Convexity in economics
ಸಂವಹನವು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರ್ಥಿಕ ಸಮತೋಲನದ ಬಾಣ-ಡೆಬ್ರೂ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಜೆಟ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆಃ ಸಮತೋಲನದ ಬೆಲೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬಜೆಟ್ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಾಧಿಸಬಹುದಾದ ಉದಾಸೀನತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ. ಲಾಭದ ಕಾರ್ಯವು ವೆಚ್ಚದ ಕಾರ್ಯದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳ ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ x ಮತ್ತು y ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಪ್ರಕಾರ ಸೇರಿಸಬಹುದು (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); ಮುಂದೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ λ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಪ್ರಕಾರ λ (x, y) = (λx, λy) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, (ಸೀಮಿತ) ಆಯಾಮ D ಯ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ D ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ನೋಡಬಹುದುಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ನೈಜ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ-ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳು ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಸೆಟ್ನಿಂದ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘನ ಘನವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಟೊಳ್ಳಾದ ಅಥವಾ ಡೆಂಟ್ ಆಗಿರುವ ಯಾವುದಾದರೂ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರ್ಧಚಂದ್ರಾಕಾರವು ನಾನ್-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, Qಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಾದ v0 ಮತ್ತು v1ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಏಕಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ λಗೆ, ಬಿಂದು (1−λ) v0 + λv1, Qಯ ಸದಸ್ಯನಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಸೆಟ್ Qಅನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ಮೂಲಕ, ಕ್ಯೂ ಸದಸ್ಯರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಯೂ ಕ್ಯೂಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ಯೂ ಸೆಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ {v0, v1,... ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ vD} ಎಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ = 1 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (λd) ಕೆಲವು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪಿಗೆ ಯಾವುದೇ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಗುಂಪಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಛೇದನವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಒಂದು ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರತಿ ಉಪಗುಂಪು ಕ್ಯೂಗೆ, ಇದು ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಕನ್ವ್ (ಕ್ಯೂ) ಎಂಬುದು ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ಆವರಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪಿನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಅನ್ನು ಕ್ಯೂ ನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ದ್ವಂದ್ವತೆಃ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವುದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಒಂದು ಜಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡನ್ನೂ ಪೂರೈಸಿದರೆ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ನೈಜ ಎನ್-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಎರಡು ಮುಚ್ಚಿದ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಅರ್ಧ-ಜಾಗವು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅರ್ಧ-ಜಾಗವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವುದು ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿನ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನನ್ಯವಾಗಿರದೇ ಇರಬಹುದು. ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೂರನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವಂತೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಗ್ರಾಹಕರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆದ್ಯತೆಯ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಜೆಟ್ ನಿರ್ಬಂಧದಿಂದ ಬೆಂಬಲಿಸಲ್ಪಟ್ಟಾಗ ಸರಕುಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಬುಟ್ಟಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ಯತೆಯ ಸೆಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರಾಹಕರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಬಾಸ್ಕೆಟ್ (ಅಥವಾ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಬಾಸ್ಕೆಟ್ಗಳ ಲೈನ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್). ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಗ್ರಾಹಕರ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾದ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಆದ್ಯತೆಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ "ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸೆಟ್" ನ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.) ಆದ್ಯತೆಯ ಸೆಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಬಳಕೆಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವ ಬಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಾಣಿಸಂಗ್ರಹಾಲಯಗಳಿಗೆ, ಒಂದು ಸಿಂಹವು ಹದ್ದುಗಳಷ್ಟೇ ವೆಚ್ಚವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೃಗಾಲಯದ ಬಜೆಟ್ ಒಂದು ಹದ್ದು ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಿಂಹಕ್ಕೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಮೃಗಾಲಯದ ಪಾಲಕರೊಬ್ಬರು ಎರಡೂ ಪ್ರಾಣಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಯುತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೃಗಾಲಯವು ಒಂದು ಸಿಂಹ ಅಥವಾ ಒಂದು ಹದ್ದು ಖರೀದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಸಮಕಾಲೀನ ಮೃಗಾಲಯದ-ಕೀಪರ್ ಅರ್ಧ ಹದ್ದು ಮತ್ತು (ಅಥವಾ ಗ್ರಿಫಿನ್) ಖರೀದಿಸಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ! ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಕಾಲೀನ ಮೃಗಾಲಯ-ಕೀಪರ್ಗಳ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದವುಃ ಮೃಗಾಲಯ-ಕೀಪರ್ ಎರಡೂ ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಯಾವುದೇ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಎರಡೂ ಪ್ರಾಣಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರ್ಥಿಕ ಸಮತೋಲನ, ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತೋಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗಣಿತ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ (ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ) ಪದವಿ ಮಟ್ಟದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶಾಪ್ಲೆ-ಫೋಕ್ಮನ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನೇಕ ಗ್ರಾಹಕರೊಂದಿಗೆ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿನ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮತೋಲನದೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಗಳು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತವೆ; ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನೇಕ ಸಣ್ಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪಾದನಾ ಆರ್ಥಿಕತೆಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. "ಅಲ್ಪಸ್ವಾಮ್ಯಗಳಲ್ಲಿ" (ಕೆಲವು ಉತ್ಪಾದಕರ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವಿರುವ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳು), ವಿಶೇಷವಾಗಿ "ಏಕಸ್ವಾಮ್ಯಗಳಲ್ಲಿ" (ಒಬ್ಬ ಉತ್ಪಾದಕರ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವಿರುವ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳು), ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ದೊಡ್ಡ ನಿರ್ಮಾಪಕರೊಂದಿಗಿನ ಕಳವಳಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದವು, ಪಿಯೆರೊ ಸ್ರಾಫಾ 1926 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಆದಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆದಾಗ, ಅದರ ನಂತರ ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಹೊಟೆಲಿಂಗ್ 1938 ರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ವೆಚ್ಚದ ಬೆಲೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆದರು. ಸ್ರಫಾ ಮತ್ತು ಹೊಟೆಲ್ಲಿಂಗ್ ಎರಡೂ ಸ್ಪರ್ಧಿಗಳಿಲ್ಲದ ನಿರ್ಮಾಪಕರ ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬೆಳಗಿಸಿ, ಆರ್ಥಿಕತೆಯ ಪೂರೈಕೆಯ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉತ್ತೇಜಿಸಿದವು. ಪರಿಸರೀಯ ಸರಕುಗಳೊಂದಿಗೆ (ಮತ್ತು ಇತರ ಬಾಹ್ಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ), ಮಾಹಿತಿ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಷೇರು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳೊಂದಿಗೆ (ಮತ್ತು ಇತರ ಅಪೂರ್ಣ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳೊಂದಿಗೆ) ಸಹ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಅನ್ವಯಗಳು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದವು. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಅನ್ಸ್ಮೂತ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. "ಉತ್ಪಾದನೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆಯೆರಡರಲ್ಲೂ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಿಲ್ಲದಿರುವುದು. ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಗಣಿತದ ಸಾಧನಗಳ ಅಗತ್ಯವಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಮೃದುವಲ್ಲದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾಯಬೇಕಾಗಿತ್ತು" (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ಕ್ಲಾರ್ಕ್ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ), ಮತ್ತು, ವಿವರಿಸಿದಂತೆ. "ಬೆಲೆ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತೋಲನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಾವೀನ್ಯತೆ" "ಜಾಗತಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಭೇದಾತ್ಮಕ ಟೋಪೋಲಜಿ) ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ [ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿ] ಸುಗಮವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಇದರ ಪ್ರಕಾರ, "ಸುಗಮವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲಗಳಿಂದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ [ಮತ್ತು] ಸ್ಪರ್ಶಕ ಶಂಕುಗಳಿಂದ ಕ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ" ಅದು ನಯವಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಕ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದದ್ದಾಗಿರಬಹುದು. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಲುಯೆನ್ಬರ್ಗರ್, ಡೇವಿಡ್ ಜಿ. ಮೈಕ್ರೊ ಎಕನಾಮಿಕ್ ಥಿಯರಿ, ಮೆಕ್ಗ್ರಾ-ಹಿಲ್, ಇಂಕ್., ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1995 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತೋಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತ