Inverse curve
ವಿಲೋಮ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿರ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ವಿಲೋಮವು ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮವು ನಂತರ ಆಸ್ ರನ್ ಓವರ್ನ ಲೋಕಸ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ವಿಲೋಮದ ಕೇಂದ್ರ, ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿಲೋಮದ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ವಿಲೋಮವು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಲೋಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮವು ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ವಿಲೋಮ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿಲೋಮದಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ವಿಲೋಮವು ಸ್ವತಃ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿಂದುವಿನ ವಿಲೋಮವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮವು ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಡಿಗ್ರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಡಿಗ್ರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮವು ಅದೇ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಲೋಮ ವೃತ್ತವು ಏಕ ವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮವು ಅಲ್ಲಿ ಏಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿಂದುವಿನ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಡಿಗ್ರಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಲೋಮವು ಗರಿಷ್ಠ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವಿಲೋಮ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅದು ವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಅದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಲೋಮವು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿಗ್ರಿ-ವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ವಿಲೋಮದ ಕೇಂದ್ರವು ಕ್ರಮದ ಏಕತ್ವವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಲೋಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಡಿಗ್ರಿ-ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮದ ಕೇಂದ್ರವು ವಿಲೋಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮದ ಏಕತ್ವವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವಿಲೋಮದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮದ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ; ಅದೇ ರೀತಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಬಿಂದುಗಳು, ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮದ ಏಕತ್ವಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿಗ್ರಿ-ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸೆಟ್, ಬದಲಾಗಬಹುದು ಆದರೆ ಸ್ಥಿರ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ವಿಲೋಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಈ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಲೆಮ್ನಿಸ್ಕೇಟ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಮಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ವಿಲೋಮವು ಬೈರೇಷನಲ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಲೆಮ್ನಿಸ್ಕೇಟ್ ಸಹ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆ. ನಾವು ಫೆರ್ಮಾಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೆಸವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುವು ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅನುಗುಣವಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ವೃತ್ತವು ಏಕಕ ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ವಿಲೋಮ ವೃತ್ತಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ವರ್ಧನೆಯಿಂದ ಕಾಣಬಹುದು. ರೇಖೆಗಳು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ, ಧ್ರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿಲೋಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ರೇಖೆಯ ಧ್ರುವೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತದ ವಿಲೋಮವು ಒಂದು ರೇಖೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ವೃತ್ತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು (ಇತರ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ) ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಲೋಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ನಂತರ ಅಥವಾ ಇದು ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಮೂಲ ವೃತ್ತವು ಏಕ ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಕ ಬಿಂದುವು ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಸಮಕೋಣೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಯಾವಾಗ. ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ಮೂಲ ವೃತ್ತವು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಲೋಮ ವೃತ್ತದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲುಃ ಒಂದು ರೇಖೆ ಅಥವಾ ವೃತ್ತದ ವಿಲೋಮವು ಒಂದು ರೇಖೆ ಅಥವಾ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಲೋಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವಿಲೋಮ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವಿಲೋಮ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ತಲೆಕೆಳಗಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವಿಲೋಮ ವೃತ್ತವನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗಿನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು, ಹೋಲಿಕೆಯವರೆಗೆ, ಶೃಂಗವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷವು ಸಮತಲವಾಗಿರುವಂತೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಲೋಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಇದು ಡಯೋಕ್ಲಿಸ್ನ ಸಿಸ್ಸೋಯಿಡ್ ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗದ ಧ್ರುವೀಯ ಸಮೀಕರಣವು, ಇ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯಿರುವ ಹೋಲಿಕೆಯವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮವು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಲಿಮಾಕಾನ್ನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದ ವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದಾಗ. ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಆಕ್ನೋಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವು ಕಾರ್ಡಿಯೋಯಿಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕಸ್ಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಆಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕ್ರುನೋಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲೂಪ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಇದನ್ನು ಭಾಷಾಂತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೂಲವು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಿಕೆಯು ನೀಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಈಗ ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಈ ಯೋಜನೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು. ವಿಲೋಮದ ಸಮೀಕರಣವು ಅಥವಾ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಡಿ ಸ್ಲುಜ್ನ ಕಾನ್ಚಾಯ್ಡ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕುಟುಂಬವು, ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಡಯೋಕ್ಲಿಸ್ನ ಸಿಸ್ಸೋಯಿಡ್ನ ಜೊತೆಗೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ನ ಟ್ರೈಸೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ () ಮತ್ತು ಬಲ ಸ್ಟ್ರೋಫಾಯಿಡ್ () ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲಿಪ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದರಿಂದ ಹಿಪ್ಪೋಪೀಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಲೆಮ್ನಿಸ್ಕೆಟ್ ಆಗಿರುವಾಗ. ಮೇಲಿನ ಡಿಗ್ರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, ವಿಲೋಮದ ಕೇಂದ್ರವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಕೋನಿಕ್ನ ವಿಲೋಮವು (ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಘನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ದ್ವಿವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ವಿಲೋಮ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸಹ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಘನ ಅಥವಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ದ್ವಿ-ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನೈಜ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ವಿಲೋಮದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ವಿಲೋಮ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಡಿಗ್ರಿ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನಲ್ಲಾಗ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ತನ್ನೊಳಗೆ ತಲೆಕೆಳಗಾಗುವ ಒಂದು ಅನಲ್ಲಾಗ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ವೃತ್ತ, ಕಾರ್ಡಿಯೋಯಿಡ್, ಕ್ಯಾಸಿನಿಯ ಅಂಡಾಕಾರ, ಸ್ಟ್ರೋಫಾಯಿಡ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲಾರಿನ್ನ ಟ್ರೈಸೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರಿವೆ. ಇನ್ವರ್ಸಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಇನ್ವರ್ಷನ್ ಆಫ್ ಕರ್ವ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಸರ್ಫೇಸ್ (ಜರ್ಮನ್) ವಿಶೇಷ ಪ್ಲೇನ್ ಕರ್ವ್ಸ್ನ ವಿಷುಯಲ್ ಡಿಕ್ಷನರಿಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು "ಇನ್ವರ್ಷನ್" ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿ ಡೆಸ್ ಫಾರ್ಮ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ "ಇನ್ವರ್ಸ ಡಿ 'ಯುನ್ ಕೋರ್ಬೆ ಪಾರ್ ರಾಪೋರ್ಟ್ ಎ ಅನ್ ಪಾಯಿಂಟ್" ಮ್ಯಾಕ್ಟೂಟರ್ನ ಫೇಮಸ್ ಕರ್ವ್ಸ್ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಲೋಮ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಈ ತಾಣವು ವಿಲೋಮ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಜಾವಾ ಆಪ್ಲೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ವಿಲೋಮ ಜ್ಯಾಮಿತಿ