Alvis–Curtis duality
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ವಿಸ್-ಕರ್ಟಿಸ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಅವನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪಿನ ಪಾತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ದ್ವಂದ್ವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ದ್ವಂದ್ವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಅಲ್ವಿಸ್-ಕರ್ಟಿಸ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು 2ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲೆ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ. ಅಲ್ವಿಸ್-ಕರ್ಟಿಸ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ವಿಭಜಿತ ಬಿ. ಎನ್-ಜೋಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಜಿ. ಯ ಒಂದು ಅಕ್ಷರದ ಎರಡು ζ * ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವು ಜಿ. ಯ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಳ ಮೂಲಗಳ ಸೆಟ್ ಆರ್ ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜೆ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ζ ಅಕ್ಷರವು ಜೆ ಉಪಗುಂಪಿನ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪು ಪಿಜೆಗೆ ζ ನ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ζ ಅನ್ನು ಪಿಜೆಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿ ನಂತರ ಪಿಜೆ ಯ ಯುನಿಪೊಟೆಂಟ್ ರಾಡಿಕಲ್ನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ζ ಎಂಬುದು ಜಿ ಯ ಪ್ರೇರಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. (ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ನ ಪಕ್ಕದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.) ಉದಾಹರಣೆಗಳು 1ನೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಕ್ಷರದ ದ್ವಿಗುಣವು ಸ್ಟೀನ್ಬರ್ಗ್ ಪಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಅಕ್ಷರ ಆರ್ ನ ದ್ವಂದ್ವವು εGεTR ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಕಸ್ಪಿಡಲ್ ಅಕ್ಷರದ χ ನ ದ್ವಿಗುಣವು (-1) |Δ |χ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ Δ ಸರಳ ಮೂಲಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್-ಗ್ರೇವ್ ಅಕ್ಷರದ ದ್ವಂದ್ವವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕರೂಪದ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ |ZF |ql ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಬೇರೆಡೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ದ್ವಂದ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು