Higher local field
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ (-ಆಯಾಮದ) ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಗಳ ಭಾಗಶಃ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು) ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿಯತಾಂಕದ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ (ಶ್ರೇಣಿ 1) ಇರುತ್ತದೆ, ಹೊರತು ಅವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಪ್ರಾಚೀನ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಕ್ಷೇತ್ರದ n ಸ್ಥಳೀಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ n-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ n ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವಿದೆ. ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಬ್ಬರು ಎಷ್ಟು ಉಳಿಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರಚನೆಗಳಿವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಯೋಜನೆಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ವಲಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಗಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳ ಸೂಕ್ತ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಆಯಾಮ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅವಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಆಯಾಮ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಆರ್ ಅಥವಾ ಸಿ ಯಂತಹ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಆಯಾಮ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಸಹ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ), ನಂತರ ಅದರ ಅವಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಆಯಾಮ n − 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಆಯಾಮ n ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಳಿಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು 'ಮೊದಲ' ಉಳಿಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಉಳಿಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರವು ನಂತರ ಎರಡನೇ ಉಳಿಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಮಾದರಿಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಅವು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುವ ಟಿ ಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. Fq ((u)) ((t)). ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಸಮಲಕ್ಷಣದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಅವು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿ ಎಫ್ ((ಟಿ)) ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಿಶ್ರ-ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಅವು F {{t}} ಪ್ರಕಾರದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸೀಮಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, F ಎಂಬುದು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಫ್ ನಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಅವುಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಅವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ ಆರ್ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ನ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವು, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಈ ಉಂಗುರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ, ಅದನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಉಂಗುರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅಂಶ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುವ ನಿರ್ಮಾಣವೂ ಇದೆ, ಇದು ನಿಯಮಿತವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವು ನೊಥೇರಿಯನ್, ನಿಯಮಿತ, ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶದ ಉಂಗುರವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುವಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಪೂರ್ಣ ಧ್ವಜವಾಗಿದೆ. ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಮೇಲಿನಂತೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಕರಣಗಳ ಸರಣಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವಶೇಷಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು (ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ) ನೀಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಗಳು n> 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, n ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲ. ಎರಡು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರದ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪಾಗುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಗುಣಾಕಾರವು ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಂಜಸವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾದವುಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಇಂಡ್-ಪ್ರೊ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಳತೆ, ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಾಮರಸ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಅನುವಾದ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆ ಇಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ, ಮೈದಾನದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸೆಟ್ಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾದ ಸಂಯೋಜಕ ಅನುವಾದ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆ ಇದೆ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವಿಕಗಳ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿ ಆರ್ ((ಎಕ್ಸ್)) ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಅಳತೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೀಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಎತ್ತರದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹರ್ ಅಳತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಪ್ರಮಾಣಬದ್ಧವಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆಯಾಮ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಬದಲಿಯು n ನೇ ಮಿಲ್ನೋರ್ ಕೆ-ಗುಂಪು ಆಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಂತರ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಗರಿಷ್ಠ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ನಕ್ಷೆಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಅಂಶಗಳ ಅದರ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ n ನೇ ಮಿಲ್ನೋರ್ ಕೆ-ಗುಂಪಿನ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಫೆಸೆಂಕೊ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಉನ್ನತ ಆಯಾಮದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆ-ಗುಂಪಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಂಶವಾಗಿಯೂ ನೋಡಬಹುದು. n ನೇ ಮಿಲ್ನೋರ್ ಕೆ-ಗುಂಪಿನ ಈ ಅಂಶದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಏಕರೂಪತೆಯು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತೆಯೇ ಅನೇಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅವಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮಿಲ್ನೋರ್ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಡಿ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಅವಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಪರಿವರ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕಜುಯಾ ಕ್ಯಾಟೊ ಮತ್ತು ಇವಾನ್ ಫೆಸೆಂಕೊ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಲೆಕ್ಸಿ ಪಾರ್ಶಿನ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರ (ಗಣಿತ) ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಾಮರಸ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ