Cerf theory
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಏಕತ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸಂಗಮದಲ್ಲಿ, ಸೆರ್ಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಯವಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಉಪಸ್ಥಾನಗಳ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಈ ಏಕತ್ವಗಳು ಕಾರ್ಯಸ್ಥಾನದ ಉಪಸ್ಥಾನಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. 1960ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಜೀನ್ ಸೆರ್ಫ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಸ್ಟನ್ ಮೋರ್ಸ್ನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು, ಒದಗಿಸಿದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು, ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನೇಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಮುಂದಿನ ಹಂತವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಕೇಳಬಹುದು, 'ನೀವು ಮೋರ್ಸ್ ಸಮಾರಂಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮತ್ತು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇಡೀ ಕುಟುಂಬವು ಮೋರ್ಸ್ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದೇ?' ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಮೋರ್ಸ್ ಎಂದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಸಮಯಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸೆರ್ಫ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಅವನತಿಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ಜನನ/ಮರಣದ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸೂಚ್ಯಂಕ 0 ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕ 1 ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ರಚಿಸಿದಾಗ. ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಶ್ರೇಣೀಕರಣವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದಾಗ, ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಮತ್ತು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಇದು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಮತ್ತು ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮೋರ್ಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾದೃಶ್ಯವಿದೆ. ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದು ಶ್ರೇಣೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಮುಕ್ತ ಸ್ತರವೆಂದು ಯೋಚಿಸಿ (ಅಂತಹ ಶ್ರೇಣೀಕರಣವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ). ಸ್ತರೀಕೃತ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಸಹ-ಆಯಾಮ 0 ತೆರೆದ ಸ್ತರವು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸಾಂಕೇತಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿ, ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸ್ತರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಯಾಮದಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಸಹ-ಆಯಾಮದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಕಾರಣ ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ತೆರೆದ ಸಹ-ಆಯಾಮ 0 ಸ್ತರವು, ಅಂದರೆ. :. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಹ-ಆಯಾಮ 1 ಸ್ತರದ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮತ್ತು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒಂದು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಸೆರ್ಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಹ-ಆಯಾಮದ ಸ್ತರಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. : ಫಾರ್. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಫಾರ್ ಕಾರ್ಯವು ಮೋರ್ಸ್ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಜನನ/ಮರಣದ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಘನ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕ, ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಮೋರ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಮೋರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಅದು ಅಲ್ಲಿ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆರ್ಫ್ನ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಹ-ಆಯಾಮ ಒಂದು ಸ್ತರದ ಅಗತ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಕುಟುಂಬವು ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಮೋರ್ಸ್, ನಂತರ ಒಂದು ನಯವಾದ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಕುಟುಂಬವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ-ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೋರ್ಸ್ ಎಲ್ಲಾ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಾರಿ. ಮೊರ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕುಟುಂಬವು ಕುಟುಂಬದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ (ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ), ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ. ಪಿಎಲ್-ಸ್ಕೊನ್ಫ್ಲೈಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 1924ರಲ್ಲಿ ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಆತನ ಸಾಕ್ಷ್ಯವನ್ನು ಮೋರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎಮಿಲಿಯೊ ಬೈಡಾ ಅವರು ಸುಗಮವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುರುತಿಗೆ ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸೆರ್ಫ್ ಈ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಸ್ಕೋನ್ಫ್ಲೈಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸರಳ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಹುಸಿ-ಐಸೊಟೋಪಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾರಭೂತ ಗುಣವನ್ನು ನಂತರ ಸೆರ್ಫ್ ಬಳಸಿದರು. ಈ ಪುರಾವೆಯು ಸ್ಟೀಫನ್ ಸ್ಮೇಲ್ರ ಎಚ್-ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಸ್ಮೇಲ್ನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮರುಬರಹ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮೋರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಮಿಲ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸೆರ್ಫ್, ಆಂಡ್ರೆ ಗ್ರಾಮೈನ್ ಮತ್ತು ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಮೊರಿನ್ ಅವರು ರೆನೆ ಥಾಮ್ ಅವರ ಸಲಹೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ). ಸೆರ್ಫ್ ಅವರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಥಾಮ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಮ್ಯಾಥರ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆ ಅವಧಿಯ ಥಾಮ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಥರ್ ಅವರ ಕೃತಿಯ ಉಪಯುಕ್ತ ಆಧುನಿಕ ಸಾರಾಂಶವೆಂದರೆ ಮಾರ್ಟಿ ಗೊಲುಬಿಟ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ವಿಕ್ಟರ್ ಗಿಲ್ಲೆಮಿನ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ. ಮೇಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ರಾಬಿಯನ್ ಕಿರ್ಬಿ ಅವರು ಕಿರ್ಬಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವಲ್ಲಿ ಸೆರ್ಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಹಂತವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ-ಸುಗಮ ನಕ್ಷೆಗಳ ಜಾಗದ ಅನಂತ ಸಹ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರಕತೆಯ ಶ್ರೇಣೀಕರಣವನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ಸೆರ್ಗೆರೆರ್ಟ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಎಪ್ಪತ್ತರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಹುಸಿ-ಐಸೊಟೋಪಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಲೆನ್ ಹ್ಯಾಚರ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ವ್ಯಾಗನರ್ ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಿದರು, () ಮತ್ತು () ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ-ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಕಿಯೋಶಿ ಇಗುಸಾ ಅವರು () ಮೇಲೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಏಕತ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ