Affine root system
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್-ಲೀನಿಯರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಅಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಅರೆ-ಸರಳ p-adic ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ಯಾಕ್ ಮತ್ತು ಮೂಡಿ ಅವರು ಕ್ಯಾಕ್-ಮೂಡಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೇಲಿನ ತಮ್ಮ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಅಫೈನ್ ಬೇರಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಬಹುಶಃ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಯಿತು (ಈ ಎರಡೂ ಪತ್ರಿಕೆಗಳು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ E ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು V ಅದರ ಅನುವಾದಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. V, Eಯ ಮೇಲೆ ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅದು Vಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅಂತಹ ಏಕೈಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ವಿ ಮೇಲೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದು ಇ ಮೇಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್-ಲೀನಿಯರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. a ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ನಂತರ, F ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು V ಯ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅದು ಅದರ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಈಗ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು V ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು V ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾವು F ಮೇಲೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ. ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣಃ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುವಿಕೆಯು ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆಃ ಎಸ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಫೈನ್ ಬೇರುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆ ರಚಿಸಿದ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಿ. ನಾವು ಸಹ ಕೇಳುತ್ತೇವೆ ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಅಂಶಗಳು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವರ್ಗೀಕರಣ ಅಫೈನ್ ಬೇರುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು A1 = B1 = B = C1 = C ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಜೋಡಿಗಳು B2 = C2, B = C, ಮತ್ತು A3 = D3 ಟೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ಬೇರುಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಸರಳ ಬೇರುಗಳು α (2α ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ) ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇತರರಂತೆಯೇ ಅದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಶ್ರೇಯಾಂಕ 1ರ ಪ್ರಕಾರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಫೈನ್ ರೂಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ಃ A1, BC1, (BC1, C1), (C, BC1), (C, C1). ಶ್ರೇಣಿ 2: ಎ2, ಸಿ2, ಸಿ, ಬಿಸಿ2, (ಬಿಸಿ2, ಸಿ2), (ಸಿ, ಬಿಸಿ2), (ಬಿ2, ಬಿ), (ಸಿ, ಸಿ2), ಜಿ2, ಜಿ. ಶ್ರೇಣಿ 3: ಎ3, ಬಿ3, ಬಿ, ಸಿ3, ಸಿ, ಬಿಸಿ3, (ಬಿಸಿ3, ಸಿ3), (ಸಿ, ಬಿಸಿ3), (ಬಿ3, ಬಿ), (ಸಿ, ಸಿ3). ಶ್ರೇಣಿ 4: ಎ4, ಬಿ4, ಬಿ, ಸಿ4, ಸಿ4, ಬಿಸಿ4, (ಬಿಸಿ4, ಸಿ4), (ಸಿ, ಬಿಸಿ4), (ಬಿ4, ಬಿ), (ಸಿ, ಸಿ4), ಡಿ4, ಎಫ್4, ಎಫ್. ಶ್ರೇಣಿ 5: ಎ5, ಬಿ5, ಬಿ, ಸಿ5, ಸಿ, ಬಿ5, (ಬಿಸಿ5, ಸಿ5), (ಸಿ, ಬಿಸಿ5), (ಬಿ5, ಬಿ), (ಸಿ, ಸಿ5), (ಡಿ5. ಶ್ರೇಣಿ 6: ಎ6, ಬಿ6, ಬಿ, ಸಿ6, ಸಿ6, ಬಿಸಿ6, (ಬಿಸಿ6, ಸಿ6), (ಸಿ, ಬಿಸಿ6), (ಬಿ6, ಬಿ), (ಸಿ, ಸಿ6), ಡಿ6, ಇ6, ಶ್ರೇಣಿ 7: ಎ7, ಬಿ7, ಸಿ7, ಸಿ, ಬಿಸಿ7, (ಬಿಸಿ7, ಸಿ7), (ಸಿ, ಬಿಸಿ7), (ಬಿ7, ಬಿ), (ಸಿ, ಸಿ7), ಡಿ7, ಇ7, ಶ್ರೇಣಿ 8: ಎ8, ಬಿ8, ಬಿ8, ಸಿ8, ಸಿ8, ಬಿಸಿ8, (ಬಿಸಿ8, ಸಿ8), (ಸಿ, ಬಿಸಿ8), (ಬಿ8, ಬಿ), (ಸಿ, ಸಿ8), ಡಿ. ಅಫೈನ್ ರೂಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಗಳು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅಫೈನ್ ರೂಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ತೋರಿಸಿವೆ. ಕಡಿಮೆಯಾದ ಅಫೈನ್ ಬೇರಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅಫೈನ್ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅಫೈನ್ ಬೇರಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅಫೈನ್ ಲೈ ಸೂಪರ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಮೆಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪುಗಳು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು