Orthogonality (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಎಂಬುದು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಬೈಲೀನಿಯರ್ ರೂಪ B ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು u ಮತ್ತು v ಯಾವಾಗ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ವಾಹಕದ ಜಾಗವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ವಯಂ-ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಲಂಬಕೋಣೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳ Vಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳಾದ x ಮತ್ತು y ಅವುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಅದರ ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತವಾಗಿವೆ (ಅವು ಯುನಿಟ್ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ). ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ದೂರ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದೇ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ ಆ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. Aಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ವಾಹಕವು Bಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಲಂಬಗೋಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳ Vಯ ಎರಡು ವಾಹಕ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾದ A ಮತ್ತು Bಯನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. Vಯ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ M ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ M ಿಱನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜೋಡಣೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, M ಿಱಿನ ಒಂದು ಅಂಶ m′ ಮತ್ತು M ನ ಒಂದು ಅಂಶ m ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು S′ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು Sನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಪದದ ಮರುಬರಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಡ-ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪದಗಳ ಮರುಬರಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಮೃದ್ಧವಾಗಿವೆ. ಒಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗುಂಪನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾರ್ಮಲ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ನಾರ್ಮಲ್ನಂತೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y-ಅಕ್ಷವು ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವು ವಾಹಕದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಸಮೂಹವು ಏಕ ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ (ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ಲಸ್ ನಾರ್ಮಲ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, "ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್" ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲು ನಾರ್ಮಲ್ ಎಂಬ ಪದದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತಪ್ಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಎಂಬ ಪದವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹುಸಿ-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಪ್ರಕರಣವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, x′ ಮತ್ತು t′ ಅಕ್ಷಗಳು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ φ ಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್-ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಅವುಗಳ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಅವು 90° ಕೋನವನ್ನು (π/2 ರೇಡಿಯನ್ಗಳು) ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಲಂಬ ವಾಹಕಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕವು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕವು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾದ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಜೋಡಿ ವಾಹಕಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಜೋಡಿ ಲಂಬ ಸಮತಲಗಳಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಭೇಟಿಯಾಗಬಹುದು. ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕವು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ f ಮತ್ತು g ಎಂಬ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ) ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆಃ ಒಂದು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಮತ್ತೊಂದು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಎಲ್ಲಿದೆಯೆಂದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸದಸ್ಯರು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ w ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯು (ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮಾನದಂಡವು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. (1) (3) + (3) (−1) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (−5) + (0) (−5) = 0, ಮತ್ತು (1) (1) + (3) (3) (3) + (−5) (−5) (−5) = 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು (1,3) ಟಿ, (3, −0) ಟಿ, (1,3, −5) ಟಿ ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿವೆ. ವಾಹಕಗಳು (1,0,1,0,.) ಟಿ ಮತ್ತು (0,1,0,1,.) ಟಿ ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿವೆ. ಈ ವಾಹಕಗಳ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 0 ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು Z2n ನಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ಗೆ, ಮತ್ತು, ಈ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. 1, sin (nx), cos (nx): n = 1,2,3,.............................. ಈ ಸಂಗತಿಯು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಹಿಂದಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ವಿವಿಧ ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಃ ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳು ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಲಾಗ್ಯುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಲಗುರೆ ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳು ವಿಗ್ನರ್ ಅರ್ಧವೃತ್ತ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಯೋಜಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರಡು n × n ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ n2 ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಮ್ಯಾಜಿನರಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಪಥವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಮ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಾಲಿಟಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ರೂಪಾಂತರ ಪ್ಯಾನ್-ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಕೋಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ