Virtually
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯಾವಿಶೇಷಣವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಗುಣವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದು ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಚ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಉಪಗುಂಪು ಇದ್ದರೆ ಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪಿ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿ ಅಬೆಲಿಯನ್, ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್, ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಮುಕ್ತವಾದಾಗ ಇದಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಯೋಗಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಪರ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಬಹುಪದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪಿ ಕೇವಲ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, G ಮತ್ತು H ಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, G ಯು G ಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಉಪಗುಂಪು K ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, K ಯು H ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಗುಂಪು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಸರಿಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಂಪುಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು. ಎನ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಎಚ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನ. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು.) N ಪರಿಮಿತವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು H ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನ. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು (ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಉಪಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ). ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು. ಯಾವುದೇ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಗುಂಪು. ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ N ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು H ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಎನ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಚ್ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಬಹುಪದೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪಾಲಿಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಯಾವುದೇ ಉಚಿತ ಗುಂಪನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು. N ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು H ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನ. ಎನ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಎಚ್ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನ. ಯಾವುದೇ ಉಚಿತ ಉತ್ಪನ್ನ, ಅಲ್ಲಿ ಎಚ್ ಮತ್ತು ಕೆ ಎರಡೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪು.) ಇದು ಯಾವುದೇ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಟಾಲಿಂಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನೀಲ್ಸನ್-ಶ್ರಿಯರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಿಯರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೂತ್ರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ 2 ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಇರುವುದರಿಂದ ಅದು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ