Hopfian object
ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ವಸ್ತುವು ಒಂದು ವಸ್ತುವಾಗಿದ್ದು, ಎ ಮೇಲೆ ಎ ಯ ಯಾವುದೇ ಅಪರೂಪತೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕೊಹೋಫಿಯನ್ ವಸ್ತುವಿನದ್ದಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಿ ವಸ್ತುವಾಗಿದ್ದು, ಬಿ ಯಿಂದ ಬಿ ವರೆಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕರೂಪತೆಯು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳು, ಉಂಗುರಗಳು, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. "ಹಾಪ್ಫಿಯನ್" ಮತ್ತು "ಕೊಹಾಪ್ಫಿಯನ್" ಎಂಬ ಪದಗಳು 1960ರ ದಶಕದಿಂದಲೂ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಹೈನ್ಜ್ ಹಾಪ್ಫ್ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಳಕೆಯ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಷರತ್ತುಗಳ ವಿಧಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಜೆರ್ಮೆಲೋ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾ, ಹೋಪ್ಫಿಯನ್ ಮತ್ತು ಕೊಹೋಫಿಯನ್ ವಸ್ತುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳು, ಸೀಮಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಉಂಗುರಗಳು ತಮ್ಮ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಮತ್ತು ಕೊಹೋಫಿಯನ್ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ವಸ್ತುಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹೋಪ್ಫಿಯನ್ ವಸ್ತುವು ಕೋಪ್ಫಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಕೊಫಿಯನ್ ವಸ್ತುವು ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಪುರಾವೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆಃ ಎ ಒಂದು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ವಸ್ತುವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎಫ್ ಎ ನಿಂದ ಎ ಗೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿರಲಿ. ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಮೂಲಕ, ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಎಫ್ ಅಂಶಗಳು ಎ ಮೇಲೆ ಐಎ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಜಿಎಫ್ = ಐಎ ಎಂಬ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, g ಒಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ f ಎಂಬುದು g ಗೆ ವಿಲೋಮ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಎರಡನೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಹೋಪ್ಫಿಯಾನ್ ಮತ್ತು ಕೋಫಿಯಾನ್ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಹೋಪ್ಫಿಯಾನ್ ಮತ್ತು ಕೋಫಿಯಾನ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಆರ್ಆರ್ ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಅಥವಾ ಕೊಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದು ಆರ್ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಅಥವಾ ಕೊಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೊಥೇರಿಯನ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಆರ್ ನೇರವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆರ್ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಶಾದಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಈ ಎರಡೂ ಆರ್ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಮೇಲಿನವುಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಆರ್ಆರ್ ಅಥವಾ ಆರ್ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಕೋಫಿಯನ್ ಆಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ರಿಂಗ್ ಕೊಹೋಫಿಯಾನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎರಡು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಕೋಫಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಫಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಆರ್ ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಮತ್ತು ಕೊಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳು ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕಿಂತ ಸಾಕಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಏಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಗುರುತನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅಂದರೆ 1 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲೆ ಆರೋಹಣ ಸರಪಳಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಆರ್ ಆಶಾವಾದಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, "ಕೊಹೋಫಿಯನ್" ಗೆ ಪ್ರತಿರೂಪವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ f ಎಂಬುದು ಗುರುತನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ R ನಿಂದ R ಗೆ ವರ್ತುಲ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು f ನ ಚಿತ್ರವು R ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಚಿತ್ರವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ R ನ ಆದರ್ಶವಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದು ಬದಿಯ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಅಥವಾ ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಉಂಗುರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಆಶಾವಾದಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸರಳವಾದ ಉಂಗುರವು ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಕರ್ನಲ್ ಒಂದು ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸರಳವಾದ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮದ್ಯವ್ಯಸನಿಗಳಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಪೂರ್ಣ ರೇಖೀಯ ವರ್ತುಲ ಎಂಡ್ ಡಿ (ವಿ) ಒಂದು ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ವರ್ತುಲವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಮೂರು ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ನೇರವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಕಾಗದವು ಕೋಫಿಯನ್ ಉಂಗುರದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಕೋಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೆ, ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಟೋನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ಗೆ, ರಿಂಗುಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆರ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ಕೊಹೋಫಿಯಾನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆರ್ ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ನಂತೆ ಕೊಹೋಫಿಯಾನ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೋಪ್ಫಿಯನ್ ಮತ್ತು ಕೊಹೋಫಿಯನ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಹಾಪ್ಫಿಯನ್ ಆಗಿರುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಸೀಮಿತ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಗಡಿಯಿಲ್ಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೋಫಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಕೋಫಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹೋಪ್ಫಿಯನ್ ಗುಂಪು ಸಹ-ಹೋಪ್ಫಿಯನ್ ಗುಂಪು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ