Semifield
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಎನ್ನುವುದು ಎರಡು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಅಡಿಷನ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್, ಇದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಎಂಬ ಪದವು ಎರಡು ಸಂಘರ್ಷದ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇವೆರಡೂ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ (MSC 51A, 51E, 12K10), ಅರೆಕ್ಷೇತ್ರವು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಂಘಟಿತ ವಿಭಾಗ ವಲಯವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಇದು ನಾನ್ ಅಸೋಸಿಏಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಎನ್ನುವುದು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾದ + (ಸೇರ್ಪಡೆ) ಮತ್ತು · (ಗುಣಾಕಾರ) ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ S ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ (S, +) ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು, ಗುಣಾಕಾರವು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡರಲ್ಲೂ ವಿತರಣಾ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆಃ S ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ a ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ b ಗೆ, S ನಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯ x ಮತ್ತು y ಇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ b·x = a ಮತ್ತು y·b = a. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಕ ಅಥವಾ ಸಹವರ್ತಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಗಿರುವ ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಒಂದು ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಮತ್ತು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಎರಡೂ ಆಗಿರುವ ಫೀಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಎಂಬುದು ಕ್ವಾಸಿಫೀಲ್ಡ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. S ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ a·b = 0 ಎಂದರೆ a = 0 ಅಥವಾ b = 0 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯ ಕೊರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವು ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಉಂಗುರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ, ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್, ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಮತ್ತು ಥಿಯೊರೆಟಿಕಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ (MSC 16Y60), ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಒಂದು ಸೆಮಿರಿಂಗ್ (S, +, ·) ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಘಟಕ e ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಶೂನ್ಯವನ್ನು S ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ವಿಲೋಮವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು a·0 = 0·a = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹವರ್ತಿ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅರೆಕ್ಷೇತ್ರದ (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ) ಅಂಶಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜೋಡಿ (ಎಸ್, +) ಕೇವಲ ಒಂದು ಅರೆಗುಂಪು, ಅಂದರೆ. ಸಂಯೋಜಕ ವಿಲೋಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ, ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ, 'ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಕಲನವಿಲ್ಲ'. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹವರ್ತಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ಗಳ ಆದ್ಯತೆಯನ್ನು ಎ ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಡಿ ಅನ್ನು ಬಲ (ರೆಸ್ಪ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡ) ಡಿ * ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಬಲ (ರೆಸ್ಪ್) ಸೆಟ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವಂತಹ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿದೆ. ಎಡ) ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನ ಪ್ರಧಾನ ಶಕ್ತಿಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಾವು ಎರಡನೇ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ವಿತರಣಾ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಕ ಅರೆಗುಂಪುಗಳು. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿವರ್ತಕ ಅರ್ಧಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು 0 ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂವಹನ ಅರ್ಧಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ 0 ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಲಾಗ್ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎಫ್/ಜಿ ರೂಪದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಸಂವಹನ ಅರೆಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು 0 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆರ್ ಅನ್ನು ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅವುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆರ್, ಗರಿಷ್ಠ, +). ಅಂತೆಯೇ (ಆರ್, ನಿಮಿಷ, +) ಒಂದು ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಟ್ರಾಪಿಕಲ್ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು − ini ನಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು (ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ 0); ಇದು ಬೇಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವಾಗ ಲಾಗ್ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ (ಉಷ್ಣವಲಯೀಕರಣ). ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ, (A, ·, ≤) ಒಂದು ಜಾಲರಿ-ಆದೇಶಿತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, (A, +, ·) ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಸರ್ವೋನ್ನತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರೆಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೀಯವಾಗಿ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಅರೆಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೀಯ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ (A, +, ·) ಜಾಲರಿ-ಆದೇಶಿತ ಗುಂಪನ್ನು (A, ·, ≤) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ a + b = b ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ a ≤ b. ಬೂಲಿಯನ್ ಸೆಮಿಫೀಲ್ಡ್ B = {0,1} ಅನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ ಅಥವಾ, ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಟೆರ್ನರಿ ರಿಂಗ್ (ಮೊದಲ ಅರ್ಥ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.