Weak Hausdorff space
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದುರ್ಬಲ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳವು ದುರ್ಬಲ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದೆ. ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ, ಇದು ಟಿ 1 ಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ದುರ್ಬಲ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗವು ಟಿ1 ಜಾಗವಾಗಿದೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಅನಾನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಂ. ಸಿ. ಮೆಕ್ಕಾರ್ಡ್ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ, ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ದುರ್ಬಲ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ನೋಡಿ. ಕೆ-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಎ ಎಂಬುದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದೆ. ಕರ್ಣೀಯವು ಕೆ-ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ಗೆ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಬಲವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಳವು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎ ಕೆ-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳವು ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರಬಹುದಾದಂತಹ ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ತೆರೆದಿರದ) ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಕೆ-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗದಿಂದ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗವು ಕೆ-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಜಾಗಕ್ಕೆ, ಕರ್ಣೀಯವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಕೆ-ಮುಚ್ಚಿದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆ-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗವು ಕೆ. ಸಿ. ಆಗಿದೆ. ಎ ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಿರುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಸ್ಪೇಸ್ ಕೆ-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ದುರ್ಬಲ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆ-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. δ-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು A ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಗದ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿರುವ ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ದುರ್ಬಲ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳವು-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳವು T1 ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಳವು ಅದರ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿ ನಕ್ಷೆಯು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಸೃಷ್ಟಿಯಾದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಜಾಗದಿಂದ ತನ್ನೊಳಗೆ ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು