Λ-ring
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, λ-ರಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ಸಂವಹನ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು λn ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅನೇಕ ಉಂಗುರಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ λ-ಉಂಗುರದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಅನೇಕ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಲು λ-ಉಂಗುರಗಳು ಪ್ರಬಲವಾದ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. λ-ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. λ-ಉಂಗುರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ, ಮತ್ತು. V ಮತ್ತು W ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ನೇರ ಮೊತ್ತವಾದ V ≤ W, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ V ≤ W, ಮತ್ತು V, λn (V) ನ n-th ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಮತ್ತೆ k ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ k-ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಕೆಲವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ಮೊತ್ತ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಅದೇ ಮೂರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಹ ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಈ ಮೂರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಲು λ-ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಔಪಚಾರಿಕ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಈ ಔಪಚಾರಿಕ ವಿಲೋಮಗಳು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಹೆಚ್ಚಿನ λ-ಉಂಗುರಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪುಗಳು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ.) ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ನೇರ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರವು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು λ-ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಲ್ಲಾ λ-ರಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಲ್ಲಾ λ-ರಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸದೃಶವಾದ ಆದರೆ (ಹೆಚ್ಚು) ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ λ-ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರೇರಣೆ ನಾವು ಮೃದುವಾದ ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ನಾವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ λ-ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತಾ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ A λ-ಉಂಗುರವು λn ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರ R ಆಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ R → R. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ x, y R ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, m ≤ 0: λ0 (x) = 1 λ1 (x) = x λn (1) = 0 n ≤ 2 λn (x + y) = σi + j = n λi (x) λj (y) λn (xy) = Pn (λ1 (x), λn (λn). ಈ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇ1,., ಎಮ್. ಎನ್. ಗಳು X1,., Xmn ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ Pn, m ಎಂಬುದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ nm ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು, Pn, m (e1,., emn) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ tnನ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ (ಅಂತಹ ಬಹುಪದವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು xiಯಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ.) ಈಗ e1,.., x1,.., xn ಮತ್ತು f1,.., fn ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರಲಿ, y1,., yn ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ Pn ಎಂಬುದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 2n ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ tn ನ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ λ-ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು "ವಿಶೇಷ λ-ಉಂಗುರಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅವರು λn (1), λn (xy) ಮತ್ತು λm (λn (x)) ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಕೈಬಿಡುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ "λ-ಉಂಗುರ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲ Z, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿ (ಋಣಾತ್ಮಕ x ಗೆ ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) λ-ವರ್ತುಲವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು Z ಮೇಲೆ ಇರುವ ಏಕೈಕ λ-ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಮೇಲಿನ ಪ್ರೇರಣೆ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸದಿಶ ಸ್ಥಳಗಳ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಸದಿಶ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅದರ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಾವು λ-ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು, λn (x) = () ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಯಾವುದೇ ದ್ವಿಪದ ಉಂಗುರವು λ-ಉಂಗುರವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ λ-ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ, ಆಡಮ್ಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗಿವೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನ ಕೆ-ಥಿಯರಿ ಕೆ (ಎಕ್ಸ್) ಒಂದು λ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. G ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ k ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ರಿಂಗ್ R (G) ಒಂದು λ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ; G ಗುಂಪಿನ k-ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ λ-ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ λ-ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನಂತೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು e1, e2,. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು λn (e1) = en ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. λ-ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮತ್ತು ek ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು λZ ಉಂಗುರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು λZ ಅನ್ನು λ-ಉಂಗುರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ಜನರೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ಉಚಿತ λ-ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ಜನರೇಟರ್ ಇ1 ಆಗಿದೆ. (). ಮುಂದಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪ್ರತಿ λ-ಉಂಗುರವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು λ-ರಿಂಗ್ Z ಅನ್ನು λ-ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು λ-ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, λ-ವರ್ತುಲಗಳು R ಮತ್ತು S ನಡುವಿನ λ-ಏಕರೂಪತೆಯು ಒಂದು ವರ್ತುಲ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ f: R → S ಎಂದರೆ, R ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ n ≤ 0 ಗಳಿಗೂ f (λn (x)) = λn (f (x)). λ-ರಿಂಗ್ R ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು λ-ಆದರ್ಶವು R ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಆದರ್ಶ I ಆಗಿದ್ದು, ಅದು R ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ n ≤1 ಗೆ λn (x) εI ಆಗಿರುತ್ತದೆ. x ಒಂದು λ-ಉಂಗುರದ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು m ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ n> m ಗೆ λm (x) §0 ಮತ್ತು λn (x) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಡಿಮ್ (x) = m ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು x ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಡಿಮ್ (x + y) ≤ ಡಿಮ್ (x) + ಡಿಮ್ (y) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಚೆರ್ನ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕೆ-ಥಿಯರಿ ಆಡಮ್ಸ್ ಆಪರೇಷನ್ ಪ್ಲೆಥಿಸ್ಟಿಕ್ ಘಾತೀಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಕ್ಸ್ಪೋ 0 ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಕೆ-ಥಿಯರಿಯ ವಿ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.