Hecke algebra of a locally compact group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪಿನ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದ್ವಿ-ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಜಿ, ಕೆ) ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪು ಜಿ ಮತ್ತು ಜಿ ಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪು ಕೆ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜೋಡಿಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಬೆಂಬಲದ ದ್ವಿ-ಕೆ-ಅಸ್ಥಿರ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸಿ [ಕೆ/ಜಿ/ಕೆ] ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜನೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು. ಈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು H (G// K) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಜೋಡಿಯ ಹೆಕ್ ರಿಂಗ್ (G, K) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಜೋಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (2) ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಜಿ = ಎಸ್ಎಲ್ಎನ್ (ಕ್ಯೂಪಿ) ಮತ್ತು ಕೆ = ಎಸ್ಎಲ್ಎನ್ (ಜೆಡ್ಪಿ) ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂವಹನ ಹೆಕ್ ಉಂಗುರದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಇಯಾನ್ ಜಿ. ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಾಗ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, G = GL2 (Q) ಮತ್ತು K = GL2 (Z) ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಂವಹನ ವಲಯವಾಗಿದೆ. ಇವಾಹೋರಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಇವಾಹೋರಿ-ಹೆಕ್ಕೆ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ G ಎಂಬುದು pk ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾದ ಚೆವಾಲ್ಲಿ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, B ಅದರ ಬೋರೆಲ್ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹೆಕ್ ರಿಂಗ್ H (G// B) ಅನ್ನು G ಯ W ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತ Hq ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇವಾಹೋರಿ ತೋರಿಸಿದರು, ನಂತರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ q ಅನ್ನು pk ಗೆ, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ವಿಶೇಷೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಜಾರ್ಜ್ ಲುಸ್ಟಿಗ್ 1984 ರಲ್ಲಿ (ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅಕ್ಷರಗಳು, xi, ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ) ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಇವಾಹೋರಿ ಮತ್ತು ಮಾಟ್ಸುಮೊಟೊ (1965) G ಯು ಕ್ಯೂಪಿಯಂತಹ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ F ಮೇಲೆ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು K ಅನ್ನು ಈಗ G ಯ ಇವಾಹೋರಿ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹೆಕ್ ಉಂಗುರವು G ಯ ಅಫೈನ್ ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಅಫೈನ್ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ q ಅನ್ನು F ನ ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.