Viviani's theorem
ವಿನ್ಸೆಂಜೋ ವಿವಿಯಾನಿಯ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿವಿಯಾನಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು, ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳವರೆಗಿನ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿವಿಧ ಗಣಿತ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ ಈ ಪುರಾವೆಯು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ತಳಭಾಗದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು-ಅಂದರೆ, ಆ ಬದಿಯ ಎತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬದಿಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ABC ಯು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ, ಅದರ ಎತ್ತರವು h ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿ a ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದೊಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು P ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಬದಿಗಳಿಂದ P ಯ ಅಂತರವು u, s, t ಆಗಿರಲಿ. ಪಿಎಬಿ, ಪಿಬಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಿಸಿಎ ಎಂಬ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಿ ಯಿಂದ ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಗೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಈಗ, ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು, ಮತ್ತು. ಅವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸುತ್ತುವರಿದ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಕ್ಯೂ. ಇ. ಡಿ. ವಿಲೋಮವು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆಃ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಿಗಳವರೆಗಿನ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮಬಾಹು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿವಿಯಾನಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯಗಳ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳು ಸುಡುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಂತಹ ತ್ರಿಕೋನ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಿಗಳವರೆಗಿನ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ಅಂಶವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಿಗಳವರೆಗಿನ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ 2n-ಗನ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ವಿರುದ್ಧ ಸಮಾನಾಂತರ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನಾಂತರ ಬದಿಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿವಾರು ಮೊತ್ತಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ನಿಜವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಬಾಹು ಷಟ್ಕೋಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಸಮಕೋಶೀಯ ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು ಎರಡೂ), ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಅಪೊಥೆಮ್ನ n ಪಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಪೊಥೆಮ್ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಇರುವ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ; ವರ್ಗವಲ್ಲದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಒಂದು ಸಮಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಿಗಳವರೆಗಿನ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಒಟ್ಟು ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ, ಸಮಾನ ಮೊತ್ತದ ಅಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಒಳಭಾಗದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಿಗಳವರೆಗಿನ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗೆ ಸಹ ಅಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲಿ ಝೌ, ವಿವಿಯಾನಿ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಟ್ ದಿ ಗಂಟಿನಲ್ಲಿರುವ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ. ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳ ಯೋಜನೆ. ಡೈನಾಮಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು, ಒಂದು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು