Q-exponential distribution
ಕ್ಯೂ-ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯು ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸೂಕ್ತ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಲಿಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಲಿಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ಯೂ-ಘಾತೀಯತೆಯು, ಸಾಲಿಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್-ಗಿಬ್ಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಅಥವಾ ಶಾನನ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮೂಲತಃ 1964ರಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಜಾರ್ಜ್ ಬಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಕಾಕ್ಸ್ ಅವರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಂತೆ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಶಕ್ತಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ರಿವರ್ಸ್ ಬಾಕ್ಸ್-ಕಾಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ q-ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವಾಗ, eq (x) ಕೇವಲ exp (x) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್-ಗಿಬ್ಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಅಥವಾ ಶಾನನ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ), q-ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಕ್ತ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಸಾಲಿಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇತರ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ q-ಘಾತೀಯತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ q-ಘಾತೀಯತೆಯು ಲೋಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ವಿತರಣೆಯ (ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಪ್ರಕಾರ II) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಬೆಂಬಲದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಲೋಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಲೋಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕ್ಯೂ-ಘಾತೀಯವು ಪ್ಯಾರೆಟೊದ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ, q-ಘಾತಾಂಕವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಬದಲಾಯಿಸಲಾದ ಪ್ಯಾರೆಟೋಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0,1) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಯು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಕ್ಯೂ-ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಪವರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕ್ರಮಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ರೈಲು ವಿಳಂಬಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾದ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಇದು ಪರಮಾಣು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಫೆಶ್ಬಾಚ್ ಅನುರಣನದ ಮೂಲಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಆಣ್ವಿಕ ಘನೀಕರಣ ಸೃಷ್ಟಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು. ಕಾನ್ಸ್ಟಾಂಟಿನೋ ಟ್ಸಾಲಿಸ್ ಟ್ಸಾಲಿಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಟ್ಸಾಲಿಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಟ್ಸಾಲಿಸ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ q-ಕೋಪ್ಯುಲಾ q-ಗೌಸಿಯನ್ ನೋಟ್ಸ್ ಫರ್ದರ್ ರೀಡಿಂಗ್ ಜುನಿಪರ್, J. (2007) "ದಿ ಸಾಲಿಸ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಅಂಡ್ ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಃ ಪ್ರಾಸ್ಪೆಕ್ಟ್ಸ್ ಫಾರ್ ಫ್ಯೂಚರ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಇನ್ಟು ಡಿಸಿಷನ್-ಮೇಕಿಂಗ್ ಅಂಡರ್ ಅನ್ಸರ್ಟೆನಿಟಿ", ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಫುಲ್ ಎಂಪ್ಲಾಯ್ಮೆಂಟ್ ಅಂಡ್ ಇಕ್ವಿಟಿ, ದಿ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ನ್ಯೂಕ್ಯಾಸಲ್, ಆಸ್ಟ್ರೇಲಿಯಾ ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಲಿಂಕ್ಸ್ ಸಾಲಿಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಫಾರ್ ನಾನ್-ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಸಿವ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಲಾಂಗ್-ರೇಂಜ್ ಇಂಟರಾಕ್ಷನ್ಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್ ವಿತ್ ನಾನ್-ಫೈನೈಟ್ ವೇರಿಯೆನ್ಸ್.