Book embedding
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪುಸ್ತಕದ ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಹುದುಗುವಿಕೆಗಳಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹುದುಗುವಿಕೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಅವುಗಳ ಗಡಿಯಂತೆ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಬೆನ್ನೆಲುಬು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಗಡಿ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದೊಳಗೆ ಇರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಗ್ರಾಫ್ನ ಯಾವುದೇ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಪೇಜೆನ್ ನಂಬರ್, ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ನಂಬರ್ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಹೊರಗಿನ ದಪ್ಪ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುಟದ ಅಗಲ ಮತ್ತು ಬುಕ್ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಇತರ ಗ್ರಾಫ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೂತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಸಮತಲೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡರಷ್ಟು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಬ್ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಣ್ಣ-ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಕುಟುಂಬಗಳು, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಟ್ರೈವಿಡ್ತ್ ಅಥವಾ ಬೌಂಡೆಡ್ ಜೆನಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಹ ಬೌಂಡೆಡ್ ಬುಕ್ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರವಾದ ಶೃಂಗದ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ತಿಳಿಯದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ನ ನಿಖರವಾದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಶೃಂಗಗಳ ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಮೂರು-ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು, ಅಜ್ಞಾತ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇದು ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಎನ್ಪಿ-ಹಾರ್ಡ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲ ಪ್ರೇರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಎಲ್ಎಸ್ಐ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ತಂತಿಗಳು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಬುಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಗ್ರಾಫ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ನಲ್ಲಿಯೂ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೃಶ್ಯೀಕರಣ ಶೈಲಿಗಳು, ಆರ್ಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಸಾರಿಗೆ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಚಾರ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಪಾದಚಾರಿ ಮತ್ತು ವಾಹನ ಸಂಚಾರದ ವಿವಿಧ ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಗಮ್ಯಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಅಂಚುಗಳು ವಿವಿಧ ಮೂಲ-ಗಮ್ಯ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಸಿಗ್ನಲ್ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ದಟ್ಟಣೆಯನ್ನು ಛೇದಕದಾದ್ಯಂತ ಚಲಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಈ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆರ್. ಎನ್. ಎ. ಯ ಮಡಿಕೆ ರಚನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜೈವಿಕ ಮಾಹಿತಿಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕ-ಪುಟದ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಿಕ್ ಆಮ್ಲದ ದ್ವಿತೀಯಕ ರಚನೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಸ್ಯೂಡೋಕ್ನಾಟ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯ ಇತರ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಂಟು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸೇರಿವೆ. 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಸಿ. ಎ. ಪರ್ಸಿಂಜರ್ ಮತ್ತು ಗೇಲ್ ಅಟ್ನಿಯೊಸೆನ್ ಅವರು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಕೃತಿಯ ಭಾಗವಾಗಿ, ಅಟ್ನೀಸನ್ ಈಗಾಗಲೇ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿವೆಃ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂಚುಗಳನ್ನು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಚುಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವುದು. 1970 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಲ್ ಸಿ. ಕೈನೆನ್ ಮತ್ತು ಎಲ್. ಟೇಲರ್ ಒಲ್ಮನ್ ಅವರು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ರೀತಿಯ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅದು ನಂತರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು. ಅವುಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಪುಸ್ತಕದ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಒಂದೇ ಪುಟದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ 1980ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮಿಹಾಲಿಸ್ ಯನ್ನಾಕಾಕಿಸ್ ನೀಡಿದ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು 1990ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬಯೋಇನ್ಫರ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕದ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ನಂತರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಮೈಲಿಗಲ್ಲುಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪುಸ್ತಕವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳ ಫ್ಯಾನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪುಸ್ತಕದ ಬೆನ್ನೆಲುಬು ಅಥವಾ ಹಿಂಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಪುಸ್ತಕದ ಪುಟಗಳು ಅಥವಾ ಎಲೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅದರ ಮೇರುದಣ್ಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪುಟಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ-ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪುಸ್ತಕದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪುಸ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಅದರ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಎಳೆಯುವಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಅದರ ಒಂದು ಪುಟದೊಳಗೆ ಇರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುಟದ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೆ ಪುಟದ ಪುಸ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಮೇಲೆ ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಪುಸ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅದರೊಳಗೆ ಹುದುಗುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಅಂಚು ದಾಟುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪುಸ್ತಕದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪುಸ್ತಕದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಹುದುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುದಿಯನ್ನು ತನ್ನದೇ ಆದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪ, ಪೇಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಪುಟಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪುಟಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಪುಸ್ತಕದ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮತ್ತೊಂದು ನಿಯತಾಂಕವೆಂದರೆ ಅದರ ಪುಟದ ಅಗಲ. ಒಂದೇ ಪುಟದೊಳಗೆ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಗೆ ಲಂಬವಾದ ಕಿರಣದಿಂದ ದಾಟಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳು ಎಂದು ಇದನ್ನು ಕಟ್ವಿಡ್ತ್ಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ (ಪ್ರತಿ ಅಂಚನ್ನು ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿ ಎಳೆಯುವ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ), ಇದು ಒಂದೇ ಪುಟದೊಳಗಿನ ಅಂಚುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ಗರಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಅಂಚುಗಳ ತುದಿಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಒಂದು ಪುಟದೊಳಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಅಟ್ನೀಸನ್ ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಪುಸ್ತಕದ ಬೆನ್ನೆಲುಬುಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಅಂಚುಗಳು ಒಂದು ಪುಟದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು. ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ದಾಟುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಅಂತಹ ಮೂರು-ಪುಟಗಳ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಪುಸ್ತಕಕ್ಕೆ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ದಾಟುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಈ ಅನೇಕ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ದಾಟುವಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮೊದಲ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಮೂರುಃ ಸಮತಲವಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ನಂತೆ ಅದರ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂರು ಪುಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪುಸ್ತಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವುದೇ-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪದ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನ ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೇಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಆಂಥೋನಿ ಹಿಲ್ನ ಇನ್ನೂ ಸಾಬೀತಾಗದ ಊಹೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಹಿಲ್ನ ಊಹೆಯು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ದಾಟುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಎರಡು ಪುಟಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪದೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ದ್ವಿ-ವಿಭಜನೆಯ ಸಣ್ಣ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೂ, ಆ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗಿನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಅವರ ಸ್ವಂತ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು. ಈ ಬಂಧವು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಿಗಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪ ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು ಅಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ತುಂಬಾ ಅಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅದರ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟುರಾನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ (ಪ್ರತಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಶೃಂಗಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಲ್ಟಿಪಾರ್ಟೈಟ್ ಗ್ರಾಫ್, ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ) ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ನಡುವೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೆಸವಾದಾಗ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಪ್ಲ್ಯಾನಾರಿಟಿ ಮತ್ತು ಔಟರ್ಪ್ಲ್ಯಾನಾರಿಟಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬಯಲುಪ್ರದೇಶದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಸಮತಲೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಮತಲೀಯ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯ ಹೊರಮುಖಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕಾಗಿ, ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅವು ಹೊರಗಿನ ಮುಖದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುವಂತೆ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವುದರಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಒಂದು-ಪುಟದ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. (ಗ್ರಾಫ್ನ ಉಚ್ಚಾರಣೆಯ ಬಿಂದುವು ಹೊರಗಿನ ಮುಖದ ಸುತ್ತಲೂ ಶೃಂಗಗಳ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆ ಪ್ರತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬೇಕು.) ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಒಂದು ಪುಟದ ಪುಸ್ತಕದ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪುಟವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವನ್ನು ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಗೆ ಜೋಡಿಸಿದರೆ, ಹುದುಗುವಿಕೆಯ ಹೊರಗಿನ ಮುಖವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಈ ಹೊರಗಿನ ಮುಖದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪುಸ್ತಕದ ಎರಡು ಪುಟಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪ ಎರಡನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಈಗಾಗಲೇ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸತತ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಚುಗಳನ್ನು (ಯಾವುದೇ ಪುಟಕ್ಕೆ) ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಗೋಲ್ಡ್ನರ್-ಹ್ಯಾರರಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪ ಎರಡನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮತಟ್ಟನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಅದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರಗಳ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ, ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸಬ್ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಡಿಗ್ರಿ ಗರಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ 3-ಮರಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಮೂರು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪ ನಿಖರವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಎಂದು ಕೆಲವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಮಿಹಾಲಿಸ್ ಯನ್ನಾಕಾಕಿಸ್ 1986ರಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಂತರದ ಜರ್ನಲ್ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಘೋಷಿಸಲಾದ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ವಿವರವಾದ ಪುರಾವೆ, ಬೆಕೋಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು 2020 ರವರೆಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಪುಟಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೂರು ಅಗಲ 4 ರೊಂದಿಗೆ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಡವಳಿಕೆ ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿನೊಳಗೆ ಹೊಸ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚನ್ನು ಎರಡು ಅಂಚಿನ ಮಾರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವುದರಿಂದ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದರ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಜ್ರದ ನಕ್ಷೆಯು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇದು ಬಾಹ್ಯ ಸಮತಲೀಯವಾಗಿದೆ) ಆದರೆ ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇದು ಸಮತಲೀಯ ಮತ್ತು ಸಬ್ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಸಮತಲೀಯವಲ್ಲ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಉಪವಿಭಾಗ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪವಿಭಾಗದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಎರಡು-ಅಂಚಿನ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಉಪವಿಭಾಗಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಅದರ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಉಪವಿಭಾಗದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಮೂಲ ಗ್ರಾಫ್ಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಚನ್ನು ಎರಡು ಅಂಚಿನ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ, ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವಿದ್ದರೆ, ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರ ಊಹೆ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತುಃ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಇಳಿಜಾರುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಆರು ಅಂಚುಗಳ ಮಾರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಮೂರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಗ್ರಾಫ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ದಪ್ಪಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಆವರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಚುಗಳು ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಪರಸ್ಪರ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದ ಅಂಚುಗಳು ದಾಟುವುದಿಲ್ಲ. ಇದೇ ರೀತಿ, ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಅರ್ಧ ಸಮತಲದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅದರ ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳ ನಡುವೆ ದಾಟದೆ ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಬಣ್ಣ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪದ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅಂಚುಗಳ ಬಣ್ಣಗಳು ಪುಸ್ತಕದ ಹುದುಗುವಿಕೆಯ ಪುಟಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದಪ್ಪ ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದುಃ ಎರಡು ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು (ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಮೂರು ಅಗಲದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಿತಿಯು ಪುಸ್ತಕಕ್ಕೆ ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕುಲದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಣ್ಣ-ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಕುಟುಂಬವು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿರದ 1-ಸಮತಲೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಹ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿವೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು 1-ಸಮತಲೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಬುಕ್ ದಪ್ಪದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಳವಿಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ವಿರಳವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ ಅನುಪಾತವು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಮೈನರ್ನ ಆಳ ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಹ, ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆ, ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪ ಎರಡರ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ವಿಭಜಕ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆಃ ಅವು ವಿಭಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಶೃಂಗಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳು, ಅವುಗಳ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿಭಜಕದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಬ್ಲೀನಿಯರ್ ಗಾತ್ರದ ವಿಭಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪ ಮೂರು ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿವೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಒಂದೇ ಪುಟದೊಳಗಿನ ಅಂಚುಗಳು ಸ್ಟಾಕ್ ಡೇಟಾ ರಚನೆಯಂತೆ ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಮೇಲೆ ಪುಶ್ ಮತ್ತು ಪಾಪ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನುಕ್ರಮ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನಿಂದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪಾಪ್ ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿ ಪಾಪ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಎಳೆದರೆ, ಹಿಂದಿನ ಪುಶ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ತಳ್ಳಿದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಒಂದು ಪುಟದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಯೂ ದತ್ತಾಂಶ ರಚನೆಯ ಎನ್ಕ್ಯೂ ಮತ್ತು ಡೆಕ್ಯೂ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಒಂದೇ ಪುಟದ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಎನ್ಕ್ಯೂ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಡೆಕ್ಯೂ ನಡುವೆ ಅಂಚು ಇರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳು ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಮೇಲೆ ಬೇರ್ಪಡುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚುತ್ತವೆ. ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಸಂಶೋಧಕರು ಗ್ರಾಫ್ನ ಕ್ಯೂ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಒಂದೇ ಪುಟದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಪುಟದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳು ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಮೇಲೆ ಅಂತರವನ್ನು ದಾಟುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚುತ್ತವೆ. ಗ್ರಾಫ್ನ ಕ್ಯೂ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುಟಗಳನ್ನು ಅದರ ಕ್ಯೂ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎನ್ಪಿ-ಹಾರ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಎರಡು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು ಎರಡು ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಇದು ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ನೀಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಚಕ್ರದೊಂದಿಗೆ ವರ್ಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ ಪ್ಲ್ಯಾನಾರಿಟಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಮೂರು-ಪುಟಗಳ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಹ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅವರ ಬರವಣಿಗೆಯು ಅನೇಕ ವಿವರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪುಟಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುಟಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎನ್ಪಿ-ಹಾರ್ಡ್ ಆಗಿ ಉಳಿದಿದೆ, ವೃತ್ತದ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಛೇದಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾದ ವೃತ್ತದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ಎನ್ಪಿ-ಹಾರ್ಡ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ. ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಲೂ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಜೋಡಿ ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಅಂಚುಗಳಾಗಿ ದಾಟಬಹುದು. ವೃತ್ತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಬಣ್ಣವು ಒಂದೇ ಪುಟವನ್ನು ದಾಟದೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಅಂಚುಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಬಣ್ಣವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪುಸ್ತಕದ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತ ನಕ್ಷೆಯ ಬಣ್ಣವು ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಸಹ ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಬೆನ್ನೆಲುಬಿನ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಶೃಂಗದ ಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ದಾಟುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಕ್ರಮವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಎರಡು ಪುಟಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ಎಸ್ಪಿಕ್ಯುಆರ್ ಮರಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 2-ಪುಟಗಳ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಅಂಚಿನ ವಿಭಾಗವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ 2-ಪುಟದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. 2-ಪುಟಗಳ ದಾಟುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದ ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕ ದಾಟುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಹ ಎನ್ಪಿ-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಗಾತ್ರದ ಮಾದರಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ದೊಡ್ಡ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು, ದೊಡ್ಡ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದಾಗ ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮಾದರಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ದೊಡ್ಡ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರೇರಿತ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಗ್ರಾಫ್ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಬೌಂಡೆಡ್ ಬುಕ್ ದಪ್ಪದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸ್ಥಿರ-ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ತೃಪ್ತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಎಸ್ಎಟಿ ಪರಿಹಾರಕವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ತಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸುಮಾರು 20 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ 400-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ದೋಷ-ಸಹಿಷ್ಣು ಮಲ್ಟಿಪ್ರೋಸೆಸಿಂಗ್ ದೋಷ-ಸಹಿಷ್ಣು ಮಲ್ಟಿಪ್ರೋಸೆಸರ್ಗಳ ಸಂಘಟನೆಗೆ ವಿಎಲ್ಎಸ್ಐ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರೇರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖಕರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಡಿಯೋಜೆನ್ಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಮಲ್ಟಿಪ್ರೋಸೆಸರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿಪಿಯುಗಳನ್ನು ಪುಸ್ತಕದ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭೌತಿಕ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ). ಈ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಂವಹನ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು "ಕಟ್ಟುಗಳಾಗಿ" ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪುಸ್ತಕದ ಪುಟಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಃ ಹೊಸ ಸಂವಹನ ಕೊಂಡಿಯ ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವುದು ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ಕೊಂಡಿಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರೊಸೆಸರ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವುದು ಅದನ್ನು ಬಂಡಲ್ನ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೊಂಡಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಲವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬೀಳಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ, ಒಂದೇ ಬಂಡಲ್ ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಪುಟದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಂವಹನ ಕೊಂಡಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಜಾಲಬಂಧವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ದೋಷರಹಿತ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ಗಳು ಉಳಿದಿರುವವರೆಗೆ, ಯಾವ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ಗಳು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ವಿವಿಧ ಜಾಲಬಂಧ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಕಟ್ಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನ ಪದರಗಳಿಗೆ ವಿಎಲ್ಎಸ್ಐ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ತಂತಿಗಳ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ವಿಂಗಡಣೆ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸುವ ಕಾಳಜಿಗಳಿಂದ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್. ಒಳಬರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗೆ ತಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಡೇಟಾ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು, ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನಿಂದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗೆ ಪಾಪ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಡೇಟಾವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದರ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ತೋರಿಸಿದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ, ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ಡೇಟಾ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸುವ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಇನ್ಪುಟ್ ಡೇಟಾ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ತಳ್ಳಬೇಕು. ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಳ್ಳಿದ ನಂತರ, ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಈ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಿಂದ (ಸೂಕ್ತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ಔಟ್ಪುಟ್ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗೆ ಪಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚುಂಗ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಗಮನಿಸಿ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್, ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಹುದುಗಿರುವ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾದ ಹಲವಾರು ಪುಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಟ್ರಾಫಿಕ್ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ನಿಯಂತ್ರಿತ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಸಿಗ್ನಲ್ನ ಹಂತಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಂದು ಛೇದಕದಲ್ಲಿ, ಸಂಚಾರದ ಒಳಬರುವ ಮತ್ತು ಹೊರಹೋಗುವ ಹಾದಿಗಳನ್ನು (ಪಾದಚಾರಿ ಕ್ರಾಸ್ವಾಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬೈಸಿಕಲ್ ಪಥಗಳ ತುದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೋಟಾರು ವಾಹನಗಳ ಹಾದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಜಂಕ್ಷನ್ನ ಸುತ್ತಲೂ ಅವುಗಳ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪುಸ್ತಕದ ಬೆನ್ನೆಲುಬಿನ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಳಬರುವ ಲೇನ್ನಿಂದ ಹೊರಹೋಗುವ ಲೇನ್ಗೆ ಹೋಗಲು ಟ್ರಾಫಿಕ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಛೇದಕದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಒಳಬರುವ ಲೇನ್ನಿಂದ ಹೊರಹೋಗುವ ಸಂಚಾರದ ಲೇನ್ಗೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಎರಡೂ ರಸ್ತೆಯ ಒಂದೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ, ಇದು ಜಂಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿ ಯು-ಟರ್ನ್ಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಆ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಆ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಯು-ಟರ್ನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಚುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಉಪವಿಭಾಗವು ಎರಡು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಒಂದೇ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರೆ ದಾಟುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವಿಲ್ಲದೆ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದಾದ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪ ಮಾಡದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪವು (ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಮೇಲೆ ಅದರ ಸ್ಥಿರ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ) ಸಿಗ್ನಲಿಂಗ್ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಜಾಲಬಂಧ ದತ್ತಾಂಶದ ದೃಶ್ಯೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಬುಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲೇಔಟ್ಗಳಾದ ಆರ್ಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಲೇಔಟ್ಗಳನ್ನು ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಡ್ ಲೇಔಟ್ಗಳು, ಏಕಕಾಲಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಗ್ರಾಫ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆರ್ಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ ಅರ್ಧವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿ ಎಳೆಯುತ್ತದೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಸಹ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಶೈಲಿಯು ಒಂದು ಪುಟದೊಂದಿಗೆ (ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ) ಅಥವಾ ಎರಡು ಪುಟಗಳೊಂದಿಗೆ (ರೇಖೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ) ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಹುದುಗಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೂಲತಃ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಅನೇಕ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಹುದುಗಿರುವ ಪುಸ್ತಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬುಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ದಾಟುವಂತಹ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಿನ್ಯಾಸ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಅಥವಾ ಹೊರಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ, ವೃತ್ತದೊಳಗಿನ ಅಂಚುಗಳ ನಿಯೋಜನೆಯು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳು) ಒಂದು ಪುಟದ ಪುಸ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಇರುವ ನಿಯೋಜನೆಯು ಎರಡು ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಶೈಲಿಗಳ ಒಂದು-ಪುಟದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ದೃಶ್ಯ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಅಂದಾಜು ಅನುಪಾತದೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು-ಪುಟದ ಅಥವಾ ಎರಡು-ಪುಟದ ದಾಟುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸೈಕ್ಲೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಥವಾ ದಾಟುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ನ ಮೂರು ಅಗಲದ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಸ್ಥಿರ-ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು. ದಾಟುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಶೃಂಗದ ಅಳವಡಿಕೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಷನ್ನಲ್ಲಿ. ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಚುಗಳ ಸ್ಥಿರ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಡ್ ಪ್ಲ್ಯಾನಾರಿಟಿಯ ಒಂದು ರೂಪವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನ ಭಾಗಗಳನ್ನು (ಅಂಚುಗಳ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳು) ಅವುಗಳ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಬೇಕು. ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೃಂಗದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನೇರ ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲವಾಗಿ ಎಳೆಯುವ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪುಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪುಸ್ತಕದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪುಟದೊಳಗಿನ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಿಗಾಗಿ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕಡಿಮೆ ಪರಿಮಾಣದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನದ ಭಾಗವಾಗಿ. ಆರ್. ಎನ್. ಎ. ಮಡಿಸುವಿಕೆ ಆರ್. ಎನ್. ಎ. ಅಣುಗಳು ತಮ್ಮ ರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಹೇಗೆ ಮಡಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಿಕ್ ಆಮ್ಲದ ದ್ವಿತೀಯಕ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ಗಳ ಸರಪಳಿ (ಆರ್. ಎನ್. ಎ ಅನುಕ್ರಮವೇ) ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ರಚನೆಯ ಬೇಸ್ಪೇರ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಚಾಪಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ರಚನೆಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು (ದ್ವಿತೀಯಕ ರಚನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ) ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ರಚನೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ಪುಟದ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಎನ್ಎ ಮಡಿಕೆಗಳು ಈ ಸರಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಆರ್. ಎನ್. ಎ ಸೂಡೋಕ್ನಾಟ್ಗಳಿಗೆ ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ "ದ್ವಿ-ದ್ವಿತೀಯಕ ರಚನೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರಚನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಆರ್. ಎನ್. ಎ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೇಸ್ಪೇರ್ಗಳನ್ನು ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಚಾಪಗಳಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ವಿ-ದ್ವಿತೀಯಕ ರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು, ಗ್ರಾಫ್ ಗರಿಷ್ಠ ಮೂರು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕುಃ ಪ್ರತಿ ಬೇಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಒಂದು ಚಾಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಾಗವಹಿಸಬಹುದು, ಜೊತೆಗೆ ಬೇಸ್ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರಿಗೆ ಎರಡು ಕೊಂಡಿಗಳಿವೆ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಪ್ರಯೋಜನಗಳೆಂದರೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಗಂಟು ಹಾಕಿದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಆರ್ಎನ್ಎ ಸೂಡೋಕ್ನಾಟ್ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯ ಕ್ರಮವು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೇಸ್ ಪೇಯರಿಂಗ್ಗಾಗಿ ದ್ವಿ-ದ್ವಿತೀಯಕ ರಚನೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಪುಟಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 2-ತೃಪ್ತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಅಥವಾ ವೃತ್ತ ಗ್ರಾಫ್ನ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಬೇಸ್ಪೇರ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಚುಗಳು ಬೇಸ್ಪೇರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ದಾಟುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ, ಇನ್ಪುಟ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಗ್ರಾಫ್ (ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೈಕಲ್ಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬೇಸ್ಪೇರ್ಗಳನ್ನು ಅಂಚುಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್) ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ದ್ವಿ-ದ್ವಿತೀಯಕ ರಚನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ದ್ವಿ-ದ್ವಿತೀಯಕ ರಚನೆಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ಲ್ಯಾನಾರಿಟಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಆರ್ಎನ್ಎ ಸೆಕೆಂಡರಿ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಎನ್ಪಿ-ಗಡಸುತನದ ಪುರಾವೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಸೆಕೆಂಡರಿ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬುಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಮತ್ತು ಆರ್. ಎನ್. ಎ ರಚನೆಯು ದ್ವಿ-ದ್ವಿತೀಯಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತೃತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪುಟಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ), ನಂತರ ಪುಟದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮತ್ತೆ ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ತಲುಪುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪುಸ್ತಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿತು. ಅವರು ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಎರಡು-ಪುಟಗಳ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ತಲುಪುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು (ಅನಲಾಗ್, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗಾಗಿ, ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧ ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಯು. ಪಿ. ವರ್ಗದ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂರು-ಪುಟಗಳ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ತಲುಪುವಿಕೆಗೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಜಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪುಸ್ತಕದ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯು ಈ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಕ್ಸ್ಪ್ಯಾಂಡರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಒಂದು-ಟೇಪ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳಿಂದ ಎರಡು-ಟೇಪ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳ ಯಾವುದೇ ಉಪ-ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್-ಟೈಮ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರದ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಬಹು-ಕಾಗದದ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಡಿನ್ನಿಕೋವ್ ಗಂಟುಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಂಡಿಗಳ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬುಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ಈ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕೊಂಡಿಗಳ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ