Reflection principle (Wiener process)
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವು ಹೇಳುವಂತೆ, ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ f (t) ಮಾರ್ಗವು t = s ಸಮಯದಲ್ಲಿ f (s) = a ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ, ನಂತರ ಸಮಯದ ನಂತರದ ಮಾರ್ಗವು a ಮೌಲ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ನಂತರದ ಮಾರ್ಗದ ಪ್ರತಿಫಲನದಂತೆಯೇ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅಥವಾ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪರಮಾಧಿಕಾರದ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಯ t ವರೆಗಿನ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಸರ್ವೋನ್ನತ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಮಯ t ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಬಲವಾದ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಮಿತಿ (ದಾಟುವ ಬಿಂದು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಮ್ಮಾ ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾರ್ಗವೂ (ಒಂದು ಮಾದರಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರ) ಮೌಲ್ಯ/ಮಟ್ಟ/ಮಿತಿ/ದಾಟುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಸಮಯವು () ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕೆಲವು ಮುಂಚಿನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಿತಿ () ಅನ್ನು ದಾಟಿ (ತಲುಪಿದೆ) ಆಗಿರಬೇಕು. (ಇದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ದಾಟಬಹುದು, ನಾವು ಮೊದಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.) ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾರ್ಗಕ್ಕೂ, ನೀವು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಮೂಲ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿ ಮಟ್ಟದ ಸುತ್ತ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮಾರ್ಗಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಕೆಳಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ತಲುಪುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ, ಅರ್ಧವು ಕೆಳಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಧವು ಮೇಲೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ಮುಗಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ತಲುಪುವ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಬಲವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವು ಒಂದು ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನವೂ ಸಹ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿಃ ಮತ್ತು ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಲವಾದ ರೂಪವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮೂಲ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ a, ಅನ್ನು ತಲುಪಲು ಆರಂಭಿಕ ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಯವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಬಲವಾದ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಅದರ ನಂತರದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಮಾರ್ಗವು ಸಹ ಸರಳವಾದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಕೊನೆಯ ಬಾರಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗಾಗಿ ಗೋಪುರದ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ, ಎರಡನೇ ಪದವು ಹೀಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. .. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವವು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾದ ಸ್ಥಳವು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಲೆವಿ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳು