Hochschild homology
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿ (ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ) ಎಂಬುದು ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಗೆ ಹೋಲೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವೂ ಇದೆ. ಹೊಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಹೋಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು k ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಲಿ, A ಒಂದು ಸಹಾಯಕ k-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಲಿ ಮತ್ತು M ಒಂದು A-ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಎ ಯ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಎ ಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಎ ಮೇಲಿನ ಬೈಮೋಡಲ್ಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಎ ಯ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಎ ಮತ್ತು ಎಂ ಅನ್ನು ಎ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೋಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಿಂದ ಟಾರ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಟ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಂನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎ ಓವರ್ ಕೆ ನ ಎನ್-ಫೋಲ್ಡ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಬೌಂಡರಿ ಆಪರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಎ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು. ಹಾಗಾದರೆ, ನಾವು ಹೋಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಹೋಮೋಲಜಿಯು ಎಂನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎ ಯ ಹೋಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮುಖದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಕೆ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ವಸ್ತುವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಫಂಕ್ಟರ್ ಕೆ-ಮೋಡ್, ಇಲ್ಲಿ δ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆ-ಮೋಡ್ ಕೆ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ δo ಎಂಬುದು δಯ ವಿರುದ್ಧ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅವನತಿ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಸರಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಹೋಮೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ. ಬಾರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಾರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣವಿದೆ, ಇದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ 4-5 ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೊಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಬಾರ್ ಸಂಕೀರ್ಣದಿಂದ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರಗಳ ಪೊರೆಗಳಿಗೆಃ ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಮೂಲ ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಯೋಜನೆಯ (ಅಥವಾ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಯೋಜನೆಯ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಪಡೆದ ಫೈಬರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಅದು ಪಡೆದ ಉಂಗುರಗಳ ಕೋಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಕರ್ಣೀಯ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹುದುಗಿಸಿದರೆ, ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸ್ವಯಂ ಛೇದನದ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯು ಕಹ್ಲರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಕಹ್ಲರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕರ್ಣೀಯದಿಂದ ಸ್ವಯಂ ಛೇದನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಕಹ್ಲರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾದ ಬದಲಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಸಮತಟ್ಟಾದ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಪರ್ಯಾಯ ಆದರೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಸರಪಳಿ ಇದೆ. ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸರಳವಾದ ವೃತ್ತವು ಸೀಮಿತ ಪಾಯಿಂಟೆಡ್ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಫಂಕ್ಟರ್ ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಫ್ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸರಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಹೋಮೋಲಜಿಯು ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಫ್. ನ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎಫ್ ಲೋಡೇ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುವ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಲೋಡೇ ಫಂಕ್ಟರ್ ಸೀಮಿತ ಮೊನಚಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರವನ್ನು 0 ಬೇಸ್ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಬೇಸ್ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಸೆಟ್ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಕೆ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಎಂ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎ-ಬೈಮೋಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಲೋಡೇ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಎ ಮಾರ್ಫಿಸಂನಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿವರಣೆ ಎ-ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಸಮ್ಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ ಎ ಯ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯು ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೋಮೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೇಲಿನದನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೋಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಏನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನೇರವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0ರ ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ಪ್ರಕರಣ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೋಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯು ನಯವಾದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಫ್ಲಾಟ್ ಅಲ್ಲದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಆದರೆ, ಎರಡನೆಯದು ಮೊದಲನೆಯದರ ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಯವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ನಯವಾದ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ, ಹೋಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್-ಕೊಸ್ಟಾಂಟ್-ರೋಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ 43-44 ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸಮರೂಪತೆ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಆಂಟಿ-ಸಿಮೆಟ್ರಿಜೇಷನ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ-ರೂಪವು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಬೀಜಗಣಿತವು ನಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸದೃಶ ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ. ಸರಳವಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ಒಂದು ಅವರೋಹಣ-ಶೋಧನೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ತುಣುಕುಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೊಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಕೇವಲ ನಯವಾದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಛೇದಕ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಎರಡು-ಅವಧಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಗಳು-ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರದ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎಚ್. ಕೆ. ಆರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತವು ಇನ್-ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನದ ರಚನೆಯನ್ನು ವಾಹಕಗಳ ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ p ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್-ಕೊಸ್ಟಾಂಟ್-ರೋಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಳಕೆದಾರ-ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ, ಇದು ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸರಳವಾದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಮೀರಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. - ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಫ್ರೀ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಗ್ರೇಡೆಡ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಸ್ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಇದು ಡೆರಿವೇಡ್ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಕೇವಲ ಟೆನ್ಸರ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಜನರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯು ಬಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣದ ಡಿಗ್ರಿ ಶೂನ್ಯ ಪದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ನಾವು ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದ ನಕಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಕರ್ನಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳುವುದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯು ವಿಭಜಿತ ಶಕ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರವು ಸರಿಯಾಗಿ ವರ್ತಿಸದ ಕಾರಣ ಈ ಗಣನೆಯನ್ನು ತಾಂತ್ರಿಕ ಕಲಾಕೃತಿಯಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಒಂದು ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಮೂಲಕವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಗೋಳ ವರ್ಣಪಟಲದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ (ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ)-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು φ-ವರ್ಗದಿಂದ (ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ) ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಈ ವರ್ಗದ ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ. ಇದನ್ನು ವರ್ಣಪಟಲದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ವರ್ಣಪಟಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ (ನಾನ್-ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್) ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಗೋಳ ವರ್ಣಪಟಲದ ಮೇಲೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು (ಅಥವಾ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್-ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಹೋಲಿಕೆ ನಕ್ಷೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 0,1 ಮತ್ತು 2ನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು HH ಗಿಂತ ಸರಳವಾದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ವಿಭಜಿತ ಶಕ್ತಿಗಳ ರಿಂಗ್ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಬಹುಪದೀಯ ರಿಂಗ್ (ಡಿಗ್ರಿ 2 ರಲ್ಲಿ x ನೊಂದಿಗೆ). ನಯವಾದ ಸರಿಯಾದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಹಾಸ್ಸೆ-ವೆಯಿಲ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜೀನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಲೋಡೆ, ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಹೋಮೋಲಜಿ, ಗ್ರುಂಡ್ಲೆಹ್ರೆನ್ ಡೆರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಸ್ಚೆನ್ ವಿಸ್ಸೆನ್ಶಾಫ್ಟೆನ್ ಸಂಪುಟವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. 301, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ (1998) ರಿಚರ್ಡ್ ಎಸ್. ಪಿಯರ್ಸ್, ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್, ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ (88), ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 1982. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಲೇಖನಗಳು ಡೈಲನ್ ಜಿಎಲ್. ಅಲ್ಲೆಗ್ರೆಟ್ಟಿ, ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಚಯ). ಅಂಕಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಕೇಸ್ ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಕೇಸ್ ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ