Cauchy–Rassias stability
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾನಿಸ್ಲಾ ಉಲಾಮ್ನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಸುಮಾರು E ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯವು E ಯ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಎಂಬುದು ಯಾವಾಗ ನಿಜ? 1941ರಲ್ಲಿ, ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಎಚ್. ಹೈಯರ್ಸ್ ಅವರು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಭಾಗಶಃ ದೃಢವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಇದು ಮೊದಲ ಮಹತ್ವದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧನೆಯ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧ್ಯಯನಗಳತ್ತ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ, ಉಲಾಮ್ನ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಹೈಯರ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. 1978ರಲ್ಲಿ, ಥೆಮಿಸ್ಟೊಕ್ಲಿಸ್ ಎಮ್. ರಸ್ಸಿಯಸ್ ಅವರು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕೌಚಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೈರ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಆತ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. 1950 ರಲ್ಲಿ, ಟಿ. ಅಯೋಕಿ ಅವರು ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ರಸ್ಸಿಯಾಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ್ದರು. ಉಲಾಮ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯಾಪಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಾಗಿ, ಆಸಕ್ತ ಓದುಗರನ್ನು ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2011ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಎಸ್. ಎಂ. ಜಂಗ್ ಅವರ ಇತ್ತೀಚಿನ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಟಿ. ಎಂ. ರಾಸ್ಸಿಯಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹಲವಾರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸಿತು, ಅವರು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರೇರೇಪಿತರಾದರು. ಎಸ್. ಎಂ. ಉಲಾಮ್, ಡಿ. ಎಚ್. ಹೈಯರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಟಿ. ಎಚ್. ಅವರ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ. ಎಂ. ರಾಸ್ಸಿಯಸ್ ಅವರು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೈರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ರಾಸ್ಸಿಯಸ್ ಸ್ಥಿರತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉಲಾಮ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕೌಚಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ f (x + y) = f (x) + f (y) ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದಾಗ, E ಸಮೀಕರಣವು ಕೌಚಿ-ರಾಸಿಯಸ್ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೆಸರನ್ನು ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ಮತ್ತು ಥೆಮಿಸ್ಟೊಕ್ಲಿಸ್ ಎಮ್. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪಿ. ಎಂ. ಪಾರ್ಡಲೋಸ್, ಪಿ. ಜಿ. ಜಾರ್ಜಿಯೆವ್ ಮತ್ತು ಎಚ್. ಎಂ. ಶ್ರೀವಾಸ್ತವ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸ್ಥಿರತೆ, ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಥೆಮಿಸ್ಟೊಕ್ಲಿಸ್ ಎಮ್. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಅವರ 60 ನೇ ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2012. ಡಿ. ಎಚ್. ಹೈಯರ್ಸ್, ಆನ್ ದಿ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಆಫ್ ದಿ ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್, ಪ್ರೊಕ್. ನ್ಯಾ. ಅಕಾಡ್. ವಿಜ್ಞಾನ. ಯುಎಸ್ಎ, 27 (1941), 222-224. ಟಿ. ಎಮ್. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್, ಆನ್ ದಿ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಆಫ್ ದಿ ಲೀನಿಯರ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇನ್ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ 72 (1978), 297-300. [ಚೈನೀಸ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ ಇನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಲೇಷನ್, ಚೈನೀಸ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸಸ್ 4 (2009), 382-384 ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ.] ಟಿ. ಎಂ. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್, ಆನ್ ದಿ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಎ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಆಫ್ ಉಲಮ್, ಆಕ್ಟಾ ಅಪ್ಲ್ಯಾಂಡೆ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕೆ, 62 (1) (2000), 23-130. ಎಸ್. ಎಮ್. ಜಂಗ್, ಹೈಯರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ರಾಸಿಯಾಸ್ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್ ಇನ್ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2011. ಟಿ. ಅಯೋಕಿ, ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ, ಜೆ. ಗಣಿತ. ಎಸ್. ಸಿ. ಜೆಪಿಎನ್., 2 (1950), 64-66. ಸಿ. ಜಿ. ಪಾರ್ಕ್, ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಚತುರ್ಭುಜ ನಕ್ಷೆಗಳು, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುದದ್ವಾರ, 57 (2004), 713-722. ಜೆ. ಆರ್. ಲೀ ಮತ್ತು ಡಿ. ವೈ. ಶಿನ್, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಂಯೋಜಕ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕೌಚಿ-ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೇಲೆ, ಜೆ. ಗಣಿತ. ಗುದದ್ವಾರ. ಆಪಲ್. 339 (1) (2008), 372-383. ಸಿ. ಬಾಕ್, ಕೌಚಿ-ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಕೌಚಿ-ಜೆನ್ಸನ್ ಸಂಯೋಜಕ ನಕ್ಷೆಗಳ ರಾಸ್ಸಿಯಸ್ ಸ್ಥಿರತೆ, ಆಕ್ಟಾ ಮಠ. ಸಿನಿಕಾ (ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸರಣಿ), 15 (1) (1999), 1-11. ಸಿ. ಜಿ. ಪಾರ್ಕ್, ಲೈ ಜೆಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಕೌಚಿ-ಲೈ ಜೆಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ರಾಸ್ಸಿಯಸ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ನಡುವಿನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು, ಜೆ. ಲೈ ಥಿಯರಿ, 15 (2005), 393-414. ಜೆ. ಆರ್. ಲೀ, ಡಿ. ವೈ. ಶಿನ್, ಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿನ ಟ್ರಿಫ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕೌಚಿ-ರಾಸಿಯಸ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೇಲೆ. ಜೆ. ಗಣಿತ. ಗುದದ್ವಾರ. ಆಪಲ್. 296 (1) (2004), 351-363. ಸಿ. ಬಾಕ್, ಎಚ್. ವೈ. ಚು ಮತ್ತು ಎಂ. ಎಸ್. ಮೊಸ್ಲೆಹಿಯನ್, ಆನ್ ದಿ ಕೌಚಿ-ರಾಸಿಯಾಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಎನ್-ಇನ್ನರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆಗಳು, ಮ್ಯಾಥ್. ಅಸಮಾನತೆ. ಆಪಲ್. 9 (3) (2006), 453-464. ಸಿ. ಜಿ. ಪಾರ್ಕ್, ಎಮ್. ಎಶಾಘಿ ಗೋರ್ಡ್ಜಿ ಮತ್ತು ಎಚ್. ಖೋಡೈ, ಎ ಫಿಕ್ಸ್ಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಪ್ರೋಚ್ ಟು ದಿ ಕೌಚಿ-ರಾಸಿಯಾಸ್ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಆಫ್ ಜನರಲ್ ಜೆನ್ಸನ್ ಟೈಪ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್-ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್, ಬುಲ್. ಕೊರಿಯನ್ ಗಣಿತ. ಎಸ್. ಸಿ. 47 (2010), ನಂ. 5, 987-996 A. ನಜತಿ, ಪೆಕ್ಸಿಡೆರೈಸ್ಡ್ ಕೌಚಿ-ಜೆನ್ಸನ್ ಪ್ರಕಾರದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಕೌಚಿ-ರಾಸಿಯಸ್ ಸ್ಥಿರತೆ, J. ಗಣಿತ. ಅಸಮಾನತೆ. 3 (2) (2009), 257-265. ಸಿ. ಜಿ. ಪಾರ್ಕ್ ಮತ್ತು ಎಸ್. ವೈ. ಜಾಂಗ್, ಬನಾಚ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಕೌಚಿ-ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಸೆಸ್ಕ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಎನ್-ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ, ರಾಕಿ ಮೌಂಟೇನ್ ಜೆ. ಗಣಿತ. 39 (6) (2009), 2015-2027. ಪಿ. ಎಲ್. ಕಣ್ಣಪ್ಪನ್, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2009. ಪಿ. ಕೆ. ಸಾಹೂ ಮತ್ತು ಪ್ಲ. ಕಣ್ಣಪ್ಪನ್, ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್, ಸಿಆರ್ಸಿ ಪ್ರೆಸ್, ಚಾಪ್ಮನ್ & ಹಾಲ್ ಬುಕ್, ಫ್ಲೋರಿಡಾ, 2011. ಟಿ. ಎಂ. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಬ್ರಜ್ದೆಕ್ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2012,. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು