Ordinal Pareto efficiency
ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ದಕ್ಷತೆಯು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮದಿಂದ ಕೆಟ್ಟದಕ್ಕೆ ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅವರು ವಸ್ತುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವರು ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಕೆಲವು ಹಂಚಿಕೆಗಳು ಪಾರೆಟೋ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಏಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆರ್ಥಿಕತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಆಲಿಸ್ಃ x> y> z. ಜಾರ್ಜ್ಃ x> z> y. ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ [ಆಲಿಸ್ಃ x, ಜಾರ್ಜ್ಃ y, z]. ಈ ಹಂಚಿಕೆಯು ಪಾರೆಟೋ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ಏಜೆಂಟರ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಆಲಿಸ್ {y, z} ಅನ್ನು {x} ಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ {x, z} ಅನ್ನು {y, z} ಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ x, y, z ಗಾಗಿ ಆಲಿಸ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು 8,7,6 ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು 7,1,2, ಆದ್ದರಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ 8,3 ಆಗಿದೆ). ನಂತರ ಹಂಚಿಕೆಯು ಪಾರೆಟೋ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಇಬ್ಬರೂ ತಮ್ಮ ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ವಿವರವು 13,7 ಆಗಿರುತ್ತದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಆಲಿಸ್ {x} ಅನ್ನು {y, z} ಗಿಂತ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ {y, z} ಅನ್ನು {x} ಗಿಂತ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಆಲಿಸ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು 12,4,2 ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು 6,3,4). ನಂತರ ಹಂಚಿಕೆಯು ಪಾರೆಟೋ-ದಕ್ಷವಾಗಿದೆಃ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂಚಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಆಲಿಸ್ ಇನ್ನೂ x ಅನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಜಾರ್ಜ್ನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಆಲಿಸ್ x ಅನ್ನು ಪಡೆಯದಿದ್ದರೆ, ಆಲಿಸ್ನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೂ ಹಂಚಿಕೆಯು ಪಾರೆಟೋ-ದಕ್ಷವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಭಾಗಶಃ ಪಾರೆಟೋ ದಕ್ಷವಾಗಿದೆ): ಆಲಿಸ್ ಜಾರ್ಜ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತದ x ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಜಾರ್ಜ್ ತನ್ನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಅದೇ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಆಕೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ 3r y ಅಥವಾ 6r z ಅನ್ನು ನೀಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಂತರ ಜಾರ್ಜ್ನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು 6r-9r ಅಥವಾ 6r-24r ನಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಂಚಿಕೆಯ ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷತೆಯು ಕಟ್ಟುಗಳ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ವಸ್ತುಗಳ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡಿದಾಗ ಹಂಚಿಕೆಯ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಒಂದು ಹಂಚಿಕೆಯು X = (X1,., Xn) ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಮತ್ತೊಂದು ಹಂಚಿಕೆಯು Y = (Y1,., Yn) ಅನ್ನು ಪ್ರಾಬಲ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ ನಾನು ಬಂಡಲ್ ಯಿಗಿಂತ ಬಂಡಲ್ ಕ್ಸಿ ಅನ್ನು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿದರೆ, ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಏಜೆಂಟ್ ಜೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ Xj ಗೆ Yj ಅನ್ನು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿದರೆ. ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂಚಿಕೆಯು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ X ಹಂಚಿಕೆಯು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷತೆಯ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಹಂಚಿಕೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಹಂಚಿಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ದಕ್ಷತೆಯ ಬಲವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಅಂದರೆ ಹಂಚಿಕೆಯು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಹಂಚಿಕೆಯಿಂದಲೂ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಬಂಡಲ್ಗಳ (ವಸ್ತುಗಳ ಸೆಟ್) ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಏಜೆಂಟರು ತಮ್ಮ ವಸ್ತುಗಳ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವರದಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳನ್ನು ಅವು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಿದರೆ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕವನ್ನು ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಲಿಸ್ನ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು {w} <{x} <{y} <{z] ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಊಹೆಗಳೆಂದರೆಃ ಏಕತಾನತೆಃ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಒಳ್ಳೆಯದು ಎಂಬ ಊಹೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಆಲಿಸ್ನ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು ಉದಾ. {y} <{y, x}. ಜವಾಬ್ದಾರಿಃ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಉತ್ತಮ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಆಲಿಸ್ನ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು ಉದಾ. {w, x} <{w, y} <{x, y} <{x, z}. ಇದು ಸ್ಥಿರತೆಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆಃ ಏಜೆಂಟ್ ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ವಿಷಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಈ ಊಹೆಯು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಲಿಸ್ {x, y} <{z} ಶ್ರೇಯಾಂಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವಳು {w, x, y} <{w, z} ಶ್ರೇಯಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ಃ ಏಜೆಂಟ್ ಯಾವಾಗಲೂ x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಯಾಂಕದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಂಡಲ್ನ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಐಟಂ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಆಲಿಸ್ {w, x, y} <{z} ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಇದು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅವರು ಎಲ್ಲಾ ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಂದಿಸುವ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತಾರೆ) ಅಗತ್ಯವಾದ ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷತೆ ಬ್ರಾಮ್ಸ್, ಎಡೆಲ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಫಿಶ್ಬರ್ನ್ ಅವರು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಏಜೆಂಟರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ನೀಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂಚಿಕೆಯು ಪ್ಯಾರೆಟೋ-ಖಾತ್ರಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆಲಿಸ್ನ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು x> y ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ನ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು y> x ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹಂಚಿಕೆಯು [ಆಲಿಸ್ಃ x, ಜಾರ್ಜ್ಃ y] ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆಲಿಸ್ನ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು x> y> z ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ನ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು x> z> y ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹಂಚಿಕೆಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರಬೇಕು, ಆಗ ಹಂಚಿಕೆಯು [ಆಲಿಸ್ಃ x, y; ಜಾರ್ಜ್ಃ z] ಪಾರೆಟೋ-ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಹಂಚಿಕೆಯು [ಆಲಿಸ್ಃ x, ಜಾರ್ಜ್ಃ y, z] ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದೃಢೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಪ್ಯಾರೆಟೋ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ. x, y, z ಗಾಗಿ ಆಲಿಸ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು 8,7,6 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು 7,1,2 ಆಗಿದ್ದರೆ. ಈ ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ಏಜೆಂಟರ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಬೌವೆರೆಟ್, ಎಂಡ್ರಿಸ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಂಗ್. ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕೆಲವು ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, X ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಬಹುಶಃ Y ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಬಲ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ X ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ. ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂಚಿಕೆಯು ಬಹುಶಃ-ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಅಗತ್ಯ-ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷ (ಎನ್. ಇ. ಸಿ. ಪಿ. ಇ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ "X ಎಂಬುದು ಪಾರೆಟೋ-ದೃಢೀಕರಣವಾಗಿದೆ" ಎಂಬುದು "ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಕ್ಕೆ, ಪ್ರತಿ ಇತರ ಹಂಚಿಕೆಗೆ Y, Y ಪಾರೆಟೋ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. "X ಎಂದರೆ NECPE" ಎಂಬುದು "ಪ್ರತಿ ಇತರ ಹಂಚಿಕೆಗೆ Y, ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಕ್ಕೆ, Y ಯು X ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. "ಎಲ್ಲರಿಗೂ" ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ತಾರ್ಕಿಕ ಅರ್ಥವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅಡಿಟಿವ್ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಡಿಟಿವ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ, ಎನ್ಇಸಿಪಿಇ ಷರತ್ತು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಎನ್. ಇ. ಸಿ. ಪಿ. ಇ ಬಹಳ ಬಲವಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪೂರೈಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಬ್ಬರು ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಒಂದೇ ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಆಲಿಸ್ ಹೇಳುವಂತೆ, ಅತ್ಯಲ್ಪ ಶ್ರೇಣಿಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂಯೋಜಕ ಬಂಡಲ್-ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಲಿಸ್ ಈ ವಸ್ತುವನ್ನು 0 ಎಂದು ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ, ಜಾರ್ಜ್ ಅದನ್ನು 1 ಎಂದು ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಆಲಿಸ್ಗೆ ನೀಡುವುದು ಪಾರೆಟೋ-ಸಮರ್ಥವಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಬಯಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ನೀಡುವುದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ನೆಕ್ಪಿಇ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಅನ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಎರಡೂ ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವ ಯಾವುದೇ ಎನ್. ಇ. ಸಿ. ಪಿ. ಇ. ಹಂಚಿಕೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಇಬ್ಬರೂ x> y ಶ್ರೇಯಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎರಡೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಆಲಿಸ್ ಕೆಲವು x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಕೆಲವು y ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಮೊದಲನೆಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಆಲಿಸ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ಉದಾ. 4, 2 ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು 8,1 ಆಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಲಿಸ್ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮೊತ್ತದ r ಅನ್ನು y ನ 3r ಗೆ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆಲಿಸ್ 6r-4r ಅನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ 8r-3r ಅನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಲಾಭಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದವಿದೆ. ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೆಲವು ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಇದು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷತೆ ಬ್ರಾಮ್ಸ್, ಎಡೆಲ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಫಿಶ್ಬರ್ನ್ ಅವರು ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವ ಹಂಚಿಕೆಯು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಾಧ್ಯ. ಇದಲ್ಲದೆಃ ಆಲಿಸ್ನ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು x> y> z ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ನ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು x> z> y ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಹಂಚಿಕೆಯು [ಆಲಿಸ್ಃ x, ಜಾರ್ಜ್ಃ y, z] ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಪ್ಯಾರೆಟೋ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ. x, y, z ಗಾಗಿ ಆಲಿಸ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು 12,4,2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು 6,3,4 ಆಗಿದ್ದರೆ. ಈ ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ಏಜೆಂಟರ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆಲಿಸ್ನ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು x> y ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ನ ಶ್ರೇಯಾಂಕವು y> x ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹಂಚಿಕೆಯು [ಆಲಿಸ್ಃ y, ಜಾರ್ಜ್ಃ x] ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಂಚಿಕೆಯಿಂದ [ಆಲಿಸ್ಃ x, ಜಾರ್ಜ್ಃ y] ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೌವೆರೆಟ್, ಎಂಡ್ರಿಸ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಂಗ್. ಬೇರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ, X ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯವು Y ಆಗಿದ್ದರೆ, X ಹಂಚಿಕೆಯು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂಚಿಕೆಯು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ-ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಪೊಸಿಬ್ಲಿ-ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಎಫಿಷಿಯೆಂಟ್ (ಪಿ. ಎಸ್. ಪಿ. ಇ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲಃ "X ಎಂಬುದು ಪಾರೆಟೋ-ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿದೆ" ಎಂಬುದು "ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕವಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂಚಿಕೆಗೆ Y, Y X ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಹಂಚಿಕೆಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕು. "ಎಕ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಪೊಸ್ಪಿಇ" ಎಂಬುದು "ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂಚಿಕೆಯ ವೈಗೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕವಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವೈ ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂಚಿಕೆಯ Y ಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕವಿರಬಹುದು. X ಪ್ಯಾರೆಟೋ-ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಪಿ. ಓ. ಎಸ್. ಪಿ. ಇ. ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಸೂಚ್ಯಂಕವು (ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ) ನಿಜವಲ್ಲ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೀಯ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೀಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ ಎಂಬುದು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷತೆ ಬೊಗೊಮೊಲ್ನಿಯಾ ಮತ್ತು ಮೌಲಿನ್ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯೋಜನೆಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಾಗಿ ದಕ್ಷತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ (ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಸಂಯೋಜನೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಂಚಿಕೆಗಳು ಭಾಗಶಃ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ನೀಡಲಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಗರಿಷ್ಠ 1 ಆಗಿರಬೇಕು). ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ i, ಒಂದು ಬಂಡಲ್ ಕ್ಸಿ ಒಂದು ಬಂಡಲ್ ಕ್ಸಿ ಮೇಲೆ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ (ಡಬ್ಲ್ಯೂಎಸ್ಡಿ) ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಝಡ್, ಕ್ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಝಡ್ ಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಒಟ್ಟು ಭಾಗವು ಕನಿಷ್ಠ ಯಿ ಯಲ್ಲಿರುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (ಹಂಚಿಕೆಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ಸಿ ಎಸ್ಡಿ ಯಿ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಝಡ್, ಕ್ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಝಡ್ ಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಯಿ ಯಲ್ಲಿರುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ). ಎಸ್ಡಿ ಸಂಬಂಧವು ಹಲವಾರು ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ರೆಸ್ಪಾನ್ಸಿವ್ ಸೆಟ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರತಿ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಕ್ಕೆ ಕ್ಸಿ ಎಸ್ಡಿ ಯಿ-ಮತ್ತು-ಮಾತ್ರ-ಇದ್ದರೆ, ಕ್ಸಿ ಕನಿಷ್ಠ ಯಿಯಷ್ಟೇ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಂಡಲ್ ಕ್ಸಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ-ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ (ಎಸ್ಎಸ್ಡಿ) ಒಂದು ಬಂಡಲ್ ಕ್ಸಿ ಡಬ್ಲ್ಯುಎಸ್ಡಿ ಯಿ ಮತ್ತು ಕ್ಸಿ ಷ್ಣುವಿ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಸ್ತು z ಗೆ, "ಕನಿಷ್ಠ Yi ನಲ್ಲಿರುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದು" "Yi ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ". ಎಸ್ಎಸ್ಡಿ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ "ಕ್ಸಿ>> ಯಿ" ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಹಂಚಿಕೆಯು X = (X1,., Xn) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಹಂಚಿಕೆಯು Y = (Y1,., Yn) ಅನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ i: xi wsd yi, ಮತ್ತು y ಷ್ಣ X (ಸಮಾನವಾಗಿಃ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಏಜೆಂಟ್ಗೆ i, xi ssd yi). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಂಚಿಕೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು "X>> Y" ಎಂದೂ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಡೊಮಿನೇಷನ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಹಂಚಿಕೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಎಸ್. ಡಿ-ಎಫಿಷಿಯೆಂಟ್ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದಕ್ಷ ಅಥವಾ ಒ-ಎಫಿಷಿಯೆಂಟ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪಿ. ಓ. ಎಸ್. ಪಿ. ಇ. ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಸಂಯೋಜಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಹಂಚಿಕೆಯು ಭಾಗಶಃ ಆಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ಯಾರೆಟೋ-ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪಿ. ಓ. ಎಸ್. ಪಿ. ಇ. ಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇತರ ದಿಕ್ಕು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯೋಜನೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲ ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ) ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಮೆಕ್ಲೆನ್ನನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆಃ (ಎ) ಎಕ್ಸ್ ಎಸ್ಡಿ-ದಕ್ಷವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಎಕ್ಸ್ ಪಾಸ್ಪಿಇ ಆಗಿದೆ); (ಬಿ) ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಐಟಂ-ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಡಿಟಿವ್ ಬಂಡಲ್-ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಕ್ಸ್ ಭಾಗಶಃ-ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಎಕ್ಸ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಸಾಧ್ಯ); (ಸಿ) ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಐಟಂ-ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಡಿಟಿವ್ ಬಂಡಲ್-ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಕ್ಸ್ ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮಗಳು (ಸಿ) → (ಬಿ) → (ಎ) ಸುಲಭ; ಸವಾಲಿನ ಭಾಗವೆಂದರೆ (ಎ) → (ಸಿ) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು. ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೆಕ್ಲೆನ್ನನ್ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಬೊಗೊಮೊಲ್ನಿಯಾ ಮತ್ತು ಮೌಲಿನ್ ಎಸ್ಡಿ-ದಕ್ಷತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅದೇ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯೋಜನೆ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಆದರೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗಗಳ ಹಂಚಿಕೆಯ ವಿನಿಮಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೋಡ್ಗಳು ಐಟಂಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಆರ್ಕ್ x → y iff ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುವ ಮತ್ತು y ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಏಜೆಂಟ್ i ಇದೆ. ಅದರ ವಿನಿಮಯ ನಕ್ಷೆಯು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ, ಒಂದು ಹಂಚಿಕೆ sd-ಸಮರ್ಥ ಐಎಫ್ಎಫ್ ಅದು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೇಲೆ ಫಿಶ್ಬರ್ನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ಕ್ಸಿ>> ಯಿ (ಅಂದರೆಃ ಕ್ಸಿ ಿಱೀ ಯಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಐಟಂ ಝಡ್ಗೆ, ಕ್ಸಿ ಕನಿಷ್ಠ ಝಡ್ನಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾದ ಅನೇಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ), ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಬಂಡಲ್-ಶ್ರೇಯಾಂಕಕ್ಕೆ ಐಟಂ-ಶ್ರೇಯಾಂಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಕ್ಸಿ> ಯಿ. ಕ್ಸಿ>> ಯಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಐಟಂ-ಶ್ರೇಯಾಂಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸ್ಪಂದಿಸುವ ಬಂಡಲ್-ಶ್ರೇಯಾಂಕವಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ಸಿ <ಯಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಹಂಚಿಕೆಯ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆಃ X>> Y, Iff X ಅಗತ್ಯವಾಗಿ Y ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi, xi. ಏಕೆಂದರೆ, |Xi | <|Yi | ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ, v (xi) <v (yi). ಇದರರ್ಥ, ಎಕ್ಸ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂಎಸ್ಡಿ ವೈ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈ ಎರಡೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಂಚಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ), ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ |Xi | = |Yi |. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಂಚಿಕೆ Xಅನ್ನು, ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ Xನಷ್ಟೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ Y ಹಂಚಿಕೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ 1 ಘಟಕವನ್ನು ನೀಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಹಂಚಿಕೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ X sd-ದಕ್ಷವಾಗಿದ್ದರೆ, X ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ sd-ಸಮರ್ಥವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್-ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷತೆ ಚೋ ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯೋಜನೆಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಎರಡು ಇತರ ದಕ್ಷತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಂಚಿಕೆಯು X = (X1,., Xn) ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ-ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ (dl) ಮತ್ತೊಂದು ಹಂಚಿಕೆಯು Y = (Y1,., Yn) ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ i, xi ದುರ್ಬಲವಾಗಿ-dl-ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಏಜೆಂಟ್ಗೆ j, Xj ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ-dl-ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂಚಿಕೆಯು ಡಿಎಲ್-ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಡಿಎಲ್-ದಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಮೇಲ್ಮುಖ-ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ (ಉಲ್) ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂಚಿಕೆಯು ಉಲ್-ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಉಲ್-ಎಫಿಷಿಯೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಸ್ಡಿ-ಡೊಮಿನೇಷನ್ ಡಿಎಲ್-ಡೊಮಿನೇಷನ್ ಮತ್ತು ಉಲ್-ಡೊಮಿನೇಷನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಡಿಎಲ್-ದಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಅಲ್-ದಕ್ಷತೆಯು ಎಸ್ಡಿ-ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಗಳು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯೋಜನೆಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಬಂಡಲ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಹಂಚಿಕೆಯು ಭಾಗಶಃ ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ನೀಡಲಾಗುವ ಒಟ್ಟು ಭಾಗವು 1 ಆಗಿರಬೇಕು), ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಐಟಂ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಲ್ಲಿ ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಐಟಂಗಳು ಇರಬಹುದು (ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಐಟಂಗಳು ಹಂಚಿಕೆಯಾಗದೆ ಉಳಿಯಬಹುದು). ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡಿಎಲ್-ದಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಅಲ್-ದಕ್ಷತೆಯು ಎಸ್ಡಿ-ದಕ್ಷತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಚೋ ಮತ್ತು ಡೋಗನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಹಂಚಿಕೆಯು ಎಸ್ಡಿ/ಎಲ್ಡಿ/ಯುಎಲ್ ದಕ್ಷವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರಃ ಎಕ್ಸ್ನ ವಿನಿಮಯ ನಕ್ಷೆಯು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು-ಎಕ್ಸ್ ವ್ಯರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ("ವ್ಯರ್ಥ" ಎಂದರೆ x ವಸ್ತುವಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಕೆಲವು ಏಜೆಂಟ್ i, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹಂಚಿಕೆಯಾಗದ ಮತ್ತೊಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ). ವಿತರಣಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿದ್ದರೆ ಸಮಾನತೆಯು ಇರುವುದಿಲ್ಲಃ ಎಸ್ಡಿ-ದಕ್ಷತೆಯಿರುವ ಆದರೆ ಡಿಎಲ್-ದಕ್ಷತೆಯಿಲ್ಲದ ಹಂಚಿಕೆಗಳಿವೆ. ಮುಂದೆ ಓದಿದ ಅಜೀಜ್, ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ಸ್, ಮ್ಯಾಕೆಂಜೀ ಮತ್ತು ವಾಲ್ಷ್ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ವಿಭಾಗ 7ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಎಸ್. ಡಿ.-ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಡೊಗನ್, ಡೊಗನ್ ಮತ್ತು ಯಿಲ್ಡಿಜ್ ಹಂಚಿಕೆಯ ನಡುವಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆಃ ವಸ್ತುಗಳ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನ ಬಂಡಲ್-ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪಾರೆಟೋ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿದ್ದರೆ X ಹಂಚಿಕೆಯು ಹಂಚಿಕೆಯ Yಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಬ್ದುಲ್ ಕದಿರೊಸ್ಲು ಮತ್ತು ಸೋನ್ಮೆಜ್ ಎಸ್ಡಿ-ದಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್-ಪೋಸ್ಟ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ-ದಕ್ಷತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯೋಜನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ). ಅವರು ನಿಯೋಜನೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಹೊಸ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಲಾಟರಿ ಬೆಂಬಲದ ಪ್ರತಿ ಉಪವಿಭಾಗವು ನಾಮನಿರ್ದೇಶನಗೊಂಡಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಲಾಟರಿ ಎಸ್ಡಿ-ದಕ್ಷವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ಯಾರೆಟೊ ದಕ್ಷತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕ್ರಮ