Bernstein's problem
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ Rn-1ರ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು Rnನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಕಾರ್ಯವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಇದು ಗರಿಷ್ಠ 8ಕ್ಕೆ ನಿಜ, ಆದರೆ ಕನಿಷ್ಠ 9ಕ್ಕೆ ಸುಳ್ಳು. 1914ರಲ್ಲಿ n = 3 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸೆರ್ಗೆಯ್ ನಟನೋವಿಚ್ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು f ಎಂಬುದು n − 1 ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಫ್ ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಆರ್ ಎನ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿರುವ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಎಫ್ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು (ಆರ್ ಎನ್-1 ರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯ) ಡಿಗ್ರಿ-1 ಬಹುಪದವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು, R2ನ ಮೇಲಿನ ನೈಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು, ಅದು R3ಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯೂ ಸಹ, ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಇತಿಹಾಸವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಆರ್3ಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲೀಯವಲ್ಲದ ಪ್ರದೇಶ-ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವ ಕೋನ್ ಇಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅದನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹೊಸ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಆರ್ಎನ್-1ರಲ್ಲಿ ಸಮತಲೀಯವಲ್ಲದ ಪ್ರದೇಶ-ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವ ಕೋನ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಆರ್ಎನ್ನಲ್ಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆರ್ 4ರಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ 4 ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲೀಯವಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಶಂಕುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆರ್ 5 ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ. R7ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲೀಯವಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಶಂಕುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸಿತು, ಹೀಗಾಗಿ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು R8ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿತು. ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಆರ್8ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕೋನ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳಿದರು. ಸೈಮನ್ಸ್ನ ಕೋನ್ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಆಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ n ≤9 ಗೆ ಕನಿಷ್ಠವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಸೈಮನ್ಸ್ನ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯವು n ≤ 8ಕ್ಕೆ Rnನಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷಾಂತರ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಲೇಖನವು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೇಲೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಆಯಾಮ ಪ್ರಮೇಯಗಳು