Quasitoric manifold
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂಬುದು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಟೊರಿಕ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ನಯವಾದ-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಟೋರಸ್ನ ನಯವಾದ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಕಕ್ಷೆಯ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು 1991ರಲ್ಲಿ ಎಂ. ಡೇವಿಸ್ ಮತ್ತು ಟಿ. ಜಾನುಸ್ಕಿವಿಕ್ಜ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು "ಟೊರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು" ಎಂದು ಕರೆದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, "ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಮೂತ್ ಟೊರಿಕ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು, ಇವುಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಟೊರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಇತರ ಆಧಾರಿತ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು-ಟೋರಸ್ನ-th ಉಪವೃತ್ತವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಆನ್ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ-ಬುದ್ಧಿವಂತ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ, ಎ-ಆಕ್ಷನ್ ಆನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ, ಎಲ್ಲಿ, ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, a-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಒಂದು ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ,-ಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ-ಆಯಾಮದ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಮುಖದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಇರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೂಚಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ,-ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬೈ ನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಒಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಯೋಜಿಸುತ್ತವೆ. ಎ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಈ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಛೇದನವು ಆರಂಭಿಕ ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಶೃಂಗವಾಗುವಂತೆ ಅದರ ಮುಖಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅದು ಕೋಡಿಮೆನ್ಷನ್-ಫೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿನ ಸಬ್ಟೋರಸ್ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಬ್ಟೋರಸ್ಗೆ λ ನಿರ್ಬಂಧವು ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. λ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ನೀಡಿದ ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ವಾಹಕವು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮುಖಗಳು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಕೆಲವರಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ತಮ್ಮ ಮೂಲ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ, ಡೇವಿಸ್ ಮತ್ತು ಜಾನುಸ್ಕಿವಿಕ್ಜ್ ಅವರು ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಮುಖದ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸಂಕೇತದವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಇತ್ತೀಚಿನ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ, ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವೃತ್ತವು ಆಧಾರಿತವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅದರ ಒತ್ತಾಯದಿಂದ ಈ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲು ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ವಿ. ಬುಚ್ಸ್ಟಾಬರ್ ಮತ್ತು ಎನ್. ರೇ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಆರಂಭಿಕ ಶೃಂಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೇಲಿನ ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಬ್ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮೊಮೆಂಟ್-ಆಂಗಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧ ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಕರ್ನಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಆಂಗಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶದ ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಧಾನ-ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ, ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮುಖಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಬ್ಟೋರಸ್ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧದ ಚಿತ್ರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಅಂಶದ ಜಾಗವನ್ನು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಸ್ಥಳವೆಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಮೇಲಿನ ಅಂಶದ ಜಾಗದ ರೂಪದ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಮೂಲವು ಆರಂಭಿಕ ಶೃಂಗವಾಗುವಂತೆ ಹುದುಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮೊಮೆಂಟ್ ಆಂಗಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್-ಗೋಳವಾಗಿದೆ, ಕರ್ನಲ್ ಕರ್ಣೀಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವು ಆಗಿದೆ. ಬಾಟಲ್ ಗೋಪುರದಲ್ಲಿ ಹಂತಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬಾಟಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು-ಕ್ಯೂಬ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿವೆ. - ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಹುದುಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೂಲವು ಆರಂಭಿಕ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ನೀಡಿದೆ. ಕ್ಷಣ ಕೋನ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಹುದುಗಿರುವ 3-ಗೋಳದ ಪ್ರತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವು ಬಾಟಲ್ ಗೋಪುರದ-th ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಪವರ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಾಟಲ್ ಗೋಪುರದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗೋಳ-ಬಂಡಲ್ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು, ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡಿದ-th ಉಪವೃತ್ತದ ನಿರ್ಬಂಧದಿಂದ, ಫಾರ್, ಎಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮುಖದ ಕಟ್ಟುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಮುಖದ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರವು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮುಖದ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಉಪಗುಂಪು ಅದರ ಉಪವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ರಿಸ್ಟ್ರಿಕ್ಷನ್ ಆಫ್ ಟು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ 2-ಪ್ಲೇನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಉಂಗುರವು ಎರಡು ಗುಂಪಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು, ಫಾರ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಸ್ಟಾನ್ಲಿ-ರೇಸ್ನರ್ ಆದರ್ಶದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಂಬಂಧಗಳು; ಡೈಕಾರ್ಯಾಕ್ಟರ್ಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಎರಡನೇ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಟೊರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಟೊರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾನ್-ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಟೊರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಕೂಡ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಟೊರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕ್ವಾಸಿಟೋರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಟೊರಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಲ್ಲ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು