Mathematics: The Loss of Certainty
ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ಃ ದಿ ಲಾಸ್ ಆಫ್ ಸೆರ್ಟಿನಿ ಎಂಬುದು ಶತಮಾನಗಳಾದ್ಯಂತ ಗಣಿತದ ಸಂಸ್ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತಿರುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೋರಿಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಬರೆದ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಯುಗಯುಗಗಳಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಹೇಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವನ್ನುಂಟು ಮಾಡಿವೆ ಎಂಬುದರ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಆವಿಷ್ಕಾರದಿಂದ ಹೇಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತರಾದರು ಮತ್ತು ಗೊಡೆಲ್ನ ಅಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನೇಕ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರಾಶೆಗೊಳಿಸಿತು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ದೇವರಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ನ್ಯೂಟನ್ರ ಧಾರ್ಮಿಕ ಆಸಕ್ತಿಗಳು ಅವರ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾದ ಪ್ರೇರಣೆ ಎಂದು ಅವರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. 1692ರ ಡಿಸೆಂಬರ್ 10ರಂದು ರೆವರೆಂಡ್ ರಿಚರ್ಡ್ ಬೆಂಟ್ಲಿಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವರು ನ್ಯೂಟನ್ನನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆಃ "ನಾನು ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನನ್ನ ಗ್ರಂಥವಾದ ದಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಫಿಲಾಸಫಿಯನ್ನು ಬರೆದಾಗ, ದೇವರಲ್ಲಿ ನಂಬಿಕೆಯಿಡಲು ಮನುಷ್ಯರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದಾದಂತಹ ತತ್ವಗಳ ಮೇಲೆ ನನ್ನ ಕಣ್ಣು ಇತ್ತು; ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಒಂದು ಧಾರ್ಮಿಕ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅದನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದರು ಎಂದು ನಂಬುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂತೋಷ ನನಗೆ ಬೇರೊಂದಿಲ್ಲ. ಕ್ಲೈನ್ 1699 ಅಥವಾ 1700 ರ ದಿನಾಂಕವಿಲ್ಲದ ಪತ್ರದಿಂದ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾನೆಃ ಇಡೀ ಮಾನವಕುಲದ ಪ್ರಮುಖ ಗುರಿಯು ದೇವರ ಅದ್ಭುತಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನನಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದೇ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ದೇವರು ಅವನಿಗೆ globe.Kline ನ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದನು, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾದ, ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸುತ್ತಾನೆ. ಇಂದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅನ್ವಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಬದಲಿಗೆ ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತಾರೆ. ವಿಮರ್ಶೆ ಈ ಪುಸ್ತಕದ ವಿಮರ್ಶೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ತಜ್ಞರು, ಲೇಖಕರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ ಗೌರವ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತಾ, ಪಕ್ಷಪಾತದ ಭಾವನಾತ್ಮಕತೆ, ಅಪ್ರಾಮಾಣಿಕತೆ ಮತ್ತು ಅಸಮರ್ಥತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆರೋಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಂತ್ಲಿಯಲ್ಲಿ ರೇಮಂಡ್ ಜಿ. ಅಯೂಬ್ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆಃ ಶತಮಾನಗಳಿಂದ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಉತ್ತಮ ಮಾದರಿಯಂತೆ ತೋರುತ್ತಿತ್ತು. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೌಕಾಯಾನದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈಗಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಶೀಲನೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಿದಾಗ, ಇದು ದೌರ್ಬಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಾರಿ, ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ (ಆವಿಷ್ಕಾರ ಎಂದು ಕೆಲವರು ಹೇಳಬಹುದು) ಕಾರಣವಾಯಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. (ಹಲವಾರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು.) ಕ್ಲೈನ್ನ ಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ಏಕೆ "ಸೋಲು" ಯಾಯಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಬರಹಗಾರನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ವಿಫಲನಾಗಿದ್ದಾನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವಿಜಯವಲ್ಲವೇ?. ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಕ್ಲೈನ್ ತಮ್ಮ ಓದುಗರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆತ ಒಬ್ಬ ವಿದ್ವಾಂಸರಾಗಿದ್ದು, ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಅನೇಕ ಗಣಿತದ ವಿಚಾರಗಳು ನೈಜ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅವರು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಮತಾಂಧ ವಿರೋಧಿಗಳು ಸಹ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು ಅವನು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಲೂಯಿಸ್ XIV ಗೆ ಆಸ್ಥಾನದ ವಿದೂಷಕನ ಕಥೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಲೂಯಿಸ್ XIV ಒಂದು ಕವಿತೆಯನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದನು ಮತ್ತು ಆ ವಿದೂಷಕನ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಕೇಳಿದನು. "ನಿಮ್ಮ ಘನತೆ ಏನು ಬೇಕಾದರೂ ಮಾಡಲು ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಘನತೆವೆತ್ತರು ಡಾಗ್ಜೆರೆಲ್ ಬರೆಯಲು ಹೊರಟಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಘನತೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆ ". ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿ, ಅಯ್ಯೋ, ಈ ಪುಸ್ತಕದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲೇಬೇಕು. ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ರಿವ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ಕೊರ್ಕೊರನ್ಃ ಈ ಪುಸ್ತಕದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಉದ್ದೇಶವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿ "ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ" ವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು "ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ" ಮತ್ತು ಅಡಿಪಾಯ ಅಧ್ಯಯನಗಳೆರಡನ್ನೂ ದೂಷಿಸುವ ಮಾನಸಿಕ ವಾಸ್ತವಿಕವಾದವನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸುವುದು. ಅದರ ಪ್ರಬಂಧವು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಆಳವಾದ ಅಡಿಪಾಯದ ಸಾಧನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಭಾಗಶಃ ಊಹಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೂ, ಮೂಲ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿದ ವಿವಿಧ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರಗಳ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧಿಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ವಿಚಾರಗಳಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ತರ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಲೇಖಕರ ಗ್ರಹಿಕೆಯು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಲ್ಲ. ತದನುಸಾರವಾಗಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್, ಗೊಡೆಲ್, ಚರ್ಚ್, ಬೌರ್ಬಕಿ ಪಂಥದ ಸದಸ್ಯರು ಮತ್ತು ಇತರ "ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಇರುವ ನಾಯಕರು ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೆಲವು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮಾನವ ಮನಸ್ಸುಗಳು ಬಂಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ" ಎಂದು ಅವರು ಆಶ್ಚರ್ಯ ಪಡುತ್ತಾರೆ (ಪುಟ 322,323). ಈಗಷ್ಟೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಪ್ಲೇಟೋನಿಸ್ಟಿಕ್ ವಾಸ್ತವಿಕತೆಯ ವಿರುದ್ಧದ ಅವರ ಏಕೈಕ ವಾದವು (ಮಾನವ) ದೋಷ ಮತ್ತು (ಗಣಿತ) ಸುಳ್ಳುತನದ (ಪುಟ 324) ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವರ ಸ್ವಂತ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಲು ದೋಷರಹಿತವಾಗಿರುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಲೇಖಕನು ಅರಿತುಕೊಂಡಂತೆ ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ನಷ್ಟವು ಸತ್ಯದ ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಲ್ಲ ಎಂದು ಅವನು ಗುರುತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಲೇಖಕರ ವಾದದ ತಾತ್ವಿಕ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸದ ಸಮಗ್ರ ಸಮೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಣೆಯಲಾಗಿದೆ. ಉತ್ತಮವಾದ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಕೃತಿಯಿಂದ ಈ ವಾದವು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ವಿಮೋಚನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ. ಲೇಖಕರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ಎರಡು ಅವಧಿಗಳನ್ನು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಎ) ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಭವ ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣೆಯು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸಿದೆ ಎಂಬ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸತ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಲೇಖಕರು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. 9, 18, 24, 167). ಆದರೆ ಇತರ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು "ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸತ್ಯಗಳ" ಮೇಲೆ ತಮ್ಮ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಭವ ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಅಪಹಾಸ್ಯ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಅವರು ಆರೋಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. 17, 20, 21, 22, 29, 95, 307). (ಬಿ) ಕೆಲವು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಲೇಖಕರು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭವನ್ನು ಗಣಿತದ ದೃಢತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ವಿಶ್ವಾಸದ ಸಮಯವೆಂದು ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದಾರೆ (ಪು. 6, 68, 78, 103, 173), ಆದರೆ ಇತರ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಈ ಅವಧಿಯನ್ನು ಬೌದ್ಧಿಕ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಮಯವೆಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತಮ್ಮ ವಿಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಗಂಭೀರ ಅನುಮಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು (ಪುಟಗಳು. 152, 153, 170, 308). ಮುಖ್ಯ ವಾದವನ್ನು ಕಲುಷಿತಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕವು ಒದಗಿಸಿದ ಅನೇಕ ಧ್ವನಿ ಮತ್ತು ಆಕರ್ಷಕ ಅವಲೋಕನಗಳು ಮತ್ತು ಒಳನೋಟಗಳಿಂದ ಗಮನವನ್ನು ಬೇರೆಡೆಗೆ ಸೆಳೆಯುವ ತಾತ್ವಿಕ, ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಅಸಮರ್ಪಕತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ವಿಷಾದಿಸಬಹುದು. ರೆವ್ಯೂ ಡಿ ಹಿಸ್ಟೋಯಿರ್ ಡೆಸ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನಲ್ಲಿ ಆಮಿ ದಹನ್ಃ ಕ್ವಾಂಟ್ ಆಕ್ಸ್ ಡರ್ನಿಯರ್ಸ್ ಚಾಪಿಟರ್ಸ್ ಸುರ್ ಲೆಸ್ ಗ್ರ್ಯಾಂಡೆಸ್ ಟೆಂಡೆನ್ಸ್ ಡೆಸ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಕಾಂಟೆಂಪರೆನ್ಸ್, ಇಲ್ಸ್ ಸೊಂಟ್ ಫ್ರ್ಯಾಂಚ್ಮೆಂಟ್ ಡಿಸೆವಾಂಟ್ಸ್, ಅಸೆಜ್ ಸೂಪರ್ಫಿಸಿಯಲ್ಸ್. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಕಾಲೀನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಪೆರಿಯೋಡ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲಿಸ್ಟ್, ರಿಟೌರ್ ಔ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್, ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಎಂಟ್ರೆ ಲೆಸ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಎಟ್ ಲಾ ಫಿಸಿಕ್, ಇತ್ಯಾದಿ) ಇ. ಟಿ. ಸಿ. ಯಲ್ಲಿ ಸ್ಕಾಟ್ ವೈನ್ಸ್ಟೈನ್ಃ ಎ ರಿವ್ಯೂ ಆಫ್ ಜನರಲ್ ಸೆಮಾಂಟಿಕ್ಸ್ಃ ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕವು ಆಕರ್ಷಕ ವಿಷಯದ ಉತ್ಸಾಹಭರಿತ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಮಿತಿಮೀರಿದವು ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನ್ಯಾಯಸಮ್ಮತವಲ್ಲ. ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಅಡಿಪಾಯದ ಸಂಶೋಧನೆಯಿಂದ ಕಲಿಯಬೇಕಾದ ಪಾಠವೆಂದರೆ ಗಣಿತವು ವಿಷಾದಕರ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಆಳವಾದ ತಾತ್ವಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತದಿಂದಲೇ ಪರಿಹರಿಸದಿದ್ದರೂ ಎಷ್ಟು ಮಟ್ಟಿಗೆ ಬೆಳಕಿಗೆ ತರಬಹುದು ಎಂಬುದು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಮಿತಿಗಳಿರಬಹುದು ಎಂದು ಗೊಡೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ನಿಕಟವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ಮೂಲಕ ಮಾನವ ತರ್ಕವು ಏರುವ ಮಹತ್ತರವಾದ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ಮೂಲಕ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಇಯಾನ್ ಸ್ಟೀವರ್ಟ್ ಅವರು ಎಜುಕೇಷನಲ್ ಸ್ಟಡೀಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿಃ ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಈ ಲೇಖಕರಿಂದ ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ ದೃಢವಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಅದರ ಬಗೆಗಿನ ನನ್ನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಅದರ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳಿಗೆ ನನ್ನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಂತೆಯೇ ಇದೆಃ ಅದರಲ್ಲಿ ಮುಕ್ಕಾಲು ಭಾಗವು ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗವು ಅತಿರೇಕದ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಮೋರಿಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರು ಇಂದಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಅವರು ನಿನ್ನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಮಾರಿಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಗೊಡೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಬೇರೆಡೆ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ನಾನು ಒಪ್ಪುವುದಿಲ್ಲಃ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಗಡ್ಡೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾದ ಗಣಿತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮುಖ್ಯವಾಹಿನಿಯ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರಿತು. ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯುತವಾದ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಕಾರಣವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಅವರು ಏನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹೇಗೆ ಯೋಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಇದು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿತು; ಆದರೆ ಅವರು ನಿಜವಾಗಿ ಏನು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪರಿಣಾಮವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಇದನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಉದಯಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿಃ ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಐವತ್ತು ವರ್ಷಗಳ ಅಂತರ್ಮುಖಿ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು; ನಯಗೊಳಿಸಿದ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ಮತ್ತು ಅಪಾರವಾದ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವಾಸ್ತವಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ತಂತ್ರದ ಸಮೂಹವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಕಳೆದ ದಶಕದೊಳಗೆ ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲೂ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಈ ಶತಮಾನದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಹೆಚ್ಚು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೋರಿಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅಂತರ್ಮುಖಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದರ ತೃಪ್ತಿದಾಯಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಆಶಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬದಲು, ಗಣಿತದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಚಿಂತನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರಬಹುದು ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಾನು ಒಂದು ಸೇಬು ಮರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ನನ್ನ ಗರಗಸವು ತುಂಬಾ ಮೊಂಡಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಮರದ ಬಗೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಚಿಂತನೆಯು ಅದನ್ನು ತೀಕ್ಷ್ಣಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಒಳ್ಳೆಯ ಗಣಿತವಿದೆ, ಕೆಟ್ಟ ಗಣಿತವಿದೆ. ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರದ, ವಿಜ್ಞಾನವು ಅನಿವಾರ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸುವ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿದ್ದಾರೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಉತ್ಸಾಹದಿಂದ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಉಪಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರ ಕೆಲಸವು ಝೆಪೆಲಿನ್ ಅಥವಾ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಕವಾಟದಂತೆ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆವಿಷ್ಕಾರದಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಮಾರ್ಗವು ಸುಳ್ಳು ತುದಿಗಳ ಮೊಲ-ಯುದ್ಧವಾಗಿದೆಃ ಗಣಿತವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನಿಗಿಂತ ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ. ಇಂದಿನ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಅದರ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ವಿಶೇಷತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆಃ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಸಾಮೂಹಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯು ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡುವ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಮೋರಿಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಮಾತ್ರ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಳಿವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರೆ, ನಾನು ಅವರ ವಾದಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ಗಣಿತವು ಕುಸಿಯುತ್ತಿದೆ ಎಂಬ ಅವರ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅಜ್ಞಾನದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇಂದಿನ ಗಣಿತದ ಅದ್ಭುತ, ಹೊಳೆಯುವ ಚೈತನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅವರ ವಾದಗಳು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿವೆ. ನಾನೂ ಸಹ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಬಹಿರಂಗವಾದ ಮನ್ನಣೆಯನ್ನು ನೋಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ; ಆದರೆ ಈ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯಲ್ಲೂ ಅವರು ಅದ್ಭುತವಾದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯುದ್ಧ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮೊದಲೇ ಸೋಲುವುದು. ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಮೋರಿಸ್ ಕ್ಲೈನ್, ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ಃ ದಿ ಲಾಸ್ ಆಫ್ ಸೆರ್ಟಿನಿಟಿ, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1980 ನೋಟ್ಸ್ ಫರ್ದರ್ ರೀಡಿಂಗ್ ಬುಕ್ಸ್ ಎಬೌಟ್ ದಿ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್