Bloch group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬ್ಲೋಚ್ ಗುಂಪು ಎಂಬುದು ಬ್ಲೋಚ್-ಸುಸ್ಲಿನ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ಬ್ಲೋಚ್ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೇ ಸುಸ್ಲಿನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಬ್ಲೋಚ್-ವಿಗ್ನರ್ ಕಾರ್ಯ ಡೈಲೋಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವು ಪವರ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಇದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣದ ಮಾರ್ಗವು 1 ರಿಂದ + ≤ ಗೆ ಕಡಿತವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ ಬ್ಲೋಚ್-ವಿಗ್ನರ್ ಕಾರ್ಯವು ಡೈಲೋಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಡೈಲೋಗರಿಥಮ್ಗಾಗಿ ಅಬೆಲ್ನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ K ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ [x] ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಅಬೆಲ್ನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ Z (K) ನ ಉಪಗುಂಪು D (K) ನಲ್ಲಿ D2 ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ಲೋಚ್-ಸುಸ್ಲಿನ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಚೈನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಬ್ಲೋಚ್ ಗುಂಪನ್ನು ಬ್ಲೋಚ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದೆ. ಕೆ 3 ಮತ್ತು ಬ್ಲೋಚ್ ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಸಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿ ಅಂಶವು x ನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸುಸ್ಲಿನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಜಿಎಂ (ಕೆ) ಏಕಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಿಎಲ್ (ಕೆ) ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಿಜಿಎಂ (ಕೆ) + ಕ್ವಿಲ್ಲೆನ್ನ ಪ್ಲಸ್-ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, K3M ಮಿಲ್ನರ್ನ K-ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ, ನಂತರ K3 (K) ಇಂಡ್ = ಕೋಕರ್ (K3M (K) → K3 (K)) ಮತ್ತು ಟಾರ್ (K *, K *) ~ ಎಂಬುದು Z/2 ಮೂಲಕ ಟಾರ್ (K *, K *) ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂರು-ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವ ಬ್ಲೋಚ್-ವಿಗ್ನರ್ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ 3-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಧ ಸ್ಪೇಸ್ ಮಾಡೆಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನಂತತೆಯ ಬಿಂದುಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಆದರ್ಶ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಂತಹ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅದರ (ಸಹಿ ಮಾಡಿದ) ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ನಂತರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳವರೆಗೆ ಸೂಕ್ತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದರ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,. ಐದು ಪದಗಳ ಸಂಬಂಧದಿಂದಾಗಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆದರ್ಶ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಿವೆಯೋ ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅವನತಿಯಾಗದ ಆದರ್ಶ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಗಡಿಯ ಪರಿಮಾಣವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಅನಂತವಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆದರ್ಶ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಕೆಲವು ಶೃಂಗಗಳು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗಗಳ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಒಂದೇ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಗೆ, ಬ್ಲೋಚ್-ವಿಗ್ನರ್ ಡೈಲೋಗರಿಥಮ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೋಸ್ಟೋ ರಿಗಿಡಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಮಾಣದ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಲೋಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಲೋಗರಿಥಮ್ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಾಲಿಲೋಗರಿಥಮ್ಗಳಿಂದ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಬ್ಲೋಚ್ ಗುಂಪಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗೊಂಚರೋವ್ ಮತ್ತು ಝಾಗಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬ್ಲೋಚ್ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಬಿ. ಎನ್. ಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ಪ್ರೇರಕ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬೇಕು ಎಂದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತರ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ಲೋಚ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳೂ ಇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನ್ಯೂಮನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ವಿಸ್ತೃತ ಬ್ಲೋಚ್ ಗುಂಪು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು (ಈ 1826ರ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಯನ್ನು ಮರಣೋತ್ತರವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು.) ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ