Affine plane
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಅಫೈನ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲಗಳು, ಇವು ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಿಯಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಗಳಾಗಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರಿಯಲ್ಗಳ ಮೇಲಿರುವ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು "ಮರೆತಿದ್ದಾರೆ" (ಅಂದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಉದ್ದಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಥವಾ ಕೋನದ ಅಳತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ). ಆಯಾಮ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಪ್ರತಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ವಿಭಾಗ ರಿಂಗ್ ಎಫ್, ಎಫ್ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಸೆಟ್ ಎಫ್ 2 ಯಾವುದೇ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಯಾವುದೇ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು (ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು) ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲ ಪಿಗಾಗಿ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು (ಅಥವಾ, ನೈಜ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ) ಪಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ 2 ನಡುವಿನ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ಡೆಸಾರ್ಗೆಸಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಎರಡು ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಬಾರದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಅವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಅಫೈನ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸರಳವಾಗಿ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಇದರರ್ಥ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವು ಆಯಾಮ ಎರಡರ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೂಲವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆತುಬಿಟ್ಟಿದೆ. ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಅಮೂರ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಬದಲಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇಲ್ಲದ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಕಣದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಅಥವಾ ಅದರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಅಫೈನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅವು ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅಳತೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಪಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ). ಮೂಲಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಮಾನಗಳು (ರೇಖಾಗಣಿತ) ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ