Quantum Fourier transform
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು (ಕ್ಯೂಎಫ್ಟಿ) ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಬಿಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅನಾಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಅನೇಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಶೋರ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿ, ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಂತದ ಅಂದಾಜು ಕ್ರಮಾವಳಿ ಮತ್ತು ಗುಪ್ತ ಉಪಗುಂಪು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಡಾನ್ ಕಾಪರ್ಸ್ಮಿತ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಲ್ಲಿ ಸರಳ ಏಕಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ವೈಶಾಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೇವಲ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗೇಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದ ಶಿಫ್ಟ್ ಗೇಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು, ಇದು ಗೇಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಅಲ್ಲಿ ಬಿಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ), ಇದು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿ ವಾಹಕದ (ಕ್ವಾಂಟಮ್ ರಿಜಿಸ್ಟರ್) ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ವಾಹಕದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಇದು ಮಾಪನದ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅಥವಾ ಐಜೆನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಮಾಪನವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒಂದೇ ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕುಸಿಯುವುದರಿಂದ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವೂ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಘಾತೀಯ ವೇಗದ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ತಿಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗೆ (2000 ರ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ) ಸಮರ್ಥವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಕೇವಲ ಗೇಟ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದ ಗೇಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ವೈಶಾಲ್ಯದ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ವಾಹಕದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಏಕತೆಯ N-th ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅದನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ (ಹಂತದ ಅಂಶ ಘಾತಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ; ಇಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ವಿಲೋಮ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದಂತೆಯೇ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಇದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇದರೊಂದಿಗೆಃ ಅದು ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗೇಟ್) ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿ. ಎಫ್. ಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಹಂತದ ರೂಪಾಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಏಕತೆ ಎಂಬುದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇದು ಏಕಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾರ್ಮ್ 1 ರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಾಹಕಗಳು ನಾರ್ಮ್ 1 ರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಏಕೀಕೃತ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಲೋಮವು ಫೋರಿಯರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಸಮರ್ಥ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಇರುವುದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಅನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಚಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಎರಡೂ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಅನುಷ್ಠಾನ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗೇಟ್ಗಳು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗೇಟ್ ಮತ್ತು ಫೇಸ್ ಗೇಟ್ಃ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಗೇಟ್ಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಬೇಸಿಸ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಈ ಬೇಸಿಸ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳು ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತವೆಃ ಅಲ್ಲಿ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ, ಕ್ಯೂಬಿಟ್ 0 ಅಥವಾ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಅತ್ಯಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಬಿಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾದ ಬೈನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗೇಟ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯು, ಅಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪದಗಳ ಸರಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಭಾಗಶಃ ಬೈನರಿ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಂದ್ರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನಿಂದ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅವುಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಲು ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ವಿನಿಮಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು, n ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು, n ಏಕ-ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಔಟ್ಪುಟ್ನ ಕ್ರಮ ಹಿಮ್ಮುಖದವರೆಗೆ). ಆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕ-ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗೇಟ್ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದ ಗೇಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗೇಟ್ ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದ ಗೇಟ್ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಮುಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗೇಟ್ ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದ ಗೇಟ್ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಪ್ರತಿ ಪದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದ ಗೇಟ್ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಔಟ್ಪುಟ್ ರಿವರ್ಸಲ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಗೇಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಗೇಟ್ಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಹತ್ತಿರದ ನೆರೆಯ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್-ಮಟ್ಟದ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಆಳವು ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಮೂರು ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಏಕತೆಯ ಎಂಟನೇ ಮೂಲವು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಹೀಗಿದೆಃ 3-ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು (ಸರಿಯಾದ ಕ್ಯೂಎಫ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಔಟ್ಪುಟ್ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ) ಆಯಾ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಸೀಮಿತ (ಅಬೆಲಿಯನ್) ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎನ್-ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ರಿಜಿಸ್ಟರ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಕ್ಯೂಎಫ್ಟಿಯು ಡಿಎಫ್ಟಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಎನ್ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಹ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಹಡಮಾರ್ಡ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ n ಕ್ಯೂಬಿಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಗೇಟ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೋರ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆರಂಭಿಕ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಎಫ್ಟಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕೆ. ಆರ್. ಪಾರ್ಥಸಾರಥಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎರರ್ ಕರೆಕ್ಟಿಂಗ್ ಕೋಡ್ಸ್ ಕುರಿತ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು (ಇಂಡಿಯನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್, ದೆಹಲಿ ಸೆಂಟರ್, ಜೂನ್ 2001) ಜಾನ್ ಪ್ರೆಸ್ಕಿಲ್, ಲೆಕ್ಚರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಫಾರ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ 229: ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಇನ್ಫರ್ಮೇಷನ್ ಅಂಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ (ಸಿಐಟಿ, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 1998) ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಶನ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ಃ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಇಂಪ್ಲಿಮೆಂಟಿಂಗ್ ಗ್ರೋವರ್ಸ್ ಸರ್ಚ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಶನ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ಃ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಇಂಪ್ಲಿಮೆಂಟಿಂಗ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಕ್ವಿರ್ಕ್ ಆನ್ಲೈನ್ ಲೈಫ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳು ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ