Cavalieri's quadrature formula
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, 17ನೇ ಶತಮಾನದ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಬೋನಾವೆಂಟುರಾ ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವು ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ನಿಶ್ಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ; ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪವೆಂದರೆಃ ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರೂಪಗಳಿವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ರೇಖೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. "ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್" ಎಂಬ ಪದವು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪದವಾಗಿದೆ; ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ y = xn ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕರಣಗಳೆಂದರೆ y = x2, ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ಯಾರಬೋಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜ, ಮತ್ತು y = 1/x, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜ, ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ. ರೂಪಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ n n ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ (x ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳು), x = 0 ನಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವವಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು 0 ಬದಲಿಗೆ 1 ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಫಲ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದಲ್ಲದೆ, n ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ (ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ) ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಘಾತ xn ಅನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ x ಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, n ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ x ಗೆ ಘಾತ xn ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿ ವಾದದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, x ಅನ್ನು −x ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು −1 ರಲ್ಲಿ ಆಧಾರಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು (n ಮತ್ತು x ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ) ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಂತರ ಮಾರ್ಗದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯವು 0 ರಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಆವರಿಸುವ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. e = 2.71828.) ತಳಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ x ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಈ ಬೆಸ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, C ಯ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 0 ರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವೆಂದರೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ 1/x ಗೆ ಜಾಗತಿಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಹೊದಿಕೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ರೂಪವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿದೆ. 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು a ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಏಕತ್ವದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ 1/x ಒಂದು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು-1 ರಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ಪ್ರಧಾನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಬ್ಬರು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದಲೂ ವಾದಿಸಬಹುದು (ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿದಮ್ ಬೆಸವಾಗಿದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು 1 ಅಥವಾ-1 ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ್ದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಂತೆಯೇ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು n-ಆಯಾಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು n-ಕ್ಯೂಬ್ಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಬಹುದುಃ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಃ ಪುರಾವೆ ಆಧುನಿಕ ಪುರಾವೆಯು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದುಃ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ xn ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು nxn−1 ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ-ಹೀಗಾಗಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರಣ ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. 1/x ನ ನಿಜವಾದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ xn ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು n-ಘನದ ಪರಿಮಾಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ (n ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್), ಅಡ್ಡ ಉದ್ದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ-ಇದು xn−1, ಇದನ್ನು n ಮುಖಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ n−1 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವುದು, ಇವು n ಮುಖಗಳು ಶೃಂಗವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವುದಿಲ್ಲ), ಈ ಮುಖಗಳ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬೆಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಘನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ-3-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 3 ಅನಂತ ತೆಳುವಾದ ಚೌಕಗಳನ್ನು, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖಗಳಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯಗೊಳಿಸಿ, ಈ ಅನಂತ (n−1) ಘನಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ಒಂದು (ಹೈಪರ್)-ಪಿರಮಿಡ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳಲ್ಲಿ n, n-ಕ್ಯೂಬ್ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳ ಕರ್ಣೀಯ ಸೈಕ್ಲಿಂಗ್ ಸುತ್ತ ಎನ್-ಕ್ಯೂಬ್ನ ಎನ್-ಪಟ್ಟು ಆವರ್ತಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿದೆ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪಿರಮಿಡ್ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ). ಕ್ಯೂಬ್ (3-ಕ್ಯೂಬ್) ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತುಃ ಕ್ಯೂಬ್ 3-ಪಟ್ಟು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು 3 ಪಿರಮಿಡ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ, ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಬೇಸ್ ಪಟ್ಟು ಎತ್ತರದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ಯಾರಬೋಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣದ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಅಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ತಂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದೆ; ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ y = xn ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು (x ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ d ಮತ್ತು y ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ dn, y ದಿಕ್ಕಿನ n ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತಗೊಳಿಸುವುದು), ಅಥವಾ n = −1 ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ಮೂಲ ಮೂಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಇತಿಹಾಸದ ವಿವರವಾದ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ; ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಇತಿಹಾಸವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ತನ್ನ ದಿ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಆಫ್ ದಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (ಕ್ರಿ. ಪೂ. 3ನೇ ಶತಮಾನ) ದಲ್ಲಿ, ಬಳಲಿಕೆಯ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನತೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದೊಳಗಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದನು-ಇದನ್ನು "ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ವಿಭಾಗ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ-ಗ್ರಾಫ್ y = x2 ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕಿಂತ, ಇದು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಇವು ಸಮಾನವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು, ಇತರರಲ್ಲಿ, ಪಿರಮಿಡ್ ಅಥವಾ ಕೋನ್ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು, ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. 11ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಇಬ್ನ್ ಅಲ್-ಹೈಥಮ್ (ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಹಾಜೆನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ತನ್ನ ಬುಕ್ ಆಫ್ ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಘನ ಮತ್ತು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ಸ್ನ (ಡಿಗ್ರಿ ಮೂರು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು) ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿಯವರು ತಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು (ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿಯ ತತ್ವ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು n ನಿಂದ 9 ರವರೆಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳು ಇನ್ನೂ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಆದರೂ, ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಂತೆ ಅವರು ಇವುಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು. ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಂತರ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಇವಾಂಜೆಲಿಸ್ಟಾ ಟೊರಿಸೆಲ್ಲಿ ಅವರು ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ನಂತಹ ಇತರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ನಂತರ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಾನ್ ವಾಲಿಸ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಅರಿಥ್ಮೆಟಿಕಾ ಇನ್ಫಿನಿಟರಮ್ (1656) ನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು, ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿತು-ಆದರೂ ವಾಲಿಸ್ ಅಸಾಧಾರಣವಾದ ಪ್ರಕರಣ n = −1 (ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜ) ಅನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಂಡರು-ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಠಿಣ ನೆಲಕ್ಕೆ ಹಾಕುವ ಮೊದಲು. ವಾಲಿಸ್ನ ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ, ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು (p ಮತ್ತು q ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು) ಮೂಲಕ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲೆ (ಅಥವಾ "ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು" ಮತ್ತು "ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು") ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಈ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು (-1 ರ ಅಸಾಧಾರಣ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಬೀಜಗಣಿತದ ತಂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು-ಅವರು ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉನ್ನತ ಹೈಪರ್ಬೋಲೆಯ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲೆಯ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಅಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು, ಬಹುಶಃ ಅವರು ಹೈಪರ್ಬೋಲೆಗಾಗಿ ಬಳಸಿದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರ ಉಳಿದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ತಂತ್ರಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಚಿಕಿತ್ಸೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ತಂತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದವು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಮಹತ್ವದ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿಯು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಸಂಪುಟಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೋಲಿಸುತ್ತದೆ-ಇವು ಯಾವಾಗಲೂ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರದೇಶದ ಘಟಕಗಳನ್ನು (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರದೇಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕಮಾನರಹಿತವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಾಲಿಸ್ನಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ; ವಾಲಿಸ್ ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಮತ್ತು ಗಣನೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕಮಾನರಹಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಪರ್ಯಾಯವು ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಾಗಿತ್ತು. - 1 (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲ) ನ ಅಸಾಧಾರಣ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಗ್ರೆಗೊಯಿರ್ ಡಿ ಸೇಂಟ್-ವಿನ್ಸೆಂಟ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಓಪಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಸರ್ಕುಲಿ ಎಟ್ ಸೆಕ್ಷನಮ್ ಕೋನಿ (1647) ನಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ನೀಡಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಔಪಚಾರಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಾಗಿ ಕಾಯಬೇಕಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ನಿಕೋಲಸ್ ಮರ್ಕೇಟರ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಲಾಗರಿಥ್ಮೋಟೆಕ್ನಿಯಾದಲ್ಲಿ (1668) ಸಾಧಿಸಿದರು. (ಪಿಬಿಕೆ) ನಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಇತಿಹಾಸ. - ವ್ಯಾಲೇಸ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಪ್ರೂಫ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಣದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಮಲಿಕ್, ಎಂ. ಎ. (1984) "ಎ ನೋಟ್ ಆನ್ ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿ ಇಂಟಿಗ್ರೇಷನ್", ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಗಜೀನ್ 57 (3): 154-6 ವಿ. ಫ್ರೆಡೆರಿಕ್ ರಿಕಿ (2011) ಫೆರ್ಮಾಟ್ಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಷನ್ ಆಫ್ ಪವರ್ಸ್, ಹಿಸ್ಟಾರಿಕಲ್ ನೋಟ್ಸ್ ಫಾರ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಟೀಚರ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಲಿಂಕ್ಸ್ ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿ ಇಂಟಿಗ್ರೇಷನ್ ಇನ್ಫೈನೈಸಿಮಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್, ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ಸ್