Hadamard space
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾದ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಯಾಟ್ (0) ಸ್ಥಳಗಳೆಂದು ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವನ್ನು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ (ಜೊತೆಗೆ), ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಗವು ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಿಗಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯಿಂದ ಸೇರಿಸಬಹುದು; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಬೃಹತ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯ). ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಕ್ರವಾಗಿರದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗೆ ಮೂಲ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಕಾರ್ಟನ್-ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಅನಲಾಗ್ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ, ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವು ಅದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ರೂಪಾಂತರವು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬಾಗಿದ ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. (ಸಿ. ಎಫ್. ಲೂರಿ.) ಹಾಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್, ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಮರಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಬ್ರೂಹತ್-ಟಿಟ್ಸ್ ಕಟ್ಟಡ),-ಸ್ಪೇಸ್ ವಿತ್ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು, ಅಂದರೆ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಗಿದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ. ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. 1998ರಲ್ಲಿ, ಡಿಮಿಟ್ರಿ ಬುರಾಗೊ ಮತ್ತು ಸರ್ಜ್ ಫೆರ್ಲೆಗರ್ ಅವರು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಬಿಲಿಯರ್ಡ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕ್ಯಾಟ್ (0) ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರುಃ ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಚೆಂಡುಗಳ ಅನಿಲದಲ್ಲಿ, ಘರ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಬಂಧವಿದೆಯೇ? ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂರಚನೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಲಿಯರ್ಡ್ ಕೋಷ್ಟಕದ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬುರಾಗೋ, ಡಿಮಿಟ್ರಿ; ಯೂರಿ ಬುರಾಗೋ, ಮತ್ತು ಸೆರ್ಗೆಯ್ ಇವಾನೋವ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋರ್ಸ್. ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ. (1984) ಜಾಕೋಬ್ ಲೂರಿಃ ನೋಟ್ಸ್ ಆನ್ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸಸ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಎಸ್., ಕಪೊವಿಚ್ ವಿ., ಪೆಟ್ರುನಿನ್ ಎ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳು