Lipschitz domain
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ (ಅಥವಾ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಡೊಮೇನ್) ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಗಡಿಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ". ಈ ಪದಕ್ಕೆ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ರುಡಾಲ್ಫ್ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಲೆಟ್. ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಇದ್ದರೆ, ಆ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಮೇಲೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್-ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ತೆರೆದ ಚೆಂಡುಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಗಡಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ದುರ್ಬಲವಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು, ಇವು ಬಿಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಬಲ್ಲ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ದುರ್ಬಲ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಬಲವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೂ ಒಂದು ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ದ್ವಿವಿಚ್ಛೇದನದಂತಹ ನಕ್ಷೆ ಇದ್ದರೆ ಡೊಮೇನ್ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ; ಅಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಬಾಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎ (ಬಲವಾಗಿ) ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ದುರ್ಬಲವಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ನಿಜವಲ್ಲ. ಬಲವಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಲು ವಿಫಲವಾದ ದುರ್ಬಲ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಡೊಮೇನ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನೇಕ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ