Kardar–Parisi–Zhang equation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಡಾರ್-ಪ್ಯಾರಿಸಿ-ಝಾಂಗ್ (ಕೆಪಿಝಡ್) ಸಮೀಕರಣವು 1986ರಲ್ಲಿ ಮೆಹ್ರಾನ್ ಕಾರ್ಡಾರ್, ಜಾರ್ಜಿಯೊ ಪ್ಯಾರಿಸಿ ಮತ್ತು ಯಿ-ಚೆಂಗ್ ಜಾಂಗ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು ಸಮಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಎತ್ತರದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಬಿಳಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಶಬ್ದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ, ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಮೀಕರಣವು ಬದಲಿ ಮೂಲಕ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬರ್ಗರ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಭವನೀಯ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪುನರ್ರಚನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ, ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಡನ್ ಮಾದರಿ, ಬ್ಯಾಲಿಸ್ಟಿಕ್ ಶೇಖರಣೆ ಮತ್ತು ಘನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ (ಎಸ್ಓಎಸ್) ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವದ ಏಕ ಹಂತದ ಘನಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಮೇಲ್ಮೈ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾದರಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಓಎಸ್ ಮಾದರಿಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಬರ್ಟಿನಿ ಮತ್ತು ಜಿಯಾಕೋಮಿನ್ ಅವರು ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆ ವರ್ಗ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಮವಾದ ಸರಳ ಹೊರಗಿಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಂತಹ ಅನೇಕ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುವ ಕಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆ ವರ್ಗದಲ್ಲಿವೆ. ಈ ವರ್ಗವನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ (1 + 1 ಆಯಾಮ) ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಒರಟುತನ ಘಾತಾಂಕ, ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕ. ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾದರಿಯು ಕೆಪಿಝಡ್ ವರ್ಗದೊಳಗೆ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅಗಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಾತ್ರ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕೆಪಿಝಡ್ ವರ್ಗದೊಳಗಿನ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಒರಟುತನದ ಕುಟುಂಬ-ವಿಕ್ಸೆಕ್ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು 2014 ರಲ್ಲಿ, ಹೇರರ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸ್ಟೆಲ್ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಪಿಝಡ್ ತರಹದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರುಃ ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮ-ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದವಿದೆ. (1 + 1) ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮಿತಿಗಳೆಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವೆಂದರೆ ಏರೀ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು. ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯದ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದಾಗಿ, ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ನಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ 'ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್' ಅಥವಾ 'ಒರಟಾಗಿರುತ್ತವೆ'. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪದವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಹಾರವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ 1/2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲ್ಡರ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪದವನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. 2013 ರಲ್ಲಿ, ಮಾರ್ಟಿನ್ ಹೈಯರ್ ಕೋಲ್-ಹಾಫ್ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿ ಸಾಧಿಸಿದರು. ರಫ್ ಪಾತ್ಸ್ ಥಿಯರಿ ಮತ್ತು ರೆಗ್ಯುಲಾರಿಟಿ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೇಲಿನ ಈ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಅವರಿಗೆ 2014 ರಲ್ಲಿ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಪದಕವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಭೌತಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಈ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಮತ್ತು ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ನಾವು ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಎತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ಅವರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ. ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸುಗಮಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಮೇಲ್ಮೈ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಮೇಲ್ಮೈ ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಶಬ್ದ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು. ನಂತರ ನಾವು ಸರಾಸರಿ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್-ವಿಲ್ಕಿನ್ಸನ್ (ಇ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ.) ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜನೀಯ ಶಬ್ದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣ (ಎಸ್. ಎಚ್. ಇ.) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಶಬ್ದವು ಗಾಸಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಂಡುಬರುವ ಏರಿಳಿತಗಳು ಇನ್ನೂ ಗಾಸಿಯನ್ ಆಗಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಇ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಮೀಕರಣವು ಆಸಕ್ತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯು ಮೂರು ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೊದಲ ಮಾದರಿಗಳು ಪಾರ್ಶ್ವದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ರೂಪದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಎರಡನೆಯದು ಪ್ರಸರಣ ಪದದ ಮೂಲಕ ವಿಶ್ರಾಂತಿ, ಅಥವಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು ಬಿಳಿ ಶಬ್ದದ ಒತ್ತಾಯ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಭಾಗವಾದ ಪ್ರಮುಖ ಪದವನ್ನು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಡಾರ್, ಪ್ಯಾರಿಸಿ ಮತ್ತು ಜಾಂಗ್ (ಕೆಪಿಝೆಡ್) ಅವರ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಅವಲೋಕನವೆಂದರೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಮೇಲ್ಮೈಗೆ) ಬೆಳೆಯುವಾಗ, ನಾವು ಎತ್ತರದ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸರಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಣಾಮದಿಂದ ಬರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೋಟವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮೇಲ್ಮೈ ಇಳಿಜಾರು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪರಿಣಾಮವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಜಟಿಲವಾದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಷ್ಟವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಸಮಯದ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕೆಪಿಝಡ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ ನೋಡಿ ಫಾಕರ್-ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪುನರುಜ್ಜೀವನ ಗುಂಪು ಒರಟಾದ ಮಾರ್ಗ ಸಂಭವನೀಯ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಮೇಲ್ಮೈ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಟ್ರೇಸಿ-ವಿಡಮ್ ವಿತರಣೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆ (ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು) ಮೂಲಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು