Bernstein–von Mises theorem
ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನದಲ್ಲಿ, ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಯತಾಂಕ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಆಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಂತರದ ವಿತರಣೆಯು ಅನಂತ ದತ್ತಾಂಶದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಬಹುವಿಧದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಫಿಶರ್ ಮಾಹಿತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆಃ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆಲವು ನಿಜವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಆವರ್ತನವಾದದಂತೆಯೇ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುವ ಬಯೇಸಿಯನ್ ವಿಧಾನಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮಟ್ಟದ ಬಯೇಸಿಯನ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸೆಟ್ಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಬಯೇಸಿಯನ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಸ್ಟೇಟ್ಮೆಂಟ್ ಒಂದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ನಿಯಮಿತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ (ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ, ಉತ್ತಮವಾಗಿ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ, ಸುಗಮವಾದ, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ), ಮೇಲಿನ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮೃದುವಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ), ಮರುಬಳಕೆಯ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆ (ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಮತ್ತು ಮರುಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ) ಮತ್ತು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯ ನಡುವಿನ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂತರವು ಯಾವುದೇ ಸಮರ್ಥ ಅಂದಾಜಿನ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಫಿಶರ್ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಾರನು ದಕ್ಷ ಅಂದಾಜುಗಾರನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಇನ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಾವು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ, ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚ್ಯಂಕವೆಂದರೆ ಬೇಯೇಸಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ನೋಡುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು, ಆಗಾಗ್ಗೆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ರಿಚರ್ಡ್ ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಎನ್. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದ್ದರೂ, 1949 ರಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್ ಎಲ್. ಡೂಬ್ ಅವರು ಸೀಮಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಸರಿಯಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ನಂತರ ಲುಸಿಯೆನ್ ಲೆ ಕ್ಯಾಮ್, ಅವರ ಪಿಎಚ್ಡಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಲೋರೆನ್ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್, ಡೇವಿಡ್ ಎ. ಫ್ರೀಡ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಪರ್ಸಿ ಡಯಾಕೋನಿಸ್ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಮಿತಿಗಳು ತಪ್ಪಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಾದರಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯು ಸರಿಯಾದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಆಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಫಿಶರ್ ಮಾಹಿತಿಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದೇನಿಲ್ಲ. ಇದು ಬಯೇಸಿಯನ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ವಿನಾಯಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. 1965ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೀಡ್ಮನ್ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರುಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನಂತ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಾಲ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಂಭವನೀಯ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಪ್ರಿಯರ್ಗಳು ಅನಂತ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೂ ಸಹ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಗಳಂತಹ ವಿಭಿನ್ನ ಸಾರಾಂಶ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಫ್ರೀಡ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹಿಂಭಾಗದ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ತಪ್ಪು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಹಿಂಭಾಗದ ಕ್ರಮವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡೂಬ್, ಜೋಸೆಫ್ ಎಲ್. (1949), ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯ. ಕೊಲೋಕ್. ಇಂಟರ್ನ್. ಡು C.N.R.S (ಪ್ಯಾರಿಸ್), ನಂ. 13, ಪುಟಗಳು. 23-27. ಫ್ರೀಡ್ಮನ್, ಡೇವಿಡ್ ಎ. 1963). ಬೇಯ್ಸ್ನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣ I ರಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ದಿ ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 34, ಪುಟಗಳು. 1386-1403. ಫ್ರೀಡ್ಮನ್, ಡೇವಿಡ್ ಎ. 1965). ಬೇಯ್ಸ್ನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೇಲೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣ IIರಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ದಿ ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 36, ಪುಟಗಳು. 454-456. ಲೆ ಕ್ಯಾಮ್, ಲುಸಿಯೆನ್ (1986). ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಡಿಸಿಷನ್ ಥಿಯರಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್. (ಪುಟಗಳು 336 ಮತ್ತು 618-621). ಲೋರೆನ್ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ (1965). ಬೇಯ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ ಮೇಲೆ. ಜೆಡ್. ವಾಹರ್ಷೈನ್ಲಿಚ್ಕೀಟ್ಸ್ಟಿಯೋರಿ, ನಂ. 4, pp. 10-26. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಬಯೇಸಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು