Spectral element method
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ವಿಷಯವಾದ ಪಾರ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಮೆಥಡ್ (ಎಸ್ಇಎಂ) ಎಂಬುದು ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಮೆಥಡ್ (ಎಫ್ಇಎಂ) ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು 1984ರ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಎ. ಟಿ. ಪಟೇರಾ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಕೀರ್ತಿ ಪಟೇರಾಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅವರ ಕೆಲಸವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿಧಾನದ ಮರುಶೋಧನೆಯಾಗಿದೆ (ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ನೋಡಿ) ಚರ್ಚೆ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಧಾನವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸಹ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಬಹುಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅಥವಾ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಅಂತರದ ನೋಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಎಸ್ಇಎಂನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ದೋಷವು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಫ್ಇಎಂಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ರಚನೆಯ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ದ್ರಾವಣದ ತ್ವರಿತ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಚನಾತ್ಮಕ ಆರೋಗ್ಯ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆಯಲ್ಲಿ, ರಚನೆಯಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಎಫ್ಇಎಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ದೋಷದ ಗಾತ್ರವು ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನ ತರಂಗವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದ ತರಂಗದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಫ್ಇಎಂ ಜಾಲರಿಯು ತುಂಬಾ ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗಣನೆಯ ಸಮಯ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಎಸ್ಇಎಂ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ನೋಡ್ಗಳ ಏಕರೂಪತೆಯು ಮಾಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸ್ಮರಣೆಯನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಮೆಥಡ್ (ಸಿ. ಡಿ. ಎಂ) ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಎಫ್ಇಎಂನ ನಮ್ಯತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದು ಎಸ್ಇಎಂನ ಅನಾನುಕೂಲತೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೋಡಲ್ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೋಡಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ-ಗಾಸ್-ಲೊಬಾಟೊ (ಎಲ್ಜಿಎಲ್) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಲ್ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದೇ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಡಿಮೆ ಗಾಸ್-ಲೊಬಾಟೊ ಚತುರ್ಭುಜದೊಂದಿಗೆ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನದ ಏಕೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ವಿಧಾನವು ತನ್ನ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸರಳೀಕರಣಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಸ್ ಲಂಪಿಂಗ್ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಅನ್ವಯಗಳೆಂದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಭೂಕಂಪನ ತರಂಗ ಪ್ರಸರಣದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್. ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಯಾಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಇಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತುಃ ಎಲ್ಲಿ ಡೊಮೇನ್ನ ವಿವೇಚನಾಶೀಲತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಅಂಶದ ಉದ್ದ), ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಬಹುಪದ ಆಧಾರದ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ. ಬಲವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಬಂಧಿಸಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇಫ್ ಒಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಬ್ರಿಡ್-ಕೊಲೊಕೇಷನ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಕೆಲವು ಸೂಪರ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎಸ್ಇಎಂನ ಎಲ್ಜಿಎಲ್ ರೂಪವು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅದೇ ಸೂಪರ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಎಲ್ಜಿಎಲ್ ರೂಪದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾಡೆ ಮತ್ತು ಪಟೇರಾಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ದಶಕಕ್ಕೂ ಮುಂಚೆಯೇ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಹೈಬ್ರಿಡ್-ಕೊಲೊಕೇಷನ್-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನ (ಎಚ್ಸಿಜಿಎಂ) ಇದೆ, ಇದು ಆಂತರಿಕ ಲೋಬಾಟೊ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ತರಹದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಯಂಗ್ ವಿವರಿಸಿದ ಲೋಬಾಟೊ-ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವು ಎಸ್ಇಎಂಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಚ್ಸಿಜಿಎಂ ಈ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯನ್ನು ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಧಾನಗಳಾದ ಜಿ-ಎನ್ಐ ಅಥವಾ ಎಸ್ಇಎಂ-ಎನ್ಐಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗುವ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಜಿ-ಎನ್ಐ ಅಥವಾ ಎಸ್ಇಎಂ-ಎನ್ಐಗಾಗಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿ-ರೇಖೀಯ ರೂಪದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಗಾಸ್-ಲೋಬಾಟೊ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಒಮ್ಮುಖವು ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಇಎಂ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬೇಸಿಸ್ (ಆಕಾರ) ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಆಧಾರಿತ ಎಫ್ಇಎಂ (ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನ) ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೋಬಾಟೊ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕೊಲೊಕೇಷನ್, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಜಿ-ಎನ್ಐ ಒಂದೇ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನ ಹೆಸರುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗಿಂತ ಗ್ಲೋಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಭಾಗಶಃ ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಅಥವಾ ಎಸ್. ಇ. ಎಂ. ಆಧಾರದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಬಹುತೇಕ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಗಾಸ್-ಲೊಬಟ್ಟೋ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನೋಡಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪಿ-ಆವೃತ್ತಿಯ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಬಹುಪದಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ನೋಡ್ಲೆಸ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ಸರಿಸುಮಾರು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, p-ಆವೃತ್ತಿಯ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವು ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳ ಟೆನ್ಸರ್-ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಕೆಲವು ವೇಗವರ್ಧಕ ತಂತ್ರಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪಿ-ಆವೃತ್ತಿ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಜಾಲರಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಬದಲು ಅಂದಾಜು ಬಹುಪದಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಹೀಗಾಗಿ, ಪಿ). ಎಚ್. ಪಿ. ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವು (ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ.) ಘಾತೀಯ ಒಮ್ಮುಖ ದರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಎಚ್ ಮತ್ತು ಪಿ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳ ಅನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನ