Holomorph (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫ್ ಎಂಬುದು ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನ (ಪ್ರತಿಗಳು) ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹೋಲೋಮಾರ್ಫ್ ಗುಂಪುಗಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುಂಪಿಗೆ, ಸೂಚಿಸಲಾದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫ್ ಅನ್ನು ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಗುಂಪು ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಹೋಲ್ (ಜಿ) ಒಂದು ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ, ಅದು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು [Eq. 1] ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲೋಮಾರ್ಫ್ಗೆ, ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು [Eq ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ. 1] ಮೇಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಮ 3 ರ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ 3 ಮತ್ತು ಮಾಡ್ 2 ರ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಆರ್ಡರ್ 6 ರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೂಲ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಹೋಲ್ (ಜಿ) ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಗುಂಪಾಗಿ ಎ ಗುಂಪು ಜಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ತನ್ನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಜಿ ಯಿಂದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಜಿ ಯ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು λ: ಜಿ → ಸಿಮ್ (ಜಿ), (ಎಚ್) = ಜಿ·ಹೆಚ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, G ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು g ನಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ g ಅನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡನೇ ಏಕರೂಪತೆ ρ: G → ಸಿಮ್ (G) ಅನ್ನು (h) = h·g−1 ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವು (k) = ((k)) ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಏಕರೂಪತೆಗಳನ್ನು ಜಿ ಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಏಕರೂಪತೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು, ಇದನ್ನು ಕೇಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, G = C3 = {1, x, x2} ಮೂರು ಕ್ರಮಗಳ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, (1) = x·1 = x, (x) = x·x = x2, ಮತ್ತು (x2) = x·x2 = 1, ಆದ್ದರಿಂದ λ (x) (1, x, x2) ಅನ್ನು (x, x2,1) ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. λ ನ ಚಿತ್ರವು G ಗೆ ಸಿಮ್ (G) ಸಮರೂಪದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಿಮ್ (G) ನಲ್ಲಿನ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು G ಯ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫ್ N ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೋಲೋಮಾರ್ಫ್ನ n ಅಂಶವು Gಯ ಗುರುತನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ, Gಯಲ್ಲಿ 1ಕ್ಕೆ, (n·) (1) = (n·) (1), ಆದರೆ ಎಡಭಾಗವು n (g), ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು h ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, Nಯಲ್ಲಿ n, Gಯ ಗುರುತನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ, Gಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ gಗೂ, n· =·n. g, h ಗಳು G ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು n ಎಂಬುದು G ಯ ಗುರುತನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ N ನ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ n·· ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮೆ (ಸಮಾನ) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ n· ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಅದು n (g)·n (h) = n (g·h) ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, Gಯ ಗುರುತನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ Nನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ Gಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ n ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗುರುತನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ಏಕೈಕ ಅಂಶವೆಂದರೆ λ (1). ಎ ಅನ್ನು ಗುರುತಿನ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವುದು, ಎ ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಪೂರಕ ಎ ಯೊಂದಿಗೆ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎ ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಟೆಬಿಲೈಸರ್ ಎಲ್ಲಾ ಎನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರ್ಧ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಲ್ಲ, ಸಿಮ್ (ಜಿ) ನಲ್ಲಿನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆಯು, ಅವುಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಝಡ್ (ಜಿ) ಜಿ ಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎ ಎನ್ ನ ಈ ಎರಡೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ρ (ಜಿ) θ ಆಟ (ಜಿ) = 1 ಆಟ (ಜಿ) ρ (ಜಿ) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಆಗಿ ρ (ಜಿ) ಆಟ (ಜಿ) ಆಟ (ಜಿ) ರಿಂದ λ (ಜಿ) ρ (ಜಿ) (ಎಚ್) = ghg−1 (ಇದು ಜಿ ಯ ಆಂತರಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.) ಕೆ ≤ ಜಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು λ (ಕೆ) ಹೋಲ್ (ಜಿ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.