Ehresmann connection
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು (ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಿದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ರ ನಂತರ) ಸಂಪರ್ಕದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ರೇಖೀಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಪ್ರಧಾನ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಪರ್ಕಗಳು, ಇವು ಪ್ರಧಾನ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ನ ವಿಭಾಗದ ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ವಾಹಕದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬಂಡಲ್ನ ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಭಾಗದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಹ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ವಿಭಾಗವು x ವಾಹಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದು ಎಂದರೆ ಏನು ಎಂಬುದರ ಕಲ್ಪನೆ. ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಿಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ವಿಭಾಗಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಪ್ರತಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಒಟ್ಟು ಜಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮತಲ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಸಮತಲ ಜಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು X ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಇಲ್ಲಿ ನಾವು s ಅನ್ನು ಬೇಸ್ M ನಿಂದ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ E ವರೆಗಿನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮತಲ ಸ್ಥಳಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಕೇವಲ ವಾಹಕ ಕಟ್ಟುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾದ ವರ್ಗದ ರಚನೆಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ತಕ್ಷಣದ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅನೇಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಇನ್ನೂ ಉಳಿದಿವೆಃ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾರಿಗೆ, ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ಹೋಲೋನಮಿ. ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ಹೊರತಾಗಿ, ಸಂಪರ್ಕದ ಕಾಣೆಯಾದ ಘಟಕಾಂಶವೆಂದರೆ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ನಂತರದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ-ಇದು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಅಲ್ಲ-ಮತ್ತು ನಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ, ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ನ ನಾರುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಲೈ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ತತ್ವವನ್ನು ವಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಸಮತಲ ಸ್ಥಳಗಳು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಅಂತಿಮ ಸ್ಪರ್ಶವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪದಂತೆಯೇ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಗುಂಪು ನಾರುಗಳ ಮೇಲೆ ವರ್ತಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ರೂಪವೂ ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪವು ವಕ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಕ್ರತೆಯ ರೂಪವಾಗಿಯೂ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನಯವಾದ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಇ ನ "ನಾರುಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ" ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಲಂಬ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ವಿ ಅಟ್ನ ಫೈಬರ್ ಆಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಮ್ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಈ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಅಸಮ್ಮಿತಿಯು ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು "ಕೇವಲ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ" ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.) ಸಮತಲ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ Eಯ ಮೇಲೆ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಒಂದು ನಯವಾದ ಉಪಗುಂಪು H ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕದ ಸಮತಲ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು Vಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ನೇರ ಮೊತ್ತದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ, ಸಮತಲ ಬಂಡಲ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ, e ನಲ್ಲಿ E ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು e ನಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಮತಲ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. e ಮೇಲೆ ಸಲೀಸಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ,. ಟಿ. ಇ. ಇ. ಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವು (ಯಾವುದೇ ಇ. ಯು. ಇ. ಗೆ) ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಘಟಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಟಿ. ಇ. ಇ. = ಹಿ + ವಿ. ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಮತಲ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಂತಹ ನಿಯೋಜನೆಯು ಜೆಟ್ ಬಂಡಲ್ J1E → E ನ ನಯವಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಟಿಇ ಅನ್ನು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ) ಟಿ. ಇ. ಯಿಂದ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆಃ 2 =; ಇದು ವಿ = ಇಮ್ ಮೇಲಿನ ಗುರುತಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಟಿಇಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಈ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಎಚ್ = ಕೆರ್ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಮತಲ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಇ ಮೇಲೆ ಟಿಇ-ಮೌಲ್ಯದ 1-ರೂಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮುಂಬರುವ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತಲ ಲಿಫ್ಟ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾರಿಗೆ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಬೇಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂನಿಂದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಇ ಯ ಒಟ್ಟು ಜಾಗಕ್ಕೆ ಎತ್ತುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಮತಲ ಲಿಫ್ಟ್ಗಳು ಸಂಪರ್ಕ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಇತರ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾರಿಗೆಯ ನೇರ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x = γ (0) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ M ನಲ್ಲಿ γ (t) ಒಂದು ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. x ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫೈಬರ್ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವು e bul Ex ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಟಿ. ಇ. ಯ ಸಮತಲ ಉಪಗುಂಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, γ ನಿಂದ e ಯ ಲಿಫ್ಟ್ ಒಟ್ಟು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ E ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಲಿಫ್ಟ್ ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು π ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಶ್ರೇಣಿ-ಶೂನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ X ω TxM ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮತಲ ಲಿಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, γ ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಬಂಡಲ್ γ * E ಯ ಒಟ್ಟು ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮತಲವಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, x = γ (0) ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆ γ ಮತ್ತು ಬಿಂದು e ಗೆ, ಸಣ್ಣ ಸಮಯ t ಗೆ γ ಮೂಲಕ e ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮತಲ ಲಿಫ್ಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಗಮನಿಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ, ಸಮತಲ ಲಿಫ್ಟ್ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. M ನಲ್ಲಿನ ಎರಡು ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, γ1 (0) = γ2 (0) = x0 ನಲ್ಲಿ ಒಗ್ಗೂಡಿದಾಗ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಅದೇ e bulπ−1 (x0) ಮೂಲಕ E ಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಎತ್ತಿದಾಗ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ π−1 (x1) ನ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ. ಫೈಬರ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಇದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ Hನ ವಿಭಾಗಗಳ ಅಂತರವು Eಯಲ್ಲಿನ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅಂತರದ ಲೈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ) ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಲೈ ಆವರಣದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ. ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಈ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ವಕ್ರತೆಯಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಕ್ರತೆಯು ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ [-,-] ನ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಫ್ರೊಲಿಚರ್-ನಿಜೇನ್ಹುಯಿಸ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ω1 (ಇ, ಟಿಇ) ನೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಆರ್ (ಇ, ಟಿಇ) ಯು ಟಿಇಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇ ಮೇಲಿನ ಎರಡು-ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ, ಇತರ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಎಕ್ಸ್ = ಎಕ್ಸ್ಎಚ್ + ಎಕ್ಸ್ವಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಚ್ ಮತ್ತು ವಿ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಕ್ರತೆಯ ಈ ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ, ಸಮತಲವಾದ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ವಕ್ರತೆಯು ಸಮತಲವಾದ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ಗೆ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ E → M ನ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ವಕ್ರತೆಯು ಬಿಯಾಂಚಿ ಗುರುತಿನ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ [-,-] ಫ್ರೊಲಿಚರ್-ನಿಜೆನ್ಹುಯಿಸ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ω1 (E, TE) ಮತ್ತು R ω2 (E, TE) ಆಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮತಲ ಲಿಫ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆತ್ತಬಹುದು. ಹೋಲೋನಮಿ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಮತೋಲನವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮತಲ ಸ್ಥಳಗಳ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ, ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ವಕ್ರತೆಯು ಸಂಪರ್ಕದ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಧಾನ ಕಟ್ಟುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನ ಸಂಪರ್ಕಗಳು E ಯು M ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಪ್ರಧಾನ G-ಕಟ್ಟು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ E ಮೇಲೆ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕ H ಅನ್ನು E ಮೇಲಿನ G ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ e ω E ಮತ್ತು g ω G ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಪ್ರಧಾನ (ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್) ಸಂಪರ್ಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲಿ e ನಲ್ಲಿ E ಮೇಲೆ g ನ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. G ಯ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳು E ಮೇಲೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದವು ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಗುಂಪು G ಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪವನ್ನು ನಂತರ ω (X) = ι (X) ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ g ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ E ಮೇಲೆ 1-ರೂಪ ω ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪ ω ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಇದು G ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ h ωG ಗೆ, ಇಲ್ಲಿ Rh * ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು AD ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ G ಯ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧಿತ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ ω (X) = ι (X). ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ಜಿ-ಮೌಲ್ಯದ 1-ರೂಪವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಮತಲ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಯ ಟ್ರಿವಿಯಲೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ω ಅನ್ನು ಸಮತಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಈ ಟ್ರಿವಿಯಲೈಸೇಷನ್ನಲ್ಲಿ). ಇದು ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಮೂಲಕ M ಮೇಲೆ 1-ರೂಪ ω 'ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ω ರೂಪವು ω ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಈ ರೂಪವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ω ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು E ಎಂಬುದು M ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ E ಮೇಲೆ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕ H ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ (ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್) ಸಂಪರ್ಕವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. E ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಲಂಬವಾದ ಬಂಡಲ್ V ಯು π * E ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ s ಯು E ಯ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, (ds): TM → s * V = s * π * E = E. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಹೋಮ್ (ಟಿಎಂ, ಇ) ನ ವಿಭಾಗದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಇದು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು, x = π (e) ಯೊಂದಿಗೆ e ωE ಅನ್ನು dsx (TxM) ಚಿತ್ರವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ s ಎಂಬುದು s (x) = e ಯೊಂದಿಗೆ E ಯ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ X ω TxM ಗೆ ωXs = 0 ಆಗಿದೆ. (ಐತಿಹಾಸಿಕ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ) ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ರೇಖೀಯ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಟ್ಟು ಅಥವಾ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಫೈನ್ ಎಂಬ ಪದದಂತೆ-ಅಫೈನ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನೋಡಿ) ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು (ಒಂದು ರಚನೆಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೂಡಿದೆ) ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ Eಯಲ್ಲಿನ (ರೇಖೀಯ) ಸಂಪರ್ಕವು, ಮೇಲಿನಂತೆ Eಯ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು Eಯ ಫ್ರೇಮ್ಗಳ PEಯ ಸಂಬಂಧಿತ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, PEಯಲ್ಲಿನ ಸಂಪರ್ಕವು Eಯಲ್ಲಿ (ರೇಖೀಯ) ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದು PEಯಲ್ಲಿನ ಸಂಪರ್ಕವು ಫ್ರೇಮ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಪರ್ಕ). ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧಿತ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸದಿರಬಹುದು. E ಯು P ಯ ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಕಟ್ಟು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ E = P × GF. E ಮೇಲಿನ ಒಂದು G-ಸಂಪರ್ಕವು ಎಹ್ರೆಸ್ಮನ್ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದ್ದು, ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾರಿಗೆ ನಕ್ಷೆ τ: Fx → Fx′ ಅನ್ನು ಫೈಬರ್ಗಳ G-ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (M ನಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುಗಳಾದ x ಮತ್ತು x′ ಅನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಪಿ ಮೇಲೆ ಪ್ರಧಾನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿತ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಇ = ಪಿ × ಜಿಎಫ್ ಮೇಲೆ ಜಿ-ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, Eಯ ಮೇಲೆ G-ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ Pಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಧಾನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು, ವಿಶಿಷ್ಟ ಫೈಬರ್ Fಯ ಮೇಲೆ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. G ಎಂಬುದು Fಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ, Fಯೊಳಗೆ ಬಿಂದುಗಳ (y1,., ym) ಸೀಮಿತ ಸಂರಚನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ G-ಕಕ್ಷೆ R = {(gy1,., ಜಿಮ್) | g ω G} Gಯ ಪ್ರಮುಖ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. Fಯ ಮೇಲೆ G-ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು R ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಗಮನಿಸಿ, R ಎಂಬುದು Gಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ E (R). ಇ ಮೇಲೆ ಸಮತಲ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿತರಣೆಯು ಈ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಂಡಲ್ನ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಾರಿಗೆ ನಕ್ಷೆಗಳು ಜಿ-ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಇ (ಆರ್) ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಜಿ-ಸಂಪರ್ಕವು ಇ (ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಧಾನ ಜಿ-ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಫೈಬರ್ ಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಪ್ರಧಾನ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಅವರೋಹಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಫೈಬರ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಜಿ-ಸಂಪರ್ಕಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ (ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ) ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಜಿ ರಚನೆಯ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಫೈಬರ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಧಾನ ಸಂಪರ್ಕವು ಸಂಬಂಧಿತ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಜಿ-ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಬಂಧಿತ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಣವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಟನ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮುಖ್ಯ ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವ ರೌಲ್ ಬಾಟ್ (1970) "ಸಮಗ್ರತೆಗೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಡಚಣೆ", ಪ್ರೊಕ್. ಸಿಂಪ್. ಶುದ್ಧ ಮಠ., 16 'ಆಮೇರ್. ಗಣಿತ. , ಪ್ರಾವಿಡೆನ್ಸ್, ಆರ್. ಐ. ಸಂಪರ್ಕ (ಗಣಿತ)