Freund–Rubin compactification
ಫ್ರಂಡ್-ರುಬಿನ್ ಸಂಕೋಚನವು ಆಯಾಮದ ಕಡಿತದ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಶ್ರೇಣಿಯ ಎಸ್ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎಸ್ ಅಥವಾ ಡಿ-ಎಸ್ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲು 'ಆದ್ಯತೆ' ನೀಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಡಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ (ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲದೆ), ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒತ್ತಡ-ಶಕ್ತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಲವು ಅದರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅನ್ಸ್ಯಾಟ್ಜ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಎಸ್-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಸುತ್ತುವರಿದ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಆಯಾಮಗಳ s ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಈ s-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ-ವರ್ಗಗಳ (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ) ಆಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಲವು s-ಆಯಾಮದ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಬ್ಲಾಕ್-ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಲದಂತೆಯೇ ಅದೇ s ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಉಳಿದ d-s ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಮ್ಮ ಡಿ ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ನಂತರ, ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಈ ಎರಡು ಉಪ-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಾವು s-ಮತ್ತು (d-s)-ಆಯಾಮದ ಉಪ-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಗಳು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರಬೇಕು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ, ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ d ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ s ಅಥವಾ (d-s) ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, 11D-ಸೂಪರ್ಗ್ರಾವಿಟಿ 4-ರೂಪದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಬಲದೊಂದಿಗೆ 3-ರೂಪದ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅದರ 7 ಅಥವಾ 4 ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು 4 ಅಥವಾ 7 ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿರಬೇಕು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವಿದ್ಯಮಾನದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಆವೇಶದ ಕಣಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ವಿವಿಧ ಆಯಾಮಗಳ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಶಾಖೆಗಳ ರಾಶಿಗಳ ಸಮೀಪವಿರುವ ಸ್ಥಳಾವಧಿಯ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಫ್ರಾಯ್ಡ್-ರುಬಿನ್ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಗುತ್ತದೆ. ಟೈಪ್ II-B ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹತ್ತು ಸ್ಥಳಾವಧಿಯ ಆಯಾಮಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಡಿ-ಬ್ರೇನ್ಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಐದು-ರೂಪದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಬಲವಿದೆ, ಮತ್ತು ಡಿ 3-ಬ್ರೇನ್ಗಳ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಹತ್ತಿರದ ಹಾರಿಜಾನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಐದು ಆಯಾಮದ ಆಂಟಿ-ಡಿ ಸಿಟ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಬಾರಿ ಐದು ಆಯಾಮದ ಗೋಳವಾಗಿದೆ, ಇದು ಐದು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಆಡ್ಸ್/ಸಿಎಫ್ಟಿ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎಂ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ 11ಡಿ-ಸೂಪರ್ಗ್ರೈವಿಟಿಯ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯ ಮಿತಿಯು 4-ರೂಪದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಂ2 ಮತ್ತು ಎಂ5 ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಶಾಖೆಗಳ ರಾಶಿಗಳ ಹತ್ತಿರದ ಕ್ಷಿತಿಜ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಆಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ