Inverse problem for Lagrangian mechanics
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕೆಲವು ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳು ನಡೆದಿವೆ. ಅಮೆರಿಕಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೆಸ್ಸಿ ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಅವರು 1941 ರಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಪ್ರಬಂಧವು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು; ಜರ್ಮನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹರ್ಮನ್ ವಾನ್ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ನಂತರ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಈಗ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಆರ್ಎನ್ ಮೇಲೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟಪ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ u: [0, T] → Rn. ಎಸ್ (ಯು) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಯು ಮಾರ್ಗದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎಲ್ ಎಂಬುದು ಸಮಯ, ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಕ್ರಿಯೆಯ ತತ್ವವು, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ x0 ಮತ್ತು Rn ನಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿ x1 ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, L ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುವ ಪಥವು u (0) = x0, u (T) = x1 ಎಂಬ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ S ಕ್ರಿಯೆಯ ಕನಿಷ್ಠಕವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, S ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿನಿಮೈಸರ್ಗಳು) S ಗೆ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕುಃ ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು i ಯು = (ಯು1,., ಯು) ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನ್ಯೂಟನ್ರ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆಃ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ 0 ≤ t ≤ T ಬಾರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು (E) ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿರುವ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ L: [0, T] × Rn × Rn → R ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ? ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ Rn ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ n-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ M ಮೇಲೆ ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ L: [0, T] × TM → R ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ TM ಎಂಬುದು M. ಡೌಗ್ಲಾಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಷರತ್ತುಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ಡೌಗ್ಲಾಸ್ 1941) ಒಂದು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಎಲ್ಃ [0, ಟಿ] × ಟಿಎಂ → ಆರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಇ) ಅದರ ಯೂಲರ್-ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿದ್ದು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಎರಡನ್ನೂ ಅವಲಂಬಿಸಿ ಜಿಜ್ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರಃ (ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಕಲನ ಸಂಪ್ರದಾಯವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ.) ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (H1)-(H3) ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕೆಲಸವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯು (H1) ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾದದ್ದುಃ (H1) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ g ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಮಾತ್ರ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಏಕವಚನ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣವು (H2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (H2) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಬದಲಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (ಇ) ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ (ಇ) ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ ಹಂತವು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಉತ್ತಮ ನಡವಳಿಕೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ (ಉದಾ. ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಹರಿವು), ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಹಂತವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (H3) ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಇದನ್ನು ಮುಚ್ಚುವ ಷರತ್ತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ (H3) ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ 1-ಫಾರ್ಮ್ ಗಿಯು ಪ್ರತಿ i ಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ತುಂಬಾ ಬೆದರಿಕೆಯಾಗಲು ಕಾರಣವೆಂದರೆ (H3) ಸಂಯೋಜಿತ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ n ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂಗೆ, (H3) 2n ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು g ನ ಘಟಕಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಈ ಬೃಹತ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು! ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಕೆಲವು ಸಹಾಯಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, (H1) ಎಂಬುದು ಅಜ್ಞಾತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ g ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. g ಮೇಲೆ ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಬಹುದುಃ g ಮೇಲೆ ಸಹಾಯಕ ಷರತ್ತು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (H2) ಮತ್ತು (A) ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಲೈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂಪರ್ಕದಂತಹ), ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಷರತ್ತುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ (ಎಚ್2) ಮತ್ತು (ಎ) ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. (ಎ) ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ (ಎಚ್1) ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, (H1) ಮತ್ತು (A) ಒಟ್ಟಾಗಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯವು ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. 2006ರಂತೆ, ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆಯಾದರೂ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಈ ತೊಂದರೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವಿಲ್ಲ. ದಾಳಿಯ ಎರಡನೇ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಇ) ಕೆಳ-ಆಯಾಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮುಳುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು ಕೆಳ-ಆಯಾಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ-ಆಯಾಮದವರೆಗೆ "ಎತ್ತಲು" ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು. ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಯೂಲರ್-ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ (ಇ) ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು