Berry connection and curvature
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕ ಮತ್ತು ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯು ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ಥಳೀಯ ಗೇಜ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಗೇಜ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಎಸ್. ಪಂಚರತ್ನಂ ಅವರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹಂತವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ 1984 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಪ್ರಬಂಧವೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೈಕೆಲ್ ಬೆರ್ರಿ ಅವರು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವಾರು ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹಂತಗಳು ಹೇಗೆ ಪ್ರಬಲವಾದ ಏಕೀಕರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಿದರು. ಬೆರ್ರಿ ಹಂತ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಅಡಿಯಾಬಾಟಿಕ್ ವಿಕಸನ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವು ಆವರ್ತಕ ಅಡಿಯಾಬಾಟಿಕ್ ವಿಕಾಸದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅಡಿಯಾಬಾಟಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಒಂದು (ವಾಹಕ) ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪಥದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಕ್ಷೀಣಿಸದೇ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮಯ t ಯೊಂದಿಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಧಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಐಗನ್ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಐಗನ್ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಸಮಯ t ನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಘಾತೀಯ ಪದವು "ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಹಂತದ ಅಂಶ" ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಮೊದಲ ಘಾತೀಯ ಪದವು ಬೆರ್ರಿ ಹಂತದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪದವಾಗಿದೆ. ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿಂದ, ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವು ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಮಾರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮಾರ್ಗವು ಹಾದುಹೋಗುವ ದರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗದ ಸುತ್ತ ಆವರ್ತಕ ವಿಕಾಸದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮುಚ್ಚಿದ-ಮಾರ್ಗ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಸೈಕ್ಲೋಟ್ರಾನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ (ವಿವರಗಳನ್ನು ಬೆರ್ರಿ ಹಂತದ ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ). ಸರಿಯಾದ ಪರಿಮಾಣದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರ-ಅವಲಂಬಿತ ಹಂತದ ಅಂಶದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಹೊಸ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಓಪನ್-ಪಾತ್ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ, ನಿರಂತರತೆಗೆ (ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮುಚ್ಚಿದ-ಮಾರ್ಗ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವನ್ನು ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕ (ಅಥವಾ ಬೆರ್ರಿ ಸಂಭಾವ್ಯ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕವು ಗೇಜ್-ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದು, ಹೀಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯ ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಗಮನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವು ಅದರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರದವರೆಗೆ ಅಳತೆ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗೇಜ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯು ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ಪಡೆದ ಆ್ಯಂಟಿ-ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ನಿಯತಾಂಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಸೂಡೊವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಸೂಡೊವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪಗಳು ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಆ್ಯಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಮೂಲಕ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗದ ಸುತ್ತಲೂ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಭೌತಿಕವಾಗಿರುವ ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯು ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಳತೆ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಭೌತಿಕ ಘಟಕಾಂಶವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯ ಗಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ, ಮುಚ್ಚಿದ-ಮಾರ್ಗ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವನ್ನು ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಮುಚ್ಚಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗಡಿ ಪದವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗಡಿ ಪದ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ಚೆರ್ನ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೇಲೆ ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚೆರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳ ಮೊತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಉದಾಹರಣೆಃ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನರ್ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಕಣದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪೌಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷಣ, ಮತ್ತು ಬಿ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಈಗ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತವೆ. ಅದರ ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ನಾವು (ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಿಂದ) ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೊಸ ಮಾಪಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಮತ್ತು, ಆದರೆ ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕವು ಅಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಘನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್-ಫೀಲ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ತಗ್ಗಿಸಲಾದ ಘನ ಕೋನದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಡೀ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಬೆರ್ರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಕತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಚೆರ್ನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ಫಟಿಕಗಳಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳು ಸ್ಫಟಿಕದ ಘನವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧುನಿಕ ತನಿಖೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಾಲ್ ಪರಿಣಾಮದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಫಟಿಕೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆಯು ಬ್ಲೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಐಗೆನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳು ಬ್ಯಾಂಡ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದು ಪರಸ್ಪರ-ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಬ್ರಿಲ್ಲೋಯಿನ್ ವಲಯ) ತರಂಗವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಆವರ್ತನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ನಿಯತಾಂಕದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟರೆ, ಪರಸ್ಪರ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತಗಳು, ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಸ್ಪರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬೆರ್ರಿ ಸಂಪರ್ಕವು ಏಕೆಂದರೆ ಬ್ಲೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪರಸ್ಪರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಬ್ರಿಲ್ಲೋಯಿನ್ ವಲಯವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ 3-ಟೋರಸ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಮುಚ್ಚಿದ ಲೂಪ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪೂರೈಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಧ್ರುವೀಕರಣ, ಕಕ್ಷೀಯ ಕಾಂತೀಕರಣ, ಅಸಂಗತ ಹಾಲ್ ವಾಹಕತೆ ಮತ್ತು ಕಕ್ಷೀಯ ಆಯಸ್ಕಾಂತ ವಿದ್ಯುತ್ ಜೋಡಣೆಯಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬೆರ್ರಿ ಹಂತಗಳು, ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಐದು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಂತ. ಎಂ. ಬೆರ್ರಿ ಅವರಿಂದ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಥಿಯರಿಯಲ್ಲಿ ಬೆರ್ರಿ ಹಂತಗಳು ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಗಳು ಡಿ. ವಾಂಡರ್ಬಿಲ್ಟ್ ಅವರ ಒಂದು ಭಾಷಣ. ಬೆರ್ರಿ-ಅಲಜಿ, ಆರ್ಬಿಟಲ್ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೊಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಎಫೆಕ್ಟ್ಸ್, ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಇನ್ಸುಲೇಟರ್ಸ್-ಡಿ. ವಾಂಡರ್ಬಿಲ್ಟ್ ಅವರ ಒಂದು ಭಾಷಣ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಂತಗಳು