Sum and Product Puzzle
ಸಮ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಪಜಲ್ ಅನ್ನು ಇಂಪಾಸಿಬಲ್ ಪಜಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿಯ ಕೊರತೆಯನ್ನು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇದು ತರ್ಕದ ಪಜಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1969 ರಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಫ್ರಾಯ್ಡೆಂಥಾಲ್ ಅವರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇಂಪಾಸಿಬಲ್ ಪಜಲ್ ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗಾರ್ಡ್ನರ್ ಅವರು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು. ಒಗಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೂ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅನೇಕ ಒಗಟುಗಳಿವೆ. ಪಜಲ್ X ಮತ್ತು Y ಗಳು 1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರ ಮೊತ್ತವು 100ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ. ಎಸ್ ಮತ್ತು ಪಿ ಇಬ್ಬರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು (ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು); ಎಸ್ಗೆ ಎಕ್ಸ್ + ವೈ ಮೊತ್ತ ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಪಿಗೆ ಎಕ್ಸ್ × ವೈ ಉತ್ಪನ್ನ ತಿಳಿದಿದೆ. ಎಸ್ ಮತ್ತು ಪಿ ಇಬ್ಬರೂ ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಮುಂದಿನ ಸಂಭಾಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇಬ್ಬರೂ ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಯಾವಾಗಲೂ ಸತ್ಯವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಿದ್ದಾರೆಃ "ಪಿಗೆ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಎಸ್ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. "ಈಗ ನನಗೆ X ಮತ್ತು Y ತಿಳಿದಿದೆ" ಎಂದು P ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. "ಈಗ ನನಗೆ X ಮತ್ತು Y ಕೂಡ ತಿಳಿದಿದೆ" ಎಂದು S ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. X ಮತ್ತು Y ಎಂದರೇನು? ವಿವರಣೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಎಸ್, ಪಿ ಮತ್ತು ಒ ಎಂಬ ಮೂರು ಪಕ್ಷಗಳು ಭಾಗಿಯಾಗಿವೆ. S ಗೆ X + Y ಮೊತ್ತ ತಿಳಿದಿದೆ, P ಗೆ X·Y ಉತ್ಪನ್ನ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಕ O ಗೆ ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯ ಹೊರತಾಗಿ ಬೇರೇನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪಕ್ಷಗಳು ಒಂದೇ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಅದು ಮಾಹಿತಿಯ ಆಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಎ = ಬಿ + ಸಿ ಎ 2-ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ ಎಂಬ ಎರಡು ಪದಗಳಾಗಿ ಕರೆಯೋಣ. ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ನ ಊಹೆಯಂತಹ ಯಾವುದೇ ಮುಂದುವರಿದ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅಂತಹ 2-ವಿಭಜನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಿ. ಸಿ. ಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು (ಅಂದರೆ. ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ). ಆದರೆ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಅವರ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ, X ಮತ್ತು Y ಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಅರ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ P ತಕ್ಷಣವೇ X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ, x + y ಮೊತ್ತವು ಸಮವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ನಂತರ ಅರ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆಃ ಎಸ್ (ಸ್ಯೂ), ಪಿ (ಪೀಟ್), ಮತ್ತು ಒ (ಒಟ್ಟೊ) ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಮೊತ್ತದ 2-ವಿಭಜನೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. 5 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗೆ (X> 1 ಮತ್ತು Y> X ಗೆ ನಾವು 5 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 11 ಅನ್ನು 2 + 9,3 + 8,4 + 7, ಮತ್ತು 5 + 6 ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಆಯಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು 18,24,28 ಮತ್ತು 30 ಆಗಿದ್ದು, ಆಟಗಾರರು ತಮ್ಮ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಟಿಕ್ ಮಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತಾರೆ (ಕೋಷ್ಟಕ 1). ಅವುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಗುರುತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಕೆಲವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಯೂ ಈಗ ತನ್ನ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ 2-ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾಳೆ. ಎಲ್ಲಾ 2-ವಿಭಾಗಗಳು ಅನನ್ಯವಲ್ಲದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅವಳು ನೋಡುತ್ತಾಳೆ, ಅಂದರೆ. ಬೇರೆ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಇತರ ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯ ಮೊತ್ತದ 2-ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಅವಳು ಇದನ್ನು ಹಂತ 1 ರ ಟೇಬಲ್ನಿಂದ ನೋಡುತ್ತಾಳೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವಳ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಟಿಕ್ ಮಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಪೀಟ್ಗೆ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವಳು ಅರಿತುಕೊಂಡಳು (ಇದಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಟಿಕ್ ಮಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು). ಹೀಗಾಗಿ ಅವಳು "ಪಿಗೆ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಉದ್ಗರಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಪೀಟ್ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟೊ ಇದನ್ನು ಕೇಳಿದಾಗ, ಸ್ಯೂ ಅವರ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅವರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ, ಸ್ಯೂ, ಪೀಟ್ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟೊ ಈಗ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಾವಾಗಿಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಹ ಮೊತ್ತಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು (ಕೋಷ್ಟಕ 2). ಕೋಷ್ಟಕವು ಆ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ 2-ವಿಭಾಗಗಳು ಅನನ್ಯವಲ್ಲದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಕೋಷ್ಟಕ 1ರಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗುರುತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ. ಸ್ಯೂ, ಪೀಟ್ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟೊ ಅವರು ಅಭ್ಯರ್ಥಿ ಮೊತ್ತಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದಾರೆ (ಸ್ಯೂಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತನ್ನ ಮೊತ್ತ ತಿಳಿದಿದೆ ಆದರೆ ಪೀಟ್ನ ಚಿಂತನೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬೇಕಾಗಿದೆ). ಕೋಷ್ಟಕ 2ರಲ್ಲಿರುವ ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪೀಟ್ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದ್ದ 5 ಮತ್ತು 100ರ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ 2-ವಿಭಜನೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕೋಷ್ಟಕ 2ರಿಂದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಿದೆ. ಉಳಿದಿರುವುದು ಕೇವಲ ಎರಡು ಗುಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರಬೇಕು, ಅವುಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು X·Y ಎಂದು ಅವನಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವನು ಸ್ಯೂಗೆ "ಈಗ ನನಗೆ X ಮತ್ತು Y ತಿಳಿದಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಪೀಟ್ ಈಗ ಮುಗಿಸಿ ಆಟದಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುತ್ತಾನೆ. ಸ್ಯೂ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟೊ ಕೋಷ್ಟಕ 1ನ್ನು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಈ ಬಾರಿ ಮೂಲ ಕೋಷ್ಟಕ 1ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ 5ರಿಂದ 100ರ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಕೋಷ್ಟಕ 2ರಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ 2-ವಿಭಜನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಎಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ನವೀಕರಿಸಿದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಟೇಬಲ್ 1ಬಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಯೂ ತನ್ನ ಮೊತ್ತದ 2-ವಿಭಜನೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾಳೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಕೋಷ್ಟಕ 1ಬಿ ಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾಳೆ. ಇದು ಪೀಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಆಕೆ ಪೀಟ್ನಂತೆಯೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವಳು ಒಟ್ಟೋಗೆ (ಪೀಟ್ ಈಗಾಗಲೇ ಹೋಗಿದ್ದಾನೆ) "ಈಗ ನನಗೆ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈ ಕೂಡ ತಿಳಿದಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾಳೆ. ಸ್ಯೂ ಕೂಡ ಈಗ ಮುಗಿಸಿ ಆಟದಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುತ್ತಾನೆ, ಒಟ್ಟೊ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದ್ದಾನೆ. ಹಂತ 4ರಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ, ಒಟ್ಟೊ ಕೋಷ್ಟಕ 2ರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು 2-ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ ಮಾತ್ರ ಕೋಷ್ಟಕ 1ಬಿ ಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಟಿಕ್ ಮಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಯಸಿದವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಗುರುತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಸ್ಯೂಗೆ X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ಖಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒಟ್ಟೊ ಬಯಸಿದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತಾನೆ, ಇದು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದು, ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಒಟ್ಟೋನ ಕೆಲಸವೂ ಈಗ ಮುಗಿದಿದೆ. ಪರಿಹಾರವು X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು 4 ಮತ್ತು 13 ಎಂದು ಹೊಂದಿದೆ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ P ಗೆ ಉತ್ಪನ್ನವು 52 ಮತ್ತು S ಗೆ ಮೊತ್ತ 17 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ P ಗೆ ಪರಿಹಾರ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ 52 = 4 × 13 = 2 × 26 ಮತ್ತು P ಗೆ ಪರಿಹಾರ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು S ಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಳಗೆ 17 ರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೊತ್ತಗಳು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ಎಸ್ ನಂಬುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪಿಗೆ ತಿಳಿದ ನಂತರ, ಪಿ 2 x 26 ಅನ್ನು ತಳ್ಳಿಹಾಕಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವು 28 ಆಗಿದೆ. S ಗೆ 28 ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದ್ದರೆ, P ಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವಳು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯ ಜೋಡಿಯು 5 ಮತ್ತು 23 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು P ಗೆ ಒಟ್ಟು 5 x 23 ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪಿ ಈಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 4 ಮತ್ತು 13 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಎಸ್ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ, ಎಸ್ ಈಗ ಮೊತ್ತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಜೋಡಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ (ಅಂದರೆ. 2+15,3+14,4+13,5+12,6+11,7+10,8 + 9) ಕೇವಲ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವು 4 + 13 ಎಂಬ ಉತ್ತರವನ್ನು ಊಹಿಸಲು P ಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎಸ್ ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಎಂಬ ಅಂಶದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಓದುಗನು ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಸ್ಗೆ 97 (48 + 49) ಮತ್ತು ಪಿಗೆ 2352 (48 * 49) ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ, ಪಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದರೆ ಎಸ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ 44 ಮತ್ತು 53 ಇನ್ನೂ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇತರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. X + Y ≤ 100 ಅನ್ನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. X + Y ಮಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬದಲಾಗಬಹುದು. X + Y <62ಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. X = 4, Y = 13 ಪರಿಹಾರವು ಗಡಿಯೊಳಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಇದು ಮೊದಲಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ಗಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುವ ಮೂಲಕ, ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿಲ್ಲ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮಾಹಿತಿಯು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X = 2, Y = 62, X + Y = 64, X·Y = 124 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೆ, 124ರ ಒಂದು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾತ್ರ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. 4·31,35 ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಎಸ್ ಘೋಷಿಸಿದಾಗ 35 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು 64 ರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದ್ದರೆ ಆಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮಿತಿಯು X + Y ≤ 1685 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಾಗ, ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ X = 4, Y = 61 ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂದಿನಿಂದ, ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, X + Y ≤1970 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಮೂರನೇ ಪರಿಹಾರವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (X = 16, Y = 73). ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. X = 16 = 2·2·2 ಮತ್ತು Y = 111 = 3·37 ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ X + Y ≤ 2522 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ನಾಲ್ಕನೇ ಪರಿಹಾರವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. Y> X> 1 ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು Y> X> 2 ಎಂದು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, 124 <t <5045 ಗೆ X + Y ≤ t ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ. 124 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. ಪರಿಹಾರದ ಮಿತಿ ಏರಿಕೆಯಾಗಿರುವುದು ಅಚ್ಚರಿಯೇನಲ್ಲ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಇನ್ನು ಮುಂದೆ X ಅಂಶವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಳವು "ಸ್ಪಾರ್ಸರ್" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತ A ಯಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾದ X·Y ಅನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ಅಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ t ಗೆ, ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರಗಳು Y> X> 1 ರ ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ X = 16, Y = 163. ಕೆಲವು ಮಿತಿ t ಗೆ X + Y ≤ t ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಗೆ X·Y ≤ u ಗೆ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ನೋಟವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಗತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಟಿಗೆ ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಯು ಈಗ ಸಮಸ್ಯೆಯು 47 <t <60,71 <t <80,107 <t <128, ಮತ್ತು 131 <t <144 ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಮಿತಿಗಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮೂಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಾಗಲೀ ಅಥವಾ ವಿಷಯದಲ್ಲಾಗಲೀ ಅಲ್ಲ. ಚೆರಿಲ್ ಅವರ ಜನ್ಮದಿನದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ದಿ ಇಂಪಾಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಬೈ ಟಾರ್ಸ್ಟನ್ ಸಿಲ್ಕ್ ಟು ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಷಿಯನ್ಸ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಆನ್ ಮ್ಯಾಥ್ಫೋರಮ್ ಸಮ್ ಅಂಡ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಆನ್ ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಕ್ಸ್ ಕೋಡಿ ಮಾಡೆಲ್ ಚೆಕಿಂಗ್ ಸಮ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಲಾಜಿಕ್ ಒಗಟುಗಳು