Quantum pendulum
ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಿದ ಆಂತರಿಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು, ಚದುರುವಿಕೆಯ ಪರಮಾಣುಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಇತರ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಲೋಲಕವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಸಣ್ಣ-ಕೋನ ಅಂದಾಜುಗೆ ಒಳಪಡದ ಲೋಲಕವು ಅಂತರ್ಗತ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಸರಳ ಲೋಲಕವು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು (ಕೋನೀಯ ಸ್ಥಳಾಂತರ) ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು (ತಂತಿಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಸಮತಲ) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನಶೀಲ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮಯ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರರಾಶಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಕೇವಲ ಮ್ಯಾಥಿಯುವಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮ್ಯಾಥಿಯುವಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನೇಕ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಸಮೀಕರಣವು ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿರುವ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಕೊಸೈನ್, ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಮಾನದಂಡವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಲೋಲಕದಲ್ಲಿನ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆಃ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳು, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮ/ಬೆಸ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ, ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಆಳವನ್ನು ಆಳವಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಣದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಆಳವಿಲ್ಲದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ, ಬ್ಲೋಚ್ ಅಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟನಲಿಂಗ್ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ a ಮತ್ತು q ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಕೊಸೈನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಸೈನ್ಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಪೆರಿಯೋಡಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಒಂದು ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗುತ್ತವೆ. q ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜವಾಗಿವೆಃ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಆವರ್ತಕ ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (ಹಸಿರು) ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಬೆಟ್ಟಗಳು ಮತ್ತು ಆಳವಿಲ್ಲದ ಕಣಿವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಮುಹಮ್ಮದ್ ಅಯೂಬ್, ಆಟಮ್ ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪೆಂಡುಲಮ್, 2011, ಇಸ್ಲಾಮಾಬಾದ್, ಪಾಕಿಸ್ತಾನ., https://arxiv.org/abs/1012.6011 ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾದರಿಗಳು ಪೆಂಡುಲಮ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.