Bounded type (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಆ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಎರಡು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರಕಾರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಸ್ವರಮೇಳದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸೀಮಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿರಲು (ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮೇಜರ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯೂ ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲ ವರ್ಗದ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ವರ್ಗವು ಎಲ್ಲಾ ಹಾರ್ಡಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅವು "ಪ್ರಕಾರ" ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಹೆಸರಿಗೆ ಕಾರಣ ಬಹುಶಃ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು (ಡಿಸ್ಕ್ನ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರವಿರುವ ಕಾರ್ಯ) ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು 1 ರಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಪ್ರದೇಶದ ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವು, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೆಯದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯದ ನೈಜ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ω ಮೇಲೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮೇಜರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ, ಮೊತ್ತಗಳು, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಛೇದವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದವರೆಗೂ ಅಂತಹ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶವು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬಹುಪದಗಳು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅವು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಯು. ಎಚ್. ಪಿ.) ಸಹ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಡಿಗ್ರಿ ಎನ್ ನ ಬಹುಪದವನ್ನು ಯು. ಎಚ್. ಪಿ. ಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಎರಡು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಬಹುಪದದ ವಿಲೋಮವು ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದಂತೆ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ a ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ UHPಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದೆ. a ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ UHPಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು), ಮತ್ತು a ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವು 1/Q (z) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯು. ಎಚ್. ಪಿ. ಯಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ಗಳು ಬೌಂಡೆಡ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇವೆರಡೂ ಯುಹೆಚ್ಪಿಯಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಳ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೌಂಡೆಡ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಆದರೆ "ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರ" ಎಂಬ ಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಪ್ರದೇಶವು ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದ ಹೊರತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇಡೀ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಅಂದರೆ, ಇಡೀ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ) ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ "ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಕಾರ್ಯ", ಅಂದರೆ, ಯುಹೆಚ್ಪಿ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ಯುಹೆಚ್ಪಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಫ್ (ಝಡ್) ಈ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆಃ (ಇದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಯುಹೆಚ್ಪಿಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯ.) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ, ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಎರಡು (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ, ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಭಾಗವು ಸಹ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (0 ರ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ) ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು (ಒಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ, ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಗಣಿಸುತ್ತದೆ) ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯುಹೆಚ್ಪಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಯು. ಎಚ್. ಪಿ. ಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು (ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿ): ಇಲ್ಲಿ c ಮತ್ತು d ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, p ಮತ್ತು q ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು μ ಮತ್ತು ν ನೈಜ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ (ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಒಗ್ಗೂಡುವಂತೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ). q − p ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಲೂಯಿಸ್ ಡಿ ಬ್ರಾಂಜ್ಸ್ ಅವರು "ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಕಾರ" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕಾರ್ಯದ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಅಥವಾ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಕಾರವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ದೂರದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಎರಡು ಆಯಾ "ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ" ಹೆಚ್ಚಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಘಾತೀಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ). 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು (ಅಂದರೆ ಕೆಲವು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಇದು ಘಾತೀಯ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ) ಯಾವುದೇ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಸೂಕ್ತವಾದ z ನ ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು i ಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಬಹುಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಕಾರ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಕಾರವು-a ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದು a ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಕಾರವು 1 ಆಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ನಿರಂತರ, ಚದರ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ) ಅಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು (ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ z ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ z ಇದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯ. ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಡಿ ಬ್ರಾಂಜ್ ಸ್ಪೇಸ್ ರಾಲ್ಫ್ ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.