De Moivre's law
ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ ನಿಯಮವು ವಿಮಾ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಬದುಕುಳಿಯುವ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅಬ್ರಹಾಂ ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಬದುಕುಳಿಯುವಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮರಣದ ಸರಳ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ ನಿಯಮವು ಅಂತಿಮ ವಯಸ್ಸು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದೇ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ ನಿಯಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನವಜಾತ ಶಿಶುವು ಬದುಕುಳಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕನಿಷ್ಠ x ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ ಬದುಕುಳಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆಕ್ಚುರಿಯಲ್ ನೊಟೇಶನ್ (x) ಯು x ವಯಸ್ಸಿನವರೆಗೆ ಉಳಿದುಕೊಂಡಿರುವ ಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಜೀವನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು T (x) ಎಂಬುದು (x) ನ ಭವಿಷ್ಯದ ಜೀವಿತಾವಧಿಯಾಗಿದೆ (T (x) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ). ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಕಾರ (x) ಯು x + t ವಯಸ್ಸಿನವರೆಗೆ ಉಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು Pr [T (0) ≤ x + t | T (0) ≤ x] = S (x + t)/S (x), ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ ನಿಯಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, x ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಜೀವನವು ಕನಿಷ್ಠ t ಹೆಚ್ಚು ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಬದುಕುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯದ ಜೀವಿತಾವಧಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಟಿ (x) ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವೈಫಲ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಾಗಿ ಆಕ್ಚುರಿಯಲ್ ಸಂಕೇತವು = ಪಿಆರ್ [0 ≤ ಟಿ (ಎಕ್ಸ್) ≤ t|T (0) ≤ ಎಕ್ಸ್] ಆಗಿದೆ. ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ ನಿಯಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, (x) x + t ವಯಸ್ಸಿನವರೆಗೆ ಬದುಕಲು ವಿಫಲವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮರಣದ ಬಲವಾಗಿದೆ (ಅಪಾಯದ ಪ್ರಮಾಣ ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣ) ಅಲ್ಲಿ f (x) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ ನಿಯಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, x ವಯಸ್ಸಿನ ಜೀವಮಾನದ ಮರಣದ ಬಲವು ವಯಸ್ಸಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೈಫಲ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಡಿ ಮೊಯ್ವ್ರೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಮರಣದ ಸರಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ನಿಯಮವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಜೀವನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಂತಹ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬದುಕುಳಿಯುವ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಅಂತರ್ವೇಶನಕ್ಕೆ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಸ್ಟರಿ ಡಿ ಮೊಯ್ವ್ರೆಯ ಕಾನೂನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ತನ್ನ 1725ರ ಆನ್ಯುಟೀಸ್ ಆನ್ ಲೈವ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಇದು ಆಕ್ಚುರಿಯಲ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈಗ ಅದಕ್ಕೆ ನೀಡಲಾದ ಹೆಸರಿನ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಡಿ ಮೊಯ್ವ್ರೆ ಸ್ವತಃ ತನ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು (ಅವರು ಅದನ್ನು "ಊಹೆಯೆಂದು" ಕರೆದರು) ಮಾನವ ಮರಣದ ಮಾದರಿಯ ನಿಜವಾದ ವಿವರಣೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಅವರು ವರ್ಷಾಶನಗಳ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ ಅದನ್ನು ಉಪಯುಕ್ತ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ತನ್ನ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ, ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ ". ಜೀವನದ ಸಮಾನವಾದ ಕುಸಿತದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕೋಷ್ಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೂ, ಹನ್ನೆರಡಕ್ಕಿಂತ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದವಲ್ಲದ ವಯಸ್ಸಿನ ವರ್ಷಾಶನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು" ಎಂದು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರ ಪಠ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಭವಿಷ್ಯದ ಜೀವಿತಾವಧಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಡಿ ಮೊಯ್ವ್ರೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಷಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸಿದರು. ಈ ನಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅವರ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಡಿ ಮೊಯ್ವ್ರೆ ತನ್ನ ಊಹೆಯನ್ನು ತುಣುಕು ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದವು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಮಾನವ ಮರಣದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ನೇರ-ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರು (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವರ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಅವರು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ, "ಜೀವನದ ಕುಸಿತಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂವೇದನಾಶೀಲ ದೋಷವಿಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಜೀವನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಕಡಿಮೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ ವರ್ಷಾಶನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬಡ್ಡಿ ದರಕ್ಕೆ". ಎರಡೂ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಿಗೆ, ಡಿ ಮೊಯ್ವ್ರೆಯವರ "ಕೋಷ್ಟಕಗಳ" ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಮಾ ಜೀವಿತಾವಧಿಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಾಗಿದ್ದವು. ಆಧುನಿಕ ಲೇಖಕರು ಮರಣದ ಕಾನೂನುಗಳ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯವರ ಪಾತ್ರದ ಬಗೆಗಿನ ತಮ್ಮ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದೆಡೆ, ಡಿಕ್ ಲಂಡನ್ ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಮಾನವ ಬದುಕುಳಿಯುವಿಕೆಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲು "ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ" ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾನೆ. ರಾಬರ್ಟ್ ಬ್ಯಾಟನ್ ಇದೇ ರೀತಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, "[ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ] ಊಹೆಯು ಸಹಜವಾಗಿ ಅವಾಸ್ತವಿಕವೆಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ" ಎಂದು ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸ್ಪೀಗೆಲ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಬೆಂಜಮಿನ್ ನಡೆಸಿದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾನವ ಬದುಕುಳಿಯುವ ಮಾದರಿಗಳ ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳು ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳು ಬೆಂಜಮಿನ್ ಗೊಂಪರ್ಟ್ಜ್ನ ಕೆಲಸದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ). ವಿಮಾ ಪಟ್ಟಿಯ ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತಿಹಾಸದ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೀಫನ್ ಹ್ಯಾಬರ್ಮಾನ್ ಅವರು ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ "ಜೀವ ವಿಮಾ ಗಣಿತ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು "ಜೀವ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಬದುಕುಳಿಯುವ ಮಾದರಿಗಳು" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಲ್ಲ. ಸಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಲೈಫ್ ಕಾಂಟಿನ್ಜೆನ್ಸಿಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಧ್ಯಮ ನೆಲೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು "ಮರಣದ ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ನಿಯಮಗಳು" ಎಂಬ ತಮ್ಮ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರು, ಆದರೆ "ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ ಇದು ಬಹಳ ಸ್ಥೂಲವಾದ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿದರು [ಅವರ ಉದ್ದೇಶ] ಆ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದ ಜೀವ ವರ್ಷಾಶನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾದದ್ದು" ಎಂದು ಸೇರಿಸಿದರು. ಡಿ ಮೊಯ್ವ್ರೆ ಸ್ವತಃ ತನ್ನ "ಊಹೆಯನ್ನು" ಮಾನವ ಮರಣದ ನಿಜವಾದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂಚನೆಯೆಂದರೆ, ಅವರು ಆನ್ಯುಟೀಸ್ ಆನ್ ಲೈವ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಊಹೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಜೀವಿತಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದ ವರ್ಷಾಶನಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯತ್ತ ಅವರು ಗಮನ ಹರಿಸಿದಾಗ, ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ಮರಣದ ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಊಹೆಯ ಪರವಾಗಿ (ಅಂದರೆ, ಈಗ ಇದನ್ನು "ಮರಣದ ಸ್ಥಿರ ಶಕ್ತಿ" ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾವುಗಳ (ವರ್ಷಕ್ಕೆ) ಊಹೆಯನ್ನು ಕೈಬಿಡುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವೆಂದು ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಸ್ಥಿರ-ಬಲದ ಊಹೆಯನ್ನು ಇಂದು ಮರಣದ ಸರಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ನಿಯಮವೆಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಇದನ್ನು ಎಂದಿಗೂ "ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆಯ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ" ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಹೆಸರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು 1725ರ ವರ್ಷಾಶನಗಳ ಜೀವಿತಾವಧಿಯ ಮೇಲಿನ ವಿಮೆಯ ವಿಜ್ಞಾನದ ಬದುಕುಳಿಯುವಿಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಬ್ರಹಾಂ ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ