Flat topology
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫ್ಲಾಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ. ಫ್ಲಾಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಮೂಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ (ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಫ್ಲಾಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್) ಮೂಲಭೂತ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಫ್ಲಾಟ್ ಎಂಬ ಪದವು ಫ್ಲಾಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಹಲವಾರು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ಫ್ಲಾಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವು ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಎಫ್. ಪಿ. ಕ್ಯು. ಸಿ ಟೋಪೋಲಜಿ. ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್ ಎಂದರೆ, ಮತ್ತು ಈ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಅಫೈನ್ ಸ್ಕೀಮ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಕವರ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿ ಎಂದರೆ, ಮತ್ತು ಈ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಅಫೈನ್ ಸ್ಕೀಮ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಕವರ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ಎರಡೂ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ, ಆವರಿಸುವ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಒಂದು ಕುಟುಂಬ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಆವರಿಸಿದೆ. ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಒಂದು ಕವರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅರೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಂತಹ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಲ್ಲದ "ಶುದ್ಧ" ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಬ್ಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ಅಲ್ಲ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಸೀವ್ಗಳಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಫ್ಲಾಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಪ್ರೀಟೋಪಾಲಜಿಗಾಗಿ "ಟೋಪೋಲಜಿ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದೇ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಎಫ್ಪಿಪಿಎಫ್ ಅಥವಾ ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿ (ಪೂರ್ವ) ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಹಲವಾರು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಪ್ರೀಟೋಪಾಲಜಿಗಳಿವೆ. ಫ್ಲಾಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರು ಸುಮಾರು 1960ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್ ತಾಣಗಳು ಲೆಟ್ ಎಕ್ಸ್ ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು X ನ fppf ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ Xa ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ φa ಫ್ಲಾಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ (φa: Xa → X) ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕುಟುಂಬವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಪೂರ್ವಭಾವಿತ್ವವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆಃ X ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು X ನ fppf ಕವರ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಕುಟುಂಬ (φa: Xa → X) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು X ನ ಓಪನ್ ಅಫೈನ್ ಸಬ್ಶೀಮ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದ ನಂತರ fppf ಕವರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಪೂರ್ವಸ್ಥಿತಿಯು ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್. ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂಬ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. (ಇದು ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ X ಮತ್ತು Xa ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಆವರಿಸುವ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾದ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕುಟುಂಬಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಟೋಪೋಲಜಿಯಂತೆಯೇ ಅಲ್ಲ.) ನಾವು ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್. ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೊಂದಿರುವ ಯೋಜನೆಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್. ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. X ನ ಸಣ್ಣ fppf ತಾಣವು ವರ್ಗ O (Xfppf) ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ವಸ್ತುಗಳು ಕೆಲವು ಆವರಿಸುವ ಕುಟುಂಬದ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಮಾರ್ಫಿಸಂ U → X ನೊಂದಿಗೆ U ಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. (ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು X ಗೆ ಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಯೋಜನೆಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿವೆ. ಎಕ್ಸ್ನ ದೊಡ್ಡ ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್ ತಾಣವು ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್/ಎಕ್ಸ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎಕ್ಸ್ಗೆ ಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯೋಜನೆಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. "ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್" ಎಂಬುದು "ಫಿಡೆಲೆಮೆಂಟ್ ಪ್ಲೇಟ್ ಡಿ ಪ್ರೆಸೆಂಟೇಶನ್ ಫಿನಿ" ಎಂದರೆ, "ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ" ಒಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕುಟುಂಬವು ಈ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಒಂದು ಕವರ್ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ. ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್. ಪ್ರೀಟೋಪಾಲಜಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರೆ-ಮಿತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಹ ನೀಡಬಹುದು; ಇದು ಇ. ಜಿ. ಎ. ಐ. ವಿ. 4ರ ಕೊರೋಲರಿ <ಐ. ಡಿ. 1> ನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದೇ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿ ತಾಣಗಳು ಲೆಟ್ ಎಕ್ಸ್ ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು X ನ fpqc ಕವರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿ Xα ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ uα ಫ್ಲಾಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ {uα: Xα → X} ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕುಟುಂಬವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಪೂರ್ವಭಾವಿತ್ವವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆಃ X ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ, ನಾವು X ನ fpqc ಕವರ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಕುಟುಂಬ {uα: Xα → X} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು X ನ ಓಪನ್ ಅಫೈನ್ ಸಬ್ಶೀಮ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದ ನಂತರ fpqc ಕವರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಪೂರ್ವಸ್ಥಿತಿಯು ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿ ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂಬ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. (ಇದು ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ X ಮತ್ತು Xαಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಆವರಿಸುವ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕುಟುಂಬಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಟೋಪೋಲಜಿಯಂತೆಯೇ ಅಲ್ಲ.) ನಾವು ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೊಂದಿರುವ ಯೋಜನೆಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. Xನ ಸಣ್ಣ fpqc ತಾಣವು ವರ್ಗ O (Xfpqc) ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ವಸ್ತುಗಳು ಕೆಲವು ಆವರಿಸುವ ಕುಟುಂಬದ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಮಾರ್ಫಿಸಂ U → Xನೊಂದಿಗೆ U ಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು X ಗೆ ಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಯೋಜನೆಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿವೆ. X ನ ದೊಡ್ಡ fpqc ತಾಣವು Fpqc/X ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, Fpqc ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ X ಗೆ ಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯೋಜನೆಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. "ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿ" ಎಂಬುದು "ಫಿಡೆಲೆಮೆಂಟ್ ಪ್ಲೇಟ್ ಕ್ವಾಸಿ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್" ಎಂದರೆ, "ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್" ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕುಟುಂಬವು ಈ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಒಂದು ಕವರ್ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾದದ್ದುಃ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕೋಶದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಗುಂಪುಗಳು ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಅವು ಎಟೇಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಂತಹ ಇತರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಲ್ಲದ "ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಟೋಪೋಲಜಿ" ಏಕೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. X ಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರ k ಯ ಮೇಲಿನ ಅಫೈನ್ ರೇಖೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. X ನ ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದು x ಗೆ ನಾವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ Rx ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ವರ್ಣಪಟಲವು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಒಂದು ತೆರೆದ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವೈ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವುಗಳ ತೆರೆದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸುತ್ತೇವೆ. Y ಯಿಂದ X ವರೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆ ಇದೆ. ಅಫೈನ್ ಲೈನ್ X ಅನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದಿರುವ ಸೆಟ್ ಸ್ಪೆಕ್ (Rx) ನಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ Y ಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ನಕ್ಷೆಗಳು ಛೇದಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, X ನಿಂದ Y ಗೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ X ಮತ್ತು Y ನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಳಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಎಫ್. ಪಿ. ಕ್ಯು. ಸಿ. ಮಾರ್ಫಿಸಂ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಡಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಿಕ್, ಸಂಪುಟವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. IV. 2 ಮಿಲ್ನೆ, ಜೇಮ್ಸ್ ಎಸ್. (1980), ಎಟೇಲ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ, ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಮೈಕೆಲ್ ಆರ್ಟಿನ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಎಸ್. ಮಿಲ್ನೆ, "ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ದ್ವಂದ್ವತೆ", ಇನ್ವೆನ್ಸನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕೆ, ಸಂಪುಟ 35, ಸಂಖ್ಯೆ 1, ಡಿಸೆಂಬರ್, 1976 ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜೇಮ್ಸ್ ಮಿಲ್ನೆ ಅವರ ಆನ್ಲೈನ್ ಪುಸ್ತಕವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಥಿಯರೆಮ್ಸ್ (ಪಿಡಿಎಫ್), ಗ್ಯಾಲೊಯಿಸ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಟೇಟ್-ಪೊಯ್ಟೌ ಡ್ಯುಯಲಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.