Pre-Lie algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ವ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳು ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಂತಹ ವಸ್ತುಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮುರ್ರೆ ಗೆರ್ಸ್ಟೆನ್ಹಾಬರ್ ಅವರು ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವಿರೂಪಗಳ ಕುರಿತಾದ ತಮ್ಮ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪೂರ್ವ-ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಇತರ ಕೆಲವು ಹೆಸರುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಡ-ಸಮಮಿತಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಬಲ-ಸಮಮಿತಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅಥವಾ ವಿನ್ಬರ್ಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎ ಪ್ರೀ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಈ ಗುರುತನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿನಿಮಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಹವರ್ತಿಯ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಹವರ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತವೂ ಸಹ ಪೂರ್ವ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಹವರ್ತಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಗಿಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿದ್ದರೂ, ಪೂರ್ವ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧವು ಇನ್ನೂ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಒಂದು ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗೆ ಜಾಕೋಬಿ ಗುರುತನ್ನು ಮೇಲಿನ ಪೂರ್ವ-ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಸೈಕ್ಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿರಲಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಇದು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗೆ ಪೂರ್ವ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಹುದ್ವಾರಿ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಒಂದರ ಮೇಲ್ಪದರದ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳವರೆಗೆ, ಅವು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದರ ಮೇಲ್ಪದರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ವ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಅವರ ಸಂವಹನಕಾರರು ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆಃ, ಮತ್ತು ನ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್. ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಮುಕ್ತ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಬೇರೂರಿರುವ ಮರಗಳಾಗಿರಲಿ. ಬೇರೂರಿರುವ ಮರವು ಬೇರೂರಿರುವ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಶೃಂಗದಿಂದ ಮೂಲ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಅಂಚನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಜನರೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಪೂರ್ವ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಫ್ರೀ ಪ್ರಿ-ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಜನರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮರಗಳಿಂದ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ನಾನ್-ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತ