Square packing
ಚೌಕಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಏಕರೂಪದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ದೊಡ್ಡ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚೌಕ ಅಥವಾ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಚೌಕಾಕಾರದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಚೌಕಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕಾಕಾರದ ಬದಿಯ ಉದ್ದದೊಳಗೆ ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಮಾನದ ಚೌಕಗಳನ್ನು (ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕಗಳು) ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರವೆಂದರೆ ನಿಖರವಾದ-ಅಥವಾ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್-ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಜಾಗದ ಪ್ರಮಾಣವು ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 15, 24, 34, 35, 46, 47, ಮತ್ತು 48 ರಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾದ ಚೌಕವು ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗಳ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (5 ಮತ್ತು 10 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ), ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅಕ್ಷ-ಜೋಡಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾದದ್ದು, ಮತ್ತು ಸೀಲಿಂಗ್ (ರೌಂಡ್ ಅಪ್) ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು 5 ಮತ್ತು 10 ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಬಾಗಿದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೌಕಗಳು. ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಕರಣವು 11 ಏಕಮಾನದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕವಾಗಿ ಜೋಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. 11 ಏಕಮಾನದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವಾಲ್ಟರ್ ಟ್ರಂಪ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ 11 ಚೌಕಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಬಿಗಿಯಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸುಮಾರು 3.877084 ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕದೊಳಗೆ ಇದೆ. ರೋಗಲಕ್ಷಣವಿಲ್ಲದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗಳ ನಿಖರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅಕ್ಷ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಘಟಕ ಚೌಕಗಳ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು, ಸರಿಸುಮಾರು, ತೆರೆದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ವ್ಯರ್ಥವಾಗಬಹುದು. ಬದಲಿಗೆ, ಪೌಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ರೊನಾಲ್ಡ್ ಗ್ರಹಾಂ ಅವರು ಬಾಗಿದ ಘಟಕ ಚೌಕಗಳಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಾಗಿ, ವ್ಯರ್ಥವಾದ ಜಾಗವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು (ಇಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ o ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ). ನಂತರ, ಗ್ರಹಾಂ ಮತ್ತು ಫ್ಯಾನ್ ಚುಂಗ್ ವ್ಯರ್ಥವಾದ ಜಾಗವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ಲಾಸ್ ರೋತ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ವಾಘನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡಬೇಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅರ್ಧ-ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದ್ದಾಗ, ವ್ಯರ್ಥವಾದ ಜಾಗವು ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯರ್ಥವಾದ ಜಾಗದ ನಿಖರವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವು, ಅರ್ಧ-ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬದಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಹ, ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಕೆಲವು ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಚೌಕದ ಗಾತ್ರವು ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗಳ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡಿದರೆ, ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗಳ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಕೂಡ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚೌಕಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚೌಕಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ n ಘಟಕ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, n ನಿಂದ 35 ರವರೆಗೆ ಉತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. n ನಿಂದ 12 ರವರೆಗಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆಃ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಚೌಕಾಕಾರದ ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಚಲಿಸುವ ಸೋಫಾ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು