L-semi-inner product
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಗ್ಗೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದದ್ದು, ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಲೇಖನವು ಲ್ಯೂಮರ್ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಎಲ್-ಸೆಮಿ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಸೆಮಿ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡನೆಯದರ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪ್ರಕಾರದ ವಾದಗಳನ್ನು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಇದನ್ನು ಗುಂಟರ್ ಲೂಮರ್ ರೂಪಿಸಿದರು. ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಂತರ ಗೈಲ್ಸ್ ಪರಿಶೋಧಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿನ "ಸೆಮಿ-ಇನ್ನರ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್" ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ "ಸೆಮಿ-ಇನ್ನರ್ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್" ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಸಮ್ಮಿತಿ ಸೇರಿದಂತೆ) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನ, ಎಲ್-ಸೆಮಿ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಕ್ಕಾಗಿ ಲ್ಯೂಮರ್ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತತೆಗಾಗಿಃ 1 ನೇ ವಾದದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯತೆ, ಅಂದರೆಃ 1 ನೇ ವಾದದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಃ 1 ನೇ ವಾದದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಃ 2 ನೇ ವಾದದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆ ಏಕರೂಪತೆಃ ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಃ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಎರಡನೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವು ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ನಾರ್ಮ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಸೆಮಿ-ಇನ್ನರ್-ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ಗಳು ರೇಖೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅದರ ಮೇಲೆ ನಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಲ್ಲದ) ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳವು ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ () ಸ್ಥಿರವಾದ ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಳತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ-ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಲ್ಯೂಮರ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. 2007ರಲ್ಲಿ, ಡೆರ್ ಮತ್ತು ಲೀ ಅವರು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಅಂಚಿನ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಗಾಗಿ ಕರ್ನಲ್ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಸಾಧನವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಫ್ರೇಮ್ಗಳು, ರೈಸ್ಜ್ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಅರೆ-ಇನ್ನರ್-ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನೂ ನೋಡಿ.