Distortion problem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ವಿರೂಪತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಘಟಕ ಗೋಳವನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ Y ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ |x | ಮಾನದಂಡವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಅನ್ನು λ-ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ವಿರೂಪತೆ (ಗಣಿತ) ನೋಡಿ). ಪ್ರತಿ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ 1-ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಬನಾಚ್ ಜಾಗವನ್ನು ಕೆಲವು λ> 1 ಗೆ λ-ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ λ ಗೆ λ-ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಮೊದಲು 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು. c0 ಮತ್ತು l1 ಅನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಜೇಮ್ಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. X ಒಂದು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಕೆಲವರಿಗೆ c0 ಅಥವಾ lp ಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕಲನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ), ಆಗ X ನ ಕೆಲವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಮಿಲ್ಮನ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿರೂಪತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈಗ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಲ್. ಪಿ. ಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿವೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ, ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು X ನಲ್ಲಿನ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಗೋಳದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬ ಮೇಲ್ನೋಟಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ δ> 0 ಗೆ X ನ ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ Y ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ |a −f (y) | <δ, ಎಲ್ಲಾ y upl Y ಗೆ, | |y | = 1. ಆದರೆ ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ l1 ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಜಾಗವನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ವಿರೂಪತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ದೂರದಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಘಟಕ ಗೋಳದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇತರ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿಯೂ ವಿರೂಪತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಪಿ-ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, 1 <p <φ, ವಿರೂಪತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ದೃಢವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಯಿತು, ಅವರು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಮೊದಲ ತಿಳಿದಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎಲ್ 2 ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಸೈರೆಲ್ಸನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಬನಾಚ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. .. .. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ