Nichols algebra
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಹೆಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ವಾರೆನ್ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಅವರು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳಂತಹ ಚೂಪಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗವಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಬೋರೆಲ್ನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ರಾಡ್ಫೋರ್ಡ್ ಬೈಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಹೊಸ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು (ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ನೋಡಿ) ವೇಗವಾಗಿ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೂ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆಃ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು 2005 ರಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವು ಬಹಳ ಅಪರೂಪವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ಪರಿಚಿತ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯುತ ನಿರಾಕರಣೆ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಈ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಬಹಳವಾಗಿ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹೆಕೆನ್ಬರ್ಗರ್ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರವಾದ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ V ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ನೋಡಿ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗ. ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಬ್ರೇಡೆಡ್ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸಮಾನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ. ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು (ಇದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಹ) ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ I: ಸಂಯೋಜಿತ ಸೂತ್ರವು ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಹೆಣೆಯುವ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾವಣೆಯು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಏಕರೂಪತೆ ಇದೆ ಆದರೆ ಇದು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಇದರ ಮೇಲೆ ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಒಂದು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಾಟ್ಸುಮೊಟೊನ ಪ್ರಮೇಯವು (ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಯಾವುದೇ ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಕಡಿಮೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ನಂತರ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು (ಆದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ) ವೊರೊನೊವಿಕ್ಜ್ ನೀಡಿದರು. ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಅನಾನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದರೆ ಇದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಬಹಳ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ ಉಪದೇಶಾತ್ಮಕ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ನೀಡಲಾದ ಹೆಣೆಯಲಾದ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಅದು ಕೇವಲ ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ನಿಕೋಲ್ಸ್ನಿಂದಾದ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಹೋಪ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಬಹಳ ಪಾರದರ್ಶಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ III: ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಡಿಯಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ (ಇದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿದೆ) ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ IV: ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಪೇಯರಿಂಗ್ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಜೋಡಣೆಯು ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಹೋಪ್ಫ್ ಜೋಡಣೆಗೆ ಅಪವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಗತಿಯು ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಬಹಳ ಸಹಾಯಕವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ V: ವಕ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಇದು ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಏಕರೂಪದ ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ (ಅಂದರೆ. ಕೋಆಕ್ಷನ್/ಗ್ರ್ಯಾಜುಯೇಷನ್) ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಕ್ರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ನಂತರ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಏಕರೂಪದ ಐಡಿಯಲ್ನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರ-ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ ಕರ್ನಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು; ನಂತರ ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ವಕ್ರ-ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ ಕರ್ನಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ ಇತ್ಯಾದಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಾವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ಮೇಲೆ, ಈ ಪರಿಣಾಮವು ಈಗಾಗಲೇ ಬ್ರೇಡ್-ಅಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ p-ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಗಳು. ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಬರುವ ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಹೆಚ್ಚು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಜಿ ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ಗೆ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಕೆಲವೇ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಬಲ ನಿರಾಕರಣೆಯ ಮಾನದಂಡಗಳು ಅನೇಕ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತವೆ (ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ). 1-ಆಯಾಮದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಗುಂಪು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ H = k [Z/2Z] ಮೇಲೆ 1-ಆಯಾಮದ ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪನ್ನು ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎಂದಿನಂತೆ) ಮತ್ತು ಕೆಲವು g ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಝಡ್/2ಝಡ್-ಪದವಿ) ಆನ್ಃ ಎಚ್-ಆಕ್ಷನ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (ರೆಸ್ಪ್. ಝಡ್/2ಝಡ್-ಆಕ್ಷನ್) ಆನ್ಃ ಹೀಗೆ ಹೆಣೆಯುವುದುಃ ನಂತರ, ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳುಃ ಮೊದಲನೆಯದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಹೆಣೆಯದ ಕೇಸ್), ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಅದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ! ಅಂತೆಯೇ, k ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು q ನಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ g ಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ Vq ನಿಕೋಲಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, q §1 ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ n-th ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. (ಭೌತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ವಿ + ಒಂದು ಬೋಸನ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿ-ಪೌಲಿ ಹೊರಗಿಡುವ ತತ್ವದಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾದ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಒಂದು ಸಾದೃಶ್ಯ, ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ವಿರೋಧಿ) ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸೂಪರ್ಸೈಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಯಾಗಿ ನೋಡಿ) ಜಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮೇಲೆ ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳು ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎರಡು ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆಃ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ V0,1 = kx ky ಅನ್ನು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ H = k [Z/2Z × Z/2Z] ಕ್ಲೈನ್ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು g, h ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿ01 ಮೇಲೆ ಎಚ್-ಕೋಆಕ್ಷನ್/ಗ್ರ್ಯಾಜುಯೇಷನ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಎಚ್-ಆಕ್ಷನ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (ರೆಸ್ಪ್. Z/2Z-ಕ್ರಿಯೆ) V0,1 ಮೇಲೆಃ V0 ಗೆ "+" (ಸಮ್ಮಿತೀಯ) ಮತ್ತು V1 ಗೆ "-" (ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವ) ಹೀಗೆ ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ನಂತರ, ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಆಯಾಮ 4 ಮತ್ತು 8 ರಷ್ಟಿರುತ್ತವೆ (ಅವು ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ): ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಸೆಮಿ ಸಿಂಪಲ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹುದುಃ ಮೊದಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬ್ರೇಡೆಡ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ [x, y] (ಇಲ್ಲಿಃ ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟೇಟರ್) ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ [x, [x, y]] = 0. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎರಡೂ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು A2 ಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾದ ಬಿ2, ಜಿ2 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಉದ್ದವಾದ ಮೂಲ ತಂತಿಗಳಾದ ವಿ2, ವಿ3ಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಿಲ್ಲ). ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳಾದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಬಹುಶಃ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳ ಬೋರೆಲ್ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿವೆ. ಹೆಕೆನ್ಬರ್ಗರ್ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕರ್ಣೀಯ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಸೂಪರ್-ಲೈ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು (ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆ) ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲವು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಪರ್-ಲೈ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಿಕೋಲ್ ಅವರ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನ್ಡಿಯಾಗೊನಲ್ ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ಗಳು, ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು k = C ಮೇಲೆ ಬೆರಳೆಣಿಕೆಯಷ್ಟು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ತಿಳಿದಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಗುಂಪಿನ ಕಾಂಜುಗಸಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ (ಒಟ್ಟಾಗಿ ಜಿ ಯ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ). ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅಂತಹವುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಸಂಕಲನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಪ್ರತಿ ಸಂಕಲನವು ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಆನೋಡ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಮೇಲಿನಂತೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸಮ್ಮಂಡ್ಗಳು 1-ಆಯಾಮದವು, ಆದ್ದರಿಂದ ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಆಯಾಮಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಕ್ಕೆ (ಎಸ್) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸೇರಿದೆ, ಅವು ಫೋಮಿನ್ ಕಿರಿಲೋವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಈ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದವು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಪ್ರಕರಣವು 2000 ರಿಂದ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಮಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಕೇಸ್ನಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ವರ್ಗದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಜ್ಞಾನದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ನೋಡಿ. ಪ್ರತಿ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ (ಸಾಕಷ್ಟು ಮಿತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ) ಮೂಲಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಬಹಳ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ವಿಕರ್ಣದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಬೈಕಾರಾಕ್ಟರ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರೆ-ಸರಳ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ವೇಯ್ಲ್ ಚೇಂಬರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ವೇಯ್ಲ್ ಕೋಣೆಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವೇಯ್ಲ್-ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಭಿನ್ನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬೋರೆಲ್ ಭಾಗಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳು ಬಹಳ ವಿಶೇಷವಾಗಿವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲುಸ್ಟಿಗ್ನ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಲ್ಲ! ವೇಯ್ಲ್ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬೇರುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಔಪಚಾರಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಶ್ರೇಣಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಟನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಕಾರ್ಟನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ವಸ್ತುಗಳು/ಕೋಣೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಒಟ್ಟಾಗಿ (ವಸ್ತುವಿನ ಬದಲಾವಣೆ) ಮಾರ್ಫಿಸಂನೊಂದಿಗೆ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ (ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಾಹಿತ್ಯವು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಹಂಫ್ರೆಯವರ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ) ವೇಯ್ಲ್ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಎಂಬುದು ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ರಚಿಸುವ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರತಿ ಸರಳವಾದ ಕೋಣೆಗೆ ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸೀಮಿತ ವೇಯ್ಲ್ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಗಳು ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು) ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಹೊರತಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಅನಂತ ಕುಟುಂಬವಿದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ 74 ವಿನಾಯಿತಿಗಳಿವೆ. ಶ್ರೇಣಿ 3ರ ಉದಾಹರಣೆ (ಸೂಪರ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವೂ ಸಹ) ಸಣ್ಣ ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೈಪರ್ಪ್ಲೇನ್ ಜೋಡಣೆ, ವೇಯ್ಲ್ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೈ ಪ್ರಕಾರದ್ದಲ್ಲ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಇದು ವಿಕರ್ಣದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ, ಸೂಪರ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೂ ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನಿಂದ (ಒಂದು ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನ) ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ರೆಸ್ಪ್. ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳು, ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ರೆಸ್ಪ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ. ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯಗಳು, ಸೂಪರ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬೆಸ ರೆಸ್ಪ್. ಸಹ ಬೇರುಗಳು). ಇದು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವೇಯ್ಲ್ ಕೋಣೆಗಳನ್ನು (ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ರೆಸ್ಪ್) ಹೊಂದಿದೆ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು) ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಬೇರುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಕೋಣೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯ ಕೊಠಡಿಯ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸರಳವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನವು ನಮ್ಮನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಕೊಠಡಿಗೆ ತರುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಚೇಂಬರ್ನ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕೇವಲ (ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಮೂಲ). ಈ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಅಂಗವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರಗಳು ಬಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಕೂಲಂಕಷವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣ (ವಿವರಗಳು) ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ k = C ನಲ್ಲಿನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಇಸ್ಟ್ವಾನ್ ಹೆಕೆನ್ಬರ್ಗರ್ ಅವರು 2004-2005 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಅಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಖಾರ್ಚೆಂಕೊ ಅವರು ಪುನರಾವರ್ತಿತ (ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ) ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳ ಪಾಯಿಂಕೇರ್-ಬಿರ್ಖೋಫ್-ವಿಟ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಏಕೈಕ ಮಾಹಿತಿಯೆಂದರೆ ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇದು ಈ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದೆ (ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ) ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಟನ್-ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ಸಣ್ಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ವಿಲಕ್ಷಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವೇಯ್ಲ್ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು "ಅದೇ" ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಳಿಯದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವೇಯ್ಲ್ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಇದು ನಿಖರವಾದ ಕಾರಣವೂ ಆಗಿದೆ, ಈ ವಿಲಕ್ಷಣ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಂಪಿನ ಬದಲಿಗೆ ವೇಯ್ಲ್-ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಲಿನೋನ್ಡ್ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇಸರದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮಾನದಂಡಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಃ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಬ್ರಾಕ್ಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ವಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಸಬ್ರಾಕ್ನ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಹಲವಾರು ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಕೋಲಸ್ ಆಂಡ್ರುಸ್ಕಿವಿಟ್ಚ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಹೊಂದುವುದರಿಂದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅವರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು (ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳು! ): ಈ ಅನ್ಸಟ್ಜ್ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಲವಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಜಿ-ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಅಂಶ x ಅನ್ನು ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೆಣೆಯುವ ಮೇಲೆ ಇರಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯು q §1) ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ g ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಷುರ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸೆಲ್ಫ್ ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ ರೆಸ್ಪ್. 1-ಡಿಮ್ ಸಬ್-ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್/ಬ್ರೇಡೆಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ಸ್ಪೇಸ್/1-ಡಿಮ್ ಸಬ್ರಾಕ್ ಕರ್ಣವಾಗಿದೆ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಿ ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೆಸ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ χ ಆಗಿರುವುದುಃ g ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ. ಅದರ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾದ) ನಂತರ q =-1 (ವಿಶೇಷವಾಗಿ g ಸಮ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರಬೇಕು) g ಅರೆ-ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು ಜೆ-th ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ) ನಂತರ ಮೇಲಿನಂತೆ q =-1 ಅಥವಾ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ χ ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ 3 ನೇ ಮೂಲವಾದ q = ζ3 ಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜಿ ಕ್ರಮವು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಜಿ ಒಂದು ಆಕ್ರಮಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಎಚ್ = ಟಿಜಿಟಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಚ್ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬಲವಾಗಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಬೇರಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಬೇರಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ತಕ್ಷಣವೇ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅತ್ಯಂತ ಬಲವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಶ್ರೇಣಿ 2 ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು g, h ಸಂವಹನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ; ನಂತರಃ ಅಂಶಗಳ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳು [x, y] ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಣೆಯಲಾದ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳ ಸ್ಥಳವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸಬ್-ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಮೂಲವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ) ಅವು "ಸಂಚಾರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ" ಇದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯದ್ದಾಗಿರಬೇಕು (ಇದ್ದರೆ) ಅಥವಾ ಗುಂಪು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರಬೇಕು-ಅಬೆಲಿಯನ್. ಋಣಾತ್ಮಕ ಮಾನದಂಡಗಳುಃ ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಸಬ್ರಾಕ್ಗಳು (ಪ್ರಕಾರ ಡಿ) ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಬ್ರಾಕ್ಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಕೋಲಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗಾಗಿ ಹೆಕೆನ್ಬರ್ಗರ್ನ ರಚನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ) ಒಬ್ಬರು ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಸಬ್ರಾಕ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಬ್ರಾಕ್ ಹಲವಾರು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಂಡರೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಈಗ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಅಂಶಗಳಿವೆ), ನಂತರ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಯಶಸ್ವಿಯಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಟೈಪ್ ಡಿ, ಅಂದರೆ. r ಗೆ, s ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಗಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಬ್ರಾಕ್ನ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಇಡೀ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳದ ಪರಿಚಿತ ಗುಂಪುಗಳು ಮೇಲಿನ ಎರಡೂ ನಿರಾಕರಣೆ ತಂತ್ರಗಳು (ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗದ) ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ಬಹಳ ಫಲಪ್ರದವಾಗಿವೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸಣ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಮಮಿತಿಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಲೈ ಪ್ರಕಾರದ ಕೆಲವು ಗುಂಪುಗಳು (ಮೂಲಗಳು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿ?) ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸಣ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ವಿರಳ ಗುಂಪುಗಳು (ರೆಸ್ಪ್. ಎ. ಟಿ. ಎಲ್. ಎ. ಎಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ ಸಂಯೋಗದ ವರ್ಗಗಳು) ಇವೆಲ್ಲವೂ ನೈಜ ಅಥವಾ ಜೆ = 3-ಕ್ವಾಸಿರಿಯಲ್ಃ. ಫಿಶರ್ ಗುಂಪಿಗೆ ವರ್ಗಗಳು. ಬೇಬಿ ಮಾನ್ಸ್ಟರ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಬಿ ವರ್ಗಗಳು. ಮಾನ್ಸ್ಟರ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಎಂ ವರ್ಗಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಡಿ ವಿಧದ ಸಂಯೋಗದ ವರ್ಗಗಳು ("ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂವಹನವಲ್ಲ"), ಆದರೆ ಇತರರು ಸಾಕಷ್ಟು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಬ್ರಾಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅವರ ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಬಹುದು. ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕೈಯಿಂದಲೇ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ತೆರೆದ ಕೇಸ್ಗಳು ಬಹಳ ಸಣ್ಣ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ಗಳನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆವರ್ತಕ) ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು χ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 1-ಆಯಾಮದ ಚಿಹ್ನೆ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ) ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ವಿನಾಯಿತಿಗಳೆಂದರೆ ಕ್ರಮ 16,32 ರ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳು 2048 ರೆಸ್ಪ್ನ ಕ್ರಮದ ಪಿ-ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. 128 ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ χ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ. ನಿಕೋಲಸ್ ಆಂಡ್ರುಸ್ಕಿವಿಟ್ಷ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾನ್ಸ್-ಜುರ್ಗೆನ್ ಷ್ನೇಯ್ಡರ್, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಮೊನಚಾದ ಹೋಪ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ (ಸಣ್ಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಲ್ಲದ) ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಿಕೋಲಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಬೋರೆಲ್ ಭಾಗವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಏಕತೆಯ ಮೂಲವಾದ q ಗಾಗಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಂತೆಯೇ E 's (ಬೋರೆಲ್ ಭಾಗ), ಡ್ಯುಯಲ್ F' s ಮತ್ತು K 's (ಕಾರ್ಟನ್ ಬೀಜಗಣಿತ) ಆಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತವೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ V ಎಂಬುದು E' s ನಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಆಯಾಮ n (ಶ್ರೇಣಿಯ) ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು σ (ಕೋಸೈಲ್ಸ್ ಟ್ವಿಸ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) E 's ಮತ್ತು F' s ನಡುವೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಯೋಜಿತ ಘಟಕಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸಿಟಿಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಸ್ಥಳೀಯ ". ಎ3 ಪ್ರಕಾರದ 4 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಲಕ್ಷಣ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ. ವರ್ಗೀಕರಣವು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು (ಕೊರಾಡಿಕಲ್-) ಗುಂಪಿನ ರಾಡ್ಫೋರ್ಡ್ ಬೈಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಮತ್ತು ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ (ಸಂಪರ್ಕಿತ-) ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ "ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ವಸ್ತು" (ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಕೊಲ್ಲುವುದು) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗೆ, ಲೇಖಕರು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಡಿಗ್ರಿ 1 ರಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದನೆ), ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಎತ್ತುವಿಕೆಗಳನ್ನು "ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಗಳು" ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ವೇಲ್ ಗುಂಪಿಗೆ 1:1 ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಕೋಯಿಡಿಯಲ್ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬಹಳವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು "ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾಕತಾಳೀಯ" ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಯಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳು