Kulkarni–Nomizu product
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕುಲಕರ್ಣಿಯ-ನೋಮಿಜು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (ರವೀಂದ್ರ ಶ್ರೀಪಾದ್ ಕುಲಕರ್ಣಿಯ ಮತ್ತು ಕಟ್ಸುಮಿ ನೋಮಿಜು ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ) ಎರಡು-ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ-ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ h ಮತ್ತು k ಸಮ್ಮಿತೀಯ-ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ Xj ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಒಟ್ಟು ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಷನ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕುಲಕರ್ಣೀ-ನೋಮಿಜು ಉತ್ಪನ್ನವು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸರಳ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ, (ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಕುಲಕರ್ಣಿಯ-ನೋಮಿಜು ಉತ್ಪನ್ನವು ರೀಮನ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ. ಸ್ಥಿರ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳು) ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ನಯವಾದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು, ರೀಮಾನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಕುಲ್ಕರ್ನಿ-ನೋಮಿಜು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಅಂದರೆ, ನಾವು-ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ರೀಮಾನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಓದುವ ರಿಕ್ಕಿ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ. ಮೇಲಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕುಲಕರ್ಣೀ-ನೋಮಿಜು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ ಇದು ರೀಮನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿರುವ ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆ (ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಸ್ಕೌಟೆನ್ ಟೆನ್ಸರ್) ಮತ್ತು ವೇಯ್ಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ವಕ್ರತೆಗೆ ನೀಡುವ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರಿಕ್ಕಿ ವಿಭಜನೆಯು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ g ಇದ್ದಾಗ, ತನ್ನೊಂದಿಗೆ g ನ ಕುಲ್ಕರ್ಣಿ-ನೋಮಿಜು ಉತ್ಪನ್ನವು 2-ರೂಪಗಳ ಜಾಗದ ಗುರುತಿನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ω2 (M), ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಎಂಡ್ (ω2 (M)) ಅನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ω2 (M) ω2 (M) ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವ (ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬಳಸಿ) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ. ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು k ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ರೀಮಾನ ಟೆನ್ಸರ್ g ಎಂಬುದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು