Mixed Hodge module
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳು, ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಾಕಾಷ್ಠೆಯಾಗಿದ್ದು, ಆರು ಫಂಕ್ಟರ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಮೂಲಕ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲು ಒಂದು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಈ ವಸ್ತುಗಳು ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಕಳುಹಿಸುವಂತಹ ವಕ್ರವಾದ ಕೋಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿಷಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊರಿಹಿಕೊ ಸೈಟೊ ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಿದರು, ಅವರು ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗೆ ಹಾಡ್ಜ್ ಶೋಧನೆಯ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ ಶೋಧನೆ ಬಳಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಇದು ಒಂದು ಛೇದಕ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಕೋಶದ ಮೇಲೆ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು, ಇದು ವಿಕೃತ ಕೋಶಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದ ಸರಳ ವಸ್ತುಗಳು. ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ, ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವು ನಿಜವಾಗಿ ಏನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ pg 339 ಇದೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇದೆ. ಇದು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರ ಕೋಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇದೆ ಈ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆಃ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲಿರುವ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವು ತೂಕದ ಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ತೂಕದ ಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ವಸ್ತುಗಳು ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲಿರುವ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ, ಇದು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ತೂಕ ಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ವರ್ಡಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಲೈಸಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಎತ್ತುವ ಡ್ಯುಯಲೈಸಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಇನ್ವೊಲ್ಯೂಷನ್ ಇದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಆರು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ತೂಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ತೂಕವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಡಿ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗವು ರಚನಾತ್ಮಕ ಸೀವ್ಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ವಿಕೃತ ಸೀವ್ಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಫಂಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಹೇಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಮಧ್ಯದ ವಕ್ರತೆಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿ 310 ಇದು ಕಳುಹಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸೂಡೋಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿಕಲತೆಯು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೆನಪಿಡಿ, ಇದನ್ನು ಶಿಫ್ಟ್ ಫಂಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿಕೃತ ಟ್ರಂಕೇಶನ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಸ್ಒಪಿಜಿ 341 ಈ ರೀತಿಯ ಸೆಟಪ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪುಶ್ ಮತ್ತು ಪುಲ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಮತ್ತು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಚಕ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಇವುಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗದ ವಿಕೃತ ಸೀವ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಸದೃಶ ವಿಕೃತ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮೊದಲ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೂಕ 0 ಟೇಟ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್, ಇದನ್ನು ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ವಸ್ತುವಿನ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತೂಕ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೂಕ 0 ಟೇಟ್ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ವಸ್ತುವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಸಿಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಫಾರ್ಮಲಿಸಮ್ನ ಮೂಲಕ ವಿವಿಧ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇವುಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮುಚ್ಚಿದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಾಗಿ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಛೇದಕ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಅದರ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದು ಪ್ರಭೇದಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಛೇದಕ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ವೈವಿಧ್ಯದ ತೆರೆದ ನಯವಾದ ಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿಲೋಮ ಶೀವ್ಎಸ್ಪಿಜಿ 311 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಸೆಟಪ್ ಅನ್ನು ಛೇದಕ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪು ಶುದ್ಧ ತೂಕದ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಮಿಶ್ರ ಉದ್ದೇಶಗಳು (ಗಣಿತ) ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಿಶ್ರ ಹಾಡ್ಜ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಯುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ