Well-covered graph
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗದ ಹೊದಿಕೆಯು ಪ್ರತಿ ಇತರ ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗದ ಹೊದಿಕೆಯಷ್ಟೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇವು ಎಲ್ಲಾ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳು ಸಮಾನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವರಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು 1970 ರಲ್ಲಿ ಮೈಕೆಲ್ ಡಿ. ಪ್ಲಮ್ಮರ್ ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು, ಸಮತೋಲಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ರೂಕ್ನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಶೃಂಗಗಳು ಚೆಸ್ ಬೋರ್ಡ್ನ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಚೆಸ್ ರೂಕ್ನ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಘನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಪರಿಚಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಪಂಜ-ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇತರ ರೀತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಸಿಒಎನ್ಪಿ-ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗದ ಹೊದಿಕೆಯು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಶೃಂಗದ ಹೊದಿಕೆಯು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ಅದು ಹೊದಿಕೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗದ ಹೊದಿಕೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕನಿಷ್ಠ ಕವರ್ ಕೂಡ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲಮ್ಮರ್ ಇದು ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಕನಿಷ್ಠ ಕವರ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ "ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಎಂದರೆ ಶೃಂಗಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೃಂಗದ ಹೊದಿಕೆಯಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪೂರಕವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಅದರ ಪೂರಕವು ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪೂರಕವು ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗದ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವರಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವು ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೂ ಸಹ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ನಂತರದ ಲೇಖಕರು ಸಂಪರ್ಕದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಅಗತ್ಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳೆರಡಕ್ಕೂ, ಪ್ರತಿ ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗದ ಹೊದಿಕೆಗೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಅಗತ್ಯ ಶೃಂಗಗಳು, ಶೃಂಗಗಳು ಇರಬಾರದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಶೃಂಗವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ, ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಅಳಿಸುವುದರಿಂದ ಸಣ್ಣ ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗದ ಹೊದಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಪ್ರತಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಗರಿಷ್ಠ ಸರಳತೆಗಳು ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಶುದ್ಧ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಸಮಾನವಾಗಿ ಶುದ್ಧ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಐದು ಉದ್ದದ ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಗಾತ್ರ ಎರಡನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಏಳು ಉದ್ದದ ಚಕ್ರ ಮತ್ತು ಮೂರು ಉದ್ದದ ಮಾರ್ಗವೂ ಸಹ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರತಿ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಗ್ರಾಫ್ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಒಕ್ಕೂಟ) ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವರಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯತೆಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳು ಅದರ ಎರಡು ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದ ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪೂರಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾವುದೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಎರಡು-ಅಕ್ಷತಂತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ರೂಕ್ನ ನಕ್ಷೆಯು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ರೂಕ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಮೇಲೆ ದಾಳಿ ಮಾಡದಂತೆ ಚೆಸ್ ಬೋರ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೂಕ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಚೆಸ್ ಬೋರ್ಡ್ನ ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗುವವರೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಕ್ರಮಣ ಮಾಡದ ರೂಕ್ಗಳನ್ನು ಇರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಸರಳವಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕರ್ಣೀಯಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಚುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ದಾಟುವ ಜೋಡಿ ಕರ್ಣೀಯಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ ಇದ್ದರೆ, ಒಂದು ಅಂಚಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಹೊಂದಿರುವ ಬೇರೂರಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವು (ಅಂದರೆ, ಹೊಸ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಡಿಗ್ರಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಭಿನ್ನ ಶೃಂಗದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ) ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಪೂರಕ ಸೆಟ್ನ ಡಿಗ್ರಿ-ಒನ್ ನೆರೆಹೊರೆಯವರೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಹೊದಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ (ಗುಂಪಿನ ಶೃಂಗಗಳ ವಿಭಜನೆ) ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ; ಒಂದು-ಶೃಂಗದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ ಬೇರೂರಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ರಚನೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವರಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರೇರಿತ ಉಪ-ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯತೆ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ಬಹುಶಃ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲ) ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗದ ಕವರ್) ನಿಖರವಾಗಿ ಅರ್ಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಶೃಂಗಗಳು. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಬೇರೂರಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಚಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದ ದ್ವಿದಲೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ದ್ವಿದಲೀಯವಾಗಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸಹ ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಯಾವುದೇ ದ್ವಿದಲೀಯ ರಚನೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಶೃಂಗದ ಕವರ್ಗಳನ್ನು) ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನೇಕ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು, ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿನಲ್ಲೂ, ನೆರೆಯವರ ಪ್ರೇರಿತ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಅಂಚು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಚು ಮೂರು-ಅಂಚಿನ ಮಾರ್ಗದ ಕೇಂದ್ರ ತುದಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಾರ್ಗದ ಎರಡು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮರಗಳು ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮರವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ದ್ವಿದಲೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಒಂದು ಸರಳವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದುಃ ಮರವು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಲೆ-ಅಲ್ಲದ ನೋಡ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಎಲೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮರದಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಕಡಿಮೆ-ವ್ಯಾಸದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆಃ ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಎಂಟು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸುತ್ತನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ, ಮೂರರ ಅಂತರದೊಳಗಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ) ನಂತರ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ ನೆರೆಯವರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಐದು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಸಮತೋಲನ ಘನ (3-ನಿಯಮಿತ) ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅವು ಏಳು 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮೂರು ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್, ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಮತ್ತು ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು, ಡ್ಯೂರರ್ ಗ್ರಾಫ್, ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಗ್ರಾಫ್, Y-δ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಪಡೆದ ಎಂಟು-ಅಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು 14-ಅಕ್ಷೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಪೀಟರ್ಸನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಈ ಏಳು 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘನ-ಸುತ್ತುವರಿದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ಘನ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು (ಸರಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು) ಮಾತ್ರ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾಗಿವೆ. ನಾಲ್ಕು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು (ಎರಡು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು, ಡ್ಯೂರರ್ ಗ್ರಾಫ್, ಮತ್ತು) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಪೀಟರ್ಸನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ. 1-ಮತ್ತು 2-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘನ ಚೆನ್ನಾಗಿ-ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಮಾರ್ಗ ಅಥವಾ ಚಕ್ರದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಮೂರು ತುಣುಕುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು. ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಚಕ್ರದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಮಾರ್ಗದ ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಮಾರ್ಗದ ಎರಡು ಅಂತಿಮ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ತುಣುಕನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತುಣುಕು ಒಂದು ಸೇತುವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಈ ಬದಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮಾರ್ಗ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಉಳಿದ ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಇತರ ಎರಡು ತುಣುಕುಗಳು) ಬದಲಿಸಲು ತುಣುಕನ್ನು ಬಳಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು 1-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘನ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ 1-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ರೀತಿಯ 2-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿವೆ. ಈ ಎರಡು ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಕ್ರದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ತುಣುಕುಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ತುಣುಕುಗಳು ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ; ಈ ರೀತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ಕುಟುಂಬವು ಮಾರ್ಗದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ರೀತಿಯ ತುಣುಕುಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಸರಳ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ, ಸಂಶೋಧಕರು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಸರಳವಾದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಐದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯು 3,4, ಅಥವಾ 5 ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ 5-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು 4-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉತ್ತಮ ಆವೃತವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಿವೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ನಕ್ಷೆಗಳು, ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಡೈಪಿರಮಿಡ್, ಸ್ನೂಬ್ ಡಿಸ್ಪೆನಾಯ್ಡ್, ಮತ್ತು 12 ಶೃಂಗಗಳು, 30 ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು 20 ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ (ನಾನ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಹೆಡ್ರನ್). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ 3-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉತ್ತಮ-ಆವೃತವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಗ್ರಾಫ್ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದರೆ, ಈ ಮುಖಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಭೇಟಿಯಾಗುವ ಮೂರು ಹೊಸ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ಉಪವಿಭಜನೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗುಂಪು ಕವರ್ ರಚನೆಯು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ವಿವಿಧ ಗಾತ್ರಗಳ ಎರಡು ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಪೂರಕವಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಸಿಒಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭವಾದರೂ, ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಇನ್ಪುಟ್ ಅಲ್ಲ ಎಂಬ ಖಾತರಿಯನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಎನ್ಪಿ-ಹಾರ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವರಿಸಿಕೊಂಡಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹಾಗೆ ಮಾಡಲು, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಂಚಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಪಗ್ರ್ಯಾಫ್ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಿ, ತದನಂತರ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವರಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಗರಿಷ್ಠ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಮನಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಅದರ ರೇಖೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವರಿಸಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಮನಾಗಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಗರಿಷ್ಠ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಎಂದು ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತೋಲಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ. ರೇಖೆಯ ನಕ್ಷೆ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪಂಜ-ಮುಕ್ತ ನಕ್ಷೆ, ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಐದು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು 3-ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುವ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವೃತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಮರ್ಥ ಬಹುಪದ ಸಮಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ. .. .. .. ಗ್ರಾಫ್ ಕುಟುಂಬಗಳು