Ex-tangential quadrilateral
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಚತುರ್ಭುಜದ ಹೊರಗಿನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ವರ್ಣನಾತೀತ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಎಕ್ಸರ್ಕಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊರವಲಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಎಕ್ಸೆಂಟರ್ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರವು ಆರು ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿದೆ. ಇವು ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು, ಇತರ ಎರಡು ಶೃಂಗದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು (ಪೂರಕ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು), ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಈ ಆರು ರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿರುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ). ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ (ಅಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿವೆ). ಎಕ್ಸೈರ್ಕಲ್ಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಹೆಸರು ಎಸ್ಕ್ರೈಬ್ಡ್ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಆ ಹೆಸರನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ನಾಲ್ಕು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಎಕ್ಸರ್ಕಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಪಟಗಳು ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿಲ್ಯಾಟರಲ್ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ಯಾರಲೊಲೋಗ್ರಾಮ್ಗಳನ್ನು (ಚೌಕಗಳು, ರೋಂಬಿ ಮತ್ತು ಆಯತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ) ಅನಂತ ಬಾಹ್ಯ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಕ್ಸರ್ಕಲ್ ಎರಡೂ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಪಕ್ಕದ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಆರು ಏಕಕಾಲೀನ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇವು ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು, ಇತರ ಎರಡು ಶೃಂಗದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅನುಕ್ರಮ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯಃ ಅಥವಾ ಇದನ್ನು 1846ರಲ್ಲಿ ಜಾಕೋಬ್ ಸ್ಟೈನರ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮೊದಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಕ್ಸರ್ಕಲ್ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶೃಂಗಗಳ ಹೊರಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ, ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಶೃಂಗಗಳ ಹೊರಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ, ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳು ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎರಡು ಜೋಡಿ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಪಿಟೋಟ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಜೋಡಿ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1841ರಲ್ಲಿ ಅಗಸ್ಟಸ್ ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಇದನ್ನು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದರೂ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಎಲ್. ಎಂ. ಉರ್ಕ್ಹಾರ್ಟ್ (1902-1966) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ದೂರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಡೇನಿಯಲ್ ಪೆಡೋ ಇದನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಹೆಸರಿಸಿದರು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಮೊವಾಫಾಕ್ ಹಜ್ಜಾ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಚತುಷ್ಕೋಣವು ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಗಿರಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಕೆಲವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಎಡ ಕಾಲಮ್) ಎಕ್ಸ್-ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ (ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಮಧ್ಯ ಮತ್ತು ಬಲ ಕಾಲಮ್) ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿರುವ ಐದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸೂಕ್ತವಾದ ಶೃಂಗದ ಹೊರಗೆ (ಅಂಕಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಒಂದು ಒಳ ವೃತ್ತ ಅಥವಾ ಹೊರ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೇತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಸರ್ಕಮ್ರಾಡಿಗಳು; ಬದಿಗಳಿಂದ ಎತ್ತರಗಳು, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅದೇ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ; ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ದೂರಗಳು; ಕೋನಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ; ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬದಿಗೆ ಪಕ್ಕದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರದೇಶವು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಇದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಇರುವ ಸೂತ್ರದಂತೆಯೇ ಇದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಬ್ರೆಟ್ಷ್ನೇಯ್ಡರ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದಲೂ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಸತತ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ, ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಹ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದಾಗ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಕ್ಸ್-ಬೈಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ಚತುರ್ಭುಜ) ಹೊರವಲಯವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಏಕೆ ಅನಂತ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಎಕ್ಸ್-ಬೈಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿಲೇಟರಲ್ ಒಂದು ಎಕ್ಸ್-ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿಲೇಟರಲ್ ಸಹ ಸುತ್ತಳತೆ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಎಕ್ಸ್-ಬೈಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿಲೇಟರಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಇದು ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಪೂರಕ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ದ್ವಿಭಾಜಕ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಭಾಗದ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಿದ್ದರೆ, ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ಹೊರವಲಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿವೆ. ಇದು ದ್ವಿಭಾಜಕ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಫಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ದ್ವಿಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪೂರ್ವ-ದ್ವಿಭಾಜಕ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಇತರ ಮೂಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಕ್ಸ್-ಬೈಸೆಂಟ್ರಿಕ್ಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸರ್ಕಲ್ ಎಂದಿಗೂ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ.