Subcountability
ರಚನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆ ಭಾಗಶಃ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಇದ್ದರೆ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಉಪಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎ ನಿಂದ ಆನ್ ಟು ಗೆ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಸದಸ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಉಪವರ್ಗವು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಉಪಗಣನೀಯ ಸಂಗ್ರಹದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪಿನ ಚಿತ್ರಣದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಗಣವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಚರ್ಚೆಯ ನಾಮಕರಣವು ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಮಿತತ್ವದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಾಮಕರಣವು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ-ಭಾಗಶಃ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕವು ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಊಹಿಸುವಾಗ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಪುನರುಚ್ಚರಿಸಲು, ಇಲ್ಲಿ ಚರ್ಚೆಯು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇಲ್ಲಿನ ಭಾಷೆಯು ರಚನಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಉಪಗಣನೀಯ ಹೆಸರನ್ನು ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉಪವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ ಗಣನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಂತೆ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸೆಟ್ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಲವು ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ರಚನೆಯಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಂತೆ, ಒಟ್ಟು ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅದು ಅಂತಹ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಭಾಗಶಃ ಗಣನಾಯೋಗ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಕೇತಗಳ ಮೂಲಕ, ಇದು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ಕಾರ್ಯಸೂಚಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯಗಳಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಉಪಗಣನಾಯೋಗ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಕಾಣಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗದ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗದ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಉಪಗಣನೆಯ ಹೆಸರು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಗುಂಪಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಎಣಿಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಕೇವಲ ಉಪಗುಂಪು ಸಂಬಂಧ. ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಆಸ್ತಿಯಲ್ಲ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ರೈಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗಣನೀಯ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲ. ಉಪಗಣನೀಯವಾದ ಪ್ರದರ್ಶನವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ (ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎಣಿಕೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎಣಿಕೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಉಪಗಣನೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ರಚನಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಅನಂತ (ಅನಂತವಲ್ಲದ) ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯಶಃ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಜೋಡಿಸುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಲಿ, ಉಪಗಣನೆಯ ಗುಣವು ಎಣಿಕೆಯ ಗುಣದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅನಗತ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸೆಪರೇಷನ್ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ ಸ್ಕೀಮಾದಂತಹ ಸೆಟ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ. ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಆದರೆ ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು, ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವೆಂದು ಭಾವಿಸದೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಇಂಡೆಕ್ಸಿಂಗ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲು ವಿಫಲವಾದರೆ, ಉಪಗಣನೀಯ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಎಣಿಸಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು. ಎಣಿಕೆಯಲ್ಲಿರುವುದು ಎಂದರೆ ಉಪಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಮಾರ್ಕೋವ್ನ ತತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯದ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಸ್ತಾಪಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಈ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ದಿಕ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತರ್ಕದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಒಳಸೇರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ), ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಉಪಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಸರ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪು) ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಕವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಣಿಕೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣ) ಎಲ್ಲವೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆಯ ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಸಮರ್ಥನೆಗಳು ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯದ ನಿಯಮವಿಲ್ಲದೆ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಉಪಗಣನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ರಚನಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಹೊರಗಿರುವ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಬಗ್ಗೆ ಎಣಿಕೆಯ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದರೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಗುಂಪಿನ ಉಪಗಣ್ಯತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು. ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದಂತೆ, ಅದರ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಚೌಕಟ್ಟು ರಚನಾತ್ಮಕ ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ರಷ್ಯಾದ ರಚನಾತ್ಮಕತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಉಪಗಣನೀಯ ಮತ್ತು ω-ಉತ್ಪಾದಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು-ಉತ್ಪಾದಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಪೂರಕವಾಗಿ ಉಳಿಯುವ ಅಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಇದ್ದರೆ, ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಪೂರಕವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಉಪಗಣನೀಯ ಸೆಟ್ ಎಂದಿಗೂ ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ,-ಉತ್ಪಾದಕವಾಗಿರುವ ಗುಣವು ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಒಂದು ಸೆಟ್-ಉತ್ಪಾದಕತೆಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು ಎಷ್ಟು ಕಷ್ಟ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉತ್ಪಾದಕತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಉಪಗಣನೀಯತೆಗೆ ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಿರುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಕರ್ಣೀಯ ವಾದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎಪ್ಪತ್ತರ ದಶಕದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ. ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗಣನೀಯ ಎಣಿಕೆಯ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಡೆತಡೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಟ್ಟು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯದ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿರಬೇಕು. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿರುವಲ್ಲಿ, ನೀಡಲಾದ ಸ್ಥಳವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿ, ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ರೀಡ್ ಅನ್ನು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ-ಉತ್ಪಾದಕ ಗುಂಪಿಗೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣವು ಯಾವುದೇ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ (ಬಹುಶಃ ಭಾಗಶಃ) ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ-ಉತ್ಪಾದಕ ಗುಂಪಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದಿರುವಿಕೆಯನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ. ಉಪಗಣನೀಯತೆಯ ಊಹೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ಯಾಂಟೋರಿಯನ್ ವಾದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಉಲ್ಲೇಖ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ನಾವು ರಚನಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ CZF ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ರಿಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್, ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಪರೇಷನ್, ಬಲವಾದ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ, ಪವರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಅಜ್ಞೇಯವಾದಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸೆಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ ಉಪಗಣನೆಯಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಮುಂದಿನ ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ರಿಟರ್ನ್ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಉಪಗಣನೀಯ ಸೆಟ್ಗೆ, ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಇನ್ನೂ ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಕಡಿಮೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಹಕ್ಕುಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು-ಪವರ್ ಕ್ಲಾಸ್ಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ-ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪವರ್ಗವು ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (ಕೇವಲ ನಿಜ ಮತ್ತು ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು (ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ) ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉಪ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ (ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳು) ದತ್ತಾಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳ ರಿಟರ್ನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ, ಉಪಗುಂಪು ಸದಸ್ಯತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಸದಸ್ಯತ್ವವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, (ಒಟ್ಟು) ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಉಪಗುಂಪುಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಿಝಡ್ಎಫ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಕೆಲವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿಂಗಲ್ ಟಾನ್ನ ಶಕ್ತಿ ವರ್ಗವೂ ಸಹ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿರುವ ಅಧಿಕಾರ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಿರಾಕರಣೆ ಪರಿಚಯ ಕಾನೂನಿನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ಅದು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಾದವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪವರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಇದು ಅವಲಂಬನೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈಗ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗೆ ನಾವು ಅಡಚಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಿಝಡ್ಎಫ್ನಲ್ಲಿ ಬದಲಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಬೇಷರತ್ತಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು ಉಪಗಣನೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಉಪಗಣನೆಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ. ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಕೇವಲ ಎರಡರಲ್ಲೂ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಪರೇಷನ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಆಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆಗಳಿಲ್ಲದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಝೆಡ್ಎಫ್ಸಿ ಯಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರುವ ರಿಯಲ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉಪವರ್ಗಗಳು ಉಪಗಣನೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸ್ಪೇಸ್ ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸೆಟ್ ಒಟ್ಟು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ನ ಆ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಉಪಗಣನೀಯತೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುವುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಉಪಗಣನೀಯ ಸೆಟ್ ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ನಿರಾಕರಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಹೇಳಬಹುದು ಈ ಸೆಟ್ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗದ ಹೊರತು ಸೆಟ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ನಾವು ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಜಾಗದ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ, ಉಪಗಣನೀಯತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, CZFನ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ನಿಜಕ್ಕೂ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸದಸ್ಯತ್ವವು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗದಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು. ಈ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಮೀರಿ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಾದದಿಂದ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂದು ಇದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. a ಅನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಹಿಂದೆ ನಿರೂಪಿಸಲಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಉಪಗಣನೆ ಮಾಡಬಹುದೆಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಉಪಗಣನೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಎಲ್ಇಎಂ ಸೇರಿದಂತೆ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾದರಿಗಳು ಮೇಲಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಕೋಡಿಂಗ್ಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಉಪಗಣನೆಯ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳಿಂದ CZF ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯ ತತ್ವಗಳಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪುರಾವೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಐಝಡ್ಎಫ್ನ ಮಾದರಿಗಳಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು ಉಪಗಣನೀಯವಾಗಿವೆ. CZF ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾರ್ಟಿನ್-ಲೋಫ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಸಬ್ ಕೌಂಟಬಿಲಿಟಿ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವುದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪವರ್ ಸೆಟ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯದ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾದ, ಕ್ರಿಪ್ಕೆ-ಪ್ಲ್ಯಾಟೆಕ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳು, ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧಾಂತವಿಲ್ಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು, ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದೆಂದು ಸಹ ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಗಾತ್ರದ ನಿರ್ಣಯವಾಗಿ ಗಾತ್ರದ ಉಪಗಣನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದ ಮೇಲಿನ "ಪೂರ್ವ ಆದೇಶ" ವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಅಸಮಮಿತಿಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ವಾದದ ಪ್ರಕಾರ, ಮಧ್ಯಮ ಶ್ರೀಮಂತ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಮತ್ತು ಸಹ) ಯಾವಾಗಲೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದವನಾಗಿರುವುದು. ಆದರೆ ಆ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ವಾದವು ಕೇವಲ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಾತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಮೂಲಕ ಸೆಟ್ಗಳ ಅದರ ಪ್ರೇರಿತ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಗಣನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗವು ರಚನಾತ್ಮಕ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಹೀಗಾಗಿ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅನಂತ ಸಮೂಹವನ್ನು ವರ್ಗಕ್ಕಿಂತ "ಚಿಕ್ಕದು" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಉಪಗಣನೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಉಪಗಣನೀಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾದೃಶ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ "" ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಪ-ಅಂತಿಮ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ವಾದವಾದ ಗಣನಾಯೋಗ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಮೂಹ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಶ್ರೋಡರ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಸಬ್ಕೋಷಿಯಂಟ್ ಟೋಟಲ್ ಆರ್ಡರ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರಚನಾತ್ಮಕತೆ (ಗಣಿತ)