Yetter–Drinfeld category
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ವರ್ಗವು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ H ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. ಕೋಪ್ರೊಡಕ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು S ಅನ್ನು H ನ ಆಂಟಿಪೋಡ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. V ಯು k ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ V ಅನ್ನು H ಮೇಲೆ (ಎಡ ಎಡ) ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಡ H-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ V ಮೇಲೆ H ನ ಎಡ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಡ H-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ V ಮೇಲೆ H ನ ಎಡ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಸ್ವೀಡ್ಲರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮತ್ತು ನ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಸಹಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೋಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಎಡ ಎಚ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅಲ್ಪವಾದ ಎಡ ಕೋಆಕ್ಷನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಎಚ್. ಗೆ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಎಚ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಜಿ ಯ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತ ಕೆಜಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಚ್ ಮೇಲಿನ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಜಿ-ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಜಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, G ಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, H = kG ಮೇಲೆ ಇರುವ ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು G-ಗ್ರೇಡೇಷನ್ ಹೊಂದಿರುವ G-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೇಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್/ಸರಳ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು (ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್) ಗುಂಪಿನ H = kG ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗದ ಮೂಲಕ (ಅಕ್ಷರದ) ಜೊತೆಗೆ ಕೆಲವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ G-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಪ್ರೇರಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ (ಇದು g ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು) G-ಗ್ರಾಜುಯೇಷನ್ (ಕೋಮೋಡ್ಯೂಲ್) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪದವಿ ಪದರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿಃ X ನ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮತ್ತು-ಕೋಶಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ G-ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಬಹಳ ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ (ಈ ಸಂಕೇತವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ರಚನೆಯ ಬದಲು ಪದವಿಗೆ ಒತ್ತು ನೀಡುತ್ತದೆ) ಬ್ರೇಡಿಂಗ್ ಎಚ್ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಂಟಿಪೋಡ್ ಎಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ವಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನಕ್ಷೆಯು, ವಿಲೋಮದೊಂದಿಗೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು, ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಯು, ವಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಮ್ಯಾಪ್ ಸಿ ಬ್ರೇಡ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಂಟಿಪೋಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಯೆಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಮೊನೊಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಹೆಣೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಸಿ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ. ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಂಟಿಪೋಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಎಟರ್-ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳು