Zwanzig projection operator
ಝ್ವಾನ್ಜಿಗ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಗಣಿತದ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಇದು "ನಿಧಾನ" ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಯೋಜನೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮುಖ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು ರಾಬರ್ಟ್ ಜ್ವಾನ್ಜಿಗ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಕೆಲವು "ನಿಧಾನ" ಸಾಮೂಹಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಈ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಝ್ವಾನ್ಜಿಗ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಬಿಂದು ಕಣಗಳ-ಆಯಾಮದ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಮೊಮೆಂಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಉಪವಿಭಾಗವು "ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ" ಒಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ದೀರ್ಘ-ತರಂಗಾಂತರದ ಫೋರಿಯರ್ ಘಟಕಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ತರಂಗ ವಾಹಕದೊಂದಿಗೆ ಆವೇಗದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ದೀರ್ಘ-ತರಂಗಾಂತರದ ಫೋರಿಯರ್ ಘಟಕಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಝ್ವಾನ್ಜಿಗ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ನ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೈಕ್ರೋಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ಸಮತೋಲನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. "ವೇಗದ" ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವೇಗದ ಮತ್ತು ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಏರಿಳಿತಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರ್ಗೋಡಿಕ್ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಸಮಯದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ವೇಗದ ಭಾಗವು ಉಳಿದಿರುವವರೆಗೆ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು. ನಿಧಾನ ಮತ್ತು ವೇಗದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೇಗದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸ್ಥಿರತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕೇವಲ ಮೂಲಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಯಾವುದೇ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾರ್ಯವು ವೇಗದ ಭಾಗ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಪ್ರಕಾರ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಧಾನವಾದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಿಧಾನವಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಇದು ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಅದರ "ನಿಧಾನ" ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಝ್ವಾನ್ಜಿಗ್ ನೀಡಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಝ್ವಾನ್ಜಿಗ್ ನಿಧಾನ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಝ್ವಾನ್ಜಿಗ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ವೇಗದ ಭಾಗವು. ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಅಂತರವು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಮತ್ತು ಮಾಸ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಂತಿಮ ಸಮರ್ಥನೆಯೆಂದರೆ, ಇದು ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (ಅಥವಾ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು) ಸಮಯ ಅವಲಂಬಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಮುಖ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಹಂತಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು, ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಹಂತ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಾಂದ್ರತೆಯು (ಹಾಗೆಯೇ) ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ನಂತರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತವೆಂದರೆ ಬರೆಯುವುದು, ಮತ್ತು ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಧಾನ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಯೋಜಿಸುವುದು, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವುದು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ನಕಾಜಿಮಾ-ಜ್ವಾನ್ಜಿಗ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ). ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮತೋಲನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎವಲ್ಯೂಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸಣ್ಣ ಸಮಯದ ಹಂತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಇದರ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಎಂದರೆ ಅದು ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರತಿ ಹಂತದ ಹಂತದಲ್ಲೂ ವೇಗದ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರೀಕ್ಷೆಯೆಂದರೆ, ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾದ ವೇಗದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಮಾದರಿ ದತ್ತಾಂಶಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದದಿಂದ. ಕೊನೆಯ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಎಡದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ನೀಡುತ್ತದೆ ಕೊನೆಯ ಸಾಲನ್ನು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕವೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಮಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ನೇರವಾಗಿ ಕವಾಸಾಕಿಯ ಆಪರೇಟರ್ ಗುರುತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಧಾನಗತಿಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಮಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲ್ಯಾಂಗ್ವಿನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತದ ಬಲವಿದೆ (ಇದು ವೇಗದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಮೋಡ್ ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಪದ ಮತ್ತು ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಪದಗಳು ಇದರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು. ಮೋರಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸೆಟ್, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಿಧಾನವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಬದಲು ಕೆಲವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲೈಸ್ಡ್ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಓದುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಮೋರಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬಂದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವೇಗವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೋರಿ-ಜ್ವಾನ್ಜಿಗ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ.