Linear group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಮೇಲೆ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ G ಗುಂಪು. ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪು (ಅಂದರೆ, ಕೆ ಮೇಲೆ ನಿಷ್ಠಾವಂತ, ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು). ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಕೇಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ, ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ "ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ" ಗುಂಪುಗಳು ಸೇರಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನಂತ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಗುಂಪು), ಅಥವಾ ಕೆಲವು ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನಂತ ತಿರುಚು ಗುಂಪುಗಳು). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ K, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ d ಮತ್ತು G ಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು GLd (K) ಗೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಏಕರೂಪತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ G ಗುಂಪನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆಯಾಮ d ಮೇಲೆ K ಯ ನಿಷ್ಠಾವಂತ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ): ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ G ಅನ್ನು K ಮೇಲೆ ಡಿಗ್ರಿ d ಯ ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಆಯಾಮವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಮೂಲಭೂತ ನಿದರ್ಶನಗಳು ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಗುಂಪು GLn (K) ಸ್ವತಃ; ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು SLn (K) (ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪು); ವಿಲೋಮ ಮೇಲಿನ (ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ) ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪು gi GLn (K) ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದರೆ. ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಗಮನವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. (ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಸಿ) ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕೆಂದು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ.) ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಲ್ (2015) ಮತ್ತು ರಾಸ್ಮನ್ (2002) ಸೇರಿವೆ. ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಮೇಲಿನ 1 ಮತ್ತು 2ರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಜಿಎಲ್ಎನ್ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಏಕೀಕೃತ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಆದರೆ ವಿಭಾಗ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಘಟಕ ಗುಂಪು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪಾಗಿದೆ). ಈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಗುಂಪುಗಳು ಸಹ ರೇಖೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಿಎಸ್ಎಲ್2 (ಆರ್) ಗುಂಪು 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು 3x3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿ (ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ) ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಅನೇಕ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಅಲ್ಲ. ಎಸ್ಎಲ್2 (ಆರ್) ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಅನೇಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳಂತೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೇಂದ್ರ ಆವರ್ತಕ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಾಲರಿಗಳು ಅಥವಾ ತೆಳುವಾದ ಗುಂಪುಗಳು) ಸಹ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳು n ಕ್ರಮದ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು Gಯು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ Kಯ ಮೇಲೆ ಗರಿಷ್ಠ nನ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕೇಲೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಗುಂಪಿನ ವರ್ತುಲ K [G] ಮೇಲೆ Gಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಎಡ (ಅಥವಾ ಬಲ) ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಲೈ ಪ್ರಕಾರದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳು (ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಂಪುಗಳು) ಸೀಮಿತ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸೀಮಿತ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆ 4 ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವರ್ಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಇದು ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ), ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ I ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪಿಂಗ್-ಪಾಂಗ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪು). ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟಕರ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಬ್ರೇಡ್ ಗುಂಪುಗಳು (ಇವುಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯಿಂದ ಬರುವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ರೇಖೀಯವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ 2ನೇ ಕುಲದ ಎಲ್ಲಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ. ಏಕರೂಪತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಿಎಸ್ಎಲ್ 2 (ಆರ್) ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು (ಜಿ, ಎಕ್ಸ್)-ರಚನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸೀಫರ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿಶಾಲ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೂ, ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಗಮನಾರ್ಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಅವು ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ; ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯಃ ಸೀಮಿತ ಘಾತಾಂಕದ ತಿರುಚು ಗುಂಪು, ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರಬೇಕು; ಶುರ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ತಿರುಚು ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದರೆ ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಲ್ಬರ್ಗ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾಃ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ (ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಡೆಹ್ನ್ ಕಾರ್ಯವು ಬಹುಪದ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯವಾಗಿರಬಹುದು; ಒಂದು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಲ್ಲದು; ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಊಹೆಯು ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳ ಅನಂತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನಂತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು (Z/2Z) N x (Z/3Z) N ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅನಂತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ರೇಖೀಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಉಳಿದಂತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಸರಳ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಎರಡೂ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಅನಂತ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಥಾಂಪ್ಸನ್ ಅವರ ಎಫ್ ಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಸರಿಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಹಿಗ್ಮನ್ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವು ರೇಖೀಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಗ್ರಿಗೊರ್ಚುಕ್ ಗುಂಪಿನಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಗುಂಪುಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೆ ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಊಹೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದರಲ್ಲಿ ಥಾಂಪ್ಸನ್ ಅವರ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ದೈತ್ಯ ಗುಂಪುಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ದೈತ್ಯಾಕಾರದ ಗುಂಪುಗಳಂತಹ ಅನಂತ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ತಿರುಚು ಗುಂಪುಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಎಸ್. ಪಿ. (ಎನ್, 1) ನಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾದ ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್) ಕನಿಷ್ಠ ಎನ್ 4 ಗೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಬ್ರೇಡ್ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ,> 1 ಕುಲದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗದ ಗುಂಪು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೇಖೀಯವೆಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದಕ್ಕೆ "ಸೂಕ್ತವಾದ" ನಿಷ್ಠಾವಂತ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮ, ಅಥವಾ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು (ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಲ್ಲದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ). ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉದ್ದೇಶಗಳಾಗಿವೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಸೇರಿವೆಃ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ; ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು. ಅನಂತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಗೂಢವಾಗಿದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಗುಂಪಿನ ಅಕ್ಷರ ಪ್ರಭೇದಗಳು, ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೇ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳು, ಮೇಲ್ಮೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಾಲರಿಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಾರ್ಗುಲಿಸ್ನ ಸೂಪರ್ ರಿಜಿಡಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಬಿಗಿತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೂಲಕ). ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. ಅನಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು