Free-by-cyclic group
ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವಂತಹ ಮುಕ್ತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪು ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮುಕ್ತ-ಮೂಲಕ-ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ (ಎನ್ಬಿ 'ಬೈ' ಗೆ ಎರಡು ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳಿವೆ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಾವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶವು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ನಾವು ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪನ್ನು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಒಂದೇ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಆಂತರಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ, ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವಿಧ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಲಗತ್ತಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯು ಅಟೋರಾಯ್ಡಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಫ್ರೀ-ಅಬೆಲಿಯನ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಬಹುಪದೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ, ಸಿಎಟಿ (0) ಅಲ್ಲದ ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಇದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎ. ಮಾರ್ಟಿನೋ ಮತ್ತು ಇ. ವೆಂಚುರಾ (2004), ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಗದ ಸಮಸ್ಯೆ. ಸ್ಪೇನ್ನ ಕ್ಯಾಟಲೋನಿಯಾದ ಬಾರ್ಸಿಲೋನಾದಲ್ಲಿರುವ ಸೆಂಟರ್ ಡಿ ರೆಸೆರ್ಕಾ ಮ್ಯಾಟೆಮೆಟಿಕಾದಿಂದ ಪೂರ್ವ ಮುದ್ರಣ. ಫೀಘನ್, ಮಾರ್ಕ್; ಹ್ಯಾಂಡೆಲ್, ಮೈಕೆಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಟೋರಿ ಫ್ರೀ ಗ್ರೂಪ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಸುಸಂಬದ್ಧವಾಗಿವೆ, ಆನ್. ಮಠ, ಸಂಪುಟ 149 (1999) ನಂ. 3 ಘೋಷ್, ಪಿ. (2023). ಫ್ರೀ-ಬೈ-ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಸಿಟಿ. ಕಂಪಾಸಿಟಿಯೋ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ, 159 (1), 153-183. ಎಫ್. ದಹಮಾನಿ ಮತ್ತು ಆರ್. ಲಿ, ರಿಲೇಟಿವ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಸಿಟಿ ಫಾರ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಫ್ರೀ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಫ್ರೀ ಗ್ರೂಪ್ಸ್, ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಂಡ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್. 14, ನಂ. 01, ಪು. 55-92 (2022) ಅನಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು