Geometric analysis
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಒಂದು ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಧನಗಳನ್ನು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಗಳು) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಅಂಡಾಕಾರದ ಪಿಡಿಇಗಳ ಬಳಕೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಇದೆ. ತೀರಾ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಂತಹ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಟಿಬೋರ್ ರಾಡೋ ಮತ್ತು ಜೆಸ್ಸಿ ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಅವರ ಕೆಲಸ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಜಾನ್ ಫೋರ್ಬ್ಸ್ ನ್ಯಾಶ್ ಜೂನಿಯರ್, ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ವೇಯ್ಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಲೂಯಿಸ್ ನಿರೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಡ್ಯಾನಿಲೋವಿಚ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೋವ್ ಮತ್ತು ಅಲೆಕ್ಸಿ ಪೊಗೊರೆಲೋವ್ ಅವರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಕೆಲಸದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ. 1980ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕರೆನ್ ಉಹ್ಲೆನ್ಬೆಕ್, ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಟೌಬ್ಸ್, ಶಿಂಗ್-ತುಂಗ್ ಯೌ, ರಿಚರ್ಡ್ ಸ್ಕೋನ್ ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಅವರ ಮೂಲಭೂತ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರೋಮಾಂಚಕಾರಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಕ ಯುಗವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದವು, ಅದು ಇಂದಿಗೂ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ. ರಿಚರ್ಡ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಡೆಸಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ಗ್ರಿಗೊರಿ ಪೆರೆಲ್ಮನ್ರ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಊಹೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಾಧನೆಯಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ಬಳಕೆ (ಇದನ್ನು "ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪಿಡಿಇ" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಬಾಗಿದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನೂ ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬಲವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಜಾಗತಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆಃ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಕಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮಾಪನಗಳು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಕನಿಷ್ಠ ಉಪಮಾನಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸೂಡೊಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ರಿಕ್ಕಿ ಹರಿವು ಯಮಬೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳು