Partial cube
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಘನವು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ಉಪಗ್ರ್ಯಾಫ್ಗೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಘನವನ್ನು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಭಾಗಶಃ ಘನದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನಲ್ಲಿನ ಆ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಘನವು ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಬಿಟ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಅವುಗಳ ಲೇಬಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತು ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಕ್ಯೂಬ್ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮೊದಲನೆಯದು ಇತಿಹಾಸ. ಅಂತಹ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಘನಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಲೇಬಲಿಂಗ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರಚನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು, ಇತರರಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮರವೂ ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಘನವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಒಂದು ಮರವು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಮತ್ತು ಈ ಅಂಚುಗಳನ್ನು (ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ) ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಎಣಿಸಿ. ಮರಕ್ಕೆ ಮೂಲ ಶೃಂಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ 1 ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಟ್ಗಳ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಂಚು ಇರುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ವತಃ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯ ಬಿಟ್ಗಳಿರುವ ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರು ಒಂದೇ 1-ಬಿಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಲೇಬಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಅಂತರವು ಮರದ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಭಾಗಶಃ ಘನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಕ್ಯೂಬ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಟ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಅದರ ಶೃಂಗದ ಲೇಬಲ್ಗಳು ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ-ಅಂಕಿಯ ಬಿಟ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಲೇಬಲ್ಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಟ್ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಈ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನಲ್ಲಿ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದ್ದದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಟ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳ ಗ್ರಾಫ್, ಅದೇ ಸಾಮೀಪ್ಯ-ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ) ಹುದುಗಿಸುವುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ದೂರವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ನೆಸರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ; ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು 20 ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು 30 ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಡೆಸಾರ್ಗ್ಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಮ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಭಾಗಶಃ ಘನಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮರಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮಧ್ಯಮ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮಧ್ಯಮ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸ್ಕ್ವೇರ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳು, ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಘನಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ವಿತರಣಾ ಜಾಲರಿಗಳ ಕವರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಭಾಗಶಃ ಘನಗಳಾಗಿವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಉಭಯ ನಕ್ಷೆಯು ಭಾಗಶಃ ಘನವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯಾಮಗಳ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಜೋಡಣೆಗೆ, ಜೋಡಣೆಯ ಪ್ರತಿ ಕೋಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋಶಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಚು ಭಾಗಶಃ ಘನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಘನವನ್ನು ಘನ ಭಾಗಶಃ ಘನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘನ ಭಾಗಶಃ ಘನಗಳ ಹಲವಾರು ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೂ, ಇತರ ಅನೇಕ ವಿರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಲ್ಲದ ಏಕೈಕ ಘನ ಭಾಗಶಃ ಘನವು ಡೆಸಾರ್ಗ್ಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಮ್ಯಾಟ್ರಾಯ್ಡ್ನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್, ಆಂಟಿಮ್ಯಾಟ್ರಾಯ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಅಂಶದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಭಾಗಶಃ ಘನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಘನಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೊಂದು ಭಾಗಶಃ ಘನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಅಂಚನ್ನು ಎರಡು ಅಂಚಿನ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಉಪವಿಭಜನೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಶೃಂಗವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವು ಭಾಗಶಃ ಘನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಆಪಾದಿತ ಅಂಚುಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಉಪವಿಭಜನೆಗೊಂಡಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆಕಸ್ಮಿಕವಲ್ಲದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸಮ-ಉದ್ದದ ಮಾರ್ಗಗಳಾಗಿ ಉಪವಿಭಜನೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಜೊಕೊವಿಕ್-ವಿಂಕ್ಲರ್ ಸಂಬಂಧ ಭಾಗಶಃ ಘನಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಳಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಥವಾ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಆಧರಿಸಿವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮೊದಲು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ವೇಳೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಪರ್ಕಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಭಾಗಶಃ ಘನ ಎಂದು ವಿಂಕ್ಲರ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವು ಗ್ರಾಫ್ನ ಎರಡು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉಪಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಜೊಕೊವಿಕ್-ವಿಂಕ್ಲರ್ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಲೇಬಲ್ನ ಒಂದು ಬಿಟ್ ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು; ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಎರಡು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉಪಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ತಮ್ಮ ಲೇಬಲ್ಗಳ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉಪಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಭಾಗಶಃ ಘನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹಮ್ಮಿಂಗ್ ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಭಾಗಶಃ ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಟ್ಟು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಿಂದ ಅಗಲವಾದ ಮೊದಲ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಜೊಕೊವಿಕ್-ವಿಂಕ್ಲರ್ ಸಂಬಂಧದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ;-ಸಮಯ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ಪಾಸ್ನಲ್ಲಿ ಬಹು ಅಗಲದ ಮೊದಲ ಹುಡುಕಾಟಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಬಿಟ್-ಮಟ್ಟದ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಗಣನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮಾನ್ಯವಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ಯೂಬ್ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ ಭಾಗಶಃ ಘನದ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮವು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಅದನ್ನು ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಜೊಕೊವಿಕ್-ವಿಂಕ್ಲರ್ ಸಂಬಂಧದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,-ಕಶೇರುಕ ಮರದ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮವು ಅದರ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಹುದುಗಿಸುವುದು ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಭಾಗಶಃ ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ನ ಜಾಲರಿಯ ಆಯಾಮವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಜಾಲರಿಯ ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮವಾಗಿದ್ದು, ಅದರೊಳಗೆ ಗ್ರಾಫನ್ನು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು. ಜಾಲರಿಯ ಆಯಾಮವು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಮರಕ್ಕೆ ಇದು ಮರದಲ್ಲಿನ ಎಲೆಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ (ಹತ್ತಿರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದವರೆಗೆ ದುಂಡಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ನ ಜಾಲರಿಯ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಸಹಾಯಕ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮೂಲಕ ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಭಾಗಶಃ ಘನಗಳ ಇತರ ರೀತಿಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶೇಷವಾದ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಹುದುಗುವಿಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ರಾಸಾಯನಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ರಾಸಾಯನಿಕ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಬೆನ್ಝೆನಾಯ್ಡ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಷಟ್ಕೋಣ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಚಕ್ರದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಬೆಂಜಿನಾಯ್ಡ್ ಹೈಡ್ರೋಕಾರ್ಬನ್ಗಳ ಆಣ್ವಿಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಸಾವಯವ ಅಣುಗಳ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಭಾಗಶಃ ಘನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ನ ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಣುವಿನ ವೀನರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಅದರ ಕೆಲವು ರಾಸಾಯನಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇಂಗಾಲದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ವಿಭಿನ್ನ ಆಣ್ವಿಕ ರಚನೆಯಾದ ಡೈಮಂಡ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಸಹ ಭಾಗಶಃ ಕ್ಯೂಬ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. .. .. .. .. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ. .. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ. .. .. .. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ. .. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಧ್ಯಾಯ 5, "ಪಾರ್ಟಿಯಲ್ ಕ್ಯೂಬ್ಸ್", ಪುಟಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. 127-181. .. ಗ್ರಾಫ್ ಕುಟುಂಬಗಳು ಗಣಿತೀಯ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ ಬೈಪಾರ್ಟೈಟ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು