Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ-ರೋಸೆನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂಬುದು ಶಕ್ತಿಯ-ಆವೇಗದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಶಕ್ತಿಯ-ಆವೇಗದ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರವಾಹದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಇನ್ನೂ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉತ್ಪಾದಕವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಪ್ರವಾಹದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಗೆ ಹೀಗೆ ತಿರುಗುವ-ಪ್ರವಾಹದ ಮೂಲವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲದ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎನರ್ಜಿ-ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ-ರೋಸೆನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂಬುದು ಶಕ್ತಿಯ ಆವೇಗದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಶಕ್ತಿಯ ಆವೇಗದ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರವಾಹದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಇನ್ನೂ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಭಾಗಗಳ ಏಕೀಕರಣವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ಅದು ಆಂತರಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಇಳಿಜಾರುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ "ಬೌಂಡ್ ಆವೇಗ" ವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೇರಿಸಲಾದ ಪದವು ಕಾಂತೀಕರಣ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ "ಬೌಂಡ್ ಕರೆಂಟ್" ನ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಲು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿರುವ ಸ್ಪಿನ್-ಕರೆಂಟ್ ಘಟಕಗಳ ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಾತ್ಕಾಲಿಕವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಟೆನ್ಸರ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಎನರ್ಜಿ-ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ರೋಸೆನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ ಇಬ್ಬರೂ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಮೂಲವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಮೊತ್ತದಂತೆಯೇ, ಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿ-ಆವೇಗದ ಮೊತ್ತವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಮೂಲವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ-ರೋಸೆನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಎನರ್ಜಿ-ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಎನರ್ಜಿ-ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ) ನಾವು ಪಡೆಯಲು ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ-ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ವೈರ್ಬೀನ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎನರ್ಜಿ-ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವೈರ್ಬೀನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರಲು ತಕ್ಷಣದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನಂತ ಸ್ಥಳೀಯ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಾನ-ಅವಲಂಬಿತ ವಕ್ರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆ ಎರಡಕ್ಕೂ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದ ನಂತರ, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವೈರ್ಬೀನ್-ರೂಪಾಂತರ ಶಕ್ತಿ-ಆವೇಗ ಟೆನ್ಸರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್-ರೂಪಾಂತರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೋಥರ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎನರ್ಜಿ ಮೊಮೆಂಟಂ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ-ರೋಸೆನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾರ್ಪಾಡಿನ ಮೂಲವನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ತಿರುಚು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವ ಸ್ಪಿನ್ ಸಂಪರ್ಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕ್ರಮ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಸ್ಪಿನ್ ಕರೆಂಟ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ಲಂಬವಾದ ಪಟ್ಟಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬದಲಾವಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. "ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್" ನೋಥರ್ ಎನರ್ಜಿ ಮೊಮೆಂಟಂ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂಬುದು ನಾವು ಸ್ಪಿನ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಡುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಭಾಗವಾಗಿದೆಃ ನಂತರ ಈಗ, ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್-ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಸ್ಪಿನ್-ಸಂಪರ್ಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ಏಕೀಕರಣದ ನಂತರ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿರಾಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನರ್ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಯಾವುದೇ ಕೊಡುಗೆ ಇಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ನಾವು ಶೆಲ್ನಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಅವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಮಮಿತಿಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ-ರೋಸೆನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಹೀಗೆ ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ-ರೋಸೆನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ವೈನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸ್ಟೀವನ್ ವೈನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರು ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಾಂದ್ರತೆ ಇದೆ, ಸೆಟ್ {ೇಡಿಬಿ) ಎಂದರೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಬೆಲಿನ್ಫಾಂಟೆ ಅಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಯ ಆವೇಗದ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪಿನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು