Dual bundle
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಂಡಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಡ್ಯುಯಲಿಟಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಂಡಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಫೈಬರ್ಗಳು ಫೈಬರ್ಗಳಿಗೆ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಹೋಮ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನಿಂದ ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಟ್ರಾನ್ಸಿಶನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಟ್ರಿವಿಯಲೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸಿಶನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ತೆರೆದ ಕವರ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ನ ವಿಲೋಮ). ನಂತರ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ನಿರ್ಮಾಣ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಃ ಸಂಬಂಧಿತ ಬಂಡಲ್ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಂಡಲ್ ರಚನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಂಡಲ್ ಅದರ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪ್ಯಾರಾಕೊಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನೈಜ, ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಂತೆಯೇ, ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಹೊರತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಯ್ಕೆ ಇಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಜವಲ್ಲಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಮೇಲಿರುವ ಟಟೊಲಾಜಿಕಲ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅದರ ದ್ವಿಗುಣಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಆದರೆ ಹೆರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಹೊರತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಆಯ್ಕೆಯು ಕ್ಯಾನಾನಿಕಲ್ ಅಲ್ಲ. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಹೋಮ್ ಬಂಡಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ನಡುವೆ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಇದೆ (ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ), ಫೈಬ್ರೂವೈಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ