Roberts's triangle theorem
ರಾಬರ್ಟ್ಸ್ನ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಮೇಯವು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ಜೋಡಣೆಯೂ ಕನಿಷ್ಠ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂರು ರೇಖೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ನಾಲ್ಕು ರೇಖೆಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಐದು ರೇಖೆಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. 1889ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ರಾಬರ್ಟ್ಸ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅರ್ಧವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ, ಸತತ ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮಾತ್ರ. ರೇಖೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತ್ರಿವಳಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನೂ ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರೂಫ್ ಬ್ರಾಂಕೊ ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಅವರು ರಾಬರ್ಟ್ಸ್ ಅವರ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ "ನಂಬಲಾಗದ" ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ರಾಬರ್ಟ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಸರಿಯಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು 1979 ರಲ್ಲಿ ರಾಬರ್ಟ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಶಾನನ್ ಅವರಿಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಾದವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಲೆಕ್ಸಿ ಬೆಲೋವ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಇದು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಅದೇ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ಆವೃತ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಣೆಗೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ ರೇಖೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಎರಡು ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತೆ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ರಾಬರ್ಟ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಿತಿಯು ಪ್ರತಿ ಸೇರಿಸಿದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯಬಹುದು. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಚಲಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಹೊಸ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯ ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳು ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನದಿಂದ. ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಕ್ಕೆ, ಅದರ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳ ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಿದೆ, ಅದು ತೃಪ್ತಿಯಾದರೆ, ಮುಖವು ತನ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, (ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ) ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸರಿಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಲನೆಯು ಸರಳವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಗಳ ದಾಟುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಹಾದುಹೋದಾಗ. ಚಲಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಮೊದಲು ಸರಳವಲ್ಲದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳು ಸಂಧಿಸುವ ಸ್ವಲ್ಪ ಮೊದಲು, ರೇಖೆಗಳ ಈ ಉಪವಿಭಾಗವು ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ) ಇದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅಸ್ಥಿರತೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇವೆ ಎಂಬ ಊಹೆ ನಿಜವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ರಾಬರ್ಟ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದಾಗಿದ್ದರೂ, ಸಂಬಂಧಿತ ಕೋಬನ್ ತ್ರಿಕೋನ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ರಾಬರ್ಟ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೋಬನ್ ತ್ರಿಕೋನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಐದು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ರಾಬರ್ಟ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಜೋಡಣೆಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಕೆಲವು ಸರಳವಲ್ಲದ ಜೋಡಣೆಗಳವರೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಜೋಡಣೆಗಳವರೆಗೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಜೋಡಣೆಗಳವರೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ರೇಖೆಯ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಮೀರಿ, ರಾಬರ್ಟ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೂಡೋಲಿನ್ಗಳ ಜೋಡಣೆಗೆ ಅದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳು