Index group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬನಾಚ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅದರ ಅಮೂರ್ತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎ ಎಂಬುದು ಬನಾಚ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಲಿ ಮತ್ತು ಜಿ ಎಂಬುದು ಎ ನಲ್ಲಿರುವ ವಿಲೋಮ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಸೆಟ್ ಜಿ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪು. ಗುರುತಿನ ಘಟಕ G0 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ A ಯ ಗುರುತು 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕ; G0 ಎಂಬುದು G ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. G0, ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, G ಯಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಎರಡೂ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಎಲ್ (ಎಚ್) ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಬನಾಚ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. ಎಲ್ (ಎಚ್) ನಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮ ಅಂಶಗಳ ಸಮೂಹವು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, λL (H) ಎಂಬುದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಗುಂಪು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಏಕಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಟಿ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಟಿ ಯಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳವರೆಗಿನ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಿ (ಟಿ) ಯು ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬನಾಚ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಸಿ (ಟಿ) ಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಟಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಅದು ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಅದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ). G0 ಗುಂಪು ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, Gಯಲ್ಲಿ, Gಯಲ್ಲಿನ ಗುರುತಿಗೆ, ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯ 1. Fn (z) = zn ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು, Gಯಲ್ಲಿ, T → T ನಕ್ಷೆಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪು λC (T) ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ λC (T) ಯು ಟಿ ಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕಾಲ್ಕಿನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ L (H) ನ C *-ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. π ಅಂಶದ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಟ್ಕಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೆ ನಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮ ಅಂಶವು π (ಟಿ) ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟಿ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪು λK ಮತ್ತೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮೂಲಕ λK ಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ Z ಯ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಎರಡು ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಝು, ಕೆಹೆ (1993). ಆಪರೇಟರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್, ಸಿಆರ್ಸಿ ಪ್ರೆಸ್, ಬೊಕಾ ರಾಟನ್, ಎಲ್ಎ, ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರಿಚಯ ಬನಾಚ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗುಂಪುಗಳು