Kähler identities
ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳು ಎಂದರೆ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮತ್ತು ಅವರ ಪಕ್ಕದ, ಕೆಹ್ಲರ್ ರೂಪದ ಸಂಕೋಚನ ಮತ್ತು ಬೆಣೆ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮತ್ತು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ನರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ನಿರ್ವಾಹಕರ ನಡುವಿನ ಗುರುತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಹೈಪರ್ಪ್ಲೇನ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಹಾರ್ಡ್ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಹಾಡ್ಜ್-ರೀಮನ್ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಹಾಡ್ಜ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಡಿ ರಾಮ್ ಮತ್ತು ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮೂಲಭೂತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ-ಲೆಮ್ಮಾ, ನಕಾನೋ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಡೈರಾ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯ. 1941 ರಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ವಿ. ಡಿ. ಹಾಡ್ಜ್ ಅವರು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ ಅವರು ಕೆಹ್ಲರ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವಾದ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಎ ಎಲ್ 'ಎಟ್ಯೂಡ್ ಡೆಸ್ ವೇರಿಯೆಟ್ಸ್ ಕೆಹ್ಲೆರಿಯೆನ್ನೆಸ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅದರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ರಚನೆ (ಎಸ್), ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆ (ಸಿ), ಮತ್ತು ರೀಮಾನಿಯನ್ ರಚನೆ (ಆರ್) ನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಈ ನಿರ್ವಾಹಕರ ರಚನೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರಗಳು ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಯಾವ ರಚನೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. (ಎಸ್),-ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್. (ಸಿ),-ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್. (ಸಿ) ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ನಂತರ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳು ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೇಳಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. .. (ಸಿ) ಈ ಆಪರೇಟರ್ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪದವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಇದು ಆ ಆಸ್ತಿಗೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಟೆನ್ಸೋರಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಟೆನ್ಸೋರಿಯಲ್ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ರೂಪಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. , ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಪರೇಟರ್. (ಸಿ), ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕೆಹ್ಲರ್ ರೂಪ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಸಿಆರ್), ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್. (ಆರ್) ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ನೇರ ಒಟ್ಟು ವಿಭಜನೆಯು ಬೈಡ್ಗ್ರೀನ್ (ಪಿ, ಕ್ಯೂ) ಆಗಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತದೆ. , ಡಿಗ್ರಿ k. (S) ನ ಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್, ಬೈಡ್ಗ್ರೀನ್ (p, q) ನ ಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್. (ಸಿ), ಎಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಎಸ್), ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕ. (ಸಿ) ಕೊನೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದರೆ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಬಹುತೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು-ಫಾರ್ಮ್ ಮತ್ತು-ಫಾರ್ಮ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ-ಫಾರ್ಮ್ನಲ್ಲಿ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆನ್, ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಅದರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸೋರಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಪಕ್ಕವಾದ್ಯಗಳನ್ನು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪಕ್ಕಸಾಲುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆನ್, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಜಾಗದ ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು (ಇವುಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಔಪಚಾರಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸೋರಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಪಕ್ಕವಾದ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. (ಎಸ್ಆರ್) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. (ಸಿಆರ್) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. (ಸಿಆರ್) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. (ಸಿಆರ್) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. (ಸಿಆರ್) ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೊನೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕಹ್ಲರ್ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೋಚನ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮತ್ತು ಅವರ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ನರು ಮತ್ತುಃ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಹಲವಾರು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಡಿ ರಾಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಎಸ್ಆರ್). (ಸಿಆರ್). (ಸಿ. ಆರ್.) ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗಳು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರು. ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮೇಲಿನ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆ (ಸಿ) ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅವುಗಳನ್ನು ನೈಜ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಫಲಿತಾಂಶದ ರೂಪವು ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನೈಜ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದುಃ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವು ಸ್ವತಃ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಆಪರೇಟರ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಹುತೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ. ಎರಡು ನೈಜ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಸಂಯೋಜನೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಮತ್ತು. ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಮತ್ತು. ಮತ್ತು. .. .. ಮತ್ತು. .. .. .. ಹೀಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಅವರೆಲ್ಲರೂ ನಿಜವಾದ ನಿರ್ವಾಹಕರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಈ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಕಮ್ಯೂಟೇಟರ್ ಮೇಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳು ಮೇಲಿನ ನಿರ್ವಾಹಕರ ನಡುವಿನ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನಾವು ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಗುರುತುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಮಾದರಿ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೆಹ್ಲರ್ ಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು. ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಗುರುತುಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಯಾವುದೇ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಾಂದ್ರವಾದಾಗ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಅಪ್ಗ್ರೇಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅನನ್ಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಪರ್ಕ ಮತ್ತು ಅದರ-ಭಾಗವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಚೆರ್ನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ವಕ್ರತೆಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಿ. ಔಪಚಾರಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನಂತೆ-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ರೂಪಗಳ ಮೇಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಕಾನೋ ಗುರುತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳು ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಯಿಲ್ಲದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆಃ .. .. ಇದನ್ನು ಬೋಚ್ನರ್-ಕೊಡೈರಾ-ನಕಾನೋ ಗುರುತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚೆರ್ನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ವಕ್ರತೆಯು ಇನ್ನೂ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮತ್ತು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಕೆಲವು ನಿರ್ವಾಹಕರು ಇತರ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್, ಸಂಕೋಚನ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಎಣಿಕೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದುಃ .. .. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಎಸ್ಎಲ್2-ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳು ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಳಗೆ ಸ್ವರಮೇಳದ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಹಾಡ್ಜ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ತ್ರಿವಳಿ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು X ನ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಲೈಡ್ 2-ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ವಾಹಕನು ಏರಿಸುವ ನಿರ್ವಾಹಕನಾಗಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ನಿರ್ವಾಹಕನಾಗಿದ್ದಾನೆ. ಸಾಂದ್ರವಾದಾಗ, ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದವು ಎಂಬುದು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯು ನೇರ ಮೊತ್ತದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಫೈನೈಟ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂತಹ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ನೇರ ಮೊತ್ತ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಹಾರ್ಡ್ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅದರ ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳು ಆಯಾಮದ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಸರಪಳಿಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅನೇಕ ಘಾತಗಳ ನಂತರ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ತ್ರಿಗುಣದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ-ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಅದರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಹಾರ್ಡ್ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ವಿಭಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳಿಂದ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಬಂಡಲ್ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಾಡ್ಜ್ ವಿಭಜನೆಯು ತಿರುಚಿದ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಟ್ರಿಪಲ್ ಇನ್ನೂ ಬಂಡಲ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಎಸ್ಎಲ್ 2-ಟ್ರಿಪಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹಾರ್ಡ್ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ವಿಭಜನೆಯ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ನಕಾನೊ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎಂದರೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಮೇಲೆ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೇಲೆ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಕಾನೊ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸ್ವರಮೇಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ನಂತರ, ಮತ್ತು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಇದ್ದರೆ, ಚೆರ್ನ್ ವಕ್ರತೆಯು ಸ್ವತಃ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಕಾನೊ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಕೊಡೈರಾ-ನಕಾನೊ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಹುಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ