Laplace's approximation
ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಅಂದಾಜು ಎಂಎಪಿ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಫಿಶರ್ ಮಾಹಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂಭಾಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಯಮಿತವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಂಭಾಗವು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಆಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ಪುಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ (ಪ್ರಾಯಶಃ ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ) ಹಿಂಜರಿತ ಅಥವಾ ವರ್ಗೀಕರಣ ಮಾದರಿಯು (ಅಜ್ಞಾತ) ಉದ್ದದ ನಿಯತಾಂಕ ವಾಹಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಜಂಟಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಊಹಾತ್ಮಕ ಬಯಕೆಯ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇಯ್ಸ್ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಹಿಂಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜಂಟಿ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಗೌಸಿಯನ್ ಮೂಲಕ ಜಂಟಿಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂದಾಜು ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಂದ್ರತೆಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ). ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಿಯತಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಹಿಂಭಾಗದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಅಂದಾಜು ಎಂದರೆ ಜಂಟಿ ಗುರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿಧಾನದ ಸ್ಥಳ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿರುವ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಪೋಸ್ಟರಿಯೊರಿ ಅಥವಾ ಎಂಎಪಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಲಾಗ್ ಜಂಟಿ ಗುರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ಅಂದಾಜು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಹಿಂಭಾಗದ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಲಾಗ್ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ಆದ್ಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದಾಜು ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಅಂದಾಜಿನ ಮುಖ್ಯ ದೌರ್ಬಲ್ಯಗಳೆಂದರೆ ಅದು ಕ್ರಮದ ಸುತ್ತಲೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಬಹಳ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿದೆಃ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂದಾಜನ್ನು ಗುರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನರ ಜಾಲಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡೇವಿಡ್ ಮ್ಯಾಕ್ಕೇ ಮತ್ತು ವಿಲಿಯಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬಾರ್ಬರ್ ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವರ್ತಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳು ಬಯೇಸಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನ