Plethysm
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲೆಥಿಸಂ ಎಂಬುದು ಡಡ್ಲಿ ಇ. ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅವರು ಅದನ್ನು {λ} χ {μ} ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ "ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಮ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ("ಗುಣಾಕಾರ" ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುವ ಗ್ರೀಕ್ ಪದವಾದ πληθyσμodς ನಂತರ) ನಂತರ ಎಂ. ಎಲ್. ಕ್ಲಾರ್ಕ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರು ಈ ಹೆಸರನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದರು. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಿದರೆ, ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಮ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಜಿಎಲ್ (ವಿ) ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಯಂಗ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು λ, GL (V)-ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗದ ಷುರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ Lλ (-) ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಯುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾದ λ ಮತ್ತು μ ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, Lλ (Lμ (V)) ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಗುಂಪಿನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಸಂಕಲನವು ಯುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುಣಾಕಾರಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ (ಹೊರಗಿನ) ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಮ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಗುಣಾಕಾರಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಜಿಎಲ್ (ವಿ)-ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಲ್ಎಲ್ (ವಿ) ಅಕ್ಷರವು ಮಂದ (ವಿ) ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಯಂಗ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ λ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಶುರ್ ಬಹುಪದ ಎಸ್ಎಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅವುಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಆ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಮೃದ್ಧಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ದತ್ತಾಂಶದ ಎರಡನೇ ಭಾಗವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಲ್ಎಲ್ (ಎಲ್ಎಂ (ವಿ)) ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಮಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು