Differentially closed field
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಕೆಲವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕೆ ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. K ಎಂಬುದು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಆಪರೇಟರ್ ಷ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. x ನಲ್ಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬಹುಪದವು x, ಷ್ಣ, ಷ್ಣ, ಎಂಬ ಔಪಚಾರಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. K ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ. x ನಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬಹುಪದದ ಕ್ರಮವು ಅತಿದೊಡ್ಡ n ಆಗಿದ್ದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಷ್ಣ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬಹುಪದವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ-1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. n ≤ 0 ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬಹುಪದದ ವಿಭಜಕ Sf ಯು ಷ್ಣುಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ f ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. Kಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು a ಅಂಶಗಳ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಷ್ಣುವ = 0 ಆಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ p ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ pth ಶಕ್ತಿಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, K ಅಥವಾ ಅದರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಷ್ಣುವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರ K ಆಗಿದ್ದು, f ಮತ್ತು g ಗಳು Sf ಷ್ಣಾಂಕ 0 ಮತ್ತು g ಷ್ಣಾಂಕ 0 ಮತ್ತು f ಗಳು g ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, K ಯಲ್ಲಿ f (x) = 0 ಮತ್ತು g (x) ಷ್ಣಾಂಕ 0 ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು x ಇರುತ್ತದೆ. (ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಕೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಸ್ಎಫ್ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಡಿಸಿಎಫ್ಪಿ ಎಂಬುದು ಪಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಪಿ 0 ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ). g = 1 ಮತ್ತು f ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಬಹುಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರಲ್ಲಿ ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p> 0 ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲಿ ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಫೀಲ್ಡ್ K ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಲೋಸರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಪ್ರೈಮ್ ಮಾಡೆಲ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್, ಇದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲಿ ಕ್ಲೋಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆ. ಶೆಲಾ ಅವರ ಮೇಲೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸಮರೂಪತೆಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಶೆಲಾ ತೋರಿಸಿದರು, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವು (ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು) ಕನಿಷ್ಠವಲ್ಲ ಎಂದು ಸಹ ತೋರಿಸಿದರು; ಇದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಡಿಸಿಎಫ್ಪಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ (ಪಿ = 0 ಗೆ ಇದನ್ನು ರಾಬಿನ್ಸನ್ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಮತ್ತು ಪಿ> 0 ಗೆ). ಡಿಸಿಎಫ್ಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪಿ ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿ ಸಂಗಾತಿಯಾಗಿದೆ. ಪಿ> 0 ಆಗಿರುವಾಗ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಪಿಥ್ ಮೂಲವನ್ನು ನೀಡುವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಭಾಷೆಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ ಅದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪಿ ಯ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p> 0 ನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮಾದರಿ ಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p = 0 ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಡಿಸಿಎಫ್ 0 ಅನ್ನು ಅದರ ಮಾದರಿ ಪೂರ್ಣತೆಯಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವು ಅನಂತ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ κ 2κ ಆಗಿದೆ; κ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಇದನ್ನು ರುಶೋವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಸೊಕೊಲೋವಿಕ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು κ ಎಣಿಸಬಹುದು. ಕೊಲ್ಚಿನ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಕೆ ಮೀ ಮೇಲಿನ ಕೊಲ್ಚಿನ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಎಂ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಕೆ ಮೇಲೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಂತೆ, ಕೊಲ್ಚಿನ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಡಿ-ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿಬಲ್ ಸೆಟ್ ಎಂಬುದು ಕೊಲ್ಚಿನ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಡಿ-ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿಬಲ್ ಸೆಟ್ ಎಂಬುದು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್-ಮುಕ್ತ ಅಥವಾ ಪರಮಾಣು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಕೆ. ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ನಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತೆ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ 0 ರ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಡಿಸಿಎಫ್ 0 ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಡಿ-ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿಬಲ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಡಿ-ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p> 0 ರಲ್ಲಿ, ಡಿಸಿಎಫ್ಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ pth ಮೂಲವಾದ r ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ಯೂನರಿ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ನಲ್ಸ್ಟೆಲ್ಲೆನ್ಸಾಟ್ಜ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ನಲ್ಸ್ಟೆಲ್ಲೆನ್ಸಾಟ್ಜ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ನಲ್ಸ್ಟೆಲ್ಲೆನ್ಸಾಟ್ಜ್ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಅಥವಾ ಷ್ಣ-ಐಡಿಯಲ್ ಎಂಬುದು ಷ್ಣುವಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಆದರ್ಶವು ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ ಎಂಬುದು 0 ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸೀಡೆನ್ಬರ್ಗ್ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ನಲ್ಸ್ಟೆಲ್ಲೆನ್ಸಾಟ್ಜ್ ಹೇಳುವಂತೆ n ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ವಲಯದಲ್ಲಿನ ರಾಡಿಕಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಮತ್ತು Kn ನ ಷ್ಣ-ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇದೆ. ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಆದರ್ಶಕ್ಕೆ ಷ್ಣ-ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಆದರ್ಶವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಮೆಗಾ ಸ್ಥಿರತೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ 0 ಬ್ಲಮ್ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ω-ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಲೆ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ω ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ω-ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಸೂಪರ್ಸ್ಟೇಬಲ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ತೋರಿಸಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ರಚನೆ-ಜಿಲ್ಬರ್ರ ಟ್ರೈಕೋಟಮಿ ಡಿಸೈಡಬಿಲಿಟಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು-ಮ್ಯಾನಿನ್ ಕರ್ನಲ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು-ಸಹ ನೋಡಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ