Sufficient dimension reduction
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಆಯಾಮ ಕಡಿತ (ಎಸ್. ಡಿ. ಆರ್) ಯು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಒಂದು ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಆಯಾಮ ಕಡಿತದ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ ಕಡಿತವು ಬಹಳ ಹಿಂದಿನಿಂದಲೂ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಮತ್ತು p-ಆಯಾಮದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಾಹಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ನೀಡಲಾದ ವಿತರಣೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆಯಾಮ ಕಡಿತವು k <p ನ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ವಿತರಣೆಯು ಅದರಂತೆಯೇ ಇದ್ದರೆ ಆಯಾಮ ಕಡಿತವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಡಿತವು ಸಾಕಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯು ಕಳೆದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರೇರಣೆ ಒಂದು ಹಿಂಜರಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚದುರಿದ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾರಾಂಶ ಕಥಾವಸ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಹೆಚ್ಚಿನ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಯಾವಾಗ, ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾರಾಂಶ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸವಾಲಿನ ಸಂಗತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ನೋಡಬೇಕು, ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಯಾಮ ಕಡಿತವಿದ್ದರೆ, ವರ್ಸಸ್ನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾರಾಂಶ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಯಾಮ ಕಡಿತವು ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಆಯಾಮ ಕಡಿತದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದ ಉಳಿದ ಭಾಗವು ಅಂತಹ ಕಡಿತಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಉಪವಿಭಾಗವು ಸಾಕಷ್ಟು ಆಯಾಮ ಕಡಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದೆ. ನಂತರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ವರ್ಸಸ್ನ ಕಥಾವಸ್ತುವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾರಾಂಶ ಕಥಾವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, ಅಗತ್ಯದ ಅಂಕಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಲಮ್ನ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಇದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಆಯಾಮ ಕಡಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅಥವಾ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ರಿಡಕ್ಷನ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ (ಡಿಆರ್ಎಸ್) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ರಚನಾತ್ಮಕ ಆಯಾಮವು ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ, ರಚನಾತ್ಮಕ ಆಯಾಮವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇನ್ನೂ ಸಾಕಾಗುವಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ಆಯಾಮ ಕಡಿತವು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಡಿಆರ್ಎಸ್ ಡಿ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಎ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಡಿಆರ್ಎಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಡಿಆರ್ಎಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಯಾಮವು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಡಿಆರ್ಎಸ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಡಿಆರ್ಎಸ್ ಅನನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಆಯಾಮವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅದರ ರಚನಾತ್ಮಕ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಡಿ. ಆರ್. ಎಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವೈ ವರ್ಸಸ್ ವೈ ನ ಕಥಾವಸ್ತುವು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾರಾಂಶ ಕಥಾವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು (ಡಿ + 1)-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ಡಿಆರ್ಎಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಡಿಆರ್ಎಸ್ಗಳಿಗೆ, ಅದು ಕೇಂದ್ರ ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಛೇದನವು ಸಹ ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆ ಛೇದನವು ಕೇಂದ್ರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೇಂದ್ರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಛೇದಕವು ಡಿಆರ್ಎಸ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವೂ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಹಿಂಜರಿತದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುವ ಕೆಲವು ವಿಶಾಲವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕುಕ್ (1998) ಅವರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಇದಕ್ಕೆ ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಛೇದನವು ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹವರಿಗೆ ಕೇಂದ್ರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಈ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮ ಕಡಿತದ ವಿಧಾನಗಳು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಆಯಾಮ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಲೈಸ್ಡ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ (ಎಸ್. ಐ. ಆರ್) ಮತ್ತು ಸ್ಲೈಸ್ಡ್ ಆವರೇಜ್ ವೇರಿಯೆನ್ಸ್ ಎಸ್ಟಿಮೇಷನ್ (ಸೇವ್) ಅನ್ನು 1990ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಎಸ್. ಐ. ಆರ್ ಅನ್ನು ಮೂಲತಃ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕೇಂದ್ರ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಆಯಾಮ ಕಡಿತದ ಇತ್ತೀಚಿನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಆಧಾರಿತ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಯಾಮ ಕಡಿತ, ವಿಲೋಮ ಮೂರನೇ ಕ್ಷಣದ (ಅಥವಾ kth ಕ್ಷಣ) ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು, ಕೇಂದ್ರ ಪರಿಹಾರ ಸ್ಥಳ, ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ, ಲಕೋಟೆಯ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನ ಬೆಂಬಲ ವಾಹಕ ಯಂತ್ರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಸೇರಿವೆ. ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಪ್ರಧಾನ ಘಟಕಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಪಿಸಿಎ) ಮತ್ತು ಆಯಾಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಕಾಗುವ ತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಃ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಇದರ ವಿತರಣೆಯು ಅದರ ವಿತರಣೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಪ್ಯಾನ್ ಒಂದು ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಇದು 1-ಆಯಾಮದ (ಹೊರತು) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಹಿಂಜರಿತದ ರಚನಾತ್ಮಕ ಆಯಾಮವು. ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅಂದಾಜು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಅವಧಿಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ. ವರ್ಸಸ್ನ ಕಥಾವಸ್ತುವು ಈ ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾರಾಂಶ ಕಥಾವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ರಿಡಕ್ಷನ್ ಸ್ಲೈಸ್ಡ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಕಾಂಪೊನೆಂಟ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಕರ್ಸ್ ಆಫ್ ಡೈಮೆಶನಾಲಿಟಿ ಮಲ್ಟಿಲೀನಿಯರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಲರ್ನಿಂಗ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ ಕುಕ್, ಆರ್. ಡಿ. (1998) ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ಃ ಐಡಿಯಾಸ್ ಫಾರ್ ಸ್ಟಡಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ಸ್ ಥ್ರೂ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್, ವಿಲೇ ಸೀರೀಸ್ ಇನ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಅಂಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್. ಕುಕ್, ಆರ್ಡಿ. ಮತ್ತು ಅಡ್ರಾಗ್ನಿ, ಕೆ. ಪಿ. (2009) "ಸಾಕಷ್ಟಿರುವ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ರಿಡಕ್ಷನ್ ಅಂಡ್ ಪ್ರಿಡಿಕ್ಷನ್ ಇನ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್", ರಾಯಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಫಿಲಾಸಫಿಕಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸಾಕ್ಷನ್ಸ್ ಎಃ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್, ಫಿಸಿಕಲ್ ಅಂಡ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸೈನ್ಸಸ್, 367 (1906), 4385-4405. ಪೂರ್ಣ-ಪಠ್ಯ ಕುಕ್, ಆರ್. ಡಿ. ಮತ್ತು ವೀಸ್ಬರ್ಗ್, ಎಸ್. (1991) "ಸ್ಲೈಸ್ಡ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಫಾರ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ರಿಡಕ್ಷನ್ಃ ಕಾಮೆಂಟ್", ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್, 86 (414), 328-332. Jstor Li, K-C. (1991) "ಸ್ಲೈಸ್ಡ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಫಾರ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ರಿಡಕ್ಷನ್", ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್, 86 (414), 316-327. ಜೆಸ್ಟರ್ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಆಯಾಮ ಕಡಿತ ಆಯಾಮ ಕಡಿತ