Baire set
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಬೊರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಕೆಲವು ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಹಲವಾರು ಅಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗದ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾದ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಬೈರ್ ಅಳತೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ σ-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಳತೆಗಳು, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಚೌಕಟ್ಟಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಂತಹ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಬೈರ್ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಗ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ಅನೇಕ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೇಸ್ ಇಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಕೆಲವು ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಬೈರ್ ಅಳತೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಯಮಿತ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದವರು, ಮತ್ತು, ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ಬೈರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹೆಸರಿಟ್ಟರು, ಇವುಗಳಿಗೆ ರೆನೆ-ಲೂಯಿಸ್ ಬೈರ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಅಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ, ಆದರೂ ಈ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ σ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಥವಾ σ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಇರುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕುನಿಹಿಕೋ ಕೊಡೈರಾ ಅವರು ಕೆಲವು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು (ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿ "ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಬೈರ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಬಿಂದುವಾರ ಮಿತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಚಿಕ್ಕ ವರ್ಗ). ಇದು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದಂತಹ ಚಿಕ್ಕ σ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳೆಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ σ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಬೈರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಬೈರ್ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗದ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಿಡಿ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ σ-ರಿಂಗ್ನ ಅಂಶಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ σ-ಉಂಗುರಗಳು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಫ್ಯಾಷನ್ನಿಂದ ಹೊರಗಿವೆ. ಜಾಗವು σ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮುಂದಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಡಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಿಡಿ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಬೈರ್ ಅಳತೆಗಳು ನಂತರ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೂರನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೂರನೆಯ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹಾಲ್ಮೊಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಕೇವಲ σ-ರಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಿಡಿ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಿಕ್ಕ σ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಸದಸ್ಯನಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬೈರ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳ σ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ Gδ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾದ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು (ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ; ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ). σ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಇದು ಹಾಲ್ಮೊಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. σ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಪೂರಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಾಲ್ಮೊಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಬೈರ್ ಅಳತೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಜವಲ್ಲಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಳತೆ 0 ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಬೈರ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಹ-ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ 1 ಅನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಬೈರ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯು ನಿಯಮಿತವಲ್ಲದ ಬೈರ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ σ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲದ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಬೈರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾಗದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಮೂರನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪೂರಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಮೂರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಜಿ. ಡಿ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X ಒಂದು ಅನಂತ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, X ನಲ್ಲಿನ ಏಕೈಕ ನಿರಂತರ ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ X ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮುಚ್ಚಿದ Gδ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ σ-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಎಂದಿಗೂ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ, ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಬೈರ್ ಅಳತೆ (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳ σ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಳತೆ) ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ, ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಬೈರ್ ಅಳತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು, ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂಗ್ರಹವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೈರ್ ಅಳತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಳದ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳದ) ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಮಾಣಕವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸೆಕ್ಟ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. 51 "ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು". .. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸೆಕ್ಟ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. 7. 1 "ಬೈರ್ ಮತ್ತು ಬೋರೆಲ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ" ಮತ್ತು ಪಂಥ. 7. 3 "ನಿಯಮಿತತೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆ". ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತ