Eigenvalue perturbation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ತಿಳಿದಿರುವ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಸಂವೇದನಾಶೀಲವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಲಾರ್ಡ್ ರೇಲೇ ಅವರು ಸಣ್ಣ ಏಕರೂಪತೆಗಳಿಂದ ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾದ ತಂತಿಯ ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಂಪನಗಳ ತನಿಖೆಯಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅನೇಕ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಸರಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದೆ (ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿ). ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಏಕೆ? ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಪ್ರವೇಶ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಹಲವಾರು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಕಂಪನಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿವೆ. ತಂತಿಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಕಗಳಂತಹ ರಚನೆಗಳ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ರೇಲೇ-ರಿಟ್ಜ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಅವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ; ಕೋರಂಟ್ನ ಕಾಗದವು (1943) ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನವು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಮತೋಲನಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಅನೇಕ ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿದಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಒತ್ತಡ ಶಕ್ತಿಯು ಬಿಗಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವೈನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅವರ ಈ ಲೇಖನದ ಮೊದಲ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ (1941, ಫ್ರೆಂಚ್ನಲ್ಲಿ) ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬಿಗಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಬಹುದು; ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಮಗೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಹೊಸ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮೂಲ, ಜೊತೆಗೆ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಹಂತಗಳು ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಇರುವಂತೆ ಸ್ಕೇಲ್ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು (1) ರಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಅದು (0) () ನಿಂದ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಇದು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಸಣ್ಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿವೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, (2) ರಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿ, ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಎರಡು ಫೋರ್ಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಮೊದಲ ಫೋರ್ಕ್ಃ ಮೊದಲ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ (3) ನಾವು ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು (2) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (5) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ; ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೇಲೀಹ್ ಅಂಶದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಇದಲ್ಲದೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು, ಇದು ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ನಾವು (3) ಅನ್ನು ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಗೆ ಗುಣಿಸಲು ಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ ನಾವು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಅಥವಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸರಳವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, (5) ((2) ರ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಇಳುವರಿಗಾಗಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಎರಡನೇ ಫೋರ್ಕ್ಃ ನೇರವಾದ ಕುಶಲತೆಗಳು (4) ಅನ್ನು (3) ಗೆ ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಿಕೆಯು ನೀಡುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಶ್ಚಿತವಾದಾಗ-ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ಎಡ-ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕಲನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದುಃ ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕಃ ಈ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಡ-ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ (1) ಆ ಪದಗಳನ್ನು (6) ರಲ್ಲಿ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಮರುಹೊಂದಿಸುವಿಕೆಯು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, (ಊಹೆಯ ಸರಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (5) ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕಃ ಅಥವಾ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಹೆಸರನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಾರಾಂಶ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಹರ್ಮಿಶಿಯನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಮತ್ತು ((3) ರಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಈ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿಲ್ಲ. ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು; ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ. ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆ) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ; ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಬಿಂದು ಪರಿಹಾರದಿಂದ, ನಾವು ನಿರಂತರ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ಇದಲ್ಲದೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮಾರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಊಹೆಯು ತೃಪ್ತಿಯಾದ ತಕ್ಷಣ, ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಸ್ತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಃ ಒಂದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರ. ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು (ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ) ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ; ನಾವು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನಾವು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಿಲಿಟಿಯನ್ನು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಣೆಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಂತೆಯೇ ಗಣನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸರಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗ, ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ, ನಾವು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ o ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಇದು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಮೂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇದರರ್ಥ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಮೂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪದವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.) ಅಂತೆಯೇ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸೆನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಉದಾಹರಣೆ ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ ನೀವು ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಆನ್ಲೈನ್ ಸಾಧನಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು (ವಿಕಿಪೀಡಿಯ ಡಬ್ಲ್ಯೂಐಎಂಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯವನ್ನು ನೋಡಿ) ಅಥವಾ ಸೇಜ್ ಸೇಜ್ಮ್ಯಾಥ್ ಬಳಸಿ. ನೀವು ಚಿಕ್ಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಗಣನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ; ಹೆಚ್ಚು, ಸಂಬಂಧಿತ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ; ಇದು ಏಕೀಕೃತ ವಾಹಕವಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ; ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು; ಆದ್ದರಿಂದ; ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ ಅಥವಾ. ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ಎರಡೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದೆವು, ಇದು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅದು ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುವುದು. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಕರಣ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಾಗಿ ರೆಲಿಚ್ನ ತಾಂತ್ರಿಕ ವರದಿಯು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು 2ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿವೆ. ವರದಿಯನ್ನು archive.org ನಿಂದ ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಕೆಟ್ಟ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೇರಿದವುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಎಲ್ಲಿ ನೈಜವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ನಿರಂತರ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶಗಳ ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ರೆಲಿಚ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಆಪರೇಟರ್ ಮಾಡಿದರೂ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಒಂದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. >> ಉದಾಹರಣೆ 2 ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಸಹ್ಯವಾಗಿದೆ. 2x2 ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಯಾವುದೇ ವಾಹಕವು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ; ನಂತರ ಅದು ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ ಒಬ್ಬರು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಂತರ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು; ಅವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪೆರ್ಟರ್ಬೇಷನ್ ಥಿಯರಿ (ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) ಬಾಯರ್-ಫೈಕ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಮುಂದೆ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಓದುವುದು. ಭಾಟಿಯಾ, ಆರ್. (1987). ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಮಿತಿಗಳು. ಸಿಯಾಮ್. ಜರ್ನಲ್ ಪೇಪರ್ಗಳನ್ನು ವರದಿ ಮಾಡಿ ಸೈಮನ್, ಬಿ. (1982). ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೊಡ್ಡ ಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಾರಾಂಶಃ ಒಂದು ಗಣಿತದ ಅವಲೋಕನ. ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೆಮಿಸ್ಟ್ರಿ, 21 (1), 3-25. ಕ್ರ್ಯಾಂಡಲ್, ಎಂ. ಜಿ., ಮತ್ತು ರಾಬಿನೋವಿಟ್ಜ್, ಪಿ. ಎಚ್. (1973). ಬೈಫರ್ಕೇಷನ್, ಸರಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿರತೆ. ಆರ್ಕೈವ್ ಫಾರ್ ರೇಷನಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, 52 (2), 161-180. ಸ್ಟೀವರ್ಟ್, ಜಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. (1973). ಕೆಲವು ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ದೋಷ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಮಿತಿಗಳು. SIAM ವಿಮರ್ಶೆ, 15 (4), 727-764. ಲೌಡಿನ್, ಪಿ. ಓ. 1962). ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನಗಳು. IV. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಿಂದ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ. ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್, 3 (5), 969-982. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ