Circuit rank
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆ, ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿ, ಸೈಕ್ಲೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸೈಕಲ್ ಶ್ರೇಣಿ, ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೂನ್ಯತೆಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಮುರಿಯಲು ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ಮರ ಅಥವಾ ಅರಣ್ಯವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಕ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಚಕ್ರದ ಆಧಾರದ ಗಾತ್ರ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಆರ್ಕ್ ಸೆಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತಲ್ಲದೆ, ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ದುರಾಸೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಥವಾ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಅರಣ್ಯಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಒಡೆಯುವ ಕನಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸೈಕಲ್ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ನ ಕೊರಾಂಕ್ ಆಗಿ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಪಡೆದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನ ಕಿವಿಯ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕಿವಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ, ಬಹುತೇಕ ಮರಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಯತಾಂಕ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋಡ್ ತುಣುಕಿನ ಸೈಕ್ಲೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಭಾಗವಾಗಿ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೈಕ್ಲೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗುಸ್ತಾವ್ ಕಿರ್ಚಾಫ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂಚಿನ ಗುಂಪಿನ ನಿರ್ಮಾಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫ್ನ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ನ ಕೊರಾಂಕ್ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರೋಯಿಡ್ಗಳ ದುರಾಸೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಉಳಿದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಅಂಚನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ದುರಾಸೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಒಡೆಯುವ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದರ್ಥ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಒಡೆಯುವ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಅರಣ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಅರಣ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಪೂರಕ ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಾಣಬಹುದು. ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಕ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಚಕ್ರದ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮವೂ ಆಗಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಕ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಇತರರ ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಒಂದು ಚಕ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಚಕ್ರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಕ್ರಗಳ ಈ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು 1-ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಇದು ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅಂಚನ್ನು ರೇಖೆಯ ಭಾಗದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸೈಕ್ಲೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಮೊದಲ (ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ, ಈ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಸೈಕ್ಲೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಮೊದಲ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಕ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಮೆಶೆಡ್ನೆಸ್ ಗುಣಾಂಕ ಸಮತಲ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರ, ಅದೇ ಶೃಂಗದ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೆಶೆಡ್ನೆಸ್ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಾಗಿ, ಜೋಡಣೆಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಇಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರದ ಅಂಶವು ನೀಡಲಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ. ಮೆಶೆಡ್ನೆಸ್ ಗುಣಾಂಕವು ಮರಗಳಿಗೆ 0 ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಕಿವಿಯ ವಿಭಜನೆ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಗ್ರಾಫ್ನ ಕಿವಿಯ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಕಿವಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಚಕ್ರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನೇಕ ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗ್ರಾಫ್ ತೆರೆದ ಕಿವಿಯ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು 2-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್-ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಸರಳ ಚಕ್ರವಾಗಿದೆ, ಉಳಿದ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ಮಾರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ, ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಗವು ಹಿಂದಿನ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಾರ್ಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಂತರಿಕ ಶೃಂಗವು ಆ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೈಕಾನೆಕ್ಟೆಡ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಕಿವಿ ವಿಭಜನೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಿವಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸೈಕ್ಲೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಆರ್-ಆಲ್ಮೋಸ್ಟ್-ಟ್ರೀ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಮರ ಅಥವಾ ಅರಣ್ಯವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಆರ್ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. 1-ಹತ್ತಿರದ ಮರವು ಹತ್ತಿರದ ಮರವಾಗಿದೆಃ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಹತ್ತಿರದ ಮರವು ಒಂದು ಹುಸಿ ಮರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಬೇರೂರಿರುವ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ) ಮರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಕ್ರವಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರು ಆರ್-ಹತ್ತಿರದ ಮರಗಳ ಮೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ನಿಯತಾಂಕ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಚಕ್ರ ಶ್ರೇಣಿಯು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಚಕ್ರಗಳ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಟ್ರೀ-ಡೆಪ್ತ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ) ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಆರ್ಕ್ ಸೆಟ್, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಮುರಿಯುವ ಅಂಚುಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸೈಕಲ್ ರ್ಯಾಂಕ್ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಆರ್ಕ್ ಸೆಟ್ ಎರಡೂ ಎನ್. ಪಿ.-ಗಣನೆಗೆ ಕಠಿಣವಾಗಿವೆ. ಅಂಚುಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸರಳ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ತತ್ವವು ಸೈಕ್ಲೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಕೋಡ್ನ ತುಣುಕು ಎಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕೆಮಿನ್ ಇನ್ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಆಣ್ವಿಕ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು (ಚಿಕ್ಕ ಉಂಗುರಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಉಂಗುರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಫ್ರೆರೆಜಾಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಣ್ಣ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಮಾರ್ಗ ಮರು ಸಂರಚನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಂದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುವ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆಃ ಎಡ್ಜ್ ಸಂಪರ್ಕ-ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಅಳಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪೂರ್ವಭಾವಿ-ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟುವ ಸಲುವಾಗಿ ಅಳಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಫೀಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ವರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆ-ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಲು ಅಳಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಫೀಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆರ್ಕ್ ಸೆಟ್-ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಅಳಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಗಳು, ಅದನ್ನು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಲು. ಗ್ರಾಫ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಥಿಯರಿ ಸ್ಪ್ಯಾನಿಂಗ್ ಟ್ರೀ