Spherical polyhedron
ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅಥವಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ಟೈಲಿಂಗ್ ಎಂಬುದು ಗೋಳದ ಟೈಲಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಕಮಾನುಗಳಿಂದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಚಿತ ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದರೆ ಸಾಕರ್ ಚೆಂಡು, ಇದನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಕಡಲತೀರದ ಚೆಂಡು, ಇದನ್ನು ಹೋಸೋಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೋಸೋಹೆಡ್ರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ಸ್, ಡೈಹೆಡ್ರಾದಂತಹ ಕೆಲವು "ಅಸಮರ್ಪಕ" ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಮುಖದ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತವೆ. ಷಟ್ಕೋಣ ಕಡಲತೀರದ ಚೆಂಡಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಹೋಸೋಹೆಡ್ರನ್, ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಡೈಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಮಾನವ ನಿರ್ಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಕಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ. ಅನೇಕವು ಸ್ಕಾಟ್ಲೆಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ ಮತ್ತು ನವಶಿಲಾಯುಗದ ಅವಧಿಯ (ಹೊಸ ಶಿಲಾಯುಗದ) ಕಾಲದ್ದೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. 10ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ವಿದ್ವಾಂಸ ಅಬು ಅಲ್-ವಫಾ 'ಬುಜ್ಜಾನಿ (ಅಬುಲ್ ವಫಾ) ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಮೊದಲ ಗಂಭೀರ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಬರೆದರು. ಇನ್ನೂರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಪೊಯಿನ್ಸಾಟ್ ನಾಲ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷತ್ರ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಕೆಲಿಡೋಸ್ಕೋಪ್ಗಳ (ವೈಥಾಫ್ ನಿರ್ಮಾಣ) ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಣಿಸಲು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದನು. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ, ಸೆಮಿರೆಗುಲರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ಗಳನ್ನು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳಾಗಿ ಯೋಜಿಸಬಹುದುಃ ಅಸಮರ್ಪಕ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಇಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಹೋಸೋಹೆಡ್ರಾ-ಅಂಕಿಗಳು {2, n}, ಮತ್ತು ಡೈಹೆಡ್ರಾ-ಅಂಕಿಗಳು {n, 2}. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಿಯಮಿತ ಹೋಶೋಹೆಡ್ರಾ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಡೈಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗೆ (ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಟೆಸೆಲ್ಲೇಷನ್ಗಳು) ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ-ಗೋಳವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ 2-ರಿಂದ-1 ಆವರಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆಯೇ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವು 2-ಪಟ್ಟು ಕವರ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರ, ಕೇಂದ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳ ಅನುಪಾತಗಳು, ಜೊತೆಗೆ ಎರಡು ಅನಂತ ವರ್ಗಗಳ ಸಮ ಡೈಹೆಡ್ರ ಮತ್ತು ಹೋಸೋಹೆಡ್ರಾಗಳುಃ ಹೆಮಿ-ಕ್ಯೂಬ್, {4,3}/2 ಹೆಮಿ-ಆಕ್ಟಾ ಹೆಡ್ರಾನ್, {3,4}/2 ಹೆಮಿ-ಡೊಡೆಕಾಹೆಡ್ರಾನ್, {5,3}/2 ಹೆಮಿ-ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾನ್, {3,5}/2 ಹೆಮಿ-ಡೈಹೆಡ್ರಾನ್, {2p, 2}/2, p> = 1 ಗೋಳಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.