Double centralizer theorem
ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಡಬಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಜರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸಿಆರ್ (ಎಸ್) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿರುವ ಆರ್ ಉಂಗುರದ ಸಬ್ ರಿಂಗ್ ಎಸ್ನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಸಿಆರ್ (ಸಿಆರ್ (ಎಸ್)) ಎಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಆರ್ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಿಆರ್ (ಸಿಆರ್ (ಎಸ್)) ಎಸ್ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಡಬಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಮಾನತೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುವ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆಸಕ್ತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಿದೆ. M ಒಂದು ಬಲ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು M ಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎಡ ಇ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಿ, ಅಲ್ಲಿ E ಎಂಬುದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಉಂಗುರವಾದ ಎಂಡ್ (M) ಆಗಿದೆ. mr (x) = xr ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತಿ ನಕ್ಷೆ mr M ನ ಸಂಯೋಜಕ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, E ಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಕ್ಷೆ r → mr ಎಂಬುದು R ನ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ E ಗೆ ನಮೂದಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು R ನ ಒಳಗಿನ R ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು RM ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಂಗೀಕೃತ ನಕ್ಷೆಯ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಅನ್ನಿಹಿಲೇಟರ್ ಆನ್ (ಎಮ್ಆರ್) ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉಂಗುರಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಆರ್ಎಮ್ ಅಂಶದ ಉಂಗುರ ಆರ್/ಆನ್ (ಎಮ್ಆರ್) ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, M ಒಂದು ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಘಟಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, R ಮತ್ತು RMಗಳು ಸಮರೂಪದ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈಗ E ಎಂಬುದು RM ಅನ್ನು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು CE (RM) ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸಿಇ (ಆರ್ಎಂ) = ಎಂಡ್ (ಎಂಆರ್), ಎಂನ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಉಂಗುರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಸಿಇ (ಸಿಇ (ಆರ್ಎಂ)) = ಆರ್ಎಂ ಎಂದು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ಇದು ಸಿಇ (ಎಂಡ್ (ಎಂಆರ್)) = ಆರ್ಎಂ ಎಂದು ಹೇಳುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಮೇಯವುಃ ಎ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಎ ನ ಸರಳ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಿಎ (ಸಿಎ (ಬಿ)) = ಬಿ, ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಆಯಾಮಗಳು ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಳ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಯುಆರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಆರ್ ಯು ಮತ್ತು ಇ = ಎಂಡ್ (ಯು) ಸೇರಿದಂತೆ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೇರಣೆ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಎರವಲು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಆರ್-ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇ ಯ ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗೆ ನಾವು ಡಿ = ಎಂಡ್ (ಯುಆರ್) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಶುರ್ ಅವರ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಡಿ ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವುಃ ಆರ್ ಸರಳವಾದ ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಯುಆರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಬಲ ಆರ್ಟೀನಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಆರ್ ಯು, ಡಿ ಮತ್ತು ಇ ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ. ನಂತರ. ಈ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಉದ್ದೇಶದಿಂದ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಮಾತ್ರ ಇದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರಿಂಗ್ಗಳು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿರದ ಕಾರಣ, ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. U ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, R ಬಲ ಪ್ರಾಚೀನ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, RU ರಿಂಗ್ R ಗೆ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಬಹುಪದೀಯ ಗುರುತಿನ ರಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಬಹುಪದೀಯ ಗುರುತಿನ ರಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಝಡ್ (ಆರ್) ಸಂಕೇತವನ್ನು ಆರ್. ಪ್ರಮೇಯದ ಉಂಗುರದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಆರ್ ಸರಳ ಬಹುಪದ ಗುರುತಿನ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎ ಸರಳ ಝಡ್ (ಆರ್) ಆರ್ ನ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಆರ್ (ಸಿಆರ್ (ಎ)) = ಎ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಈ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆವೃತ್ತಿ ಮತ್ತು ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಆವೃತ್ತಿಯ ನಡುವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಏಕೆಂದರೆ ಸರಳ ಬಹುಪದ ಗುರುತಿನ ಉಂಗುರಗಳು ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಆವೃತ್ತಿಯಂತಲ್ಲದೆ, ತೀರ್ಮಾನವು ಇನ್ನೂ ಆರ್. ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಉಪ-ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಎ = ಸಿಬಿ (ಎಚ್) ಸಿಬಿ (ಎಚ್) (ಎ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ). ಡಬಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಡಬಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಸಿಇ (ಸಿಇ (ಆರ್ಎಂ)) = ಆರ್ಎಂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮತೋಲಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇ = ಎಂಡ್ (ಎಂ) ಮತ್ತು ಆರ್ಎಂ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರಣೆ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಡಬಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಆವೃತ್ತಿಯು ಬಲ ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ರಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಸರಳ ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಸಮತೋಲಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 1994ರ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮರುಮುದ್ರಣ