Free boundary problem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯು (ಎಫ್. ಬಿ. ಸಮಸ್ಯೆ) ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಡೊಮೇನ್ ಎರಡಕ್ಕೂ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಗಡಿಯ ಭಾಗವು ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ. ಭೌತಿಕದಿಂದ ಹಿಡಿದು ಆರ್ಥಿಕ, ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ಜೈವಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಫ್ಬಿಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮಾಧ್ಯಮದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಣಾಮವಿದೆ. ಈ ಪರಿಣಾಮವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಧ್ಯಮದ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಹಂತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನೋಟವಾಗಿದೆಃ ನೀರಿಗೆ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆ, ಸ್ಫಟಿಕಕ್ಕೆ ದ್ರವ, ಮಾರಾಟಕ್ಕೆ ಖರೀದಿ (ಸ್ವತ್ತುಗಳು), ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಕ್ಕೆ ಸಕ್ರಿಯ (ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ), ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಕೆಂಪು (ಬಣ್ಣದ ಆಟಗಳು), ಅಸಂಘಟಿತವಾಗಿ ಸಂಘಟಿತ (ಸ್ವಯಂ-ಸಂಘಟಿಸುವ ನಿರ್ಣಾಯಕತೆ). ಅಂತಹ ನಿರ್ಣಾಯಕತೆಯ ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ಪೈಲ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ (ಅಥವಾ ಆಂತರಿಕ ಡಿಎಲ್ಎ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಕರಗುವಿಕೆಃ ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ತಾಪಮಾನವು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಕರಗುವ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರದೇಶವು ದ್ರವರೂಪದ ನೀರಿನಿಂದ ಆಕ್ರಮಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಐಸ್/ಲಿಕ್ವಿಡ್ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಗಡಿಯನ್ನು ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಯ ದ್ರಾವಣದಿಂದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಹಂತದ ಸ್ಟೀಫನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಕರಗುವಿಕೆಯು ತಾಪಮಾನ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸ್ಟೀಫನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುವ ಮಾಧ್ಯಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಹಂತ 1 ಯಾವಾಗ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಂತ 2 ಯಾವಾಗ ಇರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಹಂತಗಳು ಉಷ್ಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀರಿನ ಉಷ್ಣ ಪ್ರಸರಣವು 1.4x10−7 m2/s ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಪ್ರಸರಣವು 1.335 ×10−6 m2/s ಆಗಿದೆ. ಕೇವಲ ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ, ಉಷ್ಣಾಂಶವನ್ನು ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಇದು (ತಿಳಿದಿರುವ) ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ಶಾಖದ ಮೂಲಗಳು ಅಥವಾ ಮುಳುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಇರಲಿ; ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಎರಡು ಹಂತಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ (ಘನ) ಹಂತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕದ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸ್ಟೀಫನ್ ಸ್ಥಿತಿಯು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವೇಗವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕರಗುವ ಸುಪ್ತ ಶಾಖ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಾವು ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವಂತೆ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವಂತೆ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇಡೀ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮೊದಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ ಆದರೆ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಐಸ್-ಲಿಕ್ವಿಡ್ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ. ಸ್ಟೀಫನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯನ್ನು ಸಹ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬೇಕು. ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ಟೀಫನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ; ಇದು ಎರಡು ಹಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮುಕ್ತ-ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ, ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ತತ್ವವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಅಡೆತಡೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಷರತ್ತಿಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾಕತಾಳೀಯ ಸೆಟ್ ಸಿ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಯೋಗವಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಪ್ರದೇಶವೆಂದು ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯನ್ನು ಇವೆರಡರ ನಡುವಿನ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ ಅದರ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮುಕ್ತ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಅನೇಕ ಮುಕ್ತ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಲುವಾಗಿ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳೆಂದು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಅಂಶವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ; ಮಿನಿಮೈಸರ್ ಅನ್ನು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ನ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಈಗ ವೇರಿಯೇಷನಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಡೆತಡೆ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆಃ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕೇವಲ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅಂಡಾಕಾರದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ದುರ್ಬಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಂತೆಯೇ. ಮುಕ್ತ ಗಡಿಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಂಜಸವಾದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾದ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರವು ಒಬ್ಬರು ಬಯಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ನಂತರ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಕೆಲವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಸಾಧಾರಣವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಅದರಿಂದ ದೂರವಿರುವ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಹ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಟೀಫನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, ಮುಕ್ತ ಗಡಿಯು ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಮುಕ್ತ ಗಡಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಿತಿಮೀರಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿವೆ, ಅಥವಾ ಡೇವಿಡ್ ಕಿಂಡರ್ಲೆಹ್ರರ್ ಮತ್ತು ಗೈಡೋ ಸ್ಟಾಂಪಾಚಿಯಾ ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉದ್ದೇಶಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಕೌಚಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದಾದ ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ಎಫ್ಬಿಪಿಗಳೆಂದರೆ ಪೊಂಪಿಯು ಸಮಸ್ಯೆ, ಶಿಫರ್ನ ಊಹೆಗಳು. ಕೆಳಗಿನ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಫೇಸ್-ಫೀಲ್ಡ್ ಮಾದರಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಯಲ್ಲಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ, ಪಾಂಪಿಯು ಸಮಸ್ಯೆ, ಶಿಫರ್ನ ಊಹೆ, ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು