Skolem–Mahler–Lech theorem
ಸಂಯೋಜನೀಯ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ವಿನಾಯಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಾನಗಳು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸ್ಕೋಲೆಮ್-ಮಾಹ್ಲರ್-ಲೆಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಥೊರಾಲ್ಫ್ ಸ್ಕೋಲೆಮ್ (ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದವರು), ಕರ್ಟ್ ಮಾಹ್ಲರ್ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದವರು), ಮತ್ತು ಕ್ರಿಸ್ಟರ್ ಲೆಚ್ (ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದವರು) ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ತಿಳಿದಿರುವ ಪುರಾವೆಗಳು p-adic ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು (ಅಂದರೆ, ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿರ-ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮ). ನಂತರ ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು (1,0,0,0,. ನಂತಹ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪೂರ್ಣ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅನಂತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರಗತಿಯು b ಮಾಡ್ಯುಲೋ a ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಶೂನ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು F (1) = F (2) = F (4) = 0 ಮತ್ತು F (3) = 1 ಎಂಬ ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ರೇಖೀಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಬಂಧದಿಂದ (ಫಿಬೊನಾಚಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ರೂಪ) ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಈ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಐ ಒಂದು ಅಥವಾ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಫ್ (ಐ) = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ (ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ {1}) ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿ (ಧನಾತ್ಮಕ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿತ್ತು, ಆದರೆ ಇತರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅನೇಕ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸ್ಕೋಲೆಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಸೊನ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಒಂದು ಕ್ರಮಾವಳಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಈ ಸೊನ್ನೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸ್ಕೊಲೆಮ್-ಮಾಹ್ಲರ್-ಲೆಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಲ್ಲದ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಲೆಕ್ 1953ರಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು., ಲೆಕ್ 1953ರಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು