Tangential and normal components
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಾಹಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆ ವಾಹಕವನ್ನು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಇದನ್ನು ವಾಹಕದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಾಹಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ವಾಹಕವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂನ ಸಬ್ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎನ್ ಮತ್ತು ಎನ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಂ ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಾಹಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಎನ್ ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎನ್ ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೇಲ್ಮೈ ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಬ್ಬರು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ವಾಹಕವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ತಕ್ಷಣವೇ ಈ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಲಂಬವಾದ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಥೆನ್ನಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಘಟಕ ವಾಹಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಲಿ "" ಎಂಬುದು ಚುಕ್ಕೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ "ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಬಳಸಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ N ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಭಾಗಶಃ ಸ್ಥಳವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. M ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಅನುಕ್ರಮವು ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು p ನಲ್ಲಿ M ನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳವು N ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಂಶ ಮತ್ತು N ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಂದು ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣನೆಗಳು N ಅನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ (ನಿಯತಾಂಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯಂತಹ) N ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಿದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಪ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಸ್ಪ್ಯಾನಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ನಿಯತಾಂಕವು ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ). N ಅನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ (ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಿನ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ) ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಎಂದು) ಲೆವೆಲ್ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಲೆವೆಲ್ ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿ ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುವ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳು. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು; ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು 3 ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳುಃ ಒಟ್ಟು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು. ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫ್ರೆನೆಟ್-ಸೆರೆಟ್ ಸೂತ್ರಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ