Visual calculus
ಮಾಮಿಕೋನ್ ಮ್ನಾಟ್ಸಕಾನಿಯನ್ (ಮಾಮಿಕೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಕಂಡುಹಿಡಿದ ದೃಶ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ವಿವಿಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗಾರ್ಡ್ನರ್ "ಆಹಾ! ಪರಿಹಾರಗಳು "ಅಥವಾ ರೋಜರ್ ನೆಲ್ಸೆನ್ ಪದಗಳಿಲ್ಲದ ಪುರಾವೆ. ವಿವರಣೆ ಮಾಮಿಕಾನ್ 1959 ರಲ್ಲಿ ಪದವಿಪೂರ್ವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ತನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದನು, ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದನುಃ ಒಳಗಿನ ಸುತ್ತಳತೆಗೆ ಸ್ವರಮೇಳದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ನೀಡಿದ ಉಂಗುರದ (ವಾರ್ಷಿಕ) ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಬಹುಶಃ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಪರಿಹಾರವು ಉಂಗುರದ ಒಳ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಧಾನವು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾಮಿಕಾನ್ನ ವಿಧಾನವು ಉಂಗುರದ ಪರ್ಯಾಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲು ಒಳಗಿನ ವೃತ್ತವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಲು ಸ್ಥಿರ-ಉದ್ದದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಹೋಗುತ್ತಿರುವಾಗ ಉಂಗುರವನ್ನು "ಹೊರಹಾಕುತ್ತದೆ". ಈಗ ಉಂಗುರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸುವ ಎಲ್ಲಾ (ಸ್ಥಿರ-ಉದ್ದ) ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಅನುವಾದಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ತಿಳಿದಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ (ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರದೇಶ) ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆಂತರಿಕ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ತ್ರಿಜ್ಯ ಶೂನ್ಯ (ಒಂದು ಬಿಂದು) ವೃತ್ತದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದಿತ್ತು-ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಲೂ ಒಂದು ಉಂಗುರವನ್ನು ಉಜ್ಜುವುದು ಕೇವಲ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಒಂದು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದು. ಮಾಮಿಕೋನ್ ಅವರ ಒಳನೋಟವು ಎರಡು ನಿರ್ಮಾಣಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದಾಗಿತ್ತು; ಮತ್ತು ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವವರೆಗೆ, ಎರಡು ಆರಂಭಿಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ-ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ. ಇದು ಮಾಮಿಕಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ವೀಪ್ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೂಹದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ನ ಪ್ರದೇಶ ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಯತದ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಮೂಹಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವೃತ್ತವು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ವೃತ್ತವು ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಃ ಇದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ 3 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೂಹವನ್ನು ವೃತ್ತದಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ ಒಂದು ವೃತ್ತದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಉತ್ಪಾದನಾ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೋಲಿಂಗ್ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ರೇಖೆಗೆ ಸರಿಯಾದ ಕೋನದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನ ರೇಖೆಯು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಬಲ ಕೋನೀಯ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿಯ ತತ್ವವಾದ ಹೋಡೋಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಇದು ಧ್ರುವೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಸಂಬಂಧಿತ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವಿಧಾನ ಪಪ್ಪಸ್ನ ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಪ್ರಮೇಯ ಪ್ಲಾನಿಮೀಟರ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮ್ಯಾಥ್ವರ್ಲ್ಡ್ನ ಪದಗಳಿಲ್ಲದ ಪ್ರೊಜ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಮಾಮಿಕಾನ್ ಪುರಾವೆ ಮಾಮಿಕಾನ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಇಂಟರಾಕ್ಟಿವ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಶನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ ಪದಗಳಿಲ್ಲದ ಪುರಾವೆ