Jacobi polynomials
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ತೂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಗೆಗೆನ್ಬಾಯರ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ, ಜೆರ್ನಿಕೆ ಮತ್ತು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಲ್ ಗುಸ್ತಾವ್ ಜಾಕೋಬ್ ಜಾಕೋಬಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಪೊಚಮ್ಮರ್ನ ಚಿಹ್ನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಏರುತ್ತಿರುವ ಅಪವರ್ತನೀಯಕ್ಕೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆಃ ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ಸೂತ್ರವು ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ನೈಜ ವಾದಕ್ಕಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಮಾಣಗಳು,,, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಯಗಳ ವಾದಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, ಅವು ತೂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕಮಾನದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು, ಯಾವಾಗ. ಇದು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೂ, ಅದರ ಸರಳತೆಯಿಂದಾಗಿ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಮಮಿತಿ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದಗಳು ಸಮಮಿತಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇತರ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ th ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವುಃ ಫಾರ್. ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳ ಸಮಾನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗೌಸ್ನ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧಗಳು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್ ಫಾರ್ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಫಾರ್ ಲಾರ್ಜ್ನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು "" ಪದವು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೀಪವಿರುವ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೆಹ್ಲರ್-ಹೈನ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೊರಗಿನ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ವಿಗ್ನರ್ ಡಿ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ () ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಗ್ನರ್ ಡಿ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ (ಫಾರ್) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಸ್ಕಿ-ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಿಗ್ ಕ್ಯೂ-ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು ನಿರಂತರ ಕ್ಯೂ-ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು ಸಣ್ಣ ಕ್ಯೂ-ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು ಸೂಡೊ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು ಜಾಕೋಬಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಗೆಜೆನ್ಬೌರ್ ಬಹುಪದಗಳು ರೊಮಾನೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಹುಪದಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವಿಶೇಷ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು