Leonardo number
ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆಃ ಎಡ್ಸ್ಗರ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಡಿಜ್ಕ್ಸ್ಟ್ರಾ ಅವುಗಳನ್ನು ತನ್ನ ಸ್ಮೂತ್ಸಾರ್ಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರು. ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಪ್ರೈಮ್ ಒಂದು ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಹ ಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1,1,3,5,9,15,25,41,67,109,177,287,465,753,1219,1973,3193,5167,8361,. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು 3,5,41,67,109,1973,51667,2692537,11405773,126491971,331160281,535828591,279167724889,145446920496281,28944668049352441,5760134388741632239,6388698019980,1672422869696845953,5972222253637954133837103. ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಚಕ್ರಗಳು ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಮಾಡ್ಯುಲೋ n ≤ 2 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಕ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆಃ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮಾಡ್ಯುಲೋ n ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಒಂದು ಚಕ್ರವಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮುಖ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅದು 0 ಮತ್ತು n-1ರ ನಡುವೆ ಅನಂತ ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂತಹ n2 ಜೋಡಿಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಸುಳ್ಳು. n ≤ 8 ರ ಚಕ್ರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಚಕ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಜೋಡಿಯ ಮೇಲೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (1, n-1), ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಜೋಡಿಯನ್ನು (1,1) ಮೊದಲು ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಃ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಇದು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬಿನೆಟ್ನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು