Ideal lattice
ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳು ಜಾಲರಿಗಳ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಜಾಲರಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನೇಕ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವು ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೋ ಆವರ್ತಕ ಜಾಲರಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಜಾಲರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಜಾಲರಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾದ ಆವರ್ತಕ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಎನ್. ಟಿ. ಆರ್. ಯು. ಎನ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಎನ್. ಟಿ. ಆರ್. ಯು. ಎಸ್. ಸೈನ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ ಲರ್ನಿಂಗ್ ವಿತ್ ಎರರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅಟ್ಯಾಕ್ ರೆಸಿಸ್ಟೆಂಟ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಗೆ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿವೆ. ಈ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾದ ವಾಹಕ ಸಮಸ್ಯೆ (ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ.) ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಮರ್ಥನೀಯವಾಗಿ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳು ಕೆಲವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ಡಿಗ್ರಿಗಾಗಿ ರೂಪದ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಜಾಲರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸದಿಂದ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ನಿದರ್ಶನಗಳಾಗಿವೆಃ ಅದರ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಮುಕ್ತ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ನೈಜ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ,) ಕೆಲವು ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೀಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಕೆಳಗಿರುವ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಜಾಲರಿಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಎಲ್ಲಾ ಜಾಲರಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು, ಅಂಶದ ಉಂಗುರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ (ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಾಗಿ), ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಆದರ್ಶವು ಅನುಗುಣವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಉಪ ಜಾಲಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಯು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಡಿಗ್ರಿ ಮತ್ತು ಆದರ್ಶದ ಕೆಲವು ಏಕ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ರಿಂಗ್ ಮಾನದಂಡವು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಉಂಗುರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆದರ್ಶವು ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಮ್ಮಃ ಪ್ರತಿ ಐಡಿಯಲ್, ಅಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿಯ ಮೋನಿಕ್, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬಹುಪದವು, ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಲಿಂಡ್ನರ್ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಲರಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಜಾಲರಿಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಅವರು ಜಾಲರಿಯು ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಿದರು, ಅಂದರೆ. ಆಧಾರವು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ಮೂಲಭೂತ ನಿರ್ಬಂಧವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಲ್ಯೂಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೋ ಅವರು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಮೋನಿಕ್ ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಜಾಲರಿಯು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಲೆಮ್ಮಾದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವಂತೆ ಅದು ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ರಮಾವಳಿಃ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವುದು ದತ್ತಾಂಶಃ ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಧಾರ ಫಲಿತಾಂಶಃ ನಿಜ ಮತ್ತು, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸಿದರೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸುಳ್ಳು. ಎಚ್ಎನ್ಎಫ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ಮತ್ತು ಪಿ ಯ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಣವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ, ನಂತರ ಈ ಅಂಕಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಿಆರ್ಟಿ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ನಂತರ ನಿಜವಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗಿದರೆ ತಪ್ಪಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗಿದರೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂ ಇರುವಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲೆಟ್ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೋ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ಬಿ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಿ ಈಗಾಗಲೇ ಹರ್ಮೈಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಫಾರ್ಮ್ನಲ್ಲಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಿರ್ಣಾಯಕವೆಂದರೆ, ಅಡ್ಜ್ಯುಗೇಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸಿದರೆ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯು ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ರಚನಾತ್ಮಕ ಆವರ್ತಕ ಜಾಲರಿಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿತು ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಪಾಲಿ (ಎನ್)-ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ. ಯ ನಿರ್ಬಂಧದ ಕೆಟ್ಟ-ಕೇಸ್ ಗಡಸುತನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಸುರಕ್ಷಿತ ಏಕಮುಖ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿತು. (γ-ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಲರಿಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮಾನದಂಡವು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಯ ವಾಹಕದ ವಾಹಕಕ್ಕಿಂತ γ ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.) ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಈ ಏಕಮುಖ ಕಾರ್ಯವು ಎನ್. ಟಿ. ಆರ್. ಯು ಯೋಜನೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶೇಖರಣಾ ವೆಚ್ಚಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ತರುವಾಯ, ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೋ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪೀಕೆರ್ಟ್ ಮತ್ತು ರೋಸೆನ್ ಅವರು ದಕ್ಷ ಮತ್ತು ಸುರಕ್ಷಿತ ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೊನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಅವರು ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಘರ್ಷಣೆ ಪ್ರತಿರೋಧವು ಪಾಲಿ (ಎನ್)-ಎಸ್ವಿಪಿ ಯಿಂದ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ (ಪಾಲಿ (ಎನ್)-ಐಡಿಯಲ್-ಎಸ್ವಿಪಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ನಿರ್ಬಂಧದ ಗಡಸುತನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಸರಾಸರಿ-ಪ್ರಕರಣ ಘರ್ಷಣೆ-ಹುಡುಕುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಐಡಿಯಲ್-ಎಸ್. ಐ. ಎಸ್. ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗಣನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಐಡಿಯಲ್-ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ. ಯ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ನಿದರ್ಶನಗಳಷ್ಟೇ ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳಿಂದ ಸುರಕ್ಷಿತವಾದ ಸಮರ್ಥವಾದ ಸಹಿ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳಿಂದ ಸಮರ್ಥವಾದ ಸುರಕ್ಷಿತವಾದ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಕೀಲಿ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ವಿನಿಮಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 2011 ರಲ್ಲಿ ಸಿನ್ಸಿನ್ನಾಟಿ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಜಿಂಟಾಯ್ ಡಿಂಗ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ನಿರೋಧಕ ಕೀ ವಿನಿಮಯದ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. 2012ರಲ್ಲಿ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಪೇಟೆಂಟ್ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿದ ನಂತರ ಈ ಕಾಗದವು 2012ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. 2014 ರಲ್ಲಿ, ಪಿಕರ್ಟ್ ಡಿಂಗ್ನ ಅದೇ ಮೂಲಭೂತ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಪ್ರಮುಖ ಸಾರಿಗೆ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಡಿಂಗ್ನ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಹೊಸ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಹಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ವಾಡಿಮ್ ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ ಅವರು "ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ಸ್ ವಿಥೌಟ್ ಟ್ರಾಪ್ಡೋರ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದರು. ಪೀಕೆರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿಯವರ ಕೆಲಸವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಭದ್ರತಾ ಕಡಿತಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಆಧಾರಿತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅಟ್ಯಾಕ್ ರೆಸಿಸ್ಟೆಂಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳ ಸೂಟ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮರ್ಥ ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ಮುಖ್ಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಅಂತಹ ಜಾಲರಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಚಿಕ್ಕದಾದ ವಾಹಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗಡಸುತನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ (ಆವರ್ತಕ ಜಾಲರಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ) ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪೀಕೆರ್ಟ್ ಮತ್ತು ರೋಸೆನ್, ಜೊತೆಗೆ ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೊ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು ಮತ್ತು ವೇಗದ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಗುರುತಿನ ಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಇತರ ಸಮರ್ಥ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟವು. ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೋ ಅವರು ಸಮರ್ಥ ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರಚನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ವೇಕ್ಟರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕೆಟ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯ ಗಡಸುತನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸುರಕ್ಷಿತವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಹ್ಯಾಶ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಒಂದು ಉಂಗುರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪದವಿಯ ಮೊನಿಕ್, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಕ್ರಮದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಲಾದ-ಟುಪಲ್ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯೂಹಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ, ಹ್ಯಾಶ್ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೀಲಿಯ ಗಾತ್ರವು (ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯ), ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಸೂಕ್ತ ಆಯ್ಕೆಗಾಗಿ ಫಾಸ್ಟ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ (ಎಫ್ಎಫ್ಟಿ) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹ್ಯಾಶಿಂಗ್ಗೆ ಸಮಯ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಹ್ಯಾಶ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವ ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದ್ದರೆ, "ಚಿಕ್ಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಸ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ರಿಂಗ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐಡಿಯಲ್ಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹ್ಯಾಶ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕುಟುಂಬವು ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 2006 ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೊ ಅವರ ಕೆಲಸದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೊ ಮತ್ತು ರೇಗೆವ್ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ನಿಯತಾಂಕಗಳುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಫ್. ಕೀಃ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯಃ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿವೆ, f ಒಂದು ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬ್ಲಾಕ್-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸರಾಸರಿ (ಕೇವಲ ವಿಲೋಮ ಬಹುಪದೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ) ಸಣ್ಣ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ವಿವಿಧ ಜಾಲರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು (ಅಂದಾಜು ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಐ. ವಿ. ಪಿ. ಯಂತಹ) ಪರಿಹರಿಸುವಷ್ಟು ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ, ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಎಫ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಯುನಿಟ್ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಯು, ವಿ, ವೆಕ್ಟರ್ [ಎಫ್ ಐ ಯು] ವಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ. ಬಹುಪದವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಣ್ಣ ಮಟ್ಟದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸರ್ಕ್ಯುಲೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ [F ≤u] v ನ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು 1 ರಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಪದವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಕಾರಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಘರ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದು ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇತರ ಅನೇಕ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ f ನ ಕೆಲವು ಆಯ್ಕೆಗಳು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಟ್ಟ ಭದ್ರತಾ ಖಾತರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ) ಅಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು 2 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ಗಳು ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ ಯೋಜನೆಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿವೆ. ಜಾಲರಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕೆಟ್ಟ-ಸ್ಥಿತಿಯ ಗಡಸುತನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಏಕಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವು ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿವೆ. ದೋಷಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಲಿಕೆ, ದೋಷಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ ಲರ್ನಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಾಪ್ಡೋರ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಹೊಸ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದೋಷಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರ್ಶ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆವರ್ತಕ) ಜಾಲರಿಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾದ ವಾಹಕವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ಗಳ ನೇರ ನಿರ್ಮಾಣ. ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೊ ಅವರ ಯೋಜನೆಯು ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಭದ್ರತಾ ಖಾತರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಹುತೇಕ ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಹಿ ಉತ್ಪಾದನೆ ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲನಾ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ದಕ್ಷತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಾರಿಯ ಸಹಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಆದರೆ ಇದು ದುರ್ಬಲ ಗಡಸುತನದ ಊಹೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅತಿ ಸಣ್ಣ ವಾಹಕದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು (ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ.) (ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳಲ್ಲಿ) ಒಂದು ಅಂಶದೊಳಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಗಡಸುತನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಾರಿ ಸಹಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ಒಂದು ಬಾರಿಯ ಸಹಿಗಳಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಒಂದೇ ಸಂದೇಶಕ್ಕೆ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಸಹಿ ಹಾಕಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಸಹಿಗಳು) ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಹಿ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ, ಜಾಲರಿ ಆಧಾರಿತ ಒನ್-ಟೈಮ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ನ ಹೊಸ ನಿರ್ಮಾಣದೊಂದಿಗೆ, ಅದರ ಭದ್ರತೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದಕ್ಕಾಗಿ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಜಾಲರಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ವೇಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಕೆಟ್ಟ-ಕೇಸ್ ಗಡಸುತನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಕೀ-ಜನರೇಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಃ ಇನ್ಪುಟ್ಃ, ಡಿಗ್ರಿಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್. ಸೆಟ್ ಮಾಡಿ, ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳಿಗೆ, ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿಃ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಂತಹವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ನಂತರ ಹೊಂದಿಸಿ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ 1 ರ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೈನಿಂಗ್ ಕೀಯಿಂದಃ. ಪರಿಶೀಲನಾ ಕೀಲಿಃ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಸಹಿ ಮಾಡುವುದುಃ ಇನ್ಪುಟ್ಃ ಸಂದೇಶವನ್ನು ಸಹಿ ಮಾಡುವ ಕೀಲಿ ಔಟ್ಪುಟ್ಃ ಪರಿಶೀಲನಾ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಃ ಇನ್ಪುಟ್ಃ ಸಂದೇಶ; ಸಹಿ; ಪರಿಶೀಲನಾ ಕೀಲಿ ಔಟ್ಪುಟ್ಃ "ಸ್ವೀಕರಿಸಿ", ಮತ್ತು "ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ", ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಸ್ವಿಫ್ಟ್ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯವು ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಫಾಸ್ಟ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ (ಎಫ್ಎಫ್ಟಿ) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಯವನ್ನು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಗಣನೀಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಓವರ್ಹೆಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮಿಚಿಯಾನ್ಸಿಯೋ ಮತ್ತು ರೇಗೇವ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ವಿಫ್ಟ್ ಕುಟುಂಬವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ (ಎಫ್ಎಫ್ಟಿ) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚು ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ಡ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ f ಅನ್ನು 2 ರ ಘಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಪದವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಜಿಸುವಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸ್ವಿಫ್ಟ್ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೀಲಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುವ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗುಣಾಕಾರವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾಪ್ ಅನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾಪ್ಗೆ ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ. ಒಟ್ಟಾಗಿ, ಈ ಎರಡು ಸಂಗತಿಗಳು ಸ್ವಿಫ್ಟ್ ನಲ್ಲಿನ ಘರ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಘರ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸ್ವಿಫ್ಟ್ ನ ಘರ್ಷಣೆ ನಿರೋಧಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೆಟ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜಾಲರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿದೆ. ಸ್ವಿಫ್ಟ್ ಹ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಹೀಗಿದೆಃ ನಿಯತಾಂಕಗಳುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಂದರೆ 2ರ ಶಕ್ತಿಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು. ಕೀಃ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ಪುಟ್ಃ ವಾಹಕಗಳು. ಔಟ್ಪುಟ್ಃ ವೆಕ್ಟರ್, ಅಲ್ಲಿ ಘಟಕವಾರು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಲರ್ನಿಂಗ್ ವಿತ್ ಎರ್ರರ್ಸ್ (ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ) ರಿಂಗ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಲರ್ನಿಂಗ್ ವಿತ್ ಎರ್ರರ್ಸ್ (ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ) ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕೆಟ್ಟ-ಪ್ರಕರಣ ಜಾಲರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಷ್ಟೇ ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅನೇಕ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಇ. ಯ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಓವರ್ಹೆಡ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಈ ಅನ್ವಯಗಳು ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿವೆ. ನಿಜವಾದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ, ಪೀಕೆರ್ಟ್ ಮತ್ತು ರೇಗೆವ್ ಅವರು ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂಕ್ತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಈ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಟ್ಟ-ಕೇಸ್ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಗಡಸುತನವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಅವರು ತಮ್ಮ ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ರಿಂಗ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಎಂದು ಕರೆದರು. ಭದ್ರತಾ ನಿಯತಾಂಕವು 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. (ಈ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಇದು ಬರುತ್ತದೆ). ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಹುಪದಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. (ಅಂದರೆ, ಅವಶೇಷಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿರಲಿ (ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ), ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಹುಪದಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಯಾರಿಂದ ಬಂದಿವೆಯೋ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿ ಇರುವ ಬಹುಪದಿಗಳಿಂದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ, ಆರ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರಿಂಗ್ ಅಂಶವಾಗಿರಲಿ, ಅದನ್ನು ರಹಸ್ಯವಾಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಲ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಇ. ಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ, ಆಕ್ರಮಣಕಾರರ ಗುರಿಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ (ಸ್ವತಂತ್ರ) 'ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಬ್ಧದ ಉಂಗುರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು' ನಿಜವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗದ್ದಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೆಲವು 'ಸಣ್ಣ' ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷ ಪದಗಳಿಂದ ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ರಿಂಗ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇಯ ಹುಡುಕಾಟ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂದಾಜು ಎಸ್ವಿಪಿ (ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಯಿಂದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಡಿತವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಅನೇಕ ಗದ್ದಲದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ರಹಸ್ಯವನ್ನು (ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ) ಮರುಪಡೆಯುವುದು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ರೆಗೇವ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಡಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪರೇಖೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳು ಕಡಿತದ 'ಬೀಜಗಣಿತ' ಮತ್ತು 'ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ' ಘಟಕಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಹಲವಾರು ಹೊಸ ತಾಂತ್ರಿಕ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತವೆ. ಅವರು ಈ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಚೀನೀ ಅವಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆದರುಃ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು (ತರ್ಕಬದ್ಧ) ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅಂತಹದ್ದಾಗಿರಲಿ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಡಿತವು-ನಿಂದ-, ಎಲ್ಲಿಗೆ ಇದೆ. 2013ರಲ್ಲಿ, ಗುನೀಸು, ಲ್ಯುಬಾಶೇವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಪಾಪ್ಪಲ್ಮ್ಯಾನ್ ರಿಂಗ್ ಲರ್ನಿಂಗ್ ವಿತ್ ಎರರ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. 2014ರಲ್ಲಿ, ಪಿಕರ್ಟ್ ಅವರು "ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಫಾರ್ ದಿ ಇಂಟರ್ನೆಟ್" ಎಂಬ ತಮ್ಮ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ರಿಂಗ್ ಲರ್ನಿಂಗ್ ವಿತ್ ಎರರ್ಸ್ ಕೀ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ (ಆರ್ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ-ಕೆಇಎಕ್ಸ್) ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಸಿಂಗ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿತು. ಐಡಿಯಲ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯೂಇ ಸ್ಟೆಹ್ಲೆ, ಸ್ಟೈನ್ಫೆಲ್ಡ್, ತನಾಕಾ ಮತ್ತು ಕ್ಸಾಗಾವಾ ಅವರು ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯೂಇ ಸಮಸ್ಯೆಯ (ಐಡಿಯಲ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯೂಇ) ರಚನಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಮರ್ಥ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಕೀಲಿ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂದಾಜು ಎಸ್ವಿಪಿಯ ಕೆಟ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯ ಗಡಸುತನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಇದು ಮೊದಲ ಸಿ. ಪಿ. ಎ.-ಸುರಕ್ಷಿತ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಕೀಲಿ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರ ಭದ್ರತೆಯು ಉಪ-ಘಾತೀಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ದಾಳಿಯ ವಿರುದ್ಧ-ಐಡಿಯಲ್-ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ. ಯ ಕೆಟ್ಟ-ಸಂದರ್ಭಗಳ ಗಡಸುತನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಇದು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಾರ್ವಜನಿಕ/ಖಾಸಗಿ ಕೀಲಿಯ ಉದ್ದವು ಬಿಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಮೋರ್ಟೈಸ್ಡ್ ಎನ್ಕ್ರಿಪ್ಶನ್/ಡಿಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ವೆಚ್ಚವು ಪ್ರತಿ ಸಂದೇಶ ಬಿಟ್ಗೆ ಬಿಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ (ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ, ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಎನ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡುವುದು). ಇಲ್ಲಿ ಭದ್ರತಾ ಊಹೆಯೆಂದರೆ-ಐಡಿಯಲ್-ಎಸ್ವಿಪಿ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಬ್ಎಕ್ಸ್ಪೊನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಟೈಮ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಪಬ್ಲಿಕ್ ಕೀ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಭದ್ರತಾ ಊಹೆಗಳಿಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪ್ರಮುಖ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಜಾಲರಿ ಆಧಾರಿತ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ಶಾಸ್ತ್ರವು ಉಪ-ಘಾತೀಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ದಾಳಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಭದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಲರ್ನಿಂಗ್ ವಿತ್ ಎರ್ರರ್ಸ್ (ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ) ನ ಸರಾಸರಿ-ಕೇಸ್ ಗಡಸುತನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಅವರ ಯೋಜನೆಯು ಐಡಿಯಲ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇಯ ರಚನಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳ ನಿರ್ಬಂಧದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅವರು ಕೆಲವು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ರಚನೆಯಿಲ್ಲದ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಹಿಂದಿನ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ರೆಗೇವ್ನ ಕೆಟ್ಟ-ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಸರಾಸರಿ-ಪ್ರಕರಣ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಡಿತವನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ (ಬಿಡಿಡಿ) ನಿಂದ ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇಗೆ ಬಳಸುತ್ತವೆ (ಇದು ಎಸ್ವಿಪಿಯಿಂದ ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇಗೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಡಿತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಂತವಾಗಿದೆ). ಈ ಕಡಿತವು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಜಾಲರಿಗಳ ರಚನೆರಹಿತತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಐಡಿಯಲ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರಚನಾತ್ಮಕ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸಾಗುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಒಂದೇ ಸಾಲನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಇತರ ಘಟಕಾಂಶವೆಂದರೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಇ. ಯ ಗಣನೆಯ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ರೆಜೆವ್ನ ಕಡಿತವು ಐಡಿಯಲ್-ಎಲ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಇ. ಗೆ ವಿಫಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆಃ ಇದು ಎಲ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಈ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು, ಅವರು ಕಡಿತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಂತವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದರು. ಬದಲಿಗೆ, ಅವರು ಎಸ್. ಐ. ಎಸ್. (ಸರಾಸರಿ-ಪ್ರಕರಣ ಘರ್ಷಣೆ-ಶೋಧನೆ ಸಮಸ್ಯೆ) ನಿಂದ ಎಲ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಇ. ಗೆ ಹೊಸ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರಾಸರಿ-ಪ್ರಕರಣ ಕಡಿತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಂತವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಇದು ಐಡಿಯಲ್-SIS ನಿಂದ ಐಡಿಯಲ್-LWE ವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಟ್ಟ-ಕೇಸ್ ಐಡಿಯಲ್-ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ ಯಿಂದ ಸರಾಸರಿ-ಕೇಸ್ ಐಡಿಯಲ್-ಎಸ್. ಐ. ಎಸ್. ಗೆ ಇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅವರು ಐಡಿಯಲ್-ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ ಯಿಂದ ಐಡಿಯಲ್-ಎಲ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಇ. ಗೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಡಿತವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಇದು ಐಡಿಯಲ್-ಎಲ್ಡಬ್ಲ್ಯುಇಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ರೂಪಾಂತರದ ಗಡಸುತನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರು ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೂಪಾಂತರದ ಗಡಸುತನವನ್ನು ಪಡೆಯದ ಕಾರಣ, ಅವರು ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹಾರ್ಡ್ಕೋರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವರು ಎಸ್. ವಿ. ಪಿ ಯ ಘಾತೀಯ ಗಡಸುತನವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ (ಎಫ್. ಎಚ್. ಇ.) ಯೋಜನೆಯು, ಮೊದಲು ಡೀಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ, ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣಗೊಂಡ ದತ್ತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಗಣನೆಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 1978 ರಲ್ಲಿ ರಿವೆಸ್ಟ್, ಆಡ್ಲೆಮನ್ ಮತ್ತು ಡೆರ್ಟೌಜೋಸ್ ಅವರು ಮೊದಲು ಮಂಡಿಸಿದರು, ರಿವೆಸ್ಟ್, ಆಡ್ಲೆಮನ್ ಮತ್ತು ಶಮೀರ್ ಅವರು ಆರ್ಎಸ್ಎಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ. ಒಂದು ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಯೋಜನೆಯು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗೆ, ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ಅದು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗಾತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಯ ಭದ್ರತಾ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. 2009 ರಲ್ಲಿ, ಜೆಂಟ್ರಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪದ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಅವರ ಯೋಜನೆಯು ಆದರ್ಶ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿತ್ತು. ಲ್ಯಾಟಿಸ್-ಆಧಾರಿತ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎನ್ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ರಿಂಗ್ ಲರ್ನಿಂಗ್ ವಿತ್ ಎರ್ರರ್ಸ್ ಕೀ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ ಪೋಸ್ಟ್-ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಸಣ್ಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಲ್ಯಾಟಿಸ್-ಆಧಾರಿತ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಪೋಸ್ಟ್-ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.