Standard conjectures on algebraic cycles
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವೆಯಿಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹಲವಾರು ಊಹೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ರೂಪಿಸಿದ ಈ ಊಹೆಗಳ ಮೂಲ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದರೆ, ಅವನ ಶುದ್ಧ ಉದ್ದೇಶಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ಅರೆ ಸರಳವಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ನೀಡಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳು ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಗಳ ಕಠಿಣ ಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 1960 ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದ "ರೀಮನ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್" ಊಹೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು; ವೆಯಿಲ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ನೋಡಿ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಉಳಿದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ. ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬೇಷರತ್ತಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ವೆಯಿಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಊಹೆಗಳು "ಬೀಜಗಣಿತ" ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಚಕ್ರ ವರ್ಗದ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಮಾರ್ಫಿಸಂ, ಇದು ವೆಯಿಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ರಚನೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎ ಊಹೆಯು ಬಿ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ, ಪುಟ 196), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ (ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಬಿ) ವೈಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಹಾರ್ಡ್ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಅಥವಾ ಆಕ್ಸಿಯಮ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆಃ ಸ್ಥಿರವಾದ ನಯವಾದ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ, ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈಗ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲುಃ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ () ಅನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕುನ್ನೇತ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ (ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಸಿ) ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳು ಬೀಜಗಣಿತೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಕ್ರದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವೈವಿಧ್ಯದ (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶುದ್ಧ ಉದ್ದೇಶ) ಉದ್ದೇಶವು ಉದ್ದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ನೇರ ಸಾರಾಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಊಹೆಯು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಪರಿಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಊಹೆಯನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲು ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಕುನ್ನೇತ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಎ. ಯ ಚೌ ಉದ್ದೇಶದ ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕುನ್ನೇತ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಯಿತು, ಅಂದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದದ ಮೇಲಿನ ಎನ್-ಗುಣಾಕಾರವು ಐ-ಥ್ ಸಂಕಲನದಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮೃದುವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೋಜನೆಗೆ ಕುನ್ನೇತ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಊಹೆ ಡಿ (ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ ವರ್ಸಸ್ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಮಾನತೆ) ಊಹೆ ಡಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸಮಾನತೆಯು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. (ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಎರಡನೆಯದು ವೆಯಿಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಈ ಊಹೆಯು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಊಹೆ ಮತ್ತು ಊಹೆ ಡಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಲಿಬರ್ಮನ್ ಗರಿಷ್ಠ 4 ಆಯಾಮಗಳ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ತೋರಿಸಿದರು. ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹಾಡ್ಜ್ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾಚೀನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಕಪ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜೋಡಣೆಯ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು (ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅದು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಊಹೆ ಊಹೆ ಡಿ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಊಹೆ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಡ್ಜ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಯು ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ () ಮತ್ತು ಆಯಾಮ 4 () ರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಯನ್ನು ಹಾಡ್ಜ್ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು, ಇದು ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ-ವರ್ಗವು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ಊಹೆಯು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಕುನ್ನೇತ್ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೂನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ D ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟೇಟ್ ಊಹೆಯು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್, ಕುನ್ನೇತ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಎಲ್-ಆಡಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗಾಗಿ ಊಹೆಯ ಡಿ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳ ಶಾಶ್ವತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು X ಮತ್ತು Y ಎಂಬ ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ, Y ಅನ್ನು X ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯೆಂದರೆ, Y ಯ ಉದ್ದೇಶವು (ಆಂಡ್ರೆ ಅವರ ಉದ್ದೇಶಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ) X ನ ಉದ್ದೇಶದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಮೊತ್ತಗಳು, ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಇದ್ದರೆ Y ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. Y ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರದಿದ್ದರೆ, ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸುಗಮ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಗೆ, ಅಂದರೆ Y ಅನ್ನು X ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳು D (ಏಕರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), B (ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್), ಹಾಡ್ಜ್ ಊಹೆಯು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹಾಡ್ಜ್ ಊಹೆಯು X ನ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ Y ಅನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಊಹೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಇತರ ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವು, ಉದ್ದೇಶಗಳ ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಕ ಟಿ-ರಚನೆಯೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ (ಊಹಾತ್ಮಕ) ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಕುನ್ನೇತ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಊಹೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಗತಿ ಅನಾಲಾಗ್ಸ್ ಕೆಹ್ಲೆರಿಯನ್ಸ್ ಡಿ ಸೆರೀಟೆಸ್ ಕನ್ಜೆಕ್ಚರ್ಸ್ ಡಿ ವೈಲ್. ಜೆ. ಪಿ. ಸೆರ್ರೆ (ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಿಟ್ ಡಿ 'ಯುನ್ ಲೆಟ್ರೆ ಎ. ವೆಯಿಲ್, 9 ನವೆಂಬರ್ 1959) ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ