Picard–Vessiot theory
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಂದ ಯಾವಾಗ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು 1883 ರಿಂದ 1904 ರವರೆಗೆ ಎಮಿಲ್ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಅರ್ನೆಸ್ಟ್ ವೆಸಿಯಟ್ ಅವರು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಮತ್ತು ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವರವಾದ ವಿವರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಅವರು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು 1883 ಮತ್ತು 1898ರ ನಡುವೆ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಮತ್ತು 1892ರಿಂದ 1904ರವರೆಗೆ ವೆಸಿಯಟ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವು, ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, "ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ಏನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದು ಕಷ್ಟ. ಅವರು ಅಗತ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಠಿಣ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು (ಹಲವಾರು ಪ್ರಯಾಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ). ಕೊವಾಸಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಉಂಗುರಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಎಫ್ ಮತ್ತು ಕೆ ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬಹುಪದದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ರಿಂಗ್ ಆರ್ ಎಂಬುದು ಎಫ್ ಮೇಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ (0 ಮತ್ತು ಆರ್ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆದರ್ಶಗಳಿಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಎ ಮತ್ತು 1/ಡಿಟ್ (ಎ) ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೆ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎ ಎಫ್ ಮೇಲೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಬಿ =/ಎ ಎಫ್ ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಆದ್ದರಿಂದ ಎ ಎಂಬುದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ = ಬೈ.) ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಎಫ್ ನಲ್ಲಿರುವಾಗ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಎಫ್-ಕೆ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಲಿಯೋವಿಲಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು, ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೆ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ, a ಅಂಶದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು = a ಯ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು a ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು = ay ಯ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಗುರುತಿನ ಘಟಕವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಪಿಕಾರ್ಡ್-ವೆಸಿಯಟ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಲಿಯೋವಿಲಿಯನ್ ಆಗಿದೆ (,). ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಸೀಮಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು 1-ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಉಪಘಟಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು 1-ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ (ಟೋರಿ) ಆಗಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಉಪಘಟಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೂಲಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತ