿತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ಪಡೆದ "ಮಿತಿ" ಎಂದು ನೋಡಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಿ ಸರ್ವೋನ್ನತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಯೂನಿಯನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ದೊಡ್ಡ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಚಂದಾದಾರಿಕೆಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಆರ್ಡಿನಲ್ ε0 ಅನ್ನು ಇನ್ನೂ ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ (ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ). ಚಿಕ್ಕ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ε0 ಅನೇಕ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನೇಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ε0 ವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಿದೆ (ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ನ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಗುಡ್ಸ್ಟೀನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಂತೆ). ಗೊಡೆಲ್ನ ಎರಡನೇ ಅಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಪೀನೋ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದು, ಪೀನೋ ಅಂಕಗಣಿತವು ಈ ಕ್ರಮದ ಸುಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪೀನೋ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ವೆಬ್ಲೆನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನೇಕ ದೊಡ್ಡ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ ಮತ್ತು ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಕ್ನುಥ್ ಅವರು ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ω ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆ x → ωx ನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. α <γ ಆಗಿರುವಾಗ α + γ = γ, ಮತ್ತು ಡೆಲ್ಟಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟ್ಲಿ ಇಂಡೆಕಂಪೋಜಬಲ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ ನೋಡಿ) δ> 1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ 0 <α <δ ಆಗಿರುವಾಗ αδ = δ, ಮತ್ತು ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ε> 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ 1 <α <ε ಆಗಿರುವಾಗ αε = ε. ಅವನ ಗಾಮಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ωβ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವನ ಡೆಲ್ಟಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ωωβ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ε ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇಸ್ α ಯೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಘಾತಾಂಕದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆಃ ಯಾವಾಗ ತಕ್ಷಣದ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. , ಯಾವಾಗ ಮಿತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗೆ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವಾಗ, ಈ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವಾಗ ತಕ್ಷಣದ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ಇರುತ್ತದೆ. , ಯಾವಾಗ ಮಿತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದೇ ಸರ್ವೋಚ್ಚತೆಯೊಂದಿಗಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು, 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಬದಲಿಗೆ ಬೇಸ್ ε0 ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ತಕ್ಷಣದ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಆರ್ಡಿನಲ್ನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕ β ಒಂದು ಮಿತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ, ಇದು ಬೇಸ್ ω ಘಾತಾಂಕಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳಿಗೆ ಬೇಸ್ δ ಘಾತಾಂಕಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು (ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು) ಈಗಾಗಲೇ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಇದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಚನಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮಿತಿ ಕ್ರಮಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವು, ಇದು ಘಾತೀಯ ಸರಣಿಯ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಇನ್ನೂ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಒಕ್ಕೂಟವು (ಅಥವಾ ಸರ್ವೋನ್ನತ) ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಣಿಸಲಾಗದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳಿಂದ ε0 ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಯಾವುದೇ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ε ಕ್ಯಾಂಟರ್ ನಾರ್ಮಲ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ನಾರ್ಮಲ್ ರೂಪವು ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ε0 ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಗುಂಪಾಗಿ ε0 ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ನಾರ್ಮಲ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ k ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹೊಸ ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮರಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಮೂಲಕ ನಾವು α ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸೀಮಿತ ಬೇರೂರಿರುವ ಮರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. (ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ 0 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಮೂಲದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂಲ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಎಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ನಾವು ಮೊದಲು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವ ಸಬ್ಟ್ರೀಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸಬ್ಟ್ರೀಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳ ಸಮೂಹವು ε0 ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸಮೂಹವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಹೈಡ್ರಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಗ್ರಾಫ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಟವಾಗಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ" ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ; ಇದನ್ನು ವೆಬ್ಲೆನ್ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಬೇಸ್ φ0 (α) = ωα ಹೊಂದಿರುವ ವೆಬ್ಲೆನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು). ವೆಬ್ಲೆನ್ ಕ್ರಮಾನುಗತದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ φ1 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು φ2 ನಿಂದ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಧಾಟಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ, ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಾದ φα + 1 (0) ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳಿಗೆ (ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ರಿಕರ್ಶನ್ನ ಈ ಅಪರೂಪದ ರೂಪದಿಂದ, ಮಿತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು φα ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ 0 ರಿಂದ ತಲುಪಲಾಗದ ಕನಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನಲ್-i. ಇ., ಕನಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನಲ್ α ಇದಕ್ಕೆ φα (0) = α, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ನಕ್ಷೆಯ ಮೊದಲ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು-ಫೆಫರ್ಮಾನ್-ಷುಟ್ಟೆ ಆರ್ಡಿನಲ್ κ0 ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಅದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ; ಇವುಗಳು ಇನ್ನೂ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಪ್ರತಿ β ≤ γ0 ಗೆ φβ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ನಕ್ಷೆ φ1 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ. ಸರ್ರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಶ್ರೇಷ್ಠ ನಿರೂಪಣೆಯಾದ ಆನ್ ನಂಬರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಗೇಮ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ ಅವರು ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ನಿಂದ ಸರ್ರಿಯಲ್ಗಳವರೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ-ಮ್ಯಾಪ್; ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ತನ್ನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಸ್ತರಿತ ನಕ್ಷೆಯ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಹಜ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಗವಿದೆ, ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಯು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ "ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್" ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಶಾಲ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಾನ್ವೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಅರ್ಥಮೆಟಿಕ್ ಲಾರ್ಜ್ ಕೌಂಟಬಲ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಜೆ. ಎಚ್. ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕಾನ್ವೇ, ಆನ್ ನಂಬರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಗೇಮ್ಸ್ (1976) ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್ ವಿಭಾಗ XIV.20