Energy distance
ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. X ಮತ್ತು Y ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ (cdf) F ಮತ್ತು G ಯೊಂದಿಗೆ Rdಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, F ಮತ್ತು G ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರವನ್ನು (X, X ', Y, Y') ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರ ವರ್ಗಮೂಲವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, X ಮತ್ತು X 'ನ cdf F ಆಗಿದೆ, Y ಮತ್ತು Y' ನ cdf G ಆಗಿದೆ, ಇದು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು | |. | | ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಹೀಗಾಗಿ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರವು ವಿತರಣೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಡಿ (ಎಫ್, ಜಿ) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಫ್ = ಜಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರವನ್ನು 1985 ರಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಬೋರ್ ಜೆ. ಸ್ಜೆಕೆಲಿ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಕ್ರಾಮರ್ನ ದೂರ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸರಳ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ, ಸ್ಜೆಕೆಲಿ (2002) ನೋಡಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ದೂರಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರವು ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಕ್ರಾಮರ್ನ ಅಂತರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. (ಕ್ರಾಮರ್ನ ಅಂತರವು ವಿತರಣೆ-ಮುಕ್ತ ಕ್ರಾಮರ್-ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್ ಮಾನದಂಡದಂತೆಯೇ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅದರ ಬೋರೆಲ್ ಸಿಗ್ಮಾ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕ್ರಮಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. μ ಮತ್ತು ν ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ μ ಮತ್ತು ν ನ ಶಕ್ತಿ-ದೂರವನ್ನು ಇದರ ವರ್ಗಮೂಲವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಬಲವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕಾರವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ನಂತರದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಲವಾದ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, X ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಧದ ಆದರೆ ಬಲವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕಾರವಲ್ಲದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಕ್ಯಾಬ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲ. ಎಲ್ಲಾ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಹ ಬಲವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಗಾಗಿ ಕರ್ನಲ್ ವಿಧಾನಗಳ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರದ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ದೂರ ಆಧಾರಿತ ಮತ್ತು ಕರ್ನಲ್ ವಿಧಾನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರು ಆವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. 1980ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಬುಡಾಪೆಸ್ಟ್, ಹಂಗೇರಿ ಮತ್ತು ಎಮ್ಐಟಿ, ಯೇಲ್ ಮತ್ತು ಕೊಲಂಬಿಯಾದಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡುವ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿದ್ದಾಗ ಇ-ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ ಅಥವಾ ಎನರ್ಜಿ-ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗ್ಯಾಬೋರ್ ಜೆ. ಸ್ಜೆಕೆಲಿ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನ್ಯೂಟನ್ರ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುವ ಸ್ವರ್ಗೀಯ ಕಾಯಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶಕ್ತಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅವಲೋಕನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಜಿಂಜರ್ ಎ. ಎ., ಕಕೋಸ್ಯಾನ್ ಎ. ವಿ., ಕ್ಲೆಬನೋವ್ ಎಲ್. ಬಿ. ಯಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಇ-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಎನ್-ಅಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಎನ್-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮಾಪನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೆಲವು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಮಾಸ್ಕೋ, VNIISI, 1989,47-55. (ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ), ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅನುವಾದಃ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯ ಮಾಪನಗಳ ಮೂಲಕ ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎ. ಎ. ಜಿಂಜರ್, ಎ. ವಿ. ಕಕೋಸ್ಯಾನ್, ಎಲ್. ಬಿ. ಕ್ಲೆಬನೋವ್ ಅವರು ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಸೋವಿಯತ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ (1992). ಅದೇ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕರ್ನಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ ಮರುಪಡೆಯಲು ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. X ಮತ್ತು Y ಎಂಬ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ X ಮತ್ತು Y ಯಿಂದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆಃ ಮತ್ತು, X ಮತ್ತು Y ಮಾದರಿಗಳ ನಡುವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ದೂರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಇ-ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ X ಮತ್ತು Y ಒಂದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು () ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಕ್ಕೆ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಟಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮಾನ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಶಕ್ತಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪತೆಯ ಇ-ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. X ಮತ್ತು Y ಒಂದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ H = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುವಿಧದ ಒಳ್ಳೆಯತನ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿಲ್ಲ). ಎನರ್ಜಿ ಗುಡ್ನೆಸ್-ಆಫ್-ಫಿಟ್ ಅಂಕಿಅಂಶವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ X ಮತ್ತು X 'ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪಿತ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಒಂದೇ ರೀತಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು. ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ X ಸೀಮಿತ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತು. ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ. ಎನ್. ನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಗಾಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಯೂಎನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಘಾತಾಂಕ 1 (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ) ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಮಲ್ಟಿ ವೇರಿಯೇಟ್ ನಾರ್ಮಲಿಟಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಆರ್. ಟೆಸ್ಟ್ಗಳ ಎನರ್ಜಿ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ನಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ಯಾರೆಟೊ (ಪವರ್ ಲಾ) ನಂತಹ ಹೆವಿ ಟೈಲ್ಡ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಅಥವಾ (0,1) ನಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನ್ವಯಗಳ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಸೇರಿವೆಃ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ (ವಾರ್ಡ್ನ ವಿಧಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ) ಸಮಾನ ವಿತರಣೆಗಳ ಬಹು-ಮಾದರಿ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಬಹುವಿಧದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು, ಚೇಂಜ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿಟೆಕ್ಷನ್ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ಃ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಕೋರಿಲೇಷನ್, ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್. ಸ್ಕೋರಿಂಗ್ ನಿಯಮಗಳುಃ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳಾದ ಎನರ್ಜಿ ಸ್ಕೋರ್ಗಾಗಿ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸರಿಯಾದ ಸ್ಕೋರಿಂಗ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಗ್ನೈಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ರಾಫ್ಟರಿ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ದೃಢವಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸನ್ನಿವೇಶ ಕಡಿತ ಜೀನ್ ಆಯ್ಕೆ ಮೈಕ್ರೋಅರೇ ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮೆಟೀರಿಯಲ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಮಾರ್ಫೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಕೀಮೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ದತ್ತಾಂಶದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಆರ್. ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ಟೆಸ್ಟಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್ಗಾಗಿ ತೆರೆದ ಮೂಲ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ಯಾಕೇಜಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.