Orthogonal polynomials on the unit circle
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಏಕಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಏಕಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಏಕಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗಾಗಿ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಬಹುಪದಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ಬೆಂಬಲವು ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಪ್ರಮುಖ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಮೋನಿಕ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸ್ಜೆಗೊ ಬಹುಪದಗಳು ರೂಪ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ವೆರ್ಬ್ಲನ್ಸ್ಕಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರುವಾಯ, ಜೆರೋನಿಮಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ವರ್ಬ್ಲನ್ಸ್ಕಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಷುರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ವರ್ಬ್ಲನ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ವರ್ಬ್ಲನ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮುಕ್ತ ಘಟಕ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗಾಗಿ ವರ್ಬ್ಲನ್ಸ್ಕಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬಾಕ್ಸ್ಟರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವರ್ಬ್ಲನ್ಸ್ಕಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಜೆಗೊ ಪ್ರಮೇಯದ ವೆರ್ಬ್ಲನ್ಸ್ಕಿಯ ರೂಪವಾದ ಸ್ಜೆಗೊ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಳತೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರ ಭಾಗ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವೆರ್ಬ್ಲನ್ಸ್ಕಿಯ ರೂಪವು ಸ್ಜೆಗೊನ ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವಾಗ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಏಕವಚನ ಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ರಾಖ್ಮನೋವ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಳತೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾದ ಭಾಗವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆರ್ಬ್ಲನ್ಸ್ಕಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು 0 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ರೋಜರ್ಸ್-ಸ್ಜೆಗೋ ಬಹುಪದಗಳು ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಷುರ್ ವರ್ಗದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ