Ancient Egyptian multiplication
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಗುಣಾಕಾರವು (ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಗುಣಾಕಾರ, ಇಥಿಯೋಪಿಯನ್ ಗುಣಾಕಾರ, ರಷ್ಯಾದ ಗುಣಾಕಾರ, ಅಥವಾ ರೈತರ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ), ಬರಹಗಾರರು ಬಳಸುವ ಎರಡು ಗುಣಾಕಾರ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಕೇವಲ 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಭಾಗಿಸುವ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ. ಇದು ಗುಣಾಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾದ) ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಂಪಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಕಾರದ ದ್ವಿಗುಣಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಲು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆ ಮತ್ತು ನಕಲು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಸ್ಥಿಕೆ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಕಲು ಎಂದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಇದು ಈಗಲೂ ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡನೇ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ತಂತ್ರವು ಕ್ರಿ. ಪೂ. ಹದಿನೇಳನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಮಾಸ್ಕೋ ಮತ್ತು ರೈಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪಪೈರಿಯಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಬರಹಗಾರ ಅಹ್ಮದ್ಸ್ ಅವರಿಂದ. ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ 2 ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಗುಣಕ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬೈನರಿ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ ನಂತರ ದೀರ್ಘ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳಿಂದ ಜಾರಿಗೆ ತರಲಾದಂತೆ ಬೈನರಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಇಂದಿಗೂ ವ್ಯಾಪಕ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ವಿಧಾನ ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಮರುಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಬದಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತಿದ್ದರು. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಜಿಪ್ಟಿನವರಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ, ಅವರು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಮುಂದುವರೆದರು; ಅವರು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಎರಡರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಏನೂ ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ. (ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ.) ಮೊದಲ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕ್ಯಾಂಡ್ನ ವಿಭಜನೆಯ ನಂತರ, ವ್ಯಕ್ತಿಯು ವಿಭಜನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಎರಡರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯವರೆಗೆ ಎರಡನೆಯ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕ್ಯಾಂಡ್ನ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದು) ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾನೆ. ಎರಡನೇ ಅಂಕಣದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡರ ಅನುಗುಣವಾದ ಶಕ್ತಿಯು ಮೊದಲ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಭಜನೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 25x7 =? 25ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನೆಃ {| | 25ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಎರಡರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯು 16: | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಕೇಂದ್ರ;" | 25−16 | | = 9 ಆಗಿದೆ. |-| 9ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಎರಡು | | ಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯು 8: | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಮಧ್ಯ;" | 9−8 | | = 1. |-| 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಎರಡು | | ಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯು 1: | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಮಧ್ಯ;" | 1 − 1 | | = 0 ಆಗಿದೆ. |-| ಕೋಲ್ಸ್ = "3" | 25 ಹೀಗೆ 16,8 ಮತ್ತು 1 ರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. |} ಎರಡರ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯು 16 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಕಾರವು 7 ಆಗಿದೆ. 25 = 16 + 8 + 1 ರಂತೆ, 25 × 7 = 112 + 56 + 7 = 175 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು 7 ರ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಷ್ಯಾದ ರೈತ ಗುಣಾಕಾರವು ರಷ್ಯಾದ ರೈತ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರದ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಎಡ ಕಾಲಮ್ನನ್ನು ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೌಲ್ಯವು 1 (ಅಥವಾ-1, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಬಲ ಕಾಲಮ್ನನ್ನು ಮೊದಲಿನಂತೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಎಡ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರುವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಡೆದು, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 238 × 13 =? ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಭಾಗ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಗಣಿತದ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಬೈನರಿ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಭಾರತಿ ಕೃಷ್ಣ ತೀರ್ಥರ ವೈದಿಕ ಗಣಿತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇತರ ಮೂಲಗಳು ಬೋಯರ್, ಕಾರ್ಲ್ ಬಿ. (1968) ಎ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಜಾನ್ ವಿಲೇ. ಬ್ರೌನ್, ಕೆವಿನ್ ಎಸ್. (1995) ದಿ ಅಖ್ಮಿನ್ ಪಪೈರಸ್ 1995---ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಯುನಿಟ್ ಫ್ರಾಕ್ಷನ್ಸ್. ಬ್ರೂಕ್ಹೈಮರ್, ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮ್, ಮತ್ತು ವೈ. ಸಾಲೋಮನ್ (1977) "ಸಮ್ ಕಮೆಂಟ್ಸ್ ಆನ್ ಆರ್. ಜೆ. ಗಿಲ್ಲಿಂಗ್ಸ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಫ್ ದಿ 2/ಎನ್ ಟೇಬಲ್ ಇನ್ ದಿ ರೈಂಡ್ ಪಪೈರಸ್", ಹಿಸ್ಟೋರಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ 4:445-52. ಬ್ರೂಯಿನ್ಸ್, ಎವರ್ಟ್ ಎಮ್. (1953) ಫಾಂಟ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥೆಸಿಯೋಸ್ಃ ಹೂಫ್ಡ್ಪಂಟೆನ್ ವ್ಯಾನ್ ಹೆಟ್ ಪ್ರೇ-ಗ್ರಿಕ್ಸೆ ಎನ್ ಗ್ರಿಕ್ಸೆ ವಿಸ್ಕಂಡಿಗ್ ಡೆನ್ಕೆನ್. ಲೈಡನ್ಃ ಇ. ಜೆ. ಬ್ರಿಲ್. --------(1957) "ಪ್ಲಾಟನ್ ಎಟ್ ಲಾ ಟೇಬಲ್ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ 2/ಎನ್", ಜಾನಸ್ 46:253-63. ಬ್ರೂಯಿನ್ಸ್, ಎವರ್ಟ್ ಎಮ್ (1981) "ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಅರ್ಥಮೆಟಿಕ್", ಜಾನಸ್ 68:33-52. --------(1981) "ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ವಿಘಟನೆಗಳು", ಜಾನಸ್ 68:281-97. ಬರ್ಟನ್, ಡೇವಿಡ್ ಎಮ್. (2003) ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ಃ ಆನ್ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್. ಬೋಸ್ಟನ್ Wm. ಸಿ. ಬ್ರೌನ್. ಚೇಸ್, ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಬಫಮ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. (1927) ದಿ ರೈಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪಪೈರಸ್. ಒಬೆರ್ಲಿನ್ಃ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕಾ. ಕುಕ್, ರೋಜರ್ (1997) ದಿ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್. ಒಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಕೋರ್ಸ್. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ಜಾನ್ ವಿಲೇ & ಸನ್ಸ್. ಕೌಚೌಡ್, ಸಿಲ್ವಿಯಾ. "ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ಸ್". ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಫೇರೋನಿಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನಗಳು, ಪ್ಯಾರಿಸ್, ಲೆ ಲಿಯೋಪರ್ಡ್ ಡಿ ಓರ್, 1993. ಡಾರೆಸಿ, ಜಾರ್ಜಸ್. "ಅಖ್ಮಿಮ್ ವುಡ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ಸ್", ಲೆ ಕೈರ್ ಇಂಪ್ರಿಮೆರಿ ಡಿ ಎಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫ್ರಾಂಕೈಸ್ ಡಿ ಆರ್ಕಿಯಾಲಜಿ ಓರಿಯಂಟಲ್, 1901,95-96. ಈವ್ಸ್, ಹೋವರ್ಡ್ (1961). ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದ ಪರಿಚಯ. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ಹೋಲ್ಟ್, ರೈನ್ಹಾರ್ಡ್ ಮತ್ತು ವಿನ್ಸ್ಟನ್. ಫೌಲರ್, ಡೇವಿಡ್ ಎಚ್. (1999) ದಿ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಪ್ಲೇಟೊಸ್ ಅಕಾಡೆಮಿಃ ಎ ನ್ಯೂ ರೀಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ. ಪ್ರೆಸ್ ಮಾಡಿ. ಗಾರ್ಡಿನರ್, ಅಲನ್ ಎಚ್. (1957) ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಗ್ರಾಮರ್ ಬೀಯಿಂಗ್ ಆನ್ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ದಿ ಸ್ಟಡಿ ಆಫ್ ಹೈರೋಗ್ಲಿಫ್ಸ್. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ಗಾರ್ಡ್ನರ್, ಮಿಲೋ (2002) "ದಿ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲೆದರ್ ರೋಲ್, ಅಟೆಸ್ಟೆಡ್ ಶಾರ್ಟ್ ಟರ್ಮ್ ಅಂಡ್ ಲಾಂಗ್ ಟರ್ಮ್" ಇನ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ದಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್, ಐವರ್ ಗ್ರ್ಯಾಟನ್-ಗಿನ್ನೆಸ್, ಬಿ. ಸಿ. ಯಾದವ್ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು), ನವದೆಹಲಿ, ಹಿಂದೂಸ್ತಾನ್ ಬುಕ್ ಏಜೆನ್ಸಿಃ 119-34. ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಸ್ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನ, ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಔಷಧದ ಇತಿಹಾಸದ ವಿಶ್ವಕೋಶದಲ್ಲಿ "ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ರೋಲ್ ಆಫ್ ಈಜಿಪ್ಟ್". ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ನವೆಂಬರ್ 2005. ಗಿಲ್ಲಿಂಗ್ಸ್, ರಿಚರ್ಡ್ ಜೆ. (1962) "ದಿ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲೆದರ್ ರೋಲ್", ಆಸ್ಟ್ರೇಲಿಯನ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್ 24:339-44. ಅವರ (1972) ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಇನ್ ದಿ ಟೈಮ್ ಆಫ್ ದಿ ಫೇರೋಗಳಲ್ಲಿ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆ. ಎಂಐಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ಡೋವರ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ನಿಂದ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆ, 1982. --------(1974) "ದಿ ರೆಕ್ಟೋ ಆಫ್ ದಿ ರೈಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪಪೈರಸ್ಃ ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಬರಹಗಾರನು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದನು?" ಆರ್ಕೈವ್ ಫಾರ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಎಕ್ಸ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೈನ್ಸಸ್ 12:291-98. --------- (1979) "ದಿ ರೆಕ್ಟೋ ಆಫ್ ದಿ ಆರ್ಎಂಪಿ ಅಂಡ್ ದಿ ಇಎಂಎಲ್ಆರ್", ಹಿಸ್ಟೋರಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ, ಟೊರೊಂಟೊ 6 (1979), 442-447. --------(1981) "ದಿ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲೆದರ್ ರೋಲ್-ಲೈನ್ 8. ಬರಹಗಾರನು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಿದನು? ಹಿಸ್ಟೋರಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಃ 456-57. ಗ್ಲಾನ್ವಿಲ್ಲೆ, ಎಸ್. ಆರ್. ಕೆ. "ದಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲೆದರ್ ರೋಲ್ ಇನ್ ದಿ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಮ್ಯೂಸಿಯಂ" ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಆರ್ಕಿಯಾಲಜಿ 13, ಲಂಡನ್ (1927): ಗ್ರಿಫಿತ್, ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ಲೆವೆಲಿನ್. ಪೆಟ್ರಿ ಪಾಪಿರಿ. ಕಹೂನ್ ಮತ್ತು ಗುರೋಬ್ (ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮಧ್ಯ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದ), ವೋಲ್ಸ್ನಿಂದ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಪಾಪಿರಿ. 1, 2. ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಕ್ವಾರಿಚ್, ಲಂಡನ್, 1898. ಗನ್, ಬ್ಯಾಟಿಸ್ಕೊಂಬೆ ಜಾರ್ಜ್. ಟಿ. ಇ. ಪೀಟ್ರ ದಿ ರೈಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪಪೈರಸ್ನ ವಿಮರ್ಶೆ. ದಿ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಆರ್ಕಿಯಾಲಜಿ 12 ಲಂಡನ್, (1926): 123-137. ಹಲ್ಷ್, ಎಫ್. ಡೈ ಎಲಿಮೆಂಟೆ ಡೆರ್ ಈಜಿಪ್ಟಿಸ್ಚೆನ್ ಥೀಹಂಗ್ಸ್ರೆಚ್ಮನ್ 8, übersicht über die ಲೆಹ್ರೆ ವಾನ್ ಡೆನ್ ಜೆರ್ಲೆಗಾಂಜೆನ್, (1895): 167-71. ಇಮ್ಹೌಸೆನ್, ಅನ್ನೆಟ್. "ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ಸ್ ಅಂಡ್ ದೇರ್ ಕಾಂಟೆಕ್ಸ್ಟ್ಸ್", ಸೈನ್ಸ್ ಇನ್ ಕಾಂಟೆಕ್ಸ್ಟ್ 16, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ (ಯುಕೆ), (2003): 367-389. ಜೋಸೆಫ್, ಜಾರ್ಜ್ ಘೆವರ್ಗೀಸ್. ದಿ ಕ್ರೆಸ್ಟ್ ಆಫ್ ದಿ ಪೀಕಾಕ್/ದಿ ನಾನ್-ಯುರೋಪಿಯನ್ ರೂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್, ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2000 ಕ್ಲೀ, ವಿಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು ವ್ಯಾಗನ್, ಸ್ಟಾನ್. ಓಲ್ಡ್ ಅಂಡ್ ನ್ಯೂ ಅನ್ಸಾಲ್ವ್ಡ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ಇನ್ ಪ್ಲೇನ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಅಂಡ್ ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿ, ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕಾ, 1991. ನಾರ್, ವಿಲ್ಬರ್ ಆರ್. "ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೀಸ್ನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ತಂತ್ರಗಳು". ಹಿಸ್ಟೋರಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ 9 ಬರ್ಲಿನ್, (1982): 133-171. ಲೆಗನ್, ಜಾನ್ ಎ. ಆರ್. "ಎ ಕಾಹುನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಫ್ರಾಗ್ಮೆಂಟ್". ಡಿಸ್ಕಷನ್ಸ್ ಇನ್ ಈಜಿಪ್ಟಾಲಜಿ, 24 ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್, (1992). ಲುನ್ಬರ್ಗ್, ಎಚ್. (1993) "ಜೆರ್ಲ್ಗಂಗ್ ವಾನ್ ಬ್ರೂಚೆನ್ ಇನ್ ಸ್ಟಾಂಬ್ರೂಚ್" ಲಿಯೊನಾರ್ಡಿ ಪಿಸಾನಿ ಲಿಬರ್ ಅಬ್ಬಾಸಿ ಅಥವಾ ಲೆಸೆವೆರ್ಗ್ನುಜೆನ್ ಐನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕರ್ಸ್, ವಿಸ್ಸೆನ್ಷಾಫ್ಟ್ಸ್ವೆರ್ಲಾಗ್, ಮ್ಯಾನ್ಹೈಮ್ಃ 81 = 85. ರಾಬಿನ್ಸ್, ಗೇ. ಮತ್ತು ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಶೂಟ್, ದಿ ರೈಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪಪೈರಸ್ಃ ಆನ್ ಏನ್ಷಿಯಂಟ್ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ "ಲಂಡನ್, ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಮ್ಯೂಸಿಯಂ ಪ್ರೆಸ್, 1987. ರೋರೋ, ಸಿ. ಎಸ್. "ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್" ಕಂಪ್ಯಾನಿಯನ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ದಿ ಹಿಸ್ಟರಿ ಅಂಡ್ ಫಿಲಾಸಫಿ ಆಫ್ ದಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ "ಐ. ಗ್ರ್ಯಾಟನ್-ಗಿನ್ನೆಸ್ (ಆವೃತ್ತಿ), ಲಂಡನ್, (1994): 30-45. ಸಾರ್ಟನ್, ಜಾರ್ಜ್. ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ದಿ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್, ಸಂಪುಟ I, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ವಿಲಿಯಮ್ಸ್ & ಸನ್, 1927 ಸ್ಕಾಟ್, ಎ. ಮತ್ತು ಹಾಲ್, ಎಚ್. ಆರ್., "ಲ್ಯಾಬೊರೇಟರಿ ನೋಟ್ಸ್ಃ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲೆದರ್ ರೋಲ್ ಆಫ್ ದಿ ಸೆವೆಂಟೀನ್ತ್ ಸೆಂಚುರಿ ಬಿಸಿ", ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಮ್ಯೂಸಿಯಂ ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಲಿ, ಸಂಪುಟ 2, ಲಂಡನ್, (1927): 56. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್, ಜೆ. ಜೆ. "ಆನ್ ಎ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇನ್ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ವಲ್ಗರ್ ಫ್ರಾಕ್ಷನ್ಸ್": ಅಮೇರಿಕನ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, 3 ಬಾಲ್ಟಿಮೋರ್ (1880): 332-335,388-389. ವೋಗೆಲ್, ಕರ್ಟ್. ಕೆಂಟ್ನಿಸ್ ಈಜಿಪ್ಟಿಸ್ಚರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ ಆರ್ಕೈವ್ ಫರ್ ಗೆಸ್ಚಿಚ್ಟೆ ಡೆರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್, ವಿ 2, ಜೂಲಿಯಸ್ ಶುಸ್ಟರ್, ಬರ್ಲಿನ್ (1929): 386-407 ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವೇರ್ಡೆನ್, ಬಾರ್ಟೆಲ್ ಲೀನ್ಡರ್ಟ್. ಸೈನ್ಸ್ ಅವೇಕನಿಂಗ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1963 ಹಾನಾ ವಿಮಾಜಲೋವಾ, ದಿ ವುಡೆನ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ಸ್ ಫ್ರಮ್ ಕೈರೋಃ ದಿ ಯೂಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಗ್ರೇನ್ ಯುನಿಟ್ HK3T ಇನ್ ಏನ್ಷಿಯಂಟ್ ಈಜಿಪ್ಟ್, ಆರ್ಕಿವ್ ಓರಿಯಂಟಲೈ, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಯು ಪ್ರೇಗ್, 2002. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು http://rmprectotable.blogspot.com RMP 2/n ಕೋಷ್ಟಕ https://web.archive.org/web/20130625181118/http:// ಸಾಪ್ತಾಹಿಕ. aharram. org. eg/2007/844 ಹೆರಿಟೇಜ್. htm http://emlr.blogspot.com ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲೆದರ್ ರೋಲ್ https://web.archive.org/web/20120913011126/http:// ಪ್ಲ್ಯಾನೇತ್ಮ್ಯಾಥ್. ಆರ್ಗ್/ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ/ಫಸ್ಟ್ಎಲ್ಸಿಎಂಎಂಮೆಥೋಡ್ ಆಕ್ಸಿಲಿಯರಿ ನಂಬರ್ಸ್. ಎಚ್ಎಂಎಲ್ https://web.archive.org/web/20120606142257/http:// ಪ್ಲ್ಯಾನೇತ್ಮ್ಯಾಥ್. ಆರ್ಗ್/ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ/ರೇಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್. ಎಚ್ಎಂಎಲ್ http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=6579539&tstart=0 ಗಣಿತ ವೇದಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಹ್ಮೆಸ್ ಪಪೈರಸ್ ರಷ್ಯಾದ ರೈತರ ಗುಣಾಕಾರದ 2/7 ಹೊಸ ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ವರ್ಗೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳು. ದಿ ಡೈಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯುಟಿಎಫ್ನಲ್ಲಿನ ರಷ್ಯನ್ ಪೀಸೆಂಟ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಮೈಕೆಲ್ ಎಸ್. ಷ್ನೇಯ್ಡರ್, ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು (ಮತ್ತು ಚೀನೀ) ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ಹೇಗೆ ರಷ್ಯಾದ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್-ನಂಬರ್ಫೈಲ್ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಗಣಿತ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ.