Bapat–Beg theorem
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬಾಪಟ್-ಬೆಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಆದರೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಮ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ರವೀಂದ್ರ ಬಾಪಟ್ ಮತ್ತು ಬೇಗ್ ಅವರು 1989ರಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಅವರು ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲಿಲ್ಲ. 1994ರಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಂಡೆ ಒಂದು ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮಾದರಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಪಟ್-ಬೆಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾದರಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪಡೆದಾಗ ಕ್ರಮದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರಲಿ. ಆದೇಶದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಂತರ ಆದೇಶದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ (ಮತ್ತು ಜೊತೆ) ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ನೀಡಲಾದ ಬ್ಲಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶಾಶ್ವತವಾಗಿದೆ. (ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳ ಕೆಳಗಿರುವ ಅಂಕಿಗಳು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿತರಣಾ ಪ್ರಕರಣವು ಚರರಾಶಿಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ i ಗೆ ಸಂಚಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿ ವಿತರಿಸಿದಾಗ, ಪ್ರಮೇಯವು ಟೀಕೆಗಳಿಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ಯಾವುದೇ ಊಹೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. x1 <x2 <. <xk ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇರದಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಅಸಮಾನತೆಗಳು "ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಕಡಿತವನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು". ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಗ್ಲೂಕ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಬಾಪಟ್-ಬೇಗ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಘಾತೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಬಹುಪದವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು