Pickands–Balkema–De Haan theorem
ಪಿಕ್ಯಾಂಡ್ಸ್-ಬಾಲ್ಕೆಮಾ-ಡಿ ಹಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಬಾಲ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿಜವಾದ ವಿತರಣೆಯು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ. ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯ ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೊದಲ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕಿಂತ (ಫಿಶರ್-ಟಿಪ್ಪೆಟ್-ಗ್ನೆಡೆಂಕೊ ಪ್ರಮೇಯ) ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪಿಕೆಂಡ್ಸ್-ಬಾಲ್ಕೆಮಾ-ಡಿ ಹಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಿತಿಯ ಮೇಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ತನ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಜೇಮ್ಸ್ ಪಿಕಾಂಡ್ಸ್, ಗುಸ್ ಬಾಲ್ಕೆಮಾ ಮತ್ತು ಲಾರೆನ್ಸ್ ಡಿ ಹಾನ್ ಅವರಿಗೆ ನೀಡಿದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಅಜ್ಞಾತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಪಿಕ್ಯಾಂಡ್ಸ್-ಬಾಲ್ಕೇಮಾ-ಡಿ ಹಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಿತಿಯ ಮೇಲಿರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಫಾರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಬಲ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮೌಲ್ಯದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಪಿಕ್ಕ್ಯಾಂಡ್ಸ್, ಬಾಲ್ಕೆಮಾ ಮತ್ತು ಡಿ ಹಾನ್ ಅವರು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು. ಡಿಜನರೇಟ್ ಅಲ್ಲದ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆಗ ಅಂತಹ ಮಿತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪ್ಯಾರೆಟೋ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ, σ> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು k ≤ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ y ≤ 0 ಮತ್ತು k <0 ಆಗಿದ್ದರೆ y ≤ − σ/k. ಈ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸರಾಸರಿ, k = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ, k =-1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ಯಾರೆಟೋ ವಿತರಣೆ, k> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವು ಫಿಶರ್-ಟಿಪ್ಪೆಟ್-ಗ್ನೆಡೆಂಕೊ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ಅಧಿಕಾರ-ನಿಯಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪಿಕೆಂಡ್ಸ್-ಬಾಲ್ಕೇಮಾ-ಡಿ ಹಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತೀವ್ರವಾದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅಧಿಕಾರ-ನಿಯಮದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಆವೃತ್ತಿಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಲಾಗ್-ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ, ಇನ್ನೂ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಡೇಟಾ ಟೈಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.