Conjugate points
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಂಯುಗ್ಮ ಬಿಂದುಗಳು ಅಥವಾ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುಗಳು, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ 1-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಬಹುತೇಕವಾಗಿ ಸೇರಬಹುದಾದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಗೋಳದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರ-ಧ್ರುವ ಮತ್ತು ದಕ್ಷಿಣ-ಧ್ರುವಗಳು ಯಾವುದೇ ಮೆರಿಡಿಯನ್ನಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನವೆಂದರೆ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಯಾವಾಗ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ತಿಳಿಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ, ಉತ್ತರ-ಧ್ರುವದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಯಾವುದೇ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯನ್ನು ದಕ್ಷಿಣ-ಧ್ರುವವನ್ನು ತಲುಪಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಭೌಗೋಳಿಕ ವಿಭಾಗವು (ಅನನ್ಯವಾಗಿ) ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಮಾಣಿತ 2-ಗೋಳದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಆಂಟಿಪೋಡಲ್ ಬಿಂದುಗಳು ಸಂಯೋಗ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಇದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. p ಮತ್ತು qಗಳು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇದು p ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ p ಮತ್ತು q ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಜಾಕೋಬಿ ಕ್ಷೇತ್ರವಿದ್ದರೆ p ಮತ್ತು q ಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಜಾಕೋಬಿ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೂಪಾಂತರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ (ಜಾಕೋಬಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, p ಮತ್ತು q ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಗಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, p ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಬಹುತೇಕ q ನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, s ನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾದ ಜಾಕೋಬಿ ಕ್ಷೇತ್ರ J ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವು, ಅಂದರೆ, q ಬಿಂದುವು s ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ, ಆಂಟಿಪೋಡಲ್ ಬಿಂದುಗಳು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ. ನೈಜ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಗ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯಿರುವ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜಿತ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ಕಟ್ ಲೋಕಸ್ ಜಾಕೋಬಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ