Shimura variety
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದವು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ಯೂ. ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳದ ಭಾಗಶಃ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಶಿಮುರಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳಾಗಿವೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಗಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿವೆ. ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವಿಶೇಷ ನಿದರ್ಶನಗಳನ್ನು ಮೂಲತಃ ಗೊರೊ ಶಿಮುರಾ ಅವರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವು ಅಂಕಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು ಎಂದು ಶಿಮುರಾ ತೋರಿಸಿದರು, ಅಂದರೆ ಅವು ಶಿಮುರಾ ವೈವಿಧ್ಯದ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. 1970ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಅವರು ಶಿಮುರಾರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. 1979ರಲ್ಲಿ, ರಾಬರ್ಟ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್, ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾದ ಪ್ರೇರಕ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಟೀಕಿಸಿದರು. ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಅರಿತ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳಿಗಿಂತ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ನಿರ್ಮಾಣವಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಶಿಮುರಾ ದತ್ತಾಂಶ S = ResC/R Gm ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳವರೆಗಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನ ತೂಕದ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿರಲಿ. ಇದು ನಿಜವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದರ ಆರ್-ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪು, ಎಸ್ (ಆರ್), ಸಿ * ಮತ್ತು ಸಿ-ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪು ಸಿ * × ಸಿ * ಆಗಿದೆ. ಶಿಮುರಾ ದತ್ತಾಂಶವು ಒಂದು ಜೋಡಿ (ಜಿ, ಎಕ್ಸ್) ಆಗಿದ್ದು, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಯೂ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ (ಸಂಪರ್ಕಿತ) ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪು ಜಿ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಜಿ (ಆರ್)-ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎಚ್ಗೆ, ತೂಕಗಳು (0,0), (1,-1), (-1,1) ಮಾತ್ರ ಜಿ. ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಜಿ ಯ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಝಡ್ ಎಸ್ ಗೆ, ಎಚ್ (ಝಡ್) ಮೊದಲ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ) ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ,) ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. h (i) ನ ಪಕ್ಕದ ಕ್ರಿಯೆಯು GR ನ ಪಕ್ಕದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಟನ್ ಆಕ್ರಮಣವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. GRನ ಪಕ್ಕದ ಗುಂಪು Q ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ H ಅಂಶವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ H ಮೇಲೆ hನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೂ ρ: GR → GL (V), ಕುಟುಂಬವು (V, ρ·h) ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು X ಎಂಬುದು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದವು ಎಎಫ್ ಕ್ಯೂ ನ ಸೀಮಿತ ಅಡೆಲ್ಗಳ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. ಜಿ (ಎಎಫ್) ಯ ಪ್ರತಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪು ಕೆ ಗೆ, ಡಬಲ್ ಕೋಸೆಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಸೀಮಿತ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಎಚ್ಕೆ (ಜಿ, ಎಕ್ಸ್) ಪ್ರಭೇದಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಸಾಂದ್ರವಾದ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕೆ ಮೇಲೆ ವಿಲೋಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಲೋಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಜಿ (ಎಎಫ್) ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಬಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಶಿಮುರಾ ಡಾಟಮ್ (ಜಿ, ಎಕ್ಸ್) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಎಸ್. ಎಚ್ (ಜಿ, ಎಕ್ಸ್) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತಿಹಾಸ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಗೋರೋ ಶಿಮುರಾರ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ κ\X = ShK (G, X) ರೂಪದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಶಿಮುರ ಅವರ ವಿಧಾನವು, ನಂತರ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಸ್ಪರ ನಿಯಮ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ವಿಶಾಲವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಾ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿದ್ಯಮಾನಾತ್ಮಕವಾಗಿತ್ತು. ಹಿನ್ನೋಟದಲ್ಲಿ, "ಶಿಮುರಾ ವೈವಿಧ್ಯ" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರು ಶಿಮುರನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸಿದ ಅಮೂರ್ತ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಮುಂದಾದರು. ಡಿಲಿಗ್ನೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವ ಮಾಡುಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಫ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಡಿ ಎಂಬುದು ಎಫ್ ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. ಡಿ × ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಶಿಮುರಾ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಆಯಾಮ ಡಿ ಎಂದರೆ ಡಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುವ ಅನಂತ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿ = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಫ್ = ಕ್ಯೂ ಮತ್ತು ಡಿ ಆರ್ ಎಂ 2 (ಆರ್) ಆಗಿದ್ದರೆ), ಡಿ × ನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಅಂಕಗಣಿತದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಶಿಮುರಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಈ ರಚನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್). ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಿಮುರಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಕುಲದ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ (ಕುಲ 3) ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಮೇಲ್ಮೈ (ಕುಲ 7) ಮೊದಲ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ತ್ರಿವಳಿ (ಕುಲ 14) ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ 7 ರ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆ. ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸೇರಿವೆ, ಇದನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಬ್ಲುಮೆಂಥಲ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳು ಪ್ರತಿ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದವನ್ನು ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಇ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಶಿಮುರಾದಿಂದಾದ ಈ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವು, ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ ಕೇವಲ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬಹುಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಆತನು ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದದ ಮೇಲೆ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಆಂಡ್ರೆ-ಓರ್ಟ್ ಊಹೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು ಈ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಪಾತ್ರವು ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮೇಯವಾದ ಐಚ್ಲರ್-ಶಿಮುರಾ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧವು, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಹ್ಯಾಸ್-ವೆಯಿಲ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ತೂಕ 2ರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಗೋರೋ ಶಿಮುರಾ ತನ್ನ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದನು ಮತ್ತು ತನ್ನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದನು. ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಆಂತರಿಕ ರೂಪಗಳ ಮೇಲೆ ಜಿಎಲ್2 ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಅಂದರೆ. ) ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಐಚ್ಲರ್, ಶಿಮುರಾ, ಕುಗಾ, ಸಾಟೋ ಮತ್ತು ಇಹಾರಾ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ರಾಬರ್ಟ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದರು, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧವಾದ W ನ ಹ್ಯಾಸ್-ವೆಯಿಲ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಬೇಕು. ಅಂತಹ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದ್ದರೂ, W ಎಂಬುದು ಶಿಮುರಾ ವಿಧವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ರೀತಿಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ. ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ಃ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ಸ್ನ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಜೇಮ್ಸ್ ಆರ್ಥರ್, ಡೇವಿಡ್ ಎಲ್ಲ್ವುಡ್, ಮತ್ತು ರಾಬರ್ಟ್ ಕೊಟ್ವಿಟ್ಜ್ (ಆವೃತ್ತಿ) ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ದಿ ಟ್ರೇಸ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಮತ್ತು ಶಿಮುರಾ ವೆರೈಟೀಸ್, ಕ್ಲೇ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್, ಸಂಪುಟ 4, ಎಎಮ್ಎಸ್, 2005 ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ, ಟ್ರಾವಾಕ್ಸ್ ಡಿ ಶಿಮುರಾ. ಸೆಮಿನಾರ್ ಬೌರ್ಬಕಿ, 23ನೇ ವರ್ಷ (1970/71), ಎಕ್ಸ್ಪ್. ಇಲ್ಲ. 389, ಪುಟಗಳು. 123-165. ಲೆಕ್ಚರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥ್, ಸಂಪುಟ. 244, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಬರ್ಲಿನ್, 1971., ನಮ್ಡಂ ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ, ವೇರಿಯೆಟ್ಸ್ ಡಿ ಶಿಮುರಾಃ ಇಂಟರ್ಪ್ರಿಟೇಶನ್ ಮಾಡ್ಯುಲೈರ್, ಎಟ್ ಟೆಕ್ನಿಕ್ಸ್ ಡಿ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ ಡಿ ಮಾಡೆಲ್ಸ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕ್ಸ್, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು, ಪ್ರೋಸಿ. ವಿಚಾರಗೋಷ್ಠಿಗಳು. ಪ್ಯೂರ್ ಮ್ಯಾಥ್., XXXIII (ಕೊರ್ವಾಲಿಸ್, OR, 1977), ಭಾಗ 2, pp. 247-289, ಆಮೇರ್. ಗಣಿತ. , ಪ್ರಾವಿಡೆನ್ಸ್, ಆರ್. ಐ., 1979. ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ, ಜೇಮ್ಸ್ ಎಸ್. ಮಿಲ್ನೆ, ಆರ್ಥರ್ ಓಗಸ್, ಕ್ವಾಂಗ್-ಯೆನ್ ಶಿ, ಹಾಡ್ಜ್ ಸೈಕಲ್ಗಳು, ಉದ್ದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಶಿಮುರಾ ಪ್ರಭೇದಗಳು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು, 900. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ಬರ್ಲಿನ್-ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1982. II + 414 pp. ಜೆ. ಮಿಲ್ನೆ, ಶಿಮುರಾ ವೈವಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉದ್ದೇಶಗಳು, ಯು. ಜಾನ್ಸೆನ್, ಎಸ್. ಕ್ಲೈಮನ್. ಜೆ. ಪಿ. ಸೆರ್ರೆ (ಆವೃತ್ತಿ. ), ಉದ್ದೇಶಗಳು, ಪ್ರೊಕ್. ಸಿಂಪ್. ಶುದ್ಧ ಮಠ, 55:2, ಆಮೇರ್. ಗಣಿತ. ಎಸ್. ಸಿ. (1994), ಪು. 447-523 ಜೆ. ಎಸ್. ಮಿಲ್ನೆ, ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಶಿಮುರಾ ವೆರೈಟೀಸ್, ಇನ್ ಆರ್ಥರ್, ಎಲ್ವುಡ್, ಅಂಡ್ ಕೊಟ್ವಿಟ್ಜ್ (2005) ಹ್ಯಾರಿ ರೀಮನ್, ದಿ ಸೆಮಿ-ಸಿಂಪಲ್ ಝೀಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಫ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯೋನಿಕ್ ಶಿಮುರಾ ವೆರೈಟೀಸ್, ಲೆಕ್ಚರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, 1657, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 1997 ಗೋರೊ ಶಿಮುರಾ, ದಿ ಕಲೆಕ್ಟೆಡ್ ವರ್ಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಗೋರೊ ಶಿಮುರಾ (2003), ಸಂಪುಟ 1-5 ಗೋರೊ ಶಿಮುರಾ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಅರ್ಥಮೆಟಿಕ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಝೀಟಾ ಮತ್ತು ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾರ್ಮ್ಸ್