Monodromy theorem
ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಕೀರ್ಣ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಇಲ್ಲಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನೇಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ತಲುಪಲು ಬಳಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಸ್ತೃತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ್ದಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಳುವ ಮೊದಲು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸ್ವಲ್ಪ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಣ್ಣ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ) ತೆರೆದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇದು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದನದ ಮೇಲೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎರಡು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೊದಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎರಡು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ನಿರಂತರತೆಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕವಲೊಡೆಯುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮರುಸಂಪರ್ಕಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ನಂತರ ಎರಡು ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗಳು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಲಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗಳು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಲಿ. ಸರಳವಾಗಿ-ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ನೇರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ನೋಡಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ವಿಶ್ವಕೋಶದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರಮೇಯ.