Metaplectic structure
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಯು ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಿನ್ ರಚನೆಯ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಯು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನರ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೂಲಕ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನ್ ರಚನೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಡಿರಾಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಘಟಕಾಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಕೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೇಲೆ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಯು ಡಬಲ್ ಕವರಿಂಗ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಫ್ರೇಮ್ ಬಂಡಲ್ನ ಸಮಾನವಾದ ಲಿಫ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿಯು ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನ ಮೇಲೆ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಎ) ಪ್ರಧಾನ-ಬಂಡಲ್ ಓವರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಿ) ಸಮಾನವಾದ-ಮಡಿಕೆ ಕವರ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಫ್ರೇಮ್ಗಳ ಬಂಡಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದ ನಕ್ಷೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಫ್ರೇಮ್-ಬಂಡಲ್ನ ಎರಡು ಸಮಾನ ಡಬಲ್ ಹೊದಿಕೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಡಚಣೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸ್ಪಿನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಂತೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡನೇ ಸ್ಟೀಫೆಲ್-ವಿಟ್ನಿ ವರ್ಗವು ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕಡಿತವು ಎರಡನೇ ಸ್ಟೀಫೆಲ್-ವಿಟ್ನಿ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು-ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮೊದಲ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದಂತೆ, ಮೊದಲ ಸ್ಟೀಫೆಲ್-ವಿಟ್ನಿ ವರ್ಗವೂ ಸಹ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹಂತವು ಯಾವುದೇ ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂತಹ ರಚನೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ಇತ್ಯಾದಿ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಫ್ರೇಮ್ ಬಂಡಲ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸ್ಪಿನರ್ ಬಂಡಲ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ರಚನೆಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.