Amitsur–Levitzki theorem
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅಮಿತ್ಸುರ್-ಲೆವಿಟ್ಜ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ n × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವು 2n ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಂಗುರಗಳು ಬಹುಪದೀಯ ಗುರುತಿನ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವು ಪೂರೈಸುವ ಚಿಕ್ಕ ಗುರುತು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಿಗ್ರಿ 2n ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಡಿಗ್ರಿ n ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬಹುಪದವು x1,., xn ನ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ n ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ! ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು Sn. ಅಮಿತ್ಸೂರ್-ಲೆವಿಟ್ಜ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುವಂತೆ, n × n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ A1,., A2n ಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರೂಫ್ಸ್ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾಚೀನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಬಗ್ಗೆ ಕೋಸ್ಝುಲ್-ಸ್ಯಾಮಲ್ಸನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅಮಿತ್ಸರ್-ಲೆವಿಟ್ಜ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸರಳವಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಪ್ರತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಮೂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ಅದು 1 ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು n ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ನಿರ್ದೇಶಿತ ತುದಿಯಾಗಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ 2n ನಿರ್ದೇಶನದ ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ n ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಗ್ರಾಫ್ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳಾದ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗೆ, ಎ ಯಿಂದ ಬಿ ಗೆ ಬೆಸ ಯೂಲೇರಿಯನ್ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. (ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಬೆಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 2n ಅಂಚುಗಳ ಬೆಸ ಅಥವಾ ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕನಿಷ್ಠ 2n ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಅಮಿತ್ಸೂರ್-ಲೆವಿಟ್ಜ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹಂಸವು ತೋರಿಸಿತು. ಅವರು ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. 2n ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಣ್ಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅಮಿತ್ಸರ್-ಲೆವಿಟ್ಜ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಕೇಲೆ-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಗುರುತು ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ