Mathematical chess problem
ಗಣಿತದ ಚದುರಂಗದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಚದುರಂಗದ ಹಲಗೆ ಮತ್ತು ಚದುರಂಗದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲಾದ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮನರಂಜನಾ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ ಎಂಟು ರಾಣಿಯರ ಒಗಟು ಮತ್ತು ಕುದುರೆಯ ಪ್ರವಾಸದ ಸಮಸ್ಯೆ, ಇವು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅನೇಕ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಗಣಿತದ ಚದುರಂಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಥಾಬಿತ್, ಯೂಲರ್, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಮತ್ತು ಗಾಸ್. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಲು, ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಎನ್ × ಎನ್ ಅಥವಾ ಎಂ × ಎನ್ ಬೋರ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯು (ಅಥವಾ ಅನ್ಗಾರ್ಡ್) ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಚದುರಂಗದ ತುಂಡನ್ನು (ರಾಣಿ, ರೂಕ್, ಬಿಷಪ್, ಕುದುರೆ ಅಥವಾ ರಾಜ) ನೀಡಿದರೆ, ಚದುರಂಗದ ಹಲಗೆಯ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ ತುಣುಕುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ದಾಳಿ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತುಣುಕುಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಎಂಟು ರಾಣಿಯರ ಒಗಟು. ಎಷ್ಟು ಸಂಭಾವ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ಕೇಳುವ ಮೂಲಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎನ್ಎಕ್ಸ್ಎನ್ ಮಂಡಳಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. 8x8 ಚದುರಂಗ ಫಲಕವು 16 ಸ್ವತಂತ್ರ ರಾಜರು, 8 ಸ್ವತಂತ್ರ ರಾಣಿಯರು, 8 ಸ್ವತಂತ್ರ ರೂಕ್ಗಳು, 14 ಸ್ವತಂತ್ರ ಬಿಷಪ್ಗಳು ಅಥವಾ 32 ಸ್ವತಂತ್ರ ನೈಟ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ರಾಜರು, ಬಿಷಪ್ಗಳು, ರಾಣಿಯರು ಮತ್ತು ಕುದುರೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 8 ಸ್ವತಂತ್ರ ರೂಕ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲು ಸಾಕು. ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ (ಅಥವಾ ಹೊದಿಕೆ) ಸಮಸ್ಯೆಯು, ಎಲ್ಲಾ ಖಾಲಿ ಚೌಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ದಾಳಿ ಮಾಡುವಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಚೆಸ್ ಬೋರ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಶೃಂಗದ ಕವರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿರುವ ರಾಜರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ 9, ರಾಣಿಯರು 5, ರೂಕ್ಗಳು 8, ಬಿಷಪ್ಗಳು 8, ಮತ್ತು ನೈಟ್ಸ್ಗಳು 12. 8 ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ರೂಕ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಪ್ರತಿ ಕಡತದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇರಿಸಲು ಸಾಕು. ಇತರ ತುಣುಕುಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳ ಮೇಲೆ ದಾಳಿ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಕ್ರಮಿತವೂ ಸೇರಿದೆ. ರೂಕ್ಗಳಿಗೆ, ಎಂಟು ಅಗತ್ಯವಿದೆ; ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಕಡತ ಅಥವಾ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೇಲೆ ಇಡುವುದು. ಇತರ ತುಣುಕುಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಗಾತ್ರದ ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದ ಮೇಲೆ ರಾಣಿಯರ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಸೇಲಂ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇತರ ಎರಡರ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರಾಣಿಯರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲರೂ ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎಲ್ಲರೂ ಸಮ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬೆಸ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ) ಮತ್ತು ಅದು ಸೇಲಂ-ಸ್ಪೆನ್ಸರ್ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪೀಸ್ ಪ್ರವಾಸದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕೆಲವು ಚದುರಂಗದ ತುಣುಕುಗಳ ಪ್ರವಾಸವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಕೇಳುತ್ತವೆ, ಇದು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ನೈಟ್ಸ್ ಟೂರ್. ಕುದುರೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ರಾಜ, ರಾಣಿ ಮತ್ತು ಕುದುರೆಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಪ್ರವಾಸಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಬಿಷಪ್ಗಳು ಫಲಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೌಕವನ್ನು ತಲುಪಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರಿಗೆ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದ ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳನ್ನು ತಲುಪಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚದುರಂಗ ವಿನಿಮಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಚದುರಂಗ ವಿನಿಮಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬಿಳಿಯ ತುಣುಕುಗಳು ಕಪ್ಪು ತುಂಡುಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿನಿಮಯಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಆಟದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತುಣುಕುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನು ಚಲನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪರ್ಯಾಯ ತಿರುವುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಳಿಯ ಕುದುರೆಯು ಸತತವಾಗಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಚಲಿಸಬಹುದು. ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಕುದುರೆಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಬಿಷಪ್ಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಶತ್ರುಗಳ ತುಣುಕುಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಮೇಲೆ ದಾಳಿ ಮಾಡಬಾರದು. ಚೆಸ್ ಒಗಟು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ). ಪುಸ್ತಕದ ಕೆಲವು ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಆನ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿವೆಃ ಇವ್ಜೆನಿ ಗಿಕ್ "ಷ್ಖ್ಮಾತಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟೆಮ್ಯಾಟಿಕಾ" ಮತ್ತು ಡಿಜೆವಿಯು ಕಡತವಾಗಿ (ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ). ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಲ್ಡ್ನಿಂದ ಎರಿಕ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ., ವೈಸ್ಸ್ಟೀನ್ ಅವರಿಂದ ಚೆಸ್ ಅನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ. ಜಾರ್ಜ್ ಜೆಲ್ಲಿಸ್ ಬರೆದ ಚೆಸ್-ಪೀಸ್ ಅರೇಂಜ್ಮೆಂಟ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ (ದಿ ಗೇಮ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಪಜಲ್ಸ್ ಜರ್ನಲ್ನಿಂದ). ಎಡ್ ಪೆಗ್ ಜೂನಿಯರ್ ಅವರ ಚೆಸ್ ಬೋರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯಗಳು