Convolution of probability distributions
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್/ಮೊತ್ತವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಅವುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ಪದವು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅನೇಕ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿತರಣೆಗಳು ಸರಳ ಸುರುಳಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಸುರುಳಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೋಡಿ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ-ಮೌಲ್ಯದ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಪಿಡಿಎಫ್) ಮತ್ತು ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ (ಸಿಡಿಎಫ್) ಸ್ವತಂತ್ರ, ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಮೊತ್ತದ ಸಿಡಿಎಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ, ನಂತರಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರಃ ಮತ್ತು ಈ ಸೂತ್ರವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಸುರುಳಿಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ವಿತರಣೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಕ್ಷಣಗಳಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅಂತಹ ವಿಧಾನಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ನೇರವಾದ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಬರ್ನೌಲಿ ವಿತರಣೆಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಬರ್ನೌಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ದ್ವಿಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಝಡ್ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ವಿಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಮಾಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೊನೆಯದರಲ್ಲಿ k> n ಗೆ ಆದರೆ ಮೂರು ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯವು ಅಲ್ಲಿ t ಶೂನ್ಯದ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಸುರುಳಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ