Bernstein's theorem (approximation theory)
ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಜಾಕ್ಸನ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಮೊದಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೆರ್ಗೆಯ್ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ 1912ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ f: [0,2π] → C ಒಂದು 2π-ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು r ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು 0 <α <1 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ C (f)> 0 ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, f = Pn0 + φ, ಅಲ್ಲಿ φ ಒಂದು ಸೀಮಿತ r-th ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು α-ಹೋಲ್ಡರ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ರಚನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು