Lagrange multipliers on Banach spaces
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲಿನ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೆಲವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಪ್ರಮೇಯವು X ಮತ್ತು Y ನಿಜವಾದ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರಲಿ. Uಯು Xನ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು f: U → Rಯು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. g: U → Y ಮತ್ತೊಂದು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ನಿರ್ಬಂಧಃ g ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು f ನ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. u0 ಎಂಬುದು f ನ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ತುದಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಫ್ರೆಚೆಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ Dg (u0): X → Y ಯು u0 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ λ: Y → R, Y ≤ ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, Y ಗೆ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಅಂದರೆ Df (u0) ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ≤ ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣ (L) ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ (Dg (u0)) ≤ (λ) ಎಂಬುದು λ/Dg (u0) ನ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. X ಮತ್ತು Y ಎರಡೂ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ (ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ m ಮತ್ತು n) ಗೆ Rm ಮತ್ತು Rn ಗೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸಮರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (L) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದರಿಂದ λ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; n = 1 ರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, λ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಂತಹ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೊಬೊಲೆವ್ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲದೆ, f ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, −1 ಮತ್ತು + 1 ರ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ u0 (x) = 0 ನಿಂದ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, u ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು + 1 ಆಗಿರುವಂತೆ ಆ ಎಲ್ಲಾ u ω X ಗಳಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಕೇವಲ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಪೊಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ತತ್ವ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ವಿಭಾಗ 4.14, pp.270-271 ಅನ್ನು ನೋಡಿ.) ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ