Schubert variety
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಶುಬರ್ಟ್ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ನಂತೆ, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಅಂಶಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಧ್ವಜದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಛೇದಕಗಳ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಇರಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ 4-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸ್ಥಿರ (ಉಲ್ಲೇಖ) 2-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ xyz-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಫೈನ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಪ್ಯಾಚ್ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿ, ನಾವು X°X ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಎಲ್ ರೇಖೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ (ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ) ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೆ L ಯು X° ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ L (x-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಾಗ) X° ನಲ್ಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೂರು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ (x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಚಲಿಸುವುದು, ತಿರುಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಬಾಗುವುದು), ಎಕ್ಸ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ, ಅದನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ತಿರುಗಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನೆಗಳ ಈ ಅಧಿಕತೆಯು ಎಲ್ ಅನ್ನು ಎಕ್ಸ್ನ ಏಕ ಬಿಂದುವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಲ್ಲೇಖದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಧ್ವಜದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಛೇದನದ ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದರರ್ಥ x-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು xy-ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ L ರೇಖೆಯ ಕೆಲವು ಛೇದನಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.) ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ, ಬೋರೆಲ್ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪು ಹೊಂದಿರುವ ಅರೆ-ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಫ್ಲಾಗ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಯಾದ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ-ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪಿನ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ-ಕಕ್ಷೆಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಕರಣವು ಒಂಬತ್ತನೇ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು-ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಮಹತ್ವ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಏಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಧ್ಯಯನದ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿವೆ. ಷುಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಏಕತ್ವದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಝ್ಡಾನ್-ಲುಸ್ಟಿಗ್ ಬಹುಪದಗಳು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಗೋರೆಸ್ಕಿ-ಮ್ಯಾಕ್ಫೆರ್ಸನ್ ಛೇದಕ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ. ಶುಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಆಳವಾದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ನೇರಗೊಳಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. (ಕೋ) ಗ್ರಾಸ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ನ ಹೋಮೋಲಜಿ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಫ್ಲಾಗ್ ಪ್ರಭೇದಗಳು, ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ (ಕೋ) ಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಗ್ರಾಸ್ಮಾನಿಯನ್ ಮೇಲಿನ ಛೇದಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಹರ್ಮನ್ ಶುಬರ್ಟ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ಮತ್ತು 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಎನ್ಯೂಮರೇಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಝ್ಯೂಥೆನ್ ಮುಂದುವರಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರದೇಶವು ತನ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ 23 ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಹದಿನೈದನೆಯದು ಎಂದು ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದನು. ಈ ಅಧ್ಯಯನವು 20ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯಿತು, ಆದರೆ 1990ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ವಿಲಿಯಂ ಫುಲ್ಟನ್ ಅವರ ಡಿಜೆನೆರಸಿ ಲೊಕಿ ಮತ್ತು ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕೆಲಸದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು, 1970ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್-ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಡೆಮಾಝೂರ್, 1980ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಲಾಸ್ಕೌಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಟ್ಜೆನ್ಬರ್ಗರ್ ಮತ್ತು ಏಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಛೇದಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಫುಲ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಫೆರ್ಸನ್ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ತನಿಖೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿತು. ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಬ್ರುಹಾಟ್ ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಬಾಟ್-ಸ್ಯಾಮಲ್ಸನ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಪಿ. ಎ. ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಗ್ರಿಫಿತ್ಸ್, ಜೆ. ಇ. ಹ್ಯಾರಿಸ್, ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ವಿಲೇ (ಇಂಟರ್ಸೈನ್ಸ್) (1978) ಎಚ್. ಶುಬರ್ಟ್, ಲಸುಂಗ್ ಡೆಸ್ ಚರಕ್ಟೆರಿಸ್ಟಿಕೆನ್-ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ಫರ್ ಲೈನೇರ್ ರೂಮ್ ಬಿಲೀಬಿಗರ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಮಿಟ್. ಗಣಿತ. ಗೆಸೆಲ್ಶಾಫ್ಟ್ ಹ್ಯಾಂಬರ್ಗ್, 1 (1889) ಪುಟಗಳು. 134-155 ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಯೋಜನೆ