Tilting theory
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮೊದಲ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪ್ರತಿಫಲನ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಪರಿಚಯದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು; ಈ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಎರಡು ಕ್ವಿವರ್ಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಈ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದವರು ಮರುರೂಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಟಿಲ್ಟೆಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಇದರ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಎ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಏಕಾಂಗಿ ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಟಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಟಿ ಗರಿಷ್ಠ 1ರಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಇದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಿಂದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ext (T, T) = 0. ಬಲ ಎ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎ ಎಂಬುದು ಟಿ ಯ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳ ಸೀಮಿತ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಎಂಡೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಬೀಜಗಣಿತ ಬಿ = ಎಂಡ್ಎ (ಟಿ) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಟಿ ಎಂಬುದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಎಡ ಬಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಾದ ಹೋಮ (ಟಿ,-), ಎಕ್ಸ್ಟ (ಟಿ,-),-ಬಿ. ಟಿ ಮತ್ತು ಟಾರ್ (-, ಟಿ) ಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿ-ರಚಿತವಾದ ಬಲ ಎ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗ ಮೋಡ್-ಎ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ-ರಚಿತವಾದ ಬಲ ಬಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗ ಮೋಡ್-ಬಿ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆನುವಂಶಿಕ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಎ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಆನುವಂಶಿಕ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಟಿಲ್ಟೆಡ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎ ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಟಿ ಎ ಮೇಲೆ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿ = ಎಂಡ್ಎ (ಟಿ) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಫ್ = ಹೋಮಾ (ಟಿ, −), ಎಫ್ ′ = ಎಕ್ಸ್ಟ (ಟಿ, −), ಜಿ = − ′ ಬಿ. ಟಿ, ಮತ್ತು ಜಿ ′ = ಟಾರ್ (−, ಟಿ) ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ. ಎಫ್ ಜಿ ಗೆ ಬಲ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಎಫ್ ′ ಜಿ ′ ಗೆ ಬಲ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಮೋಡ್-ಎ ಮತ್ತು ಮೋಡ್-ಬಿಯ ಕೆಲವು ಉಪವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎ-ಮೋಡ್, ಮತ್ತು ಎರಡು ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಿ-ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅದು ಎ-ಮೋಡ್ನಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಉಪವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ; ಇದು ಎ-ಮೋಡ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಎಂ ಯು ಇನ್ ಮತ್ತು ವಿ ಇನ್) ನೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿ-ಮೋಡ್ನಲ್ಲಿ ತಿರುಚು ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ವಿಲೋಮ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಫ್ 'ಮತ್ತು ಜಿ' ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ವಿಲೋಮ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. (ಈ ಸಮಾನತೆಗಳು ತಿರುಚು ಜೋಡಿಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮೊರಿಟಾ ಸಮಾನತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಟಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎ ಸೀಮಿತ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಬಿ ಸಹ ಸೀಮಿತ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಫ್ ಮತ್ತು ಎಫ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಕೆ0 (ಎ) ಮತ್ತು ಕೆ0 (ಬಿ) ನಡುವೆ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ ವಂಶಪಾರಂಪರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ. ಬಿ ಒಂದು ಬಾಗಿದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ), ಬಿ ಯ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠ 2 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ತಿರುಚು ಜೋಡಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಬಿ-ಮೋಡ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ವಸ್ತುವು ಒಳಗೆ ಅಥವಾ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಅನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ (ಅಂದರೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಗಳಾದ ಡಿಬಿ (ಎ-ಮೋಡ್) ಮತ್ತು ಡಿಬಿ (ಬಿ-ಮೋಡ್) ಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ). ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತ ಎ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಲ ಎ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಟಿ ಆಗಿದೆಃ ಟಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ i> 0 ಗಳಿಗೂ ext (T, T) = 0. ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ Ti ಎಂಬುದು T ಯ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳ ಸೀಮಿತ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು A ಮತ್ತು B ನಡುವೆ ಪಡೆದ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ B = ಎಂಡ್ಎ (T). ಎರಡು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾದ ಆರ್ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಅನ್ನು ಆರ್ ಮೇಲೆ "ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್" ನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಆರ್ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಎಂಬ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಂಶಪಾರಂಪರ್ಯ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಮ್ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಟ್ಪೇಸ್ಗಳು ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರ k ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದವು. ಈ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅರೆ-ಟಿಲ್ಟೆಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಟಿಲ್ಟೆಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. k ಮೇಲೆ ಅರ್ಧ-ಬಾಗಿದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಜಾಗತಿಕ ಆಯಾಮ ≤2 ರ k ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಅಸಂಘಟಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮ ≤1 ಅಥವಾ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಯಾಮ ≤1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಆನುವಂಶಿಕ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ; ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಿ ಟಿ ಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ (ಬಹುಶಃ ಅನಂತ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಲ್ಲ. ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತಹ ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ವಸ್ತುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವು ಟಿಲ್ಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಸಿ ನಲ್ಲಿನ ತಿರುಚು ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವಾದ ಆರ್-ಮೋಡ್ನಲ್ಲಿನ ತಿರುಚು ಜೋಡಿಯ ನಡುವೆ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವರ್ಗ (ನಿಂದ) ಮತ್ತು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಓರೆಯಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಆನುವಂಶಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಎ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಟಿಲ್ಟೆಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಟಿಲ್ಟೆಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು A ಯ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವರ್ಗವು A "ನಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಟಿಲ್ಟೆಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ