Holtsmark distribution
(ಒಂದು-ಆಯಾಮದ) ಹೋಲ್ಟ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ವಿತರಣೆಯು ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹೋಲ್ಟ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಅಥವಾ 3/2 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದ ವಕ್ರತೆಯ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಲ್ಫಾ-ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹೋಲ್ಟ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಬದಲಿಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲ್ಟ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ಲಾಸ್ಮಾ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಖಗೋಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 1919 ರಲ್ಲಿ, ನಾರ್ವೆಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೋಹಾನ್ ಪೀಟರ್ ಹೋಲ್ಟ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ಅವರು ಚಾರ್ಜ್ ಮಾಡಲಾದ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯಿಂದಾಗಿ ಪ್ಲಾಸ್ಮಾದಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಇದು ಇತರ ರೀತಿಯ ಕೂಲಂಬ್ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೂ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ದೇಹಗಳ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಖಗೋಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆಃ ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಸ್ಥಳದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು c ಪ್ರಮಾಣ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಹೋಲ್ಟ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದಃ ಹೋಲ್ಟ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಹೋಲ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ವಿತರಣೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಉನ್ನತ ಕ್ಷಣಗಳು ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿವೆ. ಇತರ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಗಳಂತೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ), ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನಂತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಸರಣವು ಮಾಪಕದ ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ, ಸಿ. ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಭಾಗಶಃ ಕ್ಷಣಗಳ ಮೂಲಕ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ, f (x) ಅನ್ನು ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಗಳು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ, ಕೌಚಿ ಮತ್ತು ಲೆವಿ ವಿತರಣೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಫಾರ್ಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿವೆ. ಹೋಲ್ಟ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಿತವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲ್ ನಿಯತಾಂಕವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ, ಹೋಲ್ಟ್ಸ್ಮಾರ್ಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಏರೀ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವಾದಗಳು ಶುದ್ಧ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಅನಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ವಿದ್ಯುತ್ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಗಳು ಸ್ಥಳ-ಪ್ರಮಾಣದ ಕುಟುಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು.