Arthur J. Baroody
ಆರ್ಥರ್ "ಆರ್ಟ್" ಜೆ. ಬರೂಡಿ (ಜನನ ಆಗಸ್ಟ್ 15,1947) ಒಬ್ಬ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮನಶ್ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಣತರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಅರ್ಬಾನಾ-ಚಾಂಪೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಇಲಿನಾಯ್ಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಬೋಧನೆಯ ಎಮೆರಿಟಸ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಡೆನ್ವರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಮೋರ್ಗ್ರಿಡ್ಜ್ ಕಾಲೇಜ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್ನಲ್ಲಿ (ಸಿಒಇ) ಹಿರಿಯ ಸಂಶೋಧನಾ ಫೆಲೋ ಆಗಿದ್ದಾರೆ. ಎಜುಕೇಶನ್ ಬರೂಡಿ ಅವರು ಕಾರ್ನೆಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸಂಗ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಬಿ. ಎಸ್. ಪದವಿಯನ್ನು ಗಳಿಸಿದರು. 1969 ರಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಮತ್ತು 1979 ರಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮನೋವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪಿಎಚ್ಡಿ. ನಂತರದ ಪದವಿಗಾಗಿ, ಅವರಿಗೆ ಹರ್ಬರ್ಟ್ ಪಿ. ಗಿನ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡಿದರು. ಬರೂಡಿ ತಮ್ಮ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವೃತ್ತಿಜೀವನವನ್ನು 1978ರಲ್ಲಿ ಕ್ಯುಕಾ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟಲ್ ಸೈಕಾಲಜಿಯ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಅವರು 1980 ರಲ್ಲಿ ರೋಚೆಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಅಂಡ್ ಹ್ಯೂಮನ್ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ಗೆ ಎಚ್. ಪಿ. ಗಿನ್ಸ್ಬರ್ಗ್ನ ಎನ್ಐಇ ರಿಸರ್ಚ್ ಗ್ರಾಂಟ್ಃ "ಕಾಗ್ನಿಟಿವ್ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ ಅಪ್ರೋಚ್ ಟು ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಲರ್ನಿಂಗ್ ಡಿಫಿಕಲ್ಟೀಸ್" ಗೆ ರಿಸರ್ಚ್ ಅಸೋಸಿಯೇಟ್ ಆಗಿ ಸೇರಿದರು. 1983 ರಿಂದ 1986 ರವರೆಗೆ, ಅವರು ಎನ್ಐಎಚ್ ಸಂಶೋಧನಾ ಅನುದಾನಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಧಾನ ತನಿಖಾಧಿಕಾರಿಯಾಗಿ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದರುಃ "ಟಿಎಂಆರ್ ಮತ್ತು ಇಎಂಆರ್ ಮಕ್ಕಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಗಣಿತ ಕಲಿಕೆ". ಅವರ ಮುಂದಿನ ನೇಮಕವು ಇಲಿನಾಯ್ಸ್ ಅರ್ಬಾನಾ-ಚಾಂಪೇನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಬಾಲ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣದ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿ (1986-1989) ಆಗಿತ್ತು. ಅವರು 1989ರಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಬೋಧನೆಯ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿ ಮತ್ತು 1994ರಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಬೋಧನೆಯ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾಗಿ ಬಡ್ತಿ ಪಡೆದರು. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವರು 1987 ರಿಂದ 1990 ರವರೆಗೆ ಮತ್ತು ನಂತರ 1999 ರಿಂದ 2001 ರವರೆಗೆ ಬ್ಯೂರೋ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಷನಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ನೊಂದಿಗೆ ಏಕಕಾಲೀನ ನೇಮಕಾತಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಅವರು 2009ರಲ್ಲಿ ನಿವೃತ್ತರಾದರು ಮತ್ತು ಪಠ್ಯಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಬೋಧನೆಯ ಎಮೆರಿಟಸ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರಾದರು. 2013 ರಿಂದ, ಅವರು ಡೆನ್ವರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಮೋರ್ಗ್ರಿಡ್ಜ್ ಕಾಲೇಜ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್ನ ಹಿರಿಯ ಸಂಶೋಧನಾ ಫೆಲೋ ಆಗಿಯೂ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. 2000 ರಿಂದ, ನ್ಯಾಷನಲ್ ಸೈನ್ಸ್ ಫೌಂಡೇಶನ್, ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಸೈನ್ಸಸ್, ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ಫೌಂಡೇಶನ್, ನ್ಯಾಷನಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಹೆಲ್ತ್ ಮತ್ತು ನ್ಯಾಷನಲ್ ಗವರ್ನರ್ಸ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ನಿಂದ 12 ಅನುದಾನಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಧಾನ ತನಿಖಾಧಿಕಾರಿ ಅಥವಾ ಸಹ-ಪಿಐ ಆಗಿದ್ದಾರೆ. ಬರೂಡಿ ಅವರ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಬಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಕ್ಕಳ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದೆ. ಅವರು ಈ ಹಿಂದೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗದ ಎಣಿಕೆ-ಆಧಾರಿತ ಮಾನಸಿಕ-ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಫೆಲಿಸಿಯಾ ಅವರ ಎಣಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರ-ದೊಡ್ಡ ಪೂರಕದಿಂದ (ಪರಿಹಾರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "1,2,3,4,5; 6 [ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು], 7 [ಎರಡು ಹೆಚ್ಚು]). ನಂತರದ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಫೆಲಿಸಿಯಾದ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಪೂರಕದಿಂದ ಎಣಿಕೆಯ ಮುಂದುವರಿದ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ನಡುವಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸಿತು-ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು MIN ಕಾರ್ಯತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಣ್ಣ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಕ್ಕಳ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳೆರಡನ್ನೂ ಅನ್ವೇಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಸಮತೋಲಿತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕೆ ಬರೂಡಿ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ದೊಡ್ಡದಾಗಿಸುವ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಕ್ಕಳ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಂವಹನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಒಂದು ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು-ಎರಡು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕ್ರಮವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರಕ ಕ್ರಮವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಫೆಲಿಸಿಯಾ ಮತ್ತು MIN ತಂತ್ರಗಳು) ಕಡೆಗಣಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಂಯೋಜಕ ಸಂವಹನದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಸೂಚಿಸಿವೆ. ಮೂಲ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಮಕ್ಕಳು ಸಂಬಂಧಿತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ವಾದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬರೂಡಿ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮನೋವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಗೆ ಸವಾಲು ಹಾಕಿದರು. ಆತ ಶಿಶುವಿಹಾರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯೊಬ್ಬನ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಕೇಳಿದರುಃ "ಆರು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸುಲಭವಾದದ್ದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಆರರ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆ". ಅಂದರೆ, ಎಣಿಕೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಬಗೆಗಿನ ತನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಡ್-1 ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಮಗು ಅರಿತುಕೊಂಡಿತು-ಆರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಎಣಿಕೆಯ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಏಳು (ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ನಿಯಮದ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆ). ಆಡ್-1 ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಡಬಲ್ಸ್-ಪ್ಲಸ್-1 ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ನಿರರ್ಗಳತೆಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಂತರದ ನಿಯಮವು ದೊಡ್ಡ (MIN) ನಿಂದ ಎಣಿಕೆ-ಆನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಬೋಧನೆಯು ಮೂಲಭೂತ ಸಂಗತಿಗಳ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಕಂಠಪಾಠದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಬೇಕು-ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಡ್ರಿಲ್ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದಲ್ಲ. ಮಾನಸಿಕ-ಅಂಕಗಣಿತದ ತಜ್ಞರು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗುವ ಅನೇಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ. ಆ ಕಾಲದ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕಲಿಕೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರಿವಿನ ತತ್ವವನ್ನು ಗೌರವಿಸಿದರೆ ಗಂಭೀರ ಕಲಿಕೆಯ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಕ್ಕಳು ಔಪಚಾರಿಕ ಗಣಿತದ ಸೂಚನೆಯಿಂದ ಪ್ರಯೋಜನ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಬರೂಡಿ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. 75 ಅಥವಾ 50 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಐಕ್ಯೂ ಹೊಂದಿರುವ ಮಕ್ಕಳು ಎಣಿಕೆಯ ದೋಷಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ಸರಿಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊಡ್ಡದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕಲಿಯಬಹುದು; ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎಣಿಕೆಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು; ಮತ್ತು ಅಡಿಟಿವ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವಿಟಿ, ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಂತರದ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ನಿಯಮದಂತಹ ಮೂಲ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ವಿಕಾಸದ ಮಟ್ಟ ಅಥವಾ ಸನ್ನದ್ಧತೆಯು, ಐಕ್ಯೂ ಅಲ್ಲ, ಕಲಿಕೆಯ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಮುನ್ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಕೌಶಲ್ಯ-ಮೊದಲ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಪ್ರತಿಪಾದಕರು, ಶಾಲಾಪೂರ್ವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅಧೀನಗೊಳಿಸುವುದು, ಮೌಖಿಕ ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರಿಗೊಬ್ಬರು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೇವಲ ರೋಟೆ ಮೂಲಕ ಕಲಿಯುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ವಾದಿಸಿದರು. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನೇಟಿವಿಸ್ಟ್ಗಳು ಕೆಲವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು-ಮೊದಲ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು-ಉಪವಿಭಾಗವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೌಖಿಕ-ಆಧಾರಿತ ಎಣಿಕೆಯ ಜ್ಞಾನದ ಕಲಿಕೆಗೆ ಸಹಜ ಎಣಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡಿವೆ. ಬರುಡಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು-ಕೌಶಲ್ಯ-ಮೊದಲ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಮತ್ತು ಕೆಲವು-ಪರಿಕಲ್ಪನೆ-ಮೊದಲ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಮ ನೆಲದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಪ್ರಕಾರ, ಮಕ್ಕಳು ಕ್ರಮೇಣ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಬ್ಟೈಜ್ ಮಾಡುವ ಕೌಶಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಆಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಉಪವಿಭಾಗೀಕರಣವು ಸಂಖ್ಯೆ, ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪವಿಭಾಗ ಆಧಾರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಮೊದಲು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಜ್ಞಾನದ ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಬರೂಡಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಇತರರಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಜ್ಞಾನವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಳವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಜ್ಞಾನವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಳವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಜ್ಞಾನದ ಆಳವು ಇತರ ಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗಿನ ಅದರ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಿಖರತೆ, ಸಂಸ್ಥೆಯ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯತೆ ಅಥವಾ ವಿಸ್ತಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ದೊಡ್ಡ ಕಲ್ಪನೆ-ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು, ಅಥವಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಅಥವಾ ವಿಷಯಗಳೊಳಗೆ ಅಥವಾ ಅದರಾಚೆಗೂ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು-ಆಳವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಜ್ಞಾನದ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುಕೂಲ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ನಂತರದ ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಬೋಧನೆಯು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬೆಳೆಸುವ ಮೂಲಕ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಉತ್ತೇಜಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದವು. ಎಣಿಕೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಮಕ್ಕಳು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ ಆದರೆ ಸಂಗ್ರಹದ ಒಟ್ಟು (ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಮೌಲ್ಯ) ವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಮಗು ಐದು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಎಷ್ಟು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಕೇಳಿದಾಗ, ತಪ್ಪಾಗಿ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಅಥವಾ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ-ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಎಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದವು ವಿಶೇಷ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಸಬ್ಟೈಜಬಲ್ ಸಂಗ್ರಹಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ತತ್ವವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದವು ಒಟ್ಟು ಎಂದು ನೋಡಲು ಮತ್ತು ತತ್ವವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ, ಬರೂಡಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುವುದರಿಂದ ವಿವಿಧ ಅಂಕಗಣಿತದ ತಾರ್ಕಿಕ ತಂತ್ರಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರರ್ಗಳತೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಈ ವಿಧಾನವು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದ ಸಂಗತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರರ್ಗಳತೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುವಲ್ಲಿ ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಡ್ರಿಲ್ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸದಷ್ಟೇ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡದ ಆದರೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂಗತಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುವಲ್ಲಿ ಡ್ರಿಲ್ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿತ್ತು. ಬೋಧನೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಲಿಕೆಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೊದಲ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಸಹ ಅವರು ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದರು. ಮಾದರಿಯಂತಹ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಕಲಿಕೆಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ಕೆಳ ಹಂತಗಳು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು (ಅಗತ್ಯವಾದ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಿಗಿಂತ) ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಈ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 1983ರಲ್ಲಿ, ಮಕ್ಕಳ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಮತ್ತು ಅವರ ಔಪಚಾರಿಕ, ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಹೊಸ ಆರಂಭಿಕ ಗಣಿತ ಸಾಧನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಗಿನ್ಸ್ಬರ್ಗ್ಗೆ ಬರೂಡಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದರು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಟೆಸ್ಟ್ ಆಫ್ ಅರ್ಲಿ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಚೀವ್ಮೆಂಟ್ (ಟಿಇಎಂಎ). 2003ರಲ್ಲಿ, ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಪರಿಚಿತವಾದವುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಆಧಾರಿತ ಜ್ಞಾನ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪರಿಣತಿಯ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಸಂಪಾದಿಸಲು ಬರೂಡಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದರು. ಪುಸ್ತಕಕ್ಕೆ ನೀಡಿದ ಕೊಡುಗೆಗಳು ವಾಡಿಕೆಯ ಪರಿಣತಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪರಿಣತಿಯನ್ನು ಬೆಳೆಸುವ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತವೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಚಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ರೋಟೆ ಕಂಠಪಾಠದಿಂದ ಕಲಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು. ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಜ್ಞಾನದ ಸೂಕ್ತ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುವಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕೌನ್ಸಿಲ್ ಆಫ್ ಟೀಚರ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಕಾಂಪೆಂಡಿಯಂ ಫಾರ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಎಜುಕೇಶನ್ನ 2017ರ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಬರೂಡಿ ಬಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕುರಿತಾದ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರು. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ (ಅನೌಪಚಾರಿಕ) ಕಲಿಕೆ ಶಾಲಾ (ಔಪಚಾರಿಕ) ಕಲಿಕೆಗೆ ಹೇಗೆ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಕಲಿಕೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕವು ಇದರ ವಿಷಯವಾಗಿತ್ತು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಅವರು ಮೂಲಭೂತ ಸಂಖ್ಯೆ-ವಾಸ್ತವಾಂಶ ಕಲಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯಾ-ಪ್ರಜ್ಞೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ-ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗಿನ ನಿರರ್ಗಳತೆ ಹೇಗೆ ಪ್ರಿಸ್ಕೂಲ್ನಲ್ಲಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬರುಡಿಯವರು ಶಾಲಾಪೂರ್ವ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ 30ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಅಭ್ಯಾಸ-ಆಧಾರಿತ ಪುಸ್ತಕಗಳು, ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಕುಶಲತೆಯ ಬಳಕೆಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಕಲಿಕೆಗೆ ಖಾತರಿ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರತಿಪಾದಕರಾಗಿದ್ದರು. ಕುಶಲತೆಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಬಳಕೆಯು ಕಲಿಕೆಯ ಗುರಿ, ಮಗುವಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬರುಡಿ ಅವರು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಸೈನ್ಸ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯ ಸಹ-ಲೇಖಕರಾಗಿ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರಕಟಣೆಯು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮತ್ತು ಬಾಲ್ಯದ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉತ್ತಮ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುವ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಬೋಧನೆಯು ಪ್ರತಿ ಮಗುವಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದರ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸಲು ಪ್ರತಿ ದಿನ ಸಮಯವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ದಿನವಿಡೀ ಅಂತಹ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಶಿಫಾರಸುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿದೆ. ಪ್ರಶಸ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಗೌರವಗಳು 1990-ಯುಐಯುಸಿ ಕಾಲೇಜ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಸ್ಕಾಲರ್ ಅವಾರ್ಡ್ 1997-98-ಯುಐಯುಸಿ ಕಾಲೇಜ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಡಿಸ್ಟಿಂಗ್ವಿಶ್ಡ್ ಸೀನಿಯರ್ ಸ್ಕಾಲರ್ 1987-1990 & 1999-2001-ಯುಐಯುಸಿ ಕಾಲೇಜ್ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಫೆಲೋಶಿಪ್ (ಬ್ಯೂರೋ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಷನಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ಗೆ ನೇಮಕಾತಿ) 2011-ಎಇಆರ್ಜೆ-ಟಿಎಚ್ಎಲ್ಡಿ ಎಕ್ಸಲೆಂಟ್ ರಿವ್ಯೂಯರ್ 2020 ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ-ಜೆಆರ್ಎಂಇ ಔಟ್ಸ್ಟ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ ರಿವ್ಯೂಯರ್ ಬಿಬ್ಲಿಯೋಗ್ರಫಿ ಬುಕ್ಸ್ ಚಿಲ್ಡ್ರನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಥಿಂಕಿಂಗ್ಃ ಎ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟಲ್ ಫ್ರೇಮ್ವರ್ಕ್ ಫಾರ್ ಪ್ರಿಸ್ಕೂಲ್, ಪ್ರೈಮರಿ, ಮತ್ತು ಸ್ಪೆಷಲ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಟೀಚರ್ಸ್ (1987) ಐಎಸ್ಬಿಎನ್ 9780807728376 ಎಲ್ ಪೆನ್ಸಾಮಿಯೆಂಟೋ ಮ್ಯಾಟೆಮೆಟಿಕೊ ಡಿ ಲಾಸ್ ನಿನೋಸ್. (ಮಕ್ಕಳ ಗಣಿತ ಚಿಂತನೆಯ ಸ್ಪ್ಯಾನಿಷ್ ಅನುವಾದ.) (1988) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳುಃ ಎ ಟೀಚರ್ಸ್ ಗೈಡ್ಬುಕ್ (1989) ISBN 9780205118311 ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಸಾಲ್ವಿಂಗ್, ರೀಸನಿಂಗ್, ಅಂಡ್ ಕಮ್ಯುನಿಕೇಟಿಂಗ್, ಗ್ರೇಡ್ಸ್ K ಟು 8: ಹೆಲ್ಪಿಂಗ್ ಚಿಲ್ಡ್ರನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪವರ್ಃ ಆನ್ ಇನ್ವೆಸ್ಟಿಗೇಟಿವ್ ಅಪ್ರೋಚ್ ಟು K-8 ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್ ಇನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ (1998) ISBN 978-0805831054 ಚಿಲ್ಡ್ರನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಥಿಂಕಿಂಗ್ಃ ಎ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟಲ್ ಫ್ರೇಮ್ವರ್ಕ್ ಫಾರ್ ಪ್ರಿಸ್ಕೂಲ್, ಪ್ರೈಮರಿ, ಅಂಡ್ ಸ್ಪೆಷಲ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಟೀಚರ್ಸ್. (ಮಕ್ಕಳ ಗಣಿತ ಚಿಂತನೆಯ ಚೀನೀ ಆವೃತ್ತಿ) (2000) ಅಂಕಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಃ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪರಿಣತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. (2003) ISBN 0-8058-3155-X IES ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಃ ಚಿಕ್ಕ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಗಣಿತವನ್ನು ಬೋಧಿಸುವುದು. (2013) NCEE 2014-4005 ಆಯ್ದ ಲೇಖನಗಳು ಪಾಲಿವಾಲ್, ವಿ., & ಬರೂಡಿ, ಎ. ಜೆ. (2020). ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ತತ್ವದ ತಿಳುವಳಿಕೆಃ ಅಧೀನಗೊಳಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಪಾತ್ರ. ZDM ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣ, 52 (4) 649-661. ಬರುಡಿ, ಎ. ಜೆ., ಯಿಲ್ಮಾಜ್, ಎನ್., ಕ್ಲೆಮೆಂಟ್ಸ್, ಡಿ. ಎಚ್., ಮತ್ತು ಸರಮಾ, ಜೆ. (2021). ಕಲಿಕೆಯ ಪಥಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಊಹೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದುಃ ಆರಂಭಿಕ ಮಾದರಿಯ ಕಲಿಕೆಯ ಪ್ರಕರಣ. ಜೆ. ಗಣಿತ. ಎಜುಕೇಶನ್, 13,8-32. ಬರುಡಿ, ಎ. ಜೆ., ಕ್ಲೆಮೆಂಟ್ಸ್, ಡಿ. ಎಚ್., ಮತ್ತು ಸರಮಾ, ಜೆ. (2022). ಕಲ್ಪಿತ ಕಲಿಕೆಯ ಹಾದಿಗಳ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವ ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದ 10 ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಂದ ಕಲಿತ ಪಾಠಗಳು. ಶಿಕ್ಷಣ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು, 12 (3), 195. ಬರುಡಿ, ಎ. ಜೆ., & ಲೈ, ಎಂ. (2022). ಎಣಿಕೆ ಆಧಾರಿತ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳು, 1-21. ಬರುಡಿ, ಎ. ಜೆ., ಮಿಕ್ಸ್, ಕೆ., ಕರ್ತಾಲ್, ಜಿ., & ಲೈ, ಎಂ-ಎಲ್. (2023). ಆರಂಭಿಕ ಕಾರ್ಡಿನಲ್-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ. ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಕಾಗ್ನಿಷನ್, 9 (1). ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 1947 ಜನನಗಳು ಅಮೇರಿಕನ್ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮನಶ್ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅಮೇರಿಕನ್ ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞರು ಕಾರ್ನೆಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಹಳೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಲಿವಿಂಗ್ ಪೀಪಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಡೆನ್ವರ್ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಇಲಿನಾಯ್ಸ್ ಅರ್ಬಾನಾ-ಚಾಂಪೇನ್ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ