Griffiths inequality
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್-ಕೆಲ್ಲಿ-ಶೆರ್ಮನ್ ಅಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಜಿಕೆಎಸ್ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ರಾಬರ್ಟ್ ಬಿ. ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಿನ್ ಫ್ಲಿಪ್ಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ನ 'ಎ-ಪ್ರಿಯೋರಿ ವಿತರಣೆ' ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಎರಡು ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಗಳ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅವರು ಎರಡು-ದೇಹ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಐಸಿಂಗ್ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ನಂತರ ಕೆಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಶೆರ್ಮನ್ ಅವರು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಪಿನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅವರು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಪಿನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಗಿನಿಬ್ರೆ ನೀಡಿದರು, ಮತ್ತು ಈಗ ಇದನ್ನು ಗಿನಿಬ್ರೆ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ (ನಿರಂತರ ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕ) ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿರಲಿ. ಎ ಱ್ಎಲ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸೈಟ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಬಹುಶಃ ನಕಲುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಎ ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಮೇಲೆ a-ಆದ್ಯತೆಯ ಅಳತೆ dμ (σ) ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿ; ಮೊತ್ತವು A ತಾಣಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ರೂಪದ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ H ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಎಂದಿನಂತೆ, ಇದು ಸಮೂಹದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ತಾಣಗಳ ಪಟ್ಟಿ A, JA ≤0 ಆಗಿದ್ದರೆ. ಸ್ಪಿನ್ ಫ್ಲಿಪ್ಪಿಂಗ್ನ ಯಾವುದೇ ಪಟ್ಟಿಗೆ, ಸ್ಪಿನ್ ಫ್ಲಿಪ್ಪಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನಲ್ಲಿ, λ ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಜೆಗೆ, ಅಳತೆ μ ಅನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ ಫ್ಲಿಪ್ಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಪ್ σ → τ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಹೇಳಿಕೆ ಮೊದಲ ಗ್ರಿಫಿತ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಪಿನ್ ಫ್ಲಿಪ್ಪಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಪಟ್ಟಿಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎರಡನೆಯದರ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಬಿ = ಐಎಲ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಃ ನಂತರ ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್ಎ (ಜೆ) ಎಂದರೆ ಎ ಯಲ್ಲಿ ಜೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಸ್ಪಿನ್ ಫ್ಲಿಪ್ಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮೂಲಕ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು n (j) ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು n ನ ಸಮ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ. ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆ. ಎರಡನೇ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಅದೇ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸ್ಪಿನ್ ನ ಎರಡನೇ ನಕಲನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳು, ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ ಮೊದಲ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿವೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಃ ಗಿನಿಬರ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಜೀನ್ ಗಿನಿಬರ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ f, h ಅನ್ನು ಜಾತುವಿನ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿ, A ಅನ್ನು ಜಾತಿಯ ಮೇಲೆ ನೈಜ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ f1, f2,., fnಗೆ Aಯಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ±, ನಂತರ, Aಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ f, g, −h ಗೆ, ಪ್ರೂಫ್ ಲೆಟ್ ನಂತರ ಈಗ ಅಸಮಾನತೆಯು ಊಹೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳ ಕೋನ್ ಎ, ಗಿನಿಬರ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. (γ, μ) ಎಂಬುದು ಹಾರ್ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂವಹನ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, A ಎಂಬುದು γ ಮೇಲೆ ನೈಜ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋನ್ ಆಗಿದೆ. γ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, A ಎಂಬುದು γ ಮೇಲೆ ನೈಜ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಲ್ಲದ-ಕ್ಷೀಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಒಟ್ಟು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ, ಎಫ್ಕೆಜಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಅನ್ವಯಗಳು ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಿತಿಯು (ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬಾಹ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಚ್ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪಗುಂಪು ಬಿ ಗೆ ಹೊಸ ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಜೆಬಿ ಅನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ; ನಂತರ ಅದು 1 ರಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವುದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ, ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯು ಒಂದು ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣವನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕೆಲವು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಃ ಎರಡನೇ ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನಂತೆ ವಾದಿಸಿ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಗಿನೈಬರ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ XY ಮಾದರಿಗೆ ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಉಷ್ಣಬಲದ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗಿನಿಬರ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ, ಕುಂಜ್ ಮತ್ತು ಫಿಸ್ಟರ್ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ XY ಮಾದರಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಐಜೆನ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಸೈಮನ್ ಅವರು ಗಿನಿಬರ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ XY ಮಾದರಿಯ ಆಯಾಮ, ಜೋಡಣೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು (ಅಂದರೆ. ಆಯಾಮ, ಜೋಡಣೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಫೆರೋಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು) ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ XY ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಆಯಾಮ D = 2 ಮತ್ತು ಜೋಡಣೆ J = 1 ರಲ್ಲಿ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ತಾಪಮಾನಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಾರದು, ಇದು ಕೂಲಂಬ್ ಅನಿಲಕ್ಕೆ ಜಿನೈಬರ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಉಷ್ಣಬಲ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು (ಸ್ಪಿನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು, XY ಮಾದರಿ, XYZ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರಪಳಿ) ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ