Subgroup distortion
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಉಪಗುಂಪು ವಿರೂಪವು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಮಿತಿಮೀರಿದ ಗುಂಪು ಎಷ್ಟು ಮಟ್ಟಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತೆ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮಿಶಾ ಗ್ರೊಮೊವ್ನಿಂದಾಗಿದೆ, ಅವರು ಇದನ್ನು 1993 ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಅವರಿಂದ ರಚಿಸಲಾದ ಓವರ್ಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸೆಟ್ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಪದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ; ಇನ್ ನ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿರೂಪತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಂಸ್ಲಾಗ್-ಸೋಲಿಟಾರ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಹುದುಗಿರುವ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಮೂಲದಿಂದ ದೂರ, ಆದರೆ ಮೂಲದಿಂದ ದೂರ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಂಡಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಅದೇ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು, ರೇಖೀಯ ವಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಸ್ವತಃ ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿರೂಪವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗುಂಪುಗಳ ಗೋಪುರದಲ್ಲಿ, ಒಳಭಾಗದ ವಿರೂಪವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಳಭಾಗದ ವಿರೂಪವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪಗುಂಪು ಸಂಯೋಗದ ಓವರ್ಗ್ರೂಪ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿರೂಪತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಬೇಸ್ನಿಂದ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋರ್ನ ವಿರೂಪವು ಬಲವಾದ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಉಪಗುಂಪು ವಿರೂಪವಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಲೈ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲವು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಛೇದವು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ; ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರದ ಉಪಗುಂಪು ಸೂಪರ್ಅಡಿಟಿವ್ ವಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸೂಪರ್ಅಡಿಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ) ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಉಪಗುಂಪು ವಿರೂಪದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಸರಳೀಕರಣವು ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು, ಗುಪ್ತ ಸಂದೇಶಗಳನ್ನು ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಸರಳ ಪಠ್ಯ ಸಂದೇಶವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ (ಪಠ್ಯ, ಚಿತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ). ಟ್ರಾನ್ಸ್ಮಿಟರ್ ನಂತರ ಪದದ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಅಂಶವಾಗಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆ ವಿರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಓವರ್ಗ್ರೂಪ್ನಲ್ಲಿ, ಅಂಶವು ತುಂಬಾ ಸಣ್ಣ ಉದ್ದದ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ರಹಸ್ಯ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟಗೊಳಿಸಲು ಹಲವಾರು "ಡಿಕೋಯ್ಗಳೊಂದಿಗೆ" ಸ್ವೀಕರಿಸುವವರಿಗೆ ರವಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಸೀವರ್ ನಂತರ ಅಂಶವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪದವನ್ನು ಮರು-ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಟೋಪೋಲಜಿ