Fuzzy mathematics
ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸಮೂಹ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸರಳ ಬೈನರಿ "ಹೌದು" ಅಥವಾ "ಇಲ್ಲ" (0 ಅಥವಾ 1) ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ಮೇಲಿನ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಭಾಗಶಃ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು 1965ರಲ್ಲಿ ಲಾಟ್ಫಿ ಅಸ್ಕರ್ ಝದೇಹ್ ಅವರ ಮೂಲ ಕೃತಿಯಾದ ಫಜಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ನಂತರ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಭಾಷಾಶಾಸ್ತ್ರವು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ X ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಉಪಗುಂಪು A ಎಂಬುದು A: X → L ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ L ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯಂತರ [0,1] ಆಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸದಸ್ಯತ್ವ ಕಾರ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸದಸ್ಯತ್ವ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ = {0,1} ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಉಪವಿಭಾಗದ ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯದ (ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಮೂರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದುಃ ಅರವತ್ತು ಮತ್ತು ಎಪ್ಪತ್ತರ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ನೇರವಾದ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ, ಎಂಭತ್ತರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸ್ಫೋಟ, ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ, ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ತೊಂಬತ್ತರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಎಲ್-ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಸದಸ್ಯತ್ವ ಕಾರ್ಯಗಳವರೆಗೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗಳು ಎಕ್ಸ್ ನ ಎರಡು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿರಲಿ. ಎ θ ಬಿ ಮತ್ತು ಯೂನಿಯನ್ ಎ θ ಬಿ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ (ಎ θ ಬಿ) (x) = ಕನಿಷ್ಠ (ಎ (x), ಬಿ (x), (ಎ θ ಬಿ) (x) = ಗರಿಷ್ಠ (ಎ (x), ಬಿ (x)). ಬದಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಮತ್ತು ಟಿ-ಕಾನಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ (ಎ, ಬಿ) ಅನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಅಬ್ ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ನೇರವಾದ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ತತ್ವವು ಮುಚ್ಚುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. X ಮೇಲೆ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು * ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. X ನ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಉಪಗುಂಪು A ಯ ಮುಚ್ಚುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ X ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x, y, A (x * y) ± ನಿಮಿಷ (A (x), A (y)). (G, *) ಒಂದು ಗುಂಪು ಮತ್ತು A ಎಂಬುದು G ಯ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ A ಎಂಬುದು G ಯ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ, G ಯಲ್ಲಿರುವ y, A (x * y−1) ± ನಿಮಿಷ (A (x), A (y−1)) ಆಗಿದ್ದರೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿಯ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ. X ಮೇಲೆ R ಒಂದು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. R ಎಂಬುದು X × X ನ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, X, R (x, z) ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ x, y, z ಗೆ ≤ ನಿಮಿಷ (R (x, y), R (y, z)) ಆಗಿದ್ದರೆ, R ಎಂಬುದು (ಅಸ್ಪಷ್ಟ-) ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1971ರಲ್ಲಿ ಎ. ರೋಸೆನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಅವರು ಫಜಿ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಫಜಿ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಟೋಪೋಲಜಿ, ಅಸ್ಪಷ್ಟ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತಹ ಇತರ ಗಣಿತ ವಿಷಯಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮಲ್ ತರ್ಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿ-ನಾರ್ಮಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜಾಡೆ, ಎಲ್. ಎ. ಫಜಿ ಲಾಜಿಕ್-ಸ್ಕಾಲರ್ಪೀಡಿಯಾ ಹಾಜೆಕ್, ಪಿ. ಫಜಿ ಲಾಜಿಕ್-ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಫಿಲಾಸಫಿಯಲ್ಲಿನ ಲೇಖನ ನವಾರಾ, ಎಂ. ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕಾನಾರ್ಮ್ಸ್-ಸ್ಕಾಲರ್ಪೀಡಿಯಾ ಡುಬೋಯಿಸ್, ಡಿ., ಪ್ರೇಡ್ ಎಚ್. ಪೊಸಿಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ-ಸ್ಕಾಲರ್ಪೀಡಿಯಾ ಸೆಂಟರ್ ಫಾರ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಅನ್ಸರ್ಟೆನಿಟಿ ಫಜಿ ಮ್ಯಾಥ್ ರಿಸರ್ಚ್ನಲ್ಲಿ ಲೇಖನ-ಕ್ರೈಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಸೀಸಿಂಗ್, ಆರ್. ಬುಕ್ ಆನ್ ದಿ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಫಜಿ ಸೆಟ್ಸ್ಃ ದಿ ಫಜಿಫಿಕೇಶನ್ ಆಫ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಹೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾದ ವೆಬ್ ಸೈಟ್. ದಿ ಜೆನೆಸಿಸ್ ಆಫ್ ಫಜಿ ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ಇಟ್ಸ್ ಇನಿಷಿಯಲ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್-ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ಸ್ ಅಪ್ ಟು ದಿ 1970ಸ್ (ಸ್ಟಡೀಸ್ ಇನ್ ಫಜ್ನೆಸ್ ಅಂಡ್ ಸಾಫ್ಟ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್, ಸಂಪುಟ. 216) ಬರ್ಲಿನ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, [ಮತ್ತು ಇತರರು. ]: ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ 2007. ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ತರ್ಕ