Busemann function
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ದೊಡ್ಡ-ಪ್ರಮಾಣದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ (ಸರಳವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ). ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಹರ್ಬರ್ಟ್ ಬುಸೆಮನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ; ಅವರು ತಮ್ಮ 1955 ರ ಪುಸ್ತಕ "ದಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಫ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವು ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಲ್ಲೆಡೆ ದೂರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಒಂದು ಕಿರಣವು "ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೇ" (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿದ ಸೆಟ್) ನಿಂದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಗೆ ಒಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಿರಣ γ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, t ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ, ದೂರವು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಿರಣ γ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದ ಮೇಲೆ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ, ಅದು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಇರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೇಲಿನ ಅಂದಾಜು ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕ 1 ಹೊಂದಿರುವ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ದಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಂದ್ರ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ t ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ, ಮತ್ತು, ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪದವು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲದಿಂದ, ಕಡೆಗೆ ರೇಡಿಯಲ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಗಣನೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು; ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಮೂಲಕ 1-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಉಪಗುಂಪು ಇರುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಮೊಬಿಯಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನಿಂದ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಬುಸೆಮನ್ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾನೆ. ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸೇರಿಕೊಂಡರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಇದರರ್ಥ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲು ಕಾರ್ಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಅನುವಾದಗಳೂ ಸಹ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ನ ಮೊದಲ ಹೋಲಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಾರ್ಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ t ಅನ್ನು φ ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವಂತೆ, ಇದು ಬದ್ಧ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು (ಅದರ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ) ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೂ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗವು ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಮುಂದೆ ಅದು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿರಲಿ. ಈ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನ ಗಡಿಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂತಹದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಯು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆಃ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು; ಇದಲ್ಲದೆ, ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಹೋಲಿಕೆ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಕೋನವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಮತ್ತು, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಿಂದುವು ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ, ಬಿಂದುವು ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಳಗೆ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾದ ಅನನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ. ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು, ಅಂದರೆ. .. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಆನ್, ಇವುಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಂತವು ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಮತ್ತು ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ, ಮತ್ತು, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಆನ್. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿವೆ (ಗೆ). ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು. ಅನನ್ಯತೆಯಿಂದ ಅದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ. ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಗಳು. ಮೇಲಿನ ವಾದವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ, ನಂತರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮತ್ತು, ಮತ್ತು, ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಕೆಲವು ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖವು ಅದು ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದೇ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವಾದವು ಅದೇ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಮಿನಿಮಾವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು) ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಉಪವಿಭಾಗದ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗವೂ ಸಹ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಅರೆ-ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ಏಕಮಾನದ ಚೆಂಡು ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸರಿಯಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವಲ್ಲ. ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಿರಾಂಕ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಡಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಪ್ರತಿ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂರನೆಯ ಷರತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಜಾಯಿನಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿ. ಅನನ್ಯತೆಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಅದು ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಈ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಹೇಳಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನನ್ಯತೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಭೌಗೋಳಿಕ ಕಿರಣವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ಕಿರಣವಿದ್ದರೆ. ಮೊದಲ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಕು. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,. ಹೀಗಾಗಿ. ಎರಡನೆಯ ಸಮರ್ಥನೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ, ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬೇಕು. ಅದು ನಿರಂತರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ; ನಂತರ ಬುಸೆಮನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೂ ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳ ಇರುವುದರಿಂದ ಒಳಗೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಹೊರಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅತಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ-ಅಂದರೆ ಅದರ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ-ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಷನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವು ಇಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಲಿ. ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವು ಇಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಲಿ. ಬುಸೆಮನ್ ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ,,, ಹದಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ರೆಶೆಟ್ನ್ಯಾಕ್ನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್,,, ಇದು ಹೀಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಧಾರಕದ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ. ಈಗ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವು ಇಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಲಿ. ನಂತರ ಮತ್ತು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮಿತಿಯಿಂದ,. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸಾಗಿಸಲು ಹರಿವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸೆಟ್ ಮಾಡಿ. ನಂತರ, ಎಲ್ಲಿ. ಆದರೆ ನಂತರ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಅಂತಹದ್ದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಆಮೇಲೆ, ಹೀಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒಂದೇ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಿರತೆಯವರೆಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಎರಡು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳಿವೆಃ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಗಳ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಇಫ್ ಮತ್ತು ಓನ್ಲಿ ಇಫ್ ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಒಂದು ವಾದವನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಅದರ ಮೇಲೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ. ನಂತರ, ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ. ಹೀಗಾಗಿ. ಈಗ ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ. ಹೀಗಾಗಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದರಿಂದ, ಅದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆಃ ಥಿಯೋರೆಮ್. ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಇದು ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಸ್ಥಿರವಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರಂತರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಕಿರಣವು ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹದಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದ ಬೋರ್ಡಿಫಿಕೇಷನ್ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹದಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದ ಒಕ್ಕೂಟವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಾರ್ಡಿಫಿಕೇಷನ್ ಆಫ್ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುಗಳು ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರೊಮೊವ್ನ ಬಾರ್ಡಿಫಿಕೇಷನ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವು ಆನ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ಅವು ಕೆಲವರಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ. ಸೀಮೆಯುಳ್ಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾದ ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ಗಳಿಂದ ಜಾಗವನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜೈಸ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಸೆಮಿನೋರ್ಮ್ಗಳು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಇದು ನಿರಂತರ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಜಾಗವನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಳಗಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅಳೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ, ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಇದಲ್ಲದೆ ಬೇಸ್ಪಾಯಿಂಟ್ನ ವಿವಿಧ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಗಡಿಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ ಮಲಗುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಶೂನ್ಯ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ ಅದನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಬೇಸ್ಪಾಯಿಂಟ್ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಅದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು. ಆದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಳಗೆ,. ಆದ್ದರಿಂದ ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಇನ್ಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಯಾವಾಗ, ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಗಳ "ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಮಿತಿಗಳು" ಎಂದು ಗ್ರೊಮೊವ್ನ ಆದರ್ಶ ಗಡಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಳಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಮೊದಲು ಅದು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆನ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ,. ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, 0 ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಲೆಟ್, ಮತ್ತು. ನಂತರ ದೊಡ್ಡದರೊಂದಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನವು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭೌಗೋಳಿಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೊದಲ ಹೋಲಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದವು 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಮೇಲಿನಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಚೆಂಡಿಗಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಅಸಮಾನತೆಯ ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಬುಸೆಮನ್ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯು ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನ ಗಡಿಯನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅಂಕಗಳಿವೆ. ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ಈ ಷರತ್ತು ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ವೇಳೆ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವು ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ, ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಂಕಗಳಿವೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ನಂತರದ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ಈ ಬಿಂದುಗಳು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಅಂತರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿತಿಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಂಶಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಈಗ ಅದು ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗುತ್ತವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆದರೆ ಅನನ್ಯತೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಲವು ತೋರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಲವು ತೋರಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ γ (t) ಇದೆ. ಇದು ಕತ್ತರಿಸುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಹಿಂದಿನ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು. ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟನ್-ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಕಳುಹಿಸಲಾಗುವ ನಕ್ಷೆಯು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ ಮೂಲಕ ಅಳೆಯಲಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಾಗೆ ಆಗಲಿ. ನಂತರ ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಇದು ಹೊರಗಿನ ಪದಗಳಿಗೆ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಧ್ಯದ ಪದವು ಹೇಳಿಕೊಂಡಂತೆ ಅದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಪದಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮರ್ಥನೆಯು ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನ ಮೊದಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೇರವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು, ಎರಡೂ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು. ನಂತರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಬಾಲ್ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಆಗಲಿ. ನಂತರ ಇಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗವು 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದೇ ವಿಧಾನವು ಇತರ ಪದಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯು ಹರಿವಿನ ಹರಿವಿನ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಇಳಿಜಾರಿನ ಹರಿವು. ಥಿಯೋರೆಮ್. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಇದು ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಸ್ಥಿರಾಂಕ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅಂತಹ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಇದು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. (1) ಎಂದರೆ (2) ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವಾದಗಳು (2) ಎಂದರೆ (3) ಎಂದು ಉತ್ಪರಿವರ್ತನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ (3) ಎಂದರೆ (1) ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಉಳಿದಿದೆ. ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಹರಿವು ಆಗಿರಲಿ. ಇದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಾಗಾಗುತ್ತದೆ. ಬುಸೆಮನ್ ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ. (1) ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು. ಅದರೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೂ ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳ ಇರುವುದರಿಂದ ಒಳಗೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುವಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಹೊರಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ-ಅದರ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ-ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ನಿಂದ ಹಿಡಿದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಹರಿವು ಮತ್ತು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದರೆ ಹರಿವಿನ ರೇಖೆಗಳು ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಆಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲಿ ಮಟ್ಟದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು, ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ರೆಶೆಟ್ನ್ಯಾಕ್ನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆಃ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸಾಗಿಸಲು ಹರಿವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಾಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸೆಟ್ ಮಾಡಿ. ನಂತರ, ಎಲ್ಲಿ. ಆದರೆ ನಂತರ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ. ಎರಡು ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವಾದವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹರಿವಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಗಳು ನಂತರದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಯಾವುದೇ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ 1 ರೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಈ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು. ಸರಿಯಾದ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದೆ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಿಯಾದವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ) ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ಗ್ರೊಮೊವ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ-ಸರಿಯಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ "ಆದರ್ಶ ಗಡಿ" ಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದರ್ಶ ಗಡಿಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಆದರ್ಶ ಗಡಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸ್ಥಳದ ಗಡಿರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಸರಿಯಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರೊಮೊವ್ನ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವು ಇದರ ಮೇಲೆ ಇರಲಿ, ಉದಾ. ಅವು ಕೆಲವರಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾದ ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ಗಳಿಂದ ಜಾಗವನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜೈಸ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಜಾಗವನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಳಗಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಳೆಯಬಹುದಾದ) ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಇದಲ್ಲದೆ ಬೇಸ್ಪಾಯಿಂಟ್ನ ವಿವಿಧ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಕೋಚನಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆರ್ಝೆಲಾ-ಅಸ್ಕೋಲಿ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಚಿತ್ರವು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಒಳಕ್ಕೆ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪದಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಹೊರಗೆ ಇರಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಂತಿರಬೇಕು. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ ಮಲಗುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಶೂನ್ಯ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ ಅದನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಬೇಸ್ಪಾಯಿಂಟ್ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಅದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು. ಆದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಳಗೆ,. ಆದ್ದರಿಂದ ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಇನ್ಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಯಾವಾಗ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್), ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರೋಮೋವ್ನ ಆದರ್ಶ ಗಡಿಯನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ "ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಮಿತಿಗಳು" ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಂದು ಮೂಲ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವಾಗ, ಆರ್ಕ್ಲೆಂಥ್ನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಬುಸೆಮನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್-ಗೋಳದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್, ಕ್ಯಾಟ್ (-1) ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಸಿಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಮೋರ್ಸ್-ಮೋಸ್ಟೋ ಲೆಮ್ಮಾ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್, ಕ್ಯಾಟ್ (-1) ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಂತಹ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರಚನೆಯಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಗಳಿಗೆ ಸಾಗಿಸುವ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್-ಮೋರ್ಸ್ನಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪುಗಳ ಬಿಗಿತದ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಮೊಸ್ಟೋವ್ ಅವರು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಗಿದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಇದರ ಮೂಲ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಭೌಗೋಳಿಕ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಮೋರ್ಸ್-ಮೋಸ್ಟೋ ಲೆಮ್ಮಾ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಸಿಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಜಾತವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತುಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮಾರ್ಸ್ಟನ್ ಮೋರ್ಸ್ (1924) ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮೋರ್ಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಸಿಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗವು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಅಥವಾ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಮೋರ್ಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆಯು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಬಲವಾದ "ಸೂಡೊ-ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್" ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಜಾತವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದುಃ ಇದನ್ನು ನಿರಂತರ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದೇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಸೀಮಿತವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆಃ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಉದ್ದದ ಸಮಾನ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇದು ತುಂಡು ತುಂಡಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ. ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇವುಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಈ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ε ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದು-ನೆರೆಯ ಹೊರಗಿರುವ ತುಂಡುಬಣ್ಣದ ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಭೌಗೋಳಿಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆಃ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೇಲೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಊಹೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದೆ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಕೇವಲ ಅವಲಂಬಿಸಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ-ನೆರೆಹೊರೆಯು ಒಂದು-ನೆರೆಹೊರೆಯೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಉಪವಿಭಾಗವು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಎಡಗೈಯು ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಇದರ ಉಪಗುಂಪು-ನೆರೆಯವರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಹೊರಗೆ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಎರಡರಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ. ನಂತರ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೇವಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದೆ, ಅದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗವು ಒಂದು-ನೆರೆಹೊರೆಯೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ದೂರದಲ್ಲಿ ಸಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಚಿತ್ರವು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ನಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರಬೇಕು. ಆದರೆ ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರದಲ್ಲಿದೆ. ಮೋರ್ಸ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಕ್ಯಾಟ್ (-1) ಸ್ಥಳಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೋರ್ಸ್-ಮಾಸ್ಟೋ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆಯ ನೇರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೂ ಇದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಾಗಿ ಗ್ರೊಮೊವ್ನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ; ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪುರಾವೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಇದು ಕ್ಯಾಟ್ (-1) ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪರಿವರ್ತನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ವಿದ್ಯಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಗಳು ಭೌಗೋಳಿಕ ವಿಭಾಗದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಂತರದಲ್ಲಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಕು. ಆಗ ಭಾಷಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ, (ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗ) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ನ ಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಂತರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಈಗ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳವೃತ್ತವು ಎಲ್ಲಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಸಮನಾಗಿರುವ ಆದರ್ಶ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಳವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಮೂರು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದರಿಂದ, ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಮೂರನೆಯ ಬದಿಯು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಭೌಗೋಳಿಕ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ನೆರೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಾದವು, ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಇತರ ಬದಿಗಳ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂತಹ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಎರಡು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಬದಿಗಳಿರುವ ಬಹುಭುಜಕ್ಕೆ ಅದೇ ಅಂದಾಜು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಟ್ಗಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಚಿತ್ರದ ನೆರೆಹೊರೆಯೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ಮತ್ತು ನಂತರ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು (ಅಥವಾ ಒಂದು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ). ನಂತರ ಇವೆ,. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ. ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಮೊದಲು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿ, ನಂತರ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಸತತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಅಂತರದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಸತತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಹ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳು ಭೌಗೋಳಿಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಒಂದು ಬದಿ ಇರುತ್ತದೆ. ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ-ನೆರೆಯ ಭಾಗವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೇಳಿಕೊಂಡಂತೆ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳು ಅದರೊಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸೇರದ ಬಿಂದುಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳು ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಪೂರಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಪೂರಕ, ಮತ್ತು ಜೊತೆಗಿನ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಒಕ್ಕೂಟ. ಸಂಪರ್ಕವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಜೊತೆ ಇರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಇದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಂತರ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಅಂತರದೊಳಗೆ ಇರುವ ಅಂಕಗಳು. ಕ್ವಾಸಿಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆ ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಏಕಮಾನದ ವೇಗದ ಭೌಗೋಳಿಕ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಿಎಟಿ (-1) ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಭೌಗೋಳಿಕ ಕಿರಣವು ಭೌಗೋಳಿಕ ಕಿರಣದ ಸೀಮಿತವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಂತರದೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕ್ವಾಸಿಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಮತ್ತು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು, ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಯುನಿಟ್ ಸ್ಪೀಡ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿರಲಿ. ಮೇಲಿನ ಅಂದಾಜು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದರೆ, ಏಕರೂಪದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಸೀಮಿತ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಗಳ ಸಮರ್ಥನೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಟ್ (-1) ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಮೊದಲು, ಈ ವಿಭಾಗವು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಎಫ್ರೆಮೋವಿಚ್-ಟಿಖೋಮಿರೋವಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನೊಂದಿಗೆ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಿಎಟಿ (-1) ಸ್ಥಳಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗಾಗಿ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ದ್ವಿ-ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಯಿತು; ಮೊದಲು, ಮರಣೋತ್ತರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಜಪಾನಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಅಕಿರಾ ಮೋರಿ ಅವರು ಟಿಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಳಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದರು, ಡಿಸ್ಕ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಹೋಲ್ಡರ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ). ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿಎಟಿ (-1) ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಸಿಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಕುರಿತಾದ ಮೋರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಪ್ರತಿ ಕ್ವಾಸಿ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯು ಗಡಿಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಎರಡು ಸ್ವಯಂ-ನಕ್ಷೆಗಳು ಅರೆ-ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಸಿ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯು ಸ್ವಯಂ-ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರವಲ್ಲ, ಇದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಅರೆ-ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರತೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರತೆಗಳಿವೆ, ಅರೆ-ವಿಲೋಮಗಳು ಅರೆ-ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಆ ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಹುಶಃ ವಿಭಿನ್ನ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ-ಸಮಾನ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನೀಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಅರೆ-ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಅರೆ-ಸಮತುಲ್ಯತೆಯವರೆಗೆ ಅರ್ಧ-ಸಮತುಲ್ಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸುವ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ-ಸಮತುಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಅದು, ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಅರ್ಧ-ಸಮತುಲ್ಯತೆ, ಅರ್ಧ-ಸಮತುಲ್ಯತೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲು, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರವು ಅರೆ-ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವಾಗಿದೆ. ಮೋರ್ಸ್-ಮೋಸ್ಟೋವ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಇದು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣದ ಮಿತಿಯ ಅಂತರದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಅರ್ಧ-ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ನಕ್ಷೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಏಕರೂಪತೆ ಇದೆ. ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಒಂದು ಅಂತರದೊಳಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣಗಳು ಮತ್ತು ದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುವವು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಒಂದು ಅಂತರದೊಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಸಣ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮೂಲಕ ದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ. ಸಿಎಟಿ (-1) ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರತೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವರ್ಗದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ "ದೃಶ್ಯ ಮಾಪನಗಳು" ಮತ್ತು ಮೋಬಿಯಸ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಈ ದೃಶ್ಯ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ವೃತ್ತದ ಕ್ವಾಸಿ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಯ್ಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಟೀಚ್ಮುಲ್ಲರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್-ಬರ್ಲಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಡೌಡಿ-ಅರ್ಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ): ಇದು ಕ್ವಾಸಿ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕ್ವಾಸಿ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಅದು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಾಗಿದೆ. ಊಹೆಯು ಮತ್ತು ಮೋರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಂದು-ನೆರೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಎರಡನೇ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿ ಛೇದಿಸಿ. ನಂತರ ಮತ್ತು ನ-ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಇದೆ. ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಮೂಲಕ, ಈ ಅಕ್ಷಗಳ-ನೆರೆಯ ಭಾಗಗಳು ಮೂಲದ-ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಃ ಎರಡೂ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ,-ಮತ್ತು-ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿರಲಿ; ನಂತರ-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ; ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಹೇಳಿಕೊಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಗೆ ಅರ್ಧ-ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತ ಅಥವಾ ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ವೃತ್ತದಿಂದ (ಅಥವಾ ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಕ ವೃತ್ತದ ಏಕಾಂಕ ವೃತ್ತ ಅಥವಾ ನೈಜ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅವುಗಳ ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತದೆಃ ಮೊಬಿಯಸ್ ಗುಂಪು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಏಕೆಂದರೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಮತ್ತು, ಸರಿಪಡಿಸುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಾಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು. ಕ್ರಾಸ್ ಅನುಪಾತವು ಮತ್ತು ಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆರ್ಡರ್ 6 ರ ಅನ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇತರ ಮೂರು ರೂಪಾಂತರಗಳು 'ಗೆ', 'ಗೆ' ಮತ್ತು 'ಗೆ' ಕಳುಹಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ಆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತ ಅಥವಾ ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಎರಡು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಲೈನ್ ಇದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದದಿಂದ ದೂರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ರಾಸ್ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು, ಮೋಬಿಯಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂರಚನೆಗೆ ಇಳಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಆಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿ? ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಮತ್ತು, ನಡುವಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅದು ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಲೂ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಭೌಗೋಳಿಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಆದರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು; ಇದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಭೌಗೋಳಿಕ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರವರೆಗಿನ ಲಂಬವಾದ ಪಾದಗಳು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ, ಆಗ. ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಬದಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ, ಬಲಗೈ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಡಗೈ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಇವು ಆದರ್ಶ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಒಳವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳೂ ಆಗಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ ಇದು ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ ವೃತ್ತದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು ತಕ್ಷಣದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಮತ್ತುಃ ಇದು ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಮೊದಲು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ) ಹೋಲ್ಡರ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಏಕತೆಯ ಘನ ಮೂಲಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಆಗ. ಹೋಲ್ಡರ್ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅದು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿಗದಿತ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅರ್ಧ-ಮೊಬಿಯಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಟ್ರಿಪಲ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ನಿಂದ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಮೊಬಿಯಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು, ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ ವೃತ್ತವು ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದರ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮವು ಹೋಲ್ಡರ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ ಅದು (ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ) ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. ಸಂಯೋಜನೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ವೃತ್ತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮತ್ತಷ್ಟು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗಿರುವ ಚಿತ್ರಗಳೂ ಸಹ ಇವೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ನೈಜವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿರುವ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿರುವ ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ನೆರೆಯವರೊಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕನಿಷ್ಠ ದೂರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಿಂದ, ಇದು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾಲ್ಕು ಚಕ್ರಗಳ ಮೂರು ಆವರ್ತಗಳಿಗೆ ಅದೇ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಸ್ವಿಚ್ ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ; ಅದೇ ರೀತಿ ಸ್ವಿಚ್ ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳೂ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯವಾದರೆ, ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತವು 0 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತೆ ಅದೇ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಮತ್ತು, ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆಯೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮವು ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ಯಾಟ್ (-1) ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ದೃಶ್ಯ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಟ್ (-1) ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ವಿಶೇಷ ದೃಶ್ಯ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಹೋಲಿಕೆ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಡಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ನ ವಿಶೇಷ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ಸಿಎಟಿ (-1) ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವು ಸಿಎಟಿ (0) ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಉದ್ದಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಹೋಲಿಕೆ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಉದ್ದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತವೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಿಎಟಿ (-1) ಸ್ಥಳವು ಸಿಎಟಿ (0) ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಗಡಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ, ಸಿಎಟಿ (-1) ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಿರಣವು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ರೇಖೆಯವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಡಿಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಿತಿಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯಾವುದೇ ಕ್ಯಾಟ್ () ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇವು ಕ್ಯಾಟ್ (-1) ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ, ಗಡಿಯನ್ನು ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಅರೆ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅರೆ-ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳು. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಿದೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಗಡಿಯ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಪೊಯಿನ್ಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಪರ್ಕೋಲೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಬುಸೆಮನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊದಲ-ಮಾರ್ಗದ ಪರ್ಕೋಲೇಶನ್ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶನದ ಕೊನೆಯ-ಮಾರ್ಗದ ಪರ್ಕೋಲೇಶನ್ನ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು, ಅನುಬಂಧ. ಜ್ಯಾಮಿತಿ