Wilks' theorem
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವಿಲ್ಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಲಾಗ್-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ ಅನುಪಾತದ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಅನುಪಾತ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ (ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಎಸ್. ವಿಲ್ಕ್ಸ್ನ ಒಂದು ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶವು, ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ವಿತರಣೆಯು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ () ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯು ಮತ್ತು ನ ಆಯಾಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ, ವೈದ್ಯರು ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ನಿಯತಾಂಕದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವಾಗ ಪ್ರಮೇಯವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ವಿಲ್ಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು 'ನಿಜ' ಆದರೆ ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬೆಂಬಲಿತ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ಆ ಗಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸಂವೇದನಾಶೀಲ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಲ್ಕ್ಸ್ ಸೂಚಿಸಿದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಹತ್ವವನ್ನು (-ಮೌಲ್ಯ) ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಶೂನ್ಯ-ಕಲ್ಪನೆಯ ವಿತರಣೆಯು ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಮಿಶ್ರಣವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಬಳಸಿ, ಶೂನ್ಯ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಾಖಲಿಸಲಾದ ಲಾಗ್-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್. ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶವು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತದ ದಾಖಲೆಯ ಎರಡು ಪಟ್ಟು, ಅಂದರೆ, ಇದು ಲಾಗ್-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಯು (ಇಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ) ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ-ಅಂದರೆ, ಕಡಿಮೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಿಂತ (ಇಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ) ಅದೇ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲಾಗ್-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಗಮನಿಸುವುದು ಎಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯತೆ (-ಮೌಲ್ಯ) ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆಯೇ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಬೇಕೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಲ್ಲಿ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಸರಿಸುಮಾರು ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಮಾದರಿಗಳ ಮುಕ್ತ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಶೂನ್ಯ ಮಾದರಿಯು 1 ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಮತ್ತು-8024 ರ ಲಾಗ್-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಮಾದರಿಯು 3 ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು-8012 ರ ಲಾಗ್-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೈ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶವು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು, ಆದರೆ ಆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ-ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯು ಅವು ತಲೆಯ ಮೇಲೆ ಬರುವ ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ನಾಣ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು. ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕದ ಅಂಶಗಳು ಪ್ರತಿ ನಾಣ್ಯವು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳ ಮೇಲೆ ಬಂದವು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕದ ವಿಷಯಗಳು ನಮ್ಮ ಅವಲೋಕನಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ,,, ಮತ್ತು, ಇವು 1 ಮತ್ತು 2 ನಾಣ್ಯಗಳು ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳ ಮೇಲೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮುಂದಿನದರಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು. ಊಹೆಯ ಜಾಗವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು. ಶೂನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ಥಳವು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮವು 2 ಆಗಿದೆ (ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನೂ ಮುಕ್ತ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು), ಮತ್ತು ಇದರ ಆಯಾಮವು 1 ಆಗಿದೆ (ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮುಕ್ತ ನಿಯತಾಂಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು). ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗಾಗಿ ಬರೆಯುವಾಗ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಅದೇ ರೀತಿ, ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳು ನಾಣ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಊಹಾಪೋಹ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತದ ಲಾಗರಿದಮ್ನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ಬಂಧವು ಎರಡು-ಆಯಾಮವನ್ನು ಒಂದು-ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗುವುದರಿಂದ, ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿತರಣೆಯು, ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಲಾಗ್-ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ ಅನುಪಾತದ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಥವಾ ಮಿಶ್ರ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಅಮಾನ್ಯತೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ವಿಲ್ಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಿಜವಾದ ಆದರೆ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಥವಾ ಮಿಶ್ರ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇತರ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ತೀರಾ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ. ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಘಟಕವು ಇತರರಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅನುಚಿತವಾಗಿ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆಃ ವಿಲ್ಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೇಲಿನ ಈ ಮಿತಿಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ವಿತರಣೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಳಪೆ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಪಿನ್ಹೆರೊ ಮತ್ತು ಬೇಟ್ಸ್ (2000) ರ ಕೆಟ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತದ ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಂಕಿಅಂಶದ ನಿಜವಾದ ವಿತರಣೆಯು ನಿಷ್ಕಪಟಕ್ಕಿಂತ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ-ಆಗಾಗ್ಗೆ ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ. ನಿಷ್ಕಪಟ ಊಹೆಗಳು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು (-ಮೌಲ್ಯಗಳು) ನೀಡಬಹುದು, ಅವು ಸರಾಸರಿ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರರಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ಅವರು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಆರ್ಇಎಂಎಲ್) ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಸ್ಥಿರ-ಪರಿಣಾಮಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ, ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, "ಆರ್ಇಎಂಎಲ್ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ", ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಣಾಮಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಮಿಶ್ರ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಅರ್ಥವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿಯೊಳಗೆ ಇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರದರ್ಶನವಾಗಿ, ಅವರು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್-ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು 50-50 ಮಿಶ್ರಣಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ನಿಕಟವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. (ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ 0 ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು) ಪಿನ್ಹೆರೊ ಮತ್ತು ಬೇಟ್ಸ್ ಸಹ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಿದರು. 4 ಹಂತಗಳನ್ನು (ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳು = 3) ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶದ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಅನುಕರಣೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ 50-50 ಮಿಶ್ರಣವು ಉತ್ತಮ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು-ಮತ್ತು ನಿಷ್ಕಪಟತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವಲ್ಲಿನ ದೋಷವು "ತುಂಬಾ ಆತಂಕಕಾರಿಯಾಗಿಲ್ಲ". ಆದಾಗ್ಯೂ, 15 ಹಂತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶದ ಮತ್ತೊಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಲ್ಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ನಿಷ್ಕಪಟ (ಸೂಕ್ತವಲ್ಲದ) ಅನ್ವಯದಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುವ 14ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ 4 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಂಜಸವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್-ಮೌಲ್ಯವು ನಿಷ್ಕಪಟಕ್ಕಿಂತ ಹಲವಾರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು. ಸ್ಥಿರ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, "ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಬೇಯ್ಸ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡೆಲ್ ಆಯ್ಕೆ ಸೂಪ್-ಎಲ್ಆರ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಇತರ ಮೂಲಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು