Poincaré disk model
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪಾಯಿನ್ಕೆರೆ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯು 2-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗೆ ಇರುವ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಾಪಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಶೇಷ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ವಿಶೇಷ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪಿನ ಎಸ್ಯು (1,1) ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮಾದರಿಯ ಜೊತೆಗೆ, ಯುಜೆನಿಯೊ ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಅವರು ಈ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಅವರು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಈ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಹದಿನಾಲ್ಕು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪುನಃ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಆತನು ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿಯ ಮೂಲ ಕೃತಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧನಾದ ಕಾರಣ ಇದಕ್ಕೆ ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಬಾಲ್ ಮಾದರಿಯು 3 ಅಥವಾ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬಿಂದುಗಳು ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಏಕಮಾನದ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ ಅವರು 1854 ರ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ (1868 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ) ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಯುಜೀನಿಯೊ ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಅವರ 1868 ರ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು. ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಅವರು 1882 ರಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಆದರೆ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಅವರ 1905 ರ ತಾತ್ವಿಕ ಗ್ರಂಥವಾದ ಸೈನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಇದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಯಿತು. ಅಲ್ಲಿ ಆತ ಈಗ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಜಗತ್ತನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾನೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಅದು ಅದರ ನಿವಾಸಿಗಳಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತುಃ "ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೊಡ್ಡ ಗೋಳದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಒಂದು ಜಗತ್ತುಃ ತಾಪಮಾನವು ಏಕರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ; ಅದು ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಗೋಳದ ಸುತ್ತಳತೆಯತ್ತ ಸಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಕ್ರಮೇಣ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ತಾಪಮಾನದ ನಿಯಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾಪಮಾನವು ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿನ ರೇಖೀಯ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾಪಮಾನಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ತಾಪಮಾನದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಾಗಿಸಲ್ಪಡುವ ವಸ್ತುವು ತನ್ನ ಹೊಸ ಪರಿಸರದೊಂದಿಗೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಉಷ್ಣ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. .. ಅವರು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ಅದು ನಮ್ಮಂತೆಯೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ನಮ್ಮ ಬದಲಾಗದ ಘನವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ; ಇದು ಅವರು ಹೀಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿರುವ ಸ್ಥಾನದ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು 'ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳು' ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಣ ಪಡೆದ ನಮ್ಮಂತಹ ಜೀವಿಗಳು ನಮ್ಮಂತೆಯೇ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ". (pp.65-68) ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರುಡಾಲ್ಫ್ ಕಾರ್ನಾಪ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ರೀಚೆನ್ಬಾಚ್ನ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ತಾತ್ವಿಕ ಚರ್ಚೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಆಯ್ಕೆಯು ವಾಸ್ತವಿಕಕ್ಕಿಂತ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಗೆ ಪಾಯಿನ್ಕೇರೆಯ ಡಿಸ್ಕ್ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ರೇಖೆಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗೆ ಇರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೃತ್ತಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಡಿಸ್ಕ್ನ ಗಡಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕಂಪಾಸ್ ಮತ್ತು ನೇರ ಅಂಚಿನ ನಿರ್ಮಾಣ ಗಡಿ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ ಬಿಂದುವಿನ ಗಡಿ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವು ಬಿಂದುವಿನ ಗಡಿ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವಾಗಿರಲಿ, ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು (ಮತ್ತು) ಮೂಲಕ ಹೋಗಿ. ಡಿಸ್ಕ್ ಒಳಗೆ ಇರುವ ವೃತ್ತದ ಭಾಗವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಗಡಿ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಆ ವ್ಯಾಸವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆಃ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಬಿಂದುವಿನ ಬೌಂಡರಿ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವಾಗಿರಲಿ, ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ರೇಖೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸುವ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು (ಮತ್ತು) ಮೂಲಕ ಹೋಗಿ. ಡಿಸ್ಕ್ ಒಳಗೆ ಇರುವ ವೃತ್ತದ ಭಾಗವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂತರಗಳು ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾಪನಗಳಾಗಿವೆ. ಡಿಸ್ಕ್ ಒಳಗೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾದ p ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಯು ಗಡಿಯನ್ನು ಎರಡು ಆದರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾದ a ಮತ್ತು b ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿಂದುಗಳು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, a, p, q, b ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿ. ಲಂಬವಾದ ಪಟ್ಟಿಗಳು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ (ವೃತ್ತದ ಚಾಪದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಲ್ಲ), ln ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ p ಆಯಾ q ನ ದೂರಗಳು, p ಮತ್ತು q ನಡುವಿನ ಅಂತರ, ಡಿಸ್ಕ್ನ ಗಡಿ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್ನ ವಿಲೋಮ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಳಸಿದ ಡಿಸ್ಕ್ ಓಪನ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರವು r ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ದೂರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವಿಲೋಮ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಬಳಸಿದ ಡಿಸ್ಕ್ ತೆರೆದ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವು ಮೂಲ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿವೆ, ಒಂದೇ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು), ಅವುಗಳ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ದೂರವು ಇದು ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಗಳು ಒಂದು ವೃತ್ತವು (ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹ) ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗೆ ಅದರ ಗಡಿಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸದ ಅಥವಾ ಛೇದಿಸದ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೇಂದ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೃತ್ತದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವು ಗಡಿ ವೃತ್ತದ ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಹೈಪರ್ ಸೈಕಲ್ (ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಅಕ್ಷ) ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೃತ್ತದ ಚಾಪ ಅಥವಾ ಸ್ವರಮೇಳವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಗಡಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಆದರೆ ಬಲವಲ್ಲದ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಕ್ಷವು ಅದೇ ಎರಡು ಆದರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಮದೂರದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾತಕಗಳು (ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಲಂಬವಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಾ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆ), ಡಿಸ್ಕ್ನ ಗಡಿಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗಿನ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದು ಗಡಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಮುಟ್ಟುವ ಬಿಂದುವು ಜಾತಕದ ಭಾಗವಲ್ಲ. ಇದು ಆದರ್ಶ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜಾತಕದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಾರಾಂಶ ಎ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೃತ್ತಃ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಡಿಸ್ಕ್ ಒಳಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. (ಡಿಸ್ಕ್ನ ಕೇಂದ್ರವು ವೃತ್ತದೊಳಗೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕೇಂದ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕಿಂತ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳಿ). ಡಿಸ್ಕ್ ಒಳಗೆ ಇರುವ ಮತ್ತು ಗಡಿಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಜಾತಕವು; ಗಡಿಯನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಗಡಿಯನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಹೈಪರ್ಸೈಕಲ್ ಆಗಿದೆ. ಗಡಿ ವೃತ್ತದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ವರಮೇಳಃ ಅದು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಅದು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ಹೈಪರ್ ಸೈಕಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆ ಯು ಮತ್ತು ವಿ ನೈಜ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆರ್ಎನ್ ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಇವೆರಡೂ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ದೂರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾನದಂಡದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ-1. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಸ್ಥಿರವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಈ ಮಾದರಿಯು ಹೊಂದಿದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಸಂಬಂಧಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು xi ಸುತ್ತುವರಿದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳು Sn−1 ಗಡಿ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾದ ವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳು ಮತ್ತು ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾದ 1-ರೂಪಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ವಕ್ರತೆಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಇತರ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಕ್ಲೈನ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಕ್ಲೈನ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿ (ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿ ಎರಡೂ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳು ಗೋಳಾರ್ಧದ ಮಾದರಿಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯು ಗೋಳಾರ್ಧದ ಮಾದರಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯು ಸ್ಟೀರಿಯೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ನೇರ ಸ್ವರಮೇಳಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಕ್ಲೈನ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ (ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು ವಿರೂಪಗೊಂಡಿವೆ). ಒಂದೇ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವಾಗ ಎರಡೂ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಎರಡು ಆದರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತವೆ. (ಆದರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ) ಕ್ಲೈನ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವರಮೇಳದ ಧ್ರುವವು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಚಾಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು (x, y) ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು (x, y) ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಆದರ್ಶ ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾನದಂಡದ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ಲೈನ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾನದಂಡದ ವಾಹಕದಿಂದ, ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿ ಎರಡಕ್ಕೂ ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಲೆ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಲೋಮದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು (x, y) ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು (x, y) ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯಿಡ್ ಮಾದರಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ದಿ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯಿಡ್ ಮಾದರಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಮಾದರಿಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಮೇಲಿನ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು [t, x1,., xn] ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಮೂಲಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು [−1,0,., 0] ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೈಪರ್ಪ್ಲೇನ್ t = 0 ಮೇಲೆ ಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ (t, xi) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು (yi) ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಪರಿವರ್ತನೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಗೋಳ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಸ್ಟೀರಿಯೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ರಚನೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲ ರಚನೆಯೆಂದರೆ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಏಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಲಂಬ ವೃತ್ತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾದ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಗಳ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ವ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾದ u = (u1, u2) ಮತ್ತು v = (v1, v2) ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎರಡೂ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಈ ರೂಪದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸೂತ್ರಗಳು ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಗೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಮಾದರಿಗಳ ರೇಖೆಗಳು ವ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ v = −u ಮತ್ತು t = −s, ಆಗ ನಾವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಕೋನದ ಸೂತ್ರವು θ ಆಗಿದೆ. ಕೆನಡಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಅವರೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚೆಗಳು. 1956 ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಟೆಸೆಲೇಷನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎಸ್ಚರ್ನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದರು, ಇವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದ ನಿಯಮಿತ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಎಸ್ಚರ್ನ ಮರದ ಕೆತ್ತನೆಗಳು ಸರ್ಕಲ್ ಲಿಮಿಟ್ I-IV 1958 ಮತ್ತು 1960 ರ ನಡುವೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಕೊನೆಯದು ಸರ್ಕಲ್ ಲಿಮಿಟ್ IV: ಹೆವೆನ್ ಅಂಡ್ ಹೆಲ್ 1960 ರಲ್ಲಿ. ಬ್ರೂನೋ ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ನ ಪ್ರಕಾರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸರ್ಕಲ್ ಲಿಮಿಟ್ III ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ರೋಗ್ವೆಲ್ ರೀತಿಯ ಆಟವಾದ ಹೈಪರ್ ರೋಗ್, ಅದರ ವಿಶ್ವ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಫಿಯರ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯಿಡ್ ಮಾದರಿ ವಿಲೋಮ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಟಿಲಿಂಗ್ಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಜೇಮ್ಸ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಆಂಡರ್ಸನ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 2005. ಯುಜೀನಿಯೊ ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ, ಟಿಯೋರಿಯಾ ಫೌಂಡಮೆಂಟಲ್ ಡೆಗ್ಲಿ ಸ್ಪಾಜಿ ಡಿ ಕರ್ವಟುರಾ ಕೋಸ್ಟಾಂಟೆ, ಅನ್ನಾಲಿ. ದಿ ಮ್ಯಾಟ್., ಸೆರ್ II 2 (1868), 232-255. ಸೌಲ್ ಸ್ಟಾಲ್, ದಿ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಹಾಫ್-ಪ್ಲೇನ್, ಜೋನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬಾರ್ಟ್ಲೆಟ್, 1993. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಡಿಸ್ಕ್