Continuous geometry
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಆಯಾಮವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವುದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ, ಇದು ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿರಬಹುದು. ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರು ನಿರಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಆಯಾಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟರು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ನಿರಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಟೈಪ್ II ಅಂಶದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೆಂಗರ್ ಮತ್ತು ಬಿರ್ಖಾಫ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಜಾಲರಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ನಿರಂತರ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕಾಗಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ದುರ್ಬಲ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಜಾಲರಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರಂತರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ A ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಷರತ್ತು ಮತ್ತು ರಿವರ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಪೂರಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ). a ಅಂಶದ ಪೂರಕವು b ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ 0 ಮತ್ತು 1 ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಎಲ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪರಿಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳ, ಅಥವಾ ಅದರ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಮೂಹವು ನಿರಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಆಯಾಮಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಆರ್ಥೋಕಂಪ್ಲಿಮೆಂಟೆಡ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲರಿಯು ನಿರಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ವಿ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ (ಅಥವಾ ವಿಭಾಗ ವಲಯ) ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ವಿ ಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಜಾಲಕ ಪಿಜಿ (ವಿ) ಯಿಂದ ಆ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ನೇರ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಇದು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಡಯಾಡಿಕ್ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಆಯಾಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯಾಮದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರಂತರ ರೇಖಾಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಎಫ್ ಆಯಾಮದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೇಲಿನ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಎಲ್ ನ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್ ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ; ಇದು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ತುಂಬಾ ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ಎ, ಬಿ, ಎಲ್. ಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಎ ಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಿ ಇದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಇದು 'ಎ' ಯಲ್ಲಿ 'ಎ' ಮತ್ತು 'ಬಿ' ಯಲ್ಲಿ 'ಬಿ' ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.) ಎಲ್ ನಿಂದ ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದವರೆಗಿನ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ, ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನ nA ಅನ್ನು A ಯ n ಪ್ರತಿಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಎ ಅಲ್ಲ {0} ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಎ ಅಲ್ಲ {0} ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಿ ಕನಿಷ್ಠ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ ಮಿತಿಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದರರ್ಥ ಸಿ ಕನಿಷ್ಠ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ. D (a) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ {a} ಮತ್ತು {1} ಗಳು a ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿ ಯ ಚಿತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಬಹುದು. ಎಲ್ ನ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಡಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಡಿ ಆಯಾಮ ಕಾರ್ಯವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಹಾಗಾದರೆ ಡಿ (ಎ) ಬಿ + ಡಿ (ಎ) ಬಿ = ಡಿ (ಎ) + ಡಿ (ಬಿ) ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಮೇಯವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ವೆಬ್ಲೆನ್-ಯಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕನಿಷ್ಠ 3 ಆಯಾಮದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ವಿಭಜನಾ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಧಾನ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವಂತೆ ಇದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ನ್ಯೂಮನ್ ಇದನ್ನು ನಿರಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪೂರಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಪೂರಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ ಕನಿಷ್ಠ 4 ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ ನ ಅಂಶಗಳು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರದ ಪ್ರಧಾನ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಜಾಲಕವು n ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರ R ಮೇಲೆ n ಬೈ n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ Mn (R) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಪೂರಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲಕವು n ಅಂಶಗಳ ಏಕರೂಪದ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ n ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು n ಅಂಶಗಳ a1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ದೃಷ್ಟಿಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ಏಕರೂಪವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಲರಿಯ ಕ್ರಮವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಜಾಲರಿಯು 1ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜಾಲರಿಯು ಕನಿಷ್ಠ 4 ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಷರತ್ತು ವೆಬ್ಲೆನ್-ಯಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಆಯಾಮವು ಕನಿಷ್ಠ 3 ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಷರತ್ತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವು ಕನಿಷ್ಠ 4 ಸ್ವತಂತ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕನಿಷ್ಠ 3 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರದ ಪ್ರಧಾನ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳು ಪೂರಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆರ್ ಒಂದು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಿಯಮಿತ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ ಅದರ ಪ್ರಧಾನ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳ ಜಾಲಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ ಪೂರಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಜಾಲಕವಾಗಿದೆ. R ಒಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ರ್ಯಾಂಕ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ L ಒಂದು ನಿರಂತರ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದು ನ್ಯೂಮನ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಸ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ