Parabolic geometry (differential geometry)
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳ G/P ಆಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಉಪಗುಂಪು P ಯಿಂದ ಅರ್ಧ ಸರಳವಾದ ಲೈ ಗುಂಪು G ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಬಾಗಿದ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಕಾರ್ಟನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಮೂಲಕ ಅಂತಹ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಗಣಿತ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪಿಎನ್ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಏಕರೂಪದ ಜಾಗವಾದ ಪಿಜಿಎಲ್ (ಎನ್ + 1)/ಎಚ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇಲ್ಲಿ ಎಚ್ ಎಂಬುದು ರೇಖೆಯ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಆದ್ಯತೆಯ ("ಅಫೈನ್") ನಿಯತಾಂಕವಿಲ್ಲ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಬಾಗಿದ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಒಂದು ಬಹುಗುಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಆದ್ಯತೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಟನ್ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಾಗದ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಬೇಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ಬಹುಗುಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಗೋಳವು. ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ, ಇದು n-ಗೋಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಲ್ಪನೆ ಇಲ್ಲ, ಕೇವಲ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಈ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮಾಪನಗಳ ಸಮಾನ ವರ್ಗ ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇದನ್ನು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪು O (n + 1,1), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ Sn = O (n + 1,1)/P. ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು, ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾಗಿ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಟನ್ ಸಂಪರ್ಕವು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಸೇರಿವೆಃ ಸಿ. ಆರ್. ರೇಖಾಗಣಿತ, ನೈಜ ಹೈಪರ್ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಸಿ. ಆರ್. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ನೋಡಿ) ಸಂಪರ್ಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಮೊದಲ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರ ವಾಹಕದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸ್ಲೋವಾಕ್, ಜೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು, ಸಂಶೋಧನಾ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು, ಡಾ. ಎಸ್. ಸಿ-ವಿಸರ್ಜನೆಯ ಭಾಗ, ಮಸಾರಿಕ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, 1997,70ಪಿ, ಐಜಿಎ ಪೂರ್ವ ಮುದ್ರಣ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳು (ಅಡಿಲೇಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ) ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖಾಗಣಿತ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳು