Riemann–Hilbert correspondence
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಎಂಬ ಪದವು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಾಹಕ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದರ ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಇಪ್ಪತ್ತೊಂದನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ರೀಮನ್ ಗೋಳಕ್ಕಾಗಿತ್ತು, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಗದಿತ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ನಿಯಮಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಇತ್ತು. ಮೊದಲು ರೀಮನ್ ಗೋಳವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು> 1 ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಗಳ ನಡುವೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಅಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶವು ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ (1970, ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯಮಿತ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಮಸಾಕಿ ಕಾಶಿವಾರಾ (1980,1984) ಮತ್ತು ಜೊಘ್ಮನ್ ಮೆಬ್ಖೌಟ್ (1980,1984) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಮೂರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡರ ನಡುವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ/ಬೆಟ್ಟಿ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ನಾನ್ಬೆಲಿಯನ್ ಅನಲಾಗ್ ಎಂದು ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. X ಒಂದು ನಯವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು (ನಿಯಮಿತ ಏಕವಚನ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗಾಗಿ): ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಸೋಲ್ ಇದೆ, ಇದು X ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ X ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. X ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವರ್ಗವು X ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎಂದರೆ ಬಂಡಲ್ನ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿಭಾಗಗಳು (ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) Y − X ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಮ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ Y ಎಂಬುದು X ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೋಚನವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗಾಗಿ): ಡಿ ರಾಮ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಡಿಆರ್ ಇದೆ, ಇದು ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲಿನ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ವರ್ಗದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಇದು ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ Xನ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ D-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ 1:1 ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಲೋಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ Xನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ ವೇರಿಯೆಟಿಗಳ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂಬುದು ಎಕ್ಸ್ ಮೇಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಂಭವನೀಯ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ವಿವರಣೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. X ಒಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ) ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಊಹೆಯಿಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ (ಅಥವಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಊಹೆಯಿಲ್ಲದ ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ D-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ) ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ, ಇದನ್ನು ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಬಿರ್ಖಾಫ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಮಾಲ್ಗ್ರ್ಯಾಂಜ್ನಲ್ಲಿ (1991) ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರಮೇಯವು ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಅಫೈನ್ ಲೈನ್ A1 − {0} (ಅಂದರೆ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ C − {0}) ಮೇಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ. ಇಲ್ಲಿ a ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಲೈನ್ P1 ನಲ್ಲಿ 0 ಮತ್ತು φ ನಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳು c ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ cza ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. a ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ C− {0} ಗಳ ಮೇಲೆ za ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ನಾನ್ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು 1 (A1− {0}) = Z ನ 1-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಜನರೇಟರ್ (ಮೂಲದ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಲೂಪ್) e2ia ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳ ಊಹೆಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ನೋಡಲು, ಅಫೈನ್ ರೇಖೆ A1 (ಅಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ C) ಮೇಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು A1 ಮೇಲಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು c ಗೆ CEZ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಲೈನ್ P1 ರಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲಿನ ಕೆಲವು ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. (ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು w: = 1/z ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕವೂ ನೋಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಆಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಧ್ರುವ ಎಂದರೆ ಫ್ಯೂಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಸಮೀಕರಣವು w = 0ರಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ.) ಸಿಇಝ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಇಡೀ ಅಫೈನ್ ಲೈನ್ ಎ1ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕದ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕವು A1 ಮೇಲಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಲ್ಲ (ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿ), ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳು φ ನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಮ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾವು A1 = C ನಂತಹ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ (ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ) ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರೆ, ನಿಯಮಿತ ಏಕತ್ವಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಮೇಯವು, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿಯಿಂದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ನಲ್ಲಿ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p> 0 ನಲ್ಲಿನ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ, ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ Z/p-ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಟೇಲ್ ಸೀವ್ಗಳ ಎಟೇಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಏಕತ್ವದ ಮಿಲ್ನರ್ ಫೈಬರ್ಗೆ ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ) ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್