Spherical mean
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸರಾಸರಿ ಎಂದರೆ ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಆ ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ Rn ನಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ U ಮತ್ತು ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ U ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. x ಯು ಯು ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು r> 0 ಕೇಂದ್ರ x ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ r ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡು B (x, r) ಯು ಯು ನಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ ಇರಲಿ. x ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ r ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ B (x, r) ನ ಗಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ (n − 1)-ಗೋಳವು, dS ಗೋಳಾಕಾರದ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ωn − 1 (r) ಈ (n − 1)-ಗೋಳದ "ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ" ವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ωn−1 ತ್ರಿಜ್ಯ 1ರ (n−1)-ಗೋಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅನೇಕವೇಳೆ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಉಪಯೋಗಗಳು ಅದರ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿಧಾನವಾಗಿ ಬೆಸ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಕಿರ್ಚಾಫ್ನ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು, ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಬೆಸಕ್ಕೆ) ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಡಿ 'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಓಪನ್ ಸೆಟ್ ಇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು C2 ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಇನ್ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡು ಒಂದರಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದರೆ