MUSCL scheme
ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಎಂಯುಎಸ್ಸಿಎಲ್ ಯೋಜನೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಪರಿಹಾರಗಳು ಆಘಾತಗಳು, ವಿರಾಮಗಳು ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಇಳಿಜಾರುಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ. ಎಂಯುಎಸ್ಸಿಎಲ್ ಎಂದರೆ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಅಪ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್-ಸೆಂಟರ್ಡ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಫಾರ್ ಕನ್ಸರ್ವೇಷನ್ ಲಾಸ್ (ವ್ಯಾನ್ ಲೀರ್, 1979), ಮತ್ತು ಈ ಪದವನ್ನು ಬ್ರಾಮ್ ವ್ಯಾನ್ ಲೀರ್ (ವ್ಯಾನ್ ಲೀರ್, 1979) ಅವರು ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಅವರು ಮೊದಲ ಹೈ-ಆರ್ಡರ್, ಟೋಟಲ್ ವೇರಿಯೇಷನ್ ಡಿಮಿನಿಶಿಂಗ್ (ಟಿವಿಡಿ) ಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಸೆಕೆಂಡ್ ಆರ್ಡರ್ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪಡೆದರು. ಹಿಂದಿನ ಸಮಯ-ಹಂತದಿಂದ ಪಡೆದ ಜೀವಕೋಶ-ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪುನಾರಚಿತ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಗೊಡುನೋವ್ನ ಯೋಜನೆಯ ತುಣುಕಿನ ಸ್ಥಿರ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಕೋಶಕ್ಕೆ, ಇಳಿಜಾರು ಸೀಮಿತ, ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜೀವಕೋಶದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ (ಅಂಚುಗಳು) ಹರಿವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ರೀಮನ್ ಪರಿಹಾರಕಕ್ಕೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಅದರ ನಂತರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ರೀಮನ್-ಪರಿಹಾರ-ಮುಕ್ತ ಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಅವು ಮೂಲತಃ ರುಸಾನೊವ್ ತರಹದ ಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಲೀನಿಯರ್ ರಿಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಳವಾದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್, 1ಡಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಂಯುಎಸ್ಸಿಎಲ್ ಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹರಡುವ ತರಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫ್ಲಕ್ಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಗೊಡುನೋವ್ನ ಮೂಲ ಯೋಜನೆಯು ಪ್ರತಿ ಜೀವಕೋಶಕ್ಕೆ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಜೀವಕೋಶದ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೇಲ್ಮುಖ ವಿವೇಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಈ ಮೂಲ ಯೋಜನೆಯು ಆಘಾತಗಳು ಅಥವಾ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಸ್ಥಗಿತಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಮಸುಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಪರಿಣಾಮದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಲಕ್ಕೆ ಹರಡುವ ಹಂತದ ತರಂಗದೊಂದಿಗೆ 1ಡಿ ಅಡ್ವೆಕ್ಟಿವ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. 200 ಕೋಶಗಳ ಜಾಲರಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರಾಂಜ್-ಕುಟ್ಟಾ ಟೈಮ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ (ಆರ್. ಕೆ. 4) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಸ್ಥಗಿತಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸಲು, ಗೊಡುನೋವ್ನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಕೋಶದ ತುಣುಕಿನ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿಖರವಾದ ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಯೋಜನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜೀವಕೋಶದ ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿನ ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರೆ-ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಜೀವಕೋಶದ ಅಂಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ತುಣುಕಿನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಯೋಜನೆಯು ನಯವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಇದು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ (ಟಿವಿಡಿ) ಯೋಜನೆಯಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸ್ಥಗಿತಗಳು ಅಥವಾ ಆಘಾತಗಳು ಇರುವ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ನಕಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಣಾಮದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು 1ಡಿ ಅಡ್ವೆಕ್ಟಿವ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಹಂತದ ತರಂಗವು ಬಲಕ್ಕೆ ಹರಡುತ್ತದೆ. ಗೋಡುನೋವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದಾಗಿ ಈ ನಿಖರತೆಯ ನಷ್ಟವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. 200 ಕೋಶಗಳ ಜಾಲರಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಸಮಯ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಆರ್. ಕೆ. 4 ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಎಮ್. ಯು. ಎಸ್. ಸಿ. ಎಲ್. ಆಧಾರಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಯೋಜನೆಗಳು ಇಳಿಜಾರು ಸೀಮಿತ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬಹಿರ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ಕೋಶಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ತುಣುಕು ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್, ಟಿವಿಡಿ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಯೋಜನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳು ನಿರಂತರ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂದಾಜುಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಯೋಜನಾ ಅವಲಂಬಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ (ಸೀಮಿತ ಬಹಿರ್ಮುಖವಾದ ಜೀವಕೋಶದ ಅಂಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ), ಅಂದರೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಕೆಳಮುಖದ ಇಳಿಜಾರುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಪರಿಹಾರವು ಟಿವಿಡಿ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ತುಣುಕಿನ ಅಂದಾಜಿನ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತಗಳು ಅಥವಾ ಆಘಾತಗಳ ಸುತ್ತ ಸಂಭವಿಸುವ ನಕಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ-ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಸೀಮಿತ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ. ಮಿತಿಯು ಯಾವಾಗ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಟಿವಿಡಿ ವಿವೇಚನೆಯ ನಿಖರತೆಯು ಸ್ಥಳೀಯ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಡೊಮೇನ್ನ ನಯವಾದ ಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ನೇರವಾಗಿ ಮುಂದಿದೆ. ಕುರ್ಗನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಯೋಜನೆಯಂತಹ ಸೂಕ್ತವಾದ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ), ಪರಿಹಾರವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಕುರ್ಗಾನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಕೇಂದ್ರ ಯೋಜನೆಯು ಕುರ್ಗಾನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ (ಕೆಟಿ) ಕೇಂದ್ರ ಯೋಜನೆಗೆ ಪೂರ್ವಸೂಚಕವಾಗಿದೆ, (ಕುರ್ಗಾನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್, 2000), ನೆಸ್ಸಿಯಾಹು ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ (ಎನ್ಟಿ) ಒಂದು ದಿಗ್ಭ್ರಮೆಗೊಳಿಸುವ ಕೇಂದ್ರ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, (ನೆಸ್ಸಿಯಾಹು ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್, 1990). ಇದು ಎಂ. ಯು. ಎಸ್. ಸಿ. ಎಲ್. ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ರೀಮನ್-ಪರಿಹಾರ-ಮುಕ್ತ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ, ಹೆಚ್ಚಿನ-ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ನೇರವಾದ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾದ ರುಸಾನೊವ್ ಫ್ಲಕ್ಸ್ (ಸ್ಥಳೀಯ ಲ್ಯಾಕ್ಸ್-ಫ್ರೈಡ್ರಿಚ್ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಉನ್ನತ-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಯ ವಿವರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಿದಾಗ ರೀಮನ್ ಪ್ರಕಾರದ ಪರಿಹಾರಕಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಕೆಟಿ ಯೋಜನೆಯು ಎನ್ಟಿ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಎನ್ಟಿ ಯೋಜನೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಅಥವಾ ಅರೆ-ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಜಾರಿಗೆ ತರಬಹುದು ಎಂಬ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಯೋಜನವೂ ಇದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅರೆ-ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸ್ಥಳೀಯ ಪ್ರಸರಣದ ವೇಗವು, ಈ ಸಿ. ಎಫ್. ಎಲ್. ಸಂಬಂಧಿತ ವೇಗಗಳನ್ನು ಮೀರಿದ ವರ್ಣಪಟಲದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಓವರ್ ಕೋಶಗಳ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಾಹಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಲಕ್ಸ್-ಫ್ರೈಡ್ರಿಚ್ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಅಂತಹ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಲಕ್ಸ್, 1954 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ರುಸಾನೋವ್, 1961 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ). ಹೆಚ್ಚಿನ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು 1ಡಿ ಅಡ್ವೆಕ್ಟಿವ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಹಂತದ ತರಂಗವು ಬಲಕ್ಕೆ ಹರಡುತ್ತದೆ. ಕುರ್ಗನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಪರ್ಬೀ ಲಿಮಿಟರಿನೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಿಕೊಂಡು 200 ಕೋಶಗಳ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಸಮಯ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಆರ್. ಕೆ.-4 ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಈ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ ವಿಂಡ್ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಈ ಯೋಜನೆಯು ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ-ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಈ ಯೋಜನೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕಾಳಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂಪರ್ಬೆ ಮಿತಿಯು ಕೆಲವು ನಯವಾದ ಅಲೆಗಳ ಅವಾಸ್ತವಿಕ ತೀಕ್ಷ್ಣತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ಯೋಜನೆಯು ಇದ್ದರೆ, ಪ್ರಸರಣ ಪದಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ 1ಡಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕುರ್ಗಾನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಗಳು (ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವೃತ್ತಿಗಳು) ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ (ಕುರ್ಗಾನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್, 2000), ಹಲವಾರು 1ಡಿ ಮತ್ತು 2ಡಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಣಬಹುದು. ನೆಸ್ಸಿಯಾಹು ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ (1990) ಬರೆದ ಹಿಂದಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಯೂ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಗಮನಿಸಿಃ ಈ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಕುರ್ಗನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಅವರು ರೇಖೀಯ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ನಂತರದ ಲೇಖನವು (ಕುರ್ಗನೋವ್ ಮತ್ತು ಲೆವಿ, 2000) ಇದು ಥರ್ಡ್ ಆರ್ಡರ್ ಯೋಜನೆಗೆ ಆಧಾರವಾಗಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು (3ನೇ ಕ್ರಮ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು 1ಡಿ ಅಡ್ವೆಕ್ಟಿವ್ ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಯೋಜನೆಯ ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ರೇಖೀಯ-ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ, ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂತರ್ವೇಶನದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿಖರವಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಯೋಜನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕೆರ್ಮಾನಿಯ (ಕೆರ್ಮಾನಿ, ಮತ್ತು ಇತರರು, 2003) ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೇಲ್ಮುಖ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಯೋಜನೆ ಅವಲಂಬಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ (ಸೀಮಿತ ಪುನರ್ರಚಿತ ಜೀವಕೋಶದ ಅಂಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ). ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಆಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣಗೊಂಡ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ = 1/3 ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಲಿಮಿಟರ್ ಕಾರ್ಯವು ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವ ರೇಖೀಯ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಬದಲಿಗೆ ಕುರ್ಗನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಕೆಟಿ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು 3ನೇ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಈ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸುಗಮ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಯೋಜನೆಗಳಿಗಿಂತ ಕೆಲವು ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಘಾತಗಳಿಗೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅಪವ್ಯಯಕಾರಿಯಾಗಿದೆ-ಕೆಟಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಮೇಲಿನ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಬೀ ಲಿಮಿಟರಿನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ. ಈ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ಕೆಟಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 200 ಕೋಶಗಳ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲಾಯಿತು ಆದರೆ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣದೊಂದಿಗೆ. ಸಮಯದ ಏಕೀಕರಣವು ಆರ್. ಕೆ.-4 ಆಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು ನಕಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ವ್ಯಾನ್ ಅಲ್ಬಡಾ ಲಿಮಿಟರ್ನ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಃ 1ಡಿ ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆಯಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ದೇಹದ ಬಲವಿಲ್ಲದ 1ಡಿ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂರಕ್ಷಣಾ ವಾಹಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ, (ಸಾಂದ್ರತೆ) (ದ್ರವದ ವೇಗ), (ಒತ್ತಡ) ಮತ್ತು (ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿ). ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮುಚ್ಚಲು ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಮ್ಮ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದದ್ದು ದ್ರವದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಾಖಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ 1ಡಿ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿತಿ ಚಲಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬಹಿರ್ವೇಷ್ಟಿತ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈಗ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಂದ್ರತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅದೇ ರೀತಿ, ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಗಾಗಿ. ವೇಗವನ್ನು ಆವೇಗದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಬಹಿರ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಚಿನ ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಎಡ್ಜ್ ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳು ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈಗ ಅರೆ-ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಪರಿಹಾರವು ಈಗ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಮೇಲಿನವುಗಳು ಎಂ. ಯು. ಎಸ್. ಸಿ. ಎಲ್. ಯೋಜನೆಯ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಯೋಜನೆಯನ್ನು (ಮೇಲಿನ ಕೆಟಿ ಯೋಜನೆಯಂತಹ) ಸಹ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಮೇಲಿನ ಹೈ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಕುರ್ಗನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಸ್ಕೀಮ್ (ಕೆಟಿ) ಅನ್ನು ಲೀನಿಯರ್ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಮತ್ತು ಓಸ್ಪ್ರೆ ಲಿಮಿಟರಿನೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜಿಎ ಸೋಡ್ನ ಶಾಕ್ ಟ್ಯೂಬ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ (ಸೋಡ್, 1978) 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಂ. ಯು. ಎಸ್. ಸಿ. ಎಲ್ ವಿಧಾನದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಕೋಡ್ (ವೆಸೆಲಿಂಗ್, 2001) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 200 ಕೋಶಗಳ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ಕೆಟಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ಓಸ್ಪ್ರೆ ಲಿಮಿಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಅಳವಡಿಸಲಾಯಿತು. ಸಮಯದ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಸ್ಎಚ್ಕೆ (ಆರ್ಕೆ-4 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆ) ಇಂಟೆಗ್ರೇಟರ್ ನಿರ್ವಹಿಸಿತು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (ಎಸ್. ಐ. ಘಟಕಗಳು) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತುಃ ಒತ್ತಡ ಎಡ = 100000 [ಪಾ]; ಒತ್ತಡ ಬಲ = 10000 [ಪಾ]; ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಡ = 1 [ಕೆಜಿ/ಮೀ3]; ಸಾಂದ್ರತೆ ಬಲ = 0.125 [ಕೆಜಿ/ಮೀ3]; ಉದ್ದ = 20 [ಮೀ]; ವೇಗ ಎಡ = 0 [ಮೀ/ಸೆ]; ವೇಗ ಬಲ = 0 [ಮೀ/ಸೆ]; ಅವಧಿ = 0.01 [ಸೆ]; ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ = 0.001069 (αt/αx). ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಮೇಲಿನ ಹೈ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಕುರ್ಗನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಸ್ಕೀಮ್ (ಕೆಟಿ) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜಿ ಎ ಸೋಡ್ನ ಶಾಕ್ ಟ್ಯೂಬ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ (ಸೋಡ್, 1978) 3 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ವ್ಯಾನ್ ಅಲ್ಬಡಾ ಲಿಮಿಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಂ. ಯು. ಎಸ್. ಸಿ. ಎಲ್ ವಿಧಾನದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಕೋಡ್ (ವೆಸೆಲಿಂಗ್, 2001) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 200 ಕೋಶಗಳ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ಕೆಟಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾನ್ ಅಲ್ಬಡಾ ಲಿಮಿಟರಿನೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಕಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ವ್ಯಾನ್ ಅಲ್ಬಡಾ ಲಿಮಿಟರ್ನ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. 4ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಸ್ಎಚ್ಕೆ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ನಿಂದ ಸಮಯದ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಅದೇ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವ ಹಲವಾರು ಇತರ ಹೈ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ, ಓಶರ್ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ-ಸ್ಟೆಫೆನ್ ಎಯುಎಸ್ಎಂ (ಅಡ್ವೆಕ್ಷನ್ ಅಪ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಸ್ಪ್ಲಿಟಿಂಗ್ ವಿಧಾನ) ಯೋಜನೆ. ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಕುರ್ಗನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಕೇಂದ್ರ ಯೋಜನೆಯ ಮುಕ್ತ ಮೂಲ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಫೈನೈಟ್ ವಾಲ್ಯೂಮ್ ಮೆಥಡ್ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಲಿಮಿಟರ್ ಗೋಡುನೋವ್ ಅವರ ಹೈ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಮೆಥಡ್ ಆಫ್ ಲೈನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಸೆರ್ಗೆಯ್ ಕೆ. ಗೋಡುನೋವ್ ಸೋಡ್ ಶಾಕ್ ಟ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕೆರ್ಮಾನಿ, ಎಂ. ಜೆ., ಗರ್ಬರ್, ಎ. ಜಿ., ಮತ್ತು ಸ್ಟಾಕಿ, ಜೆ. ಎಂ. (2003), ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕಲಿ ಬೇಸ್ಡ್ ಮೋಯಿಸ್ಚರ್ ಪ್ರಿಡಿಕ್ಷನ್ ಯೂಸಿಂಗ್ ರೋಸ್ ಸ್ಕೀಮ್, ದಿ 4 ನೇ ಕಾನ್ಫರೆನ್ಸ್ ಆಫ್ ಇರಾನಿಯನ್ ಏರೋಸ್ಪೇಸ್ ಸೊಸೈಟಿ, ಅಮೀರ್ ಕಬೀರ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ, ಟೆಹ್ರಾನ್, ಇರಾನ್, ಜನವರಿ 27-29. ಕುರ್ಗಾನೋವ್, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಮತ್ತು ಈಟನ್ ಟಾಡ್ಮೋರ್ (2000), ನ್ಯೂ ಹೈ-ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಸ್ಕೀಮ್ಸ್ ಫಾರ್ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಕನ್ಸರ್ವೇಶನ್ ಲಾಸ್ ಅಂಡ್ ಕನ್ವೆಕ್ಷನ್-ಡಿಫ್ಯೂಷನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಜೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟ್. ಫಿಸಿಕ್ಸ್., 160,241-282. ಕುರ್ಗಾನೋವ್, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಮತ್ತು ಡೊರಾನ್ ಲೆವಿ (2000), ಎ ಥರ್ಡ್-ಆರ್ಡರ್ ಸೆಮಿಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಫಾರ್ ಕನ್ಸರ್ವೇಷನ್ ಲಾಸ್ ಅಂಡ್ ಕನ್ವೆಕ್ಷನ್-ಡಿಫ್ಯೂಷನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಿಯಾಮ್ ಜೆ. ಸೈನ್ಸ್. ಗಣನೆ., 22,1461-1488. ಲಕ್ಸ್, ಪಿ. ಡಿ. (1954). ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗಣನೆ, ಕಾಮ್. ಶುದ್ಧ ಆಪಲ್. ಗಣಿತ., VII, pp 159-193. ಲೆವೆಕ್, ಆರ್. ಜೆ. (2002). ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣ ವಿಧಾನಗಳು, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ವ್ಯಾನ್ ಲೀರ್, ಬಿ. (1979), ಟುವರ್ಡ್ಸ್ ದಿ ಅಲ್ಟಿಮೇಟ್ ಕನ್ಸರ್ವೇಟಿವ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್, ವಿ. ಎ ಸೆಕೆಂಡ್ ಆರ್ಡರ್ ಸೀಕ್ವೆಲ್ ಟು ಗೊಡುನೋವ್ಸ್ ಮೆಥಡ್, ಜೆ. ಕಾಮ್. ಭೌತಿಕ., 32,101-136. ನೆಸ್ಸಿಯಾಹು, ಎಚ್. ಮತ್ತು ಇ. ಟಾಡ್ಮೋರ್ (1990), ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮಗಳಿಗಾಗಿ ಅಲ್ಲದ-ಒಸ್ಸಿಲೇಟರಿ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಂಗ್, ಜೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟ್. ಫಿಸಿಕ್ಸ್., 87,408-463. .. ರುಸಾನೊವ್, ವಿ. ವಿ. (1961). ಅಡೆತಡೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸ್ಟೀಡಿ ಅಲ್ಲದ ಆಘಾತ ತರಂಗಗಳ ಛೇದನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಜೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟ್. ಗಣಿತ. ಫಿಸಿಕಲ್. ಯುಎಸ್ಎಸ್ಆರ್, 1, pp 267-279. ಸೋಡ್, ಜಿ. ಎ. (1978), ಎ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಸ್ಟಡಿ ಆಫ್ ಎ ಕನ್ವರ್ಜಿಂಗ್ ಸಿಲಿಂಡ್ರಿಕಲ್ ಶಾಕ್. ಜೆ. ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್, 83,785-794. ಟೊರೊ, ಇ. ಎಫ್. (1999), ರೀಮನ್ ಸಾಲ್ವರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಫಾರ್ ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್. ವೆಸೆಲಿಂಗ್, ಪೀಟರ್ (2001), ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್. ಹಿರ್ಷ್, ಸಿ. (1990), ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಆಫ್ ಇಂಟರ್ನಲ್ ಅಂಡ್ ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಫ್ಲೋಸ್, ಸಂಪುಟ 2, ವಿಲೇ. ಲ್ಯಾನಿ, ಕಲ್ಬರ್ಟ್ ಬಿ. (1998), ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಗ್ಯಾಸ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ಟನ್ನೆಹಿಲ್, ಜಾನ್ ಸಿ., ಮತ್ತು ಇತರರು. (1997), ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಹೀಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫರ್, 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಟೇಲರ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜಿ. ಇ. ಇ. ಎಸ್.-ಕುರ್ಗಾನೋವ್ ಮತ್ತು ಟಾಡ್ಮೋರ್ ಕೇಂದ್ರ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಕ್ತ ಮೂಲ ಸಂಕೇತ, ಇದನ್ನು ಫೋರ್ಟ್ರಾನ್ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ (ಲೇಖಕಃ ಅರ್ನೋ ಮೇಯರ್ಹೋಫರ್) ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್