Quasisymmetric map
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂಬುದು ದ್ವಿ-ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ದ್ವಿ-ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದೆ ಕುಗ್ಗಿಸುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ದುರ್ಬಲ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಅವು ಸೆಟ್ಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆಃ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಟಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ದೂರ ಟಿ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಗಾತ್ರಗಳ ಅನುಪಾತವು ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ನಕ್ಷೆಗಳು ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (X, dX) ಮತ್ತು (Y, dY) ಎರಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ f: X → Y ಅನ್ನು η-ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯ η: [0, ≤) → [0, ≤) ಅಂದರೆ X ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಮೂರು x, y, z ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ದುರ್ಬಲ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಆಕರ್ಷಣೆಯೆಂದರೆ, ದುರ್ಬಲ-ಕ್ವಾಸಿಸೆಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕ್ವಾಸಿಸೆಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಮತ್ತು ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. δ-ಮೊನೊಟೋನ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೊನೊಟೋನ್ ನಕ್ಷೆ f: H → H ಎಂಬುದು δ-ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, H ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಮತ್ತು y ಗೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, f (0) = 0 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಅಂದಾಜನ್ನು y = 0 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ x ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿತ್ರ f (x) ನಡುವಿನ ಕೋನವು 0 ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸ್ δ <π/2 ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಗಳು ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವು ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಕಿರಿದಾದ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯು ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮದ ಗುಂಪಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬಹುದಾದರೂ, δ-ಮೊನೊಟೋನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯ L: R → R ನ ತಿರುಗುವ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಕ್ರಮಗಳು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ f: R → R ಯು ಸ್ಥಿರವಾದ C> 0 ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುವಂತಹ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಅಳತೆ μ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. C = 0 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು f ಗೆ ಈ ರೀತಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಅದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಬದಲಿಗೆ Rn ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು (ಈಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ): Rn ಮೇಲೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಕ್ಷೆಯು ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಅಳತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು δ ಗೆ δ-ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿದೆ). ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಫರ್ಮಾಲಿಟಿ Rn ನ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿರಲಿ. f: ω → ω 'η-ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು K-ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, f: ω → ω 'ಎಂಬುದು K-ಕ್ವಾಸಿಕೋಫಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅದು η-ಕ್ವಾಸಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಸಿ-ಮೊಬಿಯಸ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಎ ಸಂಬಂಧಿತ ಆದರೆ ದುರ್ಬಲ ಸ್ಥಿತಿಯು ಕ್ವಾಸಿ-ಮೊಬಿಯಸ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಬದಲಿಗೆ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (X, dX) ಮತ್ತು (Y, dY) ಎರಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು η: [0, ≤) → [0, ≤) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು η-ಕ್ವಾಸಿ-ಮೋಬಿಯಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ f: X → Y ಒಂದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ X ನಲ್ಲಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು x, y, z, t ಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.