Cayley–Klein metric
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂಬುದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪೂರಕದ ಮೇಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯು ಆರ್ಥರ್ ಕೇಲಿಯವರ "ಆನ್ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್" ಎಂಬ ಪ್ರಬಂಧದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರು 1871 ಮತ್ತು 1873 ರಲ್ಲಿ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಮತ್ತು ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾಪನಗಳು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕೀಕೃತ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡೇತರ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾಪನಗಳು ಒದಗಿಸಿದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ. ಕಾರ್ಲ್ ವಾನ್ ಸ್ಟಾಡ್ಟ್ (1847) ಬರೆದ ಎಸೆತಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಅಳತೆಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿತ್ತು. ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಕೋನವನ್ನು ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ ಎಡ್ಮಂಡ್ ಲಾಗುರೆ (1853) ಅವರ ಲಾಗುರೆ ಸೂತ್ರವು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಒಳನೋಟವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೇಲಿಯು (1859) ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ದೂರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದನು. ಕ್ಲೈನ್ (1871,1873) ವಾನ್ ಸ್ಟಾಡ್ಟ್ನ ಕೃತಿಯಿಂದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಕೊನೆಯ ಅವಶೇಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರು ಮತ್ತು ಕೇಲಿಯ ಹೊಸ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಜೋಡಣೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಆಧರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಕೇಲಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರು. ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವು ಹಿಂದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದೂರಗಳ ಕೇವಲ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಅನುಪಾತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತರದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿರಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಹೋಗುವ ಚಲನೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ಅಥವಾ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಜಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಕೊಲಿನೇಶನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತವು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನೈಜ ರೇಖೆಯು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಮಾದರಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು 2004ರಲ್ಲಿ ಹೋರ್ಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ರಾಲ್ಫ್ ಸ್ಟ್ರೂವ್ ಅವರು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದರುಃ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಗಳಿವೆ, ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಏಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 18 ಇವೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್, ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್, ಗೆಲಿಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿಯನ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ಗಳಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ವೊರೊನೊಯಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ರೇಖೀಯ ಹೈಪರ್ಪ್ಲೇನ್ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಫೈನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ರಾಸ್ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ದೂರ ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆ ಪಿ (ಆರ್) ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಧನವು ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪಿ (ಆರ್) ಮೇಲೆ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅವು [p: 1] ಮತ್ತು [q: 1] ಆಗಿವೆ. ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯು p ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ಅನಂತಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮಧ್ಯಬಿಂದು (p + q)/2 [1:1] ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿದಮ್ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಚಿತ್ರದ ಲಾಗ್ 0 ಆಗುವುದರೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರದ [p, q] ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಾಗಿ, ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಪಾತದ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಮರು ಅನುಪಾತ ಮಾಡಿದಾಗ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಅನುಪಾತಗಳ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಪಾತಗಳ ಈ ನಮ್ಯತೆಯು ದೂರಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆಃ ಅದನ್ನು a ಗೆ ಸರಿಸಲು, ಮೇಲಿನ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, w ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ನಂತರ ಈ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿಃ ಇದು [w, 1] ನಿಂದ [1:1] ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು a ನಿಂದ 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ a ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ರಚಿಸಲಾದ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಗಳನ್ನು p, q ಮತ್ತು a ನ ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮೂರು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯ ವಾದವಾಗಿದೆ. 0 ರಿಂದ ಈ ನಾಲ್ಕನೇ ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ. ಪಿ (ಆರ್) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಕೆ ಮೇಲೆ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಿಕ್ ಕೆ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ದೊಡ್ಡ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಕೆ ಅನ್ನು ಬದಲಾಗದ ಸೆಟ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಜಾಗದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯು ಪಿ (ಆರ್) ಮೇಲೆ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಕೆ ಮೇಲೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಗಳು K ಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ದೂರ, ಒಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ. ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಏಕಕ ವೃತ್ತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆ ಪಿ (ಸಿ) ಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲ ಪಿ 2 (ಆರ್) ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಪಿ (ಆರ್) ಗೆ ದೂರ ಕಲ್ಪನೆ ಲಭ್ಯವಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪಿ (ಆರ್) ಅನ್ನು ಪಿ 2 (ಆರ್) ಮತ್ತು ಪಿ (ಸಿ) ಎರಡರಲ್ಲೂ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. a ಮತ್ತು b ಗಳು P2 (R) ನಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಂತರ ಅವು ವೃತ್ತವನ್ನು p ಮತ್ತು q ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. a ಯಿಂದ b ಯವರೆಗಿನ ಅಂತರವು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯ ಮೌಲ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು b ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ p, q ಮತ್ತು a ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ಗಳು ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವೃತ್ತಗಳ ಚಾಪಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವರ್ಗದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಚಲನೆಯ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಏಕಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಅಸ್ಥಿರ ಗುಂಪಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಈ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವೃತ್ತವಿದೆ, ಅದನ್ನು p ಮತ್ತು q ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ, a ಯಿಂದ b ಯವರೆಗಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಒಬ್ಬರು ಮೊದಲು p, q ಮತ್ತು a ಗಾಗಿ ಹೋಮೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು b ಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದ ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳೆಂದರೆ ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿ. 1926ರಲ್ಲಿ ಮರಣೋತ್ತರವಾಗಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದ ಕುರಿತಾದ ತಮ್ಮ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಲೈನ್ ಹೀಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆಃ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ (ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು) ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಗಳಿಸಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ (ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ), ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಅದರ ರೂಪಾಂತರವು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತ ಅಥವಾ ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಭೌತಿಕ ವೇಗಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಭೌತಿಕ ವೇಗಕ್ಕೆ, ಅನುಪಾತವು ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಒಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಕೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಾಗಿ ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಸ್ಪೇಸ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿವರಗಳನ್ನು ಕ್ಲೈನ್ 1910 ರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ 1928 ರ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದರು. ಅಫೈನ್ ಸಿಕೆ-ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು 2008ರಲ್ಲಿ ಹೋರ್ಸ್ಟ್ ಮಾರ್ಟಿನಿ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಗರಿಟಾ ಸ್ಪಿರೋವಾ ಅವರು ಕ್ಲಿಫೋರ್ಡ್ನ ಮೊದಲ ವೃತ್ತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಕೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಫೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರುಃ ಸಂಪೂರ್ಣವು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಫೈನ್ ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳ ಉಪಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವು f ರೇಖೆಯನ್ನು ಮತ್ತು f ಮೇಲೆ F ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ವೃತ್ತವು ಎಫ್ ನಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (x, y, z). ಅನಂತದಲ್ಲಿ f ರೇಖೆಯು z = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. F = (0,1,0) ಆಗಿದ್ದರೆ, y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಒಂದು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಿ = (1,0,0) ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ = (0,1,0) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿರಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಫ್ ಮೇಲಿನಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ. (x, y) ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಅನಂತ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಹುಸಿ-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಟಿನಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಿರೋವಾ ಅವರ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಹುಸಿ-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿತ-ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವಂತೆ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಇತಿಹಾಸ ಕೇಲೆ ಆರ್ಥರ್ ಕೇಲೆ (1859) ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಆಧರಿಸಿದ "ಸಂಪೂರ್ಣ" ವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ನಂತರ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ (1871) ಕೇಲಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿದರುಃ ಅವರು ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವನ್ನು (ಇದನ್ನು ಅವರು ಮೂಲಭೂತ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆದರು) ಬರೆದರುಃ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ, ಅವರು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಮಾಪನದ ಅಂತರವನ್ನು ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರುಃ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಮಾಪನದ ದೂರಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಈಗ ಅವು ತಲಾ ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮೂಲಭೂತ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿ ಅವರು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದರು, ಇದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದಾಗ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ರೂಪವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿರುವ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಆಯಾ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಅವರು ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರು, ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ (ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ-ಕ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿ) ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದರು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ, ನೈಜ ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಒಂದು ಹಾಳೆಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನೈಜ ಮತ್ತು ಲಂಬರೇಖೆಯಲ್ಲದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ತಮ್ಮ 1873ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಅವರು ಕೇಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಈಗ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ನ ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯು ಧನಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯು ಇತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಎರಡು-ಹಾಳೆಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಚಳಿಗಾಲದ ಸೆಮಿಸ್ಟರ್ 1889/90 (ಪ್ರಕಟಿತ 1892/1893) ನಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡೇತರ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಮೊದಲ ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಯೂಕ್ಲಿಡೇತರ ಸಮತಲವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದರು, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಿದರುಃ ಮತ್ತು ಯುಕ್ಲಿಡೇತರ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದರು. 1890 ರ ಬೇಸಿಗೆ ಸೆಮಿಸ್ಟರ್ನ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡನೇ ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿ (ಸಹ ಪ್ರಕಟವಾದ 1892/1893), ಕ್ಲೈನ್ ಯೂಕ್ಲಿಡೇತರ ಜಾಗವನ್ನು ಕೇಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಈ ಚತುಷ್ಕೋನ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಐದು ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಅವರು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯುಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೊಲಿನೇಶನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದರು. ರಾಬರ್ಟ್ ಫ್ರಿಕೆ ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ ಅವರು 1897 ರಲ್ಲಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಮೊದಲ ಸಂಪುಟದ ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ಈ ಎಲ್ಲವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕುರಿತಾದ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮರಣೋತ್ತರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಪುಟವಾಗಿ ಮರುಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು 1928ರಲ್ಲಿ ವಾಲ್ಥರ್ ರೋಸ್ಮನ್ ಅವರು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಂಪಾದಿಸಿದರು. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರ ಕೆಲಸದ ಐತಿಹಾಸಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಎ 'ಕ್ಯಾಂಪೋ ಮತ್ತು ಪಾಪಡೋಪೌಲೋಸ್ (2014) ನೀಡಿದರು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಹಿಸ್ಟಾರಿಕಲ್ (ಎರಡನೇ ಮುದ್ರಣ, 1892 ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮುದ್ರಣ) (ಎರಡನೇ ಮುದ್ರಣ, 1892 ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮುದ್ರಣ) ಸೆಕೆಂಡರಿ ಮೂಲಗಳು ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರಸ್ಸೆಲ್ (1898) ಆನ್ ಎಸ್ಸೇ ಆನ್ ದಿ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ, 1956 ರಲ್ಲಿ ಡೋವರ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, ಇಂಕ್. ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ನಾರ್ತ್ ವೈಟ್ಹೆಡ್ (1898) ಯುನಿವರ್ಸಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಬುಕ್ VI ಚಾಪ್ಟರ್ 1: ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್, pp 347-70, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸೆಕ್ಷನ್ 199 ಕೇಲಿಯ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್. ಡಂಕನ್ ಸೋಮರ್ವಿಲ್ಲೆ (1910/11) "ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇನ್ ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಸ್ಪೇಸ್", ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಎಡಿನ್ಬರ್ಗ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ 28:25-41. ಡೇವಿಡ್ ಡೆಲ್ಫೆನಿಚ್ ಅವರಿಂದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷಾಂತರದಲ್ಲಿ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆಃ ಲೋರೆಂಜ್ ಗುಂಪಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಮೇಲೆ; ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷಾಂತರಃ ಎಮ್. ಅಕರ್ಮನ್ ಅವರಿಂದ 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ಮ್ಯಾಥ್ ಸೈ ಪ್ರೆಸ್ ಹಾರ್ವೆ ಲಿಪ್ಕಿನ್ (1985) ಜಾರ್ಜಿಯಾ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿಯಿಂದ ಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವ ಜಾನ್ ಡ್ರೊಸ್ಲರ್ (1979) "ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಮಲ್ಟಿಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಇನ್ ಕೇಲೆ-ಕ್ಲೈನ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಗಳು", ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಂಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಸೈಕಾಲಜಿ 32 (2); 185-211 ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ