Hyers–Ulam–Rassias stability
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 1940ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾನಿಸ್ಲಾ ಉಲಾಮ್ ಅವರು ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಯಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಮುಂದಿನ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ಡೋನಾಲ್ಡ ಎಚ್. ಹೈಯರ್ಸ್ ಅವರು ಅಡಿಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉಲಾಮ್ನ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಭಾಗಶಃ ದೃಢವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಮೊದಲ ಮಹತ್ವದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಹಾರಗಳತ್ತ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದಿನಿಂದ, ಉಲಾಮ್ನ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಹೈಯರ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. 1978ರಲ್ಲಿ, ಥೆಮಿಸ್ಟೊಕ್ಲಿಸ್ ಎಮ್. ರಸ್ಸಿಯಸ್ ಅವರು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಷರತ್ತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕೌಚಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಹೈಯರ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು. ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಆತ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. ರಸ್ಸಿಯಸ್ನ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಶ್ವಾದ್ಯಂತ ಹಲವಾರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸಿತು, ಅವರು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರೇರೇಪಿತರಾದರು. ಎಸ್. ಎಂ. ಉಲಾಮ್, ಡಿ. ಎಚ್. ಹೈಯರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಟಿ. ಎಚ್. ಅವರ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ. ಎಂ. ರಾಸ್ಸಿಯಸ್ ಅವರು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಥ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎಂ. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಅವರು ಈಗ ಹೈಯರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣರಾದರು. ಉಲಾಮ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯಾಪಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಾಗಿ, ಆಸಕ್ತ ಓದುಗರನ್ನು ಎಸ್. ಎಂ. ಜಂಗ್, ಎಸ್. ಸೆರ್ವಿಕ್, ವೈ. ಜೆ. ಅವರು ಪುಸ್ತಕಗಳಿಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ. ಚೋ, ಸಿ. ಪಾರ್ಕ್, ಟಿ. ಎಂ. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್. ಸಾದತಿ, ವೈ. ಜೆ. ಚೋ, ಟಿ. ಎಂ. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್. ಸಾದತಿ, ಮತ್ತು ಪ್ಲ. ಕಣ್ಣಪ್ಪನ್, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಿಗೆ. 1950 ರಲ್ಲಿ, ಟಿ. ಅಯೋಕಿ ಅವರು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕೌಚಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ನಂತರ ರಸ್ಸಿಯಸ್ ಅವರು ರೇಖೀಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅಡಿಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಹೈರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ಅಯೋಕಿ ಸ್ಥಿರತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಯೋಕಿ (1950) ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ (1978) ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರು, ಇದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬಲವಾದ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಹ ನೋಡಿ Th. ಎಂ. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್, ಆನ್ ದಿ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಎ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಆಫ್ ಉಲಮ್, ಆಕ್ಟಾ ಅಪ್ಲ್ಯಾಂಡೆ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕೆ, 62 (1) (2000), 23-130. ಪಿ. ಗವ್ರುತ, ಎ ಜನರಲೈಸೇಶನ್ ಆಫ್ ದಿ ಹೈರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಆಫ್ ಸರಿಸುಮಾರು ಅಡಿಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು, ಜೆ. ಗಣಿತ. ಗುದದ್ವಾರ. ಆಪಲ್. 184 (1994), 431-436. ಪಿ. ಗವ್ರುತ ಮತ್ತು ಎಲ್. ಗವ್ರುತ, ಎ ನ್ಯೂ ಮೆಥಡ್ ಫಾರ್ ದಿ ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಹೈರ್ಸ್-ಉಲಮ್-ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ, ಇಂಟ. ಜೆ. ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಗುದದ್ವಾರ. ಆಪಲ್. 1 (2010), ನಂ. 2, 6 pp. ಜೆ. ಚುಂಗ್, ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೌಚಿ ಸಮೀಕರಣದ ಹೈಯರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಸ್ಥಿರತೆ, ಜೆ. ಗಣಿತ. ಗುದದ್ವಾರ. ಆಪಲ್. 300 (2) (2004), 343-350. ಟಿ. ಮಿಯುರಾ, ಎಸ್. ಇ. ತಕಾಹಾಸಿ, ಮತ್ತು ಜಿ. ಹಿರಾಸಾವಾ, ಹೈರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಆಫ್ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್ ಆನ್ ಬನಾಚ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್, ಜೆ. ಇಕ್ವಲ್. ಆಪಲ್. 4 (2005), 435-441. ಎ. ನಜತಿ ಮತ್ತು ಸಿ. ಪಾರ್ಕ್, ಹೈಯರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ರಾಸಿಯಸ್ ಪೆಕ್ಸಿಡೆರೈಸ್ಡ್ ಕೌಚಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅರೆ-ಬನಾಚ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ, ಜೆ. ಗಣಿತ. ಗುದದ್ವಾರ. ಆಪಲ್. 335 (2007), 763-778. ಟಿ. ಎಂ. ರಸ್ಸಿಯಾಸ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಬ್ರಜ್ದೆಕ್ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2012,. ಡಿ. ಜಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ವಾಂಗ್, ಆನ್ ದಿ ಹೈರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ರಾಸಿಯಾಸ್ ಸ್ಟೆಬಿಲಿಟಿ ಆಫ್ ಜೆನ್ಸನ್ ಸಮೀಕರಣ, ಬುಲ್. ಕೊರಿಯನ್ ಗಣಿತ. ಎಸ್. ಸಿ. 46 (4) (2009), 645-656. ಟಿ. ಟ್ರಿಫ್, ಜೆನ್ಸನ್ ಪ್ರಕಾರದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಹೈಯರ್ಸ್-ಉಲಾಮ್-ರಾಸಿಯಾಸ್ ಸ್ಥಿರತೆ, ಜೆ. ಗಣಿತ. ಗುದದ್ವಾರ. ಆಪಲ್. 250 (2000), 579-588. ಪಿ. ಎಲ್. ಕಣ್ಣಪ್ಪನ್, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2009. ಪಿ. ಕೆ. ಸಾಹೂ ಮತ್ತು ಪ್ಲ. ಕಣ್ಣಪ್ಪನ್, ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್, ಸಿಆರ್ಸಿ ಪ್ರೆಸ್, ಚಾಪ್ಮನ್ & ಹಾಲ್ ಬುಕ್, ಫ್ಲೋರಿಡಾ, 2011. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಬ್ರೆಕ್ನರ್ ಮತ್ತು ಟಿ. ಟ್ರಿಫ್, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಆಯ್ದ ವಿಷಯಗಳು, ಕ್ಲುಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಕ್ಲುಜ್, 2008. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ