From Zero to Infinity
ಫ್ರಮ್ ಝೀರೋ ಟು ಇನ್ಫಿನಿಟಿಃ ವಾಟ್ ಮೇಕ್ಸ್ ನಂಬರ್ಸ್ ಇಂಟ್ರೆಸ್ಟಿಂಗ್ ಎಂಬುದು ಕಾನ್ಸ್ಟನ್ಸ್ ರೀಡ್ ಅವರ ಜನಪ್ರಿಯ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೂಲತಃ 1955ರಲ್ಲಿ ಥಾಮಸ್ ವೈ. ಕ್ರೌವೆಲ್ ಕಂಪನಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿತು. ನಾಲ್ಕನೇ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು 1992 ರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕಾ ತಮ್ಮ ಎಂ. ಎ. ಎ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿತು. ಎ. ಕೆ. ಪೀಟರ್ಸ್ 2006ರಲ್ಲಿ ಐದನೇ "ಐವತ್ತನೇ ವಾರ್ಷಿಕೋತ್ಸವದ ಆವೃತ್ತಿ" ಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ರೀಡ್ ಸ್ವತಃ ವೃತ್ತಿಪರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾಗಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆಕೆಯ ಸಹೋದರಿ ಜೂಲಿಯಾ ರಾಬಿನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಸೋದರಳಿಯ ರಾಫೆಲ್ ಎಮ್. ರಾಬಿನ್ಸನ್ ಅವರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಗಣಿತದ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಬಂದವರು. ಅವರು ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಫ್ರಮ್ ಝೀರೋ ಟು ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಅವರು "ಗೃಹಿಣಿ ಮತ್ತು ಫ್ರೀ-ಲಾನ್ಸ್ ಬರಹಗಾರರಾಗಿದ್ದರು". ಅವರು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಕುರಿತಾದ ಅನೇಕ ಪುಸ್ತಕಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾದರು, ಜನಪ್ರಿಯ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಮೊದಲನೆಯದು. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ರೀಡ್ ಅವರ ಆಸಕ್ತಿಯು ಅವರ ಸಹೋದರಿಯು ಮೆರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಅವರು 1953 ರಲ್ಲಿ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಅಮೇರಿಕನ್ನಲ್ಲಿ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯವಾದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಲೇಖನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಬರೆದರು. ಆಕೆಯ ಉದ್ದೇಶಿತ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯು ವಾಟ್ ಮೇಕ್ಸ್ ನಂಬರ್ಸ್ ಇಂಟರೆಸ್ಟಿಂಗ್ ಆಗಿತ್ತು; ಫ್ರಮ್ ಝೀರೋ ಟು ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯು ಪ್ರಕಾಶಕರು ಮಾಡಿದ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ವಿಷಯಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತತೆಯವರೆಗಿನ ಹನ್ನೆರಡು ಅಧ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಹತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ (ಯೂಲರ್ನ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸರಿಸುಮಾರು 2.71828) ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಅನಂತ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಧ್ಯಾಯದ ವಿಷಯವು ಅದರ ಅಧ್ಯಾಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಪುಸ್ತಕವು ಮುಂದುವರಿದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮಟ್ಟದ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯೊಂದಿಗೆಃ ಅಧ್ಯಾಯ 0 ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಇತಿಹಾಸ, ಸ್ಥಾನಿಕ ಸಂಕೇತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ಲೇಸ್ಹೋಲ್ಡರ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಬಹಳ ನಂತರದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. 1ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆ, ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅಧ್ಯಾಯ 2ರ ವಿಷಯಗಳು ಅವಳಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ, ರೈತರ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಗಣಕಯಂತ್ರದ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪ್ರಾಚೀನ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಅದರ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ವಿವಿಧ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸೇರಿದಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. 3ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮರಳುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಎರಟೋಸ್ಥನೀಸ್ ಜರಡಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಆಧುನಿಕ ಪ್ರಾಥಮಿಕತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಸೇರಿವೆ. 4ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಚೌಕಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಗೆಲಿಲಿಯೋನ ಅವಲೋಕನ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ. 5ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವು ಅಂಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಉತ್ಪಾದಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. 6ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ರೀಡ್ ತನ್ನ ಹಿಂದಿನ ಲೇಖನದಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 6 ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ), ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅವುಗಳ ಸಂಪರ್ಕ, ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹುಡುಕಾಟ ಮತ್ತು ರೀಡ್ನ ಸಂಬಂಧಿಕರು ಹೊಸ ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ವಿಷಯವನ್ನು ತರುತ್ತಾರೆ. ಮರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎರಡು ಘಾತಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಘಟಕ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಬದಲಿಗೆ 7ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವು ಎರಡರ ಶಕ್ತಿಗಿಂತ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು, ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಏಳು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೆಪ್ಟಾಗನ್, ರಚನೆಯಾಗದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ. 8ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವು ಘನಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ಇತರ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಾರಿಂಗ್ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. 9ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದ ವಿಷಯವು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತ, ವಿಭಜನಾತ್ಮಕತೆ ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತರಿಂದ ವಿಭಜನಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಂಬತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕುವ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸ್ಥಾನಿಕ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ. ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ಈ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮ ಅಧ್ಯಾಯವಾದ ಚಾಪ್ಟರ್, ಅಲೆಫ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ವಾದವೂ ಸೇರಿದೆ. ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯು 0ರಿಂದ 9ರವರೆಗಿನ ಅಧ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿತು. ಪುಸ್ತಕದ ನಂತರದ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ರೀಡ್ ಅವರು "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಿದರು"; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಐದನೇ ಆವೃತ್ತಿಯು ಮೆರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಹುಡುಕಾಟದ ನವೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಂದ ಕೈಬಿಡಲಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತದವರೆಗೆ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಸ್ವಾಗತವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತವಲ್ಲದ ವಯಸ್ಕರಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಾಗಿ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ಮಟ್ಟದ ಗಣಿತ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ "ರಸಪ್ರಶ್ನೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ" ಸಣ್ಣ ಸೆಟ್ಗಳು ತರಗತಿಯ ಚರ್ಚೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಬಹುದು, ಇದು ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಪೂರಕ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಡೇವಿಡ್ ಸಿಂಗ್ಮಾಸ್ಟರ್ ಇದನ್ನು "ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ನೋಟದಿಂದಲೂ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಜನಪ್ರಿಯತೆಯ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ" ಮತ್ತು "ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಸಂತೋಷಕರ ಪರಿಚಯ" ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವಿಮರ್ಶಕ ಲಿನ್ ಗಾಡ್ಶಾಲ್ ಇದನ್ನು "ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಓದಬಲ್ಲ ಇತಿಹಾಸ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು "ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇಬ್ಬರೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ". ಮುರ್ರೆ ಸೀಗೆಲ್ ಇದನ್ನು "ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವ ಪ್ರತಿ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಬೋಧಕರ ಗ್ರಂಥಾಲಯವು ಹೊಂದಿರಬೇಕು" ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಿಂಗ್ಮಾಸ್ಟರ್ ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡು ತುಣುಕುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ದೂರು ನೀಡಿದ್ದಾರೆಃ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ (ಇನ್ನೂ ಗಣನೀಯ ಪಾಂಡಿತ್ಯಪೂರ್ಣ ಚರ್ಚೆಯ ವಿಷಯ) ಬಗ್ಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದರು ಎಂಬ 4ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಏಕೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಯಾವುದೇ ಚರ್ಚೆಯ 7ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಿಂದ ಹೊರಗಿಡುವುದನ್ನು ಬದಿಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಸೀಗೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಣ್ಣ ದೋಷವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜನಪ್ರಿಯ ಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕಗಳು 1955 ಕಾಲ್ಪನಿಕವಲ್ಲದ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ