Real hyperelliptic curve
ಎರಡು ರೀತಿಯ ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿವೆ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆಃ ನೈಜ ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, ಇವು ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಕುಲಕ್ಕೂ ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿವೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನೈಜ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, ಆದರೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕೆ ಮೇಲೆ ಜಿ ಕುಲದ ನೈಜ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಜಿ + 1 ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲದ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು 2ಜಿ + 1 ಅಥವಾ 2ಜಿ + 2 ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಏಕವಚನವಲ್ಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ಮತ್ತು. Cಯ ಮೇಲಿನ (ಸೀಮಿತ)-ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ, ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು x-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ a ಹೊಂದಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು ಅದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಇರಲಿ. ಇದು 6ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು g = 2 ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕರೂಪದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (0:1:0) ಆದರೆ ಈ ಬಿಂದುವು ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ. ನ ಸ್ಫೋಟವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ 2 ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ನೈಜ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, f ಸಮ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜವಾದ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ f ಬೆಸ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವವುಗಳು ಬ್ಲೋಅಪ್ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (0:1:0) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಫೈನ್ ಭಾಗವು ನೈಜ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಏಕ-ಅಲ್ಲದ (ಮೇಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡಿ) ಅಂಕಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಕೆ ಮೇಲೆ ಜೆನಸ್ ಜಿ ಯ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಎ ಡಿವಿಸರ್ ಆನ್ ಎಂಬುದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ σ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಓವರ್ಗಳ ಭಾಜಕಗಳ ಸಮೂಹವು ಅಡಿಷನ್ ನಿಯಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಡಿಟಿವ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ. ಇದರ ಪದವಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಪದವಿ. ನಂತರ, ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ, ಅದರ ಭಾಜಕವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಟ್ ನ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ; ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಭಾಜಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪ್ರಧಾನ ಭಾಜಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು, ಅಂದರೆ, ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಆಫ್ ಓವರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಡಿವಿಸರ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ವರ್ಗದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ವಿಭಾಜಕ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಎರಡು ಅಂಗೀಕೃತ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಡಿಗ್ರಿ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಅರೆ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ i ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಡಿಗ್ರಿ 0 ಡಿವಿಸರ್ ವರ್ಗವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಡಿವಿಸರ್ ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಭಾಜಕವು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ-ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವರ್ಗದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಿರಿ, ಅಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅಫೈನ್ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಲೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಭಾಜಕಗಳ ಅಫೈನ್ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮತೋಲಿತ ಭಾಜಕಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ. ಒಂದುವೇಳೆ ಡಿಗ್ರಿ 1 ರ ರ್ಯಾಮಫೈಡ್ ಪ್ರೈಮ್ ಡಿವಿಸರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಬೈರೇಷನಲ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಎ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ) ಬಿಂದುವು ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿರುದ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ, ಅಂದರೆ. ಅದು. ರಮಿಫೈ ಮಾಡಿದರೆ ಅದು ರಮಿಫೈಡ್ ಪ್ರೈಮ್ ಡಿವಿಸರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಜಿತ-ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕುಲದ ನೈಜ ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವಂಶಾವಳಿಯ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮಾದರಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿಃ ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, h (x) 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ P ಅನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಆಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ,. () ನಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು. g = 2 ಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಛೇದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರಃ ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು