Eigenform
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಐಗನ್ ಫಾರ್ಮ್ (ಅಂದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗ್ರೂಪ್ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಝಡ್) ನೊಂದಿಗೆ ಏಕಕಾಲಿಕ ಹೆಕ್ ಐಗನ್ ಫಾರ್ಮ್) ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಹೆಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ ಟಿಎಂ, ಎಂ = 1,2,3, ಗೆ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಐಗನ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಐಜೆನ್ ರೂಪದ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆ, ಮತ್ತು ಐಜೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸರಣಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಗುದನಾಳದ ಅಲ್ಲದ ಐಜೆನ್ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ δ ಫಂಕ್ಷನ್. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಐಗನ್ ಫಾರ್ಮ್ಗೆ (ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಕ್ಕೆ) ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಒಂದು ಐಗನ್ ರೂಪವನ್ನು ಅಳೆಯುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ q-ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ q = e2πiz. ಪ್ರತಿ ಹೆಕೆ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿಐ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಕಾರ್ಯವು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೆಕ್ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿಐಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಫ್ ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಐಒಆರ್ 1 ಆಗಿದೆ. ಎಫ್ ಒಂದು ಕಸ್ಪ್ ರೂಪವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಕುಸ್ಪಿಡಲ್ ಆಗಿರುವ ಐಗನ್ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಐಗನ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪು ಪೂರ್ಣ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಝಡ್) ಆಗಿರದಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಎನ್ ω ಝಡ್ಗೆ ಹೆಕ್ ಆಪರೇಟರ್ ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಐಗನ್ಫಾರ್ಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಐಗನ್ಫಾರ್ಮ್ ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಹೆಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಏಕಕಾಲಿಕ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಸೈಬರ್ನೆಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸೈಬರ್ನೆಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಐಗನ್ಫಾರ್ಮ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೈನ್ಜ್ ವಾನ್ ಫೋಸ್ಟರ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಸೆಕೆಂಡ್ ಆರ್ಡರ್ ಸೈಬರ್ನೆಟಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗದಷ್ಟು ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ". ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳು ಸೈಬರ್ನೆಟಿಕ್ಸ್