Tangent half-angle substitution
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅರ್ಧ-ಕೋನ ಪರ್ಯಾಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೋನದ ಅಳತೆಯಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಟೀರಿಯೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆಃ ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ 17ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಥವಾ ಅರೆ-ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ತನ್ನ 1768 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ಆಡ್ರಿಯನ್-ಮೇರಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ 1817 ರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ರಷ್ಯಾದಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಪರ್ಯಾಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪರ್ಯಾಯ ಅಥವಾ ಅರ್ಧ-ಕೋನ ಪರ್ಯಾಯದಂತಹ ರೂಪಾಂತರ ಹೆಸರುಗಳಿಂದಲೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪರ್ಯಾಯ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೈಕೆಲ್ ಸ್ಪಿವಾಕ್ ಇದನ್ನು "ವಿಶ್ವದ ಅತ್ಯಂತ ನಿಗೂಢ ಪರ್ಯಾಯ" ಎಂದು ಕರೆದರು. ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸೈನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಎರಡು-ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಛೇದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಂಕಿಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಕೊಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಾವು ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೊಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ದೃಢೀಕರಿಸಬಹುದು. ಈ ಎರಡು ಉತ್ತರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸೆಕೆಂಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಟ್ನ ಏಕತ್ವವನ್ನು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲಂಬ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್) ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಮೊದಲು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ, ನಂತರ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ. ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ, ಇದು ಹಿಂದಿನ ಉತ್ತರದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಮೂರನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಃ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಎರಡೂ, x ಬದಲಾದಂತೆ, ಬಿಂದುವು (cos x, sin x) (0,0) ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಏಕಕ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತ ಪದೇ ಪದೇ ಬೀಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುವು ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತ ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ t − φ ನಿಂದ + φ ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಬಿಂದುವನ್ನು (−1,0) ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು t ± φ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. t − ini ನಿಂದ −1 ಗೆ ಹೋಗುವಾಗ, t ಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಬಿಂದುವು ಮೂರನೇ ಚತುರ್ಥಾಂಶದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತದ ಭಾಗದ ಮೂಲಕ (−1,0) ರಿಂದ (0, −1) ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. t −1 ರಿಂದ 0 ಗೆ ಹೋದಂತೆ, ಬಿಂದುವು (0, −1) ರಿಂದ (1,0) ವರೆಗಿನ ನಾಲ್ಕನೇ ಚತುರ್ಥಾಂಶದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತದ ಭಾಗವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. t 0 ರಿಂದ 1 ಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ, ಬಿಂದುವು (1,0) ರಿಂದ (0,1) ರವರೆಗಿನ ಮೊದಲ ಚತುರ್ಥಾಂಶದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತದ ಭಾಗವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, t ಯು 1 ರಿಂದ + ini ಗೆ ಹೋಗುವಾಗ, ಬಿಂದುವು ಎರಡನೇ ಚತುರ್ಥಾಂಶದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತದ ಭಾಗವನ್ನು (0,1) ರಿಂದ (−1,0) ವರೆಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಮತ್ತು ಪಿ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಪಿ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯನ್ನು (ಲಂಬ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಇಳಿಜಾರು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೆಗಳು (ಲಂಬ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಏಕಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಿ. ಇದು ಏಕಕ ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಇಳಿಜಾರುಗಳವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಏಕ ವೃತ್ತದ ಕೋನಗಳಿಂದ ಬಿಂದುಗಳವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕೋನಗಳಿಂದ ಇಳಿಜಾರುಗಳವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಗ್ಯಾಲರಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಲಾದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಂತೆ, ಪರ್ಯಾಯದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಃ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಈ ಬದಲಾವಣೆಯು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ರೇಷನಲ್ ಕರ್ವ್ ಸ್ಟೀರಿಯೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅರ್ಧ-ಕೋನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ ಯೂಲರ್ ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ 1916, pp. 52-62 ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು