O-minimal theory
ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಉಪಗುಂಪು X′M (M ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ) ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ <ನಿಂದ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾದ ಅನಂತ ರಚನೆಯನ್ನು (M, <,.) o-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒ-ಮಿನಿಮಾಲ್ಟಿಯನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ನ ದುರ್ಬಲ ರೂಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಎಂನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಚಲಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂತ್ರವು ಕೇವಲ ಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್-ಫ್ರೀ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಂನಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂ ರಚನೆಯು ಓ-ಮಿನಿಮಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಟಿ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾದರಿಯು ಒ-ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ ಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒ-ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಓ-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟಿ ಒಂದು ಓ-ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಲವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಕನಿಷ್ಠವಲ್ಲದ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ರಚನೆಯಿರಬಹುದು. ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ O-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಶ್ರಯವಿಲ್ಲದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು S = (Sn), n = 0,1,2 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸೆಟ್ M ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ Sn ಎಂಬುದು Mn ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, A ω Sn ಆಗಿದ್ದರೆ M × A ಮತ್ತು A × M ಗಳು Sn + 1 ನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಸೆಟ್ {(x1,., xn) ω Mn: x1 = xn} Sn ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ A ω Sn + 1 ಮತ್ತು π: Mn + 1 → Mn ಮೊದಲ n ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ π (A) ω Sn. M ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದ ದಟ್ಟವಾದ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, <ಎಂದು ಹೇಳಿ, ನಂತರ M ಮೇಲಿನ S ರಚನೆಯು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು o-ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ <Li> ಸೆಟ್ <(= {(x, y) bul M2: x <y}) S2 <Li> ನಲ್ಲಿದೆ S1 ನಲ್ಲಿನ ಸೆಟ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟಗಳಾಗಿವೆ. "ಓ" ಎಂದರೆ "ಕ್ರಮ", ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಓ-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಒ-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆಗಳು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳವಾದ-ಆದರೆ ಸಮಾನವಾದ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, L ಒಂದು ದ್ವಿಮಾನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಭಾಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು (M, <,.) ಒಂದು L-ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ (M, <,.) ಅನ್ನು o-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ X, M ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು I1,, M ನಲ್ಲಿ IR ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ X0 ಇದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ o-ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಕೇವಲ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ರೇಖೀಯ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಆರ್ಸಿಎಫ್, ನೈಜ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ನಿರ್ಬಂಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. [0,1] n ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು, [0,1] n ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ; ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ o-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಿಲ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಫಾಫಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದುಃ ನೈಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಓ-ಕನಿಷ್ಠ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ (ನಿರ್ಬಂಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ ಕ್ಷೇತ್ರ), ಅದರ ಪ್ಫಾಫಿಯನ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮತ್ತೆ ಓ-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. (ಒಂದು ರಚನೆಯ ಫಾಫಿಯನ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಫಾಫಿಯನ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಆರ್ಸಿಎಫ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಅರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಓ-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮಾರ್ಗವು ಓ-ಮಿನಿಮಲ್ ಆಗಿರುವ ನೈಜ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅನ್ವಯದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಒ-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಜೀವಕೋಶ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ, ವಿಟ್ನಿ ಮತ್ತು ವರ್ಡಿಯರ್ ಶ್ರೇಣೀಕರಣ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಉತ್ತಮ ಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಓ-ಮಿನಿಮಲ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಲೋಜಸಿವಿಕ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಉಪ-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನದಂತಹ (ಕೆಲವು ಸೌಮ್ಯ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ) ಕೆಲವು ಸುಗಮವಲ್ಲದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬಲವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತ ದುರ್ಬಲವಾದ ಓ-ಕನಿಷ್ಠ ರಚನೆ ಸಿ-ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪೂರ್ವಮುದ್ರಣ ಸರ್ವರ್ ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪೂರ್ವಮುದ್ರಣ ಸರ್ವರ್ ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ನೈಜ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಟೋಪೋಲಜಿ