Multivariate stable distribution
ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಯುನಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣಾ ಅಂಚುಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ, ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯೆಂದು ಸಹ ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, α, ಇದನ್ನು 0 <α ≤ 2 ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ α = 2 ಪ್ರಕರಣವು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಕ್ರವಾದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಹುವಿಧದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಸಮಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಯುನಿಟ್ ಸ್ಫಿಯರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು, ಒಂದು ಬಹುವಿಧದ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಇದನ್ನು-ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಜಂಟಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಕಾರ್ಯವು 0 <α <2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಫೆಲ್ಡ್ಹೈಮ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವನ್ನು ವರ್ಣಪಟಲದ ಅಳತೆ (ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಳತೆ) ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ ವಾಹಕದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಿರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮಾಪನ. ಯಾವುದೇ ವಾಹಕಕ್ಕೆ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಸ್ವಲ್ಪ ವಕ್ರತೆ, ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ X ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಿಯತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅಳತೆಯು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಿಯತಾಂಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆಃ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಕಾರ್ಯವು ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಸ್ಥಿರ ಅಂಚಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಅಳತೆಯು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ರೇಡಿಯಲ್/ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವಾಗ ಹಾಗಲ್ಲ. ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ (ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ)-ಕೇವಲ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಕಂಟೂರ್ಡ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯು ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಕಂಟೂರ್ಡ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶೇಷ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. X ಯು α-ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕೆಲವು ಶಿಫ್ಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ (ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ) ಜಂಟಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ α = 2 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳು ಅಂಚುಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ α = 2 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಇದು ಮತ್ತೆ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; α <2 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಐ. ಐ. ಡಿ ಕೇಸ್ ಮತ್ತು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಕೇಸ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವರ್ಣಪಟಲದ ಅಳತೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ (ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ), ವರ್ಣಪಟಲದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತವೆ. ಡಿ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎ ಒಂದು ಎಂ ಎಕ್ಸ್ ಡಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಎಕ್ಸ್ + ಬಿ ಸ್ಕೇಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಕ್ಯೂನೆಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಲೊಕೇಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಎಂ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್-ಸ್ಟೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ತೀರ್ಮಾನವು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮಾದರಿ) ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದು ಐ. ಐ. ಡಿ. ಯ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಗಮನಿಸಲಾಗದ ಏಕರೂಪ. ತಿಳಿದಿರುವ ಗಾತ್ರದ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಗುಪ್ತ ಅಂಶಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎಂದು ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. .. ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಮತ್ತು ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತೀರ್ಮಾನದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ O (n3) ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ನಿರ್ಮಾಣದ ಒಂದು ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರವಾದ, ಗಾಸಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಶಬ್ದದೊಂದಿಗೆ ಬಹು-ಬಳಕೆದಾರ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವಿಕೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಕೌಚಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ರಿಸೋರ್ಸಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮಾರ್ಕ್ ವೈಲೆಟ್ನ ಸ್ಥಿರವಾದ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514 ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳು ಡ್ಯಾನಿ ಬಿಕ್ಸನ್ನ ಇನ್ಫೆರೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೀನಿಯರ್-ಸ್ಟೇಬಲ್ ಮಾಡೆಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆಃ https://www.cs.cmu.edu ~ ಬಿಕ್ಸನ್/ಸ್ಟೇಬಲ್ ನೋಟ್ಸ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳು ಅನಂತವಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು