Gradient-like vector field
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೋರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ತರಹದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರೇರಣೆಯು ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬರು ಮೊದಲು ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ, ನಂತರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಚಲಿಸಲು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ತರಹದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಬಹುಗುಣ Mಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮೋರ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, f ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ತರಹದ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ X, ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿಃ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ದೂರ, X ಬಿಂದುಗಳು "f ನ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ (ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ), ಇದು f ನ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೋರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿಃ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಒಂದು ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಮೋರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ f ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ X ಯು f ನ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ತರಹದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಬಂಧಿತ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ತರಹದ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್, ಮೋರ್ಸ್-ಸ್ಮಾಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೋರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಚಯ, ಯುಕಿಯೋ ಮಾಟ್ಸುಮೊಟೊ, 2002, ವಿಭಾಗ 2.3: ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ತರಹದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, p. 56-69 ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ತರಹದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 25,2009 ಮೋರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ