Braided Hopf algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಹೋಪ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಚ್ ನ ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆ ವರ್ಗದ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ನಿಕೋಲ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಟ್ರಿಯಾಂಗ್ಯುಲರ್ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ H ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು H ನ ಆಂಟಿಪೋಡ್ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್ ಓವರ್ ಎಚ್ ಅನ್ನು ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರೇಡೆಡ್ ಬಯಾಲ್ಜೆಬ್ರಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಯುನಿಟಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ, ಕೌಂಟಿಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೋಆಸೊಸಿಯಟಿವ್ ಕೋಲ್ಜೆಬ್ರಾವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇವೆರಡೂ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ, ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಮ್ಯಾಪ್ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಇದ್ದರೆ, ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸ್ವೀಡ್ಲರ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ-ಕೆಳಗಿನ ರಾಡ್ಫೋರ್ಡ್ನ ಬೈಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸಂಕೇತದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎ ಸೂಪರ್ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಹೆಣೆಯಲಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಣೆಯಲಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಹಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು V ಯ ಅಂಶಗಳು ಪ್ರಾಚೀನವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಕೌಂಟಿ ನಂತರ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಬೋರೆಲ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ಡ್ ಹೋಪ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತ R ಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಿದೆ, ಇದು R ಅನ್ನು ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು H ಅನ್ನು ಹೋಪ್ಫ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ರಾಡ್ಫೋರ್ಡ್ನ ಬೈಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತಜ್ಞ ಡೇವಿಡ್ ರಾಡ್ಫೋರ್ಡ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಶಾಹನ್ ಮಜೀದ್ ಮರುಶೋಧಿಸಿದರು, ಅವರು ಇದನ್ನು ಬೋಸೊನೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆದರು. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ, ಇದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, (ಸ್ವೀಡ್ಲರ್ ಸಂಕೇತ) ಇದು ಆರ್ ಮೇಲೆ ಎಚ್ ನ ಸಹಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಆರ್ ಮೇಲೆ ಎಚ್ ನ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದರ ಸಹಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲಿ ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಆರ್ ನ ಸಹಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಆಂಡ್ರುಸ್ಕಿವಿಟ್ಷ್, ನಿಕೋಲಸ್ ಮತ್ತು ಷ್ನೇಯ್ಡರ್, ಹ್ಯಾನ್ಸ್-ಜುರ್ಗೆನ್, ಪಾಯಿಂಟೆಡ್ ಹೋಪ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಹೋಪ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿನ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು, 1-68, ಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಎಚ್ ನ ಎಡ ಕೋಆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ವಿಜ್ಞಾನ. ರೆಸ್. ಇನ್ಸ್ಟಾಗ್ರಾಂ. , 43, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ. ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್, 2002. ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು