Linear relation
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಥವಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ಸರಳವಾದ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ (ಎಡ) ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಅಂಶಗಳು ಇದ್ದರೆ (ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಪ್ರಕರಣವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ), ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಉತ್ಪಾದನಾ ಗುಂಪಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ಮೊತ್ತದವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದೇ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಎರಡು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಎರಡು ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಮೊದಲ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸರಳವಾಗಿ ಅದರ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದನೆಯ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್-ಒಂದನೆಯ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಿಜಿಜಿ ಪ್ರಮೇಯವು, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಒಂಬತ್ತನೇ ಸಿಜಿಜಿ ಘಟಕವು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವು ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಕರಣವು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಘಟಕವೂ ಸಹ ಉಚಿತವಾಗಿದೆ. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಫ್ರೀ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಿಜಿಜಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಏಕರೂಪದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಉಂಗುರದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಆದರ್ಶದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆದರ್ಶದ ಮೊದಲ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಆದರ್ಶವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದು ಆದರ್ಶದ ಕೋಸ್ಝುಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಆದರ್ಶದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎಡ-ಘಟಕವಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಯ್ದ ಉತ್ಪಾದಕ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಸಿಜಿಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ; ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಉಂಗುರವು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ, ಕನಿಷ್ಠ ಸುಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಹ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎರಡನೇ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುವುದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ th ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಿಜಿಜಿ ಪ್ರಮೇಯವು, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಒಂಬತ್ತನೇ ಸಿಜಿಜಿ ಘಟಕವು ಮುಕ್ತ ಘಟಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದು ನಿಜವಾದರೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ "ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ" ಇವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಸ್ಥಿರ properties.Proof ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಬರೆಯಬಹುದು ಇದು ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಈಗ, ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಡುವಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಬಂಧವು s ಮತ್ತು sಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಭಜನೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೊದಲ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ "ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಎರಡು ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಂಬಂಧಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಎರಡು ಉತ್ಪಾದಕ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಎರಡು ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಸಾಕು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಯಾವುದೇ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಉಳಿದಿದೆ. ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಧಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಬಂಧಕ್ಕೂ, ಅದರ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಿಝಿಜಿಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಸಿಝಿಜಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಣಯಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಹೊಸ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಗಳಿರುವ ಆಧಾರದ ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದು ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಡ ಬಾಣವು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ನಕ್ಷೆಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಬದಲಿಗೆ ಈ ಕರ್ನಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲರೂ ಉಚಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರುವ ದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂತಹ ಸುದೀರ್ಘ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಬಾಣದ ಕರ್ನಲ್ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಣಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಿಜಿಜಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಂತೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಮುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಉದ್ದವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಬ್ಬರು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು (ಶೂನ್ಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್). ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಿಝೈಜಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುವ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನಶೀಲ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರದ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಂವಹನ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮವು ಅದರ ಕ್ರಲ್ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಿಝಿಜಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಹಳ ಸಣ್ಣ ವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಅದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತವನ್ನು ಮರೆಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವು ನಿಯಮಿತವಾದ ring.Trivial ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಅದು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಆದರ್ಶವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎರಡು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಘಟಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಿಜಿಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಿಝಿಜಿಗಳ ಘಟಕವು ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಜಿಜಿ ಎಂಬ ಪದವು ಆರ್ಥರ್ ಕೇಲಿಯವರ ಕೃತಿಯಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಬಂದಿತು. ಆ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಕೇಲಿಯು ಅದನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದನು. ಗ್ರಹಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಿಜಿಜಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದ ಕಾರಣ, ಕೇಲಿಯು ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಿದರು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2x3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಃ ನಂತರ, ಸಿಜಿಜಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ತನ್ನ 1890 ರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ) ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು, ಇದು ಬಹುಪದಗಳ ಮೇಲೆ ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಿಜಿಜಿ ಪ್ರಮೇಯ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಆಧಾರ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ನಲ್ಸ್ಟೆಲ್ಲೆನ್ಸಾಟ್ಜ್. ತನ್ನ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೀನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೊಸ್ಝುಲ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರಚನೆಯ ನಂತರ, ನಂತರ ಕೊಸ್ಝುಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟದ್ದನ್ನು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೇಲಿಯು ಬಳಸುತ್ತಾನೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡೇವಿಡ್ ಐಸೆನ್ಬುಡ್, ದಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಫ್ ಸಿಜಿಜೀಸ್, ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 229, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 2005. ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಬಹುಪದಗಳು