Schubert polynomial
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಚಕ್ರಗಳ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಷುರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹರ್ಮನ್ ಶುಬರ್ಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಪಡಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಅನಂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ ವಲಯಕ್ಕೆ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಮಟ್ಟದ ಏಕರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದವು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಫ್ಲಾಗ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಚಕ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಡಿಗ್ರಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ ಇಫ್ ಈಸ್ ದಿ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್, ನಂತರ. ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ, ಶೂರ್ ಬಹುಪದವು ವಿಭಜನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಶುರ್ ಬಹುಪದಗಳು (ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ) ಶುಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅವರ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಊಹಾತ್ಮಕ ನಿಯಮವನ್ನು ರಿಚರ್ಡ್ ಪಿ. ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಎರಡು ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು, ಒಂದು ಸೆರ್ಗೆ ಫೋಮಿನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಾರಾ ಬಿಲ್ಲಿ, ವಿಲಿಯಂ ಜೋಕಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಅವರಿಂದ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪೈಪ್ ಡ್ರೀಮ್ಸ್ ಅಥವಾ ಆರ್ಸಿ-ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಇವು (ಮಿಖಾಯಿಲ್ ಕೋಗನ್ ಅವರ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ) ಕಡಿಮೆ ಕೋಗನ್ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿವೆ, ಇವು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್-ಸೆಟ್ಲಿನ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ವಿಶೇಷ ಮುಖಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಬಂಪ್ಲೆಸ್ ಪೈಪ್ ಡ್ರೀಮ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವಾಗಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದು-ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ, ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ನಿಯಮದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದಾದಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳಿವೆ. ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ (1974ರ ಕ್ಲೈಮನ್ರ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಾಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯ), ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡುವುದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಡಬಲ್ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಎರಡು ಅನಂತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇವು ಅನಂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಡಬಲ್ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದವು ಅತಿ ಉದ್ದದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದ್ದರೆ. ಡಬಲ್ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದವು, ಅವು ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ (ಸಣ್ಣ) ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಹೊಂದಿರುವ ಅದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದವು. ಡಬಲ್ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಡಬಲ್ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಆತ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕೋಸ್ಟಾಂಟ್ ಬಹುಪದ ಮಾಂಕ್ನ ಸೂತ್ರವು ರೇಖೀಯ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿಲ್-ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಯೋಜನೆ