André–Oort conjecture
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆಯು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾನಿನ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಊಹೆಯ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇದು ಈಗ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ (ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ). ಈ ಊಹೆಯು ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು 1989 ರಲ್ಲಿ ವೈವ್ಸ್ ಆಂಡ್ರೆ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 1995 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಊರ್ಟ್ ಅವರು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು (ಶಿಮುರಾ ತಳಿಯ ವಿಧದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ) ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯು ಈ ಎರಡು ಊಹೆಗಳ ಸಹಜ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಊಹೆಯು ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದದಲ್ಲಿನ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶವು ವಿಶೇಷ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆಂಡ್ರೆ ಅವರ ಊಹೆಯ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಆದರೆ ಊರ್ಟ್ ಅವರು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಧ್ರುವೀಕರಿಸಿದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಧದ ಆಯಾಮಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಆಂಡ್ರೆ ಅವರು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಊರ್ಟ್ ಅವರು ಮ್ಯಾನಿನ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬೆನ್ ಮೂನೆನ್, ವೈವ್ಸ್ ಆಂಡ್ರೆ, ಆಂಡ್ರೇ ಯಾಫೇವ್, ಬಾಸ್ ಎಡಿಕ್ಷೋವನ್, ಲಾರೆಂಟ್ ಕ್ಲೋಜೆಲ್, ಬ್ರೂನೋ ಕ್ಲಿಂಗ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಎಮ್ಯಾನುಯೆಲ್ ಉಲ್ಮೋ ಸೇರಿದಂತೆ ಇತರರಿಂದ ಪೂರ್ಣ ಊಹೆಯ ಕಡೆಗೆ ವಿವಿಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯು (ಜಿಆರ್ಎಚ್) ನಿಜವಾಗುವುದರ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದವು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಜಿಆರ್ಎಚ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬ್ರೂನೋ ಕ್ಲಿಂಗ್ಲರ್, ಎಮ್ಯಾನುಯೆಲ್ ಉಲ್ಮೋ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೇ ಯಾಫೇವ್ ಅವರು 2014 ರಲ್ಲಿ ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 2006ರಲ್ಲಿ, ಉಂಬರ್ಟೊ ಜಾನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಜೊನಾಥನ್ ಪಿಲಾ ಅವರು ಓ-ಕನಿಷ್ಠ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾನಿನ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್-ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. 2009 ರಲ್ಲಿ, ಜೊನಾಥನ್ ಪಿಲಾ ಅವರು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿ ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಬೇಷರತ್ತಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅವರಿಗೆ 2011 ರ ಕ್ಲೇ ರಿಸರ್ಚ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಳಿಸಿದರು. ಬ್ರೂನೋ ಕ್ಲಿಂಗ್ಲರ್, ಎಮ್ಯಾನುಯೆಲ್ ಉಲ್ಮೋ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೇ ಯಾಫೇವ್ ಅವರು 2014 ರಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿಲಾ-ಜಾನಿಯರ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಎಮ್ಯಾನುಯೆಲ್ ಉಲ್ಮೋ ಅವರು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರವೇಶ ಹಂತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅದರಿಂದ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಉಳಿದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಘಟಕಾಂಶವೆಂದರೆ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಗಲೊಯಿಸ್ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು. ಸೀಗೆಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಜಾಕೋಬ್ ಸಿಮೆರ್ಮನ್ ಅವರು 2015 ರಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಕೊಲ್ಮೆಜ್ ಊಹೆ ಮತ್ತು ಮಾಸರ್-ವುಸ್ಟ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಐಸೊಜೆನಿ ಅಂದಾಜುಗಳಿಂದ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸರಾಸರಿ ಕೊಲ್ಮೆಜ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಕ್ಸಿನಿ ಯುವಾನ್ ಮತ್ತು ಶೌ-ವು ಜಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಆಂಡ್ರೀಟಾ, ಗೋರೆನ್, ಹೊವಾರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಮಡಪುಸಿ-ಪೆರಾ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 2019-2020 ನಲ್ಲಿ, ಗ್ಯಾಲ್ ಬಿನಿಯಾಮಿನಿ, ಹ್ಯಾರಿ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೇ ಯಾಫೇವ್, ಟೋರಿ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಲ್ಲಿನ ತಿರುಚು ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಹ್ಯಾರಿ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ನ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಲ್ ಬಿನಿಯಾಮಿನಿಯ ಬಿಂದು ಎಣಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಎತ್ತರಗಳ ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. 2021ರ ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ನಲ್ಲಿ, ಜೊನಾಥನ್ ಪಿಲಾ, ಅನಂತ್ ಶಂಕರ್ ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬ್ ಸಿಮೆರ್ಮನ್ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ (ಹೆಲೆನ್ ಎಸ್ನಾಲ್ಟ್ ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ಗ್ರೊಚೆನಿಗ್ ಬರೆದ ಅನುಬಂಧವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ) ಬಿನಿಯಾಮಿನಿ-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್-ಯಾಫೇವ್ ಎತ್ತರದ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆ ಎಂದು ಹೇಳಿಕೊಂಡರು, ಹೀಗೆ ಪಿಲಾ-ಜಾನಿಯರ್ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. ಕೋಲ್ಮನ್-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆ ಎರಡು ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಬಂಧಿತ ಊಹೆ, ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೋಲ್ಮನ್-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಜಿ ಗೆ, ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದ ಜೆ (ಸಿ) ಸಿಎಮ್-ಪ್ರಕಾರದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದದಂತಹ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ ಎಂದು ರಾಬರ್ಟ್ ಕೋಲ್ಮನ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನಂತರ ಊರ್ಟ್, g ಆಯಾಮದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದ ಟೊರೆಲ್ಲಿ ಲೋಕಸ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ g ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು, ಇದು ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಟೊರೆಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಆಯಾಮ> 0 ರ ವಿಶೇಷ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾದ ಮ್ಯಾನಿನ್-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು 'ವಿಶೇಷ' ಎಂದು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ (ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ 'ಅಸಂಭವ ಲೋಕಸ್' ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕಃ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಥವಾ ಅರೆ-ಅಬೆಲಿಯನ್ ಯೋಜನೆಗಳು, ಮಿಶ್ರ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. ರಿಚರ್ಡ್ ಪಿಂಕ್ ಮತ್ತು ಬೋರಿಸ್ ಜಿಲ್ಬರ್ ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಜಿಲ್ಬರ್-ಪಿಂಕ್ ಊಹೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಕ್ರಿಯ ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಜಿಲ್ಬರ್-ಪಿಂಕ್ ಊಹೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವುದು