Coxeter notation
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತವು (ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಚಿಹ್ನೆಯೂ ಸಹ) ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳೊಂದಿಗೆ. ಈ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನಾರ್ಮನ್ ಜಾನ್ಸನ್ ಅವರು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಗ್ರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಶುದ್ಧ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ನಡುವೆ ನೇರವಾದ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಅದೇ ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕನ್ನಡಿಗಳ ನಡುವೆ 2s ಅನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಲು ಸಾಲು ಶಾಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು [3n−1] ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು n−1 ಆರ್ಡರ್-3 ಶಾಖೆಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ n ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ A2 = [3,3] = [32] ಅಥವಾ [31,1] ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ದ್ವಿಭಾಜಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಂಬ ಸ್ಥಾನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದನು, ಆದರೆ ನಂತರ [., 3p, q] ಅಥವಾ [3p, q, r] ನಂತಹ ಘಾತಾಂಕ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿ, [31,1,1] ಅಥವಾ [3,31,1] = ಅಥವಾ D4 ಎಂದು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು. A3 = [3,3,3,3] = [[34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2] ನಂತಹ ಒಂದು ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವಂತೆ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಅನುಮತಿಸಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ = =. ಆವರ್ತಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಒಳಗಿನ ಆವರಣಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ [(p, q, r)] = ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿಗೆ (p q r). ಶಾಖೆಯ ಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ [(3,3,3,3)] = [3 [4] ನಂತಹ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದವಾಗಿ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು [3, (3,3,3)] ಅಥವಾ [3,3 [3] ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೂಪಿಂಗ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸಹ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ಯಾರಾಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತದಿಂದ [(3,3, (3), 3,3)] ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಎರಡು ಪಕ್ಕದ [(3,3,3)] ಲೂಪ್ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ನೆಸ್ಟೆಡ್/ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಆವರಣಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರೋಂಬಿಕ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ [3] × [] ಎಂದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಕೊಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಅಥವಾ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಕಾಕ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ [3,3] ನೊಂದಿಗೆ [3,3] ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೋಡ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರ್ಡರ್-2 ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತವು ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ 2 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ = A2 × A2 = 2A2 ಅನ್ನು [3] × [3] = [3] 2 = [3,2,3] ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ 2-ಶಾಖೆಗಳನ್ನು 2 ಲೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದುಃ ಅಥವಾ, [3,2,3] ನಂತಹ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿ. ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಗುಂಪು ಶ್ರೇಣಿಯು ನೋಡ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಯಾಮಕ್ಕೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಕನ್ನಡಿ 1-ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, [], ಆದರೆ 2-ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ [1], ಅಥವಾ [] × [] +. 1 ಒಂದು ಸ್ಥಳ-ಧಾರಕವಾಗಿದೆ, ನಿಜವಾದ ಶಾಖೆಯ ಕ್ರಮವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನಿಷ್ಕ್ರಿಯ ಕನ್ನಡಿಯ ಗುರುತು. ಸಂಕೇತವು [n, 1], ಶ್ರೇಣಿಯ 3 ಗುಂಪನ್ನು [n] × [] + ಅಥವಾ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, [1,1] ಎಂದು [] × [] + × [] + ಅಥವಾ ಕ್ರಮ 2 ಮತ್ತು [1,1] + ಎಂದು [] + × [] + × [] + ಅಥವಾ, ಕ್ರಮ 1! ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ನ ಸಂಕೇತವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಹೊರಗೆ + ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ತಿರುಗುವ/ಅನುವಾದದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, [X] + ಇದು ಗುಂಪಿನ [X] ಕ್ರಮವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕಡಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಉಪಗುಂಪು. ಈ ಆಪರೇಟರ್ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು, ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ (ಅಥವಾ ಅನುವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ) ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಇದನ್ನು ನೇರ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಉಳಿದಿರುವುದು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ನೇರ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳು ಮಾತ್ರ. + ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು [X, Y +] ಅಥವಾ [X, (Y, Z) +] ನಂತಹ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಒಳಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲಿತವಲ್ಲದ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ "ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್" ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನೊಳಗಿನ ಆವರಣದ ಮೂಲಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು + ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಇದು ಪಕ್ಕದ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ ಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [4,3 +] ಮತ್ತು [4, (3,3) +] (). ಪಕ್ಕದ ಬೆಸ ಶಾಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ರ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ [5,1 +] = [5/2] ನಂತಹ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್ನಂತಹ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿ ಸುತ್ತುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, {5/2}, ಮತ್ತು [5,3 +] ಶ್ವಾರ್ಜ್ ತ್ರಿಕೋನ [5/2,3], ಸಾಂದ್ರತೆ 2 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನೆರೆಯ + ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರಿಂಗ್ಡ್ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದಾಗಿದೆ, ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಜೇನುಗೂಡುಗಳು + ಅಂಶಗಳ ಸುತ್ತಲಿನ ರಂಧ್ರ ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಪರ್ಯಾಯ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ಖಾಲಿ ವಲಯಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ನೂಬ್ ಕ್ಯೂಬ್, ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ [4,3] + (), ಮತ್ತು ಸ್ನೂಬ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್, ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ [4,3 +] (), ಮತ್ತು ಡೆಮಿಕ್ಯೂಬ್, h {4,3} = {3,3} (ಅಥವಾ =) ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ [1 +, 4,3] = [3,3] (ಅಥವಾ = =). ಗಮನಿಸಿಃ ಪೈರಿಟೋಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಜನರೇಟರ್ಗಳು {0,1,2}, ಪೈರಿಟೋಹೆಡ್ರಲ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು {0,12} ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು 3-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆ. ಮತ್ತು ಕೈರಲ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ {12,0120} ಅಥವಾ, [1 +, 4,3 +] = [3,3] + ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಗುಂಪುಗಳು ಜಾನ್ಸನ್ + ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ಲೇಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ 1 + ನೋಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕಡಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಮ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶಾಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕನ್ನಡಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. 1 ಒಂದು ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ [2p] ಅನ್ನು [2p, 1], [1,2p], ಅಥವಾ [1,2p, 1] ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ರೇಖಾಚಿತ್ರದಂತೆ ಅಥವಾ 2-p ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ 2 ಕನ್ನಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ. ಕನ್ನಡಿಯ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡುವುದು, ಇದನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ =, ಅಥವಾ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿಃ [1 +, 2p, 1] = [1, p, 1] = [p]. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ h [2p] = [1 +, 2p, 1] = [1,2p, 1 +] = [p], ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಉಪಗುಂಪು ಸೂಚ್ಯಂಕ 2. ನೋಡ್ನ ಮೇಲೆ + ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದುಃ = =. ಎರಡೂ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಶಾಖೆಯ ಕ್ರಮವು ಅರ್ಧ ಕ್ರಮದ ಗೈರೇಶನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗುವುದರೊಂದಿಗೆ ಕಾಲು ಭಾಗದ ಉಪಗುಂಪು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆಃ q [2p] = [1 +, 2p, 1 +] = [p] +, ಸೂಚ್ಯಂಕ 4 ರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉಪಗುಂಪು. = = = = =. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (p = 2 ರೊಂದಿಗೆ): [4,1 +] = [1 +, 4] = [2] = [] × [], ಕ್ರಮ 4. [1 +, 4,1 +] = [2] +, ಕ್ರಮ 2. ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವುದು, ಇದು ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ, ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ದ್ವಿಭಾಜಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಕ್ರಮವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಗುಂಪಿನ ಅರ್ಧ ಗುಂಪಾಗಿದೆಃ h [4,3] = [1 +, 4,3] = [3,3], ಇದು 4-ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅರ್ಧ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಕನ್ನಡಿಯ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡುವುದು, ಇದನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ =, h [2p, 3] = [1 +, 2p, 3] = [(p, 3,3)]. ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅರ್ಧ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಸ ಕನ್ನಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳು {0,1} ಉಪಗುಂಪು =, ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು {1,010} ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕನ್ನಡಿ 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕನ್ನಡಿ 0 ಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಕನ್ನಡಿ 1 ರ ನಕಲನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಉತ್ಪಾದಕಗಳು {0,1,2}, ಇದು ಅರ್ಧ ಗುಂಪು =, ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು {1,2,010} ಹೊಂದಿದೆ. ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದು ಅರ್ಧದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸಲು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಃ = [4,3], ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ = [2p, q]. ರಾಡಿಕಲ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾದ ಜಾನ್ಸನ್ "ರಾಡಿಕಲ್" ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷತ್ರ ಅಥವಾ ಸ್ಟಾರ್ * ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಸೇರಿಸಿದರು, ಇದು + ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ರಾಡಿಕಲ್ ಉಪಗುಂಪಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಅಂಶದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [4,3 *] [2,2]. ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ [3] ಉಪಗುಂಪು ಕ್ರಮ 6 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ [2,2] ಇದು [4,3] ನ ಸೂಚ್ಯಂಕ 6 ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ವಿಸ್ತೃತ ಸಮ್ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [4,3 *] [2,2], ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ [2,2] ಅನ್ನು [3 [2,2]] [4,3] ಎಂದು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಅಥವಾ. ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ನೋಡ್ (ಕನ್ನಡಿ) ಪಕ್ಕದ ಕನ್ನಡಿ ವರ್ಚುವಲ್ ಕನ್ನಡಿಗಳು ನಿಜವಾದ ಕನ್ನಡಿಗಳಾಗಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. [4,3] ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, [4,3 +], ಸೂಚ್ಯಂಕ 2, ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ [0,12]; [1 +, 4,3] [3,3], ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ [010,1,2]; ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಉಪಗುಂಪು [4,3 *] [2,2], ಸೂಚ್ಯಂಕ 6, ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ [01210,2, (012) 3}; ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ [1 +, 4,3 *], ಸೂಚ್ಯಂಕ 12 ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ [0 (12) 20, (012) 201]. ಟ್ರೈಯಾನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಎ ಟ್ರೈಯಾನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪು ಸೂಚ್ಯಂಕ 3 ಉಪಗುಂಪು. ಜಾನ್ಸನ್ ಆಪರೇಟರ್, ಸೂಚ್ಯಂಕ 3 ರೊಂದಿಗೆ ಟ್ರಿಯೋನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾನೆ. 2ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, [3], ಟ್ರೈಯಾನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪು, [3] ಎಂದರೆ [], ಒಂದೇ ಕನ್ನಡಿ. ಮತ್ತು [3p] ಗೆ, ಟ್ರಿಯೋನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪು [3p] [p] ಆಗಿದೆ. ನೀಡಲಾದಂತೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ {0,1}, 3 ಟ್ರೈಯಾನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾದ ಕನ್ನಡಿ ಜನರೇಟರ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಎರಡಕ್ಕೂ ಶಾಖೆಯ ಮೇಲೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದುಃ [3p, 1] = =, =, ಮತ್ತು [3p] = = ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ {0,10101}, {01010,1}, ಅಥವಾ {101,010}. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ತ್ರಿಕೋನ ಉಪಗುಂಪುಗಳುಃ [3,3] [2 +, 4], ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಟೆಟ್ರಾಗೋನಲ್ ಡಿಸ್ಪೆನಾಯ್ಡ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. 3ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, [p, 3], ಟ್ರಿಯೋನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪು [p, 3] [p/2, p], ಅಥವಾ = ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು [4,3] [2,4], ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಗುಂಪು [6,3] [3,6], ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು [8,3] [4,8]. ಬೆಸ-ಕ್ರಮದ ಪಕ್ಕದ ಶಾಖೆಯಾದ p, ಗುಂಪು ಕ್ರಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು, [5,3], [5/2,5] ಆಗುತ್ತದೆ, ಇದು 2 ನಿಯಮಿತ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳನ್ನು (p, 3), ಮತ್ತು ಸ್ಟಾರ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳನ್ನು (p/2, p) 4ನೇ ಶ್ರೇಣಿಗೆ, [q, 2p, 3] = [2p, ((p, q, q))], = ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [3,4,3] = [4,3,3], ಅಥವಾ =, [3,4,3] ನಲ್ಲಿ [4,3,3] ಟ್ರಿಯೋನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪು [4,3,3] ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ [0,1,2,32123] ಜನರೇಟರ್ಗಳು. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, [3,6,3] = [6,3 [3], ಮತ್ತು [4,4,3] = [4,4,4]. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಟ್ರೈಯಾನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು] ಜಾನ್ಸನ್ [3,3] ನ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಟ್ರೈಯಾನಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದರು, ಮೊದಲನೆಯದು ಸೂಚ್ಯಂಕ 3 ಉಪಗುಂಪು [3,3] [2 +, 4], [3,3] (= =) ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ {0,1,2}. ಇದನ್ನು [(3,3,2)] () ಎಂದು ಅದರ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ {02,1} ಜ್ಞಾಪನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಡಿತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಟೆಟ್ರಾಗೋನಲ್ ಡಿಸ್ಪೆನಾಯ್ಡ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದ್ದು, ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಆತ ಸಂಬಂಧಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕ 6 ಉಪಗುಂಪು [3,3] Δ ಅಥವಾ [(3,3,2]] + (), ಸೂಚ್ಯಂಕ 3 ಅನ್ನು [3,3] + [2,2] + ನಿಂದ, ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ {02,1021}, [3,3] ನಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರ ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ [0,1,2} ಗುರುತಿಸುತ್ತಾನೆ. ಈ ಉಪಗುಂಪುಗಳು [3,3] ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನೆರೆಯ ಶಾಖೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.] ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [(3,3) +, 4], [(3,3)], 4], ಮತ್ತು [(3,3), 4] ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ [3,3,4], ಸೂಚ್ಯಂಕ 2,3 ಮತ್ತು 6ರ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. [(3,3), 4], [8,2 +, 8], ಆರ್ಡರ್ 128 ರ ಜನರೇಟರ್ಗಳು [3,3,4] ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಂದ {0,1,2,3} ಆಗಿವೆ. ಮತ್ತು [(3,3) α, 4] α, ಆರ್ಡರ್ 64, ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು {02,1021,3} ಹೊಂದಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, [3], 4,3] [(3,3), 4]. [31,1,1] = [3,3,4,1 +] ಸಹ ತ್ರಿಕೋನ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +], ಕ್ರಮ 64, ಮತ್ತು 1 = [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +] ′ [[4,2 +, 4]] +, ಕ್ರಮ 32. ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಇನ್ವರ್ಷನ್ ಎ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಇನ್ವರ್ಷನ್, ಆರ್ಡರ್ 2, ಆಯಾಮದಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. [] n = [2n−1] ಗುಂಪು n-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ n ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ n-ಫ್ಲಾಟ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಂಪಿನ ಕನ್ನಡಿಗಳು [2n−1] ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿವೆ. ವಿಲೋಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕನ್ನಡಿಗಳ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಕೇಂದ್ರ ವಿಲೋಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಕರ್ಣೀಯದ ಮೇಲೆ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಆ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಕೇಂದ್ರ ವಿಲೋಮವು ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕನ್ನಡಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಲೋಮ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರತಿ 2 ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ + ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ನೋಡ್ಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಕನ್ನಡಿಗಳು, ಓಪನ್-ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಶೇರ್ಡ್ ಡಬಲ್-ಓಪನ್ ನೋಡ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸ್ಪಷ್ಟ 2 ಶಾಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [2 +, 2] ಮತ್ತು [2,2 +] ಗಳು [2,2] ನ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2ರ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಕಗಳೊಂದಿಗೆ (ಅಥವಾ) ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಸೂಚ್ಯಂಕ 4 [2 +, 2 +] ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು (ಅಥವಾ) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಪರ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಹಂಚಿದ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಡಬಲ್-ಓಪನ್, ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೋಟೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಜನರೇಟರ್ {012}. ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಒಂದೇ ಏಕ-ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, [2p] × [2q] ×. ಅಲ್ಲಿ gcd (p, q,.) = 1, ಅವು n = 2pq ಕ್ರಮದ ಅಮೂರ್ತ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು Zn ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿವೆ. 4-ಆಯಾಮದ ಎರಡು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು, [2p +, 2 +, 2q +] (gcd (p, q) = 1 ರೊಂದಿಗೆ), ಇದು ಕೇಂದ್ರ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಾನ್ವೇ ಅವರಿಂದ ± [Cp × Cq], ಕ್ರಮ 2pq ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ, ಜನರೇಟರ್ಗಳು {0,1,2,3}, [2p +, 2 +, 2q +], {0123,0132} ಗೆ ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಕಾನ್ವೇ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಅರ್ಧ ಗುಂಪುಗಳು, [2p +, 2 +, 2q +] +, ಅಥವಾ ಆವರ್ತಕ ಗ್ರಾಫ್, [(2p +, 2 +, 2q +, 2 +)], [Cp × Cq], {0123} ನಂತಹ ಒಂದು ಜನರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮ pq ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ f ಇದ್ದರೆ, ಡಬಲ್ ರೊಟೇಶನ್ ಅನ್ನು [2pf +, 2 +, 2qf +] (gcd (p, q) = 1), ಜನರೇಟರ್ಗಳು {0123,0132}, ಆರ್ಡರ್ 2pqf ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, p = q = 1, f = 2, [4 +, 2 +, 4 +] ಎಂಬುದು ಕ್ರಮ 4 ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು [2pf +, 2 +, 2qf +] +, ಜನರೇಟರ್ {0123}, ಆರ್ಡರ್ pqf ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [4 +, 2 +, 4 +] + ಎಂಬುದು 2ನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕೇಂದ್ರ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು n-ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪು, [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +] ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ನಡಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ gcd (p1,., pn)> 1 ಆಗಿದ್ದರೆ n ಜನರೇಟರ್ಗಳವರೆಗೆ ಬೇಕಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅರ್ಧ ಗುಂಪು, [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +] + ಜನರೇಟರ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎನ್-ರೋಟರಿ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕೇವಲ ಬೆಸ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶಾಖೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳು 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಒಂದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ/ಅನುವಾದದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಉಪಗುಂಪು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು [3,3] +, [3,5] +, [3,3,3] +, [3,3,5] + ಆಗಿದೆ. ಸಮ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇತರ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಉಪಗುಂಪು ಸೂಚ್ಯಂಕ 2ಸಿ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಿ ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಉಪಗ್ರಫ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4s ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ [4,4] ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಉಪಗುಂಪು ಸೂಚ್ಯಂಕ 23 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೂರು + ಆಪರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದುಃ [4 +, 4 +] +, [1 +, 4,1 +, 4,1 +], [1 +, 4,4,1 +] +, ಅಥವಾ [(4 +, 4 +, 2 +)]. [4,4] + 3ರಂತೆ + cಯನ್ನು ಸಮೂಹ ಸೂಚಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಶ್ರೇಣಿ 2 ಉದಾಹರಣೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸಮ-ಕ್ರಮಗಳಿರುವ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳು ಹಲವಾರು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ, ಶ್ರೇಣಿ-ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನೇರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲಕ ನೋಡುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪು [4], 0 ಮತ್ತು 1 ಎಂಬ ಎರಡು ಕನ್ನಡಿ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮೂಲಕ 101 ಮತ್ತು 010 ಎಂಬ ಎರಡು ವರ್ಚುವಲ್ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣಿ 3 ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಉದಾಹರಣೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳು [4,4] ಗುಂಪು 15 ಸಣ್ಣ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕವು ಶುದ್ಧ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹಳದಿ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಬಿಳಿ ಮತ್ತು ನೀಲಿ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಯಾನ್, ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಕನ್ನಡಿ ರೇಖೆಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದ ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಬ್ಗ್ರೂಪ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ 3 ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೂಲ 3 ಕನ್ನಡಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಪ್ರತಿಫಲನ ರೇಖೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು {012}, {12}, ಅಥವಾ {02} ನಂತಹ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಕನ್ನಡಿಯ ಮೇಲೆ {010}, ಮತ್ತು {212} ನಂತಹ ನೆರೆಯ ಕನ್ನಡಿಗಳ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಎರಡು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ {0101} ಅಥವಾ {(01) 2}, {1212} ಅಥವಾ {(02) 2}. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕನ್ನಡಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು {012} ಅಥವಾ {120} ನಂತಹ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಉದಾಹರಣೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ [6,4] ನಂತಹ ಸಮ ಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ 15 ಸಣ್ಣ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಃ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರೇಟರ್ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ,,,,,. ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ [4,3] ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು [4], [2], [3], ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು [] ಹೊಂದಿದೆ. ಉಪಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವು ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಾಜಕ ಗುಂಪು ಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು x ನೋಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ = [4,3] ಉಪಗುಂಪು ಎರಡನೇ ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕಃ ಅಥವಾ = = [4,1 ×, 3] = [2]. ಪೆಟ್ರಿ ಉಪಗುಂಪು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕಾಕ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಪೆಟ್ರಿ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಓರೆಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೆಟ್ರಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಹೊಸ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮೂಲ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು 2m/n ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು m ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪೆಟ್ರಿ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [3,3] ಎಂಬುದು ತ್ರಿಭುಜಾಕೃತಿಯ ಗುಂಪಿನ ಪೆಟ್ರಿ ಉಪಗುಂಪು, ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮ 4, ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ 4 ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು ಡಬಲ್ ರೊಟೇಷನ್ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, [4,3,3] ಆರ್ಡರ್ 8 ಆಗಿದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ನ ಸಂಕೇತವು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಳಗೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಡಬಲ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಜಾನ್ಸನ್ ಆಂಗಲ್-ಬ್ರಾಕೆಟ್ <[X]> ಮೂಲಕ ಪರ್ಯಾಯ ಡಬಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರು. ಜಾನ್ಸನ್ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮಾರ್ಪಾಡು [Y [X]] ಅನ್ನು ಸಹ ಸೇರಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ Y ಯು [X] ನ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಅಥವಾ [X] ನ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3D ಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಾನವಾದ ಆಯತ ಮತ್ತು ರಾಂಬಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಮತ್ತು, ಮೊದಲನೆಯದು ಚೌಕಾಕಾರದ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಎರಡು ಬಾರಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ [2], [2], ಆರ್ಡರ್ 4 ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ. ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ಕೋನೀಯ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, <[3 [4]]> ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಾರಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ <2 [3 [4]]>, ಬೇರೆ [2], ಆರ್ಡರ್ 4 ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ 4 ನೋಡ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪೂರ್ಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು [4 [3 [4]] ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಚೌಕದ ಕ್ರಮ 8, [4] ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ. ಆದರೆ ಟೆಟ್ರಾಗೋನಲ್ ಡಿಸ್ಪೆನಾಯ್ಡ್ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚದರ ಗ್ರಾಫ್ನ [4] ವಿಸ್ತೃತ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ [(2 +, 4) [3 [4]] ಅಥವಾ [2 +, 4 [3 [4]] ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಕವಲೊಡೆಯುವಿಕೆ, ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ n-ಗೋನ್, {n} ನ ಕ್ರಮ 2n ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು [n [3 [n]] ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ [3 [31,1,1] = [3,4,3] ಮತ್ತು [3 [32,2,2] ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ [(3,3) [31,1,1,1] = [3,3,4,3], ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ 24ನೇ ಕ್ರಮದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ, {3,3}. ಪ್ಯಾರಾಕಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು = [31,1,1,1,1], 5-ಕೋಶದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, {3,3,3}, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು [(3,3,3) [31,1,1,1,1]] = [3,4,3,3,3] ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಕ್ಷತ್ರ ಚಿಹ್ನೆ * ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಬೆಸ-ಆದೇಶದ ಕನ್ನಡಿಗಳ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ಡಬಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಹೊಸ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವಂತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಮೂಲ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. 3ಡಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು 4ಡಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾನೆ, ಇದನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಜನರೇಟರ್ನಿಂದ [X] ಮೂಲ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು + ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಚಿರಲ್ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3D ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪುಗಳು + (I432,211) ಮತ್ತು (Pmn, 223) ಗಳು (IMM, 229) ನ ವಿಭಿನ್ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ, ದ್ವೈಪಾಕ್ಷಿಕ ಗುಂಪು [] ಒಂದೇ ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಮೂರ್ತ ಡಿಹ್ 1 ಅಥವಾ ಝಡ್ 2, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮ 2. ಇದನ್ನು ಒಂದೇ ನೋಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರುತಿನ ಗುಂಪು ನೇರ ಉಪಗುಂಪು [] +, Z1, ಸಮ್ಮಿತಿ ಕ್ರಮ 1 ಆಗಿದೆ. + ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಸರಳವಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯ ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ಗುಂಪನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಒಂದೇ ತೆರೆದ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ಗುಂಪು [2], ಅಮೂರ್ತ D22 ಅಥವಾ D4 ಅನ್ನು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನ [] × [] ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಇದು ಎರಡು ದ್ವೈಪಾಕ್ಷಿಕ ಗುಂಪುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದು, ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು 4ನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. 2 ರಲ್ಲಿ [2] ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಶಾಖೆಯ ಕ್ರಮ 2 ರಂತೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ರಾಂಬಿಕ್ ಗುಂಪು, [2] + (ಅಥವಾ), ಆಯತಾಕಾರದ ಗುಂಪಿನ ಅರ್ಧ, ಬಿಂದು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿ, Z2, ಕ್ರಮ 2. ಕೆಳ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ 1 ಸ್ಥಾನ-ಧಾರಕವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತವು, ಆದ್ದರಿಂದ [1] [] ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು [1 +] ಅಥವಾ [1] + [] + ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. 2p ಕ್ರಮದ ಪೂರ್ಣ p-ಗೋಣಲ್ ಗುಂಪು [p], ಅಮೂರ್ತ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು D2p, (p> 2 ಗೆ ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್), ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುವ π/p ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕನ್ನಡಿಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. p-ವಲಯ ಉಪಗುಂಪು [p] +, p ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು Zp, π/p ನ ತಿರುಗುವ ಕೋನದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತವು ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ದ್ವಿಭಾಜಿತ ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಡಬಲ್-ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [[p]] ಯು [p] ಗೆ ದ್ವಿಭಾಜಿತ ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು [2p] ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುವಾಗ, ಕೋನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋದಾಗ ಪೂರ್ಣ ಅಪಿರೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ [φ], ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಅನಂತ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು D φ, ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಪಿರೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು [≤] +, ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು Z ≤, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅನುವಾದದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣ ಸೂಡೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು [iπ/λ], ಮತ್ತು ಸೂಡೋಗೋನಲ್ ಉಪಗುಂಪು [iπ/λ] +, ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪುಗಳು ನಿಯಮಿತ ಅನಂತ-ಬದಿಯ ಬಹುಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ λ. ಕನ್ನಡಿಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ರೇಖೆಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳು 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯ 3 ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣ ಆರ್ಥೋರೋಂಬಿಕ್ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಆರ್ಥೊರೆಕ್ಟಾಂಗ್ಯುಲರ್ [2,2], ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ Z23, ಕ್ರಮ 8, ಮೂರು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, (ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಮೂರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಚುಕ್ಕೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇದನ್ನು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನ [] × [] × [] ಎಂದು ಸಹ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ [2,2] ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲು "ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್" ಉಪಗುಂಪು ಇದೆ, ಆರ್ಥೋರೋಂಬಿಕ್ ಗುಂಪು, [2,2 +] (ಅಥವಾ), ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ Z2 × Z2, ಕ್ರಮ 4. + ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಒಳಗೆ ನೀಡಿದಾಗ, ಪಕ್ಕದ ಕನ್ನಡಿಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು (ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ) ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದರ್ಥ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, + ನೋಡ್ನ ನೆರೆಯ ಶಾಖೆಯ ಆದೇಶಗಳು ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ [2,2 +] ಮತ್ತು [2 +, 2] ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇತರ ಉಪಗುಂಪುಗಳೆಂದರೆ ಪ್ಯಾರಾಹೊಂಬಿಕ್ ಗುಂಪು [2,2] + (ಅಥವಾ), ಸಹ ಕ್ರಮ 4, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕ್ರಮ 2 ರ ಕೇಂದ್ರ ಗುಂಪು [2 +, 2 +] (ಅಥವಾ). ಮುಂದೆ ಪೂರ್ಣ ಆರ್ಥೋ-ಪಿ-ಗೋಣಲ್ ಗುಂಪು ಇದೆ, [2, ಪಿ] (), ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ Z2 × D2p, 4p ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ π/p, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮೂರನೇ ಕನ್ನಡಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನೇರ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಪ್ಯಾರಾ-ಪಿ-ಗೋಣಲ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, [2, ಪಿ] + (ಅಥವಾ), ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಡಿ2ಪಿ, 2ಪಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಗುಂಪು [2, ಪಿ +] () ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ Z2 × Zp, ಸಹ 2ಪಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಪೂರ್ಣ ಗೈರೋ-ಪಿ-ಗೋಣಲ್ ಗುಂಪು, [2 +, 2ಪಿ] (ಅಥವಾ), ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಡಿ4ಪಿ, 4ಪಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಗೈರೋ-ಪಿ-ಗೋಣಲ್ ಗುಂಪು, [2 +, 2ಪಿ +] (ಅಥವಾ), ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ Z2ಪಿ, 2ಪಿ ಕ್ರಮವು [2 +, 2ಪಿ] ಮತ್ತು [2,2ಪಿ +] ಎರಡರ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳು ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆಃ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್, ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್, ಕ್ಯೂಬ್, ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಕ್ಲಾಫ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳು {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5}, ಮತ್ತು {5,3}. ಇವುಗಳಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳೆಂದರೆಃ [3,3] (), [3,4] (), [3,5] () ಪೂರ್ಣ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, ಮತ್ತು 24,48, ಮತ್ತು 120 ಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಇದು 12,24, ಮತ್ತು 60ರ ಕ್ರಮದ ತಿರುಗುವ ಚತುಷ್ಫಲಿತ [3,3] + (), ಅಷ್ಟತಲದ [3,4] + (), ಮತ್ತು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ [3,5] + () ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮಿಶ್ರಣದೊಂದಿಗೆ 12ನೇ ಕ್ರಮದ ಪಿರಿಟೋಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು, [3 +, 4] (ಅಥವಾ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಪಿರಿಟೋಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ 5 ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆಃ-->, ವರ್ಚುವಲ್ ಕನ್ನಡಿ 1 ಅನ್ನು 0, {010}, ಮತ್ತು 3-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು, [3,3] (), ಡಬಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇದನ್ನು ಬಣ್ಣದ ನೋಡ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು), ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು [3,4] (ಅಥವಾ) ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉಪಗುಂಪು [3,4,1 +] (ಅಥವಾ) ಯು [3,3] ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು [3 +, 4,1 +] (ಅಥವಾ) ಯು [3,3] + ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ 3 ಕನ್ನಡಿಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ 3 ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಗುಂಪುಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಇವುಗಳಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು [4,4], [6,3], ಮತ್ತು [(3,3,3)] ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಆವರಣಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಚಕ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿವೆ [3]. [4,4] ಗುಂಪಿನ ದ್ವಿಗುಣವು ಮೂಲ ಕನ್ನಡಿಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ π/4 ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದ ಅದೇ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿತು. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ನೇರ ಉಪಗುಂಪುಗಳೆಂದರೆಃ [4,4] +, [6,3] +, ಮತ್ತು [(3,3,3)] +. [4 +, 4] ಮತ್ತು [6,3 +] ಗಳು ಅರೆ-ನೇರ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ (ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಂಕೇತ) ನೀಡಲಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಅಫೈನ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳೆಂದರೆಃ ಶ್ರೇಣಿ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ ಗುಂಪುಗಳು ಶ್ರೇಣಿ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳು 4-ಆಯಾಮದ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆಃ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪುಗಳು ಶ್ರೇಣಿ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳು 3-ಆಯಾಮದ ರೇಖೆ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆಃ ಡುಯೋಪ್ರಿಸ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಶ್ರೇಣಿ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳು 4-ಆಯಾಮದ ಡುಯೋಪ್ರಿಸ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. p ಮತ್ತು q ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋದಾಗ, ಅವು 2 ಆಯಾಮಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳು ಶ್ರೇಣಿ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳು ಕೆಲವು ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಡ್ಯುಯೋಪ್ರಿಸಮ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿವೆಃ [φ, 2, φ], (* 2222) ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕ 16 ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಸ್ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸ್ಪೇಸ್, Cn ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೋಡ್ಗಳು 2 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಧಿಯ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಾಗಿವೆ. ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿಗ್ರಹಿಸಿದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೈಜ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ 2 ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗಿಂತ ಶೆಫರ್ಡ್ ಗುಂಪುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ 1 ಶೆಫರ್ಡ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮ p, ಅನ್ನು p [], [] p ಅಥವಾ] p [ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ 2π/p ರೇಡಿಯನ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದೇ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಶ್ರೇಣಿ 2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, p [q] r ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. p ಮತ್ತು r ಎರಡನ್ನೂ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಿಗ್ರಹಿಸಬೇಕು, ಇದು ನಿಜವಾದ ಪ್ರಕರಣ [q] ಆಗಿದೆ. ಶ್ರೇಣಿ 2 ಗುಂಪಿನ p [q] r ಕ್ರಮವು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಶ್ರೇಣಿಯ 2 ಪರಿಹಾರಗಳೆಂದರೆಃ p [4] 2 (p ಎಂಬುದು 2,3,4,.), 3 [3] 3 [6] 2,3 [4] 3,4 [3] 4,3 [8] 2,4 [6] 2,4 [4] 3,3 [5] 3,5 [3] 5,3 [10] 2,5 [6] 2, ಮತ್ತು 5 [4] 3 ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ,,,,,,,,,,,,. ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳು 3 [12] 2,4 [8] 2,6 [6] 2,3 [6] 3,6 [4] 3,4 [4] 4, ಮತ್ತು 6 [3] 6 ಅಥವಾ,,,,,,. ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಉಪಗುಂಪುಗಳು ನೈಜ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಃ p [2q] 2 → p [q] p. 4 ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ r ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಃ p [4] r → p [r] p. ಅನಂತ ಕುಟುಂಬ p [4] 2ಕ್ಕೆ, ಯಾವುದೇ p = 2,3,4,. ಗೆ, ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆಃ p [4] 2 → [p], ಸೂಚ್ಯಂಕ p, ಮತ್ತು p [4] 2 → p [] × p [], ಸೂಚ್ಯಂಕ 2. ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿ ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಗಣನೆಯು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುವ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಶಾಖೆಯ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು [p, q] ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೋಡ್ ಒಂದು ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು ρi (ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ Ri) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪಿನ [p, q] ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಾಗಿವೆಃ ρ0, ρ1, ಮತ್ತು ρ2. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉಪಸಮಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ರೂಢಿಯ ಪ್ರಕಾರ, σ0,1 (ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ S0,1) = ρ0ρ1 ಕೋನದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ π/p, ಮತ್ತು σ1,2 = ρ1ρ2 ಕೋನದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ π/q, ಮತ್ತು σ0,2 = ρ0ρ2 ಕೋನದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ π/2. [p, q] +, ಎರಡು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉತ್ಪಾದಕಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುವ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎರಡು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆಃ σ0,1, σ1,2, ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ π/p, ಮತ್ತು π/q ಕೋನಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಮ ಶಾಖೆಯೊಂದಿಗೆ, [p +, 2q], ಅಥವಾ, ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ರ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉತ್ಪಾದಕ σ0,1, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ρ2 ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮ ಶಾಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ, [2p +, 2q +], ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂಚ್ಯಂಕ 4 ರ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪ್ರತಿಫಲನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರಃ si 0,1,2 ಮತ್ತು si 1,2,0, ಇವು ತಿರುಗುವ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ, ಒಂದು ಕನ್ನಡಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುವಾದ ಉತ್ಪಾದಕ τ0,1 (ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ T0,1) ಅನ್ನು ಅಫೈನ್ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಎರಡು (ಅಥವಾ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ) ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲನವು (ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ಅನುವಾದ) ಸೂಚ್ಯಂಕ 4 ಉಪಗುಂಪಿನಂತೆ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಾದ φ 0,1,2 (ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ V 0,1,2) ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಬಹುದುಃ [4 +, 4 +] =. ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ಜನರೇಟರ್, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ζ (ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ Z), ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. [4,3] ಮತ್ತು [5,3] ಗೆ, ζ = (ρ0ρ1ρ2) h/2, ಇಲ್ಲಿ h ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 6 ಮತ್ತು 10, ಪ್ರತಿ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಖ್ಯೆ. 3ಡಿ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿಗೆ [p, q] (), ಈ ಉಪಗುಂಪು ರೋಟರಿ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ [2 +, h +] ಆಗಿದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ನೋಡ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಗುಂಪುಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪು ಪ್ರಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಅಮೂರ್ತ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಡಿಹ್ನ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು Zn ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಡಿಹ್1 = Z2. ಉದಾಹರಣೆ 2ಡಿ ಯಲ್ಲಿ, ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು [p] () ಅನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರತಿಫಲನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾದ R0 ಮತ್ತು R1 ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆವರ್ತಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು [p] + () ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ S0,1 ರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಜನರೇಟರ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣಿ 3 ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ 3 ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳು [1, p], [2, p], [3,3], [3,4], ಮತ್ತು [3,5]. ಸಮತಲದ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು (ಇದು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ), ಒಬ್ಬರು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ 3x3 ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ವಾಹಕದ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಘಟಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. L2 ಮಾನದಂಡವು ಏಕತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ [p, 2] ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ 3-ಆಯಾಮದ ಸೀಮಿತ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಗುಂಪು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, [p, 2], ಕ್ರಮ 4p,. ಪ್ರತಿಫಲನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾದ ಆರ್0, ಆರ್1, ಆರ್2 ಆಗಿವೆ. R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = ಗುರುತು. [p, 2] + () ಅನ್ನು 3 ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ 2 ರಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ S0,1, S1,2, ಮತ್ತು S0,2. ಎಲ್ಲಾ 3 ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ V 0,1,2 ನಿಂದ ಒಂದು ಕ್ರಮ p ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. [3] ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ 3-ಆಯಾಮದ ಸೀಮಿತ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಗುಂಪು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, [3,3], ಆರ್ಡರ್ 24, ಆಗಿದೆ. ಡಿ3 = ಎ3 ರಚನೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾದ ಆರ್0, ಆರ್1, ಆರ್2 ಆಗಿವೆ. R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = ಗುರುತು. [3,3] + () ಅನ್ನು 3 ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ 2 ರಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ S0,1, S1,2, ಮತ್ತು S0,2. [2 +, 4], ಕ್ರಮ 8ಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋಣೀಯ ಉಪಗುಂಪನ್ನು S0,2 ಮತ್ತು R1ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ 3 ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ವಿ 0,1,2 ನಿಂದ 4ನೇ ಕ್ರಮದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. [4,3] ಮತ್ತೊಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ 3-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಫೈನೈಟ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದರೆ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, [4,3], ಆರ್ಡರ್ 48,. ಪ್ರತಿಫಲನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಆರ್0, ಆರ್1, ಆರ್2 ಆಗಿವೆ. R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = ಗುರುತು. ಚಿರಲ್ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, [4,3] +, () ಅನ್ನು 3 ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ 2 ರಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ S0,1, S1,2, ಮತ್ತು S0,2. ಪಿರೈಟೋಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು [4,3 +], () ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ R0 ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ S1,2 ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ 3 ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ವಿ 0,1,2 ನಿಂದ 6 ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. [5,3] ಒಂದು ಅಂತಿಮ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ 3-ಆಯಾಮದ ಸೀಮಿತ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಗುಂಪು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, [5,3], ಆರ್ಡರ್ 120, ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಆರ್0, ಆರ್1, ಆರ್2 ಆಗಿವೆ. R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = ಗುರುತು. [5,3] + () ಅನ್ನು 3 ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ 2 ರಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ S0,1, S1,2, ಮತ್ತು S0,2. ಎಲ್ಲಾ 3 ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ವಿ 0,1,2 ನಿಂದ 10 ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣಿ 4 4 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ 4 ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿವೆಃ [3,3,3], [4,3,3], [31,1,1], [3,4,4], [5,3,3], ಜೊತೆಗೆ ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬ [p, 2, q]. [p, 2, q] ದ್ವಂದ್ವಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು, [p, 2, q], 4pq ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. [[p, 2, p]] ಡುಯೋಪ್ರಿಸ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಎರಡು ಸಮತಲಗಳ ನಡುವೆ 2 ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ 8p2 ಗೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳಬಹುದು. [3,3,3] ಹೈಪರ್ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, [3,3,3], ಕ್ರಮ 120,5-ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ 4 ಕನ್ನಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, [4,3,3,3] ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ. [[3,3,3]] ವಿಸ್ತೃತ ಗುಂಪು [[[3,3,3]], ಕ್ರಮ 240,2-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟಿ ಯಿಂದ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆಃ 3 ಜನರೇಟರ್ಗಳು {ಟಿ, ಆರ್0, ಆರ್1} ಇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ T ಸ್ವಯಂ-ಪರಸ್ಪರ R3 = TR0T, ಮತ್ತು R2 = TR1T ಆಗಿರುತ್ತದೆ. [4,3,3] ಒಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ 4-ಆಯಾಮದ ಸೀಮಿತ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಗುಂಪು ಹೈಪರ್ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು (ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಡೆಕಾಕೋರಿಕ್ ಗುಂಪು (16-ಕೋಶಕ್ಕೆ), B4 = [4,3,3], ಕ್ರಮ 384, ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಆರ್0, ಆರ್1, ಆರ್2, ಆರ್3 ಆಗಿವೆ. R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = ಗುರುತು. ಚಿರಲ್ ಹೈಪರ್ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, [4,3,3] +, () ಅನ್ನು 6 ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ 3 ರಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, ಮತ್ತು S0,3. ಹೈಪರ್ಪೈರಿಟೋಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ [4, (3,3) +], () ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ R0 ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳಾದ S1,2 ಮತ್ತು S2,3ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ 4 ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ W 0,1,2,3 ನಿಂದ 8-ಪಟ್ಟು ದ್ವಿಗುಣ ಆವರ್ತನವು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. [4,3,3] ನ ಅರ್ಧ ಗುಂಪು [3,31,1], ಆರ್ಡರ್ 192 ಆಗಿದೆ. ಇದು [4,3,3] ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ 3 ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪಕ್ಕದ ಜನರೇಟರ್ನ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಒಂದು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಕನ್ನಡಿಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ. [3,4,3] ಒಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ 4-ಆಯಾಮದ ಸೀಮಿತ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಗುಂಪು ಐಕೋಸಿಟೆಟ್ರಾಕೋರಿಕ್ ಗುಂಪು (24-ಕೋಶಕ್ಕೆ), F4 = [3,4,3], ಆರ್ಡರ್ 1152, ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಆರ್0, ಆರ್1, ಆರ್2, ಆರ್3 ಆಗಿವೆ. R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 4 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = ಗುರುತು. ಚಿರಲ್ ಐಕೋಸಿಟೆಟ್ರಾಕೋರಿಕ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, [3,4,3] +, () ಅನ್ನು 6 ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ 3 ರಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, ಮತ್ತು S0,3. ಅಯಾನಿಕ್ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ [3,4,3 +] ಗುಂಪು, () ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ R0 ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳಾದ S1,2 ಮತ್ತು S2,3ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ 4 ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ W 0,1,2,3 ನಿಂದ 12 ಪಟ್ಟು ದ್ವಿಗುಣ ಆವರ್ತನವು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. [[3,4,3]] ಗುಂಪು [[3,4,3]] 2-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೂಲಕ [3,4,3] ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಟಿ, ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಕ್ರಮವು 2304 ಆಗಿದೆ. [5,3,3] ಹೈಪರ್-ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ, [5,3,3], ಆರ್ಡರ್ 14400,. ಪ್ರತಿಫಲನ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಆರ್0, ಆರ್1, ಆರ್2, ಆರ್3 ಆಗಿವೆ. R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R0 × R3) 2 = (R1 × R3) 2 = ಗುರುತು. [5,3,3] + () ಅನ್ನು 3 ಆವರ್ತನಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ S0,1 = R0 × R1, S1,2 = R1 × R2, S2,3 = R2 × R3, ಇತ್ಯಾದಿ. ಶ್ರೇಣಿ 8 [34,2,1] E8 ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು, [34,2,1], 8 ಕನ್ನಡಿ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದೇಶ 696729,600 (192x10!). E7 ಮತ್ತು E6, [33,2,1], ಮತ್ತು [32,2,1] ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊದಲ ಕನ್ನಡಿ ಅಥವಾ ಮೊದಲ ಎರಡು ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಅಫೈನ್ ಶ್ರೇಣಿ 2 ಅಫೈನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಅಂಕಣವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೊನೆಯ ಸಾಲು ಕೊನೆಯ ನಮೂದು 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅಂಕಣವು ಅನುವಾದ ವಾಹಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. x = 0 ಮತ್ತು x = 1 ಎಂಬ ಎರಡು ಪ್ರತಿಫಲನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಅಫೈನ್ ಗುಂಪು [ini] ಅನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಅಫೈನ್ ಶ್ರೇಣಿ 3 [4,4] ಅಫೈನ್ ಗುಂಪನ್ನು [4,4],, (p4m), ಮೂರು ಪ್ರತಿಫಲನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಬಹುದು, x ಅಕ್ಷದಾದ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು (y = 0), ಕರ್ಣ (x = y), ಮತ್ತು ರೇಖೆಯಾದ್ಯಂತ ಅಫೈನ್ ಪ್ರತಿಫಲನ (x = 1). [4,4] + () (p4) ಅನ್ನು S0,1 S1,2, ಮತ್ತು S0,2ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. [4 +, 4 +] () (ಪಿ. ಜಿ. ಜಿ.) ಅನ್ನು 2-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ S0,2 ಮತ್ತು ಗ್ಲೈಡ್ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ (ಪ್ರತಿಫಲನ) V 0,1,2 ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. [4 +, 4] () (p4g) ಅನ್ನು S0,1 ಮತ್ತು R3ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು [(4,4,2 +)] () (cmm), 2-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆ S1,3 ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನ R2 ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. [3,6] ಅಫೈನ್ ಗುಂಪು [3,6],, (p6m) ಅನ್ನು ಮೂರು ಪ್ರತಿಫಲನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಬಹುದು, x ಅಕ್ಷದಾದ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು (y = 0), ರೇಖೆ y = (ρ/2) x, ಮತ್ತು ಲಂಬ ರೇಖೆ x = 1. [3 [3]] ಅಫೈನ್ ಗುಂಪನ್ನು [3 [3] ಅರ್ಧ ಗುಂಪಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. R2 ಅನ್ನು R '2 = R2 × R1 × R2 ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ y + (√3/2) x = 2. ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ 2 ರೊಂದಿಗೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಅಫೈನ್ ಶ್ರೇಣಿ 4 [4,3,4] ಅಫೈನ್ ಗುಂಪು [4,3,4] () ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಪ್ರತಿಫಲನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಬಹುದು. ಕನ್ನಡಿ R0 ಅನ್ನು z = 0 ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹಾಕಬಹುದು. ಕನ್ನಡಿ R1 ಅನ್ನು y = z ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹಾಕಬಹುದು. ಕನ್ನಡಿ R2 ಅನ್ನು x = y ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹಾಕಬಹುದು. ಕನ್ನಡಿ R3 ಅನ್ನು x = 1 ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹಾಕಬಹುದು. [4,3,4] + () ಅನ್ನು S0,1, S1,2, ಮತ್ತು S2,3ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. [[4,3,4]] ವಿಸ್ತರಿತ ಗುಂಪು [[4,3,4]] ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, 2-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ T ಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ, ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ (1,1/2,0) ಮತ್ತು (1/2,1 2,1/2). ಜನರೇಟರ್ಗಳು {R0, R1, T}. R2 = T × R1 × T ಮತ್ತು R3 = T × R0 × T. [4,31,1] ಗುಂಪನ್ನು [4,3,4 ನಿಂದ, [4,3,4,1 +] ಅನ್ನು ಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, R '3 = R3 × R2 × R3 ಎಂದು, ಹೊಸ R' 3 ಅನ್ನು R3 ಅಡ್ಡಲಾಗಿ R2 ನ ಚಿತ್ರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. [3 [4] ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು, [1 +, 4,3,4,1 +], R '1 = R0 × R1 × R0 ಮತ್ತು R' 3 = R3 × R2 × R3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ [4,3,4 ನಿಂದ ಗುಂಪನ್ನು [3 [4] ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ಃ ಕೆಲಿಡೋಸ್ಕೋಪ್ಸ್ಃ ಆಯ್ದ ಬರಹಗಳು ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಆರ್ಥರ್ ಶೇರ್ಕ್, ಪೀಟರ್ ಮೆಕ್ಮುಲ್ಲೆನ್, ಆಂಥೋನಿ ಸಿ. ಥಾಂಪ್ಸನ್, ಏಷ್ಯಾ ಐವಿಕ್ ವೈಸ್, ವಿಲೇ-ಇಂಟರ್ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್, 1995, (ಪೇಪರ್ 22) (ಪೇಪರ್ 23) (ಪೇಪರ್ 24) ನಾರ್ಮನ್ ಜಾನ್ಸನ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್, ಮ್ಯಾನುಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ (1991) ಎನ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಜಾನ್ಸನ್ಃ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಹನಿಕೋಂಬ್ಸ್, ಪಿಎಚ್ಡಿ. (1966) ನಾರ್ಮನ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಜಾನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಏಷ್ಯಾ ಐವಿಕ್ ವೈಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಇಂಟಿಜರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗ್ರೂಪ್ಗಳು ಪಿಡಿಎಫ್ ಕ್ಯಾನ್. ಜೆ. ಗಣಿತ. ಸಂಪುಟ. 51 (6), 1999 pp. 1307-1336 N. W. ಜಾನ್ಸನ್ಃ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳು, (2018) PDF ಜಾನ್ ಎಚ್. ಕಾನ್ವೇ ಮತ್ತು ಡೆರೆಕ್ ಎ. ಸ್ಮಿತ್, ಆನ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಕ್ಟೋನಿಯನ್ಸ್, 2003, ದಿ ಸಿಮೆಟ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಥಿಂಗ್ಸ್ 2008, ಜಾನ್ ಎಚ್. ಕಾನ್ವೇ, ಹೈಡಿ ಬರ್ಗಿಯಲ್, ಚೈಮ್ ಗುಡ್ಮ್ಯಾನ್-ಸ್ಟ್ರಾಸ್, Ch.22 35 ಪ್ರಧಾನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪುಗಳು, ch.25 184 ಸಂಯೋಜಿತ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪುಗಳು, ch.26 ಹೈಯರ್ ಸ್ಟಿಲ್, 4D ಪಾಯಿಂಟ್ ಗುಂಪುಗಳು ಸಿಮೆಟ್ರಿ ಗ್ರೂಪ್ ಥಿಯರಿ