Riemannian submersion
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮುಳುಗುವಿಕೆಯು ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಮುಳುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಎಂ, ಜಿ) ಮತ್ತು (ಎನ್, ಎಚ್) ಎರಡು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು (ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್) ಸಬ್ಮರ್ಶನ್, ಅಂದರೆ ಫೈಬರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಮತಲ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಉಪ-ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎರಡನ್ನೂ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಉದ್ದವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಫ್ ಅನ್ನು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸಬ್ಮರ್ಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಲೈ ಗುಂಪು ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ, ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ ವರ್ತಿಸಿದಾಗ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮುಳುಗುವಿಕೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿದ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸಬ್ಮರ್ಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘಟಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಘಟಕವಾರು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಹೋಪ್ ಫೈಬ್ರೇಶನ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ರಿಮಾನಿಯನ್ ಮುಳುಗುವಿಕೆಯ ಗುರಿ ಸ್ಥಳದ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಸ್ಥಳದ ವಕ್ರತೆಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಬ್ಯಾರೆಟ್ ಒ 'ನೀಲ್ಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಒ' ನೀಲ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಇವೆ, ಅವುಗಳ ಸಮತಲ ಲಿಫ್ಟ್ಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಲಂಬ ವಿತರಣೆಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ಕೆಳ ಮಿತಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ಕೆಳ ಮಿತಿಯಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಸಬ್ಮೆಟ್ರಿ ಕೋ-ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಕ್ಷೆ ಫೈಬರ್ಡ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ನೋಟ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಬ್ಯಾರೆಟ್ ಒ 'ನೀಲ್. ಮುಳುಗುವಿಕೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಮಿಚಿಗನ್ ಗಣಿತ. ಜೆ. 13 (1966), 459-469. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳು