Cyclotomic field
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಏಕತೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಿದವು ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಆಳವಾದ ತನಿಖೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ (ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ)-ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ವೈಫಲ್ಯದಿಂದಾಗಿ-ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಕುಮ್ಮರ್ ಮೊದಲು ಆದರ್ಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಏಕರೂಪತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಫಾರ್, ಲೆಟ್; ಇದು ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ನಂತರ th ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು th ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಬಹುಪದವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಓವರ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇನ್ ನ ಸಂಯೋಗಗಳು ಏಕತೆಯ ಇತರ ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆಃ ಫಾರ್ ವಿತ್. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯೂಲರ್ನ ಟೋಷಿಯಂಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದರ ಬೇರುಗಳು ಇದರ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಅದರ (ಅಥವಾ) ವಿಭಜಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವೂ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂಸ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇವು ಮತ್ತು ಜೊತೆಗಿನ ರೆಸಿಡ್ಯೂಗಳಾಗಿವೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ಆಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿಭಜನೆಯಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅನ್ರಾಮಿಫೈಡ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮೇಲೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ವಿಭಜನೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಫ್ರೊಬೀನಿಯಸ್ ಅಂಶವು ಇನ್ ನ ಅವಶೇಷಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕತೆಯ ಬೇರುಗಳ ಗುಂಪು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಏಕಮಾನ ಗುಂಪು ಎಂಬುದು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಏಕಮಾನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು} ಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಅದರ ತಿರುಚು ಉಪಗುಂಪು ಏಕತೆಯ ಬೇರುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಘಟಕಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸೀಮಿತ-ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ರೋನೆಕರ್-ವೆಬರ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಇನ್ ನ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕೆಲವರಿಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಗರಿಷ್ಠ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಮತ್ತು ನೇರ ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಿತ-ಗನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಮಾಡಿತು. ಅವನ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಂಡ ಅವನ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ನಿಯಮಿತವಾದ 17-ಗನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾಗಿತ್ತು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ನಿಯಮಿತ-ಗೋನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು; ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಅದು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಿಂದಿನ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. (ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು 2ರ ಘಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು 3,5,17,257,65537, ಮತ್ತು ಇತರರು ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು.) ಸಣ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತುಃ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಇದರ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಿಯಮಿತ 3-ಗನ್ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ 6-ಗನ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. : ಅಂತೆಯೇ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ 4-ಗನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. : ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಯಮಿತ 5-ಗನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ದ್ವಿಪದವನ್ನು ಅಂಶಗೊಳಿಸುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅಂಶಗಳು ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪವರ್ತನವು ಇದ್ದರೆ, ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತಳ್ಳಿಹಾಕಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವ ಹಲವಾರು ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಈ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರೆದವು, ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ನ ಪುರಾವೆ ಎರಡನ್ನೂ ಈ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯು 1 ರಿಂದ 22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,40,42,44,45,48,50,54,60,66,70,84,90 ರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಕುಮ್ಮರ್ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಅವರು ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸದಿದ್ದರೆ (ಅಂತಹವುಗಳನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಘಾತಾಂಕಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಯಾವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ನಿಯಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಂದು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು 37,59, ಮತ್ತು 67 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, 100ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಕುರಿತಾದ ಕುಮ್ಮರ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಇವಾಸಾವಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇವಾಸಾವಾ ಮತ್ತು ಕುಬೋಟಾ ಮತ್ತು ಲಿಯೋಪೋಲ್ಟ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ, ಅಥವಾ-ಭಾಗಕ್ಕಾಗಿ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ n ಗಾಗಿ) ಸಹ ನೋಡಿ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ವೆಬರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಬಹುಪದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂಲಗಳು ಬ್ರಿಯಾನ್ ಬಿರ್ಚ್, ಜೆ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಸ್ನಲ್ಲಿ "ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕುಮ್ಮರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು". ಕ್ಯಾಸೆಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎ. ಫ್ರೋಲಿಚ್ (ಎಡಿಡಿ), ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್, 1973. Chap.III, pp. 45-93. ಡೇನಿಯಲ್ ಎ. ಮಾರ್ಕಸ್, ನಂಬರ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್, ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, 1977 ಸೆರ್ಜ್ ಲ್ಯಾಂಗ್, ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ I ಮತ್ತು II, ಕಂಬೈನ್ಡ್ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಕಾರ್ಲ್ ರೂಬಿನ್ ಅವರ ಅನುಬಂಧದೊಂದಿಗೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪದವಿ ಪಠ್ಯಗಳು, 121. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1990. ಆನ್ ದಿ ರಿಂಗ್ ಆಫ್ ಇಂಟಿಜರ್ಸ್ ಆಫ್ ರಿಯಲ್ ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ಓದಿ. ಕೋಜಿ ಯಮಗಾಟಾ ಮತ್ತು ಮಸಾಕಾಜು ಯಮಗಿಶಿಃ ಪ್ರೋಕ್, ಜಪಾನ್ ಅಕಾಡೆಮಿ, 92. ಸೆರ್ ಎ (2016) ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ