Extrinsic Geometric Flows
ಬಾಹ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವುಗಳು ಒಂದು ಮುಂದುವರಿದ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವಾಗಿದ್ದು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವುಗಳನ್ನು, ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವಕ್ರರೇಖೆ ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಮೈ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಲೋಕಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಾಹ್ಯ ಹರಿವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿಯಮವು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಆಂತರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಮತ್ತು ಹುದುಗುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ರಿಕ್ಕಿ ಹರಿವಿನಂತಹ ಆಂತರಿಕ ಹರಿವುಗಳಿಗಿಂತ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹುದುಗಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವುಗಳನ್ನು ಬೆನ್ ಆಂಡ್ರ್ಯೂಸ್, ಬೆನೆಟ್ ಚೌ, ಕ್ರಿಸ್ಟಿನ್ ಗ್ವೆಂಥರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಫೋರ್ಡ್ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 2020 ರಲ್ಲಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಪುಸ್ತಕ ಸರಣಿಯಾದ ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಸ್ಟಡೀಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್ನ 206 ನೇ ಸಂಪುಟವಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಷಯಗಳು ಈ ಪುಸ್ತಕವು ನಾಲ್ಕು ಅಧ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ 1ರಿಂದ 4ರವರೆಗಿನ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರ-ಕುಗ್ಗುವ ಹರಿವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ವಕ್ರತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಠೋರವಾದ ಕೊಯ್ಯುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಂತಹ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವು ಹರಿಯುವಾಗ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿಯೇ ಉಳಿಯುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಗೇಜ್-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಗ್ರೇಸನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಸರಳವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕುಸಿಯುವವರೆಗೆ, ಎಂದಿಗೂ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಿಸದೆ, ಮತ್ತು ಹರಿವಿನ ಪ್ರಾಚೀನ ಪರಿಹಾರಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ. 5 ರಿಂದ 14 ರವರೆಗಿನ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಇದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ-ಕುಗ್ಗಿಸುವ ಹರಿವಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಅದರ ಲಂಬ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಾಯದ ನಂತರ, ಇದು "ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ" ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಕ್ಕರ್ ಮತ್ತು ಹುಯಿಸ್ಕೆನ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ನಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕುಸಿಯುವ ಮೊದಲು ಗೋಳಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಹುಯಿಸ್ಕೆನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹ್ಯೂಸ್ಕೆನ್ ನ ಏಕತಾನತೆಯ ಸೂತ್ರವು ಆವರಿಸಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಬ್ರೇಕ್ ಮತ್ತು ವೈಟ್ ನ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಹರಿವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸುಗಮವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದ ಹಲವಾರು ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಈ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ ಬೆಳೆಯಬಹುದಾದ ಏಕತ್ವಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವು ಹರಿಯುವಾಗ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲುವಂತೆ ಉಳಿಯುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. 15ರಿಂದ 17ರವರೆಗಿನ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಗಾಸ್ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಇದು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಕ್ರ-ಕುಗ್ಗಿಸುವ ಹರಿವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಗೌಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯು ಆಂತರಿಕವಾಗಿದ್ದರೂ, ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯಂತಲ್ಲದೆ, ಗೌಸ್ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹುದುಗಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಹರಿವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಹರಿವಿನ ವೇಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ವಕ್ರತೆಯ ಬದಲು ವಕ್ರತೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹರಿವಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವ, ಸ್ವಯಂ-ಸಮಾನ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಆಕಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ. ವಕ್ರತೆಯ ಘಾತಾಂಕವು ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿ (ಅಫೈನ್ ಕರ್ವ್-ಶಾರ್ಟನಿಂಗ್ ಹರಿವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ದುಂಡಾದ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. 18-20 ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವಿನ ವಿಶಾಲವಾದ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿನ ವಿಷಯವು ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ; ಪ್ರತಿ ಅಧ್ಯಾಯದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅದೇ ಪ್ರದೇಶದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಮಾನವೀಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಪದವಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿಸುವ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಗ್ರಿಗೊರಿ ಪೆರೆಲ್ಮನ್ ಅವರು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಊಹೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಊಹೆ ಎರಡನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಿದ ನಂತರ ಆಂತರಿಕ ಹರಿವುಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇತ್ತೀಚಿನ ಗಮನದ ವಿಷಯವಾಗಿದ್ದರೂ, ಬಾಹ್ಯ ಹರಿವುಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಗಳ ಸುದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯು ಜೈವಿಕ ಕೋಶಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆ, ಲೋಹದ ಸ್ಫಟಿಕ ಕಣಗಳು, ಫೋಮ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಳ್ಳೆಗಳು ಮತ್ತು "ಕಡಲತೀರದಲ್ಲಿ ಉರುಳುವ ಕಲ್ಲುಗಳ ವಿರೂಪ" ದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಪುರಾವೆಗಳು ಹಲವುವೇಳೆ ಸಂಶೋಧನಾ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿನ ಪುರಾವೆಗಳ ಸರಳೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇದು ಇನ್ನೂ ಸಾಕಷ್ಟು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿದ್ದು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪದವೀಧರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧಕರನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಓದುಗರು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಷಯಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಇದು ಬಹು-ಕೋರ್ಸ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಆಧಾರವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದರ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಷಯದ ಕೋರ್ಸ್ ಆಗಿರಬಹುದು. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವಾಗುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಬಾಹ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವುಗಳು ಈ ಪ್ರದೇಶದ ತಜ್ಞರಿಗೆ ಹರಿವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಕೃತಿಗಳು ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವಿನ ಕುರಿತಾದ ಮೊದಲ ಪುಸ್ತಕವಲ್ಲ. ಇತರವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಬಾಹ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವುಗಳು ಈ ಕೃತಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಗ್ರವಾಗಿದ್ದರೂ ಮತ್ತು ನವೀಕೃತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಇದು ಅವುಗಳ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅನಿಸೋಟ್ರೋಪಿಕ್ ಹರಿವುಗಳು, ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ಭೌಗೋಳಿಕ ರೇಖೆಯ ಮಟ್ಟ-ಸೆಟ್ ವಿಧಾನಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವು ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು 2020 ಕಾಲ್ಪನಿಕವಲ್ಲದ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ