Fluctuation-dissipation theorem
ವಿವರವಾದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯ (ಎಫ್ಡಿಟಿ) ಅಥವಾ ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧ (ಎಫ್ಡಿಆರ್) ಒಂದು ಪ್ರಬಲ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿವರವಾದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಭೌತಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಉಷ್ಣಬಲದ ಏರಿಳಿತಗಳು ಅದೇ ಭೌತಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣದ (ವೋಲ್ಟೇಜ್, ತಾಪಮಾನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಪ್ರವೇಶ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿರೋಧದಿಂದ (ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ) ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ), ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹರ್ಬರ್ಟ್ ಕಾಲೆನ್ ಮತ್ತು ಥಿಯೋಡೋರ್ ವೆಲ್ಟನ್ ಅವರು 1951 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ರಿಯೋಗೊ ಕುಬೋ ಅವರು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ತನ್ನ ಆನ್ನಸ್ ಮಿರಾಬಿಲಿಸ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು 1928 ರಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರತಿರೋಧಕಗಳಲ್ಲಿನ ಜಾನ್ಸನ್ ಶಬ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಹ್ಯಾರಿ ನಿಕ್ವಿಸ್ಟ್ನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪೂರ್ವನಿದರ್ಶನಗಳಿವೆ. ಗುಣಾತ್ಮಕ ಅವಲೋಕನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವು, ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊರಹಾಕುವ, ಅದನ್ನು ಶಾಖವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘರ್ಷಣೆ) ಒಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಇದ್ದಾಗ, ಉಷ್ಣದ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಡ್ರ್ಯಾಗ್ ಮತ್ತು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವು ದ್ರವದ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದು ಡ್ರ್ಯಾಗ್ (ವಾಯು ಪ್ರತಿರೋಧ ಅಥವಾ ದ್ರವ ಪ್ರತಿರೋಧ) ಅನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಡ್ರ್ಯಾಗ್ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಶಾಖವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏರಿಳಿತವು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ದ್ರವದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವು ನಿಶ್ಚಲವಾಗಿ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದ್ರವದಲ್ಲಿರುವ ಅಣುಗಳು ಅದರೊಳಗೆ ಬಂಪ್ ಆಗುತ್ತವೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯು ಶಾಖ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ-ಡ್ರ್ಯಾಗ್ನ ಹಿಮ್ಮುಖ. ಪ್ರತಿರೋಧ ಮತ್ತು ಜಾನ್ಸನ್ ಶಬ್ದ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರವಾಹವು ನಿರೋಧಕದೊಂದಿಗೆ ತಂತಿ ಲೂಪ್ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿರೋಧದಿಂದಾಗಿ ಪ್ರವಾಹವು ವೇಗವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿರೋಧವು ವಿದ್ಯುತ್ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಶಾಖವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ (ಜೂಲ್ ತಾಪನ). ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏರಿಳಿತವೆಂದರೆ ಜಾನ್ಸನ್ ಶಬ್ದ. ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿರೋಧಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತಂತಿ ಲೂಪ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಪ್ರತಿರೋಧಕದಲ್ಲಿನ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪರಮಾಣುಗಳ ಉಷ್ಣದ ಏರಿಳಿತಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿ-ಏರಿಳಿತದ ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜಾನ್ಸನ್ ಶಬ್ದವು ಶಾಖ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಶಕ್ತಿಯನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ-ಇದು ಪ್ರತಿರೋಧದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಬೆಳಕಿನ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಉಷ್ಣ ವಿಕಿರಣವು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಬೆಳಕು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಿದಾಗ, ಬೆಳಕಿನ ಕೆಲವು ಭಾಗವು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಿಸಿಯಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆಳಕಿನ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಬೆಳಕಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಶಾಖವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏರಿಳಿತವು ಉಷ್ಣ ವಿಕಿರಣವಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಕೆಂಪು ಬಿಸಿ" ವಸ್ತುವಿನ ಹೊಳಪು). ಉಷ್ಣ ವಿಕಿರಣವು ಶಾಖದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬೆಳಕಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ-ಇದು ಬೆಳಕಿನ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಿರ್ಚಾಫ್ನ ಉಷ್ಣ ವಿಕಿರಣದ ನಿಯಮವು ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಬೆಳಕನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಉಷ್ಣ ವಿಕಿರಣವನ್ನು ಹೊರಸೂಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವರವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉಷ್ಣಬಲವಿಜ್ಞಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ವಿವರವಾದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಅಡಚಣೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ತನ್ನ 1905ರ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಕುರಿತಾದ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಕಣವನ್ನು ದ್ರವದ ಮೂಲಕ ಎಳೆದರೆ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಕಣದ ಅನಿಯಮಿತ ಚಲನೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಅದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಸಹ ಎಳೆತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಣದ ಏರಿಳಿತವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಪ್ರಸರಣ ಘರ್ಷಣ ಬಲದ ಅದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಸರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕ D ಮತ್ತು ಕಣಗಳ ಚಲನಶೀಲತೆಯನ್ನು, ಅನ್ವಯಿಕ ಬಲಕ್ಕೆ ಕಣದ ಅಂತಿಮ ಚಲನೆ ವೇಗದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಐನ್ಸ್ಟೀನ್-ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. kB ಎಂಬುದು ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು T ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ. 1928ರಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ಬಿ. ಜಾನ್ಸನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು ಮತ್ತು ಹ್ಯಾರಿ ನಿಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಜಾನ್ಸನ್-ನಿಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಶಬ್ದವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದನು. ಯಾವುದೇ ಅನ್ವಯಿಕ ಪ್ರವಾಹವಿಲ್ಲದೆ, ಸರಾಸರಿ-ಚದರ ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಪ್ರತಿರೋಧ ಮತ್ತು ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಬ್ಯಾಂಡ್ವಿಡ್ತ್ನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಈ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಸೂರದ ಮೂಲಕ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿರೋಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿರೋಧಕ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಪಾಸಿಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸರಳ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಕಿರ್ಚಾಫ್ನ ನಿಯಮವು ಇಳುವರಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆ-ಆವರ್ತನ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ವೋಲ್ಟೇಜ್ನ ವಿದ್ಯುತ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನೇಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು; ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತ ರೂಪವೆಂದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಃ ಉಷ್ಣದ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ವಸ್ತುವು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತಲೂ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ ವರ್ಣಪಟಲದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಸಮಯ-ಬದಲಾಗುವ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಆನ್ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಳಗಾಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಅಡಿಯಾಟಿಕವಾಗಿ (ಬಹಳ ನಿಧಾನವಾಗಿ) ಆನ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಶಕ್ತಿ ವರ್ಣಪಟಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಆವರ್ತನಗಳೆರಡೂ) ಒಳಗಾಗುವಿಕೆಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆಃ ಇದು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗವು ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಬಲಭಾಗವು ಆಂದೋಲನ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಪಂಪ್ ಮಾಡಿದಾಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹರಡುವ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ; ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು (ಅದರ ಮಿತಿಯು) ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗುರುತಾದ ಎಲ್ಎಸ್ಝೆಡ್ ಕಡಿತದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಅವಲಂಬಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್-ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ನೇರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಏರಿಳಿತದ ಪ್ರಮಾಣವು ಶಕ್ತಿಯೇ ಆಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಆವರ್ತನ-ಅವಲಂಬಿತ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಾಖದ ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅದೇ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರೀಕ್ಷಾ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ f ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅನಂತ ಸಮಯದಿಂದ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು t = 0 ನಲ್ಲಿ ಸ್ವಿಚ್ ಆಫ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹೆವಿಸೈಡ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ W (x, 0) ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ W (x, 0) ಒಂದು ಸಮತೋಲನ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ಗೆ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ದುರ್ಬಲ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎ (ಟಿ) ಯು x ನ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ಇಳುವರಿಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದುಃ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಯ-ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಳಗಾಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (*) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಆವರ್ತನ ಅವಲಂಬನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿಕೆ ನೀಡಲು, ಸಮೀಕರಣದ (* *) ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಇದು ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸ್ಥಾಯಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ, ವೀನರ್-ಖಿಂಚಿನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡು-ಬದಿಯ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸ್ವಯಂ-ಸಹಸಂಬಂಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕುಬೋ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಇದು ರೇಖೀಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಗೊಂದಲದ ಮೂಲದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಗ್ರ ಸರಾಸರಿಯ ಸಮಯದ ವಿಕಾಸದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ನಂತರ, ಕುಬೋ ಸೂತ್ರವು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಕಾರ್ಯದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಮೂಹದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಜಾಡಿನ ಆವರ್ತಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮರು-ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಮರು-ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮುಂದೆ, ಮೂರನೇ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಜಾಡಿನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿದೆವು ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದೊಂದಿಗೆ ಸಮಯ ವಿಕಾಸದ ನಿರ್ವಾಹಕರಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದೆವು. ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಯದ ಬದಲಾವಣೆಯು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಡೆದದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಆವರ್ತನ-ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲ. ಸ್ಥಿರವಾಗಿ, ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಂವಹನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ "ಪದ" ವನ್ನು ಸಹ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಹೊರಸೂಸುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಶಕ್ತಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಾಂದ್ರತೆ "ದಿ" ಅನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಶೂನ್ಯ-ಬಿಂದು ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೊಡುಗೆ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿವರವಾದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ನಡುವಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ವಿವರವಾದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದಾಗ, ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಏರಿಳಿತಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಾಜಿನ ಉಷ್ಣಾಂಶಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗೆ, ಗಾಜಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಮತೋಲನಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ. ಸಮತೋಲನಕ್ಕೆ ಈ ನಿಧಾನವಾದ ವಿಧಾನವು ವಿವರವಾದ ಸಮತೋಲನದ ಉಲ್ಲಂಘನೆಗೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಸಮತೋಲನದತ್ತ ಸಾಗುವಾಗ ದೊಡ್ಡ ಸಮಯ-ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗಾಜಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ಪಿನ್ ಗ್ಲಾಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧದ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ರೆಫ್. ಮ್ಯಾಕ್ರೋಸ್ಕೋಪಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಉದ್ದಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ದೊಡ್ಡದು) ಸೂಪರ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್-ಆಂಡರ್ಸನ್ ಮಾದರಿಯು ವಿವರಿಸಿದೆ. ಅವುಗಳ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗಾಜಿನ ತಾಪಮಾನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ತಾಪಮಾನಕ್ಕೆ ವೇಗವಾಗಿ ತಂಪಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಸಮತೋಲನಗೊಳಿಸಲು ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ನಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್-ಟೆಂಪೋರಲ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಮಾಣದ ಘನ ಜಾಲರಿಯ ನೋಡ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ವಾಸಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕಾಂತೀಕರಣದ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಸಮತೋಲನಗೊಳ್ಳಲು ಬಿಡುವುದರಿಂದ, ಏರಿಳಿತ-ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಲು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. 1990ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ, ತಿರುಗುವ ಗಾಜಿನ ಮಾದರಿಗಳ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರತೆ-ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು, ಇದು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಸಮಯದ ಮಾಪಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಅವಲಂಬನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ತಾಪಮಾನದಿಂದ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಗಾಜಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಡಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾನ್-ಈಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಮ್ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಗ್ರೀನ್-ಕುಬೋ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅನ್ಸಾಗರ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಈಕ್ವಿಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಪರ್ಡ್ಯೂ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಪ್ರೊ. ಇ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕಾರ್ಲ್ಸನ್ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಆಡಿಯೋ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಕುಬೊ ಅವರ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪಠ್ಯಃ ಫ್ಲಕ್ಟ್ಯುಯೇಷನ್-ಡಿಸಿಪೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ನಾನ್-ಈಕ್ವಿಲಿಬ್ರಿಯಮ್ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಪ್ರಮೇಯಗಳು