Montel's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪೌಲ್ ಮಾಂಟೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬಲವಾದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದು ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಲವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೂಲಭೂತ ಸಾಮಾನ್ಯತೆ ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು, ಒಂದೇ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯತೆ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕುಟುಂಬವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದಿಲ್ಲ. ಪುರಾವೆಗಳು ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಮಾರ್ಟಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ (ಇದು ಗೋಳಾಕಾರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರ. ಥಾಮಸ್ ಜೋನೆಸ್ ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಮತ್ತು ವಿಲಿಯಂ ಫಾಗ್ ಓಸ್ಗುಡ್ ಅವರ ನಂತರ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್-ಓಸ್ಗುಡ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಹೇಳಲಾದ ಕರೋಲರಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬಿಂದುವಿನ ಒಂದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಪೋಸ್ಟ್ ಕಂಪೋಸ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೊಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಿಂದ ಎರಡು ಬಾರಿ ಪಂಕ್ಚರ್ ಮಾಡಿದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಊಹಿಸಬಹುದು. (ಅಂತಹ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ). ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಈ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪಿಕಾರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಹ ಝಾಲ್ಕ್ಮನ್ರ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಬ್ಲೋಚ್ನ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಶೋಧನಾ ತತ್ವವು (ಝಾಲ್ಕ್ಮನ್ರ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿದೆ) ಇಡೀ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ಹೇಳಲಾದ ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯು ಪಿಕಾರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮಾಂಟೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ನಾರ್ಮಾಲಿಟಿ ಟೆಸ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ನೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.