Hadamard's maximal determinant problem
ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ನ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್, ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು 1 ಅಥವಾ-1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. 0 ಅಥವಾ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಸದೃಶವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, n ಗಾತ್ರದ {1, − 1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕವು n − 1 ಗಾತ್ರದ {0,1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕಕ್ಕಿಂತ 2n − 1 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1893ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಅವರು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಟ್ಟರು, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗದೆ ಉಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ನ ಬಂಧವು n ಗಾತ್ರದ {1, −1}-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಗರಿಷ್ಠ nn/2 ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವು n ಯು 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಾದಾಗ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತನ್ನದೇ ಆದ 12 ಮತ್ತು 20 ಗಾತ್ರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗಮನಿಸಿದರು. n ಯು 1,2, ಅಥವಾ 4 ರ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಂತರ ಸ್ಕಾರ್ಪಿಸ್ ಮತ್ತು ಪಾಲೆ ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ಇತರ ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಈಗ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ತೀವ್ರ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾತ್ರಗಳು n ಗೆ n ಷ್ಣ 1,2, ಅಥವಾ 3 (ಮಾಡ್ 4) ಕಡಿಮೆ ಗಮನವನ್ನು ಪಡೆದಿವೆ. ಆರಂಭಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬಾರ್ಬಾದಿಂದಾಗಿವೆ, ಅವರು ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ನ n ಬೆಸಕ್ಕೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಿಗಿಗೊಳಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ವಿಲಿಯಮ್ಸನ್, ಅವರು n = 3,5,6, ಮತ್ತು 7 ಕ್ಕೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಾರ್ಬಾ, ಎಹ್ಲಿಚ್ ಮತ್ತು ವೋಜ್ತಾಸ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, n ಷ್ಣ 1,2, ಅಥವಾ 3 (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಬಿಗಿಯಾದ ಮಿತಿಗಳು ಸೇರಿವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, n ಷ್ಣ 1 ಅಥವಾ 2 (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕೆಲವು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ n ಷ್ಣ 1 ಅಥವಾ 2 (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಹಲವಾರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ n ಷ್ಣ 1 ಅಥವಾ 3 (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸದ ಹಲವಾರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು, ಆದರೆ ಸಮಗ್ರ ಗಣನೆಯಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ವಿನ್ಯಾಸವು ಮಾಹಿತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ XTX ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ (ಇದು ವರ್ಗವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ). (XT ಸಂಕೇತವು Xನ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.) ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಡಿ-ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. X ಒಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಡಿ-ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ವಿನ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು n × n ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ನಮೂದುಗಳ ನಿಖರವಾದ ಅರ್ಧದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದರ್ಥ, ಇದು n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅಸಾಧ್ಯ. n ಷ್ಣ2 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿರುವಾಗ, ಮೂರನೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳು n = 1,2, ಅಥವಾ 4ರ ಗುಣಾಕಾರವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ n × n ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ 4 ರ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿ n ಗೆ n × n ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. n × n ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಚಿಕ್ಕ n 668 ಆಗಿದೆ. {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆರ್ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಿದಾಗ, ಆರ್ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಾಲಿನ ನಿರಾಕರಣೆ. ಒಂದು ಕಾಲಮ್ನ ನಿರಾಕರಣೆ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯ. ಎರಡು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯ. ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ R1 ಅನ್ನು R2 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದರೆ ಎರಡು {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾದ R1 ಮತ್ತು R2 ಅನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಸಮಾನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳ ನಿರಾಕರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮೂಲಕ R ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು 1ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗಾತ್ರವು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳು 1 ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳು-1 ಇರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. {1, −1} ಮತ್ತು {0,1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಪರ್ಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ n × n {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ (n − 1) × (n-1) {0,1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ನಕ್ಷೆ ಇದೆ, ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು 21 − n ಅಂಶದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು 1 ಅನ್ನು ಸಾಲು 2 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ ಕಳೆಯಿರಿ. (ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) 2ರಿಂದ nರವರೆಗಿನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 2ರಿಂದ nರವರೆಗಿನ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ (n−1) × (n−1) ಉಪಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 0 ಮತ್ತು −2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (ಈ ಉಪಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹಂತ 1ರಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ 1ರ ಮೇಲೆ ಕೋಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಾಣಬಹುದು.) {0,1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಉಪಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು-2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. (ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು (−2) 1 − n ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ.) ಉದಾಹರಣೆಃ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-16 ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿತ್ರವು 2 =-16· (-2)-3 ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. {0,1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, n × n {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ 2n − 1 ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಆಗಿದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳು R ಅನ್ನು n/n {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆರ್ ನ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜಿ = ಆರ್ಆರ್ಟಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ G ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ-ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಕರ್ಣೀಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. R ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಅವುಗಳಿಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ G ಯ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನಿರಾಕರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು G′ = RTR ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ G ಎಂಬುದು ವಾಹಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು R ನ ಸಾಲುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ G′ ಎಂಬುದು R ನ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪಡೆದ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್-ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೀಗೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ಸ್ ಬೌಂಡ್ (ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ) ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ಸ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು |det R | = (ಡಿಟ್ G) 1/2 ≤ (ಡಿಟ್ nI) 1/2 = nn/2 ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು nI, ಇಲ್ಲಿ I ಎಂಬುದು n ಬೈ n ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇದು 1-4 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಆ ಡಿಟ್ ಆರ್ 2n−1 ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿರಬೇಕು, ಇದನ್ನು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ಸ್ ಬೌಂಡ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಬಂಧಿಸಲಾದ nn/2 ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ n = 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. n = 2k ಮತ್ತು k ಬೆಸವಾಗಿರುವಾಗ, ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ನ ಬಂಧವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ 2ರ ಗರಿಷ್ಠ ಶಕ್ತಿಯು 2k ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು n = 2 ಹೊರತು 2n−1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, n = 1,2, ಅಥವಾ 4ರ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿದರೆ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ಸ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 1 ಅನ್ನು G ಗೆ ಬಲಪಡಿಸಬಹುದು ಇದು ಬೆಸ-ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ |det R | = (ಡಿಟ್ G) 1/2 ≤ (ಡಿಟ್ (n-1) I + J) 1/2 = (2n−1) 1/2 (n−1) (n−1)/2, ಇಲ್ಲಿ J ಆಲ್-ಒನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ (n-1) I + J ಎಂಬುದು ಮಾರ್ಪಾಟಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 1 ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2-4 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ-ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಯಾವುದೇ ಸಾಲುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು-1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. 2n−1 ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವಾಗಿರದ ಹೊರತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ n ಷ್ಣ 3 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದಾಗ ಅದನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಹ್ಲಿಚ್-ವೋಜ್ತಾಗಳು n ಷ್ಣ 2ಕ್ಕೆ (ಮಾಡ್ 4) ಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, n ಸಮವಾಗಿದ್ದಾಗ, Rನ ಸಾಲುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಸಮವಿಧದ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯ 1ನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯ 1ನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬೆಸ ವಿಧದ ಸಾಲುಗಳು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು 1 ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು-1 ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು n (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ವಿರುದ್ಧ ರೀತಿಯ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು n + 2 (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ n ಷ್ಣ2 (ಮಾಡ್ 4), ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆರ್ ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಎ ಮತ್ತು ಡಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳು 2 (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದರ ಅಂಶಗಳು 0 (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. 1964ರಲ್ಲಿ, ಎಹ್ಲಿಚ್ ಮತ್ತು ವೋಜ್ತಾಸ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಈ ರೂಪದ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಎ ಮತ್ತು ಡಿ ಎರಡೂ ಗಾತ್ರಗಳು ಎನ್/2 ಮತ್ತು (ಎನ್-2) ಐ + 2ಜೆ ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಬಿ ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ರೂಪವು ಯಾವುದೇ ಸಾಲುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು-1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳಿಗೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಬದ್ಧ ಡಿಟ್ ಆರ್ ≤ (2n−2) (n−2) (n−2)/2 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಆರ್ ನ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಿದರೆ, G = ಆರ್ಆರ್ಟಿ ಮತ್ತು G′ = ಆರ್ಟಿಆರ್ ಎರಡೂ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಎಹ್ಲಿಚ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಆಗ ನಾವು W, X, Y, ಮತ್ತು Z ಗಳು (n/2) × (n/2) ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು z = −w, y = x, ಮತ್ತು w2 + x2 = 2n − 2 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 2n−2 ಅನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸದ ಹೊರತು ಎಹ್ಲಿಚ್-ವೋಜ್ತಾಸ್ ಬಂಧವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಹ್ಲಿಚ್ 'ಸ್ ಬೌಂಡ್ ಫಾರ್ n ಷ್ಣ 3 (ಮಾಡ್ 4) n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನಂತರ ಸಾಲುಗಳನ್ನು −1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, R ನ ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳು 1 ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು −1 ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ವಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ, G ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 1 ಅನ್ನು G ಗೆ ಬಲಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಇದು n (ಮಾಡ್ 4) ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ n ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4), ಬಾರ್ಬಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ರೂಪವು ಈ ಬಲವಾದ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾವಾಗ n ಷ್ಣ 3 (ಮಾಡ್ 4), ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಂಧವನ್ನು ತೀಕ್ಷ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಎಹ್ಲಿಚ್ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, n ಷ್ಣ 3 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಬಲವರ್ಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣ 1 ಎಂದರೆ G ಯ ಗರಿಷ್ಠ-ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೂಪವನ್ನು B − J ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ J ಎಂಬುದು ಆಲ್-ಒನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು B ಎಂಬುದು ಬ್ಲಾಕ್-ಡಯಾಗ್ನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕರ್ಣೀಯ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು (n-3) I + 4J ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, s, ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ n ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬ್ಲಾಕ್ ಗಾತ್ರ r ಅಥವಾ ಗಾತ್ರ r + 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿರುವ n = 11 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಯಾವುದೇ ಸಾಲುಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು −1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳಿಗೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವವರೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪವು v = n − rs ಎಂಬುದು r + 1 ಗಾತ್ರದ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು u = s − v ಎಂಬುದು r ಗಾತ್ರದ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಬೌಂಡ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಹ್ನ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ, n = 3 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಇದು ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ t ಗೆ n = 112t2 ± 28t + 7 ಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ತಮುರಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಹ್ಯಾಸ್-ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೌಂಡ್ನ ಸಾಧನೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು ಮತ್ತು ಎಲಿಚ್ನ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು 511 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಚಿಕ್ಕ n> 3 ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಗಾತ್ರ 21ರವರೆಗಿನ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು n = 21ರವರೆಗಿನ {1, −1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಗಾತ್ರ 22 ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ತೆರೆದ ಕೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ಡಿ (ಎನ್) 2n−1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಡಿ (ಎನ್) ಯು n−1 ಗಾತ್ರದ {0,1} ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ವಿನ್ಯಾಸ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು