Hirsch conjecture
ಗಣಿತದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ, ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎನ್-ಫೇಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಎಡ್ಜ್-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎನ್-ಡಿ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಎನ್-ಡಿ ಉದ್ದದ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಮೊದಲು 1957 ರಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಬಿ. ಡ್ಯಾಂಟ್ಜಿಗ್ ಅವರಿಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಧಾನದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ವ್ಯಾಸವು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹಂತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಊಹೆ ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಡಿ <4 ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯಾಸದ ಮೇಲಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳು ಎನ್ ಮತ್ತು ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಉಪ-ಘಾತೀಯವಾಗಿವೆ. ಐವತ್ತು ವರ್ಷಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯದ ನಂತರ, ಕ್ಯಾಂಟಾಬ್ರಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಕೊ ಸ್ಯಾಂಟೋಸ್ ಲೀಲ್ ಅವರು ಮೇ 2010 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಿದರು. ಸಿಯಾಟಲ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆದ 100 ಇಯರ್ಸ್ಃ ದಿ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಕ್ಲೀ ಅಂಡ್ ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಸಮ್ಮೇಳನದಲ್ಲಿ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಪ್ರಬಂಧವು 43 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಸದ 86 ಮುಖಗಳ 43-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿತು. ವಿರುದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಧಾನದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ನೇರ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ದೊಡ್ಡ ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ಬಹುಪದೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತಳ್ಳಿಹಾಕುವುದಿಲ್ಲ. ಡಿ-ಹಂತದ ಊಹೆಯಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿತ್ತು, ಇದು ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ 2ಡಿ-ಫೇಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ವ್ಯಾಸವು ಡಿ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; ಸ್ಯಾಂಟೋಸ್ ಲೀಲ್ನ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಊಹೆಯ ಹೇಳಿಕೆ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಶೃಂಗಗಳು ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಅಂಚಿನಿಂದ ಸೇರಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಗ್ರಾಫ್ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಅಂಚಿನಿಂದ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದರ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದುಃ ಊಹೆಯು n ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಘನವು ಆರು ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯು ಈ ಘನದ ವ್ಯಾಸವು ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಊಹೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಘನದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಶೃಂಗದಿಂದ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ 8 ಆಯಾಮದ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ, ಈ ಬಂಧವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ; ಆಯಾಮದ ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಟೋಪ್ n-d ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, n ಎಂಬುದು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಅದರ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಊಹೆಯು ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅದರ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸೇರಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಕೆಲವು ಶೃಂಗದಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವು ಕೆಟ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯು ಬಹುಪದ ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ k ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು P ಯ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯು ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಯಾಮ 3 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಊಹೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಊಹೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹ n ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್. ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಇತರ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಬೇರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬಯಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಕಟವಾದವು, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಡಿ-ಹಂತದ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾದ ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯ ಸಡಿಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ n ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ. 2ಡಿ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸಲು, ಅದರ ಆಯಾಮಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಸಡಿಲಿಕೆಯೆಂದರೆ, ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, 2011 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಕೊ ಸ್ಯಾಂಟೋಸ್ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಸರಳವಾದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಊಹೆಯನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಿರ್ಷ್ ಮತ್ತು ಡಿ-ಹಂತದ ಊಹೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸ್ಯಾಂಟೋಸ್ನ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ನಿರ್ಮಾಣವು ಬರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಯಾಂಟೋಸ್ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ತನ್ನ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾನೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎ ಡಿ-ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಒಂದು ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಜೋಡಿ ವಿಭಿನ್ನ ಶೃಂಗಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವು ಈ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಸ್ಪಿಂಡಲ್ನ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯ ನಿರಾಕರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಪಿಂಡಲ್ಗಳಿಗೆ ಬಲವಾದ ಡಿ-ಹಂತದ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು (ಸ್ಯಾಂಟೋಸ್) ಡಿ-ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ. n ಅದರ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು l ಅದರ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು-ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಉದ್ದವಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದು ಡಿ-ಹಂತದ ಊಹೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಯಾಂಟೋಸ್ ನಂತರ 6 ಉದ್ದದ 5-ಆಯಾಮದ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಗೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಪಿಂಡಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಸ್ಪಿಂಡಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು 48 ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು 322 ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವ ಸ್ಪಿಂಡಲ್ 86 ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು 43-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಉದಾಹರಣೆಯು ಬಹುಪದೀಯ ಹಿರ್ಷ್ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಲ್ಯಾಂಡ್ಮಾರ್ಕ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1998 ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆ. .. .. .. .. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ ಊಹೆಗಳು ಅಸಮರ್ಪಕ ಊಹೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್