Lift (mathematics)
ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯು, f: X → Y ಮತ್ತು g: Z → Y ಎಂಬ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, f ಅನ್ನು Z ಗೆ ಎತ್ತುವ ಅಥವಾ ಎತ್ತುವುದನ್ನು ಒಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಅಂಶಗಳು ಎಚ್ ಮೂಲಕ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆವರಿಸುವ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಎತ್ತುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಆವರಿಸುವ ಗೋಳದಿಂದ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವು ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರ [0,1] ದಿಂದ ನಿರಂತರವಾದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಗದ ಮೊದಲ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಎರಡು ಗೋಳದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಗೋಳಕ್ಕೆ ಅಂತಹ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಎತ್ತಬಹುದು, ನಂತರ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಮಾರ್ಗದ ಲಿಫ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಲಿಫ್ಟ್ಗಳು ಸರ್ವತ್ರವಾಗಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫೈಬ್ರೇಷನ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಲಿಫ್ಟಿಂಗ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿಯನ್ನು ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ಯೋಜನೆಗಳ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮತ್ತು (ಕೊನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಕೆಲವು ಲಿಫ್ಟ್ಗಳ ಅನನ್ಯತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಹೋಮ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಎತ್ತದಿರಬಹುದು. ಇದು ಎಕ್ಸ್ಟ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ತರ್ಕವು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿತ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ತರ್ಕದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಂಥರ್ ಸ್ಮಿತ್ ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ವಿಂಟರ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ರಿಲೇಷನಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಎತ್ತುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು "ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಂಬಂಧಾತ್ಮಕ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಮುಕ್ತವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ತರ್ಕದ ಶೈಲಿಯಿಂದ ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ". ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯ ಎಂ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಂ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಗುರುತಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. "ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ (ಇಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾವಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿಯಮಗಳ ಮುದ್ರಣದಲ್ಲಿ ಆಳವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ". ವೃತ್ತದ ನಕ್ಷೆಗಳು ವೃತ್ತದ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ, ನೈಜ ರೇಖೆಗೆ ಲಿಫ್ಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ). ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಲಿಫ್ಟ್, ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ (ಅಥವಾ, ಕವರ್ ಮ್ಯಾಪ್) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಕವರಿಂಗ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಯು ಅನಂತ ಎತ್ತುವ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾನ್ಸ್ಕಿ-ವಾಷ್ನಿಟ್ಜರ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಎತ್ತುವುದು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಏರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್. ಬಿ. ಐ ಉಂಗುರವು ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ರಾಡಿಕಲ್ನ ಮೇಲೆ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಎತ್ತಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇಕೆಡಾ ಲಿಫ್ಟ್ ಮಿಯಾವಾಕಿ ಲಿಫ್ಟ್ ಆಫ್ ಸೀಗೆಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳು ಸೈಟೋ-ಕುರೋಕಾವಾ ಲಿಫ್ಟ್ ಆಫ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವೃತ್ತದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಲಿಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆಗೆ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಃ ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ವೈಲ್ಸ್ (1995) ಹೆನ್ಸೆಲ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಮೊನಾಡ್ (ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್) ಅನ್ನು ಎತ್ತುವ ಮಾಡ್ಯುಲಾರಿಟಿಯು ಸರಳ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಮೊನಾಡಿಕ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಎತ್ತುವ ನಕ್ಷೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ