Auslander–Reiten theory
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ರೈಟನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ರೈಟನ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳು (ಬಹುತೇಕ ವಿಭಜಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ರೈಟನ್ ಕ್ವಿವರ್ಗಳಂತಹ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ರೈಟನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಹಲವಾರು ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ರೈಟನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ಲೇಖನಗಳಿಗಾಗಿ,,, ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೋಡಿ. ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ರೈಟನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನೇಕ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧಗಳು ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿವೆ. ಬಹುತೇಕ-ವಿಭಜಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಆರ್ ಒಂದು ಆರ್ಟಿನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆರ್ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಹುತೇಕ-ವಿಭಜಿತ ಅನುಕ್ರಮ (ಅಥವಾ ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ರೈಟನ್ ಅನುಕ್ರಮ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಿ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬಿ ಮೂಲಕ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಂಶಗಳಲ್ಲದ ಇಂಡೆಕಂಪೋಸಬಲ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಿಂದ ಸಿ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪತೆ. ಎ ಅನ್ನು ವಿಲೀನಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬಿ ಮೂಲಕ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಂಶಗಳಲ್ಲದ ಎ ಯಿಂದ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿಗೆ, ಅದು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗದ ಆದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅಲ್ಲ, ಮೇಲಿನಂತೆ ಬಹುತೇಕ-ವಿಭಜನೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಗೆ, ಅದು ಸಂಯೋಜನೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಮೇಲಿನಂತೆ ಬಹುತೇಕ-ವಿಭಜನೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಇದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಬಹುತೇಕ ವಿಭಜಿತ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ A ಯು D TR C ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು C ಯ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, R ಎಂಬುದು k ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ರಿಂಗ್ k [x]/(xn) ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ± 1 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 1 ≤ m ≤ n ಗಾಗಿ ಕೆ [x]/(xm) ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ವಿಲೀನಗೊಳಿಸಲಾಗದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಏಕೈಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವು m = n ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುತೇಕ ವಿಭಜಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು 1 ≤ m <n ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿವೆ. ಮೊದಲ ಮಾರ್ಫಿಸಂ a ಅನ್ನು (xa, a) ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು (b, c) ಅನ್ನು b − xc ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆರ್ಟಿನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಸ್ಲ್ಯಾಂಡರ್-ರೈಟನ್ ಕ್ವಿವರ್ ಪ್ರತಿ ಅಸಂಕಲನೀಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನಡುವೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಇದ್ದರೆ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಬಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು τ = D Tr ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಲ್ಲದ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನಲ್ಲದ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಅನುವಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ D ಯು ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು Tr ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಆಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ