Wallis' integrals
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ವಾಲಿಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಜಾನ್ ವಾಲಿಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಾಲಿಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ; ಮತ್ತೆ ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು 0 ಯಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧ ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ, ಕಡಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರೊಂದಿಗೆಃ, ಇದರ ಆಂಟಿ-ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಇದು, ಬೆಸ ಅಥವಾ ಸಮ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಮಗೆ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ವಾಲಿಸ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಯೂಲರ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದುಃ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಯೂಲರ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಃ ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯಃ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಯೂಲರ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿಃ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಃ ಫಾರ್. ನಾವು ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯದೊಳಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಿದರೆಃ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವಾಲಿಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೆಸ, ಬರವಣಿಗೆಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಆದರೆ ಸಮ, ಬರೆಯಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಮೇಲಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರದಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು (ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸಮಾನತೆ) ಊಹಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂಃ (ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ) (ರಿಂದ) (ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ). ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಅದನ್ನು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆಃ (ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ). ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಇದನ್ನು ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ): ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಯಸುವ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ. ಮೇಲಿನಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಸಮೀಕರಣ (3)) ಅಪವರ್ತನೀಯಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಬಳಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (3) ಮತ್ತು (4) ನಿಂದ, ನಾವು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಕೊಡುಗೆಗಳಿಗಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಬಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಅದೇ ರೀತಿ, ಮೇಲಿನಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಡಬಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಬಳಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಅಥವಾ ಗಾಸಿಯನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು. ನಾವು ಮೊದಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯು (ಇದರಲ್ಲಿ) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ 2 ನಂತರದ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯಿಂದ (ಅಥವಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ) ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಒಮ್ಮುಖವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ), ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲು (ಆಸ್). ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ವಾಲಿಸ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ, (t 0 ರಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಂತರ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, (t ನಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಂತರ, ಅದು ಆಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲೇ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ,. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಗಾಸಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗಮನಿಸಿ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಾಲಿಸ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ). ಬಾಹ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಸೆಬಾ ಮತ್ತು ಕ್ಸೇವಿಯರ್ ಗೌರ್ಡನ್. ಗಾಮಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಚಯ. ಪೋಸ್ಟ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಎಚ್. ಟಿ. ಎಂ. ಎಲ್. ಸ್ವರೂಪಗಳಲ್ಲಿ. ಸಮಗ್ರತೆಗಳು