Classification of Fatou components
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫಾಟೌ ಘಟಕಗಳು ಫಾಟೌ ಗುಂಪಿನ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರಿಗೆ ಪಿಯರೆ ಫಾಟೌ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಯಿತು. ಒಂದು ವೇಳೆ f ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಡಿಗ್ರಿ> 1), ಫಾಟೋ ಗುಂಪಿನ ಆವರ್ತಕ ಘಟಕಕ್ಕೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಆಕರ್ಷಿಸುವ ಆವರ್ತಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಒಂದು ಸೀಗಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿದೆಃ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಫಾಟೋ ಘಟಕವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ f (z) ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದಿಂದ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹರ್ಮನ್ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಡಬಲ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಫಾಟೌ ಘಟಕ (ಒಂದು ಆನ್ಯುಲಸ್) ಇದರ ಮೇಲೆ f (z) ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಒಂದು ಸುತ್ತಿನ ಆನ್ಯುಲಸ್ನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ, ಮತ್ತೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸುವುದು ನಕ್ಷೆಯ ಘಟಕಗಳು ಆಕರ್ಷಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸುವಂತಿರಬೇಕು. ಹರ್ಮನ್ ಉಂಗುರ ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು t = 0.6151732. ಹರ್ಮನ್ ಉಂಗುರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಅಂತಹ ನಕ್ಷೆಯ ಮಟ್ಟವು ಕನಿಷ್ಠ 3 ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಶಿಶಿಕುರನು ತೋರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಧದ ಘಟಕಗಳು ಡಿಗ್ರಿ ಡಿ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಧದ ಘಟಕಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಸೆಂಡೆಂಟಲ್ ಕೇಸ್ ಬೇಕರ್ ಡೊಮೇನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಸೆಂಡೆಂಟಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬೇಕರ್ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಆವರ್ತಕ ಫ್ಯಾಟೌ ಘಟಕಗಳಿವೆಃ ಇವುಗಳು "ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಏಕತ್ವಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಡೊಮೇನ್ಗಳು (ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ)" ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಅಲೆದಾಡುವ ಡೊಮೇನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಸೆಂಡೆಂಟಲ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಅಲೆದಾಡುವ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದುಃ ಇವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಫ್ಯಾಟೌ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ನೋ-ವಾಂಡರಿಂಗ್-ಡೊಮೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಜಾನ್ ಡೊಮೈನ್ಸ್ ಬೇಸಿನ್ಸ್ ಆಫ್ ಅಟ್ರೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲೆನ್ನಾರ್ಟ್ ಕಾರ್ಲ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಥಿಯೋಡೋರ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಗಮೆಲಿನ್, ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ 1993. ಅಲನ್ ಎಫ್. ಬಿಯರ್ಡನ್ ಇಟರೇಷನ್ ಆಫ್ ರೇಷನಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ 1991. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಲಿಮಿಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಗಣಿತೀಯ ವರ್ಗೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು