Schwarzschild coordinates
ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶಗಳು ಸಮೂಹದ ಸುತ್ತಿನ ಗೋಳಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ರೀತಿಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ನಕ್ಷೆಯು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಧ್ರುವೀಯ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಸಮೂಹದ ಸುತ್ತಿನ ಗೋಳಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಗೋಳದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಡಿಯಲ್ ದೂರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಂತಹ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ನಿರ್ವಾತ ಅಥವಾ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋವಾಕ್ಯೂಮ್ ದ್ರಾವಣವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬಿರ್ಖೋಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ದ್ರವಗಳಿಗೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಿಜವಲ್ಲ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯ ಘಟನೆಯ ದಿಗಂತದೊಳಗೆ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ನಿರ್ವಾತ ದ್ರಾವಣದ ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ದಿಗಂತದೊಳಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು (ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ) ಸಮೂಹ ಗೋಳಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ದಿಗಂತದೊಳಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ದ್ರಾವಣಕ್ಕಾಗಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ದಿಗಂತದಲ್ಲಿ ಒಡೆಯುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಯಾವುದೇ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಚಾರ್ಟ್ಗಳ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಓವರ್ಲ್ಯಾಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದೇ ಚಾರ್ಟ್ನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ (ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಾವಧಿಯಲ್ಲಿ), ರೇಖೆಯ ಅಂಶವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಘಟಕ 2-ಗೋಳದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರವಾದ ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುವಲ್ಲಿ). ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (ಬಹುಶಃ ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಒತ್ತಡ-ಶಕ್ತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹ ಒತ್ತಡ-ಶಕ್ತಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲು ತಿರುಗಿದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಶಕ್ತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಂಜಸವಾದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ದ್ರವದಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ದ್ರವಕ್ಕೆ), ನಂತರ, ಪದಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಂತಹ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸೂಕ್ತವಾದ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಬಹುಶಃ ದೊಡ್ಡ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ತುಣುಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; ಇದನ್ನು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ಗಳು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಟೈಮ್ಲೈಕ್ ಇರ್ರೋಟೇಶನಲ್ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ಮೂರು ಸ್ಪೇಸ್ಲೈಕ್ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಫೀಲ್ಡ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮಯದಂತಹ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರ ಸಮಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು (ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್) ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ಸ್ಲಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. (ಇದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆರ್ ನಿರ್ವಾತದ ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರದೇಶದ ಬೋಯರ್-ಲಿಂಡ್ಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ನಿಜವಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ಸಮಯದಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕವು ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.) ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಲೇಖನವು ಮೂರು ಜಾಗದಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿವರವಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ, ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ದುಂಡಗಿನ ಗೋಳಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ನಾವು ಧ್ರುವೀಯ ಗೋಳಾಕಾರದ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಲೋಕಿಯನ್ನು ಯೋಜಿಸಿದಾಗ), ಮತ್ತು ಅದರ ರೂಪದಿಂದ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಈ ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಯುನಿಟ್ ತ್ರಿಜ್ಯ 2-ಗೋಳದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಗೋಳಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಗೌಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೋನೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಧ್ರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕೋನೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆಃ ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಕ್ಷಾಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೇಖಾಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶದ ಎರಡೂ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ನಿಜವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಅವರು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ ಎಂಬ ಪದದ ಅರ್ಥದ ನಿಜವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂರು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು E3ಯಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಅನುವಾದವಲ್ಲದ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಅಂದರೆ, ಅವು ಮೂಲ ಅಥವಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಗಮನಿಸಿಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ರೇಡಿಯಲ್ ದೂರಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಏಕರೂಪದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ದೂರಗಳು ಇದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಬದಲಿಗೆ, ನಮ್ಮ ಎರಡು ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಗೋಳಗಳ ನಡುವೆ 'ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಅಂತರ' ದ ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೂಲದಿಂದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕುಃ ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಗೋಳವನ್ನು ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿದ ವೀಕ್ಷಕರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಮೋಡದ ಸ್ಥಳವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅವರು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ) ತಮ್ಮ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ವಿಕಿರಣವಾಗಿ ಹೊರಕ್ಕೆ ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ರಾಕೆಟ್ ಎಂಜಿನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಇವು ಸ್ಥಿರ ವೀಕ್ಷಕರು, ಮತ್ತು ಅವು ರೂಪದ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವು ಸಹಜವಾಗಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಲಂಬ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ವೀಕ್ಷಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರ ವಿಶ್ವ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ನಾವು ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕುಃ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡಿದಾಗ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಏಕತ್ವವು ನಮ್ಮ ಸ್ಥಿರ ಸಮೂಹ ಗೋಳಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಉತ್ತರ ಧ್ರುವದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದಕ್ಷಿಣ ಧ್ರುವದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. E3ಯ ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಧ್ರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಕ್ಷೆಯಂತೆಯೇ, ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಇಡೀ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಾವು ಕೆಲವು ರೇಖಾಂಶವನ್ನು (ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತ) ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಬೇಕು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಆ ಅಕ್ಷದಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಿರುವ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ಸ್ಲೈಸ್ನಿಂದ ನಾವು ಮುಚ್ಚಿದ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ನಾವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಾಗ, ನಾವು ಆವರ್ತಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವೆಂದು ಯೋಚಿಸುತ್ತಿರುವ ಪಾಂಡಿತ್ಯಪೂರ್ಣ ಆದರೆ ಪ್ರಮುಖ ಅರ್ಹತೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಮ್ಮ ಮೂರು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ವಾಹಕಗಳು ದುಂಡಗಿನ ಗೋಳಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಬಹುಶಃ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಥವಾ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಮ್ಮ ಪಟ್ಟಿಯ ಡೊಮೇನ್ನಿಂದ ಕೆಲವು ಚೆಂಡಿನ ಹೊರಗಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಚೆಂಡಿನ ಒಳಗಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಹ ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ f ಅಥವಾ g ಸ್ಫೋಟಿಸಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಹೈಪರ್ಸ್ಲಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಇದು ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ಸ್ಲಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಪರಸ್ಪರ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ) ಹುದುಗಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವ ಜನರು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸಲು ನಾವು ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಸಂತೋಷವಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಈಗ ನಾವು ಸ್ಥಳೀಯ ರೇಡಿಯಲ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಚಾರ್ಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು (ಅಥವಾ ವಾರ್ಷಿಕ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ) E3 ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಲು, ನಾವು E3 ನಲ್ಲಿ ಫ್ರೇಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಯಸಿದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಹುದುಗುವ ಸ್ಥಳದಿಂದ, ನಮ್ಮ ರೇಡಿಯಲ್ ಚಾರ್ಟ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ನಾವು E3 ಮೇಲಿನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನಮ್ಮ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದಾಗ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಪ್ರೇರಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಜವಾದ ಅಂತರವು ಅವುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಇದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಜವಾದ ದೂರಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು E1,2 ನಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತಹ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಮಗೆ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಉಂಗುರಗಳ ಹುದುಗುವಿಕೆಗಳು ಬೇಕಾಗಬಹುದು (ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ರೀಮನ್ ಟೆನ್ಸರ್ನೊಂದಿಗೆ) ಜಾಗತಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಲ್ಲ. ವಿಷಯವೇನೆಂದರೆ, ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ನಾವು (ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ) ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ಸ್ಲೈಸ್ಗಳ ಈ ರೀತಿಯ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ಸಾಟ್ಜ್ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆ ಅಂಶವು, f, g ಅನ್ನು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ r ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಇತರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು) ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ಸಾಟ್ಜ್ ಆಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ದೃಷ್ಟಾಂತವಾಗಿ, ಕಾರ್ಟನ್ನ ಬಾಹ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪರ್ಕ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಲೈನ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕೋಫ್ರೇಮ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಸ್ಮೂತ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. (ನಮ್ಮ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಸ್ಥಿರವಾದ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ). ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೋಬಾಸಿಸ್ ಒನ್-ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆಃ ಕಾರ್ಟನ್ನ ಮೊದಲ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ (ಅಥವಾ ಅದರ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ) ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಸಂಪರ್ಕ ಒನ್-ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ನಮ್ಮ ಕೋಬಾಸಿಸ್ ಒನ್-ಫಾರ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ, ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಒನ್-ಫಾರ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ನೆನಪಿಸಲು ಟೋಪಿಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.) ಯಾವ ಜೋಡಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿವೆ (ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯ) ಮತ್ತು ಯಾವ ಜೋಡಿಗಳು ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವಿಕವಾಗಿವೆ (ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸ್ಥಳ) ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಆರು ಸಂಪರ್ಕದ ಒಂದು-ರೂಪಗಳು ಎಂದು ನಾವು ದೃಢೀಕರಿಸಬಹುದು (ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಆರುಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಮಾತ್ರ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ.) ನಾವು ಈ ಒಂದು-ರೂಪಗಳನ್ನು ಒಂದು-ರೂಪಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮವಾದ ಎಸ್ಒ (1,3)-ಮೌಲ್ಯದ ಒಂದು-ರೂಪ. ಒಂದು-ರೂಪಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಸ್. ಓ. (4)-ಮೌಲ್ಯದ ಒಂದು-ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಸಮಮಿತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಪಕ್ಕದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಪರ್ಕದ ಒಂದು-ರೂಪಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯ ಎರಡು ರೂಪಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಾರ್ಟನ್ನ ಎರಡನೇ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಾಲ್ಕನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಆರು ಜೋಡಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು (i, j) ಮಾತ್ರ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಬ್ಯಾಚ್ ಬಾರ್ಗಳು ಸೂಚಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಮ್ಮ ಕೋಫ್ರೇಮ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಫ್ರೇಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೀಮನ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಓದಬಹುದು. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಐದನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಸಂಘಟಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಇ, ಎಲ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆರು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳು) ಮತ್ತು ಬಿ ಟ್ರೇಸ್ಲೆಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಂಟು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳು), ಇದನ್ನು ನಾವು ಎರಡು ರೂಪಗಳ ಆರು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಯಲ್ಲಿ) ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತೆ ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರಿಂದ ನಾವು ಟೈಮ್ಲೈಕ್ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬೆಲ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಓದಬಹುದು. ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಗ್ರಾವಿಟಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೋಗ್ರಾವಿಟಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಟೋಪೋಗ್ರಾವಿಟಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್, ಇದರಿಂದ (ಇರ್ರೊಟೇಷನಲ್ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು) ನಾವು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಹೈಪರ್ಸ್ಲಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ರೀಮನ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಯಾವುದೇ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಗ್ರಾವಿಟಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಣ್ಣ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಉಬ್ಬರವಿಳಿತದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಮ್ಮ ಫ್ರೇಮ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೀಕ್ಷಕರು ಅಳೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೋಗ್ರಾವಿಟಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ನಮ್ಮ ಫ್ರೇಮ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೀಕ್ಷಕರು ಅಳೆಯುವ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಿನ್-ಸ್ಪಿನ್ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಶವು ಇಲ್ಲಿ ಮೂರು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಲೈಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ಗಳು ಪ್ರಾದೇಶಿಕವಾಗಿ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಅಲ್ಲ (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ); ಬದಲಿಗೆ, ಬೆಳಕಿನ ಶಂಕುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ರೇಡಿಯಲ್ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ) ಅಥವಾ (ರೇಡಿಯಲ್ ಉದ್ದವಾದ). ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ಗಳು ಪ್ರತಿ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ರೌಂಡ್ ಗೋಳದೊಳಗಿನ ದೂರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ರೇಡಿಯಲ್ ಸರಿಯಾದ ದೂರವನ್ನು ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲವು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ನಿರ್ವಾತದ ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರದೇಶ, ಡಿಟ್ಟೋ, ರೈಸ್ನರ್-ನಾರ್ಡ್ಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋವಾಕ್ಯೂಮ್ಗಾಗಿ, ಇದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಡಿಟ್ಟೋ, ರೈಸ್ನರ್-ನಾರ್ಡ್ಸ್ಟ್ರಾಮ್-ಡಿ ಸಿಟ್ಟರ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಲಾಂಬ್ಡಾವಾಕ್ಯೂಮ್ಗಾಗಿ, ಇದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಜಾನಿಸ್-ನ್ಯೂಮನ್-ವಿನಕೋರ್ ದ್ರಾವಣ (ಇದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ ಜೋಡಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವಿನ ಹೊರಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ), ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ನಾಕ್ಷತ್ರಿಕ ಮಾದರಿಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಆದರೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಹಜ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಿನ ಎರಡು-ಗೋಳಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ಟೀರಿಯೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಚಾರ್ಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆಃ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶ, ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ದ್ರವಗಳು, ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಜನಪ್ರಿಯ ಚಾರ್ಟ್, ಗೌಸಿಯನ್ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ ಚಾರ್ಟ್, ಗುಲ್ಸ್ಟ್ರ್ಯಾಂಡ್-ಪೈನಲೆವ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಎ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಫ್ರೇಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಫ್ರೇಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಫ್ರೇಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ರೀಮನ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಬೆಲ್ ವಿಭಜನೆ, ಏಕರೂಪತೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ), ಮೇಲಿನಂತಹ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ಕ್ರುಸ್ಕಲ್-ಸ್ಜೆಕೆರೆಸ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ದ್ರಾವಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಬಹುಗುಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚಾರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಏಕತ್ವದ ಹೊರಗೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ, ಎಡ್ಡಿಂಗ್ಟನ್-ಫಿಂಕೆಲ್ಸ್ಟೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಸ್ಥಿರ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಚಾರ್ಟ್, ಲೆಮೈಟ್ರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಈವೆಂಟ್ ದಿಗಂತದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುವ ಆರಂಭಿಕ ಚಾರ್ಟ್. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಚಾರ್ಟ್ಗಳು