Monoidal t-norm logic
ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ನಿಯಮಗಳ ತರ್ಕವಾದ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ಟಿ-ನಿಯಮ ಆಧಾರಿತ ತರ್ಕವು (ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಎಂಟಿಎಲ್) ಟಿ-ನಿಯಮದ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಲಾಜಿಕ್ಗಳ ವಿಶಾಲ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಅಥವಾ ಉಳಿದಿರುವ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಲಾಜಿಕ್ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ; ಇದು ಪೂರ್ವರೇಖೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸಂವಹನ ಬದ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಉಳಿದಿರುವ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ತರ್ಕವನ್ನು (ಹೋಹ್ಲೆಯ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ತರ್ಕ, ಒನೊನ ಫ್ಲ್ಯೂ, ಅಥವಾ ಸಂಕೋಚನವಿಲ್ಲದ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ತರ್ಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ, ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿಜ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬದಲು, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ವಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಗಳು ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ವಿಶ್ವಾಸವು ಸತ್ಯದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ವಿಶ್ವಾಸವು ಸುಳ್ಳಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳು ನೈಜ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರ [0,1] ದ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಇವು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಗ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಾವು ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೇಳುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಗಳು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ 'ಮತ್ತು' ಸಂಯುಕ್ತ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾದ ವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಒಬ್ಬರು ಟಿ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಟಿ-ಮಾನದಂಡವು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವಿಟಿ, ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ, ಮೊನೊಟೋನಿಸಿಟಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು-ಮತ್ತು ನಂತರ, ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವಾಗಿ ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಈ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಗೈರುಹಾಜರಾಗಿರುವುದು ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸ್ನ ಗುಣವಾಗಿದೆ; ಅದು ಅತ್ಯಂತ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ನ್ಯಾಯಯುತವಾದುದಕ್ಕಿಂತ 'ಮತ್ತು' ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ವಿಚಿತ್ರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ 'ಮತ್ತು' ವಿಶ್ವಾಸ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸ ಎರಡಕ್ಕಿಂತಲೂ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕ್ರಮವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೇಳುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಟಿ-ಮಾನದಂಡವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಗಳನ್ನು ಆರೋಪಿಸುವ ಹಿಂದಿನ ಕಾರಣಗಳಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು 'ಮತ್ತು' ಎರಡರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ 'ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು, ನಾವು ಎರಡರಲ್ಲೂ ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಚಿಹ್ನೆಯು ಐಡೆಂಪೊಟೆನ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಬಹಳ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ ಬೇರೆ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು, ಅದು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ "ಬಲವಾದ" ಸಂಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಲೇಖನವು ಬಲವಾದ ಸಂಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ತರ್ಕ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಹೇಳಿಕೆಗೆ ವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ (ಇನ್ನೂ 'ಮತ್ತು' ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ, ಬಹುಶಃ 'ಮತ್ತು' ನ ಅರ್ಹತೆಯಾಗಿ 'ಬಲವಾದ' ಅಥವಾ 'ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ). ಔಪಚಾರಿಕ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಬ್ಬರು ಇತರ ಸಂಪರ್ಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಅದನ್ನು ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಕ್ರಮ-ಹಿಮ್ಮುಖ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸುವುದು, ನಂತರ ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಅವರ ನಿಯಮಗಳು, ವಸ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉಳಿದ ಸಂಯೋಜಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು. ಹಾಗೆ ಮಾಡುವುದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ತರ್ಕಗಳು ಅನಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದುಃ ಅವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುವುದುಃ ಇದು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ತರ್ಕದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಇತರ ಸಂಯೋಜಕಗಳಿಗಿಂತ ತರ್ಕದ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇಂಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಕನೆಕ್ಟಿವ್ನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ನ ಶೇಷ ಎಂದು ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ನಡುವಿನ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಇನ್ಫೆರೆನ್ಸ್ ರೂಲ್ ಮಾಡಸ್ ಪೊನೆನ್ಸ್ನಂತಹ ಮೂಲಭೂತವಾದ ಯಾವುದಾದರೊ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ನಿಂದ ಮತ್ತು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ತರ್ಕದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಇಲ್ಲಿ (ಗಳ) ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ನಮ್ಮ ವಿಶ್ವಾಸವು ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ನಮ್ಮ ವಿಶ್ವಾಸವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಬೇಡಿಕೆಯ ವಿಶ್ವಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಶ್ವಾಸವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ವಿಶ್ವಾಸವು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುವ ಹೇಳಿಕೆಯ ಮೇಲಿನ ನಮ್ಮ ವಿಶ್ವಾಸಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಬಯಸಿದ ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವಾಗ ಅದನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿಸುವುದುಃ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಮಾಧಿಕಾರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಜಂಪ್ ಡಿಸ್ಕಂಟೀನ್ಯೂಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಉಳಿದಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ s ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಹೊರಬರಬಹುದು; ಅದನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟಲು ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ಮಾಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ನಾವು ಟಿ-ಮಾನದಂಡವು ಎಡ-ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡದ ಶೇಷವನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ವಿಧಾನದ ಪೊನೆನ್ಗಳನ್ನು ಮಾನ್ಯವಾಗಿಸುವ ದುರ್ಬಲ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸತ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಟಿ-ಮಾನದಂಡದ ಅವಶೇಷವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹೋಲಿಕೆಗಳ ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರವೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆವರಣದ ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಪರಿಚಯ ಹಂತವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಆವರಣದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಆವರಣದ ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಹಂತವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಆವರಣದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ನ ಎಡ-ನಿರಂತರತೆಯು ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಳಿದಿರುವ ಪರಿಣಾಮದ ನಡುವಿನ ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನಲ್ ಕನೆಕ್ಟಿವ್ಗಳ ಸತ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಶೇಷಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಉಳಿದಿರುವ ನಿರಾಕರಣೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್, ಅದರ ಅವಶೇಷ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನಲ್ ಕನೆಕ್ಟಿವ್ಗಳ ಸತ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಶಬ್ದಾರ್ಥ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನಲ್ ಸೂತ್ರಗಳ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು [0,1] ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಯಾವಾಗಲೂ 1ಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಂತರ ನೀಡಲಾದ ಲೆಫ್ಟ್-ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಅಥವಾ ಟಾಟಾಲಜಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಟಾಟಾಲಜಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಪರಮಾಣು ಸೂತ್ರಗಳ ಸತ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ (ಡಿಗ್ರಿ 1 ರವರೆಗೆ) ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು (ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವರವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ನ ತರ್ಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ರೂಢಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ವರವಿನ್ಯಾಸಗಳಾಗಿವೆಃ ಅವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ರೂಢಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ತರ್ಕ ಎಂಟಿಎಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ತರ್ಕವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ಭಾಷೆ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನಲ್ ಲಾಜಿಕ್ ಎಂಟಿಎಲ್ನ ಭಾಷೆಯು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನೇಕ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನಲ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಚೀನ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಜಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಃ ಇಂಪ್ಲಿಕೇಷನ್ (ಬೈನರಿ) ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಕಾಂಜಂಕ್ಷನ್ (ಬೈನರಿ). ಚಿಹ್ನೆ & ಎಂಬುದು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಕೇತವು ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಲಾಜಿಕ್ಗಳ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ದುರ್ಬಲ ಸಂಯೋಗ (ಬೈನರಿ), ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಂಯೋಗ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಬ್ದಾರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೀಟ್ನ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ). ಬಿಎಲ್ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ದುರ್ಬಲ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಸಂಯೋಜಕಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಭಾಗ (ಶೂನ್ಯ-ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ; ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ ಟೋಕನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ ಹೆಸರು (ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಲಾಜಿಕ್ಗಳ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಕೆಳಭಾಗ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವು ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ). ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಜಕಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಮೀಕರಣ (ಬೈನರಿ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಾಕರಣೆ (ಯುನರಿ), ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು (ದುರ್ಬಲ) ವಿಭಜನೆ (ಬೈನರಿ) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಬ್ದಾರ್ಥದಲ್ಲಿ ಜೋಡಣೆಯ ಜಾಲರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದನ್ನು ಟಾಪ್ (ನಲರಿ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಒನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಥವಾ (ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಲಾಜಿಕ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎಂಟಿಎಲ್ನ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆವರಣಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆದ್ಯತೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಯೂನರಿ ಸಂಯೋಜಕಗಳು (ಅತ್ಯಂತ ನಿಕಟವಾಗಿ ಬಂಧಿಸುವುದು) ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೈನರಿ ಸಂಯೋಜಕಗಳು (ಅತ್ಯಂತ ಸಡಿಲವಾಗಿ ಬಂಧಿಸುವುದು) ಎಂಟಿಎಲ್ಗಾಗಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಶೈಲಿಯ ಕಡಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎಸ್ಟೀವಾ ಮತ್ತು ಗೊಡೋ (2001) ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದರ ಏಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ನಿಯಮವೆಂದರೆ ಮೋಡಸ್ ಪೊನೆನ್ಸ್ಃ ನಿಂದ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಅದರ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿವೆಃ ಎಡ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಾಜೆಕ್ನ ಮೂಲ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕ ಬಿಎಲ್ನ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳು (ಎಂಟಿಎಲ್4ಎ)-(ಎಂಟಿಎಲ್4ಸಿ) ಬಿಎಲ್ನ ವಿಭಜನೆಯ ಆಧಾರಸೂತ್ರವನ್ನು (ಬಿಎಲ್4) ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ. ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳು (ಎಂ. ಟಿ. ಎಲ್. 5ಎ) ಮತ್ತು (ಎಂ. ಟಿ. ಎಲ್. 5ಬಿ) ಅವಶೇಷದ ನಿಯಮವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರಸೂತ್ರವು (ಎಂ. ಟಿ. ಎಲ್. 6) ಪೂರ್ವರೇಖೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳು (ಎಂಟಿಎಲ್2) ಮತ್ತು (ಎಂಟಿಎಲ್3) ಅನಗತ್ಯವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಚ್ವಾಲೋವ್ಸ್ಕಿ, 2012) ಮತ್ತು (ಸಿಂಟುಲಾ, 2005). ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಚ್ವಾಲೋವ್ಸ್ಕಿ, 2012). ಇತರ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನಲ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮಲ್ ಫಜಿ ಲಾಜಿಕ್ಗಳಂತೆಯೇ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಬ್ದಾರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಎಂಟಿಎಲ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ತರ್ಕವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳೊಂದಿಗೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಬ್ದಾರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ-ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎಲ್ಲಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು-ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಅವುಗಳ ಜಾಲರಿ ಕ್ರಮವು ರೇಖೀಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಶಬ್ದಾರ್ಥವಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ-ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅವುಗಳ ಜಾಲರಿ ಕಡಿತವು ನೈಜ ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ [0,1] ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರೀಲಿನಿಯರ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ರೆಸಿಸ್ಟ್ಯುಯೇಟೆಡ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯು ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಮೇಲಿನ ಅಂಶ 0 ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಂವಹನ ಮೊನೊಯ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ x, y, ಮತ್ತು z ನ ಜಾಲರಿಯ ಕ್ರಮವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಮತ್ತು y ಗೆ (ಉಳಿಕೆ ಸ್ಥಿತಿ) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (ಪೂರ್ವರೇಖೆಯ ಸ್ಥಿತಿ) ಎಂಟಿಎಲ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನೈಜ ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ [0,1]. ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಹೇಟಿಂಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು (ಎರಡೂ ಜೊತೆ), ಎಲ್ಲಾ ಎಂವಿ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ ಸೇರಿವೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟಿಎಲ್ ತರ್ಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಂಟಿಎಲ್ನ ಸಂಯೋಜಕಗಳನ್ನು ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಏಕಾಂಗಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಬಲವಾದ ಸಂಯೋಜನೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಪರಿಣಾಮ (ಇದನ್ನು ಶೇಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ದುರ್ಬಲ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಜಾಲರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ದುರ್ಬಲ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಗೊಂದಲ ಉಂಟಾಗದಿದ್ದರೆ ಸಂಯೋಜಕಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) 0 ಮತ್ತು 1 ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಸತ್ಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯ (ಮೇಲ್ಭಾಗ) ಮತ್ತು ಒಂದು (ಕೆಳಭಾಗ) ಸಮಾನತೆ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ e (A) = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೂತ್ರ ಎ ಅನ್ನು ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಲ್ ನಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಲ್ ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳಿಗೆ ಇ (ಎ) = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ. ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಿ → ಪಿ) ಯಾವುದೇ ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಇವುಗಳನ್ನು ಎಂಟಿಎಲ್ನ ಟಾಟಾಲಜಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಗತಿಕ ಪ್ರವೇಶದ (ಅಥವಾಃ ಜಾಗತಿಕ ಪರಿಣಾಮ) ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎಂಟಿಎಲ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಇ (ಬಿ) = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇ (ಎ) = 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಜಾಗತಿಕ ಪರಿಣಾಮದ ಸಂಬಂಧವು ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಸತ್ಯದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ದೃಢತೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಂಟಿಎಲ್ ತರ್ಕವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ (ಎಸ್ಟೀವಾ ಮತ್ತು ಗೊಡೋ, 2001): ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಷ್ಟು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೆಂದರೆ, ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಂಟಿಎಲ್ ತರ್ಕವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಬಲವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಎ ಸೂತ್ರವು ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿನ ಎ ಅನ್ನು ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿನ ಎನಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿನ ಜಾಗತಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಶಬ್ದಾರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವು ಇತರ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಂತೆ, ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಉಪ-ನೇರ ವಿಭಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಪ್ರತಿ ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಉಪ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. (ಉಪ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದರ ಜಾಲರಿಯ ಕ್ರಮವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ರೇಖೀಯ ಉಪ-ನೇರ ವಿಭಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು (ಎಸ್ಟೀವಾ ಮತ್ತು ಗೊಡೋ, 2001) ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಎ ಜಾಗತಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಸೆಮ್ಯಾಂಟಿಕ್ಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಜಾಲರಿ ಕಡಿತವು ನೈಜ ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ [0,1]. ಬಲವಾದ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಆಗಿರಬಹುದು. ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಂಟಿಎಲ್-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇನ್ ಇಂಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಅನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಶೇಷದಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸತ್ಯವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಂಟಿಎಲ್ ತರ್ಕವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ; ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕಂಪ್ಲೀಟೆನ್ಸ್ ಥಿಯೋರೆಮ್ (ಜೆನೆ ಮತ್ತು ಮೊಂಟಾಗ್ನಾ, 2002) ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಂಟಿಎಲ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಂಟಿಎಲ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಂಟಿಎಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ತರ್ಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದೇ ರೀತಿ ಬಿಎಲ್ ನಿರಂತರ ಟಿ-ಮಾನದಂಡಗಳ ತರ್ಕವಾಗಿದೆ). ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಹೇಜೆಕ್ ಪಿ., 1998, ಮೆಟಾಮೆಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಫಜಿ ಲಾಜಿಕ್. ಡಾರ್ಡ್ರೆಚ್ಟ್ಃ ಕ್ಲೂವರ್. ಎಸ್ಟೀವಾ ಎಫ್. ಮತ್ತು ಗೊಡೋ ಎಲ್., 2001, "ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ ಆಧಾರಿತ ತರ್ಕಃ ಎಡ-ನಿರಂತರ ಟಿ-ನಾರ್ಮ್ಗಳ ತರ್ಕದ ಕಡೆಗೆ". ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸೆಟ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ 124:271-288. ಜೆನೀ ಎಸ್. ಮತ್ತು ಮೊಂಟಾಗ್ನಾ ಎಫ್., 2002, "ಎಸ್ಟೀವಾ ಮತ್ತು ಗೊಡೋಸ್ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ಲಾಜಿಕ್ ಎಂಟಿಎಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪುರಾವೆ". ಸ್ಟಡಿಯಾ ಲಾಜಿಕಾ 70:184-192. ಒನೊ, ಎಚ್., 2003, "ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ಲಾಜಿಕ್ ಮತ್ತು ರೆಸಿಡ್ಯೂಯೇಟೆಡ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್-ಒಂದು ಪರಿಚಯ". ಎಫ್. ವಿ. ಯಲ್ಲಿ. ಹೆಂಡ್ರಿಕ್ಸ್, ಜೆ. ಮಾಲಿನೋವ್ಸ್ಕಿ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ): ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳುಃ 50 ವರ್ಷಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ತರ್ಕ, ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳು 20:177-212. ಸಿಂಟುಲಾ ಪಿ., 2005, "ಸಣ್ಣ ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಬಿಎಲ್ ಮತ್ತು ಎಂಟಿಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತದ (ಎ3) ಪುನರುಕ್ತಿ ಕುರಿತು". ಸಾಫ್ಟ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ 9:942. ಸಿಂಟುಲಾ ಪಿ., 2006, "ದುರ್ಬಲ ಸೂಚಿತ (ಅಸ್ಪಷ್ಟ) ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ I: ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು". ಆರ್ಕೈವ್ ಫಾರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್ 45:673-704. ಚ್ವಾಲೋವ್ಸ್ಕಿ ಕೆ., 2012, "ಆನ್ ದಿ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ ಆಫ್ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್ ಇನ್ ಬಿಎಲ್ ಅಂಡ್ ಎಂಟಿಎಲ್". ಫಜಿ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ 197:123-129,. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕ