Paradoxes of set theory
ಈ ಲೇಖನವು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಂತೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಧುನಿಕ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಳಗಿನ ನಿಜವಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗಿಂತ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ-ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಗಣಿತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂಲಭೂತ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ರೂಪಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಇದನ್ನು ಸಹಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎನ್ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಅನಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನಂತ ಸಮೂಹವು Nನಷ್ಟೇ ಗಾತ್ರದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ), ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನಂತ ಸಮೂಹಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ಈ ಸೆಟ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು |N | = (ಅಲೆಫ್-ನಾಟ್) ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇದೆ (ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ). ನಂತರ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಜೊತೆಗೆ, ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಸಹ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರವು ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಆ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮವಾದ 0 <1 <2 ರೊಂದಿಗೆ {0,1,2} ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ω ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ನಮಗೆ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ |N | = |ω | = ಉಳಿದಿದೆ. ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸುವ ಅದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದೇ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಎರಡು ಉತ್ತಮ ಕ್ರಮದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ಸಣ್ಣ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದೇ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರದ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ತಮ-ಆದೇಶಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ ಕ್ರಮದ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದ ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದೇ ಕ್ರಮ ಪ್ರಕಾರದ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ಸಮೂಹಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲಃ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವಿಭಿನ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಮವಿದೆ, ಇದು ಸ್ವತಃ ಉತ್ತಮ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಆರ್ಡಿನಲ್ α ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, α ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಸೆಟ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ α ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಣ್ಣ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯ ಈ ರೂಪವು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದ ಹಿಂದಿನ ರೂಪದ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ (ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು), ನಾವು ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಪಿ (ಎಸ್) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸೆಟ್ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಅಂದರೆ, |P (S) |> |S |. ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ R ಸಮೂಹವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. R ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ |R |> |N |. ಅನಂತ ಸಮೂಹಗಳ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು "ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ" ಅಥವಾ "ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ" ಎಂಬಂತಹ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಬದಲು, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು "ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛಗಳಿಗೆ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡಲು ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಎಂಬ ಪದಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳಂತೆಯೇ, ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಸೆಟ್ "ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ", "ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ" ಅಥವಾ "ಇನ್ನೊಂದರಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ್ದಾಗಿದೆಯೇ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಎಣಿಕೆ, ಗಾತ್ರ, ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣನೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೊದಲು, ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿತ್ತು. ಇದನ್ನು ಇತರರಲ್ಲಿ ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಗೆಲಿಲಿ ಮತ್ತು ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಬೊಲ್ಜಾನೊ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದರು. ಎಣಿಕೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಳೆಯುವಾಗ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳಷ್ಟು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಯೇ? ಉತ್ತರ ಹೌದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ n2 ಇದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಚೌಕಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ವರ್ಗವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ 2 ನಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ, ಅವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲ. ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅದರ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇರುವುದರಿಂದ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಣಿಕೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಹೋಟೆಲ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ನೋಡಿ. "ನಾನು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ ಆದರೆ ನಾನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲ", ಎಂದು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ, ಚೌಕದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಚೌಕದ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಂತೆಯೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಬರೆದರುಃ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ. ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ಗಳ "ಗಾತ್ರ" ವು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಏಕೈಕ ಉಪಯುಕ್ತ ಮಾರ್ಗವಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಾತ್ರದ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಗಾತ್ರದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಅಳತೆಗಳೆಂಬ ನಮ್ಮ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಶ್ವಾಸವಿತ್ತು ಮತ್ತು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ಗೆ ಅವರು ನೀಡಿದ ಹೇಳಿಕೆಯು, ಅದರ ಪುರಾವೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ಆಗಿನ-ಇನ್ನೂ-ಅಂಟಿಕೊಂಡಿರುವ ಕಳವಳಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಕ್ಷ್ಯವು ಬಲವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಅವರ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅವರ ನಂತರದ ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತುಂಬಾ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಎದುರಿಸುವುದನ್ನು ಅನುಭವಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಆಶ್ಚರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಹ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. 1904ರಲ್ಲಿ ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಝೆರ್ಮೆಲೋ ಅವರು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ (ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು) ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1963 ರಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ ಜೆ. ಕೋಹೆನ್ ಅವರು ಜೆರ್ಮೆಲೋ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಿಲ್ಲದೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ತಮ ಕ್ರಮದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೆಲವು ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ, ಇದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಲ್ಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತುಣುಕುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಆ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುವಾದಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳ ಮೂಲಕ (ಯಾವುದೇ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಇಲ್ಲದೆ) ಒಂದು ಮೂಲ ನಕಲಿಯಿಂದ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಚಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮರು ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ತುಣುಕುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ; ತುಣುಕುಗಳು ಚೆಂಡಿನ ಸರಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ "ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು" ನಂತರ ಅದನ್ನು "ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ" ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನಂತ ಸಮೂಹವು (ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಂತಹ) ಈಗಾಗಲೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, "ಫಿಯೆಟ್ನಿಂದ", ಒಂದು ಊಹೆ ಅಥವಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ. ಈ ಅನಂತ ಸಮೂಹವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಇತರ ಅನಂತ ಸಮೂಹಗಳು ಸಹ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಹಂತಗಳ ನಂತರ ನಿಜವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುವ ಕೆಲವು ಭೌತಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಆಲೋಚಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ತಾತ್ವಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೂಪರ್ಟಾಸ್ಕ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಲಾರೆನ್ಸ್ ಸ್ಟರ್ನ್ ಅವರ ಕಾದಂಬರಿಯ ನಾಯಕನಾದ ಟ್ರಿಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಶ್ಯಾಂಡಿ ಟ್ರಿಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಶ್ಯಾಂಡಿ ಅವರ ದಿನಚರಿಯು ಅವರ ಆತ್ಮಚರಿತ್ರೆಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ಆತ್ಮಸಾಕ್ಷಿಯಿಂದ ಬರೆಯುತ್ತದೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದು ದಿನದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅವರಿಗೆ ಒಂದು ವರ್ಷ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅವನು ನಶ್ವರನಾಗಿದ್ದರೆ ಅವನು ಎಂದಿಗೂ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಆದರೆ ಅವನು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಬದುಕಿದ್ದರೆ ಅವನ ದಿನಚರಿಯ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವು ಅಲಿಖಿತವಾಗಿ ಉಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವನ ಜೀವನದ ಪ್ರತಿ ದಿನವೂ ಆ ದಿನದ ವಿವರಣೆಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ವರ್ಷವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ರಾಸ್-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಈ ರೀತಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಹೆಚ್ಚಿದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಅನಂತ ದೂರದ ಮುಕ್ತಾಯವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. 1ರಿಂದ 10ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಣಿಸಲಾದ ಚೆಂಡುಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಜಲಾಶಯವನ್ನು ತುಂಬಿಸಿ ಮತ್ತು 1ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆಯಿರಿ. ನಂತರ 11 ರಿಂದ 20ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಣಿಸಲಾದ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು 2ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆಯಿರಿ. 10n-9 ರಿಂದ 10n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಎಣಿಸಲಾದ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ n = 3,4,5, ಗೆ ಚೆಂಡಿನ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು. ಮೊದಲ ವಹಿವಾಟು ಅರ್ಧ ಘಂಟೆಯವರೆಗೆ ನಡೆಯಲಿ, ಎರಡನೇ ವಹಿವಾಟು ಕಾಲು ಗಂಟೆಯವರೆಗೆ ನಡೆಯಲಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ವಹಿವಾಟುಗಳು ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ನಂತರ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳಲಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಜಲಾಶಯದಲ್ಲಿನ ಚೆಂಡುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಂಧಿಸದೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ನಂತರ ಜಲಾಶಯವು ಖಾಲಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆಯುವ ಸಮಯವು ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ. ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಹತ್ವದಿಂದ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. 1, 2, 3 ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕದಿದ್ದರೆ. ಆದರೆ 1,11,21 ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ. ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ನಂತರ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಚೆಂಡುಗಳು ಜಲಾಶಯವನ್ನು ಜನನಿಬಿಡಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಾಗಿ, ನಿಷ್ಕಪಟ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕೆಲವು ಮಾರಣಾಂತಿಕ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ರಸ್ಸೆಲ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಬಹಿರಂಗಗೊಂಡಂತಹ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಬಲಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ನಿಷ್ಕಪಟ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿತು. 20ನೇ ಶತಮಾನವು ಇಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಜೆಡ್ಎಫ್ಸಿ ಮತ್ತು ಎನ್ಬಿಜಿಯಂತಹ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ವಿವಿಧ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಔಪಚಾರಿಕ ಮತ್ತು ಸಾಂಕೇತಿಕ ಭಾಷೆಯ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯ ನಮ್ಮ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಬಳಕೆಯು ವಿವಿಧ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅಂತಹ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ತಾತ್ವಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳುಃ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ 1897 ರಲ್ಲಿ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಸಿಸೇರ್ ಬುರಾಲಿ-ಫೋರ್ಟಿ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಪ್ರತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಉತ್ತಮ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸ್ವತಃ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಯಾವುದೇ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತನ್ನನ್ನು ತಾನೇ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ω ಒಂದು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿರಬಾರದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕ್ಯಾಂಟರ್ಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಅವರಿಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೆಟ್ಗೆ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅವರು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಇವೆಲ್ಲದರ ನಂತರ, 1903 ರಲ್ಲಿ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರಸ್ಸೆಲ್ ರೂಪಿಸಿದ "ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್" ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಂಭೀರ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ x = x ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೆಂದು ರಸ್ಸೆಲ್ ಗುರುತಿಸಿದನು, ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು {x | x = x} ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. 1906ರಲ್ಲಿ ಆತ ಹಲವಾರು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದದ್ದು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ರಸ್ಸೆಲ್ ಸ್ವತಃ ಈ ಅಮೂರ್ತ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ದೃಢವಾದ ಚಿತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ಷೌರಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಕ್ಷೌರ ಮಾಡದ ಪುರುಷರು ಮಾತ್ರ ಕ್ಷೌರ ಮಾಡುವ ಪುರುಷ ಕ್ಷೌರಿಕನು ಕ್ಷೌರ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ಷೌರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ರಸ್ಸೆಲ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಗ್ರೆಲಿಂಗ್-ನೆಲ್ಸನ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ನಡುವೆ ನಿಕಟ ಸಾಮ್ಯತೆಗಳಿವೆ. ಕೋನಿಗ್ ಅವರ ಭಾಷೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು 1905 ರಲ್ಲಿ, ಹಂಗೇರಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೂಲಿಯಸ್ ಕೋನಿಗ್ ಅವರು ಅನೇಕ ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ನಾವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗದ ಮೊದಲ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಬೇಕು. ಇದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೊನೆಯ ವಾಕ್ಯದಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ನಿಷ್ಕಪಟ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೊಡೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಕೇತಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೂ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ, ಇದು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಬಗ್ಗೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗೆ ಕೋಡ್ ಯಾವಾಗ, ಒಂದು ಸೆಟ್, ಮತ್ತು ಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಟಾರ್ಸ್ಕಿಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೂಲ್ಸ್ ರಿಚರ್ಡ್ ನೈವ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ವಿಧಾನದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಪದಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಸಮೂಹಗಳ ಎ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸೆಟ್ E ಯು A ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. E ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ n ನೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ದಶಮಾಂಶವು p ಆಗಿರಲಿ; ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ N ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು p 8 ಅಥವಾ 9 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ n ನೇ ದಶಮಾಂಶಕ್ಕೆ p + 1 ಅನ್ನು ಮತ್ತು p 8 ಅಥವಾ 9 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಏಕತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆ N ಅನ್ನು E ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ n ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ n ನೇ ಅಂಕಿ. ಆದರೆ ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಎನ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಇ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಅದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ. ಕೋನಿಗ್ ಅವರ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಂತೆ, ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿವರಣೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ (ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಒಂದು ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಹೇಳಲು). ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲಿಯೋಪೋಲ್ಡ್ ಲೊವೆನ್ಹೀಮ್ (1915) ಅವರ ಕೃತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ನಾರ್ವೇಜಿಯನ್ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಥೋರಾಲ್ಫ್ ಸ್ಕೋಲೆಮ್ 1922 ರಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅತ್ಯಂತ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ತೋರಿಕೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಮೂಲವೆಂದರೆ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಎಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆಯಿಲ್ಲದಿರುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಬಹುದು (ಏಕೆಂದರೆ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಚಿಕ್ಕದಲ್ಲ). ಇವನ್ನೂ ನೋಡಿಃ ಪ್ರೂಫ್ ಆಫ್ ಇಂಪಾಸಿಬಿಲಿಟಿ ಬೆರ್ರಿ ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಜಿ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ಃ ಗೆಸಾಮ್ಮೆಲ್ಟೆ ಅಭಾಂಡ್ಲುಂಗೆನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಸ್ಚೆನ್ ಉಂಡ್ ಫಿಲಾಸೊಫಿಸ್ಚೆನ್ ಇನ್ಹಾಲ್ಟ್ಸ್, ಇ. ಜೆರ್ಮೆಲೋ (ಎಡ್. ), ಓಲ್ಮ್ಸ್, ಹಿಲ್ಡೆಶೈಮ್ 1966. ಎಚ್. ಮೆಷ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ನಿಲ್ಸನ್ಃ ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್-ಬ್ರೀಫ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಬರ್ಲಿನ್ 1991. ಎ. ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ಃ ಐನ್ಲೈಟಂಗ್ ಇನ್ ಡೈ ಮೆಂಗೆನ್ಲೆಹ್ರೆ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಬರ್ಲಿನ್ 1923. ಎ. ಎ. ಫ್ರಾಂಕೆಲ್, ಎ. ಲೆವಿಃ ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ, ನಾರ್ತ್ ಹಾಲೆಂಡ್, ಆಮ್ಸ್ಟರ್ಡ್ಯಾಮ್ 1976. ಎಫ್. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ಃ ಗ್ರುಂಡ್ಜುಗೆ ಡೆರ್ ಮೆಂಗೆನ್ಲೆಹ್ರೆ, ಚೆಲ್ಸಿಯಾ, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ 1965. ಬಿ. ರಸ್ಸೆಲ್ಃ ದಿ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ I, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ 1903. ಬಿ. ರಸ್ಸೆಲ್ಃ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ತೊಂದರೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಪ್ರೊಕ್. ಲಂಡನ್ ಮಠ. ಎಸ್. ಸಿ. (2) 4 (1907) 29-53. ಪಿ. ಜೆ. ಕೋಹೆನ್ಃ ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ದಿ ಕಾಂಟಿನಮ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್, ಬೆಂಜಮಿನ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ 1966. ಎಸ್. ವ್ಯಾಗನ್ಃ ದಿ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ 1985. ಎ. ಎನ್. ವೈಟ್ಹೆಡ್, ಬಿ. ರಸ್ಸೆಲ್ಃ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ I, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ. ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ 1910, ಪುಟ 64. ಇ. ಝೆರ್ಮೆಲೋಃ ಮ್ಯಾಥ್ಸ್, ಮ್ಯಾಥ್ಸ್, ಮ್ಯಾಥ್ಸ್, ಮ್ಯಾಥ್ಸ್. ಆನ್. 65 (1908) ಪು. 107-128. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ ಡೆಫಿನಿಬಿಲಿಟಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ತಿಮೋತಿ ಗೋವರ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ