Infinitary combinatorics
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇನ್ಫಿನಿಟರಿ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್, ಅಥವಾ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ, ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮರಗಳು, ರಾಮ್ಸೇಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಾರ್ಟಿನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಏಕ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ರಾಮ್ಸೇ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬರೆಯಿರಿ κ, ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳಿಗೆ λ, ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ m ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ n. n-ಅಂಶದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ [κ] n ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗವು m ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರ λ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸೆಟ್ κ ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ n-ಅಂಶದ ಉಪವಿಭಾಗವು ವಿಭಜನೆಯ ಒಂದೇ ಅಂಶದಲ್ಲಿದೆ. m 2 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ, κ → (ω) ω ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ n ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. nಅನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಅನಂತವಾಗಿರಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಂಕೇತವಾಗಿದ್ದು, ಇದು κನ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗವು m ತುಣುಕುಗಳಾಗಿ λ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ nಗೆ, n ಗಾತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ವಿಭಜನೆಯ ಒಂದೇ ಅಂಶದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. m 2 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಸಂಕೇತನ, ಇದು 2 ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ κ ನ n-ಅಂಶದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪಿನ [κ] n ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಣ್ಣವು ಕ್ರಮ ಪ್ರಕಾರದ λ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ [λ] n ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಮೊದಲ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಕ್ರಮ ಪ್ರಕಾರದ ಉಪವಿಭಾಗವು [μ] n ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಎರಡನೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ (ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ) ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ n ಮತ್ತು k (ರಾಮ್ಸೇಯ ಪ್ರಮೇಯ). (ಎರ್ಡೋಸ್-ರಾಡೋ ಪ್ರಮೇಯ.) (ಸಿಯರ್ಪಿಂಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯ) (ಎರ್ಡೋಸ್-ಡುಶ್ನಿಕ್-ಮಿಲ್ಲರ್ ಪ್ರಮೇಯ). ಆಯ್ಕೆಗಳಿಲ್ಲದ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ವಿಭಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಾತ್ಮಕತೆಯ (AD) ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಎ. ಮಾರ್ಟಿನ್, ಎ. ಡಿ. ಯು ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಲವಾರು ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಃ ದುರ್ಬಲ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಸ್ κ ಎಂದರೆ κ → (κ) 2 α-ಎರ್ಡೋಸ್ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಸ್ κ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವವರು ಚಿಕ್ಕವರು κ → (α) <ω ರಾಮ್ಸೇ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಸ್ κ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವವರು κ → (κ) <ω ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಯೋಜನೆ