II25,1
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, II25,1 ಎಂಬುದು ಸಮ 26-ಆಯಾಮದ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹಲವಾರು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೂನ್ಯ ವೇಯ್ಲ್ ವಾಹಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಕಾನ್ವೇ ಅವರ ಆವಿಷ್ಕಾರದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಲೀಚ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ λ ಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾನ್ವೇ ಗುಂಪು Co1 ಅನ್ನು ಅದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ. a1b1 + ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ (a1,., am + n) ಮತ್ತು (b1,., bm + n) ನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ m + n-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Rm + n ಗೆ Rm, n ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಜಾಲರಿ II25,1 ಅನ್ನು R25,1 ರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳು (a1,., a26) ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಎಐ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಅಥವಾ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಪ್ಲಸ್ 1/2 ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪು ಜಾಲರಿ II25,1, λ ωH ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿಃ λ ಎಂಬುದು ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿ, H ಎಂಬುದು 2-ಆಯಾಮದ ಸಮ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಜಾಲರಿ, ಇದು 2 ನಾರ್ಮ್ 0 ವಾಹಕಗಳು z ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ-1 ರೊಂದಿಗೆ w ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಂಕಲನಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು II25,1 ನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು (λ, m, n) = λ + mz + nw ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು λ ಅನ್ನು λ ಮತ್ತು m, n ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ (λ, m, n) λ2-2mn ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲು, ಲೆಟ್, ಮತ್ತು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು 2-ಆಯಾಮದ ಸಮ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು λ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ-1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂಲಗಳು (ನಾರ್ಮ್ 2 ವಾಹಕಗಳು) w = (0,0,1) ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪಿನ ಸರಳ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಕಾನ್ವೇ ತೋರಿಸಿದರು. ಇವು ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ λಗೆ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ (λ, 1, λ 2/2-1). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸರಳವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿಯ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದಲ್ಲದೆ ಇದು ಸರಳವಾದ ಬೇರುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿಯವರೆಗಿನ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪು 25-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ 1+23 + 284 ಶೃಂಗಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೃಂಗವು 0 ವೇಯ್ಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ 23 ಕಕ್ಷೆಗಳು ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಖಗಳನ್ನು ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಶೃಂಗಗಳು ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿಯ ಆಳವಾದ ರಂಧ್ರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ 23 ನೀಮಿಯರ್ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ 23 ಕಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. ಈ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ಸರಳವಾದ ಬೇರುಗಳು 24ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಫೈನ್ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳ 284 ಕಕ್ಷೆಗಳು. ಇವು ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿಯ ಆಳವಿಲ್ಲದ ರಂಧ್ರಗಳ 284 ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ಸರಳವಾದ ಬೇರುಗಳು 25ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗೋಳಾಕಾರದ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು II25,1 ರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪನ್ನು (II25,1) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಆಟೋ (II25,1) ಎಂಬುದು ಸಮಯದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಉಪಗುಂಪು ಆಟೋ + (II25,1) ನಿಂದ-1 ರಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕ್ರಮ 2 ರ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಆಟ + (II25,1) ಅದರ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ರೆಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರ ಸರಳ ಬೇರುಗಳು ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗುಂಪು ಆಟ + (II25,1)/ರೆಫ್ ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿಯ ಅಫೈನ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ λ = Z24 ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನುವಾದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಂಶವು ಲೀಚ್ ಜಾಲರಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಕಾನ್ವೇ ಗುಂಪಿನ ಸಿಒ 1 ನ ಎರಡು ಕವರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ವಿರಳವಾದ ಸರಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು II25,1 ರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಾಚೀನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಸಾಕು. ಧನಾತ್ಮಕ ಮಾನದಂಡ ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಾಚೀನ ವಾಹಕಗಳು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾರ್ಮ್ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು 24 ನೀಮಿಯರ್ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಚೀನ ನಾರ್ಮ್ 0 ವಾಹಕಗಳ 24 ಕಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ z ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ 0 ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಾಲಕವು 24-ಆಯಾಮದ ಸಮ ಏಕರೂಪದ ಜಾಲಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನೀಮಿಯರ್ ಜಾಲಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. II25,1ರ ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಂಪಿನ 0 ವೇಯ್ಲ್ ವಾಹಕದ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನೀಮಿಯರ್ ಜಾಲರಿಯು ಲೀಚ್ ಜಾಲಿಯಾಗಿದೆ. ನಾರ್ಮ್-2 ವಾಹಕಗಳು ನಾರ್ಮ್-2 ರ ವಾಹಕಗಳ 121 ಕಕ್ಷೆಗಳಿವೆ, ಇದು ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ 2 ರ 25-ಆಯಾಮದ ಸಮ ಜಾಲರಿಗಳ ಎಲ್ ನ 121 ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿ ನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ನಾರ್ಮ್-4 ವಾಹಕಗಳು 25-ಆಯಾಮದ ಏಕರೂಪದ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ ನ 665 ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಾರ್ಮ್-4 ರ ವಾಹಕಗಳ 665 ಕಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ ನ ಸಮ ವಾಹಕಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಸಬ್ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿ ನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇತರ ವಾಹಕಗಳು ನಾರ್ಮ್-2 ಎನ್ ನ ವಾಹಕಗಳ ಹೋಲುವ ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿವರಣೆಗಳಿವೆ. ಎನ್ = 3,4,5, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಕಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಾನ್ವೇ, ಜೆ. ಎಚ್.; ಸ್ಲೋಯೆನ್, ಎನ್. ಜೆ. ಎ. (1999). ಗೋಳಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳು, ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳು. (3ನೇ ಆವೃತ್ತಿ.) ಇ. ಬನ್ನಾಯ್, ಆರ್. ಇ. ಬೋರ್ಚರ್ಡ್ಸ್, ಜಾನ್ ಲೀಚ್, ಸೈಮನ್ ಪಿ. ನಾರ್ಟನ್, ಎ. ಎಂ. ಓಡ್ಲಿಸ್ಕೊ, ರಿಚರ್ಡ್ ಎ. ಪಾರ್ಕರ್, ಎಲ್. ಕ್ವೀನ್ ಮತ್ತು ಬಿ. ಬಿ. ವೆಂಕೋವ್. ಗ್ರುಂಡ್ಲೆಹ್ರೆನ್ ಡೆರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಸ್ಚೆನ್ ವಿಸ್ಸೆನ್ಶಾಫ್ಟೆನ್, 290. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್. .. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಬಿಂದುಗಳು ಸ್ಪೋರಾಡಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮೂನ್ಶೈನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ