Elliptic boundary value problem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ವಿಕಾಸದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗೆ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ತಾಪನವನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡಿದ ಹಲವಾರು ಗಂಟೆಗಳ ನಂತರ ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಶಾಖದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಲೋಹದ ಫಲಕದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಶಾಖದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹಿಡಿದು, ದ್ರವಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದವರೆಗೆ, ಭೌತಿಕ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವನ್ನು ಸಾಪೇಕ್ಷವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುವ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ವರ್ಗವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬೇಕು. ಪ್ರಸ್ತುತ ಲೇಖನವು ರೇಖೀಯ ಅಂಡಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗದ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ತಾಪಮಾನದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ಆ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ತಾಪಮಾನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ, ಶಾಖವು ಬಿಸಿಯಾದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ತಂಪಾದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹರಿಯುತ್ತದೆ. ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸ್ಥಳ, ಸಮಯ ಮತ್ತು ತಾಪಮಾನ, ವೇಗ, ಒತ್ತಡ, ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮುಂತಾದ ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಮಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮನೆ ಮತ್ತು ಮರದ ನಡುವೆ ಬಟ್ಟೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೇತುಹಾಕಿದರೆ, ಗಾಳಿಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಟ್ಟೆಯ ರೇಖೆಯು ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಟನರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮೃದುವಾದ ತೂಗಾಡುತ್ತಿರುವ ಬಾಗಿದ ಆಕಾರವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಬಾಗಿದ ಆಕಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾನ, ಒತ್ತಡ, ಕೋನ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಆದರೆ ಆಕಾರವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಸಮಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ. ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಬೌಂಡರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಮಯದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಪೇಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ಉದಾಹರಣೆ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮುಖ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್, ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ತಿಳಿದಿರುವ ದತ್ತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಇತರ ಎಲ್ಲ ಅಂಡಾಕಾರದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಅಗತ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಲೋಹದ ಫಲಕವು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಇದನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿ) ಈ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಲೋಹದ ಫಲಕದಲ್ಲಿ ಶಾಖದ ಸ್ಥಿರ ಅಥವಾ ಮಿತಿ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯವು ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶಾಖ ಉತ್ಪಾದನೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಬಹುಶಃ ಲೋಹದ ತಟ್ಟೆಯ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಹೀಟರ್ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದು ದರದಲ್ಲಿ ತಟ್ಟೆಯೊಳಗೆ ಶಾಖವನ್ನು ಪಂಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಲೋಹದ ತಟ್ಟೆಯ ಮೇಲೆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರದೇ ಇರಬಹುದು.) ದೀರ್ಘಕಾಲ ಕಾಯಿದ ನಂತರ, ಲೋಹದ ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ತಾಪಮಾನದ ವಿತರಣೆಯು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಾಮಕರಣವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಸೆಕೆಂಡ್ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರವನ್ನು (ಎಲ್ಲರೂ ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು (ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಯಾವಾಗ ಅಂಡಾಕಾರ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಆಪರೇಟರ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಅಂಡಾಕಾರದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸ್ಪೇಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ. ಸೆಕೆಂಡ್ ಡಿಗ್ರಿ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಅಂದರೆ, (ವಿಚಲನ ರೂಪ). (ನಾನ್ಡಿವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಫಾರ್ಮ್) ಸ್ಪೇಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು-ಆಯಾಮದ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು (ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಫಾರ್ಮ್) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನದ ಉಳಿದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಆಪರೇಟರ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆಃ (ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ). .. .. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯು (ಪಿಡಿಇ) ಮತ್ತು (ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯ) ನಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನ್ಯೂಮನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಾರ್ಮಲ್ ಅನ್ನು ಹೊರಕ್ಕೆ ತೋರಿಸುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಟ್ರೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಬೌಂಡರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು. ಈ ಲೇಖನದ ಉಳಿದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅದು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೆಲವು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಸಾಧನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ನಮಗೆ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, "ಒಮ್ಮೆ-ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ" ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆರಡೂ ಚೌಕಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯಿದೆ ಎಂದರೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು "ದುರ್ಬಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು (ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ.) ಈ ಜಾಗವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿವರಗಳಲ್ಲಿನ ಚರ್ಚೆಯು ಈ ಲೇಖನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ, ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸದಿದ್ದರೆ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದುರ್ಬಲ, ಸೊಬೋಲೆವ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ನಾವು "ಬಲವಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು, ಬಾರಿ ಬಲವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು th ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ದುರ್ಬಲ ಅಥವಾ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರಹಾಕುವ ಮೊದಲ ಹಂತವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಅದರ ದುರ್ಬಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯನ್ನು "ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯ" ದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಲು ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಿ. ನಾವು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ತಾಂತ್ರಿಕ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಅದೇ ಸ್ಥಳದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಪದವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ (*) ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ತರ್ಕವು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ನ್ಯೂಮನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಒತ್ತಾಯದ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೊಬೋಲೆವ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಒಮ್ಮೆ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಾವು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರೆ. ಅನೇಕ ಸಂಭಾವ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಈ ಲೇಖನದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಿರಂತರವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಆನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯು ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಚದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಓದುಗರು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದು ಇದ್ದರೆ ನಕ್ಷೆಯು ದಬ್ಬಾಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ (ಜೊತೆ) ಗೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಮತ್ತು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಸಹ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. (ಅದು ಯಾವಾಗ ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.) ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆ, ಲಕ್ಷ್ಮ-ಮಿಲ್ಗ್ರಾಮ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಮೂಲಕ, ಯಾವಾಗ ಬಲವಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ದುರ್ಬಲ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ (*) ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಮುಂದೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ,), ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ರೀಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಇದು ಸ್ವತಃ ಪಾಯಿನ್ಕೇರೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಬಲವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ದುರ್ಬಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಇದು ಬಲವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಂಡಾಕಾರದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಹಿಡಿದಿಡಲು ಯಾವುದೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಳ ಷರತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆಃ ಇದರ ಗಡಿ, ಅಥವಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ತುಣುಕುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ನಿಜವಾಗಿ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಚೋದಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದು ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಸುಳ್ಳು. ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ನಂತರ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ. ಬಲವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಗಡಿಯನ್ನು ನಯವಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಬಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಬಲವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ. ಇದರ ಪುರಾವೆಯು ಸುಧಾರಿತ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇಫ್ ಈಸ್ ಮತ್ತು, ನಂತರ, ಸೊಬೋಲೆವ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವಾಗ ಬೇಕಾದರೂ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅಸಾಧಾರಣ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ. ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಳವಾದದರೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎಣಿಸಿರುವ ಉತ್ತಮ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (ಮತ್ತು ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಅನೇಕ), ರೇಖೀಯ ಅಂಡಾಕಾರದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಕಗಳಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನ, ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡಿ.) ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಜೆನ್ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಸೊಬೋಲೆವ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಒಂದು ಸಾಂದ್ರ ರೇಖಾತ್ಮಕ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಬಲವಂತದ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಟು ನಿಂದ ನಕ್ಷೆಯು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸರಣಿ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಒಬ್ಬರು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ "ಸ್ಪಷ್ಟ" ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುವ ಇದನ್ನು ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ (ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು) ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿವೆಯೆ ಎಂದು ಓದುಗರು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುವ ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವವು ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವದ ಅನೇಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ. ನಾವು ಸರಳವಾದದ್ದನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯ. (ದುರ್ಬಲ ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವ.) ಇರಲಿ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅದನ್ನು ಒಳಗೆ ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಲವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು