Automorphic L-function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂಬುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಸ್ನ ಎಲ್ (ಎಸ್, π, ಆರ್) ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್ ಜಿ ಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಗ್ರೂಪ್ ಎಲ್ಜಿ ಆಫ್ ಜಿ ಯ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಆರ್, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಎಲ್-ಸರಣಿಯನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಕ್ಷರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೆಲ್ಲಿನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಮತ್ತು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು (ಇವು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಊಹಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ). ಎಲ್-ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಎಲ್-ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಂಶವು "ಸ್ಥಳೀಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ" ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ 1 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದವು ಮತ್ತು ಟೇಟ್ನ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ವಿಧಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದವು. ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಜಿಎಲ್ (ಎಂ) ಮತ್ತು ಜಿಎಲ್ (ಎನ್) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ರಾಂಕಿನ್-ಸೆಲಬರ್ಗ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸರ್ವತ್ರವಾಗಿವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರಾಂಕಿನ್-ಸೆಲಬರ್ಗ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಹಲವಾರು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲು ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್-ಶಾಹಿದಿ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಾಲಿಟಿ ಊಹೆಗಳು ಸಂಪರ್ಕಿತ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ನ ಕಾರ್ಯವೈಖರಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಝೀಟಾ ಮತ್ತು ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ