Fox derivative
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫಾಕ್ಸ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಅನೇಕ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಫಾಕ್ಸ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫಾಕ್ಸ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅಥವಾ (ಫಾಕ್ಸ್ನ ಮೂಲ ಪದ) ಫ್ರೀ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಾಕ್ಸ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ರಾಲ್ಫ್ ಫಾಕ್ಸ್ ಅವರು ಐದು ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು 1953 ರಲ್ಲಿ ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಜಿ ಎಂಬುದು ಗುರುತಿನ ಅಂಶ ಇ ಮತ್ತು ಜನರೇಟರ್ ಜಿಐ ಹೊಂದಿರುವ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಿಐಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಫಾಕ್ಸ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಜಿ ಯಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಂಪಿನ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ, ಜಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಾದ ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಗೆ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಜಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ ಯು ಗೆ ವಿಲೋಮಗಳಿಗೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಫಾಕ್ಸ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗಣಿತದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ಗುಂಪು ಸಮರೂಪತೆ, ಗಂಟು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಬಹುಪದ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ವರ್ತುಲ (ಗಣಿತ) ಸಮಗ್ರ ಡೊಮೇನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.