Van den Berg–Kesten inequality
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾನ್ ಡೆನ್ ಬರ್ಗ್-ಕೆಸ್ಟನ್ (ಬಿ. ಕೆ.) ಅಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ವ್ಯಾನ್ ಡೆನ್ ಬರ್ಗ್-ಕೆಸ್ಟನ್-ರೀಮರ್ (ಬಿ. ಕೆ. ಆರ್.) ಅಸಮಾನತೆಯು ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು "ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಪತ್ರಗಳನ್ನು" ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಅವರ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಏಕಸ್ವರದ ಘಟನೆಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು (ಎಫ್ಕೆಜಿ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಕಲ್ಪನೆ) ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ವಾನ್ ಡೆನ್ ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಕೆಸ್ಟೆನ್ ಅವರು 1985 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಅವರು ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು. ನಂತರ ಈ ಊಹೆ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೊಳೆತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ. ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಯಿಂದ ಸಜ್ಜುಗೊಂಡ ರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೂ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆಯ ಸಂಭವವನ್ನು ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಘಟನೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಸದಸ್ಯತ್ವಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆಃ ಒಪ್ಪುವ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ,), ಸಹ ಇನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತೆಯೇ ಒಪ್ಪುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ ಆಗಿದೆ ಅಸಮಾನತೆಯು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ನಾಣ್ಯವು ಎಸೆಯುತ್ತದೆ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ನಾಣ್ಯ ಸಮಯವನ್ನು ಎಸೆಯಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳು, ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಸತತ 3 ತಲೆಗಳಿರುವ ಘಟನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಕನಿಷ್ಠ 5 ತಲೆಗಳಿರುವ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆಃ 3 ಸತತ ತಲೆಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ ಇನ್ನೂ 5 ತಲೆಗಳು ಉಳಿದಿವೆ. ಈ ಘಟನೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು 10 ಟಾಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು 10 ಟಾಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆಯು ಕನಿಷ್ಠ 8 ತಲೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ನ (ಬರ್ನೌಲಿ) ಬಾಂಡ್ ಪರ್ಕಲೇಶನ್ನಲ್ಲಿ, 'ಗಳನ್ನು ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಂಚನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ "ತೆರೆದ") ಅಥವಾ ಇತರ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ "ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ"), ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ರೂಪದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ, ಅಸಂಬದ್ಧ ಘಟನೆಯು ಯಾವುದೇ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳದ ಎರಡು ತೆರೆದ ಮಾರ್ಗಗಳು ಇರುವ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ (ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೊದಲನೆಯದು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಬ್ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಆಡಳಿತದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಕ್ಷಯ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಜಾಲರಿಯ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಅಂಶದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬಾಲಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಇಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಘಟನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಘಟನೆಗಳ-ಏರಿ ಬಿ. ಕೆ. ಆರ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸಂರಚನಾಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುವ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿವೆ, ಅದು ಸದಸ್ಯತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಫ್ಲೋರಿಡಾ ಲಾಟರಿಯ ವಿಜೇತರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ನಿಯತಕಾಲಿಕವು "ನಂಬಲಾಗದಷ್ಟು ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿ" ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬಳಸಿದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿತ್ತು, ನಂತರ ಜಾರಿ ತನಿಖೆಯಿಂದ ಕಾನೂನು ಉಲ್ಲಂಘನೆಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಸ್ಥಳಗಳು ಅನಂತವಾಗಿರಲು ಅನುಮತಿಸಿದಾಗ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಗಾಗಿ, ಅಳೆಯಲಾಗದಂತಹ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಇನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆಃ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳೆಯಬಹುದಾದರೆ, ಕೆಲವು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆಃ ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪರ್ಕಲೇಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.