Mittag-Leffler polynomials
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮಿಟ್ಟಾಗ್-ಲೆಫ್ಲರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಬಹುಪದಗಳಾದ gn (x) ಅಥವಾ Mn (x) ಆಗಿವೆ. Mn (x) ಎಂಬುದು b = 0, c =-1ರಲ್ಲಿ ಮೀಕ್ಸ್ನರ್ ಬಹುಪದ Mn (x; b, c) ನ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮಿಟ್ಟಾಗ್-ಲೆಫ್ಲರ್ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಬೈವೇರಿಯೇಟ್ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿವೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಇಐಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಇಐಎಸ್ನಲ್ಲಿವೆ. {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್"! ಎನ್! ! gn (x)! ! Mn (x) |-| 0 | | | | | |-| 1 | | | | | |-| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ಜೊತೆಗೆ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳು (ಕೊನೆಯದು ತಕ್ಷಣವೇ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸೂತ್ರ), ಮತ್ತು, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ, ಮತ್ತು ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವು, ಹಿಂದಿನ ಸಮಗಳಿಂದ ಬೆಸ ಒಂದನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ (3), ಬಹುಪದವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ ಗಮನಿಸಿ, (2) ಮತ್ತು (3) ಪರಸ್ಪರ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿವೆ ಎಂದರೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒಂದು ಗುರುತಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. (ಬಹುಪದಗಳಂತೆಯೇ, ಸಿಂಧುತ್ವವು ನೈಸರ್ಗಿಕದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು (ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಇಐಎಸ್ನಲ್ಲಿ "ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಅಡ್ಡ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ ಅಂಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿ ನಮೂದು ಮೂರು ನೆರೆಯ ನಮೂದುಗಳ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಬಹುದುಃ ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. .. ಇದು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. .. {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್"! ! ! 1!! 2! ! 3! ! 4! ! 5ರಷ್ಟು! ! 6ರಷ್ಟು! ! 7! ! 8! ! 9! ! 10 |-! 1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" 2 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |2 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |4 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |6 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |8 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |10 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |12 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |14 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |16 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |18 | ಶೈಲಿ = " 3 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |3 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |9 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |19 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |3 3 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |51 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |73 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |9 9 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |129 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" 4 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |4 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |16 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |4 4 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |96 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |180 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |304 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |476 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = " 5 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |5 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |25 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |85 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |225 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |5 01 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |985 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" 6 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |6 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |36 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |146 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |456 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |1182 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" 7 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |7 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |49 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |231 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |833 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಶೈಲಿ =" ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ; "| | ಶೈಲಿ =" 8 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |8 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |64 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |344 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = " 9 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |9 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |81 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = " 10 | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ"; | 10 | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ"; | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ"; | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ"; | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ"; | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ"; | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ"; | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ"; | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ"; | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" | | ಶೈಲಿ = " ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವಾದಗಳು ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ). ದ್ವಿಪದ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಕಾರದ ಶೆಫರ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮಿಟ್ಟಾಗ್-ಲೆಫ್ಲರ್ ಬಹುಪದಗಳು ದ್ವಿಪದ ಗುರುತನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮಗ್ರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೇರವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೂ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. .. ಸಮಗ್ರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪಗಳು ಝೀಟಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಹಲವಾರು ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮಿಟ್ಟಾಗ್-ಲೆಫ್ಲರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಆ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶ ಅಥವಾ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮಿಟ್ಟಾಗ್-ಲೆಫ್ಲರ್ ಬಹುಪದದ ಮಟ್ಟವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಿಟ್ಟಾಗ್-ಲೆಫ್ಲರ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. 1. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅಂಬ್ರಲ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ ಬಹುಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಝೀಟಾ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇ. ಜಿ. ನಮ್ಮಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. 2. ಅಂಬ್ರಲ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ನಂತರ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಇಟಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಅವು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. 3. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಅದೇ ಅಂಬ್ರಲ್ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದು ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ 4 ಗೆ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅಂಬ್ರಲ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಇದರ ಬದಲಿಗೆ, ಇಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಜೀಟಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಬೆಸ) ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಛೇದಗಳನ್ನು ಸಮ ಜೀಟಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಹಾಕದ ಹೊರತು), ಉದಾಹರಣೆಗೆ. 5ರಷ್ಟಿದೆ. ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೂ ನಾವು ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾದರಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅಂಬ್ರಲ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಯೂಲರ್ನ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ರೀಮನ್ನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. 6. ಏಕೆಂದರೆ, ಅದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಫಾರ್ ನಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪದವಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂತಹ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಬಹಳ ಹೋಲುವ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. .. ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಬಹುಪದಗಳ ಬರ್ನೋಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.