Geometric Langlands correspondence
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಿಂದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಸುಧಾರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು 2002 ರಲ್ಲಿ ಲಾರೆಂಟ್ ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. 1960ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ರಾಬರ್ಟ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ರೂಪಿಸಿದ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು, ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತಾನಿಯಾಮಾ-ಶಿಮುರಾ ಊಹೆಯಂತಹ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಮಂಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಗಳನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ (ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ) ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಬದಲಿಗೆ ಜಾಗತಿಕ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. 2002 ರಲ್ಲಿ, ಲಾರೆಂಟ್ ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ ಅವರು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕ 2007ರ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಆಂಟನ್ ಕಪುಸ್ಟಿನ್ ಮತ್ತು ಎಡ್ವರ್ಡ್ ವಿಟ್ಟೆನ್ ಕೆಲವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಮತ್ತು ಎಸ್-ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. 2018 ರಲ್ಲಿ, ಅಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವಾಗ, ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಮೂಲ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಂತೆಯೇ ಇರುವ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಮರುರೂಪಿಸುವ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎನ್ ಲ್ಯಾಬ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ