Finite extensions of local fields
ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಮೂಲಕ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶದ ವಿಭಜನೆಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆ ಗುಂಪುಗಳಂತಹ ಸಾಧನಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅವಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸೀಮಿತ ಅವಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ನಾನಾರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸೀಮಿತ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. (i) ಅಸಂಕಲಿತವಾಗಿದೆ. (ii) ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಗರಿಷ್ಠ ಐಡಿಯಲ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. (iii) (iv) ಜಡತ್ವದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿವೆ. (v) ಇದು ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶವೂ ಆಗಿದೆ. (iv) (ಅಥವಾ (iii)) ಮೂಲಕ, G ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸೀಮಿತ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನವುಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಯ ಸೀಮಿತ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು K ಯ ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸೀಮಿತ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ನಡುವೆ ವರ್ಗಗಳ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಅದರ ಜಡತ್ವ ಉಪಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಬಹುಪದದ ಮೂಲ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಮಾನದಂಡವು ಏಕರೂಪಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಭ್ಯಂಕರ್ ಅವರ ಲೆಮ್ಮಾ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.