Arnold conjecture
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಆರ್ನೋಲ್ಡ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಆರ್ನೋಲ್ಡ್ ಊಹೆಯು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಗಣಿತದ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ 1-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ 1-ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಕುಟುಂಬವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ 1-ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ, ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೃದು ಕಾರ್ಯದಷ್ಟು ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಊಹೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಕಲ್ಪನೆ ಎ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಕರ್ಣವನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆನುವಂಶಿಕವಲ್ಲದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ, ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಊಹೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೋರ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೋರ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಮೋರ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಅಸ್ಥಿರಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಃ ದುರ್ಬಲವಾದ ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಊಹೆಯು ಮೇಲಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಆನುವಂಶಿಕವಲ್ಲದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ಅದರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅರ್ನಾಲ್ಡ್-ಗಿವೆಂಟಲ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.