Optimal facility location
ಸ್ಥಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ (ಎಫ್ಎಲ್ಪಿ) ಅಧ್ಯಯನವು, ವಸತಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಧಿಗಳ ಸೌಲಭ್ಯಗಳ ಬಳಿ ಅಪಾಯಕಾರಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಇಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವಂತಹ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಸಾರಿಗೆ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸೌಲಭ್ಯಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ತಂತ್ರಗಳು ಸಮೂಹ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ಸರಳ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ವೆಬರ್ ಸಮಸ್ಯೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸೌಲಭ್ಯವನ್ನು ಇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮಾನದಂಡವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೈಟ್ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ತೂಕದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಬಹು ಸೌಲಭ್ಯಗಳ ನಿಯೋಜನೆ, ಸೌಲಭ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಮೂಲಭೂತ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸೌಲಭ್ಯವನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದಾದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೌಲಭ್ಯ ತಾಣಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತು ಸೇವೆ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಡಿ ಬೇಡಿಕೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬೇಡಿಕೆಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ಹತ್ತಿರದ ಸೌಲಭ್ಯಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮತ್ತು ಸೌಲಭ್ಯಗಳ ಆರಂಭಿಕ ವೆಚ್ಚಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ತೆರೆಯಲು ಸೌಲಭ್ಯಗಳ ಎಫ್ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ ಕವರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಎನ್. ಪಿ.-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ. ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನೇಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗಾಗಿ ಹಲವಾರು ಅಂದಾಜು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಲೈಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೈಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಊಹೆಗಳಿಲ್ಲದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ದೂರಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸದೆ), ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು O (ಲಾಗ್ n) ಅಂಶದೊಳಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಸೆಟ್ ಕವರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಕಡಿತದ ಮೂಲಕ ಈ ಅಂಶವು ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಲೈಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೈಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲವೆಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ (ಎಂಎಫ್ಎಲ್) ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಎಂಎಫ್ಎಲ್ ಇನ್ನೂ ಎನ್ಪಿ-ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 1.463 ಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ಅಂಶದೊಳಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ತಿಳಿದಿರುವ ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 1.488 ನ ಅಂದಾಜು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ತಾಣಗಳಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತಾಣಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ಹತ್ತಿರದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಗುಂಪಿಗೆ ಪಿಆರ್ಡಿ ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಗುಂಪಿಗೆ ಎಸ್ಆರ್ಡಿ, |S | = ಕೆ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಪಿ (ಮಿನ್ಕ್ಯೂ ಎಸ್ (ಡಿ (ಪಿ, ಕ್ಯೂ))) ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ = 1 ರ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಚಿಕ್ಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ಗೋಳದ ಸಮಸ್ಯೆ ಅಥವಾ 1-ಕೇಂದ್ರ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಧ್ಯಯನವು ಕನಿಷ್ಠ 1860ರ ವರ್ಷದ್ದೆಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಗಡಿಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಕೆ-ಸೆಂಟರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಎನ್. ಪಿ. ಹಾರ್ಡ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ದೋಷವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜು ಕೂಡ ಎನ್. ಪಿ. ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿರುವುದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿನ ದೋಷ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಅಂಶವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮಮ್ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದಾಜು ಅಂಶವು 1.822 (ಆಯಾಮ = 2) ಅಥವಾ 2 (ಆಯಾಮ> 2) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ k-ಕೇಂದ್ರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜು NP ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳಿವೆ. ಒಂದು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. 1 + ε ಅಂದಾಜು 1 + ε ಅಂದಾಜು ಎಂದರೆ 1 + ε ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ε ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಅಂದಾಜು NP ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಕೋರ್ ಸೆಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಕೋರ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಹ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಅದು ಒಳಗೆ ನುಗ್ಗುತ್ತದೆ. ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಯವು ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕಿಂತ ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಲೇಖಕರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ (ಕೆ <5 ಎಂದು ಹೇಳಿ). ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಡಸುತನಕ್ಕಾಗಿ, ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯುವುದು ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿದೆ. ಬದಲಿಗೆ, ದೊಡ್ಡ k ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಂಶ = 2 ಹೊಂದಿರುವ ಅಂದಾಜನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜನ್ನು ಫಾರ್ಟೇಸ್ಟ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ (ಎಫ್ಪಿಸಿ) ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅಥವಾ ಫಾರ್ಟೇಸ್ಟ್-ಫಸ್ಟ್ ಟ್ರಾವರ್ಸಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆಃ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಂದು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ; ಉಳಿದ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿ ದೂರದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ; ಕೆ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಕಂಡುಬರುವವರೆಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. 2ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಂಶವಿರುವ ಅಂದಾಜು ಎನ್. ಪಿ. ಹಾರ್ಡ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಫ್. ಪಿ. ಸಿ. ಯನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಬಾಕ್ಸ್ ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ ತಂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ನಂತರ ಒ (ಎನ್ ಲಾಗ್ ಕೆ) ಗೆ ಸುಧಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ಮಿನ್ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ಮಿನ್ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ ಅಸಹ್ಯಕರ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ತಾಣಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ದೂರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಖಾಲಿ ಗೋಳದ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಕೇಸ್ (ಅತಿದೊಡ್ಡ ಖಾಲಿ ವೃತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆ) ಅನ್ನು ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಟೈಮ್ θ (n log n) ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸೌಲಭ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಹಕರು ಇದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕನಿಷ್ಠ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, (1) ಯಾವ ಸೌಲಭ್ಯಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು (2) ಗ್ರಾಹಕರಿಗೆ ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಲು ಯಾವ (ಮುಕ್ತ) ಸೌಲಭ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆಃ ತೆರೆಯುವ ಸೌಲಭ್ಯದ (ಸ್ಥಿರ) ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೌಲಭ್ಯದಿಂದ ಗ್ರಾಹಕರಿಗೆ ರವಾನಿಸುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಗ್ರಾಹಕರ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಸೌಲಭ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸೌಲಭ್ಯದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಸೌಲಭ್ಯದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈ ವಿಭಾಗದ ಉಳಿದ ಭಾಗವು ಕೆಪಾಸಿಟೆಡ್ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ನಮ್ಮ ಆರಂಭಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಬೈನರಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ, ಎಲ್ಲಿ ಸೌಲಭ್ಯವು ತೆರೆದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಸೌಲಭ್ಯದಿಂದ ತುಂಬಿದ ಬೇಡಿಕೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಚಯಿಸಿ. ಕೆಪ್ಯಾಸಿಟೆಡ್ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಂತರ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಸೌಲಭ್ಯವು ಮುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಹಕರಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಸೌಲಭ್ಯದಿಂದ ತುಂಬಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಕೆಪ್ಯಾಸಿಟೆಡ್ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹತ್ತಿರದ ಮುಕ್ತ ಸೌಲಭ್ಯದಿಂದ ಗ್ರಾಹಕರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲಿನಿಂದ ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೈನರಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಹಕರಿಗೆ ಸೌಲಭ್ಯದ ಮೂಲಕ ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಂತರ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನ ಆಯ್ಕೆಯು ಗಣನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಬಹುದು-ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಃ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯು ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು (ದೊಡ್ಡ-ನಿರ್ಬಂಧಗಳು) ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಸಾಧ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಹೊಸ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಮೊದಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಬಿಗಿಯಾದ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಹೊಸ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು ಮೂಲ ದೊಡ್ಡ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೆಪ್ಯಾಸಿಟೆಡ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. "ವಿವಿಕ್ತ ಸ್ಥಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ದ 3ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಆರೋಗ್ಯ ರಕ್ಷಣೆ ಆರೋಗ್ಯ ರಕ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ತಪ್ಪಾದ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ನಿರ್ಧಾರಗಳು ಸರಳ ವೆಚ್ಚ ಮತ್ತು ಸೇವಾ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಸಮುದಾಯದ ಮೇಲೆ ಗಂಭೀರ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾದ ಆರೋಗ್ಯ ಸೌಲಭ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಿದ ಅಸ್ವಸ್ಥತೆ ಮತ್ತು ಮರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಆರೋಗ್ಯ ರಕ್ಷಣೆಗಾಗಿ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಮಾದರಿಯು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮಾದರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ತ್ಯಾಜ್ಯ ಉತ್ಪಾದನೆ ಮತ್ತು ತ್ಯಾಜ್ಯ ನಿರ್ವಹಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೆಚ್ಚಗಳಿಂದಾಗಿ ಪುರಸಭೆಯ ಘನತ್ಯಾಜ್ಯ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಶೀಲ ರಾಷ್ಟ್ರಗಳಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸವಾಲಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರದ ಮೂಲಕ ತ್ಯಾಜ್ಯ ವಿಲೇವಾರಿಗಾಗಿ ನೆಲಭರ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳು) ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಣ್ಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ-ಅಂದರೆ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ). ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು (ಮೆಟ್ರಿಕ್) ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಹೇಗೆ ನೋಡಬಹುದು ("ರೂಪಾಂತರ" ಅಥವಾ "ಕಡಿಮೆ" ಎಂದು ಓದಬಹುದು) ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು, ಮೊದಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಬೇಡಿಕೆಯ ಬಿಂದುವಾಗಿ ವೀಕ್ಷಿಸಿ. ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ದತ್ತಾಂಶವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಉದಾ. ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾದವುಗಳಿಗೆ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವಾಗಿರಲಿ). ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಿರುವ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದೊಳಗೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೌಲಭ್ಯಗಳನ್ನು ಇರಿಸಲು ನಾವು ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇದು ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ವೆಚ್ಚಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳ-ಬೇಡಿಕೆ ಬಿಂದು ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ದೂರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕೆ-ಸೆಂಟರ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಬಣ್ಣಗಳು) ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅಂತಹ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸ್ಥಳಗಳ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವ ಈ ಸ್ಥಳಗಳು ನಮ್ಮ ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಈಗ, ಪ್ರತಿ ಬೇಡಿಕೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಸರ್ವಿಸಿಂಗ್-ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ನಿಯೋಜಿಸಿ; ಅಂದರೆ, ಡೇಟಾ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಿ (ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಮುರಿಯಿರಿ). ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವೆಚ್ಚಗಳನ್ನು ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ದೂರ ಕಾರ್ಯದ ಚಿತ್ರಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಇದು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಜನಪ್ರಿಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಡಿಸೈನ್ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆ-ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಲೇಖಕರು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ (ಅಂದರೆ. ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಅಥವಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್-ಸೆಂಟರ್ ಸಮಸ್ಯೆ) ಕೇಂದ್ರ ಆಯ್ಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ, ಆ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾರ್ಥಕಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಮ್ಮ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಅದರ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೇಡಿಕೆ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಒಬ್ಬರು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಎ ಲಾ ವೆಬರ್ ಸಮಸ್ಯೆ), ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ದೂರಗಳ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಒಬ್ಬರು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಎ ಲಾ 1-ಕೇಂದ್ರ ಸಮಸ್ಯೆ). ಗ್ರಾಫ್ ಸೆಂಟರ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸೈನ್ಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಸ್ಥಳ-ಹಂಚಿಕೆ ಡಿಜ್ಕ್ಸ್ಟ್ರಾ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಲಿಸ್ಟ್ ಆಫ್ ಸ್ಪೇಷಿಯಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಆಟ ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಕೆ-ಸೆಂಟರ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಮ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸ್ಥಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೇಲೆ ಇಡಬ್ಲ್ಯೂಜಿಎಲ್ಎ ಯುರೋ ವರ್ಕಿಂಗ್ ಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಸ್ಥಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮಾಹಿತಿ ವಿಭಾಗ, ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವೃತ್ತಿಪರ ಸಮಾಜ. ಟ್ರೆವರ್ ಹೇಲ್ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಸೌಲಭ್ಯದ ಸ್ಥಳದ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ, 3400 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸ್ಥಳ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಗ್ರಂಥಾಲಯ ವೆಬ್-ಆಧಾರಿತ ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಸೌಲಭ್ಯ (ಏಕ ಸೌಲಭ್ಯ) ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಆಪ್ಟಿಮೈಜರ್, ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಆಧಾರಿತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೌಲಭ್ಯ ಸ್ಥಳ