Brandt semigroup
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಾಂಡ್ಟ್ ಅರೆಗುಂಪುಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ 0-ಸರಳ ವಿಲೋಮ ಅರೆಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವು ಸರಿಯಾದ ಆದರ್ಶಗಳಿಲ್ಲದ ಅರೆಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇವು ವಿಲೋಮ ಅರೆಗುಂಪುಗಳೂ ಆಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ 0-ಸರಳವಾದ ಅರೆಗುಂಪುಗಳಂತೆಯೇ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಜಿ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಖಾಲಿಯಾಗಿರದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಪ್ರತಿ 0-ಸರಳ ಅರೆಗುಂಪು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಬ್ರಾಂಡ್ಟ್ ಅರೆಗುಂಪುಗಳು ಸಹ ವಿಲೋಮ ಅರೆಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ರಚನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶೇಷವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, I = J (ಹೋವಿ 1995). ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಬ್ರಾಂಡ್ಟ್ ಅರೆಗುಂಪು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿ G ಗುಂಪಿನ ಗುರುತಿನ ಅಂಶ e ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 1) ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳು (i, e, i) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ e ಎಂಬುದು G ಯ ಗುರುತು. 2) ಬ್ರಾಂಡ್ಟ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಮಾನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವಿದೆಃ ಎಸಿ = ಬಿಸಿಐಸಿವಿ 0 ಅಥವಾ ಸಿಎ = ಸಿಬಿಐಸಿವಿ 0ಎಂಡಿಎಎಎ = ಬಿಬಿಐಬಿಐಸಿವಿ 0 ಮತ್ತು ಬಿಸಿಐಸಿವಿ 0ಎಬಿಸಿಐವಿ 0. ಎಲ್ಲಾ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳಾದ e ಮತ್ತು f ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವುಗಳಿಗೆ, eSf §0 ಅರೆಗುಂಪುಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವಿಶೇಷ ವರ್ಗಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ಅರೆಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ