Standard probability space
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಲೆಬ್ಸ್ಗು-ರೋಕ್ಲಿನ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳವು (ನಂತರದ ಪದವು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ) 1940 ರಲ್ಲಿ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ರೋಕ್ಲಿನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು 1932 ರಲ್ಲಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1940 ರಲ್ಲಿ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ರೋಕ್ಲಿನ್ ಅವರು ರೂಪಿಸಿದರು. ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗಿಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ರೋಕ್ಲಿನ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಆದರೂ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಬದಲಿಸಬಹುದು. ನಾರ್ಬರ್ಟ್ ವೀನರ್ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದಂತೆ, ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಆಯಾಮವು ಒಂದು ಅಡಚಣೆಯಲ್ಲ. ಅವರು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು (ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದವರೆಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ನಕ್ಷೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು 1932 ರಲ್ಲಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1940 ರಲ್ಲಿ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ರೋಕ್ಲಿನ್ ಅವರು ರೂಪಿಸಿದರು. ಆಧುನೀಕರಿಸಿದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ, ಮತ್ತು. ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ), ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೂಲಕ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನೋಡಿ. ಈ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ರೋಕ್ಲಿನ್ನ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವು, ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಎರ್ಗೋಡಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವಾಡಿಕೆಯಂತೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಿದ್ಧತೆಗಳ ನಂತರ, ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣದ ಹಲವಾರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್, ಒಂದು ವಿಲೋಮ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮತ್ತು ಎರಡೂ (ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಮತ್ತು) ಅಳತೆ ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಸಮರೂಪತೆ ಇದ್ದರೆ ಅವು ಸಮರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಶೂನ್ಯ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳು, ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಸಿಗ್ಮಾ-ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ನೀಡಲ್ಪಡುತ್ತವೆ). ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ, ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪರಮಾಣುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅಥವಾ ಎರಡರ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ (ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟ) ಸಮರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೋಡಿ, ಮತ್ತು. ಸಹ ನೋಡಿ, ಮತ್ತು. ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಮಾಣುಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿಷ್ಕಪಟ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಒಬ್ಬರು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಳತೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿ ಇದು ಬಿಳಿ ಶಬ್ದವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟೆಡ್ ಎನ್ (0,1) ಆಗಿರಬೇಕು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು (0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಎಫ್ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಅಳೆಯಲು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಫ್ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, X ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (0,1) ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು f ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ f (X) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅಲ್ಲ (ಇದು ಅಳೆಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ). ಒಂದು ರಂಧ್ರದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಳಗಿನ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೊರಗಿನ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಹೀಗಾಗಿ, ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಪ್ರತಿ ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. (ಇಲ್ಲಿ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ ಇದೆ.) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು (ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವು ಅಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದು ಅಲ್ಲ. ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಳತೆ, ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಪರಮಾಣು (ಅಟ್) ಆಗಿದೆ, ಅದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಿದರೆ, ಯಾವಾಗ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಳತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರಂಧ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೃತ್ತದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಆವರ್ತನಗಳ ಗುಂಪು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ರಂಧ್ರಗಳುಳ್ಳ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವೂ ನೋಡಿ. ಅನಗತ್ಯ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಇರಲಿ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ರೂಪದ ಸೆಟ್ಗಳು σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಲೆಬ್ಸ್ಗು σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೂತ್ರವು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯ ಅಂತಹ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಹಾನಿರಹಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಮಾರುವೇಷದಲ್ಲಿ ರಂಧ್ರವಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯು ಒಳಗಿನ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ 0 ಆದರೆ ಹೊರಗಿನ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ 1 ರ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ರಂಧ್ರದ ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ನೀವೂ ನೋಡಿ. ಪ್ರಮಾಣಿತತೆಯ ಮಾನದಂಡವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರಮಾಣಿತತೆಯು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ; ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನುಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಎರಡು-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಘಟನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಬಹುದು, ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ) ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನಂತರ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದು. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ). ಒಂದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ,-ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ ಅಂದರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿತರಣೆ. ಚಿತ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪೂರ್ಣ ಬಾಹ್ಯ ಅಳತೆಯ ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಅಳತೆಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು (ರಂಧ್ರದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನೋಡಿ). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುವ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರಗಳ σ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡರೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆ. ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಇದೆ (ಅಂದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ). ಪ್ರಮೇಯ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಿಸುವಂತಿರಲಿ, ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ (ಅಂದರೆ. ಒಳಗಿನ ಅಳತೆಯು ಸಹ ಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಳೆಯಬಹುದು); ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ನೀವೂ ನೋಡಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು ಅದೇ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದಕ್ಕೂ (ಬದಲಿಗೆ) ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ σ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಾಗ ಮಾತ್ರ ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ σ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಾಗ ಮಾತ್ರ ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಎಂಬ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಬೇಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಮಾಡ್ 0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ನೋಡಿ. ಅದೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಆಧಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಡ್ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇತರ ಆಧಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಡ್ 0 ಆಗಿದೆ ಎಂದು ರೋಕ್ಲಿನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಈ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಮತ್ತು. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸಬಹುದು; ಅವೆಲ್ಲವೂ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳಗಳು). ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದಿಂದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗುಣವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ (ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದಾದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗುಣವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ (ಮಾಡ್ 0). ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳದವರೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ನೋಡಿ,. ಮೇಲಿನ "ಅನಗತ್ಯ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್" ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆ. ಎಣಿಕೆಯಂತೆ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಣವು ಮಾಡ್ 0 ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎಣಿಕೆಯಂತೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಗುಣವು ಅಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಮೀರದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ). ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಶೂನ್ಯ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ನ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಮೀರದಂತಹ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಈ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ. ಇದು ಗಣನಾರ್ಹವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಟ್ಟರೆ, ಗಣನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ. ನೋಡಿ ಮತ್ತು. "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ" ಎಂದರೆಃ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ. ಪರಿಪೂರ್ಣತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ. ಇದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಟ್ಟರೆ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೋಡಿ. "ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್" ಎಂದರೆ ಚಿತ್ರದ ಅಳತೆಯವರೆಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ. (ಇಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬೋರೆಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ). ಟೋಪೋಲಜಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದಂತಹ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ; (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ) ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ σ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ; ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸೀ ಅಂತಹ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. (ಇಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಎಂದರೆ ಬೋರೆಲ್ ಸಿಗ್ಮಾ-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ.) ಪ್ರತಿ ಪೋಲಿಷ್ ಜಾಗದಲ್ಲೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ನೋಡಿ, ಮತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೀನರ್ ಅಳತೆಯು ಪೋಲಿಷ್ ಜಾಗವನ್ನು (ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ, ಅವುಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯು ಪೋಲಿಷ್ ಜಾಗವನ್ನು (ಅನುಕ್ರಮಗಳ; ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೊಂದಿರುವ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. (ಹೀಗಾಗಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾದ ಆಯಾಮದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ.) ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸ್ಥಳಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ನೋಡಿ, ಮತ್ತು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನೋಡಿ ಮತ್ತು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯು ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ನಿರೀಕ್ಷೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಲ್ಲದ ಸೆಟಪ್ನಲ್ಲಿ, ಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಲವಾರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಂಗತಿಗಳು ವಿಶೇಷ 'ಷರತ್ತುಬದ್ಧ' ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ರೇಖೀಯತೆ; ಜೆನ್ಸನ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ (ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೋಡಿ); ಹೋಲ್ಡರ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ; ಮೊನೊಟೋನ್ ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರಮೇಯ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಸಹಜ, ಅಂದರೆ, ನೀಡಲಾದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ (ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯ, ಮತ್ತು ಕ್ರಮಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ (ನೋಡಿ), ಇದು ಮೂಲತಃ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕ್ರಮಗಳು (ನೋಡಿ), ಅಳತೆಯ ವಿಘಟನೆ (ನೋಡಿ), ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ). ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಜೆನ್ಸನ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಅಳತೆಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಜೆನ್ಸನ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಇತರ ಅನೇಕ ಸಂಗತಿಗಳಿಗೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಳತೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಚಿತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಅದು ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಹಾಗಲ್ಲ. ಇದರ ಹೊರಗಿನ ಅಳತೆ 1ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಳಗಿನ ಅಳತೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೋಡಿ. ಒಂದೊಂದಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತೃಪ್ತರಾಗುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು (ಮತ್ತು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು). ನೋಡಿ ಮತ್ತು. ನೀವೂ ನೋಡಿ. "ಅಳತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 0 ಅಳತೆಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲು ಒಂದು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಮಾರ್ಗವಿದೆ". ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಅಳತೆ ಬೀಜಗಣಿತ (ಅಥವಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರಚನೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಳತೆಯು ಅಳತೆಯ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಏಕರೂಪತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ; ಮೂಲತಃ, ಫಾರ್. ಅಳತೆಯ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕರೂಪತೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಕೆಲವು ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಹಾಗಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆಲವಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನೋಡಿ,. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆಃ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ಪ್ರಯೋಗ (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತ