Tangle (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಟ್ಯಾಂಗಲ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆಃ ಜಾನ್ ಕಾನ್ವೇ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಎನ್-ಟ್ಯಾಂಗಲ್ ಎಂಬುದು 3-ಚೆಂಡಿನೊಳಗೆ ಎನ್ ಆರ್ಕ್ಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಹುದುಗಿಸುತ್ತದೆ; ಹುದುಗುವಿಕೆಯು ಆರ್ಕ್ಗಳ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಚೆಂಡಿನ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ 2n ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸಬೇಕು. ಲಿಂಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಟ್ಯಾಂಗಲ್ ಎಂದರೆ n ಆರ್ಕ್ಗಳು ಮತ್ತು m ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು-ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅದು ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗಡಿಯನ್ನು ಎರಡು (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್) ತುಣುಕುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಟ್ಯಾಂಗಲ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಇದು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. (ಎನ್. ರಾಬರ್ಟ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಪಿ. ಡಿ. ಸೆಮೌರ್, ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಥಿಯರಿ ಬಿ 52 (1991) 153-190 ಬರೆದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಮೈನರ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್. ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ಸ್ ಟು ಟ್ರೀ-ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ನಲ್ಲಿ 'ಟ್ಯಾಂಗಲ್' ನ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಬಳಕೆಯು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಅವರು ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರೋಯಿಡ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ.) ಈ ಲೇಖನದ ಸಮತೋಲನವು ಕಾನ್ವೇ ಅವರ ತೊಡಕುಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ; ಸಂಪರ್ಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅರ್ಥಕ್ಕಾಗಿ, ಆ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. 3-ಚೆಂಡಿನ ಗಡಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಇನ್ನೊಂದು ಚೆಂಡಿಗೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಐಸೊಟೋಪಿ ಇದ್ದರೆ ಎರಡು ಎನ್-ಟ್ಯಾಂಗಲ್ಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ಯಾಂಗಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ಲೂಪ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಗಂಟು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅದರ ತುದಿಗಳನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿರುವ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರೇಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಟ್ಯಾಂಗಲ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ, 3-ಚೆಂಡುಗಳ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಡಿಸ್ಕ್ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರಲು ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ನಂತರ ನಮಗೆ ಟ್ಯಾಂಗಲ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಂಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಂತೆ ಓವರ್ ಮತ್ತು ಅಂಡರ್ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಟ್ಯಾಂಗಲ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಂಟು ಅಥವಾ ಲಿಂಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಂಗಲ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಲಿಂಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಬಿಲ್ಡಿಂಗ್ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಪ್ರೆಟ್ಜೆಲ್ ಕೊಂಡಿಗಳು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಟಾಪಟಿಗಳು ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಜಟಾಪಟಿಯು 3-ಚೆಂಡು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜೋಡಿಗಳ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ 2-ಜಟಾಪಟಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ 2-ಜಟಾಪಟಿಯಾಗಿದೆ. ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಗಡಿ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿರುವ ಕಮಾನುಗಳ ನಾಲ್ಕು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎನ್ಇ, ಎನ್ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ಎಸ್ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ಎಸ್ಇ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ದಿಕ್ಸೂಚಿಯ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಸೂತಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಸೂತಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೂಪದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಿರುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಸಮತಲ (ಲಂಬ) ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಸೂತಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ; ಒಂದು "ತಿರುವು" ಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಎನ್ಇ ಮತ್ತು ಎಸ್ಇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಎಸ್ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಮತ್ತು ಎಸ್ಇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು) ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ದಾಟುವಿಕೆ; ಎನ್ಇ ಮತ್ತು ಎಸ್ಇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಎಸ್ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಮತ್ತು ಎಸ್ಇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚಿನ ತಿರುವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ತಿರುವು ಈ ಹಿಂದೆ ರಚಿಸಲಾದ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಒಂದೇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಸತತ ತಿರುವುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. (2,1,-3) ಎಂದರೆ ಎರಡು ಸಮತಲ ಕಮಾನುಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ನಂತರ ಎನ್ಇ/ಎಸ್ಇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 2 ತಿರುವುಗಳು, ನಂತರ ಎಸ್ಡಬ್ಲ್ಯೂ/ಎಸ್ಇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 1 ತಿರುವು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎನ್ಇ/ಎಸ್ಇ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 3 ತಿರುವುಗಳು ಆದರೆ ಮೊದಲಿನಿಂದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವುದು. ನೀವು ಎರಡು ಲಂಬವಾದ ಚಾಪಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ ಪಟ್ಟಿಯು 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಮತಲವಾದ ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು (0) ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಲಂಬವಾದ ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ (0,0) ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ. "ಧನಾತ್ಮಕ" ಅಥವಾ "ಋಣಾತ್ಮಕ" ತಿರುವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಸರಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು "ತರ್ಕಬದ್ಧ ತೊಡಕು" ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ತೊಡಕಿನ ಭಾಗವನ್ನು ನಂತರ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (0,0) ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾನ್ವೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಜಟಲಿಯ ಸಮಾನತೆಯವರೆಗಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯಕ್ಕೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಕಾನ್ವೇ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತೊಡಕಿನ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ತೊಡಕುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತೊಡಕುಗಳ "ಅಂಕಗಣಿತ" ಇರುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಜಟಾಪಟಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಟಾಪಟಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಉತ್ತರ" ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು "ದಕ್ಷಿಣ" ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಕೊಂಡಿ ಎಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ತೊಡಕಿನ ಅಂಶ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. "ಪೂರ್ವ" ಮತ್ತು "ಪಶ್ಚಿಮ" ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಛೇದದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ತೊಡಕುಗಳ ಅಂತಹ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಎಣಿಕೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾದ ಗಂಟುಗಳಿಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಕಾನ್ವೇ ಅವರ ತೊಡಕುಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪ್ರೇರಣೆಯಾಗಿತ್ತು. ಡಿ. ಎನ್. ಎ. ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಟ್ಯಾಂಗಲ್ಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಿಣ್ವದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಟ್ಯಾಂಗಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಹಾಯದಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು. ಟ್ಯಾಂಗಲ್ಮೆಂಟ್ ಪಜಲ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ನಾಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ