Conway polynomial (finite fields)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ Fpnಗೆ ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದವಾದ Cp, n ಎಂಬುದು Fp ಮೇಲೆ ಡಿಗ್ರಿ nನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು Fpnನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು Cp, nನ ವಿಭಜಕ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದಿಗಳಿಗೆ ರಿಚರ್ಡ್ ಎ. ಪಾರ್ಕರ್ ಅವರು ಜಾನ್ ಎಚ್. ಕಾನ್ವೇ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಟ್ಟಿದ್ದರು, ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು. ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಕಾನ್ವೇ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಅವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವು ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ದತ್ತಸಂಚಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡುವೆ ಒಯ್ಯುವಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ದುಬಾರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬೇಕು. ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದಗಳ ದತ್ತಸಂಚಯಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾದ ಜಿಎಪಿ, ಮ್ಯಾಕಾಲೇ2, ಮ್ಯಾಗ್ಮಾ, ಸೇಜ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಮತ್ತು ಫ್ರಾಂಕ್ ಲೂಬೆಕ್ನ ಜಾಲತಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಎಫ್ಪಿಎನ್ನ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು −1βn −1 +. + a1β + a0 ರೂಪದ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ β ಎಂಬುದು ಎಫ್ಪಿ ಮೇಲೆ ಡಿಗ್ರಿ ಎನ್ ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಜೆ ಎಫ್ಪಿಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಂಶಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸರಳವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ ಕ್ರಮ pnನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವಿದ್ದರೂ, ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದವು ಈ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಎಫ್. ಪಿ. ಎನ್. ನ ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶವಾದ α, ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಂಶಗಳನ್ನು α ನ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದರಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. α ಗೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದವು Fpಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಡಿಗ್ರಿಯ ಮೊನಿಕ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು ಅದು α ಅನ್ನು Fpnನಲ್ಲಿ ಮೂಲವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (αಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದ). ಇದು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೇರುಗಳು ಸಂಬಂಧಿತ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಎಫ್. ಪಿ. ಎನ್. ನ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಫ್. ಪಿ. ಎಂ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದು, m ಅನ್ನು n ಎಂದು ಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಎಫ್. ಪಿ. ಎಂ. ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಎಫ್. ಪಿ. ಎನ್. ನ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. α ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲಿನದನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ α ನ ಚಿಕ್ಕ ಶಕ್ತಿಯು αr ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ r = (pn−1)/(pm−1). fn ಎಂಬುದು ಮೂಲ α ಹೊಂದಿರುವ Fpnಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು fm ಎಂಬುದು FPMಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾನ್ವೇಯವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, αr ಎಂಬುದು fmನ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, fm ಮತ್ತು fn ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ fm (x) ಅನ್ನು fn (xr) ಎಂದು ಭಾಗಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ರೂಢಿ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ವರ್ನರ್ ನಿಕೆಲ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದ Cp, n ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಆಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊನಿಕ್ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಬಹುಪದ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು Fp ಮೇಲೆ ಡಿಗ್ರಿ n ಆಗಿದೆ, ಇದು Cp ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, n ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ m ಗೆ m. ಇದು n ಮೇಲೆ ಒಂದು ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆಃ ಬೇಸ್ ಕೇಸ್ Cp, 1 (x) = x − α, ಅಲ್ಲಿ α ಎಂಬುದು Fp ನ ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಆಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಬಳಸಿದ ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಆರ್ಡರಿಂಗ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ Fp ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು 0 <1 <2 <. <p − 1 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. Fp [x] ನಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ d ಯ ಬಹುಪದವನ್ನು adxd − ad − 1xd − 1 +. + (−1) ga0 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು adad − 1. a0 ಎಂಬ ಪದವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಗ್ರಿ ಡಿ ಯ ಎರಡು ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಪದಗಳ ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಎಲ್ಲವುಗಳಿಗಿಂತ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಮೊನಿಕ್ ಪ್ರಾಚೀನ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗಣಿತದ ಮಾನದಂಡವು ಕಂಡುಬರದ ಕಾರಣ, ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೇರುವುದನ್ನು ಒಂದು ಸಂಪ್ರದಾಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಬ್ರೂಟ್-ಫೋರ್ಸ್ ಸರ್ಚ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾದ ಕಾನ್ವೇ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳನ್ನು ಹೀತ್ ಮತ್ತು ಲೋಹ್ರ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪಾರ್ಕರ್ ವಿಧಾನದ ಮರುಶೋಧನೆ ಎಂದು ಲುಬೆಕ್ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ