Erdős distinct distances problem
ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಸುಮಾರು-ರೇಖೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ದೂರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎರ್ಡೋಸ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ದೂರಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು 1946 ರಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಅವರು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು 2015 ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾರಿ ಗುತ್ ಮತ್ತು ನೆಟ್ಸ್ ಕಾಟ್ಜ್ ಅವರು ಬಹುತೇಕ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಊಹೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂತರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಅಂತರದ ಗುಂಪಿನ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ತನ್ನ 1946 ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಎರ್ಡೋಸ್ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾದ ವಾದದಿಂದ ನೀಡಲಾಯಿತು. ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಚೌಕಾಕಾರದ ಗ್ರಿಡ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಿಡ್ಗಾಗಿ, n ಗಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ, ಅವು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ದೊಡ್ಡ O ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಲ್ಯಾಂಡೌ-ರಾಮಾನುಜನ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ನೋಡಿ. ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು g (n) ನ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ (ದೊಡ್ಡ ಒಮೆಗಾ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು) ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎರ್ಡೋಸ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೊಸ್ ಅವರ 1946 ರ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸುಧಾರಿಸಲಾಯಿತುಃ 1952 ರಲ್ಲಿ ಲಿಯೋ ಮೋಸರ್ ಅವರಿಂದ, 1984 ರಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾನ್ ಚುಂಗ್ ಅವರಿಂದ, ಫ್ಯಾನ್ ಚುಂಗ್, ಎಂಡ್ರೆ ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ ಮತ್ತು ವಿಲಿಯಂ ಟಿ. ಟ್ರಾಟರ್ ಅವರಿಂದ 1992 ರಲ್ಲಿ, ಲಾಸ್ಲೋ ಎ. ಸ್ಜೆಕೆಲಿ ಅವರಿಂದ 1993 ರಲ್ಲಿ, ಜೋಸೆಫ್ ಸೊಲಿಮೋಸಿ ಮತ್ತು ಸಸಾಬಾ ಡಿ. ಟೋತ್ ಅವರಿಂದ 2001 ರಲ್ಲಿ, 2003 ರಲ್ಲಿ ಗಾಬರ್ ಟಾರ್ಡೋಸ್ ಅವರಿಂದ, 2004 ರಲ್ಲಿ ನೆಟ್ಸ್ ಕಾಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಗಾಬರ್ ಟಾರ್ಡೋಸ್ ಅವರಿಂದ, 2015 ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾರಿ ಗುತ್ ಮತ್ತು ನೆಟ್ಸ್ ಕಾಟ್ಜ್ ಅವರಿಂದ. ಎರ್ಡೋಸ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಏಕೆಂದರೆ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ದೂರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಅವರು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು. ಜೋಸೆಫ್ ಸೊಲಿಮೋಸಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾನ್ ಎಚ್. ವು 2008ರಲ್ಲಿ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆದರು. ಫಾಲ್ಕನರ್ ಅವರ ಎರ್ಡೊಸ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕುರಿತಾದ ವಿಲಿಯಂ ಗ್ಯಾಸಾರ್ಚ್ನ ಪುಟವು ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೊಸ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ