Singular submodule
ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬಲ (ರೆಸ್ಪ್. ಎಡ) ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಏಕವಚನ ಉಪ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಅನ್ನಿಹಿಲೇಟರ್ಗಳು ಅಗತ್ಯವಾದವು (ರೆಸ್ಪ್. ಎಡ) ಆರ್ ನಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳು. ಸೆಟ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ, ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕ ಟಾರ್ಗಳ (ಎಂ) ಉತ್ತಮ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. R ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ ಅನ್ನು ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆರ್ ನ ಬಲ ಏಕವಚನ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಆರ್ ನ ದ್ವಿಮುಖ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ಏಕವಚನ ಉಪಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುವ ಹಲವಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ಎಂ ಒಂದು ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆಃ ಎಂ ಅನ್ನು ಏಕವಚನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂ ಅನ್ನು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ ಅನ್ನು ರೈಟ್ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಇಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡ ಏಕವಚನ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಡ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಉಂಗುರವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉಂಗುರವು ಬಲ-ಆದರೆ-ಎಡ-ಅಲ್ಲದ ಏಕವಚನವಾಗಿರಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಏಕತೆಯಿರುವ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ "ಬಲ ಏಕವಚನ ಉಂಗುರ" ವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕವಚನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು "ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ರಿಂಗ್" ಅನ್ನು "ನಾನ್ಜೀರೋ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ" ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಬಳಕೆಯು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷಣಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಏಕವಚನ ಉಪಘಟಕದ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಎಂ ನ ಸಾಕಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಎಂ ನಿಂದ ಎನ್ ವರೆಗಿನ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. N ಎಂಬುದು Mನ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. "ಏಕವಚನ" ಮತ್ತು "ಏಕವಚನವಲ್ಲದ" ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೊರಿಟಾ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಉಂಗುರದ ಏಕವಚನ ಆದರ್ಶಗಳು ಉಂಗುರದ ಕೇಂದ್ರ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ನ ಏಕವಚನ ಐಡಿಯಲ್ ರಿಂಗ್ನ ನಿಲ್ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ತಿರುಚು ಉಪಘಟಕದ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಆದರೆ ಇದು ಏಕವಚನ ಉಪಘಟಕಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆರ್ ಒಂದು ಬಲ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. N ಎಂಬುದು Mನ (ಎರಡೂ ಸರಿಯಾದ ಘಟಕಗಳು) ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ, M/N ಏಕವಚನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಂ ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಆರ್ ಸರಿಯಾದ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಏಕಕಾಲಿಕವಲ್ಲ. ಆರ್ ಒಂದು ಬಲ ಸ್ವಯಂ-ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜೆ (ಆರ್) ಆರ್ ನ ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬಲ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಉಂಗುರಗಳು ಬಹಳ ವಿಶಾಲವಾದ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಉಂಗುರಗಳು, ಬಲ (ಅರೆ) ಆನುವಂಶಿಕ ಉಂಗುರಗಳು, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರಗಳು, ಡೊಮೇನ್ಗಳು, ಅರೆ-ಸರಳ ಉಂಗುರಗಳು, ಬೇರ್ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಬಲ ರಿಕಾರ್ಟ್ ಉಂಗುರಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ, ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿರುವುದು ಕಡಿಮೆ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಜಾನ್ಸನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು (ಆರ್. ಇ. ಜಾನ್ಸನ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ) ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ R ಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ R ಸರಿಯಾದ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ. ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಲ್ ಇ (ಆರ್ಆರ್) ಒಂದು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ರೈಟ್ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಉಂಗುರವು ಅರೆ-ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ,). ಅನುಪಾತಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲ ವರ್ತುಲವು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ. ರೈಟ್ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿಯು ರೈಟ್ ಸೆಲ್ಫ್ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ-ಆರ್ ಒಂದು ರೈಟ್ ಸೆಲ್ಫ್ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ ಮೇಲಿನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ರೈಟ್ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ರೆಗ್ಯುಲರ್, ರೈಟ್ ಸೆಮಿಹೆರಿಡೆಟರಿ, ರೈಟ್ ರಿಕಾರ್ಟ್, ಬೇರ್, ಸೆಮಿಪ್ರಿಮಿಟಿವ್. ಕಾಗದವು ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿತು, ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲ ಉಂಗುರವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ-ಆರ್ ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ ಏಕಕಾಲಿಕವಲ್ಲದ, ನಿಷ್ಠಾವಂತ, ಏಕರೂಪದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಬಲ ಪೂರ್ಣ ರೇಖೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಆರ್ ಸೀಮಿತ ಏಕರೂಪದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್, ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಪೂರ್ಣ ರೇಖೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಸೀಮಿತ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮೂಲಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ