Obstacle problem
ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪ್ರೇರಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಇಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಮೆಂಬರೇನ್ನ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಗಡಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹಿಡಿದಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಡಚಣೆಯ ಮೇಲೆ ಇರಲು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಆಳವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ರಂಧ್ರಗಳ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿನ ದ್ರವ ಶೋಧನೆ, ನಿರ್ಬಂಧಿತ ತಾಪನ, ಎಲಾಸ್ಟೋ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯಂತ್ರಣ ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕನಿಷ್ಠಕಾರಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು, ಕೆಲವು ಡೊಮೇನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೆಂಬರೇನ್ನ ಲಂಬ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಮೆಂಬರೇನ್ನ ಸ್ಥಿರ ಗಡಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ನೀಡಲಾದ ಅಡಚಣೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪರಿಹಾರವು ಕಾಂಟ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಡಚಣೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಅಡಚಣೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಸಂಪರ್ಕವು ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ದ್ರಾವಣವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ದ್ರಾವಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯನ್ನು ಕೆಲವು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಹೋಲ್ಡರ್ ನಿರಂತರ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನಯವಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುತ್ತದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವುದು ಒಂದು ಅಡಚಣೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಪೊರೆಯ ಆಕಾರ ಒಂದು ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಸೋಪ್ ಫಿಲ್ಮ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಆಕಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗಡಿ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪ್ರಸ್ಥಭೂಮಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡಿ), ಪೊರೆಯು ಡೊಮೇನ್ನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಡೆತಡೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಲಗಲು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅವಧಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಶಕ್ತಿಯ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಸ್ಟಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಸರಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ನಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸಿದ ನಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಾವತಿಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಲುಗಡೆ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ. ನಿಲ್ಲಿಸುವ ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆ ಸಂಪರ್ಕ ಗುಂಪನ್ನು ತಲುಪಿದ ನಂತರ ನಿಲ್ಲಬೇಕು. ಔಪಚಾರಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ನಯವಾದ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓಪನ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಡೊಮೇನ್ ಆರ್. ಎನ್., ಎಲ್ಲದರ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸ್ಮೂತ್ ಫಂಕ್ಷನ್, ಅಂದರೆ <, ಅಂದರೆ. (ಅದರ ಜಾಡಿನ) ಗಡಿಯ ನಿರ್ಬಂಧವು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ವರ್ಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ದುರ್ಬಲ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಜಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಡಚಣೆಯ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ. ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಶಕ್ತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ; ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ ಅಂತಹ ಕನಿಷ್ಠಕಾರಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪುನರ್ರಚಿಸಬಹುದು. ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಎನರ್ಜಿ ಮಿನಿಮೈಸರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಎಲ್ಲಿ ̃ ಎಂದು ಹುಡುಕುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. , ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ω: Rn × Rn → R ಎಂಬುದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ವಾಹಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Rn ನಲ್ಲಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಒಟ್ಟಾರೆ ಸ್ಥಳದ ಕೆಲವು ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಲವಂತದ, ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ, ಸೀಮಿತ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕನಿಷ್ಠ ಸೂಪರ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಾದವು, ಸಂಪರ್ಕ ಗುಂಪಿನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮರಸ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದವು ಕಾಂಟ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಸೂಪರ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ವಾದಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಪರಿಹಾರವು ಸೂಪರ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವದ ಅನ್ವಯವು ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸೂಪರ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಅಡೆತಡೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಡೆತಡೆ ಸ್ವತಃ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರದ ನಿರಂತರತೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ನಿರಂತರತೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅಡೆತಡೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಅಡಚಣೆಯು ನಿರಂತರತೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಪರಿಹಾರವು ನಿರಂತರತೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಡಚಣೆಯಲ್ಲ. ಅಡಚಣೆಯ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರಂತರತೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರದ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರಂತರತೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಮತ್ತೆ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯು ಅವನತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಅಡಚಣೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಟ್ಟದ ಸೆಟ್ಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ. ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯು, ಪರಿಹಾರವು ಅಡಚಣೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಗಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅವು ಸ್ವತಃ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಅಡೆತಡೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಇತರ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳಾದ ಏಕರೂಪದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸಲು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಅಡಚಣೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಕೆಳಗೆ ಇರಲು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಅಡೆತಡೆಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಸಹ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಸಿಗ್ನೋರಿನಿ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅಡೆತಡೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಾಸಿಸುವ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗಡಿ ಅಡೆತಡೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಸೇರಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧವು ಡೊಮೇನ್ನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್, ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯಗಳಾಗಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಸಿಗ್ನೋರಿನಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. "ಲಿಯೋನಿಡಾ ಟೊನೆಲ್ಲಿ ಅಂಡ್ ದಿ ಪಿಸಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸ್ಕೂಲ್" ಎಂಬುದು ಪಿಸಾದಲ್ಲಿ ಟೊನೆಲ್ಲಿಯ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಶಾಲೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೇಲೆ ಅವರ ಪ್ರಭಾವದ ಸಮೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಮೌರೋ ಪಿಕೋನ್ ಮತ್ತು ಲಿಯೋನಿಡಾ ಟೊನೆಲ್ಲಿಯ ಜನ್ಮ ಶತಮಾನೋತ್ಸವದ ಆಚರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಮೇ 6-9,1985 ರಂದು ರೋಮ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆಯಿತು). ಲೇಖಕರು ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಮರಣದ ನಂತರ, ಪಿಸಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಧ್ಯಕ್ಷರಾಗಿದ್ದರು, ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗದ ಡೀನ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ರೆಕ್ಟರ್ ಆದರುಃ ಅವರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೇಲೆ ಬಲವಾದ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಬೀರಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಲೇಖಕರು ಸ್ವತಃ ಹೇಳುವಂತೆ, "ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರವಾದ ವಿವರಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೂಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳ" ಸಮೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. .. .. 1998 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಕೂಲಾ ನಾರ್ಮಲ್ ಸೂಪರಿಯೋರ್ನಲ್ಲಿ ಲೇಖಕರು ನೀಡಿದ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ