Tube domain
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಟ್ಯೂಬ್ ಡೊಮೇನ್ ಎಂಬುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾದ ಪಟ್ಟಿಯ (ಅಥವಾ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ) ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅದರ ನೈಜ ಭಾಗವು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿಲ್ಲ; ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಕೊಳವೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ನೈಜ ಭಾಗವು ಕೆಲವು ನೈಜ ವಾಹಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಟ್ಯೂಬ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಹಲವಾರು ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರದ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿವೆ (ಬಹುಆಯಾಮದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನೋಡಿ). ಟ್ಯೂಬ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಿಂದ ಪಾಲೆ-ವೀನರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲಿರುವ ಟ್ಯೂಬ್ಗಳು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಟ್ಯೂಬ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಥಳಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಶ್ರೀಮಂತ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ Hp ಕಾರ್ಯಗಳ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಭವಿಷ್ಯದ ಕೊಳವೆಯು ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ ಒಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೊಳವೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೋನ್ಗಳ ಮೇಲಿರುವ ಕೆಲವು ಟ್ಯೂಬ್ಗಳು ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಅವು ಸೀಮಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಸೀಗೆಲ್ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳವು ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ Rn ಎಂಬುದು n ಆಯಾಮದ ನೈಜ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Cn ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ Cnನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದುಃ A ಎಂಬುದು Rnನ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಎ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಟ್ಯೂಬ್, ಟಿಎ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಿ. ಎನ್. ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅದರ ನೈಜ ಭಾಗಗಳು ಎಃ ಟ್ಯೂಬ್ಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಟ್ಯೂಬ್ ಟಿಎಯಲ್ಲಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಟ್ಯೂಬ್ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಟ್ಯೂಬ್ ಕೂಡ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಓಪನ್ ಸೆಟ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್), ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಟ್ಯೂಬ್ ಸಹ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಕೊಳವೆಯ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಹೊದಿಕೆ ಅದರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಎ ಅನ್ನು ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಚ್. ಪಿ. (ಟಿ. ಎ.) ಯು ಟಿ. ಎ. ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಎಫ್. ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎ. ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ. p = 2 ರ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, H2 (ಟಿಎ) ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. f ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ Rn ಮೇಲೆ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ f ನ ಫೋರಿಯರ್-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆಗ F ಅನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು H2 (ಟಿಎ) ಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಎಚ್2 (ಟಿಎ) ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವೂ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಒಂದು ಪರ್ಯವಸಾನವೆಂದರೆ, ಎ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಚ್2 (ಟಿಎ) ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನ್ಗಳ ಮೇಲಿರುವ ಟ್ಯೂಬ್ಗಳು ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ಎ ತೆರೆದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ಆಗಿರಲಿ. ಇದರರ್ಥ ಎ ಒಂದು ತೆರೆದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಎ ಯಲ್ಲಿ x ಇರುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಮೂಲದಿಂದ x ವರೆಗಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಿರಣವೂ ಹಾಗೆಯೇ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ, ಎ ಒಂದು ಕೋನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಚ್ 2 (ಟಿಎ) ಯ ಅಂಶಗಳು ಎಲ್ 2 (ಬಿ) ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಎಲ್ 2 ಗಡಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಎಚ್ಪಿ (ಟಿಎ) ಗೆ ಹೋಲುವ ಫಲಿತಾಂಶವಿದೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಕೋನ್ ನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋನ್ ಎ * ಖಾಲಿ ಒಳಾಂಗಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು). ರೀನ್ಹಾರ್ಡ್ ಡೊಮೇನ್ ಸೀಗೆಲ್ ಡೊಮೇನ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮೂಲಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. .. ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳು