Vaughan's identity
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವಾಘನ್ ಅವರ ಗುರುತನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೇಲೆ ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಗುರುತಾಗಿದೆ. ಎಫ್ ಎಂಬುದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕೆಲವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ರೂಪದ ಸಾರಾಂಶ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದರ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕತೆಯ ಮೂಲಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು λ ಎಂಬುದು ವಾನ್ ಮ್ಯಾಂಗೋಲ್ಟ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ವಾಘನ್ ತನ್ನ ಗುರುತನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕಾರಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಡೇವನ್ಪೋರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ 24ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ನಾವು ಗುರುತನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿವರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸೆಟಪ್ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊಟಕುಗೊಂಡ ಭಾಗಶಃ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು, ಈ ಕೊನೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಘಟಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಖರವಾದ ಗುರುತಿಗೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಂತರ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾರಾಂಶ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ತಾಂತ್ರಿಕದ ಬಹು-ಪುಟಗಳ ವಾದದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಮೊತ್ತಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಂದಾಜುಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿದಾಗ ನಾವು ವಾಘನ್ ಗುರುತಿನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತುಃ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಾಘನ್ ಅವರ ಗುರುತಿನಿಂದ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಬಾಂಬೇರಿ-ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಕುಮ್ಮರ್ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ವಾಘನ್ ಅವರ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಡೇವನ್ಪೋರ್ಟ್ನ 25ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ವಾಘನ್ ಅವರ ಗುರುತಿನ ಒಂದು ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್ ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಪ್ರಮುಖ ಅವಿಭಾಜ್ಯ-ಸಂಬಂಧಿತ ಘಾತೀಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂದಾಜುಗಳು ರೂಪವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಅಂದಾಜಿನ ವಾದವು ವಾಘನ್ ಅವರ ಗುರುತನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಾದದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. ವಾಘನ್ ಅವರ ಗುರುತಿನ ಮತ್ತೊಂದು ಅನ್ವಯವು ಡೇವನ್ಪೋರ್ಟ್ನ 26ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ (ಘಾತೀಯ ಮೊತ್ತಗಳು) ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಾಘನ್ ಅವರ ಗುರುತಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತ ಪೋಸ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು/ಉಲ್ಲೇಖಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ವಾಘನ್ ಅವರ ಗುರುತನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದವು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ರೂಫ್ ವಿಕಿ ಆನ್ ವಾಘನ್ 'ಸ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಜೋನಿಸ್ ಮ್ಯಾಥ್ ನೋಟ್ಸ್ (ಅತ್ಯಂತ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆ) ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಟೆರ್ರಿ ಟಾವೊ ಅವರ ಬ್ಲಾಗ್ ದೊಡ್ಡ ಜರಡಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಾಂಬೇರಿ-ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್ ಪ್ರಮೇಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಗಣಿತದ ಗುರುತುಗಳು