Atkinson's theorem
ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಟ್ಕಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು (ಫ್ರೆಡೆರಿಕ್ ವ್ಯಾಲೆಂಟೈನ್ ಅಟ್ಕಿನ್ಸನ್ಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆಃ ಕರ್ನಲ್ ಕೆರ್ (ಟಿ) ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೆರ್ (ಟಿ *) ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ (ಟಿ * ಟಿ ನ ಪಕ್ಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ರನ್ (ಟಿ) ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ω ಎಲ್ (ಎಚ್) ಅನ್ನು ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಟ್ಕಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಟಿ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಪೆರ್ಟರ್ಬೇಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ, ಎ ಟಿ ω ಎಲ್ (ಎಚ್) ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಟಿಎಸ್ = ಐ + ಸಿ 1 ಮತ್ತು ಎಸ್ಟಿ = ಐ + ಸಿ 2 ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಆಪರೇಟರ್ ಎಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿ 1 ಮತ್ತು ಸಿ 2 ಗೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾಲ್ಕಿನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವಿಲೋಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ವಾಹಕ ಟಿ ω ಎಲ್ (ಎಚ್) ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಪುರಾವೆಯ ರೂಪರೇಖೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ನಿರ್ಬಂಧ ಟಿಃ ಕೆರ್ (ಟಿ) ಡಿ. ಡಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ. ಟಿ ಈ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ H ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ S ಗೆ 0 ರಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಿ. ನಂತರ I − TS ಎಂಬುದು ಕೆರ್ (T *) ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು I − ST ಎಂಬುದು ಕೆರ್ (T) ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಏಕೈಕ ಭಾಗವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಈಗ ಕೆಲವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ C2 ಗೆ ST = I + C2 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. x bul ಕೆರ್ (T) ಆಗಿದ್ದರೆ, STx = x + C2x = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆರ್ (ಟಿ) ಯು ಸಿ2ನ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆರ್ (ಟಿ) ಸಹ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಅದೇ ವಾದವು ಕೆರ್ (ಟಿ *) ಸಹ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ರಾನ್ (ಟಿ) ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಅಂದಾಜು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ ಎಫ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅದು | |F −ಸಿ2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ಹೀಗಾಗಿ ಟಿ ಅನ್ನು ಕೆರ್ (ಎಫ್) ಮೇಲೆ ಕೆಳಗೆ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಟಿ (ಕೆರ್ (ಎಫ್)) ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಟಿ (ಕೆರ್ (ಎಫ್) ಡಿಡಿ) ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆರ್ (ಎಫ್) ಡಿಡಿ = ರಾನ್ (ಎಫ್ *) ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಾನ್ (ಟಿ) = ಟಿ (ಕೆರ್ (ಎಫ್)) + ಟಿ (ಕೆರ್ (ಎಫ್)) ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಟ್ಕಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ವಿವರಣೆಯು ಅರ್ವೆಸನ್ ಅವರ ಉಲ್ಲೇಖದಲ್ಲಿದೆಃ ಇದು B ಒಂದು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಪರೇಟರ್ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎನ್ಫ್ಲೋ ಅವರ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ, ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಬನಾಚ್ ಜಾಗದ ಉದಾಹರಣೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ, ಅದು ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮಾನದಂಡ-ಮಿತಿಗಳಲ್ಲ). ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ, ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದರೆ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ (ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಸಮಾನ). ರನ್ (ಟಿ) ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ರೋಡೀಕರಣದ ಜಾಗವು ಸೀಮಿತ ಆಪರೇಟರ್ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೂ ಸಹ ಯಾವಾಗಲೂ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಡುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ಆರ್ವೆಸನ್ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ನೋಡಿ); ಇದು ಓಪನ್-ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಜಾಗವು ಸೀಮಿತ ಆಪರೇಟರ್ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಿಜವಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕರ್ನಲ್). ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅರ್ವೆಸನ್, ವಿಲಿಯಂ ಬಿ., ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಥಿಯರಿಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕಿರು ಕೋರ್ಸ್, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಪಠ್ಯಗಳು, ಸಂಪುಟ 209,2002, ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಥಿಯರಿ ಥಿಯರೆಮ್ಸ್ ಇನ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್