Subdivision (simplicial complex)
ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಉಪವಿಭಾಗವು (ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಮೂಲ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸರಳತೆಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸರಳತೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಉಪವಿಭಾಗವು ಬಾರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಪದವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೆ ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣ (ಜಿಎಸ್ಸಿ) ಆಗಿರಲಿ. ಕೆ ಯ ಉಪವಿಭಾಗವು ಜಿಎಸ್ಸಿ ಎಲ್ ಆಗಿದ್ದುಃ |K | = |L |, ಅಂದರೆ, ಕೆ ನಲ್ಲಿನ ಸರಳತೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಎಲ್ ನಲ್ಲಿನ ಸರಳತೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ). ಎಲ್ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೆ ನ ಕೆಲವು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆ ಒಂದೇ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು (ಎ, ಬಿ, ಸಿ) ಹೊಂದಿರುವ ಜಿಎಸ್ಸಿ ಆಗಿರಲಿ (ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ). ಎಬಿ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಡಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾದ {A, D, C} ಮತ್ತು {B, D, C} ಗಳನ್ನು (ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ) ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣವು L ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ L ಎಂಬುದು K ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು {A, D, C} ಮತ್ತು {B, D, C} ಎರಡೂ {A, B, C} ನಲ್ಲಿವೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಮುಖಗಳು {A, D}, {D, B} ಮುಖಗಳು {A, B} ನಲ್ಲಿವೆ, ಮತ್ತು ಮುಖವು {D, C} {A, B, C} ನಲ್ಲಿದೆ. Kಯ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, |K | ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು x ಅನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು, x ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ Kಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ s ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಳತೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದುಃ x ಬಿಂದು ಮತ್ತು t ಮುಖದ ಜೋಡಣೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು x ನಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾರ್ ಮಾಡುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾಕ್ಷತ್ರಿಕ ಉಪವಿಭಾಗವು ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಟಾರ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರೇರಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ 1-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ (ಒಂದು ವಿಭಾಗ) ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಆಂತರಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾರ್ ಮಾಡಿ; ಪ್ರತಿ 2-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಆಂತರಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ, 1-ಆಯಾಮದ ಸರಳತೆಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಸ್ಟಾರ್ ಮಾಡಿ; ಪ್ರತಿ ಕೆ-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಆಂತರಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ, (ಕೆ-1)-ಆಯಾಮದ ಸರಳತೆಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಸ್ಟಾರ್ ಮಾಡಿ. ಬಾರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ಉಪವಿಭಾಗವು ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾರ್ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಬಿಂದುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಳತೆಗಳ ಬಾರಿಸೆಂಟರ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, D, E, F, G ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C} ಗಳ ಬೇರಿಸೆಂಟರ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, {A, B, C} ನ ಮೊದಲ ಬೇರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ಉಪವಿಭಾಗವು {A, D, G}, {B, D, G}, {A, E, G}, {C, E, G}, {B, F, G}, {C, F, G} ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೆ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣ (ಎಎಸ್ಸಿ) ಆಗಿರಲಿ. ಕೆ ನ ಮುಖದ ಭಂಗಿಯು ಕೆ ನ ಎಲ್ಲಾ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸರಳತೆಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಭಂಗಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಆದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಇದು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, {A, B, C} ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಫೇಸ್-ಪೊಸೆಟ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪೊಸೆಟ್ ಆಗಿದೆಃ {A} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, B, C} {B} <{A, B, C} <{A, B, C} {C} <{A, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C, C} ಪೊಸೆಟ್ನ ಆರ್ಡರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಒಂದು ASC ಆಗಿದ್ದು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು P ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಾನದ ಕ್ರಮ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಳತೆಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಾಗಿದೆಃ {{A}, {A, B, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {{B}, {A, B, C}, {A, B, C}, {A, B, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {C}, {B, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {A, B, C}, {A, B, C, C}} ಈ ASCಯು ASC {A, D, G}, {B, D. Kಯ ಉಪವಿಭಾಗದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು ಯಾವಾಗಲೂ Kಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ.