Systems of Logic Based on Ordinals
ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಲಾಜಿಕ್ ಬೇಸ್ಡ್ ಆನ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಅವರ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧವಾಗಿತ್ತು. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ರ ಪ್ರಬಂಧವು ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅವರು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಅಥವಾ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪಡೆದ 'ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ತರ್ಕ' ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸತ್ಯತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸತ್ಯ-ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವೆ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಬದಲಿಗೆ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಅನಂತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗೊಡೆಲಿಯನ್ ಅಪೂರ್ಣತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ತನಿಖೆ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಷರತ್ತನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು-ಸೀಮಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥನೀಯತೆಗೆ ವಿಶೇಷ ಅಥವಾ ಷರತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ. ಒಬ್ಬರು ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಪ್ರಬಂಧವು ಗೊಡೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ನಂತರ ಔಪಚಾರಿಕ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅನ್ವೇಷಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಷ್ಟು ಶಕ್ತಿಯುತವಾದ ಯಾವುದೇ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ S ಗೆ, ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ G ಇದೆ, ಅದು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗೊಡೆಲ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಪುರಾವೆಯ ಬದಲಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಜಿ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗದ ನಿಜವಾದ ಪ್ರಮೇಯವಾದ ಜಿ 'ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಸ್' ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಪ್ರಬಂಧವು ನೋಡುತ್ತದೆ, ಮೂಲ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲು ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಅನಂತ ಗುಂಪನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು "ಹಿಂದಿನ ಅನಂತ" ಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದೆ ಹೋಗಿ, ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ Gn, ಪ್ರತಿ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಒಂದು. ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ನಲ್ಲಿ ಅಲೊಂಜೊ ಚರ್ಚ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಇದು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ತರ್ಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಡೇವಿಸ್ ಹೇಳುವಂತೆ, ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಒರಾಕಲ್ನ ಬಳಕೆಯು ಪ್ರಬಂಧದ ಪ್ರಮುಖ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಬಹುಪದ ಸಮಯದ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು https://rauterberg.employee.id.tue.nl/lecturenotes/DDM110%20CAS/Turing/Turing-1939%20Sysyems%20of%20logic%20based%20on%20ordinals.pdf https://www.dcc.fc.up.pt ~ ಎಸಿಎಂ/ಟ್ಯೂರಿಂಗ್-phd.pdf https://web.archive.org/web/20121023103503/https:// ವೆಬ್ಸ್ಪೇಸ್. ಪ್ರಿನ್ಸೆಟನ್. ಎಡು/ಬಳಕೆದಾರರು/ಜೆಡ್ವರ್ಡ್ಸ್/ಟ್ಯೂರಿಂಗ್% 20ಸೆಂಟೆನಿಯಲ್% 202012/ಮಡ್% 20ಆರ್ಕೈವ್% 20ಫೈಲ್ಸ್/12285 _ ಎಸಿ100 _ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ _ 1938. ಪಿಡಿಎಫ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಲಾಜಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಫಾರ್ಮಲ್ ಲಾಜಿಕ್ ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಪೇಪರ್ಸ್