Jackson q-Bessel function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು (ಅಥವಾ ಮೂಲ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯ) ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೂರು ಕ್ಯೂ-ಅನಲಾಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಹಾನ್-ಎಕ್ಸ್ಟನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೂರು ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ಯೂ-ಪೋಚಮ್ಮರ್ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ ಮಿತಿಯಿಂದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದುಃ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯದ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸೂತ್ರವಿದೆ (): ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ, ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬೇರುಗಳು ನೈಜ () ಎಂದು ಇಸ್ಮಾಯಿಲ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (). ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ನೋಡಿ ಮತ್ತು): ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಯಾವಾಗ, ಎರಡನೇ ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ (ನೋಡಿ.) ಇದಕ್ಕಾಗಿ, (ನೋಡಿ.) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯದ q-ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿವೆ (ನೋಡಿ): ಇದು q-ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಮಗ್ರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಎರಡನೇ ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ನೋಡಿ ಮತ್ತು): ಕ್ಯೂ-ಪೋಚಮ್ಮರ್ ಚಿಹ್ನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಎರಡನೇ ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ನೋಡಿ,): ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರದ ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇತರ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ನೋಡಿ. ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ಯೂ-ಅನಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು): ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸೂತ್ರವಿದೆಃ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು ಜಾಕ್ಸನ್ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಕ್ಯೂ-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು (ಅದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ) (): ಇತರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ, ನೋಡಿ. ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಮಾರ್ಪಾಟಾದ q-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತವು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (): ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (): ಸಮಗ್ರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮಾರ್ಪಾಟಾದ q-ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (): ಸಹ ನೋಡಿ q-ಬೆಸೆಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳು Q-ಅನಲಾಗ್ಗಳು