Erdős–Rényi model
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಮಾದರಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಜಾಲದ ವಿಕಾಸಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಹಂಗೇರಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ರೇನಿ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು 1959 ರಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಎಡ್ಗರ್ ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಇತರ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಮಕಾಲೀನವಾಗಿ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ರೇನಿಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ರೇನಿಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಶೃಂಗದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ರೆನಿ-ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾದರಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಇತರ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಇರುವ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಂಭಾವ್ಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಂದರೆ ಏನು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಕಠಿಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಯ ಎರಡು ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಸ್ಪರ ಪಡೆದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಮೂರು ಎರಡು-ಅಂಚಿನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿವೆ (ಎರಡು-ಅಂಚಿನ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಶೃಂಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಗೆ ಒಂದು), ಮತ್ತು ಈ ಮೂರು ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಇತರ ತುದಿಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; 1 ರಿಂದ 2 ರವರೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಮಾದರಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಕಡಿಮೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅವು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯು, ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವಂತೆ, ಅಂಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆ ಜಿ (ಎನ್, ಪಿ) ನಲ್ಲಿನ ಅಂಚುಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಜಿ (ಎನ್, ಪಿ) ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಸುಮಾರು ಈ ಅನೇಕ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಂಚುಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿದ್ದರೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಸ್ಥೂಲ ಶೋಧನೆಯೆಂದರೆ, pn2 → φ ಆಗಿದ್ದರೆ, G (n, p), n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ G (n, M) ನಂತೆಯೇ ವರ್ತಿಸಬೇಕು. ಅನೇಕ ಗ್ರಾಫ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ, ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿ ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕಸ್ವರವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಎ ಎಂಬುದು ಬಿ ಯ ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಪಿ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಎ ಪಿ ಅನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ), ಆಗ "ಪಿ ಜಿ (ಎನ್, ಪಿ) ನಲ್ಲಿರುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು "ಪಿ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಪಿಎನ್ 2 → φ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಪಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚಕ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಮೊನೊಟೋನ್ ಅಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣ). ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಜಿ (ಎನ್, ಪಿ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ಇಂದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಭಾಗಶಃ ಅಂಚುಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸುಲಭತೆಯಿಂದಾಗಿ. G (n, p) ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೇಲಿನ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ, G (n, p) ನಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸರಾಸರಿ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶೃಂಗದ ಪದವಿಯ ವಿತರಣೆಯು ದ್ವಿಪದವಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯು ದೊಡ್ಡ n ಮತ್ತು np = ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ. 1960ರ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ರೇನಿ ಅವರು p ಯ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ G (n, p) ನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಹಳ ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ np <1 ಆಗಿದ್ದರೆ, G (n, p) ನಲ್ಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಬಹುತೇಕವಾಗಿ O (log (n)) ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಗಾತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. np = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, G (n, p) ನಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬಹುತೇಕವಾಗಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗಾತ್ರವು n2/3 ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. np → c> 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ c ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗ G (n, p) ನಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಶೃಂಗಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ದೈತ್ಯ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಘಟಕವು ಒ (ಲಾಗ್ (ಎನ್)) ಶೃಂಗಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, G (n, p) ನಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬಹುತೇಕವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, G (n, p) ನಲ್ಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಜಿ (ಎನ್, ಪಿ) ನ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಹುತೇಕ ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ n ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಿ (ಎನ್, 0.5) ನಲ್ಲಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಗುಂಪು ಬಹುತೇಕವಾಗಿ ಕೆ (ಎನ್) ಅಥವಾ ಕೆ (ಎನ್) + 1 ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಕೆ (ಎನ್) (ಸರಿಸುಮಾರು 2ಲಾಗ್ 2 (ಎನ್) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಇದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎನ್ಪಿ-ಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, "ವಿಶಿಷ್ಟ" ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ (ಈ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರ) ಅತಿದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ರೆನಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಎಡ್ಜ್-ಡ್ಯುಯಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಡಿಗ್ರಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಡಿಗ್ರಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕೊಳೆತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಕೊಳೆತ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅಂಚುಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು) ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತಾರೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಭಾರವಿಲ್ಲದ ಕೊಂಡಿ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. (ಒಂದು ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ತೂಕದ ಪರ್ಕೋಲೇಶನ್ ಆಗಿ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ತೂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪರ್ಕೋಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಪರ್ಕಲೇಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಮಾಡಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಆಗಿತ್ತು. ಎನ್ಪಿ = 1ರಲ್ಲಿರುವ ದೈತ್ಯ ಘಟಕದಿಂದ ಸಣ್ಣ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಒಳಹರಿವಿನ ಸರಾಸರಿ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಪರ್ಕೋಲೇಶನ್ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಮಹತ್ವದ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಸಹ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಇದು ಇನ್ನೂ ಸರಾಸರಿ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಮಾದರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ನ ದೃಢತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂವಹನ ಜಾಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ n′1 ನೋಡ್ಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ನೋಡ್ಗಳ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಜಾಲಬಂಧದಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡಿ. ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಪರ್ಕೋಲೇಷನ್ ಥ್ರೆಶೋಲ್ಡ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಜಾಲವು ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆರ್ಡರ್ n ನ ದೈತ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ದೈತ್ಯ ಘಟಕವಾದ ಪಿ. ಐ. ಎನ್. ಐ. ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕೇವಿಯಟ್ಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಜಿ (ಎನ್, ಪಿ) ಮಾದರಿಯ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಊಹೆಗಳೆರಡೂ (ಅಂಚುಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು) ಕೆಲವು ನಿಜ ಜೀವನದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಅನೇಕ ಸಾಮಾಜಿಕ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕೆಲವು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಪರ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಬರಾಬಸಿ-ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ವಾಟ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರೋಗಟ್ಜ್ ಮಾದರಿ ಸೇರಿವೆ. ಈ ಪರ್ಯಾಯ ಮಾದರಿಗಳು ಪರ್ಕಲೇಷನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ರೀವೈರಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಅನೇಕ ನಿಜ ಜೀವನದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಪರ್ಯಾಯ ಕುಟುಂಬವೆಂದರೆ ಘಾತೀಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾದರಿಗಳು. ಜಿ (ಎನ್, ಪಿ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1959 ರಲ್ಲಿ ಎಡ್ಗರ್ ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಸಂಪರ್ಕ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಜಿ (ಎನ್, ಎಂ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ರೇನಿ ಅವರು ತಮ್ಮ 1959ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ನಂತೆ, ಅವರ ಮೊದಲ ತನಿಖೆಗಳು ಜಿ (ಎನ್, ಎಂ) ನ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಇದ್ದವು, 1960 ರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲಾಯಿತು. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಜಿ (ಎನ್, ಪಿ) ಯ ನಿರಂತರ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಗ್ರಾಫ್ನ ನಿರಂತರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮಿತಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನೇಕ ಸತತ ವಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು (ಬ್ರೌನಿಯನ್ ವಿಹಾರವಲ್ಲ, ನೋಡಿ). ಹರಿವಿನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ವಿಹಾರಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಉದ್ದಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದುಃ ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಉದ್ದಗಳ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅದು ಯಾವುದೇ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ವಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಈಗ, ಒಂದು ವಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಿಃ ನಿಜವಾದ ಮರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ (ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಮರವನ್ನು ನೋಡಿ). ಘಟಕ ತೀವ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ ಮತ್ತು ಮರದ ಎಲೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದರಿಂದ, ಮರವು ಗ್ರಾಫ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಗಾತ್ರಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನಂತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆಃ ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಜಿ (ಎನ್, ಪಿ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಈ ಅನಂತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು (ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ) ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ ಒಂದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಮಾದರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಗೆ ಯಾವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ "ಎನ್" ನೋಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. , ಸುಪ್ತ ಸಮುದಾಯ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೆನಿ ಮಾದರಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾಹಿತ್ಯ ವೆಬ್ಲಿಂಕ್ಗಳು ವೀಡಿಯೊಃ ಎರ್ಡೋಸ್-ರೆನಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ರೆನಿ ಮಾದರಿ