Ptolemy's table of chords
ಕ್ರಿ. ಶ. 2ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಈಜಿಪ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಗ್ರೀಕ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಜಿಯೋಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಭೂಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪ್ಟೋಲೆಮಿ ರಚಿಸಿದ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು, ಗಣಿತ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಕುರಿತಾದ ಗ್ರಂಥವಾದ ಪ್ಟೋಲೆಮಿಯ ಅಲ್ಮಾಜೆಸ್ಟ್ನ 11ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದ ಪುಸ್ತಕ Iರಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಆರಂಭಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿತ್ತು (ಹಿಪ್ಪಾರ್ಕಸ್ನ ಹಿಂದಿನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಅದರ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಆರ್ಕ್ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ನೀಡಿತು). 8ನೇ ಮತ್ತು 9ನೇ ಶತಮಾನಗಳಿಂದ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದ್ದು, ಸೈನ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಮತ್ತು ಹಬಾಶ್ ಅಲ್-ಹಸೀಬ್ ನಂತರ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದರು. ಸ್ವರಮೇಳದ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಟಾಲೆಮಿ 120 ಭಾಗಗಳ ವ್ಯಾಸದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಅವರು ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರು, ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು n ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಚಾಪದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, n ಗೆ 180 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಳಗಳ ಮೂಲಕ. ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, θ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಚಾಪಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದವು θ 0 ರಿಂದ 180 ರವರೆಗೆ ಹೋದಂತೆ, θ ° ಚಾಪದ ಸ್ವರಮೇಳವು 0 ರಿಂದ 120 ರವರೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಕಮಾನುಗಳಿಗೆ, ಸ್ವರಮೇಳವು ಚಾಪದ ಕೋನಕ್ಕೆ 3 ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಅನುಪಾತವನ್ನು θ ಅನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ≈ ಗೆ ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಆರ್ಕ್ಗೆ, ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದವು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿನ ಆರ್ಕ್ ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಾಪವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಸ್ವರಮೇಳ ಮತ್ತು ಚಾಪದ ಅನುಪಾತವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಚಾಪವು ತಲುಪಿದಾಗ, ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದವು ಚಾಪದಲ್ಲಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸ್ವರಮೇಳ 60° = 60. 60° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಮಾನುಗಳಿಗೆ, ಸ್ವರಮೇಳವು ಚಾಪಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, 180° ಯ ಚಾಪವನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ, ಸ್ವರಮೇಳವು ಕೇವಲ 120 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದಗಳ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೆಕ್ಸಾಜಿಮಲ್ (ಬೇಸ್ 60) ಅಂಕಿಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 112° ಆರ್ಕ್ನಿಂದ ಸಬ್ಟೆಂಡ್ ಮಾಡಲಾದ ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದವು 99.29.5 ಎಂದು ವರದಿಯಾದಾಗ, ಅದು ಹತ್ತಿರದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಚಾಪ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ಅಂಕಣಗಳ ನಂತರ, ಮೂರನೇ ಅಂಕಣವನ್ನು "ಅರವತ್ತನೇ" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. θ° ಆರ್ಕ್ಗೆ, "ಅರವತ್ತನೇ" ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿನ ನಮೂದು ಇದು ಒಂದು ಘಟಕದ ಸರಾಸರಿ ಅರವತ್ತನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಕೋನವು ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ಆರ್ಕ್ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, θ° ಮತ್ತು (θ +) ° ಪ್ರವೇಶದ ನಡುವೆ ಸ್ವರಮೇಳಕ್ಕೆ (θ°) ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂತರ್ವೇಶನಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಅರವತ್ತನೇ" ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ನಿಖರತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ಟೋಲೆಮಿ ಐದು ಸೆಕ್ಸಿಜೆಸಿಮಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿರಬೇಕು ಎಂದು ಗ್ಲೋವಾಟ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಗೊಟ್ಶೆ ತೋರಿಸಿದರು. ಟಾಲೆಮಿಯು ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗಣಿಸಿದನು ಪುಸ್ತಕ I ಆಫ್ ದಿ ಅಲ್ಮಾಜೆಸ್ಟ್ನ ಅಧ್ಯಾಯ 10 ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಬಳಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. 72° ಮತ್ತು 36° ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಟಾಲೆಮಿಯು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಪುಸ್ತಕದ XIIIಯ ಪ್ರಪೋಸಿಷನ್ 10ರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸಿದನು. ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ಪಂಚಭುಜವನ್ನು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಿದರೆ, ಪಂಚಭುಜದ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಷಟ್ಕೋಣದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಚೌಕಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಅದೇ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ದಶಭುಜದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಆ ಪ್ರಸ್ತಾಪವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅವರು ಅರ್ಧ-ಕಮಾನಿನ ಸ್ವರಮೇಳ, ಎರಡು ಕಮಾನುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸ್ವರಮೇಳ ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಮಾನುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸ್ವರಮೇಳದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಮೇಲೆ ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ, ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಉದ್ದಗಳ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಗುರುತುಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿಯು ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. 1° ಮತ್ತು °ನ ಚಾಪಗಳ ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಆತ ಅರಿಸ್ಟಾರ್ಕಸ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದನು. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು α ಮತ್ತು β ಆರ್ಕ್ಗಳಿಗೆ, 0 <β <α <90° ಆಗಿದ್ದರೆ, 1° ಮತ್ತು ° ಆರ್ಕ್ಗಳಿಗೆ, ಅಂದಾಜುಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗದ ನಂತರ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸೆಕ್ಸಾಜಿಮಲ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಟಾಲೆಮಿ ತೋರಿಸಿದರು. ಅಂಕಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಭಾಷಾಂತರಗೊಳ್ಳದ ಕೋಷ್ಟಕದ ನೋಟ-ವೃತ್ತದ ಚಾಪಗಳ ಉದ್ದಗಳು, ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು, ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಅರ್ಥಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರೀಕ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ 21 ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮೂಲ 10 ಅಂಕಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆ, "άν", ಅಂದರೆ ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ತುಂಬುವ (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ) ಎತ್ತರಿಸಿದ ವೃತ್ತ "′". ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ "ಪುರಾತನ" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಮೂರು ಅಕ್ಷರಗಳು, ಅಲ್ಮಗೆಸ್ಟ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಅಂಕಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಗೀತದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಾಗಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, °ನ ಒಂದು ಚಾಪವನ್ನು ρμγ anth′ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಕೋಷ್ಟಕವು 180° ಮಾತ್ರ ತಲುಪುವುದರಿಂದ, 200 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.) ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದಗಳ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕಣಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಮೊದಲ ಅಂಕಣವು 0-59 ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು 0-59 ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ = ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಹೈಬರ್ಗ್ ಅವರ ಅಲ್ಮಾಜೆಸ್ಟ್ನ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ 48-63 ಪುಟಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದೊಂದಿಗೆ, ಕೋಷ್ಟಕದ ಪ್ರಾರಂಭವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆಃ ನಂತರ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ಚಾಪದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಅಂಕಿಗಳ ಮೂಲ-10 ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ 85°ಯ ಒಂದು ಚಾಪವನ್ನು πε (80ಕ್ಕೆ π ಮತ್ತು 5ಕ್ಕೆ ε) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು 60 + 25 ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ವರಮೇಳದ ಉದ್ದವು 81 ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವು πα ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದೇ ರೀತಿ 60 + 21 ಆಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗ, +, ಅನ್ನು ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ 4ಕ್ಕೆ δ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ 15ಕ್ಕೆ ιε ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಟೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 360 ಸಾಲುಗಳಿರುವ ಎಂಟು ಪುಟಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ 45 ಸಾಲುಗಳಿವೆ. 1500ರ ದಶಕದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಮಾಧವ ಅವರ ಸೈನ್ ಟೇಬಲ್ ಪ್ಟೋಲೆಮಿ ಸ್ಕೇಲ್ ಆಫ್ ಕಾರ್ಡ್ಸ್ ವರ್ಸೈನ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸಸ್ ಓಲಾಫ್ ಪೆಡೆರ್ಸನ್ (1974) ಎ ಸರ್ವೆ ಆಫ್ ದಿ ಅಲ್ಮಾಜೆಸ್ಟ್, ಒಡೆನ್ಸ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್ ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಲಿಂಕ್ಸ್ ಜೆ. ಎಲ್. ಹೈಬರ್ಗ್ ಅಲ್ಮಾಜೆಸ್ಟ್, ಪುಟಗಳ ಮೇಲಿನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಪಟ್ಟಿ 48-63 ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಆರ್ಯಭಟ್ಟ ಅವರ ಸೈನ್ ಟೇಬಲ್ ಎಕ್ಸೆಸೆಂಟ್ ಫಂಡಮೆಂಟಮ್ ಆಸ್ಟ್ರೋನೋಮಿಯಾ ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕವು ಸೈನ್ಗಳ ನಿಖರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ಲೆನ್ ಎಲರ್ಟ್ ಪ್ಟೋಲೆಮಿಯವರ ಟೇಬಲ್ ಆಫ್ ಕಾರ್ಡ್ಸ್ಃ ಗ್ರೀಕ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಂಚ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಶತಮಾನದ ಅಲ್ಮಾಗೆಸ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ, ಅಂತರ್ಜಾಲ ಆರ್ಕೈವ್ನಲ್ಲಿ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳು ಟಾಲೆಮಿ ಗಣಿತದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು