Schwarz–Ahlfors–Pick theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶ್ವಾರ್ಜ್-ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್-ಪಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿಯಂತಹ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಕ್ವಾರ್ಜ್-ಪಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಯು ನಿಂದ ಸ್ವತಃ ಅಥವಾ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಎಚ್ ನಿಂದ ಸ್ವತಃ ಪ್ರತಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅಂತರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆ-1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 1938ರಲ್ಲಿ, ಲಾರ್ಸ್ ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಿಂದ ಇತರ ಋಣಾತ್ಮಕ ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರುಃ ಪ್ರಮೇಯ (ಶ್ವಾರ್ಜ್-ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್-ಪಿಕ್). ಯು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರಲಿ; ಎಸ್ ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರಲಿ, ಅದರ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯು ≤−1 ಆಗಿದೆ; ಇದು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು 1973ರಲ್ಲಿ ಶಿಂಗ್-ತುಂಗ್ ಯೌ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ರೀಮನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ತರುತ್ತಾನೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು