Simplicial complex recognition problem
ಸರಳವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಗಣನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಅದು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಿರ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. 5 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವು (ಎ. ಎಸ್. ಸಿ.) ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಸಮೂಹಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ (ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪು ಸಹ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ). ಪ್ರತಿ ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ (ಜಿಎಸ್ಸಿ) ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಎಸ್ಸಿಯಲ್ಲಿನ ಕೆ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಜಿಎಸ್ಸಿಯಲ್ಲಿನ (ಕೆ-1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಎಸ್ಸಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವಿನ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಎಎಸ್ಸಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಜಿಎಸ್ಸಿಯ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು. ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆಃ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವು ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಗರಿಷ್ಠ 3 ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಡಿ ≤ 4ಕ್ಕೆ, ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. "ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್" ಅನ್ನು "ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಲೀನಿಯರ್ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಕ್" ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅದೇ ನಿಜ. ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. 3-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವು 4-ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡಿನ ಗಡಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದೆ. ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಯಾವುದೇ ಡಿ ≤5 ಗೆ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಇದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಡಿ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. 2014 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ, 4-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆಃ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆಯೇ? ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ; ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಇದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸರಳ ಸೆಟ್ಗಳು