Stochastic game
ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, 1950ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಲಾಯ್ಡ್ ಶಾಪ್ಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯ ಆಟ (ಅಥವಾ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಟ), ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಟಗಾರರು ಆಡುವ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟವಾಗಿದೆ. ಈ ಆಟವನ್ನು ಹಂತಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಆಟವು ಯಾವುದಾದರೊ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆಟಗಾರರು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಆಟವು ನಂತರ ಹೊಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ವಿತರಣೆಯು ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರರು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೊಸ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಟವು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಒಟ್ಟು ಪಾವತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಂತದ ಪಾವತಿಯ ರಿಯಾಯಿತಿ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ಹಂತದ ಪಾವತಿಯ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಮಿತಿಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಆಟಗಳು ಮಾರ್ಕೋವ್ ನಿರ್ಧಾರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಸಂವಹನ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಆಟಗಾರರ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಪರಿಸರವು ಬದಲಾಗುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ-ರೂಪದ ಆಟಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಆಟಗಾರರ ಆಟಗಳು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಎರಡು ಆಟಗಾರರ ಆಟಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ (ಪ್ರತಿಕೂಲ) ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಸರವನ್ನು ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಅದರ ಪರಿಸರ ಅಥವಾ "ಪ್ರಕೃತಿ" ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ರನ್ ನಂತರ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಅನಂತ ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಸರವನ್ನು ವಿರೋಧಿ ಉದ್ದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು (ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು) "ಉತ್ತಮ" ರನ್ಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು (ಪರಿಸರ) ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಮತೋಲನ ಮೌಲ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ತಂತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ನಾವು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಕೆಲವು ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ನಾವು ಆಯ್ದ ಇತ್ತೀಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟದ ಅಂಶಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಆಟಗಾರರ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು; ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳ (ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳ); ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನಿಗೆ, ಒಂದು ಆಕ್ಷನ್ ಸೆಟ್ (ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳ); ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಎಲ್ಲಿಂದ ಆಕ್ಷನ್ ಪ್ರೊಫೈಲ್ಗಳು, ಎಲ್ಲಿಗೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಆಕ್ಷನ್ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದ ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ; ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲ ಕಾರ್ಯ, ಅಲ್ಲಿ-th ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು, ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಆಕ್ಷನ್ ಪ್ರೊಫೈಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲವಾಗಿದೆ. ಆಟವು ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಆಟಗಾರರು ಮೊದಲು ಗಮನಿಸುತ್ತಾರೆ, ನಂತರ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ನಂತರ ಆಕ್ಷನ್ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಕೃತಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟದ ಒಂದು ಆಟವು, ಪ್ರತಿಫಲಗಳ ಒಂದು ಹರಿವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ. ರಿಯಾಯಿತಿ ಅಂಶ () ಹೊಂದಿರುವ ರಿಯಾಯಿತಿ ಆಟವು ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲ ನೀಡುವ ಆಟವಾಗಿದೆ. - ಹಂತದ ಆಟವು ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲ ನೀಡುವ ಆಟವಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಎರಡು-ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟದ ಮೌಲ್ಯವು, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಟ್ರೂಮನ್ ಬೆವ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲೋನ್ ಕೊಹ್ಲ್ಬರ್ಗ್ (1976) ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ ಒಂದು ಮಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಮಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. "ಡಿಸ್ಕೌಂಟ್ ಮಾಡದ" ಆಟವು ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಪಾವತಿಯು ಹಂತದ ಪಾವತಿಯ ಸರಾಸರಿಯ "ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ". ಎರಡು-ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೊತ್ತದ ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಕೆಲವು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಎರಡು-ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟದ ಏಕರೂಪದ ಮೌಲ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ 1 ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ 2 ರ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಜೋಡಿ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಟಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಟಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಬ್ರಹಾಂ ನೆಯ್ಮನ್ (1981) ಪ್ರತಿ ಎರಡು-ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಟಗಾರರು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಕ್ಷನ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ ಆಟವು ಯಾವಾಗಲೂ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಪಾವತಿಯು ರಿಯಾಯಿತಿ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನಂತ ಅನೇಕ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟಕ್ಕೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ-ಮೊತ್ತದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟವು ಏಕರೂಪದ ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಇದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಟಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರೀಕ್ಷೆಯೂ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಟಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಆಕ್ಷನ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಎರಡು-ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟಗಳು ಏಕರೂಪದ ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಿಕೋಲಸ್ ವಿಯೆಲ್ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ-ಮೊತ್ತದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟವು ಸೀಮಿತ-ಸರಾಸರಿ ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನ ಪ್ರತಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ವಿಚಲನಕ್ಕೆ, ಆಟದ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಂತದ ಪ್ರತಿಫಲಗಳ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ಮಿತಿಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆಟದ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಂತದ ಪ್ರತಿಫಲಗಳ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜೀನ್-ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಮೆರ್ಟೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಬ್ರಹಾಂ ನೆಯ್ಮನ್ (1981), ಸೀಮಿತವಾದ ಅನೇಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಎರಡು-ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟವು ಸೀಮಿತ-ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಆಕ್ಷನ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಎರಡು-ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟಗಳು ಸೀಮಿತ-ಸರಾಸರಿ ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಿಕೋಲಸ್ ವಿಯೆಲ್ಲೆ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಆಟಗಳು ಒಂದು ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಲಿಮಿನ್ಫ್-ಸರಾಸರಿ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಲಿಮ್ಅಪ್-ಸರಾಸರಿ) ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಟ್ಟು ಪ್ರತಿಫಲವು ಹಂತದ ಪ್ರತಿಫಲಗಳ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಕೆಳಮಟ್ಟದ (ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಮಿತಿ) ಮಿತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಆಟಗಾರರು, ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟವು ಏಕರೂಪದ ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ-ಸರಾಸರಿ ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ-ಸರಾಸರಿ ಸಮತೋಲನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸವಾಲಿನ ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಮತೋಲನವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಟಗಳಿಗೆ ಉಪ-ಆಟದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆಟಗಾರರ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಂಭವನೀಯ ಆಟಗಳನ್ನು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಆಟಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವಾದ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಆಟದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ನ್ಯಾಶ್ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಬೆಲ್ಮನ್ ಆಪ್ಟಿಮಾಲಿಟಿ ಸಮೀಕರಣದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಆಟಗಳು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ವಿಕಸನೀಯ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಜಾಲಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಟಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ರಾಜ್ಯವಿರುವ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇವನ್ನೂ ನೋಡಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ (ಪದವಿಪೂರ್ವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ; ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲ) ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಆಂಟೊನಿನ್ ಕುಸೇರಾ ಅವರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎರಡು-ಆಟಗಾರ ಆಟಗಳ ಮೇಲಿನ ಉಪನ್ಯಾಸ ಆಟ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಟದ ತರಗತಿಗಳು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು (ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ)