Orthodiagonal quadrilateral
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜವು ಕರ್ಣಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ದಾಟುವ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ನಾಲ್ಕು-ಬದಿಯ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಪಟವು ಒಂದು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯವು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಗಾಳಿಪಟಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೊನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳಿಗೆ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಅಂದರೆ, ಗಾಳಿಪಟಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೊನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿವೆ. ರಾಂಬಸ್ ಎಂಬುದು ಎರಡು ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಹ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ). ಚೌಕವು ಗಾಳಿಪಟ ಮತ್ತು ರಾಂಬಸ್ ಎರಡನ್ನೂ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೋನಲ್ ಈಕ್ವಿಡಿಯಾಗೋನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಎಲ್ಲಾ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಬದಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಣ್ಣ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ n = 4 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಚೌಕವು ಅಂತಹ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಇವೆ. ಸಮಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜವು ಮಧ್ಯ ಚದರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ವರಿಗ್ನಾನ್ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ, ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇತರ ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಅನುಕ್ರಮ ಬದಿಗಳಿಗೆ a, b, c, ಮತ್ತು d. ಇದು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಈ ಎರಡು ಮೊತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ನಾಲ್ಕು ವರ್ಗ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, a2 + c2 = b2 + d2 ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜವು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಕೊಸೈನ್ಗಳು, ವಾಹಕಗಳು, ಪರೋಕ್ಷ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೇರಿದಂತೆ ಇದನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ದ್ವಿಮಾನಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಬಿಸಿಡಿಯ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಪಿ ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಕರ್ಣೀಯ ಛೇದನದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಅದರ ವೆರಿಗ್ನಾನ್ ಪ್ಯಾರಲೆಲೊಗ್ರಾಮ್ (ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ) ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೊನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಮಾಲ್ಟಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಪಾದಗಳು ಎಂಟು ಕಾನ್ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಆರ್ಥೋಡೈಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಮಾಲ್ಟಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳ ಪಾದಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಆರ್ಥಿಕ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಛೇದಕದ ಮೂಲಕ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಬಿಸಿಡಿಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳು ಆರ್, ಎಸ್, ಟಿ, ಯು, ಮತ್ತು ಕೆ, ಎಲ್, ಎಂ, ಎನ್ಗಳಲ್ಲಿನ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳ ಅಡಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೆ, ಎಲ್, ಎಂ, ಎನ್, ಆರ್, ಎಸ್, ಟಿ ಮತ್ತು ಯು ಎಂಬ ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳು ಕಾನ್ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಬಿಸಿಡಿ ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೊನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಎರಡನೇ ಎಂಟು ಬಿಂದು ವೃತ್ತ. ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು, ಆರ್ಎಸ್ಟಿಯು ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಗಳು ಎಬಿಸಿಡಿಯ ಕರ್ಣಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಆರ್ಥೋಡೈಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಛೇದಕ ಪಿ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಬಿಸಿಡಿಯ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳಾದ ಎ. ಬಿ. ಪಿ., ಬಿ. ಸಿ. ಪಿ., ಸಿ. ಡಿ. ಪಿ., ಡಿ. ಎ. ಪಿ. ಗಳಲ್ಲಿ ಪಿ ಯಿಂದ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎ. ಬಿ., ಬಿ. ಸಿ., ಸಿ. ಡಿ., ಡಿ. ಎ. ಬದಿಗಳವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಗಳನ್ನು m1, m2, m3, m4 ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ಆರ್1, ಆರ್2, ಆರ್3, ಆರ್4 ಮತ್ತು ಎಚ್1, ಎಚ್2, ಎಚ್3, ಎಚ್4 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆಗಳು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಬಿಸಿಡಿ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಇದಲ್ಲದೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎಬಿಪಿ, ಬಿಸಿಪಿ, ಸಿಡಿಪಿ ಮತ್ತು ಡಿಎಪಿ ಸುತ್ತಳತೆಗಳು ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದ ಪಿ ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಬಿಸಿಡಿ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಮತ್ತು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಕೆಲವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನೋಟದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಡಿ, ಸರ್ಕಮ್ರಾಡಿ ಆರ್1, ಆರ್2, ಆರ್3, ಆರ್4 ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳಾದ ಎಚ್1, ಎಚ್2, ಎಚ್3, ಎಚ್4 ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಕೇತಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಒಂದು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜದ K ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು p ಮತ್ತು q ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿರಬೇಕು. ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೋನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ನೀಡಲಾದ ಕರ್ಣೀಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೋನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಕೇವಲ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ರೋಂಬಿಗಳು ಸಮಾನ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಾ ರೋಂಬಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಎರಡೂ ಕರ್ಣೀಯಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಕೋಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ), ಆದರೆ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಸಣ್ಣ ತೀಕ್ಷ್ಣ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ತೀಕ್ಷ್ಣ ಕೋನವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವ ಮೊದಲಿನ ಪ್ರದೇಶ). ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜದ (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್, ಕಾನ್ಕೇವ್ ಅಥವಾ ಕ್ರಾಸ್ಡ್) ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳು (ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ಗಳು) ಸಮಭುಜಾಕೃತಿಯ (ಅಂದರೆ, ಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಕರ್ಣೀಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ) ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೊನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಬಿಂದುಗಳ ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೊನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ (ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಬಹುದಾದ ಒಂದು), ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಛೇದನವು ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯವನ್ನು p1 ಮತ್ತು p2 ಉದ್ದದ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಕರ್ಣೀಯವನ್ನು q1 ಮತ್ತು q2 ಉದ್ದದ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ (ಮೊದಲ ಸಮಾನತೆಯು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಬುಕ್ ಆಫ್ ಲೆಮ್ಮಾಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ 11 ಆಗಿದೆ) ಅಲ್ಲಿ ಡಿ ಎಂಬುದು ಸುತ್ತಳತೆಯ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಕರ್ಣೀಯಗಳು ವೃತ್ತದ ಲಂಬವಾದ ಸ್ವರಮೇಳಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯೂಲರ್ನ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪರಿಧಿಯನ್ನು p ಮತ್ತು q ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ x ಅನ್ನು ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಾಗ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜದ K ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರವಾಗಿ ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಆವರ್ತಕ ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೋನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಆಂಟಿಸೆಂಟರ್ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ, ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ವಿರುದ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಹ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸುತ್ತಳತೆಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ (ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ) ಯಾವುದೇ ಬದಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತಕ ಆರ್ಥೋಡಿಯಾಗೋನಲ್ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೂ, ನಾವು ಎರಡು ಅನಂತ ಆಯತಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದುಃ (i) ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣೀಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬದಿಗಳಿರುವ ಆಯತಗಳ ಗುಂಪು (ii) ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್-ಬಿಂದುಗಳ ವೃತ್ತಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಯತಗಳ ಗುಂಪು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ವಿಧಗಳು