Tangent measure
ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ಯಾನ್ಜೆಂಟ್ ಅಳತೆಗಳು (ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಡೇವಿಡ್ ಪ್ರೈಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾರ್ಸ್ಟ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಪ್ರೀಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ n-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Rn ನ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪು ω ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆ μ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು a ಅನ್ನು ω ನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. a, Br (a) ಸುತ್ತಲೂ r ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಣ್ಣ ತೆರೆದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ನಾವು "ಜೂಮ್ ಇನ್" ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು r ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡನ್ನು ಸುಮಾರು a ತ್ರಿಜ್ಯದ 1 ರ ಚೆಂಡನ್ನು 0 ರಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರೊಂದಿಗೆ, r ಚಿಕ್ಕದಾಗುವುದರಿಂದ, ಅಳತೆಯ ಮೇಲಿನ ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಹರಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ μನ ಭಾಗವನ್ನು ದೊಡ್ಡದಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪುಶ್-ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈಗ ಬ್ರಿ (ಎ) ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು. r ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಈ ಕ್ರಮಗಳು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ನಮ್ಮ ಅಳತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಯ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಳತೆಯು ಎರಡನೇ ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ν ಅಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ci> 0 ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯವು ry → 0 ಆಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ದುರ್ಬಲ-ಱ್ಱಂ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ω ನಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ φ ಗೆ, ನಾವು ಟ್ಯಾನ್ (μ, a) ಮೂಲಕ a ನಲ್ಲಿ μ ನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಳತೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಟ್ಯಾನ್ (μ, a) ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಳತೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಳತೆಗಳು a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ μ ಗೆ ಬೆಂಬಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸೌಮ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಗಳ ದುರ್ಬಲ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಟ್ಯಾನ್ (μ, a) ಖಾಲಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ a ನಲ್ಲಿ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಉನ್ನತ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಳತೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನಗಳ ಕ್ರಮಗಳನ್ನೂ ಸಹ ಪ್ರೀಸ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಳತೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಳತೆಯ ಟ್ಯಾನ್ (μ, a) ಅನ್ನು, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕೋನದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು, ನಂತರ. ಕೋನ ಟಾನ್ (μ, a) ಒಂದು ಅಳತೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಳತೆಗಳ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ a ಅನ್ನು μ ನ ಬೆಂಬಲದಲ್ಲಿ ಡಿ-ಕೋನ್ ಅಥವಾ ಡೈಲೇಶನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು, ನಂತರ. ಒಂದು ಅಳತೆಯ ಬೆಂಬಲದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಳತೆಗಳ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಅನುವಾದಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯಶಃ ಪ್ರತಿ aಯಲ್ಲಿ, aಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ aಯಲ್ಲಿ, aಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಳತೆಗಳ ಕೋನ್ ಟಾನ್ (μ, a), ಅನುವಾದದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ x ಮತ್ತು ν ಬೆಂಬಲದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ನಾವು ಆ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಅಳತೆಯ R2 ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ರಮಗಳ ಸಮೂಹವು ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬಾರಿ 1-ಆಯಾಮದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕದಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1995ರಲ್ಲಿ, ಟೋಬಿ ಓ 'ನೀಲ್ Rdಯ ಮೇಲೆ ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಅಂದರೆ, ಸುಮಾರು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ a ω Rd, ಟಾನ್ (μ, a) ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ರೇಡಾನ್ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅಳತೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಮರುಪರಿಶೀಲನೆಯ ನಂತರ-ಪಿ ಮೇಲೆ ಕೆ-ಆಯಾಮದ ಹಾಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಳತೆ ಎಚ್. ಕೆ. ನಂತೆ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ಆರ್. ಎನ್. ನ ಕೆ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ ಪಿ ಅನ್ನು ಕೆ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು θ> 0 ಇದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ μa, r ಎಂಬುದು ಅನುವಾದಿತ ಮತ್ತು ಮರುಬಳಕೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ θ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು a ನಲ್ಲಿ μ ನ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು a ನಲ್ಲಿ μ ನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು Ta (μ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಳತೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧ್ಯಯನವು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕ್ರಮಗಳು (ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ)